第9章_组合变形
工程力学 (杨庆生 崔芸 龙连春 著) 科学出版社 课后答案 第9章
m ( F ) 0 P 1 Q 0.5 0 Q 2 P
mA ( F ) 0 1.5Q 3.5P 5 FB 0 FB 1.3P mB ( F ) 0 1.5P 3.5Q 5FA 0 FA 1.7 P
课
P 2. 4 4 2. 4 9.6(kN m) 2 8 2 P =2.561(kN ) FN cos 2 2 22 2.42
w.
9.6
A
25
-
2.561
+
FN （kN
25
z
co
）
FQ D2
M
M 图（ kN .m ）
m
P/2
补充 2： 水塔盛满水时连同基础总重量为 G， 在离地面 H 处， 受一水平风力合力为 P 作用， 圆形基础直径为 d,基础埋深为 h，若基础土壤的许用应力[σ]=300kN/m ，试校核基础的承载
梁上各横截面上轴力弯矩均为常2510253应力分析判危险点如右所示图整个横截面上均有n引起的均布的拉应力my引起后拉前压的弯曲应力mz引起上拉下压的弯曲应力点于d100025pa1010101010206060mpa140mpa四点的应力值
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ww
w.
max
（4）强度计算选择槽钢的型号：
1）忽略轴力项的正应力，仅由弯曲项选槽钢的型号：
组合变形
M y 187 N m
T 1020 N m
合弯矩：
2 M M y M z2 4402 187 2
478N m
第四强度理论：
W
r4
1 W
M 2 0.75T 2
603 109
32
21.2110 6 m3
危险截面: B 截面
T 21.7 N m M 26.7 N m
第三强度理论：
r3
W
1 W
M 2 T 2
T图
21.7 N m
353 109
32
2
4.2110 6 m3
2
r3
8.18MPa
26.7 21.7 4.21106
第四强度理论：
式中: T
r4
危险截面上的扭矩 危险截面上的合弯矩
M
M
实心轴 W
2 2 My Mz
D3
32 D3 空心轴 W 1 4 32
,
例题 8-5 45钢的传动轴AB的直径为35mm，许用应力为 85MPa。电动机功率P = 2.2kW,由带轮C 传入。带轮C转速为 966r/min,带轮的直径为 D = 132mm，带拉力为F+F’ = 600N。齿轮E的 d 节圆直径为： 1 50mm 。
Fz Fz F sin 240 F sin 300 257 N
二、作出轴的弯矩图 和扭矩图
T图
21.7 N m
My 图
7.43N m 20.4 N m 11.4 N m 24.1N m
Mz 图
材料力学-单祖辉-第三版课后答案-(第九章—第十九章)
3Fx 4a 2
[
]
x2 0.1277x6.39104 0
由此得切口的允许深度为
x5.20 mm
10-3 图示矩形截面钢杆，用应变片测得上、下表面的纵向正应变分别为 εa =1.0×10-3
2Sz(a)
S z,max
[2.23104
1 0.0085(0.140 0.0137)2 ]m3 2
2.90104 m3
式中：足标 b 系指翼缘与腹板的交界点；足标 a 系指上翼缘顶边中点。 3．应力计算及强度校核
三个可能的危险点（ a ， b 和 c ）示如图 9-5。
a 点处的正应力和切应力分别为
x1
4F πD 2
x2 0
设圆柱体与外管间的相互作用力的压强为 p，在其作用下，外管纵截面上的周向正应力为
t2
pD 2
(a)
在外压 p 作用下（图 b，尺寸已放大），圆柱体内任一点处的径向与周向正应力均为
r1 t1 p
根据广义胡克定律，圆柱体外表面的周向正应变为
t1
1 E1
t1
1
x1
松比 均为已知。试求内压 p 与扭力偶矩 M 之值。
题 9-14 图 解：圆筒壁内任意一点的应力状态如图 9-14 所示。
图中所示各应力分量分别为
图 9-14
由此可得
x
pD 4
,
t p2D,
2M πD2
σ0 σ x , σ90 σt ,
σ 4 5
τ
3pD, 8δ
根据广义胡克定律，贴片方向的正应变为
σ1
σ2
σt
pD，σ 4δ
3
0
9-13 图示组合圆环，内、外环分别用铜与钢制成，已知铜环与钢环的壁厚分别为
组合变形
