07拉压超静定
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第六章 拉压超静定问题
FN1
B' C' A' x
Δl1
FN1l EA
FN3 l e F N3 Δl 3 E 3 A3
(4)补充方程
FN2
FN3 l e FN1l Δe E 3 A3 E A
联立平衡方程与补充方程求解,即可得装配内力，进而求出装配 应力.
§6-4 简单超静定梁
Ⅰ.超静定梁的解法 q A 例：求解图示超静定梁 的支座反力，并画剪力 图和弯矩图。 分析：可以铰支座B为 “多余”约束，解除 “多余”约束后的基本 静定系为A端固定的悬 臂梁。
1
2 A
3
F
工程中很多建筑结构的力学模型并不是 静定结构，而是超静定结构。
第六章 力法
“鸟巢”国家体育场 杆件结构中大量采用超静定结构
土木工程中常见的简单超静定结构？
B
大型承重桁架
多跨连续梁
既然静定结构可以承担荷载，为什么工程中还 要使用超静定结构呢？ 原因：采用超静定结构要比静定结构更经济，更安全。 例如 (1)通过给静定梁增加支座，降低梁的最大弯矩。
原结构
相当系统
例：求三杆桁架内力,杆长 L1=L2，L3 =L ,面积 A1=A2=A， A3 ,弹性模量 E1=E2=E，E3
B
3 1
D
C
2 N1 N3
A P
A P
N2
解: (1) 列静力平衡方程 X 0 N1 sin N 2 sin 0
Y 0
(3) 利用物理关系(参见教材中的附录Ⅳ)所得的 补充方程为
ql 4 FB l 3 0 8 EI 3 EI
3 从而解得“多余”未知力 FB ql 8
B' C' A' x
Δl1
FN1l EA
FN3 l e F N3 Δl 3 E 3 A3
(4)补充方程
FN2
FN3 l e FN1l Δe E 3 A3 E A
联立平衡方程与补充方程求解,即可得装配内力，进而求出装配 应力.
§6-4 简单超静定梁
Ⅰ.超静定梁的解法 q A 例：求解图示超静定梁 的支座反力，并画剪力 图和弯矩图。 分析：可以铰支座B为 “多余”约束，解除 “多余”约束后的基本 静定系为A端固定的悬 臂梁。
1
2 A
3
F
工程中很多建筑结构的力学模型并不是 静定结构，而是超静定结构。
第六章 力法
“鸟巢”国家体育场 杆件结构中大量采用超静定结构
土木工程中常见的简单超静定结构？
B
大型承重桁架
多跨连续梁
既然静定结构可以承担荷载，为什么工程中还 要使用超静定结构呢？ 原因：采用超静定结构要比静定结构更经济，更安全。 例如 (1)通过给静定梁增加支座，降低梁的最大弯矩。
原结构
相当系统
例：求三杆桁架内力,杆长 L1=L2，L3 =L ,面积 A1=A2=A， A3 ,弹性模量 E1=E2=E，E3
B
3 1
D
C
2 N1 N3
A P
A P
N2
解: (1) 列静力平衡方程 X 0 N1 sin N 2 sin 0
Y 0
(3) 利用物理关系(参见教材中的附录Ⅳ)所得的 补充方程为
ql 4 FB l 3 0 8 EI 3 EI
3 从而解得“多余”未知力 FB ql 8
拉压超静定
内容提要
简单的拉、压超静定问题
第1页/共38页
§7—7 简单的 拉、压超静定问题
一、静定与超静定问题 1、静定问题: 杆件的轴力可以用静力平衡条件求出，这种情况 称作静定问题。 2、超静定问题: 只凭静力平衡方程已不能解出全部未知力， 这种情况称做超静定问题。
3、超静定的次数: 未知力个数与独立平衡方程的数目之差, 称作超静定的次数。
F
A F N 3(l cos )
E3 A3
第15页/共38页
D
A
A
FN3
3、补充方程
B
D
C
3
1
FN3
2
A A
F
(F F N 3)l
2 EA cos 2
F
N 3(l cos )
E3 A3
第16页/共38页
D
B
D
C
3
1
FN3
2
A
A
A A
F
FN3
FN3 1 2
F EA
cos3
E3 A3
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二、超静定问题的基本解法
例题1：两端固定的等直杆AB横截面积为A，弹性模量为E，在C
点处承受轴力 F 的作用，如图 所示 。计算约束反力。
A a
C
F
B
第4页/共38页
A a
C
F
B
FA
A
C
F
B
FB
这是一次超静定问题
第5页/共38页
A a
C
F
B
A
A
C
F
B
基本系统
C
F
B
FB
相当系统
简单的拉、压超静定问题
第1页/共38页
§7—7 简单的 拉、压超静定问题
一、静定与超静定问题 1、静定问题: 杆件的轴力可以用静力平衡条件求出，这种情况 称作静定问题。 2、超静定问题: 只凭静力平衡方程已不能解出全部未知力， 这种情况称做超静定问题。
3、超静定的次数: 未知力个数与独立平衡方程的数目之差, 称作超静定的次数。
F
A F N 3(l cos )
E3 A3
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D
A
A
FN3
3、补充方程
B
D
C
3
1
FN3
2
A A
F
(F F N 3)l
2 EA cos 2
F
N 3(l cos )
E3 A3
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D
B
D
C
3
1
FN3
2
A
A
A A
F
FN3
FN3 1 2
