2.1.1 分解因式
因式分解(三次方差公式)教案
因式分解(三次方差公式)教案一、引言本教案旨在教授因式分解(三次方差公式)的概念及相关技巧。
因式分解是数学中重要的基础概念之一，对于解决方程、求根和简化表达式都有重要作用。
本教案将通过简单而直观的方式介绍因式分解的概念和方法，以便学生能够理解和应用。
二、因式分解的基本概念2.1 因式分解的定义因式分解是将一个多项式表示为若干个乘积的形式的过程。
通过因式分解，我们可以将复杂的多项式简化为更简单的形式，便于进一步运算和理解。
2.2 因式分解的意义因式分解在数学中具有广泛的应用。
它可以帮助我们解决方程、求根以及简化表达式。
通过因式分解，我们可以将不易处理的多项式拆分成更小的部分，从而更方便地进行运算和推导。
三、因式分解的方法和步骤3.1 因式分解的基本原则因式分解的基本原则是找出多项式中的公因子，然后将其提取出来作为一个因子。
通过不断重复这个过程，最终将多项式分解为不可再分的因子乘积的形式。
3.2 三次方差公式的因式分解三次方差公式是常见的因式分解形式之一。
它可以将一个三次多项式分解为三个一次因子的乘积形式。
具体的步骤如下：1. 首先，观察多项式中是否存在公因子，如果有，提取出来作为一个因子。
2. 其次，利用三次方差公式进行因式分解。
三次方差公式的表达式为：`a^3 - b^3 = (a - b)(a^2 + ab + b^2)`。
根据此公式，我们可以将一个三次方差式因式分解为两个因子的乘积形式。
3. 最后，如果分解后的因子仍然是多项式，可以继续应用因式分解的方法，将其进一步拆分为更小的因子。
3.3 示例和练在教学过程中，可以通过具体的示例和练来帮助学生掌握因式分解的方法和步骤。
提供一些多项式，并要求学生进行因式分解，以加深他们对概念和技巧的理解和应用。
四、总结因式分解是数学中重要的技巧之一，能够帮助我们简化多项式、解决方程和求根。
通过本教案的介绍，学生可以了解到因式分解的基本概念和方法，并通过示例和练来提高他们的理解和应用能力。
实数的范围内分解因式
实数的范围内分解因式1. 引言嘿，大家好！今天咱们要聊聊一个可能让你在课堂上挠头的主题——分解因式，尤其是在实数范围内的分解因式。
听上去有点高深，但别担心，我会用通俗易懂的方式带你走进这个神秘的数学世界。
想象一下，分解因式就像是给一个复杂的拼图找到了它的小块，让它变得简单明了。
是不是有点意思？2. 分解因式的基本概念2.1 什么是分解因式？分解因式简单来说，就是把一个多项式拆分成几个“因式”，这些因式可以是一次多项式或常数。
例如，你有一个大块蛋糕，分解因式就像把它切成小块，方便大家分享。
比如说，x^2 4 这个式子，你可以把它分解成(x 2)(x + 2)。
看，这样是不是清晰多了？2.2 为什么要分解因式？分解因式的好处可不少！首先，它能让你更容易找到方程的根。
比如说，咱们想知道 x^2 4 = 0 的解，那就可以直接用 (x 2)(x + 2) = 0，结果显而易见，x = 2 或 x = 2。
这就像是打开了一扇窗，阳光一下子洒进来了，明亮又温暖。
3. 实数范围内的分解3.1 实数的特点在数学的大家庭里，实数就像是那种能给你带来温暖的老友，既可靠又实用。
它包括了所有的有理数和无理数，像是整数、分数、甚至那些奇奇怪怪的根号数。
在我们进行分解因式时，实数的这些特点能帮助我们找到更好的解决方案。
3.2 实数分解的常见技巧说到实数范围内的分解因式，咱们常用的几招有：提取公因式、分组分解和使用平方差公式。
比如，提取公因式就像是从一个大袋子里把共同的零食拿出来。
比如 3x^2 + 6x，你可以提取出 3x，变成 3x(x + 2)。
这样一来，不仅干净利落，还显得特别有条理。
4. 练习与应用4.1 多做练习要熟练掌握分解因式，光听不练可不行！不妨拿起笔，尝试一些例题。
像 x^2 + 5x + 6，你可以试着分解成 (x + 2)(x + 3)，看到这里是不是觉得豁然开朗？练习多了，自然就手到擒来了。
4.2 实际应用分解因式可不仅仅是数学课堂上的一项技能，它在生活中也能派上用场！无论是工程、物理，还是经济学，分解因式都能帮助我们简化问题，找到解决方案。
多项式的根与因式分解
多项式的根与因式分解多项式是代数学中常见的一种数学表达式，它由多个项的和构成，每个项由系数与指数的乘积组成。
在代数学中，研究多项式的根与因式分解是非常重要的内容。
本文将从多项式的根的概念入手，介绍多项式的根的性质及求解方法，然后探讨多项式的因式分解，包括一元多项式的因式分解和多元多项式的因式分解。
一、多项式的根1.1 多项式的根的概念多项式的根是指能够使多项式取零值的数，也就是方程P(x)=0的解。
对于一元一次多项式ax+b=0，其根为x=-b/a；对于一元二次多项式ax^2+bx+c=0，其根可以通过求根公式x=[-b±√(b^2-4ac)]/(2a)来求解。
1.2 多项式的根的性质（1）一元多项式的根的个数不超过其次数。
例如，一个一元二次多项式最多有两个根。
（2）多项式的根与系数之间存在着关系。
对于一元一次多项式ax+b=0，其根与系数的关系为x=-b/a；对于一元二次多项式ax^2+bx+c=0，其根与系数的关系可以通过求根公式得到。
1.3 多项式的根的求解方法对于一元一次多项式，可以直接通过解方程的方法求解根；对于一元二次多项式，可以使用求根公式来求解根。
对于高次多项式，可以通过因式分解、综合除法等方法来逐步降低多项式的次数，最终求得根的值。
二、多项式的因式分解2.1 一元多项式的因式分解一元多项式的因式分解是将一个多项式表示为若干个一次或二次不可约多项式的乘积的形式。
例如，对于一元二次多项式ax^2+bx+c，可以通过求根公式求得根的值，然后将多项式分解为(x-x1)(x-x2)的形式。
2.2 多元多项式的因式分解多元多项式是指含有多个变量的多项式，其因式分解的过程相对复杂。
在进行多元多项式的因式分解时，可以采用分组、提取公因式、配方法等多种方法，逐步将多项式分解为不可约的因式的乘积形式。
2.3 多项式的因式分解在代数运算中的应用多项式的因式分解在代数运算中具有重要的应用价值。
因式定理法因式分解
因式定理法因式分解1. 引言在数学中，因式分解是将一个多项式表达式表示为若干个乘积的形式的过程。
因式分解是代数学中的重要概念，它可以帮助我们简化复杂的多项式，解决方程和不等式，以及理解更高级的数学概念。
因式定理法是一种常用的因式分解方法之一。
它基于代数基本定理，即任何一个次数大于1的多项式都可以被分解成一系列次数为1的一次多项式。
本文将详细介绍因式定理法以及如何使用它进行因式分解。
2. 因式定理法的原理因式定理法基于以下两个重要原理：2.1 代数基本定理代数基本定理（Fundamental Theorem of Algebra）表明任何一个非常数的次数大于1的多项式都可以在复数域内被完全分解为一次因子。
2.2 因子定理对于一个多项式f(x)，如果f(a)=0，则(x−a)是f(x)的一个因子。
这个原理称为因子定理（Factor Theorem）。
换句话说，如果我们找到了f(x)在某个点a处等于零，那么我们可以将f(x)除以(x−a)得到一个次数降低的多项式。
基于以上原理，因式定理法通过不断地使用因子定理和代数基本定理，将一个多项式逐步分解为一次因子的乘积。
3. 因式定理法的步骤下面是使用因式定理法进行因式分解的步骤：3.1 确定多项式的最高次数首先，我们需要确定给定多项式的最高次数。
最高次数决定了我们需要找到多少个一次因子来完全分解这个多项式。
3.2 寻找可能的一次因子接下来，我们需要寻找可能的一次因子。
一次因子是指形如(x−a)的表达式，其中a是一个实数。
常用的寻找一次因子的方法包括有理根定理、综合除法等。
有时候，我们也可以根据观察和猜测来找到可能的一次因子。
3.3 使用综合除法进行验证在找到可能的一次因子后，我们需要使用综合除法来验证这个表达式是否真正是多项式的一个因子。
如果余数为零，则说明找到了一个有效的一次因子。
3.4 迭代应用因子定理如果找到了一个有效的一次因子，我们可以使用因子定理将多项式除以这个因子，得到一个次数降低的多项式。