第八章组合变形§8-1 组合变形和叠加原理一、组合变形的概念：构件的基本变形：拉压、剪切挤压、扭转、弯曲。
由两种或两种以上基本变形的组合---称为组合变形。
如：梁的弯曲和拉压变形的组合。
轴的扭转和弯曲变形的组合。
梁的弯曲与剪切变形的组合（横力弯曲）。
李禄昌liluchang二、叠加法---解决组合变形问题的基本方法*：1、叠加原理：复杂外力进行简化、分解为几组静力等效载荷。
→ →每一组载荷对应着一种基本变形。
→ →分别计算一种基本变形的内力、应力、应变、挠度。
→ →将所有结果叠加，便是构件发生组合变形时的内力、应力、应变、挠度。
2、叠加原理的几个原则*：⑴、分量（内力、应力、应变、位移）与外力成线性关系。
⑵、与外力加载的先后顺序无关，⑶、材料服从胡克定律（线弹性变形）。
⑷、应用原始尺寸原理。
注意：各分量叠加时，同方向的相同分量可以用代数和叠加。
如：正应力与正应力、切应力与切应力。
3、叠加原理应用的基本步骤：xxσ(1) 、将载荷进行分解，产生几种基本变形;（2）、分析每种基本变形，确定危险截面；（3）、计算构件在每种基本变形情况下的危险截面内的应力；（4）、将各基本变形情况下的应力叠加，确定最危险点；**（5）、计算主应力，选择适合的强度理论，进行强度校核。
而不同方向的分量，应采用不同的求和方法，如：正应力与切应力之间。
σσσ'''=+τττ'''=+22p στ=+xτ不要用这个公式。
斜弯曲PϕyzxyzlP zP yP 不考虑剪应力Kk σσσ'''=+y z z y M z M y I I -sin cos z yP z P y I I ϕϕ=--cos y yyM z P zI I σϕ''=-=-sin ,z z zM y P y I I σϕ'=-=-如果是圆截面？§8-2 弯曲与拉伸的组合变形一、受力及变形特点：xyzlFF轴向拉伸F偏心拉伸zMyM附加力偶1、轴向力：产生拉压正应力:()()12x x zN x M x yA I σσσ=+=+注意两个应力正负号。
材料力学斜弯曲
y
中性轴
Fl
另一条类似。
四、挠度的方向
z F wy
l
x
y
w φ β wz
F
Fl 3 sin 自由端 wy 3EI z
方向
Fl 3 cos wz 3EI y
t an
wy wz
Iy Iz
t an
结论
挠度
中性轴
t an
一、概念
z
Fy
φ
F
Fz
外力：作用线不与形心主 惯性轴重合； 内力: 弯矩矢不与形心主 惯性轴重合（可分解成两 y 个形心主惯性轴方向的弯 矩）； 变形：挠曲线不与载荷线 共面。
斜弯曲
F1
平面弯曲
F2
二、正应力强度条件
例：分析图示斜弯曲变形
z
z
y φ
y
F
A
F φ
B
l
z
y
1.分类：
平面弯曲（绕 y 轴） + 平面弯曲（绕 z 轴）
图中力F是否使梁产生平面弯曲？
F
z y
F
F
z z y
y
弯曲中心的意义
非对称截面梁平面弯曲的条件： 1.外力平行于形心主惯性平面 保证 Iyz=0
（推导弯曲正应力时要求满足Iyz=0）
F
M
2.外力作用线通过弯曲中心 保证 不扭转
图中力F使梁产生平面弯曲， 同时还产生扭转。
A
y
C
z
§9.3 拉（压）弯组合
A
D1
t max
D2
M y max M z max t max 单向应力状态 W c max Wz y
9第九章 杆件变形及结构的位移计算
产生位移的原因 一般荷载——力的作用 广义荷载 温度变化 支座位移 制造误差
P
t
一般荷载
C C
温度变化
A
支座位移 B
B
B
制造误、位移计算的目的
⑴ 刚度要求 强度校核 结构设计计算应考虑的内容 稳定性验算 刚度验算 在工程上，吊车梁允许的挠度<1/600跨度； 房屋主梁允许挠度<1/350跨度。 高层建筑框架结构，风荷载作用下的最大位移<1/450高度， 最大层间位移<1/550层高； 地震作用下的最大位移<1/400高度； 最大层间位移<1/500层高。 ⑵ 超静定结构的计算基础 超静定结构必须考虑几何条件(位移约束或变形协调)方可求解。
1
B
C a-x
M =a x
横梁BC 竖柱CA
a
A
x
注意：负号表示位移 的方向与假设的单位 力的方向相反。 （4）求B点的线位移ΔB
§9-4 图乘法
刚架与梁的位移计算公式为：
MMds EI
在杆件数量多的情况下,不方便. 下面介绍 计算位移的图乘法.
