1.3.3函数的最大(小)值与导数2(导学案)
教学设计7：1.3.3 函数的最大（小）值与导数（二）
1．3.3 函数的最大(小)值与导数(二)教学目标 1.理解极值与最值的关系，并能利用其求参数的范围.2.能利用导数解决一些简单的恒成立问题． 教学梳理知识点 用导数求函数f (x )最值的基本方法 (1)求导函数：求函数f (x )的导函数f ′(x )；(2)求极值嫌疑点：即f ′(x )不存在的点和f ′(x )＝0的点；(3)列表：依极值嫌疑点将函数的定义域分成若干个子区间，列出f ′(x )与f (x )随x 变化的一览表； (4)求极值：依(3)的表中所反应的相关信息，求出f (x )的极值点和极值； (5)求区间端点的函数值；(6)求最值：比较极值嫌疑点和区间端点的函数值后，得出函数f (x )在其定义域内的最大值和最小值. 教学案例类型一 由极值与最值关系求参数范围例1 若函数f (x )＝3x －x 3在区间(a 2－12，a )上有最小值，则实数a 的取值范围是( ) A ．(－1，11) B ．(－1,4) C ．(－1,2] D ．(－1,2)【答案】C【解析】由f ′(x )＝3－3x 2＝0，得x ＝±1. 当x 变化时，f ′(x )，f (x )的变化情况如下表：由此得a 2－12<－1<a ，解得－1<a <11. 又当x ∈(1，＋∞)时，f (x )单调递减， 且当x ＝2时，f (x )＝－2.∴a ≤2. 综上，－1<a ≤2.教学反思 函数在开区间内存在最值，则极值点必落在该区间内．跟踪训练1 若函数f (x )＝x 3－6bx ＋3b 在(0,1)内有最小值，则实数b 的取值范围是( ) A ．(0,1) B ．(－∞，1) C ．(0，＋∞) D.⎝⎛⎭⎫0，12 【答案】D【解析】由题意得，函数f (x )＝x 3－6bx ＋3b 的导数f ′(x )＝3x 2－6b 在(0,1)内有零点， 且f ′(0)<0，f ′(1)>0，即－6b <0，且(3－6b )>0， ∴0<b <12，故选D.类型二 与最值有关的恒成立问题例2 已知函数f (x )＝x 3＋ax 2＋bx ＋c 在x ＝－23与x ＝1处都取得极值．(1)求a ，b 的值及函数f (x )的单调区间；(2)若对x ∈[－1,2]，不等式f (x )<c 2恒成立，求实数c 的取值范围． 解 (1)由f (x )＝x 3＋ax 2＋bx ＋c ， 得f ′(x )＝3x 2＋2ax ＋b ，因为f ′(1)＝3＋2a ＋b ＝0，f ′⎝⎛⎭⎫－23＝43－43a ＋b ＝0， 解得a ＝－12，b ＝－2，所以f ′(x )＝3x 2－x －2＝(3x ＋2)(x －1)，令f ′(x )＝0，得x ＝－23或x ＝1，当x 变化时，f ′(x )，f (x )的变化情况如下表：所以函数f (x )的单调递增区间为⎝⎛⎭⎫－∞，－23，(1，＋∞)；单调递减区间为⎝⎛⎭⎫－23，1. (2)由(1)知，f (x )＝x 3－12x 2－2x ＋c ，x ∈[－1,2]，当x ＝－23时，f ⎝⎛⎭⎫－23＝2227＋c 为极大值， 因为f (2)＝2＋c ，所以f (2)＝2＋c 为最大值． 要使f (x )<c 2(x ∈[－1,2])恒成立，只需c 2>f (2)＝2＋c ， 解得c <－1或c >2.故实数c 的取值范围为(－∞，－1)∪(2，＋∞)． 教学反思 分离参数求解不等式恒成立问题的步骤跟踪训练2 (1)已知函数f (x )＝2x ln x ，g (x )＝－x 2＋ax －3对一切x ∈(0，＋∞)，f (x )≥g (x )恒成立，则a 的取值范围是________． 【答案】(－∞，4]【解析】由2x ln x ≥－x 2＋ax －3， 得a ≤2ln x ＋x ＋3x.设h (x )＝2ln x ＋3x＋x (x >0)．当x ∈(0,1)时，h ′(x )<0，h (x )单调递减， 当x ∈(1，＋∞)时，h ′(x )>0，h (x )单调递增． ∴h (x )min ＝h (1)＝4. ∴a ≤4.(2)设L 为曲线C ：y ＝ln xx 在点(1,0)处的切线．①求L 的方程；②证明：除切点(1,0)之外，曲线C 在直线L 的下方． ①解 设f (x )＝ln xx ，则f ′(x )＝1－ln xx 2，所以f ′(1)＝1，所以L 的方程为y ＝x －1.②证明 设g (x )＝x －1－f (x )，除切点外，曲线C 在直线L 的下方等价于∀x >0且x ≠1，g (x )>0. g (x )满足g (1)＝0，且g ′(x )＝1－f ′(x )＝x 2－1＋ln x x 2.当0<x <1时，x 2－1<0，ln x <0， 所以g ′(x )<0，故g (x )在(0,1)上单调递减； 当x >1时，x 2－1>0，ln x >0， 所以g ′(x )>0，故g (x )在(1，＋∞)上单调递增；所以，∀x >0且x ≠1，g (x )>g (1)＝0. 所以除切点外，曲线C 在直线L 的下方. 当堂检测1．函数f (x )＝x e －x ，x ∈[0,4]的最大值是( ) A ．0 B.1e C.4e 4 D.2e 2【答案】B【解析】f ′(x )＝e －x －x e －x ＝e －x (1－x )， ∴当0≤x ≤1时，f ′(x )≥0，f (x )单调递增， 当1≤x ≤4时，f ′(x )≤0，f (x )单调递减， ∴当x ＝1时，f (x )max ＝f (1)＝1e .故选B.2．函数f (x )＝x ln x 的最小值为( ) A ．e 2 B ．－e C ．－e －1 D ．－103【答案】C【解析】∵f (x )＝x ln x ，定义域是(0，＋∞)， ∴f ′(x )＝1＋ln x ， 令f ′(x )>0，解得x >1e ，令f ′(x )<0，解得0<x <1e，∴函数在⎝⎛⎭⎫0，1e 上单调递减，在⎝⎛⎭⎫1e ，＋∞上单调递增， 故当x ＝1e 时，函数取最小值－1e，故选C.3．已知函数f (x )＝e x －x ＋a ，若f (x )>0恒成立，则实数a 的取值范围是( ) A ．(－1，＋∞) B ．(－∞，－1) C ．[－1，＋∞) D ．(－∞，－1]【答案】A【解析】f ′(x )＝e x －1， 令f ′(x )>0，解得x >0， 令f ′(x )<0，解得x <0，故f (x )在(－∞，0)上单调递减，在(0，＋∞)上单调递增， 故f (x )min ＝f (0)＝1＋a ， 若f (x )>0恒成立，则1＋a >0，解得a >－1，故选A.4．已知函数f (x )＝x 3－3x 2＋2，x 1，x 2是区间[－1,1]上任意两个值，M ≥|f (x 1)－f (x 2)|恒成立，则M 的最小值是________． 【答案】4【解析】f ′(x )＝3x 2－6x ＝3x (x －2)， 当－1≤x <0时，f ′(x )>0，f (x )单调递增， 当0<x ≤1时，f ′(x )<0，f (x )单调递减，所以当x ＝0时，f (x )取得极大值，也为最大值，f (0)＝2， 又f (－1)＝－2，f (1)＝0， 所以f (x )的最小值为－2， 对[－1,1]上任意x 1，x 2， |f (x 1)－f (x 2)|≤f (x )max －f (x )min ＝4，所以M ≥|f (x 1)－f (x 2)|恒成立，等价于M ≥4，即M 的最小值为4.5．已知函数f (x )＝ax 4ln x ＋bx 4－c (x >0)在x ＝1处取得极值－3－c ，其中a ，b ，c 为常数． (1)试确定a ，b 的值； (2)讨论函数f (x )的单调区间；(3)若对任意x >0，不等式f (x )≥－2c 2恒成立，求实数c 的取值范围． 解 (1)由f (x )在x ＝1处取得极值－3－c 知f (1)＝b －c ＝－3－c ，得b ＝－3. 又f ′(x )＝4ax 3ln x ＋ax 4·1x ＋4bx 3＝x 3(4a ln x ＋a ＋4b )，由f ′(1)＝0，得a ＋4b ＝0，a ＝－4b ＝12. (2)由(1)知f ′(x )＝48x 3ln x (x >0)． 令f ′(x )＝0，得x ＝1.当0<x <1时，f ′(x )<0，f (x )为减函数； 当x >1时，f ′(x )>0，f (x )为增函数．因此，f (x )的单调递减区间为(0,1)，单调递增区间为(1，＋∞)．(3)由(2)知f (1)＝－3－c 既是极小值，也是(0，＋∞)内的最小值，要使f (x )≥－2c 2(x >0)恒成立，只需－3－c ≥－2c 2，即2c 2－c －3≥0.从而(2c －3)(c ＋1)≥0，解得c ≥32或c ≤－1.故实数c 的取值范围为(－∞，－1]∪⎣⎡⎭⎫32，＋∞.。
函数的最大(小)值与导数教案
§1.3.3 函数的最大（小）值与导数教学目标1．知识和技能目标（1）弄清函数最大值、最小值与极大值、极小值的区别与联系，理解和熟悉函数)(x f 必有最大值和最小值的充分条件。
（2）掌握求在闭区间],[b a 上连续的函数)(x f 的最大值和最小值的方法和步骤。
（3）复习巩固求函数最值的其他方法，例如单调性，基本不等式等。
2．过程和方法目标（1）问题驱动，自主探究，合作交流。
（2）培养学生在生活中学习数学的方法。
3．情感和价值目标（1）通过观察认识到事物的表象与本质的区别与联系．（2）培养学生观察事物的能力，能够自己发现问题，分析问题并最终解决问题．（3）提高学生的数学能力，培养学生的创新精神、实践能力和理性精神． （4）通过学生的参与，激发学生学习数学的兴趣。
教学重点与难点重点：求闭区间上连续可导的函数的最值的求解，理解确定函数最值的方法，并联系函数单调性的应用。
难点：求函数的最值的方法的提炼，同时让有余力的学生了解函数的最值与极值的区别与联系教学方法发现探究式、启发探究式本节课教学基本流程： 复习检查→情境导入、展示目标→合作探究、精讲点拨→反思总结、当堂检测→布置作业、课后升华教学过程设计量的数学信息，达到前呼后应的目的。
六、课堂练习见PPT深化检查学生运用知识解决问题的能力，学生课堂解决，发现问题，及时纠正，力求课堂效果达到更好。
七、课堂小结（一）、求函数最值的一般方法：1、利用不等式2、利用函数的图像与性质3、利用导数（二）、本节课获得了哪些数学思想与方法？通过课堂小结，深化对知识的理解，完善认识结构，领悟思想方法，强化情感体验，提高认识能力。
复习以前学习的求函数最值的方法，接着师生共同小结本节课所感所悟，力求将知识点连成面。
八、课后作业1、思考题：已知函数axxxf+-=2362)(在[－2，2]上有最小值－37，1）求实数a的值；2）求)(xf在[－2，2]上的最大值。
【教学设计】公开课 函数的最大(小)值与导数
1.3.3 函数的最大（小）值与导数一、【教学目标】重点: 求函数最值的方法.难点：函数存在最值的的条件；求函数最值的方法.知识点：理解函数最值的特点；掌握函数存在最值的的条件及用导数求函数最值的方法.能力点：通过引导学生观察、归纳,培养学生的观察能力和归纳能力.教育点：通过以学生为主体的教学方法,让学生自己探究函数最值的求法,发展体验获取知识的感受.自主探究点：通过“会观察”,“敢归纳”,“善建构”,培养学生自主学习,勇于创新的精神.考试点：求函数最值的方法.易错易混点：极值和最值的区别与联系.拓展点：通过函数的最大（小）值与导数教学,建立概念间的多元联系,培养同学们多角度审视问题的习惯.二、【复习回顾】【师生活动】（1）师:好美的图片啊,这里的山高低起伏，层峦叠嶂，你能用两句诗形容这里的山吗?生:横看成岭侧成峰,远近高低各不同.（2）师:我们从图片上提炼出来一段图象,观察闭区间],[b a 上函数)(x f y 的图象,找出它的极大值点,极小值点.生:极大值点：642,,x x x 极小值点：531,,x x x 【设计意图】利用课件的生动性激发学生的学习兴趣.师:我们在图象上取一个闭区间],[d c ，以这一段为例，你能说出极大值的定义吗?这里的极大值也是最大值，那你能再说一下最值的定义吗? 【设计意图】温故而知新,通过学生回答,为本节课的学习作铺垫.教师总结：极值是一个局部概念,极值只是某个点的函数值与它附近点的函数值比较是最大或最小,并不意味着它在函数的整个的定义域内最大或最小.在社会生活实践中,为了发挥最大的经济效益,常常遇到如何能使用料最省、产量最高,效益最大等问题,这些问题的解决常常可转化为求一个函数的最大值和最小值问题函数在什么条件下一定有最大、最小值?它们与函数极值关系如何?这就是我们这一节课的主要内容----函数的最大（小）值与导数. 【设计意图】 通过教师总结,引出最值及本节课的课题. 三、【探究新知】探究一：函数在区间],[d c 上有最大值、最小值吗?如果有，分别在什么位置取最值?探究二：函数在区间]c上有最大值、最小值吗?如果有，分别在什么位[d,置取最值?探究三：函数在区间]c上还有最大值、最小值吗?如果有，分别又在什,[d么位置取最值?四、【理解新知】师：通过三个探究，我们来思考总结下面两个问题：思考1：你能从自变量的范围和图象的角度说明函数在什么情况下有最值吗?（学生分组讨论，完成总结）学生回答，教师板书：最值存在性定理：一般地，如果在区间]f(xy 的图象是一条连续不断的曲,a上函数)[b线，那么它必有最大值和最小值。
高中数学 1.3.3 函数的最大(小)值与导数导学案 新人教A版选修2-2
§1.3.2 函数的极值与导数学习目标：1、能够区分极值与最值两个不同的概念；2、会求闭区间上函数的最大值、最小值（其中多项式函数一般不超过三次）。
一、主要知识：1、函数()f x 在闭区间[],a b 上的最值：如果在闭区间[],a b 上函数()y f x =的图象是一条 的曲线，则该函数在[],a b 上一定能取得 和 ，并且函数的最值必在 或 取得。
2、求函数()y f x =在闭区间[],a b 上的最值的步骤：（1）求函数()y f x =在(),a b 的 ；（2）将函数()y f x =的 与 比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值。
二、典例分析：〖例1〗：求下列各函数的最值：（1）()[]32362,1,1f x x x x x =-+-∈-；（2）()[]0,4f x x x =+∈。
〖例2〗：设213a <<，函数()3232f x x ax b =-+在区间[]1,1-上的最大值为1，最小值为的解析式。
〖例3〗：设函数()22()21,0f x tx t x t x R t =++-∈>。
（1）求()f x 的最小值()h t ；（2）若()2h t t m <-+对()0,2t ∈恒成立，求实数m 的取值范围。