因式分解知识点
因式分解知识点因式分解是数学中重要的基础知识之一。
它是指将一个多项式表示成若干个一次或多次幂的乘积的形式。
因式分解在数学中有广泛的应用，例如解方程、计算极限、构建数据模型等等。
本文旨在深入探讨因式分解的相关知识点。
一、基本概念1.1 多项式与因式：多项式是由常数、变量和幂次依次相乘所得的代数式，如$x^2+2x+1$。
因式是一种可以被一个数或一个代数式整除的代数式，如$x+1$是$x^2+2x+1$的因式。
1.2 因数与因式分解：在数学中，一个数$a$能够被另一个数$b$整除，即$a=bn$，则称$b$是$a$的因数。
因式分解是指将一个代数式写成各个因数的乘积的形式。
二、因式分解方法2.1 提公因式法：提公因式法是指先提取出多项式中的公因式，然后将公因式与剩余项相乘得到原多项式。
例如，$3x^3+6x^2=3x^2(x+2)$。
2.2 分组分解法：分组分解法是指将多项式中的项分成两组，使得每组之间可以找到一个公因式，然后将两组分别提取出公因式后合并得到原多项式。
例如，$x^2+2xy+y^2= (x+y)^2$。
2.3 短除法：短除法是将多项式中的项按某个因式进行除法运算后得到商式，将商式再按另一因式进行除法运算，直到多项式无法再做除法为止。
例如，$x^3-8=(x-2)(x^2+2x+4)$。
2.4 公式法：公式法是指利用一些基本公式对多项式进行因式分解。
例如，$a^2-b^2=(a+b)(a-b)$。
三、应用3.1 解高次方程：因式分解可以方便地解决高次方程，如 $x^2-5x+6=0$可以因式分解为$(x-2)(x-3)=0$，从而得到解$x=2$和$x=3$。
3.2 计算极限：因式分解可以化简复杂的代数式，从而方便计算极限，如$\lim\limits_{x\rightarrow3}\dfrac{x^3-27}{x^2-9}=\lim\limits_{x\rightarrow3}\dfrac{(x-3)(x^2+3x+9)}{(x+3)(x-3)}=\lim\limits_{x\rightarrow3}\dfrac{x^2+3x+9}{x+3}=12$。
分解因式全部方法
分解因式全部方法分解因式是将一个多项式因式分解为多个较简单的因子的过程。
在数学中，分解因式是非常重要的，它可以帮助我们简化问题，更好地理解和处理多项式。
以下是一些常见的分解因式方法：1.直接分解法直接分解法是一种基本的分解因式方法，适用于简单的多项式。
它的原理是将多项式按照其中一种规律分解为不可再分解的因子。
例如，对于多项式3x+9y，我们可以直接分解为3(x+3y)。
2.因式分解法因式分解法是一种将多项式分解为更简单的因子的常用方法。
它的基本原理是根据多项式的特点，找出它的因子，进而进行分解。
常见的因式分解方法有公因式法、配方法、特殊公式法和完全平方差公式法。
-公因式法：如果多项式中的每一项都有一个公共因子，我们可以提取这个公共因子，并将多项式分解为公共因子与剩余因子的乘积。
例如，对于多项式6x^2 - 9xy，可以提取公因式3x，得到3x(2x - 3y)。
-配方法：如果多项式具有形如(a+b)(c+d)的结构，我们可以使用配方法将其分解为两个因子的乘积。
例如，对于多项式x^2 + 2xy + y^2，可以使用配方法将其分解为(x + y)^2-特殊公式法：对于特定形式的多项式，我们可以使用特殊公式将其分解为可以直接计算得到的因子。
例如，对于多项式x^2-4，可以使用差平方公式将其分解为(x-2)(x+2)。
-完全平方差公式法：对于形如a^2-b^2的多项式，我们可以使用完全平方差公式将其分解为(a+b)(a-b)。
例如，对于多项式x^2-4，可以使用完全平方差公式将其分解为(x-2)(x+2)。
3.长除法长除法是一种有效的分解因式方法，适用于多项式较为复杂的情况。
它的基本思想是用一个因子除多项式，得到一个新的多项式和余项，再对新的多项式进行同样的操作，直到无法再进行长除为止。
例如，对于多项式x^3-6x^2+11x-6，我们可以使用长除法将其分解为(x-1)(x-2)(x-3)。
以上是一些常见的分解因式方法，它们可以帮助我们将复杂的多项式因式分解为较简单的因子。
2.1 分解因式 课件1(北师大版八年级下)
1、你今天获得了什么样的知识？ 2、你学会了用什打算？
③
(a b)(a b) a 2 b2
积 和
a 2 b2 (a b)(a b)
和 积
特征：
因式分解 把一个多项式化成几个整式的乘积的形式， 像这样的式子变形就叫做因式分解．
下列各式由左边到右边的变形，哪些是因式分解？哪些不是因式分解？为什么？ （ 1） （ 2） （ 3） （ 4） （ 5） （ 6）
① 29 57 29 43 ② 56 2 56 44 44
2
乘法分配律
2
完全平方公式
③ 79 21
2
2
平方差公式
整式乘法
①
因式分解
ab ac a(b c)
a(b c) ab ac
②
(a b) 2 a 2 2ab b2
a 2 2ab b2 (a b) 2
1、等式左边是一个多项式（和） 2、等式右边是几个整式的积 3、因式分解是一个恒等变形 4、因式分解在实数范围内要分解到不能再分解为止
因式分解与整式乘法的关系
多项式
分解因式 = 整式乘法
整式的积
因式分解与整式乘法是互逆过程
993 99
1、将下列代数式因式分解
(1) (2) (3)
ax ay
18a 3bc 3a 2 b 6ac
（ （ （
不是 ）
） 不是 ） 不是
(3x 1) 2 9 x 2 6 x 1
2x 2 1 2x 12x 1
2
3x 2 7 x 4 3x 4x 1 （
是） 是） 不是 ）
x 5x 6 x 2x 3 （
高中分解因式的方法和技巧
高中分解因式的方法和技巧大家好，今天我们来聊聊高中数学中的一个重要话题——分解因式。
这个问题可能会让你觉得头疼，但别担心，我们会用轻松的方式来搞定它，让你在考试中轻松得分！1. 什么是分解因式？首先，咱们得搞清楚什么叫分解因式。
简单来说，就是把一个多项式（比如 (x^2 + 5x + 6)）拆分成若干个因式（比如 ((x + 2)(x + 3))）的过程。
这就像把一个大蛋糕切成几块，让每一块都更容易处理。
1.1 为什么要分解因式？分解因式可以帮我们解决很多数学问题，比如求解方程、简化表达式等等。
用一个简单的比喻，就是把复杂的问题拆成小块，逐一攻破，这样就容易多了。
1.2 常见的因式分解方法我们现在就来看看几种常见的分解因式的方法。
记住，方法多了之后，你会发现问题其实也没那么难。
2. 常见的分解因式技巧2.1 提取公因式这是最简单的技巧之一。
就像从一个篮子里拿出所有的苹果，把它们放到一个大袋子里。
比如，你有 (6x + 9)，可以看到 (6) 和 (9) 都能被 (3) 整除。
所以，我们可以把 (3) 提出来，变成 (3(2x + 3))。
小提示：如果你遇到的每一项都有一个公因子，不要犹豫，直接提出来就行了。
这样能让问题看起来清爽多了。
2.2 分解为两个二项式这个方法用得比较多。
拿一个简单的例子来说，如果你要分解 (x^2 + 5x + 6)，我们要找两个数，它们的乘积是 (6)（常数项），而和是 (5)（一次项系数）。
这两个数就是 (2) 和 (3)，所以我们可以把这个多项式写成 ((x + 2)(x + 3))。
小窍门：这个方法就是“找两个数”法，记住两个条件：乘积等于常数项，和等于一次项系数。
找到了这两个数，你就能完成分解了！2.3 完全平方公式如果你看到的多项式看起来像 ((a + b)^2) 或 ((a b)^2) 的形式，就可以用完全平方公式来分解。
比如，(x^2 + 6x + 9) 可以变成 ((x + 3)^2)。
分解因式的方法与技巧
分解因式的方法与技巧
因式分解是一种重要的数学技巧，用于将一个多项式分解成更简单的因式乘积。
我们可以使用以下方法和技巧来进行因式分解：
1. 提取公因式：首先，我们可以检查多项式中是否有公因式，然后将其提取出来。
这可以通过找到多项式中的最大公因式来实现。
