线性代数 第3.4节 向量组的极大线性无关组(修改)
34向量组的极大线性无关组图文-文档资料
(3) 其余的向量是如何由这些独立向量组合出来的？
2
§3.4 向量组的极大线性无关组
c1 j c c c c (1 , 2 ,, m ) 2 j , j 1 j1 2 j2 m jm c mj
5
§3.4 向量组的极大线性无关组
第 二、向量组的秩 三 1. 向量组之间的线性表示 c 11 c 章 21 , , , ) 即有 ( ( , , , ) 1 2 s 1 2 m n 维 向 量 空 间
因为任何 n 维向量都可由 n 维 ,e , ,e 基本向量 e 1 2 n线性表示
8
§3.4 向量组的极大线性无关组
第 三 章 n 维 向 量 空 间
3 ,s 2 为例） 上述定理的直观解释 （仅以 r
(1) 设由两个向量 1, 2 构成的向量组，通过线性组合得到
, , 三个向量 1 2 3,
显然，即使 1, 2 是线性独立的，也不可能线性组合出
三个性线独立的向量；更何况 1, 2 本身可能是 线性相关的。
, , 因此，向量组 1 2 3 必然是线性相关的。
(2) 特别地，若 1, 2 “代表” 某方程组中的两个方程， 显然，通过线性组合不可能得到更多的独立方程。
9
§3.4 向量组的极大线性无关组
存在矩阵 C m s , 使得
B A C , n s n m m s
向量组的极大线性无关组
定义2.12 设有两个Rn中的向量组
（1） 1,2,3,...,s,与 （2）1，2， ..., t
如果向量组(1)的每一个向量都可以由向量组(2)线性 表出,则称向量组(1)可由向量组(2)线性表出;如果向 量组(1)和向量组(2)可以互相线性表出,则称向量组
(1)和(2)等价.记作
向量组的线性关系。 2、求列向量组的极大无关组的方法： （1）以向量组中各向量作为矩阵的列； （2）对所构成的矩阵施行行初等变换，将矩阵
化为阶梯型矩阵； （3）阶梯型矩阵中，每一台阶取一列，则对应
的向量所构成的向量组即为极大无关组。
r (1 ,2 ,3 ,..s ). r ,(1 ,2 ,.. t).,
例3 Rn中的任n意 1个向量一定线性. 相关
例：P113：21
二、向量组的秩与矩阵的秩的关系
定义2.14...,m
的 秩 称 为 矩 阵 A 的 行 秩 ;A 的 列 向 量 组 的 秩 称 为 矩 阵 A 的 列 秩 .
为 该 向 量 组 的 一 个 极 大 线 性 无 关 组 ， 简 称 为 极
大 无 关 组 .
注：1、极大无关组一般来说不唯一。 2、极大无关组所含向量的个数相同。 3、只由一个零向量构成的向量组不存在极
大无关组，一个线性无关向量组的极大 无关组就是该向量组本身。
例： 二 维 向 量 组 1＝ 1 0， 2＝ 1 0， 3＝ 1 1， 4＝ 0 2， 则 1， 2； 2， 3等 均 是 极 大 无 关 组 。
例4 设矩阵
1 0 0 0
A 0 2 0 0
0 0 0 3
求A的行秩和A的列秩、A的秩。 定理2.11 初等变换不改变矩阵的行秩和列秩.
