高中数学学业分层测评1回归分析的基本思想及其初步应用含解析新人教A版选修1-2

________万元．
^
^
【解析】 以 x＋1 代 x，得y＝0.254(x＋1)＋0.321，与y＝0.254x＋0.321 相减可得，
年饮食支出平均增加 0.254 万元．
【答案】 0.254
三、解答题
9．(2016·包头高二检测)关于某设备的使用年限 x 和所支出的维修费用 y(万元)，有
如下的统计资料：
^ 乙模型y＝7x＋17，试比较哪一个模型拟合的效果更好．
5
∑^ yi－yi2
i＝1
【解】 R甲2 ＝1－ 5
155 ＝1－ ＝0.845，
1 000
∑yi－y2
i＝1
5
∑^ yi－yi2
i＝1
R乙2 ＝1－ 5
180 ＝1－ ＝0.82，
1 000
∑yi－y2
i＝1
因为 84.5%>82%，所以甲模型拟合效果更好．
2
所以当温差为 14 ℃时的发芽数约为 32 颗.
【解析】 结合线性回归模型 y＝bx＋a＋e 可知，解释变量在 x 轴上，预报变量在 y 轴
上，故选 B.
【答案】 B
2．(2016·泰安高二检测)在回归分析中，相关指数 R2 的值越大，说明残差平方和( )
A．越大
B．越小Байду номын сангаас
C．可能大也可能小
D．以上均错
n
∑^ yi－yi2
i＝1
【解析】 ∵R2＝1－ n
某人 36 岁，那么这个人的脂肪含量( ) 【导学号：19220003】
A．一定是 20.3% B．在 20.3%附近的可能性比较大 C．无任何参考数据 D．以上解释都无道理
^ 【解析】 将 x＝36 代入回归方程得y＝0.577×36－0.448≈20.3.由回归分析的意义
知，这个人的脂肪含量在 20.3%附近的可能性较大，故选 B.
D．72.0 万元
^^ 【解析】 样本点的中心是(3.5,42)，则a＝y－bx＝42－9.4×3.5＝9.1，所以回归直
^
^
线方程是y＝9.4x＋9.1，把 x＝6 代入得y＝65.5.
【答案】 B
二、填空题
6．在一组样本数据(x1，y1)，(x2，y2)，…，(xn，yn)(n≥2，x1，x2，…，xn 不全相等)
【答案】 B
5．某产品的广告费用 x 与销售额 y 的统计数据如下表：
广告费用 x(万元)
4
2
3
5
销售额 y(万元)
49
26
39
54
^^ ^ ^ 根据上表可得回归方程y＝bx＋a中的b为 9.4，据此模型预报广告费用为 6 万元时销售
额为( )
A．63.6 万元
B．65.5 万元
C．67.7 万元
【解析】 由题意可知，所减分数 y 与模拟考试次数 x 之间为负相关，所以排除 A.考
1
1
试次数的平均数为x＝ ×(1＋2＋3＋4)＝2.5，所减分数的平均数为y＝ ×(4.5＋4＋3＋
4
4
2.5)＝3.5.即直线应该过点(2.5,3.5)，代入验证可知直线 y＝－0.7x＋5.25 成立，选 D.
，∴当 R2 越大时，
∑yi－y2
i＝1
n
∑^ (yi－yi)2 越小，即残差平方和越小，故选 B.
i＝1
【答案】 B
3．(2016·西安高二检测)已知 x 和 y 之间的一组数据
x
0
1
2
3
y
1
3
5
7
^^ ^ 则 y 与 x 的线性回归方程y＝bx＋a必过点( )
A．(2,2)
5
5
307＋t
54.9 过样本点的中心(x，y)，所以
＝0.67×30＋54.9，
5
解得 t＝68.
【答案】 68
8．调查了某地若干户家庭的年收入 x(单位：万元)和年饮食支出 y(单位：万元)，调查
显示年收入 x 与年饮食支出 y 具有线性相关关系，并由调查数据得到 y 对 x 的回归直线方程：
^ y＝0.254x＋0.321.由回归直线方程可知，家庭年收入每增加 1 万元，年饮食支出平均增加
x
2
3
4
5
6
y
2.2
3.8
5.5
6.5
7.0
如由资料可知 y 对 x 呈线性相关关系．试求：
n
－－ xiyi－n x y
∑ ^
^－ ^ i＝1
(1)线性回归方程： a＝y－b x ，b＝ n
( ∑ )x2i－nx2
i＝1
(2)估计使用年限为 10 年时，维修费用是多少？
2＋3＋4＋5＋6
【解】 (1)x＝
1
的散点图中，若所有样本点(xi，yi)(i＝1,2，…，n)都在直线
y＝ x＋1 2
上，则这组样本数
据的样本相关系数为________．
【解析】 根据样本相关系数的定义可知，当所有样本点都在直线上时，相关系数为 1.
