2009线性代数统考试题(A)
2009年7月自学考试线性代数试题
全国2009年7月高等教育自学考试线性代数试题 课程代码：02198试卷说明：在本卷中，A T表示矩阵A 的转置矩阵；A *表示A 的伴随矩阵；R （A ）表示矩阵A 的秩；|A |表示A 的行列式；E 表示单位矩阵。
一、单项选择题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，请将其代码填写在题后的括号内。
错选、多选或未选均无分。
1．设A ，B ，C 为同阶方阵，下面矩阵的运算中不成立．．．的是（ ） A ．（A +B ）T =A T +B T B ．|AB |=|A ||B | C ．A （B +C ）=BA +CAD ．（AB ）T =B T A T2．已知333231232221131211a a a a a a a a a =3，那么333231232221131211222222a a a a a a a a a ---=（ ） A ．-24 B ．-12 C ．-6D ．123．若矩阵A 可逆，则下列等式成立的是（ ） A ．A =||1A A *B ．|A |=0C ．（A 2）-1=（A -1）2D ．（3A ）-1=3A -14．若A =⎥⎦⎤⎢⎣⎡-251213，B =⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡-123214，C =⎥⎦⎤⎢⎣⎡--21312，则下列矩阵运算的结果为3×2的矩阵的是（ ）A ．ABCB ．AC T B T C ．CBAD ．C T B T A T5．设有向量组A ：4321,,,αααα，其中α1，α2，α3线性无关，则（）A ．α1，α3线性无关B ．α1，α2，α3，α4线性无关C ．α1，α2，α3，α4线性相关D ．α2，α3，α4线性无关6．若四阶方阵的秩为3，则（ ） A ．A 为可逆阵B ．齐次方程组Ax =0有非零解C ．齐次方程组Ax =0只有零解D ．非齐次方程组Ax =b 必有解7．已知方阵A 与对角阵B =⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡---20020002相似，则A 2=（ ） A ．-64E B ．-E C ．4ED ．64E8．下列矩阵是正交矩阵的是（ ）A ．⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡--10010001 B ．⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛11001110121 C ．⎪⎭⎫⎝⎛--θθθθcos sin sin cos D ．⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--336102233660336122 9．二次型f =x TAx (A 为实对称阵)正定的充要条件是（ ） A ．A 可逆B ．|A |>0C ．A 的特征值之和大于0D ．A 的特征值全部大于010．设矩阵A =⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡--4202000k k正定，则（ ） A ．k ＞0 B ．k ≥0 C ．k ＞1 D ．k ≥1二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）请在每小题的空格中填上正确答案。
2009-2010(2)线代A卷
） 。
(A) 0 (B) 6 (C) -6 (D) 4 3、已知 α 1 , α 2 , α 3 是非齐次线性方程组 Ax = b 的三个不同的解，那么下列向量 2 α1 − α 2 , α1 + α 2 − 2α 3 , (α 2 − α1 ), α1 − 3α 2 + 2α 3 3 中是导出组 Ax = 0 的解共有（ ） 。 (A) 4 个； (B) 3 个； (C) 2 个； (D) 1 个 1 −1 1 4、设 A = 2 4 a 的特征值为 λ1 = 6, λ2 = λ3 = 2 。若 A 相似于对角矩阵，则 a =（ −3 −3 5 (A) 2 (B) -2 (C) 4 (D) -4
p1 = (1, 0, 0)T , p2 = (1,1, 0)T , p3 = (1,1,1)T
求矩阵 A 及 A100 ；
2 2 （ 2、 15 分） 已知实二次型 f ( x1 , x2 , x3 ) = x12 + x2 + x3 + 2ax1 x2 + 2 x1 x3 经正交变换 X = PY 2 2 变为标准形 f = y2 + 2 y3 ，求参数 a 和正交矩阵 P 。
2 2 5、如果实二次型 f = x12 + 2 x2 + tx3 − 2 x1 x2 + 2 x1 x3 − 4 x2 x3 为正定的,则 k >
二、单项选择题（每小题 2 分，共 10 分） 单项选择题（ 1、设矩阵 Am×n 的秩为 r ，则非齐次线性方程组 Ax = b 有解的充分条件是（ (A) m = n ； (B) r = m ； (C) r = n ； (D) m < n ； 1 0 2011 2010 0 1 1 2 3 1 1 ） 。 2、设 A = 0 1 ，则行列式 A ＝（ 1 0 4 5 6 1 1 0 1
2008-2009学年线性代数试卷A及答案
华南农业大学期末考试试卷（A 卷）2008-2009学年第2学期 考试科目： 线性代数考试类型：（闭卷） 考试时间： 120 分钟学号 姓名 年级专业 题号 一 二 三 四 五 六 总分 得分 评阅人试卷说明: T A 表示矩阵A 的转置矩阵，*A 表示矩阵A 的伴随矩阵，1A -表示矩阵A 的逆矩阵，A 表示方阵A 的行列式, R (A )表示矩阵A 的秩, I 是单位矩阵.一. 选择题（本大题共5小题，每小题3分，共15分）在每小题的选项中，只有一项符合要求，把所选项前的字母填在题中括号内1. 设n B A 均为,阶方阵，满足等式0=AB ，则必有( C )(A) 0=A 或 0=B(B) 0=+B A () 0||=A 或 0||=B(D) 0||||=+B A2. 已知,,A B C 均为n 阶可逆方阵，且ABC I =，则下列结论必然成立的是( C )(A) ACB I = (B) BAC I = () BCA I = (D) CBA I =3．设有n 维向量组（Ⅰ）：12,,,r ααα 和（Ⅱ）：12,,,()m m r ααα> ，则( B )(A) 向量组（Ⅰ）线性无关时，向量组（Ⅱ）线性无关() 向量组（Ⅰ）线性相关时，向量组（Ⅱ）线性相关 (C) 向量组（Ⅱ）线性相关时，向量组（Ⅰ）线性相关 (D) 向量组（Ⅱ）线性无关时，向量组（Ⅰ）线性相关4．设n 元齐次线性方程组AX =0的系数矩阵A 的秩为r ，则AX =0有非零解的充分必要条件是( B )5. Matlab 软件中, 在命令窗口输入[1:3][321]'*, 显示ans=( D )二、填空题（本大题共6小题，每小题4分，满分24分）6. ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=100010021A ，则=-1A120010001-⎛⎫⎪ ⎪ ⎪⎝⎭． (A) r=n() r<n(C) r ≥n(D) r>n(A) 7 (B) 8 (C) 9 () 107. 设t ηηη,,,21 及t t ηληληλ+++ 2211都是非齐次线性方程组b A =X 的解向量，则=+++t λλλ 21______1__________.8. 矩阵20002023A a ⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦与矩阵10002000B b ⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦相似, 则a b += . 9. 设123,1,1),0,2,3),1,0,1),k ααα===（（（则当k = 时，α1,α2,α3 线性相关.10.设A 为三阶方阵，其特征值2,1,3,- 则*A = ．11.已知二次型222123112132233(,,)2245f x x x x tx x x x x x x x =+-+++正定, 则t 的取值范围为 ．三、计算题12.(7分) 已知100110,021A ⎛⎫ ⎪=- ⎪ ⎪⎝⎭131011,002B ⎛⎫⎪=- ⎪ ⎪⎝⎭求:2T A AB +13.（8分）计算下列行列式3214214314324321四、解方程组14. (10分)求方程组123412341234311232x x x xx x x xx x x x⎧⎪--+=⎪-+-=⎨⎪⎪--+=-⎩的通解.五、解答题15.（10分）求下列向量组的秩，并求一个最大无关组：a1=(1, 2,-1, 4)T,a2=(9, 100, 10, 4)T, a3= (-2,-4, 2,-8)T．16. (8分) 已知1121 342 012A--⎛⎫⎪= ⎪⎪-⎝⎭，求A的伴随矩阵*A．17.