定理2.12 矩阵的行秩与列秩相等且为矩阵的秩. 例5 将矩阵A化为等价标准形,并求r(A), 其中
《极大线性无关组》课件
线性无关与线性相关的性质
线性无关的性质
如果向量组$mathbf{v}_1, mathbf{v}_2, ldots, mathbf{v}_n$是线性无关的，那么这组 向量中的任何一个向量都不能由其余向量线性表示。
线性相关的性质
如果向量组$mathbf{v}_1, mathbf{v}_2, ldots, mathbf{v}_n$是线性相关的，那么至少 存在一个向量可以由其余向量线性表示。
秩的性质法
总结词
利用秩的性质，通过计算矩阵的秩和子矩阵 的秩，确定极大线性无关组。
详细描述
秩的性质法也是一种有效的求极大线性无关 组的方法。首先，计算矩阵的秩。然后，通 过去掉矩阵中的某些行和列，得到子矩阵， 并计算子矩阵的秩。如果子矩阵的秩等于其 行数或列数，则对应的行或列向量是极大线 性无关组的一个元素。重复此过程，直到找 到所有极大线性无关组的元素。
向量组与极大线性无关组的关系
向量组的秩与极大线性无关组
一个向量组的秩等于其极大线性无关组的秩，即向量组的秩等于其最大线性无关向量的个数。
向量组的线性相关性与极大线性无关组
如果一个向量组中的向量可以由其他向量线性表示，则该向量组是线性相关的，否则是线性无关的。极大线性无 关组是线性无关的，且不能被其他向量线性表示。
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01
定义与性质
极大线性无关组是在向量空间中选取的一组线性无关的向量，其数量最
多，且无法再添加其他线性无关的向量。它具有一些重要的性质，如唯
一性、基底性质等。
02
计算方法
极大线性无关组的计算方法有多种，如高斯消元法、施密特正交化方法
等。这些方法可以有效地求解极大线性无关组，为向量空间的分解和矩
线性代数 向量组的秩与极大线性无关组
向量组的秩向量组的秩向量组的秩⏹向量组的秩与极大线性无关组⏹向量组的等价向量组的秩⏹极大线性无关组与秩的定义⏹几个相关定理向量组的秩定义1如果向量组A :α1, α2, …, αm 中的部分向量组A 1：12,,,r i i i (1) 向量组A 1线性无关;(2) 向量组A 中任何一个向量可由A 1线性表出，满足条件: 极大线性无关组与秩的定义则称A 1为向量组A 的极大线性无关组,极大线性 .,,,21r R m 无关组所含向量的个数称为向量组的秩.记为:向量组的秩线性无关的向量组的极大线性无关组是其本身.由向量组秩的定义，向量组α1, α2, … ,αm线性无关⇔向量组α1,α2, … ,αm线性相关⇔R(α1, α2, …,αm)=m；R(α1,α2,…,αm) m注R(0, 0, …, 0)=0向量组的秩例1解由于α1,α2线性无关，α3= 2α1-α2,所以α1,α2是该向量组的一个极大线性无关组. 显然α1,α3与α2,α3也是这个向量组的极大线性无关组.求向量组α1=(1,-1,0),α2=(0,1,2),α3=(2,-3,-2)的极大线性无关组.向量组的秩从这个例子可以看出，那么，同一个向量组的不同的极大线性无关组所含向量的个数是否相同呢?一个线性相关的非零向量组，一定存在极大线性无关组，并且它的极大线性无关组不是唯一的.下面将回答这一问题.向量组的秩如果向量组α1,α2, …,αm中的每一个向量均可由向量组β1, β2, …, βr线性表出，并且m>r，定理1(多由少表示,则多必相关)那么向量组α1,α2, …,αm线性相关.几个相关定理向量组的秩证12(,,,) (1,2,,),i i i in a a a i m 12(,,,) (1,2,,)j j j jn b b b j r 由条件1122, 1,2,,i i i ir r k k k i m 以这两个向量组的向量为行向量(m +r ) ×n 矩阵C , 然后对矩阵C 作做初等行变换，得到设向量组的秩于是R (C )=R (C 1)，则R (A )≤R (C ) =R (C 1)≤r <m ，1212r m C121000r C ， 由定理3.2.3,向量组α1,α2, …,αm 线性相关. 证毕.向量组的秩,α2, …,αm中的每一个向量均可推论如果向量组α1, β2, …, βr线性表出，并且α1,α2, …,αm 由向量组β1线性无关，那么m≤r.(此推论为定理1的逆否命题)向量组的秩证12;,,, s i i i 12,,,rj j j 要证s=r.设向量组α1,α2, …,αm 的两个极大线性无关组分别为由于为极大线性无关组，12,,,s i i i 12,,,r j j j 可由其线性表出，所以线性无关，得r ≤s ；12,,,r j j j 同理可证,s ≤r. 由定理1的推论,又于是, s =r.一个向量组中任意两个极大线性无关组所含向量的个数相等.定理2向量组的秩若一个向量组的秩为r, 那么这向量组中的r 个线性无关的向量与这向量组本身的关系如何呢?向量组的秩这个例子提供了求一个向量组的部分组为其极大线性无关组的方法.例2设向量组α1,α2, …,αm 的秩为r ，试证:α1,α2, …,αm 中任意r 个线性无关的向量均为该向量组的一个极大线性无关组.。
