解一元二次方程及一元二次不等式练习题_-
(完整版)一元二次不等式的经典例题及详解
一元二次不等式专题练习例1 解不等式：（1）015223>--x x x ；（2）0)2()5)(4(32<-++x x x ．例2 解下列分式不等式： （1）22123+-≤-x x （2）12731422<+-+-x x x x例3 解不等式242+<-x x例4 解不等式04125622<-++-x x x x ． 例5 解不等式x xx x x <-+-+222322． 例6 设R m ∈，解关于x 的不等式03222<-+mx x m ．例7 解关于x 的不等式)0(122>->-a x a ax ． 例8 解不等式331042<--x x ．例9 解关于x 的不等式0)(322>++-a x a a x ． 例10 已知不等式02>++c bx ax 的解集是{})0(><<αβαx x ．求不等式02>++a bx cx 的解集．例11 若不等式1122+--<++-x x b x x x a x 的解为)1()31(∞+-∞，， ，求a 、b 的值． 例12不等式022<-+bx ax 的解集为{}21<<-x x ，求a 与b 的值． 例13解关于x 的不等式01)1(2<++-x a ax ． 例14 解不等式x x x ->--81032．例1解：（1）原不等式可化为0)3)(52(>-+x x x把方程0)3)(52(=-+x x x 的三个根3,25,0321=-==x x x 顺次标上数轴．然后从右上开始画线顺次经过三个根，其解集如下图的阴影部分．∴原不等式解集为⎭⎬⎫⎩⎨⎧><<-3025x x x 或 （2）原不等式等价于⎩⎨⎧>-<-≠⇔⎩⎨⎧>-+≠+⇔>-++2450)2)(4(050)2()5)(4(32x x x x x x x x x 或 ∴原不等式解集为{}2455>-<<--<x x x x 或或说明：用“穿根法”解不等式时应注意：①各一次项中x 的系数必为正；②对于偶次或奇次重根可转化为不含重根的不等式，也可直接用“穿根法”，但注意“奇穿偶不穿”，其法如下图．分析：当分式不等式化为)0(0)()(≤<或x g x f 时，要注意它的等价变形 ①0)()(0)()(<⋅⇔<x g x f x g x f ②0)()(0)(0)()(0)(0)()(0)()(<⋅=⇔≤⎩⎨⎧≠≤⋅⇔≤x g x f x f x g x f x g x g x f x g x f 或或例2（1）解：原不等式等价于⎩⎨⎧≠-+≥+-+-⇔≥+-+-⇔≤+-++-⇔≤+---+⇔≤+--⇔+≤-0)2)(2(0)2)(2)(1)(6(0)2)(2()1)(6(0)2)(2(650)2)(2()2()2(302232232x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x xx x x x用“穿根法”∴原不等式解集为[)[)+∞⋃-⋃--∞,62,1)2,(。
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一元二次不等式专题练习例1 解不等式：（1）015223>--x x x ；（2）0)2()5)(4(32<-++x x x ．例2 解下列分式不等式： （1）22123+-≤-x x （2）12731422<+-+-x x x x例3 解不等式242+<-x x例4 解不等式04125622<-++-x x x x ． 例5 解不等式x xx x x <-+-+222322． 例6 设R m ∈，解关于x 的不等式03222<-+mx x m ．例7 解关于x 的不等式)0(122>->-a x a ax ． 例8 解不等式331042<--x x ．例9 解关于x 的不等式0)(322>++-a x a a x ． 例10 已知不等式02>++c bx ax 的解集是{})0(><<αβαx x ．求不等式02>++a bx cx 的解集．例11 若不等式1122+--<++-x x b x x x a x 的解为)1()31(∞+-∞，， ，求a 、b 的值． 例12不等式022<-+bx ax 的解集为{}21<<-x x ，求a 与b 的值． 例13解关于x 的不等式01)1(2<++-x a ax ． 例14 解不等式x x x ->--81032．例1解：（1）原不等式可化为0)3)(52(>-+x x x把方程0)3)(52(=-+x x x 的三个根3,25,0321=-==x x x 顺次标上数轴．然后从右上开始画线顺次经过三个根，其解集如下图的阴影部分．∴原不等式解集为⎭⎬⎫⎩⎨⎧><<-3025x x x 或 （2）原不等式等价于⎩⎨⎧>-<-≠⇔⎩⎨⎧>-+≠+⇔>-++2450)2)(4(050)2()5)(4(32x x x x x x x x x 或 ∴原不等式解集为{}2455>-<<--<x x x x 或或说明：用“穿根法”解不等式时应注意：①各一次项中x 的系数必为正；②对于偶次或奇次重根可转化为不含重根的不等式，也可直接用“穿根法”，但注意“奇穿偶不穿”，其法如下图．分析：当分式不等式化为)0(0)()(≤<或x g x f 时，要注意它的等价变形 ①0)()(0)()(<⋅⇔<x g x f x g x f ②0)()(0)(0)()(0)(0)()(0)()(<⋅=⇔≤⎩⎨⎧≠≤⋅⇔≤x g x f x f x g x f x g x g x f x g x f 或或例2（1）解：原不等式等价于⎩⎨⎧≠-+≥+-+-⇔≥+-+-⇔≤+-++-⇔≤+---+⇔≤+--⇔+≤-0)2)(2(0)2)(2)(1)(6(0)2)(2()1)(6(0)2)(2(650)2)(2()2()2(302232232x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x xx x x x用“穿根法”∴原不等式解集为[)[)+∞⋃-⋃--∞,62,1)2,(。
解一元二次方程及一元二次不等式练习题 -
解一元二次方程及一元二次不等式练习题-一元二次方程练题1.解下列方程：1) x-1=2;2) (2x+1)^2=3;3) 6x-1=5;4) 81(x-2)^2=16.2.用直接开平方法解下列方程：1) 5(2y-1)^2=20;2) (3x+2)^2=4.3.填空：1) x^2+3x+2=0，解得x1=-1，x2=-2；2) (3x+1)^2=64，解得x1=1，x2=-7；3) (ax-c)^2=4b^2，解得x1=(c+2b)/a，x2=(c-2b)/a；4) x^2-x+22=0，解得x1=(1+sqrt(87))/2，x2=(1-sqrt(87))/2；5) (x-1)^2=4，解得x1=3，x2=-1；6) y^2-(a+b)y+ab=0，解得y1=a，y2=b.4.用适当的数（式）填空：1) x^2-3x+9/4=(x-3/2)^2；2) x^2-px+q=(x-p/2)^2-q+p^2/4.5.用配方法解方程：1) 3x^2-6x-1=0，解得x1=(3+sqrt(21))/6，x2=(3-sqrt(21))/6；2) 2x^2-5x-4=0，解得x1=2，x2=-1/2.6.关于x的方程x-9a-12ab-4b=0的根x1=3a+4b，x2=-b/3.7.用适当的方法解方程：1) (2x-3)^2=9，解得x1=2，x2=5/2；2) y^2+4y+1=0，解得y1=-2+sqrt(3)，y2=-2-sqrt(3)；3) x^2-8x=12，解得x1=2+2sqrt(7)，x2=2-2sqrt(7)；4) y^2+3y+1=0，解得y1=(-3+sqrt(5))/2，y2=(-3-sqrt(5))/2；5) (2x-3)^2=16，解得x1=5/2，x2=1/2；6) x^2-6x-1=0，解得x1=3+sqrt(10)，x2=3-sqrt(10).一元二次不等式2.一元二次不等式ax^2+bx+c>0(a>0)与相应的函数y=ax^2+bx+c(a>0)、相应的方程ax^2+bx+c=0(a>0)之间的关系：判别式Δ=b^2-4acΔ>0时，方程有两个不等实根，函数图象在x轴上的交点为两个实根Δ=0时，方程有两个相等实根，函数图象在x轴上的交点为一个实根Δ<0时，方程没有实根，函数图象在x轴上没有交点3.解一元二次不等式步骤：1.把二次项的系数变为正的。
初中数学方程与不等式之一元二次方程专项训练及答案
初中数学方程与不等式之一元二次方程专项训练及答案一、选择题1．已知1x 、2x 是一元二次方程220x x -=的两个实数根，下列结论错误．．的是( ) A ．12x x ≠B ．21120x x -=C ．122x x +=D ．122x x ⋅=【答案】D【解析】【分析】根据一元二次方程的根的判别式、一元二次方程根的定义、一元二次方程根与系数的关系逐一进行分析即可.【详解】x 1、x 2是一元二次方程x 2-2x=0的两个实数根，这里a=1，b=-2，c=0，b 2-4ac=(-2)2-4×1×0=4>0，所以方程有两个不相等的实数根，即12x x ≠，故A 选项正确，不符合题意； 21120x x -=，故B 选项正确，不符合题意；12221b x x a -+=-=-=，故C 选项正确，不符合题意； 120c x x a⋅==，故D 选项错误，符合题意， 故选D.【点睛】 本题考查了一元二次方程的根的判别式，根的意义，根与系数的关系等，熟练掌握相关知识是解题的关键.2．从4-，2-，1-，0，1，2，4，6这八个数中，随机抽一个数，记为a ．若数a 使关于x 的一元二次方程()22240x a x a --+=有实数解．且关于y 的分式方程1311y a y y+-=--有整数解，则符合条件的a 的值的和是（ ） A ．6-B ．4-C ．2-D ．2【答案】C【解析】【分析】由一元二次方程()22240x a x a --+=有实数解，确定a 的取值范围，由分式方程1311y a y y+-=--有整数解，确定a 的值即可判断． 【详解】方程()22240x a x a --+=有实数解， ∴△=4(a −4)2−4a 2⩾0，解得a ⩽2∴满足条件的a 的值为−4，−2，−1，0，1，2 方程1311y a y y+-=-- 解得y=2a +2 ∵y 有整数解∴a=−4，0，2，4，6综上所述，满足条件的a 的值为−4，0，2，符合条件的a 的值的和是−2故选：C【点睛】本题考查了一元二次方程根据方程根的情况确定方程中字母系数的取值范围；以及分式方程解的定义：求出使分式方程中令等号左右两边相等且分母不等于0的未知数的值，这个值叫分式方程的解．3．将方程()22230x x x m n --=-=化为的形式，指出,m n 分别是（ ）A ．1和3B ．-1和3C ．1和4D ．-1和4 【答案】C【解析】【分析】此题考查了配方法解一元二次方程，解题时要注意解题步骤的准确应用，把左边配成完全平方式，右边化为常数．【详解】移项得x 2-2x=3，配方得x 2-2x+1=4，即（x-1）2=4，∴m=1，n=4．故选C ．【点睛】用配方法解一元二次方程的步骤：（1）形如x 2+px+q=0型：第一步移项，把常数项移到右边；第二步配方，左右两边加上一次项系数一半的平方；第三步左边写成完全平方式；第四步，直接开方即可．（2）形如ax 2+bx+c=0型，方程两边同时除以二次项系数，即化成x 2+px+q=0，然后配方．4．若2245a a x -+-=，则不论取何值，一定有（ ）A ．5x >B ．5x <-C ．3x ≥-D ．3x ≤-【答案】D【解析】【分析】 由﹣2a 2+4a ﹣5=﹣2（a ﹣1）2﹣3可得：x ≤﹣3．【详解】∵x =﹣2a 2+4a ﹣5=﹣2（a ﹣1）2﹣3≤﹣3，∴不论a 取何值，x ≤﹣3．故选D ．【点睛】本题考查了配方法的应用，熟练运用配方法解答本题的关键．5．八年级()1班部分学生去春游时，每人都和同行的其他每一人合照一张双人照，共照了双人照片36张，则同去春游的人数是（ ）A ．9B ．8C ．7D ．6 【答案】A【解析】【分析】设同去春游的人数是x 人，由每人都和同行的其他每一人合照一张双人照且共照了双人照片36张，即可得出关于x 的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论．【详解】解：设同去春游的人数是x 人， 依题意，得：1(1)362x x -=， 解得：19x =，28x =-（舍去）．故选：A ．【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．6．方程250x x -=的解是（ ）A ．5x =-B ．5x =C ．10x =,25x =-D ．10x =,25x =【答案】D【解析】【分析】提取公因式x 进行计算.【详解】提取公因式x 得：x·(x −5)=0，所以10x =,25x =. 故本题答案选D ．【点睛】本题考查了一元二次方程的计算，掌握提取公因式这一知识点是解题的关键.7．如图，AC ⊥BC ，:3:4AC BC =，D 是AC 上一点，连接BD ，与∠ACB 的平分线交于点E ，连接AE ，若83ADE S ∆=，323BCE S ∆=，则BC ＝（ ）A ．3B ．8C ．3D ．10【答案】B【解析】【分析】 过E 作,,EF BC EG AC ⊥⊥垂足分别为,,F G 由角平分线的性质可得：,EF EG =利用83ADE S ∆=，323BCE S ∆=可以求得,AD BC进而求得,CDE BCD S S ∆∆的面积，利用面积公式列方程求解即可．【详解】解：如图，过E 作,,EF BC EG AC ⊥⊥垂足分别为,.F GCE Q 平分,ACB ∠,EF EG ∴=:3:4AC BC =Q ，设3,4,AC x BC x == Q 83ADE S ∆=，323BCE S ∆=， 18132,,2323AD EG BC EF ∴•=•= 1,,4AD AD x BC ∴=∴= 2,CD AC AD x ∴=-=162,3CDE ADE S S ∆∆∴==163216.33BCD S ∆∴=+= 12416,2x x ∴••= 2,x ∴= （负根舍去）48.BC x ∴==故选B ．【点睛】本题考查的是三角形的平分线的性质，等高的两个三角形的面积与底边之间的关系，一元二次方程的解法，掌握相关知识点是解题关键．8．一列自然数0，1，2，3，…，100．依次将该列数中的每一个数平方后除以100，得到一列新数．则下列结论正确的是（ ）A ．原数与对应新数的差不可能等于零B ．原数与对应新数的差，随着原数的增大而增大C ．当原数与对应新数的差等于21时，原数等于30D ．当原数取50时，原数与对应新数的差最大【答案】D【解析】【分析】设出原数，表示出新数，利用解方程和函数性质即可求解．【详解】解：设原数为m ，则新数为21100m ， 设新数与原数的差为y 则2211100100y m m m m =-=-+， 易得，当m ＝0时，y ＝0，则A 错误 ∵10100-< 当1m 50122100b a ﹣﹣﹣===⎛⎫⨯ ⎪⎝⎭时，y 有最大值．则B 错误，D 正确． 当y ＝21时，21100m m -+＝21 解得1m ＝30，2m ＝70，则C 错误．故答案选：D ．【点睛】本题以规律探究为背景，综合考查二次函数性质和解一元二次方程，解题时要注意将数字规律转化为数学符号．9．下列方程中，有实数根的是（ ）A 0=B 1+=C 10=D x - 【答案】D【解析】【分析】根据二次根式的性质逐项分析即可．【详解】A ．∵x 2+2≥2， 0≥≠，故不正确；B ．∵x-2≥0且2-x≥0，∴x=20=，故不正确；C 0≥110≥≠，故不正确；D ．∵x+1≥0，-x≥0，∴-1≤x ≤0．x -，∴x+1=x 2，∴x 2-x-1=0，∵∆=1+4=5＞0，∴x 1=12-，x 2=12+（舍去），x -有实数根，符合题意．故选D ．【点睛】本题考查了二次根式的性质，无理方程的解法，以及一元二次方程的解法，熟练掌握各知识点是解答本题的关键．10．在解方程（x+2）（x ﹣2）=5时，甲同学说：由于5=1×5，可令x+2=1，x ﹣2=5，得方程的根x 1=﹣1，x 2=7；乙同学说：应把方程右边化为0，得x 2﹣9=0，再分解因式，即（x+3）（x ﹣3）=0，得方程的根x 1=﹣3，x 2=3．对于甲、乙两名同学的说法，下列判断正确的是..（ ）A．甲错误，乙正确 B．甲正确，乙错误C．甲、乙都正确 D．甲、乙都错误【答案】A【解析】（x+2）（x﹣2）=5，x2-4=5，x2-9=0，（x+3）（x-3）=0，x+3=0或x-3=0，x1=-3，x2=3，所以甲错误，乙正确，故选A.11．某商品原售价225元，经过连续两次降价后售价为196元，设平均每次降价的百分率为x，则下面所列方程中正确的是（）A．2（﹣）＝B．22251196x（﹣）＝1961225xC．2x（﹣）＝1961225（﹣）＝D．22251196x【答案】A【解析】【分析】可先表示出第一次降价后的价格，那么第一次降价后的价格×（1﹣降低的百分率）=225，把相应数值代入即可求解．【详解】第一次降价后的价格为225×（1﹣x），第二次降价后的价格为225×（1﹣x）×（1﹣x），则225（1﹣x）2=196．故选A．【点睛】本题考查了一元二次方程的应用-增长率问题．若设变化前的量为a，变化后的量为b，平均变化率为x，则经过两次变化后的数量关系为a（1±x）2=b．12．徐工集团某机械制造厂制造某种产品，原来每件产品的成本是100元，由于提高生产技术，所以连续两次降低成本，两次降低后的成本是81元．