三、课后作业：1、函数()3223125f x x x x =--+在区间[]0,3上的最大值和最小值分别是（ ）A 、5,15-B 、5,4-C 、4,15--D 、5,15--2、函数()[],0,4x f x x e x -=⋅∈的最大值为（ ）A 、0B 、1eC 、44eD 、22e 3、已知函数()223f x x x =--+在[],2a 上的最大值为154，则a =（ ） A 、32- B 、12 C 、12- D 、12-或32- 4、若函数()1sin sin 33f x a x x =+在3x π=处有最值，则a =（ ）A 、2B 、1CD 、0 5、当0,2x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，函数()()sin f x tx x t R =-∈的值恒小于零，则t 的取值范围是（ ） A 、2t π≤ B 、2t π≤ C 、2t π≥ D 、2t π< 6、点P 是曲线2ln 2y x =-上任意一点，则点P 到直线y x =-的最小距离为（ ）A 、4 B 、4 C D 7、函数()3243365f x x x x =+-+在)2,-+∞上的最大值为 ，最小值为 。
1.3.3函数的最大(小)值与导数学案.doc
1.3.3函数的最大（小）值与导数【学习目标】1．借助函数图像，直观地理解函数的最大值和最小值概念。
2．弄清函数最大值、最小值与极大值、极小值的区别与联系，理解和熟悉函数 f (x) 必有最大值和最小值的充分条件。
3．掌握求在闭区间[ a, b] 上连续的函数 f (x) 的最大值和最小值的思想方法和步骤。
【复习回顾】1．极大值、极小值的概念：2．求函数极值的方法：【知识点实例探究】例 1．求函数f ( x) 1 x3 4x 1在[0,3] 上的最大值与最小值。
3你能总结一下，连续函数在闭区间上求最值的步骤吗？变式： 1 求下列函数的最值：（ 1）已知f ( x) 6 12x x 3 , x [ 1,1] ，则函数的最大值为______，最小值为______。
3（ 2）已知f ( ) 6x2x2,x[1,2]，则函数的最大值为______，最小值为 ______。
x（ 3）已知f ( x) x 3 27x, x [ 3,3] ，则函数的最大值为______，最小值为 ______。
（ 4）f (x) 3x x 3 , x [1,2] 则函数的最大值为______，最小值为______。
变式： 2 求下列函数的最值：（ 1）f (x) 6x2 x 2 （ 2）f ( x) 6 12 x x3例 2．已知函数 f (x) 2x 36x2 a 在[－2，2]上有最小值－37，（ 1）求实数a的值；（ 2）求f ( x)在 [ － 2， 2] 上的最大值。
姓名： _____________学号：______________【作业】1．下列说法中正确的是（）A函数若在定义域内有最值和极值，则其极大值便是最大值，极小值便是最小值B闭区间上的连续函数一定有最值，也一定有极值C若函数在其定义域上有最值，则一定有极值；反之，若有极值，则一定有最值D若函数在定区间上有最值，则最多有一个最大值，一个最小值，但若有极值，则可有多个极值2．函数y| x 1 |，下列结论中正确的是（）Ay 有极小值 0，且 0 也是最小值 By 有最小值 0，但 0 不是极小值C y 有极小值 0，但 0 不是最小值D 因为 y 在 x 1 处不可导，所以 0 即非最小值也非极值3．函数 f (x)x 3 3ax a 在 (0,1) 内有最小值，则 a 的取值范围是（）A0 a 1 B0 a 1 C1 a 11 D0 a24．函数 f (x)xe x , x [0,4] 的最小值是（ ）A 0 B1 42 CDe 2ee 45．给出下面四个命题：（ 1）函数 yx 2 5x 4, x [ 1,1] （ 2）函数 y 2x 24x 1, x [ 2,4]9 的最大值为 10，最小值为；4的最大值为 17，最小值为 1；（ 3）函数 yx 312x, x [ 3,3] 的最大值为 16，最小值为－ 16；（ 4）函数 y x 3 12 x, x[ 2,2]无最大值，无最小值。
《1.3.3 函数的最大(小)值与导数(2)》教学案2
《1.3.3 函数的最大（小）值与导数（2）》教学案2教学目标：⒈使学生理解函数的最大值和最小值的概念，掌握可导函数)(x f 在闭区间[]b a ,上所有点（包括端点b a ,）处的函数中的最大（或最小）值必有的充分条件；⒉使学生掌握用导数求函数的极值及最值的方法和步骤教学重点：利用导数求函数的最大值和最小值的方法．教学难点：函数的最大值、最小值与函数的极大值和极小值的区别与联系． 教学过程：一．创设情景我们知道，极值反映的是函数在某一点附近的局部性质，而不是函数在整个定义域内的性质．也就是说，如果0x 是函数()y f x =的极大（小）值点，那么在点0x 附近找不到比()0f x 更大（小）的值．但是，在解决实际问题或研究函数的性质时，我们更关心函数在某个区间上，哪个至最大，哪个值最小．如果0x 是函数的最大（小）值，那么()0f x 不小（大）于函数()y f x =在相应区间上的所有函数值．二．新课讲授观察图中一个定义在闭区间[]b a ,上的函数)(x f 的图象．图中)(1x f 与3()f x 是极小值，2()f x 是极大值．函数)(x f 在[]b a ,上的最大值是)(b f ，最小值是3()f x ．1．结论：一般地，在闭区间[]b a ,上函数()y f x =的图像是一条连续不断的曲线，那么函数()y f x =在[]b a ,上必有最大值与最小值．说明：⑴如果在某一区间上函数()y f x =的图像是一条连续不断的曲线，则称函数()y f x =在这个区间上连续．（可以不给学生讲） x 3x 2x 1baxOy⑵给定函数的区间必须是闭区间，在开区间(,)a b 内连续的函数)(x f 不一定有最大值与最小值．如函数xx f 1)(=在),0(+∞内连续，但没有最大值与最小值； ⑶在闭区间上的每一点必须连续，即函数图像没有间断，⑷函数)(x f 在闭区间[]b a ,上连续，是)(x f 在闭区间[]b a ,上有最大值与最小值的充分条件而非必要条件．（可以不给学生讲）2．“最值”与“极值”的区别和联系⑴最值”是整体概念，是比较整个定义域内的函数值得出的，具有绝对性；而“极值”是个局部概念，是比较极值点附近函数值得出的，具有相对性．⑵从个数上看，一个函数在其定义域上的最值是唯一的；而极值不唯一；⑶函数在其定义区间上的最大值、最小值最多各有一个，而函数的极值可能不止一个，也可能没有一个⑷极值只能在定义域内部取得，而最值可以在区间的端点处取得，有极值的未必有最值，有最值的未必有极值；极值有可能成为最值，最值只要不在端点必定是极值．3．利用导数求函数的最值步骤:由上面函数)(x f 的图象可以看出，只要把连续函数所有的极值与定义区间端点的函数值进行比较，就可以得出函数的最值了．一般地，求函数)(x f 在[]b a ,上的最大值与最小值的步骤如下： ⑴求)(x f 在(,)a b 内的极值；⑵将)(x f 的各极值与端点处的函数值)(a f 、)(b f 比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值，得出函数)(x f 在[]b a ,上的最值三．典例分析例1．（课本例5）求()31443f x x x =-+在[]0,3的最大值与最小值 解： 由例4可知，在[]0,3上，当2x =时，()f x 有极小值，并且极小值为4(2)3f =-，又由于()04f =，()31f =因此，函数()31443f x x x =-+在[]0,3的最大值是4，最小值是43-．y=x 4-2x 2+512108642-4-242xOy上述结论可以从函数()31443f x x x =-+在[]0,3上的图象得到直观验证．四．课堂练习1．下列说法正确的是( )A.函数的极大值就是函数的最大值B.函数的极小值就是函数的最小值C.函数的最值一定是极值D.在闭区间上的连续函数一定存在最值 2．函数y =f (x )在区间［a ,b ］上的最大值是M ，最小值是m ,若M =m ,则f ′(x ) ( ) A.等于0B.大于0C.小于0D.以上都有可能3．函数y =234213141x x x ++，在［－1，1］上的最小值为( )A.0B.－2C.－1D.12134．求函数5224+-=x x y 在区间[]2,2-上的最大值与最小值．5．课本 练习 五．回顾总结1．函数在闭区间上的最值点必在下列各种点之中：导数等于零的点，导数不存在的点，区间端点；2．函数)(x f 在闭区间[]b a ,上连续，是)(x f 在闭区间[]b a ,上有最大值与最小值的充分条件而非必要条件；3．闭区间[]b a ,上的连续函数一定有最值；开区间),(b a 内的可导函数不一定有最值，若有唯一的极值，则此极值必是函数的最值4．利用导数求函数的最值方法．六．布置作业。
人教版高中数学选修2-2学案：1.3.3函数的最大(小)值与导数
1.3.3 函数的最大（小）值与导数【学习目标】1.理解函数的最大值和最小值的观点，认识其与函数的极值的差别与联系；2.会求可导函数 f x 在闭区间a, b 的最大（或最小）值.【新知自学】知识回首：1.鉴别 f(x0)是极大、极小值的方法 :若x 0 知足0，且在0 的双侧 f ( x) 的导数异号，则x0是 f ( x) 的极值点，0f ( x ) 0x f ( x )是极值，而且假如 f ( x) 在x0双侧知足“”，则 x0是f (x)的极大值点，f ( x0)是极大值；假如 f(x) 在 x0双侧知足“”，则 x0是 f (x) 的极小值点， f ( x0 )是极小值 .新知梳理：1.最值与极值的差别与联系:⑴“最值”是整体观点，是比较 _____________ 的函数值得出的，拥有绝对性；而“极值”是个局部观点，是比较________函数值得出的，拥有相对性．⑵从个数上看，一个函数在其定义域上的最值是______的；而极值不必定独一；⑶函数在其定义区间上的最大值、最小值最多各有______个，而函数的极值可能不只一个，也可能没有一个⑷极值只好在_____部获得，而最值能够在区间的_____处获得，有极值的未必有最值，有最值的未必有极值；极值有可能成为最值，最值只需不在端点必然是极值．2.函数的最大值与最小值（ 1）函数的最大值和最小值和最小值是一个整体性观点，最大值必是整个区间上全部函数值中的，最小值一定是整个区间上的全部函数值中的.（ 2）一般地，假如在区间a,b 上函数的图象是____，那么它必有最大值和最小值.3.求函数y f x 在 a,b 上的最大值与最小值的步骤以下：（1）求 _________________内的极值；（2）将f x的各极值与 _______ 比较，此中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值 .对点练习：1. 函数f ( x)的定义域为( a, b) ，其导函数f (x)在(a,b) 内的图象以下图，则函数 f (x)在区间 (a,b) 内极小值点的个数是（）A.1B.2C.3D.42.以下说法中正确的选项是（）A.函数若在定义域内有最值和极值，则其极大值即是最大值，极小值即是最小值B. 闭区间上的连续函数必定有最值，也必定有极值C.若函数在其定义域上有最值，则必定有极值；反之如有极值，则必定有最值D.若函数在定区间上有最值，则最多有一个最大值，一个最小值，但如有极值，则可有多个极值3.函数 y=sinx+1 在区间-,上的最小值是__________,极小值 __________.224.求函数 f(x)＝ x2－ 4x＋ 3 在区间 [-1,3] 内的极值和最值．【合作研究】典例精析：例 1. 求函数f(x)=e x(3-x2)在区间[2,5]上的最大值和最小值.换成一个不但一有极值比较的状况或扩大区间为 -4— 4 即可变式练习：求函数 f x x 2 x 在区间 [0,4] 上的最大值与最小值.例 2.已知a是实数，函数f(x)=x 2(x-a).（1）若f (1) 3，求 a 的值及曲线 f(x) 在点 (1,f(1)) 处的切线方程；（2）求函数 f(x) 在区间 [0,2] 上的最大值 .增添条件a=-3/2变式练习：在本例中，区间[0,2] 改为 [-1,0] 结果怎样？增添条件a=-3/2规律总结：（ 1）函数在闭区间上的最值点必在以下各样点之中：导数等于零的点，导数不存在的点，区间端点；（2）函数 f(x)在闭区间上连续，是 f(x)在闭区间上有最大值与最小值的充足条件而非必需条件；（3）闭区间上的连续函数必定有最值；开区间 (a ， b)内的可导函数不必定有最值，如有唯一的极值，则此极值必是函数的最值．【讲堂小结】【当堂达标】1.连续函数f x在a,b上有最大值是有极大值的（）A. 充足条件C.充要条件B.必需条件D.既非充足又非必需条件．函数32 2时有极值，则 a,b 的值为（）f ( x) xax bx a，在x 1102A ． a 3,b3或 a -4,b 11B.a -4,b 1或a -4, b 11C. a-1,b 5D. 以上都不正确 3.函数 f(x)=x 3-3x(|x|<1)()A. 有最大值但无最小值B. 有最大值也有最小值D. 无最大值也无最小值4.求函数 f(x)= 1 x sin x, x [ 0,2 ] 的最值 .2【课时作业】1.函数 y=x-sinx,x[ ,] 的最大值是（）2A. -1B.12C. D.+1x）2.函数 f(x)=e sinx 在区间[0, ]上的值域是（2A. [0，e2]B. (0，e2)C. [0，e2)D. (0，e2]3.若函数f ( x)x33x a 在区间0,3 上的最大值、最小值分别为M,N,则M N=.4.求函数 f x x 1 x 2 2在区间0,3 上的最小值.5.设函数 f(x)=tx 2+2t2x+t-1(x R，t>0).（1）求 f(x) 的最小值 h(t) ；（2）若 h(t)<-2t+m 对t（0,2）恒建立，务实数 m 的取值范围 .26．已知函数f(x)＝ x － 1(1)若 f(x)， g(x)的图象在点 (1,0) 处有公共的切线，务实数 a 的值；(2) 设 F(x)＝ f(x)－ 2g(x)，求函数F(x)的极值．。
2019-2020年高中数学 1.3.3 函数的最大(小)值与导数导学案 新人教A版选修2-2
2019-2020年高中数学 1.3.3 函数的最大（小）值与导数导学案 新人教A 版选修2-2学习目标：1、能够区分极值与最值两个不同的概念；2、会求闭区间上函数的最大值、最小值（其中多项式函数一般不超过三次）。
一、主要知识：1、函数在闭区间上的最值：如果在闭区间上函数的图象是一条 的曲线，则该函数在上一定能取得 和 ，并且函数的最值必在 或 取得。
2、求函数在闭区间上的最值的步骤： （1）求函数在的 ；（2）将函数的 与 比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值。
二、典例分析：〖例1〗：求下列各函数的最值：（1）()[]32362,1,1f x x x x x =-+-∈-；（2）()[]0,4f x x x =+∈。
〖例2〗：设，函数在区间上的最大值为，最小值为，求函数的解析式。
〖例3〗：设函数()22()21,0f x tx t x t x R t =++-∈>。
（1）求的最小值；（2）若对恒成立，求实数的取值范围。
三、课后作业：1、函数()3223125f x x x x =--+在区间上的最大值和最小值分别是（ ）A 、B 、C 、D 、 2、函数的最大值为（ ）A 、B 、C 、D 、3、已知函数在上的最大值为，则（ ）A 、B 、C 、D 、或 4、若函数在处有最值，则（ ）A 、B 、C 、D 、5、当时，函数的值恒小于零，则的取值范围是（ ）A 、B 、C 、D 、6、点是曲线上任意一点，则点到直线的最小距离为（ ）A 、B 、C 、D 、7、函数()3243365f x x x x =+-+在上的最大值为 ，最小值为 。
