【新课标人教A版】2014届高考数学(理)总复习限时规范训练：8.6 双曲线
2014届高考数学一轮复习练习第八章第6课时双曲线(新人教A版)
一、选择题 1．若k ∈R ，则方程x 2k ＋3＋y 2k ＋2＝1表示焦点在x 轴上的双曲线的充要条件是( ) A ．－3<k <－2 B ．k <－3C ．k <－3或k >－2D ．k >－2解析：选A.由题意可知，⎩⎪⎨⎪⎧k ＋3>0，k ＋2<0，解得－3<k <－2. 2．(2012·高考福建卷)已知双曲线x 2a 2－y 25＝1的右焦点为(3,0)，则该双曲线的离心率等于( )A.31414B.324C.32D.43解析：选C.由双曲线中a ，b ，c 的关系c 2＝a 2＋b 2，得32＝a 2＋5，∴a 2＝4.∴e ＝c a ＝32. 3．若椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的离心率为32，则双曲线x 2a 2－y 2b2＝1的渐近线方程为( ) A ．y ＝±12x B ．y ＝±2x C ．y ＝±4x D ．y ＝±14x 解析：选A.由题意a 2－b 2a ＝32，所以a 2＝4b 2. 故双曲线的方程可化为x 24b 2－y 2b2＝1， 故其渐近线方程为y ＝±12x . 4．已知双曲线中心在原点且一个焦点为F 1(－5，0)，点P 位于该双曲线上，线段PF 1的中点坐标为(0,2)，则双曲线的方程是( ) A.x 24－y 2＝1 B ．x 2－y 24＝1 C.x 22－y 23＝1 D.x 23－y 22＝1 解析：选B.设双曲线的标准方程为x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)，由PF 1中点为(0,2)知，PF 2⊥x 轴，P (5，4)，即b 2a ＝4，b 2＝4a ，∴5－a 2＝4a ，a ＝1，b ＝2，∴双曲线方程为x 2－y 24＝1. 5．已知F 1，F 2为双曲线 C ：x 2－y 2＝2的左，右焦点，点P 在C 上，|PF 1|＝2|PF 2|，则cos ∠F 1PF 2 ＝( )A. 14B. 35C. 34D. 45解析：选C.由x 2－y 2＝2知，a 2＝2，b 2＝2，c 2＝a 2＋b 2＝4，∴a ＝2，c ＝2.又∵|PF 1|－|PF 2|＝2a ，|PF 1|＝2|PF 2|，∴|PF 1|＝42，|PF 2|＝2 2.又∵|F 1F 2|＝2c ＝4，∴由余弦定理得，cos ∠F 1PF 2＝(42)2＋(22)2－422×42×22＝34. 二、填空题6．(2013·南京调研)已知双曲线C ：x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的实轴长为2，离心率为2，则双曲线C 的焦点坐标是________．解析：∵2a ＝2，∴a ＝1.又c a＝2，∴c ＝2，∴双曲线C 的焦点坐标是(±2,0)． 答案：(±2,0)7．已知双曲线的中心在原点，一个顶点的坐标是(－3,0)，且焦距与实轴长之比为5∶3，则双曲线的标准方程是________．解析：可求得a ＝3，c ＝5.焦点的位置在x 轴上，所得的方程为x 29－y 216＝1. 答案：x 29－y 216＝1 8．(2013·武汉调研)与椭圆x 24＋y 2＝1共焦点且过点P (2,1)的双曲线方程为________． 解析：设双曲线方程为x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)， ∴a 2＋b 2＝4－1＝3.又4a 2－1b 2＝1，解得a 2＝2，b 2＝1， ∴双曲线的方程为x 22－y 2＝1. 答案：x 22－y 2＝1 三、解答题9．已知双曲线关于两坐标轴对称，且与圆x 2＋y 2＝10相交于点P (3，－1)，若此圆过点P 的切线与双曲线的一条渐近线平行，求此双曲线的方程．解：切点为P (3，－1)的圆x 2＋y 2＝10的切线方程是3x －y ＝10.∵双曲线的一条渐近线与此切线平行，且双曲线关于两坐标轴对称，∴两渐近线方程为3x ±y ＝0.设所求双曲线方程为9x 2－y 2＝λ(λ≠0)．∵点P (3，－1)在双曲线上，代入上式可得λ＝80，∴所求的双曲线方程为x 2809－y 280＝1. 10．已知双曲线的中心在原点，焦点F 1，F 2在坐标轴上，离心率为2，且点(4，－10)在双曲线上．(1)求双曲线的方程； (2)若点M (3，m )在双曲线上，求证：点M 在以F 1F 2为直径的圆上；(3)求△F 1MF 2的面积．解：(1)∵离心率e ＝2，∴双曲线为等轴双曲线，可设其方程为x 2－y 2＝λ(λ≠0)．∵点(4，－10)在双曲线上，∴λ＝42－(－10)2＝6.∴所求双曲线方程为x 2－y 2＝6.(2)证明：若点M (3，m )在双曲线上，则32－m 2＝6，∴m 2＝3.由双曲线x 2－y 2＝6知焦点F 1(－23，0)，F 2(23，0)，∴MF 1→·MF 2→＝(－23－3，－m )·(23－3，－m )＝9－(23)2＋m 2＝0， 即MF 1→⊥MF 2→，故点M 在以F 1F 2 为直径的圆上．(3)S △F 1MF 2＝12×|F 1F 2|×|m |＝23×3＝6.一、选择题1．已知双曲线x 225－y 29＝1的左支上一点M 到右焦点F 2的距离为18，N 是线段MF 2的中点，O 是坐标原点，则|ON |等于( )A ．4B ．2C ．1 D.23解析：选A.设双曲线的左焦点为F 1，由双曲线的定义知：|MF 2|－|MF 1|＝10.又因为|MF 2|＝18，所以|MF 1|＝8，而|ON |＝12|MF 1|＝4. 2．(2013·贵阳模拟)已知O 为平面直角坐标系的原点，F 2为双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的右焦点，E 为OF 2的中点，过双曲线左顶点A 作两渐近线的平行线分别与y 轴交于C ，D 两点，B 为双曲线的右顶点，若四边形ACBD 的内切圆经过点E ，则双曲线的离心率为( )A ．2 B. 2C. 3D.233解析：选B.作草图，易知直线BC 的方程为x a ＋y b ＝1，圆心O 到BC 的距离为1⎝⎛⎭⎫1a 2＋⎝⎛⎭⎫1b 2＝c 2， ∴2ab ＝c 2，∴4a 2(c 2－a 2)＝c 4，同除以a 4得，e 4－4e 2＋4＝0，∴(e 2－2)2＝0，∴e 2＝2，∴e ＝2或－2(舍)，∴e ＝ 2.二、填空题3.如图所示，△F AB 中，∠F AB ＝150°，△F AB 的面积等于2－3，那么以F 为右焦点，A ，B 分别为实轴，虚轴上一个端点的双曲线的标准方程是________．解析：设双曲线的方程为x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)， 则A ，B ，F 的坐标分别为(a,0)，(0，b )，(c,0)．由已知条件可得⎩⎪⎨⎪⎧ 12b (c －a )＝2－3，b a ＝tan 30°，a 2＋b 2＝c 2，解得⎩⎨⎧ a ＝6，b ＝2，c ＝2 2.∴双曲线的标准方程为x 26－y 22＝1.答案：x 26－y 22＝1 4．已知双曲线x 2－y 23＝1的左顶点为A 1，右焦点为F 2，P 为双曲线右支上一点，则P A 1→·PF 2→的最小值为________．解析：由题可知A 1(－1,0)，F 2(2,0)，设P (x ，y )(x ≥1)， 则P A 1→＝(－1－x ，－y )，PF 2→＝(2－x ，－y )，P A 1→·PF 2→＝(－1－x )(2－x )＋y 2＝x 2－x －2＋y 2＝x 2－x －2＋3(x 2－1)＝4x 2－x －5.∵x ≥1，函数f (x )＝4x 2－x －5的图象的对称轴为x ＝18， ∴当x ＝1时，P A 1→·PF 2→取得最小值－2.答案：－2三、解答题5．直线l ：y ＝3(x －2)和双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)交于A ，B 两点，且|AB |＝3，又l 关于直线l 1：y ＝b ax 对称的直线l 2与x 轴平行． (1)求双曲线C 的离心率e ；(2)求双曲线C 的方程．解：(1)设双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1过一、三象限的渐近线l 1：x a －y b＝0的倾斜角为α. 因为l 和l 2关于l 1对称，记它们的交点为P ，l 与x 轴的交点为M . 而l 2与x 轴平行，记l 2与y 轴的交点为Q .依题意有∠QPO ＝∠POM ＝∠OPM ＝α.又l ：y ＝3(x －2)的倾斜角为60°，则2α＝60°，所以tan 30°＝b a ＝33. 于是e 2＝c 2a 2＝1＋b 2a 2＝1＋13＝43， 所以e ＝233. (2)由b a ＝33，于是设双曲线方程为x 23k 2－y 2k2＝1(k ≠0)， 即x 2－3y 2＝3k 2.将y ＝3(x －2)代入x 2－3y 2＝3k 2中，得x 2－3·3(x －2)2＝3k 2.化简得到8x 2－36x ＋36＋3k 2＝0.设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则|AB |＝1＋3|x 1－x 2|＝2(x 1＋x 2)2－4x 1x 2＝2362－4·8·(36＋3k 2)8＝9－6k 2＝3，求得k 2＝1. 故所求双曲线方程为x 23－y 2＝1.高%考[试∠题╬库。
2014届高考数学一轮复习课件：第八章第6课时双曲线(新人教A版)
【方法提练】
求双曲线的标准方程的基本方法是待定系数
法．具体过程是先定形，再定量，即先确定双曲线标准方程的 形式，然后再根据 a，b，c，e 及渐近线之间的关系，求出 a， b 的值． 如果已知双曲线的渐近线方程， 求双曲线的标准方程， x 2 y2 可利用有公共渐近线的双曲线的方程为 2－ 2＝λ(λ≠0)，再由 a b 条件求出 λ 的值即可．
标准方程 渐近线 性 质 离心率
x2 y2 － ＝1(a＞0， b＞0) a2 b2
b y＝± x a __________ c (1，＋∞) e＝______，e∈____________ a
y2 x2 － ＝1(a＞0，b＞0) a2 b2 a y＝± x b
实虚轴 a，b，c 间 的关系
线段 A1A2 叫作双曲线的实轴，它的长|A1A2|＝ 2a 线段 B1B2 叫作双曲线的虚轴， ____； 它的长|B1B2| ＝2b；a 叫作双曲线的半实轴长，b 叫作双曲线 的半虚轴长 c2＝a2＋b2(c＞a＞0，c＞b＞0)
3.等轴双曲线 实轴与虚轴 _____________等长的双曲线叫作等轴双曲线，其方程为x2－
2 y＝±x y2＝λ(λ≠0)，其离心率为e＝_____，渐近线方程为________.
课前热身
1．双曲线 2x2－y2＝8 的实轴长是( A．2 C．4 B．2 2 D．4 2 )
答案：C
2．已知双曲线的离心率为 2，焦点是(－4,0)，(4,0)，则双曲线 方程为( x 2 y2 A. － ＝1 4 12 x 2 y2 C. － ＝1 10 6 ) x 2 y2 B. － ＝1 12 4 x 2 y2 D. － ＝1 6 10
定义是经常使用的知识点．另外，还经常结合||PF1|－|PF2||
2014高考数学总复习(人教A文)提素能高效题组训练：8-6
［命题报告·教师用书独具］一、选择题1．（2013年唐山模拟）已知双曲线的渐近线方程为y＝±错误!x,焦点坐标为（－4,0），(4,0），则双曲线方程为（）A。
错误!－错误!＝1 B。
错误!－错误!＝1C.错误!－错误!＝1 D。
错误!－错误!＝1解析：双曲线的渐近线方程为y＝±错误!x，焦点在x轴上．设双曲线方程为x2－错误!＝λ（λ≠0）,即错误!－错误!＝1，则a2＝λ，b2＝3λ。
∵焦点坐标为（－4，0），(4,0)，∴c＝4，∴c2＝a2＋b2＝4λ＝16，解得λ＝4，∴双曲线方程为错误!－错误!＝1。
答案：D2．（2013年淮南模拟)双曲线方程为x2－2y2＝1，则它的左焦点的坐标为( )A.错误!B。
错误!C 。
错误! D.错误!解析:双曲线方程可化为x 2－错误!＝1，∴a 2＝1，b 2＝错误!， ∴c 2＝a 2＋b 2＝错误!,c ＝错误!,∴左焦点坐标为错误!. 答案：C3．（2013年潍坊质检）在平面直角坐标系xOy 中，已知双曲线错误!－错误!＝1上一点M 的横坐标为3，则点M 到此双曲线的右焦点的距离为( ）A ．4B ．2C ．3D ．6解析：由题易知，双曲线的右焦点坐标为(4，0),点M 的坐标为(3,15)或（3，－错误!），则点M 到此双曲线的右焦点的距离为4。
答案:A4．(2013年青岛模拟）设F 1，F 2分别是双曲线x 2－y 29＝1的左、右焦点，若点P 在双曲线上，且错误!·错误!＝0，则｜错误!＋错误!｜＝( ）A.10 B ．2错误! C 。
错误!D ．2错误!解析：如图，由错误!·错误!＝0可得错误!⊥错误!，又由向量加法的平行四边形法则可知▱PF 1QF 2为矩形，因为矩形的对角线相等,故有｜错误!＋错误!|＝｜P 错误!|＝2c ＝2错误!，所以选B 。
答案:B5．(2013年银川联考)已知A ，B ，P 是双曲线x 2a 2－错误!＝1(a 〉0，b 〉0)上不同的三个点，且A ，B 的连线经过坐标原点,若直线PA 、PB 的斜率的乘积k PA ·k PB ＝错误!，则该双曲线的离心率为（ ）A.错误!B.错误!C.错误!D.错误!解析:因为A ，B 的连线经过坐标原点,所以A 、B 关于原点对称，设P (x 0，y 0)，A (x 1，y 1），B (－x 1，－y 1）,由A ，B ，P 在双曲线上得x 2，0a2－错误!＝1,错误!－错误!＝1，两式相减并且变形得错误!＝错误!.又k PA ·k PB ＝错误!·错误!＝错误!＝错误!＝错误!，即错误!＝e 2－1＝错误!,故双曲线的离心率e ＝错误!。
【人教版】2014届高三数学(理)第一轮夯实基础《双曲线》(知识梳理 典例讲解 习题自测,46ppt)
疑点清源
1. 双 曲 线 的 几 何 性 质 的 实 质 是 围 绕 双 曲 线 中 的 “ 六 点”(两个焦点、两个顶点、两个虚轴的端点)，“四线”(两条 对称轴、两条渐近线)，“两形”(中心、焦点以及虚轴端点构 成的三角形，双曲线上一点和两焦点构成的三角形)研究它们 之间的相互联系．
考点自测
1.双曲线方程为 x2－2y2＝1，则它的右焦点坐标为( )
A. 22，0
B. 25，0
C. 26，0
D．( 3，0)
解析：将双曲线方程化为标准方程为：x2－y12＝1，∴a2＝ 2
1，b2＝12，∴c2＝a2＋b2＝32，∴c＝ 26，故右焦点坐标为( 26， 0)．
性 质
实虚轴
|A1A2|＝⑱______；线段 B1B2 叫做双曲线 的虚轴，它的长|B1B2|＝⑲______；a 叫做
双曲线的实半轴，b 叫做双曲线的虚半轴
Hale Waihona Puke a、b、c 关 系c2＝⑳__________(c＞a＞0，c＞b＞0)
答案：①绝对值 ②焦点 ③焦距 ④x≥a 或 x≤－a ⑤ y≥a 或 y≤－a ⑥x 轴、y 轴 ⑦坐标原点 ⑧x 轴，y 轴 ⑨ 坐标原点 ⑩(－a,0) ⑪(a,0) ⑫(0，－a) ⑬(0，a) ⑭y＝±ba x ⑮y＝±abx ⑯ac ⑰ a2＋b2 ⑱2a ⑲2b ⑳a2＋b2
∴b＝6，c＝10，a＝8. ∴标准方程为6x42 －3y62 ＝1 或6y42 －3x62 ＝1.