线性代数课程教学大纲
“线性代数”课程教学大纲一、课程基本信息开课单位：管理学院课程名称：线性代数课程编号：英文名称：Linear Algebra课程类型：学科基础课（请按我校教学计划安排表中的课程类型进行规范填写，即填写公共基础课、学科基础课、专业基础课、专业方向限选课、专业任选课、公共选修课等）总学时：60 理论学时： 60 实验学时： 0学分：3开设专业：先修课程：无二、课程任务目标（一）课程任务（本项编写要求：写明该课程的性质和任务）本课程是高等学校理工科本科学生一门必修的重要学科基础理论课，是讨论代数学中线性关系的一门经典理论课程。
它具有较强的抽象性与逻辑性，可以广泛应用于科学技术的各个领域。
本课程的任务是通过教学的各个环节，运用各种教学手段与方法，使学生掌握该课程的基本理论与计算方法。
培养学生分析问题、解决问题的能力。
提高学生的抽象思维能力、逻辑思维能力以及运用计算机解决与线性代数相关的实际问题的能力，为学生学习后继课程奠定坚实的数学基础。
（本参考编写样式为“微机原理与应用”课程）（二）课程目标（本项编写要求：写明学生在知识和能力方面应达到的目标要求）在学完本课程之后，学生能够：1.能较好地掌握行列式、矩阵特有的分析概念；2. 能够用行列式、矩阵的方法解决与线性代数相关的实际问题；三、教学内容和要求（一）理论教学的内容及要求（本项编写要求：以基本内容为主线，对各知识点分按“了解”、“理解”、“掌握”三个层次提出要求，并说明教学重点及难点）第一章行列式第一节行列式的概念1．了解行列式的概念；2．会求二阶与三阶行列式。
第二节行列式的性质1．了解余子式与代数余子式的概念；2．掌握行列式的性质。
第三节行列式的计算1．了解三角形行列式与对角形行列式的概念；2．掌握范德蒙（Vandermonde）行列式；3．掌握行列式的计算方法。
第四节行列式的应用1．了解线性方程组的概念；2．掌握克拉默法则。
第二章矩阵第一节矩阵的概念1．了解矩阵的概念；2．理解几类特殊的矩阵。
线性代数向量组的秩与最大无关组
两向量组秩的关系：
若向量组(Ⅰ)可由组(Ⅱ)线性表出，则 组(Ⅰ)的秩 r1≤ 组(Ⅱ)的秩 r2.
证设
为(Ⅰ) 的最大无关组，
为(Ⅱ) 的最大无关组. 组(Ⅰ)可由组(Ⅱ)线性表出,所以
可由
线性表出, 又
线性无关，
故 r1≤ r2.
若组(Ⅰ)与组(Ⅱ)等价，则 组(Ⅰ)的秩 r1= 组(Ⅱ)的秩 r2.
4.3 向量组的秩与最大无关组
一、向量组的秩与最大无关组的概念 二、Rn 的基、维数与坐标
返回
一、向量组的秩与最大无关组的概念
例1 1 =(1,0,1), 2 =(1,-1,1), 3 =(2,0,2) 。 1, 2, 3 线性相关. 1, 2 线性无关； 2 ，3 线性无关，
最大无关组
定义 设向量组T满足
1o 在T中有r 个向量1, 2, …, r 线性无关；
2o T中任意r + 1个向量都线性相关；
则称1, 2, …, r 是向量组T的一个最大无关组，数
r 为向量组TБайду номын сангаас秩.
返回
定理1 若
则A的任意 k个(1≤k≤n)
个列向量与B的对应 k 个列向量有相同的线性相关性.
证 任取A的k个列向量所得
Ak X=0与 Bk X=0 同时有非零解或只有零解. Ak 的列向量与 Bk 的列向量有相同的线性相关性. 矩阵A的列秩：A的列向量组的秩；
又，
Rn = L(ε1, ε2, …, εn)
Rn 的标准基
返回
Rn, 1, 2, …, n为一组基， = x11+ x22+ …+ xnn
在基1, 2, …, n下的坐标 一个向量在确定基下的坐标是惟一的(坐标的惟一性). 例7 (1) 设 = (x1, x2, x3)≠ 0，
向量组的极大线性无关组
注： 1、矩阵的初等行（列）变换不改变 其列（行） 向量组的线性关系。 2、求列向量组的极大无关组的方法： （1）以向量组中各向量作为矩阵的列； （2）对所构成的矩阵施行行初等变换，将矩阵 化为阶梯型矩阵； （3）阶梯型矩阵中，每一台阶取一列，则对应 的向量所构成的向量组即为极大无关组。
向量的个数，称为该向量组的秩，记作 r (α 1 , α 2 , ..., 2， ，α s 线性无关 r (α1，α 2， ，α s )＝s. L L
2、向量组α1，α 2， ，α s 线性相关 r (α1，α 2， ，α s ) < s. L L
例
定理2.10 如果{α1 , α 2 , α 3 ,..., α s } {β1 , β 2 ,..., β t }, 则
2.4 向量组的秩
一、向量组的极大线性无关组
线性无关
例1 考虑 R 4中的向量组
α1 = (1,2,1,2) , α 2 = (2,4,1,1) , α 3 = (2,4,2,4) ,
T T T
α 4 = (1,2,2,1) 其中线性无关的部分组最多可以
T
包含多少个向量？
定义2.11 如果一个向量组的部分组 α1 , α 2 , α 3 ,..., α r
1 2 1 4 A = 1 1 1 2 1 0 1 0
例6 α 3 = (1, 3, 4, 2)T , α 4 = (4, 3,1,1)T 的一个极大无关组，
并将其余向量表为该极大无关组的线性组合.
