高二数学同步测试(9)—抛物线及几何性质
高二数学抛物线试题答案及解析
高二数学抛物线试题答案及解析1.抛物线截直线所得弦长等于（）A．B．C．D．【答案】A【解析】设直线与抛物线交点坐标分别为，将直线方程代入抛物线方程并化简的，由根与系数的关系可知，由弦长公式可知弦长，答案选A.【考点】直线与抛物线相交弦长公式2.设抛物线的焦点为，经过点的直线交抛物线于、两点，分别过、两点作抛物线的两条切线交于点，则有（）A．B．C．D．【答案】A．【解析】设出过点F的直线方程即，联立方程组，化简整理得，设，，则由韦达定理得，．，．由可得，，所以，所以抛物线在A,B两点处的切线的斜率分别为，．所以在点A处的切线方程为，即．同理在点B处的切线方程为．于是解方程组可得，，所以点C的坐标为．所以故答案应选A．【考点】直线与抛物线的位置关系；向量的数量积．3.抛物线（）的焦点为，已知点，为抛物线上的两个动点，且满足.过弦的中点作抛物线准线的垂线，垂足为，则的最大值为（）A．B．1C．D．2【答案】A.【解析】设，连接AF、BF，由抛物线的定义知，，在梯形ABPQ中，；应用余弦定理得，配方得，又因为，所以，得到.所以，即的最大值为，故选A.【考点】抛物线的简单性质.4.已知抛物线关于轴对称，它的顶点在坐标原点，并且经过点，若点到该抛物线焦点的距离为3，则=（）A．B．C．4D．【答案】B．【解析】由题意可设抛物线方程为，因为点到该抛物线焦点的距离为3，所以，即，即抛物线方程为，又因为点在抛物线上，所以，所以，故选B．【考点】抛物线的简单性质．5.设抛物线的焦点为，经过点的直线与抛物线相交于两点且点恰为的中点，则【答案】8【解析】设，因为是的中点，所以，由点在抛物线上，所以所以所以答案填：8.【考点】抛物线的定义与标准方程.6.如图，已知某探照灯反光镜的纵切面是抛物线的一部分，光源安装在焦点上，且灯的深度等于灯口直径，且为64 ，则光源安装的位置到灯的顶端的距离为____________．【答案】.【解析】先以反射镜定点为原点，以顶点和焦点所在直线为轴，建立直角坐标系．设抛物线方程为，依题意可点在抛物线上，代入抛物线方程得，求得，进而可求得焦距为，即为所求．【考点】抛物线的应用．7.已知过抛物线的焦点的直线交抛物线于，两点．求证：(1)为定值；(2) 为定值．【答案】（1）；（2）.【解析】（1）设过焦点的直线方程与联立，利用韦达定理，即可得出结论；（2）利用，及根与系数的关系即可得出．(1)抛物线的焦点为，设直线的方程为．由消去，得.由根与系数的关系，得(定值)．当轴时，，，也成立．(2)由抛物线的定义，知，.(定值)．当轴时，，上式仍成立．【考点】抛物线的简单性质.8.已知抛物线过点．（1）求抛物线的方程，并求其准线方程；（2）过焦点且斜率为的直线与抛物线交于两点，求的面积．【答案】（1）抛物线的方程为，准线方程为；（2）.【解析】（1）先由抛物线过点得到，进而解出的值，这样即可确定该抛物线的方程，进而再根据抛物线的几何性质得到准线方程；（2）由（1）中抛物线的方程先确定，进而根据点斜式可写出直线的方程，设点，联立直线与抛物线的方程，消去得到，进而根据二次方程根与系数的关系得到，进而可根据弦长计算公式计算出弦长，然后由点到直线的距离公式算出原点到直线的距离，进而可求出的面积.（1）根据抛物线过点可得，解得从而抛物线的方程为，准线方程为 5分（2）抛物线焦点坐标为，所以直线 6分设点联立得：，即 8分则由韦达定理有： 9分则弦长 11分而原点到直线的距离 12分故 13分.【考点】1.抛物线的标准方程及其几何性质；2.直线与抛物线的位置关系；3.点到直线的距离公式.9.抛物线的焦点坐标为（）A．B．C．D．【答案】A【解析】根据抛物线的性质可知抛物线的焦点坐标为【考点】抛物线的性质．10.在平面直角坐标系中，已知动点到点的距离为，到轴的距离为，且．（1）求点的轨迹的方程；（2）若直线斜率为1且过点，其与轨迹交于点，求的值．【答案】（1）（2）．【解析】（1）方法一：由抛物线的定义直接得到结果；方法二：根据题中所给数据直接列出等式，化简即可得到结果．（2）将直线，与，联立，得，利用弦长公式得，将韦达定理代入即可得到结果．（1）方法一：由抛物线的定义可知，；方法二：，．可得，．（2）直线，联立，得，【考点】1．抛物线的定义；2．直线与抛物线的位置关系．11.点是抛物线上一动点，则点到点的距离与到直线的距离和的最小值是 .【答案】【解析】∵P点到直线x=-1的距离等于P点到抛物线y2=4x焦点F的距离故当P点位于AF上时，点P到点A（0，-1）的距离与到直线x=-1的距离和最小此时|PA|+|PF|=|AF|=.【考点】抛物线的简单性质．12.在平面直角坐标系xOy中，焦点为F(5，0)的抛物线的标准方程是．【答案】y2＝20x【解析】焦点为F(5，0)，所以抛物线开口向右，标准方程可设为，又所以，抛物线的标准方程是y2＝20x【考点】抛物线的焦点坐标与方程关系13.抛物线上的一点M到焦点的距离为1，则点M到y轴的距离是( )A．B．C．1D．【答案】D【解析】抛物线的准线方程为，根据抛物线的定义可知点到准线的距离为1，所以点到的距离为。
高二数学抛物线试题答案及解析
高二数学抛物线试题答案及解析1.设抛物线焦点为F，点P在此抛物线上且横坐标为4，则|PF|等于【答案】6【解析】因为抛物线焦点为F，点P在此抛物线上且横坐标为4，所以由抛物线焦半径公式得|PF|=x+=4+2=6.【考点】本题主要考查抛物线的定义及几何性质。
点评：简单题，抛物线上的点到焦点的距离与到准线的距离相等。
2.过抛物线的焦点作直线交抛物线于两点，线段的中点的纵坐标为2，则线段长为．【答案】【解析】解：抛物线，∴p=．设A、B、M到准线y=-的距离分别为A′、B′、M′，则由抛物线的定义可得AB=AA′+BB′．再由线段AB的中点M的纵坐标为2可得2MM′=AA′+BB′，即 2（2+1 32 ）=AA′+BB′=AB，∴AB=，故答案为．3.过抛物线的焦点作倾斜角为的直线,则它被抛物线截得的弦长为 .【答案】16【解析】解：因为设直线方程为y=(x-2)与抛物线方程联立方程组，结合韦达定理，得到弦长公式求解得到为16.或者利用抛物线的定义可知弦长为两个的和加上4得到。
4.抛物线的焦点坐标是（）A．（2，0）B．（0，2）C．（1，0）D．（0，1）【答案】D【解析】解：因为根据题意2p=4,焦点在y轴上，因此焦点坐标为（0，1），选D5.抛物线的准线方程为,顶点在原点,抛物线与直线相交所得弦长为, 则的值为 .【答案】1【解析】解：因为抛物线的准线方程为,顶点在原点,抛物线与直线相交所得弦长为,联立方程组得到，所以p=16.设不在轴下方的动点到的距离比到轴的距离大求的轨迹的方程；过做一条直线交轨迹于，两点，过，做切线交于点，再过，做的垂线，垂足为,若，求此时点的坐标．【答案】见解析.【解析】第一问利用设点坐标，结合已知的关系式得到化简得到轨迹方程。
第二问中用直线与抛物线的方程联立所以由（1）知，所以为线段的中点，取线段的中点，∵是抛物线的焦点，∴，∴∴可得到。
……………………6分设N点坐标为（a,b）则…………………………8分由（1）知，所以为线段的中点，取线段的中点，∵是抛物线的焦点，∴，∴，∴，，，∴,…………………………12分即，所以，，∴，∴所求点的坐标为…………………………15分7.将两个顶点在抛物线上，另一个顶点是此抛物线焦点的正三角形个数记为，则（）A．B．C．D．【答案】C.【解析】结合抛物线的对称性可知过抛物线的焦点作直线和，其中有四个交点，那么这四个交点与抛物线的焦点F可构成两个等边三角形.故应选C.8.的焦点坐标为 .【答案】.【解析】抛物线的焦点坐标为.9.设抛物线的准线与x轴的交点为，过点作直线交抛物线于两点.(1)求线段中点的轨迹方程；(2)若线段的垂直平分线交轴于，求证：；(3)若直线的斜率依次取时，线段的垂直平分线与x轴的交点依次为，当时，求的值.【答案】(1)(2)见解析(3)【解析】本试题主要是考查了抛物线方程以及抛物线的性质，以及直线与抛物线的位置关系的综合运用，求解中点轨迹方程。
高二数学寒假作业专题08抛物线的简单几何性质学
专题八 抛物线的简单几何性质学一学------基础知识结论抛物线的几何性质设抛物线的标准方程为y2＝2px(p>0)(1)范围：抛物线上的点(x ，y)的横坐标x 的取值范围是0x ≥，抛物线在y 轴的右侧，当x 的值增大时，|y|也增大，抛物线向右上方和右下方无限延伸．(2)对称性：抛物线关于x 轴对称，抛物线的对称轴叫做抛物线的轴．(3)顶点：抛物线和它的轴的交点叫做抛物线的顶点．抛物线的顶点为(0,0)．(4)离心率：抛物线上的点到焦点的距离和它到准线的距离的比，叫做抛物线的离心率，用e 表示，其值为1．(5)抛物线的焦点到其准线的距离为p ，这是p 的几何意义，顶点到准线的距离为p 2，焦点到顶点的距离为2p ． 2．与抛物线有关的结论①顶点是焦点向准线所作垂线段中点. ②（*）焦准距：FK p =③（*）通径：过焦点垂直于轴的弦长为2p . ④顶点平分焦点到准线的垂线段：2pOF OK ==.⑤（*）焦半径为半径的圆：以P 为圆心、FP 为半径的圆必与准线相切.所有这样的圆过定点F 、准线是公切线.⑥（*）焦半径为直径的圆：以焦半径 FP 为直径的圆必与过顶点垂直于轴的直线相切，所有这样的圆过定点F 、过顶点垂直于轴的直线是公切线⑦（*）焦点弦为直径的圆：以焦点弦PQ 为直径的圆必与准线相切.所有这样的圆的公切线是准线 ⑧抛物线px y 22=上的动点可设为P ),2(2y p y 或2(2,2)P pt pt 或P px y y x 2),(2=其中 3.焦半径公式1.（*）焦半径公式：若点),(00y x P 是抛物线px y 22=上一点，则该点到抛物线的焦点的距离（称为焦半径）是：02pPF x =+，2.（*）焦点弦长公式：过焦点弦长121222p p PQ x x x x p =+++=++ 学一学------方法规律技巧1.抛物线的焦点弦问题 解决抛物线的焦点弦问题时，要注意抛物线定义在其中的应用，通过定义将焦点弦长度转化为端点的坐标问题，从而可借助根与系数的关系进行求解.例1．已知平面内一动点P 到点F(1,0)的距离与点P 到y 轴的距离的差等于1.(1)求动点P 的轨迹C 的方程；(2)过点F 作两条斜率存在且互相垂直的直线l1，l2，设l1与轨迹C 相交于点A ，B ，l2与轨迹C 相交于点D ，E ，求AD →·EB →的最小值．2.抛物线和向量的结合平面向量和平面解析几何是新老教材的结合点，也是近几年高考所考查的热点，解此类题应注重从向量数量积的定义和向量的加减法的运算入手，还应该尽量联系向量与解析几何的共同点，综合运用解析几何知识和技巧，使问题有效解决. 例2. 已知抛物线C:y2=4x，F是C的焦点，过焦点F的直线l与C交于A，B 两点，O为坐标原点。
