湖南省长沙市一中2020届高三月考(八)数学(理)试题

炎德·英才大联考长沙市一中2020届高三月考试卷（八）数学（理科）一、选择题（本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）.1.命题“2,0x R x ∀∈>”的否定是（ ）A ．2,0x R x ∀∈≤ B ．2,0x R x ∃∈≤ C ．2,0x R x ∃∈< D ．2,0x R x ∃∈>2.在复平面内，复数(1)(1)z a a i =-++（,a R i ∈为虚数单位），对应的点在第四象限的充要条件是（ ）A ．1a ≥-B ．1a >-C ．1a ≤-D ．1a <-3.已知{}n a 是等差数列，1010a =，其前10项和1070S =，则其公差d 为（ ） A ．23 B ．13 C ．13- D ．23- 4.设函数()sin 0)f x x ωω=>，将()y f x =的图象向左平移3π个单位长度后，所得图象与原函数的图象重合，则ω的最小值是（ ） A ．13B ．3C ．6D ．9 5.设非负实数,x y 满足：125y x x y ≥-⎧⎨+≤⎩，(2,1)是目标函数3(0)z ax y a =+>取最大值的最优解，则a 的取值范围是（ ）A ．(0,6)B ．(]0,6C ．[)6,+∞D ．(6,)+∞6.已知点P 是椭圆221168x y +=上非顶点的动点，12,F F 分别为椭圆的左、右焦点，O 是坐标原点，若M 是12F PF ∠的平分线上一点，且10FM MP =，则OM 的取值范围是（ ） A ．[)0,3 B ．(0,2) C ．)22,3⎡⎣D ．(]0,47.在闭区间[]4,6-上随机取出一个数x ，执行右图程序框图，则输出x 不小于39的概率为（ ）A ．15 B ．25 C ．35 D ．459.某几何体的三视图如图所示，则这个几何体的体积为（ ）A ．4B ．203 C ．263D ．8 10.已知函数224log ,02()1512,22x x f x x x x ⎧<<⎪=⎨-+≥⎪⎩，若存在实数a b c d 、、、，满足()()()()f a f b f c f d ===，其中0d c b a >>>>，则abcd 的取值范围是（ ）A ．(16,21)B ．(16,24)C ．(17,21)D ．(18,24)11. ABC ∆中，5,,BC G O =分别为ABC ∆的重心和外心，且5GO BC =，则ABC ∆的形状是（ ）A ．锐角三角形B ．钝角三角形C ．直角三角形D ．上述均不是12.用()g n 表示自然数n 的所有因数中最大的那个奇数，例：9的因数有1，3，9，(9)9g =，10的因数有1，2，5，10，(10)5g =，那么2016(1)(2)(3)(21)g g g g ++++-=_________．A ．201541433⨯+ B ．201541433⨯- C ．201641433⨯+ D ．201641433⨯- 第Ⅱ卷（共90分）二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分，将答案填在答题纸上） 13.在某项测量中，测量结果2(1,)N ξσ，若ξ在(0,2)内取值的概率为0.8，则ξ在(],2-∞内取值的概率为________．14.已知54(12)(1)x ax -+的展开式中x 的系数为2，则实数a 的值为________． 15.曲线sin y x =与直线,32x x ππ=-=及x 轴所围成的图形的面积是________．16.设函数()2x g x e x a =+-（a R ∈，e 为自然对数底数），定义在R 上函数()f x 满足：2()()f x f x x -+=，且当0x <时，()f x x '<，若存在01|()(1)2x x f x f x x ⎧⎫∈+≥-+⎨⎬⎩⎭．使[]00()g g x x =，则实数a 的取值范围为________．三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17.（本小题满分12分）已知(2cos 23,1),(cos ,)a x x b x y =+=-，且a b ⊥． （1）将y 表示为x 的函数()f x ，并求()f x 的单调增区间．（2）已知,,a b c 分别为ABC ∆的三个内角,,A B C ∠∠∠对应边的边长，若()32Af =且2,4a b c =+=，求ABC ∆的面积．18.（本小题满分12分）如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是平行四边形，PG ⊥平面ABCD ，垂中为G ，G 在AD 上，且14,,,23PG AG GD BG GC GB GC ==⊥==，E 是BC 的中点．（1）求异面直线GE 与PC 所成角的余弦值； （2）若F 点是棱PC 上一点，且DF GC ⊥，求PFFC的值． 19.（本小题满分12分）为弘扬民族古典文化，市电视台举行古诗词知识竞赛，某轮比赛由节目主持人随机从题库中抽取题目让选 手抢答，回答正确将给该选手记正10分，否则记负10分．根据以往统计，某参赛选手能答对每一个问题的概率为23；现记“该选手在回答完n 个问题后的总得分为n S ”． （1）求620S =且0(1,2,3)i S i ≥=的概率；（2）记5X S =，求X 的分布列，并计算数学期望()E X ． 20.（本小题满分12分）已知曲线22111:()1()44C x y y +-=≥，22:81(1)C x y x =-≥，动直线l 与2C 相交于,A B 两点，曲线2C 在,A B 处的切线相交于点M ．（1）当MA MB ⊥时，求证：直线l 恒过定点，并求出定点坐标；（2）若直线l 与1C 相切于点P ，试问：在y 轴上是否存在两个定点12,T T ，当直线12,MT MT 斜率存在时，两直线的斜率之积恒为定值？若存在求出满足条件的点12,T T 的坐标，若不存在，请说明理由．21.（本小题满分12分）已知函数32()ln(1)()3x f x ax x ax a R =++--∈． （1）若()y f x =在[)4,+∞上为增函数，求实数a 的取值范围；（2）当322a ≥时，设32()ln (1)3()(0)3x g x x ax ax f x x ⎡⎤=++-->⎣⎦的两个极值点1212,()x x x x <恰为2()ln x x cx bx ϕ=--的零点，求1212()()2x x y x x ϕ+'=-的最小值． 