高考数学 思维导图素材 立体几何
高考立体几何所有知识点结构图(公立-定理-重要结论).
三、多面体与欧拉公式:1.凸多面体:________________________________________________________。
二、棱锥的概念与性质:
1.棱锥的平行于底面的截面面积为S′,底面面积为S,顶点到截面与底面的距离分别为h′,h,则_________
2.正棱锥的各侧棱_____________,各侧面都是_____________,斜高__________。
3.正棱锥的顶点在底面上的射影是______________。
③球的表面积S=___________________;④球的体积V=____________________。
五、体积公式:1.柱体:V柱=_______________;2.锥体:V锥=_______________;
直线与平面
说明:
一、末列数字与数字和依次说明见右面。
二、推理须知:
1.A ,B ,C AB C ;
2.线线平行 线面平行 面面平行;
3.线线垂直 线面垂直 面面垂直;
4.使用某定理时,必须完整罗列该定理的条件,才能得出该定理的结论;
5.定理的使用不要受其在课本中的先后顺序的局限,要灵活运用。
三、深刻理解反证法,会用反证法。
则E为BC的中点,且BC1⊥平面A1B1E
∴平面A1B1E⊥平面A1BC1,
过B1作B1H⊥A1E于H,则B1H为所求距离。
2:两种作法
①
②已知PC⊥平面ABC,求作二面角P—AB—C的平面角。
i)在平面ABC内过C作CD⊥AB,则由三垂线定理知PD⊥AB,∠PDC为所作平面角,如图(4);
高中数学立体几何网络图
立体几何网络图:
(1)线线平行的判断:
⑴平行于同一直线的两直线平行。
⑶如果一条直线和一个平面平行,经过这条直线的平面和这个平面相交,那么这条直
线和交线平行。
⑹如果两个平行平面同时和第三个平面相交,那么它们的交线平行。
⑿垂直于同一平面的两直线平行。
(2)线线垂直的判断:
⑺在平面内的一条直线,如果和这个平面的一条斜线的射影垂直,那么它也和这条斜
线垂直。
⑻在平面内的一条直线,如果和这个平面的一条斜线垂直,那么它和这条斜线的射影
垂直。
⑽若一直线垂直于一平面,这条直线垂直于平面内所有直线。
补充:一条直线和两条平行直线中的一条垂直,也必垂直平行线中的另一条。
(3)线面平行的判断:
⑵如果平面外的一条直线和平面内的一条直线平行,那么这条直线和这个平面平行。
⑸两个平面平行,其中一个平面内的直线必平行于另一个平面。
(4)线面垂直的判断:
⑼如果一直线和平面内的两相交直线垂直,这条直线就垂直于这个平面。
⑾如果两条平行线中的一条垂直于一个平面,那么另一条也垂直于这个平面。
⒁一直线垂直于两个平行平面中的一个平面,它也垂直于另一个平面。
⒃如果两个平面垂直,那么在—个平面内垂直于交线的直线必垂直于另—个平面。
(5)面面平行的判断:
⑷一个平面内的两条相交直线分别平行于另一个平面,这两个平面平行。
⒀垂直于同一条直线的两个平面平行。
(6)面面垂直的判断:
⒂一个平面经过另一个平面的垂线,这两个平面互相垂直。
高考数学-立体几何(理)结构图
二面角+平行2018石景山一模理17()(0,0,0)(0,4,0)(4,4,0)(2,0,2)(4,0,0)0(4,4,4)(0,0,4)4,2,(0,4,2)(2,0,2)A B A AD C AB AP AF D AF PC PC P AB PA EB F PD E F x y z ⎧⎪⎪⎪⎧=⎪⎪→→⋅=⎨⎨=-⎪⎪⎩⎪===⎪I ⎫⎪⎪→⎬⎪⎪⎭⎪⎩向量语言表述直线、平面的位点坐标向量以为原点,分别以、、为轴、轴、轴建立空间直角坐标系为的中点AF PC −−−−−−−−−−→⊥置关系()(2,2,2)(2,2,0)2//(4,4,0)//PC M M EM BD EM BD EM BD BD PEC EM PEC BD PEC −−−−−−→⎫⎫=-⎪→=−−−−−−−−−−→⎪⎬⎪=-⎪⎭⎪−−−−−−−→⎬⊂⎪⊄⎪⎪⎭II空间中点坐标公式向量语言表述直线、平面的位置关系线面平行的判定定理取的中点平面平面平面()(2,0,2)(,,)0,4440,(4,4,4)1(1,1,2)420,0,(0,4,2)AF PDAF PC AF PCD PCD AF PD PC P PEC x y z n PC x y z PC y y z n PE PE AF III ⊥⎫⎪⊥→⊥→=⎬⎪=⎭=⎫⎧⎪⋅=+-=⎧⎪=-−−−−−→→→=-→=---⎬⎨⎨-=⋅=⎩⎪⎪⎩=-⎭求平面的法向量平面平面法向量为法向量可为设令平面nn (2,0,2)5πcos ,6(1,1,2)AF n D PC E ⎫=⎪−−−−−−→<>==→--⎬→=---⎪⎭向量方法计算二面角二面角大为钝角小为判断n()=ABC BCDE ABC BCDE CB CD ABC ACD ABC CD BCDE CD CB CD ACD I ⎫⎫⎪⎪⎪⎪−−−−−−−→⎬⎪−−−−−−−→⎬⎪⎪⊥⊥⎪⎭⎪⎪⊥⊂⎭⊂⊥ 面面垂直的性质定理面面垂直的判定定理平面平面平面平面平面平面平面平面平面 ()//////////22OP ADEOP BCDE OP DE CPO FDE ADE BCDE DE CD F EFBE CD BE CF BEFCEF BC PCO DFE CD BE BE CF CD BE CPO FDE CP CO CO COP FED FD FE BC PCO DFE ⎫⎪⊂−−−−−−−→→∠=∠⎬⎪=⎭→⎫⎪→→→∠=∠=⎫⎬→=⎬⎪=⎭⎭∠=∠⎫→∆∆→==⎬=∠I ∠⎭I 线面平行的性质定理四边形为平行四边平面平面平面平面中接形取点,连11242CP CD CD FD ⎫=⎪→=⎬⎪=⎭ ()(()),,//,022CD ABC OA ABC CD OA CD OB OM OA OM OB O OB A OB ABC OM OA D OM CD AB AC E OA OB O BC AB AC CD B x y z E ⎫⎫⎫⊥⎫III ⎪⎪⎪⎪⊂−−−−−→⊥⊥⎪⎬⎪⎪⎧⊥⊥⎬⎪⎪⎪⊂⎪⎭⎪⎪→⎬⎪⎪→⎬⎭⎪⎪⎪=⎫⎪⎪→⊥⎬⎪⎪⎭⎭⎪⎪====⎭线面垂直的定义平面平面以为原点,分别以、平面、为轴、轴、轴建立空点间直角坐标系点为中点坐标作()(()(0,0,1),,0,20,10.0.