12动能定理

6、刚体的内力功之和等于零，理想约束力的功为零
例12-1： 均质圆盘，外缘缠绕很多无重细绳， 绳头用常力F拉动圆盘作水平纯滚动。 求：当盘心C走过路程s时圆盘所受力系的功。
F
s
解：作受力分析
Fs
FN
F mg
s
方法1 重力、竖向约束力、静摩擦力，都不作功。 将拉力F向质心简化，得 FR = F ,
R r
F′ F
M
r
P
假设两轮分别转过角度 ϕ1,ϕ2 对轮I
F′ 作负功 W1 = −F′ϕ1r
有 ϕ1r = ϕ2 R
对轮II F 作正功 W2 = Fϕ2 R 对整体 F, F′ 不作功
第12章
§12–1 力的功
动能定理
§12–2 质点和质点系的动能 §12–3 动能定理 §12–5 势力场和势能 §12–6 普遍定理的综合应用举例
dr = vC dt = 0
δW = F ⋅dr = F ⋅vC dt = 0
s W = − mϕ = − m R
(3) 滚动摩擦阻力偶m的功 若m = 常量，则
Fs
6．质点系内力的功
δ W = F ⋅drA + F '⋅d rB = F ⋅d rA − F ⋅d rB
= F ⋅d ( rA − rB ) = F ⋅d ( BA )
式中 δ 1 = r1 − l0 , δ 2 = r2 − l0
弹性力的功只与弹簧的始、末变形 有关，也与质点运动路径无关
3、万有引力的功
m1m0 万有引力 F = G 2 r
万有引力的功为
O
M2 r2 m0 r1 dr m1 M1
W12 = ∫
M2
1 1 = Gm1m0 − r r 2 1
第12章 动能定理
与动量定理和动量矩定理用矢量法研究不同，动 能定理用能量法研究动力学问题。能量法不仅在机械 运动的研究中有重要的应用，而且是沟通机械运动和 其它形式运动的桥梁。 动能定理建立了与运动有关的物理量—动能和作 用力的物理量—功之间的联系，即动能的变化和外力 功的关系，这是一种能量传递的规律。 求解实际问题时，往往需要综合应用动量定理、 动量矩定理和动能定理。
1、重力的功 2、弹性力的功
W12 = mg ( z1 − z2 )
k 2 2 W12 = (δ1 − δ 2 ) 2
W12 = M z (ϕ 2 − ϕ1 )
C2
1
3. 定轴转动刚物体上的功
4. 平面运动刚体上力系的功 W12 = ∫C FR′ ⋅ drC + ∫ϕ M C dϕ
1
ϕ2
说明：1、对任何运动的刚体，上述结论都适用； 2、C点不是质心，而是刚体上任意一点时，上 述结论也成立； 3、计算力系的主矢、主矩时，可以不包含不作 功的力。
= ∑ Fi ⋅ drC + ∑ M C ( Fi )dϕ
′ ⋅ drC + M C dϕ = FR
′ 为力系主失，M C 为力系对质心的主矩。 其中: FR
当质心由 C1 → C2，转角由ϕ1 → ϕ 2时，力系的功为
W12 = ∫ FR′ ⋅ drC + ∫ M C dϕ
C1 ϕ1
C2
ϕ2
即：平面运动刚体上力系的功，等于刚体上所受各力 作功的代数和，也等于力系向质心简化所得的力和力 偶作功之和。
5．摩擦力的功
一般情况下，摩擦力作负功
M 1M 2
(1) 动滑动摩擦力的功 W = ∫
− Fτ ds = − ∫
M 1M 2
f d FN ds
FN=常量时, W= –fdFN s, 与质点的路径有关。 (2) 圆轮沿固定面作纯滚动时，滑动摩擦力的功 正压力FN ，摩擦力 Fs 作用于瞬心C处，而瞬心的元位移
W12 = ∫ F ⋅ dr
A1
A2
= ∫ − k (r − l0 )er ⋅ dr
A1
A2
r 1 1 2 e ⋅ d r = ⋅ d r = d ( r ⋅ r ) = d ( r ) = dr 因 r r 2r 2r
r2 W = ∫ 得 12 r1 − k ( r − l0 )dr
k 2 2 即 W12 = (δ 1 − δ 2 ) 2
质点系
ΣWi = mi g ( zi1 − zi 2 ) 由 mzC = Σmi zi 得 Σ W12 = mg ( z C 1 − z C 2 )
重力的功只与始、末位置有关，与路径无关。
2、弹性力的功 弹簧刚度系数k(N/m) 弹性力 F = − k ( r − l 0 ) e r 弹性力的功为
F Fs
FN
D
mg
s
方法3 绳头一点D D点速度
vD = 2vC
D点走过的路程 sD = 2sC = 2s
W = F ⋅ sD = 2 F ⋅ s
