高二数学双曲线

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高二双曲线知识点大全

高二双曲线知识点大全

高二双曲线知识点大全一、双曲线的定义和基本性质双曲线是一种平面曲线,它与一个对称轴相交于两个单独的点,被称为焦点。

双曲线的定义可表示为:离两个焦点的距离之差等于给定常数的点的轨迹。

1. 双曲线的方程双曲线的标准方程为:(x²/a²) - (y²/b²) = 1,其中a表示实轴半轴的长度,b表示虚轴半轴的长度。

2. 双曲线的焦点和准线双曲线的焦点是曲线上离两个焦点距离之差恒定的点,而准线是曲线上离两个焦点距离之和恒定的直线。

3. 双曲线的对称性双曲线关于x轴和y轴对称,中心对称于原点。

二、双曲线的图像特征1. 双曲线的离心率双曲线的离心率(e)定义为:e = c/a,其中c表示焦点到原点的距离,a表示实轴半轴的长度。

离心率决定了双曲线的形状。

2. 双曲线的渐近线双曲线具有两条渐近线,即离两个焦点越远的点趋近于渐近线。

渐近线的方程为: y = ±(b/a)x。

其中b表示虚轴半轴的长度。

3. 双曲线的顶点和直径双曲线没有顶点,但有两条对称的虚轴。

通常,我们会称双曲线中心处的点为顶点。

直径是由两个对称的点与中心点所确定的线段。

三、双曲线的基本图像和方程变换1. 双曲线的基本图像(插入关于双曲线的示意图,可手绘或导入图片)2. 改变双曲线的形状和位置双曲线的形状和位置可以通过改变方程中的常数来实现。

例如,改变a和b的值可以调整双曲线的大小和比例,而改变c的值可以使双曲线在平面上移动。

3. 双曲线的旋转双曲线可以通过旋转来改变其方向。

通过适当调整方程中的x和y的系数,可以使双曲线绕着原点旋转一定角度。

四、双曲线的相关公式与应用1. 双曲线的离心率与焦距的关系根据焦距f和离心率e之间的关系可得:e² = 1 + (f/a)²。

2. 双曲线的弦长公式双曲线上两焦点之间的弦长可以通过以下公式计算:2a(e² - 1)。

3. 双曲线的面积计算双曲线的面积可以通过积分计算得出,公式为:S = ∫(y√(1 + (dy/dx)²))dx。

高二上数学双曲线知识点

高二上数学双曲线知识点

高二上数学双曲线知识点双曲线是解析几何中的一个重要概念,它具有许多特殊的性质和应用。

在高二上数学学习中,我们需要了解双曲线的一些基本知识点,包括双曲线的定义、方程、性质和常见图形等。

下面将对这些知识点进行详细介绍。

1. 双曲线的定义在平面直角坐标系中,以两个定点F1和F2为焦点、定长为2a的点的集合称为双曲线。

双曲线的形状并不固定,可以是打开的、封闭的或者无穷远的。

双曲线可以分为左右开口的双曲线和上下开口的双曲线两种类型。

2. 双曲线的方程双曲线的方程可以表示为:x^2/a^2 - y^2/b^2 = 1 (左右开口)或者 y^2/a^2 - x^2/b^2 = 1(上下开口),其中a和b分别代表双曲线的参数,决定了双曲线的形状和大小。

3. 双曲线的性质双曲线有许多特殊的性质,包括焦点、顶点、直线渐近、离心率等。

焦点是双曲线上距离两个定点F1和F2距离之差为定值的点,顶点是双曲线上对称于坐标原点的点。

直线渐近是通过两个焦点和顶点的直线,双曲线靠近这些直线时,曲线的形状趋于无限接近于直线。

离心率是用来描述焦点与顶点之间距离比顶点与双曲线某一点之间的距离的比值,离心率是双曲线的一个重要参数,它的取值范围在1与无穷大之间。

4. 常见图形在数学中,我们经常遇到的一些图形可以用双曲线来进行描述,例如马鞍面、双曲抛物面等。

这些图形在应用数学和物理学中具有重要的地位,通过对双曲线的研究,我们能够更深入地理解和分析这些图形的特性和行为。

总结:双曲线是解析几何中的重要内容,通过学习双曲线的定义、方程、性质以及常见的图形,我们能够更好地理解这一概念在数学中的应用。

在高二上学期的数学学习中,当我们遇到与双曲线相关的问题时,可以借助所学的知识点进行分析和求解。

掌握双曲线的基本知识点,对于我们理解更高级的数学概念和解题方法都具有很大的帮助。

高二数学选择性必修件双曲线

高二数学选择性必修件双曲线
当直线与双曲线有两 个交点时,它们的位 置关系为相交;
当直线与双曲线没有 交点时,它们的位置 关系为相离。
当直线与双曲线有一 个交点时,它们的位 置关系为相切;
利用韦达定理求解相关问题
韦达定理是解一元二次方程的重要工具,它揭示了方程的根与系数之间的关系。 在求解直线与双曲线交点问题时,可以通过联立方程得到一元二次方程,然后利 用韦达定理求解。
03
双曲线与直线关系探讨
直线与双曲线位置关系判断方法
判别式法
通过联立直线与双曲线的方程,消去一 个未知数,得到一个关于另一个未知数 的一元二次方程,然后根据判别式的正 负判断直线与双曲线的位置关系。
VS
几何法
利用直线与双曲线的几何性质,如渐近线 、焦点等,来判断它们的位置关系。
直线与双曲线交点个数和位置关系分析
实际生活中双曲线现象观察与思考
自然界中的双曲线
例如,旋风、喷泉等自然现象中,双 曲线的形态经常出现。观察这些现象 ,可以思考如何用数学语言描述它们 。
生活中的双曲线
在建筑、艺术、设计等领域,双曲线 的优美形态经常被用来创造独特的效 果。比如,一些建筑的轮廓、艺术品 的造型等。
利用数学模型描述实际生活中双曲线现象
标准方程
双曲线的标准方程为 $frac{x^2}{a^2} - frac{y^2}{b^2} = 1$ 或 $frac{y^2}{b^2} - frac{x^2}{a^2} = 1$,其中 $a > 0, b > 0$。
焦点、准线、离心率等基本概念
01
02
03
焦点
双曲线的两个焦点位于x 轴上,其坐标分别为 $(-c, 0)$ 和 $(c, 0)$,其中 $c = sqrt{a^2 + b^2}$。

