辽宁省抚顺市六校联合体高二数学上学期期末考试试题理
辽宁省抚顺市六校协作体高二上学期期末数学试题解析版
2019-2020学年辽宁省抚顺市六校协作体高二上学期期末数学试题一、单选题1．A 、B 两点的坐标分别为()3,1和()1,3，则线段AB 的垂直平分线方程为（ ） A ．y x = B ．y x =-C ．40x y +-=D ．40x y -+=【答案】A【解析】先求得直线AB 的方程,则可设其垂线为0x y D -+=,将AB 的中点坐标代入即可求解 【详解】由题,直线AB 的两点式方程为:133113y x --=--,即40x y +-=, 设直线AB 的垂线为0x y D -+=,中点为()2,2, 将点代入可得220D -+=,则0D =,所以0x y -=, 所以线段AB 的垂直平分线方程为:y x =, 故选:A 【点睛】本题考查线段的垂直平分线,考查直线方程 2．i 是虚数单位，复数11iz i+=-的虛部为（ ） A ．0 B ．iC ．1D ．1-【答案】C【解析】利用除法法则将z 整理为a bi +的形式,由虚部的概念即可判断选项 【详解】由题,()()()21121112i ii z i i i i ++====--+,故虚部为1, 故选:C 【点睛】本题考查复数的概念,考查复数的除法法则的应用,属于基础题3．椭圆221169x y +=的焦点坐标为（ ）A ．()5,0-和()5,0B ．()和)C ．()0,5和()0,5-D ．(和(0,【答案】B【解析】由椭圆方程可得焦点在x 轴上,利用222c a b =-求得焦点坐标即可 【详解】由题,焦点在x 轴上,则21697c =-=,所以c =则焦点坐标为)和(),故选:B 【点睛】本题考查椭圆的焦点坐标,属于基础题 4．抛物线24y x =的准线方程为（ ） A ．1x =- B ．1y =-C ．116x =-D ．116y =-【答案】D【解析】根据题意，抛物线y=4x 2的标准方程为x 2=4y ， 其焦点在y 轴正半轴上，且p=18， 则其准线方程为y=﹣116； 故选：D ．5．记n S 为等差数列{}n a 的前n 项和.若324332S S S =+，12a =，则5a =（ ） A ．10 B ．11 C ．12D ．12-【答案】A【解析】利用等差数列前n 项和公式整理324332S S S =+,可得2d =,进而利用等差数列通项公式求解即可 【详解】由题,因为324332S S S =+,所以111322134333242222a d a d a d ⨯⨯⨯⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=+++ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭,即1a d =,因为12a =,所以2d =,所以51424210a a d =+=+⨯=, 故选:A 【点睛】本题考查等差数列前n 项和公式的应用,考查求等差数列的项6．圆2228130+--+=x y x y 上的点到直线10x y +-=的距离的最大值为（ ）A ．4B ．8C ．2D ．2【答案】D【解析】圆上一点到直线距离的最大值为圆心到直线的距离与圆的半径的和,进而求解即可 【详解】由题,圆的标准方程为:()()22144x y -+-=,即圆心为()1,4,半径为2,则圆心到直线的距离为:d ==,则圆上的点到直线的最大距离为2d r +=, 故选:D 【点睛】本题考查圆上一点到直线的最大距离,考查点到直线距离公式的应用7．与双曲线221916x y -=有共同的渐近线，且经过点(3,-的双曲线的离心率为（ ）A ．53B ．54C D 【答案】B【解析】设共渐近线的双曲线方程为()220916x y λλ-=≠,将点(3,-代入可得1λ=-,则双曲线方程为221169y x -=,进而求得离心率即可【详解】因为由共同的渐近线,设双曲线方程为:()220916x y λλ-=≠,将点(3,-代入方程可得()(()2230916λλ--=≠,则1λ=-,所以方程为221916x y -=-,即221169y x -=,则5c ==,所以54c e a ==, 故选:B 【点睛】本题考查共渐近线的双曲线方程,考查双曲线的离心率8．二进制数是用0和1两个数码来表示的数，进位规则是逢2进1，数值用右下角标（2）表示，例如：()210等于十进制数2，()2110等于十进制数6，二进制与十进制数对应关系如下表二进制数化为十进制数举例：()32121001120202129=⨯+⨯+⨯+⨯=，二进制数()211111化为十进制数等于（ ）A ．7B ．15C ．13D ．31【答案】D【解析】由二进制数化为十进制数的例子可推导()432102111111212121212=⨯+⨯+⨯+⨯+⨯,求解即可【详解】由题,()4321211111121212121231=⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=, 故选:D 【点睛】本题考查新定义运算,考查理解分析能力9．如图，已知点P 在正方体ABCD A B C D ''''-的对角线BD '上，60PDC ∠=o .设D P D B λ''=u u u u r u u u u r，则λ的值为（ ）A ．12B ．22C ．21-D ．322-【答案】C【解析】将正方体ABCD A B C D ''''-放入空间直角坐标系中,利用cos ,cos DC DP PDC <>=∠u u u r u u u r求解即可【详解】 如图建系,设正方体ABCD A B C D ''''-的棱长为1,则()0,0,0D ,()0,0,1D ',()1,1,0B ,()0,1,0C ,设(),,P x y z ,所以()1,1,1D B '=-u u u u r ,(),,1D P x y z '=-u u u u r,()0,1,0DC =u u u r , 因为D P D B λ''=u u u u r u u u u r ,所以1x y z λλλ=⎧⎪=⎨⎪-=-⎩,所以(),,1P λλλ=-, 所以(),,1DP λλλ=-u u u r,因为60PDC ∠=o , 所以()2221cos ,cos cos60211DC DP DP DC PDC DC DP λλλ⋅<>=∠====⋅⨯++-o u u u r u u u ru u u r u u u r u u u r u u u r 解得21λ=或21λ=-,因为P 在对角线BD '上,所以0λ>,则1λ=,故选:C【点睛】本题考查空间向量法处理立体几何中的参数问题,考查运算能力10．双曲线()22122:10,0x y C a b a b-=>>C 的圆心坐标为()2,0，且圆C 与双曲线1C 的渐近线相切，则圆C 的半径为（ ）A ．B C ．1D【答案】A【解析】由e =c =,则b =,根据圆C 与双曲线1C 的渐近线相切,则圆心到渐近线by x a=的距离为r ,进而求解即可 【详解】由题,==ce a,所以c =,则b ==, 渐近线方程为by x a=,即0bx ay -=,因为圆C 与双曲线1C 的渐近线相切,则圆心到直线距离为23b d r c =====, 故选:A 【点睛】本题考查双曲线的渐近线方程的应用,考查直线与圆的位置关系的应用,考查点到直线距离公式的应用11．已知抛物线21:2C y px =的焦点F 与椭圆22184x y +=的右焦点重合，抛物线1C 的准线与x 轴的交点为K ，过K 作直线l 与抛物线1C 相切，切点为A ，则AFK △的面积为（ ） A ．32 B ．16 C ．8 D ．4【答案】C【解析】由焦点坐标相同可得4p =,则抛物线为28y x =,设直线l 为()2y k x =+,与抛物线联立可得()22224840k x k x k +-+=,由直线l 与抛物线相切,则0∆=,即可解得k ,进而求得点A 坐标,从而求得AFK △面积即可【详解】抛物线1C 的焦点为,02p ⎛⎫⎪⎝⎭,椭圆的焦点为()2,0,所以22p =,即4p =,所以抛物线方程为:28y x =,则K 为()2,0-,设直线l 为()2y k x =+,则联立()228y k x y x ⎧=+⎨=⎩,消去y ,可得()22224840k x k x k +-+=,因为直线l 与抛物线1C 相切,所以()222248440k k k ∆=--⋅=,则1k =±,当1k =时,直线l 为2y x =+,则点A 为()2,4,则1144822AFK A S AF y =⋅=⨯⨯=V , 由抛物线的对称性,当1k =-时,8AFK S =V , 故选:C 【点睛】本题考查抛物线与椭圆的焦点,考查直线与抛物线的位置关系的应用 12．数列{}n a 中，11a =，()111n n a a n n +-=+，数列{}n b 是首项为4，公比为12的等比数列，设数列{}n a 的前n 项积为n C ，数列{}n b 的前n 项积为n D ，n n C D ⋅的最大值为（ ） A ．4 B ．20C ．25D ．100【答案】B【解析】先利用累加法求得1212n n a n n -=-=,由等比数列的定义可得312n n b -⎛⎫= ⎪⎝⎭,设31122n n n n u a b n -⎛⎫⎛⎫=⋅=- ⎪⎪⎝⎭⎝⎭,若求n n C D ⋅的最大值,需使1n u ≥,即3122n n--≥,分别设()()121f x x x=-≥,()()321x g x x -=≥,利用图象找到交点的范围,进而得到符合条件的整数,代回求解即可由题,()111111n n a a n n n n +-==-++,则1111n n a a n n --=--,121121n n a a n n ---=---,…,21112a a -=-, 则111-=-n a a n ,即1111211112n n a a n n n n-=+-=+-=-=, 又数列{}n b 是首项为4,公比为12的等比数列,则1311422n n n b --⎛⎫⎛⎫=⋅= ⎪⎪⎝⎭⎝⎭,设31122n n n n u a b n -⎛⎫⎛⎫=⋅=- ⎪⎪⎝⎭⎝⎭,则数列{}n u 的积为n n C D ⋅,若求n n C D ⋅的最大值,则1n u ≥,即311212n n -⎛⎫⎛⎫-≥ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭,则3122n n --≥,设()()121f x x x=-≥,()()321x g x x -=≥, 则函数()f x 与()g x 的图象如图所示,设交点的横坐标为0x ,则()03,4x ∈,则当3x =时,()()33f g >；当4x =时,()()44f g <,即31u >,41u <,则当3n ≤时,1n u >；当4n ≥时,1n u <, 所以当3n =时,n n C D ⋅取得最大值为()1323331231111121222022232u u u ---⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⋅⋅=-⨯-⨯-= ⎪⎪⎪⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭,【点睛】本题考查累加法求数列的通项公式,考查等比数列的通项公式,考查函数法解决数列问题,考查数形结合思想二、填空题13．记n S 为数列{}n a 的前n 项和.若21n n a S =+，则6S =______________. 【答案】63【解析】当2n ≥时,则()121n n n S S S --=+,可得()1121n n S S -+=+,即{}1n S +是等比数列,进而求解即可 【详解】当2n ≥时,()121n n n S S S --=+,即121n n S S -=+,所以()1121n n S S -+=+, 当1n =时,1121S S =+,则11S =,所以112S +=,则{}1n S +是首项为2,公比为2的等比数列,所以12n n S +=,则21nn S =-,当6n =时,662163S =-=, 故答案为：63 【点睛】本题考查由n a 与n S 的关系求n S ,考查等比数列的通项公式的应用14．平面α的一个法向量为(),2,100m k k =u r ，直线l 的一个方向向量为(),1,0n k =-r，若//l α，则k =______. 【答案】0或2【解析】由//l α可得m n ⊥u r r ,则0m n ⋅=u r r,求解即可 【详解】由题,因为//l α,则m n ⊥u r r,即220m n k k ⋅=-=u r r ,解得2k =或0k =,故答案为：0或2 【点睛】本题考查利用数量积表示垂直关系,考查线面垂直的性质的应用15．矩形ABCD 中，AB 长为3，AD 长为4，动点P 在矩形ABCD 的四边上运动，则点P 到点A 和点D 的距离之和的最大值为_________.【答案】8【解析】分别讨论P 在线段AD 上、P 在线段AB 上、P 在线段CD 上、P 在线段BC 上这4种情况,进而求解即可 【详解】当P 在线段AD 上时,4PA PD AD +==；当P 在线段AB 上时,当P 运动到B 点时,PA PD +最大值为223348AB BD +=++=；同理,当P 在线段CD 上时,当P 运动到C 点时,PA PD +最大值为8CD AC +=； 当P 在线段BC 上时,作点A 关于线段BC 的对称点A ',则6AA '=,如图所示,所以PA PD +的最大值为2246213A D '=+=因为813>, 所以最大值为8, 故答案为:8 【点睛】本题考查距离之和最大问题,考查分类讨论思想和运算能力 16．设点1F 、2F 的坐标分别为()3,0和)3,0，动点P 满足1260F PF ∠=o ，设动点P 的轨迹为1C ，以动点P 到点1F 距离的最大值为长轴，以点1F 、2F 为左、右焦点的椭圆为2C ，则曲线1C 和曲线2C 的交点到x 轴的距离为_________. 【答案】13【解析】由动点P 满足1260F PF ︒∠=,则可得到动点P 在以线段12F F 为弦的圆上,由圆的性质可得圆心M 为()0,1或()0,1-,半径为2,则动点P 到点1F 距离的最大值为4,即可得到椭圆的方程,联立部分曲线1C 的方程与椭圆方程求解即可【详解】由题,因为动点P 满足1260F PF ∠=︒,则动点P 在以线段12F F 为弦的圆上, 因为点1F 、2F 关于y 轴对称,则圆心在y 轴上,设圆心为()0,M m ,原点为O ,因为1260F PF ∠=︒,所以12120F MF ∠=︒,则在2Rt OMF V 中,260OMF ∠=︒,所以22r MF ==,1MO =,则圆心M 为()0,1或()0,1-,当0y >时, 曲线1C 的方程为()2214x y +-=；当0y <时, 曲线1C 的方程为()2214x y ++=；显然,曲线1C 关于x 轴对称,所以动点P 到点1F 距离的最大值为圆的直径,即24r =,则长轴长为4,所以椭圆2C为2214x y +=,则曲线1C 与曲线2C 的图象如下图所示：因为曲线1C 与曲线2C 均关于x 轴对称,所以可只考虑x 轴上方形成的交点,即联立()22221414x y x y ⎧+-=⎪⎨+=⎪⎩,消去x 得,23210y y +-=,解得13y =或1-（舍）, 故曲线1C 和曲线2C 的交点到x 轴的距离为13, 故答案为:13【点睛】本题考查椭圆的方程,考查圆与椭圆的位置关系的应用,考查动点的轨迹方程,考查运算能力三、解答题17．数列{}n a 中，11121n n a a a n +==+-， （1）求证：数列{}n a n +为等比数列； （2）求数列{}n a 的通项公式.【答案】（1）证明见解析；（2）2nn a n =-.【解析】（1）由递推公式整理可得112n n a n a n+++=+,即可求证； （2）由（1）,先得到112a +=,则数列{}n a n +是首项为2,公比为2的等比数列,进而求解即可 【详解】（1）证明：因为121n n a a n +=+-,所以11211n n a n a n n +++=+-++()222n n a n a n =+=+,所以112n n a n a n+++=+, 所以数列{}n a n +为等比数列（2）解：由（1）得数列{}n a n +为以2为公比的等比数列, 又11a =, 所以112a +=,所以1222n nn a n -+=⋅=, 所以2nn a n =-【点睛】本题考查等比数列的证明,考查数列的通项公式,考查等比数列通项公式的应用 18．如图，在三棱锥P ABC -中，5AB BC PB PC ====，6AC =，O 为AC 的中点.4PO =.（1）求证：平面PAC ⊥平面ABC ；（2）若M 为BC 的中点，求二面角M PA C --的余弦值. 【答案】（1）证明见解析；（2）1213. 【解析】（1）连接BO ,利用勾股定理证得PO AC ⊥和PO BO ⊥,进而得证； （2）以O 为坐标原点,分别以OA OB OP 、、为x y 、、z 轴建立空间直角坐标系,分别求得平面PAM 和平面PAC 的法向量,进而利用数量积求夹角即可 【详解】解：（1）连接BO ,因为O 为AC 的中点, 所以132OC AC ==, 因为5,4PC PO ==,所以222PC PO OC =+,所以PO AC ⊥, 在ABC V 中,因为32BC AB ==, 所以BO AC ⊥,223BO BC OC =-=,在PBO V 中,5PB PC ==,所以222PO BO PB +=,即PO BO ⊥, 因为OB AC O =I ,所以PO ⊥平面ABC ,又因为PO ⊂平面PAC ,所以平面PAC ⊥平面ABC （2）解：由（1）得,,PO AC PO OB AO OB ⊥⊥⊥,故以O 为坐标原点,分别以OA OB OP 、、为x y 、、z 轴建立空间直角坐标系,如图所示,由题,()3,0,0A ,()0,3,0B ,()3,0,0C -()0,0,4P , 因为M 为BC 的中点,所以M 的坐标为33,,022⎛⎫-⎪⎝⎭, 所以()3,0,4AP =-u u u r,93,,022AM ⎛⎫=- ⎪⎝⎭u u u u r ,设(),,m x y z =u r为平面PAM 的一个法向量,则00m AM m AP ⎧⋅=⎨⋅=⎩u u u u v v u u u v v ,得34093022x z x y -+=⎧⎪⎨-+=⎪⎩,取4x =,则12y =,3z =,即()4,12,3m =u r 由（1）OB AC ⊥,平面PAC ⊥平面ABC ,平面PAC I 平面ABC AC =,OB ⊂平面ABC ,所以OB ⊥平面PAC ,OB uuu r为平面PAC 的一个法向量,()0,3,0OB =u u u r ,22212cos ,1334123m OB m OB m OB ⋅<>===⋅⨯++u r u u u ru r u u u r u r u u u r , 所以二面角M PA C --的余弦值为1213【点睛】本题考查面面垂直的证明,考查空间向量法求二面角,考查运算能力19．设抛物线C 的对称轴是x 轴，顶点为坐标原点O ，点()1,2P 在抛物线C 上， （1）求抛物线C 的标准方程；（2）直线l 与抛物线C 交于A 、B 两点（A 和B 都不与O 重合），且OA OB ⊥，求证：直线l 过定点并求出该定点坐标.