第18讲 函数与方程
函数与方程知识点总结资料
函数与方程知识点总结资料函数与方程是数学中的重要概念，是许多其他数学分支的基础。
本文将对函数与方程的知识点做一个总结，帮助读者更好地理解和掌握这些概念。
一、函数的基本概念1. 函数定义函数是一种特殊的关系，即将一个自变量映射到一个因变量上的过程。
函数的定义方式可以有多种，最常见的定义方式是：f(x)=y\qquad y=f(x)其中，x 是自变量，f 是函数名，y 是因变量。
2. 函数的图像函数的图像是指函数在直角坐标系中的表现形式，即以自变量x 为横坐标，对应的因变量 y 为纵坐标所构成的图形。
函数的图像可以用数学软件绘制，也可以手绘出来。
3. 函数的定义域和值域函数的定义域是自变量的取值范围，是使函数有意义的自变量的集合。
函数的值域是函数在定义域内的所有可能输出值的集合。
函数的定义域和值域可以用数学符号表示，例如：\text{定义域：}D(f)=\{x\mid x\text{ 是实数}\}\text{值域：}R(f)=\{y\mid y\text{ 是实数}\}4. 奇偶性、单调性和周期性函数的奇偶性指函数图像相对于 y 轴的对称性，分为偶函数和奇函数。
偶函数满足 f(-x)=f(x)，奇函数满足 f(-x)=-f(x)。
函数的单调性指函数图像在定义域内是否单调递增或单调递减。
如果对于任意 x_1<x_2，都有 f(x_1)<f(x_2)，则称函数 f 在定义域内是单调递增的；如果对于任意 x_1<x_2，都有f(x_1)>f(x_2)，则称函数 f 在定义域内是单调递减的。
函数的周期性指函数在定义域内是否有重复的输出值。
如果存在一个正数 T，使得对于任意 x\in D(f)，都有 f(x+T)=f(x)，则称函数 f 是周期函数，T 称为函数的周期。
5. 复合函数和反函数复合函数是指将一个函数的输出作为另一个函数的输入，并得到新函数的过程。
反函数是指对于一个函数 f，存在一个函数g，使得 g(f(x))=x 在定义域内成立。
初中数学函数与方程
初中数学函数与方程函数与方程是初中数学中的重要内容，它们在数学中起着重要的作用。
本文将详细介绍函数和方程的概念、性质以及其在解决数学问题中的应用。
一、函数的概念函数是自变量和因变量之间的一种对应关系。
在数学中，我们用f(x)来表示函数，其中x是自变量，f(x)是与之对应的因变量。
函数可以用图像、表格、公式以及文字描述等形式来表示。
1.1 函数的定义函数就是一种映射关系，它使得每一个自变量x都对应唯一的因变量f(x)。
用数学语言描述就是：对于一个定义域D中的每一个x，都有一个唯一的函数值f(x)。
其中，D表示自变量的取值范围。
1.2 函数的性质函数具有以下几个重要的性质：（1）定义域和值域：定义域是自变量的取值范围，值域是因变量的取值范围。
（2）单调性：函数的单调性可以分为增函数和减函数两种。
增函数表示随着自变量的增大，因变量也增大；减函数则表示随着自变量的增大，因变量减小。
（3）奇偶性：函数的奇偶性根据函数关于y轴对称性来判断。
奇函数表示关于原点对称，即f(-x) = -f(x)；偶函数表示关于y轴对称，即f(-x) = f(x)。
1.3 函数的图像函数的图像是表示函数关系的一种形式。
通过绘制函数的图像，可以更直观地了解函数的性质和特点。
函数的图像可以通过手绘或者利用计算机绘图软件来实现。
二、方程的概念方程是含有未知数的等式，需要找到使得等式成立的未知数的值。
方程是数学问题中解决未知数的重要工具。
2.1 线性方程线性方程是一个未知数的一次方程，可表示为ax + b = 0。
其中，a 和b是已知数，x是未知数。
2.2 二次方程二次方程是一个未知数的二次方程，可表示为ax^2 + bx + c = 0。
其中，a、b、c是已知数，x是未知数。
2.3 方程的解方程的解即使能够使得等式成立的未知数的值。
对于线性方程，解可以用一次函数来表示；对于二次方程，解可以用二次函数来表示。
三、函数与方程的应用函数与方程在数学问题中有广泛的应用。
函数与方程的关系
函数与方程的关系函数与方程是数学中的重要概念，它们之间存在着密切的联系与相互依存关系。
函数是描述自变量与因变量之间对应关系的工具，而方程则是用来求解未知数的等式。
本文将探讨函数与方程的概念、性质以及它们之间的关系。
一、函数的定义与性质函数是数学中的一种基本关系。
它表示自变量与因变量之间的对应关系，通常用f(x)或y表示。
函数可以是一个映射，将定义域的元素x映射到值域中的唯一元素f(x)。
函数具有以下性质：1. 定义域和值域：函数的定义域是自变量的取值范围，而值域则是因变量的取值范围。
2. 单调性：函数可以是递增的（当x增大时，对应的f(x)也增大）或递减的（当x增大时，对应的f(x)减小）。
3. 奇偶性：函数可以是奇函数（f(-x)=-f(x)）或偶函数（f(-x)=f(x)）。
4. 周期性：函数在一定区间内具有重复的特点。
二、方程的定义与性质方程是表示等式关系的数学式子，其中包含未知数和已知数。
方程的求解是为了找到满足等式的未知数的取值。
方程具有以下性质：1. 根：方程的根是使等式成立的未知数的取值。
2. 解：方程的解则是满足等式关系的未知数的取值。
3. 系数：方程中的系数是未知数与已知数之间的倍数关系。
4. 次数：方程中的最高次幂决定了方程的次数。
三、函数与方程的关系函数与方程是相互关联的。
具体来说，函数可以用来解方程，而方程则可以用来描述函数。
1. 函数用来解方程：给定一个方程，我们可以通过函数的方法来求解未知数的取值。
以一次函数为例，设有线性方程y=ax+b，其中a和b为已知数，x为未知数。
我们可以将方程表示为函数y=f(x)，其中f(x)=ax+b，然后根据函数图像与坐标系进行求解。
2. 方程用来描述函数：方程可以用来描述函数的特征与性质。
对于二次函数y=ax^2+bx+c，我们可以将其表示为方程y=ax^2+bx+c，通过求解方程的根来确定函数的零点、顶点和开口方向等重要特征。
综上所述，函数与方程在数学中是密不可分的。
函数与方程的基本概念
函数与方程的基本概念函数与方程是数学中两个重要的概念，它们在数学的各个领域中都有广泛的应用。
本文将介绍函数与方程的基本概念，包括定义、特点以及它们在实际问题中的应用。
一、函数的基本概念1.1 函数的定义在数学中，函数是一种特殊的关系，它将一个集合的元素映射到另一个集合的元素上。
具体来说，对于集合A和B，如果存在一个映射f，它将A中的每个元素映射到B中唯一的元素上，则称f为从A到B的函数。
1.2 函数的特点函数具有以下特点：（1）每个元素都有且只有一个对应元素；（2）对于集合A中没有的元素，其在B中也没有对应元素；（3）函数的定义域和值域决定了其有效的输入和输出范围。
1.3 函数的表示方法函数可以用多种方式进行表示，包括：（1）显式定义：例如，y = 2x + 1表示了一个线性函数；（2）隐式定义：例如，x² + y² = 1表示了一个圆的方程；（3）图表表示：函数可以通过绘制图像来进行表示，直观地展示函数的性质。
二、方程的基本概念2.1 方程的定义方程是数学中表示等式的一种方式。
它由未知数、已知数、运算符和等号组成。
方程的解是使得等式成立的未知数的值。
2.2 方程的特点方程具有以下特点：（1）方程中包含一个或多个未知数；（2）方程中使用运算符和等号进行数学运算；（3）方程的解是使得等式成立的未知数的值。
2.3 方程的类型方程可以分为各种类型，如一次方程、二次方程、线性方程组等。
每种类型的方程都有其独特的解法和特点。
三、函数与方程的应用3.1 函数的应用函数在实际问题中具有广泛的应用，一些常见的应用包括：（1）物理学中的运动学公式：例如位置函数、速度函数和加速度函数；（2）经济学中的成本函数和收益函数：用于计算成本和收益的关系；（3）生物学中的生长模型：用于描述生物体在不同条件下的生长规律。
3.2 方程的应用方程在实际问题中也有着广泛的应用，常见的应用有：（1）物理学中的力学方程：例如牛顿第二定律和万有引力定律；（2）化学中的反应方程：用于描述化学反应的物质转化过程；（3）工程学中的电路方程：用于分析电路中的电流和电压关系。
(中考数学复习)第18讲-二次函数综合应用-课件-解析
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浙派名师中考 (2)当h＝2.6时，球能否越过球网？球会不会出界？请说明理 由； (3)若球一定能越过球网，又不出边界，求h的取值范围． 解：(1)把x＝0，y＝2，及h＝2.6代入到y＝a(x－6)2＋h中，
B．4 s
C．3 s
D．2 s
B
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浙派名师中考 B
图18－1
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4．(2013·宁波)如图18－2所示，二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象
开口向上，对称轴为直线x＝1，图象经过(3，0)，下列结论
中，正确的一项是
( D )
图18－2 A．abc<0 B．2a＋b<0 C．a－b－c<0 D．4ac－b2<0
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5．某公园草坪的防护栏是由100段形状相同的抛物线组成 的．为了牢固起见，每段护栏需要间距0.4 m加设一根不锈 钢的支柱，防护栏的最高点距底部0.5 m(如图18－3所示)， 则这条防护栏需要不锈钢支柱的总长度至少为 ( C )
函数图象得
∴函数关系式为y＝－x＋180.
