2005年江苏高中数学竞赛预赛试题及答案

2005年全国高中数学联赛江苏赛区初赛
试题参考答案及评分标准
说明：
1. 评阅试卷时, 请依据本评分标准. 选择题、填空题只设6分和0分两档. 其他各题 的评阅, 请严格按照本评分标准规定的评分档次给分, 不要再增加其他中间档次.
2. 如果考生的解答方法和本解答不同, 只要思路合理, 步骤正确, 在评卷时可参照本 评分标准适当划分评分档次, 3分为一个档次, 不要再增加其他中间档次.
一．选择题 (本题满分36分, 每小题6分)
1. 函数 ()y f x = 的图像按向量 (,2)4
a π
= 平移后, 得到的图像的解析式为
sin()24
y x π
=++. 那么 ()y f x = 的解析式为
A. sin y x =
B. cos y x =
C. sin 2y x =+
D. cos 4y x =+
答: [ B ]
解： sin[()]44
y x π
π
=+
+, 即 c o s y x =. 故选 B ． 2. 如果二次方程 20(,x px q p q --=∈N*) 的正根小于3, 那么这样的二次方程
有
A. 5个
B. 6个
C. 7个
D. 8个
答: [ C ]
解：由 240,0p q q ∆=+>-<, 知方程的根为一正一负．
设 2()f x x px q =--，则 2
(3)330f p q =-->, 即 39p q +<.
由于 ,p q ∈N*， 所以 1,5p q =≤ 或 2,2p q =≤. 于是共有7组 (,)p q 符合 题意． 故选 C ．
3. 设 0a b >>, 那么 21
()
a b a b +
- 的最小值是
A. 2
B. 3
C. 4
D. 5
答: [ C ]
解：由 0a b >>, 可知
2221
0()()424
a a
b a b b a <-=--≤,
所以， 2
2214
4()a a b a b a
+
≥+≥-. 故选 C ．
4. 设四棱锥 P ABCD - 的底面不是平行四边形, 用平面 α 去截此四棱锥, 使得
截面四边形是平行四边形, 则这样的平面 α
A. 不存在
B. 只有1个
C. 恰有4个
D. 有无数多个
答: [ D ]
解：设四棱锥的两组不相邻的侧面的交线 为 m 、n , 直线 m 、n 确定了一个平面 β. 作与 β 平行的平面
α, 与四棱锥的各个侧面
相截，则截得的四边形必为平行四边形．而这样 的平面 α 有无数多个．故选 D ．
5. 设数列 {}n a : 01212,16,1663n n n a a a a a ++===-, n ∈N*, 则 2005a 被
64 除的余数为
A. 0
B. 2
C. 16
D. 48
答: [ C ]
解：数列 {}n a 模 64 周期地为 2，16，－2，－16，……. 又 2005 被 4 除余 1, 故 选 C ．
6. 一条走廊宽 2 m, 长 8 m, 用 6 种颜色的 1⨯1 m 2的整块地砖来铺设(每块地砖
都是单色的, 每种颜色的地砖都足够多), 要求相邻的两块地砖颜色不同, 那么所有的不同 拼色方法有
A. 830个
B. 73025⨯个
C. 73020⨯个
D. 73021⨯个
答: [ D ]
解：铺第一列(两块地砖)有 30 种方法；其次铺第二列．设第一列的两格铺了 A 、B 两色(如图)，那么，第二列的上格不能铺 A 色．若铺 B 色，则有 (61)- 种铺法；若不
铺 B 色，则有 2
(62)- 种方法. 于是第二列上共有 21 种铺法. 同理， 若
前一列铺好，则其后一列都有 21 种铺法．因此，共有 7
3021⨯ 种铺法． 故
选 D ．
二．填空题 (本题满分36分, 每小题6分)
7. 设向量 OA 绕点 O 逆时针旋转 2
π
得向量 OB , 且 2(7,9)OA OB +=, 则
D 1
C 1
B 1
A 1D
C
B
A
P
A
B
向量 OB = （－
115，23
5） .
解：设 (,)OA m n =, 则 (,)OB n m =-, 所以
2(2,2)(7,9)OA OB m n n m +=-+=.
即 27,29.m n m n -=⎧⎨+=⎩ 解得 23,5
11.
5m n ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩
因此，23111123(,),(,)5555OA OB ==-.
故填 1123
(,)55
-
． 8. 设无穷数列 {}n a 的各项都是正数, n S 是它的前 n 项之和, 对于任意正整数
n , n a 与 2 的等差中项等于 n S 与 2 的等比中项, 则该数列的通项公式为 a n = 4n －2 (n ∈N*) .