(0,0,1OA OB OA OM OA BCDE BCDE OB OM O PEC x y z AD y AD x AE y AE ⎪⎪⎨⎪⎪⎩⊥⎫⎪⊥→⊥→=⎬⎪=⎭⎫=⎪⎧⎧⋅=+=⎪⎪⎪=−−−−−→→→=→=⎬⎨⋅=+=⎪⎪⎩⎪=⎭=求平面的法向量平面平面法向量可为设平面法向量为令n m m m mn ())cos ,4A DE B ⎫⎪⋅π−−−−−−→===→--⎬=⎪⎭→向量方法计算二面角判断二面角为锐角大小为n m n m n m m()=P A P A AB BCD AB BCD AB BC AB BC PB BC BCD BC AB PB AB P A P I ⎫⎫⎪⎪⎪⎪−−−−−−−→⎬⎪−−−−−→⎬⎪⎪⊥⊥⊥⊂⊥⊂⎪⎭⎪⎪⎭面面垂直的性质定理线面垂直的定义平面平面平面平面平面平面平面()222(1,0,0)2(0,0,0)(0,2,0)1(1,3,0)3,22,(AB BC A PA B BA B PB PA AB PB PB AB BC BP C AB D BC PB P AD P x y A BC AB PB A D z BC ⎫⊥⎫⎪⎪⎧-=⎫⎪⎪⎪⎪⎪⎪=→=+→⊥→⎬⎪⎪→⎬⎨⎪=⎪I ⎪⎭⎪-⎪⎪⎪⊥⎭⎪⎪⎩⎪==⎭I ====以为原点,分别以、、为轴、轴、轴建立空间直角坐反方向点坐标一标系易知平面法向可为个量n ()0,0,1),,0(1,1,0)220(0,2,(0,0,1)cos ,PCD x y z x y CD CD z y PC PC P =⎫⎧⎪=⎧⋅=⎪⎪⎪=-−−−−−→→→=→=⎬⎨⎨=⎪⋅=⎪⎩⎪⎩=⎪⎭=⎫⎪⋅−−−−−−→<>===→-⎬⋅=⎪⎭求平面的法向量向量方法计算二面角设法向量为令判断平面二面角m m m m n n m n m n mm CD A -→为锐角 ()000[0,1](,,))()=(1,0,0)()E AE AP E x y z AE E AP A BE B PA PC E D B λλλλλ⎫⎫−−−−−−−−→=∈⎪⎪→=⎬⎪→-⎬⎪III ⎪⎭⎪-⎭⎫=-⎪⎪=−−−−−−−−−−→⎬⎪⎪⎭⎫⎬⎭向量方法设直线上任意一点向量语言表述直线、平面的位置关系点在棱上设平面,((∥m 1201)20=(332(3E BE BE BE BE λλλ⋅=-+=→→=-=-−−−−−−−−→==空间两点间的距离与向量模m()2AB AE A O BE O BE A O BCDE A BE BCDE A O CD A BE BCDE BE A O A BE CD BCDE ⎫⎫I →⎬⎪⎭⎪⎪−−−−−−−→⎬⎪⎫=⎪⎪⎭='⊥⎪⎪⎪'⊥'⊥⎪'−−−−−→⊥⎬'=⎪⎪''⊂⎪⎪⊂⎭面面垂直的性质定理线面垂直的定义为中点平面平面平面平面平面平面平面 ()(00(110)(130)(1302/4/F BC B OF BC A OF OG O OF G CD BC B OG OA C A O BCDE A O OF A O OG D OF BCDE A B OG B x y z OG C ⎫⎫⊥⎫'→⊥⎪⎪⎬-⎪⎪⎭'→⎬⎪→'⊥⎬⎫⎪''−−−−−→⊥⊥⎬⎪⎪-⊂⎭⎭⎪⎪'=I =⎭I →→线面垂直的定义取为线段上靠近点的四等分点以为原点,分别以、取,,为中点、为轴、轴、轴平面建立空间直角坐标点坐系平面标,,,,,、,(11111111)(110)(,,)0, 30, (1311)20. 0, (020)1,3,E A DE x y z A D x y A D z y DE DE A C θ⎧⎪⎪⎪⎨⎪⎪-⎪⎩'=⎫⎧'⎧⎪⋅=-+-=⎪⎪⎪'=--−−−−−→→→=-→=-⎬⎨⎨-=⋅=⎪⎪⎪⎩⎩=-⎪⎭'==求平面的法向量,,法向量为,,令,,设线面角设平为面m m m mm sin cos ,0,1)A C A C A C θ⎫⎪⎪'⋅'−−−−−−→=<>=⎬'⋅⎪→-⎪⎭向量方法计算线面角正弦值 m m m ()000[0,1](,,)(,3,)(,3)(13(00(,3)1)//A C P A P A C P x y z A P P A C A OP OP A DE λλλλλλλλ⎫'⎫III ⎫''−−−−−−−−→=∈⎪⎪⎬'→=⎪⎬⎭→⎬⎪'=-⎪⎭⎪'⎭⎫=⎪⎪=-⎬⎪'⎪⎭向量方法设直线上任意一点向量语言表述直线假设线段点平面存在,设,,m 1100=[0,1]22A P OP A C λ'−−−−−−−−−−→⋅=→+=→∈→=' 、平面的位置关系m二面角+垂直2015北京高考理17()=AEF EFCB AEF EFCB EF AO AEF AO EFCB AO BE AEF AO EF O EF BE EFCB ⎫⎫I ⎪⎪⎪⎪⎪⎪−−−−−−−→⎬⎪−−−−−→⎬⎪⎪⎪⎪⎪⎭⊥⊂⊥⊥⎫⎪⎪→⎭⊥⎬⎭⊂ 面面垂直的性质定理线面垂直的定义平面平面平面平面平面平面是等边三角形为的△中点平面 ()(,0,0)(0,0,)(2,),0)4,2,60BC OG EF EFCB O OE E a AO EFCB OG OA OA OG A EFCB B a AO EF BC EF a x y z G OG O EBC FCB G ⎫⎫⎫→⊥⎪⎪⎬⎪⎭⎪⎪⎪⎧⊥⎪⎫⎪→⎪−−−−−→⊥⎬⎪⎬→⎬⎨⎪⎭⎪⎪⎪-⊥⎩⎪⎪⎪⎪⎭⎪⎪==∠=I =I ⊂∠⎭线面垂直的定义取中点,连结是等腰梯形以为原点,分别以、平面、为轴、轴、轴平面建立空间直角坐标点系坐标易知(0,1,0)(,,)0(,0,)11,1)0(2,2),0)(0,1,0)cos 1)0,0,,1AEF PCD x y z EA x EA a z BE x BE a a ==⎫⎧⎪-=⎪=-−−−−−→→→=→=-⎬⎨=⎪⎪⎩=--⎭=⎧⋅=⎪⎨⋅⎫⎪−−−−−−→⎬=⎪-⎩⎪=⎭求平面的法向量向量方法计算二面角平面一个法向量为令法向量可为设平面p n n n n pn ,F AE B ⋅〈〉==→-→二面角为钝角余弦判断--值为 n p n p n p ()2(2,2),0)2(2)3(2)=043(2,),000)02BE OC BE a a BE AOC BE OC BE OC OC AOC a BE OC a a a OC a −−→−−→−−→−−→−−→−−→⊥⊥−−−−−−−−−−→⋅=⊂⎫⋅=⎪⎪⎪→⎬⎪III ⎫−⎪⎪⎭−−−−→⎬⎭⎫⎪⎪=--⋅=----⎪→=⎬⎪=-⎪⎪<-<⎭线面垂直的定向量语言表述直线、平面的位置关义系由题意知,平面平面2013北京高考理17()11111111111AA C C AA AC ABC AA C C AA ABC ABC AA C C AC AA AA C C →⎫I ⎪⎪−−−−−−−→⎬⎪⊥⊥⊥=⊂⎪⎭面面垂直的性质定理为正方形平面平面平面平面平面平面()222111111111354(0,3,0)(0,0,4)(0,3,4)(4,0,4)34A AC AB BC AC AB AC BC AB AC B AB AA A AA ABC AA AC AA AB AC ABC B C AA C C x y z B AB A ⎫⎫===→+=→⊥⎧⎪⎪⎪→⊥⎫⎬⎪⎪−−−−−→⊥⊥→⎬⎬⎨⎪⊂⎭⎭⎪⎪⎪⎪I =⎩⎭I 线面垂直的定义以为原点,分别以、、为轴、轴、轴平面建立空间直角坐标系平面是边长为的正,,,点标、形坐方,设平1111111111(,,)0,340,(034)3(0,4,3)40. 0.(400)(3,4,0)(0,4,3)cos ,(3,4,0)A BC x y z A B y z A B z x A C A C B BC −−→−−→−−→−−→=⎫⎪⎧⋅=-=⎧⎪⎪=-−−−−−→→→=→=⎬⎨⎨=⎩⎪⎪⋅=⎩⎪=⎭==⎫−−−−−−→〈⎬=⎭求平面的法向量向量方法计算二面角面平面的法向法向量为,,令,,同理可得为,量n n n n m n n m 1111616||||2525A BCB ⋅〉==--→→判断二面角余弦值为为锐角n m m n m ()1111[0,1](,,)(4,3,4)(4,33,4)(4,3,4)(030)(4,33,4)(0,3,4)BC D BD BC D x y z BD D BC B AD AD AD A Bλλλλλλλλλλλ−−→−−→−−→−−→−−→−−→⎫⎫⎫−−−−−−−−→=∈⎪⎪⎬III ⎪⎪⎭→=-⎬⎪→-⎬⎪⎪=-⎪⎭⎪⎪⎭⎫=-⎪⎪⎪=-⎬⎪⊥⎪⎪⎭向量方法设直线上任意一点向量语言表述直线、平面的位置关存在设,,假设线段点119909250[0,1]2525BD AD A B BC λλλ−−→−−→−−−−−−−−−−→⋅=→-=→=∈→==系()//////F ABCD AD BC AD BC BC BC AD MN ADMN BC F MN B F C FBC ⎫→⎫−−−−−−−→⎪⎬⊂⎭⎪⎪−−−−−−−→=⎬⎪⊂⎪⎭I ⎪ 线面平行的判定定理线面平行的性质定理为矩形平面平面平面平面平面 ()ABCD AD CD AD FC AD CDEF ADMN CDEF CD FC CDEF CD FC C AD ADMN ⎫→⊥⎫⎪⎪⊥⎪⎪−−−−−−−→⊥⎬⎪−−−−−−−→⊥⊂⎬⎪⎪⎪=⎭⎪⎪I ⊂I ⎭线面垂直的判定定理面面垂直的判定定理为矩形平面平面平面、平面平面 (),ABCD AD CD EA CD AD CD D DA EA AD A CD ADE CD DE DC DE EA AD ADE DE ADE AD CDEF AD DE DE CDE x z F E y ⎫⎪→⊥⎪⎪⎫⊥⊥⎫⎪⎪⎪⎪=−−−−−−−→⊥⎬⎪⎪−−−−−→⊥→⎬⎬⎪⊂⎭⎪⎪⎪⎪⊂⎭⎪⎪⊥⎫−−−−−→⊥⎪⎬⊂⎪⎭II ⎭I 线面垂直线面垂直的定义线面垂直的定义的判定定理以为原点,分别以、、为轴、轴、为矩形平面轴建立空间、平面平面平面平面角坐标系令直()(,0,0)(,2,0)(0,2,0)(0,0,0)(0,0,1)(0,1,1)1,(0)(0,2,0),,(,0,0)(0,1,1)A a B a C D E F F ED AD a a ADE DC FBC x y z CB CB a CF ⎫⎪⎪⎧⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪→⎬⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪===>⎪⎭==⎫⎪⋅=⎪=−−−−−→⎬⎪=-⎪⎭求平面的法向量易知平面法向量点坐标设一个法向面量为可为设平nn 001(0,1,1)00(0,1,1)πcos ,4(0,2,0)ax z y z CF DC DC A l B DC DC ⎧=⎧⎪→→=→=⎨⎨-+=⋅=⎩⎪⎩=⎫⎪⋅−−−−−−→<>==→--→⎬=⋅⎪⎭向量方法计算二面角令判断为锐角大小为二面角n n n n n n()//////PQ CD PQCD PD QC PD QBC PD QBC PQ C Q C D C QB I ⎫⎫→⎬⎪=⎭⎪⎪−−−−−−−→⎬⎪⎪⎪⎭→⊄⊂线面平行的判定定理四边形为平行四边形平面平面平面 ()//,O AD E BC OE AD AB DC AB AD O AD OP AD O PA PD OP ABCD PAD ABCD OP OE PAD ABCD AD OP PAD OE ABCD OP AD ⎫⎫⎪⎪→⊥⎬⎪⎪⎪⊥⎭⎪⎪⎫⎫⎫⎪→⊥⎪⎬⎪⎪=⎭⎪⎪⎪⎪⎪→⎬−−−−−−−→⊥⊥⎬⎪−−−−−→⊥⎪⎬⎪=⎪⎪⎪⎪⎪⎪⊂⎭⎪⎪⎪⎪⊂⎭I ⎪⊥⎪⎪⎭I 面面垂直的性质定理线面垂直的定义取为中点取为中点为中点以为原点,分别平面平面平面平面平面平面平面()()()()()()()()0,1,02,1,01,1,01,0,190,2,10,0,1,,1,1,10,1,1x y A OE B OD OP C Q APD AB AD PQ CD ABCD QBC x y z BQ BQ C z Q ⎫⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎧-⎪⎪⎪-⎪⎪→⎬⎨⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪∠=︒====⎭==⎫⎪⋅⎪=-−−−−−→⎬⎪=-⎪⎭求平面的法向量点坐标易知以、、为轴、轴、轴建立空间直角坐标系设平面的一个法向量可为法向平量面为m n n ()0,0,1(2,1,1)0.0,0,0,1cos ,(2,1,1)x y z z y z CQ Q BC A ⎧=-++=⎧⎪→→=→=⎨⎨-+=⋅=⎩⎪⎩=⎫⎪⋅−−−−−−→===--→⎬⋅=⎪⎭→向量方法计算线面角判断二面角余弦令角为锐 n n m m n n m m n n ()()()()()()[0,1],,(,,)1,,11,1,1(101)1,1,1.2,1,1QB M QM QB M a b c QM M QB Q AM AM QBC λλλλλλλλλλλ⎫III ⎫⎫⎪−−−−−−−−→=∈⎪⎪⎬⎪→=--⎪⎪⎬⎭→+--+⎬⎪=--⎪⎪⎭⎪⎭⎫=+-+-+⎪⎪=−−−→⎬⎪⊥⎪⎭向量方法设直线上任意一点向量语言表述直线、平面的位置关系假设线段点平面存在,设,,n 1111.=[0,1]2133QM QB λλλ+-+−−−−−−−=→∈→=二面角+线面成角2018北京高考理16()11111111A B C A ACC AC EF CC ABC E F AC AC AC BEF AB BC AC BE E AC EF BE BEF EF BE E ABC ⎫⎫⎫I ⎪→⎪⎪⎬→⊥⊥⎪⎬⎪⎭⎪⎪⎭⎪⎪−−−−−−−→⊥⎬=⊥⎪⎪⎪⊂⎪⎪=⎭-⎫→⎬⎭ 线面垂直的判定定理为矩三棱柱四边形平面,分别为,中点平面为中点,形平面 ()111(0,2,0)(1,0,0)(1,0,1)(20,0,2)EF CC EF ABC EF BE CC ABC B C BE ABC x y z D AC EF F G AC BE E EA EB EF AB BC AC AA ⎫⎫⎫−−−−II ⎫⊥⎪−−−−−→⊥⊥⎬⎪-⊂⎭⊥⊥−−−→⎪⎪⎬⎪⎪⎭⎪⎪⎪⎪→⎬⎪→⎬⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎪⎪====⎭线面垂直的性线面垂直的质定理定义∥平面平面以为原点,分别以、平面、为轴、轴、轴建立空间直标角坐标系点坐1(0,2,0)(,,)020(2,0,1)2(2,1,4)200(1,2,0)(0(0,2,1,2,0)(21,4),)C EB x y z CD x z CD x x y CB CB EB DC BCD ⎧⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎩==⎫⎧⎪⋅=+=⎧⎪=−−−−−→→→=→=--⎬⎨⎨+=⋅=⎩⎪⎪⎩=⎭⎫=⎪⎬=--⎪⎭求平面的法向量向量易知法向量可为设平平面一个法面向量为令n n n nn 1cos =EB EB B CD C EB ⋅−−−−−−→⋅=→---→ 方法计算二面角二面角为钝判断角余弦值为 n n n ()(2,1,4)2(0,2,1)GF GF BCD GF BCD B GF GF CD =--⎫⎪→⋅=-→−−−−−−−−−−→⎬III →=-⎪⎭向量语言表述直线、平面的位置关系与平面不平行与不垂直与平面相交且不在平面内n n n2017北京高考理16(),////AC BD E ME PD MAC PD ME MAC PDB PB PD ME ABCD E B M DB N D P ⎫⎫⎪⎪⎪⎪−−−−−−−→⎬⎪⎪⎪⎪⎪→⊂⎬⎭⎪⎪⎪⎪=⎪⎭I 线面平行的性质定理平面平面平设交点为,连接面平面为的中点是正方形为的中点(),OP AD ABCD OP AB O OP OE OP O AD PA PD PAD O OD PA CD OP OE ABCD AD OP AD ABCD ABC D OE OP PA D O x y z D D E E A ⎫⎫→⎬⎪=⎭⎪⎪⊥⎫⎪⎪⎪⎪−−−−−−−→⎪⎬⊥⎫⎪⎪⊥⎪−−−−−→⊥=⎬⎪⊥⎪→⎬⎪⎪⎪⎭⎪⊂⊂II ⎪⎪⎪⎪⎭⊥→⎪⎭ 面面垂直的性质定线面垂直的定理义取中点,连结平面平面以为原点,分别以、平面平面、为轴、轴、轴平面平面建立空间直平面是正方形(2,0,0)(2,44(0,1,0)(,,)4402,0)0,(4,4,0)0,(2,0,0PA PD AB PAD BDP x y z x y x P D B BD BD PD PD −−→−−→−−→−−→⎫⎪⎪⎪⎪⎪⎧⎪⎪⎪→⎬⎨⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎪⎪===⎭==⎫⎪-=⎧⎪⎪−−−−−-⎧⋅=⎪=-⎨⎪⋅=⎩=→→⎬⎨=⎪⎪⎭求平面的法向量点坐标平面一个法向量角坐标系易知法向量可为为设平面p