09概统8假设检验

(2)基本思想:先对总体的参数或分布函数的表达式做出某
种假设,然后找出一个在假设成立条件下出现可能性甚小
的(条件)小概率事件。如果试验或抽样的结果使该小概率
事件出现了,这与小概率原理相违背,表明原来的假设有问
题,应予以否定,即拒绝这个假设。若该小概率事件在一次 试验或抽样中并未出现,就没有理由否定这个假设,表明试 验或抽样结果支持这个假设,这时称假设与实验结果是相 容的,或者说可以接受原来的假设。
0
| Z | z
2
| T | t (n 1)
2
0
= 0
0
0
Z z
Z z
T t (n 1)
T t ( n 1)
例3 设某次考试的考生成绩服从正态分布,从中随机 地抽取36位考生的成绩,算得平均成绩为66.5分,样本标 准差为15分,问在显著性水平α=0.05下,是否可以认为这 次考试全体考生的平均成绩为70分?
第八章
•
假设检验
内容提要
我们知道,数理统计的基本任务是根 据对样本的考察来对总体的某些情况作 出判断。对总体X的概率分布或分布参数 做某种“假设”,然后根据抽样得到的样 本观察值,运用数理统计的分析方法,检 验这种“假设”是否正确,从而决定拒绝 或接受“假设”,这就是我们要讨论的假 设检验问题。
大 纲 要 求
i 1
2
0.2106,
问是否可以认为新工艺炼
出的铁水含量的方差仍为0.1122?(α=0.05) 解:(1)H0: σ2 = 0.1122; H1: σ2 ≠ 0.1122
否定域
接受域
t1 / 2 (n 1)X
否定域
单正态总体均值假设检验列表如下:对照
对照P208
总体方差 已知 检验统计量 X 0 Z
2
总体方差 未知 检验统计量
2
T
X 0
S n
H0
H1
n
( Z 检验)
( T 检验)
在显著性水平 下的 H 0 的拒绝条件
0
一、理解假设检验的基本思想 .
二、掌握假设检验的基本步骤 .
三、了解假设检验可能产生的两类错误 . 四、掌握单个正态总体的均值与方差的假设检验 . 五、了解两个正态总体的均值与方差的假设检验 .
学
习
内
容
§8.1 （假设检验）概述 §8.2 正态总体参数（均值、方差）的 假设检验
§8.1 （假设检验）概述
f(x) α/2 α/2
1 2 ( n 1) 2 2 2 1 ( n 1) 2
λ1
否定域 接受域
λ2
X
否定域
例4 .
某炼铁厂铁水含碳量在正常情况下服从正态分布，
7
现对操作工艺进行了改变，从中抽取7炉铁水的试样测得
X 4.36,
( xi X )
σ2=0.05,技术革新后,抽查6个样品测得重量为(单位: 克） 14.7,15.1,14.8, 15.0,15.2,14.6,已知方差不变,问平均重量
是否仍为15?(α=0.05)
分析:σ2已知,μ的假设检验
解:(1) H0:μ=μ0=15; H1:μ≠15,
U X
(2)选择包含μ的分布已知统计量:
第一类错误
(弃真)
正确
犯第一类错误的概率通常记为 犯第二类错误的概率通常记为
任何检验方法都不能完全排除犯错 误的可能性。理想的检验方法应使犯两类 错误的概率都很小,但在样本容量给定的 情形下,不可能使两者都很小,降低一个, 往往使另一个增大。
假设检验的指导思想是控制犯第一类
错误的概率不超过, 然后,若有必要,通
的假设检验，称为右边检验。
左边检验和右边检验统称为单边检验。
6. 假设检验的一般步骤 第一步 提出待检验的原假设 H 0和对立假设 H1;
第二步 选择检验统计量,并找出在假设成立条 件下,该统计量所服从的概率分布;
第三步 根据所要求的显著性水平α 和所选取的统 计量,查概率分布临界值表,确定临界值与否定域;

2
( n 1) S
2

2
~ ( n 1)
2
(3)由给定α,查
1 2 ( n 1) 2 2 2 1 ( n 1) 2
2
得接受域为λ1< <λ2
(4)将样本观测值代入
2

2
,
若λ1< <λ2,接受原假设;
否则,拒绝原假设。
(u

2
1
) 1

2
(4)将样本观测值代入U,
若|U|> u1-α/2,否定原假设; |U|≤u1-α/2,接受原假 设。
φ(x)
P(|U|<u1-α/2)=1-α
U检验
α/2
- u1-α/2 u1-α/2
α/2
X
否定域
接受域
否定域
双侧假设检验
例1 .
由经验知某零件重量X~N(μ,σ2),其中μ=15,
非参数假设检验:

