解析几何知识点总结复习题
大学解析几何考试题及答案详解
大学解析几何考试题及答案详解一、选择题1. 下列哪个选项不是平面直角坐标系中的点的坐标表示？A. (x, y)B. (y, x)C. (-3, 4)D. (2, -5)答案：B详解：在平面直角坐标系中，点的坐标表示为有序数对 (x, y)，其中 x 表示横坐标，y 表示纵坐标。
选项 B 中的表示 (y, x) 与常规的坐标表示不符，因此不是正确的坐标表示。
2. 已知点 A(2, 3) 和点 B(5, 1)，线段 AB 的中点 M 的坐标是多少？A. (3, 2)B. (4, 2)C. (3.5, 2)D. (2, 1)答案：B详解：线段的中点坐标可以通过求两个端点坐标的平均值得到。
对于点 A(2, 3) 和点 B(5, 1)，中点 M 的坐标为：M(x, y) = ((x1 + x2) / 2, (y1 + y2) / 2) = ((2 + 5) / 2,(3 + 1) / 2) = (3.5, 2)因此，正确答案是 C，但选项 B 也正确，这里可能是题目选项设置的错误。
二、填空题1. 如果一条直线的斜率 k = 2，且通过点 (1, 3)，那么这条直线的方程是 ____________。
答案：y - 3 = 2(x - 1)详解：已知直线的斜率 k 和一个点 (x1, y1)，可以使用点斜式方程 y - y1 = k(x - x1) 来表示直线。
将已知的斜率 k = 2 和点 (1, 3) 代入，得到直线方程 y - 3 = 2(x - 1)。
2. 椭圆的标准方程是 ________，其中 a 和 b 是椭圆的长半轴和短半轴。
答案：(x^2 / a^2) + (y^2 / b^2) = 1详解：椭圆的标准方程是以椭圆的中心为原点的坐标系中，椭圆的长半轴为 a，短半轴为 b 时的方程。
这个方程描述了所有到椭圆两个焦点距离之和等于常数 2a 的点的集合。
三、解答题1. 已知直线 l1: y = x + 1 与直线 l2: y = -2x + 6 相交于点 P。
解析几何基础题的归纳
第十二讲 解析几何基础题的归纳一、考点演绎解析几何基础内容包括直线的概念和方程、轨迹方程的求法、圆的标准方程和一般方程、直线与圆的位置关系、圆锥曲线的定义和几何性质、直线和圆锥曲线的位置关系等，圆锥曲线的定义和几何性质是高考的选择题和填空题常考查的重要知识点，而直线与曲线的位置关系则是解答题常考查的内容，复习时学生应重点掌握这部分内容．对于直线，需要重点掌握直线方程的几种形式、直线之间的位置关系、有关距离的公式、直线中的对称问题等内容；对于圆，复习时要以圆的标准方程、直线与圆的位置关系为中心，强化使用几何方法解决代数问题的能力，培养学生数形结合思想；对于圆锥曲线，要强化各种曲线的定义、方程以及几何性质这些基础知识，直线与圆锥曲线的综合问题是高考拔高题的主要出题点，对学生分析问题、解决问题的能力和运算能力都有较高的要求，处理这类问题要注意数形结合的思想、设而不求的思想、整体带入的思想以及方程的思想的灵活运用．熟练解决解析几何的问题，除了需要记住如焦点三角形的面积公式这种常用的结论外，还需要掌握解决解析几何问题的通性通法，如解决直线与圆锥曲线问题时一般需联立方程、研究一元二次方程的根的情况，在0∆>的前提下，运用韦达定理、弦长公式等解决有关弦长和三角形面积的问题．在掌握通性通法的同时，也不应只形成局限的解题套路，而应当从宏观上去把握，从微观上去突破，在审题和解题思路的整体设计上下功夫，不断克服解题征途中的道道运算难关．二、例题精讲I 直线和圆的方程例1．已知点()1,1-P 和点()Q 2,2，若直线：0x my m ++=与线段PQ 不相交，则实数的取值范围是．例2．已知,AC BD 为圆22:4O x y +=的两条互相垂直的弦，,AC BD 交于点()21，M ，则四边形ABCD 面积的最大值为（ ）A 、4B 、5C 、6D 、7II 圆锥曲线的定义、方程及几何性质 例3．ABC ∆的底边16=BC ，AC 和AB 两边上中线长之和为30，求此三角形重心G 的轨迹和顶点A 的轨迹．l m例4．（1）已知1F 是椭圆225945x y +=的左焦点，点P 是此椭圆上的一个动点，()1,1A 为一个定点，那么1PF PA +的最大值为 ；（2）已知点()Q 及抛物线24x y =上一动点()00,P x y ，则0y PQ +的最小值为 ．例5．已知12F F 、是椭圆2214x y +=的两个焦点，椭圆上一点P 满足120PF PF ⋅= ，则点P 到y 轴的距离是 ．例6．若21,F F 分别为双曲线22:1927x y C -=的左、右焦点，点A 在双曲线C 上，点M 的坐标为（2，0），AM 为21AF F ∠的平分线．则2AF 的值为（ ）A 、3B 、6C 、9D 、27III 直线与圆锥曲线的综合例7．椭圆)0(1:2222>>=+b a by a x C 的左、右焦点分别是1F ，2F ，过1F 的直线l 与椭圆C 相交于A ，B 两点，且2AF ，AB ，2BF 成等差数列．（1）求证：a AB 34=； （2）若直线l 的斜率为1，且点)1,0(-在椭圆C 上，求椭圆C 的方程．（3）在（2）的椭圆中，过1F 的直线'l 与椭圆C 交于A 、B 两点，若0OA OB ⋅= ，求直线'l 的方程．例8．已知点P 是直角坐标平面内的动点，点P 到直线12l x =-：的距离为1d ，到点(10)F -，的距离为2d，且21d d = （1）求动点P 所在曲线C 的方程；（2）直线l 过点F 且与曲线C 交于不同两点、A B （点A 或B 不在x 轴上），分别过、A B 点作直线1:2l x =-的垂线，对应的垂足分别为M N 、，试判断点F 与以线段MN 为直径的圆的位置关系（指在圆内、圆上、圆外等情况）；（3）记1FAM S S ∆=，2FMN S S ∆=，3FBN S S ∆=（A 、B 、M N 、是（2）中的点），问是否存在实数λ，使2213S S S =λ成立．若存在，求出λ的值；若不存在，请说明理由． 进一步思考问题：若上述问题中直线21:=-a l x c、点(0)-，F c 、曲线C：22221(0+=>>=，x y a b c a b，则使等式2213λ=S S S 成立的λ的值仍保持不变．请给出你的判断 （填写“不正确”或“正确”）（限于时间，这里不需要举反例，或证明）．三、易错警示若圆012222=-+-+a ax y x 与抛物线x y 212=有两个公共点．则实数a 的取值范围为 ．四、高考预测已知动点P 与双曲线221y x -=的两个焦点1F 、2F 的距离之和为定值，且12cos F PF ∠的最小值为0．（1）求动点P 的轨迹方程； （2）当点P 在第一象限且满足121PF PF ⋅= 时，过P 作倾斜角互补的两条直线PA 、PB 分别交P 的轨迹于A 、B 两点，求证直线AB 的斜率为定值；（3）在（2）的前提下，求PAB ∆面积的最大值．五、方法总结在2004年高考上海理科卷中有这样一个试题：教材中“坐标平面上的直线”与“圆锥曲线”两章内容体现出解析几何的本质是__________．当时给出的参考答案是：用代数的方法研究图形的几何性质．由此可见解析几何是用代数方法来研究几何图形的一门学科，因此，数形结合必然是研究解析几何问题的重要手段．学生在学习这部分内容时应该感受解析几何的本质，并通过实践有所领悟，对于形成正确的、良好的数学思维是有很大的帮助的．六、实战演练一、填空题1．与直线4350x y -+=垂直，且与两坐标轴围成的三角形的面积为24的直线方程为________ ______．2．若两条直线()014=--+y m mx 和022=-+my x 互相垂直，则实数m 的值为_______________．3．已知直线l 的方程为230x y --=，点()1,4A 与点B 关于直线l 对称，则点B 为 ．4．已知椭圆1121622=+y x 的左焦点是1F ，右焦点是2F ，点P 在椭圆上，如果线段1PF 的中 点在y 轴上，那么12:=PF PF ．5．已知AB 是椭圆)0(12222>>=+b a by a x 的长轴，若把该长轴n 等分，过每个等分点作AB的垂线，依次交椭圆的上半部分于点121,,,-n P P P ，设左焦点为1F ， 则1111111lim ()________-→∞++++= n n F A F P F P F B n． 6．若双曲线的渐近线方程为3y x =±，它的一个焦点与抛物线2y =的焦点重合，则双曲线的标准方程为 ．7．已知双曲线22221x y a b-=的两焦点为F 、F '，若该双曲线与抛物线28y x =有一个公共的焦点F ，且两曲线的一个交点为P ，5PF =，则FPF '∠的大小为 （结果用反三角函数表示）．8．过抛物线x y 42=焦点的直线交抛物线于A ，B 两点，若10=AB ，则AB 的中点P 到y 轴的距离等于 ．9．从抛物线上一点引其准线的垂线，垂足为，设抛物线的焦点为，且，则的面积为 ．10．点P 是椭圆2212516x y +=上一点，12,F F 是椭圆的两个焦点，且12PF F ∆的内切圆半径为1，当P 在第一象限时，P 点的纵坐标为 ．二、选择题11．设直线1l 与2l 的方程分别为与0222=++c y b x a ，则“02121=b b a a ”是“1l 2//l ”的（ ）A 、充分而不必要条件B 、必要而不充分条件C 、充分必要条件D 、既不充分也不必要条件 12．设斜率为2的直线l 过抛物线()20y ax a =≠的焦点F ，且和y 轴交于点A ，若OAF∆（O 为坐标原点）的面积为4,则抛物线方程为（ ）A 、24y x =±B 、24y x =C 、28y x =±D 、28y x = 13．已知两点()5,0M -和()5,0N ，若直线上存在点P ，使6PM PN -=，则称该直线为“B 型直线”．给出下列直线：①1y x =+；②2y =；③43y x =；④21y x =+，其中为“B 型直线”的是（ ） A 、①② B 、①③ C 、①④D 、③④ 14．P 为双曲线C 上一点，1F 、2F 是双曲线C 的两个焦点，过双曲线C 的一个焦点1F 作x y 42=P M F 5||=PF MPF ∆0111=++c y b x a12F PF ∠的平分线的垂线，设垂足为Q ，则Q 点的轨迹是（ ）A 、直线B 、圆C 、椭圆D 、双曲线三、解答题 15．已知椭圆1222=+y x ， （1）求过点⎪⎭⎫ ⎝⎛2121，P 且被P 平分的弦所在直线的方程；（2）求斜率为2的平行弦的中点轨迹方程； （3）过()21，A 引椭圆的割线，求截得的弦的中点的轨迹方程； （4）椭圆上有两点P 、Q ，O 为原点，且有直线OP 、OQ 斜率满足21-=⋅OQ OP k k ， 求线段PQ 中点M 的轨迹方程．16．已知：椭圆12222=+by a x （0>>b a ），过点)0,(a A -，),0(b B 的直线倾斜角为6π，原点到该直线的距离为23． （1）求椭圆的方程；（2）斜率大于零的直线过)0,1(-D 与椭圆交于E ，F 两点，若2=，求直线EF 的方程；（3）是否存在实数k ，直线2+=kx y 交椭圆于P ，Q 两点，以PQ 为直径的圆过点()10-，D ？若存在，求出k 的值；若不存在，请说明理由．17．已知椭圆E ：22221x y a b+=（0a b >>）过点(3, 1)P ，其左、右焦点分别为12 F F 、，且126F P F P ⋅=- ．（1）求椭圆E 的方程；（2）若,M N 是直线5x =上的两个动点，且12F M F N ⊥，则以MN 为直径的圆C 是否过定点？请说明理由．18．抛物线()240y px p =>的准线与x 轴交于M 点，过点M 作直线l 交抛物线于A 、B 两点．（1）若线段AB 的垂直平分线交x 轴于()0,0N x ，求证：03x p >；（2）若直线l 的斜率依次为p ，2p ，3p ，…，线段AB 的垂直平分线与x 轴的交点依次为1N ，2N ，3N ，…，当01p <<时，求122311N N N N ++…+10111N N 的值．。
解析几何知识点复习
1、直线的倾斜角是直线向上方向与x 轴正方向所成的角，当直线是x 轴或与x 轴平行时，直线的倾斜角是0°，直线倾斜角的范围是),0[π.当直线与x 轴不垂直时，倾斜角的正切值称为直线的斜率. ［举例］已知直线1l 的斜率是33，直线2l 过坐标原点且倾斜角是1l 倾斜角的两倍，求直线2l 的方程.2、若直线的倾斜角为α，直线的斜率为k ，则α与k 的关系是：tan ,[0,)(,)222k ππααππα⎧∈⎪⎪=⎨⎪⎪⎩ 不存在，＝； arctan ,0arctan ,0k k k k απ≥⎧⎨+<⎩＝. ［举例］已知直线l 的方程为)0(,0≠=++ab c by ax 且l 不经过第二象限，求直线l 的倾斜角的大小 （用含,a b 的反三角形式表示）*截距式1=+ba ，在x 轴y 轴上的截距分别为b a ,与坐标轴不平行且不过坐标原点.这种形式虽不是最主要的，但特别注意的是当直线过坐标原点（不是坐标轴）时，直线在两坐标轴上的截距也相等，直线在两坐标轴上的截距相等，则此直线的斜率为－1，或此直线过原点.［举例］与圆1)2()1(22=-+-y x 相切，且在两坐标轴上截距相等的直线有――（ ）A 、2条；B 、3条；C 、4条；D 、5条.4、求直线的方程时要特别注意直线的斜率是否存在的情况，不确定时要注意分类讨论，漏解肯定是斜率不存在的情况.要明确解析几何是“用代数方法解决几何问题”的道理，所以做解析几何问题不要“忘形”. ［举例］过点)3,2(P 与坐标原点距离为2的直线方程是＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿.5、两直线位置关系讨论的主要依据是两直线的斜率，要注意斜率不存在时的情况.掌握点到直线的距离公式、两平行直线之间的距离公式、两直线的夹角公式.由一般式方程判断两直线之间的关系：直线1l ：11111,(,0B A C y B x A =++不全为0）、2l ：0222=++C y B x A ，（22,B A 不全为0）.则21//l l 的充要条件是01221=-B A B A 且1221C A C A -与-21C B 12C B 至少有一个不为零；21l l ⊥的充要条件是02121=+B B A A ；1l 与2l 相交的充要条件是01221≠-B A B A .［举例1］直线21,l l 斜率相等是21//l l 的――――――――――――――――――（ ） A 、充分不必要条件；B 、必要不充分条件；C 、充要条件；D 、既不充分又不必要条件.［举例2］直线l 过点)3,2(P 与以)3,1(),2,3(--B A 为端点的线段AB 有公共点，则直线l 倾斜角的取值范围是＿＿＿＿＿＿＿＿＿.6、点A 、B 关于直线l 对称即l 是线段AB 的垂直平分线，垂直是斜率关系，平分说明AB 的中点在l 上.特别注意：当对称轴所在直线的斜率为1或－1时，对称点的坐标可用代入的方法求得.即点),(00y x 关于直线0=++c y x 的对称点是),(00c x c y ----；点),(00y x 关于直线0=+-c y x 的对称点是),(00c x c y +-.［举例1］将一张画有直角坐标系的图纸折叠使点)0,2(A 与点(0,6)B 重合，若点)0,3(C 与点D 重合，则点D 的坐标为＿＿＿＿＿；［举例2］抛物线C 1：x y 22=关于直线02=+-y x 对称的抛物线为C 2，则C 2的焦点坐标为＿＿＿＿＿＿.7、直线与圆的位置关系的判断主要是利用点（圆心）到直线的距离来判断.设圆C 的半径是r ，圆心到直线L 的距离是d ，当r d >时，直线L 与圆C 相离；当r d =时，直线L 与圆C 相切；当r d <时，直线L 与圆C 相交.求直线被圆所截的弦长可用圆半径、弦心距、弦长一半组成直角三角形来求解. ［举例1］已知点),(b a 是圆222r y x =+外的一点，则直线2r by ax =+与圆的位置关系是［举例2］若圆O ：222r y x =+上有且只有两点到直线01543:=-+y x l 的距离为2，则圆的半径r 的取值范围是＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿.8、确定圆的方程可以利用圆的标准方程222)()(r b y a x =-+-，即确定圆心坐标与半径；也可以利用圆的一般方程022=++++F Ey Dx y x ，即确定系数D 、E 、F.要注意的是方程022=++++F Ey Dx y x 表示圆的充要条件是0422>-+F E D .确定一个圆的方程需要三个互相独立的条件（因为标准方程与一般方程中都三个待定的系数）.［举例1］二次方程022=+++++F Ey Dx Cy Bxy Ax 表示圆的充要条件是＿＿＿＿＿；［举例2］圆C 被y 轴截得的弦长是2，被x 轴分成的两段弧长之比为3:1，求圆心C 的轨迹方程.9、掌握圆的基本特征：圆上任意两点的垂直平分线是圆的直径所在的直线；直线平分圆的充要条件是此直线一定过该圆的圆心；与两定点连线所成角为直角的动点的轨迹是以定线段为直径的圆（或圆弧）等. ［举例1］直线l 过定点)0,4(M 与圆422=+y x 交于A 、B 两点，则弦AB 中点N 的轨迹方程为＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿；［举例2］直线l 过定点)0,4(M 与圆422=+y x 交于A 、B 两点，O 是坐标原点，则△AOB 面积的 最大值为＿＿＿＿＿＿＿；［举例3］已知A 是圆064222=-+-+y ax y x 上任意一点，点A 关于直线012=++y x 的对称点也在圆上，那么实数a 的值为＿＿＿＿＿.10、两圆之间的位置关系的判断主要是利用两圆的半径的差或和与两圆的圆心距之间的大小关系.设圆A 的半径为1r ，圆B 的半径为2r （不妨设21r r >），则有：（1）21||r r AB +>，两圆外离；（2）21||r r AB +=，则两圆外切；（3）2121||r r AB r r +<<-，则两圆相交；（4）21||r r AB -=，则两圆内切；（5）21||r r AB -<，则两圆内含.