2017年全国高中数学联赛江西省师大附中预赛试题及参考答案

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【江西师大附中】2017届高三上学期11月月考数学(文科)试卷 -答案

）()min f x =(1)1()2a a -=--=+）m n ⊥，(tan m A =，(,2)n b c =，0m n ∴=可得：(tan b A sin sin B c 又A ）S又a 2(a a +-+54+++AEOB O =，．AE 的平行线交CFG 为过点CFOB H 于，连结GH BH PO OB =，解得3311ABCE BCF PO S S GH -梯△形 452． 125(1)([PA PB x x m x ==+-254m λ=，江西师大附中2017届高三上学期11月月考数学试卷（文科）解析一、选择题：本大题共12小题．每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．【考点】Venn图表达集合的关系及运算．【分析】根据Venn图和集合之间的关系进行判断．【解答】解：由Venn图可知，阴影部分的元素为属于B且属于A的元素构成，所以用集合表示为A∩B．A={x∈N|y=}={x∈N|7x﹣x2﹣6≥0}={x∈N|1≤x≤6}={1，2，3，4，5，6}，B={x∈Z|﹣1＜x≤3}={0，1，2，3}，∴A∩B={1，2，3}，其真子集的个数为23﹣1=72．【考点】命题的否定．【分析】根据全称命题的否定是特称命题即可得到结论．【解答】解：命题为全称命题，则命题的否定为：∃n0∈N*，f（n0）∉N*或f（n0）＞n0，3．【考点】等差数列的通项公式．【分析】利用等差数列的前n项和公式求解．【解答】解：设从第2天起每天比前一天多织d尺布m则由题意知，解得d=．4．【考点】空间中直线与平面之间的位置关系．【分析】在①中，m与n平行或异面；在②中，由直线与平面垂直的性质得m⊥n；在③中，m与n相交、平行或异面；在④中，由面面垂直和线面垂直的性质得m⊥n．【解答】解：由两条不同的直线m，n和两个不同的平面α，β，知：在①中，若m∥α，n∥β，且α∥β，则m与n平行或异面，故①错误；在②中，若m⊥α，n∥β，且α∥β，则由直线与平面垂直的性质得m⊥n，故②正确；在③中，若m∥α，n⊥β，且α⊥β，则m与n相交、平行或异面，故③错误；在④中，若m⊥α，n⊥β，且α⊥β，则由面面垂直和线面垂直的性质得m⊥n，故④正确．5．【考点】三角函数中的恒等变换应用．【分析】先根据二倍角公式和两角差的正弦公式化简得到f（x）=sin（2x﹣）﹣，再根据对称轴的定义即可求出．【解答】解：f（x）=sinxcosx﹣x=sin2x﹣cos2x﹣=sin（2x﹣）﹣，则其对称轴为2x﹣=kπ+，k∈Z，∴x=+，k∈Z，当k=0时，x=，∴函数f（x）图象的一条对称轴是x=，6．【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积；由三视图求面积、体积．【分析】判断几何体的形状，利用三视图的数据求解即可．【解答】解：三视图复原的几何体是三棱柱截去一个三棱锥，剩余一个四棱锥的几何体，可得几何体的体积为：=2．7．【考点】异面直线及其所成的角．【分析】以A为原点，在平面ABC中作AC的垂线为x轴，AC为y轴，AA′为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出异面直线AB′与BC′所成角的余弦值．【解答】解：以A为原点，在平面ABC中作AC的垂线为x轴，AC为y轴，AA′为z轴，建立空间直角坐标系，设AA′=2AB=2，则A（0，0，0），B′（，，2），B（，，0），C′（0，1，2），=（，，2），=（﹣，，2），设异面直线AB′与BC′所成角为θ，则cosθ===．∴异面直线AB′与BC′所成角的余弦值为．8．【考点】平面向量数量积的运算．【分析】利用正六边形的性质和平面向量数量积的定义，即可得出结果．【解答】解：正六边形ABCDEF的边长为1，点G是边AF的中点，∴=（+）•（+）=（+）•（+）=•+•+•+•=1×1×cos120°+1×1×cos60°+×1×1×cos60°+×1×1×cos0°=．9．【考点】函数的单调性与导数的关系；函数的图象．【分析】先化简f（x）=x2+sin=x2+cosx，再求其导数，得出导函数是奇函数，排除B，D．再根据导函数的导函数小于0的x的范围，确定导函数在（﹣，）上单调递减，从而排除C，即可得出正确答案．【解答】解：由f（x）=x2+sin=x2+cosx，∴f′（x）=x﹣sinx，它是一个奇函数，其图象关于原点对称，故排除B，D．又f″（x）=﹣cosx，当﹣＜x＜时，cosx＞，∴f″（x）＜0，故函数y=f′（x）在区间（﹣，）上单调递减，故排除C．10．【考点】两点间距离公式的应用．【分析】由动直线l1：kx﹣y+k=0，令，解得A（﹣1，0），同理可得B（5，8）．|AB|=10．当PA ⊥PB时，|PA|2+|PB|2=|AB|2=100，利用|PA|+|PB|≤即可得出|PA|+|PB|的最大值．【解答】解：由动直线l1：kx﹣y+k=0，令，解得A（﹣1，0），同理可得B（5，8）．∵|AB|==10．∴当PA⊥PB时，|PA|2+|PB|2=|AB|2=100∴|PA|+|PB|≤=10当且仅当|PA|=|PB|=5时取等号．∴|PA|+|PB|的最大值为5．11．【考点】函数单调性的性质；奇偶函数图象的对称性．【分析】由函数y=f（x﹣1）的图象关于点（1，0）对称，结合图象平移的知识可知函数y=f（x）的图象关于点（0，0）对称，从而可知函数y=f（x）为奇函数，由f（x2﹣6x+21）+f（y2﹣8y）＜0恒成立，可把问题转化为（x﹣3）2+（y﹣4）2＜4，借助于的有关知识可求【解答】解：∵函数y=f（x﹣1）的图象关于点（1，0）对称∴函数y=f（x）的图象关于点（0，0）对称，即函数y=f（x）为奇函数，则f（﹣x）=﹣f（x）又∵f（x）是定义在R上的增函数且f（x2﹣6x+21）+f（y2﹣8y）＜0恒成立∴（x2﹣6x+21）＜﹣f（y2﹣8y）=f（8y﹣y2 ）恒成立∴x2﹣6x+21＜8y﹣y2∴（x﹣3）2+（y﹣4）2＜4恒成立设M （x，y），则当x＞3时，M表示以（3，4）为圆心2为半径的右半圆内的任意一点，则x2+y2表示在半圆内任取一点与原点的距离的平方由图可知，最短距离为OA=，最大距离OB=OC+BC=5+2=7∴13＜x2+y2＜4912．【考点】利用导数研究函数的极值；函数的值．【分析】根据g（m）=f（n）=t得到m，n的关系，利用消元法转化为关于t的函数，构造函数，求函数的导数，利用导数研究函数的最值即可得到结论．【解答】解：不妨设g（m）=f（n）=t，∴e m﹣2=ln+=t，（t＞0）∴m﹣2=lnt，m=2+lnt，n=2•e，故n﹣m=2•e﹣2﹣lnt，（t＞0）令h（t）=2•e﹣2﹣lnt，（t＞0），h′（t）=2•e﹣，易知h′（t）在（0，+∞）上是增函数，且h′（）=0，当t＞时，h′（t）＞0，当0＜t＜时，h′（t）＜0，即当t=时，h（t）取得极小值同时也是最小值，此时h（）=2•e﹣2﹣ln=2﹣2+ln2=ln2，即n﹣m的最小值为ln2；二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．13．【考点】直线与圆相交的性质．【分析】把圆的方程化为标准方程，找出圆心坐标和圆的半径r，利用点到直线的距离公式求出圆心到已知直线的距离d，由求出的d与半径r，根据垂径定理与勾股定理求出|AB|的一半，即可得到|AB|的长．【解答】解：把圆的方程化为标准方程得：（x﹣2）2+（y+2）2=25，∴圆心坐标为（2，﹣2），半径r=5，∴圆心到直线3x+4y+17=0的距离d==3则|AB|=2=8．14．【考点】球的体积和表面积；旋转体（圆柱、圆锥、圆台）．【分析】由题意求出球的体积，求出圆锥的体积，设出水的高度，求出水的圆锥的体积，利用V水+V球=V容，求出圆锥内水平面高．即可得出结论．器【解答】解：如图．在容器内注入水，并放入一个半径为r的铁球，这时水面记为AB，将球从圆锥内取出后，这时水面记为EF．三角形PAB为轴截面，是正三角形，三角形PEF也是正三角形，圆O是正三角形PAB的内切圆．由题意可知，DO=CO=r，AO=2r=OP，AC=r∴V球=，V PC==3πr3又设HP=h，则EH=h∴V水==∵V水+V球=V PC即+=3πr3，∴h3=15r3，容器中水的体积与小球的体积之比为：=5：4．15．【考点】等比数列的通项公式．【分析】由于数列{b n}为等比数列且，可得b1…•b14=•…•=a15=，代入即可得出答案．【解答】解：∵数列{b n}为等比数列且，∴b1b2…b14=•…•=a15==27=128．16．【考点】简单线性规划的应用．【分析】本题考查的知识点是简单的线性规划的应用，根据已知条件中甲种设备每天能生产A类产品5件和B类产品10件，乙种设备每天能生产A类产品6件和B类产品20件．已知设备甲每天的租赁费为200元，设备乙每天的租赁费为300元，现该公司至少要生产A类产品50件，B类产品140件，我们可以列出满足条件的约束条件，及目标函数，然后利用线性规划，求出最优解．【解答】解：设需租赁甲种设备x天，乙种设备y天，则目标函数为z=200x+300y．作出其可行域，易知当x=4，y=5时，z=200x+300y有最小值2300元．三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤，本大题6小题，共70分．17．【考点】绝对值不等式的解法；函数恒成立问题．【分析】（1）利用绝对值不等式的解法，去掉绝对值，求解即可．（2）利用f（x）min=min{f（﹣1），f（a）}，求解即可．【解答】解：（1）当a=3时，x＜﹣1，不等式可化为﹣3x+1≥6，∴x≤﹣；﹣1≤x≤3时，不等式可化为x+5≥6，∴x≥1，∴1≤x≤3；当x＞3时，3x﹣1≥6，∴x≥，∴x＞3，综上所述，不等式的解集为{x|x≤﹣或x≥1}；（2）∵f（x）min=min{f（﹣1），f（a）}，∴，∴a≤﹣5或a≥3．18．【考点】余弦定理．【分析】（1）由已知可=0，进而由同角三角函数基本关系式可得cosA=，结合A的范围，进而得到∠A的大小；（2）由已知利用三角形面积公式可求bc=12，利用余弦定理可求b2+c2=25，联立即可解得b，c的值．【解答】解：（1）∵，=（tanA+tanB，﹣tanB），=（b，2c），∴=0，可得：b（tanA+tanB）﹣2ctanB=0，∴=，可得：cosA=，又∵A∈（0，π），∴A=．（2）∵S△ABC=bcsinA==3，∴bc=12，①又∵a2=b2+c2﹣2bccosA=b2+c2﹣bc=b2+c2﹣12=13，可得：b2+c2=25，②∴联立①②解得：，或．19．【考点】数列的求和；数列递推式．【分析】（1）由a1=4，a n+1﹣a n=2n+3（n∈N*）．利用“累加求和”方法、等差数列的求和公式即可得出．（2）由b n===，利用“裂项求和”方法即可得出．【解答】解：（1）∵a1=4，a n+1﹣a n=2n+3（n∈N*）．∴a n=（a n﹣a n﹣1）+（a n﹣1﹣a n﹣2）+…+（a2﹣a1）+a1=（2n+1）+（2n﹣1）+…+5+4==（n+1）2．（2）证明：b n===，∴T n=+++…++=＜=．20.【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积；直线与平面垂直的判定．【分析】（1）推导出PO⊥OB，PO⊥AE，由此能证明PO⊥平面ABCE．（2）过点C作AE的平行线交AB于点F，过点F作PA的平行线交PB于点G，连结CG，能得到所求的平面．（3）所求几何体的体积为V=V P﹣ABCD﹣V G﹣BCF，由此能求出结果．【解答】证明：（1）在图1中，AB=4，AD=2，则BD=10，又AD2=DO•BD，∴DO=2，OB=8，在图2中，PO=DO=2，PO2+OB2=22+82=68=PB2，∴PO⊥OB，又∵PO⊥AE，AE∩OB=O，∴PO⊥平面ABCE．解：（2）过点C作AE的平行线交AB于点F，过点F作PA的平行线交PB于点G，连结CG，则平面CFG为过点C与平面PAE平行的平面．（3）在图1中，∵△DOE∽△DCB，∴DE=5，∴S△ADE=5，S梯形ABCE=S ABCD﹣S△ADE=35，S△BCF=S△ADE=5，设CF∩OB于H，连结GH，则，解得GH=，∴所求几何体的体积为：V=V P﹣ABCD﹣V G﹣BCF===．21．【考点】直线与抛物线的位置关系；抛物线的标准方程．【分析】（1）由题意可知：将直线y=x+1代入抛物线方程，由△=0，即可求得p的值，求得抛物线C的方程；（2）假设存在常数λ，使得|PM|2=λ|PA||PB|成立，由（1）求得M坐标，|PM|2=2m2，求得直线的斜率，设直线方程为y=2x+m（m≠0），代入抛物线方程，由韦达定理及向量数量积的坐标表示可知：丨PA丨丨PB丨=•=m2，则2m2=m2λ，即可求得常数λ．【解答】解：（1）由题意可知：，整理得：x2+2（1﹣p）x+1=0，由抛物线C：y2=2px（p＞0）与直线l：x﹣y+1=0相切，∴△=0，即4（1﹣p）2﹣4=0，解得：p=2或p=0（舍去），∴抛物线方程为：y2=4x；（2）假设存在常数λ，使得|PM|2=λ|PA||PB|成立，由（1）可知：M（1，2），则k OM=2，设直线l′方程为y=2x+m（m≠0），A（x1，y1），B（x2，y2），则P（1﹣m，2﹣m），|PM|2=2m2，则，整理得：4x2+4（m﹣1）x+m2=0，由△＞0，即16（m﹣1）2﹣16m2＞0，解得：m＜且m≠0，由韦达定理可知：x1+x2=1﹣m，x1•x2=，由丨PA丨丨PB丨=•=5[x1•x2+（m﹣1）（x1+x2）+（m﹣1）2]=m2，整理得：2m2=m2λ，解得：λ=，∴存在常数λ=，使得|PM|2=λ|PA||PB|成立．22．【考点】利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数的极值．【分析】（1）求导函数，求出函数的零点，再进行分类讨论，从而可确定函数y=f（x）的单调性与单调区间．（2）f（x）有极大值与极小值，由（1）可知，0＜a＜2或a＞2，根据函数零点定理验证即可．【解答】解：（1）由题意得，f′（x）=2x﹣（a+2）+=（x＞0），由f′（x）=0，得x1=1，x2=①当0＜＜1，即0＜a＜2，令f′（x）＞0，又x＞0，可得0＜x＜或x＞1；令f′（x）＜0，x＞0，可得＜x＜1，∴函数f（x）的单调增区间是（0，）和（1，+∞），单调减区间是（，1）；②当=1，即a=2时，f′（x）=≥0，当且仅当x=1时，f′（x）=0，∴函数f（x）在区间（0，+∞）上是单调增函数；③当＞1，即a≥2时，令f′（x）＞0，又x＞0，可得0＜x＜1或x＞；令f′（x）＜0，x＞0，可得1＜x＜∴函数f（x）的单调增区间是（0，1）和（，+∞），单调减区间是（1，）；④当≤0，即a≤0时，令f′（x）＞0，解得：x＞1，令f′（x）＜0，解得：0＜x＜1，∴f（x）在（0，1）递减，在（1，+∞）递增．（2）∵f（x）有极大值与极小值，由（1）可知，0＜a＜2或a＞2，当a＞2时，函数f（x）的单调增区间是（0，1）和（，+∞），单调减区间是（1，），若x∈（0，），f（x）≤f（1）=﹣a﹣1＜0，无零点，若x∈（，+∞），则f（）＜f（1）＜0，f（a+2）=aln（a+2）＞0，有一个零点，则当a＞2时，f（x）有唯一的零点，当0＜a＜2函数f（x）的单调增区间是（0，）和（1，+∞），单调减区间是（，1）；若x∈（0，1），f（x）≤f（）=a（lna﹣﹣1﹣ln2），有lna＜ln2＜1，则lna﹣﹣1﹣ln2＜0，则f（x）＜0，即f（x）在（0，1）内无零点，若x∈（1，+∞），则＜f（1）＜0，f（a+2）=aln（a+2）＞0，即f（x）在[1，+∞）有一个零点，则当0＜a＜2时，f（x）有唯一的零点，综上所述函数f（x）在定义域内有唯一的零点。

江西师大附中2017届高三上学期10月月考数学试卷(文科) 含解析

2016-2017学年江西师大附中高三(上）10月月考数学试卷（文科）一、选择题：本大题共12小题．每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知集合A={x｜y=},A∩B=∅，则集合B不可能是(）A．{x|4x＜2x+1｝ B．{（x,y）|y=x﹣1｝C．D．｛y|y=log2（﹣x2+2x+1）｝2．若等差数列{a n}的前7项和S7=21，且a2=﹣1，则a6=(）A．5 B．6 C．7 D．83．已知α∈（π,π）,cosα=﹣，则tan（﹣α）等于（）A．7 B．C．﹣D．﹣74．如图，已知等于(）A．B．C．D．5．已知函数f(x）是偶函数，当x＞0时，f（x）=(2x﹣1）lnx，则曲线y=f（x）在点(﹣1，f(﹣1)）处的切线斜率为（)A．﹣2 B．﹣1 C．1 D．26．已知向量与满足｜｜=||=2，且⊥（2+），则向量与的夹角为（）A．B．C． D．7．在△A BC中，内角A，B，C的对边分别是a,b，c，若c=2a，，则cosB等于（)A．B．C．D．8．已知数列a1，,,…，,…是首项为1,公比为2的等比数列，则下列数中是数列{a n}中的项是（）A．16 B．128 C．32 D．649．已知函数f（x）=2sinxsin（x++φ)是奇函数，其中φ∈(0，π）,则函数g（x)=cos（2x ﹣φ）的图象(）A．关于点（，0）对称B．可由函数f（x）的图象向右平移个单位得到C．可由函数f(x）的图象向左平移个单位得到D．可由函数f（x）的图象向左平移个单位得到10．已知等差数列｛a n}的首项为a1，公差为d，其前n项和为S n,若直线y=a1x+m与圆(x ﹣2）2+y2=1的两个交点关于直线x+y﹣d=0对称,则数列｛}的前10项和=（）A．B．C．D．211．已知菱形ABCD边长为2，∠B=，点P满足=λ，λ∈R，若•=﹣3，则λ的值为（）A．B．﹣C．D．﹣12．已知f（x)=x（1+lnx）,若k∈Z，且k(x﹣2）＜f（x）对任意x＞2恒成立，则k的最大值为()A．3 B．4 C．5 D．6二、填空题:本大题共4小题，每小题5分。

2017年全国高中数学联赛江西省预赛试题解答(word版)