n nn 1(1,1,(0,1,0)1πcos ,23(1,1,x B PD A →=→=⎪⎩=⎫⋅⎪−−−−→−−→〈〉==→--⎬=⎪⎭向量方法计算二面角令判断 二面角为锐角大小为n p n p n p n p n ()()(3,2,sin |cos ,|(1,2,(2,4,0)(1,1,MC MC M C MC B MC DP αα−−−−→−−−→→−→⎫⎪⎪⋅−−−−−−→=〈〉=-→⎬⎪⎧→⋅⎪=⎪III II -⎪⎩⎭=⎨向量方法计算线面角设线面角为,由平面的法向量为 得n n nn2018东城一模理17(),ABCD PD AD PO OA PC BC PO OB P CD PO OAB A BE BCDE PO AB OA OB O OA OB OAB AB OAB ⎫⎫I →⎬⎪⎭⎪⎪−−−−−−−⎫⊥⊥⎧⎧→⎪⎨⎨⊥⊥⎩⎩→⎬⎪⎪⎪⎪⎪⊥'⊥⎪−−−−−→⊥⎬=⎪⎭⎪⊂⎪⎪⊂⎭线面垂直的判定定理线面垂直的定义为中点平面平面平面面平面形平正方(),//((001)2OA OB A x y z PO OAB PO PO O AB F OF OF AB OF OG O OG OF OP O OG AB B P OF OG OF ABC G OAB D AO ⎫⎫⎫⎫→⊥⎪⎪⎬⎪→⊥⎬⎪⎭⎪⎧⎪⎪⎪⎪→⎬⎪⎪⎭→-⎬⎨⎪⎫⎪⎪⎪−−−−−→⊥⊥⎬⎪⎪⎩⎪⊂⎭⎭⎪⎪II =⊥⎭线面垂直的定义中点连接过作点坐标,,,、正取以为原点,分别以、、为轴、轴、轴建立空间方形边长直角坐标系平面平面取为中(),,3(,1,0)1(221,M BM BM AO OB AB BM PO OAB BM POA OAB POA PO PO BM AO PO O AO PO B P A M M B α⎫⎫→⊥⎬⎪=⎭⎪⎪⎪−−−−⎫⎪⎪⎪⊥⎫⎪⊥−−−−−→⎬⎪⎭→-⎬⎪⎪⎪⎪⎪→⎭−−−→⊥⎬⊂⎪⎪=⎪⎪⊂⎭== 线面垂直的判定定理线面垂直的定义平面平面平面平面的法向量可点连接设线面角取为平面m =m=sin cos 1,0)BP BP BP α⎫⎪⋅⎪−−−−−−→=<>=⎬⎪⎪⎭→- 向量方法计算线面角正弦值 m m,m ()1111()2222()(,,)0,0,0.011221,0)E OE POA OAE x y z OA x OA OE x z OE ⎧⎛⎫⎛⎫-→=-⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪III II ⎨⎝⎭⎝⎭⎪⎩⎫⎪=⎪⎧⎪⋅==⎪=−−−−−−→→⎬⎨⋅=-+=⎪⎪⎩⎛⎫⎪=- ⎪⎪⎪⎝⎭-⎭求平面的法向量由得平面的法向量法向量设平面为n m =nn11,.21πcos ,24231,0)y P AO E ⎧⎪→=-→=-⎨⎪⎩⎫⋅⎪−−−−−−−→===→--⎬⋅⨯=-⎭-⎪→向量方法计算二面角二面角为锐角大断小判为令n m n m n m n m =n二面角+线面成角2016北京高考理17(),PAD ABCD AB AD AB PAD AB PD PAD ABCD AD AB ABCD PD PAB PD PAD PA PD PA AB PAB PA AB A ⎫⎫⊥⎪⎪⊥⎪⎪⊥⎪⎪−−−−−→⊥=⎬⎫⎪I ⎪−−−−−−−→⎬⎪⎪⊂⎪⎪−−−−−→⊥⎬⎪⊂⎪⎭⎪⊥⎪⎪⊂⎪=⎭⎪⎪⎭ 面面垂直的性质线面垂直的判定定理线面垂直的定义平面平面平面平面平面平面平面平面平面(),,AD O PO CO PA PD PO AD CO AD AC CD O OC PAD ABCD OA OP PO AD PO ABCD PO CO PAD x y ABCD AD PO PAD CO ABC z D II ⎫⎪⎪−⎫⎫⎪⎪=→⊥⊥⎬⎪⎪⎪=⎭⎪⎪⎫⊥⎪→⎬⎪⊥⎪⎪⊥⎪⎪−−−−−→⊥=⎬⎪⎪⎪⊂⎪⎪⎪⊂−⎪⎭⎭−−−−−→⎬⎪⎪⎭ 面面垂直的性质定理线面垂直的定义取的中点,连结以为原点,分别以、平面平面、为轴、轴、轴建立空间直平面平面平面平面平面(0,1,0)(1,1,0)(2,0,0)(0,1,0)(0,0,1)1,2,(,,)0,0,(011)200,(210)A B C D P AB AD PCD x y z PD y z PD x z PC PC AC CD −−→−−→−−→−−→⎫⎪⎪⎪⎧⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪→⎬⎨⎪⎪-⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪==⎪⎭=⎫⎧⎪⋅=--=⎪⎪=--−−−−−→→⎬⎨-=⎪⎪⋅=⎩⎪==-⎭=求平面的法向量点坐标法向量为角坐,,,,标系设平面n nn 2(1,2,2). (1,1,1)sin |cos ,|||||(1,2,2)z PB PB PB PB θθ−−→−−→−−→−−→⎧→=→=-⎨⎩⎫⎪⎪⋅=-−−−−−−→=〈〉=⎬⎪⎭→=-⎪向量方法计算线面角令设线面角为 n n n n n ()000[0,1](,,)(0,,)(0,1,)(011)(010)(1,,)(1,2,2)//PA M AM AP M x y z AM M AP A BM BM PCDλλλλλλλλ−−→−−→−−→−−→−−→⎫⎫⎫III −−−−−−−−→=∈⎪⎪⎬⎪⎪⎭→=-⎬⎪→-⎬⎪⎪=-⎪⎭⎪⎪⎭⎫=--⎪⎪=-−−−−−−−−−→⎬⎪⎪⎭向量方法设直线上任意一点向量语言表述直线、平面的位置关系存假设线段点在,面设,平,,,n 110410=[0,1]44AM BM AP λλ−−→−⋅=→-=→∈→=n()//////AMDE AB DE AB PDE B AM AB FG AB PDE DE PDE AB ABF ABF PDE FG ⎫⎪⎫⎪⎪⎪−−−−−−−→⎬⎪−−−−−→⎬⎪⊄⊂⎭⎪⎪⊂⎪⎪=⎭I ⎫→⎬⎭ 线面平行线面垂直的判定的判定定理四边形平面是的中点平面平平面,面平面平面 ()(0,0,0),(1,0,0),(2,1,0)(0,0,2);,,(0,1,1)A A AB PA ABCDE PA AB PA AE B AE AP AB AE ABCDEC AMDE AB AE P AMDE B C P x A y z PE AE F F ⎧⎫⎫⊥⎫⎪−−−−−→⊥⊥⎪⎪⎬⎪→⊂⎬⎪⎪⎭→⎬⎨⎪→⊥⎭⎪⎪⎪⎪=⎭⎪⎩II 线面垂直的定义以为原点,分别以、平面、为轴、轴、轴平面建立空间直角坐标系分点坐标正方形正别为的中点,为棱的中点方形设平(,,)0,0, (100)1(0,1,1)0. 