2018-2019版数学新导学笔记人教A全国通用版选修2-3讲义：第二章+随机变量及其分布滚动训练四
2018-2019版数学新导学笔记选修2-2人教A全国通用版讲义：第一章+导数及其应用+滚动训练二
滚动训练二(§1.3～§1.4)一、选择题1．函数f(x)的定义域为R，导函数f′(x)的图象如图所示，则函数f(x)()A．无极大值点，有四个极小值点B．有三个极大值点，两个极小值点C．有两个极大值点，两个极小值点D．有四个极大值点，无极小值点考点函数极值的应用题点函数极值在函数图象上的应用答案 C解析f′(x)的符号由正变负，则f(x0)是极大值，f′(x)的符号由负变正，则f(x0)是极小值，由题图易知有两个极大值点，两个极小值点．2．若函数f(x)＝x3－ax2－x＋6在(0,1)内单调递减，则实数a的取值范围是() A．[1，＋∞) B．a＝1C．(－∞，1] D．(0,1)考点利用导数求函数的单调区间题点已知函数单调性求参数(或其范围)答案 A解析∵f′(x)＝3x2－2ax－1，又f(x)在(0,1)内单调递减，∴不等式3x2－2ax－1≤0在(0,1)内恒成立，∴f′(0)≤0，且f′(1)≤0，∴a≥1.3.已知定义在R上的函数f(x)，其导函数f′(x)的大致图象如图所示，则下列叙述正确的是()A．f(b)>f(c)>f(d)B．f(b)>f(a)>f(e)C．f(c)>f(b)>f(a)D．f(c)>f(e)>f(d)考点 利用导数研究函数的单调性 题点 比较函数值的大小 答案 C解析 依题意得，当x ∈(－∞，c )时，f ′(x )>0， 因此，函数f (x )在(－∞，c )上是增函数， 由于a <b <c ，所以f (c )>f (b )>f (a )．4．函数f (x )＝x ＋2cos x 在⎣⎡⎦⎤0，π2上取最大值时的x 值为( ) A ．0 B.π6 C.π3D.π2考点 利用导数求函数的最值 题点 利用导数求不含参数函数的最值 答案 B解析 由f ′(x )＝1－2sin x ＝0，得sin x ＝12，又x ∈⎣⎡⎦⎤0，π2，所以x ＝π6， 当x ∈⎣⎡⎦⎤0，π6时，f ′(x )>0； 当x ∈⎣⎡⎦⎤π6，π2时，f ′(x )<0， 故当x ＝π6时取得最大值．5．已知函数f (x )＝x 2(ax ＋b )(a ，b ∈R )在x ＝2处有极值，其图象在点(1，f (1))处的切线与直线3x ＋y ＝0平行，则函数f (x )的单调递减区间为( ) A ．(－∞，0) B ．(0,2) C ．(2，＋∞)D ．(－∞，＋∞)考点 利用导数求函数的单调区间 题点 利用导数求含参数函数的单调区间 答案 B解析 ∵f (x )＝ax 3＋bx 2，∴f ′(x )＝3ax 2＋2bx ，∴⎩⎪⎨⎪⎧ 3a ×22＋2b ×2＝0，3a ＋2b ＝－3，即⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1，b ＝－3，令f ′(x )＝3x 2－6x <0，则0<x <2.6．已知f (x )＝x ＋bx 在(1，e)上为单调函数，则实数b 的取值范围是( )A ．(－∞，1]∪[e 2，＋∞)B ．(－∞，0]∪[e 2，＋∞)C ．(－∞，e 2]D ．[1，e 2]考点 利用导数求函数的单调区间 题点 已知函数的单调性求参数(或其范围) 答案 A解析 若b ≤0，则函数在(0，＋∞)上为增函数，满足条件，若b >0，则函数的导数f ′(x )＝1－b x 2＝x 2－bx2，由f ′(x )>0得x >b 或x <－b ，此时函数单调递增， 由f ′(x )<0得－b <x <b ，此时函数单调递减， 若函数f (x )在(1，e)上为单调递增函数， 则b ≤1，即0<b ≤1，若函数f (x )在(1，e)上为单调递减函数， 则b ≥e ，即b ≥e 2， 综上b ≤1或b ≥e 2，故选A.7．已知函数f (x )的图象是下列四个图象之一，且其导函数f ′(x )的图象如图所示，则该函数的图象是( )考点 函数的单调性与导数的关系题点 根据导函数的图象确定原函数图象 答案 B解析 从导函数的图象可以看出，导函数值先增大后减小，x ＝0时最大，所以函数f (x )的图象的变化率也先增大后减小，在x ＝0时变化率最大．A 项，在x ＝0时变化率最小，故错误；C 项，变化率是越来越大的，故错误；D 项，变化率是越来越小的，故错误．B 项正确． 8．当x ∈[－2,1]时，不等式ax 3－x 2＋4x ＋3≥0恒成立，则实数a 的取值范围是( ) A ．[－5，－3] B.⎣⎡⎦⎤－6，－98 C ．[－6，－2]D ．[－4，－3]考点 利用导数求函数中参数的取值范围 题点 利用导数求恒成立问题中参数的取值范围 答案 C解析 当x ＝0时，ax 3－x 2＋4x ＋3≥0变为3≥0恒成立，即a ∈R . 当x ∈(0,1]时，ax 3≥x 2－4x －3，a ≥x 2－4x －3x 3，∴a ≥⎣⎢⎡⎦⎥⎤x 2－4x －3x 3max . 设φ(x )＝x 2－4x －3x 3，φ′(x )＝(2x －4)x 3－(x 2－4x －3)3x 2x 6＝－x 2－8x －9x 4＝－(x －9)(x ＋1)x 4>0，∴φ(x )在(0,1]上递增，φ(x )max ＝φ(1)＝－6， ∴a ≥－6.当x ∈[－2,0)时，a ≤x 2－4x －3x 3，∴a ≤⎣⎢⎡⎦⎥⎤x 2－4x －3x 3min .仍设φ(x )＝x 2－4x －3x 3，φ′(x )＝－(x －9)(x ＋1)x 4.当x ∈[－2，－1)时，φ′(x )<0，当x ∈(－1,0)时，φ′(x )>0.∴当x ＝－1时，φ(x )有极小值，即为最小值． 而φ(x )min ＝φ(－1)＝1＋4－3－1＝－2，∴a ≤－2.综上知－6≤a ≤－2. 二、填空题9．若函数f (x )＝x 3＋32x 2＋m 在区间[－2,1]上的最大值为92，则m ＝________.考点 导数在最值问题中的应用 题点 已知最值求参数 答案 2解析 f ′(x )＝3x 2＋3x ＝3x (x ＋1)． 由f ′(x )＝0，得x ＝0或x ＝－1. 又f (0)＝m ，f (－1)＝m ＋12，f (1)＝m ＋52，f (－2)＝－8＋6＋m ＝m －2，∴当x ∈[－2,1]时，最大值为f (1)＝m ＋52，∴m ＋52＝92，∴m ＝2.10.已知函数f (x )的导函数f ′(x )是二次函数，如图是f ′(x )的大致图象，若f (x )的极大值与极小值的和等于23，则f (0)的值为________．考点 利用导数研究函数的极值 题点 已知极值求参数 答案 13解析 ∵其导函数的函数值应在(－∞，－2)上为正数，在(－2,2)上为负数，在(2，＋∞)上为正数，由导函数图象可知，函数在(－∞，－2)上为增函数，在(－2,2)上为减函数，在(2，＋∞)上为增函数，∴函数在x ＝－2时取得极大值，在x ＝2时取得极小值，且这两个极值点关于点(0，f (0))对称， 由f (x )的极大值与极小值之和为23，得f (－2)＋f (2)＝2f (0)，∴23＝2f (0)，则f (0)的值为13. 11．已知函数f (x )＝x e x ＋c 有两个零点，则c 的取值范围是________． 考点 函数极值的综合应用 题点 函数零点与方程的根 答案 ⎝⎛⎭⎫－∞，1e 解析 ∵f ′(x )＝e x (x ＋1)，∴易知f (x )在(－∞，－1)上单调递减，在(－1，＋∞)上单调递增，且f (x )min ＝f (－1)＝c －e －1，由题意得c －e －1<0，得c <e －1. 三、解答题12．某品牌电视生产厂家有A ，B 两种型号的电视机参加了家电下乡活动，若厂家对A ，B 两种型号的电视机的投放金额分别为p ，q 万元，农民购买电视机获得的补贴分别为110p ，25ln q 万元，已知A ，B 两种型号的电视机的投放总额为10万元，且A ，B 两种型号的电视机的投放金额均不低于1万元，请你制定一个投放方案，使得在这次活动中农民得到的补贴最多，并求出最大值．(精确到0.1，参考数据：ln 4≈1.4) 考点 利用导数求解生活中的最值问题 题点 利用导数求解最大利润问题解 设B 型号电视机的投放金额为x 万元(1≤x ≤9)，农民得到的补贴为y 万元，则A 型号的电视机的投放金额为(10－x )万元，由题意得 y ＝110(10－x )＋25ln x ＝25ln x －110x ＋1,1≤x ≤9， ∴y ′＝25x －110，令y ′＝0得x ＝4.由y ′>0，得1≤x <4，由y ′<0，得4<x ≤9， 故y 在[1,4)上单调递增，在(4,9]上单调递减，∴当x＝4时，y取得最大值，且y max＝25ln 4－110×4＋1≈1.2，这时，10－x＝6.即厂家对A，B两种型号的电视机的投放金额分别为6万元和4万元时，农民得到的补贴最多，最多补贴约1.2万元．13．设函数f(x)＝tx2＋2t2x＋t－1(x∈R，t>0)．(1)求f(x)的最小值h(t)；(2)若h(t)<－2t＋m对t∈(0,2)恒成立，求实数m的取值范围．考点利用导数求函数中参数的取值范围题点利用导数求恒成立问题中参数的取值范围解(1)∵f(x)＝t(x＋t)2－t3＋t－1(x∈R，t>0)，∴当x＝－t时，f(x)有最小值f(－t)＝h(t)＝－t3＋t－1.(2)令g(t)＝h(t)－(－2t＋m)＝－t3＋3t－1－m，由g′(t)＝－3t2＋3＝0得t＝1或t＝－1(舍去)．当t变化时，g′(t)，g(t)的变化情况如下表：∴当t∈(0,2)时，g(t)max＝g(1)＝1－m.∵h(t)<－2t＋m对t∈(0,2)恒成立，∴g(t)max＝1－m<0，∴m>1.故实数m的取值范围是(1，＋∞)．四、探究与拓展14．已知函数f(x)＝2ln x＋ax2(a>0)．若当x∈(0，＋∞)时，f(x)≥2恒成立，则实数a的取值范围是________．考点利用导数求函数中参数的取值范围题点利用导数求恒成立问题中参数的取值范围答案[e，＋∞)解析f(x)≥2即a≥2x2－2x2ln x.令g (x )＝2x 2－2x 2ln x ， 则g ′(x )＝2x (1－2ln x )．由g ′(x )＝0得x ＝12e 或0(舍去)， 当0<x <12e 时，g ′(x )>0； 当x >12e 时，g ′(x )<0，∴当x ＝12e 时，g (x )取最大值g (12e )＝e ，∴a ≥e. 15．已知函数f (x )＝ln(x ＋1)＋axx ＋1(a ∈R )． (1)当a ＝1时，求函数f (x )在点(0，f (0))处的切线方程； (2)讨论函数f (x )的极值；(3)求证：ln(n ＋1)>1－112＋2－122＋3－132＋…＋n －1n 2(n ∈N *)．考点 利用导数研究函数的单调性 题点 构造法的应用(1)解 当a ＝1时，f (x )＝ln(x ＋1)＋xx ＋1，所以f ′(x )＝1x ＋1＋(x ＋1)－x (x ＋1)2＝x ＋2(x ＋1)2， 所以f ′(0)＝2， 又f (0)＝0，所以函数f (x )在点(0，f (0))处的切线方程为y ＝2x . (2)解 f ′(x )＝1x ＋1＋a (x ＋1)－ax(x ＋1)2＝x ＋1＋a(x ＋1)2(x >－1)． 令x ＋1＋a ＝0，得x ＝－a －1. 若－a －1≤－1，即a ≥0，则f ′(x )>0恒成立，此时f (x )无极值．若－a －1>－1，即a <0， 当－1<x <－a －1时，f ′(x )<0， 当x >－a －1时，f ′(x )>0，此时f (x )在x ＝－a －1处取得极小值， 极小值为ln(－a )＋a ＋1.(3)证明 当a ＝－1时，由(2)知，f (x )min ＝f (0)＝0， 所以ln(x ＋1)－x x ＋1≥0，即ln(x ＋1)≥xx ＋1.令x ＝1n (n ∈N *)，则ln ⎝⎛⎭⎫1n ＋1≥1n1n ＋1＝11＋n ， 所以ln n ＋1n ≥11＋n.又因为11＋n －n －1n 2＝1n 2(n ＋1)>0，所以11＋n >n －1n2，所以ln n ＋1n >n －1n2，所以ln 21＋ln 32＋ln 43＋…＋ln n ＋1n >1－112＋2－122＋3－132＋…＋n －1n 2，即ln(n ＋1)>1－112＋2－122＋3－132＋…＋n －1n 2.。
2018-2019版数学新导学笔记选修2-2人教A全国通用版实用课件第一章 导数及其应用1.3.2(二)ppt版本
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解析 答案
4. 若 函 数 f(x) ＝ x3 － 3ax ＋ 1 在 区 间 (0,1) 内 有 极 小 值 ， 则 a 的 取 值 范 围 为 _(_0_,1_)_. 解析 f′(x)＝3x2－3a. 当a≤0时，在区间(0,1)上无极值. 当 a>0 时，令 f′(x)>0，解得 x> a或 x<－ a. 令 f′(x)<0，解得－ a<x< a.
3.用导数求函数极值的步骤 (1)确定函数的定义域； (2)求函数y＝f(x)的导数f′(x)； (3)求出方程f′(x)＝0在定义域内的所有实根，并将定义域分成若干个 子区间； (4)以表格形式检查f′(x)＝0的所有实根两侧的f′(x)是否异号，若异号 则是极值点，否则不是极值点.
题型探究
类型一 由极值的存在性求参数的范围 例 1 (1)若函数 f(x)＝13x3－x2＋ax－1 有极值点，则实数 a 的取值范围为 _(_－__∞__，__1_) _. 解析 f′(x)＝x2－2x＋a，由题意，得方程x2－2x＋a＝0有两个不同的实 数根，所以Δ＝4－4a>0，解得a<1.
章 §1.3 导数在研究函数中的应用
1.3.2 函数的极值与导数(二)
学习目标
1.能根据极值点与极值的情况求参数范围. 2.会利用极值解决方程的根与函数图象的交点个数问题.
内容索引
问题导学 题型探究 达标检测
问题导学
1.极小值点与极小值 (1)特征：函数y＝f(x)在点x＝a的函数值f(a)比它在点x＝a附近其他点的函 数值都 小 ，并且f′(a)＝0. (2)符号：在点x＝a附近的左侧f′(x)<0，右侧f′(x)>0. (3)结论：点a叫做函数y＝f(x)的极小值点，f(a)叫做函数y＝f(x)的极小值.
数学人教A选修2-3讲义：第二章 随机变量及其分布2.1.2 离散型随机变量的分布列(一) (最新)
2.1.2 离散型随机变量的分布列(一)学习目标 1.理解取有限个值的离散型随机变量及其分布列的概念.2.了解分布列对于刻画随机现象的重要性.3.掌握离散型随机变量分布列的表示方法和性质．知识点 离散型随机变量的分布列思考 掷一枚骰子，所得点数为X ，则X 可取哪些数字？X 取不同的值时，其概率分别是多少？你能用表格表示X 与P 的对应关系吗？ 答案 (1)x ＝1,2,3,4,5,6，概率均为16.(2)X 与P 的对应关系为梳理 (1)离散型随机变量的分布列的概念一般地，若离散型随机变量X 可能取的不同值为x 1，x 2，…，x i ，…，x n ，X 取每一个值x i (i ＝1,2，…，n )的概率P (X ＝x i )＝p i ，以表格的形式表示如下：此表称为离散型随机变量X 的概率分布列，简称为X 的分布列． (2)离散型随机变量的分布列的性质 ①p i ≥0，i ＝1,2,3，…，n ；② i ＝1np i ＝1.1．在离散型随机变量分布列中每一个可能值对应的概率可以为任意的实数．( × ) 2．在离散型随机变量分布列中，在某一范围内取值的概率等于它取这个范围内各值的概率之积．( × )3．在离散型随机变量分布列中，所有概率之和为1.( √ )类型一 离散型随机变量分布列的性质例1 设随机变量X 的分布列为P ⎝⎛⎭⎫X ＝k5＝ak (k ＝1,2,3,4,5)． (1)求常数a 的值； (2)求P ⎝⎛⎭⎫X ≥35； (3)求P ⎝⎛⎭⎫110<X <710. 考点 离散型随机变量分布列的性质及应用 题点 根据分布列的性质求概率解 (1)由a ＋2a ＋3a ＋4a ＋5a ＝1，得a ＝115.(2)∵P ⎝⎛⎭⎫X ＝k 5＝115k (k ＝1,2,3,4,5)， ∴P ⎝⎛⎭⎫X ≥35＝P ⎝⎛⎭⎫X ＝35＋P ⎝⎛⎭⎫X ＝45＋P (X ＝1)＝315＋415＋515＝45. (3)当110<X <710时，只有X ＝15，25，35时满足，故P ⎝⎛⎭⎫110<X <710 ＝P ⎝⎛⎭⎫X ＝15＋P ⎝⎛⎭⎫X ＝25＋P ⎝⎛⎭⎫X ＝35 ＝115＋215＋315＝25. 反思与感悟 利用分布列及其性质解题时要注意以下两个问题 (1)X 的各个取值表示的事件是互斥的．(2)不仅要注意∑i ＝1np i ＝1，而且要注意p i ≥0，i ＝1,2，…，n .跟踪训练1 (1)设随机变量ξ只能取5,6,7，…，16这12个值，且取每一个值概率均相等，若P (ξ<x )＝112，则x 的取值范围是________．(2)设随机变量X 的分布列为P (X ＝i )＝k2i (i ＝1,2,3)，则P (X ≥2)＝________.考点 离散型随机变量分布列的性质及应用 题点 根据分布列的性质求概率 答案 (1)(5,6] (2)37解析 (1)由条件知P (ξ＝k )＝112，k ＝5,6，…，16， P (ξ<x )＝112，故5<x ≤6.(2)由已知得随机变量X 的分布列为∴k 2＋k 4＋k 8＝1，∴k ＝87. ∴P (X ≥2)＝P (X ＝2)＋P (X ＝3)＝k 4＋k 8＝27＋17＝37.类型二 求离散型随机变量的分布列命题角度1 求离散型随机变量y ＝f (ξ)的分布列 例2 已知随机变量ξ的分布列为分别求出随机变量η1＝12ξ，η2＝ξ2的分布列．考点 离散型随机变量分布列的性质及应用 题点 两个相关的随机变量分布列的求法解 由η1＝12ξ知，对于ξ取不同的值－2，－1,0,1,2,3时，η1的值分别为－1，－12，0，12，1，32， 所以η1的分布列为由η2＝ξ2知，对于ξ的不同取值－2,2及－1,1，η2分别取相同的值4与1，即η2取4这个值的概率应是ξ取－2与2的概率112与16的和，η2取1这个值的概率应是ξ取－1与1的概率14与112的和，所以η2的分布列为反思与感悟 (1)若ξ是一个随机变量，a ，b 是常数，则η＝aξ＋b 也是一个随机变量，推广到一般情况有：若ξ是随机变量，f (x )是连续函数或单调函数，则η＝f (ξ)也是随机变量，也就是说，随机变量的某些函数值也是随机变量，并且若ξ为离散型随机变量，则η＝f (ξ)也为离散型随机变量．(2)已知离散型随机变量ξ的分布列，求离散型随机变量η＝f (ξ)的分布列的关键是弄清楚ξ取每一个值时对应的η的值，再把η取相同的值时所对应的事件的概率相加，列出概率分布列即可．跟踪训练2 已知随机变量ξ的分布列为分别求出随机变量η1＝－ξ＋12，η2＝ξ2－2ξ的分布列．考点 离散型随机变量分布列的性质及应用 题点 两个相关随机变量分布列的求法解 由η1＝－ξ＋12，对于ξ＝－2，－1,0,1,2,3，得η1＝52，32，12，－12，－32，－52，相应的概率值为112，14，13，112，16，112.故η1的分布列为由η2＝ξ2－2ξ，对于ξ＝－2，－1,0,1,2,3，得η2＝8,3,0，－1,0,3. 所以P (η2＝8)＝112，P (η2＝3)＝14＋112＝13，P (η2＝0)＝13＋16＝12，P (η2＝－1)＝112.故η2的分布列为命题角度2 利用排列、组合求分布列例3 某班有学生45人，其中O 型血的有10人，A 型血的有12人，B 型血的有8人，AB 型血的有15人．现从中抽1人，其血型为随机变量X ，求X 的分布列． 考点 离散型随机变量的分布列 题点 求离散型随机变量的分布列解 将O ，A ，B ，AB 四种血型分别编号为1,2,3,4， 则X 的可能取值为1,2,3,4.P (X ＝1)＝C 110C 145＝29，P (X ＝2)＝C 112C 145＝415，P (X ＝3)＝C 18C 145＝845，P (X ＝4)＝C 115C 145＝13.故X 的分布列为反思与感悟 求离散型随机变量分布列的步骤 (1)首先确定随机变量X 的取值； (2)求出每个取值对应的概率； (3)列表对应，即为分布列．跟踪训练3 一袋中装有5个球，编号分别为1,2,3,4,5.在袋中同时取3个球，以X 表示取出的3个球中的最小号码，写出随机变量X 的分布列． 考点 离散型随机变量的分布列 题点 求离散型随机变量的分布列 解 随机变量X 的可能取值为1,2,3.当X ＝1时，即取出的3个球中最小号码为1，则其他2个球只能在编号为2,3,4,5的4个球中取，故有P (X ＝1)＝C 24C 35＝610＝35；当X ＝2时，即取出的3个球中最小号码为2，则其他2个球只能在编号为3,4,5的3个球中取，故有P (X ＝2)＝C 23C 35＝310；当X ＝3时，即取出的3个球中最小号码为3，则其他2个球只能是编号为4,5的2个球，故有P (X ＝3)＝C 22C 35＝110.因此，X 的分布列为类型三 离散型随机变量的分布列的综合应用例4 袋中装有黑球和白球共7个，从中任取2个球都是白球的概率为17，现有甲、乙两人从袋中轮流摸取1球，甲先取，乙后取，然后甲再取，……，取后不放回，直到两人中有一人取到白球时终止，每个球在每一次被取出的机会是等可能的，用ξ表示取球终止所需要的取球次数．(1)求袋中原有的白球的个数； (2)求随机变量ξ的分布列； (3)求甲取到白球的概率．考点 离散型随机变量分布列的性质及应用 题点 排列、组合知识在分布列中的应用 解 (1)设袋中原有n 个白球，由题意知 17＝C 2nC 27＝n (n －1)27×62＝n (n －1)7×6， 可得n ＝3或n ＝－2(舍去)，即袋中原有3个白球． (2)由题意，ξ的可能取值为1,2,3,4,5. P (ξ＝1)＝37；P (ξ＝2)＝4×37×6＝27；P (ξ＝3)＝4×3×37×6×5＝635；P (ξ＝4)＝4×3×2×37×6×5×4＝335；P (ξ＝5)＝4×3×2×1×37×6×5×4×3＝135.所以ξ的分布列为(3)因为甲先取，所以甲只有可能在第一次、第三次和第五次取到白球，记“甲取到白球”为事件A ，则P (A )＝P (ξ＝1)＋P (ξ＝3)＋P (ξ＝5)＝2235.反思与感悟 求离散型随机变量的分布列，首先要根据具体情况确定ξ的取值情况，然后利用排列、组合与概率知识求出ξ取各个值的概率，即必须解决好两个问题，一是求出ξ的所有取值，二是求出ξ取每一个值时的概率．跟踪训练4 北京奥运会吉祥物由5个“中国福娃”组成，分别叫贝贝、晶晶、欢欢、迎迎、妮妮．现有8个相同的盒子，每个盒子中放一只福娃，每种福娃的数量如下表：从中随机地选取5只．(1)求选取的5只恰好组成完整的“奥运会吉祥物”的概率；(2)若完整的选取奥运会吉祥物记100分；若选出的5只中仅差一种记80分；差两种记60分；以此类推，设X 表示所得的分数，求X 的分布列． 考点 离散型随机变量分布列的性质及应用 题点 排列、组合知识在分布列中的应用解 (1)选取的5只恰好组成完整的“奥运会吉祥物”的概率P ＝C 12·C 13C 58＝656＝328.(2)X 的取值为100,80,60,40.P (X ＝100)＝C 12·C 13C 58＝328，P (X ＝80)＝C 23(C 22·C 13＋C 12·C 23)＋C 33(C 22＋C 23)C 58＝3156， P (X ＝60)＝C 13(C 22·C 23＋C 12·C 33)＋C 23·C 33C 58＝1856＝928， P (X ＝40)＝C 22·C 33C 58＝156.所以X 的分布列为1．已知随机变量X 的分布列如下：则P (X ＝10)等于( ) A.239 B.2310 C.139D.1310 考点 离散型随机变量分布列的性质及应用 题点 根据分布列的性质求概率 答案 C解析 P (X ＝10)＝1－23－…－239＝139.2．已知随机变量X 的分布列如下表所示，其中a ，b ，c 成等差数列，则P (|X |＝1)等于( )A.13 B.14 C.12D.23考点 离散型随机变量分布列的性质及应用 题点 根据分布列的性质求概率 答案 D解析 ∵a ，b ，c 成等差数列，∴2b ＝a ＋c . 由分布列的性质得a ＋b ＋c ＝3b ＝1，∴b ＝13.∴P (|X |＝1)＝P (X ＝1)＋P (X ＝－1) ＝1－P (X ＝0)＝1－13＝23.3．已知随机变量X 的分布列如下表(其中a 为常数)：则下列计算结果错误的是( ) A ．a ＝0.1 B ．P (X ≥2)＝0.7 C ．P (X ≥3)＝0.4 D ．P (X ≤1)＝0.3考点 离散型随机变量分布列的性质及应用 题点 根据分布列的性质求概率 答案 C解析 易得a ＝0.1，P (X ≥3)＝0.3，故C 错误． 4．设ξ是一个离散型随机变量，其分布列为则P (ξ≤0)＝________.考点 离散型随机变量分布列的性质及应用 题点 根据分布列的性质求概率 答案2－12解析 由分布列的性质，得1－2q ≥0，q 2≥0， 12＋(1－2q )＋q 2＝1， 所以q ＝1－22，q ＝1＋22(舍去)． P (ξ≤0)＝P (ξ＝－1)＋P (ξ＝0) ＝12＋1－2×⎝⎛⎭⎫1－22＝2－12. 5．将一枚骰子掷两次，求两次掷出的最大点数ξ的分布列． 考点 离散型随机变量的分布列 题点 求离散型随机变量的分布列 解 由题意知ξ＝i (i ＝1,2,3,4,5,6)， 则P (ξ＝1)＝1C 16C 16＝136；P(ξ＝2)＝3C16C16＝336＝112；P(ξ＝3)＝5C16C16＝5 36；P(ξ＝4)＝7C16C16＝7 36；P(ξ＝5)＝9C16C16＝936＝14；P(ξ＝6)＝11C16C16＝1136.所以抛掷两次掷出的最大点数构成的分布列为1．离散型随机变量的分布列，不仅能清楚地反映其所取的一切可能的值，而且能清楚地看到取每一个值时的概率的大小，从而反映了随机变量在随机试验中取值的分布情况．2．一般地，离散型随机变量在某一范围内取值的概率等于它取这个范围内各个值的概率之和．一、选择题1．设随机变量X等可能取值1,2,3，…，n，如果P(X<4)＝0.3，那么()A．n＝3 B．n＝4C．n＝10 D．n＝9考点离散型随机变量分布列的性质及应用题点由分布列的性质求参数答案 C解析由题意知P(X<4)＝3P(X＝1)＝0.3，∴P(X＝1)＝0.1，又nP(X＝1)＝1，∴n＝10.2．若随机变量η的分布列如下：则当P(η<x)＝0.8时，实数x的取值范围是()A．x≤1 B．1≤x≤2C ．1<x ≤2D ．1≤x <2考点 离散型随机变量分布列的性质及应用 题点 由分布列的性质求参数 答案 C解析 由分布列知，P (η＝－2)＋P (η＝－1)＋P (η＝0)＋P (η＝1) ＝0.1＋0.2＋0.2＋0.3＝0.8， ∴P (η<2)＝0.8，故1<x ≤2.3．若随机变量X 的概率分布列为P (X ＝n )＝an (n ＋1)(n ＝1,2，3,4)，其中a 是常数，则P ⎝⎛⎭⎫12<X <52的值为( ) A.23 B.34 C.45 D.56考点 离散型随机变量分布列的性质及应用 题点 根据分布列的性质求概率 答案 D解析 ∵P (X ＝1)＋P (X ＝2)＋P (X ＝3)＋P (X ＝4) ＝a ⎝⎛⎭⎫1－15＝1，∴a ＝54. ∴P ⎝⎛⎭⎫12<X <52＝P (X ＝1)＋P (X ＝2)＝a 1×2＋a 2×3＝a ⎝⎛⎭⎫1－13＝54×23＝56. 4．随机变量ξ的分布列如下：其中a ，b ，c 成等差数列，则函数f (x )＝x 2＋2x ＋ξ有且只有一个零点的概率为( ) A.16 B.13 C.12 D.56考点 离散型随机变量分布列的性质及应用 题点 根据分布列的性质求概率 答案 B解析 由题意知⎩⎪⎨⎪⎧2b ＝a ＋c ，a ＋b ＋c ＝1，解得b ＝13.∵f (x )＝x 2＋2x ＋ξ有且只有一个零点， ∴Δ＝4－4ξ＝0，解得ξ＝1， ∴P (ξ＝1)＝13.5．设离散型随机变量X 的分布列为若随机变量Y ＝X －2，则P (Y ＝2)等于( ) A ．0.3 B ．0.4 C ．0.6 D ．0.7考点 离散型随机变量分布列的性质及应用 题点 根据分布列的性质求概率 答案 A解析 由0.2＋0.1＋0.1＋0.3＋m ＝1，得m ＝0.3. 又P (Y ＝2)＝P (X ＝4)＝0.3.6．抛掷2枚骰子，所得点数之和X 是一个随机变量，则P (X ≤4)等于( ) A.16 B.13 C.12 D.23考点 离散型随机变量分布列的性质及应用 题点 根据分布列的性质求概率 答案 A解析 根据题意，有P (X ≤4)＝P (X ＝2)＋P (X ＝3)＋P (X ＝4)．抛掷两枚骰子，按所得的点数共36个基本事件，而X ＝2对应(1,1)，X ＝3对应(1,2)，(2,1)，X ＝4对应(1,3)，(3,1)，(2,2)． 故P (X ＝2)＝136，P (X ＝3)＝236＝118，P (X ＝4)＝336＝112，所以P (X ≤4)＝136＋118＋112＝16.7．已知随机变量ξ只能取三个值x 1，x 2，x 3，其概率依次成等差数列，则该等差数列的公差的取值范围是( ) A.⎣⎡⎦⎤0，13 B.⎣⎡⎦⎤－13，13 C ．[－3,3]D ．[0,1] 考点 离散型随机变量分布列的性质及应用 题点 根据分布列的性质求参数 答案 B解析 设随机变量ξ取x 1，x 2，x 3的概率分别为a －d ，a ，a ＋d ，则由分布列的性质，得(a －d )＋a ＋(a ＋d )＝1，故a ＝13.由⎩⎨⎧13－d ≥0，13＋d ≥0，解得－13≤d ≤13.二、填空题8．一批产品分为一、二、三级，其中一级品是二级品的两倍，三级品为二级品的一半，从这批产品中随机抽取一个检验，其级别为随机变量ξ，则P ⎝⎛⎭⎫13≤ξ≤53＝________. 考点 离散型随机变量分布列的性质及应用 题点 根据分布列的性质求概率 答案 47解析 设二级品有k 个，则一级品有2k 个，三级品有k 2个，总数为72k 个．∴ξ的分布列为∴P ⎝⎛⎭⎫13≤ξ≤53＝P (ξ＝1)＝47. 9．由于电脑故障，使得随机变量X 的分布列中部分数据丢失，以□代替，其表如下：根据该表可知X 取奇数值时的概率是________． 考点 离散型随机变量分布列的性质及应用 题点 根据分布列的性质求概率 答案 0.6解析 由离散型随机变量的分布列的性质，可求得P (X ＝3)＝0.25，P (X ＝5)＝0.15，故X 取奇数值时的概率为P (X ＝1)＋P (X ＝3)＋P (X ＝5)＝0.20＋0.25＋0.15＝0.6.10．把3枚骰子全部掷出，设出现6点的骰子个数是X ，则有P (X <2)＝________. 考点 离散型随机变量分布列的性质及应用 题点 根据分布列的性质求概率 答案2527解析 P (X <2)＝P (X ＝0)＋P (X ＝1)＝5363＋C 13×5263＝2527.11．将3个小球任意地放入4个大玻璃杯中，一个杯子中球的最多个数记为X ，则X 的分布列是________．考点 离散型随机变量的分布列 题点 求离散型随机变量的分布列 答案解析 由题意知X ＝1,2,3. P (X ＝1)＝A 3443＝38；P (X ＝2)＝C 23A 2443＝916；P (X ＝3)＝A 1443＝116.∴X 的分布列为三、解答题12．设S 是不等式x 2－x －6≤0的解集，整数m ，n ∈S .(1)设“使得m ＋n ＝0成立的有序数组(m ，n )”为事件A ，试列举事件A 包含的基本事件； (2)设ξ＝m 2，求ξ的分布列． 考点 离散型随机变量的分布列 题点 求离散型随机变量的分布列 解 (1)由x 2－x －6≤0， 得－2≤x ≤3， 即S ＝{x |－2≤x ≤3}．由于m ，n ∈Z ，m ，n ∈S 且m ＋n ＝0， 所以事件A 包含的基本事件为(－2,2)，(2，－2)，(－1,1)，(1，－1)，(0,0)． (2)由于m 的所有不同取值为－2，－1,0,1,2,3， 所以ξ＝m 2的所有不同取值为0,1,4,9，且有 P (ξ＝0)＝16，P (ξ＝1)＝26＝13，P (ξ＝4)＝26＝13，P (ξ＝9)＝16.故ξ的分布列为13．将一枚骰子掷两次，第一次掷出的点数减去第二次掷出的点数的差为X ，求X 的分布列． 考点 离散型随机变量的分布列 题点 求离散型随机变量的分布列解 第一次掷出的点数与第二次掷出的点数的差X 的可能取值为－5，－4，－3，－2，－1,0,1,2,3,4,5， 则P (X ＝－5)＝136，P (X ＝－4)＝236＝118，…， P (X ＝5)＝136.故X 的分布列为四、探究与拓展14．袋中有4个红球，3个黑球，从袋中任取4个球，取到1个红球得1分，取到1个黑球得3分，记得分为随机变量ξ，则P (ξ≤6)＝________. 考点 离散型随机变量分布列的性质及应用 题点 排列、组合知识在分布列中的应用 答案1335 解析 取出的4个球中红球的个数可能为4,3,2,1，相应的黑球个数为0,1,2,3，其得分ξ＝4,6,8,10，则P (ξ≤6)＝P (ξ＝4)＋P (ξ＝6)＝C 44×C 03C 47＋C 34×C 13C 47＝1335. 15．在一次购物抽奖活动中，假设某10张奖券中有一等奖奖券1张，可获价值50元的奖品；有二等奖奖券3张，每张可获价值10元的奖品；其余6张没有奖．某顾客从此10张奖券中任抽2张，求： (1)该顾客中奖的概率；(2)该顾客获得的奖品总价值X 的分布列，并求出P (5≤X ≤25)的值．考点 离散型随机变量分布列的性质及应用 题点 排列、组合知识在分布列中的应用 解 (1)该顾客中奖的概率P ＝1－C 26C 210＝1－13＝23.(2)X 的可能取值为0,10,20,50,60. P (X ＝0)＝C 26C 210＝13，P (X ＝10)＝C 13C 16C 210＝25，P (X ＝20)＝C 23C 210＝115，P (X ＝50)＝C 11C 16C 210＝215，P (X ＝60)＝C 11C 13C 210＝115.故随机变量X 的分布列为所以P (5≤X ≤25)＝P (X ＝10)＋P (X ＝20)＝25＋115＝715.。
2018-2019版数学新导学笔记选修2-2人教A全国通用版讲义：第一章+导数及其应用+章末复习
