上海市浦东新区2019-2020学年高一下学期期中数学试题(wd无答案)
2019-2020学年上海中学高一(下)期中数学试卷
2019-2020学年上海中学高一（下）期中数学试卷试题数：21.满分：01.（填空题.3分）已知点A（2.-1）在角α的终边上.则sinα=___ ．2.（填空题.3分）函数y=sin（πx+2）的最小正周期是___ ．3.（填空题.3分）设扇形半径为2cm.圆心角的弧度数为2.则扇形的面积为___ ．4.（填空题.3分）已知函数f（x）=sinx（x∈[0.π]）和函数g（x）= 12tanx的图象交于A.B.C三点.则△ABC的面积为___ ．5.（填空题.3分）在平面直角坐标系xOy中.角α与角β均以Ox为始边.它们的终边关于y轴对称.若sinα= 13.则cos（α-β）=___ ．6.（填空题.3分）已知sin（x- π4）= 35.则sin2x的值为 ___ ．7.（填空题.3分）设x.y∈（0.π）.且满足sin2x−cos2x+cos2xcos2y−sin2xsin2ysin(x+y)=1 .则x-y=___ ．8.（填空题.3分）我国古代数学家秦九韶在《数学九章》中记述了“三斜求积术”.用现代式子表示即为：在△ABC中.∠A.∠B.∠C所对的边长分别为a.b.c.则△ABC的面积S=√1 4[(ab)2−(a2+b2−c22)2]．根据此公式若acosB+（b+3c）cosA=0.且a2-b2-c2=2.则△ABC的面积为___ ．9.（填空题.3分）若函数f(x)=2sin(2x+π6)+a−1(a∈R)在区间[0，π2]上有两个不同的零点x1.x2.则x1+x2-a的取值范围是___ ．10.（填空题.3分）已知函数f(α)=m−sinαcosα在(0，π2)上单调递减.则实数m的取值范围是___ ．11.（单选题.3分）已知cosα=k.k∈R.α∈（π2.π）.则sin（π+α）=（）A.- √1−k2B. √1−k2C.± √1−k2D.-k12.（单选题.3分）对任意的锐角α.β.下列不等关系中正确的是（）A.sin（α+β）＞sinα+sinβB.sin（α+β）＞cosα+cosβC.cos（α+β）＜sinα+sinβD.cos（α+β）＜cosα+cosβ13.（单选题.3分）设函数f（x）=Asin（ωx+φ）（A.ω.φ是常数.A＞0.ω＞0.|φ|＜π2）.为了得到f（x）的图象.则只需将g（x）=cos2x的图象（）A.向右平移π12个单位B.向右平移π6个单位C.向左平移π12个单位D.向左平移π6个单位14.（单选题.3分）若函数f（x）=sin（2x- π3）与 g（x）=cosx-sinx都在区间（a.b）（0＜a ＜b＜π）上单调递减.则b-a的最大值为（）A. π6B. π3C. π2D. 5π1215.（单选题.3分）已知α.β为锐角且α+β＞π2，x∈R，f(x)=(cosαsinβ)|x|+(cosβsinα)|x|.下列说法正确的是（）A.f（x）在定义域上为递增函数B.f（x）在定义域上为递减函数C.f（x）在（-∞.0]上为增函数.在（0.+∞）上为减函数D.f（x）在（-∞.0]上为减函数.在（0.+∞）上为增函数16.（单选题.3分）在△ABC中.a.b.c分别为角A.B.C的对边的长.若a2+b2=2020c2.则2tanA•tanBtanC(tanA+tanB)的值为（）A.1B.2018C.2019D.202017.（问答题.0分）化简：f(α)=sin(−α)cos(π+α)cos(π2−α)cos(π−α)sin(2π+α)tan(π+α)．18.（问答题.0分）已知函数f(x)=√3cos2x−sin2x．（1）用五点法作出f（x）在一个周期内的图象.并写出f（x）的值域.最小正周期.对称轴方程（只需写出答案即可）；（2）将f（x）的图象向左平移一个π4单位得到函数y=g（x）的图象.求y=g（x）的单调递增区间．19.（问答题.0分）如图.矩形ABCD中.E.F两点分别在边AB.BC上.∠DEF=90°.设∠ADE=α.∠EDF=β．（1）试用该图中提供的信息证明两角和的余弦公式；（2）若x∈(0，π4)，y∈(π4，3π4) .且sin（3π4+x）= 513.cos（π4-y）= 45.求cos（x-y）的值．20.（问答题.0分）某公司要在一条笔直的道路边安装路灯.要求灯柱AB与地面垂直.灯杆BC 与灯柱AB所在的平面与道路垂直.路灯C采用锥形灯罩.射出的光线与平面ABC的部分截面如图中阴影部分所示．已知∠ABC= 23π.∠ACD= π3.路宽AD=24米．设∠BAC=θ (π12≤θ≤π6)．（1）求灯柱AB的高h（用θ表示）；（2）此公司应该如何设置θ的值才能使制造路灯灯柱AB与灯杆BC所用材料的总长度最小？最小值为多少？（结果精确到0.01米）21.（问答题.0分）设函数f（x）=5cosθsinx-5sin（x-θ）+（4tanθ-3）sinx-5sinθ为偶函数．（1）求tanθ的值；（2）若f（x）的最小值为-6.求f（x）的最大值及此时x的取值；（3）在（2）的条件下.设函数g(x)=λf(ωx)−f(ωx+π2) .其中λ＞0.ω＞0．已知y=g（x）在x=π6处取得最小值并且点(2π3，3−3λ)是其图象的一个对称中心.试求λ+ω的最小值．2019-2020学年上海中学高一（下）期中数学试卷参考答案与试题解析试题数：21.满分：01.（填空题.3分）已知点A（2.-1）在角α的终边上.则sinα=___ ．【正确答案】：[1]- √55【解析】：根据三角函数的坐标法定义.直接计算即可．【解答】：解：设O为坐标原点.因为A（2.-1）．由已知得|OA|=√22+(−1)2=√5 .∴ sinα=−1|OA|=−√55．故答案为：−√55．【点评】：本题考查三角函数的坐标法定义.以及学生的运算能力.属于基础题．2.（填空题.3分）函数y=sin（πx+2）的最小正周期是___ ．【正确答案】：[1]2【解析】：由题意利用正弦函数的周期性.得出结论．【解答】：解：函数y=sin（πx+2）的最小正周期是2ππ=2.故答案为：2．【点评】：本题主要考查正弦函数的周期性.属于基础题．3.（填空题.3分）设扇形半径为2cm.圆心角的弧度数为2.则扇形的面积为___ ．【正确答案】：[1]4cm2【解析】：由已知利用扇形的面积公式即可计算得解．【解答】：解：由已知可得：半径r为2cm.圆心角α的弧度数为2.则扇形的面积S= 12 r2α= 12×22×2 =4cm2．故答案为：4cm2．【点评】：本题主要考查了扇形的面积公式的应用.属于基础题．4.（填空题.3分）已知函数f（x）=sinx（x∈[0.π]）和函数g（x）= 12tanx的图象交于A.B.C 三点.则△ABC的面积为___ ．【正确答案】：[1] √3π4【解析】：画出两个函数的图象.求出三个点的坐标.然后求解三角形面积．【解答】：解：函数f（x）=sinx（x∈[0.π]）和函数g（x）= 12tanx的图象.可得A（0.0）.B（π.0）.令sinx= 12 tanx.解得C（π3. √32）.所以S△ABC= 12× π×√32= √3π4．故答案为：√3π4．【点评】：本题考查三角函数的图象以及三角形的面积的求法.考查转化思想以及计算能力．5.（填空题.3分）在平面直角坐标系xOy中.角α与角β均以Ox为始边.它们的终边关于y轴对称.若sinα= 13.则cos（α-β）=___ ．【正确答案】：[1]- 79【解析】：方法一：根据教的对称得到sinα=sinβ= 13.cosα=-cosβ.以及两角差的余弦公式即可求出方法二：分α在第一象限.或第二象限.根据同角的三角函数的关系以及两角差的余弦公式即可求出【解答】：解：方法一：∵角α与角β均以Ox为始边.它们的终边关于y轴对称.∴sinα=sinβ= 13.cosα=-cosβ.∴cos（α-β）=cosαcosβ+sinαsinβ=-cos2α+sin2α=2sin2α-1= 29 -1=- 79方法二：∵sinα= 13.当α在第一象限时.cosα=2√23. ∵α.β角的终边关于y 轴对称.∴β在第二象限时.sinβ=sinα= 13.cosβ=-cosα=- 2√23. ∴cos （α-β）=cosαcosβ+sinαsinβ=- 2√23 × 2√23 + 13 × 13 =- 79：∵sinα= 13 .当α在第二象限时.cosα=-2√23. ∵α.β角的终边关于y 轴对称.∴β在第一象限时.sinβ=sinα= 13 .cosβ=-cosα= 2√23. ∴cos （α-β）=cosαcosβ+sinαsinβ=- 2√23 × 2√23 + 13 × 13 =- 79综上所述cos （α-β）=- 79 ．方法三：∵α.β角的终边关于y 轴对称. ∴α+β=π+2kπ.k∈Z .∴cos （α-β）=cos （α-（π+2kπ-α））=cos （2α-π）=-cos2α=2sin²α-1=2×（ 13 ）²-1=- 79． 故答案为：- 79 ．【点评】：本题考查了两角差的余弦公式.以及同角的三角函数的关系.需要分类讨论.属于基础题6.（填空题.3分）已知sin （x- π4 ）= 35 .则sin2x 的值为 ___ ． 【正确答案】：[1] 725【解析】：利用二倍角的正弦可求得 sin 2(x −π4) = 1−sin2x 2 = 925.从而可得sin2x 的值．【解答】：解：∵sin （x- π4 ）= 35. ∴ sin 2(x −π4) = 1−cos[2(x−π4)]2 = 1−sin2x 2 = 925. ∴1-sin2x= 1825. ∴sin2x= 725 ． 故答案为： 725 ．【点评】：本题考查二倍角的正弦.考查诱导公式的应用.考查转化思想与运算能力.属于中档题．7.（填空题.3分）设x.y∈（0.π）.且满足sin2x−cos2x+cos2xcos2y−sin2xsin2ysin(x+y)=1 .则x-y=___ ．【正确答案】：[1] π2【解析】：结合已知条件.利用和差角公式.平方关系化简可得sin（x-y）=1.进而得到答案．【解答】：解：∵x.y∈（0.π）.且-π＜x-y＜π.∴ sin2x−cos2x+cos2xcos2y−sin2xsin2ysin(x+y)=1⇒sin2x(1−sin2y)+cos2x(cos2y−1)sin(x+y)=1⇒sin2xcos2y−cos2xsin2ysin(x+y)=(sinxcosy+cosxsiny)(sinxcosy−cosxsiny)sin(x+y)=1⇒sin(x+y)sin(x−y)sin(x+y)=sin(x−y)=1⇒x−y=π2（由于-π＜x-y＜π）.故答案为：π2．【点评】：本题主要考查三角函数的化简求值.考查和差角公式以及同角三角函数基本关系的运用.考查运算能力.属于基础题．8.（填空题.3分）我国古代数学家秦九韶在《数学九章》中记述了“三斜求积术”.用现代式子表示即为：在△ABC中.∠A.∠B.∠C所对的边长分别为a.b.c.则△ABC的面积S=√1 4[(ab)2−(a2+b2−c22)2]．根据此公式若acosB+（b+3c）cosA=0.且a2-b2-c2=2.则△ABC的面积为___ ．【正确答案】：[1] √2【解析】：直接利用三角函数关系式的恒等变换和余弦定理的应用求出结果．【解答】：解：由于acosB+（b+3c）cosA=0.整理得：acosB+bcosA=-3ccosA.故是sinAcosB+cosAsinB=-3sinCcosA.即sin（A+B）=sinC=-3sinCcosA.故：cosA=−13．由余弦定理得：b2+c2-a2=2bccosA=-2.整理得bc=3.所以：S=√14[(bc)2−(b2+c2−a22)2]=√2．故答案为：√2【点评】：本题考查的知识要点：三角函数关系式的恒等变换.余弦定理的应用.主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力.属于基础题型．9.（填空题.3分）若函数f(x)=2sin(2x+π6)+a−1(a∈R)在区间[0，π2]上有两个不同的零点x1.x2.则x1+x2-a的取值范围是___ ．【正确答案】：[1] [π3，π3+1)【解析】：由题意将问题转化为y=2sin(2x+π6)与y=1-a在区间[0，π2]上有两个不同的交点的问题.作出两个函数的图象.可求解．【解答】：解：若函数f(x)=2sin(2x+π6)+a−1(a∈R)在区间[0，π2]上有两个不同的零点x1.x2.即2sin(2x+π6)=1−a在区间[0，π2]上有两个不同的零点x1.x2.也就是y=2sin(2x+π6)与y=1-a区间[0，π2]上有两个不同的交点.横坐标分别为x1.x2.数形结合可知. x1+x22=π6，1−a∈[1，2) .∴ x1+x2=π3，−a∈[0，1)∴ x1+x2−a∈[π3，π3+1)．故答案为：[π3，π3+1)．【点评】：本题考查三角函数的图象与性质.以及利用数形结合思想解决问题的能力.同时考查了学生的运算能力.属于中档题．10.（填空题.3分）已知函数f(α)=m−sinαcosα在(0，π2)上单调递减.则实数m的取值范围是___ ．【正确答案】：[1]（-∞.1]【解析】：根据题意.任取0＜α＜β＜π2.由函数单调性的定义分析可得f（α）-f（β）=m(cosβ−cosα)−sin(α−β)cosαcosβ＞0 .据此变形可得m＜1+tanα2tanβ2tanα2+tanβ2.分析1+tanα2tanβ2tanα2+tanβ2的最小值.即可得答案．【解答】：解：根据题意.任取0＜α＜β＜π2.若函数f(α)=m−sinαcosα在(0，π2)上单调递减.则有f（α）-f（β）＞0.即f（α）-f（β）=m(cosβ−cosα)−sin(α−β)cosαcosβ＞0则有m•2sinα+β2•sinα−β2＞2sinα−β2cosα−β2可得m＜cosα−β2sinα+β2=cosα2cosβ2+sinα2sinβ2sinα2cosβ2+cosα2sinβ2=1+tanα2tanβ2tanα2+tanβ2.又由0＜α＜β＜π2 .则0＜α2＜β2＜π4，0＜tanα2＜tanβ2＜1从而1+tanα2tanβ2−(tanα2+tanβ2)=(1−tanα2)(1−tanβ2)＞0 .变形可得1+tanα2tanβ2tanα2+tanβ2＞1 .必有m≤1.即m的取值范围为（-∞.1]；故答案为（-∞.1]．【点评】：本题函数的单调性的性质.涉及三角函数的恒等变形以及和差公式的应用.属于基础题11.（单选题.3分）已知cosα=k.k∈R.α∈（π2.π）.则sin（π+α）=（）A.- √1−k2B. √1−k2C.± √1−k2D.-k【正确答案】：A【解析】：由已知及同角三角函数基本关系的运用可求sinα.从而由诱导公式即可得解．【解答】：解：∵cosα=k.k∈R.α∈（π2.π）.∴sinα= √1−cos2α = √1−k2 .∴sin（π+α）=-sinα=- √1−k2．故选：A．【点评】：本题主要考查了同角三角函数基本关系的运用.运用诱导公式化简求值.属于基本知识的考查．12.（单选题.3分）对任意的锐角α.β.下列不等关系中正确的是（）A.sin（α+β）＞sinα+sinβB.sin（α+β）＞cosα+cosβC.cos（α+β）＜sinα+sinβD.cos（α+β）＜cosα+cosβ【正确答案】：D【解析】：对于A.B中的α.β可以分别令为30°.60°验证即可.对于C中的α.β可以令他们都等于15°.验证即可.对于D我们可以用放缩法给出证明cos（α+β）=cosαcosβ-sinαsinβ＜cosα×1+cosβ×1=cosα+cosβ【解答】：解：对于AB中的α.β可以分别令为30°.60°则知道A.B均不成立对于C中的α.β可以令他们都等于15°.则知道C不成立cos（α+β）=cosαcosβ-sinαsinβ＜cosα×1+cosβ×1=cosα+cosβ故选：D．【点评】：本题考查了两角和与差的正余弦公式.同时也考查了放缩法对命题的证明.属于基础题．13.（单选题.3分）设函数f（x）=Asin（ωx+φ）（A.ω.φ是常数.A＞0.ω＞0.|φ|＜π）.为了2得到f（x）的图象.则只需将g（x）=cos2x的图象（）个单位A.向右平移π12个单位B.向右平移π6C.向左平移π个单位12个单位D.向左平移π6【正确答案】：A【解析】：由函数的图象的顶点坐标求出A.由周期求出ω.由五点法作图求出φ的值.可得f（x）的解析式.再根据函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律.得出结论．【解答】：解：利用函数f（x）=Asin（ωx+φ）（A.ω.φ是常数.A＞0.ω＞0.|φ|＜π2）的图象.可得A=1. 14•2πω= π3- π12.∴ω=2．再根据五点法作图.可得2× π12+φ= π2.∴φ= π3.故f（x）=sin（2x+ π3）．将g（x）=cos2x=sin（2x+ π2）的图象向右平移π12个单位.