例12-2 在鼓轮I上作用力偶M，轮I、II之间为纯 滚动，吊起重物P。 试分析两轮之间摩擦力是否作功。
R r
P34.avi
M r
P
解：对两轮分别作受力分析
2、亦可将力系向点O简化，即
S ∑W = ( F − FT − Fd )S + ( FT R − Fd R) R = FS − 2 Fd S = FS − 2mg fS
k 2 2 W12 = (δ1 − δ 2 ) 2
W12 = M z (ϕ 2 − ϕ1 )
C2
1
3. 定轴转动刚物体上的功
4. 平面运动刚体上力系的功 W12 = ∫C FR′ ⋅ drC + ∫ϕ M C dϕ
1
ϕ2
5. 摩擦力的功
动滑动摩擦力：W= –fdFNs 静滑动摩擦力：W= 0 滚动摩阻力偶：W= -Mφ
内力功之和一般不等于零 。
只要A、B两点间距离保持不变,内力的元功和就等于零。 不变质点系的内力功之和等于零。 刚体的内力功之和等于零。 不可伸长的绳索内力功之和等于零。
7．理想约束力的功
约束力元功为零或元功之和为零的约束称为理想约束。 (1)．光滑固定面约束 δW ( N ) = N ⋅ dr = 0 ( N ⊥dr ) (2)．活动铰支座、固定铰支座和向心轴承
M2 W = ∫ 则 12 M 1 ( Fx d x + F y d y + Fz d z )
三．合力的功 质点M 受n个力 F1 ,F2 ,⋅⋅⋅,Fn 作用, 合力为 R = ∑ Fi 则合力 R 的功 W=
M2 M1 M2
M1
∫F
R
⋅ dr =
M2 M1
M2
M1
∫ (F + F
1
2
+ ⋅ ⋅ ⋅ + Fn ) ⋅ dr
即：平面运动刚体的动能等于随质心平移的动能 与绕质心转动的动能之和。 上面结论也适用于刚体的任意运动。
刚体的动能表达式
1、平移刚体的动能 2、定轴转动刚体的动能 3、平面运动刚体的动能
1 2 T = mvC 2
1 T = J zω 2 2
1 2 1 T = mvC + J Cω 2 2 2
第12章
(3)．刚体沿固定面作纯滚动 (4)．联接刚体的光滑铰链（中间铰） (N ) δ W = N ⋅ dr + N '⋅dr ∑ = N ⋅ dr − N ⋅ dr = 0 (5)．柔索约束（不可伸长的绳索） 拉紧时，内部拉力的元功之和恒等于零。
力系做功的表达式
1、重力的功 2、弹性力的功
W12 = mg ( z1 − z 2 )
质点动能定理的微分形式：质点动能的增量等于 作用在质点上力的元功。
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
1 d( mυ 2 ) = δ W 2
将上式沿路径 M 1M 2 积分，可得
1 1 2 2 mυ 2 − mυ1 = W12 2 2
质点动能定理的积分形式：在质点运动的某个过程 中，质点动能的改变量等于外力作的功。
2、质点系的动能定理
∑W = Fs − fmg 2s
(a )
∑ W = T2 − T1
3 2 Fs − fmg 2s = mυO 4
s υO = 2 ( F − 2mgf ) 3m
FT
FN
υO aO ,α = , 将式(a)两端对t求导，并利用 ω = r r 2 ( F − 2mgf ) 得 aO = 3m
注意： 1、摩擦力Fd 的功 W ≠ Fd S , S 是力在空间的位 移，不是 受力作用点的位移。
π 2
正功 功为零 负功
π θ= 2 π θ> 2
二、变力在曲线运动中的功 元功 δ w = F cos θ ·ds 即 δ w = F ⋅ dr
力 F 在 M 1 ~ M 2 路程上的功为
W12 = ∫
M2 M1
δw = ∫
M2 M1
F ·dr
记 F = Fx i + Fy j + Fzk
d r = d x i + d yj + d zk
M1
F ⋅ dr
矢量点乘的分析与弹性力作功相似
4. 定轴转动刚物体上的功
δ w = F ⋅ dr = Ft ds = Ft Rdϕ
由 M z = Ft R
ϕ1
得 δ w = M z dϕ
从角ϕ1转动到角ϕ 2过程中力 F的功为
W12 = ∫ M z dϕ
ϕ2
若 M z = 常量 则
W12 = M z (ϕ 2 − ϕ1 )
sC = s, ϕ C = s R
MC = F ⋅ R
W = FR ⋅ sC + M C ⋅ ϕC = 2 F ⋅ s
F Fs
FN
mg
s