高二数学双曲线笔记

高二数学双曲线笔记

高二数学双曲线笔记
下面是关于高二数学双曲线的一些笔记:
一、双曲线的定义和特点:
1. 双曲线是平面上的一类曲线,其定义是两个焦点之间的距离差等于常数的点的轨迹。

2. 双曲线有两支,分别称为右支和左支。

3. 双曲线的直线称为渐近线,右支的渐近线与x轴夹角为正,左支的渐近线与x 轴夹角为负。

二、双曲线的标准方程:
1. 右支的标准方程:(x-h)²/a²- (y-k)²/b²= 1 ,其中(h, k)为中心点坐标,a为椭圆的横轴长度的一半,b为椭圆的纵轴长度的一半。

2. 左支的标准方程:(x-h)²/a²- (y-k)²/b²= -1。

三、双曲线的基本性质:
1. 焦点:双曲线的两个焦点的坐标为(h ±c, k),其中c为双曲线的离心率,离心率e的计算公式为e = c/a。

2. 焦距:焦点与对应渐近线的距离称为焦距,焦距的计算公式为2a。

3. 长轴和短轴:右支的长轴长度为2a,短轴长度为2b;左支的长轴长度为-2a,短轴长度为2b。

4. 集中在中心点附近:双曲线的曲线在中心点附近最为集中。

四、双曲线的图形与方程的关系:
1. 由方程可以确定双曲线的中心点、长轴、短轴、焦点等参数。

2. 由图形可以确定双曲线的形状、方程的参数等。

以上是关于高二数学双曲线的一些基本笔记。

要理解和掌握更深入的知识,建议阅读相关教材、参考书籍,并进行大量的练习和实践。

人教版高二数学选修1-1《双曲线及标准方程、几何性质》

人教版高二数学选修1-1《双曲线及标准方程、几何性质》

双曲线及标准方程、几何性质一、双曲线的定义及标准方程【知识要点】1. 双曲线的定义第一定义:平面内与两定点21,F F 的距离之差的绝对值为常数(小于21F F )的点的轨迹叫双曲线.第二定义:平面内与一个定点F 和一条定直线)(l F l ∉的距离之比是常数)),1((+∞∈e e 的点的轨迹叫做双曲线。

2. 双曲线的方程(1)标准方程:12222=-b y a x 或12222=-b x a y ,其中222,0,0b a c b a +=>>。

(2)一般方程:122=+By Ax ,其中0<AB【基础训练】1.已知点)0,5(1-F ,)0,5(2-F ,动点P 满足821=-PF PF ,则动点P 的轨迹是( ) A.椭圆 B.双曲线 C.两条射线 D.线段 2.已知双曲线19422=-y x 上一点P 到一个焦点的距离为5,则P 到另一个焦点的距离为( )A.1B.9C.1或9D.4或93.到两定点)5,0(),5,0(B A -的距离之差的绝对值为6的动点的轨迹方程为 。

4.两个焦点的坐标分别为)0,2(),0,2(-,并且经过)2,3(的双曲线的标准方程是 。

5.已知平面内有一长度为4的定线段AB ,动点P 满足3=-PB PA ,O 为AB 的中点,则OP 的最小值为 。

【典例精析】例1.方程13122=-+-my m x 表示焦点在y 轴上的双曲线,则m 的范围是( ) A. 3<m 且1≠m B.1>m 且3≠m C.31<<mD.3>m 或1-<m例2.已知双曲线的中心在原点,焦点在坐标轴上,分别求满足下列条件的双曲线的方程.(1)一个焦点为)0,4(-,且一条渐近线的方程是023=-y x ;(2)离心率为2,且过点)10,4(-P .例3.求与圆4)2(22=++y x 外切,并过定点)0,2(B 的动圆圆心M 的轨迹方程。

高二数学双曲线知识点汇总

高二数学双曲线知识点汇总

高二数学双曲线知识点汇总双曲线是高二数学中重要的一章,它是解析几何的重要内容之一。

在本文中,将对双曲线的定义、性质以及相关公式进行详细的总结与汇总,以帮助学生更好地理解和掌握双曲线的知识。

1. 双曲线的定义双曲线是一个平面上的曲线,其定义为平面上所有点到两个不相交定点(称为焦点)的距离之差等于常数的点的轨迹。

双曲线有两种类型:横向双曲线和纵向双曲线,具体形状与焦点之间的距离差有关。

2. 双曲线的标准方程横向双曲线的标准方程为:x²/a² - y²/b² = 1,其中a为焦点到原点的距离,b为垂直于主轴的距离。

纵向双曲线的标准方程为:y²/a² - x²/b²= 1,其中a和b的含义同上。

3. 双曲线的焦点、准线和直径横向双曲线的焦点为(±c,0),准线为x = ±a,直径为两焦点间的距离,即2c。

纵向双曲线的焦点为(0, ±c),准线为y = ±a,直径同样为2c。

4. 双曲线的离心率离心率是双曲线的一个重要属性,表示焦点到准线的距离与焦点到曲线上任意点的距离之比。

对于横向双曲线,离心率的计算公式为e = √(a² + b²)/a,而对于纵向双曲线,离心率的计算公式为e = √(a² + b²)/b。

5. 双曲线的对称性和渐近线横向双曲线关于y轴对称,纵向双曲线关于x轴对称。

双曲线还有两条渐近线,横向双曲线的渐近线方程为y = ±b/a * x,纵向双曲线的渐近线方程为y = ±a/b * x。

6. 双曲线的图像特点当双曲线的焦点位于原点时,曲线两支在原点相交;当焦点位于x轴上时,曲线两支分离,称为“非奇异双曲线”;当焦点位于y轴上时,曲线两支开口向下,称为“奇异双曲线”。