0,(011)(1,1,0)sin |cos ,||(0,1,1)x y z AB x AB z y z AFAF BC BC A BC BF αα−−→−−→−−→−−→−−→−−→−−→=⎫⎧⎪⋅==⎧⎪⎪=−−−−−→→→=→=-⎬⎨⎨+=⎩⎪⎪⋅=⎩⎪=⎭⎫⎪⎪⋅=−−−−−−→=〈〉=⎬⎪=-⎪⎭求平面的法向量向量方法计算线面角法向量为,,令,,设线面角为面n n n n n n n 1π26|||[0,1](,,)(2,,2)(2,,22)(212)(0,0,2)(2,,22)(0,1,1)BC H PC PH PC H u vw PH H PC P AH AH PCD λλλλλλλλλλλ−−→−−→−−→−−→−−→−−→⎫⎫⎫−−−−−−−−→=∈⎪⎬⎪⎪⎭⎪→=-⎬⎪→-⎬⎪⎪=-⎪⎭⎪⎪⎭⎫=-⎪⎪=-⎬⊂→⎪⎪⎭向量方法设直线上任意一点向量语言表述大在棱上,设,,小为点平面n n 24220230=[0,1](,,23333AH H PH λλ−−→−−−−−−−−−−→⋅=→-=→∈→→==直线、平面的位置关系 n()1111111111//,,DE A D AC BC DE AC DE BC DE CD DE A DC DE A C A D CD D A D CD A DC A C B A C A DC A C CD DE CD D DE CD BCDE ⎫⎫⎪⎪⊥⎧⊥⎪⎪⎪⊥→⎨⎪⎪⊥⎪⊥⎩⎪⎪−−−−−→⊥⎫⎪⎫⎪→⎬⎪I −−−−−−−→⎬⎪=⎪⎪⎪⎪⊂−−−−−−−→⊥⎬⎪⎪⎪⊂⎪⎭⎪⊥⎪⎪=⎪⎭⎬⎪⎪⎪⎭⊂⎪⎭线面垂直的判定定理线面垂直的判定定线面垂直的性质理平面平面平面平面平面CDE ()111111(0,0,(0,2,0)(0,1,(3,0,0)(2,2,0)3,6,//=2A AC BC CD BC C CB D A C BCDE A C BC CD CA x y M BC BCDE B A C CD E BC AC DE BC DE A B z E ⎧⎫⎫⊥→⊥⎪⎪⎪⎪⊥⎫⎪⎪⎪−−−−−→⊥→⎪⎬⎬⎪→⊂⎬⎨⎪⎪⎭⎪⎪⎪⊥⎪⎪⎭⎪⎪==⎭I ⎩I 线面垂直的定义以为原点,分别以、、为轴、轴、轴建立空间直角坐标系设平面点坐标平面,平面法向()11,,0,30,(3,0,1(2,1,20.0,(1,2,0)(0,1,sin cos ,(2,1,x y z A B x A B y x y BE BE CM CM θθ=⎫⎧⎪⋅=⎧-=⎪⎪⎪=-−−−−−→→→=→=⎬⎨⎨-+=⎪⋅=⎩⎪⎪⎩=-⎪⎭⎫⎪=−−−−−−→=〈〉=⎬⎪=⎭求平面的法向量向量方法计算线面角量为令设线面角为n n n n n n π4||||CMCM ⋅==→ 大小 为n n ()()()1111[0,3],0,0,,0,20,(0,2,2(2,,20.0,(,2,0)BC P p P p A DP x y z A D y A D x p px y DP DP p A DP ⎫⎪III −−−−−−−−→∈⎬⎪⎭=⎫⎧⎪⋅=⎧-=⎪⎪⎪=-−−−−−→→→=→=⎬⎨⎨-=⎪⋅=⎩⎪⎪⎩=-⎪⎭⊥向量方法设直线上任意一点求平面的法向量假设线存在设法向量为令平面设平平段点面m m m m 10402A BE p p p P−−−−−−−−−−→⋅=→++=→=-→向量语言表述直线、平面的位置关系面不存在点m n2018海淀二模理17()11111111111111111AB ABC AB ACAC ABC AC AB C AC ACAC B C AB AC A AB AC AB C B C AB C ⎫⎫I −−−−−→⎪⎬⎭⎪⎪⎫⊥⊥⎪⊂⎪⎪⊥⊥⎪−−−−−→⊥⎬=⎪⎪⊂⎪⎪⊂−−−−−−−→⎬⎪⎪⎭⎪⎭ 线面垂直的定义线面垂直的判定定理线面垂直的定义平面平面平面平面平面,()111111*********111111,,1//,/2////1,/2,A B M MA ME ME A C ME A C E B C ME ADME AD DE AA B B ABC A B C AD A C AD A C D AC AM AA ADEM DE AM B B DE AA B B ⎫⎫⎫⎪→=⎪⎪⎬⎪⎧⎪⎪⎭→→⎬⎨⎪=→-⎫⎬⎩⎪→=⎬⎪⎪⎭⎭⎪⎪→⊂I ⊄⎭I 取的中点四边形是平行四边形平面的中点中点连接是三棱柱面是 平面平 ()1111111111////2ABC A B C BC B C AC BC AC B C C CB CA Cz Cz AB Cz ABC Cz AC AB ABC Cz BC AC BC ABC AC BC AB x y z ⎫⎫-→⎫→⊥⎪⎪⎬⊥⎪⎭⎪⎪⎪→⎫⎫⎬⎪⎪→−−−−−−−→⊥⊥⎬⎧⎪I ⎬⎪−−−−−→⊥⎪⎬⎨⎪⎭⎪⊥⎩⎪⎪⎪⊂⎭⎭⎪⎪===I ⎭线面垂直的性质定理线面垂直的定义以为原点,分三棱柱作点坐标平面平面,平面别以、、为轴、轴、轴建立空间直角坐标系()111111(0,0,0)(2,0,0)(0,2,2)(2,2,2)(0,1,0)(1,2,2),,020,(2,0,0)1(0,1,1)220.0(0,2,2)C B B C D E BB C C x y z CB x CB y y z CB CB DE θ⎧⎪⎪⎪⎪⎨-⎪⎪⎪-⎪⎩=⎫⎧⎪⋅==⎧⎪⎪=−−−−−→→→=→=-⎬⎨⎨+=⋅=⎩⎪⎪⎩=⎪⎭求平面的法向量设平面法向量为令设线面角为n n nn (1,1,2)sin cos ,||||(0,1,1)DE DE DE θ⎫⋅⎪=-−−−−−−→=<>=→⎬⋅⎪=-⎭向量方法计算线面角正弦 值n n n n。
