高中数学不等式的恒成立问题
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高中数学不等式的恒成立问题
高三数学备课组 肖英文 2011-11-23
不等式恒成立的问题既含参数又含变量,往往与函数、数列、方程、几何有机结合起来,具有形式灵活、思维性强、不同知识交汇等特点. 考题通常有两种设计方式:一是证明某个不等式恒成立,二是已知某个不等式恒成立,求其中的参数的取值范围.解决这类问题的方法关键是转化化归,通过等价转化可以把问题顺利解决,下面我就结合自己教学谈谈不等式的恒成立问题的处理方法。
题型一:构造函数法(利用一次函数的性质)
在解决不等式恒成立问题时,一种最重要的思想方法就是构造适当的函数,即构造函数法,然后利用相关函数的图象和性质解决问题,同时注意在一个含多个变量的数学问题中,需要确定合适的变量和参数,从而揭示函数关系,使问题更加面目更加清晰明了,一般来说,已知存在范围的量视为变量,而待求范围的量视为参数.例如; 类型1:对于一次函数],[,)(n m x b kx x f ∈+=有:
()0f x >?恒成立(ⅰ)???>>0)(0m f a ,或(ⅱ)???><0)(0n f a ;亦可合并定成???>>0)(0
)(n f m f ;
()0
()0()0f m f x f n ?
恒成立 例1.对于满足|a|≤2的所有实数a,求使不等式x 2
+ax+1>2a+x 恒成立的x 的取值范围。
分析:在不等式中出现了两个字母:x 及a,关键在于该把哪个字母看成是一个变量,另一个作为常数。显然可将a 视作自变量,则上述问题即可转化为在[-2,2]内关于a 的一次函数大于0恒成立的问题。
解:原不等式转化为(x-1)a+x 2
-2x+1>0,
设f(a)= (x-1)a+x 2
-2x+1,则f(a)在[-2,2]上恒大于0,故有:
??
?>>-)2(0)2(f f 即?????>->+-0
10
3422
x x x 解得:???-<><>1113x x x x 或或 ∴x<-1或x>3.
引申:在不等式中出现3个字母:m 、x 、a
已知函数()f x 是定义在[]1,1-上的奇函数,且(1)1f =,若[],1,1a b ∈-,0a b +≠,有
()()0f a f b a b
+>+,
(1)证明()f x 在[]1,1-上的单调性;(2)若2
()21f x m am ≤-+对所有[]1,1a ∈-恒成立,求m 的取值范围。
分析:第一问是利用定义来证明函数的单调性,第二问中出现了3个字母,最终求的是m 的范围,所以根据上式将m 当作变量,a 作为常量,而x 则根据函数的单调性求出()f x 的最大值
即可。
(1) 简证:任取[]12,1,1x x ∈-且12x x <,则[]21,1x -∈-
1212
()()
0f x f x x x +>- ()()1212()()0x x f x f x ∴-+-> 又
()f x 是奇函数
()()1212()()0x x f x f x ∴--> ()f x ∴在[]1,1-上单调递增。
(2) 解:
2()21f x m am ≤-+对所有[]1,1x ∈-,[]1,1a ∈-恒成立,即
2max 21m am f -+≥,
max (1)1f f == 22211
20m am m am ∴-+≥∴-≥
即2
()20g a am m =-+≥在[]1,1-上恒成立。(1)120(1)120g a g a -=+≥?∴?=-≥? 1212
a a ?≤-??∴??≤??
1122
a ∴-≤≤。
例2.已知不等式
对任意的都成立,求的取值范围.
解:由移项得:
.不等式左侧与二次函数非常相
似,于是我们可以设
则不等式
对满足
的一切实数
恒成立
对
恒成立.当
时,
即
解得故的取值范围是.
评注:此类问题常因思维定势,学生易把它看成关于的不等式讨论,从而因计算繁琐出错或者中途夭折;若转换一下思路,把待求的x 为参数,以为变量,令
则问题转化为求一次函数(或常数函数)的值在内恒
为负的问题,再来求解参数应满足的条件这样问题就轻而易举的得到解决了。 题型二:分离参数法
类型1:αα>?∈>min )()(x f I x x f 恒成立对一切()f x x I α<∈对一切恒成立.
max ()f x α?<
类型2:)()(x g x f >对于任意的],[b a x ∈恒成立?min max ()()f x g x >,或)(x f 在
],[b a x ∈上的图像始终在)(x g 的上方.(通常移项,使0)()()(min >-=x g x f x h 即可; 若)(x h 的最值无法求出,则考虑数形结合,只需在],[b a x ∈上)(x f 的图像始终在)(x g 的
上方即可.)
