矩阵单元综合测试题

矩阵单元综合测试题

一、填空题(每小题1分，满分14分)

1. 设A , B 是数域F 上的两个矩阵，如果 A 与B 能够相加，则A 与B 必是同型矩阵。

2. 设A,B,C 为n 阶方阵且可逆，则当 AB=C 时，B=A 「C .

3. 若A 式0,B 式0,则AB 可能等于0.

4. 设A,B 是数域F 上的两个n 阶可逆矩阵，下列矩阵kA, AB, B,

A T B,A *

B *中一定可逆的有 AB .,A T B 和A *B *.

1 3 0

5. 三阶初等矩阵「2(3)是010 j o

<0 0 1；

6.设A 是数域F 上的n 阶方阵，f (X )二a 。• a 〔x 」• a “x n ,则 f(A)是数域F 上的n 阶方阵，且f (A)二a °l

a n A n .

7. 若A 为对合矩阵(即A 2 = I ),则A 一定可逆，且A —1 = A.

9. 若 AA * = A *A = |AI,且 A 丰 0,则A -1

10. 设A 是n 阶矩阵，贝y A 可逆的充要条件r(A)=n 、或IA = 0 或 山L1或A 可以表示成一些初等矩阵的乘积

。

11. 设 a =(1,2,3,2), A = a T a ,其中 “ 丁是。的转置，贝 y A =0, r(A)=1

广

1 1 -r

z

0 0 -1)

12.设 A = 0 -1 1

,A 2

-AB= I,贝怕= 0 0 0

<0 0 1丿

<0 0 0丿

8.若A 的秩为r,则A 的标准型为

<0

1 * * _1

1

= A A ，(A) *

13. 如果向量组'「「2厂「s'线性无关，那么它的任意一个非空部分组线性无关；如果ir 2厂「s'中有一部分向量线性相关，那么整个向量组*1厂2厂厂二' 线性相关。

14. 设向量组■ ir' 2「3、线性无关，向量组心1「2「可由向量组二「2「3'线性表出，且

十:i 4 2「3「2 = 2：「： 2 - ：3「3 八 1 -

,

3：3

则向量组''I, -2, ^：>线性无关。

二、判断题(每小题1分，满分14分)

1. 若方阵A对任意的同阶方阵B都有AB=B则必有A=I。(V)

2. 设A mn 0, B n p 0,则AB 0. (X)

3. 设A,B 为n阶方阵，则有(A • B)2二A2 2AB B2. (X)

4. 若AB=AC 且A M0,贝U B=C (X)

5. 上(下)三角矩阵可逆的充要条件是它的所有主对角线上的元

素都是非零数。(V)

6. 可逆的对称矩阵的逆矩阵仍是对称矩阵。(V)

7. 设T j(k)是第三类初等矩阵，则有T j(k)T =Tj (-k). (V)

8. 若r(A)=r,则A至少有一个r-1阶子式不等于零。(V)

9. AB=B的充要条件是A=I。(X)

'A 0、

10. 对于分块矩阵C= 口，必有r(C)=r(A)+r(B). ( V)

<0 B丿

11. 若A+B 与A-B 均可逆，则 A , B 一定可逆。 (X) 12. 可逆矩阵与不可逆矩阵之和必为不可逆矩阵。 (X)

13. 设向量组:

2「3「4线性无关，则组〉1」2「2

〉3,

>3

4

，〉4 * 1 的秩为 3.

( V)

14. 设-i

= (a il

, a i2

,a i3

,a i4

,a i5

), 1,2,3

； 一 j 二

(a i j

,a 2j

, a 3j

),

j

「23.如果-1^ 2< 3线性相关，贝「1「2, ' 3线性相关。(V)

三、单项选择题(每小题 2分，满分24分)

1. 下列结论正确的是(C )

(A) 两个矩阵可相加一定可乘； (B) 两个矩阵可乘一定可相加；

(C) 两个矩阵既可相加又可相乘，这两个矩阵一定是方阵； (D) 在M m n (F)中可普遍施行矩阵的加法和乘法。

2. 以下结论正确的只有(B )

(A) 初等矩阵的逆矩阵是本身；

(B) 初等矩阵的逆矩阵是同类初等矩阵； (C) 初等矩阵的乘积仍是初等矩阵；

(D) 任一个n 阶矩阵都可以写成初等矩阵的乘积形式。

3. 下列结论不正确的是(D )

(A) n 阶矩阵M 可逆的充要条件是|M 式0 ； (B)

n 阶矩阵M 可逆的充要条件是存在可逆矩阵

P 使得MP=I;

(C) n 阶矩阵M 可逆的充要条件是它可以表成初等矩阵的乘积；

(D)n阶矩阵M可逆的充要条件是它可以表成初等矩阵的和。

4.设A,B均为F上的可逆矩阵，贝U( B)

(A) (AB)二 AB (B) (AB)" = B'1(^1) (C) (A B)，二 A B 1

(D) (kA)，二 kA -1

(k - 0)

'cosa -sin 。'

5 •矩阵M cosa 丿的伴随矩阵是（A ）

6. 设A , B 为n 阶矩阵，且A 可逆，秩B=r

(A) k

7. 已知n 阶方阵等于零的元素个数多于 n^n 个（位置不论），则 必有（C ）

(A ) r(A)=0;

(B) r(A)=n-1;

(C) r(A)

可能等于 n.

8. 设A ，B 是任意n 阶方阵，贝U ( D )

(A ) r(AB)=max{r(A),r(B)}; (B) r(AB)=min{r(A),r(B)};

(C) r(AB)=r(BA) (D)

以上三个结论都不正确。

9.设3阶方阵A 的行列式 ^^A -1为A 的逆矩阵，A *为A

*

1 的伴随矩阵，贝y A -(2A )-1=(D ).

27 27

(A ) 0; (B ) -3 ; (C )

— ;

(D ) ■ "4 ;

(A )

cos 口 <-sin 。 sin :

cos

： ‘COs

a

(B )

-sin ：

(C ) ‘Cosa

isin 。 -sin :

-cos- (D ) cos 。

<-sina cos-