立体几何知识与方法网络图
—1—立体几何知识与方法网络图1.证明平行关系、垂直关系的定理:你能将以上反映转化关系的定理用文字语言、图形语言、符号语言表示出来吗?请你写出来!如:面面垂直⇒线面垂直:文字语言:如果两个平面互相垂直,那么一个平面内垂直于它们交线的直线垂直于另一个平面.图形语言:符号语言:a b b b a αβαββα⎧⊥⎫⎪⎪=⎪⎪⇒⊥⎨⎬⊂⎪⎪⎪⎪⊥⎭⎩—2—2.命题真假判断:若判断命题为真,则要证明之.若判断命题为假,则找出反例(常在正方体、长方体、实物模型中找反例).例1:(2009年)给定下列四个命题:①若一个平面内的两条直线与另一个平面都平行,那么这两个平面相互平行; ②若一个平面经过另一个平面的垂线,那么这两个平面相互垂直; ③垂直于同一直线的两条直线相互平行;④若两个平面垂直,那么一个平面内与它们的交线不垂直的直线与另一个平面也不垂直.其中,为真命题的是 A.①和② B.②和③ C..③和④ D.②和④例2:已知m ,n 为两条不同的直线,α,β为两个不同的平面,则下列命题中正确的是( )A .,,//,////m n m n ααββαβ⊂⊂⇒B . //,,//m n m n αβαβ⊂⊂⇒C .,//m m n n αα⊥⊥⇒D . //,m n n m αα⊥⇒⊥: 例3:(2007年)若,,l m n 是互不相同的空间直线,,αβ是不重合的平面,则下列命题中为真命题的是A .若//,,l n αβαβ⊂⊂,则//l nB .若,l αβα⊥⊂,则l β⊥C . 若,l n m n ⊥⊥,则//l mD .若,//l l αβ⊥,则αβ⊥3.解答题(证明平行、垂直关系与空间几何体的体积计算)温馨提示:求三棱锥体积时,常根据需要通过轮换顶点....转化为容易求体积的三棱锥(关键要找好三棱锥的高). 例1:(2008年)图5所示,四棱锥P-ABCD 的底面ABCD 是半径为R 的圆的内接四边形,其中BD 是圆的直径,60,45,~A B D B D C A D P B A D∠=∠=∆∆. (1)求线段PD 的长;(2)若PC =,求三棱锥P-ABC 的体积.例2:(2009年)某高速公路收费站入口处的安全标识墩如图4所示,墩的上半部分是正四棱锥P-EFGH,下半部分是长方体ABCD-EFGH.图5、图6分别是该标识墩的正(主)视图和俯视图.(1)请画出该安全标识墩的侧(左)视图;(2)求该安全标识墩的体积PEG(3)证明:直线BD⊥平面5例3:(2010年)如图4,弧AEC是半径为a的半圆,AC为直径,点E为弧AC的中点,点B和点C为线段AD的三等分点,平面AEC外一点F满足FC⊥平面BED,FB=a(1)证明:EB⊥FD(2)求点B到平面FED的距离.—3——4—4.三视图与直观图的互化.(1)直观图转化为三视图:一要注意投影线与投影面垂直;二要注意侧视图的方向.例1:(2008年)将正三棱柱截去三个角(如图1所示A B C ,,分别是G H I △三边的中点)得到几何体如图2,则该几何体按图2所示方向的侧视图(或称左视图)为( )例2:(2010年)如图1,A B C V 为正三角形,'''////AA BB CC ,'CC ⊥平面ABC ,''32B B ==且3AA 'CC A B =,则多面体'''ABC A B C -的正视图(也称主视图)是(2)三视图转化为直观图:注意长、宽、高的对应:正、俯一样长,正、侧一样高,俯、侧一样宽.例1:(2007年)已知某几何体的俯视图是如图5所示的矩形,正视图(或称主视图)是一个底边长为8、高为4的等腰三角形,侧视图(或称左视图)是一个底边长为6、高为4的等腰三角形.(1)求该几何体的体积V ; (2)求该几何体的侧面积S.E F DIA H GBC EF D AB C侧视 图1图2 BEA .BEB .BEC .BED .—5—5.2007-2011理科数学立体几何题(2007年高考广东卷第19小题)如图6所示,等腰A B C ∆的底边AB =高3C D =,点E 是线段B D 上异于B 、D 的动点.点F 在边B C 上,且EF AB ⊥.现沿E F 将BEF ∆折起到PEF ∆的位置,使PE AE ⊥。
全套高中数学思维导图(清晰打印版)
高中数学必修三目录 第一章 算法初步 算法与程序框图 基本算法语句 算法案例 第二章 统计 随机抽样 用样本估计总体 变量间的相关关系 第三章 概率 随机事件的概率 古典概型函数 任意角和弧度制 任意角的三角函数 三角函数的诱导公式 三角函数的图像与性质 函数 y=Asin(ωx+φ)的图像 三角函数模型的简单应用 第二章 平面向量 平面向量的实际背景及基本概念 平面向量的线性运算 平面向量的基本定理及坐标表示 平面向量的数量积 平面向量应用举例 第三章 三角恒等变换
高中数学必修五目录 第一章 解三角形 正弦定理和余弦定理 应用举例 实习作业 第二章 数列 数列的概念与简单表示法 等差数列 等差数列的前 n 项和 等比数列 等比数列的前 n 项和 第三章 不等式 不等关系与不等式 一元二次不等式及其解法 二元一次不等式(组)与简单的线 性规划问题 基本不等式
圆的方程 直线、圆的位置关系 空间直角坐标系
两角和与差的正弦、余弦和正切公 式
简单的三角恒等变换