(2)设以 y＝±32x 为渐近线的双曲线方程为 x42－y92＝λ(λ≠0)． 当 λ＞0 时，a2＝4λ，
∴2a＝2 4λ＝6⇒λ＝94； 当 λ＜0 时，a2＝－9λ，
2014届高考数学一轮复习讲义：8.5双曲线
(4)双曲线的渐近线 经过 A1、A2 任作平行 y 轴的平行线 x＝±a，经过 B1、B2 作 x 轴 的平行线 y＝±b，四条直线围成一个矩形，矩形两条对角线的方程 y ＝±bax，双曲线xa22－by22＝1 的各支向外延伸时，与这两条直线逐渐接 近．
我们把 y＝±bax 叫作双曲线的渐近线．
注意：①双曲线有渐近线这是双曲线与椭圆和抛物线的最大不
同．
②画双曲线的图像一般要先画双曲线的渐近线，这样精确．
③在双曲线方程xa22－yb22＝1 中，若 a＝b，那么双曲线的方程为 x2－y2＝a2，渐近线方程为 y＝±x，它们互相垂直，实轴与虚轴等长，
这样的双曲线称为等轴双曲线．
④渐近线的记法只需把“xa22－ yb22＝ 1”中的“1”换成 “0”即
(6)与双曲线xa22－ yb22＝1(a＞ 0， b＞0)共焦点的圆锥曲线方程为
x2 a2－
λ－b2y＋2
＝ λ
1(λ＜
a2，且
λ≠－b2)．
3．双曲线的几何性质(以标准方程xa22－by22＝1(a，b＞0)为例) (1)双曲线的范围(如图所示)
由双曲线方程xa22－by22＝1 可知xa22≥1，从而 x≤－a 或 x≥a，双曲 线在两直线 x＝a，x＝－a 的外侧，是无限延伸的．需要指出的是， 双曲线在直线 x＝－a 和 x＝a 之间没有图像，当|x|无限增大时，|y| 也无限增大，所以双曲线是无限伸展的，不像椭圆那样是封闭曲线．
∴ac11＝＝51，3，
∴焦距为 2c1＝10， 又∵8＜10，∴曲线 C2 是双曲线，设其方程为xa222－yb222＝1(a2＞0，
b2＞0)，
则 a2＝4，c2＝5，∴b22＝52－42＝32， ∴曲线 C2 的方程为4x22－3y22＝1.
高三数学人教版a版数学(理)高考一轮复习教案：8.6 双曲线 word版含答案
第六节双曲线1．双曲线的标准方程了解双曲线的定义、几何图形和标准方程．2．双曲线的几何性质知道双曲线的简单几何性质．知识点一双曲线的定义条件结论1结论2平面内的动点M与平面内的两个定点F1，F2M点的轨迹为双曲线F1，F2为双曲线的焦点||MF1|－|MF2||＝2a|F1F2|为双曲线的焦距2a<|F1F2|易误提醒双曲线的定义中易忽视2a<|F1F2|这一条件．若2a＝|F1F2|，则轨迹是以F1，F2为端点的两条射线；若2a>|F1F2|则轨迹不存在．[自测练习]1．已知F为双曲线C：x2－y2＝1的左焦点，P、Q为C上的点，若PQ的长等于虚轴长的2倍，点A(5,0)在线段PQ上，则△PQF的周长为________．解析：由双曲线方程知，b＝4，a＝3，c＝5，则虚轴长为8，则|PQ|＝16，由左焦点F(－5,0)且A(5,0)恰为右焦点，知线段PQ过双曲线的右焦点，则P、Q都在双曲线的右支上，由双曲线的定义可知|PF|－|P A|＝2a，|QF|－|QA|＝2a，两式相加得|PF|＋|QF|－(|P A|＋|QA|)＝4a，则|PF|＋|QF|＝4a＋|PQ|＝4×3＋16＝28，故△PQF的周长为28＋16＝44.答案：44知识点二双曲线的标准方程和几何性质标准方程x2a2－y2b2＝1(a>0，b>0)y2a2－x2b2＝1(a>0，b>0)图 形性质范围 x ≥a 或x ≤－a ，y ∈R x ∈R ，y ≤－a 或y ≥a 对称性 对称中心：原点 对称轴：坐标轴； 对称中心：原点 对称轴：坐标轴； 顶点 顶点坐标A 1(－a,0)，A 2(a,0) 顶点坐标A 1(0，－a )，A 2(0，a ) 渐近线 y ＝±baxy ＝±a bx离心率e ＝ca，e ∈(1，＋∞)，其中c ＝ a 2＋b 2实虚轴线段A 1A 2叫作双曲线的实轴，它的长|A 1A 2|＝2a ；线段B 1B 2叫作双曲线的虚轴，它的长|B 1B 2|＝2b ；a 叫作双曲线的实半轴长，b 叫作双曲线的虚半轴长通径过焦点垂直于实轴的弦叫通径，其长为2b 2aa ，b ，c 关系c 2＝a 2＋b 2(c >a >0，c >b >0)易误提醒 (1)双曲线的标准方程中对a ，b 的要求只是a >0，b >0易误认为与椭圆标准方程中a ，b 的要求相同．若a >b >0，则双曲线的离心率e ∈(1，2)； 若a ＝b >0，则双曲线的离心率e ＝2； 若0<a <b ，则双曲线的离心率e > 2.(2)注意区分双曲线与椭圆中的a ，b ，c 的大小关系：在椭圆中a 2＝b 2＋c 2，而在双曲线中c 2＝a 2＋b 2.(3)易忽视渐近线的斜率与双曲线的焦点位置关系．当焦点在x 轴上，渐近线斜率为±ba ，当焦点在y 轴上，渐近线斜率为±ab.[自测练习]2．“m <8”是“方程x 2m －10－y 2m －8＝1表示双曲线”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件解析：方程x 2m －10－y 2m －8＝1表示双曲线，则(m －8)·(m －10)>0，解得m <8或m >10，故“m <8”是“方程x 2m －10－y 2m －8＝1表示双曲线”的充分不必要条件，故选A.答案：A3．已知双曲线x 2a 2－y 23＝1(a >0)的离心率为2，则a ＝( )A ．2 B.62 C.52D ．1 解析：因为双曲线的方程为x 2a 2－y 23＝1，所以e 2＝1＋3a 2＝4，因此a 2＝1，a ＝1.选D.答案：D4．已知F 是双曲线x 23a 2－y 2a 2＝1(a >0)的右焦点，O 为坐标原点，设P 是双曲线C 上一点，则∠POF 的大小不可能是( )A ．15°B ．25°C ．60°D ．165°解析：∵两条渐近线y ＝±33x 的倾斜角分别为30°，150°，∴0≤∠POF <30°或150°<∠POF ≤180°，故选C. 答案：C考点一 双曲线的定义及标准方程|1．设F 1，F 2是双曲线x 2－y 224＝1的两个焦点，P 是双曲线上的一点，且|PF 1|＝43|PF 2|，则△PF 1F 2的面积等于( )A ．42B ．8 3C ．24D ．48解析：由双曲线定义||PF 1|－|PF 2||＝2， 又|PF 1|＝43|PF 2|，∴|PF 1|＝8，|PF 2|＝6，又|F 1F 2|＝2c ＝10，∴|PF 1|2＋|PF 2|2＝|F 1F 2|2，△PF 1F 2为直角三角形．△PF 1F 2的面积S ＝12×6×8＝24.答案：C2．过双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的右顶点作x 轴的垂线与C 的一条渐近线相交于点A .若以C 的右焦点为圆心、半径为4的圆经过A ，O 两点(O 为坐标原点)，则双曲线C 的方程为( )A.x 24－y 212＝1 B.x 27－y 29＝1 C.x 28－y 28＝1 D.x 212－y 24＝1 解析：依题意，A (a ，b )，以C 的右焦点为圆心、半径为4的圆经过A ，O 两点(O 为坐标原点)，∴c ＝4，(4－a )2＋b 2＝4，∴a ＝2，b 2＝12.故双曲线C 的方程为x 24－y 212＝1.答案：A3．已知F 1，F 2为双曲线x 25－y 24＝1的左、右焦点，P (3，1)为双曲线内一点，点A 在双曲线上，则|AP |＋|AF 2|的最小值为( )A.37＋4B.37－4C.37－2 5D.37＋2 5解析：由题意知，|AP |＋|AF 2|＝|AP |＋|AF 1|－2a ，要求|AP |＋|AF 2|的最小值，只需求|AP |＋|AF 1|的最小值，当A ，P ，F 1三点共线时，取得最小值，则|AP |＋|AF 1|＝|PF 1|＝37，∴|AP |＋|AF 2|＝|AP |＋|AF 1|－2a ＝37－2 5. 答案：C求解双曲线定义及标准方程问题的两个注意点(1)在双曲线的定义中要注意双曲线上的点(动点)具备的几何条件，即“到两定点(焦点)的距离之差的绝对值为一常数，且该常数必须小于两定点的距离”．若定义中的“绝对值”去掉，点的轨迹是双曲线的一支．同时注意定义的转化应用．(2)求双曲线方程时一是标准形式判断；二是注意a ，b ，c 的关系易错易混． 考点二 渐近线与离心率问题|双曲线的渐近线与离心率问题是每年各地高考命题的热点．归纳起来常见的命题探究角度有：1．已知离心率求渐近线方程． 2．已知渐近线求离心率．3．由离心率或渐近线确定双曲线方程．4．利用渐近线与已知直线位置关系求离心率范围．探究一 已知离心率求渐近线方程1．已知双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的离心率为52，则C 的渐近线方程为( )A ．y ＝±14xB ．y ＝±13xC ．y ＝±12xD ．y ＝±x解析：因为e 2＝c 2a 2＝a 2＋b 2a 2＝1＋b 2a 2＝54，所以b 2a 2＝14，所以b a ＝12，所以y ＝±12x . 答案：C探究二 已知渐近线求离心率2．(2016·海淀模拟)已知双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1的一条渐近线为y ＝2x ，则双曲线的离心率为________．解析：由题意知b a ＝2，得b ＝2a ，c ＝5a ，所以e ＝ca ＝ 5.2＝4x 的焦点重合，且解析：∵抛物线的焦点为F (1,0)，∴c ＝1. 又c a ＝5，∴a ＝15，∴b 2＝c 2－a 2＝1－15＝45. 故所求方程为5x 2－5y 24＝1，故选D. 答案：D探究四 利用渐近线与已知直线位置关系求离心率范围4．已知双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1与直线y ＝2x 有交点，则双曲线离心率的取值范围为( )A ．(1，5)B ．(1，5]C ．(5，＋∞)D ．[5，＋∞)解析：∵双曲线的一条渐近线方程为y ＝b a x ，则由题意得ba>2，∴e ＝c a ＝1＋⎝⎛⎭⎫b a 2>1＋4＝ 5.答案：C解决有关渐近线与离心率关系问题的方法(1)已知渐近线方程y ＝mx ，若焦点位置不明确要分|m |＝b a 或|m |＝ab 讨论．(2)注意数形结合思想在处理渐近线夹角、离心率范围求法中的应用．考点三 直线与双曲线的位置关系|(2016·汕头模拟)已知双曲线C ：x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)，F 1，F 2分别是它的左、右焦点，A (－1,0)是其左顶点，且双曲线的离心率为e ＝2.设过右焦点F 2的直线l 与双曲线C 的右支交于P ，Q 两点，其中点P 位于第一象限内．(1)求双曲线的方程；(2)若直线AP ，AQ 分别与直线x ＝12交于M ，N 两点，求证：MF 2⊥NF 2.[解] (1)由题可知a ＝1.∵e ＝ca ＝2.∴c ＝2.∵a 2＋b 2＝c 2，∴b ＝3，∴双曲线C 的方程为x 2－y 23＝1. (2)设直线l 的方程为x ＝ty ＋2，P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)． 由⎩⎪⎨⎪⎧x 2－y 23＝1，x ＝ty ＋2，得(3t 2－1)y 2＋12ty ＋9＝0， 则y 1＋y 2＝－12t 3t 2－1，y 1y 2＝93t 2－1.又直线AP 的方程为y ＝y 1x 1＋1(x ＋1)，将x ＝12代入，得M ⎝⎛⎭⎫12，3y 12(x 1＋1).同理，直线AQ 的方程为y ＝y 2x 2＋1(x ＋1)， 将x ＝12代入，得N ⎝⎛⎭⎫12，3y 22(x 2＋1).∴MF 2→＝⎝⎛⎭⎫32，－3y 12(x 1＋1)，NF 2→＝⎝⎛⎭⎫32，－3y 22(x 2＋1).∴MF 2→·NF 2→＝94＋9y 1y 24(x 1＋1)(x 2＋1)＝94＋9y 1y 24(ty 1＋3)(ty 2＋3) ＝94＋9y 1y 24[t 2y 1y 2＋3t (y 1＋y 2)＋9]＝94＋9×93t 2－14⎝ ⎛⎭⎪⎫t 2×93t 2－1＋3t ×－12t 3t 2－1＋9＝94－94＝0， ∴MF 2⊥NF 2.解决直线与双曲线位置关系的两种方法(1)解决此类问题的常用方法是设出直线方程或双曲线方程，然后把直线方程和双曲线方程组成方程组，消元后转化成关于x (或y )的一元二次方程．利用根与系数的关系，整体代入．(2)与中点有关的问题常用点差法．注意：根据直线的斜率k 与渐近线的斜率的关系来判断直线与双曲线的位置关系．设A ，B 分别为双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的左、右顶点，双曲线的实轴长为43，焦点到渐近线的距离为 3.(1)求双曲线的方程； (2)已知直线y ＝33x －2与双曲线的右支交于M ，N 两点，且在双曲线的右支上存在点D ，使OM →＋ON →＝t OD →，求t 的值及点D 的坐标．解：(1)由题意知a ＝23，又∵一条渐近线为y ＝ba x ，即bx －ay ＝0.