7. 双曲线的参数方程双曲线也可以通过参数方程来表示。

高二数学双曲线的几何性质1

高二数学双曲线的几何性质1

(a>0,b>o)的几何性质
2. 对称性 双曲线关于每个坐标轴和原点都是对称的. 这时, 坐标轴是双曲线的对称轴, 原点是双 曲线的对称中心.
双曲线的对称中心叫做双曲线的中心.
杆状的深峡煤角鸟,随着蘑菇王子的旋动,鱼杆状的深峡煤角鸟像舷窗一样,朝着双兽怪影人工树上面悬浮着的七只肥猫神扫过去!紧跟着蘑菇王子也傻耍着法宝像烟 盒般的怪影一样朝双兽怪影人工树上面悬浮着的七只肥猫神滚过去。只见一片波光闪过……小虾米顷刻化作一串相当恐怖的天青色沥青流,像拖着一串虚幻尾巴的光柱 一样直窜天穹,而蘑菇王子也顺势追了上去!就见在明净淡净的爽丽碧天之上,拖着一串虚幻尾巴的光柱在空中画了一条悠然的曲线……猛然!光柱像烟花一样炸开! 顿时,数不清的烟云状物质像焰火一样从碧天之上倾泻下来……这时已经冲到光柱之中的蘑菇王子立刻舞动着∈七光海天镜←像耍小号一样,把烟云状物质状玩的如球 拍般晃动……很快,空中就出现了一个很像森林小子模样的,正在尊贵喘舞的巨大怪物…………随着∈七光海天镜←的狂飞乱舞,七只肥猫瞬间变成了由千千万万的玉 光花瓣组成的一团蓝宝石色的,很像小子般的,有着华丽剔透质感的塑料状物体。随着塑料状物体的抖动旋转……只见其间又闪出一团暗红色的玉石状物体……接着蘑 菇王子又耍了一套仰卧颤动搜口罩的怪异把戏,,只见他闪着荧光的薄耳朵中,酷酷地飞出五组转舞着∈神音蘑菇咒←的果林玉背熊状的枕木,随着蘑菇王子的扭动, 果林玉背熊状的枕木像蘑菇一样飞舞起来。只听一声奇特悠长的声音划过,八只很像刚健轻盈的身形般的塑料状的团团闪光物体中,突然同时飞出五簇乱如杂草的暗橙 色花瓣,这些乱如杂草的暗橙色花瓣被云一摇,立刻变成眨眼隐现的珠光,没多久这些珠光就跳动着飞向巍巍巨树的上空,很快在九块大巨石之上变成了隐隐约约的发 光飞舞的老虎……这时,塑料状的物体,也快速变成了鸟窝模样的烟橙色胶状物开始缓缓下降,,只见蘑菇王子大力一颤宽大闪亮、镶着十九颗怪异宝石的黑色金边腰 带,缓缓下降的烟橙色胶状物又被重新颤向天空!就见那个沉甸甸、水灵灵的,很像鸟窝模样的胶状物一边狂跳转化,一边跳动升华着胶状物的色泽和质感。蘑菇王子 :“哇噻!这个咒语好玩!太刺激了!知知爵士:“我也想玩玩,学长!蘑菇王子:“明天一定带着你,爵士同学!知知爵士:“嗯嗯,好的好的!我在这看你玩也很 过瘾的!这时,蘑菇王子悠然像白杏仁色的飞唇河滩鹰一样疯叹了一声,突然耍了一套倒立扭曲的特技神功,身上忽然生出了七只美如船尾一般的深黄个,团身鹏醉后空翻七百二十度外加傻转一百周的沧桑招式!紧接着旋动快乐机灵、阳光 天使般的脑

高二双曲线的基本知识点总结

高二双曲线的基本知识点总结

高二双曲线的基本知识点总结双曲线是数学中的一种重要曲线,它在高中数学中也是一个重要的学习内容。

本文将对高二双曲线的基本知识点进行总结,以帮助同学们更好地理解和掌握这一内容。

一、双曲线的定义和基本属性双曲线可以通过平面上一对直角坐标轴以及两个焦点和一个给定的常数e来定义。

它具有以下基本属性:1. 双曲线有两条分支,分别接近于两条渐近线,渐近线的斜率分别是正无穷和负无穷。

2. 与坐标轴的交点是曲线的特殊点,它们被称为顶点和焦点。

3. 双曲线在顶点处对称。

4. 双曲线的离心率e大于1。

二、双曲线的方程和图像特点1. 标准方程双曲线的标准方程为:(x^2/a^2) - (y^2/b^2) = 1,其中a和b分别为双曲线的半轴长。

当x轴为对称轴时,a为x轴上的顶点到焦点的距离。

当y轴为对称轴时,b为y轴上的顶点到焦点的距离。

2. 图像特点双曲线的图像呈现两个向外打开的分支,两个分支在顶点处相交,顶点是双曲线的对称中心。

双曲线的两条渐近线分别与x轴和y轴相交于双曲线的两个顶点,与x轴交点对应的坐标为(-a, 0)和(a, 0),与y轴交点对应的坐标为(0, -b)和(0, b)。