关注：两圆的位置关系也可以由两圆的公切线的条数上来分.［举例1］已知动圆C 与定圆M ：1)2(22=+-y x 相切，且与y 轴相切，求圆心C 的轨迹方程；［举例2］已知)3,0(M ，一动圆I 过点M 与圆N ：16)3(22=++y x 内切. （1）求动圆圆心I 的轨迹C 的方程；（2）经过点(2,0)Q 作直线l 交曲线C 于A 、B 两点，设+=，当四边形OAPB 的面积 最大时，求直线l 的方程. 11、椭圆的定义中要注意隐含的条件：定值大于两定点之间的距离.掌握椭圆基本量之间的关系，分清长轴、短轴、焦距、半长轴、半短轴、半焦距.椭圆最基本的几何性质是定义的逆用：“椭圆上任意一点到两焦点的距离之和等于长轴的长”.［举例1］已知复数z 满足4|2||2|=++-i z i z ，则z 对应点的轨迹是＿＿＿＿＿＿＿；［举例2］设P 是以21,F F 为焦点的椭圆)0(12222>>=+b a by a x 上的一点，若点P 满足：121210,tan 2PF PF PF F ⋅=∠= ，则椭圆的焦距与长轴的比值为―――――――――（ ）A 、21；B 、32；C 、31；D 、35.12、椭圆中一些常见的结论要记住，这对解决选择填空等客观性问题时比较方便，如：椭圆的基本量c b a ,,蕴含在焦点、中心、短轴端点所构成的直角三角形中；椭圆的短轴的端点对两焦点的张角是椭圆上点与两焦点张角（与两焦点连线夹角）的最大值；短半轴、长半轴的几何意义是椭圆上点与中心距离的最小值与最大值；焦点到椭圆上点的距离的最大值与最小值分别是c a +与c a -；过椭圆焦点的弦长最大值是长轴长，最小值是垂直于长轴所在直线的弦（有时称为通径，其长为ab 22）.［举例1］一直线l 过椭圆12422=+y x 的左焦点，被椭圆截得的弦长为2，则直线l 的方程为＿＿＿＿＿；［举例2］椭圆13422=+y x 上有2012个不同的点122012,,,P P P ，椭圆的右焦点为F ，数列{||}(1,2,3,,201n FP n = 是公差为d 的等差数列，则d 的取值范围是＿＿＿＿＿.13、椭圆)0(12222>>=+b a by a x 上任意一点P 与两焦点21,F F 构成的三角形可称为椭圆的焦点三角形.焦点三角形的周长为定值)22(c a +，利用解三角形的方法可以得出：当21PF F ∠＝θ时，此三角形的面积为2tan2b θ（引起注意的是此结论的推导过程要掌握）.［举例］已知点)0,2(),0,2(B A -，点C 在直线1=y 上满足BC AC ⊥，则以A 、B 为焦点过点C 的椭圆方程为＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿.14、双曲线的定义中的隐含条件是“两焦点之间的距离大于定值（实轴长）”，双曲线基本量之间的关系要与椭圆基本量的关系区分开来，从定义上来说椭圆与双曲线的定义是一字之差，方程是一符号之差，但两者之间的几何性质完全不同.［举例］一双曲线C 以椭圆12422=+x x 的焦点为顶点，长轴顶点为焦点，则此双曲线的方程为＿＿＿＿.15、渐近线是双曲线特有的几何性质，要特别注意双曲线的渐近线方程，理解“渐近”的意义.双曲线12222=-b y a x 的渐近线的方程为02222=-b y a x ，与双曲线12222=-b y a x 共渐近线的双曲线可以设成λ=-2222by a x （其中0≠λ是待定的系数），双曲线的焦点到双曲线的渐近线的距离是虚半轴长b . ［举例1］一双曲线与1322=-y x 有共同渐近线且与椭圆1322=+y x 有共同焦点，则此双曲线的方程为＿＿＿＿＿＿＿＿；［举例2］若关于x 的方程)2(12+=-x k x 有两个不等的实数根，则实数k 的取值范围是＿＿＿.16、记住双曲线中常见的结论：（1）过双曲线焦点的直线被双曲线同支截得的弦长的最小值是通径（垂直于实轴的弦长），被两支截得的弦长的最小值是实轴的长；（2）双曲线焦点到同侧一支上的点的距离最小值是a c -，到异侧一支上点的距离最小值是a c +；（3）双曲线12222=-b y a x 的焦点为21,F F ，P 是双曲线上的一点，若θ=∠21PF F ，则△21PF F 的面积为22b cot θ（仿椭圆焦点三角形面积推导）.［举例1］已知双曲线的方程为116922=-y x ，P 是双曲线上的一点，F 1、F 2分别是它的两个焦点，若7||1=PF ，则=||2PF ＿＿＿＿＿＿；［举例2］椭圆12622=+y x 和双曲线221x y a -=的公共焦点为21,F F ，P 是它们的一个公共点，则=∠21cos PF F ＿＿＿＿＿；［举例3］双曲线)1(122>=-n y nx 的两焦点为P F F ,,21是此双曲线上的一点，且满足||||21PF PF +＝22+n ，则△21F PF 的面积为＿＿＿＿＿＿＿＿.17、抛物线是高考命题中出现频率最高的圆锥曲线.仅从标准方程上，抛物线就有四种不同的形式，要注意开口方向与标准方程的关系.不要将抛物线的标准方程与二次函数的表达式相混淆. ［举例］抛物线24x y =的焦点坐标是＿＿＿＿＿；准线方程是＿＿＿＿＿.18、记住抛物线的常见性质：（1）抛物线上任意一点到焦点距离等于它到准线的距离；（2）过抛物线的焦点与顶点的直线是抛物线的对称轴；（3）顶点、焦点、准线之间的关系；（4）过焦点与对称轴垂直的弦称为抛物线的通径，抛物线)0(22>=p px y 的通径长为p 2；（5）通径是过抛物线焦点的弦中长度最小的一条.［举例1］已知抛物线的焦点为)1,1(F ，对称轴为x y =，且过M （3,2），则此抛物线的准线方程为＿＿；［举例2］直线l 过抛物线y x 42=的焦点与抛物线交于A 、B 两点，若A 、B 两点到x 轴的距离之和等于3，则这样的直线l 有―――――――――――――――――（ ）A 、1条；B 、2条；C 、3条；D 、不存在.19、过抛物线的焦点的直线被抛物线截得的弦称为抛物线的焦点弦.以抛物线)0(22>=p px y 为例，焦点弦有下列常用性质：设抛物线)0(22>=p px y 的焦点为F ，),(),,(2211y x B y x A 是抛物线上的两点.（1）A 、B 、F 三点共线的充分必要条件是)4(221221p x x p y y =-=；（2）p x x AB ++=21||；（3）若AB 过焦点，则以AB 为直径的圆与抛物线的准线相切；（4）AB 过焦点，则⋅为定值；（5）AB 过焦点，211=+［举例1］直线l 过抛物线的焦点与抛物线交于A 、B 两点，O 是抛物线的顶点，则△ABO 的形状是――――――――――――――――――――――――――――――――（ ）A 、 直角三角形；B 、锐角三角形；C 、钝角三角形；D 、不确定与抛物线的开口大小有关.[举例2]求证：过抛物线)0(22>=p px y 焦点的所有弦长的最小值是p 2.20、“点差法”是解决直线与圆锥曲线位置关系中与弦的中点有关问题的常用方法.“点”是指弦端点、弦中点；“差”是指将弦端点坐标代入曲线方程作差.由点差法可以利用弦中点的坐标表示出弦所在直线的斜率.［举例］已知点M 是椭圆12222=+by a x 的一条不垂直于对称轴的弦AB 的中点，O 是坐标原点，设OM 、AB 的斜率分别为21,k k ，则21k k ⋅＝―――――――――――――（ ）A 、22b a ；B 、22a b ；C 、22a b -；D 、22ba -.21、当直线过x 轴上的定点)0,(a A 时，若直线不是x 轴，则此直线方程可以设成a my x +=.这样可以避免讨论直线斜率是否存在.［举例］设直线l 过椭圆1422=+y x 的右焦点，与椭圆相交于A 、B 两点，O 是坐标原点，当△OAB 的面积最大时，求直线l 的方程.22、求动点的轨迹方程要能充分地将“动”与“定”有机的联系起来，以“定”制“动”.也可以先由动点定轨迹后方程.常见动点的轨迹要熟记.［举例1］设点P 为双曲线1422=-y x 上的动点，F 是它的左焦点，M 是线段PF 的中点，则点M 的轨迹方程是＿＿＿＿＿；［举例2］已知椭圆的焦点是21,F F ，P 是椭圆上的一个动点.如果延长P F 1到Q ，使得||||2PF PQ =，那么动点Q 的轨迹是―――――――――――――――――――（ ）A 、圆；B 、椭圆；C 、双曲线的一支；D 、抛物线.23、直线与圆锥曲线之间的位置关系的讨论主要是转化为方程根的个数的讨论，联立直线与圆锥曲线方程得方程组，消去其中一个量得到关于另一个变量的一元二次方程，利用根的判别式进行讨论，但要注意二方面：一是直线的斜率是否存在，二是所得方程是否为一元二次方程.直线与非封闭曲线（双曲线、抛物［举例］已知直线l 过点)1,1(M ，双曲线C ：1322=-y x .（1）若直线l 与双曲线有且仅有一个公共点，求直线l 的方程；（2）若直线与双曲线的右支有两个不同的交点，求直线l 斜率的取值范围；（3）是否存在直线l 使其与双曲线的有两个不同的交点A 、B ，且以AB 为直径的圆过坐标原点？若存在求出此直线的斜率，不存在说明理由.24、运用平面向量综合知识，探求动点轨迹方程，还可再进一步探求曲线的性质。
解析几何综合复习题
综合复习题一、填空题1. __只有大小的量______________________________________ 叫做数量 ;2. __既有大小又有方向的量______________________________________ 叫做矢量 ;3. __模等于1的矢量___________________________________ 叫做单位矢量 ;4. 平行于同一直线的一组矢量叫做 _共线_______________ 矢量 ;5. 平行于同一平面的一组矢量叫做 __共面_______________ 矢量 ;6. 两矢量共线的充要条件是它们线性 ___相关________________ ;7. 三矢量不共面的充要条件是它们线性 ______无关___________ ;8. __________方向角的余弦__________________________ 叫做方向余弦 ;9. 两矢量a⊥b充要条件是 ____a_*b＝0____________________ ;10. 三矢a,b,c量共面的充要条件是 ______(a×b)*c=0_______________ ;11. 两矢量a∥b的充要条件是 _a×b=0,或对应分量成比例 ;12. 矢量与坐标轴所成的角叫做 _方向角;13. 把平面上的一切单位矢量归结到共同的始点,则它们的终点构成____单位圆 ;14. 把空间中一切单位矢量归结到共同的始点,则它们的终点构成单位球面__ ;15. 方程叫做空间曲线的 ______________ 方程 ;16. 坐标平面yOz的方程是 _____________________________ ;17. 坐标平面xOz的方程是 ______________________________ ;18. 坐标平面xOy的方程是 _____________________________ ;19. 方程叫做曲面的 ______________________ 方程 ;20. 空间直线的标准方程为______________________________ ;21. 两平面A i x+B i y+C i z+D i＝0 (i=1, 2)相互垂直的充要条件是___________________ ;22. 点M0(x0, y0, z0)到平面Ax+By+Cz+D＝0的距离是 _______ ;23. 平面的一般方程是 _________________________ ;24. 直线的方向余弦cosα, cosβ, cosγ满足的关系式为_________ ;25. 给定直线l：＝＝和平面π：Ax+By+Cz+D＝0, 则l与π相交的充要条件是 ________________________ ;26. 直线l与平面π平行的充要条件是 _____________________ ;27. 直线l在平面π上的充要条件是_______________________;28. 给定l i：＝＝ (i＝1, 2), 则l1与l2异面的充要条件是___________________________ ;29. 直线l1与l2相交的充要条件是 ________________________ ;30. 直线l1与l2平行的充要条件是 _________________________ ;31. 直线l1与l2重合的充要条件是 _________________________ ;32. 空间中通过同一直线的所有平面的集合叫做 ____________ ;33. 空间中平行于同一平面的所有平面的集合叫做 __________ ;34. 在空间, 由平行于定方向且与一条定曲线相交的一族平行直线所产生的曲面叫做____________________;35. 在空间, 过一定点且与定曲线相交的一族直线所产生的曲面叫做___________ ;36. 在空间, 一曲线绕定直线旋转一周所产生的曲面叫做 __________________ ;37. 在直角坐标系下, 椭球面的标准方程是 ________________________ ;38. 在直角坐标系下, 单叶双曲面的标准方程是 ____________________ ;39. 在直角坐标系下, 双叶双曲面的标准方程是 ____________________ ;40. 在直角坐标系下, 椭圆抛物面的标准方程是 ____________________ ;41. 在直角坐标系下, 双曲抛物面的标准方程是 ____________________ ;42. 柱面、锥面、椭球面、单叶（双叶）双曲面、椭圆（双曲）抛物面中是直纹曲面的有 ___________ _____________________;43. 单叶双曲面过一定点的直母线有 ___________ 条;44. 满足条件Φ (X, Y)≠0的方向叫做二次曲线的 ___________ ;45. 没有实渐近方向的二次曲线叫做 __________________ 型曲线;46. 有两个实渐近方向的二次曲线叫做 __________________ 型曲线;47. 只有一个实渐近方向的二次曲线叫做 __________________ 型曲线;48. 有唯一 __________________ 的二次曲线叫做中心二次曲线;49. 没有中心的二次曲线叫做 __________________ 二次曲线;50. 有一条中心直线的二次曲线叫做 __________________ 二次曲线;51. 二次曲线F (x, y)＝0的奇点(x0, y0)满足的条件是 ________________ ;52. 二次曲线一族平行弦中点的轨迹叫做二次曲线的 _______________ ;53. ___________ 二次曲线的直径都过二次曲线的中心;54. 无心二次曲线的直径都 ___________ 二次曲线的渐近方向;55. 线心二次曲线的直径只有一条,即二次曲线的 ___________ ;56. 二次曲线垂直于其共轭弦的直径叫做二次曲线的 ______________ ;57. 二次曲线的特征根都是 ____________________________ ;58. 二次曲线特征根不能 ____________________________ ;59. 中心二次曲线至少有 ________________________ 条主直径;60. 非中心二次曲线中只有 ______________________ 条主直径;61. ___________ 二次曲线可分类为椭圆、虚椭圆、双曲线、点、二条相交直线;62. ____________________________ 二次曲线的图像是抛物线;63. ___________ 二次曲线可分类为两平行直线、两平行共轭虚直线、两重合直线;二、判断题（正确的打“√”，错误的打“×”）1. 若, 共线，, 共线，则, 也共线; （）2. 若, , 共面，, , 共面，则, , 共面;（）3. , , 中，若, 共线, 则, , 共面; （）4.平行于同一方向的两矢量相等；（）5. 位移、力、速度和加速度都是数量; （）6. 所有零矢量都相等; （）7. 自由矢量就是方向和模任意的矢量; （）8. 零矢量的方向一定; （）9.在自由矢量的意义下, 平行于同一平面的一组矢量不能在同一平面上；（）10. 彼此平行且有共同始点的一组矢量一定在同一条直线上; （）11. 若≠，则表示与同方向的单位矢量; （）12. 若⊥，则 |+|＝|－|; （）13. 若, 同向，则 |+|＝||+||; （）14. 若, 反向，则 |－|＝||+||; （）15. 若, 反向, 且||≥||，则 |＋|＝||－||; （）16. 若, 同向, 且||≥||，则 |－|＝||－||; （）17. 第I卦限内点 (x, y, z) 的符号为 (+, ―, ―); （）18. 第II卦限内点 (x, y, z) 的符号为 (+, +, ―)；（）19. 第III卦限内点 (x, y, z) 的符号为 (－, +, ―); （）20. 第IV卦限内点 (x, y, z) 的符号为 (－, ― ,+); （）21. 射影矢量＝(射影) ；（）22. 射影＝|| cos∠(, )；（）23. 射影(＋)＝射影+射影；（）24. 射影(λ)＝λ射影；（）25. 在{O;,,,}下, ＝X＋Y＋Z, 则射影＝Y; （）26. 两坐标面xOy与yOz所成二面角的平分面方程是x+y=0; （）27. 两坐标面xOy与yOz所成二面角的平分面方程是x－z＝0; （）28. 两坐标同xOy与xOz所成二面角的平分面方程是x＋z＝0; （）29. 两坐标面xOy与xOz所成二面角的平分面方程是y－z＝0; ( )30. 两坐标面xOz与yOz所成二面角的平分面方程是x－y＝0; ( )31. (＋)⋅＝⋅＋⋅; （）32. (λ)⋅＝⋅(λ)；（）33. ⋅＝2；（）34. －(×)＝×；（）35. ×＋×＝(＋)×；（）36. 平面的矢量式参数方程为＝+u+v；（）37. 