请考生在22、23、24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分. 22.（本小题满分10分）在ABC ∆中，AB AC =，过点A 的直线与其外接圆交于点P ，交BC 延长线于点D ． （1）求证：PC PDAC BD=； （2）若3AC =，求AP AD 的值．23.已知曲线1C 的参数方程为32212x t y t⎧=--⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，曲线2C 的极坐标方程为22cos()4πρθ=-．以极点为坐标原点，极轴为x 轴正半轴建立平面直角坐标系．（1）求曲线2C 的直角坐标方程；（2）求曲线2C 上的动点M 到曲线1C 的距离的最大值． 24.（本小题满分10分）已知定义在R 上的函数*(),f x x m x m N =-+∈，存在实数x 使()2f x <成立． （1）求实数m 的值；（2）若,1αβ>，()()2f f αβ+=，求证：4192αβ+≥．参考答案一、选择题 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案 BDACCBABBBBB6．B 【解析】延长1F M 交2PF 或其延长线于点G ， ∵10FM MP =，∴10F M MP ⊥= 又MP 为12F PF ∠的平分线，∴1PF PG =且M 为1F G 的中点，∵O 为12F F 的中点， ∴2//OM F G ，且212OM F G =． ∵2221F G PF PG PF PF =-=- ，∴2212242OM a PF PF =-=-． ∴24224PF -<<或24422PF <<+，∴(0,22)OM ∈．8．B 【解析】共有1323233330C A C A +=种方案．10．B 【解析】如下图，由1,10ab c d =+=，得(10)(16,24)abcd cd c c ==-∈．11．B 【解析】2211()()()()()536GO BC AO AG BC AO AC AB AC AB AC AB AC AB =-=--+-=-=，而2230AC AB -=，∴222230,30b c c b -=-=-．2222530cos 022a c b B ac ac+--==<，故B 为钝角．12．B 【解析】由递推关系1(1)(2)(3)(21)(1)(2)(21)135(21)n n n g g g g g g g -⎡⎤++++-=+++-+++++-⎣⎦，设(21)(1)(2)(21)nn G g g g -=+++-，则11(21)(21)2nn n G G -----=再由累加法得到．二、填空题13．0.9 14．3 15．3216．1,2e ⎛⎤-∞+⎥⎝⎦【解析】设21()()2h x f x x =-，则()()h x h x -=- 又0x <时，()()0h x f x x ''=-<， ∴()h x 在(,)-∞+∞单调递减，由1()(1)2f x f x x +≥-+得()(1)h x h x ≥-， ∴1x x ≤-，∴12x ≤．∴1,2a e ⎛⎤∈-∞+ ⎥⎝⎦． 三、解答题17．【解析】（1）由a b ⊥得0a b =，所以22cos 23cos 0x x x y +-=，即22cos 23cos cos 23212sin(2)16y x x x x x x π=+=+=++，由222,262k x k k Z πππππ-+≤+≤+∈，得,36k x k k Z ππππ-+≤≤+∈，即增区间为,,36k k k Z ππππ⎡⎤-++∈⎢⎥⎣⎦． ．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．6分（2）因为()32Af =，所以2sin()13,sin()166A A ππ++=+=， 所以2,62A k k Z πππ+=+∈，因为0A π<<，所以3A π=．由余弦定理，得2222cos a b c bc A =+-，即224b c bc =+-，所以24()3b c bc =+-，因为4b c +=，所以4bc =．所以1sin 32ABC S bc A ∆== ．．．．．．．12分 18．【解析】（1）以G 点为原点，GB 、GC 、GP 分别为x 轴、y 轴、z 轴建立空间直角坐标系，则(2,0,0)B ，(0,2,0),(0,0,4)C P ，故(1,1,0),(1,1,0),(0,2,4)E GE PC ==．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．2分∵210cos ,10220GE PC GE PC GE PC===•，．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．4分∴GE 与PC 所成角的余弦值为1010． ．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．6分 （2）解：设(0,,)F y z ，则3333(0,,)(,,0)(,,)2222DF y z y z =--=-， ∵DF GC ⊥，∴0DF GC =，即33(,,)(0,2,0)23022y z y -=-=，∴32y =，．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．8分 又PF PC λ=，即3(0,,4)(0,2,4)2z λ-=-，∴1z =，故3(0,,1)2F ，．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．10分31(0,,3),(0,,1)22PF FC =-=-，∴35235PF FC == ．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．12分 19．【解析】（1）当620S =时，即回答6个问题后，正确4个，错误2个．若回答正确第1个和第2个问题，则其余4个问题可任意回答正确2个问题；若第一个问题回答正确，第2个问题回答错误，第三个问题回答正确，则其余三个问题可任意回答正确2个．记回答每个问题正确的概率为p ，则23p =．同时回答每个问题错误的概率为13． ．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．3分 故所求概率为：222222432212122116()()()()3333333381P C C =⨯⨯⨯+⨯⨯⨯⨯⨯=．．．．．．．．．．6分（2）由5X S =可知X 的取值为10，30，50． 