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2014.12高二数学抛物线的几何性质练习卷（2-1）1、抛物线24x y =的准线方程是（ ） A 、1=y B 、1-=y C 、161=y D 、161-=y 2、已知抛物线的顶点在原点，焦点在y 轴上，抛物线上的点P (m ，－2)到焦点的距离为4，则m 的值为( )A ．4B ．－2C ．4或－4D ．12或－23、抛物线y 2＝8x 的焦点到双曲线141222=-y x 的渐近线的距离为 ( ) A ．1 B. 3 C.33 D. 63 4、过点(0,1)作直线，使它与抛物线y 2＝4x 仅有一个公共点，这样的直线有 ( )A ．1条B ．2条C ．3条D ．4条5、已知过抛物线y 2＝6x 焦点的弦长为12，则此弦所在直线的倾斜角是 ( ) A.6π或65π B.4π或43π C. 3π或32π D. 2π 6、设斜率为2的直线l 过抛物线y 2＝ax (a ≠0)的焦点F ，且和y 轴交于点A ，若△OAF (O 为坐标原点)的面积为4，则抛物线的方程为 ( )A ．2y ＝±4xB ．2y ＝±8xC ．2y ＝4xD ．2y ＝8x7、已知抛物线y 2＝4x 上两个动点B 、C 和点A (1,2)，且∠BAC ＝90°，则动直线BC 必过定点 ( )A ．(2,5)B ．(－2,5)C ．(5，－2)D ．(5,2)8、在平面直角坐标系xOy 中，已知抛物线关于x 轴对称，顶点在原点O ，且过点P (2,4)，则该抛物线的方程是______________． 9、若抛物线y 2＝2px 的焦点与双曲线13622=-y x 的右焦点重合，则p 的值为 ． 10、已知点M 是抛物线y 2＝4x 上的一点，F 为抛物线的焦点，A 在圆C ：(x －4)2＋(y －1)2＝1上，则|MA |＋|MF |的最小值为________．11、已知抛物线x y 42=，过点P(4,0)的直线与抛物线相交于A(),(),2211y x B y x 、 两点，则=+2121x x y y , y 2221y +的最小值是 。
高二数学抛物线试题答案及解析
高二数学抛物线试题答案及解析1.抛物线（）的焦点为，已知点，为抛物线上的两个动点，且满足.过弦的中点作抛物线准线的垂线，垂足为，则的最大值为（）A．B．1C．D．2【答案】A.【解析】设，连接AF、BF，由抛物线的定义知，，在梯形ABPQ中，；应用余弦定理得，配方得，又因为，所以，得到.所以，即的最大值为，故选A.【考点】抛物线的简单性质.2.准线为的抛物线的标准方程是（）A．y2=﹣4x B．y2=﹣8x C．y2=4x D．y2=8x【答案】B【解析】设抛物线方程为，准线方程，解得，抛物线方程【考点】抛物线方程的应用.3.已知抛物线的顶点在原点，焦点在x轴的正半轴上，若抛物线的准线与双曲线5x2－y2= 20的两条渐近线围成的三角形的面积等于，则抛物线的方程为A．y2=4x B．y2=8x C．x2=4y D．x2=8y【答案】B【解析】抛物线的顶点在原点，焦点在x轴的正半轴上排除C、D，设抛物线的方程为，则抛物线的准线方程为，双曲线的渐进线方程为，由面积为可得，所以，答案选B。
【考点】圆锥曲线的基本性质4.已知抛物线.（1）若直线与抛物线相交于两点，求弦长；（2）已知△的三个顶点在抛物线上运动.若点在坐标原点，边过定点，点在上且，求点的轨迹方程.【答案】（1）；（2）（）.【解析】（1）这是解析几何中的常规问题，注意设而不求思想方法的使用；（2）求轨迹方程的方法有：直接法、定义法、代入转移法、几何法、参数法等，这里使用的是直接法，直接法的步骤是：建系、设点、列式、坐标化、化简整理、最后是多退少补，特别要注意多退少补.试题解析：（1）由，消去整理得： 2分设，则，所以 6分（注：用其他方法也相应给分）（2）设点的坐标为，由边所在的方程过定点，8分所以, 即（） 14分（注:没写扣1分）【考点】1.直线与抛物线；2.求轨迹方程.5.斜率为2的直线L 经过抛物线的焦点F，且交抛物线与A、B两点，若AB的中点到抛物线准线的距离1，则P的值为（）.A.1B.C.D.【答案】B【解析】设斜率为2且经过抛物线的焦点F的直线L的方程为，联立，得，即；设，中点；则；因为AB的中点到抛物线准线的距离为1，所以，.【考点】直线与抛物线的位置关系.6.已知抛物线方程，则抛物线的焦点坐标为 .【答案】【解析】因为抛物线的焦点坐标为；所以抛物线的焦点坐标为.【考点】抛物线的性质.7.已知抛物线关于轴对称，它的顶点在坐标原点，并且经过点，若点到该抛物线焦点的距离为3，则=（）A．B．C．4D．【答案】B．【解析】由题意可设抛物线方程为，因为点到该抛物线焦点的距离为3，所以，即，即抛物线方程为，又因为点在抛物线上，所以，所以，故选B．【考点】抛物线的简单性质．8.抛物线的焦点是（）A．B．C．D．【答案】D.【解析】由抛物线的方程知其焦点坐标在轴上，且，即，所以抛物线的焦点坐标为.【考点】抛物线的定义.9.已知点M是抛物线上的一点，F为抛物线的焦点，A在圆C:上，则的最小值为__________．【答案】4【解析】抛物线的准线方程为：x=-1过点M作MN⊥准线，垂足为N∵点M是抛物线y2=4x的一点，F为抛物线的焦点∵A在圆C：，圆心C（4，1），半径r=1∴当N，M，C三点共线时，|MA|+|MF|最小∴=4．【考点】圆与圆锥曲线的综合；考查抛物线的简单性质；考查距离和的最小．10.抛物线的准线方程是，则的值为（）A．B．C．8D．【答案】A【解析】首先把抛物线方程转化为标准方程的形式，再根据其准线方程为即可求之．【考点】抛物线的定义．11.设抛物线的焦点为，点，线段的中点在抛物线上．设动直线与抛物线相切于点，且与抛物线的准线相交于点，以为直径的圆记为圆．（1）求的值；（2）证明：圆与轴必有公共点；（3）在坐标平面上是否存在定点，使得圆恒过点？若存在，求出的坐标；若不存在，说明理由．【答案】（1）1 （2）见解析（3）存在，【解析】（1）由抛物线方程求出焦点坐标，再由中点坐标公式求得FA的中点，由中点在抛物线上求得p的值；（2）联立直线方程和抛物线方程，由直线和抛物线相切求得切点坐标，进一步求得Q的坐标（用含k的代数式表示），求得PQ的中点C的坐标，求出圆心到x轴的距离，求出，由半径的平方与圆心到x轴的距离的平方差的符号判断圆C与x轴的位置关系；（3）法一、假设平面内存在定点M满足条件，设出M的坐标，结合（2）中求得的P，Q的坐标，求出向量的坐标，由恒成立求解点M的坐标．（1）利用抛物线的定义得，故线段的中点的坐标为，代入方程得，解得．（2）由（1）得抛物线的方程为，从而抛物线的准线方程为由得方程，由直线与抛物线相切，得且，从而，即，由，解得，∴的中点的坐标为圆心到轴距离，∵所圆与轴总有公共点．（3）假设平面内存在定点满足条件，由抛物线对称性知点在轴上，设点坐标为，由（2）知，∴。
高二数学抛物线试题答案及解析
高二数学抛物线试题答案及解析1.已知定点在抛物线的内部，为抛物线的焦点，点在抛物线上，的最小值为4，则= ．【答案】4【解析】由下图可知：当点Q移动到点M时最小，又因为点所以抛物线的准线方程为,所以即．【考点】抛物线的定义及性质．2.如图，抛物线关于轴对称，它的顶点在坐标原点，点，，均在抛物线上．（Ⅰ）写出该抛物线的方程及其准线方程；（Ⅱ）当与的斜率存在且倾斜角互补时，求的值及直线的斜率．【答案】(1)抛物线的方程是, 准线方程是．；（2）1．【解析】(1)求抛物线标准方程的常用方法是待定系数法，其关键是判断焦点位置，开口方向，在方程的类型已经确定的前提下，由于标准方程只有一个参数，只需一个条件就可以确定抛物线的标准方程；（2）在解决与抛物线性质有关的问题时，要注意利用几何图形的形象、直观的特点来解题，特别是涉及焦点、顶点、准线的问题更是如此；(3)求双曲线的标准方程的基本方法是待定系数法，具体过程是先定形，再定量，即先确定双曲线标准方程的形式，求出的值．试题解析：（I）由已知条件，可设抛物线的方程为因为点在抛物线上,所以，得．故所求抛物线的方程是, 准线方程是．（II）设直线的方程为，即：，代入，消去得：．设，由韦达定理得：，即：．将换成，得，从而得：，直线的斜率．【考点】(1)抛物线的方程；（2）直线与抛物线的综合问题．3.设抛物线的焦点为，经过点的直线交抛物线于、两点，分别过、两点作抛物线的两条切线交于点，则有（）A．B．C．D．【答案】A．【解析】设出过点F的直线方程即，联立方程组，化简整理得，设，，则由韦达定理得，．，．由可得，，所以，所以抛物线在A,B两点处的切线的斜率分别为，．所以在点A处的切线方程为，即．同理在点B处的切线方程为．于是解方程组可得，，所以点C的坐标为．所以故答案应选A．【考点】直线与抛物线的位置关系；向量的数量积．4.已知抛物线:与点，过的焦点且斜率为的直线与交于,两点，若，则（）A．B．C．D．【答案】D【解析】由题可得抛物线的焦点坐标为，则过的焦点且斜率为的直线方程为，设直线与抛物线的交点坐标分别为，，则由得，则有，，所以得，，又，，因为所以有，即，即，所以，选D【考点】抛物线的概念、向量的运算5.以抛物线上的任意一点为圆心作圆与直线相切，这些圆必过一定点，则这一定点的坐标是（）A．B．（2，0）C．（4，0）D．【答案】B【解析】画出如下示意图，可知，抛物线的焦点F坐标为(2,0)，准线方程为直线x=-2，根据抛物线的定义,取抛物线上任意一点P，则R=PH=PF，因此所画的圆必过焦点(2,0).【考点】抛物线的定义.6.抛物线y＝x2到直线 2x－y＝4距离最近的点的坐标是 .【答案】【解析】设与直线平行的直线方程为，将和联立消去并整理可得，即时直线与相切。
