09 矩阵微分方程
第4讲(2)矩阵的微分与积分
14—2矩阵的微分与积分21.矩阵的微分2.矩阵的积分3.其他微分概念4.应用31. 矩阵的微分如果矩阵A (t )=(a ij (t ))∈C m ×n 的每个元素a ij (t )都是t 的可微函数，则A (t )关于t 的导数(微商)定义为：()()()().ij m ndA t A t a t dt×′′==4定理1：设A (t )，B (t )可导，则()()()()()()()()()()()();(2)()(();(3)()()).1d d dA tB t A t B t dt dt dt df t A t f t A t f t A t dt dA tB t A t B t A t B t dt ⎡⎤+=+⎣⎦′′⎡⎤=+⎣⎦′′⎡⎤=+⎣⎦(4) 设为可微矩阵，则)(),(1t A t A −())()()()(111t A t A dt d t A t A dt d −−−⎟⎠⎞⎜⎝⎛−=5定理2：设A 是n 阶常数矩阵，则;(2)cos()sin()sin();(3)sin()cos()(cos(1)).tA tA tA de Ae e A dt dtA A tA tA A dtdtA A tA tA A dt===−⋅=−⋅=⋅=⋅62. 矩阵的积分如果矩阵A (t )=(a ij (t ))∈C m ×n 的每个元素a ij (t )都在[t 0,t ]上可积，则称A (t )可积，记为()()()0.ttij t t m n A d a d ττττ×=∫∫7()()()()()()()()()()()()()000000001010;(2);;(3);(4).(1)tttt t t t tt t t tt t tt t t A B d A d B d A B d A B d A B d A d B d A d A t dt A d A t A t τττττττττττττττττττ⎡⎤+=+⎣⎦⎡⎤⎡⎤⋅=⋅⎣⎦⎢⎥⎣⎦⎡⎤⎡⎤⋅=⋅⎣⎦⎢⎥⎣⎦=′=−∫∫∫∫∫∫∫∫∫83. 其他微分概念(a) 函数对矩阵的导数设X =(x ij )m ×n ，mn 元函数f (X )对X 的导数定义为：1111.nijm nm mn ff x x f x f f x d dX x f ×=∂∂⎡⎤⎢⎥∂∂⎛⎞∂⎢⎥⎜⎟⎜⎟⎢⎥∂∂∂⎝⎠⎢⎥∂∂⎢⎥⎣⎦=L M M L 例1设求1,n x x x ⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎣⎦M T ,.df dfdx dx 9例3设A 是n 阶矩阵，x =[x 1,…,x n ]T ，f (x )=x T Ax ，求df /dx .例2设b 是n 维列向量，x =[x 1,…,x n ]T ，f (x )=x T b ，求df /dx .例4设A ∈R m ×n ，b ∈R m ，若x ∈R n 使得||Ax -b ||2 =min ，则A T Ax =A T b ..nX I df dX=例5设X =(x ij )∈R n ×n ，f (X )=[tr(X )]2，求10(b) 函数矩阵对矩阵的导数设X =(x ij )m ×n ，有rs 个mn 元函数f kl (X )写成函数矩阵的形式：1111,s r rs f ff f F ⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎣⎦=L MM L 则F 对X 的导数定义为：1111,n m mn FF x x dF dX F F x x ∂∂⎡⎤⎢⎥∂∂⎢⎥⎢⎥∂∂⎢⎥∂∂⎢⎥⎣⎦=L M M L 1111.s ij ij ijrs r ij ij f f x x F x f f x x ∂∂⎡⎤⎢⎥∂∂∂⎢⎥⎢⎥∂∂∂⎢⎥⎢⎥∂∂⎣=⎦L M M L 11例6设F (x )=[f 1(x ),f 2(x ),…,f l (x )]，则1,n x x x ⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎣⎦M 1111.l l n n f f x x f f x dF dx x ∂∂⎡⎤⎢⎥∂∂⎢⎥⎢⎥∂∂⎢⎥∂∂⎢⎥⎦=⎣L M M L 例7设A 是一个常数矩阵，则1,n x x x ⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎣⎦M 1()()()T n d Ax d Ax d Ax dx dx dx ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦L 1111.n n nn a a A a a ⎡⎤⎢⎥==⎢⎥⎣⎦L M M L 121111122112211222221122'()()()()()'()()()()()'()()()()()n n n n nn n nn n n x t a x t a x t a x t b t x t a x t a x t a x t b t x t a x t a x t a x t b t =++++⎧⎪=++++⎨⎪=++++⎩L L ML 4. 应用13令1112111()(),(),(),()()n nn n n a a x t b t A x t b t a a x t b t ⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥===⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦L M M M M L ()()()x t A x t b t ′=⋅+则可以写成矩阵形式：非齐次微分方程()()x t A x t ′=⋅齐次微分方程14其中c 是任意常向量. 若再加上初始条件x (t 0)=x 0，则其解为0()0().t t A x t e x −=(),tA x t e c =定理3：齐次微分方程的通解为：()()x t A x t ′=⋅15110010,002A ⎡⎤=⎢⎥⎢⎥⎣⎦例8设矩阵求满足x (0)=[1 0 1]T 的齐次微分方程的解.()()x t A x t ′=⋅1612()()(),x t x t x t =+其中x 1(t )=e tA c 是对应齐次微分方程的通解，x 2(t )是原非齐次微分方程的一个特解. 