2017年全国高中数学联赛江西省预赛试题一、填空题（共8题，每题10分，计80分）1、某人在将2009中间的两个数码00分别换成两位数ab 与cd 时，恰好都得到完全平方数：()2229,29,ab m cd n m n ==<，则数组(),m n ab cd ++=(100,100)解：注意到，对于整数k ，若2k 的末位数为9，则k 的末位数必为3或7，易知244200029ab <<，（245205=），25302529cd =>，因此4455m n <<<，于是，若要,m n 满足条件，只可能是，47,53m n ==，由于2472209=，2532809=，所以20,80,47,53ab cd m n ====，()(),100,100m n ab cd ++=．2、若一个椭圆的焦点和顶点分别是双曲线221916y x -=的顶点和焦点，则椭圆的方程为：2211625x y += 解：双曲线的两顶点为()0,3±，两焦点为()0,5±，故由条件，椭圆的两焦点为()0,3±，两顶点为()0,5±，因此，3,5c a ==，22216b a c =-=，则椭圆的方程为2211625x y +=．3、实数,x y 满足22236x y y +=，则x y +的最大值是1+解：令x y t +=，则x t y =-，由()22236t y y y -+=，得()22522320y t y t -++=，因y 为实数，则判别式()224234520t t ∆=+-⨯⨯≥，得2222t ≤≤． 4、四面体ABCD 中，,,,1CD BC AB BC CD AC AB BC ⊥⊥===，平面BCD 与平面ABC 成045的二面角，则点B 到平面ACD 的距离为3．解：DC AC ==DE ⊥平面ABC ，垂足为E ，连,CE AE ，由三垂线逆定理，EC BC ⊥，所以045DCE ∠=，故12CE D E D C===，1136ABCD ABC V DE S =⋅=，又因ABCE 为正方形，1AE =，则AD =，因此正三角形ACD 的面积为B 到平面ACD 的距离为h ，由1136ACD h S ⋅=，得3h =5、从集合{}1,2,3,,2009M = 中，去掉所有3的倍数以及5的倍数后，则剩下的元素个数为1072．解：集合M 中，3的倍数有20096693⎡⎤=⎢⎥⎣⎦个，5的倍数有20094015⎡⎤=⎢⎥⎣⎦个，15的倍数有200913315⎡⎤=⎢⎥⎣⎦个，则剩下的元素个数为()20096694011331072-+-=个．6、函数322()(1)x x f x x -=+的值域是11[,]44-．解：2221()11x x f x x x -=⋅++，令tan x α=，则11sin 2cos 2sin 424f ααα=⋅=，由此，1144f -≤≤，当tan ,tan88x ππ=-时两边分别取得等号．7、247coscoscos cos 15151515ππππ--+=12-．解：原式7244coscoscos cos 2cos cos 2cos cos 15151515155155ππππππππ⎛⎫⎛⎫=+-+=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ 42coscos cos 4cos sin sin 515155610ππππππ⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭12cos sin 5102ππ=-=-．（注：由0sin 722sin36cos364sin18cos18cos36==，则001sin18cos364=，即1c o ss i n 5104ππ=．） 8、九个连续正整数自小到大排成一个数列129,,,a a a ，若13579a a a a a ++++为一平方数，2468a a a a +++为一立方数，则这九个正整数之和的最小值是18000．解：设这九数为 4,3,2,1,,1,2,3,4a a a a a a a a a ----++++，则有，25a m =，34a n =，9S a =，则4532n m a ==，得2345m n = ………① 令112,5n n m m ==，得231110040m n =，所以 231152m n =，再取122m m =，125n n =，化为 2222225m n =，取2210,2m n ==，可使左式成立，这时20,100n m ==，2000a =，918000S a ==．二、解答题（共3题，合计70分）9、（20分）给定Y 轴上的一点(0,)A a （1a >），对于曲线212x y =-上的动点(,)M x y ，试求,A M两点之间距离AM 的最小值（用a 表示）．解：如图，易求得曲线上诸点的坐标为：(0),0),(0,1)E F D ，当22x <，即x ≤≤212x y =- ………①；而当22x ≥时，曲线方程为212x y =- ………②，对于情形①，即x ≤≤M 位于顶点D 处时，距离AM 取得最小值1a -；………5分对于情形②，即在x ≤x ≥2(,1)2x M x -，由于 2222221(1)(2)2124x AM x a x a a =+--=-++，因1a >，则22a >>于是，当x =AM…………15分再比较AD 与AM ：令222()(1)(21)(4)f a AD AMa a a a =-=--+=-，则当14a <≤时，()0f a ≤，AD AM ≤，即最小值为1AD a =-；而当4a >时，()0f a >，则最小值AM =…………20分10、（25分）在一个圆中任取三条互不相交的弦，以其中每两条弦为一组对边，各得到一个凸四边形，设这三个四边形的对角线的交点分别为,,M N P ；证明：,,M N P 三点共线．证：如图，设,,AB CD EF 为三条不相交的弦，其中AC BD P = ，AF BE M = ，CE DF N = ，又设BD CE H = ，点,,N P M 截BEH ∆的三边，据梅涅劳斯逆定理，只要证1HP BM ENPB ME NH⋅⋅= …… ①， …………5分用记号∆表示三角形面积，则由BM BAF BA BFME EA EFEAF ∆⋅==⋅∆ …… ② HP HAC HAC EAC CH EA EC CH EAPB CE BA BC BA BCBAC EAC BAC ∆∆∆⋅⋅==⋅=⋅=⋅⋅∆∆∆ ……③ 由此得HP BM CH BF PB ME BC EF ⋅⋅=⋅，因此只要证，1EN BF CHEF BC NH ⋅=⋅ …… ④， …………15分注意 EN DNEF DC=， BFD BCD ∠=∠，则 NH NBD FBD FBN CH CBD CBD∆∆-∆==∆∆FB FD FB FN FB ND FB ENCB CD CB CD CB EF ⋅-⋅⋅===⋅⋅⋅，所以1EN BF CHEF BC NH⋅=⋅，即④成立，从而①成立，故结论得证． …………25分11、（25分）n 项正整数列12,,,n x x x 的各项之和为2009，如果这n 个数既可分为和相等的41个组，又可分为和相等的49个组，求n 的最小值．解：设分成的41个组为1241,,,A A A ，每组中的各数和皆为49，称这种组为A 类组；而分成的49个组为1249,,,B B B ，每组中的各数和皆为41，称这种组为B 类组． …………5分显然，每个项k x 恰好属于一个A 类组和一个B 类组，即同类组之间没有公共项，如果两个组,i j A B 中有两个公共项,r t x x ，则可以将这两个数合并为一个项r t x x +，这样可使n 值减少，故不妨设，每对,i j A B 至多有一个公共项．今用点1241,,,u u u 分别表示1241,,,A A A ，而点1249,,,v v v 表示组1249,,,B B B ，如果组,i j A B 有公共项，则在相应的点,i j u v 之间连一条边，于是得二部图G ，它恰有n 条边和90个顶点． …………10分下面证明G 是连通图．如果图G 的最大连通分支为G '，其顶点数少于90，设在分支G '中，有a 个A 类顶点12,,,a k k k u u u 和b 个B 类顶点12,,,b s s s v v v ，其中90a b +<，则在相应的A 类组12,,,a k k k A A A 和B 类组12,,,bs s sB B B 中，A 类组i k A 中的每个数i x 都要在某个B 类组js B 中出现；而B 类组i s B 中的每个数j x 也都要在某个A 类组jr A 中出现，（否则将有边与分支外的顶点连接，发生矛盾），因此a 个A 类组12,,,a k k k A A A 中各数的和应等于b 个B 类组12,,,b s s s B B B 中各数的和，即有4941a b =，由此得41a ，49b ，所以414990a b +≥+=，矛盾！因此G 是连通图．于是图G 至少有90189-=条边，即89n ≥； …………20分另一方面，我们可实际构造一个具有89项的数列1289,,,x x x ，满足本题条件．例如取141427576798083848541,8,7,1,6,x x x x x x x x x x ==============86872x x ==，88895,3x x ==，（该数列有41个取值为41的项；34个取值为8的项；另将其余七个8拆成七对，其中四对{}7,1，两对{}6,2，一对{}5,3，又得到14个项），于是，每个A 类组可由一个41，一个8，或者由一个41，添加一对和为8的项组成；这样共得41个A 类组，每组各数的和皆为49；为了获得和为41的49个B 类组，可使1241,,,x x x 各成一组，其余的数可以拼成八个B 类组：{}8,8,8,8,8,1的组四个，{}8,8,8,8,7,2的组两个，{}8,8,8,8,6,3的组一个，{}8,8,7,7,6,5的组一个．故n 的最小值为89．…25分。

(全国百强校)江西师大附中2017-2018学年上学期高二数学(文)10月月考试卷

江西师大附中高二年级数学（文）月考试卷命题人：廖涂凡审题人：罗群义 2017.10 一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分.每小题只有一个选项符合题意.） 1.直线20x y -+=的倾斜角为( )BA.30B.45C.60D.135 2.圆心为(2,3)，半径为5的圆的标准方程为( )DA.22(2)(3)5x y ++-= B. 22(2)(3)25x y ++-= C.22(2)(3)5x y -+-= D. 22(2)(3)25x y -+-= 3.经过两点P(1，4)，Q(m ，5)的直线的斜率是12，则实数m 的值是( )C A.0 B.1 C.3 D.44.过点(2，1)且与直线2x -3y +1=0平行的直线方程为( )A A.2310x y --= B.3240x y -+= C.3210x y +-= D.2310x y -+=5.已知椭圆221167x y +=上一点P 到椭圆的一个焦点距离为2，则点P 到另一个焦点的距离是()D A.1 B.3 C.4 D.66.设直线ax －y +3=0与圆(x －1)2+(y －2)2=4相交于A 、B 两点，且弦长为32，则a 的值是( )CA ．2BC ．0D ．-17.以点(2,1)P -为中点且被椭圆22184x y +=所截得的弦所在的直线方程是( )BA.[4+)∞， B.(4)+∞， C.(6)+∞，D.[6)+∞，10.如图，椭圆C ：22221(0)x y a b a b+=>>的左、右焦点分别为12,F F ，P 是C 上的点，满足212PF F F ⊥，1230PF F ∠=，则C 的离心率为( )B 1 11.动圆M 与圆221:(1)1C x y ++=外切，与圆222:(1)25C x y -+=内切，则动圆圆心M 的轨迹方程是( )BA.22189x y +=B.22198x y +=C.2219x y +=D.2219y x += 12.若圆22:2440C x y x y ++--=关于直线260ax by ++=对称，则由点(,)a b 向圆所作的切线长的最小值为( )BA.2B.3C.4D. 6 二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13.已知椭圆的方程为2212516x y +=，则此椭圆的长轴长等于__________. 10 14.已知直线320ax y a -+=与直线(21)0a x ay a -++=互相垂直，则a =_______.0或215.若两圆2224480(0)x y x y a a ++-+-=>和22(2)(5)25x y -+-=相交，则实数a 的取值范围是______________.(0,10)16.已知A 、B 两点分别在两条互相垂直的直线210x y --=和+20x ay +=上，且线段AB 的中点为10(0)P a，，则线段AB 的长为__________.12三、解答题（本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17.（本题满分10分）如图，在平面直角坐标系xoy 中，ABC ∆各顶点的坐标分别为(3,0)(0,4)(2,1)A B C 、、-. （1）求点C 到直线AB 的距离；（2）求AB 边上的高所在的直线方程.解析：(1)4:43AB y x =+|8312|1755d -+∴== ………………5分 (2)高所在直线方程：34100x y +-=…………………………10分18. （本题满分12分）已知圆C 过点A (2，1)，与y 轴相切，且圆心在直线y =x 上. （1）求圆C 的标准方程；（2）求经过点A 且与圆C 相切的直线l 的方程.解析：(1)设圆的方程222()()x a y a a -+-=，将A(2，1)代入，得222(2)(1)a a a -+-= 即2650a a -+=，解得1a =或5a =……………………………………4分 ∴圆C 的标准方程是22(1)(1)1x y -+-=或22(5)(5)25x y -+-=……8分 (2)切线方程为2x =或34100x y +-=……………………………………12分19.（本题满分12分）如图，已知椭圆C 的中心在坐标原点，焦点在x 轴上，其中左焦点为(F ，点1)2B 在椭圆C 上.（1）求椭圆C 的方程；（2）直线:1l y x =-与椭圆C 交于不同两点P Q 、，求弦长|PQ |.解析：(1)设2222:1(0)y x C a b a b+=>>，将B 代入得223114a b +=，又c =（或利用通径212b a =或利用定义求a 也可以），2,1a b ∴==2214x y∴+=为所求. ……6分(2)将1y x =-与椭圆C 的方程联立，得2580x x -=，解得0x =或85x =，||PQ ∴.………………………………12分20.（本题满分12分）如图，已知圆()3222=+-y x 的圆心为C ，此圆和直线10x ay ++=在x 轴上方有两个不同交点A 、B ，（1）求a 的取值范围；（2）求ABC ∆面积的最大值及此时a 的值.解析：(1)由d r <a <a >0a <,a ∴<即a 的取值范围是(,-∞…………………………………………6分(2)2211332224d d S d +-==,当且仅当d ==即a =34.(或2221(3)4S d d =-利用二次函数的最值也可以) (12)分21.（本题满分12分）已知曲线22:260C x y x y m +---=. （1）当m 为何值时，曲线C 表示圆；（2）若曲线C 与直线280x y +-=交于M 、N 两点，且OM ON ⊥ (O 为坐标原点)，求m 的值.解析：(1) 曲线C 可化为22(1)(3)10x y m -+-=+，依题意10m >-.……………………4分(2)方法一：设1122(,),(,)M x y N x y ，将曲线C 与直线联立，得25y 34480y m -+-=，∴12485my y -=，……………………6分又121212124(8)(82)(82)6416()45m x x y y y y y y +=--=-++=-……………………8分由OM ON ⊥得12124(8)48055m m x x y y +-+=-+=解得165m =符合0∆>.……………12分方法二：MN 中垂线为210x y -+=与MN 方程联立得617,55x y ==，即MN 中点617(,)55P ……9分圆心C 到MN 的距离,||MN ∴=165m =.…………12分方法三：设经过M 、N 的圆系：2226(28)0x y x y m x y λ+---++-=,将O 点代入得8m λ=-……………………9分故其圆心坐标2(,3)2λλ--代入直线MN 方程得25λ=-，从而165m =.………………12分22.（本题满分12分）如图，已知椭圆2222:1(0)y x C a b a b+=>>的左右顶点分别为A B 、，右焦点为F ，焦距为2C 上异于A B 、两点的动点，PAB D 的面积最大值为（1）求椭圆C 的方程；（2）若直线AP 与直线2x =交于点D ，试判断以BD 为直径的圆与直线PF 的位置关系，并作出证明.解：（1）由题意得，2221223212ab a bc c a ⎧=⎪⎪=+⎨⎪⎪=⎩，解得：21a b c =⎧⎪=⎨⎪=⎩，所以，椭圆方程为：22143x y +=. …………………………4分（2）以BD 为直径的圆与直线PF 相切.证明：设直线AP ：()2(0)y k x k =+≠，则：(2,4)D k ，BD 的中点为M 为(2,2)k 联立22143(2)x y y k x ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩，消去y 整理得：2222(34)1616120k x k x k +++-= 设()00,P x y ，由韦达定理得：2021612234k x k--=+，解得：2026834k x k-=+，故有：()00212234k y k x k =+=+………………6分又()1,0F ，所以当12k =±时，31,2P ⎛⎫± ⎪⎝⎭，()2,2D ±，此时PF x ⊥轴，…………8分以BD 为直径的圆()()22211x y -+±=与直线PF 相切.当12k ≠±时，0204=114PF y k k x k =--，所以直线PF ：()24114k y x k =--，即：224404k k x y k --=-，所以点E 到直线PF 的距离2d k ==………………………10分而=4BD k ，即知：12d BD =，所以以BD 为直径的圆与直线PF 相切.…………12分注意：代入法求轨迹未考查到，争取下次考查。

江西省师大附中2017-2018学年高一上学期月考数学---精校解析_Word版

江西师大附中2017-2018高一年级数学月考试卷一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．每小题只有一个选项符合题意）1. 设则下列结论中正确的是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】由题意得：，∴故选：D2. 已知集合，则=（）A. B. C. D.【答案】B【解析】∵，∴=故选：B3. 已知全集则集合A的真子集共有（）个A. 3B. 5C. 8D. 7【答案】D【解析】∵，∴∴集合A的真子集共有个.故选：D4. 下列四个函数：（1），（2），（3），（4），其中定义域与值域相同的是（）A. （1）（2）B. （1）（2）（3）C. （1）（4）D. （1）（3）（4）【答案】C【解析】（1）y=x+1的定义域与值域都是实数集R，故定义域与值域相同；（2）的定义域是实数集R，值域为[0，+∞），故定义域与值域不相同；（3）函数y=x2﹣1的定义域是实数集R，值域为[﹣1，+∞），故定义域与值域不相同；（4）函数的定义域与值域都是（﹣∞，0）∪（0，+∞）．综上可知：其中定义域与值域相同的是（1）（4）．故选C．5. 若（）A. B. C. 3 D. 3【答案】C【解析】由，得,∴，∴,故选：C6. 已知A,B是非空集合，定义，（）A. B. C. D.【答案】A【解析】由题意得：,∴，∴故选：A7. 已知函数上为增函数，则的取值范围是（）A. B. C. D.【答案】C..................∴，即.∴，故选：C点睛：二次函数的单调性问题注意两点：第一点开口方向，第二点对称轴》8. 设函数的值为（）A. aB. bC. a,b中较小的数D. a,b中较大的数【答案】C【解析】∵函数∴当时，;当时，;∴的值为a,b中较小的数故选：C9. 下列四个函数中，在上为增函数的是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】对于A，在上为减函数，不符合；对于B，在上为减函数，在在上为增函数，不符合；对于C，在上为增函数，符合；对于D，在上不单调，不符合；故选：C10. 设集合，则下列关系中成立的是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】∵∴在上恒成立，∴当时，显然适合；当时，，解得：，综上，，即，又∴故选：A点睛：二次型不等式恒成立问题，注意对二次项系数的分类讨论,体会“三个二次”的关系.11. 定义在[1,1]上的函数，则不等式的解集为（）A. B. C. D.【答案】D【解析】∵函数在定义域[1,1]上单调递增，∴，解得：，∴不等式的解集为故选：D12. 设与是定义在同一区间上的两个函数，若对任意的都有则称和在上是“和谐函数”，区间为“和谐区间”，设在区间上是“和谐函数”，则它的“和谐区间”可以是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】，令，解得：，∴它的“和谐区间”可以是故选：C点睛：本题以新定义为载体，考查二次不等式的解法.二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13. 已知集合若，则实数a的取值范围为__________.【答案】【解析】∵集合，∴∴实数a的取值范围为故答案为：14. 函数的值域为________.【答案】【解析】设，则原函数可化为又∵∴，,∴，∴函数的值域为故答案为：15. 已知集合A,B均为全集的子集，且=_______ 【答案】【解析】∵全集U={1，2，3，4}，B={1，2}，∴B={3，4}∵ (A∪B)={4}，∴3∈A∴A∩(B)={3}故答案为：{3}.16. 已知函数恒成立，则实数m的取值范围为_______ 【答案】【解析】,当时，；当时，；当时，；∴函数的最大值为7，又恒成立，∴，故答案为：点睛：不等式的恒成立常规处理方法转化为函数的最值问题.绝对值函数的最值转化为分段函数的最值问题.三、解答题（本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17. 设全集，集合，集合.求【答案】【解析】,点睛：在进行集合的运算时要尽可能地借助Venn图和数轴使抽象问题直观化．一般地，集合元素离散时用Venn图表示；集合元素连续时用数轴表示，用数轴表示时要注意端点值的取舍．18. 已知全集（1）若，求实数q的取值范围；（2）若中有四个元素，求和q的值.【答案】（1）；（2），={1，3，4，5}【解析】试题分析：（1）若 =U，则A=，根据一元二次方程根的关系即可求q的取值范围；（2）若中有四个元素，则等价为A为单元素集合，然后进行求解即可．试题解析：（1）∵A=U，∴A=，即方程x2﹣5qx+4=0无解，或方程x2﹣5qx+4=0的解不在U中．∴△=25q2﹣16＜0，∴＜q＜，若方程x2﹣5qx+4=0的解不在U中，此时满足判别式△=25q2﹣16≥0，即p≥或p≤﹣，由12﹣5q•1+4≠0得q≠1；由22﹣5q•2+4≠0得q≠；同理，由3、4、5不是方程的根，依次可得q≠，q≠1，q≠；综上可得所求范围是{q|q∈R，且q≠，q≠1，q≠}．（2）∵A中有四个元素，∴A为单元素集合，则△=25q2﹣16=0，即q=±，当A={1}时，q=1，不满足条件．；当A={2}时，q=，满足条件．；当A={3}时，q=，不满足条件．；当A={4}时，q=1，不满足条件．；当A={5}时，q=，不满足条件．，∴q=，此时A={2}，对应的∁U A={1，3，4，5}．19. 已知函数（1）若，试判断并用定义证明的单调性；（2）若，求的值域.【答案】(1)单调递增；(2)【解析】试题分析：（1）当a=1时，由x∈[1，6]，化简f（x），用单调性定义讨论f（x）的增减性；（2）当，利用对勾函数的图象与性质可得的值域.试题解析：（1）当时，递增证：任取且则=在上单调递增.（2）当时，令所以的值域为.点睛：证明函数单调性的一般步骤：（1）取值：在定义域上任取，并且（或）；（2）作差：，并将此式变形（要注意变形到能判断整个式子符号为止）；（3）定号：判断的正负（要注意说理的充分性），必要时要讨论；（4）下结论：根据定义得出其单调性.20. 已知函数（1）解不等式；（2）求在上的最大值.【答案】(1) (2) ①当时，②当时，③当时，【解析】试题分析：(1) 不等式可转化为或或，解后求并集即可；（2），对a 分类讨论，求函数的最大值.试题解析：（1）或或或或或或（2）①当时，②当时，③当时，21. 已知集合（1）若时，求实数a的取值范围；（2）若时，求实数a的取值范围.【答案】(1) (2)【解析】试题分析：(1)对分类讨论，明确集合B，由，可知：，从而得到实数a的取值范围；（2）当，讨论a，利用数轴确定实数a的取值范围.试题解析：（1）（2）当若综上：22. 设二次函数满足下列条件：①对恒成立；②对恒成立.（1）求的值；（2）求的解析式；（3）求最大的实数，使得存在实数，当时，恒成立.【答案】(1) (2) (3)【解析】试题分析：（1）由当x∈（0，5）时，都有x≤f（x）≤2|x﹣1|+1恒成立可得f（1）=1；（2）由f（﹣1+x）=f（﹣1﹣x）可得二次函数f（x）=ax2+bx+c（a，b，c∈R）的对称轴为x=﹣1，于是b=2a，再由f（x）min=f（﹣1）=0，可得c=a，从而可求得函数f（x）的解析式；（3）可由f（1+t）≤1，求得：﹣4≤t≤0，再利用平移的知识求得最大的实数m．试题解析：（1）当x=1时，（2）由已知可得……①由……②由恒成立对R恒成立则由对恒成立恒成立则,（3）恒成立，则使的图像在的下方，且m最大，则1，m为的两个根由∴.。