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(2)写出每天的利润W与销售单价x之间的函数关系式；若你是 商场负责人，会将售价定为多少，来保证每天获得的利润最 大，最大利润是多少？ 解： W＝(x－100)y＝(x－100)(－x＋180) ＝－x2＋280x－18 000 ＝－(x－140) 2＋1 600， 当售价定为140元，W最大＝1 600. ∴售价定为140元/件时，每天最大利润W＝1 600元．
【高考数学二轮复习-经典微专题】第18讲 方程求根、韦达定理与待定系数法-解析版
第18讲 方程求根、韦达定理与待定系数法知识与方法1零值定理设函数()f x 在[],a b 上连续,且()()0f a f b <,则在(),a b 内至少存在一点c ,使得()0f c =2韦达定理(1)设一元二次方程()21200,,ax bx c a x x ++=≠是其2个根,则有1212,b c x x x x a a+=-= (2)设一元三次方程()3212300,,,ax bx cx d a x x x +++=≠是其3个根,则有123122331123,b x x x ac x x x x x x ad x x x a ⎧++=-⎪⎪⎪++=⎨⎪⎪=-⎪⎩(3)设一元n 次方程()1201201200,,,,nn n n n a x a x a x a a x x x --++++=≠是其n 个根,则有()1122121312324210120,,1n n n n n n n n a x x x a a x x x x x x x x x x x x x x a a x x x a -⎧+++=-⎪⎪⎪+++++++++=⎪⎨⎪⎪⎪=-⎪⎩3整系数多项式方程的根 若既约分数q p为整系数多项式方程(12012100,n n n n n a x a x a x a x a a ---+++++=,)121,,,,n n a a a a -∈Z 的根,则0,.n p a q a推论1:首项系数为1的整系数多项式方程的有理根必为整数根.推论2:整系数多项式方程的整数根必为常数项n a 的约数.4待定系数法一般而言,待定系数法解题是依据已知,正确列出等式或方程,即引人一些待定的系数,转化为方程组来解决,通常有两种方法:比较系数法和特殊值法.待定系数法主要用来解决方程问题、函数问题,多项式分解因式、拆分分式、数列求和、复数计算、解几何中求曲线方程、空间图形中求平面法向量、证明组合恒等式等,这些问题都具有确定的数学表达形式,所以都可以用待定系数法求解.使用待定系数法解题的基本步骤如下. 第一步,确定所求问题含有待定系数的解析式; 第二步,根据恒等的条件,列出一组含待定系数的方程; 第三步,解方程组或者消去待定系数,从而使问题得到解决.典型例题【例1】(1)函数()e 23xf x x =+-的零点所在的一个区间是( ).A.1,02⎛⎫-⎪⎝⎭B.10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭C.1,12⎛⎫ ⎪⎝⎭D.31,2⎛⎫⎪⎝⎭(2)若关于x 的方程24x kx x =+有4个不同的实数【解析】,则k 的取值范围为()A.()0,1B.1,14⎛⎫⎪⎝⎭C.1,4∞⎛⎫+⎪⎝⎭D.()1,∞+【解析】(1)()f x 为增函数,∴可用赋值法验证零值定理,即代入每个选项区间的端点值,判断函数值是否异号.()()()()120011e 2340,02022112320,1e 23e 10221110,,10, C.22f f f f f f x f x -⎛⎫⎛⎫-=+⨯--=<=-< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎛⎫=⨯-==+-=- ⎪⎝⎭⎛⎫⎛⎫<∴∈= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭存在使得故选(2)24x kx x =+有4个实数解,显然0x =是方程的一个解.下面只考虑0x ≠情形,即当0x ≠时有3个实数解即可. 若0x >,原方程等价于()14kx x =+,显然0k ≠,则()14x x k=+.要使该方程有解,必须0k >,则()2142x k+=+,此时0x >,方程有且必有一解;由此可知当0x <时必须有两解.当0x <时,原方程等价于ー()14kx x =+,即()2142x k-+=+.画出函数图像(注意0x <且4x ≠-),要使该方程有两解,必须满足1044k<-+<,解得1,4k ∞⎛⎫∈+ ⎪⎝⎭,这也是上述几种情况的公共部分.故1,4k ∞⎛⎫∈+ ⎪⎝⎭为所求,【答案】C .【例2】(1)设9k ≥,解关于x 的方程32229270x kx k x k ++++=.(2)已知方程220,0x ax b x cx d ++=++=均无实根,判断()()220x a c x b d ++++=是否有实根.【解析】(1)()322223292729270x kx k x k x k x k x ++++=⋅++++=,将其看成关于k 的二次方程,则()()()2223129427923x x x x ∆=+-+=-，2261832x x k x k x-+-∴=--=或3x k ∴=--或()2226180.x k x +-+=对于方程()2226180x k x +-+=,其中()()()()222226421846274939,0k k k k k k ∆=--⨯⨯=--=-+≥∴∆≥123333,,22k k x k x x ---∴=--==(2)20x ax b ++=无实根,2140a b ∴∆=-<,即24a b <.20x cx d ++=无实根,2240c d ∴∆=-<.,即24c d <.方程()()220x a c x b d ++++=的判别式为()()()2234288a c b d a c b d ∆=+-⨯+=+--由24a b <得282b a -<-;由24c d <得282d c -<-,()()()2222222388222a c b d a c a c a ac c a c ∴∆=+--<+--=-+-=--()()2230,0a c a c -≥∴∆=--≤,而a c ≠,即30∆<,故方程()()220x a c x b d ++++=无实根.【例3】320x ax bx c +++=的3个根分别为a b c 、、,并且a b c 、、是不全为零的有理数,求a b c 、、的值.【解析】由三次方程的韦达定理知(),,(2),(3)a a b c b ab bc ca c abc ⎧=-++⎪=++⎨⎪=-⎩由(3)式得0c =或1ab =-.若1ab =-,代人(2),得1b bc ca =+-.(4)由(1)得()2c a b =-+,代人(4)式,得()()2221231b a b a b a ab b =+---=----.将1a b =-代人,得22122b b b=-⨯-+,整理得432220b b b +-+=试根,发现1-是它的解,从而可得()()31220b b b +-+=. 故1b =-或3220b b -+=.对于方程3220b b -+=,由于左边是首项系数为1的整系数多项式,且易见1,2±±均不是它的根,由整系数多项式方程根的定理及推论可知,此方程没有有理根.而1b =-时,1, 1.a c ==-综上,原问题所求的a b c 、、为1,1,12,10.a a b b c c ==⎧⎧⎪⎪=-=-⎨⎨⎪⎪=-=⎩⎩或【例4】(1)分解因式4322x x x +++.(2)若226541122x xy y x y m ---++可分解为两个一次式的积,求m 的值并将多项式分解因式.【解析】(1)设原式()()2212x mx x nx =++++,则()()()4324322322x x x x m n x mn x m n x +++=+++++++【解法1】比较对应项的系数,得()()1,(2)31,320,4m n mn m n ⎧+=⎪+=⎨⎪+=⎩由(2)(4)消去n ,得1m =-,(5)将(5)代入(2),得2,1,2n m n =∴=-=.故原式()()22122x x x x =-+++.(若设原式()()2212x mx x nx =+-+-展开后比较对应项的系数得关于,m n 的方程组无解,只有上述解法是正确的.) 【解法2】分别用1,1-代替(1)式中的x ,得关于,m n 的方程组.3210,3230,mn m n mn m n +++=⎧⎨--+=⎩ 解这个方程组确定系数,m n 的值为1,2m n =-=(过程略,显然比方法一烦琐). 