2. 分组：有时候，我们可以对多项式进行分组，然后利用分组因式分解的方法来分解多项式。
这通常发生在四项多项式中。
3. 使用因式公式：对于一些特定的多项式形式，例如二次多项式或立方多项式，我们可以利用因式公式来进行因式分解。
4. 试除法：对于一些多项式，我们可以使用试除法来找到因式分解的结果。
这通常适用于高次多项式。
以上是因式分解的一些常用方法和技巧。
通过灵活运用这些方法，我们可以更轻松地进行因式分解，从而简化复杂的多项式表达式。
多项式的因式分解与求根方法
多项式的因式分解与求根方法多项式是数学中的重要概念，它在代数学、微积分、数论等领域有着广泛的应用。
在解决实际问题时，我们常常需要对多项式进行因式分解和求根，以便更好地理解和处理问题。
本文将介绍多项式的因式分解和求根方法，帮助读者更好地掌握这一知识。
一、多项式的因式分解多项式的因式分解是将一个多项式表示为若干个因式的乘积的过程。
这种分解可以帮助我们更好地理解多项式的性质和特点，从而更方便地进行计算和求解问题。
1.1 一次因式分解对于一次多项式，即只含有一次幂的多项式，我们可以通过因式分解得到一个一次因式和一个常数项的乘积。
例如，对于多项式2x+4，我们可以将其因式分解为2(x+2)。
1.2 二次因式分解对于二次多项式，即含有二次幂的多项式，我们可以通过二次因式分解得到两个一次因式的乘积。
例如，对于多项式x^2-5x+6，我们可以将其因式分解为(x-2)(x-3)。
1.3 高次因式分解对于高次多项式，即含有高次幂的多项式，我们可以通过不断进行因式分解，将其表示为若干个一次或二次因式的乘积。
例如，对于多项式x^3-3x^2+3x-1，我们可以将其因式分解为(x-1)^3。
二、多项式的求根方法求解多项式的根是解决方程和问题的关键步骤之一。
在实际问题中，我们经常需要求解多项式的根，以便找到方程的解或者确定多项式的性质。
2.1 一次多项式的求根对于一次多项式，我们可以直接通过求解一元一次方程的方法来求得其根。
例如，对于多项式2x+4，我们可以得到x=-2。
2.2 二次多项式的求根对于二次多项式，我们可以使用求根公式或配方法来求得其根。
求根公式是指对于一般形式的二次多项式ax^2+bx+c=0，其根可以通过公式x=(-b±√(b^2-4ac))/(2a)来求得。
配方法是指通过对二次多项式进行配方，将其转化为完全平方的形式，从而求得其根。
例如，对于多项式x^2-5x+6，我们可以通过求根公式或配方法得到x=2和x=3。
整式的乘法和因式分解知识点汇总
整式的乘法和因式分解知识点汇总1.一元整式的乘法：一元整式是只含有一个变量的整式，例如3x^2+2x+1、一元整式的乘法就是将两个一元整式相乘，可以使用分配律和合并同类项的方法。
例如：(3x+2)(2x-5)=3x*2x+3x*(-5)+2*2x+2*(-5)=6x^2-15x+4x-10=6x^2-11x-102.多项式的乘法：多项式是含有多个项的整式，例如(3x+2)(2x-5)。
多项式的乘法可以通过将每个项相乘，并使用分配律和合并同类项的方法进行简化。
例如：(3x+2)(2x-5)=3x*2x+3x*(-5)+2*2x+2*(-5)=6x^2-15x+4x-10=6x^2-11x-103.完全平方公式：完全平方公式是一种特殊的乘法形式，将一个一元二次多项式乘积进行简化。
完全平方公式为(a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2例如：(x+3)(x+3)=x^2+2*x*3+3^2=x^2+6x+9因式分解知识点汇总：1.因式分解的基本思想：因式分解是将一个多项式表示为若干个乘积的形式，其中每个乘积称为一个因式。
通过因式分解，可以简化计算和解决问题。
2.因式分解的基本方法：2.1提取公因式：将多项式中的公因式提取出来，得到一个公因式和一个因式为公因式的多项式。
例如：2x^2+4x=2x(x+2)2.2公式法：使用已知的公式，例如完全平方公式、差平方公式等，将多项式进行因式分解。
例如：x^2-9=(x+3)(x-3)2.3分组分解法：将多项式中的各项进行分组，并找出可以进行因式分解的共同因式。
例如：ax + bx + ay + by = (a + b)(x + y)2.4平方差公式：将一个二次多项式表示为两个平方的差。
例如：x^2-4=(x+2)(x-2)2.5公因式平方差公式：将一个二次多项式表示为公因式的平方减去另一个平方。
例如：x^2-y^2=(x+y)(x-y)2.6公式的逆运算：将一个多项式进行展开，得到可以进行因式分解的形式。
因式分解反向-概述说明以及解释
因式分解反向-概述说明以及解释1.引言1.1 概述概述因式分解是代数学中重要的概念，它指的是将一个多项式拆解为多个较小的因子的过程。
在数学和工程学中，因式分解是一种非常实用的技巧，能够帮助我们简化复杂的表达式，求解方程和不等式，以及解决实际问题。
本文将探讨因式分解的基本概念、应用场景以及其反向过程，以及反向因式分解对实际应用的意义和未来的展望。
通过深入了解因式分解及其反向过程，我们可以更好地应用这一数学工具解决实际问题，提高数学建模和问题求解的效率和准确度。
1.2 文章结构文章结构部分：本文主要分为引言、正文和结论三个部分。
引言部分包括概述、文章结构和目的。
在概述部分，我们将介绍因式分解的基本概念，并简要介绍因式分解在数学和实际生活中的应用。
文章结构部分将说明本文的目录结构和各部分内容的安排。
而在目的部分，我们将阐述本文旨在探讨因式分解反向的意义和方法。
正文部分主要包括因式分解的基本概念、因式分解的应用场景和因式分解的反向过程。
在因式分解的基本概念部分，我们将介绍因式分解的定义和基本原理；在因式分解的应用场景部分，我们将探讨因式分解在实际中的各种应用，包括数学、物理、经济等领域；而在因式分解的反向过程部分，我们将深入研究因式分解反向的意义、方法和相关实例。
结论部分将对全文进行总结，阐明反向因式分解的意义，并展望可能的未来发展方向和研究方向。
文章1.3 目的部分的内容如下:1.3 目的本文的目的在于探讨因式分解的反向过程，即通过已知的因式分解结果推导出原始多项式表达式。
通过对这一过程的深入研究，我们可以更好地理解因式分解的原理和应用，提高数学解题的技巧和效率。
同时，通过探讨反向因式分解的意义，能够帮助读者对数学知识有更深刻的理解和应用，为进一步学习和研究数学领域打下坚实的基础。
此外，本文也希望通过对反向因式分解的讨论，激发读者对数学的兴趣，促进数学学习的积极性。
通过本文的阐述，读者能够全面了解因式分解的重要性，进一步巩固数学知识，提高数学解题能力。
(完整)小学常用因式分解公式
(完整)小学常用因式分解公式小学常用因式分解公式
1. 什么是因式分解公式
因式分解是将一个多项式表示为两个或多个更简单多项式乘积的过程。
因式分解公式是常见的一些模式，我们可以根据这些模式来分解多项式。
2. 小学常用的因式分解公式
2.1 平方差公式
平方差公式是一个常见的因式分解公式，它用于分解一个二次多项式的平方差。
公式如下：
$(a + b)(a - b) = a^2 - b^2$
其中，$a$和$b$是任意数字或变量。
2.2 公因式提取法
公因式提取法是一种常见的因式分解方法，用于提取多项式中的公因式。
例如，对于多项式 $3x^2 + 6x$，我们可以提取公因式 $3x$，得到 $3x(x + 2)$。
2.3 分组分解法
分组分解法是一种常见的因式分解方法，用于分解一个四次多项式。
例如，对于多项式 $4x^3 + 2x^2 + 6x + 3$，我们可以分组为$(4x^3 + 2x^2) + (6x + 3)$，然后进行公因式提取，得到 $2x^2(2x + 1) + 3(2x + 1)$，再将公因式 $(2x + 1)$ 提取出来，最终得到 $(2x + 1)(2x^2 + 3)$。
3. 总结
本文介绍了小学常用的因式分解公式，包括平方差公式、公因式提取法和分组分解法。
通过研究和掌握这些公式，我们可以更轻易地分解多项式，并简化计算过程。
因式分解是数学中的重要概念，对于培养逻辑思维和解决问题的能力有着重要的作用。