则平均每次降低成本的百分率是（）A．8.5％B．9％C．9.5％D．10％【答案】D【解析】【分析】设平均每次降低成本的百分率为x的话，经过第一次下降，成本变为100（1-x）元，再经过一次下降后成本变为100（1-x）（1-x）元，根据两次降低后的成本是81元列方程求解即可．【详解】解：设平均每次降低成本的百分率为x，根据题意得100（1-x）（1-x）=81，解得x=0.1或1.9（不合题意，舍去）即x=10%故选D．13．若关于x的方程2230x x m-+=有两个不相等的实数根，则实数m的取值范围是（）A．98m≤B．98m<C．98m>D．98m=【答案】B【解析】【分析】若一元二次方程有两不等根，则根的判别式△=b2-4ac＞0，建立关于m的不等式，求出m 的取值范围．【详解】∵方程有两个不相等的实数根，a=2，b=-3，c=m，∴△=b2-4ac=（-3）2-4×2×m＞0，解得98m<．故选：B．【点睛】此题考查根的判别式，解题关键在于掌握一元二次方程根的情况与判别式△的关系：（1）△＞0⇔方程有两个不相等的实数根；（2）△=0⇔方程有两个相等的实数根；（3）△＜0⇔方程没有实数根．14．目前我国已建立了比较完善的经济困难学生资助体系，某校去年上半年发放给每个经济困难学生389元，今年上半年发放了438元．设每半年发放的资助金额的平均增长率为x，则下面列出的方程中正确的是（）A．438（1+x）2=389 B．389（1+x）2=438C．389（1+2x）=438 D．438（1+2x）=389【答案】B【解析】【分析】【详解】解：因为每半年发放的资助金额的平均增长率为x，去年上半年发放给每个经济困难学生389元，去年下半年发放给每个经济困难学生389 (1＋x) 元，则今年上半年发放给每个经济困难学生389 (1＋x) (1＋x) ＝389(1＋x)2元．据此，由题设今年上半年发放了438元，列出方程：389（1+x ）2=438．故选B ．15．已知关于x 的一元二次方程mx 2﹣（m+2）x+4m =0有两个不相等的实数根x 1，x 2．若11x +21x =4m ，则m 的值是（ ） A ．2B ．﹣1C ．2或﹣1D ．不存在【答案】A【解析】【分析】先由二次项系数非零及根的判别式△＞0，得出关于m 的不等式组，解之得出m 的取值范围，再根据根与系数的关系可得出x 1+x 2=2m m +，x 1x 2=14，结合1211+x x =4m ，即可求出m 的值．【详解】∵关于x 的一元二次方程mx 2﹣（m+2）x+4m =0有两个不相等的实数根x 1、x 2， ∴()202404m m m m ≠⎧⎪⎨∆=+-⋅>⎪⎩， 解得：m ＞﹣1且m≠0，∵x 1、x 2是方程mx 2﹣（m+2）x+4m =0的两个实数根， ∴x 1+x 2=2m m +，x 1x 2=14， ∵1211+x x =4m ， ∴214m m +=4m ， ∴m=2或﹣1，∵m ＞﹣1，∴m=2，故选A ．【点睛】本题考查了根与系数的关系、一元二次方程的定义以及根的判别式，解题的关键是：根据二次项系数非零及根的判别式△＞0，找出关于m 的不等式组；牢记两根之和等于﹣b a、两根之积等于c a． 16．已知24b ac -是一元二次方程()200++=≠ax bx c a 的一个实数根，则ab 的取值范围为（ ）A ．18ab ≥ B ．18ab ≤ C ．14ab ≥ D ．14ab ≤ 【答案】B【解析】【分析】设u 的两个一元二次方程，并且这两个方程都有实根，所以由判别式大于或等于0即可得到ab≤18． 【详解】因为方程有实数解，故b 2-4ac≥0．24b ac =-24b ac =-,设 则有2au 2-u+b=0或2au 2+u+b=0，（a≠0），因为以上关于u 的两个一元二次方程有实数解，所以两个方程的判别式都大于或等于0，即得到1-8ab≥0，所以ab≤18． 故选B ．【点睛】 本题考查了一元二次方程ax 2+bx+c=0（a≠0，a ，b ，c 为常数）的求根公式：（b 2-4ac≥0）.17．关于x 的方程(2-a)x 2+5x-3=0有实数解,则整数a 的最大值是( )A ．1B ．2C ．3D ．4 【答案】D【解析】【分析】由于关于x 的方程（2-a ）x 2+5x-3=0有实数根，分情况讨论：①当2-a=0即a=2时，此时方程为一元一次方程，方程一定有实数根；②当2-a≠0即a≠2时，此时方程为一元二次方程，如果方程有实数根，那么其判别式是一个非负数，由此可以确定整数a 的最大值．【详解】解：∵关于x 的方程(2−a )x 2+5x−3=0有实数根，∴①当2−a=0即a=2时，此时方程为一元一次方程，方程一定有实数根；②当2−a≠0即a≠2时，此时方程为一元二次方程，如果方程有实数根，那么其判别式是一个非负数，∴△=25+12(2−a)≥0，解之得a≤4912， ∴整数a 的最大值是4.故选D.【点睛】本题考查了一元二次方程与根的判别式，解题的关键是熟练的掌握一元二次方程的性质与根的判别式.18．若关于x 的一元二次方程2(2)26k x kx k --+=有实数根，则k 的取值范围为（ ） A ．0k ≥B ．0k ≥且2k ≠C ．32k ≥D ．32k ≥且2k ≠ 【答案】D【解析】【分析】根据二次项系数非零结合根的判别式△≥0，即可得出关于k 的一元一次不等式组，解之即可得出k 的取值范围．【详解】（k-2）x 2-2kx+k-6=0，∵关于x 的一元二次方程（k-2）x 2-2kx+k=6有实数根，∴220(2)4(2)(6)0k k k k V -≠⎧⎨=----⎩…， 解得：32k ≥且k≠2． 故选D ．【点睛】本题考查了一元二次方程的定义以及根的判别式，根据一元二次方程的定义结合根的判别式△≥0，列出关于k 的一元一次不等式组是解题的关键．19．若关于x 的一元二次方程ax 2+bx+6=0的一个根为x=﹣2，则代数式6a ﹣3b+6的值为（ ）A ．9B ．3C ．0D ．﹣3【答案】D【解析】分析：根据关于x 的一元二次方程260ax bx ++=的一个根为2x =-，可以求得2a b -的值，从而可以求得636a b -+的值．详解：∵关于x 的一元二次方程260ax bx ++=的一个根为x =−2，∴()()22260a b ，⨯-+⨯-+= 化简，得2a −b +3=0，∴2a −b =−3，∴6a −3b =−9，∴6a −3b +6=−9+6=−3，故选D.点睛：考查一元二次方程的解，解题的关键是明确题意，建立所求式子与已知方程之间的关系.20．某厂四月份生产零件100万个，第二季度共生产零件282万个.设该厂五、六月份平均每月的增长率为x ，那么x 满足的方程是（ ）A ．100（1+x ）2=282B ．100+100（1+x ）+100（1+x ）2=282C ．100（1+2x ）＝282D ．100+100（1+x ）+100（1+2x ）=282【答案】B【解析】【分析】主要考查增长率问题，一般增长后的量=增长前的量×（1+增长率），如果该厂五、六月份平均每月的增长率为x ，那么可以用x 分别表示五、六月份的产量，然后根据题意可得出方程．【详解】五月份的产量=100（1+x ），六月份的产量=1002(1)x +， 根据题意可得：100+100（1+x ）+1002(1)x +=282.故选：B ．【点睛】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，增长率问题，一般形式为2(1)a x b +=，a 为起始时间的有关数量，b 为终止时间的有关数量．。
2023-2024学年高考数学一元二次函数、方程与不等式专项练习题(含答案)
2023-2024学年高考数学一元二次函数、方程与不等式小专题一、单选题1．下列命题正确的是（ ）A ．若，则B ．若，则a b >22ac bc>a b >-a b ->C ．若，则D ．若，则ac bc >a b>a b >a c b c->-2．若不等式的解集是，则不等式的解集是（ 220ax x c ++<11(,)(,)32-∞-⋃+∞220cx x a -+≤ ）A ．B ．11,23⎡⎤-⎢⎥⎣⎦11,32⎡⎤-⎢⎥⎣⎦C ．D ．[]2,3-[]3,2-3．若，且，则的最小值是（ ）0x >0y >21x y +=1xx y +A ．B ．C ．2D ．122+322+324．若正实数，满足，且恒成立，则实数的取值范围为（ ）x y 4x y xy +=234yx a a +>-a A ．B ．C ．D ．[]1,4-()1,4-[]4,1-()4,1-5．若对于任意，都有成立，则实数的取值范围是（ ）[],1x m m ∈+210x mx +-<m A ．B ．2,03⎛⎫- ⎪⎝⎭2,02⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭C ．D ．2,03⎡⎤-⎢⎥⎣⎦2,02⎡⎤-⎢⎥⎣⎦6．已知，若关于的不等式在上恒成立，则的最小值为0a >x 31ax x +≥+()1,x ∈-+∞a （ ）A ．1B ．2C ．4D ．87．若命题“”为假命题，则m 的取值范围是（ ）2000R,220x x mx m ∃∈+++<A ．B ．][(),12,-∞-⋃+∞()(),12,-∞-+∞ C ．D ．[]1,2-()1,2-8．设集合，．若中恰含有一个整数，{}260A x x x =+->{}210,0B x xax a =--≤>A B ⋂则实数的取值范围是（ ）a A ．B ．C ．D ．80,3⎛⎫⎪⎝⎭815,34⎡⎫⎪⎢⎣⎭8,3⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭815,34⎡⎤⎢⎥⎣⎦二、多选题9．下列说法正确的有（ ）A ．的最小值为21x y x +=B ．已知，则的最小值为1x >4211y x x =+--421+C ．若正数x 、y 满足，则的最小值为323x y xy +=2x y +D ．设x 、y 为实数，若，则的最大值为2291x y xy ++=3x y +221710．若正实数x ，y 满足x ＋y ＝1，且不等式有解，则实数m 的取值范围241312m mx y +<++是错误的是（ ）A ．m <－3或m >B ．－3<m <3232C ．m ≤－3或m ≥D ．－3≤m ≤323211．已知关于的不等式的解集为或，则下列结论中，正确结论x 20ax bx c ++≥{|3x x ≤}4x ≥的序号是（ ）A ．0a >B ．不等式的解集为0bx c +<{}4|x x <-C ．不等式的解集为或20cx bx a -+<1|4x x ⎧<-⎨⎩13x ⎫>⎬⎭D ．0a b c ++>12．若，，，则下列不等式对一切满足条件的，恒成立的是（ ）0a >0b >2a b +=a b A ．B ．1ab ≤2a b +≤C ．D ．222a b +≥112a b+≥三、填空题13．已知关于x 一元二次方程有两个实根，，（1）若比3大，比3240x x a -+=1x 2x 1x 2x 小，则a 的取值范围是 ；（2）把写成用含a 表达式为 .12x x -14．已知都是实数，一元二次方程有两个非零实根，且，则,,a b c 20ax bx c ++=12,x x 2b c == .1211+x x 15．已知函数，当时，恒成立，则的最大值为.()222=+-b a f x ax x []1,1x ∈-()12f x ≥-a b +16．中国宋代的数学家秦九韶曾提出“三斜求积术”，即假设在平面内有一个三角形，边长分别为a ，b ，c ，三角形的面积S 可由公式求得，其中p 为三角形()()()S p p a p b p c =---周长的一半，这个公式也被称为海伦—秦九韶公式，现有一个三角形的边长满足，5a b +=，则此三角形面积的最大值为.3c =答案：1．D【分析】根据不等式的性质，令，可以判断A 的真假；由不等式的性质3，可以判断0c =B ，C 的真假；由不等式的性质1，可以判断D 的真假，进而得到答案．【详解】当时，若，则，故A 错误；0c =a b >22ac bc =若，则，故B 错误；a b >-a b -<若，当时，则；当时，则，故C 错误；ac bc >0c >a b >0c <a b <若，则，故D 正确a b >a c b c ->-故选:D 2．C【分析】依题意和是方程的两个实数根，利用韦达定理得到方程组13-12220ax x c ++=，即可求出，再解一元二次不等式即可.112321132a c a ⎧-+=-⎪⎪⎨⎪-⨯=⎪⎩12,2a c =-=222120x x --≤【详解】因为不等式的解集是：，220ax x c ++<11(,)(,)32-∞-⋃+∞所以和是方程的两个实数根，13-12220ax x c ++=由，解得：，112321132a ca ⎧-+=-⎪⎪⎨⎪-⨯=⎪⎩12,2a c =-=故不等式，即为，220cx x a -+≤222120x x --≤解不等式，得：，260x x --≤23x -≤≤所求不等式的解集是.[]23-，故选：C ．3．A【分析】利用基本不等式可得答案.【详解】因为，且，0x >0y >21x y +=所以，1121222221++=++=++≥⨯=+x x x xx y x y x y x y x y y y当且仅当时等号成立，221,12x y =-=-故选：A.4．B【分析】根据题意，结合基本不等式的运算，由系数“1”的妙用可得，然后求解不等44yx +≥式，即可得到结果.【详解】因为正实数，满足，所以，x y 4x y xy +=411y x +=则，144422244444y y y x y xx x x y x y x y ⎛⎫⎛⎫+=++=++≥+⋅= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭当且仅当时，即时，等号成立，此时取得最小值4，44411y x x y y x ⎧=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩2,8x y ==因为恒成立，所以，解得.234yx a a +>-243a a >-14a -<<实数的取值范围为.a ()1,4-故选：B 5．B【分析】利用一元二次函数的图象与性质分析运算即可得解.【详解】由题意，对于都有成立，[],1x m m ∀∈+2()10f x x mx =+-<∴，解得：，()()()()2221011110f m m m f m m m m ⎧=+-<⎪⎨+=+++-<⎪⎩202m -<<即实数的取值范围是.m 2,02⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭故选：B.6．C【分析】利用基本不等式求解.【详解】因为，，1x >-10x +>所以，()1121121111a aax x x a x x x +=++-≥+⋅-=-+++当且仅当，即时，取得等号，11ax x +=+1x a =-所以有最小值为，1ax x ++21a -因为不等式在上恒成立，31ax x +≥+()1,x ∈-+∞所以，解得，所以的最小值为4，213a -≥4a ≥a 故选:C.7．C【分析】由题意结合命题和它的否定的真假性关系，以及一元二次不等式恒成立问题的充要条件即可求解.【详解】由题意命题“”为真命题，2000R,220x x mx m ∀∈+++≥所以当且仅当，()()22442420m m m m ∆=-+=--≤解得，即m 的取值范围是.12m -≤≤[]1,2-故选：C.8．B【分析】求出A 中的不等式的解集确定出A ，由A 与B 交集中恰有一个整数，求出的范围a 即可.【详解】解：，因为函数图象的对称{}{}26023A x x x x x x =+->=><-或()21f x x ax =--轴为直线，，根据对称性可知，要使中恰含有一个整数，02ax =>()3380f a -=+>A B ⋂则这个整数为3，所以有且，即，即，所以实数的取()30f ≤()40f >8301540a a -≤⎧⎨->⎩83154a a ⎧≥⎪⎪⎨⎪<⎪⎩a 值范围为.815,34⎡⎫⎪⎢⎣⎭故选：B 9．BCD【分析】利用基本不等式一一计算即可.【详解】显然当时，，故A 错误；=1x -102x y x +==<原式可化为：，()()44211221142111y x x x x =-++≥-⋅+=+--当且仅当即时取得等号，故B 正确；()4211x x -=-21x =+由，1223133x y xy y x +=⇒+=所以，()12225225222333333333x y x y x y x y y x y x y x ⎛⎫+=++=++≥⋅+= ⎪⎝⎭当且仅当即时取得等号，故C 正确；2233x yy x =1x y ==由，()()22225591315143131212x y xy x y xy x y x y ++=⇒+=+=+⨯⨯⨯≤++则，当且仅当时取得等号，()27122213131277x y x y +≤⇒+≤=2137x y ==故D 正确.故选：BCD 10．BCD【分析】使不等式有解，大于的最小值，根据题意先利241312m m x y+<++232m m+411x y ++用基本不等式求的最小值，再解不等式求m 的取值范围.411x y ++【详解】因为正实数x ，y 满足，所以，1x y +=(1)2x y ++=则=，411x y ++)1=44[2(1111(5)](211)y x y x x y y x ≥++++++++1119(52)=(54)22241x y y x +⋅+++=当且仅当，即时等号成立.411y x x y +=+1323x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩因为不等式有解，所以，241312m m x y+<++23922m m +>即，，239022m m +->0()3)(32m m +>-解得或.3m <-32m >故选：BCD.11．