椭圆双曲线抛物线(PPT文档)

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专题四第2讲椭圆双曲线抛物线

(2)过点F的直线交E于A，B两点，以AB为直径的圆D与平行于y轴的直线相切于点 M，线段DM交E于点N，证明：△AMB的面积是△AMN的面积的四倍.
证明设A(x1，y1)，B(x2，y2)，因为直线AB过F(1,0)，依题意可设其方程x＝ty＋1(t≠0)，由xy＝ 2＝ty4＋x，1，得 y2－4ty－4＝0. 因为Δ＝16t2＋16＞0，所以y1＋y2＝4t，则有x1＋x2＝(ty1＋1)＋(ty2＋1)＝4t2＋2. 因为D是AB的中点，所以D(2t2＋1,2t). 由抛物线的定义得|AB|＝(x1＋1)＋(x2＋1)＝4t2＋4，设圆D与l：x＝m相切于M，因为DM⊥l，即DM⊥y轴，
A.y2＝9x
B.y2＝6x
√C.y2＝3x
D.y2＝ 3x
解析如图分别过点A，B作准线的垂线，分别交准线于点E，D，设准线交x轴于点G. 设|BF|＝a，则由已知得|BC|＝2a，由抛物线定义，得|BD|＝a，故∠BCD＝30°，在Rt△ACE中， ∵|AE|＝|AF|＝3，|AC|＝3＋3a，|AC|＝2|AE|， ∴3＋3a＝6，从而得a＝1，|FC|＝3a＝3.
①
又x320＋by022＝1，所以 y20＝b21－x320，
②
由①②解得b2＝2.
所以 C 的方程为x32＋y22＝1.
(2)P 是双曲线x32－y42＝1 的右支上一点，F1，F2 分别为双曲线的左、右焦点，则△PF1F2
的内切圆的圆心横坐标为
√A. 3
B.2
C. 7
D.3
解析如图所示，F1(－ 7，0)，F2( 7，0)，
跟踪演练 2 (1)(2019·浙江省宁波市镇海中学模拟)已知双曲线ax22－by22＝1(a＞0，b＞0)