【答案】（1）24y x =；（2）证明见解析；直线l 恒过点()4,0.【解析】（1）设()220y px p =>,将点()1,2P 代入方程求解即可；（2）当0k =时显然不成立；当0k ≠时联立直线方程y kx m =+与抛物线方程,利用韦达定理得到12,x x 及12,y y 的关系,由OA OB ⊥可得0OA OB ⋅=u u u r u u u r,代入即可得到k 与m 的关系,进而得到定点；当k 不存在时,联立直线方程0x x =与抛物线方程,同理运算即可 【详解】解：（1）因为抛物线C 的对称轴是x 轴,设抛物线C 的标准方程为()220y px p =>,因为抛物线C 经过点()1,2P 所以222p =,所以2p =,所以设抛物线C 的标准方程为24y x =（2）证明：当直线l 的斜率存在且0k =时,显然直线l 与抛物线至多只有一个交点,不符合题意；当直线l 的斜率存在且0k ≠时,设直线l 的方程为y kx m =+,联立24y kx m y x=+⎧⎨=⎩,消去y ,得()222240k x km x m +-+=①； 消去x ,得2440m y y k k-+=②； 设()()1122,,,A x y B x y ,则12,x x 为方程①的两根,12,y y 为方程②的两根,2121224,m mx x y y k k⋅=⋅=, 因为OA OB ⊥,所以0OA OB ⋅=u u u r u u u r,因为()()1122,,,OA x y OB x y ==u u u r u u u r,所以12120x x y y ⋅+⋅=,即2240m m k k+=, 所以40m k +=,即4m k =-, 所以直线l 的方程可化为()4y k x =-,当4x =时,无论k 取何值时,都有0y =,所以直线l 恒过点()4,0, 当直线l 的斜率不存在时,设直线l 的方程为0x x =,把0x x =与24y x =联立得((00,,A x B x -,则((00,,OA x OB x =-=u u u r u u u r,因为OA OB ⊥,所以0OA OB ⋅=u u u r u u u r ,即20040x x -=,得04x =,所以直线l 的方程为4x =, 所以直线l 过点()4,0,综上,无论直线l 的斜率存在还是不存在,直线l 恒过点()4,0. 【点睛】本题考查抛物线方程,考查抛物线中直线恒过定点问题,考查分类讨论思想和运算能力 20．如图，正三棱柱111ABC A B C -的底面边长和侧棱长都为2，D 是AC 的中点.（1）在线段11A C 上是否存在一点E ，使得平面1//EB C 平面1A BD ，若存在指出点E 在线段11A C 上的位置，若不存在，请说明理由； （2）求直线1AB 与平面1A BD 所成的角的正弦值. 【答案】（1）存在，点E 为线段11A C 的中点（2）105. 【解析】（1）设11A C 的中点为1D ,连接1DD ,以D 为坐标原点,分别以1DA DB DD 、、为x 、y 、z 轴建立空间直角坐标系,先求得平面1A BD 的法向量m u r,若平面1//EB C 平面1A BD ,则m ⊥u r平面1EB C ,进而求解即可；（2）由（1），利用m u r 与1AB u u u r求解即可【详解】（1）证明：存在点E 为线段11A C 的中点,使得平面1//EB C 平面1A BD ， 设11A C 的中点为1D ,连接1DD ,以D 为坐标原点,分别以1DA DB DD 、、为x 、y 、z 轴建立空间直角坐标系,如图所示,因为正三棱柱111ABC A B C -的底面边长和侧棱长都为2,D 是AC 的中点, 所以在ABC V 中,1,3DA DC DB ===则()()()()()()111,0,0,3,0,1,0,0,0,0,0,1,0,2,3,2A B C D A B -,所以()()13,0,1,0,2DB DA ==u u u r u u u u r,设(),,m x y z =u r为平面1A BD 的法向量,则100m DB m DA ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩u u u v v u u u u v v 即3020x z ⎧=⎪⎨+=⎪⎩,设2x =,则0,1y z ==-,所以()2,0,1m =-u r ； 因为()11,3,2B C =---u u u r,()(()()12103120B C m ⋅=⨯-+⨯-+-⨯-=u u u r u r ,所以1B C m ⊥u u u r u r ,若线段11A C 上存在点E ,使得平面1//EB C 平面1A BD ,设点E 坐标为(),0,2a ,则()1,0,2CE a =+u u u r,因为平面1//EB C 平面1A BD ,所以m u r 也为平面1EB C 的法向量,即CE m ⊥u u u r u r,则()2120CE m a ⋅=+-=u u u r u r,所以0a =,所以点E 为线段11A C 的中点 （2）解：由（1）得()2,0,1m =-u r为平面1A BD 的法向量,()13,2AB =-u u u r ,则()()()12222210cos ,52221132m AB <>===⋅+-⋅-++u r u u u r , 所以直线1AB 与平面1A BD 所成的角的正弦值为105. 【点睛】本题考查利用空间向量处理已知面面平行求点位置问题,考查空间向量法求线面角,考查运算能力21．记n S 为等差数列{}n a 的前n 项和，数列{}n b 为正项等比数列，已知33115459a S b a b S ====，，，（1）求数列{}n a 和数列{}n b 的通项公式； （2）记n T 为数列{}n n a b ⋅的前n 项和，求n T . 【答案】（1）21n a n =-；12n nb -=（2）()2323n n T n =-⋅+【解析】（1）由题,对等差数列可得313125339a a d S a d =+=⎧⎨=+=⎩,解得1a 1,d 2==,进而求得通项公式；对于等比数列可得11541b a b S ==⎧⎨=⎩,解得q ,进而求得通项公式； （2）由（1）可得()1212n n n a b n -⋅=-⋅,利用错位相减法求和即可【详解】解：（1）设数列{}n a 的首项为1a ,公差为d ,设数列{}n b 的首项为1b ,公比为q , 由3125a a d =+=和31339S a d =+=得1a 1,d 2==,所以()()1112121n a a n d n n =+-=+-=-, 即数列{}n a 的通项公式为21n a n =-；因为111b a ==,由54b S =得4114646216b q a d ⋅=+=+⨯=, 所以2q =,则1112n n n b b q --=⋅=,所以数列{}n b 的通项公式为12n nb -=（2）由（1）()1212n n n a b n -⋅=-⋅,()0121123252212n n T n -=⨯+⨯+⨯++-⋅L , ()1232123252212n n T n =⨯+⨯+⨯++-⋅L , ()1211222222212n n n T n --=+⨯+⨯++⋅--⋅L ()()12211221221n n n --=+⨯--⋅-()1124212n n n +=+--- ()3232n n =---,所以()2323nn T n =-⋅+【点睛】本题考查求等差数列的通项公式,考查求等比数列的通项公式,考查错位相减法求数列的和,考查运算能力22．已知椭圆1C 的方程为22143x y +=，双曲线2C 的左、右焦点分别为1C 的左、右顶点，而2C 的左、右顶点分别是1C 的左、右焦点. （1）求双曲线2C 的方程；（2）若直线:2l y kx =+与双曲线2C 恒有两个不同的交点A 和B ，且1OA OB ⋅>u u u r u u u r（其中O 为原点），求k 的取值范围.【答案】（1）2213y x -=（2）(()1,1-U U【解析】（1）先求出椭圆1C 的焦点坐标和左、右顶点坐标,则由题意可得双曲线2C 的,a c ,进而求解即可；（2）联立直线:2l y kx =+与双曲线2C 方程,利用韦达定理得到12,x x 及12,y y 的关系,代入1OA OB ⋅>u u u r u u u r可得k 的范围；再由两个不同的交点,则>0∆,求得k 的范围,二者求交集即可得到结果 【详解】解：（1）由题,在椭圆1C 中,焦点坐标为()1,0-和()1,0；左右顶点为()2,0-和()2,0, 因为双曲线2C 的左、右焦点分别为1C 的左、右顶点,而2C 的左、右顶点分别是1C 的左、右焦点,所以在双曲线2C 中,设双曲线方程为22221x y a b-=,则221,4a c ==,所以2223b c a =-=,所以双曲线2C 的方程为2213y x -=（2）由（1）联立22213y kx y x =+⎧⎪⎨-=⎪⎩,消去y ,得()223470k x kx -++=①；消去x ,得()2223121230k y y k -+-+=②设()()1122,,,A x y B x y ,则12,x x 为方程①的两根,12,y y 为方程②的两根；21212227123,33k x x y y k k -+⋅=⋅=--， 21212227123133k OA OB x x y y k k -+⋅=⋅+⋅=+>--u u u r u u u r, 得23k >或21k <③,又因为方程①中,()22216384k k k ∆=-4⨯7-=-12+>0,得27k <④, ③④联立得k的取值范围(()1,1⋃-⋃【点睛】本题考查双曲线的标准方程,考查直线与双曲线的位置关系的应用,考查运算能力。
辽宁省抚顺市六校联合体高二数学上学期期末考试试题 理
2016－2017学年抚顺市六校联合体高二上学期期末考试试题数 学（理科）本试卷分第I 卷(选择题)和第II 卷(非选择题)两部分，考试时间120分钟，满分150分.第I 卷（选择题60分）一、选择题：（本大题共12小题，每小题5分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1.下列说法错误．．的是（ ） A ．命题“x R ∃∈，2210x x -+<”的否定是“x R ∀∈，2210x x -+≥” B ．命题“若m ＞0，则方程x 2＋x －m=0有实根”的逆命题为真命题 C ．命题“若a ＞b ，则ac 2＞bc 2”的否命题为真命题 D ．若命题“”为假命题，则“”为真命题2. 若＝(1，－1，－1)，＝(0,1,1)且⊥+)(λ，则实数λ的值是( )A ． 0B ．－1C ．1D ．23. 设a >0，b >0，若3是3a 与3b的等比中项，则1a ＋1b的最小值为( )A ．8B ．14 C ．1 D. 44. 已知各项均为正数的等比数列}{n a 中，13213,,22a a a 成等差数列，则1081311a a a a ++=（ ） A. 27 B. -1或27 C. 3 D. 1-或35. 设p ：实数x ，y 满足(x –2)2+(y –2)2≤8, q ：实数x ，y 满足⎪⎩⎪⎨⎧≤-≥-≥222y x y x y ,则p 是q 的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件6.古代数学著作《九章算术》有如下问题：“今有女子善织，日自倍，五日织五尺，问日 织几何？”意思是：“一女子善于织布，每天织的布都是前一天的2倍，已知她5天共织 布5尺，问这女子每天分别织布多少？”根据上题的已知条件，可求得该女子第3天所织 布的尺数为（ ）A ．B ．C ．D ．7.下列函数中，最小值为4的是（ ） A. y =xx lg 82lg + B. y =222222+++x xC. 4sin sin y x x=+()0x π<< D. x x e e y -+=4 8. 在ABC △中，内角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，已知b c a 222=-，且C A cos sin ⋅=C A sin cos 3⋅，则b 的值为（ ）A ．4B ．5 C. 6 D ． 79．若变量x ，y 满足约束条件⎪⎩⎪⎨⎧≥≤+≥.,2,a x y x x y 且目标函数y x z -=2的最大值是最小值的2倍，则a 的值是（ ）A ．21 B. 4 C. 3 D. 65 10.如图，21,F F 是椭圆14:221=+y x C 与双曲线2C 的公共焦点，A ，B 分别是1C ，2C 在第二、四象限的公共点．若四边形21BF AF 为矩形，则双曲线2C 的渐近线方程是 ( )11.定义na a a n+++ 21为n 个正数n a a a ,,21的“均倒数”．若已知数列{}n a 的前n 项的“均倒数”为121n +，又14n n a b +=，则201720163221111b b b b b b +++ =（ ） A ．20172016 B ．20171C ．20162015D ． 2018201712.过顶点在原点，焦点在y 轴正半轴的抛物线的焦点F 作直线l 交抛物线于A,B 两点,过A,B 分别作抛物线准线的垂线，垂足分别为C,D,若BF AF 2=，且BA DC ⋅=72，则该抛物线的方程为（ ）A ．y x 102= B. y x 92=C. y x 82=D. y x 52=第II 卷（非选择题，共90分）二、填空题：（本大题共4小题，每小题5分，满分20分.请把正确答案填在题中横线上） 13.如图，在正四棱柱1111D C B A ABCD -中，底面ABCD 的边长为7， 1BD 与底面所成角的大小为76arctan ，则该正四棱柱的高等于 .14．C ∆AB 中，b a ,是它的两边，S 是C ∆AB 的面积，若()2241b a S +=，则C ∆AB 的形状为 .15.一机器人在行进中始终保持与点F(1,0)的距离和到直线x=-1的距离相等，若机器人接触不到过点P （-1,0）且斜率为k 的直线，则k 的取值范围是 . 16.方程)0(4981<=+λλy y x x 的曲线即为)(x f y =的图象，对于函数)(x f y =，下列命题中正确的是 .（请写出所有正确命题的序号） ①函数)(x f y =的图象关于直线x y =对称； ②函数)(x f y =在R 上是单调递减函数； ③函数)(x f y =的图象不经过第一象限； ④函数x x f x F 7)(9)(+=至少存在一个零点； ⑤函数)(x f y =的值域是R .三、解答题：（本大题共6小题，共70分.解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤） 17.（本小题满分10分）已知命题0322:2≥+--a ax x p 不等式恒成立；命题:q 不等式022<++ax x 有解. （Ⅰ）若q p ∨和q ⌝均为真命题，求实数a 的取值范围；（Ⅱ）若p 是真命题，抛物线2x y =与直线1+=ax y 相交于M ，N 两点，O 为坐标原点， 求OMN ∆面积的最大值.18.（本小题满分12分）在△ABC 中，角A 、B 、C 所对的边分别是a 、b 、c ，且有b cos C ＋c cos B ＝2a cos B . （Ⅰ）求B 的大小；（Ⅱ）若△ABC 的面积是334，且a ＋c ＝5，求b .19.（本小题满分12分）如图，在四棱柱ABCD -1111D C B A 中,侧棱A A 1⊥底面ABCD ，AB ⊥AC ,1=AB ,5,21====CD AD AA AC .（Ⅰ）若AC 的中点为E ，求C A 1与DE 所成的角的正弦值； （Ⅱ）求二面角11D AC B --(锐角)的余弦值．20.（本小题满分12分）某小区要将一矩形花坛ABCD 扩建成一个更大的矩形花坛AMPN ，要求B 点在AM 上，D 点在AN 上，且对角线MN 过C 点，已知3=AB 米，2=AD 米．（Ⅰ）设DN 的长为x 米，若使矩形AMPN 的面积大于32平方米，则x 应在什么范围内？ （Ⅱ）当DN 的长度为多少时，矩形花坛AMPN 的面积最小？并求出这个最小值．21．（本小题满分12分）设数列{}n a 的前n 项和为n S ，已知1332--n nS =1. （Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式； （Ⅱ）若数列{}n b 满足nnn a a b 3log =，求数列{}n b 的前n 项和n T .22. （本小题满分12分）设椭圆C ：12222=+by a x （a>b>0）的左、右焦点分别为F 1，F 2，上顶点为A ，过点A 与AF 2垂直的直线交x 轴负半轴于点Q ，且F F F 2212+=. （Ⅰ）求椭圆C 的离心率；（Ⅱ）若过A ，Q ，F 2三点的圆恰好与直线7y x +7+24=0相切，求椭圆C 的方程； （Ⅲ）过F 2的直线L 与（Ⅱ）中椭圆C 交于不同的两点M 、N ，则△F 1MN 的内切圆的面积是否存 在最大值？若存在，求出这个最大值及此时的直线方程；若不存在，请说明理由.2016－2017学年度抚顺市六校联合体高二上学期期末考试试题数学(理科)参考答案一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，满分 60分）二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，满分20分）13. 26 14. 等腰直角三角形 15. ()),1(1,+∞⋃-∞- 16. ②③⑤ 三、解答题：（本大题共6小题，满分70分,答案仅供参考，其它解法请各位老师酌情给分） 17.（本小题满分10分）（Ⅰ）解：∵p ∨q 和⌝q 均为真命题，∴p 为真命题且q 为假命题.∵命题0322:2≥+--a ax x p 不等式恒成立， ∴△=012842≤-+a a .∴-3≤a ≤1. 故命题p 为真命题时，-3≤a ≤1. 又命题q: 不等式022<++ax x 有解∴△=082>-a ∴a>22或a<-22从而命题q 为假命题时，-22≤a ≤22所以命题p 为真命题，q 为假命题时，实数a 的取值范围是-22≤a ≤1. （5分） （Ⅱ）解：设点M 、N 的坐标分别为1122(,),(,)x y x y ， 联立⎩⎨⎧=+=21xy ax y 消去y ，得到012=--ax x ， 2134212≤+=a S (10分) 18. （本小题满分12分）解: （Ⅰ）依题意，由正弦定理化边为角，得sinBcos C ＋sinCcos B=2sinAcosB. 即sin(B ＋C)＝2sinAcos B.∵B ＋C ＝π－A,0＜A ＜π，∴sin(B ＋C)＝sinA ≠0. ∴sinA ＝2sinAcos B, ∴ cosB=21， ∴B=3π（6分）解:由AD CD = ,AC 的中点为E ，所以 DE ⊥AC ．如图，以A 为原点建立空间直角坐标系，依题意可得 A(0,0,0 )，B(1,0,0)，A 1（0,0,2）C(0,2,0)， D(-2,1,0)， B 1(1,0,2), D 1(-2,1,2)， E （0,1,0）．