第3章动量定理

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3-1 动量冲量动量定理

(mg − N)∆t = ∆P
0 h
= 0 − m υ = −m 2 gh
重锤对地平均冲力为重锤对地平均冲力为: 对地平均冲力为
m 2gh N' = N = + mg ∆t
x
注意：这里重锤自身的重量要考虑在内。注意：这里重锤自身的重量要考虑在内。只有当前 9 一项远大于后一项时，才能不计自重。一项远大于后一项时，才能不计自重。
I y = ∫ F y dt = m v 2 y − m v1 y
t1
t2
I z = ∫ Fz dt = m v 2 z − m v1 z
t1
t2
冲量在某一方向上的分量，等于动量在该方向的分量的增量。冲量在某一方向上的分量，等于动量在该方向的分量的增量。
学习要求：要学会计算变力的冲量，学习要求要学会计算变力的冲量，掌握在要学会计算变力的冲量一个平面内应用动量定理求解力学问题的方法。一个平面内应用动量定理求解力学问题的方法。
3.1 动量冲量动量定理
二、冲量（Impulse）冲量（）
第3章动量动量定理
v t2 v I = ∫ Fdt
t1
为在 t1 ~ t2 时间内质点所受合外力的冲量。受合外力的冲量。
1）冲量是矢量，表示力对时间的累积效应；）冲量是矢量，表示力对时间的累积效应；冲量的方向一般与力的方向不同。冲量的方向一般与力的方向不同。 2）冲量是过程量，改变物体机械运动状态的原因。）冲量是过程量，改变物体机械运动状态的原因。
Fx∆t = mv2 x − mv1x x = mvcosα − (−mvcosα) = 2mvcosα Fy∆t = mv2 y − mv1 y = mvsinα − mvsinα = 0 2mvcosα F = Fx = = 14.1N 方向沿 ∆t

第3章动量.牛顿运动定律.动量守恒定律

F mg xsg g(ls xs)
B
l
mgx o
x
25
利用牛顿第二定律建立运动方程： m d v g(ls xs)
dt
要求出速度与位置的关系式，利用速度定义式消去时间
m dv v g(l x)
dx
lsv dv g(ls xs)d x
积分得到 lv2 2gl2 gl2
v 2gl gl
“大统一”（尚待实现）
19
二、力学中常见的力
▪万有引力及其分力—重力，电磁力，弹力和摩擦力 ▪按是否受其它作用的影响分 ▪主动力:引力、重力、静电力、洛仑兹力 ▪被动力：弹力、摩擦力 ▪按是否需要接触分:接触力和非接触力： ▪按作用效果分:压力、拉力、向心力、合力、分力：
20
§3.4 牛顿运动定律的应用
I Ixi Iy j Izk
Iy
t2 t1
Fy dt
mv2 y
mv1y
I z
t2 t1
Fz dt
mv2 z
mv1z
35
二质点系的动量定理
t2
t1
t2
t1
( F1
( F2
F12 )dt F21 )dt
m1v1 m2v2
m1v10 m2 v20
质点系
F1
F12
m1
F2
mv2 dv
/
l
dt
v
θ
vdv gl sin θdθ
v0
0
v v02 2lg(cos 1)
FT
m( v02 l
2g
3g
cos
θ)
o
FT
en
etv
v0 mg
dv v dv

大学物理第3章动量定理

(m2
m1)v2o m1 m2
2m1v1o
2v1o
vr1o
m2 m1
当m1>>m2时，且第二个球静止，则碰后，第一个球速度不变，而第二球以2倍于第一个球的初速度运动。
第一篇力学
2.完全非弹性碰撞 totally non-elastic collision
特点：机械能不守恒，动量守恒。碰撞
大
数
理学
例如：两队运动员拔河，有的人说甲队力气大，乙队
院力气小，所以甲队能获胜，这种说法是否正确?
赵承均
甲队
乙队
第一篇力学
重
大
数
理
学院
r
F1
r F2
赵承
均分析：
拔河时，甲队拉乙队的力，与乙队拉甲队的力是一对作用力与反作用力，为系统的内力，不会改变系统总的动量。只有运动员脚下的摩擦力才是系统外力，因此哪个队脚下的摩擦力大，哪个队能获胜。所以拔河应选质量大的运动员，以增加系统外力。
重
大数
质点质量与速度的乘积，可以表征质点瞬时运动的量，称为动量。
理
rr
学院
p mv
单位：千克·米/秒, kg·m/s
赵承均
由Newton第二定律，得：F
ma
m
dv
d (mv)
dp
dt dt
即：
F dt
这就是动量定理。
在经典力学范围内，m=constant，动量定理与F=ma等价，但在高速运动情况下，只有动量定理成立。
杆跃过自由下落，运动员与地面的作用时间分别
为 1 秒和 0.1 秒，求地面对运动员的平均冲击力。

