第7章 电场

第7章 电场7-4 在真空中有A 、B 两块板，板面积为S ，分别带有电量q +、q -，相距为d ，若忽略边缘效应，则两板间的相互作用力为多少？解：A 板上的电荷q +在B 板q 产生的场中，0022q E Sσεε==。

因此，A 板上的电荷q 所受的电场力为：20022A q qF qE qssεε===同理：202B qF sε=这是一对作用力与反作用力。

7-10在边长为a 的正六角形的六个顶点都放有电荷，如7-10题图所示，则六角形中心O 处的电场强度为多少？解：如7-10题图所示，由题可知，C 点与F 点的点电荷，B 点与E 点的点电荷在O 点产生的电场相互抵消。

因此O 点的电场仅由A 点和D 点的点电荷产生。

根据点电荷在空间某点产生的电场公式304q E rπε=r 可得：222000442O A D q q q E E i E i i i i aaaπεπεπε=+=+=7-11一半径为R 的半圆细环上均匀地分布电荷Q ，求环心处的电场强度。

解：如图7-11题图所示，在带电半圆环上任取一线元dl R d θ=，其电荷为：Qdq dl Rπ=，此电荷元可视为点电荷，它在O 点产生的电场强度大小为：2014dqdE rπε=，方向沿径向。

因圆环上电荷对y 轴呈对称性分布，所以电场分布也是轴对称的。

则有：0x x LE dE ==⎰；222001sin 42y y LLQ QE dE Rd R R R θθπεππε===⎰⎰2202x y Q E i E j j Rπε∴=-=-E“-”表示电场强度的方向沿y 轴负向。

7-12设均匀电场的电场强度E 与半径为R 的半球面的轴平行，试计算通过此半球面S 1的电通量；若以半球面的边线为边线，另作一个任意形状的曲面S 2，则通过S 2面的电通量又是多少?解：由1s 和以R 为半径的大圆面0s 组成一个封闭曲面s ，由高斯定理知：0isq d ε==∑⎰E s而010ss s d d d =+=⎰⎰⎰E s E s E s ，所以：112eS s s d d E S E R πΦ==-==⎰⎰ E s E s同理，由2s 和以R 为半径的大圆面0s 。

组成一个封闭曲面`s ，则可得： 202eS s d E S E R πΦ=-==⎰ E s7-13如7-13题图所示，电荷线密度为1λ的无限长均匀带电直线，其旁垂直放置电荷线密度为2λ的有限长均匀带电直线AB ，两者位于同一平面内。

则AB 所受静电作用力的大小为多少？解：方法一， 由题意可知，两直线均匀带电。

由于库仑定律只适用于点电荷系统．因此，需将两带电直线分成许多电荷元；建立如7-13题图(右)所示的直角坐标系，有11dq dy λ=，22dq dx λ=，根据库仑定律，可得1dq ，施加给2dq 的作用力为：122014dq dq dF r πε=r 为两电荷元之间的距离。

将dF 沿x 、y 轴投影，得：cos x dF dF θ=，sin y dF dF θ=；根据对称性分析可知：y yF dF=⎰为零。

因此，F 只沿x 轴正向，即223cos 4a b x axdxdy F dF dF rλλθπε++∞-∞===⎰⎰⎰⎰121222322ln4()2a b ady a b xdx x y aλλλλπεπε+∞+==+⎰⎰方法二： 由电场强度定义求解。

带电直线AB 处于无限长带电直线产生的电场中，若把带电直线AB 视为许多电荷元2dq 的集合，则电场对每个电荷元的作用力为2dF Edq =；各电荷元的dF 的矢量和，即为带电直线AB 所受的电场力。

如7-13题图(右)所示。

在距无限长带电直线x 处任取一电荷元22dq dx λ=，由无限长带电直线的场强公式可知2dq 处的场强为：102E x λπε=方向沿x 袖正向。

于是有122012dF Edq dx xλλπε==7-13由于各电荷元所受力的方向均沿x 轴正向，所以：222200ln22a b x adxa b F F dF xaλλλλπεπε++====⎰⎰若问题中的1λ和2λ异号，则F 沿x 轴负向。

根据作用力与反作用力的关系可知，无限长带电直线所受的作用力`F ，其大小与F 相等，其方向与F 相反。

7-14 求无限长均匀带电圆柱面内、外场强E 的空间分布。

设圆柱面半径为R 。

电荷面密度为σ。

解：如7-14题图所示，过圆柱面内、外任一点作高为l 的圆柱形高斯面，根据高斯定理0iSqd ε=∑⎰ E S ，有：当r R <时，20E r l π= ，0E =； 当r R >时，022R lE r l σππε=，20R E r rσε=；7-15求均匀带电球体内、外的场强分布，已知球体半径为R ，所带总电荷为q 。

解：由于电荷分布是球对称的，所以电场强度的分布也是球对称的。

因此在电场强度的空间中任意点的电场强度的方向沿径矢，大小则依赖于从球心到场点的距离。

即在同一球面上的各点的电场强度的大小是相等的。

以球心到场点的距离为半径作一球面，则通过此球面的电通量为：24 e sE dS r E πΦ=⋅=⎰根据高斯定理，有：24 e sQE dS r E πεΦ=⋅==⎰(1)当场点在球体外，即r R >时，Q q =，由(1)式可得电场强度为：204q E rπε球外＝当场点在球体内时 即r R <时，33334433q qr Q r RRππ==，由(1)式可得电场强度为：304qr E Rπε球内＝其E r -曲线如7-15题图所示。