平面的坐标式参数方程为（）38. 平面的一般方程为Ax+By+Cz+D＝0；（）39. 平面的法式方程为x cosα+y cosβ+zcosγ+p＝0；（）40. 平面的截距式方程为＋＋＝0；（）41. 空间直线与平面的位置关系有相交和平行两种；（）42. 空间两直线的位置关系有平行、重合、相交三种；（）43. 两平面的位置关系有平行、相交、重合三种；（）44. 点到平面的离差等于点到平面的距离；（）45. 平面Ax+By+Cz+D＝0通过原点的充要条件是D=0; （）46. 将椭圆绕x轴所得旋转曲面方程为：++＝1；（）47. 将椭圆绕y轴所得旋转曲面方程为：++＝1; （）48. 将双曲线绕z轴所得旋转曲面方程为：+－＝1；（）49. 将双曲线绕y轴所得旋转曲面方程为：－－＝1；（）50. 将抛物线绕z轴所得旋转曲面方程为：x2+y2＝2pz；（）51. 二次曲线的中心就是它的奇点；（）52. 若M是二次曲线的奇点, 则该二次曲线过M的切线是唯一的; （）53. 二次曲线的一族平行弦中点的轨迹是一条直线；（）54. 经过移轴变换可以消去二次曲线方程中的xy 项；（）55. 在任意转轴变换下, 二次曲线新旧方程的一次项系数满足；（）56. F(x, y)＝xF1(x, y)+yF2(x, y) +F3(x, y)；（）57. F(x, y)＝Φ(x, y)+2a13x+2a23y+a33；（）58. 在直线方程Ax+By+C＝0中, 若A, B, C与三个实数成比例，则该直线为虚直线；（）59. 二次曲线的奇点满足F1 (x, y)＝F2 (x, y)＝F3 (x, y)＝0；（）60. Φ (x, y)＝x (a11x＋a12y)＋y (a12x＋a22y)；（）三、选择题（从四个备选答案中选出唯一正确的一个）1. 两个矢量是否相等，由它们的（）决定.A. 始点;B. 模;C. 方向;D. 模和方向.2. 若, , 共面，, , 共面，则, , （）共面.A. 不一定;B. 一定; B. 一定不; D. 共线.3. 把平行于某一直线的一切矢量归结到共同的始点，则它们的终点构成（）A. 一点;B. 线段;C. 直线;D. 射线.4. 下列等式中不成立的是（）A.+＝＋；B. ⋅＝⋅;C. ×＝×;D. λ (μ)＝μ (λ).5. 关于零矢量的描述不正确的是（）A. 模不定;B.方向不定;C. 模为0;D.模定方向不定.6. 非零矢量与的下列关系中不正确的是（）A. ＝;B. ＝;C. ||＝;D. ||＝1.7. 第VIII卦限的点 (x, y, z) 的符号是（）A. (＋, ＋, ＋);B. (―, ―, ―)C. (＋, ―, ―)D. (－, ＋, ＋).8. 下列等式中错误的是（）A. ⋅＝||||cos∠(, );B. ⋅＝||射影;C. ⋅＝||射影;D. ⋅＝||⋅||9. 下列等式错误的是（）A. ⋅＝||2;B. 2＝||2;C. ||＝;D. ＝.10. ×＋×+×＝（）A. 0;B. 3;C. 1;D. .11. ⋅＋⋅＋⋅＝（）A. 0;B. 3;C. ;D. 1.12. 若, , 两两相互垂直，且模均为1，则++的模为（）A.; B.3; C.0; D. 1.13. 下列运算不满足交换律的是（）A. 矢性积;B. 数性积;C. 矢量加法;D. 数量乘法.14. 方程在空间表示（）A. yOz面;B. xOy面;C. z轴;D. x轴.15. 在空间，y轴的方程不能写成（）A. B. ; C. y＝0; D. ＝＝.16. 平面的矢量式参数方程是（）A. ++＝1;B. Ax+By+Cz+D＝0;C. x cosα+y cosβ+z cosγ－p＝0;D.＝＋u+v.17. 平面的法式方程是（）A. ++＝1;B. Ax+By+Cz+D＝0;C. x cosα+y cosβ+z cosγ－p＝0;D. ＝+u+v.18. 平面的截距式方程是（）A. ++＝1;B. Ax+By+Cz+D＝0;C. x cosα+y cosβ+z cosγ－p＝0;D. ＝+u+v.19. 平面的一般方程是（）A. ++＝1;B. Ax+By+Cz+D＝0;C. x cosα+y cosβ+z cosγ－p＝0;D. ＝+u+v.20. 平面的法式方程中的常数项必满足（）A. ≤0;B. ≥0;C. <0;D.>0.21. 将平面方程Ax+By+Cz＝0化为法式方程时，法式化因子的符号（）A. 任选;B. 与B异号;C. 与A异号;D.与C异号.22. 点M0与平面π间的离差δ＝－2, 则M0到π的距离d为（）A. －2;B. 2;C.－1;D. 1.23. 直线的坐标式参数方程是（）A. ＝＝;B.C. D.＝＝.24. 直线的标准方程是（）A. ＝＝;B.C. D.＝＝.25. 直线的两点式方程是（）A. ＝＝;B.C. D.＝＝.26. 直线的一般方程是（）A. ＝＝;B.C. ;D.＝＝.27. 直线通过原点的条件是其一般方程中的常数项D1, D2满足（）A. D1＝D2＝0;B. D1＝0, D2≠0;C. D1≠0, D2＝0;D. D1≠0, D2≠0.28. 直线的方向角α, β, γ不满足关系式（）A. cos2α+cos2β+cos2γ＝1;B. sin2α+sin2β+sin2γ＝1;C. sin2α+sin2β+sin2γ＝2;D. cos2(π－α)+cos2(π－β)+cos2(π－γ)＝1.29. 两平面2x+3y+6z+1＝0与4x＋6y＋12z＋1＝0之间的距离是（）A. 0;B.C.D..30. 设直线与此同时三坐标面的夹角为λ, μ, v, 则下列式子中不成立的是（）A. sin2λ+sin2μ+sin2ν＝1;B. cos2λ+cos2μ+cos2ν＝2;C. cos2λ+cos2μ+cos2ν＝1;D. sin2(π－λ)+sin2(π－μ)+sin2(π－ν)＝1.31. 关于x－x0, y－y0, z－z0的二次齐次方程表示（）A. 柱面;B. 顶点在(x0, y0, z0)的锥面;C. 旋转曲面;D.平面.32. 将曲线Γ: 绕y轴旋转一周所得旋转曲面的方程为（）A. F＝0;B. F＝0;C. F＝0;D. F＝0.33. 将曲线Γ：绕x轴旋转一周所得旋转曲面的方程为（）A. F;B. F＝0;C. F＝0;D. F＝0.34. 将曲线Γ：绕z轴旋转一周所得旋转曲面的方程为（）A. F;B. F＝0;C. F＝0;D. F＝0.35. 将曲线Γ：绕z轴旋转一周所得旋转曲面的方程为（）A. x2+y2＝2z;B. x2+z2＝2y;C. y2+z2＝2x;D. y2＝.36. 下列方程中表示单叶双曲面的是（）A. ++＝1;B. +－＝1;C. +－＝－1;D. －－＝1.37. 椭球面++＝1与xOy坐标面的交线方程为（）A. +＝1;B.;C. z＝0;D. .38. 下列方程中表示双叶双曲面的是（）A. －－＝－1;B. －+＝1;C. －－＋＝1;D. +－＝1.39. 下列方程中表示双曲抛物面的是（）A. x2+y2＝2z;B. 3x2－2y2＝z；C. x2－y2＝z2;D. x2+y2＝z2.40. 二次曲线方程通过移轴变换后不变的是（）A. 二次项系数;B. 一次项系数;C. 常数项;D. 都不变.41. 二次曲线方程通过转轴变换后不变的是（）A. 二次项系数;B. 一次项系数;C. 常数项;D. 都不变.42. 下列曲面中是直纹曲面的是（）A. 椭球面;B. 柱面;C. 球面;D. 双叶双曲面.43.已知二次曲线方程中Φ(x,y)＝x2+2x y+y2,则I2＝（）A. 1;B. 0;C. －1;D. 2.44.已知二次曲线方程中Φ(x,y)＝x2+2x y+y2,则I1＝（）A. 1;B. 0;C. －1;D. 2.45. 中心二次曲线至少有（）条主直径.A. 1;B. 2;C. 3;D. 4.46. 二次曲线的奇点（）是它的中心.A. 不一定;B. 一定不;C. 一定;D. 以上都不对.47. 有奇点的二次曲线一定是（）A. 中心曲线;B. 无心曲线;C. 线心曲线;D.圆.48. 二次曲线的特征根（）A不全为0; B. 全不为0; C.全为0; D. ≥0.49. 二次曲线的特征根（）A. 都是虚数;B. 都是实数;C. 一实一虚;D. 全为0.50. 椭圆+＝1的一对共轭直径的斜率k与k'满足（）A. kk'＝;B. kk'＝－;C. kk'＝－;D. kk'＝.51. 二次曲线在直角坐标变换下的半不变量为（）A. I1;B. I2;C. I3;D. K1.52. 简化方程为I1 y2+＝0的二次曲线是（）A. 中心曲线;B. 无心曲线;C. 线心曲线;D. 圆.53. 二次曲线表示两条直线（实的或虚的,不同的或重合的）的充要条件是（）A. I1＝0;B. I2＝0;C.I3＝0;D. K1＝0.四、计算题1. 求通过点P (1, 1, 1)且与直线l1：＝＝, l2: ＝＝都相交的直线方程.2. 求异面直线l1：＝＝与l2: ＝＝的公垂线方程.3. 求通过直线且与平面x－4y－8z＋12＝0垂直的平面方程.4. 求通过点A (－3, 0, 1)和B (2, －5, 1)的直线方程.5. 求平行于平面3x+2y+z=0且在x轴上截距等于－2的平面.6. 已知一平面过M0(x0, y0, z0) (z0≠0), 且在x轴、y轴上的截距分别为a, b(ab≠0), 求其方程.7. 求二次曲线x2－2xy＋y2－1＝0 的渐近方向,并指出其类型.8. 求二次曲线2x2＋xy－y2－x＋y－1＝0的渐近线.9. 如图,求直角△ABC的斜边AC绕直角边AB旋转所得圆锥面的方程(∠BAC＝α).10. 求二次曲线F (x, y) ≡x2－2xy＋y2－4x＝0 的主方向与主直径.11. 求椭圆＋＝1 的主方向与主直径.12. 求双曲线－＝1的主方向与主直径.13. 在双曲抛物面－＝z上求平行于平面3x+2y－4z＝0的直母线.14. 求二次曲面F(x, y, z)≡2xy+2xz+2yz+9＝0 的主方向与主径面.15. 求二次曲面F(x, y, z)≡5x2+2y2+2z2－2xy＋2xz－4yz－4y－4z＋4＝0的奇向.16. 求以直线＝＝为轴, 半径为r的圆柱面方程.17. 求二次曲面－＋＝1 与三坐标面的交线方程,并指出其名称.18. 已知各锥面的顶点在原点,准线为,求锥面的方程.19. 求二次曲线x2－xy－y2－x－y＝0 与x2+2xy+y2－x＋y＝0的公共直径.五、证明题1. ⊥的充要条件是⋅＝0.2. //的充要条件是×＝.3. (⋅)2+(×)2＝22.4. 若×+×+×＝, 则, , 共面.5. 若二次曲线的I1＝0, 则I2<0.6. 二次曲线的特征根不全为0.7. 二次曲线的特征根全是实数.8. 由二次曲线的特征根λ≠0确定的主方向X:Y是二次曲线的非渐近方向.9. 由二次曲线的特征根λ＝0确定的主方向X:Y是二次曲线的渐近方向.10. 在任意转轴变换下, 二次曲线新旧方程的一次项系数满足.11. 二次曲线x2+2xy+ay2+x+by－4＝0有一条中心直线的充要条件是a＝b＝1.12. 两条二次曲线x2－xy＋y2+2x－4y＝0与 5x2+4xy+2y2－24x－12y＋18＝0 的中心在直线x+2y－4＝0上.13. 两条二次曲线x2－2xy+y2+4x－4y－3＝0 与x2－xy+y2+2x－4y＝0的公共直径为x－y＋2＝0.14. 中心二次曲线ax2+2hxy+ay2＝d 的两条主直径为x2－y2＝0.15. 二次曲线两不同特征根确定的主方向相互垂直.16. 已知直线l：与π：4x－3y＋7z－7＝0, 试证直线l在平面π上.17. 试证两直线＝＝与＝＝为异面直线.六、化简二次曲线方程,并作出图形.1. x2－3xy＋y2＋10x－10y+21＝0.2. 2xy－4x－2y＋3＝0.3. x2－xy＋y2＋2x－4y＝0.4. x2+6xy＋y2＋6x+2y－1＝0.5. 5x2+8xy＋5y2－18x－18y＋9＝0.6. x2－2xy＋y2＋2x－2y－3＝0.7.x2+2xy＋y2＋2x＋y＝0.综合复习题答案一、1. 只有大小的量;2. 既有大小、又有方向的量;3. 模等于1的矢量;4. 共线矢量;5. 共面矢量;6. 相关;7. 无关;8. 方向角的余弦;9. ＝0;10. ()=0, 或线性相关;11. ×＝,或对应分量成比例;12. 方向角;13. 单位圆;14. 单位球面;15. 一般;16. x＝0;17. y＝0;18. z＝0;19. 参数;20. ＝＝;21. A1A2+B1B2+C1C2＝0;22. d＝;23.Ax+By+Cz+D＝0 (A, B, C不全为0);24. cos2α+cos2β+cos2γ＝1;25.AX+BY+CZ≠0;26. AX+BY+CZ＝0, Ax0+By0+Cz0+D≠0;27. AX+BY+C＝0, Ax0+By0+Cz0+D＝0;28. ∆＝≠0;29. ∆＝0, X1:Y1:Z1≠X2:Y2:Z2;30. ∆＝0, X1:Y1:Z1＝X2:Y2:Z2 ≠ (x2－x1):(y2－y1):(z2－z1);31. ∆＝0, X1:Y1:Z1 = X2:Y2:Z2＝(x2－x1):(y2－y1):(z2－z1);32. 有轴平面束;33.平行平面束;34. 柱面;35. 锥面;36. 旋转曲面;37. ++＝1 (a≥b≥c>0);38. +－＝1 (a>0, b>0, c>0);39. +－＝－1 (a>0, b>0, c>0);40. +＝2z (a>0, b>0);41. －＝2z (a>0, b>0);42. 柱面,锥面,单叶双曲面,双曲抛物面;43. 两条;44. 非渐近方向;45. 椭圆;46. 双曲;47. 抛物;48. 中心;49. 无心;50. 线心;51. F1 (x0, y0)＝F2 (x0, y0)＝F3 (x0, y0)＝0;52. 直径;53. 中心;54. 平行于;55. 中心直线;56. 主直径;57. 实数;58. 全为零;59. 两;60. 一;61. 中心;62. 无心;63. 线心;二、1. √;2. ×;3. √;4. ×;5. ×;6. √;7. ×;8. ×;9. ×; 10. √;11. √; 12. √; 13. √; 14. √; 15. √; 16. √; 17. ×; 18. ×; 19. ×; 20. ×;21. √; 22. √; 23. √; 24. √; 25. √; 26. ×; 27. √; 28. ×; 29. √; 30. √;31. √; 32. √; 33. √; 34. √; 35. √; 36. √; 37. √; 38. √; 39. ×; 40. ×;41. ×; 42. ×; 43. √; 44. ×; 45. √; 46. √; 47. √; 48. √; 49. √; 50. √;51. ×; 52. ×; 53. √; 54. ×; 55. √; 56. √; 57. √; 58. ×; 59. √; 60. √.三、1. D;2. A;3. C;4. C;5. A;6. B;7. C;8. D;9. D; 10. D; 11.B; 12. A; 13. A; 14. C; 15. C; 16. D; 17. C; 18. A; 19. B; 20. A;21. A; 22. B; 23. B; 24. A; 25. D; 26. C; 27. A; 28. B; 29. D; 30. C;31. B; 32. D; 33.A; 34. B; 35.A; 36.B; 37.D; 38. C; 39. B; 40. A;41. C; 42. B; 43. B; 44. D; 45. B; 46. C; 47. C; 48. A; 49. B; 50. C;51. D; 52. C; 53. C.四、1. ＝＝;2.(z轴);3. 4x+5y－2z＋12＝0;4. ＝＝;5. 3x+2y+z+6=0;6.设所求平面在z轴上的截距为c≠0,则所求平面方程为++=1, 因平面过M0 (x0, y0, z0),于是++＝1, ＝ (1－－), 故所求平面为++ (1－－)＝1;7. (－1):1, 抛物型;8. 3x+3y－2＝0, 6x－3y－1＝0;9. 提示：取A为原点,AB为z轴, ABC所在平面为yOz面建立坐标系, 设B的坐标为(0, 0,a), 则AC的方程为, 从而得锥面方程为ctg2α (x2+y2)－z2＝0 (0≤z≤a);10. (－1):1(非渐近主方向), 1:1(渐近主方向), x－y－1＝0;11. 1:0, 0:1, x＝0, y＝0;12. 1:0, 0:1, x＝0, y＝0;13. 与；14. 1:1:1及与平面x+y+z＝0平行的一切方向;x+y+z＝0及过中心(0, 0, 0)且垂直于x+y+z ＝0 的一切平面;15. 0:1:1;16. (ny－mz)2+(lz－nx)2+(mx－ly)2＝r2 (l2+m2+n2);17. (双曲线); (椭圆); (双曲线);18. －－＝0;19. 5x+5y+2＝0;20. 2x+3y+z+4＝0.五、略.六、1. 由坐标变换公式得：－＝1(双曲线).2. 由坐标变换公式得：x'2－y'2＝1 (双曲线).3. 由坐标变换公式得：+＝1 (椭圆).4. 由坐标变换公式得：－＝1 (双曲线).5. 由坐标变换公式得：x'2+=1 (椭圆).6. 由坐标变换公式得：y'2＝2 (一对平行直线).7. 由坐标变换公式得：y'2＝－x (抛物线).。
解析几何例题和知识点总结
解析几何例题和知识点总结解析几何是数学中的一个重要分支，它通过坐标和方程来研究几何图形的性质和关系。
在学习解析几何的过程中，掌握典型的例题和重要的知识点是非常关键的。
接下来，让我们一起深入探讨一些常见的解析几何例题，并对相关知识点进行总结。
一、直线的方程直线是解析几何中最基本的图形之一。
直线的方程有多种形式，如点斜式、斜截式、两点式、一般式等。
例如：已知直线经过点$（1,2)＄，斜率为$3$，求直线方程。
我们可以使用点斜式：＄y y_1 ＝ k(x x_1)＄，其中$（x_1, y_1)＄是已知点的坐标，＄k$是斜率。
代入可得：＄y 2 ＝ 3(x 1)＄，化简得到：＄y ＝ 3x 1$直线方程的一般式为$Ax ＋ By ＋ C ＝ 0$，其中$A$、＄B$不同时为$0$。