(12分) 设212122221A ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，求一个正交阵P ，使1P AP -=Λ为对角阵．六、证明题18.(6分) 设向量组322211,a a b a a b +=+= 433,a a b += 144,a a b +=, 证明向量组4321,,,b b b b 线性相关.2008—2009第二学期《线性代数》（A ）参考答案和评分标准一. 选择题（本大题共5小题，每小题3分，共15分）1. C2. C3. B4. B5. D二、填空题（本大题共6小题，每小题4分，满分24分）6. 120010001-⎛⎫⎪ ⎪⎪⎝⎭ 7. 18. 8 9. -1/2 10. 36 11. 405t -<<三、计算题12.T T A AB A E B 2(2)+=+=1001001001102010310021001112⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎢⎥⎪ ⎪ ⎪-+⎢⎥ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥-⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦3分100300110330021114⎛⎫⎛⎫ ⎪⎪=- ⎪⎪ ⎪⎪-⎝⎭⎝⎭ 5分 300030754⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭7分 13.将行列式第2、3、4列加到第1列上，得3214214314324321=32110214101431043210=101110222031104321------ 4分=10400440311--- 6分=160 8分14.11110111101111011131002410024111231/200121/200000⎛⎫⎛⎫⎛⎫------ ⎪ ⎪ ⎪--→-→- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-----⎝⎭⎝⎭⎝⎭ 4分 x x x x x x 1234340241--+=⎧⎨-=⎩，x x x x x x x x 1324132431-=-⎧⎨+=++⎩， 5分 取x x 2400⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，得*120120η⎛⎫ ⎪ ⎪⎪= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭， 6分取x x 2410,01⎛⎫⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，x x 1311,02⎛⎫⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭， 8分 得齐次方程组基础解系为121110,0201ξξ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭, 9分通解为x x k kx x 12123411120101022010⎛⎫⎪⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪=++ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎪⎝⎭10分 15. 192192192210040820010110201900004480320000A ---⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎢⎥⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎢⎥⎢⎥⎢⎥--⎣⎦⎣⎦⎣⎦6分rank(A)=2 7分 所以向量组的秩为2． 8分 a 1=(1, 2, -1, 4)T , a 2=(9, 100, 10, 4)T 不成比例，所以 a 1，a 2为最大无关组. 10分16. 因为1*1,||A A A -=2分*1111||||A A AA A ---==4分 1||1A -=- 6分*1||1*A A -=-=121342012--⎛⎫ ⎪--- ⎪ ⎪-⎝⎭8分17.123(1)(1)(5),1,1,5A E λλλλλλλ-=-+--=-==， 3分对应于11λ=-，由 ()0A E x += 得111122ξ-⎛⎫ ⎪=- ⎪ ⎪⎝⎭，单位化，得111162p -⎛⎫ ⎪=- ⎪ ⎪⎝⎭； 6分 对应于21λ=，由 ()0A E x -= 得2110ξ-⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，单位化，得211120p -⎛⎫⎪= ⎪ ⎪⎝⎭ 8分 对应于35λ=，由 (5)0A E x -= 得3111ξ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，单位化，得311131p ⎛⎫⎪= ⎪ ⎪⎝⎭． 10分 11162311162321063P ⎛⎫-- ⎪ ⎪ ⎪=- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭，有1100010005TP AP P AP --⎛⎫⎪==Λ= ⎪ ⎪⎝⎭． 12分18. 设有4321,,,x x x x 使得044332211=+++b x b x b x b x即0)()()()(144433322211=+++++++a a x a a x a a x a a x 3分整理得 01100011000111001)(43214321=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛x x x x a a a a 4分而011000110001110014321=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛x x x x 有非零解，所以结论成立 6分。
09年10月线性代数(经管类)试题答案
全国2009年10月高等教育自学考试线性代数（经管类）试题答案一、单项选择题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）1．行列式0111101111011110------第二行第一列元素的代数余子式=21A （ B ）A ．2-B ．1-C ．1D ．2A ．21 B ．1 C ．34 D ．23．设n 阶矩阵A 、B 、C 满足E ABC =，则=C （ A ） A ．ABB ．BAC ．11--B AD ．11--A B4．已知2阶矩阵⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=d c A 的行列式1|-=A |，则=-1*)(A （ A ）A ．⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----d cb aB ．⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--a cb dC ．⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--a cb dD ．⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛d cb as 21（）的秩不为零的充分必要条件是（ B ） A ．s ααα,,,21 中没有线性相关的部分组 B ．s ααα,,,21 中至少有一个非零向量 C ．s ααα,,,21 全是非零向量D ．s ααα,,,21 全是零向量6．设A 为n m ⨯矩阵，则n 元齐次线性方程组0=Ax 有非零解的充分必要条件是（ C ） A ．n A r =)(B ．m A r =)(C ．n A r <)(D ．m A r <)(7．已知3阶矩阵A 的特征值为1,0,1-，则下列矩阵中可逆的是（ D ） A ．AB ．A E -C ．A E --D ．AE -2．．A ．⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛101010001B ．⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-101010001C ．⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛100020001D ．⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛101011001433241214321A ．1B ．2C ．3D ．410．设矩阵⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=001010A ，则二次型Ax x T 的规范形为（ D ）A ．