AD【分析】根据不等式的解集，即可判断A 项；根据三个二次之间的关系，结合韦达定理可得出，进而代入不等式，化简、求解不等式，即可判断B 、C 、D 项.712b a c a =-⎧⎨=⎩【详解】对于A 项，由不等式的解集范围为两边，即可得出二次函数开口向上，即，0a >故A 项正确；对于B 项，由已知可得，3、4即为的两个解.20ax bx c ++=由韦达定理可得，，解得，34712ba c a ⎧-=+=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩712b ac a =-⎧⎨=⎩代入可得.7120ax a -+<又，所以，所以解集为，故B 项错误；0a >127x >12|7x x ⎧⎫>⎨⎬⎩⎭对于C 项，由B 知，，，，7b a =-12c a =0a >代入不等式可得，21270ax ax a ++<化简可得，212710x x ++<解得，1134x -<<-所以，不等式的解集为，故C 项错误；20cx bx a -+<11|34x x ⎧⎫-<<-⎨⎬⎩⎭对于D 项，由已知可得，当时，有，故D 项正确.1x =71260a b c a a a a ++=-+=>故选：AD.12．ACD【分析】分别根据基本不等式即可求出．【详解】，当且仅当时取等号，故A 成立；2()12a b ab +≤=1a b ==假设，则，则，与已知矛盾，故B 不成立；2a b +≤22a b ab ++≤0ab ≤，当且仅当时取等号，故C 成立；2222()242()4222a b a b a b ab ++=+-≥-⨯=-=1a b ==，由A 可得，当且仅当时取等号，故D 成立.112a b a b ab ab ++==1122a b ab +=≥1a b ==故选：ACD ．13．且3a <164a -4a ≤【分析】（1）设，则由题意可得，由此求得a 的范围；()24ax x x f =-+()330f a =-<（2）用韦达定理即可求解；【详解】（1）设，因为的图象是开口向上的抛物线，()24ax x x f =-+()24ax x x f =-+又一元二次方程有两个实根，，且 比3大，比3小，240x x a -+=1x 2x 1x 2x 所以，求得，()330f a =-<3a <（2）由关于x 一元二次方程有两个实根、，且，240x x a -+=1x 2x 1640a ∆=-≥所以，，且，得，124x x +=12x x a =4a ≤()21212124164x x x x x x a-=+-=-故；且3a <164a -4a ≤14．2-【分析】由根与系数关系得，再由及已知即可求值.1212,b c x x x x a a +=-=12121211x x x x x x ++=【详解】由题设，且，0a ≠1212,b cx x x x a a +=-=而，，则.12121211x x b x x x x c ++==-2b c =12112x x +=-故2-15．2【分析】将函数化简可得，结合题目要求的最大值，故考虑()2122x f x a x b⎛⎫=-+⋅ ⎪⎝⎭a b +，得出关于的不等式，进而取特殊值判断是否满足满足取等条件求解即可.2122xx -=a b +【详解】函数，对恒成立，令()221122222b a x f x ax x a x b ⎛⎫=+-=-+⋅≥- ⎪⎝⎭[]1,1x ∈-，则或，故，得，当时，2122xx -=12x =-1x =112442a b f ⎛⎫-=--≥- ⎪⎝⎭2a b +≤24,33a b ==满足，则的最大值为2.()2222121113333222f x x x x ⎛⎫=+-=+-≥-⎪⎝⎭a b +故216．3【分析】计算出，得到，由基本不等式求出.4p =24S ab =-243S ab =-≤【详解】因为，，所以，5a b +=3c =53422a b c p +++===故，()()()()()()44443244216424S a b a b a b ab ab =---=--=-++=-因为，当且仅当时，等号成立，()22544a b ab +≤=52a b ==故，25242434S ab =-≤⨯-=故3。
(完整)高中数学一元二次不等式练习题
一元二次不等式及其解法1．形如)0)(0(02≠<>++a c bx ax 其中或的不等式称为关于x 的一元二次不等式．2．一元二次不等式20(0)ax bx c a ++>>与相应的函数2(0)y ax bx c a =++>、相应的方程20(0)ax bx c a ++=>判别式ac b 42-=∆ 0>∆ 0=∆0<∆ 二次函数c bx ax y ++=2（0>a ）的图象()002>=++a c bx ax的解集)0(02>>++a c bx ax的解集)0(02><++a c bx ax 1、把二次项的系数变为正的。
（如果是负，那么在不等式两边都乘以-1，把系数变为正）2、解对应的一元二次方程。
（先看能否因式分解，若不能，再看△，然后求根）3、求解一元二次不等式。
（根据一元二次方程的根及不等式的方向）不等式的解法---穿根法一．方法:先因式分解,再使用穿根法.注意:因式分解后,整理成每个因式中未知数的系数为正.使用方法:①在数轴上标出化简后各因式的根,使等号成立的根,标为实点,等号不成立的根要标虚点. ②自右向左自上而下穿线,遇偶次重根不穿透,遇奇次重根要穿透(叫奇穿偶不穿).③数轴上方曲线对应区域使“>”成立, 下方曲线对应区域使“<”成立.例1:解不等式(1) (x+4)(x+5)2(2-x)3<0 x 2-4x+1 3x 2-7x+2 ≤1 解:(1) 原不等式等价于(x+4)(x+5)2(x-2)3>0根据穿根法如图不等式解集为{x ∣x>2或x<-4且x ≠5}.(2) 变形为 (2x-1)(x-1) (3x-1)(x-2) ≥0 根据穿根法如图不等式解集为{x |x< 1 3 或 1 2 ≤x ≤1或x>2}. 2-4 -5 2 21 1 3 1一、解下列一元二次不等式：1、0652>++x x2、0652≤--x x3、01272<++x x4、0672≥+-x x5、0122<--x x6、0122>-+x x7、01282≥+-x x 8、01242<--x x 9、012532>-+x x10、0121632>-+x x 11、0123732>+-x x 12、071522≤++x x13、0121122≥++x x 14、10732>-x x 15、05622<-+-x x16、02033102≤+-x x 17、0542<+-x x 18、0442>-+-x x19、2230x x --+≥ 20、0262≤+--x x 21、0532>+-x x22、02732<+-x x 23、0162≤-+x x 24、03442>-+x x25、061122<++x x 26、041132>+--x x 27、042≤-x28、031452≤-+x x 29、0127122>-+x x 30、0211122≥--x x31、03282>--x x 32、031082≥-+x x 33、041542<--x x34、02122>--x x 35、021842>-+x x 36、05842<--x x1．(2012年高考上海卷)不等式2－x x ＋4＞0的解集是________． 2．已知不等式ax 2＋bx ＋c ＜0(a ≠0)的解集是R ，则( )A ．a ＜0，Δ＞0B ．a ＜0，Δ＜0C ．a ＞0，Δ＜0D ．a ＞0，Δ＞03．不等式x 2x ＋1＜0的解集为( ) A ．(－1,0)∪(0，＋∞) B ．(－∞，－1)∪(0,1)C ．(－1,0)D ．(－∞，－1)4．已知集合P ＝{0，m }，Q ＝{x |2x 2－5x ＜0，x ∈Z }，若P ∩Q ≠∅，则m 等于( )A ．1B ．2C ．1或25D ．1或2X k b 1 . c o m 5．如果A ＝{x |ax 2－ax ＋1＜0}＝∅，则实数a 的集合为( )A ．{a |0＜a ＜4}B ．{a |0≤a ＜4}C ．{a |0＜a ≤4}D ．{a |0≤a ≤4}6．不等式x ＋1x －2≥0的解集是( ) A ．{x |x ≤－1或x ≥2} B ．{x |x ≤－1或x >2} C ．{x |－1≤x ≤2} D ．{x |－1≤x <2}二.填空题1、不等式(1)(12)0x x -->的解集是 ；2．不等式2654x x +<的解集为____________. 3、不等式2310x x -++>的解集是 ； 4、不等式2210x x -+≤的解集是 ； 5、不等式245x x -<的解集是 ；9、已知集合2{|4}M x x =<，2{|230}N x x x =--<，则集合M N = ； 10、不等式220mx mx +-<的解集为R ，则实数m 的取值范围为 ；11、不等式9)12(2≤-x 的解集为__________. 12、不等式0＜x 2+x -2≤4的解集是___________ .13、若不等式2(2)2(2)40a x a x -+--<对一切x R ∈恒成立,则a 的取值范围是______________. 三、典型例题：1、已知对于任意实数x ，22kx x k -+恒为正数，求实数k 的取值范围．（1）03222<--a ax x （2）0)1(2<--+a x a x。
(完整版)一元二次不等式及其解法练习题
一元二次不等式及其解法练习班级： 姓名： 座号：1 比较大小：（1）2 6+ （2）2 21)-；（3； （4）当0a b >>时，12log a _______12log b .2. 用不等号“>”或“<”填空：（1）,____a b c d a c b d ><⇒--； （2）0,0____a b c d ac bd >><<⇒；（3）0a b >>⇒ （4）22110___a b a b>>⇒.3. 已知0x a <<，则一定成立的不等式是（ ）.A ．220x a <<B ．22x ax a >>C ．20x ax <<D ．22x a ax >>4. 如果a b >，有下列不等式：①22a b >，②11a b<，③33a b >，④lg lg a b >，其中成立的是 .5. 设0a <，10b -<<，则2,,a ab ab 三者的大小关系为 .6.比较(3)(5)a a +-与(2)(4)a a +-的大小.7. 若2()31f x x x =-+，2()21g x x x =+-，则()f x 与()g x 的大小关系为（ ）. A ．()()f x g x > B ．()()f x g x = C ．()()f x g x < D ．随x 值变化而变化8.（1）已知1260,1536,aa b a b b<<<<-求及的取值范围.（2）已知41,145a b a b -≤-≤--≤-≤，求9a b -的取值范围.9. 已知22ππαβ-≤<≤，则2αβ-的范围是（ ）.A ．(,0)2π-B ．[,0]2π-C ．(,0]2π-D ．[,0)2π- 10.求下列不等式的解集.（1）2230x x +->； （2）2230x x -+-> （3）2230x x -+-≤.（4）24410x x -+> （5）24415x x -> （6）21340x ->（7）23100x x --> （8）2450x x -+< （9）23710x x -≤（10）2250x x -+-< （11）23100x x --+> （12）(9)0x x ->11.（1）不等式230x x -<的解集是 . （2）不等式2524x x -<的解集是 . （3）不等式(5)(2)0x x --<的解集为 . 12.不等式12--x x ≥0的解集是（ ） A.［2,＋∞］ B.(－∞,1)∪［2,＋∞） C.(－∞,1) D.(－∞,1)∪［2,＋∞) 13、不等式13+-x x ≤ 3的解集为 .14 y =的定义域为 .15. 函数y =的定义域是（ ）.A ．{|4x x <-或3}x >B ．{|43}x x -<<C ．{|4x x ≤-或3}x ≥D ．{|43}x x -≤≤ 16. 集合A ={2|540}x x x -+≤，B =2{|560}x x x -+≥，则AB =（ ）.A ．{|12x x ≤≤或34}x ≤≤B ．{|12x x ≤≤且34}x ≤≤C ．{1，2，3，4}D ．{|41x x -≤≤-或23}x ≤≤17.2{|430}A x x x =-+<，2{|280}B x x x a =-+-≤，且A B ⊆，求a 的取值范围.18.不等式2223931711()()33x x x x --+-≤的解集是（ ）.A ．[2，4]B ．(,2][4,)-∞+∞C ．RD ．(,2][4,)-∞-+∞19.(1)若关于x 的一元二次方程2(1)0x m x m -+-=有两个不相等的实数根，求m 的取值范围.(2)当m 是什么实数时，关于x 的一元二次方程2(1)0mx m x m --+=没有实数根.20. 已知方程20ax bx c ++=的两根为12,x x ，且12x x <，若0a <，则不等式20ax bx c ++<的解为（ ）.A ．RB ．12x x x <<C ．1x x <或2x x >D ．无解21若不等式220ax bx +->的解集为1{|1}4x x -<<-，则,a b 的值分别是 .22设关于x 的不等式210ax bx ++>的解集为1{|1}3x x -<<，求a b .23.不等式220ax bx ++>的解集是11{|}23x x -<<，则a b +等于（ ）.A ．-14B ．14C ．-10D ．1024.若方程20ax bx c ++=（0a <）的两根为2，3，那么20ax bx c ++>的解集为（ ）. A ．{|3x x >或2}x <- B ．{|2x x >或3}x <- C ．{|23}x x -<< D ．{|32}x x -<< 25已知不等式250ax x b -+>的解集为{|32}x x -<<,则不等式250bx x a -+>的解集为（ ） A ．11{|}32x x -<< B ．11{|}32x x x <->或 C ．{|32}x x -<< D ．{|32}x x x <->或 26已知二次不等式20ax bx c ++<的解集为1{|3x x <或1}2x >，求关于x 的不等式20cx bx a -+>的解集.27.二次不等式的解集是全体实数的条件是（1）20ax bx c ++>对一切x R ∈都成立的条件为（ ） （2）20ax bx c ++<对一切x R ∈都成立的条件为（ ）A ．00a >⎧⎨∆>⎩B ．00a >⎧⎨∆<⎩C ．00a <⎧⎨∆>⎩D ．00a <⎧⎨∆<⎩28.关于x 的不等式20x x c ++>的解集是全体实数的条件是（ ）. A ．14c < B ．14c ≤ C ．14c > D ．14c ≥29.若不等式2(2)2(2)40a x a x -+--<对一切x R ∈恒成立,则a 的取值范围是 30. 在下列不等式中，解集是∅的是（ ）.A ．22320x x -+>B ．2440x x ++≤C ．2440x x --<D ．22320x x -+-> 31. 关于x 的不等式2(1)10x a x ---<的解集为∅，则实数a 的取值范围是（ ）.A ．3(,1]5-B ．(1,1)-C ．(1,1]-D ．3(,1)5-32. 若关于m 的不等式2(21)10mx m x m -++-≥的解集为空集，求m 的取值范围.33. 解关于x 的不等式2(2)20x a x a +--<（a ∈R ）.34（1）. 设2280x x a -+-≤对于一切(1,3)x ∈都成立，求a 的范围.（2）若方程2280x x a -+-=有两个实根12,x x ，且13x ≥，21x ≤，求a 的范围.35.设函数2()(8),f x ax b x a ab =+---的两个零点分别是－3和2；（1）求()f x ；（2）当函数()f x 的定义域是[0，1]时，求函数()f x 的值域.1< < < < 2.> < > < 3B 4 ③5.ab ab a <<26 <7 A 8.35、解：(1)∵f(x)的两个零点是－3和2，∴函数图象过点(－3，0)、(2，0)∴有9a －3(b －8)－a －ab ＝0 ……⑴ 4a ＋2(b －8)－a －ab ＝0 ……⑵ ⑴ －⑵得：b ＝a ＋8 … ⑶ ⑶代入⑵得：4a ＋2a －a －a(a ＋8)＝0即a 2＋3a ＝0∵a≠0 ∴a ＝－3 ∴b ＝a ＋8＝5 ∴f(x)＝－3x 2－3x ＋18 (2)由(1)得f(x)＝－3x 2－3x ＋18， 图象的对称轴方程是：21-=x ，且10≤≤x ∴12)1()(min ==f x f ， 18)0()(max ==f x f ∴f(x)的值域是[12,18]。
一元二次不等式及其解法练习题
一元二次不等式及其解法练习题一元二次不等式及其解法练1.比较大小：1) $(3+2)^2<2^6+2^6$；2) $(3-2)^2<(6-1)^2$；3) $\frac{5-2}{2}-6<\frac{5}{2}-2^6$；4) 当$a>b>1$时，$\log_a 1 - \log_b 1$。