常向量c 由初始条件确定.定理4：非齐次微分方程的通解可以表示为：()()()x t A x t b t ′=⋅+172()(),tA x t e c t =如何计算一个特解？常向量变易法，即设带入原非齐次微分方程有'()(),tA e c t b t =由此可以解出一个c (t )，即得到一个通解.()00()()tAt AtA x t e x eeb d τττ−=+∫1821101010,()0,002t A b t e ⎡⎤⎡⎤⎢⎥==⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦例9设求满足初始条件的非齐次微分方程()()()x t A x t b t ′=⋅+1(0)10x −⎡⎤=⎢⎥⎢⎥⎣⎦的解.19例：求解初值问题⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛=⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛−+⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛=210113421)(x x dt dx 20解：()()⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛−=⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛−+→⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛−−−−=−500151013421J A E ,λλλλλ⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛−=⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛→⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛−−−−−=110011442211p ,,λ⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛=⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛−→⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛−−=210012242452p ,,λ21⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛−=⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛−=∴−11123121111P P 1500−−⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛=P e e P e t t At ()∫−+=∴t A AtAtd F eex e t x 00τττ)()(。
线性代数矩阵的分解与微分方程应用
线性代数矩阵的分解与微分方程应用线性代数是数学中的一个重要分支，它研究的是线性空间以及其上的线性变换。
线性代数在不同领域中都有广泛的应用，比如说在计算机图形学、物理学、经济学等领域中都起着非常重要的作用。
其中，矩阵的分解和微分方程的应用是线性代数的两大重要内容。
一、矩阵的分解矩阵的定义是一个由数字排成的矩形表格。
在线性代数中，矩阵是一个重要的工具，矩阵的分解是矩阵理论中的一个基本问题。
矩阵的分解通常是指将一个矩阵分解成几个特定形式的矩阵的乘积。
常见的矩阵分解包括LU分解、QR分解、SVD分解等。
1、LU分解LU分解是线性代数中的一种矩阵分解方法，可以将一个矩阵分解成一个下三角矩阵L和一个上三角矩阵U的乘积。
LU分解可以用于求解线性方程组、求矩阵的逆以及计算矩阵的行列式等问题。
在实际应用中，使用LU分解求解线性方程组比直接求解更加高效和准确。
2、QR分解QR分解是一个将一个矩阵分解成一个正交矩阵Q和一个上三角矩阵R的乘积的方法。
QR分解在求解最小二乘问题、特征值问题以及解非线性方程组等问题中都有广泛的应用。
3、SVD分解SVD分解是一种将一个矩阵分解成三个矩阵的乘积的方法，包括一个左奇异矩阵、一个右奇异矩阵和一个奇异值矩阵。
SVD分解可以用于降维、信号处理、图像处理等方面。
二、微分方程的应用微分方程是研究变化的数学分支，它研究的是变量与其变化率的关系。
微分方程在科学、工程和经济等领域中都有广泛的应用。
微分方程的解法中涵盖了矩阵分解的知识。
1、矩阵微分方程矩阵微分方程指的是方程中包含了一个矩阵与它的导数。
矩阵微分方程在控制系统、差分方程的研究中都有广泛的应用。
解矩阵微分方程时，可以使用矩阵指数函数或拉普拉斯变换等方法。
2、级数解法级数解法是一种用级数求微分方程解的方法。
在级数解法中，将未知函数表示为级数的形式，将其代入微分方程中，然后通过逐项比较系数来求解微分方程。
级数解法在近似计算和数值解法方面都有重要应用。
矩阵微分方程
t
x(t) eAt x(0) eA(tv)Bu(v)dv
0
定解问题(4.5)的解为
t
y(t) (1,0, ,0)(eAt x(0) eA(tv)Bu(v)dv)
0
例 求常系数线性齐次微分方程组
dy1 (t ) dt
2 y1
2 y2
y3
dy2 (t) dt
y1
y2
y3
dy3 (t) dt
xnm (t0 )
定理 设定解问题为：
dx Ax； dt
x(t) t t0
x(t0 )
（4.1）
其中，x(t)是t的可微函数的n m矩阵，
x(t0 )是n m阶常数矩阵，A是给定的n阶 常数方阵, 则
（1）定解问题(4.1)的解为x(t) eA(tt0 ) x(t0 ), 并且这个解是唯一的；
因此，f ( A) g( A) (et tet )I tet A
1 t
et
t
t
2t 2t 1
2t
t
t
t 1
定解问题的解为y(t) eAt y(0) et
et
3et
T
.
4.2 线性时变系统的状态方程