第3节动量动量守恒定律

第三章动量、动量守恒定律
上一章讨论的是质点运动学，研究的是如何描述质点的运动。本章开始讨论质点动力学，主要研究物体间的相互作用及引起物体运动状态变化的规律。
质点动力学的内容一般总是以牛顿运动三定律为核心来展开的，把力作为动力学中最基本的概念，从而导出动量、能量和角动量的概念以及三大守恒定律。
第三章动量、动量守恒定律
① 加速平动的非惯性系
a
F
若
车
厢
以a相
对
光滑
地
面
作
加
速
平动,
a 外力F作用在车内质量为m的物体上, 使物体相对车厢产生a的加速度, 则物体
相对地面的加速度为
a
a
a
以地面为参照系(惯性系) , 牛顿定理成立,
F
ma
m(a
a)
F
(ma )
ma
若以车厢为参照系(非惯性系) ,
(4) 弱相互作用〔例〕中子β衰变 n → p + e - +ν
短程力＜10 -17 m
弱电统一理论 Weinberg－Salam－Galshow
( Nobel Prize 1979 )
S.Weinberg A.Salam S.L.Galshow
第三章动量、动量守恒定律
自然界中存在四种基本相互作用力。
10-9N
104N
力程传递媒质
0~∞
引力子（假设）
<10-17m
中间玻色子
0 ~ ∞ 光子
<10-15m 胶子
第三章动量、动量守恒定律
【例题】在倾角为30°的光滑斜面上，放一质量m1=8 kg的物体。用一跨过滑轮的轻绳与质量m2=10 kg 的物体相连，如图所示。求两物体运动时的加速度及绳上的张力。

动量定理PPt

动量定理PPt动量定理是描述动量守恒以及动量变化的关系的一个基本原理。

其表述为“一个物体所受外力的冲量等于该物体动量的变化”，即FΔt=Δp，其中F为物体受到的外力，Δt为受力的时间，Δp为物体动量的变化量。

本PPT将向大家介绍动量的概念以及动量定理的原理。

一、什么是动量？动量是物体运动的一种量度，用符号p表示。

动量是定义为物体的质量乘以物体的速度，即p=mv。

其中，m为物体的质量，v为物体运动的速度。

二、动量和速度的关系动量和速度之间的关系非常紧密。

速度越大，物体的动量也越大。

例如，一辆汽车在高速公路上行驶，它的速度越快，车辆的动量也就越大。

如果在同一速度下，汽车的质量越大，车辆的动量也越大。

三、动量守恒定律动量守恒定律是描述物体运动中动量守恒的一个基本原理。

因为动量是一个矢量量，所以当多个物体相互作用时，它们各自的动量可以相互抵消，也可以直接相互叠加。

而动量守恒定律说明，在没有外力作用的情况下，多个物体的总动量始终保持不变。

换句话说，一个物体的动量增加，必然使另一个物体的动量减小，总动量保持不变。

换句话说，动量守恒定律可以表示为Δp1+Δp2+Δp3+ 0四、动量定理的原理动量定理的应用非常广泛。

例如，当一个物体被施加了一个力时，可以通过动量定理来计算物体的动量变化。

同样地，在弹道学中，动量定理也被用来计算导弹的运动状态。

此外，动量定理还被应用到运动惯量方面，可以帮助我们计算物体在惯性方面的运动状态。

五、结论综上所述，动量是物体运动的一个量度，动量和速度之间有着密切的关系。

动量守恒定律和动量定理揭示了物体运动中动量守恒以及动量变化的关系，从而帮助我们更好地认识物体运动的基本规律。

第三章动量定理和动量守恒定律.

量守恒：
p

pi

mvi

恒矢量
i
i
（5）
注意：动量守恒定律是自然界最基本的定律之一。适用于：经典力学，相对论力学，场，宏观物体和微观粒子组成的物
体系。
应用：动量守恒定律可以预测新粒子的存在。原子核的β衰变可写为AB+e，但实验显示B核和e电子的径迹不在一条直线上，违背动量守恒定律。为此泡利（W.Pauli）于1930年提出中微子假说来维护动量守恒定律。1956年终于在实验中发现了中微子。在电磁学中研究两个运动带电粒子，人们发现两者动量的矢量和似乎不守恒，后来考虑了电磁场的动量，总动量又守恒了。
1
§3.1 牛顿第一定律和惯性参考系
一、牛顿第一定律
孤立质点静止或作等速直线运动（每个物体继续保持其静止或作等速直线运动的状态，除非有力加于其上迫使它改变这种状态）。
使用范围：质点和惯性参考系。
对牛顿第一定律的理解：
（1）定性的说明了运动和力的关系：物体的运动并不需要力去维持，只有当物体的运动状态（速度）发生变化即产生加速度时，才需要力的作用。
d
F 21 k dt
m1 v1
d
, F12 k dt
m2 v2
式中k为常数。在SI中k=1，力的量纲为LMT-2，于是
F21 d dt
m1 v1
, F12 d dt
m2 v2
或一般的可写作 F d mv dt
2) 力的独立作用原理
若在一质点上同时作用几个力，则这些力各自产生自己
是没有任何物理意义的。
3
§3.2 惯性质量 • 动量和动量守恒定律