232221z z z ++ B ．232221z z z --- C ．232221z z z -- D ．232221z z z -+二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分） 11．已知行列式422221111-=-+-+b a b a b a b a ，则=2211b a b a_________．12．已知矩阵)1,1,2(),1,2,1(-=-=B A ，且B A C =，则=C _________．13．设矩阵⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=333022A ，则=⎪⎭⎫⎝⎛-121A _________．14．已知矩阵方程B XA =，其中⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=1201A ，⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=0111B ，则=X _________．15．已知向量组a ),2,3(,)2,2,2(,)3,2,1(321===ααα线性相关，则数=a _________．16．设)0,1,0(,)0,0,1(21==αα，且22211,αβααβ=-=，则21,ββ的秩为_________．17．设3元方程组增广矩阵为⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛++01001010a a ，若方程组无解，则a 的取值为_______．19．已知向量k )2,,3(=α与k ),1,1(=β正交，则数=k _________．20．已知321321)3()1(),,(x a x x a x x x f +++-=正定，则数a 的取值范围是_________． 21．计算行列式1111111111111111---+-----+=x x x x D 的值．解：1111111111111111111111111111---+-----=---+-----+=x x x x x xx x x x x D 4000000000111x xx xx =--=．22．设矩阵⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=2112A ，E 为2阶单位矩阵，矩阵B 满足E B BA +=，求||B ．解：由E B BA +=，得E E A B =-)(，1)(--=E A B ，其中⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=-111110012112E A ，21111||=-=-E A ，21||||1=-=-E A B ． 23．已知线性方程组⎪⎩⎪⎨⎧=-=-=-313232121ax x a x x a x x ，（1）讨论常数321,,a a a 满足什么条件时，方程组有解．（2）当方程组有无穷多解时，求出其通解（要求用它的一个特解和导出组的基础解系表示）．解：（1）⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+---→⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---=3121321110110011101110011),(a a a a a a a b A⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛++--→32121000110011a a a a a ，0321=++a a a 时，方程组有解． （2）),(b A ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--→000011001121a a ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+-→0000110101221a a a ，⎪⎩⎪⎨⎧=+=++=333213211x x x a x x a a x ，通解为⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛+⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+1110221k a a a ． 24．设向量组T T T T )3,6,2,0(,)1,3,0,1(,)3,1,1,2(,)0,1,4,1(4321-=--=--==αααα，求该向量组的秩及一个极大无关组，并将其余向量用此极大无关组线性表示．解：⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-----=3130631120140121),,,(4321αααα→⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-------3130643024700121→⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-------2470643031300121→⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-------612210643031300121→⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛------15500930031300121→⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--3100310031300121 →⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--0000310031300121→⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--0000310060303021→⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--0000310020103021→⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-0000310020101001，向量组的秩为3，321,,ααα是一个极大线性无关组，=4α32132ααα+-．25．设矩阵⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=3421A ，⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=1205B ，存在TT )1,1(,)2,1(21-==αα，使得,511αα=A 22αα-=A ；存在T T )1,0(,)1,3(21==ββ，使得2211,5ββββ-==B B ．试求可逆矩阵P ，使得B AP P =-1．解：由题意，A 的特征值为1,5-，对应的线性无关特征向量为21,αα；B 的特征值为1,5-，对应的线性无关特征向量为21,ββ．令⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-==1211),(211ααP ，则1P 是可逆矩阵，使得⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=-1005111AP P ；令⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛==1103),(212ββP ，则2P 是可逆矩阵，使得⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=-1005212BP P ． 由上可得=-111AP P 212BP P -，从而B P P A P P=--)()(121112，即B P P A P P =---)()(1211121，令=P ⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎪⎭⎫⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=--13/113/23101121131110312111121P P ，则P 是可逆矩阵，使得B AP P =-1．26．已知323121321222),,(x x x x x x x x x f ++=，求正交变换Py x =，将二次型化为标准形．解：原二次型的矩阵为⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=011101110A ．