梁和刚架位移计算公式
计算工作量很大，应用比较麻烦。一定条件下，上述积分计算可以简化。
ΔCV 2330 106 7.012mm 3 210 10 2 791.2
4m
–200
–200
5 8
3 8
5 8
3 8
5 8
杆件名称 A-C B-C D-E A-D C-D C-E
杆长l (m) 6 6 6 5 5 5
截面积A 轴力 FNP (cm2) (kN) 15.824 15.824 15.824 15.824 15.824 15.824 120 120 -120 -200 0 0
钢筋混凝土构件的变形
第9章钢筋混凝土构件的变形、裂缝验算及耐久性一、填空题1.混凝土构件裂缝开展宽度及变形验算属于正常使用极限状态的设计要求，验算时材料强度采用标准值，荷载采用标准值、准永久值。
2. 增大构件截面高度是提高钢筋混凝土受弯构件抗弯刚度的最有效措施。
3.平均裂缝宽度计算公式中，σ是指裂缝截面处的纵向钢筋拉应力，其值是按荷载sk效应的标准组合计算的。
4.钢筋混凝土构件的平均裂缝间距随混凝土保护层厚度增大而增大，随纵筋配筋率增大而减小。
5.钢筋混凝土受弯构件挠度计算中釆用的最小刚度原则是指在相同符号弯矩范围内，假定其刚度为常数，并按最大弯矩截面处的最小刚度进行计算。
6.裂缝间纵向受拉钢筋应变不均匀系数ψ是指裂缝间受拉纵筋平均应变与裂缝截面处的受拉纵筋应变之比，反映了裂缝间拉区混凝土参与工作的程度。
7.结构构件正常使用极限状态的要求主要指在各种作用下的裂缝宽度和变形不应超过规定的限值。
8.结构的耐久性设计要求是指结构构件应满足设计使用年限的要求。
9.混凝土结构应根据使用环境类别和结构类别进行耐久性设计。
10.在荷载作用下，截面受拉区混凝土中出现裂缝，裂缝宽度与受拉纵筋应力几乎成正比。
11.钢筋混凝土和预应力混凝土构件，按所处环境类别和结构类别确定相应的裂缝控制等级最大裂缝宽度限值。
12.平均裂缝间距与混凝土保护层厚度、纵向受拉钢筋直径、纵向受拉钢筋表面特征系数及纵向钢筋配筋率有关。
13.轴心受拉构件的平均裂缝宽度为构件裂缝区段范围内钢筋的平均伸长与相应水平处构件侧表面混凝土平均伸长之差。
14.最大裂缝宽度等于平均裂缝宽度乘以扩大系数，这个系数是考虑裂缝宽度的随机性以及长期荷载作用的影响。
15.受弯构件的最大挠度应按荷载效应的标准组合，并考虑荷载长期作用影响进行计算。
16.结构构件正截面的裂缝控制等级分为三级。
17.环境类别中一类环境是指室内正常环境。
二、选择题1.减少钢筋混凝土受弯构件的裂缝宽度，首先应考虑的措施是[ a ]。
材料力学 第9章 能量法
1 1 1 1 ' Vε 2 F1δ1 F2 δ2 F3 δ3 F4 δ4 F3 δ'3 F4 δ4 2 2 2 2
由于应变能只决定于力和位移的 最终值,与加力的次序无关,故 F1 F2
3
' 3
F3
Vε1 Vε 2
Fδ Fδ Fδ Fδ
' 1 1 ' 2 2 ' 3 3 ' 4 4
0 xM ( x )dx 为图M(x)对 y 轴坐标的静矩 M(x) 0 M ( x )dx ωxC l M ( x ) M ( x )dx
A M ( x )dx B x M ( x )dx
0 0 l l
l
ω
l
C
xC
M (x )
（c） 弯曲
Vε M 2 ( x )dx M ( x ) M ( x ) δi 2 EI EI Fi dx Fi Fi
（4） 平面桁架
n FNj l j FNj Vε δi Fi j 1 EA Fi
（5） 组合变形
2 Vε FN ( x )dx T 2 ( x )dx M 2 ( x )dx δi [ ] l 2GI l Fi Fi l 2 EA 2 EI p
n
2
M l 1 Vε W M θ 2 2 EI
M ( x) Vε dx l 2 EI ( x )
2
横力弯曲
4.组合变形的变形能 截面上存在几种内力,各个内力及相应的各个位移相互独立,
力独立作用原理成立,各个内力只对其相应的位移做功.
