合肥市数学高二上学期理数教学质量调研(三)试卷A卷
合肥市2021年高三第三次教学质量检测 理科数学试卷 (含答案)
合肥市2021年高三第三次教学质量检测数学试题（理科）参考答案及评分标准一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13.-1 14.28=y x 15.1260016.① ②三、解答题：17. (本小题满分12分) 解：(1)由4a C bπ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭得()sin cos a b C C =+. 由正弦定理得()sin sin sin cos A B C C =+，即()()sin sin sin cos B C B C C +=+， ∴cos sin sin sin B C B C =.∵在ABC ∆中，sin 0C >，∴cos sin B B =，即tan 1B =.∵()0B π∈，，∴4B π=.…………………………5分 (2)由余弦定理得222cos 2a c b B ac +-=2222a c b ac+-=，∴222b a c =+.又∵(22b ac =，∴22a c ac +=2，即a c =. 由(1)知4B π=，又∵2c =，∴ABC ∆面积11sin 22222S ac B ==⨯⨯= .………………12分 18. (本小题满分12分)(1) 证明：∵DE ∥BC ，BC ⊥平面ABE ，∴DE ⊥平面ABE .又∵AE ⊂平面ABE ，∴DE ⊥AE .在Rt ADE ∆中，由60DAE ∠=，6DE =得，AE =.又45,, 2.BAC BC AB AB BC ∠=⊥∴== 在ABE ∆中，2222cos AE AB BE AB BE ABE =+-⋅∠，解得4BE =.∴222BE AB AE =+，即AB AE ⊥.而BC AE ⊥，∴AE ⊥平面ABC .又∵AC ⊂平面ABC ，∴AE ⊥AC .…………………………5分(2) 解：连接BD 交CE 于点G ，连接FG .∵AB ∥平面CEF ，平面ABD 平面CEF FG =，∴AB ∥FG ，∴AF BG FD GD=. 在直角梯形BCDE 中，BCG DEG ∆~∆，∴13BG BC GD DE ==，∴13AF FD =. 如图，以E 为坐标原点，EB ，ED 所在的直线分别为x 轴，z 轴建立空间直角坐标系，则E (0，0，0)，D (0，0，6)，C (4，0，2).又∵A(30)，∴133 4442AF AD ，⎛⎫==-- ⎪ ⎪⎝⎭，∴93 442F ，，⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭，∴71 42CF ⎛⎫=-- ⎪ ⎪⎝⎭，()404DC ，，=-. 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案 C B A C A A C D C D B D令平面CDF 的一个法向量为()m x y z ，，=，由00CF m DC m ，⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩得7200. x z x z ，⎧-+-=⎪⎨-=⎪⎩ 取1x =，得()11m =.同理，平面CEF的一个法向量为()3 6n =-， ∴cos 0m n m n m n ，⋅<>==⋅，即二面角D CF E --的大小为.2π …………………………12分19.(本小题满分12分)解：(1)A 系统需要维修的概率为231311112222C ⎛⎫⎛⎫+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， B 系统需要维修的概率为23452155111111222222C C ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫++= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭， 设X 为该电子产品需要维修的系统个数，则12X B ⎛⎫~2 ⎪⎝⎭，，200X ξ=. ()()2211200(0 1 2),22k k k P k P X k C k ξ-⎛⎫⎛⎫====⋅⋅= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，， ∴ξ的分布列为 ∴120022002E ξ=⨯⨯=. …………………………6分 (2)A 系统3个元件至少有2个正常工作的概率为()223323123A P C p p p p p =-+=-+，B 系统5个元件至少有3个正常工作的概率为()()2334455511B P C p p C p p p =-+-+54361510p p p =-+，则 ()()()2543226151233121B A f p P P p p p p p p p =-=-+-=--.∵01p <<.令()0f p >，解得112p <<. 所以，当112p <<时，B 系统比A 系统正常工作的概率大，当该产品出现故障时，优先检测A 系统； 当102p <<时，A 系统比B 系统正常工作的概率大，当该产品出现故障时，优先检测B 系统； 当12p =时，A 系统与B 系统正常工作的概率相等，当该产品出现故障时，A ，B 系统检测不分次序. ………………………12分20.(本小题满分12分)解：(1)()()2ln 1f x x a x =--，则()22ax f x a x x-'=-=. ①当0a ≤时，()0f x '>，()f x 在()0+∞，上单调递增. ∵()10f =，∴当1x >时，()()10f x f >=，不符合题意，舍去；②当02a <<时，21a>，由()0f x '>得，20x a <<，由()0f x '<得，2x a >. ∴()f x 在20 a ⎛⎫ ⎪⎝⎭，上单调递增，在2a ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上单调递减. ∵()10f =，∴当21,⎛⎫∈ ⎪⎝⎭x a 时，()()10f x f >=，不符合题意，舍去；③当2a =时，21a=，由()0f x '>得，01x <<；由()0f x '<得，1x >. ∴()f x 在()01，上单调递增，在()1+∞，上单调递减. 又∵()10f =，∴()0f x ≤成立.④当2>a 时，21<a，由()0f x '>得，20x a <<，由()0f x '<得，2x a >. ∴()f x 在20 a ⎛⎫ ⎪⎝⎭，上单调递增，在2a ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上单调递减. ∵()10f =，∴当2,1⎛⎫∈ ⎪⎝⎭x a 时，()()10f x f >=，不符合题意，舍去； 综上得，2a =. …………………………6分(2) 由(1)知，当2a =时，()0f x <在()1+∞，上成立，即ln 1x x <-. 令()211kx n =++(1 2 k n = ，，，)，则()()22ln 111k k n n ⎡⎤+<⎢++⎢⎥⎣⎦， ∴()()()()2222112ln 1ln 1111111nk k n n n n n =⎧⎫⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎪⎪+=+⋅+⋅⋅+⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎨⎬++++⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎪⎪⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎩⎭∑ ()()()()()()22221121112121112121n n n n n n n n n n +<+++===<+⎛⎫+++++ ⎪⎝⎭， 即()()()()2222112111ln 21⎧⎫⎡⎤⎡⎤⎡⎤++⋅++++⎪⎪⎣⎦⎣⎦⎣⎦<⎨⎬+⎪⎪⎩⎭ n n n n n n ，∴()()()()2222112111n n n n n n ⎡⎤⎡⎤⎡⎤++++++⎣⎦⎣⎦⎣⎦<+ *n N ∈). .…………………………12分21.(本小题满分12分)解：(1)由题意知BQ BA BQ BD DQ +=+===8AQ >=， 根据椭圆的定义得，交点B 的轨迹是一个以A ，Q 为焦点的椭圆，2a =28c =，∴22218162b a c =-=-=，∴曲线C 的方程为 221182x y +=. …………………………4分 (2)由曲线T 与曲线C 相似，且它们的焦点在同一条直线上，曲线T 经过点()30E -，，()30F ，，可设曲线T 的方程为22182x y λ+=(0λ>).将点() 0F 3，坐标代入上式得，1λ=， ∴曲线T 设P (00x 11(22x y ，).① 当切线PG 的斜率不存在时，切线PG 的方程为：3x =±，代入221182x y +=得1y =±，此时PH 与曲线T 相切，M 为PG 的中点，N 为PH 的中点，12MN GH =是一个定值； 同理可求，当切线PH的斜率不存在时，12MNGH =也是一个定值.②当切线PG 和PH 的斜率都存在时，设切线PG 的方程为：y kx m =+，分别代入2219x y +=和221182x y +=，化简整理得()2229118990k x kmx m +++-=①，()22291189180k x kmx m +++-=②.由题意知，方程①有两个相等的实数根1x ；方程②有两个不相等的实数根02x x ，， ∴110221891km x x x x k +=+=-+，∴0212x x x +=， ∴()020*******y y k x x m kx m y +=++=+=,此时，M 为PG 的中点.同理可证，N 为PH 的中点，12MN GH =是一个定值. 综上可知，12MNGH =是一个定值. …………………………12分22.(本小题满分10分)(1)直线l 的参数方程为1cos 2sin x t y t αα=+⎧⎨=+⎩(t 为参数).由2cos 4sin ρθθ=得，22cos 4sin ρθρθ=， ∴曲线C 的直角坐标方程为24.x y = …………………………5分(2)将直线l 的参数方程1cos 2sin x t y t αα=+⎧⎨=+⎩代入24x y =，并整理得()22cos 2cos 4sin 70t t ααα⋅+--=. 设点,P Q 对应的参数分别为12,t t ，由线段PQ 的中点为M 得120t t +=，即22cos 4sin 0cos ααα--=， ∴直线l 的斜率1tan .2k α== ∴直线l 的方程为()1212y x -=-，即230x y -+=. …………………………………10分23.(本小题满分10分)解：(1)当2a =时，()221f x x x =++-.当2x ≤-时，()2224f x x x =---+≤，解得43x ≥-，结合2x ≤-得，解集为∅； 当21x -<≤时，()2224f x x x =+-+≤，解得0x ≥，结合21x -<≤得，01x ≤≤； 当1x >时，()2224f x x x =++-≤，解得43x ≤，结合1x >得，413x ≤＜. ∴原不等式的解集为403⎡⎤⎢⎥⎣⎦，. …………………………5分 (2)当12x ≤≤时，221x a x x ++-＞可化为222x a x x +-+＞， ∴222x a x x +>-+或222x a x x +<-+-， 即存在[]12x ∈，，使得232a x x >-+，或22a x x <-+-. ∴14a >-，或2a <-， ∴实数a 的取值范围为()1,2,4⎛⎫-∞--+∞ ⎪⎝⎭. …………………………10分。
安徽省合肥一中高二数学上学期期中试题 理 新人教A版
合肥一中2013—2014第一学期段二考试高二理科数学试卷时间：120分钟 满分：150分一、 选择题（共10小题，每题5分）1.直线1x =的倾斜角和斜率分别是（ ）A. 90，不存在B. 45，1C. 135，-1D. 180，不存在2. 下面四个命题,其中正确命题的个数是（ ）①若直线a 与b 异面，b 与c 异面，则直线a 与c 异面；②若直线a 与b 相交，b 与c 相交，则直线a 与c 相交；③若直线a ∥b ，b ∥c ，则直线a ∥c ;④若直线a ∥b ，则a ，b 与c 所成角相等．A. 1B. 2C. 3D. 43. 一平面截球得到直径是6的圆面，球心到这个平面的距离为4，则该球的表面积为（ ）A.20πB.50πC. 100πD.206π4.如右图所示，三棱柱111ABC A B C -的侧棱长和底面边长均为4，且侧棱1AA ABC ⊥底面，且正视图是边长为4的正方形，则此三棱柱的侧视图的面积为（ ）A.16B.48C.5. 若直线20x y --=被圆()224x a y -+=所截得的弦长为a 为（ ）A. 1- 13或 C.2-或6 D. 04或6. 如果两条直线210x ay +-=与(1)10a x ay --+=互相平行，则a 为（ ）A. 0B. 102或 C. 12D. 2- 7. 直线cos 30x y α--=倾斜角的范围是（ ）A. 30,,44πππ⎡⎤⎡⎫⋃⎪⎢⎥⎢⎣⎦⎣⎭B. []1,1-C. ,42ππ⎡⎫⎪⎢⎣⎭D. 3,44ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦8.将边长为a 的正方形ABCD 沿对角线AC 折起，使BD a =，则三棱锥D ABC -的体积为（ ）A. 36aB. 312aC. 312D. 312 9. 已知A BC D ，，，是空间不共面的四点，且满足0AB AC ⋅=，0AC AD ⋅=，0AB AD ⋅=，则BCD ∆为（ ）A.钝角三角形B.锐角三角形C. 直角三角形D.不确定10. 在平面直角坐标系中，如果x y 与都是整数，就称点(),x y 为整点，下列命题正确的个数是（ ）①存在这样的直线，既不与坐标轴平行也不经过任何整点；②如果k b 与都是无理数，则直线=y kx b +不经过任何整点；③直线l 经过无穷多个整点，当且仅当l 经过两个不同的整点；④直线=y kx b +经过无穷多个整点，当且仅当k b 与都是有理数；⑤存在恰经过一个整点的直线；A. 1B. 2C. 3D. 4二、 填空题（共5小题，每题5分）11.直线:20l ax y +-=在x y 轴和轴上的截距相等，则a =______ ;12.点A 是圆22:450C x y ax y +++-=上任意一点，点A 关于直线210x y +-=的对称点也在圆C 上，则实数a =__________ ;13.将棱长为a 的正方体切成27个全等的小正方体，则表面积增加了__________ ;14.正六棱锥的高为3，底面最长的对角线为_________ ;15.过点(2,1)P 作直线l ，与x y 轴，轴的正半轴分别交于,A B 两点，则使PA PB ⋅取得最小值时的直线l 的方程是_________________;三、 解答题（共5题，共 75分）16.（本小题12分）已知直线:210l x y -+=，求：(1)过点(3,1)P 且与直线l 垂直的直线方程；（写成一般式）(2)点(3,1)P 关于直线l 的对称点.17.（本小题12分）已知圆C 经过点(4,1)A -，并且与圆22:2650M x y x y ++-+=相切于点(1,2)B ，求圆C 的方程.18.（本小题12分）如图，三棱锥P ABC -，D AC 为的中点，PA PB PC ==，AC =AB =BC =(1)求证：PD ABC ⊥底面；(2)求二面角P AB C --的正切值.（第18题图）19.（本小题13分）如图所示，四棱锥P ABCD -的底面ABCD 是矩形，PA ABCD ⊥底面，E F AB PD ，分别为，的中点，且二面角P CD B --的大小为45，(1)求证：AF ∥ PEC 平面；(2)求证：PEC PCD ⊥面底面；(3)若2,AD CD ==A PEC 到面的距离.20.（本小题13分）已知曲线22:240C x y x y m +--+=(1)当m 为何值时，曲线C 表示圆；(2) 若曲线C 与直线240x y +-=交于M N 、两点，且OM ON ⊥（O 为坐标原点），求m 的值.21.（本小题13分）如图在直角坐标系xoy 中，圆O 与x 轴交于A B 、两点，且4AB =，定直线l 垂直于x 轴正半轴，且到圆心O 的距离为4，点P 是圆O 上异于A B 、的任意一点，直线PA PB 、分别交l 于点M N 、.(1)若30PAB ∠=，求以MN 为直径的圆的方程；(2) 当点P 变化时，求证：以MN 为直径的圆必过圆O 内一定点.合肥一中2013—2014第一学期段二考试高二数学试卷时长：120分钟 满分：150分选择题（共10小题，每题5分）1.直线1x =的倾斜角和斜率分别是（ A ）A. 90，不存在B. 45，1C. 135，-1D. 180，不存在2.下面四个命题,其中正确命题的个数是（ B ）①若直线a 与b 异面，b 与c 异面，则直线a 与c 异面；②若直线a 与b 相交，b 与c 相交，则直线a 与c 相交；③若直线a b ，b c ，则直线a c;④若直线a b ，则a ，b 与c 所成角相等。