=-||A E λλλλ111111------λλλλλλλλ1111111)2(1212112-----=-------==++-=101011001)2(λλλ)2()1(2-+λλ，A 的特征值为=1λ12-=λ，23=λ．对于=1λ22=λ，解齐次方程组0)(=-x A E λ：=-A E λ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---------111111111→⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛000000111 ，⎪⎩⎪⎨⎧==--=3322321x x x x x x x ，取=1α⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-011，=2α⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-101， 先正交化：11αβ=⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=011，1211222||||),(βββααβ-=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=12/12/101121101． 再单位化：⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-==02/12/1||||1111ββp ，==222||||1ββp ⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--6/26/16/1． 对于23=λ，解齐次方程组0)(=-x A E λ：=-A E λ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛------211121112→⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--000110101 ，⎪⎩⎪⎨⎧===333231x x x x x x ，取=3α⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛111，单位化为==333||||1ααp ⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛3/13/13/1．令⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛---=3/16/203/16/12/13/16/12/1P ，则P 是正交矩阵，经过正交变换Py x =后，原二次型化为标准形 2322212y y y +--． 四、证明题(本题6分)27．设向量组321,,ααα线性无关，且332211αααβk k k ++=．证明：若01≠k ，则向量组32,,ααβ也线性无关．证：设033221=++ααβx x x ，即0)()(33132212111=++++αααx x k x x k x k ．由321,,ααα线性无关，可得⎪⎩⎪⎨⎧=+=+=00031321211x x k x x k x k ．若01≠k ，则方程组的系数行列式01001001321≠=k k k k ，只有0321===x x x ，所以32,,ααβ线性无关．。
09年01月线性代数量02198自考试题及答案
2009年1月高等教育自学考试全国统一命题考试线性代数试题课程代码：02198试卷说明：在本卷中，A T 表示矩阵A 的转置矩阵，A *表示矩阵A 的伴随矩阵，E 表示单位矩阵，|A |表示方阵A 的行列式，A -1表示矩阵A 的逆矩阵，秩（A ）表示矩阵A 的秩.一、单项选择题(本大题共10小题，每小题2分，共20分)在每小题列出的四个备选项中只有一个是最符合题目要求的。
请将其代码填写在题后的括号内。
错选、多选或未选均无分。
1.设A 为n 阶方阵，若A 3=O ，则必有（ ） A. A =OB.A 2=OC. A T =OD.|A |=02.设A ，B 都是n 阶方阵，且|A |=3，|B |=-1,则|A T B -1|=（ ） A.-3 B.-31C.31 D.33.设A 为5×4矩阵，若秩(A )=4，则秩(5A T )为（ ）A.2B.3C.4D.5 4.设向量α=（4,-1,2,-2），则下列向量中是单位向量的是（ ） A.31α B.51α C.91αD.251α5.二次型f (x 1,x 2)=522213x x +的规范形是（ ）A.y 21-y 22B. -y 21-y 22C.-y 21+y 22 D. y 21+y 226.设A 为5阶方阵，若秩(A )=3，则齐次线性方程组Ax =0的基础解系中包含的解向量的个数是（ ）A.2B.3C.4D.5 7.向量空间W ={(0,x ,y ,z ) |x +y =0}的维数是（ ） A.1 B.2C.3D.48.设矩阵A =⎪⎪⎭⎫⎝⎛3421，则矩阵A 的伴随矩阵A *=（ ） A.⎪⎪⎭⎫⎝⎛1423 B. ⎪⎪⎭⎫⎝⎛--1423C. ⎪⎪⎭⎫⎝⎛1243 D. ⎪⎪⎭⎫⎝⎛--1243 9.设矩阵A =⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛300130011201111，则A 的线性无关的特征向量的个数是（ ）A.1B.2C.3D.410.设A ，B 分别为m ×n 和m ×k 矩阵，向量组（I ）是由A 的列向量构成的向量组，向量组（II ）是由（A ，B ）的列向量构成的向量组，则必有（ ） A.若（I ）线性无关，则（II ）线性无关 B.若（I ）线性无关，则（II ）线性相关 C.若（II ）线性无关，则（I ）线性无关 D.若（II ）线性无关，则（I ）线性相关二、填空题(本大题共10小题，每小题2分，共20分)请在每小题的空格中填上正确答案，错填、不填均无分。
全国2009年1月高等教育自学考试线性代数试题
全国2009年1月高等教育自学考试线性代数试题课程代码：02198试卷说明：在本卷中，A T 表示矩阵A 的转置矩阵，A *表示矩阵A 的伴随矩阵，E 表示单位矩阵，|A |表示方阵A 的行列式，A -1表示矩阵A 的逆矩阵，秩（A ）表示矩阵A 的秩.一、单项选择题(本大题共10小题，每小题2分，共20分)在每小题列出的四个备选项中只有一个是最符合题目要求的。
请将其代码填写在题后的括号内。
错选、多选或未选均无分。
1.设A 为n 阶方阵，若A 3=O ，则必有（ ）A. A =OB.A 2=OC. A T =OD.|A |=02.设A ，B 都是n 阶方阵，且|A |=3，|B |=-1,则|A T B -1|=（ ）A.-3B.-31C. 31 D.3 3.设A 为5×4矩阵，若秩(A )=4，则秩(5A T )为（ ）A.2B.3C.4D.54.设向量α=（4,-1,2,-2），则下列向量中是单位向量的是（ ） A.31α B.51α C.91α D.251α 5.二次型f (x 1,x 2)=522213x x +的规范形是（ ） A.y 21-y 22B. -y 21-y 22C.-y 21+y 22D. y 21+y 226.设A 为5阶方阵，若秩(A )=3，则齐次线性方程组Ax =0的基础解系中包含的解向量的个数是（ ）A.2B.3C.4D.57.向量空间W ={(0,x ,y ,z ) |x +y =0}的维数是（ ）A.1B.2C.3D.48.设矩阵A =⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛3421，则矩阵A 的伴随矩阵A *=（ ）A.⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛1423 B. ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--1423 C. ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛1243 D. ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--1243 9.设矩阵A =⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛3000130011201111，则A 的线性无关的特征向量的个数是（ ） A.1 B.2C.3D.410.设A ，B 分别为m ×n 和m ×k 矩阵，向量组（I ）是由A 的列向量构成的向量组，向量组（II ）是由（A ，B ）的列向量构成的向量组，则必有（ ）A.若（I ）线性无关，则（II ）线性无关B.若（I ）线性无关，则（II ）线性相关C.若（II ）线性无关，则（I ）线性无关D.若（II ）线性无关，则（I ）线性相关二、填空题(本大题共10小题，每小题2分，共20分)请在每小题的空格中填上正确答案，错填、不填均无分。