求向量组 α 1 = (2,1, 3, 1)T , α 2 = (3, 1, 2, 0)T ,
定理2.8 向量组和它的极大无关组等价. 推论 向量组的任意两个极大无关组之间等价
《线性代数》课程教学大纲
《线性代数》课程教学大纲课程名称：线性代数课程代码：课程性质: 必修总学分：2 总学时： 32* 其中理论教学学时：32*适用专业和对象：理（非数学类专业）、工、经、管各专业**使用教材：注：（1）大部分高校开设本课程的教学学时数约为32—48学时，为兼顾少学时高校开展教学工作，本大纲以最低学时数32学时（约2学分）进行教学安排，有多余学时的学校或专业可对需要加强的内容适当拓展教学学时。
（2）对线性代数课程而言，理工类与经管类专业的教学基本要求几乎一致，所以这里所列教学内容及要求对这两类专业均适合。
一、课程简介《线性代数》是高等学校理（非数学类专业）、工、经、管各专业的一门公共基础课，其研究对象是向量，向量空间（或称线性空间），线性变换和有限维的线性方程组。
该课程具有理论上的抽象性、逻辑推理的严密性和工程应用的广泛性。
主要内容是学习科学技术中常用的矩阵方法、线性方程组及其有关的基本计算方法，使学生具有熟练的矩阵运算能力并能用矩阵方法解决一些实际问题。
通过本课程的学习，使学生理解和掌握行列式、矩阵的基本概念、主要性质和基本运算，理解向量空间的概念、向量的线性关系、线性变换、了解欧氏空间的线性结构，掌握线性方程组的求解方法和理论，掌握二次型的标准化和正定性判定。
线性代数的数学思想和数学方法深刻地体现辩证唯物主义的世界观和方法论，线性代数的发展历史也充分展示数学家们开拓创新、追求真理的科学精神，展现古今中外数学家们忠诚爱国、献身事业的高尚情怀。
思想政治教育元素融入线性代数的教学实践之中，可以培养学生用哲学思辨立场、观点和方法分析解决问题，能够提高学生的创新能力和应用意识，培养学生的爱国主义情怀、爱岗敬业精神和开拓创新精神，帮助学生在人生道路上形成良好的人格，树立正确的世界观、人生观、价值观。
线性代数理论不仅渗透到了数学的许多分支中，而且在物理、化学、生物、航天、经济、工程等领域中都有着广泛的应用。
同时，线性代数课程注重培养学生逻辑思维和抽象思维能力、空间直观和想象能力，提高学生分析问题解决问题的能力。
线性代数3.4 基和维数
(1) 虽然线性无关但不是R3的张集 (2) 线性相关也不是R3的张集
(3) 线性无关且是R3的张集 (4) 虽然是R3的张集但 个向量.
推论 设v1 , v2 , . . . , vn 是Rn中的 n 个向量， 则 { v1 , v2 , . . . , vn }是 Rn 的一组基的充要条件是 |V | 0,
方法1. 先找到向量空间的一个张集，然后将它删减到最小 张集，即为一组基.
方法2. 先找到向量空间中的一个线性无关的向量组，然后 将将它扩充成一个极大线性无关组，即为一组基.
例3 练习
给定向量 v1 = (1,−1, 1)T, v2 = (1, 0, 0)T, v3 = (1, 1, 1)T, v4 = (1, 2, 4)T.
• dim Rn = n
设 x 和 y 是 Rn中的非零向量，则
• dim Span (x) = 1 • dim Span (x, y) =
1， 若x 和 y线性相关 2， 若x 和 y线性无关
例 6 设 A = 1 1 3 1 ，求 dim N(A) . 2 2 5 0
解：
1 1 3 1
1 1 3 1
求 span (w1 , w2 , w3 , w4 ) 的一组基 .
3. Rn 中向量空间基的一般理论
定理 2 向量组{v1, v2,. . ., vn } 构成向量空间V 的一组基 V 中任意向量 u 都可以被v1, v2,. . ., vn 唯一地线性表出.
定理 3 设向量组 {u1, u2 ,. . ., um}可以被{ v1, v2,. . ., vn} 线性表出. 如果 m > n, 则 u1, u2 ,. . ., um 必线性相关. 换句话说，若 u1, u2 ,. . ., um 线性无关, 则 m ≤ n.
