九年级数学培优第5讲：与二次函数有关的综合问题
二次函数培优专题
二次函数培优专题一、二次函数的基本概念1. 二次函数的定义- 一般地，形如y = ax^2+bx + c(a,b,c是常数，a≠0)的函数，叫做二次函数。
- 例如y = 2x^2+3x - 1，这里a = 2，b = 3，c=-1。
- 题目解析：判断一个函数是否为二次函数，关键看其是否符合y = ax^2+bx + c(a≠0)的形式。
比如y=3x + 2就不是二次函数，因为它不符合二次函数的定义形式，其中x的最高次数是1；而y=(1)/(x^2)也不是二次函数，因为它不是整式函数。
2. 二次函数的图象- 二次函数y = ax^2+bx + c(a≠0)的图象是一条抛物线。
- 当a>0时，抛物线开口向上；当a < 0时，抛物线开口向下。
- 例如，对于二次函数y = x^2，a = 1>0，其图象开口向上；对于y=-2x^2，a=-2 < 0，其图象开口向下。
- 题目解析：给定二次函数，判断其图象开口方向是常见题型。
如y = 3x^2-2x + 1，因为a = 3>0，所以图象开口向上。
对于二次函数图象开口方向的理解，可以从二次函数的增减性角度来看，当a>0时，在对称轴左侧y随x的增大而减小，在对称轴右侧y随x的增大而增大；当a < 0时，在对称轴左侧y随x的增大而增大，在对称轴右侧y随x的增大而减小。
3. 二次函数的对称轴和顶点坐标- 对于二次函数y = ax^2+bx + c(a≠0)，其对称轴公式为x =-(b)/(2a)，顶点坐标公式为(-(b)/(2a),frac{4ac - b^2}{4a})。
- 例如，对于二次函数y = 2x^2-4x + 3，a = 2，b=-4，c = 3。
对称轴x=-(-4)/(2×2)=1，顶点纵坐标y=frac{4×2×3-(-4)^2}{4×2}=(24 - 16)/(8)=1，所以顶点坐标为(1,1)。
初三培优二次函数辅导专题训练及答案解析
初三培优二次函数辅导专题训练及答案解析一、二次函数1．如图，在直角坐标系xOy中，二次函数y=x2+（2k﹣1）x+k+1的图象与x轴相交于O、A两点．（1）求这个二次函数的解析式；（2）在这条抛物线的对称轴右边的图象上有一点B，使△AOB的面积等于6，求点B的坐标；（3）对于（2）中的点B，在此抛物线上是否存在点P，使∠POB=90°？若存在，求出点P 的坐标，并求出△POB的面积；若不存在，请说明理由．【答案】（1）y=x2﹣3x。
（2）点B的坐标为：（4，4）。
（3）存在；理由见解析；【解析】【分析】（1）将原点坐标代入抛物线中即可求出k的值，从而求得抛物线的解析式。
（2）根据（1）得出的抛物线的解析式可得出A点的坐标，也就求出了OA的长，根据△OAB的面积可求出B点纵坐标的绝对值，然后将符合题意的B点纵坐标代入抛物线的解析式中即可求出B点的坐标，然后根据B点在抛物线对称轴的右边来判断得出的B点是否符合要求即可。
（3）根据B点坐标可求出直线OB的解析式，由于OB⊥OP，由此可求出P点的坐标特点，代入二次函数解析式可得出P点的坐标．求△POB的面积时，求出OB，OP的长度即可求出△BOP的面积。
【详解】解：（1）∵函数的图象与x轴相交于O，∴0=k+1，∴k=﹣1。
∴这个二次函数的解析式为y=x2﹣3x。
（2）如图，过点B做BD⊥x轴于点D，令x 2﹣3x=0，解得：x=0或3。
∴AO=3。
∵△AOB 的面积等于6，∴12AO•BD=6。
∴BD=4。
∵点B 在函数y=x 2﹣3x 的图象上，∴4=x 2﹣3x ，解得：x=4或x=﹣1（舍去）。
又∵顶点坐标为：（ 1.5，﹣2.25），且2.25＜4，∴x 轴下方不存在B 点。
∴点B 的坐标为：（4，4）。
（3）存在。
∵点B 的坐标为：（4，4），∴∠BOD=45°，22BO 442=+=。
若∠POB=90°，则∠POD=45°。
九年级数学竞赛培优专题及答案 08 二次函数
专题08 二次函数阅读与思考二次函数是初中代数的重要内容，既有着应用非常广泛的丰富性质，又是进一步学习的基础，主要知识与方法有：1.二次函数解析式c bx ax y ++=2的系数符号，确定图象的大致位置.2.二次函数的图象是一条抛物线，抛物线的形状仅仅与a 有关，a b 2-与（ab2-，a b ac 442-）决定抛物线对称轴与顶点的位置.3.二次函数的解析式通常有下列三种形式： ①一般式：c bx ax y ++=2； ②顶点式n m x a y +-=2)(：；③交点式：))((21x x x x a y --=，其中1x ，2x 为方程02=++c bx ax 的两个实根. 用待定系数法求二次函数解析式，根据不同条件采用不同的设法，可使解题过程简捷.例题与求解【例1】 二次函数c bx ax y ++=2的图象如图所示，现有以下结论：①0>abc ；②c a b +<；③024>++c b a ；④b c 32<；⑤()()1≠+>+m b am m b a .其中正确的结论有（ ）A . 1个B . 2个C . 3个D . 4个 （天津市中考试题）解题思路：由抛物线的位置确定a ，b ，c 的符号，解题关键是对相关代数式的意义从函数角度理解并能综合推理.【例2】 若二次函数c bx ax y ++=2(a ≠0)的图象的顶点在第一象限，且过点（0，1）和（－1，0），则c b a S ++=的值的变化范围是（ ）A .0＜S ＜1B . 0＜S ＜2C . 1＜S ＜2D . －1＜S ＜1 （陕西省竞赛试题） 解题思路：设法将S 表示为只含一个字母的代数式，求出相应字母的取值范围，进而确定S 的值的变化范围.【例3】 某跳水运动员进行10米跳台跳水训练时，身体（看成一点）在空中的运动路线是如图所示的坐标系下经过原点O 的一条抛物线（图中标出的数据为已知条件）. 在跳某个规定动作时，正常情况下，该运动员在空中的最高处距水面3210米，入水处距池边的距离为4米，同时，运动员在距水面高度5米以前，必须完成规定的翻腾动作，并调整好入水姿势，否则就会失误.（1）求这条抛物线的解析式；（2）在某次试跳中，测得运动员在空中的运动路线是（1）中的抛物线，且运动员在空中调整好入水姿势时，距池边的水平距离为533米.此次跳水会不会失误？并通过计算说明理由. （河北省中考试题） 解题思路：对于（2），判断此次跳水会不会失误，关键时求出距池边的水平距离为533米时，该运动员与跳台的垂直距离.【例4】 如图，在直角坐标xOy 中，二次函数图象的顶点坐标为C （4，3 ），且在x 轴上截得的线段AB 的长为6.（1）求二次函数的解析式；（2）在y 轴上求作一点P （不写作法），使P A ＋PC 最小，并求P 点坐标；（3）在x 轴的上方的抛物线上，是否存在点Q ，使得以Q ，A ，B 三点为顶点的三角形与△ABC 相似？如果存在，求出点Q 的坐标；如果不存在，请说明理由. （泰州市中考试题） 解题思路：对于（1）、（2），运用对称方法求出A ，B ，P 点坐标；对于（3），由于未指明对应关系，需分类讨论.【例5】 如图，已知边长为4的正方形截去一个角后成为五边形ABCDE ，其中AF ＝2，BF ＝1.试在AB 上求一点P ，使矩形PNDM 有最大面积. （辽宁省中考试题） 解题思路：设DN ＝PM ＝x ，矩形PNDM 的面积为y ，建立y 与x 的函数关系式. 解题的关键是：最值点不一定是抛物线的顶点，应注意自变量的取值范围.PMF E DNCBA【例6】 将抛物线33:211+-=x y c 沿x 轴翻折，得抛物线2c ，如图所示.（1）请直接写出抛物线2c 的表达式.（2）现将抛物线1c 向左平移m 个单位长度，平移后得到的新抛物线的顶点为M ，与x 轴的交点从左到右依次为A ，B ；将抛物线2c 向右也平移移m 个单位长度，平移后得到的新抛物线的顶点为N ，与x 轴的交点从左到右依次为D ，E .①当B ，D 是线段AE 的三等分点时，求m 的值；②在平移过程中，是否存在以点A ，N ，E ，M 为顶点的四边形是矩形的情形？若存在，请求出此时m 的值；若不存在，请说明理由. （江西省中考试题）解题思路：把相应点的坐标用m 的代数式表示，由图形性质建立m 的方程. 因m 值不确定，故解题的关键是分类讨论.能力训练A 级1.已知抛物线9)2(2++-=x a x y 的顶点在坐标轴上，则a 的值为__________.2.已知抛物线c bx x y ++=2与y 轴交于点A ，与x 轴正半轴交于B ，C 两点，且BC ＝2，ABC S ∆＝3，则b ＝____________. （四川省中考试题）3.已知二次函数c bx ax y ++=2的图象如图所示. （1）这个二次函数的解析式是y ＝_________； （2）当x ＝________时，3=y ；（3）根据图象回答，当x _______时，0>y . （常州市中考试题） 4.已知二次函数的图象经过原点及点（21-，41-），且图象与x 轴的另一交点到原点的距离为1，则该二次函数的解析式为_______________. （安徽省中考试题） 5.二次函数c bx ax y ++=2与一次函数c ax y +=在同一坐标系中的图象大致是（ ）A B C D6.由于被墨水污染，一道数学题仅能见到如下文字：已知二次函数c bx x y ++=2的图象过点（1，0）……求证：这个二次函数的图象关于直线2=x 对称，根据现有信息，题中的二次函数图象不具有的性质是（ ）A .过点（3，0）B .顶点是（2，－2）C .在x 轴上截得的线段长度是2D .与y 轴的交点是（0，3） （盐城市中考试题） 7.如图，抛物线c bx ax y ++=2与两坐标轴的交点分别是A ，B ，E ，且△ABE 是等腰直角三角形，AE ＝BE ，则下列关系式不能总成立的是（ ） （大连市中考试题）A .0=bB . 2c S ABE =∆ C .1-=ac D .0=+c a第7题图 第8题图 8.如图，某中学的校门是一抛物线形水泥建筑物，大门的地面宽度为8米，两侧距地面4米处高各有一个挂校名横匾用的铁环，两铁环的水平距离为6米，则校门的高为（精确到0.1米，水泥建筑物厚度忽略不计）（ ）A .9.2米B .9.1米C .9米D .5.1米9.如图，是某防空部队进行射击训练时在平面直角坐标系中的示意图. 在地面O ，A 两个观测点测得空中固定目标C 的仰角分别为α和β，OA ＝1千米，tan α＝289, tan β＝83,位于O 点正上方35千米D点处的直升机向目标C 发射防空导弹，该导弹运行到达距地面最大高度3千米时，相应的水平距离为4千米（即图中E 点）.（1）若导弹运行为一抛物线，求抛物线的解析式；（2）说明按（1）中轨道运行的导弹能否击中目标的理由.（河北省中考试题）10.如图，已知△ABC 为正三角形，D ，E 分别是边AC 、BC 上的点（不在顶点），∠BDE ＝60°. （1）求证：△DEC ∽△BDA ；（2）若正三角形ABC 的边长为6，并设DC ＝x ，BE ＝y ，试求出y 与x 的函数关系式，并求BE 最短时，△BDE 的面积.CEDBA11.如图，在平面直角坐标系中，OB ⊥OA 且OB ＝2OA ，点A 的坐标是（－1，2）. （1）求点B 的坐标；（2）求过点A ，O ，B 的抛物线的解析式；（3）连结AB ，在（2）中的抛物线上求出点P ，使ABO ABP S S ∆∆=.(陕西省中考试题)12.如图，在平面直角坐标系中，抛物线n mx x y ++=2经过点A （3，0），B （0，－3）两点，点P 是直线AB 上一动点，过点P 作x 轴的垂线交抛物线于点M .设点P 的横坐标为t ；（1）分别求直线AB 和这条抛物线的解析式；（2）若点P 在第四象限，连结BM ，AM ，当线段PM 最长时，求△ABM 的面积；（3）是否存在这样的点P ，使得以点P ，M ，B ，O 为顶点的四边形为平行四边形？若存在，请直接写出点P 的横坐标；若不存在，请说明理由. （南宁市中考试题）B 级1.已知二次函数c x x y +-=62的图象顶点与坐标原点的距离为5，则c ＝________.2.如图，四边形ABCD 是矩形，A ，B 两点在x 的正半轴上，C ，D 两点在抛物线x x y 62+-=上.设OA 的长为m (0＜m ＜3).矩形ABCD 的周长为l ，则l 与m 的函数解析式为__________________. （昆明市中考试题）第2题图 第3题图 第4题图3.如图，在⊙O 的内接△ABC 中，AB ＋AC ＝12，AD ⊥BC ，垂足为D （点D 在边BC 上），且AD ＝3，当AB 的长等于________时, ⊙O 的面积最大，最大面积为___________.4.如图，已知二次函数)0(21≠++=a c bx ax y 与一次函数)0(2≠+=k m kx y 的图象相交于点A （－2，4），B （8，2），则能使21y y >成立的x 的取值范围时______________. (杭州市中考试题) 5.已知函数c bx ax y ++=2的图象如下图所示，则函数c ax y +=的图象只可能是（ ）（重庆市中考试题）A B C D6.已知二次函数cbxaxy++=2的图象如图所示，则下列6个代数式：ab，ac，cba++，cba+-，ba+2，ba-2中，其值为正的式子个数为 ( )A.2个B.3个C.4个D.4个以上（全国初中数学联赛试题）7.已知抛物线cbxaxy++=2（a≠0）的对称轴是2=x，且经过点P(3,0)则cba++的值为（）A.－1B.0C.1D.28.已知二次函数cbxaxy++=2（0>a）的对称轴是2=x，且当0,,2321===xxxπ时，二次函数y的值分别时321,,yyy，那么321,,yyy的大小关系是（）A.321yyy>>B.321yyy<<C.312yyy<<D.312yyy>>9.已知抛物线4)343(2++-=xmmxy与x轴交于两点A，B，与y轴交于C点，若△ABC是等腰三角形，求抛物线的解析式. （“新世纪杯”初中数学竞赛试题）10.如图，已知点M，N的坐标分别为（0，1），（0，－1），点P是抛物线241xy=上的一个动点. （1）判断以点P为圆心，PM为半径的圆与直线1-=y的位置关系；（2）设直线PM与抛物线241xy=的另一个交点为Q，连结NP，NQ，求证：∠PNM＝∠QNM.（全国初中数学竞赛试题）11.已知函数122--=x x y 的图象与x 轴相交于相异两点A ，B ，另一抛物线c bx ax y ++=2过点A ，B ，顶点为P ，且△APB 是等腰直角三角形，求a ，b ，c 的值. （天津市竞赛试题）12.如图1，点P 是直线22:--=x y l 上的点，过点P 的另一条直线m 交抛物线2x y =于A ，B 两点.（1）若直线m 的解析式为2321+-=x y ，求A ，B 两点的坐标； （2）如图2，①若点P 的坐标为（－2，t ），当P A ＝AB 时，请直接写出点A 的坐标；②试证明：对于直线l 上任意给定的一点P ，在抛物线上都能找到点A ，使得P A ＝AB 成立；（3）如图3，设直线l 交y 轴于点C ，若△AOB 的外心在边AB 上，且∠BPC ＝∠OCP ，求点P 的坐标. （武汉市中考试题）图1 图2 图3专题08 二次函数例1 C ．提示：③④⑤成立．对于④，当x ＝－l 时，y ＝a b c -+＜0，∴a c +＜b ．又∵2b a-＝1，则a ＝2b-代入上式，得2c＜3b ；对于⑤，当x ＝1时，max y ＝a b c ++，∴a b c ++＞2am bm c ++，则a b +＞()m am b +（m ≠1）． 例2 B ．提示：S ＝2b ，b ＞0，b ＝1a +，a ＜0． 例3 （1）O （0，0），B （2，—10），y ＝2251063x x -+． （2）x ＝3325-＝85时，y ＝163-，此时运动员距水面的高为10－163＝143＜5，故此次试跳会出现失误．例4 （1）y 24)x -；（2）P （0，；（3）由点点A （l ，0），C （4，，B （7，0）得∠BAC ＝∠ABC ＝30°，∠ACB ＝120°．①若以AB 为腰，∠BAQ 为顶角，使△ABQ ∽△CBA ，则Q （－2，；②若以BA 为腰，∠ABQ ′为顶角，由对称性得另一点Q ′（10，； ③若以AB 为底，AQ 、BQ 为腰．则Q 点在抛物线的对称轴上，舍去．例5 由NP BC CN -＝BF AF ，得34NP x --＝12，∴NP ＝152x -+，∴y ＝1(5)2x x -+＝21(5)12.52x --+（2≤x ≤4）．∵y 随x 的增大而增大，∴当x ＝4时，y 有最大值为21(45)12.52-⨯-+＝12．例6 （l ）y 2（2）①令2＝0，得1x ＝－1，2x ＝1，则抛物线1c 与x 轴的两个交点坐标为（－1，0），（1，0）．∴A （1m --，0），B （1m -，0）．同理可得D （1m -+，0），E （1m +，0）．当AD ＝13AE 时，如图1，(1)(1)m m -+---＝[]1(1)(1)3m m +---，∴m ＝12．当AB ＝13AE时，如图2，(1)(1)m m ----＝[]1(1)(1)3m m +---，∴m ＝2．∴当m ＝12或2时，B 、D 是线段AE 的三等分点．②存在．连结AN 、NE 、EM 、MA ，依题意可得M （m -，N （m，，即M 、N 关于原点O 对称，∴OM ＝ON ．∵A （1m --，0），E （1m +，0）．∴A 、E 关于原点O 对称，∴OA ＝OE ．∴四边形ANEM 为平行四边形．要使平行四边形ANEM 为矩形，必须满足OM ＝OA ，即22m +＝[]2(1)m ---，∴m ＝1．∴当m ＝1时，以点A 、N 、E 、M 为顶点的四边形是矩形．A 级1．－2，4或－8． 2．－43．（l ）22x x -；（2〉3或－1；（3）x ＜0或x ＞2． 4．y ＝2x x +或y ＝21133x x -+．提示：另一交点为（－1，0）或（1，0）． 5．D ． 6．B ． 7．D ． 8．B ．图1图29．（1）y ＝212123x x -++ ()()()()()()()()222159127,,.10.126346906.,,,281311.14,2,23.,221113,2,=,=022220BDE ABCABD CDEABP C y x x x S S S B y x x AB x P AB d S AB d OB AO d P x x x ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭<<=--==-==∴=∴-⇒=在抛物线上故导弹能击中目标略当x=3时BE=y 最短其值为此时S 由题意知轴设到距离为则的纵坐标只能是0或4令y 0得()()212, 3.0,0,3,0.,=4,x P y x =∴=符合条件的点为P 同理当的时候()()()()()()()()()()12342222233:0,0,3,0,,4,42212.13,232,3,,230339393233,,24241273332822ABMP P P y x y x x P t t M t t t t PM t t t t t t t PM SPM OA ⎛⎫⎛⎫+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭=-=-----<<⎛⎫=----=-+=-+∴= ⎪⎝⎭-=⨯=综上符合条件的点有4个P 设则则当时有最大值此时点P 的坐标为()22212:,,1239. 4.28 5. 6.7.8.9.0644,4;340,0,3,,33B O y AB x y x x x x x B A B B x y mx m x m x x y m π=-+≤≤<->=⎛⎫=-++=≠== ⎪⎝⎭级 1.13或5 2.ｌ＝-2m +8m+12 3.636提示设半径为长为则或当时当时解得即抛物线与轴的交点()()40,4,23,0,0.3x A B m ⎛⎫ ⎪⎝⎭C 与轴的个交点为①,94－=m －3,=34,=得由若m BC AC 244;9y x ∴=-+②()222122*********,35,,,443636633488443,3,437721.AC AB m m x y x x y x x m AC BC m y x x m =-===-∴=-+=-++=-==-∴=--+若由得或若由得故所求抛物线的解析式有上述三个()()()()2200022001110.1,, 1.441111=1,,441.2,,1,,.1,,,,1,P x x PM x P y x x P PM y P Q y H R PH PM QM QR PH MN QR y ⎛⎫===+ ⎪⎝⎭=---+∴=-=-===-∴设点的坐标为则又点到直线的距离为以点为圆心为半径的圆与直线相切如图分别过点作直线的垂线垂足分别为由知同理可得都垂直于直线()()()()()()()22,,,:4,0,4,0,44116,,0,4,0,4.4PH MNQM MP QR PHQR RN NH RN HNA B y ax bx c a x x a x APB P a =∴=∠∠∠∠-=++=+-=--=-于是因此Rt PHN Rt QRN,于是HNP=RNQ,从而PNM=QNM 11.提示是等腰直角三角形故点的坐标为分别求得()12221313120,412.1,,,22914x x y x b c y y y x ⎧⎧=-⎪==-+⎧⎪⎪==-∴⎨⎨⎨=⎩⎪⎪==⎩⎪⎩依题意得解得()()()()()()()()()()()()()1222222222239,,1,1.211,1,3,9.2:,24,,22,,.,2,222.,24220.=16822=81616818A B A A P B A a a A m m PA PB PAG BAH AG AH PG BH B m a m a B y x m am a a a a a a a a ⎛⎫--- ⎪⎝⎭--=∴≅∴==∴-++=-+--=---++=++证明过点分别作过点且平行于x 轴的直线的垂线垂足分别为G,H. 设P 将点代入抛物线得0,,.a m P A >∴无论为何值时关于的方程总有两个不相等的实数解即对于任意给定的点抛物线上总能找到两个满足条件的点()()()()()222223:0,,,,.,.,,.,90, 1.=0,=010,13.,2m y kx b k m m B n n A B AG BH x G HAOB AB AOB y kx b AG OHAGOOHB mn x kx b OG BH y xm n x kx b mn b b D BPC OCP DP DC P a a =+≠∴∠==+⎧=∴=---⎨=⎩--∴=-∴=∠=∠∴==--设直线交y 轴于点D 设A 过点两点分别作垂直于轴于的外心在上由得联立得依题意得是方程的两根即设()()()222222122,,121214,22130.555P PQ y Q Rt PDQ PQ DQ PD a a a a P ⊥+=⎛⎫+---=∴==-∴- ⎪⎝⎭过点作轴于在中即舍去。