在不等式中求含参数范围过程中,当不等式中的参数(或关于参数的代数式)能够与其它变量完全分离出来并,且分离后不等式其中一边的函数(或代数式)的最值或范围可求时,常用分离参数法.
例3.设奇函数]1,1[)(-在x f 上是增函数,且(1)1,f -=-若函数12)(2
+-≤at t x f 对所有的
]1,1[-∈x 都成立,当]1,1[-∈a 时,则t 的取值范围是( D )
A .22≤≤-t
B .2121≤≤-t
C .022=-≤≥t t t 或或
D .02
1
21=-≤≥t t t 或或
例 4.已知函数(为常数)是实数集
上的奇函数,函数
在区间
上是减函数.
(Ⅰ)若对(Ⅰ)中的任意实数都有
在
上恒成立,求实数的取值范
围.
解析:由题意知,函数
在区间上是减函数. 在上恒成立
注:此类问题可把要求的参变量分离出来,单独放在不等式的一侧,将另一侧看成新函数,于是将问题转化成新函数的最值问题:若对于取值范围内的任一个数都有恒成
立,则
;若对于取值范围内的任一个数都有
恒成立,则
.
题型三:数形结合法
如果不等式中涉及的函数、代数式对应的图象、图形较易画出时,可通过图象、图形的位置关系建立不等式求得参数范围.
例5.已知函数
若不等式
恒成立,则实数
的取值
范围是 .
解:在同一个平面直角坐标系中分别作出函数
及的图象,由于不等式恒成立,所以函数
的图象应总在函数的图象下方,因此,当
时,
所以
故
的取值范围是
注:解决不等式问题经常要结合函数的图象,根据不等式中量的特点,选择适当的两个函数,利用函数图像的上、下位置关系来确定参数的范围.利用数形结合解决不等式问题关键是构
造函数,准确做出函数的图象.如:不等式
,在
时恒成立,求的取
值范围.此不等式为超越不等式,求解时一般使用数形结合法,设然后在同一坐标系下准确做出这两个函数的图象,借助图象观察便可求解. 题型四:最值法
当不等式一边的函数(或代数式)的最值较易求出时,可直接求出这个最值(最值可能含有参数),然后建立关于参数的不等式求解. 例6. 已知函数
(Ⅰ)当
时,求
的单调区间;
(Ⅱ)若时,不等式恒成立,求实数的取值范围. 解(Ⅱ)当
时,不等式
即
恒成立.由于
,
,亦即
,所以
.令,则
,由
得
.且当
时,
;当
时,
,即在上单调递增,在上单调递减,所以在处取得
极大值
,也就是函数
在定义域上的最大值.因此要使
恒成立,需
要,所以的取值范围为.
例7.对于任意实数x ,不等式│x+1│+│x-2│>a 恒成立,求实数a 的取值范围分析①:把左边看作x 的函数关系,就可利用函数最值求解.
解法1:设f (x )=│x+1│+│x-2│
=-2x+1,(x ≤1)3,(-1<x ≤2)2x-1,(x >2) ∴f (x )min =3. ∴a <3.
分析②:利用绝对值不等式│a │-│b │<│a ±b │<│a │+│b │求解f (x )=│x+1│+│x-2│的最小值.
解法2:设f (x )=│x+1│+│x-2│, ∵│x+1│+│x-2│≥│(x+1)-(x-2)│=3, ∴f (x )min =3. ∴a <3.
分析③:利用绝对值的几何意义求解.
解法3:设x 、-1、2在数轴上的对应点分别是P 、A 、B ,则│x+1│+│x-2│=│PA │+│PB │,当点P 在线段AB 上时,│PA │+│PB │=│AB │=3,当点P 不在线段AB 上时,│PA │+│PB │>3,因此不论点P 在何处,总有│PA │+│PB │≥3,而当a <3时,│PA │+│PB │>a 恒成立,即对任意实数x ,不等式│x+1│+│x-2│>a 恒成立.∴实数a 的取值范围为(-∞,3).
