第三章 人工特异材料的传输线网络模型及其实现方法

第三章人工特异材料的传输线网络模型及其实现方法内容提要：我们首先介绍右手材料和左手材料的传输线实现方法，在此基础之上，提出了一套完整的利用周期性理想L-C电路实现二维（2-D）各向异性特异材料的方法。

根据这套电路模型，考虑实际情况，用L-C加载传输线周期性网络实现各向异性特异材料。

作为一个例子，我们研究了特定各向异性特异材料界面的高阻反射性质，并采用L-C加载传输线结构实现了相位可调谐的二维高阻反射表面，进行了实验验证。

3.1 右手材料和左手材料的传输线模型及实现方法绪论中介绍了实现左手材料的几种方法，可以利用周期性的SRR和金属线阵列[1-4]，也可以利用周期性的传输线（TL）加载电感-电容（L-C）[5-12]。

平面传输线网络既可以实现普通介质的电磁波传播，也可以实现左手介质的电磁波传播特性，它不仅被用来验证负折射和平板聚焦等物理现象[10,11]，并且在微波电路器件应用方面也有重要的意义和广阔的前景[13-21]。

与金属介质谐振结构相比，传输线结构具有较小的损耗和较宽的左手传输线工作带宽。

电磁波在介质材料中的传播可以与电磁波在传输线上传播相类比，这一类比源于电磁场波动方程与传输线电报方程在形式上的相似性，利用电压、电流波在周期性网络结构中的传播来模拟电磁波在电磁介质中的传播。

介质的介电常数和磁导率可以用传输线模型中的单位长度电容和单位长度电感来类比[5]。

为了说明传输线模型与介质材料的电磁参数的类比关系，可考虑一个由串联阻抗和并联导纳组成的网络单元，如图3.1所示。

该二维结构的电报方程表达式为,y y z x v v i Z i Z zx∂∂=-=-∂∂，(3.1) Y v xi zi y x z -=∂∂+∂∂，(3.2) 联立以上二式，有022222=+∂∂+∂∂y y y v zv xv β， (3.3)其中传播常数ZY -±=β。

(3.4) 分析其中的电磁场传播情况。

当单元尺寸远小于波长时，可以把单元中的场看作准静态场来处理。

考虑二维介质情况，场在y 方向没有变化。

这种二维平面介质中传播的是TE y 和TM y 模式。

对于TM y 模，根据Maxwell 方程组有,y y z x E E j H j H xzωμωμ∂∂=-=∂∂， (3.5)x z y H H j E zxωε∂∂-=∂∂。

(3.6)根据电压电流波与电磁波的物理联系，比较式(3. 1)、(3. 2)与(3. 5)、(3. 6)，可以建立以下映射关系：v y → E y ，i x → H z ，i z → -H x 。

得到介电常数及磁导率与电路模型之间的联系：图 3.1 二维分布式L-C 网络单元模型ωεωεj Y Y j =⇒=， (3.7)ωμωμj Z Z j =⇒=。

(3.8)对于正常介质（右手材料），其理想传输线模型由串联电感和并联电容组成，相当于高通滤波器。

左手材料的介电常数和磁导率均小于零，所以其传输线模型的串联电抗和并联电纳也要求小于零，相当于串联电容和并联电感[5]。

两种结构单元如图3.2所示，其等效参数如表3.1。

(a)(b) 图3.2 (a)传统右手介质的理想L-C 传输线模型 (b) 左手介质的理想L-C 传输线模型左手传输线中电磁波的相速度和群速度的方向相反，这和左手材料中电磁波的反向波传播特性相符。

另外，左手材料必定是色散的，在左手传输线模型中其等效介电常数和等效磁导率都和频率有关，呈现明显的色散性质。

在实际应用中，普通传输线可以看成是其寄生串联电感和寄生并联电容组成的周期网络，因此右手材料可直接用普通的传输线等效，而在实现左手材料时，由于传输线寄生参数的存在，必须用一定长度的传输线加载串联电容和并联电感，形成周期结构来等效，如图3.3所示。

加载L-C 的传输线由多伦多大学的Eleftheriades 小组首先提出[9,10]，并对传输线参数设计进行了详细的分析[9]，现简述如下。

对于右手传输线单元，如图3.3 (a)，应用周期性边界条件和Bloch-Floquet 原理[9]，得到色散方程222sin ()sin ()2sin ()222x z k d k d dβ+=。

(3.9)当单元尺寸远小于电磁波的波长，即满足1, 1, 1x z d k d k d β<<<<<<时 ，可视为等效均匀媒质，上式可简化为)222x z k k +=。

(3.10)22e e k ωμε=，等效介电常数和等效磁导率002, e e Z Z ββεμωω==。

(3.11)对于左手传输线单元，如图3.3 (b)，应用周期性边界条件和Bloch-Floquet 原理[9]，得到色散方程2211sin ()sin ()2sin()cos()2sin()cos()22222222x o z o k d Z k d d d d d Z C L ββββωω⎡⎤⎡⎤+=-⨯-⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦ (3.12) 当单元尺寸远小于电磁波的波长，即满足1, 1, 1x z d k d k d β<<<<<<时，可视为等效均匀媒质，上式可简化为220012x z Z k k Z Cd Ld ββωω⎛⎫⎛⎫+=-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭。