可有44111455212130(30)()()()()333381P X C C ==+=，5505552111(30)()()3381P X C C ==+=． ．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．9分 故X 的分布列为：X 10 30 50P4081 3081 1181 ()81E X =，．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．12分 20．【解析】（1）依题意，直线l 的斜率存在，设1122:,(,),(,)l y kx b A x y B x y =+， 由281y kx b x y =+⎧⎨=-⎩得28810x kx b --+=则1281x x b =-+，．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．2分 又由218x y +=得1212116444MA MB x x x y k k x x '===-=-，∴8116b -+=-，∴178b =．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．． ４分 ∴l 的方程为178y kx =+，恒过定点17(0,)8．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．5分（2）设(,)M u v ，直线111:()4x MA y y x x -=-，即111044x x y y --+=又MA 经过(,)M u v ，∴111044x u v y --+=，即∴111044x u y v --+=，同理，∴221044x u y v --+=由此可得切线AB 的方程为∴1044x u y v --+=．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．8分由直线AB 21104441()14u v u⨯--+=+，化简得22116u v -=，．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．10分从而动点M 的轨迹方程为22116x y -=，为焦点在y 轴上的双曲线． 取12(0,1),(0,1)T T -，则12222211111616MT MT x y y y k k x x x x +--====为定值故存在两个定点12(0,1),(0,1)T T -满足12116MT MT k k =恒为定值．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．12分 21．【解析】（1）2()21af x x x a ax '=+--+ 由题意2()201a f x x x a ax '=+--≥+，即22()201a x f x x x ax -'=+-≥+对[)4,x ∈+∞恒成立，整理得2201a x ax -+-≥+，即22(12)20ax a x a +---≥，在[)4,+∞恒成立 设22()(12)2h x ax a x a =+---显然0a >其对称轴为1112x a=-< ∴()h x 在(4,)+∞单调递增，∴只要2(4)164(12)20h a a a =+---≥，∴0432a <≤+．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．6分（2）2222(1)()2ln 2,()22x ax g x x ax x g x a x x x-+'=-+=-+=由题意21212322401a a x x ax x ⎧≥⎪⎪⎪∆=->⎨⎪+=⎪=⎪⎩，∴221212()92x x a x x +=≥解得12102x x <≤，22111122221()2,()ln ,()ln x cx b x x cx bx x x cx bx xϕϕϕ'=--=--=--， 两式相减得11212122ln ()()()0x c x x x x b x x x --+--=， ∴12122(1)1()()ln (0)212x x t x x t t t ϕ+-'-=-<≤+记为()t φ， 222(1)(1)1(1)()20(1)(1)t t t t t t t t φ+----'=-=<++． ∴()t φ在10,2⎛⎤ ⎥⎝⎦递减，min 12()()ln 223t φφ==-． ∴1212()()2x x x x ϕ+'-的最小值为2ln 23-．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．12分 22．【解析】（1）∵,CPD ABC D D ∠=∠∠=∠，∴DPC DBA ∆∆，∴PC PD AB BD =， 又∵AB AC =，∴PC PD AC BD =．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．5分 （2）∵,ACD APC CAP CAP ∠=∠∠=∠，∴APCACD ∆∆， ∴AP AC AC AD=， ∴29AC AP AD ==．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．10分23．【解析】（1）22cos()2(cos sin )4πρθθθ=-=+，．．．．．．．．．．．．．．．．2分 即22(cos sin )ρρθρθ=+，可得22220x y x y +--=，故2C 的直角坐标方程为22(1)(1)2x y -+-= ……………………5分（2）1C 的直角坐标方程为320x ++=，由（1）知曲线2C 是以(1,1)为圆心的圆， 且圆心到直线1C 的距离221323321(3)d ++==+，．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．8分 所以动点M 到曲线1C 的距离的最大值为3322+．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．10分 24．【解析】（1）因为()x m x x m x m -+≥--=，要使不等式2x m x -+<有解，则2m <，解得22m -<<．因为*m N ∈，所以1m =．（2）因为,1αβ>，所以()()2121f f αβαβ+=-+-，即2αβ+=．所以4114114149()(5)(52)2222βαβααβαβαβαβ+=+=++≥+=． （当且仅当4βααβ=时，即42,33αβ==等号成立）。