∴由焦点到渐近线的距离为3，得|bc |b 2＋a 2＝ 3. ∴b 2＝3，∴双曲线的方程为x 212－y 23＝1. (2)设M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)，D (x 0，y 0)，则x 1＋x 2＝tx 0，y 1＋y 2＝ty 0.将直线方程y ＝33x －2代入双曲线方程x 212－y 23＝1得x 2－163x ＋84＝0，则x 1＋x 2＝163，y 1＋y 2＝33(x 1＋x 2)－4＝12. ∴⎩⎨⎧x 0y 0＝433，x 2012－y203＝1.∴⎩⎨⎧x 0＝43，y 0＝3.∴t ＝4，点D 的坐标为(43，3).20.忽视直线与双曲线的位置关系中“判别式”致误【典例】 已知双曲线x 2－y 22＝1，过点P (1,1)能否作一条直线l ，与双曲线交于A ，B 两点，且点P 是线段AB 的中点？[易错点析] 由于“判别式”是判断直线与圆锥曲线是否有公共点的重要方法，在解决直线与圆锥曲线相交的问题时，有时不需要考虑判别式，致使有的考生思维定势的原因，任何情况下都没有考虑判别式，导致解题错误．[解] 设点A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)在双曲线上，且线段AB 的中点为(x 0，y 0)， 若直线l 的斜率不存在，显然不符合题意． 设经过点P 的直线l 的方程为y －1＝k (x －1)， 即y ＝kx ＋1－k .由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋1－k ，x 2－y 22＝1，得(2－k 2)x 2－2k (1－k )x －(1－k )2－2＝0(2－k 2≠0)．① ∴x 0＝x 1＋x 22＝k (1－k )2－k 2.由题意，得k (1－k )2－k 2＝1，解得k ＝2.当k ＝2时，方程①成为2x 2－4x ＋3＝0. Δ＝16－24＝－8<0，方程①没有实数解．∴不能作一条直线l 与双曲线交于A ，B 两点，且点P (1,1)是线段AB 的中点． [方法点评] (1)本题是以双曲线为背景，探究是否存在符合条件的直线，题目难度不大，思路也很清晰，但结论却不一定正确．错误原因是忽视对直线与双曲线是否相交的判断，从而导致错误，因为所求的直线是基于假设存在的情况下所得的．(2)本题属探索性问题．若存在，可用点差法求出AB 的斜率，进而求方程；也可以设斜率k ，利用待定系数法求方程．(3)求得的方程是否符合要求，一定要注意检验．[跟踪练习] (2015·厦门模拟)过双曲线C ：x 24－y 29＝1的左焦点作倾斜角为π6的直线l ，则直线l 与双曲线C 的交点情况是( )A ．没有交点B ．只有一个交点C ．有两个交点且都在左支上D ．有两个交点分别在左、右两支上解析：直线l 的方程为y ＝33(x ＋13)，代入C ：x 24－y 29＝1整理，得23x 2－813x －160＝0，Δ＝(－813)2＋4×23×160>0，所以直线l 与双曲线C 有两个交点，由一元二次方程根与系数的关系得两个交点横坐标符号不同，故两个交点分别在左、右支上．答案：DA 组 考点能力演练1．双曲线x 236－m 2－y 2m 2＝1(0<m <3)的焦距为( )A ．6B ．12C ．36D ．236－2m 2解析：c 2＝36－m 2＋m 2＝36，∴c ＝6.双曲线的焦距为12. 答案：B2．双曲线x 24－y 212＝1的焦点到渐近线的距离为( )A ．2 3B ．2 C. 3D ．1解析：双曲线x 24－y 212＝1的焦点坐标为(4,0)，(－4,0)，渐近线方程为y ＝3x ，y ＝－3x .由双曲线的对称性可知，任一焦点到任一渐近线的距离相等， d ＝|43＋0|3＋1＝2 3.答案：A3．P 是双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)上的点，F 1，F 2是其左、右焦点，双曲线的离心率是54，且PF 1⊥PF 2，若△F 1PF 2的面积是9，则a ＋b 的值等于( )A ．4B ．5C ．6D ．7解析：由||PF 1|－|PF 2||＝2a ，|PF 1|2＋|PF 2|2＝4c 2，12|PF 1|·|PF 2|＝9，得c 2－9＝a 2.又c a ＝54，∴a ＝4，c ＝5，b ＝3.∴a ＋b ＝7.答案：D4．已知椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)与双曲线x 2m 2－y 2n 2＝1(m >0，n >0)有相同的焦点F 1(－c,0)，F 2(c,0)，若c 是a ，m 的等比中项，n 2是2m 2与c 2的等差中项，则椭圆的离心率是( )A.33B.22C.14D.12解析：依题意，a 2－b 2＝m 2＋n 2＝c 2，c 2＝am,2n 2＝2m 2＋c 2，得a ＝4m ，c ＝2m ，∴e ＝ca ＝1. ，P 为双曲线右支上的)解析：因为P 为双曲线右支上的任意一点，所以|PF 1|＝2a ＋|PF 2|，所以|PF 1|2|PF 2|＝|PF 2|＋4a 2|PF 2|＋4a ≥2|PF 2|·4a 2|PF 2|＋4a ＝8a ，当且仅当|PF 2|＝2a ，|PF 1|＝4a 时，等号成立，可得2a ＋4a ≥2c ，解得e ≤3，又因为双曲线离心率大于1，故选D.答案：D6．已知双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，过点F 2作与x 轴垂直的直线，与双曲线的一个交点为P ，且∠PF 1F 2＝π6，则双曲线的渐近线方程为________．解析：易知P ⎝⎛⎭⎫c ，b 2a ，又∠PF 1F 2＝π6，∴tan π6＝b 2a 2c ，即33＝c 2－a 22ac ，即3e 2－2e －3＝0，∴e ＝3，∴b 2a 2＝c 2a 2－1＝2.∴ba＝2，则双曲线的渐近线方程为y ＝±2x .答案：y ＝±2x7．设点P 是双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)与圆x 2＋y 2＝a 2＋b 2在第一象限的交点，F 1，F 2分别是双曲线的左、右焦点，且|PF 1|＝3|PF 2|，则双曲线的离心率为________．解析：由双曲线的定义|PF 1|－|PF 2|＝2a ，又|PF 1|＝3|PF 2|，∴|PF 1|＝3a ，|PF 2|＝a .又点P 在以F 1F 2为直径的圆上，∴|PF 1|2＋|PF 2|2＝|F 1F 2|2，即(3a )2＋a 2＝(2c )2，c 2a 2＝52，∴e ＝102.答案：1028．已知双曲线C 的左、右焦点分别为F 1，F 2，其中一条渐近线为y ＝3x ，点A 在双曲线C 上，若|F 1A |＝2|F 2A |，则cos ∠AF 2F 1＝________.解析：双曲线的一条渐近线方程为y ＝3x ， 则b ＝3a ，c ＝2a .在△AF 2F 1中， 由|F 1A |＝2|F 2A |，|F 1A |－|F 2A |＝2a ， 得|F 1A |＝4a ，|F 2A |＝2a ，|F 1F 2|＝4a ，解：(1)设双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1过一、三象限的渐近线l 1：x a －yb ＝0的倾斜角为α.因为l 和l 2关于l 1对称，记它们的交点为P ，l 与x 轴的交点为M . 而l 2与x 轴平行，记l 2与y 轴的交点为Q . 依题意有∠QPO ＝∠POM ＝∠OPM ＝α. 又l ：y ＝3(x －2)的倾斜角为60°，则2α＝60°， 所以tan 30°＝b a ＝33.于是e 2＝c 2a 2＝1＋b 2a 2＝1＋13＝43，所以e ＝233. (2)由于b a ＝33，于是设双曲线方程为x 23k 2－y 2k 2＝1(k ≠0)，即x 2－3y 2＝3k 2.将y ＝3(x －2)代入x 2－3y 2＝3k 2中，得x 2－3×3(x －2)2＝3k 2.化简得到8x 2－36x ＋36＋3k 2＝0， 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则|AB |＝1＋3|x 1－x 2|＝2(x 1＋x 2)2－4x 1x 2 ＝2362－4×8×(36＋3k 2)8＝9－6k 2＝3，求得k 2＝1.故所求双曲线方程为x 23－y 2＝1.10.如图所示的“8”字形曲线是由两个关于x 轴对称的半圆和一个双曲线的一部分组成的图形，其中上半个圆所在圆方程是x 2＋y 2－4y －4＝0，双曲线的左、右顶点A ，B 是该圆与x 轴的交点，双曲线与半圆相交于与x 轴平行的直径的两端点．(1)试求双曲线的标准方程；(2)记双曲线的左、右焦点分别为F 1，F 2，试在“8”字形曲线上求一点P ，使得∠F 1PF 2是直角．解：(1)设双曲线的方程为x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)，在已知圆的方程中，令y ＝0，得x 2－4＝0，即x ＝±2，则双曲线左、右顶点为A (－2,0)，B (2,0)，于是a ＝2.令y ＝2，可得x 2－8＝0，解得x ＝±22， 即双曲线过点(±22，2)，则822－4b 2＝1，∴b ＝2.所以所求双曲线方程为x 24－y 24＝1.(2)由(1)得双曲线的两个焦点F 1(－22，0)， F 2(22，0)．当∠F 1PF 2＝90°时，设点P (x ，y )， ①若点P 在双曲线上，得x 2－y 2＝4，由F 1P →·F 2P →＝0，得(x ＋22)(x －22)＋y 2＝0，即x 2－8＋y 2＝0.由⎩⎪⎨⎪⎧x 2－y 2＝4，x 2－8＋y 2＝0，解得⎩⎨⎧x ＝±6，y ＝±2，所以P 1(6，2)，P 2(6，－2)，P 3(－6，2)，P 4(－6，－2)． ②若点P 在上半圆上，则x 2＋y 2－4y －4＝0(y ≥2)，由F 1P →·F 2P →＝0，得(x ＋22)(x －22)＋y 2＝0，即x 2＋y 2－8＝0，由⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋y 2－4y －4＝0，x 2＋y 2－8＝0，无解．同理，点P 在下半圆也没有符合题意的点．综上，满足条件的点有4个，分别为P 1(6，2)，P 2(6，－2)，P 3(－6，2)，P 4(－6，－2)．B 组 高考题型专练1．(2015·高考全国卷Ⅱ)已知A ，B 为双曲线E 的左，右顶点，点M 在E 上，△ABM 为等腰三角形，且顶角为120°，则E 的离心率为( )A. 5 B ．2 C. 3D. 2解析：设双曲线方程为x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)，不妨设点M 在双曲线的右支上，如图，AB ＝BM ＝2a ，∠MBA ＝120°，作MH ⊥x 轴于H ，则∠MBH ＝60°，BH ＝a ，MH ＝3a ，所以M (2a ，3a )．将点M 的坐标代入双曲线方程x 2a 2－y 2b2＝1，得a ＝b ，所以e ＝ 2.故选D.答案：D2．(2015·高考重庆卷)设双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的右焦点是F ，左、右顶点分别是A 1，A 2，过F 作A 1A 2的垂线与双曲线交于B ，C 两点．若A 1B ⊥A 2C ，则该双曲线的渐近线的斜率为( )A ．±12B ．±22C ．±1D ．±2解析：由题意，得A 1(－a,0)，A 2(a,0)，F (c,0)，将x ＝c 代入双曲线方程，解得y ＝±b 2a ，不妨设B ⎝⎛⎭⎫c ，b 2a ，C ⎝⎛⎭⎫c ，－b2a ，则kA 1B ＝b 2a c ＋a ，kA 2C ＝－b 2a c －a ，根据题意，有b 2a c ＋a ·－b 2a c －a ＝－1，整理得ba＝1，所以该双曲线的渐近线的斜率为±1，故选C.答案：C3．(2015·高考四川卷)过双曲线x 2－y 23＝1的右焦点且与x 轴垂直的直线，交该双曲线的两条渐近线于A ，B 两点，则|AB |＝( )A.433B ．2 3C ．6D ．4 3解析：由双曲线的标准方程x 2－y 23＝1得，右焦点F (2,0)，两条渐近线方程为y ＝±3x ，直线AB ：x ＝2，所以不妨取A (2,23)，B (2，－23)，则|AB |＝43，选D.答案：D4．(2015·高考北京卷)已知(2,0)是双曲线x 2－y 2b 2＝1(b >0)的一个焦点，则b ＝________. 解析：因为(2,0)是双曲线x 2－y 2b 2＝1(b >0)的一个焦点，所以1＋b 2＝4，则b ＝ 3.答案： 35．(2015·高考山东卷)平面直角坐标系xOy 中，双曲线C 1：x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的渐近线与抛物线C 2：x 2＝2率为________．解析：由题意，双曲线的渐近线方程为点A 在第一象限，由⎩⎪⎨⎪⎧y x 故A ⎝⎛⎭⎫2pb a ，2pb 2a 2.所以k AF ＝2pb a＝4b 4ab . 由已知F 为△OAB 的垂心，所以直线AF 与另一条渐近线垂直，故k AF ·⎝⎛⎭⎫－b a ＝－1，即4b 2－a 24ab ×⎝⎛⎭⎫－b a ＝－1，整理得b 2＝54a 2，所以c 2＝a 2＋b 2＝94a 2，故c ＝32a ，即e ＝c a ＝32. 答案：32。