希望本文对您有所帮助！。
因式分解的知识点总结
因式分解的知识点总结1. 什么是因式分解？因式分解是将一个多项式表示为若干个乘积的形式的过程，其中每个乘积因子称为因式。
因式分解是代数学中重要的基础概念，它在解方程、求导数、化简算式等数学问题中都有广泛的应用。
2. 基本原理2.1 因式分解的基本原则是根据多项式的各项之间的关系，将其从一个形式变换为另一个形式。
常见的因式分解方法有以下几种：•公因式法：将多项式中的一个公因式提取出来，形成因式分解的结果。
•配方法：根据两项之间的关系，通过配方将多项式分解为二次因式。
•分组分解法：将多项式中的项进行合理的分组，然后在每组中提取公因式进行分解。
2.2 因式分解的基本原理可以总结为以下几点：•同符号原理：多项式中的每一个项都必须具有相同的符号。
•分配律：可以将乘法在加法之前或者在加法之后进行运算。
3. 常见的因式分解方法3.1 公因式法公因式法是最基础也是最简单的因式分解方法之一。
其基本思想是将多项式中的一个公因式提取出来，得到因式分解的结果。
例如，对于多项式3x2+6x，我们可以提取出公因式3x，得到因式分解的结果为3x(x+2)。
3.2 配方法配方法主要适用于二次因式的因式分解。
其基本思想是根据二次项的特点，通过猜测与配方的方式将多项式分解为两个括号内相乘的形式。
例如，对于多项式x2+5x+6，我们可以通过猜测将其分解为(x+2)(x+3)。
3.3 分组分解法分组分解法适用于多项式中存在多个项的情况，通过合理的分组和提取公因式的方式进行因式分解。
例如，对于多项式ab+ac+bd+cd，我们可以进行分组得到(a+b)(c+d)，从而得到因式分解的结果。
4. 示例下面通过几个具体的示例来进一步说明因式分解的方法和原理。
4.1 示例一：公因式法考虑多项式6x2+9x，我们发现它的公因式是3x，因此可以将其分解为3x(2x+3)。
4.2 示例二：配方法考虑多项式x2+7x+10，我们可以通过配方法将其因式分解为(x+5)(x+2)。
小学数学认识一元二次方程
小学数学认识一元二次方程一元二次方程是小学数学中较为复杂的一个概念，需要对数学概念有一定的了解才能理解和解决。
一元二次方程包含一个未知数和其次方的方程，通常写作ax^2 + bx + c = 0，其中a、b、c为已知系数，a不等于0。
本文将介绍一元二次方程的基本概念、解法以及应用。
一、基本概念在学习一元二次方程之前，我们需要了解一些基本概念。
1.1 平方数：一个数的平方，例如1、4、9、16等。
1.2 二次方程：方程中含有未知数的平方项的方程，例如x^2 + 2x + 1 = 0就是一个二次方程。
1.3 一元二次方程：方程中只有一个未知数的平方项的方程，例如3x^2 - 2x + 1 = 0就是一个一元二次方程。
二、解法解一元二次方程通常有以下两种方法：因式分解法和求根公式法。
2.1 因式分解法：对于一些特殊的一元二次方程，可以通过因式分解的方法得到方程的解。
例如，对于方程x^2 - 4x + 3 = 0，我们可以将其分解为(x - 3)(x - 1) = 0，从而得到x的解为x = 3或x = 1。
2.2 求根公式法：对于一般的一元二次方程，我们可以使用求根公式来求解。
求根公式为x = (-b ± √(b^2 - 4ac)) / (2a)。
例如，对于方程2x^2 + 5x + 2 = 0，我们可以代入a = 2，b = 5，c = 2，然后计算得到x的解为x = -1/2或x = -2。
三、应用一元二次方程在现实生活中有着广泛的应用。
3.1 抛物线运动：抛出的物体在空中的运动轨迹可以用一元二次方程来表示。
例如，投掷一颗子弹的运动轨迹可以表示成y = -5x^2 + 10x + 3的形式，其中y为高度，x为时间。
3.2 建模和预测：一元二次方程可以用来对一些现实问题进行建模和预测。
例如，根据某商品的销售数据，可以建立销售量和价格之间的一元二次方程，从而预测不同价格下的销售量。
3.3 几何问题：一元二次方程也可以用来解决几何问题。
变量替换法与分项分解因式
变量替换法与分项分解因式
1. 变量替换法
变量替换法是一种在代数方程中使用变量替换的方法，旨在简化方程的形式并解决问题。
通过引入新的变量，可以将复杂的方程转化为简单的形式，进而更容易进行求解。
1.1 变量替换法的步骤
1. 选择一个合适的新变量，使得方程中的表达式能够被该变量代替。
2. 将方程中的表达式用新变量表示，并进行变形、化简。
3. 求解得到新变量的值。
4. 将新变量的值带回原方程，得到最终的解。
2. 分项分解因式
分项分解因式是将一个多项式因式分解为多个因子的方法。
通
过将多项式拆分成更简单的部分，我们可以更容易地研究和处理多
项式的性质和特点。
2.1 分项分解因式的步骤
1. 观察多项式中各项之间是否存在公因式，将公因式提取出来。
2. 将多项式拆分为多个更简单的项，使得这些项之间无法再进
一步分解。
3. 将得到的各个项作为因子进行因式分解。
4. 将所有的因子相乘，得到最终的多项式因式分解形式。
以上是关于变量替换法和分项分解因式的简要介绍。
通过运用
这两种方法，我们可以更好地解决和处理代数方程中的问题。
希望
对您有所帮助！。
高中数学第二章等式与不等式2.1.1等式的性质与方程的解集新人教B新人教B高一第一册数学教案
2．1.1 等式的性质与方程的解集考点学习目标核心素养等式的性质掌握等式的性质，会用十字相乘法分解因式数学运算会利用等式的性质解一元一次方程，数学运算方程的解集会用因式分解法解一元二次方程问题导学预习教材P43－P46的内容，思考以下问题：1．等式的性质有哪些？2．恒等式的概念是什么？3．十字相乘法的内容是什么？4．方程的解集的概念是什么？1．等式的性质(1)等式的两边同时加上(减去)同一个数或代数式，等式仍成立；(2)等式的两边同时乘以(除以)同一个不为零的数或代数式，等式仍成立．[注意] 等式性质成立的条件，特别是性质(2)中的“不为零”．2．恒等式一般地，含有字母的等式，如果其中的字母取任意实数时等式都成立，则称其为恒等式，也称等式两边恒等．3．方程的解集一般地，把一个方程所有解组成的集合称为这个方程的解集．判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)若a ＝b ，则a －c ＝b －c .( )(2)若a ＝b ，则a c ＝bc .( )(3)若a c ＝bc，则a ＝b .( )(4)x 3＋1＝(x ＋1)(x 2－x ＋1)．( ) (5)x 2＋5x ＋6＝(x ＋2)(x ＋3)．( ) 答案：(1)√ (2)× (3)√ (4)√ (5)√下列各式由左边到右边的变形为因式分解的是( ) A ．a 2－b 2＋1＝(a ＋b )(a －b )＋1 B ．m 2－4m ＋4＝(m －2)2C ．(x ＋3)(x －3)＝x 2－9D ．t 2＋3t －16＝(t ＋4)(t －4)＋3t 答案：B已知x 2＋kxy ＋64y 2是一个完全式，则k 的值是( ) A ．8 B ．±8 C ．16 D ．±16答案：D方程2x ＋13－3x ＋42＝12的解集为________．解析：由2x ＋13－3x ＋42＝12，得2(2x ＋1)－3(3x ＋4)＝3，即－5x －10＝3，所以x ＝－135.所以方程的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫－135.答案：⎩⎨⎧⎭⎬⎫－135方程x 2＋2x －15＝0的解集为________． 解析：x 2＋2x －15＝(x －3)(x ＋5)＝0， 所以x ＝3或x ＝－5.所以方程的解集为{3，－5}． 答案：{3，－5}利用十字相乘法分解单变量多项式角度一 x 2＋(p ＋q )x ＋pq 型式子的因式分解分解因式： (1)x 2－3x ＋2； (2)x 2＋4x －12.【解】 (1)如图，将二次项x 2分解成图中的两个x 的积，再将常数项2分解成－1与－2的乘积，而图中的对角线上的两个数乘积的和为－3x ，就是x 2－3x ＋2中的一次项，所以x 2－3x ＋2＝(x －1)(x －2)．