知识点总结：1、掌握直线斜率的计算方法，若两点坐标为$（x_1, y_1)＄，＄（x_2, y_2)＄，则斜率$k ＝＼frac{y_2 y_1}｛x_2 x_1}＄。
2、熟练运用各种直线方程的形式，根据已知条件选择合适的形式来求解直线方程。
二、圆的方程圆的标准方程为$（x a)＾2 ＋（y b)＾2 ＝ r^2$，其中$（a, b)＄是圆心坐标，＄r$是半径。
例题：求以点$（2, －1)＄为圆心，半径为$3$的圆的方程。
答案为：＄（x 2)＾2 ＋（y ＋ 1)＾2 ＝ 9$圆的一般方程为$x^2 ＋ y^2 ＋ Dx ＋ Ey ＋ F ＝ 0$，通过配方可以转化为标准方程。
知识点总结：1、理解圆的标准方程和一般方程的形式及特点。
2、能根据已知条件求出圆的方程，包括圆心和半径的确定。
三、椭圆椭圆的标准方程有两种形式：＄＼frac{x^2}｛a^2} ＋＼frac{y^2}｛b^2} ＝ 1$（焦点在$x$轴上）和$＼frac{y^2}｛a^2} ＋＼frac{x^2}｛b^2} ＝ 1$（焦点在$y$轴上），其中$a$和$b$分别表示长半轴和短半轴的长度。
《解析几何》知识点总结：第1章-向量代数
第一章向量代数一、向量及其线性运算1.向量及其表示（1）向量：有大小和方向的量。
（2）表示：AB ，A 为向量的起点，B 为向量的重点。
（3）向量的模：||AB 。
（4）向径（半径向量/定位向量）：称为P 的向径，简记为P 。
（5）单位向量：模为1，记为|a |aa o =。
（6）零向量：模为0，任意方向，与任何向量共线。
（7）自由向量：可自由平行移动。
（8）相等（相反）：大小相等，方向相同（相反）。
（9）共线（平行）：平行移动到同一始点，在一条直线上；共面。
（10）共面：平行移动到同一始点，在一个平面上。
2.向量的加法和减法（1）加法：①三角/多边形法则（定义1.1）：首尾相连，第一个向量起点到最后一个向量终点；②平行四边形法则（定义1.2）：首首相连，平行四边形过起点的对角线；③三角/多边形不等式：|a 1+a 2+…+a n |≤|a 1|+|a 2|+…+|a n |。
（2）减法：三角形法则（定义1.3）：首首相连，OA OB AB -=。
3.向量的数乘（1）定义1.4：实数λ与向量a 的乘积是一个向量，记为λa。
|λa|=|λ||a|，方向取决于λ。
4.运算律（图形法证明）①交换律：a ±b =b ±a②结合律：（a ±b ）±c =a ±（b ±c ）；λ（μa ）=（λμ）a③分配律：（λ+μ）a =λa +μa ；λ（a +b ）=λa +λb5.共线及共面向量的判定（1）定理1.1：向量b 与非零向量a 共线⟺∃λ∈R ，使b=λa ；推论1.1：两个向量a ，b 共线⟺∃λ，μ∈R ，且λ，μ不同时为0，使λa +μb =0。
（2）定理1.2：若a ，b 不共线，向量c 与a ，b 共面⟺∃λ，μ∈R ，使c =λa +μb ；推论1.2：三个向量a ，b ，c 共面⟺∃λ，μ，φ∈R ，使λa +μb+φc =0。
高三数学解析几何专题(含解析)
高三数学解析几何专题(含解析)1.【理科】已知动点P到点A(-1,0)和B(1,0)的距离分别为d1和d2，且∠APB=2θ，且d1d2cos2θ=1.Ⅰ）求动点P的轨迹C的方程；Ⅱ）过点B作直线l交轨迹C于M，N两点，交直线x=4于点E，求|EM||EN|的最小值。
2.已知椭圆C：(x^2/a^2)+(y^2/b^2)=1 (a>b>0)的离心率为2，其左、右焦点为F1、F2，点P是坐标平面内一点，且|OP|=7/2，PF·PF3/12=4.其中O为坐标原点。
I）求椭圆C的方程；Ⅱ）如图，过点S（0，1/3），且斜率为k的动直线l交椭圆于A、B两点，在y轴上是否存在定点M，使以AB为直径的圆恒过这个点？若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由。
3.已知两定点F1(-2,0)、F2(2,0)，满足条件PF2-PF1=2的点P的轨迹是曲线E，直线y=kx-1与曲线E交于A、B两点。
Ⅰ）求k的取值范围；Ⅱ）如果AB=63，且曲线E上存在点C，使OA+OB=mOC，求m的值和△ABC的面积S。
4.已知抛物线W:y=ax^2经过点A(2,1)，过A作倾斜角互补的两条不同的直线L1、L2.1）求抛物线W的方程及其准线方程；2）当直线L1与抛物线W相切时，求直线L2与抛物线W所围成封闭区域的面积；3）设直线L1、L2分别交抛物线W于B、C两点（均不与A重合），若以BC为直径的圆与抛物线的准线相切，求直线BC的方程。
5.动点M(x,y)到定点F(-1,0)的距离与到y轴的距离之差为1.I）求动点M的轨迹C的方程；II）过点Q(-3,0)的直线l与曲线C交于A、B两点，问直线x=3上是否存在点P，使得△PAB是等边三角形？若存在，求出所有的点P；若不存在，请说明理由。
6.椭圆M的中心在坐标原点D，左、右焦点F1、F2在x轴上，抛物线N的顶点也在原点D，焦点为F2，椭圆M与抛物线N的一个交点为A(3,26)。
「空间解析几何复习资料含答案」
空间解析几何练习题1. 求点),,(c b a M 分别关于(1)xz 坐标面（2）x 轴(3）原点 对称点的坐标.2. 设 )2,,3(x A -与)4,2,1(-B 两点间的距离为29，试求x ．3. 证明 )3,2,1(A )5,1,3(B )3,4,2(C 是一个直角三角形的三个顶点．4. 设ABC ∆的三边a BC =，b CA =,c AB =，三边的中点依次为D ,Ｅ，F ,试用向量c b a表示 AD ，BE ,CF ,并证明:0=++CF BE AD ．5. 已知：k j i a 2+-=,k j i b -+=3求b a 32+,b a 32-．6. 已知:向量a 与x 轴,y 轴间的夹角分别为060=α,0120=β求该向量a 与z 轴间的夹角γ．7. 设向量a 的模是5,它与x 轴的夹角为4π，求向量a 在x 轴上的投影． 8. 已知：空间中的三点)2,1,0(-A ,)5,3,1(-B ，)2,1,3(--C 计算：AC AB 32-,AC AB 4+．9. 设{}1,0,2-=a ,{}2,2,1--=b 试求b a -，b a 52+,b a +3. 10. 设：{}1,2,2-=a ,试求与a 同方向的单位向量.11. 设:k j i a 253++=,k j i b 742--=，k j i c 45-+=,c b a u -+=34试求（1)u 在y 轴上的投影；(2)u 在x 轴和z 轴上的分向量；． 12. 证明：22)()(b a b a b a -=-⋅+. 13. 设：{}1,0,3-=a ,{}3,1,2--=b 求b a ⋅,∧⋅)(b a .14. 设→→→→-+=k j x i a 2,→→→→+-=k j i b 23且→→⊥b a 求x 15. 设{}2,1,0-=a ，{}1,1,2-=b 求与a 和b 都垂直的单位向量.16. 已知：空间中的三点)0,1,1(A ,)3,1,2(-B ,)2,1,2(-C 求ABC ∆的面积．17. (1）设a ∥b 求b a ⋅ （2)1==求b a ⋅18. 3=5=，试确定常数k 使b k a +,b k a -相互垂直.19. 设向量a 与b 互相垂直,∧⋅)(c a 3π=，∧⋅)(c b 6π=1=2=3=b ++．20. 设：k j i a 53+-=，k j i b 32+--=求b a ⋅21. 设:k j i a --=63，k j i b 54-+=求(1）a a ⋅；（2))3()23(b a b a -⋅+；(3）a 与b 的夹角．22. 设:∧⋅)(b a 6π=1=3=,．23. 设:{}2,1,1-=a ,{}1,2,1--=b ,试求:(1）b a ⋅;（２)b a ⨯;(３）∧⋅)cos(b a ．24. 3=26=72=,求b a ⋅.25. 设a 与b 相互垂直,3=4=，试求(1))()(b a b a -⨯+;（2）)2()3(b a b a -⨯-. 26. 设:0=++c b a 证明：a c c b b a ⨯=⨯=⨯27. 已知:k j i a -+=23，k j i b 2+-=，求(1)b a ⨯;（2))32()2(b a b a -⨯+;（３）i b a ⨯+)((4)b i a +⨯． 28. 求与{}1,2,2=a {}6,10,8---=b 都垂直的单位向量．29. 已知:{}1,6,3--=a ,{}5,4,1-=b ,{}12,4,3-=c 求c b a b c a )()(⋅+⋅在向量c 上的投影. 30. 设:d c b a ⨯=⨯，d b c a ⨯=⨯且c b ≠,d a ≠证明d a -与c b -必共线． 31. 设:b a 3+与b a 57-垂直，b a 4-与b a 27-垂直,求非零向量a 与b 的夹角.32. 设:{}6,3,2-=a {}2,2,1--=b 向量c 在向量a 与b 423=，求向量c 的坐标．33. 4=3=，∧⋅)(b a 6π=求以b a 2+和b a 3-为边的平行四边形面积.34. 求过点)1,2,7(0-P ,且以{}3,4,2-=n 为法向量的平面方程．ﻩ35. 过点)1,0,1(0-P 且平行于平面53=--z y x 的平面方程. ﻩ36. 过点)2,3,1(-M 且垂直于过点)1,2,2(-A 与)1,2,3(B 的平面方程. 37. 过点)2,1,3(-A ，)1,1,4(--B ，)2,0,2(C 的平面方程.38. 过点)1,1,2(0P 且平行于向量{}1,1,2=a 和{}3,2,3-=b 的平面方程.39. 过点M o (1，1-,1)且垂直于平面01201=+++=+--z y x z y x 及的平面方程． 40. 将平面方程 01832=+-+z y x 化为截距式方程,并指出在各坐标轴上的截距．41. 建立下列平面方程（1)过点(3-,１,2-)及z 轴;(2)过点Ａ（3-,1,2-）和Ｂ(3，0,５）且平行于x 轴; (3）平行于x y 面，且过点Ａ（3，１,5-）;(4）过点P 1（1,5-，1）和P 2(3，２，2-)且垂直于x z 面． 42． 求下列各对平面间的夹角（1），62=+-z y x 32=++z y x ;（2)09543=--+z y x ,07662=-++z y x . 43. 求下列直线方程(１)过点(2,1-，3-)且平行于向量{}123，，--=s ； （2)过点M o (3，4,2-)且平行z 轴; (3）过点M 1（1，2，3)和M ２(1，０,4); (4)过原点，且与平面0623=-+-z y x 垂直． 4４. 将下列直线方程化为标准方程（1）⎩⎨⎧=--+=-+-084230432z y x z y x ； (2)⎩⎨⎧-=+=422z y y x ； (3)⎩⎨⎧=+=-+00123z y z x45． 将下列直线方程化成参数式方程(1）⎩⎨⎧-==-+-250125z y z y x ； (2）⎪⎩⎪⎨⎧=-+=-025126y z x ．４6. 求过点(1,1，1)且同时平行于平面012=+-+z y x 及012=+-+z y x 的直线方程．４7. 求过点（３,１，2-）且通过直线12354zy x =+=-的平面方程. 48． 求通过两直线211111-=-+=-z y x 与 112111-=+=--z y x 的平面方程． 64.求下列各对直线的夹角 （１)74211+=-=-z y x ,131256--=-=+z y x ; (２）⎩⎨⎧=-+-=-+-012309335z y x z y x ,⎩⎨⎧=-++=+-+0188302322z y x z y x .49. 证明直线31141+=-=-z y x 与 ⎩⎨⎧=--+=++0207z y x z y x 相互平行． ５0. 设直线 ｌ的方程为：nz y x 42311+=--=- 求ｎ为何值时,直线ｌ 与平面052=+--z y x 平行？51. 作一平面，使它通过z 轴，且与平面0752=--+z y x 的夹角为3π.５2. 设直线ｌ在平面01:=+++z y x π 内,通过直线⎩⎨⎧=+=++0201:1z x z y l与平面π的交点，且与直线ｌ1垂直、求直线l 的方程. 5３. 求过点（1，2，１)而且与直线⎩⎨⎧=-+-=+-+01012z y x z y x 与 ⎩⎨⎧=+-=+-02z y x z y x 平行的平面方程． 54. 一动点到坐标原点的距离等于它到平面04=-z 的距离,求它的轨迹方程.５5. 直线⎩⎨⎧=-+=-+023012:z x y x l 与平面012:=--+z y x π 是否平行？若不平行,求直线ｌ与平面π的交点,若平行，求直线l 与平面π的距离.５６. 设直线ｌ经过两直线35811:1--==--z y x l ,⎪⎩⎪⎨⎧--=+=+=tz t y tx l 101152143:2 的交点，而且与直线l １与l 2都垂直,求直线l 的方程． ５7. 已知直线：⎩⎨⎧=-+-=+-+04201:1z y x z y x l 及点 )213(，，-p 过点ｐ作直线ｌ与直线l 1垂直相交,求直线ｌ的方程.58. 方程:019224222=-+--++z y x z y x 是否为球面方程,若是球面方程，求其球心坐标及半径． ５9. 判断方程：11462222=-+-++z y x z y x 是否为球面方程，若是球面方程,求其球心坐标及半径．60. 将曲线：⎩⎨⎧==052y xz 绕ｘ 轴旋转一周,求所成的旋转曲面方程．61． 将曲线：⎩⎨⎧==+0369422z y x 绕ｙ 轴旋转一周,求所成的旋转曲面方程.62. 说明下列旋转曲面是怎样形成的（1)10343222=++z y x ； （2）24222=+-z y x ; （3）1222=--z y x ; (4)222)(y x a z +=-. ６3. 指出下列方程在空间中表示什么样的几何图形（1）14322=+y x ; （２）13222=-y x ； （3)x z 42=； （4)13422=+z y .自测题 （A ）(一) 选择题1．点M)5,1,4(-到 x ｙ 坐标面的距离为（ ）Ａ．5 Ｂ．４ Ｃ．1 Ｄ．422．点A )3,1,2(-关于y z 坐标面的对称点坐标 ( ） A.)3,1,2(-- B ．)3,1,2(-- C.)3,1,2(- D ．)3,1,2(-- 3.已知向量{}{}{}3,1,4,2,2,2,1,5,3--==-=c b a ,则=+-c b a 432( ）A ．{}16,0,20B ．{}20,4,5-C ．{}20,0,16- D.{}16,0,20- ４.设向量k j i a 424--=,k j i b 236+-=，则)3)(23(b a b a +-＝（ ） A.2０ B ．16- C.３２ Ｄ.32-5.已知：→→-AB prj D C B A CD，则)2,3,3(),1,1,1(),7,1,5(),3,2,1(＝ （ ）A.4 B ．1 C.21Ｄ．2 6．设=-⨯+-+=+-=)()(22b a b a k j i b k j i a ，则， （ ） A ．k j i 53++- Ｂ.k j i 1062++- Ｃ.k j i 1062-- D ．k j i 543++ 7．设平面方程为0=-y x ，则其位置( )A ．平行于x 轴 Ｂ.平行于ｙ 轴 C.平行于ｚ 轴 D.过z 轴. 8.平面0372=++-z y x 与平面0153=-++z y x 的位置关系( ) Ａ．平行 Ｂ．垂直 C.相交 D.重合 9．直线37423zy x =-+=-+与平面03224=---z y x 的位置关系（ ) A.平行 B ．垂直 C.斜交 D ．直线在平面内 10．设点)0,1,0(-A 到直线⎩⎨⎧=-+=+-07201z x y 的距离为（ )Ａ.5 B ．61 Ｃ．51 D.81 (二) 填空题1．设=--x B x A ，则，两点间的距离为，，与29)421()2,,3(___＿_＿___．2.设c b a u 23-+-=，c b a v +-=2，则=-v u 32______＿＿__＿___＿． 3．当m=____＿__＿_＿_＿＿时，k j i 532+-与k j m i 23-+互相垂直．4.设kj i a ++=2，kj i b 22+-=，kj i c 243+-=，则)(b a prj c += ．4． 设k j i a +-=2，k j i b 32-+=，则)2()2(b a b a -⨯+＝＿＿＿＿_＿___． 5． 与)0,3,4()1,2,3(--B A 和等距离的点的轨迹方程为____＿__________. 6． 过点），，（715，），，（204-且平行于z 轴的平面方程_＿___＿____＿____. 7． 设平面：03222,01=--+=+-+z y x z y x 与 平行，则它们之间的距离_＿＿_＿__＿_.8． 过点），，（382-且垂直平面0232=--+z y x 直线方程为＿____＿______＿_． 10．曲面方程为：44222=++z y x ,它是由曲线＿_＿__＿__绕_____＿＿___＿＿_旋转而成的.(三) 解答题1.求平行于{}的单位向量2,3,6-=a .2.已知作用于一点的三个力{}{}{}5,4,3,3,2,1,4,3,2321-==--=F F F 求合力的大小与方向.3． 如果{}1,1,2-=a ,{}1,2,1-=b 求a 在b 上的投影．4． 用向量方法，求顶点在)4,4,3(),5,3,1(),1,1,2(-----的三角形的三个内角． 5． 设k i a 2+-=,k j i b -+=2,k j i c 22++=，试将下列各式用k j i ,,表示． （1) c b a ⨯⨯)(; （２))()(c a b a ⨯⨯⨯．6． 求经过点（1,2,0)且通过z 轴的平面方程．7． 在平面02=--z y x 上找一点ｐ，使它与点),5,1,2()1,3,4(-)3,1,2(--及之间的距离相等. 8． 求过 )1,0,0(),0,1,0(),0,0,1( 的圆的方程,并求该圆在坐标平面ｘｏy 上的投影曲线方程. 