F EA
cos3
E3 A3
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二、超静定问题的基本解法
例题1：两端固定的等直杆AB横截面积为A，弹性模量为E，在C
点处承受轴力 F 的作用，如图 所示 。计算约束反力。
A a
C
F
B
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A a
C
F
B
FA
A
C
F
B
FB
这是一次超静定问题
第5页/共38页
A a
C
F
B
A
A
C
F
B
基本系统
C
F
B
FB
相当系统
拉压超静定
1 2
F
FN 1 FN 2 FN 3
y
A
x
列出变形几何关系 将A点的位移分量向各杆投 影.得
l1 y sin x cos
y
x
A x
整理得
l2 x l3 y sin x cos
变形关系为 l3 l1 2l2 cos
l1
l2
l3
4、补充方程
FN 1l FN 3l cos EA cos EA
FN 1 FN 3 cos 2
5、求解方程组得 F F cos 2 F FN 1 FN 2 N3 1 2 cos 3 1 2 cos 3 3
拉、压超静定问题
木制短柱的4个角用4个40mm×40mm×4mm的等边角钢加固， 已知角钢的许用应力[σst]=160MPa，Est=200GPa；木材的许 用应力[σW]=12MPa，EW=10GPa，求许可载荷F。 F 解： 平衡方程: F FW Fst （1） F 变形协调关系: l st l w FW l FW 物理关系: lW EW AW Fst Fst l lst Est Ast 补充方程:
2
拉、压超静定问题
超静定结构的求解方法： 1、列出独立的平衡方程 Fx 0 FN1 FN 2
y
F
0 2FN1 cos FN 3 F
2、变形几何关系 l1 l2 l3 cos 3、物理关系
FN 1l FN 3l l1 l3 EA cos EA
F
根据角钢许用应力，确定F
0.283F st st F 698 kN Ast 根据木柱许用应力，确定F 0.717F W W AW
拉压超静定问题
L FN L EA
4、联立静力方程与力的补充方程求出所有的未知力。
三、注意的问题 拉力——伸长变形相对应；压力——缩短变形相对应。
例 设 1、2、3三杆用铰链连接如图，已知：各杆长为：
l1=l2、 l3=l；各杆面积为 A1=A2、 A3 ；各杆弹性模量为： E1=E2、E3。外力沿铅垂方向，求各杆的内力。
B
DC
1
3
2
l
A G
(a)
B
DC
解：、平衡方程:
1 32
l3
A
l1
E
A
(c)
Fx 0 FN1 sin FN 2 sin 0 Fy 0 FN1 cos FN 2 cos FN3 G 0
、几何方程——变形协调方程：
L1 L3 cos
补充方程：由力与变形的物理条件得：
FN1 FN 3
工程力学
拉压超静定问题
一、概念
1、静定：结构或杆件的未知力个数等于有效静力方程的个数， 只利用有效静力方程就可以求出所有的未知力。
2、超静定：结构或杆件的未知力个数大于有效静力方程的个数， 只利用有效静力方程不能求出所有的未知力。
3、多余约束：在超静定系统中多余维 持结构几何不变性所需要的杆或支座。
4、多余约束反力：多余约束对应的反力。
BDC
1
3
2
A G
5、超静定的分类（按超静定次数划分）： 超静定次数=多余约束个数=未知力个数-有效静力方程个数。 二、求解超静定（关键——变形几何关系的确定） 步骤：1、根据平衡条件列出平衡方程（确定超静定的次数）。
2、根据变形协调条件列出变形几何方程。 3、根据力与变形的物理条件，列出力的补充方程。
FN 2
4、联立静力方程与力的补充方程求出所有的未知力。
三、注意的问题 拉力——伸长变形相对应；压力——缩短变形相对应。
例 设 1、2、3三杆用铰链连接如图，已知：各杆长为：
l1=l2、 l3=l；各杆面积为 A1=A2、 A3 ；各杆弹性模量为： E1=E2、E3。外力沿铅垂方向，求各杆的内力。
B
DC
1
3
2
l
A G
(a)
B
DC
解：、平衡方程:
1 32
l3
A
l1
E
A
(c)
Fx 0 FN1 sin FN 2 sin 0 Fy 0 FN1 cos FN 2 cos FN3 G 0
、几何方程——变形协调方程：
L1 L3 cos
补充方程：由力与变形的物理条件得：
FN1 FN 3
工程力学
拉压超静定问题
一、概念
1、静定：结构或杆件的未知力个数等于有效静力方程的个数， 只利用有效静力方程就可以求出所有的未知力。
2、超静定：结构或杆件的未知力个数大于有效静力方程的个数， 只利用有效静力方程不能求出所有的未知力。
3、多余约束：在超静定系统中多余维 持结构几何不变性所需要的杆或支座。
4、多余约束反力：多余约束对应的反力。
BDC
1
3
2
A G
5、超静定的分类（按超静定次数划分）： 超静定次数=多余约束个数=未知力个数-有效静力方程个数。 二、求解超静定（关键——变形几何关系的确定） 步骤：1、根据平衡条件列出平衡方程（确定超静定的次数）。
2、根据变形协调条件列出变形几何方程。 3、根据力与变形的物理条件，列出力的补充方程。
FN 2
拉伸、压缩超静定问题
定结构的变形受到部分或全部约束, 温度变化时,
在图中, AB杆代表蒸汽锅炉与原动机间的管道。
与锅炉和原动机相比, 管道刚度很小, 故可把A, B两端简化成固定端。