线性代数 第3.4节 向量组的极大线性无关组(修改)
（1） 矩阵A的行秩为3
可证 1,2 ,3 是A的行向量组的一个极大无关组
因为，由 k11 k22 k33 0
即 k1(1,1, 3,1) k2(0, 2, 1,4) k3(0,0,0,5) (k1, k1 2k2 , 3k1 k2 , k1 4k2 5k3 ) (0,0,0,0)
可知 k1 k2 k3 0, 即 1,2 ,3 线性无关； 而 4 为零向量，包含零向量的向量组线性相关， 1,2 ,3 ,4 线性相关。
所ห้องสมุดไป่ตู้向量组 1,2 ,3 ,4 的秩为3，
所以矩阵A的行秩为3。
（2） 矩阵A的列秩是3
矩阵A的列向量组是
1 1 3 1
1
0 0
,
2
2 0
3 2 0 5 0
例3:
A
3
2
3
2 0 1
6 5
1
3
求A的秩。
1
6
4 1
4
3 2 0 5 0
A
3 2
2 0
3 1
6 1 5 3
1 6 4 1 4
1 6 4 1 4
3 2 2 0
3 1
6 1 5 3
3 2 0 5 0
3 2 0 5 0
A
3 2
2 0
3 1
引理1：矩阵的初等行变换不改变矩阵的行秩。
（列）
（列）
引理2：矩阵的初等行变换不改变矩阵的列秩。
（列）
（行）
综上，矩阵的初等变换不改变矩阵的行秩与列秩。
定理4：矩阵的行秩＝矩阵的列秩
证：任何矩阵A都可经过初等变换变为
Er 0
而它的行秩为r，列秩也为r。
向量组极大线性无关组概念向量组的等价向量组的秩第三
0 1 1 β 0 1 1 β
1
0
1
β
0
1
1
β
β
1 1 0
β
1 0 0 β β β ) 2
0 1 1
β
0 1 0 β β β ) 2
0
0
2
β
β
2019/12/29
推论2 任意m(m>n)个n维向量必线性相关．
推论3 等价的线性无关向量组所含向量的个数相等。
推论4 向量组的任意两个极大无关组所含向量的个
数相同。
2019/12/29
三、向量组的秩
定义 3.6
向量组, ,, m 的极大无关组所含向量
的个数r称为向量组的秩。记为
0 R(α1 , α2 ,, αm ) m
2019/12/29
定理 3.8 等价的向量组有相同的秩。
该逆命题不成立。
如 （1，0） ， （1，1）
R（ ）
R（）
1
但 , 不等价。
2019/12/29
例
已知 1,2 ,3 线性相关，试证
α1 α2 , α2 α3 , α3 α1 也线性相关。
2019/12/29
向量组等价有如下性质：
(1)反身性： A A (2)对称性：若 A B
则 B A
(3)传递性：若 A B , B C 则 A C
2019/12/29
向量组与极大无关组的关系 定理3.6 向量组和它的任意一个极大无关组等价． 推论 向量组中任意两个极大无关组等价．
求向量组的极大无关组图文ppt课件
3 2 3 .
记为A
知
1 1 0
(1,2,3)(1,2,3)1 3 1.
3 1 1
16
返回
1 10 又 A 1 3 1 0, 从而 R(A)2,
3 1 1
因此秩 [1,2,3]2.(注: R ( A B ) m i n { R ( A ) , R ( B ) } . )
即1,2,3线性相关, 故 1,2,3不是 Ax0的 基础解系.
1 2 3
故向量组 1,2,3 与 1,2,3可以相互线性表示,
即向量组 1,2,3 与 1,2,3等价.
从而秩 [1,2,3]秩[1,2,3]3.
所以 1,2,3线性无关, 故1,2,3为 Ax0的基础解系.
19
返回
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20
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线性表示, 故向量组
I: 1,2, ,n
II: 1,2, ,n
等价, 那么R (I)R (II), 又R(I)n, 从而R(II)n,
因而, 1,2, ,n线性无关.
14
返回
例4 设 1,2,3为齐次线性方程组 Ax0 的基础解系, 试判别下述向量组是否仍是的基 础解系.
( 1 ) 1 1 2 3 3 , 2 1 3 2 3 , 3 2 3 ;
即
k 11 k 22 k 44 0 .
k 1 ( 2 , 1 , 3 , 1 ) k 2 ( 3 , 1 , 2 , 0 ) k 4 ( 4 , 3 , 1 , 1 ) ( 0 , 0 , 0 , 0 ) .