故原式()()22122x x x x =-+++. (2)设()()()()22226541122234654324x xy y x y m x y k x y l x xy y k l x k l y kl ---++=++-+=--+++-++比较两边对应项的系数,得3211,422,.k l k l kl m +=-⎧⎪-+=⎨⎪=⎩联立(1)与(2)解得5, 2.k l =-=代人(3)得10m =-.∴原式()()25342,10x y x y m =+--+=-强化训练1.已知二次函数()()20f x ax bx c a =++≠,设1212,,x x x x ∈<R ,且()()12f x f x ≠,方程()()()1212f x f x f x ⎡⎤=+⎣⎦有两个不等实根.证明:必有一个实根属于区间()12,x x . 【解析】令,由题意知在上连续,则 且 ()()()()1212g x f x f x f x ⎡⎤=-+⎣⎦()g x R ()()()()()()1112121122g x f x f x f x f x f x ⎡⎤⎡⎤=-+=-⎣⎦⎣⎦()()()()()()2212211122g x f x f x f x f x f x ⎡⎤⎡⎤=-+=-⎣⎦⎣⎦()()()()212121,4g x g x f x f x ⎡⎤⋅=--⎣⎦()()()()1212,0f x f x g x g x ≠∴⋅<方程在必有一个实根,即方程必有实根属于区间. 2.若关于x 的方程4210x x a a +⋅++=有实数解,则a 的取值范围是________. 【解析】【解法1】令,关于的方程有实数解,等价于方程有正解,分下面两种情况:（i ）两正解:（ii ）正解一非正解:.综上,的取值范围是.【解法2】考查函数,即方程有正解,等价于函数与轴正半轴有交点,等价于 或 综上,的取值范围是.【解法3】由方程变形得 考查函数, 方程有正解,即的取值范围是函数的值域,将函数变形,得 . ∴()0g x =()12,x x ()()()1212f x f x f x ⎡⎤=+⎣⎦()12,x x 2xt =x 4210x xa a +⋅++=210t at a +++=212124(1)0,22 2 222,0,0,1222,101a a a a t t a a a t t a a ⎧⎧∆=-+-+⎪⎪+=->⇔<⇔-<-⎨⎨⎪⎪=+>>-⎩⎩或12101t t a a =+⇔-a (,2]-∞-2()1f t t at a =+++210t at a +++=2()1f t t at a =+++x (0)101f a a =+<⇔<-20,0,2(0)10,1,12224(1)022 2 222a a f a a a a a a a ⎧-⎪⎧⎪⎪=+⇔-⇔--⎨⎨⎪⎪∆=-+-+⎩⎪⎩或a [,2]-∞-210t at a +++=21.1t a t+=-+21()(0)1t f t t t+=->+211t a t+=-+a 21()(0)1t f t t t +=->+221(1)2(1)22()(1)2(0)111t t t f t t t t t t ++-++⎡⎤=-=-=-++->⎢⎥+++⎣⎦220,10,(1)222 2.(1)222211t t t t t t ⎡⎤>∴+>∴++--∴-++--+⎢⎥++⎣⎦的取值范围是. 3.解方程42222112.x x x x x++++= 【解析】原方程可变为令,得,解得. 当时,变为,无实数根. 当,变为,解得. 经检验,为原方程的根.4.已知方程()2241410x a x a +++-=恒有非负的解,求实数a 的取值范围.【解析】【解法1】将原式变形为.设则①，即又(1)式可看作以为自变量的二次函数，则该函数在区间的值域由，得即此实数的取值范围是【解法2】设,要使方程恒有非负数解,则(i)若有一个非负数解,另一负数解,则,即,因此解得; (ii)若有两个非负数解,则 综上,实数的取值范围是. a ∴(,2]-∞-()22221120xx x x+++-=21x u x+=220u u +-=121,2u u ==-211x x+=210,1430x x -+=∆=-=-<212x x+=-2210x x ++=121x x ==-1x =-()2(2)10x a x x +=-2.t x a =+22211151,,2228t t x t a t +-⎛⎫=-==+- ⎪⎝⎭20,10x t ∴-1 1.t -t []1,1-()112f a f ⎛⎫- ⎪⎝⎭51,82a -a 51,.82⎡⎤-⎢⎥⎣⎦22()(41)41f x x a x a =+++-()0f x =(0)0f 2410a -1122a-12120,510,. 820x x a x x ∆⎧⎪⎪>⇒-<-⎨⎪+>⎪⎩a 51,82⎡⎤-⎢⎥⎣⎦5.设,a b c 、为实数,0a ≠且a c ≠,若方程()()222222240a c x b x a c ++++=有实根.证明:方程()200ax bx c a ++=≠有两个不相等的实根.【解析】方程是二次方程.方程有实数根,,即，即.从而即.方程有两个不相等的实数根.6.求作一个一元三次方程,使它的三个根分别是方程3271480x x x -+-=三个根的倒数.【解析】设已知方程的三个根为,则由韦达定理得依题意,所求的三次方程的三个根为.由韦达定理的逆定理知,所求方程为,即. 7.已知一元二次方程20ax bx c ++=有两个大于0、小于1的相异实根,其中a 是正整数,,b c是整数,求a 的最小值.【解析】设方程的两,则,由韦达定理得从而 22,0a c a c ≠∴+>∴()()222222240a c x b x a c ++++=()()()2422224224444160b a cacba c∴∆=-+⋅+=-+()()222222220b a c b a c ⎡⎤⎡⎤++-+⎣⎦⎣⎦()()22222220,20,b a c b a c ++>∴-+()222 2ba c +222()0() ,2,a c a c a c ac ->≠∴+>2 4, b ac >240b ac ->∴20(0)ax bx c a ++=≠,,αβγ7,14,8.αβγαβαγβγαβγ++=⎧⎪++=⎨⎪=⎩111,,αβγ1111478411111178111118a βγαγαβαβγαβγγβααβαγβγαβγαβγβγ⎧++++===⎪⎪⎪++⋅+⋅+⋅==⎨⎪⎪⋅⋅==⎪⎩∴327710488x x x -+-=32814710x x x -+-=αβ、0,1,αβαβ<<≠,.b ac a αβαβ⎧+=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩()()()()11111.b c a b c a a aαβαβαβ--=-++=++=++,即同理,. 从而即 设二次函数,由于的图像是开口向上的抛物线.又与轴的两个交点在0,1之间,必有即又是整数,.再结合(1)式即有,即; 另一方面,当时,取,方程的两个根均大于0小于1,的最小值是 8.设()()()4321324f x a x x a x a =++-+-,对任意实数a . (1)证明:方程()0f x =总有相同实根; (2)证明:存在0x 恒有()00f x ≠. 【解析】【解法】显然,总有相同实根. 【解法2】考虑恒成立,即 故时,,即对任意实数,方程总有根. (2)【证明】由(1)知时,对任意实数,取得证. 9.已知方程4291240x x x -+-=的两个根是1和2,求这个方程的另两个根.()211101,01244αααα⎛⎫<<∴<-=--+⎪⎝⎭()101.4αα<-()1014ββ<-()()()()11111,16c a b c a a aαββαβαβ++>--=--=⋅()216,a c a b c >++()2f x ax bx c =++()0,a f x >∴()f x x ∴()()00,10,f f ⎧>⎪⎨>⎪⎩0,0.c a b c >⎧⎨++>⎩a b c 、、1,1c a b c ∴++216a >5a 5,1a c ==b 5-25510x x -+=αβ==a ∴ 5.()()43242432()(1)(32)4342f x a x x a x a x x a x x x=++-+-=--++-()()()()()()()()()22222412122121x x a x x x x x x a x x x =-+⋅++-=+-+++-()()()()222211x x x a x x ⎡⎤=+-++-⎣⎦()0f x =2x =-()()()()()432424321324342f x a x x a x a g a x x a x x x =++-+-==--++-(),0a f x ∈=R 42432340,20,x x x x x ⎧--=∴⎨+-=⎩2,0,1,2x x =±⎧⎨=-⎩2x =-()()0f x g a ==a ()0f x =2x =-2x =(),2160a f =≠02x =【解析】由已知可设.令,得,解方程,得.故原方程的另两个根是. 10.已知一元三次方程328120x x x --+=有两个相等的根,解这个方程. 【解析】设这个方程的三个根为, 则.联立①②消去，得 分解因式，得或或 代入①式，得或 将的值分别代人③,只有适合.故舍去. 原方程的三个根为.()()()4229124122x x x x x x mx -+-=--+-1x =-3m =2320x x +-=32x-32x -±=123,,x a x a x b ===()()32812()x x x x a x a x b --+=---()()32322281222.x x x x a b x a ab x a b --+=-+++-22212812a b a ab a b ⎧⎪⎨⎪+=+=-⎩=-， ①， ②， ③b 23280.a a --=()()2340,20a a a -+=∴-=1340,2a a +==24.3a =-13b =-211.3b =1122,a b a b 、、112,3a b ==-22411,33a b =-=∴1232,3x x a x ===-。