章末复习学习目标 1.理解导数的几何意义，并能解决有关切线的问题.2.能熟练应用求导公式及运算法则.3.掌握利用导数研究函数的单调性、极值与最值，并能应用其解决一些实际问题.4.了解定积分的概念及其简单的应用．1．导数的概念(1)定义：函数y ＝f (x )在x ＝x 0处的瞬时变化率lim Δx →f (x 0＋Δx )－f (x 0)Δx，称为函数y ＝f (x )在x ＝x 0处的导数．(2)几何意义：函数y ＝f (x )在x ＝x 0处的导数是函数图象在点(x 0，f (x 0))处的切线的斜率，表示为f ′(x 0)，其切线方程为y －f (x 0)＝f ′(x 0)(x －x 0)． 2．基本初等函数的导数公式 (1)c ′＝0. (2)(x α)′＝αx α－1.(3)(a x )′＝a x ln a (a >0)． (4)(e x )′＝e x .(5)(log a x )′＝⎝⎛⎭⎫ln x ln a ′＝1x ln a (a >0，且a ≠1)． (6)(ln x )′＝1x .(7)(sin x )′＝cos x . (8)(cos x )′＝－sin x . 3．导数的运算法则(1)[f (x )±g (x )]′＝f ′(x )±g ′(x )． (2)[f (x )·g (x )]′＝f ′(x )g (x )＋f (x )g ′(x )． (3)⎣⎡⎦⎤f (x )g (x )′＝f ′(x )g (x )－f (x )g ′(x )[g (x )]2(g (x )≠0)． 4．复合函数的求导法则 (1)复合函数记法：y ＝f (g (x ))． (2)中间变量代换：y ＝f (u )，u ＝g (x )． (3)逐层求导法则：y x ′＝y u ′·u x ′.5．函数的单调性、极值与导数 (1)函数的单调性与导数在某个区间(a ，b )内，如果f ′(x )>0，那么函数y ＝f (x )在这个区间内单调递增；如果f ′(x )<0，那么函数y ＝f (x )在这个区间内单调递减． (2)函数的极值与导数①极大值：在点x ＝a 附近，满足f (a )≥f (x )，当x <a 时，f ′(x )>0，当x >a 时，f ′(x )<0，则点a 叫做函数的极大值点，f (a )叫做函数的极大值；②极小值：在点x ＝a 附近，满足f (a )≤f (x )，当x <a 时，f ′(x )<0，当x >a 时，f ′(x )>0，则点a 叫做函数的极小值点，f (a )叫做函数的极小值． (3)求函数f (x )在闭区间[a ，b ]上的最值的步骤 ①求函数y ＝f (x )在(a ，b )内的极值；②将函数y ＝f (x )的极值与端点处的函数值f (a )，f (b )比较，其中最大的一个就是最大值，最小的一个就是最小值． 6．微积分基本定理如果f (x )是区间[a ，b ]上的连续函数，并且F ′(x )＝f (x )，那么ʃb a f (x )d x ＝F (b )－F (a )． 7．定积分的性质(1)ʃb a kf (x )d x ＝k ʃb a f (x )d x (k 为常数)．(2)ʃb a [f 1(x )±f 2(x )]d x ＝ʃb a f 1(x )d x ±ʃb a f 2(x )d x .(3)ʃb a f (x )d x ＝ʃc a f (x )d x ＋ʃb c f (x )d x (其中a <c <b )．1．f ′(x 0)是函数y ＝f (x )在x ＝x 0附近的平均变化率．( × ) 2．函数f (x )＝sin(－x )的导数是f ′(x )＝cos x ．( × )3．若函数y ＝f (x )在区间[a ，b ]上连续且恒正，则ʃb a f (x )d x >0.( √ )类型一 导数几何意义的应用例1 设函数f (x )＝13x 3＋ax 2－9x －1(a >0)，直线l 是曲线y ＝f (x )的一条切线，当l 的斜率最小时，直线l 与直线10x ＋y ＝6平行． (1)求a 的值；(2)求f (x )在x ＝3处的切线方程． 考点 求函数在某点处的切线方程题点 求曲线的切线方程解 (1)f ′(x )＝x 2＋2ax －9＝(x ＋a )2－a 2－9， f ′(x )min ＝－a 2－9，由题意知－a 2－9＝－10，∴a ＝1或－1(舍去)． 故a ＝1.(2)由(1)得a ＝1， ∴f ′(x )＝x 2＋2x －9， 则k ＝f ′(3)＝6，f (3)＝－10.∴f (x )在x ＝3处的切线方程为y ＋10＝6(x －3)， 即6x －y －28＝0.反思与感悟 利用导数求切线方程时关键是找到切点，若切点未知需设出．常见的类型有两种：一类是求“在某点处的切线方程”，则此点一定为切点，易求斜率进而写出直线方程即可得；另一类是求“过某点的切线方程”，这种类型中的点不一定是切点，可先设切点为Q (x 1，y 1)，由y 0－y 1x 0－x 1＝f ′(x 1)和y 1＝f (x 1)，求出x 1，y 1的值，转化为第一种类型．跟踪训练1 直线y ＝kx ＋b 与曲线y ＝x 3＋ax ＋1相切于点(2,3)，则b ＝ . 考点 求曲线在某点处的切线方程 题点 曲线的切线方程的应用 答案 －15解析 由题意知f (2)＝3，则a ＝－3.f (x )＝x 3－3x ＋1，f ′(x )＝3x 2－3，f ′(2)＝3×22－3＝9＝k ， 又点(2,3)在直线y ＝9x ＋b 上， ∴b ＝3－9×2＝－15.类型二 函数的单调性、极值、最值问题 例2 设a 为实数，函数f (x )＝e x －2x ＋2a ，x ∈R . (1)求f (x )的单调区间与极值；(2)求证：当a >ln 2－1且x >0时，e x >x 2－2ax ＋1. 考点 利用导数研究函数的单调性题点利用导数证明不等式(1)解由f(x)＝e x－2x＋2a，x∈R，知f′(x)＝e x－2，x∈R.令f′(x)＝0，得x＝ln 2.当x变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如下表：故f(x)的单调递减区间是(－∞，ln 2)，单调递增区间是(ln 2，＋∞)，f(x)在x＝ln 2处取得极小值，极小值为f(ln 2)＝e ln 2－2ln 2＋2a＝2(1－ln 2＋a)．(2)证明设g(x)＝e x－x2＋2ax－1，x∈R，于是g′(x)＝e x－2x＋2a，x∈R.由(1)知当a>ln 2－1时，g′(x)取最小值为g′(ln 2)＝2(1－ln 2＋a)>0.于是对任意x∈R，都有g′(x)>0，所以g(x)在R内单调递增．于是当a>ln 2－1时，对任意x∈(0，＋∞)，都有g(x)>g(0)．而g(0)＝0，从而对任意x∈(0，＋∞)，都有g(x)>0，即e x－x2＋2ax－1>0，故e x>x2－2ax＋1.反思与感悟本类题考查导数的运算，利用导数研究函数的单调性，求函数的极值和证明不等式，考查运算能力、分析问题、解决问题的能力．跟踪训练2已知函数f(x)＝x ln x.(1)求f(x)的最小值；(2)若对所有x≥1都有f(x)≥ax－1，求实数a的取值范围；(3)若关于x的方程f(x)＝b恰有两个不相等的实数根，求实数b的取值范围．考点函数极值的综合应用题点函数零点与方程的根解 (1)f (x )的定义域是(0，＋∞)，f ′(x )＝1＋ln x ， 令f ′(x )>0，解得x >1e ，令f ′(x )<0，解得0<x <1e，故f (x )在⎝⎛⎭⎫0，1e 上单调递减，在⎝⎛⎭⎫1e ，＋∞上单调递增， 故f (x )min ＝f ⎝⎛⎭⎫1e ＝1e ln 1e ＝－1e . (2)∵f (x )＝x ln x ，当x ≥1时，f (x )≥ax －1恒成立， 等价于x ln x ≥ax －1(x ≥1)恒成立， 等价于a ≤ln x ＋1x(x ≥1)恒成立，令g (x )＝ln x ＋1x ，则a ≤g (x )min (x ≥1)恒成立；∵g ′(x )＝1x －1x 2＝x －1x 2，∴当x ≥1时，g ′(x )≥0，∴g (x )在[1，＋∞)上单调递增，∴g (x )min ＝g (1)＝1， ∴a ≤1，即实数a 的取值范围为(－∞，1]．(3)若关于x 的方程f (x )＝b 恰有两个不相等的实数根， 即y ＝b 和y ＝f (x )在(0，＋∞)上有两个不同的交点， 由(1)知当0<x <1e时，f (x )<0，f (x )在⎝⎛⎭⎫0，1e 上单调递减，在⎝⎛⎭⎫1e ，＋∞上单调递增，f (x )min ＝f ⎝⎛⎭⎫1e ＝1e ln 1e ＝－1e； 故当－1e <b <0时，满足y ＝b 和y ＝f (x )在(0，＋∞)上有两个不同的交点，即若关于x 的方程f (x )＝b 恰有两个不相等的实数根，则－1e <b <0.类型三 定积分及其应用例3 求由曲线y ＝sin x 与直线x ＝－π2，x ＝54π，y ＝0所围成的图形的面积．考点 利用定积分求曲线所围成图形面积 题点 需分割的图形的面积求解 解 所求面积S ＝5π4ππ22sin d =sin d x x x x---⎰⎰＋ʃπ0sin x d x5π4πsin d x x -⎰＝－(－cos x )0π2|-＋(－cos x )|π0－(－cos x )5π4π|＝1＋2＋⎝⎛⎭⎫1－22＝4－22.反思与感悟 由定积分求曲边梯形面积的方法步骤 (1)画出函数的图象，明确平面图形的形状． (2)通过解方程组，求出曲线交点的坐标． (3)确定积分区间与被积函数，转化为定积分计算．(4)对于复杂的平面图形，常常通过“割补法”来求各部分的面积之和．跟踪训练3 如图所示，直线y ＝kx 将抛物线y ＝x －x 2与x 轴所围图形的面积分为相等的两部分，求k 的值．考点 利用定积分求曲线所围成图形面积 题点 已知曲线所围成图形的面积求参数解 抛物线y ＝x －x 2与x 轴的两交点的横坐标分别为x 1＝0，x 2＝1，所以抛物线与x 轴所围图形的面积S ＝ʃ10(x －x 2)d x ＝⎪⎪⎝⎛⎭⎫x 22－x 331＝12－13＝16.抛物线y ＝x －x 2与y ＝kx 两交点的横坐标分别为x 1′＝0，x 2′＝1－k ， 所以S 2＝ʃ1－k 0(x －x 2－kx )d x ＝⎪⎪⎝⎛⎭⎫1－k 2x 2－x 331－k 0 ＝16(1－k )3， 又知S ＝16，所以(1－k )3＝12，于是k ＝1－312＝1－342.1.如图，y ＝f (x )是可导函数，直线l ：y ＝kx ＋2是曲线y ＝f (x )在x ＝3处的切线，令g (x )＝xf (x )，g ′(x )是g (x )的导函数，则g ′(3)等于( )A ．－1B ．0C ．2D ．4考点 导数的几何意义的应用 题点 导数的几何意义解析 ∵直线l ：y ＝kx ＋2是曲线y ＝f (x )在x ＝3处的切线，∴f (3)＝1.又点(3,1)在直线l 上， ∴3k ＋2＝1，从而k ＝－13，∴f ′(3)＝k ＝－13.∵g (x )＝xf (x )，∴g ′(x )＝f (x )＋xf ′(x )， 则g ′(3)＝f (3)＋3f ′(3)＝1＋3×⎝⎛⎭⎫－13＝0. 2．函数F (x )＝ʃx 0t (t －4)d t 在[－1,5]上( ) A ．有最大值0，无最小值 B ．有最大值0，最小值－323C ．有最小值－323，无最大值D ．既无最大值也无最小值 考点 微积分基本定理的应用 题点 微积分基本定理的综合应用 答案 B解析 F ′(x )＝()ʃx0t (t －4)d t ′＝x 2－4x ，令F ′(x )＝0，解得x ＝0或4，当F ′(x )>0时，x >4或x <0，当F ′(x )<0时，0<x <4. ∴F (x )在[0,4]上单调递减，在[－1,0]和[4,5]上单调递增． 又F (0)＝0，F (－1)＝－73，F (4)＝－323，F (5)＝－253，所以当x ＝0时，F (x )取最大值0，当x ＝4时，F (x )取最小值－323.故选B.3．函数f (x )＝ax 3＋bx 2＋cx ＋d 的图象如图，则函数y ＝ax 2＋32bx ＋c3的单调递增区间是( )A ．(－∞，2] B.⎣⎡⎭⎫12，＋∞ C ．[－2,3]D.⎣⎡⎭⎫98，＋∞考点 函数极值的综合应用 题点 函数极值在函数图象上的应用解析 不妨取a ＝1，又d ＝0，∴f (x )＝x 3＋bx 2＋cx ，∴f ′(x )＝3x 2＋2bx ＋c . 由题图可知f ′(－2)＝0，f ′(3)＝0， ∴12－4b ＋c ＝0,27＋6b ＋c ＝0， ∴b ＝－32，c ＝－18.∴y ＝x 2－94x －6，y ′＝2x －94，当x >98时，y ′>0，即单调递增区间为⎣⎡⎭⎫98，＋∞，故选D.4．体积为16π的圆柱，当它的半径为 时，圆柱的表面积最小． 考点 利用导数求几何模型的最值问题 题点 利用导数求面积的最值问题 答案 2解析 设圆柱底面半径为r ，母线长为l . ∴16π＝πr 2l ，即l ＝16r2.则S 表面积＝2πr 2＋2πrl ＝2πr 2＋2πr ×16r 2＝2πr 2＋32πr ，由S ′＝4πr －32πr 2＝0，得r ＝2.∴当r ＝2时，圆柱的表面积最小． 5．已知函数f (x )＝e x ＋bx过点(1，e)．(1)求y ＝f (x )的单调区间； (2)当x >0时，求f (x )x的最小值；(3)试判断方程f (x )－mx ＝0(m ∈R 且m 为常数)的根的个数． 考点 函数极值的综合应用 题点 函数零点与方程的根解 (1)由函数f (x )＝e x ＋bx 过点(1，e)，得e 1＋b ＝e ，即b ＝0，∴f (x )＝e xx (x ≠0)，f ′(x )＝e x (x －1)x 2，令f ′(x )>0，得x >1，令f ′(x )<0，得0<x <1或x <0，y ＝f (x )的单调递增区间是(1，＋∞)，单调递减区间是(－∞，0)，(0,1)． (2)设g (x )＝f (x )x ＝e xx 2，x >0，g ′(x )＝e x (x 2－2x )x 4，令g ′(x )＝0，解得x ＝2或x ＝0(舍去)，当x ∈(0,2)时，g ′(x )<0， 当x ∈(2，＋∞)时，g ′(x )>0，∴g (x )在(0,2)上单调递减，在(2，＋∞)上单调递增， ∴f (x )x 的最小值为g (2)＝e 24. (3)方程f (x )－mx ＝0(m ∈R 且m 为常数)等价于m ＝f (x )x ＝g (x )，g ′(x )＝e x (x 2－2x )x 4，易知当x <0时，g ′(x )>0.结合(2)可得函数g (x )在区间(0,2)上单调递减，在(－∞，0)，(2，＋∞)上单调递增． 原问题转化为y ＝m 与y ＝g (x )的交点个数，其图象如图，当m ≤0时，方程f (x )－mx ＝0(m ∈R 且m 为常数)的根的个数为0； 当0<m <e 24时，方程f (x )－mx ＝0(m ∈R 且m 为常数)的根的个数为1；当m ＝e 24时，方程f (x )－mx ＝0(m ∈R 且m 为常数)的根的个数为2；当m >e 24时，方程f (x )－mx ＝0(m ∈R 且m 为常数)的根的个数为3.1．利用导数的几何意义可以求出曲线上任意一点处的切线方程y －y 0＝f ′(x 0)(x －x 0)．明确“过点P (x 0，y 0)的曲线y ＝f (x )的切线方程”与“在点P (x 0，y 0)处的曲线y ＝f (x )的切线方程”的异同点．2．借助导数研究函数的单调性，经常同三次函数，一元二次不等式结合，融分类讨论、数形结合于一体．3．利用导数求解优化问题，注意自变量中的定义域，找出函数关系式，转化为求最值问题．4．不规则图形的面积可用定积分求解，关键是确定积分上、下限及被积函数，积分的上、下限一般是两曲线交点的横坐标.一、选择题1．已知函数f (x )＝－a πsin πx ，且lim h →0f (1＋h )－f (1)h ＝2，则a 的值为( ) A ．2B ．－2C ．2πD ．－2π 考点 导数的概念题点 导数的概念的简单应用答案 A解析 ∵lim h →0 f (1＋h )－f (1)h＝2， ∴f ′(1)＝2，f (x )＝－a πsin πx ， f ′(x )＝－a cos πx ，∴－a cos π＝2，∴a ＝2，故选A.2．设曲线y ＝f (x )在某点处的导数值为0，则过曲线上该点的切线( )A ．垂直于x 轴B ．垂直于y 轴C ．既不垂直于x 轴也不垂直于y 轴D ．方向不能确定考点 导数的几何意义的应用题点 导数的几何意义答案 B解析 ∵曲线y ＝f (x )在某点处的导数值为0，∴切线的斜率为0，故选B.3．若函数f (x )的导数是f ′(x )＝－x (ax ＋1)(a <0)，则函数f (x )的单调递减区间是( ) A.⎣⎡⎦⎤1a ，0B.(]－∞，0，⎣⎡⎭⎫1a ，＋∞C.⎣⎡⎦⎤0，－1a D ．(－∞，0]，⎣⎡⎭⎫－1a ，＋∞ 考点 利用导数求函数的单调区间题点 利用导数求不含参数函数的单调区间答案 C解析 ∵f ′(x )＝－x (ax ＋1)(a <0)，令f ′(x )<0，即－x (ax ＋1)<0，解得0<x <－1a，故选C. 4．由曲线y ＝sin x ，y ＝cos x 与直线x ＝0，x ＝π2所围成的平面区域的面积为( ) A ．π2(sin cos )d x x x -⎰ B ．20π4(sin cos )d x x x -⎰ C ．π20(cos sin )d x x x -⎰ D ．20π4(cos sin )d x x x -⎰考点 定积分的几何意义及性质题点 定积分的几何意义答案 D解析 如图所示，两个阴影部分面积相等，所以两个阴影面积之和等于0<x <π4阴影部分面积的2倍，故选D.5.设函数f (x )在R 上可导，其导函数为f ′(x )，且函数y ＝(1－x )·f ′(x )的图象如图所示，则下列结论中一定成立的是( )A ．函数f (x )有极大值f (2)和极小值f (1)B ．函数f (x )有极大值f (2)和极小值f (－2)C ．函数f (x )有极大值f (－2)和极小值f (1)D ．函数f (x )有极大值f (－2)和极小值f (2)考点 函数极值的综合应用题点 函数极值在函数图象上的应用答案 D解析 由函数的图象可知，f ′(－2)＝0，f ′(2)＝0，并且当x <－2时，f ′(x )>0，当－2<x <1，f ′(x )<0，函数f (x )有极大值f (－2)．又当1<x <2时，f ′(x )<0，当x >2时，f ′(x )>0，故函数f (x )有极小值f (2)，故选D.6．已知a ≤1－x x＋ln x 对任意x ∈⎣⎡⎦⎤12，2恒成立，则a 的最大值为( ) A ．0B ．1C ．2D ．3考点 利用导数求函数中参数的取值范围题点 利用导数求恒成立问题中参数的取值范围答案 A解析 令f (x )＝1－x x＋ln x ， ∴f ′(x )＝1x ⎝⎛⎭⎫1－1x ， 当x ∈⎣⎡⎭⎫12，1时，f ′(x )<0，f (x )单调递减，当x ∈(1,2]时，f ′(x )>0，f (x )单调递增，∴f (x )≥f (1)＝0，则a ≤0，即a 的最大值为0.7．若函数f (x )＝13x 3－⎝⎛⎭⎫1＋b 2x 2＋2bx 在区间[3,5]上不是单调函数，则函数f (x )在R 上的极大值为( )A.23b 2－16b 3 B.32b －23 C ．2b －43 D ．0考点 函数在某点处取得极值的条件题点 含参数求极值问题答案 C解析 f ′(x )＝x 2－(2＋b )x ＋2b ＝(x －b )(x －2)，∵函数f (x )在区间[3,5]上不是单调函数，∴3<b <5，由f ′(x )>0，得x <2或x >b ，由f ′(x )<0，得2<x <b ，故f (x )在(－∞，2)上单调递增，在(2，b )上单调递减，在(b ，＋∞)上单调递增，∴函数f (x )的极大值为f (2)＝2b －43. 二、填空题8．在平面直角坐标系xOy 中，点P 在曲线C ：y ＝x 3－10x ＋3上，且在第二象限内，已知曲线C 在点P 处的切线的斜率为2，则点P 的坐标为 ．考点 求函数在某点处的切线斜率或切点坐标题点 求函数在某点处的切点坐标答案 (－2,15)解析 y ′＝3x 2－10，令y ′＝2，解得x ＝±2.又∵点P 在第二象限内，∴x ＝－2，此时y ＝15，∴点P 的坐标为(－2,15)．9．已知曲线y ＝x 与直线x ＝a ，y ＝0所围成的封闭区域的面积为a 3，则a ＝ . 考点 利用定积分求曲线所围成图形面积题点 已知曲线所围成图形的面积求参数答案 3123解析 由题意得a 3＝ʃa 0x d x ＝ ⎪⎪⎪2332x a 0＝2332a ， 即32a ＝23，解得a ＝3123. 10．已知定义在区间(－π，0)上的函数f (x )＝x sin x ＋cos x ，则f (x )的单调递减区间是 ． 考点 利用导数求函数的单调区间题点 利用导数求不含参数函数的单调区间答案 ⎝⎛⎭⎫－π2，0解析 f ′(x )＝x cos x ，当x ∈⎝⎛⎭⎫－π2，0时，f ′(x )<0， ∴f (x )的单调递减区间是⎝⎛⎭⎫－π2，0. 11．若函数f (x )＝x x 2＋a(a >0)在[1，＋∞)上的最大值为33，则实数a 的值为 ． 考点 导数在最值问题中的应用题点 已知最值求参数 答案 3－1解析 f ′(x )＝a －x 2(x 2＋a )2，令f ′(x )＝0，得x ＝±a ， 当x >a 时，f ′(x )<0，f (x )单调递减；当－a <x <a 时，f ′(x )>0，f (x )单调递增．若a ≥1，即a ≥1，则当x ∈[1，＋∞)时，f (x )max ＝f (a )＝a 2a ＝33， 解得a ＝32<1，不合题意，∴a <1， 且当x ∈[1，＋∞)时，f (x )max ＝f (1)＝11＋a ＝33， 解得a ＝3－1，满足a <1.三、解答题12．求抛物线y ＝－x 2＋4x －3与其在点(0，－3)和点(3,0)处的切线所围成的图形的面积． 考点 求函数在某点处的切线方程题点 曲线的切线方程的应用解 如图，∵y ′＝－2x ＋4，∴y ′|x ＝0＝4，y ′|x ＝3＝－2.∴在点(0，－3)处的切线方程是y ＝4x －3，在点(3,0)处的切线方程是y ＝－2(x －3)． 联立方程组⎩⎪⎨⎪⎧ y ＝4x －3，y ＝－2x ＋6，即⎩⎪⎨⎪⎧x ＝32，y ＝3， 得交点坐标为⎝⎛⎭⎫32，3.所以由它们围成的图形面积为S ＝33222302[(43)(43)]d [2(3)(43)]d x x x x x x x x ---+-+----+-⎰⎰ ＝33222302d (69)d x x x x x +-+⎰⎰＝x 33320|＋⎝⎛⎭⎫x 33－3x 2＋9x 332|＝94. 13．已知函数f (x )＝⎝⎛⎭⎫x 22－kx ln x ＋x 24. (1)若f (x )在定义域内单调递增，求实数k 的值；(2)若f (x )的极小值大于0，求实数k 的取值范围．考点 利用导数研究函数的极值题点 已知极值求参数解 (1)依题意可知f ′(x )＝(x －k )(ln x ＋1)，令f ′(x )＝0，可得x 1＝k ，x 2＝1e. 若x 1≠x 2，则在x 1，x 2之间存在一个区间，使得f ′(x )<0，不满足题意．因此x 1＝x 2，即k ＝1e. (2)当k <1e时，若k >0，则f ′(x )在⎝⎛⎭⎫k ，1e 上小于0，在⎝⎛⎭⎫1e ，＋∞上大于0，若k ≤0，则f ′(x )在⎝⎛⎭⎫0，1e 上小于0，在⎝⎛⎭⎫1e ，＋∞上大于0， 因此x ＝1e 是极小值点，f ⎝⎛⎭⎫1e ＝k e －14e 2>0，解得k >14e ，∴14e <k <1e. 当k >1e时，f ′(x )在⎝⎛⎭⎫1e ，k 上小于0，在(k ，＋∞)上大于0， 因此x ＝k 是极小值点，f (k )＝k 24(1－2ln k )>0， 解得k <e ，∴1e<k < e. 当k ＝1e时，f (x )没有极小值点，不符合题意． 综上可得，实数k 的取值范围为⎝⎛⎭⎫14e ，1e ∪⎝⎛⎭⎫1e ，e .四、探究与拓展14．设函数f (x )＝ln x ＋m x (m ∈R )，若对任意的b >a >0，f (b )－f (a )b －a<1恒成立，则实数m 的取值范围是 ．考点 数学思想方法在导数中的应用题点 转化与化归思想在导数中的应用答案 ⎣⎡⎭⎫14，＋∞ 解析 对任意的b >a >0，f (b )－f (a )b －a<1恒成立， 等价于f (b )－b <f (a )－a 恒成立．设函数h (x )＝f (x )－x ＝ln x ＋m x－x ， 则h (x )在(0，＋∞)上是单调减函数，即h ′(x )＝1x －m x2－1≤0在(0，＋∞)上恒成立， 得m ≥－x 2＋x ＝－⎝⎛⎭⎫x －122＋14(x >0)恒成立， 得m ≥14， 所以实数m 的取值范围是⎣⎡⎭⎫14，＋∞. 15．已知函数f (x )＝ln x －a (x －1)，a ∈R .(1)讨论函数f (x )的单调性；(2)当x ≥1时，f (x )≤ln x x ＋1恒成立，求实数a 的取值范围．考点 利用导数求函数中参数的取值范围题点 利用导数求恒成立问题中参数的取值范围解 (1)f (x )的定义域为(0，＋∞)，f ′(x )＝1－ax x， 若a ≤0，则f ′(x )>0，∴f (x )在(0，＋∞)上单调递增，若a >0，则由f ′(x )＝0，得x ＝1a， 当x ∈⎝⎛⎭⎫0，1a 时，f ′(x )>0， 当x ∈⎝⎛⎭⎫1a ，＋∞时，f ′(x )<0，∴f (x )在⎝⎛⎭⎫0，1a 上单调递增，在⎝⎛⎭⎫1a ，＋∞上单调递减． ∴当a ≤0时，f (x )在(0，＋∞)上单调递增，当a >0时，f (x )在⎝⎛⎭⎫0，1a 上单调递增，在⎝⎛⎭⎫1a ，＋∞上单调递减． (2)f (x )－ln xx ＋1＝x ln x －a (x 2－1)x ＋1， 令g (x )＝x ln x －a (x 2－1)，x ≥1，g ′(x )＝ln x ＋1－2ax ，令F (x )＝g ′(x )＝ln x ＋1－2ax ，F ′(x )＝1－2ax x， ①若a ≤0，F ′(x )>0，g ′(x )在[1，＋∞)上单调递增， g ′(x )≥g ′(1)＝1－2a >0，∴g (x )在[1，＋∞)上单调递增，g (x )≥g (1)＝0，从而f (x )－ln x x ＋1≥0，不符合题意． ②若0<a <12，当x ∈⎝⎛⎭⎫1，12a 时，F ′(x )>0， ∴g ′(x )在⎝⎛⎭⎫1，12a 上单调递增， 从而g ′(x )>g ′(1)＝1－2a >0，∴g (x )在⎣⎡⎭⎫1，12a 上单调递增，g (x )≥g (1)＝0，从而f (x )－ln x x ＋1≥0，不符合题意． ③若a ≥12，F ′(x )≤0在[1，＋∞)上恒成立， ∴g ′(x )在[1，＋∞)上单调递减，g ′(x )≤g ′(1)＝1－2a ≤0， 从而g (x )在[1，＋∞)上单调递减，∴g (x )≤g (1)＝0，f (x )－ln x x ＋1≤0， 综上所述，实数a 的取值范围是⎣⎡⎭⎫12，＋∞.。
2018-2019版数学新导学笔记选修2-2人教A全国通用版讲义：第一章 导数及其应用1.7
§1.7 定积分的简单应用学习目标 1.会应用定积分求两条或多条曲线围成的图形的面积.2.能利用定积分解决物理中的变速直线运动的路程、变力做功问题．学会用数学工具解决物理问题，进一步体会定积分的价值．知识点一 定积分在几何中的应用思考 怎样利用定积分求不分割型图形的面积？答案 求由曲线围成的面积，要根据图形，确定积分上、下限，用定积分来表示面积，然后计算定积分即可．梳理 (1)当x ∈[a ，b ]时，若f (x )>0，由直线x ＝a ，x ＝b (a ≠b )，y ＝0和曲线y ＝f (x )所围成的曲边梯形的面积S ＝ʃf (x )d x .ba(2)当x ∈[a ，b ]时，若f (x )<0，由直线x ＝a ，x ＝b (a ≠b )，y ＝0和曲线y ＝f (x )所围成的曲边梯形的面积S ＝－ʃf (x )d x .ba (3)当x ∈[a ，b ]时，若f (x )>g (x )>0，由直线x ＝a ，x ＝b (a ≠b )和曲线y ＝f (x )，y ＝g (x )所围成的平面图形的面积S ＝ʃ[f (x )－g (x )]d x .(如图)ba 知识点二 变速直线运动的路程思考 变速直线运动的路程和位移相同吗？答案 不同．路程是标量，位移是矢量，路程和位移是两个不同的概念．梳理 (1)当v (t )≥0时，求某一时间段内的路程和位移均用d t 求解．21()t t t ⎰v (2)当v (t )<0时，求某一时间段内的位移用d t 求解，这一时段的路程是位移的相反数，21()t t t ⎰v 即路程为－d t .21()t t t ⎰v 做变速直线运动的物体所经过的路程s ，等于其速度函数v ＝v (t )(v (t )≥0)在时间区间[a ，b ]上的定积分，即s ＝ʃv (t )d t .ba 知识点三 变力做功问题思考 恒力F 沿与F 相同的方向移动了s ，力F 做的功为W ＝Fs ，那么变力做功问题怎样解决？答案 与求曲边梯形的面积一样，物体在变力F (x )作用下运动，沿与F 相同的方向从x ＝a到x ＝b (a <b )，可以利用定积分得到W ＝ʃF (x )d x .b a梳理 如果物体在变力F (x )的作用下做直线运动，并且物体沿着与F (x )相同的方向从x ＝a移动到x ＝b (a <b )，那么变力F (x )所做的功为ʃF (x )d x .b a1．曲线y ＝x 3与直线x ＋y ＝2，y ＝0围成的图形面积为ʃx 3d x ＋ʃ(2－x )d x .( √ )10212．在求变速直线运动的路程时，物体运动的速度一定为正．( × )3．在计算变力做功时，不用考虑力与位移的方向．( × )类型一 利用定积分求面积命题角度1 求不分割型图形的面积例1 由曲线y 2＝x ，y ＝x 2所围图形的面积S ＝________.考点 利用定积分求曲线所围成图形面积题点 不需分割的图形的面积求解答案 13解析 由Error!得交点的横坐标为x ＝0及x ＝1.因此，所求图形的面积为S ＝S 曲边梯形OABC －S 曲边梯形OABD＝ʃd x －ʃx 2d x 10x 10＝Error!－Error!＝－＝.1010231313反思与感悟 求由曲线围成图形面积的一般步骤(1)根据题意画出图形．(2)找出范围，确定积分上、下限．(3)确定被积函数．(4)将面积用定积分表示．(5)用微积分基本定理计算定积分，求出结果．跟踪训练1 求由抛物线y ＝x 2－4与直线y ＝－x ＋2所围成的图形的面积．考点 利用定积分求曲线所围成图形面积题点 不需分割的图形的面积求解解 由Error!得Error!或Error!所以直线y ＝－x ＋2与抛物线y ＝x 2－4的交点坐标为(－3,5)和(2,0)，设所求图形面积为S ，根据图形可得，S ＝ʃ(－x ＋2)d x －ʃ(x 2－4)d x 2－32－3＝Error!－Error!2－32－3＝－＝.252(－253)1256命题角度2 分割型图形面积的求解例2 求由曲线y ＝，y ＝2－x ，y ＝－x 所围成的图形的面积．x 13考点 利用定积分求曲线所围成图形面积题点 需分割的图形的面积求解解 画出图形，如图所示．解方程组Error!Error!Error!得交点坐标分别为(1,1)，(0,0)，(3，－1)，所以S ＝ʃd x ＋ʃd x 10[x －(－13x )]31[(2－x )－(－13x )]＝ʃd x ＋ʃd x10(x ＋13x )31(2－23x )＝Error!＋Error!1031＝＋＋6－×9－2＋＝.23161313136反思与感悟 两条或两条以上的曲线围成的图形，一定要确定图形范围，通过解方程组求出交点的坐标，定出积分上、下限，若积分变量选x 运算较烦琐，则积分变量可选y ，同时要更换积分上、下限．跟踪训练2 求由曲线y ＝x 2，直线y ＝2x 和y ＝x 所围成的图形的面积．考点 利用定积分求曲线所围成图形面积题点 需分割的图形的面积求解解 由Error!和Error!解出O ，A ，B 三点的横坐标分别是0,1,2.故所求的面积S ＝ʃ(2x －x )d x ＋ʃ(2x －x 2)d x 1021＝Error!＋Error!1021＝－0＋－＝.12(4－83)(1－13)76类型二 定积分在物理中的应用例3 一点在直线上从时刻t ＝0 s 开始以速度v ＝t 2－4t ＋3(v 的单位：m/s)运动，求：(1)该点在t ＝4 s 时的位置；(2)该点前4 s 走过的路程．考点 利用定积分求路程问题题点 利用定积分求路程问题解 (1)在t ＝4 s 时，该点的位移为ʃ(t 2－4t ＋3)d t ＝Error!＝，即在t ＝4 s 时，该点与出发404043点的距离为 m.43(2)因为v (t )＝t 2－4t ＋3＝(t －1)(t －3)，所以在区间[0,1]及[3,4]上，v (t )≥0，在区间[1,3]上，v (t )≤0，所以走过的路程s ＝ʃ(t 2－4t ＋3)d t ＋＋ʃ(t 2－4t ＋3)d t ＝ʃ(t 2－4t ＋3)10|ʃ31(t 2－4t ＋3)d t |4310d t －ʃ(t 2－4t ＋3)d t ＋ʃ(t 2－4t ＋3)d t ＝4(m)，即前4 s 走过的路程为4 m.3143反思与感悟 (1)求变速直线运动的物体的路程(位移)方法①用定积分计算做直线运动物体的路程，要先判断速度v (t )在时间区间内是否为正值，若v (t )>0，则运动物体的路程为s ＝ʃv (t )d t ；若v (t )<0，则运动物体的路程为s ＝ʃ|v (t )ba b a |d t ＝－ʃv (t )d t ；ba ②注意路程与位移的区别．(2)求变力做功的方法步骤①首先要明确变力的函数式F (x )，确定物体在力的方向上的位移；②利用变力做功的公式W ＝ʃF (x )d x 计算；ba ③注意必须将力与位移的单位换算为牛顿与米，功的单位才为焦耳．跟踪训练3 一弹簧在弹性限度内，拉伸弹簧所用的力与弹簧伸长的长度成正比．若20 N 的力能使弹簧伸长3 cm ，则把弹簧从平衡位置拉长13 cm(在弹性限度内)时所做的功W 为( )A. JB ．5 J16930C. JD ．6 J 15930考点 利用定积分求变力做功问题题点 定积分在弹力做功中的应用答案 A解析 设拉伸弹簧所用的力为F N ，弹簧伸长的长度为x m ，则F ＝kx .由题意知20＝0.03k ，得k ＝，2 0003所以F ＝x .由变力做功公式，2 0003得W ＝ʃx d x ＝Error!＝(J)，0.130 2 00030.13016930故把弹簧从平衡位置拉长13 cm 时所做的功为 J.169301．由曲线y ＝x 2与直线y ＝2x 所围成的平面图形的面积为( )A.B.4383C.D.16323考点 利用定积分求曲线所围成图形面积题点 不需分割的图形的面积求解答案 A解析 如图，画出曲线y ＝x 2和直线y ＝2x 的图象，则所求面积S 为图中阴影部分的面积．解方程组Error!得Error!Error!所以A (2,4)，O (0,0)．所以S ＝ʃ2x d x －ʃx 2d x 2020＝x 2＝4－＝.|20－13x 3|20(83－0)432．一物体在力F (x )＝3x 2－2x ＋5(力的单位：N ，位移单位：m)的作用下沿与力F (x )相同的方向由x ＝5 m 运动到x ＝10 m ，则F (x )做的功为( )A ．925 JB ．850 JC ．825 JD ．800 J考点 利用定积分求变力做功问题题点 定积分在弹力做功中的应用答案 C解析 依题意F (x )做的功是W ＝ʃF (x )d x ＝ʃ(3x 2－2x ＋5)d x 105105＝(x 3－x 2＋5x )|＝825(J)．1053．由曲线y ＝与直线x ＝1，x ＝2，y ＝1所围成的封闭图形的面积为________．1x 考点 利用定积分求曲线所围成图形面积题点 不需分割的图形的面积求解答案 1－ln 2解析 因为函数y ＝在[1,2]上的积分为S 2＝ʃd x ＝ln x |＝ln 2，1x 211x 21所以围成的封闭图形的面积S 1等于四边形ABCD 的面积减去S 2的面积，即S 1＝1－ln 2.4．一辆汽车的速度—时间曲线如图所示，则汽车在1分钟内行驶的路程为________ m.考点 利用定积分求路程问题题点 利用定积分求路程问题答案 900解析 由速度—时间曲线得v (t )＝Error!所以汽车在1分钟内行驶的路程为ʃ3t d t ＋ʃError!＋Error!10060101006010＝150＋750＝900 m.5．求由抛物线y ＝x 2－1，直线x ＝2，y ＝0所围成的图形的面积．考点 利用定积分求曲线所围成图形面积题点 需分割的图形的面积求解解 作出草图如图所示，所求图形的面积为图中阴影部分的面积．由x 2－1＝0，得抛物线与x 轴的交点坐标是(－1,0)和(1,0)，因此所求图形的面积为S ＝ʃ|x 2－1|d x ＋ʃ(x 2－1)d x 1－121＝ʃ(1－x 2)d x ＋ʃ(x 2－1)d x 1－121＝Error!＋Error!1－121＝－＋－(1－13)(－1＋13)(13×23－2)(13－1)＝.83对于简单图形的面积求解，我们可直接运用定积分的几何意义，此时(1)确定积分上、下限，一般为两交点的横坐标；(2)确定被积函数，一般是上曲线与下曲线对应函数的差．这样所求的面积问题就转化为运用微积分基本定理计算定积分了．注意区别定积分与利用定积分计算曲线所围图形的面积：定积分可正、可负或为零；而平面图形的面积总是非负的．一、选择题1.用S表示图中阴影部分的面积，则S的值是( )c aA．ʃf(x)d xc aB．|ʃf(x)d x|b ac bC．ʃf(x)d x＋ʃf(x)d xc b b aD．ʃf(x)d x－ʃf(x)d x考点 利用定积分求曲线所围成图形面积题点 需分割的图形的面积求解答案 D解析 ∵x∈[a，b]时，f(x)<0，x∈[b，c]时，f(x)>0，c b b a∴阴影部分的面积S＝ʃf(x)d x－ʃf(x)d x.2．一物体以速度v＝(3t2＋2t)m/s做直线运动，则它在t＝0 s到t＝3 s时间段内的位移是( ) A．31 m B．36 mC．38 m D．40 m考点 利用定积分求路程问题题点 利用定积分求路程问题答案 B3030解析 S＝ʃ(3t2＋2t)d t＝(t3＋t2)|＝33＋32＝36(m)，故选B.3．一物体在力F(x)＝4x－1(单位：N)的作用下，沿着与力F相同的方向，从x＝1运动到x＝3处(单位：m)，则力F(x)所做的功为( )A．8 J B．10 J C．12 J D．14 J考点 利用定积分求变力做功问题题点 定积分在弹力做功中的应用答案 D3131解析 由变力做功公式有W＝ʃ(4x－1)d x＝(2x2－x)|＝14(J)，故选D.4．由直线x ＝0，x ＝，y ＝0与曲线y ＝2sin x 所围成的图形的面积等于( )2π3A ．3 B. C ．1 D.3212考点 利用定积分求曲线所围成图形面积题点 不需分割的图形的面积求解答案 A解析 直线x ＝0，x ＝，y ＝0与曲线y ＝2sin x 所围成的图形如图所示，2π3其面积为S ＝＝－2cos x 2π302sin d x x 2π30|＝－2cos －(－2cos 0)＝1＋2＝3，故选A.2π35．由y ＝x 2，y ＝x 2及x ＝1围成的图形的面积S 等于( )14A.B.1213C. D ．114考点 利用定积分求曲线所围成图形面积题点 不需分割的图形的面积求解答案 C解析 y ＝x 2，y ＝x 2，x ＝1所围成的图形如图所示，14S ＝ʃx 2d x －ʃx 2d x 101014＝ʃx 2d x 1034＝Error!＝.10146．由直线y ＝x ，曲线y ＝x 3围成的封闭图形的面积为( )A.B.1434C.D.1243考点 利用定积分求曲线所围成图形面积题点 需分割的图形的面积求解答案 C解析 由直线y ＝x ，曲线y ＝x 3围成的封闭图形如图，所以由直线y ＝x ，曲线y ＝x 3围成的封闭图形的面积为2ʃ(x －x 3)d x ＝，故选C.10127．由曲线y ＝与直线y ＝2x －1及x 轴所围成的封闭图形的面积为( )x A. B.121112C. D.16512考点 利用定积分求曲线所围成图形面积题点 需分割的图形的面积求解答案 D解析 联立曲线y ＝与直线y ＝2x －1，构成方程组x Error!解得Error!联立直线y ＝2x －1，y ＝0构成方程组，解得Error!∴曲线y ＝与直线y ＝2x －1及x 轴所围成的封闭图形的面x 积为S ＝ʃd x －10x 112(21)d x x-⎰312120122|()|3x x x =--＝＋－＝.231412512二、填空题8．一辆汽车在高速公路上行驶，由于遇到紧急情况而刹车，以速度v (t )＝7－3t ＋(t 的251＋t 单位：s ，v 的单位：m/s)行驶至停止．在此期间汽车继续行驶的距离(单位：m)是________．考点 利用定积分求路程问题题点 利用定积分求路程问题答案 4＋25ln 5解析 由v (t )＝7－3t ＋＝0，可得t ＝4，因此汽车从刹车到停止一共行驶了251＋t (t ＝－83舍去)4 s ，此期间行驶的距离为ʃv (t )d t ＝ʃd t ＝Error!＝4＋25ln 5.4040(7－3t ＋251＋t )409．由曲线y ＝e x ，y ＝e －x 及x ＝1所围成的图形的面积为____________．考点 利用定积分求曲线所围成图形面积题点 不需分割的图形的面积求解答案 e ＋－21e 解析 如图，所围成的图形的面积为ʃ(e x －e －x )d x 10＝(e x ＋e －x )|10＝e ＋e －1－2＝e ＋－2.1e 10.如图，已知点A ，点P (x 0，y 0)(x 0>0)在曲线y ＝x 2上，若阴影部分的面积与△OAP 的(0，14)面积相等，则x 0＝________.考点 导数与积分几何意义的应用题点 导数与积分几何定义的应用答案 64解析 由题意知×x 0×＝1214020d ,x x x即x 0＝x ，181330解得x 0＝或x 0＝－或x 0＝0.6464∵x 0>0，∴x 0＝.6411．若两曲线y ＝x 2与y ＝cx 3(c >0)围成图形的面积是，则c ＝________.23考点 利用定积分求曲线所围成图形的面积题点 已知曲线所围成图形的面积求参数答案 12解析 由Error!得x ＝0或x ＝.1c ∵当0<x <时，x 2>cx 3，1c ∴S ＝＝Error!1230(-)d c x cx x 10c ＝－＝＝.13c 314c 3112c 323∴c 3＝，∴c ＝.1812三、解答题12．求由抛物线y 2＝8x (y >0)与直线x ＋y －6＝0及y ＝0所围成图形的面积．考点 利用定积分求曲线所围成图形的面积题点 需分割的图形的面积求解解 如图所示，由Error!得Error!所以抛物线y 2＝8x (y >0)与直线x ＋y －6＝0的交点坐标为(2,4)．方法一 (选y 为积分变量)S ＝ʃd y 40(6－y －18y 2)＝Error!4＝24－8－×64＝.124403方法二 (选x 为积分变量)S ＝ʃ()d x ＋ʃ(6－x )d x 208x 62＝Error!＋Error!2062＝＋163[(6×6－12×62)－(6×2－12×22)]＝.40313.已知函数f (x )＝x 3＋ax 2＋bx (a ，b ∈R )的图象如图所示，它与直线y ＝0在原点处相切，此切线与函数图象所围区域(图中阴影部分)的面积为，求a 的值．274考点 利用定积分求曲线所围成图形面积题点 已知曲线所围成图形的面积求参数解 由题图知方程f (x )＝0有两个实根，其中有一个实根为0，于是b ＝0，所以f (x )＝x 2(x ＋a )．有＝ʃ[0－(x 3＋ax 2)]d x ＝－Error!＝，274－a 0－a 0a 412所以a ＝±3.又－a >0，即a <0，所以a ＝－3.四、探究与拓展14.如图，在边长为e(e 为自然对数的底数)的正方形中随机撒一粒黄豆，则它落在阴影部分的概率为________．考点 利用定积分求曲线所围成图形面积题点 不需分割的图形的面积求解答案 2e2解析 ∵S 阴＝2ʃ(e －e x )d x ＝2(e x －e x )|＝2，1010S 正方形＝e 2，∴P ＝.2e215.已知S 1为直线x ＝0，y ＝4－t 2及y ＝4－x 2所围成图形的面积，S 2为直线x ＝2，y ＝4－t 2及曲线y ＝4－x 2所围成图形的面积(t 为常数)．(1)若t ＝，求S 2；2(2)若t ∈(0,2)，求S 1＋S 2的最小值．考点 利用定积分求曲线所围成图形面积题点 需分割的图形的面积求解解 (1)当t ＝时，S 2＝222(4)]d x x --＝＝(－1)．432(2)当t ∈(0,2)时，S 1＝ʃ[(4－x 2)－(4－t 2)]d x t 0＝Error!＝t 3.t 023S 2＝ʃ[(4－t 2)－(4－x 2)]d x 2t ＝Error!＝－2t 2＋t 3.2t 8323所以S ＝S 1＋S 2＝t 3－2t 2＋.4383S ′＝4t 2－4t ＝4t (t －1)，令S ′＝0，得t ＝0(舍去)或t ＝1，当0<t <1时，S ′<0，S 单调递减，当1<t <2时，S ′>0，S 单调递增，所以当t ＝1时，S min ＝2.。