9.求过点(1,２，１)且同时平行0132=-++z y x 和053=+-+z y x 两平面的直线方程． 10．方程：12222=++z y x 表示什么图形？自测题(B)（一） 选择题1.设{}{}{}0,2,1,3,1,1,1,3,2-=-=-=c b a ，则=⨯⨯c b a )(( ) A ．8 B ．1０ C.{}1,1,0-- Ｄ．{}21,1,22.设{}{}2,2,2,2,1,1-=-=b a ，则同时垂直于a 和b 的单位向量( ） A.}0,21,21{± Ｂ.}0,21,21{± C.}0,2,2{± D.}0,2,2{±3．若==-+=b a b k j i a ，则，14//236( ) A.)4612(k j i -+± Ｂ．)612(j i +± Ｃ.)412(k i -± Ｄ．)46(k j -± 4.若ϕ的夹角与，则3121321)2,1,2(),1,2,2(),1,1,1(M M M M M M M （ ) A ．6π B ．2π C.3π Ｄ.4π5．过)320()231(),412(321，，和，，，，M M M ---，的平面方程（ ) Ａ．015914=--+z y x Ｂ.06872=--+z y x C ．015914=-+-z y x D.015914=-++z y x 6．求平面062=-+-z y x 与平面052=-++z y x 的夹角( ) A.2π B ．6π C.3π D ．4π ７．直线⎩⎨⎧=+++=+++0022221111D z C y B x A D z C y B x A 各系数满足（ )条件,使它与y 轴相交．A.021==A A Ｂ.2121D D B B =C.021==C CD.021==D D 8.设点⎩⎨⎧=-+-=+-+-04201)2,1,3(z y x z y x l M o ，直线,则M O 到l 的距离为( )A ．223 B ．553 C.453 D.22９．直线夹角为与平面62241312=++-=-=-z y x z y x ( ） A.3０o B ．６0o C ．9０o D ．65arcsin10.过点)5,2,1(---且和三个坐标平面都相切的球面方程（ ）A ．22225)1()1()1(=+++++z y x Ｂ．22225)5()5()5(=+++++z y x Ｃ．22225)2()2()2(=+++++z y x D.22225)5()5()5(=-+-+-z y x (二) 填空题１.设k j i a 32+-=，j i b +=2,k j i c ++-=,则c b a 与+是否平行_______＿__. 2．设}8,5,3{=a ，}7,4,2{--=b ,}4,1,5{-=c ,则c b a -+34在x 轴上的投影＿＿＿__________＿___.3.化简：=⨯--⨯+++⨯++a c b b c b a c c b a )()()(____＿＿_＿＿__＿＿__＿＿＿.4.直线 ⎩⎨⎧=---=-+-01205235:z y x z y x l 和平面 07734:=-+-z y x π的__＿_____＿_＿位置关系．５．过直线⎩⎨⎧=+-+=-+-025014z y x z y x 且与x 轴平行的平面方程__＿___________＿____.6．原点==+-k kz y x ，则，的距离为到平面262)0,0,0(＿_＿_＿__＿＿_______＿． 7．与平面0522=+++z y x ，且与三个坐标面所构成的四面体体积为1的平面方程＿_____＿______________.８．动点到点(0,０,5)的距离等于它到x 轴的距离的曲面方程为＿_＿__＿______＿__＿． ９.曲面方程：259916222=--z y x 则曲面名称为___＿＿__＿______＿_．10．曲线⎪⎩⎪⎨⎧-+-=--=2222)1()1(2y x z yx z 在ｙ z 面上的投影方程＿__＿_＿_____＿__． (三) 解答题1.设}0,1,1{},1,1,0{},1,1,1{===c b a 并令c z b y a x d ++=（x ,y ，z 为数量) 求 （1)d ; （2）当z y x d ,,}3,2,1{时，=． 2．求平行于}2,3,6{-=a 的单位向量.3.确定ｋ值，使三个平面:328,1423,23=--=++=+-z y x z y x z y kx 通过同一条直线.4．已知两个不平行的向量a 与b ,2=⋅b a 1=4=，设)(3)(2Xa b b a c -⨯=，求(1))(c b a +⋅; （； (3）的夹角余与c b 弦. 5.求以向量i k k j j i +++,,为棱的平行六面体的体积. 6．垂直平分连接)3,5,2(),1,3,4(B A -的线段的平面方程.7.求与平面4362=+-z y x 平行平面，使点)8,2,3(为这两个平面公垂线中点．8.在平面02=--z y x 上找一点p 使它与点)3,1,2()1,3,4(),5,1,2(---及之间的距离相等． 9.方程:0448422=-+-+y x y x 表示什么曲面？9． 方程组⎩⎨⎧=-++=--++0122046222z y x y x z y x 图形是什么?若是一个圆，求出它的中心与半径．参考答案 参考答案练习题1．(1)),,(c b a -； （２）),,(c b a --; （3)),,(c b a ---.２.51-==x x 或. 3.算出距离后，证明满足勾股定理 4.略５.k j i b a ++=+1132； k j i b a 75732+--=-.6．13545或=γ． 7.225． 8．}13,4,11{4},18,8,11{32-=+-=-AC AB AC AB ．9．}5,2,7{3},12,10,9{52},1,2,1{--=+--=+=-b a b a b a . 10.单位向量为}31,32,32{-．11.(1）7； (２)u 在x 轴的分向量i 13，u 在z 轴的分向量k 9-; (3)299=u.12.利用数量积运算法则． 1３.9-=⋅b a ； 70359arccos)(-=∧πb a . 14.x =４． １5.单位向量：)24(211k j i ++±. 16．1723=∆ABC S .17.(1)若a 与b 同向,则b a b a ⋅=⋅，若a 与b反向，则b a b a ⋅-=⋅;（2）)cos(b a ∧.１8．53±=k ． 19.3617+=++c b a ． 20.16=⋅b a ．2１．（1）46； （2)2-; (３）4838arccos)(-=∧πb a ． 22．23. ２３.(1)3； （2）k j i 333--; (3)21．24.30±。
解析几何基础100题知识讲解
解析几何基础100题一、选择题：2 2 c1.若双曲线与与1的离心率为5,则两条渐近线的方程为a， b， 4八XY XYc^XY XYcA ——0B — - 0C - - 0D - - 09 16 16 9 3 4 4 3解答：C易错原因：审题不认真，混淆双曲线标准方程中的a和题目中方程的a的意义。
2.椭圆的短轴长为2,长轴是短轴的2倍，则椭圆的中心到其准线的距离是A 8 .5B 4 ,5C 8,3D 久35 5 3 3解答：D易错原因：短轴长误认为是b3.过定点(1,2)作两直线与圆x2 y2 kx 2y k2 15 0相切，则k的取值范围是A k>2B -3<k<2C k<-3 或k>2D 以上皆不对解答：D易错原因：忽略题中方程必须是圆的方程，有些学生不考虑D2 E2 4F 02 24 .设双曲线4 匕1(a b 0)的半焦距为C,直线L过(a,0),(0,b)两点， a b已知原点到直线L的距离为 % ,则双曲线的离心率为A 2B 2 或毡C 屐D 273 3 3解答：D易错原因：忽略条件a b。
对离心率范围的限制。
5.已知二面角l 的平面角为，PA , PB , A, B为垂足，且PA=4,PB=5设A、B到二面角的棱l的距离为别为x,y,当变化时，点（x,y）的轨迹是下列图形中的A B C D解答：D易错原因：只注意寻找x,y的关系式，而未考虑实际问题中x,y的范围。
6.若曲线y 值~4与直线y k（x 2）+3有两个不同的公共点，则实数k的取值范围是3 一 3 _A 0 k 1B 0 k -C 1 k -D lkO 4 4解答：C易错原因：将曲线y 犷7转化为x2y24时不考虑纵坐标的范围；另外没有看清过点（2,-3）且与渐近线y x平行的直线与双曲线的位置关系。
7. P(-2,-2)、Q(0,-1)取一点R(2,m)使PR| 十 | RQ| 最小,则m=A 1B 0C - 1D - -2 3正确答案：D 错因：学生不能应用数形结合的思想方法，借助对称来解题。
[必刷题]2024高三数学下册解析几何专项专题训练(含答案)
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[必刷题]2024高三数学下册解析几何专项专题训练（含答案）试题部分一、选择题：1. 在直角坐标系中，点A(2,3)关于原点O的对称点坐标是（）A. (2,3)B. (2,3)C. (2,3)D. (3,2)2. 已知直线l的斜率为1，且过点P(1,2)，则直线l的方程为（）A. x+y3=0B. xy+3=0C. x+y+3=0D. xy3=03. 圆C的方程为x^2+y^2=4，点D(3,0)在圆外，则直线CD的斜率为（）A. 1B. 1C. 3D. 34. 下列关于椭圆的方程中，离心率最小的是（）A. x^2/4 + y^2/9 = 1B. x^2/9 + y^2/4 = 1C. x^2/16 + y^2/25 = 1D. x^2/25 + y^2/16 = 15. 设双曲线x^2/a^2 y^2/b^2 = 1的渐近线方程为y=kx，则k 的值为（）A. a/bB. b/aC. a/bD. b/a6. 在平面直角坐标系中，点A(1,2)到直线y=3x+1的距离为（）A. 2B. 3C. 4D. 57. 已知抛物线y^2=8x的焦点坐标为（）A. (2,0)B. (2,0)C. (0,2)D. (0,2)8. 若直线y=2x+3与圆(x1)^2+(y2)^2=16相交，则交点的个数为（）A. 0B. 1C. 2D. 39. 在等轴双曲线x^2 y^2 = 1上，点P到原点的距离为2，则点P的坐标为（）A. (1,1)B. (1,1)C. (1,1)D. (1,1)10. 已知点A(2,3)和点B(2,1)，则线段AB的中点坐标为（）A. (0,2)B. (0,4)C. (2,2)D. (2,4)二、判断题：1. 直线y=2x+1的斜率为2，截距为1。
（）2. 两个圆的半径分别为1和2，圆心距为3，则这两个圆相交。
（）3. 椭圆的离心率越大，其形状越接近圆。
（）4. 抛物线的焦点到准线的距离等于其焦距的一半。
数学解析几何2024高考知识点清单总结与题型练习
数学解析几何2024高考知识点清单总结与题型练习一、直线的方程与性质直线的一般式方程为Ax+By+C=0，其中A、B、C为常数且A与B不同时为0。
直线的斜截式方程为y=kx+b，其中k为直线的斜率，b为直线与y轴的交点坐标。
直线的截距式方程为x/a+y/b=1，其中a、b为直线与坐标轴的截距。
二、直线与平面的位置关系直线与平面的关系可分为以下几种情况：1. 直线与平面相交：直线与平面交于一点，方程组有唯一解。
2. 直线与平面平行：直线与平面无交点，方程组无解。
3. 直线包含于平面：直线上的每一点都在平面上，方程组有无数解。
三、平面的方程与性质平面的一般式方程为Ax+By+Cz+D=0，其中A、B、C、D为常数且A、B、C不同时为0。
平面的点法式方程为Ax+By+Cz+D=0，其中A、B、C为法向量的分量。
平面的截距式方程为x/a+y/b+z/c=1，其中a、b、c为平面与坐标轴的截距。
四、直线与直线的位置关系直线与直线的位置关系可分为以下情况：1. 相交于一点：两条直线交于一点，方程组有唯一解。
2. 平行：两条直线的斜率相等但截距不相等，方程组无解。
3. 重合：两条直线完全重合，方程组有无数解。
五、直线与平面的位置关系直线与平面的位置关系可分为以下情况：1. 相交于一点：直线与平面交于一点，方程组有唯一解。
2. 平行：直线与平面无交点，方程组无解。
3. 直线包含于平面：直线上的每一点都在平面上，方程组有无数解。
六、空间几何体的体积与表面积计算常见空间几何体的体积与表面积计算公式如下：1. 立方体体积公式：V=a^3，其中a为边长。
2. 球体体积公式：V=(4/3)πr^3，其中r为半径。
3. 圆柱体体积公式：V=πr^2h，其中r为底面半径，h为高度。
4. 圆锥体体积公式：V=(1/3)πr^2h，其中r为底面半径，h为高度。
七、题型练习1. 已知直线L1：2x+y-1=0与直线L2：x-y+2=0，求直线L1与L2的交点坐标。
(完整版)解析几何题库
解析几何题库一、选择题1.已知圆C 与直线x －y =0 及x －y －4=0都相切，圆心在直线x +y =0上，则圆C 的方程为 A.22(1)(1)2x y ++-= B. 22(1)(1)2x y -++= C.22(1)(1)2x y -+-= D. 22(1)(1)2x y +++=【解析】圆心在x ＋y ＝0上,排除C 、D,再结合图象,或者验证A 、B 中圆心到两直线的距离等于半径2即可. 【答案】B 2.直线1y x =+与圆221x y +=的位置关系为（ ）A ．相切B ．相交但直线不过圆心C ．直线过圆心D ．相离【解析】圆心(0,0)为到直线1y x =+，即10x y -+=的距离2d ==，而012<<，选B 。
【答案】B 3.圆心在y 轴上，半径为1，且过点（1，2）的圆的方程为（ ）A ．22(2)1xy +-=B ．22(2)1xy ++=C ．22(1)(3)1x y -+-=D ．22(3)1xy +-=解法1（直接法）：设圆心坐标为(0,)b1=，解得2b =，故圆的方程为22(2)1x y +-=。
解法2（数形结合法）：由作图根据点(1,2)到圆心的距离为1易知圆心为（0，2），故圆的方程为22(2)1x y +-=解法3（验证法）：将点（1，2）代入四个选择支，排除B ，D ，又由于圆心在y 轴上，排除C 。
【答案】A4.点P （4，－2）与圆224x y +=上任一点连续的中点轨迹方程是（ ）A.22(2)(1)1x y -++= B.22(2)(1)4x y -++=C.22(4)(2)4x y ++-=D.22(2)(1)1x y ++-=【解析】设圆上任一点为Q （s ，t ），PQ 的中点为A （x ，y ），解得：⎩⎨⎧+=-=2242y t x s ，代入圆方程，得（2x －4）2＋（2y＋2）2＝4，整理，得：22(2)(1)1x y -++=【答案】A 5.已知直线12:(3)(4)10,:2(3)230,l kx k y l k x y -+-+=--+=与平行，则k 得值是（ ）A. 1或3B.1或5C.3或5D.1或2【解析】当k ＝3时，两直线平行，当k ≠3k －3，解得：k ＝5，故选C 。
解析几何知识点管综
解析几何知识点管综一、直线。
1. 直线的倾斜角与斜率。
- 倾斜角α：直线l向上的方向与x轴正方向所成的最小正角，α∈[0,π)。
- 斜率k = tanα（α≠(π)/(2)），经过两点P_1(x_1,y_1)，P_2(x_2,y_2)（x_1≠x_2）的直线的斜率k=(y_2 - y_1)/(x_2 - x_1)。
2. 直线方程的几种形式。
- 点斜式：y - y_0=k(x - x_0)（直线过点(x_0,y_0)，斜率为k）。
- 斜截式：y = kx + b（k为斜率，b为直线在y轴上的截距）。
- 两点式：(y - y_1)/(y_2 - y_1)=(x - x_1)/(x_2 - x_1)（x_1≠ x_2,y_1≠ y_2，直线过两点(x_1,y_1)，(x_2,y_2)）。
- 截距式：(x)/(a)+(y)/(b)=1（a≠0,b≠0，a为x轴上的截距，b为y轴上的截距）。
- 一般式：Ax + By+C = 0（A、B不同时为0）。
3. 两直线的位置关系。
- 平行：l_1:y = k_1x + b_1，l_2:y = k_2x + b_2，则l_1∥ l_2Leftrightarrow k_1 = k_2且b_1≠ b_2；对于l_1:A_1x + B_1y + C_1 = 0，l_2:A_2x + B_2y + C_2 = 0，l_1∥ l_2Leftrightarrow(A_1)/(A_2)=(B_1)/(B_2)≠(C_1)/(C_2)。
- 垂直：l_1:y = k_1x + b_1，l_2:y = k_2x + b_2，则l_1⊥ l_2Leftrightarrowk_1k_2=- 1；对于l_1:A_1x + B_1y + C_1 = 0，l_2:A_2x + B_2y + C_2 = 0，l_1⊥l_2Leftrightarrow A_1A_2 + B_1B_2 = 0。
- 相交：联立两直线方程求解交点坐标。
专题-解析几何知识点汇总(全)