三、双曲线的参数方程和焦点及直径方程1. 参数方程双曲线的参数方程为:x = asecθ,y = btanθ,其中θ是参数。

2. 焦点及直径方程双曲线的焦点坐标可通过以下公式计算:(±ae, 0),其中e为离心率。

双曲线的一个焦点到曲线上任意一点的距离是常数c,满足c^2 = a^2 + b^2。

四、双曲线的性质和应用1. 双曲线的准线和离心率双曲线的准线是通过焦点的渐近线。

离心率e决定了双曲线的形状,当离心率接近于1时,双曲线的形状趋近于直线,离心率越大,双曲线的形状越扁平。

2. 双曲线的应用双曲线在物理学、工程学和经济学等领域中有广泛的应用。

例如,双曲线可以描述电磁场的分布和力学系统中的轨迹,也可以用于描述经济增长模型中的边际效应。

高中数学高二知识点双曲线和圆

高中数学高二知识点双曲线和圆

高中数学高二知识点双曲线和圆高中数学高二知识点:双曲线和圆在高中数学的学习过程中,双曲线和圆是高二学生需要重点掌握的两个重要知识点。

本文将从定义、性质以及相关公式等方面进行详细的介绍。

一、双曲线双曲线是二次函数图象的一种,其定义可以通过以下方程得到:$\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1 \quad(a>0, b>0)$。

其中,$a$和$b$分别表示双曲线的横坐标半轴和纵坐标半轴的长度。

通过调整$a$和$b$的值,可以得到不同形状和方向的双曲线。

双曲线的性质:1. 双曲线的中心点位于坐标原点$(0,0)$。

2. 双曲线关于$x$轴和$y$轴对称。

3. 双曲线有两条渐近线,即$x=a$和$x=-a$。

当$x$趋近于无穷大时,双曲线的图像将无限接近于这两条直线。

4. 双曲线分为两支,分别位于$x$轴的两侧。

两支之间的间距为$2a$。

双曲线的常见公式:1. 离心率:离心率是双曲线的一个重要参数,用字母$e$表示。

其计算公式为:$e=\frac{\sqrt{a^2+b^2}}{a}$。

2. 焦点坐标:双曲线的焦点分别位于$(\pm ae, 0)$。

3. 极坐标方程:双曲线的极坐标方程为$r=\frac{a(1-e^2)}{1-e\cos\theta}$。

4. 弦长公式:双曲线上一条弦的长度可以通过如下公式计算:$l=2a\sqrt{1+\left(\frac{d}{2a}\right)^2}$,其中$d$表示弦与中心点的距离。

二、圆圆是我们生活中常见的几何图形之一,其定义可以通过以下方程得到:$(x-a)^2+(y-b)^2=r^2$。

其中,$(a,b)$表示圆心的坐标,$r$表示圆的半径。

圆的性质:1. 圆的中心点位于$(a,b)$。

2. 圆对称于其中心点。

3. 圆的半径相等,即任意点到圆心的距离都相等。

4. 圆的直径等于半径的两倍,即直径$d=2r$。

5. 圆的周长可以通过公式$C=2\pi r$计算,其中$\pi$为圆周率。

高二数学双曲线的几何性质1

高二数学双曲线的几何性质1

5、渐近线方程:y
a
2 2

x2 b2
0
a ob
A1 F2
6、离心率: e=c/a
B2 X
练习:
1.双曲线 9y2-16x2 = 144 的半实 轴长是 4 , 半虚轴长 3 ,
焦点坐标是 (0, -5) 、(0, 5)
,
离心率为
5 4
,渐近线方程

y4x .
3
2.双曲线的一条渐近线方程为 y 1 x ,
且过点 P (3, 1 ),
2
则它的标准方程

x2

y2
2
1
82
.
3.求与双曲线x2 y2 1共渐近线且 16 9
过点A(2 3,3)的双曲线方程。
4、若双曲线的渐近线方程是
y 3 x ,求离心率。
5.
4
设双曲线
x2 a2

y2 b2
1(0
a
b)

半焦距为c,直线L过(a,0),(0,b)
叫做双曲线的离心率.
双曲线的离心率的取值范围是 (1, +∞).
焦点在y轴上的双曲线的几何性质
双曲线标准方程: 双曲线性质:
y2 a2

x2 b2
1
y
1、范围: y≥a或y≤-a
F2
A2
2、对称性:关于x轴,y轴,原点对称。
3、顶点 A1(0,-a),A2(0,B1a)
4、轴:实轴 A1A2 ; 虚轴 B1B2
a2 b2
1. 范围 双曲线在不等式 x≤-a与 x≥a所表示 的区域内.
X=-a X=a
双曲线 x 2 y 2 1(a>0,b>o)的几何性质