函数与方程知识点总结
函数与方程知识点总结函数与方程是数学中重要的概念，在数学学习过程中起着重要的作用。
本文将对函数与方程的知识点进行总结，帮助读者更好地理解和掌握这两个概念。
一、函数函数是数学中一个非常基础且重要的概念，它描述了两个变量之间的依赖关系。
通常情况下，我们将函数表示为f(x)，其中x是自变量，f(x)是因变量。
函数可以以不同的形式和方式进行表示，例如数学公式、图表、表格等。
1. 定义与符号函数的定义可以简单表示为：给定一个自变量x的集合，对于这个集合中的每一个x，都存在这样一个唯一的因变量f(x)与之对应。
函数的符号一般使用小写字母f(x)表示。
2. 函数的性质函数具有以下几个重要的性质：（1）定义域与值域：定义域是自变量x的取值范围，值域是因变量f(x)的取值范围。
（2）奇偶性：函数的奇偶性是指函数关于y轴对称（偶函数）或关于原点对称（奇函数）。
（3）单调性：函数的单调性描述了函数在定义域内的递增或递减特性。
（4）周期性：周期函数是指函数在一定区间内重复出现的函数。
3. 常见函数类型（1）线性函数：线性函数的表达式为f(x) = kx + b，其中k和b为常数。
（2）二次函数：二次函数的表达式为f(x) = ax^2 + bx + c，其中a、b、c为常数。
（3）指数函数：指数函数的表达式为f(x) = a^x，其中a为大于0且不等于1的常数。
（4）对数函数：对数函数的表达式为f(x) = loga(x)，其中a为大于1的常数。
二、方程方程是描述等式的数学语句，它通常包含未知数和已知数，并以等号连接。
方程的解是使得方程成立的未知数的值。
1. 一元一次方程一元一次方程是一个未知数的一次方程，其一般形式为ax + b = 0，其中a和b为已知数，x为未知数。
解一元一次方程的基本思路是通过移项和化简，将方程转化为x的形式。
2. 二元一次方程二元一次方程是包含两个未知数和一次方程的方程。
一般形式为ax + by + c = 0，其中a、b、c为已知数，x和y为未知数。
高中数学教案：函数与方程的关系
高中数学教案：函数与方程的关系函数与方程的关系一、引言在高中数学课程中，函数与方程是重要的概念之一。
函数是由自变量和因变量构成的数学规律，而方程则描述了两个表达式之间的相等关系。
函数与方程有着密切的关系，它们可以相互转化和表示。
本教案将探讨函数与方程的关系，并介绍如何通过图象、实例和计算来理解和应用这一概念。
二、函数与方程的基本概念1. 函数的定义函数是指一个集合内每个元素都对应于另一个集合内唯一确定元素的规律。
通常表示为f(x)，其中x为自变量，f(x)为对应的因变量。
2. 方程的定义方程是含有未知数并且等于一个已知值的数学表达式。
例如，2x+3=7就是一个简单的一次方程。
3. 函数与方程之间的区别- 函数是描述两个集合之间对应关系的规律，而方程则描述两个表达式之间相等关系。
- 函数可以用图象或公式表示，而方程只能通过等号连接两个表达式。
- 函数必须满足垂直线测试（每个x值只有一个对应y值），而方程则没有这个限制。
三、函数与方程的转化1. 方程转化为函数给定一个方程，我们可以通过将未知数表示为常量的函数，从而将方程转化为函数。
例如，对于方程2x+3=7，我们可以将其转化为函数f(x)=2x+3。
2. 函数转化为方程给定一个函数，我们可以通过将因变量表示为未知数的表达式，从而将函数转化为方程。
例如，对于函数f(x)=2x+3，我们可以将其转化为方程2x+3=y。
四、通过图象理解函数与方程的关系1. 图象表示的意义函数和方程都可以通过图象进行可视化表示。
图象能够帮助我们直观地理解和分析函数与方程之间的关系。
2. 图象上的点与解集图象上的每个点都代表了自变量和因变量之间的对应关系。
对于方程来说，图象上所有满足该等式的点构成了解集；而对于函数来说，则是每个自变量在图象上只有一个相应因变量。
五、实例分析：线性函数与一次方程1. 线性函数简介线性函数是最简单且常见的一类函数。
其表达式为f(x)=ax+b（a和b为常数），在图象上呈现为一条直线。
函数与方程课件
06
函数与方程的未来发展
函数与方程在其他学科中的应用
数学建模
函数与方程在数学建模中扮演着 重要的角色，通过建立数学模型 ，可以描述现实世界中的各种现 象，如物理、化学、生物等学科
中的问题。
计算机科学
在计算机科学中，函数与方程被 广泛应用于算法设计、数据结构 、离散概率论等领域，为计算机 科学的发展提供了重要的理论支
函数与方程ppt课件
• 函数的概念与性质 • 方程的种类与解法 • 函数与方程的关系 • 函数的应用 • 方程的应用 • 函数与方程的未来发展
01
函数的概念与性质
函数的定义
函数是数学上的一个概念，它描述了两个集合之间的对应关系。具体来说，对于 给定的集合X中的每一个元素x，按照某种规则，总有集合Y中的唯一一个元素y与 之对应。这种关系通常用符号f表示，即f: X→Y。
03
函数与方程的关系
函数图像与方程解的关系
函数图像是方程解在坐标系中的 表现形式，通过观察函数图像可 以直观地了解方程的解的情况。
函数图像的交点表示方程的根， 函数图像的极值点也可能对应方
程的根。
通过函数图像的变化可以推测方 程解的变化趋势。
函数的最值与方程根的关系
函数的最值点可能是方程的根，因为函数在极值点附近的导数会发生变化，导致函 数值发生突变。
如果函数在某区间内单调递增或递减，那么该区间内函数的最大值或最小值可能对 应方程的一元一次根。
对于多元函数，最值问题可能转化为方程组问题，需要利用方程组的解来判断最值 的存在性和性质。
函数图像的变换与方程解的变换
函数图像的平移、伸缩、旋转 等变换会影响函数的值，从而 影响方程的解。
通过对方程进行变量替换或参 数调整，可以改变方程的形式 和结构，从而影响方程的解。
北师大版八年级上册数学第18讲《一次函数全章》知识点梳理
北师大版八年级上册数学第 18 讲《一次函数全章》知识点梳理【学习目标】1.了解常量、变量和函数的概念，了解函数的三种表示方法（列表法、解析式法和图象法），能利用图象数形结合地分析简单的函数关系.2.理解正比例函数和一次函数的概念，会画它们的图象，能结合图象讨论这些函数的基本性质，能利用这些函数分析和解决简单实际问题.3.通过讨论一次函数与方程（组）及不等式的关系，从运动变化的角度，用函数的观点加深对已经学习过的方程（组）及不等式等内容的再认识.4.通过讨论选择最佳方案的问题，提高综合运用所学函数知识分析和解决实际问题的能力.【知识网络】选择方案要点一、函数的相关概念一般地，在一个变化过程中. 如果有两个变量x 与y ，并且对于x 的每一个确定的值，y 都有唯一确定的值与其对应，那么我们就说x 是自变量，y 是x 的函数.y 是x 的函数，如果当x ＝a 时y ＝b ，那么b 叫做当自变量为a 时的函数值.函数的表示方法有三种：解析式法，列表法，图象法.要点二、一次函数的相关概念一次函数的一般形式为y =kx +b ，其中k 、b 是常数，k ≠0.特别地，当b ＝0 时，一次函数y =kx +b 即y =kx （k ≠0），是正比例函数.要点三、一次函数的图象及性质1、函数的图象如果把自变量与函数的每对对应值分别作为点的横、纵坐标，那么坐标平面内由这些点组成的图形，就是这个函数的图象.要点诠释：直线y =kx +b 可以看作由直线y =kx 平移| b |个单位长度而得到（当b ＞0 时，向上平移；当b ＜0 时，向下平移）.说明通过平移，函数y =kx +b 与函数y =kx 的图象之间可以相互转化.2、一次函数性质及图象特征掌握一次函数的图象及性质（对比正比例函数的图象和性质）要点诠释：理解k 、b 对一次函数y =kx +b 的图象和性质的影响：（1）k 决定直线y =kx +b 从左向右的趋势（及倾斜角α的大小——倾斜程度），b 决定它与y轴交点的位置，k 、b 一起决定直线y =kx +b 经过的象限．