江西师大附中2016-2017学年高二上学期12月月考数学试

2016-2017学年江西师大附中高二（上）12月月考数学试卷（理科）一、选择题1．已知x为实数，则“”是“x＞1”的（）A．充分非必要条件 B．充要条件C．必要非充分条件 D．既不充分也不必要条件2．极坐标系中，点A（1，），B（3，）之间的距离是（）A． B．C． D．3．把曲线C1：（θ为参数）上各点的横坐标压缩为原来的，纵坐标压缩为原来的，得到的曲线C2为（）A．12x2+4y2=1 B．4x2=1 C．x2+=1 D．3x2+4y2=44．方程（t为参数）表示的曲线是（）A．一条直线B．两条射线C．一条线段D．抛物线的一部分5．设A={（x，y）|y=1+}，B={（x，y）|y=k（x﹣2）+4}，若A∩B中含有两个元素，则实数k的取值范围是（）A．B．C．D．6．在下列函数中，当x取正数时，最小值为2的是（）A．B．C．D．7．如图所示，某公园设计节日鲜花摆放方案，其中一个花坛由一批花盆堆成六角垛．顶层一个，以下各层堆成正六边形，逐层每边增加一个花盆，若这垛花盆底层最长的一排共有13个花盆，则底层的花盆的个数是（）A．91 B．127 C．169 D．2558．已知过双曲线C：﹣=1（a＞0，b＞0）的中心的直线交双曲线于点A，B，在双曲线C上任取与点A，B不重合的点P，记直线PA，PB，AB的斜率分别为k1，k2，k，若k1k2＞k恒成立，则离心率e的取值范围为（）A．1＜e＜B．1＜e≤C．e＞D．e≥9．已知f（x）是可导的函数，且f′（x）＜f（x）对于x∈R恒成立，则（）A．f（1）＜ef（0），f（2 014）＞e2014f（0）B．f（1）＞ef（0），f（2 014）＞e2014f（0）C．f（1）＞ef（0），f（2 014）＜e2014f（0）D．f（1）＜ef（0），f（2 014）＜e2014f（0）10．直线l：y=k（x﹣）与曲线x2﹣y2=1（x＞0）相交于A、B两点，则直线l 倾斜角的取值范围是（）A．{0，π） B．（，）∪（，） C．[0，）∪（，π）D．（，）11．若直线l1：y=x，l2：y=x+2与圆C：x2+y2﹣2mx﹣2ny=0的四个交点把圆C分成的四条弧长相等，则m=（）A．0或1 B．0或﹣1 C．1或﹣1 D．012．定义在R上的函数f（x）满足：f′（x）﹣f（x）=x•e x，且f（0）=，则的最大值为（）A．0 B．C．1 D．2二.填空题13．下列有关命题的说法正确的有（填写序号）①命题“若x2﹣3x+2=0，则xx=1”的逆否命题为：“若x≠1，则x2﹣3x+2≠0”②“x=1”是“x2﹣3x+2=0”的充分不必要条件③若p∧q为假命题，则p．q均为假命题④对于命题p：∃x∈R使得x2+x+1＜0，则￢p：∀x∈R，均有x2+x+1≥0．14．已知f（x）为偶函数，当x≤0时，f（x）=e﹣x﹣1﹣x，则曲线y=f（x）在点（1，2）处的切线方程是．15．已知f（x）=x3﹣6x2+9x﹣abc，a＜b＜c，且f（a）=f（b）=f（c）=0．现给出如下结论：①f（0）f（1）＞0；②f（0）f（1）＜0；③f（0）f（3）＞0；④f（0）f（3）＜0．其中正确结论的序号是．16．在平面直角坐标系中，当P（x，y）不是原点时，定义P的“伴随点”为P′（，）；当P是原点时，定义P的“伴随点“为它自身，平面曲线C上所有点的“伴随点”所构成的曲线C′定义为曲线C的“伴随曲线”．现有下列命题：①若点A的“伴随点”是点A′，则点A′的“伴随点”是点A；②单位圆的“伴随曲线”是它自身；③若曲线C关于x轴对称，则其“伴随曲线”C′关于y轴对称；④一条直线的“伴随曲线”是一条直线．其中的真命题是（写出所有真命题的序列）．三、解答题17．设命题p：“对任意的x∈R，x2﹣2x＞a”，命题q：“存在x∈R，使x2+2ax+2﹣a=0”．如果命题p∨q为真，命题p∧q为假，求实数a的取值范围．18．以直角坐标系的原点O为极点，x轴的正半轴为极轴，且两个坐标系取相等的长度单位．已知直线l的参数方程为为参数，0＜α＜π），曲线C的极坐标方程为ρsin2θ=4cosθ．（Ⅰ）求曲线C的直角坐标方程；（Ⅱ）设点P的直角坐标为P（2，1），直线l与曲线C相交于A、B两点，并且，求tanα的值．19．数列{a n}的前n项和记为S n，已知a n=．（Ⅰ）求S1，S2，S3的值，猜想S n的表达式；（Ⅱ）请用数学归纳法证明你的猜想．20．已知圆O：x2+y2=4，点F（，0），以线段MF为直径的圆内切于圆O，记点M的轨迹为C（1）求曲线C的方程；（2）若过F的直线l与曲线C交于A，B两点，问：在x轴上是否存在点N，使得•为定值？若存在，求出点N坐标；若不存在，说明理由．21．如图，P是抛物线C：上横坐标大于零的一点，直线l过点P并与抛物线C在点P处的切线垂直，直线l与抛物线C相交于另一点Q．（1）当点P的横坐标为2时，求直线l的方程；（2）若，求过点P，Q，O的圆的方程．22．已知直线x﹣y+1=0经过椭圆S：的一个焦点和一个顶点．（1）求椭圆S的方程；（2）如图，M，N分别是椭圆S的顶点，过坐标原点的直线交椭圆于P、A两点，其中P在第一象限，过P作x轴的垂线，垂足为C，连接AC，并延长交椭圆于点B，设直线PA的斜率为k．①若直线PA平分线段MN，求k的值；②对任意k＞0，求证：PA⊥PB．2016-2017学年江西师大附中高二（上）12月月考数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题1．已知x为实数，则“”是“x＞1”的（）A．充分非必要条件 B．充要条件C．必要非充分条件 D．既不充分也不必要条件【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．【分析】解分式不等式“＜1”，可以求出其对应的x的范围，根据充分条件和必要条件的定义，得到答案【解答】解：当“＜1”时，“x＞1或x＜0”，即“”⇒“x＞1”不成立即“”是“x＞1”的不充分条件；当“x＞1”时，“＜1”成立即“＜1”是“x＞1”的必要条件；故“＜1”是“x＞1”的必要不充分条件；故选：C2．极坐标系中，点A（1，），B（3，）之间的距离是（）A． B．C． D．【考点】简单曲线的极坐标方程．【分析】利用余弦定理即可得出．【解答】解：∵∠AOB==．∴|AB|==．故选：C．3．把曲线C1：（θ为参数）上各点的横坐标压缩为原来的，纵坐标压缩为原来的，得到的曲线C2为（）A．12x2+4y2=1 B．4x2=1 C．x2+=1 D．3x2+4y2=4【考点】参数方程化成普通方程．【分析】根据题意，写出曲线C2的参数方程，消去参数，化为直角坐标方程．【解答】解：根据题意，曲线C1上各点的横坐标压缩为原来的，纵坐标压缩为原来的，得到的曲线C2：（θ为参数），消去参数，化为直角坐标方程是4x2+=1．故选：B．4．方程（t为参数）表示的曲线是（）A．一条直线B．两条射线C．一条线段D．抛物线的一部分【考点】参数方程化成普通方程．【分析】由t的范围求出x的范围，直接得到方程（t为参数）表示的曲线是两条射线．【解答】解：∵的定义域为{t|t≠0}．当t＞0时，x=；当t＜0时，x=．∴方程（t为参数）表示的曲线是两条射线．如图：故选：B．5．设A={（x，y）|y=1+}，B={（x，y）|y=k（x﹣2）+4}，若A∩B中含有两个元素，则实数k的取值范围是（）A．B．C．D．【考点】直线与圆的位置关系．【分析】根据题意，集合A对应的图形是以C（0，1）为圆心、半径为2的圆的上半圆；集合B对应的图形是经过定点P（2，4）的一条直线．A∩B中有两个元素，说明直线与圆有两个公共点，由此利用点到直线的距离公式和斜率公式加以计算，并观察直线倾斜角的变化，可得本题答案．【解答】解：由，平方化简得x2+（y﹣1）2=4（y≥1），∴集合A表示以C（0，1）为圆心，半径为2的圆的上半圆．∵y=k（x﹣2）+4的图象是经过定点P（2，4）的一条直线，∴当直线与半圆有两个公共点时，集合C=A∩B中有两个元素．由直线y=k（x﹣2）+4与半圆相切时，圆心到直线的距离等于半径，得=2，解之得k=（舍负）又∵直线经过半圆的左端点A（﹣2，1）时，它们有两个交点，此时k==，∴当直线夹在PA到PB之间（可与PA重合，不与PB重合）时，直线y=k（x﹣2）+4与半圆有两个公共点，可得k∈．故选：B6．在下列函数中，当x取正数时，最小值为2的是（）A．B．C．D．【考点】基本不等式．【分析】利用基本不等式的使用法则“一正二定三相等”即可判断出结论．【解答】解：当x取正数时，对于A．x+≥2=4，当且仅当x=2时取等号，最小值为4．对于B．lg（x+1）＞0，∴lg（x+1）+≥2=2，当且仅当x=9时取等号，最小值为2．对于C. +≥=2，当且仅当x=0时取等号，因此最小值不为2．对于D．∵，∴sinx∈（0，1），sinx+＞2=2，最小值不为2．故选：B．7．如图所示，某公园设计节日鲜花摆放方案，其中一个花坛由一批花盆堆成六角垛．顶层一个，以下各层堆成正六边形，逐层每边增加一个花盆，若这垛花盆底层最长的一排共有13个花盆，则底层的花盆的个数是（）A．91 B．127 C．169 D．255【考点】归纳推理．【分析】首先根据题意得到花盆的层数，再从特殊情况入手→探索、发现规律→归纳、猜想出结果→取特殊值代入验证，即体现特殊→一般→特殊的解题过程．【解答】解：由题意可得：这垛花盆底层最长的一排共有13个花盆，则堆成正六边形的由7盆花，所以此时共有7层花盆．第一层有1盆花，二层共有6+1=7盆花；3层共有1+6+2×6=1+6×（1+2）．那么7层共有1+6×（1+2+3+…+6）=127．则最底层的花盆的总个数是127．故选B．8．已知过双曲线C：﹣=1（a＞0，b＞0）的中心的直线交双曲线于点A，B，在双曲线C上任取与点A，B不重合的点P，记直线PA，PB，AB的斜率分别为k1，k2，k，若k1k2＞k恒成立，则离心率e的取值范围为（）A．1＜e＜B．1＜e≤C．e＞D．e≥【考点】双曲线的简单性质．【分析】设A（x1，y1），P（x2，y2），由双曲线的对称性得B（﹣x1，﹣y1），从而得到k1k2=•=，将A，P坐标代入双曲线方程，相减，可得k1k2=，又k=，由双曲线的渐近线方程为y=±x，则k趋近于，可得a，b的不等式，结合离心率公式，计算即可得到．【解答】解：设A（x1，y1），P（x2，y2），由题意知点A，B为过原点的直线与双曲线﹣=1的交点，∴由双曲线的对称性得A，B关于原点对称，∴B（﹣x1，﹣y1），∴k1k2=•=，∵点A，P都在双曲线上，∴﹣=1，﹣=1，两式相减，可得：=，即有k1k2=，又k=，由双曲线的渐近线方程为y=±x，则k趋近于，k1k2＞k恒成立，则≥，即有b≥a，即b2≥a2，即有c2≥2a2，则e=≥．故选D．9．已知f（x）是可导的函数，且f′（x）＜f（x）对于x∈R恒成立，则（）A．f（1）＜ef（0），f（2 014）＞e2014f（0）B．f（1）＞ef（0），f（2 014）＞e2014f（0）C．f（1）＞ef（0），f（2 014）＜e2014f（0）D．f（1）＜ef（0），f（2 014）＜e2014f（0）【考点】利用导数研究函数的单调性．【分析】构造函数g（x）=，利用导数判断其单调性即可得出．【解答】解：令g（x）=，则g′（x）=＜0．∴函数g（x）在R上单调递减．∴g（1）＜g（0），g．即，，化为f（1）＜ef（0），f．故选：D10．直线l：y=k（x﹣）与曲线x2﹣y2=1（x＞0）相交于A、B两点，则直线l 倾斜角的取值范围是（）A．{0，π） B．（，）∪（，） C．[0，）∪（，π）D．（，）【考点】双曲线的简单性质．【分析】首先根据题意直线l：y=k（x﹣）与曲线x2﹣y2=1（x＞0）相交于A、B两点，进一步判断直线的斜率和渐近线的斜率的关系求出结果．【解答】解：曲线x2﹣y2=1（x＞0）的渐近线方程为：y=±x直线l：y=k（x﹣）与相交于A、B两点所以：直线的斜率k＞1或k＜﹣1由于直线的斜率存在：倾斜角故选：B11．若直线l1：y=x，l2：y=x+2与圆C：x2+y2﹣2mx﹣2ny=0的四个交点把圆C分成的四条弧长相等，则m=（）A．0或1 B．0或﹣1 C．1或﹣1 D．0【考点】直线与圆的位置关系．【分析】直线l1∥l2，且l1、l2把⊙C分成的四条弧长相等，⊙C可化为（x﹣m）2+（y﹣n）2=m2+n2，当m=0，n=1时及当m=﹣1，n=0时，满足条件．【解答】解：∵l1：y=x，l2：y=x+2与圆C：x2+y2﹣2mx﹣2ny=0∴直线l1∥l2，且l1、l2把⊙C分成的四条弧长相等，画出图形，如图所示．又⊙C可化为（x﹣m）2+（y﹣n）2=m2+n2，当m=0，n=1时，圆心为（0，1），半径r=1，此时l1、l2与⊙C的四个交点（0，0），（1，1），（0，2），（﹣1，1）把⊙C分成的四条弧长相等；当m=﹣1，n=0时，圆心为（﹣1，0），半径r=1，此时l1、l2与⊙C的四个交点（0，0），（﹣1，1），（﹣2，0），（﹣1，﹣1）也把⊙C分成的四条弧长相等；故选：B．12．定义在R上的函数f（x）满足：f′（x）﹣f（x）=x•e x，且f（0）=，则的最大值为（）A．0 B．C．1 D．2【考点】导数的运算．【分析】先构造函数，F（x）=，根据题意求出f（x）的解析式，即可得到=，再根据根的判别式即可求出最大值．【解答】解：令F（x）=，则F′（x）===x，则F（x）=x2+c，∴f（x）=e x（x2+c），∵f（0）=，∴c=，∴f（x）=e x（x2+），∴f′（x）=e x（x2+）+x•e x，∴=，设y=，则yx2+y=x2+2x+1，∴（1﹣y）x2+2x+（1﹣y）=0，当y=1时，x=0，当y≠1时，要使方程有解，则△=4﹣4（1﹣y）2≥0，解得0≤y≤2，故y的最大值为2，故的最大值为2，故选：D．二.填空题13．下列有关命题的说法正确的有①②④（填写序号）①命题“若x2﹣3x+2=0，则xx=1”的逆否命题为：“若x≠1，则x2﹣3x+2≠0”②“x=1”是“x2﹣3x+2=0”的充分不必要条件③若p∧q为假命题，则p．q均为假命题④对于命题p：∃x∈R使得x2+x+1＜0，则￢p：∀x∈R，均有x2+x+1≥0．【考点】命题的真假判断与应用．【分析】对4个命题分别进行判断，即可得出结论．【解答】解：①命题“若x2﹣3x+2=0，则x=1”的逆否命题是：“若x≠1，则x2﹣3x+2≠0”，正确；②若x=1，则x2﹣3x+2=1﹣3+2=0成立，即充分性成立；若x2﹣3x+2=0，则x=1或x=2，此时x=1不一定成立，即必要性不成立，故“x=1”是“x2﹣3x+2=0”的充分不必要条件，正确；③若p∧q为假命题，则p、q至少有一个为假命题，不正确④对于命题p：∃x∈R使得x2+x+1＜0，则￢p：∀x∈R，均有x2+x+1≥0，正确．故答案为：①②④14．已知f（x）为偶函数，当x≤0时，f（x）=e﹣x﹣1﹣x，则曲线y=f（x）在点（1，2）处的切线方程是y=2x．【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程．【分析】由已知函数的奇偶性结合x≤0时的解析式求出x＞0时的解析式，求出导函数，得到f′（1），然后代入直线方程的点斜式得答案．【解答】解：已知f（x）为偶函数，当x≤0时，f（x）=e﹣x﹣1﹣x，设x＞0，则﹣x＜0，∴f（x）=f（﹣x）=e x﹣1+x，则f′（x）=e x﹣1+1，f′（1）=e0+1=2．∴曲线y=f（x）在点（1，2）处的切线方程是y﹣2=2（x﹣1）．即y=2x．故答案为：y=2x．15．已知f（x）=x3﹣6x2+9x﹣abc，a＜b＜c，且f（a）=f（b）=f（c）=0．现给出如下结论：①f（0）f（1）＞0；②f（0）f（1）＜0；③f（0）f（3）＞0；④f（0）f（3）＜0．其中正确结论的序号是②③．【考点】命题的真假判断与应用；函数在某点取得极值的条件．【分析】f（x）=x3﹣6x2+9x﹣abc，a＜b＜c，且f（a）=f（b）=f（c）=0，确定函数的极值点1，3及a、b、c的大小关系，由此可得结论【解答】解：求导函数可得f′（x）=3x2﹣12x+9=3（x﹣1）（x﹣3）∵a＜b＜c，且f（a）=f（b）=f（c）=0．∴a＜1＜b＜3＜c设f（x）=（x﹣a）（x﹣b）（x﹣c）=x3﹣（a+b+c）x2+（ab+ac+bc）x﹣abc∵f（x）=x3﹣6x2+9x﹣abc∴a+b+c=6，ab+ac+bc=9∴b+c=6﹣a∴bc=9﹣a（6﹣a）＜∴a2﹣4a＜0∴0＜a＜4∴0＜a＜1＜b＜3＜c∴f（0）＜0，f（1）＞0，f（3）＜0∴f（0）f（1）＜0，f（0）f（3）＞0故答案为：②③16．在平面直角坐标系中，当P（x，y）不是原点时，定义P的“伴随点”为P′（，）；当P是原点时，定义P的“伴随点“为它自身，平面曲线C上所有点的“伴随点”所构成的曲线C′定义为曲线C的“伴随曲线”．现有下列命题：①若点A的“伴随点”是点A′，则点A′的“伴随点”是点A；②单位圆的“伴随曲线”是它自身；③若曲线C关于x轴对称，则其“伴随曲线”C′关于y轴对称；④一条直线的“伴随曲线”是一条直线．其中的真命题是②③（写出所有真命题的序列）．【考点】命题的真假判断与应用．【分析】利用新定义，对4个命题分别进行判断，即可得出结论．【解答】解：①若点A（x，y）的“伴随点”是点A′（，），则点A′（，）的“伴随点”是点（﹣x，﹣y），故不正确；②由①可知，单位圆的“伴随曲线”是它自身，故正确；③若曲线C关于x轴对称，点A（x，y）关于x轴的对称点为（x，﹣y），“伴随点”是点A′（﹣，），则其“伴随曲线”C′关于y轴对称，故正确；④设直线方程为y=kx+b（b≠0），点A（x，y）的“伴随点”是点A′（m，n），则∵点A（x，y）的“伴随点”是点A′（，），∴，∴x=﹣，y=∵m=，∴代入整理可得n﹣1=0表示圆，故不正确．故答案为：②③．三、解答题17．设命题p：“对任意的x∈R，x2﹣2x＞a”，命题q：“存在x∈R，使x2+2ax+2﹣a=0”．如果命题p∨q为真，命题p∧q为假，求实数a的取值范围．【考点】复合命题的真假．【分析】分别求出在命题p，q下的a的取值，然后根据条件判断出p，q中一真一假，所以分别求在这两种情况下a的范围，再求并集即可．【解答】解：命题p：对任意的x∈R，x2﹣2x＞a，∴x2﹣2x的最小值大于a；x2﹣2x的最小值为：﹣1；∴﹣1＞a，即a＜﹣1；命题q：存在x∈R，使x2+2ax+2﹣a=0；即方程x2+2ax+2﹣a=0有实根；∴△=4a2﹣4（2﹣a）≥0，解得a≤﹣2，或a≥1；∵命题p∨q为真，命题p∧q为假，∴命题p，q中一真一假；∴若p真q假：，解得﹣2＜a＜﹣1；若p假q真：，解得a≥1；∴实数a的取值范围为（﹣2，﹣1）∪[1，+∞）．18．以直角坐标系的原点O为极点，x轴的正半轴为极轴，且两个坐标系取相等的长度单位．已知直线l的参数方程为为参数，0＜α＜π），曲线C的极坐标方程为ρsin2θ=4cosθ．（Ⅰ）求曲线C的直角坐标方程；（Ⅱ）设点P的直角坐标为P（2，1），直线l与曲线C相交于A、B两点，并且，求tanα的值．【考点】简单曲线的极坐标方程；参数方程化成普通方程．【分析】（I）对极坐标方程两边同乘ρ，得到直角坐标方程；（II）将l的参数方程代入曲线C的普通方程，利用参数意义和根与系数的关系列出方程解出α．【解答】解：（I）∵ρsin2θ=4cosθ，∴ρ2sin2θ=4ρcosθ，∴曲线C的直角坐标方程为y2=4x．（II）将代入y2=4x，得sin2α•t2+（2sinα﹣4cosα）t﹣7=0，所以，所以，或，即或．19．数列{a n}的前n项和记为S n，已知a n=．（Ⅰ）求S 1，S 2，S 3的值，猜想S n 的表达式；（Ⅱ）请用数学归纳法证明你的猜想．【考点】数学归纳法；数列递推式．【分析】（1）根据题设条件，可求S 1，S 2，S 3的值，猜想S n 的表达式．（2）利用数学归纳法的证明步骤对这个猜想加以证明．【解答】解：（Ⅰ）∵a n =，∴S 1=，S 2=，S 3=，猜想S n =；（Ⅱ）①n=1时，S 1=成立；②假设n=k 时，成立，即S k =，则当n=k +1时，S k +1=S k +a k +1=+=，即当n=k +1时，结论也成立综上①②知，S n =．20．已知圆O ：x 2+y 2=4，点F （，0），以线段MF 为直径的圆内切于圆O ，记点M 的轨迹为C （1）求曲线C 的方程；（2）若过F 的直线l 与曲线C 交于A ，B 两点，问：在x 轴上是否存在点N ，使得•为定值？若存在，求出点N 坐标；若不存在，说明理由．【考点】直线与圆的位置关系．【分析】（1）设FM 的中点为Q ，切点为G ，连OQ ，QG ，通过|OQ |+|QG |=|OG |=2，推出|F′M |+|MF |=4．说明点M 的轨迹是以F′，F 为焦点，长轴长为4的椭圆．然后求解曲线C 的方程；（2）当直线l 的斜率存在时，设其方程为y=k （x ﹣），联立直线方程和椭圆方程，利用根与系数的关系得到A ，B 的横坐标的和与积，代入•，由•为定值求得m 值，验证斜率不存在时适合得答案．【解答】解：（1）设FM 的中点为Q ，切点为G ，连OQ ，QG ，则|OQ|+|QG|=|OG|=2，取F关于y轴的对称点F′，连F′M，故|F′M|+|MF|=2（|OQ|+|QG|）=4．点M的轨迹是以F′，F为焦点，长轴长为4的椭圆．其中，a=2，c=，b=1，则曲线C的方程为+y2=1；（2）当直线l的斜率存在时，设其方程为y=k（x﹣），A（x1，y1），B（x2，y2），联立，得．则△＞0，，若存在定点N（m，0）满足条件，则有=（x1﹣m）（x2﹣m）+y1y2=x1x2+===．如果要上式为定值，则必须有，解得m=，此时=．验证当直线l斜率不存在时，也符合．故存在点N（，0）满足•为定值．21．如图，P是抛物线C：上横坐标大于零的一点，直线l过点P并与抛物线C在点P处的切线垂直，直线l与抛物线C相交于另一点Q．（1）当点P的横坐标为2时，求直线l的方程；（2）若，求过点P，Q，O的圆的方程．【考点】圆与圆锥曲线的综合；直线的点斜式方程；直线与圆锥曲线的综合问题．【分析】（Ⅰ）先求点P的坐标，利用导数求过点P的切线的斜率，从而可得直线l的斜率，即可求出直线l的方程；（Ⅱ）设P（x0，y0），求出直线l的方程为，利用，可得过点P，Q，O的圆的圆心为PQ的中点，将直线与抛物线联立，即可求出PQ的中点的坐标与圆的半径，从而可得过点P，Q，O的圆的方程．【解答】解：（Ⅰ）把x=2代入，得y=2，∴点P的坐标为（2，2）．…由，①得y'=x，∴过点P的切线的斜率k切=2，…直线l的斜率k1==，…∴直线l的方程为y﹣2=，即x+2y﹣6=0…（Ⅱ）设P（x0，y0），则．∵过点P的切线斜率k切=x0，因为x0≠0．∴直线l的斜率k1==，直线l的方程为．②…设Q（x1，y1），且M（x，y）为PQ的中点，因为，所以过点P，Q，O的圆的圆心为M（x，y），半径为r=|PM|，…且，…所以x0x1=0（舍去）或x0x1=﹣4…联立①②消去y，得由题意知x0，x1为方程的两根，所以，又因为x0＞0，所以，y0=1；所以，y1=4…∵M是PQ的中点，∴…∴…所以过点P，Q，O的圆的方程为…22．已知直线x﹣y+1=0经过椭圆S：的一个焦点和一个顶点．（1）求椭圆S的方程；（2）如图，M，N分别是椭圆S的顶点，过坐标原点的直线交椭圆于P、A两点，其中P在第一象限，过P作x轴的垂线，垂足为C，连接AC，并延长交椭圆于点B，设直线PA的斜率为k．①若直线PA平分线段MN，求k的值；②对任意k＞0，求证：PA⊥PB．【考点】直线与圆锥曲线的综合问题；三点共线；椭圆的标准方程．【分析】（1）在直线x﹣y+1=0中，令x=0得y=1；令y=0得x=﹣1，故c=b=1，a2=2，由此能求出椭圆方程．（2）①，N（0，﹣1），M、N的中点坐标为（，），所以②法一：将直线PA方程y=kx代入，解得，记，则P（m，mk），A（﹣m，﹣mk），于是C（m，0），故直线AB方程为，代入椭圆方程得（k2+2）x2﹣2k2mx+k2m2﹣8=0，由此能够证明PA⊥PB．法二：设P（x0，y0），A（﹣x0，﹣y0），B（x1，y1），则C（x0，0），由A、C、B三点共线，知=，由此能够证明PA⊥PB．【解答】解：（1）在直线x﹣y+1=0中令x=0得y=1；令y=0得x=﹣1，由题意得c=b=1，∴a2=2，则椭圆方程为．（2）①，N（0，﹣1），M、N的中点坐标为（，），所以．②解法一：将直线PA方程y=kx代入，解得，记，则P（m，mk），A（﹣m，﹣mk），于是C（m，0），故直线AB方程为，代入椭圆方程得（k2+2）x2﹣2k2mx+k2m2﹣4=0，由，因此，∴，，∴，∴，故PA⊥PB．解法二：由题意设P（x0，y0），A（﹣x0，﹣y0），B（x1，y1），则C（x0，0），∵A、C、B三点共线，∴=，又因为点P、B在椭圆上，∴，，两式相减得：，∴=﹣=﹣1，∴PA⊥PB．2017年4月20日。