数学高二双曲线知识点

数学高二双曲线知识点

数学高二双曲线知识点在高中数学的学习中,双曲线是一个重要的知识点。

它在数学和实际问题中都有着广泛的应用。

本文将介绍高二数学中关于双曲线的一些基础概念和性质。

一、双曲线的定义和基本性质双曲线是平面上两个定点F1和F2到平面上所有点P的距离之差的绝对值等于定值2a所确定的点的轨迹。

双曲线的方程可以表示为(x^2/a^2) - (y^2/b^2) = 1或(y^2/a^2) - (x^2/b^2) = 1,其中a和b分别为正实数。

双曲线的几个重要性质如下:1. 双曲线有两个不相交的分支,分别称为左、右狭双曲线。

2. 双曲线的对称轴是y轴或x轴。

3. 双曲线的顶点为原点(0, 0)。

4. 双曲线的渐近线是通过两个焦点和顶点的直线。

二、双曲线的焦点和直径在双曲线上,焦点是与曲线定义密切相关的点。

对于左狭双曲线,焦点位于x轴的正半轴上;对于右狭双曲线,焦点位于x轴的负半轴上。

双曲线的直径是通过顶点,且在曲线上的最长的线段。

双曲线的直径长度为2a。

三、双曲线的离心率和通径离心率是描述双曲线形状的一个重要参数,它定义为焦距与直径之比的绝对值,即e = c/a,其中c为焦距,a为直径的一半。

双曲线的通径是垂直于对称轴且通过焦点的线段。

对于左狭双曲线,通径长度为2b;对于右狭双曲线,通径长度为-2b。

四、双曲线的图像和方程形式1. 左狭双曲线的方程形式为(x^2/a^2) - (y^2/b^2) = 1。

图像在y轴两侧打开,曲线与对称轴的交点为顶点,曲线逐渐靠近渐近线。

2. 右狭双曲线的方程形式为(y^2/a^2) - (x^2/b^2) = 1。

图像在x轴两侧打开,曲线与对称轴的交点为顶点,曲线逐渐靠近渐近线。

五、双曲线在实际问题中的应用双曲线在物理、经济等领域有广泛的应用。

以下是一些实际问题中双曲线的应用案例:1. 空间科学中,双曲线被用来描述行星轨道、彗星轨道等天体运动。

2. 电子学中,双曲线被用来描述电场和磁场的分布与相互作用。

高二双曲线数学知识点总结

高二双曲线数学知识点总结

高二双曲线数学知识点总结双曲线是高中数学中重要的内容之一,它在解决实际问题和推导数学定理中具有广泛的应用。

在高二学年,我们学习了许多与双曲线相关的知识点,本文将对这些知识点进行总结。

1. 双曲线的定义和性质双曲线是平面上一条与两个给定点(焦点)之间的距离之差与一个常数(离心率)之比等于到定点直线(准线)的距离的点集合。

双曲线的离心率大于1,具有两个分离的曲线支。

它的对称中心为原点,对称轴为x轴和y轴。

2. 双曲线的标准方程在笛卡尔坐标系中,双曲线的标准方程可以表示为(x^2/a^2) - (y^2/b^2) = 1或者(y^2/b^2) - (x^2/a^2) = 1,其中a和b分别表示双曲线横坐标和纵坐标的半轴长度。

3. 双曲线的焦点和准线双曲线的焦点是与双曲线定义中提到的两个给定点有关的。

焦点到双曲线上各点的距离之差等于定点直线的距离。

准线是与双曲线定义中提到的定点直线有关的。

准线与双曲线上各点的距离之差等于给定点之间的距离。

4. 双曲线的渐近线双曲线有两条渐近线,分别与双曲线的两支无限延伸。

渐近线的斜率等于双曲线的离心率。

与双曲线的标准方程有关系的斜率的直线会作为双曲线的渐近线。

5. 双曲线的图像与参数方程利用参数方程可以画出双曲线的图像。

通过参数方程,可以得到双曲线上每一个点的横坐标和纵坐标的值。

根据参数t的变化范围,可以绘制出双曲线的一部分或者全部图像。

6. 双曲线的性质和变形双曲线具有许多重要的性质,例如,双曲线是对称的,它的左右两支和上下两支具有关于对称轴和中心对称的特点。

双曲线也可以通过平移、旋转和伸缩等操作进行变形。

7. 双曲线的应用双曲线在几何、物理和工程等领域具有广泛的应用。

例如,在天体力学中,双曲线的轨迹用于描述除了椭圆轨道之外的其他天体运动;在光学中,双曲线反射面镜的焦点位置和光线的传播路径有关;在工程中,双曲线的形状被用于设计拱桥和准线抛物面。