8、若函数在上的最大值为，则 。
9、（09江苏）设函数对于任意，都有成立，则 。
10、已知，若，求在上的最大值和最小值。
11、已知，函数。
（1）设曲线在点处的切线为，若与圆相切，求的值；（2）求的单调区间；（3）求函数在上的最大值。
2019-2020年高中数学 1.3.3 函数y ＝Asin （ωx ＋φ）的图象教案 苏教版必修4●三维目标 1．知识与技能(1)了解φ，ω，A 对函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)的图象的影响，并会由y ＝sin x 的图象得到f (x )＝A sin(ωx ＋φ)的图象．(2)明确函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)(A ，ω，φ为常数，A ＞0，ω＞0)中常数A ，ω，φ的物理意义，理解振幅、频率、相位、初相的概念．2．过程与方法通过图象变换的学习，培养运用数形结合思想分析、解决问题的能力． 3．情感、态度与价值观 通过本节知识的学习，了解从特殊到一般，从一般到特殊的辩证思想方法和分析、探索、化归、类比的科学研究方法在解决数学问题中的应用．●重点难点重点：由函数y ＝sin x 的图象变换得到函数y ＝A sin(ωx ＋φ)(ω＞0)的图象． 难点：对图象变换过程的理解．(教师用书独具)●教学建议关于函数y＝A sin(ωx＋φ)的图象的教学建议(1)注重由特殊到一般的探究原则，让学生先画出函数y＝sin x的图象和课本给出的三个函数的图象，让学生观察、归纳参数φ，A，ω对函数y＝A sin(ωx＋φ)的图象的影响，教师及时地引导、纠正、提高．(2)注重现代化教学手段的应用，加强直观性教学，提高课堂效率．●教学流程创设问题情境，引导学生明确函数f x ＝A ωx ＋φ中常数A ，ω，φ的物理意义，介绍振幅、频率、相位、初相的概念.⇒错误!⇒错误!⇒错误!⇒错误!⇒错误!⇒错误!【问题导思】一个弹簧振子作简谐振动，如图所示，该弹簧振子离开平衡位置的位移随时间t 变化的图象如下：1．做简谐振动的物体离开平衡位置的位移s 与时间t 满足s ＝2sin πt2，图象中纵坐标2和横坐标4各具有怎样的物理意义？【提示】 2表示振幅，周期T ＝2ππ2＝4.2．将上述实例中的函数记为y ＝A sin(ωx ＋φ)，则该函数的图象是由y ＝sin x 的图象如何变换得到？【提示】 y ＝sin x 的图象经过平移和伸缩变换可以得到y ＝A sin(ωx ＋φ)的图象． 1．有关概念设物体做简谐运动时，位移s 与时间t 的关系为s ＝A sin(ωt ＋φ)(A ＞0，ω＞0)．其中A 是物体振动时离开平衡位置的最大距离，称为振动的振幅；往复振动一次所需的时间T ＝2πω称为这个振动的周期；单位时间内往复振动的次数f ＝1T ＝ω2π称为振动的频率；ωt ＋φ称为相位，t ＝0时的相位φ称为初相．2．图象变换(1)φ对函数y ＝sin(x ＋φ)的图象的影响(相位变换)y ＝sin x 图象――→向左φ＞或向右φ＜平移|φ|个单位长度y ＝sin(x ＋φ)图象． (2)A 对函数y ＝A sin x 图象的影响(振幅变换)y ＝sin x 图象――→纵坐标变为原来的A 倍横坐标不变y ＝A sin x 图象． (3)ω对函数y ＝sin ωx 的图象的影响(周期变换)①y ＝sin x 图象横坐标变为原来的1ω倍,(纵坐标不变)y ＝sin ωx 图象．②y ＝sin ωx 的图象向左(φ＞0)或向右(φ＜0),平移|φω|个单位长度y ＝sin(ωx ＋φ)的图象．作出函数y ＝2sin(x 2＋π6)在长度为一个周期的闭区间上的图象．【思路探究】 将x 2＋π6看成整体，确定一个周期内的五个关键点，然后描点，用光滑的曲线连结各点即可．【自主解答】1．用五点法作y ＝A sin(ωx ＋φ)的图象，应先令ωx ＋φ分别为0，π2，π，32π，2π，然后解出自变量x 的对应值，作出一周期内的图象．2．若在一个定区间内作图象，则要首先确定该区间端点处的相位，再确定两个端点之间的最值点、零点．作出函数y ＝12cos(12x ＋π3)在一个周期内的图象．【解】描点，连线得函数y ＝2cos(2x ＋3)在一个周期内的图象，如图．如何将函数y ＝sin x 的图象通过变换得到函数y ＝2sin(12x ＋π6)的图象？【思路探究】 方法一：先相位变换→周期变换→振幅变换． 方法二：先周期变换→相位变换→振幅变换．【自主解答】 法一 y ＝sin x 向左平移π6个单位y ＝sin(x ＋π6)――→各点横坐标伸长为原来的2倍纵坐标不变y ＝sin(12x ＋π6)――→各点纵坐标伸长为原来的2倍横坐标不变y ＝2sin(12x ＋π6)的图象． 法二 y ＝sin x ――→各点横坐标伸长为原来的2倍纵坐标不变y ＝sin 12x 错误!y ＝sin 错误!(x ＋错误!)――→各点纵坐标伸长为原来的2倍横坐标不变 y ＝2sin(12x ＋π6)的图象．1．由函数y ＝sin x 的图象到函数y ＝A sin(ωx ＋φ)的图象的变换通常需要三个变换：相位变换、周期变换、振幅变换，并且也常是这个顺序．当然也可以先周期变换，再相位变换，最后振幅变换，只是平移的单位量不同罢了．2．由y ＝A sin ωx 的图象变换成y ＝A sin(ωx ＋φ)的图象时，可将y ＝A sin(ωx ＋φ)化为y ＝A sin[ω(x ＋φω)]，由x ＋φω与x 的关系确定左右平移的单位，此时φω>0时，向左平移φω个单位，φω<0时，向右平移|φω|个单位．如何由函数y ＝sin x 的图象得到函数y ＝3sin(2x －π3)的图象？【解】 法一 y ＝sin x ――——————→向右平移π3个单位长度y ＝sin(x －π3)―————————————―→将各点的横坐标缩短为原来的12y ＝sin(2x －π3)――——————————→将各点的纵坐标伸长为原来的3倍y ＝3sin(2x －π3)．法二 y ＝sin x ―————————————―→将各点的横坐标缩短为原来的12y ＝sin 2x ―————————————―→向右平移π6个单位长度y＝sin[2(x －π6)]――——————————→将各点的纵坐标伸长为原来的3倍y ＝3sin[2(x －π6)]＝3sin(2x －π3).图1－3－4(xx·吉林高一检测)已知函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)(A ＞0，ω＞0，|φ|＜π2)，在一个周期内的图象如图1－3－4所示，求函数的解析式．【思路探究】 由最值求A ，由过点(0,1)求φ，由点(11π12，0)求ω.【自主解答】 显然A ＝2，又图象过(0, 1)点，∴f (0)＝1，∴sin φ＝12，又∵|φ|＜π2，∴φ＝π6.由图象结合“五点法”可知，(11π12，0)对应五点中的点(2π，0)．∴11π12·ω＋π6＝2π，∴ω＝2. 所以所求函数解析式为f (x )＝2sin(2x ＋π6)．1．一般可由函数图象上的最大值、最小值来确定|A |.2．因为T ＝2πω，所以往往通过求周期T 来确定ω.3．从寻找“五点法”中的第一个“零点”(－φω，0)作为突破口，要从图象的升降情况找准第一个“零点”的位置来确定φ.图1－3－5函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)中，A ＞0，ω＞0，|φ|＜π2且图象如图1－3－5，求其解析式．【解】 法一 由图象知，振幅A ＝3，T ＝5π6－(－π6)＝π，∴ω＝2.又由点(－π6，0)，根据五点作图原理(可判为“五点法”中的第一点)，所以－π6×2＋φ＝0，得φ＝π3，∴f (x )＝3sin(2x ＋π3)．法二 由图象知，振幅A ＝3， T ＝5π6－(－π6)＝π，∴ω＝2.又图象过点(－π6，0)，有f (－π6)＝3sin[2(－π6)＋φ]＝0，∴sin(－π3＋φ)＝0，－π3＋φ＝k π(k ∈Z )．又|φ|＜π2，所以k ＝0，φ＝π3，∴f (x )＝3sin(2x ＋π3)．数形结合思想在三角函数问题中的应用设函数f(x)＝4sin(2x＋1)－x，则在下列区间中函数f(x)不存在零点的是________．①[－4，－2]；②[－2,0]；③[0,2]；④[2,4]【思路点拨】将f(x)的零点问题转化为函数g(x)＝4sin(2x＋1)与h(x)＝x图象的交点问题．由数形结合的思想，画出g(x)与h(x)的图象解决．【规范解答】在同一坐标系中画出函数g(x)＝4sin(2x＋1)与h(x)＝x的图象，如图，观察可知在[－4，－2]内无交点．【答案】①解答此类题目的关键在于等价转化问题中的曲线，然后准确作图，在解答过程中充分利用数形结合思想及函数与方程的思想，即可解决问题．1．准确理解“图象变换法”(1)由y＝sin x到y＝sin(x＋φ)的图象变换称为相位变换；由y＝sin x到y＝sin ωx图象的变换称为周期变换；由y ＝sin x 到y ＝A sin x 图象的变换称为振幅变换．(2)由y ＝sin x 的图象，通过变换可得到函数y ＝A sin(ωx ＋φ)的图象，其变换途径有两条：①y ＝sin x ――→相位变换y ＝sin(x ＋φ)――→周期变换y ＝sin(ωx ＋φ)――→振幅变换y ＝A sin(ωx ＋φ)．②y ＝sin x ――→周期变换y ＝sin ωx ――→相位变换y ＝sin(ωx ＋φ)――→振幅变换y ＝A sin(ωx ＋φ)． 注意：两种途径的变换顺序不同，其中变换的量也有所不同：①是先相位变换后周期变换，平移|φ|个单位．②是先周期变换后相位变换，平移|φ|ω个单位，这是很易出错的地方，应特别注意．2．确定函数y ＝A sin(ωx ＋φ)的解析式的关键是φ的确定，常用方法有：(1)代入法：把图象上的一个已知点代入(此时，A ，ω已知)或代入图象与x 轴的交点求解(此时要注意交点在上升区间上还是在下降区间上)．(2)五点法：确定φ值时，往往以寻找“五点法”中的第一零点(－φω，0)作为突破口．“五点”的ωx ＋φ的值具体如下：“第一点”(即图象上升时与x 轴的交点)为ωx ＋φ＝0；“第二点”(即图象的“峰点”)为ωx ＋φ＝π2；“第三点”(即图象下降时与x 轴的交点)为ωx ＋φ＝π；“第四点”(即图象的“谷点”)为ωx ＋φ＝3π2；“第五点”为ωx ＋φ＝2π.1．把y ＝sin x 图象上所有点的横坐标缩短到原来的14倍(纵坐标不变)得________的图象．【解析】 y ＝sin x ――→横坐标缩短到原来的14倍y ＝sin 4x .【答案】 y ＝sin 4x2．将y ＝sin 2x 的图象向左平移π3个单位，得到的曲线对应的解析式为________．【解析】 将y ＝sin 2x 的图象向左平移π3个单位，得y ＝sin 2(x ＋π3)＝sin(2x ＋2π3)．【答案】 y ＝sin(2x ＋2π3)图1－3－63．(xx·大纲全国卷改编)若函数y ＝sin(ωx ＋φ)(ω＞0)的部分图象如图1－3－6，则ω＝________.【解析】 设函数的最小正周期为T ，由函数图象可知T2＝(x 0＋π4)－x 0＝π4，所以T ＝π2.又因为T ＝2πω，可解得ω＝4. 【答案】 44．已知函数y ＝sin(ωx ＋φ)(ω＞0，|φ|＜π2)的部分图象如图1－3－7所示，求其解析式．图1－3－7【解】 由图象可知14T ＝7π12－π3，得T ＝π，∴ω＝2πT＝2.又(π3，1)在图象上，∴2×π3＋φ＝π2＋2k π.又|φ|＜π2，∴φ＝－π6，∴y ＝sin(2x －π6)．一、填空题1．函数y ＝3sin(π2x ＋π4)的振幅是________，周期是________．【解析】 由于函数y ＝3sin(π2x ＋π4)，∴振幅是3，周期是T ＝2ππ2＝4.【答案】 3 42．(xx·长沙高一检测)将y ＝sin 4x 的图象向左平移π12个单位，得y ＝sin(4x ＋φ)(0<φ<π2)的图象，则φ等于________．【解析】 将y ＝sin 4x 的图象向左平移π12个单位得到函数y ＝sin 4(x ＋π12)＝sin(4x＋π3)， 由sin(4x ＋φ)＝sin(4x ＋π3)及0＜φ＜π2，知φ＝π3.【答案】 π33．(xx·临沂高一检测)把函数y ＝sin(2x ＋π4)的图象向右平移π8个单位长度，再把各点的纵坐标扩大为原来的2倍，所得图象的函数解析式为________．【解析】 将函数y ＝sin(2x ＋π4)图象右移π8个单位得函数y ＝sin[2(x －π8)＋π4]的图象，再将纵坐标伸长到原来的2倍得到函数y ＝2sin 2x 的图象．【答案】 y ＝2sin 2x4．(xx·沙市高一检测)要得到函数y ＝－cos 2x 的图象，可以将y ＝sin 2x 的图象向________平移3π4个单位长度即可．【解析】 y ＝－cos 2x ＝sin(2x ＋3π2)＝sin[2(x ＋3π4)]，所以将y ＝sin 2x 的图象向左平移3π4个单位长度即可．【答案】 左5．下列表示函数y ＝sin(2x －π3)在区间[－π2，π]上的简图正确的是________．图1－3－8【解析】 将y ＝sin x 的图象上所有点的横坐标缩短为原来的12倍，再将所有点向右平移π6个单位长度即得y ＝sin(2x －π3)的图象，依据此变换过程可得到①中图象是正确的．也可以分别令2x －π3＝0，π2，π，3π2，2π得到五个关键点，描点连线即得函数y ＝sin(2x－π3)的图象． 【答案】 ①图1－3－96．已知函数f (x )＝A cos(ωx ＋φ)的图象如图1－3－9所示，f (π2)＝－23，则f (0)＝________.【解析】 由图象可得最小正周期为23π，于是f (0)＝f (2π3)，注意到23π与π2关于7π12对称，所以f (2π3)＝－f (π2)＝23.【答案】 237．设ω>0，函数y ＝sin(ωx ＋π3)＋2的图象向右平移43π个单位后与原图象重合，则ω的最小值为________．【解析】 由题意知4π3是函数周期的整数倍，又ω>0，∴2πω·k ＝43π，∴ω＝32k (k ∈Z )，∴ω的最小值为32. 【答案】 328．函数y ＝A sin(ωx ＋φ)(A ＞0，ω＞0)的部分图象如图1－3－10所示，则f (1)＋f (2)＋f (3)＋…＋f (2 013)的值等于________．图1－3－10【解析】 由图可知该函数的周期为8，得ω＝π4，A ＝2，代入点(2,2)，得sin(π4×2＋φ)＝1，π2＋φ＝π2，得φ＝0，∴y ＝2sin π4x .根据对称性有f (1)＋f (2)＋f (3)＋…＋f (8)＝0，从而f (1)＋f (2)＋…＋f (2 013)＝251×[f (1)＋f (2)＋…＋f (8)]＋f (1)＋f (2)＋f (3)＋f (4)＋f (5)＝251×0＋2sin π4＋2sin π2＋2sin 34π＋2sin π＋2sin 54π＝2＋2.【答案】 2＋ 2 二、解答题9．已知函数y ＝2sin(2x ＋π3)． (1)求它的振幅、频率和初相．