（Ⅰ）1(0,2,2)AC =-，(2,0,0)DE =， 因为1(0,2,2)(2,0,0)0000AC DE ⋅=-⋅=++=，所以1AC DE ⊥，∴1AC 与DE 所成的角为2π． 即1AC 与DE 所成的角的正弦值为 sin 2π=1. (6分)（Ⅱ）设平面1B AC 的法向量为),,(111z y x =，平面1D AC 的法向量为),,(222z y x=．1AB =(1,0,2),1AD =(-2,1,2),(0,2,0)AC =．由⎪⎩⎪⎨⎧=⋅=⋅01AC m AB ，得,0202111⎩⎨⎧==+y z x 令11=z ，则 (2,0,1)m =-,同理可得(1,0,1)n = ,><n m ,cos =, 所以,二面角11B AC D --(锐角)的余弦值为． (12分) 20．（本小题满分12分）解：（Ⅰ）设DN 的长为x (x>0)米，则AN ＝(x ＋2)米．∵AM DC AN DN =，∴AM ＝DN DC AN ⋅=xx )2(3+， ∴AMPN S ＝AN ·AM ＝(x ＋2)·xx )2(3+=x x 2)2(3+.由AMPN S =x x 2)2(3+>32，得xx 2)2(3+>32，又x>0，整理得3x 2－20x ＋12>0，解得：0<x<23或x>6，即DN 长的取值范围是⎝ ⎛⎭⎪⎫0，23∪(6，＋∞)． （6分） （Ⅱ）矩形花坛AMPN 的面积为AMPN S ＝3x 2＋12x ＋12x ＝3x ＋12x＋12≥23x·12x＋12＝24，当且仅当3x ＝12x ，即x ＝2时，矩形花坛AMPN 的面积取得最小值24平方米.故DN 的长为2米时，矩形AMPN 的面积最小，最小值为24平方米． （12分） 21. （本小题满分12分） 解：（Ⅰ）由1332--n nS =1可得233n n S =+ ∴111(33)32a S ==+=， 11111(33)(33)3(2)22n n n n n n a S S n ---=-=+-+=≥而11133a -=≠，则13,1,3, 1.n n n a n -=⎧=⎨>⎩（5分） （Ⅱ）由n n n a a b 3log =及13,1,3, 1.n n n a n -=⎧=⎨>⎩ 可得311,1,log 31, 1.3n n nn n a b n a n -⎧=⎪⎪==⎨-⎪>⎪⎩2311123133333n n n T --=+++++. 2234111123213333333n n n n n T ---=++++++ 两式相减，得2231223121111111333333331111111()33333331121213133193922331313211823n n n n n n n n n n n T n n n n ---=+-++++--=-+++++----=+-=+--⋅-+=-⋅ 113211243n n n T -+=-⋅ （12分） 22. （本小题满分12分）解：（Ⅰ）依题意A （0，b ），F 1为QF 2的中点.设F 1（-c ，0），F 2（c ，0），则Q （-3c,0）, =(-3c,-b),2AF =(c,-b),由⊥2AF ，即·2AF =223b c +-=0，∴23c -+)(22c a -=0，即224c a =，∴e=21=a c . (3分) （Ⅱ）由题Rt △QAF 2外接圆圆心为斜边QF 2的中点， F 1（-c ，0），半径r=2c,∵由题Rt △QAF 2外接圆与直线y x -7+7+24=0相切，∴d=r,即172477+++-c =2c, 解得c=1 .∴a=2,c=1,b=3.所求椭圆C 的方程为：13422=+y x （6分） （Ⅲ）设M ),(11y x ,N ),(22y x 由题知21,y y 异号， 设△F 1MN 的内切圆的半径为R,则△F 1MN 的周长为4a=8,∴MN F S 1∆=21)(11N F M F MN ++R=4R, ∴要使△F 1MN 内切圆的面积最大，只需R 最大，此时MN F S 1∆也最大. （8分）MN F S 1∆=2121F F .21y y -=21y y -，由题知，直线l 的斜率不为零， 可设直线l 的方程为x=my+1, 由⎪⎩⎪⎨⎧=++=.134,122y x my x 得22)43(y m ++6my-9=0, 由韦达定理，得1y +2y =4362+-m m ，1y 2y =4392+-m ，（△＞0⇒m ∈R ） MN F S 1∆=21y y -=212214)(y y y y -+=4311222++m m . 令t=12+m ,则t ≥1, MN F S 1∆=tt t t 131213122+=+(t ≥1), 当t=1时，MN F S 1∆=4R 有最大值3.此时，m=0,m ax R =43. 故△F 1MN 的内切圆的面积最大值为,169π 此时直线l 的方程为x=1. (12分)。
抚顺市六校联合体高二上册期末数学试卷(理科)(有答案)【精选】.doc
辽宁省抚顺市六校联合体高二（上）期末数学试卷（理科）一、选择题（本大题共12个小题，每小题5分，每题只有一个正确答案）1．（5分）在△ABC中，∠B=30°，b=10，c=16，则sinC等于（）A．B．± C．± D．2．（5分）已知数列{a n}}满足a n+1=a n，若a4=8，则a1等于（）A．1 B．2 C．64 D．1283．（5分）已知椭圆2+=1（b＞0）的离心率为，则b等于（）A．3 B．C．D．4．（5分）命题p：若a＜b，则ac2＜bc2；命题q：∃∈R，2﹣+1≤0，则下列命题为真命题的是（）A．p∧q B．p∨q C．（￢p）∧q D．p∨（￢q）5．（5分）设=（2，2，﹣1）是平面α的法向量，=（﹣3，4，2）是直线l的方向向量，则直线l与平面α的位置关系是（）A．平行或直线在平面内B．垂直C．相交但不垂直D．不能确定6．（5分）已知双曲线﹣=1的左右焦点分别为F1，F2，点P是双曲线上一点，且•=0，则|PF1|等于（）A．B．C．D．7．（5分）下列说法中正确的个数是（）①＞2是2﹣2＞0的必要不充分条件；②命题“若=2，则向量=（0，，1）与向量=（﹣1，1，﹣2）垂直”的逆否命题是真命题；③命题“若≠1，则2﹣3+2≠0”的否命题是“若=1，则2﹣3+2=0”A．0 B．1 C．2 D．38．（5分）若实数1，，y，4成等差数列，﹣2，a，b，c，﹣8成等比数列，则=（）A．﹣B．C．D．﹣9．（5分）在△ABC中，内角A，B，C的对边分别是a，b，c，若=2，b2﹣a2=ac，则cosB等于（）A．B．C．D．10．（5分）已知数列{a n}是等差数列，a2=3，a7=13，则数列{}的前n项和为（）A．B．C．D．11．（5分）函数y=log a（﹣3）+1（a＞0且a≠1）的图象恒过定点A，若点A在直线m+ny ﹣1=0上，其中m•n＞0，则的最小值为（）A．16 B．24 C．25 D．5012．（5分）已知数列{a n}中，a1=2，n（a n+1﹣a n）=a n+1，n∈N*．若对于任意的t∈[0，1]，n∈N*，不等式＜﹣2t2﹣（a+1）t+a2﹣a+3恒成立，则实数a的取值范围为（）A．（﹣∞，﹣1）∪（3，+∞）B．（﹣∞，﹣2]∪[1，+∞）C．（﹣∞，﹣1]∪[3，+∞）D．[﹣1，3]二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13．（5分）若实数，y满足，则=2﹣6y﹣1的最大值是．14．（5分）设F1，F2是椭圆+y2=1的两个焦点，P在椭圆上，且满足∠F1PF2=60°，则△PF1F2的面积是．15．（5分）关于的不等式（a2﹣1）2﹣（a﹣1）﹣1＜0的解集是R，则实数a的取值范围是．16．（5分）已知抛物线y2=8上有一条长为9的动弦AB，则AB中点到y轴的最短距离为．三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17．（10分）在△ABC中，A（﹣4，0），B（4，0），点C运动时内角满足2sinA+sinC=2sinB，求顶点C的轨迹方程．18．（12分）在△ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，且满足ccos（π﹣B）=（b﹣2a）sin（﹣C）（1）求角C的大小；（2）若c=，b=3，求△ABC的面积．19．（12分）2017年，在国家创新驱动战略的引领下，北斗系统作为一项国家高科技工程，一个开放型创新平台，1400多个北斗基站遍布全国，上万台套设备组成星地“一张网”，国内定位精度全部达到亚米级，部分地区达到分米级，最高精度甚至可以到厘米或毫米级．最近北斗三号工程耗资9万元建成一小型设备，已知这台设备从启用的第一天起连续使用，第n天的维修保养费为+99.5（n∈N*）元，使用它直至“报废最合算”（所谓“报废最合算”是指使用这台仪器的平均每天耗资最少）为止，一共使用了多少天，平均每天耗资多少钱？20．（12分）在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，BB1⊥平面ABC，AB=3，BC=4，AC=5，AA1=6（1）设=m，异面直线AB1与BD所成角的余弦值为，求m的值；（2）若D是AC的中点，求平面BDC1和平面CDC1所成锐二面角的余弦值．21．（12分）已知数列{a n}的前n项和S n满足2S n=a n2+n﹣1，且a n＞1（1）求数列{a n}的通项公式；（2）求T n=a1•2+a2•2+…+a n•2的值．22．（12分）点M（，1）在椭圆C：=1（a＞b＞0）上，且点M到椭圆两焦点的距离之和为2（1）求椭圆C的方程；（2）已知动直线y=（+1）与椭圆C相交于A，B两点，若P（﹣，0），求证：为定值．辽宁省抚顺市六校联合体高二（上）期末数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题（本大题共12个小题，每小题5分，每题只有一个正确答案）1．（5分）在△ABC中，∠B=30°，b=10，c=16，则sinC等于（）A．B．± C．± D．【解答】解：△ABC中，∠B=30°，b=10，c=16，由正弦定理得，=，∴sinC===．故选：D．2．（5分）已知数列{a n}}满足a n+1=a n，若a4=8，则a1等于（）A．1 B．2 C．64 D．128【解答】解：数列{a n}}满足a n=a n，∴公比为．+1∵a4=8，则a1×=﹣8，解得a1=64．故选：C．3．（5分）已知椭圆2+=1（b＞0）的离心率为，则b等于（）A．3 B．C．D．【解答】解：椭圆2+=1（b＞0）的离心率为，可得，解得b=．故选：B．4．（5分）命题p：若a＜b，则ac2＜bc2；命题q：∃∈R，2﹣+1≤0，则下列命题为真命题的是（）A．p∧q B．p∨q C．（￢p）∧q D．p∨（￢q）【解答】解：当c=0时，若a＜b，则ac2＜bc2；不成立，故p是假命题，判别式△=1﹣4=﹣3＜0，则∃∈R，2﹣+1≤0不成立，即q是假命题，则p∨（￢q）为真命题，其余为假命题，故选：D5．（5分）设=（2，2，﹣1）是平面α的法向量，=（﹣3，4，2）是直线l的方向向量，则直线l与平面α的位置关系是（）A．平行或直线在平面内B．垂直C．相交但不垂直D．不能确定【解答】解：∵设=（2，2，﹣1）是平面α的法向量，=（﹣3，4，2）是直线l的方向向量，=﹣6+8﹣2=0，∴直线l与平面α的位置关系是平行或直线在平面内．故选：A．6．（5分）已知双曲线﹣=1的左右焦点分别为F1，F2，点P是双曲线上一点，且•=0，则|PF1|等于（）A．B．C．D．【解答】解：双曲线﹣=1的左右焦点分别为F1（﹣3，0），F2（3，0），a=2，点P是双曲线上一点，且•=0，可知：PF2⊥F1F2，所以|PF2|==，由双曲线的定义可知：|PF1|﹣|PF2|=4，所以|PF1|=4+=．故选：A．7．（5分）下列说法中正确的个数是（）①＞2是2﹣2＞0的必要不充分条件；②命题“若=2，则向量=（0，，1）与向量=（﹣1，1，﹣2）垂直”的逆否命题是真命题；③命题“若≠1，则2﹣3+2≠0”的否命题是“若=1，则2﹣3+2=0”A．0 B．1 C．2 D．3【解答】解：对于①，由2﹣2＞0，解得＜0或＞2，∴＞2是2﹣2＞0的充分不必要条件，故①错误；对于②，当=2时，0×（﹣1）+2×1+1×（﹣2）=0，∴，∴命题“若=2，则向量=（0，，1）与向量=（﹣1，1，﹣2）垂直”是真命题，其逆否命题是真命题，故②正确；对于③，命题“若≠1，则2﹣3+2≠0”的否命题是“若=1，则2﹣3+2=0”，故③正确．∴说法正确的个数是2．故选：C．8．（5分）若实数1，，y，4成等差数列，﹣2，a，b，c，﹣8成等比数列，则=（）A．﹣B．C．D．﹣【解答】解：∵1，，y，4成等差数列，∴3（﹣1）=4﹣1=3∴﹣1=1，y﹣=1，∵﹣2，a，b，c，﹣8五个实数成等比数列，∴b2=（﹣2）×（﹣8），∴b=﹣4，b=4（舍去，等比数列中，奇数项的符号相同，偶数项的符号相同）∴=﹣．故选：A．9．（5分）在△ABC中，内角A，B，C的对边分别是a，b，c，若=2，b2﹣a2=ac，则cosB等于（）A．B．C．D．【解答】解：△ABC中，=2，由正弦定理得=2，c=2a；又b2﹣a2=ac，由余弦定理，得cosB===﹣+=﹣+1=．故选：C．10．（5分）已知数列{a n}是等差数列，a2=3，a7=13，则数列{}的前n项和为（）A．B．C．D．【解答】解：设等差数列{a n}的公差为d，∵a2=3，a7=13，∴d=解得d=2．∴a n=a2+（n﹣2）d=3+2（n﹣2）=2n﹣1．∴==（﹣）．∴数列{}的前n项和T n=[（1﹣）+（﹣）++…+（﹣）]=（1﹣）=．故选：B．11．（5分）函数y=log a（﹣3）+1（a＞0且a≠1）的图象恒过定点A，若点A在直线m+ny ﹣1=0上，其中m•n＞0，则的最小值为（）A．16 B．24 C．25 D．50【解答】解：令﹣3=1，解得=4，y=1，则函数y=log a（﹣3）+1（a＞0且a≠1）的图象恒过定点A（4，1），∴4m+n=1，∴=（）（4m+n）=16+1++≥17+2=17+8=25，当且仅当m=n=时取等号，故则的最小值为25，故选：C12．（5分）已知数列{a n}中，a1=2，n（a n+1﹣a n）=a n+1，n∈N*．若对于任意的t∈[0，1]，n∈N*，不等式＜﹣2t2﹣（a+1）t+a2﹣a+3恒成立，则实数a的取值范围为（）A．（﹣∞，﹣1）∪（3，+∞）B．（﹣∞，﹣2]∪[1，+∞）C．（﹣∞，﹣1]∪[3，+∞）D．[﹣1，3]﹣a n）=a n+1，【解答】解：根据题意，数列{a n}中，n（a n+1∴na n﹣（n+1）a n=1，+1∴﹣==﹣，∴=（﹣）+（﹣）+…+（a2﹣a1）+a1，=（﹣）+（﹣）+…+（1﹣）+2=3﹣＜3，∵＜﹣2t2﹣（a+1）t+a2﹣a+3恒成立，∴3≤﹣2t2﹣（a+1）t+a2﹣a+3∴2t2+（a+1）t﹣a2+a≤0，在t∈[0，1]上恒成立，设f（a）=2t2+（a+1）t﹣a2+a，t∈[0，1]，∴，即，解得a≤﹣1或a≥3，故选：C．二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13．（5分）若实数，y满足，则=2﹣6y﹣1的最大值是﹣2．【解答】解：由=2﹣6y﹣1得y=﹣﹣，作出不等式组对应的平面区域如图（阴影部分）：平移直线y=﹣﹣，由图象可知当直线，过点A时，直线y=﹣﹣，的截距最小，此时最大，由，解得A（1，）代入目标函数=2﹣6y﹣1，得=2﹣3﹣2=﹣2．∴目标函数=2﹣6y﹣1的最大值是﹣2．故答案为：﹣2．14．（5分）设F1，F2是椭圆+y2=1的两个焦点，P在椭圆上，且满足∠F1PF2=60°，则△PF1F2的面积是．【解答】解：由题意，F1，F2是椭圆+y2=1的两个焦点，|F1P|+|PF2|=4，|F1F2|=2；则由余弦定理得，|F1F2|2=|F1P|2+|PF2|2﹣2|F1P||PF2|cos60°；故12=（|F1P|+|PF2|）2﹣2|F1P||PF2|cos60°﹣2|F1P||PF2|；故12=16﹣3|F1P||PF2|；故|F1P||PF2|=；故△PF1F2的面积S=|F1P||PF2|•sin60°=；故答案为：．15．（5分）关于的不等式（a2﹣1）2﹣（a﹣1）﹣1＜0的解集是R，则实数a的取值范围是（，1] ．【解答】解：设函数f（）=（a2﹣1）2﹣（a﹣1）﹣1．由题设条件关于的不等式（a2﹣1）2﹣（a﹣1）﹣1＜0的解集为R．可得对任意的属于R．都有f（）＜0．又当a≠1时，函数f（）是关于的抛物线．故抛物线必开口向下，且于轴无交点．故满足故解得＜a＜1．当a=1时．f（）=﹣1．成立．综上，a 的取值范围为（，1]；故答案为：（，1]16．（5分）已知抛物线y2=8上有一条长为9的动弦AB，则AB中点到y轴的最短距离为．【解答】解：由题意知，设y2=8的准线方程为=﹣2，过A做AA1⊥l于A1．过B做BB1⊥l与B1，设弦AB的中点为M，过M做MM1⊥l于M1，11则|MM1|=，|AB|≤|AF|+|BF|，（F为抛物线的焦点），即|AF|+|BF|≥9，∵|AF|+|BF|=|AA1|+|BB1|∴|AA1|+|BB1|≥9，∴2|MM1|≥9，|MM1|≥，∴M到y 轴的最短距离为：﹣2=．故答案为：．三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17．（10分）在△ABC中，A（﹣4，0），B（4，0），点C运动时内角满足2sinA+sinC=2sinB，求顶点C的轨迹方程．【解答】解：∵2sinA+sinC=2sinB，∴由正弦定理得2a﹣2b=c，即|CA|﹣|CB|=4＜8=|AB|，由双曲线的定义可知点C的轨迹是以A、B为焦点的双曲线的右支，且a=2，c=4，∴b2=c2﹣a2=12．∴顶点C 的轨迹方程为：=1（＞2）．18．（12分）在△ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，且满足ccos（π﹣B）=（b ﹣2a）sin （﹣C）（1）求角C的大小；（2）若c=，b=3，求△ABC的面积．【解答】（本题满分为12分）解：（1）在△ABC中，ccos（π﹣B）=（b﹣2a）sin （﹣C），12即﹣ccosB=（b﹣2a）cosC，（1分）由正弦定理得﹣sinCcosB=（sinB﹣2sinA）cosC，（2分）可得：sinBcosC+sinCcosB=2sinAcosC，可得：sin（B+C）=sinA=2sinAcosC，（3分）又因为在△ABC中，sinA≠0，所以2cosC=1，即cosC=，所以C=．（6分）（2）在△ABC中，c2=b2+a2﹣2abcosC，所以13=9+a2﹣3a，解得a=4或a=﹣1（舍去），（9分）所以S△ABC=absinC=3．（12分）19．（12分）2017年，在国家创新驱动战略的引领下，北斗系统作为一项国家高科技工程，一个开放型创新平台，1400多个北斗基站遍布全国，上万台套设备组成星地“一张网”，国内定位精度全部达到亚米级，部分地区达到分米级，最高精度甚至可以到厘米或毫米级．