第三章动量与冲量

I :N⋅s
P : kg ⋅ m/s具有相同量纲
5、动量定理的不变性：在不同的惯性系中动量定、动量定理的不变性：理的形式不变。理的形式不变。 F不变，mv变，不变，变不变但是，不变！但是，mv − mv 0 = m (v '+ u) − m (v '0 + u) = mv '−mv '0 不变！
0
2
∴ v = 18 / m = 18 /1 = 18m / s
例4：动量定理解释了“逆风行舟” ：动量定理解释了“逆风行舟”
风
F进 F风对帆 F横帆 F阻 F横龙骨 v1 v2
风 v1 Δv v2
F帆对风 Δv
系统外界 mi
内力外力
三、质点系的动量定理
d p1 F +f = 1 dt d p2 F2 + f ′ = dt
二、平均冲力
冲击、爆炸、冲击、爆炸、碰撞等问题中作用力大而时间短变力 F 的冲量用恒力 F 的持续作用来代替
I =
F
∫t
t2
1
F d t = F (t 2 − t1 )
F = I
∆t
Ix Fx = t 2 − t1 Iy Fy = t 2 − t1
F 0 t1
I
t2
t
∆m υ 一定
F∆t 一定 ∆
质心的运动只与系统所受的合外力相关。质心的运动只与系统所受的合外力相关。
例题2 例题
已知：质量已知：质量m=50kg的人从质量 M=200kg 的人从质量船行D=？长 L= 4m 的船头行至船尾，问：船行？解：忽略水的阻力，忽略水的阻力，人、船系统水平方向动量守恒

03第三章动量定理及其守恒定律

第三章动量定理及其守恒定律一内容提要1.牛顿三定律 1.2.3.ma ⎧⎪⎪⎨=⎪⎪'⎩∑ i 第一定律：每个物体继续保持静止状态或匀速直线运动状态，直到有力作用其上迫使它改变这种状态为止第二定律：F 第三定律：F =-F 2.力学中常见的几种力11.12.23⎧⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎩⎨⎧⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎩⎩（）重力主动力（2）弹簧弹性力（3）静电场力和洛伦兹力（）绳内张力被动力（）支承面的支撑力（）摩擦力3.动量定理0000)1.)2.3p p p p i c c i i dt dp p p dpdt dt dp p p dp dt F Ma a p p M m ⎧==-⎪⎨⎪=⎩⎧==-⎪⎪⎪=⎪⎪=⎨⎪=⎪⎪=⎩∑⎰⎰∑∑⎰⎰∑∑∑∑∑ 00t i t i t i t i i 积分形式I=(F 质点：微分形式F （1）积分形式I=(F （2）微分形式F 质点系：（）质心运动定理（为质心加速度）其中F 为，为质点系动量为质点外力矢量系和质量，⎧⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎩4.非惯性系21(1.2.3.2ma a ma m rm ωυω****⎧⎧=-⎪⎪⎨+=⎪⎪⎩⎪=⎨⎪=⨯⎪⎪⎩∑i 相c k 相（）惯性力：f 其中为非惯性系加速度）直线加速参考系（2）动力学方程：F f （匀速转动参考系）离心惯性力：f 科里奥利力：f 二习题解答3.5.1质量为kg 2的质点的运动学方程为 j t t i t r ˆ)133(ˆ)16(22+++-=，（t 为时间，单位为s ；长度单位为m ）。

求证质点受恒力而运动，并求力的方向大小解：j t t it r ˆ)133(ˆ)16(22+++-=j t i t rv ˆ)36(ˆ12++==∴j i r a ˆ6ˆ12+==故j ia m F ˆ12ˆ24+== 为恒矢量其大小N F 83.26122422=+=方向：与x 轴夹角057.262412==arctg α3.5.2质量为的质点在平面内运动，质点的运动学方程为j t b i t a r ˆsin cos ωω+=ω,,b a 为正常数，证明作用于质点的合力总指向原点解：j t b i t a r ˆsin cos ωω+=j t b i t a r v ˆcos ˆsin ωωωω+-== r j t b i t a r a 222ˆsin ˆcos ωωωωω-=--== r m a m F 2ω-==∴ 即F 方向与r方向相反，指向原点3.5.3在脱粒机中往往装有振动鱼鳞筛，一方面由筛孔漏出谷粒，一方面逐出秸秆，筛面微微倾斜，是为了从较低的一边将秸秆逐出，因角度很小，可近似看作水平，筛面与谷粒发生相对运动才可能将谷粒筛出，若谷粒与筛面静摩擦系数为4.0，问筛沿水平方向的加速度至少多大才能使谷物和筛面发生相对运动解：设谷粒质量为m ，谷粒受到的静摩擦力为mg mg f 4.0==μ 其对谷粒产生的加速度为g mfa 4.0==所以筛沿水平方向的加速度至少0.4g 才能使谷物和筛面发生相对运动。