固定于枕木或基础上的钢轨也类似于这种情况。
当管道中通过高压蒸汽, 或因季节变化引起钢轨温度变化时, 就相当于上述两端固定杆的温度发生了变化。
因为固定端限制杆
件的膨胀或收缩, 所以
势必有约反力F R A和
F R B作用于两端。
这将
引起杆件内的应力, 这
种应力称为热应力或
温度应力。
必须再补充一个变形协调方
这就是补充的变形协调方程。
拉压超静定
A 1 B 2
FN1
D
FN2 F
D
3 C h
FN3
F
平衡方程为
( FN1 FN3 ) cos FN2 F cos 0 FN1 sin FN3 sin F sin 0
这是一次超静定问题
A 1 B 2
1 D
E
l3
D3
l2
( FN1 FN3 ) cos FN2 F cos 0 FN1 sin FN3 sin F sin 0 l1 l3 2 l2 cos
A 1 B 2
D
物理方程为
FN1l1 FN1h l1 EA EA cos FN2l2 FN2h l2 EA EA FN3l3 FN3h l3 EA EA cos
2.10 拉伸、压缩超静定问题 一、超静定问题及求解方法 静定问题: 杆件的轴力可以用静力平衡条件求出, 这种情况称作静定问题。 超静定问题: 只凭静力平衡方程已不能解出全部 未知力, 这种情况称做超静定问题。
超静定的次数: 未知力数超过独立平衡方程数 的数目, 称作超静定的次数。
2.10 拉伸、压缩超静定问题 变形协调方程: 在静不定问题中, 各部分变形之 间必存在相互制约的条件, 这种条件称为变形相 容条件(变形协调方程)。
2 FN1 3 FN2 6 F
这是一次超静定问题
(2) 画变形几何关系图 建立变形几何方程
变形协调条件为： 梁 ABCD 绕 铰 链 A 转 动 , ①、② 两杆仍与其铰接
d C 2d B
②
A a
60º B
拉压超静定问题
(2) 不管伸长还是缩短，变形量一律取其大小。 河南理工大学万方科技学院
材料力学
§6-2 拉压超静定问题 一、拉压超静定问题解法
例6-1 图示杆抗拉刚度EA，
求杆端的支反力。
解： 平衡方程：
R AR BP0
a
l
(1)
b
变形几何相容方程：
lAC lBC (2)
第六章 超静定问题
RA
A
3
3P 32
河南理工大学万方科技学院
材料力学
二、装配应力和温度应力 1. 装配应力
超静定杆系(结构)由于 存在“多余”约束，如果某 些杆件在制造时长度存在误 差，则组装时各杆都要发生 弹性变形，同时产生附加内 力──装配内力，以及相应 的装配应力(预应力)。
河南理工大学万方科技学院
第六章 超静定问题
第六章 超静定问题
B
D
C
3
1 2
L1
FN 1 L1 E1 A1
L3
FN 3 L3 E3 A3
（3）
联解（1）、（2） 、（3）式得：
A
L2
L1
L3
FN1
FN2
P
2cosE1AE13cAo32s
FN3
12
P A1
E1A1
E3A3 cos3
解答表明，各杆的轴力与其本身的刚度其它杆的刚度之比有关 河南。理工大学万方科技学院
河南理工大学万方科技学院
材料力学 河南理工大学万方科技学院
第六章 超静定问题
例题6-3 相同的钢杆1、
2，两端用刚性块连接在一起 (图a)，其长度l =200 mm，直 径d =10 mm。再将铜杆3(图b) 装配在对称的位置(图c)，其长 度为200.11 mm，截面为矩形： 20 mm×30 mm。试求各杆横 截面上的应力。已知：钢的弹 性模量E=210 GPa，铜的弹性 模量E3=100 GPa。
工程力学(马浩)拉压超静定问题
解超静定问题的步骤： 解超静定问题的步骤：
根椐变形相容条件建立变形几何方程。变形几何方程的个 根椐变形相容条件建立变形几何方程。 数与超静定次数相等。 数与超静定次数相等。 将变形与力之间的关系（胡克定律） 将变形与力之间的关系（胡克定律）代入变形几何方程得 补充方程。 补充方程。 联立补充方程与静力平衡方程求解。 联立补充方程与静力平衡方程求解。
α
F
几何方程为
∆l1 +∆l3 = 2 l2cosα ∆
A
α
1
1
∆l3
B 2
α α
D
β
E
α α
D
∆l2
C
D1
3
2
P
H
∆l1
3
G
D
'
N 1 l1 N1 H = ∆ l1 = EA EA cosα
α
N 2l2 N 2 H = ∆ l2 = EA EA
N 3 l3 N3 H = ∆ l3 = EA EA cosα
3 3 2 1
2
1
l
B
a C
a A
C
B
A
∆l 3
C′
∆l 2
B′
∆l1
A′
G (4) 联立平衡方程与补充方程求解
N1+ N2 + N3 −G=0 N1⋅ 2a + N2⋅a =0 N1+ N3 = 2N2
x =0
G N1 = − 6 G = N2 3 5 G N3 = 6
思考题 刚性梁 ABC 由抗拉刚度相等的三根杆悬挂着。 由抗拉刚度相等的三根杆悬挂着。
F
A
N 1 l1 N1 H = ∆ l1 = EA EA cosα
工程力学第12讲 拉压：超静定问题
(a)
FN2 l2 ( FBx )l2 lCB EA EA
4. 建立补充方程 5. 支反力计算
FAx l1 FBx l2 0
(b)
联立求解平衡方程(a)与补充方程(b)
FAx Fl2 l1 l2 Fl1 FBx l1 l2
例 8-2 已知：F = 50 kN，[st ] = 160 MPa，[sc ] = 120 Mpa ，A1= A2。试问：A1=? A2=?
