2011届新课标人教版高中第一轮总复习理科数学课件：第15讲函数的综合应用

系、函数的单调性、极值、最值、求 二次函数的解析式等基本知识，考查 运用导数研究函数性质的方法，考查 函数与方程、数形结合等思想方法和 分析问题、解决问题的能力.与二次函 数有关的综合题涉及面广，包容量大， 几乎贯穿高中数学的各个章节，是推 理能力的重要题型.
方法提炼
1.理解函数的概念，掌握函数的图象和性质 是解决函数综合问题的基础，灵活运用函 数的图象、性质及数学思想方法是解决函 数的综合问题的关键. 2.解决函数综合问题时，要认真分析、处理 好各种关系、把握问题的主线，运用相关 的知识和方法逐步化归为基本问题来解决. 要注意等价转换(化归)、数形结合、分类 讨论等数学思想和方法的综合运用.
4x-x2,x＜0，若f(2-a2)＞f(a)，则实数a的 取值范围是（ C ） A.(-∞，-1)∪(2，+∞) B.(-1，2)
C.(-2，1)
D.(-∞，-2)∪(1，+∞)
本题解题的关键是正确作出函数的图象, 概括出函数在R上是单调递增函数. 所以由f(2-a2)>f(a) 2-a2>a -2<a<1.
A.x1>x2 B.x1<x2
C.x1+x2>0
D.x12>x22
(方法一)因为f(-x)=(-x)sin(-x)=xsinx=f(x), 所以f(x)在R上是偶函数.又f(x1)>f(x2)， 所以f(|x1|)>f(|x2|). 又f(x)在[0, ]上是增函数， 所以|x1|>|x2|，
又|AC|= 2
,|BD|= 2 4 d 2 2, 1 |AC|· 所以S四边形ABCD = |BD| 2 2 2 = 2 4 d1 · 4 d 2
2 4 d12 2 4 d 2 2 2 ) 2 2 4
.
因为0≤d22≤3. 2= 3 时,S 所以当d2 四边形ABCD有最大值为5. 2
(1)由条件①，得f(0)≥2， 又由条件③,取x1=x2=0,得f(0)≤2,所以f(0)=2. (2)任取x1、x2∈[0,1],且x1<x2,则0<x2-x1<1， 所以f(x2-x1)≥2. 又f(x2)=f[(x2-x1)+x1]≥f(x2-x1)+f(x1)-2≥f(x1), 所以f(x)在[0,1]上为增函数， 所以f(x)max=f(1)=3.
(1)因为函数f(x)是二次函数,且f(x)<0的解 集是(0,5),所以可设f(x)=ax(x-5)(a>0),如图所示.
又函数f(x)在区间［-1,4］ 上的最大值为12， 由图象可知f(-1)=6a=12, 所以a=2, 由此得到函数f(x)=2x(x-5)=2x2-10x.
37 (2)方程f(x)+ =0等价于方程2x3-10x2+37=0. x
题型二 比较参数值的大小
例2若正实数a、b满足ab=ba,且a<1,则有( C )
A.a>b C.a=b B.a<b D.不能确定a、b的大小
等式ab=ba 两边取对数可以转化为
Inx Ina Inb = ,构造函数f(x)= ,利用函数的性质 b x a
解题.
由a<1,可得f(a)<0,根据题意知f(b)<0,即b<1,
新课标高中一轮 总复习
理数
• 第二单元 •函 数
第15讲
函数的综合应用
理解函数的概念，掌握函数的 图象和性质，会用函数的图象和性 质解决数学中的综合问题；理解函 数与方程、不等式的关系，会用这 些关系解决有关问题.
1.设f(x)=xsinx,若x1、x2∈ [- 2 , ] 2
且f(x1)>f(x2), 则下列不等式恒成 立的是( D)
全国卷Ⅱ)已知AC、BD为圆 学例2(2009·
O:x2+y2=4的两条相互垂直的弦,垂足为 M（1, 2 ),则四边形ABCD的面积的最 大值为 5 .
如图，取AC的中点F，BD的中点 E,连接OE、OF，
则OE⊥BD，OF⊥AC. 又AC⊥BD， 所以四边形OEMF为矩形.
设OF=d1，OE=d2， 所以d12+d22=OM2=3.
10 10 实数根,而在区间(0,3),(4,+∞)内没有实根, 3 3
1 ),( ,4)内分别有惟一 27
<0,g(4)=5>0,
3 10 ,+∞)上是增函数, 3
所以存在惟一的自然数m=3,使得方程f(x)+ =0 37 在区间(m,m+1)内有且只有两个不同的实数根.
x
点评本题主要考查“三个二次”的关
故方程f(x)=0在(0,6)内至少有4个解.