高中数学(抛物线的几何性质)同步练习 试题
浙江省诸暨市牌头中学高中数学《抛物线的几何性质》同步练习1、抛物线24x y =的准线方程是（ ）A 、1=yB 、1-=yC 、161=y D 、161-=y 2、已知抛物线的顶点在原点，焦点在y 轴上，抛物线上的点P (m ，－2)到焦点的距离为4，则m 的值为( ) A ．4B ．－2C ．4或－4D ．12或－23、抛物线y 2＝8x 的焦点到双曲线141222=-y x 的渐近线的距离为 ( )A ．1 B. 3 C. 33 D. 634、过点(0,1)作直线，使它与抛物线y 2＝4x 仅有一个公共点，这样的直线有 ( )A ．1条B ．2条C ．3条D ．4条5、已知过抛物线y 2＝6x 焦点的弦长为12，则此弦所在直线的倾斜角是 ( ) A.6π或65π B.4π或43π C. 3π或32π D. 2π6、设斜率为2的直线l 过抛物线y 2＝ax (a ≠0)的焦点F ，且和y 轴交于点A ，若△OAF (O 为坐标原点)的面积为4，则抛物线的方程为 ( ) A ．2y ＝±4x B ．2y ＝±8x C ．2y ＝4x D ．2y ＝8x7、已知抛物线y 2＝4x 上两个动点B 、C 和点A (1,2)，且∠BAC ＝90°，则动直线BC 必过定点 ( ) A ．(2,5) B ．(－2,5) C ．(5，－2) D ．(5,2)8、在平面直角坐标系xOy 中，已知抛物线关于x 轴对称，顶点在原点O ，且过点P (2,4)，则该抛物线的方程是______________．9、若抛物线y 2＝2px 的焦点与双曲线13622=-y x 的右焦点重合，则p 的值为 ． 10、已知点M 是抛物线y 2＝4x 上的一点，F 为抛物线的焦点，A 在圆C ：(x －4)2＋(y －1)2＝1上，则|MA |＋|MF |的最小值为________．11、已知抛物线x y 42=，过点P(4,0)的直线与抛物线相交于A(),(),2211y x B y x 、 两点，则=+2121x x y y , y 2221y +的最小值是 。
人教A版选修一高二数学：抛物线的几何性质练习卷(2-3).docx
2014.12高二抛物线的几何性质练习卷（2-3）1、设抛物线x y 22=的焦点为F ，过点)0,3(M 的直线与抛物线相交于A 、B 两点，与抛物线的准线相交于C ，|BF|=2，则BCF ∆与ACF ∆的面积之比=∆∆ACF BCF S S （ A ）A 、54B 、32C 、74D 、21 1．抛物线C 1：)0(22>=p px y 与双曲线C 2：)0,0(12222>>=-b a b y a x 交于A ，B 两点，C 1与C 2的两条渐近线分别交于异于原点的两点C ，D ，且AB ，CD 分别过C 2，C 1的焦点，则=||||CD AB （ A ） A ．25 B ．26 C ．5 D ．6 2、设经过定点)0,(a P 的直线与抛物线x y 62=相交于A 、B 两点，若22||1||1PB PA +为定值，则=a A 、6 B 、3 C 、23 D 、1 （ B ） 3、焦点为F 的抛物线x y 42=上有三点A 、B 、C 满足：①ABC ∆的重心是F ；②||FA 、||FB 、||FC依次成等差数列．则直线AC 的方程是 012=-±y x4、F 为抛物线px y 22=)0(>p 的焦点，过点F 的直线l 与该抛物线交于A ，B 两点，1l ，2l 分别是该抛物线在A ，B 两点处的切线，1l ，2l 相交于点C ，设a AF =||，b BF =||，)(b a ≠，则=||CF ab 。
5、如图，过抛物线px y 22=)0(>p 的焦点F 的直线l 交抛物线于A 、B ，交其准线于点C ，若y||2||BF BC =，且6||=AF ，则此抛物线的方程 x y 62= ；6．设F 为抛物线x y C 4:2=的焦点,过点)0,1(-P 的直线l 交抛物线C 于两点B A ,,点Q 为线段AB 的中点,若32||=FQ ,则直线l 的斜率等于____22±____. 15．已知抛物线26y x =，准线l 与x 轴交于点M ，过M 作直线交抛物线于,A B 两点（A 在,M B 之间），点A 到l 的距离为2，则||||AB MA = ．2 7．如图，直线l 与圆1)1(:22=-+y x A 相切，与抛物线y x C 4:2=交于N M ,两点（N M ,在y 轴两侧），点N M ,在x 轴上的射影分别为11,N M ，若9||||11=⋅ON OM ，则||11N M = 538．已知点A （﹣3，0）和圆O ：x 2+y 2=9，AB 是圆O 的直径，M 和N 是AB 的三等分点，P （异于A ，B ）是圆O 上的动点，PD ⊥AB 于D ，，直线PA 与BE 交于C ， 则当λ= 9 时，|CM|+|CN|为定值。
高二数学抛物线试题答案及解析
高二数学抛物线试题答案及解析1.过抛物线y2＝4x的焦点F作倾斜角为的直线，它与抛物线交于A、B两点，求这两点间的距离．【答案】8【解析】抛物线y2＝4x的焦点为F（1,0），则过焦点的直线的参数方程可设为（t为参数），将其代入抛物线方程并化简得t2＋4t－8＝0，由参数t的几何意义可知|AB|=|t1－t2|=8.试题解析：抛物线y2＝4x的焦点为F（1,0），设过焦点F（1,0），倾斜角为π的直线的参数方程为（t为参数），将此代入y2＝4x，得t2＋4t－8＝0，设这个方程的两个根为t1，t2，由根与系数的关系，有t 1＋t2＝－4，t1·t2＝－8，∴|AB|＝|t1－t2|＝＝＝＝8.∴A、B两点间的距离是8.【考点】参数方程的应用2.准线为的抛物线的标准方程是（）A．y2=﹣4x B．y2=﹣8x C．y2=4x D．y2=8x【答案】B【解析】设抛物线方程为，准线方程，解得，抛物线方程【考点】抛物线方程的应用.3.已知直线和直线，则抛物线上的动点到直线和的距离之和的最小值为___________.【答案】【解析】设抛物线上的动点的坐标为，它到到直线和的距离之和为，则=，当时，.【考点】直线与抛物线的位置关系及二次函数的最值.4.已知抛物线的方程为，直线l过定点，斜率为k．当k为何值时，直线l与该抛物线：只有一个公共点；有两个公共点；没有公共点？【答案】当，或，此时直线l与该抛物线只有一个公共点；当，此时直线l 与该抛物线有两个公共点；当或，此时直线l与该抛物线没有公共点．【解析】解题思路：联立直线方程与抛物线方程，得到关于的一元二次方程，利用判别式的符号判定直线与抛物线的交点个数.规律总结：解决直线与圆锥曲线的交点个数，一般思路是联立直线与圆锥曲线的方程，整理得到关于或的一元二次方程，利用判别式的符号进行判定.注意点：当整理得到的一元二次方程的二次项系数为字母时，要注意讨论二次项系数是否为0.试题解析：直线l的方程为，联立方程组得．①当时，知方程有一个解，直线l与该抛物线只有一个公共点．②当时，方程的判别式为，若，则或，此时直线l与该抛物线只有一个公共点．若，则，此时直线l与该抛物线有两个公共点．若，则或，此时直线l与该抛物线没有公共点．综上：当，或，此时直线l与该抛物线只有一个公共点；当，此时直线l与该抛物线有两个公共点；当或，此时直线l与该抛物线没有公共点．【考点】直线与抛物线的交点个数.5.已知点，直线，动点P到点F的距离与到直线的距离相等．（1）求动点P的轨迹C的方程；（2）直线与曲线C交于A，B两点，若曲线C上存在点D使得四边形FABD为平行四边形，求b的值.【答案】（1）；（2）或。
高二数学湘教版选修1-1同步练习2.3.2 抛物线的简单几何性质 Word版含解析
．设抛物线＝的焦点为，准线为，为抛物线上一点，⊥，为垂足．如果直线的斜率为－，那么＝()．．．．．．若抛物线＝(＞)上横坐标为的点到焦点的距离为，则焦点到准线的距离为()．．．．．．抛物线上一点(－)到焦点()的距离为，则抛物线的标准方程是()．．＝－，＝－．＝－，＝－．＝－．＝－．边长为的等边△，为原点，⊥轴，以为顶点且过，的抛物线方程是()．．＝．＝－．＝±．＝±．已知是抛物线＝的焦点，，是该抛物线上的两点，＋＝，则线段的中点到轴的距离为()．．．．．．设斜率为的直线过抛物线＝(≠)的焦点，且和轴交于点，若△(为坐标原点)的面积为，则抛物线的方程为()．．＝±．＝±．＝．＝．对于顶点在原点的抛物线，给出下列条件：①焦点在轴上；②焦点在轴上；③抛物线上横坐标为的点到焦点的距离等于；④抛物线的通径的长为；⑤由原点向过焦点的某条直线作垂线，垂足坐标为()．能使这条抛物线方程为＝的条件是(要求填写合适条件的序号)．．已知抛物线：＝与圆：(－)＋＝(＞)相交于，，，四个点，求的取值范围．参考答案．直线的方程为＝－(－)，联立(\\(＝－()＋()，＝－，))得＝，所以()．由抛物线的性质可以知道＝＋＝.．依题意，得＋＝，∴＝，∴焦点到准线的距离为＝.．由已知，得＝，∴＋＋＝，∴＝－或－.∴焦点为(－)或(－)．∴＝或.∴抛物线的方程为＝－或＝－.显然，若抛物线的方程为＝－，则它的准线为＝.而点(－)到＝的距离为，由抛物线的定义可知与题意不符，∴抛物线的标准方程为＝－.．∵△为边长等于的正三角形，∴到的距离为，，到轴的距离均为.当抛物线的焦点在轴的正半轴上时，设抛物线的方程为＝(＞)．∵抛物线过点(，)，∴()＝·.∴＝.∴抛物线的方程为＝.当抛物线的焦点在轴的负半轴上时，设抛物线的方程为＝－(＞)．∵抛物线过点(－，)，∴()＝－·(－)．∴＝.∴抛物线的方程为＝－.．如图，由抛物线的定义，知＋＝＋＝.设点为线段的中点，所以＝(＋)＝，所以中点的横坐标为－＝，即线段的中点到轴的距离为.．抛物线＝(≠)的焦点的坐标为(，)，则直线的方程为＝(－)，它与轴的交点为(，－)，所以△的面积为·＝·＝，解得＝±.所以抛物线的方程为＝±.．②⑤本题主要考查抛物线的基础知识，考查分析和探索问题的能力．由抛物线方程＝知它的焦点在轴上，所以②适合．又∵它的焦点坐标为(，)，原点()，设点()，可得·＝－，∴⑤也合适．而①显然不合适，通过计算可知③④不合题意．∴应填序号为②⑤.．解：将抛物线：＝与圆：(－)＋＝(＞)的方程联立，消去，整理得－＋－＝.(*)。