§8 应变能概念
应变能与功能原理 外力功与应变能计算 例题
应变能与功能原理
应变能与外力功 弹性体因变形而储存的能量－应变能 Ve
外力在变形过程中所作之功－外力功 W
弹性体功能原理 根据能量守恒定律，弹性体因变形所储 存的应变能 ，数值上等于外力所作的功
Vε W
功能原理Байду номын сангаас立条件：载荷由零逐渐缓慢 增大，弹性体处于准静态，以致动能与热能 等的变化，均可忽略不计。
提问
塑性材料和脆性材料按照什么指标区分？ 塑性材料的失效是指什么？ 脆性材料的失效是指什么？ 拉压杆件的强度条件是什么？ 什么叫作许用应力？ 强度计算有哪几种类型？
§8 简单拉压静不定问题
静不定问题与静不定度 静不定问题分析 例题
静不定问题与静不定度
静定问题 仅由平衡方程即可确定全部未知力（约束反 力与内力）的问题 静不定问题 仅由平衡方程不能确定全部未知力的问题
表面aa－积压, 截面cd－拉应力最大, 截面ab－剪切
2. 强度校核
挤压强度：
Fbs F 2
s bs
F 2
Fbs F 9.0 MPa[s bs ] Abs 2b
超静定问题及其解法
核心问题：静力平衡方程不够？一 寻求补充方程
•确定超静定次数，列出静力平衡方程;
•根据变形协调条件列出变形相容方程； •将物理关系代入变形相容方程得补充方 程； •联立补充方程与静力平衡方程求 解; •求解杆件的内力，应力与变形等。
♦超静定问题及其解法 _
♦超静定问题及1
多余约束
♦超静定问题及其解法
(2).与多余约束相对应的反力称为多余未知力，多 余未知力的数目称为结构的超静定次数。
—次超静定
♦超静定问题及其解法
—次超静定
♦超静定问题及其解法
q
M
二次超静定
♦超静定问题及其解法 _
多次超静定
♦超静定问题及其解法
二.超静定问题的一般解法
超静定问题及其解法
♦超静定问题及其解法
—、= 本概念
1.静定问题：结构的约束反力或构件内力通过静力 学平衡方程可以确定的问题。
拉压静定问题
♦超静定问题及其解法
扭转静定问题
弯曲静定问题
.超静定问题及其解法 ，
2.超静定问题：单凭静力平衡方程不能完全确定结 构约束反力或构件内力的问题。
拉压超静定问题
♦超静定问题及其解法
扭转超静定问题 弯曲超静定问题
♦超静定问题及其解法
超静定问题的工程实例
大型空间 桁架结构
♦超静定问题及其解法 _
大型桥梁结构
♦超静定问题及其解法 _
大型塔吊结构
♦超静定问题及其解法 _
大型铣床
♦超静定问题及其解法
3.多余约束与超静定次数 (1).在超静定结构中，超过维持静力学平衡所必须 的约束称为多余约束。
•确定超静定次数，列出静力平衡方程;
•根据变形协调条件列出变形相容方程； •将物理关系代入变形相容方程得补充方 程； •联立补充方程与静力平衡方程求 解; •求解杆件的内力，应力与变形等。
♦超静定问题及其解法 _
♦超静定问题及1
多余约束
♦超静定问题及其解法
(2).与多余约束相对应的反力称为多余未知力，多 余未知力的数目称为结构的超静定次数。
—次超静定
♦超静定问题及其解法
—次超静定
♦超静定问题及其解法
q
M
二次超静定
♦超静定问题及其解法 _
多次超静定
♦超静定问题及其解法
二.超静定问题的一般解法
超静定问题及其解法
♦超静定问题及其解法
—、= 本概念
1.静定问题：结构的约束反力或构件内力通过静力 学平衡方程可以确定的问题。
拉压静定问题
♦超静定问题及其解法
扭转静定问题
弯曲静定问题
.超静定问题及其解法 ，
2.超静定问题：单凭静力平衡方程不能完全确定结 构约束反力或构件内力的问题。
拉压超静定问题
♦超静定问题及其解法
扭转超静定问题 弯曲超静定问题
♦超静定问题及其解法
超静定问题的工程实例
大型空间 桁架结构
♦超静定问题及其解法 _
大型桥梁结构
♦超静定问题及其解法 _
大型塔吊结构
♦超静定问题及其解法 _
大型铣床
♦超静定问题及其解法
3.多余约束与超静定次数 (1).在超静定结构中，超过维持静力学平衡所必须 的约束称为多余约束。
拉压超静定问题
材料力学
拉压超静定问题
1.1 超静定的概念 图2-35（a）、（b）所示杆件和结构，它们的 约束力与内力都可由静力平衡方程求出，这样 的杆件或结构称为静定杆件或静定结构。但在 工程中，有时为了提高强度和刚度，或构造上 的需要，往往还给杆件或结构增加一些约束。
例如在图2-35（a）所示杆件下端增加固定端约束［图2-35 （c）］，在图2-35（b）所示结构中增加一根杆［图2-35 （d）］。
σ1＝σ2＝FN1/A=δEcos2α/l（1+2cos2α） ＝6.52×106 Pa＝6.52 MPa （压）
σ3＝FN3/A＝2δEcos3α/l（1+2cos3α） ＝11.3×106 Pa＝11.3 MPa （拉）
在工程中，杆件制成后，其尺寸有微小的误差是常见的。对于超静定问
题，在强行装配后，将在各部分引起应力，这种应力称为装配应力。装配
1） 列静力平衡方程。取结点A为研究对象，设杆1、2的轴力FN1、FN2为 压力，杆3的轴力FN3为拉力［图2-38（b）］。
图2-38
列出平衡方程