1. 线性时变系统的转移矩阵
定义 设n阶方阵A(t)在[t0,t1]上连续, x(t)是 n m阶未知矩阵，则称
y1
2 y2
2 y3
y1(0) 1
在初始条件y
(0)
y2
(0)
1
下的解。
y3(0) 3
2 2 1
解
定解问题的解为y
(t
)
e
At
y(0),
其中A
1
1
矩阵微积分基础知识
矩阵微积分基础知识矩阵微积分是微积分的一个重要分支，它将微积分的概念和方法应用于矩阵和向量的运算中。
在矩阵微积分中，我们可以通过对矩阵进行微分和积分来研究矩阵的性质和变化规律。
本文将介绍矩阵微积分的基础知识，包括矩阵的导数、矩阵的积分和矩阵微分方程等内容。
一、矩阵的导数在矩阵微积分中，我们可以定义矩阵的导数。
对于一个矩阵函数f(X)，其中X是一个矩阵，我们可以通过对f(X)的每个元素分别求导来得到矩阵的导数。
具体而言，如果f(X)的每个元素都是可导的，那么矩阵f(X)的导数就是一个与f(X)具有相同维度的矩阵，其中每个元素都是对应元素的导数。
例如，对于一个2×2的矩阵X = [x1 x2; x3 x4]，我们可以定义一个矩阵函数f(X) = [x1^2 x2^2; x3^2 x4^2]。
那么矩阵f(X)的导数就是一个2×2的矩阵，其中每个元素都是对应元素的导数，即f'(X) = [2x1 2x2; 2x3 2x4]。
二、矩阵的积分与矩阵的导数类似，我们也可以定义矩阵的积分。
对于一个矩阵函数f(X)，其中X是一个矩阵，我们可以通过对f(X)的每个元素分别积分来得到矩阵的积分。
具体而言，如果f(X)的每个元素都是可积的，那么矩阵f(X)的积分就是一个与f(X)具有相同维度的矩阵，其中每个元素都是对应元素的积分。
例如，对于一个2×2的矩阵X = [x1 x2; x3 x4]，我们可以定义一个矩阵函数f(X) = [∫x1dx1 ∫x2dx2; ∫x3dx3 ∫x4dx4]。
那么矩阵f(X)的积分就是一个2×2的矩阵，其中每个元素都是对应元素的积分，即∫f(X)dX = [∫x1dx1 ∫x2dx2; ∫x3dx3 ∫x4dx4]。
三、矩阵微分方程矩阵微分方程是矩阵微积分中的一个重要概念。
它是描述矩阵函数与其导数之间关系的方程。
一般而言，矩阵微分方程可以分为常微分方程和偏微分方程两种类型。
矩阵常微分方程求解
矩阵常微分方程求解矩阵常微分方程是指形式为$\frac{{dX}}{{dt}}=AX$的方程，其中$X$是一个$n\times 1$的矩阵，$A$是一个$n\times n$的常数矩阵。
要求解矩阵常微分方程，可以使用矩阵的特征值和特征向量来求解。
首先，求解特征值问题$AX=\lambda X$，其中$\lambda$是特征值，$X$是特征向量。
求解得到的特征值为$\lambda_1, \lambda_2, ..., \lambda_n$，对应的特征向量为$X_1, X_2, ..., X_n$。
然后，构造$n\times n$的矩阵$P$，其中每列是一个特征向量$X_i$，使得$P=[X_1, X_2, ...,X_n]$。
接下来，构造$n\times n$的对角矩阵$\Lambda$，其中对角线上的元素是特征值$\lambda_1,\lambda_2, ..., \lambda_n$。
最后，可以得到方程的通解$X(t)=P\Lambda e^{At}P^{-1}$，其中$e^{At}$是矩阵$A$的指数函数，$P^{-1}$是矩阵$P$的逆矩阵。
需要注意的是，指数函数$e^{At}$的计算需要使用矩阵的幂级数展开，即$e^{At}=\sum_{k=0}^{\infty} \frac{1}{k!}(At)^k$，其中$(At)^k$代表矩阵$At$的$k$次幂。
在实际求解时，可以利用计算工具如MATLAB或Python的NumPy库中的函数来求解矩阵常微分方程。
例如，在Python中可以使用scipy库中的`scipy.linalg.expm`函数来计算矩阵的指数函数，使用NumPy库中的`numpy.linalg.eig`函数来求解特征值和特征向量，使用NumPy库中的`numpy.linalg.inv`函数来计算矩阵的逆矩阵。
矩阵微分方程的解法
矩阵微分方程的解法引言矩阵微分方程是数学中的一个重要分支，它研究了矩阵的导数和微分方程之间的关系。
在许多领域，如物理学、工程学和经济学等，矩阵微分方程都扮演着重要的角色。
本文将探讨矩阵微分方程的解法，包括常微分方程和偏微分方程两种情况。
常微分方程的解法一阶常微分方程对于形如dydx=f(x,y)的一阶常微分方程，可以通过分离变量的方法求得解。
将方程变形为dy=f(x,y)dx，然后将变量分离得到dyf(x,y)=dx。
对两边同时积分，得到∫dyf(x,y)=∫dx+C，其中C为常数。
最后求解出y和x之间的关系。
二阶常微分方程对于形如d 2ydx2+p(x)dydx+q(x)y=g(x)的二阶常微分方程，可以通过特征根法或变化参数法求解。
特征根法假设方程的通解为y=y1(x)+y2(x)，其中y1(x)是对应于齐次方程d2ydx2+p(x)dydx+q(x)y=0的通解，y2(x)是一个特解。
通过特征根法可以求得齐次方程的通解y1(x)。
然后根据特解的形式，代入原方程得到特解y2(x)。
最后将齐次方程的通解和特解相加，即可得到原方程的通解。
变化参数法假设方程的一个特解为y=y1(x)，其中y1(x)是对应于齐次方程d2ydx2+p(x)dydx+q(x)y=0的通解。
通过变化参数法，可以求得齐次方程的通解y1(x)。
然后令y=u (x )y 1(x )，将u (x )看作是x 的函数，代入原方程并化简得到du dx =−g (x )y 1(x )W(y 1(x ))，其中W(y 1(x ))是y 1(x )的朗斯基行列式。
最后求解出u (x )，再将u (x )代入y =u (x )y 1(x )，即可得到原方程的特解。
偏微分方程的解法偏微分方程在数学的多个领域中都有广泛应用，包括物理、工程和经济学等。
下面介绍两种常见的偏微分方程的解法。
热传导方程的解法热传导方程是描述物体在热平衡状态下的热传导过程的方程。
第四章矩阵微分方程
（1）定解问题(4.1)的解为x(t) eA(tt0 ) x(t0 ), 并且这个解是唯一的；
（2）解x(t)的秩与t的取值无关.