最近北斗三号工程耗资9万元建成一小型设备，已知这台设备从启用的第一天起连续使用，第n 天的维修保养费为+99.5（n∈N*）元，使用它直至“报废最合算”（所谓“报废最合算”是指使用这台仪器的平均每天耗资最少）为止，一共使用了多少天，平均每天耗资多少钱？【解答】解：设一共使用了n天，平均每天耗资为y元，则y=（3分）=≥2+99.75=399.75（5分）当且仅当时，（8分）即n=600时y取得最小值399.75（元）（11分），所以一共使用了600天，平均每天耗资399.75元﹣﹣﹣﹣（12分）20．（12分）在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，BB1⊥平面ABC，AB=3，BC=4，AC=5，AA1=6（1）设=m，异面直线AB1与BD 所成角的余弦值为，求m的值；13（2）若D是AC的中点，求平面BDC1和平面CDC1所成锐二面角的余弦值．【解答】解：（1）在△ABC中，由AB=3，BC=4，AC=5，得AB2+BC2=AC2，∴AB⊥BC，又∵BB1⊥平面ABC，，∴以BA，BC，BB1所在直线分别为轴，y轴，轴建立空间直角坐标系，则A（3，0，0），B（0，0，0），C（0，4，0），B1（0，0，），C1（0，4，）．∴=（﹣3，4，0），又∵，∴点D（﹣3m+3，4m，0），=（﹣3m+3，4m，0），，∵异面直线AB1与BD 所成角的余弦值为，∴|cos ＜，＞|=，解得m=；（2）∵D是AC中点，∴D （）．设平面BC1D 的法向量，，．则，取1=4，得．设平面CC1D 的法向量，，．则，取2=4，得．14cos ＜＞=，∴锐二面角B﹣DC1﹣C 的余弦值为．21．（12分）已知数列{a n}的前n项和S n满足2S n=a n2+n﹣1，且a n＞1（1）求数列{a n}的通项公式；（2）求T n=a1•2+a2•2+…+a n •2的值．【解答】解：（1）当n=1时，2S1=2a1=+1﹣1，a1＞1，解得a1=2．当n≥2时，2a n=2（S n﹣S n﹣1）=+n﹣1﹣，化为：（a n+a n﹣1﹣1）（a n﹣a n﹣1﹣1）=0，又a n＞1，∴a n﹣a n﹣1=1，∴数列{a n}是公差为1的等差数列，公差为1．∴a n=2+（n﹣1）=n+1．（2）a n •2=（n+1）•2n+1．∵T n=2×22+3×23+4×24+…+（n+1）•2n+1，2T n=2×23+3×24+…+n•2n+1+（n+1）•2n+2，两式相减得：﹣T n=23+（23+24+…+2n+1）﹣（n+1）•2n+2=8+﹣（n+1）•2n+2=﹣n•2n+2，∴T n=n•2n+2．22．（12分）点M （，1）在椭圆C ：=1（a＞b＞0）上，且点M到椭圆两焦点15的距离之和为2（1）求椭圆C的方程；（2）已知动直线y=（+1）与椭圆C相交于A，B两点，若P （﹣，0），求证：为定值．【解答】解：（1）由题意可得，解得a2=5，b2=，即椭圆的方程为+=1；（2）证明：设A（1，y1），B（2，y2）．联立，化为（1+32）2+62+32﹣5=0，△=364﹣4（1+32）（32﹣5）=482+20＞0，∴1+2=，12=．∴y1y2=2（1+1）（2+1）=2（12+1+2+1）=2（++1）=﹣∴•=（1+，y1）•（2+，y2）=（1+）（2+）+y1y2，=12+（1+2）++y1y2，=﹣﹣+=+，=﹣5+，=16。
辽宁省抚顺市六校联合体2017-2018学年高二上学期期末考试数学(理) ---精校解析Word版
抚顺市六校联合体2017-2018上学期高二期末考试数学（理）一.选择题1. 在中，，，，则等于（）A. B. C. D.【答案】D【解析】由正弦定理，得，则；故选D.2. 已知数列满足，若，则等于A. 1B. 2C. 64D. 128【答案】C【解析】因为数列满足，所以该数列是以为公比的等比数列，又，所以，即；故选C.3. 已知椭圆的离心率为，则等于（）A. 3B.C.D.【答案】B【解析】因为，所以，即该椭圆的焦点在轴上，又该椭圆的离心率为，则，解得；故选B.点睛：本题考查椭圆的标准方程和离心率公式；在处理椭圆或双曲线的几何性质时，要先通过椭圆或双曲线的标准方程判定出方程是哪种标准方程，焦点在哪一条对称轴上，如本题中要先根据分母的大小关系判定椭圆的焦点在轴上，进而求出相关几何量.4. 命题：若，则；命题：，则下列命题为真命题的是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】当时，，即命题为假命题，因为恒成立，即命题为假命题，则、、为假命题，为真命题；故选D.5. 设是平面的法向量，是直线的方向向量，则直线与平面的位置关系是（）A. 平行或直线在平面内B. 垂直C. 相交但不垂直D. 不能确定【答案】A【解析】因为，即，则直线//平面或直线平面；故选A.6. 已知双曲线的左右焦点分别为，点是双曲线上的一点，且，则等于（）A. B. C. D.【答案】A【解析】由题意，得，则，则；故选A.7. 下列说法中正确的个数是（）①是的必要不充分条件；②命题“若，则向量与向量垂直”的逆命题是真命题；③命题“若，则”的否命题是“若，则”。
A. 0B. 1C. 2D. 3【答案】C【解析】因为，即是的充分不必要条件，即①错误；若向量与向量垂直，则，即命题“若，则向量与向量垂直”的逆命题是真命题，即②正确；易知命题“若，则”的否命题是“若，则”，即③正确；故选C.8. 若实数成等差数列，成等比数列，则（）A. B. C. D.【答案】A【解析】由实数成等差数列，得，由成等比数列，得且，即，所以；故选A.点睛：本题考查等差中项和等比中项；本题的易错点是由“成等比数列”求值时，往往只注重了，但忽视了，所以要注意等比数列中的每一项不为0，且奇数项或偶数项的符号相同.9. 在中，内角的对边是，若，，则等于（）A. B. C. D.【答案】C...............10. 已知数列的等差数列，，，则数列的前项和为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】设等差数列的首项为，公差为，则，解得，即，，所以数列的前项和为；故选B.点睛：本题考查等差数列的通项公式、裂项抵消法求和；裂项抵消法是一种常见的求和方法，注意适用于以下题型：（1）；（2）；（3）.11. 函数（且）的图像恒过定点，若点在直线上，其中，则的最小值为（）A. 16B. 24C. 25D. 50【答案】C【解析】当，即时，，即函数（且）的图像恒过定点，又点在直线上，所以，又，则（当且仅当，即时取等号），即的最小值为25；故选C.点睛：本题考查对数型函数恒过定点问题、基本不等式求最值；处理指数型函数或对数型函数的图象过定点问题，往往有三种思路：（1）利用图象平移，如本题中的函数可由函数（恒过点）的图象向右平移3个单位，再向上平移1个单位得到，所以定点为；（2）利用整体代换，将化成，令，则过定点，进而可以求解；（3）代值法（如本题解析）.12. 已知数列中，，，，若对于任意的，，不等式恒成立，则实数的取值范围（）A. B. C. D.【答案】C【解析】由，得，即，又，所以，即，即，要使对于任意的恒成立，则对于任意的恒成立，即对于任意的恒成立，令，则，解得或；故选C.二.填空题13. 若实数满足，则的最大值是___________。
2020-2021学年抚顺市六校协作体高二上学期期末数学试卷(含答案解析)
2020-2021学年抚顺市六校协作体高二上学期期末数学试卷一、单选题（本大题共12小题，共60.0分）1.经过圆++2x=0的圆心C，且与直线x+y=0垂直的直线方程是()A. x+y+1=0B. x+y−1=0C. x−y+1=0D. x−y−1=02.已知a1−i=1+bi，其中a，b是实数，i是虚数单位，则a+bi=()A. 1+2iB. 2+iC. 2−iD. 1−2i3.若方程x2+y2a=1(a是常数)，则下列结论正确的是()A. 任意实数a方程表示椭圆B. 存在实数a方程表示椭圆C. 任意实数a方程表示双曲线D. 存在实数a方程表示抛物线4.已知抛物线C：y 2=8x与点M(−2,2)，过C的焦点且斜率为k的直线与C交于A，B两点．若·=0，则k=()．A. B. C. D. 25.在数列{a n}中，a2=8，a5=2，且2a n+1−a n+2=a n(n∈N∗)，则|a1|+|a2|+⋯+|a10|的值是()A. 210B. 10C. 50D. 906.已知圆C的圆心是直线x+y+1=0与直线x−y−1=0的交点，直线3x+4y−11=0与圆C交于A，B两点，且|AB|=6，则圆C的方程为()A. x2+(y+1)2=18B. x2+(y+1)2=3√2C. (x+y)2+y2=18D. (x+1)2+y2=3√27.已知F1，F2分别是双曲线C：x216−y29=1的左，右焦点，M是C上的一点，且|MF2|=10，则|MF1|=()A. 10B. 8C. 4D. 28.下列四个数中，数值最小的是()A. 10111(2)B. 101(5)C. 25(10)D. 1B(16)9.已知a⃗=(1,−1,1)，则与向量a⃗共线的单位向量是()A. n⃗=±(1,−1,1)B. n⃗=±(13,−13,13)C. n⃗=±(√33,√33,√33) D. n⃗=±(√33,−√33,√33)10.已知双曲线y2t2−x23=1(t>0)的一个焦点与抛物线y=18x2的焦点重合，则此双曲线的离心率为()A. 2B. √3C. 3D. 411.已知抛物线C：y2=2px(p>0)的焦点F到其准线的距离为4，圆M：(x−2)2+y2=1，过F的直线l与抛物线C和圆M从上到下依次交于A，P，Q，B四点，则|AP|+4|BQ|的最小值为()A. 9B. 11C. 13D. 1512.数列{a n}，{b n}满足a1+3a2+32a3+⋯+3n−1a n=n3，(n∈N∗)，b n=3nn⋅a n，若{b n}的前n项和为S n，则下列选项正确的是()A. ln2018>S2017B. S2018>ln2018+1C. ln2018<S1009−1D. S2018−1<ln2018二、单空题（本大题共4小题，共20.0分）13.14.已知向量a⃗=(1,1,x)，b⃗ =(1,2,1)，c⃗=(1,2,3)满足(c⃗−a⃗ )⋅b⃗ =−1，则x=______．15.一个四面体的顶点在空间直角坐标系O−xyz中的坐标分别是A(0,0,√5)，B(√3,0,0)，C(0,1,0)，D(√3,1,√5)，则该四面体的外接球的体积为______．16.已知点P是椭圆x2a2+y2b2=1(a>b>0)上的动点，F1，F2为椭圆的左右焦点，焦距为2c，O为坐标原点，若M是∠F1PF2的角平分线上的一点，且MF1⊥MP，则OM的取值范围为______．三、解答题（本大题共6小题，共70.0分）17.在数列{a n}中，已知a1=1，a2=3，其前n项和S n满足S n=n2(a1+a n)(n∈N+).(1)求a3，a4，a5的值；(2)求a n的表达式；(3)对于任意的正整数n≥2，求证：a1a2…a n>(2n+1)n−12．18.如图，在四棱锥P−ABCD中，PA⊥平面ABCD，AB=4，BC=3，AD=5，∠DAB=∠ABC=90°，E是CD的中点．(1)证明：平面PCD⊥平面PAE；(2)已知二面角P−CD−A的平面角的余弦为23，求PD与平面PAE所成角的正弦值．19.在直角坐标系xOy中，已知一动圆经过点(2,0)且在y轴上截得的弦长为4，设动圆圆心的轨迹为曲线C．(1)求曲线C的方程；(2)过点(1,0)作互相垂直的两条直线l1和l2，l1与曲线C交于A，B两点，l2与曲线C交于E，F两点，线段AB，EF的中点分别为M，N，求证：直线MN过定点P，并求出定点P的坐标．20.如图，四棱锥P−ABCD的底面是正方形，PD⊥底面ABCD，且E为PB的中点AC与BD交于点M，(1)求证：ME//PD；(2)当PD=√2AB，求AE与平面PBD所成的角的正切值．21.对任意非零数列{a n}，定义数列{f(a n)}，其中{f(a n)}的通项公式为f(a n)=(1+1a1)(1+1 a2)⋯(1+1a n)．(Ⅰ)若a n=n，求f(a n)；(Ⅱ)若数列{a n}，{b n}满足{a n}的前n项和为S n，且f(a n)=2n(n+1)，b n⋅a n+1=S n.求证：f(b n)<43．22.(本小题满分14分)已知直线过椭圆的右焦点，抛物线的焦点为椭圆的上顶点，且直线交椭圆于两点．(1)求椭圆的方程；(2)若直线交轴于点，且，当变化时，的值是否为定值？若是，求出这个定值，若不是，说明由．参考答案及解析1.答案：C解析：解：易知点C 为(−1,0)， 因为直线x +y =0的斜率是−1，所以与直线x +y =0垂直直线的斜率为1， 所以要求直线方程是y =x +1即x −y +1=0． 故选C ．2.答案：B解析：解：已知a1−i =1+bi ，其中a ，b 是实数， ∴a(1+i)(1−i)(1+i)=1+bi ，化为a+ai 2=1+bi ，即a +ai =2+2bi ，∴{a =2a =2b 解得{a =2b =1． ∴a +bi =2+i ． 故选B ．利用复数的运算法则和复数相等的定义即可得出． 熟练掌握复数的运算法则和复数相等的定义是解题的关键．3.答案：B解析：解：对于a =1，方程x 2+y 2a=1表示圆，选项A 错误；当a >0且a ≠1时，方程x 2+y 2a=1表示椭圆，B 正确；当a <0时，方程x 2+y 2a =1表示双曲线，C 错误；对于任意实数a ，方程x 2+y 2a=1不是抛物线，D 错误．故选：B ．根据三种圆锥曲线的定义，结合举例可得选项．本题考查曲线与方程，考查了三种圆锥曲线的定义，是基础题．4.答案：D解析：设AB ：y = k(x −2)，代入y 2=8 x 得： k 2 x 2−(4k 2+8) x +4 k 2=0， 设A(x 1，y 1)，B(x 2，y 2)，则 ∴ x 1+ x 2=，x 1 x 2=4.(∗) ∵·=0，∴(x 1+2，y 1−2)·( x 2+2，y 2−2)=0， 即(x 1+2)( x 2+2)+( y 1−2)( y 2−2)=0．∴ x 1 x 2+2(x 1+ x 2)+4+ y 1 y 2−2(y 1+ y 2)+4=0.① ∵∴ y 1+ y 2= k(x 1+ x 2−4)，②y 1· y 2= k 2(x 1−2)( x 2−2)= k 2[x 1 x 2−2(x 1+ x 2)+4].③ 由(∗)及①②③得k =2.故选D ．5.答案：C解析：2a n+1−a n+2=a n (n ∈N ∗)，即2a n+1=a n+2+a n (n ∈N ∗)，可得数列{a n }是等差数列，设公差为d ，则{a 2=a 1+d =8a 5=a 1+4d =2，解得a 1，d ，可得a n .令a n ≥0，解得n ≤6.S n =11n −n 2.可得|a 1|+|a 2|+⋯+|a 10|=a 1+a 2+⋯+a 6−a 7−⋯−a 10=2S 6−S 10．本题考查了等差数列的通项公式与求和公式及其性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题． 解：∵2a n+1−a n+2=a n (n ∈N ∗)， 即2a n+1=a n+2+a n (n ∈N ∗)， ∴数列{a n }是等差数列，设公差为d ，则{a 2=a 1+d =8a 5=a 1+4d =2, 解得a 1=10，d =−2，∴a n =10−2(n −1)=12−2n ． 令a n ≥0，解得n ≤6． S n =n(10+12−2n)2=11n −n 2．∴|a 1|+|a 2|+⋯+|a 10| =a 1+a 2+⋯+a 6−a 7−⋯−a 10=2S 6−S 10=2(11×6−62)−(11×10−102)=50． 故选：C ．6.答案：A解析：解：由{x +y +1=0x −y −1=0，得{x =0y =−1，得直线x +y +1=0与直线x −y −1=0的交点坐标为(0,−1)，即圆心的坐标为(0,−1)， 圆心C 到直线AB 的距离d =√32+42=155=3，∵|AB|=6，∴根据勾股定理得到半径r =√32+32=3√2， ∴圆的方程为x 2+(y +1)2=18． 故选：A ．求出直线的交点，得到圆心坐标，根据相交弦的弦长即可求半径，则圆的方程可求．本题考查圆的标准方程，灵活运用垂径定理及点到直线的距离公式是解决该题的关键，是中档题．7.答案：D解析：解：F 1，F 2分别是双曲线C ：x 216−y 29=1的左，右焦点，可得a =4，b =3，c =5，M 是C 上的一点，且|MF 2|=10，则|MF 2|−|MF 1|=2a =8， 解得|MF 1|=2． 故选：D ．利用双曲线的定义，转化求解即可．本题考查双曲线的简单性质的应用，双曲线的定义，考查计算能力．8.答案：A解析：解：∵10111(2)=1+2+4+16=23(10)；101(5)=25+1=26(10)；1B(16)=16+11=27(10)；故四个数中A中10111(2)最小，故选：A将四个答案中的数均转化为十进制的数，比较可得答案．本题考查其它进制与十进制之间的转化，熟练掌握其它进制与十进制之间的转化法则，是解题的关键．9.答案：D解析：解：∵a⃗=(1,−1,1)，∴与向量a⃗共线的单位向量是±a⃗|a⃗ |=√12+(−1)2+12−1,1)=±(√33,−√33,√33).故选：D．根据与向量a⃗共线的单位向量是±a⃗|a⃗ |，求出即可．本题考查了求单位向量的应用问题，是基础题目．10.答案：A解析：解：∵抛物线y=18x2的焦点是(0,2)，∴c=2，t2=4−3=1，∴e=ca=2．故选：A．先求出抛物线y=18x2的焦点坐标，由此得到双曲线y2t2−x23=1(t>0)的一个焦点，从而求出a的值，进而得到该双曲线的离心率．本题考查双曲线的性质和应用，解题时要抛物线的性质进行求解．11.答案：C解析：解：抛物线C ：y 2=2px(p >0)的焦点F 到其准线的距离为4，即p =4， 焦点F(2,0)，准线方程为x =−2， 设A(x 1,y 1)，B(x 2,y 2)，直线l 的方程设为x =2，可得x 1x 2=4，斜率存在时设直线方程为y =kx −2k ，联立抛物线方程y 2=8x 可得k 2x 2−(8+4k 2)x +4k 2=0， 可得x 1x 2=4，则|AP|+4|BQ|=|AF|−1+4(|BF|−1)=x1+2−1+4(x2+2−1)=x 1+4x 2+5≥2√4x 1x 2+5=13，当且仅当x 1=x 2=2取得最小值13． 故选：C ．由题意可得p =4，求得抛物线的方程和焦点、准线方程，考虑直线的斜率不存在、存在，设出直线方程，联立抛物线方程，运用韦达定理和抛物线的定义，结合基本不等式可得所求最小值． 本题考查抛物线的定义、方程和性质，考查直线方程和抛物线方程联立，运用韦达定理，考查基本不等式的运用：求最值，考查化简运算能力，属于中档题．12.答案：D解析：解：由a 1+3a 2+32a 3+⋯+3n−1a n =n3，① 得a 1=13，a 1+3a 2+32a 3+⋯+3n−2a n−1=n−13(n ≥2)，②①−②得：3n−1a n =13，即a n =13n (n ≥2)． a 1=13成立， ∴a n =13n ； 则b n =3n n ⋅a n =3n n⋅13n =1n ．