2.用不等号“>”或“<”填空：1) $a>b,c<d\Rightarrow a-c< b-d$；2) $a>b>0,c<d<XXX<bd$；3) $a>b>0\Rightarrow 3a>3b$；4) $a>b>1\Rightarrow \frac{2}{a}<\frac{2}{b}$。
3.已知$x<a<b$，则一定成立的不等式是（）.A．$x^2<a^2<b^2$；B．$x^2>ax>a^2$；C．$x^2<ax<b^2$；D．$x^2>a^2>ax$。
4.如果$a>b$，有下列不等式：①$a^2>b^2$，②$\frac{1}{a}3b$，④$\log_a x>\log_b x$，其中成立的是（）。
5.设$a<1$，$-1<b<0$，则$a,ab,ab^2$三者的大小关系为（）。
6.比较$(a+3)(a-5)$与$(a+2)(a-4)$的大小。
7.若$f(x)=3x^2-x+1$，$g(x)=2x^2+x-1$，则$f(x)$与$g(x)$的大小关系为（）。
A．$f(x)>g(x)$；B．$f(x)=g(x)$；C．$f(x)<g(x)$；D．随$x$值变化而变化。
8.（1）已知$12<a<60$，$15<b<36$，求$a-b$及$\frac{a}{b}$的取值范围。
(完整版)一元二次不等式练习题(完)
一、一元二次不等式及其解法1．形如)0)(0(02≠<>++a c bx ax 其中或的不等式称为关于x 的一元二次不等式．2．一元二次不等式20(0)ax bx c a ++>>与相应的函数2(0)y ax bx c a =++>、相应的方程20(0)ax bx c a ++=>判别式ac b 42-=∆0>∆ 0=∆0<∆ 二次函数c bx ax y ++=2（0>a ）的图象()002>=++a c bx ax的解集)0(02>>++a c bx ax 的解集)0(02><++a c bx ax1、把二次项的系数变为正的。
（如果是负，那么在不等式两边都乘以-1，把系数变为正）2、解对应的一元二次方程。
（先看能否因式分解，若不能，再看△，然后求根）3、求解一元二次不等式。
（根据一元二次方程的根及不等式的方向）不等式的解法---穿根法一．方法:先因式分解,再使用穿根法.注意:因式分解后,整理成每个因式中未知数的系数为正. 使用方法:①在数轴上标出化简后各因式的根,使等号成立的根,标为实点,等号不成立的根要标虚点. ②自右向左自上而下穿线,遇偶次重根不穿透,遇奇次重根要穿透(叫奇穿偶不穿). ③数轴上方曲线对应区域使“>”成立, 下方曲线对应区域使“<”成立. 例1:解不等式(1) (x+4)(x+5)2(2-x)3<0 (2)x 2-4x+13x 2-7x+2≤1解:(1) 原不等式等价于(x+4)(x+5)2(x-2)3>0 根据穿根法如图不等式解集为{x ∣x>2或x<-4且x ≠5}.2-4-5(2)变形为(2x-1)(x-1)(3x-1)(x-2)≥0根据穿根法如图不等式解集为 {x |x< 1 3 或 12≤x ≤1或x>2}.巩固练习一、解下列一元二次不等式：1、0652>++x x2、0652≤--x x3、01272<++x x4、0672≥+-x x5、0122<--x x6、0122>-+x x7、01282≥+-x x 8、01242<--x x 9、012532>-+x x10、0121632>-+x x 11、0123732>+-x x 12、071522≤++x x13、0121122≥++x x 14、10732>-x x 15、05622<-+-x x16、02033102≤+-x x 17、0542<+-x x 18、0442>-+-x x19、2230x x --+≥ 20、0262≤+--x x 21、0532>+-x x22、02732<+-x x 23、0162≤-+x x 24、03442>-+x x25、061122<++x x 26、041132>+--x x 27、042≤-x28、031452≤-+x x 29、0127122>-+x x 30、0211122≥--x x31、03282>--x x 32、031082≥-+x x 33、041542<--x x34、02122>--x x 35、021842>-+x x 36、05842<--x x37、0121752≤-+x x 38、0611102>--x x 39、038162>--x x40、038162<-+x x 41、0127102≥--x x 42、02102>-+x x43、0242942≤--x x 44、0182142>--x x 45、08692>-+x x46、0316122>-+x x 47、0942<-x 48、0320122>+-x x49、0142562≤++x x 50、0941202≤+-x x 51、(2)(3)6x x +-<二填空题1、不等式(1)(12)0x x -->的解集是 ；2．不等式2654x x +<的解集为____________.3、不等式2310x x -++>的解集是 ；4、不等式2210x x -+≤的解集是 ；5、不等式245x x -<的解集是 ； 9、已知集合2{|4}M x x =<，2{|230}N x x x =--<，则集合MN = ；10、不等式220mx mx +-<的解集为R ，则实数m 的取值范围为 ；11、不等式9)12(2≤-x 的解集为___________________________。
《一元二次不等式的解法》练习题(附详解)
《一元二次不等式的解法》练习题班级______________ 姓名______________ 学号_____◇ 解一元二次不等式的一般步骤：（1）先化成标准形式：如_____________________或20ax bx c ++<（0a >）等； （2）判断△与0的大小关系，并求出方程20ax bx c ++=的实根； （3）数形结合，根据函数2y ax bx c =++的图象，写出不等式的解集。
1、解下列不等式： （1）27120x x -+>； （2）2230x x --+≥；（3）2210x x -+<； （4）2220x x -+>；（5）2121x xx +≤+； （6）22(1)(45)0x x x --->；（7）2(1)10ax a x -++<； （8）21()10(0)x a x a a-++<>。
2、设{}2230P x x x =-->，{}2650Q x x x =-+≤，则PQ =（ ）（A ）{}35x x <≤ （B ）{}11x x -<≤ （C ）{}13x x ≤< （D ）{}15x x -<≤ 3、关于x 的不等式220ax bx +->的解集是11,,23⎛⎫⎛⎫-∞-+∞ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则ab 等于（ ）（A ）－24 （B ）24 （C ）14 （D ）－144、设122,2()log (1),2x e e x f x x x -⎧<⎪=⎨-≥⎪⎩，则不等式()2f x >的解集为 ·················· （ ） （A ）（1，2）∪（3，＋∞）（B ），＋∞） （C ）（1，2，＋∞） （D ）（1，2）5、关于x 的不等式2(2)2(2)40a x a x -+--<的解集为R ，则a 的取值范围是（ ） （A ）（－∞，2] （B ）（-∞，－2） （C ）（－2，2] （D ）（－2，2）6、关于x 的不等式22221463x kx kx x ++<++对x R ∈恒成立，则实数k ∈ ·············· （ ） （A ）（1，3） （B ）（－∞，1）∪（3，+∞） （C ）（－1，3）（D ）（－3，－1） 7、函数y =的定义域是__________________。
高中数学必修第一册 《一元二次函数、方程和不等式》期末复习专项训练(学生版+解析版)
高中数学必修第一册《一元二次函数、方程和不等式》期末复习专项训练一、单选题l. (2022·四川绵阳·高一期末〉下列结论正确的是（〉A.若的b，则。
c>bc c.若。
＞b，则。
＋c>b+cl I B.若α＞b，则－〉－a D D.着。
＞b，则。
2> b22.(2022·辽宁·新民市第一高级中学高一期末〉已知α＜b<O，则（〉A.a2 <abB.ab<b2C.a1 <b1D.a2 >b i3.(2022·陕西汉中·高一期末〉若关于工的不等式，咐2+2x+m>O的解集是R，则m的取值范围是（〉A.(I, +oo)B.(0, I〕C.( -J, I)D.(J, +oo)4.(2022·广东珠海高一期末〉不等式。
＋l)(x+3)<0的解集是（〉A.RB.②c.｛对－3<x<-I} D.{xi x<-3，或x>-l}5. (2022·四川甘孜·高一期末〉若不等式似2+bx-2<0的解集为｛xl-2<x<I｝，则。
÷b=( )A.-2B.OC.ID.26. (2022·湖北黄石·商一期末〉若关于X的不等式x2-ax’＋7＞。
在（2,7）上有实数解，则α的取值范围是（〉A.（唱，8)B.（叫8] c.（叫2./7) D.（斗）7.(2022·新疆乌市一中高一期末〉已知y=(x-m)(x-n)+2022(n> m），且α，β（α〈别是方程y=O的两实数根，则α，β，111,n的大小关系是（〉A.α＜m<n＜βC.m＜α〈β＜nB.m＜α＜n＜βD.α＜m＜β＜n8.(2022·浙江·杭州四中高一期末〉已失11函数y＝κ－4+...2....(x>-1），当x=a时，y取得最小值b，则。
一元二次函数、方程和不等式专项测试卷及答案解析
高一上学期数学专项测试卷一元二次函数、方程和不等式考生注意: 1.本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第二卷（非选择题）两部分,共150分,考试时间120分钟.2.请将各题答案填写在答题卡上.第Ⅰ卷（选择题 共60分）一、单项选择题（每小题5分,共40分）1. 若10<<a ,则关于x 的不等式()x a -01>⎪⎭⎫ ⎝⎛-a x 的解集为 【 】 （A ）⎭⎬⎫⎩⎨⎧<<a x a x 1 （B ）⎭⎬⎫⎩⎨⎧<<a x a x 1 （C ）⎭⎬⎫⎩⎨⎧<>a x a x x 1或 （D ）⎭⎬⎫⎩⎨⎧<>a x a x x 或1 2. 如果二次函数222+++=m mx x y 有两个不同的零点,那么实数m 的取值范围是 【 】（A ）{}12<<-m m （B ）{}21<<-m m（C ）{}21>-<m m m 或 （D ）{}12>-<m m m 或3. 记不等式()()02<+-x m x 的解集为A ,不等式()1-x x ≤0的解集为B .若A B ⊆,则正数m 的取值范围为 【 】（A ）{}1>m m （B ）{}1≥m m （C ）{}1<m m （D ）{}1≤m m4. 要使关于x 的方程()02122=-+-+a x a x 的一个根比1大且另一根比1小,则实数a 的取值范围是 【 】（A ）{}21<<-a a （B ）{}12<<-a a（C ）{}2-<a a （D ）{}1>a a5. 若关于x 的不等式()012<++-a x a x 的解集中恰有一个整数,则a 的取值范围是 【 】（A ）{}3201<≤≤<-a a a 或 （B ）{}4312≤<-≤<-a a a 或（C ）{}3201≤<<≤-a a a 或 （D ）{}4312<<-<<-a a a 或6. 共享单车给市民出行带来了诸多便利,某公司购买了一批共享单车投放到某地给市民使用,据市场分析,每辆单车的累计收入y （单位: 元）与营运天数x （∈x N*）满足关系式80060212-+-=x x y ,要使累计收入高于800元,则营运天数x 的取值范围为 【 】 （A ）{}*,9030N x x x ∈<< （B ）{}*,4030N x x x ∈<<（C ）{}*,8040N x x x ∈<< （D ）{}*,6020N x x x ∈<<7. 已知1≤x ≤2,02>-ax x 恒成立,则实数a 的取值范围是 【 】（A ）{}1≥a a （B ）{}1>a a （C ）{}1≤a a （D ）{}1<a a8. 设集合{}01<<-=m m P ,{}恒成立对任意实数x mx mx R m Q 0442<-+∈=,则下列说法正确的是 【 】（A ）P 是Q 的真子集 （B ）Q 是P 的真子集（C ）Q P = （D ）∅=Q P9. 某小区的蓄水池每日零时均有水400吨,并从零时开始,以每小时60吨的速度匀速向蓄水池注水,同时向该小区不间断供水,t 小时内供水总量为t 6120（0≤t ≤24）吨.若蓄水池的供水量小于80吨,则会出现供水紧张的情况,则每日处于供水紧张情况的时长为 【 】（A ）6小时 （B ）7小时 （C ）8小时 （D ）9小时10. 在R 上定义运算⊗:()y x y x -=⊗1.若不等式()()1<+⊗-a x a x 对任意实数x 都成立,则实数a 的取值范围为 【 】（A ）⎭⎬⎫⎩⎨⎧<<-2321a a （B ）{}20<<a a （C ）{}11<<-a a （D ）⎭⎬⎫⎩⎨⎧<<-2123a a 11.（多选）已知02>++c bx ax 的解集为{}21<<-x x ,则下列x 的取值范围能使不等式()()ax c x b x a 2112<+-++成立的是 【 】（A ）{}30<<x x （B ）{}3>x x（C ）{}0<x x （D ）{}12<<-x x12.（多选）若关于x 的一元二次方程()()m x x =--32有实数根21,x x ,且21x x <,则下列结论正确的是 【 】（A ）当0=m 时,3,221==x x（B ）41->m （C ）当0>m 时,3221<<<x x（D ）二次函数()()m x x x x y +--=21的图象与x 轴交点的坐标为()0,2和()0,3第Ⅱ卷 非选择题（共90分）二、填空题（每小题5分,共20分）13. 已知集合(){}0122=+++=x m x x A ,集合{}0>=x x B ,若∅=B A ,则实数m 的取值范围是_____________.14. 若实数21,x x 为方程0622=++-m mx x 的两根,则实数m 的取值范围是____________,()()222122-+-x x 的最小值是__________.（第一空2分,第二空3分）15. 如图所示,有长为30 m 的篱笆,一面利用墙（墙的最大可用长度为10 m ）,围成中间隔有一道篱笆（平行于AB ）的矩形花圃.设花圃的一边AB 为x m,面积为y m 2.如果围成的花圃的面积不少于63 m 2,则x 的取值范围是_____________.DCB A16. 研究问题:已知关于x 的不等式02>+-c bx ax 的解集为{}21<<x x ,解关于x 的不等式02>+-a bx cx ,解法为:由02>+-c bx ax 得0112>⎪⎭⎫ ⎝⎛+-x c x b a ,令x y 1=,则121<<y ,所以不等式02>+-a bx cx 的解集为⎭⎬⎫⎩⎨⎧<<121x x .参考上述解法,已知关于x 的不等式++a x k 0<++c x b x 的解集为{}3212<<-<<-x x x 或,则关于x 的不等式0111<--+-cx bx ax kx 的解集为_____________.三、解答题（共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17.（本题满分10分）（1）当3=a 时,求不等式022<++ax x 的解集;（2）若不等式022>++ax x 的解集为R ,求实数a 的取值范围.18.（本题满分12分）当10<<x 时,若关于x 的二次方程m mx x 2122-=++有两个不相等的实数根,求实数m 的取值范围.解关于x 的不等式3222--+m mx x ≤()()922422--++-m x m x m .20.（本题满分12分）某辆汽车以x 千米/时的速度在高速公路上匀速行驶（考虑到高速公路上行车安全,要求60≤x ≤120）时,每小时耗油（所需要的汽油量）⎪⎭⎫ ⎝⎛+-x k x 450051升,其中k 为常数,60≤k ≤100. （1）若汽车以120千米/时的速度行驶,每小时耗油11. 5升,欲使每小时的油耗不超过9升,求x 的取值范围;（2）求该汽车行驶100千米的油耗的最小值.设p :实数x 满足03222<--a ax x （0>a ）,q :实数x 满足2≤4<x .（1）若1=a ,且q p ,都为真命题,求x 的取值范围;（2）若q 是p 充分不必要条件,求实数a 的取值范围.22.（本题满分12分）已知二次函数12+-=bx ax y .（1）是否存在实数b a ,,使不等式012>+-bx ax 的解集是{}21<<x x ?若存在,求实数b a ,的值,若不存在,请说明理由;（2）若a 为整数,2+=a b ,且方程012=+-bx ax 在{}12-<<-∈x x x 上恰有一个实数根,求a 的值.高一上学期数学专项测试卷一元二次函数、方程和不等式答案解析考生注意: 1.本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第二卷（非选择题）两部分,共150分,考试时间120分钟.2.请将各题答案填写在答题卡上.第Ⅰ卷（选择题 共60分）一、单项选择题（每小题5分,共40分）1. 