说明：今后在分解与本例类似的二次三项式时，可以直接将图中的两个x 用1来表示(如图)．(2)由图，得所以x 2＋4x －12＝(x －2)(x ＋6).x 2＋(p ＋q )x ＋pq 此类二次三项式的特点是：(1)二次项系数是1； (2)常数项是两个数之积；(3)一次项系数是常数项的两个因数之和．其分解因式为：x 2＋(p ＋q )x ＋pq ＝(x ＋p )(x ＋q )． 角度二 ax 2＋bx ＋c 型式子的因式分解分解因式： (1)6x 2＋5x ＋1； (2)6x 2＋11x －7； (3)42x 2－33x ＋6； (4)2x 4－5x 2＋3. 【解】 (1)由图，得所以6x 2＋5x ＋1＝(2x ＋1)(3x ＋1)． (2)由图，得所以6x 2＋11x －7＝(2x －1)(3x ＋7)． (3)由图，得所以42x 2－33x ＋6＝(6x －3)(7x －2)． (4)由图，得所以2x 4－5x 2＋3＝(x 2－1)(2x2－3)＝2(x ＋1)(x －1)⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫x ＋62⎝⎛⎭⎪⎪⎫x －62.对于ax2＋bx＋c，将二次项的系数a分解成a1×a2，常数项c 分解成c1×c2，并且把a1，a2，c1，c2排列如图：，按斜线交叉相乘，再相加，就得到a1c2＋a2c1，如果它正好等于ax2＋bx＋c 的一次项系数b，那么ax2＋bx＋c就可以分解成(a1x＋c1)(a2x＋c2)，其中a1，c1位于上图中上一行，a2，c2位于下一行．把下列各式分解因式：(1)x2－3x＋2＝________；(2)x2＋37x＋36＝________；(3)(a－b)2＋11(a－b)＋28＝________；(4)4m2－12m＋9＝________.解析：(1)x2－3x＋2＝(x－1)(x－2)．(2)x2＋37x＋36＝(x＋1)(x＋36)．(3)(a－b)2＋11(a－b)＋28＝[(a－b)＋4][(a－b)＋7]＝(a－b＋4)(a－b＋7)．(4)4m2－12m＋9＝(2m－3)2.答案：(1)(x－1)(x－2)(2)(x＋1)(x＋36)(3)(a－b＋4)(a－b＋7)(4)(2m－3)2利用十字相乘法分解双变量多项式角度一x2＋(p＋q)xy＋pqy2型式子的因式分解把下列各式因式分解：(1)a2－2ab－8b2；(2)x＋5xy－6y(x>0，y>0)；(3)(x＋y)2－z(x＋y)－6z2；(4)m4＋m2n2－6n4.【解】(1)(a＋2b)(a－4b)；(2)(x＋6y)(x－y)；(3)(x＋y＋2z)(x＋y－3z)；(4)(m＋2n)(m－2n)(m2＋3n2)．x2＋(p＋q)xy＋pqy2这类二次齐次式的特点是：(1)x2的系数为1；(2)y2的系数为两个数的积(pq)；(3)xy的系数为这两个数之和(p＋q)．x2＋(p＋q)xy＋pqy2＝x2＋pxy＋qxy＋pqy2＝x(x＋py)＋qy(x ＋py)＝(x＋py)(x＋qy)．角度二ax2＋bxy＋cy2型式子的因式分解把下列各式因式分解：(1)6m2－5mn－6n2；(2)20x2＋7xy－6y2；(3)2x4＋x2y2－3y4；(4)6(x＋y)＋7z（x＋y）＋2z(x>0，y>0，z>0)．【解】 (1)(3m ＋2n )(2m －3n )． (2)(4x ＋3y )(5x －2y )． (3)(x ＋y )(x －y )(2x 2＋3y 2)．(4)(3x ＋y ＋2z )(2x ＋y ＋z )．对ax 2＋bxy ＋cy 2因式分解时，若将y 2也视为常数，则与ax 2＋bx ＋c 的分解方法是一致的．1．分解下列各因式：(1)x 2－xy －2y 2－2x ＋7y －3； (2)ab －2a －b ＋2.解：(1)(x －2y )(x ＋y )－2x ＋7y －3＝(x －2y ＋1)·(x ＋y －3)；(2)(b －2)(a －1)．2．分解因式：x 2＋(2m ＋1)x ＋m 2＋m .解：x 2＋(2m ＋1)x ＋m (m ＋1)＝(x ＋m )(x ＋m ＋1)． 一元一次方程的解集用适当的方法求下列方程的解集： (1)x0.7－0.17－0.2x0.03＝1；(2)x －12⎣⎢⎡⎦⎥⎤x －12（x －1）＝2（x －1）3.【解】 (1)原方程可化为107x －1003(0.17－0.2x )＝1，即107x －17－20x 3＝1，去分母，得30x －7(17－20x )＝21， 去括号，得30x －119＋140x ＝21， 移项，得30x ＋140x ＝21＋119， 合并同类项，得170x ＝140， 系数化为1，得x ＝1417.所以该方程的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫1417.(2)去小括号，得x －12⎝ ⎛⎭⎪⎫x －12x ＋12＝2x －23，去括号，得x －12x ＋14x －14＝2x －23，去分母，得12x －6x ＋3x －3＝8x －8， 移项，得12x －6x ＋3x －8x ＝－8＋3， 合并同类项，得x ＝－5. 所以该方程的解集为{－5}．解一元一次方程时，有些变形的步骤可能用不到，要根据方程的形式灵活安排求解步骤．(1)在分子或分母中有小数时，可以化小数为整数．注意根据分数的基本性质，分子、分母必须同时扩大同样的倍数．(2)当有多层括号时，应按一定的顺序去括号，注意括号外的系数及符号．1．求下列方程的解集： (1)4－3(10－y )＝5y ； (2)2x －13＝2x ＋16－1.解：(1)去括号，得4－30＋3y ＝5y .移项，得3y －5y ＝30－4. 合并同类项，得－2y ＝26.系数化为1，得y ＝－13. 所以该方程的解集为{－13}．(2)去分母，得2(2x －1)＝(2x ＋1)－6. 去括号，得4x －2＝2x ＋1－6. 移项，得4x －2x ＝1－6＋2. 合并同类项，得2x ＝－3. 系数化为1，得x ＝－32.所以该方程的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫－32.2．如果方程x －43－8＝－x ＋22的解集与方程4x －(3a ＋1)＝6x＋2a －1的解集相同，求式子a －1a的值．解：解方程x －43－8＝－x ＋22，去分母，得2(x －4)－48＝－3(x ＋2)， 去括号，得2x －8－48＝－3x －6， 移项、合并同类项，得5x ＝50，系数化为1，得x ＝10.把x ＝10代入方程4x －(3a ＋1)＝6x ＋2a －1， 得4×10－(3a ＋1)＝6×10＋2a －1，解得a ＝－4. 当a ＝－4时，a －1a ＝－4－1－4＝－154.因式分解法解一元二次方程用因式分解法求下列方程的解集． (1)6x (x ＋1)＝5(x ＋1)； (2)(2x －1)2－(x ＋1)2＝0； (3)(x ＋3)(x ＋1)＝6x ＋2.【解】 (1)分解因式，得(6x －5)(x ＋1)＝0， 所以6x －5＝0或x ＋1＝0，所以x 1＝56，x 2＝－1.所以方程的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫56，－1.(2)分解因式，得[(2x －1)＋(x ＋1)][(2x －1)－(x ＋1)]＝0， 所以3x (x －2)＝0，所以x 1＝0，x 2＝2. 所以方程的解集为{0，2}．(3)整理，得x 2－2x ＋1＝0.即(x －1)2＝0，所以x 1＝x 2＝1. 所以方程的解集为{1}．用因式分解法解一元二次方程的步骤(1)将方程右边化为0；(2)将方程的左边分解为两个一次因式的积；(3)令每个因式等于0，得两个一元一次方程，再求解．[提醒] ①用因式分解法解一元二次方程，经常会遇到方程两边含有相同因式的情况，此时不能将其约去，而应当移项将方程右边化为零，再提取公因式，若约去则会使方程失根；②对于较复杂的一元二次方程，应灵活根据方程的特点分解因式．