苏教版高中数学必修二第2章 平面解析几何初步
苏教版高中数学必修二第二章-平面解析几何初步2.2.1第1课时ppt课件
教 学 教 法 分 析 教 学 方 案 设 计 课 前 自 主 导 学
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2.2
圆与方程
2．2.1 圆的方程 第 1 课时 圆的标准方程
教师用书独具演示
●三维目标 1．知识与技能 (1)掌握圆的标准方程，会由圆的标准方程写出圆的半径 和圆心坐标．
【提示】 能．由 x－12＋y－22＝3 可知(x－1)2＋(y －2)2＝9.
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1 ．以 C(a ，b) 为圆心， r( r＞0) 为半径的圆的标准方程 为
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(1)培养学生主动探究知识、合作交流的意识． (2)在体验数学美的过程中激发学生的学习兴趣．
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●重点难点 重点：圆的标准方程及其应用． 难点：会根据不同的已知条件求圆的标准方程、应用圆 的标准方程解题． 重难点突破：以圆的定义为切入点，结合坐标法，让学 生导出圆的标准方程，考虑到不同条件下求圆的标准方程的 难度，教学时，可借助具体实例，通过让学生 “看一看、
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●教学建议 圆的方程是学生在初中认识了圆的几何知识后，又在学 习了直线与方程，初步认识解析法的基础上进行研究的．但 由于学生学习解析几何的时间还不长、学习程度较浅，对坐 标法的运用还不够熟练，在学习过程中难免会出现困难．为 此，为了充分调动学生学习的积极性，建议本节课采用“启 发式”问题教学法，结合具体问题情景，采用由特殊到一般 的思想方法将探究活动层层深入，在启发学生得出圆的标准 方程的同时，通过典例让学生熟知圆的标准方程的求法及其 应用，并初步体会待定系数法在求圆的标准方程中的作用．
苏教版高中数学必修二第二章-平面解析几何初步2.1.5、6ppt课件
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3．类比问题 1、2，想一想 P1(x1，y1)，P2(x2，y2)间的距 离如何表示？
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●重点难点 重点：两点间的距离公式、中点坐标公式，点到直线的 距离公式的推导及应用、坐标法证明简单的几何问题． 难点：点到直线的距离公式的推导思路、坐标法证明简 单的几何问题． 重难点突破：利用由特殊到一般及类比归纳的思想，由 浅入深的引导学生探究点到直线的距离公式的推导思路，同 时，教师借助于多媒体的直观演示，帮助学生理解距离公式 的导出过程．坐标法的教学是本节知识的另一个难点，教学 时，教师可从建系原则、几何问题代数化等角度引导学生突 破难点．
高中数学第2章平面解析几何初步2.3_2.3.1空间直角坐标系课件苏教版必修2
3．空间直角坐标系中的点的坐标：对于空间任意点 A，作点 A 在三条坐标轴上的射影，即经过点 A 作三个平 面分别垂直于 x 轴、y 轴和 z 轴，它们与 x 轴、y 轴、z 轴分别交于点 P，Q，R，点 P，Q，R 在相应数轴上的坐 标依次为 x，y，z，我们把有序数组(x，y，z)叫作点 A 的 坐标，记为 A(x，y，z)．其中 x 叫作点 A 的横坐标，y 叫 作点 A 的纵坐标，z 叫作点 A 的竖坐标．
第2章 平面解析几何初步
2．3 空间直角坐标系 2．3.1 空间直角坐标系
[情景导入] 或许你没有看过浩瀚无边的大海，但是 你一定看过美国作家海明威的著名小说《老人与海》，其 生动地描写了一位老人，在汹涌澎湃的海面上，孤身一人， 与鲨鱼搏斗，最后战胜鲨鱼的过程，尽管老人只能拖回一 副鱼骨头，但是他告诉我们“一个人可以被毁灭，但不能 被打败”．
这是强者的精神宣言．然而，你是否思考过：当船航 行在茫茫无际的大海上时，四周只见水，不见物，那么， 怎样知道船所在的位置呢？怎样知道船离目的地还有多 远呢？
[学习目标] 1.掌握空间直角坐标系的有概念.2.会 利用空间直角坐标系表示空间中的点的坐标(重点、难 点)．
1．空间直角坐标系：从空间某一个定点 O 引三条互 相垂直且有相同单位长度的数轴，这样就建立了空间直 角坐标系 O-xyz，点 O 叫作坐标原点，x 轴、y 轴、z 轴叫 作坐标轴，这三条坐标轴中每两条确定一个坐标平面分 别称为坐标平面 xOy 平面、yOz 平面、zOx 平面．
规律总结 1．建立空间直角坐标系时应遵循的两个原则：①让 尽可能多的点落在坐标轴上或坐标平面上；②充分利用几 何图形的对称性．
2．点在空间直角坐标系中的位置有三种：点在坐标 轴上、点在坐标平面上、其他情形．对于前两种情形，需 要熟悉特殊点的坐标特征；对于第三种情形，一般是经过 该点作与坐标轴垂直的平面，依据平面与坐标轴的交点确 定点的坐标．
苏教版高中高一数学必修2《平面解析几何初步》评课稿
苏教版高中高一数学必修2《平面解析几何初步》评课稿一、教材简介《平面解析几何初步》是苏教版高中高一数学必修2教材中的一章，主要介绍平面解析几何的基本概念和基本方法。
通过学习本章内容，学生可以掌握平面坐标系的建立与运用，了解平面解析几何的基本思想和基本定理，培养学生的几何建模、问题分析和解决问题的能力。
二、教学目标本章的主要教学目标如下：1.理解平面直角坐标系的概念和性质；2.掌握平面直角坐标系中的点、线段的坐标表示方法；3.熟练掌握坐标表示法求解距离、斜率、中点等问题的方法；4.理解直线的方程及其性质，能够求解直线的方程；5.学会判定两条直线相交、平行或重合的方法；6.掌握解直线方程组的方法，理解直线方程组解的几何意义。
三、教学重点1.平面直角坐标系的建立与应用；2.直线方程的求解与性质；3.直线方程组的解与几何意义。
四、教学难点1.直线的判定；2.直线方程组的解法。
五、教学准备1.课前准备：教师需要提前准备好教材、教具等教学资源；2.课堂准备：教师需要准备黑板、彩笔等辅助教学工具。
六、教学过程1. 导入与激发兴趣（5分钟）引导学生回顾上一堂课的内容，并提出与本节课相关的问题，激发学生对本节课内容的兴趣与思考。
2. 新知呈现（15分钟）第一部分：平面直角坐标系1.教师通过示意图引入平面直角坐标系的概念和性质；2.教师展示如何在平面上建立直角坐标系，并解释坐标的表示方法；3.通过具体的例子，教师讲解点、线段在坐标系中的表示方法，并进行示范。
第二部分：距离、斜率和中点1.教师引入距离的概念，并介绍计算两点距离的方法；2.教师讲解斜率的概念和计算方法，并通过实例演示；3.教师引入线段的中点概念，并讲解求解中点坐标的方法。
3. 知识拓展与巩固（20分钟）第一部分：直线的方程1.教师引导学生探讨直线的特征和性质，进一步理解直线方程的意义；2.教师介绍直线方程的一般形式和斜截式，并通过例题演示解题方法；3.学生通过练习题巩固直线方程的求解方法。
高中数学 第2章 平面解析几何初步章末总结 苏教版必修2