若10<<a ,则关于x 的不等式()x a -01>⎪⎭⎫ ⎝⎛-a x 的解集为 【 】 （A ）⎭⎬⎫⎩⎨⎧<<a x a x 1 （B ）⎭⎬⎫⎩⎨⎧<<a x a x 1 （C ）⎭⎬⎫⎩⎨⎧<>a x a x x 1或 （D ）⎭⎬⎫⎩⎨⎧<>a x a x x 或1 答案 【 A 】解析 本题考查含参不等式的解法,注意解集的形式,在进行根的大小比较时要注意分类讨论.另外,在解一元二次不等式时,要把不等式化为左边是几个因式的乘积,且每个因式最高次项的系数为正,右边是0的形式.∵()x a -01>⎪⎭⎫ ⎝⎛-a x ,∴()a x -01<⎪⎭⎫ ⎝⎛-a x . ∵10<<a ,∴a a>1. ∴原不等式的解集为⎭⎬⎫⎩⎨⎧<<a x a x 1. ∴选择答案【 A 】.2. 如果二次函数222+++=m mx x y 有两个不同的零点,那么实数m 的取值范围是 【 】（A ）{}12<<-m m （B ）{}21<<-m m（C ）{}21>-<m m m 或 （D ）{}12>-<m m m 或答案 【 C 】解析 本题考查零点的定义: 我们把使一元二次方程02=++c bx ax 的实数x 叫做二次函数c bx ax y ++=2的零点.对零点的理解（1）二次函数的零点即相应一元二次方程02=++c bx ax 的实数根;（2）根据数形结合,二次函数的零点,即二次函数的图象与x 轴的交点的横坐标,且交点的个数等于零点的个数;（3）并非所有的二次函数都有零点.当ac b 42-=∆≥0时,一元二次方程有实数根,相应二次函数存在零点.∵二次函数222+++=m mx x y 有两个不同的零点∴方程0222=+++m mx x 有两个不相等实数根.∴()()084424222>--=+-=∆m m m m ,解之得:2>m 或1-<m .∴实数m 的取值范围是{}21>-<m m m 或.∴选择答案【 C 】.3. 记不等式()()02<+-x m x 的解集为A ,不等式()1-x x ≤0的解集为B .若A B ⊆,则正数m 的取值范围为 【 】（A ）{}1>m m （B ）{}1≥m m （C ）{}1<m m （D ）{}1≤m m答案 【 A 】解析 本题考查一元二次不等式的解法和根据集合之间的基本关系确定参数的取值范围. 解不等式()1-x x ≤0得: 0≤x ≤1. ∴{}10≤≤=x x B .∵m 为正数,∴2->m ,∴原不等式的解集为{}m x x A <<-=2.∵A B ⊆,∴1>m .∴正数m 的取值范围为{}1>m m .∴选择答案【 A 】.4. 要使关于x 的方程()02122=-+-+a x a x 的一个根比1大且另一根比1小,则实数a 的取值范围是 【 】（A ）{}21<<-a a （B ）{}12<<-a a（C ）{}2-<a a （D ）{}1>a a答案 【 B 】解析 本题考查一元二次方程实数根的分布（K 分布）.结论 一元二次方程02=++c bx ax （0>a ）的一个根大于k ,另一根小于k 的条件是()0<k f .设()()2122-+-+=a x a x x f由题意可知:()021112<-+-+=a a f ,解之得:12<<-a .∴实数a 的取值范围是{}12<<-a a .∴选择答案【 B 】.5. 若关于x 的不等式()012<++-a x a x 的解集中恰有一个整数,则a 的取值范围是 【 】（A ）{}3201<≤≤<-a a a 或 （B ）{}4312≤<-≤<-a a a 或（C ）{}3201≤<<≤-a a a 或 （D ）{}4312<<-<<-a a a 或答案 【 C 】解析 本题考查含参一元二次不等式的解法.原不等式可化为:()()01<--a x x .当1>a 时,原不等式的解集为{}a x x <<1.∵其解集中恰有一个整数,∴a <2≤3;当1=a 时,()012<-x ,原不等式的解集为空集,不符合题意;当1<a 时,原不等式的解集为{}1<<x a x .∵其解集中恰有一个整数,∴1-≤0<a .综上所述,实数a 的取值范围是{}3201≤<<≤-a a a 或.∴选择答案【 C 】.6. 共享单车给市民出行带来了诸多便利,某公司购买了一批共享单车投放到某地给市民使用,据市场分析,每辆单车的累计收入y （单位: 元）与营运天数x （∈x N*）满足关系式80060212-+-=x x y ,要使累计收入高于800元,则营运天数x 的取值范围为 【 】 （A ）{}*,9030N x x x ∈<< （B ）{}*,4030N x x x ∈<<（C ）{}*,8040N x x x ∈<< （D ）{}*,6020N x x x ∈<<答案 【 C 】解析 本题考查一元二次不等式的应用.由题意可知:80080060212>-+-x x ,整理得:032001202<+-x x . 解之得:8040<<x ,且∈x N*.∴营运天数x 的取值范围为{}*,8040N x x x ∈<<.∴选择答案【 C 】.7. 已知1≤x ≤2,02>-ax x 恒成立,则实数a 的取值范围是 【 】（A ）{}1≥a a （B ）{}1>a a （C ）{}1≤a a （D ）{}1<a a答案 【 D 】解析 本题考查一元二次不等式的恒成立问题.∵1≤x ≤2,02>-ax x 恒成立∴x a <恒成立,∴1min =<x a .∴实数a 的取值范围是{}1<a a .∴选择答案【 D 】.8. 设集合{}01<<-=m m P ,{}恒成立对任意实数x mx mx R m Q 0442<-+∈=,则下列说法正确的是 【 】（A ）P 是Q 的真子集 （B ）Q 是P 的真子集（C ）Q P = （D ）∅=Q P答案 【 A 】解析 本题考查含参一元二次不等式的恒成立问题,注意对二次项系数是否等于0进行讨论. 对于集合Q ,当0=m 时,04<-恒成立,符合题意;当0≠m 时,则有:()⎩⎨⎧<+=∆<016402m m m ,解之得:01<<-m . 综上所述,{}{}010442≤<-=<-+∈=m m x mx mx R m Q 恒成立对任意实数. ∵{}01<<-=m m P ,∴Q P ≠⊂.∴选择答案【 A 】.9. 某小区的蓄水池每日零时均有水400吨,并从零时开始,以每小时60吨的速度匀速向蓄水池注水,同时向该小区不间断供水,t 小时内供水总量为t 6120（0≤t ≤24）吨.若蓄水池的供水量小于80吨,则会出现供水紧张的情况,则每日处于供水紧张情况的时长为 【 】 （A ）6小时 （B ）7小时 （C ）8小时 （D ）9小时 答案 【 C 】解析 本题考查数学核心素养——数学建模. 由题意可知:80612060400<-+t t . 整理得:t t 66163<+.∵0163>+t ,∴()()2266163t t <+.整理得:025612092<+-t t ,∴()()032383<--t t .解之得:33238<<t . ∵838332=-,∴每日处于供水紧张情况的时长为8小时.∴选择答案【 C 】.10. 在R 上定义运算⊗:()y x y x -=⊗1.若不等式()()1<+⊗-a x a x 对任意实数x 都成立,则实数a 的取值范围为 【 】（A ）⎭⎬⎫⎩⎨⎧<<-2321a a （B ）{}20<<a a（C ）{}11<<-a a （D ）⎭⎬⎫⎩⎨⎧<<-2123a a答案 【 A 】解析 本题考查与一元二次不等式有关的恒成立问题. ∵()y x y x -=⊗1∴()()1<+⊗-a x a x ,即()()11<---a x a x . 整理得:()0122>----a a x x .由题意可知:()()014122<--+-=∆a a ,∴()()03212<-+a a ,解之得:2321<<-a .∴实数a 的取值范围为⎭⎬⎫⎩⎨⎧<<-2321a a . ∴选择答案【 A 】.另解: 由上面的解法知: ()0122>----a a x x .∴x x a a -<--221恒成立,只需()min 221x x a a -<--即可.∵412122-⎪⎭⎫ ⎝⎛-=-x x x ≥41-,∴()41min 2-=-x x .∴4112-<--a a ,∴03442<--a a ,解之得:2321<<-a . ∴实数a 的取值范围为⎭⎬⎫⎩⎨⎧<<-2321a a .∴选择答案【 A 】.11.（多选）已知02>++c bx ax 的解集为{}21<<-x x ,则下列x 的取值范围能使不等式()()ax c x b x a 2112<+-++成立的是 【 】（A ）{}30<<x x （B ）{}3>x x （C ）{}0<x x （D ）{}12<<-x x 答案 【 BC 】解析 本题考查一元二次不等式与对应的一元二次方程之间的关系.注意,一元二次不等式的解集的端点值就是对应一元二次方程的解（实数根）. ∵02>++c bx ax 的解集为{}21<<-x x ∴0<a ,方程02=++c bx ax 的解分别为1-和2.由根与系数的关系定理可得:⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧⨯-=+-=-2121ac ab ,∴⎩⎨⎧-=-=ac a b 2.∵()()ax c x b x a 2112<+-++∴()()ax a x a x a 22112<---+,∴032<-ax ax . ∵0<a ,∴032<-ax ax 同解于032>-x x . 解之得:3>x 或0<x . ∴选择答案【 BC 】.12.（多选）若关于x 的一元二次方程()()m x x =--32有实数根21,x x ,且21x x <,则下列结论正确的是 【 】 （A ）当0=m 时,3,221==x x （B ）41->m （C ）当0>m 时,3221<<<x x（D ）二次函数()()m x x x x y +--=21的图象与x 轴交点的坐标为()0,2和()0,3 答案 【 ABD 】解析 本题考查一元二次函数、一元二次方程之间的关系.对于（A ）,当0=m 时,()()032=--x x ,解之得:3,221==x x ,故（A ）正确;对于（B ）,整理()()m x x =--32得:0652=-+-m x x .由题意可知,该方程有两个不相等的实数根,∴()()06452>---=∆m ,解之得:41->m .故（B ）正确; 对于（C ）,采用数形结合的思想方法,设()()321--=x x y ,m y =2,则方程()()m x x =--32的解的问题就转化为两个函数21,y y 的图象的交点问题.如下图所示,显然,当0>m 时,有2132x x <<<.故（C ）错误;对于（D ）,∵方程()()m x x =--32,即()()032=---m x x 的实数根为21,x x ∴()()()()m x x x x x x ---=--3221.∴()()()()()()323221--=+---=+--=x x m m x x m x x x x y .∴二次函数()()m x x x x y +--=21的图象与x 轴交点的坐标为()0,2和()0,3.故（D ）正确.∴选择答案【 ABD 】.第Ⅱ卷 非选择题（共90分）二、填空题（每小题5分,共20分）13. 已知集合(){}0122=+++=x m x x A ,集合{}0>=x x B ,若∅=B A ,则实数m 的取值范围是_____________. 答案 {}4->m m解析 本题考查一元二次不等式与一元二次方程的关系.在利用条件∅=B A 时,要注意分∅=A 和∅≠A 两种情况进行讨论.当∅=A 时,显然∅=B A .此时()044222<+=-+=∆m m m ,解之得:04<<-m ; 当∅≠A 时,设方程()0122=+++x m x 的两个实数根分别为21,x x . ∵{}0>=x x B ,∅=B A∴方程()0122=+++x m x 无正实数根.由根与系数的关系定理可得:()221+-=+m x x ,0121>=⋅x x ,显然,21,x x 均为负数.∴()⎩⎨⎧<+-≥+=∆02042m m m ,解之得:m ≥0.综上所述,实数m 的取值范围是{}4->m m .14. 若实数21,x x 为方程0622=++-m mx x 的两根,则实数m 的取值范围是____________,()()222122-+-x x 的最小值是__________.（第一空2分,第二空3分）答案 m ≥3或m ≤2-, 2解析 本题考查一元二次方程与一元二次函数的关系.由题意可知:()()6422+--=∆m m ≥0,解之得:m ≥3或m ≤2-. 由根与系数的关系定理可得:6,22121+==+m x x m x x .∴()()()844444222122212221212221++-+=+-++-=-+-x x x x x x x x x x ()()()2122121212212422444x x x x x x x x x x -+-+=-+++-+=.∴()()()()4414546242222222221-⎪⎭⎫ ⎝⎛-=+-+-=-+-m m m x x . ∴当3=m 时,()()222122-+-x x 取得最小值,最小值为244145342=-⎪⎭⎫ ⎝⎛-⨯. 另解: ()()222122-+-x x ≥()()()()8862842222212121+-+=++-=--m m x x x x x x 206+-=m . 当且仅当2221-=-x x ,即21x x =时,等号成立.此时,()()06422=+--=∆m m ,解之得:3,221=-=m m .显然,当3=m 时,()()222122-+-x x 取得最小值,最小值为22036=+⨯-.15. 如图所示,有长为30 m 的篱笆,一面利用墙（墙的最大可用长度为10 m ）,围成中间隔有一道篱笆（平行于AB ）的矩形花圃.设花圃的一边AB 为x m,面积为y m 2.如果围成的花圃的面积不少于63 m 2,则x 的取值范围是_____________.DCB A答案 ⎥⎦⎤⎢⎣⎡7,320解析 本题考查一元二次不等式的解法及其应用. 由题意可知:()x BC 330-=m,则有:()x x 330-≥63,且x 330-≤10.解之得:320≤x ≤7. ∴x 的取值范围是⎥⎦⎤⎢⎣⎡7,320. 16. 研究问题:已知关于x 的不等式02>+-c bx ax 的解集为{}21<<x x ,解关于x 的不等式02>+-a bx cx ,解法为:由02>+-c bx ax 得0112>⎪⎭⎫ ⎝⎛+-x c x b a ,令x y 1=,则121<<y ,所以不等式02>+-a bx cx 的解集为⎭⎬⎫⎩⎨⎧<<121x x .参考上述解法,已知关于x 的不等式++a x k0<++c x b x 的解集为{}3212<<-<<-x x x 或,则关于x 的不等式0111<--+-cx bx ax kx 的解集为_____________.答案 ⎭⎬⎫⎩⎨⎧-<<-<<3121121x x x 或解析 本题考查一元二次不等式的解法. 用x1-代替++a x k 0<++c x b x 中的x 可得:0111111<--+-=+-+-++-cx bx ax kx c xb x a x k . ∵++a x k 0<++cx bx 的解集为{}3212<<-<<-x x x 或 令x y 1-=,则有12-<<-y 或32<<y .∴112-<-<-x 或312<-<x ,解之得:121<<x 或3121-<<-x .∴不等式0111<--+-cx bx ax kx 的解集为⎭⎬⎫⎩⎨⎧-<<-<<3121121x x x 或.三、解答题（共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 17.（本题满分10分）（1）当3=a 时,求不等式022<++ax x 的解集;（2）若不等式022>++ax x 的解集为R ,求实数a 的取值范围. 解:（1）当3=a 时,0232<++x x ,解之得:12-<<-x . ∴原不等式的解集为{}12-<<-x x ; （2）∵不等式022>++ax x 的解集为R ∴082<-=∆a ,解之得:2222<<-a . ∴实数a 的取值范围是{}2222<<-a a . 18.（本题满分12分）当10<<x 时,若关于x 的二次方程m mx x 2122-=++有两个不相等的实数根,求实数m 的取值范围.分析: 本题的意思即方程m mx x 2122-=++有两个不相等的实数根,且两个实数根均在()1,0内,考查了一元二次方程实数根的K 分布.解: 原方程可化为: 02122=+++m mx x ,设()m mx x x f 2122+++=.由题意可得:()()()()⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧>+++=>+=<-<>+-=∆021211021010021422m m f m f m m m ,解之得:2121-<<-m .∴实数m 的取值范围是⎭⎬⎫⎩⎨⎧-<<-2121m m .19.（本题满分12分）解关于x 的不等式3222--+m mx x ≤()()922422--++-m x m x m . 解: 原不等式整理得:()6232++-x m mx ≤0.当0=m 时,62+-x ≤0,解之得:x ≥3,原不等式的解集为{}3≥x x ;当0≠m 时,原不等式可化为:()⎪⎭⎫⎝⎛--m x x m 23 ≤0.当0<m 时,原不等式同解于()⎪⎭⎫ ⎝⎛--m x x 23≥0,∴原不等式的解集为⎭⎬⎫⎩⎨⎧≤≥m x x x 23或; 当0>m 时,原不等式同解于()⎪⎭⎫⎝⎛--m x x 23 ≤0.