第2讲：椭圆、抛物线、双曲线

1.圆锥曲线的方程与几何性质是高考的重点；2直线与圆锥曲线的位置关系是命题的热点，尤其是有关弦长计算及存在性问题；3.数学运算（数的运算、代数式运算）也是这里的考查要求之一．1.圆锥曲线的定义(1)椭圆：|MF 1|＋|MF 2|＝2a (2a ＞|F 1F 2|)； (2)双曲线：||MF 1|－|MF 2||＝2a (2a ＜|F 1F 2|)； (3)抛物线：|MF |＝d (d 为M 点到准线的距离). 2.圆锥曲线的标准方程(1)椭圆：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)(焦点在x 轴上)或y 2a 2＋x 2b 2＝1(a ＞b ＞0)(焦点在y 轴上)；(2)双曲线：x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)(焦点在x 轴上)或y 2a 2－x 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)(焦点在y 轴上)；(3)抛物线：y 2＝2px ，y 2＝－2px ，x 2＝2py ，x 2＝－2py (p ＞0). 3.圆锥曲线的重要性质(1)椭圆、双曲线中a ，b ，c 之间的关系 ①在椭圆中：a 2＝b 2＋c 2；离心率为e ＝ca ＝1－b 2a 2. ②在双曲线中：c 2＝a 2＋b 2；离心率为e ＝c a＝1＋b 2a2.(2)双曲线的渐近线方程与焦点坐标①双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的渐近线方程为y ＝±ba x ；焦点坐标F 1(－c ，0)，F 2(c ，0).②双曲线y 2a 2－x 2b 2＝1(a >0，b >0)的渐近线方程为y ＝±ab x ，焦点坐标F 1(0，－c )，F 2(0，c ).(3)抛物线的焦点坐标与准线方程①抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点F ⎝⎛⎭⎫p 2，0，准线方程x ＝－p2. ②抛物线x 2＝2py (p >0)的焦点F ⎝⎛⎭⎫0，p 2，准线方程y ＝－p 2. 4.弦长问题(1)直线与圆锥曲线相交的弦长设而不求，利用根与系数的关系，进行整体代入.即当斜率为k ，直线与圆锥曲线交于A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)时，|AB |＝1＋k 2|x 1－x 2|＝1＋k 2（x 1＋x 2）2－4x 1x 2. (2)过抛物线焦点的弦长抛物线y 2＝2px (p >0)过焦点F 的弦AB ，若A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则x 1x 2＝p 24，y 1y 2＝－p 2，弦长|AB |＝x 1＋x 2＋p .热点一圆锥曲线的几何性质【例1】 (2017·山东卷)在平面直角坐标系xOy 中，双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的右支与焦点为F 的抛物线x 2＝2py (p ＞0)交于A ，B 两点，若|AF |＋|BF |＝4|OF |，则该双曲线的渐近线方程为________. 解析设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，联立方程：⎩⎪⎨⎪⎧x 2a 2－y 2b 2＝1，x 2＝2py ，消去x 得a 2y 2－2pb 2y ＋a 2b 2＝0，由根与系数的关系得y 1＋y 2＝2b 2a2p ，又∵|AF |＋|BF |＝4|OF |，∴y 1＋p 2＋y 2＋p 2＝4×p2，即y 1＋y 2＝p ，∴2b 2a 2p ＝p ，即b 2a 2＝12⇒b a ＝22. ∴双曲线渐近线方程为y ＝±22x .答案 y ＝±22x探究提高 1.分析圆锥曲线中a ，b ，c ，e 各量之间的关系是求解圆锥曲线性质问题的关键.2.确定椭圆和双曲线的离心率的值及范围，其关键就是确立一个关于a ，b ，c 的方程(组)或不等式(组)，再根据a ，b ，c 的关系消掉b 得到a ，c 的关系式.建立关于a ，b ，c 的方程(组)或不等式(组)，要充分利用椭圆和双曲线的几何性质、点的坐标的范围等.3.求双曲线渐近线方程关键在于求b a 或ab 的值，也可将双曲线等号右边的“1”变为“0”，然后因式分解得到.【训练1】 (1)(2017·全国Ⅲ卷)已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的左、右顶点分别为A 1，A 2，且以线段A 1A 2为直径的圆与直线bx －ay ＋2ab ＝0相切，则C 的离心率为( ) A.63B.33C.23D.13(2)(2016·北京卷)双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的渐近线为正方形OABC 的边OA ，OC 所在的直线，点B 为该双曲线的焦点，若正方形OABC 的边长为2，则a ＝________.解析 (1)以线段A 1A 2为直径的圆是x 2＋y 2＝a 2，直线bx －ay ＋2ab ＝0与圆相切，所以圆心(0，0)到直线的距离d ＝2ab a 2＋b 2＝a ，整理为a 2＝3b 2，即b a ＝13.∴e ＝ca ＝a 2－b 2a＝1－⎝⎛⎭⎫b a 2＝1－⎝⎛⎭⎫132＝63.(2)取B 为双曲线右焦点，如图所示.∵四边形OABC 为正方形且边长为2，∴c ＝|OB |＝22，又∠AOB ＝π4，∴b a ＝tan π4＝1，即a ＝b .又a 2＋b 2＝c 2＝8，∴a ＝2. 答案 (1)A (2)2热点二直线与圆锥曲线【例2】 (2016·全国Ⅰ卷)在直角坐标系xOy 中，直线l ：y ＝t (t ≠0)交y 轴于点M ，交抛物线C ：y 2＝2px (p >0)于点P ，M 关于点P 的对称点为N ，连接ON 并延长交C 于点H . (1)求|OH ||ON |； (2)除H 以外，直线MH 与C 是否有其它公共点？说明理由. 解 (1)如图，由已知得M (0，t )，P ⎝⎛⎭⎫t 22p ，t ，又N 为M 关于点P 的对称点，故N ⎝⎛⎭⎫t 2p ，t ，故直线ON 的方程为y ＝ptx ，将其代入y 2＝2px 整理得px 2－2t 2x ＝0，解得x 1＝0，x 2＝2t 2p ，因此H ⎝⎛⎭⎫2t 2p ，2t . 所以N 为OH 的中点，即|OH ||ON |＝2.(2)直线MH 与C 除H 以外没有其它公共点，理由如下：直线MH 的方程为y －t ＝p 2t x ，即x ＝2tp (y －t ).代入y 2＝2px 得y 2－4ty ＋4t 2＝0，解得y 1＝y 2＝2t ，即直线MH 与C 只有一个公共点，所以除H 以外，直线MH 与C 没有其它公共点.探究提高 1.判断直线与圆锥曲线的交点个数时，可直接求解相应方程组得到交点坐标，也可利用消元后的一元二次方程的判别式来确定；2.弦长计算公式：直线AB 与圆锥曲线有两个交点A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则弦长|AB |＝1＋k 2·（x 1＋x 2）2－4x 1x 2，其中k 为弦AB 所在直线的斜率.3.对于弦的中点问题常用“根与系数的关系”或“点差法”求解，在使用根与系数的关系时，要注意使用条件Δ>0，在用“点差法”时，要检验直线与圆锥曲线是否相交.【训练2】 (2017·北京卷)已知抛物线C ：y 2＝2px 过点P (1，1)，过点⎝⎛⎭⎫0，12作直线l 与抛物线C 交于不同的两点M ，N ，过点M 作x 轴的垂线分别与直线OP ，ON 交于点A ，B ，其中O 为原点. (1)求抛物线C 的方程，并求其焦点坐标和准线方程； (2)求证：A 为线段BM 的中点.解 (1)把P (1，1)代入y 2＝2px ，得p ＝12，所以抛物线C 的方程为y 2＝x ，焦点坐标为⎝⎛⎭⎫14，0，准线方程为x ＝－14. (2)证明当直线MN 斜率不存在或斜率为零时，显然与抛物线只有一个交点不满足题意，所以直线MN (也就是直线l )斜率存在且不为零.由题意，设直线l 的方程为y ＝kx ＋12(k ≠0)，l 与抛物线C 的交点为M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2).由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋12，y 2＝x ，消去y 得4k 2x 2＋(4k －4)x ＋1＝0. 考虑Δ＝(4k －4)2－4×4k 2＝16(1－2k )，由题可知有两交点，所以判别式大于零，所以k <12.则x 1＋x 2＝1－k k 2，x 1x 2＝14k2.因为点P 的坐标为(1，1)，所以直线OP 的方程为y ＝x ，点A 的坐标为(x 1，x 1). 直线ON 的方程为y ＝y 2x 2x ，点B 的坐标为⎝⎛⎭⎫x 1，y 2x 1x 2. 因为y 1＋y 2x 1x 2－2x 1＝y 1x 2＋y 2x 1－2x 1x 2x 2＝⎝⎛⎭⎫kx 1＋12x 2＋⎝⎛⎭⎫kx 2＋12x 1－2x 1x 2x 2＝（2k －2）x 1x 2＋12（x 2＋x 1）x 2＝（2k －2）×14k 2＋1－k2k2x 2＝0.所以y 1＋y 2x 1x 2＝2x 1.故A 为线段BM 的中点.1.(2016·全国Ⅰ卷)已知方程x 2m 2＋n －y 23m 2－n ＝1表示双曲线，且该双曲线两焦点间的距离为4，则n 的取值范围是( ) A.(－1，3)B.(－1，3)C.(0，3)D.(0，3)2.(2017·全国Ⅲ卷)已知双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的一条渐近线方程为y ＝52x ，且与椭圆x 212＋y 23＝1有公共焦点，则C 的方程为( ) A.x 28－y 210＝1 B.x 24－y 25＝1 C.x 25－y 24＝1 D.x 24－y 23＝1 3.(2017·全国Ⅱ卷)已知F 是抛物线C ：y 2＝8x 的焦点，M 是C 上一点，FM 的延长线交y 轴于点N .若M 为FN 的中点，则|FN |＝________.4.