第2章平面解析几何初步章末总结苏教版必修2一、待定系数法的应用待定系数法，就是所研究的式子(方程)的结构是确定的，但它的全部或部分系数是待定的，然后根据题中条件来确定这些系数的方法．直线、圆的方程常用待定系数法求解．例1求在两坐标轴上截距相等，且到点A(3,1)的距离为2的直线的方程．变式训练1 求圆心在圆(x －32)2＋y 2＝2上，且与x 轴和直线x ＝－12都相切的圆的方程．二、分类讨论思想的应用分类讨论的思想是中学数学的基本方法之一，是历年高考的重点，其实质就是整体问题化为部分问题来解决，化成部分问题后，从而增加了题设的条件．(在用二元二次方程x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0表示圆时要分类讨论)；直线方程除了一般式之外，都有一定的局限性，故在应用直线的截距式方程时，要注意到截距等于零的情形；在用到与斜率有关的直线方程时，要注意到斜率不存在的情形．例2 求与圆x 2＋(y －2)2＝1相切，且在两坐标轴上截距互为相反数的直线方程．变式训练2 求过点A (3,1)和圆(x －2)2＋y 2＝1相切的直线方程．三、数形结合思想的应用数形结合思想是解答数学问题的常用思想方法，在做填空题时，有时常能收到奇效．数形结合思想在解决圆的问题时有时非常简便，把条件中的数量关系问题转化为图形的性质问题去讨论，或者把图形的性质问题用数量关系表示出来，数形结合既是一种重要的数学思想，又是一种常用的数学方法．例3 曲线y ＝1＋4－x 2与直线y ＝k (x －2)＋4有两个交点，则实数k 的取值范围是________．变式训练3 直线y ＝x ＋b 与曲线x ＝1－y 2有且仅有一个公共点，则b 的取值范围是________．第二章 章末总结 答案重点解读例1 解 当直线过原点时，设直线的方程为y ＝kx ，即kx －y ＝0．由题意知|3k －1|k 2＋1＝2，解得k ＝1或k ＝－17．所以所求直线的方程为x －y ＝0或x ＋7y ＝0．当直线不经过原点时，设所求直线的方程为x a ＋y a＝1，即x ＋y －a ＝0．由题意知|3＋1－a |2＝2，解得a ＝2或a ＝6．所以所求直线的方程为x ＋y －2＝0或x ＋y －6＝0．综上可知，所求直线的方程为x －y ＝0或x ＋7y ＝0或x ＋y －2＝0或x ＋y －6＝0． 变式训练1 解 设圆心坐标为(a ，b )，半径为r ，圆的方程为(x －a )2＋(y －b )2＝r 2．因为圆(x －32)2＋y 2＝2在直线x ＝－12的右侧，且所求的圆与x 轴和直线x ＝－12都相切，所以a >－12．所以r ＝a ＋12，r ＝|b |．又圆心(a ，b )在圆(x －32)2＋y 2＝2上，所以(a －32)2＋b 2＝2，故有⎩⎪⎨⎪⎧r ＝a ＋12，r ＝|b |，a －322＋b 2＝2.解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝12，r ＝1，b ＝±1.所以所求圆的方程是(x －12)2＋(y －1)2＝1或(x －12)2＋(y ＋1)2＝1．例2 解 (1)截距为0时，设切线方程为y ＝kx ，则d ＝|0－2|1＋k 2＝1，解得k ＝±3， 所求直线方程为y ＝±3x ．(2)截距不为0时，设切线方程为x －y ＝a ，则d ＝|0－2－a |12＋12＝1， 解得a ＝－2±2，所求的直线方程为 x －y ＋2±2＝0．综上所述，所求的直线方程为 y ±3x ＝0和x －y ＋2±2＝0．变式训练2 解 当所求直线斜率存在时， 设其为k ，则直线方程为y －1＝k (x －3)， 即kx －y ＋1－3k ＝0． ∵直线与圆相切，∴d ＝|2k －0＋1－3k |1＋k2＝1， 解得k ＝0．当所求直线斜率不存在时，x ＝3也符合条件． 综上所述，所求直线的方程是y ＝1和x ＝3．例3 ⎝ ⎛⎦⎥⎤512，34 解析 首先明确曲线y ＝1＋4－x 2表示半圆，由数形结合可得512<k ≤34．变式训练3 －1<b ≤1或b ＝－ 2解析 作出曲线x ＝1－y 2和直线y ＝x ＋b ，利用图形直观考查它们的关系， 寻找解决问题的办法．将曲线x ＝1－y 2变为x 2＋y 2＝1(x ≥0)．当直线y ＝x ＋b 与曲线x 2＋y 2＝1相切时，则满足|0－0＋b |2＝1，|b |＝2，b ＝±2．观察图象，可得当b ＝－2或－1<b ≤1时，直线与曲线x ＝1－y 2有且仅有一个公共点．。
高中数学第2章平面解析几何初步2.1.3两条直线的平行与垂直讲义苏教版必修2
2.1.3 两直线的平行与垂直1．两条直线平行(1)若直线l1：y＝k1x＋b1，直线l2：y＝k2x＋b2，则l1∥l2⇔k1＝k2且b1≠b2(k1，k2均存在)．(2)设l1：A1x＋B1y＋C1＝0，l2：A2x＋B2y＋C2＝0，则l1∥l2⇔A1B2－A2B1＝0且B1C2－B2C1≠0(或A1C2－A2C1≠0)思考：两平行直线的斜率是否一定相等．提示：只要斜率存在，则斜率一定相等．2．两条直线垂直(1)如图①，如果两条直线都有斜率且它们互相垂直，那么它们的斜率之积等于－1；反之，如果它们的斜率之积等于－1，那么它们互相垂直．即l1⊥l2⇔k1k2＝－1(k1，k2均存在)．(2)如图②，若l1与l2中的一条斜率不存在，另一条斜率为零，则l1与l2的位置关系是垂直．①②思考：两直线垂直，则两直线斜率乘积是否一定为－1?提示：两直线斜率存在的前提下，斜率乘积为－1.1.思考辨析(1)若直线l1与l2斜率相等，则l1∥l2. ( )(2)若直线l1∥l2(两条直线的斜率存在，分别为k1，k2)，则k1＝k2.( )(3)若两条直线的斜率不相等，则两直线不平行．( )[答案](1)×(2)√(3)√2．已知A(2，0)，B(3，3)，直线l∥AB，则直线l的斜率k＝________．3 [k AB ＝3－03－2＝3，k l ＝k AB ＝3.]3．与直线x ＋2y ＋7＝0垂直的一条直线的斜率k ＝______．2 [直线x ＋2y ＋7＝0的斜率k ＝－12，故与其垂直的一条直线的斜率k ＝2.]4．过点(0，1)且与直线2x －y ＝0垂直的直线的一般式方程是________．x ＋2y －2＝0 [直线2x －y ＝0的斜率是k ＝2，故所求直线的方程是y ＝－12x ＋1，即x＋2y －2＝0.]12(1)l 1的斜率为1，l 2经过点P (1，1)，Q (3，3)；(2)l 1经过点A (－3，2)，B (－3，10)，l 2经过点C (5，－2)，D (5，5)； (3)l 1经过点A (0，1)，B (1，0)，l 2经过点C (－1，3)，D (2，0)； (4)l 1：x －3y ＋2＝0，l 2：4x －12y ＋1＝0.思路探究：依据斜率公式，求出斜率，利用l 1∥l 2或l 1，l 2重合⇔k 1＝k 2或k 1，k 2不存在判断．[解] (1)k 1＝1，k 2＝3－13－1＝1，k 1＝k 2，∴l 1与l 2重合或l 1∥l 2.(2)l 1与l 2都与x 轴垂直，通过数形结合知l 1∥l 2.(3)k 1＝0－11－0＝－1，k 2＝0－32－（－1）＝－1，k 1＝k 2，数形结合知l 1∥l 2.(4)l 1的方程可变形为y ＝13x ＋23；l 2的方程可变形为y ＝13x ＋112.∵k ＝13，b 1＝23，k 2＝13，b 2＝112，∵k 1＝k 2且b 1≠b 2，∴l 1∥l 2.判断两条直线平行的方法1．根据下列给定的条件，判断直线l 1与直线l 2的位置关系． (1)l 1经过点A (2，1)，B (－3，5)，l 2经过点C (3，－3)，D (8，－7)；(2)l 1的倾斜角为60°，l 2经过点M (3，23)，N (－2，－33)． [解] (1)由题意知k 1＝5－1－3－2＝－45，k 2＝－7－（－3）8－3＝－45.因为k 1＝k 2，且A ，B ，C ，D 四点不共线，所以l 1∥l 2. (2)由题意知k 1＝tan 60°＝3，k 2＝－33－23－2－3＝ 3.因为k 1＝k 2，所以l 1∥l 2或l 1与l 2重合．12(1)直线l 1：2x －4y ＋7＝0，直线l 2：2x ＋y －5＝0； (2)直线l 1：y －2＝0，直线l 2：x －ay ＋1＝0；(3)直线l 1经过点⎝ ⎛⎭⎪⎫0，54，⎝ ⎛⎭⎪⎫53，0，l 2经过点⎝ ⎛⎭⎪⎫0，－78，⎝ ⎛⎭⎪⎫76，0. 思路探究：利用两直线垂直的斜率关系判定． [解] (1)k 1＝12，k 2＝－2，∵k 1·k 2＝12×(－2)＝－1，∴l 1与l 2垂直．