合肥市2021届数学高二上学期期末调研试卷
合肥市2021届数学高二上学期期末调研试卷一、选择题1．在平面几何中有如下结论：正三角形ABC 的内切圆面积为1S ，外接圆面积为2S ，则1214S S =，推广到空间中可以得到类似结论：已知正四面体P ABC -的内切球体积为1V ，外接球体积为2V ，则为12V V =（ ） A.164B.127C.19D.182．从已经编号的()1801180～名学生中抽取20人进行调查，采用系统抽样法.若第1组抽取的号码是2，则第10组抽取的号码是( ) A ．74B ．83C ．92D ．963．已知动圆圆心M 到直线x=-3的距离比到A(2,0)的距离大1，则M 的轨迹方程为（ ）． A.24y x = B.22143x y +=C.28y x =D.2214x y +=4．若ln y x =,则其图象在2x =处的切线斜率是( ) A ．1B ．0C ．2D ．125．已知集合{}{}2|05,|340A x x B x x x =<<=--<，则AB =（ ）A.()0,4B.()1,4-C.()0,5D.()1,5-6．的展开式中各项系数的和为2，则该展开式中的常数项为（ ）A.B.C.20D.407．若函数()f x 的导函数．．．的图象关于y 轴对称，则()f x 的解析式可能为（ ） A.()2cos f x x = B.()32f x x x =+C.()sin cos 1f x x x =⋅+D.()xf x e x =+8．已知椭圆与双曲线有共同的焦点，且其中的一个焦点到双曲线的两条渐近线的距离之和为，则双曲线的离心率为A ．2B ．3C ．D ．9．设()a 3,2,1=--是直线l 的方向向量，()n 1,2,1=-是平面α的法向量，则( ) A.l α⊥B.//l αC.l αl α或⊂D.l α⊂或l α⊥10．与命题“若x 3=，则2x 2x 30--=”等价的命题是( ) A.若x 3≠，则2x 2x 30--≠ B.若x 3=，则2x 2x 30--≠ C.若2x 2x 30--≠，则x 3≠D.若2x 2x 30--≠，则x 3=11．已知{}n a 为等差数列，135105a a a ++=,24699a a a ++=,以n S 表示{}n a 的前n 项和，则使得n S 达到最大值的n 是（ ）A ．21B ．20C ．19D ．1812．已知η的分布列为：设32ξη=-则E ξ的值为（ ） A.3- B.43C.23-D.5二、填空题 13．函数1y x =-在1-22⎛⎫⎪⎝⎭，处的切线方程是____________________ 14．如图，在正方形内有一扇形（见阴影部分），扇形对应的圆心是正方形的一顶点，半径 为正方形的边长。
合肥市高二上学期期中数学试卷A卷
合肥市高二上学期期中数学试卷A卷姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、填空题 (共12题；共12分)1. （1分）过y2=4x的焦点F作两条弦AB和CD，且AB⊥x轴，|CD|=2|AB|，则弦CD所在直线的方程是________．2. （1分）已知直线ax﹣y+2a=0和（2a﹣1）x+ay+a=0互相垂直，则a=________3. （1分） (2017高二上·中山月考) 已知等比数列中，，，则________；4. （1分）已知数列{an}是无穷等比数列，其前n项和是Sn ，若a2+a3=2，a3+a4=1，则的值为________ ．5. （1分）已知圆C：（x﹣3）2+（y﹣4）2=1和两点A（﹣m，0），B（m，0）（m＞0），若圆C上不存在点P，使得∠APB为直角，则实数m的取值范围是________6. （1分） (2017高二下·温州期中) 记min ，已知向量满足| 2，与的夹角为120°，，则当min 取得最大值时， =________．7. （1分） (2017高二上·西华期中) 数列{an}的首项a1=2，an=2an﹣1﹣3（n≥2），则a7=________．8. （1分）已知数列{an}满足a1=1，a2=2，且an= （n≥3），则a2014=________．9. （1分） (2016高一下·惠阳期中) 已知数列{an}的前n项和Sn=n2+n+1，那么它的通项公式为an=________10. （1分）(2017·银川模拟) 过定点M的直线：kx﹣y+1﹣2k=0与圆：（x+1）2+（y﹣5）2=9相切于点N，则|MN|=________．11. （1分） (2018高一下·鹤壁期末) 如图，在中，，，，是边上的一点，脯，则的值为________．12. （1分）(2017·湖南模拟) 已知圆C：x2+y2=9，直线l1：x﹣y﹣1=0与l2：x+2y﹣10=0的交点设为P 点，过点P向圆C作两条切线a，b分别与圆相切于A，B两点，则S△ABP=________．二、选择题 (共4题；共8分)13. （2分）已知点O，N在△ABC所在的平面内，且| |=| |=| |， + + = ，则点O，N依次是△ABC的（）A . 外心，内心B . 外心，重心C . 重心，外心D . 重心，内心14. （2分）已知点M（a，b）在圆O：x2+y2=1外，则直线ax+by=1与圆O的位置关系是（）A . 相切B . 相交C . 相离D . 不确定15. （2分）已知两个非零向量满足，则下面结论正确（）A .B .C .D .16. （2分） (2016高一下·揭阳开学考) N为圆x2+y2=1上的一个动点，平面内动点M（x0 ， y0）满足|y0|≥1且∠OMN=30°（O为坐标原点），则动点M运动的区域面积为（）A . ﹣2B . ﹣C . +D . +三、解答题 (共4题；共45分)17. （10分） (2017高一上·丰台期末) 已知向量 =（1，3）， =（3，x）．（1）如果∥，求实数x的值；（2）如果x=﹣1，求向量与的夹角．18. （5分）(2020·山东模拟) 已知数列的前项和为，且（），数列满足，（）．（Ⅰ）求数列通项公式；（Ⅱ）记数列的前项和为，证明：．19. （10分）已知以点A(－1,2)为圆心的圆与直线l1：x＋2y＋7＝0相切．过点B(－2,0)的动直线l与圆A 相交于M ， N两点，Q是MN的中点．（1）求圆A的方程；（2）当|MN|＝2 时，求直线l的方程．20. （20分） (2016高一下·内江期末) 已知Sn为数列{an}的前n项和，且an＞0，an2+an=2Sn ．（1）求数列{an}的通项公式；（2）求数列{an}的通项公式；（3）令bn= ，记Tn=b12b32…b2n﹣12，求证：Tn≥ ．（4）令bn= ，记Tn=b12b32…b2n﹣12，求证：Tn≥ ．参考答案一、填空题 (共12题；共12分)1-1、2-1、3-1、4-1、答案：略5-1、6-1、7-1、8-1、9-1、答案：略10-1、11-1、12-1、二、选择题 (共4题；共8分)13-1、答案：略14-1、答案：略15-1、答案：略16-1、三、解答题 (共4题；共45分) 17-1、答案：略17-2、答案：略18-1、19-1、答案：略19-2、答案：略20-1、答案：略20-2、答案：略20-3、答案：略20-4、答案：略。
2022-2023学年安徽省合肥市高二上学期期中数学质量检测试题(含解析)
2022-2023学年安徽省合肥市高二上册期中数学质量检测试题一、单选题（本大题共12小题，共60.0分。
在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）1.直线50x +-=的倾斜角为()A.30︒-B.60︒C.120︒D.150︒2.圆22(1)1x y ++=的圆心到直线y =的距离是()A.B.1C.32D. 3.已知抛物线上一点到其焦点的距离为，则实数的值是()A.B. C. D.4.已知12(1,0),(1,0)F F -是椭圆的两个焦点，过1F 的直线l 交椭圆于,M N 两点，若的周长为8，则椭圆方程为()A.22143x y += B.22143y x += C.2211615x y += D.2211615y x +=5.已知双曲线22=1259x y -上有一点M 到右焦点1F 的距离为18，则点M 到左焦点2F 的距离是()A.8B.28C.12D.8或286.若点(2,1)a a +在圆22+(1)=5x y -的内部，则a 的取值范围是()A.(1,1)- B.(0,1)C.1(1,5- D.1(,1)5-7.9k >是方程22+=194x y k k --表示双曲线的()A.充要条件B.充分不必要条件C.必要不充分条件D.既不充分又不必要条件8.P 是椭圆221169x y +=上一点，1F ，2F 分别是椭圆的左、右焦点，若12||||12PF PF ⋅=，则12F PF ∠的大小为()A.60︒B.30︒C.120︒D.150︒9.若点(2,3)A --，(3,2)B --，直线l 过点(1,1)P 且与线段AB 相交，则l 的斜率k 的取值范围是()A. B.C. D.10.已知圆22:20(0)M x y ay a +-=>截直线0x y +=所得线段的长度是，则圆M 与圆22:(1)(1)1N x y -+-=的位置关系是()A.内切B.相离C.外切D.相交11.以下四个命题表述错误的的是()A.圆222x y +=上有且仅有3个点到直线:10l x y -+=的距离都等于22B.曲线221:20C x y x ++=与曲线222:480C x y x y m +--+=，恰有四条公切线，则实数m 的取值范围为4m >C.已知圆22:2C x y +=，P 为直线0x y ++=上一动点，过点P 向圆C 引一条切线PA ，其中A 为切点，则||PA 的最小值为2D.已知圆22:4C x y +=，点P 为直线:280l x y +-=上一动点，过点P 向圆C 引两条切线PA ，PB ，A ，B 为切点，则直线AB 经过点1(1,)212.已知椭圆C ：22221(0)x y a b a b+=>>的左焦点为F ，点A 是椭圆C 的上顶点，直线l ：2y x=与椭圆C 相交于M ，N 两点．若点A 到直线l 的距离是1，且，则椭圆C 的离心率的取值范围是()A. B. C. D.二、填空题（本大题共8小题，共40.0分）13.以点(2,3)P -为圆心，并且与y 轴相切的圆的方程是__________.14.设m 是常数，若点(0,5)F 是双曲线2219y x m -=的一个焦点，则m =__________.15.已知直线过点(2,3)，它在x 轴上的截距是在y 轴上的截距的2倍，则此直线的方程为__________.16.在平面直角坐标系Oxy 中，若双曲线2221(0)y x b b-=>经过点(3,4)，则该双曲线的渐近线方程是__________.17.直线l 过点(4,0)-且与圆22(1)(2)9x y ++-=相切，那么直线l 的方程为__________.18.设圆2242110x y x y +-+-=的圆心为A ，点P 在圆上，则PA 的中点M 的轨迹方程是__________.19.已知F 为双曲线:C 22x a -22y b1(0,0)a b =>>的右焦点，A 为C 的右顶点，B 为C 上的点且BF 垂直于x 轴.若AB 的斜率为3，则C 的离心率为__________.20.在平面直角坐标系xOy 中，已知双曲线C ：2228x y -=的左、右焦点分别为1F ，2F ，过点2F 作一直线与双曲线C 的右支交于P ，Q 两点，使得190F PQ ︒∠=，则1F PQ 的内切圆的半径为__________.三、解答题（本大题共4小题，共50.分。
安徽省合肥高二数学上学期期末试卷理(含解析)
2015-2016学年安徽省合肥一中、合肥六中、北城中学联考高二（上）期末数学试卷（理科）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）．1．设α，β是两个不同的平面，m是直线且m⊂α，“m∥β“是“α∥β”的（）A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件2．已知双曲线﹣=1 （a＞0，b＞0）的一条渐近线过点（2，），且双曲线的一个焦点在抛物线y2=4x的准线上，则双曲线的方程为（）A．﹣=1 B．﹣=1C．﹣=1 D．﹣=13．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（）A．B．C．D．4．设l、m、n为不同的直线，α、β为不同的平面，有如下四个命题，其中正确命题的个数是（）①若α⊥β，l⊥α，则l∥β②若α⊥β，l⊂α，则l⊥β③若l⊥m，m⊥n，则l∥n④若m⊥α，n∥β且α∥β，则m⊥n．A．4 B．3 C．2 D．15．直线x+（a2+1）y+1=0（a∈R）的倾斜角的取值范围是（）A．[0，] B．[，π）C．[0，]∪（，π）D．[，）∪[，π）6．如果圆（x﹣a）2+（y﹣a）2=8上总存在两个点到原点的距离为，则实数a的取值范围是（）A．（﹣3，﹣1）∪（1，3）B．（﹣3，3）C．[﹣1，1] D．（﹣3，﹣1]∪[1，3）7．已知M={（x，y）|x2+2y2=3}，N={（x，y）|y=mx+b}．若对于所有的m∈R，均有M∩N ≠∅，则b的取值范围是（）A．B．C．D．8．如图，在直三棱柱A1B1C1﹣ABC中，，AB=AC=A1A=1，已知G与E分别是棱A1B1和CC1的中点，D与F分别是线段AC与AB上的动点（不包括端点）．若GD⊥EF，则线段DF的长度的取值范围是（）A．[，1）B．[，2）C．[1，）D．[，）9．已知A，B是球O的球面上两点，∠AOB=60°，C为该球面上的动点，若三棱锥O﹣ABC体积的最大值为，则球O的表面积为（）A．36πB．64πC．144πD．256π10．如图抛物线C1：y2=2px和圆C2： +y2=，其中p＞0，直线l经过C1的焦点，依次交C1，C2于A，B，C，D四点，则•的值为（）A． B． C． D．P211．椭圆的两焦点为F1（﹣c，0）、F2（c，0），P为直线上一点，F1P的垂直平分线恰过F2点，则e的取值范围为（）A． B． C． D．12．如图，已知△ABC，D是AB的中点，沿直线CD将△ACD折成△A1CD，所成二面角A1﹣CD﹣B的平面角为α，则（）A．∠A1CB≥α B．∠A1DB≤α C．∠A1DB≥α D．∠A1CB≤α二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填写在答题纸相应位置上）．13．若命题“∃x∈R，使得ax2+ax+1≤0”为假命题，则实数a的取值范围为．14．在平面直角坐标系内，已知B（﹣3，3），C（3，﹣3），且H（x，y）是曲线x2+y2=1上任意一点，则•的值为．15．已知正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱长为1，以顶点A为球心，为半径作一个球，则球面与正方体的表面相交所得到的曲线的长等于．16．椭圆上任意两点P，Q，若OP⊥OQ，则乘积|OP|•|OQ|的最小值为．三、解答题（本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）．17．已知p：|1﹣|≤2；q：x2﹣2x+1﹣m2≤0（m＞0），若￢p是￢q的必要非充分条件，求实数m的取值范围．18．如图所示，四棱锥P﹣ABCD的底面为直角梯形，∠ADC=∠DCB=90°，AD=1，BC=3，PC=CD=2，PC⊥底面ABCD，E为AB的中点．（1）求证：平面PDE⊥平面PAC；（Ⅱ）求直线PC与平面PDE所成的角的正弦值．19．已知圆C：x2+y2+2x﹣4y+3=0．（1）若不过原点的直线l与圆C相切，且在x轴，y轴上的截距相等，求直线l的方程；（2）从圆C外一点P（x，y）向圆引一条切线，切点为M，O为坐标原点，且有|PM|=|PO|，求点P的轨迹方程．20．椭圆的离心率为，右焦点到直线的距离为，过M（0，﹣1）的直线l交椭圆于A，B两点．（Ⅰ）求椭圆的方程；（Ⅱ）若直线l交x轴于N，，求直线l的方程．21．在多面体ABCDE中，BC=BA，DE∥BC，AE⊥平面BCDE，BC=2DE，F为AB的中点．（Ⅰ）求证：EF∥平面ACD；（Ⅱ）若EA=EB=CD，求二面角B﹣AD﹣E的正切值的大小．22．如图，已知离心率为的椭圆C： +=1（a＞b＞0）过点M（2，1），O为坐标原点，平行于OM的直线l交椭圆C于不同的两点A、B．（1）求椭圆C的方程．（2）证明：直线MA、MB与x轴围成一个等腰三角形．2015-2016学年安徽省合肥一中、合肥六中、北城中学联考高二（上）期末数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）．1．设α，β是两个不同的平面，m是直线且m⊂α，“m∥β“是“α∥β”的（）A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．【分析】m∥β并得不到α∥β，根据面面平行的判定定理，只有α内的两相交直线都平行于β，而α∥β，并且m⊂α，显然能得到m∥β，这样即可找出正确选项．【解答】解：m⊂α，m∥β得不到α∥β，因为α，β可能相交，只要m和α，β的交线平行即可得到m∥β；α∥β，m⊂α，∴m和β没有公共点，∴m∥β，即α∥β能得到m∥β；∴“m∥β”是“α∥β”的必要不充分条件．