(2017·全国Ⅱ卷)设O 为坐标原点，动点M 在椭圆C ：x 22＋y 2＝1上，过M 作x 轴的垂线，垂足为N ，点P 满足NP →＝2NM →. (1)求点P 的轨迹方程；(2)设点Q 在直线x ＝－3上，且OP →·PQ →＝1.证明：过点P 且垂直于OQ 的直线l 过C 的左焦点F .1.(2016·全国Ⅱ卷)设F 为抛物线C ：y 2＝4x 的焦点，曲线y ＝kx (k >0)与C 交于点P ，PF ⊥x 轴，则k ＝( )A.12B.1C.32D.22.(2017·全国Ⅰ卷)已知F 是双曲线C ：x 2－y 23＝1的右焦点，P 是C 上一点，且PF 与x 轴垂直，点A 的坐标是(1，3)，则△APF 的面积为( ) A.13B.12C.23D.323.(2017·邯郸质检)已知抛物线C ：y 2＝8x 的焦点为F ，准线为l ，P 是l 上一点，Q 是直线PF 与C 的一个交点.若FP →＝4FQ →，则|QF |等于________.45分钟）经典常规题高频易错题4.(2017·佛山调研)已知椭圆E ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的离心率为22，右焦点为F (1，0).(1)求椭圆E 的标准方程；(2)设点O 为坐标原点，过点F 作直线l 与椭圆E 交于M ，N 两点，若OM ⊥ON ，求直线l 的方程.1.(2017·新乡模拟)已知双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的右焦点为F ，点B 是虚轴上的一个顶点，线段BF 与双曲线C 的右支交于点A ，若BA →＝2AF →，且|BF →|＝4，则双曲线C 的方程为( ) A.x 26－y 25＝1 B.x 28－y 212＝1 C.x 28－y 24＝1 D.x 24－y 26＝1 2.(2017·石家庄三模)已知椭圆C 1与双曲线C 2有相同的左右焦点F 1，F 2，P 为椭圆C 1与双曲线C 2在第一象限内的一个公共点，设椭圆C 1与双曲线C 2的离心率分别为e 1，e 2，且e 1e 2＝13，若∠F 1PF 2＝π3，则双曲线C 2的渐近线方程为( ) A.x ±y ＝0B.x ±33y ＝0 C.x ±22y ＝0 D.x ±2y ＝03.(2017·潍坊三模)已知抛物线y 2＝2px (p >0)上的一点M (1，t )(t >0)到焦点的距离为5，双曲线x 2a 2－y 29＝1(a >0)的左顶点为A ，若双曲线的一条渐近线与直线AM 平行.则实数a 的值为________.4.(2017·郴州三模) 在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ≥1)过点P (2，1)，且离心率e ＝32.(1)求椭圆C 的方程；(2)直线l 的斜率为12，直线l 与椭圆C 交于A ，B 两点，求△P AB 面积的最大值.精准预测题参考答案1.【解题思路】方程x 2m 2＋n －y 23m 2－n ＝1表示双曲线，根据一元二次不等式可知m ，n 之间的不等关系，进而分别确定m 2＋n 和3m 2－n 的正负，当然也可以分类讨论处理.【答案】∵方程x 2m 2＋n －y 23m 2－n＝1表示双曲线，∴(m 2＋n )·(3m 2－n )>0，解得－m 2<n <3m 2.由双曲线性质，知c 2＝(m 2＋n )＋(3m 2－n )＝4m 2(其中c 是半焦距)，∴焦距2c ＝2×2|m |＝4，解得|m |＝1，∴－1<n <3.故选A.2.【解题思路】由渐近线知ba 的值，又由焦点坐标可确定c .【答案】由题设知b a ＝52，①又由椭圆x 212＋y 23＝1与双曲线有公共焦点，易知a 2＋b 2＝c 2＝9，②由①②解得a ＝2，b ＝5，则双曲线C 的方程为x 24－y 25＝1.故选B.3.【解题思路】做出M 到准线的垂线，利用中位线和抛物线的定义即可.【答案】如图，不妨设点M 位于第一象限内，抛物线C 的准线交x 轴于点A ，过点M 作准线的垂线，垂足为点B ，交y 轴于点P ，∴PM ∥OF .由题意知，F (2，0)，|FO |＝|AO |＝2.∵点M 为FN 的中点，PM ∥OF ，∴|MP |＝12|FO |＝1.又|BP |＝|AO |＝2，∴|MB |＝|MP |＋|BP |＝3.由抛物线的定义知|MF |＝|MB |＝3，故|FN |＝2|MF |＝6.故填6. 4.【解题思路】(1)相关点法求轨迹， (2)利用向量处理垂直问题.【答案】(1)解设P (x ，y )，M (x 0，y 0)，则N (x 0，0)，NP →＝(x －x 0，y )，NM →＝(0，y 0)，由NP →＝2NM →得x 0＝x ，y 0＝22y ，因为M (x 0，y 0)在C 上，所以x 22＋y 22＝1，因此点P 的轨迹方程为x 2＋y 2＝2.(2)证明由题意知F (－1，0)，设Q (－3，t )，P (m ，n )，则OQ →＝(－3，t )，PF →＝(－1－m ，－n )，OQ →·PF →＝3＋3m －tn ，OP →＝(m ，n )，PQ →＝(－3－m ，t －n )，由OP →·PQ →＝1，得－3m －m 2＋tn －n 2＝1，经典常规题又由(1)知m 2＋n 2＝2.故3＋3m －tn ＝0.所以OQ →·PF →＝0，即OQ →⊥PF →，又过点P 存在唯一直线垂直于OQ ，所以过点P 且垂直于OQ 的直线l 过C 的左焦点F .1.【解题思路】由PF ⊥x 轴结合P 点在抛物线上确定P 点坐标. 【答案】因为抛物线方程是y 2＝4x ，所以F (1，0).又因为PF ⊥x 轴，所以P (1，2)，把P 点坐标代入曲线方程y ＝k x (k >0)，即k1＝2，所以k ＝2.故选D.2.【解题思路】12APF S PF d =⋅△(d 为A 到PF 的距离). 【答案】由c 2＝a 2＋b 2＝4得c ＝2，所以F (2，0)，将x ＝2代入x 2－y 23＝1，得y ＝±3，所以|PF |＝3. 又A 的坐标是(1，3)，故△APF 的面积为12×3×(2－1)＝32.故选D.3.【解题思路】过点Q 作l 的垂线，利用三角形相似，对应边成比例处理.【答案】过点Q 作QQ ′⊥l 交l 于点Q ′，因为FP →＝4FQ →，所以|PQ |∶|PF |＝3∶4，又焦点F 到准线l 的距离为4，所以|QF |＝|QQ ′|＝3.故填3.4.【解题思路】(1)由离心率和焦点坐标联立方程求出a ，b ， (2) OM ⊥ON ⇔OM →·ON →＝0，结合韦达定理处理.【答案】解 (1)依题意可得⎩⎪⎨⎪⎧1a ＝22，a 2＝b 2＋1，解得a ＝2，b ＝1.∴椭圆E 的标准方程为x 22＋y 2＝1.(2)设M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)，①当MN 垂直于x 轴时，直线l 的方程为x ＝1，不符合题意；②当MN 不垂直于x 轴时，设直线l 的方程为y ＝k (x －1).联立得方程组⎩⎪⎨⎪⎧x 22＋y 2＝1，y ＝k （x －1），消去y得(1＋2k 2)x 2－4k 2x ＋2(k 2－1)＝0，∴x 1＋x 2＝4k 21＋2k 2，x 1·x 2＝2（k 2－1）1＋2k 2. ∴y 1·y 2＝k 2[x 1x 2－(x 1＋x 2)＋1]＝－k 21＋2k 2.∵OM ⊥ON ，∴OM →·ON →＝0. ∴x 1·x 2＋y 1·y 2＝k 2－21＋2k 2＝0，∴k ＝±2.故直线l 的方程为y ＝±2(x －1).1.【解题思路】由BA →＝2AF →可确定A 点坐标，A 点在双曲线上，又|BF →|＝4由勾股定理可得，列方程组解出a ，b .【答案】设A (x ，y )，∵右焦点为F (c ，0)，点B (0，b )，线段BF 与双曲线C 的右支交于点A ，且BA →＝2AF →， ∴x ＝2c 3，y ＝b 3，代入双曲线方程，得4c 29a 2－19＝1，且c 2＝a 2＋b 2，∴b ＝6a 2.高频易错题精准预测题∵|BF →|＝4，∴c 2＋b 2＝16，∴a ＝2，b ＝6，∴双曲线C 的方程为x 24－y 26＝1.故选D.2.【解题思路】共焦点相同，再e 1e 2＝13再可得椭圆与双曲线的a ，b ，c 的关系，结合定义可得|PF 1|，|PF 2|.【答案】设椭圆C 1：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)，双曲线C 2：x 2m 2－y 2n 2＝1，依题意c 1＝c 2＝c ，且e 1e 2＝13，∴m a ＝13，则a ＝3m ，① 由圆锥曲线定义，得|PF 1|＋|PF 2|＝2a ，且|PF 1|－|PF 2|＝2m ，∴|PF 1|＝4m ，|PF 2|＝2m . 在△F 1PF 2中，由余弦定理，得：4c 2＝|PF 1|2＋|PF 2|2－2|PF 1||PF 2|cosπ3＝12m 2， ∴c 2＝3m 2，则n 2＝c 2－m 2＝2m 2，因此双曲线C 2的渐近线方程为y ＝±2x ，即x ±22y ＝0.故选C.3.【解题思路】利用抛物线定义求出点M 的坐标，再两直线平行，斜率相等. 【答案】由题设1＋p2＝5，∴p ＝8.不妨设点M 在x 轴上方，则M (1，4)，由于双曲线的左顶点A (－a ，0)，且直线AM 平行一条渐近线，∴41＋a ＝3a，则a ＝3.故填3.4.【解题思路】(1)列方程组求解，(2)在涉及弦长的问题中，应熟练地利用根与系数关系，设而不求计算弦长；涉及过焦点的弦的问题，可考虑用圆锥曲线的定义求解. 【答案】解(1)∵e 2＝c 2a 2＝a 2－b 2a 2＝34，∴a 2＝4b 2.又4a 2＋1b2＝1，∴a 2＝8，b 2＝2. 故所求椭圆C 的方程为x 28＋y 22＝1.(2)设l 的方程为y ＝12x ＋m ，点A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，联立⎩⎨⎧y ＝12x ＋m ，x 28＋y22＝1，消去y 得x 2＋2mx ＋2m 2－4＝0，判别式Δ＝16－4m 2＞0，即m 2＜4.又x 1＋x 2＝－2m ，x 1·x 2＝2m 2－4，则|AB |＝1＋14×（x 1＋x 2）2－4x 1x 2＝5（4－m 2），点P 到直线l 的距离d ＝|m |1＋14＝2|m |5. 因此S △P AB ＝12d |AB |＝12×2|m |5×5（4－m 2）＝m 2（4－m 2）≤m 2＋（4－m 2）2＝2，当且仅当m 2＝2时上式等号成立，故△P AB 面积的最大值为2.。