(2)当a ＝0时，直线l 2方程为x ＝－1，即l 2斜率不存在，又直线l 1的斜率为0，故两直线垂直．当a ≠0时，直线l 2的斜率为1a，又直线l 1的斜率为0，故两直线相交但不垂直．(3)k 1＝0－5453－0＝－34，k 2＝0－⎝ ⎛⎭⎪⎫－7876－0＝34.∵k 1·k 2≠－1，∴两条直线不垂直．1.判断两直线是否垂直的依据是：当这两条直线都有斜率的前提下，只需看它们的斜率之积是否等于－1即可，但应注意有一条直线与x 轴垂直，另一条直线与x 轴平行时，两直线也垂直．2.直接使用A 1A 2＋B 1B 2＝0判断两条直线是否垂直更有优势．2．判断下列各组中的直线l 1与l 2是否垂直：(1)l 1经过点A (－1，－2)，B (1，2)，l 2经过点M (－2，－1)，N (2，1)； (2)l 1的斜率为－10，l 2经过点A (10，2)，B (20，3)；(3)l 1经过点A (3，4)，B (3，100)，l 2经过点M (－10，40)，N (10，40)．[解] (1)直线l 1的斜率k 1＝2－（－2）1－（－1）＝2，直线l 2的斜率k 2＝1－（－1）2－（－2）＝12，k 1k 2＝1，故l 1与l 2不垂直．(2)直线l 1的斜率k 1＝－10，直线l 2的斜率k 2＝3－220－10＝110，k 1k 2＝－1，故l 1⊥l 2.(3)l 1的倾斜角为90°，则l 1⊥x 轴． 直线l 2的斜率k 2＝40－4010－（－10）＝0，则l 2∥x 轴．故l 1⊥l 2.1．如图，设直线l 1与l 2的倾斜角分别为α1与α2，且α1<α2，斜率分别为k 1，k 2，若l 1⊥l 2，α1与α2之间有什么关系？为什么？[提示] α2＝90°＋α1.因为三角形任意一外角等于不相邻两内角之和．2．已知A (－4，3)，B (2，5)，C (6，3)，D (－3，0)四点，若顺次连接A ，B ，C ，D 四点，试判定四边形ABCD 的形状．[提示] 四边形ABCD 为直角梯形，理由如下： 如图，由斜率公式得k AB ＝5－32－（－4）＝13，k CD ＝0－3－3－6＝13， k AD ＝0－3－3－（－4）＝－3，k BC ＝3－56－2＝－12， ∵k AB ＝k CD ，AB 与CD 不重合．∴AB ∥CD ，又k AD ≠k BC ，∴AD 与BC 不平行． 又∵k AB ·k AD ＝13×(－3)＝－1，∴AB ⊥AD ，故四边形ABCD 为直角梯形．【例3】 已知点A (2，2)和直线l ：3x ＋4y －20＝0，求： (1)过点A 和直线l 平行的直线方程； (2)过点A 和直线l 垂直的直线方程．思路探究：利用两直线平行和垂直的条件求解或利用与已知直线平行与垂直的直线系方程求解．[解] 法一：∵3x ＋4y －20＝0，∴k l ＝－34.(1)设过点A 与l 平行的直线为l 1.∵kl 1＝k l ＝－34，∴l 1的方程为y －2＝－34(x －2)，即3x ＋4y －14＝0.(2)设过点A 与l 垂直的直线为l 2.∵k l kl 2＝－1，∴⎝ ⎛⎭⎪⎫－34×kl 2＝－1，∴kl 2＝43.∴l 2的方程为y －2＝43(x －2)，即4x －3y －2＝0.法二：(1)设与直线l 平行的直线方程为3x ＋4y ＋m ＝0， 则6＋8＋m ＝0，∴m ＝－14，∴3x ＋4y －14＝0为所求．(2)设与直线l 垂直的直线方程为4x －3y ＋n ＝0， 则8－6＋n ＝0，∴n ＝－2， ∴4x －3y －2＝0为所求．两直线平行或垂直的应用(1)求与已知直线平行或垂直的直线．此类问题有两种处理方法：一是利用平行与垂直的条件求斜率，进而求方程；二是利用直线系方程求解，与已知直线Ax ＋By ＋C ＝0平行的直线系方程为Ax ＋By ＋D ＝0(C ≠D )，垂直的直线系方程为Bx －Ay ＋D ＝0.(2)由直线平行或垂直求参数的值，此类问题直接利用平行和垂直的条件，列关于参数的方程求解即可．3．(1)已知四点A (5，3)，B (10，6)，C (3，－4)，D (－6，11)，求证：AB ⊥CD ； (2)已知直线l 1的斜率k 1＝34，直线l 2经过点A (3a ，－2)，B (0，a 2＋1)，且l 1⊥l 2，求实数a 的值．[解] (1)证明：由斜率公式得：k AB ＝6－310－5＝35， k CD ＝11－（－4）－6－3＝－53，则k AB ·k CD ＝－1，∴AB ⊥CD . (2)∵l 1⊥l 2，∴k 1·k 2＝－1， 即34×a 2＋1－（－2）0－3a ＝－1， 解得a ＝1或a ＝3.1．本节课的重点是理解两条直线平行或垂直的判定条件，会利用斜率判断两条直线平行或垂直，难点是利用斜率判断两条直线平行或垂直．2．本节课要重点掌握的规律方法 (1)判断两条直线平行的步骤．(2)利用斜率公式判断两条直线垂直的方法． (3)判断图形形状的方法步骤．3．本节课的易错点是利用斜率判断含字母参数的两直线平行或垂直时，对字母分类讨论．1．下列说法正确的有( ) A ．若两直线斜率相等，则两直线平行 B ．若l 1∥l 2，则k 1＝k 2C ．若两直线中有一条直线的斜率不存在，另一条直线的斜率存在，则两直线相交D ．若两直线斜率都不存在，则两直线平行C [A 中，当k 1＝k 2时，l 1与l 2平行或重合，错误；B 中，若l 1∥l 2，则k 1＝k 2或两直线的斜率都不存在，错误；D 中两直线可能重合．]2．过点(3，6)，(0，3)的直线与过点(6，2)，(2，0)的直线的位置关系为________． 垂直 [过点(3，6)，(0，3)的直线的斜率k 1＝6－33－0＝2－3；过点(6，2)，(2，0)的直线的斜率k2＝2－06－2＝3＋ 2.因为k1·k2＝－1，所以两条直线垂直．]3．已知直线(a－1)x＋y－1＝0与直线2x＋ay＋1＝0平行，则实数a＝________．2[由已知，得(a－1)a－2＝0，解得a＝－1或a＝2，当a＝－1时，两直线重合，故a ＝2.]4．已知直线l1：ax＋3y＝3，l2：x＋2ay＝5，若l1⊥l2，求a的值．[解]直线l1：ax＋3y－3＝0，直线l2：x＋2ay－5＝0.∵l1⊥l2，∴a×1＋3×2a＝0，即a＝0.。
高中数学第2章平面解析几何初步2.1-2.1.2直线的方程课件苏教版必修2
因此，直线 l 的斜率为12，在 x 轴上的截距为－6，在 y 轴上的截距为 3.
直线 l 与 x 轴，y 轴的交点分别为 A(－6，0)，B(0， 3)，如图所示，过点 A，B 作直线，就得直线 l.
f（－3）≥0， 故需满足
f（3）≥0， －3k＋2k＋1≥0， 所以 3k＋2k＋1≥0， 解得－15≤k≤1. 所以实数 k 的取值范围是－15≤k≤1.
同学们在学习中要注意以下三点：①点斜式方程 y－ y0＝k(x－x0)是由 k＝xy－－yx00变形而得到的，但二者是有区 别的，其区别是前者包括点(x0，y0)，而后者不包括点(x0， y0)，即前者的轨迹上比后者的轨迹上多了一个点；
பைடு நூலகம்
题型 1 直线的点斜式、斜截式方程 [典例 1] (1)直线 y＝x＋1 绕着其上一点 P(3，4)逆 时针旋转 90°后得直线 l，求直线 l 的点斜式方程； (2)已知两点 A(－1，2)，B(m，3)，求直线 AB 的点 斜式方程． 分析：(1)由一点和斜率可直接代入点斜式方程求解；
第2章 平面解析几何初步
1．如果直线 l 经过点 P0(x0，y0)，且斜率为 k.设点 P(x，y)是直线 l 上的任意一点，则 y－y0＝k(x－x0)(*)， 我们称(*)式叫作直线的点斜式方程，简称点斜式．
一、直线的点斜式方程 若直线 l 经过点 P0(x0，y0)，且斜率为 k，则直线的点 斜式方程为 y－y0＝k(x－x0)．
又点 A15，35在第一象限(如图所示)． 故不论 a 为何值，l 恒过第一象限． (2)解：要使 l 不经过第二象限，需它在 y 轴上的截距 不大于零，
a－3 令 x＝0，则 y＝－ 5 ≤0，所以 a≥3.