2.线性常系数非齐次微分方程组的解
设A (aij )nn 与B (bij )nm 是常数矩阵，而
x1(t)
u1(t)
x(t
)
x2
dx(t) Ax(t) Bu(t)； x(t) x(0)
dt
t0
B (0, 0, .0,1)T
t
x(t) eAt x(0) eA(tv)Bu(v)dv
0
定解问题(4.5)的解为
t
y(t) (1,0,,0)(e At x(0) eA(tv)Bu(v)dv)
第四章 矩阵微分方程
4.1 线性定常系统的状态方程
1.线性常系数齐次微分方程组的解
dx1 dt
a11x1 a12 x2
a 1n xn
dx2 dt
a21x1 a22 x2
a 2n xn
dxn dt
an1x1 an2 x2
xi xi (t), aij C
a nn xn
y(i) (t)
t 0
y(i) 0
,
i
0,1,, n
1
令x1 y, x2 y ' x '1 ,
xn y(n1) x 'n1
x '1 x2 , x2 ' x3,
x 'n1 xn , xn ' an x1 an1x2
x1(t)
t0
矩阵函数的性质及其在微分方程组中的应用
§7矩阵函数的性质及其在微分方程组中的应用1.矩阵函数的性质： 设n n C B A ⨯∈. 1．A eAeedt d AtAtAt⋅==proof : 由 ()∑∑⋅==∞=mmm mAtAtm At m e!1!1对任何t 收敛。
因而可以逐项求导。
()∑∞=--=∴1!11m mm AtAtm edtd ()()⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-⋅=∑∞=-11!11m m At m A ()⎪⎪⎭⎫⎝⎛⋅=∑k At k A !1At e A ⋅=()()()A e A At m A Atm Atm m m m m ⋅=⋅⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⋅-=∑∑∞=∞=---01111!11!11可见，A 与At e 使可以交换的，由此可得到如下n 个性质2．设BA AB =，则 ①．At At Be B e =⋅ ②．B A A B B A e e e e e +=⋅=⋅ ③．()()AA A AA A BA B A B A B A B A B A BA cos sin 22sin sincos2cos sin cos cos sin sin sin sin cos cos cos 22=-=⇒+=+-=+=proof ：①，由mmBAB A BA AB =⇒= 而∑∑∞=∞==⎪⎭⎫ ⎝⎛=00!1!1m mm m m m AtBA t mB t A m B e()∑∑∞=∞=⋅==!1!1m m m mm At m B BAt mAt e B ⋅=②令()Bt At B A e e e t C --+⋅⋅=)( 由于()0=t C dtd )(t C ∴为常数矩阵因而E e e e C C t C =-⋅===000)0()1()(当1=t 时，E e e e B A B A =⋅⋅--+ …………………. （@）特别地 A B -= 有E e e e A A =⋅⋅-0∴ 有 ()A A e e --=1∴同理有()B B e e --=1代入（@）式 因而有B A B A e e e ⋅=+ 3.利用绝对收敛级数的性质，可得 ①A i A e iA sin cos +=()()iAiAiAiAeeiA eeA ---=+=⇒21sin 21cos②()()A A A A sin sin cos cos -=-=-4.E A A =+22cos sin()()A E A AE A cos 2cos sin 2sin ππ+=+AEi A ee=+π2二.矩阵函数再微分方程组中的应用—常用于线性监测系统中 1. 一阶线性常导数其次方程组的通解AZdtdZ = 其中()Tn nn x x x X C A ,,,21 =∈⨯则有()K e t X At ⋅= 其中()Tn k k k K ,,,21 =1eg解方程：⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧+=+-=+-=313212211234xx dtdx x x dtdx x x dt dx解：原方程变为矩阵形式AX dt dX= ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=201034011A ()T x x x X 321,,= 由()()212--=-λλλA E 得⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=→100110002J A12000-⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=∴P e e ee P et t tt At⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=∴-32112000)(k k k P e e ee P t X t t tt2. 一阶线性常导数微分方程的定解问题：1Th :一阶线性常数微分方程组的定解问题：()()⎪⎩⎪⎨⎧==Tn x x x Z AZ dt dZ)0(,),0(),0(210 有唯一解)0(X e X At ⋅= proof :实际上，由AZdt dz =的通解为K e t Z At ⋅=)(将初值)0(X 代入，得)0(X k =)0(Z eX At=∴由1Th 可的定解问题()⎪⎩⎪⎨⎧==Tn t x t x t x t X AZ dt dZ)(,),(),()(002010的唯一解为()()00)(t X e T X t t A ⋅=-2eg 求定解问题：()()⎪⎩⎪⎨⎧==T x Ax dt dx1,00,⎪⎪⎭⎫⎝⎛--=1221A 的解 解：由0=-A E λ 得i x 32,1±=对应的特征向量记为：Ti ⎪⎪⎭⎫⎝⎛+=231,1α ⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=231,1i β 则，于是矩阵：⎪⎪⎭⎫⎝⎛-+=23123111i iP13300--⋅⎪⎪⎭⎫⎝⎛⋅=∴P ee P eititAt⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=t t t et X At3sin313cos 3sin 3210)(3.()t F Ax dtdx =-两边同乘以At e -得：()()t F ex edtd AtAt--=从0t 到t 上积分得：()()ττd F et x e t x e tt AEAt At ⎰---=-00)(()()()()τττd F et x et x tt t A t t A ⎰--+=∴00)( 3eg .求：非齐次微分方程组的解：()()⎪⎩⎪⎨⎧=+=T x t F AX dt dx1,0)0( 其中⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=3553A ()⎪⎪⎭⎫⎝⎛=-0te t F 解：由i A E 5302,1±=⇒=-λλ对应特征向量为：⎪⎪⎭⎫⎝⎛=i 1α ⎪⎪⎭⎫⎝⎛=1i β 得可逆矩阵⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=11ii P ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=-11211i i P()()ti i Ate t t t t P e e P e3153535cos 5sin 5sin 5cos 00⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=⎪⎪⎭⎫⎝⎛=∴--+ ()⎰⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎪⎭⎫⎝⎛=--tt A Atd eeet x 0010)(ττττd e t t t t t t t t e t t e tt t t 40335sin 5cos 5cos 5sin 5sin 5sin 5cos 5cos 5cos 5sin -⎰⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+-++⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=注：关于线性系统的能控性与能观测性，同学们根据需要自己学习。