第三章动量与动量守恒

p N = 1 . 36 × 10 − 22 kg ⋅ m ⋅ s − 1 代入数据计算得
pe α = arctan = 61.9° pν
§3.3 火箭飞行原理
“神州”号飞船升空神州” 神州
一、火箭运动微分方程
(u)
dm
v + dv
M + dM
dm = −dM
质点系选：质点系选：(M+dM , dm) 由动量定理：由动量定理：
v ∑ Fi内 = 0
n i =0
t2
n n v v v ∫ F外力dt = ∑ mi vi − ∑ mi vi 0 t1
t2
v v v I ＝P－P0
i =1
i =1
r r r ∫ F外dt = P − P0
t1
I x＝Px－Px 0 I y＝Py－Py 0 I z＝Pz－Pz 0
动量定理
作用在系统的合外力的冲量等于系统动量的增量——质点系的动系统动量的增量质点系的动量定理
设有一静止的原子核,衰变辐射出一个电子和一个中微例 2 设有一静止的原子核衰变辐射出一个电子和一个中微子后成为一个新的原子核. 子后成为一个新的原子核已知电子和中微子的运动方向互相垂且电子动量为1.2×10-22 kg·m·s-1,中微子的动量为中微子的动量为6.4×10-23 直,且电子动量为且电子动量为中微子的动量为 kg·m·s-1 . 问新的原子核的动量的值和方向如何问新的原子核的动量的值和方向如何?
三、多级火箭
质量比Ni =M0/M
v1 = u ln N 1 v 2 − v1 = u ln N 2 LLLLLLLL v n − v n−1 = u ln N n

3.2第三章-动量与角动量讲义

初 F2 + F1 + F n dt = P末 − P初
若
F i = 0 则有 P末 = P初
动量守恒
i
dL =M= rF
角动量守恒
dt
若 M = 0 则有 L = r mv =常数
例：一个力学系统由两个质点组成，他们之间只有引力作用。若两质点所受外力的矢量和为零，则系统：
动量守恒？机械能守恒？角动量守恒？
质点在有心力作用下运动，角动
量守恒。
L = pr = mvr = 常量
r F
五、质点系的角动量
质元 i ：质量 mi
Fi mi ri • fi
外力Fi 内力 fi
o
L = Li = ri pi = ri mvi
rj
fj •
Fj
mj
i
i
i
由质点的角动量定理 r F = M = dL
dt
mv0 (l0 + ) = ml0v sin( − )
1 2
mv02
+
1 2
k2
=
1 2
mv2
则有
v=
v02
+
k m
2
= arcsin v0 (l0 + )
l0v
A外+A内 = Ek末- Ek初
A外+A非保内 = E末- E初
复习
若 A外+A非保内=0
则有 E末=E初机械能守恒定律
( ) 末
( ) 末
初 F2 + F1 dt = P末 − P初
或注意：
I
=
P末
−
P初
……质点系的动量定理
a、外力可改变系统的动量，也可改变某一个质点的动

第3章动量与角动量

再经过 dt 时间，火箭喷出质量 dm 气体，喷出的速率为 u。
在t+dt 时刻，火箭的速率增加为 v+dv。此时系统的总动量为：
dm(v u) (M dm)(v dv)
由于喷出气体质量 dm 等于火箭质量的减少-dm，所以上式可写为：
dm(v u) (M dm)(v dv) Mv
Fxex 0, Fyex 0, Fzex 0,
px mi vix Cx py miviy Cy pz miviz Cz
4)动量守恒定律只在惯性参考系中成立，是自然界最普遍，最基本的定律之一。
例1 一静止的原子核衰变辐射出一个电子和一
个中微子成为一个新的原子核。已知电子和中微子
1 r2
mv 2
2
位于2点对参考点O的角动量为：
L2 r2 mv
O
很容易算出，两者大小相等，方向相同，且： L1 L2 L r mv
3.8 质点系的角动量定理
定义：质点系的角动量：
L
ΣLi
对于系内任一质 dLｉ
点，角动量定理给出：dｔ
ri F i
ji
f ij
对于系内所有质点，对上式求和：
O
r
m
v
v
r
角动量
dL
L r P r (mv)
d
rP
r
d
p
d
r
p
dt dt
dt dt
由于第 2 项为 0，所以得到：dL r F
力矩：M r F
dt
角动量定理：M d L dt
质点所受的合外力矩，等于它的角动量对时间
的微分。
3.7 角动量守恒定律
角动量定理：M d L