江西农业大学2009—2010第一学期《线性代数》试卷_(A) - 副本
线
= (−2, 4, b)T 线性相关，则 a = − 2
b=
6
.
二．单项选择题（2 分×6=12 分）
1. 设 A, B 均为 n 阶可逆矩阵，则下列各式不 正确 的是（ B ）. ． ．． A. ( A + B ) =A + B
T T T
B. ( A + B )
T
−1
=A−1 + B −1
T T
·
a13 a23 = （ D ）. a33
D. −16
C. 16
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——第 1 页 本试卷共 4 页
3. 设 α1 ， α 2 是非齐次线性方程组 Ax = b 的解， β 是对应的齐次方程组 Ax = 0 的解，则
Ax = b 必有一个解是（ D ）.
A. α1 + α 2 B. α1 − α 2 C. β + α1 + α 2 D. β + α1 +
2 2
姓名：
AB = BA
.
不
5. 已知 3 阶方阵 A 的特征值分别为 1 ﹑ −2 ﹑ 3 ，则 A =
− 6 ， A−1 = − 1 ， A∗ = 36 ，
6
A − 2E = 4 .
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订
6. 方程组 内
λ x1 + x2 = 0
x1 + λ x2 = 0
有非零解，则 λ = 1 或 − 1 .
订
C. ( AB )
−1
= B −1 A−1 a12 a22 a32
D. ( AB ) = B A
院系：
装
装
全
2009年10月全国自考线性代数(经管类)真题参考答案
中国自考人()——700门自考课程永久免费、完整在线学习快快加入我们吧！2009年10月全国自考线性代数（经管类）真题参考答案一、单项选择题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，请将其代码填写在题后的括号内。
错选、多选或未选均无分。
1.A.-2B.-1C. 1D. 2答案：B2.A. AB. BC. CD. D答案：C3.A. AB. BC. CD. D 答案：A4.A. AB. BC. CD. D 答案：A5.A. AB. BC. CD. D 答案：B6.A. AB. BC. CD. D答案：C7.A. AB. BC. CD. D答案：D8.下列矩阵中不是初等矩阵的为()A. AB. BC. CD. D答案：D9.A. 1B. 2C. 3D. 4答案：B10.A. AB. BC. CD. D答案：D二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）请在每小题的空格中填上正确答案。
错填、不填均无分。
1. 图中空白出应为：___答案：22. 图中空白出应为：___答案：3. 图中空白出应为：___答案：4.图中空白出应为：___答案：5.图中空白出应为：___答案：16.图中空白出应为：___答案：27.图中空白出应为：___答案：-18.图中空白出应为：___答案：249.图中空白出应为：___答案：-110.图中空白出应为：___答案：-3＜a＜1三、计算题（本大题共6小题，每小题9分，共54分）1.答案：2.答案：3.答案：4.答案：5.答案：6.答案：四、证明题（本题6分）1.答案：中国自考人()——改写昨日遗憾创造美好明天！用科学方法牢记知识点顺利通过考试！。
2009年线性代数考试A卷
………密………封………线………以………内………答………题………无………效……电子科技大学二零 零九 至二零 十 零 学年第 一 学期期 末 考试线性代数与空间解析几何 课程考试题 A 卷 （ 120 分钟） 考试形式： 闭 卷 考试日期 20 10 年 1 月 19 日课程成绩构成：平时 分， 期中 分， 实验 分， 期末 分一 二 三 四 五 六 七 八 九 十 合计复核人签名 得分签名一、选择题 (每小题3分，共15分)1．设A 、B 、C 均为n 阶可逆矩阵，则()1-1T AC B -=( ).① ()11TB C A --; ② ()1-21TB C A --;③ ()11T A C B --; ④ ()112T B A C --- .2．设n 阶实矩阵A ，线性方程组AX=b 有解的充分必要条件是( ).① A 的列向量线性无关； ② 列向量b 能由A 的列向量组线性表出；③ ()(,)R A R A b ≤；④ A 为可逆矩阵。
3．设n 阶方阵A B 、等价A B ≅，则下列结论中正确的是 （ ）.①A B A B +≅-； ② 22A B ≅；③ AB BA ≅； ④ 23T T A B B A ⎡⎤⎢⎥≅⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦.4．设,A B 为n 阶实对称矩阵，则A 与B 合同的充要条件为 （ ）.① A 与 B 有相同的特征值； ② A 与 B 有相同的行列式；③ A 与 B 有相同的秩； ④ A 与 B 有相同的正、负惯性指数.得 分………密………封………线………以………内………答………题………无………效…….5．设,A B 均为正交矩阵, 则 ()*31*, , , ,TAB A A B AB A A - 中, 共有（ ）个正交矩阵。
① 3； ② 0； ③ 5； ④ 4.二、填空题 (每小题3分，共15分)1．已知1234222236414753a a a a a a a a A a a a a a a a a ⎡⎤⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦，计算131232333434a A a A a A a A ----= ；2．设()1,2,3a = ，()2,2,1b =-，()1,4,2=c ，则()32a c b -⨯=； 3．设实n 阶矩阵A ，若齐次线性方程组0AX =的解空间为n R 则A = ； 4．向量空间n R 的任意二个子空间的并集（ ）是n R 的子空间；5．点(1,0,1),(-2,1,4),(1,3,-3),(2,1,3)A B C D --- 构成的四面体ABCD 的体积为（ ）三、已知3R 中直线 50,:40,x y z l x z ++=⎧⎨-+=⎩ 平面:48120.x y z π--+=（ 共12分）1）求直线l 对应的线性方程组在3R 中的通解；2）借助1）所得结果，写出直线l 的点向式，并求直线l 与平面π的夹角。
线性代数2009试题A答案
2009年《线性代数》统考试题参考答案一．填空题（每个小题3分,共15分）二.选择题(每小题3分,共15分)三.（8分）解: 9644129644129644129644122222++++++++++++=d d d d c c c cb b b b a a a a D 062126212621262122222=++++=d d c cb b a a四.（12分）解:由B A AB +=2知B A AB =-2，即B E B A =-)2(，又⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=-0020202002E B ，显然082≠=-E B ，故⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=--002102102100)2(1E B 而⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=-=-101020101)2(1E B B A 。
所以⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=--001010100)(1E A 。
五.（12分）解: 对增广矩阵作初等变换,⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--→⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛------=0000061000802103010133707101133110143412),(b A取3x 为自由未知数，1x 、2x 和4x 为非自由未知数，则⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==-=+-=68234333231x x x x x x x ，所以方程组的通解为⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-+⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛608301214321c x x x x 。
六.（10分）证明:A A An T)1(-=-=，由n 是奇数和A A T =得A A -=，整理得02=A ，故0=A 。
七.（10分）解:21ηη-和31ηη-是齐次线性方程组的解，)(23213121ηηηηηηη+-=-+-是齐次线性方程组的解。