第5讲 二次函数y=ax^2(a≠0)的图象与性质(培优课程讲义例题练习含答案)
二次函数y=ax2(a≠0)的图象与性质—知识讲解（提高）【学习目标】1．经历探索二次函数y=ax2和y=ax2＋c的图象的作法和性质的过程，进一步获得将表格、表达式、图象三者联系起来的经验．2．会作出y=ax2和y=ax2＋c的图象，并能比较它们与y=x2的异同，理解a与c对二次函数图象的影响．3．能说出y=ax2＋c与y=ax2图象的开口方向、对称轴和顶点坐标．4．体会二次函数是某些实际问题的数学模型．5.掌握二次函数y=ax2(a≠0)与y=ax2+c (a≠0)的图象之间的关系.【要点梳理】要点一、二次函数y=ax2（a≠0）的图象与性质1.二次函数y=ax2(a≠0)的图象二次函数y=ax2的图象（如图），是一条关于y轴对称的曲线，这样的曲线叫做抛物线.抛物线y=ax2（a≠0）的对称轴是y轴，它的顶点是坐标原点.当a＞ 0时，抛物线的开口向上，顶点是它的最低点；当a＜0时，抛物线的开口向下，顶点是它的最高点.2.二次函数y=ax2(a≠0)的图象的画法——描点法描点法画图的基本步骤：列表、描点、连线.（1）列表：选择自变量取值范围内的一些适当的x的值，求出相应的y值，填入表中.（自变量x 的值写在第一行，其值从左到右，从小到大.）（2）描点：以表中每对x和y的值为坐标，在坐标平面内准确描出相应的点.一般地，点取的越多，图象就越准确.（3）连线：按照自变量的值由小到大的顺序，把所描的点用平滑的曲线连结起来.要点诠释：（1）用描点法画二次函数y=ax2（a≠0）的图象时，应在顶点的左、右两侧对称地选取自变量x的值，然后计算出对应的y值.（2）二次函数y=ax 2(a≠0)的图象，是轴对称图形，对称轴是y 轴．y=ax 2(a≠0)是最简单的二次函数.（3）画草图时应抓住以下几点：开口方向，对称轴，顶点，与x 轴的交点，与y 轴的交点. 3.二次函数y=ax 2(a ≠0)的图象的性质二次函数y=ax 2（a≠0）的图象的性质，见下表： 函数 图象 开口方向 顶点坐标 对称轴 函数变化 最大（小）值y=ax 2a ＞0向上 （0，0） y 轴 x ＞0时，y 随x 增大而增大； x ＜0时，y 随x 增大而减小.当x=0时，y 最小=0y=ax 2a ＜0向下 （0，0） y 轴 x ＞0时，y 随x 增大而减小； x ＜0时，y 随x 增大而增大.当x=0时，y 最大=0要点诠释：顶点决定抛物线的位置.几个不同的二次函数，如果二次项系数a 相同，那么抛物线的开口方向、开口大小完全相同，只是顶点的位置不同. │a │相同，抛物线的开口大小、形状相同.│a │越大，开口越小，图象两边越靠近y 轴，│a │越小，开口越大，图象两边越靠近x 轴. 要点二、二次函数y=ax 2+c(a ≠0)的图象与性质 1.二次函数y=ax 2+c(a ≠0)的图象 （1）0a >j xOy()0y ax c c =+>cjyxOc()0y ax c c =+<（2）0a <2.二次函数y=ax 2+c(a ≠0)的图象的性质关于二次函数2(0)y ax c a =+≠的性质，主要从抛物线的开口方向、顶点、对称轴、函数值的增减性以及函数的最大值或最小值等方面来研究．下面结合图象，将其性质列表归纳如下：函数2(0,0)y ax c a c =+>> 2(0,0)y ax c a c =+<>图象开口方向 向上 向下 顶点坐标 (0，c) (0，c) 对称轴y 轴y 轴函数变化当0x >时，y 随x 的增大而增大；当0x <时，y 随x 的增大而减小.当0x >时，y 随x 的增大而减小；当0x <时，y 随x 的增大而增大.最大（小）值当0x =时，y c =最小值当0x =时，y c =最大值3.二次函数()20y axa =≠与()20y ax c a =+≠之间的关系()20y ax a =≠的图象向上（c ＞0）【或向下（c ＜0）】平移│c │个单位得到()20y ax c a =+≠的图象. 要点诠释：j yxOc()20y ax c c =+>j y xOc()0y ax c c =+<抛物线2(0)y ax c a =+≠的对称轴是y 轴，顶点坐标是(0，c)，与抛物线2(0)y ax a =≠的形状相同．函数2(0)y ax c a =+≠的图象是由函数2(0)y ax a =≠的图象向上（或向下）平移||c 个单位得到的，顶点坐标为(0，c)．抛物线y ＝ax 2(a ≠0)的对称轴、最值与顶点密不可分，其对称轴即为过顶点且与x 轴垂直的一条直线，其顶点横坐标x ＝0，抛物线平移不改变抛物线的形状，即a 的值不变，只是位置发生变化而已．【典型例题】类型一、二次函数y=ax 2（a ≠0）的图象与性质1．（•宁夏）已知a ≠0，在同一直角坐标系中，函数y=ax 与y=ax 2的图象有可能是（ ）A ．B ．C ．D ．【思路点拨】本题可先由一次函数y=ax 图象得到字母系数的正负，再与二次函数y=ax 2的图象相比较看是否一致．（也可以先固定二次函数y=ax 2图象中a 的正负，再与一次函数比较．） 【答案】C ；【解析】A 、函数y=ax 中，a ＞0，y=ax 2中，a ＞0，但当x=1时，两函数图象有交点（1，a ），故A 错误；B 、函数y=ax 中，a ＜0，y=ax 2中，a ＞0，故B 错误；C 、函数y=ax 中，a ＜0，y=ax 2中，a ＜0，但当x=1时，两函数图象有交点（1，a ），故C 正确；D 、函数y=ax 中，a ＞0，y=ax 2中，a ＜0，故D 错误． 故选：C ．【总结升华】解此类题的基本方法有两种：方法一，根据选项逐个验证；方法二，分a ＞0和a ＜0两种情况讨论直接找答案.但要注意图象的交点情况. 举一反三：【变式】在同一平面直角坐标系中，一次函数y ax c =+与二次函数2y ax c =+的图象大致为（ ）．【答案】B.2.根据下列条件求a 的取值范围：(1)函数y ＝(a-2)x 2，当x ＞0时，y 随x 的增大而减小，当x ＜0时，y 随x 的增大而增大； (2)函数y ＝(3a-2)x 2有最大值； (3)抛物线y ＝(a+2)x 2与抛物线212y x =-的形状相同； (4)函数2aay ax +=的图象是开口向上的抛物线．【思路点拨】根据二次函数y=2ax （a ≠0）的图形和性质，结合草图解决问题. 【答案与解析】(1)由题意得，a-2＜0，解得a ＜2． (2)由题意得，3a-2＜0，解得23a <． (3)由题意得，1|2|2a +=-，解得152a =-，232a =-． (4)由题意得，220a a a ⎧+=⎨>⎩，解得a 1＝-2，a 2＝1，但a ＞0，∴a ＝1．【总结升华】解答此类问题，要注意联想二次函数的图象和性质，抓住形状、开口、最值、增减性等特征，并结合草图去确定二次项系数的取值范围． 举一反三：【变式】二次函数y ＝mx 22-m 有最高点，则m ＝___________．【答案】-2.3. 二次函数223y x =的图象如图所示，点A 0位于坐标原点，点A 1，A 2，A 3，…，A 2013在y 轴的正半轴上，点B 1，B 2，B 3，…，B 2013在二次函数223y x =位于第一象限的图象上，若△A 0B 1A 1，△A 1B 2A 2，△A 2B 3A 3，…，△A 2012B 2013A 2013都为等边三角形，求△A 2012B 2013A 2013的边长．【思路点拨】分别求出△A 0A 1B 1，△A 1A 2B 2，△A 2A 3B 3的边长，找出边长的变化规律. 【答案与解析】如图所示，作B 1C 1⊥y 轴，垂足为C 1． ∵△A 0A 1B 1为等边三角形，∴∠A 0B 1C 1＝30°．设A 0C 1＝a ，则A 0B 1＝2a ，B 1C 1＝3a ．∴B 1(3a ，a )， ∴22(3)3a a =，∴12a =，∴011A B =． 作B 2C 2⊥y 轴，设A 1C 2＝m ，则A 1B 2＝2m ，C 2B 2＝3m ， ∴2(3,1)B m m +． ∴221(3)3m m +=． ∴2m 2-m-1＝0，即(2m+1)(m-1)＝0，∴m ＝1或12-(舍)． ∴A 1B 2＝2．同理可求A 2B 3＝3，A 3B 4＝4，… ∴△A 2012B 2013A 2013的边长为2013．【总结升华】在△A 0A 1B 1，△A 1A 2B 2，△A 2A 3B 3中，运用勾股定理表示出B 1、B 2、B 3的坐标，利用抛物线解析式223y x =建立等式是关键. 类型二、二次函数y=ax 2+c(a ≠0)的图象与性质4.（•江阴市校级二模）关于二次函数y=2x 2+3，下列说法中正确的是（ ） A. 它的开口方向是向下；B. 当x ＜﹣1时，y 随x 的增大而减小；C. 它的对称轴是x=2；D. 当x=0时，y 有最大值是3. 【答案】B. 【解析】A 、∵二次函数y=2x 2+3中，x=2＞0，∴此抛物线开口向上，故本选项错误；B 、∵抛物线的对称轴x=﹣=0，∴当x ＜﹣1时函数图象在对称轴左侧，y 随x 的增大而减小，故本选项正确；C 、抛物线的对称轴为x=0，故本选项错误；D 、∵抛物线开口向上，∴此函数有最小值，故本选项错误．故选B ．【总结升华】本题考查了二次函数的性质，主要涉及开口方向，对称轴，与y 轴的交点坐标，最值问题，熟记二次函数的性质是解题的关键．举一反三：【变式】如图所示，抛物线2(0)y ax c a =+<交x 轴于G 、F ，交y 轴于点D ，在x 轴上方的抛物线上有两点B 、E ，它们关于y 轴对称，点G 、B 在y 轴左侧，BA ⊥OG 于点A ，BC ⊥OD 于点C ．四边形OABC 与四边形ODEF 的面积分别为6和10，则△ABG 与△BCD 的面积之和为________．【答案】4.（提示：10-6=4.）5.有一个抛物线形的拱形隧道，隧道的最大高度为6m ，跨度为8m ，把它放在如图所示的平面直角坐标系中．（1）求这条抛物线所对应的函数关系式；（2）若要在隧道壁上点P （如图）安装一盏照明灯，灯离地面高4.5m ．求灯与点B 的距离．【思路点拨】（1）根据抛物线在坐标系的位置可设解析式：y=ax 2+6，把点A （-4，0）代入即可；（2）灯离地面高4.5m ，即y=4.5时，求x 的值，再根据P 点坐标，勾股定理求PB 的值. 【答案与解析】解：（1）由题意，设抛物线所对应的函数关系为y=ax 2+6（a ＜0），∵点A （-4，0）或B （4，0）在抛物线上，∴0=a•（-4）2+6， 16a+6=0，16a=-6，38a =-．故抛物线的函数关系式为2368y x =-+. （2）过点P 作PQ ⊥AB 于Q ，连接PB ，则PQ=4.5m ．将y=4.5代入2368y x =-+，得x=±2． ∴P （-2，4.5），Q （-2，0）， 于是|PQ|=4.5，|BQ|=6， 从而|PB|=224.567.5m += 所以照明灯与点B 的距离为7.5m ．【总结升华】本题考查建系确定点的坐标，应用二次函数解决实际问题，建系的方法不唯一.二次函数y=ax 2(a ≠0)的图象与性质—巩固练习（提高）【巩固练习】一、选择题1.若抛物线210(2)my m x -=+的开口向下，则m 的值为( )．A ．3B ．-3C ．23D ．23- 2.抛物线24y x =--的顶点坐标，对称轴分别是( )． A ．(2，0)，直线x ＝-4 B ．(-2，0)，直线x ＝4 C ．(1，3)，直线x ＝0 D ．(0，-4)，直线x ＝03.两条抛物线2y x =与2y x =-在同一坐标系内，下列说法中不正确的是（ ）A ．顶点相同B ．对称轴相同C ．开口方向相反D ．都有最小值 4.关于213y x =，2y x =，23y x =的图像，下列说法中不正确的是（ ） A ．顶点相同 B ．对称轴相同 C ．图像形状相同 D ．最低点相同5．（•市北区一模）在同一直角坐标系中，函数y=kx 2﹣k 和y=kx+k （k ≠0）的图象大致是（ ）.A. B. C. D.6.图中是一个横断面为抛物线形状的拱桥，当水面在l 处时，拱顶(拱桥洞的最高点)离水面2 m ， 水面宽4 m ．如图所示建立平面直角坐标系，则抛物线的解析式是( )．A ．22y x =- B ．22y x = C ．212y x =- D ．212y x = 二、填空题7.抛物线23y x =-的开口 ，对称轴是 ，顶点坐标是 ． 8.将抛物线2y x =-向上平移5个单位后，得到的抛物线的解析式是____ ____．9.已知(x 1，y 1)，(x 2，y 2)是抛物线2y ax =(a ≠0)上的两点．当210x x <<时，21y y <，则a 的取值范围是________．10. （•巴中模拟）对于二次函数y=ax 2，已知当x 由1增加到2时，函数值减少4，则常数a 的值是 ．11.抛物线2y ax c =+与23y x =的形状相同，其顶点坐标为（0，1），则其解析式为 ． 12．如图，⊙O 的半径为2，1C 是函数212y x =的图象，2C 是函数212y x =-的图象，则阴影部分的面积是 .三、解答题13．（•仙桃）如图是一个横断面为抛物线形状的拱桥，当水面宽4米时，拱顶（拱桥洞的最高点）离水面2米，水面下降1米时，水面的宽度为多少米？14.已知直线1y x =+与x 轴交于点A ，抛物线22y x =-的顶点平移后与点A 重合．(1)求平移后的抛物线C 的解析式；(2)若点B(1x ，1y )，C(2x ，2y )在抛物线C 上，且1212x x -<<，试比较1y ，2y 的大小．15. 已知正方形周长为Ccm ，面积为S cm 2． （1）求S 和C 之间的函数关系式，并画出图象； （2）根据图象，求出S=1 cm 2时，正方形的周长； （3）根据图象，求出C 取何值时，S ≥4 cm 2．【答案与解析】 一、选择题1.【答案】D ；【解析】依题意得m 2-10＝2且2+m ＜0，即m ＝±3m ＜-2，所以23m =-2．【答案】D ；【解析】由函数y=ax 2+c 的图象性质可得.3．【答案】D ；【解析】两条抛物线一个开口向上，有最小值，另一个开口向下，有最大值.4.【答案】C ；【解析】根据图象y=ax 2的性质，三个函数的顶点都是原点、对称轴都是y 轴、最低点都为0，由于a值不同，所以他们的图像形状不同.5.【答案】D ；【解析】A 、由一次函数y=kx+k 的图象可得：k ＞0，此时二次函数y=kx 2﹣kx 的图象应该开口向上，错误；B 、由一次函数y=kx+k 图象可知，k ＞0，此时二次函数y=kx 2﹣kx 的图象顶点应在y 轴的负半轴，错误；C 、由一次函数y=kx+k 可知，y 随x 增大而减小时，直线与y 轴交于负半轴，错误；D 、正确．故选：D ．6．【答案】C ；【解析】依题意知点(2，-2)在y ＝ax 2图象上，所以-2＝a ×22，12a =-．所以212y x =-． 二、填空题7．【答案】向下；y 轴；（0,0）.8．【答案】25y x =-+；【解析】根据平移规律：上加下减.9．【答案】a ＜0 ；【解析】∵x 2＜x 1＜0，y 2＜y 1，所以y 随x 的增大而增大，结合图象知，抛物线开口向下．10．【答案】43-. 【解析】当x=1时，y=ax 2=a ；当x=2时，y=ax 2=4a ，所以a ﹣4a=4，解得a=43-． 故答案为：43-． 11．【答案】y=3x 2+1或y=-3x 2+1.【解析】形状相同，说明a 相同，所以a=3±，再将顶点坐标（0，1）代入即可求出c.12．【答案】2π；【解析】根据抛物线的对称性，将x 轴下方的阴影翻到上方，正好形成一个半圆形，半圆的面积为21222ππ⨯=. 三、解答题13.【答案与解析】解：建立平面直角坐标系，设横轴x 通过AB ，纵轴y 通过AB 中点O 且通过C 点，则通过画图可得知O 为原点，抛物线以y 轴为对称轴，且经过A ，B 两点，OA 和OB 可求出为AB 的一半2米，抛物线顶点C 坐标为（0，2），通过以上条件可设顶点式y=ax 2+2，其中a 可通过代入A 点坐标（﹣2，0），到抛物线解析式得出：a=﹣0.5，所以抛物线解析式为y=﹣0.5x 2+2，当水面下降1米，通过抛物线在图上的观察可转化为：当y=﹣1时，对应的抛物线上两点之间的距离，也就是直线y=﹣1与抛物线相交的两点之间的距离， 可以通过把y=﹣1代入抛物线解析式得出：﹣1=﹣0.5x 2+2，解得：x=，所以水面宽度增加到米， 故答案为：． 14.【解析】（1）∵1y x =+，∴令0y =，则1x =-，∴(1,0)A -，即抛物线C 的顶点坐标为(1,0)-，又抛物线C 是由抛物线22y x =-平移得到的，∴2a =-，∴抛物线C 的解析式为22(1)y x =-+．（2）由（1）知，抛物线C 的对称轴为直线1x =-．∵20a =-<，∴当1x >-时，y 随x 的增大而减小，又∵12112x x -<-<<，∴12y y >． 15.【解析】解：（1）由题意，得)0(1612>=C C S ． 列表、描点、连线，图象如图： （2）根据图象得S=1cm 2时，正方形的周长是4cm ．（3）根据图象得，当C ≥8cm 时，S ≥4 cm 2．。
九年级上册数学同步培优：第5讲 二次函数存在性问题--尖子班
第5讲 二次函数存在性问题知识点1二次函数中直角三角形存在性问题二次函数y=ax 2+bx+c （a ，b ，c 是常数，a≠0）的三种表达形式分别为：一般式：y=ax 2+bx+c ，通常要知道图像上的三个点的坐标才能得出此解析式；顶点式：y=a （x －h ）2+k ，通常要知道顶点坐标或对称轴才能求出此解析式；交点式：y=a （x －x 1）（x －x 2），通常要知道图像与x 轴的两个交点坐标x 1，x 2才能求出此解析式；对于y=ax 2+bx+c 而言，其顶点坐标为（－2b a ，244ac b a ）．对于y=a （x －h ）2+k 而言其顶点坐标为（h ，k ）， 由于二次函数的图像为抛物线，因此关键要抓住抛物线的三要素：开口方向，对称轴，顶点．【典例】1.如图，已知抛物线y=x 2+bx+c 与x 轴交于A ，B 两点（点A 在点B 的左侧）与y 轴交于点C （0，﹣3），对称轴是直线x=1，直线BC 与抛物线的对称轴交于点D ，点E 为y 轴上一动点，CE 的垂直平分线交抛物线于P ，Q 两点（点P 在第三象限）（1）求抛物线的函数表达式和直线BC 的函数表达式；（2）当△CDE 是直角三角形，且∠CDE=90° 时，求出点P 的坐标；（3）当△PBC 的面积为时，求点E 的坐标．【方法总结】探究直角三角形的存在性问题时，具体方法如下：（1）先假设结论成立，根据直角顶点的不确定性，分情况讨论；（2）找点：当所给定长没有说明是直角三角形的斜边还是直角边时，需分情况讨论，具体方法如下：①当定长为直角三角形的直角边时，分别以定长的某一端点作定长的垂线，与数轴或抛物线有交点时，此交点即为符合条件的点；②当定长为直角三角形的斜边时，以此定长为直径作圆，圆弧与所求点满足条件的数轴或抛物线有交点时，此交点即为符合条件的点；（3）计算：把图形中的点坐标用含有自变量的代数式表示出来，从而表示出三角形的各个边（表示线段时，注意代数式的符号）。
初三二次函数综合测试题及答案