2014届高考数学(人教版)总复习提高分冲刺模拟卷8.8曲线与方程(理)
第8章 第8节 课时作业一、选择题1．|y|－1＝1－－表示的曲线是( ) A ．抛物线 B ．一个圆 C ．两个圆 D ．两个半圆 【解析】 原方程等价于⎩⎪⎨⎪⎧|y|－1≥01－－－＝1－－⇔⎩⎪⎨⎪⎧|y|－1≥0－＋－＝1⇔⎩⎪⎨⎪⎧y≥1－＋－＝1或⎩⎪⎨⎪⎧y≤－1－＋＋＝1【答案】 D2．(2013·福州模拟)已知点F 14，0，直线l ：x ＝－14，点B 是l 上的动点．若过B 垂直于y 轴的直线与线段BF 的垂直平分线交于点M ，则点M 的轨迹是( ) A ．双曲线 B ．椭圆 C ．圆 D ．抛物线【解析】 由已知：|MF|＝|MB|.由抛物线定义知，点M 的轨迹是以F 为焦点，l 为准线的抛物线，故选D. 【答案】 D 3．(2013·长春模拟)设圆(x ＋1)2＋y2＝25的圆心为C ，A(1,0)是圆内一定点，Q 为圆周上任一点．线段AQ 的垂直平分线与CQ 的连线交于点M ，则M 的轨迹方程为( ) A.4x221－4y225＝1 B.4x221＋4y225＝1 C.4x225－4y221＝1 D.4x225＋4y221＝1【解析】 M 为AQ 垂直平分线上一点，则|AM|＝|MQ|，∴|MC|＋|MA|＝|MC|＋|MQ|＝|CQ|＝5， 故M 的轨迹为椭圆，∴a ＝52，c ＝1，则b2＝a2－c2＝214， ∴椭圆的标准方程为4x225＋4y221＝1.【答案】 D 4．(2013·合肥模拟)已知点P 是直线2x －y ＋3＝0上的一个动点，定点M(－1,2)，Q 是线段PM 延长线上的一点，且|PM|＝|MQ|，则Q 点的轨迹方程是( ) A ．2x ＋y ＋1＝0 B ．2x －y －5＝0 C ．2x －y －1＝0 D ．2x －y ＋5＝0【解析】 由题意知，M 为PQ 中点，设Q(x ，y)，则 P 为(－2－x,4－y)，代入2x －y ＋3＝0得2x －y ＋5＝0. 【答案】 D5．已知定点F1、F2和动点P 满足|PF →1－PF →2|＝2，|PF →1＋PF →2|＝4，则动点P 的轨迹为( ) A ．椭圆 B ．圆 C ．直线 D ．线段【解析】 以F1F2所在直线为x 轴，以F1F2的垂直平分线为y 轴，建立直角坐标系， ∵|PF →1－PF →2|＝|F2F1→|＝2，F1(－1,0)，F2(1,0)． 设P(x ，y)，则PF →1＝(－1－x ，－y)，PF →2＝(1－x ，－y)， ∴PF →1＋PF →2＝(－2x ，－2y)． ∴|PF →1＋PF →2|＝4x2＋4y2＝4，即x2＋y2＝4.∴点P 的轨迹是圆． 【答案】 B6．过抛物线y2＝4x 的焦点的弦的中点的轨迹方程是( ) A ．y2＝x －1 B ．y2＝2(x －1) C ．y2＝x －12D ．y2＝2x －1【解析】 当斜率不存在时，焦点(1,0)在所求的轨迹上，排除C 、D ；当斜率存在时，设焦点弦所在直线斜率为k ，焦点弦所在的直线方程为y ＝k(x －1)，消去x 得ky2－4y －4k ＝0，从而y1＋y2＝4k ，故x1＋x2＝4k2＋2，设中点的坐标为(x ，y)，则x ＝2k2＋1，y ＝2k ，消去k 得y2＝2(x －1)，故选B. 【答案】 B 二、填空题7．已知两定点F1(－1,0)、F2(1,0)，且|F1F2|是|PF1|与|PF2|的等差中项，则动点P 的轨迹方程是________．【解析】 由|F1F2|是|PF1|与|PF2|的等差中项知： |PF1|＋|PF2|＝4＞|F1F2|，故动点P 的轨迹是以定点F1(－1,0)、F2(1,0)为焦点，长轴长为4的椭圆，故其方程为x24＋y23＝1.【答案】 x24＋y23＝18．(2012·佛山月考)在△ABC 中，A 为动点，B 、C 为定点，B －a 2，0，C a2，0(a>0)，且满足条件sin C －sin B ＝12sin A ，则动点A 的轨迹方程是________________． 【解析】 由正弦定理：|AB|2R －|AC|2R ＝12×|BC|2R ， ∴|AB|－|AC|＝12|BC|，且为双曲线右支． ∴轨迹方程为16x2a2－16y23a2＝1(x>0且y≠0)． 【答案】 16x2a2－16y23a2＝1(x>0且y≠0)9．(2013·德州模拟)若在曲线f(x ，y)＝0上两个不同点处的切线重合，则这条切线称为曲线f(x ，y)＝0的“自公切线”．下列方程：①x2－y2＝1；②y ＝x2－|x|；③y ＝3sin x ＋4cos x ；④|x|＋1＝4－y2对应的曲线中存在“自公切线”的有________．【解析】 ①中x2－y2＝1是一个等轴双曲线，没有自公切线；②y ＝x2－|x|＝⎩⎪⎨⎪⎧⎝⎛⎭⎫x －122－14⎝⎛⎭⎫x ＋122－14，在x ＝12和x ＝－12处的切线都是y ＝－14，故②有“自公切线”；③y ＝3sin x ＋4cos x ＝5sin(x ＋φ)，其中cos φ＝35，sin φ＝45，此函数是周期函数，过图象的最高点的切线都重合，故此函数有“自公切线”；④由于|x|＋1＝4－y2，即x2＋2|x|＋y2－3＝0.结合图象可得，此曲线没有“自公切线”．【答案】 ②③ 三、解答题10．如图，已知F(1,0)，直线l ：x ＝－1，P 为平面上的动点，过点P 作l 的垂线，垂足为点Q ，且QP →·QF →＝FP →·FQ →.求动点P 的轨迹C 的方程． 【解】 法一：设点P(x ，y)，则Q(－1，y)， 由QP →·QF →＝FP →·FQ →，得(x ＋1,0)·(2，－y)＝(x －1，y)·(－2，y)， 化简得C ：y2＝4x. 法二：由QP →·QF →＝FP →·FQ →， 得FQ →·(PQ →＋PF →)＝0， ∴(PQ →－PF →)·(PQ →＋PF →)＝0，∴PQ →2－PF →2＝0.∴|PQ →|＝|PF →|. ∴点P 的轨迹C 是抛物线，由题意，轨迹C 的方程为y2＝4x.11．(2012·山东济宁市高三检测)已知两点M(4,0)、N(1,0)，若动点P(x ，y)满足MN →·MP →＝6|NP|→. (1)求动点P 的轨迹C 的方程；(2)设A 、B 、Q 是曲线C 上不同的三个点，且A 、B 关于原点对称，直线QA 、QB 的斜率分别为k1、k2.求证：k1·k2为定值．【解】 (1)∵M(4,0)，N(1,0)，P(x ，y)，∴MN →＝(－3,0)，MP →＝(x －4，y)，NP →＝(x －1，y)． 又∵MN →·MP →＝6|NP →|，∴ (－3,0)·(x －4，y)＝6－＋y2， ∴(－3)(x －4)＝6－＋y2，∴3x2＋4y2＝12，即x24＋y23＝1.(2)设A(m ，n)，B(－m ，－n)，Q(x0，y0)则， 3m2＋4n2＝12,3x20＋4y20＝12. ∴k1＝y0－n x0－m ，k2＝y0＋n x0＋m ，∴k1·k2＝y0－m x0－m ·y0＋n x0＋m ＝y20－n2x20－m2＝3－34x20－3－34m2x20－m2＝－3420－x20－m2＝－34.∴k1·k2为定值． 12．(2011·天津高考)在平面直角坐标系xOy 中，点P(a ，b)(a>b>0)为动点，F1、F2分别为椭圆x2a2＋y2b2＝1的左、右焦点．已知△F1PF2为等腰三角形． (1)求椭圆的离心率e ；(2)设直线PF2与椭圆相交于A ，B 两点，M 是直线PF2上的点．满足AM →·BM →＝－2，求点M 的轨迹方程．【解】 (1)设F1(－c,0)，F2(c,0)(c>0)． 由题意，可得|PF2|＝|F1F2|， 即－＋b2＝2c ，整理得2c a 2＋ca －1＝0，得c a ＝－1(舍)，或c a ＝12.所以e ＝12. (2)由(1)知a ＝2c ，b ＝3c ，可得椭圆方程为3x2＋4y2＝12c2， 直线PF2的方程为y ＝3(x －c)．A ，B 两点的坐标满足方程组⎩⎨⎧3x2＋4y2＝12c2，y ＝3－消去y 并整理，得5x2－8cx ＝0， 解得x1＝0，x2＝85c.得方程组的解⎩⎨⎧x1＝0，y1＝－3c ，或⎩⎪⎨⎪⎧x2＝85c ，y2＝335 c.不妨设A 85c ，335c ，B(0，－3c)． 设点M 的坐标为(x ，y)，则 AM →＝x －85c ，y －335c ， BM →＝(x ，y ＋3c)．由y ＝3(x －c)，得c ＝x －33y. 于是AM →＝8315y －35x ，85y －335x ， BM →＝(x ，3x)． 由AM →·BM →＝－2，即8315y －35x·x ＋85y －335x·3x ＝－2， 化简得18x2－163xy －15＝0.将上式变形得y ＝18x2－15163x 代入c ＝x －33y ，得c ＝10x2＋516x >0.所以x>0.因此，点M 的轨迹方程是18x2－163xy －15＝0(x>0)． 四、选做题13．已知椭圆C 的中心为直角坐标系xOy 的原点，焦点在x 轴上，它的一个顶点到两个焦点的距离分别是7和1. (1)求椭圆C 的方程；(2)若P 为椭圆C 上的动点，M 为过P 且垂直于x 轴的直线上的点，|OP||OM|＝λ，求点M 的轨迹方程，并说明轨迹是什么曲线．【解】 (1)设椭圆长半轴长及半焦距分别为a 、c ，由已知得⎩⎪⎨⎪⎧a －c ＝1，a ＋c ＝7，解得a ＝4，c ＝3，所以椭圆C 的方程为x216＋y27＝1. (2)设M(x ，y)，其中x ∈[－4,4]．由已知|OP|2|OM|2＝λ2及点P 在椭圆C 上可得9x2＋112＋＝λ2，整理得(16λ2－9)x2＋16λ2y2＝112，其中x ∈[－4,4]． ①λ＝34时，化简得9y2＝112.所以点M 的轨迹方程为y ＝±473(－4≤x≤4)，轨迹是两条平行于x 轴的线段． ②λ≠34时，方程变形为x211216λ2－9＋y211216λ2＝1，其中x ∈[－4,4]；当0＜λ＜34时，点M 的轨迹为中心在原点、实轴在y 轴上的双曲线满足－4≤x≤4的部分； 当34＜λ＜1时，点M 的轨迹为中心在原点、长轴在x 轴上的椭圆满足－4≤x≤4的部分； 当λ≥1时，点M 的轨迹为中心在原点、长轴在x 轴上的椭圆．。
2014届高考数学(理)总复习：第八章 第6讲 双曲线
双曲线的定义及标准方程
[例 1] (1)(2012·湖南高考)已知双曲线 C：ax22－by22＝1
的焦距为 10，点 P(2,1)在 C 的渐近线上，则 C 的方程为
()
A.2x02 －y52＝1 C.8x02 －2y02 ＝1
B.x52－2y02 ＝1 D.2x02 －8y02 ＝1
(2)(2012·辽宁高考)已知双曲线x2－y2＝1，点F1，F2
2．解决与双曲线几何性质相关的问题时，要注意数 形结合思想的应用．
2．(1)(2012·福建高考)已知双曲线xa22－y52＝1的右焦点为
(3,0)，则该双曲线的离心率等于
()
3 14 A. 14
32 B. 4
3
4
C.2
D.3
解析：由题意知c＝3，故a2＋5＝9，解得a＝2，故该
双曲线的离心率e＝ac＝32. 答案：C
线段 A1A2 叫做双曲线的实轴，它的长|A1A2|
性 实虚轴 ＝ 2a ；线段 B1B2 叫做双曲线的虚轴，它的
质
长|B1B2|＝ 2b ；a 叫做双曲线的实半轴长，_b_
叫做双曲线的虚半轴长
通径
过焦点垂直于实轴的弦叫通径，其长为
2b2 a
a、b、c的 关系
c2＝a2＋b2(c>a>0，c>b>0)
5．已知F1(0，－5)，F2(0,5)，一曲线上任意一点M满足 |MF1|－|MF2|＝8，若该曲线的一条渐近线的斜率为k， 该曲线的离心率为e，则|k|·e＝________. 解析：根据双曲线的定义可知，该曲线为焦点在 y 轴上的双曲线的上支，
∵c＝5，a＝4，∴b＝3，e＝ac＝54，|k|＝43.
由y－＝xc－＋babyx＝，1，
《优化探究》2014高考数学总复习(人教A文)配套课件：8-6
b2 1 b 2 • 本例(1)条件不变，求C的渐近线方程． 得 2＝ ， ＝± . a 2 a 2 b 又∵渐近线方程为 y＝± x， a 2 ∴C 的渐近线方程为 y＝± 2 x.
考向三 直线与双曲线的位置关系 [例 3] (2012 年高考上海卷)在平面直角坐标系 xOy 中， 已知双曲线 C：2x2－y2＝1. (1)设 F 是 C 的左焦点，M 是 C 右支上一点．若|MF|＝2 2，求点 M 的坐标． (2)过 C 的左顶点作 C 的两条渐近线的平行线， 求这两组平行线围成 的平行四边形的面积． (3)设斜率为 k(|k|< 2)的直线 l 交 C 于 P、Q 两点．若 l 与圆 x2＋y2 ＝1 相切，求证：OP⊥OQ. x2 2 6 － ，0. [解析] (1)双曲线 C： 1 －y ＝1，左焦点 F 2 2
y＝kx＋b， 由 2 2 2x －y ＝1，
得(2－k2)x2－2kbx－b2－1＝0.