用因式分解法求下列方程的解集：(1)x ⎝⎛⎭⎪⎫x －12＝x ； (2)(x －3)2＋2x －6＝0；(3)9(2x ＋3)2－4(2x －5)2＝0.解：(1)x ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －12－1＝0， 即x ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －32＝0， 所以x 1＝0，x 2＝32， 所以该方程的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫0，32. (2)(x －3)2＋2(x －3)＝0，(x －3)(x －3＋2)＝0，所以x －3＝0或x －1＝0，所以x 1＝3，x 2＝1，所以该方程的解集为{3，1}．(3)[3(2x ＋3)＋2(2x －5)][3(2x ＋3)－2(2x －5)]＝0， 所以(10x －1)(2x ＋19)＝0，所以10x －1＝0或2x ＋19＝0，所以x 1＝110，x 2＝－192.所以该方程的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫110，－192.1．分解因式x 3－x ，结果为( )A ．x (x 2－1)B ．x (x －1)2C ．x (x ＋1)2D ．x (x ＋1)(x －1)解析：选D.x 3－x ＝x (x 2－1)＝x (x ＋1)(x －1)．2．已知a ＋b ＝3，ab ＝2，计算：a 2b ＋ab 2等于() A ．5 B ．6C ．9D ．1解析：选B.a 2b ＋ab 2＝ab (a ＋b )＝2×3＝6.3．分解因式a 2＋8ab －33b 2得( )A ．(a ＋11)(a －3)B ．(a ＋11b )(a －3b )C ．(a －11b )(a －3b )D ．(a －11b )(a ＋3b )解析：选B.a 2＋8ab －33b 2＝(a －3b )(a ＋11b )．4．方程3x (x －2)＝2－x 的解集为________．解析：因为3x (x －2)＝2－x ，所以3x (x －2)－(2－x )＝0，即3x (x －2)＋(x －2)＝0，所以(x －2)(3x ＋1)＝0，所以x ＝2或x ＝－13， 所以方程的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫2，－13. 答案：⎩⎨⎧⎭⎬⎫2，－13 5．把下列各式分解因式：(1)x 2＋15x ＋56；(2)6x 2＋7x －3；(3)x 2－6xy －7y 2；(4)8x 2＋26xy ＋15y 2.解：(1)x 2＋15x ＋56＝(x ＋7)(x ＋8)；(2)6x 2＋7x －3＝(2x ＋3)(3x －1)；(3)x 2－6xy －7y 2＝(x －7y )(x ＋y )；(4)8x 2＋26xy ＋15y 2＝(2x ＋5y )(4x ＋3y )．[A 基础达标]1．多项式2x 2－xy －15y 2的一个因式为( )A ．2x －5yB ．x －3yC ．x ＋3yD ．x －5y 解析：选B.2x 2－xy －15y 2＝(x －3y )(2x ＋5y )．2．(a ＋b )2＋8(a ＋b )－20分解因式得( )A ．(a ＋b ＋10)(a ＋b －2)B ．(a ＋b ＋5)(a ＋b －4)C ．(a ＋b ＋2)(a ＋b －10)D ．(a ＋b ＋4)(a ＋b －5)解析：选A.(a ＋b )2＋8(a ＋b )－20＝[(a ＋b )－2][(a ＋b )＋10]＝(a ＋b －2)(a ＋b ＋10)．3．若多项式x 2－3x ＋a 可分解为(x －5)(x －b )，则a ，b 的值是( )A ．a ＝10，b ＝2B ．a ＝10，b ＝－2C ．a ＝－10，b ＝－2D ．a ＝－10，b ＝2解析：选C.因为(x －5)(x －b )＝x 2－(5＋b )x ＋5b ，所以⎩⎪⎨⎪⎧－（5＋b ）＝－35b ＝a ，即⎩⎪⎨⎪⎧b ＝－2a ＝－10. 4．方程2x －(x ＋10)＝5x ＋2(x ＋1)的解集为( )A ．⎩⎨⎧⎭⎬⎫43B ．⎩⎨⎧⎭⎬⎫－43 C ．{－2} D ．{2}解析：选C.因为2x －(x ＋10)＝5x ＋2(x ＋1)，所以2x －x －10＝5x ＋2x ＋2，即－6x ＝12，所以x ＝－2.5．下列说法正确的是( )A ．解方程3x (x ＋2)＝5(x ＋2)时，可以在方程两边同时除以(x ＋2)，得3x ＝5，故x ＝53B ．解方程(x ＋2)(x ＋3)＝3×4时，对比方程两边知x ＋2＝3，x ＋3＝4，故x ＝1C ．解方程(3y ＋2)2＝4(y －3)2时，只要将两边开平方，方程就变形为3y ＋2＝2(y －3)，从而解得y ＝－8D ．若一元二次方程的常数为0，则0必为它的一个根答案：D6．若x 2＋mx －10＝(x ＋a )(x ＋b )，其中a ，b 为整数，则m 取值的集合为________．解析：因为x 2＋mx －10＝(x ＋a )(x ＋b )＝x 2＋(a ＋b )x ＋ab ，所以⎩⎪⎨⎪⎧m ＝a ＋b ab ＝－10. 又因为a ，b 为整数，所以⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－1b ＝10或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1b ＝－10或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2b ＝－5或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－2b ＝5， 所以m ＝±9或±3，所以m 取值的集合为{－9，－3，3，9}．答案：{－9，－3，3，9}7．已知y ＝1是方程2－13(m －y )＝2y 的解，则关于x 的方程m (x －3)－2＝m (2x －5)的解集为________．解析：因为y ＝1是方程2－13(m －y )＝2y 的解，所以2－13(m －1)＝2，即m ＝1.所以方程m (x －3)－2＝m (2x －5)⇒(x －3)－2＝2x －5， 解得x ＝0.所以方程的解集为{0}．答案：{0}8．若实数a ，b 满足(4a ＋4b )(4a ＋4b －2)－8＝0，则a ＋b ＝________.解析：设a ＋b ＝x ，则原方程可化为4x (4x －2)－8＝0，整理，得(2x ＋1)(x －1)＝0，解得x 1＝－12，x 2＝1，则a ＋b ＝－12或1. 答案：－12或1 9．把下列各式分解因式：(1)6x 2＋7x －3；(2)12x 2＋25x ＋12；(3)42x 2－5x －2；(4)72x 2＋7x －2.解：(1)(2x ＋3)(3x －1)；(2)(3x ＋4)(4x ＋3)；(3)(6x ＋1)(7x －2)；(4)(9x ＋2)(8x －1)．10．把下列各式分解因式：(1)x 2－y 2－x ＋3y －2；(2)6xy ＋4x ＋3y ＋2；(3)x 2－(a ＋b )x ＋ab ；(4)(x ＋y )2－(3＋a )|x ＋y |＋3a .解：(1)(x ＋y )(x －y )－x ＋3y －2＝(x ＋y －2)(x －y ＋1)；(2)(2x ＋1)(3y ＋2)；(3)(x －a )(x －b )；(4)(|x ＋y |－3)(|x ＋y |－a )．[B 能力提升]11．规定一种运算：⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪a b c d ＝ad －bc .例如：⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪x 21 5＝8，运算得5x －2＝8，解得x ＝2.