第八章 矩阵微积分
第八章 矩阵微积分§8.1 矩阵的Kronecker 积矩阵的Kronecker 积对参与运算的矩阵没有任何限制，在矩阵的理论研究和计算方法中都有十分重要的应用，尤其是在矩阵代数方程求解和矩阵微分等运算中使得计算更加简洁。
本节中，我们将介绍Kronecker 积的定义和基本性质. 8.1.1 Kronecker 积的概念与性质定义1 设矩阵()C m n ij m n a ⨯⨯=∈A ，()C p q ij p q b ⨯⨯=∈B ，则称如下分块矩阵111212122212=C n n mp nq m m mn a B a Ba B a B a Ba B a B a Ba B ⨯⋅⋅⋅⎡⎤⎢⎥⋅⋅⋅⎢⎥⊗∈⎢⎥⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⎢⎥⋅⋅⋅⎣⎦A B 为矩阵A 与B 的Kronecker 积或称A 与B 的直积，记做⊗A B 。
显然⊗A B 是具有m n ⨯个子块的分块矩阵，每个子块都与矩阵B 同阶，所以⊗A B 是mp nq ⨯阶矩阵。
由定义1显然有矩阵B 与矩阵A 的Kronecker 积为111212122212=C q q pm qn p p pq b A b A b A b A b A b A b A b A b A ⨯⋅⋅⋅⎡⎤⎢⎥⋅⋅⋅⎢⎥⊗∈⎢⎥⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⎢⎥⋅⋅⋅⎢⎥⎣⎦B A所以，矩阵的Kronecker 积不满足交换律，即一般情况下，⊗≠⊗A B B A 。
例1 设10234,01567⎡⎤⎡⎤==⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦A B ，则 2340001056700001000234000567⎡⎤⎢⎥⋅⋅⎡⎤⎢⎥⊗==⎢⎥⎢⎥⋅⋅⎣⎦⎢⎥⎣⎦B B A B B B203040234020304567506070050607⎛⎫⎪⋅⋅⋅⎛⎫ ⎪⊗== ⎪⎪⋅⋅⋅⎝⎭ ⎪⎝⎭A A AB A A A A 显然，⊗≠⊗A B B A 。
从定义1可以直接给出Kronecker 积简单的运算性质如下。
matlab求解矩阵微分方程
matlab求解矩阵微分方程矩阵微分方程是常见的数学模型，它描述了矩阵随时间的变化规律。
在实际应用中，矩阵微分方程广泛应用于控制系统、信号处理、图像处理等领域。
在本文中，我们将介绍如何使用matlab求解矩阵微分方程。
我们需要了解矩阵微分方程的基本形式。
矩阵微分方程可以表示为x'(t)=Ax(t)，其中x(t)是一个n维列向量，A是一个n×n矩阵。
它的解可以表示为x(t)=exp(At)x0，其中x0是初始向量。
在matlab中，我们可以使用ode45函数来求解矩阵微分方程。
ode45是matlab中的一个常用ODE求解器，可以求解一般的非刚性ODE。
它的基本用法是ode45(odefun,tspan,y0)，其中odefun是一个函数句柄，tspan是时间区间，y0是初始向量。
为了使用ode45求解矩阵微分方程，我们需要将其转化为向量微分方程。
具体来说，我们可以将x(t)展开为一个列向量，然后将矩阵微分方程转化为向量微分方程y'(t)=f(t,y(t))，其中y(t)是一个n²维列向量，f(t,y(t))是一个n²维列向量的函数。
具体地，我们可以将矩阵A展开为一个n²维列向量，然后将x(t)展开为一个n维列向量，从而得到向量微分方程y'(t)=Ay(t)，其中y(t)是一个n²维列向量。
接下来，我们可以定义一个函数handle来表示向量微分方程f(t,y(t))，具体代码如下：function dydt = matrixODE(t,y)A = reshape(y,[n,n]);dydt = reshape(A*reshape(y,[n,n]),[n^2,1]);end其中n是矩阵的维数，reshape函数可以将向量转化为矩阵，将矩阵转化为向量。
在函数handle中，我们将y(t)转化为一个n×n矩阵，然后计算A*y(t)，最后将结果转化为一个n²维列向量。
矩阵方程与矩阵值函数微分方程
矩阵方程与矩阵值函数微分方程
作者：陈清江杜丽英
来源：《新教育时代·教师版》2018年第39期
摘要：矩阵方程是未知数组成矩阵的方程。
常见的矩阵方程有三种，，当矩阵是可逆方阵时，用逆矩阵法或初等变换法得出矩阵方程的解，但是当矩阵不是方阵或不可逆时，这些矩阵方程是否存在解，如何求解。
本文提出元素法与广义逆矩阵法求解矩阵方程。
当矩阵不可逆时，运用元素法将矩阵方程转换为线性方程组来求解。
当矩阵不是方阵时，给出求解矩阵方程的广义逆矩阵法。
最后，给出满足初始条件的矩阵微分方程的求解公式以及满足不同初始条件的矩阵微分方程解的关系式。
关键词：矩阵方程广义逆矩阵矩阵值函数矩阵微分方程
一、引言
研究矩阵方程问题不仅具有重要的理论意义而且在结构设计、参数识别、固体力学、动态分析、结构动力学、分子光谱学、自动控制理论、振动理论、非线性规划、等领域都具有重要应用，譬如在工业控制系统中，不同的输入将在不同的环境下对应不同的输出，这个时候需要用状态方程来表示，从数学表达式上看状态方程就是矩阵方程；在电路中用“节点分析法”书写电路方程时采用公式化的矩阵方程。
这些工程领域的问题促进了矩阵方程求解理论的发展，使得矩阵方程求解问题成为应用数学的研究课题之一。
matlab求解矩阵微分方程组
matlab求解矩阵微分方程组
矩阵微分方程组是含有多个矩阵变量的微分方程组，求解它们的解析解往往比较困难，因此常常需要借助计算机进行数值求解。
Matlab作为一款常用的科学计算软件，提供了多种求解矩阵微分方程组的函数和工具箱，可以方便地进行数值求解。
在Matlab中，可以使用ode45等函数求解常微分方程组，但对于矩阵微分方程组，需要使用ode15s或ode23s等函数。
这些函数的输入参数包括微分方程组的函数句柄、初值、求解区间等，输出结果为每个时间点上矩阵变量的值。
此外，Matlab还提供了Symbolic Math Toolbox，可以用于分析矩阵微分方程组的解析解。
需要注意的是，在使用Matlab求解矩阵微分方程组时，需要对矩阵的大小和类型进行适当的设置，以保证程序的正确性和效率。
此外，对于复杂的矩阵微分方程组，还需要进行数值稳定性分析和误差估计，以保证求解结果的可靠性和精度。
- 1 -。
函数矩阵与微分方程
同样可以求得
(∫
x2
0
sin x A( x )dx ) = 2 x 2 cos x
2 '
− cos x 2 sin x
2
例 4 ：已知函数矩阵
e −x A( x ) = e 3x
2x
xe x 2e 0
x3 0
x
x 0 0
2
试计算
∫
1
0
A( x )dx , ( ∫ A( x )dx )
'
函数向量的线性相关性
定义： 定义：设有定义在区间 [a , b]上的 m 个连续的 函数向量
αi ( x ) = (ai1 ( x ), ai 2 ( x ),⋯ , ain ( x ))(i = 1, 2,⋯, m)
(3)设 设
k ( x) 是 x
的纯量函数， 的纯量函数，A( x ) 是函数矩
均可导， 阵，k ( x ) 与 A( x ) 均可导，则
d dk ( x ) dA( x ) [k ( x ) A( x )] = A( x ) + k ( x ) dx dx dx
特别地， 特别地，当 k ( x ) 是常数 k 时有
(2) (3)