江西省师范大学附属中学2017-2018学年高一上学期期末考试数学---精校解析 Word版

已知集合，B.D.【解析】由，所以；得，所以所以．选下列函数中，既是偶函数，又在区间B. C. D.【答案】C中，函数的定义域为,时，中，函数为偶函数，但在不是增函数，故的结果等于B. C. D.【答案】【解析】已知向量，且，则B. C. D.【解析】由已知得，即，则B. C. D.，所以，，所以，．选C．设四边形为平行四边形，，若点满足，，则B. C. D.【解析】令，则D．的图像大致为B.D.【解析】由得故函数．，所以函数为奇函数，排除B．时，；当时，设，则B. C. D.【答案】．选已知函数是定义在实数集上的不恒为零的偶函数，且对任意实数都有B. C. D.且时，由，，则是周期为所以，时，由得，是偶函数，所以，所以方法二：时，由，即，．时，由得是偶函数，10. 为了得到函数的图像，可以将函数的图像A. 向右平移个单位长度B. 向右平移个单位长度向左平移向左平移个单位长度，所以为了得到函数的图像，可以将函数的图像向右平移个单位长度即可．选11. 已知向量满足，且，若向量，则B.D.【解析】设，根据时，则点的轨迹是以点为圆心，为半径的圆，且．结合图形可得，当点与重合时，；取得最小值所以．时，的取值范围是设函数（），则方程在区间解的个数是B. C. D.方程在区间上的解的个数即函数与函数的图像在区间时，恒成立，易得交点个数为设向量平行，则实数【解析】因为向量平行，，，解得答案：在平面直角坐标系中，角与角为始边，它们的终边关于，【答案】【解析】因为角与角关于，，．答案：15. 已知向量的夹角为，__________.【答案】【解析】由已知得所以所以．利用公式，16. 的边的长分别为，且，，，则【答案】【解析】由正弦定理、余弦定理得三．解答题：本大题共已知向量，向量分别为与向量的夹角；的坐标；(Ⅱ)【解析】试题分析：（Ⅱ）先根据单位向量的概念求得，再求，，，又因为，即向量与的夹角为所以．即向量的坐标为．已知函数，．（Ⅰ）求的最小正周期及单调递增区间；（Ⅱ）求在区间【答案】(Ⅰ)最小正周期是，单调递增区间是，最小值为，可得最小正周期为；将代入正弦函数的增区间可得函数的单调递增区间是(Ⅱ) 由可得在区间上的最大值为，最小值为．，所以函数的最小正周期是，所以的单调递增区间是（Ⅱ）当，所以，在区间上的最大值为，最小值为点睛：解决三角函数综合题的一般思路：化为）构造）逆用和（差）角公式得到（其中）利用，将看做一个整体，并结合函数设函数）在处取最大值．（Ⅰ）求的值；（Ⅱ）在中，分别是角的对边．已知，，求；(Ⅱ).【解析】试题分析：，根据在处取最大值得，即，故(Ⅰ)可得，故，由正弦定理得，所以，故可得试题解析：在时取最大值，．（Ⅱ）由（Ⅰ）知，，为的内角，由正弦定理得，由题意得为锐角，.设向量．（Ⅰ）若与垂直，求的值；（Ⅱ）求(Ⅰ)先由条件得到的坐标，根据与垂直可得从而得到．(Ⅱ)由得到时，取得最小值为．（Ⅰ）由条件可得垂直，，（Ⅱ）由，所以当时，取得最小值的最小值为.已知一次函数的图像与轴分别相交于点（分别是与轴、.（Ⅰ）求（Ⅱ）当时，求函数的最小值；(Ⅱ)（Ⅰ）由已知可得，又因为，.（Ⅱ）由（Ⅰ）知，得，.由条件得，，即时，上单调递增，，即时，处取得最小值，.，即时，在上单调递减，综上函数的最小值为点睛：二次函数在给定区间上最值的类型及解法：...........................（2）二次函数的单调性问题则主要依据二次函数图像的对称轴进行分析讨论求解．22. 如图，在中，，，点在的延长线上，点是边上的一点，且存在非零实数，使.（Ⅰ）求的数量积；（Ⅱ）求与的数量积；(Ⅱ).中由余弦定理得，从而得到三角形为等腰三角形，可得在的角平分线上，故可得，所以得到．设设，则得到，，根据数量积的定义及运算率可得所求．试题解析：（Ⅰ）在，，是等腰三角形，且（Ⅱ）由，所以点在的角平分线上，又因为点是边上的一点，，．，得，，，所以点睛：解题时注意在三角形中常见的向量与几何特征的关系：中，若或，则点的外心；中，若，则点是的重心；中，若，则直线一定过的重心；中，若，则点是中，若，则直线通过的内心。

江西省江西师范大学附属中学2017-2018学年高三上学期期末考试理数试题 Word版含解析

2017-2018学年一、选择题（本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）1.若纯虚数z 满足()11i z ai -=+，则实数a 等于（）A ．0B ．1-或1C ．1-D ．1 【答案】D考点：复数的运算. 2.已知函数sin 3y x πω⎛⎫=+⎪⎝⎭向右平移3π个单位后，所得的图像与原函数图像关于x 轴对称，则ω的最小正值为（）A ．1B ．2C ．52D ．3 【答案】D 【解析】试题分析：原函数向右平移3π个单位后所得函数为)33sin(ωππ-+=wx y 其与原函数关于x轴对称，则必有)3sin(-)33sin(πωππ+=-+wx wx ，由三角函数诱导公式可知ω的最小正值为3，故本题的正确选项为D.考点：函数的平移，对称，以及三角函数的诱导公式. 3.若()241cos2x a dx xdx π-=⎰⎰，则a 等于（）A ．1-B ．1C ．2D ．4 【答案】B 【解析】试题分析：a ax x dx a x -=-=-⎰232121212）（；212sin 212cos 4040==⎰ππx xdx ，两定积分相等，则12321=⇒-=a a ，故本题的正确选项为B. 考点：定积分的计算.4.如右图，当输入5x =-，15y =时，图中程序运行后输出的结果为（） A ．3； 33 B ．33；3 C.-17；7 D ．7；-17【答案】A考点：程序语言. 5.定义12nn p p p +++为n 个正数12,,,n p p p 的“均倒数”，若已知数列{}n a 的前n 项的“均倒数”为15n，又5n n a b =，则12231011111b b b b b b +++=（） A ．817 B ．919 C ．1021 D ．1123【答案】C 【解析】试题分析：由定义可知2215......n a a a n =+++，212115......）（+=+++++n a a a a n n ，可求得5101+=+n a n ，所以510-=n a n ，则12-=n b n ，又)11(21111++-=n n n n b b b b ，所以12231011111b b b b b b +++=21101121111......11121111111010221=-=-+--+-）（）（b b b b b b b b ，所以本题正确选项为C.考点：求数列的通项以及用拆项法求前n 项和.6.若关于,x y 的不等式组0010x x y kx y ≤⎧⎪+≥⎨⎪-+≥⎩，表示的平面区域是等腰直角三角形区域，则其表示的区域面积为（） A.12或14 B.12或18 C.1或12 D.1或14【答案】A考点:线性约束条件.7．如图，网格纸是边长为1的小正方形，在其上用粗线画出了某多面体的三视图，则该多面体的体积为（）A ．4B ．8C ．16D ．20【答案】C 【解析】试题分析：由正视图与侧视图可知底面为长6，宽2的矩形，由俯视图可知此集合体为四棱锥，其高与正视图三角形的高相同，为4，由四棱锥的体积公式Sh V 31=可求出体积，由图可求得底面积为12，所以此四棱锥体积为1641231=⨯⨯，故本题正确选项为C. 考点：三视图，棱锥的体积.8.已知等差数列{}n a 的第8项是二项式41x y x ⎛⎫++ ⎪⎝⎭展开式的常数项，则91113a a -=（）A ．23B ．2C ．4D ．6 【答案】C考点：二项式定理.9.不等式2220x axy y -+≥对于任意]2,1[∈x 及]3,1[∈y 恒成立，则实数a 的取值范围是（）A ．a ≤22B ．a ≥22C ．a ≤311D ．a ≤29【答案】A 【解析】试题分析：因为y 不为0，所以对原不等式两边同时除以2y ，能够得到01)(22≥+-yxayx，令yx t =，则不等式变为0122≥+-at t ，其中t 由y x ,得范围决定，可知]2,31[∈t ，这样就将原不等式恒成立转化为0122≥+-at t 在]2,31[∈t 时恒成立，由0122≥+-at t 可得tt a t t a 12122+≤⇒+≤，当22=t 时，tt 12+取得最小值22，且此时]2,31[22∈=t ，所以有a ≤22 ，故本题的正确选项为A. 考点：重要不等式.【方法点睛】本题重在考察重要不等式以及学生的观察变通能力，题干中条件为不等式恒成立，其中变量有两个，对于存在两个变量，而求其中参数范围的问题，在高中属于较难题，对此类问题，可用两个变量表示参数，即等号（不等号）一侧是参数，一侧是两个自变量的代数式，而代数式通过一定的方法可化简为一元代数式或者常见的曲线，通过求代数式在区间上的最值来求参数的范围．10.过双曲线)0,0(12222>>=-b a by a x 的右焦点F 作一条直线，当直线斜率为1时，直线与双曲线左、右两支各有一个交点；当直线斜率为3时，直线与双曲线右支有两个不同的交点，则双曲线离心率的取值范围为（）A ．B ．C ．D ．【答案】C考点：双曲线的离心率，一元二次方程根的情况.11.已知,,A B C 是单位圆上互不相同的三点，且满足AB AC →→=，则AB AC →→⋅的最小值为（） A ．14-B ．12-C ．34- D ．1- 【答案】B 【解析】试题分析：可在直角坐标系中，以原点为圆心作单位圆，令点)01(，-A ，点C B ,为动点，由AB AC →→=可知C B ,的坐标关于横轴对称，所以可假设),(),,(y x C y x B -，其中y x ,满足1122-≠=+x y x 且，则)1(),1(y x y x -+=+=，，，所以21)21(222)1(2222-+=+=-+=⋅x x x y x ，可见当21-=x 时，AB AC →→⋅可以取得最小值21-，故本题的正确选项为B.考点：向量的运算，函数的最值.【思路点睛】因为圆关于圆心中心对称，所以可在直角坐标系中以原点作单位圆，这样能使向量坐标化，把向量转化为坐标，方便找到三点的坐标间的关系，从而利用向量的数量积公式将C AB⋅A 转化成某一变量的函数，再利用函数的最值便可求得C AB⋅A 的最小值． 12.已知函数()22xx af x =-，其在区间[]0,1上单调递增，则a 的取值范围为（） A ．[]0,1 B ．[]1,0- C ．[]1,1- D ．11,22⎡⎤-⎢⎥⎣⎦【答案】C考点：函数的单调性，导数的运用.【思路点睛】本题中函数解析式含有绝对值，要判断其单调性，首先要去绝对值，所以要对a 的取值进行讨论，这样才能将函数写为分段函数，从而可进一步判断其单调性，在判断单调性时因为a 的正负未知，所以适合利用导函数根据函数的单调性来求a 的范围，在解本题时，建议同学们首先利用换元法将函数转化为ta t t f -=)(，这样在后面进行分类讨论是会方便的多．第Ⅱ卷（非选择题共90分）二、填空题（本大题共4小题，每题5分，满分20分．）13.已知函数()y f x =的图象在点()()2,2M f 处的切线方程是4y x =+，则()()22f f '+= ．【答案】7 【解析】试题分析：由函数在某点的导数等于函数在该点的切线的斜率可知1)2(='f ，有点M 必在切线上，代入切线方程4y x =+，可得6)2(=f ，所以有7)2()2(=+'f f ．考点：导数的运用.14.已知11sin(),sin()23αβαβ+=-=,那么5tan log tan αβ的值是．【答案】1考点：三角函数的恒等变换，对数的运算.15.将一颗骰子投掷两次，第一次出现的点数记为a ，第二次出现的点数记为b ，设任意投掷两次使直线1:3l x ay +=，2:63l bx y +=平行的概率为1P ，不平行的概率为2P ，若点()12,P P 在圆()226572x m y -+=的内部，则实数m 的取值范围是．【答案】711,3636⎛⎫- ⎪⎝⎭【解析】试题分析：直线1l 的斜率为a k 11-=，直线2l 的斜率为62bk -=，21//l l 则必有21k k =即 661=⇒-=-ab ba ，又b a ,由骰子投掷得到的数字，所以能使21//l l 的数字分别为）（6,1， )1,6(),2,3(),3,2(，即能使21//l l 的概率为913641==P ，不能平行的概率为982=P ，又点()12,P P 在圆 ()226572x m y -+=的内部，所以有7265)98()91(22<+-m ，可解得m 的取值范围711,3636⎛⎫- ⎪⎝⎭．考点：随机事件的概率，两直线平行的性质，点与圆的位置关系.【思路点睛】题中两直线的斜率由投掷骰子得到的随机数字b a ,所决定，所以可先求得直线的斜率，在根据平行直线的性质，找出b a ,所要满足的关系式，从而得到对应的b a ,的值，并求得使直线平行的概率21,P P ，因为点()12,P P 在圆内，所以可列不等式，从而求得m 的取值范围．16.已知ABC ∆中，7,8,9AB AC BC ===，P 点在平面ABC 内，且70PA PC ⋅+=，则||PB 的最大值为．【答案】10考点：向量的运算，三角函数的值域.1a 【思路点睛】直接求||PB 表较复杂，但是由题中已知可得7PA PC ⋅=-，又因为ABC ∆三边均已知，所以可利用向量加（减）法，将PA PC ⋅转化成,,PB AB BC 之间的关系，其中,AB BC 已知，所以可利用PB BA BC +与的夹角的余弦值列不等式，从而求得||PB 的取值范围．三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17.（本小题满分12分）在公比为2的等比数列{}n a 中，2a 与5a的等差中项是（Ⅰ）求1a 的值；（Ⅱ）若函数1sin 4y a x πφ⎛⎫=+⎪⎝⎭，φπ<，的一部分图像如图所示，()11,M a -，()13,N a -为图像上的两点，设MPN β∠=，其中P 与坐标原点O 重合，πβ<<0，求()tan φβ-的值.【答案】（I ）（II ）32-+．考点：等比数列，等差中项，余弦定理，三角函数图象.18.（本小题满分12分）2015年9月3日，抗战胜利70周年纪念活动在北京隆重举行，受到全国人民的瞩目。