第3章动量守恒和角动量守恒定律_464401401

如跳水时的运动员，飞行中的手榴弹。如跳水时的运动员，飞行中的手榴弹。
三.动量守恒与质心的运动动量守恒与质心的运动若合外力为零同理，若 ∑ F = 0 同理，
i ix
质点系动量守恒
r r ac = 0 → vc = const .
v 分动量守恒；分动量守恒； cx
= const .
15
质点系动量守恒和质心匀速运动等价！质点系动量守恒和质心匀速运动等价！
第3章动量守恒定律和角动量守恒定律
研究：研究：力的时间积累作用对平动——动量定理动量定理对平动
对转动——角动量定理角动量定理对转动基础：牛顿定律（牛顿力学）基础：牛顿定律（牛顿力学） 3.1 3.2 3.3 3.4 3.5 质点的动量定理动量守恒定律质心和质心运动定理质点的角动量和角动量守恒定律质点系的角动量和角动量守恒定律
F阻
F横
龙骨
r F ⋅ d t = (d m ) ∆v F θ = 2 ρv sin θ sin ∝ v ∆S 2 4
2
d m = ρ (∆S ⋅ v d t ⋅ sin θ ) r θ ∆v = 2v sin 2
2
3.2 动量守恒定律
一. 质点系的动量定理 r r r 每个质点 Fi ⋅ d t + ∑ f ij ⋅ d t = d pi j ( ≠i ) 内力外力 r N N r ∑ ( Fi ⋅ d t ) = d( ∑ pi ) 全部方程求和 + 牛Ⅲ
r u
dm
系统动量守恒：系统动量守恒：
r r MdV + udm = 0
r r r v r r {( M − d m )(V + dV ) + d m ( u + V + dV )} − MV = 0

第3章_动量守恒定律

θ = 54°44′
一颗子弹在枪筒里前进时所受的合力大小为F 例2 一颗子弹在枪筒里前进时所受的合力大小为 = 400-4×105 t/3，子弹从枪口射出时的速率为，子弹从枪口射出时的速率为300 m/s。。 × 设子弹离开枪口处合力刚好为零。：（1）设子弹离开枪口处合力刚好为零。求：（）子弹走完枪筒全长所用的时间t。（。（2）完枪筒全长所用的时间。（）子弹在枪筒中所受力的冲量I。（。（3）子弹的质量。的冲量。（）子弹的质量。解：（1） F = 400 − 4×10 t = 0 t = 3× 400 = 0.003s ） 5 3 4× 4×10
§ 4 火箭飞行原理
设： t 时刻：火箭的质量为，时刻：火箭的质量为m，速度为v；速度为； t +dt 时刻：时刻：火箭的质量为m+dm 火箭的质量为速度为v 速度为 + dv 喷出气体的质量为-dm 喷出气体的质量为相对于火箭的速度为u 相对于火箭的速度为 r
v + dv
u
mv = (m+ d m)(v + d v) - d m(v + d v −ur )
)
v Fi 内
∫
t
t0
v v v v (∑Fi + ∑F内i )dt = ∑mi vi − ∑mi vi0
其中：其中：
v ∑F内i =0
v F 12 v m2 内 F 21 内
F2
v 系统总末动量： v 系统总末动量： p = ∑mi vi
系统总初动量：系统总初动量：
v v p0 = ∑mi vi0
(m + m2 )v = m v1 + m2v2 = m (v2 + vr ) + m2v2 1 1 1

