2018年高中数学必修五达标练习：第3章 §3-3.1 基本不等式
高中数学第三章不等式3.4.1基本不等式练习(含解析)新人教A版必修5
高中数学第三章不等式3.4.1基本不等式练习（含解析）新人教A版必修5知识点一 利用基本不等式比较大小1．下列不等式中正确的是( ) A ．a ＋4a≥4 B．a 2＋b 2≥4abC ．ab ≥a ＋b2D ．x 2＋3x2≥2 3答案 D解析 当a ＜0时，则a ＋4a≥4不成立，故A 错；a ＝1，b ＝1，a 2＋b 2＜4ab ，故B 错；a＝4，b ＝16，则ab ＜a ＋b2，故C 错；由基本不等式可知D 正确．2．已知两个不相等的正数a ，b ，设P ＝a ＋b2，Q ＝ab ，M ＝a 2＋b 22，则有( )A ．P ＞Q ＞MB ．Q ＞P ＞MC ．P ＞M ＞QD ．M ＞P ＞Q 答案 D解析 由基本不等式得P ＞Q ，又M 2－P 2＝a －b24＞0，得M ＞P ，故M ＞P ＞Q ．故选D ．3．已知正数x ，y 满足xy ＝36，则x ＋y 与12的大小关系是________． 答案 x ＋y ≥12解析 由x ，y 为正数，得x ＋y ≥2xy ＝12．知识点二 利用基本不等式证明不等式4．(1)已知a ，b ，c ∈R ＋，求证：a 2b ＋b 2c ＋c 2a≥a ＋b ＋c ．(2)已知a ，b ，c 为不全相等的正实数．求证：a ＋b ＋c ＞ab ＋bc ＋ca ．证明 (1)∵a ，b ，c ∈R ＋，a 2b ，b 2c ，c 2a均大于0，又a 2b ＋b ≥2a 2b ·b ＝2a ， b 2c ＋c ≥2b 2c·c ＝2b ， c 2a＋a ≥2c 2a·a ＝2c ， 三式相加得a 2b ＋b ＋b 2c ＋c ＋c 2a ＋a ≥2a ＋2b ＋2c ，∴a 2b ＋b 2c ＋c 2a≥a ＋b ＋c ． (2)∵a ＞0，b ＞0，c ＞0，∴a ＋b ≥2ab ＞0，b ＋c ≥2bc ＞0，c ＋a ≥2ca ＞0． ∴2(a ＋b ＋c )≥2(ab ＋bc ＋ca )， 即a ＋b ＋c ≥ab ＋bc ＋ca ．由于a ，b ，c 为不全相等的正实数，故三个等号不能同时成立． ∴a ＋b ＋c ＞ab ＋bc ＋ca ．5．已知a ，b ，c ∈R ，求证：a 2＋b 2＋b 2＋c 2＋c 2＋a 2≥2(a ＋b ＋c )． 证明 ∵a ＋b2≤a 2＋b 22，∴a 2＋b 2≥a ＋b2＝22(a ＋b )(a ，b ∈R ，等号在a ＝b 时成立)． 同理，b 2＋c 2≥22(b ＋c )(等号在b ＝c 时成立)． a 2＋c 2≥22(a ＋c )(等号在a ＝c 时成立)． 三式相加得a 2＋b 2＋b 2＋c 2＋a 2＋c 2≥22(a ＋b )＋22(b ＋c )＋22(a ＋c ) ＝2(a ＋b ＋c )(等号在a ＝b ＝c 时成立)．易错点一 忽视基本不等式适用条件6．给出下列结论： (1)若a ＞0，则a 2＋1＞a ．(2)若a ＞0，b ＞0，则⎝ ⎛⎭⎪⎫1a＋a ⎝⎛⎭⎪⎫b ＋1b ≥4．(3)若a ＞0，b ＞0，则(a ＋b )⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＋1b ≥4．(4)若a ∈R 且a ≠0，则9a＋a ≥6．其中恒成立的是________．易错分析 易忽略不等式成立的前提是为正数而误认为(4)也正确． 答案 (1)(2)(3)解析 因为a >0，所以a 2＋1≥2a 2＝2a >a ，故(1)恒成立． 因为a ＞0，所以a ＋1a ≥2，因为b ＞0，所以b ＋1b≥2，所以当a ＞0，b ＞0时，⎝⎛⎭⎪⎫a ＋1a ⎝⎛⎭⎪⎫b ＋1b ≥4，故(2)恒成立．因为(a ＋b )⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＋1b＝2＋b a ＋a b，又因为a ，b ∈(0，＋∞)，所以b a ＋a b≥2，所以(a ＋b )⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＋1b ≥4，故(3)恒成立．因为a ∈R 且a ≠0，不符合基本不等式的条件， 故9a＋a ≥6是错误的．易错点二 忽视定值的条件7．求函数f (x )＝2x (5－3x )，x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，53的最大值． 易错分析 x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，53，∴2x ＞0，5－3x ＞0， ∴f (x )＝2x (5－3x ) ＝2[x 5－3x ]2≤2⎝⎛⎭⎪⎫x ＋5－3x 22＝5－2x 22．当且仅当x ＝5－3x ，即x ＝54∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，53时，等号成立，此时5－2x22＝258．故f (x )的最大值为258．不符合基本不等式求最值的条件：和或积为定值．解 x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，53，∴2x ＞0，5－3x ＞0， f (x )＝2x (5－3x )＝23[3x ·5－3x ]2≤23⎝ ⎛⎭⎪⎫3x ＋5－3x 22＝256． 当且仅当3x ＝5－3x ，即x ＝56∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，53时，等号成立，故所求函数的最大值为256．一、选择题1．设0＜a ＜b ，且a ＋b ＝1，在下列四个数中最大的是( ) A ．12 B ．b C ．2ab D ．a 2＋b 2答案 B 解析 ∵ab ＜a ＋b 22，∴ab ＜14，∴2ab ＜12．∵a 2＋b 22＞a ＋b2＞0，∴a 2＋b 22＞12，∴a 2＋b 2＞12．∵b －(a 2＋b 2)＝(b －b 2)－a 2＝b (1－b )－a 2＝ab －a 2＝a (b －a )＞0，∴b ＞a 2＋b 2，∴b 最大．2．下列不等式一定成立的是( ) A ．x ＋1x ≥2(x ≠0) B．x 2＋1x 2＋1≥1(x ∈R )C ．x 2＋1≤2x (x ∈R ) D ．x 2＋5x ＋6≥0(x ∈R ) 答案 B解析 对于A ，当x ＞0时成立； 对于B ，x 2＋1＋1x 2＋1≥2，当且仅当x ＝0时等号成立； 对于C ，应为x 2＋1≥2x (x ∈R )； 对于D ，x 2＋5x ＋6＝x ＋522－14≥－14；综上所述，故选B ．3．若a ＞b ＞0，则下列不等式一定成立的是( ) A ．a －b ＞1b －1a B ．c 2a ＜c2bC ．ab >2ab a ＋b D ．3a ＋b a ＋3b ＞ab答案 C解析 逐一考查所给的选项：当a ＝2，b ＝13时，a －b ＝123，1b －1a ＝212，不满足a －b ＞1b －1a ，A 错误；当c ＝0时，c2a＝c 2b ＝0，不满足c 2a ＜c 2b ，B 错误；当a ＝2，b ＝1时，3a ＋b a ＋3b ＝75，a b ＝2，不满足3a ＋b a ＋3b ＞ab，D 错误；若a ＞b ＞0，则a ＋b >2ab ，即a ＋b >2abab，整理可得ab >2aba ＋b，C 正确．故选C ． 4．设a ，b 是两个实数，且a ≠b ，①a 5＋b 5＞a 3b 2＋a 2b 3，②a 2＋b 2≥2(a －b －1)，③a b ＋b a＞2．上述三个式子恒成立的有( )A ．0个B ．1个C ．2个D ．3个 答案 B解析 ①a 5＋b 5－(a 3b 2＋a 2b 3)＝a 3(a 2－b 2)＋b 3(b 2－a 2)＝(a 2－b 2)(a 3－b 3)＝(a －b )2(a ＋b )(a 2＋ab ＋b 2)＝(a －b )2(a 3＋b 3)＞0不恒成立；(a 2＋b 2)－2(a －b －1)＝a 2－2a ＋b 2＋2b ＋2＝(a －1)2＋(b ＋1)2≥0恒成立；a b ＋b a ＞2或a b ＋b a＜－2．故选B ．5．如果正数a ，b ，c ，d 满足a ＋b ＝cd ＝4，那么( ) A ．ab ≤c ＋d ，且等号成立时，a ，b ，c ，d 的取值唯一 B ．ab ≥c ＋d ，且等号成立时，a ，b ，c ，d 的取值唯一 C ．ab ≤c ＋d ，且等号成立时，a ，b ，c ，d 的取值不唯一 D ．ab ≥c ＋d ，且等号成立时，a ，b ，c ，d 的取值不唯一 答案 A解析 因为a ＋b ＝cd ＝4，所以由基本不等式得a ＋b ≥2ab ，故ab ≤4． 又因为cd ≤c ＋d24，所以c ＋d ≥4，所以ab ≤c ＋d ，当且仅当a ＝b ＝c ＝d ＝2时，等号成立．故选A ． 二、填空题6．若a ＞b ＞c ，则a －c2与a －b b －c 的大小关系是________．答案a －c2≥a －bb －c解析 因为a ＞b ＞c ， 所以a －c2＝a －b ＋b －c2≥a －b b －c ，当且仅当a －b ＝b －c ，即2b ＝a ＋c 时，等号成立．7．若四个正数a ，b ，c ，d 成等差数列，x 是a 和d 的等差中项，y 是b 和c 的等比中项，则x 和y 的大小关系是________．答案 x ≥y 解析 ∵x ＝a ＋d 2＝b ＋c2，y ＝bc ，又∵b ，c 都是正数， ∴b ＋c2≥bc (当且仅当b ＝c 时取“＝”)，∴x ≥y ．8．设a ，b ＞0，a ＋b ＝5，则a ＋1＋b ＋3的最大值为________． 答案 3 2解析 (a ＋1＋b ＋3)2＝a ＋b ＋4＋2a ＋1·b ＋3≤9＋a ＋1＋b ＋3＝9＋a ＋b ＋4＝18，当且仅当a ＋1＝b ＋3且a ＋b ＝5，即a ＝72，b ＝32时等号成立，所以a ＋1＋b ＋3≤32． 三、解答题9．已知a ，b ，c 均为正数，a ，b ，c 不全相等．求证：bc a ＋ac b ＋abc＞a ＋b ＋c ． 证明 ∵a ＞0，b ＞0，c ＞0，∴bc a ＋ac b ≥2abc 2ab ＝2c ，ac b ＋abc ≥2a 2bcbc＝2a ， bc a ＋ab c≥2acb 2ac＝2b ． 又a ，b ，c 不全相等， 故上述等号至少有一个不成立． ∴bc a ＋ac b ＋abc＞a ＋b ＋c ． 10．(1)已知m ，n >0，且m ＋n ＝16，求12mn 的最大值；(2)已知x >3，求f (x )＝x ＋4x －3的最小值． 解 (1)∵m ，n >0且m ＋n ＝16， ∴由基本不等式可得mn ≤⎝⎛⎭⎪⎫m ＋n 22＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1622＝64，当且仅当m ＝n ＝8时，mn 取到最大值64． ∴12mn 的最大值为32． (2)∵x >3，∴x －3>0，4x －3>0， 于是f (x )＝x ＋4x －3＝x －3＋4x －3＋3 ≥2x －3·4x －3＋3＝7， 当且仅当x －3＝4x －3，即x ＝5时，f (x )取到最小值7．。
2018学年高中数学必修5课件：第三章 不等式 3.4.2 基本不等式 精品
三
3.4.2 基本不等式的应用
学
阶 段 二
业 分 层 测
评
1．掌握基本不等式及变形的应用． 2．会用基本不等式解决简单的最大(小)值问题． 3．能应用基本不等式解决生活中的应用问题．
[基础·初探]
教材整理 基本不等式与最值
阅读教材 P99～P101，完成下列问题． 已知 a≥0，b≥0，在运用基本不等式时，要注意： (1)和 a＋b 一定时，积 ab 有最大值；
[再练一题] 2．某汽车公司购买了 4 辆大客车，每辆 200 万元，用于长途客运，预计每辆 车每年收入约 100 万元，每辆车第一年各种费用约为 16 万元．且从第二年开始每 年比上一年所需费用要增加 16 万元． (1)写出 4 辆车运营的总利润 y(万元)与运营年数 x(x∈N*)的函数关系式； (2)这 4 辆车运营多少年，可使年平均运营利润最大？
(2)积 ab 一定时，和 a＋b 有最小值；
(3)取等号的条件
当且仅当 a＝b
时， ab＝a＋2 b.