（2） 两条直线l 1 ： y = k 1 x + b 1 和l 2 ： y = k 2 x + b 2 的位置关系可由其系数确定： k 1 ≠ k 2 ⇔ l 1 与l 2 相交；k 1 = k 2 ，且b 1 ≠ b 2 ⇔ l 1 与l 2 平行； k 1 = k 2 ，且b 1 = b 2 ⇔ l 1 与l 2 重合； （3） 直线与一次函数图象的联系与区别一次函数的图象是一条直线；特殊的直线 x = a 、直线 y = b 不是一次函数的图象. 要点四、用函数的观点看方程、方程组、不等式【典型例题】 类型一、函数的概念1、下列说法正确的是：（ ）Ａ.变量 x , y 满足2x + y = 3 ，则 y 是 x 的函数； Ｂ.变量 x , y 满足| y |= x ，则 y 是 x 的函数； Ｃ.变量 x , Ｄ.变量 x , 【答案】A ；y 满足 y 2 = x ，则 y 是 x 的函数； y 满足 y 2 - x 2 = 1，则 y 是 x 的函数. 【解析】B 、C 、D 三个选项，对于一个确定的 x 的值，都有两个 y 值和它对应，不满足单值对应的条2x - 3 x ⎩⎩ 件，所以不是函数.【总结升华】理解函数的概念，关键是函数与自变量之间是单值对应关系，自变量的值确定后，函数值是唯一确定的. 举一反三：【变式】如图的四个图象中，不表示某一函数图象的是（ ）【答案】B ；2、求函数 的自变量的取值范围.【思路点拨】要使函数有意义，需 或 解这个不等式组即可.【答案与解析】 解：要使函数 有意义，则 x 要符合： 即：或2x -1 ≥ 0x -1解方程组得自变量取值是或.【总结升华】自变量的取值范围是使函数有意义的 x 的集合. 举一反三：【变式】求出下列函数中自变量 x 的取值范围（1） y = x +1 【答案】（2） y =x3x + 2|x -2| （3） y = +⎧x ≠ 0 解：（1）要使 y = x +1 有意义，需⎨x +1 ≠ 0 ，解得 x ≠0 且 x ≠－1；（2）要使 y = 3x + 2有意义，需⎧3x + 2 ≥ 0 ，解得 x ≥ - 2 且x ≠ 2 ；|x -2|⎨x - 2 ≠ 03 3 - 2x（3）要使y = +有意义，需⎧2x - 3 ≥ 0 ，解得x =3 .2x - 33 - 2x ⎨⎩3 - 2x ≥ 0 2类型二、一次函数的解析式3、已知y 与x - 2 成正比例关系，且其图象过点(3，3)，试确定y 与x 的函数关系，并画出其图象．【思路点拨】y 与x - 2 成正比例关系，即y =k (x - 2) ，将点(3，3)代入求得函数关系式.【答案与解析】解：设y =k (x - 2) ，由于图象过点(3，3)知k = 3 ，故y = 3(x - 2) = 3x - 6 ．其图象为过点(2，0)与(0，－6)的一条直线（如图所示）．【总结升华】y 与x 成正比例满足关系式y =kx ，y 与x －2 成正比例满足关系式y =k (x - 2) ，注意区别.举一反三：【变式】直线y =kx +b 平行于直线y = 2x -1，且与x轴交于点（2，0），求这条直线的解析式. 【答案】解：∵直线y =kx +b 平行于直线y = 2x -1∴k = 2∵与x 轴交于点（2，0）∴①将k ＝2 代入①，得b =-4∴此直线解析式为y = 2x - 4 .类型三、一次函数的图象和性质4、已知正比例函数y =kx （k ≠0）的函数值y 随x 的增大而减小，则一次函数y =x +k 的图象大致是图中的（）．【答案】B；【解析】∵ y 随x 的增大而减小，∴k ＜0．∵y =x +k 中x 的系数为1＞0，k ＜0，∴经过一、三、四象限，故选B．【总结升华】本题综合考查正比例函数和一次函数图象和性质，k ＞0 时，函数值随自变量x 的增大而增大．举一反三：【变式】已知正比例函数y =(2m -1)x 的图象上两点A( x1,y1), B( x2, y2)，当x1<x2时, 有y 1 >y2, 那么m 的取值范围是( )A．m <1B．m >1C．m < 2D．m > 0 2 2【答案】A；提示：由题意y 随着x 的增大而减小，所以2m -1 < 0 ，选A 答案.类型四、一次函数与方程（组）、不等式5、如图，平面直角坐标系中画出了函数y =kx +b 的图象．（1）根据图象，求k 和b 的值．（2）在图中画出函数y =-2x + 2 的图象．（3）求x 的取值范围，使函数y =kx +b 的函数值大于函数y =-2x + 2 的函数值．【思路点拨】（3）画出函数图象后比较，要使函数y =kx +b 的函数值大于函数y =-2x + 2 的函数值，需y =kx +b 的图象在y =-2x + 2 图象的上方.【答案与解析】解：（1）∵直线y =kx +b 经过点（－2，0），（0，2）．∴解得∴y =x + 2 ．（2）y=-2x+2经过（0，2），（1，0），图象如图所示．（3）当y =kx +b 的函数值大于y =-2x + 2 的函数值时，也就是x + 2 >-2x + 2 ，解得x ＞0，即x 的取值范围为x ＞0．【总结升华】函数图象在上方函数值比函数图象在下方函数值大.举一反三：【变式】（2015•武汉校级模拟）已知一次函数y=kx+b 的图象经过点（3，5）与（﹣4，﹣9）．（1）求这个一次函数的解析式；（2）求关于x 的不等式kx+b≤5 的解集．【答案】解：∵一次函数y=kx+b 的图象经过点点（3，5）与（﹣4，﹣9），∴，解得∴函数解析式为：y=2x﹣1；（2）∵k=2＞0，∴y 随x 的增大而增大，把y=5 代入y=2x﹣1 解得，x=3，∴当x≤3 时，函数y≤5，故不等式kx+b≤5 的解集为x≤3．类型五、一次函数的应用6、（2015•黔西南州）某地为了鼓励居民节约用水，决定实行两级收费制，即每月用水量不超过12 吨（含12 吨）时，每吨按政府补贴优惠价收费；每月超过12 吨，超过部分每吨按市场调节价收费，小黄家1 月份用水24 吨，交水费42 元．2 月份用水20 吨，交水费32 元．（1）求每吨水的政府补贴优惠价和市场调节价分别是多少元；（2）设每月用水量为x 吨，应交水费为y 元，写出y 与x 之间的函数关系式；（3）小黄家3 月份用水26 吨，他家应交水费多少元？【答案与解析】解：（1）设每吨水的政府补贴优惠价为a 元，市场调节价为b 元．根据题意得，解得：．答：每吨水的政府补贴优惠价为1 元，市场调节价为2.5 元．（2）∵当0≤x≤12 时，y=x；当x＞12 时，y=12+（x﹣12）×2.5=2.5x﹣18，∴所求函数关系式为：y= ．（3）∵x=26＞12，∴把 x=26 代入 y=2.5x ﹣18，得：y=2.5×26﹣18=47（元）．答：小英家三月份应交水费 47 元．【总结升华】本题考查了一次函数的应用，题目还考查了二元一次方程组的解法，特别是在求一次函数的解析式时，此函数是一个分段函数，同时应注意自变量的取值范围． 举一反三：【变式】一报刊销售亭从报社订购某晚报的价格是每份 0.7 元，销售价是每份 1 元，卖不掉的报纸还可以以 0.20 元的价格返回报社，在一个月内（以 30 天计算），有 20 天每天可卖出 100 份，其余 10 天，每天可卖出 60 份，但每天报亭从报社订购的份数必须相同，若以报亭每天从报社订购报纸的份数为 ，每月所获得的利润为 ．（1） 写出 与 之间的函数关系式，并指出自变量 的取值范围；（2） 报亭应该每天从报社订购多少份报纸，才能使每月获得的利润最大？最大利润是多少？【答案】解：（1）．类型六、一次函数综合7、如图所示，直线l 1 的解析表达式为 y = -3x + 3 ，且l 1 与 x 轴交于点 D ，直线l 2 经过 A 、B 两点， 直线l 1 、l 2 交于点 C ．(1) 求点 D 的坐标； (2) 求直线l 2 的解析表达式； (3) 求△ADC 的面积；(4) 在直线l 2 上存在异于点 C 的另一点 P ，使得△ADP 与△ADC 的面积相等，请直接写出点 P 的坐标．⎨ ⎪ ⎨ ⎨ y = -3.【答案与解析】解： (1)由 y = -3x + 3 ，当 y ＝0，得-3x + 3 ＝0，得 x ＝l ．∴ D(1，0)．(2) 设直线l 2 的解析表达式为 y = kx + b ，由图象知， x = 4 ， y = 0 ； x = 3 ， y = - 3．2⎧4k + b = 0, 将这两组值代入，得方程组⎪33k + b = - . ⎩ 2⎧k = 3 ,解得⎪2⎪⎩b = -6. ∴ 直线l 2 的解析表达式为 y = 3x - 6 ．2⎧y = -3x + 3, (3) ∵ 点 C 是直线l 与l 的交点，于是有⎪312⎨ y = ⎩ x - 6. 2解得⎧x = 2,⎩ ∴ C(2，－3)． ∴ △ADC 的 AD 边上的高为 3． ∵ OD ＝1，OA ＝4， ∴ AD ＝3． ∴ S= 1 ⨯ 3⨯ | -3 |= 9． △ADC2 2(4)P(6，3)．【总结升华】这是一道一次函数图象与性质的综合应用问题，求直线的函数解析式，一般运用待定系数法，但运用过程中，又要具体问题具体分析；求底边在坐标轴上三角形的面积的关键是探求该三角形的高．。