可得y=sin（2x- π6 + π2）=sin（2x+ π3）=f（x）的图象.故选：A．【点评】：本题主要考查由函数y=Asin（ωx+φ）的部分图象求解析式.由函数的图象的顶点坐标求出A.由周期求出ω.由五点法作图求出φ的值.函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律.属于基础题．14.（单选题.3分）若函数f（x）=sin（2x- π3）与 g（x）=cosx-sinx都在区间（a.b）（0＜a ＜b＜π）上单调递减.则b-a的最大值为（）A. π6B. π3C. π2D. 5π12【正确答案】：B【解析】：求出函数f（x）、g（x）在（0.π）上的单调递减区间.从而求得b-a的最大值．【解答】：解：函数f（x）=sin（2x- π3）在（0. 5π12）上单调递增.在（5π12 . 11π12）上单调递减.在（11π12.π）上单调递减；函数g（x）=cosx-sinx= √2 cos（x+ π4）在（0. 3π4）上单调递减.在（3π4.π）上单调递增；∴f（x）、g（x）都在区间（5π12 . 3π4）上单调递减.∴b-a的最大值为3π4 - 5π12= π3．故选：B．【点评】：本题考查了三角函数在某一区间上的单调性问题.是中档题．15.（单选题.3分）已知α.β为锐角且α+β＞π2，x∈R，f(x)=(cosαsinβ)|x|+(cosβsinα)|x|.下列说法正确的是（）A.f（x）在定义域上为递增函数B.f（x）在定义域上为递减函数C.f（x）在（-∞.0]上为增函数.在（0.+∞）上为减函数D.f（x）在（-∞.0]上为减函数.在（0.+∞）上为增函数【正确答案】：C【解析】：先利用α.β为锐角且α+β＞π2结合三角函数的单调性得出cosαsinβ. cosβsinα的取值范围.再对x的值分类讨论.结合指数函数的单调性即可得出答案．【解答】：解：∵α.β为锐角且α+β＞π2 .∴ π2＞α＞π2-β＞0.∴cosα＜cos（π2 -β）.sinα＞sin（π2-β）.即0＜cosα＜sinβ.sinα＞cosβ＞0.∴0＜cosαsinβ＜1.0＜cosβsinα＜1．∴在（-∞.0]上. f(x)=(cosαsinβ)−x+(cosβsinα)−x为增函数.在（0.+∞）上. f(x)=(cosαsinβ)x+(cosβsinα)x为减函数．故选：C．【点评】：本题主要考查了指数函数的单调性与特殊点.考查了三角函数的性质.属于基础题．16.（单选题.3分）在△ABC中.a.b.c分别为角A.B.C的对边的长.若a2+b2=2020c2.则2tanA•tanBtanC(tanA+tanB)的值为（）A.1B.2018C.2019D.2020【正确答案】：C【解析】：直接利用三角函数关系式的恒等变换和正弦定理余弦定理的应用求出结果．【解答】：解：由于△ABC中.a.b.c分别为角A.B.C的对边的长.若a2+b2=2020c2.所以a2+b2-c2=2019c2.则：2tanA•tanBtanC(tanA+tanB)=2sinAcosAsinBcosBsinCcosC(sinAcosA+sinBcosB).= 2sinAsinBcosCsinC(sinAcosB+cosAsinB)=2sinAsinBcosCsin2C.= 2abcosCc2=a2+b2−c2c2=2019故选：C．【点评】：本题考查的知识要点：三角函数关系式的恒等变换.正弦定理余弦定理和三角形面积公式的应用.主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力.属于基础题型．17.（问答题.0分）化简：f(α)=sin(−α)cos(π+α)cos(π2−α)cos(π−α)sin(2π+α)tan(π+α)．【正确答案】：【解析】：利用诱导公式化简要求的式子.再利用同角三角函数的基本关系化简到最简形式．【解答】：解：f(α)=sin(−α)cos(π+α)cos(π2−α)cos(π−α)sin(2π+α)tan(π+α)= (−sinα)(−cosα)sinα(−cosα)sinαtanα=−cosα．【点评】：本题考查同角三角函数的基本关系.诱导公式的应用.要特别注意公式中的符号．18.（问答题.0分）已知函数f(x)=√3cos2x−sin2x．（1）用五点法作出f（x）在一个周期内的图象.并写出f（x）的值域.最小正周期.对称轴方程（只需写出答案即可）；（2）将f（x）的图象向左平移一个π4单位得到函数y=g（x）的图象.求y=g（x）的单调递增区间．【正确答案】：【解析】：（1）用五点作图法即可作出函数在一个周期上的图象.利用余弦函数的性质即可求解其值域.最小正周期.对称轴方程．（2）由条件利用y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律和正弦函数的图象和性质即可求解y=g （x）的单调递增区间．【解答】：解：（1）f(x)=√3cos2x−sin2x =2cos（2x+ π6）.列表如下：2x+ π6π2π3π22πx - π12π65π122π311π12y 2 -2 2 作图：可得：f（x）的值域为[-2.2].最小正周期为π.对称轴方程为x=kπ2−π12，k∈Z．（2）将f（x）=2cos（2x+ π6）的图象向左平移一个π4单位得到函数y=g（x）=2cos（2x+ π2+ π6）=-2sin（2x+ π6）的图象.令2kπ+ π2≤2x+ π6≤2kπ+ 3π2.k∈Z.解得kπ+ π6≤x≤kπ+ 2π3.k∈Z.可得函数的单调递增区间为：[kπ+π6，kπ+2π3]，k∈Z．【点评】：本题主要考查用五点法作函数y=Asin（ωx+φ）在一个周期上的图象.y=Asin （ωx+φ）的图象变换规律.考查正弦函数的性质.属于基础题．19.（问答题.0分）如图.矩形ABCD中.E.F两点分别在边AB.BC上.∠DEF=90°.设∠ADE=α.∠EDF=β．（1）试用该图中提供的信息证明两角和的余弦公式；（2）若x∈(0，π4)，y∈(π4，3π4) .且sin（3π4+x）= 513.cos（π4-y）= 45.求cos（x-y）的值．【正确答案】：【解析】：（1）根据题意利用直角三角形的边角关系.即可证明cos（α+β）=cosαcosβ-sinαsinβ；（2）利用三角恒等变换化简求值即可．【解答】：解：（1）由已知∠ADE=∠BEF=α.所以cos（α+β）=cos∠DFC= CFDF = BC−BFDF= ADDE• DEDF- BFEF• EFDF=cosαcosβ-sinαsinβ；（2）由已知3π4+x∈(3π4，π)，π4−y∈(−π2，0) .从而cos(3π4+x)=−√1−sin2(3π4+x)=−1213.sin(π4−y)=−√1−cos2(π4−y)=−35.所以cos(x−y)=−cos(x−y+π)=−cos[(3π4+x)+(π4−y)]= sin(3π4+x)sin(π4−y)−cos(3π4+x)cos(π4−y)=513•(−35)−(−1213)•45=3365．【点评】：本题考查了直角三角形边角关系应用问题.也考查了三角函数化简求值问题.是中档题．20.（问答题.0分）某公司要在一条笔直的道路边安装路灯.要求灯柱AB与地面垂直.灯杆BC 与灯柱AB所在的平面与道路垂直.路灯C采用锥形灯罩.射出的光线与平面ABC的部分截面如图中阴影部分所示．已知∠ABC= 23π.∠ACD= π3.路宽AD=24米．设∠BAC=θ (π12≤θ≤π6)．（1）求灯柱AB的高h（用θ表示）；（2）此公司应该如何设置θ的值才能使制造路灯灯柱AB与灯杆BC所用材料的总长度最小？最小值为多少？（结果精确到0.01米）【正确答案】：【解析】：（1）在△ACD中与在△ABC中.分别利用正弦定理即可得出；（2）△ABC中.利用正弦定理可得：BC.再利用和差公式即可得出．【解答】：解：（1）在△ACD中. ∠CDA=θ+π6.由ADsin∠ACD =ACsin∠CDA.得AC=AD•sin∠CDAsin∠ACD=16√3sin(θ+π6) .在△ABC中. ∠ACB=π3−θ .由ABsin∠ACB =ACsin∠ABC.得ℎ=AC•sin∠ACBsin∠ABC=32sin(θ+π6)sin(π3−θ)(π12≤θ≤π6)．（2）△ABC中.由BCsin∠BAC =ACsin∠ABC.得BC=AC•sin∠BACsin∠ABC=32sin(θ+π6)sinθ .∴ AB+BC=32sin(θ+π6)sin(π3−θ)+32sin(θ+π6)sinθ = 16sin2θ+8√3 .∵ π12≤θ≤π6.∴ π6≤2θ≤π3.∴当θ=π12时.AB+BC取得最小值8+8√3≈21.86．故制造路灯灯柱AB与灯杆BC所用材料的总长度最小.最小值约为21.86米．【点评】：本题考查了正弦定理余弦定理、和差公式、三角函数求值.考查了推理能力与计算能力.属于中档题．21.（问答题.0分）设函数f（x）=5cosθsinx-5sin（x-θ）+（4tanθ-3）sinx-5sinθ为偶函数．（1）求tanθ的值；（2）若f（x）的最小值为-6.求f（x）的最大值及此时x的取值；（3）在（2）的条件下.设函数g(x)=λf(ωx)−f(ωx+π2) .其中λ＞0.ω＞0．已知y=g（x）在x=π6处取得最小值并且点(2π3，3−3λ)是其图象的一个对称中心.试求λ+ω的最小值．【正确答案】：【解析】：（1）利用三角函数关系式的恒等变换和函数的性质的应用求出结果．（2）利用函数的关系式的变换和三角函数的性质的应用求出结果．（3）利用分类讨论思想的应用和关系式的变换的应用求出参数的值．【解答】：解：（1）f（x）=5cosxsinθ+（4tanθ-3）sinx-5sinθ.f（x）是偶函数. ∴（4ta nθ-3）sinx=0对一切x∈R恒成立.∴ tanθ=34（2）f（x）=5sinθ（cosx-1）.其最小值为-6.此时sinθ=35，cosx=−1 .∴f（x）=3（cosx-1）.从而f（x）的最大值为0.此时x的取值为x=2kπ.k∈Z；（3）g(x)=λf(ωx)−f(ωx+π2)=3λcosωx−3λ−3cos(ωx+π2)+3=3λcosωx-3λ+3sinωx+3由g（x）在x=π6处取最小值.知g（x）的图象关于x=π6对称.有g(−π3)=g(2π3)=3−3λ故3λcos(−ωπ3)+3sin(−ωπ3)=0 .且3λcos2ωπ3+3sin2ωπ3=0 .从而λ=tanωπ3=−tan2ωπ3=tan(kπ−2ωπ3) .则ωπ3=kπ−2ωπ3.即ω=k（k∈Z）又ω＞0.则ω是正整数.∵λ＞0.ω是正整数.∴ ω=3l−2(l∈N∗)，λ=√3 .当ω=1时. g(x)=3√3cosx+3sinx+3−3√3显然.g（x）在x=π6处有最大值.而不是最小值.矛盾．当ω=4时. g(x)=3√3cos4x+3sin4x+3−3√3 .显然.g（x）在x=π6处有最大值.而不是最小值.矛盾．当ω=7时. g(x)=3√3cos7x+3sin7x+3−3√3 .显然.g（x）g（x）在x=π6处有最小值.且y=g（x）的图象关于点(2π3，3−3√3)中心对称.∴λ+ω的最小值为√3+7．【点评】：本题考查的知识要点：三角函数关系式的恒等变换.正弦型函数的性质的应用.分类讨论思想的应用.主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力.属于基础题型．。
2019年上海市浦东新区高一(下)期中数学试卷
浦东新区高一（下）期中数学试卷一、填空题（本大题共有12题，满分42分）只要求直接填写结果，1～6题每个空格填对得3分，7～12每个空格填对得4分，否则一律得零分1．（3分）设sinα＜0且tanα＞0，则α所在的象限是．2．（3分）函数y=cos2x，x∈[0，π]的递增区间为．3．（3分）函数y=cosaπx（a＞0）的最小正周期为2，则实数a=4．（3分）已知，，则tanα=．5．（3分）若tan（α﹣）=．则tanα=．6．（3分）将函数y=sinx的图象向左平移个单位，再向上平移1个单位，所的图象的函数解析式是．7．（4分）若函数的图象的相邻两条对称轴的距离是π，则ω=．8．（4分）已知f（x）=2sinωx（ω＞0）在[0，]单调递增，则实数ω的最大值为．9．（4分）在平面直角坐标系xOy中，角α与角β均以Ox为始边，它们的终边关于y轴对称，若sinα=，则cos（α﹣β）=．10．（4分）设△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若bcosC+ccosB=asinA，则△ABC的形状为．11．（4分）函数f（x）=﹣cos2x+的最大值是12．（4分）设函数f（x）=2sin（ωx+ϕ），x∈R，其中ω＞0，|ϕ|＜π．若，，且f（x）的最小正周期大于2π，则f（x）的解析式为二、选择题（本大题共有4题，满分16分）每小题都给出四个选项，其中有且只有一个选项是正确的，选对得4分，否则一律得零分13．（4分）下列函数中，周期是π，又是偶函数的是（）A．y=sinx B．y=cosx C．y=sin2x D．y=cos2x14．（4分）已知，则=（）A．m B．﹣m C．D．15．（4分）设函数f（x）=cos（x+），则下列结论错误的是（）A．f（x）的一个周期为﹣2πB．y=f（x）的图象关于直线x=对称C．f（x+π）的一个零点为x=D．f（x）在（，π）单调递减16．（4分）已知曲线，则下面结论正确的是（）A．把C1上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移个单位长度，得到曲线C2B．把C1上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移个单位长度，得到曲线C2C．把C1上各点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移个单位长度，得到曲线C2D．把C1上各点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移个单位长度，得到曲线C2三、解答题（本大题共有4题，满分42分）解答下列各题必须写出必要的步骤17．（8分）已知函数，（Ⅰ）求f（x）的定义域；（Ⅱ）设α是第四象限的角，且，求f（α）的值．18．（10分）已知函数（1）求f（x）的最大值及对应x的值（2）求f（x）的最小正周期及单调递增区间19．（12分）已知函数f（x）=asinx+bcosx，其中a、b为非零实常数（1）若，求f（x）的对称轴（2）若，是f（x）图象的一条对称轴，求x 0的值，使其满足，且x0∈[0，2π]20．（12分）如图，旅客从某旅游区的景点A处下山至C处有两种路径．一种是从A沿直线步行到C，另一种从A沿索道乘缆车到B，然后从B沿直线步行到C．现有甲、乙两位游客从A处下山，甲沿AC匀速步行，速度为50米/分钟，在甲出发2分钟后，乙从A乘缆车到B，在B处停留1分钟后，再从B匀速步行到C．假设缆车匀速直线运动的速度为130米/分钟，山路AC长1260米，经测量，cosA=，cosC=．（1）求索道AB的长；（2）问乙出发后多少分钟后，乙在缆车上与甲的距离最短？参考答案与试题解析一、填空题（本大题共有12题，满分42分）只要求直接填写结果，1～6题每个空格填对得3分，7～12每个空格填对得4分，否则一律得零分1．（3分）设sinα＜0且tanα＞0，则α所在的象限是第三象限．【分析】由于sinα＜0，故α可能是第三或第四象限角；由于tanα＞0，故α可能是第一或第三象限角；故当sinα＜0且tanα＞0时，α是第三象限角．【解答】解：由于sinα＜0，故α可能是第三或第四象限角；由于tanα＞0，故α可能是第一或第三象限角．由于sinα＜0 且tanα＞0，故α是第三象限角，故答案为：三．【点评】本题考查象限角的定义，三角函数在各个象限中的符号，得到sinα＜0时，α是第三或第四象限角；tanα＞0时，α是第一或第三象限角，是解题的关键．2．（3分）函数y=cos2x，x∈[0，π]的递增区间为[，π] ．【分析】先由整体法解2kπ+π≤2x≤2kπ+2π可得函数的所有单调递增区间，取在x∈[0，π]的即可．【解答】解：由2kπ+π≤2x≤2kπ+2π可解得kπ+≤x≤kπ+π，k∈Z，故函数y=cos2x的递增区间为[kπ+，kπ+π]，k∈Z，又∵x∈[0，π]，∴函数的单调递增区间为：[，π]故答案为：[，π]．【点评】本题考查复合三角函数的单调性，属基础题．3．（3分）函数y=cosaπx（a＞0）的最小正周期为2，则实数a=1【分析】由题意利用函数y=Asin（ωx+φ）的最小正周期为，求得a的值．【解答】解：∵函数y=cosaπx（a＞0）的最小正周期为=2，则实数a=1，故答案为：1．【点评】本题主要考查函数y=Asin（ωx+φ）的周期性，利用了函数y=Asin（ωx+φ）的最小正周期为，属于基础题．