故选B．2．已知双曲线﹣=1 （a＞0，b＞0）的一条渐近线过点（2，），且双曲线的一个焦点在抛物线y2=4x的准线上，则双曲线的方程为（）A．﹣=1 B．﹣=1C．﹣=1 D．﹣=1【考点】双曲线的标准方程．【分析】由抛物线标准方程易得其准线方程，从而可得双曲线的左焦点，再根据焦点在x 轴上的双曲线的渐近线方程渐近线方程，得a、b的另一个方程，求出a、b，即可得到双曲线的标准方程．【解答】解：由题意， =，∵抛物线y2=4x的准线方程为x=﹣，双曲线的一个焦点在抛物线y2=4x的准线上，∴c=，∴a2+b2=c2=7，∴a=2，b=，∴双曲线的方程为．故选：D．3．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（）A．B．C．D．【考点】由三视图求面积、体积．【分析】判断三视图对应的几何体的形状，利用三视图的数据，求解几何体的体积即可．【解答】解：由三视图可知，几何体是组合体，左侧是三棱锥，底面是等腰三角形，腰长为，高为1，一个侧面与底面垂直，并且垂直底面三角形的斜边，右侧是半圆柱，底面半径为1，高为2，所求几何体的体积为： =．故选：A．4．设l、m、n为不同的直线，α、β为不同的平面，有如下四个命题，其中正确命题的个数是（）①若α⊥β，l⊥α，则l∥β②若α⊥β，l⊂α，则l⊥β③若l⊥m，m⊥n，则l∥n④若m⊥α，n∥β且α∥β，则m⊥n．A．4 B．3 C．2 D．1【考点】空间中直线与平面之间的位置关系．【分析】①根据面面垂直和线面垂直的性质进行判断．②根据线面垂直的判定定理进行判断．③根据线面垂直和直线平行的性质进行判断．④根据线面平行和面面平行的性质进行判断．【解答】解：①若α⊥β，l⊥α，则l∥β或l⊂β，故①错误，②若α⊥β，l⊂α，则l⊥β或l∥β，故②错误，③若l⊥m，m⊥n，则l∥n或l与n相交或l与n异面，故③错误，④若m⊥α，α∥β，则m⊥β，若n∥β，则m⊥n．故④正确，故正确的是④，故选：D5．直线x+（a2+1）y+1=0（a∈R）的倾斜角的取值范围是（）A．[0，] B．[，π）C．[0，]∪（，π）D．[，）∪[，π）【考点】直线的倾斜角．【分析】由直线的方程得斜率等于，由于 0＞﹣≥﹣1，设倾斜角为α，则 0≤α＜π，﹣1≤tanα＜0，求得倾斜角α 的取值范围．【解答】解：直线x+（a2+1）y+1=0（a∈R）的斜率等于，由于 0＞﹣≥﹣1，设倾斜角为α，则 0≤α＜π，﹣1≤tanα＜0，∴≤α＜π，故选 B．6．如果圆（x﹣a）2+（y﹣a）2=8上总存在两个点到原点的距离为，则实数a的取值范围是（）A．（﹣3，﹣1）∪（1，3）B．（﹣3，3）C．[﹣1，1] D．（﹣3，﹣1]∪[1，3）【考点】点与圆的位置关系．【分析】圆（x﹣a）2+（y﹣a）2=8和圆x2+y2=2相交，两圆圆心距大于两圆半径之差、小于两圆半径之和．【解答】解：问题可转化为圆（x﹣a）2+（y﹣a）2=8和圆x2+y2=2相交，两圆圆心距d==|a|，由R﹣r＜|OO1|＜R+r得，解得：1＜|a|＜3，即a∈（﹣3，﹣1）∪（1，3）故选A．7．已知M={（x，y）|x2+2y2=3}，N={（x，y）|y=mx+b}．若对于所有的m∈R，均有M∩N ≠∅，则b的取值范围是（）A．B．C．D．【考点】交集及其运算．【分析】由M∩N≠∅，可得y=mx+b与x2+2y2=3有交点，联立方程，利用判别式，即可求得b的取值范围．【解答】解：由题意，∵M∩N≠∅，∴y=mx+b与x2+2y2=3有交点直线方程代入椭圆方程，整理可得（1+2m2）x2+4mbx+2b2﹣3=0∴△=16m2b2﹣4（1+2m2）（2b2﹣3）≥0∴2b2≤3+6m2∵对所有m∈R，均有M∩N≠∅，∴2b2≤3∴﹣≤b≤故选：C．8．如图，在直三棱柱A1B1C1﹣ABC中，，AB=AC=A1A=1，已知G与E分别是棱A1B1和CC1的中点，D与F分别是线段AC与AB上的动点（不包括端点）．若GD⊥EF，则线段DF的长度的取值范围是（）A．[，1）B．[，2）C．[1，）D．[，）【考点】点、线、面间的距离计算；棱柱的结构特征．【分析】建立空间直角坐标系，设出F、D的坐标，求出向量，利用GD⊥EF求得关系式，写出DF的表达式，然后利用二次函数求最值即可．【解答】解：建立如图所示的空间直角坐标系，则A（0，0，0），E（0，1，），G（，0，1），F（x，0，0），D（0，y，0）由于GD⊥EF，所以 x+2y﹣1=0DF===∵0＜x＜1，0＜y＜1，∴0＜y＜，当y=时，线段DF长度的最小值是当y=0时，线段DF长度的最大值是1，而不包括端点，故y=0不能取1；故选A．9．已知A，B是球O的球面上两点，∠AOB=60°，C为该球面上的动点，若三棱锥O﹣ABC 体积的最大值为，则球O的表面积为（）A．36πB．64πC．144πD．256π【考点】球的体积和表面积．【分析】当点C位于垂直于面AOB的直径端点时，三棱锥O﹣ABC的体积最大，利用三棱锥O﹣ABC体积的最大值为，求出半径，即可求出球O的表面积．【解答】解：如图所示，当点C位于垂直于面AOB的直径端点时，三棱锥O﹣ABC的体积最大，设球O的半径为R，此时V O﹣ABC=V C﹣AOB=×R=，故R=4，则球O的表面积为4πR2=64π，故选B．10．如图抛物线C1：y2=2px和圆C2： +y2=，其中p＞0，直线l经过C1的焦点，依次交C1，C2于A，B，C，D四点，则•的值为（）A． B． C． D．P2【考点】圆与圆锥曲线的综合．【分析】设抛物线的焦点为F，则|AB|=|AF|﹣|BF|=x1+﹣=x1，同理|CD|=x2，由此能够求出•的值．【解答】解：设抛物线的焦点为F，则|AB|=|AF|﹣|BF|=x1+﹣=x1，同理|CD|=x2，又=|AB||CD|=x1x2=．故选A．11．椭圆的两焦点为F1（﹣c，0）、F2（c，0），P为直线上一点，F1P的垂直平分线恰过F2点，则e的取值范围为（）A． B． C． D．【考点】椭圆的简单性质．【分析】设点P（，m），则由中点公式可得线段PF1的中点K的坐标，根据线段PF1的斜率与 KF2的斜率之积等于﹣1，求出m2的解析式，再利用 m2≥0，得到3e4+2e2﹣1≥0，求得e的范围，再结合椭圆离心率的范围进一步e的范围．【解答】解：由题意得F1（﹣c，0）），F2（c，0），设点P（，m），则由中点公式可得线段PF1的中点K（，），∴线段PF1的斜率与 KF2的斜率之积等于﹣1，∴•=﹣1，∴m2=﹣（+c）•（﹣3c）≥0，∴a4﹣2a2c2﹣3c4≤0，∴3e4+2e2﹣1≥0，∴e2≥，或e2≤﹣1（舍去），∴e≥．又椭圆的离心率0＜e＜1，故≤e＜1，故选：D．12．如图，已知△ABC，D是AB的中点，沿直线CD将△ACD折成△A1CD，所成二面角A1﹣CD﹣B的平面角为α，则（）A．∠A1CB≥α B．∠A1DB≤α C．∠A1DB≥α D．∠A1CB≤α【考点】二面角的平面角及求法．【分析】设∠ADC=θ，AB=2，则由题意知AD=BD=A1D=1．在空间图形中，连结A1B，设A1B=t．推导出cos∠A1DB=．过A1作A1N⊥DC，过B作BM⊥DC，垂足分别为N、M．过N作NP∥MB，使四边形BPNM为平行四边形，则NP⊥DC．连结A1P，BP，∠A1NP就是二面角A1﹣CD﹣B的平面角，∠A1NP=α．由此能推导出α≤∠A1DB．【解答】解：设∠ADC=θ，AB=2，则由题意知AD=BD=A1D=1．在空间图形中，连结A1B，设A1B=t．在△A1DB中，cos∠A1DB===．过A1作A1N⊥DC，过B作BM⊥DC，垂足分别为N、M．过N作NP∥MB，使四边形BPNM为平行四边形，则NP⊥DC．连结A1P，BP，则∠A1NP就是二面角A1﹣CD﹣B的平面角，所以∠A1NP=α．在Rt△A1ND中，DN=A1Dcos∠A1DC=cos θ，A1N=A1Dsin∠A1DC=sin θ．同理，BM=PN=sin θ，DM=cos θ，故BP=MN=2cos θ．由题意BP⊥平面A1NP，故BP⊥A1P．在Rt△A1BP中，A1P2=A1B2﹣BP2=t2﹣（2cos θ）2=t2﹣4cos2θ．在△A1NP中，cos α=cos∠A1NP=====．∴cos α﹣cos∠A1DB=cos∠A1DB+﹣cos∠A1DB=cos∠A1DB+=（1+cos∠A1DB）≥0，∴cos α≥cos∠A1DB（当θ=时取等号），∵α，∠A1DB∈[0，π]，而y=cos x在[0，π]上为递减函数，∴α≤∠A1DB．故选：A．二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填写在答题纸相应位置上）．13．若命题“∃x∈R，使得ax2+ax+1≤0”为假命题，则实数a的取值范围为[0，4）．【考点】特称命题．【分析】命题“∃x∈R，使得ax2+ax+1≤0”为假命题，即ax2+ax+1＞0恒成立，分当a=0时和当a≠0时两种情况分别讨论满足条件的a的取值，最后综合讨论结果，可得答案．【解答】解：∵命题“∃x∈R，使得ax2+ax+1≤0”为假命题，∴ax2+ax+1＞0恒成立，当a=0时，1＞0恒成立，满足条件，当a≠0时，若ax2+ax+1＞0恒成立，则，解得：a∈（0，4），综上所述：a∈[0，4），故答案为：[0，4）14．在平面直角坐标系内，已知B（﹣3，3），C（3，﹣3），且H（x，y）是曲线x2+y2=1上任意一点，则•的值为﹣35 ．【考点】平面向量数量积的运算．【分析】求出的坐标，计算数量积．【解答】解： =（x+3，y﹣3），=（x﹣3，y+3），∴•=（x+3）（x﹣3）+（y﹣3）（y+3）=x2﹣9+y2﹣27=1﹣36=﹣35．故答案为﹣35．15．已知正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱长为1，以顶点A为球心，为半径作一个球，则球面与正方体的表面相交所得到的曲线的长等于．【考点】弧长公式．【分析】球面与正方体的六个面都相交，所得的交线分为两类：一类在顶点A所在的三个面上；另一类在不过顶点A的三个面上，且均为圆弧，分别求其长度可得结果．【解答】解：如图，球面与正方体的六个面都相交，所得的交线分为两类：一类在顶点A 所在的三个面上，即面AA1B1B、面ABCD和面AA1D1D上；另一类在不过顶点A的三个面上，即面BB1C1C、面CC1D1D和面A1B1C1D1上．在面AA1B1B上，交线为弧EF且在过球心A的大圆上，因为，AA1=1，则．同理，所以，故弧EF的长为，而这样的弧共有三条．在面BB1C1C上，交线为弧FG且在距球心为1的平面与球面相交所得的小圆上，此时，小圆的圆心为B，半径为，，所以弧FG的长为．这样的弧也有三条．于是，所得的曲线长为．故答案为：16．椭圆上任意两点P，Q，若OP⊥OQ，则乘积|OP|•|OQ|的最小值为ab ．【考点】椭圆的简单性质．【分析】由题意可设点P（acosθ，bsinθ），其中θ∈[0，]，而且点Q（acos（θ+π2），bsin（θ+π2）），即可得出结论．【解答】解：题意可设点P（acosθ，bsinθ），其中θ∈[0，]，而且点Q（acos（θ+π2），bsin（θ+π2）），即点Q（﹣asinθ，bcosθ），那么|OP|2•|OQ|2=（a2cos2θ+b2sin2θ）•（a2sin2θ+b2cos2θ）=a2b2+14sin22θ，所以当sin2θ=0时，乘积|OP|•|OQ|最小值为ab．故答案为：ab．三、解答题（本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）．17．已知p：|1﹣|≤2；q：x2﹣2x+1﹣m2≤0（m＞0），若￢p是￢q的必要非充分条件，求实数m的取值范围．【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．【分析】求出不等式的等价条件，根据充分条件和必要条件的定义即可得到结论．【解答】解：∵|1﹣|≤2，∴|x﹣4|≤6，即﹣2≤x≤10，∵x2﹣2x+1﹣m2≤0（m＞0），∴[x﹣（1﹣m）][x﹣（1+m）]≤0，即1﹣m≤x≤1+m，若￢p是￢q的必要非充分条件，即q是p的必要非充分条件，即，即，解得m≥9．18．如图所示，四棱锥P﹣ABCD的底面为直角梯形，∠ADC=∠DCB=90°，AD=1，BC=3，PC=CD=2，PC⊥底面ABCD，E为AB的中点．（1）求证：平面PDE⊥平面PAC；（Ⅱ）求直线PC与平面PDE所成的角的正弦值．【考点】直线与平面所成的角；平面与平面垂直的判定．【分析】（I）点C为坐标原点建立空间直角坐标系，求出向量，，的坐标，根据数量积得出DE⊥AC，DE⊥CP，故而DE⊥平面PAC，于是平面PDE⊥平面PAC；（II）求出平面PDE的法向量，计算与的夹角，则直线PC与平面PDE所成的角的正弦值等于|cos＜＞|．【解答】解：（I）以点C为坐标原点，以直线CD，CB，CP分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系C﹣xyz，则C（0，0，0），A（2，1，0），B（0，3，0），P（0，0，2），D（2，0，0），E（1，2，0）．∴，，，∴，，∴DE⊥CA，DE⊥CP，又CP∩CA=C，AC⊂平面PAC，CP⊂平面PAC，∴DE⊥平面PAC，∵DE⊂平面PDE，∴平面PDE⊥平面PAC．（Ⅱ），设是平面PDE的一个法向量，则，∴，令x=2，则y=1，z=2，即，∴=4，||=3，||=2，∴cos＜＞==．∴直线PC与平面PDE所成的角的正弦值为．19．已知圆C：x2+y2+2x﹣4y+3=0．（1）若不过原点的直线l与圆C相切，且在x轴，y轴上的截距相等，求直线l的方程；（2）从圆C外一点P（x，y）向圆引一条切线，切点为M，O为坐标原点，且有|PM|=|PO|，求点P的轨迹方程．【考点】圆的切线方程；轨迹方程．【分析】（1）把圆的方程化为标准方程，找出圆心坐标和半径，由直线l不过原点，得到该直线在坐标轴上的截距不为0，设出直线l的截距式方程，利用点到直线的距离公式表示出圆心到直线的距离d，让d等于圆的半径列出关于a的方程，求出方程的解可得到a 的值，确定出直线l的方程；（2）由切线的性质，得到三角形PCM为直角三角形，利用勾股定理得到|PC|2=|PM|2+r2，表示出|PM|2，由|PM|=|PO|，进而得到|PO|2，由设出的P的坐标和原点坐标，利用两点间的距离公式表示出|PO|，可得出|PO|2，两者相等，化简可得点P的轨迹方程．【解答】解：（1）将圆C配方得（x+1）2+（y﹣2）2=2．由题意知直线在两坐标轴上的截距不为零，设直线方程为x+y﹣a=0，由=，得|a﹣1|=2，即a=﹣1，或a=3．∴直线方程为x+y+1=0，或x+y﹣3=0；…（2）由于|PC|2=|PM|2+|CM|2=|PM|2+r2，∴|PM|2=|PC|2﹣r2．又∵|PM|=|PO|，∴|PC|2﹣r2=|PO|2，∴（x+1）2+（y﹣2）2﹣2=x2+y2．∴2x﹣4y+3=0即为所求．…20．椭圆的离心率为，右焦点到直线的距离为，过M（0，﹣1）的直线l交椭圆于A，B两点．（Ⅰ）求椭圆的方程；（Ⅱ）若直线l交x轴于N，，求直线l的方程．【考点】直线与圆锥曲线的综合问题；向量在几何中的应用；椭圆的标准方程．【分析】（Ⅰ）根据右焦点到直线的距离为，可得，利用椭圆的离心率为，可得，从而可得，，故可求椭圆的方程；（Ⅱ）设A （x1，y1），B（x2，y2），N（x0，0），利用，可得x2﹣x0，y2），设直线l的方程为y=kx﹣1（k≠0）．与椭圆方程联立，消去x可得（4k2+1）y2+2y+1﹣8k2=0，由此即可求得直线l的方程．【解答】解：（Ⅰ）设右焦点为（c，0）（c＞0）∵右焦点到直线的距离为，∴∴∵椭圆的离心率为，∴∴∴∴椭圆的方程为；（Ⅱ）设A （x1，y1），B（x2，y2），N（x0，0）∵，∴x2﹣x0，y2）∴①易知直线斜率不存在时或斜率为0时①不成立于是设直线l的方程为y=kx﹣1（k≠0）．与椭圆方程联立，消去x可得（4k2+1）y2+2y+1﹣8k2=0②∴③④由①③可得，代入④整理可得：8k4+k2﹣9=0∴k2=1此时②为5y2+2y﹣7=0，判别式大于0∴直线l的方程为y=±x﹣121．在多面体ABCDE中，BC=BA，DE∥BC，AE⊥平面BCDE，BC=2DE，F为AB的中点．（Ⅰ）求证：EF∥平面ACD；（Ⅱ）若EA=EB=CD，求二面角B﹣AD﹣E的正切值的大小．【考点】用空间向量求平面间的夹角；直线与平面平行的判定．【分析】（Ⅰ）取AC中点G，连接DG，FG，由已知得四边形DEFG是平行四边形，由此能证明EF∥平面ACD．（Ⅱ）过点B作BM垂直DE的延长线于点M，过M作MH⊥AD，垂足为H，连接BH，则∠BHM 是二面角B﹣AD﹣E的平面角，由此能求出二面角B﹣AD﹣E的正切值的大小．【解答】解：（Ⅰ）证明：取AC中点G，连接DG，FG．因为F是AB的中点，所以FG是△ABC的中位线，则FG∥BC，FG=，所以FG∥DE，FG=DE，则四边形DEFG是平行四边形，所以EF∥DG，故EF∥平面ACD．（Ⅱ）解：过点B作BM垂直DE的延长线于点M，因为AE⊥平面BCDE，所以AE⊥BM，则BM⊥平面ADE，过M作MH⊥AD，垂足为H，连接BH，则AD⊥平面BMH，所以AD⊥BH，则∠BHM是二面角B﹣AD﹣E的平面角．设DE=a，则BC=AB=2a，在△BEM中，EM=，BE=，所以BM=．又因为△ADE∽△MDH，所以HM=，则tan∠BHM=．22．如图，已知离心率为的椭圆C： +=1（a＞b＞0）过点M（2，1），O为坐标原点，平行于OM的直线l交椭圆C于不同的两点A、B．（1）求椭圆C的方程．（2）证明：直线MA、MB与x轴围成一个等腰三角形．【考点】直线与圆锥曲线的综合问题；椭圆的标准方程．【分析】（Ⅰ）先由椭圆C： +=1（a＞b＞0）的离心率为和椭圆过点M（2，1），列出方程组，再由方程组求出a，b，由此能求出椭圆方程．（Ⅱ）由直线l∥OM，设l：y=，将式子代入椭圆C得：x2+2mx+2m2﹣4=0，设直线MA、MB的斜率分别为k1，k2，欲证明直线MA、MB与x轴围成一个等腰三角形．只需证明：k1+k2=0即可．【解答】（Ⅰ）解：设椭圆C的方程为： +=1（a＞b＞0），由题意得：，解得a2=8，b2=2，∴椭圆方程为．（Ⅱ）证明：由直线l∥OM，设l：y=，将式子代入椭圆C得：x2+2mx+2m2﹣4=0，设A（x1，y1），B（x2，y2），则x1+x2=﹣2m，，设直线MA、MB的斜率分别为k1，k2，则，，∵k1+k2==1+m•=1+m•=0，故直线MA、MB与x轴围成一个等腰三角形．。