二次函数单元测评一、选择题(每题3分，共30分)1.下列关系式中，属于二次函数的是(x为自变量)( )A. B. C. D.2. 函数y=x2-2x+3的图象的顶点坐标是( )A. (1，-4)B.(-1，2)C. (1，2)D.(0，3)3. 抛物线y=2(x-3)2的顶点在( )A. 第一象限B. 第二象限C. x轴上D. y轴上二、4. 抛物线的对称轴是( )A. x=-2B.x=2C. x=-4D. x=45. 已知二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示，则下列结论中，正确的是(A. ab>0，c>0B. ab>0，c<0C. ab<0，c>0D. ab<0，c<06.二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示，则点在第___象限( ) A. 一B. 二C. 三 D. 四7. 如图所示，已知二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象的顶点P的横坐标是4，图象交x轴于点A(m，0)和点B，且m>4，那么AB的长是( )A. 4+mB. mC. 2m-8D. 8-2m8. 若一次函数y=ax+b 的图象经过第二、三、四象限，则二次函数y=ax 2+bx 的图象只可能是( )9. 已知抛物线和直线 在同一直角坐标系中的图象如图所示，抛物线的对称轴为直线x=-1，P 1(x 1，y 1)，P 2(x 2，y 2)是抛物线上的点，P 3(x 3，y 3)是直线 上的点，且-1<x 1<x 2，x 3<-1，则y 1，y 2，y 3的大小关系是( )A. y 1<y 2<y 3 B. y 2<y 3<y 1 C. y 3<y 1<y 2 D. y 2<y 1<y 3 10.把抛物线的图象向左平移2个单位，再向上平移3个单位，所得的抛物线的函数关系式是( ) A. B. C. D.二、填空题(每题4分，共32分)11. 二次函数y=x 2-2x+1的对称轴方程是______________.12. 若将二次函数y=x 2-2x+3配方为y=(x-h)2+k 的形式，则13. 若抛物线y=x2-2x-3与x轴分别交于A、B两点，则AB的长为_________.14. 抛物线y=x2+bx+c，经过A(-1，0)，B(3，0)两点，则这条抛物线的解析式为_____________.15. 已知二次函数y=ax2+bx+c的图象交x轴于A、B两点，交y轴于C点，且△ABC是直角三角形，请写出一个符合要求的二次函数解析式________________.(m/s)竖直向上抛物16. 在距离地面2m高的某处把一物体以初速度v出，在不计空气阻力的情况下，其上升高度s(m)与抛出时间t(s)满足：=10m/s，则该物体在运(其中g是常数，通常取10m/s2).若v动过程中最高点距地面_________m.17. 试写出一个开口方向向上，对称轴为直线x=2，且与y轴的交点坐标为(0，3)的抛物线的解析式为______________.的值是18. 已知抛物线y=x2+x+b2经过点，则y1三、解答下列各题(19、20每题9分，21、22每题10分，共38分)19. 若二次函数的图象的对称轴方程是，并且图象过A(0，-4)和B(4，0) (1)求此二次函数图象上点A关于对称轴对称的点A′的坐标(2)求此二次函数的解析式；20.在直角坐标平面内，点 O为坐标原点，二次函数 y=x2+(k-5)x-(k+4)的图象交 x轴于点A(x1，0)、B(x2，0)，且(x1+1)(x2+1)=-8.(1)求二次函数解析式；(2)将上述二次函数图象沿x轴向右平移2个单位，设平移后的图象与y轴的交点为C，顶点为P，求△POC的面积.21.已知：如图，二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴交于A、B两点，其中A点坐标为(-1，0)，点C(0，5)，另抛物线经过点(1，8)，M为它的顶点.(1)求抛物线的解析式；.(2)求△MCB的面积S△MCB1.考点：二次函数概念.选A.2.考点：求二次函数的顶点坐标.解析：法一，直接用二次函数顶点坐标公式求.法二，将二次函数解析式由一般形式转换为顶点式，即y=a(x-h)2+k的形式，顶点坐标即为(h，k)，y=x2-2x+3=(x-1)2+2，所以顶点坐标为(1，2)，答案选C.3. 考点：二次函数的图象特点，顶点坐标.解析：可以直接由顶点式形式求出顶点坐标进行判断，函数y=2(x-3)2的顶点为(3，0)，所以顶点在x轴上，答案选C.4. 考点：数形结合，二次函数y=ax2+bx+c的图象为抛物线，其对称轴为.解析：抛物线，直接利用公式，其对称轴所在直线为答案选B.5.考点：二次函数的图象特征.解析：由图象，抛物线开口方向向下，抛物线对称轴在y轴右侧，抛物线与y轴交点坐标为(0，c)点，由图知，该点在x轴上方，答案选C.6.考点：数形结合，由抛物线的图象特征，确定二次函数解析式各项系数的符号特征.解析：由图象，抛物线开口方向向下，抛物线对称轴在y轴右侧，抛物线与y轴交点坐标为(0，c)点，由图知，该点在x轴上方在第四象限，答案选D.7.考点：二次函数的图象特征.解析：因为二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象的顶点P的横坐标是4，所以抛物线对称轴所在直线为x=4，交x轴于点D，所以A、B两点关于对称轴对称，因为点A(m，0)，且m>4，所以AB=2AD=2(m-4)=2m-8，答案选C.8.考点：数形结合，由函数图象确定函数解析式各项系数的性质符号，由函数解析式各项系数的性质符号画出函数图象的大致形状.解析：因为一次函数y=ax+b的图象经过第二、三、四象限，所以二次函数y=ax2+bx的图象开口方向向下，对称轴在y轴左侧，交坐标轴于(0，0)点.答案选C.9. 考点：一次函数、二次函数概念图象与性质.解析：因为抛物线的对称轴为直线x=-1，且-1<x1<x2，当x>-1时，由图象知，y随x的增大而减小，所以y2<y1；又因为x3<-1，此时点P3(x3，y3)在二次函数图象上方，所以y2<y1<y3.答案选D.10.考点：二次函数图象的变化.抛物线的图象向左平移2个单位得到，再向上平移3个单位得到.答案选C.考点：二次函数性质.解析：二次函数y=x2-2x+1，所以对称轴所在直线方程.答案x=1.12.考点：利用配方法变形二次函数解析式.解析：y=x2-2x+3=(x2-2x+1)+2=(x-1)2+2.答案y=(x-1)2+2.13. 考点：二次函数与一元二次方程关系.解析：二次函数y=x2-2x-3与x轴交点A、B的横坐标为一元二次方程x2-2x-3=0的两个根，求得x1=-1，x2=3，则AB=|x2-x1|=4.答案为4.14.考点：求二次函数解析式.解析：因为抛物线经过A(-1，0)，B(3，0)两点，解得b=-2，c=-3，答案为y=x2-2x-3.15.考点：此题是一道开放题，求解满足条件的二次函数解析式，.解析：需满足抛物线与x轴交于两点，与y轴有交点，与△ABC是直角三角形，但没有确定哪个角为直角，答案不唯一，如：y=x2-1.16.考点：二次函数的性质，求最大值.解析：直接代入公式，答案：7.考点：此题是一道开放题，求解满足条件的二次函数解析式，答案不唯一.解析：如：y=x2-4x+3.18.考点：二次函数的概念性质，求值.答案：.19. 考点：二次函数的概念、性质、图象，求解析式.解析：(1)A′(3，-4)(2)由题设知：∴y=x2-3x-4为所求(3)20.考点：二次函数的概念、性质、图象，求解析式. 解析：(1)由已知x 1，x 2是x 2+(k-5)x-(k+4)=0的两根又∵(x 1+1)(x 2+1)=-8 ∴x 1x 2+(x 1+x 2)+9=0 ∴-(k+4)-(k-5)+9=0 ∴k=5∴y=x 2-9为所求(2)由已知平移后的函数解析式为： y=(x-2)2-9 且x=0时y=-5 ∴C(0，-5)，P(2，-9).21. 解：(1)依题意：。
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二次函数知识点总结一、二次函数概念:21二次函数的概念：一般地，形如y ax bx c（ a,b ,c是常数，a 0 ）的函数，叫做二次函数。
里需要强调：和一元二次方程类似，二次项系数 a 0,而b，c可以为零•二次函数的定义域是全体实数.92. 二次函数y ax bx c的结构特征：⑴等号左边是函数，右边是关于自变量x的二次式，x的最高次数是2.⑵a ,b, c是常数，a是二次项系数，b是一次项系数，c是常数项.二、二次函数的基本形式21.二次函数基本形式：y ax的性质:a的绝对值越大，抛物线的开口越小。
22. y ax c的性质:上加下减。
23. y a x h的性质:左加右减。
24. y ax hk 的性质: a 的符号开口方向 顶点坐标 对称轴 性质a 0向上h , kX=hx h 时，y 随x 的增大而增大；x h 时，y 随 x 的增大而减小；x h 时，y 有最小值k •a 0向下 h , k X=hx h 时，y 随x 的增大而减小；x h 时，y 随 x 的增大而增大；x h 时，y 有最大值k •三、二次函数图象的平移1.平移步骤：2⑴将抛物线解析式转化成顶点式 y a x h k ，确定其顶点坐标 h , k ；⑵ 保持抛物线y ax 2的形状不变，将其顶点平移到 h ，k 处，具体平移方法如下:当x 2a 时，y 随x 的增大而减小; y=ax 2 A y=ax 2+k向右(h>0)【或左(*0)] 平移|k|个单位y=a(x h)2向右(h>0)【或左(h<0)] 平移|k|个单位2.平移规律在原有函数的基础上 概括成八个字“左加右减,h 值正右移，负左移;上加下减” •k 值正上移，负下移”六、 四、二次函数从解析式上看,b a x2a二次函数1. 4ac b 24a，其中 ax 2 bx c 的性质当a 0时，抛物线开口向上，对称轴为2axax 2 bx c 的比较bx c 是两种不同的表达形式， 后者通过配方可以得到前者,4ac b 2 4a盘，顶点坐标为b 4ac b 22a ' 4a向上(k>0)【或向下(k<0)】平移|k|个单位向上(k>0)【或下(k<0)】 平移|k 个单位向右(h>0)【或左(h<0)] 平移|k|个单位2当x佥时，y随x的增大而增大;x2a 时，y有最小值4ac b 2 4a2•当a 0时，抛物线开口向下, 对称轴为 x —，顶点坐标为2a b 4ac b 2 、［/ b ”亠方，F .当x 茲时，y 随 x 的增大而增大；当x 2a 时,b 4ac b 2y 随x 的增大而减小；当x 亦时，y 有最大值 f 七、 1. 二次函数解析式的表示方法一般式：y ax 2bx c （ a , b , c 为常数，a 0）；2顶点式：y a （x h ） k （ a , h , k 为常数，a 0）; 两根式（交点式）：y a （x x i ）（x X 2） （ a 0,为,x ?是抛物线与x 轴两交点的横坐标） 2. 3. 注意：任何二次函数的解析式都可以化成一般式或顶点式，但并非所有的二次函数都可以写成交点式，只 有抛物线与x 轴有交点，即b 2 4ac 0时，抛物线的解析式才可以用交点式表示. 二次函数解析式的这三种形式可以互化.八、 1. ⑴ ⑵ 二次函数的图象与各项系数之间的关系二次项系数a当a 0时，抛物线开口向上， 当a 0时，抛物线开口向下， a 的值越大，开口越小，反之 a 的值越小，开口越大; a 的值越小，开口越小，反之 a 的值越大，开口越大.2. 一次项系数b在二次项系数a 确定的前提下, 3. 常数项c⑴当c ⑵当c ⑶当c总结起来， 0时, 0时, 0时, b 决定了抛物线的对称轴.（同左异右 b 为0对称轴为y 轴）抛物线与y 轴的交点在x 轴上方，即抛物线与 抛物线与抛物线与y 轴的交点在x 轴下方，即抛物线与 c决定了抛物线与y 轴交点的位置.y 轴的交点为坐标原点，即抛物线与y 轴交点的纵坐标为正； y轴交点的纵坐标为0 ； y 轴交点的纵坐标为负.九、二次函数与一元二次方程:i.二次函数与一元二次方程的关系（二次函数与 一二次方程ax 2 bx c 0是二次函数y x 轴的交点个数： 兀 图象与 ax 2 x 轴交点情况）： bx c 当函数值y 0时的特殊情况.2b 4ac 0时，图象与x 轴交于两点Ax 1 ,0 ，B x 2 ,0 (x 1X 2），其中的X i , x 是一元二次方2ax bx 0的两根.• 1' 2' 0时, 0时, 当a 当a x 轴只有一个交点;x 轴没有交点. 0时，图象落在 0时，图象落在 图象与 图象与 x 轴的上方，无论 x 轴的下方，无论 x 为任何实数, x 为任何实数, 都有都有2.抛物线y 2axbx c 的图象与y 轴一定相交，交点坐标为 （0 , c)；二次函数对应练习试题、选择题1.二次函数y2x 4x 7的顶点坐标是A.(2, —11)B. (-2, 7)C. (2, 11)D. (2, - 3)2.把抛物线y2x2向上平移1个单位, 得到的抛物线是（2A. y 2(x 1)B. y 2(x 2 21) C. y 2x 1 D. 2x2 12k3.函数y kx k和y （k 0）在同一直角坐标系中图象可能是图中的0）的图象如图所示,则下列结论：①a,b同号；②当x 1和x 3时，函数值相等；③4a b 0④当y 确的个数是（）A.1个B.2 个C. 35.已知二次函数y ax2 bx c(a由图象可知关于兀二次方程axA. — 1 .6.已知二次函数A.第一象限C.第三象限7.方程2x x2A.0个8.已知抛物线过点A. y x2C. y x22时,x的值只能取0.其中正个个D. 4B.-2.3C.-0.3D.-3.32ax bx c的图象如图所示, 则点（ac,bc）在（B.第二象限D.第四象限-的正根的个数为xB.1A(2,0),B(-1,0), x 2 或y x2C.2与y轴交于点B.x 2 D.C,且0C=2.则这条抛物线的解析式为y x2 x 22 、2y x x 2 或y x x 2二、填空题9•二次函数y x2 bx 3的对称轴是x 2，则b ______________ 。
浙教版数学九年级上册微专题突破《微专题5 二次函数性质综合型问题》
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(5)若a＝－1，b＝2，c＝－3，将该抛物线向左平移2个单位得到一 个新的抛物线，则自变量x在什么取值范围内时，上述两个抛物线 对应的函数值中恰好一个是随x的增大而增大，另一个随x的增大 而减小？
题型探究
解：(1)平移后的抛物线的表达式为y＝(x－2)2＋(1－m)(x－2)＋ m2＋2. ∵平移后的抛物线经过点A(0，3)， ∴3＝4－2＋2m＋m2＋2， ∴m2＋2m＋1＝0，∴m＝－1， ∴平移后的抛物线的表达式为y＝x2－4x＋4＋2x－4＋3＝x2－2x ＋3， ∴对称轴为直线x＝1.
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【思想方法】 解二次函数综合题时，要掌握二次函数图象的对称 性，函数的增减性，并能熟练地通过与坐标轴平行的直线和抛物线 的交点情况判断自变量的值与函数值的对应情况，从而灵活解决有 关取值范围的问题．
题型探究
【变式1】1．已知二次函数y＝ax2＋bx－3的图象经过点(1，－4)和 (－1，0). (1)求这个二次函数的表达式． (2)当x在什么范围内时，y随x增大而减小？该函数有最大值还是有 最小值？求出这个最值．
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∴设平移后的抛物线为 y＝－12(x－2＋m)2＋1－m， 令 x＝0，则 y＝－12(－2＋m)2＋1－m＝－21(m－1)2－21， ∴抛物线与 y 轴交点纵坐标有最大值－21. 若抛物线向右平移 m(m＞0)个单位，则同理可得抛物线与 y 轴交 点纵坐标有最大值－21.
题型探究
(5)∵y＝－x2＋2x－3＝－(x－1)2－2， ∴将二次函数y＝－x2＋2x－3的图象向左平移2个单位，得 到函数y＝－(x＋1)2－2. ∵二次函数y＝－(x－1)2－2的图象在x≤1时，y随x的增大 而增大，二次函数y＝－(x＋1)2－2的图象在x≥－1时，y随 x的增大而减小， ∴当－1≤x≤1时两个抛物线对应的函数值中恰好一个是随 x的增大而增大，另一个随x的增大而减小．
初三培优二次函数辅导专题训练及详细答案
初三培优二次函数辅导专题训练及详细答案一、二次函数1．已知：如图，抛物线y=ax2+bx+c与坐标轴分别交于点A（0，6），B（6，0），C（﹣2，0），点P是线段AB上方抛物线上的一个动点．（1）求抛物线的解析式；（2）当点P运动到什么位置时，△PAB的面积有最大值？（3）过点P作x轴的垂线，交线段AB于点D，再过点P做PE∥x轴交抛物线于点E，连结DE，请问是否存在点P使△PDE为等腰直角三角形？若存在，求出点P的坐标；若不存在，说明理由．【答案】（1）抛物线解析式为y=﹣12x2+2x+6；（2）当t=3时，△PAB的面积有最大值；（3）点P（4，6）．【解析】【分析】（1）利用待定系数法进行求解即可得；（2）作PM⊥OB与点M，交AB于点N，作AG⊥PM，先求出直线AB解析式为y=﹣x+6，设P（t，﹣12t2+2t+6），则N（t，﹣t+6），由S△PAB=S△PAN+S△PBN=12PN•AG+12PN•BM=12PN•OB列出关于t的函数表达式，利用二次函数的性质求解可得；（3）由PH⊥OB知DH∥AO，据此由OA=OB=6得∠BDH=∠BAO=45°，结合∠DPE=90°知若△PDE为等腰直角三角形，则∠EDP=45°，从而得出点E与点A重合，求出y=6时x的值即可得出答案．【详解】（1）∵抛物线过点B（6，0）、C（﹣2，0），∴设抛物线解析式为y=a（x﹣6）（x+2），将点A（0，6）代入，得：﹣12a=6，解得：a=﹣12，所以抛物线解析式为y=﹣12（x﹣6）（x+2）=﹣12x2+2x+6；（2）如图1，过点P作PM⊥OB与点M，交AB于点N，作AG⊥PM于点G，设直线AB 解析式为y=kx+b ，将点A （0，6）、B （6，0）代入，得：660b k b =⎧⎨+=⎩， 解得：16k b =-⎧⎨=⎩，则直线AB 解析式为y=﹣x+6，设P （t ，﹣12t 2+2t+6）其中0＜t ＜6， 则N （t ，﹣t+6），∴PN=PM ﹣MN=﹣12t 2+2t+6﹣（﹣t+6）=﹣12t 2+2t+6+t ﹣6=﹣12t 2+3t ， ∴S △PAB =S △PAN +S △PBN =12PN•AG+12PN•BM =12PN•（AG+BM ） =12PN•OB =12×（﹣12t 2+3t ）×6 =﹣32t 2+9t=﹣32（t ﹣3）2+272，∴当t=3时，△PAB 的面积有最大值； （3）如图2，∵PH⊥OB于H，∴∠DHB=∠AOB=90°，∴DH∥AO，∵OA=OB=6，∴∠BDH=∠BAO=45°，∵PE∥x轴、PD⊥x轴，∴∠DPE=90°，若△PDE为等腰直角三角形，则∠EDP=45°，∴∠EDP与∠BDH互为对顶角，即点E与点A重合，则当y=6时，﹣12x2+2x+6=6，解得：x=0（舍）或x=4，即点P（4，6）．【点睛】本题考查了二次函数的综合问题，涉及到待定系数法、二次函数的最值、等腰直角三角形的判定与性质等，熟练掌握和灵活运用待定系数法求函数解析式、二次函数的性质、等腰直角三角形的判定与性质等是解题的关键.2．童装店销售某款童装,每件售价为60元,每星期可卖100件,为了促销该店决定降价销售,经市场调查发现：每降价1元,每星期可多卖10件,已知该款童装每件成本30元,设降价后该款童装每件售价x元,每星期的销售量为y件.(1)降价后,当某一星期的销售量是未降价前一星期销售量的3倍时，求这一星期中每件童装降价多少元?(2)当每件售价定为多少元时,一星期的销售利润最大,最大利润是多少?【答案】（1）这一星期中每件童装降价20元；（2）每件售价定为50元时，一星期的销售利润最大，最大利润4000元．【解析】【分析】（1）根据售量与售价x（元/件）之间的关系列方程即可得到结论．（2）设每星期利润为W元，构建二次函数利用二次函数性质解决问题．【详解】解：（1）根据题意得，（60﹣x）×10+100＝3×100，解得：x＝40，60﹣40＝20元，答：这一星期中每件童装降价20元；（2）设利润为w，根据题意得，w＝（x﹣30）[（60﹣x）×10+100]＝﹣10x2+1000x﹣21000＝﹣10（x﹣50）2+4000，答：每件售价定为50元时，一星期的销售利润最大，最大利润4000元．【点睛】本题考查二次函数的应用，一元二次不等式，解题的关键是构建二次函数解决最值问题，利用图象法解一元二次不等式，属于中考常考题型．3．（2017南宁，第26题，10分）如图，已知抛物线2239y ax ax a =--与坐标轴交于A ，B ，C 三点，其中C （0，3），∠BAC 的平分线AE 交y 轴于点D ，交BC 于点E ，过点D 的直线l 与射线AC ，AB 分别交于点M ，N ．（1）直接写出a 的值、点A 的坐标及抛物线的对称轴；（2）点P 为抛物线的对称轴上一动点，若△PAD 为等腰三角形，求出点P 的坐标； （3）证明：当直线l 绕点D 旋转时，11AM AN+均为定值，并求出该定值．【答案】（1）a =13-，A 30），抛物线的对称轴为x 32）点P 的坐标为3034）；（33 【解析】试题分析：（1）由点C 的坐标为（0，3），可知﹣9a =3，故此可求得a 的值，然后令y =0得到关于x 的方程，解关于x 的方程可得到点A 和点B 的坐标，最后利用抛物线的对称性可确定出抛物线的对称轴；（2）利用特殊锐角三角函数值可求得∠CAO =60°，依据AE 为∠BAC 的角平分线可求得∠DAO =30°，然后利用特殊锐角三角函数值可求得OD =1，则可得到点D 的坐标．设点P 的3，a ）．依据两点的距离公式可求得AD 、AP 、DP 的长，然后分为AD =PA 、AD =DP 、AP =DP 三种情况列方程求解即可；（3）设直线MN 的解析式为y =kx +1，接下来求得点M 和点N 的横坐标，于是可得到AN 的长，然后利用特殊锐角三角函数值可求得AM 的长，最后将AM 和AN 的长代入化简即可．试题解析：（1）∵C （0，3），∴﹣9a =3，解得：a =13-．令y =0得：22390ax ax a --=，∵a ≠0，∴22390x x --=，解得：x =3x =33∴点A 30），B （330），∴抛物线的对称轴为x 3（2）∵OA 3OC =3，∴tan ∠CAO 3∴∠CAO =60°．∵AE 为∠BAC 的平分线，∴∠DAO =30°，∴DO =33AO =1，∴点D 的坐标为（0，1）． 设点P 的坐标为（3，a ）．依据两点间的距离公式可知：AD 2=4，AP 2=12+a 2，DP 2=3+（a ﹣1）2． 当AD =PA 时，4=12+a 2，方程无解．当AD =DP 时，4=3+（a ﹣1）2，解得a =0或a =2（舍去），∴点P 的坐标为（3，0）． 