x → x0 x → x0
lim( kA( x )) = kA
lim( A( x ) B( x )) = AB
定义： 定义：如果 A( x ) = ( aij ( x )) m×n 的所有各元素 aij ( x )(i = 1,⋯ , m; j = 1,⋯ , n ) 在点 x = x0 可导， 处(或在区间 [a , b] 上)可导，便称此函数矩阵 或在区间 可导 A( x ) 在点 x = x0 处(或在区间 [a, b] 上)可导， 可导， 或在区间 可导 并且记为
09-矩阵微分方程
09-矩阵微分方程D又22tA 1(I tA t A )A e A 2!=+++=2. 矩阵积分定义：若矩阵A(t)(a (t))m n ij =⨯的每个元素ij a (t)都是区间01[t ,t ]上的可积函数，则称A(t)在区间01[t ,t ]上可积，并定义A(t)在01[t ,t ]上的积分为1100ij t t A(t)dt a (t)dt t t m n ⎛⎫=⎰⎰ ⎪⎝⎭⨯3. 矩阵积分性质（1）111000t t t t t t [A(t)B(t)]dt A(t)dt B(t)dt ±=±⎰⎰⎰（2）11110000t t t t t t t t [A(t)B]dt A(t)dt B,[AB(t)]dt A B(t)dt ⎛⎫⎛⎫== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎰⎰⎰⎰（3）t baadA(t )dt A(t),A (t)dt A(b)A(a)dt '''==-⎰⎰二、 一阶线性齐次常系数常微分方程组 设有一阶线性其次常系数常微分方程组11111221n n 22112222n n n n11n22nn n dx a x (t)a x (t)a x (t)dt dx a x (t)a x (t)a x (t)dtdx a x (t)a x (t)a x (t)dt⎧=+++⎪⎪⎪=+++⎪⎨⎪⎪⎪=+++⎪⎩ 式中t 是自变量，i i x x (t)=是t 的一元函数(i 1,2,,n),=ij a (i,j 1,2,,n)=是常系数。
令T 12n x(t)[x (t),x (t),,x (t)]=，11121n 21222n n1n2nn a a a aa a A a a a ⎡⎤⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦则原方程组变成如下矩阵方程dxAx(t)dt= 其解为tA tA x(t)e x(0)e c == −−−−→更一般的0(t t )A 0x(t)e x(t )-= 对该解求导，可以验证tA dx(t)Ae c Ax(t)dt== 且t ＝0时，0A x(t)e c Ic c x(0)==== 表明x (t )确为方程的解，积分常数亦正确例：求解微分方程组1221dx x dtdx xdt⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩， 初始条件为1122x (0)r x (0)r ⎡⎤⎡⎤=⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦ 解：01A 10⎡⎤=⎢⎥-⎣⎦，tA f(A)e = → t f()e λλ= o1求出A 的特征多项式，12()(1)(j)(j)1λ-ϕλ==λ+=λ-λ+λ，j 1=- 1122j,m 1;j,m 1λ==λ=-= o 2定义待定系数的多项式 g()c c 01λ=+λo3解方程101201jtg()f()ecost jsin t c jc 1jtg()f()ecost jsin t c jc 2λ=λ==+=+-λ=λ==-=-01c cost c sint=⎧⎨=⎩o 401cost00sin t cost sin t g(A)c I c A 0cost sin t 0sin t cost tAf(A)e ⎡⎤⎡⎤⎡⎤=+=+=⎢⎥⎢⎥⎢⎥--⎣⎦⎣⎦⎣⎦==11212212r r cost r sint x (t)cost sint tA x(t)e x(0)sint cost r r cost r sint x (t)+⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤====⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥--⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦ 三、 一阶线性非齐次常系数常微分方程组11111221n n 122112222n n 2n n11n22nn n n dx a x (t)a x (t)a x (t)b (t)dt dx a x (t)a x (t)a x (t)b (t)dtdx a x (t)a x (t)a x (t)b (t)dt⎧=++++⎪⎪⎪=++++⎪⎨⎪⎪⎪=++++⎪⎩ 令方程组化为矩阵方程dxAx b dt=+ 12n 12n 11121n 21222n n1n2nn Tx(t)[x (t),x (t),,x (t)]T b(t)[b (t),b (t),,b (t)]a a a a a a A a a a ==⎡⎤⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦采用常数变易法求解之；齐次方程的解为tA e c ，可设非齐次方程的解为tA e c(t)， 代入方程，得：tA tA tA dx d dc dc (e )c(t)e Ax(t)e Ax(t)b(t)dt dt dt dt =+=+=+→tA dc e b(t)dt-= ∴ tst c(t)e b(s)ds -=⎰ ← 由积分性质(3)可验证c (t )是解。
matlab求解矩阵常微分方程
matlab求解矩阵常微分方程标题：基于Matlab的矩阵常微分方程求解导言：矩阵常微分方程是指微分方程中的未知函数为矩阵，常见于控制系统、信号处理、计算机图形学等领域。
Matlab作为一款功能强大的数学软件，提供了许多工具和函数用于求解矩阵常微分方程。
本文将介绍如何使用Matlab求解矩阵常微分方程的基本方法和步骤。
一、矩阵常微分方程的定义矩阵常微分方程可以写成如下形式：$$\frac{dX(t)}{dt} = A(t)X(t)$$其中，$X(t)$是未知函数矩阵，$A(t)$是已知函数矩阵。
二、Matlab中的矩阵常微分方程求解函数Matlab提供了几个函数用于求解矩阵常微分方程，其中最常用的是ode45函数。
ode45函数是基于龙格-库塔法的数值求解器，可以高效地求解大多数常微分方程问题。
三、使用ode45函数求解矩阵常微分方程的步骤1. 定义矩阵常微分方程的参数和初始条件。
2. 编写一个函数，用于描述矩阵常微分方程的右端项。
3. 调用ode45函数，传入函数句柄和初始条件，求解矩阵常微分方程。
四、示例：求解矩阵常微分方程假设我们要求解如下矩阵常微分方程：$$\frac{dX(t)}{dt} = \begin{bmatrix} 0 & 1 \\ -1 & 0 \end{bmatrix} X(t)$$初始条件为$X(0) = \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{bmatrix}$。
根据上述步骤，我们可以先定义矩阵常微分方程的参数和初始条件：```matlabA = [0 1; -1 0];X0 = [1 0; 0 1];```然后编写一个函数，用于描述矩阵常微分方程的右端项：```matlabfunction dXdt = matrixODE(t, X)A = [0 1; -1 0];dXdt = A * X;end```最后调用ode45函数求解矩阵常微分方程：```matlab[t, X] = ode45(@matrixODE, [0 10], X0);```其中，@matrixODE表示函数句柄，[0 10]表示求解时间范围。
矩阵与常微分方程