(2)说明y ＝2sin(2x ＋π3)的图象可由y ＝sin x 的图象经过怎样的变换而得到？【解】 (1)由题意可知，振幅是2，因为周期为2π2＝π，所以频率是1π，初相是π3.(2)把函数y ＝sin x 的图象向左平移π3个单位长度，得到y ＝sin(x ＋π3)的图象；再将所得图象上每个点的横坐标变为原来的12倍(纵坐标不变)，得到y ＝sin(2x ＋π3)的图象；再将所得图象上每个点的纵坐标变为原来的2倍(横坐标不变)，就得到函数y ＝2sin(2x ＋π3)的图象．10．函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)(A ＞0，ω＞0，|φ|＜π2)的一段图象如图1－3－11所示．图1－3－11(1)求f (x )的解析式；(2)把f (x )的图象向左至少平移多少个单位，才能使得到的图象对应的函数为偶函数？【解】 (1)A ＝3，2πω＝43×(4π－π4)＝5π，故ω＝25.由f (x )＝3sin(25x ＋φ)过点(π4，0)，得sin(π10＋φ)＝0，又|φ|＜π2，故φ＝－π10，∴f (x )＝3sin(25x －π10)．(2)由f (x ＋m )＝3sin[25(x ＋m )－π10]＝3sin(25x ＋2m 5－π10)为偶函数(m ＞0)，知2m 5－π10＝k π＋π2(k ∈Z )，即m ＝52k π＋3π2(k ∈Z )．∵m ＞0，∴m min ＝3π2. 故至少把f (x )的图象向左平移3π2个单位长度，才能使得到的图象对应的函数是偶函数．11．(xx·济南高一检测)已知曲线y ＝A sin(ωx ＋φ)(A ＞0，ω＞0)上的一个最高点的坐标为(π8，2)，此点到相邻最低点间的曲线与x 轴交于点(38π，0)(如图1－3－12)，若φ∈(－π2，π2)．图1－3－12(1)试求这条曲线的函数表达式；(2)用“五点法”画出(1)中函数在[0，π]上的图象．【解】 (1)∵曲线上的一个最高点的坐标为(π8，2)，∴A ＝ 2.又此点到相邻最低点间的曲线与x 轴交于点(3π8，0)，∴T 4＝3π8－π8，即T ＝π，∴ω＝2πT ＝2. 取点(π8，2)作为“五点法”中函数的第二个点．∴2×π8＋φ＝π2，∴φ＝π4.且π4∈(－π2，π2)． 故这条曲线的函数表达式为：y ＝2sin(2x ＋π4)．(2)列出x ，作图如下：(教师用书独具)函数y ＝A sin(ωx ＋φ)和y ＝A cos(ωx ＋φ)图象的对称性 1．对称轴与正弦曲线、余弦曲线一样，函数y ＝A sin(ωx ＋φ)和y ＝A cos(ωx ＋φ)的图象的对称轴通过函数图象的最值点且垂直于x 轴．y ＝A sin(ωx ＋φ)对称轴方程的求法：令sin(ωx ＋φ)＝±1，得ωx ＋φ＝k π＋π2(k∈Z )，则x ＝k ＋π－2φ2ω(k ∈Z )，所以函数y ＝A sin(ωx ＋φ)的图象的对称轴方程为x ＝k ＋π－2φ2ω(k ∈Z )；y ＝A cos(ωx ＋φ)对称轴方程的求法：令cos(ωx ＋φ)＝±1，得ωx ＋φ＝k π(k ∈Z )，则x ＝k π－φω(k ∈Z )，所以函数y ＝A cos(ωx ＋φ)的图象的对称轴方程为x ＝k π－φω(k ∈Z )．2．对称中心与正弦曲线、余弦曲线一样，函数y ＝A sin(ωx ＋φ)和y ＝A cos(ωx ＋φ)的图象的对称中心即函数图象与x 轴的交点．y ＝A sin(ωx ＋φ)对称中心的求法：令sin(ωx ＋φ)＝0，得ωx ＋φ＝k π(k ∈Z )，则x ＝k π－φω(k ∈Z )，所以函数y ＝A sin(ωx ＋φ)的图象关于点(k π－φω，0)(k ∈Z )成中心对称；y ＝A cos(ωx ＋φ)对称中心的求法：令cos(ωx ＋φ)＝0，得ωx ＋φ＝k π＋π2(k ∈Z )，则x ＝k ＋π－2φ2ω(k ∈Z )，所以函数y ＝A cos(ωx ＋φ)的图象关于点(k ＋π－2φ2ω，0)(k ∈Z )成中心对称．。
高中数学 1.3.3函数的最大(小)值与导数导学案新人教A版选修2-2
1.3.3 函数的最大(小)值与导数学习目标：1．理解函数最值的概念，了解其与函数极值的区别与联系．2．会用导数求某定义域上函数的最值．学习重点．理解函数最值的概念，了解其与函数极值的区别与联系．难点：会用导数求某定义域上函数的最值 课前预习案 1．函数f (x )在闭区间[a ，b ]上的最值函数f (x )在闭区间[a ，b ]上的图象是一条连续不断的曲线，则该函数在[a ，b ]上一定能够取得最大值与最小值，函数的最值必在______处或________处取得．2．求函数y ＝f (x )在[a ，b ]上的最大值与最小值的步骤：(1)求函数y ＝f (x )在(a ，b )内的______；(2)将函数y ＝f (x )的各极值与________的函数值f (a )，f (b )比较，其中最大的一个是______，最小的一个是______．一，新课导学课内探究案探究点一 求函数的最值问题1 如图，观察区间[a ，b ]上函数y ＝f (x )的图象，你能找出它的极大值、极小值吗？问题2 观察问题1的函数y ＝f (x )，你能找出函数f (x )在区间[a ，b ]上的最大值、最小值吗？若将区间改为(a ，b )，f (x )在(a ，b )上还有最值吗？由此你得到什么结论？探究点二 含参数的函数的最值问题例2 已知a 是实数，函数f (x )＝x 2(x －a )．(1)若f ′(1)＝3，求a 的值及曲线y ＝f (x )在点(1，f (1))处的切线方程．(2)求f (x )在区间[0,2]上的最大值．二．合作探究例1 求下列函数的最值：(1)f (x )＝2x 3－12x ，x ∈[－2,3]；(2)f (x )＝12x ＋sin x ，x ∈[0,2π]．三．当堂检测1 求下列函数的最值：(1)f (x )＝x 3＋2x 2－4x ＋5，x ∈[－3,1]；(2)f (x )＝e x (3－x 2)，x ∈[2,5]．2 已知函数f (x )＝ax 3－6ax 2＋b ，x ∈[－1,2]的最大值为3，最小值为－29，求a ，b 的值．教材练习题四．课后反思课后训练案1．函数y ＝f (x )在[a ，b ]上( )A ．极大值一定比极小值大B ．极大值一定是最大值C ．最大值一定是极大值 2．函数f (x )＝x 3－3x (|x |<1)( )A ．有最大值，但无最小值B ．有最大值，也有最小值C ．无最大值，但有最小值D ．既无最大值，也无最小值3．函数y ＝x －sin x ，x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2，π的最大值是 ( ) A ．π－1 B ．π2－1 C ．π D ．π＋1 4．函数f (x )＝x 3－3x 2－9x ＋k 在区间[－4,4]上的最大值为10，则其最小值为________．。
高二数学选修2-2 §1.3.3函数的最大(小)值与导数(2)导学案设计
§1.3.3函数的最大（小）值与导数(2)使用时间：4.8学习目标与要求：⒈会利用导数解决一些不等式的恒成立（或有解）问题。
2.会利用导数证明一些简单的不等式。
自主学习过程：一、复习回顾1.函数的最值可能在哪些地方取得？2.如何利用导函数求函数的最值，特别是三次函数类型？二、新课：1.不等式恒成立（或有解）：最常用方法分离参数，转化为最值问题。
①不等式()a f x ≥恒成立⇔ .不等式()a f x ≤恒成立⇔ .②不等式()a f x ≥有解⇔ .不等式()a f x ≤有解⇔ .2.导数在证明不等式中的应用证明不等式()()f x g x >的问题转化为证明()()0f x g x ->，进而构造辅助函数()()()h x f x g x =-，然后利用导数证明函数()h x 的单调性或证明函数()h x 的最小值大于零。
例1．已知函数32()(,,)f x x ax bx c a b c R =-++∈.(1) 若函数()f x 在1x =-和3x =处取得极值，求,a b 的值(2) 在（1）的条件下，当[]2,6x ∈-时，()2f x c <恒成立，求c 的取值范围(3) 在（1）的条件下，存在[]02,6x ∈-，使得0()2f x c <成立，求c 的取值范围。
变式1.设函数22()+21(,0).f x tx t x t x R t =+-∈>（1） 求()f x 的最小值()h t ;（2） 若()2h t t m <-+对(0,2)t ∈恒成立，求实数m 的取值范围。
例2.已知(0,)2x π∈，求证：sin tan x x x <<变式2.求证：ln(1)x x +≤思考题：已知,a b 为实数，并且e a b <<，其中e 是自然对数的底，证明：b a a b >。
提示：利用ln x y x =的在(),e +∞上的单调性。
1.3.3 函数的最大(小)值与导数(2)
1．3．3 函数的最大值与最小值(二)一、教学目标：理解并掌握函数最大值与最小值的意义及其求法.弄请函数极值与最值的区别与联系.养成“整体思维”的习惯，提高应用知识解决实际问题的能力. 二、教学重点：求函数的最值及求实际问题的最值.教学难点：求实际问题的最值.掌握求最值的方法关键是严格套用求最值的步骤，突破难点要把实际问题“数学化”，即建立数学模型.三、教学过程：（一）复习引入1．函数y = x ·e –x 在x ∈[0, 4]的最小值为（ A ）A ．0B ．1e C ．44e D ．22e2．给出下面四个命题.①函数y = x 2 – 5x + 4 (x ∈[–1，3])的最大值为10，最小值为94-；②函数y = 2x 2 – 4x + 1 (x ∈(2, 4))的最大值为17，最小值为1；③函数y = x 3 – 12x (x ∈(–3, 3))的最大值为16，最小值为– 16；④函数y = x 3 – 12x (x ∈(–2, 2))无最大值，也无最小值.其中正确的命题有（ C ）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个 （二）举例例1．求函数]2,2[,2sin )(ππ-∈-=x x x x f 的最大值与最小值。
练习：求函数]2,0[,sin )(π∈-=x x x x f 的最大值与最小值。
例2．设132<<a ，函数)11(23)(23≤≤-+-=x bax x x f 的最大值为1，最小值为26-，求：a 、b 的值练习：已知函数b ax ax x f +-=236)(。
若f （x ）在[-1，2]上的最大值为3，最小值为29，求：a 、b 的值例3．已知x ,y 为正实数，且满足关系式04222=+-y x x ，求xy 的最大值。
（三）课堂小结1．已知函数解析式，确定可导函数在区间[a, b]上最值的方法；2．已知函数最值，求参数的值（四）课后作业《学案》第24面《双基训练》.。
(完整word)《函数的最大(小)值与导数》教案完美版
《函数的最大(小）值与导数》教案§1。
3.3 函数的最大(小)值与导数（1）【教学目标】1．使学生理解函数的最大值和最小值的概念,掌握可导函数)(x f 在闭区间[]b a ,上所有点（包括端点b a ,)处的函数中的最大（或最小）值必有的充分条件；2．使学生掌握用导数求函数的极值及最值的方法和步骤． 【教学重点】利用导数求函数的最大值和最小值的方法．【教学难点】函数的最大值、最小值与函数的极大值和极小值的区别与联系． 【教学过程】 一、复习引入:1．极大值： 一般地，设函数f (x )在点x 0附近有定义，如果对x 0附近的所有的点，都有f (x )＜f (x 0），就说f (x 0)是函数f (x ）的一个极大值，记作y 极大值=f （x 0），x 0是极大值点．2．极小值：一般地,设函数f （x ）在x 0附近有定义，如果对x 0附近的所有的点，都有f （x ）＞f （x 0）．就说f （x 0）是函数f (x )的一个极小值，记作y 极小值=f (x 0),x 0是极小值点．3．极大值与极小值统称为极值 注意以下几点： （ⅰ)极值是一个局部概念．由定义，极值只是某个点的函数值与它附近点的函数值比较是最大或最小．并不意味着它在函数的整个的定义域内最大或最小．（ⅱ）函数的极值不是唯一的即一个函数在某区间上或定义域内极大值或极小值可以不止一个．（ⅲ)极大值与极小值之间无确定的大小关系．即一个函数的极大值未必大于极小值，如下图所示，1x 是极大值点，4x 是极小值点，而)(4x f 〉)(1x f ．（ⅳ）函数的极值点一定出现在区间的内部,区间的端点不能成为极值点． 而使函数取得最大值、最小值的点可能在区间的内部,也可能在区间的端点．4． 判别f (x 0）是极大、极小值的方法:若0x 满足0)(0='x f ，且在0x 的两侧)(x f 的导数异号,则0x 是)(x f 的极值点，)(0x f 是极值，并且如果)(x f '在0x 两侧满足“左正右负”,则0x 是)(x f 的极大值点,)(0x f 是极大值；如果)(x f '在0x 两侧满足“左负右正”，则0x 是)(x f 的极小值点，)(0x f 是极小值．5． 求可导函数f (x ）的极值的步骤：(1）确定函数的定义区间，求导数f ′(x )； （2)求方程f ′(x )=0的根；（3)用函数的导数为0的点，顺次将函数的定义区间分成若干小开区间，并列成表格．检查f ′(x )在方程根左右的值的符号，如果左正右负,那么f （x ）在这个根处取得极大值；如果左负右正，那么f （x ）在这个根处取得极小值；如果左右不改变符号即都为正或都为负，那么f （x )在这个根处无极值．二、讲解新课:1．函数的最大值和最小值观察图中一个定义在闭区间[]b a ,上的函数)(x f 的图象．图中值．函数)(x f 在[]b a ,上的)(1x f 与3()f x 是极小值，2()f x 是极大最大值是)(b f ,最小值是3()f x ．一般地，在闭区间[]b a ,上连续的函数)(x f 在[]b a ,上必有最大值与最小值． 说明：⑴在开区间(,)a b 内连续的函数)(x f 不一定有最大值与最小值．如函数xx f 1)(=在),0(+∞内连续，但没有最大值与最小值；⑵函数的最值是比较整个定义域内的函数值得出的;函数的极值是比较极值点附近函数值得出的． ⑶函数)(x f 在闭区间[]b a ,上连续，是)(x f 在闭区间[]b a ,上有最大值与最小值的充分条件而非必要条件．（4)函数在其定义区间上的最大值、最小值最多各有一个，而函数的极值可能不止一个，也可能没有一个．⒉利用导数求函数的最值步骤：由上面函数)(x f 的图象可以看出，只要把连续函数所有的极值与定义区间端点的函数值进行比较，就可以得出函数的最值了．设函数)(x f 在[]b a ,上连续，在(,)a b 内可导，则求)(x f 在[]b a ,上的最大值与最小值的步骤如下： ⑴求)(x f 在(,)a b 内的极值;⑵将)(x f 的各极值与)(a f 、)(b f 比较得出函数)(x f 在[]b a ,上的最值．三、讲解范例：例1求函数5224+-=x x y 在区间[]2,2-上解：先求导数，得x x y 443/-=令/y ＝0即0443=-x x 解得1,0,1321==-=x x x 导数/的正负以及，如下表从上表知,当2±=x 时,函数有最大值13，当1±=x 时，函数有最小值4．