当AP =DP 时，12+a 2=3+（a ﹣1）2，解得a =﹣4，∴点P 的坐标为（3，﹣4）． 综上所述，点P 的坐标为（3，0）或（3，﹣4）．（3）设直线AC 的解析式为y =mx +3，将点A 的坐标代入得：330m -+=，解得：m =3，∴直线AC 的解析式为33y x =+． 设直线MN 的解析式为y =kx +1．把y =0代入y =kx +1得：kx +1=0，解得：x =1k -，∴点N 的坐标为（1k-，0），∴AN =13k-+=31k -．将33y x =+与y =kx +1联立解得：x =3k -，∴点M 的横坐标为3k -．过点M 作MG ⊥x 轴，垂足为G ．则AG =33k +-．∵∠MAG =60°，∠AGM =90°，∴AM =2AG 33k +-233k k -，∴11AM AN +323231k k k ---33232k k --3(32(31)k k -3点睛：本题主要考查的是二次函数的综合应用，解答本题主要应用了待定系数法求一次函数、二次函数的解析式，分类讨论是解答问题（2）的关键，求得点M 的坐标和点N 的坐标是解答问题（3）的关键．4．如图，过()A 1,0、()B 3,0作x 轴的垂线，分别交直线y 4x =-于C 、D 两点.抛物线2y ax bx c =++经过O 、C 、D 三点．()1求抛物线的表达式；()2点M 为直线OD 上的一个动点，过M 作x 轴的垂线交抛物线于点N ，问是否存在这样的点M ，使得以A 、C 、M 、N 为顶点的四边形为平行四边形？若存在，求此时点M 的横坐标；若不存在，请说明理由；()3若AOC V 沿CD 方向平移(点C 在线段CD 上，且不与点D 重合)，在平移的过程中AOC V 与OBD V 重叠部分的面积记为S ，试求S 的最大值．【答案】（1）2413y x x 33=-+；（2）32或3322+或3322-；（3）13． 【解析】 【分析】（1）利用待定系数法求出抛物线的解析式；（2）由题意，可知MN ∥AC ，因为以A 、C 、M 、N 为顶点的四边形为平行四边形，则有MN =AC =3．设点M 的横坐标为x ，则求出MN =|43x 2﹣4x |；解方程|43x 2﹣4x |=3，求出x 的值，即点M 横坐标的值；（3）设水平方向的平移距离为t （0≤t ＜2），利用平移性质求出S 的表达式：S 16=-（t ﹣1）213+；当t =1时，s 有最大值为13． 【详解】（1）由题意，可得C （1，3），D （3，1）．∵抛物线过原点，∴设抛物线的解析式为：y =ax 2+bx ，∴3931a b a b +=⎧⎨+=⎩，解得43133a b ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，∴抛物线的表达式为：y 43=-x 2133+x ． （2）存在．设直线OD 解析式为y =kx ，将D （3，1）代入，求得k 13=，∴直线OD 解析式为y 13=x ． 设点M 的横坐标为x ，则M （x ，13x ），N （x ，43-x 2133+x ），∴MN =|y M ﹣y N |=|13x ﹣（43-x 2133+x ）|=|43x 2﹣4x |． 由题意，可知MN ∥AC ，因为以A 、C 、M 、N 为顶点的四边形为平行四边形，则有MN =AC =3，∴|43x 2﹣4x |=3．若43x 2﹣4x =3，整理得：4x 2﹣12x ﹣9=0，解得：x =或x = 若43x 2﹣4x =﹣3，整理得：4x 2﹣12x +9=0，解得：x 32=，∴存在满足条件的点M ，点M 的横坐标为：32． （3）∵C （1，3），D （3，1），∴易得直线OC 的解析式为y =3x ，直线OD 的解析式为y 13=x ． 如解答图所示，设平移中的三角形为△A 'O 'C '，点C '在线段CD 上． 设O 'C '与x 轴交于点E ，与直线OD 交于点P ； 设A 'C '与x 轴交于点F ，与直线OD 交于点Q ．设水平方向的平移距离为t （0≤t ＜2），则图中AF =t ，F （1+t ，0），Q （1+t ，1133+t ），C '（1+t ，3﹣t ）．设直线O 'C '的解析式为y =3x +b ，将C '（1+t ，3﹣t ）代入得：b =﹣4t ，∴直线O 'C '的解析式为y =3x ﹣4t ，∴E （43t ，0）． 联立y =3x ﹣4t 与y 13=x ，解得：x 32=t ，∴P （32t ，12t ）． 过点P 作PG ⊥x 轴于点G ，则PG 12=t ，∴S =S △OFQ ﹣S △OEP 12=OF •FQ 12-OE •PG 12=（1+t ）（1133+t ）12-•43t •12t 16=-（t ﹣1）213+当t =1时，S 有最大值为13，∴S 的最大值为13．【点睛】本题是二次函数压轴题，综合考查了二次函数的图象与性质、待定系数法、函数图象上点的坐标特征、平行四边形、平移变换、图形面积计算等知识点，有一定的难度．第（2）问中，解题的关键是根据平行四边形定义，得到MN =AC =3，由此列出方程求解；第（3）问中，解题的关键是求出S 的表达式，注意图形面积的计算方法．5．在平面直角坐标系中，O 为原点，抛物线233(0)2y ax x a =-≠经过点3,3)A -，对称轴为直线l ，点O 关于直线l 的对称点为点B .过点A 作直线//AC x 轴，交y 轴于点C .（Ⅰ）求该抛物线的解析式及对称轴；（Ⅱ）点P 在y 轴上，当PA PB +的值最小时，求点P 的坐标； （Ⅲ）抛物线上是否存在点Q ，使得13AOC AOQ S S ∆∆=，若存在，求出点Q 的坐标；若不存在，请说明理由.【答案】（Ⅰ）抛物线的解析式为21332y x x =-;抛物线的对称轴为直线33x =;（Ⅱ）P 点坐标为9(0,)4-;（Ⅲ）存在，Q 点坐标为(33,0)或(23,15)-，理由见解析 【解析】 【分析】（Ⅰ）将3,3)A -点代入二次函数的解析式，即可求出a ，再根据对称轴的公式即可求解.（Ⅱ）先求出B 点胡坐标，要求PA PB +胡最小值，只需找到B 关于轴的对称点1B ，则直线A 1B 与y 轴的交点就是点P ，根据待定系数法求出AB 1的解析式，令y=0，即可求出P 点的坐标.（Ⅲ）设点Q 的坐标，并求出△AOQ 面积，从而得到△AOQ 面积，根据Q 点胡不同位置进行分类，用m 及割补法求出面积方程，即可求解. 【详解】 （Ⅰ）∵2(0)2y ax x a =-≠经过点3)A -，∴23a -=⨯12a =，∴抛物线的解析式为212y x x =，∵21222b x a -=-=-=⨯ ∴抛物线的对称轴为直线2x =. （Ⅱ）∵点(0,0)O，对称轴为x =， ∴点O 关于对称轴的对称点B点坐标为. 作点B 关于轴的对称点1B，得1(B -， 设直线AB 1的解析式为y kx b =+，把点3)A -，点1(B -代入得30bb⎧-=+⎪⎨=-+⎪⎩，解得494k b ⎧=-⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩，∴94y x =-.∴直线944y x =--与y 轴的交点即为P 点. 令0x =得9y 4=-， ∵P 点坐标为9(0,)4-.（Ⅲ）∵3)A -，//AC x 轴，∴AC =3OC =，∴11322AOC S OC AC ∆=⋅=⋅=又∵13AOC AOQ S S ∆∆=，∴3AOQ AOC S S ∆∆==.设Q 点坐标为2133(,)22m m m -， 如图情况一，作QR CA ⊥，交CA 延长线于点R ， ∵93AOQ AOC AQR OCRQ S S S S ∆∆∆=--=梯形， ∴()21133113333322222m m m m ⎛⎫⋅+-+-⋅⋅- ⎪ ⎪⎭-⎝2133933222m m ⎛⎫-+= ⎪ ⎪⎝⎭， 化简整理得23180m m --=， 解得133m =，223m =-.如图情况二，作QN AC ⊥，交AC 延长线于点N ，交x 轴于点M ， ∵93AOQ AQN QMO OMNA S S S S ∆∆∆=--=梯形 ∴2211331133(3m)3()2222m m m ⎛⎫⎛⎫+-- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭393(3)2m m --+=，化简整理得23180m m -=， 解得133m =223m =- ∴Q 点坐标为(33,0)或(23,15)-， ∴抛物线上存在点Q ，使得13AOC AOQ S S ∆∆=.【点睛】主要考查了二次函数的性质，以及求两边和的最小值，面积等常见的题型，计算量较大，但难度不是很大.6．如图，在平面直角坐标系中，二次函数2y ax bx c =++交x 轴于点()4,0A -、()2,0B ，交y 轴于点()0,6C ，在y 轴上有一点()0,2E -，连接AE .（1）求二次函数的表达式；（2）若点D 为抛物线在x 轴负半轴上方的一个动点，求ADE ∆面积的最大值； （3）抛物线对称轴上是否存在点P ，使AEP ∆为等腰三角形，若存在，请直接写出所有P 点的坐标，若不存在请说明理由.【答案】（1）二次函数的解析式为233642y x x =--+；（2）当23x =-时，ADE ∆的面积取得最大值503；（3）P 点的坐标为()1,1-，(1,11-，(1,219--. 【解析】分析：（1）把已知点坐标代入函数解析式，得出方程组求解即可；（2）根据函数解析式设出点D 坐标，过点D 作DG ⊥x 轴，交AE 于点F ，表示△ADE 的面积，运用二次函数分析最值即可；（3）设出点P 坐标，分PA =PE ，PA =AE ，PE =AE 三种情况讨论分析即可．详解：（1）∵二次函数y =ax 2+bx +c 经过点A （﹣4，0）、B （2，0），C （0，6），∴1640 4206a b ca b cc-+=⎧⎪++=⎨⎪=⎩，解得：3 4 3 26abc⎧=-⎪⎪⎪=-⎨⎪=⎪⎪⎩，所以二次函数的解析式为：y=233642x x--+；（2）由A（﹣4，0），E（0，﹣2），可求AE所在直线解析式为y=122x--，过点D作DN⊥x轴，交AE于点F，交x轴于点G，过点E作EH⊥DF，垂足为H，如图，设D（m，233642m m--+），则点F（m，122m--），∴DF=233642m m--+﹣（122m--）=2384m m--+，∴S△ADE=S△ADF+S△EDF=12×DF×AG+12DF×EH=12×DF×AG+12×DF×EH=12×4×DF=2×（2384m m--+）=23250233m-++（），∴当m =23-时，△ADE 的面积取得最大值为503． （3）y =233642x x --+的对称轴为x =﹣1，设P （﹣1，n ），又E （0，﹣2），A （﹣4，0），可求PA PE AE =，分三种情况讨论：当PA =PE n =1，此时P （﹣1，1）；当PA =AE =n =，此时点P 坐标为（﹣1，）；当PE =AE =n =﹣2P 坐标为：（﹣1，﹣2）．综上所述：P 点的坐标为：（﹣1，1），（﹣1，1，﹣2）． 点睛：本题主要考查二次函数的综合问题，会求抛物线解析式，会运用二次函数分析三角形面积的最大值，会分类讨论解决等腰三角形的顶点的存在问题时解决此题的关键．7．已知抛物线2y ax bx c =++上有两点M (m +1，a )、N (m ，b ).(1)当a ＝－1，m ＝1时，求抛物线2y ax bx c =++的解析式；(2)用含a 、m 的代数式表示b 和c ；(3)当a ＜0时，抛物线2y ax bx c =++满足24b ac a -=，2b c a +≥，34m ≤-， 求a 的取值范围. 【答案】（1）11b c =⎧⎨=⎩；（2）b=-am ，c=-am ；（3）161393a -≤≤- 【解析】【分析】（1）根据题意得到M (2，－1)、N (1，b )，代入抛物线解析式即可求出b 、c ；（2）将点M (m +1，a )、N (m ，b )代入抛物线2y ax bx c =++，可得22(1)(1)a m b m c a am bm c b ⎧++++=⎨++=⎩，化简即可得出；（3）把b am =-，c am =-代入24b ac a -=可得214a m m=+，把b am =-，c am =-代入2b c a +≥可得1m ≥-，然后根据m 的取值范围可得a 的取值范围.【详解】解：(1)∵a ＝－1，m ＝1，∴M (2，－1)、N (1，b )由题意，得4211b c b c b -++=-⎧⎨-++=⎩，解，得11b c =⎧⎨=⎩(2) ∵点M (m +1，a )、N (m ，b )在抛物线2y ax bx c =++上22(1)(1)a m b m c a am bm c b ⎧++++=⎨++=⎩①②①－②得，2am b b +=-，∴b am =-把b am =-代入②，得c am =- (3)把b am =-，c am =-代入24b ac a -=得2224a m a m a +=0a <Q ，22141,4am am a m m∴+=∴=+ 把b am =-，c am =-代入2b c a +≥得22am a -≥，1m ∴≥-34m Q ≤-，314m ∴-≤≤- 224(2)4m m m +=+-Q ，当2m >-时，24m m +随m 的增大而增大2393416m m ∴-≤+≤-216113943m m ∴-≤≤-+ 即161393a -≤≤- 【点睛】本题考查待定系数法求函数解析式以及二次函数的图像和性质，由函数图像上点的坐标特征求出b am =-，c am =-是解题关键.8．综合与探究如图，抛物线26y ax bx =++经过点A(-2,0)，B(4,0)两点，与y 轴交于点C ，点D 是抛物线上一个动点，设点D 的横坐标为(14)m m <<.连接AC ，BC ，DB ，DC ．(1)求抛物线的函数表达式；(2)△BCD 的面积等于△AOC 的面积的34时，求m 的值； (3)在(2)的条件下，若点M 是x 轴上的一个动点，点N 是抛物线上一动点，试判断是否存在这样的点M,使得以点B ，D ，M ，N 为顶点的四边形是平行四边形，若存在，请直接写出点M 的坐标；若不存在，请说明理由.【答案】(1)233642y x x =-++；(2)3；(3)1234(8,0),(0,0),(14,0),(14,0)M M M M -. 【解析】【分析】 (1)利用待定系数法进行求解即可；(2)作直线DE ⊥x 轴于点E ，交BC 于点G ，作CF ⊥DE ，垂足为F ，先求出S △OAC =6，再根据S △BCD =34S △AOC ，得到S △BCD =92，然后求出BC 的解析式为362y x =-+，则可得点G 的坐标为3(,6)2m m -+，由此可得2334DG m m =-+，再根据S △BCD =S △CDG +S △BDG =12DG BO ⋅⋅，可得关于m 的方程，解方程即可求得答案； (3)存在，如下图所示，以BD 为边或者以BD 为对角线进行平行四边形的构图，以BD 为边时，有3种情况，由点D 的坐标可得点N 点纵坐标为±154，然后分点N 的纵坐标为154和点N 的纵坐标为154-两种情况分别求解；以BD 为对角线时，有1种情况，此时N 1点与N 2点重合，根据平行四边形的对边平行且相等可求得BM 1=N 1D=4，继而求得OM 1= 8，由此即可求得答案.【详解】(1)抛物线2y ax bx c =++经过点A(-2,0)，B(4,0)，∴426016460a b a b -+=⎧⎨++=⎩， 解得3432a b ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩， ∴抛物线的函数表达式为233642y x x =-++； (2)作直线DE ⊥x 轴于点E ，交BC 于点G ，作CF ⊥DE ，垂足为F ，∵点A 的坐标为(-2,0)，∴OA=2，由0x =，得6y =，∴点C 的坐标为(0,6)，∴OC=6，∴S △OAC =1126622OA OC ⋅⋅=⨯⨯=， ∵S △BCD =34S △AOC ， ∴S △BCD =39642⨯=， 设直线BC 的函数表达式为y kx n =+，由B ，C 两点的坐标得406k n n +=⎧⎨=⎩，解得326k n ⎧=-⎪⎨⎪=⎩， ∴直线BC 的函数表达式为362y x =-+， ∴点G 的坐标为3(,6)2m m -+， ∴2233336(6)34224DG m m m m m =-++--+=-+， ∵点B 的坐标为(4,0)，∴OB=4，∵S △BCD =S △CDG +S △BDG =1111()2222DG CF DG BE DG CF BE DG BO ⋅⋅+⋅⋅=⋅+=⋅⋅， ∴S △BCD =22133346242m m m m -+⨯=-+（）， ∴239622m m -+=， 解得11m =(舍)，23m =，∴m 的值为3；(3)存在，如下图所示，以BD 为边或者以BD 为对角线进行平行四边形的构图， 以BD 为边时，有3种情况，∵D 点坐标为15(3,)4，∴点N 点纵坐标为±154， 当点N 的纵坐标为154时，如点N 2，此时233156424x x -++=，解得：121,3x x =-=(舍)， ∴215(1,)4N -，∴2(0,0)M ； 当点N 的纵坐标为154-时，如点N 3，N 4， 此时233156424x x -++=-，解得：12114,114x x =-=+ ∴315(114,)4N +-，415(114,)4N --， ∴3(14,0)M ，4(14,0)M -；以BD 为对角线时，有1种情况，此时N 1点与N 2点重合，∵115(1,)4N -，D(3，154)， ∴N 1D=4，∴BM 1=N 1D=4，∴OM 1=OB+BM 1=8，∴M 1(8，0)， 综上，点M 的坐标为：1234(80)(00)(140)(140)M M M M -，，，，，，，.【点睛】本题考查的是二次函数的综合题，涉及了待定系数法、三角形的面积、解一元二次方程、平行四边形的性质等知识，运用了数形结合思想、分类讨论思想等数学思想，熟练掌握和灵活运用相关知识是解题的关键.9．如图：在平面直角坐标系中，直线l ：y=13x ﹣43与x 轴交于点A ，经过点A 的抛物线y=ax 2﹣3x+c 的对称轴是x=32．（1）求抛物线的解析式；（2）平移直线l 经过原点O ，得到直线m ，点P 是直线m 上任意一点，PB ⊥x 轴于点B ，PC ⊥y 轴于点C ，若点E 在线段OB 上，点F 在线段OC 的延长线上，连接PE ，PF ，且PE=3PF ．求证：PE ⊥PF ；（3）若（2）中的点P 坐标为（6，2），点E 是x 轴上的点，点F 是y 轴上的点，当PE ⊥PF 时，抛物线上是否存在点Q ，使四边形PEQF 是矩形？如果存在，请求出点Q 的坐标，如果不存在，请说明理由．【答案】（1）抛物线的解析式为y=x 2﹣3x ﹣4；（2）证明见解析；（3）点Q 的坐标为（﹣2，6）或（2，﹣6）．【解析】【分析】（1）先求得点A 的坐标，然后依据抛物线过点A ，对称轴是x=32列出关于a 、c 的方程组求解即可；（2）设P （3a ，a ），则PC=3a ，PB=a ，然后再证明∠FPC=∠EPB ，最后通过等量代换进行证明即可；（3）设E （a ，0），然后用含a 的式子表示BE 的长，从而可得到CF 的长，于是可得到点F 的坐标，然后依据中点坐标公式可得到22x x x x Q P F E ++=，22y y y y Q P F E ++=，从而可求得点Q 的坐标（用含a 的式子表示），最后，将点Q 的坐标代入抛物线的解析式求得a 的值即可．【详解】（1）当y=0时，14033x -=，解得x=4，即A （4，0），抛物线过点A ，对称轴是x=32，得161203322a c a -+=⎧⎪-⎨-=⎪⎩， 解得14a c =⎧⎨=-⎩，抛物线的解析式为y=x 2﹣3x ﹣4；（2）∵平移直线l 经过原点O ，得到直线m ，∴直线m 的解析式为y=13x ． ∵点P 是直线1上任意一点， ∴设P （3a ，a ），则PC=3a ，PB=a ．又∵PE=3PF ， ∴PC PB PF PE=． ∴∠FPC=∠EPB ． ∵∠CPE+∠EPB=90°，∴∠FPC+∠CPE=90°，∴FP ⊥PE ．（3）如图所示，点E 在点B 的左侧时，设E （a ，0），则BE=6﹣a ．∵CF=3BE=18﹣3a ，∴OF=20﹣3a ．∴F （0，20﹣3a ）．∵PEQF 为矩形，∴22x x x x Q P F E ++=，22y y y y Q P F E ++=， ∴Q x +6=0+a ，Q y +2=20﹣3a+0，∴Q x =a ﹣6，Q y =18﹣3a ． 将点Q 的坐标代入抛物线的解析式得：18﹣3a=（a ﹣6）2﹣3（a ﹣6）﹣4，解得：a=4或a=8（舍去）．∴Q （﹣2，6）．如下图所示：当点E 在点B 的右侧时，设E （a ，0），则BE=a ﹣6．∵CF=3BE=3a ﹣18，∴OF=3a ﹣20．∴F （0，20﹣3a ）．∵PEQF 为矩形， ∴22x x x x Q P F E ++=，22y y y y Q P F E ++=， ∴Q x +6=0+a ，Q y +2=20﹣3a+0，∴Q x =a ﹣6，Q y =18﹣3a ． 将点Q 的坐标代入抛物线的解析式得：18﹣3a=（a ﹣6）2﹣3（a ﹣6）﹣4，解得：a=8或a=4（舍去）．∴Q （2，﹣6）．综上所述，点Q 的坐标为（﹣2，6）或（2，﹣6）．【点睛】本题主要考查的是二次函数的综合应用，解答本题主要应用了矩形的性质、待定系数法求二次函数的解析式、中点坐标公式，用含a 的式子表示点Q 的坐标是解题的关键．10．