2 FN ( x ) T 2 ( x) M 2 ( x) Vε dx dx dx l 2 EA( x ) l 2GI ( x ) l 2 EI ( x ) p
材料力学
第一章绪论1.土木工程中，各种建筑物在施工和使用阶段所承受的所有外力统称为荷载。
建筑物中承受荷载并且传递荷载的空间骨架称为结构，而任何结构都是由构件所组成的。
为保证构件在荷载作用下的正常工作，必须使它同时满足三方面的力学要求，即强度、刚度和稳定性的要求：(1) 构件抵抗破坏的能力称为强度(strength)。
对构件的设计应保证它在规定的荷载作用下能够正常工作而不会发生破坏(2) 构件抵抗变形的能力称为刚度(stiffness)。
构件的变形必须要限制在一定的限度内，构件刚度不满足要求同样也不能正常工作。
(3) 构件在受到荷载作用时在原有形状下的平衡应保证为稳定的平衡，这就是对构件的稳定性(stability)要求。
但是在材料力学中，构件的变形不能忽略不计，因此我们把构件作为可变形体来研究，称它们为可变形固体(deformable solid)。
在对可变形固体材料制成的构件进行强度、刚度和稳定性研究时，为抽象出某种理想的力学模型，通常根据其主要性质做出一定的假设，同时忽略一些次要因素，然后进行理论分析。
在材料力学中，通常对可变形固体作如下基本假设：(1) 连续性假设(continuity assumption)。
这一假设认为，构件的材料在变形后仍然保持连续性，在其整个体积内都毫无空隙地充满了物质，忽略了体积内空隙对材料力学性质的影响。
(2) 均匀性假设(homogenization assumption)。
这一假设认为，构件的材料各部分的力学性能是相同的。
从任意一点取出的单元体，都具有与整体同样的力学性能。
(3) 各向同性假设(isotropy assumption)。
这一假设认为，构件的材料在各个方向的力学性能是相同的。
如工程上常用的金属材料，虽然从它们的晶粒来说，其力学性能并不一样；但从宏观上看，各个方向的力学性能接近相同。
有些材料沿各方向的力学性能并不相同，像这样的材料称之为各向异性材料，如木材等。
组合变形
第10章组合变形§10-1 组合变形的概念1.组合变形的概念组合变形：构件往往会发生两种或两种以上的基本变形的这类变形。
在前面各章分别讨论了杆件在拉(压)、剪切、扭转和弯曲基本变形时的应力和强度计算。
工程实际中，杆件在荷载作用下所发生的变形，经常是两种或两种以上基本变形的组合，这种变形称为组合变形。
例如图10．1(a)所示屋架檩条的变形，是由y/z两个方向的平面弯曲变形组成的斜弯曲；如图10．1(b)所示厂房柱，在偏心力F作用下，会发生压缩和弯曲的组合变形；如图10．1(c)所示的卷扬机轴在力F作用下，则发生弯曲和扭转的组合变行。
2．组合变形的分析方法及计算原理处理组合变形问题的方法：1.将构件的组合变形分解为基本变形；2.计算构件在每一种基本变形情况下的应力；3.将同一点的应力叠加起来，便可得到构件在组合变形情况下的应力。
叠加原理是解决组合变形计算的基本原理叠加原理应用条件：即在材料服从胡克定律，构件产生小变形，所求力学量定荷载的一次函数的情况下，计算组合变形时可以将几种变形分别单独计算，然后再叠加，即得组合变形杆件的内力、应力和变形。
计算原理：（1）圣维南原理以静力等效力系代替构件原有的荷载，为此，要求构件为细长杆，且所求应力的截面远离外力作用点；（2）叠加原理 按各基本变形计算后进行叠加，为此，要求构件处于线弹性范围内，且变形很小，可按构件的原始形状的尺寸进行计算。
在小变形和线弹性条件下，杆件上各种力的作用彼此独立，互不影响，即杆上同时有几种力作用时，一种力对杆的作用效果（变形或应力），不影响另一种力对杆的作用效果（或影响很小可以忽略）。
因此组合变形下杆件内的应力，可视为几种基本变形下杆件内应力的叠加。
本章中组合变形下杆件的应力计算，将以各基本变形的应力及叠加法为基础。
叠加法的主要步骤：a 、将组合变形按照各基本变形的条件，分解为几种基本变形，简称分解。