函数与方程教案
函数与方程教案一、引言函数与方程是高中数学中的重要内容，它们是解决数学问题的基本工具。
在教学中，如何生动有效地向学生介绍函数与方程的概念，引导学生理解和掌握相关的知识和技能，是每位教师都需要思考和解决的问题。
本教案旨在通过设计合理的教学活动，帮助学生全面理解函数与方程的概念，提高他们解决实际问题的能力。
二、教学目标1. 知识目标- 掌握函数与方程的基本概念和相关术语。
- 了解函数与方程在数学和实际生活中的应用。
- 理解函数与方程之间的关系。
2. 能力目标- 能够识别并解释函数与方程的特征。
- 能够应用函数与方程解决实际问题。
- 能够运用函数与方程的知识进行分析和推理。
三、教学重点和难点1. 教学重点- 函数与方程的概念和特征。
- 函数与方程的应用。
2. 教学难点- 帮助学生理解函数与方程之间的关系。
- 引导学生解决实际问题时能够正确运用函数与方程的知识。
四、教学准备1. 教师准备- 准备教学课件和教具。
- 复习函数与方程的相关知识。
2. 学生准备- 准备教学所需的教材和笔记。
- 复习与函数与方程相关的知识。
五、教学过程本教案将采用探究式教学的方法，让学生通过实际操作和思考，主动发现函数与方程的规律和应用。
具体教学过程如下：1. 概念引入- 利用实例引导学生思考：什么是函数？什么是方程？它们有什么区别和联系？- 定义函数与方程的概念，并让学生进行归纳整理。
2. 特征分析- 设计一组数据，让学生观察并分析其中的规律。
- 引导学生发现函数和方程的特征，如自变量、因变量、线性函数、非线性函数等。
3. 应用探究- 提供一些实际问题，让学生运用函数与方程的知识解决。
- 引导学生分析问题的关键词，确定函数与方程的表达式，并进行计算。
4. 总结归纳- 引导学生总结函数与方程的定义、特征和应用。
- 提供一些练习题，巩固学生对函数与方程的理解。
六、教学评价1. 自我评价- 教师观察学生的参与程度和思维能力。
- 教师记录学生在课堂上的表现和反馈，并做好评价记录。
函数与方程课件
（）
A.至少有一个
B.至多有一个
C.有且只有一个
D.可能有无数个
二 、知识回顾、
函数零点存在性定理
如果函数 y=f(x)在闭区间[a, b]上的图 象是连续曲线,并且有 f(a)·f(b)<0, 那 么, 函数 y=f(x) 在区间(a, b)内至少有 一个零点．
反之成立吗？
应用：二分法求方程的根
(m 3)2 4m 0
3 m 0
m m 9
m 0
一元二次方程ax2+bx+c=0 （a>0）的 根的分布
例：x2+（m-3)x+m=0 求m的范围
（3） 两个根都小于1
(m 3)2 4m 0
b 2a
3m 2
1
m m 9
f (1) 2m 2 0
一元二次方程ax2+bx+c=0 （a>0）的 根的分布
例：x2+（m-3)x+m=0 求m的范围
（7） 两个根有且仅有一个在（0 . 2）内
f(0)f(2)=m(3m-2) <0
m
2 3
m
1
一元二次方程ax2+bx+c=0 （a>0）的 根的分布
例：x2+（m-3)x+m=0 求m的范围
（8） 一个根在（-2 .0）内，另一个根在（1 . 3）内
f(1)=2m-2 <0
m m 1
一元二次方程ax2+bx+c=0 （a>0）的 根的分布
例：x2+（m-3)x+m=0 求m的范围
（6） 两个根都在（0 . 2）内
(m 3)2 4m 0
函数与方程教案
函数与方程教案教案：函数与方程一、教学内容：1. 函数概念及性质；2. 方程概念及求解方法；3. 函数与方程的关系。
二、教学目标：1. 了解函数的定义及性质；2. 掌握方程的概念及求解方法；3. 理解函数与方程的关系，能够在实际问题中应用函数和方程进行求解。
三、教学过程：1. 导入：通过提问引导学生回顾线性方程的概念及求解方法。
2. 讲解函数的概念及性质：（1）引导学生思考函数的含义。
函数是一种特殊的关系，它将每一个自变量与唯一的一个因变量对应起来。
例如，y = 2x + 3就是一个函数关系，其中x是自变量，y是因变量。
（2）介绍函数的性质：a. 定义域和值域：函数的定义域是自变量的取值范围，值域是因变量的取值范围。
b. 单调性：函数的单调性是指函数曲线的上升与下降方向。
可以分为增函数和减函数。
c. 奇偶性：函数的奇偶性是指函数关系在对称中的表现。
奇函数的函数图象关于原点对称，即f(-x) = -f(x)，偶函数的函数图象关于y轴对称，即f(-x) = f(x)。
d. 图象和方程：函数的图象是函数关系在坐标系中的表示，函数的方程是表示函数关系的代数式。
3. 讲解方程的概念及求解方法：（1）引导学生思考方程的含义。
方程是一个等式，含有一个或多个未知数，通过求解可以得到未知数的值。
（2）介绍方程的求解方法：a. 方程的转化：可以通过变形、移项等方法将方程转化为更简单的形式。
b. 方程的解法：可以通过列方程、联立方程等方法求解方程。
4. 讲解函数与方程的关系：（1）引导学生思考函数与方程的关系。
函数是一个特殊的方程，它是自变量与因变量之间的关系。
（2）举例说明函数与方程的关系。
例如，y = 2x + 3就是一个函数关系，也可以写成2x + y - 3 = 0的方程。
5. 练习与巩固：（1）通过练习题，让学生巩固函数与方程的概念及性质。
（2）设计实际问题，让学生应用函数和方程进行求解。
四、教学反思：通过本节课的教学，学生对函数和方程的概念有了更深入的理解。
方程与函数课件ppt课件ppt课件
方程与函数在数学竞赛中的应用
方程与函数是数学竞赛中常见的考点，涉及的知识点包括 一元一次方程、一元二次方程、分式方程、三角函数、指 数函数、对数函数等。通过解决这些方程与函数的题目， 可以锻炼学生的逻辑思维、推理能力和数学运算能力。
例如，在数学竞赛中，经常出现一些涉及方程与函数的题 目，要求考生利用方程与函数的知识点来求解未知数或者 判断函数的单调性、奇偶性等性质。
方程与函数在实际生活中有着广泛的应用，例如在金融、经 济、工程、科技等领域。通过建立数学模型，将实际问题转 化为数学问题，利用方程与函数来求解，可以得到更精确的 解决方案。
例如，在金融领域，投资者可以通过建立股票价格的函数模 型，利用方程求解出股票的买入和卖出价格；在经济领域， 政府可以通过建立税收的方程模型，利用函数求解出最优的 税收方案。
函数的周期性
总结词
周期性对函数性质的影响。
详细描述
周期性对函数的性质有一定的影响。例如，周期函数的最大值和最小值出现的次 数是有限的，且相邻最大值或最小值之间的距离为周期。此外，周期函数的图像 还可以通过平移得到其他形式的周期函数图像。
函数的图像绘制
总结词
绘制函数图像是理解函数性质的重要手段。
详细描述
函数的定义与性质
函数的定义
函数是数学中表示两个变量之间关系 的一种方法，它描述了一个输入值对 应一个输出值的关系。
函数的性质
函数的性质包括函数的定义域、值域 、单调性、奇偶性、周期性等。
方程与函数的关系
方程可以看作是函数的一种特殊情况 ，即函数值为0的情况。
方程和函数在数学和实际问题中都有 广泛的应用，它们是相互联系和相互 转化的。
三角函数的应用
三角函数在解决几何问题、振动和波动等现象中有着广 泛的应用。
18《函数与方程、不等式之间的关系》函数 PPT教学课件(第1课时)
第三章 函 数
栏目 导引
第三章 函 数
【解】 (1)Δ＝49＞0，方程 2x2＋5x－3＝0 的两 根为 x1＝－3，x2＝12， 作出函数 y＝2x2＋5x－3 的图像，如图①所示． 由图可得原不等式的解集为x－3＜x＜12.
栏目 导引
第三章 函 数
(2)原不等式等价于 3x2－6x＋2≥0，Δ＝12＞0，
元二次不等式的解法
核心素养 数学抽象
直观想象、 数学运算
第三章 函 数
问题导学 预习教材 P112－P114 的内容，思考以下问题： 1．函数零点的概念是什么？ 2．函数的零点与方程的根有什么关系？ 3．一元二次函数 f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)的零点个数与判别式 Δ 之间有什么关系？
栏目 导引
f(2)＝6m＋5＞0， m＞－56，
所以－56＜m＜－12，即 m 的取值范围是－56，－12.
栏目 导引
第三章 函 数
(2)根据函数图像与 x 轴的两个交点均在区间(0，1)内，画出图
像如图所示：
Δ＞0，
由图像得0f(＜0)－ ＞m0，＜1， f(1)＞0，
m＞1＋ 2或m＜1－ 2， －1＜m＜0，
即m＞－12，
所以－12＜m＜1－ 2，
m＞－12，
即 m 的取值范围是－12，1－
2.