齐次方程组的基础解系中含解向量的个数为4-3=1.所以方程组的通解为⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛+⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=54326543k x ，其中k 可取任意常数。
八.（10分）证明:按题设，有111p Ap λ=，212p Ap λ=，故.)(221121p p p p A λλ+=+用反证法，假设21p p +是A 的特征向量，则应存在数λ，使),()(2121p p p p A +=+λ于是221121)(p p p p λλλ+=+，即,0)()(2211=-+-p p λλλλ因21λλ≠，所以1p ，2p 线性无关，故由上式得,021=-=-λλλλ即21λλ=，与题设矛盾。
线性代数测试试卷及答案.docx
线性代数（ A 卷）一﹑选择题 ( 每小题 3 分 , 共 15 分)1.设 A ﹑ B 是任意n阶方阵 , 那么下列等式必成立的是 ( )(A)AB BA (B)( AB)2A2 B2(C)( A B)2A2 2 AB B2(D) A B B A2.如果 n 元齐次线性方程组AX0 有基础解系并且基础解系含有s(s n) 个解向量,那么矩阵 A 的秩为 ()(A)n(B)s(C)n s(D)以上答案都不正确3. 如果三阶方阵A(a ij )33的特征值为 1,2,5 ,那么 a11a22a33及A分别等于()(A)10, 8(B)8, 10(C)10,8(D)10,84.设实二次型 f ( x1 , x2 )( x1 , x2 )22x1的矩阵为 A , 那么 ()41x2(A)23(B)22(C)A21(D)A10 A1A12101 345.若方阵 A 的行列式 A 0 ，则 ( )(A) A 的行向量组和列向量组均线性相关 (B)A 的行向量组线性相关 , 列向量组线性无关(C) A 的行向量组和列向量组均线性无关 (D)A 的列向量组线性相关 , 行向量组线性无关二﹑填空题 ( 每小题 3 分, 共 30 分 )1 如果行列式 D 有两列的元对应成比例 , 那么该行列式等于；1002.设 A210 ，A*是A的伴随矩阵，则 ( A* ) 1；3413.设 ,是非齐次线性方程组 AX b 的解 , 若也是它的解 ,那么；4.设向量(1,1,1)T与向量(2,5, t)T正交,则t；5.设 A 为正交矩阵 , 则 A；1116.设 a, b,c 是互不相同的三个数,则行列式 a b c；a2b2c27.要使向量组1(1, ,1)T , 2(1,2,3)T , 3(1,0,1)T线性相关，则；8. 三阶可逆矩阵 A 的特征值分别为 1, 2, 3 , 那么 A 1 的特征值分别为；9. 若二次型 f ( x 1, x 2 , x 3 ) x 2 1x 2 25x 2 3 2t x 1 x 2 - 2x 1x 3 4x 2 x 3 是正定的，则 t 的取值范围为；10. 设 A 为 n 阶 方 阵 , 且 满 足 A 22 A 4I 0 , 这 里 I 为 n 阶 单 位 矩 阵 , 那 么A 1.三﹑计算题（每小题 9 分，共 27 分）2 1 01 01. 已知 A1 2 1 ， B 0 1 ，求矩阵 X 使之满足 AX X B .0 12 0 01 2 3 42.求行列式23 4 1的值 . 3 41 24 12 33 求向量组1(1,0,1,0), 2(2,1,3, 7), 3 (3, 1,0,3,), 4 (4, 3,1, 3,) 的一个最大无关组和秩 .四﹑ (10 分) 设有齐次线性方程组x 1 ( 1)x 2 x 3 0, (1)x 1 x 2x 3 0, x 1 x 2 (1)x 3 0.问当 取何值时 , 上述方程组 (1) 有唯一的零解﹔ (2) 有无穷多个解五﹑ (12 分) 求一个正交变换 X PY , 把下列二次型化成标准形 :, 并求出这些解.f ( x 1 , x 2 , x 3 )x 21x 22x 234x 1 x 24x 1x 3 4x 2 x 3 .六﹑ (6 分) 已知平面上三条不同直线的方程分别为l 1 : ax 2by 3c 0,l 2 : bx 2cy 3a 0, l 3 : cx 2ay 3b 0.试证：这三条直线交于一点的充分必要条件为a b c 0 .线性代数（ A 卷）答案一﹑ 1. D 2. C 3. B 4. A5. A二﹑ 1. 0 2.( A * ) 1A3. 14. 35. 1或 -16. ( ca)( c b)( ba) 7. 0 8.1, 1,1 9. 4 t 010.1 A 1 I23542三﹑ 1. 解 由 AX X B 得 X ( A I ) 1 B . (2分)下面求 ( AI ) 1 . 由于1 1 0 A I1 1 1 (4分 )0 1 1而0 1 1( A I ) 11 1 1 .(7分 )11 0所以0 1 1 1 00 1X ( A I ) 1 B11 10 1 1 1 . (9 分 )110 0 0111 2 3 4 10 2 3 4 1 2 3 4 2. 解2 3 4 1 10 3 4 1 1 34 1 (4 分 )3 4 1 2 10 4 1 2 10 41 214 1 2310 1 2 3 1 1 2 31 2 3 40 11 3 分) 160 (9 分 ) .104 (80 40 043. 解 由于1 2 3 40 1 1 3r 3 r 1 1 3 0 1 uuuuur 07331 210 50 734 12 3 4 1 3 r 3 5r 2 01 1 3 33 r4 7r 2 0 0 2 12 uuuuuuur3 3 04241 2 3 4r 41 1 3 分 )2r 3 0 2 (6 uuuuuuur 0120 0故向量组的秩是3 ， 1 , 2 ,3 是它的一个最大无关组。
线性代数02198自考2009年~2012年真题试题及答案(新)
2009年7月高等教育自学考试全国统一命题考试线性代数试题课程代码：02198试卷说明：在本卷中，A T 表示矩阵A 的转置矩阵；A *表示A 的伴随矩阵；R （A ）表示矩阵A 的秩；|A |表示A 的行列式；E 表示单位矩阵。
一、单项选择题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，请将其代码填写在题后的括号内。
错选、多选或未选均无分。
1．设A ，B ，C 为同阶方阵，下面矩阵的运算中不成立．．．的是（ ） A ．（A +B ）T =A T +B T B ．|AB |=|A ||B | C ．A （B +C ）=BA +CA D ．（AB ）T =B T A T 2．已知333231232221131211a a a a a a a a a =3，那么333231232221131211222222a a a a a a a a a ---=（ ） A ．-24 B ．-12 C ．-6D ．123．若矩阵A 可逆，则下列等式成立的是（ ）A ．A =||1A A *B ．|A |=0C ．（A 2）-1=（A -1）2D ．（3A ）-1=3A -14．若A =⎥⎦⎤⎢⎣⎡-251213，B =⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡-123214，C =⎥⎦⎤⎢⎣⎡--213120，则下列矩阵运算的结果为3×2的矩阵的是（ ） A ．ABC B ．AC T B T C ．CBAD ．C T B T A T5．设有向量组A ：4321,,,αααα，其中α1，α2，α3线性无关，则（）A ．α1，α3线性无关B ．α1，α2，α3，α4线性无关C ．α1，α2，α3，α4线性相关D ．α2，α3，α4线性无关6．若四阶方阵的秩为3，则（ ） A ．A 为可逆阵B ．齐次方程组Ax =0有非零解C ．齐次方程组Ax =0只有零解D ．非齐次方程组Ax =b 必有解7．已知方阵A 与对角阵B =⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡---200020002相似，则A 2=（ ）A ．-64EB ．-EC ．4ED ．64E8．下列矩阵是正交矩阵的是（ ） A ．⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡--100010001B ．⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛11001110121 C ．⎪⎭⎫ ⎝⎛--θθθθcos sin sin cos D ．⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--336102233660336122 9．二次型f =x T Ax (A 为实对称阵)正定的充要条件是（ ） A ．A 可逆B ．|A |>0C ．A 的特征值之和大于0D ．A 的特征值全部大于010．设矩阵A =⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡--4202000k k 正定，则（ ）A ．k ＞0B ．k ≥0C ．k ＞1D ．k ≥1二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）请在每小题的空格中填上正确答案。