江西师范大学附属中学2017届高三10月考理数

江西师范大学附属中学2017届高三10月月考理数一、选择题1.已知集合2{|16}A x x =≤，{|2}xB y y ==，则A B I =（）A. [4,0)-B. (0,4]C. (4,0)-D. (0,4)【答案】B考点：集合运算．2.设x y R ∈、，则"1x ≥且1"y ≥是22"2"x y +≥的（）A. 既不充分也不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 充分不必要条件【答案】D 【解析】试题分析：由不等式性质可知：当"1x ≥且1"y ≥时，必有22"2"x y +≥，所以充分性成立，但22"2"x y +≥时，不能保证"1x ≥且1"y ≥，所以必要性不成立，因此"1x ≥且1"y ≥是22"2"x y +≥的充分不必要条件，故选D.考点：充要条件．3.已知命题*:p x N ∀∈，11()()23x x ≥；命题*:q x N ∃∈，122x x -+=题的是（） A. P q ∧ B. ()p q ⌝∧ C. ()p q ∧⌝ D. ()()p q ⌝∧⌝【答案】C 【解析】试题分析：结合指数函数的性质可知当x N *∈时，11()()23x x ≥，所以p 为真命题，122222x x x x -+=+≥222x x =即122x x =⇔=时，等号成立，所以q 为假命题，q ⌝为真，所以()p q ∧⌝为真命题. 考点：命题的真假判断及复合命题.4.下列函数中，既是偶函数又在区间(0,3)内是增函数的是（） A. 12log ||y x =B. cos y x =C. x xy e e -=+D. 1y x x=+【答案】C 【解析】试题分析：当(0,3)时，1122log ||log y x x ==在(0,3)内递减，所以A 错误，cos y x =在(0,3)是减函数，所以B 错误，1y x x=+为奇函数，所以D 错误，故选C. 考点：函数奇偶性和单调性．5.已知tan 2((0,))ααπ=∈，则5cos(2)2πα+=（）A. 35B. 45C. 35-D. 45-【答案】D考点：同角三角函数的基本关系、诱导公式与二倍角公式.6.将函数()sin cos f x x x =+的图象向右平移(0)ϕϕ>个单位长度后，所得的函数图像关于原点对称，则ϕ的最小值是（） A.4π B.2πC. 34πD. 32π【答案】A 【解析】试题分析：()sin cos 4f x x x x π⎛⎫=+=+ ⎪⎝⎭，把其图象向右平移(0)ϕϕ>个单位长度后，所得的函数()4g x x πϕ⎛⎫=+- ⎪⎝⎭，其图象关于原点对称，所以()004g πϕ⎛⎫=-= ⎪⎝⎭，,4k k πϕπ-=∈Z ，令0k =得4πϕ=．考点：三角函数的图象变换与性质．7.已知函数3()sin 4(,)f x a x bx a R b R =++∈∈，()f x '为()f x 的导函数，则 (2016)(2016)(2017)(2017)f f f f ''+-+--=（）A. 0B. 2016C. 2017D. 8【答案】D考点：函数奇偶性的应用．8.已知定义在R 上的偶函数||()21()x m f x m R -=-∈，记0.52(l o g 3),(l o g 5)a fb f ==，(2)c f m =，则,,a b c 的大小关系为（） A. a b c <<B. a c b <<C. c a b <<D. c b a <<【答案】C 【解析】试题分析：因为||()21x m f x -=-是R 上的偶函数，所以0m =，且()21xf x =-在[)0,+∞上的增函数，0.520.52log 3log 3,log 3log 5=-∴< ，所以()()()20.5log 5log 30f f f >>，即c a b <<，故选C. 考点：分段函数的单调性．9.已知函数131()sin cos2()22f x a x x a a R a =-+-+∈，若对任意x R ∈都有()0f x ≤，则实数a 的取值范围是（）A. 3[,0)2- B. [1,0)(0,1]-U C. (0,1] D.[1,3]【答案】C 【解析】试题分析：()23si n s i n fx xa x a a=++-，令()s i n 11t x t =-≤≤，则()23g t t a t a a =++-，对于任意x R ∈都有()0f x ≤的充要条件是()()3110,31120,g ag a a ⎧-=-≤⎪⎪⎨⎪=+-≤⎪⎩解得(]0,1a ∈，故选C. 考点：不等式恒成立.【方法点睛】本题主要考查同角三角函数基本关系，不等式在给定区间上的恒成立问题，属于中档题.题目给出的解析式同时包含了sin ,cos x x ，所以根据三角函数基本关系进行消元，然后换元为()230g t t at a a=++-≤在区间[]1,1-上的恒成立问题，根据三个二次的关系列出满足条件的不等式组求解.10.设0x 为函数()sin f x x π=的零点，且满足001||()332x f x ++<，则这样的零点有（）A. 61个B. 63个C. 65个D. 67个【答案】C考点：函数的零点．11.已知函数()2sin(2)(||)f x x ϕϕπ=-+<，若5(,)58ππ是()f x 的一个单调递增区间，则ϕ的取值范围是（） A. 93[,]1010ππ-- B. 29[,]510ππC. [,]104ππD. [,](,)104ππππ--U 【答案】C 【解析】试题分析：由于5(,)58ππ是()f x 的一个单调递增区间，即5(,)58ππ是()2sin 2y x ϕ=+的一个单调递减区间，令3222,22k x k k πππϕπ+≤+≤+∈Z 可得34242k x k πϕπϕππ+-≤≤+-，且425k πϕππ+-≤，又因为ϕπ<，解得,104ππϕ≤≤故选C.考点：()sin y A x ωϕ=+的图象与性质．【方法点睛】本题主要考查了()sin y A x ωϕ=+的性质求其解析式，属于中档题.解答本题时，先根据复合函数的单调性法则把()f x 的单调性转化为正弦型函数()2sin 2y x ϕ=+的单调性，再根据正弦函数的单调递增区间求出()f x 的递减区间，比较5(,)58ππ与其单调区间的端点，列出不等式，求得参数ϕ的取值范围.12.已知定义在R 上的函数)(x f 和)(x g 分别满足222'(1)()2(0)2x f f x e x f x -=⋅+-⋅， 0)(2)('<+x g x g ，则下列不等式成立的是（）A.(2)(2015)(2017)f g g ⋅<B.(2)(2015)(2017)f g g ⋅>C.(2015)(2)(2017)g f g <⋅D.(2015)(2)(2017)g f g >⋅【答案】D考点：导数的运算及利用导数研究函数的单调性．【方法点睛】本题主要考查了导数的运算及利用导数研究函数的单调性，属于中档题.解答本题首先对()f x 求导，求出()0f ，进而得到函数()f x 的解析式，对于0)(2)('<+x g x g 的应用，应考虑构造函数()()2xF x e g x =，求导即可得到其单调性，从而有()()20152017F F >，整理即可得到结论，考查考生的发散思维能力和创新能力.第Ⅱ卷（非选择题共90分）二、填空题（本大题共4小题，每题5分，满分20分．）13.121(x dx -⎰= ．【答案】232π+ 【解析】试题分析：121(x dx -⎰表示抛物线2y x =与半圆y =在[]1,1-上围成的封闭图形的面积.因为1122310101222|33x dx x dx x -⎛⎫=== ⎪⎝⎭⎰⎰，所以1212(32x dx π-+=+⎰．考点：定积分的几何意义．14.设()f x 为定义在R 上的奇函数，当0x >时，3()log (1)f x x =+，则(2)f -= ．【答案】1-考点：函数奇偶性的应用．15.已知函数()sin()(0,0,0)f x A x A ωϕωϕπ=+>><<的部分图像如图所示，则曲线()f x 在(0,(0))f处在的切方程为．【答案】230y +-= 【解析】试题分析：由图象可知23,,2A T ππωω===∴=,()()3sin 2f x x ϕ=+，把,33π⎛⎫- ⎪⎝⎭代入可得2sin 13πϕ⎛⎫+=-⎪⎝⎭，所以2,32k k ππϕπ+=-∈Z ，即7,6k k πϕπ=-∈Z ，又0ϕπ<<，所以2k =时，56πϕ=，所以()53sin 26f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，()56cos 26f x x π⎛⎫'=+ ⎪⎝⎭，()()30,02f f '==-()f x 在(0,(0))f 处在的切方程为230y +-=．考点：正弦函数的图象与解析式、导数的几何意义.【方法点睛】本题主要考查了正弦函数的图象与解析式、导数的几何意义，考查了待定系数法，属于中档题.先根据题中给出的图象求正弦函数的解析式时，应注意各个参数对图象的影响，A 影响着函数图象的振幅，ω决定周期，初相ϕ优先选择函数的一个最值点，根据其范围求得解析式，最后根据导数的几何意义求出切线的斜率，由直线方程的点斜式求得切线方程.16.已知G 点为ABC ∆的重心，且满足BG CG ⊥，若11tan tan tan B C Aλ+=则实数λ= ．【答案】12考点：正余弦定理、同角三角函数的基本关系.【方法点睛】本题主要考查了正余弦定理的应用，同角三角函数的基本关系，三角形的重心性质，考查考生的运算能力，属于难题.解答本题首先根据三角形的重心性质和BG CG ⊥，利用平面向量的数量积运算与性质得到222BA BC BA BC --⋅u u v u u u v u u v u u u v，也就得到了三角形三边的关系，分离参数λ，由通过角三角函数的基本关系求得其值.三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 17.（本小题10分）已知函数2lg(34)y x x =-+的定义域为M ．（1）求M ；（2）当x M ∈时，求2()42x x f x +=+的最小值.【答案】（1）[1,1)-；（2）94．【解析】试题分析：（1）根据偶次根式的被开方数非负及对数的真数大于零列出不等式组即得定义域,M （2）换元12[,2)2x t =∈，把原函数化成221()4(2)4,[,2)2g t t t t t =+=+-∈的最值问题求解.试题解析：（1）2101340xx x x +⎧≥⎪-⎨⎪-+>⎩11x ⇒-≤<[1,1)M ∴=- (6)分（2）22()(2)4244x x f x a a a =+⋅+-，令12[,2)2x t =∈221()4(2)4,[,2)2g t t t t t ∴=+=+-∈min min 1259()()4244f xg t g∴===-=........................................................12分考点：函数的定义域、二次函数的最值.18.（本小题12分）ABC ∆的内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，且2c o s (c o s c o s )C a B bA c +=. （1）求C ；（2）若c =ABC S ∆，求ABC ∆的周长.【答案】（1）3π；（2）5试题解析：（1）由已知可得2cos (sin cos sin cos )sin C A B B A C +=12cos sin()sin cos 23C A B C C C π∴+=⇒=⇒= (6)分（2）11sin 622ABC S ab C ab ab ∆=⇒⇒= (8)分又2222cos a b ab C c +-=Q2213a b ∴+=，2()255a b a b ∴+=⇒+=......................................10分 ABC∴∆的周长为5分考点：正余弦定理解三角形.19.（本小题12分）在如图所示的空间几何体中，平面ACD ⊥平面ABC ，ACD ∆与ACB V 都是边长为2的等边三角形，2BE =，BE 与平面ABC 所成的角为60o ，且点E 在平面ABC 上的射影落在ABC ∠的平分线上.（1）求证：//DE 平面ABC ；（2）求二面角E BC A --的余弦值.【答案】（1）证明见解析；（2试题解析：（1）由题意知ABC ∆、ACD ∆为边长2的等边∆ 取AC 的中点O ，连接BO ，BO ，则BO AC ⊥，DO AC ⊥. 又平面ACD ⊥平面ABC ，DO ∴⊥平面ABC ，作EF ⊥平面ABC ，那么//EF DO ，根据题意，点F 落在BO 上，BE Q 和平面ABC 所成的角为60o ，60EBF ∴∠=o ， 2BE =Q，EF DO ∴==∴四边形DEFO 是平行四边形，//DE OF ∴.DE ⊄Q 平面ABC ，OF ⊂平面ABC ， //DE ∴平面ABC (6)分（2）建立空间直角坐标系O xyz -，则(,0)B ，(1,0,0)C -，E ，(1,BC ∴=-u u u r(0,BE ∴=-uu u r平面ABC 的一个法向量为1(0,0,1)n =..........................................8分设平面BCE 的法向量2(,,)n x y z =u u v 则220,0n BC n BE ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩uu u r u u v uu ur u u v0x y ⎧-=⎪∴⎨-=⎪⎩ 取1z =，2(n ∴=-u u v (10)分121212cos(,)||||n n n n n n ⋅∴==⋅u v u u vu v u u v u v u u v ，又由图知，所求二面角的平面角是锐角，二面角E BC A --的. .................................................12分考点：空间中直线与平面的平行于垂直关系、二面角.20.（本小题12分）如图所示，在平面直角坐标系xOy 中，角α的顶点在原点，始边与x 轴的非负半轴重合，终边交单位圆于点A ，[,]42ππα∈，将角α的终边绕原点逆时针方向旋转3π交单位圆于点B ，过B 作BC y ⊥轴于C . （1）若点AB 的横坐标；（2）求AOC ∆面积S 的最大值.【答案】（1）12-；（2．【解析】试题分析：（1）根据三角函数的定义用α的三角函数表示出点,A B 的坐标，求出角α，即得B 的横坐标；（2）因为1||||sin 2S OA OC AOC =⋅⋅∠1sin()sin()232ππαα=+⋅-，根据三角恒等变换化简得1sin(2)43S πα=++,求出23πα+的范围，找出最大值点，求出最大值.试题解析：（1）定义得A (cos ,sin ),(cos(),sin())33B ππαααα++,依题意可知sin (,)42ππαα=∈，所以3πα=，所以B 的横坐标为21cos()cos .332ππα+==-................5分考点：三角函数的定义、三角恒等变换、三角函数的值域.21.（本小题12分）已知椭圆22221(0)x y a b a b+=>>以椭圆的一个短轴端点及两个C 方程为222()()()a x a y b b-+-=.（1）求椭圆及圆C 的方程；（2）过原点O 作直线l 与圆C 交于A ，B 两点，若2CA CB ⋅=-u u r u u r，求直线l 的方程.【答案】（1）椭圆的方程2214x y +=，圆的方程为22(2)(1)4x y -+-=；（2）0y =或430x y -=.【解析】试题分析：（1c a =，结合222a b c =+得2,a b b ==，根据以椭c =从而求的,a b ，得到椭圆和圆的方程；（2）设出直线l 的方程，整理方程组，由判别式求出直线斜率的范围，韦达定理得到,A B 坐标的关系，根据向量数量积的坐标表示列出方程，求的斜率k .试题解析：（1）设椭圆的焦距为2c ，左、右焦点分别为12(,0),(,0)F c F c -，可得c a =，即22234a b a -=，所以2,a b b ==...............................3分以椭圆的一个短轴端点及两个焦点为顶点的三角形的面积为122b c ⋅=，即122c ⨯=2,1c a b ∴===所以椭圆的方程2214x y +=，圆的方程为22(2)(1)4x y -+-=..................5分（2）①当直线l 的斜率不存时，直线方程为0x =，与圆C 相切，不符合题意..................6分②当直线l 的斜率存在时，设直线方程y kx =，由22(2)(1)4y kx x y =⎧⎨-+-=⎩可得22(1)(24)10k x k x +-++=，由条件可得22(24)4(1)0k k ∆=+-+>，即34k >-........................8分设11(,)A x y ，22(,)B x y ，则122241k x x k ++=+，12211x x k =+222121212122224(),11k k k y y k x x y y k x x k k ++=+===++而圆心C 的坐标为（2，1）则11(2,1),CA x y =--u u r 22(2,1)CB x y =--u u r，所以1212(2)(2)(1)(1)2CA CB x x y y ⋅=--+--=-u u r u u r，即121212122()()52x x x x y y y y -++-++=-所以222222124242521111k k k k k k k k ++-⨯+-+=-++++解得0k =或43k =...................10分.:0l y ∴=或430x y -=..................................................................12分考点：圆、椭圆的标准方程及其几何性质，直线与圆的位置关系.【方法点睛】本题主要考查了圆、椭圆的标准方程及其几何性质，直线与圆的位置关系.，属于中档题.根据椭圆的离心率和三角形的面积列出,,a b c 的方程，求出椭圆和圆的方程；题中给出了直线l 与圆的两个交点与定点之间的关系，所以直线与圆的位置关系采用方程法处理，转化为研究它们交点坐标的关系，通过平面向量的数量积运算求解. 22.（本小题12分）已知函数1()f x x =，23(),()x f x e f x lnx ==.（1）设函数13()()(),h x mf x f x =-若()h x 在区间1(,2]2上单调，求实数m 的取值范围；（2）求证：231()()2()f x f x f x '>+.【答案】（1）1(,][2,)2-∞+∞U ；（2）证明见解析.试题解析：（1）由题意得()ln h x mx x =-，所以1()h x m x '=-，因为122x <≤，所以1122x≤<...............................................2分若函数()h x 在区间1(,2]2上单调递增，则()0h x '≥在1(,2]2上恒成立，即1m x ≥在1(,2]2上恒成立，所以2m ≥..................................................................4分若函数()h x 在区间1(,2]2上单调递减，则()0h x '≤在1(,2]2上恒成立，即1m x ≤在1(,2]2上恒成立，所以12m ≤ (5)分综上，实数m 的取值范围为1(,][2,)2-∞+∞U .....................................6分（2）设231()()()2()ln 2x g x f x f x f x e x '=--=--则1(),x g x e x '=-设1()x x e x ϕ=-，则21()0x x e x ϕ'=+>，所以1()x x e x ϕ'=-在(0,)+∞上单调递增，由1()02ϕ<，(1)0ϕ>得，存在唯一的01(,1)2x ∈使得0001()0x x e x ϕ=-=，所以在0(0,)x 上有0()()0x x ϕϕ<=，在0(,)x +∞上有0()()0x x ϕϕ>=所以()g x 在0(0,)x 上单调递减，在0(,)x +∞递增................................10分0min 000000111()()121220x x g x g x e nx n x x e x ==--=--=+-> 所以()0g x >，故231(0,),()()2()x f x f x f x '∀∈+∞>+................................12分考点：利用导数研究函数的单调性和极值、最值.【方法点睛】本题主要考查了利用导数研究函数的单调性和极值、最值，考查了分类讨论的思想，属于难题.给出函数在某个区间上的单调性，通常转化为函数的恒成立问题；证明不等式往往是根据题意构造新函数，转化为求函数的最值，本题中因为导函数的零点不能直接求出，可通过设出零点，再证明函数在其两侧的单调性，说明其为最小值点，证其大于零.。

2017届江西省师大附中高三三模理科数学试题及答案精品

江西省师大附中2017届高三三模数学（理）试题一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．在复平面内，复数z 满足(1)1z i +=-z 的共轭复数z 对应的点位于（） A ．第一象限Ｂ．第二象限 C ．第三象限Ｄ．第四象限2．设集合2{(3)30}A x x a x a =-++=，2{540}B x x x =-+=，集合A B 中所有元素之和为8，则实数a 的取值集合为（）A ．{0}B ．{03}，C ．{013,4}，，D ．{13,4}，3．已知命题p ：存在x R ∈，使得10lg x x ->；命题q ：对任意x R ∈，都有20x >，则（） A ．命题‚p 或q ‛是假命题 B ．命题‚p 且q ‛是真命题 C ．命题‚非q ‛是假命题D ．命题‚p 且‘非q ’‛是真命题4．若直线3(1)10x a y ++-=与直线210ax y -+=互相垂直，则251()ax x-+展开式中x 的系数为（） A ．40B ．10-C ．10D ．40-5．已知α为第二象限角，sin cos αα+=，则cos 2α=（）A B ．C D ．6．已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，又知(ln )'ln 1x x x =+，且101ln eS xdx =⎰，2017S =，则30S 为（）A ．33B ．46C ．48D ．507．如图是某个四面体的三视图，若在该四面体的外接球内任取一点，则点落在四面体内的概率为（） A ．913p B ．113pCD8．某教研机构随机抽取某校20个班级,调查各班关注汉字听写大赛的学生人数,根据所得数据的茎叶图，以组距为5 将数据分组成[)5,0,[)10,5,[)15,10,[)20,15,[)25,20,[)30,25,[)35,30,[]40,35时,所作的频率分布直方图如图所示，则原始茎叶图可能是（）9．已知实数y x ,满足⎪⎩⎪⎨⎧≤≥+≥+-2062x y x y x ，若目标函数y mx z +-=的最大值为102+-m ，最小值为22--m ，则实数m 的取值范围是( ) A ．[2,3]B ．[2,1]-C ．[1,2]-D ．[1,3]-10．已知函数()2g x x a x x =-+，若存在[]23a ∈-，，使得函数()y g x at =-有三个零点，则实数t 的取值范围是（）A.95,42⎛⎫⎪⎝⎭ B.252,12⎛⎫⎪⎝⎭C. 92,4⎛⎫⎪⎝⎭D. 52,2⎛⎫⎪⎝⎭二、填空题：本大题共4小题；每小题5分，共20分，把答案填在题中的横线上．11. 某程序框图（即算法流程图）如右图所示，若使输出的结果不大于20，则输入的整数i12.第j 列的数为ij a ，则数字4113．已知||1OA = ，||1OB = ，23AOB π∠=，1124OC OA OB =+，则OA 与OC 的夹角大小为．14. 设A 是双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>在第一象限内的点，F 为其右焦点，点A 关于原点O 的对称点为,B 若,AF BF ⊥设,ABF α∠=且,,126ππα⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦则双曲线离心率的取值范围是．三、选做题：请考生在下列两题中任选一题作答. 若两题都做，则按所做的第一题评阅计分，本题共5分.15.（1）直线l 的参数方程是x y ⎧=⎪⎨=+⎪⎩（其中t 为参数），圆C 的极坐标方程)4cos(2πθρ+=，过直线上的点向圆引切线，则切线长的最小值是（）A ．2B ．2C ．3D ．（2）设()21T x x =-，若不等式()121a T x a a ≥+--对任意实数0a ≠恒成立，则x 的取值范围是（）A ．(,1][2,)-∞-+∞B ．(,0][1,)-∞+∞C ．[0,1]D ．[1,2]-四、解答题：本大题共6小题，共75分．解答应写出文字说明、证明过程及演算步骤．16．（本小题满分12分）在ABC ∆中，角,A B C ,所对的边分别为,,a b c ，且(cos cos )cos2cos a B b A C c C +=⋅．（1）求角C ；（2）若2b a =，ABC ∆的面积sin S A B =⋅，求sin A 及边c 的值．17．（本小题满分12分）已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，首项11=a ，且对于任意+∈N n 都有n n S na 21=+．（1）求{}n a 的通项公式；（2）设12224n n n n a b a a ++=，且数列{}n b 的前n 项之和为n T ，求证：45<n T ．18.（本小题满分12分）甲、乙、丙三位同学彼此独立地从A 、B 、C 、D 、E 五所高校中，任选2所高校参加自主招生考试（并且只能选2所高校），但同学甲特别喜欢A 高校，他除选A 校外，在B 、C 、D 、E 中再随机选1所；同学乙和丙对5所高校没有偏爱，都在5所高校中随机选2所即可．（1）求甲同学未选中E 高校且乙、丙都选中E 高校的概率；（2）记X 为甲、乙、丙三名同学中未参加E 校自主招生考试的人数，求X 的分布列及数学期望.19．（本小题满分12分）如图，在三棱锥P ABC -中，⊥PA 面ABC , 0120BAC ∠=，且AB AC AP ==，M 为PB 的中点，N 在BC 上，且13BN BC =.（1）求证：MN AB；（2）求平面MAN与平面PAN的夹角的余弦值.20．（本小题满分13分）已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的左右焦点分别为12,F F ，点B 为短轴的一个端点，260OF B ∠=︒．（1）求椭圆C 的方程；（2）如图，过右焦点2F ，且斜率为(0)≠k k 的直线l 与椭圆C 相交于,D E 两点，A 为椭圆的右顶点，直线,AE AD 分别交直线3=x 于点,M N ，线段MN 的中点为P ，记直线2PF 的斜率为'k ．求证：'⋅k k 为定值．21．（本小题满分14分）设函数2()21ln ,()g x x x m x m R =-++∈．（1）当1m =时，求过点(0,1)P -且与曲线2()(1)y g x x =--相切的切线方程；yxPMENF 2AO Dl（2）求函数()y g x =的单调递增区间；（3）若函数()y g x =有两个极值点,a b ，且a b <，记[]x 表示不大于x 的最大整数，试比较[()]sin [()]g a g b 与cos([()][()])g a g b 的大小．江西师大附中高三年级三模数学（理）参考答案∴当22-≤≤时，()a=-不可能有三个零点；y g x atg x在R上是增函数，则函数()（或从选择支看，只需讨论(2,3]a∈的情形）因此，只需考虑(2,3]a∈的情形．则()x g a a∈+∞=+∞g x的值域为[(),)[2,)g x在[,)x a∈+∞为增函数，此时()二、填空题11．4； 12．8； 13．6π； 14. 1]+12.解：依题意，3141(1)(1)(1)4025i i j j i =++-⇒-==⨯ ∴41出现的次数为(31)(11)8++=或：观察知41在矩形对角线上方出现4次，共出现4×2=8（次） 13.解：如图，11||,||||24OM MC ON ===,060OMC ∠=由余弦定理，知||OC =OC OM ⊥，030AOC ∠=为所求 14.解：设左焦点为F '，令12||,||AF r AF r '==，则2||||BF F A r '==，三、选做题15. （1）D ；（2）A 四、解答题16.解：（1）∵cos 2C =cosC ，∴2cos 2C -cosC -1=0即(2cosC +1)(cosC -1)=0，又0<C <π，∴1cos 2C =-，∴C =23π.………6分（2）由余弦定理得：c 2=a 2+(2a )2-2a ·(2a )cos23π=7a 2，∴ca 又由正弦定理得：sinCsinA ，∴sinA.………9分∵S =12absinC ，∴12absinCsinA ·sinB ，∴22sin sin sin c a b C A B ⎛⎫=⋅== ⎪⎝⎭，得：csin 23π………12分 17. 解：（1）解法一：由n n S na 21=+①可得当2≥n 时，12)1(-=-n n S a n ②，由①-②可得，n n n n n a S S a n na 2)(2)1(11=-=---+，所以n n a n na )1(1+=+，即当2≥n 时，nn a a n n 11+=+，所以1,,45,34,231453423-====-n n a a a a a a a a n n ，将上面各式两边分别相乘得，22n a a n =，即22a na n ⋅=（3≥n ），又222112===a S a ，所以n a n =（3≥n ），此结果也满足21,a a ，故n a n =对任意+∈N n 都成立。