栏目 导引
第三章 函 数
(1)解此类问题一般从四个方面考虑： ①抛物线的开口方向； ②一元二次方程根的判别式； ③对应区间端点函数值的符号； ④抛物线的对称轴与区间端点的位置关系． (2)对一元二次方程 ax2＋bx＋c＝0(a＞0)的根的分布总结如下 表(其中 f(x)＝ax2＋bx＋c(a＞0)，对于 a＜0 的情况可依照 a＞0 的情况列出)：
初中数学函数与方程
初中数学函数与方程在初中数学的学习中，函数与方程是两个极为重要的概念，它们不仅是数学知识体系中的关键组成部分，也是解决实际问题的有力工具。
函数，简单来说，就是两个变量之间的一种对应关系。
比如，当我们研究汽车行驶的路程与时间的关系时，路程会随着时间的变化而变化，我们就可以用一个函数来描述这种关系。
再比如，气温随日期的变化、身高随年龄的增长等等，生活中这样的例子数不胜数。
函数通常用数学表达式来表示，比如常见的一次函数 y ＝ kx ＋ b （其中 k 和 b 是常数，k 称为斜率，b 称为截距），二次函数 y ＝ ax²＋ bx ＋ c（其中 a、b、c 是常数，且a ≠ 0）。
通过这些表达式，我们可以清晰地看出变量之间的关系。
方程呢，则是含有未知数的等式。
例如，2x ＋ 3 ＝ 7 就是一个简单的方程，我们的任务就是求出未知数 x 的值。
方程的种类也有很多，像一元一次方程、二元一次方程、一元二次方程等等。
函数与方程之间存在着密切的联系。
从某种程度上说，函数中的解析式可以看作是一个方程，而方程的解则可以看作是函数图像与坐标轴交点的横坐标。
举个例子，对于一次函数 y ＝ 2x 1，当 y ＝ 0 时，我们得到方程2x 1 ＝ 0，解这个方程 x ＝ 1/2，这就是函数图像与 x 轴交点的横坐标。
同样，对于二次函数 y ＝ x² 2x 3，令 y ＝ 0，得到方程 x² 2x 3 ＝ 0，通过求解这个方程，我们可以得到函数图像与 x 轴的交点坐标。
在解决实际问题时，函数和方程常常能发挥巨大的作用。
比如，商家要根据成本和销售价格来确定最大利润，就可以通过建立函数模型来分析；而在计算两个物体相遇的时间、求解几何图形中的边长等问题时，往往需要建立方程来求解。
函数的图像也是理解函数性质的重要工具。
以一次函数 y ＝ 2x ＋ 1 为例，它的图像是一条直线。
当 k ＞ 0 时，直线是上升的，这意味着函数值随着自变量的增大而增大；当 k ＜ 0 时，直线是下降的，函数值随着自变量的增大而减小。
函数与方程知识点总结
函数与方程知识点总结一、函数的基本概念及性质1.什么是函数函数是一种特殊的关系，它将一个数集的每个元素对应到另一个数集的唯一元素上。
通常用f(x)表示函数，表示自变量x经过函数f(x)的映射后得到的因变量。
2.定义域和值域函数的定义域是自变量的取值范围，值域是函数的所有可能的输出值。
3.函数的图像函数的图像是函数的自变量和因变量的关系在坐标系中的几何表示。
4.常用函数的特点常用函数有线性函数、二次函数、指数函数、对数函数、三角函数等。
线性函数：函数的图像是一条直线。
二次函数：函数的图像是抛物线。
指数函数：函数的图像呈现上升或下降的曲线。
对数函数：函数的图像也是上升或下降的曲线。
三角函数：函数的图像是周期性的波形。
5.奇偶性函数的奇偶性是指函数在自变量为x和-x时的对称性。
奇函数：f(-x)=-f(x)，图像关于原点对称。
偶函数：f(-x)=f(x)，图像关于y轴对称。
6.函数的单调性单调递增：对于自变量x1<x2，有f(x1)<f(x2)。
单调递减：对于自变量x1<x2，有f(x1)>f(x2)。
7.函数的周期性如果存在一个正数T，使得对于任意的x，有f(x+T)=f(x)，则称函数为周期函数，T称为函数的周期。
二、方程的基本概念及性质1.什么是方程方程是一个等式，其中包含一个或多个未知数，并且要求找出未知数满足等式的关系。
2.方程的解方程的解就是使方程成立的未知数的取值。
3.一元一次方程一元一次方程是未知数的最高次数为 1 的代数方程，通常采用ax+b=0 的形式。
4.一元二次方程一元二次方程是未知数的最高次数为 2 的代数方程，通常采用ax^2+bx+c=0 的形式。
它的解可以通过求根公式来求得。
5.二元一次方程组二元一次方程组是包含两个未知数的一次方程的集合，通常采用ax+by=c 和 dx+ey=f 的形式。
6.三元一次方程组三元一次方程组是包含三个未知数的一次方程的集合，通常采用ax+by+cz=d、ex+fy+gz=h 和 ix+jy+kz=l 的形式。
函数与方程知识点
函数与方程知识点随着数学的不断发展，函数与方程成为中学数学学习中重要的知识点之一。
在解决实际问题时，我们常常需要运用函数与方程知识点进行分析和计算。
本文将从函数和方程的定义、基本性质以及应用等方面进行探讨。
一、函数的定义与基本性质函数是数学中的基本概念之一。
简单来说，函数就是一种数值之间的对应关系。
数学家高斯曾经说过：“数学在本质上，是为了研究变化的。
”函数的定义就是反映这种变化规律的重要工具。
函数的定义通常用公式表示，形如：$y=f(x)$。
其中，$y$是函数的值，$x$是自变量，$f(x)$表示函数。
函数可以是一次函数、二次函数、指数函数等。
它们的表达式和图像形状各不相同，但都遵循函数的定义原则。
函数具有以下重要性质：1. 定义域和值域：函数的定义域是自变量可能的取值范围，值域是函数可能的输出值范围。
对于一次函数来说，定义域和值域往往是整个实数集；而对于指数函数来说，定义域通常是无穷大至零之间。
2. 奇偶性：函数的奇偶性用于描述函数在坐标系中的对称性。
若函数满足$f(-x)=-f(x)$，则称该函数为奇函数；若函数满足$f(-x)=f(x)$，则称该函数为偶函数。
3. 单调性：函数的单调性用于描述函数的增减规律。
若对于定义域内的任意两个数$x_1$和$x_2$，当$x_1<x_2$时，有$f(x_1)<f(x_2)$，则称函数为递增函数；若对于定义域内的任意两个数$x_1$和$x_2$，当$x_1<x_2$时，有$f(x_1)>f(x_2)$，则称函数为递减函数。
函数的单调性在研究函数的最值以及问题求解等方面具有重要的意义。
二、方程的定义与基本性质方程是数学中另一个重要的概念。
简单来说，方程就是具有等号的等式。
通过方程可以求解未知数的值，解方程是数学中的重要问题。
方程有多种形式。
常见的方程有一元一次方程、一元二次方程、直线方程等。
每种方程都有自己的解法和应用。
方程具有以下重要性质：1. 方程的解：解就是使得方程成立的未知数的值。
教学重点函数与方程的关系
教学重点函数与方程的关系教学重点：函数与方程的关系函数与方程是数学中重要的概念，它们之间存在紧密关系。
函数是一种数学映射关系，用来描述两个变量之间的依赖关系；而方程则是描述等式关系的数学式子。
本文将从不同的角度探讨函数与方程的关系，展示它们在教学中的重要性。
一、函数与方程的定义与特点函数是一种数学映射关系，用来描述自变量和因变量之间的依赖关系。
一般表示为f(x)，其中x是自变量，f(x)是因变量。
函数具有以下特点：1. 函数的定义域：表示自变量的取值范围；2. 函数的值域：表示因变量的取值范围；3. 函数的图像：表示函数在坐标系中的图形。
方程是描述两个量之间相等关系的数学式子，一般表示为等号左边和等号右边是相等的。
方程的解就是满足方程的变量取值。
方程具有以下特点：1. 一元方程：只含有一个未知数的方程；2. 多元方程：含有多个未知数的方程；3. 方程的解集：所有满足方程的变量取值的集合。
二、函数和方程的联系函数可以通过方程来表示，也可以通过方程来求解。
具体来说，函数可以通过方程来定义和表示，反之亦然。
函数的性质可以通过数学方程来研究和推导。
1. 函数通过方程定义：函数可以通过方程来定义和表示。
例如，给定一个函数f(x)，可以通过方程f(x) = 2x + 3来表示。
这个方程描述了函数f(x)的依赖关系，当给定x的值时，可以通过方程计算对应的f(x)的值。
2. 函数的方程解析：通过方程可以求解函数的相关性质。
例如，给定一个函数f(x) = x^2 + 3x + 2，可以通过解方程f(x) = 0来求解函数的零点（即使得函数值为0的x的取值），从而得到函数的极值、拐点等相关信息。
3. 方程的解与函数的图像关系：函数的图像可以通过求解方程来得到。
例如，给定一个方程y = x^2，可以通过求解方程得到一系列(x, y)的解，这些解可以表示函数y = x^2在坐标系中的点，进而绘制函数的图像。
三、函数与方程在教学中的重要性函数和方程是数学教学中的重要内容，它们的关系在数学学习中起着重要的桥梁作用。
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第18讲 函数与方程一、要点精讲1．方程的根与函数的零点 （1）函数零点：概念：对于函数))((D x x f y ∈=，把使0)(=x f 成立的实数x 叫做函数))((D x x f y ∈=的零点。
函数零点的意义：函数)(x f y =的零点就是方程0)(=x f 实数根，亦即函数)(x f y =的图象与x 轴交点的横坐标。
即：方程0)(=x f 有实数根⇔函数)(x f y =的图象与x 轴有交点⇔函数)(x f y =有零点。
二次函数)0(2≠++=a c bx ax y 的零点：１）△＞０，方程02=++c bx ax 有两不等实根，二次函数的图象与x 轴有两个交点，二次函数有两个零点；２）△＝０，方程02=++c bx ax 有两相等实根（二重根），二次函数的图象与x 轴有一个交点，二次函数有一个二重零点或二阶零点；３）△＜０，方程02=++c bx ax 无实根，二次函数的图象与x 轴无交点，二次函数无零点。