1．设 x，y 满足 x＋y＝40，且 x，y 都是正数，则 xy 的最大值为________．
【解析】 ∵x，y∈(0，＋∞)， ∴xy≤x＋2 y2＝400， 当且仅当 x＝y＝20 时等号成立． 【答案】 400
当且仅当 x＝5 时，等号成立， 此时yx≤16×(23－20)＝48. ∴运营 5 年可使年平均运营利润最大，最大利润为 48 万元．
[探究共研型] 形如 y＝x＋px的最值问题 探究 可以用基本不等式求函数 y＝x＋4x(x≥4)的最小值吗？为什么？ 【提示】 ∵x≥4，
∴y＝x＋4x≥2 x·4x＝4， 当且仅当 x＝4x，即 x＝2 时等号成立，
高中数学必修5第3章《不等式》基础训练题
必修5第三章《不等式》基础训练题一、选择题1．若b <0，a ＋b >0，则a －b 的值( )A ．大于0B ．小于0C ．等于0D ．不能确定2．已知M ＝x 2＋y 2－4x ＋2y ，N ＝－5，若x ≠2或y ≠－1，则( )A ．M >NB ．M <NC ．M ＝ND ．不能确定3．不等式(x －2)(x ＋3)>0的解集是( )A ．(－3,2)B ．(2，＋∞)C ．(－∞，－3)∪(2，＋∞)D ．(－∞，－2)∪(3，＋∞)4．函数y ＝x (x －1)＋x 的定义域为( )A ．{x |x ≥0}B ．{x |x ≥1}C ．{x |x ≥1}∪{0}D ．{x |0≤x ≤1}5．不论x 为何值，二次三项式ax 2＋bx ＋c 恒为正值的条件是( )A ．a >0，b 2－4ac >0B ．a >0，b 2－4ac ≤0C ．a >0，b 2－4ac <0D ．a <0，b 2－4ac <06．下列命题中正确的是( )A ．不等式x 2>1的解集是{x |x >±1}B ．不等式－4＋4x －x 2≤0的解集是RC ．不等式－4＋4x －x 2≥0的解集是空集D ．不等式x 2－2ax －a －54>0的解集是R7．若关于x 的不等式2x －1>a (x －2)的解集是R ，则实数a 的取值范围是( )A ．a >2B ．a ＝2C ．a <2D ．a 不存在8．已知点M (x 0，y 0)与点A (1,2)在直线l ：3x ＋2y －8＝0的两侧，则( )A ．3x 0＋2y 0>10B ．3x 0＋2y 0<0C ．3x 0＋2y 0>8D ．3x 0＋2y 0<89．不等式组⎩⎪⎨⎪⎧(x －y ＋1)(x ＋y －1)≥00≤x ≤2，表示的平面区域的面积是( )A ．2B ．4C ．6D ．810．在直角坐标系内，满足不等式x 2－y 2≤0的点(x ，y )的集合(用阴影表示)是( )二、填空题11．一个两位数个位数字为a ，十位数字为b ，且这个两位数大于50，可用不等关系表示为________．12．已知x <1，则x 2＋2与3x 的大小关系为________．13．设集合A ＝{x |(x －1)2<3x －7，x ∈R }，则集合A ∩Z 中有________个元素．14．不等式x ＋1x －2>0的解集是________．15．原点O (0,0)与点集A ＝{(x ，y )|x ＋2y －1≥0，y ≤x ＋2,2x ＋y －5≤0}所表示的平面区域的位置关系是________，点M (1,1)与集合A 的位置关系是________．必修5第三章《不等式》基础训练题命题：水果湖高中 胡显义答案1．解析：由题意知a >0，又b <0，∴a －b >0.答案：A2．解析：∵M ＝x 2＋y 2－4x ＋2y＝(x －2)2＋(y ＋1)2－5>－5＝N ，∴M >N .答案：A3．解析：不等式(x －2)(x ＋3)>0的解集是(－∞，－3)∪(2，＋∞)，故选C.答案：C4．解析：要使函数有意义，需，即x ≥1，或x ＝0.所以函数的定义域为{x |x ≥1}∪{0}，故选C.答案：C5．解析：须a >0且Δ<0.答案：C6．解析：结合三个二次的关系．答案：B7．解析：不等式即为(2－a )x >1－2a ，当a ≠2时，不等式为条件不等式，不合要求；当a ＝2时，不等式即0·x >－3对一切x 成立，故a 的取值范围是a ＝2.答案：B8．解析：∵点M 和点A 在直线l 的两侧，又把点A 代入得3×1＋2×2－8＝－1<0，∴3x 0＋2y 0－8>0，即3x 0＋2y 0>8，故选C.答案：C9．解析：如图，不等式组⎩⎪⎨⎪⎧ (x －y ＋1)(x ＋y －1)≥00≤x ≤2表示的平面区域为一等腰直角三角形，其斜边长为4，斜边上的高为2，得其面积为4.故选B.答案：B10．解析：不等式x 2－y 2≤0可化为(x ＋y )(x －y )≤0，即⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋y ≥0x －y ≤0或⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ≤0x －y ≥0，作出直线x ＋y ＝0和x －y ＝0，判定区域，可知选D.答案：D11．答案：50<10b ＋a <10012．解析：(x 2＋2)－3x ＝(x －1)(x －2)．∵x<1，∴x－1<0，x－2<0，∴(x－1)(x－2)>0，∴x2＋2>3x.答案：x2＋2>3x13．解析：由(x－1)2<3x－7得x2－5x＋8<0，∵Δ<0，∴集合A为Ø，因此A∩Z的元素不存在．答案：014．解析：不等式等价于(x＋1)·(x－2)>0，∴x>2或x<－1.答案：{x|x<－1，或x>2}15．解析：若点满足各不等式⇒点在不等式组所表示的平面区域内，否则，点不在不等式组所表示的平面区域内，代入原点(0,0)，显然0＋2×0－1<0.故原点不满足不等式x＋2y－1≥0.∴点O在平面区域之外，同理点M在平面区域之内．答案：原点O在集合A所表示的平面区域之外点M在集合A所表示的平面区域之内。
高中数学必修五第三章《不等式》单元测试题(含答案)
A．b－a>0
B． a3＋b2<0
C．b＋a>0
D．a2－b2<0
答案 C
解析 由 a－ |b|>0? |b|<a? － a<b<a? a＋b>0，故选 C.
3．设集合 U＝R，集合 M＝{ x|x>1} ，P＝ { x|x2>1} ，则下列关系中正确的是 ( )
A．M＝P
B． P M
C．M P
高中数学必修五第三章单元测试题
《不等式》
一、选择题 (本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分．在每小题给出的四个选项中，只
有一项是符合题目要求的 )
1．给出以下四个命题：
11 ①若 a>b，则 a<b；
②若 ac2>bc2，则 a>b；
③若 a>|b|，则 a>b； ④若 a>b，则 a2>b2.
(1)试解释 f(0)＝10， g(0)＝20 的实际意义； 1
(2)设 f(x)＝ 4x＋10， g(x)＝ x＋20，甲、乙公司为了避免恶性竞争，经过协商，同意在双 方均无失败风险的情况下尽可能少地投入宣传费用，问甲、乙两公司应投入多少宣传费？
高中数学必修五第三章单元测试题
《不等式》参考答案
一、选择题 (本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分．在每小题给出的四个选项中，只
范围是 ( )
A．[ －2，－ 1]
B． [－ 2,1]
C．[ －1,2]
D．[1,2]
8．不等式 (x－2y＋ 1)(x＋y－3)<0 表示的区域为 ( )
9．f(x)＝ax2＋ax－ 1 在 R 上满足 f(x)<0，则 a 的取值范围是 ( )
人教A版高中数学必修五本章练测：第3章不等式(含答案详解).docx
第3章 不等式（苏教版必修5）建议用时 实际用时满分 实际得分90分钟160分一、填空题（每小题5分，共70分）1.不等式2104x x ->-的解集是. 2.设01b a <<<，则下列不等式中成立的是.①21a ab <<；②1122log log 0b a <<；③21ab b <<；④222b a <<.3.不等式组()()002x y x y x -+>⎧⎨≤≤⎩，表示的平面区域是一个.4.不等式组0,34,34x x y x y ≥⎧⎪+≥⎨⎪+≤⎩所表示的平面区域的面积等于.5.已知函数2log (1)fx x =+（）且0a b c >>>，则()()(),,f a f b f c a b c的大小关系是. 6.已知不等式1()9a x y x y ⎛⎫++≥ ⎪⎝⎭对任意正实数,x y恒成立，则正实数a 的最小值为.7.若函数1,0,()1,0,x x f x x x -+<⎧=⎨-≥⎩则不等式(1)x x ++∙(1)1f x +≤的解集是.8.设111111M a b c ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=---⎪⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，且1a b c ++=（,a ,b c +∈R ），则M 的取值范围是.9.对于满足等式22(1)1x y +-=的一切实数,x y ，不等式0x y c ++≥恒成立，则实数c 的取值范围是. 10.若正数,,,a b c d 满足4a b cd +==，则ab c d +（填“≥”或“≤”），且等号成立时,,,a b c d 的取值（填“唯一”或“不唯一”）.11.不等式224122xx +-≤的解集为. 12.已知函数1x y a -=(01)a a >≠，的图象恒过定点A ，若点A 在直线10(0)mx ny mn +-=>上，则11m n+的最小值为.13.设函数25z x y =+，其中,x y 满足条件280403x y x y +≤⎧⎪≤≤⎨⎪≤≤⎩，，，则z 的最大值是. 14.用两种材料做一个矩形框，按要求其长和宽分别选用价格为每米3元和5元的两种材料，且长和宽必须为整数米，现预算花费不超过100元，则做成的矩形框所围成的最大面积是 .二、解答题（解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤，共90分）15.(14分)解关于x的不等式22---+30a a x(2)(23)x a+>.a16.（14分）如图，要设计一张矩形广告，该广告含有大小相等的左右两个矩形栏目（图中阴影部分），这两个栏目的面积之和为18 000 cm2，四周空白的宽度为10 cm，两栏之间的中缝空白的宽度为5 cm.怎样确定广告的高与宽的尺寸（单位:cm）能使矩形广告的面积最小?第16题图17.(14分)不等式22(23)(3)10m m x m x -----<对一切x ∈R 恒成立，求实数m 的取值范围.18.（16分）制定投资计划时，不仅要考虑可能获得的盈利，而且要考虑可能出现的亏损.某投资人打算投资甲、乙两个项目，根据预测，甲、乙两个项目可能的最大盈利率分别为100%和50%，可能的最大亏损率分别为30%和10%，投资人计划投资金额不超过10万元，要求确保可能的资金亏损不超过1.8万元，则投资人对甲、乙两个项目各投资多少万元才能使可能的盈利最大？19.（16分）已知二次函数()f x 满足(2)0f -=，且2422x x f x +≤≤（）对一切实数x 都成立. （1）求(2)f 的值； （2）求()f x 的解析式；（3）设1()n b f n =，数列{}n b 的前n 项和为n S ，求证：43(3)n nS n >+.20.（16分）某村计划建造一个室内面积为72 m 2的矩形蔬菜温室.在温室内，沿左、右两侧与后侧内墙各保留1 m 宽的通道，沿前侧内墙保留3 m 宽的空地.当矩形温室的边长各为多少时蔬菜的种植面积最大？最大种植面积是多少？第3章 不等式（苏教版必修5）答题纸得分：一、填空题1. 2.3． 4．5. 6.7.8.9.10.11.12. 13. 14.二、解答题15．16.17.18.19.20.第3章 不等式（苏教版必修5）参考答案1.（-2，1）∪（2，+∞）解析：原不等式化为(2)(1)(2)0x x x +-->，解得21x -<<或2x >.2.④解析：∵2x y =是增函数，而01b a <<<，∴1222b a <<<.3.三角形 解析：原不等式组可化为0002x y x y x -⎧⎪+⎨⎪≤≤⎩＞，＞，或000 2.x y x y x -⎧⎪+⎨⎪≤≤⎩＜，＜，在平面直角坐标系中作出符合上面两个不等式组的平面区域，如图中的阴影部分所示，∴不等式组()()002x y x y x -+>⎧⎨≤≤⎩，表示的平面区域是一个三角形.第3题图第4题图4.43解析：不等式组表示的平面区域如图所示，由34,34x y x y +=⎧⎨+=⎩得交点A 的坐标为（1，1），又,B C 两点的坐标分别为（0，4），40,3⎛⎫ ⎪⎝⎭，故14441233ABC S ⎛⎫=⨯-⨯= ⎪⎝⎭△. 5.()()()f c f b f a c b a >>解析：特殊值法.令7a =，31b c ==，，满足0a b c >>>，∴ 2log (11)1+＞2log (31)3+＞2log (71)7+.故()()()f c f b f a c b a>>. 6.4 解析：不等式1()9a x y x y ⎛⎫++≥ ⎪⎝⎭对任意正实数,x y 恒成立，则1219y ax a a a x y +++≥++≥，∴a ≥2或4a ≤-（舍去），∴ 正实数a 的最小值为4.7.21x ≤-解析：依题意得10,10,(1)()1(1)1x x x x x x x x +<+≥⎧⎧⎨⎨++-≤++≤⎩⎩或，所以1,1,2121R x x x x ≥-⎧<-⎧⎪⇒⎨⎨∈--≤≤-⎪⎩⎩或1x <-或12121x x -≤≤-⇒≤-. 8.8 解析：M =b c a +·a c b +·a bc+≥8ab bc ac abc ∙∙=8.9.[21,)-+∞解析：令cos x θ= ，1sin y θ=+，则()sin cos 1x y θθ-+=---=π2sin 4θ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭-1，∴ max ()2x y -+=-1.∵0x y c ++≥恒成立，∴ max ()2c x y ≥-+=-1. 10.≤ 唯一 解析：因为4a b cd +==，由基本不等式得2a b ab +≥，故4ab ≤.又2()4c d cd +≤，故4c d +≥，所以ab c d ≤+，当且仅当2a b c d ====时，等号成立.11.{|31}x x -≤≤解析：依题意得2241(3)(1)031x x x x x +-≤-⇒+-≤⇒∈-，［］.12.4 解析：由题意知(11)A ，，∴10m n +-=，∴1m n +=， ∴1m +1n =11()2224n m n m m n m n m n m n ⎛⎫++=++≥+∙= ⎪⎝⎭.13.19解析：先在平面直角坐标系xOy 内画出不等式组所表示的平面区域，即可行域（如图中阴影部分）.把25z x y =+变形为5152y x z =-+，得斜率为25-，在y 轴上的截距为15z ，随z 变化的一族平行直线.由图可以看出，当直线5152y x z =-+经过可行域上的点M 时，截距15z 最大，即z 最大. 解方程组283x y y +=⎧⎨=⎩，，得23.x y =⎧⎨=⎩，故23M （，）.此时max z =2×2+5×3=19.