人教新课标版(A)高二选修1-1 2.3.3抛物线的简单几何性质同步练习题
人教新课标版（A ）高二选修1-1 2.3.3 抛物线的简单几何性质同步练习题【基础演练】题型一：抛物线的几何性质方程()0p px 2y 2>=，（1）范围：0x ≥，抛物线向右上方和右下方无限延伸；（2）对称性：对称轴为x 轴；（3）顶点：（0，0）；（4）离心率：1e =。
请根据以上知识解决以下1~4题。
1. 过抛物线的焦点F 的直线交抛物线于A 、B 两点，A 、B 在准线上的射影为1A 、1B ，则∠11FB A 为A. 等于90°B. 大于90°C. 小于90°D. 不能确定2. 若A （1x ，1y ）、B （2x ，2y ）是过抛物线()0p px 2y 2>=的焦点弦，则21x x 和21y y 均为定值，其值分别为A. 221p x x =，221p y y -=B. 2p x x 221=，2p y y 221-=C. 221p 2x x =，221p y y -=D. 4p x x 221=，221p y y -=3. 过抛物线的焦点F 作互相垂直的两条直线，分别交准线于P 、Q 两点，又过P 、Q 分别作抛物线对称轴OF 的平行线，交抛物线于M 、N 两点，则M 、N 、F 三点 A. 共圆 B. 共线 C. 在另一抛物线上 D. 分布无规律4. AB 为抛物线2x y =上的动弦，且a |AB |=（a 为常数且1a ≥），求弦AB 的中点M 离x 轴的最近距离。
题型二：焦点弦过焦点F 的直线与抛物线交于点A 、B ，则线段AB 称为焦点弦，若A （1x ，1y ），B（2x ，2y ），抛物线方程为px 2y 2=（>p 0），则焦半径2px |AF |1+=，焦点弦p x x |AB |21++=，请根据以上知识解决以下5~7题。
5. 过抛物线x 4y 2=的焦点作直线交抛物线于A （1x ，1y ）、B （2x ，2y ）两点，如果6x x 21=+，那么|AB |等于A. 10B. 8C. 6D. 126. 抛物线y 4x 2-=的通径为AB ，O 为抛物线的顶点，则A. 通径长为8， △AOB 的面积为4B. 通径长为-4，△AOB 的面积为2C. 通径长为4，△AOB 的面积为4D. 通长长为4，△AOB 的面积为27. 过抛物线()0p px 2y 2>=的焦点作倾斜角为θ的直线l ，设l 交抛物线于A 、B 两点，（1）求|AB |；（2）求|AB |的最小值。
高二数学同步测试—抛物线(含答案)
高二数学单元测试—抛物线一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分）1．抛物线22x y =的焦点坐标是（ ）A ．)0,1(B ．)0,41(C ．)81,0( D ． )41,0(2．已知抛物线的顶点在原点，焦点在y 轴上，其上的点)3,(-m P 到焦点的距离为5，则抛物线方程为 （ ） A ．y x 82= B ．y x 42= C ．y x 42-= D ．y x 82-=3．抛物线x y 122=截直线12+=x y 所得弦长等于 （ ）A ．15B ．152C ．215D ．154．顶点在原点，坐标轴为对称轴的抛物线过点(－2,3)，则它的方程是 （ ）A ．y x 292-=或x y 342= B ．x y 292-=或y x 342=C ．y x 342= D ．x y 292-=5．点)0,1(P 到曲线⎩⎨⎧==ty t x 22（其中参数R t ∈）上的点的最短距离为 （ ）A ．0B ．1C ．2D ．26．抛物线)0(22>=p px y 上有),,(),,(2211y x B y x A ),(33y x C 三点，F 是它的焦点，若CF BF AF ,,成等差数列，则 （ ） A ．321,,x x x 成等差数列 B ．231,,x x x 成等差数列 C ．321,,y y y 成等差数列 D ．231,,y y y 成等差数列 7．若点A 的坐标为（3，2），F 为抛物线x y 22=的焦点，点P 是抛物线上的一动点，则PF PA +取得最小值时点P 的坐标是 （ ）A ．（0，0）B ．（1，1）C ．（2，2）D ．)1,21(8．已知抛物线)0(22>=p px y 的焦点弦AB 的两端点为),(11y x A ,),(22y x B ,则关系式2121x x y y 的值一定等于 （ ）A ．4pB ．－4pC ．p 2D ．－p9．过抛物线)0(2>=a ax y 的焦点F 作一直线交抛物线于P ，Q 两点，若线段PF 与FQ 的长分别是q p ,，则qp11+（ ）A ．a 2B ．a21C ．a 4D ．a410．若AB 为抛物线y 2=2p x (p>0)的动弦，且|AB|=a (a >2p)，则AB 的中点M 到y 轴的最近距离是 （ ） A ．21a B ．21p C ．21a ＋21p D ．21a －21p二、填空题（本大题共4小题，每小题6分，共24分）11．抛物线x y =2上到其准线和顶点距离相等的点的坐标为 ______________． 12．已知圆07622=--+x y x ，与抛物线)0(22>=p px y 的准线相切，则=p ___________．13．如果过两点)0,(a A 和),0(a B 的直线与抛物线322--=x x y 没有交点，那么实数a的取值范围是 ．14．A 是抛物线)0(22>=p px y 上任一点，F 是抛物线焦点，则以AF 为直径的圆与y 轴 （相交、相切、相离）15．对于顶点在原点的抛物线，给出下列条件；（1）焦点在y 轴上； （2）焦点在x 轴上； （3）抛物线上横坐标为1的点到焦点的距离等于6； （4）抛物线中垂直于轴的焦点弦长为5；（5）由原点向过焦点的某条直线作垂线，垂足坐标为（2，1）．其中适合抛物线y 2=10x 的条件是(要求填写合适条件的序号） ______． 三、解答题（本大题共6小题，共76分）16.已知以抛物线的焦点弦AB 为直径的圆与直线x=-2相切，求抛物线的标准方程，若直线AB 的倾斜角为45°，求弦AB 的长17.已知过抛物线y 2=2px 的顶点O 作互相垂直的两直线OA 、OB ，分别与抛物线相交于A 、B 两点，求证直线AB 过x 轴上的定点。
高二数学人教B选修同步练习抛物线的几何性质
2.4.2抛物线的几何性质一、选择题1．过抛物线y2＝2px(p>0)的焦点作直线交抛物线于P(x1，y1)，Q(x2，y2)两点，若x1＋x2＝3p，则|PQ|等于()A．4p B．5pC．6p D．8p[答案] A[解析]|PQ|＝x1＋x2＋p＝4p.2．抛物线的顶点在原点，对称轴是x轴，抛物线上的点(－5，25)到焦点的距离是6，则抛物线的方程为()A．y2＝－2x B．y2＝－4xC．y2＝2x D．y2＝－4x或y2＝－36x[答案] B[解析]由题意，设抛物线的标准方程为：y2＝－2px(p>0)，＋5＝6，∴p＝2，由题意，得p2∴抛物线方程为y2＝－4x.3．与y轴相切并和圆x2＋y2－10x＝0外切的动圆圆心的轨迹为()A．圆B．抛物线和一条射线C．椭圆D．抛物线[答案] B[解析]如图，设动圆圆心坐标为(x，y)，由题意得y＝0(x<0)或y2＝20x(x≠0)．4．设抛物线的顶点在原点，其焦点F在y轴上，又抛物线上的点(k，－2)与F点的距离为4，则k的值是()A．4 B．4或－4C．－2 D．2或－2[解析] 由题意，设抛物线的标准方程为：x 2＝－2py ，由题意得，p 2＋2＝4，∴p ＝4，x 2＝－8y . 又点(k ，－2)在抛物线上，∴k 2＝16，k ＝±4.5．边长为1的等边三角形AOB ，O 为原点，AB ⊥x 轴，以O 为顶点，且过A 、B 的抛物线方程是( )A ．y 2＝36xB ．y 2＝－36x C ．y 2＝±36x D ．y 2＝±33x [答案] C [解析] 由抛物线的对称性及AB ⊥x 轴知，抛物线的焦点在x 轴上．设方程为y 2＝nx (n ≠0)．∵OA 的方程为y ＝33x ，且OA ＝1. 得A ⎝⎛⎭⎫32，12或A ⎝⎛⎭⎫－32，－12， 代入y 2＝nx ，得n ＝±36， ∴方程为y 2＝±36x ，故选C. 6．抛物线y ＝4x 2上的一点M 到焦点的距离为1，则点M 的纵坐标是( )A.1716B.1516C.78D ．0 [答案] B[解析] 设M (x ，y )，且方程化为x 2＝14y ，则必有|MF |＝y ＋p 2＝y ＋116＝1，所以y ＝1516，故选B.7．(2008·重庆)若双曲线x 23－16y 2p2＝1的左焦点在抛物线y 2＝2px 的准线上，则p 的值为( )A ．2B ．3C ．4D ．4 2[解析] 双曲线的左焦点⎝⎛⎭⎫－3＋p 216，0，抛物线的准线x ＝－p 2，∴－3＋p 216＝－p 2⇒p 2＝16，由题意知p >0，∴p ＝4.故选C.8．已知P 为抛物线y 2＝4x 上一动点，记点P 到y 轴的距离为d ，对于定点A (4,5)，则|P A |＋d 的最小值为( )A ．4 B.74C.17－1D.34－1 [答案] D[解析] 因为A 在抛物线的外部，所以，当点P 、A 、F 共线时，|P A |＋|PF |最小，此时|P A |＋d 也最小，|P A |＋d ＝|P A |＋(|PF |－1)＝|AF |－1＝(4－1)2＋52－1＝34－1.9．已知直线l ：y ＝k (x ＋1)，抛物线C ：y 2＝4x ，l 与C 有一个公共点的直线有( )A ．1条B ．2条C ．3条D ．1条、2条或3条 [答案] C[解析] 将直线l 和C 的方程联立，消去y ，得k 2x 2＋(2k 2－4)x ＋k 2＝0.当k ＝0时，方程①只有一个解，x ＝0.所以直线l 与C 只有一个公共点(0,0)，此时直线l 的方程为y ＝0，当k ≠0时Δ＝(2k 2－4)2－4k 4＝0，解得k ＝±1，此时l 与C 有一个公共点，l 与C 相切．综上可知，当k ＝0或k ＝±1时，l 与C 有一个公共点．10．过抛物线y 2＝4x 的焦点的直线交抛物线于A 、B 两点，O 为坐标原点，则OA →·OB →的值是( )A ．12B ．－12C ．3D ．