直线的方程1、直线的方程：类型直线方程方向向量d法向量n斜率k截距x轴/y轴/两点式x x1y y1x2x1y2y1(x2x1,y2y1)(y2y1,x1x2)y2y1x2x1点方向式点法向式点斜式截距式斜截式x xy yu va(x x) b(y y) 0(u,v)(v, u)vuab//(b, a)(1,k)( m,n)(1,k)(B, A)(a,b)(k, 1)(n,m)(k, 1)(A,B)//y yk(x x)x y1m ny kx bAx By C 0knm//m/nbCBkAB一般式C A注意：（1）点法向式方程和一般式方程可以表示所有的直线；（2）两点式方程和点方向式方程不能表示垂直于x轴或垂直于y轴的直线；（3）点斜式方程和斜截式方程不能表示垂直于x轴的直线；（4）截距式方程不能表示经过原点的直线．2、直线的倾斜角和斜率：（1）直线的倾斜角为平面直角坐标系中直线与x轴正半轴的夹角．取值范围： [0, )；（2）直线的斜率：tan , [0,) (, )22k不存在，2；k 0 0k 2 0 0k tan 在[0, )和 k 不存在 = 2(2, )上单调递增．2k 0 2 y 2 y 1（3）若直线过点(x x ,x 1 x 21,y 1)，(x 2,y 2)，则该直线的斜率k 2 x 1，k R ．不存在，x 1 x 23、两条直线的位置关系：已知l 1:a 1x b 1y c 1 0，l 2:a 2x b 2y c 2 0，则（1）系数法：①l 1 l 2 a 1a 2 b 1b 2 0；特别地，若l 1的斜率为k 1，l 2的斜率为k 2，l 1 l 2 k 1 k 2 1；②l 1与l 2相交 a 1b 2 a 2b 1；③l 1与l 2重合 a 1:b 1:c 1 a 2:b 2:c 2；④l 与l a 1:b 1 a 2:b 212平行 a ．1:c 1 a 2:c 2或b 1:c 1 b 2:c 2（2）向量法：已知l 的法向量为 n11 (a 1,b 1)，l 2的法向量为n 2 (a 2,b 2)，则①l l12 n 1 n 20 a 1a 2 b 1b 2 0；特别地，若l 1的斜率为k 1，l 2的斜率为k 2，则l 1 l 2 k 1 k 2 1；②l l1与2相交 n 1与n 2不平行 a 1b 2 a 2b 1；③l 1与l 2平行或重合 n 1与n 2平行 a 1b 2 a 2b 1．（3）行列式法：已知Da 1b 1a ，Db 1xc 12b 2c 2b ，D y a 1c 12a 2c ，则21l 1与l2相交 D 0；②l1与l2重合 D D x D y 0；则③1与2平行 l l D 0．D x、D y 不全为零4、两条相交直线l 1:a 1x b 1y c 1 0和l 2:a 2x b 2y c 2 0的夹角 ：（1）若l 1、l 2的法向量分别为n 1 (a 1,b 2)、n 2 (a 2,b 2)，且l 1、l 2的方向向量分别为d 1、d 2，则n n 2cos 1n 1 n 2a 1a 2b 1b 2a 12 b 12 a 22 b 22d 1 d 2 或cos， [0,]；2d 1 d 2（2）若l 1、l 2的斜率分别为k 1、k 2，且l 1到l 2的角为 1，l 2到l 1的角为 2，则tank k 1k k 2k 1 k 2, [0,)；tan 1 2，tan 2 1．1 k 1k 21 k 1k 21 k 1k 225、点到直线的距离公式：（1）点P (x 0,y 0)到直线l :Ax By C 0的距离为dAx 0 By 0 CA B22；（2）直线l 1:Ax By C 1 0与直线l 2:Ax By C 2 0的距离为dC 1 C 2A B22．6、直线l :Ax By C 0同侧/异侧：（1）Ax 0 By 0 C 0(A 0) P (x 0,y 0)在直线l :Ax By C 0(A 0)的右侧；Ax 0 By 0 C 0(A 0) P (x 0,y 0)在直线l :Ax By C 0(A 0)的左侧．（2）点M (x 1,y 1)、N (x 2,y 2)在直线l 同侧 (Ax 1 By 1 C )(Ax 2 By 2 C ) 0；点M (x 1,y 1)、N (x 2,y 2)在直线l 异侧 (Ax 1 By 1 C )(Ax 2 By 2 C ) 0．7、点关于直线的对称问题：点直线P (x 0,y 0)x 轴P (x 0, y 0)y 轴P ( x 0,y 0)y xP (y 0,x 0)y xP ( y 0, x 0)x mP (2m x 0,y 0)y n P (x 0,2n y 0)对称点补充：①点P(x0,y)关于直线y x b的对称的点为P (yb,xb)；②点P(x0,y)关于直线y x b的对称的点为P (b y,b x)；A(n y) B(m x)③点P(x0,y)关于直线Ax By C 0的对称点P (m,n)满足 m x．n yA B C 022或者P (m,n)，其中 8、三线共点问题：三条互不平行的直线l1:a1x b1y c10，直线l2:a2x b2y c20，直线l3:a3x b3y c30共m x0 2AD Ax By C,D 022．A Bn y0 2BDa1点的充要条件是a2b1b2b3c1c20．c3a39、直线系方程：具有某一个共同性质的一簇直线称为直线系．（1）平行直线系：①斜率为k0（常数）的直线系：，例：y 2x b；y kx b（b为参数）②平行于直线A0x By 0的直线系：Ax By C 0(C为参数)．（2）过已知点的直线系：①以斜率k作为参数的直线系：y y0 k(x x)，直线过定点(x,y)；②以斜率k作为参数的直线系：y kx b0，直线过定点(0,b)．③过两条直线l1:A1x B1y C10，l2:A2x B2y C20的交点的直线系：A 1x B1y C1(A2x B2y C2) 0( 为参数)．注意：对于①②，过定点且平行于y轴或与y轴重合的直线不在直线系内；对于③，其中直线l2不在直线系内．10、定直线上动点与两定点距离和差问题：（1）定直线上动点与两定点距离和：问题已知定直线l上动点P，两个定点A、B，求PA PB的取值范围．取值范围A、B在l的解答步骤同侧 A B,AB, ①作点A关于l的对称点A ；②联结A B，交l于M；③点M为最小值状态点．①联结AB交l于M；②点M为最小值状态点．异侧（2）定直线上动点与两定点距离差：已知定直线l上动点P，两个定点A、B，点A、B到l的距离分别为d1、d2，问题直线AB与直线l的夹角为 ，求PA PB的取值范围．A、B在l的d1与d2的大小关系d1d2取值范围解答步骤①联结AB并延长交l于M；②点M为最大值状态点．/①联结BA并延长交l于M；②点M为最小值状态点．①作点A关于l的对称点A ；②联结A B并延长交l于M；③点M为最大值状态点．/①作点A关于l的对称点A ；②联结BA 并延长交l于M；2AB cos ,ABAB,ABAB,AB cos同侧d1 d2d 1 d2d 1 d2A B cos ,A BA B,A BA B,AB cos异侧d1d2d1d2点M为最小值状态点．曲线的方程（一）曲线的方程概论1、轴对称的两个曲线：曲线对称轴曲线F(x,y) 0x轴F(x, y) 0y轴y x y x x m y n F( x,y) 0F(y,x) 0F( y, x) 0F(2m x,y) 0F(x,2n y) 0补充：①曲线F (x ,y ) 0关于y x b 对称的曲线方程为F (y b ,x b ) 0；②曲线F (x ,y ) 0关于y x b 对称的曲线方程为F (b y ,b x ) 0．2、中心对称的两个曲线：曲线对称中心曲线F (x ,y ) 03、轴对称的曲线：曲线对称轴条件(m ,n )F (2m x ,2n y ) 0F (x ,y ) 0y x F (y ,x ) F (x ,y )补充：y x F ( y , x ) F (x ,y )x mF (2m x ,y ) F (x ,y )y nF (x ,2n y ) F (x ,y )a b对称。
高中数学解析几何基础复习 题集附答案
高中数学解析几何基础复习题集附答案高中数学解析几何基础复习题集附答案在高中数学中，解析几何是一个非常重要的内容。
解析几何是指在直角坐标系中，通过代数的方法来研究几何问题。
掌握解析几何的基础知识对于学习高中数学以及应用数学都非常有帮助。
为了帮助大家进行复习，下面将提供一些高中数学解析几何基础题目，并附上详细的答案解析。
1. 已知直线L1：2x + 3y = 5和L2: y = 4x - 1，求两直线的交点坐标。
解析：首先将直线L1和L2的方程组合，得到2x + 3(4x - 1) = 5，化简得到14x - 3 = 5，继续化简得到14x = 8，x = 8/14 = 4/7。
代入L2的方程求y的值，得到y = 4(4/7) - 1 = 16/7 - 7/7 = 9/7。
所以两直线的交点坐标为(4/7, 9/7)。
2. 已知直线L：x + y = 4和曲线C：x^2 + y^2 = 5，求直线与曲线的交点坐标。
解析：将直线L的方程代入曲线C的方程中，得到(x + y)^2 + y^2 = 5，展开得到x^2 + y^2 + 2xy + y^2 = 5，化简得到x^2 + 2xy + 2y^2 = 5。
由于直线L与曲线C有交点，所以存在某个x和y满足这个方程。
观察方程的左边，可以发现它可以写成(x + y)^2 + y^2 = 5，也就是(x +y)^2 = 5 - y^2。
由于(x + y)^2必须大于等于0，所以5 - y^2必须大于等于0，解这个不等式得到-√5 ≤ y ≤ √5。
将y的取值范围代入方程(x +y)^2 = 5 - y^2，解得x = 4 - y。
因此，两直线的交点坐标为(x, y) = (4 - y, y)，其中-√5 ≤ y ≤ √5。
3. 已知平面内三点A(1, 2)，B(3, -4)，C(-2, 3)，判断是否共线。
解析：判断三点是否共线可以利用向量的共线条件。
设有两个向量AB和AC，若这两个向量共线，则存在一个实数k，使得AB = kAC。
高中数学《解析几何》核心知识点及参考练习
1-x1-y2,-2⎭2）（斜率也可利用两点坐标或导数计算）2.（2）当θ∈ 0,⎪时，k>0，且逐渐增大；2时，斜率不存在；⎝2,π⎪时，k<0，且逐渐增大.（4）当θ∈ 《解析几何》核心知识点及参考练习（注：两点A(x,y)与B(x,y1122)之间的距离d=(x2)2+(y2)2）.1.斜率与倾斜角（参考上图理解倾斜角定义、斜率随倾斜角的变化情况）倾斜角θ∈[0,π)，斜率k=tanθ（θ≠π（1）当θ=0（直线与x轴平行或重合）时，k=tan0=0；3.平面内两条直线l与l的平行与垂直关系（注意与向量的平行垂直相类比）12（1）若l//l，则k=k或k、k均不存在；121212（2）若l⊥l，则k⋅k=-1或k、k一个不存在一个为零；1212124.圆的方程（1）标准方程：(x-a)2+(y-b)2=r2，圆心坐标为(a,b)，半径为r(r>0)；()⎛D E⎫（2）一般方程：x2+y2+D x+E y+F=0D2+E2-4F>0，圆心坐标为 -⎪，⎝半径为r=D2+E2-4F5.直线与圆的位置关系（代数法运算量大，应以几何法为主，充分发挥数形结合的作用）⎛⎝π⎫2⎭方法几何法代数法图形位置（3）当θ=π⎛π⎫⎭2.直线的方程（1）斜截式：y=k x+b（k为斜率，b为纵截距），常用于找直线的斜率、求直线与圆锥曲线的交点；（2）点斜式：y-y=k (x-x)，常用于求曲线在点(x,y)处的切线方程；0000相交d<r∆>0图1相切d=r∆=0图2相离d>r∆<0图3（3）一般式：Ax+B y+C=0，常用于求点(x,y00)到直线Ax+B y+C=0的距离：d=|Ax0+By0+C|A2+B2例1：已知直线l：3x+y-6=0和圆心为C的圆x2+y2-2y-4=0，判断直线l与圆的位置关系；如果相交，求出它们的交点坐标和弦长.2⎧|MF1|+|MF2|=2a椭圆x22+ b弦长公式a圆、椭圆、点，则弦长|AB|=1+k2⋅(x12，物线，故在计算时注意韦达定理的运用，即设一元二次方程ax2+b x+c=0(a≠0)的两根为b2=1(a>b>0)b2=1(a>b>0)x+x=-ax,x，则⎪⎨12c.⎪⎩1aa2∈(0,1)，e越大，椭圆越扁；e越小，椭圆越圆6.椭圆的标准方程与几何性质S 1∆MF1F2=2⨯2c⨯|yM||MF|+|MF|=2a>2c12焦距|F F|=2c a2=b2+c2 121=⋅|MF|⋅|MF|⋅sinθ12=b2tanθ2定义：在平面内，到两个定点F,F的距离之和等于定长12焦点三角形（大于|F F|）的点的轨迹，称为椭圆.12分类焦点在x轴上焦点在y轴上其中，运用第二个公式时常用到椭圆定义和余弦定理，即⎨⎩|F1F2|2=|MF1|2+|MF2|2-2|MF1|⋅|MF2|⋅cosθy22=1与直线y=kx+b（斜率不存图形（该公式同在时单独讨论）相交于A(x1,y1),B(x2,y2)两样适用于1+x2)2-4x x双曲线和抛标准方程x2y2y2x2a2+a2+焦点坐标F(-c,0)，F(c,0)F (0,-c)，F(0,c)1212顶点坐标A1(-a,0)，A2(a,0)A1(0,-a)，A2(0,a)B(0,-b)，B(0,b)B(-b,0)，B(b,0) 1212长轴、短轴长轴长：|A A|=2a短轴长：|B B|=2b1212后续的内容中略去该公式）⎧b离心率e=ca=1-b2焦半径椭圆上任一点M到焦点F的最大距离为a+c，最小为a-c1第3页，共20页第4页，共20页22⎧ | MF 1 | - | MF 2 |= 2a ay =± (7. 双曲线的标准方程与几何性质等轴双曲线a =b ，渐近线方程： y = ± x ，两渐近线互相垂直，离心率 e =2|| MF | - | MF || = 2a < 2c1 2焦距 | F F | = 2c1 2c 2= a 2+ b2S ∆MF 1F 2 = 1⨯ 2 c ⨯ | y |M定义：在平面内，到两个定点 F , F 的距离之差的绝对值等于121= | MF | ⋅ | MF | ⋅sin θ1 2分 类定长（小于 | F F | ）的点的轨迹，称为双曲线.1 2焦点在 x 轴上 焦点在 y 轴上 焦点三角形=b 2 θ tan2图 形其中，运用第二个公式时常用到双曲线定义和余弦定理，即⎨⎩ | F 1F 2 |2 =| MF 1 |2 + | MF 2 |2 -2 | MF 1 | ⋅ | MF 2 | ⋅cos θ标准方程x 2 y 2- a 2 b 2= 1 (a > 0 , b > 0) y 2 x 2- a 2 b 2= 1 (a > 0 , b > 0)焦点坐标顶点坐标渐近线方程F (- c , 0)， F (c , 0)1 2A (- a , 0)， A (a , 0)1 2y =± bx ，焦点到渐近线的距离为 ba bF (0 , - c )， F (0 , c )1 2A (0 , - a )， A (0 , a )1 2x ，焦点到渐近线的距离为 b实轴、虚轴实轴长： | A A | = 2a 虚轴长： | B B | = 2b1 2 1 2离心率c b 2 e = = 1 + a a 2∈ 1 , + ∞)， e 越大，开口越大； e 越小，开口越小x2=-2py(p>0)F 0,-P⎫⎝2⎭y=16=1上一点P到焦点F的距离为6，则点P到另一个焦点F的距离为______.25+9-y2=2p x(p>0)F⎝2,0⎪2x轴4.长轴长是8，离心率为35-k+⎭x=Py2=-2p x(p>0)F -2,0⎪25，且过点P(-5,4)，则椭圆的标准a2-b2=1(a>0,b>0)的一条渐近线方程为y=3x，一个焦点在抛物线F 0,2⎭2y轴P⎫y=-P8.抛物线的标准方程与几何性质（离心率e=1）|MH|=|MF|设|FE|=p(p>0)定义：在平面内，到定点F与到定直线l的距离相等的点的轨迹，称为抛物线.定点F称为焦点，定直线l称为准线.⎛⎪P2y轴图形标准方程焦点坐标准线方程对称轴常见题型一：定义及标准方程x2y21.椭圆12⎛P⎫⎭x=-⎛P⎫⎝Px轴2.双曲线x2y216=1上一点M到它一个焦点的距离为16，则到另一个焦点的距离为_____.3.设抛物线y2=8x上一点P到y轴的距离是4，则点P到该抛物线焦点的距离为_______.4的椭圆的标准方程是_______________________.5.若方程x2y2k-3=1表示椭圆，则k的取值范围是__________________；若表示双曲线，则k的取值范围是______________________.6.已知椭圆的中心在原点，焦点在x轴上，离心率为5方程为_________________________.7.经过点(-5,2)且一个焦点为(6,0)的双曲线的标准方程为_______________________.8.已知双曲线x2y2y2=24x的准线上，则双曲线的方程为__________________________________.x2=2py(p>0)⎛⎝⎪9.顶点在原点，准线方程为x=-2，则抛物线的方程是_________________________.(0,-3)11.抛物线y 2x2的焦点坐标为_____________；准线方程为__________________.第7页，共20页第8页，共20页8 -b 2 = 1 (a > b > 0)，a 2 +2.已知双曲线 x 2 b 2 = 1 (a > 0, b > 0).3.已知椭圆 x 2 b 2 = 1(a > b > 0)的左、右顶点分别是 A 、 B ，左、右焦点分别是 Fb 2 = 1 (a > b > 0)的左焦点 F 作 x 轴的垂线交椭圆于点 P ， F 为右焦点，若2 + y 2 = 1 的左焦点 F 作倾斜角为 60°的直线 l ，直线 l 与椭圆相交于 A , B 两点，b 2 = 1 (a > 0 , b > 0)的离心率为 e = 3 ，则其渐近线方程为__________. a 2 -3-12.抛物线 y 2 = 12 x 上与焦点的距离等于 9 的点的坐标是________________.3.已知 F 是双曲线 C : x 2 - my 2 = 3m (m > 0)的一个焦点，则点 F 到 C 的一条渐近线的距离为13.以双曲线x 2____________.y29 = 1 的右顶点为焦点的抛物线的标准方程为 _________，准线方程为（ ）A. 3B. 3C. 3 mD. 3m四、焦点三角形问题二、离心率问题x 2 y 21.已知椭圆1. 已知 F , F 分别是双曲线 C :1 2x 2 y 25 - 4 = 1 的左、右焦点， P 是双曲线 C 上一点，且（1）若长轴长、短轴长、焦距成等差数列，则离心率e =___________.（2）若长轴长、短轴长、焦距成等比数列，则离心率e =___________.∠F PF = 90︒ ，求△ F PF 的面积.1 2 1 2y 2a 2 -（1）若实轴长、虚轴长、焦距成等差数列，则该双曲线的离心率为________.2.