x1＋x2＝ 2kb 2， 2－k 设 P(x1，y1)、Q(x2，y2)，则 －1－b2 x1x2＝ . 2－k2
又 y1y2＝(kx1＋b)(kx2＋b)， 所以 O→· →＝x1x2＋y1y2 P OQ
• [疑难关注]
2．渐近线与离心率 x2 y2 b 2－ 2＝1(a>0，b>0)的一条渐近线的斜率为 ＝ a b a b2 a2＝ c2－a2 a2 ＝
e2－1.可以看出， 双曲线的渐近线和离心率的实质都表示双曲线张口的 大小．注意，若 a>b>0 时，双曲线的离心率满足 1<e< 当 a＝b>0 时，e＝ 当 b>a>0 时，e> 2. 2(亦称为等轴双曲线)； 2；
【全程复习方略】(广东专用)2014高考数学 8.6双曲线课时提升作业 文 新人教A版
【全程复习方略】（广东专用）2014高考数学 8.6双曲线课时提升作业 文 新人教A 版一、选择题1.（2013²长沙模拟）已知双曲线2222x y 1a b-=（a ＞0,b ＞0)的一条渐近线方程为y=43x ，则双曲线的离心率为( )(A)53 (B)3 (C)542.双曲线22x y 1n-= (n ＞1)的左、右两个焦点为F 1,F 2,P 在双曲线上，且满足|PF 1|+|PF 2|=△PF 1F 2的面积为( ) (A)12(B)1 (C)2 (D)4 3.（2013²佛山模拟）已知双曲线mx 2-ny 2=1(m>0,n>0)的离心率为2，则椭圆mx 2+ny 2=1的离心率为( )(A)134.（2013²东莞模拟）已知双曲线2222x y 1a b-=(a>0,b>0)的一条渐近线方程是，它的一个焦点在抛物线y 2=24x 的准线上，则双曲线的方程为( )(A)22x y 136108-= (B)22x y 1927-= (C)22x y 110836-= (D) 22x y 1279-=5.（2013²中山模拟）设双曲线的一个焦点为F ，虚轴的一个端点为B ，如果直线FB 与该双曲线的一条渐近线垂直，那么此双曲线的离心率为( )（A （B （C ）12 （D ）126.（2012²浙江高考）如图，中心均为原点O 的双曲线与椭圆有公共焦点，M,N 是双曲线的两顶点，若M,O,N 将椭圆长轴四等分，则双曲线与椭圆的离心率的比值是( )7.已知双曲线2222x y 1a b -= (a>0,b>0)的一个顶点与抛物线y 2=20x 的焦点重合，则该双曲线的渐近线斜率为( ) (A)±2 (B)±43 (C)±12 (D)±348.（能力挑战题）设F 1，F 2分别是双曲线22x y 13-=的左、右焦点，P 在双曲线上，当△F 1PF 2的面积为2时，12PF PF 的值为( )(A)2 (B)3 (C)4 (D)6 二、填空题9.（2013²湛江模拟）若抛物线y=x 2在点（1，1）处的切线与双曲线2222x y 1a b-=的一条渐近线垂直，则双曲线的离心率等于_________.10.以下四个关于圆锥曲线的命题中：①设A ，B 为两个定点，k 为非零常数，若|PA|-|PB|=k ，则动点P 的轨迹为双曲线；②过定圆C 上一定点A 作圆的动弦AB ，O 为坐标原点，若()1OP OA OB 2=+，则动点P 的轨迹为椭圆；③方程2x 2-5x+2=0的两根可分别作为椭圆和双曲线的离心率；④双曲线22x y 1259-=与椭圆22x y 135+=有相同的焦点． 其中真命题的序号为_________(写出所有真命题的序号)．11.（能力挑战题）过双曲线的右焦点F 作实轴所在直线的垂线，交双曲线于A ，B 两点，设双曲线的左顶点为M,若点M 在以AB 为直径的圆的内部，则此双曲线的离心率e 的取值范围为___________. 三、解答题12.（2013²肇庆模拟）已知双曲线的中心在原点，焦点F 1，F 2在坐标轴上，离心率为2,且过点). （1）求双曲线的方程.（2）若点M(3，m)在双曲线上，求证：12MF MF=0. （3）求△F 1MF 2的面积.13.（能力挑战题）已知椭圆22y x 14+=的左、右两个顶点分别为A ，B ，曲线C 是以A ，B 两点为顶点，.设点P 在第一象限且在曲线C 上，直线AP 与椭圆相交于另一点T. （1）求曲线C 的方程.（2）设点P ，T 的横坐标分别为x 1,x 2, 证明：x 1²x 2=1.（3）设△TAB 与△POB （其中O 为坐标原点）的面积分别为S 1与S 2，且PA PB≤15，求S 12-S 22的取值范围.14.设圆C 与两圆2+y 22+y 2=4中的一个内切，另外一个外切.（1）求圆C 的圆心轨迹L 的方程.（2）已知点，，且P 为L 上动点，求||MP|-|FP||的最大值及此时点P 的坐标.答案解析1.【解析】选A.由已知得b 4,a 3=即3b=4a, ∴9b 2=16a 2⇒9(c 2-a 2)=16a 2⇒22c 25a 9=,∴c 5e .a 3== 2.【解析】选B.不妨设点P 在双曲线的右支上，则|PF 1|-|PF 2|PF 1|+|PF 2∴|PF 12又∴|PF 1|2+|PF 2|2=|F 1F 2|2, ∴∠F 1PF 2=90°,∴12PF F S △=12|PF 1||PF 2|=1. 3.【解析】选B.由已知双曲线的离心率为2,得：2,=解得：m=3n,又m>0,n>0, ∴m>n,即11n m>, 故由椭圆mx 2+ny 2=1得22y x 1.11n m+=∴所求椭圆的离心率为：e 3===【误区警示】本题极易造成误选而失分，根本原因是由于将椭圆mx 2+ny 2=1焦点所在位置弄错，从而把a 求错而造成.4.【解析】选B.由题意可知222c 6,a b c ,ba⎧⎪=⎪+=⎨⎪⎪=⎩解得22a 9,b 27,⎧=⎪⎨=⎪⎩所以双曲线的方程为22x y 1.927-= 5.【解析】选D.因为焦点在x 轴上与焦点在y 轴上的离心率一样，所以不妨设双曲线方程为2222x y 1a b -=（a>0,b>0），则双曲线的渐近线的斜率k=±ba，一个焦点坐标为F(c,0)，一个虚轴的端点为B(0,b)，所以k FB =-b c ，又因为直线FB 与双曲线的一条渐近线垂直，所以FB b b k k 1a c =-=- （）（k=-ba显然不符合）,即b 2=ac,c 2-a 2=ac,所以,c 2-a 2-ac=0,即e 2-e-1=0，解得（负值舍去）. 【变式备选】双曲线2222x y 1a b -= (a ＞0,b ＞0)的离心率为2,则2b 13a+的最小值为( ) （A）3 （B）3（C ）2 （D ）1 【解析】选A.因为双曲线的离心率为2，所以ca=2， 即c=2a ，c 2=4a 2； 又因为c 2=a 2+b 2，所以a 2+b 2=4a 2，即，因此22b 13a 11a 3a 3a 3a ++==+≥=当且仅当a=13a ,即. 故2b 13a +的最小值为36.【解析】选B.设双曲线的方程为222211x y 1a b -= (a 1＞0,b 1＞0),椭圆的方程为222222x y 1a b -= (a 2＞0,b 2＞0),由于M,O,N 将椭圆长轴四等分， 所以a 2=2a 1,又e 1=1c a ,e 2=2ca ， 所以1221e a 2.e a == 7.【解析】选C.由抛物线y 2=20x 的焦点坐标为(5,0)，可得双曲线2222x y 1a b-=的一个顶点坐标为（5,0），即得a=5,又由c c e a 5=== 解得. 则b 2=c 2-a 2=254,即b=52，由此可得双曲线的渐近线的斜率为b 1k .a 2=±=±8.【解析】选B.设点P(x 0,y 0)，依题意得，|F 1F 2|==4,12PF F 12001S FF y 2y 22=⨯==△,∴|y 0|=1, 又2200x y 1,3-=∴x 02=3(y 02+1)=6, ∴12PF PF =(-2-x 0,-y 0)²(2-x 0,-y 0)=x 02+y 02-4=3.9.【解析】因为y ′=2x ，所以在点（1，1）处的切线斜率为k=2³1=2，又双曲线2222x y 1a b-=的一条渐近线y=-b a x 与其垂直.所以，（-ba）³2=-1，得a=2b ，∴离心率c e a ====10.【解析】①错误，当k ＞0且k ＜|AB|时，表示以A ，B 为焦点的双曲线的一支；当k ＞0且k=|AB|时，表示一条射线；当k ＞0且k ＞|AB|时，不表示任何图形；当k ＜0时，同上．②错误，P 是AB 中点，且P 到圆心与A 的距离的平方和为定值．故P 的轨迹应为圆．③方程两根为12和2,可以作为椭圆和双曲线的离心率，故正确.④由标准方程易求双曲线和椭圆的焦点坐标都为(0)，故正确. 答案：③④11.【思路点拨】设出双曲线方程，表示出点F,A,B 的坐标，由点M 在圆内部列不等式求解.【解析】设双曲线的方程为2222x y 1a b -= (a>0,b>0)，右焦点F 坐标为F(c,0)，设A （c,2b a ）,B(c,- 2b a )，所以以AB 为直径的圆的方程为()4222b x c y .a-+=又点M （-a,0)在圆的内部， 所以有(-a-c)2+0<42b a,即2222b a c a ac c a ,a+<⇒+<-⇒e 2-e-2>0(e=c a ),解得:e>2或e<-1.又e>1,∴e>2. 答案：(2,+∞)12.【解析】（1）∵∴可设双曲线方程为x 2-y 2=λ(λ≠0).∵过点P （）,∴16-10=λ,即λ=6. ∴双曲线方程为x 2-y 2=6.（2）方法一：由（1）可知，双曲线中∴c=∴F 1(-2(∴12MF MF k k ==1222MF MF m m k k .9123==-- ∵点M(3,m)在双曲线上， ∴9-m 2=6,m 2=3.故12MF MF k k 1,=- ∴MF 1⊥MF 2.∴12MF MF=0.方法二：∵1MF (3m ,=--- ）()2MF 3,m ,=-∴(212MF MF 33m =+⨯-+（=-3+m 2. ∵M(3,m)在双曲线上， ∴9-m 2=6，即m 2-3=0.∴12MF MF=0.（3）△F 1MF 2的底|F 1F 2|=△F 1MF 2的边F 1F 2上的高∴12F MF S △=6.13.【解析】（1）依题意可得A （-1，0），B （1，0）.设双曲线C 的方程为222y x 1b-=（b ＞0），因为双曲线的离心率为5，=b=2.所以双曲线C 的方程为22y x 1.4-= （2）设点P （x 1,y 1）,T(x 2,y 2)(x i ＞0,y i ＞0,i=1,2)，直线AP 的斜率为k （k ＞0）， 则直线AP 的方程为y=k(x+1)，联立方程组()22y k x 1,y x 1.4⎧=+⎪⎨+=⎪⎩ 整理，得（4+k 2）x 2+2k 2x+k 2-4=0，解得x=-1或x=224k 4k -+，所以x 2=224k 4k -+ 同理可得，x 1=224k 4k +-，所以x 1²x 2=1.（3）设点P （x 1,y 1）,T(x 2,y 2)(x i ＞0,y i ＞0,i=1,2),则PA =（-1-x 1,-y 1），PB =（1-x 1,-y 1），因为PA PB ≤15，所以（-1-x 1）（1-x 1）+y 12≤15，即x 12+y 12≤16，因为点P 在双曲线上，则2211y x 14-=， 所以x 12+4x 12-4≤16，即x 12≤4.因为点P 是双曲线在第一象限内的一点， 所以1＜x 1≤2.因为1221S AB y y 2==， 21111S OB y y 22==,所以()()2222221221211S S y y 44x x 14-=-=---=5-x 12-4x 22.由（2）知，x 1²x 2=1，即x 2=11x . 设t=x 12，则1＜t ≤4，22124S S 5t ,t -=-- 设f(t)=5-t-4t,则()()()222t 2t 4f t 1.t t -+'=-+= 当1＜t ＜2时，f ′(t)＞0，当2＜t ≤4时，f ′(t)＜0, 所以函数f(t)在（1，2）上单调递增，在（2，4］上单调递减. 因为f(2)=1,f(1)=f(4)=0，所以当t=4,即x 1=2时，(S 12-S 22)min =f(4)=0， 当t=2，即1x (S 12-S 22)max =f(2)=1. 所以S 12-S 22的取值范围为［0，1］.14.【解析】（1）两圆半径都为2，设圆C 的半径为R ，由已知得两圆心分别为F 1，F 2由题意得R=|CF 1|-2=|CF 2|+2或R=|CF 2|-2=|CF 1|+2,∴||CF 1|-|CF 21F 2|，可知圆心C 的轨迹是以F 1,F 2为焦点的双曲线，设方程为2222x y 1a b-= (a>0,b>0)，则2=c 2-a 2=1,b=1,所以轨迹L 的方程为22x y 1.4-= （2）∵||MP|-|FP||≤|MF|=2,当且仅当PM PF =λ(λ>0)时取“=”,由k MF =-2知直线l MF ：联立22x y 1.4-=并整理得15x 2解得或（舍去），此时).所以||MP|-|FP||的最大值为2，此时点P的坐标为。
【新课标人教A版】2014届高考数学(理)总复习限时规范训练：8.3 圆的方程