安徽省合肥市高二上学期期末数学试卷(理科)
安徽省合肥市高二上学期期末数学试卷（理科）姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、选择题 (共10题；共20分)1. （2分）抛物线方程为y2=12x，则下列说法正确的是（）A . 抛物线通径长为5B . 焦点在y轴上C . 抛物线上横坐标为1的点到焦点的距离等于6D . 过此抛物线焦点的弦中最短的弦长为102. （2分）(2017·山东模拟) 命题∀x∈R，x2+x≥0的否定是（）A . ∃x∈R，x2+x≤0B . ∃x∈R，x2+x＜0C . ∀x∈R，x2+x≤0D . ∀x∈R，x2+x＜03. （2分）在长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，++=（）A .B .C .D .4. （2分）把黑、红、白3张纸牌分给甲、乙、丙三人，则事件“甲分得红牌”与“乙分得红牌”是（）A . 对立事件B . 互斥但不对立事件C . 不可能事件D . 必然事件5. （2分）从甲、乙两个班级各抽取5名学生参加英语口语竞赛，他们的成绩的茎叶图如图：其中甲班学生的平均成绩是85，乙班学生成绩的中位数是84，则x+y的值为（）A . 6B . 7C . 8D . 106. （2分）若直线l的方向向量为=（1，0，2），平面α的法向量为=（﹣2，0，﹣4），则（）A . l∥αB . l⊥αC . l⊂αD . l与α相交但不垂直7. （2分） (2018高二下·衡阳期末) 阅读程序框图，运行相应的程序，则输出的的值为（）A . 72B . 90C . 101D . 1108. （2分）命题“若a，b都是奇数，则a+b是偶数”的逆否命题是（）A . 若a，b都不是奇数，则a+b是偶数B . 若a+b是偶数，则a，b都是奇数C . 若a+b不是偶数，则a，b都不是奇数D . 若a+b不是偶数，则a，b不都是奇数9. （2分）(2017·西城模拟) 设双曲线 =1（a＞0，b＞0）的离心率是3，则其渐近线的方程为（）A .B .C . x±8y=0D . 8x±y=010. （2分）设α，β，γ是三个互不重合的平面，m，n是两条不重合的直线，下列命题中正确的是（）A . 若α⊥β，β⊥γ，则α⊥γB . 若m∥α，n∥β，α⊥β，则m⊥nC . 若α⊥β，m⊥α，则m∥βD . 若α∥β，m⊄β，m∥α，则m∥β二、填空题 (共5题；共6分)11. （1分）(2017·长宁模拟) 如图，在矩形ABCD中，AB=12，BC=5，以A、B为焦点的双曲线恰好过C、D两点，则双曲线M的标准方程为________．12. （1分） (2018高一下·江津期末) 高一某班有学生50人，其中男生30人。
安徽省合肥市2023-2024学年高三上学期学情调研与诊断(三)数学试题含解析
合肥高三学情调研与诊断（三）数学试卷（答案在最后）一､选择题（共8小题）1.已知全集U =R ，集合(){}2log 10A x x =-<，21B x x ⎧⎫=≥⎨⎬⎩⎭，则（）A.[)2,U A ∞=+ð B.B A ⊆C.()U A B ⋂=∅ð D.(],2A B ⋃=-∞【答案】C 【解析】【分析】先求出集合,A B ，再由交集，补集，并集的定义判断A ，C ，D ；由集合间的关系判断B .【详解】由()22log 10log 1x -<=，则011x <-<，解得：12x <<，所以{}12A x x =<<，由21x ≥可得210x -≥，即20xx -≥，则()200x x x ⎧-≤⎨≠⎩，解得：02x <≤，故{}02B x x =<≤，故B 错误；故U ðA {1x x =≤或}2x ≥，故A 错误；U B ð{0x x =≤或}2x >，A ()U B ð=∅，故C 正确；(]0,2A B ⋃=，故D 错误.故选：C .2.若“[]1,2x ∃∈，使2210x x λ-+<成立”是假命题，则实数λ的取值范围是（）A.(,-∞B.92⎡⎤⎢⎥⎣⎦C.(],3-∞ D.9,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭【答案】C 【解析】【分析】先将条件转化为[]1,2x ∀∈，使2210x x λ-+≥成立，再参变分离构造函数，转化为最值问题，求导确定最值即可求解.【详解】若“[]1,2x ∃∈，使2210x x λ-+<成立”是假命题，则“[]1,2x ∀∈，使2210x x λ-+≥成立”是真命题，即[]1,2x ∀∈，12x xλ≤+；令()[]1,212,f x x x x +∈=，则()22212120x f x x x-'=-=>，则()f x 在[]1,2x ∈上单增，()()min 13f x f ==，则3λ≤.故选：C.3.已知函数()()11cos f x x x x ⎛⎫⎪⎝=+⎭-的部分图像大致为（）A. B.C. D.【答案】D 【解析】【分析】求出()f x 的定义域可排除A ；证明()f x 是奇函数可排除B ；当0x >且x 趋近于0时，()0f x <可排C ，进而可得正确选项.【详解】()()11cos f x x x x ⎛⎫⎪⎝=+⎭-的定义域为{}|0x x ≠，故排除选项A ；()f x 定义域为{}|0x x ≠，关于原点对称，()()()()111cos 1cos f x x x x x x x x f ⎛⎫⎛⎫=-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭-=+-+-，所以()f x 是奇函数，图象关于原点对称，故排除选项B ；当0x >且x 趋近于0时，()1()1cos 0f x x x x ⎛⎫=+-< ⎪⎝⎭，故排除选项C ，故选：D4.某教学软件在刚发布时有100名教师用户，发布5天后有1000名教师用户，如果教师用户人数()R t 与天数t 之间满足关系式：()0e ktR t R =，其中k 为常数，0=t 是刚发布的时间，则教师用户超过30000名至少经过的天数为（）（参考数据：lg30.4771≈）A.11 B.12 C.13 D.14【答案】C 【解析】【分析】根据题意，列出方程组求得()ln105e 100t R t =，由不等式ln105100e30000t >，结合对数的预算性质，即可求解.【详解】由题意得()()00500e 1005e 1000kR R R R ⎧==⎪⎨==⎪⎩，可得0ln10100,5R k ==，所以()ln105e 100R t =，则ln105100e30000t >，故()5ln 3005lg 3005lg 3212.3912ln10k >==⨯+≈>，所以教师用户超过20000名至少经过13天.故选：C5.0.2e a =，7log 8b =，6log 7c =，则（）A.a b c >>B.b a c >>C.a c b >>D.c a b>>【答案】C 【解析】【分析】先构造函数ln(1)()ln x f x x+=，通过求导判断单调性，比较出b 和c 的大小；再找中间值65和76，通过构造函数()e 1x g x x =--，证明e 1x x ≥+，判断0.265>e ，构造函数ln ()6ln 6x x h x =-，通过单调性判断67log 76<，于是证明c a <，即可求得a 、b 、c 的大小关系.【详解】令ln(1)()ln x f x x+=(0)x >则2ln (1)ln(1)()(1)ln x x x x f x x x x-++'=+，显然()0f x '<即()f x 单调递减，所以ln 7ln 8ln 6ln 7>，即67log 7log 8>，c b >.令()e 1x g x x =--(0)x ≥则()e 10x g x '=-≥，即()g x 在[0,)+∞上单调递增所以()(0)0g x g ≥=，即e 1x x ≥+，所以0.260.215>+=e令ln ()6ln 6x x h x =-则11()6ln 6h x x '=-当()0h x '>时，6ln 6x >，即()h x 在6(,)ln 6+∞上单调递增又(6)0h =，所以当6x >时，()(6)0h x h >=所以(7)(6)0h h >=，即7ln 706ln 6->即67log 76<，又7665<，所以0.2676log 765<<e <，即c a <.综上：a c b >>.故选：C.6.已知函数sin ()xf x x=，给出下面三个结论：①函数f （x ）没有最大值，而有最小值；②函数f （x ）在区间(0,)π上不存在零点，也不存在极值点；③设120x x π<<<，则()()12f x f x <，其中，所有正确结论的序号是（）A.①③B.①②C.②③D.①②③【答案】B 【解析】【分析】把函数sin ()xf x x=看作点()0,0与点(),sin x x 连线的斜率，结合函数sin y x =的图象和导数的几何意义判断①；由函数sin ()x f x x =，求导cos sin ()2x x x f x x-'=，利用导数法判断②③.【详解】因为函数sin ()xf x x=可看作点()0,0与点(),sin x x 连线的斜率，如图所示：函数sin y x =在（0，0）处的切线的斜率为cos 01k ==，则sin 1xk x<=，所以()1f x <，故f （x ）无最大值，当0x >时，过原点()0,0，作sin y x =的切线，y 轴右侧的第一个切点为()00,sin x x ，则0sin sin x x x x ≥，所以f （x ）有最小值，故①正确；因为函数sin ()xf x x =，所以cos sin ()2x x x f x x-'=，令()cos sin g x x x x =-，则()sin g x x x '=-，当()0,x π∈时，()0g x '<，则()g x 在()0,π上递减，所以()()00g x g <=，即()0f x '<，所以()f x 在()0,π上递减，又()()0f x f π>=故②正确③错误，故选：B7.已知△ABC 满足2AB AC =，4BC =，则△ABC 面积的最大值为（）A.3B.163C.3D.83【答案】B 【解析】【分析】设,2AC x AB x ==，利用面积公式和余弦定理表示出三角形的面积为=△ABC S ，根据x 的范围即可讨论最大面积.【详解】设,2AC x AB x ==，所以1sin 2sin 22ABC S BC AC C x C =⋅==△又由余弦定理得2222163cos 28BC AC AB x C BC AC x+--==⋅，所以22==△ABCS ，由三角形的三边关系可得2442x x x x+>⎧⎨+>⎩解得443x <<，所以当28045,93x x ==时，面积有最大值为163，故选：B.8.设函数()()1xf x e a x b =+-+在区间[]0,1上存在零点，则22a b +的最小值为（）A.eB.12C.7D.3e【答案】B 【解析】【分析】设t 为()f x 在[]0,1上的零点，可得(1)0t e a t b +-+=，转化为点(,)a b 在直线(1)0t t x y e -++=上，根据22a b +的几何意义，可得2222(1)1t e a b t +≥-+，令22()(1)1t e g t t =-+，利用导数求得函数的单调性和最值，即可得答案.【详解】设t 为()f x 在[]0,1上的零点，则(1)0t e a t b +-+=，所以(1)0t t a b e -++=，即点(,)a b 在直线(1)0t t x y e -++=，又22a b +表示点(,)a b 到原点距离的平方，≥2222(1)1tea bt+≥-+，令22()(1)1teg tt=-+，可得2222222222(22)(22)2(33)()(22)(22)t t te t t e t e t tg tt t t t+----+'==+-+-，因为220,330te t t>-+>，所以()0g t'>，可得()g t在[]0,1上为单调递增函数，所以当t=0是，min1()(0)2g t g==，所以2212a b+≥，即22a b+的最小值为12.故选：B【点睛】解题的关键是根据22a b+的几何意义，将方程问题转化为求距离问题，再构造新函数，利用导数求解，分析、计算难度大，属难题.二.多选题（共4小题）9.函数()()()3sin0,0πf x xωϕωϕ=+><<的部分图象如图所示，则（）A.()5π3sin28f x x⎛⎫=+⎪⎝⎭B.()f x图象的一条对称轴方程是5π8x=-C.()f x图象的对称中心是ππ,08k⎛⎫-⎪⎝⎭，Zk∈D.函数7π8y f x⎛⎫=+⎪⎝⎭是偶函数【答案】BD 【解析】【分析】首先根据题意得到()3π3sin 24f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，再根据三角函数的性质和平移变换依次判断选项即可得到答案.【详解】由函数()()3sin f x x ωϕ=+的图象知：13ππ1π2882T ⎛⎫=--= ⎪⎝⎭，所以πT =；即2ππω=，解得2ω=，所以()()3sin 2f x x ϕ=+，因为ππ3sin 384f ϕ⎛⎫⎛⎫-=-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以ππ2π42k ϕ-=+，Z k ∈，即3π2π4k ϕ=+，Z k ∈，因为0πϕ<<，所以3π4ϕ=，()3π3sin 24f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭.对选项A ，因为()3π3sin 24f x x ⎛⎫=+⎪⎝⎭，故A 错误.对选项B ，553πππ3sin π3sin 38442f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=-+=-=- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，故B 正确．对选项C ，令3π2π4x k +=，k ∈Z ，解得13ππ28x k =-，Z k ∈，所以()f x 的对称中心是13ππ,028k ⎛⎫-⎪⎝⎭，Z k ∈，故C 错误．对选项D ，设()7π7π3π5π3sin 23sin 23cos 28442g x f x x x x ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+=++=+= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，则()g x 的定义域为R ，()()()3cos 23cos 2g x x x g x -=-==，所以()g x 为偶函数，故D 正确.故选：BD10.已知()f x 是定义在R 上的不恒为零的函数，对于任意R x y ∈，都满足()()()f xy yf x xf y =+，则下列说法正确的是（）A.()00f = B.()11f -=C.()f x 是奇函数D.若()122f =，则1128f ⎛⎫-=⎪⎝⎭【答案】ACD 【解析】【分析】利用赋值法，0x y ==可判断A 项；令1x y ==，1x y ==-可判断B 项；令1y =-并结合奇函数的定义可判断C 项；令12,2x y ==-可判断D 项.【详解】因为()()()f xy yf x xf y =+，所以令0x y ==，得()00f =，故A 正确；令1x y ==，得()()()111f f f =+，所以()10f =，令1x y ==-，得()()()111f f f =----，所以()10f -=，故B 错误；令1y =-，得()()()1f x f x xf -=-+-，又()10f -=，所以()()f x f x -=-，所以函数()f x 是奇函数，故C 正确；令12,2x y ==-，得()()1112222f f f⎛⎫ ⎪=-⎝-+⎭-，又()10f -=，()122f =，所以1128f ⎛⎫-= ⎪⎝⎭，故D 正确；故选：ACD.11.任取多组正数,,a b c ，通过大量计算得出结论：3a b c++³当且仅当a b c ==时，等号成立．