设g(x)=ln(x +1)−x ，x ∈(0,1)，则g′(x)=1x+1−1=−xx+1<0． ∴g(x)在(0,1)上单调递减，则g(x)<g(0)=0，即ln(x +1)<x ．令x=1n ，则ln(1n+1)=ln n+1n<1n．∴ln21+ln32+ln43+⋯+ln n+1n<1+12+13+⋯+1n，故ln(n+1)<S n．设ℎ(x)=lnx+1x −1，x∈(1,+∞)，则ℎ′(x)=1x−1x2>0．∴ℎ(x)在(1,+∞)上单调递增，∴ℎ(x)>ℎ(1)=0，即lnx>1−1x，x∈(1,+∞)．令x=1+1n ，则ln(1n+1)=ln n+1n>1n+1．∴ln21+ln32+ln43+⋯+ln n+1n>12+13+⋯+1n+1n+1．故ln(n+1)>S n+1−1．∴S2018−1<ln2018．故选：D．由已知数列递推式求得首项，且得到a1+3a2+32a3+⋯+3n−2a n−1=n−13(n≥2)，与原递推式作差可得数列{a n}的通项公式，代入b n=3nn⋅a n，得到{b n}的通项公式，设g(x)=ln(x+1)−x，x∈(0,1)，求导可得ln(x+1)<x，取x=1n ，得ln n+1n<1n，得到ln(n+1)<S n.设ℎ(x)=lnx+1x−1，x∈(1,+∞)，利用导数证明lnx>1−1x ，可得ln(1n+1)=ln n+1n>1n+1.从而得到ln(n+1)>S n+1−1，由此可得S2018−1<ln2018．本题考查数列递推式，训练了利用作差法求数列的通项公式，考查利用导数证明函数不等式，正确构造函数是关键，属难题．13.答案：100解析：解：由题意知：故答案是100．14.答案：6解析：解：c⃗−a⃗=(0,1,3−x)，∵(c⃗−a⃗ )⋅b⃗ =−1，则2+3−x=−1，解得x=6．故答案为：6．利用选向量数量积运算性质即可得出．本题考查了向量数量积运算性质，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．15.答案：9π2解析：由题意，将四面体补形成长方体，四面体的外接球就是长方体的外接球，其直径为长方体的对角线OD，求出半径，即可求出四面体的外接球的体积．本题考查四面体的外接球的体积，考查学生的计算能力，正确转化是关键，属于基础题．解：由题意，将四面体补形成长方体，四面体的外接球就是长方体的外接球，其直径为长方体的对角线OD=√3+1+5=3，可得四面体的外接球的半径R=32，可得四面体的外接球的体积为V=43π⋅(32)3=9π2．故答案为：9π2．16.答案：(0,c)解析：解：如图，延长PF2，F1M，交与N点，∵PM是∠F1PF2平分线，且F1M⊥MP，∴|PN|=|PF1|，M为F1N中点，连接OM，∵O为F1F2中点，M为F1N中点∴|OM|=12|F2N|=12||PN|−|PF2||=12||PF1|−|PF2||∵在椭圆x2a2+y2b2=1(a>b>0)中，设P点坐标为(x0,y0)则|PF1|=a+ex0，|PF2|=a−ex0，∴||PF1|−|PF2||=|a+ex0−a+ex0|=|2ex0|=2e|x0|∵P点在椭圆x2a2+y2b2=1(a>b>0)上，∴|x0|∈(0,a]，又∵当|x0|=a时，F1M⊥MP不成立，∴|x0|∈(0,a)∴|OM|∈(0,c)．故答案为：(0,c)．利用M是∠F1PF2平分线上的一点，且F1M⊥MP，判断OM是三角形F1F2N的中位线，把OM用PF1，PF2表示，再利用椭圆的焦半径公式，转化为用椭圆上点的横坐标表示，借助椭圆的范围即可求出OM的范围．本题考查了椭圆的定义标准方程及其性质、三角形中位线定理，考查了推理能力与计算能力，属于难题．17.答案：(1)解：∵a1=1，a2=3，其前n项和S n满足S n=n2(a1+a n)(n∈N+).∴n=3时，4+a3=32(1+a3)，解得a3=5；n=4时，9+a4=42(1+a4)，解得a4=7；n=5时，16+a5=52(1+a5)，解得a5=9．(2)解：由(1)猜想a n=2n−1，下面用数学归纳法证明：①当n=1，2时结论显然成立．②假设n=k(k∈N,k≥2)时结论成立，即a k=2k−1，则a k+1=S k+1−S k=k+12(1+a k+1)−k2(1+a k)=12+k+12a k+1−k(2k−1)2⇒(k−1)a k+1=2k2−k−1⇒a k+1=2k+1，故当n=k+1时结论成立．综上知结论成立．(3)证明：由(2)知{a n}为等差数列，故a1+a n+1=a2+a n=⋯=a n+a2=a n+1+a1．由xy=(x+y)24−(x−y)24，知x+y一定时，要使xy最小，则|x−y|最大．∵|a1−a n+1|>|a k−a n+2−k|(2≤k≤n)，∴(a1a2…a n+1)2=(a1a n+1)(a2a n)…(a n+1a1)>(a1a n+1)n+1，∴a1a2…a n+1>(a1a n+1)n+12=(2n+1)n+12，从而a1a2…a n>(2n+1)n−12．解析：(1)依次令n=3，4，5可求得a3，a4，a5的值．(2)由(1)猜想a n=2n−1，然后利用数学归纳法证明．(3)由{a n }为等差数列，得a 1+a n+1=a 2+a n =⋯=a n +a 2=a n+1+a 1.由xy =(x+y)24−(x−y)24，知x +y 一定时，要使xy 最小，则|x −y|最大．由此能证明a 1a 2…a n >(2n +1)n−12．本题考查数列的通项公式的求法，考查不等式的证明，解题时要认真审题，注意数学归纳法的合理运用．18.答案：(1)证明：连接AC ，由题设得AC =√32+42=5=AD ，因为E 是CD 的中点，所以AE ⊥CD ， 因为PA ⊥平面ABCD ，所以PA ⊥CD ， 因为AE ∩PA =A ，所以CD ⊥平面PAE ， 因为CD ⊂平面PCD ，所以平面PCD ⊥平面PAE ；(2)解：由题设可得CD =2√5，AE =2√5，所以PE =√PA 2+20，由(1)可得∠PAE 是二面角P −CD −A 的平面角，因为二面角P −CD −A 的平面角的余弦为23， 即cos∠PEA =23，从而2√5√PA 2+20=23，解得PA =5，故PD =5√2，由(1)可知∠DPE 是PD 与平面PAE 所成角，所以sin∠DPE =DEPD =√1010， 则PD 与平面PAE 所成角的正弦值为√1010．解析：(1)连接AC ，推导出CD ⊥AE ，PA ⊥CD ，由此能证明CD ⊥平面PAE ． (2)推导出∠PEA 是二面角的平面角，得到2√5√PA 2+20=23，解出PA ，PD ，进而可求出sin∠DPE =DEPD=√1010． 本题考查线面垂直的证明，考查二面角的正弦值的求法，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养，是中档题．19.答案：(1)解：设圆心C(x,y)，依题意有x 2+4=(x −2)2+y 2，即得y 2=4x ，∴曲线C 的方程为y 2=4x ．(2)证明：设A(x 1,y 1)，B(x 2,y 2)，直线AB 的方程为y =k(x −1)， 代入y 2=4x 可得k 2x 2−2(k 2+2)x +k 2=0∴x 1+x 2=2(k 2+2)k2 ∴x M =k 2+2k 2，∴y M =k(x M −1)=2k∴M(k 2+2k 2,2k).∵AB ⊥CD ，∴将M 坐标中的k 换成−1k ，可得N(2k 2+1,−2k) ∴直线MN 的方程为y +2k =−2k−2k 2k 2+1−k 2+2k2(x −2k 2−1)整理得(1−k 2)y =k(x −3)∴不论k 为何值，直线MN 必过定点P(3,0)．解析：(1)设圆心C(x,y)，依题意有x 2+4=(x −2)2+y 2，可求曲线C 的方程； (2)求出M ，N 的坐标，可得直线MN 的方程，即可得到结论．本题主要考查抛物线的定义，考查直线恒过定点，考查学生分析解决问题的能力，确定直线的方程是关键．20.答案：(1)证明：∵底面ABCD 是正方形，AC 与BD 交于点M ，∴M 是BD 中点，又E 为PB 的中点， ∴ME 是△PBD 的中位线， ∴ME//PD ．(2)解：∵PD ⊥底面ABCD ，ME//PD ， ∴ME ⊥底面ABCD ，∴AM ⊥EM ，又底面ABCD 是正方形，AC 与BD 交于点M ， ∴AM ⊥BD ，又BD ∩EM =M ， ∴AM ⊥平面PBD ，∴∠AEM 是AE 与平面PBD 所成的角， ∵PD =√2AB ，∴EM =12PD =√22AB ， ∵AM =12AC =12√2AB 2=√22AB ， ∴tan∠AEM =AM EM=1．∴AE 与平面PBD 所成的角的正切值为1．解析：本题考查直线与直线平行的证明，考查线面角的正切值的求法，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养．(1)由底面ABCD 是正方形，AC 与BD 交于点M ，知M 是BD 中点，又E 为PB 的中点，由此能证明ME//PD ． (2)由已知条件得AM ⊥BD ，从而AM ⊥平面PBD ，进而∠AEM 是AE 与平面PBD 所成的角，由此能求出AE 与平面PBD 所成的角的正切值．21.答案：(Ⅰ)解：a n =n ，f(a n )=(1+1a 1)(1+1a 2)⋯(1+1a n )=(1+1)(1+12)(1+13)⋅⋅⋅(1+1n)=2×32×43×⋅⋅⋅×n+1n=n +1．f(a n )=n +1(n ∈N ∗)；(Ⅱ)证明：因为f(a n )=2n(n+1)，所以1+1a 1=4，a 1=14−1，又当n ≥2时，1+1a n=4n ，a n =14n −1，所以对任意n ∈N ∗，a n =14n −1． 又由1+1b n=1+a n+1S n=S n+1S n，于是f(b n )=S n+1S 1=14−1+142−1+⋯+14n+1−114−1由4n −1≥3×4n−1得f(b n )<3(13+13×4+13×42+⋯+13×4n )=3(13−13×4n+1)1−14<43．解析：(Ⅰ)把a n =n 代入f(a n )=(1+1a 1)(1+1a 2)⋯(1+1a n)，化简求解即可．(Ⅱ)通过f(a n )=2n(n+1)，推出对任意n ∈N ∗，a n =14n −1.然后化简f(b n )=S n+1S 1，通过4n −1≥3×4n−1，转化求解即可．本题考查数列的递推关系式的应用，数列与函数相结合，数列以及不等式的综合应用，考查转化思想以及计算能力，是难题．22.答案：(1)C ：(2)．解析：试题分析：(1)由题设条件能够求出c =1，b =，从而求出椭圆C 的方程．(2)设直线l 交椭圆于A(x 1,y 1)，B(x 2,y 2)，联立方程组，由根与系数的关系推导λ1+λ2的值． 试题解析：(1)易知椭圆右焦点F(1,0)，∴c =1， 抛物线的焦点坐标，，∴椭圆C 的方程为：．(2)易知，，设A(x 1,y 1)，B(x 2,y 2)由又由得：，考点：1.椭圆的定义；2.椭圆的应用．。
辽宁省抚顺市高二上学期期末数学试卷(理科)
辽宁省抚顺市高二上学期期末数学试卷（理科）姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、选择题： (共16题；共32分)1. （2分） (2016高二上·三原期中) 设0＜a＜b，则下列不等式中正确的是（）A . a＜b＜＜B . a＜＜＜bC . a＜＜b＜D . ＜a＜＜b2. （2分）与向量=（1，3，﹣2）平行的一个向量的坐标是（）A .B .C .D .3. （2分）下列选项中,使不等式成立的x的取值范围是A . (,-1)B . (-1,0)C . 0,1)D . (1, )4. （2分） (2012·浙江理) 设a∈R，则“a=1”是“直线l1：ax+2y﹣1=0与直线l2：x+（a+1）y+4=0平行”的（）A . 充分不必要条件B . 必要不充分条件C . 充分必要条件D . 既不充分也不必要条件5. （2分） (2016高二下·新余期末) 设f′（x）是函数f（x）的导函数，y=f′（x）的图象如图，则y=f （x）的图象最有可能的是（）A .B .C .D .6. （2分） (2017高三·银川月考) 设为实数，函数的导函数为，且是偶函数，则曲线：在点处的切线方程为（）A .B .C .D .7. （2分） (2017高二下·金华期末) 已知双曲线﹣ =1的一个焦点在直线x+y=5上，则双曲线的渐近线方程为（）A . y=± xB . y=± xC . y=± xD . y=± x8. （2分） (2016高二下·南阳期末) 已知函数f（x）是定义在R上的奇函数，且f（﹣3）=0，当x＞0时，有f（x）﹣xf′（x）＞0成立，则不等式f（x）＞0的解集是（）A . （﹣∞，﹣3）∪（0，3）B . （﹣∞，﹣3）∪（3，+∞）C . （﹣3，0）∪（0，3）D . （﹣3，0）∪（3，+∞）9. （2分）(2017·新乡模拟) 若实数x，y满足，且z=mx﹣y（m＜2）的最小值为﹣，则m等于（）A .B . ﹣C . 1D .10. （2分）如图所示正方体的棱长为1，则点B1的坐标是（）A . （1，0，0）B . （1，0，1）C . （1，1，1）D . （1，1，0）11. （2分）(2018高二下·长春开学考) 已知命题的否定是，命题双曲线的离心率为2，则下列命题中为真命题的是（）A .B .C .D .12. （2分）如果椭圆的弦被点（4，2）平分，则这条弦所在的直线方程是（）A .B .C .D .13. （2分）已知函数f（x）=alnx﹣x2+bx存在极小值，且对于b的所有可能取值f（x）的极小值恒大于0，则a的最小值为（）A . ﹣e3B . ﹣e2C . ﹣eD . -14. （2分） (2018高二上·莆田月考) 下列说法正确的是（）A . 没有最小值B . 当时，恒成立C . 已知，则当时，的值最大D . 当时，的最小值为215. （2分）(2020·贵州模拟) 设椭圆的两个焦点分别为，，若上存在点满足，则椭圆的离心率等于（）A .B .C . 2D .16. （2分）(2017·绵阳模拟) 定义在（﹣1，+∞）上的单调函数f（x），对于任意的x∈（﹣1，+∞），f[f（x）﹣xex]=0恒成立，则方程f（x）﹣f′（x）=x的解所在的区间是（）A . （﹣1，﹣）B . （0，）C . （﹣，0）D . （）二、填空题： (共4题；共4分)17. （1分）(2017·江西模拟) 已知a= （﹣cosx）dx，则（ax+ ）9展开式中，x3项的系数为________．18. （1分）如图所示，在四边形ABCD中，AB=AD=CD=1，BD= ，BD⊥CD，将四边形ABCD沿对角线BD折成四面体A′-BCD，使平面A′BD⊥平面BCD，则下列结论正确的是________.⑴A′C⊥BD.⑵∠BA′C=90°.⑶CA′与平面A′BD所成的角为30°.⑷四面体A′-BCD的体积为 .19. （1分）已知圆方程（x﹣1）2+（y﹣1）2=9，过点A（2，3）作圆的任意弦，则中点P的轨迹方程是________．20. （1分） (2018高二下·永春期末) 已知f(x)＝x3＋3ax2＋bx＋a2在x＝－1时有极值0，则a－b＝________．三、解答题： (共4题；共35分)21. （15分）(2013·天津理) 如图，四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，侧棱A1A⊥底面ABCD，AB∥DC，AB⊥AD，AD=CD=1，AA1=AB=2，E为棱AA1的中点．（1）证明B1C1⊥CE；（2）求二面角B1﹣CE﹣C1的正弦值．（3）设点M在线段C1E上，且直线AM与平面ADD1A1所成角的正弦值为，求线段AM的长．22. （10分） (2018高二上·苏州月考) 在平面直角坐标系xOy中，椭圆C: =1（a>b>0）过点P(1,）．离心率为．（1）求椭圆C的方程；（2）设直线l与椭圆C交于A，B两点．①若直线l过椭圆C的右焦点，记△ABP三条边所在直线的斜率的乘积为t．求t的最大值；②若直线l的斜率为，试探究OA2+ OB2是否为定值，若是定值，则求出此定值；若不是定值，请说明理由．23. （5分）已知函数f（x）=（x﹣2）ex和g（x）=kx3﹣x﹣2（1）若函数g（x）在区间（1，2）不单调，求k的取值范围；（2）当x∈[0，+∞）时，不等式f（x）≥g（x）恒成立，求k的最大值．24. （5分）已知函数f（x）=ln（x+1）+mx，当x=0时，函数f（x）取得极大值．求实数m的值；参考答案一、选择题： (共16题；共32分)1-1、2-1、3-1、4-1、5-1、6-1、7-1、8-1、9-1、10-1、11-1、12-1、13-1、14-1、15-1、16-1、二、填空题： (共4题；共4分) 17-1、18-1、19-1、20-1、三、解答题： (共4题；共35分) 21-1、21-2、21-3、22-1、22-2、23-1、24-1、。
2017-2018学年辽宁省抚顺市六校联合体高二数学上期末考试(理)试题
抚顺市六校联合体2017 - 2018上学期高二期末考试数学（理）清原高中，抚顺市 10中、新宾高中、抚顺市 12中、抚顺县高中、四方高中满分：150分， 考试时间：120分钟第I 卷（60分）一、选择题（本大题共 12个小题，每小题 5分，每题只有一个正确答案）1. 在•:ABC 中，.B=30, b=10,c=16,则sinC 等于（）• A.? B. _3C._4D.4 5 _5 _5 512.已知数列:a n ［满足a n 1 a n ，若a^8，则a 等于（ ）•O O -------- o4. 命题p:若a ::: b,则ac :: bc ；命题q: T x • R,x - x • 1乞0,则下列命题为真命题 的 是（ ）.A. p qB. p qC. _p qD. p _q5.设u 二2,2,-1是平面:的法向量，a = -3,4,2是直线l 的方向向量，则直线I 与 平 面〉的位置关系是（）. A.平行或直线在平面内B.垂直C.相交但不垂直D.不能确定 2 26.已知双曲线 - —=1的左右焦点分别为 只丁2，点P 是双曲线上一点，且 4 5F 1F 2 'PF 2 = 0，贝U PF 1 等于（ ）A. 13B.9C.ID. 3 2 2 2 2 A. 1 B.2C.64D.128 2 3.已知椭圆x2 y 10•二 1（b 0）的离心率为，则b 等于（ ） b 1 10 1 A.3B.丄C. 9D.3 10 3 10 107.下列说法中正确的个数是。
2020-2021学年抚顺市六校协作体高二上学期期末数学试卷(含答案解析)