第13题图14.40解析：设长为x 米，宽为y 米，则610100x y +≤，即3550x y +≤.∵0255335x y x y +≥∙≥，当且仅当35x y =时等号成立，,x y 为正整数，∴只有当324525x y ==，时面积最大，此时面积40xy =平方米. 15.解：由22(2)(23)x a a a x ---+30a +>，得[(2)3]()0a x x a --->. ①当2a =时，20x -<，解得2x <. ②当2a >时，原不等式可以化为32()0a x x a ⎛⎫⎪⎭--⎝->. 因为2323(3)(1)222a a a a a a a a -++-+--==---， 所以当3a =时，2(03)x ->，则x ∈R 且3x ≠. 当23a <<时，32a a >-，解得32x a >-或x a <.当3a >时，32a a <-，解得32x a <-或x a >. ③当2a <时，原不等式可以化为3(2)0a x x a ⎛⎫⎪⎭--⎝-<. 因为2323(3)(1)222a a a a a a a a -++-+--==---，所以当12a -<<时，32a a <-，所以32a x a -<<；当1a =-时，2(01)x +<，不等式无解；当1a <-时，32a a >-，所以32a a x <<-. 所以原不等式的解集为： 当1a <-时，32a x a x ⎧⎫⎨⎬-⎩<<⎭； 当1a =-时，不等式无解； 当12a -<<时，32xa x a <<⎧⎫⎨⎬-⎩⎭；当2a =时，{|2}x x <； 当23a <<时，32a x x a x ⎧⎫<>⎨⎩⎭-⎬或； 当3a =时，{|3}x x x ∈≠且R ； 当3a >时，32x x x a a ⎧⎫<>⎨-⎬⎩⎭或. 16.解：设矩形栏目的高为a cm ，宽为b cm ，则ab =9 000.① 广告的高为a +20，宽为2b +25，其中a ＞0，b ＞0. 广告的面积(20)(225)2402550018 500254018 5002254018 500S a b ab b a a b a b =++=+++=++≥+∙=+2 1 00024 500ab =，当且仅当2540a b =时等号成立，此时58b a =，将其代入①式得120a =，从而75b =，即当12075a b ==，时，S 取得最小值24 500.故广告的高为140 cm ，宽为175 cm 时，可使广告的面积最小. 17.解：若2230m m --=，则1m =-或3m =. 当1m =-时，不合题意；当3m =时，符合题意.若2230m m --≠，设22()(23)(3)1f x m m x m x =-----，则由题意，得22230,230,m m m m m ∆2⎧--<⎪⎨=[-(-3)]+4(--)<⎪⎩解得135m -<<. 综合以上讨论，得135m -<≤.18.解：设投资人分别用x y ，万元投资甲、乙两个项目，由题意，得10,0.30.1 1.8,0,0,x y x y x y +≤⎧⎪+≤⎪⎨≥⎪⎪≥⎩目标函数为0.5z x y =+.上述不等式组表示的平面区域如图所示，阴影部分（含边界）即为可行域.作直线0:0.50l x y +=，并作平行于直线0l 的一组直线0.5x y z +=，z ∈R ，与可行域相交，其中有一条直线经过可行域上的点M ，此时z 最大，这里点M 是直线10x y +=与直线0.30.1 1.8x y +=的交点.解方程组10,0.30.1 1.8,x y x y +=⎧⎨+=⎩得4,6,x y =⎧⎨=⎩此时，40.567z =+⨯=(万元).∴ 当46x y ==，时，z 取得最大值.答：投资人用4万元投资甲项目，6万元投资乙项目，才能使可能的盈利最大. 第18题图19.（1）解：∵ 2422x x f x +≤≤（）对一切实数都成立， ∴4(2)4f ≤≤，∴(2)4f =.（2）解：设2()(0)f x ax bx c a =++≠.∵(2)0(2)4f f -==，，∴424,1,42024.a b c b a b c c a ++==⎧⎧⇒⎨⎨-+==-⎩⎩∵22ax bx c x ++≥，即2240ax x a -+-≥，∴214240410aa a ∆=--≤⇒-≤（）（）， ∴ 14a =，241c a =-=，故2()14x f x x =++.（3）证明：∵ 2144114()(2)(2)(3)23n b f n n n n n n ⎛⎫==>=- ⎪+++++⎝⎭， ∴ 1211111111444344523333(3)n n n S b b b n n n n ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+++-+-++-=⨯-= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥++++⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦＞. 20.解：设矩形温室的左侧边长为a m ，后侧边长为b m，则72ab =，蔬菜的种植面积(4)(2)428802(2)8042S a b ab b a a b ab =--=--+=-+≤-=32（m 2）.当且仅当2a b =，即126a b ==，时，max 32S =.答：当矩形温室的边长为6 m ，12 m 时，蔬菜的种植面积最大，最大种植面积是32 m 2.。
高中数学数学人教A版必修五第三章第三节基本不等式基础练习
数学必修五第三章第四节基本不等式班级 学号 姓名一 知识巩固1、重要不等式：2、基本不等式：3、基本不等式求最值定理： ； 。
4、基本不等式求最值定理应满足的三个条件是： ， ， 。
5最常用的形式：()0,02>>≥+k x k xkx二、实践应用1、应用于求最值（一）例题讲解1．已知正数,a b 满足10ab =，则2+a b 的最小值是 ( )A ．B ．C ．D ．2．函数1()(2)2f x x x x =+>-最小值是（ ） A ．1B ．2C ．3D ．43．已知函数4()1,(0)f x x x x=--<，则此函数的最小值为（ ） A ．3 B ．4C ．5D ．94．若102x <<，则 ） A ．1 B ．12C ．1D ．185．已知函数()5f x x =-，当19x ≤≤时，()1f x >恒成立，则实数m 的取值范围为（ ） A ．133m <B ．5m <C ．4m <D ．5m ≤6．在函数①1y xx =+，②sin 2(0)2sin x y x x π=+<<，③42xx y e e =+-，④2y =，⑤1y x x=+中，最小值为2的函数的序号是______.③⑤（二）应用练习1．若0a >，0b >且24a b +=，则1ab的最小值为（ ） A ．2B ．12 C ．4 D ．142．若x ，y 是正数，且121x y+=，则xy 有( )A ．最大值8B ．最小值18C ．最小值8D ．最大值183．已知01x <<，则(33)x x -取最大值时x 的值为（ ）．A ．13B ．12C ．23D ．344．设正数x ,y 满足x + 4y =40 ,则 lgx +lgy 的最大值是( ) A ．40 B ．10 C ．4 D ．2 5．若设a 、b 为实数，且3a b +=，则22a b +的最小值是（ ） A ．6 B ．8 C ．26 D ．42 6．下列函数中,最小值为22的是A ．2y x x =+B ．2sin (0)sin y x x xπ=+<< C ．e 2e x x y -=+ D ．2log 2log 2x y x =+ 7.已知函数()9411y x x x =-+>-+，当x a =时，y 取得最小值b ，则+a b 等于（）A ．-3B ．2C ．3D ．88．已知0a >，0b >，则112ab a b ++的最小值是（ ） A ．2B ．22C ．4D ．59．若实数x,y 满足xy=1,则+的最小值为______________.10．周长为12的矩形，其面积的最大值为____________；11、函数=y ()10x x -的最大值为 .12．已知(2,5)x ∈-，求(2)(5)y x x =+-的最大值，以及y 取得最大值时x 的值．13．（1）已知1x >，求121x x +-的最小值； (2)已知0x >，求42y x x=--的最大值；2、有条件等式的和的最值（一）例题讲解 1．设正数m ，n 满足49m n+=1，则m +n 的最小值为（ ）A ．26B ．25C ．16D ．92．已知0x >，0y >，4322x y ⋅=，则1125x y+的最小值是 A ．2B ．8C ．4D ．6 3．已知正数x 、y 满足1x y +=，则141x y ++的最小值为（ ）A ．72B ．4C ．92D ．54．设0x >，0y >，24x y +=，则()()121x y xy++的最小值为（ ）A ．2B ．4C ．72 D ．925．若0x >，0y >，且xy y x =+9，则x y +的最小值是_____． 6．已知x 、y 都为正数，且4x y +=，若不等式14m xy+>恒成立，则实数m 的取值范围是________. （二）应用练习1．设,x y 为正数， 则()14x y x y ⎛⎫++ ⎪⎝⎭的最小值为 ( ) A ．6B ．9C ．12D ．152．已知实数0,0>>b a ，若12=+b a ，则ba21+的最小值是（ ） A ．38 B ．311 C ．4 D ．83．已知正数,x y 满足811x y+=，则2x y +的最小值是（ ） A ．18 B ．16 C ．8 D ．104．若直线()10,0x ya b a b+=>>过点()2,1，则2a b +的最小值为（ ） A ．10B ．9C ．8D ．65．设0,0a b >>.3a 与3b 的等比中项，则11a b+的最小值（ ） A ．2 B ．14C ．4D ．86．设102m <<，若1212k m m +≥-恒成立，则k 的最大值为（ ） A ．4B ．2C ．8D ．17．在ABC 中，E 为AC 上一点，3AC AE =，P 为BE 上任一点，若(0,0)AP mAB nAC m n =+>>，则31m n+的最小值是 A ．9 B ．10 C ．11D ．128．正项等比数列{}n a 中，存在两项,m n a a 14a =，且6542a a a =+，则14m n+的最小值是( )A ．32 B ．2 C ．73 D ．2569．设(1,2)OA =-,(,1)OB a =-，(,0)OC b =-，0,0a b >>，O 为坐标原点，若A 、B 、C 三点共线，则12a b+的最小值是10．已知0x >，0y >，且1x y +=，则2x yxy+的最小值是________.11．设函数()()()2230f x ax b x a =+-+≠．（1）若不等式()0f x >的解集为()1,3-，求,a b 的值; （2）若()12f =，0a >，0b >，求14a b+的最小值．3、相等中求不等例1.设x y R +∈、且()1xy x y -+=，则（ ）A ．1)x y +≥B ．1xy ≤C ．21)x y +≤D ．1)xy ≥ 例2已知x 、y 为正实数，且满足22282x y xy ++=，则2x y +的最大值是_______.例3．当0x ＞时，不等式290x mx -+＞恒成立，则实数m 的取值范围是（ ）A ．(6)∞－，B ．(6]∞－，C ．[6)∞，＋D ．(6)∞，＋练习1．若实数,a b 满足12a b+=ab 的最小值为（ ）A B ．2 C ． D ．4练习2．若正数,x y 满足2249330x y xy ++=，则的最大值是（ ）A ．43B ．53C ．2D ．54练习3．若正数a ，b 满足3ab a b =++，则ab 的取值范围是________．练习4．已知函数2()4f x x kx =-+对任意的[1,3]x ∈，不等式()0f x ≥恒成立，则实数k 的最大值为________．数学必修五第三章第四节基本不等式简答一 知识巩固1、重要不等式：如果R b a ∈,,那么，ab b a 222≥+ 2、基本不等式：如果+∈R b a ,,那么，ab ba ≥+2， 当且仅当b a = 时取等号。
高中数学北师大版必修5 第三章3.1 基本不等式 作业 Word版含解析
[学业水平训练]1．若a ，b ∈R ，且ab >0，则下列不等式中，恒成立的是( )A ．a 2＋b 2>2abB ．a ＋b ≥2ab C.1a ＋1b >2ab D.b a ＋a b≥2 答案：D2．若实数a 、b 满足0<a <b ，且a ＋b ＝1，则下列四个数中最大的是( )A.12B ．a 2＋b 2C ．2abD ．a解析：选B.∵a ＋b ＝1，a ＋b >2ab ，∴2ab <12.∵a 2＋b 2>2·⎝⎛⎭⎫a ＋b 22＝2×14＝12，又0<a <b ，且a ＋b ＝1，∴a <12，∴a 2＋b 2最大． 3．某厂产值第二年比第一年增长p %，第三年比第二年增长q %，又这两年的平均增长率为s %，则s 与p ＋q 2的大小关系是( ) A ．s ＝p ＋q 2B ．s ≤p ＋q 2C ．s >p ＋q 2D ．s ≥p ＋q 2解析：选B.由已知得(1＋s %)2＝(1＋p %)(1＋q %)≤⎝⎛⎭⎫1＋p %＋1＋q %22＝⎝⎛⎭⎫1＋p %＋q %22， 于是1＋s %≤1＋p %＋q %2. 故s ≤p ＋q 2. 4．(2013·高考福建卷)若2x ＋2y ＝1，则x ＋y 的取值范围是( )A ．[0，2]B ．[－2，0]C ．[－2，＋∞)D ．(－∞，－2]解析：选D.∵2x ＋2y ≥22x ＋y ，2x ＋2y ＝1，∴22x ＋y ≤1，∴2x ＋y ≤14＝2－2， ∴x ＋y ≤－2，即(x ＋y )∈(－∞，－2]．5.已知a ，b 都是正数，设M ＝a b ＋b a ，N ＝a ＋b ，则( ) A ．M >NB ．M <NC ．M ＝ND ．M ≥N解析：选D.∵a >0，b >0，∴b >0，a b ＋b ≥2a ，b a ＋a ≥2b . 于是a b ＋b ＋b a ＋a ≥2a ＋2b . 故a b ＋b a ≥a ＋b ，即M ≥N . 6．已知a ，b ，x ，y 都是正实数，且1a ＋1b＝1，x 2＋y 2＝8，则ab 与xy 的大小关系是________．解析：∵1a ＋1b ≥2ab，∴ab ≥4. 而x 2＋y 2≥2xy ，则xy ≤4.∴ab ≥xy .答案：ab ≥xy7．若a >1，0<b <1，则log a b ＋log b a 的取值范围是________．解析：∵a >1，0<b <1，∴log a b <0，log b a <0.∴－(log a b ＋log b a )＝(－log a b )＋(－log b a )≥2.当且仅当－log a b ＝－log b a ，即a >1，0<b <1，ab ＝1时等号成立．∴log a b ＋log b a ≤－2.答案：(－∞，－2]8．已知M ＝x ＋1x －3，N ＝51－x 2(x >3)，则M 与N 的大小关系是________． 解析：∵x >3，∴x －3>0，∴M ＝x －3＋1x －3＋3≥2（x －3）·1x －3＋3＝5， 又∵1－x 2<0，∴N ＝51－x 2<5即N <5.