某商场销售一种商品的进价为每件30元，销售过程中发现月销售量y （件）与销售单价x （元）之间的关系如图所示．（1）根据图象直接写出y 与x 之间的函数关系式．（2）设这种商品月利润为W （元），求W 与x 之间的函数关系式．（3）这种商品的销售单价定为多少元时，月利润最大？最大月利润是多少？【答案】（1）y ＝180(4060)3300(6090)x x x x -+≤≤⎧⎨-+<≤⎩；（2）W ＝222105400(4060)33909000(6090)x x x x x x ⎧-+-≤≤⎨-+-<≤⎩;（3）这种商品的销售单价定为65元时，月利润最大，最大月利润是3675．【解析】【分析】（1）当40≤x≤60时，设y 与x 之间的函数关系式为y=kx+b ，当60＜x≤90时，设y 与x 之间的函数关系式为y=mx+n ，解方程组即可得到结论；（2）当40≤x≤60时，当60＜x≤90时，根据题意即可得到函数解析式；（3）当40≤x≤60时，W=-x 2+210x-5400，得到当x=60时，W 最大=-602+210×60-5400=3600，当60＜x≤90时，W=-3x 2+390x-9000，得到当x=65时，W 最大=-3×652+390×65-9000=3675，于是得到结论．【详解】解：（1）当40≤x ≤60时，设y 与x 之间的函数关系式为y ＝kx +b ，将（40，140），（60，120）代入得4014060120k b k b +=⎧⎨+=⎩， 解得：1180k b =-⎧⎨=⎩， ∴y 与x 之间的函数关系式为y ＝﹣x +180；当60＜x ≤90时，设y 与x 之间的函数关系式为y ＝mx +n ，将（90，30），（60，120）代入得903060120m n m n +=⎧⎨+=⎩， 解得：3300m n =-⎧⎨=⎩， ∴y ＝﹣3x +300；综上所述，y ＝180(4060)3300(6090)x x x x -+≤≤⎧⎨-+<≤⎩； （2）当40≤x ≤60时，W ＝（x ﹣30）y ＝（x ﹣30）（﹣x +180）＝﹣x 2+210x ﹣5400， 当60＜x ≤90时，W ＝（x ﹣30）（﹣3x +300）＝﹣3x 2+390x ﹣9000，综上所述，W ＝222105400(4060)33909000(6090)x x x x x x ⎧-+-≤≤⎨-+-<≤⎩； （3）当40≤x ≤60时，W ＝﹣x 2+210x ﹣5400，∵﹣1＜0，对称轴x ＝2102--＝105， ∴当40≤x ≤60时，W 随x 的增大而增大，∴当x ＝60时，W 最大＝﹣602+210×60﹣5400＝3600，当60＜x ≤90时，W ＝﹣3x 2+390x ﹣9000，∵﹣3＜0，对称轴x ＝3906--＝65， ∵60＜x ≤90，∴当x ＝65时，W 最大＝﹣3×652+390×65﹣9000＝3675，∵3675＞3600，∴当x ＝65时，W 最大＝3675，答：这种商品的销售单价定为65元时，月利润最大，最大月利润是3675．【点睛】本题考查了把实际问题转化为二次函数，再利用二次函数的性质进行实际应用．根据题意分情况建立二次函数的模型是解题的关键．11．如图，（图1，图2），四边形ABCD 是边长为4的正方形，点E 在线段BC 上，∠AEF=90°,且EF 交正方形外角平分线CP 于点F ，交BC 的延长线于点N, FN ⊥BC ． （1）若点E 是BC 的中点（如图1），AE 与EF 相等吗？（2）点E 在BC 间运动时（如图2），设BE=x ，△ECF 的面积为y ．①求y 与x 的函数关系式；②当x 取何值时，y 有最大值，并求出这个最大值.【答案】（1）AE=EF ；（2）①y=-12x 2+2x （0＜x ＜4)，②当x=2,y 最大值=2. 【解析】【分析】 （1）在AB 上取一点G ，使AG=EC ，连接GE ，利用ASA ，易证得：△AGE ≌△ECF ，则可证得：AE=EF ；（2）同（1）可证明AE=EF ，利用AAS 证明△ABE ≌△ENF ，根据全等三角形对应边相等可得FN=BE ，再表示出EC ，然后利用三角形的面积公式即可列式表示出△ECF 的面积为y ，然后整理再根据二次函数求解最值问题．【详解】（1）如图，在AB 上取AG=EC ，∵四边形ABCD 是正方形，∴AB=BC ，有∵AG=EC ，∴BG=BE ，又∵∠B=90°，∴∠AGE=135°，又∵∠BCD=90°，CP 平分∠DCN ，∴∠ECF=135°，∵∠BAE ＋∠AEB=90°，∠AEB ＋∠FEC=90°，∴∠BAE=∠FEC ，在△AGE 和△ECF 中，AGE ECF AG ECGAE CEF ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩, ∴△AGE ≌△ECF ，∴AE=EF ；(2)①∵由（1）证明可知当E 不是中点时同理可证AE=EF ，∵∠BAE=∠NEF ，∠B=∠ENF=90°，∴△ABE ≌△ENF ，∴FN=BE=x ，∴S △ECF =12 (BC-BE)·FN ， 即y=12x(4-x ）， ∴y=-12x 2+2x （0＜x ＜4)， ②()()222111y x 2x x 4x x 22222=-+=--=--+， 当x=2，y 最大值=2.【点睛】 本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质，二次函数的最值问题，综合性较强，正确添加辅助线、熟练掌握相关知识是解题的关键．12．如图，某足球运动员站在点O 处练习射门，将足球从离地面0.5m 的A 处正对球门踢出(点A 在y 轴上)，足球的飞行高度y(单位：m )与飞行时间t(单位：s )之间满足函数关系y ＝at 2＋5t ＋c ，已知足球飞行0.8s 时，离地面的高度为3.5m .(1)足球飞行的时间是多少时，足球离地面最高？最大高度是多少？(2)若足球飞行的水平距离x(单位：m )与飞行时间t(单位：s )之间具有函数关系x ＝10t ，已知球门的高度为2.44m，如果该运动员正对球门射门时，离球门的水平距离为28m，他能否将球直接射入球门？【答案】（1）足球飞行的时间是85s时，足球离地面最高，最大高度是4.5m；（2）能.【解析】试题分析：（1）由题意得：函数y=at2+5t+c的图象经过（0，0.5）（0.8，3.5），于是得到，求得抛物线的解析式为：y=﹣t2+5t+，当t=时，y最大=4.5；（2）把x=28代入x=10t得t=2.8，当t=2.8时，y=﹣×2.82+5×2.8+=2.25＜2.44，于是得到他能将球直接射入球门．解：（1）由题意得：函数y=at2+5t+c的图象经过（0，0.5）（0.8，3.5），∴，解得：，∴抛物线的解析式为：y=﹣t2+5t+，∴当t=时，y最大=4.5；（2）把x=28代入x=10t得t=2.8，∴当t=2.8时，y=﹣×2.82+5×2.8+=2.25＜2.44，∴他能将球直接射入球门．考点：二次函数的应用．13．如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=ax2+2x+c与x轴交于A（﹣1，0）B（3，0）两点，与y轴交于点C，点D是该抛物线的顶点．（1）求抛物线的解析式和直线AC的解析式；（2）请在y轴上找一点M，使△BDM的周长最小，求出点M的坐标；（3）试探究：在拋物线上是否存在点P，使以点A，P，C为顶点，AC为直角边的三角形是直角三角形？若存在，请求出符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由．【答案】（1）抛物线解析式为y=﹣x2+2x+3；直线AC的解析式为y=3x+3；（2）点M的坐标为（0，3）；（3）符合条件的点P的坐标为（73，209）或（103，﹣139），【解析】分析：（1）设交点式y=a（x+1）（x-3），展开得到-2a=2，然后求出a即可得到抛物线解析式；再确定C（0，3），然后利用待定系数法求直线AC的解析式；（2）利用二次函数的性质确定D的坐标为（1，4），作B点关于y轴的对称点B′，连接DB′交y轴于M，如图1，则B′（-3，0），利用两点之间线段最短可判断此时MB+MD的值最小，则此时△BDM的周长最小，然后求出直线DB′的解析式即可得到点M的坐标；（3）过点C作AC的垂线交抛物线于另一点P，如图2，利用两直线垂直一次项系数互为负倒数设直线PC的解析式为y=-13x+b，把C点坐标代入求出b得到直线PC的解析式为y=-13x+3，再解方程组223133y x xy x⎧-++⎪⎨-+⎪⎩＝＝得此时P点坐标；当过点A作AC的垂线交抛物线于另一点P时，利用同样的方法可求出此时P点坐标．详解：（1）设抛物线解析式为y=a（x+1）（x﹣3），即y=ax2﹣2ax﹣3a，∴﹣2a=2，解得a=﹣1，∴抛物线解析式为y=﹣x2+2x+3；当x=0时，y=﹣x2+2x+3=3，则C（0，3），设直线AC的解析式为y=px+q，把A（﹣1，0），C（0，3）代入得3p qq-+=⎧⎨=⎩，解得33pq=⎧⎨=⎩，∴直线AC的解析式为y=3x+3；（2）∵y=﹣x2+2x+3=﹣（x﹣1）2+4，∴顶点D的坐标为（1，4），作B点关于y轴的对称点B′，连接DB′交y轴于M，如图1，则B′（﹣3，0），∵MB=MB′，∴MB+MD=MB′+MD=DB′，此时MB+MD的值最小，而BD的值不变，∴此时△BDM的周长最小，易得直线DB′的解析式为y=x+3，当x=0时，y=x+3=3，∴点M的坐标为（0，3）；（3）存在．过点C作AC的垂线交抛物线于另一点P，如图2，∵直线AC的解析式为y=3x+3，∴直线PC的解析式可设为y=﹣13x+b，把C（0，3）代入得b=3，∴直线PC的解析式为y=﹣13x+3，解方程组223133y x xy x⎧-++⎪⎨-+⎪⎩＝＝，解得3xy=⎧⎨=⎩或73209xy⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，则此时P点坐标为（73，209）；过点A作AC的垂线交抛物线于另一点P，直线PC的解析式可设为y=﹣x+b，把A（﹣1，0）代入得13+b=0，解得b=﹣13，∴直线PC的解析式为y=﹣13x﹣13，解方程组2231133y x xy x⎧-++⎪⎨--⎪⎩＝＝，解得1xy=-⎧⎨=⎩或103139xy⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩，则此时P点坐标为（103，﹣139）.综上所述，符合条件的点P的坐标为（73，209）或（103，﹣139）.点睛：本题考查了二次函数的综合题：熟练掌握二次函数图象上点的坐标特征和二次函数的性质；会利用待定系数法求函数解析式，理解两直线垂直时一次项系数的关系，通过解方程组求把两函数的交点坐标；理解坐标与图形性质，会运用两点之间线段最短解决最短路径问题；会运用分类讨论的思想解决数学问题．14．如图，已知抛物线y=ax2+bx﹣2（a≠0）与x轴交于A、B两点，与y轴交于C点，直线BD交抛物线于点D，并且D（2，3），tan∠DBA=12．（1）求抛物线的解析式；（2）已知点M为抛物线上一动点，且在第三象限，顺次连接点B、M、C、A，求四边形BMCA面积的最大值；（3）在（2）中四边形BMCA面积最大的条件下，过点M作直线平行于y轴，在这条直线上是否存在一个以Q点为圆心，OQ为半径且与直线AC相切的圆？若存在，求出圆心Q的坐标；若不存在，请说明理由．【答案】（1）y=12x2+32x﹣2；（2）9；（3）点Q的坐标为（﹣2，4）或（﹣2，﹣1）．【解析】（1）如答图1所示，利用已知条件求出点B的坐标，然后用待定系数法求出抛物线的解析式．（2）如答图1所示，首先求出四边形BMCA面积的表达式，然后利用二次函数的性质求出其最大值．（3）如答图2所示，首先求出直线AC与直线x=2的交点F的坐标，从而确定了Rt△AGF 的各个边长；然后证明Rt△AGF∽Rt△QEF，利用相似线段比例关系列出方程，求出点Q的坐标．考点：二次函数综合题，曲线上点的坐标与方程的关系，锐角三角函数定义，由实际问题列函数关系式，二次函数最值，勾股定理，相似三角形的判定和性质，圆的切线性质．15．（14分）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=mx2﹣8mx+4m+2（m＞2）与y轴的交点为A，与x轴的交点分别为B（x1，0），C（x2，0），且x2﹣x1=4，直线AD∥x轴，在x轴上有一动点E（t，0）过点E作平行于y轴的直线l与抛物线、直线AD的交点分别为P、Q．（1）求抛物线的解析式；（2）当0＜t≤8时，求△APC面积的最大值；（3）当t＞2时，是否存在点P，使以A、P、Q为顶点的三角形与△AOB相似？若存在，求出此时t的值；若不存在，请说明理由．【答案】（1）；（2）12；（3）t=或t=或t=14．【解析】试题分析：（1）首先利用根与系数的关系得出：，结合条件求出的值，然后把点B，C的坐标代入解析式计算即可；（2）（2）分0＜t＜6时和6≤t≤8时两种情况进行讨论，据此即可求出三角形的最大值；（3）（3）分2＜t≤6时和t＞6时两种情况进行讨论，再根据三角形相似的条件，即可得解．试题解析：解：（1）由题意知x1、x2是方程mx2﹣8mx+4m+2=0的两根，∴x1+x2=8，由．解得：．∴B（2，0）、C（6，0）则4m﹣16m+4m+2=0，解得：m=，∴该抛物线解析式为：y=；．（2）可求得A（0，3）设直线AC的解析式为：y=kx+b，∵∴∴直线AC的解析式为：y=﹣x+3，要构成△APC，显然t≠6，分两种情况讨论：当0＜t＜6时，设直线l与AC交点为F，则：F（t，﹣），∵P（t，），∴PF=，∴S△APC=S△APF+S△CPF===，此时最大值为：，②当6≤t≤8时，设直线l与AC交点为M，则：M（t，﹣），∵P（t，），∴PM=，∴S△APC=S△APF﹣S△CPF===，当t=8时，取最大值，最大值为：12，综上可知，当0＜t≤8时，△APC面积的最大值为12；（3）如图，连接AB，则△AOB中，∠AOB=90°，AO=3，BO=2，Q（t，3），P（t，），①当2＜t≤6时，AQ=t，PQ=，若：△AOB∽△AQP，则：，即：，∴t=0（舍），或t=，若△AOB∽△PQA，则：，即：，∴t=0（舍）或t=2（舍），②当t＞6时，AQ′=t，PQ′=，若：△AOB∽△AQP，则：，即：，∴t=0（舍），或t=，若△AOB∽△PQA，则：，即：，∴t=0（舍）或t=14，∴t=或t=或t=14．考点：二次函数综合题．。
九年级数学培优专题3 二次函数与几何综合
微专题（5）：二次函数与几何综合
1．如图，抛物线y＝－x2＋bx＋c经过A(－1，0)，B(3，0)两点，且与y轴交于点C，点D 是抛物线的顶点，抛物线的对称轴DE交x轴于点E，连接BD.
（1）求经过A，B，C三点的抛物线的解析式；
（2）P是线段BD上一点，当PE＝PC时，求点P的坐标．
2．如图，抛物线的顶点是B(2，－1)，过点A(3，0)．
（1）求抛物线的函数表达式；
（2）在对称轴上找出点P，使△PAB为等腰三角形，求点P的坐标．
3．如图，在直角坐标系中，抛物线经过点A(0，4)，B(1，0)，C(5，0)．
（1）求抛物线的解析式与对称轴；
（2）在抛物线的对称轴上存在一点P，使△PAC为直角三角形，请求出点P的坐标．
4．如图，抛物线经过A(－1，0)，B(3，0)，C(0，－1)三点．
（1）求该抛物线的表达式；
（2）点Q在y轴上，点P在抛物线上，要使以点Q、P、A、B为顶点的四边形是平行四边形，直接写出所有满足条件的点P的坐标．。
九年级数学上册综合算式如何运用二次函数解题
九年级数学上册综合算式如何运用二次函数解题在九年级数学上册中，综合算式是一个重要的学习内容，而二次函数则是解决一些数学问题的常用方法之一。
本文将探讨如何运用二次函数解决九年级数学上册的综合算式问题。
一、二次函数的基本概念在开始讨论综合算式如何运用二次函数解题之前，有必要先了解二次函数的基本概念。
二次函数是指形如y=ax²+bx+c的函数，其中a、b、c为常数，a≠0。
二次函数的图像为抛物线，开口方向由a的正负决定，a>0时开口向上，a<0时开口向下。
二、利用二次函数求解综合算式问题1. 求解最值问题在九年级数学上册中，我们经常会遇到求解最值问题的情况。
例如：某商品的利润可以用二次函数P(x)=ax²+bx+c表示，其中x表示销售量，P(x)表示利润。
我们可以利用二次函数的顶点公式来求解最值问题，因为二次函数的顶点即为最值点。
2. 求解交点问题另一个常见的综合算式问题是求解交点问题。
例如：已知一条直线和一个抛物线的方程，求解它们的交点坐标。
我们可以将直线方程代入二次函数方程中，从而得到二次方程，然后利用二次方程的求根公式解得交点坐标。
3. 求解函数对称轴问题除了最值问题和交点问题，九年级数学上册中还有一类问题与函数的对称轴有关。
例如：已知二次函数的顶点坐标和一个点在函数图像上，求解对称轴方程。
我们可以利用二次函数的性质，即对称轴与顶点的横坐标相等，来求解对称轴方程。
三、习题示例为了更好地理解综合算式如何运用二次函数解题，以下是一些习题示例：1. 已知二次函数f(x)=x²+3x-4，求解：（1）f(x)的对称轴方程；（2）f(x)的最小值。
解答：（1）由二次函数的性质可知，对称轴与顶点的横坐标相等，所以对称轴方程的横坐标为x=-b/2a，代入表达式得到x=-3/2。
因此，f(x)的对称轴方程为x=-3/2。
（2）二次函数的最小值即为顶点的纵坐标，将x=-3/2代入f(x)的表达式中，计算得到f(-3/2)=(-3/2)²+3*(-3/2)-4=-25/4。
数学培优竞赛新方法(九年级)-第5讲-一元二次方程的整数解
要注意有可能是一次方程，根据问
【例 2 】 已知 a 、 b 都是整数，方程 ax 2 bx 2008 0 的相异两根都是质数，则 3a b
的值为 ( )
（太原市竞赛题）
A． 100
B． 400
C ． 700 D ． 1000
思路点拨 由韦达定理 a 、 b 的关系式，结合整数性质求出 a 、 b 、 c 的值．
（全国初中数学联赛题）
9．设关于 x 的二次方程 (k 2 6k 8) x2 (2k 2 6k 4)x k 2 4 的两根都是整数， 试求满足条
件的所有实数 k 的值．
（全国初中数学联赛题）
10 ．边长为整数的直角三角形， 若其两直角边是方程 x2 ( k 2) x 4k 0 的两根， 求 k 的
值并确定直角三角形三边之长。
（江西省竞赛题）
11 ．已知 a ，b 都是正整数， 试问关于 x 的方程 x2 abx 1 (a b) 0 是否有两个整数解？ 2
如果有，请把它们求出来；如果没有，请给出证明。
（全国初中数学竞赛题）
综合创新
12 ．已知 p ， q 为整数，且是关于 x 的方程 x2
p2 11 15 x ( p q) 16
求出 m 的值； 如果没有， 请说明理由．
（第十七届江苏省竞赛题）
思路点拨 整系数方程有有理根的条件是为完全平方数．
设△= (2m 1) 2 4(2m 1) 4m2 4m 5 (2m 1) 2 4 n 2 ( n 为整数 )解不定方程， 讨论 m 的存
在性．
注：一元二次方程 ax2 bx c 0 (a ≠0) 而言， 方程的根为整数必为有理数， 而△= b2 4ac 为 完全平方数是方程的根为有理数的充要条件．
苏科版九年级数学培优第5讲：与二次函数有关的综合问题