全国百强校江西师范大学附属中学届高三第三次模拟考试数学理试题

江西师大附中2017届第三次模拟考试数学（理）试卷 2017．5一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每个小题给出的四个选项中，有且只有一项符合题目要求．1．已知1213,3z i z i =-=+，其中i 是虚数单位，则12z z 的虚部为（） A ．-1 B ．45C ． i -D ．45i2．已知集合11|<22,|ln 022x A x B x x ⎧⎫⎧⎫⎛⎫=≤=-≤⎨⎬⎨⎬ ⎪⎩⎭⎝⎭⎩⎭，则()R A C B =（）A ．11,2⎛⎤- ⎥⎝⎦ B ．(]1,1-C ．1,12⎡⎫⎪⎢⎣⎭D ．∅3．给出下列两个命题：命题:p ：若在边长为1的正方形ABCD 内任取一点M ,则1MA ≤的概率为4π． ,a b a b a b a b ⋅=⋅命题q:设是两个非零向量，则“”是“与共线”的充分不必要条件；那么，下列命题中为真命题的是( ) A ．p q ∧B ．p ⌝C ．()p q ∧⌝D ．()()p q ⌝∨4．若函数()sin y k kx ϕ=+（0,2k πϕ><）与函数26y kx k =-+的部分图像如图所示，则函数()()()sin cos f x kx kx ϕϕ=-+-图像的一条对称轴的方程可以为（） A ．24x π=-B ． 1324x π=C ．724x π=D ．1324x π=-5．中国古代数学著作《孙子算经》中有这样一道算术题：“今有物不知其数，三三数之余二，五五数之余三，问物几何？”人们把此类题目称为“中国剩余定理”，若正整数N 除以正整数m 后的余数为n ，则记为)(mod m n N =，例如)3(mod 211=．现将该问题以程序框图的算法给出，执行该程序框图，则输出的n 等于( )A ．21B ．22C ．23D ．246．某食品厂只做了3种与“福”字有关的精美卡片，分别是“富强福”、“和谐福”、“友善福”、每袋食品随机装入一张卡片，若只有集齐3种卡片才可获奖，则购买该食品4袋，获奖的概率为（） A ．316B ．89C ．38D ．497．已知D 、E 是ABC ∆边BC 的三等分点，点P 在线段DE 上，若AP x AB y AC =+ ，则x y ⋅的取值范围是（） A ．14[,]99B ．11[,]94C ．21[,]92D ．21[,]948．若数列}{n a 是正项数列，且2123n a a a a n n ++++=+，则212na a a n+++等于( ) A ．n n 222+B ．n n 22+C ．n n +22D ．)2(22n n +9．已知实数x ，y 满足2,6,1,y x x y x ≥+⎧⎪+≤⎨⎪≥⎩则()12log 2|2|||y x y ⎛⎫ ⎪⎝⎭=-+函数的最大值是（） A ．12log 7⎛⎫ ⎪⎝⎭B ．12log 5⎛⎫ ⎪⎝⎭C ．2-D ．210．某几何体的三视图如图所示，则该几何体中，面积最大的侧面的面积为（） A ．1B ．2 C ．5 D ．6 2222222222222211.,1(0,0)1,2+,23213+1.3...2x y F P a b a b OM OP OF OF F M OF F M a b A B C D -=>>=⋅=+点分别为双曲线的右焦点与右支上的一点，若=(+)，且则该双曲线的离心率为（）12．已知函数()1,()ln ,x f x e ax g x x ax a =--=-+若存在0(1,2)x ∈，使得00()()0f x g x <，则实数a 的取值范围为( )A ．21(ln 2,)2e -B ．(ln 2,1)e -C ．[)1,1e -D ． 211,2e ⎡⎫-⎪⎢⎣⎭二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．13. 已知()20cos a x dx π=-⎰，则912ax ax ⎛⎫+ ⎪⎝⎭展开式中，3x 项的系数为____ _______;14．已知函数3201732017log 3,0()log (),0m x x x f x x nx x ⎧+>⎪=⎨-+<⎪⎩为偶函数，则m n -=______________; 15．正三角形ABC 的边长为2，将它沿高AD 翻折，使点B 与点C，此时四面体ABCD 的外接球的表面积为 16．数列{}n a 的前项和为n S ，且1122,33n n a a S +=-=，用[]x 表示不超过x 的最大整数，如[][]0.11,1.61-=-=，设[]n n b a =，则数列{}n b 的前2n 项和为三、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出必要的文字说明或推理、验算过程． 17．（本题满分12分）设向量()()3sin ,sin cos ,cos ,sin cos ,a x x x b x x x x R ⎛⎫=-=+∈ ⎪ ⎪⎝⎭，记函数().fx a b =⋅（1）求函数()f x 的单调递增区间；（2）在锐角ABC ∆中，角A,B ，C 的对边分别为,,a b c ，若()1,2f A a ==ABC ∆面积的最大值．18．（本题满分12分）在2017年高校自主招生期间，某校把学生的平时成绩按“百分制”折算，选出前n 名学生，并对这n 名学生按成绩分组，第一组[)75,80，第二组[)80,85，第三组[)85,90，第四组[)90,95，第五组[]95,100，如图为频率分布直方图的一部分，其中第五组、第一组、第四组、第二组、第三组的人数依次成等差数列，且第四组的人数为60．（1）请在图中补全频率分布直方图；（2）若Q 大学决定在成绩高的第3,4,5组中用分层抽样的方法抽取6名学生进行面试（I ）若Q 大学本次面试中有,,B C D三位考官，规定获得两位考官的认可即可面试成功，且各考官面试结果相互独立，已知甲同学已经被抽中，并且通过这三位考官面试的概率依次为111,,235，求甲同学面试成功的概率；（II ）若Q 大学决定在这6名学生中随机抽取3名学生接受考官B 的面试，第3组总有ξ名学生被考官B 面试，求ξ的分布列和数学期望．19．（本题满分12分）如图，在以A ，B ，C ，D ，E ，F 为顶点的多面体中，四边形ACDF 是菱形，060,FAC ∠=,,3,AB DE BC EF AB BC AF BF ====(1)求证：平面ABC ⊥平面ACDF(2)求平面AEF 与平面ACE 所成的锐二面角的余弦值20．（本题满分12分）已知椭圆2212:1(0)6x y C b b+=>的左、右焦点分别为1F 、2F ，点2F 也为抛物线22:8C y x =的焦点，过点2F 的直线l 交抛物线2C 于A B ,两点．（1）若点(8,0)P 满足PA PB =，求直线l 的方程；（2）T 为直线3x =-上任意一点，过点1F 作1TF 的垂线交椭圆1C 于M N ,两点，求1TF MN的最小值．21. （本题满分12分）已知函数()ln(2)f x x a ax =+-, 0a >. （Ⅰ）求()f x 的单调区间；（Ⅱ）记()f x 的最大值为()M a ，若210a a >>且12()()M a M a =，求证：1214a a <; （Ⅲ）若2a >,记集合{|()0}x f x =中的最小元素为0x ,设函数()|()|g x f x x =+，求证：0x 是()g x 的极小值点.FEDCBA请考生在第22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按照所做的第一题计分． 22．（本题满分10分）选修4-4：极坐标与参数方程在平面直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为3cos 1sin x t y t ϕϕ=+⎧⎨=+⎩（t 为参数），在以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴的极坐标系中，圆C 的方程为4cos ρθ=．（1）求l 的普通方程和C 的直角坐标方程；（2）当()0,ϕπ∈时，l 与C 相交于,P Q 两点，求PQ 的最小值．23．（本题满分10分）选修4-5：不等式选讲已知a x x f -=)(，其中1>a ．（1）当2=a 时，求不等式44)(--≥x x f 的解集；（2）已知关于x 的不等式2)(2)2(≤-+x f a x f 的解集为}21{≤≤x x ，求a 的值．参考答案1.B2.A 3 C 4. .B 5.C 6.D 7.D 8 .A 9.C 10. C 11.D 12.A13. 212- 14. 4 15. 5π 16. 212233n n +--17.31()sin cos cos )(sin cos )f x a b x x x x x x =⋅=⋅+-+解：（）由题意知： 13sin 22sin(2)23x x x π==- 5222,,,2321212k x k k Z k x k k Z πππππππππ-≤-≤+∈-≤≤+∈令则可得： 5(),()1212f x k k k Z ππππ⎡⎤∴-+∈⎢⎥⎣⎦的单调递增区间为（2）11(),sin(2),223236f A A ABC A πππ=∴-=∆-=结合为锐角三角形，可得4A π∴=在ABC ∆中，利用余弦定理2222cos a b c bc A =+-，即2222(22)b c bc bc =+≥-（当且仅b c =时等号成立），即2222bc ≤=-2sin sin 42A π==12212sin 2)2ABC S bc A ∆+∴==≤=（当且仅当b c =时等号成立） ABC ∴∆12+18. 解：（1）因为第四组的人数为60，所以总人数为：5⨯60=300，由直方图可知，第五组人数为0.02⨯5⨯300=30人，又6030152-=为公差，所以第一组人数为：45人，第二级人数为：75人，第三组人数为：90人(2) (I)A =设事件甲同学面试成功，则： 1141211111114()23523523523515P A =⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯= (II) =0123ξ由题意得：，，， 03123333336619(0),(1),2020C C C C P P C C ξξ======21303333336691(2),(3)2020C C C C P P C C ξξ======19913()0123202020202E ξ=⨯+⨯+⨯+⨯=19.1,O AC OF OB FC 解：（）设是的中点，连接及，在Rt ABO ∆中，3,15,AB AO OBBF ==∴===2220,90OF OB BF FOB ABC ACDF∴+=∴∠=∴⊥平面平面（2）由（1）知，,,OB OC OF 两两垂直，故可如图建立直角坐标系：0,,6011223ABC AB BC OB AC ABDF FAC FAC FOB F AC B AO AC AF OF ∆=∴⊥∠=∴∆∴⊥∴∠--∆===∴==在中，四边形是菱形，是等边三角形，OF AC是二面角的平面角在Rt FAO 中，则(0,(0,0,3)A B C F(0,3,3),(0,2AF AC ∴==,,,AB DE AF CD AB CDE AF CDF ⊄⊄平面平面,,,,DE CDE CD CDE AB CDE AF CDE AB AF A ⊂⊂∴=平面平面平面又,,,,ABF CDE EF BC B C E F ∴平面平面，共面 ,BF CE BCEF ∴从而四边形是平行四边形(6,3,0),(6,FE BC AE AF FE ∴==-=+=-设(,,)n x y zAEF =是平面的法向量，则03000(3,6,n AF z n FE n ⎧⋅=+=⎪⇒⎨⋅=+=⎪⎪⎩⎩=，取设(,,)m x y z ACE =是平面的法向量，则030(3,0,0230m AE z n m AC y ⎧⎧⋅=++=⎪⎪⇒=⎨⎨⋅==⎪⎪⎩⎩，取cos ,555555m n m n AEF ACE m n⋅∴〈〉===∴⋅平面与平面所成锐二面角的余弦值为20. 解：（1）由抛物线22:8C y x =得2(2,0)F ,当直线l 斜率不存在，即:2l x =时，满足题意 …………………………………2分当直线l 斜率存在，设:(2)(0)l y k x k =-≠，1122(,)(,)A x y B x y ,由28(2)y x y k x ⎧=⎨=-⎩ 得2222(48)40k x k x k -++= ∴21212122488,()4k x x y y k x x k k k++=+=+-= …………………4分设AB 的中点为G ，则22244(,)k G k k+， PA PB =, , 1PG PG l k k ∴⊥⋅=-，22401248k k k k -∴⨯=-+-,解得k =,则2)y x =- y∴直线l的方程为2)y x =-或2x = ………………………6分（2 ）222211(2,0), (2,0), 642, :162x y F F b C ∴-=-=+= ……………………7分设T 点的坐标为(3,)m - 则直线1TF 的斜率1032TF m k m -==--+ 当0m ≠时，直线MN 的斜率1MN k m=，直线MN 的方程是2x my =- 当0m =时，直线MN 的方程是2x =-，也符合2x my =-的形式所以直线MN 的方程是2x my =-设3344(,),(,)M x y N x y ，则221622x y x my ⎧+=⎪⎨⎪=-⎩, 得22(3)420m y my +--= 34342242,33m y y y y m m ∴+==-++ ……………………………………9分1TFMN…11分1TF MN ∴= 当且仅当22411m m +=+，即1m =±时，等号成立，此时1TF MN…………………………………………12分21. （I ）1()(2)1()22a x a a f x a x a x a-+-'=-=++，因为2x a >-，0a >，由()0f x '>，得122a x a a -<<-；由()0f x '<，得12;x a a>- 所以，()f x 的增区间为1(2,2)a a a --，减区间为1(2,)a a -+∞；（II ）由（I ）知，21()(2)21ln M a f a a a a =-=--22222112221211211211,2()111a a na a na a a na na na ∴--=--∴-=-=222212212112121221121121122ln2ln 4()2ln ,4()a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a -∴=∴⋅-=∴=-设1()2ln (1),h t t t t t =-->则22121()1(1)0h t t t t'=+-=->所以，()h t 在(1,)+∞上单调递增，()()0h t h l >=，则12ln 0t t t ->>，因211a a >，故2212121121122ln2ln 0,1a a a a a a a a a a a a ->><-，所以1214a a <（III ）由（1）可知，()f x 在区间（12,2a a a--）单调递增，又2x a →-时，()f x →-∞，易知，21(2)()211f a M a a na a-==--在(2,)+∞递增，()(2)7ln 20M a M >=->. 0122a x a a ∴-<<-，且02a x x -<<时，()0f x <；012x x a a<<-时，()0f x >.∴当122a x a a -<<-时，00(1)ln(2)(2)()1ln(2)(1)(2)a x x a a x x g x x a a x x x a a +-+-<<⎧⎪=⎨+--<<-⎪⎩于是02a x x -<<时，011()(1)(1)22g x a a x a x a '=+-<+-++，（所以，若能证明0121x a a <-+，便能证明01(1)0)2a x a +-<+，记211()(2)211(1)11H a f a a n a a a =-=+--+++，则211()4,(1)1H a a a a '=--++2a >，11()8093H a '∴>-->，()H a ∴在(2,)+∞内单调递增，22()(2)ln303H a H ∴>=->，11221a a a a -<-+， ()f x ∴在1(2,2)1a a a --+1((2,2))a a a ⊆--内单调递增，01(2,2)1x a a a ∴∈--+，于是02a x x -<<时，0111()(1)(1)(1)0122221g x a a a x a x a a aa '=+-<+-<+-=++-++，()g x ∴在0(2,)a x -递减. 当012x x a a<<-时，相应的11()(1)(1)1012(2)2g x a a x a a a a'=-->--=>+-+.()g x ∴在01(,2)x a a-递增，故0x 是()g x 的极小值点.22.解一：（1）由直线l 的参数方程3cos 1sin x t y t ϕϕ=+⎧⎨=+⎩（t 为参数），消去参数t 得，()()3sin 1cos 0x y ϕϕ---=，即直线l 的普通方程为()()sin cos cos 3sin 0x y ϕϕϕϕ-+-=，由圆C 的极坐标方程为4cos ρθ=，得()24cos 0*ρρθ-=，将222cos x x y ρθρ=⎧⎨+=⎩代入(*)得， 2240x y x +-=，即C 的直角坐标方程为()2224x y -+=.（2）将直线l 的参数方程代入()2224x y -+=得，()22cos sin 20t t ϕϕ++-=， ()24cos sin 80ϕϕ∆=++>，设,P Q 两点对应的参数分别为12,t t ，则()12122cos sin ,2t t t t ϕϕ+=-+=-，所以1223PQ t t =-==+= 因为()()0,,20,2ϕπϕπ∈∈，所以当3,sin 214πϕϕ==-时，PQ 取得最小值解法二：（1）同解法一（2）由直线l 的参数方程知，直线l 过定点()3,1M ，当直线l CM ⊥时，线段PQ 长度最小.此时()223212CM=-+=，PQ ===所以PQ 的最小值为解法三：（1）同解法一（2）圆心()2,0到直线()()sin cos cos 3sin 0x y ϕϕϕϕ-+-=的距离，cos sin 4d πϕϕϕ⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭，又因为()0,ϕπ∈，所以当34ϕπ=时，d.又PQ == 所以当34ϕπ=时，PQ取得最小值23. 解：（Ⅰ）当2=a 时，⎪⎩⎪⎨⎧≥-<<≤+-=-+4,6242,22,624)(x x x x x x x f 当2≤x 时，由44)(--≥x x f 得462≥+-x ，解得1≤x ；当42<<x 时，44)(--≥x x f 无解；当4≥x 时，由44)(--≥x x f 得，解得5≥x ；所以44)(--≥x x f 的解集为1{≤x x 或}5≥x .（Ⅱ）)(2)2()(x f a x f x h -+=记，则⎪⎩⎪⎨⎧≥<<-≤-=a x a a x a x x a x h ,20,240,2)( 由2)(≤x h ，解得2121+≤≤-a x a ，又已知2)(≤x h 的解集为}21{≤≤x x ，所以⎪⎩⎪⎨⎧=+=-221121a a 于是3=a .。

江西师大附中2016-2017学年高二上学期12月月考数学试卷(理科) 含解析

2016-2017学年江西师大附中高二（上）12月月考数学试卷（理科）一、选择题1．已知x为实数，则“”是“x＞1"的（）A．充分非必要条件B．充要条件C．必要非充分条件D．既不充分也不必要条件2．极坐标系中，点A（1，)，B(3，)之间的距离是( ）A．B．C．D．3．把曲线C1：（θ为参数)上各点的横坐标压缩为原来的,纵坐标压缩为原来的，得到的曲线C2为（)A．12x2+4y2=1 B．4x2=1 C．x2+=1 D．3x2+4y2=44．方程（t为参数)表示的曲线是( ）A．一条直线 B．两条射线C．一条线段 D．抛物线的一部分5．设A={（x，y）｜y=1+｝，B=｛（x,y）|y=k(x﹣2）+4}，若A∩B中含有两个元素，则实数k的取值范围是（）A．B．C．D．6．在下列函数中，当x取正数时，最小值为2的是( ）A．B．C． D．7．如图所示，某公园设计节日鲜花摆放方案，其中一个花坛由一批花盆堆成六角垛．顶层一个,以下各层堆成正六边形,逐层每边增加一个花盆,若这垛花盆底层最长的一排共有13个花盆,则底层的花盆的个数是（）A．91 B．127 C．169 D．2558．已知过双曲线C:﹣=1（a＞0,b＞0)的中心的直线交双曲线于点A，B，在双曲线C上任取与点A，B不重合的点P，记直线PA,PB,AB 的斜率分别为k1，k2，k，若k1k2＞k恒成立，则离心率e的取值范围为( ）A．1＜e＜B．1＜e≤C．e＞D．e≥9．已知f（x）是可导的函数,且f′（x）＜f（x）对于x∈R恒成立，则（）A．f（1）＜ef（0）,f（2 014）＞e2014f(0）B．f（1)＞ef（0），f(2 014）＞e2014f（0）C．f（1）＞ef（0)，f(2 014)＜e2014f（0） D．f（1）＜ef（0），f（2 014）＜e2014f（0)10．直线l:y=k（x﹣)与曲线x2﹣y2=1（x＞0）相交于A、B两点,则直线l倾斜角的取值范围是( )A．｛0，π）B．（，）∪(，）C．［0，）∪（，π) D．（，）11．若直线l1：y=x,l2：y=x+2与圆C：x2+y2﹣2mx﹣2ny=0的四个交点把圆C分成的四条弧长相等，则m=（）A．0或1 B．0或﹣1 C．1或﹣1 D．012．定义在R上的函数f（x）满足：f′（x)﹣f（x)=x•e x，且f（0)=，则的最大值为（）A．0 B． C．1 D．2二.填空题13．下列有关命题的说法正确的有（填写序号）①命题“若x2﹣3x+2=0，则xx=1”的逆否命题为：“若x≠1,则x2﹣3x+2≠0"②“x=1”是“x2﹣3x+2=0"的充分不必要条件③若p∧q为假命题，则p．q均为假命题④对于命题p：∃x∈R使得x2+x+1＜0，则￢p：∀x∈R,均有x2+x+1≥0．14．已知f（x)为偶函数,当x≤0时,f（x）=e﹣x﹣1﹣x，则曲线y=f（x）在点（1，2)处的切线方程是．15．已知f（x）=x3﹣6x2+9x﹣abc，a＜b＜c，且f(a）=f（b）=f（c）=0．现给出如下结论:①f（0）f（1)＞0;②f（0）f(1）＜0；③f（0)f（3)＞0；④f（0）f(3）＜0．其中正确结论的序号是．16．在平面直角坐标系中，当P（x，y）不是原点时，定义P的“伴随点”为P′(，)；当P是原点时，定义P的“伴随点“为它自身,平面曲线C上所有点的“伴随点”所构成的曲线C′定义为曲线C的“伴随曲线"．现有下列命题：①若点A的“伴随点”是点A′，则点A′的“伴随点”是点A；②单位圆的“伴随曲线"是它自身；③若曲线C关于x轴对称，则其“伴随曲线”C′关于y轴对称；④一条直线的“伴随曲线”是一条直线．其中的真命题是（写出所有真命题的序列）．三、解答题17．设命题p：“对任意的x∈R，x2﹣2x＞a"，命题q：“存在x∈R，使x2+2ax+2﹣a=0”．如果命题p∨q为真，命题p∧q为假，求实数a的取值范围．18．以直角坐标系的原点O为极点,x轴的正半轴为极轴，且两个坐标系取相等的长度单位．已知直线l的参数方程为为参数，0＜α＜π)，曲线C的极坐标方程为ρsin2θ=4cosθ．（Ⅰ）求曲线C的直角坐标方程;(Ⅱ)设点P的直角坐标为P（2，1),直线l与曲线C相交于A、B两点，并且，求tanα的值．19．数列｛a n}的前n项和记为S n,已知a n=．（Ⅰ）求S1，S2，S3的值，猜想S n的表达式;(Ⅱ）请用数学归纳法证明你的猜想．20．已知圆O：x2+y2=4，点F（，0），以线段MF为直径的圆内切于圆O，记点M的轨迹为C（1）求曲线C的方程;（2）若过F的直线l与曲线C交于A,B两点,问：在x轴上是否存在点N,使得•为定值?若存在,求出点N坐标；若不存在，说明理由．21．如图，P是抛物线C：上横坐标大于零的一点，直线l过点P并与抛物线C在点P处的切线垂直，直线l与抛物线C相交于另一点Q．（1）当点P的横坐标为2时，求直线l的方程；（2)若，求过点P，Q，O的圆的方程．22．已知直线x﹣y+1=0经过椭圆S：的一个焦点和一个顶点．（1）求椭圆S的方程;（2）如图，M,N分别是椭圆S的顶点，过坐标原点的直线交椭圆于P、A两点，其中P在第一象限,过P作x轴的垂线，垂足为C，连接AC，并延长交椭圆于点B，设直线PA的斜率为k．①若直线PA平分线段MN，求k的值;②对任意k＞0，求证：PA⊥PB．2016—2017学年江西师大附中高二（上)12月月考数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题1．已知x为实数,则“"是“x＞1”的（）A．充分非必要条件B．充要条件C．必要非充分条件D．既不充分也不必要条件【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．【分析】解分式不等式“＜1”,可以求出其对应的x的范围,根据充分条件和必要条件的定义,得到答案【解答】解：当“＜1”时，“x＞1或x＜0”，即“”⇒“x＞1”不成立即“”是“x＞1"的不充分条件；当“x＞1”时,“＜1”成立即“＜1”是“x＞1”的必要条件;故“＜1”是“x＞1”的必要不充分条件；故选：C2．极坐标系中，点A（1，）,B（3，）之间的距离是( ) A．B．C．D．【考点】简单曲线的极坐标方程．【分析】利用余弦定理即可得出．【解答】解:∵∠AOB==．∴｜AB|==．故选：C．3．把曲线C1：（θ为参数）上各点的横坐标压缩为原来的,纵坐标压缩为原来的，得到的曲线C2为（）A．12x2+4y2=1 B．4x2=1 C．x2+=1 D．3x2+4y2=4【考点】参数方程化成普通方程．【分析】根据题意，写出曲线C2的参数方程，消去参数，化为直角坐标方程．【解答】解：根据题意，曲线C1上各点的横坐标压缩为原来的,纵坐标压缩为原来的，得到的曲线C2：（θ为参数)，消去参数，化为直角坐标方程是4x2+=1．故选：B．4．方程（t为参数）表示的曲线是（）A．一条直线 B．两条射线C．一条线段 D．抛物线的一部分【考点】参数方程化成普通方程．【分析】由t的范围求出x的范围,直接得到方程(t为参数)表示的曲线是两条射线．【解答】解：∵的定义域为｛t|t≠0}．当t＞0时,x=；当t＜0时,x=．∴方程(t为参数）表示的曲线是两条射线．如图:故选：B．5．设A=｛（x,y)｜y=1+｝，B={（x，y）|y=k（x﹣2）+4}，若A∩B中含有两个元素，则实数k的取值范围是（）A．B．C．D．【考点】直线与圆的位置关系．【分析】根据题意，集合A对应的图形是以C（0，1）为圆心、半径为2的圆的上半圆；集合B对应的图形是经过定点P(2，4)的一条直线．A∩B中有两个元素，说明直线与圆有两个公共点，由此利用点到直线的距离公式和斜率公式加以计算,并观察直线倾斜角的变化,可得本题答案．【解答】解：由，平方化简得x2+（y﹣1）2=4（y≥1）,∴集合A表示以C（0，1）为圆心，半径为2的圆的上半圆．∵y=k（x﹣2）+4的图象是经过定点P（2,4）的一条直线,∴当直线与半圆有两个公共点时，集合C=A∩B中有两个元素．由直线y=k(x﹣2)+4与半圆相切时，圆心到直线的距离等于半径，得=2,解之得k=(舍负）又∵直线经过半圆的左端点A(﹣2,1）时,它们有两个交点，此时k==，∴当直线夹在PA到PB之间（可与PA重合,不与PB重合)时,直线y=k（x﹣2)+4与半圆有两个公共点，可得k∈．故选：B6．在下列函数中，当x取正数时，最小值为2的是( ）A．B．C． D．【考点】基本不等式．【分析】利用基本不等式的使用法则“一正二定三相等”即可判断出结论．【解答】解：当x取正数时，对于A．x+≥2=4，当且仅当x=2时取等号，最小值为4．对于B．lg（x+1）＞0，∴lg(x+1)+≥2=2，当且仅当x=9时取等号,最小值为2．对于C。