高中数学苏教版必修二《第2章 平面解析几何初步 2.1 直线与方程2》课件
我们已经知道，任意一条直线都可以用一个二元一次方程来表 示，那么，两条直线是否有交点与它们对应的方程所组成的方程 组是否有解有何联系？
设两条直线的方程分别是：
l1：A1 x B1 y C1 0 l2：A2 x B2 y C2 0
一 组 无数组 无 解
例1 分别判定下列直线是否相交，若相交，求出它们的交点：
x y
3 1
因此直线l1和l2相交，交点坐标为3, 1。
例2 直线 经过原点,且经过另两条直线 的交点，求直线 的方程.
例3 .某商品的市场需求量y1 （万件）、市场供应量y2 （万件）与
市场价格x（元/件）分别近似地满足下列关系:y1=-x+70, y2=2x-20
当y1 = y2时的市场价格称为市场安稳价格，此时的需求量称为
安稳需求量.
(1).求安稳价格和安稳需求量；
(2).若要使安稳需求量增加4万件，政府对每件商品应给予多少元
补贴？ y
分析:如图,市场安稳价格和
市场供应量 y2 70
安稳需求量实际上就是直线 y=-x+70与y=2x-20交点的横
安稳需求量
市场需求量 y1
坐标和纵坐标,即为方程组 的解.
O 10 安稳价格 70
苏教版 高中数学
两条直线的 交点
知识目标：会求两条直线的交点.
能力目标：理解两条直线的三种位置关系（平行、相交、重合）与相 应的直线方程所组成的二元一次方程组的解（无解、有惟一解、有无 数个解）的对应关系.
情感态度与价值观：通过学习两直线得位置关系与它们所对应得 方程组的解的对应关系，渗透转化的数学思想.
(1) l1 : 2x - y 7, l2 : 3x 2 y - 7 0
数学第2章平面解析几何初步本章优化总结课件(苏教版必修2)
本章优化总结
知识体系构建
专题归纳整合
直线的倾斜角与斜率
(1)直线的倾斜角和斜率是直线方程中最基本的 两个概念，它们从“形”与“数”两个方面刻 画了直线的倾斜程度．倾斜角 α 与斜率 k 的对 应关系和单调性，是做题的易错点，应引起特 别的重视．
(2)经过 A(x1，y1)，B(x2，y2)(x1≠x2)两点的直
例5 5 实数 k 为何值时，两圆 C1：x2＋y2＋4x－ 6y＋12＝0，C2：x2＋y2－2x－14y＋k＝0 相交、 相切、外离、内含．
【分析】 判断两圆的位置关系时，首先确
定圆心之间的距离，其次确定半径之和或差，
再分类比较，作出判断．
【解】 把两圆方程化为标准式，C1：(x＋2)2 ＋(y－3)2＝1，C2：(x－1)2＋(y－7)2＝50－k. ∴50－k>0⇒k<50 且 r1＋r2＝ 50－k＋1， |r1－r2|＝| 50－k－1|，C1(－2，3)，C2(1，7)， 若 C1C2>|r1＋r2|，即 5> 50－k＋1⇒34<k<50 时，两圆外离；
当 90°<α ≤135°时，直线 l 的斜率 k＝tan α ≤－1. 所以直线 l 的斜率 k 的取值范围是(－∞，－1] ∪[1，＋∞)．
求直线方程
直线的方程有五种形式，在求直线方程时要选 择恰当的形式，其中以点斜式，斜截式最为常 用，通常采用待定系数法求直线的方程．
求过定例点2P(2，1)且与坐标轴围成的三角 形的面积为4的直线方程． 【分析】 根据已知条件，可以使用直线的 截距式，通过直线过定点和与坐标轴所围成 的三角形面积列方程．
【解】 设所求的直线方程为xa＋by＝1. ∵直线过点 P(2，1)，∴2a＋b1＝1，即 a＋2b＝ ab .① 又由已知，可得21|ab|＝4，即|ab|＝8.②
苏教版必修2高中数学第2章《平面解析几何初步》ppt复习小结课件
复习回顾
本章主要研究了平面直角坐标系中直线和圆的有关知识以及空间坐标系．
基本思想： 就是用坐标、方程等代数语言描述直线和圆的几何要素及其关系，
进而将直线和圆的有关问题转化为代数问题．
复习回顾
坐标法不仅是研究几何问题的重要方法，而且是一种广泛应用于其 他领域的重要数学方法．通过坐标法，把点和坐标、曲线和方程等联系 起来，沟通了几何与代数之间的联系，体现了数形结合的重要数学思 想．
直线l过点P(－2，1)，且与M(3，3)的距离为5，求直线l的方程．
数学应用
直线l过点P(－2，1)，且经x轴反射后，与圆x2＋ y2＋2x－8y＋4＝0相 切，求直线l的方程．
直线l过点P(－2，1)，且关于x－4y＋0对称的直线经过点(3，－3) ， 求直线l的方程．
直线l过点P(－2，1)，且与直线x－2y＋2＝0和x＋ 2y－6＝0都相交，两
数学应用
直线l过点P(－2，1)，且经过点Q(－2，－1) ，求直线l的方程．
直线l过点P(－2，1)，且经过直线2x＋3y＋4＝0与x－y－3＝0的交点， 求直线l的方程．
直线l过点P(－2，1)，且点A(2，4)与B(4，0)到直线l的距离相等，求 直线l的方程．
数学应用
直线l过点P(－2，1)，且与两坐标轴围成的三角形的面积为4个平方单 位，求直线l的方程．
② 根据自己预习时理解过的逻辑结构抓住老师的思路。老师讲课在多数情况下是根据教材本身的知识结构展开的，若把自己预习时所理解过的知识 逻辑结构与老师的讲解过程进行比较，便可以抓住老师的思路。
③ 根据老师的提示抓住老师的思路。老师在教学中经常有一些提示用语，如“请注意”、“我再重复一遍”、“这个问题的关键是····”等等，这些 用语往往体现了老师的思路。来自：学习方法网
苏教版数学高二-苏教版必修2名师导学 第二章 平面解析几何初步
第2章平面解析几何初步第1课时直线的斜率(1)教学过程一、问题情境1.情境:多媒体投影现实世界中的一些美妙曲线,这些曲线都和方程息息相关,在数学中,我们可以通过研究这些曲线的方程来认识这些曲线.2.问题:在平面直角坐标系中,用一对有序实数(x,y)可确定点的位置,那么用什么来确定直线的位置呢?两点可以确定一条直线.还有什么样的条件可以确定一条直线?二、数学建构(一)生成概念1.探究活动学生进行思考、联想、讨论.学生回答并演示(①过两点;②过一点及确定的方向)观察:直线的方向与直线在坐标系倾斜度的关系.问题1我们熟悉的坡度是怎样确定的?利用木板进行演示,让学生有一个感性认识,体验坡度是由什么来确定的.问题2如果给你直线上两点,你能用它们的坐标来刻画其倾斜度吗?由学生讨论引出课题:直线的斜率.2.数学概念直线斜率的定义:已知两点P(x1,y1),Q(x2,y2),如果x1≠x2,那么直线PQ的斜率为:k=(x1≠x2).(二)理解概念1.因为k==(x1≠x2),所以斜率公式与P,Q两点的顺序无关.2.如果x1=x2,直线PQ与x轴垂直,公式中分母为0,那么直线PQ的斜率不存在.所以,在坐标系中,不是所有的直线都有斜率.3.对于与x轴不垂直的直线PQ,斜率可看作:k===.*问题3对于不垂直于x轴的直线的斜率与直线上所选两点的位置是否有关?为什么?设直线l不与x轴垂直.在直线l上有P(x1,y1),Q(x2,y2),其斜率为k=,在直线l上再取两点M(x3,y3),N(x4,y4),根据定义,直线l斜率应为k'=,≠0,因为与共线,所以=λ,即(x4-x3,y4-y3)=λ(x2-x1,y2-y1),x4-x3=λ(x2-x1),y4-y3=λ(y2-y1),k'===k.这表明,对于一条与x轴不垂直的定直线而言,它的斜率是一个定值.(三)巩固概念问题4一次函数y=-2x+1的图象是一条直线,它的斜率是多少?解答在直线上取两点(0, 1)与,根据斜率公式知,其斜率为-2.三、数学运用【例1】(教材P78例1)如图1,直线l1,l2,l3都经过点P(3, 2),又l1,l2,l3分别经过点Q1(-2, -1),Q2(4,-2),Q3(-3, 2),试计算直线l1,l2,l3的斜率.(图1)解根据斜率的定义,直线l1的斜率为k1==,直线l2的斜率为k2==-4,直线l3的斜率为k3==0.