零点存在性定理：如果函数)(x f y =在区间],[b a 上的图象是连续不断的一条曲线，并且有0)()(<b f a f ，那么函数)(x f y =在区间),(b a 内有零点。
既存在),(b a c ∈，使得0)(=c f ，这个c 也就是方程的根。
2.二分法二分法及步骤：对于在区间a [，]b 上连续不断，且满足)(a f ·)(b f 0<的函数)(x f y =，通过不断地把函数)(x f 的零点所在的区间一分为二，使区间的两个端点逐步逼近零点，进而得到零点近似值的方法叫做二分法．给定精度ε，用二分法求函数)(x f 的零点近似值的步骤如下：（1）确定区间a [，]b ，验证)(a f ·)(b f 0<，给定精度ε；（2）求区间a (，)b 的中点1x ；（3）计算)(1x f ：①若)(1x f =0，则1x 就是函数的零点；②若)(a f ·)(1x f <0，则令b =1x （此时零点),(10x a x ∈）； ③若)(1x f ·)(b f <0，则令a =1x （此时零点),(10b x x ∈）；（4）判断是否达到精度ε；即若ε<-||b a ，则得到零点零点值a （或b ）；否则重复步骤2~4。
注：函数零点的性质从“数”的角度看：即是使0)(=x f 的实数；从“形”的角度看：即是函数)(x f 的图象与x 轴交点的横坐标；若函数)(x f 的图象在0x x =处与x 轴相切，则零点0x 通常称为不变号零点； 若函数)(x f 的图象在0x x =处与x 轴相交，则零点0x 通常称为变号零点。
注：用二分法求函数的变号零点：二分法的条件)(a f ·)(b f 0<表明用二分法求函数的近似零点都是指变号零点。
3．二次函数的基本性质（1）二次函数的三种表示法：y =ax 2+bx +c ；y =a (x －x 1)(x －x 2)；y =a (x －x 0)2+n 。
（2）当a >0，f (x )在区间［p ，q ］上的最大值M ，最小值m ，令x 0=21 (p +q )。
若－ab 2<p ，则f (p )=m ，f (q )=M ；若p ≤－ab 2<x 0，则f (－ab 2)=m ，f (q )=M ；若x 0≤－ab 2<q ，则f (p )=M ，f (－ab 2)=m ；若－ab 2≥q ，则f (p )=M ，f (q )=m 。
（3）二次方程f (x )=ax 2+bx +c =0的实根分布及条件。
①方程f (x )=0的两根中一根比r 大，另一根比r 小⇔a ·f (r )<0；②二次方程f (x )=0的两根都大于r ⇔⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧>⋅>->-=∆0)(,2,042r f a r a bac b③二次方程f (x )=0在区间(p ，q )内有两根⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧>⋅>⋅<-<>-=∆⇔;0)(,0)(,2,042p f a q f a q ab p ac b ④二次方程f (x )=0在区间(p ，q )内只有一根⇔f (p )·f (q )<0，或f (p )=0(检验)或f (q )=0(检验)检验另一根若在(p ，q )内成立。
二、典例解析题型1：方程的根与函数零点 例1．（1）方程lg x +x =3的解所在区间为（ ）A ．(0，1)B ．(1，2)C ．(2，3)D ．(3，+∞) （2）设a 为常数，试讨论方程)lg()3lg()1lg(x a x x -=-+-的实根的个数。
解析：（1）在同一平面直角坐标系中，画出函数y =lg x 与y =-x +3的图象(如图)。
它们的交点横坐标0x ，显然在区间(1，3)内，由此可排除A ，D 至于选B 还是选C ，由于画图精确性的限制，单凭直观就比较困难了。
实际上这是要比较0x 与2的大小。
当x =2时，lg x =lg2，3-x =1。
由于lg2＜1，因此0x ＞2，从而判定0x ∈(2，3)，故本题应选C 。
（2）原方程等价于⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-=-->->->-x a x x x a x x )3)(1(0301即⎩⎨⎧<<-+-=31352x x x a构造函数)31(352<<-+-=x x x y 和a y =，作出它们的图像， 易知平行于x 轴的直线与抛物线的交点情况可得：①当31≤<a 或413=a 时，原方程有一解；②当4133<<a③当1≤a 或413>a 时，原方程无解。
题型2：零点存在性定理例2．若函数)(x f y =在区间[a ,b ]上的图象为连续不断的一条曲线，则下列说法正确的是（ ）A ．若0)()(>b f a f ，不存在实数),(b a c ∈使得0)(=c f ；B ．若0)()(<b f a f ，存在且只存在一个实数),(b a c ∈使得0)(=c f ；C ．若0)()(>b f a f ，有可能存在实数),(b a c ∈使得0)(=c f ；D ．若0)()(<b f a f ，有可能不存在实数),(b a c ∈使得0)(=c f ；解析：由零点存在性定理可知选项D 不正确；对于选项B ，可通过反例“)1)(1()(+-=x x x x f 在区间]2,2[-上满足0)2()2(<-f f ，但其存在三个解}1,0,1{-”推翻；同时选项A 可通过反例“)1)(1()(+-=x x x f 在区间]2,2[-上满足0)2()2(>-f f ，但其存在两个解}1,1{-”；选项C 正确，见实例“1)(2+=x x f 在区间]2,2[-上满足0)2()2(>-f f ，但其存在实数解”。
题型3：二分法的概念例3．关于“二分法”求方程的近似解，说法正确的是（）A ．“二分法”求方程的近似解一定可将)(x f y =在[a ,b ]内的所有零点得到；B ．“二分法”求方程的近似解有可能得不到)(x f y =在[a ,b ]内的零点；C ．应用“二分法”求方程的近似解，)(x f y =在[a ,b ]内有可能无零点；D ．“二分法”求方程的近似解可能得到0)(=x f 在[a ,b ]内的精确解；解析：如果函数在某区间满足二分法题设，且在区间内存在两个及以上的实根，二分法只可能求出其中的一个，只要限定了近似解的范围就可以得到函数的近似解，二分法的实施满足零点存在性定理，在区间内一定存在零点，甚至有可能得到函数的精确零点。
a例4．方程0)(=x f 在[0，1]内的近似解，用“二分法”计算到445.010=x 达到精确度要求。
那么所取误差限ξ是（ ）A ．0.05 B ．0.005 C ．0.0005 D ．0.00005解析：由四舍五入的原则知道，当)4455.0,4445.0[10∈x 时，精度达到445.010=x 。
此时差限ξ是0.0005，选项为C 。
题型4：一元二次方程的根与一元二次函数的零点例5． 设二次函数()()f x ax bx c a =++>20，方程()f x x -=0的两个根x x 12,当()x x ∈01,时，证明()x f x x <<1。
证明：由题意可知))(()(21x x x x a x x f --=-，ax x x 1021<<<<,∴ 0))((21>--x x x x a ,∴ 当()x x ∈01,时，x x f >)(。
又)1)(())(()(211211+--=-+--=-ax ax x x x x x x x x a x x f , ,011,0221>->+-<-ax ax ax x x 且∴ 1)(x x f <,综上可知，所给问题获证。
例6．已知二次函数)0,,(1)(2>∈++=a R b a bx ax x f ，设方程x x f =)(的两个实数根为1x 和2x .（1）如果4221<<<x x ，设函数)(x f 的对称轴为0x x =，求证：10->x ； （2）如果21<x ，212=-x x ，求b 的取值范围.解析：设1)1()()(2+-+=-=x b ax x x f x g ，则0)(=x g 的二根为1x 和2x 。
（1）由0>a 及4221<<<x x ，可得 ⎩⎨⎧><0)4(0)2(g g ，即⎩⎨⎧>-+<-+034160124b a b a ，即⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧<+⋅--<-⋅+,043224,043233a a b aa b两式相加得12<ab，所以，10->x ； （2）由aa b x x 4)1()(2221--=-, 可得 1)1(122+-=+b a 。
又0121>=ax x ，所以21,x x 同号。
∴ 21<x ，212=-x x 等价于⎪⎩⎪⎨⎧+-=+<<<1)1(1220221b a x x 或⎪⎩⎪⎨⎧+-=+<<-<1)1(1202212b a x x , 即 ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+-=+>>1)1(120)0(0)2(2b a g g 或⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+-=+>>-1)1(120)0(0)2(2b a g g 解之得 41<b 或47>b 。