7
返回
2k1 3k2 4k4 0,
从而
k1 k2 3k1 2k2
线性代数 N维向量空间 第3节 极大无关组
1 c11 c12 c1n 2 c21 c22 c2 n
a12 a1 s a 22 a 2 s a m 2 a ms
b11 b21 bs1
b12 b22 bs 2
b1n 1 b2 n 2 bsn
第四章 n维列向量空间
§4.3 向量组的极大线性无关组
4. 给定两个向量组
A: 1, 2, …, r B: 1, 2, …, s
若向量组B能由向量组A线性表示; 同时 向量组A能由向量组B线性表示, 则称这 两个向量组等价.
显然, (1)向量组A与其自身等价(反身性); (2) 若A与B等价, 则B与A等价(对称性); (3) 若A与B等价且B与C等价, 则B与A等价 (传递性).
注意: 不要混淆: “矩阵A的行向量组线性相关”与 “矩阵A的列向量组线性相关” 1 0 1 如: A = 0 1 0
第四章 n维列向量空间
§4.3 向量组的极大线性无关组
(2) 只含有一个向量的向量组线性相关 = 0. (3) 含有零向量的向量组一定线性相关.
(4) 含有两个向量, 的向量组线性相关 , 的分量成比例. (5) 当s > n时, 任意s个n维向量都线性相关.
第四章 n维列向量空间
§4.3 向量组的极大线性无关组
3. 传递性 A = (1, 2), B = (1, 2, 3),
C = (1, 2),
1 = 1 + 2, 2 = 1 + 22, 3 = 1 + 2, 1 = 21 + 2 = 2(1 + 2) + (1 + 22)
4-3向量组的秩和极大线性无关组
自反性
对称性
传递性ห้องสมุดไป่ตู้
2
定理：
如果向量组1 , 2 ,..., t 可由向量组1 , 2 ,..., s线性表示， 且t s，则1 , 2 ,..., t 一定线性相关。
推论：
如果向量组1 , 2 ,..., t 可由向量组1 , 2 ,..., s 线性表示， 且1 , 2 ,..., t 线性无关，则t s
因此，1 , 2 , 4是矩阵B的列向量组 1 , 2 , 3 , 4 , 5
极大线形无关组 故 a1 , a2 , a4 , 为列向量组故 a1, a2 , a3 , a4 , a5的一个极大无关组.
13
1 0 A 1 0
0 1 0 1
2 1 2 1
即： 从而
3 2 1 1 2 ; 5 51 9 2 2 4 3 21 1 2 ;
5 51 9 2 2 4
14
推论1
1 , 2 , n 可由1 , 2 , m 线性表示，则R 1 , 2 , n R 1 , 2 , m
且R( A) r , 则r个拐角元素所在的那 r个列向量就是矩阵A的列向量组的 一个极大线性无关组，且 r{1 , 2 ,..., m } r。
定理：初等行变换保持列向量组的线性关系
9
推论：
三秩相等定理 r ( A) A的列向量组的秩 A的行向量组的秩
10
秩和极大线性无关组求法
若向量组
矩阵相加秩的性质 r ( A B) r ( A) r ( B)
矩阵相乘秩的性质 r ( Ams Bsn ) min(r ( A), r ( B))
求向量组的秩与极大无关组(修改整理)
求向量组的秩与最大无关组一、对于具体给出的向量组，求秩与最大无关组1、求向量组的秩（即矩阵的秩）的方法：为阶梯形矩阵【定理】矩阵的行秩等于其列秩，且等于矩阵的秩.(三秩相等)①把向量组的向量作为矩阵的列（或行）向量组成矩阵A；②对矩阵A进行初等行变换化为阶梯形矩阵B；③阶梯形B中非零行的个数即为所求向量组的秩．【例1】求下列向量组a１=(1, 2, 3, 4)，a2 =( 2, 3, 4, 5)，a3 =(3, 4, 5, 6)的秩. 解1：以a１,a２,a３为列向量作成矩阵A，用初等行变换将A化为阶梯形矩阵后可求.因为阶梯形矩阵的列秩为2，所以向量组的秩为2．解2：以a１,a２,a３为行向量作成矩阵A，用初等行变换将A化为阶梯形矩阵后可求.因为阶梯形矩阵的行秩为2，所以向量组的秩为2．2、求向量组的最大线性无关组的方法方法1 逐个选录法给定一个非零向量组A：α1, α2,…, αn①设α1≠ 0，则α1线性相关，保留α1②加入α2，若α2与α1线性相关，去掉α2；若α2与α1线性无关，保留α1，α2；③依次进行下去，最后求出的向量组就是所求的最大无关组【例2】求向量组：()()()1231,2,12,3,14,1,1,,,T T Tααα=-=-=-的最大无关组 解：因为a 1非零，故保留a 1取a 2，因为a 1与a 2线性无关，故保留a 1，a 2 取a 3，易得a 3=2a 1+a 2，故a 1，a 2 ，a 3线性相关。