一：利用分块矩阵求矩阵（三个公式） 公式1：⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡---11111s s A A A A公式2：⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=⎥⎦⎤⎢⎣⎡-----12211121122111122211100A A A A A A AA或⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=⎥⎦⎤⎢⎣⎡-----1221221211111112212110A A A A A A A A2,1=i n A i ii 阶可逆矩阵，为公式3：⎥⎦⎤⎢⎣⎡=⎥⎦⎤⎢⎣⎡---0000111ABBA （为可逆矩阵B A ,）下面给出公式2的推导过程：设⎥⎦⎤⎢⎣⎡=⎥⎦⎤⎢⎣⎡-2221121112221110X X X X A AA由⎥⎦⎤⎢⎣⎡=⎥⎦⎤⎢⎣⎡⋅⎥⎦⎤⎢⎣⎡E EX X X X A A A 00022211211222111得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+=+==EXA X A X A X A X A E X A 22221221212211211211111100解之得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-===----12222111211222112111110A X X A A XX A X^-^习题1：1,11210000520021-⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡---=A A 求 习题2：1,20120031204312-⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=A A 求答案：习题1：⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡-=-313100323100001200251A习题2：⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡------=-2100412*******2101658541211A二：利用定义求矩阵 例1：设n 阶方阵A 满足022=--E A A ，求证A 可逆并求1-A证明：由022=--E A A ，得：E E A A 2)(=-即EEA A =-⋅2，从而A 可逆且21E A A-=-例2：设B A ,为同阵且满足ABB A =+，证明E A -可逆并求其逆，BAAB =证明：BE A B AB A )(-=-=，故BE A E E A )()(-=+-从而有E E B E A =--))((即E A -可逆且EB E A -=--1)( 故))(())((E A E B E B E A --=--即EB A BA E B A AB +--=+--从而BAAB =例3：已知n 阶方阵A 满足3)(2A E A A =-，求1)(--A E证明：由3)(2A E A A =-，得02223=+-A A A所以E E A A A-=-+-2223从而有EE A A A E =+--))((2即EA A A E +-=--21)(下面就检查下自己的学习能力^-^ 习题1：设)(0为正整数k Ak=，证明：12-1)(-++++=-k AA A E A E习题2：设B A ,为n 阶方阵，且AB E -与BA E -均可逆，证明A AB E B E BA E 11)()(---+=-习题3：若n 阶方阵A 满足E A =2，求证E A 2-可逆习题4：设A A =2，试证明E A 2-为可逆阵例题1：设)(x f 为可微函数，且满足方程)0()()1()(0>+=⎰⎰x dtt tf x dt t f x xx求)(x f解：方程两边对x 求导，得：)()1()()()(0x xf x dt t tf x xf dt t f xx++=+⎰⎰化简得：⎰⎰=+xxdt t f x f x dt t tf 002)()()(两边再对)(x f 求导，化简得：0)(13)(2=-+'x f x x f x ）（ 这是一阶线性齐次方程，分离变量得：dx xx x f x df 231)()(-=两边积分得x xCe x f ln 31--=）（即)(13为任意常数）（C eCxx f x--=下面就检查下自己的学习能力^-^ 习题1：设连续函数)(x f 满足方程20)(2)(xdt t f x f x=+⎰，求)(x f习题2：设连续函数)(x y 满足方程⎰+=xxedt t y x y 0)()(，求)(x y答案：习题1：xex x f 22121)(-+-=习题2：x e x x y )1()(+=。
lmd表达式
lmd表达式LMD表达式的全称是“Linear Matrix Differential Equation”，即线性矩阵微分方程。
它是描述线性动力系统的一种重要数学工具，常用于控制理论、信号处理、机器学习等领域。
在本文中，我们将介绍LMD表达式的基本概念、特点和应用。
LMD表达式由两部分组成：线性矩阵微分算子和等式右侧的向量函数。
线性矩阵微分算子是一个矩阵函数，用来描述系统的动力学行为。
等式右侧的向量函数则表示系统外部输入和初始条件。
通过求解LMD表达式，可以得到系统的状态和输出响应。
LMD表达式的求解可以采用多种方法，其中最常用的是矩阵求导法和特征值法。
矩阵求导法是通过对LMD表达式进行矩阵求导，将其转化为一组常微分方程，然后通过求解这组方程得到系统的解析解。
特征值法则是通过求解LMD表达式的特征值和特征向量，得到系统的模态响应。
LMD表达式具有以下特点：首先，它是线性的，即满足线性叠加原理。
其次，它是时变的，即系统的动力学行为随时间变化。
此外，LMD表达式还可以描述多输入多输出系统和时滞系统。
因此，它在实际工程中具有广泛的应用。
在控制理论中，LMD表达式常用于系统建模和控制器设计。
通过建立系统的LMD表达式，可以分析系统的稳定性、敏感度和鲁棒性等性能指标，从而设计出满足要求的控制器。
在信号处理中，LMD 表达式可以用于信号滤波、降噪和频域分析等方面。
在机器学习中，LMD表达式可以用于模式识别、分类和回归分析等任务。
LMD表达式是一种重要的数学工具，可以描述和分析线性动力系统的动态行为。
它在控制理论、信号处理和机器学习等领域具有广泛的应用。
通过求解LMD表达式，我们可以得到系统的解析解和模态响应，从而实现对系统性能的优化和改进。
希望本文对读者对LMD表达式有更深入的理解，并能在实际应用中发挥作用。
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第九讲 矩阵微分方程
一、矩阵的微分和积分
1. 矩阵导数定义：若矩阵i j m ×
n A (t )=(a (t ))的每一个元素a (t )i j
是变量t 的可微函数，则称A(t)可微，其导数定义为
'ij
m×n da dA
=A (t )=()d t d t
由此出发，函数可以定义高阶导数，类似地，又可以定义偏导数。
2. 矩阵导数性质：若A(t),B(t)是两个可进行相应运算的可微矩阵，则
（1）d dA dB [A(t)±B(t)]=
±dt
dt dt
（2）d dA dB [A(t)B(t)]=
B +A
dt dt dt （3）d da dA [a(t)A(t)]=A +a
dt
dt dt
（4）
()()()()
()()()tA
tA
tA d d d e
=Ae =e A
cos tA =-Asin tA sin tA =Acos tA dt
dt
dt
(A 与t 无关) 此处仅对tA tA
tA
d (
e )=Ae
=e A dt
加以证明
证：
tA
22
332
23
d d 111(
e )=
(I+tA +
t A +
t A +)=A +tA +
t A +dt
dt
2!3!