4．（3分）已知，，则tanα=2．【分析】利用诱导公式化简已知等式左边求出cosα的值，再利用同角三角函数间的基本关系求出sinα的值，即可求出tanα的值．【解答】解：∵sin（α+）=cosα=，α∈（0，），∴sinα==，则tanα==2．故答案为：2【点评】此题考查了同角三角函数间的基本关系，以及诱导公式的作用，熟练掌握基本关系是解本题的关键．5．（3分）若tan（α﹣）=．则tanα=．【分析】直接根据两角差的正切公式计算即可【解答】解：∵tan（α﹣）===∴6tanα﹣6=tanα+1，解得tanα=，故答案为：．【点评】本题考查了两角差的正切公式，属于基础题6．（3分）将函数y=sinx的图象向左平移个单位，再向上平移1个单位，所的图象的函数解析式是y=sin（x+）+1．【分析】直接利用三角函数的图象的平移变换的原则：左加右减，上加下减，即可推出变换后的函数的解析式．【解答】解：将函数y=sinx的图象向左平移个单位，得到函数y=sin（x+）的图象，再向上平移1个单位，所得到的函数图象的解析式是：y=sin（x+）+1．故答案为：y=sin（x+）+1．【点评】本题是基础题，考查三角函数的图象的平移变换，注意平移变换的原则，考查计算能力．7．（4分）若函数的图象的相邻两条对称轴的距离是π，则ω=1．【分析】由已知中函数f（x）=sin（ωx+φ）（ω＞0）的图象的相邻两条对称轴的距离是π，我们可以根据正弦型函数的性质得到函数的最小正周期，进而根据T=，即可得到答案．【解答】解：∵函数f（x）=sin（ωx+φ）（ω＞0）的图象的相邻两条对称轴的距离是半个周期∴T=π，则函数f（x）=sin（ωx+φ）（ω＞0）的周期T=2π则ω=1故答案为：1【点评】本题考查的知识点是由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式，正弦型函数周期的确定方法由，代数法：根据T=求出，几何法：根据对称轴及对称中心间的距离与周期T的关系求出．8．（4分）已知f（x）=2sinωx（ω＞0）在[0，]单调递增，则实数ω的最大值为．【分析】由条件利用正弦函数的单调性可得ω•≤，由此求得实数ω的最大值．【解答】解：∵f（x）=2sinωx（ω＞0）在[0，]单调递增，∴ω•≤，求得ω≤，则实数ω的最大值为，故答案为：．【点评】本题主要考查正弦函数的增区间，属于基础题．9．（4分）在平面直角坐标系xOy中，角α与角β均以Ox为始边，它们的终边关于y轴对称，若sinα=，则cos（α﹣β）=﹣．【分析】方法一：根据教的对称得到sinα=sinβ=，cosα=﹣cosβ，以及两角差的余弦公式即可求出方法二：分α在第一象限，或第二象限，根据同角的三角函数的关系以及两角差的余弦公式即可求出【解答】解：方法一：∵角α与角β均以Ox为始边，它们的终边关于y轴对称，∴sinα=sinβ=，cosα=﹣cosβ，∴cos（α﹣β）=cosαcosβ+sinαsinβ=﹣cos2α+sin2α=2sin2α﹣1=﹣1=﹣方法二：∵sinα=，当α在第一象限时，cosα=，∵α，β角的终边关于y轴对称，∴β在第二象限时，sinβ=sinα=，cosβ=﹣cosα=﹣，∴cos（α﹣β）=cosαcosβ+sinαsinβ=﹣×+×=﹣：∵sinα=，当α在第二象限时，cosα=﹣，∵α，β角的终边关于y轴对称，∴β在第一象限时，sinβ=sinα=，cosβ=﹣cosα=，∴cos（α﹣β）=cosαcosβ+sinαsinβ=﹣×+×=﹣综上所述cos（α﹣β）=﹣，故答案为：﹣【点评】本题考查了两角差的余弦公式，以及同角的三角函数的关系，需要分类讨论，属于基础题10．（4分）设△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若bcosC+ccosB=asinA，则△ABC的形状为直角三角形．【分析】根据正弦定理把已知等式中的边转化为角的正弦，利用两角和公式化简求得sinA的值进而求得A，判断出三角形的形状．【解答】解：∵bcosC+ccosB=asinA，∴sinBcosC+sinCcosB=sin（B+C）=sinA=sin2A，∵sinA≠0，∴sinA=1，A=，故三角形为直角三角形，故答案为：直角三角形．【点评】本题主要考查了正弦定理的应用．解题的关键时利用正弦定理把等式中的边转化为角的正弦．11．（4分）函数f（x）=﹣cos2x+的最大值是1【分析】把f（x）的解析式配方，再利用余弦函数的值域，二次函数的性质，求得它的最大值．【解答】解：∵x∈[0，]，∴cosx∈[0，1]，函数f（x）=﹣cos2x+cosx+=﹣+1，∴当cosx=，即x=时，函数f（x）取得最大值为1，故答案为：1．【点评】本题主要考查余弦函数的值域，二次函数的性质，属于基础题．12．（4分）设函数f（x）=2sin（ωx+ϕ），x∈R，其中ω＞0，|ϕ|＜π．若，，且f（x）的最小正周期大于2π，则f（x）的解析式为f（x）=2sin （x+）【分析】由题意求得，再由周期公式求得ω，最后由若f（）=2求得φ值，可得函数解析式．【解答】解：由f（x）的最小正周期大于2π，得＞，又f（）=2，f（）=0，得=﹣=，∴T=3π，则=3π，即ω=．∴f（x）=2sin（ωx+ϕ）=2sin（x+ϕ），由f（）=2sin（×+ϕ）=2，得sin（ϕ+）=1．∴ϕ+=+2kπ，k∈Z．取k=0，得ϕ=＜π．∴ω=，ϕ=．∴f（x）的解析式为f（x）=2sin（x+）．故答案为：f（x）=2sin（x+）．【点评】本题考查由三角函数的部分图象求解析式，考查y=Asin（ωx+φ）型函数的性质，是中档题．二、选择题（本大题共有4题，满分16分）每小题都给出四个选项，其中有且只有一个选项是正确的，选对得4分，否则一律得零分13．（4分）下列函数中，周期是π，又是偶函数的是（）A．y=sinx B．y=cosx C．y=sin2x D．y=cos2x【分析】根据三角函数的图象及性质依次即可．【解答】解：对于A：y=sinx，是奇函数，∴A不对．对于B：y=cosx，是偶函数，周期T=2π，∴B不对．对于C：y=sin2x，是奇函数，∴C不对．对于D：y=cos2x，是偶函数，周期T==π，∴D对．故选：D．【点评】本题考查了三角函数的图象及性质的运用．比较基础．14．（4分）已知，则=（）A．m B．﹣m C．D．【分析】由条件利用诱导公式进行化简所给的式子，可得结果．【解答】解：∵已知，则=﹣cos（+α）=﹣sin[﹣（+α）]=﹣sin（﹣α）=﹣m，故选：B．【点评】本题主要考查利用诱导公式进行化简三角函数式，属于基础题．15．（4分）设函数f（x）=cos（x+），则下列结论错误的是（）A．f（x）的一个周期为﹣2πB．y=f（x）的图象关于直线x=对称C．f（x+π）的一个零点为x=D．f（x）在（，π）单调递减【分析】根据三角函数的图象和性质分别进行判断即可．【解答】解：A．函数的周期为2kπ，当k=﹣1时，周期T=﹣2π，故A正确，B．当x=时，cos（x+）=cos（+）=cos=cos3π=﹣1为最小值，此时y=f（x）的图象关于直线x=对称，故B正确，C当x=时，f（+π）=cos（+π+）=cos=0，则f（x+π）的一个零点为x=，故C正确，D．当＜x＜π时，＜x+＜，此时函数f（x）不是单调函数，故D 错误，故选：D．【点评】本题主要考查与三角函数有关的命题的真假判断，根据三角函数的图象和性质是解决本题的关键．16．（4分）已知曲线，则下面结论正确的是（）A．把C1上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移个单位长度，得到曲线C2B．把C1上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移个单位长度，得到曲线C2C．把C1上各点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移个单位长度，得到曲线C2D．把C1上各点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移个单位长度，得到曲线C2【分析】由题意利用函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律，得出结论．【解答】解：把C1：y=sin（x+）上各点的横坐标变为原来的倍，纵坐标不变，可得y=sin（2x+）的图象，再把得到的曲线向左平移个单位长度，得到曲线C2．：y=sin（2x++）=sin （2x+）的图象，故选：D．【点评】本题主要考查函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律，属于基础题．三、解答题（本大题共有4题，满分42分）解答下列各题必须写出必要的步骤17．（8分）已知函数，（Ⅰ）求f（x）的定义域；（Ⅱ）设α是第四象限的角，且，求f（α）的值．【分析】（1）由cosx≠0得出x取值范围得出答案．（2）通过tanα=﹣，求出sina=﹣，cosa=，代入函数式．【解答】（1）解：∵依题意，有cosx≠0，∴解得x≠kπ+，∴f（x）的定义域为{x|x∈R，且x≠kπ+，k∈Z}．（2）解：∵=﹣2sinx+2cosx，∴f（α）=﹣2sinα+2cosα，∵α是第四象限的角，且，∴sinα=﹣，cosα=，∴f（α）=﹣2sinα+2cosα=．【点评】本题主要考查三角函数的定义域的问题，属基础题．18．（10分）已知函数（1）求f（x）的最大值及对应x的值（2）求f（x）的最小正周期及单调递增区间【分析】利用倍角公式降幂，再由辅助角公式化积．（1）由，k∈Z求解x，可得f（x）的最大值及对应x的值；（2）利用周期公式求周期，再由复合函数的单调性求f（x）的单调递增区间．【解答】解：==．（1）由，k∈Z，可得x=，k∈Z．∴f（x）的最大值为2，对应x的值为x=，k∈Z；（2）函数f（x）的最小正周期为T=π；由，k∈Z．可得，k∈Z．∴f（x）的单调递增区间为[，]，k∈Z．【点评】本题考查三角函数的恒等变换及化简求值，考查y=Asin（ωx+φ）型函数的图象与性质，是中档题．19．（12分）已知函数f（x）=asinx+bcosx，其中a、b为非零实常数（1）若，求f（x）的对称轴（2）若，是f（x）图象的一条对称轴，求x 0的值，使其满足，且x0∈[0，2π]【分析】（1）把代入函数解析式，利用辅助角公式化积，由相位终边落在x轴上求解；（2）由a=1，可得f（x）=sin（x+φ），其中tanφ=b，由题意+φ=kπ+，k∈z，可得φ，根据tan（kπ+）==b，可求φ，由f（x0）=，解得：x0+=2kπ+，或x0+=2kπ+，k∈Z，结合范围x0∈[0，2π]，即可求x0的值．【解答】解：（1），则f（x）=sinx﹣cosx=2sin（x），由，k∈Z，可得x=，k∈Z．∴f（x）的对称轴为x=，k∈Z；（2））∵a=1，∴f（x）=sinx+bcosx=sin（x+φ），其中tanφ=b，∵x=是其图象的一条对称轴，可得+φ=kπ+，k∈z，可得φ=kπ+，∴tan（kπ+）=tan==b，故φ=，故f（x）=2sin（x+）．∵f（x0）=，可得：2sin（x0+）=，即x0+=2kπ+，或x0+=2kπ+，k∈Z，解得：x0=2kπ，或x0=2kπ+，k∈Z，又∵x0∈[0，2π]．∴x0=0或或2π．【点评】本题主要考查了两角和与差的三角函数公式，正弦函数的图象和性质，涉及辅助角公式和三角函数的最值，属中档题．20．（12分）如图，旅客从某旅游区的景点A处下山至C处有两种路径．一种是从A沿直线步行到C，另一种从A沿索道乘缆车到B，然后从B沿直线步行到C．现有甲、乙两位游客从A处下山，甲沿AC匀速步行，速度为50米/分钟，在甲出发2分钟后，乙从A乘缆车到B，在B处停留1分钟后，再从B匀速步行到C．假设缆车匀速直线运动的速度为130米/分钟，山路AC长1260米，经测量，cosA=，cosC=．（1）求索道AB的长；（2）问乙出发后多少分钟后，乙在缆车上与甲的距离最短？【分析】（1）根据正弦定理即可确定出AB的长；（2）设乙出发t分钟后，甲、乙两游客距离为d，此时，甲行走了（100+50t）m，乙距离A处130t m，由余弦定理即可得解．【解答】解：（1）在△ABC中，因为cosA=，cosC=，所以sinA=，sinC=，从而sinB=sin[π﹣（A+C）]=sin（A+C）=sinAcosC+cosAsinC=×=，由正弦定理=，得AB===1040m．所以索道AB的长为1040m．（2）假设乙出发t分钟后，甲、乙两游客距离为d，此时，甲行走了（100+50t）m，乙距离A处130t m，所以由余弦定理得：d2=（100+50t）2+（130t）2﹣2×130t×（100+50t）×=200（37t2﹣70t+50）=200[37（t﹣）2+]，因0≤t≤，即0≤t≤8，故当t=min时，甲、乙两游客距离最短．【点评】此题考查了余弦定理，锐角三角函数定义，以及勾股定理，利用了分类讨论及数形结合的思想，属于解直角三角形题型．。
上海市进才中学2019-2020学年高一下学期期中数学试题(wd无答案)
上海市进才中学2019-2020学年高一下学期期中数学试题一、填空题(★) 1. 求值：__________．(★) 2. 若，则点在第__________象限．(★) 3. 已知，则__________．(★) 4. 已知某扇形的圆心角为2弧度，弧长为6，则扇形的面积为__________．(★) 5. 在中，若，，，则__________．(★★) 6. 函数的值域是________(★) 7. 函数的单调减区间为__________．(★) 8. 若函数的图像关于直线对称，则 a的值为__________．(★) 9. 中，，则A的取值范围为______．(★★) 10. 已知函数，若存在，使，则实数的取值范围_________.(★★) 11. 若等比数列满足，，则的最大值为____．(★★)12. 已知数列满足：（1），（2），函数，满足：对任意实数，总有两个不同的根，则的通项公式为__________．二、单选题(★★) 13. 设等差数列的前项和为，若，，则（）A．63B．45C．36D．27(★★) 14. 在中，角均为锐角，且，则的形状是（）A．直角三角形B．锐角三角形C．钝角三角形D．等腰三角形(★★★) 15. 设函数，，值域为，则以下结论错误的是（）A．的最小值为B．a不可能等于，C．的最大值为D．b不可能等于，(★★★) 16. 将函数的图像向下平移个单位，得到的图像，若，其中，则的最大值为（）A．B．C．D．三、解答题(★) 17. 数列{a n}是首项为23，公差为整数的等差数列，且第6项为正，第7项为负．(1)求数列的公差；(2)求前n项和S n的最大值．(★★★) 18. 已知函数（1）求函数在区间上的单调增区间：（2）当，且，求的值(★★★) 19. 在锐角中，.（1）求角的值；（2）若且，求的值.(★★★) 20.设数列的前项和为，为等比数列，且，．（1）求数列和的通项公式；（2）设，求数列的前项和．(★★★) 21. 已知数列满足，，．（1）证明：数列是等比数列；（2）设，试判断是否存在常数 A、 B、 C，使得对一切都有成立？若存在，求出 A、 B、 C的值；若不存在，请说明理由；（3）设数列的前 n项和为，求证：．。
上海市浦东新区2019-2020学年高一下学期期中数学试题
解：（1） 的坐标为 ，以 轴正半轴为始边，射线 为终边的角为
根据三角函数的定义可知， ， ，
；
（2） 为正三角形， ．
，
，
，
所以 ，
．
【点睛】
本题考查任意角的三角函数的定义，考查余弦定理求边长的平方，考查学生的计算能力，属于中档题．
【详解】
，
令 ，解得 ，
所以 ，
所以 .
故答案为：1.
【点睛】
本题考查反函数的求法，属于基础题.一般情况下，求反函数就是从原函数 ，解出 ，最后互换 与 的位置，得 ，同时注意反函数的定义域，即为原函数的值域.
3．
【解析】
【分析】
根据终边相同的角的定义求解.
【详解】
由终边相同的角的定义得：
与 角终边重合的角是 ，
本题考查解三角形的实际应用问题，涉及到余弦定理和方位角的知识，属于基础题.
13．A
【解析】
【分析】
由 求得 ，由 求得 ， ，或 ， ，再结合充分必要条件的判定方法判断．
【详解】
解：由 ，可得 ，故充分性成立；
由 ，得 ， ，或 ， ，
“ ”是“ ”的充分非必要条件．
故选：A．
【点睛】
本题考查三角函数值的求法，考查充分必要条件的判定方法，属于基础题．
19．已知 ， ，且 、 都是锐角，求 的值，并判断 是第几象限角.
20．设△ 的内角 、 、 的对边分别为 、 、 ，已知 .
（1）求 ；
（2）若 ，△ 的面积为 ，求△ 的周长.
21．如图，设 、 是半径为1的圆 上的动点，且 、 分别在第一、二象限， 是圆 与 轴正半轴的交点，△ 为等边三角形，记以 轴正半轴为始边、射线 为终边的角为 .