按照这种运算的规定，那么⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪x 2x 2 x ＝5时，x 的值为________．解析：由题意，得⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪x 2x 2 x ＝x 2－4x ＝5，即x 2－4x －5＝0，解得x ＝5或x ＝－1.答案：5或－112．小奇设计了一个魔术盒，当任意实数对(a ，b )进入其中时，会得到一个新的实数a 2－3b －5，例如把(1，－2)放入其中，就会得到12－3×(－2)－5＝2.现将实数对(m ，3m )放入其中，得到实数5，则m ＝________.解析：因为将实数对(m ，3m )放入其中，得到实数5， 所以m 2－9m －5＝5，解得m ＝10或－1.答案：10或－113．用因式分解法求下列方程的解集：(1)x 2－10x ＋9＝0；(2)2(x －3)＝3x (x －3)；(3)4(3x －2)(x ＋1)＝3x ＋3；(4)2(2x －3)2－3(2x －3)＝0；(5)2x 2－16＝x 2＋5x ＋8；(6)(3x －1)2＋3(3x －1)＋2＝0.解：(1)(x －1)(x －9)＝0，所以x 1＝1，x 2＝9；所以该方程的解集为{1，9}．(2)整理，得(x －3)(2－3x )＝0，所以x －3＝0或2－3x ＝0，所以x 1＝3，x 2＝23； 所以该方程的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫3，23. (3)4(3x －2)(x ＋1)－3(x ＋1)＝0，所以(x ＋1)(12x －11)＝0，所以x 1＝－1，x 2＝1112； 所以该方程的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫－1，1112. (4)(2x －3)[2(2x －3)－3]＝0，(2x －3)(4x －9)＝0，所以x 1＝32，x 2＝94； 所以该方程的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫32，94. (5)2x 2－x 2－5x －16－8＝0， x 2－5x －24＝0，(x －8)(x ＋3)＝0，所以x 1＝8，x 2＝－3；所以该方程的解集为{8，－3}．(6)[(3x －1)＋1][(3x －1)＋2]＝0，3x (3x ＋1)＝0，所以x 1＝0，x 2＝－13； 所以该方程的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫0，－13. 14．阅读材料，解答问题．为解方程(x 2－1)2－3(x 2－1)＝0，我们可以将x 2－1视为一个整体，然后设x 2－1＝y ，则(x 2－1)2＝y 2，原方程化为y2－3y＝0，解得y1＝0，y2＝3.当y＝0时，x2－1＝0，所以x2＝1，x＝±1；当y＝3时，x2－1＝3，所以x2＝4，x＝±2.所以原方程的解为x1＝1，x2＝－1，x3＝2，x4＝－2.[问题]解方程：(x2＋3)2－4(x2＋3)＝0.解：设x2＋3＝y，原方程可化为y2－4y＝0，即y(y－4)＝0，所以y1＝0，y2＝4.当y＝0时，x2＋3＝0，此时方程无解；当y＝4时，x2＋3＝4，所以x＝±1，所以x1＝1，x2＝－1.所以该方程的解集为{－1，1}．[C 拓展探究]15．已知方程(2 018x)2－2 017×2 019x－1＝0的较大根为m，方程x2＋2 018x－2 019＝0的较小根为n.求m－n的值．解：将方程(2 018x)2－2 017×2 019x－1＝0化为(2 0182x＋1)(x－1)＝0，所以x1＝－12 0182，x2＝1，所以m＝1.同理，由方程x2＋2 018x－2 019＝0可得(x＋2 019)(x－1)＝0，所以x1＝－2 019，x2＝1，所以n＝－2 019，所以m－n＝2 020.。
因式分解的求根法
因式分解的求根法1. 引言因式分解是数学中的一项重要内容，它能够将一个多项式表示为若干个乘积的形式。
而求根则是指找到一个方程的解，使得方程两边相等。
因式分解的求根法是一种将多项式进行因式分解，并通过求解每个因子的根来确定方程的解的方法。
在本文中，我们将详细介绍因式分解的求根法，并通过示例来说明其应用。
2. 因式分解的基本原理2.1 多项式与因子多项式是由常数和变量以及它们之间的运算符号（如加减乘除）组成的表达式。
例如，3x2+4xy−5y2就是一个多项式。
而这个多项式可以被分解为(x+y)(3x−5y)的形式，其中(x+y)和(3x−5y)称为该多项式的因子。
2.2 因子与根对于一个多项式P(x)，如果存在一个因子f(x)，使得P(x)可以被表示为f(x)⋅g(x)的形式，则我们称f(x)是P(x)的一个因子。
同时，如果对于某个数a，将f(x)中的变量x替换为a后，f(a)=0成立，则我们称a是多项式P(x)的一个根。
因此，通过因式分解的求根法，我们可以将一个多项式分解为若干个因子，并通过求解每个因子的根来确定方程的解。
3. 因式分解的求根法步骤下面是因式分解的求根法的一般步骤：1.将多项式进行因式分解。
2.对每个因子进行求根。
3.将每个因子的根作为方程的解。
接下来，我们将通过一个具体的示例来详细说明这些步骤。
4. 示例：求解方程x2−5x+6=04.1 因式分解首先，我们需要对方程x2−5x+6=0进行因式分解。
这里可以使用二次方程求根公式或者配方法进行因式分解。
经过计算，我们得到(x−2)(x−3)=0。
4.2 求根接下来，我们需要对每个因子进行求根。
对于(x−2)=0，我们得到x=2；对于(x−3)=0，我们得到x=3。
4.3 确定方程的解最后，我们将每个因子的根作为方程的解，即方程x2−5x+6=0的解为x=2和x=3。
5. 总结因式分解的求根法是一种将多项式进行因式分解，并通过求解每个因子的根来确定方程的解的方法。
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1.整式乘法有几种形式? 1.整式乘法有几种形式? (1)单项式乘以单项式 (1)单项式乘以单项式 (2)单项式乘以多项式 (2)单项式乘以多项式 (3)多项式乘以多项式 (3)多项式乘以多项式 2.乘法公式有哪些 2.乘法公式有哪些? 乘法公式有哪些? (1)平方差公式 (1)平方差公式 (2)完全平方公式 (2)完全平方公式
例3、把 − 4m + 16m − 26m分解因式
3 2
如果多项式的第一项的系数是负 注意：如果多项式的第一项的系数是负 的，一般要提出“-”号，使括号内的第 一般要提出“ 号 提出 一项的系数是正的，在提出“ 号时 号时， 一项的系数是正的，在提出“-”号时， 多项式的各项都要变号 各项都要变号。 多项式的各项都要变号。
练习三
拓展应用
1. 计算 计算: 7652×17－2352 ×17 － 解: 7652×17－2352 ×17 － =17(7652 －2352)=17(765+235)(765 －235) =17 ×1000 ×530=9010000 2. 20042+2004能被 能被2005整除吗 整除吗? 能被 整除吗 解: ∵20042+2004=2004(2004+1) =2004 ×2005 能被2005整除 ∴ 20042+2004能被 能被 整除
议一议
由a(a+1)(a-1)得到a3-a的变形 a(a+1)(a-1)得到a 是什么运算? 是什么运算? 由a3-a得到a(a+1)(a-1)的变形 得到a(a+1)(a-1)的变形 与它有什么不同? 与它有什么不同? a(a+1)(a-1)得到 得到a 答:由a(a+1)(a-1)得到a3-a的变形是 整式乘法, 整式乘法,由a3-a得到a(a+1)(a-1) 得到a(a+1)(a的变形与上面的变形互为逆过程. 的变形与上面的变形互为逆过程.