例X~F(x)，F(x)未知 假设 F(x)=F0(x)
假设检验的内容
参数检验 （§8.2） 非参数检验 总体均值, 均值差的检验 总体方差, 方差比的检验 分布拟合检验（§8.5） 符号检验 秩和检验§8.5
假设检验的理论依据
假设检验之所以可行,其理论背景为 实际推断原理,即“小概率原理”。
第四步 将样本观察值代入所构造的检验统计量 中,计算出该统计量的值,若该值落入否定域,则拒绝 原假设H ,否则接受原假设 H 0
0
§8.2 正态总体参数的假设检验
一. 关于正态总体均值
0
的假设检验。
2 0
二. 关于正态总体方差

2

的假设检验。
一.σ2已知,μ的假设检验：(H0:μ=μ0, μ≥μ0, μ≤μ0)
分析:设考生成绩X~N(μ,σ2),σ2未知,μ的假设检验 解(1) H0:μ=μ0=70; H1:μ≠70, (2)选择包含μ的分布已知统计量:
T ~ X S/ n
(3)α=0.05,查表得t1-α/2(n-1)=t0.975(35)=2.03, 所以否定域为|T|> 2.03, (4)将样本观测值代入
| T || X S/ n ||
66.5 70 15 / 36
| 1.4 <2.0301
故接受原假设。即可以认为考生平均成绩为70。
三. 未知期望μ，σ2的(双侧)假设检验： ( 2 检验） (1)提出原假设和备择假设: H0: σ2 = σ02; H1: σ2 ≠ σ02 (2)选择包含σ2的分布已知函数:
过增大样本容量的方法来减少 。
4.
显著性水平与否定域(拒绝域)
小概率原理中,关于“小概率”的值通常根据 实际问题的要求而定,如取α=0.1,0.05,0.01等, α为检验的显著性水平(检验水平)。 在假设检验过程中,使得小概率事件出现的统 计量的取值范围称为该假设检验的否定域(拒绝域),
否定域的边界称为该假设检验的临界值。
另一方面,当原假设不成立时,却作出接受原假设的结论, 造成犯“取伪”的错误,称为第二类错误。 一般用 表示犯第二类错误的概率。
当样本容量 n 一定时, 小, 就大,反之, 小, 就大。
假设检验的两类错误
所作判断 接受 H0 真实情况
H0 为真 H0 为假
正确 第二类错误
(取伪)
拒绝 H0
(2)选择包含μ的分布已知函数:
T ~ X S/ n
~ t( n 1 )
(3)由给定α,查t1-α/2(n-1),得否定域为|T|> t1-α/2(n-1);
(4)将样本观测值代入T, 若|T|>t1-α/2(n-1),否定原 假设; |T|≤t1-α/2(n-1),接受原假设.
f(x) α/2 α/2
(4)将样本观测值代入U, 若U>u1-α, 否定原假设; U≤u1-α, 设。 接受原假
P(U>u1-α)≤α
φ(x)
(u1 ) 1
α u1-α 接受域 否定域 X
单侧假设检验
二.σ2未知,μ的假设检验： (T检验）
(1)提出原假设和备择假设: H0:μ=μ0; H1:μ≠μ0,
φ(x)
P(|U|<u1-α/2)=1-a α/2
- u1-α/2 u1-α/2
α/2
X
否定域
接受域
否定域
注意: 否定域的大小,依赖于显著性水平的取值,
一般说来,显著性水平越高,即α越小,否定域也越 小, 这时原假设就越难否定。
5.假设与对立假设

原假设 备择假设
H0
H1
统计假设通常用字母“ H ”表示。如果关于总体有两 个二者必居其一的假设,习惯上把其中的一个称作原假 设(基本假设、零假设)用 H0表示,而把另一个假设称作 对立假设(备择假设)用 H1表示。
假设 H0:μ=23, 若H0成立,则
U X
~ N ( ,2 )
2
,
/ n
~ N (0,1)
即: 若取α=0.05,则P{|U|>u1-α/2}=α, P{|U|>1.96}=0.05
在假设成立的条件下,|U|>1.96为概率很小事件,一般认为: 小概率事件在一次实验中是不会发生的, 将样本观测值代入U得
统计检验(假设检验)
在许多实际研究中,都有需要做出检验的问 题。如:某批产品能否出厂?某生产线工作是否 正常?某人是否患有某种疾病?某种新药的治疗 效果是否提高了?发生事故是否与星期几有关? 某次水平考试是否正常?等等,都需要做出检验。