∑X=0 FN1sinα-FN2sinα=0 ∑Y=0 -FN1cosα-FN2cosα+FN3=0 （a 可见这是一次超静定问题。 称2性）可列知补，充Δl1方＝程Δ。l2。设由杆图3伸2-长38了（Δal3），，杆变1、形2的分几别何缩关短系了为Δl1与Δl2。由对
【例2-13】在图2-38（a）所示结构中，三杆都是钢杆，钢的弹性模量E ＝200GPa，三杆的横截面面积均为A，α＝30°。由于制造上的误差，杆 3比原设计长度l短了δ，δ/l=1/1000。求装配后三杆的应力。
【解】为了使三杆连接在一起，装配时需要用力把杆3拉长，把杆1与杆2 压短，装配好以后，各杆处于图2-38（a）中虚线所示位置。
拉压超静定问题
1.1 超静定的概念 图2-35（a）、（b）所示杆件和结构，它们的 约束力与内力都可由静力平衡方程求出，这样 的杆件或结构称为静定杆件或静定结构。但在 工程中，有时为了提高强度和刚度，或构造上 的需要，往往还给杆件或结构增加一些约束。
例如在图2-35（a）所示杆件下端增加固定端约束［图2-35 （c）］，在图2-35（b）所示结构中增加一根杆［图2-35 （d）］。
σ1＝σ2＝FN1/A=δEcos2α/l（1+2cos2α） ＝6.52×106 Pa＝6.52 MPa （压）
σ3＝FN3/A＝2δEcos3α/l（1+2cos3α） ＝11.3×106 Pa＝11.3 MPa （拉）
在工程中，杆件制成后，其尺寸有微小的误差是常见的。对于超静定问
题，在强行装配后，将在各部分引起应力，这种应力称为装配应力。装配
1） 列静力平衡方程。取结点A为研究对象，设杆1、2的轴力FN1、FN2为 压力，杆3的轴力FN3为拉力［图2-38（b）］。
图2-38
列出平衡方程
∑X=0 FN1sinα-FN2sinα=0 ∑Y=0 -FN1cosα-FN2cosα+FN3=0 （a 可见这是一次超静定问题。 称2性）可列知补，充Δl1方＝程Δ。l2。设由杆图3伸2-长38了（Δal3），，杆变1、形2的分几别何缩关短系了为Δl1与Δl2。由对
【例2-13】在图2-38（a）所示结构中，三杆都是钢杆，钢的弹性模量E ＝200GPa，三杆的横截面面积均为A，α＝30°。由于制造上的误差，杆 3比原设计长度l短了δ，δ/l=1/1000。求装配后三杆的应力。
【解】为了使三杆连接在一起，装配时需要用力把杆3拉长，把杆1与杆2 压短，装配好以后，各杆处于图2-38（a）中虚线所示位置。
72材料力学-拉压超静定
L2
A
2 E1 A1 cos3 N3 L3 1 2 cos3 E1 A1 / E3 A3
第四章 拉、压超静定问题
超静定问题的方法步骤：
平衡方程； 几何方程——变形协调方程； 物理方程——虎克定律；
补充方程：由几何方程和物理方程得；
解由平衡方程和补充方程组成的方程组；
N2 2 33.3MPa A2
第四章 拉、压超静定问题
B 3
D
C
静不定问题存在温度应力
1
A
2
如图，1、2号杆的尺寸及材料都
L1
L2
相同，当结构温度由T1变到T2时,
L3
A1
求各杆的温度内力。（各杆的线膨
胀系数分别为i ; △T= T2 -T1)
第四章 拉、压超静定问题
B 3 1
B 1
A1
3 D
C
静不定问题存在装配应力
如图示3号杆的尺寸误差为，求各杆
2
的装配内力。
A
解：、平衡方程:
N3
N1
N2
A1
X N
1
1
sin N2 sin 0
Y N cos N
2
cos N3 0
第四章 拉、压超静定问题
B 1
A1
3 D
积为A1=A2=A、 A3 ；各杆弹性模量为：
A P N2
N3 N1
解：、平衡方程:
A P
X N sin N
1
2
sin 0
Y N cos N
1
2
cos N3 P 0
工程力学07轴向拉伸压缩和剪切
X 0 N1 PA PB PC PD 0
N1 5P 8P 4P P 0 N1 2P
10
内力 ·截面法 ·轴力及轴力图
同理，求得AB、BC、 N2 CD段内力分别为：
N2= –3P
N3= 5P
N4= P
BC
PB
PC
N3
C
PC N4
轴力图如右图 N
2P +
–
11
3P
5P
+
P
D
lim
Δ A0
Δ Δ
T A
dT dA
16
截面上的应力及强度条件
二、拉（压）杆横截面上的应力
1. 变形规律试验及平面假设：
变形前
ab cd
受载后 P
a´
b´
c´
d´
P
平面假设：原为平面的横截面在变形后仍为平面。 纵向纤维变形相同。
17
截面上的应力及强度条件
均匀材料、均匀变形，内力当然均匀分布。
2. 拉伸应力： P
杆的轴力图。
解：x 坐标向右为正，坐标原点在
q(x)
自由端。取左侧x 段为对象，
L
内力N(x)为：
O x
O x
q N
13
q(x)
Nx x
kL
N(x )+ x kxdx 0 N(x ) 1 kx2
0
2
–
k L2
N
(
x)max
1 2
k
L2
2
截面上的应力及强度条件
问题提出： P P
横截面上 P 内力相同
内力系的合成（附加内力）。
6
内力 ·截面法 ·轴力及轴力图
材料力学 第02(3)章拉压杆超静定(7)