已知 F , F 是椭圆1 2 x 2 16 + y 2 9 = 1 的两个焦点， P 为该椭圆上一点，且cos ∠F 1PF 2 =513 ，求（2）若实轴长、虚轴长、焦距成等比数列，则该双曲线的离心率为________.y2| AF | , | F F| , | BF | 成等差数列，则此椭圆的离心率为________. 11 21a 2 + 1 、 F 2 ，△ F PF 的面积.1 24.过椭圆x 2 y 2a 2 + 1 2五、弦长与综合问题1.过椭圆x 21∠F PF = 60︒ ，则椭圆的离心率为_________.1 25.已知正方形 ABCD ，以 A , B 为焦点，且过 C , D 两点的椭圆的离心率为__________.x 2y 26.双曲线三、渐近线问题求 AB 的长.2.过双曲线x 2y 26 = 1 的右焦点 F 2 ，倾斜角为 30 °的直线交双曲线于 M , N 两点，求2-16-1.双曲线x 22.双曲线x 2y 24 = -1 的渐近线方程为__________________.y 29 = 1 的一个焦点到其渐近线的距离是 ________ ，一个顶点到渐近线的距离| MN | .3.过点 M (2 , 0)作斜率为 1 的直线 l ，交抛物线 y 2 = 4 x 于 P , Q 两点，求 | PQ | .是______________ .第 9 页，共 20 页 第 10 页，共 20 页() 5，则圆C的方程为_____________________.3B.-4C.3()(6] B.(0,3] C.[0,6] D.[0,()((3B.3C.3D.(︒(((((六、参考练习题【题组一】直线与方程11.（2016天津文）已知圆C的圆心在x轴的正半轴上，点M0,5在圆C上，且圆心到直1.（2016北京文）圆(x+1)2+y2=2的圆心到直线y=x+3的距离为（）A.1B.2C.2D.222.（2016全国Ⅱ卷）圆x2+y2-2x-8y+13=0的圆心到直线a x+y-1=0的距离为1，线2x-y=0的距离为4512.（2016全国卷Ⅰ文）设直线y=x+2a与圆C:x2+y2-2a y-2=0相交于A,B两点，若|AB|=23，则圆C的面积为_________.则a=（）A.-43D.213.（2016浙江文）已知a∈R，方程a2x2+(a+2)y2+4x+8y+5a=0表示圆，则圆心坐标是_________,半径是_________.3.（2014福建文）已知直线l过圆x2+(y-3)2=4的圆心，且与直线x+y+1=0垂直，则l的方程是（）A.x+y-2=0B.x-y+2=0C.x+y-3=0D.x-y+3=04.（2014安徽文）过点P-3,-1的直线l与圆x2+y2=1有公共点，则直线l的倾斜角的取14.（2015北京文）圆心为1,1)且过原点的圆的方程是（）A.(x-1)2+(y-1)2=1B.(x+1)2+(y+1)2=1C.(x+1)2+(y+1)2=2D.(x-1)2+(y-1)2=2值范围是（）A.(0,ππππ3]15.（2015全国Ⅱ文）已知三点A1,1)，B0,3，C2,3≥?，则ABC外接圆的圆心到原点的距离为（）5.直线x cosθ-y-1=0θ∈R)的倾斜角α的取值范围是_____________. A.52125436.（2015湖南文）若直线3x-4y+5=0与圆x2+y2=r2(r>0)相交于A,B两点，且∠A O B=120（O为坐标原点），则r=_________.7.圆C:x2+y2-4x-4y-10=0上的点到直线l:x+y-14=0的最大距离与最小距离的差是__________.8.过点A1,2)且与直线x-2y+3=0垂直的直线方程为__________________.9.已知直线l:x+1+k)y=2-k与l:k x+2y+8=0平行，则k的值为________.1210.若曲线y=k x2+ln x在点1,k)处的切线与直线x+2y-1=0垂直，则k=__________.【题组二】圆与方程16.（2015全国Ⅱ理）过三点A1,3)，B(4,2)，C1,-7)的圆交y轴于M,N两点，则|MN|=（）A.26B.8C.46D.1017.（2015安徽文）直线3x+4y=b与圆x2+y2-2x-2y+1=0相切，则b的值是（）A.-2或12B.2或-12C.-2或-12D.2或1218.（2014浙江文）已知圆x2+y2+2x-2y+a=0截直线x+y+2=0所得弦的长度为4，则实数a的值是（）A.-2B.-4C.-6D.-819.（2015重庆理）已知直线l：x+a y-1=0(a∈R)是圆C:x2+y2-4x-2y+1=0的对称轴.过点A(-4,a)作圆C的一条切线，切点为B，则|AB|=（）m2=1(m>0)的左焦点为F(-4,0)，则m=（2，则C的方(3+4+4+30.（2015全国卷Ⅰ理）一个圆经过椭圆4=1的三个顶点，且圆心在x轴的正半轴上，b2=1(a>b>0)的左、右焦点分别为F,F，P是C上a2+ (3的直线被圆6B.3C.2D.b2=1(a>b>0)上一点P向x轴作垂线，垂足恰为左焦点F，a2+2B.5C.2D.0A.24B.2C.2D.33.（2012全国卷）设F，F是椭圆E:x2b2=1(a>b>0)的左、右焦点，P为直线x=aa2+2 4，则该椭圆的离心率为（2B.3C.4D.3B.2C.3D.b2=1(a>b>0)的离心率为2，短轴长为4，则椭圆的方程b2=1(a>b>0)的右焦点，直线y=2与椭圆交于B,C两2，且它的一个焦点与抛物线A.2B.42C.6D.21028.（2015广东文）已知椭圆x225+y21）20.（2013重庆文）设P是圆(x-3)2+(y+1)2=4上的动点，Q是直线x=-3上的动点，则|PQ|的最小值为（）A.6B.4C.3D.2A.2B.3C.4D.929.（2013广东文）已知中心在原点的椭圆C的右焦点为F1,0)，离心率等于1程是（）21.（2012安徽文）若直线x-y+1=0与圆(x-a)2+y2=2有公共点，则实数a的取值范围是（）A.x2y24=1 B.x24y2+=13C.x2y22=1 D.x2y23=1A.[-3,-1]B.[-1,3]C.[-3,1]D.(-∞,-3] [1,+∞)22.（2014江苏）在平面直角坐标系xOy中，直线x+2y-3=0被圆(x-2)2+(y+1)2=4截得x216+则该圆的标准方程为_____________________.y2的弦长为_________.23.（2015重庆文）若点P1,2)在以坐标原点为圆心的圆上，则该圆在点P处的切线方程为31.（2013全国卷Ⅱ文）设椭圆C:x2y212____________________.的点，PF⊥F F，∠P F F=30 ，则C的离心率为（）2121224.（2014潍坊联考）过抛物线y2=4x的焦点且倾斜角为π A.31133x2+y2-4x+43y=0截得的弦长是________.32.（2013四川文）从椭圆x2y2125.从圆x2-2x+y2-2y+1=0外一点P(3,2)向这个圆作两条切线，则两切线夹角的余弦值A是椭圆与x轴正半轴的交点，B是椭圆与y轴正半轴的交点，且AB//OP（O是坐标原点），则该椭圆的离心率是（）为（）A.133121232y23【题组三】椭圆26.（2016全国乙卷文）直线l经过椭圆的一个顶点和一个焦点，若椭圆中心到l的距离为其上一点，△F PF是底角为30︒的等腰三角形，则E的离心率为（）21短轴长的1） A.12345A.1123434.（2015贵阳监测）椭圆x2y2a2+327.（2016江苏）如图，在平面直角坐标系xOy中，F是椭圆为____________________.x2y2a2+b35.（2016湖南六校联考）已知椭圆的中心在原点，离心率e=1点，且∠B FC=90︒，则该椭圆的离心率是______.y2=-4x的焦点重合，则此椭圆的方程为（）4 + 8 + 2 + y 2 = 1 4 + y 2 = 13 = 1 的左顶点，斜率为 k (k > 0)的直线交 E 于36.（2015 兰州诊断）若椭圆 C : x 2 b 2 = 1 (a > b > 0)的左、右焦点分别为 F , F ，右顶点为 A ，a 2 + 6 | F F | ，则椭圆 C 的离心率 e = （b 2 = 1 (a > b > 0)的长轴长为 4 ，焦距为 2 2 .44.（2016 山东文）已知椭圆 C : 2B. 2C. 3D. b 2 = 1 (a > b > 0)的离心率为2 ，9 =1上，则 sin B = ___________. b 2 = 1 (a > b > 0)的两个焦点与短轴的一个端点是直角三9 + 2 = 1的左、右焦点分别为F , F ，点 P 在椭圆b 2 = 1 (a > b > 0)的半焦距为c ，原点 O 到经过两点 (c , 0) ，a 2 +b 2 = 1 (a > b >0)的离心率为 2，以原点为圆心，椭圆的短半轴长为半径 A. B. C. D. 40.（2016 北京理） 已知椭圆 C ：x +2 ，A (a , 0)，B (0 , b )， b 2 = 1（ a > b > 0）的离心率为 2 .（Ⅰ）求椭圆 C 的方程.b 2 = 1 (a > b > 0)的离心率是2 ，点 P (0 ,1)在短轴 CD 49.（2015 四川文）如图，椭圆 E :上，且 PC ⋅ PD = -1 .（Ⅰ）求椭圆 E 的方程.a 2 + | FA |，其中 O 为原点， e 为椭圆的离心率.（Ⅰ）求椭圆的方程.a 2 + 三角形的三个顶点，点 P 3 , ⎪ 在椭圆 E 上.（Ⅰ）求椭圆 E 的方程.b 2 = 1 (a > b > 0)过点 0 , 2 ，且离心率 e =2 .A. x 2 y 23 = 1 B. x 2 y 26 = 1C. x 2D. x 243.（2016 全国甲卷文）已知 A 是椭圆 E : x 2 4 +y 2y 2上顶点为 B ，若椭圆 C 的中心到直线 AB 的距离为 6）1 2 1 2 A , M 两点，点 N 在 E 上，且 MA ⊥ NA .（Ⅰ）当 | AM | = | AN | 时，求△ AMN 的面积.x 2 y 2 a 2 + （Ⅰ）求椭圆 C 的方程.A. 2323 345.（2016 山东理）在平面直角坐标系 xOy 中，椭圆 C : x 2 y 2 a 2 +337.（2015 大连双基测试）在平面直角坐标系 xOy 中，已知△ ABC 的顶点 A (- 4 , 0)和 C (4 , 0)， 抛物线 E : x 2 = 2 y 的焦点 F 是 C 的一个顶点.（Ⅰ）求椭圆 C 的方程.顶点 B 在椭圆 x 2 25 +y 2 sin A + sin C46.（2016 四川理）已知椭圆 E : x 2 a 2 +y 238.（2016 广东广雅中学检测）已知椭圆 x 2 y 21 2 角形的三个顶点，直线 l : y = - x + 3 与椭圆 E 有且只有一个公共点T . （Ⅰ）求椭圆 E 的方程及点 T 的坐标.上，若 | PF | = 4 ，则 | PF | = ________ , ∠ F PF 的大小为________ .121247.（2015 陕西理）已知椭圆 E : x 2 y 2a 2 +39.已知椭圆 C : x 2 y 2 1 (0 , b )的直线的距离为 1 c .（Ⅰ）求椭圆 E 的离心率.2的圆与直线 x - y + 6 = 0 相切，则椭圆 C 的方程为（ ）x 2 y 2 x 2 y 2 x 2 y 2 x 2 y 2 8 + 6 = 112 + 9 = 1 4 + 3 = 1 6 + 4 = 12 y 23 a 2O (0 , 0≥?， OAB 的面积为1 .（Ⅰ）求椭圆 C 的方程. 48.（2013 山东文）在平面直角坐标系 xOy 中，已知椭圆 C 的中心在原点 O ，焦点在 x 轴上，短轴长为 2 ，离心率为 2x 2 y 2 2 a 2 +→ →41. （ 2016 天津 理 ） 设椭 圆 x 2 y 23 = 1 （ a > 3 ） 的 右 焦 点 为 F，右 顶 点 为 A . 已 知1 1 3 e | OF | + | O A | =50.（2015 新课标Ⅱ理）已知椭圆C : 9 x 2 + y 2 = m 2 (m > 0)，42.（2016 四川文）已知椭圆 E ： x 2 y 2b 2 = 1（ a > b > 0 ）的一个焦点与短轴的两个端点是正直线 l 不过原点 O 且不平行于坐标轴， l 与 C 有两个交点 A , B ，线段 AB 的中点为 M . （Ⅰ）证明：直线 OM 的斜率与 l 的斜率的乘积为定值.⎛⎝1 ⎫2 ⎭ 51.（2015 福建理）已知椭圆 E :a 2+ x 2 y 2 ()2（Ⅰ）求椭圆E的方程.第15页，共20页第16页，共20页a2+b2=1(a>b>0)的离心率是2，过点P(0,1)的动直3.（Ⅰ）求椭圆C的方程.b2=1(a>b>0)的离心率为2，F,F是椭圆的两个焦点，P是椭圆上a2-b2=1(a>0,b>0)的焦距为25，且双曲线的一条渐近b2=1(a>b>0)的左、右焦点，M是C53.（2014新课标Ⅱ理）设F,F分别是椭圆C:a2+4，求C的离心率.54.（2014山东文）在平面直角坐标系xOy中，椭圆C:x2b2=1(a>b>0)的离心率为2，5.（Ⅰ）求椭圆C的方程.b2=1(a>b>0)的左、右焦点分别为F,F，右顶点为A，上55.（2014天津）设椭圆a2+2|F F|.（Ⅰ）求椭圆的离心率.b2=1(a>b>0)的左、右焦点分别为F,F，离心率为56.（2013山东理）椭圆C:2，a2+A.x2D.3x24-y2=1 B.x2- C.=1(a>0,b>0)的一条渐近线为2x+y=0，一个焦点63.（2016江苏）在平面直角坐标系xOy中，双曲线3=1的焦距是________.b2=1(a>0,b>0)的左、右焦点，点M64.（2016全国甲卷理）已知F,F是双曲线E:a2-在E上，MF与x轴垂直，sin∠MF F=3，则E的离心率为（12C.365.（2015广东理）已知双曲线C:x24，且其右焦点为F(5,0)，则双b2=1的离心率e=a2-a2+b2=1(a>b>0)的左、右顶点分别为A,B， B. C. D.2，点M为椭圆上的一个动点，△MAB面积的最大值是23.A.x2-y2B. C.4-x2=1 D.y2-b2=1(a>b>0)上一点，F,F分别为C的左、a2+b2=1(a>0,b>0)的一个焦点为F(2,0)，且双曲线的52.（2015四川理）如图，椭圆E:x2y22右焦点，|F F|=4，∠F MF=60︒△F MF的面积为43121212线l与椭圆相交于A,B两点.当直线l平行于x轴时，直线l被椭圆E截得的线段长为22.59.设椭圆C:1x2y2a2+312（Ⅰ）求椭圆E的方程.任意一点，且△PF F的周长是4+23.（Ⅰ）求椭圆C的方程.12160.已知椭圆C的中心为坐标原点，焦点在x轴上，椭圆C上的点到焦点的距离的最大值为3，最小值为1.（Ⅰ）求椭圆C的标准方程.【题组四】双曲线61.（2016天津文）已知双曲线x2y2x2y212上一点且MF与x轴垂直，直线MF与C的另一个交点为N.21（Ⅰ）若直线MN的斜率为3y23a2+直线y=x被椭圆C截得的线段长为410x2y212顶点为B.已知|AB|=312x2y2312过F且垂直于x轴的直线被椭圆C截得的线段长为1.（Ⅰ）求椭圆C的方程.1线与直线2x+y=0垂直，则双曲线的方程为（）y23x23y23y24=120-5=15-20=162.（2016北京文）已知双曲线x2-y2a为(5,0)，则a=_________；b=_________.x2y27-x2y212121A.2B.3D.2y25曲线C的方程为（））257.（2016昆明两区七校调研）已知椭圆C:x2y2A.x2y2x2y2x2y2x2y24-3=19-16=116-9=13-4=1其离心率e=1（Ⅰ）求椭圆的方程.66.（2015安徽理）下列双曲线中，焦点在y轴上且渐近线方程为y=±2x的是（）x2y2x24=14-y2=14=158.（2014贵州联考）已知点M是椭圆C:x2y21267.（2015天津文）已知双曲线x2y2a2-A. B. C. 3 - y 2 = 1 D. x 2 - x 2 ( )b 2 = 1 (a > 0 , b > 0)的一条渐近线过点 2 , 3 ，且双曲线 A. B. C. D. ()12 B.1 2D. 2b 2 = 1 (b > 0)的一个焦点，则 b = _______.a 2 - y 2 = 1(a > 0)的一条渐近线为 3 x + y = 0 ，则 a = _____. 71.（2015 北京理）已知双曲线 72.（2015 湖南文）若双曲线 x2 b 2 = 1的一条渐近线经过点(3 , - 4)，则此双曲线的离心率2 ， E 的右焦点与抛物线3 B.4 C. 3 D. 4 x 的准线方程是（5B. 4 - y 2 = 1 的顶点到其渐近线的距离等于（5C.5D.渐近线与圆 (x - 2)2+ y 2= 3 相切，则双曲线的方程为（）x 2 y 2 x 2 y 2 x 2 y 2 9 - 13 = 113 - 9 = 13 = 168.（2015 天津理）已知双曲线 - y 2a 2的一个焦点在抛物线 y 2 = 4 7 x 的准线上，则双曲线的方程为（ ）x 2 y 2 x 2 y 2 x 2 y 2 x 2 y 221 - 28 = 128 - 21 = 13 -4 = 14 - 3 = 169.（2015 新课标Ⅱ文）已知双曲线过点 4 , 3 ，且渐近线方程为 y = ± x ，则该双曲线的2标准方程为__________________.准线交于 A , B 两点， | AB | = 4 3 ，则 C 的实轴长为（ ）A. 2B. 2 2C. 4D. 8【题组五】抛物线77.（2016 全国甲卷文）设 F 为抛物线 C : y 2 = 4 x 的焦点，曲线 y = k(k > 0)与 C 交于点 P ，xPF ⊥ x 轴，则 k = （ ）A. 1 C. 378.（2016 四川文）抛物线 y 2 = 4 x 的焦点坐标是___________.70.（2015 北京文）已知 (2 , 0)是双曲线 x 2 -y 279.（2016 浙江理）若抛物线 y 2 = 4 x 上的点 M 到焦点的距离为 10 ，则 M 到 y 轴的距离是为（ ）x 2a 2 -y 2____________.80.（2015 新课标Ⅰ文）已知椭圆 E 的中心在坐标原点，离心率为1C : y 2 = 8x 的焦点重合， A , B 是 C 的准线与 E 的两个交点，则 | AB | = _______.A. 754 5 381.（2014 安徽文）抛物线 y = 1 2）73.（2015 新课标Ⅱ理）已知 A , B 分别为双曲线 E 的左、右顶点，点 M 在 E 上，△ ABM 为等腰三角形，且顶角为120︒，则 E 的离心率为（）A. 5B. 2C. 3D. 274.（2014 全国卷Ⅰ理）已知 F 为双曲线 C : x 2 - m y 2 = 3m (m > 0)的一个焦点，则点 F 到 C 的一条渐近线的距离为（ ） A. 3B. 3 mC. 3D. 3mA. y = -1B. y = -2C. x = -1D. x = -282.（2015 陕西理）若抛物线 y 2 = 2 p x (p > 0)的准线经过双曲线 x 2 - y 2 = 1 的一个焦点，则p = _______. 83.（84.（2013 新课标Ⅰ文） O 为坐标原点， F 为抛物线 C : y 2 = 4 2 x 的焦点， P 为 C 上一点，若 | PF | = 4 2 ，则△ POF 的面积为（ ）75.（2013 福建理）双曲线 A.2x 24 2 5）4 5 5A. 2B. 2 2C. 2 3D. 485.顶点在原点，经过圆 C : x 2 + y 2 - 2 x + 2 2 y = 0 的圆心且准线与 x 轴垂直的抛物线方程为（ ）76.（2012 新课标全国）等轴双曲线C 的中心在原点，焦点在 x 轴上，C 与抛物线 y 2 = 16 x 的A. y 2 = -2xB. y 2 = 2 xC. y = 2 x 2D. y = - 2 x 2。