若320<<m ,则m 23<,原不等式的解集为⎭⎬⎫⎩⎨⎧≤≤m x x 23;若32=m ,则()23-x ≤0,原不等式的解集为{}3=x x ; 若32>m ,则m 23>,原不等式的解集为⎭⎬⎫⎩⎨⎧≤≤32x m x .综上所述,当0=m 时,原不等式的解集为{}3≥x x ;当0<m 时,原不等式的解集为⎭⎬⎫⎩⎨⎧≤≥m x x x 23或;当320<<m 时,原不等式的解集为⎭⎬⎫⎩⎨⎧≤≤m x x 23;当32=m 时,原不等式的解集为{}3=x x ;当32>m 时,原不等式的解集为⎭⎬⎫⎩⎨⎧≤≤32x m x .20.（本题满分12分）某辆汽车以x 千米/时的速度在高速公路上匀速行驶（考虑到高速公路上行车安全,要求60≤x ≤120）时,每小时耗油（所需要的汽油量）⎪⎭⎫⎝⎛+-x k x 450051升,其中k 为常数,60≤k ≤100.（1）若汽车以120千米/时的速度行驶,每小时耗油11. 5升,欲使每小时的油耗不超过9升,求x 的取值范围;（2）求该汽车行驶100千米的油耗的最小值.解:（1）∵汽车以120千米/时的速度行驶,每小时耗油11. 5升∴5.115.75124120450012051=+-=⎪⎭⎫ ⎝⎛+-⨯k k ,解之得:100=k . ∴每小时耗油⎪⎭⎫⎝⎛+-x x 450010051升.由题意可知:⎪⎭⎫⎝⎛+-x x 450010051≤9.整理得:45001452+-x x ≤0,解之得:45≤x ≤100. ∵60≤x ≤120∴x 的取值范围为[]100,60;（2）设该汽车行驶100千米的油耗为y 升,则有201201900004500511002+⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎭⎫ ⎝⎛+-⨯=x k x x k x x y .设x t 1=,则1201≤t ≤601,2020900002+-=kt t y . ∴9002090009000022k k t y -+⎪⎭⎫ ⎝⎛-=. ∵60≤k ≤100,∴1501≤9000k ≤901（故6019000<k ） 当9000k ≥1201,即75≤k ≤100时,900202min k y -=,此时9000kt =,k x 9000=;当12019000<k ,即60≤75<k 时,1201=t ,64105201201201201900002min k k y -=+⨯-⎪⎭⎫ ⎝⎛⨯=. 综上所述,当75≤k ≤100时,该汽车行驶100千米的油耗的最小值为⎪⎭⎫ ⎝⎛-900202k 升,当60≤75<k 时,该汽车行驶100千米的油耗的最小值为⎪⎭⎫⎝⎛-64105k 升. 21.（本题满分12分）设p :实数x 满足03222<--a ax x （0>a ）,q :实数x 满足2≤4<x . （1）若1=a ,且q p ,都为真命题,求x 的取值范围; （2）若q 是p 充分不必要条件,求实数a 的取值范围. 解:（1）当1=a 时,0322<--x x ,解之得:31<<-x . ∵q p ,都为真命题∴x 的取值范围是{}{}{}324231<≤=<≤<<-x x x x x x ; （2）不等式03222<--a ax x 可化为()()03<-+a x a x . ∵0>a ,∴该不等式的解集为{}a x a x 3<<-. 设{}a x a x A 3<<-=,{}42<≤=x x B . ∵q 是p 充分不必要条件,∴A B ≠⊂∴a 3≥4,解之得:a ≥34. ∴实数a 的取值范围是⎪⎭⎫⎢⎣⎡+∞,34. 22.（本题满分12分） 已知二次函数12+-=bx ax y .（1）是否存在实数b a ,,使不等式012>+-bx ax 的解集是{}21<<x x ?若存在,求实数b a ,的值,若不存在,请说明理由;（2）若a 为整数,2+=a b ,且方程012=+-bx ax 在{}12-<<-∈x x x 上恰有一个实数根,求a 的值.解:（1）假设存在这样的实数b a ,.∵不等式012>+-bx ax 的解集是{}21<<x x ∴0<a ,方程012=+-bx ax 的两个实数根分别为2,1. 由根与系数的关系定理可得:⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧⨯=+=--21121aa b ,解之得:⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==2321b a . ∵021>=a ,与0<a 矛盾 ∴不存在这样的实数b a ,,使不等式012>+-bx ax 的解集是{}21<<x x ; （2）∵2+=a b ∴()0122=++-x a ax .∵()[]()0314242222>+-=+-=-+-=∆a a a a a∴方程()0122=++-x a ax 总有两个不相等的实数根.∵方程()0122=++-x a ax 在{}12-<<-∈x x x 上恰有一个实数根 ∴()()[]()[]0121122222<+++-⨯⨯+++-⨯a a a a 整理得:()()03256<++a a ,解之得:6523-<<-a . ∵a 为整数 ∴a 的值为1-.。
(完整版)一元二次不等式及其解法练习及同步练习题(含答案)
13.2 一元二次不等式及其解法练习（一）、一元二次不等式的解法1、求解下列不等式（1）、23710x x -≤ （2）、2250x x -+-< （3）、2440x x -+-< （4）205x x -<+2、求下列函数的定义域（1）、y （2）y =3、已知集合{}{}22|160,|430A x x B x x x =-<=-+>，求A B ⋃（二）、检测题一、选择题1、不等式11023x x ⎛⎫⎛⎫--> ⎪⎪⎝⎭⎝⎭的解集为 （ ） A 、11|32x x ⎧⎫<<⎨⎬⎩⎭ B 、1|2x x ⎧⎫>⎨⎬⎩⎭ C 、1|3x x ⎧⎫<⎨⎬⎩⎭ D 、11|32x x x ⎧⎫<>⎨⎬⎩⎭或 2、在下列不等式中，解集为φ的是 （ ）A 、22320x x -+>B 、2440x x ++>C 、2440x x --<D 、22320x x -+->3、函数()2log 3y x =+的定义域为 （ ）A 、()(),13,-∞-⋃+∞B 、()3,1--C 、(][),13,-∞-⋃+∞D 、(][)3,13,--⋃+∞4、若2230x x -≤，则函数()21f x x x =++ （ ） A 、有最小值34，无最大值 B 、有最小值34，最大值1 C 、有最小值1，最大值194 D 、无最小值，也无最大值2 5、若不等式210x mx ++>的解集为R ，则m 的取值范围是（ ）A ．RB ．()2,2-C ．()(),22,-∞-+∞D ．[]2,2-6、不等式()221200x ax a a --<<的解集是（ ）A ．()3,4a a -B ．()4,3a a -C ．()3,4-D ．()2,6a a7、不等式220ax bx ++>的解集是1123x x ⎧⎫-<<⎨⎬⎩⎭，则a b -=（ ） A ．14-B ．14C ．10-D ．10 二、填空题8、设()21f x x bx =++，且()()13f f =，则()0f x >的解集为 。
九年级数学解一元二次方程专项练习题(带答案)【40道】
九年级数学解一元二次方程专项练习题(带答案)【40道】1、用配方法解下列方程：1) 12x + 25 = 2x + 4x + 22化简得：6x = -3，解得x = -1/22) x^2 + 4x = 10x + 22移项化简得：x^2 - 6x - 22 = 0使用配方法解得：x = 3，x = -43) x^2 - 6x - 11 = 0使用配方法解得：x = 3 + 2√3，x = 3 - 2√32、用配方法解下列方程：1) 6x^2 - 7x + 1 = 0使用配方法解得：x = 1/2，x = 1/33) 4x^2 - 3x - 52 = 0使用配方法解得：x = 4，x = -3/43、用公式法解下列方程：1) 2x^2 - 9x + 8 = 0使用公式法解得：x = 4/2，x = 1/23) 16x^2 + 8x - 3 = 0使用公式法解得：x = 1/4，x = -3/44、运用公式法解下列方程:1) 5x^2 + 2x - 1 = 0使用公式法解得：x = 1/5，x = -14) 5x^2 + 2x + 4 = 0使用公式法解得：无实数解2) 9x^2 + 6x + 1 = 0使用公式法解得：x = -1/3，x = -1/34) 2x^2 - 4x - 1 = 0使用公式法解得：x = 1 + √3/2，x = 1 - √3/22) x^2 + 6x + 9 = 7移项化简得：x^2 + 6x + 2 = 0使用公式法解得：x = -3 + √7，x = -3 - √7 3) 2x + 3 = 3x移项化XXX：x = 34) (x - 2)(3x - 5) = 15化简得：3x^2 - 11x + 20 = 0使用公式法解得：x = 5/3，x = 20/36、用分解因式法解下列方程：1) 9x^2 + 6x + 1 = 0分解因式得：(3x + 1)^2 = 0，解得x = -1/32) 3x(x - 1) = 2 - 2x移项化简得：3x^2 - 3x + 2 = 0无法分解因式，使用公式法解得：x = (3 ± √17)/6 3) 2x + 3 = 4(2x + 3)移项化简得：-6x = -9，解得x = 3/24) 2(x - 3) = x - 9移项化XXX：x = 37、解下列关于x的方程:1) x^2 + 2x - 2 = 0使用公式法解得：x = -1 ± √32) 3x^2 + 4x - 7 = 0使用公式法解得：x = (-2 ± √10)/33) (x + 3)(x - 1) = 5化简得：x^2 + 2x - 8 = 0使用公式法解得：x = -4，x = 24) (x - 2)^2 + 42x = 0移项化简得：x^2 - 2x - 4 = 0使用公式法解得：x = 1 ± √58、解下列方程：1) 2√(x - 1) = 4移项化简得：x - 1 = 4，解得x = 52) x^2 - 4x + 1 = 0使用公式法解得：x = 2 + √3，x = 2 - √3 3) 3x^2 + 10x + 5 = 0使用公式法解得：x = (-5 ± √5)/34) 3(x - 5)^2 = 2(5 - x)化简得：3x^2 - 34x + 75 = 0使用公式法解得：x = 5/3，x = 25/3 5) 4x - 45 = 31x移项化简得：x = -15/276) -3x + 22x - 24 = 0化简得：19x = 24，解得x = 24/197) (x + 8)(x + 1) = -12移项化简得：x^2 + 9x + 20 = 0使用公式法解得：x = -4，x = -58) (3x + 2)(x + 3) = x + 14移项化简得：3x^2 + 7x - 8 = 0使用公式法解得：x = -8/3，x = 1/31.解一元二次方程专项练题答案1) $x=-6\pm\sqrt{11}$2) $x_1=2-2\sqrt{3}。
一元二次不等式解法专题知识梳理及典型练习题(含答案)
一元二次不等式解法专题一.一元二次不等式与相应的二次函数及一元二次方程的关系判别式Δ＝b 2－4ac Δ＞0 Δ＝0 Δ＜0二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c (a ＞0)的图象一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0 (a ＞0)的根有两相异实根x 1，x 2(x 1＜x 2) 有两相等实根x 1＝x 2＝－b2a没有实数根ax 2＋bx ＋c ＞0 (a ＞0)的解集{x |x ＞x 2或x ＜x 1} ⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x |x ≠－b 2aRax 2＋bx ＋c ＜0 (a ＞0)的解集 {x |x 1＜x ＜x 2}Φ Φ二.穿针引线法例 1 解下列不等式：（1）x x ≥-2414 （2）0822≥+--x x （3）0)3)(2(>-+x x例2 若ax 2＋bx －1＜0的解集为{x|－1＜x ＜2}，则a ＝________，b ＝_____．例3(穿针引线法） 解不等式：(x-1)2(x+1)(x-2)(x+4)<0例4 不等式xx ->+111的解集为（ ） A ．{x|x ＞0}B ．{x|x≥1}C．{x|x ＞1} D ．{x|x ＞1或x ＝0}解不等式化为＋－＞，通分得＞，即＞，1x 000111122----xx x x x∵x 2＞0，∴x－1＞0，即x ＞1．选C ． 例5 与不等式023≥--xx 同解得不等式是（ ） A ．(x －3)(2－x)≥0B．0＜x －2≤1C ．≥230--xx D ．(x －3)(2－x)≤0 练习1：1．不等式x 2－3x ＋2＜0的解集为( )． A ．(－∞，－2)∪(－1，＋∞) B ．(－2，－1) C ．(－∞，1)∪(2，＋∞) D ．(1,2)答案 D2．(2011·XX)不等式2x 2－x －1＞0的解集是( )． A.⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，1B ．(1，＋∞) C ．(－∞，1)∪(2，＋∞) D.⎝⎛⎭⎪⎫－∞，－12∪(1，＋∞) 故原不等式的解集为⎝⎛⎭⎪⎫－∞，－12∪(1，＋∞)． 答案 D3．不等式9x 2＋6x ＋1≤0的解集是( )．A.⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x |x ≠－13B.⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫－13C.⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x |－13≤x ≤13D ．R答案 B4．若不等式ax 2＋bx －2＜0的解集为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x |－2＜x ＜14，则ab ＝( )．A ．－28B ．－26C ．28D ．26 答案 C5.函数f (x )＝2x 2＋x －3＋log 3(3＋2x －x 2)的定义域为________．解析 依题意知⎩⎨⎧2x 2＋x －3≥0，3＋2x －x 2＞0，解得⎩⎨⎧x ≤－32或x ≥1，－1＜x ＜3.∴1≤x ＜3.故函数f (x )的定义域为[1,3)．答案 [1,3)6.已知函数f (x )＝⎩⎨⎧x 2＋2x ，x ≥0，－x 2＋2x ，x ＜0，解不等式f (x )＞3.[审题视点] 对x 分x ≥0、x ＜0进行讨论从而把f (x )＞3变成两个不等式组． 解 由题意知⎩⎨⎧x ≥0，x 2＋2x ＞3或⎩⎨⎧x ＜0，－x 2＋2x ＞3，解得：x ＞1.故原不等式的解集为{x |x ＞1}．例不等式＜的解为＜或＞，则的值为7 1{x|x 1x 2}a axx -1A aB aC aD a ．＜．＞．＝．＝－12121212分析可以先将不等式整理为＜，转化为 0()a x x -+-111[(a －1)x ＋1](x －1)＜0，根据其解集为{x|x ＜1或x ＞2}可知－＜，即＜，且－＝，∴＝．a 10a 12a 1112a - 选C ．例解不等式≥．8 237232x x x -+-解 先将原不等式转化为3723202x x x -+--≥即≥，所以≤．由于＋＋＝＋＋＞，---+-+++-2123212314782222x x x x x x x x 002x x 12(x )022∴不等式进一步转化为同解不等式x 2＋2x －3＜0，即(x ＋3)(x －1)＜0，解之得－3＜x ＜1．解集为{x|－3＜x ＜1｝． 说明：解不等式就是逐步转化，将陌生问题化归为熟悉问题． 练习21.(x+4)(x+5)2(2-x)3＜0．2.解下列不等式(1);22123+-≤-x x 127314)2(22<+-+-x x x x3.解下列不等式1x 5x 2)2(;3x 1x 1+>+-≤-）（4.解下列不等式()()12log 6log 1log )2(;08254)1(21212121≥-++≥+⋅-+x x x x5解不等式1)123(log 2122<-+-x x x ．。
一元二次方程与一元二次函数练习