变式1若点Q1的坐标变为(m,-1),(1)求直线l1的斜率.(2)若此时l1的斜率为2,求m的值.解(1)当m=3时,l1的斜率不存在;当m≠3时,直线l1的斜率为k1==.(2)若直线l1的斜率为2=,则m=.变式2在例1的坐标系中画出经过点(3, 2),斜率不存在的直线l4,并比较这些直线相对于x轴的倾斜程度与斜率的关系.解从图中可以看出当直线的斜率为正时,直线从左下方向右上方倾斜(l1);当直线的斜率为负时,直线从左上方向右下方倾斜(l2);当直线的斜率为0时,直线与x轴平行或重合(与y轴垂直)(l3);当直线的斜率不存在时,直线与x轴垂直(l4).【例2】(教材P78例2)经过点(3, 2)画直线,使直线的斜率分别为:(1);(2)-.让学生板演,在出现困难时作适当的提示:画直线需要两点,如何找另一点呢.解(1)根据斜率=,斜率为表示直线上的任一点沿x轴方向向右平移4个单位,再沿y轴方向向上平移3个单位后仍在此直线上,将点(3, 2)沿x轴方向向右平移4个单位,再沿y轴方向向上平移3个单位后得点(7, 5),因此经过点(7, 5)和点(3, 2)画直线,即为所求直线,如图2所示.(图2)(图3)(2)∵-=,∴将点(3, 2)沿x轴方向向右平移5个单位,再沿y轴方向向下平移4个单位后得点(8,-2),因此经过点(8,-2)和点(3, 2)画直线,即为所求直线,如图3所示.画一条直线,关键先找出两点,此题结合画图,让学生如何找点.【例3】已知三点A(a, 2),B(3, 7),C(-2,-9a)在一条直线上,求实数a的值.解因为3≠-2,所以直线BC的斜率存在,据题意可知直线AB与直线BC的斜率相等,即=,解得a=2或.利用斜率构造等式,先要分析斜率是否存在,防止犯以偏概全的错误,对斜率不能确定是否存在,要进行分类讨论.问题5两个点可以确定一条直线,一个点及直线的斜率也可以确定一条直线,斜率既能反映直线的倾斜程度,也能反映直线的方向,方向还可以用什么来描述?让学生分组讨论.通过讨论认为:选用直线的上方与x轴正方向所形成的角α能最自然、最简单的刻画直线的方向,从而引出倾斜角的概念.四、数学概念1.直线的倾斜角的定义:在平面直角坐标系中,对于与x轴相交的直线,把x轴所在的直线绕着交点按逆时针方向旋转到和直线重合时所转过的最小正角称为这条直线的倾斜角.并规定:与x轴平行或重合的直线的倾斜角为0°.巩固概念指出下列图中直线的倾斜角:(1)(2)(3)(4)(图4)问题6直线的倾斜角能不能是锐角?能不能是直角?能不能是钝角?能不能是平角?能否大于平角?倾斜角的取值范围如何?引导学生观察,当直线从x轴位置旋转180°后又回到x轴位置的过程中,直线的倾斜角如何变化,从而得出结论.2.直线的倾斜角的范围是: 0°≤α<180°.五、课堂练习1.分别求经过下列两点的直线的斜率.(1)(3, 2),(5, 4).(2)(-1, 2),(3, 0).(3)(-2,-2),(3,-2).(4)(-2, 6),(2,-2).2.根据下列条件,分别画出经过点P,且斜率为k的直线.(1)P(1, 2),k=;(2)P(2, 4),k=-2;(3)P(-1, 3),斜率不存在;(4)P(-2, 0),k=0.3.分别判断下列三点是否在同一条直线上.(1)(1, 0),(3, 3),(4, 5).(2)(0, 2),(3,-1),(-1, 3).解答1.(1) 1;(2)-;(3) 0;(4)-.2.略.3.(1)不在同一条直线上;(2)在同一条直线上.六、课堂小结1.在本节课中,你学到了哪些新的概念?2.怎样求出已知两点的直线的斜率?3.斜率与倾斜角在刻画直线倾斜程度方面有什么区别?(直线的倾斜角侧重于几何直观形象,而直线的斜率侧重于用数来刻画直线的方向)第2课时直线的斜率(2)教学过程一、问题情境1.经过点原点(1, 0)与B(2,)两点的直线斜率为,倾斜角为60°.2.已知两点P(x1,y1),Q(x1,y1),如果x1≠x2,那么直线PQ的斜率与倾斜角有什么关系?二、数学建构(一)生成概念1.分直线的倾斜角为锐角(见图①)和直线的倾斜角为钝角(见图②)启发学生利用斜率的定义发现:k=tanα(注:tan(180°-α)=-tanα).①②(图1)2.用几何画板演示,引导学生观察,当直线绕一定点旋转时,斜率与倾斜角的变化关系.(二)理解概念(1)①当α≠90°时,k=tanα;②当α=90°时,k不存在;③当α=0°时,k=0;④当α为锐角时,k>0;⑤当α为钝角时,k<0.(2)当倾斜角α=90°时,斜率k不存在,这就是说任何直线都有倾斜角,但不是任何直线都有斜率,与x 轴垂直的直线就没有斜率.(图2)(三)巩固概念判断下列命题的真假:(1)若两条直线的倾斜角相等,则它们的斜率也一定相等;(2)若两条直线的斜率相等,则它们的倾斜角也一定相等;(3)若两条直线的倾斜角不等,则它们中倾斜角大的,其斜率不一定大;(4)若两条直线的斜率不等,则它们中斜率大的,其倾斜角不一定大.答(1)假;(2)真;(3)真;(4)真.三、数学运用【例1】(1)直线l1,l2,l3如图2所示,则l1,l2,l3的斜率k1,k2,k3的大小关系为,倾斜角α1,α2,α3的大小关系为.(2)填写下表直线平行于x轴从左向右上升垂直于x轴从左向右下降倾斜角α的大小斜率k的范围斜率k的增减性可以利用几何画板动态地显示斜率与倾斜角的关系.解答(1)k1>k2>k3,α3>α1>α2.(2)填写下表直线平行于x轴从左向右上升垂直于x轴从左向右下降倾斜角α的大小0°0°<α<90°90°90°<α<180°斜率k的范围0k>0不存在k<0斜率k的增减性k随α的增大而增大k随α的增大而增大这道题阐明倾斜角与斜率在变化过程中的关系,讲解中注意用从特殊到一般的方法.如果学过必修4课本,可以从正切函数的单调性上去分析.【例2】已知直线过点A(2m, 3),B(2,-1),根据下列条件,求实数m的值(或范围):(1)直线的倾斜角为135°.(2)直线的倾斜角为90°.(3)直线倾斜角为锐角.(4)直线倾斜角为钝角.此题让四个学生板演.解(1)斜率为k=tan135°==-1,解得m=-1.(2)因为AB⊥x轴,所以2m=2,解得m=1.(3)据题意,k=>0,解得m>1.(4)据题意,k=<0,解得m<1.【例3】已知直线l的斜率的取值范围为,求其倾斜角的取值范围.可以利用数形结合的思想(如图3)及例1的结果,分两段直接写出,也可利用正切函数的性质解题.解①当斜率k∈0, 1题后反思5处理建议1,+∞),倾斜角的取值范围是{α|45°≤α≤150°}.此题利用数形结合方法较好,直线的旋转,引起直线的斜率、倾斜角的变化:在不同的两段上,都是随直线的逆时针旋转而增大的.四、课堂练习1.已知y轴上的点B与点A(-, 2)连线所成直线的倾斜角为60°,则点B的坐标是(0, 5).2.已知直线l1的倾斜角α1=30°,直线l2垂直于l1,则l2的斜率为-.3.直线l的倾斜角的正弦值为,求直线l的斜率.4.已知A(4, 2),B(-8, 2),C(0,-2),求直线AB,BC,CA的斜率,并判断这些直线的倾斜角是什么角?解答3.设直线l的倾斜角为α,则sinα=.当α为锐角时,cosα==,斜率为k=tanα==;当α为钝角时,cosα=-=-,斜率为k=tanα==-.综上所述,直线l的斜率为或-.4.直线AB的斜率为k AB==0,直线AB的倾斜角为0°;直线BC的斜率为k BC==-,直线BC的倾斜角是钝角;直线CA的斜率为k CA==1,直线CA的倾斜角是45°.五、课堂小结1.直线的倾斜角和斜率之间的关系是什么?2.倾斜角为特殊角时与直线斜率的对应关系.倾斜角30°45°60°90°120°135°150°斜率3.为什么不用直线的倾斜角的正弦来作直线的斜率呢?解答:1.当倾斜角α≠90°时,斜率k=tanα,此时倾斜角与斜率一一对应;当倾斜角α=90°时,斜率不存在.2.