2020-2021学年抚顺市六校协作体高二上学期期末数学试卷一、单选题（本大题共12小题，共60.0分）1.经过圆++2x=0的圆心C，且与直线x+y=0垂直的直线方程是()A. x+y+1=0B. x+y−1=0C. x−y+1=0D. x−y−1=02.已知a1−i=1+bi，其中a，b是实数，i是虚数单位，则a+bi=()A. 1+2iB. 2+iC. 2−iD. 1−2i3.若方程x2+y2a=1(a是常数)，则下列结论正确的是()A. 任意实数a方程表示椭圆B. 存在实数a方程表示椭圆C. 任意实数a方程表示双曲线D. 存在实数a方程表示抛物线4.已知抛物线C：y 2=8x与点M(−2,2)，过C的焦点且斜率为k的直线与C交于A，B两点．若·=0，则k=()．A. B. C. D. 25.在数列{a n}中，a2=8，a5=2，且2a n+1−a n+2=a n(n∈N∗)，则|a1|+|a2|+⋯+|a10|的值是()A. 210B. 10C. 50D. 906.已知圆C的圆心是直线x+y+1=0与直线x−y−1=0的交点，直线3x+4y−11=0与圆C交于A，B两点，且|AB|=6，则圆C的方程为()A. x2+(y+1)2=18B. x2+(y+1)2=3√2C. (x+y)2+y2=18D. (x+1)2+y2=3√27.已知F1，F2分别是双曲线C：x216−y29=1的左，右焦点，M是C上的一点，且|MF2|=10，则|MF1|=()A. 10B. 8C. 4D. 28.下列四个数中，数值最小的是()A. 10111(2)B. 101(5)C. 25(10)D. 1B(16)9.已知a⃗=(1,−1,1)，则与向量a⃗共线的单位向量是()A. n⃗=±(1,−1,1)B. n⃗=±(13,−13,13)C. n⃗=±(√33,√33,√33) D. n⃗=±(√33,−√33,√33)10.已知双曲线y2t2−x23=1(t>0)的一个焦点与抛物线y=18x2的焦点重合，则此双曲线的离心率为()A. 2B. √3C. 3D. 411.已知抛物线C：y2=2px(p>0)的焦点F到其准线的距离为4，圆M：(x−2)2+y2=1，过F的直线l与抛物线C和圆M从上到下依次交于A，P，Q，B四点，则|AP|+4|BQ|的最小值为()A. 9B. 11C. 13D. 1512.数列{a n}，{b n}满足a1+3a2+32a3+⋯+3n−1a n=n3，(n∈N∗)，b n=3nn⋅a n，若{b n}的前n项和为S n，则下列选项正确的是()A. ln2018>S2017B. S2018>ln2018+1C. ln2018<S1009−1D. S2018−1<ln2018二、单空题（本大题共4小题，共20.0分）13.14.已知向量a⃗=(1,1,x)，b⃗ =(1,2,1)，c⃗=(1,2,3)满足(c⃗−a⃗ )⋅b⃗ =−1，则x=______．15.一个四面体的顶点在空间直角坐标系O−xyz中的坐标分别是A(0,0,√5)，B(√3,0,0)，C(0,1,0)，D(√3,1,√5)，则该四面体的外接球的体积为______．16.已知点P是椭圆x2a2+y2b2=1(a>b>0)上的动点，F1，F2为椭圆的左右焦点，焦距为2c，O为坐标原点，若M是∠F1PF2的角平分线上的一点，且MF1⊥MP，则OM的取值范围为______．三、解答题（本大题共6小题，共70.0分）17.在数列{a n}中，已知a1=1，a2=3，其前n项和S n满足S n=n2(a1+a n)(n∈N+).(1)求a3，a4，a5的值；(2)求a n的表达式；(3)对于任意的正整数n≥2，求证：a1a2…a n>(2n+1)n−12．18.如图，在四棱锥P−ABCD中，PA⊥平面ABCD，AB=4，BC=3，AD=5，∠DAB=∠ABC=90°，E是CD的中点．(1)证明：平面PCD⊥平面PAE；(2)已知二面角P−CD−A的平面角的余弦为23，求PD与平面PAE所成角的正弦值．19.在直角坐标系xOy中，已知一动圆经过点(2,0)且在y轴上截得的弦长为4，设动圆圆心的轨迹为曲线C．(1)求曲线C的方程；(2)过点(1,0)作互相垂直的两条直线l1和l2，l1与曲线C交于A，B两点，l2与曲线C交于E，F两点，线段AB，EF的中点分别为M，N，求证：直线MN过定点P，并求出定点P的坐标．20.如图，四棱锥P−ABCD的底面是正方形，PD⊥底面ABCD，且E为PB的中点AC与BD交于点M，(1)求证：ME//PD；(2)当PD=√2AB，求AE与平面PBD所成的角的正切值．21.对任意非零数列{a n}，定义数列{f(a n)}，其中{f(a n)}的通项公式为f(a n)=(1+1a1)(1+1 a2)⋯(1+1a n)．(Ⅰ)若a n=n，求f(a n)；(Ⅱ)若数列{a n}，{b n}满足{a n}的前n项和为S n，且f(a n)=2n(n+1)，b n⋅a n+1=S n.求证：f(b n)<43．22.(本小题满分14分)已知直线过椭圆的右焦点，抛物线的焦点为椭圆的上顶点，且直线交椭圆于两点．(1)求椭圆的方程；(2)若直线交轴于点，且，当变化时，的值是否为定值？若是，求出这个定值，若不是，说明由．参考答案及解析1.答案：C解析：解：易知点C 为(−1,0)， 因为直线x +y =0的斜率是−1，所以与直线x +y =0垂直直线的斜率为1， 所以要求直线方程是y =x +1即x −y +1=0． 故选C ．2.答案：B解析：解：已知a1−i =1+bi ，其中a ，b 是实数， ∴a(1+i)(1−i)(1+i)=1+bi ，化为a+ai 2=1+bi ，即a +ai =2+2bi ，∴{a =2a =2b 解得{a =2b =1． ∴a +bi =2+i ． 故选B ．利用复数的运算法则和复数相等的定义即可得出． 熟练掌握复数的运算法则和复数相等的定义是解题的关键．3.答案：B解析：解：对于a =1，方程x 2+y 2a=1表示圆，选项A 错误；当a >0且a ≠1时，方程x 2+y 2a=1表示椭圆，B 正确；当a <0时，方程x 2+y 2a =1表示双曲线，C 错误；对于任意实数a ，方程x 2+y 2a=1不是抛物线，D 错误．故选：B ．根据三种圆锥曲线的定义，结合举例可得选项．本题考查曲线与方程，考查了三种圆锥曲线的定义，是基础题．4.答案：D。
辽宁省抚顺市六校协作体2019～2020学年度高二上学期期末考试数学试题参考答案
m
得
，可取 =（2，0，-1）. …………………………………4 分
B1C
3
=（-1，－ ，-2），
B1C m =2×(-1)+0×( 3 )+(-1) ×(-2)=0,所以 B1C m ，
若线段 A1C1 上存在点 E，使得使得平面 EB1C∥平面 A1BD，
设点 E 坐标为（a,0,2） CE =(a+1,0,2),
所以 OB⊥平面 PAC…………………………………10 分
= . cosm,OB m OB 312 12
OB 为平面 PAC 的一个法向量，OB =（0，3，0），
m OB 313 13
12
所以二面角 M-PA-C 的余弦值为 13 .…………………………………12 分 19. 解：(1)设抛物线 C 的标准方程为 y2=ax(a≠0). 因 为 抛 物 线 C 经过 点 P， 所 以 22=a ·1, 所 以 a=4 ， 所 以 设 抛 物线 C 的标 准 方 程 为 y2=4x…………………………………4 分 （2）当直线 l 的斜率存在时，设直线 l 的方程为 y=kx+m, 把 y=kx+m 与 y2=4x 联立得 k2x2+（2km-4）x+m2=0…①
（2）解：由（1）得 PO⊥AO，PO⊥OB，AO⊥OB， 以 O 为坐标原点，分别以 OA、OB、OP 为 x、y、z 轴建立空间直角坐标系。 AO=OB=OC=3， A（3，0，0），B（0，3，0），C（-3，0，0），P（0，0，4）
33
因为 M 为 BC 的中点，所以 M 的坐标为（- 2 ， 2 ，0）. …………………………………7 分
1
， 所以 OC= 2 AC=3 PC=5，PO=4，所以 PC 2 PO 2 OC2 ，所以∠POC 为直角.
辽宁省抚顺市六校协作体2020-2021学年高二上学期期末数学试题
辽宁省抚顺市六校协作体2020-2021学年高二上学期期末数学试题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题1．A 、B 两点的坐标分别为()3,1和()1,3，则线段AB 的垂直平分线方程为（ ） A ．y x =B ．y x =-C ．40x y +-=D ．40x y -+=2．i 是虚数单位，复数11iz i+=-的虛部为（ ） A ．0B ．iC ．1D ．1-3．椭圆221169x y +=的焦点坐标为（ ）A ．()5,0-和()5,0B ．()和)C ．()0,5和()0,5-D ．(和(0,4．抛物线24y x =的准线方程为（ ） A ．1x =-B ．1y =-C ．116x =-D ．116y =-5．记n S 为等差数列{}n a 的前n 项和.若324332S S S =+，12a =，则5a =（ ） A ．10B ．11C ．12D ．12-6．圆2228130+--+=x y x y 上的点到直线10x y +-=的距离的最大值为（ ）A ．4B ．8C ．2D ．27．与双曲线221916x y -=有共同的渐近线，且经过点(3,-的双曲线的离心率为（ ）A ．53B ．54C D 8．二进制数是用0和1两个数码来表示的数，进位规则是逢2进1，数值用右下角标（2）表示，例如：()210等于十进制数2，()2110等于十进制数6，二进制与十进制数对应关系如下表二进制数化为十进制数举例：()321021001120202129=⨯+⨯+⨯+⨯=，二进制数()211111化为十进制数等于（ ）A ．7B ．15C ．13D ．319．如图，已知点P 在正方体ABCD A B C D ''''-的对角线BD '上，60PDC ∠=.设D P D B λ''=，则λ的值为（ ）A ．12B C 1 D ．3-10．双曲线()22122:10,0x y C a b a b-=>>C 的圆心坐标为()2,0，且圆C 与双曲线1C 的渐近线相切，则圆C 的半径为（ ）A ．3B ．3C ．1D11．已知抛物线21:2C y px =的焦点F 与椭圆22184x y +=的右焦点重合，抛物线1C 的准线与x 轴的交点为K ，过K 作直线l 与抛物线1C 相切，切点为A ，则AFK △的面积为（ ） A ．32B ．16C ．8D ．412．数列{}n a 中，11a =，()111n n a a n n +-=+，数列{}n b 是首项为4，公比为12的等比数列，设数列{}n a 的前n 项积为n C ，数列{}n b 的前n 项积为n D ，n n C D ⋅的最大值为（ ）A ．4B ．20C ．25D ．100二、填空题13．记n S 为数列{}n a 的前n 项和.若21n n a S =+，则6S =______________.14．平面α的一个法向量为(),2,100m k k =，直线l 的一个方向向量为(),1,0n k =-，若//l α，则k =______.15．矩形ABCD 中，AB 长为3，AD 长为4，动点P 在矩形ABCD 的四边上运动，则点P 到点A 和点D 的距离之和的最大值为_________.16．设点1F 、2F 的坐标分别为()和)，动点P 满足1260F PF ∠=，设动点P 的轨迹为1C ，以动点P 到点1F 距离的最大值为长轴，以点1F 、2F 为左、右焦点的椭圆为2C ，则曲线1C 和曲线2C 的交点到x 轴的距离为_________.三、解答题17．数列{a n }中，11a =，121n n a a n +=+- （1）求证：数列{a n +n }为等比数列； （2）求数列{a n }的通项公式.18．如图，在三棱锥P ABC -中，5AB BC PB PC ====，6AC =，O 为AC 的中点.4PO =.（1）求证：平面PAC ⊥平面ABC ；（2）若M 为BC 的中点，求二面角M PA C --的余弦值.19．设抛物线C 的对称轴是x 轴，顶点为坐标原点O ，点()1,2P 在抛物线C 上， （1）求抛物线C 的标准方程；（2）直线l 与抛物线C 交于A 、B 两点（A 和B 都不与O 重合），且OA OB ⊥，求证：直线l 过定点并求出该定点坐标.20．如图，正三棱柱111ABC A B C -的底面边长和侧棱长都为2，D 是AC 的中点.（1）在线段11A C 上是否存在一点E ，使得平面1//EB C 平面1A BD ，若存在指出点E 在线段11A C 上的位置，若不存在，请说明理由； （2）求直线1AB 与平面1A BD 所成的角的正弦值.21．记n S 为等差数列{}n a 的前n 项和，数列{}n b 为正项等比数列，已知33115459a S b a b S ====，，，（1）求数列{}n a 和数列{}n b 的通项公式； （2）记n T 为数列{}n n a b ⋅的前n 项和，求n T .22．已知椭圆1C 的方程为22143x y +=，双曲线2C 的左、右焦点分别为1C 的左、右顶点，而2C 的左、右顶点分别是1C 的左、右焦点. （1）求双曲线2C 的方程；（2）若直线:2l y kx =+与双曲线2C 恒有两个不同的交点A 和B ，且1OA OB ⋅>（其中O 为原点），求k 的取值范围.参考答案1．A 【分析】先求得直线AB 的方程,则可设其垂线为0x y D -+=,将AB 的中点坐标代入即可求解 【详解】由题,直线AB 的两点式方程为:133113y x --=--,即40x y +-=, 设直线AB 的垂线为0x y D -+=,中点为()2,2, 将点代入可得220D -+=,则0D =,所以0x y -=, 所以线段AB 的垂直平分线方程为:y x =, 故选:A 【点睛】本题考查线段的垂直平分线,考查直线方程 2．C 【分析】利用除法法则将z 整理为a bi +的形式,由虚部的概念即可判断选项 【详解】由题,()()()21121112i ii z i i i i ++====--+,故虚部为1, 故选:C 【点睛】本题考查复数的概念,考查复数的除法法则的应用,属于基础题 3．B 【分析】由椭圆方程可得焦点在x 轴上,利用222c a b =-求得焦点坐标即可 【详解】由题,焦点在x 轴上,则21697c =-=,所以c =则焦点坐标为)和(),故选:B 【点睛】本题考查椭圆的焦点坐标,属于基础题 4．D 【解析】根据题意，抛物线y=4x 2的标准方程为x 2=4y ， 其焦点在y 轴正半轴上，且p=18， 则其准线方程为y=﹣116； 故选：D ． 5．A 【分析】利用等差数列前n 项和公式整理324332S S S =+,可得2d =,进而利用等差数列通项公式求解即可 【详解】由题,因为324332S S S =+,所以111322134333242222a d a d a d ⨯⨯⨯⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=+++ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭,即1a d =,因为12a =,所以2d =,所以51424210a a d =+=+⨯=, 故选:A 【点睛】本题考查等差数列前n 项和公式的应用,考查求等差数列的项 6．D 【分析】圆上一点到直线距离的最大值为圆心到直线的距离与圆的半径的和,进而求解即可 【详解】由题,圆的标准方程为:()()22144x y -+-=,即圆心为()1,4,半径为2,则圆心到直线的距离为:d ==,则圆上的点到直线的最大距离为2d r +=, 故选:D 【点睛】本题考查圆上一点到直线的最大距离,考查点到直线距离公式的应用 7．B 【分析】设共渐近线的双曲线方程为()220916x y λλ-=≠,将点(3,-代入可得1λ=-,则双曲线方程为221169y x -=,进而求得离心率即可【详解】因为由共同的渐近线,设双曲线方程为:()220916x y λλ-=≠,将点(3,-代入方程可得()(()2230916λλ--=≠,则1λ=-,所以方程为221916x y -=-,即221169y x -=,则5c ==,所以54c e a ==, 故选:B 【点睛】本题考查共渐近线的双曲线方程,考查双曲线的离心率 8．D 【分析】由二进制数化为十进制数的例子可推导()43212111111212121212=⨯+⨯+⨯+⨯+⨯,求解即可 【详解】由题,()43210211111121212121231=⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=, 故选:D 【点睛】本题考查新定义运算,考查理解分析能力 9．C 【分析】将正方体ABCD A B C D ''''-放入空间直角坐标系中,利用cos ,cos DC DP PDC <>=∠求解即可 【详解】 如图建系,设正方体ABCD A B C D ''''-的棱长为1,则()0,0,0D ,()0,0,1D ',()1,1,0B ,()0,1,0C ,设(),,P x y z , 所以()1,1,1D B '=-,(),,1D P x y z '=-,()0,1,0DC =,因为D P D B λ''=,所以1x y z λλλ=⎧⎪=⎨⎪-=-⎩,所以(),,1P λλλ=-, 所以(),,1DP λλλ=-, 因为60PDC ∠=,所以1cos ,cos cos6021DC DP DP DCPDC DC DP ⋅<>=∠====⋅⨯解得1λ=或1λ=,因为P 在对角线BD '上,所以0λ>,则1λ=,故选:C【点睛】本题考查空间向量法处理立体几何中的参数问题,考查运算能力 10．A 【分析】由e =c =,则b =,根据圆C 与双曲线1C 的渐近线相切,则圆心到渐近线by x a=的距离为r ,进而求解即可 【详解】由题,==ce a所以c =,则b ==, 渐近线方程为by x a=,即0bx ay -=,因为圆C 与双曲线1C 的渐近线相切,则圆心到直线距离为23b d r c =====, 故选:A 【点睛】本题考查双曲线的渐近线方程的应用,考查直线与圆的位置关系的应用,考查点到直线距离公式的应用 11．C 【分析】由焦点坐标相同可得4p =,则抛物线为28y x =,设直线l 为()2y k x =+,与抛物线联立可得()22224840k x k x k +-+=,由直线l 与抛物线相切,则0∆=,即可解得k ,进而求得点A 坐标,从而求得AFK △面积即可 【详解】抛物线1C 的焦点为,02p ⎛⎫⎪⎝⎭,椭圆的焦点为()2,0,所以22p =,即4p =,所以抛物线方程为:28y x =,则K 为()2,0-,设直线l 为()2y k x =+,则联立()228y k x y x⎧=+⎨=⎩,消去y ,可得()22224840k x k x k +-+=,因为直线l 与抛物线1C 相切,所以()222248440k k k ∆=--⋅=,则1k =±,当1k =时,直线l 为2y x =+,则点A 为()2,4,则1144822AFKA S AF y =⋅=⨯⨯=, 由抛物线的对称性,当1k =-时,8AFKS =,故选:C 【点睛】本题考查抛物线与椭圆的焦点,考查直线与抛物线的位置关系的应用 12．