2018-2019版数学新导学笔记选修2-2人教A全国通用版讲义：第二章 推理与证明2.2.2
2．2.2 反证法学习目标 1.了解反证法是间接证明的一种基本方法.2.理解反证法的思考过程，会用反证法证明数学问题．知识点 反证法王戎小时候，爱和小朋友在路上玩耍．一天，他们发现路边的一棵树上结满了李子，小朋友一哄而上，去摘李子，独有王戎没动，等到小朋友们摘了李子一尝，原来是苦的！他们都问王戎：“你怎么知道李子是苦的呢？”王戎说：“假如李子不苦的话，早被路人摘光了，而这树上却结满了李子，所以李子一定是苦的．”思考 本故事中王戎运用了什么论证思想？答案 运用了反证法思想．梳理 (1)定义：假设原命题不成立，经过正确的推理，最后得出矛盾，因此说明假设错误，从而证明了原命题成立，这样的证明方法叫做反证法．(2)反证法常见的矛盾类型反证法的关键是在正确的推理下得出矛盾．这个矛盾可以是与已知条件矛盾，或与假设矛盾，或与定义、公理、定理、事实矛盾等．1．反证法属于间接证明问题的方法．( √ )2．反证法的证明过程既可以是合情推理也可以是一种演绎推理．( × )3．反证法的实质是否定结论导出矛盾．( √ )类型一 用反证法证明否定性命题例1 已知a，b，c，d∈R，且ad－bc＝1，求证：a2＋b2＋c2＋d2＋ab＋cd≠1.考点 反证法及应用题点 反证法的应用证明 假设a2＋b2＋c2＋d2＋ab＋cd＝1.因为ad－bc＝1，所以a2＋b2＋c2＋d2＋ab＋cd＋bc－ad＝0，即(a＋b)2＋(c＋d)2＋(a－d)2＋(b＋c)2＝0.所以a＋b＝0，c＋d＝0，a－d＝0，b＋c＝0，则a＝b＝c＝d＝0，这与已知条件ad－bc＝1矛盾，故假设不成立．所以a2＋b2＋c2＋d2＋ab＋cd≠1.反思与感悟 (1)用反证法证明否定性命题的适用类型：结论中含有“不”“不是”“不可能”“不存在”等词语的命题称为否定性命题，此类问题的正面比较模糊，而反面比较具体，适合使用反证法．(2)用反证法证明数学命题的步骤a b c跟踪训练1 已知三个正数a，b，c成等比数列但不成等差数列，求证：，，不成等差数列．考点 反证法及应用题点 反证法的应用a b c证明 假设，，成等差数列，b a c则2＝＋，ac∴4b＝a＋c＋2.①∵a，b，c成等比数列，∴b2＝ac，②ac由②得b＝，代入①式，ac a c得a＋c－2＝(－)2＝0，∴a＝c，从而a＝b＝c.这与已知a，b，c不成等差数列相矛盾，a b c∴假设不成立．故，，不成等差数列．类型二 用反证法证明“至多、至少”类问题例2 a，b，c∈(0,2)，求证：(2－a)b，(2－b)c，(2－c)a不能都大于1.考点 反证法及应用题点 反证法的应用证明 假设(2－a)b，(2－b)c，(2－c)a都大于1.因为a，b，c∈(0,2)，所以2－a>0,2－b>0,2－c>0.所以≥>1.(2－a )＋b2(2－a )b 同理≥>1，(2－b )＋c2(2－b )c ≥>1.(2－c )＋a 2(2－c )a 三式相加，得＋＋>3，(2－a )＋b 2(2－b )＋c2(2－c )＋a 2即3>3，矛盾．所以(2－a )b ，(2－b )c ，(2－c )a 不能都大于1.引申探究 已知a ，b ，c ∈(0,1)，求证：(1－a )b ，(1－b )c ，(1－c )a 不能都大于.14证明 假设(1－a )b ，(1－b )c ，(1－c )a 都大于.14∵a ，b ，c 都是小于1的正数，∴1－a,1－b,1－c 都是正数．∴≥>＝.(1－a )＋b2(1－a )b 1412同理，>，>.(1－b )＋c 212(1－c )＋a 212三式相加，得＋＋>，(1－a )＋b 2(1－b )＋c 2(1－c )＋a 232即>，显然不成立．3232∴(1－a )b ，(1－b )c ，(1－c )a 不能都大于.14反思与感悟 应用反证法常见的“结论词”与“反设词”当命题中出现“至多”“至少”等词语时，直接证明不易入手且讨论较复杂．这时，可用反证法证明，证明时常见的“结论词”与“反设词”如：结论词反设词结论词反设词至少有一个一个也没有对所有x 成立存在某个x 0不成立至多有一个至少有两个对任意x 不成立存在某个x 0成立至少有n 个至多有n －1个p 或q 綈p 且綈q至多有n 个至少有n ＋1个p 且q 綈p 或綈q跟踪训练2 已知a ，b ，c 是互不相等的实数，求证：由y 1＝ax 2＋2bx ＋c ，y 2＝bx 2＋2cx ＋a 和y 3＝cx 2＋2ax ＋b 确定的三条抛物线至少有一条与x 轴有两个不同的交点．考点 反证法及应用题点 反证法的应用证明 假设题设中的函数确定的三条抛物线都不与x 轴有两个不同的交点，由y 1＝ax 2＋2bx ＋c ，y 2＝bx 2＋2cx ＋a ，y 3＝cx 2＋2ax ＋b ，得Δ1＝4b 2－4ac ≤0，Δ2＝4c 2－4ab ≤0，且Δ3＝4a 2－4bc ≤0.同向不等式求和，得4b 2＋4c 2＋4a 2－4ac －4ab －4bc ≤0，所以2a 2＋2b 2＋2c 2－2ab －2bc －2ac ≤0，所以(a －b )2＋(b －c )2＋(a －c )2≤0，所以a ＝b ＝c .这与题设a ，b ，c 互不相等矛盾，因此假设不成立，从而命题得证．类型三 用反证法证明唯一性命题例3 求证：方程2x ＝3有且只有一个根．考点 反证法及应用题点 反证法的应用证明 ∵2x ＝3，∴x ＝log 23.这说明方程2x ＝3有根．下面用反证法证明方程2x ＝3的根是唯一的．假设方程2x ＝3至少有两个根b 1，b 2(b 1≠b 2)，则＝3, ＝3，两式相除得＝1，12b 22b 122b b ∴b 1－b 2＝0，则b 1＝b 2，这与b 1≠b 2矛盾．∴假设不成立，从而原命题得证．反思与感悟 用反证法证明唯一性命题的一般思路：证明“有且只有一个”的问题，需要证明两个命题，即存在性和唯一性．当证明结论是以“有且只有”“只有一个”“唯一存在”等形式出现的命题时，可先证“存在性”，由于假设“唯一性”结论不成立易导出矛盾，因此可用反证法证其唯一性．跟踪训练3 若函数f (x )在区间[a ，b ]上是增函数，求证：方程f (x )＝0在区间[a ，b ]上至多有一个实根．考点 反证法及应用题点 反证法的应用证明 假设方程f(x)＝0在区间[a，b]上至少有两个实根，设α，β为其中的两个实根．因为α≠β，不妨设α<β，又因为函数f(x)在[a，b]上是增函数，所以f(α)<f(β)．这与假设f(α)＝0＝f(β)矛盾，所以方程f(x)＝0在区间[a，b]上至多有一个实根．1．证明“在△ABC中至多有一个直角或钝角”，第一步应假设( )A．三角形中至少有一个直角或钝角B．三角形中至少有两个直角或钝角C．三角形中没有直角或钝角D．三角形中三个角都是直角或钝角考点 反证法及应用题点 如何正确进行反设答案 B2．已知a，b是异面直线，直线c平行于直线a，那么直线c与b的位置关系为( ) A．一定是异面直线B．一定是相交直线C．不可能是平行直线D．不可能是相交直线答案 C解析 假设c∥b，而由c∥a，可得a∥b，这与a，b异面矛盾，故c与b不可能是平行直线．3．用反证法证明“在三角形中至少有一个内角不小于60°”，应先假设这个三角形中( ) A．有一个内角小于60° B．每一个内角都小于60°C．有一个内角大于60° D．每一个内角都大于60°考点 反证法及应用题点 如何正确进行反设答案 B4．用反证法证明“在同一平面内，若a⊥c，b⊥c，则a∥b”时，应假设( )A．a不垂直于c B．a，b都不垂直于cC．a⊥b D．a与b相交考点 反证法及应用题点 如何正确进行反设答案 D5．用反证法证明：关于x 的方程x 2＋4ax －4a ＋3＝0，x 2＋(a －1)x ＋a 2＝0，x 2＋2ax －2a ＝0，当a ≤－或a ≥－1时，至少有一个方程有实数根．32考点 反证法及应用题点 反证法的应用证明 假设三个方程都没有实数根，则由判别式都小于零，得Error!则Error!解得－<a <－1，32与a ≤－或a ≥－1矛盾，故原命题成立．32用反证法证题要把握三点(1)必须先否定结论，对于结论的反面出现的多种可能，要逐一论证，缺少任何一种可能，证明都是不全面的；(2)反证法必须从否定结论进行推理，且必须根据这一条件进行论证，否则，仅否定结论，不从结论的反面出发进行论证，就不是反证法；(3)反证法的关键是在正确的推理下得出矛盾，这个矛盾可以与已知矛盾，或与假设矛盾，或与定义、公理、定理、事实矛盾，但推导出的矛盾必须是明显的．一、选择题1．反证法的关键是在正确的推理下得出矛盾，这个矛盾可以是①与已知条件矛盾；②与假设矛盾；③与定义、公理、定理矛盾；④与事实矛盾．其中正确的为( )A ．①②B ．②③C ．③④D ．①②③④考点 反证法及应用题点 反证法的应用答案 D2．用反证法证明命题：“若直线AB ，CD 是异面直线，则直线AC ，BD 也是异面直线”的过程归纳为以下三个步骤：①则A ，B ，C ，D 四点共面，所以AB ，CD 共面，这与AB ，CD 是异面直线矛盾；②所以假设错误，即直线AC ，BD 也是异面直线；③假设直线AC，BD是共面直线．则正确的序号顺序为( )A．①②③B．③①②C．①③②D．②③①考点 反证法及应用题点 反证法的应用答案 B解析 根据反证法的三个基本步骤“反设—归谬—结论”可知顺序应为③①②.3．否定“自然数a，b，c中恰有一个偶数”时，正确的反设为( )A．a，b，c都是偶数B．a，b，c都是奇数C．a，b，c中至少有两个偶数D．a，b，c中都是奇数或至少有两个偶数考点 反证法及应用题点 如何正确进行反设答案 D解析 自然数a，b，c的奇偶性共有四种情形：3个都是奇数，1个偶数2个奇数，2个偶数1个奇数，3个都是偶数，所以否定“自然数a，b，c中恰有一个偶数”时，正确的反设为“a，b，c中都是奇数或至少有两个偶数”．4．有下列叙述：①“a>b”的反面是“a<b”；②“x＝y”的反面是“x>y或x<y”；③“三角形的外心在三角形外”的反面是“三角形的外心在三角形内”；④“三角形最多有一个钝角”的反面是“三角形没有钝角”．其中正确的叙述有( )A．0个B．1个C．2个D．3个考点 反证法及应用题点 如何正确进行反设答案 B解析 ①错，应为a≤b；②对；③错，应为三角形的外心在三角形内或在三角形的边上；④错，应为三角形至少有2个钝角．5．用反证法证明命题：“a，b∈N，ab可被5整除，那么a，b中至少有一个能被5整除”时，假设的内容应为( )A．a，b都能被5整除B．a，b都不能被5整除C．a，b不都能被5整除D ．a 不能被5整除考点 反证法及应用题点 如何正确进行反设答案 B解析 “至少有一个”的否定是“一个也没有”，即“a ，b 都不能被5整除”．6．①已知p 3＋q 3＝2，证明：p ＋q ≤2.用反证法证明时，可假设p ＋q ≥2；②若a ，b ∈R ，|a |＋|b |<1，求证：方程x 2＋ax ＋b ＝0的两根的绝对值都小于1.用反证法证明时可假设方程有一根x 1的绝对值大于或等于1，即假设|x 1|≥1.以下结论正确的是( )A ．①与②的假设都错误B ．①的假设正确；②的假设错误C ．①与②的假设都正确D ．①的假设错误；②的假设正确考点 反证法及应用题点 如何正确进行反设答案 D解析 对于①，结论的否定是p ＋q >2，故①中的假设错误；对于②，其假设正确，故选D.7．设a ，b ，c 都是正数，则三个数a ＋，b ＋，c ＋( )1b 1c 1a A ．都大于2B ．至少有一个大于2C ．至少有一个不小于2D ．至少有一个不大于2考点 反证法及应用题点 反证法的应用答案 C解析 假设a ＋<2，b ＋<2，c ＋<2，1b 1c 1a 则＋＋<6.(a ＋1b )(b ＋1c )(c ＋1a )又＋＋(a ＋1b )(b ＋1c )(c ＋1a )＝＋＋≥2＋2＋2＝6，(a ＋1a )(b ＋1b )(c ＋1c )这与假设得到的不等式相矛盾，从而假设不正确，所以这三个数至少有一个不小于2.二、填空题8．用反证法证明命题“若x 2－(a ＋b )x ＋ab ≠0，则x ≠a 且x ≠b ”时，应假设________．考点 反证法及应用题点 如何正确进行反设答案 x ＝a 或x ＝b9．设a ，b 是两个实数，给出下列条件：①a ＋b ＝1；②a ＋b ＝2；③a ＋b >2；④a 2＋b 2>2.其中能推出“a ，b 中至少有一个大于1”的条件是______．(填序号)考点 反证法及应用题点 反证法的应用答案 ③10．某珠宝店丢了一件珍贵珠宝，以下四人中只有一人说真话，只有一人偷了珠宝．甲：我没有偷；乙：丙是小偷；丙：丁是小偷；丁：我没有偷．根据以上条件，可以判断偷珠宝的人是_______．考点 反证法及应用题点 反证法的应用答案 甲解析 假如甲：我没有偷是真的，则乙：丙是小偷；丙：丁是小偷是假的；丁：我没有偷就是真的，与他们四人中有一人说真话矛盾．假如甲：我没有偷是假的，则丁：我没有偷就是真的，乙：丙是小偷，丙：丁是小偷是假的，成立．∴可以判断偷珠宝的人是甲．11．若下列两个方程x 2＋(a －2)x ＋a 2＝0，x 2＋ax －2a ＝0中至少有一个方程有实根，则实数a 的取值范围是____________________．考点 反证法及应用题点 反证法的应用答案 (－∞，－8]∪[－2，＋∞)解析 若两方程均无实根，则Δ1＝(a －2)2－4a 2＝(3a －2)(－a －2)<0，∴a <－2或a >.23Δ2＝a 2＋8a ＝a (a ＋8)<0，∴－8<a <0，故－8<a <－2.若两个方程至少有一个方程有实根，则a ≤－8或a ≥－2.三、解答题12．若a ，b ，c 均为实数，且a ＝x 2－2y ＋，b ＝y 2－2z ＋，c ＝z 2－2x ＋.求证a ，b ，c 中π2π3π6至少有一个是大于0的．考点 反证法及应用题点 反证法的应用证明 假设a ，b ，c 都不大于0，则a ≤0，b ≤0，c ≤0，∴a ＋b ＋c ≤0，而a ＋b ＋c ＝＋＋＝(x 2－2x )＋(y 2－2y )＋(z 2－2z )(x 2－2y ＋π2)(y 2－2z ＋π3)(z 2－2x ＋π6)＋π＝(x －1)2＋(y －1)2＋(z －1)2＋π－3，∴a ＋b ＋c >0.这与a ＋b ＋c ≤0矛盾，∴假设不成立，故a ，b ，c 中至少有一个是大于0的．13．已知f (x )＝a x ＋(a >1)，求证：方程f (x )＝0没有负数根．x －2x ＋1考点 反证法及应用题点 反证法的应用证明 假设x 0是f (x )＝0的负数根，则x 0<0且x 0≠－1，且ax 0＝－，x 0－2x 0＋1∴0<ax 0<1，∴0<－<1，x 0－2x 0＋1解得<x 0<2，这与x 0<0矛盾，12故方程f (x )＝0没有负数根．四、探究与拓展14．若a ，b ，c ，d 都是有理数，，都是无理数，且a ＋＝b ＋，则a 与b ，c 与d 之c d c d 间的数量关系为________．考点 反证法及应用题点 反证法的应用答案 a ＝b ，c ＝d解析 假设a ≠b ，令a ＝b ＋m (m 是不等于零的有理数)，于是b ＋m ＋＝b ＋，c d 所以m ＋＝，两边平方整理得＝.c d c d －c －m 22m 左边是无理数，右边是有理数，矛盾，因此a ＝b ，从而c ＝d .15．设{a n }是公比为q 的等比数列．(1)推导数列{a n }的前n 项和公式；(2)设q ≠1，证明数列{a n ＋1}不是等比数列．考点 反证法及应用题点 反证法的应用(1)解 设数列{a n }的前n 项和为S n ，当q ＝1时，S n ＝a 1＋a 1＋…＋a 1＝na 1；当q ≠1时，S n ＝a 1＋a 1q ＋a 1q 2＋…＋a 1q n －1，①qS n ＝a 1q ＋a 1q 2＋…＋a 1q n ，②由①－②得，(1－q )S n ＝a 1－a 1q n ，所以S n ＝，a 1(1－qn )1－q 综上所述，S n ＝Error!(2)证明 假设{a n ＋1}是等比数列，则对任意的k ∈N *，(a k ＋1＋1)2＝(a k ＋1)(a k ＋2＋1)，a ＋2a k ＋1＋1＝a k a k ＋2＋a k ＋a k ＋2＋1，2k ＋1a q 2k ＋2a 1q k ＝a 1q k －1·a 1q k ＋1＋a 1q k －1＋a 1q k ＋1，21因为a 1≠0，所以2q k ＝q k －1＋q k ＋1.因为q ≠0，所以q 2－2q ＋1＝0，所以q ＝1，这与已知矛盾．所以假设不成立，故数列{a n ＋1}不是等比数列．。
2019-2020版数学新导学笔记人教A全国通用版选修2-3实用课件：第一章 计数原理 习题课 二项式定理 .pdf
第一章计数原理习题课二项式定理学习目标1.能熟练地掌握二项式定理的展开式及有关概念.2.会用二项式定理解决与二项式有关的简单问题.内容索引问题导学题型探究达标检测问题导学1.二项式定理及其相关概念二项式定理公式(a ＋b )n ＝，称为二项式定理二项式系数_______________________________________________通项T k ＋1＝(k ＝0,1，…n )二项式定理的特例C 0n a n ＋C 1n a n －1b ＋…＋C k n a n －k b k ＋…＋C n n b n C k n (k ＝0,1，…，n ) C k n a n －k b k (1＋x )n ＝C 0n ＋C 1n x ＋C 2n x 2＋…＋C k n x k ＋…＋C n n x n2.二项式系数的四个性质(杨辉三角的规律)(1)对称性：；(2)性质：＝；(3)二项式系数的最大值：当n 是偶数时，中间的取得最大值，即最大；当n 是奇数时，中间的相等，且同时取得最大值，即最大；(4)二项式系数之和：，所用方法是.C m n ＝C n －m nC k n ＋1 C k －1n ＋C k n一项C 0n ＋C 1n ＋C 2n ＋…＋C k n ＋…＋C n n ＝2n 赋值法2C nn两项1122C =C n n n n -+题型探究命题角度1两个二项式积的问题类型一二项式定理的灵活应用例1(1)的展开式中x 的系数是A.－4B.－3C.3D.4√(1－x )6(1＋x )4－1 (2)已知(1＋ax)(1＋x)5的展开式中x2的系数为5，则a＝_____.解析(1＋ax)(1＋x)5＝(1＋x)5＋ax(1＋x)5.∴x2的系数为C25＋a C15，则10＋5a＝5，解得a＝－1.反思与感悟两个二项式乘积的展开式中特定项问题(1)分别对每个二项展开式进行分析，发现它们各自项的特点.(2)找到构成展开式中特定项的组成部分.(3)分别求解再相乘，求和即得.跟踪训练1 (1)⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫x ＋a x ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫2x －1x 5的展开式中各项系数的和为2，则该展开式的常数项为A.－40B.－20C.20D.40√(2)在(1＋x)6(1＋y)4的展开式中，记x m y n项的系数为f(m，n)，则f(3,0)＋120f(2,1)＋f(1,2)＋f(0,3)＝_____.解析f(3,0)＋f(2,1)＋f(1,2)＋f(0,3)＝C3C04＋C26C14＋C16C24＋C06C34＝120.6例2 ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫x 2＋1x ＋25的展开式中的常数项是________. 命题角度2三项展开式问题6322反思与感悟三项或三项以上的展开问题，应根据式子的特点，转化为二项式来解决，转化的方法通常为配方法，因式分解，项与项结合，项与项结合时，要注意合理性和简捷性.跟踪训练2(x 2＋x ＋y )5的展开式中，x 5y 2的系数为_____.解析方法一(x 2＋x ＋y )5＝[(x 2＋x )＋y ]5，30含y 2的项为T 3＝C 25(x 2＋x )3·y 2.其中(x 2＋x )3中含x 5的项为C 13x 4·x ＝C 13x 5.所以x 5y 2的系数为C 25C 13＝30.方法二(x 2＋x ＋y )5为5个x 2＋x ＋y 之积，其中有两个取y ，两个取x 2，一个取x 即可，所以x 5y 2的系数为C 25C 23C 11＝30.命题角度3整除和余数问题例3今天是星期一，今天是第1天，那么第810天是星期√A.一B.二C.三D.四解析求第810天是星期几，实质是求810除以7的余数，应用二项式定理将数变形求余数.因为810＝(7＋1)10＝710＋C1×79＋…＋C910×7＋1＝7M＋1(M∈N*)，10所以第810天相当于第1天，故为星期一.反思与感悟(1)利用二项式定理处理整除问题，通常把底数写成除数(或与除数密切关联的数)与某数的和或差的形式，再利用二项式定理展开，只考虑后面(或前面)一、二项就可以了.(2)解决求余数问题，必须构造一个与题目条件有关的二项式.跟踪训练3设a ∈Z ，且0≤a <13，若512017＋a 能被13整除，则a ＝____.1解析 ∵512 017＋a ＝(52－1)2 017＋a能被13整除，0≤a <13.故－1＋a 能被13整除，故a ＝1.＝C 02 017522 017－C 12 017522 016＋C 22 017522 015－…＋C 2 0162 017521－1＋a ，(1)若展开式中第五项、第六项、第七项的二项式系数成等差数列，求展开式中二项式系数最大的项的系数；类型二二项式系数的综合应用例4 已知⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫12＋2x n.(2)若展开式中前三项的二项式系数之和等于79，求展开式中系数最大的项.反思与感悟解决此类问题，首先要分辨二项式系数与二项展开式的项的系数，其次理解记忆其有关性质，最后对解决此类问题的方法作下总结，尤其是有关排列组合的计算问题加以细心.跟踪训练4已知展开式中二项式系数之和比(2x ＋x lg x )2n 展开式中奇数项的二项式系数之和少112，第二个展开式中二项式系数最大的项的值为1120，求x .⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫2x －1x n达标检测1.在x (1＋x )6的展开式中，含x 3项的系数为A.30B.20C.15D.10√解析 因为(1＋x )6的展开式的第(k ＋1)项为T k ＋1＝C k 6x k ，x (1＋x )6的展开式中含x 3的项为C 26x 3＝15x 3，所以系数为15.2.在(x ＋y )n 的展开式中，第4项与第8项的系数相等，则展开式中系数最大的项是A.第6项B.第5项C.第5、6项D.第6、7项√解析 ∵C 3n ＝C 7n ，∴n ＝3＋7＝10，∴展开式中系数最大的项是第6项.3.已知x >0，则(1＋x )10⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫1＋1x 10的展开式中的常数项为 A.1B.(C 110)2C.C 120D.C 1020 √解析 (1＋x )10⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫1＋1x 10＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤(1＋x )⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫1＋1x 10＝⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫x ＋1x ＋210＝⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫x ＋1x 20. 设其展开式的通项为T k ＋1，则T k ＋1＝C k 20x 10－k ，当k ＝10时，为常数项.故选D.4.当n 为正奇数时，7n ＋C 1n ·7n －1＋C 2n ·7n －2＋…＋C n －1n ·7被9除所得的余数是A.0B.2C.7D.8 √解析 原式＝(7＋1)n －C n n ＝8n －1＝(9－1)n －1因为n 为正奇数，所以(－1)n －1＝－2＝－9＋7，所以余数为7.＝9n －C 1n ·9n －1＋C 2n ·9n －2－…＋C n －1n ·9(－1)n －1＋(－1)n －1.5.设的展开式的各项系数之和为M ，二项式系数之和为N ，若M,8，N 三数成等比数列，则展开式中第四项为________.解析当x ＝1时，可得M ＝1，二项式系数之和N ＝2n ，由题意，得M ·N ＝64，∴2n ＝64，∴n ＝6.(23x －1)n－160x∴第四项T 4＝C 36·(23x )3·(－1)3＝－160x .规律与方法1.两个二项展开式乘积的展开式中特定项问题(1)分别对每个二项展开式进行分析，发现它们各自项的特点.(2)找到构成展开式中特定项的组成部分.(3)分别求解再相乘，求和即得.2.三项或三项以上的展开问题应根据式子的特点，转化为二项式来解决(有些题目也可转化为计数问题解决)，转化的方法通常为配方、因式分解、项与项结合，项与项结合时要注意合理性和简捷性.3.用二项式定理处理整除问题，通常把底数写成除数(或与除数密切关联的数)与某数的和或差的形式，再用二项式定理展开，只考虑后面(或者前面)一、二项就可以了.4.求二项展开式中各项系数的和差：赋值代入.5.确定二项展开式中的最大或最小项：利用二项式系数的性质.。
数学新导学笔记选修22人教A全国通用版讲义：第一章 导数及其应用1.3.3(二)
1．3.3函数的最大(小)值与导数(二)学习目标 1.理解极值与最值的关系，并能利用其求参数的范围.2.能利用导数解决一些简单的恒成立问题．知识点用导数求函数f(x)最值的基本方法(1)求导函数：求函数f(x)的导函数f′(x)；(2)求极值嫌疑点：即f′(x)不存在的点和f′(x)＝0的点；(3)列表：依极值嫌疑点将函数的定义域分成若干个子区间，列出f′(x)与f(x)随x变化的一览表；(4)求极值：依(3)的表中所反应的相关信息，求出f(x)的极值点和极值；(5)求区间端点的函数值；(6)求最值：比较极值嫌疑点和区间端点的函数值后，得出函数f(x)在其定义域内的最大值和最小值.类型一由极值与最值关系求参数范围例1若函数f(x)＝3x－x3在区间(a2－12，a)上有最小值，则实数a的取值范围是() A．(－1，11) B．(－1,4)C．(－1,2] D．(－1,2)考点利用导数求函数中参数的取值范围题点最值存在性问题答案 C解析由f′(x)＝3－3x2＝0，得x＝±1.当x变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如下表：由此得a2－12<－1<a，解得－1<a<11.又当x∈(1，＋∞)时，f(x)单调递减，且当x ＝2时，f (x )＝－2.∴a ≤2. 综上，－1<a ≤2.反思与感悟 函数在开区间内存在最值，则极值点必落在该区间内．跟踪训练1 若函数f (x )＝x 3－6bx ＋3b 在(0,1)内有最小值，则实数b 的取值范围是( ) A ．(0,1) B ．(－∞，1) C ．(0，＋∞)D.⎝⎛⎭⎫0，12 考点 利用导数求函数中参数的取值范围 题点 最值存在性问题 答案 D解析 由题意得，函数f (x )＝x 3－6bx ＋3b 的导数f ′(x )＝3x 2－6b 在(0,1)内有零点， 且f ′(0)<0，f ′(1)>0，即－6b <0，且(3－6b )>0， ∴0<b <12，故选D.类型二 与最值有关的恒成立问题例2 已知函数f (x )＝x 3＋ax 2＋bx ＋c 在x ＝－23与x ＝1处都取得极值．(1)求a ，b 的值及函数f (x )的单调区间；(2)若对x ∈[－1,2]，不等式f (x )<c 2恒成立，求实数c 的取值范围． 考点 利用导数求函数中参数的取值范围 题点 利用导数求恒成立中参数的取值范围 解 (1)由f (x )＝x 3＋ax 2＋bx ＋c ， 得f ′(x )＝3x 2＋2ax ＋b ，因为f ′(1)＝3＋2a ＋b ＝0，f ′⎝⎛⎭⎫－23＝43－43a ＋b ＝0， 解得a ＝－12，b ＝－2，所以f ′(x )＝3x 2－x －2＝(3x ＋2)(x －1)，令f ′(x )＝0，得x ＝－23或x ＝1，当x 变化时，f ′(x )，f (x )的变化情况如下表：所以函数f (x )的单调递增区间为⎝⎛⎭⎫－∞，－23，(1，＋∞)；单调递减区间为⎝⎛⎭⎫－23，1.(2)由(1)知，f (x )＝x 3－12x 2－2x ＋c ，x ∈[－1,2]，当x ＝－23时，f ⎝⎛⎭⎫－23＝2227＋c 为极大值， 因为f (2)＝2＋c ，所以f (2)＝2＋c 为最大值． 要使f (x )<c 2(x ∈[－1,2])恒成立，只需c 2>f (2)＝2＋c ， 解得c <－1或c >2.故实数c 的取值范围为(－∞，－1)∪(2，＋∞)． 引申探究若本例中条件不变，“把(2)中对x ∈[－1,2]，不等式f (x )<c 2恒成立”改为“若存在x ∈[－1,2]，不等式f (x )<c 2成立”，结果如何？解 由典例解析知当x ＝1时，f (1)＝c －32为极小值，又f (－1)＝12＋c >c －32，所以f (1)＝c －32为最小值．因为存在x ∈[－1,2]，不等式f (x )<c 2成立， 所以只需c 2>f (1)＝c －32，即2c 2－2c ＋3>0，解得c ∈R .故实数c 的取值范围为R .反思与感悟 分离参数求解不等式恒成立问题的步骤跟踪训练2 (1)已知函数f (x )＝2x ln x ，g (x )＝－x 2＋ax －3对一切x ∈(0，＋∞)，f (x )≥g (x )恒成立，则a 的取值范围是________． 考点 利用导数求函数中参数的取值范围 题点 利用导数求恒成立中参数的取值范围 答案 (－∞，4]解析 由2x ln x ≥－x 2＋ax －3， 得a ≤2ln x ＋x ＋3x.设h (x )＝2ln x ＋3x ＋x (x >0)．则h ′(x )＝(x ＋3)(x －1)x 2，当x ∈(0,1)时，h ′(x )<0，h (x )单调递减， 当x ∈(1，＋∞)时，h ′(x )>0，h (x )单调递增． ∴h (x )min ＝h (1)＝4. ∴a ≤4.(2)设L 为曲线C ：y ＝ln xx 在点(1,0)处的切线．①求L 的方程；②证明：除切点(1,0)之外，曲线C 在直线L 的下方． 考点 利用导数求函数中参数的取值范围 题点 恒成立中的证明问题 ①解 设f (x )＝ln xx ，则f ′(x )＝1－ln xx 2，所以f ′(1)＝1，所以L 的方程为y ＝x －1.②证明 设g (x )＝x －1－f (x )，除切点外，曲线C 在直线L 的下方等价于∀x >0且x ≠1，g (x )>0. g (x )满足g (1)＝0，且g ′(x )＝1－f ′(x )＝x 2－1＋ln x x 2.当0<x <1时，x 2－1<0，ln x <0， 所以g ′(x )<0，故g (x )在(0,1)上单调递减； 当x >1时，x 2－1>0，ln x >0， 所以g ′(x )>0，故g (x )在(1，＋∞)上单调递增； 所以，∀x >0且x ≠1，g (x )>g (1)＝0. 所以除切点外，曲线C 在直线L 的下方.1．函数f (x )＝x e －x ，x ∈[0,4]的最大值是( )A ．0 B.1e C.4e 4 D.2e 2考点 利用导数求函数的最值精心整理 提升自我题点 利用导数求不含参数函数的最值 答案 B解析 f ′(x )＝e －x －x e －x ＝e －x (1－x )，∴当0≤x ≤1时，f ′(x )≥0，f (x )单调递增， 当1≤x ≤4时，f ′(x )≤0，f (x )单调递减， ∴当x ＝1时，f (x )max ＝f (1)＝1e .故选B.2．函数f (x )＝x ln x 的最小值为( ) A ．e 2 B ．－e C ．－e －1D ．－103考点 利用导数求函数的最值 题点 利用导数求不含参数函数的最值 答案 C解析 ∵f (x )＝x ln x ，定义域是(0，＋∞)， ∴f ′(x )＝1＋ln x ， 令f ′(x )>0，解得x >1e ，令f ′(x )<0，解得0<x <1e，∴函数在⎝⎛⎭⎫0，1e 上单调递减，在⎝⎛⎭⎫1e ，＋∞上单调递增， 故当x ＝1e 时，函数取最小值－1e，故选C.3．