若03m <<，根据上述结论判断()23m m -的值可能是（）A.B.C.5D.3【答案】BD 【解析】【分析】利用已知结论求出2(3)m m -的最大值进行判断，为此需凑出三个正数的和为定值．【详解】根据题意可得()()32113112234344223m m m m m m m m ⎛⎫++- ⎪-=⨯⨯-= ⎪ ⎪⎝⎭≤，当且仅当132m m =-，即2m =时，等号成立．故()23m m -的最大值为4．从而AC 不可能，BD 可以取．故选：BD ．12.已知函数112()2x x f x e e x x --=++-，若不等式()2(2)3f ax f x -<+对任意x ∈R 恒成立，则实数a 的取值可能是（）A.4-B.12-C.D.【答案】BC 【解析】【分析】令1t x =-，得到2()1t t g t e e t -=++-，推得()g t 为偶函数，得到()f x 的图象关于1x =对称，再利用导数求得当1x >时，()f x 单调递增，当1x <时，()f x 单调递减，把不等式转化为212ax x -<+恒成立，结合二次函数的性质，即可求解.【详解】由函数112()2x x f x e e x x --=++-，令1t x =-，则1x t =+，可得2()1t t g t e e t -=++-，可得22()()11()t t t t g t e e t e e t g t ---=++--=++-=，所以()g t 为偶函数，即函数()f x 的图象关于1x =对称，又由()2t t g t e e t -'=-+，令()()2t t t g t e e t ϕ-'==-+，可得()20t t t e e ϕ-'=++>，所以()t ϕ为单调递增函数，且(0)0ϕ=，当0t >时，()0g t '>，()g t 单调递增，即1x >时，()f x 单调递增；当0t <时，()0g t '<，()g t 单调递减，即1x <时，()f x 单调递减，由不等式()2(2)3f ax f x -<+，可得22131ax x --<+-，即212ax x -<+所以不等式212ax x -<+恒成立，即22212x ax x --<-<+恒成立，所以221030x ax x ax ⎧++>⎨-+>⎩的解集为R ，所以240a -<且2()120a --<，解得22a -<<，结合选项，可得BC 适合.故选：BC.【点睛】关键点睛：本题的关键是利用换元法设1t x =-，从而得到2()1t t g t e e t -=++-，证明其为偶函数，则得到()f x 的图象关于1x =对称，再结合其单调性即可得到不等式组，解出即可.三､填空题（共4小题）.13.已知,αβ为锐角，tan 2,cos 5αβ==，则()tan 2αβ-=__________.【答案】112-【解析】【分析】根据二倍角公式、同角三角函数的基本关系式、两角差的正切公式求得正确答案.【详解】由于β为锐角，所以sin 1sin ,tan 5cos 2ββββ====，222tan 44tan 21tan 123ααα===---，所以()41tan 2tan 1132tan 2411tan 2tan 2132αβαβαβ----===-+⋅⎛⎫+-⨯ ⎪⎝⎭.故答案为：112-14.函数()f x 的定义域为R ，且()()()21f x f x f x +=-+-，()()2f x f x =-，()3651f =-，则()20231k f k ==∑__________.【答案】2【解析】【分析】根据给定条件，探讨函数()f x 的周期，再结合()()2f x f x =-求出(1),(2),(3)f f f 即可求解作答.【详解】函数()f x 的定义域为R ，由()()()21f x f x f x +=-+-，得(3)(2)(1)(1)()(1)()f x f x f x f x f x f x f x +=-+-+=++-+=，因此函数()f x 是以3为周期的周期函数，且()(1)(2)0f x f x f x ++++=，即(1)(2)(3)0f f f ++=，由()3651f =-，得(2)1f =-，又()()2f x f x =-，(3)(0)(2)1f f f ===-，从而(1)(2)(3)2f f f =--=，所以20231()674(2(1)(2)3[((1]1)))k f f k f f f f =+=⨯=++=∑.故答案为：215.已知函数()2log f x x =，若()()f a f b =且a b <，则21a b+的取值范围为___________.【答案】(3,)+∞【解析】【分析】由()()f a f b =且a b <，可求得1ab =，则212a a b a +=+，然后构造函数2()(01)f x x x x=+<<，利用导数判断出函数在(0,1)上单调递减，从而可求出()f x 的范围，进而可得21a b+的取值范围【详解】解：()222log ,1log log ,01x x f x x x x ≥⎧==⎨-<<⎩，因为()()f a f b =且a b <，所以01,1a b <<>，所以22log log a b -=，所以()2log 0ab =，所以1ab =，所以212a ab a+=+，令2()(01)f x x x x =+<<，则2'2222()10x f x x x-=-=<，所以()f x 在(0,1)上单调递减，所以()(1)3>=f x f ，所以2123a a b a +=+>，所以21a b+的取值范围为(3,)+∞，故答案为：(3,)+∞16.已知函数()2f x ax =+()0a >，()21g x x =-，若[]11,2x ∃∈-，[]22,3x ∀∈，使()()12f x g x =成立，则实数a 的取值范围是_________.【答案】[1,)+∞【解析】【分析】根据函数的单调性，分别求得函数()f x 和()g x 的值域构成的集合,A B ，结合题意，得到B A ⊆，列出不等式组，即可求解.【详解】由题意，函数()21g x x =-在[]2,3为单调递减函数，可得()12g x ≤≤，即函数()g x 的值域构成集合[1,2]B =，又由函数()2(0)f x ax a =+>在区间[]1,2-上单调递增，可得()222a f x a -+≤≤+，即函数()f x 的值域构成集合[2,22]A a a =-++，又由[]11,2x ∃∈-，[]22,3x ∀∈，使()()12f x g x =成立，即B A ⊆,则满足21222a a -+≤⎧⎨+≥⎩，解得1a ≥，即实数a 的取值范围是[1,)+∞.故答案为：[1,)+∞.【点睛】结论点睛：本题考查不等式的恒成立与有解问题，可按如下规则转化：一般地，已知函数()[],,y f x x a b =∈，()[],,y g x x c d =∈（1）若[]1,x a b ∀∈，[]2,x c d ∀∈，总有()()12f x g x <成立，故()()max min f x g x <；（2）若[]1,x a b ∀∈，[]2,x c d ∃∈，有()()12f x g x <成立，故()()max max f x g x <；（3）若[]1,x a b ∃∈，[]2,x c d ∃∈，有()()12f x g x <成立，故()()min max f x g x <；（4）若[]1,x a b ∀∈，[]2,x c d ∃∈，有()()12f x g x =，则()f x 的值域是()g x 值域的子集．四､解答题（共6小题）17.计算求值：（1）22sin110sin20cos 155sin 155︒︒︒-︒；（2）已知α，β均为锐角，1sin 7α=，()cos 14αβ+=，求sin β的值．【答案】（1）12（2）98【解析】【分析】（1）发掘角关系再利用诱导公式，降幂公式化简求值即可.（2）先将β用()+αβα-来表示，代入sin β，利用两角和差公式求解即可.【小问1详解】221sin40sin110sin20sin70sin20cos20sin201cos 155sin 155cos310cos50sin4022︒︒︒︒︒︒︒====︒-︒︒︒︒【小问2详解】∵α、β都为锐角，∴0αβ<+<π，又()cos 14αβ+=，1sin 7α=∴()11sin 14αβ+=，cos 7α==，∴()()()sin sin sin cos sin cos βαβααβαααβ⎡⎤=+-=+-+⎣⎦11114771498=⨯-⨯=.18.为响应国家“降碳减排”号召，新能源汽车得到蓬勃发展，而电池是新能源汽车最核心的部件之一.湖南某企业为抓住新能源汽车发展带来的历史性机遇，决定开发生产一款新能源电池设备.生产这款设备的年固定成本为200万元，每生产x 台()x +∈N 需要另投入成本()a x （万元），当年产量x 不足45台时，()21303002a x x x =+-万元，当年产量x 不少于45台时，()2500619001a x x x =+-+万元.若每台设备的售价与销售量的关系式为10060x ⎛⎫+⎪⎝⎭万元，经过市场分析，该企业生产新能源电池设备能全部售完.（1）求年利润y （万元）关于年产量x （台）的函数关系式；（2）年产量x 为多少台时，该企业在这一款新能源电池设备的生产中获利最大？最大利润是多少万元？【答案】（1）()2130200,452N 2500800,451x x x y x x x x +⎧-++<⎪⎪=∈⎨⎪--+≥⎪+⎩（2）当年产量为49台时，该企业在这款新能源电池设备的生产中获利润最大，最大为701万【解析】【分析】（1）根据题目给出的函数解析式，利用收益减去成本，可得答案；（2）根据二次函数的性质以及基本不等式，可求得最值，可得答案.【小问1详解】当45x <，N x +∈时，22101160200()60100200303003020022y x a x x x x x x x ⎛⎫⎛⎫=+--=+--+-=-++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭；当45x ≥，N x +∈时，1002500250060200()601002006190080011y x a x x x x x x x ⎛⎫⎛⎫=+--=+--+-=--+ ⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭；综上所述：()2130200,452N 2500800,451x x x y x x x x +⎧-++<⎪⎪=∈⎨⎪--+≥⎪+⎩【小问2详解】当45x <，N x +∈时，21302002y x x =-++，则当30x =时，y 的最大值为650；当45x ≥，N x +∈时，25002500800(1)80180170111y x x x x ⎡⎤=--+=-+++≤-=⎢++⎣⎦（当且仅当250011x x +=+，即49x =时等号成立）；∴当年产量为49台时，该企业在这款新能源电池设备的生产中获利润最大，最大为701万.19.在ΔABC 中，角A B C ，，的对边分别为a b c ，，，向量(),sin sin m a b A C =+-，向量(),sin sin n c A B =-，且m n .（1）求角B 的大小；（2）设BC 的中点为D，且AD =，求2a c +的最大值.【答案】（1）3B π=;（2）【解析】【详解】试题分析：（1）由向量,m n共线可得到坐标间的关系，即三角形边角的关系式222a c b ac +-=，结合余弦定理可求得B 的大小；（2）由正弦定理将,a c 边转化为三角形的内角表示，借助于三角函数单调性可求得最大值.解：（1）因为m n，所以()()()sin sin sin sin 0a b A B c A C +---=.由正弦定理可得()()()0a b a b c a c +---=，即222a cb ac +-=.由余弦定理可知2221cos 222a cb ac B ac ac +-===.因为0B π∈（，），所以3B π=.（2）设BAD θ∠=，则在BAD ∆中，由3B π=，可知203πθ∈（，）.由正弦定理及AD =22sin sin sin 33BDAB ADππθθ===⎛⎫- ⎪⎝⎭，所以22sin ,2sin sin 3BD AB πθθθθ⎛⎫==-=+ ⎪⎝⎭，所以24sin ,sin a BD c AB θθθ====+，从而26sin 6a c πθθθ⎛⎫+=+=+ ⎪⎝⎭，由203πθ∈（，，可知5666πππθ+∈（，，所以当62ππθ+=，即3πθ=时，2a c +取得最大值点睛：本题是向量与解三角形的结合，解答题中的向量运算以坐标运算为主，在解三角形问题中常利用正弦定理实现边化角，利用三角函数性质求最值，利用余弦定理由边可求得角的大小.20.已知函数()44cos cos sin f x x x x x =+-.（1）求()f x 的最小正周期和单调递减区间；（2）已知ABC 中，内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，若()1,f A BC =边的中线AD，求ABC 面积的最大值.【答案】（1）()f x 的最小正周期πT =，()f x 的单调递减区间为()π2ππ,πZ 63k k k ⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦；（2）3【解析】【分析】（1）利用三角恒等变换公式，化简得()f x ，再由三角函数的周期公式、正弦函数的肯定答案；（2）由函数()1f A =解出A ，利用()12AD AB AC =+ 、余弦定理，结合基本不等式解出283≤bc ，由此利用三角形的面积公式可得答案.【小问1详解】()44cos cos sin f x x x x x =+- ，()()2222cos sin cos sin ,x x x x x =-++1cos22cos2sin222x x x x ⎛⎫=+=+ ⎪ ⎪⎝⎭π2sin 26x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，故()f x 的最小正周期πT =，由ππ3π2π22π262k x k +≤+≤+，得π2πππ63k x k +≤≤+，()f x \的单调递减区间为()π2ππ,πZ 63k k k ⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦；【小问2详解】由（1）得，()π2sin 216f A A ⎛⎫=+= ⎪⎝⎭，即1sin 22π6A ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，π5ππ0π,2,663A A A <<∴+=∴= ，又()()22211,224AD AB AC AD AB AC AB AC =+∴=++⋅，()()22221172cos 44c b bc A b c bc ∴=++=++，22222,3b c bc b c bc bc +≥∴++≥ ，283bc ∴≤，当仅2213b c ==时取等号，∴面积128sin 24433S bc A bc ==≤⨯=，ABC ∴ 面积的最大值为3.21.已知函数()21f x x=，()ln g x x =.（1）若()()()()2R F x mf x g x m =+∈存在极值，求m 的取值范围.（2）若关于x 的不等式()()af x g x a +≥在区间(]0,1上恒成立，求实数a 的取值范围.【答案】（1）()0,∞+（2）1,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭【解析】【分析】（1）根据题意，先求导，再对m 进行分类讨论单调性，最后极值的概念求m 的范围.（2）)先讨论当1x =时a 的取值范围,再分离参数,构造新函数,求导求单调性求最值,即可得出a 的取值范围.【小问1详解】()()()222ln mF x mf x g x x x =+=+，定义域为()0,∞+，()2332222'm x mF x x x x-=-+=.当0m ≤时，()'0F x >恒成立，所以()F x 在()0,∞+单调递增，()F x 不存在极值.当0m >，令()'0F x =，解得x =当x >时，()'0F x >，当0x <<()F'0x <，所以()F x在(上单调递减，在)+∞上单调递增，所以()F x在存在一个极小值点x =.综上所述，m 的取值范围为()0,∞+.【小问2详解】由题知原不等式()()af x g x a +≥，可化为211ln 0a x x ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭≥，当1x =时，R a ∈恒成立，当()0,1x ∈时，2ln 11xa x-≥，由（1）知当1m =时，函数()221ln y x x=+在1x =处有最小值1，()221ln 1x x +≥，即()2211ln x x-≤，因为()0,1x ∈，所以()2211ln 0x x-<<，所以()22ln 111x x<-，即2ln 1121x x <-，因为2ln 11xa x-≥，所以12a ≥，综上所述，实数a 的取值范围为1,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭.【点睛】该题考查导数的综合应用，属于难题，关于恒成立问题的方法如下:(1)若x D ∀∈，()f x a ≥恒成立，则只需()min f x a ≥.