动态规划问题的知识化数学模型生成器研究_胡祥培

Vol 118,No 12管 理 工 程 学 报Journal of Industrial Engineering P Engineering Management2004年第2期动态规划问题的知识化数学模型生成器研究胡祥培1王旭茵1刘伟国1,胡运权2,钱国明2(1.大连理工大学系统工程研究所,辽宁大连116023;21哈尔滨工业大学管理学院,黑龙江哈尔滨150001)摘要:针对计算机自动生成动态规划模型这一难题,研究了动态规划问题及其模型的知识表示以及相应的知识化信息模型和知识化数学模型,运用积木式建模方法提出了动态规划问题知识化数学模型生成器的结构及其工作原理,并在微机上实现了一个投资决策问题的建模过程。

本项研究为运筹学模型的自动建模开辟了途径。

关键词:运筹学;动态规划;模型生成器;知识表示;积木式建模中图分类号:F22413 文献标识码:A 文章编号:1004-6062(2004)02-0064-07收稿日期:2003-02-20基金项目:国家自然科学基金(70171040、79770022和79400006);高等学校博士点基金(20010141025);辽宁省自然科学基金(2001101074);教育部/高等学校骨干教师资助计划0;中国博士后基金(第20批)资助项目作者简介:胡祥培(1962)),博士后,教授,博导,大连理工大学管理学院副院长兼系统工程研究所副所长。

0 引言动态规划是运筹学的一个重要分枝,为了使计算机在运筹学问题建模与求解模型中能够实现基于知识的推理机制,近年来国内外学者已经把人工智能理论运用于解决运筹学实际应用问题,开展了运筹学的知识化与智能化研究,这是一个很有发展前途的研究方向。

运筹学应用问题的知识表示与基于知识的模型生成方法研究是运筹学应用研究的前沿课题,也是决策支持系统(DSS)领域关注的问题。

该项研究主要涉及三个关键问题:¹实际应用问题的知识表示;º数学模型的知识表示;»基于知识的模型生成方法与建模支持。

对于第一问题,具有代表性的学术观点和方法有:T.P.Liang [1]提出的以实体(entity ))))属性(attribute))))子属性(subattribute)所构成的层次化体系表示问题的方法、汪时萍[2]等人提出的基于语义模型的问题描述语言SM -IPDL 等[11,12],作者在此基础上提出运筹学问题的一种基于知识的树状表示法[3],并由此形成实际问题的知识化信息模型。

这一方法在问题可辨识性、问题描述结构的可扩性、信息搜索与处理效率、知识推理效率等方面取得了一定的进步。

对于第二个问题,八十年代以来国内外学者对此进行了较为系统和深入的研究,主要成果和方法有:p helps [4]的类比表示(Analogu representation)与联想网络、Dolk [5]的模型抽象(model abstraction)表示法、王红卫[6]的基于框架和算子的模型知识表示法等等[13,14],它们在模型要素的独立性、关联性、推理能力与符号化知识的处理方面已取得了很大进展,但它们还难以恰当描述具有动态状态转移特征的运筹学规划模型。

为此,作者以颇具代表性的动态规划模型为研究对象,提出了动态规划模型知识表示的新方法)))IGOTDS 表示法[7],形成了动态规划问题的知识化数学模型,较好地解决了状态转移方程、递推方程等动态规划模型要素的知识表示问题,并使计算机求解该类模型具备了基于知识的推理能力。

对于第三个问题,目前的研究工作主要集中在利用建模知识库中拥有的领域知识(domain knowledge)演绎推理生成相应的模型,如结构化建模方法[8][15]、基于Petri 网的建模方法[9][16]等等,它们在一定范围内得到了初步应用。

由于运筹学数学模型具有动态的状态转移特性,因此运筹学问题的知识化数学模型以及知识化信息模型在描述方式及模型结构等方面也就具有特殊性。

如何把运筹学实际问题的知识化信息模型转化成一种知识化的数学模型,这是运筹学智能化应用研究中一个急待解决的核心问题,解决这一问题的思路是建立一个基于积木式建模方法的知识化数学模型生成器。

本文以运筹学的主要分枝)))动态规划问题为研究对象,阐述其知识化数学模型生成器的原理与结构。

2 动态规划问题的公式化数学模型及其知识化数学模型211 动态规划问题的公式化数学模型无论是离散型动态规划模型还是连续型动态规划模型,它们都由七部分构成[10]:¹阶段的划分;º各阶段的状态变量;À各阶段的决策变量;¼允许决策集合;½状态转移方程;¾递推关系式(递推方程);¿边界条件。

现以例1所示的动态规划实际应用问题为例,阐述其公式化数学模型的构成。

)64)(例1)投资决策问题:某公司准备投入3千万元资金对所属3个工厂进行技术改造,投资金额分为0、1、2、3千万元四种额度,经测算得知,每个工厂的投资额与技术改造之后每年新增的效益如下表所示(表1):表1投资与年新增效益表单位:千万元投资额工厂0123工厂10015112210工厂20014113212工厂30016114118问如何在3个工厂之间进行投资分配,使得总的年新增收益值最大?这是一个三个阶段的动态规划问题,其公式化数学模型如下:(1)阶段的划分:设k为阶段变量。