已知函数f (x )＝e x －x ＋a ，若f (x )>0恒成立，则实数a 的取值范围是( ) A ．(－1，＋∞) B ．(－∞，－1) C ．[－1，＋∞)D ．(－∞，－1]考点 利用导数求函数中参数的取值范围 题点 利用导数求恒成立中参数的取值范围 答案 A解析 f ′(x )＝e x －1， 令f ′(x )>0，解得x >0， 令f ′(x )<0，解得x <0，故f (x )在(－∞，0)上单调递减，在(0，＋∞)上单调递增， 故f (x )min ＝f (0)＝1＋a ， 若f (x )>0恒成立，则1＋a >0，解得a >－1，故选A.4．已知函数f (x )＝x 3－3x 2＋2，x 1，x 2是区间[－1,1]上任意两个值，M ≥|f (x 1)－f (x 2)|恒成立，则M 的最小值是________．考点 利用导数求函数中参数的取值范围 题点 利用导数求恒成立中参数的取值范围 答案 4解析 f ′(x )＝3x 2－6x ＝3x (x －2)， 当－1≤x <0时，f ′(x )>0，f (x )单调递增， 当0<x ≤1时，f ′(x )<0，f (x )单调递减，所以当x ＝0时，f (x )取得极大值，也为最大值，f (0)＝2， 又f (－1)＝－2，f (1)＝0， 所以f (x )的最小值为－2， 对[－1,1]上任意x 1，x 2， |f (x 1)－f (x 2)|≤f (x )max －f (x )min ＝4，所以M ≥|f (x 1)－f (x 2)|恒成立，等价于M ≥4，即M 的最小值为4.5．已知函数f (x )＝ax 4ln x ＋bx 4－c (x >0)在x ＝1处取得极值－3－c ，其中a ，b ，c 为常数． (1)试确定a ，b 的值； (2)讨论函数f (x )的单调区间；(3)若对任意x >0，不等式f (x )≥－2c 2恒成立，求实数c 的取值范围． 考点 利用导数求函数中参数的取值范围 题点 利用导数求恒成立中参数的取值范围解 (1)由f (x )在x ＝1处取得极值－3－c 知f (1)＝b －c ＝－3－c ，得b ＝－3. 又f ′(x )＝4ax 3ln x ＋ax 4·1x ＋4bx 3＝x 3(4a ln x ＋a ＋4b )，由f ′(1)＝0，得a ＋4b ＝0，a ＝－4b ＝12. (2)由(1)知f ′(x )＝48x 3ln x (x >0)． 令f ′(x )＝0，得x ＝1.当0<x <1时，f ′(x )<0，f (x )为减函数； 当x >1时，f ′(x )>0，f (x )为增函数．因此，f (x )的单调递减区间为(0,1)，单调递增区间为(1，＋∞)．(3)由(2)知f (1)＝－3－c 既是极小值，也是(0，＋∞)内的最小值，要使f (x )≥－2c 2(x >0)恒成立，只需－3－c ≥－2c 2，即2c 2－c －3≥0. 从而(2c －3)(c ＋1)≥0，解得c ≥32或c ≤－1.故实数c 的取值范围为(－∞，－1]∪⎣⎡⎭⎫32，＋∞.1．若函数在开区间内存在最值，则极值点必落在已知区间内．2．已知不等式在某一区间上恒成立，求参数的取值范围：一般先分离参数，再转化为求函数在给定区间上的最值问题求解；若不能分离，则构造函数，利用函数的性质求最值.一、选择题1．已知函数f (x )＝x 3－px 2－qx 的图象与x 轴切于(1,0)点，则f (x )在[－1,1]上的最大值、最小值分别为( ) A ．0，－4 B.427，－4 C.427，0 D ．2,0考点 利用导数求函数的最值 题点 利用导数求不含参数函数的最值 答案 B解析 由题意得⎩⎪⎨⎪⎧f (1)＝0，f ′(1)＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧ p ＋q ＝1，3－2p －q ＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧p ＝2，q ＝－1. 则f (x )＝x 3－2x 2＋x ，f ′(x )＝3x 2－4x ＋1， 令f ′(x )＝0得x ＝1或x ＝13，由f ⎝⎛⎭⎫13＝427，f (－1)＝－4，f (1)＝0， ∴f (x )max ＝427，f (x )min ＝－4. 2．已知a ，b 为正实数，函数f (x )＝ax 3＋bx ＋2在[0,1]上的最大值为4，则f (x )在[－1,0]上的最小值为( ) A ．0 B.32 C ．－2D ．2考点 利用导数求函数的最值 题点 利用导数求含参数函数的最值答案 A解析 因为a ，b 为正实数， 所以f (x )＝ax 3＋bx ＋2是增函数，函数f (x )＝ax 3＋bx ＋2在[0,1]上的最大值f (1)＝a ＋b ＋2＝4，a ＋b ＝2. 在[－1,0]上的最小值为f (－1)＝－(a ＋b )＋2＝0.3．若关于x 的不等式x 3－3x ＋3＋a ≤0恒成立，其中－2≤x ≤3，则实数a 的最大值为( ) A ．1 B ．－1 C ．－5D ．－21考点 利用导数求函数中参数的取值范围 题点 利用导数求恒成立问题中参数的取值范围 答案 D解析 若关于x 的不等式x 3－3x ＋3＋a ≤0恒成立， 则a ≤－x 3＋3x －3在[－2,3]上恒成立， 令f (x )＝－x 3＋3x －3，x ∈[－2,3]， 则f ′(x )＝－3x 2＋3＝－3(x ＋1)(x －1)， 令f ′(x )>0，解得－1<x <1， 令f ′(x )<0，解得x >1或x <－1，故f (x )在[－2，－1)上单调递减，在(－1,1)上单调递增，在(1,3]上单调递减， 而f (－2)＝－1，f (－1)＝－5，f (1)＝－1，f (3)＝－21， 故a ≤－21，故a 的最大值是－21.4．当x ∈(0,3)时，关于x 的不等式e x －x －2mx >0恒成立，则实数m 的取值范围是( ) A.⎝⎛⎭⎫－∞，e －12B.⎝⎛⎭⎫e －12，＋∞ C ．(－∞，e ＋1)D ．(e ＋1，＋∞)考点 利用导数求函数中参数的取值范围 题点 利用导数求恒成立问题中参数的取值范围 答案 A解析 当x ∈(0,3)时，关于x 的不等式e x －x －2mx >0恒成立， 即为2m ＋1<e xx 在(0,3)上的最小值，令f (x )＝e xx ，则f ′(x )＝e x (x －1)x 2，当0<x <1时，f ′(x )<0，f (x )单调递减； 当1<x <3时，f ′(x )>0，f (x )单调递增． 可得f (x )在x ＝1处取得最小值e ，即有2m ＋1<e ，可得m <e －12.5．若函数f (x )＝－x 3－3x 2＋1在[a ，＋∞)上的最大值为1，则a 的取值范围是( ) A ．[－3，＋∞) B ．(－3，＋∞) C ．(－3,0)D ．[－3,0]考点 导数在最值问题中的应用 题点 已知最值求参数 答案 D解析 ∵f (x )＝－x 3－3x 2＋1， ∴f ′(x )＝－3x 2－6x ，令f ′(x )＝－3x 2－6x ＝0，解得x ＝0或x ＝－2， 当x 变化时，f ′(x )，f (x )的变化情况如下表：由f (x )＝1，得－x 3－3x 2＋1＝1， 解得x ＝0或x ＝－3. 当x >0时，f (x )<f (0)＝1， 当x <－3时，f (x )>f (－3)＝1，又f (x )＝－x 3－3x 2＋1在[a ，＋∞)上的最大值为1， ∴a 的取值范围为[－3,0]．6．关于函数f (x )＝(2x －x 2)e x 的命题： ①f (x )>0的解集是{x |0<x <2}； ②f (－2)是极小值，f (2)是极大值； ③f (x )没有最小值，也没有最大值． 其中正确的命题是( ) A ．①② B ．①②③ C ．②③D ．①③考点 导数在最值问题中的应用 题点 最值与极值的综合应用 答案 A解析 ①由于e x >0，所以f (x )>0， 即需2x －x 2>0解得{x |0<x <2}，①正确．②因为f (x )＝(2x －x 2)e x 的定义域是R ， f ′(x )＝(2－2x )e x ＋(2x －x 2)e x ＝(2－x 2)e x ， 令f ′(x )＝0，得x ＝－2或x ＝ 2.当x 变化时，f ′(x )，f (x )的变化情况如下表：所以f (－2)是极小值，f (2)是极大值，②正确． ③由图象(图略)知f (2)为最大值，无最小值，③错误．7．若函数f (x )＝x 3－3x 在(a,6－a 2)上有最大值，则实数a 的取值范围是( ) A ．(－7，－1) B ．(－7，－1] C ．(－7，－2)D ．(－7，－2]考点 利用导数求函数中参数的取值范围 题点 最值存在性问题 答案 D解析 由题意知f (x )＝x 3－3x ， 所以f ′(x )＝3x 2－3＝3(x ＋1)(x －1)， 当x <－1或x >1时，f ′(x )>0； 当－1<x <1时，f ′(x )<0， 故x ＝－1是函数f (x )的极大值点，f (－1)＝－1＋3＝2，令x 3－3x ＝2，解得x ＝2，由题意得⎩⎪⎨⎪⎧a <6－a 2，a <－1，6－a 2>－1，6－a 2≤2，解得－7<a ≤－2. 二、填空题8．已知f (x )＝－x 2＋mx ＋1在区间[－2，－1]上的最大值就是函数f (x )的极大值，则m 的取值范围是________．考点 利用导数求函数中参数的取值范围 题点 最值存在性问题 答案 [－4，－2]解析 f ′(x )＝m －2x ，令f ′(x )＝0，得x ＝m2.由题意得m2∈[－2，－1]，故m ∈[－4，－2]．9．已知e 是自然对数的底数，若函数f (x )＝e x 的图象始终在函数g (x )＝x －a 图象的上方，则实数a 的取值范围是________． 考点 利用导数求函数中参数的取值范围 题点 利用导数求恒成立问题中参数的取值范围 答案 (－1，＋∞)解析 由题意知f (x )－g (x )＝e x －x ＋a >0，对一切实数x 恒成立， 令h (x )＝e x －x ＋a ，则h (x )min >0， ∵h ′(x )＝e x －1， 令h ′(x )＝0得x ＝0，当x <0时，h ′(x )<0，则h (x )在(－∞，0)上单调递减， 当x >0时，h ′(x )>0，则h (x )在(0，＋∞)上单调递增， ∴当x ＝0时，h (x )取得极小值，即最小值为h (0)＝1＋a ， ∴1＋a >0，即a >－1.10．已知函数f (x )＝ax 3－3x ＋1，且对任意x ∈(0,1]，f (x )≥0恒成立，则实数a 的取值范围是________．考点 利用导数求函数中参数的取值范围 题点 利用导数求恒成立问题中参数的取值范围 答案 [4，＋∞)解析 当x ∈(0,1]时，不等式ax 3－3x ＋1≥0可化为a ≥3x －1x 3. 设g (x )＝3x －1x3，x ∈(0,1]，则g ′(x )＝3x 3－(3x －1)·3x2x 6＝－6⎝⎛⎭⎫x －12x 4. 令g ′(x )＝0，得x ＝12.当x 变化时，g ′(x )，g (x )的变化情况如下表：因此g (x )的最大值等于极大值g ⎝⎛⎭⎫12＝4，则实数a 的取值范围是[4，＋∞)．11．已知函数f (x )＝ax －ln x ，g (x )＝e x －ax ，其中a 为正实数，若f (x )在(1，＋∞)上无最小值，且g (x )在(1，＋∞)上是单调递增函数，则实数a 的取值范围为________． 考点 利用导数求函数中参数的取值范围 题点 最值存在性问题 答案 [1，e]解析 ∵f (x )＝ax －ln x (x >0)， ∴f ′(x )＝a －1x ＝ax －1x ，若f (x )在(1，＋∞)上无最小值， 则f (x )在(1，＋∞)上单调， ∴f ′(x )≥0在(1，＋∞)上恒成立， 或f ′(x )≤0在(1，＋∞)上恒成立，∴a ≥1x 或a ≤1x ，而函数y ＝1x 在(1，＋∞)上单调递减，∴当x ＝1时，函数y 取得最大值1， ∴a ≥1或a ≤0，而a 为正实数，故a ≥1，① 又∵g (x )＝e x －ax ，∴g ′(x )＝e x －a ，∵函数g (x )＝e x －ax 在区间(1，＋∞)上单调递增， ∴g ′(x )＝e x －a ≥0在区间(1，＋∞)上恒成立， ∴a ≤(e x )min 在区间(1，＋∞)上恒成立． 而e x >e ，∴a ≤e.② 综合①②，a ∈[1，e]． 三、解答题12．已知函数f (x )＝x 3－ax 2＋bx ＋c (a ，b ，c ∈R )．(1)若函数f (x )在x ＝－1和x ＝3处取得极值，试求a ，b 的值；(2)在(1)的条件下，当x ∈[－2,6]时，f (x )<2|c |恒成立，求实数c 的取值范围． 考点 利用导数求函数中参数的取值范围 题点 利用导数求恒成立问题中参数的取值范围 解 (1)f ′(x )＝3x 2－2ax ＋b ，∵函数f (x )在x ＝－1和x ＝3处取得极值， ∴－1,3是方程3x 2－2ax ＋b ＝0的两根．∴⎩⎨⎧－1＋3＝2a 3，－1×3＝b3，∴⎩⎪⎨⎪⎧a ＝3，b ＝－9.(2)由(1)知f (x )＝x 3－3x 2－9x ＋c ，令f ′(x )＝3x 2－6x －9＝0，得x ＝－1或x ＝3. 当x 变化时，f ′(x )，f (x )的变化情况如下表：而f (－1)＝c ＋5，f (3)＝c －27，f (－2)＝c －2， f (6)＝c ＋54，∴当x ∈[－2,6]时，f (x )的最大值为c ＋54， 要使f (x )<2|c |恒成立，只需c ＋54<2|c |. 当c ≥0时，c ＋54<2c ，∴c >54； 当c <0时，c ＋54<－2c ，∴c <－18.故实数c 的取值范围是(－∞，－18)∪(54，＋∞)．13．已知函数f (x )＝ax 2＋x ＋a e x，若当x ∈[0,2]时，f (x )≥1e 2恒成立，求a 的取值范围． 考点 利用导数求函数中参数的取值范围 题点 利用导数求恒成立问题中参数的取值范围 解f ′(x )＝－ax 2＋(2a －1)x ＋1－ae x＝－(ax ＋1－a )(x －1)e x.当a ＝0时，令f ′(x )＝0，得x ＝1.在(0,1)上，有f ′(x )>0，函数f (x )单调递增；在(1,2)上，有f ′(x )<0，函数f (x )单调递减． 又f (0)＝0，f (2)＝2e 2，故函数f (x )的最小值为f (0)＝0，结论不成立．当a ≠0时，令f ′(x )＝0，得x 1＝1，x 2＝1－1a .若a <0，则f (0)＝a <0，结论不成立． 若0<a ≤1，则1－1a≤0.在(0,1)上，有f ′(x )>0，函数f (x )单调递增；在(1,2)上，有f ′(x )<0，函数f (x )单调递减．只需⎩⎨⎧f (0)≥1e2，f (2)≥1e 2，得到⎩⎨⎧a ≥1e2，a ≥－15，所以1e2≤a ≤1.若a >1，则0<1－1a <1，函数在x ＝1－1a处有极小值，只需⎩⎨⎧f ⎝⎛⎭⎫1－1a ≥1e2，f (2)≥1e 2，得到⎩⎨⎧2a －1≥11ea--，a ≥－15.因为2a －1>1，11ea--<1，所以a >1.综上所述，a 的取值范围是a ≥1e 2.四、探究与拓展14．设直线x ＝t 与函数f (x )＝x 2，g (x )＝ln x 的图象分别交于点M ，N ，则当|MN |达到最小时t 的值为( )A ．1 B.12 C.52 D.22考点 利用导数求函数的最值 题点 利用导数求不含参数函数的最值 答案 D解析 由题意画出函数图象如图所示， 由图可以看出|MN |＝y ＝t 2－ln t (t >0)．y ′＝2t －1t ＝2t 2－1t ＝2⎝⎛⎭⎫t ＋22⎝⎛⎭⎫t －22t.当0<t <22时，y ′<0，可知y 在⎝⎛⎭⎫0，22上单调递减； 当t >22时，y ′>0，可知y 在⎝⎛⎭⎫22，＋∞上单调递增．故当t ＝22时，|MN |有极小值也是最小值． 15．已知函数f (x )＝ln x ＋a (1－x )． (1)讨论f (x )的单调性；(2)当f (x )有最大值，且最大值大于2a －2时，求a 的取值范围． 考点 利用导数求函数中参数的取值范围 题点 已知最值求参数解 (1)f (x )的定义域为(0，＋∞)，f ′(x )＝1x－a .若a ≤0，则f ′(x )>0，所以f (x )在(0，＋∞)上单调递增． 若a >0，则当x ∈⎝⎛⎭⎫0，1a 时，f ′(x )>0； 当x ∈⎝⎛⎭⎫1a ，＋∞时，f ′(x )<0.所以f (x )在⎝⎛⎭⎫0，1a 上单调递增，在⎝⎛⎭⎫1a ，＋∞上单调递减． 综上，当a ≤0时，f (x )在(0，＋∞)上单调递增， 当a >0时，f (x )在⎝⎛⎭⎫0，1a 上单调递增， 在⎝⎛⎭⎫1a ，＋∞上单调递减． (2)由(1)知，当a ≤0时，f (x )在(0，＋∞)上无最大值；当a >0时，f (x )在x ＝1a 处取得极大值且为最大值，最大值为f ⎝⎛⎭⎫1a ＝ln ⎝⎛⎭⎫1a ＋a ⎝⎛⎭⎫1－1a ＝－ln a ＋a －1.因此f ⎝⎛⎭⎫1a >2a －2等价于ln a ＋a －1<0.令g (a )＝ln a ＋a －1，则g (a )在(0，＋∞)上单调递增，g (1)＝0. 于是，当0<a <1时，g (a )<0；当a >1时，g (a )>0. 因此，a 的取值范围是(0,1)．。
2018-2019版数学新导学笔记选修2-2人教A全国通用版讲义：第三章 数系的扩充与复数的引入3.1.1 Word版含答案
§3.1数系的扩充和复数的概念3．1.1数系的扩充和复数的概念学习目标1.了解引进虚数单位i 的必要性，了解数集的扩充过程.2.理解在数系的扩充中由实数集扩展到复数集出现的一些基本概念.3.掌握复数代数形式的表示方法，理解复数相等的充要条件．知识点一复数的概念及代数表示思考为解决方程x 2＝2在有理数范围内无根的问题，数系从有理数扩充到实数；那么怎样解决方程x 2＋1＝0在实数系中无根的问题呢？答案设想引入新数i ，使i 是方程x 2＋1＝0的根，即i·i ＝－1，方程x 2＋1＝0有解，同时得到一些新数． 梳理(1)复数①定义：把集合C ＝{a ＋b i|a ，b ∈R }中的数，即形如a ＋b i(a ，b ∈R )的数叫做复数，其中i 叫做虚数单位．a 叫做复数的实部，b 叫做复数的虚部．②表示方法：复数通常用字母z 表示，即z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )，这一表示形式叫做复数的代数形式．(2)复数集①定义：全体复数所成的集合叫做复数集．②表示：通常用大写字母C 表示．知识点二两个复数相等的充要条件在复数集C ＝{a ＋b i|a ，b ∈R }中任取两个数a ＋b i ，c ＋d i(a ，b ，c ，d ∈R )，我们规定：a ＋b i 与c ＋d i 相等的充要条件是a ＝c 且b ＝d .知识点三复数的分类(1)复数(a ＋b i ，a ，b ∈R )⎩⎨⎧ 实数(b ＝0)虚数(b ≠0)⎩⎪⎨⎪⎧ 纯虚数(a ＝0)非纯虚数(a ≠0)(2)集合表示：1．若a ，b 为实数，则z ＝a ＋b i 为虚数．(×)2．复数z ＝b i 是纯虚数．(×)3．若两个复数的实部的差和虚部的差都等于0，那么这两个复数相等．(√)类型一复数的概念例1(1)给出下列几个命题：①若z ∈C ，则z 2≥0；②2i －1虚部是2i ；③2i 的实部是0；④若实数a 与a i 对应，则实数集与纯虚数集一一对应；⑤实数集的补集是虚数集．其中真命题的个数为()A ．0B ．1C ．2D ．3(2)已知复数z ＝a 2－(2－b )i 的实部和虚部分别是2和3，则实数a ，b 的值分别是________．考点复数的概念题点复数的概念及分类答案(1)C(2)±2，5解析(1)令z ＝i ∈C ，则i 2＝－1<0，故①不正确．②中2i －1的虚部应是2，故②不正确．④当a ＝0时，a i ＝0为实数，故④不正确，∴只有③，⑤正确．(2)由题意知⎩⎪⎨⎪⎧a2＝2，b －2＝3，∴a ＝±2，b ＝5. 反思与感悟(1)复数的代数形式：若z ＝a ＋b i ，只有当a ，b ∈R 时，a 才是z 的实部，b 才是z 的虚部，且注意虚部不是b i ，而是b .(2)不要将复数与虚数的概念混淆，实数也是复数，实数和虚数是复数的两大构成部分．(3)举反例：判断一个命题为假命题，只要举一个反例即可，所以解答这类题时，可按照“先特殊，后一般，先否定，后肯定”的方法进行解答．跟踪训练1下列命题：①若a ∈R ，则(a ＋1)i 是纯虚数；②若(x 2－4)＋(x 2＋3x ＋2)i 是纯虚数，则实数x ＝±2；③实数集是复数集的真子集．其中正确说法的个数是()A ．0B ．1C ．2D ．3考点复数的概念题点复数的概念及分类答案B解析对于复数a ＋b i(a ，b ∈R )，当a ＝0且b ≠0时，为纯虚数．对于①，若a ＝－1，则(a ＋1)i 不是纯虚数，故①错误．对于②，若x ＝－2，则x 2－4＝0，x 2＋3x ＋2＝0，此时(x 2－4)＋(x 2＋3x ＋2)i ＝0，不是纯虚数，故②错误．显然，③正确．故选B.类型二复数的分类例2求当实数m 为何值时，z ＝m2－m －6m ＋3＋(m 2＋5m ＋6)i 分别是(1)虚数；(2)纯虚数． 考点复数的概念题点由复数的分类求未知数解(1)复数z 是虚数的充要条件是⎩⎪⎨⎪⎧m2＋5m ＋6≠0，m ＋3≠0⇔m ≠－3且m ≠－2. ∴当m ≠－3且m ≠－2时，复数z 是虚数．(2)复数z 是纯虚数的充要条件是 ⎩⎪⎨⎪⎧ m2－m －6m ＋3＝0，m2＋5m ＋6≠0⇔⎩⎪⎨⎪⎧m ＝－2或m ＝3，m ≠－3且m ≠－2⇔m ＝3. ∴当m ＝3时，复数z 是纯虚数．引申探究1．若本例条件不变，m 为何值时，z 为实数．解由已知得，复数z 的实部为m2－m －6m ＋3， 虚部为m 2＋5m ＋6.复数z 是实数的充要条件是⎩⎪⎨⎪⎧ m2＋5m ＋6＝0，m ＋3≠0⇔⎩⎪⎨⎪⎧m ＝－2或m ＝－3，m ≠－3⇔m ＝－2. ∴当m ＝－2时，复数z 是实数．2．已知i 是虚数单位，m ∈R ，复数z ＝m2－m －6m ＋3＋(m 2－2m －15)i ，则当m ＝________时，z 为纯虚数． 答案3或－2 解析由题意知⎩⎪⎨⎪⎧ m2－m －6m ＋3＝0，m2－2m －15≠0，解得m ＝3或－2.反思与感悟利用复数的概念对复数分类时，主要依据实部、虚部满足的条件，可列方程或不等式求参数． 跟踪训练2当实数m 为何值时，复数lg(m 2－2m －7)＋(m 2＋5m ＋6)i 是(1)纯虚数；(2)实数．考点复数的分类题点由复数的分类求未知数解(1)复数lg(m 2－2m －7)＋(m 2＋5m ＋6)i 是纯虚数，则⎩⎨⎧lg (m 2－2m －7)＝0，m 2＋5m ＋6≠0，解得m ＝4. (2)复数lg(m 2－2m －7)＋(m 2＋5m ＋6)i 是实数， 则⎩⎪⎨⎪⎧m2－2m －7>0，m2＋5m ＋6＝0，解得m ＝－2或m ＝－3. 类型三复数相等例3(1)已知x 0是关于x 的方程x 2－(2i －1)x ＋3m －i ＝0(m ∈R )的实根，则m 的值是________．考点复数相等题点由复数相等求参数答案112解析由题意，得x 20－(2i －1)x 0＋3m －i ＝0，即(x 20＋x 0＋3m )＋(－2x 0－1)i ＝0， 由此得⎩⎪⎨⎪⎧x20＋x0＋3m ＝0，－2x0－1＝0⇒m ＝112. (2)已知A ＝{1,2，a 2－3a －1＋(a 2－5a －6)i}，B ＝{－1,3}，A ∩B ＝{3}，求实数a 的值．考点复数相等题点由复数相等求参数解由题意知，a 2－3a －1＋(a 2－5a －6)i ＝3(a ∈R )， 所以⎩⎪⎨⎪⎧ a2－3a －1＝3，a2－5a －6＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧a ＝4或a ＝－1，a ＝6或a ＝－1，所以a ＝－1. 反思与感悟(1)在两个复数相等的充要条件中，注意前提条件是a ，b ，c ，d ∈R ，即当a ，b ，c ，d ∈R 时，a ＋b i ＝c ＋d i ⇔a ＝c 且b ＝d .若忽略前提条件，则结论不成立．(2)利用该条件把复数的实部和虚部分离出来，达到“化虚为实”的目的，从而将复数问题转化为实数问题来求解．跟踪训练3复数z 1＝(2m ＋7)＋(m 2－2)i ，z 2＝(m 2－8)＋(4m ＋3)i ，m ∈R ，若z 1＝z 2，则m ＝________.考点复数相等题点由复数相等求参数答案5解析因为m ∈R ，z 1＝z 2，所以(2m ＋7)＋(m 2－2)i ＝(m 2－8)＋(4m ＋3)i. 由复数相等的充要条件得⎩⎪⎨⎪⎧2m ＋7＝m2－8，m2－2＝4m ＋3，解得m ＝5.1．若x i －i 2＝y ＋2i ，x ，y ∈R ，则复数x ＋y i 等于()A ．－2＋iB ．2＋iC ．1－2iD ．1＋2i考点复数相等题点由复数相等求参数答案B解析由i2＝－1，得x i－i2＝1＋x i，则由题意得1＋x i＝y＋2i，根据复数相等的充要条件得x＝2，y＝1，故x＋y i＝2＋i.2．若复数z＝m2－1＋(m2－m－2)i为实数，则实数m的值为()A．－1B．2C．1D．－1或2考点复数的分类题点由复数的分类求未知数答案D解析因为复数z＝m2－1＋(m2－m－2)i为实数，所以m2－m－2＝0，解得m＝－1或m＝2.3．下列几个命题：①两个复数相等的一个必要条件是它们的实部相等；②两个复数不相等的一个充分条件是它们的虚部不相等；③1－a i(a∈R)是一个复数；④虚数的平方不小于0；⑤－1的平方根只有一个，即为－i；⑥i是方程x4－1＝0的一个根；⑦2i是一个无理数．其中真命题的个数为()A．3B．4C．5D．6考点复数的概念题点复数的概念及分类答案B解析命题①②③⑥正确，④⑤⑦错误．4．已知复数z＝a2＋(2a＋3)i(a∈R)的实部大于虚部，则实数a的取值范围是________________．考点复数的概念题点复数的概念及分类答案(－∞，－1)∪(3，＋∞)解析由已知可得a2>2a＋3，即a2－2a－3>0，解得a>3或a<－1，因此，实数a的取值范围是{a|a>3或a<－1}．5．若log2(x2－3x－2)＋ilog2(x2＋2x＋1)>1，则实数x的值是________．考点复数的概念题点由复数的分类求未知数答案－2解析由题意知⎩⎨⎧log2(x 2－3x －2)>1，log 2(x 2＋2x ＋1)＝0，得x ＝－2.1．对于复数z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )，可以限制a ，b 的值得到复数z 的不同情况．2．两个复数相等，要先确定两个复数的实、虚部，再利用两个复数相等的充要条件进行判断.一、选择题1．设a ，b ∈R ，“a ＝0”是“复数a ＋b i 是纯虚数”的()A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件考点复数的概念题点复数的概念及分类答案B解析因为a ，b ∈R ，当“a ＝0”时“复数a ＋b i 不一定是纯虚数，也可能b ＝0，即a ＋b i ＝0∈R ”． 而当“复数a ＋b i 是纯虚数”，则“a ＝0”一定成立．所以a ，b ∈R ，“a ＝0”是“复数a ＋b i 是纯虚数”的必要不充分条件．2．以－5＋2i 的虚部为实部，以5i ＋2i 2的实部为虚部的新复数是() A ．2－2iB ．－5＋5i C ．2＋iD.5＋5i 考点复数的概念题点求复数的实部和虚部答案A解析设所求新复数z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )， 由题意知复数－5＋2i 的虚部为2，复数5i ＋2i 2＝5i ＋2×(－1)＝－2＋5i 的实部为－2，则所求的z ＝2－2i.故选A.3．若(x ＋y )i ＝x －1(x ，y ∈R )，则2x ＋y 的值为()A.12B ．2C ．0D ．1 考点复数相等题点由复数相等求参数答案D解析由复数相等的充要条件知，⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋y ＝0，x －1＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝－1， ∴x ＋y ＝0.∴2x ＋y ＝20＝1. 4．下列命题中：①若x ，y ∈C ，则x ＋y i ＝1＋i 的充要条件是x ＝y ＝1；②纯虚数集相对于复数集的补集是虚数集；③若(z 1－z 2)2＋(z 2－z 3)2＝0，则z 1＝z 2＝z 3.正确命题的个数是()A ．0B ．1C ．2D ．3考点复数的概念题点复数的概念及分类答案A解析①取x ＝i ，y ＝－i ，则x ＋y i ＝1＋i ，但不满足x ＝y ＝1，故①错；②③错，故选A.5．若sin2θ－1＋i(2cos θ＋1)是纯虚数，则θ的值为()A ．2k π－π4(k ∈Z )B ．2k π＋π4(k ∈Z ) C ．2k π±π4(k ∈Z ) D.k 2π＋π4(k ∈Z ) 考点复数的概念题点由复数的分类求未知数答案B解析由题意，得⎩⎪⎨⎪⎧sin2θ－1＝0，2cos θ＋1≠0，解得⎩⎪⎨⎪⎧ θ＝k π＋π4，θ≠2k π±3π4(k ∈Z )，∴θ＝2k π＋π4，k ∈Z . 6．若复数z ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫cos θ－45＋⎝ ⎛⎭⎪⎫sin θ－35i 是纯虚数(i 为虚数单位)，则tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－π4的值为() A ．7B ．－17C ．－7D ．－7或－17考点复数的概念题点由复数的分类求未知数答案C解析∵复数z ＝⎝⎛⎭⎪⎫cos θ－45＋⎝ ⎛⎭⎪⎫sin θ－35i 是纯虚数， ∴cos θ－45＝0，sin θ－35≠0， ∴sin θ＝－35，∴tan θ＝－34， 则tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－π4＝tan θ－11＋tan θ＝－34－11－34＝－7. 7．已知关于x 的方程x 2＋(m ＋2i)x ＋2＋2i ＝0(m ∈R )有实数根n ，且z ＝m ＋n i ，则复数z 等于()A ．3＋iB ．3－iC ．－3－iD ．－3＋i考点复数相等题点由复数相等求参数答案B解析由题意知n 2＋(m ＋2i)n ＋2＋2i ＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧ n2＋mn ＋2＝0，2n ＋2＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧m ＝3，n ＝－1. ∴z ＝3－i ，故选B.二、填空题8．设m ∈R ，m 2＋m －2＋(m 2－1)i 是纯虚数，其中i 是虚数单位，则m ＝________.考点复数的概念题点由复数的分类求未知数答案－2 解析由⎩⎪⎨⎪⎧ m2＋m －2＝0，m2－1≠0即m ＝－2. 9．已知z 1＝(m 2＋m ＋1)＋(m 2＋m －4)i ，m ∈R ，z 2＝3－2i.则m ＝1是z 1＝z 2的______条件．考点复数相等题点由复数相等求参数答案充分不必要解析当z 1＝z 2时，必有m 2＋m ＋1＝3，m 2＋m －4＝－2，解得m ＝－2或m ＝1，显然m ＝1是z 1＝z 2的充分不必要条件．10．已知复数z ＝m 2(1＋i)－m (m ＋i)(m ∈R )，若z 是实数，则m 的值为________．考点复数的概念题点由复数的分类求未知数答案0或1解析z ＝m 2＋m 2i －m 2－m i ＝(m 2－m )i ，所以m 2－m ＝0，所以m ＝0或1.11．复数z ＝(a 2－2a －3)＋(|a －2|－1)i 不是纯虚数，则实数a 的取值范围是________________．考点复数的概念题点由复数的分类求未知数答案(－∞，－1)∪(－1，＋∞)解析若复数z ＝(a 2－2a －3)＋(|a －2|－1)i 是纯虚数，则a 2－2a －3＝0，|a －2|－1≠0，解得a ＝－1，∴当a ≠－1时，复数z ＝(a 2－2a －3)＋(|a －2|－1)i 不是纯虚数．12．已知log 12(m ＋n )－(m 2－3m )i ≥－1，且n ∈N *，则m ＋n ＝________.考点复数的概念题点由复数的分类求未知数答案1或2解析由题意得⎩⎪⎨⎪⎧ log 12(m ＋n )≥－1，①－(m 2－3m )＝0.②由②，得m ＝0或m ＝3. 当m ＝0时，由12log (m ＋n )≥－1，得0<n ≤2，∴n ＝1或n ＝2. 当m ＝3时，由12log (m ＋n )≥－1，得0<n ＋3≤2，∴－3<n ≤－1，即n 无自然数解．∴m ，n 的值分别为m ＝0，n ＝1或m ＝0，n ＝2.故m ＋n 的值为1或2.三、解答题13．实数m 为何值时，复数z ＝m (m ＋2)m －1＋(m 2＋2m －3)i 分别是(1)实数；(2)虚数；(3)纯虚数．考点复数的概念题点由复数的分类求未知数解(1)要使z 是实数，m 需满足m 2＋2m －3＝0，且m (m ＋2)m －1有意义，即m －1≠0，解得m ＝－3. (2)要使z 是虚数，m 需满足m 2＋2m －3≠0，且m (m ＋2)m －1有意义，即m －1≠0，解得m ≠1且m ≠－3. (3)要使z 是纯虚数，m 需满足m (m ＋2)m －1＝0，m －1≠0，且m 2＋2m －3≠0，解得m ＝0或m ＝－2.四、探究与拓展14．定义运算⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪ab cd ＝ad －bc ，如果(x ＋y )＋(x ＋3)i ＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪3x ＋2yi －y1，求实数x ，y 的值． 考点复数相等题点由复数相等求参数解由定义运算⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪ab cd ＝ad －bc ，得⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪3x ＋2yi －y1＝3x ＋2y ＋y i ，故有(x ＋y )＋(x ＋3)i ＝3x ＋2y ＋y i.因为x ，y 为实数，所以⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋y ＝3x ＋2y ，x ＋3＝y ，得⎩⎪⎨⎪⎧ 2x ＋y ＝0，x ＋3＝y ，得x ＝－1，y ＝2.15．已知集合M ＝{(a ＋3)＋(b 2－1)i,8}，集合N ＝{3i ，(a 2－1)＋(b ＋2)i}满足M ∩N ⊆M ，且M ∩N ≠∅，求整数a ，b 的值．考点复数相等题点由复数相等求参数解由题意，得(a ＋3)＋(b 2－1)i ＝3i ，①或8＝(a 2－1)＋(b ＋2)i ，②或(a ＋3)＋(b 2－1)i ＝(a 2－1)＋(b ＋2)i.③由①，得a ＝－3，b ＝±2，由②，得a ＝±3，b ＝－2，③中，a ，b 无整数解，不符合题意．综上，a ＝－3，b ＝2或a ＝－3，b ＝－2或a ＝3，b ＝－2.。
2018-2019版数学新导学笔记人教A全国通用版选修2-3讲义：第一章 计数原理1.3.1