高考数学：专题五第二讲椭圆、双曲线、抛物线课件

考点与考题
第二讲
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图形
考点与考题
范围顶点对称性 |x|≤a，|y|≤b (± a,0)(0，± b) |x|≥a (± a,0) x≥0 (0,0)
第二讲
关于 x 轴，y 轴和原点对称 (± c,0) 长轴长 2a，短轴长 2b c e＝a b2 ＝ 1－ 2 a (0＜e＜1) 实轴长 2a，虚轴长 2b c e＝a b2 ＝ 1＋ 2 a (e＞1)
解析由 x2－y2＝2 知，a2＝2，b2＝2，c2＝a2＋b2＝4，
∴a＝ 2，c＝2.
又∵|PF1|－|PF2|＝2a，|PF1|＝2|PF2|，
∴|PF1|＝4 2，|PF2|＝2 2.
又∵|F1F2|＝2c＝4，
4 22＋2 22－42 ∴由余弦定理得 cos∠F1PF2＝ 2×4 2×2 2 3 ＝ . 4
∴直线 AF 的方程为 y＝2 2(x－1). y＝2 2x－1，联立直线与抛物线的方程 2 y ＝4x，
1 x＝2， x＝， 2 解之得或 y＝2 2. y＝－ 2 1 由图知 B2，－ 2，
考点与考题
1 1 ∴S△AOB＝ |OF|· A－yB|＝ ×1×|2 2＋ 2| |y 2 2 3 ＝ 2.故选 C. 2
答案 2 7－5
题型与方法
第二讲
方法提炼何性质.
研究圆锥曲线的几何性质，实质是求参数a、b、c或者
建立a、b、c的关系式(等式或不等式)，然后根据概念讨论相应的几
本讲栏目开关
题型与方法
第二讲
本讲栏目开关
变式训练 2 (1)若点 P 为共焦点的椭圆 C1 和双曲线 C2 的一个交点， F1、F2 分别是它们的左、右焦点，设椭圆离心率为 e1，双曲线离心率 1 1 → → 为 e2，若PF1· 2＝0，则 2＋ 2等于 PF (B ) e1 e2 A.1 B.2 C.3 D.4