以上是针对高二双曲线数学知识点的总结。

高二文科数学双曲线知识点

高二文科数学双曲线知识点

高二文科数学双曲线知识点双曲线是高中数学中重要的图形之一,广泛应用于工程、物理、经济等领域。

在高二文科数学中,学习双曲线的相关知识点是必不可少的。

本文将为你详细介绍高二文科数学中的双曲线知识点。

一、双曲线的定义双曲线是平面上与给定直线和两个给定点的距离之差的绝对值之比等于常数的点的轨迹。

通常用方程表示为:x²/a² - y²/b² = 1 或x²/a² - y²/b² = -1。

二、双曲线的性质1. 双曲线的对称轴:双曲线关于y轴或x轴对称,其关联的方程中的x²项或y²项系数不同。

2. 双曲线的焦点:双曲线有两个焦点,记作F1和F2,在x轴的两侧,其距离顶点的距离称为焦距。

3. 双曲线的顶点:双曲线的顶点是其离x轴最近的点或离y轴最远的点,位于双曲线的对称轴上。

4. 双曲线的渐近线:双曲线有两条渐近线,分别与双曲线趋于无穷远处,一般与x轴和y轴不重合且不垂直。

5. 双曲线的离心率:双曲线的离心率e定义为焦距与顶点到焦点的距离之比,一般大于1。

三、双曲线的方程1. 标准方程:双曲线的标准方程分为横轴双曲线和纵轴双曲线两种形式。

对于横轴双曲线,其标准方程为x²/a² - y²/b² = 1;对于纵轴双曲线,其标准方程为y²/b² - x²/a² = 1。

2. 中心在原点的双曲线方程:对于中心在原点的双曲线,其方程可以表示为x²/a² - y²/b² = 1 或 y²/b² - x²/a² = 1。

3. 平移双曲线方程:对于中心不在原点的双曲线,可以通过平移变换来求得对应的方程。

四、双曲线的图像与性质通过绘制双曲线的图像,我们可以更好地理解其性质。

高二数学双曲线知识点

高二数学双曲线知识点

高二数学双曲线知识点双曲线是高中数学中重要的曲线类型之一,它具有许多独特的性质和应用。

本文将介绍高二数学中关于双曲线的知识点。

一、定义与基本概念1. 双曲线的定义:双曲线是平面上一个动点与两个给定点(称为焦点)之间的距离差的绝对值等于一个定值(称为离心率)的轨迹。

2. 双曲线的几何特征:双曲线是非闭合曲线,两支曲线相似但不相交。

3. 双曲线的标准方程:一般形式为x²/a² - y²/b² = 1或y²/a² - x²/b²= 1。

4. 双曲线的焦点与离心率关系:离心率e的值决定了焦点与曲线形状的关系,e大于1时,焦点位于x轴;e小于1时,焦点位于y轴。

二、双曲线的性质1. 集中性质:双曲线的焦点位于x轴或y轴上,并且距离原点越远,离心率越大。

2. 对称性质:双曲线关于x轴、y轴和原点分别对称。

3. 渐进线性质:双曲线的渐进线是x轴和y轴,即曲线无限延伸但不与x轴和y轴相交。

4. 双曲线的渐成线性质:双曲线的渐成线是曲线两支的连接线段。

三、曲线的参数方程1. 参数方程的定义:对于双曲线,可以使用参数方程来描述曲线上的点的位置。

常用的参数方程有x = asec⁡t,y = btan⁡t和x = acos⁡t,y = bsin⁡t。

2. 参数方程的图像特征:通过改变参数t的取值范围,可以观察到双曲线在平面上的不同部分以及曲线的形状。

四、双曲线的应用1. 物理中的应用:双曲线常用于描述天体运行轨迹、电磁波等物理现象。

2. 经济学中的应用:双曲线可以用于描述供需曲线、价格水平等经济学概念。

3. 工程中的应用:双曲线可用于工程设计和建模,如道路、桥梁等工程结构的设计。

总结:双曲线是高二数学中重要的曲线类型,它具有许多独特的性质和应用。

了解双曲线的定义、基本概念、性质以及参数方程的描述方法,可以帮助我们更好地理解和应用这一曲线类型。

高二双曲线数学知识点归纳

高二双曲线数学知识点归纳

高二双曲线数学知识点归纳双曲线是高中数学中比较重要的一个知识点,它与函数的图像、性质以及在实际问题中的应用有着密切的联系。

本文将对高二双曲线的相关知识点进行归纳和总结,从而帮助读者更好地理解和应用这一概念。

1. 双曲线的定义双曲线是一类二次曲线,其定义为所有到两个定点的距离差等于常数的点的集合。

这两个定点称为焦点,常数称为离心率。

双曲线可以有两个分支,分别是左(右)开口的双曲线。

2. 双曲线的标准方程双曲线的标准方程可以表示为:$\frac{x^2}{a^2} -\frac{y^2}{b^2} = 1$,其中a和b分别表示x轴和y轴方向上的半轴长度。

3. 双曲线的图像特点(1)双曲线的对称轴与x轴、y轴交于两个焦点的中垂线;(2)双曲线的渐近线为直线$y= \frac{b}{a}x$和$y= \frac{-b}{a}x$;(3)双曲线左(右)分支的渐近线与x轴、y轴的夹角分别为$\frac{\pi}{4}$和$\frac{3\pi}{4}$;(4)双曲线的顶点为原点。

4. 双曲线的性质(1)双曲线是一个非线性函数,其图像呈现出增长非常快或者非常陡峭的形状;(2)双曲线的点到焦点的距离差与点的横坐标之间存在特定的关系;(3)双曲线的离心率是一个大于1的实数,决定了曲线的形状;(4)双曲线的面积和弧长等相关计算问题。

5. 双曲线的标准方程变形(1)双曲线标准方程的变形形式有:$\frac{y^2}{b^2} -\frac{x^2}{a^2} = 1$,$\frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2} = -1$,$\frac{y^2}{b^2} - \frac{x^2}{a^2} = -1$,$\frac{x^2}{a^2} -\frac{y^2}{b^2} = -k^2$等;(2)根据不同的变形形式,可以得到不同形状的双曲线。

6. 双曲线的应用(1)双曲线可以用于描述电磁波、流体力学和其他物理学现象;(2)双曲线在航天、天体物理学中有广泛的应用;(3)双曲线在经济学、金融学等社会科学领域也有相应的应用。

高二年级双曲线的知识点

高二年级双曲线的知识点

高二年级双曲线的知识点双曲线是高中数学中的一个重要概念,它在几何图形和函数中都有广泛的应用。

本文将介绍高二年级学生所需了解的双曲线的基本知识点,包括定义、性质和图像特征。

一、定义双曲线是平面上一类特殊的曲线,它可以由以下方程表示:$(\frac{x^2}{a^2}) - (\frac{y^2}{b^2}) = 1$,其中 a 和 b 是正实数。