倾斜角30°45°60°90°120°135°150°斜率1不存在--1-3.倾斜角的正弦与倾斜角不能一一对应,互补的两个倾斜角的正弦相等.第3课时直线的方程(1)教学过程一、问题情境问题1确定一条直线需要几个独立条件?请举例说明.归纳得出:1.直线上的两个点;2.直线上的一个点及直线的斜率.问题2给出直线l上一点及斜率两个条件:经过点A(-1, 3),斜率为-2,(1)你能在直线l上再找一点,并写出它的坐标吗?(2)这条直线l上的任意一点P(x,y)的横坐标x和纵坐标y满足什么关系呢?二、数学建构(一)生成概念1.探究问题情境中的问题.2.直线l经过点P1(x1,y1),且斜率为k.设点P(x,y)是直线l上的任意一点,请建立x,y与k,x1,y1之间的关系.(图1)学生根据斜率公式,可以得到,当x≠x1时,k=,故y-y1=k(x-x1)①问题3过点P1(x1,y1),斜率是k的直线l上的点(包括点P1),其坐标都满足方程①吗?坐标满足方程①的点都在经过P1(x1,y1),斜率为k的直线l上吗?答过点P1(x1,y1),斜率是k的直线l上的点,其坐标都满足方程①,且坐标满足方程①的点都在经过P1(x1,y1),斜率为k的直线l上.3.直线的点斜式方程.我们把方程y-y1=k(x-x1)叫做直线的点斜式方程.问题4直线的点斜式方程能否表示坐标平面上的所有直线呢?答因为垂直于x轴的直线斜率不存在,所以直线的点斜式方程不能表示垂直于x轴的直线.不垂直于x轴的直线,都能用点斜式方程表示.问题5经过点P1(x1,y1)且垂直于x轴的直线方程是什么?经过点P1(x1,y1)且垂直于y轴的直线方程又是什么?4.两种特殊的直线方程.经过点P1(x1,y1)且垂直于x轴的直线方程是x=x1;经过点P1(x1,y1)且垂直于y轴的直线方程是(二)理解概念1.为什么方程=k不称为直线l的点斜式方程?因为直线l上的点P1(x1,y1)不满足方程=k.2.把直线方程y=kx+6k-5写成点斜式方程,并说明此直线过哪个定点?方程y=kx+6k-5可变形为y-(-5)=k,这即为点斜式方程,此直线恒过定点(-6,-5).三、数学运用【例1】一条直线经过点P1(-2, 3),斜率为2,求这条直线方程.解根据点斜式方程的形式,这条直线的方程为y-3=2(x+2)即2x-y+7=0.【例2】直线l斜率为k,与y轴的交点是P(0,b),求直线l的方程.解根据点斜式方程形式,直线l的方程为y-b=k(x-0),即y=kx+b.数学概念(1)直线l与x轴交点(a, 0),与y轴交点(0,b),称a为直线l在x轴上的截距,称b为直线l在y轴上的截距(截距可以大于．．．．．．0．,．也可以等于或小于．．．．．．．．0．).(一定要讲清楚截距的概念,“第一印象”非常重要)(2)方程y=kx+b由直线l斜率k和它在y轴上的截距b确定,叫做直线的斜截式方程.问题6你如何从直线方程的角度认识一次函数y=kx+b?一次函数中k和b的几何意义是什么?一次函数y=kx+b中,常数k是直线的斜率,常数b为直线在y轴上的截距.问题7直线的斜截式方程能否表示坐标平面上的所有直线呢?答因为垂直于x轴的直线斜率不存在,所以直线的斜截式方程不能表示垂直于x轴的直线.不垂直于x轴的直线,都能用斜截式方程表示.【例3】在同一坐标系中作出下列直线,分别说出这两组直线有什么共同特征?(1)y=2,y=x+2,y=-x+2,y=3x+2,y=-3x+2.(2)y=2x,y=2x+1,y=2x-1,y=2x+4,y=2x-4.解(1)图略,这组直线的共同特征是都过点(0, 2),斜率不同.(2)图略,这组直线的共同特征是斜率都相同,截距互不相同,它们是一组平行直线.画直线关键是找出两点,常常找直线与坐标轴的交点,此题意在说明共点直线或平行直线在方程形式上的联系(相同点).【例4】(1)求直线y=-(x-2)的倾斜角.(2)求直线y=-(x-2)绕点(2, 0)按顺时针方向旋转30°所得的直线方程.解(1)设直线的倾斜角为α,从方程可知,直线的斜率是-,所以tanα=-,又因为0°≤α<180°,所以直线y=-(x-2)的倾斜角为120°.(2)所求的直线的倾斜角为120°-30°=90°,且经过点(2, 0),所以,所求的直线方程为x=2.方程为y=k(x+a)+b的直线的斜率为k,第(2)题注意直线的旋转的方向.*【例5】已知直线l经过点P(4, 1),且与两坐标轴在第一象限围成的三角形的面积为8,求直线l的点斜式方程.引导学生分析,要求出方程,先求出斜率,如何把“面积为8”用上,能否转化为关于斜率k的方程,用点斜式方程要注意哪些呢?解根据题意,直线l不垂直于x轴,其斜率存在且为负数,故可设直线l的方程为y-1=k(x-4), (k<0),在方程中令y=0得x=4-,令x=0得y=1-4k,故直线l与两坐标轴交于点与(0, 1-4k),与两坐标轴在第一象限围成的三角形的面积为S=(1-4k)=8,解得k=-,故直线l的点斜式方程为y-1=-(x-4).利用点斜式或斜截式设直线方程,首先要分析直线的斜率是否存在,如不能确定,一般要分类讨论,此题不仅分析了斜率是存在的,而且还挖掘出隐含条件:斜率小于0,为下面的求解避免了分类讨论,如果解出两解,还要注意取舍.四、课堂练习1.经过点(3,-1),斜率为3的直线的点斜式方程为y+1=3(x-3).2.经过点(2, 2),斜率为的直线的点斜式方程为y-2=(x-2).3.斜率为-3,在y轴上的截距为-4的直线的斜截式方程为y=-3x-4.4.斜率为,在x轴上的截距为6的直线的方程为y=(x-6).5.直线x=m(y+1)的图象恒过定点(0,-1).五、课堂小结1.本节课我们学了哪些知识?2.直线方程的点斜式、斜截式的形式特点和适用范围是什么?3.求一条直线的方程,要知道多少个条件?4.如何根据直线方程求出直线的斜率及y轴上的截距?第4课时直线的方程(2)教学过程一、问题情境1.情境:能否根据我们已经学过的直线的点斜式、斜截式方程求出符合下列条件的直线方程(学生活动):(1)直线经过点(1, 2),.(2)直线经过点(1, 2),(-1, 2).(3)直线经过点(0, 2),(1, 0).(4)直线经过点(x1,y1),(x2,y2),其中x1≠x2.2.问题:如果已知直线经过的两个点,或已知直线在x轴上的截距和在y轴上的截距,如何求直线方程?二、数学建构(一)生成概念1.引导学生研究上面的问题.根据直线的点斜式方程,经过两点(x1,y1),(x2,y2)(x1≠x2)直线l的方程为:y-y1=(x-x1).2.直线的两点式方程.若x1≠x2,y1≠y2,经过两点P1(x1,x2),P2(x2,y2)的直线l的方程为=,我们把方程=叫做直线的两点式方程.(二)理解概念1.方程=的左右两边各具有怎样的几何意义?它表示什么图形?答左边是动点和一个定点的连线的斜率,右边是两个定点的连线的斜率,这两者始终相等,因而方程表示除去点(x1,y1)的一条直线.2.方程=和方程=表示同一图形吗?前者表示经过两定点(x1,x2),(x2,y2)但除去点(x1,y1)的一条直线,后者表示经过两定点(x1,x2), (x2,y2)完整的一条直线.所以才把后者称为两点式方程.3.若两点P1(x1,x2),P2(x2,y2)中有x1=x2或y1=y2,此时直线P1P2方程能否用两点式方程表示?如果不能,应该如何表示?这说明了什么?答因为有分母为0,所以不能用两点式方程表示,若x1=x2,直线P1P2方程为x=x1,若y1=y2,直线P1P2方程为y=y1,这说明两点式方程不能表示与坐标轴垂直的直线.(三)巩固概念已知直线分别经过下面两点,求直线的两点式方程.①A(3, 1),B(2,-3);②A(2, 1),B(0,-3);③A(0, 5),B(4, 0).解答①直线的两点式方程为:=;②直线的两点式方程为:=;③直线的两点式方程为:=.