－3[答案] D[解析] 本题考查抛物线的性质和向量数量积的有关运算设A (y 214，y 1)，B (y 224，y 2)，则OA →＝(y 214，y 1)，OB →＝(y 224，y 2)，则OA →·OB →＝(y 214，y 1)·(y 224，y 2)＝y 21y 2216＋y 1y 2，又∵AB 过焦点，则有y 1y 2＝－p 2＝－4，∴OA →·OB →＝(y 1y 2)216＋y 1y 2＝(－4)216－4＝－3，故选D.11．抛物线的顶点在原点，焦点在x 轴上，其上有一点A (4，m )，其到准线的距离为6，则m ＝________.[答案] ±4 2[解析] x 1＋p 2＝4，p ＝4，∴y 2＝8x ， 将A (4，m )代入，解得m ＝±4 2.12．抛物线y 2＝2px (p >0)上一点到准线和抛物线的对称轴距离分别为10和6，则该点的横坐标是________．[答案] 1或9[解析] 设抛物线上一点M 坐标为(x 0，y 0)由题意，得y 0＝6，x 0＋p 2＝10， 又y 20＝2px 0，解得x 0＝1或9.13．(2010·重庆文，13)已知过抛物线y 2＝4x 的焦点F 的直线交该抛物线于A 、B 两点，|AF |＝2，则|BF |＝____.[答案] 2[解析] 本题考查抛物线的定义，基本知识点．设A 点(x 1，y 1)，B 点(x 2，y 2)抛物线y 2＝4x ，焦点为(1，c )，准线为x ＝－1.|AF |＝x 1－(－1)＝2，所以x 1＝1.则AF 与x 轴垂直，|BF |＝|AF |＝2.14．抛物线y 2＝4x 的弦AB 垂直于x 轴，若AB 的长为43，则焦点到AB 的距离为________．[答案] 2[解析] 由题意，设A 点坐标为(x,23)，则x ＝3，又焦点F (1,0)，∴焦点到AB 的距离为2.三、解答题15．根据下列条件写出抛物线的标准方程．(1)焦点是F (3,0)．(2)准线方程是x ＝－14.(3)焦点到准线的距离是2. [解析] (1)设抛物线的标准方程为y 2＝2px (p >0)，又焦点F (3,0)，∴p ＝6，∴抛物线方程为y 2＝12x .(2)由题意，设抛物线的标准方程为y 2＝2px (p >0)，又准线方程为x ＝－14，∴p ＝12， ∴抛物线方程为：y 2＝x .(3)∵焦点到准线的距离为2，∴抛物线的标准方程为y 2＝±4x 或x 2＝±4y .16．求证：以抛物线y 2＝2px 过焦点的弦为直径的圆，必与此抛物线的准线相切．[证明] 如图，过A 、B 分别作AC 、BD 垂直于l ，垂足为C 、D ，取AB 中点M ，作MH ⊥l 于H .由抛物线定义，知|AC |＝|AF |，|BD |＝|BF |.∴|AB |＝|AC |＋|BD |.又ACDB 是梯形，MH 是其中位线，∴|MH |＝12(|AC |＋|BD |)＝12|AB |.∴|MH |是圆M 的半径，从而命题得证． 17．如下图所示，线段AB 为抛物线y ＝x 2上的动弦，且|AB |＝a (a 为常数，且a ≥1)，求弦的中点M 到x 轴的最近距离．[解析] 如下图所示，设点A ，M ，B 的纵坐标为y 1，y 2，y 3，点A ，M ，B 在抛物线y ＝x 2的准线上的射影分别为A ′，M ′，B ′，由抛物线的定义，得|AF |＝|AA ′|＝y 1＋14， |BF |＝|BB ′|＝y 3＋14， ∴y 1＝|AF |－14，y 3＝|BF |－14. 又M 是线段AB 的中点，∴y 2＝12(y 1＋y 3) ＝12(|AF |＋|BF |－12)≥12(|AB |－12) ＝14(2a －1) 当且仅当线段AB 过焦点F 时等号成立，即当定长为a 的弦AB 过焦点F 时，点M 到x轴的距离最近，最近距离为14(2a －1)． 18．点P 在抛物线2y 2＝x 上，点Q 在圆(x －2)2＋y 2＝1上，求|PQ |的最小值．[解析] 圆(x －2)2＋y 2＝1的圆心为M (2,0)，设P (2y 21，y 1)，则|PM |2＝(2y 21－2)2＋y 21＝4y 41－7y 21＋4＝4(y 21－78)2＋1516≥1516. ∴|PM |≥154， ∴|PQ |min ＝|PM |min －1＝154－1. 此时P 点的坐标为(74，144)或(74，－144)．。
高二数学抛物线试题答案及解析
高二数学抛物线试题答案及解析1.若抛物线y=2px的焦点与椭圆+=1的右焦点重合，则p的值为 .【答案】4【解析】首先根据椭的标准圆方程求出椭圆的右焦点坐标，再结合题中条件可得抛物线的焦点坐标为（2，0），进而根据抛物线的有关性质求出p的值．解：由椭圆的方程+=1可得：a2=6，b2=2，∴c2=4，即c=2，∴椭圆的右焦点坐标为（2，0）∵抛物线y2=2px的焦点与椭圆+=1的右焦点重合，∴抛物线y2=2px的焦点（，0）即为（-2，0），即 =2，∴p=4．故答案为：4【考点】椭圆的性质与抛物线的有关性质点评：本题主要考查椭圆的性质与抛物线的有关性质，解决此题的关键是熟练掌握椭圆与抛物线的焦点坐标的求法，此题属于基础题2.中心在原点，焦点在轴上的双曲线的实轴与虚轴相等，一个焦点到渐近线的距离为，则双曲线的方程为 .【答案】【解析】根据题意可知设双曲线方程为,（a>0）,则可知,故可知双曲线的方程为。
【考点】双曲线几何性质点评：本题考查用待定系数法求双曲线的标准方程，以及点到直线的距离公式的应用3.已知抛物线，过点作直线交抛物线于（点在第一象限）；（1）设点关于轴的对称点为，直线交轴于点，求证：为定点；（2）若，为抛物线上的三点，且的重心为，求线段所在直线的斜率的取值范围.【答案】(1)要证明直线过定点，则可以设出直线方程，然后借助于联立方程组的思想爱那个来分析得到。
(2) 或【解析】（1），令，，设，联立，得到，，（2），设，中点，联立，，，，，，在抛物线上，，又得，，，或【考点】直线与抛物线位置关系点评：该试题属于常规试题，只要用心来解答，计算细心，一般容易得分，主要是理解判别式则作用，属于基础题。
4.抛物线的焦点坐标为（）A．B．C．D．【答案】C【解析】易知抛物线的焦点在y轴上，p=2，所以焦点坐标为。
【考点】抛物线的简单性质。
点评：熟练掌握抛物线四种形式的焦点坐标：焦点坐标为一次项系数的，但一定要注意把抛物线化为标准形式。
高二数学同步测试(9)—抛物线及几何性质
高中学生学科素质训练高二数学同步测试（9）—抛物线及几何性质共150分；考试用时120分钟一、选择题（本题每小题5分；共60分）1．抛物线2ax y =的焦点坐标为 （ ）A ．)0,41(aB ．)0,4(aC ．)41,0(aD ．)4,0(a2．过抛物线y 2=4x 的焦点作直线交抛物线于A （x 1；y 1）、B （x 2；y 2）两点；如果x 1+x 2=6；则|AB|的长是（ ）A ．10B ．8C ．6D ．43．抛物线y=x 2上点A 处的切线与直线013=+-y x 的夹角为45°；则点A 的坐标是（ ）A ．（－1；1）B ．)161,41( C ．（1；1）D ．（－1；1）或)161,41( 4．设P 是抛物线0122=+-y x 上的动点；点A 的坐标为（0；－1）；点M 在直线PA 上；且分PA 所成的比为2：1；则点M 的轨迹方程是（ ）A ．013182=--y xB ．013182=--x yC ．01392=+-y xD ．0162=--y x5．已知抛物线x y 42=的焦点为F ；定点P(4；－2)；在抛物线上找一点M ；使得||||MF PM +最小；则点M 的坐标为（ ）A ．)2,2(-B ．)2,1(C ．)2,1(-D ．)2,1(-6．抛物线y x 412=上的点到直线54-=x y 的距离最短；则该点的坐标为 （ ）A ．)0,0(B ．)4,1(C ．)1,21( D ．)1,5(7．抛物线x y 82=上的点),(00y x 到抛物线焦点的距离为3；则|y 0|= （ ）A ．2B ．22C ．2D ．48．过抛物线x y 82=的焦点F 作倾斜角是π43的直线；交抛物线于A ；B 两点；则||AB =（ ）A ．8B ．28C ．216D ．169．过抛物线焦点F 的直线与抛物线交于P ；Q 两点；若P ；Q 在抛物线准线上的射影为11,Q P ； 则11FQ P ∠等于（ ）A ．︒45B ．︒60C ．︒90D ．︒3010．已知抛物线12+=y x 上三点A ；B ；C ；且A(－1；0)；BC AB ⊥当点B 移动时；点C 的横坐 标的取值范围是（ ）A ．),1[]3,(+∞⋃--∞B ．)3,(-∞-C ．),1[+∞D ．]1,3[- 11．若一个圆的圆心在抛物线y 2=4x 的焦点处；且此圆与直线x +y+1=0相切；则这个圆的方程是（ ）A ．x 2+y 2－2x －1=0B ．x 2+y 2+2x +1=0C ．x 2+y 2－2y +1=0D ．x 2+y 2+2y+1=012．设抛物线y 2=8x 的准线与x 轴交于点Q ；若过点Q 的直线l 与抛物线有公共点；则直线l 的斜率的取值范围是 （ ）A ．[－21；21] B ．[－2；2] C ．[－1；1] D ．[－4；4]二、填空题（本题每小题4分；共16分）13．若抛物线的顶点是双曲线1322=-y x 的中心；且准线与双曲线的左准线重合；则此抛 物线的方程为____________.14．设x 1； x 2∈R 定义运算○；×：x 1○；×x 2=(x 1+x 2)2－(x 1－x 2)2；若x ≥0；常数m>0；则动点P(x ；2mx ⊗)的轨迹方程是 15．一个正三角形的三个顶点都在抛物线x y 42=上；其中一个顶点在原点；则这个三角形的面积为_________.16．AB 是抛物线x y =2的一条焦点弦；若4||=AB ；则AB 的中点到直线021=+x 的距 离为_____________.三、解答题（本大题共6小题；共74分。
高中数学抛物线的几何性质同步练习文人教版第二册
PF 取
得最小值， P 点的坐标是（
）
1 A. ( ,1)
4 5. 抛物线 y 2
B. ( 2,2 2 ) C. 2 px 与直线 ax y 4
线的距离为（
）
1 ( , 1) D.