Fy 0 : N1 N 2 N 3 F M A o : N1 2a N 2 a 0
A
a
C
b
y B
L
2）画变形图，找变形相容条件 变形以后三杆的端点仍共直线。 F 三杆下端坐标为
(-a,L+Δ L3),(0,L+Δ L2+ ),(b,L+Δ L1)
N3
计算表明，在超静定结构中，温度应力是一个不容忽视的因素。 在铁路钢轨接头处，以及混凝土路面中，通常都留有空隙；高温 管道隔一段距离要设一个弯道，都为考虑温度的影响，调节因温 度变化而产生的伸缩。如果忽视了温度变化的影响，将会导致破 坏或妨碍结构物的正常工作。
[例2-23]温度应力：如图所示，钢柱与铜管等长 为l，置于二刚性平板间,受轴向压力Ｐ.钢柱与铜 管的横截面积、弹性模量、线膨胀系数分别为Ａs、 Ｅs、αs，及Ａc、Ｅc、αc。试导出系统所受载荷 Ｐ仅由铜管承受时，所需增加的温度ΔＴ。（二者 同时升温） 解：变形协调条件
l3 3a l1 a
l2 2l1 , l3 3l1
代入物理方程：
FN 2 l FN 3 l A
(2)
FN 2 2FN1 ,FN 3 3FN1
§2-7 拉（压）超静定问题
三.装配应力 [例2-21]装配应力如图结构， 中间杆短h,求装配后内力。 解：静力平衡条件： FN 1 FN 3 2 FN 1 cos FN 2 变形协调条件： l1 l 2 h cos 引用胡克定律： FN 2 l cos FN 1l
§2-7 拉（压）超静定问题
§2-7 拉（压）超静定问题
一. 静定与超静定的概念
引例: 在日常生活中乃至在工程中我们常常遇到仅靠静力平 衡方程无法求得约束反力的例子。“两个和尚抬水吃，三个 和尚没水吃”，恐怕是最早说到超静定问题的例子了。1774 年，欧拉在研究桌子四条腿的受力问题时才真正开始研究超 静定问题。
A
a
C
b
y B
L
2）画变形图，找变形相容条件 变形以后三杆的端点仍共直线。 F 三杆下端坐标为
(-a,L+Δ L3),(0,L+Δ L2+ ),(b,L+Δ L1)
N3
计算表明，在超静定结构中，温度应力是一个不容忽视的因素。 在铁路钢轨接头处，以及混凝土路面中，通常都留有空隙；高温 管道隔一段距离要设一个弯道，都为考虑温度的影响，调节因温 度变化而产生的伸缩。如果忽视了温度变化的影响，将会导致破 坏或妨碍结构物的正常工作。
[例2-23]温度应力：如图所示，钢柱与铜管等长 为l，置于二刚性平板间,受轴向压力Ｐ.钢柱与铜 管的横截面积、弹性模量、线膨胀系数分别为Ａs、 Ｅs、αs，及Ａc、Ｅc、αc。试导出系统所受载荷 Ｐ仅由铜管承受时，所需增加的温度ΔＴ。（二者 同时升温） 解：变形协调条件
l3 3a l1 a
l2 2l1 , l3 3l1
代入物理方程：
FN 2 l FN 3 l A
(2)
FN 2 2FN1 ,FN 3 3FN1
§2-7 拉（压）超静定问题
三.装配应力 [例2-21]装配应力如图结构， 中间杆短h,求装配后内力。 解：静力平衡条件： FN 1 FN 3 2 FN 1 cos FN 2 变形协调条件： l1 l 2 h cos 引用胡克定律： FN 2 l cos FN 1l
§2-7 拉（压）超静定问题
§2-7 拉（压）超静定问题
一. 静定与超静定的概念
引例: 在日常生活中乃至在工程中我们常常遇到仅靠静力平 衡方程无法求得约束反力的例子。“两个和尚抬水吃，三个 和尚没水吃”，恐怕是最早说到超静定问题的例子了。1774 年，欧拉在研究桌子四条腿的受力问题时才真正开始研究超 静定问题。
工程力学-简单的超静定问题
根据前面的分析可知，杆件在轴 向的总变形应包括两部分：
工程力学
第十章 简单超静定问题
（1）由于温度变化引起的变形：此处温度升高
t℃，若B处刚性支撑假想地去除，则杆件可以
“自由”地伸长，设伸长量为lt
（2）由于B处的刚性支撑并没有真的去除，而是这个刚
性支撑为抵抗由于温度升高引起的变形而产生了一个约
束反力 FNB 正是这个约束反力的存在，使得杆件没有产 生真正的伸长，根据相对性原理，相当于这个约束反力
1
2
1
A
A
B
（a）
图10.5
2 B
（b）
工程力学
第十章 简单超静定问题
如果上面的固定物与下面的ABC杆件通过三根杆件连结，如图
10.6a所示，且其中的2杆被加工短了，强制安装后，显然2杆 要被拉长一点，1杆和3杆就要被缩短一点，如图10.6b所示。 因此2杆内存在着轴向拉力，1、3杆内存在轴向压力。这种在 载荷作用以前就存在的轴力称为装配内力，与之相应的应力称 为装配应力，有时也称之为初应力。
试求温度升高 t ℃时杆内的温度应力。
。
图10.8
工程力学
第十章 简单超静定问题
解：第一步，受力分析，如图10.8b所示，列写平 衡方程：
Fx 0, FNA FNB 0
（a）
第二步，进行变形分析，列写变形协调方程。由于杆件两端 是刚性支撑，可想而知，杆件在轴向的总变形量应该为零：
l 0
（b）
工程力学
第十章 简单的超静定
问题
工程力学
第十章 简单超静定问题
第十章 简单超静定问题
§10-1 基本概念及求解方法 §10-2 拉压超静定问题 §10-3 扭转超静定问题 §10-4 弯曲超静定问题
拉伸和压缩超静定问题.
