高中数学不等式的恒成立问题
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高中数学不等式的恒成立问题
高三数学备课组 肖英文 2011-11-23
不等式恒成立的问题既含参数又含变量，往往与函数、数列、方程、几何有机结合起来，具有形式灵活、思维性强、不同知识交汇等特点. 考题通常有两种设计方式：一是证明某个不等式恒成立，二是已知某个不等式恒成立，求其中的参数的取值范围.解决这类问题的方法关键是转化化归，通过等价转化可以把问题顺利解决，下面我就结合自己教学谈谈不等式的恒成立问题的处理方法。
题型一：构造函数法（利用一次函数的性质）
在解决不等式恒成立问题时，一种最重要的思想方法就是构造适当的函数，即构造函数法，然后利用相关函数的图象和性质解决问题，同时注意在一个含多个变量的数学问题中，需要确定合适的变量和参数，从而揭示函数关系，使问题更加面目更加清晰明了，一般来说，已知存在范围的量视为变量，而待求范围的量视为参数.例如; 类型1：对于一次函数],[,)(n m x b kx x f ∈+=有：
()0f x >?恒成立(ⅰ)???>>0)(0m f a ，或(ⅱ)???><0)(0n f a ；亦可合并定成???>>0)(0
)(n f m f ；
()0
()0()0f m f x f n
恒成立 例1.对于满足|a|≤2的所有实数a,求使不等式x 2
+ax+1>2a+x 恒成立的x 的取值范围。
分析：在不等式中出现了两个字母：x 及a,关键在于该把哪个字母看成是一个变量，另一个作为常数。显然可将a 视作自变量，则上述问题即可转化为在[-2，2]内关于a 的一次函数大于0恒成立的问题。
解：原不等式转化为(x-1)a+x 2
-2x+1>0,
设f(a)= (x-1)a+x 2
-2x+1,则f(a)在[-2,2]上恒大于0，故有：
??
?>>-)2(0)2(f f 即?????>->+-0
10
3422
x x x 解得：???-<><>1113x x x x 或或 ∴x<-1或x>3.
引申：在不等式中出现3个字母：m 、x 、a
已知函数()f x 是定义在[]1,1-上的奇函数，且(1)1f =，若[],1,1a b ∈-，0a b +≠，有
()()0f a f b a b
+>+，
（1）证明()f x 在[]1,1-上的单调性；（2）若2
()21f x m am ≤-+对所有[]1,1a ∈-恒成立，求m 的取值范围。
分析：第一问是利用定义来证明函数的单调性，第二问中出现了3个字母，最终求的是m 的范围，所以根据上式将m 当作变量，a 作为常量，而x 则根据函数的单调性求出()f x 的最大值
即可。
（1） 简证：任取[]12,1,1x x ∈-且12x x <，则[]21,1x -∈-
1212
()()
0f x f x x x +>- ()()1212()()0x x f x f x ∴-+-> 又
()f x 是奇函数
()()1212()()0x x f x f x ∴--> ()f x ∴在[]1,1-上单调递增。
（2） 解：
2()21f x m am ≤-+对所有[]1,1x ∈-，[]1,1a ∈-恒成立，即
2max 21m am f -+≥，
max (1)1f f == 22211
20m am m am ∴-+≥∴-≥
即2
()20g a am m =-+≥在[]1,1-上恒成立。(1)120(1)120g a g a -=+≥?∴?=-≥? 1212
a a ?≤-??∴??≤??
1122
a ∴-≤≤。
例2.已知不等式
对任意的都成立，求的取值范围.
解：由移项得:
.不等式左侧与二次函数非常相
似，于是我们可以设
则不等式
对满足
的一切实数
恒成立
对
恒成立.当
时，
即
解得故的取值范围是.
评注：此类问题常因思维定势，学生易把它看成关于的不等式讨论，从而因计算繁琐出错或者中途夭折；若转换一下思路，把待求的x 为参数，以为变量，令
则问题转化为求一次函数（或常数函数）的值在内恒
为负的问题，再来求解参数应满足的条件这样问题就轻而易举的得到解决了。 题型二：分离参数法
类型1：αα>?∈>min )()(x f I x x f 恒成立对一切()f x x I α<∈对一切恒成立.
max ()f x α?<
类型2：)()(x g x f >对于任意的],[b a x ∈恒成立?min max ()()f x g x >，或)(x f 在
],[b a x ∈上的图像始终在)(x g 的上方.（通常移项，使0)()()(min >-=x g x f x h 即可； 若)(x h 的最值无法求出，则考虑数形结合，只需在],[b a x ∈上)(x f 的图像始终在)(x g 的
上方即可.）
在不等式中求含参数范围过程中，当不等式中的参数（或关于参数的代数式）能够与其它变量完全分离出来并，且分离后不等式其中一边的函数（或代数式）的最值或范围可求时，常用分离参数法.