∴M >N .答案：M >N9．已知f (x )＝a x (a >0且a ≠1)，当x 1≠x 2时，比较f ⎝⎛⎭⎫x 1＋x 22与f （x 1）＋f （x 2）2的大小． 解：∵f (x )＝a x ，∴f ⎝⎛⎭⎫x 1＋x 22＝a x 1＋x 22，12[f (x 1)＋f (x 2)]＝12(ax 1＋ax 2)． ∵a >0且a ≠1，x 1≠x 2，∴ax 1>0，ax 2>0，且ax 1≠ax 2，∴12(ax 1＋ax 2)> ax 1·ax 2＝a x 1＋x 22， 即f ⎝⎛⎭⎫x 1＋x 22<12[f (x 1)＋f (x 2)]．10．已知a ，b ，c 为不全相等的正实数，求证：a ＋b ＋c >ab ＋bc ＋ca .证明：∵a >0，b >0，c >0，∴a ＋b ≥2ab ，b ＋c ≥2bc ，c ＋a ≥2ac . 于是2(a ＋b ＋c )≥2ab ＋2bc ＋2ca ，即a ＋b ＋c ≥ab ＋bc ＋ca .∵a ，b ，c 为不全相等的正实数，等号不成立，∴a ＋b ＋c >ab ＋bc ＋ca .[高考水平训练]1．(2014·亳州检测)已知0＜a ＜b ，且a ＋b ＝1，则下列不等式中正确的是( )A ．log 2a >0B ．2a －b <12C ．2b a ＋a b <12D ．log 2a ＋log 2b <－2解析：选D.∵0<a <b ，且a ＋b ＝1，∴0<a <12<b <1. 对于A ，有log 2a <log 212， ∴log 2a <－1，故A 错误；对于B ，∵a ＋b ＝1，12＜b ＜1， ∴－1＜1－2b ＜0.又y ＝2x 在R 上为增函数，∴2a －b ＝21－2b ＞2－1＝12，故B 错误； 对于C ，2b a ＋a b ≥22b a ·a b ＝22＝4，故C 错误；对于D ，∵0<a <b <1，且a ＋b ＝1，∴a ＋b 2>ab ，∴ab <14.又∵log 2a ＋log 2b ＝log 2(ab )，∴log 2a ＋log 2b <log 214，即log 2a ＋log 2b <－2，故选D. 2．已知a >0，b >0，a ＋b ＝4，则下列各式中正确的是________． ①1a ＋1b ≤14；②1a ＋1b ≥1；③ab ≥2；④1ab≥1. 解析：由a >0，b >0，知a ＋b 2≥ab ，又a ＋b ＝4，∴ab ≤4，∴1ab ≥14，∴1a ＋1b ＝a ＋b ab＝4ab ≥1，即1a ＋1b≥1. 答案：②3．设a >0，b >0且满足ab ＝a ＋b ＋3，求a ＋b 的取值范围．解：∵a ＋b ＋3＝ab ≤（a ＋b ）24， ∴(a ＋b )2－4(a ＋b )－12≥0.又∵a >0，b >0，∴a ＋b ≥6.4．已知a 、b ∈R ＋，a ＋b ＝1.求证：⎝⎛⎭⎫a ＋1a 2＋⎝⎛⎭⎫b ＋1b 2≥252. 证明：∵a >0，b >0，a ＋b ＝1.∴1＝a ＋b ≥2ab ，ab ≤12，∴1ab≥4. ∵a ＋b 2≤ a 2＋b 22，∴a 2＋b 22≥⎝⎛⎭⎫a ＋b 22.∴⎝⎛⎭⎫a ＋1a 2＋⎝⎛⎭⎫b ＋1b 2≥2⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝⎛⎭⎫a ＋1a ＋⎝⎛⎭⎫b ＋1b 22 ＝⎝⎛⎭⎫1＋1a ＋1b 22≥⎝⎛⎭⎫1＋21ab 22≥252. ∴⎝⎛⎭⎫a ＋1a 2＋⎝⎛⎭⎫b ＋1b 2≥252.当且仅当a ＝b ＝12时等号成立．。
(好题)高中数学必修五第三章《不等式》测试题(答案解析)
一、选择题1．设0,0a b >>，若4a b +=.则49a b +的最小值为（ ） A ．254 B ．252 C ．85 D ．1252．已知正数a 、b 满足1a b +=，则411a b a b +--的最小值是（ ） A ．1 B ．2 C ．4 D ．83．设x ，y 满足约束条件5010550x x y x y -≤⎧⎪-+≥⎨⎪+-≥⎩，且(0,0)z ax by a b =+>>的最大值为1，则56a b+的最小值为（ ） A ．64 B ．81 C ．100 D ．1214．若实数x ，y 满足约束条件21010x y x y -+≥⎧⎨--≤⎩，则2z x y =-的最大值是（ ） A ．1- B ．2 C ．3 D ．45．已知0x >，0y >，21x y +=，若不等式2212m m x y+>+恒成立，则实数m 的取值范围是（ ）A ．4m ≥或2m ≤-B ．2m ≥或4m ≤-C ．24m -<<D ．42m -<<6．在各项均为正数的等差数列{}n a 中，n S 为其前n 项和，7S =14，则2614t a a =+的最小值为（ ）A ．9B ．94C ．52D ．27．已知α，β满足11123αβαβ-≤+≤⎧⎨≤+≤⎩，则3αβ+的取值范围是（ ） A ．[1,7] B ．[5,13]- C ．[5,7]- D ．[1,13]8．设,x y 满足约束条件321104150250x y x y x y +-≥⎧⎪-+≥⎨⎪--≤⎩，则z x y =+的最小值为（ ）A ．3B ．4C ．5D ．109．设x ，y 满足约束条件103030x y x y y -+≤⎧⎪-≥⎨⎪-≤⎩，则z x y =+的最小值为（ ）A ．-1B ．2C ．4D ．510．若实数,x y 满足约束条件22x x y y x ≤⎧⎪+≥⎨⎪≤⎩，则z x y =+的最大值为（ ）A ．5B ．4C ．3D ．211．设变量,x y 、满足约束条件236y x x y y x ≤⎧⎪+≥⎨⎪≥-⎩，则目标函数2z x y =+的最大值为（ ）A ．2B ．3C ．4D ．912．设函数2()1f x mx mx =--，若对于任意的x ∈{x |1 ≤ x ≤ 3}，()4f x m <-+恒成立，则实数m 的取值范围为（ ）A ．m ≤0B ．0≤m <57C ．m <0或0<m <57D ．m <57二、填空题13．设点(),P x y 位于线性约束条件32102x y x y y x +≤⎧⎪-+≤⎨⎪≤⎩，所表示的区域内（含边界），则目标函数4z x y =-的最大值是_________.14．若,0x y >满足35x y xy +=，则34x y +的最小值是___________.15．已知函数2()4f x x =+，()g x ax =，当[]1,4x ∈时，()f x 的图象总在()g x 图象的上方，则a 的取值范围为_________.16．设ABC 的内角A ，B ，C 所对的边长分别为a ，b ，c ，且3cos 2cos a C c A b ⋅=⋅+，则()tan A C -的最大值为__________.17．已知实数,x y 满足102801x y x y x -+≤⎧⎪+-≤⎨⎪≥⎩，则3y x +的最大值为_______． 18．已知不等式24x a x ≤+对任意的[]1,3x ∈恒成立,则实数a 的范围为_______． 19．已知ABC 中，D 、E 分别为AB 、AC 的中点，DF tDE =，AF x AB y AC =+，则xy 的最大值为________.20．已知11()2x x f x e e a --=++只有一个零点，则a =____________．三、解答题21．给出下面三个条件：①函数()y f x =的图象与直线1y =-只有一个交点；②函数(1)f x +是偶函数；③函数()f x 的两个零点的差为2，在这三个条件中选择一个，将下面问题补充完整，使函数()f x 的解析式确定问题：二次函数2()f x ax bx c =++满足(1)()21f x f x x +-=-，且___________(填所选条件的序号).（1）求()f x 的解析式；（2）若对任意()31,27,2log 09x f x m ⎡⎤∈+⎢⎥⎣⎦恒成立，求实数m 的取值范围； （3）若函数()()(21)3232x x g x t f =--⨯-有且仅有一个零点，求实数t 的取值范围. 注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.22．已知m R ∈，命题p ：对任意[]0,1x ∈，不等式2223x m m -≥-恒成立；命题q ：存在[]1,1x ∈-，使得m ax ≤成立．（1）若p 为真命题，求m 的取值范围；（2）当1a =时，若p q ∨为真，p q ∧为假，求m 的取值范围．23．选修4-5 不等式选讲已知函数f (x )＝|x －1|－2|x ＋1|的最大值为m .(1)求m ；(2)若a ，b ，c ∈(0，＋∞)，a 2＋2b 2＋c 2＝2m ，求ab ＋bc 的最大值．24．（1）若关于x 的不等式m 2x 2﹣2mx ＞﹣x 2﹣x ﹣1恒成立，求实数m 的取值范围． （2）解关于x 的不等式（x ﹣1）（ax ﹣1）＞0，其中a ＜1．25．已知集合(){}2log 421x A x y ==-+∣，1,11B y y x a x x ⎧⎫==++>-⎨⎬+⎩⎭∣. （1）求集合A 和集合B ；（2）若“R x B ∈”是“x A ∈”的必要不充分条件，求a 的取值范围.26．已知2()3(5)f x x a a x b =-+-+．（1）当不等式()0f x >的解集为(1,3)-时，求实数,a b 的值；（2）若对任意实数,(2)0a f <恒成立，求实数b 的取值范围．【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题1．A解析：A【分析】用“1”的代换凑配出定值后用基本不等式可得最小值．【详解】0,0,4a b a b >>+=()(4914914912513134444b a a b a b a b a b ⎛⎫⎛⎫∴+=++=++≥⨯+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ 当且仅当49b a a b =，即812,55a b ==时取等号. 故选：A ．【点睛】易错点睛：利用基本不等式求最值时，要注意其必须满足的三个条件：（1）“一正二定三相等”“一正”就是各项必须为正数；（2）“二定”就是要求和的最小值，必须把构成和的二项之积转化成定值；要求积的最大值，则必须把构成积的因式的和转化成定值；（3）“三相等”是利用基本不等式求最值时，必须验证等号成立的条件，若不能取等号则这个定值就不是所求的最值，这也是最容易发生错误的地方2．C解析：C【分析】 化简得出441511a b a b b a +=+---，将代数式14a b +与+a b 相乘，展开后利用基本不等式可求得411a b a b+--的最小值. 【详解】已知正数a 、b 满足1a b +=，则()414141511b a b a a b b a b a--+=+=+---()41454a b a b b a b a ⎛⎫=++-=+≥= ⎪⎝⎭， 当且仅当2b a =时，等号成立， 因此，411a b a b+--的最小值是4. 故选：C.【点睛】 易错点睛：利用基本不等式求最值时，要注意其必须满足的三个条件：（1）“一正二定三相等”“一正”就是各项必须为正数；（2）“二定”就是要求和的最小值，必须把构成和的二项之积转化成定值；要求积的最大值，则必须把构成积的因式的和转化成定值；（3）“三相等”是利用基本不等式求最值时，必须验证等号成立的条件，若不能取等号则这个定值就不是所求的最值，这也是最容易发生错误的地方.3．D解析：D【分析】作出可行域，作出目标函数对应的直线，平移该直线得最优解，从而得,a b 的关系式561a b +=，然后用“1”的代换，配凑出积为定值，用基本不等式得最小值．【详解】作出约束条件表示的可行域，如图，ABC 内部（含边界），作直线直线0ax by += ， z ax by =+中，由于0,0a b >>，a b 是直线的纵截距，直线向上平移时，纵截距增大， 所以当直线z ax by =+经过点()5,6时，z 取得最大值，则561a b +=，所以()56565661306160121b a a b a b a b a b ⎛⎫⎛⎫+=++=++≥+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 当且仅当111a b ==时，等号成立，故56a b+的最小值为121． 故选：D ．【点睛】关键点点睛：本题考查简单的线性规划，考查用基本不等式求最值．解题思路是利用简单的线性规划求得变量,a b 满足的关系式，然后用“1”的代换凑配出定值，再用基本不等式求得最小值．求最值时注意基本不等式的条件：一正二定三相等，否则易出错．4．D解析：D【分析】画出不等式组对应的平面区域，利用z 的几何意义，利用数形结合即可得到结论.【详解】画出约束条件210110x y x x y -+≥⎧⎪≥⎨⎪--≤⎩或210110x y x x y -+≥⎧⎪<⎨⎪+-≥⎩所表示的平面区域，如图所示，.目标函数2z x y =-，可化为2y x z =-，由图象可知，当直线2y x z =-经过点A 时，使得目标函数2z x y =-取得最大值，又由10210x y x y --=⎧⎨-+=⎩，解得(3,2)A ， 所以目标函数的最大值为2324z =⨯-=，故选：D.【点睛】思路点睛：本题主要考查线性规划中，利用可行域求目标函数的最值，属于中等题. 求目标函数最值的一般步骤是“一画、二移、三求”：（1）作出可行域（一定要注意是实线还是虚线）；（2）找到目标函数对应的最优解对应点（在可行域内平移变形后的目标函数，最先通过或最后通过的顶点就是最优解）；（3）将最优解坐标代入目标函数求出最值.5．D解析：D【分析】 先根据已知结合基本不等式得218x y +≥，再解不等式228m m +<即可得答案. 【详解】解：由于0x >，0y >，21x y +=， 所以()21214424428y x y x x y x y x y x y x y⎛⎫+=++=++≥+⋅= ⎪⎝⎭，当且仅当4y x x y =，即122x y ==时等号成立， 由于不等式2212m m x y +>+成立， 故228m m +<，解得：42m -<<.故实数m 的取值范围是：42m -<<.故选：D.【点睛】本题考查利用基本不等式求最值，一元二次不等式的解法，考查运算能力，是中档题. 6．B解析：B【分析】根据等差数列的性质和前n 项和公式求得26a a +，然后由“1”的代换应用基本不等式求得最小值．【详解】 由题意172677()7()1422a a a a S ++===，∴264a a +=， ∴26262614114()()4t a a a a a a =+=++62264119(5)(5444a a a a =++≥+=，当且仅当62264a a a a =，即622a a =时等号成立． 故选：B ．【点睛】本题考查等差数列的性质，考查基本不等式求最值．解题基础是掌握等差数列的性质，掌握基本不等式求最值中“1”的代换法．7．A解析：A【解析】分析：该问题是已知不等关系求范围的问题，可以用待定系数法来解决．详解：设α+3β=λ（α+β）+v （α+2β）=（λ+v ）α+（λ+2v ）β．比较α、β的系数，得123v v λλ+=⎧⎨+=⎩， 从而解出λ=﹣1，v=2．分别由①、②得﹣1≤﹣α﹣β≤1，2≤2α+4β≤6，两式相加，得1≤α+3β≤7．