(2)若x D ∃∈，()f x a ≥恒成立，则只需()max f x a ≥.(3)若x D ∀∈，()f x a ≤恒成立，则只需()max f x a ≤.(4)若x D ∃∈，()f x a ≤恒成立，则只需()min f x a ≤.(5)若12,x A x B ∀∈∀∈，()()12f x g x ≤恒成立，则只需()()max min f x g x ≤.(6)若12,x A x B ∀∈∃∈，()()12f x g x ≤恒成立，则只需()()max max f x g x ≤.(7)若12,x A x B ∃∈∀∈，()()12f x g x ≤恒成立，则只需()()min min f x g x ≤.(8)若12,x A x B ∃∈∃∈，()()12f x g x ≤恒成立，则只需()()min max f x g x ≤.22.已知函数()()()()2e xf x x axa =--∈R ．（1）若2a =，讨论()f x 的单调性．（2）已知关于x 的方程()()3e 2xf x x ax =-+恰有2个不同的正实数根12,x x ．（i ）求a 的取值范围；（ii ）求证：124x x +>．【答案】（1）()f x 在(),1-∞，()2ln 2,+∞上单调递增，在()1,2ln 2上单调递减（2）（i ）2e ,4∞⎛⎫+ ⎪⎝⎭；（ii ）证明见解析【解析】【分析】（1）求导后，根据()f x '的正负可确定()f x 的单调性；（2）（i ）将问题转化为y a =与()()2e0xg x x x=>有两个不同交点的问题，利用导数可求得()g x 的单调性和最值，从而得到()g x 的图象，采用数形结合的方式可确定a 的范围；（ii ）设210x x >>，根据：121e x ax =，222e x ax =，采用取对数、两式作差整理的方式可得12122ln x x x x -=，通过分析法可知只需证12112221ln 1x x x x x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭<+即可，令()120,1x t x =∈，构造函数()()()21ln 011t h t t t t -=-<<+，利用导数可求得()h t 单调性，从而得到()()10h t h <=，由此可证得结论.【小问1详解】当2a =时，()()()2e 2x f x x x =--，则()()()()()e 22e 21e 4x x xf x x x x '=-+--=--；令()0f x '=，解得：1x =或ln 42ln 2x ==，∴当()(),12ln 2,x ∈-∞+∞ 时，()0f x ¢>；当()1,2ln 2x ∈时，()0f x '<；()f x \在(),1-∞，()2ln 2,+∞上单调递增，在()1,2ln 2上单调递减.【小问2详解】（i ）由()()3e 2xf x x ax =-+得：2e 0x ax -=，()()3e 2x f x x ax =-+ 恰有2个正实数根12,x x ，2e x ax ∴=恰有2个正实数根12,x x ，令()()2e 0xg x x x =>，则y a =与()g x 有两个不同交点，()()32e x x g x x -'=，∴当()0,2x ∈时，()0g x '<；当()2,x ∈+∞时，()0g x '>；()g x ∴在()0,2上单调递减，在()2,+∞上单调递增，又()2e 24g =，当x 从0的右侧无限趋近于0时，()g x 趋近于+∞；当x 无限趋近于+∞时，e x 的增速远大于2x 的增速，则()g x 趋近于+∞；则()g x 图象如下图所示，∴当2e 4a >时，y a =与()g x 有两个不同交点，∴实数a 的取值范围为2e ,4∞⎛⎫+ ⎪⎝⎭；（ii ）由（i ）知：121e x ax =，222e x ax =，()120,0x x >>11ln 2ln x a x ∴=+，22ln 2ln x a x =+，1121222ln 2ln 2ln x x x x x x ∴-=-=，不妨设210x x >>，则12122ln x x x x -=，要证124x x +>，只需证()1212122ln x x x x x x -+>，210x x >> ，1201x x ∴<<，12ln 0x x ∴<，则只需证()1122112122212ln 1x x x x x x x x x x ⎛⎫- ⎪-⎝⎭<=++，令()120,1x t x =∈，则只需证当()0,1t ∈时，()21ln 1t t t -<+恒成立，令()()()21ln 011t h t t t t -=-<<+，()()()()()()()()22222212114110111t t t t t h t t t t t t t +--+--'∴=-==>+++，()h t ∴在()0,1上单调递增，()()10h t h ∴<=，∴当()0,1t ∈时，()21ln 1t t t -<+恒成立，∴原不等式124x x +>得证.。
安徽省合肥市高三数学第三次教学质量检测试题 文 新人教A版
数学试题（文）(考试时间：120分钟满分：150分） 第I 卷（满分50分）一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一 项是符合题目要求的）1. 若U={-2,-1,0,1,2},M={-1，0,1}，N={-2,-1,2}，则)(N M C U ＝( ) A. φ B.{0，1} C.{-2，0,1，2} D. {-1}2. 已知（1+i)(a+bi)=3-i(i 为虚数单位，a ，b 均为实数），则a 的值为（ ） A.0 B. 1C.2D.33.直线l 经过点（1，-2)，且与直线x+2y=O 垂直，则直 线l 的方程是（ ）A. 2x + y - 4 = OB. 2x + y - 4 = OC. 2x - y -4 =OD. 2x - y + 4 = O4. 已知函数f(x)=Asin()0,0(),>>+A x ωϕω的部分图像 如图所示,则实数ω的值为（ )A.21B. 1C.2D.4 5. 若l ，m 为空间两条不同的直线，a, β为空间两个不同的平面，则l 丄a 的一个充分条件是（ ）A,l//β且a 丄β B. l β⊂且a 丄β C.l 丄β且a//β D.l 丄m 且m//a6. 右图的程序框图中输出S 的结果是25，则菱形判断框内应填入的条件是（）A. i <9B.i>9C.i ≤9D.i ≥97. 对具有线性相关关系的变量x ，y 有一组观测数据（x i ，y i )( i=1，2，…，8)，其回归直线方程是a x y +=31：，且x 1+x 2+x 3+…+x 8=2(y 1+y 2+y 3+…+y 8)=6，则实数a 的值是（ ）A.161 B. 81 C. 41 D. 21 B.设e 1，e 2是两个互相垂直的单位向量，且2131e e OA +=，2121e e OB +=则OA 在OB 上的投影为（ ）A.410 B. 35 C. 65 D. 3229. 在平面直角坐标系中，不等式组⎪⎩⎪⎨⎧-≥+-≤+≤11313x y x y x y 所表示的平面区域面积为（ )A,23 B.2 C. 25 D.3 10.设函数f(x)是定义在R 上的奇函数，若f(x)的最小正周期为4，且f( 1)>1，f(2)=m 2-2m,f(3)=152+-m m ，则实数m 的取值集合是（ ） A. }32|{<m m B.{O ，2} C. }341|{<<-m m D. {0}第II 卷（满分1OO 分）二、填空题（本大题共5小题，每小题5分，共25分，把答案填在答题卡的相应位置） 11.函数f(x)= x lg 1-的定义域为______12.中心在原点，焦点在x 轴上的双曲线的一条渐近线为y=x 43，焦点到渐近线的距离为3，则该双曲线的方程为______ 13.甲、乙两人需安排值班周一至周四共四天，每人 两天，具体安排抽签决定，则不出现同一人连续 值班情况的概率是_____14.右图为一个简单组合体的三视图,其中正视图由 一个半圆和一个正方形组成，则该组合体的体积 为______.15.下列关于数列{a n }的命题：①数列{a n }的前n 项和为S n ，且2S n = a n + 1，则{a n }不一定是等比数列；②数列{a n }满足a n+ 3 - a n+ 2 = a n + 1 - a n 对任意正整数n 恒成立，则{a n }一定是等差数列；③数列{a n }为等比数列，则{a n ·a n+1}为等比数列； ④数列{a n }为等差数列，则{a n +a n+1}为等差数列；⑤数列{a n }为等比数列，且其前n 项和为S n 则S n ,S 2n -S n ,S 3n -S 2 ,…也成等比数列. 其中真命题的序号是_______（写出所有真命题的序号）.三、解答题（本大题共6小题，共75分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 16.(本小题满分12分） 已知向量a= (1，-2)，b=(2sin 2A ,cos 2A),且a ·b=1 (I)求sinA 的值；(II)若A 为ΔABC 的内角，)2,0(π∈A ,ΔABC 的面积为73，AB=4，求BC 的长.17.(本小题满分12分）根据空气质量指数4PI(整数）的不同，可将空气质量分级如下表：对甲、乙两城市某周从周一到周五共5天的空气质量进 行监测，获得的API 数据如下图的茎叶图.(I)请你运用所学的统计知识,选择三个角度对甲乙两城市本周空气质量进行比较；(II)某人在这5天内任选两天到甲城市参加商务活动，求他在两天中至少有一天遇到优良天气的概率.18.(本小题满分12分）如图BB 1 ,CC 1 ，DD 1均垂直于正方形AB 1C 1D 1所在平面A 、B 、C 、D 四点共面. (I)求证：四边形ABCD 为平行四边形；(II)若E,F 分别为AB 1 ,D 1C 1上的点，AB 1 =CC 1 =2BB 1 =4,AE = D 1F =1.求证:CD 丄平面DEF;19.(本小题满分13分）已知椭圆C: )0(12222>>=+b a b y a x 的顶点到焦点的最大距离为22+，且离心率为22(I)求椭圆的方程；(II)若椭圆上两点A 、B 关于点M(1，1)对称，求|AB|20.(本小题满分I3分） 已知函数f(x)=(x-1)e x -ax 2(I)当a=1时，求函数f(x)在区间[0,2]上零点的个数;(II)若f(x)≤ 0在区间[0，2]上恒成立，求实数a 的取值范围.21.(本小题满分13分）已知正项等差数列{a n }中，其前n 项和为S n ，满足2S n =a n ·a n+1 (I )求数列{a n }的通项公式； (II)设b n =na n S 21，T n =b 1+b 2+…+b n,求证:T n <3.。
2021届安徽省合肥市高考数学第三次教学质量检测试卷(理科)(含答案解析)
2021届安徽省合肥市高考数学第三次教学质量检测试卷(理科)一、单选题（本大题共12小题，共60.0分）1.设全集U=R，集合A={x|x2+4x<0}，集合B={x|x<−2}，则图中阴影部分表示的集合为()A. {x|−4<x<−2}B. {x|−4<x<0}C. {x|x>0}D. {x|x<−2}2.设复数z=(12+i)(1−i)，则|z|=()A. √5B. √102C. 52D. 5√243.具有如图所示的正视图和俯视图的几何体中，体积最大的几何体的表面积为()A. 13B. 7+3√2C. 72πD. 144.已知扇形的面积为3π16，半径为1，则该扇形的圆心角的弧度数是()A. 3π16B. 3π8C. 3π4D. 3π25.设函数f(x)=3sin(π2x+π4)，则函数f(x)的最小正周期为()A. 2πB. 4πC. 2D. 46.已知对于任意实数x，均有f(π2−x)+f(x)=0且f(π+x)=f(−x)成立，当x∈[0,π4]时，有f(x)=cos2x，则f(79π24)的值为()A. √6−√24B. √6+√24C. √2−√64D. −√6+√247.已知双曲线x2a2−y2b2=1(a,b>0)的一条渐近线向上平移两个单位长度后与抛物线y2=4x相切，则双曲线的离心率e=()A. √52B. √62C. √2D. 328.下列说法中正确的个数是( )(1)若命题p ：∃x 0∈R ，x 02−x 0≤0，则￢p ：∃x 0∈R ，x 02−x 0>0；(2)命题“在△ABC 中，A >30°，则sinA >12”为真命题；(3)设{a n }是公比为q 的等比数列，则“q >1”是“{a n }为递增数列”的充分必要条件； (4)△ABC 中，若A >B ，则sinA >sinB 为真命题．A. 0B. 1C. 2D. 39.已知扇形OAB 的圆心角是60°，半径是1，C 是弧AB⏜上不与A ，B 重合的一点，设OC ⃗⃗⃗⃗⃗ =x OA ⃗⃗⃗⃗⃗ +y OB⃗⃗⃗⃗⃗⃗ (x,y ∈R)，若u =x +λy 存在最大值，则实数λ的取值范围为( ) A. (12,2)B. (12,1)C. (13,3)D. (1,3)10. 直线l 与圆x 2+y 2+2x −8y =0相交于A ，B 两点，若弦AB 的中点为M(−3,2)，则直线l 的方程为( )A. x −y +5=0B. x +y +1=0C. x −y −5=0D. x +y −3=011. 已知函数f(x)=若|f(x)|≥ax ，则a 的取值范围是( )．A. (−∞,0]B. (−∞,1]C. [−2,1]D. [−2,0]12. 已知F 1，F 2是距离为6的两个定点，动点M 满足|MF 1|+|MF 2|=6，则M 点的轨迹是( )A. 椭圆B. 直线C. 线段D. 圆二、单空题（本大题共4小题，共20.0分）13. P ，Q 为△ABC 所在平面内不同的两点．若3AP ⃗⃗⃗⃗⃗ +2BP ⃗⃗⃗⃗⃗ +CP ⃗⃗⃗⃗⃗ =0⃗ ，3AQ ⃗⃗⃗⃗⃗ +4BQ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +5CQ ⃗⃗⃗⃗⃗ =0⃗ ，则S △PAB ：S △QAB =______． 14. 知双曲线的两条渐近线与抛物线的准线分别交于A ，B 两点，O 为坐标原点.若双曲线的离心率为2，△AOB 的面积为，则抛物线的标准方程为15. 从10名女生和5名男生中选出6名组成课外学习小组，如果按性别比例分层抽样，则组成此课外学习小组的不同方案有______ 种． 16. 下列4个命题：①“如果x +y =0，则x 、y 互为相反数”的逆命题； ②“如果x 2+x −6≥0，则x >2”的否命题；③在△ABC 中，“A >30°”是“sinA >12”的充分不必要条件；④“a =1”是“函数f(x)=(x −1)2在区间[a,+∞)上为增函数”的必要充分条件． 其中真命题的序号是______ ．三、解答题（本大题共7小题，共82.0分）17. 已知函数f(x)=1−4sinxsin(x −π3)，在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c ，且f(A)=1，b +c =3． (1)求角A 的大小； (2)求边BC 上高的最大值．18. 观察教室内现有的物体，找出两个平面互相垂直的例子．19. 一名箭手进行射箭训练，箭手连续射2支箭，已知射手每只箭射中10环的概率是14，射中9环的概率是14，射中8环的概率是12，假设每次射箭结果互相独立． (1)求该射手两次射中的总环数为18环的概率； (2)求该箭手两次射中的总环数为奇数的概率．20. 已知函数f(x)=e x x的定义域为(0,+∞)．(Ⅰ)求函数f(x)在[m,m +1](m >0)上的最小值；(Ⅱ)对任意x ∈(0,+∞)，不等式xf(x)>−x 2+λx −1恒成立，求实数λ的取值范围．21. 已知F 1(−2,0)，F 2(2,0)，点P 满足|PF 1|−|PF 2|=2，记点P 的轨迹为E ． (1)求轨迹E 的方程；(2)若直线l 过点F 2且与轨迹E 交于P 、Q 两点．(i)无论直线l 绕点F 2怎样转动，在x 轴上总存在定点M(m,0)，使MP ⊥MQ 恒成立，求实数m 的值． (ii)过P 、Q 作直线x =12的垂线PA 、OB ，垂足分别为A 、B ，记λ=|PA|+|QB||AB|，求λ的取值范围．22.(本小题满分10分)选修4−1：几何证明选讲如下图所示，AB为圆O的直径，BC，CD为圆O的切线，B，D为切点．(1)求证：AD//OC；(2)若圆O的半径为1，求AD・OC的值．23(本小题满分10分)坐标系与参数方程：在平面直角坐标系中，以坐标原点为极点，轴的非负半轴为极轴建立坐标系．已知点的极坐标为，直线的极坐标方程为，且点在直线上．(1)求的值及直线的直角坐标方程；(2)圆c的参数方程为，(为参数)，试判断直线与圆的位置关系．24(本小题满分10分)不等式选讲：设不等式的解集为，且，．(1)求的值；(2)求函数的最小值．23. 已知函数f(x)=|x+1−2a|+|x−a2|，g(x)=x2−2x−4+4(x−1)2(Ⅰ)若f(2a2−1)>4|a−1|，求实数a的取值范围；(Ⅱ)若存在实数x，y，使f(x)+g(y)≤0，求实数a的取值范围．【答案与解析】1.答案：A解析：本题考查了求Venn 图表示的集合，关键是根据图形会判断出阴影部分表示的集合元素特征，再通过集合运算求出．阴影部分表示的集合为A ∩B ，解出A ，再与B 求交集．解：因为A ={x|−4<x <0}，Venn 图表示的是A ∩B ，所以A ∩B ={x|−4<x <−2}， 故选：A ．2.答案：B解析：解：因为：复数z =(12+i)(1−i)=12+(1−12)i −i 2=32+12i ； 所以：|z|=√(32)2+(12)2=√102．故选：B ．通过复数的乘除运算法则化简求解复数为：a +bi 的形式，即可得到结论． 本题考查复数的代数形式的混合运算，复数的基本概念，是基本知识的考查．3.答案：D解析：试题分析：根据三视图判定几何体的形状，再由正视图判断几何体的长与高，俯视图判断几何体的宽，代入公式计算即可。