高中数学选修 1-2 目录 第一章 统计案例 1.1 回归分析的基本思想及其初 步应用 1.2 独立性检验的基本思想及其 初步应用 第二章 推理与证明 2.1 合情推理与演绎推理 2.2 直接证明与间接证明 第三章 数系的扩充与复数的引 入 3.1 数系的扩充和复数的概念 3.2 复数代数形式的四则运算 第四章 框图 4.1 流程图 4.2 结构图
立体几何知识网络结构图以及例题
证明:由AB=AC,D是BC的中点,得
又 平面ABC,得
因为 ,所以 平面PAD,
故
方法二:
证明:如图,以O为原点,以射线OP为z轴的正半轴,
建立空间直角坐标系O—xyz
则 ,
,由此可得 ,所以
,即
4.2.2线、面垂直证明方法思路模式
线面垂直的定义和线面垂直的定理时处理线面垂直问题的重要工具,有些题目却依赖转化法灵活处理才可以解决,而向量法乃是一些线面垂直问题常用而又切实可行的方法。
证明略
4.1.2线、面平行证明方法的思路模式
2011年高考题中,对立体几何平行问题的考察几乎全都是考察线面平行问题。此类问题的考察方法、方式复杂多样,解决方法也比较灵活,大多以转化法及向量法为主,特别是空间向量的内容加入到高中数学教材后,向量法几乎成为此种类型题的首选办法。
(2011江苏理16)如图,在四棱锥 中,平面PAD⊥平面ABCD,AB=AD,∠BAD=60°,E、F分别是AP、AD的中点
求证:(1)直线EF‖平面PCD;(2)略
分析:本题考察的是线面平行判定定理的应用,利用中位线证明EF∥PD入手,再由线面平行的判定定理即可证明。
解:在 PAD中,因为E,F分别为AP,AD的中点,
所以EF∥PD.又因为 EF 平面PCD,PD 平面PCD,
所以直线EF‖平面PCD
面面平行在高考中以主观题出现的频率较少,在选择题出现的频率较大。两直线平行常用到的判定方法有。(1)利用定义证明。利用反证法,假设两平面不平行,则它们必相交,再导出矛盾;(2)判定定理。线面平行,则面面平行;(4)垂直于同一直线的两个平面平行;(4)平行于同一个平面的两个平面平行。由于此类题型的考查较为简单,在此不再详加叙述。
立体几何精讲框架图
立体几何精讲1212--1°]k k k k =⎧⎨=-⎩平行:共面(平面几何直线与圆章节)相交:特殊的为垂直:1、异面直线间的距离:夹在两条异面直线间的垂线段的长;①定义:两条异面直线平移到相交后所成的那个非钝角的角;一、线线关系②范围:(0,90异面2、异面直线所成的角:③会找:平移其中一条后与另外一④平移原理:三角形中位线、平行四边形对边、相似条相交;同时平移两条后相交;⑤会求:找到后,利用余弦法则;定理、勾股⎧⎪⎪⎪⎧⎪⎪⎪⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎩⎩⎩定理求解;线线关系、线面关系、面面关系是立几的核心和重点会识别三视图、熟记表面积体积公式几何基本元素体点(),(,l l l m m l l l l l l l m l n m l l ααααβαβαβαβαααα⇒∈∉⇒⎧⎨⇒∈⇒⎩⇒⊥∈⇒⊥⇒⇒⇒⎧⎪⎨⎪⎩⇒⊥⇒⊥⎧⎨⎩⊥⊥直线在平面内性质:(线面线线:大到小)∥∥内【无数】条直线1、线∥面(线面线线:大到小)内【任意】直线性质垂直二、线面关系直线在平面外2、(线线线面:小到大):∥,∥判定(面面线面:大到小):∥∥(线面面面:小到大),(线线线面:小到大):,判定线面相交于一点,),=,sin =°.n m n l m l l m l h h h p p αααβαβαβ⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩∈⇒⊥⎧⎨⇒⊥∈⊥⇒⊥⎩且相交(面面线面:大到小):,求:先求直线(具体题目中都是线段)上一点(线段的一端点)到平面的距离, 定义:直线与其在平面内的摄影所成的角范围:(0,90)斜交注:此处的关键是,而这个距离也就是一个立体图形的高,直线与平面所成往往用等体积变该线段换求得长为,; 的角 则线面角 所以线h ⎧⎪⎧⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎧⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎧⎪⎧⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎩⎩⎩⎩面角归根结底与求体积是一回事,都是在于这个1212()=(,,)l l l l m l n l l m n m l l m l l l l m l n m n m n l αβαββαβαβαβαβαββββ⇒⇒∈⇒⇒⎧⎪⎨⇒⇒∈∈⇒⎪⎩⇒⇒⊥∈⊥⇒⊥⇒⊥⇒⇒⇒⊥⊥∈⇒⊥性质(面面线面线线:大到小)∥,∥∥内【无数】条直线面面平行判定(线线线面面面:小到大)∥,∥,且相交,,且相交∥性质(面面线面线线:大到小),,,∥内任意直线垂直判定(线线线三、面面关系面面面面面:小到大):,且相交相交sin =.°l p h h p p h βααβ⎧⎨∈⇒⊥⎩()求:转化为线面角:其中一个平面一般为三角形,过一个顶点作面面交线的垂线段,求这个高为, 再求这个点到注:此处的关键是和,就是求一个三角形的定义:直线与其在平面高和一个立体图形的高另外一个平面的距离,则二,往往用等体积变换求得;内的摄影 所成的角范所以二面角面归围:(0,根结底与求角(或补角线面角、求180体积是)斜交二面角)一回事,都是h ⎧⎪⎪⎪⎧⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎧⎧⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎩⎩⎩⎩在于这个。