第三章动量定理和动量守恒定律

惯性质量
惯性）质量( （惯性）质量(mass) )
r r r r 实验：惯性系中测量 v 实验：在惯性系中测量 v10、 20、v1 、v2
1 r
v10
r v20
2
r v1
r v2
结果表明：只要同样是粒子1 和粒子2 相碰，结果表明：只要同样是粒子1 和粒子2 相碰，不管 r r r r v10、v20 如何改变，总有 ∆v2 = −α∆v1 。如何改变，
(2)
r r ∑ Fi = ma
13
牛顿第三定律
牛顿第三定律( 牛顿第三定律(Newton’s third Law of Motion) )
r r m1 r 前面所述的实验表明：前面所述的实验表明： ∆v2 = −α∆v1 = − ∆v1 m2 r r m2∆v2 m1∆v1 所以 lim = − lim ∆t →0 ∆t ∆t →0 ∆t
m α= 1 m2
其中， 1 分别称为粒子1 粒子2 惯性）质量。其中，m、m 分别称为粒子1、粒子2的（惯性）质量。 2 r m1 ∆v2 = r 可看出，m大的物体较难改变运动状态或可看出，大的物体较难改变运动状态或由 m2 ∆v1 小者较易。速度，小者较易速度，m小者较易。
惯性质量… 惯性质量
fx
x
常见的几种力… 常见的几种力
摩擦力—— 沿接触面摩擦力干摩擦——固体间的摩擦。固体间的摩擦。干摩擦固体间的摩擦 » 静摩擦力 0 ≤ fs ≤ µs N
» 滑动摩擦力 fk＝µk N 湿摩擦——流体间或流体与固体间的摩擦。流体间或流体与固体间的摩擦。湿摩擦流体间或流体与固体间的摩擦 » 粘性阻力 v 较小时，f∝ v 较小时， v 较大时，f ∝ v2 较大时， v 很大时，f 与v 的高次方成正比。大时，的高次方成正比。

第三章-动量守恒火箭的飞行原理

t
'
t0
' p ' F合外 dt dp p p0
p0
' I合外力 p p0
冲量
t I F合外 dt
'
t0

t
'
t0
' F合外 dt mv mv0
动量定理积分形式
可以看出动量定理是牛顿第二定律变形
则
I
n
mi
i 1
(
n
i 1

n
n
f i )d t
fi
n
n n
i 1

mi vi
i 1

mi vi0
i 1
因为内力
i 1

i 1
f ji 0
n
，故
mi vi0
质点系动量定理：作用于质点系的合外力的冲量等于质点系动量的增量。
ji

t2 t1 t2 t1 t2 t1
F x d t m v 2 x m v1 x F y d t m v 2 y m v1 y F z d t m v 2 z m v1 z
v vxi v y j vzk
F Fx i F y j Fz k
水平光滑圆盘以大小为 ω 的角速度作匀速转动。圆盘上有一质量为 m 的质点，在半径为 R 的光滑圆槽里，以相对于地面为 v 的速率作匀速圆周运动。设Rω>v ,试以圆盘为参考系写出质点 m 所受的各种力。
f2
在转动圆盘上观察小球受力：
垂直圆盘方向：重力 mg

第03章动量与角动量

px py
px0 py0
pz
pz0
(I x 0) (I y 0) (I z 0)
➢ 若系统在某一方向所受的合力为零，则该方向动量守恒 ➢ 外力<<内力时，动量近似守恒。例如碰撞和爆炸
.
二. 碰撞过程中的动量守恒现象
1、两个或两个以上的物体发生时间极为短暂的相互作用过程叫碰撞。
2、碰撞的特点：作用时间极为短暂。
普遍成立
dt
.
2.2 动量定理
F d d p tF d td p tt0F d tp p 0d p
Ip p 0
质点动量的增量等于合力对质点作用的冲量 —— 质点动量定理
I
x
I y
px py
p0x p0y
I
z
pz
p0z
➢ 动量定理反映了力对时间的积累效应
.
2.3 平均冲力
I mg(t2 t1)I反冲0
I反冲mg(t2 t1)
.
例质量为 m 的匀质链条，全长为 L，
开始时，下端与地面的距离为 h , 当链
条自由下落在地面上时
求链条下落在地面上的长度为 l ( l<L )时，地面所受链条的作用力？
解设
ml
l
m L
l
链条在此时的速度 v 2g(lh)
Lm
h
dm
根据动量定理 fdt0(vdt)v
完全弹性对心碰撞过程中的守恒量：
动量守恒机械能守恒
F内>>F外，且作用时间短，外力的冲量可以忽略不计。
.
例: 在一个半径为R的固定光滑球面的顶点处有一个质量为 M的静止木块。现有一质量为m的子弹以速度v0水平射入木块之中，然后与木块一起沿着球面下滑。试求：1、木块飞离球面时，其连线与竖直方向的夹角；2、子弹的初速度为