4
( 2, 2 2)
0 的一个交点是（ 1， 2），则抛物线的焦点到直
A. 3 3 B. 2 5 C. 7 5 D.
17
A. 10 B. 8 C. 6 D. 4
8. 过抛物线 y ax 2 （ a
FQ的长分别是 p 、 q ，则 1 p
A. 2a B.
1 C. 2a
0 ）的焦点 F 作一直线交抛物线于
1
的值为（
）
q
4a D. 4 a
P、Q两点，若线段 PF与
二 . 填空：
1. 过抛物线 y 2 8x 的焦点，倾斜角为 45 的直线被抛物线截得的弦长为
2
【试题答案】
一. 1. B 2. B 3. D 4. A 5. B 6. C 7. B 8. C
二. 1. 16 2. 14 3.
9
4.
y2
2x 或 y 2
18x 或 x 2
8y
4
三.
1. 证明：根据题意，得 x 2 x 1 x 3 x 2 ，即 x 1 、 x 2 、 x 3 成等差数列
又由抛物线的定义得 AF
2. 过抛物线 y 2 6x 的顶点作互相垂直的两条直线，交抛物线于
A、 B 两点，求线段 AB
中点的轨迹方程
3. 设抛物线 y 2 2px (p 0) 的焦点为 F，经过点 F 的直线交抛物线于 A、 B 两点，点 C
在抛物线的准线上，且 BC∥ x 轴。证明：直线 AC经过原点 O。
高二数学抛物线的几何性质
测试题（时间45分钟；满分100分）一．选择题（每小题6分；共36分）1．抛物线y 2＝4x 上一点P 到焦点F 的距离是10；则P 点坐标是 ( )(A)（9；±6） (B)（9；－6） (C)（6；9）(D)（±6；9）2．顶点在原点；坐标轴为对称轴的抛物线过点（－2；3）；则它的方程是 ( )(A) x y 292-=(B) x y 292-=或y x 342=(C) y x 342=(D) y x 292-=或x y 342=3．抛物线y ＝ax 2（a ≠0）的焦点坐标是 ( )(A)（0；4a ）或（0；－4a ） (B)（0；4a ）(C)（0；a 41）或（0；－a41）(D)（0；a41）4．抛物线顶点在坐标原点；焦点在x 轴上；抛物线上横坐标是3的点与焦点距离是5；则此点的纵坐标是 ( )(A) 102±(B) 23±(C) 62±(D) 32±5．过抛物线焦点F 的直线与抛物线交于A 、B 两点；若A 、B 在准线上的射影是A 1、B 1；则∠A 1FB 1等于 ( )(A)120°(B) 60°(C) 45°(D) 90°6．动圆M 经过A （3；0）；且与直线l ：x ＝－3相切；则动圆圆心M 的轨迹方程是 ( )(A)x y 62=(B)x y 122=(C) y x 62= (D) y x 122=二．填空题（每小题8分；共32分）7．y 2＝－3x 的焦点坐标是 ；准线方程是 ．8．抛物线顶点在原点；以坐标轴为对称轴；过焦点且与y 轴垂直的弦长为16；则抛物线方程为 ．9．抛物线y 2＝－16x 上一点P 到x 轴的距离为12；焦点为F ；则｜PF ｜＝ ． 10．已知抛物线型拱桥的顶点距水面2米时；测量水面宽8米；当水面升高1米后；水面的宽度是 ．三．解答题（每小题15分；共30分）11．过（0；－2）的直线与抛物线y 2＝8x 交于A 、B 两点；若线段AB 中点的纵坐标为2；求｜AB ｜．12．有一抛物线；它的顶点在原点；对称轴重合于椭圆19422=+y x 的短轴所在坐标轴的负方向．又焦参数p 等于双曲线16x 2－9y 2＝36的焦点到相应准线的距离；求此抛物线方程．答 案一、选择题1．A2．B3．D4．C5．D6．B提示：1．利用定义3．y a x 12=；ap 12= 4．利用定义求出22=p；y 2＝24x ．5．利用定义二、填空题7．（－43；0） x ＝43．8．x 2＝±16y 9．1310．24米 提示：8．点（8；2p）在x 2＝±2py 上 9．利用定义10．适当建立坐标系；x 2＝－8y ；（x 0；－1）代入．三、解答题 11．⎩⎨⎧=+=kxy x y 282消x ；得ky 2－8y －16＝0；则228221==+k y y 得k ＝2； 即 y 2－4y －8＝0 ∴｜AB ｜＝152********=+⋅⎪⎭⎫⎝⎛+．12．设y 2＝－2px ；又144922=-y x ；a ＝23；b ＝2；c ＝25．p ＝c －582=c a ． ∴x y 5162-=。
高二数学抛物线的简单几何性质测试卷
典型例题一例1 过抛物线焦点的一条直线与它交于两点P 、Q ；通过点P 和抛物线顶点的直线交准线于点M ；如何证明直线MQ 平行于抛物线的对称轴？解：思路一：求出M 、Q 的纵坐标并进行比较；如果相等；则MQ//x 轴；为此；将方程)2(,22px k y px y -==联立；解出 ),)11(,2)11((2222k k p k k p P ++++))11(,2)11((2222k k p kk p Q +--+ 直线OP 的方程为,)11()11(2222x k k k y ++++=即.)11(22x kk y +--=令2p x -=；得M 点纵坐标Q M y kk p y =+-=)11(2得证．由此可见；按这一思路去证；运算较为繁琐．思路二：利用命题“如果过抛物线px y 22=的焦点的一条直线和这条抛物线相交；两上交点的纵坐标为1y 、2y ；那么221p y y -=”来证．设),(11y x P 、),(22y x Q 、),(33y x M ；并从px y 22=及)2(px k y -=中消去x ；得到0222=--kp py ky ；则有结论221p y y -=；即122y p y -=． 又直线OP 的方程为x x y y 11=； 2p x -=；得1132x py y -=． 因为),(11y x P 在抛物线上；所以p yx 2112=．从而212211113)(2y y p y p py x py y =-=⋅-==．这一证法运算较小．思路三：直线MQ 的方程为o y y =的充要条件是),2(),,2(0200y py Q y pM -．将直线MO 的方程p y y 02-=和直线QF 的方程)2(2220px py py y o --=联立；它的解（x ；y ）就是点P 的坐标；消去o y 的充要条件是点P 在抛物线上；得证．这一证法巧用了充要条件来进行逆向思维；运算量也较小．说明：本题中过抛物线焦点的直线与x 轴垂直时（即斜率不存在）；容易证明成立．典型例题二例2 已知过抛物线)0(22>=p px y 的焦点且斜率为1的直线交抛物线于A 、B 两点；点R 是含抛物线顶点O 的弧AB 上一点；求△RAB 的最大面积．分析：求RAB 的最大面积；因过焦点且斜率为1的弦长为定值；故可以AB 为三角形的底；只要确定高的最大值即可．解：设AB 所在的直线方程为2px y -=． 将其代入抛物线方程px y 22=；消去x 得0222=--p py yp y y y y y y AB 44)(222122121=-+⋅=-=∴当过R 的直线l 平行于AB 且与抛物线相切时；△RAB 的面积有最大值． 设直线l 方程为b x y +=．代入抛物线方程得0222=+-pb py y 由,0842=-=∆pb p 得2p b =；这时),2(p p R ．它到AB 的距离为p h 22= ∴△RAB 的最大面积为2221p h AB =⋅．典型例题三例3 直线1l 过点)0,1(-M ；与抛物线x y 42=交于1P 、2P 两点；P 是线段1P 2P 的中点；直线2l 过P 和抛物线的焦点F ；设直线1l 的斜率为k ．（1）将直线2l 的斜率与直线1l 的斜率之比表示为k 的函数)(k f ； （2）求出)(k f 的定义域及单调区间．分析：2l 过点P 及F ；利用两点的斜率公式；可将2l 的斜率用k 表示出来；从而写出)(k f ；由函数)(k f 的特点求得其定义域及单调区间．解：（1）设1l 的方程为：)1(+=x k y ；将它代入方程x y 42=；得0)42(2222=+-+k x k x k设),(),(),(222111y x P y x P y x P 、、；则2222212,24k k x k k x x -=-=+ 将222k k x -=代入)1(+=x k y 得：k y 2=；即P 点坐标为)2,2(22kk k -． 由x y 42=；知焦点)0,1(F ；∴直线2l 的斜率22221122kk k k k k -=--= ∴函数211)(k k f -=． （2）∵2l 与抛物线有两上交点；∴0≠k 且04)42(422>--=∆k k 解得01<<-k 或10<<k∴函数)(k f =的定义域为{}1001<<<<-k k k 或 当)0,1(-∈k 时；)(k f 为增函数．典型例题四例4 如图所示：直线l 过抛物线px y 22=的焦点；并且与这抛物线相交于A 、B 两点；求证：对于这抛物线的任何给定的一条弦CD ；直线l 不是CD 的垂直平分线．分析：本题所要证的命题结论是否定形式；一方面可根据垂直且平分列方程得矛盾结论；别一方面也可以根据l 上任一点到C 、D 距离相等来得矛盾结论．证法一：假设直线l 是抛物线的弦CD 的垂直平方线；因为直线l 与抛物线交于A 、B 两点；所以直线l 的斜率存在；且不为零；直线CD 的斜率存在；且不为0．设C 、D 的坐标分别为)2,2(121pt pt 与)2,2(222pt pt ．则211t t k CD += ∴l 的方程为)2()(21p x t t y -⋅+-= ∵直线l 平分弦CD∴CD 的中点))(),((212221t t p t t p ++在直线l 上；即]2)()[()(22212121p t t p t t t t p -++-=+；化简得：0)21)((222121=+++t t t t p 由0)(21≠+t t p 知0212221=++t t 得到矛盾；所以直线l 不可能是抛物线的弦CD 的垂直平分线．证法二：假设直线l 是弦CD 的垂直平分线∵焦点F 在直线l 上；∴DF CF =由抛物线定义；),(),,(2211y x D y x C 到抛物线的准线2px -=的距离相等． ∵2121,y y x x -==；∴CD 的垂直平分线l ：0=y 与直线l 和抛物线有两上交点矛盾；下略．典型例题五例5 设过抛物线)0(22>=p px y 的顶点O 的两弦OA 、OB 互相垂直；求抛物线顶点O 在AB 上射影N 的轨迹方程．分析：求与抛物线有关的轨迹方程；可先把N 看成定点),(00y x ；待求得00y x 、的关系后再用动点坐标)(y x ，来表示；也可结合几何知识；通过巧妙替换；简化运算．解法一：设),,(),,(),,(002211y x N y x B y x A则：2221212,2px y px y ==；22221214py y x x ⋅=∴ OB OA ⊥ ；1-=⋅∴O B O A k k 即02121=+y y x x042122221=+∴y y p y y 021≠y y ；2214p y y -=∴ ①把N 点看作定点；则AB 所在的直线方程为：),(000x x y x y y --=-显然00≠x 0200)(x y x y y x -+-=∴代入,22px y =化简整理得：0)(222020020=+-+y x p y py y x00≠∴x ；0202021)(2x y x p y y +-=∴ ② 由①、②得：020202)(24x y x p p +-=-；化简得)0(02002020≠=-+x px y x用x 、y 分别表示00y x 、得：)0(0222≠=-+x px y x解法二：点N 在以OA 、OB 为直径的两圆的交点（非原点）的轨迹上；设)2,2(2pt pt A ；则以OA 为直径的圆方程为：)()()(242222t t p pt y pt x +=-+-022222=--+pty pt y x ①设)2,2(121pt pt B ；OA ⊥OB ；则tt t t 1111-=⇒-= 在求以OB 为直径的圆方程时以t1-代1t ；可得022)(222=+-+pty px y x t ②由①＋②得：0)2)(1(222=-++px y x t)0(0222≠=-+∴x px y x典型例题六例6如图所示；直线1l 和2l 相交于点M ；1l ⊥2l ；点1l N ∈；以A 、B 为端点的曲线段C 上的任一点到2l 的距离与到点N 的距离相等；若△AMN 为锐角三角形；7=AM ；3=AN ；且6=BN ；建立适当的坐标系；求曲线段C 的方程．