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想一想
993-99能被 能被100整除吗 整除吗? 能被 整除吗 你是怎样想的?与同伴交流 与同伴交流. 你是怎样想的 与同伴交流
小明是这样想的: 小明是这样想的:
993 −99 = 99×992 −99×1 = 99(99 −1) = 99×9800
2
做一做
= 98×99×100 以 所 ,993 −99能 100整 . 被 除
4、用提公因式法分解因式应注意的问题： 用提公因式法分解因式应注意的问题：
公因式要提尽； （1）公因式要提尽； 首项为负与众不同。 （3）首项为负与众不同。 小心漏项; （2）小心漏项;
1.下面的因式分解对吗?如果不对,应怎样改正? 1.下面的因式分解对吗?如果不对,应怎样改正? 下面的因式分解对吗
练习: 、 练习 1、把-4x2+8ax+2x 分解因式
2、把-3ab + 6abx - 9aby分误吗？
分解因式. 把 8 a 3 b2 –12ab 3 c + ab分解因式 分解因式
解： 8 a3b2 –12ab3c + ab
= ab·8a2b - ab·12b2 c +ab·1 = ab(8a2b - 12b2c)
分解因式
ma + mb + mc
二者是互逆的恒等变形
练习一
理解概念
判断下列各式哪些是整式乘法?哪些是因式分解 判断下列各式哪些是整式乘法 哪些是因式分解? 哪些是因式分解 (1).x2-4y2=(x+2y)(x-2y) 因式分解 (2).2x(x-3y)=2x2-6xy 整式乘法 (3).(5a-1)2=25a2-10a+1 整式乘法 (4).x2+4x+4=(x+2)2 因式分解 (5).(a-3)(a+3)=a2-9 整式乘法 (6).m2-42=(m+4)(m-4) 因式分解 (7).2 πR+ 2 πr= 2 π(R+r) 因式分解
2.利用因式分解进行计算 2.利用因式分解进行计算 (1) 25×28 - 25×12 - 25×6 × × × (2) 32006 - 5×32005 + 6×32004 × ×
括号前面是“+”号 括到括号里的各项都不变号； 括号前面是“+”号，括到括号里的各项都不变号； 括号前面是“ 括到括号里的各项都要变号。 括号前面是“-”号，括到括号里的各项都要变号。
1
是 不是 不是
x (4) m2-3m+1 =m(m-3)+1 不是 (5) (a-3)(a+3)=a2-9 不是
ma + mb = m ( a + b )
公因式
多项式中各项都含有的相同因式，叫 做这个多项式各项的公因式。
说出下列各式的公因式： 说出下列各式的公因式：
7x2 -21x 8 a 3 b2 –12ab 3 + ab m b2 + n b 7x
3y2 –42x2y 3
7x ab b 7x2y2 2ab
4a2 b – 2a b2 + 6abc
议一议
多项式2x 多项式 2+6x3，12a2b3-8a3b2-16ab4各 项的公因式是什么？ 项的公因式是什么？
如何确定公因式？ 如何确定公因式？
系数：找各项系数的最大公约数。 系数：找各项系数的最大公约数。 字母： 字母：找各项的相同字母 指数：找各项相同字母的最低次幂 指数：找各项相同字母的最低次幂 相同字母
请在下列各式等号右边的括号前填入“+”或 请在下列各式等号右边的括号前填入“+”或 使等式成立： “-”号，使等式成立：
_ (a-2) (1) 2-a= ___ + (2) b+a=___ (a+b) + (3) (b-a)2=___(a-b)2 _ (m+n) (4) -m-n=___ _ 2+t2=___ (s2-t2) (5) -s
请说出下列多项式的公因式
1、ma + mb 、 2、4kx - 8ky 、 3、5y3+20y2 、 4、a2b-2ab2+ab 、 5、 4x2-8ax+2x 、 6、3(a+b)2-6(a+b)3 、
提公因式法： 提公因式法：
如果一个多项式的各项含有公因式， 如果一个多项式的各项含有公因式，那 含有公因式 么就可以把这个公因式提出来 提出来， 么就可以把这个公因式提出来，从而将 多项式化成两个因式乘积的形式。这种 多项式化成两个因式乘积的形式。 乘积的形式 分解因式的方法叫做提公因式法 提公因式法。 分解因式的方法叫做提公因式法。
当多项式的某一项和 公因式相同时， 公因式相同时，提公因 式后剩余的项是1 式后剩余的项是1。
错误
提公因式法分解因式
正确的找出多项式各项的公因式。 正确的找出多项式各项的公因式。
注意： 注意：
多项式是几项 提公因式后也剩几项 几项， 几项。 1 多项式是几项，提公因式后也剩几项。 当多项式的某一项和公因式相同时， 2 当多项式的某一项和公因式相同时， 提公因式后该项剩余1 不能漏写1 提公因式后该项剩余1（不能漏写1)。 当多项式第一项系数 负数，通常先 第一项系数是 3 当多项式第一项系数是负数，通常先 提出“-”号，使括号内第一项系数变为 提出“ 号 使括号内第一项系数变为 正数，注意括号内各项都要变号 括号内各项都要变号。 正数，注意括号内各项都要变号。
• 随堂练习p48页 • 习题2.2 p49页
练一练
1、找出下列各多项式的公因式： 、找出下列各多项式的公因式： （1）4x+8y ） （2）am+an ） ） （3）48mn–24m2n3 （4）a2b–2ab2+ab ） 2、将下列多项式进行分解因式： 、将下列多项式进行分解因式： （1）8x–72 ） （3）4m3–8m2 ） （5）–48mn–24m2n3 ） （2）a2b–5ab ） （4）a2b–2ab2+ab ） （6）–2x2y+4xy2–2xy ）
（1） ）
想一想 2 n + n是奇数还是偶数？ 是奇数还是偶数？ 25 − 5 能被120整除吗 ?
7 12
（2） ）
能被200整除吗 （3） 1993-199能被 整除吗?还 ） 能被 整除吗? 能被哪些整数整除? 能被哪些整数整除?
判断下列各式是不是因式分解? 判断下列各式是不是因式分解 (1) x2-4y2 =(x+2y)(x-2y) (2) 3x2y3z =3xyz xy2 (3) x − 1 = x (1 − − )
思考题 1、分解因式计算 (-2)101+(-2)100 、 2、利用简便方法计算： 、利用简便方法计算：
4.3x199.8+0.76x1998-1.9x199.8
3、已知 a+b=3, ab=2, 、 的值。 求代数式 a2 b + 2 a2 b2 +a b2 的值。 m+1 –21 am+7a m-1分解因式. 4、把 9a 分解因式. 、
(1) 2x2+3x3+x=x(2x+3x2)
不对. 不对 2x2+3x3+x=x(2x+3x2+1)
(2) 3a2c-6a3c=3a2(c-2ac)
不对.3a 不对 2c-6a3c=3a2c(1-2a)
(3) 3x2+6x-3=3x(x+2)-3
不对. 不对 3x2+6x-3=3(x2+2x-1)
为偶数: n 为偶数: (a=(b(a-b)n =(b-a)n 为奇数: n 为奇数: (a(b(a-b)n=-(b-a)n