北林08-09年线代试卷(带答案)
北京林业大学2008--2009学年第一学期试卷A试卷名称： 线性代数（56学时） 课程所在院系： 理学院考试班级 学号 姓名 成绩 试卷说明：1. 本次考试为 闭 卷考试。
认真审题，请勿漏答；2. 考试时间为 120 分钟，请掌握好答题时间；3. 本试卷所有试题答案写在 试卷 纸上，其它无效；4. 答题完毕，请将试卷纸正面向外对叠交回，不得带出考场；一、判断题（下列命题你认为正确的在题后括号内打“√”，错的打“×”） （每小题3分，共 12 分）1、若方程组0Ax =含有自由未知量，则方程组Ax b =将有无穷多解.（ × ）2、一个n 阶矩阵A 为非奇异的，当且仅当A 相抵于I （I 是单位矩阵.（ √ ）3、任何两个迹相同的n 阶矩阵是相似的.（ × ）4、设A 是m n ⨯矩阵，则()()T r A r A =. （ √ ）二、单项选择题(在每小题四个备选答案中选出一个正确答案,填在题中括号内) (每题3分, 共 15 分)1、已知1112111221222122,a a ka ka M a a ka ka == 则 （ A ） ()2 A k M ； () B kM ； ()4 C k M ； ()2 D kM ,2、,A B 均为()n n 2≥阶方阵，且AB O =，则 ( C ).(),A A B 均为零矩阵； (),C A B 至少有一个矩阵为奇异矩阵； (),B A B 至少有一个为零矩阵； (),D A B 均为奇异矩阵. 3、m n >是n 维向量组12m ,,ααα线性相关的( A )条件. ()A 充分； ()B 必要； ()C 充分必要； ()D 必要而不充分的；4、设12,ξξ为齐次线性方程组0Ax =的解，12,ηη为非齐次线性方程组Ax b =的解，则( C ).11()2A ξη+为0Ax =的解； 12()B ηη+为Ax b =的解；12()C ξξ+为0Ax =的解； 12()D ηη-为Ax b =的解.5、 设A 是正交矩阵，j α是A 的第j 列，则j α与j α的内积等于（ B ）() 0A ； () 1B ； ()2C ； ()3D三、填空(将正确答案填在题中横线上，每题3分, 共 21 分)1、设A 为三阶方阵，且2A =，则1(2)T A -= 1/162、设1212,,,,ααββγ都是3维行向量，且行列式112212122ααααββββγγγγ====，则12122ααββγ++=__16_____.3、设A 是4阶矩阵，若齐次线性方程组0Ax =的基础解系中含有一个解向量， 则AA *= O4、设矩阵A O D O B ⎛⎫= ⎪⎝⎭，若A 、B 可逆，则D 也可逆且1D -=11A O O B --⎛⎫ ⎪⎝⎭5、若方程组 1234234123423653414589x x x x x x x x x x x k -+-=⎧⎪-+=⎨⎪-+-=⎩有解, 则 k = 76、设123(,1,1),(0,2,3),(1,2,1)k ααα===，则当k= 1/4 时，123,,ααα线性相关。
2008-2009学年试题__线性代数
17. 设 有 向 量 组
a1 , a2 , a3 , a 4
，
b1 = a1 + a2 , b2 = a2 + a3 , b3 = a3 + a4 , b4 = a4 + a1 ， 证 明 向 量 组
b1 , b2 , b3 , b 4 线性相关。
18. 证明：二次型
f = X T AX
在
X = 1 时的最大值为 A 的最大特征值，最小值为 A 的最小特征值。
2008-2009-2 线性代数期末试卷(A) 一、单项选择题（每小题 3 分，共 15 分）
1．设 A，B 都是 n 阶方阵，且|A|=3，|B|=-1,则
AT B -1 =(
2008-2009-1 年秋线性代数期末试卷(A) 一、单项选择题（每小题 3 分，共 15 分）
1.设
A 中有 n 2 - n
个以上元素为零，则
A 的值为（
）
A.大于零; B. 等于零; C. 小于零; D. 不能确定. 2.设
C.16； D. 16.
A. 4 B. 4；
3. 已知
A 为 n 阶方阵，且满足 A2 - A - 2 E = 0 则必有（
B.
）
A. C. 4. 设
A 不可逆； A = E ；
A - E 可逆； D. A = - E 。
）
A, B 均为 n 阶方阵，若 R ( A ) = R ( B ) ，则必有（
x 0 6． 0 y
y x 0 0
0 y x 0
0 0 = y x
;
æ 1 2 2 ö ç ÷ 7．设矩阵 A = 2 t 3 ÷ ，若齐次线性方程组 Ax = 0 有非零解，则数 t = ç ç 3 4 5 ÷ è ø æ 1 0 0 ö ç ÷ 8．矩阵 A = 0 1 3 ÷ 的逆矩阵为 ç ç 0 1 2 ÷ è ø
2009年4月线性代数试卷
全国2009年4月高等教育自学考试线性代数（经管类）试题答案一、单项选择题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）1．3阶行列式011101110||---=ij a 中元素21a 的代数余子式=21A （ ）A ．2-B ．1-C ．1D ．22．设⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=22211211a aa a A ，⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛++=121112221121a a a a a a B ，⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=01101P ，⎪⎪⎭⎫⎝⎛=11012P ，则（ ） A ．B A P P =21B ．B A P P =12C ．B P AP =21D ．B P AP =123．设n 阶可逆矩阵A 、B 、C 满足E ABC =，则=-1B （ ） A ．11--C AB ．11--A CC ．ACD ．CA4．设3阶矩阵⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=000100010A ，则2A 的秩为（ ）A ．0B ．1C ．2D ．35．设4321,,,αααα是一个4维向量组，若已知4α可以表为321,,ααα的线性组合，且表示法惟一，则向量组4321,,,αααα的秩为（ ） A ．1B ．2C ．3D ．46．设向量组4321,,,αααα线性相关，则向量组中（ ） A ．必有一个向量可以表为其余向量的线性组合 B ．必有两个向量可以表为其余向量的线性组合 C ．必有三个向量可以表为其余向量的线性组合 D ．每一个向量都可以表为其余向量的线性组合7．设321,,ααα是齐次线性方程组0=Ax 的一个基础解系，则下列解向量组中，可以作为该方程组基础解系的是（ ） A ．2121,,αααα+ B ．133221,,αααααα+++ C ．2121,,αααα-D ．133221,,αααααα---8．若2阶矩阵A 相似于⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=3202B ，E 为2阶单位矩阵，则与A E -相似的是（ ）A ．⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛4101B ．⎪⎪⎭⎫⎝⎛--4101C ．⎪⎪⎭⎫⎝⎛--4201D ．⎪⎪⎭⎫⎝⎛---42019．设实对称矩阵⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=120240002A ，则3元二次型Ax x x x x f T =),,(321的规范形为（ ）A ．232221z z z ++B ．232221z z z -+C ．2221z z +D ．2221z z - 10．若3阶实对称矩阵)(ij a A =是正定矩阵，则A 的正惯性指数为（ ） A ．0B ．1C ．2D ．3二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）11．已知3阶行列式696364232333231232221131211=a a a a a a a a a ，则=333231232221131211a a a a a a a a a _______________． 12．设3阶行列式3D 的第2列元素分别为3,2,1-，对应的代数余子式分别为1,2,3-，则=3D _______________．13．设⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=0121A ，则=+-E A A 22_______________． 14．