4.若a>1，且a-m+logan<a-n+logam，则m、n的 关系是（ A ） A.m>n>0 C.n>m>0 B.m=n>0 D.不确定
设f(x)=a-x-logax，因为a>1，所以f(x) 为单调递减函数.
由a-m+logan<a-n+logam， 得a-m-logam<a-n-logan,即f(m)<f(n),故m>n>0.
3.已知f(x)是定义在R上且以3为周期的偶 函数，且f(2)=0，则方程f(x)=0在区间 (0,6)内解的个数的最小值为( B ) A.5 B.4 C.3 D.2
因为f(x)是偶函数,所以f(-2)=f(2)=0.
又因为f(x)是以3为周期的周期函数，
所以f(-2)=f(1)=f(4)=0,f(2)=f(5)=0,
的导函数f ′(x)=
若f ′(x)>0,则x<e；
若f ′(x)<0,则x>e.
1 Inx , x2
Inx 即函数f(x)= 在(0,e］上是增函数， x
在［e,+∞)上是减函数.且注意x>1时，函数 f(x)>0，所以函数f(x)的图象如图所示， 由图象可得其性质.
变式 若m、n是正整数，且n>m≥1，求
m
In(1 n) n
,所以(1+m)n>(1+n)m.
题型三 函数与不等式的综合问题 例3 已知函数f(x)的定义域为 [0,1],且
同 时 满 足 ： ① 对 任 意 x∈[0,1] 总 有 f(x)≥2；②f(1)=3；③若x1≥0，x2≥0， 且x1+x2≤1，则有f(x1+x2)≥f(x1)+f(x2)-2. 求： （1）f(0)的值； （2）f(x)的最大值.
备选题
已 知 f(x) 是 二 次 函 数 ， 不 等 式 f(x)<0的解集是(0,5)，且函数f(x)在区 间［-1，4］上的最大值是12.
(1)求函数f(x)的解析式；
37 (2)是否存在自然数m,使得方程f(x)+ =0 x
在区间(m,m+1)内有且只有两个不等的 若不存在，说明理由.
实数根？若存在，求出所有m的值；
3.函数与方程，函数与不等式是函数的 综合中最重要的部分，是历年高考的 重点、热点和难点，应予以重视. 4.隐函数问题：注意赋值法的应用，其 次要充分的利用已知的条件挖掘隐含 条件，抽象概括函数的一些性质，如 奇偶性、单调性、周期性等.
走进高考
天津卷)已知函数 学例1 (2009·
f(x)=x2+4x,x≥0
2
即x12>x22，故选D.
(方法二)f(x)在R上是偶函数,且在[0, ]上递增, 2 2>x 2,故选D. 作图如右,由图象知|x1|>|x2|,即x1 2
1 2.设f(x)= | x 1|
(x≠1)
1 (x=1), 若 关 于 x 的 方 程 f2(x)+bf(x)+c=0有三个不同的实数解x1、 x2、x3，则x12+x22+x32等于（A） A.5 C.13
2 B.2+ b 2
1 D.3+ 2 c
作函数f(x)的图象如图所示.
由图象知f(x)关于x=1对称,因此方 程的根也必须关于x=1对称. 由题意，方程三个根，必有x1=1的根，另外 两根有x2+x3=2，
1 且由 1| |x
=1 2=0或x2=2,则x3=2或x3=0.所 以x12+x22+x32=5，选A.
在x∈(0,1)上,f ′(x)=
所以函数f(x)在(0,1)上是增函数，
1 Inx 2 >0， x
又f(a)=f(b)，所以a=b.
Inx 数f(x)= 相关的一些试题,若利用函数 x f(x)= Inx 的图象和性质进行求解，就比 x
点评在近几年的高考中，出现了与函
较简单易解.
Inx 函数f(x)= x
1.函数的综合主要包括以下两个方面 (1)函数内容本身的相互综合，如函数的概念、 图象和性质等方面知识的综合，复合函数 等. (2)函数与其他知识的综合，如函数与方程、 不等式、三角函数、数列和几何的综合. 2.函数的思想方法包括：化归、数形结合、 分类讨论等思想方法
典例精讲
题型一 恒成立问题
f(x)=ax3-3x+1对于x∈［-1,1］总有 例1 f(x)≥0成立,求a的值.
证：(1+m)n>(1+n)m. (1+m)n>(1+n)mIn(1 m) >
m
In(1 n) (n>m≥1), n
In(1 x) 构造函数f(x)= (x>1)， x 易知函数f(x)= In(1 x) 在(1,+∞)上是减函数， x
当n>m≥1时，f(m)>f(n), 即 In(1 m) >