§1.3 二项式定理1.3.1 二项式定理学习目标 1.能用计数原理证明二项式定理.2.掌握二项式定理及其展开式的通项公式.3.会用二项式定理解决与二项展开式有关的简单问题．知识点 二项式定理及其相关概念思考1 我们在初中学习了(a ＋b )2＝a 2＋2ab ＋b 2，试用多项式的乘法推导(a ＋b )3，(a ＋b )4的展开式．答案 (a ＋b )3＝a 3＋3a 2b ＋3ab 2＋b 3，(a ＋b )4＝a 4＋4a 3b ＋6a 2b 2＋4ab 3＋b 4.思考2 能用类比方法写出(a ＋b )n (n ∈N *)的展开式吗？答案 能，(a ＋b )n ＝C a n ＋C a n －1b ＋…＋C a n －k b k ＋…＋C b n (n ∈N *)．0n 1n k n n 梳理二项式定理公式(a ＋b )n ＝C a n ＋C a n －1b ＋…＋C a n －k b k ＋…＋C b n ，称为二项式定0n 1n k n n 理二项式系数C (k ＝0,1，…，n )k n通项T k ＋1＝C a n －k b k kn二项式定理的特例(1＋x )n ＝C ＋C x ＋C x 2＋…＋C x k ＋…＋C x n 0n 1n 2n k n n 1．(a ＋b )n 展开式中共有n 项．( × )2．在公式中，交换a ，b 的顺序对各项没有影响．( × )3．C a n －k b k 是(a ＋b )n 展开式中的第k 项．( × )k n4．(a －b )n 与(a ＋b )n 的二项式展开式的二项式系数相同．( √ )类型一 二项式定理的正用、逆用例1 (1)求4的展开式．(3x ＋1x )考点 二项式定理题点 运用二项式定理求展开式解 方法一 4＝(3)4＋C (3)3·＋C (3)22＋C (3)(3x ＋1x )x 14x (1x )24x (1x )34x 3＋C 4＝81x 2＋108x ＋54＋＋.(1x )4(1x )12x 1x 2方法二 4＝4＝(1＋3x )4＝·[1＋C ·3x ＋C (3x )2＋C (3x )3＋C (3x )4](3x ＋1x )(3x ＋1x)1x 21x 21424344＝(1＋12x ＋54x 2＋108x 3＋81x 4)＝＋＋54＋108x ＋81x 2.1x 21x 212x (2)化简：C (x ＋1)n －C (x ＋1)n －1＋C (x ＋1)n －2－…＋(－1)k C (x ＋1)n －k ＋…＋(－1)n C .0n 1n 2n k n n 考点 二项式定理题点 逆用二项式定理求和、化简解 原式＝C (x ＋1)n ＋C (x ＋1)n －1(－1)＋C (x ＋1)n －2(－1)2＋…＋C (x ＋1)n －k (－1)0n 1n 2n k n k ＋…＋C (－1)n ＝[(x ＋1)＋(－1)]n ＝x n .n 引申探究若(1＋)4＝a ＋b (a ，b 为有理数)，则a ＋b ＝________.33答案 44解析 ∵(1＋)4＝1＋C ×()1＋C ×()2＋C ×()3＋C ×()3143243343434＝1＋4＋18＋12＋9＝28＋16，∴a ＝28，b ＝16，∴a ＋b ＝28＋16＝44.333反思与感悟 (1)(a ＋b )n 的二项展开式有n ＋1项，是和的形式，各项的幂指数规律是：①各项的次数和等于n ；②字母a 按降幂排列，从第一项起，次数由n 逐项减1直到0；字母b 按升幂排列，从第一项起，次数由0逐项加1直到n .(2)逆用二项式定理可以化简多项式，体现的是整体思想．注意分析已知多项式的特点，向二项展开式的形式靠拢．跟踪训练1 化简：(2x ＋1)5－5(2x ＋1)4＋10(2x ＋1)3－10(2x ＋1)2＋5(2x ＋1)－1.考点 二项式定理题点 逆用二项式定理求和、化简解 原式＝C (2x ＋1)5－C (2x ＋1)4＋C (2x ＋1)3－C (2x ＋1)2＋C (2x ＋1)－C (2x ＋1)051525354550＝[(2x ＋1)－1]5＝(2x )5＝32x 5.类型二 二项展开式通项的应用命题角度1 二项式系数与项的系数例2 已知二项式10.(3x －23x )(1)求展开式第4项的二项式系数；(2)求展开式第4项的系数；(3)求第4项．考点 二项展开式中的特定项问题题点 求二项展开式特定项的系数解 10的展开式的通项是(3x －23x )T k ＋1＝C (3)10－k k＝C 310－kk· (k ＝0,1,2，…，10)．k 10x (－23x )k 10(－23)1032kx -(1)展开式的第4项(k ＝3)的二项式系数为C ＝120.310(2)展开式的第4项的系数为C 373＝－77 760.310(－23)(3)展开式的第4项为T 4＝T 3＋1＝－77 760.x 反思与感悟 (1)二项式系数都是组合数C (k ∈{0,1,2，…，n })，它与二项展开式中某一项k n的系数不一定相等，要注意区分“二项式系数”与二项式展开式中“项的系数”这两个概念．(2)第k ＋1项的系数是此项字母前的数连同符号，而此项的二项式系数为C .例如，在k n(1＋2x )7的展开式中，第四项是T 4＝C 17－3(2x )3，其二项式系数是C ＝35，而第四项的系3737数是C 23＝280.37跟踪训练2 已知n 展开式中第三项的系数比第二项的系数大162.(x －2x )(1)求n 的值；(2)求展开式中含x 3的项，并指出该项的二项式系数．考点 二项展开式中的特定项问题题点 求二项展开式特定项的系数解 (1)因为T 3＝C ()n －22＝4C ，2n x (－2x )2n 62n x-T 2＝C ()n －1＝－2C ，1n x (－2x )1n 32n x-依题意得4C ＋2C ＝162，所以2C ＋C ＝81，2n 1n 2n 1n 所以n 2＝81，n ∈N *，故n ＝9.(2)设第k ＋1项含x 3项，则T k ＋1＝C ()9－k k＝(－2)kC ，所以＝3，k ＝1，k 9x (－2x )k 9932kx-9－3k2所以第二项为含x 3的项为T 2＝－2C x 3＝－18x 3.19二项式系数为C ＝9.19命题角度2 展开式中的特定项例3 已知在n 的展开式中，第6项为常数项．(3x －33x )(1)求n ；(2)求含x 2的项的系数；(3)求展开式中所有的有理项．考点 二项展开式中的特定项问题题点 求二项展开式的特定项解 通项公式为T k ＋1＝C (－3)k ＝C (－3)k .k n3n kx -3k x-k n23n kx -(1)∵第6项为常数项，∴当k ＝5时，有＝0，即n ＝10.n －2k3(2)令＝2，得k ＝(10－6)＝2，10－2k 312∴所求的系数为C (－3)2＝405.210(3)由题意得，Error!令＝t (t ∈Z )，10－2k 3则10－2k ＝3t ，即k ＝5－t .∵k ∈N ，32∴t 应为偶数．令t ＝2,0，－2，即k ＝2,5,8.∴第3项，第6项与第9项为有理项，它们分别为405x 2，－61 236,295 245x －2.反思与感悟 (1)求二项展开式的特定项的常见题型①求第k 项，T k ＝C a n －k ＋1b k －1；②求含x k 的项(或x p y q 的项)；③求常数项；④求有理k －1n 项．(2)求二项展开式的特定项的常用方法①对于常数项，隐含条件是字母的指数为0(即0次项)；②对于有理项，一般是先写出通项公式，其所有的字母的指数恰好都是整数的项．解这类问题必须合并通项公式中同一字母的指数，根据具体要求，令其属于整数，再根据数的整除性来求解；③对于二项展开式中的整式项，其通项公式中同一字母的指数应是非负整数，求解方式与求有理项一致．跟踪训练3 (1)若9的展开式中x 3的系数是－84，则a ＝________.(x －ax )考点 二项展开式中的特定项问题题点 由特定项或特定项的系数求参数答案 1解析 展开式的通项为T k ＋1＝C x 9－k (－a )k kk 9(1x )＝C ·(－a )k x 9－2k (0≤k ≤9，k ∈N )．k 9当9－2k ＝3时，解得k ＝3，代入得x 3的系数，根据题意得C (－a )3＝－84，解得a ＝1.39(2)已知n 为等差数列－4，－2,0，…的第六项，则n的二项展开式的常数项是(x ＋2x )________．考点 二项展开式中的特定项问题题点 求二项展开式的特定项答案 160解析 由题意得n ＝6，∴T k ＋1＝2k C x 6－2k ，k 6令6－2k ＝0得k ＝3，∴常数项为C 23＝160.361．(x ＋2)n 的展开式共有11项，则n 等于( )A ．9 B ．10 C ．11 D ．8考点 二项展开式中的特定项问题题点 由特定项或特定项的系数求参数答案 B解析 因为(a ＋b )n 的展开式共有n ＋1项，而(x ＋2)n 的展开式共有11项，所以n ＝10，故选B.2．1－2C ＋4C －8C ＋…＋(－2)n C 等于( )1n 2n 3n n A ．1 B ．1 C ．(－1)n D ．3n 考点 二项式定理题点 逆用二项式定理求和、化简答案 C解析 逆用二项式定理，将1看成公式中的a ，－2看成公式中的b ，可得原式＝(1－2)n ＝(－1)n .3.n 的展开式中，常数项为15，则n 的值为( )(x 2－1x )A ．3B ．4C ．5D ．6考点 二项展开式中的特定项问题题点 由特定项或特定项的系数求参数答案 D解析 展开式的通项为T k ＋1＝C (x 2)n －k ·(－1)k ·k ＝(－1)k C x 2n －3k .令2n －3k ＝0，得k n (1x )k n n ＝k (n ，k ∈N *)，若k ＝2，则n ＝3不符合题意，若k ＝4，则n ＝6，此时(－1)4·C ＝15，3246所以n ＝6.4．在24的展开式中，x 的幂指数是整数的项共有( )(x ＋13x )A ．3项B ．4项C ．5项D ．6项考点 二项展开式中的特定项问题题点 求多项展开式中的特定项答案 C 解析24的展开式的通项为T k ＋1＝C ·()24－k k ＝C ，故当(x ＋13x )k 24x (13x )k 245126x -k ＝0,6,12,18,24时，幂指数为整数，共5项．5．求二项式(－)9展开式中的有理项．x 3x 考点 二项展开式中的特定项问题题点 求多项展开式中的特定项解 T k ＋1＝C ·＝(－1)k C ·，令∈Z (0≤k ≤9)，得k ＝3或k 9912kx -⎛⎫ ⎪⎝⎭13kx ⎛⎫- ⎪⎝⎭k 9276k x -27－k6k ＝9，所以当k ＝3时，＝4，T 4＝(－1)3C x 4＝－84x 4，27－k639当k ＝9时，＝3，T 10＝(－1)9C x 3＝－x 3.27－k69综上，展开式中的有理项为－84x 4与－x 3.1．注意区分项的二项式系数与系数的概念．2．要牢记C a n －k b k 是展开式的第k ＋1项，不要误认为是第k 项．k n3．求解特定项时必须合并通项公式中同一字母的指数，根据具体要求，令其为特定值．一、选择题1．S ＝(x －1)4＋4(x －1)3＋6(x －1)2＋4x －3，则S 等于( )A ．x 4 B ．x 4＋1C ．(x －2)4 D ．x 4＋4考点 二项式定理题点 逆用二项式定理求和、化简答案 A解析 S ＝(x －1)4＋4(x －1)3＋6(x －1)2＋4(x －1)＋1＝C (x －1)4＋C (x －1)3＋C (x －1)0414242＋C (x －1)＋C ＝[(x －1)＋1]4＝x 4，故选A.3442．设i 为虚数单位，则(1＋i)6展开式中的第3项为( )A ．－20i B ．15i C ．20D ．－15考点 二项展开式中的特定项问题题点 求二项展开式中的特定项答案 D解析 (1＋i)6展开式中的第3项为C i 2＝－15.263．(x －y )10的展开式中x 6y 4的系数是( )2A ．－840 B ．840C ．210D ．－210考点 二项展开式中的特定项问题题点 求二项展开式特定项的系数答案 B解析 在通项公式T k ＋1＝C (－y )k x 10－k 中，令k ＝4，即得(x －y )10的展开式中x 6y 4的k 1022系数为C ×(－)4＝840.41024．在n 的展开式中，若常数项为60，则n 等于( )(x ＋2x )A ．3B ．6C ．9D ．12考点 二项展开式中的特定项问题题点 由特定项或特定项的系数求参数答案 B解析 T k ＋1＝C ()n －k k＝2kC .k n x (2x )k n 32n kx-令＝0，得n ＝3k .n －3k2根据题意有2k C ＝60，验证知k ＝2，故n ＝6.k 3k 5．若(1＋3x )n (n ∈N *)的展开式中，第三项的二项式系数为6，则第四项的系数为( )A ．4 B ．27C ．36D ．108考点 二项展开式中的特定项问题题点 求二项展开式特定项的系数答案 D解析 T k ＋1＝C (3x )k ，由C ＝6，得n ＝4，从而T 4＝C ·(3x )3，故第四项的系数为k n 2n 34C 33＝108.346．在二项式的展开式中，若前三项的系数成等差数列，则展开式中有理项的121412nx x ⎛⎫⎪+⎪⎝⎭项数为( )A ．5 B ．4C ．3D ．2考点 二项展开式中的特定项问题题点 求多项展开式中的特定项答案 C解析 二项展开式的前三项的系数分别为1，C ·，C ·2，由其成等差数列，可得1n 122n (12)2C ·＝1＋C ·2⇒n ＝1＋，所以n ＝8(n ＝1舍去)．所以展开式的通项T k ＋1＝C k1n 122n (12)n (n －1)8k 8(12).若为有理项，则有4－∈Z ，所以k 可取0,4,8，所以展开式中有理项的项数为3.344kx-3k47．设函数f (x )＝Error!则当x >0时，f (f (x ))表达式的展开式中常数项为( )A ．4 B ．6C ．8D ．10考点 二项展开式中的特定项问题题点 求二项展开式的特定项答案 B解析 依据分段函数的解析式，得f (f (x ))＝f (－)＝4，x (1x －x)∴T k ＋1＝C (－1)k x k －2.k 4令k －2＝0，则k ＝2，故常数项为C (－1)2＝6.24二、填空题8.7的展开式中倒数第三项为________．(2x ＋1x 2)考点 二项展开式中的特定项问题题点 求二项展开式的特定项答案 84x 8解析 由于n ＝7，可知展开式中共有8项，∴倒数第三项即为第六项，∴T 6＝C (2x )2·5＝C ·22＝.57(1x 2)571x 884x 89．若(x ＋1)n ＝x n ＋…＋ax 3＋bx 2＋nx ＋1(n ∈N *)，且a ∶b ＝3∶1，那么n ＝________.考点 二项展开式中的特定项问题题点 由特定项或特定项的系数求参数答案 11解析 a ＝C ，b ＝C .∵a ∶b ＝3∶1，n －3n n －2n ∴＝＝，即＝3，C n －3n C n －2n C3n C2n 31n (n －1)(n －2)·26n (n －1)解得n ＝11.10．已知正实数m ，若x 10＝a 0＋a 1(m －x )＋a 2(m －x )2＋…＋a 10(m －x )10，其中a 8＝180，则m 的值为________．考点 二项展开式中的特定项问题题点 由特定项或特定项的系数求参数答案 2解析 由x 10＝[m －(m －x )]10，[m －(m －x )]10的二项展开式的第9项为C m 2(－1)8·(m －x )8108，∴a 8＝C m 2(－1)8＝180，810则m ＝±2.又m >0，∴m ＝2.11．使n (n ∈N *)的展开式中含有常数项的最小的n 为________．(3x ＋1x x )考点 二项展开式中的特定项问题题点 由特定项或特定项的系数求参数答案 5解析 展开式的通项公式T k ＋1＝C (3x )n －k k ，k n (1x x )∴T k ＋1＝3n －k C ，k ＝0,1,2，…，n .k n52n k x -令n －k ＝0，n ＝k ，5252故最小正整数n ＝5.三、解答题12．若二项式6(a >0)的展开式中x 3的系数为A ，常数项为B ，且B ＝4A ，求a 的值．(x －ax )考点 二项展开式中的特定项问题题点 由特定项或特定项的系数求参数解 ∵T k ＋1＝C x 6－k k ＝(－a )k C ，k 6(－ax )k 6362kx-令6－＝3，则k ＝2，得A ＝C ·a 2＝15a 2；3k226令6－＝0，则k ＝4，得B ＝C ·a 4＝15a 4.3k246由B ＝4A 可得a 2＝4，又a >0，∴a ＝2.13．已知在n 的展开式中，第9项为常数项，求：(12x 2－1x )(1)n 的值；(2)展开式中x 5的系数；(3)含x 的整数次幂的项的个数．考点 二项展开式中的特定项问题题点 求多项展开式中的特定项解 已知二项展开式的通项为T k ＋1＝C n －k·k＝(－1)kn －k C .k n(12x 2)(－1x )(12)kn 522n kx-(1)因为第9项为常数项，即当k ＝8时，2n －k ＝0，52解得n ＝10.(2)令2×10－k ＝5，得k ＝(20－5)＝6.5225所以x 5的系数为(－1)64C ＝.(12)6101058(3)要使2n －k ，即为整数，只需k 为偶数，由于k ＝0,1,2,3，…，9,10，故符合要求5240－5k 2的有6项，分别为展开式的第1,3,5,7,9,11项．四、探究与拓展14．设a ≠0，n 是大于1的自然数，n 的展开式为a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋…＋a n x n .若点(1＋x a )A i (i ，a i ) (i ＝0,1,2)的位置如图所示，则a ＝________.考点 二项展开式中的特定项问题题点 由特定项或特定项的系数求参数答案 3解析 由题意知A 0(0,1)，A 1(1,3)，A 2(2,4)．即a 0＝1，a 1＝3，a 2＝4.由n 的展开式的通项公式知T k ＋1＝C k (k ＝0,1,2，…，n )．(1＋x a )k n (x a )故＝3，＝4，解得a ＝3.C1n a C2na 215．设f (x )＝(1＋x )m ＋(1＋x )n 的展开式中含x 项的系数是19(m ，n ∈N *)．(1)求f (x )的展开式中含x 2项的系数的最小值；(2)当f (x )的展开式中含x 2项的系数取最小值时，求f (x )的展开式中含x 7项的系数．考点 二项展开式中的特定项问题题点 求二项展开式特定项的系数解 (1)由题设知m ＋n ＝19，所以m ＝19－n ，含x 2项的系数为C ＋C ＝C ＋C 2m2n 219－n 2n ＝＋(19－n )(18－n )2n (n －1)2＝n 2－19n ＋171＝2＋.(n －192)3234因为n ∈N *，所以当n ＝9或n ＝10时，x 2项的系数的最小值为2＋＝81.(12)3234(2)当n ＝9，m ＝10或n ＝10，m ＝9时，x 2项的系数取最小值，此时x 7项的系数为C ＋C ＝C ＋C ＝156.7107931029。
2018-2019版数学新导学笔记选修2-2人教A全国通用版讲义：第一章 导数及其应用1.4
§1.4生活中的优化问题举例学习目标 1.了解导数在解决实际问题中的作用.2.掌握利用导数解决简单的实际生活中的优化问题．知识点生活中的优化问题(1)生活中经常遇到求利润最大、用料最省、效率最高等问题，这些问题通常称为优化问题．(2)利用导数解决优化问题的实质是求函数最值．(3)解决优化问题的基本思路：上述解决优化问题的过程是一个典型的数学建模过程．1．生活中常见到的收益最高，用料最省等问题就是数学中的最大、最小值问题．(√) 2．解决应用问题的关键是建立数学模型．(√)类型一几何中的最值问题例1请你设计一个包装盒，如图所示，ABCD是边长为60 cm的正方形硬纸片，切去阴影部分所示的四个全等的等腰直角三角形，再沿虚线折起，使得A，B，C，D四个点重合于图中的点P，正好形成一个正四棱柱形状的包装盒．点E，F在边AB上，是被切去的一个等腰直角三角形斜边的两个端点．设AE＝FB＝x(cm)．某厂商要求包装盒的容积V(cm3)最大，试问x应取何值？并求出此时包装盒的高与底面边长的比值．考点利用导数求几何模型的最值问题题点 利用导数求几何体体积的最值问题解 ∵V (x )＝(2x )2×(60－2x )×22 ＝2x 2×(60－2x )＝－22x 3＋602x 2(0<x <30)．∴V ′(x )＝－62x 2＋1202x ＝－62x (x －20)．令V ′(x )＝0，得x ＝0(舍去)或x ＝20.∵当0<x <20时，V ′(x )>0；当20<x <30时，V ′(x )<0.∴V (x )在x ＝20时取极大值也是唯一的极值，故为最大值． ∴底面边长为2x ＝202(cm)，高为2(30－x )＝102(cm)， 即高与底面边长的比值为12. 引申探究本例条件不变，若要求包装盒的侧面积S (cm 2)最大，试问x 应取何值？解 ∵AE ＝x ，∴HE ＝2x .∵EF ＝60－2x ，∴EG ＝22EF ＝22(60－2x )＝2(30－x )． ∴S 侧＝4×HE ×EG ＝4×2x ×2(30－x )＝8x (30－x )＝－8x 2＋240x＝－8(x －15)2＋8×152.∴当x ＝15时，S 侧最大为1 800 cm 2.反思与感悟 面积、体积(容积)最大，周长最短，距离最小等实际几何问题，求解时先设出恰当的变量，将待求解最值的问题表示为变量的函数，再按函数求最值的方法求解，最后检验． 跟踪训练1 (1)已知圆柱的表面积为定值S ，当圆柱的容积V 最大时，圆柱的高h 的值为________．考点 利用导数求几何模型的最值问题题点 利用导数求几何体体积的最值问题(2)将一段长为100 cm 的铁丝截成两段，一段弯成正方形，一段弯成圆，当正方形与圆形面积之和最小时，圆的周长为________ cm.考点 利用导数求几何模型的最值问题题点 利用导数求面积的最值问题答案 (1)6πS 3π (2)100π4＋π解析 (1)设圆柱的底面半径为r ，则S 圆柱底＝2πr 2，S 圆柱侧＝2πrh ，∴圆柱的表面积S ＝2πr 2＋2πrh .∴h ＝S －2πr 22πr， 又圆柱的体积V ＝πr 2h ＝r 2(S －2πr 2)＝rS －2πr 32， V ′(r )＝S －6πr 22， 令V ′(r )＝0，得S ＝6πr 2，∴h ＝2r ，∵V ′(r )只有一个极值点，∴当h ＝2r 时圆柱的容积最大．又r ＝S 6π，∴h ＝2S 6π＝6πS 3π. 即当圆柱的容积V 最大时，圆柱的高h 为6πS 3π. (2)设弯成圆的一段铁丝长为x (0<x <100)，则另一段长为100－x .设正方形与圆形的面积之和为S ，则正方形的边长a ＝100－x 4，圆的半径r ＝x 2π. 故S ＝π⎝⎛⎭⎫x 2π2＋⎝⎛⎭⎫100－x 42(0<x <100)．因此S ′＝x 2π－252＋x 8＝x 2π－100－x 8， 令S ′＝0，则x ＝100π4＋π. 由于在(0,100)内，函数只有一个导数为0的点，则问题中面积之和的最小值显然存在，故当x ＝100π4＋πcm 时，面积之和最小． 类型二 实际生活中的最值问题 命题角度1 利润最大问题例2 某商场销售某种商品的经验表明，该商品每日的销售量y (单位：千克)与销售价格x (单位：元/千克)满足关系式y ＝a x －3＋10(x －6)2，其中3<x <6，a 为常数．已知销售价格为5元/千克时，每日可售出该商品11千克．(1)求a 的值；(2)若该商品的成本为3元/千克，试确定销售价格x 的值，使商场每日销售该商品所获得的利。
2019-2020版数学新导学笔记人教A全国通用版选修2-3实用课件：第一章 计数原理 1.2.1 第2课时
第一章 1.2.1排列第2课时排列的综合应用学习目标1.进一步加深对排列概念的理解.2.掌握几种有限制条件的排列，能应用排列数公式解决简单的实际问题.内容索引问题导学题型探究达标检测问题导学＝(n ，m∈N *，m ≤n )＝.＝＝(叫做n 的阶乘).另外，我们规定0！＝.知识点排列及其应用A m nA n n n (n －1)(n －2)…(n －m ＋1)n ！(n －m )！ n (n －1)(n －2)…2·1n ！11.排列数公式2.应用排列与排列数公式求解实际问题中的计数问题的基本步骤题型探究解从7种不同的书中买3本书，这3本书并不要求都不相同，根据分步乘法计数原理，共有7×7×7＝343(种)不同的送法.(2)有7种不同的书，要买3本送给3名同学，每人各1本，共有多少种不同的送法？例1(1)有7本不同的书，从中选3本送给3名同学，每人各1本，共有多少种不同的送法？解从7本不同的书中选3本送给3名同学，相当于从7个元素中任取3个元素的一个排列，类型一无限制条件的排列问题所以共有A 37＝7×6×5＝210(种)不同的送法. 解答反思与感悟典型的排列问题，用排列数计算其排列方法数；若不是排列问题，需用计数原理求其方法种数.排列的概念很清楚，要从“n个不同的元素中取出m个元素”.即在排列问题中元素不能重复选取，而在用分步乘法计数原理解决的问题中，元素可以重复选取.跟踪训练1(1)有5个不同的科研小课题，从中选3个由高二(6)班的3个学习兴趣小组进行研究，每组一个课题，共有多少种不同的安排方法？解从5个不同的课题中选出3个，由兴趣小组进行研究，对应于从5个不同元素中取出3个元素的一个排列，因此不同的安排方法有＝5×4×3＝A3560(种).解答(2)有5个不同的科研小课题，高二(6)班的3个学习兴趣小组报名参加，每组限报一个课题，共有多少种不同的报名方法？解由题意知3个兴趣小组可能报同一科研课题，因此元素可以重复，不是排列问题.由于每个兴趣小组都有5种不同的选择，且3个小组都选择完才算完成这件事，所以由分步乘法计数原理得共有5×5×5＝125(种)报名方法.命题角度1元素“相邻”与“不相邻”问题类型二排队问题解 男生必须站在一起是男生的全排列，有A 33种排法； 女生必须站在一起是女生的全排列，有A 44种排法； 全体男生、女生各视为一个元素，有A 22种排法.由分步乘法计数原理知，共有A 33·A 44·A 22＝288(种)排队方法.例23名男生、4名女生按照不同的要求排队，求不同的排队方法的种数.(1)全体站成一排，男、女各站在一起；(2)全体站成一排，男生必须站在一起；(3)全体站成一排，男生不能站在一起；(4)全体站成一排，男、女各不相邻.解 三个男生全排列有A 33种方法，把所有男生视为一个元素，与4名女生组成5个元素全排列，有A 55种排法.故有A 33·A 55＝720(种)排队方法. 解 先安排女生，共有A 44种排法；男生在4个女生隔成的五个空中安排，共有A 35种排法，故共有A 44·A 35＝1 440(种)排法.解 排好男生后让女生插空，共有A 33·A 44＝144(种)排法.反思与感悟处理元素“相邻”“不相邻”问题应遵循“先整体，后局部”的原则.元素相邻问题，一般用“捆绑法”，先把相邻的若干个元素“捆绑”为一个大元素与其余元素全排列，然后再松绑，将这若干个元素内部全排列.元素不相邻问题，一般用“插空法”，先将不相邻元素以外的“普通”元素全排列，然后在“普通”元素之间及两端插入不相邻元素.跟踪训练2某次文艺晚会上共演出8个节目，其中2个唱歌、3个舞蹈、3个曲艺节目，求分别满足下列条件的节目编排方法有多少种？(1)一个唱歌节目开头，另一个放在最后压台；解 先排唱歌节目有A 22种排法，再排其他节目有A 66种排法，所以共有A 22·A 66＝1 440(种)排法.(2)2个唱歌节目互不相邻；解先排3个舞蹈节目和3个曲艺节目有A6种排法，6种插入方法，再从其中7个空(包括两端)中选2个排唱歌节目，有A27所以共有A6·A27＝30 240(种)排法.6(3)2个唱歌节目相邻且3个舞蹈节目不相邻.解把2个相邻的唱歌节目看作一个元素，与3个曲艺节目排列共A 44种排法， 再将3个舞蹈节目插入，共有A 35种插入方法，最后将2个唱歌节目互换位置，有A 22种排法， 故所求排法共有A 44·A 35·A 22＝2 880(种)排法.例3六人按下列要求站一横排，分别有多少种不同的站法？(1)甲不能在两端；解 先考虑甲有A 14种方案，再考虑其余5人全排列，解 先安排甲、乙有A 22种方案，再安排其余4人全排列，(2)甲、乙必须在两端；命题角度2元素“在”与“不在”问题故N ＝A 14·A 55＝480(种)；故N ＝A 22·A 44＝48(种)；(3)甲不在最左端，乙不在最右端.解方法一甲在最左端的站法有A55种，乙在最右端的站法有A55种，且甲在最左端而乙在最右端的站法有A44种，共有A66－2A55＋A44＝504(种)站法.方法二以元素甲分类可分为两类：a.甲站最右端有A55种，b.甲在中间4个位置之一，而乙不在最右端有A14·A14·A44种，故共有A55＋A14·A14·A44＝504(种)站法.反思与感悟“在”与“不在”排列问题解题原则及方法(1)原则：解“在”与“不在”的有限制条件的排列问题时，可以从元素入手也可以从位置入手，原则是谁特殊谁优先.(2)方法：从元素入手时，先给特殊元素安排位置，再把其他元素安排在其他位置上，从位置入手时，先安排特殊位置，再安排其他位置.提醒：解题时，或从元素考虑，或从位置考虑，都要贯彻到底.不能一会考虑元素，一会考虑位置，造成分类、分步混乱，导致解题错误.跟踪训练3某一天的课程表要排入政治、语文、数学、物理、体育、美术共六节课，如果第一节不排体育，最后一节不排数学，那么共有多少种不同的排课程表的方法？命题角度3排列中的定序问题例4将A，B，C，D，E这5个字母排成一列，要求A，B，C在排列中的顺序为“A，B，C”或“C，B，A”(可以不相邻).则有多少种不同的排列方法？反思与感悟在有些排列问题中，某些元素有前后顺序是确定的(不一定相邻)，解决这类问题的基本方法有两种：(1)整体法，即若有m ＋n 个元素排成一列，其中m 个元素之间的先后顺序确定不变，先将这m ＋n 个元素排成一列，有种不同的排法；然后任取一个排列，固定其他n 个元素的位置不动，把这m 个元素交换顺序，有种排法，其中只有一个排列是我们需要的，因此共有种满足条件的不同排法.(2)插空法，即m 个元素之间的先后顺序确定不变，因此先排这m 个元素，只有一种排法，然后把剩下的n 个元素分类或分步插入由以上m 个元素形成的空隙中.A m ＋n m ＋n A m ＋n m ＋n A m mA m m跟踪训练4用1,2,3,4,5,6,7组成没有重复数字的七位数，若1,3,5,7的顺序一定，则有______个七位数符合条件.210解析 若1,3,5,7的顺序不定，有A 44＝24(种)排法，故1,3,5,7的顺序一定的排法数只占总排法数的124.故有124A 77＝210(个)七位数符合条件.类型三数字排列问题例5用0,1,2,3,4,5这六个数字可以组成多少个符合下列条件的无重复的数字？(1)六位奇数；种排法；解第一步，排个位，有A13种排法；第二步，排十万位，有A14种排法.第三步，排其他位，有A44故共有A1A14A44＝288(个)六位奇数.3(2)个位数字不是5的六位数；(3)不大于4310的四位偶数.解分三种情况，具体如下：①当千位上排1,3时，有A12A13A24个.②当千位上排2时，有A12A24个.③当千位上排4时，形如4 0×2,4 2×0的各有A13个；形如4 1××的有A1A13个；2形如43××的只有4310和4302这两个数.故共有A1A13A24＋A12A24＋2A13＋A12A13＋2＝110(个).2反思与感悟数字排列问题是排列问题的重要题型，解题时要着重注意从附加受限制条件入手分析，找出解题的思路.常见附加条件有：(1)首位不能为0；(2)有无重复数字；(3)奇偶数；(4)某数的倍数；(5)大于(或小于)某数.跟踪训练5用0,1,2,3,4,5这六个数字可以组成多少个无重复数字的(1)能被5整除的五位数；解 个位上的数字必须是0或5.个位上是0，有A 45个； 个位上是5，若不含0，则有A 44个；若含0，但0不作首位，则0的位置有A 13种排法，其余各位有A 34种排法，故共有A 45＋A 44＋A 13A 34＝216(个)能被5整除的五位数.(2)能被3整除的五位数；解能被3整除的条件是各位数字之和能被3整除，则5个数可能有{1,2,3,4,5}和{0,1,2,4,5}两种情况，能够组成的五位数分别有A 55个和A 14A 44个.故能被3整除的五位数有A 55＋A 14A 44＝216(个).(3)若所有的六位数按从小到大的顺序组成一个数列{a n}，则240135是第几项.个数，首位解由于是六位数，首位数字不能为0，首位数字为1有A55个数，数字为2，万位上为0,1,3中的一个，有3A44∴240 135的项数是A55＋3A44＋1＝193，即240135是数列的第193项.达标检测1.6位学生排成两排，每排3人，则不同的排法种数为√A.36 B.120 C.240 D.720＝6×5×4×3×2×1＝720(种). 解析不同的排法有A662.6位选手依次演讲，其中选手甲不排在第一个也不排在最后一个演讲，则不同的演讲次序共有√A.240种B.360种C.480种D.720种种不同的排法；解析第一步：排甲，共有A14第二步：排其他人，共有A5种不同的排法，5因此不同的演讲次序共有A1A55＝480(种).43.用数字0,1,2,3,4,5组成没有重复数字的五位数，其中比40000大的偶数共有√A.144个B.120个C.96个D.72个解析当五位数的万位为4时，个位可以是0,2，此时满足条件的偶数共＝48(个)；有2A34当五位数的万位为5时，个位可以是0,2,4，此时满足条件的偶数共有3A34＝72(个)，所以比40000大的偶数共有48＋72＝120(个).86 4004.5位母亲带领5名儿童站成一排照相，儿童不相邻的站法有________种.种排法；解析第1步，先排5位母亲的位置，有A55第2步，把5名儿童插入5位母亲所形成的6个空位中，如下所示：母亲____母亲____母亲____母亲____母亲____，共有A5种排法.6由分步乘法计数原理可知，符合条件的站法共有A5·A56＝86 400(种).55.两家夫妇各带一个小孩一起去公园游玩，购票后排队依次入园.为安全起见，首尾一定要排两位爸爸，另外，两个小孩一定要排在一起，则这6人的入园顺序排法种数为_____.24解析分3步进行分析，①先安排两位爸爸，必须一首一尾，有A22＝2(种)排法，②两个小孩一定要排在一起，将其看成一个元素，考虑其顺序有A22＝2(种)排法，③将两个小孩看作一个元素与两位妈妈进行全排列，有A33＝6(种)排法.则共有2×2×6＝24(种)排法.求解排列问题的主要方法：规律与方法直接法把符合条件的排列数直接列式计算优先法优先安排特殊元素或特殊位置捆绑法把相邻元素看作一个整体与其他元素一起排列，同时注意捆绑元素的内部排列插空法对不相邻问题，先考虑不受限制的元素的排列，再将不相邻的元素插在前面元素排列的空档中定序问题除法处理对于定序问题，可先不考虑顺序限制，排列后，再除以定序元素的全排列。
2018-2019版数学新导学笔记人教A全国通用版选修2-3讲义：第一章 计数原理1.1 第2课时