例2 已知23()log x ax bf x x ++=，x ∈(0,+∞)．是否存在实数a b 、,使)(x f 同时满足下列两个条件:(1）)(x f ）在(0，1）上是减函数，在[1，+∞)上是增函数；（2))(x f 的最小值是1，若存在，求出a b 、，若不存在，说明理由．解:设g (x ）=xb ax x ++2∵f (x )在（0，1）上是减函数，在［1，+∞）上是增函数∴g （x ）在（0，1）上是减函数，在［1，+∞）上是增函数．∴⎩⎨⎧==3)1(0)1('g g ∴⎩⎨⎧=++=-3101b a b 解得⎩⎨⎧==11b a 经检验，a =1,b =1时，f （x ）满足题设的两个条件． 四、课堂练习：1．下列说法正确的是（ ）A ．函数的极大值就是函数的最大值B ．函数的极小值就是函数的最小值C ．函数的最值一定是极值D ．在闭区间上的连续函数一定存在最值2．函数y =f （x ）在区间［a ,b ］上的最大值是M ，最小值是m ,若M =m ,则f ′（x ) ( ) A ．等于0 B ．大于0 C ．小于0 D ．以上都有可能3．函数y =234213141x x x ++,在［－1,1］上的最小值为（ )A ．0B ．－2C ．－1D ．12134．函数y =122+-x x x 的最大值为（ )A ．33 B ．1 C ．21 D ．23 5．设y =|x |3,那么y 在区间［－3，－1］上的最小值是（ ) A ．27 B ．－3 C ．－1 D ．16．设f （x )=ax 3－6ax 2+b 在区间［－1，2]上的最大值为3，最小值为－29，且a 〉b ,则（ ） A ．a =2,b =29 B ．a =2，b =3 C ．a =3,b =2 D ．a =－2,b =－3 答案：1．D 2．A 3．A 4．A 5．D 6．B五、小结 :⑴函数在闭区间上的最值点必在下列各种点之中:导数等于零的点，导数不存在的点,区间端点；⑵函数)(x f 在闭区间[]b a ,上连续，是)(x f 在闭区间[]b a ,上有最大值与最小值的充分条件而非必要条件；⑶闭区间[]b a ,上的连续函数一定有最值；开区间),(b a 内的可导函数不一定有最值,若有唯一的极值，则此极值必是函数的最值． 六、课后作业：§1.3.3 函数的最大（小)值与导数(2)【教学目标】1．进一步熟练函数的最大值与最小值的求法； 2．初步会解有关函数最大值、最小值的实际问题． 【教学重点】解有关函数最大值、最小值的实际问题． 【教学难点】解有关函数最大值、最小值的实际问题． 【教学过程】 一、复习引入：1．极大值： 一般地，设函数f (x )在点x 0附近有定义，如果对x 0附近的所有的点,都有f (x )＜f （x 0),就说f （x 0）是函数f （x ）的一个极大值，记作y 极大值=f （x 0），x 0是极大值点．2．极小值：一般地，设函数f (x )在x 0附近有定义,如果对x 0附近的所有的点，都有f (x ）＞f （x 0)．就说f （x 0）是函数f (x ）的一个极小值，记作y 极小值=f （x 0），x 0是极小值点．3．极大值与极小值统称为极值．4．判别f (x 0）是极大、极小值的方法：若0x 满足0)(0='x f ，且在0x 的两侧)(x f 的导数异号，则0x 是)(x f 的极值点，)(0x f 是极值,并且如果)(x f '在0x 两侧满足“左正右负”，则0x 是)(x f 的极大值点，)(0x f 是极大值；如果)(x f '在0x 两侧满足“左负右正”，则0x 是)(x f 的极小值点,)(0x f 是极小值．5． 求可导函数f （x )的极值的步骤：(1）确定函数的定义区间，求导数f ′（x ) ; (2）求方程f ′(x ）=0的根；（3）用函数的导数为0的点，顺次将函数的定义区间分成若干小开区间，并列成表格．检查f ′(x )在方程根左右的值的符号，如果左正右负，那么f (x ）在这个根处取得极大值；如果左负右正，那么f (x )在这个根处取得极小值;如果左右不改变符号即都为正或都为负，那么f （x )在这个根处无极值．6．函数的最大值和最小值:在闭区间[]b a ,上连续的函数)(x f 在[]b a ,上必有最大值与最小值． （1)在开区间(,)a b 内连续的函数)(x f 不一定有最大值与最小值．（2）函数的最值是比较整个定义域内的函数值得出的；函数的极值是比较极值点附近函数值得出的． （3）函数)(x f 在闭区间[]b a ,上连续，是)(x f 在闭区间[]b a ,上有最大值与最小值的充分条件而非必要条件．(4)函数在其定义区间上的最大值、最小值最多各有一个，而函数的极值可能不止一个,也可能没有一个． 7．利用导数求函数的最值步骤:⑴求)(x f 在(,)a b 内的极值;⑵将)(x f 的各极值与)(a f 、)(b f 比较得出函数)(x f 在[]b a ,上的最值． 二、讲解范例:例1在边长为60 cm 的正方形铁片的四角切去相等的正方形，再把它的边沿虚线折起(如图），做成一个无盖的方底箱子，箱底的边长是多少时,箱底的容积最大?最大容积是多少? 602xh -=cm ，得箱子容解法一:设箱底边长为xcm ，则箱高积260)(322x x h x x V -== )600(<<x ．23()602x V x x '=- )600(<<x令 23()602x V x x '=-＝0，解得 x =0（舍去）,x =40， 并求得 V(40）=16000由题意可知,当x 过小（接近0)或过大（接近60）时，箱子容积很小，因此，16 000是最大值． 答：当x =40cm 时,箱子容积最大，最大容积是16000cm 3解法二：设箱高为xcm ，则箱底长为(60-2x ）cm ，则得箱子容积x x x V 2)260()(-=)300(<<x ．（后面同解法一,略） 由题意可知，当x 过小或过大时箱子容积很小,所以最大值出现在极值点处．260)(322x x h x x V -==、事实上，可导函数x x x V 2)260()(-=在各自的定义域中都只有一个极值点，从图象角度理解即只有一个波峰，是单峰的，因而这个极值点就是最值点，不必考虑端点的函数值．例2圆柱形金属饮料罐的容积一定时，它的高与底与半径应怎样选取，才能使所用的材料最省?解：设圆柱的高为h ,底半径为R ，则表面积S=2πR h +2πR 2由V=πR 2h ，得2V h R π=,则S(R)= 2πR 2V R π+ 2πR 2=2V R +2πR 2令 22()Vs R R '=-+4πR=0解得，R=32Vπ，从而h =2V R π=23()2V V ππ=34V π=23Vπ即h =2R因为S(R ）只有一个极值,所以它是最小值． 答：当罐的高与底直径相等时，所用材料最省．变式：当圆柱形金属饮料罐的表面积为定值S 时，它的高与底面半径应怎样选取，才能使所用材料最省？提示：S =2Rh π+22R π⇒h =RR S ππ222-⇒V (R )=RR S ππ222-πR 2=3221)2(21R SR R R S ππ-=- )('R V )=026R S π=⇒ ⇒R h R Rh R 222622=⇒+=πππ．例3已知某商品生产成本C 与产量q 的函数关系式为C =100+4q ，价格p 与产量q 的函数关系式为q p 8125-=．求产量q 为何值时，利润L 最大?分析：利润L 等于收入R 减去成本C ，而收入R 等于产量乘价格．由此可得出利润L 与产量q 的函数关系式，再用导数求最大利润．解:收入211252588R q p q q q q ⎛⎫=⋅=-=- ⎪⎝⎭，利润221125(1004)2110088L R C q q q q q ⎛⎫=-=--+=-+- ⎪⎝⎭(0100)q <<1214L q '=-+，令0L '=,即12104q -+=，求得唯一的极值点84q =．答:产量为84时，利润L 最大．x60-2x60-2x60-2xx60-2x 6060三、课堂练习：1．函数y =2x 3－3x 2－12x +5在[0，3］上的最小值是___________． 2．函数f （x )=sin 2x －x 在[－2π，2π］上的最大值为_____;最小值为_______． 3．将正数a 分成两部分，使其立方和为最小,这两部分应分成______和___．4．使内接椭圆2222b y a x +=1的矩形面积最大,矩形的长为_____，宽为_____．5．在半径为R 的圆内,作内接等腰三角形,当底边上高为___时,它的面积最大．答案：1． －15 2．2π －2π 3．2a 2a 4．2a 2b 5．23R四、小结 :（1）解有关函数最大值、最小值的实际问题，需要分析问题中各个变量之间的关系，找出适当的函数关系式，并确定函数的定义区间；所得结果要符合问题的实际意义．（2）根据问题的实际意义来判断函数最值时，如果函数在此区间上只有一个极值点,那么这个极值就是所求最值，不必再与端点值比较．（3)相当多有关最值的实际问题用导数方法解决较简单．五、课后作业：1．有一边长分别为8与5的长方形，在各角剪去相同的小正方形，把四边折起作成一个无盖小盒,要使纸盒的容积最大，问剪去的小正方形的边长应为多少？解：（1）正方形边长为x ,则V =（8－2x ）·(5－2x ）x =2（2x 3－13x 2+20x ）(0〈x 〈25)V ′=4(3x 2－13x +10)（0<x <25），V ′=0得x =1根据实际情况，小盒容积最大是存在的，∴当x =1时，容积V 取最大值为18．2．一条水渠，断面为等腰梯形，如图所示,在确定断面尺寸时，希望在断面ABCD 的面积为定值S 时，使得湿周l =AB +BC +CD 最小，这样可使水流阻力小，渗透少，求此时的高h 和下底边长b ． 解：由梯形面积公式,得S =21 (AD +BC ）h ,其中AD =2DE +BC ,DE =33h ，BC =b ，∴AD =332h +b , ∴S =h b h h b h )33()2332(21+=+ ①∵CD =h h 3230cos =︒,AB =CD ．∴l =h 32×2+b②由①得b =33-h S h ，代入②,∴l =h Sh h h S h +=-+333334 l ′=23h S -=0，∴h =43S , 当h 〈43S 时,l ′<0，h 〉43S 时,l ′>0． ∴h =43S时，l 取最小值，此时b =S 3324． 六、板书设计（略)b七、教学后记：风，没有衣裳；时间，没有居所；它们是拥有全世界的两个穷人生活不只眼前的苟且,还有诗和远方的田野。
2019高中数学 第一章1.3.3 函数的最大(小)值与导数学案 新人教A版选修2-2
1.3.3 函数的最大(小)值与导数学习目标：1.理解函数的最值的概念．(难点)2.了解函数的最值与极值的区别与联系．(易混点)3.会用导数求在给定区间上函数的最值．(重点)[自主预习·探新知]1．函数的最大(小)值的存在性一般地，如果在区间[a，b]上函数y＝f(x)的图象是一条连续不断的曲线，那么它必有最大值与最小值．思考：函数的极值与最值的区别是什么？[提示]函数的最大值和最小值是一个整体性概念，最大值必须是整个区间内所有函数值中的最大值；最小值必须是整个区间内所有函数值中的最小值．函数的最大值、最小值是比较整个定义区间的函数值得出的，函数的极值是比较极值点附近的函数值得出的，函数的极值可以有多个，但最值只能有一个；极值只能在区间内取得，最值则可以在端点取得；有极值的未必有最值，有最值的未必有极值；极值有可能成为最值，最值只要不在端点必定是极值．当连续函数f(x)在开区间(a，b)内只有一个导数为零的点时，若在这一点处f(x)有极大值(或极小值)，则可以判定f(x)在该点处取得最大值(或最小值)，这里(a，b)也可以是无穷区间．2．求函数f(x)在闭区间[a，b]上的最值的步骤(1)求函数y＝f(x)在(a，b)内的极值；(2)将函数y＝f(x)的各极值与端点处的函数值f(a)，f(b)比较，其中最大的一个就是最大值，最小的一个就是最小值．[基础自测]1．思考辨析(1)函数的最大值一定是函数的极大值．( )(2)开区间上的单调连续函数无最值．( )(3)函数f(x)在区间[a，b]上的最大值和最小值一定在两个端点处取得．( )[答案] (1)×(2)√(3)×2．函数f(x)＝2x－cos x在(－∞，＋∞)上( )A．无最值B．有极值C．有最大值D．有最小值A[f′(x)＝2＋sin x>0恒成立，所以f(x)在(－∞，＋∞)上单调递增，无极值，也无最值．]3．函数f(x)＝xe x在区间[2,4]上的最小值为( )A ．0B ．1eC ．4e4 D ．2e2 C [f ′(x )＝e x－x e xx 2＝1－xe x ，当x ∈[2,4]时，f ′(x )＜0，即函数f (x )在区间[2,4]上是单调递减函数，故当x ＝4时，函数f (x )有最小值4e4.]4．已知函数f (x )＝－x 3＋3x 2＋m (x ∈[－2,2])，f (x )的最小值为1，则m ＝________.【导学号：31062058】[解析] f ′(x )＝－3x 2＋6x ，x ∈[－2,2]． 令f ′(x )＝0，得x ＝0，或x ＝2， 当x ∈(－2,0)时，f ′(x )＜0， 当x ∈(0,2)时，f ′(x )＞0，∴当x ＝0时，f (x )有极小值，也是最小值． ∴f (0)＝m ＝1. [答案] 1[合 作 探 究·攻 重 难]角度1求下列各函数的最值． (1)f (x )＝3x 3－9x ＋5，x ∈[－2,2]；(2)f (x )＝sin 2x －x ，x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π2，π2. [解] (1)f ′(x )＝9x 2－9＝9(x ＋1)(x －1)， 令f ′(x )＝0得x ＝－1或x ＝1.当x 变化时，f ′(x )，f (x )变化状态如下表：当x ＝－1或x ＝2时，函数f (x )取得最大值11. (2)f ′(x )＝2cos 2x －1，令f ′(x )＝0，得cos 2x ＝12，又∵x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π2，π2，∴2x ∈[－π，π]．∴2x ＝±π3.∴x ＝±π6.∴函数f (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π2，π2上的两个极值分别为f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＝32－π6，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π6＝－32＋π6. 又f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＝－π2，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2＝π2.比较以上函数值可得f (x )max ＝π2，f (x )min ＝－π2.角度2 含参数的函数最值a 为常数，求函数f (x )＝－x 3＋3ax (0≤x ≤1)的最大值.【导学号：31062059】[解] f ′(x )＝－3x 2＋3a ＝－3(x 2－a )．