2021届高考二轮数学人教版课件：第2部分专题5 第2讲椭圆、双曲线、抛物线

D．x32－y2＝1
第二部分专题五解析几何
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【解析】
由题意可得菱形的一个内角为60°，ab＝
3 3
，一条对角线
的长为c，另一条对角线的长为 33c，
所以12c·33c＝2 3 3，c＝2，而a2＋b2＝c2＝4，
解得：a2＝3，b2＝1，双曲线C的方程为x32－y2＝1，
第二部分专题五解析几何
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2．(2020·运城三模)已知双曲线C：
x2 a2
－
y2 b2
＝1(a>0，b>0)的两条渐近
线与曲线x＋ 3|y|＝c(c＝ a2＋b2)围成一个面积为233的菱形，则双曲线
C的方程为
( D)
A．x62－y22＝1
B．x22－y62＝1
C．x2－y32＝1
的面积除以圆周率等于椭圆的长半轴长与短半轴长的乘积．若椭圆C的
中心为原点，焦点F1，F2均在x轴上，C的面积为2 3 π，过点F1的直线交
C于点A，B，且△ABF2的周长为8，则C的标准方程为
(C )
A．x42＋y2＝1
B．x32＋y42＝1
C．x42＋y32＝1
D．1x62 ＋43y2＝1
(4)(2020·北京昌平区期末)抛物线y2＝2px上一点M到焦点F(1,0)的距离等于4，则p＝__2__；点M的坐标为__(_3_，__±_2__3_)__.
第二部分专题五解析几何
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(文科) 年份卷别
Ⅰ卷
Ⅱ卷 2020
Ⅲ卷
题号 11 9
7、14
考查角度

3.1.1 椭圆及其标准方程课件(共34张PPT).ppt

焦点在x轴上：
x2 a2
y2 b2
1(a
b
0)
焦点在y轴上：
y2 a2
x2 b2
1(a
b
0)
y
O
x
其中, PF1 PF2 2a, F1F2 2c,c2 a2 b2.
问题4：若焦点F1、F2 在y轴上，且F1(0,-c)，F2 (0,c)，a,b的意义同上，则椭圆的方程是什么？
F1(c,0), F2(c,0) F1(0,c), F2 (0,c)
概念辨析1：椭圆的定义
1.命题甲: 动点P到两定点A、B的距离之和| PA | | PB | 2a(a为常数,a 0)
命题乙: 动点P的轨迹是椭圆.
则命题甲是命题乙的___B____条件.
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
甲 / 乙乙甲
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件
2.若两定点F1, F2,且 F1F2 10,则满足下列条件的动点P 的轨迹是什么？ ① PF1 PF2 10; 线段F1F2 ② PF1 PF2 16; 椭圆 ③ PF1 PF2 6. 不存在
1(a
b 0),
(法1) 2a
22 3
2
5
22 3 5 2
( 15
3)2
( 15
3)2 2 15,
a 15,b2 15 5 10,方程 y2 x2 1为所求.
15 10
(法2)
代入(2,3)得
9 a2
4 b2
1,
又b2
a2
5,
联立解得a2
15或3(3
设为 y2
a2
x2
b2
1(a
b 0)

椭圆双曲线抛物线

椭圆、双曲线与抛物线
目录
• 椭圆 • 双曲线 • 抛物线 • 三者之间的联系与区别 • 应用场景
01
椭圆
定义与性质
性质
定义：椭圆是由平面内与两个定点$F_1$和$F_2$的距离之和等于常数（大于$F_1F_2$）的所有点组成的图形。
椭圆上任意一点到两焦点的距离之和为常数，且等于椭圆的长轴长。
区别
椭圆的焦点在x轴上，准线在y轴上；双曲线的焦点在x 轴上，准线在y轴上；抛物线的焦点在顶点，准线在x 轴上。
05
应用场景
椭圆的应用场景
天文观测
椭圆常用于描述行星和卫星的运行轨道，是研究天文学的重要工
具。
建筑设计
椭圆在建筑设计中常用于门窗、壁炉和吊顶等造型设计，增添空间的美感。
光学仪器
椭圆形状的透镜或反射镜常用于光学仪器中，如望远镜和显微镜。
面积与周长
面积
对于给定的抛物线，其面积可以通过以下公式计算：$S = frac{1}{2} times text{base} times text{height}$。
VS
周长
由于抛物线是连续的曲线，其周长没有精确的公式来表示。但对于某些特殊的抛物线形状，如半圆形或四分之一圆形，其周长可以用相应的公式来计算。
焦点与准线
焦点
对于开口向右或向上的抛物线，焦点位于直线 $x = frac{p}{2}$ 或 $y = frac{p}{2}$ 上；对于开口向左或向下的抛物线，焦点位于直线 $x = -frac{p}{2}$ 或 $y = -frac{p}{2}$ 上。
准线
对于开口向右或向上的抛物线，准线是 $x = -frac{p}{2}$ 或 $y = -frac{p}{2}$；对于开口向左或向下的抛物线，准线是 $x = frac{p}{2}$ 或 $y = frac{p}{2}$。

椭圆、双曲线、抛物线的统一定义以及动画演示

双曲线的定义：
平面内与两定点F1、F2的距离的差的绝对值是常数(小于|F1F2|)的点的轨迹叫做双曲线．这两个定点F1、F2叫做双曲线的焦点，两个焦点之间的距离叫做焦距．
说明：若动点M到两定点的距离之差的绝对值为2a ，| F1 F2| = 2c 当c > a >0时，动点M的轨迹是双曲线; 当a = c>0时，动点M的轨迹是两条射线；当 0 < c < a时，动点M无轨迹
关于椭圆、双曲线、抛物线你了解多少? 在我们的实际生活中有这些曲线吗? 它们分别给我们什么印象?
椭圆？
汽车贮油罐的横截面的外轮廓线的形状像椭圆．
北京摩天大楼
巴西利亚大教堂
法拉利主题公园
花瓶

椭圆定点 F1 ，F2的距离之和为常数(大于F1 F2 距离）的点的轨迹叫椭圆，两个定点叫椭圆的焦点，两焦点的距离叫做椭圆的焦距.
的点的轨迹叫做抛物线.
· N M
定点F叫做抛物线的焦点.
·F
定直线l 叫做抛物线的准线.
即:
若
︳MF ︳MN
︳︳ 1,
则点M的
轨迹
是
抛物线
。
椭圆的定义：
平面内到两定点F1、F2的距离之和等于常数(大于|F1F2|)的点的轨迹叫做椭圆．这两个定点叫做椭圆的焦点，两焦点间的距离叫做焦距．
说明：若动点M到的距离之和为2a ， | F1 F2| = 2c 则当a>c>0时，动点M的轨迹是椭圆; 当a = c>0时，动点M的轨迹是线段F1 F2 ；当 0 < a < c时，动点M无轨迹
抛物线的定义 :
平面内到一个定点F和一条定直线L（F不在L 上）的距离相等的点轨迹叫做抛物线，定点F叫做抛物线的焦点，定直线L叫做抛物线的准线.