7-16求均匀带电细棒中垂面上的电场和电势。

设棒长2l ，带电量为q 。

解：由于电势是标量，可由电势叠加原理，先求出带电直线在P 点的电势，再由场强与电势的微分关系求P 点的场强。

建立如7-16图所示的直角坐标系，并取带电直线中心为坐标原点O 。

则在带电直线上任取一电荷元2q dq dy dy lλ==，在P 点产生的电势为：7-14题图pdV=因此，整个带电系统在P点产生的电势为4lplqdyqV dVl xπε+-====⎰⎰⎰则该点的场强为：x yi j=+E E E，其中：xVEx∂=-=∂，0yVEy∂=-=∂，所以，P点的场强为：xqE E i==7-17求均匀带电球体的电势。

已知电荷q均匀地分布在半径为R的球体上，求空间个各点的电势。

解：由高斯定理可求出电场强度的分布⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≤>RrRqrRrrqE4432πεπε＝方向沿径向。

由电势的定义式rV d∞=⋅⎰E l，可得：当r R>时，有：20044rq qV drr rπεπε∞=⎰球外＝当r R≤时，有：223230000()4484Rr Rqr q q R r qV dr drR r R Rπεπεπεπε∞-+=+⎰⎰球内＝7-18如7-18题图所示，2A B l=，O C D是以B为中心、l为半径的半圆，A点有点电荷q+，B点有点电荷q-。

求（1）把单位正电荷从O点沿OCD移到D点，电场力对它做了多少功?（2）单位负电荷从D点沿AB延长线移到无穷远处，电场力对它做了多少功?解：由点电荷在空间某点产生的电势公式4qVrπε=可得：0004346ODVq q qVl l lVπεπεπε∞⎫=⎪⎪=-=-⎬⎪⎪=⎭由()ab a bW q U U=-可得：(1)1()6OD O DqW V VLπε=⨯-=(2)0(1)()6D D q W V V Lπε∞∞=-⨯-=7-19 在玻尔的氢原子模型中，电子沿半径为100.5310m -⨯的圆周绕原子核旋转。

求： (1)若把电子从原子中拉出来需要克服电场力作多少功? (2)电子的电离能为多少?解：(1)电子在玻尔轨道上作圆周运动时，它的电势能为：2014p eE rπε=-因此，若把电子从原子中拉出来需克服电场力作功为：2027.2eV 4p eW E rπε===(2)电子在玻尔轨道上作圆周运动所需向心力为静电力，即：22014em rrυπε=，电子的动能为：220128k eE m rυπε==总能量为：2013.68k p eE E E eV rπε=+=-=-根据电离能的定义：电子的电离能等于外界把电子从原子中拉出来需要的最低能量，即：013.6E E eV ==7-20如图所示，半径为1R 的导体球，带有电量q +，球外是一个内、外半径分别为2R 、3R 的同心导体球壳，球壳上的带电量为Q +。

试求：（1）求场强和电势分布；（2）若用导线连接两球后，电势分布如何?（3）若外球接地，两球电势各为多少?（4）若内球接地，内外两球的电势差为多少?解：(1)解法一：由于场的分布具有对称性，由高斯定理可得各区域的场强分布为：110 )E R =<（r ， 2220 )4q E R r πε=<1（R <r 330 )E R =<2（R <r ， 4320 )4q Q E R rπε+=（r>E 的方向均沿径向向外。

导体为有限带电体，选无限远处为电势零点。

由电势定义可计算两球的电势1V 和2V ，内球体内的任一场点1P 的电势为：1231232131123422000123441()4R R R r R R R R R R V d d d d q q Q dr dr r r qq q QR R R πεπεπε∞∞=++++=++=-+⎰⎰⎰⎰⎰⎰ E r E r E r E r外球壳体内任一场点2P (23R r R <<)的电势为：3332200344R r R R V d d q Q q Q dr rR πεπε∞∞=+++==⎰⎰⎰34E r E r由1V 和2V 可求出球体与球壳间的电势差为1201211()4q V V V R R πε∆=-=-解法二： 可以把球体与球壳的电势1V 和2V 视为由带电量为q 半径为1R ；带电量为q -、半径为2R 和带电量为(q Q +)、半径为3R 的三个同心带电球面分别在场点1P 和2P 所共同产生的电势叠加。

由于球体内任一场点1P (1r R <)在三个带电导体球面之内，故有：101231()4q q q Q V R R R πε+=-+外球壳体内任一场点2P (23R r R <<)的电势为：2000303()4444q q q Q q Q V rrR R πεπεπεπε++=-+=(2)当用导线把球和球壳连接在一起后，由静平衡条件可知，电荷q Q +全部分布在球壳的外表面上，如7-20题图(b)所示，此时，电场只分布在3r R >的空间中，即2014q QE rπε+=。