故α+3β的取值范围是[1，7]．故选A点睛：本题考查待定系数法，考查不等式的基本性质，属于基础题．8．B解析：B【分析】结合题意画出可行域，然后运用线性规划知识来求解【详解】如图由题意得到可行域，改写目标函数得y x z =-+，当取到点(3,1)A 时得到最小值，即314z =+=故选B【点睛】本题考查了运用线性规划求解最值问题，一般步骤：画出可行域，改写目标函数，求出最值，需要掌握解题方法9．B解析：B【分析】由约束条件作出可行域，化目标函数为直线方程的斜截式，数形结合得到最优解，把最优解的坐标代入目标函数得答案．【详解】解：由约束条件103030x y x y y -+⎧⎪-⎨⎪-⎩作出可行域如图，化目标函数z x y =+为y x z =-+，由图可知，当直线y x z =-+过点A 时，直线在y 轴上的截距最小，z 有最小值．联立1030x y x y -+=⎧⎨-=⎩，解得1(2A ，3)2． z ∴的最小值为13222+=．故选：B ．【点睛】本题考查简单的线性规划，考查数形结合的解题思想方法，属于中档题．10．B解析：B【分析】作出不等式对应的平面区域，利用线性规划的知识，通过平移即可求目标函数的最大值．【详解】解：作出不等式组对应的平面区域如图：由z x y =+得y x z =-+，平移直线y x z =-+，由图象可知当直线y x z =-+经过点B 时，直线y x z =-+的截距最大，此时z 最大．由2x y x=⎧⎨=⎩解得(2,2)B ． 代入目标函数z x y =+得224z =+=．即目标函数z x y =+的最大值为4．故选：B ．【点睛】本题主要考查线性规划的应用，利用数形结合是解决线性规划题目的常用方法．利用平移确定目标函数取得最优解的条件是解决本题的关键，属于中档题．11．D解析：D【分析】由约束条件作出可行域，化目标函数为直线方程的斜截式，数形结合得到最优解，联立方程组求得最优解的坐标，把最优解的坐标代入目标函数得结论.【详解】画出满足约束条件236y x x y y x ≤⎧⎪+≥⎨⎪≥-⎩的可行域，如图，画出可行域ABC ∆，(2,0)A ，(1,1)B ，(3,3)C ，平移直线2z x y =+，由图可知，直线2z x y =+经过(3,3)C 时目标函数2z x y =+有最大值，2z x y =+的最大值为9.故选D.【点睛】本题主要考查线性规划中，利用可行域求目标函数的最值，属于简单题.求目标函数最值的一般步骤是“一画、二移、三求”：（1）作出可行域（一定要注意是实线还是虚线）；（2）找到目标函数对应的最优解对应点（在可行域内平移变形后的目标函数，最先通过或最后通过的顶点就是最优解）；（3）将最优解坐标代入目标函数求出最值.12．D解析：D【分析】将()4f x m <-+恒成立转化为g (x ) = mx 2－mx ＋m －5 < 0恒成立，分类讨论m 并利用一元二次不等式的解法，求m 的范围【详解】若对于任意的x ∈{x |1 ≤ x ≤ 3}，()4f x m <-+恒成立即可知：mx 2－mx ＋m －5 < 0在x ∈{x |1 ≤ x ≤ 3}上恒成立 令g (x )＝mx 2－mx ＋m －5，对称轴为12x = 当m ＝0时，－5 < 0恒成立当m < 0时，有g (x )开口向下且在[1,3]上单调递减∴在[1,3]上max ()(1)50g x g m ==-<，得m < 5，故有m < 0 当m >0时，有g (x ) 开口向上且在[1,3]上单调递增 ∴在[1,3]上max ()(3)750g x g m ==-<，得507m << 综上，实数m 的取值范围为57m < 故选：D 【点睛】本题考查了一元二次不等式的应用，将不等式恒成立等价转化为一元二次不等式在某一区间内恒成立问题，结合一元二次不等式解法，应用分类讨论的思想求参数范围二、填空题13．【分析】根据线性约束条件画出可行域将目标函数化为直线方程通过平移即可求得目标函数的最大值【详解】由题意作出可行域如图目标函数可化为上下平移直线数形结合可得当直线过点A 时z 取最大值由可得所以故答案为： 解析：163【分析】根据线性约束条件，画出可行域，将目标函数化为直线方程，通过平移即可求得目标函数的最大值. 【详解】由题意作出可行域，如图，目标函数4z x y =-可化为4y x z =-，上下平移直线4y x z =-，数形结合可得，当直线过点A 时，z 取最大值，由2103x y x y -+=⎧⎨+=⎩，可得54,33A ⎛⎫⎪⎝⎭，所以54164333max z =⨯-=. 故答案为：163. 【点睛】方法点睛：求线性目标函数的在约束条件下的最值问题的求解步骤是：①作图，画出约束条件（不等式组）所确定的平面区域和目标函数所表示的平行直线系中的任意一条直线l ； ②平移，将l 平行移动，以确定最优解所对应的点的位置；③求值，解有关的方程组求出最优点的坐标，再代入目标函数，求出目标函数的最值.14．【分析】化简得到结合基本不等式即可求解【详解】由满足可得则当且仅当时即时等号成立所以的最小值是故答案为：【点睛】通过常数代换法利用基本不等式求解最值的基本步骤：（1）根据已知条件或其变形确定定值（常 解析：5【分析】化简35x y xy +=，得到315x y +=，134(34)()531x y x y x y⋅+++=，结合基本不等式，即可求解. 【详解】由,0x y >满足35x y xy +=，可得315x y+=， 则311134(34)()(13123)55y xx y x y y x yx +=⋅++=++⨯11(13(1312)555≥⋅+=+=，当且仅当123y x x y =时，即21x y ==时等号成立，所以34x y +的最小值是5. 故答案为：5. 【点睛】通过常数代换法利用基本不等式求解最值的基本步骤： （1）根据已知条件或其变形确定定值（常数）； （2）把确定的定值（常数）变形为1；（3）把“1”的表达式与所求的最值的表达式相乘或相除，进而构造或积为定值的形式； （4）利用基本不等式求最值.15．【分析】由参变量分离法可得知不等式对任意的恒成立利用基本不等式求出的最小值即可得出实数的取值范围【详解】由题意可得则从而有由基本不等式可得当且仅当时等号成立所以因此实数的取值范围是故答案为：【点睛】 解析：(),4-∞【分析】由参变量分离法可得知，不等式4a x x<+对任意的[]1,4x ∈恒成立，利用基本不等式求出4x x+的最小值，即可得出实数a 的取值范围. 【详解】由题意可得[]1,4x ∀∈，则24x ax +>，从而有4a x x<+，由基本不等式可得44x x +≥=，当且仅当2x =时，等号成立，所以，4a <. 因此，实数a 的取值范围是(),4-∞. 故答案为：(),4-∞. 【点睛】结论点睛：利用参变量分离法求解函数不等式恒（能）成立，可根据以下原则进行求解： （1）x D ∀∈，()()min m f x m f x ≤⇔≤； （2）x D ∀∈，()()max m f x m f x ≥⇔≥； （3）x D ∃∈，()()max m f x m f x ≤⇔≤； （4）x D ∃∈，()()min m f x m f x ≥⇔≥.16．【分析】利用正弦定理将化为然后利用三角形内角和定理将用代换再利用两角和的正弦公式展开整理可得再由同角三角函数关系可得将其代入展开式消去结合基本不等式即可求出的最大值【详解】解：∵由正弦定理边角互化得解析：12【分析】利用正弦定理将3cos 2cos a C c A b ⋅=⋅+化为3sin cos 2sin cos sin A C C A B ⋅=⋅+，然后利用三角形内角和定理将B 用()A C π-+代换，再利用两角和的正弦公式展开整理可得2sin cos 3sin cos A C C A ⋅=⋅，再由同角三角函数关系可得3tan tan 2A C =，将其代入()tan A C -展开式消去tan A ，结合基本不等式即可求出()tan A C -的最大值． 【详解】解：∵ 3cos 2cos a C c A b ⋅=⋅+由正弦定理边角互化得3sin cos 2sin cos sin A C C A B ⋅=⋅+，又∵ ()()sin sin sin sin cos cos sin B A C A C A C A C π=-+=+=+⎡⎤⎣⎦， ∴ 3sin cos 2sin cos sin cos cos sin A C A C C A A C +⋅=⋅+， ∴ 2sin cos 3sin cos A C C A ⋅=⋅∵ 当cos 0C ≤或cos 0A ≤时，等式不成立， ∴ ,0,2A C π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，3tan tan 2A C =， ∴ ()22tan tan tan tan tan tan 112tan ==32123132tan tan tan tan CA C C A C C C A C C C-==++++-， 又∵ tan 0C >，∴2tan tan 3C C ≥=+当且仅当23tan tan C C ==，即tan 3C =等号成立， ∴()tan tan tan tan tan tan 1tan =213A CA CC CA C -≤++-=故答案为：12【点睛】本题主要考查正弦定理，两角差的正切公式及基本不等式的应用，需要注意的是在利用基本不等式时，要根据条件确定tan 0C >.17．【分析】根据约束条件画出可行域目标函数可以看成是可行域内的点和的连线的斜率从而找到最大值时的最优解得到最大值【详解】根据约束条件可以画出可行域如下图阴影部分所示目标函数可以看成是可行域内的点和的连线解析：78【分析】根据约束条件，画出可行域，目标函数可以看成是可行域内的点(),x y 和()3,0-的连线的斜率，从而找到最大值时的最优解，得到最大值. 【详解】根据约束条件102801x y x y x -+≤⎧⎪+-≤⎨⎪≥⎩可以画出可行域，如下图阴影部分所示，目标函数3yx +可以看成是可行域内的点(),x y 和()3,0-的连线的斜率， 因此可得，当在点A 时，斜率最大联立2801x yx+-=⎧⎨=⎩，得172xy=⎧⎪⎨=⎪⎩即71,2A⎛⎫⎪⎝⎭所以此时斜率为()7072138-=--，故答案为78.【点睛】本题考查简单线性规划问题，求目标函数为分式的形式，关键是要对分式形式的转化，属于中档题.18．【分析】利用基本不等式求得在的最大值即可求得实数的范围【详解】因为则当且仅当时即等号成立即在的最大值为又由不等式对任意的恒成立所以即实数的范围为故答案为：【点睛】本题主要考查不等式的恒成立问题其中解解析：1[,)4+∞.【分析】利用基本不等式求得24xx+在[]1,3x∈的最大值，即可求得实数a的范围.【详解】因为[]1,3x∈，则21144442xx xxx x=≤=++⨯，当且仅当4xx=时，即2x=等号成立，即24xx+在[]1,3x∈的最大值为14，又由不等式24x a x ≤+对任意的[]1,3x ∈恒成立，所以14a ≥ 即实数a 的范围为1[,)4+∞.故答案为：1[,)4+∞.【点睛】本题主要考查不等式的恒成立问题，其中解答中熟练应用基本不等式求得24xx +的最大值是解答的关键，着重考查推理与运算能力.19．【分析】首先根据平面向量的线性运算表示出再根据向量相等得到最后利用基本不等式计算可得；【详解】解：因为DE 分别为ABAC 的中点所以又所以由所以当且仅当时取等号；故答案为：【点睛】本题考查平面向量基本 解析：116【分析】首先根据平面向量的线性运算表示出()11122AF t AB AC =-+，再根据向量相等得到12x y +=，最后利用基本不等式计算可得；【详解】解：因为D 、E 分别为AB 、AC 的中点，DF tDE =， 所以()12AF AD DF AD tDE AB t AE AD =+=+=+- ()11111122222AB t AC AB t AB AC ⎛⎫=+-=-+ ⎪⎝⎭ 又AF x AB y AC =+，所以()11212x t y t ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，由12x y +=所以21216x y xy +⎛⎫≤= ⎪⎝⎭，当且仅当14x y ==时取等号； 故答案为：116【点睛】本题考查平面向量基本定理的应用，以及基本不等式的应用，属于中档题.20．【分析】由函数只有一个零点转化为方程有唯一的实数解结合基本不等式求得得到即可求解【详解】由题意函数只有一个零点即有唯一的实数根即方程有唯一的实数解令因为所以当且仅当时即等号成立因为方程有唯一的实数解解析：1-【分析】 由函数11()2x x f x e e a --=++只有一个零点，转化为方程112x x e e a --+=-有唯一的实数解，结合基本不等式，求得112x x e e --+≥=，得到22a -=，即可求解. 【详解】由题意，函数11()2x x f x ee a --=++只有一个零点，即()0f x =有唯一的实数根，即方程112x x e e a --+=-有唯一的实数解， 令()11x x g x e e --=+因为110,0x x ee -->>，所以()112x x g x e e --≥+==，当且仅当11x x e e --=时，即1x =等号成立，因为方程112x x e e a --+=-有唯一的实数解，所以22a -=，即1a =-. 故答案为：1-. 【点睛】本题主要考查了根据函数的零点公式求解参数问题，以及基本不等式的应用，其中解答中把函数的零点个数转化为方程解得个数，结合基本不等式求解是解答的关键，着重考查推理与运算能力.三、解答题21．(1). 2()2f x x x =-；(2). 16m ≤- (3). 12t >或12t -= 【分析】(1).首先根据(1)()21f x f x x +-=-求得,a b 的值，再根据① ② ③ 解得c 的值； (2). 将任意()31,27,2log 09x f x m ⎡⎤∈+⎢⎥⎣⎦恒成立问题转化为2()m f t ≤-在[]2,3t ∈-上恒成立的问题，从而转化为最值问题进行求解；(3).将问题转化为方程()(21)220m t f m ---=有且仅有一个正实根，接着对参数进行分类讨论即可. 【详解】(1)因为二次函数2()f x ax bx c =++满足(1)()21f x f x x +-=- 又22(1)()(1)(1)2f x f x a x b x c ax bx c ax a b +-=++++---=++， 所以212x ax a b -=++，221a a b =⎧∴⎨+=-⎩解得：12a b =⎧∴⎨=-⎩因为二次函数2()2f x x x c =-+选① ：因为函数()y f x =的图象与直线1y =-只有一个交点，所以2(1)11f c -=+=-0c ∴=；选② ：因 为 函数(1)f x +是偶函数,所以22(1)=(1)2(1)1f x x x c x c ++-++=+-,所以c 取任意值.选③ ：设 12,x x 是函数()f x 的两个零点，则122x x -=， 由韦达定理可知：12122,x x x x c +==所以122x x -=解得：0c；综上：()f x 的解析式为2()2f x x x =-.