b 、利用基本变形的应力计算公式，分别计算各点处的正应力和切应力。
第九章：钢筋混凝土构件的裂缝和变形
MK 2 f =S l ––– 钢筋混凝土梁的挠度计算 B
的要求。 （3）满足公式: f<[f] 的要求。 满足公式:
混凝土结构设计原理
第9章
八.对受弯构件挠度验算的讨论
1.由计算公式可知：截面有效高度的影响最大； 1.由计算公式可知：截面有效高度的影响最大； 由计算公式可知 2.配筋率对承载力和挠度的影响：在适筋范围内， 2.配筋率对承载力和挠度的影响：在适筋范围内，提高配筋 配筋率对承载力和挠度的影响 率能提高承载力，但提高刚度不明显，有时甚至加大挠度； 率能提高承载力，但提高刚度不明显，有时甚至加大挠度； 3.跨高比：一般讲，跨度越大则挠度越大；梁高越大， 3.跨高比：一般讲，跨度越大则挠度越大；梁高越大，挠度 跨高比 越小；可选择适当的跨高比，可控制挠度； 越小；可选择适当的跨高比，可控制挠度； 减小挠度措施： 减小挠度措施： 提高刚度的有效措施 h0↑ 或As↑ 增加ρ'
gk+qk A Bmin Bmin(a) (b) Mlmax gk+qk B M Bmin (a) BBmin B1min
+
(b)
混凝土结构设计原理
第9章
七. 挠度计算步骤
（1）根据最小刚度原则确定所求刚度； 根据最小刚度原则确定所求刚度；
Mk B = M q ( θ − 1) + M
Bs
k
（2）代入材料力学公式计算挠度； 代入材料力学公式计算挠度；
混凝土结构设计原理
第9章
裂缝宽度和变形的验算表达式如下： 裂缝宽度和变形的验算表达式如下： 的验算表达式如下
主 页
SK≤RK 式中: 式中:
…9-1 目 录
SK —— 结构构件按荷载效应的标准组合、准永久 结构构件按荷载效应的标准组合、 组合或标准组合并考虑长期作用影响得到的裂缝宽 组合或标准组合并考虑长期作用影响得到的裂缝宽 上一章 度或变形值； 度或变形值；
材料力学§9-4扭转与弯曲的组合-南昌工程学院
2
4
2 x2来自 2
4
2
2
, 2 0
按第三强度理论作强度计算，相当应力为
r3 1 3 2
2
4 2
2
2 4 2
(a)
按第四强度理论作强度计算，相当应力为
r4
1 2
[(
1
2 )2
(
2
3)2
同一截面上的弯矩Mz和My按矢量相加。 例如，B截面上的弯矩MzB和 MyB（图f）按矢量相加所得 的总弯矩MB（图g）为：
MB
M
2 yB
M
2 zB
(364 N m)2 (1000 N m)2 1064 N m
由Mz 图和My 图可知，B 截
面上的总弯矩最大，并且由扭矩
第9章 组合变形
§9-4 扭转与弯曲的组合
主讲院校：南昌工程学院 主讲老师：章宝华 课程名称：材料力学
§9-4 扭转与弯曲的组合
以由塑性材料制造的曲拐为 例来说明这类组合变形时应 1力.内及力其分强析度的计算方法。
A面上内力最大，该截 面为危险截面，其内力
值分别为弯矩M＝Fl，扭 矩MT＝Fa。
该杆为直径为d 的圆截面杆。
r3
2
2
M WZ
4 2MWTZM
M 2 MT2 WZ
r4
2
2
M WZ
3
MT 2WZ
M 2 0.75M T 2 WZ
式中,M和MT分别为危险截面上的弯矩和扭矩，WZ为圆截面的弯曲截面系数。
组合变形s
M z max FN max Wz A
c
强度条件（简单应力状态）——
max
二、偏心拉(压)
1、偏心拉(压)的概念 作用在杆件上的外力与杆的轴线平行但不重合。
x x
F
y
F' My
z
My
y
F'' M z
z
2、偏心拉(压)的计算
x
F z
（1）、荷载的简化
F'
Mz
x F'
,
MZ k
M z yk ; Iz
z
ey
zk
z
y
k
yk
正应力的分布——
y ez
在 My 作用下： 在 Mz 作用下：
在 FN作用下： FN d a c y b
z d
a
c y b
d a
c
z b
y
（3）叠加：
FN k k
Mz k
My k
F M z yk M y z k A Iz Iy
48.44o