第3章动量守恒

v = 2 gl
在其后的一小段时间dt内，对在其后的一小段时间内的绳子， dm = λ dl = λ vdt 的绳子，忽略重力作 y 用，由动量定理可知 Fdt = 0 − dm ⋅ v − dm 2 ∴F = v = − λ v = − 2λ l g dt N = (m + dm) g + F ' ≈ 3λl g
L-l L
例题4 有一条单位长度质量为λ的匀质柔绳，开始有一条单位长度质量为λ的匀质柔绳，例题时盘绕在光滑的水平桌面上，（，（1 时盘绕在光滑的水平桌面上，（1）若以恒定的加速向上提起，时作用于绳端的力；度a向上提起，当提起的高度为时作用于绳端的力；向上提起当提起的高度为y时作用于绳端的力若以恒定的速度v向上提起当提起的高度为y时向上提起，（2）若以恒定的速度向上提起，当提起的高度为时 F 作用于绳端的力。作用于绳端的力。取竖直向上为正，解 :(1)取竖直向上为正，当绳加速上升高度y 高度y时 v = 2ay a 其后一小段时间 dt 内 ,被提起的绳被提起的绳 y 子将增加 dm = λ dy = λ vdt ，对提起的绳子，的绳子，由动量定理
0.2 × 10 = N + 0.2 × 9.8 N = 231N + 1.96 N ≈ 233 N 0 0.01× cos 30 由牛顿第三定律，小球对地面的平均冲力与F大由牛顿第三定律，小球对地面的平均冲力与大小相等，方向相反。小相等，方向相反。解法二：用分量式求解，解法二：用分量式求解，选水平竖直平面内直角坐标系0xy，写出动量定理的分量式：，写出动量定理的分量式： x方向： 0 = mv sin β − mv0 sin α 方向：方向 y方向： ( F − mg ) ⋅ ∆t = mv cos β − (− mv0 cos α ) 方向：方向两式联立，消去v得两式联立，消去得 mv0 ( F − mg ) ⋅ ∆t = sin(α + β ) sin β 因为 α + β = 900 ，故解得 mv0 F= + mg ∆t cos α

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F
I to F t t to
t
Fdt
o
to
t
t
平均冲力与同段时间内变力等效。
第一篇
力学
思考
重大数理学院
I p
例1：撑杆跳运动员从横杆跃过,落在海棉垫子上不会摔伤，如果不是海棉垫子，而是大理石板，又会如何呢？
赵承均
例2：汽车从静止开始运动，加速到20m/s。如果牵引力大，所用时间短；如果牵引力小，所用的时间就长。
[A]
第一篇
力学
例3.质量为 m 的小球，以水平速度 v 与固定的竖直壁作弹性碰撞，设指向壁内的方向为正方向，则由于此碰撞，小球的动量变化为：
重大数理学院
（A）mv （B）0 （C）2mv （D）-2mv
赵承均
m v v 2mv
[D]
第一篇
力学
重大数理学院

③由①可知，小球所受重力和拉力的冲量为0，因此，拉力的冲量必然等于小球重力冲量的负值，即：
2 mg I N mgT

第一篇
力学
z
mc mi
§3.2 质点系的动量定理一、质点系
重大数理学院
particle system
相互作用的质点构成的整体，称为质点系。由运动的可迭加性质（亦即矢量的性质），质点系的整体运动可以看做是各个质点单独运动的迭加。质心
第一篇
力学
讨论
重大数理学院
动量与冲量的区别
①.动量是状态量；冲量是过程量； ②.动量方向为物体速度方向；冲量方向为作用时间内动量变化的方向。
冲量定理的使用
①.计算冲量时，无须确定各个外力，只须知道质点始末的动量即可。 ②.F为合外力，不是某一个外力。
赵承均
③.动量定理的分量式：
④.平均冲力的计算由：
i e N dpi dp F F F dt i 1 dt m j e i F2 F 0 显然：即：质点系的合外力导致总动量的变化。 e dp F resultant external force dt
第一篇
力学
§3.3 动量守恒律
动量守恒定律
The law of conservation of momentum
重大数理学院
e F 0 p po
即：质点系的合外力为零时，系统的总动量保持不变，也就是质点动量的矢量和不变。
三、质点系的冲量定理
赵பைடு நூலகம்承均
e 显然： F dt dp e e 外力元冲量为： dI F dt e t e I F dt p po 积分得到：
impulsion
重大数理学院
在冲击过程中，力一般是时间的函数。冲击过程中任一时刻质点所受的合力称为此时刻质点上的冲力。
dI F dt
F
赵承均
平均冲力
mean impulsion
当变化较快时，力的瞬时值很难确定，用一平均力代替该过程中的变力，这一等效力称为冲击过程的平均冲力。
第一篇
力学
e F1
二、质点系的动量定理
重大数理学院
对于N个质点组成的质点系中的第i个质点，满足动量定理：
i e Fi Fi Fi
dpi dt
mi i
i F i j
F j i
赵承均
N个质点列出N个方程，取和得到：
第一篇
力学
§3.1 质点的动量定理一、动量定理
动量
重大数理学院
momentum theorem
momentum
质点质量与速度的乘积，可以表征质点瞬时运动的量，称为动量。
p mv
dp F dt
单位：千克· 米/秒, kg· m/s
赵承均
由Newton第二定律，得：
赵承均
第一篇
力学