解：由题意知
22n a += 即 2
(2)8
n n a S +=. ……… ① 由 11a S = 得
12
2
a +=从而 12a =. 又由 ① 式得
2
11(2)(2)8
n n a S n --+=≥, ……… ②
于是有 1
n n n a S S -=-221(2)(2)(2)88
n n a a n -++=-≥,
整理得 11()(4)0n n n n a a a a --+--=. 因 10,0n n a a ->>, 故
114(2),2n n a a n a --=≥=．
所以数列 {}n a 是以 2 为首项、4 为公差的等差数列，其通项公式为 24(1)n a n =+-， 即 42n a n =-. 故填 42(n a n n =-∈N*)．
9. 函数 ∈+=x x x y (|2cos ||cos |R ) 的最小值是 2
2 .
解：令 |cos |[0,1]t x =∈，则 2
|21|y t t =+-．
当
12t ≤≤ 时， 2219212()48y t t t =+-=+-，得
22
y ≤≤；
当
02t ≤<
时， 2
219212()48y t t t =-++=--+，得
928
y ≤≤．
又 y 可取到
2
, 故填
2
．
10. 在长方体 1111ABCD A BC D - 中, 12,1AB AA AD ===, 点
E 、
F 、
G 分别是棱 1AA 、11C D 与 BC 的中点, 那么四面体 1B EFG - 的体积是 V B 1－EFG
= 3
8 .
解：在 11D A 的延长线上取一点 H ，使 11
4
A H =
. 易证，1||HE B G ，||HE 平面 1B FG ． 故 1111B EFG E B FG H B FG
G B FH V V V V ----===．而 19
8
B FH S ∆=，G 到平面 1B FH 的
距离为 1． 故填 13
8
B E F G
V -=．
11. 由三个数字 1、2、3 组成的 5 位数中, 1、2、3 都至少出现 1 次, 这样的 5 位数共有 150 个.
解：在 5 位数中, 若 1 只出现 1 次，有 1123
5444()70C C C C ++= 个； 若 1 只出现 2 次，有 212533()60C C C += 个；
若 1 只出现 3 次，有 315220C C = 个． 则这样的五位数共有 150 个． 故填 150
个．
12. 已知平面上两个点集
{(,)||1|,M x y x y x y =++≥∈R },
{(,)||||1|1,,N x y x a y x y =-+-≤∈R }. 若 M N ≠∅, 则 a 的取值范围是
[1－6，3+10] ．
解：由题意知 M 是以原点为焦点、直线 10x y ++= 为准线的抛物线上及其凹口 内侧的点集，N 是以 (,1)a 为中心的正方形及其内部的点集(如图)．
考察 M N =∅ 时, a 的取值范围:
令 1y =, 代入方程
|1|x y ++=,
得 2
420x x --=，解出得
2x = 所以，
当
211a <=时, M N =∅． ………… ③
令 2y =，代入方程
|1|x y ++=
得 2610x x --=. 解出得
3x =
当
3a > 时, M
N =∅． ………… ④
因此, 综合 ③ 与 ④ 可知，当
13a ≤≤，即
[13a ∈ 时,
M N ≠∅．故填
[1.
三．解答题 (第一题、第二题各15分；第三题、第四题各24分)
13. 已知点 M 是 ABC ∆ 的中线 AD 上的一点, 直线 BM 交边 AC 于点
N , 且 AB 是 NBC ∆ 的外接圆的切线, 设 BC BN λ=, 试求 BM
MN
(用 λ 表示).
证明：在 BCN ∆ 中，由Menelaus 定理得
1BM NA CD
MN AC DB
⋅⋅=． 因为 BD DC =，所以
BM AC
MN AN
=． ……………… 6分
由 ABN ACB ∠=∠，知
ABN ∆ ∽ ACB ∆，则
AB AC CB
AN AB BN
==． 所以，2
AB AC CB AN AB BN ⎛⎫⋅= ⎪
⎝⎭， 即 2
⎪⎭
⎫ ⎝⎛=BN BC AN AC ． …………………… 12分 因此， 2
⎪⎭
⎫
⎝⎛=BN BC MN BM ． 又 BC BN λ=， 故 2BM
MN
λ=． …………………… 15分
14. 求所有使得下列命题成立的正整数 (2)n n ≥: 对于任意实数 12,,
,n x x x ,
当
1
0n
i
i x
==∑ 时, 总有 11
0n
i i i x x +=≤∑ ( 其中 11n x x += ).
A B
C
D
N M
解： 当 2n = 时，由 120x x +=，得 2
1221120x x x x x +=-≤．
所以 2n = 时命题成立. …………………… 3分
当 3n = 时，由 1230x x x ++=，得
2222123123122331()()2x x x x x x x x x x x x ++-++++=222
123()
02
x x x -++=≤.