第5讲 与二次函数有关的综合问题【思维入门】1． 抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c 的顶点为D (－1，2)，与x 轴的一个交点A 在点(－3，0)和(－2，0)之间，其部分图象如图1－5－1所示，则以下结论：① b 2－4ac <0；②a ＋b ＋c <0；③c －a ＝2；④方程ax 2＋bx ＋c －2＝0有两个相等的实数根，其中正确结论的个数为 ( )A ．1B ．2C ．3D ．42．已知二次函数y ＝a (x －1)2－c 的图象如图1－5－2所示，则一次函数y ＝ax ＋c 的大致图象可能是( )图1－5－23．如图1－5－3，二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)的图象与x 轴交于A ，B 两点，与y 轴交于C 点，且对称轴为x ＝1，点B 的坐标为(－1，0)．则下面的四个结论：①2a ＋b ＝0；②4a －2b ＋c ＜0；③ac ＞0；④当y ＜0时，x ＜－1或x ＞2.其中正确的个数是( )图1－5－3A ．1B ．2C ．3D ．44．设a ，b ，c 是△ABC 的三边长，二次函数y ＝⎪⎭⎫ ⎝⎛-2b a x 2－cx －a －b 2在x ＝1时取最小值－85b ，则△ABC 是 ( ) A ．等腰三角形 B ．锐角三角形 C ．钝角三角形D ．直角三角形图1－5－1【思维拓展】5．二次函数y＝23x2的图象如图1－5－4，点A0位于坐标原点，点A1，A2，A3，…，A n在y轴的正半轴上，点B1，B2，B3，…，B n在二次函数位于第一象限的图象上．四边形A0B1A1C1，四边形A1B2A2C2，四边形A2B3A3C3，…，四边形A n－1B n A n C n都是菱形，∠A0B1A1＝∠A1B2A2＝∠A2B3A3＝…＝∠A n－1B n A n＝60°，菱形A n－1B n A n C n的周长为________．图1－5－46．已知二次函数y＝a(x－m)2－a(x－m)(a，m为常数，且a≠0)．（1）求证：不论a与m为何值，该函数的图象与x轴总有两个公共点；（2）设该函数的图象的顶点为C，与x轴交于A，B两点，与y轴交于点D.①当△ABC的面积等于1时，求a的值；②当△ABC的面积与△ABD的面积相等时，求m的值．7．在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝2x2＋mx＋n经过点A(0，－2)，B(3，4)．(1)求抛物线的表达式及对称轴；(2)设点B关于原点的对称点为C，点D是抛物线对称轴上一动点，记抛物线在A，B之间的部分为图象G(包含A，B两点)，若直线CD与图象G有公共点，结合函数图象，求点D纵坐标t的取值范围．8．已知抛物线y 1＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)与x 轴相交于点A ，B (点A ，B 在原点O 两侧)，与y 轴相交于点C ，且点A ，C 在一次函数y 2＝43x ＋n 的图象上，线段AB 长为16，线段OC 长为8，当y 1随着x 的增大而减小时，求自变量的取值范围．9．已知抛物线y 1＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0，a ≠c )过点A (1，0)，顶点为B ，且抛物线不经过第三象限．(1)使用a ，c 表示b ；(2)判断点B 所在象限，并说明理由；(3)若直线y 2＝2x ＋m 经过点B ，且与该抛物线交于另一点C )8,( b ac，求当x ≥1时y 1的取值范围．10．已知抛物线y ＝32x 2＋bx ＋63经过A (2，0)．设顶点为点P ，与x 轴的另一交点为点B .(1)求b 的值，点P ，点B 的坐标； (2)如图1－5－5，在直线 y ＝3x 上是否存在点D ，使四边形OPBD 为平行四边形？若存在，求出点D 的坐标；若不存在，请说明理由．图1－5－511．如图1－5－6①，已知正方形ABCD的边长为1，点E在边BC上，若∠AEF＝90°，且EF交正方形外角的平分线CF于点F.(1)图①中若点E是边BC的中点，我们可以构造两个三角形全等来证明AE＝EF，请你叙述一个构造方案，并指出是哪两个三角形全等(不要求证明)；(2)如图②，若点E在线段BC上滑动(不与点B，C重合)．①AE＝EF是否总成立？请给出证明；②在如图②所示的直角坐标系中，当点E滑动到某处时，点F恰好落在抛物线y＝－x2＋x＋1上，求此时点F的坐标．图1－5－6【思维升华】12．二次函数y＝－x2＋6x－7，当x取值为t≤x≤t＋2时有最大值y＝－(t－3)2＋2，则t的取值范围为()A．t≤0 B．0≤t≤3C．t≥3 D．以上都不对13．设实数a，b满足：3a2－10ab＋8b2＋5a－10b＝0，求u＝9a2＋72b＋2的最小值．14．已知整数a，b满足：a－b是素数，且ab是完全平方数．当a≥2 012时，求a的最小值．答案第5讲 与二次函数有关的综合问题【思维入门】1． 抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c 的顶点为D (－1，2)，与x 轴的一个交点A 在点(－3，0)和(－2，0)之间，其部分图象 如图1－5－1所示，则以下结论：① b 2－4ac <0；②a ＋b ＋c <0；③c －a ＝2；④方程ax 2＋bx ＋c －2＝0有两 个相等的实数根，其中正确结论的个数为 ( C ) A ．1 B ．2 C ．3 D ．42．已知二次函数y ＝a (x －1)2－c 的图象如图1－5－2所示，则一次函数y ＝ax ＋c 的大致图象可能是 ( A )3．如图1－5－3，二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)的图象与x 轴交于A ，B 两点，与y 轴交于C 点，且对称轴为x ＝1，点B 的坐标为(－1，0)．则下面的四个结论：①2a ＋b ＝0；②4a －2b ＋c ＜0；③ac ＞0；④当y ＜0时，x ＜－1或x ＞2.其中正确的个数是 ( B )图1－5－3A ．1B ．2C ．3D ．44．设a ，b ，c 是△ABC 的三边长，二次函数y ＝⎝⎛⎭⎫a －b 2x 2－cx －a －b 2在x ＝1时取最小值－85b ，则△ABC 是 ( D ) A ．等腰三角形B ．锐角三角形C ．钝角三角形D ．直角三角形 【解析】 由题意，可得⎩⎨⎧－－c2⎝⎛⎭⎫a －b 2＝1，a －b 2－c －a －b 2＝－85b .即⎩⎪⎨⎪⎧b ＋c ＝2a ，c ＝35b ，所以c ＝35b ，a ＝45b ，因此a 2＋c 2＝b 2，所以△ABC 是直角三角形．【思维拓展】5．二次函数y ＝23x 2的图象如图1－5－4，点A 0位于坐标原点，点A 1，A 2，A 3，…，A n 在y 轴的正半轴上，点B 1，B 2，B 3，…，B n 在二次函数位于第一象限的图象上．四边形A 0B 1A 1C 1，四边形A 1B 2A 2C 2，四边形A 2B 3A 3C 3，…，四边形A n －1B n A n C n 都是菱形，∠A 0B 1A 1＝∠A 1B 2A 2＝∠A 2B 3A 3＝…＝∠A n －1B n A n ＝60°，菱形A n －1B n A n C n 的周长为__4n __． 【解析】 ∵四边形A 0B 1A 1C 1是菱形，∠A 0B 1A 1＝60°， ∴△A 0B 1A 1是等边三角形． 设△A 0B 1A 1的边长为m 1，则B 1⎝⎛⎭⎫3m 12，m 12，代入抛物线的解析式中得：23⎝⎛⎭⎫3m 122＝m 12，解得m 1＝0(舍去)，m 1＝1，故△A 0B 1A 1的边长为1.同理可求得△A 1B 2A 2的边长为2， …依此类推，等边△A n －1B n A n 的边长为n ， 故菱形A n －1B n A n C n 的周长为4n .6．已知二次函数y ＝a (x －m )2－a (x －m )(a ，m 为常数，且a ≠0)．(1)求证：不论a 与m 为何值，该函数的图象与x 轴总有两个公共点； (2)设该函数的图象的顶点为C ，与x 轴交于A ，B 两点，与y 轴交于点D . ①当△ABC 的面积等于1时，求a 的值；②当△ABC 的面积与△ABD 的面积相等时，求m 的值． 解：(1)证明：y ＝a (x －m )2－a (x －m )＝ax 2－(2am ＋a )x ＋am 2＋am . 因为a ≠0，[－(2am ＋a )]2－4a (am 2＋am )＝a 2＞0.所以，方程ax 2－(2am ＋a )x ＋am 2＋am ＝0有两个不相等的实数根． 所以，不论a 与m 为何值，该函数的图象与x 轴总有两个公共点．(2)①y ＝a (x －m )2－a (x －m )＝a⎝ ⎛⎭⎪⎫x －2m ＋122－a 4，所以点C 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫2m ＋12，－a 4.当y ＝0时，a (x －m )2－a (x －m )＝0， 解得x 1＝m ，x 2＝m ＋1，所以AB ＝1.图1－5－4当△ABC 的面积等于1时，12×1×⎪⎪⎪⎪－a 4＝1. 所以12×1×⎝⎛⎭⎫－a 4＝1或12×1×a4＝1，所以a ＝－8或a ＝8. ②当x ＝0时，y ＝am 2＋am ，所以点D 的坐标为(0，am 2＋am )． 当△ABC 的面积与△ABD 的面积相等时， 12×1×⎪⎪⎪⎪－a 4＝12×1×||am 2＋am ， 整理得m 2＋m －14＝0或m 2＋m ＋14＝0，所以m ＝－12或m ＝－1－22或m ＝－1＋22.7．在平面直角坐标系xOy 中，抛物线y ＝2x 2＋mx ＋n 经过点A (0，－2)，B (3，4)．(1)求抛物线的表达式及对称轴；(2)设点B 关于原点的对称点为C ，点D 是抛物线对称轴上一动点，记抛物线在A ，B 之间的部分为图象G (包含A ，B 两点)，若直线CD 与图象G 有公共点，结合函数图象，求点D 纵坐标t 的取值范围． 解：(1)∵y ＝2x 2＋mx ＋n 经过点A (0，－2)，B (3，4)，代入得⎩⎪⎨⎪⎧－2＝n ，4＝18＋3m ＋n ，解得⎩⎪⎨⎪⎧m ＝－4，n ＝－2，∴抛物线的表达式为y ＝2x 2－4x －2，对称轴x ＝－－42×2＝1.(2)由题意，可知C (－3，－4)，二次函数y ＝2x 2－4x －2的最小值为－4， 由图象可知D 点的纵坐标最小值即为－4，最大值即BC 与对称轴的交点， 直线BC 的解析式y ＝43x ，x ＝1时，y ＝43，所以－4≤t ≤43.8．已知抛物线y 1＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)与x 轴相交于点A ，B (点A ，B 在原点O 两侧)，与y 轴相交于点C ，且点A ，C 在一次函数y 2＝43x ＋n 的图象上，线段AB 长为16，线段OC 长为8，当y 1随着x 的增大而减小时，求自变量的取值范围．解：根据OC 长为8可得一次函数中的n 的值为8或－8. ①当n ＝8时，易得A (－6，0)，如答图①.∵抛物线过A ，C 两点，且与x 轴的交点A ，B 在原点两侧，∴抛物线开口向下，则a <0， ∵AB ＝16，且A (－6，0)，∴B (10，0)，而A ，B 关于对称轴对称， ∴对称轴直线x ＝x 1＋x 22＝－6＋102＝2，要使y1随着x 的增大而减小，且a <0，∴x >2. ②当n ＝－8时，易得A (6，0)，如答图②.∵抛物线过A ，C 两点，且与x 轴的交点A ，B 在原点两侧， ∴抛物线开口向上，则a >0， ∵AB ＝16，且A (6，0)，∴B (－10，0)，而A ，B 关于对称轴对称， ∴对称轴直线x ＝x 1＋x 22＝6－102＝－2，要使y 1随着x 的增大而减小，且a >0，∴x <－2.9．已知抛物线y 1＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0，a ≠c )过点A (1，0)，顶点为B ，且抛物线不经过第三象限．(1)使用a ，c 表示b ；(2)判断点B 所在象限，并说明理由； (3)若直线y 2＝2x ＋m 经过点B ，且与该抛物线交于另一点C ⎝⎛⎭⎫c a ，b ＋8，求当x ≥1时y 1的取值范围．解：(1)b ＝－a －c .(2)B 在第四象限．理由如下：∵x 1＝1，x 2＝ca，a ≠c ，所以抛物线与x 轴有两个交点．又因为抛物线不经过第三象限，所以a >0，且顶点B 在第四象限． (3)∵C ⎝⎛⎭⎫c a ，b ＋8，且在抛物线上，∴b ＋8＝0，b ＝－8，a ＋c ＝8，B ⎝ ⎛⎭⎪⎫4a ，4ac －644a . 把B ，C 两点代入直线解析式得c (a ＋2)＝24，解得c ＝6，a ＝2，或a ＝4，c ＝4(舍去)．画图易知，C 在A 的右侧，∴当x ≥1时，y 1≥4ac －b 24a ＝－2.10．已知抛物线y ＝32x 2＋bx ＋63经过A (2，0)．设顶点为点P ，与x 轴的另一交点为点B . (1)求b 的值，点P ，点B 的坐标；(2)如图1－5－5，在直线 y ＝3x 上是否存在点D ，使四边形OPBD 为平行四边形？若存在，求出点D 的坐标；若不存在，请说明理由． 解：(1)由于抛物线y ＝32x 2＋bx ＋63经过A (2，0)， 所以0＝32×4＋2b ＋63，解得b ＝－4 3. 所以抛物线的解析式为y ＝32x 2－43x ＋63，① 将①式配方，得y ＝32(x －4)2－23， 所以顶点P 的坐标为(4，－23)，令y ＝0，得32(x －4)2－23＝0， 解得x 1＝2，x 2＝6，所以点B 的坐标是(6，0)．(2)在直线y ＝3x 上存在点D ，使四边形OPBD 为平行四边形． 理由如下：设直线PB 的解析式为y ＝kx ＋b ，把B (6，0)，P (4，－23)分别代入，得⎩⎪⎨⎪⎧6k ＋b ＝0，4k ＋b ＝－23，解得⎩⎪⎨⎪⎧k ＝3，b ＝－63，所以直线PB 的解析式为y ＝3x －6 3.又因为直线OD 的解析式为y ＝3x ， 所以直线PB ∥OD .设直线OP 的解析式为y ＝mx ， 把P (4，－23)代入，得4m ＝－23， 解得m ＝－32.如果OP ∥BD ，那么四边形OPBD 为平行四边形． 设直线BD 的解析式为y ＝－32x ＋n ， 将B (6，0)代入，得0＝－33＋n ，所以n ＝33，所以直线BD 的解析式为y ＝－32x ＋33， 解方程组⎩⎪⎨⎪⎧y ＝3x ，y ＝－32x ＋33，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2，y ＝23，所以D 点的坐标为(2，23)．11．如图1－5－6①，已知正方形ABCD的边长为1，点E在边BC上，若∠AEF＝90°，且EF交正方形外角的平分线CF于点F.(1)图①中若点E是边BC的中点，我们可以构造两个三角形全等来证明AE＝EF，请你叙述一个构造方案，并指出是哪两个三角形全等(不要求证明)；(2)如图②，若点E在线段BC上滑动(不与点B，C重合)．①AE＝EF是否总成立？请给出证明；②在如图②所示的直角坐标系中，当点E滑动到某处时，点F恰好落在抛物线y＝－x2＋x＋1上，求此时点F的坐标．图1－5－6解：(1)如答图①，取AB的中点G，连结EG.△AGE与△ECF全等．(2)①点E在线段BC上滑动时AE＝EF总成立．证明：如答图②，在AB上截取AM＝EC.∵AB＝BC，∴BM＝BE，∴△MBE是等腰直角三角形，∴∠AME＝180°－45°＝135°，又CF平分正方形的外角，∴∠ECF＝135°，∴∠AME＝∠ECF.而∠BAE＋∠AEB＝∠CEF＋∠AEB＝90°，∴∠BAE＝∠CEF，∴△AME≌△ECF.∴AE＝EF.②如答图②，过点F作FH⊥x轴于H，由①知，FH＝BE＝CH，设BH＝a，则FH＝a－1，∴点F的坐标为F(a，a－1)．第11题答图①第11题答图②∵点F 恰好落在抛物线y ＝－x 2＋x ＋1上，∴a －1＝－a 2＋a ＋1，∴a 2＝2，a ＝2(负值不合题意，舍去)，∴a －1＝2－1.∴点F 的坐标为(2，2－1)．【思维升华】12．二次函数y ＝－x 2＋6x －7，当x 取值为t ≤x ≤t ＋2时有最大值y ＝－(t －3)2＋2，则t 的取值范围为 ( C )A ．t ≤0B ．0≤t ≤3C ．t ≥3D ．以上都不对13．设实数a ，b 满足：3a 2－10ab ＋8b 2＋5a －10b ＝0，求u ＝9a 2＋72b ＋2的最小值．解：由3a 2－10ab ＋8b 2＋5a －10b ＝0 可得()a －2b()3a －4b ＋5＝0， 所以a －2b ＝0或 3a －4b ＋5＝0.①当a －2b ＝0时，u ＝9a 2＋72b ＋2＝36b 2＋72b ＋2＝36()b ＋12－34，于是b ＝－1时，u 的最小值为－34，此时a ＝－2，b ＝－1. ②当3a －4b ＋5＝0时，u ＝9a 2＋72b ＋2＝16b 2＋32b ＋27＝16()b ＋12＋11， 于是b ＝－1时，u 的最小值为11，此时a ＝－3，b ＝－1.综上可知，u 的最小值为－34.14．已知整数a ，b 满足：a －b 是素数，且ab 是完全平方数．当a ≥2 012时，求a 的最小值．解：设a －b ＝m (m 是素数)，ab ＝n 2(n 是正整数)．因为(a ＋b )2－4ab ＝(a －b )2，所以(2a －m )2－4n 2＝m 2，(2a －m ＋2n )(2a －m －2n )＝m 2.因为2a －m ＋2n 与2a －m －2n 都是正整数，且2a －m ＋2n ＞2a －m －2n (m 为素数)，所以2a －m ＋2n ＝m 2，2a －m －2n ＝1，解得a ＝（m ＋1）24，n ＝m 2－14.于是b ＝a －m ＝（m －1）24.又a ≥2 012，即（m ＋1）24≥2 012. 又因为m 是素数，解得m ≥89.此时a ≥（89＋1）24＝2 025.当a ＝2 025时，m ＝89，b ＝1 936，n ＝1 980. 因此，a 的最小值为2 025.。
九年级数学二次函数综合知识精讲
九年级数学二次函数综合【本讲主要内容】二次函数综合包括一些较为复杂的二次函数，及应用二次函数解一些实际问题。
【知识掌握】【知识点精析】1. 有关二次方程与其他知识综合的题目。
2. 应用二次函数求解一些简单的实际问题。
【解题方法指导】例1. 已知二次函数图象的顶点坐标为（3，－2），并且图象与x 轴两交点间的距离为4，求该二次函数的解析式。
分析：由于给出了抛物线的顶点坐标，因此可用“顶点式”列出解析式，然后求解；还可以求出抛物线与x 轴两交点的坐标，然后利用一般式求解。
方法较多，可选择不同的方法。
解法一：∵抛物线的顶点坐标为（3，－2）∴可设二次函数的解析式为y a x =--()322∵抛物线与x 轴两交点间的距离为4，对称轴为x ＝3∴抛物线与x 轴的两个交点为（1，0），（5，0）将点（1，0）的坐标代入，得01322=--a()∴4a ＝2a =12∴二次函数的解析式为：y x x x x x =--=-+-=-+12321269212352222()() 即y x x =-+123522 yx解法二：由以上分析，可知抛物线与x 轴交点为（1，0），（5，0）∴可设二次函数解析式为y a x x =--()()15将（3，－2）点的坐标代入，得-=--23135a()()-=-42a∴=a 12∴二次函数的解析式为：y x x x x x x =--=-+=-+121512651235222()()() 即y x x =-+123522 解法三：∵抛物线过（3，－2），（1，0），（5，0）三点∴设二次函数解析式为y ax bx c =++2将三点的坐标代入，得93202550a b c a b c a b c ++=-++=++=⎧⎨⎪⎩⎪解得a b c ==-=⎧⎨⎪⎪⎩⎪⎪12352 ∴二次函数的解析式为y x x =-+123522 解法四：设二次函数的解析式为y ax bx c a =++≠20（） 由题意，得-=-=-++=⎧⎨⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪b a ac b a a b c 2344202 6084002a b a b ac a b c +=-+=++=⎧⎨⎪⎩⎪将b a =-6代入，得83640502a a ac a c -+=-+=⎧⎨⎩① 将c ＝5a 代入①，得83620022a a a -+=16802a a -=202a a -=∴==a a 12012， ∵a 10=不合所设，舍去 ∴a b c ==-=12352，， ∴二次函数的解析式为y x x =-+123522 评析：此题一题多解，考查了列函数解析式的能力及解方程组的能力。
苏科版九年级下《第5章 二次函数》章末复习与强化提优