(3.13) 22e e k ωμε=，等效介电常数和等效磁导率022211cos , cos 22e e Z d d Z Ld C d ββββεμωωωω⎛⎫⎛⎫=-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭。

(3. 14) 在一定频率范围内，可使等效介电常数和等效磁导率同为负值，因此这一结构表现出左手传输线的性质。

3.2. 各向异性人工特异材料的传输线模型及其实现对于在不同方向上具有不同电磁参数特性的各向异性人工特异材料，同样可以用平面传输线网络来等效和实现。

根据材料中电磁波传播的截止特性，各向异图3.3 实际的L-C 加载传输线模型 (a)右手材料 (b) 左手材料(b)(a)性材料被分为cutoff ，never cutoff ，anti-cutoff ，always cutoff 四类，每一类又根据折射性质的不同分为两个子类[22]。

例如，对于电场沿y 方向极化、沿z 方向传播的平面电磁波，其色散关系满足22221xzyr xr yr zr k k c c ωωεμεμ+=⎛⎫⎛⎫⎪⎪⎝⎭⎝⎭。

(3.15) 在各向同性LHM 的理想传输线模型基础上，我们提出了一组完整的周期性L-C 网络结构来模拟电磁波在二维（2-D ）各向异性人工特异材料（anisotropic metamaterials ，AMMs ）中的传播，各向异性材料中传播的电场和磁场分量分别对应于电路网络中的电压波和电流波传播[23]。

3.2.1 各向异性的L-C 网络考虑一个一般的2-D 各向异性周期性L-C 网络，单元结构如图3.4。

为简单起见，我们先忽略损耗，所有阻抗元件（Z x ，Z z ，Z g ）均为纯电感或纯电容。

对该周期结构进行电路分析，对每一单元应用Kirchhoff 电压、电流定律和Bloch 边界条件，则有djk x x e-djk ez z -djk z -djk x -zx y图3.4 2-D 各向异性L-C 电路的单元结构12121212x z x x z zx x x g g z z z g gjk d jk dx z x z g jk d jk dg g x x x jk d jk d g g z z z V Z I Z I V Z I Z II I I eI e I Z I Z I e V e Z I Z I e V e ------⎧=+⎪⎪⎪=+⎪⎪+=++⎨⎪⎪=+⎪⎪=+⎪⎩。

（3.16） 其中d 是每单元的长度，k x ，k z 分别是x 和z 方向的波数。

将前三个等式代入后两个等式，可以得到关于I x ，I z 的线性奇次方程()()()()()()221110111x x x z x z z z jk djk djk djk dg x g x jk d jk djk djk dz g g z Z e Z eZ ee I I Z e eZ eZ e--------⎡⎤----⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦----⎢⎥⎣⎦。

（3.17） 对于非零解，式（3.2.1-2）的系数行列式必须为零，由此得到该周期性网络的色散关系1cos cos 2g z x g x z x z g z g x Z Z k d Z Z k d Z Z Z Z Z Z +=++。

（3.18）如果单元长度d 远小于波长，满足1, 1x z k d k d <<<<，该结构就可以看作连续均匀媒质，上式简化为()()221x z x z ggk d k d Z Z Z Z +=-- 。

（3.19）这一色散关系式类似于式(3.15)，因此电压和电流在这种各向异性L-C 网络中的传播可以等效电磁波在均匀各向异性材料中的传播。

对比色散关系式（3.19）和式(3.20)，可得到等效介电常数和等效磁导率满足2211,xzye xeye z eggZ Z d Z d Z εμεμωω⎛⎫⎛⎫=-=- ⎪⎪⎝⎭⎝⎭。

（3.20） 其中εye =εyr ε0, μxe =μxr μ0, μze =μzr μ0 。

我们进一步假设1111,,ye xe z ze x gj j Z j Z d Z d d εμμωωω⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-=-=-⎪⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭。

（3.21） 为了说明上述假设是合理的，我们先看当图3.4的周期网络在x 和z 方向上都为串联电感L r ，同时并联电容C gr ，这一结构就变成为前一节所介绍的理想右手L-C 网络，其等效介电常数和等效磁导率分别由单位长度内的并联电容和串联电感决定。

由式（3.21）得到,gr r eRHM eRHM C L d dεμ==。

(3.22）其次，如果图3.4的周期网络在x 和z 方向上都串联电容C l ，同时并联电感L gl ，这一结构就成为理想的左手L-C 网络，等效介电常数和等效磁导率分别由单位长度内的并联电感和串联电容决定。

由式（3.21）得到2211,eLH M eLH M gl l L dC dεμωω=-=-。

（3.23）式（3.22）和式（3.23）与前一节介绍的正常介质和左手介质的分布式L-C 网络等效是一致的[3, 4]，说明式（3.21）这种一般性的结构参数等效关系具有合理性。

3.2.2 各向异性材料的L-C 模型和等效参数一般情况下，阻抗元件Z x ，Z z ，Z g 可以任意选择为电感或电容，因此我们能够构造8种不同类型的L-C 网络，来实现具有不同截止特性的四类各向异性介质，如表3.2。