若a ≤0，则f ′(x )≤0，函数f (x )单调递减，所以当x ＝0时，有最大值f (0)＝0.若a ＞0，则令f ′(x )＝0，解得x ＝±a .∵x ∈[0,1]，则只考虑x ＝a 的情况． (1)若0＜a ＜1，即0＜a ＜1，则当x ＝a 时，f (x )有最大值f (a )＝2a a .(如下表所示)当x ＝1时，f (x )有最大值f (1)＝3a －1.综上可知，当a ≤0，x ＝0时，f (x )有最大值0； 当0＜a ＜1，x ＝a 时，f (x )有最大值2a a ； 当a ≥1，x ＝1时，f (x )有最大值3a －1.[规律方法] 1.求解函数在固定区间上的最值，需注意以下几点对函数进行准确求导，并检验fx ＝0的根是否在给定区间内研究函数的单调性，正确确定极值和端点函数值比较极值与端点函数值的大小，确定最值.2.由于参数的取值范围不同会导致函数在所给区间上的单调性的变化，从而导致最值的变化，所以解决含参数的函数最值问题常常需要分类讨论，并结合不等式的知识进行求解.[跟踪训练]1．已知a 是实数，函数f (x )＝x 2(x －a )，求f (x )在区间[0,2]上的最大值． [解] f ′(x )＝3x 2－2ax .令f ′(x )＝0，解得x 1＝0，x 2＝2a 3.①当2a3≤0，即a ≤0时，f (x )在[0,2]上单调递增，从而f (x )max ＝f (2)＝8－4a . ②当2a3≥2，即a ≥3时，f (x )在[0,2]上单调递减，从而f (x )max ＝f (0)＝0.③当0＜2a 3＜2，即0＜a ＜3时，f (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，2a 3上单调递减，在⎣⎢⎡⎦⎥⎤2a 3，2上单调递增，从而f (x )max ＝⎩⎪⎨⎪⎧8－4a＜a ，＜a ＜， 综上所述，f (x )max ＝⎩⎪⎨⎪⎧8－4aa，a ＞29，求a ，b 的值.【导学号：31062060】[解] 由题设知a ≠0，否则f (x )＝b 为常函数，与题设矛盾． 求导得f ′(x )＝3ax 2－12ax ＝3ax (x －4)， 令f ′(x )＝0，得x 1＝0，x 2＝4(舍去)．(1)当a >0，且x 变化时，f ′(x )，f (x )的变化情况如下表：由表可知，当x ＝0时，f (x )取得极大值b ，也就是函数在[－1,2]上的最大值，∴f (0)＝b ＝3.又f (－1)＝－7a ＋3，f (2)＝－16a ＋3<f (－1)， ∴f (2)＝－16a ＋3＝－29，解得a ＝2.(2)当a <0时，同理可得，当x ＝0时，f (x )取得极小值b ，也就是函数在[－1,2]上的最小值，∴f (0)＝b ＝－29.又f (－1)＝－7a －29，f (2)＝－16a －29>f (－1)，∴f (2)＝－16a －29＝3，解得a ＝－2. 综上可得，a ＝2，b ＝3或a ＝－2，b ＝－29. [规律方法]已知函数在某区间上的最值求参数的值范围是求函数最值的逆向思维，一般先求导数，利用导数研究函数的单调性及极值点，探索最值点，根据已知最值列方程不等式解决问题.其中注意分类讨论思想的应用.[跟踪训练] 2．若函数f (x )＝xx 2＋a(a >0)在[1，＋∞)上的最大值为33，则a 的值为________． [解析] f ′(x )＝x 2＋a －2x 2x 2＋a 2＝a －x 2x 2＋a2，当x >a 时，f ′(x )<0，f (x )单调递减，当－a <x <a 时，f ′(x )>0，f (x )单调递增，当x ＝a 时，f (x )＝a 2a ＝33，a ＝32<1，不合题意．∴f (x )max ＝f (1)＝11＋a ＝33，a ＝3－1. [答案]3－1[探究问题1．对于函数y ＝f (x )，x ∈[a ，b ]，若f (x )≥c 或f (x )≤c 恒成立，则c 满足的条件是什么？提示：c ≤f (x )min 或c ≥f (x )max .2．对于函数y ＝f (x )，x ∈[a ，b ]，若存在x 0∈[a ，b ]，使得f (x )≥c 或f (x )≤c 成立，则c 满足的条件是什么？提示：c ≤f (x )max 或c ≥f (x )min .设函数f (x )＝tx 2＋2t 2x ＋t －1(x ∈R ，t >0)． (1)求f (x )的最小值h (t )；(2)若h (t )<－2t ＋m 对t ∈(0,2)恒成立，求实数m 的取值范围.【导学号：31062061】[思路探究](1)利用配方法，即可求出二次函数f(x)的最小值h(t)；(2)构造函数g(t)＝h(t)－(－2t＋m)，只需使g(t)在(0,2)上的最大值小于零即可求得m的取值范围．[解](1)∵f(x)＝t(x＋t)2－t3＋t－1(x∈R，t>0)，∴当x＝－t时，f(x)取最小值f(－t)＝－t3＋t－1，即h(t)＝－t3＋t－1.(2)令g(t)＝h(t)－(－2t＋m)＝－t3＋3t－1－m，由g′(t)＝－3t2＋3＝0，得t＝1或t＝－1(不合题意，舍去)．当t变化时，g′(t)，g(t)的变化情况如下表：∴g(h(t)<－2t＋m在(0,2)内恒成立等价于g(t)<0在(0,2)内恒成立，即等价于1－m<0.∴m 的取值范围为(1，＋∞)．母题探究：1.(变条件)若将本例(2)的条件改为“存在t∈[0,2]，使h(t)<－2t＋m成立”，则实数m的取值范围如何求解？[解]令g(t)＝h(t)－(－2t＋m)＝－t3＋3t－1－m，由g′(t)＝－3t2＋3＝0，得t＝1或t＝－1(不合题意，舍去)．当t变化时，g′(t)，g(t)的变化情况如下表：存在t∈[0,2]，使h(t)<－2t＋m成立，等价于g(t)的最小值g(2)<0.∴－3－m<0，∴m>－3，所以实数m的取值范围为(－3，＋∞)．2．(变条件)若将本例(2)的条件改为“对任意的t1，t2∈(0,2)，都有h(t1)＜－2t2＋m”，求实数m的取值范围．[解]∵h(t)＝－t3＋t－1，t∈(0,2)∴h′(t)＝－3t2＋1由h ′(t )＝0得t ＝33或t ＝－33(舍) 又当0＜t ＜33时，h ′(t )＞0， 当33＜t ＜2时，h ′(t )＜0. ∴当t ＝33时，h (t )max ＝－39＋33－1＝23－99. 令φ(t )＝－2t ＋m ，t ∈(0,2)， ∴φ(t )min ＞m －4. 由题意可知 23－99≤m －4， 即m ≥239＋3＝23＋279.∴实数m 的取值范围为⎣⎢⎡⎭⎪⎫23＋279，＋∞.[规律方法] 分离参数求解不等式恒成立问题的步骤所以实数的取值范围为⎣⎢⎡⎭⎪⎫23＋279，＋∞[当 堂 达 标·固 双 基]1．下列结论正确的是( )A ．若f (x )在[a ，b ]上有极大值，则极大值一定是[a ，b ]上的最大值B ．若f (x )在[a ，b ]上有极小值，则极小值一定是[a ，b ]上的最小值C ．若f (x )在[a ，b ]上有极大值，则极小值一定是x ＝a 和x ＝b 时取得D ．若f (x )在[a ，b ]上连续，则f (x )在[a ，b ]上存在最大值和最小值D [函数f (x )在[a ，b ]上的极值不一定是最值，最值也不一定是极值，极值一定不会在端点处取得，而在[a ，b ]上一定存在最大值和最小值．]2．函数y ＝x －sin x ，x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2，π的最大值是( ) A ．π－1 B ．π2－1C ．πD ．π＋1C [因为y ′＝1－cos x ，当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2，π时，y ′>0，则函数在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2，π上为增函数，所以y 的最大值为y max ＝π－sin π＝π，故选C.]3．函数f (x )＝x 3－3x (|x |＜1)( )【导学号：31062062】A ．有最大值，但无最小值B ．有最大值，也有最小值C ．无最大值，但有最小值D ．既无最大值，也无最小值D [f ′(x )＝3x 2－3＝3(x ＋1)(x －1)，当x ∈(－1,1)时，f ′(x )＜0，所以f (x )在(－1,1)上是单调递减函数，无最大值和最小值，故选D.]4．设函数f (x )＝x 3－x 22－2x ＋5，若对任意x ∈[－1,2]，都有f (x )＞m ，则实数m 的取值范围是________．[解析] f ′(x )＝3x 2－x －2＝0，x ＝1，－23.f (－1)＝512，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－23＝52227，f (1)＝312，f (2)＝7，∴m ＜312.【答案】 ⎝⎛⎭⎪⎫－∞，312 5．已知函数f (x )＝2x 3－6x 2＋a 在[－2,2]上有最小值－37，求a 的值，并求f (x )在[－2,2]上的最大值.【导学号：31062063】[解] f ′(x )＝6x 2－12x ＝6x (x －2)． 由f ′(x )＝0，得x ＝0或x ＝2.当x 变化时，f ′(x )，f (x )的变化情况如下表：min所以当x＝0时，f(x)取到最大值3.。
人教版高中数学选修(2-2)-1.3《函数的最大(小)值与导数》导学案
§1.3.3函数的最大（小）值与导数【学习目标】1．借助函数图像，直观地理解函数的最大值和最小值概念。
2．弄清函数最大值、最小值与极大值、极小值的区别与联系，理解和熟悉函数)(x f 必有最大值和最小值的充分条件。
3．掌握求在闭区间],[b a 上连续的函数)(x f 的最大值和最小值的思想方法和步骤。
【学习过程】（一）情景问题：极值反映的是函数在某一点附近的局部性质，而不是函数在整个定义域内的性质．也就是说，如果0x 是函数()y f x =的极大（小）值点，那么在点0x 附近找不到比()0f x 更大（小）的值．但是，在解决实际问题或研究函数的性质时，我们更关心函数在某个区间上，哪个值最大，哪个值最小．如果0x 是函数的最大（小）值点，那么()0f x 应满足什么条件呢？探究1：“最值”与“极值”的又有怎样的区别和联系呢？（二）合作探究、精讲点拨例题：求()31443f x x x =-+在[]0,3的最大值与最小值探究2：你能总结一下，连续函数在闭区间上求最值的步骤吗？变式训练：求下列函数的最值：（1）已知]1,31[,126)(3-∈+-=x x x x f ，则函数的最大值为______，最小值为______。
（2）已知]2,1[,26)(2∈--=x x x x f ，则函数的最大值为______，最小值为______。
（3）已知]3,3[,27)(3-∈-=x x x x f ，则函数的最大值为______，最小值为______。
课后练习与提高1．下列说法中正确的是（ ）A.函数若在定义域内有最值和极值，则其极大值便是最大值，极小值便是最小值B.闭区间上的连续函数一定有最值，也一定有极值C.若函数在其定义域上有最值，则一定有极值；反之，若有极值，则一定有最值D.若函数在定区间上有最值，则最多有一个最大值，一个最小值，但若有极值，则可有多个极值2．函数a ax x x f --=3)(3在)1,0(内有最小值，则a 的取值范围是（ ）A.10<≤aB.10<<aC.11<<-aD.210<<a 3．已知函数a x x x f +-=2362)(在[－2，2]上有最小值－37，（1）求实数a 的值；（2）求)(x f 在[－2，2]上的最大值。
高二数学(人教版)选修2-2导学案：1.3.3函数的最大(小)值和导数(无答案)
编号： gswhsxxx2-2-0108文华高中高二数学选修2--2 第一章《导数及其应用》§1.3.3 函数的最大（小）值与导数导教案学习目标⒈理解函数的最大值和最小值的观点；⒉掌握用导数求函数最值的方法和步骤 .3.经过对导数的认识，感觉数学科学的无量魅力，培育学习数学的浓重兴趣。
要点、难点用导数求函数最值的方法和步骤 .一、自主学习预习与反应（预习教材 P2931~ P ）复习 1：若x0知足f ( x0) 0 ，且在 x0的双侧 f ( x) 的导数异号，则x0是 f (x) 的极值点，f ( x0 ) 是极值，而且假如 f (x) 在 x0双侧知足“左正右负”，则 x0是 f (x) 的点， f ( x0 ) 是极值；假如 f ( x) 在 x0 双侧知足“左负右正”，则 x0是 f ( x) 的点， f ( x0 ) 是极值复习2：已知函数 f ( x) ax 3bx21时获得极值，且 f (1) 1 ，（ 1）试求常cx(a 0) 在 x数 a、 b、 c 的值；（ 2）试判断 x 1 时函数有极大值仍是极小值，并说明原因函数的最大（小）值1.一般地，在闭区间a,b 上连续的函数 f ( x) 在a, b上必有最大值与最小值.2.在闭区间 [ a,b] 上连续， (a, b) 内可导， f ( x) 在闭区间 [ a, b] 上求最大值与最小值的步骤是：（ 1）；（ 2）。
3.函数在其定义区间上的最大值、最小值最多各有一个，而函数的极值可能不只一个，可能一个没有 .二，典型例题例 1 求函数 . 求函数 f ( x) 3x x34, x [1,2] 上的最大值与最小值.变式 . 已知函数3 2f ( x) 2x 6 x a 在 [ 2,2] 上有最小值 37 .（1）务实数a的值；（2）求 f ( x) 在 [ 2,2] 上的最大值．例 2 ．设函数 f x ax3 bx c a 0 为奇函数，其图象在点1, f 1 处的切线与直线x 6 y 7 0 垂直，导函数 f x 的最小值为－ 12．（ 1）求 a， b，c 的值；（ 2）求函数 f x 的单一递加区间，并求函数 f x 在 1,3 上的最大值和最小值．变式：设2a 1 ，函数 f ( x) x33 ax2b 在区间 [ 1,1] 上的最大值为1，最小值为 6 ，3 2 2求函数的分析式.三，讲堂小结设函数 f (x) 在a,b上连续，在 (a,b) 内可导，则求 f ( x) 在a, b上的最大值与最小值的步骤以下：⑴求 f (x) 在 (a,b) 内的极值；⑵将 f (x) 的各极值与 f ( a) 、 f (b) 比较得出函数 f ( x) 在a, b上的最值.本节课我最大的收获是:我存在的迷惑有:《函数的最大（小）值与导数》节节过关达标检测班级组名学生姓名1. 若函数 f ( x)33x a 在区间 [0,3] 上的最大值、最小值分别为M、N，则 M N 的值为x（）A ． 2 B． 4 C． 18 D．202. 函数 f (x)3 21) （）x 3x(xA ．有最大值但无最小值B ．有最大值也有最小值C．无最大值也无最小值 D ．无最大值但有最小值3. 已知函数 y x2 2 x 3 在区间 [ a,2] 上的最大值为15，则 a 等于（）4A ． 3 B．1C． 1 D．1或 32 2 2 2 24. 函数 y x 2 x 在 [0,4] 上的最大值为5. 已知 f (x) 2x 3 6 x2 m（m为常数）在 [ 2,2] 上有最大值，那么此函数在 [ 2,2] 上的最小值是6. 已知函数 f ( x) x3 3x2 9 x a ，（ 1）求 f (x) 的单一区间；（ 2）若 f ( x) 在区间 [ 2,2] 上的最大值为20，求它在该区间上的最小值 .7.已知函数 f （x）＝ x3＋ ax2＋bx＋ c 在 x＝－23与 x＝ 1 时都获得极值（1）求 a、 b 的值与函数 f （ x）的单一区间 ;（2）若对 x 〔－ 1， 2〕，不等式 f （x） c2恒建立，求 c 的取值范围。