(2) 因为对任意()31,27,2log 09x f x m ⎡⎤∈+⎢⎥⎣⎦恒成立,32(log )m f x ∴≤-，[]31,27,log 2,39x x ⎡⎤∈∴∈-⎢⎥⎣⎦令3log t x =， 原不等式等价于2()m f t ≤-在[]2,3t ∈-上恒成立min (2())2(2)16m f t f ∴≤-=--=-,所以实数m 的取值范围为16m ≤-. (3) 因为函数()()(21)3232xxg x t f =--⨯-有且仅有一个零点，令30x m =>，所以方程()(21)220m t f m ---=有且仅有一个正实根， 因为2()2f x x x =-即2(21)420t m tm ---=有且仅有一个正实根，当21=0t -即12t =时，220m --=解得1m =-不合题意； 当210t ->即12t >时，2(21)420t m tm ---=表示的二次函数对应的函数图像是开口向上的抛物线，又恒过点(0,2)-，所以方程2(21)420t m tm ---=恒有一个正实根;当210t -<即12t时， 要想2(21)420t m tm ---=有且仅有一个正实根，只有()21682102021t t tx t ⎧=+-=⎪⎨=>⎪-⎩对解得：t =，综上：实数t 的取值范围为12t >或12t -=. 【点睛】二次函数、二次方程与二次不等式统称“三个二次”，它们常结合在一起，有关二次函数的问题，数形结合，密切联系图象是探求解题思路的有效方法．一般从：①开口方向；②对称轴位置；③判别式；④端点函数值符号四个方面分析． 22．（1）[]1,2；（2）()(],11,2-∞．【分析】（1）由p 为真命题，若()[]()220,1f x x x =-∈，只需()2min 3f x m m ≥-恒成立，即可求m 的取值范围；（2）若q 为真时1m ，结合已知条件：讨论p 真q 假、p 假q 真，分别求得m 的范围，取并集即可. 【详解】解：（1）对任意[]0,1x ∈，不等式2223x m m -≥-恒成立， 令()[]()220,1f x x x =-∈，则()2min 3f x m m ≥-，当[]0,1x ∈时，()()min 02f x f ==-，即232m m -≤-，解得12m ≤≤． 因此，当p 为真命题时，m 的取值范围是[]1,2．（2）当1a =时，若q 为真命题，则存在[]1,1x ∈-，使得m x ≤成立，所以1m ；故当命题q 为真时，1m ．又∵p ，q 中一个是真命题，一个是假命题． 当p 真q 假时，由121m m ≤≤⎧⎨>⎩，得12m <≤；当p 假q 真时，有1m <或2m >，且1m ，得1m <． 综上所述，m 的取值范围为()(],11,2-∞．【点睛】 关键点点睛：（1）函数不等式在闭区间内恒成立，有()2min 3f x m m ≥-求参数范围.（2）由复合命题的真假讨论简单命题的真假组合，并求对应参数范围取并集即可. 23．(1) m ＝2 (2) ab ＋bc 的最大值为2 【解析】试题分析：（1）根据绝对值内的零点，分类讨论，去掉绝对值符号，求出函数的最大值，即可得到m ．（2）利用重要不等式求解ab+bc 的最大值． (1)当x ≤－1时，f (x )＝3＋x ≤2； 当－1<x <1时，f (x )＝－1－3x <2； 当x ≥1时，f (x )＝－x －3≤－4.故当x ＝－1时，f (x )取得最大值2，即m ＝2.(2)因为a 2＋2b 2＋c 2＝(a 2＋b 2)＋(b 2＋c 2)≥2ab ＋2bc ＝2(ab ＋bc )， 当且仅当a ＝b ＝c ＝1时取等号，所以ab ＋bc ≤22222a b c ++ ＝2，即ab ＋bc 的最大值为2. 24．(1) m 34-＞；(2)见解析 【分析】（1）利用△＜0列不等式求出实数m 的取值范围；（2）讨论0＜a ＜1、a ＝0和a ＜0，分别求出对应不等式的解集． 【详解】（1）不等式m 2x 2﹣2mx ＞﹣x 2﹣x ﹣1化为（m 2+1）x 2﹣（2m ﹣1）x +1＞0， 由m 2+1＞0知，△＝（2m ﹣1）2﹣4（m 2+1）＜0， 化简得﹣4m ﹣3＜0，解得m 34-＞， 所以实数m 的取值范围是m 34-＞； （2）0＜a ＜1时，不等式（x ﹣1）（ax ﹣1）＞0化为（x ﹣1）（x 1a -）＞0，且1a＞1， 解得x ＜1或x 1a＞， 所以不等式的解集为{x |x ＜1或x 1a＞}； a ＝0时，不等式（x ﹣1）（ax ﹣1）＞0化为﹣（x ﹣1）＞0， 解得x ＜1，所以不等式的解集为{x |x ＜1}；a ＜0时，不等式（x ﹣1）（ax ﹣1）＞0化为（x ﹣1）（x 1a -）＜0，且1a＜1， 解得1a＜x ＜1，所以不等式的解集为{x |1a＜x ＜1}．综上知，0＜a ＜1时，不等式的解集为{x |x ＜1或x 1a＞}； a ＝0时，不等式的解集为{x |x ＜1}； a ＜0时，不等式的解集为{x |1a＜x ＜1}． 【点睛】本题考查了不等式恒成立问题和含有字母系数的不等式解法与应用问题，是基础题． 25．（1）(,2)A =-∞，[1,)B a =++∞；（2）1a >．【分析】（1）由对数函数的性质求对数型复合函数的定义域，即集合A ，利用基本不等式求函数的值域可得集合B ；（2）根据必要不充分条件与集合包含之间的关系确定a 的范围．【详解】（1）4202x x ->⇒<，所以(,2)A =-∞，因为1x >-，所以10x +>，所以11(1)11111y x a x a a a x x =++=+++-≥-=+++，当且仅当111x x +=+，即0x =时等号成立． 所以[1,)B a =++∞． （2）由（1）(,1)R B a =-∞+，因为“R x B ∈”是“x A ∈”的必要不充分条件，所以A 是B R 的真子集，所以12a +>，所以1a >．【点睛】本题考查求函数的定义域和值域，考查充分必要条件与集合包含之间的关系，考查对数函数、指数函数性质，考查基本不等式求最值，考查由集合包含关系求参数取值范围．知识点较多，但内容较基础．属于中档题．26．（1）29a b =⎧⎨=⎩或39a b =⎧⎨=⎩；（2）1,2⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭． 【分析】（1）由题意知，1x =-和3x =是方程23(5)0x a a x b -+-+=的两个根，即可得到方程3(5)0273(5)0a a b a a b +--=⎧⎨---=⎩，解得即可． （2）若()20f <恒成立，可根据二次不等式恒成立的条件，构造关于b 的不等式，解不等式可求出实数b 的取值范围；【详解】解：（1）由()0f x >，得23(5)0x a a x b -+-+>．23(5)0x a a x b ∴---<又()0f x >的解集为(1,3)-，所以1x =-和3x =是方程23(5)0x a a x b -+-+=的两个根 3(5)0273(5)0a a b a a b +--=⎧∴⎨---=⎩29a b =⎧∴⎨=⎩或39a b =⎧⎨=⎩（2）由(2)0f <，得122(5)0a a b -+-+< 即2210120a a b -+->又对任意实数a ，(2)0f <恒成立，即2210120a a b -+->，对任意实数a 恒成立，2(10)42(12)0b ∴∆=--⨯-<，解得12b <-， ∴实数b 取值范围为1,2⎛⎫-∞-⎪⎝⎭． 【点睛】本题考查一元二次不等式的解法，一元二次不等式恒成立问题，属于中档题．。
2018秋新版高中数学人教A版必修5习题：第三章不等式 3.4.1
A.1≤ab≤ 2
2
< ������2 + ������2 < 1������.������2 + ������2 < ������������ < 1
C.ab 2
2
解析:令
a=-1,b=3,则
,������2 ab=-3
+ 2
������2
=
5,则有 ab<1
<
������2
+ 2
������2,
+ 2
������(������2)的大小.
( ) ������ ������1 + ������2
������1 + ������2
= ������ 2 ,
解∵f(x)=ax,∴ 2
∴
1
[������(������1)
+
������(������2)]
=
1(������������1
+
������������2).
1
������ + + 3
2+3
5
������
即������2
+
������ 3������
+
1的最大值为15,故a≥15.
[ ) 答案:
1
5,
+
∞
( ) ★
8 已知 f(x)=ax(a>0,且 a≠1),当
������ x1≠x2 时,比较
������1 + ������2 2
与������(������1)
+
4 ������
(������ + ������)
2017-2018学年高中数学人教A版必修五习题：第3章 不等式 3-3 第1课时 含答案 精品
第三章 3.3 第1课时A 级 基础巩固一、选择题1．不等式组⎩⎪⎨⎪⎧y ＜x x ＋y ≤1y ≥3表示的区域为D ，点P 1(0，－2)，点P 2(0,0)，则导学号 68370759( A )A ．P 1∉D ，P 2∉DB ．P 1∉D ，P 2∈DC ．P 1∈D ，P 2∉DD ．P 1∈D ，P 2∈D[解析] P 1点不满足y ≥3．P 2点不满足y ＜x 和y ≥3． ∴选A ．2．图中阴影部分表示的区域对应的二元一次不等式组为导学号 68370760( A )A ．⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －1≥0x －2y ＋2≥0B ．⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －1≤0x －2y ＋2≤0C ．⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －1≥0x －2y ＋2≤0D ．⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －1≤0x －2y ＋2≥0[解析] 取原点O (0,0)检验满足x ＋y －1≤0，故异侧点应为x ＋y －1≥0，排除B 、D ． O 点满足x －2y ＋2≥0，排除C ．∴选A ．3．不等式x 2－y 2≥0表示的平面区域是导学号 68370761( B )[解析] 将(±1,0)代入均满足，故选B ．4．已知点(3,1)和(－4,6)在直线3x －2y ＋a ＝0的两侧，则a 的取值范围是导学号 68370762( C )A ．a <－7或a >24B ．－24<a <7C ．－7<a <24D ．a <－24或a >7[解析] 要使点(3,1)和(－4,6)在直线3x －2y ＋a ＝0的两则，必须且只需(3×3－2×1＋a )[3×(－4)－2×6＋a ]<0即可，解得－7<a <24．5．不等式组⎩⎪⎨⎪⎧(x －y ＋5)(x ＋y )≥00≤x ≤3表示的平面区域是一个导学号 68370763( C )A ．三角形B ．直角梯形C ．梯形D ．矩形[解析] 画出直线x －y ＋5＝0及x ＋y ＝0，取点(0,1)代入(x －y ＋5)(x ＋y )＝4>0，知点(0,1)在不等式(x －y ＋5)(x ＋y )≥0表示的对顶角形区域内，再画出直线x ＝0和x ＝3，则原不等式组表示的平面区域为图中阴影部分，它是一个梯形．6．不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋6≥0x ＋y ≥0x ≤3表示的平面区域的面积是导学号 68370764( B )A ．18B ．36C ．72D ．144[解析] 作出平面区域如图．交点A (－3,3)、B (3、9)、C (3，－3)， ∴S △ABC ＝12[9－(－3)]×[3－(－3)]＝36．二、填空题7．点P (m ，n )不在不等式5x ＋4y －1>0表示的平面区域内，则m 、n 满足的条件是__5m ＋4n－1≤0__．导学号 68370765[解析] 由题意知点P 不在不等式5x ＋4y －1>0表示的平面区域内，即为点P 在不等式5x ＋4y －1≤0表示的平面区域内，则5m ＋4n －1≤0．8．若不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ≤0y ≥0y －x ≤2表示的平面区域为I ，则当a 从－2连续变化到1时，动直线x ＋y －a ＝0扫过I 中的那部分区域的面积为__74__．导学号68370766[解析] 如图所示，I 为△BOE 所表示的区域，而动直线x ＋y ＝a 扫过I 中的那部分区域为四边形BOCD ，而B (－2,0)，O (0,0)，C (0,1)，D (－12，32)，E (0,2)，△CDE 为直角三角形．∴S 四边形BOCD ＝12×2×2－12×1×12＝74．三、解答题9．画出不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －6≥0x －y ≥0y ≤3x ＜5表示的平面区域．导学号 68370767[解析] 不等式x ＋y －6≥0表示在直线x ＋y －6＝0上及右上方的点的集合，x －y ≥0表示在直线x －y ＝0上及右下方的点的集合，y ≤3表示在直线y ＝3上及其下方的点的集合，x ＜5表示直线x ＝5左方的点的集合，所以不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －6≥0x －y ≥0y ≤3x ＜5表示的平面区域为如图阴影部分．B 级 素养提升一、选择题1．不等式组⎩⎪⎨⎪⎧(x －y ＋1)(x ＋y ＋1)≥0－1≤x ≤4表示的平面区域是导学号 68370768( B )A ．两个三角形B ．一个三角形C ．梯形D ．等腰梯形[解析] 如图∵(x －y ＋1)(x ＋y ＋1)≥0表示如图(1)所示的对顶角形区域，且两直线交于点A (－1,0)．故添加条件－1≤x ≤4后表示的区域如图(2)．2．完成一项装修工程，木工和瓦工的比例为2∶3，请木工需付工资每人50 元，请瓦工需付工资每人40元，现有工资预算2 000元，设木工x 人，瓦工y 人，请工人数的约束条件是导学号 68370769( C )A ．⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋3y ≤5x 、y ∈N * B ．⎩⎪⎨⎪⎧50x ＋40y ≤2000x y ＝23C ．⎩⎪⎨⎪⎧5x ＋4y ≤200x y ＝23x 、y ∈N*D ．⎩⎪⎨⎪⎧5x ＋6y ＜100x y ＝23[解析] 因为请木工每人工资50元，瓦工每人工资40元，工资预算为2 000元，由题意得50x ＋40y ≤2 000即5x ＋4y ≤200．x 、y 表示人数∴x 、y ∈N *，∴答案为C ．二、填空题3．点P (1，a )到直线x －2y ＋2＝0的距离为355，且P 在3x ＋y －3＞0表示的区域内，则a＝__3__．导学号 68370770[解析] 由条件知，|1－2a ＋2|5＝355，∴a ＝0或3，又点P 在3x ＋y －3＞0表示的区域内，∴3＋a －3＞0，∴a ＞0，∴a ＝3．4．不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －2≥0x ＋2y －4≤0x ＋3y －2≥0表示的平面区域的面积为__4__．