所以最大无关组为a 1，a 2 方法2 初等变换法【定理】 矩阵A 经初等行变换化为B ，则B 的列向量组与A 对应的列向量组有相同的线性相关性. 证明从略,下面通过例子验证结论成立.向量组：α1=(1,2,3)T, α2=(-1,2,0)T, α3=(1,6,6)T由上可得，求向量组的最大线性无关组的方法： （1）列向量行变换①把向量组的向量作为矩阵的列向量组成矩阵A ； ②对矩阵A 进行初等行变换化为阶梯形矩阵B ；③A 中的与B 的每阶梯首列对应的向量组，即为最大无关组．【例3】求向量组 ：α1=(2,1,3,-1)T, α2=(3,-1,2,0)T, α3=(1,3,4,-2)T, α4=(4,-3,1,1)T的秩和一个最大无关组, 并把不属于最大无关组的向量用最大无关组线性表示。
5--向量组的极大无关组与秩的定义
1, 2 , , s线性无关且
a11 a12 a12 a1s 1 a21 a22 a22 a2 s 2 K a a s 2 a ss s s1 a s 2 证明 : 若r( K ) s，则1, 2 , , s线性无关。
定义：向量组1, 2 , , m 的极大无关组所含向量的个数，
称为向量组的秩，记为 r(1, 2 , , m ).
注： （1）线性无关的向量组的秩=向量的个数。
（2）向量组线性无关秩=向量个数。 定理3： 若1, 2 , , m可由1, 2 , , s线性表示，则
1 3 . 0
r( A) 2 3 1 , 2 , 3线性相关。
但1, 2线性无关， 1, 2是一个极大无关组；
1, 3也线性无关， 1, 3也是一个极大无关组。
问 题
极大无关组是不唯一的，所含个数是否相同？
极大无关组的性质
定理1：设有两个n维向量组
注:1.线性无关向量组的极大无关组就是其本身;
2.向量组与其极大无关组等价; 3.同一个向量组的极大无关组不惟一,但它们之间是 等价的.
例1:求向量组的极大无关组.
1 (1, 2, 1), 2 (2, 3,1),3 (4,1, 1).
1 2 1 1 2 1 1 2 1 A 2 2 3 1 0 7 3 0 7 0 7 3 0 0 4 1 1 3
( I ) 1, 2 , , r , ( II )
1, 2 , , s ,
若向量组(I )线性无关，且可由向量组(II )线性表 证：设 示，则r s.
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主要内容: 一．等价向量组 二．向量组的极大线性无关组 三 ．向量组的秩与矩阵秩的关系
一、等价向量组
定义1：如果向量组 A : 1,2 , ,m 中的每一个向量 i (i 1, 2, , t )都可以由向量组 B : 1, 2 , , s
线性表示，那么就称向量组A可以由向量组B线性表示。 若同时向量组B 也可以由向量组A线性表示，就称 向量组A与向量组B等价。
,
3
1 0
,
4
4
5
000来自0可以验证 1, 2 , 4 线性无关，
而
3
7 2
1
1 2
2
04
所以向量组 1, 2 , 3 , 4 的一个极大无关组是 1, 2 , 4
所以向量组 1, 2 , 3 , 4 的秩是3，
所以矩阵A的列秩是3。
? 问题：矩阵的行秩 ＝ 矩阵的列秩
即
i ki1 1 ki2 2 kis s i 1,2,, m 1 i li11 li2 2 lim m i 1,2,, s 2
向量组的等价关系具有以下三个性质：
（1）自反性：一个向量组与其自身等价； （2）对称性：若向量组 A 与 B 等价，则 B 和 A 等价； （3）传递性：A 与 B 等价, B 与 C 等价，则 A 与 C 等价。
定理1：设1,2 , , s 与 1, 2 , , t 是两个向量组，如果 (1) 向量组1,2 , , s 可以由向量组 1, 2 , , t 线性表示；
(2) s t 则向量组 1,2 , , s 必线性相关。
推论1：如果向量组1 , 2 , , s可以由向量组 1, 2 , , t 线性表示，并且 1,2 , , s 线性无关，那么 s t
推论2 任意m(m>n)个n维向量必线性相关.