苏科版九年级下《第5章二次函数》章末复习与强化提优知识点回顾一．二次函数的概念一般地，如果y＝ax2＋bx＋c(a、b、c是常数，a≠0)，那么y叫做x的二次函数．1．结构特征：①等号左边是函数，右边是关于自变量x的_____次式；②x的最高次数是______；③二次项系数________.2．二次函数的三种基本形式一般形式：___________________________；顶点式：____________________，它直接显示二次函数的顶点坐标是__________；交点式：____________________，其中x1、x2是图象与x轴交点的___________ 二．二次函数的图象及其性质三．二次函数y＝ax2＋bx＋c(a、b、c是常数，a≠0)的图象与a、b、c及b2-4ac 的符号之间的关系四．二次函数图象的平移任意抛物线y＝a(x－h)2＋k可以由抛物线y＝ax2经过平移得到，具体平移方法如下：五．二次函数表达式的求法1．设一般式：y＝ax2＋bx＋c(a≠0)．若已知条件是图象上三个点的坐标．则设一般式y＝ax2＋bx＋c(a≠0)，将已知条件代入，求出a、b、c的值．2．设交点式：y＝a(x－x1)(x－x2)(a≠0)．若已知二次函数图象与x轴的两个交点的坐标，则设交点式：y＝a(x－x1)(x－x2)(a≠0)，将第三点的坐标或其他已知条件代入，求出待定系数a，最后将解析式化为一般式．3．设顶点式：y＝a(x－h)2＋k(a≠0)．若已知二次函数的顶点坐标或对称轴方程与最大值或最小值，则设顶点式：y＝a(x－h)2＋k(a≠0)，将已知条件代入，求出待定系数化为一般式六．二次函数的应用二次函数的应用包括两个方法①用二次函数表示实际问题变量之间关系．②用二次函数解决最大化问题(即最值问题)，用二次函数的性质求解，同时注意自变量的取值范围．《第5章二次函数》章末强化提优一.选择题（共22小题）1．若y=（a2+a）是二次函数，那么（）A．a=﹣1或a=3 B．a≠﹣1且a≠0 C．a=﹣1 D．a=32.已知a≠0，在同一平面直角坐标系中，函数y＝ax与y＝ax2的图象有可能是(C)A B C D3．从y＝2x2的图象上可以看出，当－1≤x≤2时，y的取值范围是( C )A．2≤y≤8 B．－2≤y≤8 C．0≤y≤8 D．1≤y≤44.函A ．B ．C ．D ．5.如图，把抛物线y=x 2沿直线y=x 平移个单位后，其顶点在直线上的A处，则平移后的抛物线解析式是（ C ）A 、y=（x+1）2-1B ．y=（x+1）2+1C ．y=（x-1）2+1D ．y=（x-1）2-16．设A(－2，y 1)，B(1，y 2)，C(2，y 3)是抛物线y ＝－(x ＋1)2＋m 上的三点，则y 1，y 2，y 3的大小关系为 ( )A ．y 1>y 2>y 3B ．y 1<y 3<yC ．y 3>y 2>y 1D ．y 2>y 1>y 37.二次函数y ＝ax 2＋bx －1(a≠0)的图象经过点(1，1)，则a ＋b ＋1的值是( )A .－3B .－1C .2D .38.已知二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 的x ，y 的部分对应值如下表：则该二次函数图象的对称轴为( )A .y 轴B .直线x ＝52C .直线x ＝2D .直线x ＝329..已知二次函数y ＝ax 2－bx －2(a≠0)的图象的顶点在第四象限，且过点(－1，0)，则a －b 的取值范围为( )A .－2＜a －b ＜2B .－2≤a－b≤2C .－2＜a －b ＜1D .0＜a －b ＜210．足球运动员将足球沿与地面成一定角度的方向踢出，足球飞行的路线是一条抛物线，不考虑空气阻力，足球距离地面的高度h (单位：m)与足球被踢出后经过的时间t (单位：s)t 0 1 2 3 4 5 6 7 …h 0 8 14 18 20 20 18 14 …下列结论：①足球距离地面的最大高度为20 m ；②足球飞行路线的对称轴是直线t ＝92；③足球被踢出9 s 时落地；④足球被踢出1.5 s 时，距离地面的高度是11 m ．其中正确结论的个数是( )A ．1B ．2C ．3D ．411．小李打羽毛球时，若羽毛球飞行的高度h (m)与发球的时间t (s)满足关系式h ＝－2t 2＋2t ＋2，则小李发球后0.5 s 时，羽毛球飞行的高度为( C )A ．1.5 mB ．2 mC ．2.5 mD ．3 m12．便民商店经营一种商品，在销售过程中，发现一周利润y (元)与每件销售价x (元)之间的关系满足y ＝－2(x －20)2＋1558，由于某种原因，价格只能在15≤x ≤22范围内，那么一周可获得的最大利润是( D )A ．20B ．1508C ．1550D ．155813．某旅游景点的收入受季节的影响较大，有时候出现赔本的经营状况．因此，公司规定：若无利润时，该旅游景点关闭．经跟踪测算，该旅游景点一年中某月的利润W (万元)与月份x 之间满足二次函数W ＝－x 2＋16x －48，则该旅游景点一年中利润最大的月份是( C ) A ．4 B ．6 C ．8 D ．10x －1 0 1 2 3y 5 1 －1 －1 114﹒某建筑物，从10m 高的窗口A ，用水管向外喷水，喷出的水呈抛物线状（抛物线所在的平面与墙面垂直），如图所示，如果抛物线的最高点M 离墙1m ，离地面40/3m ，则水流落地点B 离墙的距离OB 是（ ）A .2mB .3mC .4mD .5m第14题图 第15题图第16题图15．太阳影子定位技术是通过分析视频中物体的太阳影子变化，确定视频拍摄地点的一种方法为了确定视频拍摄地的经度，我们需要对比视频中影子最短的时刻与同一天东经120度影子最短的时刻在一定条件下，直杆的太阳影子长度单位：米与时刻单位：时的关系满足函数L =at 2+bt+c （a ≠0，a ，b ，c 为常数），如图记录了三个时刻的数据，根据上述函数模型和记录的数据，则该地影子最短时，最接近的时刻t 是（ ）A. B. 13 C. D.16．近几年来，“互联网＋”战略与传统出租车行业深度融合，引入“数据包络分析”(简称DEA)的一种效率评价方法，调查发现，DEA 值越大，说明匹配度越好．在某一段时间内，北京的DEA 值y 与时刻t 的关系近似满足函数关系y ＝ax 2＋bx ＋c (a ，b ，c 是常数，且a ≠0)，如图记录了3个时刻的数据，根据函数模型和所给数据，当“供需匹配”程度最好时，最接近的时刻t 是( )A ．4.8B ．5C ．5.2D ．5.517．如图所示的抛物线是二次函数y ＝ax 2＋5x ＋4－a 2的图像，那么a 的值是( )A ．2B ．－2 C．－52 D ．±2第17题图 第18题图第20题表18．如图二次函数y ＝x 2＋bx ＋c 的图像过点B (0，－2)，它与反比例函数y ＝－8x 的图像交于点A (m ，4)，则这个二次函数的表达式为( )A ．y ＝x 2－x －2B ．y ＝x 2－x ＋2C ．y ＝x 2＋x －2D ．y ＝x 2＋x ＋219．已知某二次函数的图像如图所示，则这个二次函数的表达式为（ ）A ．y ＝2(x ＋1)2＋8B ．y ＝18(x ＋1)2－8C ．y ＝29(x －1)2＋8 D ．y ＝2(x －1)2－820．某同学在用描点法画二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 的图像时，列出了下面的表格：由于粗心，他算错了其中的一个y 值，则这个错误的数值是( )A ．－11B ．－2C ．1D ．－521．若二次函数y ＝kx 2+2x ﹣1的图象与x 轴仅有一个公共点，则常数k 的值为（ ） A ．1 B ．±1 C ．﹣1 D ．-1/222．抛物线y ＝﹣x 2+2x +3与x 轴的两交点间的距离是（ ）A ．1B ．2C ．3D ．4二．填空题（共18小题）23．若抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c 的顶点坐标是A (2，1)，且经过点B (1，0)，则该抛物线的函数表达式为__________________．24．若一个二次函数的图像经过(－3，0)，(2，0)和(1，－4)三点，则这个二次函数的表达式是________.25．若抛物线y ＝ax 2＋bx 经过点A (2，1)，B (1，0)，则抛物线的函数表达式为________．26．设抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c 过点A (0，2)，B (4，3)，C 三点，其中点C 在直线x ＝2上，且点C 到抛物线的对称轴的距离等于1，则抛物线对应的函数表达式为______________． 27．如图，抛物线y ＝﹣x 2+4x ﹣3与x 轴交于点A 、B ，把抛物线在x 轴及其上方的部分记作C 1，将C 1向右平移得C 2，C 2与x 轴交于点B ，D ．若直线y ＝x +m与C 1、C 2共有3个不同的交点，则m 的取值范围是 ．28.不论自变量x 取什么实数，二次函数y ＝2x 2－6x ＋m 的函数值总是正值，则m 的取值范围是________，此时关于x 的一元二次方程2x 2－6x ＋m ＝0的解的情况是________(填“有解”或“无解”)．29．已知二次函数y 1＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)与一次函数y 2＝kx ＋m (k ≠0)的图象交于点A (－1，4)，B (6，2)(如图所示)，则能使y 1＞y 2成立的x 的取值范围是________________．30.如图点A ，B 的坐标分别为(1, 4)，(4, 4)，抛物线y ＝a (x ＋m )2＋n 的顶点在线段AB 上运动，与x 轴交于C ，D 两点(点C 在点D 的左侧)，点C 的横坐标的最小值为－3，则点D 的横坐标的最大值为__________．第30题图 第32题图 第33题图31.某抛物线与抛物线y ＝7x 2的形状、开口方向都相同，且其顶点坐标为(－2，5)，则该抛物线的解析式为__________________．32.如图，已知抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c 与x 轴交于A ，B 两点，顶点C 的纵坐标为－2，现将抛物线向右平移2个单位长度，得到抛物线y ＝a 1x 2＋b 1x ＋c 1，则下列结论正确的是________．(写出所有正确结论的序号)①b ＞0；②a －b ＋c ＜0；③阴影部分的面积为4；④若c ＝－1，则b 2＝4a.33. 如图，抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c(a ，b ，c 是常数，a≠0)与x 轴交于A ，B 两点，顶点为P(m ，n)．给出下列结论：①2a ＋c ＜0；②若(－32，y 1)，(－12，y 2)，(12，y 3)在抛物线上，则y 1＞y 2＞y 3；③若关于x 的方程ax 2＋bx ＋k ＝0有实数解，则k ＞c －n ；④当n ＝－1a 时，△ABP 为等腰直角三角形．其中正确的结论是________．(填序号)34.已知二次函数y ＝2(x －h)2的图象上，当x ＞3时，y 随x 的增大而增大，则h 的值满足_____________.35.在平面直角坐标系中，若抛物线y ＝3x 2不动，而把x 轴、y 轴分别向上、向右平移1个单位长度，则在新的平面直角坐标系中，抛物线的函数表达式为_____________________. 36 将 y ＝2 x 2 －12 x －12变为 y ＝ a ( x － m ) 2 + n 的形式，则 m n ＝__________.37.抛物线y=ax 2 +bx+c 的形状与y=2x 2-4x-1相同，对称轴平行于y 轴，且x=2时，y 有最大值-5，该抛物线关系式为____________.38．如图所示的一座拱桥，当水面宽AB 为12 m 时，桥洞顶部离水面4 m ，已知桥洞的拱形是抛物线，以水平方向为x 轴，建立平面直角坐标系，若选取点A 为坐标原点时的抛物线表达式是y ＝－19(x －6)2＋4，则选取点B 为坐标原点时的抛物线表达式是_________．第38题图 第39题图 第40题图39.如图(1)是一座横断面为抛物线形状的拱桥，当水面在直线l 时，拱顶(拱桥洞的最高点)离水面2 m ，水面宽4 m ．如图(2)建立平面直角坐标系，则抛物线的表达式是__________. 40．如图，一座抛物线型拱桥，桥下水面宽度是4m 时，拱高为2m ，一艘木船宽2m.要能顺利从桥下通过，船顶点与桥拱之间的间隔应不少于0.3m ，那么木船的高不得超过 ______m.三．解答题（共10小题）41.如图，抛物线y 1＝－34x 2＋3与x 轴交于A ，B 两点，与直线y 2＝－34x＋b 交于B ，C 两点．求直线BC 的函数表达式和点C 的坐标；42.．如图，顶点M 在y 轴上的抛物线与直线y ＝x ＋1相交于A ，B 两点，点A 在x 轴上，点B 的横坐标为2，连接AM ，BM.(1)求抛物线的解析式；(2)判断△ABM 的形状，并说明理由．43．如图，已知抛物线y＝x2﹣（k+1）x+1的顶点A在x轴的负半轴上，且与一次函数y＝﹣x+1交于点B和点C．（1）求k的值；（2）求△ABC的面积．44．已知抛物线C：y＝x2+mx+n（m，n为常数）．（1）如图，若抛物线C的顶点坐标为P（1，2），求m，n的值；（2）在（1）的条件下，设点Q（a，b）在抛物线C上，且点Q离y轴的距离不大于2，直接写出b的取值范围；（3）将抛物线C向左平移2个单位得到抛物线C1，将抛物线C向右平移2个单位得到抛物线C2，若C1与C2的交点坐标为（1，3），求抛物线C的函数解析式．45．如图抛物线y＝ax2＋bx＋c与直线y＝x＋1相交于A(－1，0)，B(4，m)两点，且抛物线经过点C(5，0)．(1)求抛物线的表达式；(2)P是抛物线上的一个动点(不与点A，B重合)，过点P作直线PD⊥x轴于点D，交直线AB 于点E.当PE＝2ED时，求点P的坐标．46．已知二次函数y＝－x2＋bx＋c的图像过点A(－1，0)和C(0，2)．(1)求二次函数的表达式及其图像的对称轴；(2)将二次函数y＝－x2＋bx＋c的图像在直线y＝1上方的部分沿直线y＝1翻折，图像其余的部分保持不变，得到的新函数图像记为G，点M(m，y1)在图像G上，且y1≥0，求m的取值范围．47.新定义题如果两个二次函数的图像关于y轴对称，我们就称这两个二次函数互为“关于y轴对称二次函数”，如图K－5－4所示二次函数y1＝x2＋2x＋2与y2＝x2－2x＋2是“关于y轴对称二次函数”．(1)直接写出两条图中“关于y轴对称二次函数”图像所具有的共同特点．(2)二次函数y＝2(x＋2)2＋1的“关于y轴对称二次函数”的表达式为______________；二次函数y＝a(x＋h)2＋k的“关于y轴对称二次函数”的表达式为__________________．(3)平面直角坐标系中，记“关于y轴对称二次函数”的图像与y轴的交点为A，两个图像的顶点分别为B，C，且BC＝6，顺次连接点A，B，O，C得到一个面积为24的菱形，求“关于y轴对称二次函数”的函数表达式．48．创建文明城市的要求，某小区业主委员会决定把一块长80 m，宽60 m的矩形空地建成花园小广场，设计方案如图1－4－9所示，阴影区域为绿化区(四块绿化区为全等的直角三角形)，空白区域为活动区，且四周出口宽度一样，其宽度不小于36 m，不大于44 m，预计活动区造价60元/m2，绿化区造价50元/m2，设绿化区域较长直角边为x m.(1)用含x的代数式表示出口的宽度；(2)求工程总造价y与x的函数关系式，并直接写出x的取值范围；(3)如果业主委员会投资28.4万元，能否完成全部工程？若能，请写出x为整数的所有工程方案；若不能，请说明理由；(4)业主委员会决定在(3)设计的方案中，按最省钱的一种方案，先对四个绿化区域进行绿化，在实际施工中，每天比原计划多绿化11 m2，结果提前4天完成四个区域的绿化任务，问原计划每天绿化多少平方米．49．某企业生产并销售某种产品．假设销售量与产量相等，如图中折线ABD、线段CD分别表示该产品每千克生产成本y1(单位：元)、销售价y2(单位：元)与产量x(单位：kg)之间的函数关系．(1)请解释图中点D的横坐标、纵坐标的实际意义；(2)求线段AB所表示的y1与x之间的函数表达式；(3)当该产品的产量为多少时，所获得的利润最大？最大利润是多少？50.已知：如图，在直角三角形ABC中，∠BAC＝90°，AB＝3，BC＝5，点Q从点B出发，沿B→C方向匀速运动，速度为每秒1个单位；同时点P以相同的速度从点C出发，沿C→A方向匀速运动；当点P运动到点A时，点Q也停止运动，设运动的时间为t，连接PQ （1）求△QPC的面积S与t的函数关系式，并求出s的最大值．（2）连接BP，问是否存在某一时刻，使△BQP为等腰三角形？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由．教师样卷知识点回顾一．二次函数的概念一般地，如果y＝ax2＋bx＋c(a、b、c是常数，a≠0)，那么y叫做x的二次函数．1．结构特征：①等号左边是函数，右边是关于自变量x的二次式；②x的最高次数是2；③二次项系数a≠0.2．二次函数的三种基本形式一般形式：y＝ax2＋bx＋c(a、b、c是常数，且a≠0)；顶点式：y＝a(x－h)2＋k(a≠0)，它直接显示二次函数的顶点坐标是(h，k)；交点式：y＝a(x－x1)(x－x2)(a≠0)，其中x1、x2是图象与x轴交点的横坐标．二．二次函数的图象及其性质三．二次函数y＝ax2＋bx＋c(a、b、c是常数，a≠0)的图象与a、b、c及b2-4ac 的符号之间的关系四．二次函数图象的平移任意抛物线y＝a(x－h)2＋k可以由抛物线y＝ax2经过平移得到，具体平移方法如下：五．二次函数表达式的求法1．设一般式：y＝ax2＋bx＋c(a≠0)．若已知条件是图象上三个点的坐标．则设一般式y＝ax2＋bx＋c(a≠0)，将已知条件代入，求出a、b、c的值．2．设交点式：y＝a(x－x1)(x－x2)(a≠0)．若已知二次函数图象与x轴的两个交点的坐标，则设交点式：y＝a(x－x1)(x－x2)(a≠0)，将第三点的坐标或其他已知条件代入，求出待定系数a，最后将解析式化为一般式．3．设顶点式：y＝a(x－h)2＋k(a≠0)．若已知二次函数的顶点坐标或对称轴方程与最大值或最小值，则设顶点式：y＝a(x－h)2＋k(a≠0)，将已知条件代入，求出待定系数化为一般式六．二次函数的应用二次函数的应用包括两个方法①用二次函数表示实际问题变量之间关系．②用二次函数解决最大化问题(即最值问题)，用二次函数的性质求解，同时注意自变量的取值范围．《第5章二次函数》章末强化提优一．选择题（共22小题）1．若y=（a2+a）是二次函数，那么（）A．a=﹣1或a=3 B．a≠﹣1且a≠0 C．a=﹣1 D．a=3【答案】D2.已知a≠0，在同一平面直角坐标系中，函数y＝ax与y＝ax2的图象有可能是(C)A B C D【答案】C3．从y＝2x2的图象上可以看出，当－1≤x≤2时，y的取值范围是( C )A．2≤y≤8 B．－2≤y≤8 C．0≤y≤8 D．1≤y≤4【答案】C4.函数y=kA．B．C．D．【答案】B5.如图，把抛物线y=x2沿直线y=x平移个单位后，其顶点在直线上的A处，则平移后的抛物线解析式是（ C ）A、y=（x+1）2-1 B．y=（x+1）2+1 C．y=（x-1）2+1 D．y=（x-1）2-16．设A(－2，y 1)，B(1，y 2)，C(2，y 3)是抛物线y ＝－(x ＋1)2＋m 上的三点，则y 1，y 2，y 3的大小关系为 ( )A ．y 1>y 2>y 3B ．y 1<y 3<yC ．y 3>y 2>y 1D ．y 2>y 1>y 3【答案】A 【解析】方法一：把A ，B ，C 三点的坐标分别代入y ＝－(x ＋1)2＋m ，得y 1＝－1＋m ，y 2＝－4＋m ，y 3＝－9＋m ，所以y 1>y 2>y 3.方法二：抛物线y ＝－(x ＋1)2＋m 的开口向下，对称轴为直线x ＝－1，点B ，C 都在对称轴的右边，由点A(－2，y 1)可知点(0，y 1)也在抛物线上．根据二次函数图像的性质，可知当x>－1时，y 随x 的增大而减小，而0<1<2，所以y 1>y 2>y 3.7.二次函数y ＝ax 2＋bx －1(a≠0)的图象经过点(1，1)，则a ＋b ＋1的值是( )A .－3B .－1C .2D .3【答案】D8.已知二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 的x ，y 的部分对应值如下表：则该二次函数图象的对称轴为( )A .y 轴B .直线x ＝52C .直线x ＝2D .直线x ＝32【答案】D9..已知二次函数y ＝ax 2－bx －2(a≠0)的图象的顶点在第四象限，且过点(－1，0)，则a －b 的取值范围为( )A .－2＜a －b ＜2B .－2≤a－b≤2C .－2＜a －b ＜1D .0＜a －b ＜2【答案】A10．足球运动员将足球沿与地面成一定角度的方向踢出，足球飞行的路线是一条抛物线，不考虑空气阻力，足球距离地面的高度h (单位：m)与足球被踢出后经过的时间t (单位：s)下列结论：①足球距离地面的最大高度为20 m ；②足球飞行路线的对称轴是直线t ＝92；③足球被踢出9 s 时落地；④足球被踢出1.5 s 时，距离地面的高度是11 m ．其中正确结论的个数是( )A ．1B ．2C ．3D ．4【答案】B 【解析】由题意，设抛物线的表达式为y ＝at (t －9)，把(1，8)代入，可求得a ＝－1 ∴y ＝－t 2＋9t ＝－(t －4.5)2＋20.25，∴足球距离地面的最大高度为20.25 m ，故①错误．∴抛物线的对称轴为直线t ＝4.5，故②正确．∵t ＝9时，y ＝0，∴足球被踢出9 s 时落地，故③正确．∵t ＝1.5时，y ＝11.25，∴④错误．∴正确的有②③，故选B.11．小李打羽毛球时，若羽毛球飞行的高度h (m)与发球的时间t (s)满足关系式h ＝－2t 2＋2t ＋2，则小李发球后0.5 s 时，羽毛球飞行的高度为( C )A ．1.5 mB ．2 mC ．2.5 mD ．3 m【答案】C12．便民商店经营一种商品，在销售过程中，发现一周利润y (元)与每件销售价x (元)之间的关系满足y ＝－2(x －20)2＋1558，由于某种原因，价格只能在15≤x ≤22范围内，那么一周可获得的最大利润是( D )A ．20B ．1508C ．1550D ．155813．某旅游景点的收入受季节的影响较大，有时候出现赔本的经营状况．因此，公司规定：若无利润时，该旅游景点关闭．经跟踪测算，该旅游景点一年中某月的利润W (万元)与月份x 之间满足二次函数W ＝－x 2＋16x －48，则该旅游景点一年中利润最大的月份是( C ) A ．4 B ．6 C ．8 D ．10【答案】C14﹒某建筑物，从10m 高的窗口A ，用水管向外喷水，喷出的水呈抛物线状（抛物线所在的平面与墙面垂直），如图所示，如果抛物线的最高点M 离墙1m ，离地面40/3m ，则水流落地点B 离墙的距离OB 是（ ）A .2mB .3mC .4mD .5m【答案】 B 解答：设抛物线的解析式为y ＝a (x ﹣1)2+40/3，把点A （0，10）代入a (x ﹣1)2+40/3，得a (0﹣1)2+ 40/3＝10，解得a ＝﹣10/3，因此抛物线解析式为y ＝﹣10/3(x ﹣1)2+40/3，当y ＝0时，解得x 1＝3，x 2＝﹣1（不合题意，舍去）；即OB ＝3米．第14题图 第15题图 第16题图15．太阳影子定位技术是通过分析视频中物体的太阳影子变化，确定视频拍摄地点的一种方法为了确定视频拍摄地的经度，我们需要对比视频中影子最短的时刻与同一天东经120度影子最短的时刻在一定条件下，直杆的太阳影子长度单位：米与时刻单位：时的关系满足函数L =at 2+bt+c （a ≠0，a ，b ，c 为常数），如图记录了三个时刻的数据，根据上述函数模型和记录的数据，则该地影子最短时，最接近的时刻t 是（ ）A. B. 13 C. D.【答案】C 【解析】把（12，0.6）、（13，0.35）、（14，0.4）代入L =at 2+bt +c 中得：，解得， ∴L =0.15t 2-4t +27，∵0.15＞0，∴L 有最小值，当t ≈13.33时，该地影子最短；故选C16．近几年来，“互联网＋”战略与传统出租车行业深度融合，引入“数据包络分析”(简称DEA)的一种效率评价方法，调查发现，DEA 值越大，说明匹配度越好．