江西师大附中2017届高三上学期11月月考数学试卷(文科) 含解析

2016—2017学年江西师大附中高三（上)11月月考数学试卷（文科)一、选择题:本大题共12小题．每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．设全集U为整数集，集合A=｛x∈N｜y=}，B={x∈Z|﹣1＜x≤3},则图中阴影部分表示的集合的真子集的个数为()A．3 B．4 C．7 D．82．命题“∀n∈N*，f（n）∈N＊且f（n）≤n”的否定形式是（）A．∀n∈N＊，f(n）∉N*且f（n)＞n B．∀n∈N*,f（n)∉N*或f（n）＞nC．∃n0∈N*,f（n0）∉N*且f（n0）＞n0D．∃n0∈N*,f（n0）∉N＊或f（n0）＞n03．《九章算术》之后，人们进一步用等差数列求和公式来解决更多的问题，《张丘建算经》卷上第22题为:“今有女善织，日益功疾（注：从第2天开始，每天比前一天多织相同量的布),第一天织5尺布，现在一月（按30天计),共织390尺布”，则从第2天起每天比前一天多织（）尺布．A．B．C．D．4．已知两条不同的直线m，n和两个不同的平面α，β，以下四个命题：①若m∥α，n∥β,且α∥β，则m∥n；②若m⊥α，n∥β,且α∥β，则m⊥n；③若m∥α，n⊥β，且α⊥β,则m∥n；④若m⊥α，n⊥β,且α⊥β，则m⊥n．其中正确命题的个数是（）A．4 B．3 C．2 D．15．已知函数f（x）=sinxcosx﹣x,则函数f(x）图象的一条对称轴是() A．B．C．D．6．如图是某几何体的三视图，俯视图是边长为2的正三角形，则该几何体的体积是（）A．4 B．6 C． D．7．如图，在正三棱柱ABC﹣A′B′C′中，若AA′=2AB,则异面直线AB′与BC′所成角的余弦值为（）A．0 B．C．D．8．如图正六边形ABCDEF的边长为1,点G是边AF的中点，则=（)A．1 B．C．D．9．已知f（x)=x2+sin,f′（x）为f（x）的导函数，则f′(x）的图象是（）A．B．C．D．10．设k∈R,动直线l1：kx﹣y+k=0过定点A，动直线l2:x+ky﹣5﹣8k=0过定点B，并且l1与l2相交于点P，则|PA｜+｜PB|的最大值为(）A．B． C．D．11．已知f（x）是定义在R上的增函数，函数y=f（x﹣1）的图象关于点（1，0）对称．若对任意的x，y∈R，不等式f（x2﹣6x+21）+f（y2﹣8y)＜0恒成立，则当x＞3时,x2+y2的取值范围是（）A．（3，7) B．（9，25） C．（13,49）D．（9，49)12．已知函数f(x）=ln+,g(x)=e x﹣2,若g(m)=f（n）成立,则n﹣m的最小值为（) A．1﹣ln2 B．ln2 C．2﹣3 D．e2﹣3二、填空题:本大题共4小题，每小题5分,共20分.13．已知直线3x+4y+17=0与圆x2+y2﹣4x+4y﹣17=0相交于A，B，则｜AB|=．14．已知一个正倒立的圆锥容器中装有一定的水,现放入一个小球后,水面恰好淹过小球（水面与小球相切）,且圆锥的轴截面是等边三角形,则容器中水的体积与小球的体积之比为．15．已知数列｛a n｝的首项为1，数列{b n}为等比数列,且，则a15=．16．某公司租赁甲、乙两种设备生产A，B两类产品，甲种设备每天能生产A类产品5件和B类产品10件,乙种设备每天能生产A类产品6件和B类产品20件．已知设备甲每天的租赁费为200元，设备乙每天的租赁费为300元,现该公司至少要生产A类产品50件，B类产品140件，所需租赁费最少为元．三、解答题:解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤，本大题6小题,共70分。

江西省师范大学附属中学2017届高三数学10月月考试题理

江西师范大学附属中学2017届高三数学10月月考试题理第Ⅰ卷（选择题共60分）一、选择题：本大题共12小题。

每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1. 已知集合2{|16}A x x =≤，{|2}xB y y ==，则A B I =（）A. [4,0)-B. (0,4]C. (4,0)-D. (0,4)2. 设x y R ∈、，则"1x ≥且1"y ≥是22"2"x y +≥的（）A. 既不充分也不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 充分不必要条件3. 已知命题*:p x N ∀∈，11()()23x x ≥；命题*:q x N ∃∈，122x x -+=为真命题的是（） A. P q ∧B. ()p q ⌝∧C. ()p q ∧⌝D. ()()p q ⌝∧⌝4. 下列函数中，既是偶函数又在区间(0,3)内是增函数的是（） A. 12log ||y x =B. cos y x =C. x xy e e -=+D. 1y x x=+5. 已知tan 2((0,))ααπ=∈，则5cos(2)2πα+=( )A. 35B. 45C. 35-D. 45-6. 将函数()sin cos f x x x =+的图象向右平移(0)ϕϕ>个单位长度后，所得的函数图像关于原点对称，则ϕ的最小值是（） A.4πB.2πC. 34πD. 32π7. 已知函数3()sin 4(,)f x a x bx a R b R =++∈∈，()f x '为()f x 的导函数，则(2016)(2016)(2017)(2017)f f f f ''+-+--=（）A. 0B. 2016C. 2017D. 88. 已知定义在R 上的偶函数||()21()x m f x m R -=-∈，记0.52(log 3),(log 5)a f b f ==. (2)c f m =，则,,a b c 的大小关系为（） A. a b c <<B. a c b <<C. c a b <<D. c b a <<9. 已知函数131()sin cos2()22f x a x x a a R a =-+-+∈，若对任意x R ∈都有()0f x ≤，则实数a 的取值范围是（）A. 3[,0)2-B. [1,0)(0,1]-UC. (0,1]D. [1,3]10. 设0x 为函数()sin f x x π=的零点，且满足001||()332x f x ++<，则这样的零点有（）A. 61个B. 63个C. 65个D. 67个11. 已知函数()2sin(2)(||)f x x ϕϕπ=-+<，若5(,)58ππ是()f x 的一个单调递增区间，则ϕ的取值范围是（）A. 93[,]1010ππ--B. 29[,]510ππC. [,]104ππD. [,](,)104ππππ--U 12. 已知定义在R 上的函数)(x f 和)(x g 分别满足222'(1)()2(0)2x f f x e x f x -=⋅+-⋅， 0)(2)('<+x g x g ，则下列不等式成立的是( ) A.(2)(2015)(2017)f g g ⋅< B.(2)(2015)(2017)f g g ⋅> C.(2015)(2)(2017)g f g <⋅D.(2015)(2)(2017)g f g >⋅第Ⅱ卷二、填空题：本大题共4小题，每小题5分.13. 121(x dx -⎰=14. 设()f x 为定义在R 上的奇函数，当0x >时，3()log (1)f x x =+，则(2)f -= 15. 已知函数()sin()(0,0,0)f x A x A ωϕωϕπ=+>><<的部分图像如图所示，则曲线()f x 在(0,(0))f 处在的切方程为 16. 已知G 点为ABC ∆的重心，且满足BG CG ⊥，若11tan tan tan B C Aλ+=则实数λ=三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.17.（本小题10分）已知函数2lg(34)y x x -+的定义域为M （1）求M（2）当x M ∈时，求2()42x x f x +=+的最小值.18. （本小题12分）ABC ∆的内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，且 2cos (cos cos )C a B b A c +=. （1）求C（2）若c =ABC S ∆，求ABC ∆的周长.19. （本小题12分）在如图所示的空间几何体中，平面ACD ⊥平面ABC ，ACD ∆与ACB V都是边长为2的等边三角形，2BE =，BE 与平面ABC 所成的角为60o，且点E 在平面ABC 上的射影落在ABC ∠的平分线上.（1）求证：//DE 平面ABC ；（2）求二面角E BC A --的余弦值.20. （本小题12分）如图所示，在平面直角坐标系xOy 中，角α的顶点在原点，始边与x 轴的非负半轴重合，终边交单位圆于点A ，[,]42ππα∈，将角α的终边绕原点逆时针方向旋转3π交单位圆于点B ，过B 作BC y ⊥轴于C .（1）若点A ，求点B 的横坐标; （2）求AOC ∆面积S 的最大值.21. （本小题12分）已知椭圆22221(0)x y a b a b +=>>，以椭圆的一个短轴C 方程为222()()()a x a y b b -+-=.（1）求椭圆及圆C 的方程；（2）过原点O 作直线l 与圆C 交于A ，B 两点，若2CA CB ⋅=-u u r u u r，求直线l 的方程.22. （本小题12分）已知函数1()f x x =，23(),()x f x e f x lnx ==.（1）设函数13()()(),h x mf x f x =-若()h x 在区间1(,2]2上单调，求实数m 的取值范围；（2）求证：231()()2()f x f x f x '>+.高三数学（理）答案一、选择题二、填空题13.232π+ 14. -1 15. 230y +-= 16. 1216. 0BG CE BG CG ⊥⇒⋅=uu u r uu u r Q 11()()033BA BC CA CB ∴+⋅+=uu r uu ur uu r uu r()(2)0BA BC BA BC ∴+⋅-=uu v uu u v uu v uu u v222BA BC BA BC --⋅uu v uu u v uu v uu u v Q 22222202a c b C a ac ac +-∴--⋅= 2225a b c ∴=+ 而tan tan tan tan A A B C λ=+sin sin()cos sin sin A B C A B C +=⋅⋅2222222222221422a a a b c a b c a a bc bc====+-+-⋅三、解答题 17.解（1）2101340xx x x +⎧≥⎪-⎨⎪-+>⎩11x ⇒-≤<[1,1)M ∴=-..................................................6分（2）22()(2)4244x x f x a a a =+⋅+-令12[,2)2xt =∈221()4(2)4,[,2)2g t t t t t ∴=+=+-∈min min 1259()()4244f xg t g∴===-=.....................................................................................12分18. 解：（1）由已知可得2cos (sin cos sin cos )sin C A B B A C += 12cos sin()sin cos 23C A B C C C π∴+=⇒=⇒=.....................................................................6分（2）11sin 622ABC S ab C ab ab ∆==⇒=................................................................8分又2222cos a b ab C c +-=Q2213∴+=，a b2a b a b∴+=⇒+=................................................................ ()255.............10分∴∆的周长为ABC5+................................................................................ .........................12分19. 解：（1）由题意知ABC ∆、ACD ∆为边长2的等边∆ 取AC 的中点O ，连接BO ，BO ，则BO AC ⊥，DO AC ⊥. 又平面ACD ⊥平面ABC ，DO ∴⊥平面ABC ，作EF ⊥平面ABC ，那么//EF DO ，根据题意，点F 落在BO 上，BE Q 和平面ABC 所成的角为60o ，60EBF ∴∠=o ，2BE =Q，EF DO ∴==∴四边形DEFO 是平行四边形，//DE OF ∴. DE ⊄Q 平面ABC，OF ⊂平面ABC ， //DE ∴平面ABC ............................................6分（2）建立如图所示的空间直角坐标系O xyz -，则B ，(1,0,0)C -，E ，(1,BC ∴=-uu u r(0,BE ∴=-uu u r 平面ABC 的一个法向量为1(0,0,1)n =...................................................................................8分设平面BCE 的法向量2(,,)n x y z =u u v 则220,0n BC n BE ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩uu ur u u v uu u r u u v0x y ⎧-=⎪∴⎨-=⎪⎩ 取1z =，2(n ∴=-u u v....................................................................................................10分121212cos(,)||||n n n n n n ⋅∴==⋅u v u u vu v u u v u v u u v ，又由图知，所求二面角的平面角是锐角，二面角E BC A --的余弦值为. ..........................................................................................................12分20. 解：（1）定义得A (cos ,sin ),(cos(),sin())33B ππαααα++,依题意可知sin (,)42ππαα=∈，所以3πα=，所以B 的横坐标为21cos()cos .332ππα+==-.............................................5分（2）因为||1OA =，||sin(),,32OC AOC ππαα=+∠=-所以1||||sin 2S OA OC AOC =⋅⋅∠1sin()sin()232ππαα=+⋅- 11(sin )cos 22ααα=+ 211(sin cos )22ααα=+111cos2(sin 2)242αα+=11(sin 2)42αα=+1sin(2)43πα=+............................................................9分又因为[,)42ππα∈，所以542(,)363πππα+∈，当5236ππα+=，即4πα=时，sin(2)3πα+取得最大值为12，所以以S 的最大值为............................................................................12分21. 解：（1）设椭圆的焦距为2c ，左、右焦点分别为12(,0),(,0)F c F c -可得c a =，即22234a b a -=，所以2,a b b ==...............................................................3分以椭圆的一个短轴端点及两个焦点为顶点的三角形的面积为122b c ⋅，即122c ⨯，2,1c a b ∴===所以椭圆的方程2214x y +=，圆的方程为22(2)(1)4x y -+-=.............................................5分（2）①当直线l 的斜率不存时，直线方程为0x =，与圆C 相切，不符合题意..................6分②当直线l 的斜率存在时，设直线方程y kx =，由22(2)(1)4y kx x y =⎧⎨-+-=⎩可得22(1)(24)10k x k x +-++=，由条件可得22(24)4(1)0k k ∆=+-+>，即34k >-................................................................8分设11(,)A x y ，22(,)B x y ，则122241k x x k ++=+，12211x x k =+222121212122224(),11k k k y y k x x y y k x x k k ++=+===++而圆心C 的坐标为（2，1）则11(2,1),CA x y =--uu r 22(2,1)CB x y =--uu r，所以1212(2)(2)(1)(1)2CA CB x x y y ⋅=--+--=-uu r uu r，即121212122()()52x x x x y y y y -++-++=- 所以222222124242521111k k k kk k k k ++-⨯+-+=-++++解得k =或43k =...............................10分.:0l y ∴=或430x y -=...........................................................................................................12分22. 解：（1）由题意得()ln h x mx x =-，所以1()h x m x '=-，因为122x <≤，所以1122x≤<....................................................................................................................2分若函数()h x 在区间1(,2]2上单调递增，则()0h x '≥在1(,2]2上恒成立，即1m x ≥在1(,2]2上恒成立，所以2m ≥..........................................................................................................4分若函数()h x 在区间1(,2]2上单调递减，则()0h x '≤在1(,2]2上恒成立，即1m x ≤在1(,2]2上恒成立，所以12m ≤.............................................................................5分综上，实数m 的取值范围为1(,][2,)2-∞+∞U ...................................................................6分（2）设231()()()2()ln 2x g x f x f x f x e x '=--=-- 则1(),x g x e x '=-设1()x x e x ϕ=-，则21()0x x e x ϕ'=+>，所以1()x x e xϕ'=-在(0,)+∞上单调递增，由1()02ϕ<，(1)0ϕ>得，存在唯一的01(,1)2x ∈使得0001()0x x e x ϕ=-=，所以在0(0,)x 上有0()()0x x ϕϕ<=，在0(,)x +∞上有0()()0x x ϕϕ>=所以()g x 在0(0,)x 上单调递减，在0(,)x +∞递增...................................................................10分0min 000000111()()121220x x g x g x e nx n x x e x ==--=--=+-> 所以(g x >，故2(0,),x f x f x '∀∈+∞>..........................................................12分。

江西师范大学附属中学2016-2017学年高一1数学试题含解析精品

高一数学寒假作业（1）高一____班姓名__________一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．设集合{|},{|ln(2)}A x y x N B x x ==∈=-，则A B 表示的集合为（）A ．{1}B ．{|02}x x ≤<C ．{0,1}D ．{0,1,2}【解析】∵220x x -≥，即(2)0x x -≤，∴02x ≤≤，∴{0,1,2}A = ∵20x ->，∴2x <，∴(,2)B =-∞，{0,1}A B = ，故选C.2．下列函数中，既是奇函数，又在区间(0+)∞，上为增函数的是（）A ．1ln1xy x+=- B ．3y x = C ．3x y = D ．x y sin =【解析】A ：定义域为(1,1)-，不满足在(0+)∞，上单调递增，故A 错误；B ：符合题意，故B 正确；C ：不符合奇函数，故C 错误；D ：不满足在(0+)∞，上单调递增，故D 错误，故选B. 3．若(cos ,sin ),a αα= b (cos ,sin )ββ=，则（）A ．a b ⊥B ．a ∥bC ．(a )(a )b b +⊥-D ．(a )b + ∥(a )b -【解析】 ()()a b a b +⋅-=(cos α+cos β)( cos α-cos β)+(sin α+sin β)( sin α-sin β)=cos 2α+sin 2α-cos 2β2-sin β=0，∴选项C 正确．4．2cos10sin20sin70-的值是（）A C ．12D【解析】原式=2cos 30-20sin20sin70- （）=2cos30cos202sin30sin20sin20sin70+- ，选B.5．在△ABC 中，若sin cos 1sin 2A B C =，则△ABC 的形状一定是（）A ．等腰三角形B ．直角三角形C ．等腰直角三角形D ．等边三角形【解析】由原式得2sinAcosB=sin(A+B)+sin(A-B)=sinC ，因为0A B <+<π,0C <<π,∴sin(A-B)=0,A=B ．故选A ．6．已知函数f(x)＝Acos(ωx ＋φ)的图象如图所示，f(π)＝－2，则f(0)＝( )A ．－23B ．－12CD ．12【解析】由题意可知，此函数的周期T ＝2(12π－12π)＝3，故2πω＝2π3，∴ω＝3，f(x)＝Acos(3x ＋φ)．f(π2)＝Acos(3π2＋φ)＝Asin φ＝－23．又由题图可知f(7π12)＝Acos(3×7π12＋φ)＝Acos(φ－14π)＝22(Acos φ＋Asin φ)＝0，∴f(0)＝Acos φ＝23．7．下列函数中，最小正周期为π的偶函数是（） A ．x x y 2cos 2sin += B ． )22cos(π+=x yC ． )12cos(-=x yD ． x y 2cos =【解析】函数)42sin(22cos 2sin π+=+=x x x y ，最小正周期为π，是非奇非偶函数，故排除A ；函数x x y 2sin )22cos(-=+=π，最小正周期为π，是奇函数，故排除B ；函数)12cos(-=x y 最小正周期为π，是非奇非偶函数，故排除C ；函数22cos 1cos 2xx y +==是最小正周期为π的偶函数，故选D ． 8．已知函数()sin()(0,0,0)f x A x A ωϕωϕπ=+>><<的图象与x 轴的一个交点(,0)12π-到其相邻的一条对称轴的距离为4π．若3()122f π=，则函数()f x 在[0,]2π上的最小值为（）A ．12 B ．D ．12-【解析】由题意可得，44T π=，∴2T ππω==，即=2ω. 当12x π=-时，sin()06πϕ-+=，解得,6k k Z πϕπ-+=∈.∵0ϕπ<<，∴6πϕ=，∴此时()Asin(2x )6f x π=+.∴3()Asin 12322f A ππ===，∴A =())6f x π=+.∵[0,]2x π∈，∴72[,]666x πππ+∈，∴72,662x x πππ+==时，有min ()f x =，故选C.9．某化工厂产生的废气经过过滤后排放，以模型0kxy Pe -=去拟合过滤过程中废气的污染物数量/ymg L 与时间x h 间的一组数据时，为了求出回归方程，设ln z y =，其变换后得到线性回归方程0.52ln 300z x =-++，则当经过6h 后，预报废气的污染物数量为（）A ．2300e /L mgB ．300e /L mgC ．2300e /L mg 【解析】∵00ln ln()ln kxz y Pe P kx -===-，与0.52ln 300z x =-++比较得0.5k =，0ln 2ln300P =+，20300P e =，∴20.5300x y e e -=⋅，即0.52300x y e -+=.则当6x =时，0.562300300y ee-⨯+==，故选D.10．将函数2sin()(0)3y x ωωπ=+>的图象分别向左、向右各平移π3个单位后，所得的两个图象的对称轴重合，则ω的最小值为（）．43C ．6D ．3【解析】由题意可知，2π3,,322T k k k k Z πωω=⋅==∈，∴ω的最小值为32. 11．已知向量,a b 满足||1,||2,|2|2a b a b ==+= ，则向量b 在向量a方向上的投影是（）A ．12-B ．1-C ．12D ．1【解析】设向量a 、b 的夹角为θ，对|2|2+=a b 的两边同时平方可得，222|2|44+=+⋅+=a b a a b b 441+⨯⨯2cos θ+44=，所以1cos 2θ=-，故向量b 在向量a 方向上的投影是1||cos 2()12θ=⨯-=-b ，选B ．12．已知函数31()()xx f x e x e=-，若实数a 满足20.5(log )(log )2(1)f a f a f +≤，则实数a 的取值范围是（）A ．1(,)(2,)2-∞+∞B ．1(,][2,)2-∞+∞ ．1(,2)2【解析】由3311()()()()()xxx xf x e x e x f x e e ---=--=-=，知函数()f x 是偶函数， ∴0.50.52(log )(log )(log )f a f a f a =-=. 又0x >时，1xx y e e=-与3y x =是增函数且均为正，∴()f x 在(0,)+∞上是增函数.20.522(log )(log )2(1)2(log )2(1)(log )(1)f a f a f f a f f a f +≤⇔≤⇔≤ 21|log |1|lg |lg 222a a a ≤⇒≤⇒≤≤，故选C. 二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分．请把答案填在题中横线上） 13．=++-9log 01.0lg )21(32．【答案】4 【解析】42243log 1001lg29log 01.0lg )21(23232=+-=++=++-，答案应填：4． 14．函数3()sin 2016f x x x =++(x ∈R )，若()2015f a =，则()f a -= ．【答案】2017【解析】设()F x =3()2016sin f x x x -=+，显然()F x 为奇函数，又()()20161F a f a =-=-，∴()()20161F a f a -=--=，得()2017f a -=．15．设1sin cos ,(0,π)5ααα+=∈，则πtan()4α+= ．【答案】17-【解析】1sin cos ,(0,π),5ααα+=∈ 两边同时平方得2sin 2sin cos ααα++21cos 25α=， 12sin cos =0,sin 0,cos 0,25∴∴αααα-<><的根，是方程和0251251cos sin 2=--∴x x αα解得434s i n =co553，，∴ααα--． ∴tan 11tan()41tan 7π++==--ααα．16．已知函数2,0()165,0x x f x x x x x ⎧≤⎪=-⎨⎪-+->⎩，若函数[()]y f f x a =-有6个零点，则实数a 的取值范围是．【答案】41a -≤≤-【解析】由题可知，函数()f x 的图象如图所示.令()f x a t -=，若要使[()]y f f x a =-有6个零点，则由()0f t =，解得0,1,5t =.所以有()f x a =或()1f x a =+或()5f x a =+，（15a a a <+<+）.对于上述方程，要满足条件，则其零点个数的可能性为2,2,2或1,2,3或3,3,0三种可能.若零点个数分别为2,2,2，则有5150a a a -<<+<+<或510,154a a a -<<+<≤+<，解得41a -≤<-；若零点个数分别为1,2,3，由图知，若54a +=，则1a =-，所以10a +=，满足条件，所以1a =-；若5a <-，510,051a a -<+<≤+<，无解；若零点个数分别为3,3,0，则有011,54a a a ≤<+<+>，无解. 综上可知，满足条件的实数a 的取值范围是41a -≤≤-.三、解答题（本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17．（本小题满分10分）已知函数)4sin(cos 22)(π+=x x x f ．(1)求函数)(x f 的最小正周期及图象的对称轴方程； (2)求函数)(x f 的单调区间．【解析】（1）2()sin()()2sinxcosx 2cos 422f x x x x x x π=+=+=+sin 2x cos 21)14x x π=++=++，∴T π=由2,42x k k Z πππ+=+∈，得,28k x k Z ππ=+∈，∴对称轴方程为,28k x k Z ππ=+∈.（2）由222,242k x k k Z πππππ-≤+≤+∈，得3,88k x k k Z ππππ-+≤≤+∈；由3222,242k x k k Z πππππ+≤+≤+∈，得5,88k x k k Z ππππ+≤≤+∈， ∴函数)(x f 的单调增区间为3[,],88k k k Z ππππ-++∈；单调减区间为5[,],88k k k Z ππππ++∈18．（本小题满分12分）已知向量a ＝（3sin α，cos α），b＝(2sin α, 5sin α－4cos α)，α∈（ππ2,23），且a b ⊥ ． (1)求tan α的值；(2)求cos(32πα+)的值．【解析】(1)∵a b ⊥ ，∴0a b ⋅= ．而a ＝（3sin α，cos α），b＝(2sin α, 5sin α－4cos α)，故a b ⋅＝6sin2α＋5sin αcos α－4cos2α＝0．由于cos α≠0，∴6tan2α＋5tan α－4 ＝0．解之，得tan α＝－，或tan α＝． ∵3(,2)2αππ∈，tan α＜0，故tan α＝（舍去）．∴tan α＝－． (2)∵3(,2)2αππ∈，∴3(,)24αππ∈．由tan α＝－，求得1tan22α=-，t a n 2α＝2（舍去）．∴s i n c o s 22αα=，cos(π23α+)＝ππc o s c o s s i n s i n 2323αα-＝12⨯ ＝ 19．（本小题满分12分）已知M ＝(1+cos2x ，1)，N ＝(1，3sin2x +a )(x ，a ∈R ，a 是常数)，且y =· (O 是坐标原点) (1)求y 关于x 的函数关系式y =f (x )；(2)若x ∈，f (x )的最大值为4，求a 的值，并说明此时f (x )的图象可由y =2sin(x +6π)的图象经过怎样的变换而得到．【解析】(1)y =OM ·ON ＝1+cos2x +3sin2x +a ，得f (x ) =1+cos2x +3sin2x +a ；(2)f (x ) =1+cos2x +3sin2x +a 化简得f (x ) =2sin(2x +6π)+a +1，x ∈。