推论3 等价的线性无关向量组所含向量的个数相等。
二、向量组的极大线性无关组
定义2: 对向量组A，如果在A中有r个向量 1,2 , ,r
满足：
（1）A0 :1,2 , ,r 线性无关。 （2）A中的任一向量都能由 A0 :1,2 , ,r 线性 表示。
那么称部分组 A0 为向量组 A 的一个极大线性无关组。
可知 k1 k2 k3 0, 即 1,2 ,3 线性无关； 而 4 为零向量，包含零向量的向量组线性相关， 1,2 ,3 ,4 线性相关。
所以向量组 1,2 ,3 ,4 的秩为3，
所以矩阵A的行秩为3。
（2） 矩阵A的列秩是3
矩阵A的列向量组是
1 1 3 1
1
0 0
,
2
2 0
引理1：矩阵的初等行变换不改变矩阵的行秩。
（列）
（列）
引理2：矩阵的初等行变换不改变矩阵的列秩。
（列）
（行）
综上，矩阵的初等变换不改变矩阵的行秩与列秩。
定理4：矩阵的行秩＝矩阵的列秩
证：任何矩阵A都可经过初等变换变为
Er 0
而它的行秩为r，列秩也为r。
0
0
形式，
又，初等变换不改变矩阵的行秩与列秩，
注：一个向量组的极大无关组一般不是唯一的。
基本性质： 性质1： 任意一个极大线性无关组都与向量组本身等价。 性质2： 向量组的任意两个极大无关组都是等价的。
定理2： 一个向量组的任意两个极大无关组等价， 且所含向量的个数相同。
2 4 2
例1：在向量组
1
1 3
,
2
2 5
,
3
1中，
称为这个向量组的秩, 记作 r(1,2 , , s )
2 4 2
例如：
向量组
1
1 3
,
2
2 5
,
3
1 4
的
1
4
1
秩为2。
注：
（1）零向量组的秩为0。
（2）向量组 1,2 , , s 线性无关 r(1,2 , , s ) s 向量组 1,2 , , s 线性相关 r(1,2 , , s ) s
所以，A的行秩＝r＝A的列秩
定义5：矩阵的行秩＝矩阵的列秩，统称为矩阵的秩。 记为r(A),或rankA，或秩A。
推论1： 矩阵A的初等行变换不改变矩阵A的列向量组
的线性相关性和线性组合。
推论2：
设A为m n矩阵，则有 （1）r( A) m A的行向量组线性无关
（3）如果向量组 1,2 , , s 可以由向量组 1, 2 , , t
线性表示，则
r(1,2 , , s ) r(1, 2 , , t )
定理3 等价的向量组有相同的秩。
该逆命题不成立。
如 （1，0） ， （1，1）
R（） R（） 1 但 , 不等价。
2. 矩阵的秩
2.1. 行秩、列秩、矩阵的秩
把矩阵的每一行看成一个向量，则矩阵可被 认为由这些 行向量组成，
把矩阵的每一列看成一个向量，则矩阵可被 认为由这些列向量组成。
定义4：
矩阵的行向量组的秩，就称为矩阵的行秩;
矩阵的列向量组的秩，就称为矩阵的列秩。
1 1 3 1
例2：讨论矩阵
A
0
0
2 0
1 0
4
5
的行秩和列秩
0
0
0
0
（1） 矩阵A的行秩为3
矩阵A的行向量组是
1 (1,1, 3,1) 2 (0, 2, 1, 4) 3 (0, 0, 0, 5) 4 (0, 0, 0, 0)
（1） 矩阵A的行秩为3
可证 1,2 ,3 是A的行向量组的一个极大无关组
因为，由 k11 k22 k33 0
即 k1(1,1, 3,1) k2(0, 2, 1,4) k3(0,0,0,5) (k1, k1 2k2 , 3k1 k2 , k1 4k2 5k3 ) (0,0,0,0)
4
1
4
1
（1） 首先 1,2 线性无关， 又 1,2 ,3 线性相关，
所以 1,2 组成的部分组是极大无关组。
还可以验证 2 , 3 也是一个极大无关组。
（2）
1
,
2与
1，
2，
等
3
价
2
,
3与
1，
2，
等
3
价
1
,
2与
2，
等
3
价,
且
都
含
有2个
向
量
三、向量组的秩与矩阵秩的关系
1. 向量组的秩
定义3：向量组的极大无关组所含向量的个数
简称极大无关组。
注:（1）只含零向量的向量组没有极大无关组.
（2）一个线性无关向量组的极大无关组就是其本身。
2 4 2
例1：在向量组
1
1 3
,
2
2 5
,
3
1中，
4
1
4
1
首先 1,2 线性无关， 又 1,2 ,3 线性相关，
所以 1,2 组成的部分组是极大无关组。
还可以验证 2 , 3 也是一个极大无关组。