一元二次方程与一元二次函数练习副标题一、计算题（本大题共32小题，共192.0分）1.求出抛物线的开口方向、对称轴、顶点坐标．（1）y=x2+2x-3（配方法）；（2）y=x2-x+3（公式法）．2.某商品的进价为每件20元，售价为每件25元时，每天可卖出250件．市场调查反映：如果调整价格，一件商品每涨价1元，每天要少卖出10件．（1）若某天的销售利润为2000元，为最大限度让利于顾客，则该商品销售价是多少？（2）求销售单价为多少元时，该商品每天的销售利润最大，请说明理由．3.用适当的方法解下列一元二次方程（1）4（x-1）2-36=0（直接开平方法）（2）x2+2x-3=0（配方法）（3）x（x-4）=8-2x（因式分解法）（4）（x+1）（x-2）=4（公式法）4.已知二次函数y=x2-4x+5．（1）将y=x2-4x+5化成y=a（x-h）2+k的形式；5.投资1万元围一个矩形菜园（如图），其中一边靠墙，另外三边选用不同材料建造．墙长24m，平行于墙的边的费用为200元/m，垂直于墙的边的费用为150元/m，设平行于墙的边长为x m（1）设垂直于墙的一边长为y m，直接写出y与x之间的函数关系式；（2）若菜园面积为384m2，求x的值；（3）求菜园的最大面积．6.解下列一元二次方程（1）x2-6x-16=0（2）x2-2x-9=0（3）3x（x-1）=2-2x（4）2x2-3x-6=0．7.已知二次函数y=x2-（2k+1）x+k2+k（k＞0）（1）当k=时，将这个二次函数的解析式写成顶点式；（2）求证：关于x的一元二次方程x2-（2k+1）x+k2+k=0有两个不相等的实数根．8.2（）求这个二次函数的解析式；（2）用配方法求出这个二次函数图象的顶点坐标和对称轴．9.“白马服饰城”某服装柜的某款裤子每条的成本是50元，经市场调查发现，当销售单价是100元时，每天可以卖掉50条，每降低1元，可多卖5条．（1）要使每天的利润为4000元，裤子的定价应该是多少元？（2）如何定价可以使每天的利润最大？最大利润是多少？10.已知：二次函数y=2x2+bx+c过点（1，1）和点（2，10），求二次函数的解析式，并用配方法求二次函数图象的顶点坐标．11.函数y=（m+2）是关于x的二次函数，求：（1）满足条件的m值；（2）m为何值时，抛物线有最低点？求出这个最低点．这时，当x为何值时，y随x的增大而增大？（3）m为何值时，函数有最大值？最大值是多少？这时，当x为何值时，y随x的增大而减小．12.已知二次函数y=x2+4x-5．（1）将y =x2+4x-5化成y=a（x+h）2+k的形式；13.解方程．（1）（3x+2）2=25（2）3x2-1=4x（3）（2x+1）2=3（2x+1）（4）x2-7x+10=0．14.已知二次函数y=-．（1）将y=-+x+用配方法化为y=a（x-h）2+k的形式；（2）求该函数图象与两坐标轴交点的坐标；（3）画出该函数的图象．15.根据下列条件，求出二次函数的解析式．（1）抛物线y=ax2+bx+c经过点（0，1），（1，3），（-1，1）三点．（2）抛物线顶点P（-1，-8），且过点A（0，-6）．为对称轴．（4）已知二次函数y=ax2+bx+c的图象经过一次函数y=-3/2x+3的图象与x轴、y轴的交点；且过（1，1），求这个二次函数解析式，并把它化为y=a（x-h）2+k的形式．16.商场某种新商品每件进价是40元，在试销期间发现，当每件商品售价50元时，每天可销售500件，当每件商品售价高于50元时，每涨价1元，日销售量就减少10件．据此规律，请回答：（1）当每件商品售价定为55元时，每天可销售多少件商品？商场获得的日盈利是多少？（2）在上述条件不变，商品销售正常的情况下，每件商品的销售定价为多少元时，商场日盈利可达到8000元？17.已知：如图，二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴交于A、B两点，其中A点坐标为（-1，0），B点坐标为（5，0）点C（0，5），M为它的顶点．（1）求抛物线的解析式；（2）求△MAB的面积．18.已知二次函数的顶点坐标为A（1，9），且其图象经过点（-1，5）19.如图，抛物线经过点A、B、C．（1）求此抛物线的解析式；（2）若抛物线和x轴的另一个交点为D，求△ODC的面积．20.已知函数y=-x2+（m-1）x+m（m为常数）．（1）该函数的图象与x轴公共点的个数是______．A.0B.1C.2D.1或2（2）求证：不论m为何值，该函数的图象的顶点都在函数y=（x+1）2的图象上．（3）当-2≤m≤3时，求该函数的图象的顶点纵坐标的取值范围．21.如图，二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴交于A，B两点，其中点A（-1，0），点C（0，5），点D（1，8）都在抛物线上，M为抛物线的顶点．（1）求抛物线的函数解析式；（2）求△MCB的面积；（3）根据图形直接写出使一次函数值大于二次函数值的x的取值范围．22.如图，抛物线y1=ax2+2ax+1与x轴有且仅有一个公共点A，经过点A的直线y2=kx+b交该抛物线于点B，交y轴于点C，且点C是线段AB的中点．（1）求a的值；（2）求直线AB对应的函数解析式；（3）直接写出当y1≥y2时，x的取值范围．23.先阅读下面的例题，再按要求解答后面的问题．例题：解一元二次不等式x2-3x+2＞0解：令y=x2-3x+2，画出y=x2-3x+2如图所示，由图象可知：当x＜1或x＞2时，y＞0所以一元二次不等式x2-3x+2＞0的解集为x＜1或x＞2 （1）填空：x2-3x+2＜0的解集为______；x2-3x≥0的解集为______．（2）用类似的方法解一元二次不等式：-x2-2x+3＞0．24.如图，抛物线y=-x2+bx+2与x轴交于A，B两点，与y轴交于C点，且点A的坐标为（1，0）．（1）求抛物线的解析式及顶点D的坐标；（2）判断△ABC的形状，并证明你的结论；（3）点M是抛物线对称轴上的一个动点，当△ACM 的周长最小时，求点M的坐标．25.选择适当的方法解下列方程：（1）x2-3x=0（2）（2x-5）2-（x+4）2=0（3）x2-2x-8=0（4）（x+1）（x+2）=2x+4（5）3（x-2）2=x2-4（6）x2+2x-143=0．26.已知关于x的一元二次方程x2+（m+3）x+m+1=0．（1）求证：无论m取何值，原方程总有两个不相等的实数根；（2）当m为何整数时，原方程的根也是整数．27.已知x1，x2 是关于x的一元二次方程x2-2（m+1）x+m2+5=0的两实数根．（1）若（x1-1）（x2 -1）=28，求m的值；（2）已知等腰△ABC的一边长为7，若x1，x2恰好是△ABC另外两边的边长，求这个三角形的周长．28.已知二次函数y＝－x2－x＋.(1)在给定的直角坐标系中，画出这个函数的图象；(2)根据图象，写出当y＜0时，x的取值范围；(3)若将此图象沿x轴向左平移3个单位，请写出平移后图象对应的函数解析式．29.已知关于x的一元二次方程5x2+kx-10=0一个根是-5，求k的值及方程的另一个根．30.设x1，x2是方程2x2-6x-1=0的两个实数根，不解方程，求下列代数式的值．（1）x12+x22；（2）（x1-1）（x2-1）．31.已知关于x的方程（m2-1）x2-3（3m-1）x+18=0有两个正整数根（m是正整数）．△ABC的三边a、b、c满足，m2+a2m-8a=0，m2+b2m-8b=0．求：（1）m的值；（2）△ABC的面积．32.如图，有长为24米的篱笆，一面利用墙（墙的最大可用长度为11米），围成中间隔有一道篱笆的长方形花圃．（1）如果要围成面积为45平方米的花圃，那么AD的长为多少米？（2）能否围成面积为60平方米的花圃？若能，请求出AD的长；若不能，请说明理由．答案和解析1.【答案】解：（1）y=x2+2x-3=x2+2x+1-4=（x+1）2-4，所以抛物线的开口向上，对称轴为直线x=-1，顶点坐标为（-1，-4）；（2）∵a=,b=-1,c=3,∴-=-=1，==，所以抛物线的开口向上，对称轴为直线x=1，顶点坐标为（1，）．【解析】（1）利用配方法把一般式变形为顶点式y=（x+1）2-4，然后根据二次函数的性质求解；（2）利用抛物线的顶点坐标公式分别计算出-和的值，然后根据二次函数的性质求解．本题考查了二次函数将一般式化为顶点式的方法：配方法和公式法．2.【答案】解：（1）设销售价格为x元时，当天销售利润为2000元，则（x-20）•[250-10（x-25）]=2000，整理，得：x2-70x+1200=0，解得：x1=30，x2=40（舍去），答：该商品销售价是30元/件；（2）设该商品每天的销售利润为y，则y=（x-20）•[250-10（x-25）]=-10x2-700x+10000=-10（x-35）2+2250，答：当销售单价为35元/件时，销售利润最大．【解析】（1）设销售价格为x元，根据“单件利润×销售量=总利润”列出关于x的方程，解之可得；（2）根据（1）中所列相等关系列出总利润y关于x的函数解析式，配方成顶点式，再利用二次函数的性质求解可得．此题主要考查了二次函数的应用，根据题意利用函数性质得出最值是解题关键．3.【答案】解：（1）方程整理得：（x-1）2=9，开方得：x-1=3或x-1=-3，解得：x1=4，x2=-2；（2）方程整理得：x2+2x=3，配方得：x2+2x+1=4，即（x+1）2=4，开方得：x+1=2或x+1=-2，解得：x1=1，x2=-3；（3）方程整理得：x（x-4）+2（x-4）=0，分解因式得：（x-4）（x+2）=0，解得：x1=4，x2=-2；（4）方程整理得：x2-x-6=0，这里a=1，b=-1，c=-6，∵△=1+24=25，∴x=，解得：x1=3，x2=-2．【解析】此题考查了解一元二次方程-直接开方法、配方法、因式分解法以及公式法，熟练掌握各种求解方法是解本题的关键．（1）方程整理后，利用直接开平方法求出解即可；（2）方程整理后，利用配方法求出解即可；（3）方程整理后，利用因式分解法求出解即可；（4）方程整理为一般形式，找出a，b，c的值，代入求根公式求出解即可．4.【答案】解：（1）y=x2-4x+4-4+5=（x-2）2+1，即y=（x-2）2+1；（2）根据（1）的函数解析式知，对称轴为x=2，顶点坐标为（2，1）；（3）根据（1）、（2）的结论画出二次函数的大致图象（如图所示），从图象中可知，当x＞2时，y随x的增大而增大．【解析】（1）利用配方法先提出二次项系数，再加上一次项系数的一半的平方来凑完全平方式，把一般式转化为顶点式；（2）利用（1）的解析式求该二次函数图象的对称轴和顶点坐标；（3）根据二次函数的图象的单调性解答．此题主要考查了二次函数顶点坐标的求法，二次函数图象的性质．二次函数的解析式有三种形式：（1）一般式：y=ax2+bx+c（a≠0，a、b、c为常数）；（2）顶点式：y=a（x-h）2+k；（3）交点式（与x轴）：y=a（x-x1）（x-x2）．5.【答案】解：（1）根据题意知，y==-x+；（2）根据题意，得：（-x+）x=384，解得：x=18或x=32，∵墙的长度为24m，∴x=18；（3）设菜园的面积是S，则S=（-x+）x=-x2+x=-（x-25）2+∵-＜0，∴当x＜25时，S随x的增大而增大，∵x≤24，∴当x=24时，S取得最大值，最大值为416，答：菜园的最大面积为416m2．【解析】（1）根据“垂直于墙的长度=÷2”可得函数解析式；（2）根据矩形的面积公式列方程求解可得；（3）根据矩形的面积公式列出总面积关于x的函数解析式，配方成顶点式后利用二次函数的性质求解可得．本题主要考查二次函数和一元二次方程的应用，解题的关键是将实际问题转化为一元二次方程和二次函数的问题．6.【答案】解：（1）分解得：（x-8）（x+2）=0，可得x-8=0或x+2=0，解得：x=8或x=-2；（2）方程移项得：x2-2x=9，配方得：x2-2x+1=10，即（x-1）2=10，开方得：x-1=±，解得：x=1±；（3）方程整理得：3x（x-1）+2（x-1）=0，分解因式得：（x-1）（3x+2）=0，解得：x=1或x=-；（4）这里a=2，b=-3，c=-6，∵△=9+48=57，∴x=．【解析】（1）方程利用因式分解法求出解即可；（2）方程利用配方法求出解即可；（3）方程移项后，利用因式分解法求出解即可；（4）方程利用公式法求出解即可．此题考查了解一元二次方程-因式分解法，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键．7.【答案】（1）解：把k=代入y=x2-（2k+1）x+k2+k（k＞0）得y=x2-2x+，因为y=（x-1）2-所以抛物线的顶点坐标为（1，-）；（2）证明：△=（2k+1）2-4（k2+k）=1＞0，所以关于x的一元二次方程x2-（2k+1）x+k2+k=0有两个不相等的实数根．【解析】（1）把k代入抛物线解析式，然后利用配方法可确定抛物线的顶点坐标；（2）计算判别式的值，然后判别式的意义进行证明．本题考查了抛物线与x轴的交点：对于二次函数y=ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0），△=b2-4ac决定抛物线与x轴的交点个数：△=b2-4ac＞0时，抛物线与x 轴有2个交点；△=b2-4ac=0时，抛物线与x轴有1个交点；△=b2-4ac＜0时，抛物线与x轴没有交点．8.【答案】解：（1）由题意，得，解这个方程组，得a=1，b=3，c=-2，所以，这个二次函数的解析式是y=x2+3x-2；（2）y=x2+3x-2=（x+）2-，顶点坐标为（-，-），对称轴是直线x=-．【解析】（1）把已知三点坐标代入求出a，b，c的值，即可确定出解析式；（2）利用顶点坐标公式及对称轴公式求出即可．此题考查了待定系数法求二次函数解析式，以及二次函数的性质，熟练掌握待定系数法是解本题的关键．9.【答案】解：（1）设裤子的定价为每条x元，根据题意，得：（x-50）[50+5（100-x）]=4000，解得：x=70或x=90，答：裤子的定价应该是70元或90元；（2）销售利润y=（x-50）[50+5（100-x）]=（x-50）（-5x+550）=-5x2+800x-27500，=-5（x-80）2+4500，∵a=-5＜0，∴抛物线开口向下．∵50≤x≤100，对称轴是直线x=80，∴当x=80时，y最大值=4500；答：定价为每条80元可以使每天的利润最大，最大利润是4500元．【解析】（1）根据“利润=（售价-成本）×销售量”列出方程求解可得；（2）根据（1）中的相等关系列出二次函数解析式，再转化为顶点式，利用二次函数图象的性质进行解答．本题考查二次函数的实际应用．建立数学建模题，借助二次函数解决实际问题，解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系，列出函数关系式和方程．10.【答案】解：把（1，1）和（2，10）代入y=2x2+bx+c得：，解得：，∴二次函数的解析式为：y=2x2+3x-4，y=2x2+3x-4，=2（x2+x+）--4，=2（x2+x+）-，=2（x+）2-，∴二次函数的顶点坐标为（-，-）．【解析】将（1，1）和（2，10）代入y=2x2+bx+c求得b，c的值，再用配方法求得顶点式，从而得出顶点坐标．本题考查了用待定系数法求二次函数的解析式、以及二次函数解析式的三种形式．11.【答案】解：（1）根据题意得m+2≠0且m2+m-4=2，解得m1=2，m2=-3，所以满足条件的m值为2或-3；（2）当m+2＞0时，抛物线有最低点，所以m=2，抛物线解析式为y=4x2，所以抛物线的最低点为（0，0），当x≥0时，y随x的增大而增大；（3）当m=-3时，抛物线开口向下，函数有最大值；抛物线解析式为y=-x2，所以二次函数的最大值是0，这时，当x≥0时，y随x的增大而减小．【解析】（1）根据二次函数的定义得到m+2≠0且m2+m-4=2，然后解两个不等式即可得到满足条件的m的值为2或-3；（2）根据二次函数的性质得当m+2＞0时，抛物线有最低点，所以m=2，则y=4x2，然后根据二次函数的性质确定顶点坐标和增减性；（3）根据二次函数的性质得到当m=-3时，抛物线开口向下，函数有最大值，则y=-x2，然后根据二次函数的性质确定最大值和增减性．本题考查了二次函数的最值：先把二次函数y=ax2+bx+c（a、b、c为常数，a≠0）配成顶点式为y=a（x+）2+，当a＞0，y最小值=；当a＜0，y最，大值=．也考查了二次函数的定义以及二次函数的性质．12.【答案】解：（1）y=x2+4x-5＝（-8x+10）＝（-8x+16-16+10）＝－＝－（2）根据（1）的函数解析式知，对称轴为直线x=4，顶点坐标为（4，3）.【解析】此题主要考查了用配方法求二次函数顶点坐标和对称轴，要熟知配方法的步骤.（1）利用配方法先提出二次项系数，再加上一次项系数的一半的平方来凑完全平方式，把一般式转化为顶点式；（2）利用（1）的解析式求该二次函数图象的对称轴和顶点坐标.13.【答案】解：（1）3x+2=±5，解得x1=1，x2=-；（2）3x2-4x-1=0，△=（-4）2-4×3×（-1）=28，x===，所以x1=，x2=；（3）（2x+1）2-3（2x+1）=0，（2x+1）（2x+1-3）=0，2x+1=0或2x+1-3=0，解得x1=-，x2=1；（4）（x-2）（x-5）=0，x-2=0或x-5=0，解得x1=2，x2=5．【解析】（1）利用直接开平方法解方程；（2）利用公式法解方程；（3）先移项得到（2x+1）2-3（2x+1）=0，然后利用因式分解法解方程；（4）利用因式分解法解方程．本题考查了解一元二次方程-因式分解法：先把方程的右边化为0，再把左边通过因式分解化为两个一次因式的积的形式，那么这两个因式的值就都有可能为0，这就能得到两个一元一次方程的解，这样也就把原方程进行了降次，把解一元二次方程转化为解一元一次方程的问题了（数学转化思想）．也考查了直接开平方法和公式法解一元二次方程．14.【答案】解：（1）y=-=-（x2-2x+1-1）+=-（x-1）2+2；（2）当x=0时，y=-=，则抛物线与y轴的交点坐标为（0，），当y=0时，-（x-1）2+2=0，解得x1=3，x2=-1，则抛物线与x轴的交点坐标为（3，0），（-1，0），（3）如图，【解析】（1）利用配方法把二次函数的一般式化为顶点式；（2）计算自变量为0对应的函数值得到抛物线与y轴的交点坐标；通过解方程-（x-1）2+2=0得抛物线与x轴的交点坐标；（3）利用描点法画二次函数图象．