设A 为2阶矩阵，将A 的第2列的（2-）倍加到第1列得到⎪⎪⎭⎫⎝⎛=4321B ，则=A _____． 15．设3阶矩阵⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=333220100A ，则=-1A _______________．16．设向量组)1,1,(1a =α，)1,2,1(2-=α，)2,1,1(3-=α线性相关，则数=a ___________．17．已知T x )1,0,1(1-=，T x )5,4,3(2=是3元非齐次线性方程组b Ax =的两个解向量，则对应齐次线性方程组0=Ax 有一个非零解向量=ξ_______________．18．设2阶实对称矩阵A 的特征值为2,1，它们对应的特征向量分别为T )1,1(1=α，T k ),1(2=α，则数=k ______________． 19．已知3阶矩阵A 的特征值为3,2,0-，且矩阵B 与A 相似，则=+||E B _______________．20．二次型232221321)()(),,(x x x x x x x f -+-=的矩阵=A _______________． 三、计算题（本大题共6小题，每小题9分，共54分）21．已知3阶行列式=||ij a 4150231-x x 中元素12a 的代数余子式812=A ，求元素21a 的代数余子式21A 的值．22．已知矩阵⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=0111A ，⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=2011B ，矩阵X 满足X B AX =+，求X23．求向量组T )3,1,1,1(1=α，T )1,5,3,1(2--=α，T )4,1,2,3(3-=α，T )2,10,6,2(4--=α的一个极大无关组，并将向量组中的其余向量用该极大无关组线性表出．24．设3元齐次线性方程组⎪⎩⎪⎨⎧=++=++=++000321321321ax x x x ax x x x ax ，（1）确定当a 为何值时，方程组有非零解；（2）当方程组有非零解时，求出它的基础解系和全部解．25．设矩阵⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=504313102B ，（1）判定B 是否可与对角矩阵相似，说明理由；（2）若B 可与对角矩阵相似，求对角矩阵Λ和可逆矩阵P ，使Λ=-BP P 1．26．设3元二次型3221232221321222),,(x x x x x x x x x x f --++=，求正交变换Py x =，将二次型化为标准形． 四、证明题（本题6分）27．已知A 是n 阶矩阵，且满足方程022=+A A ，证明A 的特征值只能是0或2-．。
线性代数试卷
2008—2009学年第一学期《线性代数》试卷A班级 学号 姓名 成绩一．填空题（每小题4分，共28分）：1．设A ，B 都为二阶方阵，且|A |=1，|B |=-2，则=-*|2|1B A 。
2．设三阶方阵A 的特征值为1,2,3，则)(1E A +-的特征值为 。
3．设⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=1000110001100011A ，则=4A 。
4．设)1,1,1(1=α，)3,2,1(2=α，),3,1(3t =α，则=t 时，向量组线性相关。
5．设200012025A ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，则1A -= 。
6．二次型323121321224),,(x tx x x x x x x x f ++-=的秩为2，则=t 。
7．设⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=141222c b a A 是正定矩阵，则c b a ,,满足条件 。
二．试解下列各题（每小题7分，共28分）：1．设矩阵B A ,满足如下关系式B A AB 2+=，其中⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-=321011324A ，求矩阵B 。
2．计算行列式30124025312613442-----。
3．已知A 是四阶方阵且满足矩阵方程32A A A E O -+-=，试求矩阵A 的逆。
4．已知向量组12(1,1,2,4),(0,3,1,2),T T αα=-=3(3,0,7,14),T α=4(1,1,2,0),T α=- 5(2,1,5,6)T α=，求该向量组的秩和一组极大线性无关组。
三．（7分）用Schmidt 正交化方法将向量组T )1,1,1(1=α，T )3,2,1(2=α，T )9,4,1(3=α标准正交化。
四．（12分）求矩阵110430102A-⎛⎫⎪=- ⎪⎪⎝⎭的特征值与特征向量。
五．（12分）讨论参数λ为何值时，方程组1232 1232 1231 x x xx x xx x xλλλλλ++=⎧⎪++=⎨⎪++=⎩1）有唯一解；2）无解；3）有无穷多解？如果方程组有无穷多解，求出方程组的通解。
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河北科技大学2009——2010学年第一学期
《线性代数》期末考试试卷(A)
一 填空题(本题共6小题，每小题4分，共24分)
1. 设12311232(,,,),(,,,)A B αααβαααβ==，其中12312,,,,αααββ均为4维列向量，且2,3A B ==，则2A B -= ．
2. 已知101020001A ⎛⎫
⎪= ⎪⎝⎭
，则12()()A E A E -+-= ． 3. 设123123,23k A k k -⎛⎫
⎪=-- ⎪-⎝⎭
且()2R A =，则k = ． 4. 若向量组T T 12(1,2,3),(,4,6)k αα==线性相关, 则k = ．
5. 已知3阶方阵A 的特征值为-1, 4, 2，则12
A = ． 6. 3元二次型221231212(,,)22f x x x x x x x =+-的矩阵为．
二 单项选择题(本题共5小题，每小题4分，共20分)
1. 设,A B 均为n 阶可逆阵，则下列等式中不正确．．．
的是( ) (A) T T T ()AB B A = (B) 111()AB B A ---=
(C) T T T ()A B A B +=+ (D) 111()A B A B ---+=+
2. n 维向量组12,,,(2)s s ααα>线性无关的充分必要条件是( )
(A) 存在不全为零的数12,,,,s k k k 使得11220s s k k k ααα++
+≠ (B) 存在全为零的数12,,
,,s k k k 使得11220s s k k k ααα+++= (C) 其中1个向量不能由其余1s -个向量线性表示
(D) 其中任意向量均不能由其余1s -个向量线性表示
3. 设3元非齐次线性方程组Ax b =的两个解分别为T 1(1,0,2),η=T 2(1,1,3)η=-，且
()2R A =，则此线性方程组的通解为(12,,c c c 为任意常数)( )
(A) T 1(1,0,2)c T 2(1,1,3)c +-
(B) T (0,1,1)c -T (1,1,3)+- (C) T (2,1,5)c -T (1,0,2)+ (D) T (1,0,2)c T (1,1,3)+-
4. 设,A B 为n 阶矩阵, 且()()R A R B =, 则( )
(A) (,)2()R A B R A ≤ (B) (,)2()R A B R A =
(C) ()2()R A B R A += (D) ()0R A B -=
5. 设A 为n 阶方阵，12,λλ是A 的特征值,12,αα是A 的分别对应于12,λλ的特征向量, 则( )
(A) 若12λλ=, 则12,αα一定成比例
(B) 若12λλ=, 则12,αα一定不成比例
(C) 若12λλ≠，则12αα+一定不是A 的特征向量
(D) 若12λλ≠，则12αα+一定是A 的特征向量
三 计算题(本题共50分. 请写出必要的解题过程)
1.(本小题10分) 计算n 阶行列式0111011
10
n D =.
2.(本小题10分) 已知010111101A ⎛⎫ ⎪=- ⎪--⎝⎭，112053B -⎛⎫
⎪= ⎪-⎝⎭
，且B AX X +=，求矩阵X .
3.(本小题15分) 设有线性方程组
132
232132,
2,2 4.
x x x x x x λλλ+=⎧⎪-=⎨⎪+=⎩
问λ取何值时，方程组有惟一解、无解或有无限多解? 并在有无限多解时求其通解.
4.(本小题15分) 设100001010A ⎛⎫
⎪=- ⎪-⎝⎭
，求正交矩阵T ，使1T AT -为对角矩阵.
四 证明题(本题6分. 请写出主要的证明过程)
设3阶方阵A 有3个互不相同的特征值123,,λλλ，对应的特征向量依次为123,,ααα. 令123βααα=++，证明2,,A A βββ线性无关.。