【数学】安徽省合肥市2019届高三上学期调研性检测(高二期末)数学(理)试题
合肥市2019届高三调研性检测数学试题（理科） 第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合{}{}12,13M x x N x x =-<<=≤≤，则M N ⋂=（ ） A ．(]1,3- B ．(]1,2- C ．[)1,2 D ．(]2,32.已知复数122iz i-=-（i 为虚数单位），则z =（ ） A ．15 B ．35 C ．45D ．13.下图是在北京召开的第24届国际数学家大会的会标，会标是根据我国古代数学家赵美弦图设计的。
频色的明暗使它看上去像一个风车，代表中国人民热情好客已知图中直角三角形两条直角边的长分别为2和3.若从右图内随机取一点，则该点取自阴影区域的概率为（ ）A ．23 B ．89 C ．1213 D ．24254.已知实数,x y 满足条件00220x y x y x y -≤⎧⎪+≥⎨⎪+-≤⎩，则2z x y =-的取值范围是（ ）A ．26,3⎡⎤-⎢⎥⎣⎦ B ．20,3⎡⎤⎢⎥⎣⎦C.[)6,-+∞ D ．[)0,+∞5.已知直线:50l x y +-=与圆()()()222:210C x y r r -+-=>相交所得的弦长为，则圆C 的半径r =（ ）A．2C. ．46.执行下面的程序框图，若输出的结果为15，则判断框中的条件是（ ）A ．4?i <B ．5?i < C. 6?i < D ．7?i < 7.已知tan 3α=，则sin cos 22ππαα⎛⎫⎛⎫-⋅+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭的值为（ ） A ．310 B ．310- C. 35 D ．35-8.已知双曲线()2222:10,0x y M a b a b-=>>的焦距为4，两条渐近线的夹角为60，则双曲线M 的标准方程是（ ）A ．2213x y -=或221412x y -=B ．2213x y -=或2213y x -= C.221124x y -=或2213y x -= D ．221124x y -=或221412x y -= 9.已知某几何体的三视图如图所示，其中正视图和侧视图都由半图及矩形组成，俯视图由正方形及其内切圆组成则该几何体的表面积等于（ ）A ．488π+B ．484π+ C. 648π+ D ．644π+10.若将函数()()()2cos 1cos 1cos f x x x x =+-图象上所有点的横坐标伸长为原来的2倍（纵坐标不变），得到函数()y g x =的图象，则函数()y g x =的单调递减区间为（ ） A ．(),2k k k Z πππ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦ B ．(),2k k k Z πππ⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦C. ()11,844k k k Z πππ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦ D ．()11,484k k k Z πππ⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦11.已知函数()2cos xxf x e ex -=++，其中e 为自然对数的底数，则对任意a R ∈，下列不等式一定成立的是（ ）A ．()()212f a f a +≥ B ．()()212f a f a +≤ C. ()()211f a f a +≥+ D ．()()21f a f a +≤12.在ABC ∆中，90,1,CAB AC AB ∠=︒==将ABC ∆绕BC 旋转，使得点A 转到点P ，如图，若D 为BC 的中点，E 为PC 的中点，AE =AB 与平面ADE 所成角的正弦值是（ ）A第Ⅱ卷（共90分）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13.若a 与b 的夹角为135︒，1,2a b ==，则a b += ．14.已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，()111,2*n n a S S n N +==∈，则10a = ． 15.将红、黄、蓝三种颜色的三颗棋子分别放入33⨯方格图中的三个方格内，如图，要求任意两颗棋子不同行、不同列，且不在33⨯方格图所在正方形的同一条对角线上，则不同放法共有 种．16.已知()24,1,x x x a f x e x a ⎧-≤⎪=⎨->⎪⎩（其中0a <，e 为自然对数的底数），若()()g x f f x =⎡⎤⎣⎦在R 上有三个不同的零点，则a 的取值范围是 ．三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 17. 已知等比数列{}n a 各项都是正数，其中3234,,a a a a +成等差数列，532a =。
安徽省合肥市高三数学第三次教学质量检测试题 理 新人教A版
合肥市2013年高三第三次教学质量检测数学试题（理）(考试时间：120分钟满分:150分） 第I 卷（满分50分）—、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一 项是符合题目要求的）1. 设集合M={R x ∈|x 2<4},N={-1,1,2},则M N ＝( ) A{-1，1，2} B.{-1，2} C.{1，2} D{-1，1}2. 已知（1+i)(a-2i)= b-ai(其中a,b 均为实数，i 为虚数单位），则a+b =( ) A. -2 B.4 C.2 D.03. 等比数列{a n }中，a 2=2，a 5 =41，则a 7 =( )A.641 B.321 C.161 D. 814. “ m < 1 ”是“函数f(x) = x 2-x+41m 存在零点”的（ )A.充分不必要条件B.充要条件C.必要不充分条件D.既不充分也不必要条件 5. 右边程序框图，输出a 的结果为（ ） A.初始值a B.三个数中的最大值 C. 二个数中的最小值 D.初始值c6. 已知⎪⎩⎪⎨⎧≥+-≤--≥+033206322y x y x y x ，且z=x 2+y+，则z 的最小值是（ ）A.4B.1C. 18D.y 7. P是正六边形ABCDEF某一边上一点，AF y AB x AP +=，则x+y 的最大值为（ ) A.4 B.5 C.6 D.78. 右图为一个简单组合体的三视图，其中正视图由 一个半圆和一个正方形组成，则该组合体的表面 积为（ ）A.20 + 17πB.20 + 16πC. 16 + 17πD. 16 + l6π9. 五个人负责一个社团的周一至周五的值班工作， 每人一天，则甲同学不值周一，乙同学不值周五，且甲，乙不相邻的概率是（ )A.103 B.207 C.52 D.301310.定义域为R 的函数f(x)的图像关于直线x= 1对称，当a ∈[0,l]时，f(x) =x,且对任意R x ∈只都有f(x+2) = -f(x),g(x)= ⎩⎨⎧<--≥)0)((log)0)((2013x x x x f ，则方程g(x)-g(-x) =0实数根的个数为（ ）A. 1006B. 1007C. 2012D.2014第II 卷（满分100分）二、填空题（本大题共5小题，每小题5分，共25分，把答案填在答题卡的相应位置） 11.已知抛物线的准线方程是x=21，则其标准方程是______12.关于x 的不等式log 2|1-x| > 1的解集为_______ 13.曲线C 的极坐标方程为: θρcos 2=，曲线T 的参数方程为⎩⎨⎧+=+-=121t y t x (t 为参数），则曲线C 与T 的公共点有______个.14.如图，一栋建筑物AB 高（30-103)m ，在该建筑 物的正东方向有一个通信塔CD.在它们之间的地面M 点（B 、M 、D 三点共线）测得对楼顶A 、塔顶C 的仰角分别是15°和60°，在楼顶A 处 测得对塔顶C 的仰角为30°，则通信塔CD 的高为______m.15.如图，正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1的棱长为2,P,Q,R 分 别是棱BC,CD,DD 1的中点.下列命题：①过A 1C 1且与CD 1平行的平面有且只有一个； ②平面PQR 截正方体所得截面图形是等腰梯形；③AC 1与平面PQR 所成的角为60°;④线段EF 与GH 分别在棱A 1B 1和CC 1上运动，且EF + GH = 1，则三棱锥E - FGH 体积的最大值是121⑤线段MN 是该正方体内切球的一条直径，点O 在正 方体表面上运动，则ONOM .的取值范围是[0，2].其中真命题的序号是______（写出所有真命题的序号）.三、解答题（本大题共6小题，共75分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）16.(本小题满分12分）已知函数f(x)=Asin())2,0(,0,0(),πϕωϕω∈>>+A x 部分图像如图所示.(I)求函数f(x)的解析式; (II)已知)2,0(π∈a ），且32cos =a ，求f(a).17.(本小题满分13分）如图BB 1,CC 1 ，DD 1均垂直于正方形AB 1C 1D 1所在平面A 、B 、C 、D 四点共面.(I)求证：四边形ABCD 为平行四边形；(II)若E,F 分别为AB 1 ,D 1C 1上的点，AB 1 =CC 1 =2BB 1 =4,AE = D 1F =1.(i)求证:CD 丄平面DEF; (ii)求二面角D-EC 1-D 1的余弦值.18.(本小题满分12分）已知f(x) = log a x- x +1( a>0，且 a ≠ 1).(I)若a=e,求f(x)的单调区间；(II)若f(x)>0在区间（1，2)上恒成立，求实数a的取值范围.19.(本小题满分13分）根据上级部门关于开展中小学生研学旅行试点工作的要求，某校决定在高一年级开展中小学生研学旅行试点工作.巳知该校高一年级10个班级,确定甲、乙、丙三条研学旅行路线.为使每条路线班级数大致相当，先制作分别写有甲、乙、丙字样的签各三张，由高一（1)〜高一（9)班班长抽签,再由高一（10)班班长在分别写有甲、乙、丙字样的三张签中抽取一张.(I)设“有4个班级抽中赴甲路线研学旅行”为事件A，求事件A的概率P(A);(II )设高一（l)、高一(2)两班同路线为事件B,高一（1)、高一（10)两班同路线为事件C，试比较事件B的概率P(B)与事件C的概率P( C)的大小；(III)记（II)中事件B、C发生的个数为ξ，求随机变量ξ的数学期望Eξ20.(本小题满分12分）平面内定点财（1，0),定直线l:x=4,P为平面内动点,作PQ丄l，垂足为Q，且||2||PM PQ =.(I)求动点P 的轨迹方程；(II )过点M 与坐标轴不垂直的直线，交动点P 的轨迹于点A 、B ，线段AB 的垂直平分 线交x 轴于点H ，试判断||||AB HM -是否为定值.21.(本小题满分13分）设数列{a n }的前n 项和为S n ，且对任意的*N n ∈，都有a n >0,S n = 33231...n a a a +++ (I)求a 1，a 2的值；(II)求数列{a n }的通项公式a n (III)证明：ln2≤a n ·ln(1+)1na <ln3。
合肥三模理科数学 答案之欧阳歌谷创编
合肥市2020届高三第三次教学质量检测数学试题(理科)欧阳歌谷（2021.02.01）参考答案及评分标准一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13.480 14.-960 15.416.①②④⑤三、解答题：本大题共6小题，满分70分.17.(本小题满分12分)解:(1)()())1cos sin sin21cos22f x x x x x xωωωωω==+sin23xπω⎛⎫=+⎪⎝⎭由1sin213xπω⎛⎫-≤+≤⎪⎝⎭得，()f x的值域是11⎤-⎥⎣⎦.……………………………5分(2)∵0xπ≤≤，∴22333xπππωωπ≤+≤+，由正弦函数的图像可知，()f x=在区间[]0π，上恰有两个实数解，必须2233ππωππ≤+<，解得5463ω≤<. ………………………………12分18.(本小题满分12分)解：(1)∵四边形11A ACC是菱形，∴11AC AC⊥，又∵11AC=，∴1=60ACC∠，∴1ACC∆是等边三角形.∵点M为线段AC的中点，∴1C M AC⊥.又∵AC∥11A C，∴111C M AC⊥.∵在等边ABC∆中，BM AC⊥，由AC∥11A C可得，11BM AC⊥.又∵1BM C M M =，∴111AC BMC ⊥平面，∵11AC ⊂平面11A BC ，∴平面1BMC ⊥平面11A BC .……………………………5分(2)∵BM AC ⊥，平面ABC ⊥平面11A ACC ，且交线为AC ，∴11BM ACC A ⊥平面，∴直线MB ，MC ，1MC 两两垂直.以点M 为坐标原点，分别以MB ，MC ，1MC 所在直线为坐标轴建立空间直角坐标系，如图，则()3 0 0B，，，()10 0 3C ，，，()10 2 3A -，，，()0 1 0C ，，，∴()110 2 0A C =，，，()13 0 3BC =-，，，()101 3CC =-，，.设平面11A BC 的一个法向量为() n x y z =，，，∴11100A C n BC n ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，∴0330y x z =⎧⎪⎨-+=⎪⎩.令1x =，得()1 0 1n =，，，∴1362CC n d n⋅===，即点C 到平面11A BC 的距离为6.………………………………12分 19.(本小题满分12分)解:(1)由频率分布直方图可得，空气质量指数在(90，110]的天数为2天，所以估计空气质量指数在(90，100]的天数为1天，故在这30天中空气质量等级属于优或良的天数为28天.……………………3分(2)①在这30天中，乙不宜进行户外体育运动，且甲适宜进行户外体育运动的天数共6天，∴()224230920145C P X C ===，()11624230481145C C P X C ⋅===，()262301229C P X C ===，∴X的分布列为∴924812012145145295EX =⨯+⨯+⨯=.…………………………………8分②甲不宜进行户外体育运动的概率为110，乙不宜进行户外体X 0 1 2 P9214548145129育运动的概率为310，∴2213219375671010101050000P C C ⎛⎫=⋅⋅⋅⋅⋅=⎪⎝⎭ (12)分20.(本小题满分12分) 解：(1)()xxf x e e a -'=+-.当2a ≤时，()20x x f x e e a a -'=+-≥-≥，()f x 在R 上单调递增；当2a >时，由()0f x '=得xex =.当ln a x ⎛⎛⎫+ ⎪∈-∞+∞⎪⎝⎭⎝⎭，时，()0f x '>，当x ⎛∈ ⎝⎭时，()0f x '<. ∴()f x 在⎛ -∞ ⎝⎭，和⎛⎫ ⎪+∞ ⎪⎝⎭上单调递增， 在⎛ ⎝⎭上单调递减.………………………………5分(2)由(1)知，当2a =时，()2x x f x e e x -=--在R 上单调递增，∴()()1ln 2ln g x f x x x x ==--在()0+∞，上单调递增.当2n Z n ∈≥且时，112ln 12ln101n n n -->--=，即212ln n n n ->，∴当2n Z n ∈≥且时，21211ln 111n n n n n >=---+，∴()221111111111321ln 132411212n 1ni n n i i n n n n n =-->-+-++-=+--=-+++∑.………………………………12分21.(本小题满分12分)解: 设点()00P x y ，，()11A x y ，，()22B x y ，.(1)∵直线l 经过坐标原点，∴2121x x y y =-=-，.∵022014x y +=，∴022014x y =-. 同理得122114x y =-.∴0011010101012222220101222222010111444414PA PBx x x x y y y y y y k k x x x x x x x x x x ⎛⎫⎛⎫----- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪--+⎝⎭⎝⎭⋅=⋅====--+---.