人教A版选修2-2 1.3.3 函数的最大(小)值与导数 学案
1.3.3 函数的最大(小)值与导数[学习目标]1．理解函数最值的概念，了解其与函数极值的区别与联系．2．会求某闭区间上函数的最值．[知识链接]极值反映的是函数在某一点附近的局部性质，而不是函数在整个定义域内的性质，但是我们往往更关心函数在某个区间上哪个值最大，哪个值最小，函数的极值与最值有怎样的关系？答函数的最大值、最小值是比较整个定义区间的函数值得出的，函数的极值是比较极值点附近的函数值得出的，函数的极值可以有多个，但最值只能有一个；极值只能在区间内取得，最值则可以在端点处取得；有极值的未必有最值，有最值的未必有极值；极值有可能成为最值，最值只要不在端点处取得必定是极值，所以在开区间(a，b)上若存在最值，则必是极值．[预习导引]1．函数f(x)在闭区间[a，b]上的最值函数f(x)在闭区间[a，b]上的图象是一条连续不断的曲线，则该函数在[a，b]上一定能够取得最大值与最小值，函数的最值必在端点处或极值点处取得．2．求函数y＝f(x)在[a，b]上的最值的步骤(1)求函数y＝f(x)在(a，b)内的极值；(2)将函数y＝f(x)的各极值与端点处的函数值f(a)，f(b)比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值．3．函数在开区间(a，b)的最值在开区间(a，b)内连续的函数不一定有最大值与最小值；若函数f(x)在开区间I上只有一个极值，且是极大(小)值，则这个极大(小)值就是函数f(x)在区间I上的最大(小)值．4．极值与最值的意义(1)最值是在区间[a，b]上的函数值相比较最大(小)的值；(2)极值是在区间[a，b]上的某一个数值x0附近相比较最大(小)的值．要点一求函数在闭区间上的最值例1 求下列各函数的最值：(1)f(x)＝－x4＋2x2＋3，x∈[－3,2]；(2)f(x)＝x3－3x2＋6x－2，x∈[－1,1]．解(1)f′(x)＝－4x3＋4x，令f′(x)＝－4x(x＋1)(x－1)＝0，得x＝－1，x＝0，x＝1.当x变化时，f′(x)及f(x)的变化情况如下表：当x＝－1或x＝1时，f(x)取最大值4.(2)f′(x)＝3x2－6x＋6＝3(x2－2x＋2)＝3(x－1)2＋3，∵f′(x)在[－1,1]内恒大于0，∴f(x)在[－1,1]上为增函数．故x＝－1时，f(x)＝－12；最小值x＝1时，f(x)最大值＝2.即f(x)的最小值为－12，最大值为2.规律方法(1)求函数的最值，显然求极值是关键的一环．但仅仅是求最值，可用下面简化的方法求得．①求出导数为零的点．②比较这些点与端点处函数值的大小，就可求出函数的最大值和最小值．(2)若函数在闭区间[a，b]上连续且单调，则最大、最小值在端点处取得．跟踪演练1 求下列函数的最值：(1)f(x)＝13x3－4x＋4，x∈[0,3]；(2)f(x)＝e x(3－x2)，x∈[2,5]．解(1)∵f(x)＝13x3－4x＋4，∴f′(x)＝x2－4.令f′(x)＝0，得x1＝－2，x2＝2.∵f(2)＝－43，f(0)＝4，f(3)＝1，∴函数f(x)在[0,3]上的最大值为4，最小值－4 3 .(2)∵f(x)＝3e x－e x x2，∴f′(x)＝3e x－(e x x2＋2e x x)＝－e x(x2＋2x－3)＝－e x(x＋3)(x－1)，∵在区间[2,5]上，f′(x)＝－e x(x＋3)(x－1)＜0，即函数f(x)在区间[2,5]上单调递减，∴x＝2时，函数f(x)取得最大值f(2)＝－e2；x＝5时，函数f(x)取得最小值f(5)＝－22e5.要点二含参数的函数的最值问题例2 已知a是实数，函数f(x)＝x2(x－a)．求f(x)在区间[0,2]上的最大值．解 令f ′(x )＝0，解得x 1＝0，x 2＝2a3.①当2a3≤0，即a ≤0时，f (x )在[0,2]上单调递增， 从而f (x )max ＝f (2)＝8－4a . ②当2a3≥2，即a ≥3时，f (x )在[0,2]上单调递减， 从而f (x )max ＝f (0)＝0.③当0<2a3<2，即0<a <3时，f (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，2a 3上单调递减，在⎣⎢⎡⎦⎥⎤2a 3，2上单调递增，从而f (x )max ＝{ 8－4a0<a ≤2，2<a <3，综上所述，f (x )max ＝{ 8－4a a ≤2，0 a >2.规律方法 由于参数的取值范围不同会导致函数在所给区间上的单调性的变化，从而导致最值的变化．所以解决这类问题常需要分类讨论，并结合不等式的知识进行求解．跟踪演练2 在本例中，区间[0,2]改为[－1,0]结果如何？ 解 令f ′(x )＝0，解得x 1＝0，x 2＝23a ，①当23a ≥0，即a ≥0时，f (x )在[－1,0]上单调递增，从而f (x )max ＝f (0)＝0；②当23a ≤－1，即a ≤－32时，f (x )在[－1,0]上单调递减，从而f (x )max ＝f (－1)＝－1－a ；③当－1<23a <0，即－32<a <0时，f (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1，23a 上单调递增；在⎣⎢⎡⎦⎥⎤23a ，0上单调递减， 则f (x )max ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫23a ＝－427a 3.综上所述：f (x )max＝⎩⎪⎪⎨⎪⎪⎧－1－a ，a ≤－32－427a 3－32<a <00，a ≥0.要点三 函数最值的应用例3 设函数f (x )＝tx 2＋2t 2x ＋t －1(x ∈R ，t ＞0)． (1)求f (x )的最小值h (t )；(2)若h (t )＜－2t ＋m 对t ∈(0,2)恒成立，求实数m 的取值范围． 解 (1)∵f (x )＝t (x ＋t )2－t 3＋t －1 (x ∈R ，t ＞0)， ∴当x ＝－t 时，f (x )取最小值f (－t )＝－t 3＋t －1， 即h (t )＝－t 3＋t －1.(2)令g (t )＝h (t )－(－2t ＋m )＝－t 3＋3t －1－m ，由g ′(t )＝－3t 2＋3＝0得t ＝1，t ＝－1(不合题意，舍去)． 当t 变化时，g ′(t )，g (t )的变化情况如下表：maxh(t)<－2t－m对t∈(0,2)恒成立，也就是g(t)<0，对t∈(0,2)恒成立，只需g(t)max＝1－m<0，∴m>1.故实数m的取值范围是(1，＋∞)．规律方法(1)“恒成立”问题向最值问题转化是一种常见的题型，一般地，可采用分离参数法进行转化．λ≥f(x)恒成立⇔λ≥[f(x)]max；λ≤f(x)恒成立⇔λ≤[f(x)]min.对于不能分离参数的恒成立问题，直接求含参函数的最值即可．(2)此类问题特别要小心“最值能否取得到“和“不等式中是否含等号”的情况，以此来确定参数的范围能否取得“＝”．跟踪演练3 设函数f(x)＝2x3－9x2＋12x＋8c，(1)若对任意的x∈[0,3]，都有f(x)＜c2成立，求c的取值范围；(2)若对任意的x∈(0,3)，都有f(x)＜c2成立，求c的取值范围．解(1)∵f′(x)＝6x2－18x＋12＝6(x－1)(x－2)．∴当x∈(0,1)时，f′(x)＞0；当x∈(1,2)时，f′(x)＜0；当x∈(2,3)时，f′(x)＞0.∴当x＝1时，f(x)取极大值f(1)＝5＋8c.又f(3)＝9＋8c＞f(1)，∴x∈[0,3]时，f(x)的最大值为f(3)＝9＋8c.∵对任意的x∈[0,3]，有f(x)＜c2恒成立，∴9＋8c＜c2，即c＜－1或c＞9.∴c的取值范围为(－∞，－1)∪(9，＋∞)．(2)由(1)知f(x)＜f(3)＝9＋8c，∴9＋8c≤c2，即c≤－1或c≥9，∴c的取值范围为(－∞，－1]∪[9，＋∞)．1．函数f(x)＝－x2＋4x＋7，在x∈[3,5]上的最大值和最小值分别是( ) A．f(2)，f(3) B．f(3)，f(5)C ．f (2)，f (5)D ．f (5)，f (3)答案 B解析 ∵f ′(x )＝－2x ＋4， ∴当x ∈[3,5]时，f ′(x )<0， 故f (x )在[3,5]上单调递减，故f (x )的最大值和最小值分别是f (3)，f (5)． 2．函数f (x )＝x 3－3x (|x |＜1)( ) A ．有最大值，但无最小值 B ．有最大值，也有最小值 C ．无最大值，但有最小值 D ．既无最大值，也无最小值 答案 D解析 f ′(x )＝3x 2－3＝3(x ＋1)(x －1)，当x ∈(－1,1)时，f ′(x )＜0，所以f (x )在(－1,1)上是单调递减函数，无最大值和最小值，故选D. 3．函数y ＝x －sin x ，x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2，π的最大值是( )A ．π－1B ．π2－1C ．πD ．π＋1答案 C解析 因为y ′＝1－cos x ，当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2，π时，y ′＞0，则函数在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2，π上为增函数，所以y 的最大值为y max ＝π－sin π＝π，故选C.4．(2012·安徽改编)函数f (x )＝e xsin x 在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2上的值域为( )A.⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，e π2B ．⎝⎛⎭⎪⎫0，e π2C ．⎣⎢⎡⎭⎪⎫0，e π2D ．⎝⎛⎦⎥⎤0，e π2答案 A解析 f ′(x )＝e x (sin x ＋cos x )． ∵x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2，f ′(x )＞0.∴f (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2上是单调增函数，∴f (x )min ＝f (0)＝0，f (x )max ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＝e π2.5．函数f (x )＝x 3－3x 2－9x ＋k 在区间[－4,4]上的最大值为10，则其最小值为________． 答案 －71解析 f ′(x )＝3x 2－6x －9＝3(x －3)(x ＋1)． 由f ′(x )＝0得x ＝3或x ＝－1. 又f (－4)＝k －76，f (3)＝k －27，f (－1)＝k ＋5，f (4)＝k －20. 由f (x )max ＝k ＋5＝10，得k ＝5， ∴f (x )min ＝k －76＝－71.1．求函数的最值时，应注意以下几点：(1)函数的极值是在局部范围内讨论问题，是一个局部概念，而函数的最值是对整个定义域而言，是在整体范围内讨论问题，是一个整体性的概念．(2)闭区间[a ，b ]上的连续函数一定有最值．开区间(a ，b )内的可导函数不一定有最值，但若有唯一的极值，则此极值必是函数的最值．(3)函数在其定义域上的最大值与最小值至多各有一个，而函数的极值则可能不止一个，也可能没有极值，并且极大值(极小值)不一定就是最大值(最小值)．2．求含参数的函数最值，可分类讨论求解．3．“恒成立”问题可转化为函数最值问题.一、基础达标1．函数y＝f(x)在[a，b]上( )A．极大值一定比极小值大B．极大值一定是最大值C．最大值一定是极大值D．最大值一定大于极小值答案 D解析由函数的最值与极值的概念可知，y＝f(x)在[a，b]上的最大值一定大于极小值．2．函数y＝x e－x，x∈[0,4]的最大值是( )A．0 B．1 eC．4e4D．2e2答案 B解析y′＝e－x－x·e－x＝e－x(1－x)，令y′＝0，∴x＝1，∴f(0)＝0，f(4)＝4e4，f(1)＝e－1＝1e，∴f(1)为最大值，故选B.3．函数y＝ln xx的最大值为( )A．e－1B．eC．e2D．10 3答案 A解析 令y ′＝ln x ′x －ln x ·x ′x 2＝1－ln xx 2＝0.(x ＞0)解得x ＝e.当x >e 时，y ′<0；当0＜x <e 时，y ′＞0. y 极大值＝f (e)＝1e ，在定义域(0，＋∞)内只有一个极值，所以y max ＝1e.4．函数y ＝4xx 2＋1在定义域内( )A ．有最大值2，无最小值B ．无最大值，有最小值－2C ．有最大值2，最小值－2D ．无最值 答案 C 解析 令y ′＝4x 2＋1－4x ·2x x 2＋12＝－4x 2＋4x 2＋12＝0，得x ＝±1.当x 变化时，y ′，y 随x 的变化如下表：x (－∞，－1)－1 (－1,1) 1 (1，＋∞)y ′ －0 ＋0 －y极小值极大值最大值2.5．已知函数f (x )＝e x －2x ＋a 有零点，则a 的取值范围是________． 答案 (－∞，2ln 2－2]解析 函数f (x )＝e x －2x ＋a 有零点，即方程e x －2x ＋a ＝0有实根，即函数g (x )＝2x －e x ，y ＝a 有交点，而g ′(x )＝2－e x ，易知函数g (x )＝2x －e x 在(－∞，ln 2)上递增，在(ln 2，＋∞)上递减，因而g (x )＝2x －e x 的值域为(－∞，2ln 2－2]，所以要使函数g (x )＝2x －e x ，y ＝a 有交点，只需a ≤2ln 2－2即可．6．函数y ＝x ＋2cos x 在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2上的最大值是________．答案 π6＋ 3解析 y ′＝1－2sin x ＝0，x ＝π6，比较0，π6，π2处的函数值，得y max ＝π6＋ 3.7．已知函数f (x )＝2x 3－6x 2＋a 在[－2,2]上有最小值－37，求a 的值及f (x )在[－2,2]上的最大值．解 f ′(x )＝6x 2－12x ＝6x (x －2)， 令f ′(x )＝0，得x ＝0或x ＝2，当x 变化时，f ′(x )，f (x )的变化情况如下表：min 当x ＝0时，f (x )的最大值为3. 二、能力提升8．设直线x ＝t 与函数f (x )＝x 2，g (x )＝ln x 的图象分别交于点M ，N ，则当|MN |达到最小时t 的值为( ) A ．1B ．12C ．52D ．22答案 D 解析由题意画出函数图象如图所示，由图可以看出|MN|＝y＝t2－ln t(t>0)．