第2课时 两个计数原理的综合应用学习目标 1.进一步理解分类加法计数原理和分步乘法计数原理的区别.2.会正确应用这两个计数原理计数．知识点一 两个计数原理的区别与联系知识点二 两个计数原理的应用解决较为复杂的计数问题，一般要将两个计数原理综合应用．使用时要做到目的明确，层次分明，先后有序，还需特别注意以下两点：(1)合理分类，准确分步：处理计数问题，应扣紧两个原理，根据具体问题首先弄清楚是“分类”还是“分步”，要搞清楚“分类”或者“分步”的具体标准．分类时需要满足两 个条件：①类与类之间要互斥(保证不重复)；②总数要完备(保证不遗漏)，也就是要确定一个合理的分类标准．分步时应按事件发生的连贯过程进行分析，必须做到步与步之间互相独立，互不干扰，并确保连续性．(2)特殊优先，一般在后：解含有特殊元素、特殊位置的计数问题，一般应优先安排特殊元素，优先确定特殊位置，再考虑其他元素与其他位置，体现出解题过程中的主次思想．类型一 组数问题例1 用0,1,2,3,4五个数字，(1)可以排成多少个三位数字的电话号码？ (2)可以排成多少个三位数？(3)可以排成多少个能被2整除的无重复数字的三位数？考点两个计数原理的应用题点两个原理在排数中的应用解(1)三位数字的电话号码，首位可以是0，数字也可以重复，每个位置都有5种排法，共有5×5×5＝53＝125(种)．(2)三位数的首位不能为0，但可以有重复数字，首先考虑首位的排法，除0外共有4种方法，第二、三位可以排0，因此，共有4×5×5＝100(种)．(3)被2整除的数即偶数，末位数字可取0,2,4，因此，可以分两类，一类是末位数字是0，则有4×3＝12(种)排法；一类是末位数字不是0，则末位有2种排法，即2或4，再排首位，因0不能在首位，所以有3种排法，十位有3种排法，因此有2×3×3＝18(种)排法．因而有12＋18＝30(种)排法．即可以排成30个能被2整除的无重复数字的三位数．引申探究由本例中的五个数字可组成多少个无重复数字的四位奇数？解完成“组成无重复数字的四位奇数”这件事，可以分四步：第一步定个位，只能从1,3中任取一个，有2种方法；第二步定首位，把1,2,3,4中除去用过的一个剩下的3个中任取一个，有3种方法；第三步，第四步把剩下的包括0在内的3个数字先排百位有3种方法，再排十位有2种方法．由分步乘法计数原理知共有2×3×3×2＝36(个)．反思与感悟对于组数问题，应掌握以下原则：(1)明确特殊位置或特殊数字，是我们采用“分类”还是“分步”的关键．一般按特殊位置(末位或首位)分类，分类中再按特殊位置(或特殊元素)优先的策略分步完成；如果正面分类较多，可采用间接法求解．(2)要注意数字“0”不能排在两位数字或两位数字以上的数的最高位．跟踪训练1从0,2中选一个数字，从1,3,5中选两个数字，组成无重复数字的三位数，其中奇数的个数为()A．24 B．18 C．12 D．6考点两个计数原理的应用题点两个原理在排数中的应用答案 B解析由于题目要求是奇数，那么对于此三位数可以分成两种情况；奇偶奇，偶奇奇．如果是第一种奇偶奇的情况，可以从个位开始分析(3种情况)，之后十位(2种情况)，最后百位(2种情况)，共12种；如果是第二种情况偶奇奇：个位(3种情况)，十位(2种情况)，百位(不能是0，一种情况)，共6种，因此总共有12＋6＝18(种)情况．故选B.类型二选(抽)取与分配问题例2高三年级的三个班到甲、乙、丙、丁四个工厂进行社会实践，其中工厂甲必须有班级去，每班去何工厂可自由选择，则不同的分配方案有()A．16种B．18种C．37种D．48种考点抽取(分配)问题题点抽取(分配)问题答案 C解析方法一(直接法)以甲工厂分配班级情况进行分类，共分为三类：第一类，三个班级都去甲工厂，此时分配方案只有1种情况；第二类，有两个班级去甲工厂，剩下的班级去另外三个工厂，其分配方案共有3×3＝9(种)；第三类，有一个班级去甲工厂，另外两个班级去其他三个工厂，其分配方案共有3×3×3＝27(种)．综上所述，不同的分配方案有1＋9＋27＝37(种)．方法二(间接法)先计算3个班级自由选择去何工厂的总数，再扣除甲工厂无人去的情况，即4×4×4－3×3×3＝37(种)方案．反思与感悟解决抽取(分配)问题的方法(1)当涉及对象数目不大时，一般选用列举法、树状图法、框图法或者图表法．(2)当涉及对象数目很大时，一般有两种方法：①直接使用分类加法计数原理或分步乘法计数原理．一般地，若抽取是有顺序的就按分步进行；若是按对象特征抽取的，则按分类进行．②间接法：去掉限制条件，计算所有的抽取方法数，然后减去所有不符合条件的抽取方法数即可．跟踪训练23个不同的小球放入5个不同的盒子，每个盒子至多放一个小球，共有多少种方法？考点抽取(分配)问题题点抽取(分配)问题解(以小球为研究对象)分三步来完成：第一步：放第一个小球有5种选择；第二步：放第二个小球有4种选择；第三步：放第三个小球有3种选择，由分步乘法计数原理得，总方法数N＝5×4×3＝60.类型三涂色与种植问题例3(1)将3种作物全部种植在如图所示的5块试验田中，每块种植一种作物，且相邻的试验田不能种同一种作物，则不同的种植方法共有________种.考点种植问题题点种植问题答案42解析分别用a，b，c代表3种作物，先安排第一块田，有3种方法，不妨设放入a，再安排第二块田，有两种方法b或c，不妨设放入b，第三块也有2种方法a或c.(1)若第三块田放c：第四、五块田分别有2种方法，共有2×2＝4(种)方法．(2)若第三块田放a：第四块有b或c两种方法，①若第四块放c：第五块有2种方法；②若第四块放b：第五块只能种作物c，共1种方法．综上，共有3×2×(2×2＋2＋1)＝42(种)方法．(2)将红、黄、蓝、白、黑五种颜色涂在如图所示“田”字形的4个小方格内，每格涂一种颜色，相邻两格涂不同的颜色，如果颜色可以反复使用，共有多少种不同的涂色方法？考点涂色问题题点涂色问题解第1个小方格可以从5种颜色中任取一种颜色涂上，有5种不同的涂法．①当第2个、第3个小方格涂不同颜色时，有4×3＝12(种)不同的涂法，第4个小方格有3种不同的涂法，由分步乘法计数原理可知有5×12×3＝180(种)不同的涂法．②当第2个、第3个小方格涂相同颜色时，有4种涂法，由于相邻两格不同色，因此，第4个小方格也有4种不同的涂法，由分步乘法计数原理可知有5×4×4＝80(种)不同的涂法．由分类加法计数原理可得共有180＋80＝260(种)不同的涂法．引申探究本例(2)中的区域改为如图所示，其他条件均不变，则不同的涂法共有多少种？解依题意，可分两类情况：①④不同色；①④同色．第一类：①④不同色，则①②③④所涂的颜色各不相同，我们可将这件事情分成4步来完成．第一步涂①，从5种颜色中任选一种，有5种涂法；第二步涂②，从余下的4种颜色中任选一种，有4种涂法；第三步涂③与第四步涂④时，分别有3种涂法和2种涂法．于是由分步乘法计数原理得，不同的涂法为5×4×3×2＝120(种)．第二类：①④同色，则①②③不同色，我们可将涂色工作分成三步来完成．第一步涂①④，有5种涂法；第二步涂②，有4种涂法；第三步涂③，有3种涂法．于是由分步乘法计数原理得，不同的涂法有5×4×3＝60(种)．综上可知，所求的涂色方法共有120＋60＝180(种)．反思与感悟解决涂色(种植)问题的一般思路涂色问题一般是综合利用两个计数原理求解，有几种常用方法：(1)按区域的不同，以区域为主分步计数，用分步乘法计数原理分析．(2)以颜色为主分类讨论，适用于“区域、点、线段”等问题，用分类加法计数原理分析．(3)将空间问题平面化，转化为平面区域的涂色问题．种植问题按种植的顺序分步进行，用分步乘法计数原理计数或按种植品种恰当选取情况分类，用分类加法计数原理计数．跟踪训练3如图所示，将一个四棱锥的每一个顶点染上一种颜色，并使同一条棱上的两个端点异色，如果只有5种颜色可供使用，则不同染色方法的总数为________．考点涂色问题题点涂色问题答案420解析按照S→A→B→C→D的顺序进行染色，按照A，C是否同色分类：第一类，A，C同色，则有5×4×3×1×3＝180(种)不同的染色方法．第二类，A，C不同色，则有5×4×3×2×2＝240(种)不同的染色方法．根据分类加法计数原理，共有180＋240＝420(种)不同的染色方法．1．有A，B两种类型的车床各一台，现有甲、乙、丙三名工人，其中甲、乙都会操作两种车床，丙只会操作A种车床，要从这三名工人中选两名分别去操作这两种车床，则不同的选派方法有()A．6种B．5种C．4种D．3种考点分类加法计数原理题点分类加法计数原理的应用答案 C解析不同的选派情况可分为3类：若选甲、乙，有2种方法；若选甲、丙，有1种方法；若选乙、丙，有1种方法．根据分类加法计数原理知，不同的选派方法有2＋1＋1＝4(种)．2．用0,1，…，9这10个数字，可以组成有重复数字的三位数的个数为()A．243 B．252 C．261 D．648考点两个计数原理的应用题点两个原理在排数中的应用答案 B解析0,1,2，…，9共能组成9×10×10＝900(个)三位数，其中无重复数字的三位数有9×9×8＝648(个)，所以有重复数字的三位数有900－648＝252(个)．3．某班有3名学生准备参加校运会的100米、200米、跳高、跳远四项比赛，如果每班每项限报1人，则这3名学生的参赛的不同方法有()A．24种B．48种C．64种D．81种考点分步乘法计数原理题点分步乘法计数原理的应用答案 A解析由于每班每项限报1人，故当前面的学生选了某项之后，后面的学生不能再报，由分步乘法计数原理，共有4×3×2＝24(种)不同的参赛方法．4．火车上有10名乘客，沿途有5个车站，乘客下车的可能方式有()A．510种B．105种C．50种D．500种考点分步乘法计数原理题点分步乘法计数原理的应用答案 A解析分10步．第1步：考虑第1名乘客下车的所有可能有5种；第2步：考虑第2名乘客下车的所有可能有5种；…；第10步：考虑第10名乘客下车的所有可能有5种．故共有乘客下车的可能方式1055555⨯⨯⨯⋅⋅⋅⨯个＝510(种)．5．如图，用4种不同的颜色涂入图中的矩形A，B，C，D中，要求相邻的矩形涂色不同，则不同的涂法有________种.考点涂色问题题点涂色问题答案108解析A有4种涂法，B有3种涂法，C有3种涂法，D有3种涂法，共有4×3×3×3＝108(种)涂法．1．分类加法计数原理与分步乘法计数原理是两个最基本、也是最重要的原理，是解答后面将要学习的排列、组合问题，尤其是较复杂的排列、组合问题的基础．2．应用分类加法计数原理要求分类的每一种方法都能把事件独立完成；应用分步乘法计数原理要求各步均是完成事件必须经过的若干彼此独立的步骤．3．一般是先分类再分步，分类时要设计好标准，设计好分类方案，防止重复和遗漏．4．若正面分类，种类比较多，而问题的反面种类比较少时，则使用间接法会简单一些．一、选择题1．在由0,1,2,3,4,5所组成的没有重复数字的四位数中，能被5整除的有()A．512个B．192个C．240个D．108个考点两个计数原理的应用题点两个原理在排数中的应用答案 D解析能被5整除的四位数，可分为两类：一类是末位为0，由分步乘法计数原理，共有5×4×3＝60(个)．二类是末位为5，由分步乘法计数原理共有4×4×3＝48(个)．由分类加法计数原理得60＋48＝108(个)．2．有四位教师在同一年级的四个班各教一个班的数学，在数学检测时要求每位教师不能在本班监考，则监考的方法有()A．8种B．9种C．10种D．11种考点抽取(分配)问题题点抽取(分配)问题答案 B解析设四位监考教师分别为A，B，C，D，所教班分别为a，b，c，d.若A监考b，则余下三人监考剩下的三个班，共有3种不同方法．同理，若A监考c，d时，也分别有3种不同方法．由分类加法计数原理，得监考方法共有3＋3＋3＝9(种)．3．某城市的电话号码由六位升为七位(首位数字均不为零)，则该城市可增加的电话部数是()A．9×8×7×6×5×4×3×2B．8×96C．9×106D．8.1×106考点两个计数原理的应用题点两个原理在排数中的应用答案 D解析电话号码是六位数字时，该城市可安装电话9×105部，同理升为七位时为9×106，∴可增加的电话数是9×106－9×105＝81×105.故选D.4．若三角形三边均为正整数，其中一边长为4，另外两边长分别为b，c，且满足b≤4≤c，则这样的三角形有()A．10个B．14个C．15个D．21个考点分类加法计数原理题点分类加法计数原理的应用答案 A解析当b＝1时，c＝4，当b＝2时，c＝4,5；当b＝3时，c＝4,5,6；当b＝4时，c＝4,5,6,7.故共有10个这样的三角形．5.如图，某电子器件是由三个电阻组成的回路，其中共有6个焊接点A，B，C，D，E，F，如果某个焊接点脱落，整个电路就会不通，现在电路不通了，那么焊接点脱落的可能性共有()A．6种B．36种C．63种D．64种考点两个计数原理的区别与联系题点两个原理的简单综合应用答案 C解析每个焊接点都有脱落与未脱落两种情况，而只要有一个焊接点脱落，则电路就不通，故共有26－1＝63(种)可能情况．6．从颜色分别为黄、白、红、橙的4盆菊花和颜色分别为紫、粉红、白的3盆山茶花中任取3盆，其中至少有菊花、山茶花各1盆，则不同的选法种数为()A．12 B．18 C．24 D．30考点两个计数原理的区别与联系题点两个原理的简单综合应用答案 D解析选出符合要求的3盆花可分为两类：第一类，可从4盆菊花中选1盆，再从3盆山茶花中选2盆，有4×3＝12(种)选法；第二类，可从4盆菊花中选2盆，再从3盆山茶花中选1盆，有6×3＝18(种)选法．根据分类加法计数原理知，不同的选法种数为12＋18＝30. 7．在正五棱柱中，不同在任何侧面且不同在任何底面的两顶点的连线称为它的对角线，那么一个正五棱柱所有对角线的条数为()A．20 B．15 C．12 D．10考点两个计数原理的区别与联系题点两个原理的简单综合应用答案 D解析由题意知，正五棱柱的对角线一定为上底面的一个顶点和下底面的一个顶点的连线，因为不同在任何侧面内，所以从一个顶点出发的对角线有2条，所以正五棱柱所有对角线的条数为2×5＝10.8.如图，用五种不同的颜色分别给A，B，C，D四个区域涂色，相邻区域必须涂不同颜色，若允许同一种颜色多次使用，则不同的涂法种数为()A．280 B．180C．96 D．60考点涂色问题题点涂色问题答案 B解析按区域分四步：第一步A区域有5种颜色可选；第二步B区域有4种颜色可选；第三步C区域有3种颜色可选；第四步由于可重复使用区域A中已有过的颜色，故也有3种颜色可选用．由分步乘法计数原理，共有5×4×3×3＝180(种)涂法．二、填空题9．在所有的两位数中，个位数字大于十位数字的两位数，共有________个．考点两个计数原理的应用题点两个原理在排数中的应用答案36解析根据题意个位上的数字分别是2,3,4,5,6,7,8,9共8种情况，在每一类中满足题目要求的两位数分别有1个，2个，3个，4个，5个，6个，7个，8个，由分类加法计数原理知，符合题意的两位数共有1＋2＋3＋4＋5＋6＋7＋8＝36(个)．10．某班将元旦联欢会原定的9个歌唱节目已排成节目单，但在开演前又增加了两个新节目．如果将这两个节目插入原节目单中，那么不同插法的种数为________．考点分步乘法计数原理题点分步乘法计数原理的应用答案110解析先将其中一个节目插入原节目单的9个节目形成的10个空中，有10种方法；再把另一个节目插入前10个节目形成的11个空中，有11种插法．由分步乘法计数原理知有10×11＝110(种)不同的插法．11．古人用天干、地支来表示年、月、日、时的次序．用天干的“甲、丙、戊、庚、壬”和地支的“子、寅、辰、午、申、戌”相配，用天干的“乙、丁、己、辛、癸”和地支的“丑、卯、巳、未、酉、亥”相配，共可配成________组．考点两个计数原理的区别与联系题点两个原理的简单综合应用答案60解析分两类：第一类：由天干的“甲、丙、戊、庚、壬”和地支的“子、寅、辰、午、申、戌”相配，则有5×6＝30(组)不同的结果．第二类也有30组不同的结果，共可得30＋30＝60(组)．三、解答题12．有一项活动，需在3名教师，8名男同学和5名女同学中选人参加．(1)若只需一人参加，有多少种不同选法？(2)若需教师、男同学、女同学各一人参加，有多少种不同选法？(3)若需一名教师，一名学生参加，有多少种不同选法？考点两个计数原理的区别与联系题点两个原理的简单综合应用解(1)有三类选人的方法：3名教师中选一人，有3种方法；8名男同学中选一人，有8种方法；5名女同学中选一人，有5种方法．由分类加法计数原理知，共有3＋8＋5＝16(种)选法．(2)分三步选人：第一步选教师，有3种方法；第二步选男同学，有8种方法；第三步选女同学，有5种方法．由分步乘法计数原理知，共有3×8×5＝120(种)选法．(3)可分两类，每一类又分两步．第一类：选一名教师再选一名男同学，有3×8＝24(种)选法；第二类：选一名教师再选一名女同学，共有3×5＝15(种)选法．由分类加法计数原理可知，共有24＋15＝39(种)选法．13．将一枚骰子连续抛掷三次，掷出的数字顺次排成一个三位数．(1)可以排出多少个不同的三位数？(2)各位数字互不相同的三位数有多少个？(3)恰好有两个数字相同的三位数共有多少个？考点两个计数原理的应用题点两个原理在排数中的应用解(1)分三步进行：先排百位，再排十位，最后排个位．根据分步乘法计数原理知，可以排出6×6×6＝216(个)不同的三位数．(2)分三步进行：先排百位，再排十位，最后排个位．百位上数字的排法有6种，十位上数字的排法有5种，个位上数字的排法有4种，根据分步乘法计数原理知，各位数字互不相同的三位数有6×5×4＝120(个)．(3)两个数字相同有三种可能，即百位、十位相同，十位、个位相同，百位、个位相同，而每种都有6×5＝30(个)，故满足条件的三位数共有3×30＝90(个)．四、探究与拓展14．从集合{1,2,3,4,5}中任取2个不同的数，作为直线Ax＋By＝0的系数，则形成不同的直线最多有()A．18条B．20条C．25条D．10条考点两个计数原理的区别与联系题点两个原理的简单综合应用答案 A解析第一步取A的值，有5种取法，第二步取B的值有4种取法，其中当A＝1，B＝2时，与A＝2，B＝4时是相同的；当A＝2，B＝1时，与A＝4，B＝2时是相同的，故共有5×4－2＝18(条)．15．用n种不同的颜色为两块广告牌着色，如图，要求在①，②，③，④四个区域中相邻(有公共边界)的区域不用同一种颜色．(1)若n＝6，为甲着色时共有多少种不同的方法？(2)若为乙着色时共有120种不同的方法，求n的值．考点涂色问题题点涂色问题解完成着色这件事，共分为四个步骤，可以依次考虑为①，②，③，④这四个区域着色时各自的方法数，再利用分步乘法计数原理确定出总的方法数．(1)为①区域着色时有6种方法，为②区域着色时有5种方法，为③区域着色时有4种方法，为④区域着色时有4种方法，依据分步乘法计数原理，不同的着色方法有6×5×4×4＝480(种)．(2)由题意知，为①区域着色时有n种方法，为②区域着色时有(n－1)种方法，为③区域着色时有(n－2)种方法，为④区域着色时有(n－3)种方法，由分步乘法计数原理可得不同的着色方法数为n(n－1)(n－2)(n－3)．∴n(n－1)(n－2)(n－3)＝120，∴(n2－3n)(n2－3n＋2)－120＝0，即(n2－3n)2＋2(n2－3n)－120＝0.∴n2－3n－10＝0或n2－3n＋12＝0(舍去)．∴n＝5(负值舍去)．。
2018-2019版数学新导学笔记选修2-2人教A全国通用版讲义：第二章 推理与证明2.3
§2.3数学归纳法学习目标 1.了解数学归纳法的原理.2.能用数学归纳法证明一些简单的数学命题．知识点数学归纳法对于一个与正整数有关的等式n(n－1)(n－2)…(n－50)＝0.思考1验证当n＝1，n＝2，…，n＝50时等式成立吗？答案成立．思考2能否通过以上等式归纳出当n＝51时等式也成立？为什么？答案不能，上面的等式只对n取1至50的正整数成立．梳理(1)数学归纳法的定义一般地，证明一个与正整数n有关的命题，可按下列步骤进行：①(归纳奠基)证明当n取第一个值n0(n0∈N*)时命题成立；②(归纳递推)假设当n＝k(k≥n0，k∈N*)时命题成立，证明当n＝k＋1时命题也成立．只要完成这两个步骤，就可以断定命题对从n0开始的所有正整数n都成立．这种证明方法叫做数学归纳法．(2)数学归纳法的框图表示1．与正整数n有关的数学命题的证明只能用数学归纳法．(×)2．数学归纳法的第一步n0的初始值一定为1.(×)3．数学归纳法的两个步骤缺一不可．(√)类型一用数学归纳法证明等式例1用数学归纳法证明：1×4＋2×7＋3×10＋…＋n(3n＋1)＝n(n＋1)2，其中n∈N*.考点用数学归纳法证明等式证明 (1)当n ＝1时，左边＝1×4＝4，右边＝1×22＝4，左边＝右边，等式成立．(2)假设当n ＝k (k ≥1，k ∈N *)时等式成立，即1×4＋2×7＋3×10＋…＋k (3k ＋1)＝k (k ＋1)2，那么当n ＝k ＋1时，1×4＋2×7＋3×10＋…＋k (3k ＋1)＋(k ＋1)[3(k ＋1)＋1]＝k (k ＋1)2＋(k ＋1)[3(k ＋1)＋1]＝(k ＋1)(k 2＋4k ＋4)＝(k ＋1)[(k ＋1)＋1]2，即当n ＝k ＋1时等式也成立．根据(1)和(2)可知等式对任何n ∈N *都成立．反思与感悟 用数学归纳法证明恒等式时，一是弄清n 取第一个值n 0时等式两端项的情况；二是弄清从n ＝k 到n ＝k ＋1等式两端增加了哪些项，减少了哪些项；三是证明n ＝k ＋1时结论也成立，要设法将待证式与归纳假设建立联系，并朝n ＝k ＋1证明目标的表达式变形．跟踪训练1 求证：1－12＋13－14＋…＋12n －1－12n ＝1n ＋1＋1n ＋2＋…＋12n (n ∈N *)． 考点 用数学归纳法证明等式题点 利用数学归纳法证明等式证明 (1)当n ＝1时，左边＝1－12＝12， 右边＝11＋1＝12，左边＝右边． (2)假设当n ＝k (k ≥1，k ∈N *)时等式成立，即1－12＋13－14＋…＋12k －1－12k＝1k ＋1＋1k ＋2＋…＋12k ， 则当n ＝k ＋1时，⎝⎛⎭⎫1－12＋13－14＋…＋12k －1－12k ＋⎝⎛⎭⎫12k ＋1－12k ＋2 ＝⎝⎛⎭⎫1k ＋1＋1k ＋2＋…＋12k ＋⎝⎛⎭⎫12k ＋1－12k ＋2 ＝1k ＋2＋1k ＋3＋…＋12k ＋1＋12(k ＋1). 即当n ＝k ＋1时，等式也成立．综合(1)，(2)可知，对一切n ∈N *，等式成立．例2 求证：1n ＋1＋1n ＋2＋…＋13n >56(n ≥2，n ∈N *)． 考点 用数学归纳法证明不等式题点 利用数学归纳法证明不等式证明 (1)当n ＝2时，左边＝13＋14＋15＋16＝5760， 故左边>右边，不等式成立．(2)假设当n ＝k (k ≥2，k ∈N *)时，命题成立，即1k ＋1＋1k ＋2＋…＋13k >56， 则当n ＝k ＋1时，1(k ＋1)＋1＋1(k ＋1)＋2＋…＋13k ＋13k ＋1＋13k ＋2＋13(k ＋1) ＝1k ＋1＋1k ＋2＋…＋13k ＋⎝⎛⎭⎫13k ＋1＋13k ＋2＋13k ＋3－1k ＋1 >56＋⎝⎛⎭⎫13k ＋1＋13k ＋2＋13k ＋3－1k ＋1.(*) 方法一 (分析法)下面证(*)式≥56， 即13k ＋1＋13k ＋2＋13k ＋3－1k ＋1≥0， 只需证(3k ＋2)(3k ＋3)＋(3k ＋1)(3k ＋3)＋(3k ＋1)(3k ＋2)－3(3k ＋1)(3k ＋2)≥0， 只需证(9k 2＋15k ＋6)＋(9k 2＋12k ＋3)＋(9k 2＋9k ＋2)－(27k 2＋27k ＋6)≥0， 只需证9k ＋5≥0，显然成立．所以当n ＝k ＋1时，不等式也成立．方法二 (放缩法)(*)式>⎝⎛⎭⎫3×13k ＋3－1k ＋1＋56＝56， 所以当n ＝k ＋1时，不等式也成立．由(1)(2)可知，原不等式对一切n ≥2，n ∈N *均成立．引申探究把本例改为求证：1n ＋1＋1n ＋2＋1n ＋3＋…＋1n ＋n >1124(n ∈N *)． 证明 (1)当n ＝1时，左边＝12>1124，不等式成立． (2)假设当n ＝k (k ≥1，k ∈N *)时，不等式成立，。
数学新导学笔记选修22人教A全国通用版讲义：第三章 数系的扩充与复数的引入3.2.2
3.2.2 复数代数形式的乘除运算学习目标 1.掌握复数代数形式的乘法和除法运算.2.理解复数乘法的交换律、结合律和乘法对加法的分配律.3.理解共轭复数的概念．知识点一 复数的乘法及其运算律 思考 怎样进行复数的乘法运算？答案 两个复数相乘，类似于两个多项式相乘，只要把已得结果中的i 2换成－1，并且把实部与虚部分别合并即可． 梳理 (1)复数的乘法法则设z 1＝a ＋b i ，z 2＝c ＋d i 是任意两个复数，那么它们的积 (a ＋b i)(c ＋d i)＝(ac －bd )＋(ad ＋bc )i. (2)复数乘法的运算律 对于任意z 1，z 2，z 3∈C ，有交换律 z 1z 2＝z 2z 1 结合律 (z 1z 2)z 3＝z 1(z 2z 3) 乘法对加法的分配律z 1(z 2＋z 3)＝z 1z 2＋z 1z 3知识点二 共轭复数当两个复数的实部相等，虚部互为相反数时，这两个复数叫做互为共轭复数，z 的共轭复数用z 表示．即z ＝a ＋b i ，则z ＝a －b i. 知识点三 复数的除法法则思考 类比根式除法的分母有理化，比如1＋33－2＝(1＋3)(3＋2)(3－2)(3＋2)，你能写出复数的除法法则吗？答案 设z 1＝a ＋b i ，z 2＝c ＋d i(c ＋d i ≠0)， 则z 1z 2＝a ＋b i c ＋d i ＝ac ＋bd c 2＋d 2＋bc －ad c 2＋d 2i.1．复数加减乘除的混合运算法则是先乘除，再加减．( √ ) 2．两个共轭复数的和与积是实数．( √ )3．若z 1，z 2∈C ，且z 21＋z 22＝0，则z 1＝z 2＝0.( × )类型一 复数代数形式的乘除运算 例1 计算：(1)⎝⎛⎭⎫－12＋32i ⎝⎛⎭⎫32＋12i (1＋i)； (2)(1＋2i )2＋3(1－i )2＋i ；(3)(1－4i )(1＋i )＋2＋4i 3＋4i .考点 复数的乘除法运算法则 题点 乘除法的运算法则 解 (1)⎝⎛⎭⎫－12＋32i ⎝⎛⎭⎫32＋12i (1＋i)＝⎣⎡⎦⎤⎝⎛⎭⎫－34－34＋⎝⎛⎭⎫34－14i (1＋i) ＝⎝⎛⎭⎫－32＋12i (1＋i) ＝⎝⎛⎭⎫－32－12＋⎝⎛⎭⎫12－32i ＝－1＋32＋1－32i.(2)(1＋2i )2＋3(1－i )2＋i ＝－3＋4i ＋3－3i2＋i＝i 2＋i＝i (2－i )5＝15＋25i.(3)(1－4i )(1＋i )＋2＋4i 3＋4i ＝5－3i ＋2＋4i3＋4i＝7＋i 3＋4i ＝(7＋i )(3－4i )(3＋4i )(3－4i )＝21－28i ＋3i ＋425＝25－25i25＝1－i.反思与感悟 (1)按照复数的乘法法则，三个或三个以上的复数相乘可按从左到右的顺序运算或利用结合律运算，混合运算和实数的运算顺序一致，在计算时，若符合乘法公式，则可直接运用公式计算．(2)根据复数的除法法则，通过分子、分母都乘以分母的共轭复数，使“分母实数化”，这个精心整理 提升自我过程与“分母有理化”类似． 跟踪训练1 计算：(1)(4－i)(6＋2i)－(7－i)(4＋3i)； (2)3＋2i 2－3i ＋3－2i 2＋3i ； (3)(i －2)(i －1)(1＋i )(i －1)＋i. 考点 复数的乘除法运算法则 题点 乘除法的运算法则 解 (1)(4－i)(6＋2i)－(7－i)(4＋3i) ＝(24＋8i －6i ＋2)－(28＋21i －4i ＋3) ＝(26＋2i)－(31＋17i)＝－5－15i. (2)3＋2i 2－3i ＋3－2i 2＋3i ＝i (2－3i )2－3i ＋－i (2＋3i )2＋3i＝i －i ＝0. (3)(i －2)(i －1)(1＋i )(i －1)＋i ＝i 2－i －2i ＋2i －1＋i 2－i ＋i ＝1－3i －2＋i ＝(1－3i )(－2－i )(－2＋i )(－2－i )＝－2－i ＋6i ＋3i 25＝－5＋5i 5＝－1＋i.类型二 i 的运算性质例2 计算：(1)2＋2i (1－i )2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫21＋i 2 016；(2)i ＋i 2＋…＋i 2 017. 考点 虚数单位i 及其性质 题点 虚数单位i 的运算性质 解 (1)原式＝2(1＋i )－2i ＋⎝⎛⎭⎫22i 1 008＝i(1＋i)＋(－i)1 008 ＝i ＋i 2＋(－1)1 008·i 1 008 ＝i －1＋i 4×252＝i －1＋1 ＝i.(2)方法一 原式＝i (1－i 2 017)1－i ＝i －i 2 0181－i＝i －(i 4)504·i 21－i ＝i ＋11－i＝(1＋i )(1＋i )(1－i )(1＋i )＝2i2＝i.方法二 因为i n ＋i n ＋1＋i n ＋2＋i n ＋3＝i n (1＋i ＋i 2＋i 3)＝0(n ∈N *)，所以原式＝(i ＋i 2＋i 3＋i 4)＋(i 5＋i 6＋i 7＋i 8)＋…＋(i 2 013＋i 2 014＋i 2 015＋i 2 016)＋i 2 017 ＝i 2 017＝(i 4)504·i ＝1504·i ＝i.反思与感悟 (1)等差、等比数列的求和公式在复数集C 中仍适用，i 的周期性要记熟，即i n ＋i n ＋1＋i n ＋2＋i n ＋3＝0(n ∈N *)． (2)记住以下结果，可提高运算速度 ①(1＋i)2＝2i ，(1－i)2＝－2i ； ②1－i 1＋i ＝－i ，1＋i1－i＝i ； ③1i＝－i. 跟踪训练2 (1)⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋i 1－i 2 017＝________.考点 虚数单位i 及其性质 题点 虚数单位i 的运算性质 答案 i解析 ⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋i 1－i 2 017＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤(1＋i )(1＋i )(1－i )(1＋i ) 2 017＝⎝⎛⎭⎫2i 2 2 017 ＝i 2 017＝(i 4)504·i ＝1504·i ＝i. (2)化简i ＋2i 2＋3i 3＋…＋100i 100. 考点 虚数单位i 及其性质 题点 虚数单位i 的运算性质解 设S ＝i ＋2i 2＋3i 3＋…＋100i 100，① 所以i S ＝i 2＋2i 3＋…＋99i 100＋100i 101，② ①－②得(1－i)S ＝i ＋i 2＋i 3＋…＋i 100－100i 101 ＝i (1－i 100)1－i －100i 101＝0－100i ＝－100i.所以S ＝－100i 1－i ＝－100i (1＋i )(1－i )(1＋i )＝－100(－1＋i )2＝50－50i.所以i ＋2i 2＋3i 3＋…＋100i 100＝50－50i.类型三 共轭复数及其应用例3 把复数z 的共轭复数记作z ，已知(1＋2i)z ＝4＋3i ，求z . 考点 共轭复数的定义与应用 题点 利用定义求共轭复数解 设z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )，则z ＝a －b i ，由已知得(1＋2i)(a －b i)＝(a ＋2b )＋(2a －b )i ＝4＋3i ，由复数相等的定义知，⎩⎪⎨⎪⎧a ＋2b ＝4，2a －b ＝3，得a ＝2，b ＝1，所以z ＝2＋i. 引申探究例3条件改为z (z ＋2)＝4＋3i ，求z . 解 设z ＝x ＋y i(x ，y ∈R )．则z ＝x －y i ， 由题意知，(x －y i)(x ＋y i ＋2)＝4＋3i.得⎩⎪⎨⎪⎧x (2＋x )＋y 2＝4，xy －y (x ＋2)＝3. 解得⎩⎨⎧x ＝－1－112，y ＝－32或⎩⎨⎧x ＝－1＋112，y ＝－32，所以z ＝⎝⎛⎭⎫－1－112－32i 或z ＝⎝⎛⎭⎫－1＋112－32i. 反思与感悟 当已知条件出现复数等式时，常设出复数的代数形式，利用复数相等的充要条件转化为实数问题求解．跟踪训练3 已知复数z 满足|z |＝1，且(3＋4i)z 是纯虚数，求z 的共轭复数z . 考点 共轭复数的定义与应用 题点 利用定义求共轭复数解 设z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )，则|z |＝a 2＋b 2＝1， 即a 2＋b 2＝1.①因为(3＋4i)z ＝(3＋4i)(a ＋b i)＝(3a －4b )＋(3b ＋4a )i 是纯虚数，所以3a －4b ＝0，且3b ＋4a ≠0.②由①②联立，解得⎩⎨⎧a ＝45，b ＝35或⎩⎨⎧a ＝－45，b ＝－35.所以z ＝45－35i 或z ＝－45＋35i.1．设复数z 满足i z ＝1，其中i 为虚数单位，则z 等于( ) A ．－i B ．i C ．－1D ．1考点 复数的乘除法运算法则 题点 利用乘除法求复数中的未知数 答案 A 解析 z ＝1i＝－i.2．若z ＝4＋3i(i 为虚数单位)，则z |z |等于( ) A ．1 B ．－1 C.45＋35i D.45－35i 考点 复数的乘除法运算法则 题点 乘除法的运算法则 答案 D解析 z ＝4＋3i ，|z |＝5，z|z |＝45－35i. 3．已知(1－i )2z ＝1＋i(i 为虚数单位)，则复数z 等于( )A ．1＋iB ．1－iC ．－1＋iD ．－1－i考点 复数四则运算的综合应用 题点 复数的混合运算 答案 D解析 因为(1－i )2z＝1＋i ，所以z ＝(1－i )21＋i ＝－2i 1＋i＝－2i (1－i )2＝－1－i.4．设i 是虚数单位，z 是复数z 的共轭复数，若z ＝2i 31＋i ，则z ＝________.考点 共轭复数的定义与应用题点 利用定义求共轭复数 答案 －1＋i解析 z ＝2i 31＋i ＝－2i (1－i )(1＋i )(1－i )＝－1－i ，所以z ＝－1＋i.5．已知复数z 满足：z ·z ＋2z i ＝8＋6i ，求复数z 的实部与虚部的和． 考点 共轭复数的定义与应用 题点 与共轭复数有关系的综合问题 解 设z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )， 则z ·z ＝a 2＋b 2，∴a 2＋b 2＋2i(a ＋b i)＝8＋6i ， 即a 2＋b 2－2b ＋2a i ＝8＋6i ，∴⎩⎪⎨⎪⎧ a 2＋b 2－2b ＝8，2a ＝6，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝3，b ＝1，∴a ＋b ＝4，∴复数z 的实部与虚部的和是4.1．复数代数形式的乘除运算(1)复数代数形式的乘法类似于多项式乘以多项式，复数的乘法满足交换律、结合律以及乘法对加法的分配律．(2)在进行复数代数形式的除法运算时，通常先将除法写成分式的形式，再把分子、分母都乘以分母的共轭复数，化简后可得，类似于以前学习的分母有理化． 2．共轭复数的性质可以用来解决一些复数问题． 3．复数问题实数化思想．复数问题实数化是解决复数问题的基本思想方法，其桥梁是设复数z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )，利用复数相等的充要条件转化.一、选择题1．i 为虚数单位，1i ＋1i 3＋1i 5＋1i 7等于( )A ．0B ．2iC ．－2iD ．4i考点 虚数单位i 及其性质 题点 虚数单位i 的运算性质 答案 A解析 1i ＝－i ，1i 3＝i ，1i 5＝－i ，1i 7＝i ，∴1i ＋1i 3＋1i 5＋1i7＝0. 2．复数(1＋i)2(2＋3i)的值为( ) A ．6－4i B ．－6－4i C ．6＋4iD ．－6＋4i考点 复数的乘除法运算法则 题点 乘除法的运算法则 答案 D解析 (1＋i)2(2＋3i)＝2i(2＋3i)＝－6＋4i. 3．已知复数z 满足(z －1)i ＝1＋i ，则z 等于( ) A ．－2－i B ．－2＋i C ．2－iD ．2＋i 考点 复数的乘除法运算法则 题点 利用乘除法求复数中的未知数 答案 C解析 由(z －1)i ＝1＋i ，两边同乘以－i ，则有z －1＝1－i ，所以z ＝2－i. 4．已知复数z 1＝3－b i ，z 2＝1－2i ，若z 1z 2是实数，则实数b 等于( )A ．6B ．－6C ．0D.16 考点 复数的乘除法运算法则 题点 利用乘除法求复数中的未知数 答案 A解析 ∵z 1z 2＝3－b i 1－2i ＝(3－b i )(1＋2i )(1－2i )(1＋2i )＝3＋2b ＋(6－b )i5是实数，∴6－b ＝0，∴实数b 的值为6，故选A.5．已知i 为虚数单位，图中复平面内的点A 表示复数z ，则表示复数z1＋i的点是( )A ．MB ．NC ．PD ．Q考点 复数的乘除法运算法则 题点 运算结果与点的对应关系 答案 D解析 由图可知z ＝3＋i ，所以复数z1＋i ＝3＋i 1＋i ＝(3＋i )(1－i )(1＋i )(1－i )＝4－2i 2＝2－i 表示的点是Q (2，－1)．故选D.6．设复数z 满足1＋z1－z ＝i ，则|z |等于( )A ．1 B. 2 C. 3D ．2 考点 复数的乘除法运算法则 题点 利用乘除法求复数中的未知数 答案 A解析 由1＋z1－z＝i ，得z ＝－1＋i 1＋i ＝(－1＋i )(1－i )2＝2i 2＝i ，|z |＝|i|＝1.7．若z ＋z ＝6，z ·z ＝10，则z 等于( ) A ．1±3i B ．3±i C ．3＋iD ．3－i 考点 共轭复数的定义与应用 题点 与共轭复数有关的综合问题 答案 B解析 设z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )， 则z ＝a －b i ，所以⎩⎪⎨⎪⎧ 2a ＝6，a 2＋b 2＝10，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝3，b ＝±1，则z ＝3±i. 8．计算(－1＋3i )3(1＋i )6＋－2＋i 1＋2i 的值是( )A ．0B ．1C ．2iD ．i考点 复数四则运算的综合应用 题点 复数的混合运算 答案 C解析 原式＝(－1＋3i )3[(1＋i )2]3＋(－2＋i )(1－2i )(1＋2i )(1－2i )＝(－1＋3i )3(2i )3＋－2＋4i ＋i ＋25＝⎝⎛⎭⎫－12＋32i 3－i＋i ＝1－i＋i＝i(－i )i＋i ＝2i. 二、填空题9．已知a ，b ∈R ，i 是虚数单位，若(1＋i)(1－b i)＝a ，则ab 的值为________．考点 复数的乘除法运算法则 题点 利用乘除法求复数中的未知数 答案 2解析 因为(1＋i)(1－b i)＝1＋b ＋(1－b )i ＝a ， 又a ，b ∈R ，所以1＋b ＝a 且1－b ＝0， 得a ＝2，b ＝1，所以ab＝2.10．若复数z 满足(3－4i)z ＝4＋3i(i 是虚数单位)，则|z |＝________. 考点 复数的乘除法运算法则 题点 利用乘除法求复数中的未知数 答案 1解析 因为(3－4i)z ＝4＋3i ， 所以z ＝4＋3i 3－4i ＝(4＋3i )(3＋4i )(3－4i )(3＋4i )＝25i25＝i.则|z |＝1.11．定义一种运算：⎣⎢⎡⎦⎥⎤a b c d ＝ad －bc .则复数⎣⎢⎡⎦⎥⎤1＋i －12 3i 的共轭复数是________．考点 共轭复数的定义与应用题点 利用定义求共轭复数答案 －1－3i解析 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤1＋i －12 3i ＝3i(1＋i)＋2＝－1＋3i ， ∴其共轭复数为－1－3i.三、解答题12．已知z ，ω为复数，(1＋3i)z 为纯虚数，ω＝z 2＋i，且|ω|＝52，求ω. 考点 复数的乘除法运算法则题点 乘除法的综合应用解 设z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )，则(1＋3i)z ＝a －3b ＋(3a ＋b )i.由题意得a －3b ＝0,3a ≠－b .因为|ω|＝⎪⎪⎪⎪z 2＋i ＝52， 所以|z |＝a 2＋b 2＝510，将a ＝3b 代入，解得a ＝15，b ＝5或a ＝－15，b ＝－5，故ω＝±15＋5i 2＋i＝±(7－i)． 13．已知复数z ＝1＋i.(1)设ω＝z 2＋3z －4，求ω；(2)若z 2＋az ＋b z 2－z ＋1＝1－i ，求实数a ，b 的值． 考点 复数四则运算的综合应用题点 与混合运算有关的未知数求解解 (1)因为z ＝1＋i ，所以ω＝z 2＋3z －4＝(1＋i)2＋3(1－i)－4＝－1－i.(2)因为z ＝1＋i ，所以z 2＋az ＋b z 2－z ＋1＝(1＋i )2＋a (1＋i )＋b (1＋i )2－(1＋i )＋1＝1－i ， 即(a ＋b )＋(a ＋2)i i＝1－i ，所以(a ＋b )＋(a ＋2)i ＝(1－i)i ＝1＋i ，所以⎩⎪⎨⎪⎧ a ＋2＝1，a ＋b ＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－1，b ＝2. 四、探究与拓展14．投掷两颗骰子，得到其向上的点数分别为m 和n ，则复数(m ＋n i)(n －m i)为实数的概率为________．考点 复数的乘除法运算法则题点 乘除法的综合应用答案 16解析 易知(m ＋n i)(n －m i)＝mn －m 2i ＋n 2i ＋mn ＝2mn ＋(n 2－m 2)i.若复数(m ＋n i)(n －m i)为实数，则m 2＝n 2，即(m ，n )共有(1,1)，(2,2)，(3,3)，(4,4)，(5,5)，(6,6)，6种情况，所以所求概率为636＝16. 15．设z 是虚数，ω＝z ＋1z是实数，且－1<ω<2. (1)求|z |的值及z 的实部的取值范围；(2)设μ＝1－z 1＋z，求证：μ为纯虚数． 考点 复数四则运算的综合应用题点 与四则运算有关的问题(1)解 因为z 是虚数，所以可设z ＝x ＋y i(x ，y ∈R ，且y ≠0)，则ω＝z ＋1z ＝(x ＋y i)＋1x ＋y i ＝x ＋y i ＋x －y i x 2＋y 2＝⎝⎛⎭⎫x ＋x x 2＋y 2＋⎝⎛⎭⎫y －y x 2＋y 2i. 因为ω是实数，且y ≠0，所以y －y x 2＋y 2＝0， 即x 2＋y 2＝1.所以|z |＝1，此时ω＝2x .又－1<ω<2，所以－1<2x <2.所以－12<x <1， 即z 的实部的取值范围是⎝⎛⎭⎫－12，1.精心整理 提升自我 (2)证明 μ＝1－z 1＋z ＝1－(x ＋y i )1＋(x ＋y i )＝(1－x －y i )(1＋x －y i )(1＋x )2＋y 2＝1－x 2－y 2－2y i1＋2x ＋x 2＋y 2.又x 2＋y 2＝1，所以μ＝－y1＋x i.因为y ≠0，所以μ为纯虚数．。