点评:求“恒成立问题”中参数范围,利用函数最值方便自然,利用二次不等式恒为正(负)的充要条件要分情况讨论,利用图象法直观形象.
从图象上直观得到0<m <1后,还需考查区间(0,)右端点x=处的函数值的大小,这一点往往被忽视.
题型五:利用一元二次函数的判别式 类型1:设)0()(2
≠++=a c bx ax x f
(1)R x x f ∈>在0)(上恒成立00>?且a ; (2)R x x f ∈<在0)(上恒成立00
类型2:设)0()(2≠++=a c bx ax x f
(1)当0>a 时,],[0)(βα∈>x x f 在上恒成立222()00()0b b b
a a a
f f ααββ
αβ???-<-->??????????>?<>???≤≤或或, ],[0)(βα∈ ??<0)(0 )(βαf f (2)当0x x f 在上恒成立?? ?>>?0 )(0 )(βαf f ],[0)(βα∈ 222()00()0 b b b a a a f f ααββαβ???- <-->??????????>?<??≤≤或或 例8.已知函数2 ()3f x x ax a =++-,在R 上()0f x ≥恒成立,求a 的取值范围。 分析:()y f x =的函数图像都在X 轴上方,即与X 轴没有交点。 略解:()2 2 434120a a a a ?=--=+-≤62a ∴-≤≤ 变式1:若[]2,2x ∈-时,()0f x ≥恒成立,求a 的取值范围。 解:2 2()324a a f x x a ? ?=+--+ ?? ?,令()f x 在[]2,2-上的最小值为()g a 。 ⑴当22a -<-,即4a >时,()(2)730g a f a =-=-≥ 7 3a ∴≤ 又4a > a ∴不存在。 ⑵当222 a -≤-≤,即44a -≤≤时,2()()3024a a g a f a ==- -+≥ 62a ∴-≤≤ 又44a -≤≤ 42a ∴-≤≤ ⑶当22 a ->,即4a <-时,()(2)70g a f a ==+≥ 7a ∴≥- 又4a <- 74a ∴-≤<- 总上所述,72a -≤≤。 变式2:若[]2,2x ∈-时,()2f x ≥恒成立,求a 的取值范围。 解法一:分析:题目中要证明a x f ≥)(在[]2,2-上恒成立,若把a 移到等号的左边,则把原题转化成左边二次函数在区间[]2,2-时恒大于等于0的问题。 略解:2 ()320f x x ax a =++--≥,即2 ()10f x x ax a =++-≥在[]2,2-上成立。 ⑴()2 410a a ?=--≤ 222222 a ∴--≤≤-+ ⑵24(1)0(2)0(2)0 2222 a a f f a a ??=-->? ≥?? ?-≥? ?-≥-≤-??或2225--≤≤-∴a 综上所述,2225-≤≤-a 。 解法二:(利用根的分布情况知识) ⑴当22a - <-,即4a >时,()(2)732g a f a =-=-≥ ()5 4,3 a ∴≤?+∞ a ∴不存在。 ⑵当222 a -≤-≤,即44a -≤≤时,2()()3224a a g a f a ==- -+≥,222222-≤≤-a -2224-≤≤-∴a ⑶当22 a ->,即4a <-时,()(2)72g a f a ==+≥,5a ∴≥- 54a ∴-≤<- 综上所述2225-≤≤-a 。 此题属于含参数二次函数,求最值时,轴变区间定的情形,还有与其相反的,轴动区间定。 综上,恒成立问题多与参数的取值范围问题联系在一起,是近几年高考的一个热门题 型,它以“参数处理”为主要特征,以“导数”为主要解题工具.往往与函数的单调性、极值、最值等有关,所以解题时要善于将这类问题与函数最值联系起来,通过函数最值求解相关问题.不等式恒成立问题,因题目涉及知识面广,解题方法灵活多样,技巧性强,难度大等特点,要求有较强的思维灵活性和创造性、较高的解题能力,上述方法是比较常用的,但因为问题形式千变万化,考题亦常考常新,因此在备考的各个阶段都应渗透恒成立问题的教与学,在平时的训练中不断领悟和总结,教师也要介入心理辅导和思想方法指导,从而促使学生在解决此类问题的能力上得到改善和提高. 友情提示:本资料代表个人观点,如有帮助请下载,谢谢您的浏览!