例3.设奇函数]1,1[)(-在x f 上是增函数，且(1)1,f -=-若函数12)(2
+-≤at t x f 对所有的
]1,1[-∈x 都成立，当]1,1[-∈a 时，则t 的取值范围是( D )
A ．22≤≤-t
B ．2121≤≤-t
C ．022=-≤≥t t t 或或
D ．02
1
21=-≤≥t t t 或或
例 4.已知函数（为常数）是实数集
上的奇函数，函数
在区间
上是减函数.
（Ⅰ）若对（Ⅰ）中的任意实数都有
在
上恒成立，求实数的取值范
围.
解析：由题意知，函数
在区间上是减函数. 在上恒成立
注：此类问题可把要求的参变量分离出来，单独放在不等式的一侧，将另一侧看成新函数，于是将问题转化成新函数的最值问题：若对于取值范围内的任一个数都有恒成
立，则
；若对于取值范围内的任一个数都有
恒成立，则
.
题型三：数形结合法
如果不等式中涉及的函数、代数式对应的图象、图形较易画出时，可通过图象、图形的位置关系建立不等式求得参数范围.
例5.已知函数
若不等式
恒成立，则实数
的取值
范围是 .
解：在同一个平面直角坐标系中分别作出函数
及的图象，由于不等式恒成立，所以函数
的图象应总在函数的图象下方，因此，当
时，
所以
故
的取值范围是
注：解决不等式问题经常要结合函数的图象，根据不等式中量的特点，选择适当的两个函数，利用函数图像的上、下位置关系来确定参数的范围.利用数形结合解决不等式问题关键是构
造函数，准确做出函数的图象.如：不等式
，在
时恒成立，求的取
值范围.此不等式为超越不等式，求解时一般使用数形结合法，设然后在同一坐标系下准确做出这两个函数的图象，借助图象观察便可求解. 题型四：最值法
当不等式一边的函数（或代数式）的最值较易求出时，可直接求出这个最值（最值可能含有参数），然后建立关于参数的不等式求解. 例6. 已知函数
（Ⅰ）当
时，求
的单调区间；
（Ⅱ）若时，不等式恒成立，求实数的取值范围. 解（Ⅱ）当
时，不等式
即
恒成立.由于
，
，亦即
，所以
.令，则
，由
得
.且当
时，
；当
时，
，即在上单调递增，在上单调递减，所以在处取得
极大值
，也就是函数
在定义域上的最大值.因此要使
恒成立，需
要，所以的取值范围为.
例7.对于任意实数x ，不等式│x+1│+│x-2│＞a 恒成立，求实数a 的取值范围分析①：把左边看作x 的函数关系，就可利用函数最值求解.
解法1：设f （x ）=│x+1│+│x-2│
=-2x+1,（x ≤1）3，（-1＜x ≤2）2x-1,（x ＞2） ∴f （x ）min =3. ∴a ＜3.
分析②：利用绝对值不等式│a │-│b │＜│a ±b │＜│a │+│b │求解f （x ）=│x+1│+│x-2│的最小值.
解法2：设f （x ）=│x+1│+│x-2│， ∵│x+1│+│x-2│≥│（x+1）-（x-2）│=3， ∴f （x ）min =3. ∴a ＜3.
分析③：利用绝对值的几何意义求解.
解法3：设x 、-1、2在数轴上的对应点分别是P 、A 、B ，则│x+1│+│x-2│=│PA │+│PB │，当点P 在线段AB 上时，│PA │+│PB │=│AB │=3，当点P 不在线段AB 上时，│PA │+│PB │＞3，因此不论点P 在何处，总有│PA │+│PB │≥3，而当a ＜3时，│PA │+│PB │＞a 恒成立，即对任意实数x ，不等式│x+1│+│x-2│＞a 恒成立.∴实数a 的取值范围为（-∞，3）.