三、数学运用【例1】(教材P84例1)已知直线l经过两点A(a, 0),B(0,b),其中ab≠0,求直线l的方程(如图1).(图1)解根据两点式方程形式,直线l的方程为=,即+=1.数学概念直线的截距式方程及适用范围:我们把方程+=1叫做直线的截距式方程.因为ab≠0,所以截距式方程不能表示过原点的直线,因为纵、横截距必须存在,所以截距式方程也不能表示与坐标轴垂直的直线.【例2】(教材P84例2)已知三角形的顶点是A(-5, 0),B(3,-3),C(0, 2)(图2),试求这个(图2)三角形三边所在直线的方程.解根据两点式方程,直线AB的方程为=,即3x+8y+15=0;直线BC的方程为=,即5x+3y-6=0;根据截距式方程,直线CA的方程为+=1,即2x-5y+10=0.用直线的两点式或截距式写直线方程只需一步到两步,但要先分析两点式或截距式的使用条件是否满足.【例3】求过点(3,-4)且在坐标轴上的截距相等的直线方程.在做此题之前,画一条通过原点的直线,问问学生:直线在x,y轴上的截距是什么?相等吗?横截距是纵截距的几倍?根据以往经验,采取先错后纠正的方法不理想,以后还会错,所以截距的概念“第一印象”非常重要.解①当截距不为0时,设所求直线的方程为+=1,将坐标(3,-4)代入这个方程得+=1解得a=-1,此时所求直线的方程为+=1;②当截距为0时,直线过原点(0, 0),根据两点式方程,此时所求直线的方程为=,即y=-x.综上,所求直线的方程为x+y+1=0或y=-x.要准确理解截距的概念,直线过原点时,它在x,y轴上截距都为0,当然相等,当直线斜率为1且不过原点时,截距互为相反数,当然不等.【例4】求过点P(2,-1),在x轴和y轴上的截距分别为a,b,且满足a=3b的直线方程.先引导学生分析,此题会有几解?解①当a=0时,b=0,此时直线方程为y=-x;②当a≠0时,b≠0,根据截距式方程,此时直线方程为+=1,把P(2,-1)代入方程得+=1,解得b=-,此时a=-1.综上,所求直线方程为x+3y+1=0或y=-x.当截距不能确定是否为0时,使用截距式方程,要注意分类讨论.四、课堂练习1.过两点(2, 2),(-1, 3)的直线的两点式方程为=.2.过两点(0, 3),(-1, 0)的直线的截距式方程为-x+=1.3.已知两点A(5, 1),B(10, 11).(1)求出直线AB的方程.(2)若点C(-2,a)在直线AB上,求实数a的值.解(1)根据两点式方程,直线AB的方程为=,即2x-y-9=0.(2)因为点C(-2,a)在直线AB上,所以2×(-2)-a-9=0,因此实数a的值为-13.4.(1)如果两条直线有相同的斜率,但在x轴上的截距不同,那么它们在y轴上的截距可能相同吗?(2)如果两条直线在y轴上的截距相同,但是斜率不同,那么它们在x轴上的截距可能相同吗?解答(1)假设它们在y轴上的截距也相同.则它们的方程都可写成y=kx+b,而这只表示一条直线,与前提矛盾,所以假设不成立.因此它们在y轴上的截距不相同.(2)它们在x轴上的截距可能相同,如:直线y=2x与直线y=x.五、课堂小结1.任何一条直线都有x轴上的截距和y轴上的截距吗?2.什么样的直线不能用两点式、截距式方程?第5课时直线的方程(3)教学过程一、问题情境问题1直线的点斜式、斜截式、截距式、两点式方程是关于x,y的什么方程?问题2关于x,y的二元一次方程Ax+By+C=0(A,B不全为0)是否一定表示一条直线?二、数学建构(一)生成概念1.引导学生研究上面的问题.(1)直线的点斜式、斜截式、截距式、两点式方程都是关于x,y的二元一次方程.(2)关于x,y的二元一次方程Ax+By+C=0(A,B不全为0)是否一定表示一条直线呢?这个方程是否表示直线,就看此方程能否转化为点斜式、斜截式、截距式、两点式、x=x1这五种形式之一.(1)当B≠0时,方程Ax+By+C=0可化为y=-x-,它表示斜率-,在y轴上的截距为-的直线.(2)当B=0时,方程Ax+By+C=0可化为x=-,它表示垂直于x轴的直线.综上:关于x,y的二元一次方程Ax+By+C=0(A,B不全为0)都表示一条直线.问题3平面直角坐标系内的任意一条直线是否都可以用二元一次方程Ax+By+C=0(A,B不全为0)表示呢?平面直角坐标系内的直线可分为两类,第一类是与x轴垂直的直线,第二类是与x轴不垂直的直线.与x轴垂直的直线的方程为x=x1,可化为x+0·y-x1=0,(1与0不全为0)与x轴不垂直的直线可用斜截式方程表示,而y=kx+b可化为kx-y+b=0,(k与-1不全为0)所以平面直角坐标系内的任意一条直线都可以用二元一次方程Ax+By+C=0(A,B不全为0)表示.2.数学概念直线的一般式方程方程Ax+By+C=0(A,B不全为0)叫做直线的一般式方程.(二)理解概念1.直线方程的一般式Ax+By+C=0中,A,B满足条件不全为0;当A=0,B≠0时,方程表示垂直于y轴的直线;当B=0,A≠0时,方程表示垂直于x轴的直线.2.直线方程的一般式Ax+By+C=0(A,B不全为0)没有局限性,它能表示平面内任何一条直线.3.直线方程的一般式Ax+By+C=0中,因为A,B不全为0,总可以两边同除以A,B之一,从而转化为只有两个参量的方程:mx+y+n=0或x+my+n=0.不与y轴垂直的直线方程可设为x=py+t.4.因为方程Ax+By+C=0(A,B不全为0)表示一条直线,所以它也称为线性方程.(三)巩固概念1.把方程y-y1=k(x-x1)化为一般式为kx-y+y1-kx1=0.2.把方程+=1(ab≠0)化为一般式为bx+ay-ab=0.3.把方程=化为一般式为(y2-y1)x+(x1-x2)y+x2y1-x1y2=0.三、数学运用【例1】(教材P86例1)求直线l:3x+5y-15=0的斜率及它在x轴、y轴上的截距,并作图.可以把例1、例2放在一起让学生板演.解直线l的方程可化为y=-x+3,也可化为+=1,直线的斜率为-,它在x轴、y轴上的截距分别为5和3.(图略)根据方程求斜率,可把方程化斜截式.【例2】(教材P86例2)设直线l的方程为x+my-2m+6=0,根据下列条件分别确定m的值:(1)直线l在x轴上的截距为-3.(2)直线l的斜率为1.解(1)据题意直线l过点(-3, 0),把坐标(-3, 0)代入直线l的方程得-3-2m+6=0,解得m=.(2)据题意,直线l的斜率存在,所以m≠0,直线l的方程可化为y=-x+2-,所以-=1,解得m=-1.【例3】求斜率为,且与两坐标轴围成的三角形的面积为6的直线方程.引导学生分析,求直线方程,差什么量?如何构造此量的方程,如何设出直线方程,设直线方程需要注意什么?解法一据题意可设所求直线的方程为y=x+m,(m≠0),在方程中令y=0得x=-m,直线与两坐标轴交于A与B(0,m)两点,△AOB的面积为|m|=6.解得m=3或m=-3.因此,所求直线的方程为y=x+3或y=x-3,即3x-4y+12=0或3x-4y-12=0.解法二据题意可设所求直线的方程为+=1(ab≠0),此方程可化为y=-x+b,据题意可知解得或因此,所求直线的方程为+=1或+=1,即3x-4y+12=0或3x-4y-12=0.根据条件,恰当选择方程的形式,可简化解题,最后形式常化为一般式方程,解法二对解方程组的要求较高.*【例4】已知直线l:+=1.(1)如果直线l的斜率为2,求m的值.(2)如果直线l与两坐标轴的正半轴相交,求与坐标轴围成三角形面积最大时的直线l的方程.引导学生审题:“正半轴相交”是什么意思?“三角形面积最大时”是什么意思,为什么三角形面积会有最大值?解(1)直线l的方程可化为y=x+m,所以=2,解得m=4.(2)直线l与两坐标轴的交点为(2-m, 0),(0,m),据题意直线l与两坐标轴围成三角形面积为S=m(2-m)=-(m-1)2+,因为0<m<2,所以m=1时,S取到最大值,故所求的直线l的方程为+=1,即x+y-1=0.