2 2 2 2 f max wz ) max wy max 11.99 10.63 16.02(m m
f max
3.3 103 16.02(m m) w 16.5(m m) 200
例 图示悬臂梁，承受载荷F1与F2作用，已知F1=800N，F2=1.6kN， l=1m，许用应力[σ ]=160MPa。试分别按下列要求确定截面尺寸： (1) 截面为矩形，h=2b；(2) 截面为圆形。
总弯矩为：
T
2 MB Mz M2 y 1.06 KN m
（三）按第四强度理论求轴所需直径 由式(12-7)
第9章 钢筋混凝土构件变形及裂缝宽度验算
试验分析表明，影响裂缝间距的主要因素是纵 向受拉钢筋配筋率、纵向钢筋直径及外形特征、混 凝土保护层厚度等。采用变形钢筋，纵向受拉钢筋 配筋率越高，钢筋直径越细，裂缝间距越小；混凝 土保护层厚度越大，裂缝间距越大。
第9章 钢筋混凝土构件的裂缝及变形
纯弯段内受拉钢筋的应变分布图
第9章 钢筋混凝土构件的裂缝及变形 13/44
9.1.3平均裂缝宽度
图中的水平虚线表示平均应变 sm 。 为裂缝之间纵向受拉钢 设 筋应变不均匀系数，其值为裂缝间钢筋的平均拉应变 sm 与开裂截面 处钢筋的应变 s 之比，即 ＝ sm s ，又由于 s ＝ sq Es ，则平均 裂缝宽度 wm 可表达为
18/44
9.1.4最大裂缝宽度的计算及验算
2.最大裂缝宽度验算
构件在荷载效应的准永久组合并考虑长期作用的影 响，计算的最大裂缝宽度不能超过《规范》规定的限值， 应满足下式 w max≤wli m 式中： wlim——最大裂缝宽度限值。 （9-10）
第9章 钢筋混凝土构件的裂缝及变形
19/44
9.1.4最大裂缝宽度的计算及验算
8/44
9.1.2 平均裂缝间距
考虑上述诸多因素并根据试验资料， 《规范》给出了平均裂缝间 距计算公式为 d eq lcr (1.9cs 0.08 ) （9-1）
te
式中: lcr——平均裂缝间距。当计算的 lcr 大于构件箍筋间距时，可取 lcr 为构件箍筋间距； cs——最外层纵向受拉钢筋外边缘至受拉区底边的距离 (mm)： 当 cs <20mm 时，取 c s =20mm；当 cs >65mm 时，取 cs =65mm； β ——系数， 对轴心受拉构件取β =1.1； 对其他受力构件均 取β =1.0； ρte——按有效受拉混凝土截面面积计算的纵向受拉钢筋配筋率
第9章混凝土结构按变形和裂缝宽度验算
南通大学建筑工程学院
第九章 混凝土构件的变形及裂缝宽度验算
式中
ρ , ρ ′ ——分别为受压及受拉钢筋的配筋率。
ρ′ θ = 2.0 − 0.4 ρ
此处反映了在受压区配置受压钢筋对混凝土受压徐 变和收缩起到一定约束作用，能够减少构件在长期荷载 作用下的变形。上述θ适用于一般情况下的矩形、T形、 工字形截面梁，θ值与温湿度有关，对干燥地区，θ值应 酌情增加15％～25％。对翼缘位于受拉区的T形截面，θ 值应增加20％。
Ms = 0.87 As h0
Ns As
σ sk =
式中 Ns 、As——分别为按荷载短期效应组合计算的轴 向拉力值和受拉钢筋总截面面积。 ③偏心受拉构件。大小偏心受拉构件σsk按下式计算: N ss e′ σ sk = As ( h ′ − as′ ) 式中 e′——轴向拉力作用点至受压区或受拉较小边 ′ 纵筋合力点的距离， ′ = e0 + y c + − a ′ e s yc′ ——截面重心至受压或较小受拉边缘的距离。
ψ ——钢筋应变不均匀系数，是裂缝之间钢筋的平均应 变与裂缝截面钢筋应变之比，它反映了裂缝间混凝土受 拉对纵向钢筋应变的影响程度。ψ愈小，裂缝间混凝土 协助钢筋抗拉作用愈强。该系数按下列公式计算
ψ = 1.1 − 0.65
并规定0.4≤ ψ ≤1.0 式中
ρ 钢筋配筋率， te =
ρ teσ sk
f tk
ρ te ——按有效受拉混凝土面积计算的纵向受拉
As Ate
。
南通大学建筑工程学院
第九章 混凝土构件的变形及裂缝宽度验算
Ate
——有效受拉混凝土面积。对受弯构件，近似取