所以 3n = 时命题成立. ………………… 6分
当 4n = 时，由 12340x x x x +++=，得
212233441132424()()()0x x x x x x x x x x x x x x +++=++=-+≤．
所以 4n = 时命题成立． ……………… 9分
当 5n ≥ 时，令 121x x ==，42x =-，350n x x x ==
==,则
1
0n
i
i x
==∑.
但是,
1
1
10n
i i n x x
+==>∑，故对于 5n ≥ 命题不成立．
综上可知，使命题成立的自然数是 2,3,4n =. …………… 15分
15. 设椭圆的方程为 22
221(0)x y a b a b
+=>>, 线段 PQ 是过左焦点 F 且不与
x 轴垂直的焦点弦. 若在左准线上存在点 R ,
使 PQR ∆ 为正三角形, 求椭圆的离心率 e
的取值范围, 并用 e 表示直线 PQ 的斜率.
解： 如图, 设线段 PQ 的中点为 M ． 过点 P 、M 、Q 分别作准线的垂线, 垂足 分别为 'P 、'M 、'Q , 则
11||||||
|'|(|'||'|)()222PF QF PQ MM PP QQ e e e
=
+=+=． …………… 6分 假设存在点 R ，则
||||2
RM PQ =
， 且 |'|||MM RM <， 即
|||2PQ PQ e <，
所以，3
e >
………………………… 12分 于是，e
PQ e PQ RM MM RMM 31
||322|||||'|'cos =
⋅==
∠， 故
cot 'RMM ∠=
．
若 ||||PF QF < (如图)，则
1
31'cot 'tan tan 2
-=∠=∠=∠=e RMM FMM QFx k PQ . …………… 18分
当
e >时, 过点 F 作斜率为 的焦点弦 PQ , 它的中垂线交左准线
于 R , 由上述运算知, ||||RM PQ =
． 故 PQR ∆ 为正三角形. ………… 21分 若 ||||PF QF >，则由对称性得
PQ k =． ……………… 24分
又 1e <, 所以，椭圆 22
221(0)x y a b a b
+=>> 的离心率 e 的取值范围是
(
3e ∈， 直线 PQ 的斜率为 16. (1) 若 (n n ∈ N *) 个棱长为正整数的正方体的体积之和等于 2005, 求 n 的
最小值, 并说明理由；
(2) 若 (n n ∈ N *) 个棱长为正整数的正方体的体积之和等于 20022005
, 求 n 的
最小值, 并说明理由.
解： (1) 因为 3333
101000,111331,121728,132197====, 3
3
12200513<<，
故 1n ≠.
因为 3333
200517281251252712553=+++=+++，所以存在 4n =， 使
min 4n ≤． ……………… 6分
若 2n =，因 33
10102005+<, 则最大的正方体边长只能为 11 或 12，计算
33200511674,200512277-=-=，而 674 与 277 均不是完全立方数, 所以
2n = 不可能是 n 的最小值. ……………… 9分
若 3n =，设此三个正方体中最大一个的棱长为 x , 由 3
28320053⨯>≥x , 知
最大的正方体棱长只能为 9、10、11 或 12.
由于 3932005⨯<, 5479220053=⨯-, 082920053
3>⨯--, 所以 9x ≠.
由于 510220053
=⨯-, 332005109276--=, 33
2005108493--=,
07210200533>⨯--, 所以
10x ≠.
由于 3
3
2005118162--=, 3
3
2005117331--=, 0621120053
3>⨯--, 所以 11x ≠.
由于 3
3
200512661--=, 3
3
3
20051251525--=>, 所以 12x ≠. 因此 3n = 不可能是 n 的最小值.
综上所述，4n = 才是 n 的最小值. ……………… 12分 (2) 设 n 个正方体的棱长分别是 12,,
,n x x x ， 则
333
2005122002n x x x +++=．…………… ⑤
由 20024(mod9)≡， 3
41(mod9)≡，得
20052005668313668200244(4)44(mod9)⨯+≡≡≡⨯≡．…… ⑥ …… 15分
又当 x ∈N* 时，30,1(mod9)x ≡±，所以
31x ≡∕4(mod 9)， 3312x x + ≡∕4(mod9)， 333
123
x x x ++ ≡∕4(mod9). … ⑦ …………… 21分
⑤ 式模 9, 由 ⑥、⑦ 可知, 4n ≥．
而 3
3
3
3
2002101011=+++，则
2005200433336683333320022002(101011)(2002)(101011)=⨯+++=⨯+++
6683668366836683(200210)(200210)(2002)(2002)=⨯+⨯++．…… 24分
因此 4n = 为所求的最小值．。