中职数学拓展模块第2章椭圆、双曲线和抛物线

(1)6x2 10 y2 60; (2) x2 y2 1; 16 9
(3) x2 y2 1. 95
2.求适合下列条件的椭圆的标准方程：（1）长轴长为20，离心率为 3/5 ；（2）a=4，b=1，焦点在y轴上. 3.方程x2+2y2－2x+12y+15=0表示的图形是不是椭圆？如果是，求出它的对称中心坐标、对称轴方程以及离心率.
9 16 y2 x2 (4) 1; 93 (5) y2 x2 1. 9 16
2.2 双曲线
练一练
2.求下列双曲线的标准方程：
（1）以椭圆 x2 y2 1 的焦点为顶点，顶点为焦点；
8
（2）过点(3,9
5
2)且
c
10 ;
a3
（3）经过点(3,2 7) 和(6 2,7).
2.2 双曲线
2.2.2 双曲线的性质
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第2章椭圆、双曲线和抛物线
2.2 双曲线
2.2.1 双曲线的定义与标准方程
在画板上选取两定点F1，F2，将拉链（拉链的两边等长）拉开一段，其中一边固定在F1处，在另一边上截取一段A F2（并使A F2小于F1，F2之间的距离），而后固定在F2处，把笔尖放在拉链口处（即点M处），于是随着拉链的逐渐打开或闭拢，笔尖就徐徐画出一条曲线；同理，将拉链的两边交换位置，可画出另外一支曲线，如图2-6所示.
可得椭圆的标准方程为（2-1）
2.1 椭圆
我们把方程（2-1）叫作椭圆的标准方程 .它表示椭圆的焦点在x轴上，且焦点为F1（-c，0）， F2（c，0），其中c>0，

3.3.1抛物线及其标准方程课件(共26张PPT)

解：如图，在接收天线的轴截面所在的平面内建立直角坐标系，使接收天线
的顶点（即抛物线的顶点）与原点重合，焦点在x轴上.则 A y2 = 2px (p>0)．
将 A (1, 2.4) 代入得 2.42 = 2p×1，解得 p = 2.88．
所以，所求抛物线为 y2 = 5.76x，焦点坐标为 (1.44, 0)．
7
由图可知,当 ⊥ 时,|| + 最小,最小值为2.
7
即|| + ||的最小值为2 ,
此时P点纵坐标为2,代入2 = 2,得 = 2.
∴点P坐标为(2,2).
9.河上有抛物线型拱桥，当水面距拱桥顶5米时，水面宽为8米，一小船宽4米，高2米，载货后船露
出水面上的部分高0.75米，问水面上涨到与抛物线拱顶相距多少米时，小船开始不能通航？
【解】如图建立直角坐标系，
设桥拱抛物线方程为 2 = −2( > 0)，
由题意可知， 4, −5 在抛物线上，所以 = 1.6，得 2 = −3.2，
当船面两侧和抛物线接触时，船不能通航，
设此时船面宽为AA’，则 2, ，
5
由22 = −3.2 ,得 = − 4，
又知船面露出水面上部分高为0.75米，所以ℎ = + 0.75=2米.
C.2
D.3
2.抛物线 = 4 2 的焦点坐标是（ D ）
A. 1,0
B. 0,1
1

C. 16 , 0

1
D. 0, 16
3.已知抛物线的焦点 F (a,0)(a 0) ，则抛物线的标准方程是（ A ）
A. y 2 4ax
B. y 2
2ax
C. y 2 4ax

数学(理)高考二轮复习：专题五第二讲《椭圆、双曲线、抛物线的定义、方程与性质》课件(共46张PPT)

a2＋b2＝25
a2＝20
依题意1＝ba×2
，解得b2＝5 ，∴双曲线 C 的方程为
2x02 －y52＝1.
第二讲椭圆、双曲线、抛物线的定义、方程与性质
考点一
课前自主诊断
课堂对点补短限时规范训练上页下页
试题
通解优解
考点一
考点二
考点三

2．设 F1，F2 分别为椭圆x42＋y2＝1 的左、右焦点，点 P 在椭圆上，
第二讲椭圆、双曲线、抛物线的定义、方程与性质课前自主诊断课堂对点补短
考点三直线与椭圆、双曲线、抛物线的位置关系
限时规范训练上页下页
试题
解析
考点一考点二
考点三
6．(2016·高考全国Ⅰ卷)设圆 x2＋y2＋2x－15＝0 的圆心为 A，直线 l 过点 B(1,0)且与 x 轴不重合，l 交圆 A 于 C，D 两点，过 B 作 AC 的平行线交 AD 于点 E. (1)证明|EA|＋|EB|为定值，并写出点 E 的轨迹方程； (2)设点 E 的轨迹为曲线 C1，直线 l 交 C1 于 M，N 两点，过 B 且与 l 垂直的直线与圆 A 交于 P，Q 两点，求四边形 MPNQ 面积的取值范围．
10，点 P(2,1)在 C 的一条渐近线上，则 C 的方程为( A )
A.2x02 －y52＝1
B.x52－2y02 ＝1
C.8x02－2y02 ＝1
D.2x02－8y02 ＝1
第二讲椭圆、双曲线、抛物线的定义、方程与性质
考点一
课前自主诊断
课堂对点补短
限时规范训练上页下页
试题
解析
考点一考点二考点三
长即可表示出面积，解方程求 b 即可．由题意知双曲线的渐近线方程为 y＝±b2x，圆的方程为 x2＋y2＝4，

第二章椭圆、双曲线、抛物线

x a
y 1 b2
2
的各支向外无
无限接近但不相交．我们把两
y x 条直线 a
b
叫做双曲线的渐近线．
图2
2.2.3 双曲线的性质和图象 1.双曲线的性质
(4) 渐近线
在方程，
x2 y 2 1 a 2 b2
中，如果
ab
，那么双曲线的方程为
2a ，这时，四条直线
，它的实轴和虚轴的长都等于 x2 y 2 a2 围成正方形，渐近线方成为 x a y a
系诸行星之所以能够在椭圆形轨道上运行，就是因为行星最初离太阳不是很远，或者
运动的初始速度不是特别大．
2.2 双曲线
2.2.1 双曲线的定义
2.2.2 双曲线的标准方程
2.2.3 双曲线的性质和图象
2.2.1 双曲线的定义
问题：当一个动点到两个定点的距离的差是定值时，这个动点的轨迹是什么曲线？
思考
双曲线的对称中心叫做双曲线的中心．
2.2.3 双曲线的性质和图象 1.双曲线的性质
(3) 顶点
在双曲线的标准方程中，令 y 0，得的交点叫做双曲线的顶点．
x a
，这说明A1(-a，0)，A2(a，0)
是双曲线与x轴的两个交点，且x轴是双曲线的对称轴．双曲线与其对称轴
双曲线只有两个顶点．
2.2.２双曲线的标准方程双曲线的标准方程
x2 y 2 2 1 2 a b
(a 0，b 0)
这个方程叫做焦点在 x 轴上的双曲线的标准方程，可以证明双曲线上的任意一点的坐标 M(x，y)都满足方程(2-3)．其中a，b， c三者之间的关
系是c2=a2+b2．
2.2.3 双曲线的性质和图象 1.双曲线的性质