Ate = 0.5bh + (b f − b)h f
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A
D
Fy W1 Fz 130
B
转子
C W2
Fy Fz M Z F z 砂轮 y A Fz W 1 y
280
180
Me B
x
W2
MZ F z Me y x A B Fz W 1 y W2 解:1)外力分析 P 3 M e 9549 (9549 ) N .m 20.5 N .m n 1400 D 由平衡方程 M x 0, Fz M e 得: 2 2 M e 2 20.5 N .m Fz 164 N 3 受力简图、 D 250 10 m 计算简图 Fy 3Fz 3 164 N 492 N
二、应力分析
C1
C3
E截面
C4
C2
C1
C3
T C 4 C2
C1 点处于平面应
力状态, 该点的单元 体如图示。
C1
三、强度分析
M W
1 2 1 4 2 2 2
第三强度理论：
T Wt
2 0 1 2 3 4 2
300mm
100mm
z
A
5kN
3.64kN 1kN· m
B D x
1kN· m
C
y
1.82kN
10kN
（3）绘制轴的内力图 M yC 0.57kN m
z
A
1kN· m
3.64kN 5kN 1kN· m
C B D
x
M yB 0.36kN m M zC 0.227kN m
y
1.82kN
M
[例题9-2] 铸铁压力机框架，许用拉应力[t] ＝30MPa，许用压应力[c]＝120MPa。试校核框 架的强度 解：（1）横截面的惯性矩
F
F
250
y2 y1
F
y1
250
y2
F
M M
A 4.2 103 m2
y1 40.5 10 m 3 y2 59.5 10 m
I z 4.88 10 m
M z Fy (l x) F (l x) cos M y Fz (l x) F (l x)sin
固定端截面
M z max Fl cos
x
M y max Fl sin
9-3
斜弯曲
(2) 应力分析
x 截面上任意一点（y，z）
正应力
Mz y Myz Iz Iy y cos z sin F (l x)( ) Iz Iy
10kN
A
y 1.82kN 300mm
C C
B
D D
x
300mm 100mm
z
解:（1）外力的简化
将每个齿轮上的外力 向该轴的截面形心简化 A 1.82kN
300mm
5kN C
3.64kN
10kN B
D
x
y （2）轴的变形分析
5kN,3.64kN 使轴在 xz 纵对称面内产生弯曲 1.82kN,10kN 使轴在 xy 纵对称面内产生弯曲 1 kN· m使轴产生扭转
2 2
圆截面杆 Wt 2W
9-4
扭转与弯曲的组合
1 2 1 4 2 2 2 2 0 1 2 3 4 2 2 2
M W T Wp
第四强度理论：
9-4
扭转与弯曲的组合
塑性材料的圆截面轴弯扭组合变形
1 2 2 M T [ ] 第三强度理论： r 3 W 1 r4 M 2 0.75T 2 [ ] 第四强度理论： W 式中W 为抗弯截面系数，M、T 为轴危险截
B
（4）危险截面上的内力计算
M yC 0.57kN m M zC 0.227kN m M yB 0.36kN m M zB 1kN m
0.57kN· m
B
C My图 0.227 0.36kN· m 1
B和C截面的总弯矩为
2 2 M B M yB M zB 1.063kN m
弯扭组合变形
9-1 组合变形和叠加原理
叠加原理 构件在小变形和服从胡克定理的条件下， 力的独立性原理是成立的。即所有载荷作用 下的内力、应力、应变等是各个单独载荷作 用下的值的叠加。 解决组合变形的基本方法是将其分解为 几种基本变形；分别考虑各个基本变形时构 件的内力、应力、应变等；最后进行叠加。
FN F 11kN
4 4
3
y1
100
z
y2
（2）立柱横截面的内力
50
20
20 60
20
M F (b y1 )
M F (b y1 ) 3 3 (1110 N )( 250 40.5) 10 m 3200 N .m