第八章 第3讲(时间：45分钟 分值：100分)一、选择题1. [2013·长春模拟]已知点A (1，－1)，B (－1,1)，则以线段AB 为直径的圆的方程是( ) A. x 2＋y 2＝2 B. x 2＋y 2＝ 2 C. x 2＋y 2＝1 D. x 2＋y 2＝4答案：A解析：圆心为(0,0)，半径为2，应选A 项．2. [2013·吉林模拟]圆x 2＋y 2－2x ＋6y ＋5a ＝0关于直线y ＝x ＋2b 成轴对称图形，则a －b 的取值范围是( )A. (－∞，4)B. (－∞，0)C. (－4，＋∞)D. (4，＋∞) 答案：A解析：由题意，得圆心(1，－3)在直线y ＝x ＋2b 上，得b ＝－2，由圆成立的条件可得(－2)2＋62－4×5a >0，解得a <2，∴a －b <4，故选A.3. 过点M (1,2)的直线l 将圆(x －2)2＋y 2＝9分成两段弧，当其中的劣弧最短时，直线的方程是( )A. x ＝1B. y ＝1C. x －y ＋1＝0D. x －2y ＋3＝0 答案：D解析：设圆心为C ，当CM ⊥l 时，圆截l 的弦最短，其所对的劣弧最短，又k CM ＝－2，∴k l ＝12.∴直线l 的方程为y －2＝12(x －1)，即x －2y ＋3＝0.4. [2013·安徽淮北模拟]若圆C 的半径为1，圆心在第一象限，且与直线4x －3y ＝0和x 轴都相切，则该圆的标准方程是( )A. (x －2)2＋(y －1)2＝1B. (x －2)2＋(y －3)2＝1C. (x －3)2＋(y －2)2＝1D. (x －3)2＋(y －1)2＝1 答案：A解析：设圆心坐标为(a ，b )，由题意知a >0，且b ＝1.又∵圆和直线4x －3y ＝0相切，∴|4a －3|5＝1，即|4a －3|＝5，∵a >0， ∴a ＝2.所以圆的方程为(x －2)2＋(y －1)2＝1.5. [2013·海淀检测]点P (4，－2)与圆x 2＋y 2＝4上任一点连线的中点的轨迹方程是( ) A. (x －2)2＋(y ＋1)2＝1 B. (x －2)2＋(y ＋1)2＝4 C. (x ＋4)2＋(y －2)2＝4 D. (x ＋2)2＋(y －1)2＝1 答案：A解析：设圆上任一点为Q (x 0，y 0)，PQ 的中点为M (x ，y )，则⎩⎨⎧x ＝4＋x 02，y ＝－2＋y2，解得⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝2x －4，y 0＝2y ＋2. 因为点Q 在圆x 2＋y 2＝4上，所以x 20＋y 20＝4，即(2x －4)2＋(2y ＋2)2＝4，即(x －2)2＋(y＋1)2＝1.6. [2013·金版原创]若圆O 的半径为3，直径AB 上一点D 使AB →＝3AD →，E 、F 为另一直径的两个端点，则DE →·DF →＝( )A. －3B. －4C. －6D. －8答案：D解析：依题意得，DE →·DF →＝(DO →＋OE →)·(DO →＋OF →)＝(DO →＋OE →)·(DO →－OE →)＝1－9＝－8，故选D.二、填空题7. [2013·东北四校模拟]已知圆C 过点A (1,0)和B (3,0)，且圆心在直线y ＝x 上，则圆C 的标准方程为________．答案：(x －2)2＋(y －2)2＝5解析：由题意可设圆心坐标为(a ，a )，则圆的标准方程为(x －a )2＋(y －a )2＝r 2，∴⎩⎪⎨⎪⎧ (1－a )2＋a 2＝r 2(3－a )2＋a 2＝r 2解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2r 2＝5 故圆C 的标准方程为(x －2)2＋(y －2)2＝5.8. 已知圆C 的圆心与点M (1，－1)关于直线x －y ＋1＝0对称，并且圆C 与x －y ＋1＝0相切，则圆C 的方程为________．答案：(x ＋2)2＋(y －2)2＝92解析：所求圆的圆心为(－2,2)，设圆的方程为(x ＋2)2＋(y －2)2＝r 2(r >0)，则圆心(－2,2)到直线x －y ＋1＝0的距离为r ，得r ＝322，故圆C 的方程为(x ＋2)2＋(y －2)2＝92.9. [2013·温州模拟]若直线2ax ＋by －2＝0(a ，b 为正实数)平分圆x 2＋y 2－2x －4y －6＝0，则2a ＋1b的最小值是________． 答案：3＋2 2解析：圆心为(1,2)，代入直线方程得a ＋b ＝1，则2a ＋1b ＝(2a ＋1b )(a ＋b )＝3＋a b ＋2ba ≥3＋2 2.等号成立的条件为a ＝2－2，b ＝2－1.三、解答题10. 已知圆的方程为(x －m )2＋(y ＋m －4)2＝2. (1)求圆心C 的轨迹方程；(2)当|OC |最小时，求圆C 的一般方程(O 为坐标原点)．解：(1)设C (x ，y )，则⎩⎪⎨⎪⎧x ＝m ，y ＝4－m .消去m ，得y ＝4－x .∴圆心C 的轨迹方程为x ＋y －4＝0.(2)当|OC |最小时，OC 与直线x ＋y －4＝0垂直， ∴直线OC 的方程为x －y ＝0.由⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －4＝0，x －y ＝0，得x ＝y ＝2. 即|OC |最小时，圆心的坐标为(2,2)，∴m ＝2. 圆C 的方程为(x －2)2＋(y －2)2＝2. 其一般方程为x 2＋y 2－4x －4y ＋6＝0.11. [2013·吉林实验中学模拟]已知以点P 为圆心的圆经过点A (－1,0)和B (3,4)，线段AB 的垂直平分线交圆P 于点C 和D ，且|CD |＝410.(1)求直线CD 的方程； (2)求圆P 的方程．解：(1)直线AB 的斜率k ＝1，AB 的中点坐标为(1,2)， ∴直线CD 的方程为y －2＝－(x －1)， 即x ＋y －3＝0.(2)设圆心P (a ，b )，则由P 在CD 上得a ＋b －3＝0.① 又直径|CD |＝410，∴|P A |＝210， ∴(a ＋1)2＋b 2＝40.②由①②解得⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝－3，b ＝6或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝5，b ＝－2.∴圆心P (－3,6)或P (5，－2)．∴圆P 的方程为(x ＋3)2＋(y －6)2＝40或(x －5)2＋(y ＋2)2＝40.12. [2013·绍兴模拟]已知圆C 经过P (4，－2)，Q (－1,3)两点，且在y 轴上截得的线段长为43，半径小于5.(1)求直线PQ 与圆C 的方程；(2)若直线l ∥PQ ，且l 与圆C 交于点A ，B ，且以线段AB 为直径的圆经过坐标原点，求直线l 的方程．解：(1)直线PQ 的方程为：x ＋y －2＝0，设圆心C (a ，b )，半径为r ， 由于线段PQ 的垂直平分线的方程是 y －12＝x －32， 即y ＝x －1，所以b ＝a －1.① 又由在y 轴上截得的线段长为43， 知(a ＋1)2＋(b －3)2＝12＋a 2.② 由①②得：a ＝1，b ＝0或a ＝5，b ＝4. 当a ＝1，b ＝0时，r 2＝13满足题意 当a ＝5，b ＝4时，r 2＝37不满足题意， 故圆C 的方程为(x －1)2＋y 2＝13. (2)设直线l 的方程为y ＝－x ＋m ， A (x 1，m －x 1)，B (x 2，m －x 2)，由题意可知OA ⊥OB ，即k OA ·k OB ＝－1， ∴m －x 1x 1·m －x 2x 2＝－1. 整理得m 2－m (x 1＋x 2)＋2x 1x 2＝0 将y ＝－x ＋m 代入(x －1)2＋y 2＝13 可得2x 2－2(m ＋1)x ＋m 2－12＝0. ∴x 1＋x 2＝1＋m ，x 1x 2＝m 2－122，即m 2－m ·(1＋m )＋m 2－12＝0，∴m ＝4或m ＝－3，∴y ＝－x ＋4或y ＝－x －3.。
【新课标人教A版】2014届高考数学(理)总复习限时规范训练：2.13 定积分与微积分基本定理 Word版含解析]
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第二章第13讲(时间：45分钟 分值：100分)一、选择题1. [2012·黑龙江哈尔滨三模]曲线y＝x2－2x与直线x＋y＝0所围成的封闭图形的面积为( )A. B.C. D.答案：D解析：如图，A(1，－1)，故所求面积为S＝(－x－x2＋2x)d x＝(x2－x3)＝－＝.2. [2013·中山模拟]曲线y＝sin x(－π≤x≤2π)与x轴所围成的封闭区域的面积为( )A. 0B. 2C. －2D. 6答案：D解析：先求[0，π]上的面积：|sin x d x|＝|－cos x||＝2.因为三块区域的面积相等，都是2，故总面积为6.3.如图，已知幂函数y＝x a的图象过点P(2,4)，则图中阴影部分的面积为( )A. B.C. D.答案：B解析：将(2,4)代入y＝x a，得a＝2，所以阴影部分的面积S＝x2d x ＝，选B项．4. 由曲线y＝x2，y＝x3围成的封闭图形面积为( )A. B.C. D.答案：A解析：由得x＝0或x＝1，由图易知封闭图形的面积＝2(x2－x3)d x＝2＝，故选A.5. [2013·东北四校模拟]若(2x＋)d x＝3＋ln2(a>1)，则a的值是( )A. 2B. 3C. 4D. 6答案：A解析：∵(2x＋)d x＝(x2＋ln x)＝a2＋ln a－(12＋ln1)＝a2－1＋ln a.且(2x＋)d x＝3＋ln2.∴a2－1＋ln a＝3＋ln2，∴a＝2，故选A.6. [2013·汕头模拟]设f(x)＝则f(x)d x等于( )A. B.C. D. 不存在答案：C解析：本题画图求解，更为清晰，如图，f(x)d x＝x2d x＋(2－x)d x＝x3＋(2x－x2)＝＋(4－2－2＋)＝.二、填空题7. [2013·金版原创]已知f(a)＝(2ax2－a2x)d x，则f(a)的最大值为________．答案：解析：f(a)＝(2ax2－a2x)d x＝(ax3－a2x2)＝a－a2，∴当a＝时，f(a)取最大值，最大值为.8. 已知f(x)＝3x2＋2x＋1，若－1f(x)d x＝2f(a)，则a＝________.答案：或－1解析：－1f(x)d x＝－1(3x2＋2x＋1)d x＝(x3＋x2＋x)＝4＝2f(a)，f(a)＝3a2＋2a＋1＝2，3a2＋2a－1＝0，a＝－1，或a＝.9. [2013·通化模拟]曲线y＝＋2x＋2e2x，直线x＝1，x＝e和x轴所围成的区域的面积是________．答案：e2e解析：由题意得，所求面积为(＋2x＋2e2x)d x＝＋(2x)d x＋(2e2x)d x＝ln x＋x2＋e2x＝(1－0)＋(e2－1)＋(e2e－e2)＝e2e.三、解答题10. [2013·郑州模拟]已知函数f(x)＝x3＋ax2＋bx＋c的图象如图，直线y＝0在原点处与函数图象相切，且此切线与函数图象所围成的区域(阴影)面积为，求f(x)．解：由f(0)＝0得c＝0，f′(x)＝3x2＋2ax＋b.由f′(0)＝0得b＝0，∴f(x)＝x3＋ax2＝x2(x＋a)，由∫[－f(x)]d x＝得a＝－3.∴f(x)＝x3－3x2.11. 已知f(x)为二次函数，且f(－1)＝2，f′(0)＝0，f(x)d x＝－2，(1)求f(x)的解析式；(2)求f(x)在[－1,1]上的最大值与最小值．解：(1)设f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)，则f′(x)＝2ax＋b.由f(－1)＝2，f′(0)＝0，得，即，∴f(x)＝ax2＋2－a.又f(x)d x＝[ax2＋2－a]d x＝[ax3＋(2－a)x]＝2－a＝－2，∴a＝6，从而f(x)＝6x2－4.(2)∵f(x)＝6x2－4，x∈[－1,1]．∴当x＝0时，f(x)min＝－4；当x＝±1时，f(x)max＝2.12. [2013·石家庄模拟]如图，过点A(6,4)作曲线f(x)＝的切线l；(1)求切线l的方程；(2)求切线l、x轴及曲线f(x)＝所围成的封闭图形的面积S.解：(1)∵f′(x)＝，∴f′(6)＝，∴切线l的方程为：y－4＝(x－6)，即x－2y＋2＝0.(2)令f(x)＝0，则x＝2，令y＝x＋1＝0，则x＝－2.∴S＝－2(x＋1)d x－d x＝(x2＋x)－(4x－8)＝.。
2014高考理科数学一轮复习章节过关检测(新课标,人教A版)9-6双曲线
课时作业(四十九)一、选择题1．(2011年安徽)双曲线2x 2－y 2＝8的实轴长是( )A ．2B ．2 2C ．4D ．4 2解析：原式可化为：x 24－y 28＝1， ∴a 2＝4，∴a ＝2,2a ＝4. 答案：C2．(2011年山东)已知双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的两条渐近线均和圆C ：x 2＋y 2－6x ＋5＝0相切，且双曲线的右焦点为圆C 的圆心，则该双曲线的方程为( )A.x 25－y 24＝1 B.x 24－y 25＝1 C.x 23－y 26＝1D.x 26－y 23＝1解析：圆C ：标准方程(x －3)2＋y 2＝4，圆心(3,0)，∴双曲线右焦点(3,0)，令双曲线渐近线y ＝±ba x 与圆相切，则bx －ay ＝0 ∴|3b |a 2＋b2＝2，∴4a 2＝5b 2，∴选A. 答案：A3．(2012年山东潍坊二模)已知双曲线C ：x 24－y 25＝1的左、右焦点分别为F 1，F 2，P 为C 的右支上一点，且|PF 2|＝|F 1F 2|，则PF 1→·PF 2→等于 ( )A ．24B ．48C ．50D ．56解析：如图所示，|PF 2|＝|F 1F 2|＝6， 由双曲线定义可得，|PF 1|＝10. 在△PF 1F 2中，由余弦定理可得， cos ∠F 1PF 2＝|PF 1|2＋|PF 2|2－|F 1F 2|22|PF 1|·|PF 2|＝102＋62－622×10×6＝56.∴PF 1→·PF 2→＝|PF 1→||PF 2→|cos ∠F 1PF 2＝10×6×56＝50.答案：C4．(2012年东北四校高三模拟)过双曲线的右焦点F 作实轴所在直线的垂线，交双曲线于A ，B 两点，设双曲线的左顶点为M ，若△MAB 是直角三角形，则此双曲线的离心率e 的值为( )A.32 B ．2 C. 2D. 3解析：如图所示，△AMF 为等腰直角三角形， |AF |为|AB |的一半，|AF |＝b 2a . 而|MF |＝a ＋c ， 由题意可得，a ＋c ＝b 2a ，即a 2＋ac ＝b 2＝c 2－a 2，即c 2－ac －2a 2＝0.两边同时除以a 2可得，e 2－e －2＝0，解之得，e ＝2. 答案：B5．(2013届山西大学附属中学高三10月月考)双曲线y 2a 2－x 2b 2＝1(a >0，b >0)的渐近线与抛物线y ＝x 2＋1相切，则该双曲线的离心率等于( )A.52B. 5C. 6D.62解析：可以设切点为(x 0，x 20＋1)，由y ′＝2x ，∴切线方程为：y －(x 20＋1)＝2x 0(x －x 0)即：y ＝2x 0x －x 20＋1，∵已知双曲线的渐近线为：y ＝±ab x ，∴⎩⎪⎨⎪⎧1－x 20＝0±a b＝2x 0，∴x 0＝±1 ∴ab ＝2，∴e ＝ca ＝c 2a 2＝a 2＋b 2a 2＝4b 2＋b 24b 2＝52.答案：A6．已知双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的一条渐近线方程是y ＝3x ，它的一个焦点在抛物线y 2＝24x 的准线上，则双曲线的方程为( )A.x 236－y 2108＝1 B.x 29－y 227＝1 C.x 2108－y 236＝1D.x 227－y 29＝1解析：∵双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的渐近线方程为y ＝±b a x ，∴ba ＝ 3.① ∵抛物线y 2＝24x 的准线方程为x ＝－6， ∴－c ＝－6.② 又c 2＝a 2＋b 2.③由①②③得a ＝3，b ＝3 3.∴a 2＝9，b 2＝27.∴双曲线方程为x 29－y 227＝1.答案：B 二、填空题7．(2011年上海)设m 是常数，若点F (0,5)是双曲线y 2m －x 29＝1的一个焦点，则m ＝________.解析：m ＋9＝25，∴m ＝16. 答案：168．在平面直角坐标系xOy 中，双曲线x 24－y 212＝1上一点M 的横坐标为3，则点M 到此双曲线的右焦点的距离为______．解析：由题意点M 的横坐标可求得为M (3，±15)，双曲线的右焦点的坐标为F 2(4,0)．由两点间的距离公式得 |F 2M |＝(x 2－x 1)2＋(y 2－y 1)2 ＝(3－4)2＋(±15－0)2＝4. 答案：49．(2012年甘肃兰州高三诊断)双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)一条渐近线的倾斜角为π3，离心率为e ，则a 2＋e b 的最小值为________．