【答案】 1
7．已知回归直线的斜率的估计值为 1.23，样本点的中心为(4,5)，则回归直线方程是
■
75
81
89
^ 由最小二乘法求得回归方程为y＝0.67x＋54.9，现发现表中有一个数据模糊不清，请推
断该点数据的值为________．
1 【解析】 由题意可得x＝ (10＋20＋30＋40＋50)＝30，
5
1
307＋t
^
设要求的数据为 t，则有y＝ (62＋t＋75＋81＋89)＝
，因为回归直线y＝0.67x＋
[能力提升]
1．某学生四次模拟考试时，其英语作文的减分情况如下表：
考试次数 x
1
2
3
4
所减分数 y
4.5
4
3
2.5
显然所减分数 y 与模拟考试次数 x 之间有较好的线性相关关系，则其线性回归方程为
( )
A．y＝0.7x＋5.25
B．y＝－0.6x＋5.25
C．y＝－0.7x＋6.25
D．y＝－0.7x＋5.25
^
^
C.b<b′，a>a′
^
^
D.b<b′，a<a′
【解析】 根据所给数据求出直线方程 y＝b′x＋a′和回归直线方程的系数，并比较 大小．
由(1,0)，(2,2)求 b′，a′. 2－0
b′＝ ＝2， 2－1
a′＝0－2×1＝－2.
^^ 求b，a时，
6
∑xiyi＝0＋4＋3＋12＋15＋24＝58，
^ 所以线性回归方程为y＝1.23x＋0.08.
^ (2)当 x＝10 时，y＝1.23×10＋0.08＝12.38(万元)，
即估计使用 10 年时维修费用是 12.38 万元．
10．关于 x 与 y 有如下数据：
x
2
4
5
6
8
y
30
40
60
50
70
^ 为了对 x，y 两个变量进行统计分析，现有以下两种线性模型：甲模型y＝6.5x＋17.5，
i＝1
13 x＝3.5，y＝ ，
6
6
∑x2i＝1＋4＋9＋16＋25＋36＝91，
i＝1
13
58－6 × 3.5 ×
^
65
∴b＝
＝，
91－6 × 3.52 7
^ 13 5
13 5 1
a＝ － ×3.5＝ － ＝－ ，
67
62 3
^
^
∴b<b′，a>a′.
【答案】 C
3．(2016·江西吉安高二检测)已知 x，y 的取值如下表所示，由散点图分析可知 y 与 x
10
11
13
12
8
发芽 y(颗)
23
25
30
26
16
该农科所确定的研究方案是：先从这 5 组数据中选取 3 组数据求线性回归方程，剩下的 2
组数据用于回归方程检验．
(1)若选取的是 12 月 1 日与 12 月 5 日的 2 组数据，请根据 12 月 2 日至 12 月 4 日的数据， ^^ ^
求出 y 关于 x 的线性回归方程y＝bx＋a；
【答案】 D
2．已知 x 与 y 之间的几组数据如下表：
x
1
2
3
4
5
6
y
0
2
1
3
3
4
^^ ^ 假设根据上表数据所得线性回归直线方程为y＝bx＋a.若某同学根据上表中的前两组数
据(1,0)和(2,2)求得的直线方程为 y＝b′x＋a′，则以下结论正确的是( )
^
^
A.b>b′，a>a′
^
^
B.b>b′，a<a′
线性相关，且线性回归方程为 y＝0.95x＋2.6，那么表格中的数据 m 的值为________.
x
0
1
3
4
y
2.2
4.3
4.8
m
0＋1＋3＋4
2.2＋4.3＋4.8＋m 11.3＋m － －
【解析】 x＝
＝2，y＝
＝
，把( x ， y )代入回归
4
4
4
11.3＋m
方程得
＝0.95×2＋2.6，解得 m＝6.7.
( )3
B. ，0 2
C．(1,2)
( )3
D. ，4 2
1
31
【解析】 ∵x＝ (0＋1＋2＋3)＝ ，y＝ (1＋3＋5＋7)＝4，
4
24