【课堂新坐标】高中数学(课件)选修4-5 第二讲 讲明不等式的基本方法 第2讲 1

1．当不等式的两端为指数式时，可作商证明不等式． 2．运用 a＞b⇔ab＞1 证明不等式时，一定注意 b＞0 是前提条件．若符号不 能确定，应注意分类讨论．
[再练一题] 1．已知 m，n∈R＋，求证：m＋2 n≥m＋n mn·nm.
【证明】 因为 m，n∈R＋，
所以m＋2 n≥
m＋n
mn＝
m＋n
由于 l＞0,0＜π＜4，∴4－16ππl2＞0，
所以m＋2 n≥m＋n mn·nm.
比较法的实际应用
甲、乙二人同时同地沿同一路线走到同一地点，甲有一半时间以速 度 m 行走，另一半时间以速度 n 行走；乙有一半路程以速度 m 行走，另一半路 程以速度 n 行走．如果 m≠n，问甲、乙二人谁先到达指定地点？
【精彩点拨】 设从出发地点至指定地点的路程是 s，甲、乙二人走完这段 路程所用的时间分别为 t1, t2，要回答题目中的问题，只要比较 t1，t2 的大小就可 以了．
其中 s，m，n 都是正数，且 m≠n， ∴t1－t2＜0，即 t1＜t2， 从而知甲比乙先到达指定地点．
1．应用不等式解决实际问题时，关键是如何把等量关系、不等量关系转化 为不等式的问题来解决，也即建立数学模型是解应用题的关键．
2．在实际应用不等式问题时，常用比较法来判断数的大小关系．若是选择 题或填空题，则可用特殊值加以判断．
【答案】 A
[质疑·手记] 预习完成后，请将你的疑问记录，并与“小伙伴们”探讨交流： 疑问 1： _____________________________________________________ 解惑： _______________________________________________________ 疑问 2： _____________________________________________________ 解惑： _______________________________________________________ 疑问 3： ______________________________________________________ 解惑： _______________________________________________________
∵a≠b，∴当 a＞b＞0 时，
ab＞1 且a－2 b＞0，∴aba－2 b＞1，
a＋b
a＋b
而(ab) 2 ＞0，∴aabb＞(ab) 2 .
当 b＞a＞0 时，0＜ab＜1 且a－2 b＜0，∴aba－2 b＞1，
a＋b
a＋b
而(ab) 2 ＞0，∴aabb＞(ab) 2 .
a＋b
综上可知 a＞0，b＞0 且 a≠b 时，有 aabb＞(ab) 2 .
[小组合作型]
作商比较法证明不 等式
a＋b
已知 a＞0，b＞0 且 a≠b，求证：aabb＞(ab) 2 .
a＋b
【 精 彩 点 拨 】 判断aabb与ab 2 的正负 → 作商变形 → 与1比较大小
→ 下结论
a＋b
【自主解答】 ∵a＞0，b＞0，∴aabb＞0，(ab) 2 ＞0，
作商 aaba＋b b＝aa－a＋2 b·bb－a＋2 b＝aba－2 b. ab 2
[再练一题] 2．通过水管放水，当流速相同时，如果水管截面(指横截面)的周长相等， 试问：截面为圆的水管流量大还是截面为正方形的水管流量大？
【导学号：32750029】
【解】
设截面的周长为
l，依题意知，截面是圆的水管的截面面积为
l π·2π
2，截面是正方形的水管的截面面积为4l 2. ∵π·2lπ2－4l 2＝l421π－14＝4－16ππl2.
若 x，y∈R，记 ω＝x2＋3xy，u＝4xy－y2，则( )
A．ω＞u
B．ω＜u
C．ω≥u
D.无法确定
【解析】 ∵ω－u＝x2－xy＋y2＝x－2y2＋34y2≥0，∴ω≥u.
【答案】 C
教材整理 2 作商比较法 阅读教材 P22～P23“习题”以上部分，完成下列问题． 12．．定理义论：依证据明：当a＞bb＞(b0＞时0)，，①只a要＞转b⇔化ab为＞证1；明②ab＞a＜1 b，⇔这ab＜种1方；法③称a＝为b作⇔商ab＝比1较. 法．
3．步骤：①作商；②变形；③判断商与 1 大小；④下结论．
下列命题：
①当 b＞0 时，a＞b⇔ab＞1；
②当 b＞0 时，a＜b⇔ab＜1；
③当 a＞0，b＞0 时，ab＞1⇔a＞b；
④当 ab＞0 时，ab＞1⇔a＞b.
其中真命题是( ) A．①②③ B．①②④
C．④
D.①②③④
【解析】 由不等式的性质，①②③正确．当 ab＞0 时(若 b＜0，a＜0)，ab＞ 1 与 a＞b 不等价，④错．
mn 2 ，
m＋n
令 ω＝mmnn·nm2
m－n n－m m－n
＝m 2 ·n 2 ＝mn 2 ，
则：①当 m>n>0 时，mn>1，m－n>0，则 ω>1.
②当 m＝n 时，ω＝1.
③当 n>m>0 时，0<mn<1，m－n<0，则 ω>1. 故对任意的 m，n∈R＋都有 ω≥1.
m＋n
m＋n
即 mn 2 ≥m＋n mn·nm，
【自主解答】 设从出发地点至指定地点的路程为 s，甲、乙二人走完这段 路程所用的时间分别为 t1, t2，依题意有：t21m＋t21n＝s，2sm＋2sn＝t2.
∴t1＝m2＋s n，t2＝sm2m＋nn， ∴t1－t2＝m2＋s n－sm2m＋nn＝s[42mmnn－mm＋＋nn2] ＝－2msnm－m＋nn2 .
阶
阶
段பைடு நூலகம்
段
一
三
一 比较法
学
阶
段 二
业 分 层 测
评
1．理解比较法证明不等式的依据． 2．掌握利用比较法证明不等式的一般步骤．(重点) 3．通过学习比较法证明不等式，培养对转化思想的理解和应用．(难点)
[基础·初探]
教材整理 1 作差比较法
阅读教材 P21～P22 例 2，完成下列问题．
1．理论依据：①a＞b⇔ a－b＞；②0a＝b⇔a－b＝0；③a＜b⇔ a－b＜. 0 2．定义：要证明 a＞b，转化为证明a－b＞，0这种方法称为作差比较法． 3．步骤：① 作差；②变形；③ 判断符；④号下结论．