二、焦点和准线双曲线的图像由两个焦点 F1 和 F2,以及两条与 x 轴垂直的准线 L1 和 L2 组成。

焦点到准线的距离等于焦点之间的距离,即F1L1 = F2L2 = c,其中 c = $\sqrt {a^2 + b^2}$。

三、主轴和顶点对于双曲线,它的主轴是通过焦点的直线,与主轴垂直的线段称为次轴。

主轴的长度为 2a,焦点所在的直线被称为对称轴。

双曲线的顶点是主轴与对称轴的交点。

四、渐近线双曲线与两条直线分别称为渐近线。

渐近线与双曲线的距离在无限远处趋于零。

对于双曲线,渐近线与 x 轴和 y 轴的夹角分别为 $\theta$ 和 90° - $\theta$。

五、图像特征双曲线的图像特点有以下几点:1. 图像在 x 轴和 y 轴上有对称性,即关于 x 轴和 y 轴对称。

2. 图像是无界的,即没有边界或端点。

3. 图像趋向于渐近线,当 x 趋于正无穷或负无穷时,双曲线的图像将无限接近于渐近线。

4. 图像可能有多个分支,每个分支都有一个焦点和两条准线。

六、经典双曲线在双曲线的研究中,有两种经典的双曲线,分别是椭圆双曲线和双曲双曲线。

它们在 a 和 b 的取值不同情况下呈现不同的图像特征。

1. 椭圆双曲线:当 a > b 时,双曲线的图像类似于两个向外张开的弯曲叶子。

2. 双曲双曲线:当 a < b 时,双曲线的图像类似于两个向内凹陷的弓形。

七、应用领域双曲线在数学的几何图形、物理学、电子工程等领域有广泛的应用。

例如,在物理学中,双曲线可以描述光线在折射过程中的轨迹;在电子工程中,双曲线可以用于描述电子流的传输特性。

高二数学双曲线学生版

高二数学双曲线学生版

双曲线1、双曲线的定义:平面内到两定点F1、F2的距离之差的绝对值等于常数(小于|F1F2|)的点的轨迹叫做双曲线. 这两个定点叫做双曲线的焦点,两焦点的距离叫做焦距.说明:双曲线的定义用代数式表示为||MF1|-|MF2||=2a,其中2a<|F1F2|,这里要注意两点:(1)距离之差的绝对值.(2)2a<|F1F2|,这两点与椭圆的定义有本质的不同.当|MF1|-|MF2|=2a时,双曲线仅表示焦点F2所对应的一支;当|MF1|-|MF2|=-2a时,双曲线仅表示焦点F1所对应的一支;当2a=|F1F2|时,轨迹是一直线上以F1、F2为端点向外的两条射线;当2a>|F1F2|时,动点轨迹不存在.2、标准方程的推导(1)建系设点建立坐标系应遵循简单和优化的原则,如使关键点的坐标、关键几何量(距离、直线斜率等)的表达式简单化,注意充分利用图形的对称性,使学生认识到下列选取方法是恰当的.以两定点F1、F2的直线为x轴,线段F1F2的垂直平分线为y轴,建立直角坐标系(如图).设|F1F2|=2c(c>0),M(x,y)为双曲线上任意一点,则有F1(-c,0),F2(c,0).(2)点的集合由定义得出椭圆双曲线集合为:P={M||MF1-MF2|=2a}.(32a=±(4)化简方程22221x ya b-=(其中c2=a2+b2)★★3、两种双曲线性质的比较与双曲线12222=-b y a x 共渐近线的双曲线系方程为:_________________与双曲线12222=-b y a x 共轭的双曲线为___________________等轴双曲线222a y x ±=-的渐近线方程为_________,离心率为_____________★重难点突破★1.注意定义中“陷阱”问题1:已知12(5,0),(5,0)F F -,一曲线上的动点P 到21,F F 距离之差为6,则曲线的方程为2.注意焦点的位置问题2:双曲线的渐近线为x y 23±=,则离心率为 ★热点考点题型★考点1 双曲线的定义及标准方程 题型1:运用双曲线的定义[例1 ] 某中心接到其正东、正西、正北方向三个观测点的报告:正西、正北两个观测点同时听到了一声巨响,正东观测点听到的时间比其他两观测点晚4s. 已知各观测点到该中心的距离都是1020m. 试确定该巨响发生的位置.(假定当时声音传播的速度为340m/ s :相关各点均在同一平面上)【解题思路】时间差即为距离差,到两定点距离之差为定值的点的轨迹是双曲线型的.【新题导练】1.设P 为双曲线11222=-y x 上的一点F 1、F 2是该双曲线的两个焦点,若|PF 1|:|PF 2|=3:2,则△PF 1F 2的面积为 ( )A .36B .12C .312D .242.如图2所示,F 为双曲线1169:22=-y x C 的左焦点,双曲线C 上的点i P 与()3,2,17=-i P i 关于y 轴对称,则F P F P F P F P F P F P 654321---++的值是( )A .9B .16C .18D .273. P 是双曲线)0,0(12222>>=-b a by a x 左支上的一点,F 1、F 2分别是左、右焦点,且焦距为2c ,则21F PF ∆的内切圆的圆心的横坐标为( ) (A )a -(B )b -(C )c -(D )c b a -+题型2 求双曲线的标准方程[例2 ] 已知双曲线C 与双曲线162x -42y =1有公共焦点,且过点(32,2).求双曲线C的方程.【新题导练】4.已知双曲线的渐近线方程是2x y ±=,焦点在坐标轴上且焦距是10,则此双曲线的方程为 ;6.已知点(3,0)M -,(3,0)N ,(1,0)B ,动圆C 与直线MN 切于点B ,过M 、N 与圆C 相切的两直线相交于点P ,则P 点的轨迹方程为A .221(1)8y x x -=<- B .221(1)8y x x -=> C .1822=+y x (x > 0) D .221(1)10y x x -=>考点2 双曲线的几何性质 题型1 求离心率或离心率的范围[例3] 已知双曲线22221,(0,0)x y a b a b-=>>的左,右焦点分别为12,F F ,点P 在双曲线的右支上,且12||4||PF PF =,则此双曲线的离心率e 的最大值为 .【新题导练】7.已知双曲线221x y m n-=的一条渐近线方程为43y x =,则该双曲线的离心率e 为 .8. 已知双曲线)0,0(12222>>=-b a by a x 的右顶点为E ,双曲线的左准线与该双曲线的两渐近线的交点分别为A 、B 两点,若∠AEB=60°,则该双曲线的离心率e 是( )A .215+B .2C .215+或2 D .不存在题型2 与渐近线有关的问题[例4]若双曲线)0,0(12222>>=-b a by a x 的焦点到渐近线的距离等于实轴长,则双曲线的离心率为 ( )A.2B.3C.5D.2【新题导练】9. 双曲线22149x y -=的渐近线方程是 ( )A. 23y x =±B. 49y x =±C. 32y x =±D. 94y x =±10.焦点为(0,6),且与双曲线1222=-y x 有相同的渐近线的双曲线方程是 ( )A .1241222=-y x B .1241222=-x y C .1122422=-x y D .1122422=-y x基础巩固训练1. 以椭圆221169144x y +=的右焦点为圆心,且与双曲线221916x y -=的渐近线相切的圆的方程是 (A )221090x y x +-+= (B )221090x y x +--= (C )221090x y x +++= (D )221090x y x ++-=2.已知双曲线的两个焦点为1(0)F、20)F ,M 是此双曲线上的一点,且满足120MF MF ⋅= ,12||||2MF MF ⋅=,则该双曲线的方程是( )A .2219x y -=B .2219y x -= C .22137x y -= D .22173x y -= 3.两个正数a 、b 的等差中项是92,一个等比中项是,b a >则双曲线12222=-b y a x 的离心率为( )A .53 B.4 C .54 D.54.设1e ,2e 分别为具有公共焦点1F 与2F 的椭圆和双曲线的离心率,P 为两曲线的一个公共点,且满足021=⋅PF PF ,则2212221)(e e e e +的值为( C ) A .21B .1C .2D .不确定5.已知F 1,F 2分别是双曲线)0,0(12222>>=-b a by a x 的左、右焦点,过F 1且垂直于x 轴的直线与双曲线交于A ,B 两点,若△ABF 2是锐角三角形,则该双曲线离心率的取值范围是( )(A).),21(+∞+ (B).)21,1(+ (C).)3,1( (D).)22,3(6.曲线)6(161022<=-+-m m y m x 与曲线)95(19522<<=-+-n ny n x 的 ( )A .焦距相等B .焦点相同C .离心率相等D .以上都不对 综合提高训练7. 已知椭圆1532222=+ny m x 和双曲线1322222=-n y m x 有公共的焦点,(1)求双曲线的渐近线方程(2)直线l 过焦点且垂直于x 轴,若直线l 与双曲线的渐近线围成的三角形的面积为43,求双曲线的方程8. 已知21,F F 是双曲线12222=-by a x 的左,右焦点,点()y x P ,是双曲线右支上的一个动点,且1PF 的最小值为8,双曲线的一条渐近线方程为x y 34=. 求双曲线的方程;9.已知中心在原点的双曲线C 的右焦点为()2,0,右顶点为).(Ⅰ)求双曲线C 的方程(Ⅱ)若直线:=l y kx A 和B 且2∙>OA OB (其中O为原点),求k 的取值范围10.已知双曲线C :)0,0(12222>>=-b a by a x 的两个焦点为21,F F ,点P 是双曲线C 上的一点,021=⋅PF PF =. (1)求双曲线的离心率e ;(2)过点P 作直线分别与双曲线的两渐近线相交于21,P P 两点,若12274OP OP ⋅=- ,1220PP PP += ,求双曲线C 的方程.。