将确定工厂k投资额的决策定为第k阶段,k=1,2,3。

(2)各阶段的状态:状态变量用xk表示,k=1,2,3。

本例中状态变量的取值为各阶段初可用的投资资金额。

(3)各阶段的决策变量:第k阶段的决策变量用u k表示(k=1,2,3),其值表示对工厂k的投资额。

(4)允许决策集合Dk (xk):Dk(xk)={0,1,2,3}n{0[uk[x k}(5)状态转移方程:x k+1=x k-u k,k=1,2,3(6)递推关系式:fk (xk)=maxu k I D k(x k){vk(xk,uk)+fk+1(xk+1)}其中v k(x k,u k)为阶段指标函数,本例中其值为k阶段工厂k的年新增效益值。

(7)边界条件:f4(x4)=0上述公式化数学模型由于结构复杂、难以在计算机中表示状态转移方程及递推关系式和实现基于知识的推理过程(如符号化极值和导数等),从而导致至今还没有通用的求解动态规划模型的计算机程序。

解决这一问题的根本出路在于采用基于知识的模型表示法来描述动态规划模型。

212动态规划问题的知识化数学模型根据动态规划问题的决策过程特点可知,动态规划问题的最优解对应于状态空间图中始点至目标结点的一条最佳路径,因此,动态规划模型可以用一种基于知识模型表示法)))IGOTDS法[7]进行描述,它用一个六元组来描述一个动态规划模型,由此而形成的基于知识的数学模型称之为动态规划问题的知识化数学模型。

动态规划模型M可以表示为一个六元组:M=(I,G,O,T,D,S)(3)其中:I)))初始状态(ini tial state)的集合,用于描述状态转移图的初始节点;G)))目标状态(goal state)的集合,用于描述状态转移图的目标节点;O)))状态转换的操作(operate)集合,用于描述动态规划模型的允许决策集合;T)))状态转换(transition)规则的集合,用于描述动态规划模型的状态转移方程;D)))基本数据(data)的集合,用于描述阶段指标函数和边界条件等:S)))在问题的状态空间中寻找最佳路径(动态规划模型最优解)的搜索与推理策略(search and inference policy)的集合,用于描述动态规划模型的递推方程以及基于R.Bellman 最优化原理的模型求解搜索与推理策略;在六元组M=(I,G,O,T,D,S)中,集合I、G、O、D用一阶谓词描述,集合T和S均采用产生式规则(productionrole)来描述。

例1所示的动态规划问题的公式化数学模型可用IGOTDS表示法进行描述。

用谓词own(stage,money)表示某阶段初拥有的投资资金额;用谓词invest(stage,money,number_of_ i nvest)表示某阶段stage拥有的投资资金数量为money,而对相应的工厂进行投资所采用的投资额为number_of_invest;用谓词V(stage,money,number_of_invest,value_of_stage)表示对应于某阶段某种状态采用某种投资额所获得的阶段指标函数值(一个阶段的效益值);用谓词f(stage,money,value_of_ process)表示对应于某一阶段的某种状态选取最优投资子策略之后得到的过程的指标函数值(即最优指标函数值)。

则例1对应的动态规划公式化数学模型可描述成下列知识化数学模型:(1)初始状态集合:own(1,3)(2)目标状态集合:Own(4,0).(3)操作/决策集合:invest(1,3,0).,,invest(3,0,0).(4)状态转换规则集合¹:IF invest(1,3,0)THE N Own(2,3).,,IF invest(3,0,0) THE N Own(4,0).(5)基本数据集合:V(1,3,0,0).,,V(3,0,0,0).f(4,0,0).(6)搜索与推理策略集合:例1属于离散型动态规划问题,其模型求解的搜索与推理策略将采用一种名为IB FS的搜索算法[7]。

3动态规划问题的知识化信息模型采用运筹学规划问题基于知识的树状表示法[3],例1所述的投资问题的信息可以归结成为一种层次化的树状结构,其问题描述树如图1所示:)65)Vol118,No12管理工程学报2004年第2期¹不同的程序语言表示规则的形式可能不同,Prolog语言采用o wn(2,3):-invest(1,3,0)的形式表示规则。

图1 投资问题的问题描述树结构图问题描述树反映的是问题有关信息的一种逻辑结构,它还需要用具体的计算机语言加以描述才便于在计算机内实现存储,形成一个可执行程序。

此可执行程序由于是一种基于知识的描述相应问题原始信息的语言模型,故可称之为问题的知识化信息模型。

图1所示的问题描述树所对应的知识化信息模型的结构如图2所示:图2 投资问题信息模型结构图(程序结构图)根据图2所示的程序结构,采用Turbo Prolog 语句,该投资问题知识化信息模型的程序语句如下:clausesP *the s tructure of Message Model for investment problem *P message of investment contain([/aspect of investment stage 0,/aspect of investment 0,/aspect of investment profits 0,/aspect of problem object 0]).P *the paragraphs which every aspects con tains *P aspect of i nvestment s tage con tain([/paragraph of inves tmen t stage 0]).aspect of i nvestment contain([/paragraph of investment kind 0,/paragraph of inves tmen t number 0])aspect of i nvestment profi ts contain([paragraph of profits~.for every stage]).aspect of problem object con tain([/paragraph of problem object 0]).P *The facts of every paragraphs *PP *the facts in paragraph of investment s tage *P stage(3).P *the facts in paragraph of investment kind *P investment kinds(4).P *the facts in paragraph of investment nu mber *P total investment(3).kinds investment(1,0).kinds investment(2,1).kinds investment(3,2).kinds investment(4,3).P *the facts in paragraph of investment profits *P profit(1,0,0).profit(3,3,1.8)。