重大数理学院
m1 m2 v1o v2o
(m1 m2 )v1o 2m2v2o v1 m1 m2 v2o
赵承均
m1
m2
(m2 m1 )v2 o 2m1v1o v2 m1 m2 v1o
相同质量两个球发生弹性碰撞，碰撞两球速度交换。
[C]
第一篇
力学
例5.图示一圆锥摆，质量为m的小球在水平面内以角速度匀速转动。在小球转动一周的过程中，求：
重大数理学院
①小球动量增量的大小。 ②小球所受重力的冲量大小。 ③小球所受绳子拉力的冲量大小。
赵承均
解： ①小球运动一周动量变化为0。
②
2 mg I mg mgT
例4.体重相同的甲乙两人，分别用双手握住跨过无摩擦滑轮的绳子两端，当他们由同一高度向上爬时，相对于绳子，甲的速度是乙的两倍，则到达顶点情况是（A）甲先到达。
（B）乙先到达。
（C）同时到达。
赵承均
（D）谁先到达不能确定。
以甲、乙、绳、滑轮为系统
0 m1v1 m2v2 v1 v2
重大数理学院
3.动量守恒定律要求合外力为零的条件比较苛刻，如果内力远大于外力，或内力的冲量远大于外力的冲量时，可以当作合外力为零的近似情况。
赵承均
4.动量定理与动量守恒定律都是矢量方程，在选取合适的坐标系后，可以写成相应各分量方程形式，则方程两端的物理含义表明了相应方向上的合外力与动量变化之间的关系。
mass center
rc
ri
y
赵承均
将质点系看做是具有质量中心的系统，质点系的运动可以由此点的运动来替代。这个特殊点叫做质点系的质量中心，简称质心。
o x
质心的位矢
rC
mi ri
N i 1
M mi
i 1
N
M
在实际问题中，选取质心作用参考点，常使得问题简化。
N ' 3 M xg l
赵承均
第一篇
力学
四、碰撞过程
重大数理学院
colliding process
碰撞过程可分为完全弹性碰撞、弹性碰撞、完全非弹性碰撞。
1.完全弹性碰撞
totaly elastic collision
①特点：机械能守恒、动量守恒。
赵承均
v1o
v2o
dv d (mv ) F ma m dt dt
即：
这就是动量定理。在经典力学范围内，m=constant，动量定理与F=ma等价，但在高速运动情况下，只有动量定理成立。
第一篇
力学
二、冲量定理
重大数理学院
impulse theorem
由动量定理，有：
Fdt d (mv ) t2 Fdt mv2 mv1
赵承均
联立求解：
第一篇
力学
2.讨论：
重大数理学院

m1 m2 , v2o 0
(m1 m2 )v1o 2m2v2o v1 m1 m2 v1o
(m2 m1 )v2 o 2m1v1o v2 m1 m2 0
v1o m1 m2
当m1<<m2，且第二个球静止时，则碰撞后，第一个球以原速反弹回来，而第二球仍保持静止。
t1
冲量
impulse
赵承均
作用在质点上的某力对时间的累计，称为该力对质点的冲量。元冲量
dI Fdt
冲量
t I Fdt
t0
冲量是矢量，其方向为合外力的方向。
冲量定理：
单位：牛顿秒, N· s
I p
即：合外力的冲量等于质点的动量增量。
第一篇
力学
冲力
t0
即：合外力的冲量等于质点系动量的增量。
第一篇
力学
讨论
重大数理学院
质点系的动量定理
1.内力不会改变系统的动量，只有外力可改变系统的动量。例如：两队运动员拔河，有的人说甲队力气大，乙队力气小，所以甲队能获胜，这种说法是否正确?
赵承均
甲队
乙队
第一篇
力学
重大数理学院
F1
I F t
I x Fx dt px m vx vox
t to
第一篇
力学
重大数理学院
例：质量为 60kg 的撑杆跳运动员，从 5 米的横杆跃过自由下落，运动员与地面的作用时间分别为 1 秒和 0.1 秒，求地面对运动员的平均冲击力。
例如：导弹的出射、鞭炮的爆炸等。
第一篇
力学
重大数理学院
例: 一质量均匀的柔软细绳铅直地悬挂着，绳的下端刚好触到水平桌面上。如果把绳的上端放开，绳将落到桌面上。试证明：在绳下落的过程中任意时刻作用于桌面上的压力等于已落到桌面上绳重量的三倍。
证：
' 由牛顿第三定律， N , N N ' 为桌面对绳子的作用力，为绳子 N
对桌面的反作用力。
o
x l
赵承均
设 t=0 时刻，绳的上端为 x 轴的原点O ，向下为正方向，绳长为 l ,总质量为 M 。
x
' N
第一篇
力学
则t时刻，已落到桌面上的绳长为x，质量为：
重大数理学院
x mM l
以之为研究对象，受力如图所示。重力为：