y′＝2t－1t＝2t2－1t＝2⎝⎛⎭⎪⎫t＋22⎝⎛⎭⎪⎫t－22t.当0＜t＜22时，y′＜0，可知y在⎝⎛⎭⎪⎫0，22上单调递减；当t＞22时，y′＞0，可知y在⎝⎛⎭⎪⎫22，＋∞上单调递增．故当t＝22时，|MN|有最小值．9．(2014·湖北重点中学检测)已知函数f(x)＝x3－tx2＋3x，若对于任意的a∈[1,2]，b∈(2,3]，函数f(x)在区间[a，b]上单调递减，则实数t的取值范围是( ) A．(－∞，3] B．(－∞，5] C．[3，＋∞) D．[5，＋∞)答案 D解析∵f(x)＝x3－tx2＋3x，∴f′(x)＝3x2－2tx＋3，由于函数f(x)在[a，b]上单调递减，则有f′(x)≤0在[a，b]上恒成立，即不等式3x2－2tx＋3≤0在[a，b]上恒成立，即有t≥32⎝⎛⎭⎪⎫x＋1x在[a，b]上恒成立，而函数y＝32⎝⎛⎭⎪⎫x＋1x在[1,3]上单调递增，由于a∈[1,2]，b∈(2,3]，当b＝3时，函数y＝32⎝⎛⎭⎪⎫x＋1x取得最大值，即y max＝32⎝⎛⎭⎪⎫3＋13＝5，所以t≥5，故选D.10．如果函数f (x )＝x 3－32x 2＋a 在[－1,1]上的最大值是2，那么f (x )在[－1,1]上的最小值是________． 答案 －12解析 f ′(x )＝3x 2－3x ，令f ′(x )＝0得x ＝0，或x ＝1. ∵f (0)＝a ，f (－1)＝－52＋a ，f (1)＝－12＋a ，∴f (x )max ＝a ＝2. ∴f (x )min ＝－52＋a ＝－12.11．已知函数f (x )＝x 3－ax 2＋bx ＋c (a ，b ，c ∈R )．(1)若函数f (x )在x ＝－1和x ＝3处取得极值，试求a ，b 的值；(2)在(1)的条件下，当x ∈[－2,6]时，f (x )＜2|c |恒成立，求c 的取值范围． 解 (1)f ′(x )＝3x 2－2ax ＋b ，∵函数f (x )在x ＝－1和x ＝3处取得极值， ∴－1,3是方程3x 2－2ax ＋b ＝0的两根．∴⎩⎨⎧－1＋3＝23a－1×3＝b 3，∴⎩⎪⎨⎪⎧a ＝3b ＝－9.(2)由(1)知f (x )＝x 3－3x 2－9x ＋c ，f ′(x )＝3x 2－6x －9，令f ′(x )＝0，得x ＝－1或x ＝3. 当x 变化时，f ′(x )，f (x )随x 的变化如下表：∴当x∈[－2,6]时，f(x)的最大值为c＋54，要使f(x)＜2|c|恒成立，只要c＋54＜2|c|即可，当c≥0时，c＋54＜2c，∴c＞54；当c＜0时，c＋54＜－2c，∴c＜－18.∴c的取值范围是(－∞，－18)∪(54，＋∞)，此即为参数c的取值范围．12．已知函数f(x)＝－x3＋3x2＋9x＋a.(1)求f(x)的单调递减区间；(2)若f(x)在区间[－2,2]上的最大值为20，求它在该区间上的最小值．解(1)∵f′(x)＝－3x2＋6x＋9.令f′(x)＜0，解得x＜－1或x＞3，∴函数f(x)的单调递减区间为(－∞，－1)，(3，＋∞)．(2)∵f(－2)＝8＋12－18＋a＝2＋a，f(2)＝－8＋12＋18＋a＝22＋a，∴f(2)＞f(－2)．于是有22＋a＝20，∴a＝－2.∴f(x)＝－x3＋3x2＋9x－2.∵在(－1,3)上f′(x)＞0，∴f(x)在[－1,2]上单调递增．又由于f(x)在[－2，－1]上单调递减，∴f(2)和f(－1)分别是f(x)在区间[－2,2]上的最大值和最小值，∴f(－1)＝1＋3－9－2＝－7，即f(x)最小值为－7.三、探究与创新13．(2013·新课标Ⅰ)已知函数f(x)＝x2＋ax＋b，g(x)＝e x(cx＋d)，若曲线y ＝f(x)和曲线y＝g(x)都过点P(0,2)，且在点P处有相同的切线y＝4x＋2. (1)求a，b，c，d的值；(2)若x≥－2时，f(x)≤kg(x)，求k的取值范围．解(1)由已知得f(0)＝2，g(0)＝2，f′(0)＝4，g′(0)＝4，而f′(x)＝2x＋a，g′(x)＝e x(cx＋d＋c)，∴a＝4，b＝2，c＝2，d＝2.(2)由(1)知，f(x)＝x2＋4x＋2，g(x)＝2e x(x＋1)，设函数F(x)＝kg(x)－f(x)＝2k e x(x＋1)－x2－4x－2(x≥－2)，F′(x)＝2k e x(x ＋2)－2x－4＝2(x＋2)(k e x－1)．由题设可得F(0)≥0，即k≥1，令F′(x)＝0得x1＝－ln k，x2＝－2，①若1≤k＜e2，则－2＜x1≤0，∴当x∈(－2，x1)时，F′(x)＜0，当x∈(x，＋∞)时，F′(x)＞0，即F(x)在(－2，x1)单调递减，在1(x1，＋∞)单调递增，故F(x)在x＝x1取最小值F(x1)，而F(x1)＝2x1＋2－x21－4x1－2＝－x1(x1＋2)≥0.∴当x≥－2时，F(x)≥0，即f(x)≤kg(x)恒成立．②若k＝e2，则F′(x)＝2e2(x＋2)(e x－e2)，∴当x≥－2时，F′(x)≥0，∴F(x)在(－2，＋∞)单调递增，而F(－2)＝0，∴当x≥－2时，F(x)≥0，即f(x)≤kg(x)恒成立，③若k＞e2，则F(－2)＝－2k e－2＋2＝－2e－2(k－e2)＜0，∴当x≥－2时，f(x)≤kg(x)不可能恒成立．综上所述，k的取值范围为[1，e2].。
1.3.3函数的最大(小)值与导数(学生学案)
SCH 南极数学人教A 版选修2-2第一单元《导数及其应用》同步教学设计 班级 姓名 座号1.3.3函数的最大（小）值与导数（学生学案） 例1（课本P30例5）求()31443f x x x =-+在[]0,3的最大值与最小值变式训练1（课本P31练习）例2 设函数f (x )＝tx 2＋2t 2x ＋t －1(x ∈R ，t ＞0)． (1)求f (x )的最小值h (t )；(2)若h (t )＜－2t ＋m 对t ∈(0,2)恒成立，求实数m 的取值范围．规律方法 (1)“恒成立”问题向最值问题转化是一种常见的题型，一般地，可采用分离参数法进行转化．λ≥f (x )恒成立⇔λ≥[f (x )]max ；λ≤f (x )恒成立⇔λ≤[f (x )]min .对于不能分离参数的恒成立问题，直接求含参函数的最值即可． (2)此类问题特别要小心“最值能否取得到“和“不等式中是否含等号”的情况，以此来确定参数的范围能否取得“＝”．变式训练2 （1）:设函数f (x )＝2x 3－9x 2＋12x ＋8c ， (1)若对任意的x ∈[0,3]，都有f (x )＜c 2成立，求c 的取值范围；(2)若对任意的x ∈(0,3)，都有f (x )＜c 2成立，求c 的取值范围．变式训练2（2）：已知函数f (x )＝x (x 2－a )(a ∈R)，g (x )＝ln x ．若在区间[1,2]上f (x )的图象在g (x )图象的上方(没有公共点)，求实数a 的取值范围．例3：已知h (x )＝x 3＋3x 2－9x ＋1在区间[k,2]上的最大值是28，求k 的取值范围．反思与感悟 已知函数在某区间上的最值求参数的值(范围)是求函数最值的逆向思维，一般先求导数，利用导数研究函数的单调性及极值点，探索最值点，根据已知最值列方程(不等式)解决问题．其中注意分类讨论思想的应用．变式训练3：若函数f (x )＝3x －x 3在区间(a 2－12，a )上有最小值，则实数a 的取值范围是( )A ．(－1，11)B ．(－1,4)C ．(－1,2]D ．(－1,2)例4：求证：当x >0时，ln(x ＋1)>x －12x 2.反思与感悟 1.解决本题首先要注意函数的定义域，再正确地构造出函数f (x )＝ln(x ＋1)－x ＋12x 2，把问题转化为求函数f (x )的最值．2．利用函数的最值证明不等式的基本步骤是： (1)将不等式构造成f (x )>0(或<0)的形式；(2)利用导数将函数y ＝f (x )在所给区间上的最小值(或最大值)求出．3．证明y ＝f (x )的最小值(或最大值)大于零(或小于零)，即证不等式成立．变式训练：当x >0时，求证：1＋2x <e 2x . 【课时作业】1．函数f (x )＝－x 2＋4x ＋7，在x ∈[3,5]上的最大值和最小值分别是( )A ．f (2)，f (3)B ．f (3)，f (5)C ．f (2)，f (5)D ．f (5)，f (3) 2．函数f (x )＝x 3－3x (|x |＜1)( ) A ．有最大值，但无最小值B ．有最大值，也有最小值C ．无最大值，但有最小值D ．既无最大值，也无最小值3．函数y ＝x －sin x ，x ∈⎣⎡⎦⎤π2，π的最大值是( )A ．π－1B ．π2－1 C ．π D ．π＋14．函数f (x )＝e x sin x 在区间⎣⎡⎦⎤0，π2上的值域为( ) A.⎣⎡⎦⎤0，e π2 B ．⎝⎛⎭⎫0，e π2 C ．⎣⎡⎭⎫0，e π2 D ．⎝⎛⎦⎤0，e π2 5．函数y ＝ln xx的最大值为( )A ．e －1 B ．e C ．e2 D ．1036．函数y ＝4xx 2＋1在定义域内( )A ．有最大值2，无最小值B ．无最大值，有最小值－2C ．有最大值2，最小值－2D ．无最值7．函数f (x )＝x 3－3x 2－9x ＋k 在区间[－4,4]上的最大值为10，则其最小值为________．8．已知函数f (x )＝e x －2x ＋a 有零点，则a 的取值范围是________．9．函数y ＝x ＋2cos x 在区间⎣⎡⎦⎤0，π2上的最大值是________． 10、（课本P31习题1.3 A 组：NO ：6（1）（2）（3）（4）） 11、（课本P32习题1.3 B 组：NO ：1（1）（2）（3）（4）） 12．已知函数f (x )＝2x 3－6x 2＋a 在[－2,2]上有最小值－37，求a 的值及f (x )在[－2,2]上的最大值．13．已知函数f (x )＝x 3－ax 2＋bx ＋c (a ，b ，c ∈R)．(1)若函数f (x )在x ＝－1和x ＝3处取得极值，试求a ，b 的值；(2)在(1)的条件下，当x ∈[－2,6]时，f (x )＜2|c |恒成立，求c 的取值范围．14．已知函数f (x )＝－x 3＋3x 2＋9x ＋a . (1)求f (x )的单调递减区间；(2)若f (x )在区间[－2,2]上的最大值为20，求它在该区间上的最小值．。
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源谭中学数学科导学案模式（初稿）
课题：函数的最大（小）值与导数
班级上课教师时间
【预习课导学】﹙晚自习20分钟﹚：
【展示课导学】（课堂教学40分钟）
【教学目标】
1、进一步熟练函数的最大值与最小值的求法；
2、初步会解有关函数最大值、最小值的实际问题
【教学重点】：利用导数求给定区间上函数的最大值、最小值。
【教学难点】：函数最大值、最小值与函数极大值、极小值的区别与联系。
【教学方法】：启发引导式教学法。
【教学手段】：讲练结合
【导学过程】：
一、复习引入：
1、极大值：
2、极小值：
3、最大值
4、最小值
【训练课导学】
一、基础题·
1 求下列函数的最值：
（1）已知，则函数的最大值为______，最小值为______。
（2）已知，则函数的最大值为______，最小值为______。
（3）已知，则函数的最大值为______，最小值为______。
（4）则函数的最大值为______，最小值为______。
二、提高题·
【作业】
1．下列说法中正确的是（）
A 函数若在定义域内有最值和极值，则其极大值便是最大值，极小值便是最小值
B 闭区间上的连续函数一定有最值，也一定有极值
C 若函数在其定义域上有最值，则一定有极值；反之，若有极值，则一定有最值
D 若函数在定区间上有最值，则最多有一个最大值，一个最小值，但若有极值，则可有多个极值
2．函数|1|-=x y ，下列结论中正确的是（ ）
A y 有极小值0，且0也是最小值
B y 有最小值0，但0不是极小值
C y 有极小值0，但0不是最小值
D 因为y 在1=x 处不可导，所以0即非最小值也非极值
3．函数a ax x x f --=3)(3在)1,0(内有最小值，则a 的取值范围是（ ）
A 10<≤a
B 10<<a
C 11<<-a
D 210<
<a 4．函数]4,0[,)(∈=-x xe x f x 的最小值是（ ） A 0 B e 1 C 44e D 22e
5．给出下面四个命题：
（1）函数]1,1[,452-∈+-=x x x y 的最大值为10，最小值为4
9-； （2）函数]4,2[,1422∈+-=x x x y 的最大值为17，最小值为1；
（3）函数]3,3[,123-∈-=x x x y 的最大值为16，最小值为－16；
（4）函数]2,2[,123-∈-=x x x y 无最大值，无最小值。
其中正确的命题有
A 1个
B 2个
C 3个
D 4个
6．函数]2,2[,1
4)(2-∈+=x x x x f 的最大值是__________，最小值是_____________。
7．函数),2[,3+∞∈+=x x
x y 的最小值为____________。
8．已知m m x x x f (62)(23+-=为常数），在[－2，2]上有最大值3，求函数在区间
[－2，2]上的最小值。
9．（1）求函数]1,1[,263)(2
3-∈-+-=x x x x x f 的最大值和最小值；
（2）求函数348)(x x x f -=的极值。
1．设0>a 为常数，求函数x x e e y 2---=在区间],0[a 上的最大值和最小值。
1． 设522
1)(23+--=x x x x f ，（1）求函数)(x f 的单调递增，递减区间； （2）当]2,1[-∈x 时，m x f <)(恒成立，求实数m 的取值范围。
3．已知函数),1[,2)(2+∞∈++=x x
a x x x f ， （1）当2
1=a ，求函数)(x f 的最小值； （2）若对于任意0)(),,1[>+∞∈x f x 恒成立，试求实数a 的取值范围。
4．已知函数x ax x x f 3)(23--=，
（1）若函数)(x f 在],1[+∞上是增函数，求实数a 的取值范围；
（2）若31-
=x 是)(x f 的极值点，求)(x f 在],1[a 上的最大值；
（3）在（2）的条件下，是否存在实数b ，使得函数bx x g =)(的图像与函数)(x f 的图像恰有3个交点，若存在 ，求出实数b 的取值范围；取不存在，试说明理由。
5．当]2,1(∈x 时，函数12)(-=
x x x f 恒大于正数a ，试求函数)3lg(2+-=a a y 的最小值。
1．（1）若2ln 0<<a 在区间],0[a 上，当a x =时，有最大值a a e e 2---；当0=x 时，有最小值0。
（2）
当2ln ≥a ，在区间],0[a 上，当2ln =x 时，有最大值4
1；当0=x 时，有最小值0。
2．（1）递增区间为)32,(--∞和),1(+∞，递减区间为)1,3
2(-；（2）7>m 。
3．（1）2
7（2）3->a 。
4．（1）0≤a ，（2）6)1(-=f ，（3）7->b 且3-≠b 。
5．当21=a 时，4
11lg min =y 。
学习评价
自我评价：你完成本节导学案的情况为（ ）.
A. 很好
B. 较好
C. 一般
D. 较差
自主反思：
1、知识盘点：
2、心得描述：。