本题考查了抛物线与x轴的交点：把求二次函数y=ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）与x轴的交点坐标问题转化为解关于x的一元二次方程．15.【答案】解：（1）根据题意得，解得，所以抛物线解析式为y=x2+x+1；（2）设抛物线解析式为y=a（x+1）2-8，把（0，-6）代入得a（0+1）2-8=-6，解得a=2，所以抛物线解析式为y=2（x+1）2-8；（3）抛物线的对称轴为直线x=1，抛物线与x轴的另一个交点坐标为（-1，0），设抛物线解析式为y=a（x-3）（x+1），把（2，-3）代入得a（2-3）（2+1）=-3，解得a=1，所以抛物线解析式为y=（x-3）（x+1），即y=x2-2x-3；（4）当x=0时，y=-x+3=3，则直线与y轴的交点坐标为（0，3），当y=0时，-x+3=0，解得x=2，则直线与x轴的交点坐标为（2，0），设抛物线解析式为y=ax2+bx+c，把（0，3），（2，0），（1，1）代入得，解得，所以抛物线解析式为y=x2-x+3．【解析】（1）把三个已知点的坐标代入得到关于a、b、c的方程组，然后解方程组即可；（2）设顶点式y=a（x+1）2-8，然后把A点坐标代入求出a即可；（3）利用抛物线的对称性得到抛物线与x轴的另一个交点坐标为（-1，0），设交点式y=a（x-3）（x+1），然后把（2，-3）代入求出a即可；（4）先求出直线与坐标轴的交点坐标，然后利用一般式求抛物线解析式．本题考查了待定系数法求二次函数的解析式：在利用待定系数法求二次函数关系式时，要根据题目给定的条件，选择恰当的方法设出关系式，从而代入数值求解．一般地，当已知抛物线上三点时，常选择一般式，用待定系数法列三元一次方程组来求解；当已知抛物线的顶点或对称轴时，常设其解析式为顶点式来求解；当已知抛物线与x轴有两个交点时，可选择设其解析式为交点式来求解．也考查了二次函数性质．16.【答案】解：（1）当每件商品售价为55元时，比每件商品售价50元高出5元，即55-50=5（元），则每天可销售商品450件，即500-5×10=450（件），商场可获日盈利为（55-40）×450=6750（元）．答：每天可销售450件商品，商场获得的日盈利是6750元；（2）设商场日盈利达到8000元时，每件商品售价为x元．则每件商品比50元高出（x-50）元，每件可盈利（x-40）元，每日销售商品为500-10(x-50）=1000-10x（件）．依题意得方程（1000-10x）（x-40）=8000，整理，得x2-140x+4800=0，解得x=60或80．答：每件商品售价为60或80元时，商场日盈利达到8000元．【解析】（1）首先求出每天可销售商品数量，然后可求出日盈利；（2）设商场日盈利达到8000元时，每件商品售价为x元，根据每件商品的盈利×销售的件数=商场的日盈利，列方程求解即可．本题考查了一元二次方程的实际应用，根据每件商品的盈利×销售的件数=商场的日盈利，列出方程是关键．17.【答案】解：（1）设抛物线解析式为y=a（x+1）（x-5），把C（0，5）代入得a•1•（-5）=5，解得a=-1，所以抛物线解析式为y=-x2+4x+5；（2）y=-x2+4x+5=-（x-2）2+9，则M（2，9）所以△MAB的面积=×（5+1）×9=27．【解析】（1）设交点式y=a（x+1）（x-5），然后把C（0，5）代入求出a即可得到抛物线解析式；（2）先把解析式配成顶点式，然后写出M点的坐标，再利用三角形面积公式求解．本题考查了抛物线与x轴的交点：从二次函数的交点式：y=a（x-x1）（x-x2）（a，b，c是常数，a≠0）可直接得到抛物线与x轴的交点坐标（x1，0），（x2，0）．18.【答案】解：（1）设抛物线解析式为y=a（x-1）2+9，把（-1，5）代入得a（-1-1）2+9=5，解得a=-1，所以抛物线解析式为y=-（x-1）2+9；（2）当y=0时，-（x-1）2+9=0，解得x1=4，x2=-2，所以B、C两点的坐标为（-2，0），（4，0），所以△ABC的面积=×9×（4+2）=27．【解析】（1）先利用待定系数法求出抛物线解析式；（2）通过解方程-（x-1）2+9=0得到B、C两点的坐标，然后根据三角形面积公式求解．本题考查了抛物线与x轴的交点：把求二次函数y=ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）与x轴的交点坐标问题转化为解关于x的一元二次方程．19.【答案】解：（1）设抛物线的解析式为y=a（x-1）2-4，把A（-1，0）代入得a•（-1-1）2-4=0，解得a=1，所以抛物线的解析式为y=（x-1）2-4；（2）因为抛物线的对称轴为直线x=1，则点A（-1，0）关于直线x=1的对称点D的坐标为（3，0），所以△ODC的面积=×3×4=6．【解析】（1）由于已知抛物线的顶点坐标，则可设顶点式y=a（x-1）2-4，然后把A点坐标代入求出a的值即可；（2）利用抛物线的对称性易得D点坐标，然后根据三角形面积公式求解．本题考查了待定系数法求二次函数的解析式：在利用待定系数法求二次函数关系式时，要根据题目给定的条件，选择恰当的方法设出关系式，从而代入数值求解．一般地，当已知抛物线上三点时，常选择一般式，用待定系数法列三元一次方程组来求解；当已知抛物线的顶点或对称轴时，常设其解析式为顶点式来求解；当已知抛物线与x轴有两个交点时，可选择设其解析式为交点式来求解．也考查了二次函数的性质．20.【答案】（1）D∵函数y=-+（m-1）x+m（m为常数），∴△=+4m=≥0，则该函数图象与x轴的公共点的个数是1或2，故选D；（2）y=+（m-1）x+m=-+，把x=代入y=得：y==，则不论m为何值，该函数的图象的顶点都在函数y=的图象上；（3）设函数z=，当m=-1时，z有最小值为0；当m＜-1时，z随m的增大而减小；当m＞-1时，z随m的增大而增大，当m=-2时，z=；当m=3时，z=4，则当-2≤m≤3时，该函数图象的顶点坐标的取值范围是0≤z≤4．【解析】解析：（1）表示出根的判别式，判断其正负即可得到结果；（2）将二次函数解析式配方变形后，判断其顶点坐标是否在已知函数图象即可；（3）根据m的范围确定出顶点纵坐标范围即可．此题考查了抛物线与x轴的交点，以及二次函数的性质，熟练掌握二次函数的图象与性质是解本题的关键．21.【答案】解：（1）∵A（-1，0），C（0，5），D（1，8）三点在抛物线y=ax2+bx+c 上，∴ 解方程组得，∴抛物线的解析式为y=-x2+4x+5；（2）连接OM，如图，∵y=-x2+4x+5=-（x-2）2+9，∴M（2，9），∵抛物线的对称轴为直线x=2，∴B（5，0），∴S△BCM=S△OCM+S△BOM-S△OBC=×5×2+×5×9-×5×5=15；（3）x＜0或x＞2．【解析】（1）把A点、C点和D点坐标代入y=ax2+bx+c得到关于a、b、c的方程组，然后解方程求出a、b、c即可得到抛物线解析式；（2）连接OM，如图，先把（1）中解析式配成顶点式得到M（2，9），再利用对称性得到B（5，0），然后利用S△BCM=S△OCM+S△BOM-S△OBC进行计算；（3）观察函数图象，写出一次函数图象在抛物线上方所对应的自变量的范围即可．本题考查了二次函数与不等式（组）：利用两个函数图象在直角坐标系中的上下位置关系求自变量的取值范围，可作图利用交点直观求解，也可把两个函数解析式列成不等式求解．也考查了待定系数法求抛物线解析式．22.【答案】解：（1）∵抛物线y1=ax2+2ax+1与x轴有且仅有一个公共点A，∴△=4a2-4a=0，而a≠0，∴a=1；（2）抛物线的解析式为y=x2+2x+1=（x+1）2，∴A（-1，0），把A（-1，0）代入y=kx+b得-k+b=0，解得b=k，∴一次函数解析式为y=kx+k，当x=0时，y=kx+k=k，则C（0，k），∵点C是线段AB的中点，∴B（1，2k），把B（1，2k）代入y=x2+2x+1得2k=1+2+1，解得k=2，∴直线AB的解析式为y=2x+2；（3）当x≤-1或x≥1时，y1≥y2．【解析】（1）根据判别式的意义得到△=4a2-4a=0，然后解方程和根据二次函数的定义可确定a的值；（2）把抛物线的解析式配成顶点式得到A（-1，0），则把A点坐标代入y=kx+b 中得b=k，所以一次函数解析式为可表示为y=kx+k，则C（0，k），利用线段中点坐标公式得到B（1，2k），然后把B（1，2k）代入y=x2+2x+1求出k即可得到直线AB的解析式；（3）利用函数图象，写出抛物线在直线AB上方所对应的自变量的范围即可．本题考查了二次函数与不等式（组）：利用两个函数图象在直角坐标系中的上下位置关系求自变量的取值范围，可作图利用交点直观求解，也可把两个函数解析式列成不等式求解．也考查了抛物线与x轴的交点和二次函数的性质．23.【答案】1＜x＜2；x≤0或x≥3【解析】解：（1）x2-3x+2＜0的解集为1＜x＜2；x2-3x≥0的解集为x≤0或x≥3；故答案为1＜x＜2；x≤0或x≥3；（2）令y=-x2-2x+3=-（x+1）2+4，画出y=-x2-2x+3的图象，如图所示，由图象可知当-3＜x＜1时，y＞0，所以一元二次不等式-x2-2x+3＞0的解集为-3＜x＜1．（1）利用题中的函数图象写出抛物线在x轴下方对应的自变量的范围得到x2-3x+2＜0的解集；函数值y=x2-3x+2≥2对应的自变量的范围得到x2-3x≥0的解集；（2）先画出y=-x2-2x+3的图象，然后写出函数图象在x轴上方所对应的自变量的范围即可．本题考查了二次函数与不等式（组）：利用两个函数图象在直角坐标系中的上下位置关系求自变量的取值范围，可作图利用交点直观求解．24.【答案】解：（1）∵点A（1，0）在抛物线y=-x2+bx+2上，∴-+b+2=0，解得，b=-，抛物线的解析式为y=-x2-x+2，y=-x2-x+2=-（x+）2+，则顶点D的坐标为（-，）；（2）△ABC是直角三角形，证明：点C的坐标为（0，2），即OC=2，-x2-x+2=0，解得，x1=-4，x2=1，则点B的坐标为（-4，0），即OB=4，OA=1，OB=4，∴AB=5，由勾股定理得，AC=，BC=2，AC2+BC2=25=AB2，∴△ABC是直角三角形；（3）由抛物线的性质可知，点A与点B关于对称轴对称，连接BC交对称轴于M，此时△ACM的周长最小，设直线BC的解析式为：y=kx+b，由题意得，，解得，，则直线BC的解析式为：y=x+2，当x=-时，y=，∴当M的坐标为（-，）．【解析】（1）把点A的坐标代入解析式，求出b，利用配方法求出抛物线的顶点坐标；（2）解一元二次方程求出OB，根据勾股定理求出AC、BC，根据勾股定理的逆定理判断即可；（3）连接BC交对称轴于M，由轴对称的性质得到此时△ACM的周长最小，利用待定系数法求出直线BC的解析式，求出点M的坐标．本题考查的是抛物线与x轴的交点问题，掌握二次函数与一元二次方程的关系、待定系数法求二次函数解析式的一般步骤、轴对称-最短路径问题是解题的关键．25.【答案】解：（1）x（x-3）=0，所以x1=0，x2=3；（2）（2x-5+x+4）（2x-5-x-4）=0，2x-5+x+4=0或2x-5-x-4=0，所以x1=，x2=9；（3）（x-4）（x+2）=0，所以x1=4，x2=-2；（4）（x+1）（x+2）-2（x+2）=0，（x+2）（x+1-2）=0，所以x1=-2，x2=1；（5）3（x-2）2-（x+2）（x-2）=0，（x-2）（3x-6-x-2）=0，x-2=0或3x-6-x-2=0，所以x1=2，x2=4；（6）（x+13）（x-11）=0，所以x1=-13，x2=11．【解析】本题考查了解一元二次方程-因式分解法：先把方程右边变形为0，然后把方程左边进行因式分解，这样把一元二次方程转化为两个一元一次方程，再解一次方程可得到一元二次方程的解．（1）利用因式分解法解方程；（2）利用因式分解法解方程；（3）利用因式分解法解方程；（4）先变形为（x+1）（x+2）-2（x+2）=0，再利用因式分解法解方程；（5）先变形为3（x-2）2-（x+2）（x-2）=0，再利用因式分解法解方程；（6）利用因式分解法解方程．26.【答案】（1）证明：△=（m+3）2-4（m+1）=m2+6m+9-4m-4=m2+2m+5=（m+1）2+4，∵（m+1）2≥0，∴（m+1）2+4＞0，则无论m取何实数时，原方程总有两个不相等的实数根；（2）解：关于x的一元二次方程x2+（m+3）x+m+1=0，利用公式法解得：x=，要使原方程的根是整数，必须使得（m+1）2+4是完全平方数，设（m+1）2+4=a2，变形得：（a+m+1）（a-m-1）=4，∵a+m+1和a-m-1的奇偶性相同，可得或，解得：或，将m=-1代入x=，得x1=-2，x2=0符合题意，∴当m=-1时，原方程的根是整数．【解析】（1）表示出根的判别式，配方后得到根的判别式大于0，进而确定出方程总有两个不相等的实数根；（2）由（1）得到方程有两个不相等的实数根，利用求根公式表示出解，要使原方程的根是整数，必须使得（m+1）2+4是完全平方数，设（m+1）2+4=a2，变形得：（a+m+1）（a-m-1）=4，由a+m+1和a-m-1的奇偶性相同，列出方程组，求出方程组的解得到a与m的值，代入解中检验即可得到满足题意m的值．此题考查了根的判别式，以及求根公式，根的判别式的值大于0，方程有两个不相等的实数根；根的判别式的值等于0，方程有两个相等的实数根；根的判别式的值小于0，方程没有实数根．27.【答案】解：（1）根据题意得△=4（m+1）2-4（m2+5）≥0，解得m≥2，x1+x2=2（m+1），x1x2=m2+5，∵（x1-1）（x2 -1）=28，即x1x2-（x1+x2）+1=28，∴m2+5-2（m+1）+1=28，整理得m2-2m-24=0，解得m1=6，m2=-4，而m≥2，∴m的值为6；（2）若x1=7时，把x=7代入方程得49-14（m+1）+m2+5=0，整理得m2-14m+40=0，解得m1=10，m2=4，当m=10时，x1+x2=2（m+1）=22，解得x2=15，而7+7＜15，故舍去；当m=4时，x1+x2=2（m+1）=10，解得x2=3，则三角形周长为3+7+7=17；若x1=x2，则m=2，方程化为x2-6x+9=0，解得x1=x2=3，则3+3＜7，故舍去，所以这个三角形的周长为17．【解析】1）根据判别式的意义可得m≥2，再根据根与系数的关系得x1+x2=2（m+1），x1x2=m2+5，接着利用（x1-1）（x2 -1）=28得到m2+5-2（m+1）+1=28，解得m1=6，m2=-4，于是可得m的值为6；（2）分类讨论：若x1=7时，把x=7代入方程得49-14（m+1）+m2+5=0，解得m1=10，m2=4，当m=10时，由根与系数的关系得x1+x2=2（m+1）=22，解得x2=15，根据三角形三边的关系，m=10舍去；当m=4时，x1+x2=2（m+1）=10，解得x2=3，则三角形周长为3+7+7=17；若x1=x2，则m=2，方程化为x2-6x+9=0，解得x1=x2=3，根据三角形三边的关系，m=2舍去．本题考查了根与系数的关系：若x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的两根时，x1+x2=-，x1x2=．也考查了根的判别式和等腰三角形的性质．28.【答案】解：（1）二次函数的顶点坐标为：x==-1，y==2，当x=0时，y=，当y=0时，x=1或x=-3，图象如图：。
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一元二次方程练习题
1. 解下列方程：（1）2(1)
9x -=； （2）2(21)3x +=；
（3）2(61)250x --=． （4）281(2)16x -=．
2. 用直接开平方法解下列方程：
（1）25(21)
180y -=； （2）21(31)644x +=；
（3）26(2)
1x +=； （4）2()(00)ax c b b a -=≠，≥
3.（1）23(1)
12x +=； （2）2410y y ++=；
（3）2884x
x -=； （4）2310y y ++=．
（5）
()9322=-x ； （6）162=-x x ；
一元二次不等式
2．一元二次不等式20(0)ax bx c a ++>>与相应的函数2(0)y ax bx c a =++>、相应的方程2
0(0)ax bx c a ++=>之间
1、把二次项的系数变为正的。
（如果是负，那么在不等式两边都乘以-1，把系数变为正）
2、解对应的一元二次方程。
（先看能否因式分解，若不能，再看△，然后求根）
3、求解一元二次不等式。
（根据一元二次方程的根及不等式的方向）
一、解下列一元二次不等式：
1、0652>++x x
2、0652≤--x x
3、01272<++x x
4、0672≥+-x x
5、0122<--x x
6、0122>-+x x
7、2230x x --+≥ 8、0262≤+--x x 9、0532>+-x x
10、0142562≤++x x 11、0941202≤+-x x 12、(2)(3)6x x +-<
13 、 x 2-4x+1
3x 2-7x+2 ≤1
二、解答题
1、若对于一切实数x ，mx 2－mx －1<0恒成立，求m 的取值范围。
2、若不等式ax 2＋bx －2>0的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫
x |－2<x <－14，求a ，b 的值。
3、已知对于任意实数x ，22kx x k -+恒为正数，求实数k 的取值范围．。