解析：由题意可得，k ＝b a ＝tan π3＝3， ∴b ＝3a ，则a 2＝b 23，∴e ＝1＋b 2a 2＝2. ∴a 2＋eb ＝b 23＋2b ＝b 3＋2b ≥2 b 3×2b ＝263.答案：263 三、解答题10．设A ，B 分别为双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的左，右顶点，双曲线的实轴长为43，焦点到渐近线的距离为 3.(1)求双曲线的方程；(2)已知直线y ＝33x －2与双曲线的右支交于M 、N 两点，且在双曲线的右支上存在点D ，使OM →＋ON →＝tOD →，求t 的值及点D 的坐标．解：(1)由题意知a ＝23，∴一条渐近线为y ＝b 23x ，即bx －23y ＝0，∴|bc |b 2＋12＝3， ∴b 2＝3，∴双曲线的方程为x 212－y23＝1.(2)设M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)，D (x 0，y 0)， 则x 1＋x 2＝tx 0，y 1＋y 2＝ty 0，将直线方程代入双曲线方程得x 2－163x ＋84＝0， 则x 1＋x 2＝163，y 1＋y 2＝12， ∴⎩⎪⎨⎪⎧x 0y 0＝433，x 2012－y 203＝1，∴⎩⎨⎧x 0＝43，y 0＝3，∴t ＝4，点D 的坐标为(43，3)．11．(2012年合肥联考)已知双曲线的中心在原点，焦点F 1，F 2在坐标轴上，离心率为2，且过点(4，－10)．点M (3，m )在双曲线上．(1)求双曲线方程； (2)求证：MF 1→·MF 2→＝0； (3)求△F 1MF 2面积．解：(1)∵e ＝2，∴可设双曲线方程为x 2－y 2＝λ. ∵过点(4，－10)，∴16－10＝λ，即λ＝6. ∴双曲线方程为x 2－y 2＝6.(2)证明：法一：由(1)可知，双曲线中a ＝b ＝6， ∴c ＝23，∴F 1(－23，0)，F 2(23，0)， ∴k MF 1＝m 3＋23，k MF 2＝m 3－23，k MF 1·k MF 2＝m 29－12＝－m 23.∵点(3，m )在双曲线上，∴9－m 2＝6，m 2＝3， 故k MF 1·k MF 2＝－1，∴MF 1⊥MF 2.∴MF 1→·MF 2→＝0.法二：∵MF 1→＝(－3－23，－m )，MF 2→＝(23－3，－m )， ∴MF 1→·MF 2→＝(3＋23)×(3－23)＋m 2 ＝－3＋m 2，∵M 点在双曲线上，∴9－m 2＝6，即m 2－3＝0， ∴MF 1→·MF 2→＝0.(3)△F 1MF 2的底|F 1F 2|＝43，由(2)知m ＝±3. ∴△F 1MF 2的高h ＝|m |＝3，∴S △F 1MF 2＝6.12．(2011年江西)P (x 0，y 0)(x 0≠±a )是双曲线E ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)上一点，M ，N 分别是双曲线E 的左、右顶点，直线PM ，PN 的斜率之积为15.(1)求双曲线的离心率；(2)过双曲线E 的右焦点且斜率为1的直线交双曲线于A ，B 两点，O 为坐标原点，C 为双曲线上一点，满足OC →＝λOA →＋OB →，求λ的值．解：(1)点P (x 0，y 0)(x 0≠±a )在双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1上，有x 20a 2－y 20b 2＝1 由题意又有y 0x 0－a ·y 0x 0＋a＝15，可得a 2＝5b 2，c 2＝a 2＋b 2＝6b 2，则e ＝c a ＝305 (2)联立⎩⎨⎧x 2－5y 2＝5b2y ＝x －c，得4x 2－10cx ＋35b 2＝0，设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)则⎩⎪⎨⎪⎧x 1＋x 2＝5c2，x 1x 2＝35b 24①设OC →＝(x 3，y 3)，OC →＝λOA →＋OB →，即⎩⎨⎧x 3＝λx 1＋x 2y 3＝λy 1＋y 2又C 为双曲线上一点，即x 23－5y 23＝5b 2，有(λx 1＋x 2)2－5(λy 1＋y 2)2＝5b 2化简得：λ2(x 21－5y 21)＋(x 22－5y 22)＋2λ(x 1x 2－5y 1y 2)＝5b 2②又A(x1，y1)，B(x2，y2)在双曲线上，所以x21－5y21＝5b2，x22－5y22＝5b2由①式又有x1x2－5y1y2＝x1x2－5(x1－c)(x2－c)＝－4x1x2＋5c(x1＋x2)－5c2＝10b2得：λ2＋4λ＝0，解出λ＝0，或λ＝－4.[热点预测]13．(1)设F1，F2分别是双曲线x2a2－y2b2＝1的左、右焦点．若双曲线上存在点A，使∠F1AF2＝90°，且|AF1|＝3|AF2|，则双曲线的离心率为()A.52 B.102C.152 D. 5(2)(2012年济南模拟)已知双曲线C1：x2a2－y2b2＝1(a>0，b>0)的左、右焦点分别为F1、F2，抛物线C2：y2＝2px(p>0)与双曲线C1有相同焦点．C1与C2在第一象限相交于点P，且|F1F2|＝|PF1|，则双曲线的离心率为________．解析：(1)由双曲线的定义||AF1|－|AF2||＝2a，由此得|AF2|＝a，|AF1|＝3a，再由三角形F1AF2为直角三角形，得a2＋(3a)2＝(2c)2，由此得c2a2＝104，故e＝ca＝102.(2)设点P(x0，y0)、F2(c,0)，过P作抛物线C2准线的垂线，垂足为A，连接PF2.由双曲线的定义及|F1F2|＝|PF1|＝2c，得|PF2|＝2c－2a，由抛物线的定义得|P A|＝x0＋c＝2c－2a，∴x0＝c－2a. 在Rt△F1AP中，|F1A|2＝(2c)2－(2c－2a)2＝8ac－4a2，即y20＝8ac－4a2，由题意知p2＝c，∴y2＝2px0＝4c(c－2a)，∴8ac－4a2＝4c(c－2a)，化简得c2－4ac＋a2＝0，即e2－4e＋1＝0(e>1)，解得e＝2＋ 3. 答案：(1)B(2)2＋ 3。
新课标2024年高考数学一轮总复习第八章平面解析几何8_6双曲线课时规范练文含解析新人教A版
8-6 双曲线课时规范练 A 组 基础对点练1．(2024·新余摸底)双曲线x 2a 2－y 24a2＝1(a ≠0)的渐近线方程为( A )A ．y ＝±2x B.y ＝±12xC ．y ＝±4xD.y ＝±2x2．(2024·开封模拟)已知l 是双曲线C ：x 22－y 24＝1的一条渐近线，P 是l 上的一点，F 1，F 2是C 的两个焦点，若PF 1→·PF 2→＝0，则P 到x 轴的距离为( C ) A.233B. 2 C ．2D.263解析：由题意知F 1(－6，0)，F 2(6，0)，不妨设l 的方程为y ＝2x ，则可设P (x 0，2x 0)．由PF 1→·PF 2→＝(－6－x 0，－2x 0)·(6－x 0，－2x 0)＝3x 20－6＝0，得x 0＝±2，故P 到x 轴的距离为2|x 0|＝2，故选C.3．双曲线C ：x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的一条渐近线方程为y ＝2x ，则双曲线C 的离心率是( A )A. 5B. 2 C ．2D.524．(2024·贵阳期末)已知双曲线C 的两个焦点F 1，F 2都在x 轴上，对称中心为原点O ，离心率为 3.若点M 在C 上，且MF 1⊥MF 2，M 到原点的距离为3，则C 的方程为( C ) A.x 24－y 28＝1 B.y 24－x 28＝1 C ．x 2－y 22＝1D.y 2－x 22＝1解析：由题意可知，OM 为Rt △MF 1F 2斜边上的中线，所以|OM |＝12|F 1F 2|＝c .由M 到原点的距离为3，得c ＝ 3.又e ＝c a＝3，所以a ＝1，所以b 2＝c 2－a 2＝3－1＝2.故双曲线C 的方程为x 2－y 22＝1.故选C .5．若双曲线C 1：x 22－y 28＝1与C 2：x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的渐近线相同，且双曲线C 2的焦距为45，则b ＝( B ) A ．2 B.4 C ．6D.86．(2024·德州模拟)在平面直角坐标系中，经过点P (22，－2)且离心率为3的双曲线的标准方程为( B ) A.x 24－y 22＝1B.x 27－y 214＝1 C.x 23－y 26＝1 D.x 214－y 27＝1 解析：由题意得e 2＝1＋⎝ ⎛⎭⎪⎫b a 2＝3，得b 2＝2a 2.当双曲线的焦点在x 轴上时，有8a 2－22a 2＝1，解得a 2＝7，b 2＝2a 2＝14，所以双曲线的标准方程为x 27－y 214＝1；当双曲线的焦点在y 轴上时，有2a 2－82a 2＝1，此方程无解，综上，双曲线的标准方程为x 27－y214＝1，故选B . 7．(2024·高考天津卷)已知双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的焦距为25，且双曲线的一条渐近线与直线2x ＋y ＝0垂直，则双曲线的方程为( A ) A.x 24－y 2＝1 B.x 2－y 24＝1C.3x 220－3y25＝1 D.3x 25－3y220＝1 8．若双曲线E ：x 29－y 216＝1的左，右焦点分别为F 1，F 2，点P 在双曲线E 上，且|PF 1|＝3，则|PF 2|等于( B ) A ．11 B.9 C ．5D.39．(2024·洛阳统考)若圆锥曲线C ：x 2＋λy 2＝1的离心率为2，则λ＝ －13 .解析：由圆锥曲线C 的离心率为2可知该曲线为双曲线，故曲线C 的方程为x 21－y 2－1λ＝1，所以a 2＝1，b 2＝－1λ，所以e 2＝c 2a 2＝1＋b 2a 2＝1－1λ＝4，解得λ＝－13.10．(2024·福州模拟)已知直线y ＝kx －1和双曲线x 2－y 2＝1的右支交于不同两点，则k 的取值范围是 (1，2) .解析：由直线y ＝kx －1和双曲线x 2－y 2＝1联立方程组，消y 得(1－k 2)x 2＋2kx －2＝0. 因为该方程有两个不等且都大于1的根，所以⎩⎪⎨⎪⎧1－k 2≠0，Δ＝4k 2＋81－k 2>0，－k1－k 2>0，1－k 2＋2k －21－k2>0，解得1<k < 2.11．双曲线Γ：y 2a 2－x 2b2＝1(a >0，b >0)的焦距为10，焦点到渐近线的距离为3，则Γ的实轴长等于__8__.12．已知抛物线y 2＝8x 与双曲线x 2a2－y 2＝1(a >0)的一个交点为M ，F 为抛物线的焦点，若|MF |＝5，则该双曲线的渐近线方程为 y ＝±53x .B 组 实力提升练1．已知A ，B 分别为双曲线E 的左，右顶点，点M 在E 上，△ABM 为等腰三角形，且顶角为120°，则E 的离心率为( D ) A. 5 B.2 C. 3D. 2解析：设双曲线方程为x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)，不妨设点M 在第一象限，则|AB |＝|BM |＝2a ，∠MBA ＝120°，作MH ⊥x 轴于H ，则∠MBH ＝60°，|BH |＝a ，|MH |＝3a ，所以M (2a ，3a )．将点M 的坐标代入双曲线方程x 2a 2－y 2b2＝1，得a ＝b ，所以e ＝ 2.故选D.2．(2024·高考全国卷Ⅱ)已知F 1，F 2是双曲线E ：x 2a 2－y 2b 2＝1的左，右焦点，点M 在E 上，MF 1与x 轴垂直，sin ∠MF 2F 1＝13，则E 的离心率为( A )A. 2B.32C. 3D.2解析：设F 1(－c,0)，将x ＝－c 代入双曲线方程，得c 2a 2－y 2b 2＝1，所以y 2b 2＝c 2a 2－1＝b 2a 2，所以y＝±b 2a .因为sin ∠MF 2F 1＝13，所以tan ∠MF 2F 1＝|MF 1||F 1F 2|＝b 2a 2c ＝b 22ac ＝c 2－a 22ac ＝c 2a －a 2c ＝e 2－12e＝24，所以e 2－22e －1＝0，所以e ＝ 2.故选A. 3．设双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的右焦点是F ，左，右顶点分别是A 1，A 2，过F 作A 1A 2的垂线与双曲线交于B ，C 两点．若A 1B ⊥A 2C ，则该双曲线的渐近线的斜率为( C ) A ．±12B.±22C ．±1D.± 2解析：由题意，得A 1(－a,0)，A 2(a,0)，F (c,0)，将x ＝c 代入双曲线方程，解得y ＝±b 2a ，不妨设B ⎝ ⎛⎭⎪⎫c ，b 2a ，C ⎝⎛⎭⎪⎫c ，－b 2a ，则kA 1B ＝b 2ac ＋a ，kA 2C ＝－b 2a c －a ，依据题意，有b 2a c ＋a ·－b 2a c －a ＝－1，整理得b a＝1，所以该双曲线的渐近线的斜率为±1，故选C.4．(2024·广州调研)在平面直角坐标系xOy 中，设F 为双曲线C ：x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的右焦点，P 为双曲线C 的右支上一点，且△OPF 为正三角形，则双曲线C 的离心率为( A ) A ．1＋ 3 B. 3 C.233D.2＋ 3解析：因为△OPF 是正三角形，且|OF |＝c ，所以P ⎝ ⎛⎭⎪⎫12c ，±32c ，把点P 的坐标代入双曲线的方程可得c 24a 2－3c 24b2＝1，化简得e 4－8e 2＋4＝0，解得e 2＝4＋23或e 2＝4－23(舍去)，所以e ＝1＋ 3.故选A .5．设双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(b >a >0)的半焦距为c ，且直线l 过(a,0)和(0，b )两点．已知原点到直线l 的距离为3c4，则双曲线的离心率为( D ) A.223B. 2C. 3D.2解析：由题意得ab ＝34c 2，∴a 2(c 2－a 2)＝316c 4， 整理得3e 4－16e 2＋16＝0， 解得e 2＝4或e 2＝43.又0<a <b ⇒a 2<c 2－a 2⇒c 2>2a 2⇒e 2>2，故e 2＝4.∴e ＝2.6．过双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的右焦点与对称轴垂直的直线与渐近线交于A ，B 两点，若△OAB 的面积为13bc3，则双曲线的离心率为( D ) A.52 B.53 C.132D.133解析：设A (x 0，y 0)，由题意，得x 0＝c ，代入渐近线方程y ＝b a x 中，得y 0＝bc a ，即A ⎝ ⎛⎭⎪⎫c ，bc a ，同理可得B ⎝⎛⎭⎪⎫c ，－bc a ，则12×2bc a ×c ＝13bc 3.整理，得c a ＝133，即双曲线的离心率为133.故选D.7．