求三杆桁架内力杆长sinsincoscos好运动者健好思考者智好助人好运动者健好思考者智好助人者乐好读书者博好旅游者悦者乐好读书者博好旅游者悦好追求者成好追求者成55本构方程物理4联立求解代数此方程于平衡方程是3个方程含3个力未知量解得2变形协调方程几何好运动者健好思考者智好助人好运动者健好思考者智好助人者乐好读书者博好旅游者悦者乐好读书者博好旅游者悦好追求者成好追求者成663超静定问题的解法1静力平衡方程力学原有基地2变形协调方程几何新开方向3材料本构方程物理构筑桥梁4方程联立求解代数综合把握好运动者健好思考者智好助人好运动者健好思考者智好助人者乐好读书者博好旅游者悦者乐好读书者博好旅游者悦好追求者成好追求者成77木制短柱四角用四个40404的等边角钢加固角钢和木材的许用应力分别为160mpa和12mpa弹性模量分别为e2变形方程3本构方程解
§2-8 拉伸和压缩超静定问题 一、超静定问题及其处理方法
B 1 C B 3 D C
A
2
1
A F
2
1、问题的提出
两杆桁架变成 三杆桁架，缺一个 方程，无法求解
F
x N1
F F sin F sin 0 F F cos F cos F F 0
F y
F
y
4FN1 FN 2 F 0
L1 L2
(2)变形方程
4FN1 FN2
(3)本构方程
FN 1 L1 FN 2 L2 L1 L2 E1 A1 E 2 A2
7
F P
F y 4FN1 FN2
（4） 联立求解得
FN1 0.07 F ; FN 2 0.72F
250 12 / 0.72 1042kN
§2-8 拉伸和压缩超静定问题 一、超静定问题及其处理方法
B 1 C B 3 D C
A
2
1
A F
2
1、问题的提出
两杆桁架变成 三杆桁架，缺一个 方程，无法求解
F
x N1
F F sin F sin 0 F F cos F cos F F 0
F y
F
y
4FN1 FN 2 F 0
L1 L2
(2)变形方程
4FN1 FN2
(3)本构方程
FN 1 L1 FN 2 L2 L1 L2 E1 A1 E 2 A2
7
F P
F y 4FN1 FN2
（4） 联立求解得
FN1 0.07 F ; FN 2 0.72F
250 12 / 0.72 1042kN
第7章 简单的超静定问题.
4、补充方程
Fa FB l 5、求解方程组
FA FB F 0
Fa FB l
FA
Fb l
FA a Fab ΔC EA lEA
材料力学 第六章 简单的超静定问题
例 7-2-2 三杆材料相同， AB 杆横截面面积为 200mm2 ， AC 杆横截面面积 300mm2 ， AD 杆横截面面积 400mm2 。
材料力学 第六章 第二章 简单的超静定问题 拉伸、压缩与剪切
例7-2-3 杆3的尺寸误差为，求各杆的装配内力。
B 1
A1 A
3 D 2
C
解：
1. 独立平衡方程
FN1 sin FN 2 sin 0 FN1 cos FN 2 cos FN 3 0
FN2
A2 FN1
材料力学 第六章 简单的超静定问题
超静定结构的求解方法
1、列出独立的平衡方程 2、变形几何关系
变形几何相容方程（补充方程）
3、物理关系 4、联立独立的平衡方程与补充方程，求解方程组 多余支反力 解除多余支座约束 超静定梁
基本静定系（相当系统）
材料力学 第六章 简单的超静定问题
§7-2 拉压超静定问题
扭转力偶矩 Me 作用。已知杆的扭转刚度为 GIp 。试求
杆两端的约束力偶矩以及C截面的扭转角。
材料力学 第六章 简单的超静定问题
MA MB
解:
1. 有二个未知约束力偶矩MA, MB，但只有 一个独立的静力平衡方程
M
x
0，
M A Me M B 0
故为一次超静定问题。
材料力学 第六章 简单的超静定问题
例 7-2-1 求图示等直杆 AB 上、下端的 约束力，并求C截面的位移。杆的拉压 刚度为EA。
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Δ3 l
∑M (F) = 0
A
80FN 2 +160FN3 40P = 0(3)
40 80 80
联立以上三个方程, 联立以上三个方程, 以上三个方程 即可求出三杆轴力. 即可求出三杆轴力.
75
总结
超静定结构的特点(什么是超静定结构?多余约束? 1. 超静定结构的特点(什么是超静定结构?多余约束? 超静定次数?超静定结构的优点) 超静定次数?超静定结构的优点) 解拉压超静定问题的方法和步骤:(重点,难点) :(重点 2. 解拉压超静定问题的方法和步骤:(重点,难点) 静力方面:列出静力平衡方程. (1)静力方面:列出静力平衡方程. 变形几何方面: (2)变形几何方面:根椐变形几何相容条件建立变形几 何方程,变形几何方程的个数与超静定次数相等. 何方程,变形几何方程的个数与超静定次数相等. 物理方面:将变形与力之间的关系(胡克定律) (3)物理方面:将变形与力之间的关系(胡克定律)代 入变形几何方程得补充方程. 入变形几何方程得补充方程.
RB 1,变形方面:变形相容条件是:杆的总长度不变 ,变形方面:变形相容条件是: 变形几何方程为: 变形几何方程为: lAC = lCB 2,物理方面:根据胡克定律 物理方面:
∴lAC RAa = EA
RBb lCB = EA
l = Pl EA
y (a) A
RA (b)
A A C
(c)
l A C = lC B
例题2另解: 三杆用铰链连结, 例题 另解: 设1,2,3三杆用铰链连结,L1 = L2 = L, A1 = A2 另解 , , 三杆用铰链连结 , = A , E1 = E2 =E ,3 杆的长度 L3,横截面积 A3,弹性模量 E3,试求在 横截面积 弹性模量 试求在 沿铅垂方向的外力P作用下各杆的轴力. 沿铅垂方向的外力 作用下各杆的轴力. 作用下各杆的轴力 分析: 分析: 这是一次超静定问 题,必须建立一个 补充方程. 补充方程. 1 B D
l1 =
FN1l1 EA
l2 =
FN 2l2 EA
l3 =
FN3l3 EA
补充方程
2FN 2l2 = FN1l1 + FN3l3
2Δ2 = Δ + Δ l l l3 1
静力方程
FN1 1
2 FN2
3 FN3
A P
BCΒιβλιοθήκη ∑M (F) = 0c
120P 160FN1 80FN 2 = 0(2)
Δ1 l
Δ2 l
B 1
D
α α
C 2 y
FN 3
αα
B 1
FN 2
D
α α
C 2
Δl3
'
1
3
3 2 α α
3
A Δl1
A
FN 1
A x
A
P
A2
A'
A1
A P 2,变形几何方面: 变形几何方面: 变形的几何相容条件是:变形后三杆仍铰 变形的几何相容条件是:变形后三杆仍铰结在一起 相容条件是 变形几何方程为: 变形几何方程为:
A
B
l
解: 这是一次超静定问题 变形相容条件是,杆的总长度不变.即
l = 0
杆的变形为两部分: 杆的变形为两部分: 由温度升高引起的变形
A
B
l
lT
A
l T
B′
由两端轴向压力引起的变形 lN
l N
FN
A
B
B′
变形几何方程是: 变形几何方程是:
A
B
lT = l N
物理方程
l
l T
A
B′
lT = α T l
FN1 = FN 3
EA cos2 α (3) E3 A 3
FN3 =
F EA 1+ 2 cos3α E3 A3
FN1 = FN2 =
E3 A3 EA 2 1+ 2 cos α E3 A3
F(
EA
) cos2α
三,温度应力和装配应力
A
B
l
两端固定的等截面直杆,当温度升高△ToC时, 求杆内产生的温度应力.