2!
22tA
1=A(I+tA +
t A +)=Ae 2!
又 2
2
tA
1
=(I+tA +
t A +)A =e A 2!
3. 矩阵积分定义：若矩阵A(t)=(a (t))m×n ij 的每个元素ij a (t)都是区间
01[t ,t ]上的可积函数，则称A(t)在区间01[t ,t ]上可积，并定义A(t)在01[t ,t ]
上的积分为
⎛⎫
⎰⎰ ⎪⎝⎭1
100ij t t A(t)dt =a (t)dt t t m×n
4. 矩阵积分性质
（1）⎰⎰⎰1
1
1
t t t t t t [A(t)±B(t)]dt =
A(t)dt ±B(t)dt
（2）⎛⎫⎛⎫
⎪ ⎪ ⎪ ⎪
⎝⎭⎝⎭
⎰⎰⎰⎰1
1110000t t t t t t t t [A(t)B]dt =A(t)dt B,[AB(t)]dt =A B(t)dt （3）'''⎰⎰t b
a
a
d
A(t )dt =A(t),A (t)dt =A(b)-A(a)dt
二、 阶线性齐次常系数常微分方程组 设有一阶线性其次常系数常微分方程组
⎧⎪⎪⎪⎪
⎨⎪⎪
⎪⎪⎩ 1
1111221n n 22112222n n n n11n22nn n
dx =a x (t)+a x (t)++a x (t)dt dx =a x (t)+a x (t)++a x (t)dt
dx =a x (t)+a x (t)++a x (t)
dt
式中t 是自变量，
i i x =x (t)是t 的一元函数 ij (i =1,2,,n),a (i,j =1,2,,n)是常系数。
令
T
12n
x(t)=[x (t),x (t),,x (t)]，⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦
11
121n 21222n
n1
n2
nn a a a a a a A =a a a
则原方程组变成如下矩阵方程
d x =A x (t )d t
其解为
−−−−→更一般的
对该解求导，可以验证
tA
dx(t)=Ae c =Ax(t)dt
且
t ＝0时，0A
x(t)=e c =Ic =c =x(0)
表明x(t)确为方程的解，积分常数亦正确
例：求解微分方程组⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩1
2
21
dx =x dt
dx =-x
dt
， 初始条件为⎡⎤⎡⎤⎢⎥
⎢⎥⎣⎦⎣⎦1122x (0)r =r x (0) 解：⎡⎤
⎢
⎥⎣⎦
1A =-1
0，tA f(A)=e → tλf(λ)=e
o
1求出A
的特征多项式，ϕ2λ-1(λ)=
=(λ+1)=(λ-j)(λ+j)1
λ
，
j =
1122λ=j,m =1;λ=-j,m =1 m =n =2
o 2定义待定系数的多项式 0
1
g(λ)=c
+cλ o
3
解方程
11012201
jt g(λ)=f(λ)=e =cost +jsint =c +jc -jt g(λ)=f(λ)=e =cost -jsint =c -jc
⎧⎨⎩01
c =cost
c =sint
o
4
⎡⎤⎡⎤⎡⎤
⎢
⎥⎢
⎥⎢
⎥⎣⎦
⎣⎦
⎣⎦01cost sint cost
0sint tA
g(A)=c I+c A =+==f(A)=e -sint
cost 0
cost -sint
⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤
⎢
⎥⎢
⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦
11
212212cost sint r rcost +r sint x (t)tA x(t)=e x(0)===r r cost -rsint -sint
cost x (t) 三、 一阶线性非齐次常系数常微分方程组
⎧⎪⎪
⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎩ 1
1111221n n 122112222n n 2
n
n11n22nn n n dx =a x (t)+a x (t)++a x (t)+b (t)dt dx =a x (t)+a x (t)++a x (t)+b (t)dt
dx =a x (t)+a x (t)++a x (t)+b (t)dt
令
方程组化为矩阵方程
d x =A x +b d t
采用常数变易法求解之；齐次方程的解为tA e c ，可设非齐次方程的解为
tA
e c(t)，
代入方程，得：
tA
tA
tA
dx d dc dc =(e )c(t)+e
=Ax(t)+e
=Ax(t)+b(t)dt
dt
dt
dt
-tA
dc =e
b(t)dt
⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦
T
12n T
12n 11121n 21222n
n1
n2
nn x(t)=[x (t),x (t),,x (t)]b(t)=[b (t),b (t),,b (t)]a a a a a a a a a
∴ ⎰
t -sA
c(t)=
e
b(s)ds +c(0) ←由积分性质(3)可验证c(t)是解。
加上初始条件x(0)=c(0)，有 ⎰
t tA
-sA
x(t)=e [x(0)+
e
b(s)ds]
说明:高阶常微分方程常常可以化为一阶常微分方程组来处理， 如： 2
2d y dy a +b
+cy =f dt
dt
令12dy x =y,x =
dt
，则可得
⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩1
2
21212
d x =x d t
d x 1c b f
=(f -c x -b x )=-x -x +d t a a a a
一般地，n 阶常微分方程可以化为n 个一阶常微分方程组成的方程组。
作业：p170-171 5、9
p177 3、4。