高中数学《椭圆-双曲线-抛物线》中职总复习课件

典例解析
【解析】（1）依题意得，双曲线的半焦距c=2,2a=|PF1|-|PF2|=2 2,所以a2=2,b2=c2-a2=2. 所以双曲线C的标准方程为x22-y22=1.
(2)依题意可设直线l的方程为y=kx+2，代入双曲线C的方程并整理得（1-k2）x2-4kx-6=0(*). 因为直线l与双曲线C相交于不同的两点E，F,
(2)当2a<|F1F2|时，动点P无轨迹.
知识聚焦
二、椭圆的几何性质
知识聚焦
三、椭圆的弦长公式
|AB|=
1+k2
(x1+x2)2
−4x1x2 =
1+
1 k2
(y1+y2)2−4y1y2.
其中A，B两点的坐标是A（x1,y1）,B(x2,y2),k是直线的斜率.
知识聚焦
四、椭圆的焦点三角形
椭圆上的一点与椭圆两个焦点所组成的三角形称为椭圆的焦点三角形，其周长为2a+2c;面积S△PF1F2=b2tanθ2，其中θ=∠F1PF2,P是椭圆上的一点.
知识聚焦
二、双曲线的几何性质
知识聚焦
三、双曲线的特殊性质
与双曲线ax22-by22=1共渐近线的双曲线方程可设为ax22-by22=k(k≠0). 渐近线方程为mx±ny=0的双曲线方程可设为（mx+ny）(mx-ny)=k(k≠0).
双曲线的焦点三角形面积公式：S△PF1F2=b2·ta1nθ2.
其中A，B两点的坐标是A（x1,y1）,B(x2,y2),k是直线的斜率.
四、抛物线的通径
过焦点且垂直于对称轴的弦称为抛物线的通径，其长为2p.
典例解析
【例1】已知抛物线的顶点在原点，对称轴是坐标轴，根据下列条件，求抛物线的标准方程：.

1-3-9椭圆、双曲线、抛物线

【例 1】如下图所示，椭圆上的点 M 与椭圆右焦点 F2 的连线 MF2 与 x 轴垂直，且 OM(O 是坐标原点) 与椭圆长轴和短轴端点连线 AB 平行．
数学（理）第17页
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(1)求椭圆的离心率 e； (2)F1 是椭圆左焦点，G 是椭圆上任一点，证明： π ∠F1GF2≤ ； 2 (3)过 F2 且与 AB 垂直的直线交椭圆于 P，Q，若 △PF1Q 的面积是 20 3，求椭圆的方程．
数学（理）第5页
新课标· 高考二轮总复习
2．圆锥曲线的标准方程是圆锥曲线中的一个基本问题，也是研究其几何性质的重要前提．求解圆锥曲线的标准方程的方法是“先定型，后计算”．所谓“定型”，是指确定类型，也就是确定椭圆、双曲线的焦点所在的坐标轴是 x 轴还是 y 轴，抛物线的焦点是在 x 轴的正半轴、负半轴，还是 y 轴的正半轴、负半轴，从而设出相应的标准方程的形式；“计算”就是指利用待定系数法求出方程中的 a2、b2、p 的值，最后代入写出椭圆、双曲线、抛物线的标准方程．
10．求曲线方程的基本方法有： (1)直译法：建系、设动点、列式、化简、证明(可以省略)，此法适用于较简单的问题； (2)定义法：如果能够确定动点的轨迹满足已知曲线的定义，则可由曲线的定义直接写出轨迹方程；
数学（理）第14页
新课标· 高考二轮总复习
(3)相关点法(坐标代换法)：若动点 P(x，y)依赖于另一动点 Q(x1，y1)，而 Q(x1，y1)又在某已知曲线上，则可先写出关于 x1，y1 的方程，再根据 x1，y1 与 x，y 的关系求出 P(x，y)的轨迹方程； (4)待定系数法：若已知曲线的形状(如椭圆、双曲线等)，可用待定系数法；

人教版中职数学(拓展模块)2.3《抛物线》ppt课件3

焦点为， F ( p , 0) 2
准线l的方程为
.
x p 2
(x p)2 y2 x p
思2 考32 ：根据抛物线定义，抛物线的
原始方程是什么？化简后的方程是什
么？
y
H
M
原始方程：
(x p)2 y2 x p
2
2
KO F x
化简得 y2＝2px.
方程y2＝2px(p＞0)叫做抛物线的标准方程，它所表示焦点在x轴正半轴上，开口向右的抛物线.
课题引入：过抛物线的焦点F作直线
交抛物线于A、B两点，线段AB叫做
抛物线的焦点弦，今天我们一起探
讨抛物线的
y
A
焦点弦性质.
O
F
x
B
探究（一）：焦点弦的代数性质
设点A(x1，y1)，B(x2，y2)为抛物线 y2＝2px（p＞0）上两点，且AB 为焦点弦.
思考1:焦点弦AB的长如何计算？
yA
O Fx
横坐标：x≥0；纵坐标：y∈R.
2、对称性：
抛物线关于x轴对称. 把y换成-y方程不变，图像关于x轴对称.
y OF x
3、顶点：抛物线与其对称轴的交
点叫做抛物线的顶点.
顶点：(0，0)
y
顶点是焦点到准线的垂线段之中点
OF x
4、离心率： e＝1
理论迁移
例1 已知抛物线关于x轴对称，它的顶点在坐标原点，且经过
思考1:比较椭圆、双曲线标准方程的
建立过程，如何建立坐标系才能使抛
物线的方程最简单？
y HM
由抛物线定义可知，当 O F x 抛物线的焦点和准线一定时，所对应的抛物线惟一确定,设焦点与准线的距离为p.