∴直线PA 与直线PB 的斜率之积为定值. ……………………………5分(2)∵0OA OB OP ++=，∴2OP OQ =-.设()Q x y ，，则0022x x y y =-⎧⎨=-⎩.由022014x y +=，得2241x y +=， ∴动点Q 的轨迹方程为2241x y +=.……………………………8分 设直线OB 与直线PA 交于点M ，则点M 为线段PA 的中点，且2222xy M ⎛⎫-- ⎪⎝⎭，， 当20y ≠时，∵022014x y +=，122114x y +=，∴1010210102144PA y y x xx k x x y y y -+==-⋅=--+，∴直线PA 的方程为2222242y x x y x y ⎛⎫+=-+ ⎪⎝⎭，整理得2224x x y y +=-.将2224x x y y +=-代入动点Q的轨迹方程得，()()2222222244410xy x x x y +++-=(※).将222214x y +=代入(※)，整理得2222440x x x x ++=. ∵222216160x x ∆=-=，∴直线PA 与动点Q 的轨迹相切. 当20y =时，直线PA 的方程为1x =±，∴直线PA 与动点Q 的轨迹相切.综上可知，直线PA 与动点Q 的轨迹相切.……………………………12分22.(本小题满分10分) (1)曲线E 的直角坐标方程为()22+14x y +=，直线m 的极坐标方程为θα=(R ρ∈). ………………………………5分(2)设点A ，C 的极坐标分别为()1ρα，，()2ρα，.由2=+2cos 30θαρρθ⎧⎨-=⎩得，2+2cos 30ρρα-=，∴122cos ρρα+=-，123ρρ=-，∴12AC ρρ=-=同理得BD =∵221cos 3sin 372ABCD S AC BD αα=⋅=+++=，当且仅当22cos 3sin 3αα+=+，即344ππα=或时，等号成立，∴四边形ABCD 面积的最大值为7. ………………………………10分23.(本小题满分10分)(1)()3 122113113 1x x f x x x x x x x -<-⎧⎪=--+=--≤<⎨⎪-≥⎩，，，，根据函数图象得，()f x 的最小值为-2， ∴2m =-. ………………………………5分 (2)由(1)知，2a b c ++=， ∴()()()()()()22222222121111112119a b c a b c a b c ⎡⎤+-++⋅++≥⋅+-⋅++⋅=+++=⎡⎤⎣⎦⎣⎦，∴()()222123a b c +-++≥，当且仅当12a b c =-=+，2a b c ++=，即1a =，2b =，1c =-时等号成立，∴2222420a b c b c ++-++≥.………………………………10分。
合肥市数学高二上学期理数期中考试试卷A卷
合肥市数学高二上学期理数期中考试试卷A卷姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、单选题 (共12题；共12分)1. （1分）用更相减损术求294和84的最大公约数时，需做减法的次数是（）A . 2B . 3C . 4D . 52. （1分）为了估计某水池中鱼的尾数，先从水池中捕出2000尾鱼，并给每尾鱼做上标记（不影响存活），然后放回水池，经过适当的时间，再从水池中捕出500尾鱼，其中有标记的鱼为40尾，根据上述数据估计该水池中鱼的尾数为（）A . 10000B . 20000C . 25000D . 300003. （1分） (2019高二上·南充期中) 下图是一个边长为4的正方形二维码，为了测算图中黑色部分的面积，在正方形区域内随机投掷400个点，其中落入黑色部分的有225个点，据此可估计黑色部分的面积为（）A . 8B . 9C . 10D . 124. （1分）某人5次上班途中所花的时间（单位：分钟）分别为x,y,10,11,9。
已知这组数据的平均数为10，方差为2，则|x-y|的值为（）A . 1B . 2C . 3D . 45. （1分） (2019高三上·沈阳月考) 高二年级的三个班去甲、乙、丙、丁四个工厂参观学习，去哪个工厂可以自由选择，甲工厂必须有班级要去，则不同的参观方案有（）A . 16种B . 18种C . 37种D . 48种6. （1分）从一个正方体的8个顶点中任取3个，则以这3个点为顶点构成直角三角形的概率为（）A .B .C .D .7. （1分） (2017高一上·山西期末) 程序框图如图所示，现输入如下四个函数：f（x）= ，f（x）=x4 ，f（x）=2x ， f（x）=x﹣，则可以输出的函数是（）A . f（x）=B . f（x）=x4C . f（x）=2xD . f（x）=x﹣8. （1分）在10件产品中有3件次品，从中选3件．下列各种情况是互斥事件的有（）①A:“所取3件中至多2件次品”，B :“所取3件中至少2件为次品”；②A:“所取3件中有一件为次品”，B：“所取3件中有二件为次品”；③A：“所取3件中全是正品”，B：“所取3件中至少有一件为次品”；④A：“所取3件中至多有2件次品”，B：“所取3件中至少有一件是正品”；A . ①③B . ②③C . ②④D . ③④9. （1分）组合式﹣2 +4 ﹣8 +…+（﹣2）n 的值等于（）A . （﹣1）nB . 1C . 3nD . 3n﹣110. （1分） (2018高二上·河北月考) 利用秦九韶算法求当时的值为（）A . 121B . 321C . 283D . 23911. （1分）设集合，集合，，满足且，那么满足条件的集合A的个数为（）A . 76B . 78C . 83D . 8412. （1分）已知集合M=N={x∈N|0≤x≤3}，定义函数f：M→N，且以AC为底边的等腰△ABC的顶点坐标分别为A（0，f（0）），B（1，f（1）），C（2，f（2）），则在所有满足条件的等腰△ABC中任取一个，取到腰长为的等腰三角形的概率为（）A .B .C .D .二、填空题 (共4题；共4分)13. （1分）(2018·淮北模拟) 已知随机变量的分布列如下表，又随机变量，则的均值是________．14. （1分）某产品的广告费用x与销售额y的统计数据如表：广告费x（万元）2345利润y（万元）264956根据表格已得回归方程为=9.4x+9.1，表中有一数据模糊不清，请推算该数据的值为________15. （1分） (2018高二上·黑龙江月考) 将参加数学竞赛的1000名学生编号如下：0001，0002，0003，，1000，打算从中抽取一个容量为50的样本，按系统抽样的办法分成50个部分如果第一部分编号为0001，0002，，0020，从中随机抽取一个号码为0015，则第40个号码为________．16. （1分） (2018高二下·牡丹江月考) 甲罐中有5个红球，2个白球和3个黑球，乙罐中有4个红球，3个白球和3个黑球．先从甲罐中随机取出一球放入乙罐，分别以表示由甲罐取出的球是红球，白球和黑球的事件．再从乙罐中随机取出一球，以B表示由乙罐取出的球是红球的事件。
合肥市衡安学校2020-2021学年高二上学期第三次周测考试数学理试题含答案
衡安学校2020—2021年度上学期高二年级第三次周测考试数学试卷(理科）（时间：120分钟满分：150分）第Ⅰ卷（选择题,共60分）一、选择题（每题5分，共60分）1．已知,,a b c∈R,命题“若a b>，则22ac bc>”的逆命题、否命题、逆否命题中真命题的个数为（）A．0 B．1 C．2 D．32．两圆224210x y x y+-++=与224410x y x y++--=的公切线有( )A．1条B．2条C．3条D．4条3．过直线30x y+-=和20x y-=的交点,且与直线250x y+-=平行的直线方程是（)A．240x y+-= B．240x y+-=C．230x y+-=D．230x y-+=4．执行如图所示的程序，若输出的7n=,则输入的整数P的最小值为（)A．15B．18C．77D．785．现要完成下列3项抽样调查：①从15种疫苗中抽取5种检测是否合格。
②某中学共有480名教职工，其中一线教师360名,行政人员48名，后勤人员72名.为了解教职工对学校校务公开方面的意见，拟抽取一个容量为20的样本。
③某中学报告厅有28排，每排有35个座位,一次报告会恰好坐满了听众，报告会结束后，为了听取意见,需要请28名听众进行座谈。
较为合理的抽样方法是（）A．①简单随机抽样, ②分层抽样，③系统抽样B．①简单随机抽样，②系统抽样, ③分层抽样C．①系统抽样，②简单随机抽样，③分层抽样D．①分层抽样，②系统抽样，③简单随机抽样6．从装有两个红球和三个黑球的口袋里任取两个球，那么互斥而不对立的两个事件是( ）A．“至少有一个黑球”与“都是黑球”B．“至少有一个黑球”与“至少有一个红球”C．“恰好有一个黑球"与“恰好有两个黑球”D．“至少有一个黑球”与“都是红球”7．对数的发明是数学史上的重大事件,它可以改进数字的计算方法、提高计算速度和准确度.已知{1,3}M=，{1,3,5,7,9}N=，若从集合M，N中各任取一个数x，y,则3log()xy为整数的概率为（）A．15B．25C．35D．458．已知圆22(7)(4)9x y-++=与圆22(5)(6)9x y++-=关于直线l对称，则直线l的方程是( ) A．56110x y+-=B．6510x y--=C．65110x y+-=D．5610x y-+= 9．如图,在一个棱长为2的正方体鱼缸内放入一个倒置的无底圆锥形容器,圆锥的上底圆周与鱼缸的底面正方形相切,圆锥的顶点在鱼缸的缸底上，现在向鱼缸内随机地投入一粒鱼食，则“鱼食落在圆锥外面”的概率是（）A．π14-B．π12C ．π4D ．π112- 10．不等式10x x ->成立的充分不必要条件是( ） A ．1x > B ．1x >-C ．1x <-或01x <<D ．10x -<<或1x >11．已知⊙M :222220xy x y +---=，直线l ：220x y ++=，P 为l 上的动点，过点P 作⊙M 的切线,PA PB ,切点为,A B ，当||||PM AB ⋅最小时，直线AB 的方程为（ ）A ．210x y --=B ．210x y +-=C ．210x y -+=D ．210x y ++=1230y --=与x 轴交于A ，与圆()()22:234M x y -++=交于B 、C 两点,过A 的直线与过B、C 两点的动圆N 切于P ，当PBC 的面积最大时,切线AP 的方程为（ ） A．0x =B0y +=Cy +=D．0x =第Ⅱ卷(非选择题,共90分)二．填空题（每题5分，共20分）13．若,p q ⌝都为真命题，则p ∨q ，p ∧q 中真命题的是_____________.14．已知实数,x y 满足221x y +=，则 21y x ++的取值范围为________。
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合肥市数学高二上学期理数教学质量调研（三)试卷A卷
姓名:________ 班级:________ 成绩:________
一、填空题 (共14题；共14分)
1. （1分） (2017高三上·宿迁期中) 复数z=i（1﹣2i）（i是虚数单位）的实部为________．
2. （1分） (2019高二上·长治月考) 椭圆的焦点坐标为________．
3. （1分） (2017高二下·溧水期末) 已知复数z=（a﹣i）（1+i）（a∈R，i是虚数单位）是实数，则a=________．
4. （1分） (2019高二上·龙江月考) 设，是双曲线的两个焦点，是双曲线与椭圆
的一个公共点，则的面积等于________.
5. （1分） (2019高二上·青冈月考) 已知椭圆的左、右两个焦点分别为 ,若经过的直线与椭圆相交于两点,则的周长等于________
6. （1分）如图在正方体ABCDA1B1C1D1中判断下列位置关系：
（1） AD1所在直线与平面BCC1的位置关系是________；
（2）平面A1BC1与平面ABCD的位置关系是________．
7. （1分） (2017高一下·河北期末) 一个圆柱和一个圆锥的母线相等，底面半径也相等，则侧面积之比是________．
8. （1分） (2017高三上·赣州期末) 在的展开式中，含x2项的系数为________．
9. （1分） (2016高二下·渭滨期末) 马路上有编号1，2，3，…，10共10盏灯，现要关掉其中的四盏，但不能关掉相邻的二盏或三盏，也不能关掉两端的两盏，则满足条件的关灯方案有________种．
10. （1分）已知点M，N是抛物线C：y=4x2上不同的两点，F为抛物线C的焦点，且满足∠MFN=135°，弦MN的中点P到C的准线l的距离记为d，若|MN|2=λ•d2 ，则λ的最小值为________．
11. （1分）有5部各不相同的电话参加展览，排成一行，其中有2部不同的电话来自同一个厂家，则此2部电话恰好相邻的排法总数是________（用数字作答）．
12. （1分）(2020·攀枝花模拟) 如图，求一个棱长为的正四面体的体积，可以看成一个棱长为1的正方体截去四个角后得到，类比这种方法，一个三对棱长相等的四面体，其三对棱长分别为
，则此四面体的体积为________；
13. （1分） (2020高三上·海淀期末) 已知曲线（为常数）.
（i）给出下列结论：
①曲线为中心对称图形；
②曲线为轴对称图形；
③当时，若点在曲线上，则或 .
其中，所有正确结论的序号是________.
（ii）当时，若曲线所围成的区域的面积小于，则的值可以是________.（写出一个即可）
14. （1分）已知直线y= x与双曲线﹣ =1交于A、B两点，P为双曲线上不同于A、B的点，当直线PA、PB的斜率kPA ， kPB存在时，kPA•kPB=________．
二、解答题 (共9题；共100分)
15. （10分） (2019高三上·宁德月考) 在平面直角坐标系中，圆，以坐标原
点为极点，轴正半轴为极轴，直线的极坐标方程为，直线交圆于两点，为中点.
（1）求点轨迹的极坐标方程；
（2）若，求的值.
16. （10分）(2018·徐汇模拟) 如图，是椭圆长轴的两个端点，是椭圆上与
均不重合的相异两点，设直线的斜率分别是 .
（1）求的值；
（2）若直线过点，求证：；
（3）设直线与轴的交点为(为常数且 )，试探究直线与直线的交点
是否落在某条定直线上？若是，请求出该定直线的方程；若不是，请说明理由．
17. （10分） (2018高二上·西城期末) 如图，在四棱柱中，平面，
，，，，为的中点.
（Ⅰ）求四棱锥的体积；
（Ⅱ）设点在线段上，且直线与平面所成角的正弦值为，求线段的长度；
（Ⅲ）判断线段上是否存在一点，使得？（结论不要求证明）
18. （10分）(2020·海安模拟) 一种抛硬币游戏的规则是：抛掷一枚硬币，每次正面向上得1分，反面向上得2分.
（1）设抛掷5次的得分为，求的分布列和数学期望；
（2）求恰好得到分的概率.
19. （10分）(2012·上海理) 在平面直角坐标系xOy中，已知双曲线C1：2x2﹣y2=1．
（1）过C1的左顶点引C1的一条渐近线的平行线，求该直线与另一条渐近线及x轴围成的三角形的面积；
（2）设斜率为1的直线l交C1于P、Q两点，若l与圆x2+y2=1相切，求证：OP⊥OQ；
（3）设椭圆C2：4x2+y2=1，若M、N分别是C1、C2上的动点，且OM⊥ON，求证：O到直线MN的距离是定值．
20. （10分）(2018·呼和浩特模拟) 为了了解校园噪音情况，学校环保协会对校园噪音值（单位：分贝）进行了天的监测，得到如下统计表：
噪音值（单位：分贝）
频数
（1）根据该统计表，求这天校园噪音值的样本平均数（同一组的数据用该组组间的中点值作代表）.
（2）根据国家声环境质量标准：“环境噪音值超过分贝，视为重度噪音污染；环境噪音值不超过分贝，视为轻度噪音污染.”如果把由上述统计表算得的频率视作概率，回答下列问题：
（i）求周一到周五的五天中恰有两天校园出现重度噪音污染而其余三天都是轻度噪音污染的概率.
（ii）学校要举行为期天的“汉字听写大赛”校园选拔赛，把这天校园出现的重度噪音污染天数记为，求的分布列和方差 .
21. （15分） (2017高二下·中山月考) 已知的展开式中，某一项的系数是它前一项系数的2倍，而等于它后一项的系数的．
（1）求该展开式中二项式系数最大的项；
（2）求展开式中系数最大的项．
22. （15分） (2017高二下·河北期中) 在平面直角坐标系xOy中，已知圆M：（x+1）2+y2= 的圆心为M，圆N：（x﹣1）2+y2= 的圆心为N，一动圆与圆M内切，与圆N外切．
（Ⅰ）求动圆圆心P的轨迹方程；
（Ⅱ）过点（1，0）的直线l与曲线P交于A，B两点，若 =﹣2，求直线l的方程．
23. （10分） (2020高三上·泸县期末) 已知抛物线：，直线： .
（1）若直线与抛物线相切，求直线的方程；
（2）设，直线与抛物线交于不同的两点，，若存在点，满足，且线段与互相平分（为原点），求的取值范围.
参考答案一、填空题 (共14题；共14分)
1-1、
2-1、
3-1、
4-1、
5-1、
6-1、
6-2、
7-1、
8-1、
9-1、
10-1、
11-1、
12-1、
13-1、
14-1、
二、解答题 (共9题；共100分) 15-1、
15-2、16-1、
16-2、16-3、
17-1、
18-1、18-2、19-1、
19-2、
19-3、20-1、
20-2、
21-1、
21-2、
22-1、23-1、
23-2、。