B 【分析】先利用累加法求得1212n n a n n -=-=,由等比数列的定义可得312n n b -⎛⎫= ⎪⎝⎭,设31122n n n n u a b n -⎛⎫⎛⎫=⋅=- ⎪⎪⎝⎭⎝⎭,若求n n C D ⋅的最大值,需使1n u ≥,即3122n n--≥,分别设()()121f x x x=-≥,()()321x g x x -=≥,利用图象找到交点的范围,进而得到符合条件的整数,代回求解即可 【详解】 由题,()111111n n a a n n n n +-==-++,则1111n n a a n n --=--,121121n n a a n n ---=---,…,21112a a -=-, 则111-=-n a a n ,即1111211112n n a a n n n n-=+-=+-=-=, 又数列{}n b 是首项为4,公比为12的等比数列,则1311422n n n b --⎛⎫⎛⎫=⋅= ⎪⎪⎝⎭⎝⎭,设31122n n n n u a b n -⎛⎫⎛⎫=⋅=- ⎪⎪⎝⎭⎝⎭,则数列{}n u 的积为n n C D ⋅,若求n n C D ⋅的最大值,则1n u ≥,即311212n n -⎛⎫⎛⎫-≥ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭,则3122n n --≥,设()()121f x x x=-≥,()()321x g x x -=≥, 则函数()f x 与()g x 的图象如图所示,设交点的横坐标为0x ,则()03,4x ∈,则当3x =时,()()33f g >；当4x =时,()()44f g <, 即31u >,41u <,则当3n ≤时,1n u >；当4n ≥时,1n u <, 所以当3n =时,n n C D ⋅取得最大值为()1323331231111121222022232u u u ---⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⋅⋅=-⨯-⨯-= ⎪⎪⎪⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭,故选:B 【点睛】本题考查累加法求数列的通项公式,考查等比数列的通项公式,考查函数法解决数列问题,考查数形结合思想 13．63 【分析】当2n ≥时,则()121n n n S S S --=+,可得()1121n n S S -+=+,即{}1n S +是等比数列,进而求解即可【详解】当2n ≥时,()121n n n S S S --=+,即121n n S S -=+,所以()1121n n S S -+=+, 当1n =时,1121S S =+,则11S =,所以112S +=,则{}1n S +是首项为2,公比为2的等比数列,所以12n n S +=,则21nn S =-,当6n =时,662163S =-=, 故答案为：63 【点睛】本题考查由n a 与n S 的关系求n S ,考查等比数列的通项公式的应用 14．0或2 【分析】由//l α可得m n ⊥,则0m n ⋅=,求解即可 【详解】由题,因为//l α,则m n ⊥,即220m n k k ⋅=-=,解得2k =或0k =, 故答案为：0或2 【点睛】本题考查利用数量积表示垂直关系,考查线面垂直的性质的应用 15．8 【分析】分别讨论P 在线段AD 上、P 在线段AB 上、P 在线段CD 上、P 在线段BC 上这4种情况,进而求解即可 【详解】当P 在线段AD 上时,4PA PD AD +==；当P 在线段AB 上时,当P 运动到B 点时,PA PD +最大值为38AB BD +==； 同理,当P 在线段CD 上时,当P 运动到C 点时,PA PD +最大值为8CD AC +=； 当P 在线段BC 上时,作点A 关于线段BC 的对称点A ',则6AA '=,如图所示,所以PA PD +的最大值为A D '==因为8>, 所以最大值为8, 故答案为:8 【点睛】本题考查距离之和最大问题,考查分类讨论思想和运算能力 16．13【分析】由动点P 满足1260F PF ︒∠=,则可得到动点P 在以线段12F F 为弦的圆上,由圆的性质可得圆心M 为()0,1或()0,1-,半径为2,则动点P 到点1F 距离的最大值为4,即可得到椭圆的方程,联立部分曲线1C 的方程与椭圆方程求解即可 【详解】由题,因为动点P 满足1260F PF ∠=︒,则动点P 在以线段12F F 为弦的圆上, 因为点1F 、2F 关于y 轴对称,则圆心在y 轴上,设圆心为()0,M m ,原点为O , 因为1260F PF ∠=︒,所以12120F MF ∠=︒,则在2Rt OMF 中,260OMF ∠=︒,所以22r MF ==,1MO =,则圆心M 为()0,1或()0,1-,当0y >时, 曲线1C 的方程为()2214x y +-=；当0y <时, 曲线1C 的方程为()2214x y ++=；显然,曲线1C 关于x 轴对称,所以动点P 到点1F 距离的最大值为圆的直径,即24r =,则长轴长为4,所以椭圆2C 为2214x y +=,则曲线1C 与曲线2C 的图象如下图所示：因为曲线1C 与曲线2C 均关于x 轴对称,所以可只考虑x 轴上方形成的交点,即联立()22221414x y x y ⎧+-=⎪⎨+=⎪⎩,消去x 得,23210y y +-=,解得13y =或1-（舍）,故曲线1C 和曲线2C 的交点到x 轴的距离为13, 故答案为:13【点睛】本题考查椭圆的方程,考查圆与椭圆的位置关系的应用,考查动点的轨迹方程,考查运算能力17．（1）证明见解析；（2）2n n a n =-*(1,)n n N ≥∈【分析】(1)由递推式121n n a a n +=+-可得到112n n a n a n+++=+，即可证数列{a n +n }为等比数列；(2)由(1)的结论可知2nn a n +=，即可知{a n }的通项公式【详解】（1）证明：根据题意，121n n a a n +=+-，则11222()n n n a n a n a n +++=+=+∴112n n a n a n+++=+*(1,)n n N ≥∈且112a += 故，数列{n a n +}是首项与公比都为2的等比数列.（2）由（1）结论可知：1222n nn a n -+=⋅= ∴2n n a n =-*(1,)n n N ≥∈【点睛】本题考查了由递推关系证明等比数列，并求数列的通项公式，属于简单题 18．（1）证明见解析；（2）1213. 【分析】（1）连接BO ,利用勾股定理证得PO AC ⊥和PO BO ⊥,进而得证；（2）以O 为坐标原点,分别以OA OB OP 、、为x y 、、z 轴建立空间直角坐标系,分别求得平面PAM 和平面PAC 的法向量,进而利用数量积求夹角即可 【详解】解：（1）连接BO ,因为O 为AC 的中点, 所以132OC AC ==, 因为5,4PC PO ==,所以222PC PO OC =+,所以PO AC ⊥, 在ABC 中,因为BC AB ==, 所以BO AC ⊥,3BO ==,在PBO 中,5PB PC ==,所以222PO BO PB +=,即PO BO ⊥, 因为OBAC O =,所以PO ⊥平面ABC ,又因为PO ⊂平面PAC ,所以平面PAC ⊥平面ABC （2）解：由（1）得,,PO AC PO OB AO OB ⊥⊥⊥,故以O 为坐标原点,分别以OA OB OP 、、为x y 、、z 轴建立空间直角坐标系,如图所示,由题,()3,0,0A ,()0,3,0B ,()3,0,0C -()0,0,4P , 因为M 为BC 的中点,所以M 的坐标为33,,022⎛⎫-⎪⎝⎭, 所以()3,0,4AP =-,93,,022AM ⎛⎫=-⎪⎝⎭, 设(),,m x y z =为平面PAM 的一个法向量,则00m AM m AP ⎧⋅=⎨⋅=⎩,得34093022x z x y -+=⎧⎪⎨-+=⎪⎩,取4x =,则12y =,3z =,即()4,12,3m = 由（1）OB AC ⊥,平面PAC ⊥平面ABC ,平面PAC 平面ABC AC =,OB ⊂平面ABC ,所以OB ⊥平面PAC ,OB 为平面PAC 的一个法向量,()0,3,0OB =,12cos ,133m OB m OB m OB⋅<>===⋅⨯, 所以二面角M PA C --的余弦值为1213【点睛】本题考查面面垂直的证明,考查空间向量法求二面角,考查运算能力19．（1）24y x =；（2）证明见解析；直线l 恒过点()4,0.【分析】（1）设()220y px p =>,将点()1,2P 代入方程求解即可；（2）当0k =时显然不成立；当0k ≠时联立直线方程y kx m =+与抛物线方程,利用韦达定理得到12,x x 及12,y y 的关系,由OA OB ⊥可得0OA OB ⋅=,代入即可得到k 与m 的关系,进而得到定点；当k 不存在时,联立直线方程0x x =与抛物线方程,同理运算即可 【详解】解：（1）因为抛物线C 的对称轴是x 轴,设抛物线C 的标准方程为()220y px p =>,因为抛物线C 经过点()1,2P 所以222p =,所以2p =,所以设抛物线C 的标准方程为24y x =（2）证明：当直线l 的斜率存在且0k =时,显然直线l 与抛物线至多只有一个交点,不符合题意；当直线l 的斜率存在且0k ≠时,设直线l 的方程为y kx m =+, 联立24y kx m y x=+⎧⎨=⎩,消去y ,得()222240k x km x m +-+=①； 消去x ,得2440m y y k k-+=②； 设()()1122,,,A x y B x y ,则12,x x 为方程①的两根,12,y y 为方程②的两根,2121224,m mx x y y k k⋅=⋅=, 因为OA OB ⊥,所以0OA OB ⋅=,因为()()1122,,,OA x y OB x y ==,所以12120x x y y ⋅+⋅=,即2240m mk k+=, 所以40m k +=,即4m k =-,所以直线l 的方程可化为()4y k x =-,当4x =时,无论k 取何值时,都有0y =,所以直线l 恒过点()4,0, 当直线l 的斜率不存在时,设直线l 的方程为0x x =,把0x x =与24y x =联立得((00,,A x B x -,则()(000,2,OA x x OB x =-=,因为OA OB ⊥,所以0OA OB ⋅=,即20040x x -=,得04x =,所以直线l 的方程为4x =, 所以直线l 过点()4,0,综上,无论直线l 的斜率存在还是不存在,直线l 恒过点()4,0. 【点睛】本题考查抛物线方程,考查抛物线中直线恒过定点问题,考查分类讨论思想和运算能力20．（1）存在，点E 为线段11A C 的中点（2. 【分析】（1）设11A C 的中点为1D ,连接1DD ,以D 为坐标原点,分别以1DA DB DD 、、为x 、y 、z 轴建立空间直角坐标系,先求得平面1A BD 的法向量m ,若平面1//EB C 平面1A BD ,则m ⊥平面1EB C ,进而求解即可；（2）由（1），利用m 与1AB 求解即可 【详解】（1）证明：存在点E 为线段11A C 的中点,使得平面1//EB C 平面1A BD ， 设11A C 的中点为1D ,连接1DD ,以D 为坐标原点,分别以1DA DB DD 、、为x 、y 、z 轴建立空间直角坐标系,如图所示,因为正三棱柱111ABC A B C -的底面边长和侧棱长都为2,D 是AC 的中点,所以在ABC 中,1,DA DC DB ===则()()()()()()111,0,0,,1,0,0,0,0,0,1,0,2,A B C D A B -, 所以()()10,3,0,1,0,2DB DA ==, 设(),,m x y z =为平面1A BD 的法向量,则100m DB m DA ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩即020x z =+=⎪⎩,设2x =,则0,1y z ==-,所以()2,0,1m =-；因为()11,2B C =---,()(()()1210120B C m ⋅=⨯-+⨯+-⨯-=,所以1B C m ⊥,若线段11A C 上存在点E ,使得平面1//EB C 平面1A BD , 设点E 坐标为(),0,2a ,则()1,0,2CE a =+,因为平面1//EB C 平面1A BD ,所以m 也为平面1EB C 的法向量,即CE m ⊥, 则()2120CE m a ⋅=+-=,所以0a =,所以点E 为线段11A C 的中点 （2）解：由（1）得()2,0,1m =-为平面1A BD 的法向量,()12AB =-,则1cos ,m AB <>===, 所以直线1AB 与平面1A BD 【点睛】本题考查利用空间向量处理已知面面平行求点位置问题,考查空间向量法求线面角,考查运算能力21．（1）21n a n =-；12n n b -=（2）()2323n n T n =-⋅+【分析】（1）由题,对等差数列可得313125339a a d S a d =+=⎧⎨=+=⎩,解得1a 1,d 2,进而求得通项公式；对于等比数列可得11541b a b S ==⎧⎨=⎩,解得q ,进而求得通项公式；（2）由（1）可得()1212n n n a b n -⋅=-⋅,利用错位相减法求和即可【详解】解：（1）设数列{}n a 的首项为1a ,公差为d ,设数列{}n b 的首项为1b ,公比为q , 由3125a a d =+=和31339S a d =+=得1a 1,d 2,所以()()1112121n a a n d n n =+-=+-=-, 即数列{}n a 的通项公式为21n a n =-；因为111b a ==,由54b S =得4114646216b q a d ⋅=+=+⨯=,所以2q,则1112n n n b b q --=⋅=,所以数列{}n b 的通项公式为12n nb -=（2）由（1）()1212n n n a b n -⋅=-⋅,()0121123252212n n T n -=⨯+⨯+⨯++-⋅, ()1232123252212n n T n =⨯+⨯+⨯++-⋅,()1211222222212n n n T n --=+⨯+⨯++⋅--⋅()()12211221221n n n --=+⨯--⋅-()1124212n n n +=+--- ()3232n n =---,所以()2323nn T n =-⋅+【点睛】本题考查求等差数列的通项公式,考查求等比数列的通项公式,考查错位相减法求数列的和,考查运算能力22．（1）2213y x -=（2）(()()1,13,7-【分析】（1）先求出椭圆1C 的焦点坐标和左、右顶点坐标,则由题意可得双曲线2C 的,a c ,进而求解即可；（2）联立直线:2l y kx =+与双曲线2C 方程,利用韦达定理得到12,x x 及12,y y 的关系,代入1OA OB ⋅>可得k 的范围；再由两个不同的交点,则>0∆,求得k 的范围,二者求交集即可得到结果【详解】解：（1）由题,在椭圆1C 中,焦点坐标为()1,0-和()1,0；左右顶点为()2,0-和()2,0, 因为双曲线2C 的左、右焦点分别为1C 的左、右顶点,而2C 的左、右顶点分别是1C 的左、右焦点,所以在双曲线2C 中,设双曲线方程为22221x y a b-=,则221,4a c ==,所以2223b c a =-=, 所以双曲线2C 的方程为2213y x -= （2）由（1）联立22213y kx y x =+⎧⎪⎨-=⎪⎩,消去y ,得()223470k x kx -++=①； 消去x ,得()2223121230k y y k -+-+=②设()()1122,,,A x y B x y ,则12,x x 为方程①的两根,12,y y 为方程②的两根； 21212227123,33k x x y y k k -+⋅=⋅=--， 21212227123133k OA OB x x y y k k -+⋅=⋅+⋅=+>--, 得23k >或21k <③,又因为方程①中,()22216384k k k ∆=-4⨯7-=-12+>0,得27k <④, ③④联立得k的取值范围(()1,1⋃-⋃【点睛】本题考查双曲线的标准方程,考查直线与双曲线的位置关系的应用,考查运算能力。
2021-2022学年辽宁省抚顺市第六中学高二数学理上学期期末试题含解析
2021-2022学年辽宁省抚顺市第六中学高二数学理上学期期末试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。
在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. 设i是虚数单位，计算：_________.参考答案：略2. 已知集合A={x∈R|3x+2>0},B={x∈R|(x+1)(x-3)>0},则A∩B=().A.(-∞,-1)B.C.D.(3,+∞)参考答案：D3. 复数A. B. C. D.参考答案：C4. 下列函数中，图像的一部分如右图所示的是（）A. B.中学 yjwC. D.参考答案：D略5. 在复平面内，复数i（2﹣i）对应的点位于（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限参考答案：A【考点】A4：复数的代数表示法及其几何意义．【分析】首先进行复数的乘法运算，得到复数的代数形式的标准形式，根据复数的实部和虚部写出对应的点的坐标，看出所在的象限．【解答】解：∵复数z=i（2﹣i）=﹣i2+2i=1+2i∴复数对应的点的坐标是（1，2）这个点在第一象限，故选A．6. 已知在实数集上是减函数，若，则下列正确的是（）A． B．C． D．参考答案：D7. 中国诗词大会的播出引发了全民的读书热，某中学语文老师在班里开展了一次诗歌默写比赛，班里40名学生得分数据的茎叶图如图所示.若规定得分不小于85分的学生得到“诗词达人”的称号，小于85分且不小于70分的学生得到“诗词能手”的称号，其他学生得到“诗词爱好者”的称号，根据该次比赛的成绩按照称号的不同进行分层抽样抽选10名学生，则抽选的学生中获得“诗词能手”称号的人数为（）A．2 B．4 C．5 D．6参考答案：B由题得：诗词达人有8人，诗词能手有16人，诗词爱好者有16人，分层抽样抽选10名学生，所以诗词能手有人8. 下列图象中，有一个是函数（）的导函数的图象，则等于（）A． B． C．D．或参考答案：B9. 已知,则等于( )A. B. C. D.参考答案：A10. △ABC中，若=，则该三角形一定是( )A．等腰三角形但不是直角三角形B．直角三角形但不是等腰三角形C．等腰直角三角形D．等腰三角形或直角三角形参考答案：D【考点】正弦定理．【专题】解三角形．【分析】已知等式变形后，利用正弦定理化简，再利用二倍角的正弦函数公式化简，即可确定出三角形形状．【解答】解：由已知等式变形得：acosA=bcosB，利用正弦定理化简得：sinAcosA=sinBcosB，即sin2A=sin2B．∴2A=2B或2A+2B=180°，∴A=B或A+B=90°，则△ABC为等腰三角形或直角三角形．故选：D．【点评】此题考查了正弦定理，以及二倍角的正弦函数公式，熟练掌握正弦定理是解本题的关键．二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11. 已知x，y取值如表：画散点图分析可知：y与x线性相关，且求得回归方程为=x+1，则m的值为．参考答案：【考点】BK ：线性回归方程．【分析】计算、，根据线性回归方程过样本中心点，代入方程求出m 的值．【解答】解：计算=×（0+1+3+5+6）=3，=×（1+m+3m+5.6+7.4）=，∴这组数据的样本中心点是（3，），又y与x的线性回归方程=x+1过样本中心点，∴=1×3+1，解得m=，即m的值为．故答案为：．【点评】本题考查了回归直线方程过样本中心点的应用问题，是基础题目．12. 函数 .参考答案：13. 曲线在点处的切线方程为★★★★★★．参考答案：略14. 用数学归纳法证明，在验证n=1成立时，等式左边是参考答案：略15. 数列{a n}的通项公式a n=ncos+1，前n项和为S n，则S2014= ．参考答案：1006【考点】数列的求和．【专题】点列、递归数列与数学归纳法．【分析】通过求cos的值得到数列{a n}的项的规律，发现数列{a n}的每四项和为6，求出前2012项的和，减去2014得答案．【解答】解：因为cos=0，﹣1，0，1，0，﹣1，0，1…；∴ncos=0，﹣2，0，4，0，﹣6，0，8…；∴ncos的每四项和为2；∴数列{a n}的每四项和为：2+4=6．而2014÷4=503+2．∴S2014=503×6﹣2014+2=1006．故答案为：1006．【点评】本题考查了数列的求和，解答此题的关键在于对数列规律性的发现，是中档题．16. 已知,,对一切恒成立，则实数的取值范围是__________ 参考答案：(文)（理） 4略17. 圆心为且与直线相切的圆的方程是▲ .参考答案：三、解答题：本大题共5小题，共72分。