2020年上海市浦东新区高一(下)期中数学试卷解析版
3. △ABC 中，三边长分别为 、 、 ，且 x2+y2=z2，则△ABC 的形状为（ ）
A. 锐角三角形 B. 直角三角形 C. 钝角三角形 D. 无法判断
4. 设函数 f（x）=ax+bx-cx，其中 c＞a＞0，a＞b＞0，若 a、b、c 是△ABC 的三条边长
，则下列结论中正确的是（ ）
则 B=______．
15. 已知函数 f（x）=（ ）x，g（x）= x，记函数 h（x）=
，则函
数 F（x）=h（x）+x-5 所有零点的和为______． 16. 如果满足 B=45°，AC=10，BC=k 的△ABC 恰有一个，则实数 k 的取值范围是______
． 三、解答题（本大题共 5 小题，共 60.0 分）
，周长为定值 p，求面积 S 的最大值；
（3）为了研究边长 a，b，c 满足 9≥a≥8≥b≥4≥c≥3 的三角形其面积是否存在最大值 ，现有解法如下：16S2=（a+b+c）（a+b-c）（a-b+c）（-a+b+c）=[（a+b）2-c2][c2（a-b）2]=-c4+2（a2+b2）c2-（a2-b2）2=-[c2-（a2+b2）]2+4a2b2 而-[c2-（a2+b2）]2≤0，a2≤81，b2≤64，则 S≤36，但是，其中等号成立的条件是 c2=a2+b2 ，a=9，b=8，于是 c2=145 与 3≤c≤4 矛盾，所以，此三角形的面积不存在最大值． 以上解答是否正确？若不正确，请你给出正确的答案． （注：16S2=（a+b+c）（a+b-c）（a-b+c）（-a+b+c）称为三角形面积的海伦公式， 它已经被证明是正确的）
2019—2020学年第二学期期中考试高一数学试题(含答案)
2019—2020学年第二学期期中考试高一数学试题一、单项选择题：（本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）1．在中，已知，则角为（ ）A ．A ．C ．D ．或2．若向量，，且，则（ ） A ． B ．C ．D ． 3．复数的共轭复数为（ ）A ．B ．C ．D ．4．设两个单位向量，的夹角为，则（ ） A ．CD ．5．已知一条边在x 轴上的正方形的直观图是一个平行四边形，此平行四边形中有一边长为4，则原正方形的面积是( )A ．16B ． 16或64 C. 64 D ．以上都不对6．若实数，，满足，则的值是（ ） A ．2B ．-3C ．D.17．在中，若，则的形状是（ ） A ．等腰直角三角形 B．直角三角形C ．等腰三角形D ．等边三角形8．已知（，为虚数单位），则“”是“为纯虚数”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件二、多项选择题：(本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分．)9．给出下列结论，则结论正确的为（ ）A ．若向量，，且，则B ．，，与的夹角为，则ABC △222a b c bc =++A 2π3π3π6π32π3(3,2)=a (1,)m =-b ∥a b m =23-233232-()2019i 12i z =--2i -2i +2i --2i -+a b 2π334+=a b 17x y ()()1i 1i 2x y ++-=xy 2-ABC △2cos sin sin B A C ⋅=ABC △221(32)i z m m m =-+-+m ∈R i 1m =-z (1,3)=a (2,)x =b ∥a b 6x =||2=a ||4=b a b 60°|2|+=a bC ．向量，，m.n=0则 D ．已知向量，，则与的夹角为 10．下列命题中，不正确的是（ ） A ．两个复数不能比较大小；B ．若，则当且仅当且时，为纯虚数；C ．，则；D ．若实数与对应，则实数集与纯虚数集一一对应．11．在中，角的对边分别为，若，且，，则的面积为（ ） A ．3B ．C ．D ．12．对于两个复数，，则下列说法正确的是（ ）A ．B ．C ．D ．第Ⅱ卷三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．13．已知复数，，且是实数，则实数等于 ．14．如图，在斜度一定的山坡上的一点测得山顶上一建筑物顶端对于山坡的斜度为，向山顶前进后，又从点测得斜度为，假设建筑物高，设山对于平地的斜度，则 ．(,2)x =m (4,2)x =+n 23x =-=a =b a b π6i(,)z a b a b =+∈R 0a =0b ≠z 221223()()0z z z z -+-=123z z z ==a i a ABC △,,A B C ,,a b c cos cos a A b B =2c =3sin 5C =ABC △231361α=-+122β=--1αβ=2αβ=||2||αβ=337αβ-=134i z =+2i z t =+12z z ×t A C 15︒100m B 45︒50m θcos θ=15．用一张4×8(cm 2)的矩形硬纸卷成圆柱的侧面，则该圆柱的表面积等于-------------------16．在中角，，的对边分别是，，，且，，若，则的最小值为 ．四·解答题：(本大题共6大题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)17．（10分）已知关于的方程有实根，求这个实数根以及实数的值．18. (12分）如图，组合体下面是一个直三棱柱．△A 1B 1C 1为等腰直角三角形，BC ＝CE ＝2.上面是一个三棱锥，且AA 1⊥底面A 1B 1C 1，且AE ＝A1E ＝3，求组合体的表面积和体积．19.(12分）已知复数，m是实数，根据下列条件，求值．（1）是实数； （2）是虚数； （3）是纯虚数； （4）．ABC△A B C a b c sin sin sin sin sin 3a Ab B cC B C +-=a =[1,3]b ∈c x 2(2i)2i 0x k x k ++++=k 22(232)(2)i z m m m m =+-++-m z z z 0z =20．（12分）在中，角所对的边分别为，且．（1）求角的大小；（2）若，求的周长的取值范围． 21.(12分)已知a =(1,2),b =(-3,1). (1)求a -2b;(2)设a,b 的夹角为θ,求cos θ的值;(3)若向量a +k b 与a -k b 互相垂直,求实数k 的值.22．（12分）已知向量，，且．（1）求及；（2）若的最小值为，求实数的值．高一数学答案一．AACCB DCC二．9.ACD 10，ACD 11,AC 12,BCD17．（12分）已知关于的方程有实根，求这个实数根以及实数的值．【答案】方程的实根为或值为或．【解析】设是方程的实数根，代入方程并整理得，由复数相等的条件得，解得或∴方程的实根为，相应的值为或．ABC△,,A B C ,,a b c222sin sin sin sin sinA C A CB +-=B ABC △ABC △33(cos ,sin )22x x =a (cos ,sin )22x x =-b π[0,]2x ∈⋅a b +a b ()2f x λ=⋅-+a b a b 32-λx 2(2i)2i 0x k x k ++++=k x =x =k k =-k =0x 2000(2)(2)i 0x kx x k ++++=20002020x kx x k ⎧++=⎨+=⎩0x k ⎧=⎪⎨=-⎪⎩0x k ⎧=⎪⎨=⎪⎩x =x =k k =-k =18.19．（10分）已知复数，，根据下列条件，求值．（1）是实数； （2）是虚数； （3）是纯虚数； （4）．【答案】（1）或；（2）且；（3）；（4）． 【解析】（1）当，即或时，为实数． （2）当，即且时，为虚数．（3）当，解得，即时，为纯虚数．（4）令，解得，即时，．20．（12分）在中，角所对的边分别为，且．22(232)(2)i z m m m m =+-++-m R Îm z z z 0z =2m =-1m =2m ≠-1m ≠12m =2m =-220m m +-=2m =-1m =z 220m m +-≠2m ≠-1m ≠z 22232020m m m m ⎧+-=⎨+-≠⎩12m =12m =z 22232020m m m m ⎧+-=⎨+-=⎩2m =-2m =-0z =ABC △,,A B C ,,a b c 222sin sin sin sin sin A C A C B +-=（1）求角的大小；（2）若，求的周长的取值范围． 【答案】（1）；（2）．【解析】（1）由题意，由正弦定理得，，，即，又∵，． （2）由（1）知，且外接圆的半径为，，解得， 由正弦定理得，又，， 21.(10分)已知a =(1,2),b =(-3,1).(1)求a -2b;(2)设a,b 的夹角为θ,求cos θ的值; (3)若向量a +k b 与a -k b 互相垂直,求k 的值.【答案】（1）（7,0），（2）-√5050.（3）k=±√22.【解析】(1)a -2b =(1,2)-2(-3,1)=(1+6,2-2)=(7,0). (2)cos θ=a ·b|a |·|b |=√2√2=-√5050.(3)因为向量a +k b 与a -k b 互相垂直, 所以(a +k b)·(a -k b)=0,即a 2-k 2b 2=0,因为a 2=5,b 2=10,所以5-10k 2=0,解得k=±√22.B ABC △ABC △π3B =(5+⎤⎦222sin sin sin sin sin A C A C B +-=222a c acb +-=222a b b ac +-=222122a b b ac +-=1cos 2B =()0,πB ∈π3B =π3B =323=⨯5b =2sin sin a c A C ===sin )a c A C +=+2π3A C +=2ππsin()]10sin()336a c A A A +=+-=+22．（12分）已知向量，，且． （1）求及；（2）若的最小值为，求的值． 【答案】（1），；（2）． 【解析】（1）由已知可得， ， ，，．（2）由（1）得，，．①当时，当且仅当时，取得最小值，这与已知矛盾； ②当，当且仅当时，取得最小值，由已知可得，解得；③当时，当且仅当时，取得最小值， 由已知可得，解得，与矛盾， 综上所得，． 为锐角三角形，且， 又，得，，， 33(cos ,sin )22x x =a (cos ,sin )22x x =-b π[0,]2x ∈⋅a b +a b ()2f x λ=⋅-+a b a b 32-λcos2x ⋅=a b 2cos x +=a b 12λ=33coscos sin sin cos 22222x xx x x ⋅=⋅-⋅=ab +===a b π[0,]2x ∈Q cos 0x ∴≥2cos x ∴+=a b 222()cos 24cos 2cos 4cos 12(cos )12f x x x x x x λλλλ=-=--=---π[0,]2x ∈Q 0cos 1x ≤≤0λ<cos 0x =()f x 1-01λ≤≤cos x λ=()f x 12λ--23122λ--=-12λ=1λ>cos 1x =()f x 14λ-3142λ-=-58λ=1λ>12λ=ABC △π02A <<π02C <<2π3C A =-ππ62A <<πsin()62A +∈(a c +∈⎤⎦故的周长的取值范围是．ABC△(5+⎤⎦。
2019-2020学年上海市浦东新区建平中学高一(下)期中数学试卷
2019-2020学年上海市浦东新区建平中学高一（下）期中数学试卷试题数：21.满分：01.（填空题.3分）已知扇形的弧长是6.圆心角为2.则扇形的面积为___ ． 2.（填空题.3分）数列{a n }是等比数列. a 1=12 . q =12 . a n =132 .则n=___ ． 3.（填空题.3分）已知tanθ=-2.则cosθ−sinθsinθ+cosθ =___ ．4.（填空题.3分）三角方程 tan (x −π6)=3 的解集为___ ． 5.（填空题.3分） sinx =13. x ∈[3π2，5π2] .则x 用反正弦可以表示为___ ．6.（填空题.3分）已知数列{a n }满足a 1=0. a n+1=n √3√3a +1（n∈N *）.则a 2020=___ ．7.（填空题.3分）等差数列{a n }的通项为a n =2n-1.令b n =a 2n-1.则数列{b n }的前20项之和为___ ． 8.（填空题.3分）函数y=sin 2ωx -cos 2ωx （ω＞0）的最小正周期为4π.则ω=___ ． 9.（填空题.3分）已知12sinα+5cosα可表示为Asin （α+φ）（A ＞0.0≤φ＜π）的形式.则sin2φ=___ ．10.（填空题.3分）已知角 α，β∈(0，π4) .3sinβ=sin （2α+β）. 4tan α2=1−tan 2α2.则α+β=___ ．11.（填空题.3分）方程 x 2−10xsinπx 2+1=0 实数解的个数为___ ．12.（填空题.3分）设数列{a n }的通项公式为a n =2n-3（n∈N *）.数列{b n }定义如下：对于正整数m.b m 是使得不等式a n ≥m 成立的所有n 中的最小值.则数列{b n }的前2m 项和为___ ．（结果用m 表示）13.（单选题.3分）已知α是第二象限角.则 α2 是（ ） A.锐角 B.第一象限角 C.第一、三象限角 D.第二、四象限角14.（单选题.3分）在△ABC 中.若tanAtanB ＞1.则△ABC 是（ ） A.锐角三角形 B.直角三角形 C.钝角三角形D.无法确定15.（单选题.3分）已知函数f（x）=Asin（ωx+φ）（其中A＞0.|φ| ＜π2）的部分图象如图所示.则f（x）的解析式为（）A.f（x）=sin（2x+ π3）B.f（x）=sin（12x+π3）C.f（x）=sin（12x−π3）D.f（x）=sin（2x −π3）16.（单选题.3分）已知{a n}、{b n}均是等差数列.c n=a n•b n.若{c n}前三项是7、9、9.则c10=（）A.-47B.47C.-1D.117.（问答题.0分）已知函数f（x）=2sinxcosx-2sin2x+1．（1）求f（x）的单调递减区间；（2）若函数f(x)=√22.x∈[0.π）.求x．18.（问答题.0分）已知sinα+cosα=−15.α∈（0.π）.求下列式子的值：（1）sinαcosα；（2）tanα2；（3）sin3α+cos3α．19.（问答题.0分）如图.一智能扫地机器人在A处发现位于它正西方向的B处和北偏东30°方向上的C处分别有需要清扫的垃圾.红外线感应测量发现机器人到B的距离比到C的距离少0.4米.于是选择沿A→B→C路线清扫.已知智能扫地机器人的直线行走速度为0.2m/s.忽略机器人吸入垃圾及在B处旋转所用时间.10秒钟完成了清扫任务．（1）B、C两处垃圾的距离是多少？（2）智能扫地机器人此次清扫行走路线的夹角∠B的正弦值是多少？20.（问答题.0分）设{a n}是无穷等差数列.公差为d.前n项和为S n．（1）设a1=40.a6=38.求S n的最大值；（2）设S9=0.且a2+a3+a4+a5=-18.令b n=|a n|.求数列{b n}的前n项和T n．21.（问答题.0分）已知定义在R上的函数f（x）和数列{a n}满足下列条件：a1=a.a2≠a1.当n∈N*且n≥2时.a n=f（a n-1）且f（a n）-f（a n-1）=k（a n-a n-1）.其中a、k均为非零常数．（1）若{a n}是等差数列.求实数k的值；（2）令b n=a n+1-a n（n∈N*）.若b1=1.求数列{b n}的通项公式；（3）令b n=a n+1-a n（n∈N*）.若c1=b1=k＜0.数列{c n}满足c n+1-c n=2（b n+1-b n）.若数列{c n}有最∈(−2，2) .求k的取值范围．大值M.最小值m.且Mm2019-2020学年上海市浦东新区建平中学高一（下）期中数学试卷参考答案与试题解析试题数：21.满分：01.（填空题.3分）已知扇形的弧长是6.圆心角为2.则扇形的面积为___ ． 【正确答案】：[1]9【解析】：利用扇形的弧长公式可求扇形的半径.根据扇形的面积公式即可求解．【解答】：解：设扇形的半径为r.则r= 62 =3. 则扇形的面积S= 12 ×6×3=9． 故答案为：9．【点评】：本题主要考查了扇形的弧长公式.面积公式的应用.属于基础题． 2.（填空题.3分）数列{a n }是等比数列. a 1=12 . q =12 . a n =132 .则n=___ ． 【正确答案】：[1]5【解析】：利用等比数列的通面公式直接求解．【解答】：解：∵数列{a n }是等比数列. a 1=12 . q =12 . a n =132 . ∴ a n =12×(12)n−1=132 .解得n=5． 故答案为：5．【点评】：本题考查等比数列的项数n 的求法.考查等比数列的性质等基础知识.是基础题． 3.（填空题.3分）已知tanθ=-2.则 cosθ−sinθsinθ+cosθ =___ ． 【正确答案】：[1]-3【解析】：由已知利用同角三角函数基本关系式化简即可求解．【解答】：解：∵tanθ=-2. ∴ cosθ−sinθsinθ+cosθ = 1−tanθtanθ+1 = 1−(−2)−2+1 =-3．故答案为：-3．【点评】：本题主要考查了同角三角函数基本关系式在三角函数化简求值中的应用.属于基础题．4.（填空题.3分）三角方程tan(x−π6)=3的解集为___ ．【正确答案】：[1] {x|x=arctan3+π6+kπ，k∈Z}【解析】：直接根据tan(x−π6)=3 .解方程即可．【解答】：解：∵ tan(x−π6)=3 .∴ x−π6=arctan3+kπ .k∈Z.∴ x=arctan3+π6+kπ .k∈Z．∴方程的解集为{x|x=arctan3+π6+kπ，k∈Z}．故答案为：{x|x=arctan3+π6+kπ，k∈Z}．【点评】：本题考查了三角方程的求法.属基础题．5.（填空题.3分）sinx=13 . x∈[3π2，5π2] .则x用反正弦可以表示为___ ．【正确答案】：[1] x=2π+arcsin13【解析】：根据sinx=13 . x∈[3π2，5π2] .直接求出x即可．【解答】：解：∵ sinx=13 . x∈[3π2，5π2] .∴ x=2π+arcsin13．故答案为：x=2π+arcsin13．【点评】：本题考查了三角方程的求法.属基础题．6.（填空题.3分）已知数列{a n}满足a1=0. a n+1=a n−√3√3a+1（n∈N*）.则a2020=___ ．【正确答案】：[1]0【解析】：求出数列的前几项.判断数列是周期数列.然后求解即可．n∈N*）.【解答】：解：数列{a n}满足a1=0. a n+1=a n−√3√3a+1=- √3 .可得a2= √3√3×0+1a3= √3−√3= √3 .√3×(−√3)+1=0.…a4= √3−√3√3×√3+1所以数列是周期数列.周期为3.所以a2020=a3×673+1=a1=0.故答案为：0．【点评】：本题考查数列的递推关系式的应用.数列的项的求法.判断数列是周期数列是解题的关键．7.（填空题.3分）等差数列{a n}的通项为a n=2n-1.令b n=a2n-1.则数列{b n}的前20项之和为___ ．【正确答案】：[1]780【解析】：由已知代入可求b n.然后结合等差数列的求和公式即可求解．【解答】：解：由a n=2n-1.可得b n=a2n-1=2（2n-1）-1=4n-3.则数列{b n}是以1为首项.以4为公差的等差数列.×4 =780．故前20项之和S20=20×1+ 20×192故答案为：780．【点评】：本题主要考查了等差数列的性质及求和公式的简单应用.属于基础试题．8.（填空题.3分）函数y=sin2ωx-cos2ωx（ω＞0）的最小正周期为4π.