FN3(l cosα) ′A = E3 A3
D
B
D
C
1
3
FN3
α
α
2
A
′ A
A
A
F FN3
3,补充方程 ,
(F FN3)l FN3(l cosα) = 2 2EAcos α E3 A3
D
B
D
C
1
3
FN3
α
α
2
A
′ A
A
A
F FN3
F FN3 = EA 1+ 2 cos3α E3 A3
FN1
FN3
二,超静定问题的基本解法
例题1:两端固定的等直杆AB横截面积为 弹性模量为E, 横截面积为A, 例题 :两端固定的等直杆 横截面积为 ,弹性模量为 ,在C
的作用, 计算约束反力. 点处承受轴力 F 的作用,如图 所示 .计算约束反力.
A a C
F
B
FA
A a C C A
F
B
F
B
FB
这是一次超静定问题
FN l l N = EA
l N
FN
α 为线膨胀系数
A B
B′
补充方程: 补充方程:
A
B
FNl = α T l EA
温度内力为: 温度内力为:
A
l
l T
B′
FN = α EAT
温度应力为: 温度应力为:
l N
σ = F N = α E T A
A B
FN
B′
补充例题:刚性梁 ABC 由抗拉刚度相等的三根杆悬挂着. 补充例题: 由抗拉刚度相等的三根杆悬挂着. 如图所示,拉力P为已知.求各杆内力. 尺寸 如图所示,拉力P为已知.求各杆内力.
A a C
A
A
C
C
F
B
F
B
F
B
FB
基本系统
相当系统
1,解除多余约束(如选 B 端的约束为多余约束 ), ,解除多余约束( , 代以反力FB,得超静定系统的 相当系统. 代以反力 相当系统.
A a C
A
C
F
B
F
B
FB
2,位移条件:相当系统多余未知力作用处位移与原超静定系统 ,位移条件:相当系统多余未知力作用处位移与原超静定系统 的相同. 的相同.
FN2
α α
A
P
F FN3 = EA 1+ 2 cos3α E3 A3
EA F( ) cos2α E3 A3 FN1 = FN2 = EA 1+ 2 cos2α E3 A3
例题1另解:两端固定的等直杆AB横截面积为 横截面积为A, 例题 另解:两端固定的等直杆 横截面积为 ,弹性模 另解
量为E, 点处承受轴力P的作用 量为 ,在C点处承受轴力 的作用,如图 a 所示 .求A处和 点处承受轴力 的作用, 处和 B处的约束反力. 处的约束反力. 处的约束反力
D
B
D
C
1
3
FN3
α
α
2
A
′ A
A
A
F FN3
2,位移条件:由杆 1 和杆 2 构成的杆系在 ( F - FN3 )作用下节 ,位移条件: 作用下节 点 A 的位移 A ,应等于杆 3 在 FN3 作用下节点 A 的位移 'A
A = ′A
D
B
D
C
1
3
FN3
α
α
2
A
′ A
A
A
F FN3
(F FN3)l A = 2EAcos2α
作
业
7-15 7-16
�
B
D
C
1
α
3
α
2
A
F
B
D
C FN1 FN3 FN2
1
α
3
α
2
α α
A
A
F
F
这是一次超静定问题. 这是一次超静定问题.
B
D
C
B
D
C
1
α
3
α
2
FN1
FN3
FN2
1
3
FN3
α
α
2
α α
A A F A
P
F
1,解除多余约束(如选 3 杆为多余约束 ),代以反力 FN3, ,解除多余约束( , 得超静定系统的 基本(相当)系统. 基本(相当)系统.
l1 = l3 cosα
1
B 1
D
α α
C 2
N3 N1
3 2 α α
y
N2
3
A Δl1 x
Δl3
αα
A P 3,物理方面: 物理方面: FN1l l1 = EA 补充方程: 补充方程:
A P
A2
A'
A1
FN3l3 FN3l cosα l3 = = E3 A3 E3 A3
FN1 = FN3
代入 Δ = Δ3cosα l l 1
a
C P
C
C1
P B B
lAC =
lCB
B
RAa EA RBb = EA
RB 补充方程为
RAa RBb = EA EA
RA + RB P = 0
3,静力方面 , 由平衡方程
Pb RA = l Pa RB = l
一,静力方面:列出静力平衡方程. 静力方面:列出静力平衡方程. 二,变形几何方面:根椐变形几何相容条件建立变形几何方 变形几何方面: 变形几何方程的个数与超静定次数相等. 程.变形几何方程的个数与超静定次数相等. 三,物理方面:将变形与力之间的关系(胡克定律)代入 物理方面:将变形与力之间的关系(胡克定律) 变形几何方程得补充方程. 变形几何方程得补充方程.