分析：因为曲线段C 上的任一点是以点N 为焦点；以2l 为准线的抛物线的一段；所以本题关键是建立适当坐标系；确定C 所满足的抛物线方程．解：以1l 为x 轴；MN 的中点为坐标原点O ；建立直角坐标系．由题意；曲线段C 是N 为焦点；以2l 为准线的抛物线的一段；其中A 、B 分别为曲线段的两端点．∴设曲线段C 满足的抛物线方程为：),0,)(0(22>≤≤>=y x x x p px y B A 其中A x 、B x 为A 、B 的横坐标令,p MN =则)0,2(),0,2(pN p M -；3,17==AN AM ∴由两点间的距离公式；得方程组：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+-=++92)2(172)2(22A A A Apx p x px p x解得⎩⎨⎧==14A x p 或⎩⎨⎧==22A x p∵△AMN 为锐角三角形；∴A x p>2；则4=p ；1=A x 又B 在曲线段C 上；4262=-=-=∴pBN x B 则曲线段C 的方程为).0,41(82>≤≤=y x x y典型例题七例7如图所示；设抛物线)10(22<<=p px y 与圆9)5(22=+-y x 在x 轴上方的交点为A 、B ；与圆27)6(22=+-y x 在x 由上方的交点为C 、D ；P 为AB 中点；Q 为CD 的中点．（1）求PQ ．（2）求△ABQ 面积的最大值．分析：由于P 、Q 均为弦AB 、CD 的中点；故可用韦达定理表示出P 、Q 两点坐标；由两点距离公式即可求出PQ ．解：（1）设),(),,(),,(),,(),,(),,(2211y x Q y x P y x D y x C y x B y x A D D C C B B A A由⎪⎩⎪⎨⎧==+-pxy y x 29)5(222得：016)5(22=+--x p x ； P x x x BA -=+=∴521 2198)5(222222)(222p p p p x x x x p x x p y y y BA B A B A B A -=+-=++=+=+=由⎪⎩⎪⎨⎧==+-pxy y x 227)6(222得09)6(22=+--x p x ； p x x x DC -=+=∴622 )(2222D C D C x x p y y y +=+=同1y 类似；229p p y -=则0,12121=-=-y y x x ；1=∴PQ（2）B A B A APQ ABQ x x P y y PQ S S S B P Q -=-⋅=+=∆∆∆2221)1(821022p p p P-=--=10<<p ；∴当21=p 时；ABQ S ∆取最大值21．典型例题八例8 已知直线l 过原点；抛物线C 的顶点在原点；焦点在x 轴的正半轴上；且点)0,1(-A 和点)8,0(B 关于直线l 的对称点都在C 上；求直线l 和抛物线C 的方程．分析：设出直线l 和抛物线C 的方程；由点A 、B 关于直线l 对称；求出对称点的坐标；分别代入抛物线方程．或设α=∠Ox B '；利用对称的几何性质和三角函数知识求解．解法一：设抛物线C 的方程为px y 22=)0(>p ；直线l 的方程为kx y =)0(≠k ； 则有点)0,1(-A ；点)8,0(B 关于直线l 的对称点为),(11'y x A 、),(22'y x B ；则有⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-=⋅+-⋅=,11,2121111k x y x k y 解得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+-=+-=;12,1121221k k y k k x⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-=⋅-⋅=+,18,2282222k x y x k y 解得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+-=+=.1)1(8,11622222k k y k k x 如图；'A 、'B 在抛物线上∴⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+⋅=+-+-⋅=+.1162)1()1(64,112)1(42222222222k k p k k k k p k k 两式相除；消去p ；整理；得012=--k k ；故251±=k ； 由0>p ；0>k ；得251+=k ．把251+=k 代入；得552=p ．∴直线l 的方程为x y 251+=；抛物线C 的方程为x y 5542=． 解法二：设点A 、B 关于l 的对称点为),(11'y x A 、),(22'y x B ；又设α=∠Ox B '；依题意；有1'==OA OA ；8'==OB OB ．故αcos 82=x ；αsin 82=y ．由︒=∠90BOA ；知︒=∠90''OA B ．∴ααsin )90cos(1=︒-=x ；ααcos )90sin(1-=︒-=y ． 又01>x ；02>x ；故α为第一象限的角． ∴)cos ,(sin 'αα-A 、)sin 8,cos 8('ααB ．将'A 、'B 的坐标代入抛物线方程；得⎪⎩⎪⎨⎧==.cos 16sin 64,sin 2cos 22ααααp p ∴αα33cos sin 8=；即21tan =α从而55sin =α；552cos =α； ∴552=p ；得抛物线C 的方程为x y 5542=． 又直线l 平分OB B '∠；得l 的倾斜角为︒+=-︒+452290ααα． ∴251sin 1cos )90cos(1)90sin()452tan(+=-=︒++︒+=︒+=αααααk ． ∴直线l 的方程为x y 251+=． 说明：(1)本题属于点关于直线的对称问题．解法一是解对称点问题的基本方法；它的思路明确；但运算量大；若不仔细、沉着；难于解得正确结果．解法二是利用对称图形的性质来解；它的技巧性较强；一时难于想到．(2)本题是用待定系数法求直线的方程和抛物线方程．在已知曲线的类型求曲线方程时；这种方法是最常规方法；需要重点掌握．典型例题九例9 如图；正方形ABCD 的边AB 在直线4+=x y l ：上；C 、D 两点在抛物线x y =2上；求正方形ABCD 的面积．分析：本题考查抛物线的概念及其位置关系；方程和方程组的解法和数形结合的思想方法；以及分析问题、解决问题的能力．解：∵直线4+=x y AB ：；CD AB //；∴设CD 的方程为b x y +=；且),(11y x C 、),(22y x D ．由方程组⎩⎨⎧+==b x y xy 2；消去x ；得02=+-b y y ；于是121=+y y ；b y y =21；∴21211y y kCD -+=(其中1=k ) ∴)41(24)(221221b y y y y CD -=-+⋅=．由已知；ABCD 为正方形；AD CD =； ∴CD 可视为平行直线AB 与CD 间的距离；则有24b CD -=；于是得24)41(2b b -=-．两边平方后；整理得；01282=++b b ；∴6-=b 或2-=b ． 当6-=b 时；正方形ABCD 的面积50)241(22=+==CD S ． 当2-=b 时；正方形ABCD 的面积18)81(22=+==CD S ．∴正方形ABCD 的面积为18或50．说明：运用方程（组）的思想和方法求某些几何量的值是解析几何中最基本的、贯穿始终的方法；本题应充分考虑正方形这一条件．典型例题十例10 设有一颗彗星围绕地球沿一抛物线轨道运行；地球恰好位于抛物线轨道的焦点处；当此彗星离地球为410⨯d km 时；经过地球与彗星的直线与抛物线的轴的夹角为︒30；求这彗星与地球的最短距离．分析：利用抛物线有关性质求解．解：如图；设彗星轨道方程为px y 22=；0>p ；焦点为)0,2(p F ； 彗星位于点),(00y x P 处．直线PF 的方程为)2(33p x y -=．解方程组⎪⎩⎪⎨⎧-==),2(33,22p x y px y 得2)347(p x ±=； 故2)347(0p x ±=． p p p p x PF )324(|22)347(|332|2|3320±=-±=-=． 故d p =±)324(；得d p 232±=． 由于顶点为抛物线上到焦点距离最近的点；所以顶点是抛物线上到焦点距离最近的点．焦点到抛物线顶点的距离为d p 4322±=；所以彗星与地球的最短距离为410432⨯+d km 或410432⨯-d km ；（P 点在F 点的左边与右边时；所求距离取不同的值）．说明：(1)此题结论有两个；不要漏解； (2)本题用到抛物线一个重要结论：顶点为抛物线上的点到焦点距离最近的点；其证明如下：设),(00y x P 为抛物线px y 22=上一点；焦点为)0,2(p F ；准线方程为2p x -=；依抛物线定义；有220p x p PF ≥+=)0(0≥x ；当00=x 时；PF 最小；故抛物线上到焦点距离最近的点是抛物线的顶点．典型例题十一例11 如图；抛物线顶点在原点；圆x y x 422=+的圆心是抛物线的焦点；直线l 过抛物线的焦点；且斜率为2；直线l 交抛物线与圆依次为A 、B 、C 、D 四点；求CD AB +的值．分析：本题考查抛物线的定义；圆的概念和性质；以及分析问题与解决问题的能力；本题的关键是把CD AB +转化为直线被圆锥曲线所截得的弦长问题．解：由圆的方程x y x 422=+；即4)2(22=+-y x 可知；圆心为)0,2(F ；半径为2；又由抛物线焦点为已知圆的圆心；得到抛物线焦点为)0,2(F ；设抛物线方程为x y 82=；BC AD CD AB -=+∵BC 为已知圆的直径；∴4=BC ；则4-=+AD CD AB ．设),(11y x A 、),(22y x D ；∵FD AF AD +=；而A 、D 在抛物线上；由已知可知；直线l 方程为)2(2-=x y ；于是；由方程组⎩⎨⎧-==).2(2,82x y y 消去y ；得0462=+-x x ；∴621=+x x ． ∴1046=+=AD ；因此；6410=-=+CD AB ．说明：本题如果分别求AB 与CD 则很麻烦；因此把CD AB +转化成4-=-AD BC AD 是关键所在；在求AD 时；又巧妙地运用了抛物线的定义；从而避免了一些繁杂的运算．。