则ω=___ ．【正确答案】：[1] 14【解析】：利用二倍角的余弦函数公式化简函数解析式.根据余弦函数的周期公式即可求解．.【解答】：解：∵y=sin2ωx-cos2ωx=-cos2ωx（ω＞0）的最小正周期为4π.即4π= 2π2ω∴ω= 1．4．故答案为：14【点评】：本题主要考查了二倍角的余弦函数公式.余弦函数的周期公式的应用.考查了函数思想.属于基础题．9.（填空题.3分）已知12sinα+5cosα可表示为Asin （α+φ）（A ＞0.0≤φ＜π）的形式.则sin2φ=___ ． 【正确答案】：[1]120169【解析】：由题意利用三角恒等变换.辅助角公式.先求出sinφ 和cosφ的值.可得sin2φ的值．【解答】：解：∵12sinα+5cosα=13（ 1213 sinα+ 513 cos α）可表示为Asin （α+φ）（A ＞0.0≤φ＜π）的形式. 则sinφ= 513 .cosφ= 1213 . ∴sin2φ=2sinφcosφ= 120169 . 故答案为： 120169．【点评】：本题主要考查三角恒等变换.辅助角公式的应用.属于中档题．10.（填空题.3分）已知角 α，β∈(0，π4) .3sinβ=sin （2α+β）. 4tan α2=1−tan 2α2.则α+β=___ ．【正确答案】：[1] π4【解析】：从4tan α2 =1-tan 2 α2 ．中解出tanα.利用配角法化简3sinβ=sin （2α+β）.即将其中的2α+β用（α+β）+α.β用（α+β）-α代换.从而求出tan （α+β）.利用三角函数值求解得α+β的值．【解答】：解：∵4tan α2 =1-tan 2 α2 . ∴2•tanα=1.tanα= 12 ． ∵3sinβ=sin （2α+β）.∴3sinβ=sin （α+β）cosα+cos （α+β）sinα． ∴3sin （α+β）cosα-3cos （α+β）sinα =sin （α+β）cosα+cos （α+β）sinα． ∴sin （α+β）cosα=2cos （α+β）sinα． ∴tan （α+β）=2tanα=1． 又 α，β∈(0，π4) . ∴α+β= π4 ．故答案为：π4．【点评】：本题主要考查了三角函数化简求值.角的变换是常用技巧．如2α+β=（α+β）+α.β=（α+β）-α等．三角变换中的角的变换.在本题中显得尤为突出.将单角化为复角.对字母角度的巧妙拼凑.使得问题顺利解决.属于基础题．11.（填空题.3分）方程x2−10xsinπx2+1=0实数解的个数为___ ．【正确答案】：[1]12【解析】：将方程变形得sin πx2 = 110x+ x10（x≠0）分别作出sin πx2和y= 110x+ x10的函数图象.根据交点个数进行判断．【解答】：解：∵ x2−10xsinπx2+1=0 .∴sin πx2 = 110x+ x10（x≠0）.令f（x）= 110x + x10= 110（x+ 1x）.则f（x）在（0.1）上单调递减.在（1.+∞）上单调递增.作出y=sin πx2和y=f（x）在（0.+∞）上函数图象如图所示：由图象可知y=sin πx2和y=f（x）在（0.+∞）上有6个交点.又y=sin πx2和y=f（x）都是奇函数.∴y=sin πx2和y=f（x）在（-∞.0）上有6个交点.∴方程x2−10xsinπx2+1=0有个解.故答案为：12．【点评】：本题考查了方程的根与函数图象的关系.属于中档题．12.（填空题.3分）设数列{a n}的通项公式为a n=2n-3（n∈N*）.数列{b n}定义如下：对于正整数m.b m是使得不等式a n≥m成立的所有n中的最小值.则数列{b n}的前2m项和为___ ．（结果用m表示）【正确答案】：[1]m2+4m【解析】：先由题设条件求出数列{b n}的前几项.归纳出b2k-1+b2k=2k+3（k∈N*）.再求出其前2m项和即可．【解答】：解：由题设条件可得：当m=1时.b1=2.当m=2时.b2=3.当m=3时.b3=3.当m=4时.b4=4.当m=5时.b5=4.….故易知：b2k-1=2+k-1=k+1.b2k=3+k-1=k+2.k∈N*.故b2k-1+b2k=2k+3.∴数列{b n}的前2m项和为m(5+2m+3)2=m2+4m．故答案为：m2+4m．【点评】：本题主要考查数列通项公式的求法及数列求和.属于基础题．13.（单选题.3分）已知α是第二象限角.则α2是（）A.锐角B.第一象限角C.第一、三象限角D.第二、四象限角【正确答案】：C【解析】：由α是第二象限角对应的范围.即可求解结论．【解答】：解：∵α是第二象限角.所以π2+2kπ＜α＜π+2kπ.k∈Z.∴ π4+kπ＜α2＜kπ +π2.k∈Z.∴ α2是第一象限或第三象限角.故选：C．【点评】：本题考查角在第几象限的判断.是基础题.解题时要认真审题.注意象限角定义的合理运用．14.（单选题.3分）在△ABC中.若tanAtanB＞1.则△ABC是（）A.锐角三角形B.直角三角形C.钝角三角形D.无法确定【正确答案】：A【解析】：利用两角和的正切函数公式表示出tan（A+B）.根据A与B的范围以及tanAtanB ＞1.得到tanA和tanB都大于0.即可得到A与B都为锐角.然后判断出tan（A+B）小于0.得到A+B为钝角即C为锐角.所以得到此三角形为锐角三角形．【解答】：解：因为A和B都为三角形中的内角.由tanAtanB＞1.得到1-tanAtanB＜0.且得到tanA＞0.tanB＞0.即A.B为锐角.＜0.所以tan（A+B）= tanA+tanB1−tanAtanB.π）.即C都为锐角.则A+B∈（π2所以△ABC是锐角三角形．故选：A．【点评】：此题考查了三角形的形状判断.用的知识有两角和与差的正切函数公式．解本题的思路是：根据tanAtanB＞1和A与B都为三角形的内角得到tanA和tanB都大于0.即A和B 都为锐角.进而根据两角和与差的正切函数公式得到tan（A+B）的值为负数.进而得到A+B的范围.判断出C也为锐角．）的部分图象如图所15.（单选题.3分）已知函数f（x）=Asin（ωx+φ）（其中A＞0.|φ| ＜π2示.则f（x）的解析式为（）A.f（x）=sin（2x+ π）3B.f （x ）=sin （ 12x +π3 ）C.f （x ）=sin （ 12x −π3 ）D.f （x ）=sin （2x −π3 ）【正确答案】：A【解析】：依题意.可求得A=1.由T= 2πω =π可求得ω=2.由 π3 ω+φ=π可求得φ．【解答】：解：由图知.A=1；又 T 4 = 7π12 - π3 = π4 .∴T=π.又T= 2πω .∴ω=2；∵f （x ）=Asin （ωx+φ）经过（ π3 .0）.且在该处为递减趋势.∴ π3 ω+φ=π.∴φ=π- π3 ×2= π3 ．∴f （x ）的解析式为：f （x ）=sin （2x+ π3 ）．故选：A ．【点评】：本题考查由y=Asin （ωx+φ）的部分图象确定其解析式.确定φ的值是难点.考查观察与运算能力.属于中档题．16.（单选题.3分）已知{a n }、{b n }均是等差数列.c n =a n •b n .若{c n }前三项是7、9、9.则c 10=（ ）A.-47B.47C.-1D.1【正确答案】：A【解析】：{a n }、{b n }均是等差数列.故{c n }为二次函数.设c n =an 2+bn+c.根据前3项.求出a.b.c 的值.即可得到c 10．【解答】：解：设c n =a n •b n =an 2+bn+c.则 {a +b +c =74a +2b +c =99a +3b +c =9 .解得a=-1.b=5.c=3.∴c10=-1×102+5×10+3=-47.故选：A．【点评】：本题考查了等差数列的通项公式.考查分析和解决问题的能力和计算能力.属于基础题．17.（问答题.0分）已知函数f（x）=2sinxcosx-2sin2x+1．（1）求f（x）的单调递减区间；（2）若函数f(x)=√22.x∈[0.π）.求x．【正确答案】：【解析】：（1）利用二倍角公式化简函数f（x）的解析式为f（x）= √2 sin（2x+ π4）.令2kπ+ π2≤2x+ π4≤2kπ+ 3π2.（k∈Z）.解得x的范围即得f（x）的单调递减区间．（2）由题意可得sin（2x+ π4）= 12.可求范围2x+ π4∈[ π4. 9π4）.根据正弦函数的图象和性质即可求解．【解答】：解：（1）∵f（x）=sin2x+cos2x= √2 sin（2x+ π4）.∴令2kπ+ π2≤2x+ π4≤2kπ+ 3π2.（k∈Z）.解得kπ+ π8≤x≤kπ+ 5π8.（k∈Z）.∴f（x）的单调递减区间是：[π8+kπ，5π8+kπ] .k∈Z；（2）∵ f(x)=√22 .即√2 sin（2x+ π4）= √22.∴解得：sin（2x+ π4）= 12.∵x∈[0.π）.∴2x+ π4∈[ π4. 9π4）.∴2x+ π4 = 5π6.或13π6.解得x= 7π24 .或23π24．【点评】：本题主要考查了二倍角公式.正弦函数的图象和性质.考查了函数思想和转化思想.属于基础题．18.（问答题.0分）已知sinα+cosα=−15.α∈（0.π）.求下列式子的值：（1）sinαcosα；（2）tanα2；（3）sin3α+cos3α．【正确答案】：【解析】：（1）将已知等式两边平方.利用同角三角函数基本关系式可求得sinαcosα的值；（2）由已知可求α2∈（0. π2）.sinα＞0.cosα＜0.tan α2＞0.利用平方差公式可求sinα-cosα= 75.进而可求sinα= 35 .利用二倍角的正弦函数公式.同角三角函数基本关系式可求tan α2的值．（3）利用立方和公式即可求解．【解答】：解：（1）∵ sinα+cosα=−15.α∈（0.π）.∴两边平方.可得1+2sinαcosα= 125.∴解得sinαcosα=- 1225；（2）∵ sinα+cosα=−15＜0. ①又α∈（0.π）. α2∈（0. π2）.∴sinα＞0.cosα＜0.tan α2＞0.∴sinα-cosα= √(sinα−cosα)2 = √1−2sinαcosα = 75. ②∴由① ② 可得sinα= 35 .即2sinα2cosα2sin2α2+cos2α2= 2tanα21+tan2α2= 35.整理可得：3tan2α2-10tan α2+3=0.∴解得tan α2 =3.或- 13（舍去）．（3）sin3α+cos3α=（sinα+cosα）（sin2α+cos2α-sinαcosα）=（- 15）×（1+ 1225）=- 37125．【点评】：本题主要考查了同角三角函数基本关系式.平方差公式.二倍角的正弦函数公式.立方和公式在三角函数化简求值中的应用.考查了方程思想和转化思想.属于中档题．19.（问答题.0分）如图.一智能扫地机器人在A处发现位于它正西方向的B处和北偏东30°方向上的C处分别有需要清扫的垃圾.红外线感应测量发现机器人到B的距离比到C的距离少0.4米.于是选择沿A→B→C路线清扫.已知智能扫地机器人的直线行走速度为0.2m/s.忽略机器人吸入垃圾及在B处旋转所用时间.10秒钟完成了清扫任务．（1）B、C两处垃圾的距离是多少？（2）智能扫地机器人此次清扫行走路线的夹角∠B的正弦值是多少？【正确答案】：【解析】：（1）由题意C在A处北偏东30°方向上.所以可得∠CAB=90°+30°=120°.及|AB|.|AC|与|BC|的关系.在三角形ABC中由余弦定理可得|BC|的值.（2）由（1）可得|BC|.|AC|.∠BAC=120°.由正弦定理可得sin∠B的值．【解答】：解：（1）由题意可得|AB|+|BC|=0.2×10=2.|AC|-|AB|=0.4.所以|AC|+|BC|=2.4.|AB|=2-|BC|.|AC|=2.4-|BC|.因为C在A处北偏东30°方向上.所以∠CAB=90°+30°=120°.在三角形ABC中.∠BAC=120°.由余弦定理可得|BC|2=|AB|2+|AC|2-2|AB||AC|cos120°=（2-|BC|）2+（2.4-|BC|）2+（2-|BC|）（2.4-|BC|）.整理可得|BC|2-6.6|BC|+7.28=0.解得|BC|=1.4或|BC|=5.2（舍）.所以B、C两处垃圾的距离是1.4米；（2）由（1）可得|BC|=1.4.|AC|=2.4-1.4=1.∠CAB=120°.由正弦定理可得|AC|sin∠B = |BC|sin∠CAB.所以sin∠B= |AC||BC| •sin120°= 11.4 •√32 = 5√314． 【点评】：本题考查三角形中正余弦定理的应用.属于中档题．20.（问答题.0分）设{a n }是无穷等差数列.公差为d.前n 项和为S n ．（1）设a 1=40.a 6=38.求S n 的最大值；（2）设S 9=0.且a 2+a 3+a 4+a 5=-18.令b n =|a n |.求数列{b n }的前n 项和T n ．【正确答案】：【解析】：（1）首先求出数列的通项公式.进一步求出数列的和．（2）利用函数的通项公式.进一步利用含绝对值的数列的应用求出数列的和．【解答】：解：（1）数列{a n }是无穷等差数列.公差为d.由于a 1=40.a 6=38.所以a 6=a 1+5d.a 6-a 1=-2=5d.解得d=- 25 ．所以S n = 40n −25×n (n−1)2 = n 2−201n 5 =- 15(n −2012)2+201220； 当n=100或101时.S n 取得最大值2020；（2）由于S 9=0.且a 2+a 3+a 4+a 5=-18.故 {S 9=0a 2+a 3+a 4+a 5=−18. 解得 {a 1=−12d =3 .故a n =3n-15.b n =|3n-15|.所以当n≤5.故 T n =|a 1|+|a 2|+⋯|a n |=−a 1−+⋯−a n =−n (−12+3n−15)2=−32n 2+272n ． 当n≥5时.T n =|a 1|+|a 2|+…+|a n |=（-a 1-a 2-…-a 5）+（a 1+a 2+…+a n ）= 32n 2−272n +60所以：T n={−32n2+272(n≤5)3 2n2−272n+60(n≥5)．【点评】：本题考查的知识要点：数列的通项公式的求法及应用.含绝对值的数列的求和的应用.主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力.属于基础题．21.（问答题.0分）已知定义在R上的函数f（x）和数列{a n}满足下列条件：a1=a.a2≠a1.当n∈N*且n≥2时.a n=f（a n-1）且f（a n）-f（a n-1）=k（a n-a n-1）.其中a、k均为非零常数．（1）若{a n}是等差数列.求实数k的值；（2）令b n=a n+1-a n（n∈N*）.若b1=1.求数列{b n}的通项公式；（3）令b n=a n+1-a n（n∈N*）.若c1=b1=k＜0.数列{c n}满足c n+1-c n=2（b n+1-b n）.若数列{c n}有最大值M.最小值m.且Mm∈(−2，2) .求k的取值范围．【正确答案】：【解析】：（1）利用等差数列的定义a n+1-a n=a n-a n-1.a n=f（a n-1）.易得k=1（2）利用等比数列的定义证明数列{b n}是等比数列.进而写出数列{b n}的通项公式（3）利用累加法求得{c n}的通项公式.结合题意.找到数列{c n}的最大项和最小项.解不等式求的结果．【解答】：解：（1）由已知a n=f（a n-1）.f（a n）-f（a n-1）=k（a n-a n-1）.a n+1-a n=f（a n）-f（a n-1）=k（a n-a n-1）.∵数列{a n}是等差数列.∴a n+1-a n=a n-a n-1.∴k=1；（2）由b1=a2-a1≠0.可得b2=a3-a2=f（a2）-f（a1）=k（a2-a1）≠0.且当n＞2时.b n=a n+1-a n=f（a n）-f（a n-1）=k（a n-a n-1）=…=k n-1（a2-a1）≠0.且b nb n−1 = a n+1−a na n−a n−1= f(a n)−f(a n−1)a n−a n−1=k∴数列{b n}是一个以首项为b1.公比为k的等比数列.若b1=1.则数列{b n}的通项公式为 b n=k n-1（n∈N*）；（3）由（2）可得{b n}是以k为首项.以k为公比的等比数列.∴b n=k n.c1=b1=k＜0.∴c n+1-c n=2（b n+1-b n）=2（k n+1-k n）=2（k-1）k n.∴c2-c1=2（k-1）k1.c3-c2=2（k-1）k2.c4-c3=2（k-1）k3.….c n-c n-1=2（k-1）k n-1（n≥2）. 累加得c n-c1=2（k-1）（k1+k2+…+k n-1）=2（k n-k）.∴c n=2k n-k（n≥2）.当n=1时也满足.∴c n=2k n-k（n∈N*）若{c n}存在最大值.结合k＜0.的条件.则-1＜k＜0.∴c2的是最大项.c1是最小项．∴M=2k2-k.m=k.由Mm ∈（-2.2）.得-2＜2k2−kk＜2.解得- 12＜k＜0.∴k的取值范围为（- 12.0）【点评】：本题考查的是数列问题.涉及到的知识点有等差数列的定义.等比数列的通项公式.累加法求数列的通项公式.数列的最大最小项.属于难题．。
2019-2020学年上海市浦东新区高一下学期期中数学试卷(含答案解析)