2019-2020版数学新导学笔记人教A全国通用版选修2-3讲义：第二章 随机变量及其分布2.3.2 Word版含答案.docx
2.3.2 离散型随机变量的方差学习目标 1.理解取有限个值的离散型随机变量的方差及标准差的概念.2.能计算简单离散型随机变量的方差，并能解决一些实际问题.3.掌握方差的性质，以及两点分布、二项分布的方差的求法，会利用公式求它们的方差．知识点一 方差、标准差的定义及方差的性质甲、乙两名工人加工同一种零件，两人每天加工的零件数相等，所得次品数分别为X 和Y ，X 和Y 的分布列如下：X 0 1 2 P610110310Y 0 1 2 P510310210思考1 试求E (X )，E (Y )．答案 E (X )＝0×610＋1×110＋2×310＝710，E (Y )＝0×510＋1×310＋2×210＝710.思考2 能否由E (X )与E (Y )的值比较两名工人技术水平的高低？ 答案 不能，因为E (X )＝E (Y )．思考3 试想用什么指标衡量甲、乙两名工人技术水平的高低？ 答案 方差．梳理 (1)方差及标准差的定义 设离散型随机变量X 的分布列为X x 1 x 2 … x i … x n Pp 1p 2…p i…p n①方差：D (X )＝ i ＝1n(x i －E (X ))2p i ；②标准差：D (X ). (2)方差与标准差的意义随机变量的方差和标准差都反映了随机变量的取值偏离于均值的平均程度．方差或标准差越小，则随机变量偏离于均值的平均程度越小． (3)方差的性质：D (aX ＋b )＝a 2D (X )． 知识点二 两点分布与二项分布的方差X X 服从两点分布 X ～B (n ，p ) D (X )p (1－p )(其中p 为成功概率)np (1－p )1．离散型随机变量的方差越大，随机变量越稳定．( × ) 2．若a 是常数，则D (a )＝0.( √ )3．离散型随机变量的方差反映了随机变量偏离于均值的平均程度．( √ )类型一 求随机变量的方差与标准差 例1 已知X 的分布列如下：X －1 0 1 P1214a(1)求X 2的分布列； (2)计算X 的方差；(3)若Y ＝4X ＋3，求Y 的均值和方差． 考点 离散型随机变量方差的性质 题点 方差性质的应用解 (1)由分布列的性质，知12＋14＋a ＝1，故a ＝14，从而X 2的分布列为X 2 0 1 P1434(2)方法一 由(1)知a ＝14，所以X 的均值E (X )＝(－1)×12＋0×14＋1×14＝－14.故X 的方差D (X )＝⎝⎛⎭⎫－1＋142×12＋⎝⎛⎭⎫0＋142×14＋⎝⎛⎭⎫1＋142×14＝1116. 方法二 由(1)知a ＝14，所以X 的均值E (X )＝(－1)×12＋0×14＋1×14＝－14，X 2的均值E (X 2)＝0×14＋1×34＝34，所以X 的方差D (X )＝E (X 2)－[E (X )]2＝1116.(3)因为Y ＝4X ＋3，所以E (Y )＝4E (X )＋3＝2，D (Y )＝42D (X )＝11.反思与感悟 方差的计算需要一定的运算能力，公式的记忆不能出错！在随机变量X 2的均值比较好计算的情况下，运用关系式D (X )＝E (X 2)－[E (X )]2不失为一种比较实用的方法．另外注意方差性质的应用，如D (aX ＋b )＝a 2D (X )． 跟踪训练1 已知η的分布列为(1)求方差及标准差； (2)设Y ＝2η－E (η)，求D (Y )． 考点 离散型随机变量方差的性质 题点 方差性质的应用解 (1)∵E (η)＝0×13＋10×25＋20×115＋50×215＋60×115＝16，∴D (η)＝(0－16)2×13＋(10－16)2×25＋(20－16)2×115＋(50－16)2×215＋(60－16)2×115＝384，∴D (η)＝8 6. (2)∵Y ＝2η－E (η)，∴D (Y )＝D (2η－E (η))＝22D (η)＝4×384＝1 536. 类型二 两点分布与二项分布的方差例2 为防止风沙危害，某地决定建设防护绿化带，种植杨树、沙柳等植物．某人一次种植了n 株沙柳，各株沙柳的成活与否是相互独立的，成活率为p ，设ξ为成活沙柳的株数，均值E (ξ)为3，标准差D (ξ)为62. (1)求n 和p 的值，并写出ξ的分布列；(2)若有3株或3株以上的沙柳未成活，则需要补种，求需要补种沙柳的概率． 考点 三种常用分布的方差 题点 二项分布的方差解 由题意知，ξ～B (n ，p )，P (ξ＝k )＝C k n p k (1－p )n －k，k ＝0,1，…，n . (1)由E (ξ)＝np ＝3，D (ξ)＝np (1－p )＝32，得1－p ＝12，从而n ＝6，p ＝12.ξ的分布列为(2)记“需要补种沙柳”为事件A ，则P (A )＝P (ξ≤3)，得P (A )＝164＋332＋1564＋516＝2132，或P (A )＝1－P (ξ>3)＝1－⎝⎛⎭⎫1564＋332＋164＝2132，所以需要补种沙柳的概率为2132.反思与感悟 解决此类问题第一步是判断随机变量ξ服从什么分布，第二步代入相应的公式求解．若ξ服从两点分布，则D (ξ)＝p (1－p )；若ξ服从二项分布，即ξ～B (n ，p )，则D (ξ)＝np (1－p )．跟踪训练2 某厂一批产品的合格率是98%. (1)计算从中抽取一件产品为正品的数量的方差；(2)从中有放回地随机抽取10件产品，计算抽出的10件产品中正品数的方差及标准差． 考点 三种常用分布的方差 题点 二项分布的方差解 (1)用ξ表示抽得的正品数，则ξ＝0,1.ξ服从两点分布，且P (ξ＝0)＝0.02，P (ξ＝1)＝0.98， 所以D (ξ)＝p (1－p )＝0.98×(1－0.98)＝0.019 6. (2)用X 表示抽得的正品数，则X ～B (10,0.98)， 所以D (X )＝10×0.98×0.02＝0.196， 标准差为D (X )≈0.44. 类型三 方差的实际应用例3 为选拔奥运会射击选手，对甲、乙两名射手进行选拔测试．已知甲、乙两名射手在一次射击中的得分为两个相互独立的随机变量ξ，η，甲、乙两名射手在每次射击中击中的环数均大于6环，且甲射中10,9,8,7环的概率分别为0.5,3a ，a,0.1，乙射中10,9,8环的概率分别为0.3，0.3，0.2. (1)求ξ，η的分布列；(2)求ξ，η的均值与方差，并以此比较甲、乙的射击技术并从中选拔一人．题点均值与方差在实际中的应用解(1)依据题意知，0.5＋3a＋a＋0.1＝1，解得a＝0.1.∵乙射中10,9,8环的概率分别为0.3,0.3,0.2，∴乙射中7环的概率为1－(0.3＋0.3＋0.2)＝0.2.∴ξ，η的分布列分别为(2)结合(1)中ξ，η的分布列，可得E(ξ)＝10×0.5＋9×0.3＋8×0.1＋7×0.1＝9.2，E(η)＝10×0.3＋9×0.3＋8×0.2＋7×0.2＝8.7，D(ξ)＝(10－9.2)2×0.5＋(9－9.2)2×0.3＋(8－9.2)2×0.1＋(7－9.2)2×0.1＝0.96，D(η)＝(10－8.7)2×0.3＋(9－8.7)2×0.3＋(8－8.7)2×0.2＋(7－8.7)2×0.2＝1.21.∵E(ξ)>E(η)，说明甲平均射中的环数比乙高．又∵D(ξ)<D(η)，说明甲射中的环数比乙集中，比较稳定．∴甲的射击技术好．反思与感悟(1)解题时可采用比较分析法，通过比较两个随机变量的均值和方差得出结论．(2)均值体现了随机变量取值的平均大小，在两种产品相比较时，只比较均值往往是不恰当的，还需比较它们的取值偏离于均值的平均程度，即通过比较方差，才能准确地得出更恰当的判断．跟踪训练3甲、乙两个野生动物保护区有相同的自然环境，且野生动物的种类和数量也大致相等，而两个保护区内每个季度发生违反保护条例的事件次数的分布列分别为试评定两个保护区的管理水平．题点 均值与方差在实际中的应用解 甲保护区的违规次数ξ的均值和方差分别为 E (ξ)＝0×0.3＋1×0.3＋2×0.2＋3×0.2＝1.3；D (ξ)＝(0－1.3)2×0.3＋(1－1.3)2×0.3＋(2－1.3)2×0.2＋(3－1.3)2×0.2＝1.21. 乙保护区的违规次数η的均值和方差分别为E (η)＝0×0.1＋1×0.5＋2×0.4＝1.3；D (η)＝(0－1.3)2×0.1＋(1－1.3)2×0.5＋(2－1.3)2×0.4＝0.41.因为E (ξ)＝E (η)，D (ξ)>D (η)，所以两个保护区内每个季度发生的违规事件的平均次数相同，但甲保护区的违规事件次数相对分散和波动，乙保护区内的违规事件次数更集中和稳定．1．已知随机变量X 的分布列为X －1 0 1 P121316则下列式子：①E (X )＝－13；②D (X )＝2327；③P (X ＝0)＝13.其中正确的个数是( )A ．0B ．1C ．2D ．3 考点 离散型随机变量方差、标准差的概念与计算 题点 离散型随机变量的方差、标准差的计算 答案 C解析 由分布列可知，E (X )＝(－1)×12＋0×13＋1×16＝－13，故①正确；D (X )＝⎝⎛⎭⎫－1＋132×12＋⎝⎛⎭⎫0＋132×13＋⎝⎛⎭⎫1＋132×16＝59，故②不正确，③显然正确．2．有甲、乙两种水稻，测得每种水稻各10株的分蘖数据，计算出样本均值E (X 甲)＝E (X 乙)，方差分别为D (X 甲)＝11，D (X 乙)＝3.4.由此可以估计( ) A ．甲种水稻比乙种水稻分蘖整齐 B ．乙种水稻比甲种水稻分蘖整齐 C ．甲、乙两种水稻分蘖整齐程度相同 D ．甲、乙两种水稻分蘖整齐程度不能比较 考点 均值、方差的综合应用题点 均值与方差在实际中的应用 答案 B3．同时抛掷两枚质地均匀的硬币10次，设两枚硬币同时出现反面的次数为ξ，则D (ξ)等于( )A.158B.154C.52 D ．5 考点 三种常用分布的方差 题点 二项分布的方差 答案 A解析 抛掷两枚均匀硬币，两枚硬币都出现反面的概率为P ＝12×12＝14，则易知满足ξ～B ⎝⎛⎭⎫10，14，∴n ＝10，p ＝14， 则D (ξ)＝np (1－p )＝10×14×⎝⎛⎭⎫1－14＝158. 4．已知离散型随机变量X 的分布列如下表所示，若E (X )＝0，D (X )＝1，则a ＝________，b ＝________.考点 离散型随机变量方差的性质 题点 方差性质的应用 答案512 14解析 由题意知⎩⎪⎨⎪⎧ a ＋b ＋c ＝1112，－a ＋c ＋16＝0，a ＋c ＋13＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝512，b ＝14，c ＝14.5．编号为1,2,3的三位学生随意入座编号为1,2,3的三个座位，每位学生坐一个座位，设与座位编号相同的学生的人数是ξ，求E (ξ)和D (ξ)．考点 均值、方差的综合应用 题点 求随机变量的均值与方差解 ξ的所有可能取值为0,1,3，ξ＝0表示三位同学全坐错了，有2种情况，即编号为1,2,3的座位上分别坐了编号为2,3,1或3,1,2的学生，则P (ξ＝0)＝2A 33＝13；ξ＝1表示三位同学只有1位同学坐对了， 则P (ξ＝1)＝C 13A 33＝12；ξ＝3表示三位同学全坐对了，即对号入座， 则P (ξ＝3)＝1A 33＝16.所以ξ的分布列为ξ 0 1 3 P131216E (ξ)＝0×13＋1×12＋3×16＝1.D (ξ)＝13×(0－1)2＋12×(1－1)2＋16×(3－1)2＝1.1．随机变量的方差和标准差都反映了随机变量取值的稳定与波动、集中与离散的程度，以及随机变量取值偏离于均值的平均程度．方差D (X )或标准差D (X )越小，则随机变量取值偏离均值的平均程度越小；方差D (X )或标准差D (X )越大，表明偏离的平均程度越大，说明X 的取值越分散．2．求离散型随机变量X 的均值、方差的步骤 (1)理解X 的意义，写出X 的所有可能的取值． (2)求X 取每一个值的概率． (3)写出随机变量X 的分布列．(4)由均值、方差的定义求E (X )，D (X )．特别地，若随机变量服从两点分布或二项分布，可根据公式直接计算E (X )和D (X )．一、选择题1．设一随机试验的结果只有A 和A ，且P (A )＝m ，令随机变量ξ＝⎩⎪⎨⎪⎧1，A 发生，0，A 不发生，则ξ的方差D (ξ)等于( ) A ．m B ．2m (1－m ) C ．m (m －1)D ．m (1－m )考点 三种常用分布的方差 题点 两点分布的方差 答案 D解析 随机变量ξ的分布列为所以E (ξ)＝0×(1－m )＋1×m ＝m .所以D (ξ)＝(0－m )2×(1－m )＋(1－m )2×m ＝m (1－m )．2．牧场有10头牛，因误食含有病毒的饲料而被感染，已知该病的发病率为0.02，设发病的牛的头数为ξ，则D (ξ)等于( ) A ．0.2 B ．0.8 C ．0.196 D ．0.804 考点 均值、方差的综合应用 题点 求随机变量的均值与方差 答案 C3．设随机变量ξ的分布列为P (ξ＝k )＝C k n⎝⎛⎭⎫23k ·⎝⎛⎭⎫13n －k ，k ＝0,1,2，…，n ，且E (ξ)＝24，则D (ξ)的值为( )A.29B ．8C ．12D ．16 考点 三种常用分布的方差 题点 二项分布的方差 答案 B解析 由题意可知ξ～B ⎝⎛⎭⎫n ，23， 所以23n ＝E (ξ)＝24.所以n ＝36.所以D (ξ)＝n ×23×⎝⎛⎭⎫1－23＝29×36＝8. 4．若数据x 1，x 2，…，x n 的平均数为6，标准差为2，则数据2x 1－6,2x 2－6，…，2x n －6的平均数与方差分别为( )A ．6,8B ．12,8C ．6,16D ．12,16 考点 均值、方差的综合应用 题点 求随机变量的均值与方差 答案 C5．由以往的统计资料表明，甲、乙两运动员在比赛中得分情况为现有一场比赛，派哪位运动员参加较好？( ) A ．甲 B ．乙 C ．甲、乙均可D ．无法确定考点 均值、方差的综合应用 题点 均值与方差在实际中的应用 答案 A解析 E (X 1)＝E (X 2)＝1.1，D (X 1)＝1.12×0.2＋0.12×0.5＋0.92×0.3＝0.49，D (X 2)＝1.12×0.3＋0.12×0.3＋0.92×0.4＝0.69，∴D (X 1)<D (X 2)，即甲比乙得分稳定，选甲参加较好． 6．已知随机变量ξ的分布列如下：若E (ξ)＝2，则D (ξ)的最小值等于( ) A.12B ．2C ．1D ．0 考点 离散型随机变量方差的性质 题点 方差性质的应用 答案 D解析 由题意得a ＝1－13＝23，所以E (ξ)＝13m ＋23n ＝2，即m ＋2n ＝6.又D (ξ)＝13×(m －2)2＋23×(n －2)2＝2(n －2)2，所以当n ＝2时，D (ξ)取最小值为0.7．某同学上学路上要经过3个路口，在每个路口遇到红灯的概率都是13，且在各路口是否遇到红灯是相互独立的，记X 为遇到红灯的次数，若Y ＝3X ＋5，则Y 的标准差为( ) A. 6 B ．3 C. 3 D ．2 考点 三种常用分布的方差题点 二项分布的方差 答案 A解析 因为该同学经过每个路口时，是否遇到红灯互不影响，所以可看成3次独立重复试验，即X ～B ⎝⎛⎭⎫3，13，则X 的方差D (X )＝3×13×⎝⎛⎭⎫1－13＝23，所以Y 的方差D (Y )＝32·D (X )＝9×23＝6，所以Y 的标准差为D (Y )＝ 6.8．已知随机变量X ＋Y ＝8，若X ～B (10,0.6)，则E (Y )，D (Y )分别是( ) A ．6和2.4 B ．2和2.4 C ．2和5.6D ．6和5.6考点 三种常用分布的方差 题点 二项分布的方差 答案 B解析 因为X ＋Y ＝8，所以Y ＝8－X . 因此，求得E (Y )＝8－E (X )＝8－10×0.6＝2， D (Y )＝(－1)2D (X )＝10×0.6×0.4＝2.4. 二、填空题9．随机变量ξ的分布列如下：其中a ，b ，c 成等差数列，若E (ξ)＝13，则D (ξ)＝________.考点 离散型随机变量方差的性质 题点 方差性质的应用 答案 59解析 由题意得⎩⎪⎨⎪⎧2b ＝a ＋c ，a ＋b ＋c ＝1，c －a ＝13，解得a ＝16，b ＝13，c ＝12，故D (ξ)＝59.10．设随机变量ξ～B (2，p )，η～B (4，p )，若P (ξ≥1)＝59，则D (η)＝________.考点 三种常用分布的方差 题点 二项分布的方差答案 89解析 由随机变量ξ～B (2，p )，且P (ξ≥1)＝59，得P (ξ≥1)＝1－P (ξ＝0)＝1－C 02×(1－p )2＝59，易得p ＝13.由η～B (4，p )，得随机变量η的方差D (η)＝4×13×⎝⎛⎭⎫1－13＝89. 11．有10张卡片，其中8张标有数字2,2张标有数字5，若从中随机抽出3张，设这3张卡片上的数字和为X ，则D (X )＝________. 考点 均值、方差的综合应用 题点 求随机变量的均值与方差 答案 3.36解析 由题意得，随机变量X 的可能取值为6,9,12. P (X ＝6)＝C 38C 310＝715，P (X ＝9)＝C 28×C 12C 310＝715，P (X ＝12)＝C 18×C 22C 310＝115，则E (X )＝6×715＋9×715＋12×115＝7.8，D (X )＝715×(6－7.8)2＋715×(9－7.8)2＋115×(12－7.8)2＝3.36.三、解答题12．为了丰富学生的课余生活，促进校园文化建设，某校高二年级通过预赛选出了6个班(含甲、乙)进行经典美文诵读比赛决赛．决赛通过随机抽签方式决定出场顺序．求： (1)甲、乙两班恰好在前两位出场的概率；(2)决赛中甲、乙两班之间的班级数记为X ，求X 的均值和方差． 考点 均值、方差的综合应用 题点 求随机变量的均值与方差解 (1)设“甲、乙两班恰好在前两位出场”为事件A ，则P (A )＝A 22×A 44A 66＝115.所以甲、乙两班恰好在前两位出场的概率为115.(2)随机变量X 的可能取值为0,1,2,3,4.P (X ＝0)＝A 22×A 55A 66＝13，P (X ＝1)＝4×A 22×A 44A 66＝415，P (X ＝2)＝A 24×A 22×A 33A 66＝15， P (X ＝3)＝A 34×A 22×A 22A 66＝215，P (X ＝4)＝A 44×A 22A 66＝115. 随机变量X 的分布列为因此，E (X )＝0×13＋1×415＋2×15＋3×215＋4×115＝43.D (X )＝13×⎝⎛⎭⎫0－432＋415×⎝⎛⎭⎫1－432＋15×⎝⎛⎭⎫2－432＋215×⎝⎛⎭⎫3－432＋115×⎝⎛⎭⎫4－432＝149. 13．有甲、乙两种建筑材料，从中各取等量样品检查它们的抗拉强度如下：其中，ξA ，ξB 分别表示甲、乙两种材料的抗拉强度，在使用时要求抗拉强度不低于120，试比较甲、乙两种建筑材料的稳定程度(哪一个的稳定性较好)． 考点 均值、方差的综合应用 题点 求随机变量的均值与方差解 E (ξA )＝110×0.1＋120×0.2＋125×0.4＋130×0.1＋135×0.2＝125， E (ξB )＝100×0.1＋115×0.2＋125×0.4＋130×0.1＋145×0.2＝125，D (ξA )＝0.1×(110－125)2＋0.2×(120－125)2＋0.4×(125－125)2＋0.1×(130－125)2＋0.2×(135－125)2＝50，D (ξB )＝0.1×(100－125)2＋0.2×(115－125)2＋0.4×(125－125)2＋0.1×(130－125)2＋0.2×(145－125)2＝165，由此可见，E (ξA )＝E (ξB )，D (ξA )<D (ξB )，故两种材料的抗拉强度的均值相等，其稳定程度材料乙明显不如材料甲，即甲的稳定性好． 四、探究与拓展14．根据以往的经验，某工程施工期间的降水量X (单位：mm)对工期的影响如下表所示.降水量X X<300300≤X<700700≤X<900X≥900工期延误天数Y02610若历史气象资料表明，该工程施工期间降水量X小于300,700,900的概率分别为0.3,0.7,0.9，则工期延误天数Y的方差为________．考点均值、方差的综合应用题点求随机变量的均值与方差答案9.8解析由已知条件和概率的加法公式知，P(X<300)＝0.3，P(300≤X<700)＝P(X<700)－P(X<300)＝0.7－0.3＝0.4，P(700≤X<900)＝P(X<900)－P(X<700)＝0.9－0.7＝0.2，P(X≥900)＝1－P(X<900)＝1－0.9＝0.1.所以随机变量Y的分布列为Y02610P0.30.40.20.1故E(Y)＝0×0.3＋2×0.4＋6×0.2＋10×0.1＝3；D(Y)＝(0－3)2×0.3＋(2－3)2×0.4＋(6－3)2×0.2＋(10－3)2×0.1＝9.8.故工期延误天数Y的方差为9.8.15．一家面包房根据以往某种面包的销售记录，绘制了日销售量的频率分布直方图，如图所示．将日销售量落入各组的频率视为概率，并假设每天的销售量相互独立．(1)求在未来连续3天里，有连续2天的日销售量都不低于100个且另1天的日销售量低于50个的概率；(2)用X表示在未来3天里日销售量不低于100个的天数，求随机变量X的分布列，均值E(X)及方差D(X)．考点三种常用分布的方差题点二项分布的方差解(1)设A1表示事件“日销售量不低于100个”，A2表示事件“日销售量低于50个”，B 表示事件“在未来连续3天里有连续2天的日销售量不低于100个且另1天的日销售量低于50个”．因此P(A1)＝(0.006＋0.004＋0.002)×50＝0.6，P(A2)＝0.003×50＝0.15，P(B)＝0.6×0.6×0.15×2＝0.108.(2)X可能取的值为0,1,2,3，相应的概率为P(X＝0)＝C03×(1－0.6)3＝0.064，P(X＝1)＝C13×0.6×(1－0.6)2＝0.288，P(X＝2)＝C23×0.62×(1－0.6)＝0.432，P(X＝3)＝C33×0.63＝0.216，则X的分布列为因为X～B(3,0.6)，所以均值E(X)＝3×0.6＝1.8，方差D(X)＝3×0.6×(1－0.6)＝0.72.。
2018-2019版数学新导学笔记选修2-2人教A全国通用版讲义：第三章 数系的扩充与复数的引入 滚动训练四
滚动训练四(§3.1～§3.2)一、选择题5z1．复数z对应的点在第二象限，它的模为3，实部是－，则是( )55A．－＋2i B．－－2i55C.＋2iD.－2i考点 题点 答案 B5解析 设复数z的虚部为b，则z＝－＋b i，b>0，5＋b25∵3＝，∴b＝2(舍负)，∴z＝－＋2i，5则z的共轭复数是－－2i，故选B.2．若|z－1|＝|z＋1|，则复数z对应的点在( )A．实轴上B．虚轴上C．第一象限D．第二象限考点 复数的几何意义题点 复数与点的对应关系答案 B解析 ∵|z－1|＝|z＋1|，∴点Z到(1,0)和(－1,0)的距离相等，即点Z在以(1,0)和(－1,0)为端点的线段的中垂线上．3．已知i是虚数单位，a，b∈R，则“a＝b＝1”是“(a＋b i)2＝2i”的( )A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件考点 复数的乘除法运算法则题点 利用乘除法求复数中的未知数答案 A解析 当“a＝b＝1”时，“(a＋b i)2＝(1＋i)2＝2i”成立，故“a＝b＝1”是“(a＋b i)2＝2i”的充分条件；当“(a＋b i)2＝a2－b2＋2ab i＝2i”时，“a＝b＝1”或“a＝b＝－1”，故“a＝b＝1”是“(a＋b i)2＝2i”的不必要条件；综上所述，“a＝b＝1”是“(a＋b i)2＝2i”的充分不必要条件．4．设复数z ＝，则z ·等于( )2－1－i z A ．1 B.2C ．2D ．4考点 复数四则运算的综合应用题点 复数的混合运算答案 C解析 ∵z ＝＝2(－1＋i )(－1－i )(－1＋i )－2＋2i2＝－1＋i ，∴＝－1－i ，∴z ·＝(－1＋i)(－1－i)＝2.z z 5．若复数z 满足z (i ＋1)＝，则复数z 的虚部为( )2i －1A ．－1 B ．0C ．iD ．1考点 复数的乘除法运算法则题点 利用乘除法求复数中的未知数答案 B解析 ∵z (i ＋1)＝，2i －1∴z ＝＝＝－1，2(i －1)(i ＋1)2－2∴z 的虚部为0.6．已知复数z ＝1＋a i(a ∈R )(i 是虚数单位)，＝－＋i ，则a 等于()z z 3545A ．2 B ．－2C ．±2D ．－12考点 复数的乘除法运算法则题点 利用乘除法求复数中的未知数答案 B解析 由题意可得＝－＋i ，1－a i 1＋a i 3545即＝＝＋i ＝－＋i ，(1－a i )21＋a 21－a 2－2a i 1＋a 21－a 21＋a 2－2a 1＋a 23545∴＝－，＝，∴a ＝－2，故选B.1－a 21＋a 235－2a 1＋a 2457．设z 1，z 2是复数，则下列命题中的假命题是( )A ．若|z 1－z 2|＝0，则1＝2z z B ．若z 1＝2，则1＝z 2z z C ．若|z 1|＝|z 2|，则z 1·1＝z 2·2z z D ．若|z 1|＝|z 2|，则z ＝z 212考点 共轭复数的定义及应用题点 与共轭复数有关的综合问题答案 D解析 对于A ，若|z 1－z 2|＝0，则z 1－z 2＝0，z 1＝z 2，所以1＝2为真；z z 对于B ，若z 1＝2，则z 1和z 2互为共轭复数，z 所以1＝z 2为真；z 对于C ，设z 1＝a 1＋b 1i ，z 2＝a 2＋b 2i ，若|z 1|＝|z 2|，则＝，z 1·1＝a ＋b ，z 2·2＝a ＋b ，a 21＋b 21a 2＋b 2z 2121z 22所以z 1·1＝z 2·2为真；z z 对于D ，若z 1＝1，z 2＝i ，则|z 1|＝|z 2|为真，而z ＝1，z ＝－1，所以z ＝z 为假．故选D.212212二、填空题8．已知z 是纯虚数，是实数，那么z ＝________.z ＋21－i 考点 复数的乘除法运算法则题点 利用乘除法求复数中的未知数答案 －2i解析 设z ＝b i(b ∈R ，b ≠0)，则＝＝＝＝＋iz ＋21－i b i ＋21－i (b i ＋2)(1＋i )(1－i )(1＋i )2－b ＋(b ＋2)i22－b 2b ＋22是实数，所以b ＋2＝0，b ＝－2，所以z ＝－2i.9．若复数z 满足(3－4i)z ＝5＋10i ，则|z |＝________.考点 复数的模的定义与应用题点 利用定义求复数的模答案 5解析 由(3－4i)z ＝5＋10i 知，|3－4i|·|z |＝|5＋10i|，即5|z |＝5，解得|z |＝.5510．设复数z 1＝i ，z 2＝，z ＝z 1＋z 2，则z 在复平面内对应的点位于第________象限．2－3i|3－4i|考点 复数四则运算的综合应用题点 与混合运算有关的几何意义答案 一解析 z 2＝＝＝＝－i ，z 1＝i ，2－3i|3－4i|2－3i 32＋(－4)22－3i 52535则z ＝z 1＋z 2＝i ＋－i ＝＋i.25352525∴z 在复平面内对应的点的坐标为，位于第一象限．(25，25)11.已知复数z ＝(2a ＋i)(1－b i)的实部为2，i 是虚数单位，其中a ，b 为正实数，则4a ＋1－b 的最小值为________．(12)考点 复数的乘除法运算法则题点 利用乘除法求复数中的未知数答案 22解析 复数z ＝(2a ＋i)(1－b i)＝2a ＋b ＋(1－2ab )i 的实部为2，其中a ，b 为正实数，∴2a ＋b ＝2，∴b ＝2－2a .则4a ＋1－b ＝4a ＋21－2a ＝4a ＋≥2＝2，(12)24a 4a ·24a 2当且仅当a ＝，b ＝时取等号．1432三、解答题12．计算：(1)；(－1＋i )(2＋i )i3(2)；(1＋2i )2＋3(1－i )2＋i (3)＋；1－i (1＋i )21＋i (1－i )2(4).1－3i(3＋i )2考点 复数四则运算的综合运算题点 复数的混合运算解 (1)(－1＋i )(2＋i )i3＝＝＝－1－3i.－3＋i －i (－3＋i )i－i·i (2)(1＋2i )2＋3(1－i )2＋i ＝＝－3＋4i ＋3－3i 2＋i i 2＋i ＝＝＋i.i (2－i )51525(3)＋1－i(1＋i )21＋i (1－i )2＝＋＝＋＝－1.1－i 2i 1＋i －2i 1＋i －2－1＋i 2(4)＝＝1－3i (3＋i )2(3＋i )(－i )(3＋i )2－i 3＋i＝＝－－i.(－i )(3－i )4143413．已知复数z ＝1＋m i(i 是虚数单位，m ∈R )，且·(3＋i)为纯虚数(是z 的共轭复数)．z z (1)设复数z 1＝，求|z 1|；m ＋2i1－i (2)设复数z 2＝，且复数z 2所对应的点在第四象限，求实数a 的取值范围．a －i2 017z 考点 复数的乘除法运算法则题点 运算结果与点的对应关系解 ∵z ＝1＋m i ，∴＝1－m i.z ·(3＋i)＝(1－m i)(3＋i)＝(3＋m )＋(1－3m )i ，z 又∵·(3＋i)为纯虚数，z ∴Error!解得m ＝－3.∴z ＝1－3i.(1)z 1＝＝－－i ，－3＋2i 1－i 5212∴|z 1|＝＝.(－52)2＋(－12)2262(2)∵z ＝1－3i ，z 2＝＝＝，a －i 1－3i (a －i )(1＋3i )(1－3i )(1＋3i )(a ＋3)＋(3a －1)i10又∵复数z 2所对应的点在第四象限，∴Error!解得Error!∴－3<a <.13四、探究与拓展14．设复数z ＝(x －1)＋y i(x ，y ∈R )，若|z |≤1，则y ≥x 的概率为( )A.＋B.＋3412π121πC.－D.－1412π121π考点 复数的几何意义的综合应用题点 利用几何意义解决距离、角、面积答案 C解析 复数z ＝(x －1)＋y i(x ，y ∈R )，若|z |≤1，它的几何意义是以(1,0)为圆心，1为半径的圆以及圆内部分．y ≥x是图中阴影部分，如图，复数z ＝(x －1)＋y i(x ，y ∈R )，若|z |≤1，则y ≥x 的概率为＝－.14π－12×1×1π1412π15．复数z 满足|z ＋3－i|＝，求|z |的最大值和最小值．33考点 复数的几何意义的综合应用题点 利用几何意义解决距离、角、面积解 方法一 |z ＋3－i|≥||z |－|3－i||，33又∵|z ＋3－i|＝，33|3－i|＝＝2，3123∴||z |－2|≤，33即≤|z |≤3，33∴|z |的最大值为3，最小值为.333333方法二 |z＋3－i|＝表示以－3＋i对应的点P为圆心，以为半径的圆，如图所示，3123则|OP|＝|－3＋i|＝＝2，33显然|z|max＝|OA|＝|OP|＋＝3，33|z|min＝|OB|＝|OP|－＝.。
2019-2020版数学新导学笔记人教A全国通用版选修2-3实用课件：第二章 随机变量及其分布 2.2.2