导学号 68370771[解析] 不等式组表示的平面区域如图阴影部分所示，由⎩⎪⎨⎪⎧x ＋3y －2＝0x ＋2y －4＝0，得A (8，－2)． 由x ＋y －2＝0得B (0,2)．又|CD |＝2， 故S 阴影＝12×2×2＋12×2×2＝4．三、解答题5．画出不等式(x ＋2y ＋1)(x －y ＋4)＜0表示的平面区域．导学号 68370772[解析] (x ＋2y ＋1)(x －y ＋4)＜0表示x ＋2y ＋1与x －y ＋4的符号相反，因此原不等式等价于两个不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2y ＋1＞0x －y ＋4＜0，与⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2y ＋1＜0x －y ＋4＞0在同一直角坐标内作出两个不等式组表示的平面区域，就是原不等式表示的平面区域．在直角坐标系中画出直线x ＋2y ＋1＝0与x －y ＋4＝0，(画成虚线)取原点(0,0)可以判断． 不等式x ＋2y ＋1＞0表示直线x ＋2y ＋1＝0的右上方区域，x ＋2y ＋1＜0表示直线x ＋2y ＋1＝0的左下方区域；x －y ＋4＜0表示直线x －y ＋4＝0的左上方区域，x －y ＋4＞0表示直线x －y ＋4＝0的右下方区域．所以不等式组表示的平面区域，即原不等式表示的平面区域如图所示．C 级 能力拔高1．设不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋8≥0x ＋y ≥0x ≤4表示的平面区域是Q ．导学号 68370773(1)求Q 的面积S ；(2)若点M (t,1)在平面区域Q 内，求整数t 的取值的集合．[解析] (1)作出平面区域Q ，它是一个等腰直角三角形(如图所示)．由⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＝0x ＝4，解得A (4，－4)， 由⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋8＝0x ＝4， 解得B (4,12)，由⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋8＝0x ＋y ＝0，解得C (－4,4)．于是可得|AB |＝16，AB 边上的高d ＝8． ∴S ＝12×16×8＝64．(2)由已知得⎩⎪⎨⎪⎧t －1＋8≥0t ＋1≥0t ≤4t ∈Z ，即⎩⎪⎨⎪⎧t ≥－7t ≥－1t ≤4t ∈Z，∴⎩⎪⎨⎪⎧－1≤t ≤4t ∈Z ． ∴t ＝－1,0,1,2,3,4．故整数t 的取值集合是{－1,0,1,2,3,4}．2．制订投资计划时，不仅要考虑可能获得的盈利，而且要考虚可能出现的亏损．某投资人打算投资甲、乙两个项目，根据预测，甲、乙项目可能的最大盈利率分别为100%和50%，可能的最大亏损率分别为30%和10%．若投资人计划投资金额不超过10万元，要求确保可能的资金亏损不超过1．8万元，列出投资人对甲、乙两个项目投资数的数学关系式，并画出相应的平面区域．导学号 68370774[解析] 设投资人分别用x 万元、y 万元投资甲、乙两个项目， 由题意知⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ≤100.3x ＋0.1≤1.8x ≥0y ≥0．上述不等式组表示的平面区域为如图所示的阴影部分(含边界)．。
2018版高中数学北师大版必修五学案：第三章 不等式 3-
3.1 基本不等式[学习目标] 1.理解基本不等式的内容及证明.2.能熟练运用基本不等式来比较两个实数的大小.3.能初步运用基本不等式证明简单的不等式．知识点一 重要不等式及证明如果a ，b ∈R ，那么a 2＋b 2≥2ab (当且仅当a ＝b 时取“＝”)．请证明此结论． 证明 ∵a 2＋b 2－2ab ＝(a －b )2≥0， ∴a 2＋b 2≥2ab ，当且仅当a ＝b 时取“＝”． 知识点二 基本不等式 1．内容： ab ≤a ＋b2，其中a ≥0，b ≥0，当且仅当a ＝b 时，等号成立． 2．证明：∵a ＋b －2ab ＝(a )2＋(b )2－2a ·b＝(a －b )2≥0. ∴a ＋b ≥2ab .∴ab ≤a ＋b2，当且仅当a ＝b 时，等号成立．3．两种理解：(1)算术平均数与几何平均数：设a >0，b >0，则a ，b 的算术平均数为a ＋b2，几何平均数为ab ；基本不等式可叙述为两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数． (2)几何意义：如图所示，以长度为a ＋b 的线段AB 为直径作圆，在直径AB 上取一点C ，使AC ＝a ，CB ＝b ，过点C 作垂直于直径AB 的弦DD ′，连接AD ，DB ，易证Rt △ACD ∽ Rt △DCB ，则CD 2＝CA ·CB ，即CD ＝ab .这个圆的半径为a ＋b 2，显然它大于或等于CD ，即a ＋b 2≥ab ，当且仅当点C与圆心O 重合，即a ＝b 时，等号成立． 知识点三 基本不等式的常用推论 1．ab ≤⎝⎛⎭⎫a ＋b 22≤a 2＋b22(a ，b ∈R )． 2.b a ＋ab≥2 (a ，b 同号)． 3．当ab >0时，b a ＋ab ≥2；当ab <0时，b a ＋ab≤－2.4．a 2＋b 2＋c 2≥ab ＋bc ＋ca (a ，b ，c ∈R )．题型一 利用基本不等式比较大小例1 设0<a <b ，则下列不等式中正确的是( ) A ．a <b <ab <a ＋b2B ．a <ab <a ＋b2<bC ．a <ab <b <a ＋b2D.ab <a <a ＋b2<b答案 B解析 方法一 ∵0<a <b ，∴a <a ＋b2<b ，排除A 、C 两项．又ab －a ＝a (b －a )>0，即ab >a ，排除D 项，故选B.方法二 取a ＝2，b ＝8，则ab ＝4，a ＋b 2＝5，所以a ＜ab ＜a ＋b2＜b .反思与感悟 若给定的代数式中既有“和式”又有“积式”，这便是应用基本不等式的题眼，可考虑是否利用基本不等式解决；在应用基本不等式时一定要注意是否满足条件，即a ＞0，b ＞0，同时注意能否取等号．跟踪训练1 若a ，b ∈R ，且ab ＞0，则下列不等式中，恒成立的是( ) A ．a 2＋b 2＞2ab B ．a ＋b ≥2ab C.1a ＋1b ＞2abD.b a ＋ab≥2答案 D解析 对于A ，应该为a 2＋b 2≥2ab ，漏等号，故A 错误；对于B ，当a ＜0，b ＜0时，ab ＞0，但a ＋b ＜2ab ，故B 不成立；对于C ，当a ＜0，b ＜0时，ab ＞0，故C 不成立；对于D ，∵ab ＞0，则b a ＞0且a b ＞0，∴b a ＋ab≥2b a ·ab＝ 2．当且仅当b a ＝ab ，即a ＝b 时，取“＝”，故D 正确．题型二 用基本不等式证明不等式例2 已知a ，b ，c 为正数，且a ＋b ＋c ＝1，证明：1a ＋1b ＋1c ≥9.证明 1a ＋1b ＋1c ＝a ＋b ＋c a ＋a ＋b ＋c b ＋a ＋b ＋c c＝3＋(b a ＋a b )＋(c a ＋a c )＋(c b ＋b c )≥3＋2＋2＋2＝9.当且仅当a ＝b ＝c ＝13时，等号成立．反思与感悟 在利用基本不等式证明的过程中，常需要把数、式合理地拆成两项或多项或恒等地变形配凑成适当的数、式，以便于利用基本不等式． 跟踪训练2 已知a ，b ，c 为正数，且a ＋b ＋c ＝1， 证明：(1－a )(1－b )(1－c )≥8abc .证明 (1－a )(1－b )(1－c )＝(b ＋c )(a ＋c )(a ＋b ) ≥2bc ·2ac ·2ab ＝8abc .当且仅当b ＝c ＝a ＝13时，等号成立．1．若0＜a ＜1,0＜b ＜1，且a ≠b ，则a ＋b,2ab ，2ab ，a 2＋b 2中最大的一个是( ) A ．a 2＋b 2 B ．2ab C ．2ab D ．a ＋b答案 D解析 ∵0＜a ＜1,0＜b ＜1，a ≠b ， ∴a ＋b ＞2ab ，a 2＋b 2＞2ab .∴四个数中最大的应从a ＋b ，a 2＋b 2中选择． 而a 2＋b 2－(a ＋b )＝a (a －1)＋b (b －1)．又∵0＜a ＜1,0＜b ＜1，∴a (a －1)＜0，b (b －1)＜0，∴a 2＋b 2－(a ＋b )＜0，即a 2＋b 2＜a ＋b ， ∴a ＋b 最大．故选D.2．设a 、b 是实数，且a ＋b ＝3，则2a ＋2b 的最小值是( ) A ．6 B ．4 2 C ．2 6 D ．8答案 B解析 ∵a ＋b ＝3，∴2a ＋2b ≥22a ·2b ＝22a ＋b ＝28＝4 2.3．不等式a 2＋4≥4a 中，等号成立的条件为________． 答案 a ＝2解析 令a 2＋4＝4a ，则a 2－4a ＋4＝0， ∴a ＝2.4．若a ＞b ＞1，P ＝lg a ·lg b ，Q ＝12(lg a ＋lg b )，R ＝lg a ＋b 2，则它们的大小关系是________．答案 R ＞Q ＞P解析 ∵a ＞b ＞1，∴lg a ＞lg b ＞0，∴Q ＞P ， 又Q ＝12(lg a ＋lg b )＝12lg ab ＝lg ab ＜lg a ＋b 2＝R ，∴R ＞Q ＞P .1.两个不等式a 2＋b 2≥2ab 与a ＋b2≥ab 都是带有等号的不等式，对于“当且仅当…时，取‘＝’”这句话的含义要有正确的理解．一方面：当a ＝b 时，a ＋b 2＝ab ；另一方面：当a ＋b2＝ab 时，也有a ＝b .2．由基本不等式变形得到的常见的结论 (1)ab ≤⎝⎛⎭⎫a ＋b 22≤a 2＋b22(a ，b ∈R )； (2)ab ≤a ＋b 2≤a 2＋b 22(a ，b ∈R ＋)； (3)b a ＋ab ≥2(a ，b 同号)； (4)(a ＋b )⎝⎛⎭⎫1a ＋1b ≥4(a ，b ∈R ＋)； (5)a 2＋b 2＋c 2≥ab ＋bc ＋ca (a ，b ，c ∈R )．。
2018年高中数学北师大版必修五：第3章 §3-3.2 基本不等式与最大(小)值含解析
[A 基础达标]1．设x ＞0，则y ＝3－3x －1x 的最大值是( )A ．3B ．3－2 2C ．3－2 3D ．－1解析：选C.y ＝3－3x －1x ＝3－⎝⎛⎭⎫3x ＋1x ≤3－23x ·1x＝3－23， 当且仅当3x ＝1x ，即x ＝33时取等号．2．函数y ＝log 2⎝⎛⎭⎫x ＋1x －1＋5(x >1)的最小值为( )A ．－3B ．3C ．4D ．－4解析：选B.因为x ＋1x －1＋5＝(x －1)＋1x －1＋6≥2（x －1）·1x －1＋6＝8.所以log 2⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋1x －1＋5≥3，所以y min ＝3.当且仅当x －1＝1x －1，即x ＝2时，等号成立．3．已知x ＞0，y ＞0，且x ＋y ＝8，则(1＋x )(1＋y )的最大值为( ) A ．16 B ．25 C ．9D ．36解析：选B.(1＋x )(1＋y )≤⎣⎢⎡⎦⎥⎤（1＋x ）＋（1＋y ）22＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤2＋（x ＋y ）22＝⎝ ⎛⎭⎪⎫2＋822＝25，因此当且仅当1＋x ＝1＋y 即x ＝y ＝4时，(1＋x )(1＋y )取最大值25，故选B.4．已知x ＞1，y ＞1且xy ＝16，则log 2x ·log 2y ( ) A ．有最大值2 B ．等于4 C ．有最小值3D ．有最大值4解析：选D.因为x ＞1，y ＞1，所以log 2x ·log 2y ≤⎝⎛⎭⎪⎫log 2x ＋log 2y 22＝⎣⎢⎡⎥⎤log 2（xy ）22＝4，当且仅当x ＝y ＝4时取等号． 故选D.5．已知函数y ＝x －4＋9x ＋1(x >－1)，当x ＝a 时，y 取得最小值b ，则a ＋b ＝( )A ．－3B ．2C ．3D ．8解析：选C.y ＝x －4＋9x ＋1＝(x ＋1)＋9x ＋1－5，因为x >－1，所以x ＋1>0，所以y ≥2（x ＋1）·9x ＋1－5＝2×3－5＝1.当且仅当x ＋1＝9x ＋1，即x ＝2时，等号成立，即a ＝2，b ＝1，所以a ＋b ＝3.6．已知x ，y >0且x ＋y ＝1，则p ＝x ＋1x ＋y ＋1y 的最小值为________．解析：x ＋1x ＋y ＋1y＝x ＋x ＋y x ＋y ＋x ＋yy＝3＋⎝⎛⎭⎫y x ＋x y ≥3＋2＝5，当且仅当x ＝y ＝12时等号成立． 答案：57．周长为2＋1的直角三角形面积的最大值为________．解析：设直角三角形的两条直角边边长分别为a 、b ，则2＋1＝a ＋b ＋a 2＋b 2≥2ab ＋2ab ，解得ab ≤12，当且仅当a ＝b ＝22时取“＝”，所以直角三角形面积S ≤14，即S 的最大值为14. 答案：148．若直线x a ＋yb＝1(a >0，b >0)过点(1，2)，则2a ＋b 的最小值为________．解析：因为直线x a ＋y b ＝1(a >0，b >0)过点(1，2)，所以1a ＋2b ＝1，因为a >0，b >0，所以2a ＋b ＝(2a ＋b )(1a ＋2b )＝4＋b a ＋4ab ≥4＋2b a ·4a b ＝8，当且仅当b a ＝4ab，即a ＝2，b ＝4时等号成立，所以2a ＋b 的最小值为8. 答案：89．求下列函数的最小值．12(2)设x ＞－1，求y ＝（x ＋5）（x ＋2）x ＋1的最小值．解：(1)2x ＋y ＝3（2x ＋y ）3＝13⎝⎛⎭⎫1x ＋2y (2x ＋y ) ＝13⎝⎛⎭⎫y x ＋4x y ＋4≥13(24＋4)＝83. 当且仅当y x ＝4xy 时等号成立，即y 2＝4x 2.所以y ＝2x .又因为1x ＋2y ＝3，得x ＝23，y ＝43.所以当x ＝23，y ＝43时，2x ＋y 取得最小值为83.(2)因为x ＞－1，所以x ＋1＞0. 设x ＋1＝t ＞0，则x ＝t －1，于是有y ＝（t ＋4）（t ＋1）t ＝t 2＋5t ＋4t＝t ＋4t＋5≥2t ·4t＋5＝9， 当且仅当t ＝4t，即t ＝2时取等号，此时x ＝1.所以当x ＝1时，函数y ＝（x ＋5）（x ＋2）x ＋1取得最小值为9.10.桑基鱼塘是广东省珠江三角洲一种独具地方特色的农业生产形式，某研究单位打算开发一个桑基鱼塘项目，该项目准备购置一块1 800平方米的矩形地块，中间挖成三个矩形池塘养鱼，挖出的泥土堆在池塘四周形成基围(阴影部分所示)种植桑树，鱼塘周围的基围宽均为2米，如图所示，池塘所占面积为S 平方米，其中a ∶b ＝1∶ 2.(1)试用x ，y 表示S ；(2)若要使S 最大，则x ，y 的值各为多少？解：(1)由题可得，xy ＝1 800，b ＝2a ，则y ＝a ＋b ＋6＝3a ＋6，S ＝(x －4)a ＋(x －6)b ＝(3x －16)a ＝(3x －16)y －63＝1 832－6x －163y (x ＞6，y ＞6，xy ＝1 800)．