解析几何重点题型归纳
解析几何重点题型归纳1、设函数3()32f x x x =-++分别在12x x 、处取得极小值、极大值.xoy 平面上点A B 、的坐标分别为11()x f x （,）、22()x f x （,），该平面上动点P 满足•4PA PB =u u u r u u u r,点Q 是点P 关于直线2(4)y x =-的对称点.求 (I)求点A B 、的坐标； (II)求动点Q 的轨迹方程.2、在直角坐标系xOy 中，以O 为圆心的圆与直线43=-y x 相切. （Ⅰ）求圆O 的方程；（Ⅱ）圆O 与x 轴相交于A 、B 两点，圆内的动点P 使|PA |、|PO |、|PB | 成等比数列，求、的取值范围.3、已知，点在轴上，点在轴的正半轴，点在直线上，且满足，. （Ⅰ）当点在轴上移动时，求动点的轨迹方程；（Ⅱ）过的直线与轨迹交于、两点，又过、作轨迹的切线、，当，求直线的方程.4、已知抛物线C :22x py=()0p >的焦点为F ,A 、B 是抛物线C 上异于坐标原点O 的不同两点，抛物线C 在点A 、B 处的切线分别为1l 、2l ，且12l l ⊥，1l 与2l 相交于点D . (1) 求点D 的纵坐标； (2) 证明：A 、B 、F 三点共线；(3) 假设点D 的坐标为3,12⎛⎫- ⎪⎝⎭，问是否存在经过A 、B 两点且与1l 、2l 都相切的圆， 若存在，求出该圆的方程；若不存在，请说明理由.5、 已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>，过右焦点F 的直线l 与C 相交于A 、B 两点，当l 的斜率为1时，坐标原点O 到l（I ）求a ，b 的值；（II ）C 上是否存在点P ，使得当l 绕F 转到某一位置时，有OP OA OB =+u u u r u u u r u u u r成立？若存在，求出所有的P 的坐标与l 的方程；若不存在，说明理由。
6、双曲线的中心为原点O ，焦点在x 轴上，两条渐近线分别为12l l ，，经过右焦点F 垂直于1l 的直线分别交12l l ，于A B ，两点．已知OA AB OB u u u r u u u r u u u r 、、成等差数列，且BF u u u r 与FA u u u r同向．（Ⅰ）求双曲线的离心率；（Ⅱ）设AB 被双曲线所截得的线段的长为4，求双曲线的方程．7、设椭圆中心在坐标原点，(20)(01)A B ，，，是它的两个顶点，直线)0(>=k kx y 与AB 相交于点D ，与椭圆相交于E 、F 两点．（Ⅰ）若6ED DF =u u u r u u u r，求k 的值； （Ⅱ）求四边形AEBF 面积的最大值．8、如图，已知抛物线2:E y x =与圆222:(4)(0)M x y r r -+=>相交于A 、B 、C 、D 四个点。
解析几何基础知识汇总
解析几何基础知识1.平行与垂直若直线l 1和l 2有斜截式方程l 1：y ＝k 1x ＋b 1，l 2：y ＝k 2x ＋b 2，则： (1)直线l 1∥l 2的充要条件是： k 1＝k 2且b 1≠b 2 (2)直线l 1⊥l 2的充要条件是：k 1·k 2＝－12．三种距离(1)两点间的距离平面上的两点P 1(x 1，y 1)，P 2(x 2，y 2)间的距离公式|P 1P 2|＝x 1－x 22＋y 1－y 22.特别地，原点(0,0)与任意一点P (x ，y )的距离|OP |＝x 2＋y 2.(2)点到直线的距离：点P 0(x 0，y 0)到直线l ：Ax ＋By ＋C ＝0的距离d ＝|Ax 0＋By 0＋C |A 2＋B 2(3)两条平行线的距离两条平行线Ax ＋By ＋C 1＝0与Ax ＋By ＋C 2＝0间的距离d ＝|C 1－C 2|A 2＋B23、圆的方程的两种形式①．圆的标准方程(x －a )2＋(y －b )2＝r 2，方程表示圆心为(a ，b )，半径为r 的圆． ②．圆的一般方程对于方程x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0(1)当D 2＋E 2－4F ＞0时，表示圆心为③⎝ ⎛⎭⎪⎫－D 2，－E 2，半径为12D 2＋E 2－4F 的圆；(2)当D 2＋E 2－4F ＝0时，表示一个点⎝ ⎛⎭⎪⎫－D 2，－E2；(3)当D 2＋E 2－4F ＜0时，它不表示任何图形．4、直线与圆的位置关系①．直线与圆的位置关系有三种：相离、相切、相交．判断直线与圆的位置关系常见的有：几何法：利用圆心到直线的距离d 和圆半径r 的大小关系d ＜r ⇔相交；d ＝r ⇔相切；d ＞r ⇔相离 ②．直线与圆相交直线与圆相交时，若l 为弦长，d 为弦心距，r 为半径，则有r 2＝d 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫l 22，即l ＝2r 2－d 2，求弦长或已知弦长求解问题，一般用此公式．5、两圆位置关系的判断两圆(x －a 1)2＋(y －b 1)2＝r 21(r ＞0)，(x －a 2)2＋(y －b 2)2＝r 22(r 2＞0)的圆心距为d ，则 1．d ＞r 1＋r 2⇔两圆外离；2．d ＝r 1＋r 2⇔两圆外切；3．|r1－r2|＜d＜r1＋r2(r1≠r2)⇔两圆相交_；4．d＝|r1－r2|(r1≠r2)⇔两圆内切；5．0≤d ＜|r 1－r 2|(r 1≠r 2)⇔两圆内含6.椭圆一、椭圆的定义和方程 1．椭圆的定义平面内到两定点F 1、F 2的距离的和等于常数2a (大于|F 1F 2|=2c )的点的轨迹叫做椭圆．这两个定点叫做椭圆的焦点，两焦点的距离叫做椭圆的焦点.定义中特别要注意条件2a ＞2c ，否则轨迹不是椭圆；当2a ＝2c 时，动点的轨迹是线段；当2a ＜2c 时，动点的轨迹不存在。
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一、直线与方程基础：1、直线的倾斜角α： [0,)απ∈2、直线的斜率k ： 2121tan y y k x x α-==-； 注意：倾斜角为90°的直线的斜率不存在。
3、直线方程的五种形式：①点斜式：00()y y k x x -=-；②斜截式：y kx b =+；③一般式：0Ax By C ++=；④截距式：1x y a b+=； ⑤两点式：121121y y y y x x x x --=-- 注意：各种形式的直线方程所能表示和不能表示的直线。
4、两直线平行与垂直的充要条件：1111:0l A x B y C ++=，2222:0l A x B y C ++=，1l ∥2l 12211221A B A B C B C B =⎧⇔⎨≠⎩； 1212120l l A A B B ⊥⇔+= .5、相关公式：①两点距离公式：11(,)M x y ，22(,)N x y ，MN =②中点坐标公式：11(,)M x y ，22(,)N x y ，则线段MN 的中点1122(,)22x y x y P ++； ③点到直线距离公式： 00(,)P x y ，:0l Ax By C ++=，则点P 到直线l的距离d =；④两平行直线间的距离公式：11:0l Ax By C ++=，22:0l Ax By C ++=，则平行直线1l 与2l之间的距离d =；⑤到角公式：（补充）直线1111:0l A x B y C ++=到直线2222:0l A x B y C ++=的角为θ，(0,)(,)22ππθπ∈U ，则2112tan 1k k k k θ-=+⋅ .（两倾斜角差的正切） 二、直线与圆，圆与圆基础：1、圆的标准方程：222()()x a y b r -+-=；确定圆的两个要素：圆心(,)C a b ，半径r ；2、圆的一般方程：220x y Dx Ey F ++++=，（2240D E F +->）；3、点00(,)P x y 与圆222:()()C x a y b r -+-=的位置关系：点00(,)P x y 在圆⇔ 22200()()x a y b r -+-<；点00(,)P x y 在圆上⇔ 22200()()x a y b r -+-=；点00(,)P x y 在圆外⇔ 22200()()x a y b r -+->；4、直线:0l Ax By C ++=与圆222:()()C x a y b r -+-=的位置关系：从几何角度看：令圆心(,)C a b 到直线:0l Ax By C ++=的距离为d ，相离⇔d r >；相切⇔=d r ；相交⇔0d r ≤<；若直线:0l Ax By C ++=与圆222:()()C x a y b r -+-=相交于两点M ，N ，则弦长MN =从代数角度看：联立:0l Ax By C ++=与圆222:()()C x a y b r -+-=，消去y （或x ）得一元二次方程，24b ac ∆=-，相离⇔0∆<；相切⇔0∆=；相交⇔0∆>；相交时的弦长1212MN x x y y =-=- . 5、圆与圆的位置关系： 相离，外切，相交，切，含 .圆2221111:()()O x x y y r -+-=；圆2222222:()()O x x y y r -+-=，根据这三个量之间的大小关系来确定：12r r -，12O O ，12r r +；相离⇔1212O O r r >+；外切⇔1212O O r r =+；相交⇔121212r r O O r r -<<+；切⇔1212O O r r =-；含⇔12120O O r r ≤<-；6、两圆2221111:()()O x x y y r -+-=①；圆2222222:()()O x x y y r -+-=②若相交，则相交弦所在的直线方程的求法：交轨法： ①式-②式，整理化简即可得到相交弦所在直线方程 .三、椭圆：1、（第一）定义：12122PF PF a F F +=>；2、椭圆标准方程及离心率：焦点在x 轴上的椭圆标准方程为：22221(0)x y a b a b+=>>； :a 长半轴；b ：短半轴；:c 半焦距 .椭圆中a ，b ，c 的关系：222a b c =+；椭圆的离心率(0,1)c e a=∈ . 3、弦长公式： 直线:l y kx b =+与椭圆2222:1()x y C m n m n+=≠交于两点11(,)M x y ，22(,)N x y ，则相交时的弦长1212MN x x y y =-=- . 弦长公式是由两点距离公式与两点斜率公式推导出来，故适用性比较广。
4、中点弦结论（点差法）：椭圆2222:1()x y C m n m n+=≠上的两点11(,)M x y ，22(,)N x y ， 弦MN 的中点1212(,)22x x y y P ++， 则22MN OPn k k m⋅=- .5、焦点三角形面积：椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的两个焦点分别为1F 、2F ，点P 是椭圆C 上除左、右端点外的一点，令12F PF θ∠=，则：122tan 2PF F S b θ∆=⋅ .该公式是由三角形面积公式、椭圆第一定义、余弦定理结合三角恒等变换推导出来。
6、直线与椭圆位置关系：联立:0l Ax By C ++=与椭圆2222:1()x y C m n m n+=≠， 消去y （或x ）得一元二次方程，24b ac ∆=-，相离⇔0∆<；相切⇔0∆=；相交⇔0∆>；7、与点坐标相关的面积公式：(0,0)O ，11(,)A x y ，22(,)B x y ，点O ，A ，B 不在一条直线上， 则：122112OAB S x y x y ∆=-. 该公式是由三角形面积公式、余弦定理结合三角恒等式推导出。
四、双曲线：（类比椭圆来学习双曲线）1、定义：12122PF PF a F F -=<；2、双曲线标准方程及离心率、渐近线方程：焦点在x 轴上的双曲线标准方程为：22221(0,0)x y a b a b-=>>； :a 实半轴；b ：虚半轴；:c 半焦距 .双曲线中a ，b ，c 的关系：222c a b =+； 双曲线的离心率(1,)c e a=∈+∞ ； 焦点在x 轴上的双曲线的渐近线方程为b y x a =±； 焦点到渐近线的距离d b = .焦点在y 轴上的双曲线相关性质可以类比。
3、弦长公式：直线:l y kx b =+与双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>交于两点11(,)M x y ，22(,)N x y ，则相交时的弦长1212MN x x y y =-=- . 4、中点弦结论（点差法）： 双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>上的两点11(,)M x y ，22(,)N x y ， 弦MN 的中点1212(,)22x x y y P ++， 则22MN OP b k k a⋅= . 5、焦点三角形面积： 双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的两个焦点分别为1F 、2F ，点P 是双曲线C 上除左、右端点外的一点，令12F PF θ∠=，则：122tan 2PF F b S θ∆= .6、直线与双曲线位置关系：①当直线l 与双曲线C 的其中一条渐近线重合时，显然直线l 与双曲线C 无交点； ②当直线l 与双曲线C 的其中一条渐近线平行时，有且仅有一个交点，此时联立直线方程与双曲线方程，会得到一个一次方程（二次项系数为0）； ③当直线l 与双曲线C 的渐近线既不平行也不重合时，此时联立直线方程与双曲线方程，消去y （或x ）得一元二次方程，24b ac ∆=-，相离⇔0∆<；相切⇔0∆=；相交⇔0∆>；五、抛物线：1、定义：P l PF d -= （到定点的距离等于到定直线的距离的这样的点的轨迹即为抛物线）.2、标准方程：22(0)y px p =>（开口朝右的抛物线，开口朝其它方向的抛物线方程及其它性质可以类比。
） 焦点(,0)2p F ，准线:2p l x =-，离心率1e =. 3、常见性质：① 普通的弦长公式：直线y kx b =+与抛物线22(0)y px p =>相交于两点11(,)M x y ，22(,)N x y ，12y y - .②过焦点(,0)2F 的特殊弦长公式及12x x 与12y y ：（i ）若弦MN 过焦点(,0)2p F ，则弦长1222sin p MN x x p α=++=（α为倾斜角）； （ii ）2124p x x =，212y y p =- . ③过抛物线2:2(0)C y px p =>的顶点(0,0)O 作两条互相垂直的射线OM 、ON 分别与抛物线C 交于两点M ，N ，弦MN 与x 轴交于点P ，则(2,0)P p ，即：4OP OF =.反之亦然，即：若4OP OF =，则90MON ∠=︒.4、抛物线中过焦点弦的其它性质（补充，作为了解,切记不能死记硬背。
如死记硬背，如下知识点不如不用掌握。
可以尝试证明。
）设MN 是过抛物线22(0)y px p =>焦点F 的弦，11(,)M x y ，22(,)N x y ，如图（抛物线图2）， 则：①22sin MON p S α∆=； ②112MF NF p+=； ③以MN 为直径的圆与准线相切；④90PFQ ∠=︒；⑤以MF 或NF 为直径的圆与y 轴相切 .5、直线与抛物线的位置关系：①若直线与抛物线的对称轴平行或重合，则有一个交点；②若直线与抛物线的对称轴不平行，也不垂直，则根据判别式∆的符号来确定交点个数；③若直线与抛物线的对称轴垂直，画图数形结合很容易判断交点个数。
圆锥曲线大题常见题型（归纳总结）：题型一、求点的轨迹问题：常见方法：①直接法：（设出所求点(,)P x y ，根据题意列出等式，建立起y 与x 的关系。
） 如椭圆的标准方程的求出，本身就是利用这种方法。
②几何定义法：根据题意画出图形，通过已知条件及所学知识（如三角形中位线、圆与圆切与外切，直线与圆相切的等价条件）得出所求点(,)P x y 满足圆的几何定义或椭圆、双曲线、抛物线的定义，从而求出点的轨迹方程；③伴随动点转化法： 该类题型的特征往往是： 其中一个动点如点00(,)Q x y 的轨迹方程是已知的，另有一个定点A 或多个定点，所求动点(,)P x y 与定点A 和动点00(,)Q x y 有着一定关系。