第二章§2.2二项分布及其应用2.2.2事件的相互独立性学习目标1.在具体情境中，了解两个事件相互独立的概念.2.能利用相互独立事件同时发生的概率公式解决一些简单的实际问题.内容索引问题导学题型探究达标检测问题导学甲箱里装有3个白球、2个黑球，乙箱里装有2个白球，2个黑球.从这两个箱子里分别摸出1个球，记事件A 为“从甲箱里摸出白球”，事件B 为“从乙箱里摸出白球”.思考1事件A 发生会影响事件B 发生的概率吗？思考2P (A )，P (B )，P (AB )的值为多少？答案不影响.知识点一相互独立的概念答案 P (A )＝35，P (B )＝12，P (AB )＝3×25×4＝310.思考3P(AB)与P(A)，P(B)有什么关系？答案P(AB)＝P(A)P(B).梳理条件设A，B为两个事件，若P(AB)＝__________P(A)P(B)结论称事件A与事件B相互独立知识点二相互独立的性质条件A 与B 是相互独立事件结论也相互独立A 与B 与与BAA B1.不可能事件与任何一个事件相互独立.()2.必然事件与任何一个事件相互独立.()3.如果事件A 与事件B 相互独立，则P (B |A )＝P (B ).()4.“P (AB )＝P (A )·P (B )”是“事件A ，B 相互独立”的充要条件.()√√√[思考辨析判断正误]√题型探究类型一事件独立性的判断例1判断下列各对事件是不是相互独立事件：(1)甲组3名男生，2名女生；乙组2名男生，3名女生，现从甲、乙两组中各选1名同学参加演讲比赛，“从甲组中选出1名男生”与“从乙组中选出1名女生”；解“从甲组中选出1名男生”这一事件是否发生，对“从乙组中选出1名女生”这一事件发生的概率没有影响，所以它们是相互独立事件.(2)容器内盛有5个白乒乓球和3个黄乒乓球，“从8个球中任意取出1个，取出的是白球”与“从剩下的7个球中任意取出1个，取出的还是白球”；，解“从8个球中任意取出1个，取出的是白球”的概率为58若这一事件发生了，，则“从剩下的7个球中任意取出1个，取出的仍是白球”的概率为47若前一事件没有发生，则后一事件发生的概率为57.可见，前一事件是否发生，对后一事件发生的概率有影响，所以两者不是相互独立事件.(3)掷一枚骰子一次，“出现偶数点”与“出现3点或6点”.解记A ：出现偶数点，B ：出现3点或6点，则A ＝{2,4,6}，B ＝{3,6}，AB ＝{6}，所以P (A )＝36＝12，P (B )＝26＝13，P (AB )＝16，所以P (AB )＝P (A )P (B )，所以事件A 与B 相互独立.反思与感悟三种方法判断两事件是否具有独立性(1)定义法：直接判定两个事件发生是否相互影响.(2)公式法：检验P(AB)＝P(A)P(B)是否成立.(3)条件概率法：当P(A)>0时，可用P(B|A)＝P(B)判断.跟踪训练1一个家庭中有若干个小孩，假定生男孩和生女孩是等可能的，令A＝{一个家庭中既有男孩又有女孩}，B＝{一个家庭中最多有一个女孩}.对下列两种情形，讨论A与B的独立性：(1)家庭中有两个小孩；(2)家庭中有三个小孩.解有三个小孩的家庭，小孩为男孩、女孩的所有可能情形为Ω＝{(男，男，男)，(男，男，女)，(男，女，男)，(男，女，女)，(女，男，男)，(女，男，女)，(女，女，男)，(女，女，女)}.由等可能性知这8个基本事件的概率均为18，这时A 中含有6个基本事件，B 中含有4个基本事件，AB 中含有3个基本事件.于是P (A )＝68＝34，P (B )＝48＝12，P (AB )＝38，显然有P (AB )＝38＝P (A )P (B )成立.类型二求相互独立事件的概率例2小王某天乘火车从重庆到上海去办事，若当天从重庆到上海的三列火车正点到达的概率分别为0.8,0.7，0.9，假设这三列火车之间是否正点到达互不影响.求：(1)这三列火车恰好有两列正点到达的概率；(2)这三列火车至少有一列正点到达的概率.解三列火车至少有一列正点到达的概率为P2＝1－P(A B C)＝1－P(A)P(B)P(C)＝1－0.2×0.3×0.1＝0.994.引申探究1.在本例条件下，求恰有一列火车正点到达的概率.解恰有一列火车正点到达的概率为P3＝P(A B C)＋P(A B C)＋P(A B C)＝P(A)P(B)·P(C)＋P(A)P(B)P(C)＋P(A)P(B)P(C)＝0.8×0.3×0.1＋0.2×0.7×0.1＋0.2×0.3×0.9＝0.092.2.若一列火车正点到达计10分，用ξ表示三列火车的总得分，求P(ξ≤20).解事件“ξ≤20”表示“至多两列火车正点到达”，其对立事件为“三列火车都正点到达”，所以P(ξ≤20)＝1－P(ABC)＝1－P(A)P(B)P(C)＝1－0.8×0.7×0.9＝0.496.反思与感悟明确事件中的“至少有一个发生”“至多有一个发生”“恰好有一个发生”“都发生”“都不发生”“不都发生”等词语的意义.一般地，已知两个事件A，B，它们的概率分别为P(A)，P(B)，那么：(1)A，B中至少有一个发生为事件A＋B.(2)A，B都发生为事件AB.(3)A，B都不发生为事件A B.(4)A，B恰有一个发生为事件A B＋A B.(5)A，B中至多有一个发生为事件A B＋A B＋A B.跟踪训练2甲、乙两人破译一密码，他们能破译的概率分别为，求两人破译时，以下事件发生的概率：(1)两人都能破译的概率；13和14解记事件A 为“甲独立地破译出密码”，事件B 为“乙独立地破译出密码”.两个人都破译出密码的概率为P (AB )＝P (A )P (B )＝13×14＝112.解恰有一人破译出密码分为两类：甲破译出乙破译不出，乙破译出甲破译不出，即A B ＋A B ， ∴P (A B ＋A B )＝P (A B )＋P (A B ) ＝P (A )P (B )＋P (A )P (B )＝13×⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫1－14＋⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫1－13×14＝512.解至多有一人破译出密码的对立事件是两人都破译出密码，∴其概率为1－P(AB)＝1－112＝1112.类型三相互独立事件的综合应用例3 计算机考试分理论考试与实际操作两部分，每部分考试成绩只记“合格”与“不合格”，两部分考试都“合格”者，则计算机考试“合格”，并颁发合格证书.甲、乙、丙三人在理论考试中“合格”的概率依次为45，34，23，在实际操作考试中“合格”的概率依次为12，23，56，所有考试是否合格相互之间没有影响.(1)假设甲、乙、丙三人同时进行理论与实际操作两项考试，谁获得合格证书的可能性最大？(2)这三人进行理论与实际操作两项考试后，求恰有两人获得合格证书的概率；解设“三人考试后恰有两人获得合格证书”为事件D，则P(D)＝P(AB C)＋P(A B C)＋P(A BC)＝2 5×12×49＋25×12×59＋35×12×59＝1130.(3)用X 表示甲、乙、丙三人在计算机考试后获合格证书的人数，求X 的分布列.解随机变量X 的所有可能取值为0,1,2,3.P (X ＝0)＝35×12×49＝215，P (X ＝2)＝P (D )＝1130，P (X ＝3)＝25×12×59＝19，P (X ＝1)＝1－P (X ＝0)－P (X ＝2)－P (X ＝3)＝1－215－1130－19＝718. 所以X 的分布列为X 0 1 2 3 P215718113019反思与感悟概率问题中的数学思想(1)正难则反：灵活应用对立事件的概率关系(P(A)＋P()＝1)简化问题，A是求解概率问题最常用的方法.(2)化繁为简：将复杂事件的概率转化为简单事件的概率，即寻找所求事件与已知事件之间的关系.“所求事件”分几类(考虑加法公式，转化为互斥事件)还是分几步组成(考虑乘法公式，转化为相互独立事件).(3)方程思想：利用有关的概率公式和问题中的数量关系，建立方程(组)，通过解方程(组)使问题获解.跟踪训练3甲、乙两名篮球运动员互不影响地在同一位置投球，命中率分别为12与p，且乙投球2次均未命中的概率为116.故p＝1－P(B)＝34，所以乙投球的命中率为34.(1)求乙投球的命中率p；解设“甲投一次球命中”为事件A，“乙投一次球命中”为事件B.由题意得P(B)P(B)＝116，解得P(B)＝14或P(B)＝－14(舍去)，(2)求甲投球2次，至少命中1次的概率.解 方法一 由题设知，P (A )＝12，P (A )＝12， 1－P (A ·A )＝1－P (A )P (A )＝34.方法二 由题设知，P (A )＝12，P (A )＝12，故甲投球2次，至少命中1次的概率为故甲投球2次，至少命中1次的概率为2P (A )P (A )＋P (A )P (A )＝34.达标检测1.坛子里放有3个白球，2个黑球，从中不放回地摸球，用A 1表示第1次摸得白球，A 2表示第2次摸得白球，则A 1与A 2是A.互斥事件B.相互独立事件C.对立事件D.不相互独立事件√解析互斥事件和对立事件是同一次试验的两个不同时发生的事件，故选项A ，C 错.而事件A 1的发生对事件A 2发生的概率有影响，故两者是不相互独立事件.A.1425B.1225C.34 D .352.打靶时，甲每打10次可中靶8次，乙每打10次可中靶7次，若两人同时射击，则他们同时中靶的概率是√所以P ＝P 甲·P 乙＝1425.解析 P 甲＝810＝45，P 乙＝710，3.甲、乙两人独立地解决同一问题，甲解决这个问题的概率是p1，乙解决这个问题的概率是p，那么恰好有1人解决这个问题的概率是2√A.p1p2B.p1(1－p2)＋p2(1－p1)C.1－p1p2D.1－(1－p1)(1－p2)解析恰好有1人解决可分为甲解决乙没解决、甲没解决乙解决两种情况，这两个事件显然是互斥的，所以恰好有1人解决这个问题的概率为p(1－1p2)＋p2(1－p1)，故选B.4.在某道路的A ，B ，C 三处设有交通灯，这三盏灯在1分钟内开放绿灯的时间分别为25秒、35秒、45秒，某辆车在这段道路上匀速行驶，则三处都不停车的概率为则在这段道路上三处都不停车的概率P ＝512×712×34＝35192.A.764B.25192C.35192D.35576√解析 由题意知，每个交通灯开放绿灯的概率分别为512，712，34，解设Ai＝{第i次拨号接通电话}，i＝1,2,3.第3次拨号才接通电话可表示为A1A2A3，于是所求概率为P(A1A2A3)＝910×89×18＝110.5.某人忘记了电话号码的最后一个数字，因而他随意地拨号，假设拨过了的号码不再重复，试求下列事件的概率：(1)第3次拨号才接通电话；解拨号不超过3次而接通电话可表示为A 1＋A 1A 2＋A 1A 2A 3，于是所求概率为P (A 1＋A 1A 2＋A 1A 2A 3) (2)拨号不超过3次而接通电话.＝P (A 1)＋P (A 1A 2)＋P (A 1A 2A 3) ＝110＋910×19＋910×89×18＝310.规律与方法一般地，两个事件不可能既互斥又相互独立，因为互斥事件不可能同时发生，而相互独立事件是以它们能够同时发生为前提.相互独立事件同时发生的概率等于每个事件发生的概率的积，这一点与互斥事件的概率和也是不同的.(列表比较)互斥事件相互独立事件定义不可能同时发生的两个事件事件A是否发生对事件B发生的概率没有影响概率公式P(A∪B)＝P(A)＋P(B)P(AB)＝P(A)P(B)。
2019-2020版数学新导学笔记选修2-2人教A全国通用版讲义：第一章 导数及其应用1.3.1(二) Word版含答案.docx
1.3.1函数的单调性与导数(二)学习目标 1.会利用导数证明一些简单的不等式问题.2.掌握利用导数研究含参数的单调性的基本方法．1．函数的单调性与其导数正负的关系定义在区间(a，b)内的函数y＝f(x)：特别提醒：①若在某区间上有有限个点使f′(x)＝0，其余的点恒有f′(x)>0，则f(x)仍为增函数(减函数的情形完全类似)．②f(x)为增函数的充要条件是对任意的x∈(a，b)都有f′(x)≥0且在(a，b)内的任一非空子区间上f′(x)不恒为0.2．函数图象的变化趋势与导数值大小的关系一般地，设函数y＝f(x)，在区间(a，b)上3.利用导数解决单调性问题需要注意的问题(1)定义域优先的原则：解决问题的过程只能在定义域内，通过讨论导数的符号来判断函数的单调区间．(2)注意“临界点”和“间断点”：在对函数划分单调区间时，除了必须确定使导数等于零的点外，还要注意在定义域内的间断点．(3)如果一个函数的单调区间不止一个，这些单调区间之间不能用“∪”连接，而只能用“逗号”或“和”字等隔开．1．如果函数f(x)在某个区间内恒有f′(x)＝0，则f(x)在此区间内没有单调性．(√) 2．函数在某区间上变化越快，函数在这个区间上的导数的绝对值越大．(√)类型一 利用导数求参数的取值范围例1 若函数f (x )＝kx －ln x 在区间(1，＋∞)上单调递增，则k 的取值范围是________． 考点 利用导数求函数的单调区间 题点 已知函数的单调性求参数(或其范围) 答案 [1，＋∞)解析 由于f ′(x )＝k －1x ，f (x )＝kx －ln x 在区间(1，＋∞)上单调递增，等价于f ′(x )＝k －1x ≥0在(1，＋∞)上恒成立．由于k ≥1x ，而0<1x <1，所以k ≥1.即k 的取值范围为[1，＋∞)． 引申探究1．若将本例中条件递增改为递减，求k 的取值范围． 解 ∵f ′(x )＝k －1x，又f (x )在(1，＋∞)上单调递减，∴f ′(x )＝k －1x ≤0在(1，＋∞)上恒成立，即k ≤1x ，∵0<1x <1，∴k ≤0.即k 的取值范围为(－∞，0]．2．若将本例中条件递增改为不单调，求k 的取值范围． 解 f (x )＝kx －ln x 的定义域为(0，＋∞)， f ′(x )＝k －1x .当k ≤0时，f ′(x )<0.∴f (x )在(0，＋∞)上单调递减，故不合题意． 当k >0时，令f ′(x )＝0，得x ＝1k ，只需1k ∈(1，＋∞)，即1k >1，则0<k <1.∴k 的取值范围是(0,1)．反思与感悟 (1)利用导数法解决取值范围问题的两个基本思路①将问题转化为不等式在某区间上的恒成立问题，即f ′(x )≥0(或f ′(x )≤0)恒成立，利用分离参数或函数性质求解参数范围，然后检验参数取“＝”时是否满足题意；②先令f ′(x )>0(或f ′(x )<0)，求出参数的取值范围后，再验证参数取“＝”时f (x )是否满足题意．(2)恒成立问题的重要思路 ①m ≥f (x )恒成立⇒m ≥f (x )max ； ②m ≤f (x )恒成立⇒m ≤f (x )min .跟踪训练1 若函数f (x )＝13x 3－12ax 2＋(a －1)x ＋1在区间(1,4)上单调递减，在(6，＋∞)上单调递增，求实数a 的取值范围． 考点 利用导数求函数的单调区间 题点 已知函数的单调性求参数(或其范围) 解 方法一 (直接法) f ′(x )＝x 2－ax ＋a －1，令f ′(x )＝0，得x ＝1或x ＝a －1.当a －1≤1，即a ≤2时，函数f (x )在(1，＋∞)上单调递增，不合题意．当a －1>1，即a >2时，函数f (x )在(－∞，1)和(a －1，＋∞)上单调递增，在(1，a －1)上单调递减，由题意知(1,4)⊂(1，a －1)且(6，＋∞)⊂(a －1，＋∞)， 所以4≤a －1≤6，即5≤a ≤7. 故实数a 的取值范围为[5,7]． 方法二 (数形结合法) 如图所示，f ′(x )＝(x －1)[x －(a －1)]． 因为在(1,4)内，f ′(x )≤0， 在(6，＋∞)内f ′(x )≥0， 且f ′(x )＝0有一根为1， 所以另一根在[4,6]上．所以⎩⎪⎨⎪⎧ f ′(4)≤0，f ′(6)≥0，即⎩⎪⎨⎪⎧3×(5－a )≤0，5×(7－a )≥0，所以5≤a ≤7.故实数a 的取值范围为[5,7]．方法三(转化为不等式的恒成立问题)f′(x)＝x2－ax＋a－1.因为f(x)在(1,4)上单调递减，所以f′(x)≤0在(1,4)上恒成立．即a(x－1)≥x2－1在(1,4)上恒成立，所以a≥x＋1，因为2<x＋1<5，所以当a≥5时，f′(x)≤0在(1,4)上恒成立，又因为f(x)在(6，＋∞)上单调递增，所以f′(x)≥0在(6，＋∞)上恒成立，所以a≤x＋1，因为x＋1>7，所以当a≤7时，f′(x)≥0在(6，＋∞)上恒成立．综上知5≤a≤7.故实数a的取值范围为[5,7]．类型二证明不等式例2证明e x≥x＋1≥sin x＋1(x≥0)．考点利用导数研究函数的单调性题点利用导数证明不等式证明令f(x)＝e x－x－1(x≥0)，则f′(x)＝e x－1≥0，∴f(x)在[0，＋∞)上单调递增，∴对任意x∈[0，＋∞)，有f(x)≥f(0)，而f(0)＝0，∴f(x)≥0，即e x≥x＋1，令g(x)＝x－sin x(x≥0)，g′(x)＝1－cos x≥0，∴g(x)≥g(0)，即x－sin x≥0，∴x＋1≥sin x＋1(x≥0)，综上，e x≥x＋1≥sin x＋1.反思与感悟用导数证明不等式f(x)>g(x)的一般步骤(1)构造函数F(x)＝f(x)－g(x)，x∈[a，b]．(2)证明F′(x)＝f′(x)－g′(x)≥0，且F(a)>0.(3)依(2)知函数F(x)＝f(x)－g(x)在[a，b]上是单调递增函数，故f(x)－g(x)>0，即f(x)>g(x)．这是因为F(x)为单调递增函数，所以F(x)≥F(a)>0，即f(x)－g(x)≥f(a)－g(a)>0.跟踪训练2 已知x >0，证明不等式ln(1＋x )>x －12x 2成立．考点 利用导数研究函数的单调性 题点 利用导数证明不等式 证明 设f (x )＝ln(1＋x )－x ＋12x 2，则f ′(x )＝11＋x －1＋x ＝x 21＋x .当x >－1时，f ′(x )>0，则f (x )在(－1，＋∞)内是增函数． ∴当x >0时，f (x )>f (0)＝0.∴当x >0时，不等式ln(1＋x )>x －12x 2成立.1．已知命题p ：对任意x ∈(a ，b )，有f ′(x )>0，q ：f (x )在(a ，b )内是单调递增的，则p 是q 的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件 考点 函数的单调性与导数的关系题点 利用导数值的正负号判定函数的单调性 答案 A2．已知对任意实数x ，都有f (－x )＝－f (x )，g (－x )＝g (x )，且当x >0时，f ′(x )>0，g ′(x )>0，则当x <0时( ) A ．f ′(x )>0，g ′(x )>0 B ．f ′(x )>0，g ′(x )<0 C ．f ′(x )<0，g ′(x )>0D ．f ′(x )<0，g ′(x )<0考点 函数的单调性与导数的关系题点 利用导数值的正负号判定函数的单调性 答案 B解析 由题意知，f (x )是奇函数，g (x )是偶函数． 当x >0时，f (x )，g (x )都单调递增， 则当x <0时，f (x )单调递增，g (x )单调递减， 即f ′(x )>0，g ′(x )<0.3．已知函数f (x )＝x 3－12x ，若f (x )在区间(2m ，m ＋1)上单调递减，则实数m 的取值范围是________．考点 利用导数求函数的单调区间 题点 已知函数的单调性求参数(或其范围) 答案 [－1,1)解析 f ′(x )≤0，即3x 2－12≤0，得－2≤x ≤2. ∴f (x )的减区间为[－2,2]， 由题意得(2m ，m ＋1)⊆[－2,2]， ∴⎩⎪⎨⎪⎧2m ≥－2，m ＋1≤2，2m <m ＋1，得－1≤m <1.4．函数y ＝ax －ln x 在⎝⎛⎭⎫12，＋∞上单调递增，则a 的取值范围为________． 考点 利用导数求函数的单调区间 题点 已知函数的单调性求参数(或其范围) 答案 [2，＋∞)解析 y ′＝a －1x ，由题意知，当x ∈⎝⎛⎭⎫12，＋∞时，y ′≥0， 即a ≥1x 在⎝⎛⎭⎫12，＋∞上恒成立， 由x ∈⎝⎛⎭⎫12，＋∞得，1x<2，∴a ≥2. 5．证明方程x －12sin x ＝0只有一个实根，并试求出这个实根．考点 利用导数研究函数的单调性 题点 利用导数证明不等式解 令f (x )＝x －12sin x ，x ∈(－∞，＋∞)，则f ′(x )＝1－12cos x >0，所以f (x )在(－∞，＋∞)上为单调递增函数，其图象若穿越x 轴，则只有一次穿越的机会， 显然x ＝0时，f (x )＝0.所以方程x －12sin x ＝0有唯一的实根x ＝0.利用导数法解决取值范围问题的两个基本思路(1)将问题转化为不等式在某区间上的恒成立问题，即f ′(x )≥0(或f ′(x )≤0)恒成立，利用分离参数或函数性质求解参数范围，然后检验参数取“＝”时是否满足题意；(2)先令f ′(x )>0(或f ′(x )<0)，求出参数的取值范围后，再验证参数取“＝”时，f (x )是否满足题意.一、选择题1．函数y ＝x 4－2x 2＋5的单调递减区间为( ) A ．(－∞，－1)和(0,1) B ．[－1,0]和[1，＋∞) C ．[－1,1]D ．(－∞，－1]和[1，＋∞) 考点 利用导数求函数的单调区间 题点 利用导数求不含参数函数的单调区间 答案 A解析 y ′＝4x 3－4x ，令y ′<0，即4x 3－4x <0， 解得x <－1或0<x <1，所以函数的单调递减区间为(－∞，－1)和(0,1)，故选A. 2．若f (x )＝ln xx ，e<a <b ，则( )A ．f (a )>f (b )B ．f (a )＝f (b )C ．f (a )<f (b )D ．f (a )f (b )>1考点 利用导数研究函数的单调性 题点 比较函数值的大小 答案 A解析 由f ′(x )＝1－ln xx 2<0，解得x >e ，∴f (x )在(e ，＋∞)上为减函数， ∵e<a <b ，∴f (a )>f (b )．3．若函数f (x )＝2x 2－ln x 在定义域内的一个子区间(k －1，k ＋1)上不是单调函数，则实数k 的取值范围是( )A.⎣⎡⎭⎫1，32B.⎝⎛⎦⎤1，32 C ．(1,2] D ．[1,2) 考点 利用导数求函数的单调区间题点 已知函数的单调性求参数(或其范围) 答案 A解析 显然函数f (x )的定义域为(0，＋∞)，f ′(x )＝4x －1x ＝4x 2－1x.由f ′(x )＞0，得函数f (x )的单调递增区间为⎝⎛⎭⎫12，＋∞；由f ′(x )＜0，得函数f (x )单调递减区间为⎝⎛⎭⎫0，12.因为函数在区间(k －1，k ＋1)上不是单调函数，所以k －1＜12＜k ＋1，解得－12＜k ＜32，又因为(k －1，k ＋1)为定义域内的一个子区间，所以k －1≥0，即k ≥1.综上可知，1≤k ＜32.4．若a >0，且f (x )＝x 3－ax 在[1，＋∞)上是增函数，则a 的取值范围是( ) A ．(0,3) B ．(0,3] C ．(3，＋∞)D ．[3，＋∞)考点 利用导数求函数的单调区间 题点 已知函数的单调性求参数(或其范围) 答案 B解析 由题意得，f ′(x )＝3x 2－a ≥0在x ∈[1，＋∞)上恒成立， 即a ≤(3x 2)min ＝3， 又a >0，∴0<a ≤3. 5．若函数y ＝a (x 3－x )在⎝⎛⎭⎫－33，33上单调递减，则a 的取值范围是( ) A ．(0，＋∞) B ．(－1,0) C ．(1，＋∞)D ．(0,1)考点 利用导数求函数的单调区间题点 已知函数的单调性求参数(或其范围) 答案 A解析 y ′＝a (3x 2－1)＝3a ⎝⎛⎭⎫x －33·⎝⎛⎭⎫x ＋33， 当－33<x <33时，⎝⎛⎭⎫x －33⎝⎛⎭⎫x ＋33<0， 要使y ＝a (x 3－x )在⎝⎛⎭⎫－33，33上单调递减， 只需y ′<0，即a >0.6．设f (x )，g (x )在[a ，b ]上可导，且f ′(x )>g ′(x )，则当a <x <b 时，有( ) A ．f (x )>g (x ) B ．f (x )<g (x )C ．f (x )＋g (a )>g (x )＋f (a )D ．f (x )＋g (b )>g (x )＋f (b )考点 利用导数研究函数的单调性 题点 构造法的应用 答案 C解析 设h (x )＝f (x )－g (x )，∵f ′(x )－g ′(x )>0，∴h ′(x )>0，∴h (x )在[a ，b ]上是增函数， ∴当a <x <b 时，h (x )>h (a )， ∴f (x )－g (x )>f (a )－g (a )， 即f (x )＋g (a )>g (x )＋f (a )． 二、填空题7．若y ＝sin x ＋ax 在R 上是增函数，则a 的取值范围是________． 考点 利用导数求函数的单调区间 题点 已知函数的单调性求参数(或其范围) 答案 [1，＋∞)解析 因为y ′＝cos x ＋a ≥0， 所以a ≥－cos x 对x ∈R 恒成立． 所以a ≥1.8．若函数y ＝13ax 3－12ax 2－2ax (a ≠0)在[－1,2]上为增函数，则a 的取值范围是________．考点 利用导数求函数的单调区间 题点 已知函数的单调性求参数(或其范围) 答案 (－∞，0)解析 y ′＝ax 2－ax －2a ＝a (x ＋1)(x －2)>0， ∵当x ∈(－1,2)时，(x ＋1)(x －2)<0， ∴a <0.9．若函数y ＝－43x 3＋ax 有三个单调区间，则a 的取值范围是________．考点 利用导数求函数的单调区间 题点 已知函数的单调性求参数(或其范围) 答案 (0，＋∞)解析 ∵y ′＝－4x 2＋a ，且y 有三个单调区间， ∴方程y ′＝－4x 2＋a ＝0有两个不等的实根， ∴Δ＝02－4×(－4)×a >0，∴a >0.10．若函数f (x )＝－12x 2＋b ln(x ＋2)在(－1，＋∞)上是减函数，则b 的取值范围是________．考点 利用导数求函数的单调区间 题点 已知函数的单调性求参数(或其范围) 答案 (－∞，－1] 解析 f ′(x )＝－x ＋bx ＋2，由题意知f ′(x )＝－x ＋bx ＋2≤0在(－1，＋∞)上恒成立，即bx ＋2≤x 在(－1，＋∞)上恒成立， ∵x >－1，∴x ＋2>1>0， ∴b ≤x (x ＋2)，设y ＝x (x ＋2)，则y ＝x 2＋2x ＝(x ＋1)2－1， ∵x >－1，∴y >－1，∴要使b ≤x (x ＋2)成立，则有b ≤－1.11．若f (x )＝2x －ax 2＋2(x ∈R )在区间[－1,1]上是增函数，则a 的取值范围是________．考点 利用导数求函数的单调区间 题点 已知函数的单调性求参数(或其范围) 答案 [－1,1]解析 f ′(x )＝2·－x 2＋ax ＋2(x 2＋2)2，∵f (x )在[－1,1]上是增函数， ∴f ′(x )＝2·－x 2＋ax ＋2(x 2＋2)2≥0.∵(x 2＋2)2>0，∴x 2－ax －2≤0对x ∈[－1,1]恒成立． 令g (x )＝x 2－ax －2，则⎩⎪⎨⎪⎧ g (－1)≤0，g (1)≤0，即⎩⎪⎨⎪⎧1＋a －2≤0，1－a －2≤0，∴－1≤a ≤1.即a 的取值范围是[－1,1]． 三、解答题12．已知函数f (x )＝ax 2＋ln(x ＋1)． (1)当a ＝－14时，求函数f (x )的单调区间；(2)若函数f (x )在区间[1，＋∞)上为减函数，求实数a 的取值范围．考点 利用导数求函数的单调区间题点 已知函数的单调性求参数(或其范围)解 (1)当a ＝－14时， f (x )＝－14x 2＋ln(x ＋1)(x >－1)， f ′(x )＝－12x ＋1x ＋1＝－(x ＋2)(x －1)2(x ＋1)(x >－1)． 当f ′(x )>0时，解得－1<x <1；当f ′(x )<0时，解得x >1.故函数f (x )的单调递增区间是(－1,1)，单调递减区间是(1，＋∞)．(2)因为函数f (x )在区间[1，＋∞)上为减函数，所以f ′(x )＝2ax ＋1x ＋1≤0对任意x ∈[1，＋∞)恒成立， 即a ≤－12x (x ＋1)对任意x ∈[1，＋∞)恒成立． 令g (x )＝－12x (x ＋1)， 易求得在区间[1，＋∞)上g ′(x )>0，故g (x )在区间[1，＋∞)上单调递增，故⎣⎡⎦⎤－12x (x ＋1)min ＝g (1)＝－14， 故a ≤－14. 即实数a 的取值范围为⎝⎛⎦⎤－∞，－14. 13．已知函数f (x )＝ln x －(x －1)22. (1)求函数f (x )的单调递增区间；(2)证明：当x >1时，f (x )<x －1.考点 利用导数研究函数的单调性题点 利用导数证明不等式(1)解 f ′(x )＝1x －x ＋1＝－x 2＋x ＋1x，x ∈(0，＋∞)． 由f ′(x )>0，得⎩⎪⎨⎪⎧x >0，－x 2＋x ＋1>0， 解得0<x <1＋52.故f (x )的单调递增区间是⎝⎛⎭⎪⎫0，1＋52. (2)证明 令F (x )＝f (x )－(x －1)，x ∈(1，＋∞)．则F ′(x )＝1－x 2x. 当x ∈(1，＋∞)时，F ′(x )<0，所以F (x )在(1，＋∞)上单调递减，故当x >1时，F (x )<F (1)＝0，即当x >1时，f (x )<x －1.四、探究与拓展14．设函数f ′(x )是奇函数f (x )(x ∈R )的导函数，f (－1)＝0，当x >0时，xf ′(x )－f (x )<0，则使得f (x )>0成立的x 的取值范围是__________．考点 利用导数研究函数的单调性题点 构造法的应用答案 (－∞，－1)∪(0,1)解析 因为f (x )(x ∈R )为奇函数，f (－1)＝0，所以f (1)＝－f (－1)＝0.当x ≠0时，令g (x )＝f (x )x，则g (x )为偶函数，且g (1)＝g (－1)＝0.则当x >0时，g ′(x )＝⎝⎛⎭⎫f (x )x ′＝xf ′(x )－f (x )x 2<0，故g (x )在(0，＋∞)上为减函数，在(－∞，0)上为增函数．所以在(0，＋∞)上，当0<x <1时，g (x )>g (1)＝0⇔f (x )x >0⇔f (x )>0；在(－∞，0)上，当x <－1时，g (x )<g (－1)＝0⇔f (x )x<0⇔f (x )>0. 综上，使得f (x )>0成立的x 的取值范围是(－∞，－1)∪(0,1)．15．设函数f (x )＝x e kx (k ≠0)．(1)求函数f (x )的单调区间；(2)若函数f (x )在区间(－1,1)上单调递增，求k 的取值范围．考点 利用导数求函数的单调区间题点 已知函数的单调性求参数(或其范围)解 (1)由f ′(x )＝(1＋kx )e kx ＝0，得x ＝－1k(k ≠0)． 若k >0，则当x ∈⎝⎛⎭⎫－∞，－1k 时，f ′(x )<0，函数f (x )单调递减； 当x ∈⎝⎛⎭⎫－1k ，＋∞时，f ′(x )>0，函数f (x )单调递增． 若k <0，则当x ∈⎝⎛⎭⎫－∞，－1k 时，f ′(x )>0，函数f (x )单调递增； 当x ∈⎝⎛⎭⎫－1k ，＋∞时，f ′(x )<0，函数f (x )单调递减．综上，k >0时，f (x )的增区间为⎝⎛⎭⎫－1k ，＋∞，减区间为⎝⎛⎭⎫－∞，－1k ， k <0时，f (x )的增区间为⎝⎛⎭⎫－∞，－1k ，减区间为⎝⎛⎭⎫－1k ，＋∞. (2)由(1)知，若k >0，则当且仅当－1k≤－1， 即0<k ≤1时，函数f (x )在(－1,1)上单调递增；若k <0，则当且仅当－1k≥1，即－1≤k <0时，函数f (x )在(－1,1)上单调递增． 综上可知，函数f (x )在区间(－1,1)上单调递增时，k 的取值范围是[－1,0)∪(0,1]．。
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滚动训练四(§2.1～§2.4)一、选择题1．10件产品中有3件次品，从中任取2件，可作为随机变量的是( ) A ．取到产品的件数 B ．取到正品的概率 C ．取到次品的件数 D ．取到次品的概率考点 随机变量及离散型随机变量的概念 题点 随机变量的概念 答案 C解析 A 中取到产品的件数是一个常量而不是变量，B ，D 中的量也是一个定值，而C 中取到次品的件数可能是0,1,2，是随机变量．2．设随机变量ξ服从正态分布N (3,16)，若P (ξ>c ＋2)＝P (ξ<c －2)，则c 等于( ) A ．4 B ．3 C ．2 D ．1 考点 正态分布密度函数的概念 题点 正态曲线性质的应用 答案 B解析 由P (ξ>c ＋2)＝P (ξ<c －2)，可得正态曲线关于直线x ＝c 对称．而正态曲线关于直线x ＝μ对称，ξ服从正态分布N (3,16)，所以μ＝3.故c 的值为3.3．设X ～N ⎝⎛⎭⎫－2，14，则X 落在(－3.5，－0.5]内的概率是( )(附：若随机变量ξ服从正态分布N (μ，σ2)，则P (μ－σ<ξ≤μ＋σ)＝68.26%，P (μ－2σ<ξ≤μ＋2σ)＝95.44%，P (μ－3σ<ξ≤μ＋3σ)＝99.74%) A ．95.44% B ．99.74% C ．4.56%D ．0.26%考点 正态分布的概念及性质 题点 正态分布下的概率计算 答案 B解析 由X ～N ⎝⎛⎭⎫－2，14知，μ＝－2，σ＝12， 则P (－3.5<X ≤－0.5)＝P ⎝⎛⎭⎫－2－3×12<X ≤－2＋3×12＝0.997 4.4．设X 为随机变量且X ～B (9，p )，若随机变量X 的均值E (X )＝3，则P (X ＝2)等于( ) A.4243 B.1316 C.2562 187D.5122 187考点 二项分布的计算及应用 题点 利用二项分布求概率 答案 D解析 ∵X ～B (9，p )，E (X )＝3，∴9p ＝3，∴p ＝13，∴P (X ＝2)＝C 29×⎝⎛⎭⎫132×⎝⎛⎭⎫1－137＝5122 187. 5．某工厂师徒二人加工相同型号的零件，是否加工出精品互不影响．已知师傅加工一个零件是精品的概率为23，徒弟加工一个零件是精品的概率为12，师徒二人各加工2个零件不全是精品的概率为( ) A.89 B.23 C.13 D.19考点 条件概率的定义及计算公式 题点 直接利用公式求条件概率 答案 A解析 因为师傅加工一个零件是精品的概率为23，徒弟加工一个零件是精品的概率为12，师徒二人各加工2个零件不全是精品的对立事件是师徒二人各加工2个零件全是精品，所以师徒二人各加工2个零件不全是精品的概率为 P ＝1－C 22⎝⎛⎭⎫232C 22⎝⎛⎭⎫122＝89.故选A. 6．高三毕业时，甲、乙、丙等五位同学站成一排合影留念，已知甲、乙二人相邻，则甲、丙相邻的概率是( ) A.13 B.23 C.14 D.34考点 条件概率的定义及计算公式 题点 直接利用公式求条件概率 答案 C解析 设“甲、乙二人相邻”为事件A ，“甲、丙二人相邻”为事件B ，则所求概率为P (B |A )，P (B |A )＝P (AB )P (A )，而P (A )＝2A 44A 55＝25，AB 是表示事件“甲与乙、丙都相邻”，则P (AB )＝2A 33A 55＝110，故P (B |A )＝P (AB )P (A )＝110×52＝14.7．已知随机变量X 的分布列为P (X ＝k )＝13，k ＝1,2,3，则D (3X ＋5)等于( )A ．6B ．9C ．3D ．4 考点 离散型随机变量方差的性质 题点 方差性质的应用 答案 A解析 E (X )＝1×13＋2×13＋3×13＝2.所以D (X )＝13×[(1－2)2＋(2－2)2＋(3－2)2]＝23，所以D (3X ＋5)＝9D (X )＝9×23＝6.8．已知抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)的对称轴在y 轴的左侧，其中a ，b ，c ∈{－3，－2，－1,0,1,2,3}，在这些抛物线中，记随机变量ξ＝|a －b |，则ξ的均值E (ξ)为( ) A.13 B.35 C.25 D.89 考点 常见的几种均值题点 与排列、组合有关的随机变量的均值 答案 D解析 ∵抛物线的对称轴在y 轴的左侧， ∴－b 2a <0，即ba>0，∴a 与b 同号，∴ξ的取值为0,1,2，P (ξ＝0)＝632＋32＝13，P (ξ＝1)＝818＝49，P (ξ＝2)＝418＝29，∴ξ的分布列为∴E (ξ)＝0×13＋1×49＋2×29＝89.二、填空题9．在一次三人象棋对抗赛中，甲胜乙的概率为0.4，乙胜丙的概率为0.5，丙胜甲的概率为0.6，比赛顺序如下：第一局，甲对乙；第二局，第一局胜者对丙；第三局，第二局胜者对第一局败者；第四局，第三局胜者对第二局败者．则乙连胜四局的概率为________．考点 相互独立事件的性质及应用 题点 独立事件与互斥事件的综合应用 答案 0.09解析 乙连胜四局，即乙先胜甲，然后胜丙，接着再胜甲，最后再胜丙，∴所求概率为P ＝(1－0.4)×0.5×(1－0.4)×0.5＝0.09.10．一道数学难题，在半小时内，甲能解决的概率是12，乙能解决的概率是13，两人试图独立地在半小时内解决它，则两人都未解决的概率是________，问题得到解决的概率是________． 考点 相互独立事件同时发生的概率计算 题点 求两个相互独立事件同时发生的概率 答案 13 23解析 设“甲解决这道难题”为事件A ，“乙解决这道难题”为事件B ，则A ，B 相互独立． 所以两人都未解决的概率为P (A B )＝⎝⎛⎭⎫1－12×⎝⎛⎭⎫1－13＝13. 问题得到解决的概率为P (A B )＋P (A B )＋P (AB )＝1－P (A B )＝1－13＝23.11．某人参加驾照考试，共考6个科目，假设他通过各科考试的事件是相互独立的，并且概率都是p .若此人未能通过的科目数ξ的均值是2，则p ＝________. 考点 二项分布、两点分布的均值 题点 二项分布的均值 答案 23解析 因为通过各科考试的概率为p ，所以不能通过考试的概率为1－p ，易知ξ～B (6,1－p )，又E (ξ)＝6(1－p )＝2，解得p ＝23.三、解答题12．篮球运动员比赛投篮，命中得1分，不中得0分，已知甲运动员投篮命中的概率为p ，且各次投篮互不影响．(1)若投篮1次的得分记为X ，求方差D (X )的最大值；(2)当(1)中D (X )取最大值时，求甲运动员投篮5次得4分的概率． 考点 三种常用分布的方差 题点 二项分布的方差解 (1)依题意，得X 的分布列为∴E (X )＝0×(1－p )＋1×p ＝p ，D (X )＝(0－p )2×(1－p )＋(1－p )2×p ＝－⎝⎛⎭⎫p －122＋14， ∴当p ＝12时，D (X )取得最大值，且最大值为14.(2)由(1)可知p ＝12.记投篮5次的得分为Y ，则Y ～B ⎝⎛⎭⎫5，12，那么P (Y ＝4)＝C 45×⎝⎛⎭⎫124×12＝532， 则甲运动员投篮5次得4分的概率为532.13．某产品有4件正品和2件次品混在了一起，现要把这2件次品找出来，为此每次随机抽取1件进行测试，测试后不放回，直至次品全部被找出为止． (1)求“第1次和第2次都抽到次品”的概率；(2)设所要测试的次数为随机变量X ，求X 的分布列和均值． 考点 常见的几种均值题点 与排列、组合有关的随机变量的均值解 (1)设“第1次和第2次都抽到次品”为事件A ， 则P (A )＝A 22A 26＝115.(2)X 的所有可能取值为2,3,4,5.P (X ＝2)＝115，P (X ＝3)＝C 12C 14A 22A 36＝215，P (X ＝4)＝A 44A 46＋C 12C 24A 33A 46＝415，P (X ＝5)＝C 12C 34A 44A 56＋C 34C 12A 44A 56＝815. X 的分布列为因此，E (X )＝2×115＋3×215＋4×415＋5×815＝6415.四、探究与拓展14．如图所示，用A ，B ，C ，D 表示四类不同的元件连接成系统M .当元件A ，B 至少有一个正常工作且元件C ，D 至少有一个正常工作时，系统M 正常工作．已知元件A ，B ，C ，D 正常工作的概率依次为0.5,0.6,0.7,0.8.则元件连接成的系统M 正常工作的概率P (M )等于( )A ．0.752B ．0.988C ．0.168D ．0.832考点 相互独立事件的性质及应用 题点 相互独立事件性质的应用 答案 A解析 P (M )＝[1－P (A B )][1－P (C D )]＝0.752.15．一款击鼓小游戏的规则如下：每盘游戏都需击鼓三次，每次击鼓要么出现一次音乐，要么不出现音乐；每盘游戏击鼓三次后，出现一次音乐获得10分，出现两次音乐获得20分，出现三次音乐获得100分，没有出现音乐则扣除200分(即获得－200分)．设每次击鼓出现音乐的概率为12，且各次击鼓出现音乐相互独立．(1)设每盘游戏获得的分数为X ，求X 的分布列； (2)玩三盘游戏，至少有一盘出现音乐的概率是多少？(3)玩过这款游戏的许多人都发现，若干盘游戏后，与最初的分数相比．分数没有增加反而减少了．请运用概率统计的相关知识分析分数减少的原因． 考点 离散型随机变量的均值的性质 题点 均值在实际中的应用解 (1)X 可能的取值为10,20,100，－200. 根据题意，有P (X ＝10)＝C 13×⎝⎛⎭⎫121×⎝⎛⎭⎫1－122＝38， P (X ＝20)＝C 23×⎝⎛⎭⎫122×⎝⎛⎭⎫1－121＝38， P (X ＝100)＝C 33×⎝⎛⎭⎫123×⎝⎛⎭⎫1－120＝18， P (X ＝－200)＝C 03×⎝⎛⎭⎫120×⎝⎛⎭⎫1－123＝18. 所以X 的分布列为(2)设“第i 盘游戏没有出现音乐”为事件A i (i ＝1,2,3)，则P (A 1)＝P (A 2)＝P (A 3)＝P (X ＝－200)＝18. 所以“三盘游戏中至少有一盘出现音乐”的概率为 1－P (A 1A 2A 3)＝1－⎝⎛⎭⎫183＝1－1512＝511512. 因此，玩三盘游戏至少有一盘出现音乐的概率是511512.(3)X 的均值为E (X )＝10×38＋20×38＋100×18－200×18＝－54.这表明，获得分数X 的均值为负，因此，多次游戏之后分数减少的可能性更大．。