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高中学生学科素质训练高二数学同步测试（9）—抛物线及几何性质共150分，考试用时120分钟一、选择题（本题每小题5分，共60分）1．抛物线2ax y =的焦点坐标为 （ ）A ．)0,41(aB ．)0,4(aC ．)41,0(aD ．)4,0(a2．过抛物线y 2=4x 的焦点作直线交抛物线于A （x 1,y 1）、B （x 2,y 2）两点，如果x 1+x 2=6，则|AB|的长是 （ ）A ．10B ．8C ．6D ．43．抛物线y=x 2上点A 处的切线与直线013=+-y x 的夹角为45°，则点A 的坐标是（ ）A ．（－1，1）B ．)161,41( C ．（1，1）D ．（－1，1）或)161,41( 4．设P 是抛物线0122=+-y x 上的动点，点A 的坐标为（0，－1），点M 在直线PA 上，且分PA 所成的比为2：1，则点M 的轨迹方程是 （ ）A ．013182=--y xB ．013182=--x yC ．01392=+-y xD ．0162=--y x5．已知抛物线x y 42=的焦点为F ，定点P(4,－2)，在抛物线上找一点M ，使得||||MF PM +最小，则点M 的坐标为（ ）A ．)2,2(-B ．)2,1(C ．)2,1(-D ．)2,1(-6．抛物线y x 412=上的点到直线54-=x y 的距离最短，则该点的坐标为 （ ）A ．)0,0(B ．)4,1(C ．)1,21( D ．)1,5(7．抛物线x y 82=上的点),(00y x 到抛物线焦点的距离为3，则|y 0|=（ ）A ．2B ．22C ．2D ．48．过抛物线x y 82=的焦点F 作倾斜角是π43的直线，交抛物线于A,B 两点，则||AB =（ ）A ．8B ．28C ．216D ．169．过抛物线焦点F 的直线与抛物线交于P,Q 两点，若P,Q 在抛物线准线上的射影为11,Q P ， 则11FQ P ∠等于（ ）A ．︒45B ．︒60C ．︒90D ．︒3010．已知抛物线12+=y x 上三点A,B,C,且A(－1,0),BC AB ⊥当点B 移动时，点C 的横坐标的取值范围是 （ ）A ．),1[]3,(+∞⋃--∞B ．)3,(-∞-C ．),1[+∞D ．]1,3[-11．若一个圆的圆心在抛物线y 2=4x 的焦点处，且此圆与直线x +y+1=0相切，则这个圆的方程是（ ）A ．x 2+y 2－2x －1=0 B ．x 2+y 2+2x +1=0C ．x 2+y 2－2y +1=0D ．x 2+y 2+2y+1=012．设抛物线y 2=8x 的准线与x 轴交于点Q ，若过点Q 的直线l 与抛物线有公共点，则直线l的斜率的取值范围是（ ）A ．[－21，21] B ．[－2，2]C ．[－1，1]D ．[－4，4]二、填空题（本题每小题4分，共16分）13．若抛物线的顶点是双曲线1322=-y x 的中心，且准线与双曲线的左准线重合，则此抛 物线的方程为____________.14．设x 1, x 2∈R 定义运算○：x 1○x 2=(x 1+x 2)2－(x 1－x 2)2,若x ≥0，常数m>0，则动点P(x ,2mx ⊗)的轨迹方程是 15．一个正三角形的三个顶点都在抛物线x y 42=上，其中一个顶点在原点，则这个三角形的面积为_________.16．AB 是抛物线x y =2的一条焦点弦，若4||=AB ，则AB 的中点到直线021=+x 的距 离为_____________.三、解答题（本大题共6小题，共74分。
解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 17．（12分）.过点A(0，－2)的直线与抛物线x y 42=相交于两点P,Q ，求以OP,OQ 为邻边的平行四边形的第四个顶点M 的轨迹方程．18．（12分）一辆卡车高3米，宽米，欲通过抛物线型隧道，拱口宽恰好是抛物线的正焦弦长，若拱口宽为a 米，求能使卡车通过的a 的最小整数值．19．（12分）如图所示，设抛物线)0(22>=p px y经过F 的直线交抛物线于A,B 两点，点C 在抛物线的准线上，且BC y p x p 220=>()x y 00,y 00>x y 11,x y 2,2y 1202（Ⅰ）若直线l与过点P 的切线垂直，求线段PQ 中点M 的轨迹方程；（Ⅱ）若直线l 不过原点且与x 轴交于点S ，与y 轴交于点T ，试求||||||||SQ ST SP ST +的取 值范围.22．（14分）如图, 直线y=21x 与抛物线y=81x 2－4交于 A 、B 两点, 线段AB 的垂直平分线与直线y=－5交 于Q 点.（1）求点Q 的坐标；（2）当P 为抛物线上位于线段AB 下方(含点A 、B) 的动点时, 求△OPQ 面积的最大值.参考答案（9）一．选择题 (本大题共12小题, 每小题5分, 共60分）题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案CBDACCBDCAAC二．填空题（本大题有4小题, 每小题4分, 共16分）y PO xAB13．x y 22= 14. y 2=2m x (y ≥0) 15. 348 16.49 三、解答题（本大题共6题，共74分）17．解 平行四边形 ABCD 的对角线的交点为N ，且),(),,(),,(2211y x M y x Q y x P ．由题意得直线PQ 的方程为2-=kx y ，其中k 为不等于零的参数由⎩⎨⎧=-=xy kx y 422，得(*)04)1(422=++-x k x kk x x k y y kk x x 44)(,)1(42121221=-+=+∴+=+∴， N 是PQ 的中点 ∴ N 点的坐标为)2,)1(2(2k kk +，又N 为OM 的中点 ∴ y y x k k k y k k x +=≠⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+=2241,,0(4)1(4得消去且为参数）直线PQ 和抛物线有两个不同的交点(*)∴ 式中0044)]1(4[22≠>⨯-+-=∆k k k 且，解得：0021><<-k k 或 由8,04-<>=y y ky 或知，故点M 的轨迹方程为)08(0442>-<=-+y y x y y 或18．分析：先建立如图所示的坐标系，确定抛物线的方程，由对称性知，卡车的轴线与y 轴重合，问题转化为求出x ＝时的y 值，需y ＞3才能满足条件．解：设抛物线方程为x 2＝－2p(y －p/2)∵（a /2，0）在抛物线上，∴a 2/4＝p 2，即p ＝a /2．从而抛物线方程为x 2＝－a (y －a /4)，将（,y ）代入得aa y 456.22-=卡车高3米，故需y ＞3且a ＞0，得 a 2－12a －＞0，解得a ＞或a ＜－（舍去）所以a 应 取13．注：本题以应用问题描述为载体，利用代定系数法求抛物线方程，解题中利用点与坐标、 曲线与方程的对应关系，融进参数的讨论，富有新意。
19．解：如图，连接AC ，设AC 与EF 交于点N ，过A 作l AD ⊥于D ，则AD||||||||||||||||AB BC AF NF AB BF AD EN =⋅=∴|||||||||||||||||||||,|||NF AB BC AF AB BF AD EN BC BF AD AF =⋅=⋅=∴==∴分14分. 解：（I ）当y p =2时，x p =8, 又抛物线y p x 22= 的准线方程为x p=-2. 为p p p 8258--=(). （2）设直线PA 的斜率为k PA ，直线PB 的斜率为k PB由y p x 1212=，y p x 0202=,相减得()()()y y y y p x x 1010102-+=-.故k y y x x p y y x x P A=--=+≠11010102(). 同理可得k p y y x x P B =+≠22020(). 由PA ，PB 倾斜角互补知k k P A P B=-, 即221020p y y p y y +=-+, 所以y y y 1202+=-, 故y y y 1202+=-. 设直线AB 的斜率为k AB 由y p x 2222=，y p x 1212= 相减得()()()y y y y p x x 2121212-+=-, 所以k y y x x p y y x x A B=--=+≠212112122(). 将y y y y 120020+=->()代入得 k p y y p y A B=+=-2120，所以k AB 是非零常数. 21．解：本题主要考查直线、抛物线、不等式等基础知识，求轨迹方程的方法，解析几何的基本思想和综合解题能力.满分12分.解：（Ⅰ）设P(x 1，y 1)，Q(x 2，y 2)，M(x 0，y 0)，依题意x 1≠0，y 1>0，y 2>0. 由y=21x 2， ①得y ＇=x .∴过点P 的切线的斜率k 切= x 1， ∵x 1=0不合题意，∴x 1≠0∴直线l 的斜率y POx A B,1111x k k -=-=切 ∴直线l 的方程为y －21x 12=－11x (x －x 1)，方法一：联立①②消去y ，得x 2+12x x －x 12－2=0.∵M 是PQ 的中点∴ x 0=221x x +=－11x ， y 0=21x 12－11x (x 0－x 1).消去x 1，得y 0=x 02+221x +1(x 0≠0)，∴PQ 中点M 的轨迹方程为y=x 2+221x +1(x ≠0).方法二：由y 1=21x 12，y 2=21x 22，x 0=221x x +，得y 1－y 2=21x 12－21x 22=21(x 1+x 2)(x 1－x 2)=x 0(x 1－x 2)，则x 0=2121x x y y --=k l =－11x ，∴x 1=－01x ，将上式代入②并整理，得y 0=x 02+221x +1(x 0≠0)，∴PQ 中点M 的轨迹方程为y=x 2+221x +1(x ≠0).（Ⅱ）设直线l :y=k x +b ，依题意k ≠0，b ≠0，则T(0，b).分别过P 、Q 作PP ＇⊥x 轴， QQ ＇⊥y 轴，垂足分别为P ＇、Q ＇，则=+||||||||SQ ST SP ST ||||||||||||||||21y b y b Q Q OT P P OT +='+'.y=21x 2由 消去x ，得y 2－2(k 2+b)y+b 2=0. ③ y=kx+b y 1+y 2=2(k 2+b)，则y 1y 2=b 2.方法一：∴=+||||||||SQ ST SP ST |b|(2111y y +)≥2|b|211y y =2|b|21b =2. ∵y 1、y 2可取一切不相等的正数，∴||||||||SQ ST SP ST +的取值范围是（2，+∞）. 方法二：∴||||||||SQ ST SP ST +=|b|2121y y y y +=|b|22)(2b b k +. 当b>0时，||||||||SQ ST SP ST +=b 22)(2b b k +=b b k )(22+=b k 22+2>2；当b<0时，||||||||SQ ST SP ST +=－b 22)(2b b k +=b b k -+)(22.又由方程③有两个相异实根，得△=4(k 2+b)2-4b 2=4k 2(k 2+2b)>0， 于是k 2+2b>0，即k 2>－2b. 所以||||||||SQ ST SP ST +>bb b -+-)2(2=2. ∵当b>0时，b k 22可取一切正数，∴||||||||SQ ST SP ST +的取值范围是（2，+∞）.22．解：(1) 解方程组 ⎩⎨⎧==⎩⎨⎧-=-=⇒⎪⎩⎪⎨⎧-==48444812122112y x y x x y x y 或 即A(－4,－2),B(8,4), 从而AB 的中点为M(2,1). 由k AB ==21,直线AB 的垂直平分线方程y －1=21(x －2).令y=－5, 得x =5, ∴Q(5,－5) (2) 直线OQ 的方程为x +y=0, 设P(x , 81x 2－4).∵点P 到直线OQ 的距离d=24812-+x x =3282812-+x x , 25=OQ , ∴S ΔOPQ =21d OQ =3281652-+x x . ∵P 为抛物线上位于线段AB 下方的点, 且P 不在直线OQ 上, ∴－4≤x <43－4或43－4<x ≤8. ∵函数y=x 2+8x －32在区间[－4,8] 上单调递增, 且当x =－4时，|x 2+8x －32|=48 当x =8时，|x 2+8x －32|=96 ∴当x =8时, ΔOPQ 的面积取到最大值3096165=⨯.。