F
My1 FN t . max 29.2MPa 250 Iz A M 3 F 3200 N .m 0.045 1110 N 6 4 3 2 4.88 10 m 4.2 10 m My2 FN c. max 36.4MPa Iz A 3200 N .m 0.055 11103 N t .max c.max 6 4 4.88 10 m 4.2 103 m2
简明材料力学
刘鸿文主编(第2版)
主讲 徐元
第9章
9-1
组合变形
组合变形和叠加原理
9-2
9-3 9-4
拉伸或压缩与弯曲的组合
斜弯曲 扭转与弯曲的组合
目录
9-1 组合变形和叠加原理
1、组合变形工程实例
压弯组合变形
10-1
9-1 组合变形和叠加原理 2、组合变形工程实例
拉弯组合变形
9-1 组合变形和叠加原理 3、组合变形工程实例
E
C
齿轮轴为弯曲 与扭转组合变形。 Me
b
Fr
l
F 横向力F（引起水平面的弯曲）
横向力Fr（引起铅垂平面的弯曲） 力偶矩M=FD/2（引起扭转）
Me
z Fr A BM E Fa y b l T
FD 2
C x
x
画内力图确定危险截面
My
FBz Fr
FBy
FCz x
F
FCy
MZ
x
FD T Me 2 E左截面为ab Fr M z ,max 危险截面 l Fab M y ,max l M M 2,max M z2,max y ab Fr2 F 2 l
3
fz Iz tan tan fy Iy
f
fy
矩形
I y Iz
斜弯曲
正方形 I y I z
平面弯曲
9-4
扭转与弯曲的组合
研究对象
受力特点
圆截面杆
杆件同时承受转矩和横向力作用
变形特点
发生扭转和弯曲两种基本变形
F
B A C
l
一、内力分析
Me A
B
Fr
Fa M
Fl F [ ] c W A
=
c,max
t ,max
F c A
+
t ,max
c,max
t ,max
=
+
c ,max
[例9-1] 起重机最大吊重W 12kN ,[ ] 100MPa 。试为横梁AB选择适用的工字钢型号。 解：1）受力分析， 由平衡方程 M A 0, FCy 18kN FCx 24kN
Fy W1 (492 275) N 217 N
2)内力分析
扭矩
T 20.5kN.m
铅垂弯矩
MZ F z y A Fz W 1
T
Me B
x
W2
y
28.2
M Ay 0.13( Fy W1 ) My M By 0.18W2
水平弯矩
x x
18
M Az 0.13Fz
2 M Ay
C
10kN -
M zB 1kN m
T = 1kN· m 圆杆发生的是斜弯曲与扭 转的组合变形。 由于通过圆轴轴线的任一 平面都是纵向对称平面,故轴在 xz和xy两平面内弯曲的合成结 果仍为平面弯曲,从而可用总弯 矩来计算该截面正应力。
T图 0.57
C
1
B
My图 1
0.36
Mz 图
0.227
C
FCx
A
FRAx
FRAy
2m
2）弯曲强度计算 M max M c W 12kN W FCy [ ] C B 12 103 N .m 1m 120 106 m3 W 100 106 Pa
查型钢表，选取16号工字钢， 140cm3 。 W
3）按弯曲和压缩组合变形进行校核 x FN M max max FN F W 12 x 3 3 24 10 N 12 10 N .m 6 2 6 3 24 26.1 10 m 141 10 m FCx FCy FRAy 6 截面C 左 A C B 94.3 10 Pa 94.3MPa 2m FRAx 的下边缘 1m W max 94.3MPa [ ] 100MPa 各点的压 所选工字钢16型号是合适的。 应力最大
Mz
21.3 35.3 18
x x
合成弯矩
M
2 M Az
35.3N .m
3)强度计算 1 由第三强度条件 r 3
2 2
W
M T [ ]
2 2
32 (35.3) (20.5) 6 r3 [ ] 160 10 MPa 3 d 解出 d 0.0191mm 19.1mm