如图，F 1，F 2分别是双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的左、右焦点，过F 1的直线l 与双曲线的左、右两支分别交于点B ，A .若△ABF 2为等边三角形，则双曲线的离心率为( A )A.7B.4C.233D. 3解析：依题意得|AB |＝|AF 2|＝|BF 2|，结合双曲线的定义可得|BF 1|＝2a ，|BF 2|＝4a ，|F 1F 2|＝2c .依据等边三角形，可知∠F 1BF 2＝120°，应用余弦定理，可得4a 2＋16a 2＋2·2a ·4a ·12＝4c 2，整理得c a＝7，故选A.8．已知P 是双曲线x 23－y 2＝1上随意一点，过点P 分别作双曲线的两条渐近线的垂线，垂足分别为A ，B ，则PA →·PB →的值是( A ) A ．－38B.316C ．－38D.不能确定解析：设P (x 0，y 0)，因为该双曲线的渐近线分别是x3－y ＝0，x3＋y ＝0，所以可取|PA |＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪x 03－y 013＋1，|PB |＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪x 03＋y 013＋1，又cos ∠APB ＝－cos ∠AOB ＝－cos 2∠AOx ＝－cos π3＝－12，所以PA →·PB →＝|PA →|·|PB →|·cos∠APB ＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪x 203－y 2043·⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＝34×⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＝－38，故选A. 9．已知双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)与函数y ＝x 的图象交于点P ，若函数y ＝x 的图象在点P 处的切线过双曲线左焦点F (－2,0)，则双曲线的离心率是( B ) A.5＋12 B. 2 C.3＋12D.32解析：设P (x 0，x 0)，因为函数y ＝x 的导数为y ′＝12x ，所以切线的斜率为12x 0.又切线过双曲线的左焦点F (－2,0)，所以12x 0＝x 0x 0＋2，解得x 0＝2，所以P (2，2)．因为点P在双曲线上，所以4a 2－2b2＝1 ①.又c 2＝22＝a 2＋b 2②，联立①②解得a ＝2或a ＝22(舍)，所以e ＝ca＝22＝2，故选B.10．已知双曲线C ：x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)满意条件：(1)焦点为F 1(－5,0)，F 2(5,0)；(2)离心率为53，求得双曲线C 的方程为f (x ，y )＝0.若去掉条件(2)，另加一个条件求得双曲线C的方程仍为f (x ，y )＝0，则下列四个条件中，符合添加条件的共有( B ) ①双曲线C 上的随意一点P 都满意||PF 1|－|PF 2||＝6； ②双曲线C 的虚轴长为4；③双曲线C 的一个顶点与抛物线y 2＝6x 的焦点重合； ④双曲线C 的渐近线方程为4x ±3y ＝0. A ．1个 B.2个 C ．3个D.4个解析：①由||PF 1|－|PF 2||＝6，得a ＝3，又c ＝5，所以离心率为53，①符合；②中b ＝2，c＝5，a ＝21，此时离心率等于52121，②不符合；③中a ＝32，c ＝5，此时离心率等于103，③不符合；④渐近线方程为4x ±3y ＝0，所以b a ＝43，离心率为53，④符合．故选B.11．(2024·高考浙江卷)设双曲线x 2－y 23＝1的左，右焦点分别为F 1，F 2.若点P 在双曲线上，且△F 1PF 2为锐角三角形，则|PF 1|＋|PF 2|的取值范围是 (27，8) .解析：由题意不妨设点P 在双曲线的右支上，现考虑两种极限状况：当PF 2⊥x 轴时，|PF 1|＋|PF 2|有最大值8；当∠P 为直角时，|PF 1|＋|PF 2|有最小值27.因为△F 1PF 2为锐角三角形，所以|PF 1|＋|PF 2|的取值范围为(27，8)．12．(2024·郑州质检)已知双曲线C ：x 2a 2－y 2b2＝1的右焦点为F ，过点F 向双曲线C 的一条渐近线引垂线，垂足为M ，交另一条渐近线于N ，若2MF →＝FN →，则双曲线C 的渐近线方程为 y ＝±33x . 解析：由题意得双曲线C 的渐近线方程为y ＝±b ax ，F (c ，0)，则|MF |＝b ，由2MF →＝FN →，可得|MF ||FN |＝12，所以|FN |＝2b .在Rt △OMF 中，由勾股定理， 得|OM |＝|OF |2－|MF |2＝a .因为∠MOF ＝∠FON ，所以由角平分线定理可得|OM ||ON |＝|MF ||FN |＝12，|ON |＝2a .在Rt △OMN 中，由|OM |2＋|MN |2＝|ON |2，可得a 2＋(3b )2＝(2a )2,9b 2＝3a 2，即b 2a 2＝13，所以ba＝33， 所以双曲线C 的渐近线方程为y ＝±33x . 13．(2024·湖北八校联考)我国南北朝时期的数学家祖暅提出体积的计算原理(祖暅原理)：“幂势既同，则积不容异”．“势”是几何体的高，“幂”是截面面积．其意：假如两个等高的几何体在同高处的截面面积恒等，那么这两个几何体的体积相等．已知双曲线C 的渐近线方程为y ＝±2x ，一个焦点为(5，0)．直线y ＝0与y ＝3在第一象限内与双曲线及渐近线围成如图所示的图形OABN ，则它绕y 轴旋转一圈所得几何体的体积为__3π__.解析：由题意可得双曲线的方程为x 2－y 24＝1，直线y ＝3在第一象限内与渐近线的交点N 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫32，3，与双曲线在第一象限内的交点B 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫132，3.记y ＝3与y 轴交于点M (0,3)，则π|MB |2－π|MN |2＝134π－94π＝π，依据祖暅原理，可得该几何体的体积与底面面积为π，高为3的圆柱的体积相同，故所得几何体的体积为3π.14．(2024·高考山东卷)已知双曲线E ：x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)．若矩形ABCD 的四个顶点在E上，AB ，CD 的中点为E 的两个焦点，且2|AB |＝3|BC |，则E 的离心率是__2__.解析：如图，由题意不妨设|AB |＝3，则|BC |＝2.设AB ，CD 的中点分别为M ，N ，则在Rt △BMN 中，|MN |＝2c ＝2，故|BN |＝|BM |2＋|MN |2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫322＋22＝52.由双曲线的定义可得2a ＝|BN |－|BM |＝52－32＝1，而2c ＝|MN |＝2，所以双曲线的离心率e ＝2c2a＝2.。
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第八章 第6讲
(时间：45分钟 分值：100分)
一、选择题
1. [2013·福州质检]设F 1、F 2分别是双曲线x 2
－y 2
9
＝1的左、右焦点．若点P 在双曲线上，
且|PF 1|＝5，则|PF 2|＝( )
A. 5
B. 3
C. 7
D. 3或7
答案：D
解析：∵||PF 1|－|PF 2||＝2，∴|PF 2|＝7或3.
2. [2013·柳州月考]若F (5,0)是双曲线x 216－y 2
m ＝1(m 是常数)的一个焦点，则m 的值为( )
A. 3
B. 5
C. 7
D. 9 答案：D
解析：由题意16＋m ＝25，所以m ＝9.
3. 已知m >0，直线y ＝34x 是双曲线x 24－y 2
m 2＝1的渐近线，则m 等于 ( )
A. 3
2 B. 33
2 C. 8
3 D. 163 答案：A
解析：双曲线x 24－y 2m 2＝1的渐近线为x 24－y 2m 2＝0，即y ＝±m 2x ，又m >0，故直线y ＝3
4x 就
是直线y ＝m 2x ，得34＝m 2，所以m ＝3
2
.
4. [2013·东莞调研]已知中心在原点，焦点在y 轴上的双曲线的离心率为5，则它的渐近线方程为( )
A. y ＝±2x
B. y ＝±5
2x
C. y ＝±1
2x
D. y ＝±6x 答案：C
解析：设双曲线的方程为y 2a 2－x 2b 2＝1(a >0，b >0)，∵e ＝c
a
＝5，c ＝a 2＋b 2，∴
a 2＋
b 2
a 2
＝
1＋(b a )2＝5，∴b a ＝2，∴双曲线的渐近线方程为y ＝±a b x ＝±1
2
x ，故选C.
5. [2013·洛阳模拟]过双曲线x 2a 2－y 2
b
2＝1(a >0，b >0)的左焦点F (－c,0)(c >0)，作圆x 2＋y 2＝
a 24的切线，切点为E ，直线FE 交双曲线右支于点P ，若OE →＝12(OF →＋OP →
)，则双曲线的离心率为( )
A. 10
B.
105
C.
10
2
D. 2
答案：C
解析：点F ，A 是双曲线的两个焦点，由OE →＝12
(OF →＋OP →
)可知，点E 是线段FP 的中点，
又点O 是F A 的中点，所以OE ∥P A ，且P A ＝2OE ＝a ，再根据双曲线的定义可知PF －P A ＝2a ，可得PF ＝3a ，所以在直角△PF A 中，有(3a )2＋a 2＝(2c )2，对该式化简可得e ＝
102
. 6. [2013·张家口模拟]设F 1，F 2是双曲线x 2
－y 2
24＝1的两个焦点，P 是双曲线上的一点，
且3|PF 1|＝4|PF 2|，则△PF 1F 2的面积等于 ( )
A. 42
B. 8 3
C. 24
D. 48
答案：C
解析：由P 是双曲线上的一点和3|PF 1|＝4|PF 2|可知，|PF 1|－|PF 2|＝2，解得|PF 1|＝8，|PF 2|＝6，又|F 1F 2|＝2c ＝10，所以△PF 1F 2为直角三角形，所以△PF 1F 2的面积S ＝1
2
×6×8＝24.
二、填空题
7. [2013·保定模拟]已知双曲线C ：x 2a 2－y 2
b 2＝1(a >0，b >0)的离心率e ＝2，且它的一个顶点
到较近焦点的距离为1，则双曲线C 的方程为________．
答案：x 2
－y 2
3
＝1
解析：在双曲线中，顶点与较近焦点距离为c －a ＝1，又e ＝c
a ＝2，两式联立得a ＝1，
c ＝2，∴b 2＝c 2－a 2＝4－1＝3.
∴方程为x 2
－y 2
3
＝1.
8. [2013·沈阳模拟]若P 是双曲线C 1：x 2a 2－y 2
b 2＝1(a >0，b >0)和圆C 2：x 2＋y 2＝a 2＋b 2的一
个交点，且∠PF 2F 1＝2∠PF 1F 2，其中F 1、F 2是双曲线C 1的两个焦点，则双曲线C 1的离心
率为________．
答案：3＋1
解析：由题知，|F 1F 2|为圆C 2的直径，故有∠F 1PF 2＝π
2，在Rt △PF 1F 2中，∠PF 2F 1＝2
∠PF 1F 2.
∴∠PF 1F 2＝π6，∠PF 2F 1＝π
3.
∴|PF 2|＝c ，|PF 1|＝3c . ∴2a ＝|PF 1|－|PF 2|＝(3－1)c . ∴e ＝3＋1.
9. 已知双曲线x 2
－y 23
＝1的左顶点为A 1，右焦点为F 2，P 为双曲线右支上一点，则P A 1→·PF 2
→
的最小值为________．
答案：－2
解析：由题可知A 1(－1,0)，F 2(2,0)，
设P (x ，y )(x ≥1)，则P A 1→＝(－1－x ，－y )，PF 2→＝(2－x ，－y )，P A 1→·PF 2→
＝(－1－x )(2－x )＋y 2＝x 2－x －2＋y 2＝x 2－x －2＋3(x 2－1)＝4x 2－x －5.
∵x ≥1，函数f (x )＝4x 2－x －5的图象的对称轴为x ＝18，∴当x ＝1时，P A 1→·PF 2→取得最小
值－2.
三、解答题
10. [2013·湖州检测]已知双曲线E 的中心为原点，F (3,0)是E 的焦点，过F 的直线l 与E 相交于A ，B 两点，且AB 的中点为N (－12，－15)，求E 的方程．
解：设双曲线的标准方程为x 2a 2－y 2
b 2＝1(a >0，b >0)，
由题意知c ＝3，a 2＋b 2＝9. 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则有：
⎩⎨⎧
x 21a 2－y 21
b
2＝1，x 22a 2
－y
22b 2
＝1，
两式作差，得
y 1－y 2x 1－x 2＝b 2(x 1＋x 2)a 2(y 1＋y 2)＝－12b 2－15a 2＝4b 2
5a 2.
又AB 的斜率是－15－0
－12－3
＝1，
所以将4b 2＝5a 2代入a 2＋b 2＝9，得a 2＝4，b 2＝5. 所以双曲线的标准方程是x 24－y 2
5
＝1.
11. [2013·广州模拟]已知椭圆D ：x 250＋y 2
25＝1与圆M ：x 2＋(y －5)2＝9，双曲线G 与椭圆
D 有相同焦点，它的两条渐近线恰好与圆M 相切，求双曲线G 的方程．
解：椭圆D 的两个焦点为F 1(－5,0)，F 2(5,0)，因而双曲线中心在原点，焦点在x 轴上，且c ＝5.
设双曲线G 的方程为x 2a 2－y 2
b 2＝1(a >0，b >0)，
∴渐近线方程为bx ±ay ＝0且a 2＋b 2＝25. 又圆心M (0,5)到两条渐近线的距离为r ＝3， ∴
|5a |
b 2＋a 2
＝3，得a ＝3，b ＝4. ∴双曲线G 的方程为x 29－y 2
16
＝1.
12. [2013·大连模拟]设A ，B 分别为双曲线x 2a 2－y 2
b 2＝1(a >0，b >0)的左，右顶点，双曲线
的实轴长为43，焦点到渐近线的距离为 3.
(1)求双曲线的方程； (2)已知直线y ＝
3
3
x －2与双曲线的右支交于M 、N 两点，且在双曲线的右支上存在点D ，使OM →＋O N →＝tOD →
，求t 的值及点D 的坐标．
解：(1)由题意知a ＝23， ∴一条渐近线为y ＝b 23
x .
即bx －23y ＝0.∴
|bc |
b 2＋12
＝ 3. ∴b 2
＝3，∴双曲线的方程为x 212－y 2
3＝1.
(2)设M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)，D (x 0，y 0)， 则x 1＋x 2＝tx 0，y 1＋y 2＝ty 0. 将直线方程代入双曲线方程，得 x 2－163x ＋84＝0， 则x 1＋x 2＝163，y 1＋y 2＝12.
∴⎩⎨⎧
x 0y 0＝433，x 20
12－y
20
3＝1.
∴⎩⎨⎧
x 0＝43，y 0＝3.
∴t ＝4，点D 的坐标为(43，3)．。