数学人教版高中三年级上册 2017年全国高中数学联赛江西省师大附中预赛试题及参考答案 (1)

2017年全国高中数学联赛江西省预赛试题及参考答案一、填空题1、化简++++++344312332112211…=++20162017201720161.201711-解：由111)1(1)1).(1(1)1(11+-=+-+=+++=+++k k k k k k k k k k k k k k 可得.2、若sinx+cosx=22,825cos sin 33=+x x . 解:4121)cos (sin cos sin 2-=-+=x x x x ,82582342)cos (sin cos sin 3)cos (sin cos sin 333=+=+-+=+x x x x x x x x 3、体积为1的正四面体被放置于一个正方体中，则此正方体体积的最小值是 3 ．解：反向考虑，边长为a 的正方体（体积为a 3）,其最大内接正四面体顶点，由互不共棱的正方体顶点组成，其体积为.3a 13,3333==，则令a a 4、若椭圆的一个顶点关于它的一个焦点的对称点恰好在其准线上，则椭圆的离心率=e 2221或．解：建立坐标系，设椭圆的方程为),0,(),0,(),0(12,12,12222b B a A b a by a x ±=±=>>=+则顶点焦点)0,(2,1c F ±=，准线方程为,,2222,1b a c ca l -=±=其中据对称性，只要考虑两种情况：（1）、上，的对称点在右准线关于c a x c F a A 221)0,()0,(=-由21,22===+-a c e c c a a 得；（2）、上，的对称点在右准线关于c a x c F B 221)0,()b ,0(=由横坐标.22,202===+a c e c c a 得 5、函数14342++-=x x y 的最小值是5．解：首先，.06414342≥+-=++->x x x x y 又由),14(9)4(22+=+x x y 即0)9(8064,0)9(8202222≥--=∆=-+-y y y xy x 据判别式，即,52≥y 因y>0,则,5≥y 此值在求解）（也可以令时取得θtan 21.51==x x . 6、设+++=++22102)1(x a x a a x x n…nn x a 22+，则+++642a a a …=+na 2213-n ．解：令x=0，得a 0=1,再令x=1，得a 0+ a 1+ a 2+…+ a 2n =n3,又令x=-1，得a 0- a 1+ a 2+…+ a 2n =1，所以2132642-=++++n na a a a .7、将全体真分数排成这样的一个数列}{n a ：,43,42,41,32,31,21…，排序方法是：自左至右，先将分母按自小到大排列，对于分母相同的分数，再按分子自小到大排列，则其第2017项=2017a 651．解：按分母分段，分母为k+1的分数有k 个，因208026564,201626463=⨯=⨯，因2017属于第64段，则2017a 应是分母为65的第一数，即651. 8、将各位数字和为10的全体正整数按自小到大的顺序排成一个数列}{n a ，若2017=n a ，则n=120.解：数字和为10的两位数ab 有9个；数字和为10的三位数abc ：首位数字a 可取1，2，…，9中任意一个值，当a 取定后，b 可取0，1，…，10-a 这11-a 个数字的任意一个值，而在a,b 确定后，c 的值就唯一确定，因此三位数的个数是54)11(91=-∑=a a ；数字和为10的四位数abc 1：a+b+c=9的非负整数解（a,b,c ）的个数是55211=C ，数字和为10的四位数abc 2共有2个即2008和2017，故在1，2，…，2017中，满足条件的数有9+54+55+2=120个. 二、解答题（共70分）9、（本题满分15分）数列}{n a ，}{n b 满足：111==b a ，n n n b a a 21+=+，)1(1≥+=+n b a b n n n ．证明：（1）、21212<--n n b a ，222>n n b a ；（2）、2211-<-++nn n n b ab a ．证明：)2()(2)2(222222121n n n n n n n n b a b a b a b a --=+-+=-++…①由此递推得n n n n n n n n n n b a b a b a b a b a )1()2()1()2()(2)2(221211212121121122-=--==--=+-+=-------- …② 因此02,022122122222<->---n n n n b a b a 即有,2,2221212><--nn n n b ab a据①得22212122n n n n b a b a -=-++…③，由条件知，{}{},,n n b a 皆为严格递增的正整数数列，,0,011>>>>++n n n n b b a a 所以nn n n b a b a 212111+<+++…④nn b b 111<+…⑤ 将③④⑤相乘得2211-<-++nn n n b ab a 10、（本题满分15分）若小于2017的三个互异正整数a ，b ，c 使得33b a -，33c b -，33a c -均是2017的倍数；证明：222c b a ++必是c b a ++的倍数．证：因）（即2233a )(2017,)(2017b ab b a b a ++--；又由,20170<-<b a 注意2017为质数，则a-b 与2017互质，因此）（ab b ++22a 2017…①同理有）（bc c ++22b 2017…②）（ac c ++22a 2017…③，根据②③，]b a [20172222）（）（bc c ac c ++-++，即）（c b b a ++-a )(2017，从而）（c b ++a 2017，因正整数a,b,c 皆小于2017，得a+b+c<3*2017,因此a+b+c=2017或2*2017.又注意222a a cbc b ++++与同奇偶，故只要证）（222a 2017c b ++，将①改写为）（则知））（ac ac c b --+++22b 2017],b a a [2017…④，同理有）（bc -2a 2017，）（ab -2c 2017…⑤，将①②③④⑤式相加，得）（222a 32017c b ++于是）（222a 2017c b ++，从而）（222a )(c b c b a ++++. 11、（本题满分20分）设P =｛21，22，23，…｝是由全体正整数的平方所构成的集合；如果数n 能够表示为集合P 中若干个（至少一个）互异元素的代数和，则称数n 具有P 结构．证明：每个自然数n 都具有P 结构．证明：首先，我们可以将前十个自然数分别表示为：22222222222222222222239,318,437,4316,21524,213,43212,11,5430=+-=+-=+--=+==+-=+---==+--=再考虑区间(]224,3中的数，其中除了16=42之外，其余的数皆可表示为)61(42≤≤-=k k n 形式；并且注意到，在1，2，3，4，5，6中每个数的ｐ结构表示中，凡是表示式中42参与时，42皆以正项形式出现，于是由)61(42≤≤-=k k n 可知，此时42项便抵消（不会出现242⨯的项）；因此，区间(]224,3中的数皆具有P 结构表示，也就是24≤的每个数都具有P 结构表示，且其中最大项至多为42，而凡是含有42的表示中，42皆以正项形式出现，下面使用归纳法，假若已证得2m ≤的每个数都具有P 结构表示，且其中最大项至多为2m ，而凡是含有2m 表示中，2m 皆以正项形式出现（其中4≥m ），对于区间(]22)1(,+m m 中的数，除了最大数可以直接表示为2)1(+m 之外，其余元素n 皆可表示为：)21()1(2m k k m n ≤≤-+=，由归纳假设，22,4m m m <≥且，并且此k 具有P 结构表示，其中每项皆2m ≤，因此数n 具有P 结构表示，故由归纳法，即知所证的结论成立.12、（本题满分20分）如图，⊙1O ，⊙2O 相交于A ，B 两点，CD 是经过点A 的一条线段，其中，点C ，D 分别在⊙1O 、⊙2O 上，过线段CD 上的任意一点K ，作BD KM //，BC KN //，点M ，N 分别在BC ，BD 上，又向BCD ∆形外方向，作BC ME ⊥，BD BF ⊥，其中E 在⊙1O 上，F 在⊙2O 上；证明：KF KE ⊥．证明：设⊙1O 、⊙2O 的半径分别为21,r r ，由于ABEC 共圆，ABFD 共圆，得,sin 2,221BAD r BD BAC sim r BC ∠=∠= 而,r ,18021r BD BC BAD BAC ==∠+∠︒所以于是 C BO 1∆∽D BO 2∆，根据平行关系得CMK ∆∽KND ∆∽CBD ∆,所以KMBN r BD BC ND NK MK MC 且四边形,r 21===为平行四边形，BN=MK,延长垂线FN 交⊙2O 于1F ,因,r 21r BD BC =则⊙1O 上优弧BEC 与⊙2O 上BD 所对的优弧B DF 1的度数相等，又因M,N 分别是两圆对应弦CB 、BD 上的点，且所以,r 21r BD BC MK CM BN CM ===⊿CME ∽⊿N 1F B, ⊿BME ∽⊿N 1F D,从而⊿BEC ∽⊿D 1F B,由⊿BEM ∽⊿N 1F D ∽FBN ∆,得FN BN BM EM =,注意BM=KN,BN=KM,上式成为FNKMKN EM =,根据⊿CMK ∽⊿KND,得EMK KNF CMK FND EMC KND CMK ∆∴∠=∠︒=∠=∠∠=∠,,90,所以而∽FNK ∆,而,,BD FN BC EM ⊥⊥又据条件.,,,//,//KF KE KM FN KN EM BC KN BD KM ⊥⊥◊由此所以。

全国高中数学联赛江西省预赛试题及解答

2015年全国高中数学联赛江西省预赛试题一、填空题1、若三位数n abc =是一个平方数，并且其数字和a b c ++也是一个平方数，则称n 为超级平方数，这种超级平方数的个数是．2、函数2281448y x x x x =----的最大值是．3、直线l 过点(1,2)M ，若它被两平行线4310x y ++=与4360x y ++=所截得的线段长为2，则直线l 的方程为．4、013sin10-= ． 5、满足21x x -≥的实数x 的取值范围是．6、若实数,,0x y z ≥，且30,350x y z x y z ++=+-=，则542T x y z =++的取值范围是 []．7、在前一万个正整数构成的集合{}1,2,,10000L 中，被3除余2，并且被5除余3，被7除余4的元素个数是．8、如图，正四面体ABCD 的各棱长皆为2，111,,A B C 分别是棱,,DA DB DC 的中点，以D 为圆心，1为半径，分别在面,DAB DBC 内作弧¼¼1111,A B B C ，并将两弧各分成五等分，分点顺次为112341,,,,,A P P P P B 以及112341,,,,,B Q Q Q Q C ，一只甲虫欲从点1P 出发，沿四面体表面爬行至点4Q ，则其爬行的最短距离为．二、解答题9、正整数数列{}n a 满足：2112,1n nn a a a a +==-+；证明：数列的任何两项皆互质．10、（25分）H 为锐角三角形ABC 的垂心，在线段CH 上任取一点E ，延长CH 到F ，使HF CE =，作FD BC ⊥，EG BH ⊥，其中,D G 为垂足，M 是线段CF 的中点，12,O O 分别为,ABG BCH ∆∆的外接圆圆心，12,O O e e 的另一交点为N ；证明：()1、,,,A B D G 四点共圆；()2、12,,,O O M N 四点共圆；11、对于任意给定的无理数,a b 及实数0r >，证明：圆周()()222x a y b r -+-=上至多只有两个有理点（纵横坐标皆是有理数的点）．12、从集合{}1,2,,36M =L 中删去n 个数，使得剩下的元素中，任两个数之和都不是2015的因数，求n 的最小值．2015年全国高中数学联赛江西省预赛试题解答一、填空题1、若三位数n abc =是一个平方数，并且其数字和a b c ++也是一个平方数，则称n 为超级平方数，这种超级平方数的个数是．答案：13个．解：可顺次列举出：100,121,144,169,196,225,324,400,441,484,529,900,961．2、函数y 的最大值是．答案：解：y ===其定义域为68x ≤≤，当6x =时，此分式的分子最大而分母最小，这时分式的值达最大，其值为3、直线l 过点(1,2)M ，若它被两平行线4310x y ++=与4360x y ++=所截得的线，则直线l 的方程为．答案：715x y +=或者75x y -=．解：设l 的方程为2(1)y k x -=-，将此方程分别与4310x y ++=及4360x y ++=联立，解得交点坐标3758,3434k k A k k --+⎛⎫⎪++⎝⎭与312108,3434k k B k k --+⎛⎫⎪++⎝⎭，据AB ==()2225(1)234k k +=+，所以17k =，217k =-，分别代入所设方程，得到715x y +=或者75x y -=．4、01sin10-= ．答案：4．解：000000000001cos101sin 30cos10cos30sin102244sin102sin10cos102sin10cos10-=⋅=sin 2044sin 20=⋅=．5x ≥的实数x 的取值范围是．答案：1,2⎡-⎢⎣⎦．解：用图像法：令y =此为单位圆的上半圆，它与直线y x =交点，半圆位于交点左侧的图像皆在直线y x =上方；或者三角函数代换法：因11x -≤≤，令cos ,0x θθπ=≤≤，则sin y θ=x ≥，平方得221x ≤，则x ≤，又有cos 1x θ=≥-，因此1,x ⎡∈-⎢⎣⎦．6、若实数,,0x y z ≥，且30,350x y z x y z ++=+-=，则542T x y z =++的取值范围是 []．答案：[]120,130．解：()()()542433043T x y z x y z x y z x y z =++=+++++=+++ 因()()42380x y x y z x y z +=++++-=，所以110()T y z =++，20(3)()2()x y z x y z x z =+--++=-，则10x z -=，因,x z 非负，于是10x ≥，从而由30x y z ++=知，20y z +≤，得到110()130T y z =++≤，（当0,10,20z x y ===时取得等号）再由4280x y +=，0y ≥，则20x ≤，所以3010y z x +=-≥，于是110()120T y z =++≥，（当20,0,10x y z ===时取得等号），所以120130T ≤≤． 7、在前一万个正整数构成的集合{}1,2,,10000L 中，被3除余2，并且被5除余3，被7除余4的元素个数是．答案：95个．解：对于每个满足条件的数n ，数2n 应当被3,5,7除皆余1，且为偶数；因此，21n -应当是3,5,7的公倍数，且为奇数；即21n -是105的奇倍数，而当{}1,2,,10000n ∈L 时，{}211,2,,19999n -∈L ，由于在{}1,2,,19999L 中，共有190个数是105的倍数，其中的奇倍数恰有95个．8、如图，正四面体ABCD 的各棱长皆为2，111,,A B C 分别是棱,,DA DB DC 的中点，以D 为圆心，1为半径，分别在面,DAB DBC 内作弧¼¼1111,A B B C ，并将两弧各分成五等分，分点顺次为112341,,,,,A P P P P B 以及112341,,,,,B Q Q Q Q C ，一只甲虫欲从点1P 出发，沿四面体表面爬行至点4Q ，则其爬行的最短距离为．答案：02sin 42．解：作两种展开，然后比较；由于¼11A B 被112341,,,,,A P P P P B 分成五段等弧，每段弧对应的中心角各为012，¼11B C 被112341,,,,,B Q Q Q Q C 分成五段等弧，每段弧对应的中心角也各为012，若将DBC ∆绕线段DB 旋转，使之与DAB ∆共面，这两段弧均重合于以D 为圆心，半径为1的圆周，¼14PQ 对应的圆心角为081296⨯=，此时，点14,P Q 之间直线距离为02sin 48，若将DAB ∆绕线段DA 旋转，DBC ∆绕线段DC 旋转，使之皆与DAC ∆共面，在所得图形中，¼14PQ 对应的圆心角为071284⨯=，此时，点14,P Q 之间直线距离为02sin 42，所以最短距离是02sin 42．二、解答题9、正整数数列{}n a 满足：2112,1n nn a a a a +==-+；证明：数列的任何两项皆互质．证：改写条件为 11(1)n n n a a a +-=-，从而111(1)n n n a a a ---=-，等等，据此迭代得111122111111(1)(1)(1)n n n n n n n n n n n n a a a a a a a a a a a a a a a +--------=-=-==-=L L L ，所以，1211n n n a a a a --=+L ，因此当k n <，(,)1n k a a =．10、（25分）H 为锐角三角形ABC 的垂心，在线段CH 上任取一点E ，延长CH 到F ，使HF CE =，作FD BC ⊥，EG BH ⊥，其中,D G 为垂足，M 是线段CF 的中点，12,O O 分别为,ABG BCH ∆∆的外接圆圆心，12,O O e e 的另一交点为N ；证明：()1、,,,A B D G 四点共圆；()2、12,,,O O M N 四点共圆；证：()1、如图，设EG DF K =I ，连AH ，则因,AC BH EK BH ⊥⊥，AH BC ⊥，KF BC ⊥，得CA ∥EK ，AH ∥KF ，且 CH EF =，所以CAF ∆≌EKF ∆，AH 与KF 平行且相等，故AK ∥HF ，090KAB KDB KGB ∠==∠=∠，因此，,,,A B D G 四点共圆；()2、据()1，BK 为1O e 的直径，作2O e 的直径BP ，连12,,,CP KP HP O O ，则90BCP BHP ∠=∠=，所以CP ∥AH ，HP ∥AC ，故AHPC 为平行四边形，进而得， PC 与KF 平行且相等，因此对角线KP 与CF 互相平分于M ，从而12,,O O M 是KBP ∆三边的中点，KM ∥12O O ，而由090KNB ∠=，12O O BN ⊥，得KN ∥12O O ，所以,,M N K 共线，因此MN ∥12O O ，又由KBP ∆的中位线知211MO O B O N ==，因此四边形12O O MN 是等腰梯形，其顶点共圆．11、对于任意给定的无理数,a b 及实数0r >，证明：圆周()()222x a y b r -+-=上至多只有两个有理点（纵横坐标皆是有理数的点）．证：对于点(),M a b ，用(),P M r 表示上述圆周上有理点的个数；首先，我们可以作一个合于条件的圆，其上至少有两个有理点，为此，取点()()0,0,2,2A B ，线段AB 中垂线l 的方程为:2x y +=,今在l上取点(11M +，再取r MA ==则以M为圆心、r 为半径的圆周上至少有,A B 这两个有理点；其次说明，对于任何无理点M 以及任意正实数r ，(),2P M r ≤；为此，假设有无理点(),M a b 及正实数r ，在以M 为圆心，r 为半径的圆周上，至少有三个有理点(),i i i A x y ，,i i x y 为有理数，1,2,3i =，则()()()()()()222222112233x a y b x a y b x a y b -+-=-+-=-+- ……①据前一等号得 ()()()22221212112212x x a y y b x y x y -+-=+-- ……② 据后一等号得 ()()()22222323223312x x a y y b x y x y -+-=+-- ……③记 ()22221122112x y x y t +--=，()22222233212x y x y t +--=，则12,t t 为有理数，若120x x -=，则由②，()121y y b t -=，因b 为无理数，得120y y -=，故12,A A 共点，矛盾！同理，若230x x -=，可得23,A A 共点，矛盾！若12230,0x x x x -≠-≠，由②、③消去b 得，()()()()()()12231223123212x x y y y y x x a t y y t y y -----=---=⎡⎤⎣⎦有理数，因a 为无理数，故得，()()()()122312230x x y y y y x x -----=，所以32121232y y y y x x x x --=--，则 123,,A A A 共线，这与123,,A A A 共圆矛盾！因此所设不真，即这种圆上至多有两个有理点．于是对于所有的无理点M 及所有正实数r ，(),P M r 的最大值为2．12、从集合{}1,2,,36M =L 中删去n 个数，使得剩下的元素中，任两个数之和都不是2015的因数，求n 的最小值．答案：17．解：因201551331=⨯⨯，M 中任两个元素之和不大于71，由于2015不大于71的正因数有1,5,13,31,65，在M 的二元子集中，元素和为5的有{}{}1,4,2,3；元素和为13的有{}{}{}{}{}{}1,12,2,11,3,10,4,9,5,8,6,7；元素和为31的有{}{}{}{}{}{}{}1,30,2,29,3,28,4,27,5,26,6,25,,15,16L ；元素和为65的有{}{}{}{}29,36,30,35,31,34,32,33；为直观起见，我们将其画成一个图，每条线段两端的数为上述一个二元子集，为了不构成这些和，每对数（每条线段）中至少要删去一个数；于是在图(),()A B 中各至少要删去4个数，图(),()C D 中各至少要删去2个数，图()E 中至少删去5个数，总共至少要删去17个数．另一方面，删去适当的17个数，可以使得余下的数满足条件；例如在图()A 中删去12,30,4,22，图()B 中删去11,29,3,21，()C 中删去23,5，()D 中删去24,6，()E 中删去13,14,15,31,32．这时图中所有的线段都已被断开．(E)(D)(C)(B)(A)26582123103629。

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