在某一段时间内，北京的DEA 值y 与时刻t 的关系近似满足函数关系y ＝ax 2＋bx ＋c (a ，b ，c 是常数，且a ≠0)，如图记录了3个时刻的数据，根据函数模型和所给数据，当“供需匹配”程度最好时，最接近的时刻t 是( )A ．4.8B ．5C ．5.2D ．5.5【答案】C [解析] 将(4，0.43)，(5，1.1)，(6，0.87)代入表达式，得⎩⎪⎨⎪⎧16a ＋4b ＋c ＝0.43，25a ＋5b ＋c ＝1.1，36a ＋6b ＋c ＝0.87，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－0.45，b ＝4.72，c ＝－11.25，∴y ＝－0.45x 2＋4.72x －11.25，当x ＝－ 4.722×()－0.45≈5.2时，y 取得最大值．17．如图所示的抛物线是二次函数y ＝ax 2＋5x ＋4－a 2的图像，那么a 的值是( )A ．2B ．－2C ．－52D ．±2【答案】B 【解析】：根据图示知，二次函数y ＝ax 2＋5x ＋4－a 2的图像经过原点(0，0)，∴0＝4－a 2，解得a ＝±2.又∵该函数图像的开口向下，∴a ＜0，∴a ＝－2.故选B.第17题图 第18题图第20题表18．如图二次函数y ＝x 2＋bx ＋c 的图像过点B (0，－2)，它与反比例函数y ＝－8x 的图像交于点A (m ，4)，则这个二次函数的表达式为( )A ．y ＝x 2－x －2B ．y ＝x 2－x ＋2C ．y ＝x 2＋x －2D ．y ＝x 2＋x ＋2【答案】 A 【解析】：将A (m ，4)代入反比例函数表达式，得4m＝－8，∴m ＝－2，∴A (－2，4)．将A (－2，4)，B (0，－2)分别代入二次函数表达式，得4－2b ＋c ＝4，c ＝－2，解得b ＝－1，c ＝－2，故这个二次函数的表达式为y ＝x 2－x －2.19．已知某二次函数的图像如图所示，则这个二次函数的表达式为（ ）A ．y ＝2(x ＋1)2＋8B ．y ＝18(x ＋1)2－8C ．y ＝29(x －1)2＋8D ．y ＝2(x －1)2－8【答案】D 【解析】：设顶点式：y ＝a(x ＋h)2＋k(a ，h ，k 是常数，a ≠0)，其中(－h ，k)为顶点坐标．由图像知，抛物线的顶点坐标是(1，－8)，且经过点(3，0)，故二次函数的表达式为y ＝2(x －1)2－8.故选D .20．某同学在用描点法画二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 的图像时，列出了下面的表格： 由于粗心，他算错了其中的一个y 值，则这个错误的数值是( )A ．－11B ．－2C ．1D ．－5【答案】 D 【解析】：由函数图像关于对称轴对称，得点(－1，－2)，(0，1)，(1，－2)在函数图像上．把(－1，－2)，(0，1)，(1，－2)分别代入函数表达式，得⎩⎪⎨⎪⎧a －b ＋c ＝－2，c ＝1，a ＋b ＋c ＝－2，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－3，b ＝0，c ＝1，∴函数表达式为y ＝－3x 2＋1.当x ＝2时，y ＝－11.故选D .21．若二次函数y ＝kx 2+2x ﹣1的图象与x 轴仅有一个公共点，则常数k 的值为（ ） A ．1 B ．±1 C ．﹣1 D ．-1/2【答案】D 【解析】：∵二次函数y ＝ax 2+bx +c 的图象与x 轴的一个交点坐标为（﹣3，0），对称轴为直线x ＝﹣1，∴二次函数y ＝ax 2+bx +c 的图象与x 轴的另一个交点坐标为[﹣1×2﹣（﹣3），0]，即（1，0），∴关于x 的一元二次方程ax 2+bx +c ＝0的解为x 1＝﹣3，x 2＝1． 故选：D ．22．抛物线y ＝﹣x 2+2x +3与x 轴的两交点间的距离是（ ）A ．1B ．2C ．3D ．4【答案】D 【解析】：当y ＝0时，﹣x 2+2x +3＝0，解得x 1＝﹣1，x 2＝3，所以抛物线与x 轴的两交点的坐标为（﹣1，0），（3，0），所以抛物线y ＝﹣x 2+2x +3与x 轴的两交点间的距离为3﹣（﹣1）＝4．故选：D ．二．填空题（共18小题）23．若抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c 的顶点坐标是A (2，1)，且经过点B (1，0)，则该抛物线的函数表达式为__________________．【答案】y ＝－x 2＋4x －3 【解析】：设抛物线的函数表达式为y ＝a (x －2)2＋1.将点B 的坐标(1，0)代入y ＝a (x －2)2＋1，得a ＝－1，∴函数表达式为y ＝－(x －2)2＋1，展开，得y ＝－x 2＋4x －3.24．若一个二次函数的图像经过(－3，0)，(2，0)和(1，－4)三点，则这个二次函数的表达式是________.【答案】 y ＝x 2＋x －6 【解析】： 因为二次函数的图像经过点(－3，0)，(2，0)，所以设二次函数的表达式为y ＝a(x ＋3)·(x－2)．将点(1，－4)代入，得－4＝(1＋3)×(1－2)a ，解得a ＝1，所以二次函数的表达式为y ＝(x ＋3)(x －2)＝x 2＋x －6.故答案为y ＝x 2＋x －6.25．若抛物线y ＝ax 2＋bx 经过点A (2，1)，B (1，0)，则抛物线的函数表达式为________．【答案】 y ＝12x 2－12x 【解析】：将A(2，1)，B(1，0)代入y ＝ax 2＋bx ，得⎩⎪⎨⎪⎧4a ＋2b ＝1，a ＋b ＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝12，b ＝－12，∴抛物线的表达式为y ＝12x 2－12x. 26．设抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c 过点A (0，2)，B (4，3)，C 三点，其中点C 在直线x ＝2上，且点C 到抛物线的对称轴的距离等于1，则抛物线对应的函数表达式为______________．【答案】 y ＝18x 2－14x ＋2或y ＝－18x 2＋34x ＋2 【解析】： 因为抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c 过点A(0，2)，所以函数表达式为y ＝ax 2＋bx ＋2.因为点C 在直线x ＝2上且到抛物线的对称轴的距离等于1，所以抛物线的对称轴为直线x ＝1或直线x ＝3，所以可以建立以下两个方程组：(1)⎩⎪⎨⎪⎧16a ＋4b ＋2＝3，－b 2a ＝1，(2)⎩⎪⎨⎪⎧16a ＋4b ＋2＝3，－b 2a＝3.由方程组(1)，得a ＝18，b ＝－14；由方程组(2)，得a ＝－18，b ＝34.故答案为y ＝18x 2－14x ＋2或y ＝－18x 2＋34x ＋2.27．如图，抛物线y ＝﹣x 2+4x ﹣3与x 轴交于点A 、B ，把抛物线在x 轴及其上方的部分记作C 1，将C 1向右平移得C 2，C 2与x 轴交于点B ，D ．若直线y ＝x +m 与C 1、C 2共有3个不同的交点，则m 的取值范围是 ．【答案】-3＜m ＜-11/4 【解析】：令y ＝﹣x 2+4x ﹣3＝0，即x 2﹣4x +3＝0，解得x ＝1或3，则点A （1，0），B （3，0）．由于将C 1向右平移2个长度单位得C 2，则C 2解析式为y ＝﹣（x ﹣4）2+1，当y ＝x +m 与C 2相切时，令y ＝x +m ＝y＝﹣（x ﹣4）2+1，即x 2﹣7x +15+m ＝0，△＝72﹣4×（15+m ）＝0，解得m 1=-11/4 ，当y ＝x +m 2过点B 时， 即0＝3+m ，m ＝﹣3，当-3＜m ＜-11/4时直线y ＝x +m 与C 1、C 2共有3个不同的交点．28.不论自变量x 取什么实数，二次函数y ＝2x 2－6x ＋m 的函数值总是正值，则m 的取值范围是________，此时关于x 的一元二次方程2x 2－6x ＋m ＝0的解的情况是________(填“有解”或“无解”)．【答案】m ＞92无解 29．已知二次函数y 1＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)与一次函数y 2＝kx ＋m (k ≠0)的图象交于点A (－1，4)，B (6，2)(如图所示)，则能使y 1＞y 2成立的x的取值范围是________________．【答案】x ＞6或x ＜－130.如图点A ，B 的坐标分别为(1, 4)，(4, 4)，抛物线y ＝a (x ＋m )2＋n 的顶点在线段AB 上运动，与x 轴交于C ，D 两点(点C 在点D 的左侧)，点C 的横坐标的最小值为－3，则点D 的横坐标的最大值为__________．【答案】 8 【解析】 根据题意，抛物线y ＝a(x ＋m)2＋n 的顶点为A(1，4)，经过点C(－3，0)的表达式为y ＝－14(x －1)2＋4，此时点D 的坐标为(5，0)．当点D 的横坐标最大时，即抛物线的顶点坐标为B(4，4)，此时抛物线y ＝－14(x －1)2＋4向右平移3个单位长度，故点D 的横坐标的最大值为8.第30题图 第32题图 第33题图31.某抛物线与抛物线y ＝7x 2的形状、开口方向都相同，且其顶点坐标为(－2，5)，则该抛物线的解析式为__________________．【答案】y ＝7x 2＋28x ＋33 【解析】设该抛物线的解析式为y ＝a(x －h)2＋k.∵该抛物线与抛物线y ＝7x 2的形状、开口方向都相同，∴a ＝7.又∵其顶点坐标为(－2，5)，∴它的解析式为y ＝7(x ＋2)2＋5，整理，得y ＝7x 2＋28x ＋33.32.如图，已知抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c 与x 轴交于A ，B 两点，顶点C 的纵坐标为－2，现将抛物线向右平移2个单位长度，得到抛物线y ＝a 1x 2＋b 1x ＋c 1，则下列结论正确的是________．(写出所有正确结论的序号)①b ＞0；②a －b ＋c ＜0；③阴影部分的面积为4；④若c ＝－1，则b 2＝4a.【答案】③④ [解析] ∵抛物线开口向上，∴a ＞0.又∵对称轴为直线x ＝－b 2a ＞0，∴b ＜0，∴结论①不正确；∵当x ＝－1时，y ＞0，∴a －b ＋c ＞0，∴结论②不正确；根据抛物线的对称性，可将阴影部分的面积进行转化，从而求得阴影部分的面积＝2×2＝4，∴结论③正确；∵4ac －b 24a ＝－2，c ＝－1，∴b 2＝4a ，∴结论④正确．综上，正确的结论是③④.33. 如图，抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c(a ，b ，c 是常数，a≠0)与x 轴交于A ，B 两点，顶点为P(m ，n)．给出下列结论：①2a ＋c ＜0；②若(－32，y 1)，(－12，y 2)，(12，y 3)在抛物线上，则y 1＞y 2＞y 3；③若关于x 的方程ax 2＋bx ＋k ＝0有实数解，则k ＞c －n ；④当n ＝－1a 时，△ABP 为等腰直角三角形．其中正确的结论是________．(填序号)【答案】②④ [解析] (1)当x ＝－1时，y ＝a －b ＋c ＞0.由x ＝－b 2a ＜12和a ＞0可得－b ＜a.∴0＜a －b ＋c ＜a ＋a ＋c ＝2a ＋c ，即2a ＋c ＞0，①错误；(2)结合图象易知②正确；(3)方程ax 2＋bx ＋k ＝0有实数解，即ax 2＋bx ＋c ＝c －k 有实数解．∵y ＝ax 2＋bx ＋c≥n ，∴c －k≥n ，即k≤c －n ，③错误；(4)设抛物线的解析式为y ＝－1n (x －m)2＋n(n ＜0)．令y ＝0，得－1n (x －m)2＋n ＝0.∴n 2－(x －m)2＝0，∴(n －x ＋m)(n ＋x －m)＝0.∴x 1＝m ＋n ，x 2＝m －n.AB ＝|x 1－x 2|＝－2n.设对称轴交x 轴于点H ，则AH ＝BH ＝PH ＝－n ，∴△ABP 为等腰直角三角形，④正确．34.已知二次函数y ＝2(x －h)2的图象上，当x ＞3时，y 随x 的增大而增大，则h 的值满足_____________.【答案】h≤335.在平面直角坐标系中，若抛物线y ＝3x 2不动，而把x 轴、y 轴分别向上、向右平移1个单位长度，则在新的平面直角坐标系中，抛物线的函数表达式为_____________________.【答案】y ＝3(x ＋1)2－136 将 y ＝2 x 2 －12 x －12变为 y ＝ a ( x － m ) 2 + n 的形式，则 m n ＝__________.【答案】－90 【解析】将 y ＝2 x 2 －12 x －12进行配方，得 y ＝2( x －3) 2 －30，所以 m ＝3， n ＝－30，所以 m n ＝－90.37.抛物线y=ax 2 +bx+c 的形状与y=2x 2 -4x-1相同，对称轴平行于y 轴，且x=2时，y 有最大值-5，该抛物线关系式为____________.【答案】 y=-2(x-2) 2 -5 【解析】 两个抛物线形状相同，二次系数相同或互为相反数.这里a=-2，又对称轴为x=2，y 有最大值-5，即抛物线y=ax 2 +bx+c 与y=2x 2 -4x-1形状相同， ∴a=±2. 又∵二次函数有最大值，∴a=-2. ∴y=-2(x-2) 2 -5=-2(x 2 -4x+4)-5=-2x 2 +8x-13.故解析式为y=-2(x-2) 2 -5.38．如图所示的一座拱桥，当水面宽AB 为12 m 时，桥洞顶部离水面4 m ，已知桥洞的拱形是抛物线，以水平方向为x 轴，建立平面直角坐标系，若选取点A 为坐标原点时的抛物线表达式是y ＝－19(x －6)2＋4，则选取点B 为坐标原点时的抛物线表达式是_________．【答案】y ＝－19(x ＋6)2＋4第38题图 第39题图 第40题图39.如图(1)是一座横断面为抛物线形状的拱桥，当水面在直线l 时，拱顶(拱桥洞的最高点)离水面2 m ，水面宽4 m ．如图(2)建立平面直角坐标系，则抛物线的表达式是__________.【答案】y ＝2x 240．如图，一座抛物线型拱桥，桥下水面宽度是4m 时，拱高为2m ，一艘木船宽2m.要能顺利从桥下通过，船顶点与桥拱之间的间隔应不少于0.3m ，那么木船的高不得超过 ______m.【答案】1.2【解析】以水面所在水平线为x 轴，过拱桥顶点作水平线的垂线，作为y 轴，建立坐标系，设水平面与拱桥的交点为A （-2，0），B （2，0），C （0，2），利用待定系数法设函数的解析式为y=a （x+2）（x-2）代入点C 坐标，求得a=-1/2，即抛物线的解析式为y=-1/2（x+2）（x-2），令x=1，解得y=1.5，船顶与桥拱之间的间隔应不少于0.3，则木船的最高高度为1.5-0.3=1.2米.故答案为：1.2.三．解答题（共10小题）41.如图，抛物线y 1＝－34x 2＋3与x 轴交于A ，B 两点，与直线y 2＝－34x＋b 交于B ，C 两点．求直线BC 的函数表达式和点C 的坐标；解：由－34x 2＋3＝0，得x ＝2或x ＝－2，∴B(2，0)．将B(2，0)的坐标代入y 2＝－34x ＋b ，得b ＝32.∴直线BC 的函数表达式为y ＝－34x ＋32.由－34x 2＋3＝－34x ＋32，得x ＝2或x ＝－1.当x ＝－1时，y 2＝－34×(－1)＋32＝94，∴C ⎝⎛⎭⎫－1，94. 42.．如图，顶点M 在y 轴上的抛物线与直线y ＝x ＋1相交于A ，B 两点，点A 在x 轴上，。
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4
【思维升华】
12．二次函数 y＝－x2＋6x－7，当 x 取值为 t≤x≤t＋2 时有最大值 y＝－(t－3)2＋2，则
t 的取值范围为
()
A．t≤0
B．0≤t≤3
C．t≥3
D．以上都不对
13．设实数 a，b 满足：3a2－10ab＋8b2＋5a－10b＝0，求 u＝9a2＋72b＋2 的最小值．
图 1－5－5
11．如图 1－5－6①，已知正方形 ABCD 的边长为 1，点 E 在边 BC 上，若∠AEF＝90°， 且 EF 交正方形外角的平分线 CF 于点 F. (1)图①中若点 E 是边 BC 的中点，我们可以构造两个三角形全等来证明 AE＝EF，请 你叙述一个构造方案，并指出是哪两个三角形全等(不要求证明)； (2)如图②，若点 E 在线段 BC 上滑动(不与点 B，C 重合)． ①AE＝EF 是否总成立？请给出证明； ②在如图②所示的直角坐标系中，当点 E 滑动到某处时，点 F 恰好落在抛物线 y＝－ x2＋x＋1 上，求此时点 F 的坐标．
()
A．1
B．2
图 1－5－3
C．3
D．4
4．设 a，b，c 是△ABC 的三边长，二次函数 y＝ a b x2－cx－a－b在 x＝1 时取最小
2
2
值－8b，则△ABC 是 5
A．等腰三角形
() B．锐角三角形
C．钝角三角形
D．直角三角形
1
【思维拓展】
5．二次函数
y＝2x2 3
的图象如图
(A)
3．如图 1－5－3，二次函数 y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象与 x 轴交于 A，B 两点，与 y 轴交于 C 点， 且对称轴为 x＝1，点 B 的坐标为(－1，0)．则下面的四个结论：①2a＋b＝0；②4a－2b＋c＜0； ③ac＞0；④当 y＜0 时，x＜－1 或 x＞2.其中正确的个数是 (B)
14．已知整数 a，b 满足：a－b 是素数，且 ab 是完全平方数．当 a≥2 012 时，求 a 的
最小值．
5
答案
第 5 讲 与二次函数有关的综合问题
【思维入门】
1． 抛物线 y＝ax2＋bx＋c 的顶点为 D(－1，2)，与 x 轴的
一个交点 A 在点(－3，0)和(－2，0)之间，其部分图象
8．已知抛物线 y1＝ax2＋bx＋c(a≠0)与 x 轴相交于点 A，B(点 A，B 在原点 O 两侧)，与 y 轴相交于点 C，且点 A，C 在一次函数 y2＝43x＋n 的图象上，线段 AB 长为 16，线 段 OC 长为 8，当 y1 随着 x 的增大而减小时，求自变量的取值范围．
9．已知抛物线 y1＝ax2＋bx＋c(a≠0，a≠c)过点 A(1，0)，顶点为 B，且抛物线不经过第 三象限． (1)使用 a，c 表示 b； (2)判断点 B 所在象限，并说明理由； (3)若直线 y2＝2x＋m 经过点 B，且与该抛物线交于另一点 C ( c ,b 8) ，求当 x≥1 时 a y1 的取值范围．
第 5 讲 与二次函数有关的综合问题
【思维入门】
1． 抛物线 y＝ax2＋bx＋c 的顶点为 D(－1，2)，与 x 轴的一个交点
A 在点(－3，0)和(－2，0)之间，其部分图象如图 1－5－1 所示，
则以下结论：① b2－4ac<0；②a＋b＋c<0；③c－a＝2；④方
程 ax2＋bx＋c－2＝0 有两个相等的实数根，其中正确结论的个
1－5－4，点
A0
位于坐标原点，点
A1，A2，A3，…，An
在 y 轴的正半轴上，点 B1，B2，B3，…，Bn 在二次函数位于第一象限的图象上．四边形
A0B1A1C1，四边形 A1B2A2C2，四边形 A2B3A3C3，…，四边形 An－1BnAnCn 都是菱形，∠A0B1A1
＝∠A1B2A2＝∠A2B3A3＝…＝∠An－1BnAn＝60°，菱形 An－1BnAnCn 的周长为________．
2
7．在平面直角坐标系 xOy 中，抛物线 y＝2x2＋mx＋n 经过点 A(0，－2)，B(3，4)． (1)求抛物线的表达式及对称轴； (2)设点 B 关于原点的对称点为 C，点 D 是抛物线对称轴上一动点，记抛物线在 A，B 之间的部分为图象 G(包含 A，B 两点)，若直线 CD 与图象 G 有公共点，结合函数图 象，求点 D 纵坐标 t 的取值范围．
图 1－5－4
6．已知二次函数 y＝a(x－m)2－a(x－m)(a，m 为常数，且 a≠0)． （1）求证：不论 a 与 m 为何值，该函数的图象与 x 轴总有两个公共点； （2）设该函数的图象的顶点为 C，与 x 轴交于 A，B 两点，与 y 轴交于点 D. ①当△ABC 的面积等于 1 时，求 a 的值； ②当△ABC 的面积与△ABD 的面积相等时，求 m 的值．
A．1
数为 ( )
A．1
B．2
C．3
D．4
图 1－5－1
2．已知二次函数 y＝a(x－1)2－c 的图象如图 1－5－2 所示，则一次函数 y＝ax＋c 的大
致图象可能是
()
图 1－5－2 3．如图 1－5－3，二次函数 y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象与 x 轴交于 A，B 两点，与 y 轴
交于 C 点，且对称轴为 x＝1，点 B 的坐标为(－1，0)．则下面的四个结论：①2a＋b ＝0；②4a－2b＋c＜0；③ac＞0；④当 y＜0 时，x＜－1 或 x＞2.其中正确的个数是
如图 1－5－1 所示，则以下结论：① ；④方程 ax2＋bx＋c－2＝0 有两
个相等的实数根，其中正确结论的个数为 ( C )
A．1
B．2
C．3
D．4
2．已知二次函数 y＝a(x－1)2－c 的图象如图 1－5－2 所示，则一次函数 y
＝ax＋c 的大致图象可能是
3
10．已知抛物线 y＝ 3x2＋bx＋6 3经过 A(2，0)．设顶点为点 P，与 x 轴的另一交点为 2
点 B. (1)求 b 的值，点 P，点 B 的坐标； (2)如图 1－5－5，在直线 y＝ 3x 上是否存在点 D，使四边形 OPBD 为平行四边形？ 若存在，求出点 D 的坐标；若不存在，请说明理由．