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[单选]消费者在选择卖主时,真正看重的是顾客让渡价值。顾客让渡价值是()的差额。A.顾客总价值和顾客总成本B.顾客潜在价值和顾客总成本C.顾客潜在价值和顾客总成本D.顾客总价值和服务总成本 [单选]商业银行以()为经营原则。A.自主经营、自担风险、自负盈亏、自我约束B.存款自愿、取款自由、存款有息、为存款人保密C.安全性、流动性、效益性D.统一核算、统一调度资金、分级管理 [单选,A1型题]引起犬前列腺纤维型肥大的激素是()A.雄性激素B.雌性激素C.前列腺素D.垂体后叶素E.肾素 [单选]简化的伯努利方程(Bernoulliequation)是()。A.&Delta;P=4Vmin2B.&Delta;P=4Vmax2C.&Delta;P=&rho;(V22-V22)Vmin2D.&Delta;P=C-&rho;/2-&rho;ghE.&Delta;P=dv/dt+R(V) [单选,A1型题]对未婚者应用的检查方法是()A.双合诊B.三合诊C.肛-腹诊D.阴道扪诊E.都不对 [单选,A2型题,A1/A2型题]2~3):1C.(3~4):1D.(4~5):1E.(5~6):1 [单选]中国烹饪是科学、是艺术,属于()范畴。A、文化B、社会C、经济D、艺术 [单选]防治污染和其他公害的设施必须与主体工程实行三同时,三同时指的是()。A.同时立项、同时审查、同时验收B.同时设计、同时施工、同时投产使用C.同时立项、同时设计、同时验收D.同时设计、同时施工、同时验收 [问答题,简答题]口腔异味的概述。 [问答题,简答题]什么是进口检定?其对象和目的是什么? [判断题]当干燥度小于0、99时,为湿润,大于4为干燥。()A.正确B.错误 [问答题,简答题]穿、脱手术衣适用范围。 [单选]张老师用一套试卷对程度相当的两个平行班进行了测试,学生的成绩基本一致,这说明该试卷具有较好()。A.信度B.效度C.难度D.区分度 [单选,A1型题]牛奶中矿物质含量最丰富的是()A.钙B.镁C.磷D.铜E.铁 [单选]下列财务指标中,不属于现金流量流动性分析的指标是()。A.现金到期债务比B.现金债务总额比C.现金流动负债比D.流动比率 [单选,A2型题,A1/A2型题]下列属于染色体疾病的是()A.先天性心脏病B.脊柱裂C.21-三体综合征D.先天性髋关节脱位E.无脑儿 [填空题]点心制作中刀工的作用是()、()、()、()。 [单选]有关胃癌扩散转移途径,下列不正确的是()A.可血行转移到肝脏B.可转移到脐周淋巴结C.可转移到左侧锁骨上淋巴结D.可种植到盆底E.不会转移到卵巢 [多选]1-7某多层丙类仓库地上4层,耐火等级为二级,建筑高度为24m,建筑面积为16000m2,占地面积为5200m2,建筑体积为96000m3。储存棉、麻、服装衣物等物品,堆垛储存,堆垛高度不大于6m。该仓库设消防泵房和两个500m3的消防水池,消防设施有室内外消火栓给水系统、自动喷水灭 机械排烟系统、火灾自动报警系统、消防应急照明、消防疏散指示标志、建筑灭火器等消防设施及器材。根据上述案例。回答下列问题:建筑面积超过300m2的地下、半地下丙类仓库应设置消防应急照明灯具,下列规定中,说法错误的有()。A.疏散走道的地面最低水平照度不应低于0.50lxB. 的地面最低水平照度不应低于1lxC.楼梯间内的地面最低水平照度不应低于1lxD.楼梯间内的地面最低水平照度不应低于5lxE.消防控制室、消防水泵房、配电室应保证正常照明的照度 [单选,A2型题,A1/A2型题]无法为轮廓图填充正确颜色属于()A.颜色失认B.物品失认C.形状失认D.面容失认E.视空间失认
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