2019-2020学年上海市浦东新区高一下学期期中数学试卷一、单选题（本大题共4小题，共12.0分）1.如图所示，已知x轴上一点A(1,0)按逆时针方向绕原点做匀速圆周运动，1秒钟时间转过θ角(0<θ≤π)，经过2秒钟点A在第三象限，经过14秒钟，与最初位置重合，则角θ的弧度数为()A. 4π7B. 5π7C. 4π7或5π7D. 无法确定2.“x=−1”是“x2=1”的()A. 充分而不必要条件B. 必要而不充分条件C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件3.在△ABC中，下列结论正确的是()①若sinA>sinB，则A>B一定成立②若sinA=cosB，则△ABC一定是直角三角形③若b=1，c=√3，S△ABC=√34，则A等于30°A. ②B. ①C. ②③D. ①②③4.已知α、β都是第二象限角，且cosα>cosβ，则()A. α<βB. sinα>sinβC. tanα>tanβD. cotα<cotβ二、单空题（本大题共12小题，共36.0分）5.集合{α|k⋅180°≤α≤k⋅180°+45°,k∈Z}中角表示的范围(用阴影表示)是图中的______ (填序号)．6.已知，则．7.设函数的图象为，给出下列命题：①图象关于直线对称；②函数在区间内是增函数；③函数是奇函数；④图象关于点对称.⑤的周期为其中，正确命题的编号是.(写出所有正确命题的编号)8.已知sinα=2cosα，则sinα+cosαsinα−cosα的值是______ ．9.已知sin(π−α)=√55，且α在第二象限角，则tanα=______．10.sin670°sin20°−cos50°cos20°=______11.12.函数y=sin(π2−2x)+sin2x的最小正周期是______ ．13.函数f(x)=cosx−2sinx在x=a时取得最小值，则cosα=______．14.已知△ABC中，角A，B，C对应的边分别为a，b，c，且tan A+BC=sinC，则下列结论正确的为______ ．①△ABC为直角三角形；②1tan(C−A)+1tan(C−B)的最小值为2；③若△ABC的周长为4，则面积的最大值为12−8√2；④ca +cb的范围为[2√2,+∞)．15.已知，则的值是．16.在∠BAC=θ，中，角A、B、C的对边分别是a，b，c已知b=2,c=2√2，且C=π4，则△ABC的面积为______．三、解答题（本大题共5小题，共60.0分）17.已知扇形的圆心角为90°，弧长为l，求此扇形内切圆的面积．18.求值：tan150°cos(−210°)sin(−420°)sin1050∘cos(−600∘)．19.已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且a2+b2−c2=ab．(1)求C；(2)若acosB+bsinA=c，c=√3，求a．20.已知tanα=3，tanβ=4，3(Ⅰ)求tan(α−β)；(Ⅱ)求tan2α．21.在△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，已知2ccosC=bcosA+acosB．(1)求角C的值；(2)若△ABC的内切圆半径为1，且b=2√3，求△ABC的面积．【答案与解析】1.答案：C解析：本题考查象限角的定义等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．根据题意，经过2秒钟后点A转过2θ角，推导出π<2θ<32π，从而π2<θ<34π.再由14θ=2kπ(k∈Z)，求出k的值，再求出θ．解：∵1秒钟时间点A转过θ角(0<θ≤π)．∴经过2秒钟后点A转过2θ角，又2秒钟后点A在第三象限．∴π<2θ<32π，∴π2<θ<34π.又经过14秒钟，点A与最初位置重合．∴14θ=2kπ(k∈Z).即7θ=kπ(k∈Z)又π2<θ<34π，，即，∴k=4或k=5，∴θ=4π7或θ=5π7．故选：C．2.答案：A解析：解：由x2=1得x=1或x=−1，故“x=−1”是“x2=1”的充分不必要条件，故选：A．根据充分条件和必要条件的定义进行判断即可．本题主要考查充分条件和必要条件的判断，比较基础．3.答案：B解析：本题考查了三角形的边角关系应用问题，是基础题．①，由正弦定理和大边对大角即可判断命题正确；②，举例说明△ABC不一定是直角三角形；③，利用三角形面积公式求出A=30°或150°．解：对于①，由正弦定理得，asinA =bsinB=2R，R为△ABC外接圆的半径，∴a=2RsinA，b=2RsinB，又sinA>sinB，∴a>b，∴A>B，①正确；对于②，△ABC中，不妨令A=100°，B=10°，满足sinA=cosB，此时三角形不是直角三角形，②不正确；对于③，若b=1，c=√3，S△ABC=√34，则12bcsinA=12×1×√3×sinA=√34，∴sinA=12，∴A=30°或150°，③错误．综上，正确的结论是①．故选：B．4.答案：B解析：解：在第二象限角内通过余弦函数线cosα>cosβ找出α、β的终边位置关系，如图，不难判断，选项B正确．故选B．由题意可知0>cosα>cosβ>−1，可得0<sinα<sinβ<1，即可得到选项．本题是基础题，考查三角函数的单调性，三角函数线的特征，能够正确画出三角函数线是解决本题的关键．5.答案：②解析：解：集合{α|k⋅180°≤α≤k⋅180°+45°,k∈Z}中，当k为偶数时，此集合与{α|0°≤α≤45°}表示终边相同的角，位于第一象限；当k为奇数时，此集合与{α|180°≤α≤225°}表示终边相同的角，位于第三象限．所以集合{α|k⋅180°≤α≤k⋅180°+45°,k∈Z}中角表示的范围为图②所示．故答案为：②．当k取偶数时，确定角的终边所在的象限；当k取奇数时，确定角的终边所在的象限，再根据选项即可确定结果．本题考查象限角、轴线角的表示方法，体现了数形结合、分类讨论的数学思想．6.答案：516解析：本题考查的知识点是三角函数的诱导公式，属于基础题．利用诱导公式，我们易将sin(5π6−x)+cos2(π3−x)化为sin(x+π6)+sin2(x+π6)，由已知sin(x+π6)=14，代入计算可得结果．解：∵sin(x+π6)=14，∴sin(5π6−x)+cos2(π3−x)=sin[π−(x+π6)]+cos2[π2−(x+π6)]=sin(x+π6)+sin2(x+π6)=14+116=516．故答案为516．7.答案：①②解析：试题分析：对于①图象关于直线对称，成立。
2019-2020学年上海中学高一下学期期中数学试卷(有解析)
2019-2020学年上海中学高一下学期期中数学试卷一、单选题（本大题共6小题，共18.0分）1.若sin(π+α)=√53且α∈(−π2,0)，则cos(π−α)=()A. −23B. −√53C. 23D. ±232.若sinαsinβ=1，则cos(α+β)=()A. 1B. −1C. 0D. 0或−13.已知函数f(x)=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0,0<φ<π2)的部分图象如图所示，则f(x)的解析式是()A. f(x)=2sin(2x+π3)B. f(x)=2sin(x+π3)C. f(x)=2sin(2x+π6)D. f(x)=2sin(x+π6)4.函数f(x)=cos(π6−x)的单调递减区间是()A. [2kπ+π6,2kπ+7π6]，k∈Z B. [2kπ−5π6,2kπ+π6]，k∈ZC. [2kπ+7π6,2kπ+13π6]，k∈Z D. [2kπ,2kπ+π]，k∈Z5.求满足2x(2sinx−√3)≥0，x∈(0,2π)的角α的集合()A. (0,π3) B. [π3,2π3] C. [π3,π2] D. [π2,2π3]6.在△ABC中，角A、B、C的对边分别为a，b，c，且ctanC=√3acosB+√3bcosA，若c=√7,a=2，则b的值为()A. 3B. 1C. 2D. √2二、单空题（本大题共10小题，共30.0分）7.点P是角α的终边上的一点，且P(3,−4)，则sinα−cosα=______ ．8.函数y=3sin(π2x+3)的最小正周期为________。
9.在单位圆中，面积等于1的扇形所对的圆心角的弧度数为____．10.已知(x0,0)是函数f(x)=3sin(x+π6)图象的一个对称中心，则tan(5π+x0)=．11.已知α，β∈(0,π2)，sin(α−β)=35，cosβ=1213，则sinα=______．12.已知，则的值为_________．13.若，则的值为__________．14.在△ABC中，角A，B，C所对边长分别为a，b，c，若b2+c2=4a2，则cos A的最小值为______．15.函数y=2sin(3x+π3)在区间[−π6,π3]上的最小值为__________．16.函数y=x+5x−a在(−1,+∞)上是单调递减函数，则实数a的取值范围是____．三、解答题（本大题共5小题，共60.0分）17.已知α为第三象限角，f(α)=sin(α−π2)cos(3π2+α)tan(π−α)tan(−α−π)sin(−α−π)．(1)化简f(α)；(2)若f(α)=45，求tanα18.设函数的最小正周期为．(1)若f(α2+3π8)=2425，且α∈(−π2,π2)，求tanα的值．(2)“五点法”画出函数y=f(x)在区间[0,π]上的简图．(3)y=f(x)的图象经过怎样的图象变换，可以得到y=sinx的图象．y=f(x)→ _____________ →y=sinx19.已知sinα=23，α∈(π2,π)，cosβ=−35，β∈(π,3π2)，求sin(α+β)的值．20.如图所示，在斜度一定的山坡上的一点A测得山顶上一建筑物顶端C对于山坡的斜度为15°，向山顶前进100米后到达点B，又从点B 测得斜度为45°，建筑物的高CD为50米．求此山对于地平面的倾斜角θ的余弦值．21.已知函数f(x)=2√3sin(x+π4)cos(x+π4)+sin2x+a的最大值为1．(1)求实数a的值;(2)若将f(x)的图象向左平移π6个单位，得到函数g(x)的图象，求函数g(x)在区间[0,π2]上的最小值．【答案与解析】1.答案：A解析：解：∵sin(π+α)=√53，∴sinα=−√53，且α∈(−π2,0)，∴cosα=√1−sin 2α=23，则cos(π−α)=−cosα=−23． 故选：A ．已知等式利用诱导公式化简求出sinα的值，根据α的范围，利用同角三角函数间基本关系求出cosα的值，所求式子利用诱导公式化简后将cosα的值代入计算即可求出值． 此题考查了运用诱导公式化简求值，熟练掌握诱导公式是解本题的关键．2.答案：B解析：解：由sinαsinβ=1，得cosαcosβ=0， ∴cos(α+β)=cosαcosβ−sinαsinβ=−1． 故选：B ．由sinαsinβ=1，得cosαcosβ=0，利用两角和的余弦函数公式可得答案． 本题考查两角和与差的余弦公式，考查学生的运算能力，属基础题．3.答案：B解析：本题主要考查由函数y =Asin(ωx +φ)的部分图象求解析式，属于基础题．由函数的图象的顶点坐标求出A ，由周期求出ω，由f (76π)=−2结合0<φ<π2求出φ的值． 解：由函数过点(2π3,0)，(7π6,−2) 可得A =2，14T =π2ω=7π6−2π3=π2则ω=1，即f (x )=2sin (x +φ)，又f(76π)=−2，即sin(76π+φ)=−1，所以76π+φ=32π+2kπ(k∈Z)，又0<φ<π2，所以φ=π3，所以函数f(x)=2sin(x+π3)．故选B．4.答案：A解析：本题考查了余弦函数的单调性，属于基础题．先根据余弦函数的单调性判断出单调递减时x−π6的范围，进而求得x的范围，求得函数的单调递减区间．解：对于函数，∵y=cosx的单调减区间为[2kπ,2kπ+π]，k∈Z，∴2kπ≤x−π6≤2kπ+π，k∈Z，解得2kπ+π6≤x≤2kπ+7π6，k∈Z，故函数f(x)的单调减区间为[2kπ+π6,2kπ+7π6]，k∈Z故选A．5.答案：B解析：解：∵满足2x(2sinx−√3)≥0，2x>0．∴sinx≥√32，∵x∈(0,2π)，∴π3≤x≤2π3，故选：B．满足2x(2sinx−√3)≥0，化为sinx≥√32，由于x∈(0,2π)，利用正弦函数的单调性即可得出．本题考查了指数函数的单调性、正弦函数的单调性，属于基础题．6.答案：A解析：本题主要考查了正弦定理，两角和的正弦函数公式，余弦定理在解三角形中的应用，考查了转化思想，属于基础题．由正弦定理，两角和的正弦函数公式化简已知等式可得sinCtanC =√3sinC ，结合sinC ≠0，可求得tanC =√3，结合范围C ∈(0,π)，可求C ，进而根据余弦定理b 2−2b −3=0，解方程可求b 的值． 解：∵ctanC =√3acosB +√3bcosA ，∴由正弦定理可得：sinCtanC =√3(sinAcosB +sinBcosA)=√3sin(A +B)=√3sinC ， ∵sinC ≠0， ∴可得tanC =√3， ∵C ∈(0,π)， ∴C =π3， ∵c =√7，a =2，∴由余弦定理c 2=a 2+b 2−2abcosC ，可得7=4+b 2−2×2×b ×12，可得b 2−2b −3=0， ∴解得b =3，或b =−1(负值舍去)． 故选A ．7.答案：−73解析：解：∵|OP|=√32+(−4)2=5， ∴sinα=−45，cosα=35． ∴sinα−cosα=−45−35=−75．故答案为：−75．利用三角函数的定义即可得出．本题考查了三角函数的定义，属于基础题．8.答案：4解析：本题考查三角函数的周期公式．依题意，最小正周期为2ππ2=4，即可得到结果．解：因为y=3sin(π2x+3)，所以最小正周期为2ππ2=4，故答案为4．9.答案：2解析：本题考查了扇形的面积公式应用问题，根据扇形的面积公式，计算该扇形的圆心角弧度数即可，是基础题．解：由题意可知扇形的半径为r=1，面积为S=1，则S=12α⋅r2=12α=1，α=2，∴该扇形的圆心角α的弧度数是2．故答案为2．10.答案：−√33解析：本题主要考查正弦函数的图像及性质和正切的诱导公式及周期，属于基础题．首先根据正弦函数的图像和性质求出x0，然后利用诱导公式求正切即可．解：因为(x0,0)是函数f(x)=3sin(x+π6)图象的一个对称中心，所以x0+π6=kπ(k∈Z)，即x0=kπ−π6(k∈Z)，所以tan(5π+x0)=tanx0=tan(kπ−π6)=−tanπ6=−√33．11.答案：5665解析：解：α，β∈(0,π2)，sin(α−β)=35，cosβ=1213，可得cos(α−β)=√1−sin2(α−β)=45，sinβ=√1−cos2β=513，sinα=sin(α−β+β)=sin(α−β)cosβ+cos(α−β)sinα=35×1213+45×513=5665．故答案为：5665．利用同角三角函数基本关系式以及两角和与差的正弦函数化简求解即可．本题考查同角三角函数基本关系式以及两角和与差的三角函数，考查计算能力．12.答案：78解析：题主要考查了诱导公式，二倍角的余弦函数公式在三角函数化简求值中的应用，属于基础题．由诱导公式，二倍角的余弦函数公式化简所求，结合已知即可计算求值．解：，，∴sin2x=cos(π2−2x)=1−2sin2(π4−x)=78．故答案为78.13.答案：解析：，则14.答案：34解析：本题考查了余弦定理和基本不等式的应用问题，是基础题．利用余弦定理和基本不等式，即可求得cos A的最小值．解：△ABC中，b2+c2=4a2，则a2=14(b2+c2)，由余弦定理得，cosA=b2+c2−a22bc=b2+c2−14(b2+c2)2bc=3(b2+c2)8bc ≥3×2bc8bc=34，当且仅当b=c时取等号，∴cosA的最小值为34．故答案为：34．15.答案：−√3解析：因为x∈[−π6,π3]，所以3x+π3∈[−π6,4π3]，所以当3x+π3=4π3时，函数y=2sin(3x+π3)有最小值−√3...16.答案：(−5,−1]解析：本题以分式函数为例，考查了函数的单调性的判断与证明，属于基础题.题中的分式函数与反比例函数有关，因此用反比例函数的图象研究比较恰当．根据题意，将题中的函数分离常数，变形为y=1+a+5x−a ，进而研究反比例函数y=a+5x在区间(0,+∞)上是一个单调减的函数，从而得出实数a的取值范围．解：函数y=x+5x−a =1+a+5x−a函数的图象可由函数y=a+5x的图象先向右平移a个单位，再向上平移1个单位而得，∵函数在(−1,+∞)上单调递减，∴{a +5>0a ≤−1，可得−5<a ≤−1， 故答案为(−5,−1]．17.答案：解：(1)由f(α)=sin(α−π2)cos(3π2+α)tan(π−α)tan(−α−π)sin(−α−π)=−cosαsinα⋅(−tanα)−tanα⋅sinα=−cosα． (2)∵f(α)=45，即cosα=−45，α为第三象限角，那么：sinα=−√1−cos 2α=−35可得tanα=sinαcosα=34．解析：(1)根据诱导公式化简可得f(α)；(2)利用同角三角函数关系式即可得解．本题主要考察了同角三角函数关系式和诱导公式的应用，属于基本知识的考查．18.答案：解：(1)∵函数的最小正周期为， ∴2πω=π，∴ ω=2.可知f(x)=sin(2x −3π4) ， 由f(α2+3π8)=2425得：sinα=2425， ∵−π2<α<π2， ∴cosα=725，∴tanα=247.(2)由(1)知f(x)=sin(2x −3π4)，于是有： x 0 π8 5π8π y −√22−1 0 1 0 −√22描点，连线，函数y =f(x)在区间[0,π]上的图象如下：(3)把y =f(x)=sin(2x −3π4)图象上点的横坐标变为原来的2倍， 可得函数y =sin(x −3π4)的图象； 再把图象向左平移3π4个单位长度，可得函数y =sinx 的图象.解析：本题主要考查正弦函数的性质，用五点法作函数y =Asin(ωx +φ)在一个周期上的简图，函数y =Asin(ωx +φ)的图象变换规律，属于中档题．(1)由周期可得：f(x)=sin(2x −3π4)，然后利用已知结合α的取值范围求解．(2)用五点法作函数y =Asin(ωx +φ)在一个周期上的简图．(3)根据函数y =Asin(ωx +φ)的图象变换规律，可得结论．19.答案：解：∵sinα=23，α∈(π2,π)，cosβ=−35，β∈(π,3π2)，∴cosα=−√1−sin 2α=−√53，sinβ=−√1−cos 2β=−45， ∴sin(α+β)=sinαcosβ+cosαsinβ=23×(−35)+(−√53)×(−45)=4√5−615． 解析：由已知利用同角三角函数基本关系式可求cosα，sinβ的值，进而利用两角和的正弦函数公式即可计算得解sin(α+β)的值．本题主要考查了同角三角函数基本关系式，两角和的正弦函数公式在三角函数化简求值中的应用，考查了转化思想和计算能力，属于基础题．20.答案：解：在△ABC 中，∠BAC =15°，AB =100米，∠ACB =45°−15°=30°. (3分)根据正弦定理有100sin30∘=BC sin15∘，∴BC =100sin15°sin30∘. (6分)又在△BCD 中，∵CD =50，BC =100sin15°sin30∘，∠CBD =45°，∠CDB =90°+θ，根据正弦定理有50sin45∘=100sin15°sin30∘sin(90∘+θ).(10分)解得cosθ=√3−1(12分)解析：在△ABC中，根据正弦定理求出BC，在△BCD中，推出∠CDB=90°+θ，通过正弦定理转化求解即可．本题考查正弦定理的实际应用，解三角形的方法，考查计算能力．21.答案：解：(1)∵函数f(x)=2√3sin(x+π4)cos(x+π4)+sin2x+a=√3cos2x+sin2x+a=2sin(2x+π3)+a≤2+a=1，∴a=−1；(2)将f(x)的图象向左平移π6个单位，得到函数g(x)的图象，∴g(x)=f(x+π6 )=2sin[2(x+π6)+π3]−1=2sin(2x+2π3)−1．当x∈[0,π2]时，2x+2π3∈[2π3,5π3]，故当2x+2π3=3π2时，sin (2x+2π3)=−1，函数g(x)取得最小值为−2−1=−3．解析：本题主要考查三角函数的恒等变换及化简求值，函数y=Asin(ωx+φ)的图象变换规律，正弦函数的图像和性质，属于中档题．(1)由条件利用三角恒等变换化简函数的解析式为函数f(x)=2sin(2x+π3)+a，可得a=−1．(2)根据函数y=Asin(ωx+φ)的图象变换规律，可得g(x)=2sin(2x+2π3)−1.再根据x∈[0,π2]，利用正弦函数的图像和性质求得函数g(x)的最小值．。
上海市奉贤区2019-2020学年高一下学期期中数学试题
14. 若 是第二象限的角，
，则
的值为（ ）
A．
B．
C．
D．
15. 函数
的图像如图所示，其中 、 为常数，则下列结论正确的是（ ）
A． ，
C．
，
B．
，
D． ，
16. 不等式
在
上恒成立，则实数 的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
三、解答题
17. 已知
，求
的值.
18. 已知
且
，求函数
的最大值和最小值．
上海市奉贤区2019-2020学年高一下学期期中数学试题
一、填空题
1. 已知扇形的周长为 6 cm ，面积为 2 cm2，则扇形的圆心角的弧度数为 .
2. 函数
的值域为______.
3. 已知
，则
______；
______.
4. 若
，
，则
.
5. 在
中，角
所对的边分别为
.若
,，则角 的大小为____________________.
19. 某动物园要为刚入园的小动物建造一间两面靠墙的三角形露天活动室，地面形状如图所示，已知已有两面墙的夹角为
，墙
的长度为 米，（已有两面墙的可利用长度足够大），记
.
（1）若Βιβλιοθήκη ，求的周长（结果精确到0.01米）；
（2）为了使小动物能健康成长，要求所建的三角形露天活动室面积，
的面积尽可能大，当 为何值时，该活动室面积最大？并求出最大
的特征方程，特征方程的两个实根 ，
，令
，若
称为
面积.
20. 已知
=
，（ ∈ R）是R上的奇函数.