点评：求“恒成立问题”中参数范围，利用函数最值方便自然，利用二次不等式恒为正（负）的充要条件要分情况讨论，利用图象法直观形象.
从图象上直观得到0＜m ＜1后，还需考查区间（0，）右端点x=处的函数值的大小，这一点往往被忽视.
题型五：利用一元二次函数的判别式 类型1：设)0()(2
≠++=a c bx ax x f
（1）R x x f ∈>在0)(上恒成立00?且a ； （2）R x x f ∈<在0)(上恒成立00
类型2：设)0()(2≠++=a c bx ax x f
（1）当0>a 时，],[0)(βα∈>x x f 在上恒成立222()00()0b b b
a a a
f f ααββ
αβ???-<-->??????????>?<>???≤≤或或， ],[0)(βα∈ ??< )(βαf f （2）当0x x f 在上恒成立?? ?>>?0 )(0 )(βαf f ],[0)(βα∈ 222()00()0 b b b a a a f f ααββαβ???- <-->??????????>?< ()3f x x ax a =++-，在R 上()0f x ≥恒成立，求a 的取值范围。 分析：()y f x =的函数图像都在X 轴上方，即与X 轴没有交点。 略解：()2 2 434120a a a a ?=--=+-≤62a ∴-≤≤ 变式1：若[]2,2x ∈-时，()0f x ≥恒成立，求a 的取值范围。 解：2 2()324a a f x x a ? ?=+--+ ?? ?，令()f x 在[]2,2-上的最小值为()g a 。 ⑴当22a -<-，即4a >时，()(2)730g a f a =-=-≥ 7 3a ∴≤ 又4a > a ∴不存在。 ⑵当222 a -≤-≤，即44a -≤≤时，2()()3024a a g a f a ==- -+≥ 62a ∴-≤≤ 又44a -≤≤ 42a ∴-≤≤ ⑶当22 a ->，即4a <-时，()(2)70g a f a ==+≥ 7a ∴≥- 又4a <- 74a ∴-≤<- 总上所述，72a -≤≤。 变式2：若[]2,2x ∈-时，()2f x ≥恒成立，求a 的取值范围。 解法一：分析：题目中要证明a x f ≥)(在[]2,2-上恒成立，若把a 移到等号的左边，则把原题转化成左边二次函数在区间[]2,2-时恒大于等于0的问题。 略解：2 ()320f x x ax a =++--≥，即2 ()10f x x ax a =++-≥在[]2,2-上成立。 ⑴()2 410a a ?=--≤ 222222 a ∴--≤≤-+ ⑵24(1)0(2)0(2)0 2222 a a f f a a ??=-->? ≥?? ?-≥? ?-≥-≤-??或2225--≤≤-∴a 综上所述，2225-≤≤-a 。 解法二：（利用根的分布情况知识） ⑴当22a - <-，即4a >时，()(2)732g a f a =-=-≥ ()5 4,3 a ∴≤?+∞ a ∴不存在。 ⑵当222 a -≤-≤，即44a -≤≤时，2()()3224a a g a f a ==- -+≥，222222-≤≤-a －2224-≤≤-∴a ⑶当22 a ->，即4a <-时，()(2)72g a f a ==+≥，5a ∴≥- 54a ∴-≤<- 综上所述2225-≤≤-a 。 此题属于含参数二次函数，求最值时，轴变区间定的情形，还有与其相反的，轴动区间定。 综上，恒成立问题多与参数的取值范围问题联系在一起，是近几年高考的一个热门题 型，它以“参数处理”为主要特征，以“导数”为主要解题工具.往往与函数的单调性、极值、最值等有关，所以解题时要善于将这类问题与函数最值联系起来，通过函数最值求解相关问题.不等式恒成立问题，因题目涉及知识面广，解题方法灵活多样，技巧性强，难度大等特点，要求有较强的思维灵活性和创造性、较高的解题能力，上述方法是比较常用的，但因为问题形式千变万化，考题亦常考常新，因此在备考的各个阶段都应渗透恒成立问题的教与学，在平时的训练中不断领悟和总结，教师也要介入心理辅导和思想方法指导，从而促使学生在解决此类问题的能力上得到改善和提高. 友情提示：本资料代表个人观点，如有帮助请下载，谢谢您的浏览！