抛物线及标准方程ppt

服务特权
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赠每的送次VI的发P类共放型的享决特文定权档。有下效载期特为权1自个V月IP，生发效放起数每量月由发您放购一买次，赠 V不我I送清的P生每零设效月。置起1自随5每动时次月共续取发享费消放文，。一档前次下往，载我持特的续权账有，号效-自
y2 12x
y2 x
例3 .（1）求过点A（3，2）的抛物线的标准方程. （2）焦点在x轴上，且抛物线上一点A（3，m）到焦点的距离为5．
例3 .（1）求过点A（3，2）的抛物线的标准方程.
解∵抛物线过点（-3，2），
∴当焦点在x轴时，设其标准方程为： y2 =-2px（p＞0）买的VIP时长期间，下载特权不清零。
100W优质文档免费下载
VIP有效期内的用户可以免费下载VIP免费文档，不消耗下载特权，非会员用户需要消耗下载券/积分获取。
部分付费文档八折起 VIP用户在购买精选付费文档时可享受8折优惠，省上加省；参与折扣的付费文档均会在阅读页标识出折扣价格。
练习1、求下列抛物线的焦点坐标和准线方程： (1)y2 = 20x (2)x2= 1 y (3)2y2 +5x =0 (4)x2 +8y =0
2
焦点坐标
准线方程
(1) （5，0） x=-5
(2) (3) (4)
（0，—1 ）（- —58 ，8 0）（0，-2）
y= - —1

第2讲椭圆双曲线抛物线

将x=-1代入椭圆方程得y=± 2 .
不妨设 M (1, 2 )、N (1, 22 ),
2
2
F2M F2N (2,
2 ) (2, 2
2 ) (4,0). 2
F2M F2 N 4, 与题设矛盾.
∴直线l的斜率存在.
设直线l的斜率为k，则直线l的方程为y=k(x+1).
设M（x1,y1）、N（x2,y2）,联立
= 4a2 4c2 2 F1C F2C
2 F1C F2C
=
2b2 1 .
F1C F2C
|F1C||F2C|≤
( F1C F2C )2 2
=a2，
∴cos∠F1CF2≥
2b2 a2
1
2c2 2c2
1
0
，
∴∠F1CF2≤
2
.
（3）解
设直线PQ的方程为y=-
a b
(x-c),即y=-
2(x-c).
代入椭圆方程消去x得：a12 (c
40
∴k=±1.
∴所求直线l的方程为y=x +1或y= -x -1.
二、圆锥曲线中的定值与最值
例2 已知菱形ABCD的顶点A，C在椭圆x2+3y2=4
上，对角线BD所在直线的斜率为1.
（1）当直线BD过点（0，1）时，求直线AC的方程；
（2）当∠ABC=60°时,求菱形ABCD面积的最大值.
思维启迪（1）根据菱形的性质及条件求解.
3, c2
1.
25
50 25
探究提高（1）求离心率，结合已知条件找到a,b,c的关系式；
（2）C为椭圆上的任意一点，F1，F2为左、右焦点，当C点是椭圆短轴的一个端点时，∠F1CF2取得最大值.

椭圆、双曲线与抛物线深入解析

02
双曲线的基本概念及其性质
双曲线的定义及其标准方程
双曲线的定义
• 到两个定点（焦点）的距离之差等于常数（实轴的两端点）的点的集合
• 实轴为通过椭圆中心且与两个焦点所在的直线垂直的线段，虚轴为与实轴垂直且通过椭圆
中心的线段
双曲线的标准方程
• 一般方程：$(\frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2}) = 1$，其中$a > b$，实轴在x轴上，长
双曲线的基本方程求解
• 转换方程为关于x或y的一元二次方程，使用求根公式
抛物线的基本方程求解
• 整理方程，使其成为标准形式，使用顶点公式或对称轴求解
椭圆、双曲线与抛物线的极坐标方程求解
01
02
03
椭圆的极坐标方程求解
双曲线的极坐标方程求解
抛物线的极坐标方程求解
• 将直角坐标方程转换为极坐标方
• 将直角坐标方程转换为极坐标方
切线
离无限接近于0
• 双曲线两侧的直线，无限接近双
曲线
双曲线的对称性及其基本性质
对称性
基本性质
• 双曲线关于x轴、y轴、原点
• 实轴等于虚轴的两倍：$2a =
分别对称，也关于经过焦点的
2b$
直线对称
• 对称轴交点为椭圆中心：
F1(c, 0)，F2(c, 0)，c为焦点到
中心的距离，$c^2 = a^2 +
• 方程为$x = -\frac{1}{4a}$
抛物线的对称性及其基本性质
对称性
基本性质
01
02
• 抛物线关于对称轴对称
• 顶点为抛物线的最低点（开
口向上）或最高点（开口向下）

学习椭圆双曲线抛物线存在一些困惑18页PPT

y
分析： M F22aM F1
M
A 2, 3
F1
F2
MAMF2 M AM F12a
x AF1 2a
38
例3．已知点A
(2,
3)
为椭圆
x2 16
y2 12
1
内一点，
F2
为其右焦点，M为椭圆上一动点，
（1）求 AMMF2 的最大值；
（2）求 AM2M2F的最小值。
例3．已知点A
(2,
3)
为椭圆
已知动点P 与双曲线x2y2 1的两个焦点F1、F2 的距离之和为定值，且 23
cosF1PF2的最小值为1 9.
(Ⅰ )求动点P的轨迹方程 ;
(Ⅱ )若已知点D(0,3),点M、 N在动点P的轨迹上且DMDN,求实数的取值范
围 .
谢谢！
36、自己的鞋子，自己知道紧在哪里。——西班牙
则P的轨迹是＿抛＿物线＿分析：
（x-1)2 (y2)2 1
3x4y12ຫໍສະໝຸດ 5变1: 已知动点P(x,y) 满足 5(x1)2(y2)23 x 4-1 y
则P的轨迹是直＿线＿＿
变2: 已知动点P(x,y) 满足 m (x 1 )2(y2)23 x 4 y 1
此方程表示的轨迹是椭圆，则m的范围为＿m＿＿5
▪ 平面内到一定点F的距离和到一定直
线l(F不在l上）的距离比为常数（不等于1）的动点P 的轨迹是什么？
在推导椭圆的标准方程时,我们曾经得到这样一个式子
a2cxa(xc)2y2
将其变形为(xc)2y2 a2 x
c a
c
你能解释这个式子的几何意义吗?