上海市浦东新区沪新中学2019-2020学年高一第二学期期中数学试题(无答案)
2019学年第二学期期中教学质量检测高一数学2020年4月考生注意：1、答卷时间90分钟，满分100分；2、请在答题纸上规定的地方作答，写在其它地方一律不予批阅.一、填空题（本大题满分36分）本大题共有12题，只要求直接填写结果，每个空格填对得3分，否则一律得零分.注:填写等价．．即可得分 1、已知角α的终边经过点()5,12P -，则sin cos αα+=__________.2、函数lg(53)y x =-的定义域为____________.3、用弧度制表示所有与75°终边相同的角的集合是______________.4、函数2log (1)y x =-，[)3,x ∈+∞的反函数为_______________.5、已知2log 3m =，试用m 表示6log 9=______________. 6. 1tan151tan15-︒=+︒_________. 7、方程()239log 2log 3x x =-的解集为__________.8、把αsin 32αcos 2+化为()()0αsin >+A A φ的形式_________________.9、已知3sin 1m m α-=+，1cos m α-=，则实数m 的值的集合为___________.10、已知3,22παπ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭=__________. 11、已知ABC ∆的一个内角为120o ，并且三边长满足关系：84a b c +=+=，则ABC ∆的面积为______________．12、在ABC V 中，已知()()()::4:5:6b c c a a b +++=，给出下列结论：①由已知条件，这个三角形被唯一确定；②ABC V 一定是钝角三角形；③sin :sin :sin 7:5:3A B C =；④若8b c +=，则ABC V . 正确命题的序号是____________.二、选择题（本大题满分12分）本大题共有4题，每题都给出代号为A 、B 、C 、D 的四个结论，其中有且只有一个结论是正确的，每题答对得3分，否则一律得零分.13、 若3,2παπ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，则点()cot ,sec αα必在（ ） A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限 14、()()cos 2cos2sin sin 2πθθθπθ-++所得的结果是（ ）A. cos θB. cos θ-C. cos3θD. cos3θ-15、△ABC 中，若cos cos a b B A=，则该三角形一定是（ ） A ．等腰三角形但不是直角三角形 B ．直角三角形但不是等腰三角形C ．等腰直角三角形D ．等腰三角形或直角三角形16、若函数()f x 是定义在[]0,1上的减函数，又,A B 是锐角三角形的两个内角，则（ ）A. ()()sin sin f A f B >B. ()()cos cos f A f B >C. ()()sin cos f A f B >D. ()()sin cos f A f B <三、解答题（本大题满分52分）本大题共有5题，解答下列各题必须写出必要的步骤. 注：其他解法相应给分17、（本题满分8分）已知弓形的弦长为23，对应的圆心角为ο120，求此弓形的面积.【解答】18、（本题满分10分） 已知4tan(2)3p a -=，求值： （1）sin cos sin cos a a a a+-； （2）22sin sin cos 1a a a +-． 【解答】19、（本题满分10分）如图，为测量山高MN ，选择A 和另一座山的山顶C 为测量观测点.从A 点测得M 点的仰角MAN=60Ðo ，C 点的仰角45CAB ??以及75MAC ??；从C 点测得60MCA??.已知山高100BC m =，求山高MN .【解答】20、(本题满分12分)已知02x y p p <<<<，且5sin()13x y +=，若1tan 22x =，分别求cos x 与cos y 的值.【解答】21、（本题满分12分）在ABC D 中，角C B A ,,的对边分别为c b a ,,，ABC D 的外接圆半径R =cos 2sin sin cos sin C A C B B-=. （1）求角B 和边b 的大小； （2）求ABC D 的面积的最大值. 【解答】。
2019-2020学年上海市奉贤区高一(下)期中数学试卷
2019-2020学年上海市奉贤区高一（下）期中数学试卷一、填空题（本大题共有12题，满分54分，第1～6题每题4分，第7～12题每题5分）1. 已知扇形的周长是6cm ，面积是2cm 2，则扇形的中心角的弧度数是________． 【答案】 1或4 【考点】 扇形面积公式 【解析】利用弧长公式、扇形面积计算公式即可得出． 【解答】设扇形的中心角为θ，半径为r ． 则2r +rθ＝6，12r 2θ=2，解得r ＝1，θ＝4；r ＝2，θ＝1．2. 函数f(x)＝log 2(5x +1)的值域为________． 【答案】 (0, +∞) 【考点】函数的值域及其求法 【解析】根据指数函数与对数函数的性质即可求解． 【解答】因为5x >0，所以5x +1>1，log 2(5x +1)>0， 即函数f(x)＝log 2(5x +1)的值域为(0, +∞)．3. 已知f(x)＝3x −2，则f −1[f(x)]＝________；f[f −1(x)]＝________． 【答案】 x ,x【考点】 反函数 【解析】因为f(x)＝3x −2，所以f −1(x)=x+23，代入即可．【解答】∵ f(x)＝3x −2， ∴ f 1(x)=x+23，∴ f −1[f(x)]＝f −1(3x −2)=3x−2+23=x ，f[f −1(x)]f(x+23)＝3×x+23−2＝x ．4. 已知tan α=12，tan (β−α)=25，那么tan (β−2α)＝________．【答案】−112【考点】两角和与差的三角函数 【解析】把所求的式子中的角β−2α变为(β−α)−α，然后利用两角差的正切函数公式化简后，把已知的tan α和tan (β−α)的值代入即可求出值． 【解答】 由 tan α=12，tan (β−α)=25，则tan (β−2α)＝tan [(β−α)−α]=tan (β−α)−tan α1+tan (β−α)tan α=25−121+25×12=−112．5. 在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若a =√2,b =2,sin B +cos B =√2，则角A 的大小为________． 【答案】 30∘【考点】 余弦定理 正弦定理 【解析】由sin B +cos B =√2，平方可求sin 2B ，进而可求B ，然后利用正弦定理asin A =bsin B 可求sin A ，进而可求A ． 【解答】由sin B +cos B =√2，两边平方可得1+2sin B cos B ＝2， ∴ 2sin B cos B ＝1，即sin 2B ＝1， ∵ 0<B <π，∴ B ＝45∘， 又∵ a =√2，b ＝2，在△ABC 中，由正弦定理得：√2sin A =2sin 45， 解得sin A =12，又a <b ，∴ A <B ＝45∘， ∴ A ＝30∘．6. 设2a ＝5b ＝m ，且1a+1b =2，m ＝________．【答案】√10【考点】指数函数与对数函数的关系 对数的运算性质 【解析】先解出a ，b ，再代入方程利用换底公式及对数运算性质化简即可得到m 的等式，求m ． 【解答】∵2a＝5b＝m，∴a＝log2m，b＝log5m，由换底公式得1 a +1b=logm2+logm5=logm10=2，∴m2＝10，∵m>0，∴m=√10故应填√107. 已知sin(α+π6)=13，则cos(2π3−2α)的值为________．【答案】−7 9【考点】二倍角的三角函数【解析】由已知利用诱导公式，二倍角的余弦函数公式即可计算求解．【解答】∵sin(α+π6)=13，∴cos(2π3−2α)＝cos[π−2(π6+α)]＝−cos2(π6+α)＝2sin2(π6+α)−1=−79．8. 设f−1(x)是函数f(x)＝log2(x+1)的反函数，若[1+f−1(a)]•[1+f−1(b)]＝8，则a+b的值为________．【答案】3【考点】反函数【解析】由题意可得反函数为f−1(x)＝2x−1，再由[1+f−1(a)]•[1+f−1(b)]＝8，可得2a⋅2b＝2a+b＝8，由此求得a+b的值．【解答】由题意可得反函数为y＝f−1(x)＝2x−1，故由[1+f−1(a)]•[1+f−1(b)]＝8，可得2a⋅2b＝2a+b＝8，故a+b＝3，9. 在△ABC中，a，b，c分别为A、B、C的对边，如果a，b，c成等差数列，B＝30∘，△ABC的面积为0.5，那么b为________．【答案】3+√33【考点】余弦定理等差数列的性质【解析】由题意利用等差数列的性质，余弦定理、三角形的面积公式，求得b的值．【解答】∵在△ABC中，如果a，b，c成等差数列，则2b＝a+c，∵S△ABC=12ac sin B=12ac.12=0.5，ac＝2，所以，a2+c2+2ac＝4b2a 2+c 2＝4b 2−4，由余弦定理得b 2＝a 2+c 2−2ac cos B ，b 2＝4b 2−4−2×2×√32， ∴ b 2=4+2√33,b =3+√33，10. 已知tan (π4+θ)＝3，则sin 2θ−2cos 2θ＝________．【答案】−45【考点】同角三角函数间的基本关系 【解析】把已知条件利用两角和的正切函数公式和特殊角的三角函数值化简求得tan θ，然后把所求的式子利用二倍角的正弦函数公式及同角三角函数间的基本关系化简后，把tan θ的值代入即可求出值． 【解答】由tan (π4+θ)=3，得1+tan θ1−tan θ=3，解得tan θ=12． 所以sin 2θ−2cos 2θ=2sin θcos θ−2cos 2θsin2θ+cos 2θ=2tan θ−2tan 2θ+1=−45．11. 设α为第四象限的角，若sin 3αsin α=135，则tan 2α＝________．【答案】−34【考点】两角和与差的三角函数同角三角函数间的基本关系 【解析】将已知等式左边的分子中的角3α变形为2α+α，利用两角和与差的正弦函数公式化简，再利用二倍角的正弦函数公式化简，约分后再利用二倍角的余弦函数公式化简，得到关于cos α的方程，求出方程的解得到cos α的值，再利用同角三角函数间的基本关系求出sin α的值，进而求出tan α的值，最后利用二倍角的正切函数公式化简所求的式子后，将tan α的值代入即可求出值． 【解答】∵ sin 3α＝sin (2α+α)＝sin 2αcos α+cos 2αsin α， ∴sin 3αsin α=sin 2αcos α+cos 2αsin αsin α=2cos 2α+cos 2α＝2cos 2α+2cos 2α−1=135，整理得：4cos 2α−1=135，解得：cos α=3√1010或cos α=−3√1010，∵ α是第四象限角，∴ cos α=3√1010， ∴ sin α=−√1−cos 2α=−√1010， ∴ tan α=sin αcos α=−13，则tan 2α=2tan α1−tan 2α=−34．12. 给出下列四个命题：（1）函数f(x)＝x|x|+bx +c 为奇函数的充要条件是c ＝0；（2）函数y ＝2−x (x >0)的反函数是y ＝−log 2x(0<x <1)；（3）若函数f(x)＝1g(x 2+ax −a)的值域是R ，则a ≤−4或a ≥0；（4）若函数y ＝f(x −1)是偶函数，则函数y ＝f(x)的图象关于直线x ＝0对称 其中所有正确命题的序号是________． 【答案】∵ y ＝x|x|，y ＝bx 均为奇函数，故函数f(x)＝x|x|+bx +c 为奇函数的充要条件是c ＝0，故 成立；由y ＝2−x (x >0)，知0<y <1，x ＝−log 2y ，x ，y 互换，得函数y ＝2−x (x >0)的反函数是y ＝−log 2x(0<x <1)，故 ①②③ 【考点】 反函数对数函数的值域与最值 命题的真假判断与应用 【解析】①由y ＝x|x|，y ＝bx 均为奇函数，知函数f(x)＝x|x|+bx +c 为奇函数的充要条件是c ＝0；②由y ＝2−x (x >0)，知0<y <1，x ＝−log 2y ，x ，y 互换，得函数y ＝2−x (x >0)的反函数是y ＝−log 2x(0<x <1)；③根据对数函数的值域为R ，则R +为y ＝x 2+ax −a 值域的子集，将问题转化为二次函数问题后，可判断③的真假；④y ＝f(x −1)是偶函数，它的图象关于y 轴(x ＝0)对称．y ＝f(x)是由y ＝f(x −1)向左平移1个单位得到，故可判断④的真假． 【解答】∵ y ＝x|x|，y ＝bx 均为奇函数，故函数f(x)＝x|x|+bx +c 为奇函数的充要条件是c ＝0，故 成立；由y ＝2−x (x >0)，知0<y <1，x ＝−log 2y ，x ，y 互换，得函数y ＝2−x (x >0)的反函数是y ＝−log 2x(0<x <1)，故 成立；（1）若函数f(x)＝lg (x 2+ax −a)的值域是R ，则y ＝x 2+ax −a 的图象与x 轴有交点，即a 2+4a ≥0，故a ≤−4或a ≥0，故（2）成立；（3）y ＝f(x −1)是偶函数，它的图象关于y 轴(x ＝0)对称．y ＝f(x)是由y ＝f(x −1)向左平移1个单位得到．故：y ＝f(x)关于x ＝−1对称，故（4）不成立． 二、选择题（本大题共有4题，满分20分，每题5分）已知A 是三角形ABC 的内角，则“cos A =12”是“sin A =√32”的（ ）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件【答案】 A【考点】充分条件、必要条件、充要条件 【解析】根据三角函数的公式，利用充分条件和必要条件的定义进行判断． 【解答】∵ A 是三角形ABC 的内角，∴ 若cos A =12，则A =π3，此时sin A =√32成立，即充分性成立． 若sin A =√32，则A =π3或2π3，当A =2π3，cos A =−12，即必要性不成立， 故“cos A =12”是“sin A =√32”充分不必要条件，若α是第二象限的角，sin α2=45，则sin α的值为（ ）A.925B.2125C.2425D.−2425【答案】C【考点】二倍角的三角函数 【解析】先确定α2是第一或三象限角，再利用同角三角函数的基本关系求得cos α2，利用二倍角公式求得sin α的值． 【解答】∵ α是第二象限角， ∴ α2是第一或三象限角， ∵ sin α2=45，∴ cos α2=35，∴ sin α＝2sin α2cos α2=2425．函数y ＝a +log b x 的图象如图所示，其中a 、b 为常数，则下列结论正确的是（ ）A.a<0，b>1B.a>0，b>1C.a>0，0<b<1D.a<0，0<b<1【答案】D【考点】对数函数的图象与性质【解析】由图中特殊位置：x＝1时函数的值是负值，可得a的取值范围，再根据对数函数的性质即可．【解答】当x＝1时，y＝a，由图形易知a<0．又∵函数是减函数，∴0<b<1．故选D．故选：D．不等式log a(x2−2x+3)≤−1在x∈R上恒成立，则实数a的取值范围是（）A.[2, +∞)B.(1, 2]C.[12,1) D.(0, 12]【答案】C【考点】对数函数的单调性与特殊点【解析】由于x2−2x+3＝(x−1)2+2≥2以及题中的条件可得0<a<1且1a≤2，由此求得实数a的取值范围．【解答】∵x2−2x+3＝(x−1)2+2≥2，不等式loga (x2−2x+3)≤−1=loga1a在x∈R上恒成立，∴0<a<1且1a≤2．解得12≤a<1，三、解答题（本大题共有5题，满分76分）已知sinα=2√55，求tan(α+π)+sin(5π2+α)cos(5π2−α)的值．【答案】∵ sin α=2√55>0，∴ α为第一或第二象限角．当α是第一象限角时，cos α=√1−sin 2α=√55， tan (α+π)+sin (5π2+α)cos (5π2−α)=tan α+cos αsin α=sin αcos α+cos αsin α=1sin αcos α=52．当α是第二象限角时，cos α=−√1−sin 2α=−√55，原式=1sin αcos α=−52．【考点】运用诱导公式化简求值 【解析】根据sin α的值大于0，判断α的范围为第一或第二象限角，分象限，利用同角三角函数间的基本关系求出cos α的值，然后把所求的式子利用诱导公式化简后，把sin α和cos α的值分别代入即可求出值． 【解答】 ∵ sin α=2√55>0，∴ α为第一或第二象限角．当α是第一象限角时，cos α=√1−sin 2α=√55， tan (α+π)+sin (5π2+α)cos (5π2−α)=tan α+cos αsin α=sin αcos α+cos αsin α=1sin αcos α=52．当α是第二象限角时，cos α=−√1−sin 2α=−√55，原式=1sin αcos α=−52．已知2x ≤256且log 2x ≥12，求函数f(x)=log 2x2⋅log √2√x2的最大值和最小值． 【答案】2x ≤256且log 2x ≥12，可得√2≤x ≤8， 函数f(x)＝log 2x2⋅log √2√x 2＝(log 2x −1)(log √2√x −log √22)＝(log 2x −1)(log 2x −2)， 设t ＝log 2x ∈[12, 3]，则设g(t)＝(t −1)(t −2)＝t 2−3t +2 ＝(t −32)2−14，当t =32，即x ＝2√2时，函数f(x)取得最小值，且为−14；当t ＝3时，即x ＝8时，函数f(x)取得最大值，且为2． 【考点】函数的最值及其几何意义 【解析】由条件可得√2≤x ≤8，运用对数的运算性质可得f(x)＝(log 2x −1)(log 2x −2)，设t ＝log 2x ∈[12, 3]，可得t 的二次函数，配方可得对称轴，由二次函数的最值，即可得到所求最值． 【解答】2x ≤256且log 2x ≥12， 可得√2≤x ≤8， 函数f(x)＝log 2x2⋅log √2√x 2 ＝(log 2x −1)(log √2√x −log √22)＝(log 2x −1)(log 2x −2)， 设t ＝log 2x ∈[12, 3]，则设g(t)＝(t −1)(t −2)＝t 2−3t +2 ＝(t −32)2−14，当t =32，即x ＝2√2时，函数f(x)取得最小值，且为−14；当t ＝3时，即x ＝8时，函数f(x)取得最大值，且为2．某动物园要为刚入园的小动物建造一间两面靠墙的三角形露天活动室，地面形状如图所示，已知已有两面墙的夹角为π3(∠ACB =π3)，墙AB 的长度为6米，（已有两面墙的可利用长度足够大），记∠ABC ＝θ．（1）若θ=π4，求△ABC 的周长（结果精确到0.01米）；（2）为了使小动物能健康成长，要求所建的三角形露天活动室面积△ABC 的面积尽可能大，问当θ为何值时，该活动室面积最大？并求出最大面积． 【答案】在△ABC 中，由正弦定理可得AC =6⋅√22√32=2√6，BC =√32=3√2+√6，∴ △ABC 的周长为6+3√2+3√6≈17.60米在△ABC 中，由余弦定理：c 2＝602＝a 2+b 2−2ab cos 60∘， ∴ a 2+b 2−ab ＝36，∴ 36+ab ＝a 2+b 2≥2ab ，即ab ≤36， ∴ S △ABC =12AC ⋅BC ⋅sin π3=√34ab ≤9√3，此时a ＝b ，△ABC 为等边三角形，∴ θ＝60∘，(S △ABC )max ＝9√3． 【考点】 解三角形 【解析】（1）在△ABC 中，由正弦定理可得AC ，BC ，即可求△ABC 的周长；（2）利用余弦定理列出关系式，将c ，cos C 的值代入并利用基本不等式求出ab 的最大值，利用三角形的面积公式求出面积的最大值，以及此时θ的值． 