高中数学不等式的恒成立问题

高中数学不等式的恒成立问题

高三数学备课组 肖英文 2011-11-23

不等式恒成立的问题既含参数又含变量，往往与函数、数列、方程、几何有机结合起来，具有形式灵活、思维性强、不同知识交汇等特点. 考题通常有两种设计方式：一是证明某个不等式恒成立，二是已知某个不等式恒成立，求其中的参数的取值范围.解决这类问题的方法关键是转化化归，通过等价转化可以把问题顺利解决，下面我就结合自己教学谈谈不等式的恒成立问题的处理方法。

题型一：构造函数法（利用一次函数的性质）

在解决不等式恒成立问题时，一种最重要的思想方法就是构造适当的函数，即构造函数法，然后利用相关函数的图象和性质解决问题，同时注意在一个含多个变量的数学问题中，需要确定合适的变量和参数，从而揭示函数关系，使问题更加面目更加清晰明了，一般来说，已知存在范围的量视为变量，而待求范围的量视为参数.例如; 类型1：对于一次函数],[,)(n m x b kx x f ∈+=有：

()0f x >⇔恒成立(ⅰ)⎩⎨⎧>>0)(0m f a ，或(ⅱ)⎩⎨⎧><0)(0n f a ；亦可合并定成⎩⎨⎧>>0)(0

)(n f m f ；

()0

()0()0f m f x f n <⎧<⇔⎨

<⎩

恒成立 例1.对于满足|a|≤2的所有实数a,求使不等式x 2

+ax+1>2a+x 恒成立的x 的取值范围。

分析：在不等式中出现了两个字母：x 及a,关键在于该把哪个字母看成是一个变量，另一个作为常数。显然可将a 视作自变量，则上述问题即可转化为在[-2，2]内关于a 的一次函数大于0恒成立的问题。

解：原不等式转化为(x-1)a+x 2

-2x+1>0,

设f(a)= (x-1)a+x 2

-2x+1,则f(a)在[-2,2]上恒大于0，故有：

⎩⎨

⎧>>-)2(0)2(f f 即⎪⎩⎪⎨⎧>->+-0

10

3422

x x x 解得：⎩⎨⎧-<><>1113x x x x 或或 ∴x<-1或x>3.

引申：在不等式中出现3个字母：m 、x 、a

已知函数()f x 是定义在[]1,1-上的奇函数，且(1)1f =，若[],1,1a b ∈-，0a b +≠，有

()()0f a f b a b

+>+，

（1）证明()f x 在[]1,1-上的单调性；（2）若2

()21f x m am ≤-+对所有[]1,1a ∈-恒成立，求m 的取值范围。

分析：第一问是利用定义来证明函数的单调性，第二问中出现了3个字母，最终求的是m 的范围，所以根据上式将m 当作变量，a 作为常量，而x 则根据函数的单调性求出()f x 的最大值

即可。

（1） 简证：任取[]12,1,1x x ∈-且12x x <，则[]21,1x -∈-

1212

()()

0f x f x x x +>- ()()1212()()0x x f x f x ∴-+-> 又

()f x 是奇函数

()()1212()()0x x f x f x ∴--> ()f x ∴在[]1,1-上单调递增。

（2） 解：

2()21f x m am ≤-+对所有[]1,1x ∈-，[]1,1a ∈-恒成立，即

2max 21m am f -+≥，

max (1)1f f == 22211

20m am m am ∴-+≥∴-≥

即2

()20g a am m =-+≥在[]1,1-上恒成立。(1)120(1)120g a g a -=+≥⎧∴⎨=-≥⎩ 1212

a a ⎧≤-⎪⎪∴⎨⎪≤⎪⎩

1122

a ∴-≤≤。

例2.已知不等式

对任意的都成立，求的取值范围.

解：由移项得:

.不等式左侧与二次函数非常相

似，于是我们可以设

则不等式

对满足

的一切实数

恒成立

对

恒成立.当

时，

即

解得故的取值范围是.

评注：此类问题常因思维定势，学生易把它看成关于的不等式讨论，从而因计算繁琐出错或者中途夭折；若转换一下思路，把待求的x 为参数，以为变量，令

则问题转化为求一次函数（或常数函数）的值在内恒

为负的问题，再来求解参数应满足的条件这样问题就轻而易举的得到解决了。 题型二：分离参数法

类型1：αα>⇔∈>min )()(x f I x x f 恒成立对一切()f x x I α<∈对一切恒成立.

max ()f x α⇔<

类型2：)()(x g x f >对于任意的],[b a x ∈恒成立⇔min max ()()f x g x >，或)(x f 在

],[b a x ∈上的图像始终在)(x g 的上方.（通常移项，使0)()()(min >-=x g x f x h 即可； 若)(x h 的最值无法求出，则考虑数形结合，只需在],[b a x ∈上)(x f 的图像始终在)(x g 的

上方即可.）

在不等式中求含参数范围过程中，当不等式中的参数（或关于参数的代数式）能够与其它变量完全分离出来并，且分离后不等式其中一边的函数（或代数式）的最值或范围可求时，常用分离参数法.

例3.设奇函数]1,1[)(-在x f 上是增函数，且(1)1,f -=-若函数12)(2

+-≤at t x f 对所有的

]1,1[-∈x 都成立，当]1,1[-∈a 时，则t 的取值范围是( D )

A ．22≤≤-t

B ．2121≤≤-t

C ．022=-≤≥t t t 或或

D ．02

1

21=-≤≥t t t 或或

例 4.已知函数（为常数）是实数集

上的奇函数，函数

在区间

上是减函数.

（Ⅰ）若对（Ⅰ）中的任意实数都有

在

上恒成立，求实数的取值范

围.

解析：由题意知，函数

在区间上是减函数. 在上恒成立

注：此类问题可把要求的参变量分离出来，单独放在不等式的一侧，将另一侧看成新函数，于是将问题转化成新函数的最值问题：若对于取值范围内的任一个数都有恒成

立，则

；若对于取值范围内的任一个数都有

恒成立，则

.

题型三：数形结合法

如果不等式中涉及的函数、代数式对应的图象、图形较易画出时，可通过图象、图形的位置关系建立不等式求得参数范围.

例5.已知函数

若不等式

恒成立，则实数

的取值

范围是 .

解：在同一个平面直角坐标系中分别作出函数

及的图象，由于不等式恒成立，所以函数

的图象应总在函数的图象下方，因此，当

时，

所以

故

的取值范围是

注：解决不等式问题经常要结合函数的图象，根据不等式中量的特点，选择适当的两个函数，利用函数图像的上、下位置关系来确定参数的范围.利用数形结合解决不等式问题关键是构

造函数，准确做出函数的图象.如：不等式

，在

时恒成立，求的取

值范围.此不等式为超越不等式，求解时一般使用数形结合法，设然后在同一坐标系下准确做出这两个函数的图象，借助图象观察便可求解. 题型四：最值法

当不等式一边的函数（或代数式）的最值较易求出时，可直接求出这个最值（最值可能含有参数），然后建立关于参数的不等式求解. 例6. 已知函数

（Ⅰ）当

时，求

的单调区间；

（Ⅱ）若时，不等式恒成立，求实数的取值范围. 解（Ⅱ）当

时，不等式

即

恒成立.由于

，

，亦即

，所以

.令，则

，由

得

.且当

时，

；当

时，