通用版中考数学二轮复习专题10等腰三角形探究同步测试

专题集训10 等腰三角形探究
一、选择题
1．如图，Rt △ABC 的斜边AB 与量角器的直径恰好重合，B 点与0刻度线的一端重合，∠ABC ＝40°，射线CD 绕点C 转动，与量角器外沿交于点D ，若射线CD 将△ABC 分割出以BC 为边的等腰三角形，则点D 在量角器上对应的度数是( D )
A ．40°
B ．70°
C ．70°或80°
D ．80°或140°
,第1题图) ,第2题图)
2．如图，∠AOB ＝120°，OP 平分∠AOB ，且OP ＝2.若点M ，N 分别在OA ，OB 上，且△PMN 为等边三角形，则满足上述条件的△PMN 有( D )
A ．1个
B ．2个
C ．3个
D ．3个以上 【解析】
如图，在OA ，OB 上截取OE ＝OF ＝OP ，作∠MPN ＝60°.∵OP 平分∠AOB ，∴∠EOP ＝∠POF ＝60°，∵OP ＝OE ＝OF ，∴△OPE ，△OPF 是等边三角形，∴EP ＝OP ，∠EPO ＝∠OEP ＝∠PON ＝∠MPN ＝60°，∴∠EPM ＝∠OPN ，可证△PEM ≌△PON (ASA)，∴PM ＝PN ，∵∠MPN ＝60°，∴△POM 是等边三角形，∴只要∠MPN ＝60°，△PMN 就是等边三角形，故这样的三角形有无数个．
二、填空题
3．正方形ABCD 的边长是4，点P 是AD 边的中点，点E 是正方形边上的一点，若△PBE 是等腰三角形，则腰长为22
． 【解析】如图①，当E ，C 重合时，PB ＝PC ＝25；在AB 上取E 使PE ＝EB ，如图②，设
AE ＝x ，∴(4－x )2＝x 2＋4，解得x ＝3
2，使PE ＝52
；在BP 上取中点M ，如图③，作ME ⊥PB 交
DC 于E .设EC ＝x ，由PE ＝BE 知42＋x 2＝22＋(4－x )2
，解得x ＝12，∴PE ＝
22
＋（4－12
）2＝
652
.
4．如图，在菱形ABCD 中，AB ＝4 cm ，∠ADC ＝120°，点E ，F 同时由A ，C 两点出发，分别沿AB ，CB 方向向点B 匀速移动(到点B 为止)，点E 的速度为1 cm/s ，点F 的速度为2 cm/s ，经过t 秒△DEF 为等边三角形，则t 的值为__43
__.
三、解答题
5．如图，已知点A (1，2)是反比例函数y ＝k
x
图象上的一点，连结AO 并延长交双曲线的另一分支于点B ，点P 是x 轴上一动点；若△PAB 是等腰三角形，求点P 的坐标．
解：∵反比例函数y ＝k x
图象关于原点对称，∴A ，B 两点关于O 对称，∴O 为AB 的中点，且B (－1，－2)，∴当△PAB 为等腰三角形时有PA ＝AB 或PB ＝AB ，设P 点坐标为(x ，0)，∵A (1，2)，B (－1，－2)，∴AB ＝[1－（－1）]2
＋[2－（－2）]2
＝25，PA ＝（x －1）2
＋22
，PB ＝（x ＋1）2
＋（－2）2
，当PA ＝AB 时，则有（x －1）2
＋22
＝25，解得x ＝－3或5，此时P 点坐标为(－3，0)或(5，0)；当PB ＝AB 时，则有（x ＋1）2
＋（－2）
2
＝25，解得x ＝3或－5，此时P 点坐标为(3，0)或(－5，0)．综上可知P 点的坐标为(－3，
0)或(5，0)或(3，0)或(－5，0)
6．已知抛物线c 1的顶点为A (－1，4)，与y 轴的交点为D (0，3)，抛物线c 1关于y 轴对称的抛物线记作c 2.
(1)求c 2的解析式；
(2)若c 2与x 轴正半轴交点记作B ，试在x 轴上求点P ，使△PAB 为等腰三角形.