2019-2020学年辽宁省抚顺市六校协作体高二上学期期末数学考试(含答案)
2019－2020学年度上学期“抚顺六校协作体”期末考试试题高二数学考试时间：120分钟 试卷满分：150分一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.A 、B 两点的坐标分别为(3，1)和(1，3)，则线段AB 的垂直平分线方程为 A.y ＝x. B.y ＝－x C.x ＋y －4＝0. D.x －y ＋4＝02.i 是虚数单位，复数11iz i+=-的虚部为 A.0. B.i C.1. D.－13.椭圆221169x y +=的焦点坐标为A.(－5，0)和(5，0)B.( ，0)和，0)C.(0，5)和(0，－5)D.(0)和(0) 4.抛物线y ＝4x 2的准线方程为A.x ＝－1.B.y ＝－1.C.x ＝－116D.y ＝－1165.记S n 为等差数列的前n 项和。
若3S 3＝S 2＋32S 4，a 1＝2则a 5＝A.10B.－10C.12D.－126.圆x 2＋y 2－2x －8y ＋13＝0上的点到直线x ＋y －1＝0的距离的最大值为A.4B.8 －2 ＋27.与双曲线221916x y -=有共同的渐近线，且经过点(－3，)的双曲线的离心率为A.53 B.54C.3D.48.二进制数是用0和1两个数码来表示的数，进位规则是逢2进1，数值用右下角标(2)表示，例如：10(2)等于十进制数2，110(2)等于十进制数6，二进制与十进制数对应关系如下表二进制数化为十进制数举例：1001(2)＝1×23＋0×22＋0×21＋1×20＝9，二进制数11111(2)化为十进制数等于A.7.B.15.C.13.D.31.9.如图，已知点P 在正方体ABCD －A'B'C'D'的对角线BD'上，∠PDC ＝60°。
设''D P D B λ=u u u u r u u u u r ，则λ的值为A.12B.22 21 D.322-10.双曲线C 1：22221(0,0)x y a b a b-=>>3C 的圆心坐标为(2，0)，且圆C与双曲线C 1的渐近线相切，则圆C 的半径为 2623 C.1 311.已知抛物线C 1：y 2＝2px的焦点F 与椭圆22184x y +=的右焦点重合，抛物线C 1的准线与x 轴的交点为K ，过K 作直线l 与抛物线C 1相切，切点为A ，则△AFK 的面积为 A.32 B.16 C.8 D.4 12.数列{a n }中，a 1＝1，a n ＋1－a n ＝1(1)n n +，数列{b n }是首项为4，公比为12的等比数列，设数列{a n }的前n 项积为C n ，数列{b n }的前n 项积为D n ，C n ·D n 的最大值为 A.4 B.20 C.25. D.100二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分。
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2016－2017学年抚顺市六校联合体高二上学期期末考试试题数 学（理科）本试卷分第I 卷(选择题)和第II 卷(非选择题)两部分，考试时间120分钟，满分150分.第I 卷（选择题60分）一、选择题：（本大题共12小题，每小题5分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1.下列说法错误．．的是（ ） A ．命题“x R ∃∈，2210x x -+<”的否定是“x R ∀∈，2210x x -+≥” B ．命题“若m ＞0，则方程x 2＋x －m=0有实根”的逆命题为真命题 C ．命题“若a ＞b ，则ac 2＞bc 2”的否命题为真命题 D ．若命题“”为假命题，则“”为真命题2. 若＝(1，－1，－1)，＝(0,1,1)且b b a ⊥+)(λ，则实数λ的值是( )A ． 0B ．－1C ．1D ．23. 设a >0，b >0，若3是3a 与3b的等比中项，则1a ＋1b的最小值为( )A ．8B ．14 C ．1 D. 44. 已知各项均为正数的等比数列}{n a 中，13213,,22a a a 成等差数列，则1081311a a a a ++=（ ） A. 27 B. -1或27 C. 3 D. 1-或35. 设p ：实数x ，y 满足(x –2)2+(y –2)2≤8, q ：实数x ，y 满足⎪⎩⎪⎨⎧≤-≥-≥222y x y x y ,则p 是q 的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件6.古代数学著作《九章算术》有如下问题：“今有女子善织，日自倍，五日织五尺，问日 织几何？”意思是：“一女子善于织布，每天织的布都是前一天的2倍，已知她5天共织 布5尺，问这女子每天分别织布多少？”根据上题的已知条件，可求得该女子第3天所织 布的尺数为（ ）A ．B ．C ．D ．7.下列函数中，最小值为4的是（ ） A. y =x x lg 82lg + B. y =222222+++x xC. 4sin sin yxx()0x π<< D. x x e e y -+=4 8. 在ABC △中，内角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，已知b c a 222=-，且C A cos sin ⋅=C A sin cos 3⋅，则b 的值为（ ）A ．4B ．5 C. 6 D ． 79．若变量x ，y 满足约束条件⎪⎩⎪⎨⎧≥≤+≥.,2,a x y x x y 且目标函数y x z -=2的最大值是最小值的2倍，则a 的值是（ ）A ．21 B. 4 C. 3 D. 65 10.如图，21,F F 是椭圆14:221=+y x C 与双曲线2C 的公共焦点，A ，B 分别是1C ，2C 在第二、四象限的公共点．若四边形21BF AF 为矩形，则双曲线2C 的渐近线方程是 ( )A ． x y 2±= B. x y 22±= C. y=±3x D. y=±62x 11.定义na a a n+++ 21为n 个正数n a a a ,,21的“均倒数”．若已知数列{}n a 的前n 项的“均倒数”为121n +，又14n n a b +=，则201720163221111b b b b b b +++ =（ ） A ．20172016 B ．20171C ．20162015D ． 2018201712.过顶点在原点，焦点在y 轴正半轴的抛物线的焦点F 作直线l 交抛物线于A,B 两点,过A,B 分别作抛物线准线的垂线，垂足分别为C,D,若BF AF 2=，且BA DC ⋅=72，则该抛物线的方程为（ ）A ．y x 102= B. y x 92= C. y x 82= D. y x 52=第II 卷（非选择题，共90分）二、填空题：（本大题共4小题，每小题5分，满分20分.请把正确答案填在题中横线上） 13.如图，在正四棱柱1111D C B A ABCD -中，底面ABCD 的边长为7， 1BD 与底面所成角的大小为76arctan ，则该正四棱柱的高等于 .14．C ∆AB 中，b a ,是它的两边，S 是C ∆AB 的面积，若()2241b a S +=，则C ∆AB 的形状为 .15.一机器人在行进中始终保持与点F(1,0)的距离和到直线x=-1的距离相等，若机器人接触不到过点P （-1,0）且斜率为k 的直线，则k 的取值范围是 . 16.方程)0(4981<=+λλy y x x 的曲线即为)(x f y =的图象，对于函数)(x f y =，下列命题中正确的是 .（请写出所有正确命题的序号） ①函数)(x f y =的图象关于直线x y =对称； ②函数)(x f y =在R 上是单调递减函数； ③函数)(x f y =的图象不经过第一象限； ④函数x x f x F 7)(9)(+=至少存在一个零点； ⑤函数)(x f y =的值域是R .三、解答题：（本大题共6小题，共70分.解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤） 17.（本小题满分10分）已知命题0322:2≥+--a ax x p 不等式恒成立；命题:q 不等式022<++ax x 有解. （Ⅰ）若q p ∨和q ⌝均为真命题，求实数a 的取值范围；（Ⅱ）若p 是真命题，抛物线2x y =与直线1+=ax y 相交于M ，N 两点，O 为坐标原点， 求OMN ∆面积的最大值.18.（本小题满分12分）在△ABC 中，角A 、B 、C 所对的边分别是a 、b 、c ，且有b cos C ＋c cos B ＝2a cos B . （Ⅰ）求B 的大小；（Ⅱ）若△ABC 的面积是334，且a ＋c ＝5，求b .19.（本小题满分12分）如图，在四棱柱ABCD -1111D C B A 中,侧棱A A 1⊥底面ABCD ，AB ⊥AC ,1=AB ,5,21====CD AD AA AC .（Ⅰ）若AC 的中点为E ，求C A 1与DE 所成的角的正弦值； （Ⅱ）求二面角11D AC B --(锐角)的余弦值．20.（本小题满分12分）某小区要将一矩形花坛ABCD 扩建成一个更大的矩形花坛AMPN ，要求B 点在AM 上，D 点在AN 上，且对角线MN 过C 点，已知3=AB 米，2=AD 米．（Ⅰ）设DN 的长为x 米，若使矩形AMPN 的面积大于32平方米，则x 应在什么范围内？ （Ⅱ）当DN 的长度为多少时，矩形花坛AMPN 的面积最小？并求出这个最小值．21．（本小题满分12分）设数列{}n a 的前n 项和为n S ，已知1332--n nS =1. （Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式； （Ⅱ）若数列{}n b 满足nnn a a b 3log =，求数列{}n b 的前n 项和n T .22. （本小题满分12分）设椭圆C ：12222=+by a x （a>b>0）的左、右焦点分别为F 1，F 2，上顶点为A ，过点A 与AF 2垂直的直线交x 轴负半轴于点Q ，且Q F F F 2212+=. （Ⅰ）求椭圆C 的离心率；（Ⅱ）若过A ，Q ，F 2三点的圆恰好与直线7y x +7+24=0相切，求椭圆C 的方程； （Ⅲ）过F 2的直线L 与（Ⅱ）中椭圆C 交于不同的两点M 、N ，则△F 1MN 的内切圆的面积是否存 在最大值？若存在，求出这个最大值及此时的直线方程；若不存在，请说明理由.2016－2017学年度抚顺市六校联合体高二上学期期末考试试题数学(理科)参考答案一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，满分 60分）题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9111 12 答案B C D A B C D A D BAC二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，满分20分）13. 26 14. 等腰直角三角形 15. ()),1(1,+∞⋃-∞- 16. ②③⑤ 三、解答题：（本大题共6小题，满分70分,答案仅供参考，其它解法请各位老师酌情给分） 17.（本小题满分10分）（Ⅰ）解：∵p ∨q 和⌝q 均为真命题，∴p 为真命题且q 为假命题.∵命题0322:2≥+--a ax x p 不等式恒成立， ∴△=012842≤-+a a .∴-3≤a ≤1. 故命题p 为真命题时，-3≤a ≤1. 又命题q: 不等式022<++ax x 有解∴△=082>-a ∴a>22或a<-22从而命题q 为假命题时，-22≤a ≤22所以命题p 为真命题，q 为假命题时，实数a 的取值范围是-22≤a ≤1. （5分） （Ⅱ）解：设点M 、N 的坐标分别为1122(,),(,)x y x y ，联立⎩⎨⎧=+=21xy ax y 消去y ，得到012=--ax x ， 2134212≤+=a S (10分) 18. （本小题满分12分）解: （Ⅰ）依题意，由正弦定理化边为角，得sinBcos C ＋sinCcos B=2sinAcosB. 即sin(B ＋C)＝2sinAcos B.∵B ＋C ＝π－A,0＜A ＜π，∴sin(B ＋C)＝sinA ≠0. ∴sinA ＝2sinAcos B, ∴ cosB=21， ∴B=3π（6分）（Ⅱ）由B=3π， 433sin 21==∆B ac S ABC ,得21ac ·23=433 ∴ac=3, 222c a b +=-2accosBB ac ac c a b cos 22)(22--+==25-6-6×21=16 ,所以, b=4. （12分） 19. （本小题满分12分）解:由AD CD = ,AC 的中点为E ，所以 DE ⊥AC ．如图，以A 为原点建立空间直角坐标系，依题意可得 A(0,0,0 )，B(1,0,0)，A 1（0,0,2）C(0,2,0)， D(-2,1,0)， B 1(1,0,2), D 1(-2,1,2)， E （0,1,0）．（Ⅰ）1(0,2,2)A C =-，(2,0,0)DE =， 因为1(0,2,2)(2,0,0)0000A C DE ⋅=-⋅=++=，所以1AC DE ⊥，∴1AC 与DE 所成的角为2π． 即1AC 与DE 所成的角的正弦值为 sin 2π=1. (6分)（Ⅱ）设平面1B AC 的法向量为),,(111z y x m =，平面1D AC 的法向量为),,(222z y x n =．1AB =(1,0,2),1AD =(-2,1,2),(0,2,0)AC =． 由⎪⎩⎪⎨⎧=⋅=⋅01AC m AB m ，得,0202111⎩⎨⎧==+y z x 令11=z ，则 (2,0,1)m =-,同理可得(1,0,1)n = ,><n m ,cos =nm n m ⋅⋅=21101052-+=-, 所以,二面角11B AC D --(锐角)的余弦值为1010． (12分) 20．（本小题满分12分）解：（Ⅰ）设DN 的长为x (x>0)米，则AN ＝(x ＋2)米．∵AM DC AN DN =，∴AM ＝DN DC AN ⋅=xx )2(3+， ∴AMPN S ＝AN ·AM ＝(x ＋2)·xx )2(3+=x x 2)2(3+.由AMPN S =x x 2)2(3+>32，得xx 2)2(3+>32，又x>0，整理得3x 2－20x ＋12>0，解得：0<x<23或x>6，即DN 长的取值范围是⎝ ⎛⎭⎪⎫0，23∪(6，＋∞)． （6分） （Ⅱ）矩形花坛AMPN 的面积为AMPN S ＝3x 2＋12x ＋12x ＝3x ＋12x＋12≥23x ·12x＋12＝24，当且仅当3x ＝12x ，即x ＝2时，矩形花坛AMPN 的面积取得最小值24平方米.故DN 的长为2米时，矩形AMPN 的面积最小，最小值为24平方米． （12分） 21. （本小题满分12分） 解：（Ⅰ）由1332--n nS =1可得233n n S =+ ∴111(33)32a S ==+=， 11111(33)(33)3(2)22n n n n n n a S S n ---=-=+-+=≥而11133a -=≠，则13,1,3, 1.n n n a n -=⎧=⎨>⎩（5分） （Ⅱ）由n n n a a b 3log =及13,1,3, 1.n n n a n -=⎧=⎨>⎩ 可得311,1,log 31, 1.3n n nn n a b n a n -⎧=⎪⎪==⎨-⎪>⎪⎩2311123133333n nnT--=+++++.2234111123213333333n n nn nT---=++++++两式相减，得2231223121111111333333331111111()33333331121213133193922331313211823n n nn nnn n nnnTnn nn---=+-++++--=-+++++----=+-=+--⋅-+=-⋅113211243n nnT-+=-⋅（12分）22.（本小题满分12分）解：（Ⅰ）依题意A（0，b），F1为QF2的中点.设F1（-c，0），F2（c，0），则Q（-3c,0）, AQ=(-3c,-b),2AF=(c,-b),由AQ⊥2AF，即AQ·2AF=223bc+-=0，∴23c-+)(22ca-=0，即224ca=，∴e=21=ac. (3分)（Ⅱ）由题Rt△QAF2外接圆圆心为斜边QF2的中点，F1（-c，0），半径r=2c,∵由题Rt△QAF2外接圆与直线yx-7+7+24=0相切，∴d=r,即172477+++-c=2c, 解得c=1 .∴a=2,c=1,b=3.所求椭圆C的方程为：13422=+yx（6分）（Ⅲ）设M),(11yx,N),(22yx由题知21,yy异号，设△F1MN的内切圆的半径为R,则△F1MN的周长为4a=8,∴MN F S 1∆=21)(11N F M F MN ++R=4R, ∴要使△F 1MN 内切圆的面积最大，只需R 最大，此时MN F S 1∆也最大. （8分）MN F S 1∆=2121F F .21y y -=21y y -，由题知，直线l 的斜率不为零， 可设直线l 的方程为x=my+1,由⎪⎩⎪⎨⎧=++=.134,122y x my x 得22)43(y m ++6my-9=0, 由韦达定理，得1y +2y =4362+-m m ，1y 2y =4392+-m ，（△＞0⇒m ∈R ） MN F S 1∆=21y y -=212214)(y y y y -+=4311222++m m . 令t=12+m ,则t ≥1, MN F S 1∆=tt t t 131213122+=+(t ≥1), 当t=1时，MN F S 1∆=4R 有最大值3.此时，m=0,m ax R =43. 故△F 1MN 的内切圆的面积最大值为,169π 此时直线l 的方程为x=1. (12分)。