注意挖掘条件此题可变为“已知直线l与两坐标轴的正半轴相交,在两坐标轴上的截距之和为2,求与坐标轴围成三角形面积最大时的直线l的方程.”这样解法就多了,可以设斜截式方程,利用基本不等式求解.四、课堂练习1.直线3x+4y=6的斜率为-,在y轴上截距为.2.直线4x-3y-12=0在x轴、y轴上的截距分别为3,-4.3.填写下表直线l:Ax+By+C= 0(A,B不全为0)与坐标轴的关系直线过原点直线l垂直于x轴直线l垂直于y轴直线l与两坐标轴都相交A,B,C满足的关系C=0B=0A=0AB≠04.过两点(-4, 0)和(0, 2)的直线的一般式方程为x-2y+4=0.5.过两点(3, 0)和(0,-1)的直线的一般式方程为x-3y-3=0.五、课堂小结1.到目前为止研究了直线方程的五种形式:点斜式、斜截式、两点式、截距式和一般式,要掌握五种形式的适用范围,并能在直线方程的各种形式之间熟练转化.2.学会根据条件选用恰当的形式求直线的方程,用一般式设方程,往往并不简单,因为一般式中有三个参量A,B,C.第6课时两条直线的平行与垂直(1)教学过程一、问题情境问题1平面内两条不重合直线的位置关系有几种?如何判断这种关系?问题2初中学习过平面内两条直线的位置关系,学习过两条直线的平行的判定,如同位角相等得到两条直线平行,这种方法是将一个几何问题转化为另外一个几何问题来解决它,我们能否用代数方法(代数量)来判定两条直线的平行与垂直(几何量)呢?二、数学建构(一)生成概念1.引导学生探究两直线平行的判定条件问题3直线有哪些代数量?直线的倾斜角、斜率、在x轴、y轴上的截距.问题4当l1∥l2时,它们的代数量满足什么关系?l1∥l2,首先想到平行线的判定方法:同位角相等,内错角相等,同旁内角互补,三角形中位线平行于第三边.在直线的代数量中,直线的倾斜角是同位角,所以得到:若l1∥l2,则它们的倾斜角相等,如果倾斜角不是直角,根据斜率与倾斜角的关系得到,它们的斜率相等;再来考察它们在x轴、y轴上的截距,如果倾斜角不是0°也不是直角,因为l1,l2不重合,所以,它们在x轴上的截距不等,在y轴上的截距也不等.于是l1∥l2时有如下表格:。
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第2章平面解析几何初步
§2.1直线与方程
2.1.1直线的斜率
【课时目标】1．理解直线的倾斜角和斜率的概念．2．掌握求直线斜率的两种方法．3．了解在平面直角坐标系中确定一条直线的几何要素．
1．在平面直角坐标系中，对于一条与x轴相交的直线，把x轴所在的直线绕着交点按________________旋转到和直线重合时所转过的____________称为这条直线的__________，并规定：与x轴平行或重合的直线的倾斜角为________，直线的倾斜角α的范围是__________．
2．已知直线l上两点P(x1，y1)，Q(x2，y2)，若x1≠x2，则____________为直线l的斜率．当直线l与x轴不垂直时，直线的斜率k与倾斜角α之间满足________，斜率的取值范围为________，当直线l与x轴垂直时，直线的斜率__________．
一、填空题
1．对于下列命题
①若α是直线l的倾斜角，则0°≤α<180°；
②若k是直线的斜率，则k∈R；
③任一条直线都有倾斜角，但不一定有斜率；
④任一条直线都有斜率，但不一定有倾斜角．
其中正确命题有________个．
2．斜率为2的直线经过点A(3,5)、B(a,7)、C(－1，b)三点，则a、b的值分别为________和________．
3．直线经过原点和点(－1，－1)，它的倾斜角是______________________________．4．直线l过原点(0,0)，且不过第三象限，那么l的倾斜角α的取值范围是______________．5．若图中直线l1、l2、l3的斜率分别为k1、k2、k3，则k1、k2、k3的大小关系为______________．6．若直线平行于y轴，其倾斜角为α，则α＝________．
7．若直线AB 与y 轴的夹角为60°，则直线AB 的倾斜角为________，斜率为________．
8．如图，已知△ABC 为等腰三角形，且底边BC 与x 轴平行，则△ABC 三边所在直线的斜率之和为________．
9．已知直线l 的倾斜角为α－20°，则α的取值范围是____________．
二、解答题
10．如图所示，菱形ABCD 中，∠BAD ＝60°，求菱形ABCD 各边和两条对角线所在直线的倾斜角和斜率．
11．一条光线从点A (－1,3)射向x 轴，经过x 轴上的点P 反射后通过点B (3,1)，求P 点的坐标．
能力提升
12．已知实数x ，y 满足y ＝－2x ＋8，当2≤x ≤3时，求y x
的最大值和最小值．
13．已知函数f (x )＝log 2(x ＋1)，a >b >c >0，则f (a )a ，f (b )b ，f (c )c
的大小关系是________________．
1．利用直线上两点确定直线的斜率，应从斜率存在、不存在两方面入手分类讨论，斜率不存在的情况在解题中容易忽视，应引起注意．
2．三点共线问题：(1)已知三点A ，B ，C ，若直线AB ，AC 的斜率相同，则三点共线；
(2)三点共线问题也可利用线段相等来求，若AB ＋BC ＝AC ，也可断定A ，B ，C 三点共线．
3．斜率公式的几何意义：在解题过程中，要注意开发“数形”的转化功能，直线的倾斜角与斜率反映了某一代数式的几何特征，利用这种特征来处理问题更直观形象，会起到意想不到的效果．
第2章 平面解析几何初步
§2．1 直线与方程
2．1．1 直线的斜率
答案
知识梳理
1．逆时针方向 最小正角 倾斜角 0° 0°≤α<180°
2．k ＝y 2－y 1x 2－x 1
k ＝tan α k ∈R 不存在 作业设计
1．3
解析 ①②③正确．
2．4 －3
解析 由题意，得⎩⎪⎨⎪⎧ k AC ＝2，k AB ＝2，即⎩⎪⎨⎪⎧ b －5－1－3＝2，7－5a －3＝2.
解得a ＝4，b ＝－3．
3．45°
4．90°≤α<180°或α＝0°
解析 倾斜角的取值范围为0°≤α<180°，直线过原点且不过第三象限，切勿忽略x 轴和y 轴．
5．k 1<k 3<k 2
解析 由图可知，k 1<0，k 2>0，k 3>0，
且l 2比l 3的倾斜角大．
∴k 1<k 3<k 2．
6．90°
7．30°或150° 33或－33
8．0
9．20°≤α<200°
解析 因为直线的倾斜角的范围是[0°，180°)，
所以0°≤α－20°<180°，解之可得20°≤α<200°．
10．解 αAD ＝αBC ＝60°，αAB ＝αDC ＝0°，αAC ＝30°，
αBD ＝120°．
k AD ＝k BC ＝3，k AB ＝k CD ＝0， k AC ＝33
，k BD ＝－3． 11．解 设P (x,0)，则k P A ＝3－0－1－x ＝－3x ＋1
， k PB ＝1－03－x ＝13－x
，依题意， 由光的反射定律得k P A ＝－k PB ，
即3x ＋1＝13－x
，解得x ＝2，即P (2,0)． 12．解
y x ＝y －0x －0
其意义表示点(x ，y )与原点连线的直线的斜率． 点(x ，y )满足y ＝－2x ＋8，且2≤x ≤3，则点(x ，y )在线段AB 上，并且A 、B 两点的坐标分别为A (2,4)，B (3,2)，如图所示．
则k OA ＝2，k OB ＝23
． 所以得y x 的最大值为2，最小值为23
． 13．f (c )c >f (b )b >f (a )a
解析 画出函数的草图如图，f (x )x 可视为过原点直线的斜率．。