解：(1)∵抛物线的顶点为A(－1，4)，∴c1设的解析式为：y＝a(x＋1)2＋4，∵抛物线c1与y轴的交点为D(0，3)∴3＝a＋4，即a＝－1，∴y＝－(x＋1)2＋4.∵抛物线c1关于y 轴对称的抛物线记作c2，∴c2：y＝－x2＋2x＋3
(2)∵c2与x轴正半轴交点记作B，∴点B(3，0)，∵点A(－1，4)，∴AB＝42＋42＝42，当PB＝AB时，点P(3－42，0)或(3＋42，0)；当PA＝AB时，点P(－5，0)；当PA＝PB 时，点P(－1，0)，所以，当点P为(3－42，0)或(3＋42，0)或(－5，0)或(－1，0)时，△PAB为等腰三角形
7．在等腰直角三角形ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，直线MN过点A且MN∥BC，过点B为一锐角顶点作Rt△BDE，∠BDE＝90°，且点D在直线MN上(不与点A重合)，如图1，DE与AC交于点P，易证：BD＝DP.(无需写证明过程)
(1)在图2中，DE与CA的延长线交于点P，BD＝DP是否成立？如果成立，请给予证明；如果不成立，请说明理由；
(2)在图3中，DE与AC的延长线交于点P，BD与DP是否相等？请直接写出你的结论，无需证明．
解：
(1)BD ＝DP 成立，证明：如图②，过点D 作DF⊥MN ，交AB 的延长线与点F ，则△ADF 为等腰直角三角形，∴DA ＝DF.∵∠1＋∠ADB ＝90°，∠ADB ＋∠2＝90°，∴∠1＝∠2.在
△BDF 与△PDA 中，
⎩⎪⎨⎪
⎧∠2＝∠1，DF ＝DA ，
∠DFB ＝∠DAP ＝45°，
∴△BDF ≌△PDA (ASA )，∴BD ＝DP
(2)BD ＝DP.证明：如图③，过点D 作DF⊥MN ，交BA 的延长线于点F ，则△ADF 为等腰
直角三角形，∴DA ＝DF.在△BDF 与△PDA 中，⎩⎪⎨⎪⎧∠F ＝∠PAD ＝45°，DF ＝DA ，
∠BDF ＝∠PDA ，
∴△BDF ≌△PDA (ASA )，∴BD ＝DP
8．如图1，在平面直角坐标系中，矩形ABCO ，抛物线y ＝－12x 2
＋bx ＋c 经过矩形ABCO
的顶点B (4，3)，C ，D 为BC 的中点，直线AD 与y 轴交于E 点，与抛物线交于第四象限的F 点．
(1)求该抛物线解析式与F 点坐标；
(2)如图2，动点P 从点C 出发，沿线段CB 以每秒1个单位长度的速度向终点B 运动；同时，动点M 从点A 出发，沿线段AE 以每秒
13
2
个单位长度的速度向终点E 运动．过点P 作PH ⊥OA ，垂足为H , 连结MP ，MH .设点P 的运动时间为t 秒．若△PMH 是等腰三角形，求出此时t 的值．
解：(1)∵矩形ABCO ，B 点坐标为(4，3)，∴C 点坐标为(0，3)，∵抛物线y ＝－12
x 2
＋
bx ＋c 经过矩形ABCO
的顶点B ，C ，∴⎩⎪⎨⎪⎧c ＝3，－8＋4b ＋c ＝3，解得：⎩
⎪⎨⎪⎧c ＝3，
b ＝2，∴该抛物线解析式y
＝－1
2
x 2
＋2x ＋3，设直线AD 的解析式为y ＝k 1x ＋b 1，∵A (4，0)，B (2，3)，∴⎩⎪⎨⎪
⎧4k 1＋b 1＝0，2k 1＋b 1＝3，
∴⎩⎪⎨⎪⎧k 1＝－32，b 1＝6，
∴y ＝－32x ＋6，联立⎩
⎪⎨⎪⎧y ＝－3
2x ＋6，y ＝－12
x 2＋2x ＋3，∵F 点在第四象限，∴F (6，－3)
(2)如图①过M 作MN⊥OA 交OA 于N ，∵△AMN ∽△AEO ，∴AM AE ＝
AN AO ＝MN
EO ，∴AN ＝t ，MN ＝32
t ，①如图③，当PM ＝HM 时，M 在PH 的垂直平分线上，∴MN ＝12
PH ，∴MN ＝32
t ＝32
，∴t ＝1；②如图①，当HM ＝HP 时，MH ＝3，MN ＝32
t ，HN ＝OA －AN －OH ＝4－2t ，在Rt △HMN 中，
MN 2＋HN 2＝MH 2，∴(32t )2＋(4－2t )2＝32，解得：t 1＝2(舍去)，t 2＝14
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；③如图②，如图④，
当PH ＝PM 时，∵PM ＝3，MT ＝|3－3
2
t|，PT ＝BC －CP －BT ＝|4－2t|，∴在Rt △PMT 中，MT 2
＋PT 2
＝PM 2
，即(3－32
t )2＋(4－2t )2＝32
，解得：t 1＝165，t 2＝45.综上所述：t ＝1425或45或1或165
.。