【解答】在△ABC 中，由正弦定理可得AC =6⋅√22√32=2√6，BC =√32=3√2+√6，∴ △ABC 的周长为6+3√2+3√6≈17.60米在△ABC 中，由余弦定理：c 2＝602＝a 2+b 2−2ab cos 60∘， ∴ a 2+b 2−ab ＝36，∴ 36+ab ＝a 2+b 2≥2ab ，即ab ≤36， ∴ S △ABC =12AC ⋅BC ⋅sin π3=√34ab ≤9√3，此时a ＝b ，△ABC 为等边三角形， ∴ θ＝60∘，(S △ABC )max ＝9√3．已知f(x)=a⋅2x −12x +1(a ∈R)，是R 上的奇函数．（1）求a 的值；（2）求f(x)的反函数；（3）对任意的k ∈(0, +∞)解不等式f −1(x)>log 21+x k．【答案】由题知f(0)＝0，得a ＝1， 此时f(x)+f(−x)=2x −12x +1+2−x −12−x +1=2x −12x +1+1−2x 1+2x=0，即f(x)为奇函数．∵ y =2x −12+1=1−22+1，得2x =1+y1−y (−1<y <1)， ∴ f −1(x)=log 21+x1−x (−1<x <1)．∵ f −1(x)>log 21+xk ，∴ {1+x1−x >1+xk−1<x <1，∴ {x >1−k −1<x <1 ，①当0<k <2时，原不等式的解集{x|1−k <x <1}， ②当k ≥2时，原不等式的解集{x|−1<x <1}． 【考点】对数函数的单调性与特殊点 奇函数 偶函数 反函数 【解析】（1）由题知奇函数在R 上有定义，故图象过原点，所以f(0)＝0，解得a ＝1；（2）令y =a2x −12x +1(a ∈R)，依据反函数的定义解出f(x)的反函数的表达式．（3）由（2）知f −1(x)=log 21+x1−x (−1<x <1)由此知两边底数一致，故可以用相关函数的单调性进行转化．【解答】由题知f(0)＝0，得a ＝1，此时f(x)+f(−x)=2x −12x +1+2−x −12−x +1=2x −12x +1+1−2x 1+2x =0，即f(x)为奇函数．∵ y =2x −12x +1=1−22x +1，得2x =1+y 1−y (−1<y <1)，∴ f −1(x)=log 21+x 1−x (−1<x <1)．∵ f −1(x)>log 21+x k ，∴ {1+x 1−x >1+x k −1<x <1，∴ {x >1−k −1<x <1 ， ①当0<k <2时，原不等式的解集{x|1−k <x <1}，②当k ≥2时，原不等式的解集{x|−1<x <1}．已知f(x)=2x−mx 2+1定义在实数集R 上的函数，把方程f(x)=1x 称为函数f(x)的特征方程，特征方程的两个实根α、β(α<β)称为f(x)的特征根．（1）讨论函数的奇偶性，并说明理由；（2）把函数y ＝f(x)，x ∈[α, β]的最大值记作max f(x)、最小值记作min f(x)，令g(m)＝max f(x)−min f(x)，若g(m)≤λ√m 2+1恒成立，求λ的取值范围．【答案】当m ＝0时，f(x)=2x x 2+1，此时f(−x)＝−f(x)，函数f(x)为奇函数，当m ≠0时，函数f(x)为非奇非偶函数．证明f(x)是增函数f(x 2)−f(x 1)=2x 2−mx 22+1−2x 1−mx 12+1=(x 2−x 1)[m(x 1+x 2)−2x 1x 2+2](x 12+1)(x 22+1)，∵ α<x 1<x 2<β，∴ x 12−mx 1−1<0，x 22−mx 2−1<0，则x 12+x 22−m(x 1+x 2)−2<0，2x 1x 2<x 12+x 22，∴ 2x 1x 2<x 12+x 22<m(x 1+x 2)+2，即2x 1x 2−m(x 1+x 2)−2<0，∵ x 1<x 2，∴ x 1−x 2<0，即f(x 1)−f(x 2)<0，即f(x 1)<f(x 2)，故函数f(x)在(α, β)是递增的，则√m 2+4≤λ√m 2+1恒成立，∴ λ≥√m 2+4m 2+1=√1+3m 2+1， ∵ √1+3m 2+1≤√1+3=√4=2，∴ λ≥2．【考点】函数的最值及其几何意义函数奇偶性的性质与判断【解析】（1）根据函数奇偶性的定义即可讨论函数的奇偶性；（2）根据函数单调性的定义先判断函数的单调性，将不等式恒成立进行转化，利用参数分离法即可得到结论．【解答】当m＝0时，f(x)=2xx2+1，此时f(−x)＝−f(x)，函数f(x)为奇函数，当m≠0时，函数f(x)为非奇非偶函数．证明f(x)是增函数f(x2)−f(x1)=2x2−mx22+1−2x1−mx12+1=(x2−x1)[m(x1+x2)−2x1x2+2](x12+1)(x22+1)，∵α<x1<x2<β，∴x12−mx1−1<0，x22−mx2−1<0，则x12+x22−m(x1+x2)−2<0，2x1x2<x12+x22，∴2x1x2<x12+x22<m(x1+x2)+2，即2x1x2−m(x1+x2)−2<0，∵x1<x2，∴x1−x2<0，即f(x1)−f(x2)<0，即f(x1)<f(x2)，故函数f(x)在(α, β)是递增的，则√m2+4≤λ√m2+1恒成立，∴λ≥√m2+4m2+1=√1+3m2+1，∵√1+3m2+1≤√1+3=√4=2，∴λ≥2．。
2020年上海市浦东新区高一(下)期中数学试卷
期中数学试卷题号一二三总分得分一、选择题（本大题共4小题，共12.0分）1.下列命题正确的是（）A. 第一象限的角都是锐角B. 小于的角是锐角C. 2019°是第三象限的角D. 2019°是第四象限的角2.“sinα=sinβ”是“α=β”的________条件（）A. 充分非必要B. 必要非充分C. 充要D. 既非充分又非必要3.在△ABC中，内角A、B满足sin2A=sin2B，则△ABC的形状是（）A. 等腰三角形B. 直角三角形C. 等腰直角三角形D. 等腰或直角三角形4.设MP与OM分别是角的正弦线和余弦线，则（）A. MP＜OM＜0B. MP＜0＜OMC. OM＜MP＜0D. OM＜0＜MP二、填空题（本大题共12小题，共36.0分）5.与终边相同的角的集合是______．6.若tanθ＜0且sinθ＜0，则θ是第______象限的角．7.已知角α的终边经过点（-3，4），则sinα+cosα=______．8.已知，且α是第四象限的角，则cscα=______，9.若sin x+cos x=，则sin2x=______．10.把化成A sin（α+ϕ）（A＞0）的形式______（注：ϕ不唯一）．11.若cosα=-，α∈（，π），则sin（α+）=______．12.=______．13.化简：=______．14.若且，则sin2α=______．15.已知且，则=______．16.在△ABC中，a=4，A=30°，请给出一个b值______，使该三角形有两解．三、解答题（本大题共5小题，共60.0分）17.已知一个扇形的周长为20cm，当它的圆心角为多大时，该扇形的面积最大？并求面积的最大值．18.已知tanθ=a，（a＞1），求的值．19.修建铁路时要在一个大山体上开挖一隧道，需要测量隧道口D、E之间的距离，测量人员在山的一侧选取点C，因有障碍物，无法测得CE、CD的距离，现测得CA=482.80米，CB=631.50米，∠ACB=56.3°，又测得A、B两点到隧道口的距离分别是80.13米、40.24米（A、D、E、B在同一条直线上），求隧道DE的长（精确到1米）．20.已知，求x+2y的值．21.在△ABC中，已知边，角B=45°，面积．求：（1）边c；（2）角C．答案和解析1.【答案】C【解析】解：A．当α=390°时，位于第一象限，但α=390°不是锐角，故A错误，B．α=-＜，但α不是锐角，故B错误，C.2019°=5×360°+210°，∵210°是第三象限角，∴2019°是第三象限的角，故C正确，D．由C知2019°是第三象限的角，不是第四象限角，故D错误，故选：C．结合象限角的定义分别进行判断即可．本题主要考查与象限角有关的命题的真假判断，结合象限角的定义是解决本题的关键．2.【答案】B【解析】解：“sinα=sinβ”时，由正弦函数的图象和性质可知：α=β+2kπ，k∈Z，或α=π-β+2kπ，k∈Z，∴“sinα=sinβ”不能推出“α=β”所以：“sinα=sinβ”是“α=β”的非充分条件．当“α=β”时，一定推出“sinα=sinβ”，所以：“α=β”是“sinα=sinβ”的充分条件．“sinα=sinβ”是“α=β”的必要条件．综上：“sinα=sinβ”是“α=β”的必要不充分条件．故选：B．根据充分条件和必要条件的定义分别进行判断即可．本题主要考查充分条件和必要条件的判断，根据充分条件和必要条件的定义是解决本题的关键．是基础题3.【答案】D【解析】解：法1：∵sin2A=sin2B，∴sin2A-sin2B=cos（A+B）sin（A-B）=0，∴cos（A+B）=0或sin（A-B）=0，∴A+B=90°或A=B，则△ABC一定是直角三角形或等腰三角形．法2：∵sin2A=sin2B，且A和B为三角形的内角，∴2A=2B或2A+2B=180°，即A=B或A+B=90°，则△ABC一定是等腰或直角三角形．故选：D．解法1：利用题设等式，根据和差化积公式整理求得cos（A+B）=0或sin（A-B）=0，推断出A+B=90°或A=B，即可判断出三角形的形状．解法2：由两角的正弦值相等及A和B为三角形的内角，得到两角2A和2B相等或互补，即A与B相等或互余，进而确定出三角形的形状．此题考查了三角形形状的判断，涉及的知识有：正弦、余弦函数的图象与性质，积化和差公式，以及等腰三角形的判定，解题的关键是挖掘题设信息，借助三角函数的基本公式和基本性质找到边与边或角与角之间的关系．4.【答案】D【解析】解：作出单位圆，以及角的正弦线和余弦线，则由图象知，OM＜0＜MP，故选：D．作出单位圆，利用正弦线和余弦线的定义判断即可．本题主要考查三角函数线的大小判断，结合三角线的定义是解决本题的关键．5.【答案】{α|α=2kπ+，k∈Z}【解析】解：与终边相同的角的集合为{α|α=2kπ+，k∈Z}，故答案为：{α|α=2kπ+，k∈Z}根据终边相同角的定义进行求解即可．本题主要考查终边相同角的求解，结合终边相同角的定义是解决本题的关键．6.【答案】四【解析】解：∵tanθ＜0，∴θ位于第二象限或第四象限，∵sinθ＜0，∴θ位于第三象限或第四象限或y轴的非正半轴，综上θ位于第四象限，故答案为：四结合三角函数值的符号和象限之间的关系进行判断即可．本题主要考查角的象限的判断，结合三角函数的符号和象限之间的关系是解决本题的关键．7.【答案】【解析】解：∵角α的终边经过点（-3，4），∴x=-3，y=4，r==5∴sinα=，cosα=-∴sinα+cosα=-=故答案为：利用三角函数的定义，求出sinα、cosα，即可得到结论．本题考查三角函数的定义，考查学生的计算能力，属于基础题．8.【答案】-【解析】解：∵，且α是第四象限的角，∴sinα=-=-，∴cscα==-．故答案为：-．由已知利用同角三角函数基本关系式即可计算得解．本题主要考查了同角三角函数基本关系式在三角函数化简求值中的应用，考查了转化思想，属于基础题．9.【答案】-【解析】解：已知等式两边平方得：（sin x+cos x）2=1+2sin x cosx=1+sin2x=，则sin2x=-．故答案为：-已知等式两边平方，利用二倍角的正弦函数公式化简即可求出sin2x的值．此题考查了二倍角的正弦，以及同角三角函数间的基本关系，熟练掌握公式是解本题的关键．10.【答案】2sin（α+）【解析】解：∵=2（sinα+cosα）=2sin（α+），故答案为：2sin（α+）．由题意利用辅助角公式，求得结果．本题主要考查辅助角公式的应用，属于基础题．11.【答案】【解析】解：由α∈（，π），cosα=-，得到sinα==，则sin（α+）=sinαcos+cosαsin=×-×=．故答案为：根据α的范围，由cosα的值，利用同角三角函数间的基本关系求出sinα的值，然后把所求的式子利用两角和的正弦函数公式及特殊角的三角函数值化简后，把sinα和cosα的值代入即可求出值．此题考查学生灵活运用同角三角函数间的基本关系及两角和的正弦函数公式化简求值，是一道基础题．学生做题时应注意α的取值范围．12.【答案】1【解析】解：由于：==2，故：=log22=1．故答案为：1直接利用三角函数关系式的变换和对数的运算的应用求出结果．本题考查的知识要点：三角函数关系式的恒等变换，对数的运算的应用，主要考察学生的运算能力和转换能力，属于基础题型．13.【答案】1【解析】解：==1．故答案为：1．利用诱导公式，同角三角函数基本关系式即可化简求值得解．本题主要考查了诱导公式，同角三角函数基本关系式在三角函数化简求值中的应用，属于基础题．14.【答案】【解析】解：由于且，则：cos，所以：sin2=故答案为：直接利用三角函数关系式的变换求出结果．本题考查的知识要点：三角函数关系式的恒等变换，主要考察学生的运算能力和转换能力，属于基础题．15.【答案】【解析】解：∵，可得：＜＜，可得：＞0，又∵=1-2sin2，∴解得：=．故答案为：．由已知可求＜＜，可得＞0，根据已知利用二倍角的余弦函数公式即可计算得解．本题主要考查了二倍角的余弦函数公式在三角函数化简求值中的应用，考查了计算能力和转化思想，属于基础题．16.【答案】（4，8）【解析】解：由正弦定理有：∴，∵△ABC有两解，∴B＞A，∴，即，∴4＜b＜8所以b的取值范围为：（4，8）．故答案为：（4，8）．利用正弦定理求出sin B，然后根据三角形有两解得到sin B＜1，b＞a即可．本题考查了正弦定理和三角形解得个数问题，属基础题．17.【答案】解：设扇形的半径为r，则扇形的弧长l=20-2r，∴S扇形=lr=（20-r）=-r2+10r=25-（r-5）2，∴当r=5时，扇形的面积最大值为25cm2，∴此时扇形的圆心角α===2．【解析】设扇形的半径为r，由题意可求扇形的弧长l=20-2r，利用扇形的面积公式及配方法可得S扇形=25-（r-5）2，即可得解．本题主要考查了扇形的弧长公式，面积公式的应用，考查了配方法的应用，属于基础题．18.【答案】解：原式===．即：=．【解析】利用两角和与差的正弦函数，以及二倍角的正切，化简，代入tanθ=a，求出结果即可．本题是基础题，考查弦切互化，二倍角的正切，考查计算能力，常考题型．19.【答案】解：根据题意，如图：△ABC中，CA=482.80米，CB=631.50米，∠ACB=56.3°，则AB2=CB2+CA2-2CB•CA cos∠ACB=293557.0525，则AB≈541.81，则DE=AB-AD-BE≈421米；故隧道DE的长约421米．【解析】根据题意，由余弦定理求出AB的长，又由DE=AB-AD-BE，计算即可得答案．本题考查余弦定理的应用，关键是掌握余弦定理的形式，属于基础题．20.【答案】解：∵已知，∴cos y==，∴tan y==，∴tan2y==＞0，故2y仍为锐角．∴tan（x+2y）==1，∴x+2y=，【解析】利用同角三角函数的基系求得tan y的值，利用二倍角的正切公式求得tan2y的值，可得2y为锐角，利用两角和的正切公式求得tan（x+2y）的值，可得x+2y的值．本题主要考查同角三角函数的基系，二倍角的正切公式，两角和的正切公式的应用，属于基础题．21.【答案】解：（1）根据题意，△ABC中，，B=45°，面积，则有ac sin B=3+，则c=+；（2）根据题意，b2=a2+c2-2ac cos B=（2）2+（+）2-2×2（+）cos45°=8，则b=2，则cos A==，则A=60°，C=180°-A-B=75°．【解析】（1）根据题意，由三角形面积公式可得ac sin B=3+，解可得c的值，即可得答案；（2）根据题意，由余弦定理可得b的值，进而由余弦定理求出cos A的值，即可得A的大小，由三角形内角和定理分析可得答案．本题考查三角形中的几何计算，涉及余弦定理、正弦定理的应用，属于基础题．。
2020学年上海市浦东新区高一(下)期中数学试卷
上海市浦东新区高一（下）期中数学试卷一、填空题（本大题满分36分）本大题共有12题，只要求直接填写结果，每个空格填对得3分，否则一律得零分1．（3分）若对数函数y=log a x的图象过点（9，2），则a=．2．（3分）若角θ满足sinθ＜0且cosθ＞0，则角θ在第象限．3．（3分）计算：log3+log32﹣log3=．4．（3分）半径r=1的圆内有一条弦AB，长度为，则弦AB所对的劣弧长等于．5．（3分）已知α是锐角，则=．6．（3分）化简：=．7．（3分）函数f（x）=log a（4﹣x2）在区间[0，2）上单调递增，则实数a取值范围为．8．（3分）已知tanα=3，则=．9．（3分）函数y=x2+1（x≤﹣2）的反函数为．10．（3分）方程2（log3x）2+log3x﹣3=0的解是．11．（3分）已知角α的终边上一点P（x，1），且sinα=，则x=．12．（3分）已知θ∈[0，π），集合A={sinθ，1}，B={，cosθ}，A∩B≠∅，那么θ=．二、选择题（本大题满分12分）本大题共有4题，每题都给出代号为A、B、C、D的四个结论，其中有且只有一个结论是正确的，每题答对得3分，否则一律得零分．13．（3分）“x=2kπ+（k∈Z）”是“tanx=1”成立的（）A．充分不必要条件．B．必要不充分条件．C．充要条件．D．既不充分也不必要条件．14．（3分）已知k∈Z，角的终边只落在y轴正半轴上的角是（）A． B．kπ+C．2kπ+D．2kπ﹣15．（3分）为了得到函数y=lg的图象，只需把函数y=lgx的图象上所有的点（）A．向左平移3，向上平移1个单位B．向右平移3，向上平移1个单位C．向左平移3，向下平移1个单位D．向右平移3，向下平移1个单位16．（3分）方程2x=x+1的解的个数为（）A．0个 B．1个 C．2个 D．3个三、解答题（本大题满分52分）本大题共有5题，解答下列各题必须写出必要的步骤．17．（10分）已知cosα=﹣，求sinα+tanα的值．18．（10分）如图，扇形的半径为r cm，周长为20cm，问扇形的圆心角α等于多少弧度时，这个扇形的面积最大，并求出扇形面积的最大值．19．（10分）已知sinαcosα=，且＜a＜，（1）求cosα﹣sinα的值；（2）求cosα的值．20．（10分）已知函数（1）判断f（x）的单调性，说明理由．（2）解方程f（2x）=f﹣1（x）．21．（12分）已知函数．（1）a的值为多少时，f（x）是偶函数？（2）若对任意x∈[0，+∞），都有f（x）＞0，求实数a的取值范围．（3）若f（x）在区间[0，+∞）上单调递增，求实数a的取值范围．。
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上海市浦东新区2019-2020学年高一下学期期中数学试题
一、填空题
(★★) 1. 计算：________
(★★) 2. 已知函数，则 ________
(★★) 3. 与角终边重合的角的集合是________
(★★) 4. 已知一扇形的圆心角为2弧度，半径为，则此扇形的面积为 _______
(★★) 5. 设，则用表示的形式是________
(★★) 6. 已知（），则等于________
(★★) 7. 已知角是第一象限角，则是第__________象限角．
(★) 8. 在△ 中，若，，，则________
(★★) 9. 若，则______．
(★★) 10. 函数的单调递增区间为________
(★★) 11. 已知且则______.
(★★) 12. 某高一学生骑车行驶，开始看见塔在南偏东30°方向，沿南偏东60°方向骑行2千米后，看见塔在正西方向，则此时这名学生与塔的距离大约为________千米（结果保留两位有效数字）
二、单选题
(★★)13. “ ”是“ ”的（）
A．充分非必要条件B．必要非充分条件
C．充分必要条件D．既非充分又非必要条件
(★★) 14. 当时，在同一坐标系中，函数与的大致图像只可能是（）A．B．C．D．
(★) 15. 函数的最小正周期和最大值分别为（）
A．，B．，C．，D．，
(★★) 16. 下列命题中真命题的个数是（）
（1）小于的角一定是锐角
（2）函数是偶函数
（3）若，则且
（4）在中，若，则是钝角三角形
A．1个B．2个C．3个D．4个
三、解答题
(★★★) 17. 已知集合，，求.
(★★) 18. 已知（），求.
(★★) 19. 已知，，且、都是锐角，求的值，并判断
是第几象限角.
(★★) 20. 设△ 的内角、、的对边分别为、、，已知. （1）求；
（2）若，△ 的面积为，求△ 的周长.
(★★★) 21. 如图，设、是半径为1的圆上的动点，且、分别在第一、二象限，是圆与轴正半轴的交点，△ 为等边三角形，记以轴正半轴为始边、射线为终边的角为.
（1）若点的坐标为，求值；
（2）设，求函数的解析式和值域.。