(2)法一：S ＝1 832－6x －163y ≤1 832－26x ×163y ＝1 832－480＝1 352，当且仅当6x ＝16y ，xy ＝1 800，即x ＝40，y ＝45时，S 取得最大值1 352. 法二：S ＝1 832－6x －163×1 800x＝1 832－⎝⎛⎭⎫6x ＋9 600x ≤1 832－26x ×9 600x＝1 832－480＝1 352， 当且仅当6x ＝9 600x，即x ＝40时取等号，S 取得最大值．此时y ＝1 800x＝45.[B 能力提升]11．已知a >0，b >0，2a ＋1b ＝16，若不等式2a ＋b ≥9m 恒成立，则实数m 的最大值为( )A ．8B ．7C ．6D ．5 解析：选C.由已知，可得6⎝⎛⎭⎫2a ＋1b ＝1， 所以2a ＋b ＝6⎝⎛⎭⎫2a ＋1b ·(2a ＋b )＝6⎝⎛⎭⎫5＋2a b ＋2b a ≥6×(5＋4)＝54，当且仅当2a b ＝2ba 时等号成立， 所以9m ≤54，即m ≤6，故选C.12．若a ，b ∈R ，ab >0，则a 4＋4b 4＋1ab 的最小值为________．解析：a 4＋4b 4＋1ab ＝a 3b ＋4b 3a ＋1ab ，由基本不等式得，a 3b ＋4b 3a ＋1ab ≥2a 3b ×4b 3a ＋1ab ＝4ab ＋1ab ≥4，当且仅当a 3b＝4b 3a ，4ab ＝1ab 同时成立时等号成立． 答案：413．已知lg(3x )＋lg y ＝lg(x ＋y ＋1)． (1)求xy 的最小值； (2)求x ＋y 的最小值．解：由lg(3x )＋lg y ＝lg(x ＋y ＋1)， 得⎩⎪⎨⎪⎧x ＞0，y ＞0，3xy ＝x ＋y ＋1. (1)因为x ＞0，y ＞0，所以3xy －2xy －1≥0， 即3(xy )2－2xy －1≥0. 所以(3xy ＋1)(xy －1)≥0. 所以xy ≥1，所以xy ≥1. 当且仅当x ＝y ＝1时，等号成立． 所以xy 的最小值为1. (2)因为x ＞0，y ＞0，所以x ＋y ＋1＝3xy ≤3·⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋y 22，所以3(x ＋y )2－4(x ＋y )－4≥0， 所以[3(x ＋y )＋2][(x ＋y )－2]≥0. 所以x ＋y ≥2.当且仅当x ＝y ＝1时取等号． 所以x ＋y 的最小值为2.14．(选做题)如图所示，将一矩形花坛ABCD 扩建成一个更大的矩形花坛AMPN ，要求B 点在AM 上，D 点在AN 上，且对角线MN 过点C ，已知AB ＝2米，AD ＝1米．(1)要使矩形AMPN 的面积大于9平方米，则DN 的长应在什么范围内？ (2)当DN 的长度为多少时，矩形花坛AMPN 的面积最小？并求出最小值． 解：(1)设DN 的长为x (x >0)米， 则|AN |＝(x ＋1)米， 因为|DN ||AN |＝|DC ||AM |，所以|AM |＝2（x ＋1）x，所以S 矩形AMPN ＝|AN |·|AM |＝2（x ＋1）2x .由S 矩形AMPN >9，得2（x ＋1）2x >9，又x >0，所以2x 2－5x ＋2>0，解得0<x <12或x >2.即DN 的长的取值范围是⎝⎛⎫0，12∪(2，＋∞)．(单位：米) (2)由(1)知矩形花坛AMPN 的面积为y ＝2（x ＋1）2x ＝2x 2＋4x ＋2x ＝2x ＋2x ＋4≥2·2x ·2x ＋4＝8(x >0)．当且仅当2x ＝2x 即x ＝1时，矩形花坛AMPN 的面积最小，最小值为8平方米．赠送初中数学几何模型【模型二】半角型：图形特征：45°4321DA1FDAB正方形ABCD 中，∠EAF =45° ∠1=12∠BAD 推导说明：1.1在正方形ABCD 中，点E 、F 分别在BC 、CD 上，且∠FAE ＝45°，求证：EF ＝BE +DF45°DEa+b45°A1.2在正方形ABCD 中，点E 、F 分别在BC 、CD 上，且EF ＝BE +DF ，求证：∠FAE ＝45°DEa+b-aa45°A BE 挖掘图形特征：a+bx-aa 45°DBa+b-a45°A运用举例：1．正方形ABCD的边长为3，E、F分别是AB、BC边上的点,且∠EDF=45°.将△DAE绕点D逆时针旋转90°，得到△DCM.（1）求证：EF=FM（2）当AE=1时，求EF的长．DE3．如图，梯形ABCD中，AD∥BC，∠C＝90°，BC＝CD＝2AD＝4，E为线段CD上一点，∠ABE＝45°.（1）求线段AB的长；（2）动点P从B出发，沿射线．．BE运动，速度为1单位/秒，设运动时间为t，则t为何值时，△ABP为等腰三角形；（3）求AE－CE的值.A变式及结论：4.在正方形ABCD中，点E，F分别在边BC，CD上，且∠EAF=∠CEF=45°．（1）将△ADF绕着点A顺时针旋转90°，得到△ABG（如图1），求证：△AEG≌△AEF；（2）若直线EF与AB，AD的延长线分别交于点M，N（如图2），求证：EF2=ME2+NF2；（3）将正方形改为长与宽不相等的矩形，若其余条件不变（如图3），请你直接写出线段EF，BE，DF之间的数量关系．DABFEDCF。
2018秋新版高中数学北师大版必修5习题：第三章不等式 3.3.1
3.1 基本不等式课时过关·能力提升1.若a>b>0,则下列不等式中成立的是( )A.a>b>B.a>>ba +b 2>ab a +b 2>ab a>>b> D.a>>b a +b 2ab ab >a +b 2a>b>0,∴a=.a +a 2>a +b2∵,且=b ,a +b2>ab ab >bb ∴a>>b.a +b2>ab2.下列不等式中,对任意实数x 都成立的是( )A.lg(x 2+1)≥lg 2xB.x 2+1>2x ≤1 D.x+≥21x 2+11x中,当x<0时都不成立,B 中,当x=1时不成立,故选C .3.若x>0,y>0,则A=()x+y 与B=的大小关系是( )ππxy A.A>B B.A ≥B C.A<B D.A ≤Bx>0,y>0,∴.又A=()x+y =,且指数函数y=πx 是增函数,∴A ≥B.x +y 2≥xy ππx +y24.若0<a<1,0<b<1,则a+b ,2,a 2+b 2,2ab 中,最大的一个是( )ab A.a+b B.2ab22 D.2ab,得a 2+b 2≥2ab ,a+b ≥2.ab ∵0<a<1,0<b<1,∴(a 2+b 2)-(a+b )=a (a-1)+b (b-1)<0.∴a 2+b 2<a+b.∴最大的一个是a+b.5.若a>b>0,集合M=,N={x|<x<a },则集合M ∩N 等于( ){x |b <x <a +b2}ab A.{x|b<x<} B.{x|b<x<a }ab D.{x |ab <x <a +b2}{x |a +b2<x <a }a>b>0,∴b<<a ,ab <a +b2∴M ∩N=.{x |ab <x <a +b2}6.若x>0,y>0,且x+y=4,则下列不等式中恒成立的是( )A.>4 B.≥11x +y 1x +1y C.≥2D.≥1xy 1xyx>0,y>0,且x+y=4,∴,故A 错误.1x +y =14=2,故C 错误.xy ≤x +y2∵xy ≤=4,(x +y 2)2∴,故D 错误.1xy≥14≥1x +1y =x +y 4x +x +y 4y =14+y 4x +x 4y +14+2=1,当且仅当x=y=2时,等号成立,故选B .12y 4x ·x 4y =12+12则的大小关系是 . (a -b )(b -c )与a -c2a -c28.已知log 2x+log 2y=1,则x+2y 的最小值为 .log 2x+log 2y=1,∴log 2xy=1,∴xy=2,x ·2y=4.又x>0,y>0,∴x+2y ≥2=4,当且仅当x=2y=2时,等号成立.x ·2y9.设a>0,b>0,给出下列不等式:(1)≥4;(a +1a )(b +1b )(2)(a+b )≥4;(1a +1b )(3)a 2+9>6a ;(4)a 2+1+>2.1a 2+1其中恒成立的是 .a+≥2=2,b+≥2=2,1a a ·1a 1b b ·1b ∴≥4,当且仅当a=1,b=1时,等号成立.故(1)正确;(a +1a )(b +1b )(a+b )=1+1+≥2+2·=4,当且仅当a=b 时,等号成立.故(2)正确;(1a +1b )b a +a b b a ·a b a 2+9≥2=6a ,当且仅当a=3时,等号成立,故当a=3时,a 2+9=6a.故(3)不正确;a 2·9∵a 2+1+≥2=2,1a 2+1(a 2+1)·1a 2+1当且仅当a 2+1=,即a=0时,等号成立.1a 2+1∵a>0,∴等号不成立.故(4)正确.★10.已知a>b>1,P=,Q=,R=lg ,试比较P ,Q ,R 的大小.lga ·lgb lga +lgb 2(a +b 2)a>b>1,根据对数函数的单调性有lg a>lg b>0,可以用基本不等式比较三个式子的大小.a>b>1,∴lg a>lg b>0,,即P<Q.lga ·lgb <lga +lgb 2两边取常用对数,ab <a +b2得lg <lg,ab (a +b 2)∴<lg ,即Q<R.lga +lgb 2(a +b 2)∴P<Q<R.★11.已知a>0,b>0,a+b=1,求证:≤2.a +12+b +12,当且仅当a=时,等号成立.≤1+a +122=34+a 212b=时,等号成立.12(a+b )==2,a +12+b +12≤34+a 2+34+b 2=32+1232+12当且仅当a=b=时,等号成立.12≤2.a +12+b +12。
2018年高中数学必修五达标练习：第3章 §3-3.2 基本不等式与最大(小)值
[A 基础达标]1．设x ＞0，则y ＝3－3x －1x 的最大值是( )A ．3B ．3－2 2C ．3－2 3D ．－1解析：选C.y ＝3－3x －1x ＝3－⎝⎛⎭⎫3x ＋1x ≤3－23x ·1x＝3－23， 当且仅当3x ＝1x ，即x ＝33时取等号．2．函数y ＝log 2⎝⎛⎭⎫x ＋1x －1＋5(x >1)的最小值为( )A ．－3B ．3C ．4D ．－4解析：选B.因为x ＋1x －1＋5＝(x －1)＋1x －1＋6≥2（x －1）·1x －1＋6＝8.所以log 2⎝⎛⎭⎫x ＋1x －1＋5≥3，所以y min ＝3.当且仅当x －1＝1x －1，即x ＝2时，等号成立．3．已知x ＞0，y ＞0，且x ＋y ＝8，则(1＋x )(1＋y )的最大值为( ) A ．16 B ．25 C ．9D ．36解析：选B.(1＋x )(1＋y )≤⎣⎡⎦⎤（1＋x ）＋（1＋y ）22＝⎣⎡⎦⎤2＋（x ＋y ）22＝⎝⎛⎭⎫2＋822＝25，因此当且仅当1＋x ＝1＋y 即x ＝y ＝4时，(1＋x )(1＋y )取最大值25，故选B.4．已知x ＞1，y ＞1且xy ＝16，则log 2x ·log 2y ( ) A ．有最大值2 B ．等于4 C ．有最小值3D ．有最大值4解析：选D.因为x ＞1，y ＞1， 所以log 2x ＞0，log 2y ＞0.所以log 2x ·log 2y ≤⎝⎛⎭⎫log 2x ＋log 2y 22＝⎣⎡⎦⎤log 2（xy ）22＝4， 当且仅当x ＝y ＝4时取等号． 故选D.5．已知函数y ＝x －4＋9x ＋1(x >－1)，当x ＝a 时，y 取得最小值b ，则a ＋b ＝( )A ．－3B ．2C ．3D ．8解析：选 C.y ＝x －4＋9x ＋1＝(x ＋1)＋9x ＋1－5，因为x >－1，所以x ＋1>0，所以y ≥2（x ＋1）·9x ＋1－5＝2×3－5＝1.当且仅当x ＋1＝9x ＋1，即x ＝2时，等号成立，即a＝2，b ＝1，所以a ＋b ＝3.6．已知x ，y >0且x ＋y ＝1，则p ＝x ＋1x ＋y ＋1y 的最小值为________．解析：x ＋1x ＋y ＋1y＝x ＋x ＋y x ＋y ＋x ＋yy＝3＋⎝⎛⎭⎫y x ＋x y ≥3＋2＝5，当且仅当x ＝y ＝12时等号成立． 答案：57．周长为2＋1的直角三角形面积的最大值为________．解析：设直角三角形的两条直角边边长分别为a 、b ，则2＋1＝a ＋b ＋a 2＋b 2≥2ab ＋2ab ，解得ab ≤12，当且仅当a ＝b ＝22时取“＝”，所以直角三角形面积S ≤14，即S 的最大值为14.答案：148．若直线x a ＋yb＝1(a >0，b >0)过点(1，2)，则2a ＋b 的最小值为________．解析：因为直线x a ＋y b ＝1(a >0，b >0)过点(1，2)，所以1a ＋2b ＝1，因为a >0，b >0，所以2a ＋b＝(2a ＋b )(1a ＋2b )＝4＋b a ＋4ab ≥4＋2b a ·4a b ＝8，当且仅当b a ＝4ab，即a ＝2，b ＝4时等号成立，所以2a ＋b 的最小值为8. 答案：89．求下列函数的最小值．(1)设x ，y 都是正数，且1x ＋2y ＝3，求2x ＋y 的最小值；(2)设x ＞－1，求y ＝（x ＋5）（x ＋2）x ＋1的最小值．解：(1)2x ＋y ＝3（2x ＋y ）3＝13⎝⎛⎭⎫1x ＋2y (2x ＋y ) ＝13⎝⎛⎭⎫y x ＋4x y ＋4≥13(24＋4)＝83. 当且仅当y x ＝4xy 时等号成立，即y 2＝4x 2.所以y ＝2x .又因为1x ＋2y ＝3，得x ＝23，y ＝43.所以当x ＝23，y ＝43时，2x ＋y 取得最小值为83.(2)因为x ＞－1，所以x ＋1＞0. 设x ＋1＝t ＞0，则x ＝t －1，于是有y ＝（t ＋4）（t ＋1）t ＝t 2＋5t ＋4t＝t ＋4t＋5≥2t ·4t＋5＝9， 当且仅当t ＝4t，即t ＝2时取等号，此时x ＝1.所以当x ＝1时，函数y ＝（x ＋5）（x ＋2）x ＋1取得最小值为9.10.桑基鱼塘是广东省珠江三角洲一种独具地方特色的农业生产形式，某研究单位打算开发一个桑基鱼塘项目，该项目准备购置一块1 800平方米的矩形地块，中间挖成三个矩形池塘养鱼，挖出的泥土堆在池塘四周形成基围(阴影部分所示)种植桑树，鱼塘周围的基围宽均为2米，如图所示，池塘所占面积为S 平方米，其中a ∶b ＝1∶2. (1)试用x ，y 表示S ；(2)若要使S 最大，则x ，y 的值各为多少？解：(1)由题可得，xy ＝1 800，b ＝2a ，则y ＝a ＋b ＋6＝3a ＋6，S ＝(x －4)a ＋(x －6)b ＝(3x －16)a ＝(3x －16)y －63＝1 832－6x －163y (x ＞6，y ＞6，xy ＝1 800)．(2)法一：S ＝1 832－6x －163y ≤1 832－26x ×163y ＝1 832－480＝1 352，当且仅当6x ＝163y ，xy ＝1 800，即x ＝40，y ＝45时，S 取得最大值1 352. 法二：S ＝1 832－6x －163×1 800x＝1 832－⎝⎛⎭⎫6x ＋9 600x ≤1 832－26x ×9 600x＝1 832－480＝1 352， 当且仅当6x ＝9 600x，即x ＝40时取等号，S 取得最大值．此时y ＝1 800x＝45.[B 能力提升]11．已知a >0，b >0，2a ＋1b ＝16，若不等式2a ＋b ≥9m 恒成立，则实数m 的最大值为( )A ．8B ．7C ．6D ．5 解析：选C.由已知，可得6⎝⎛⎭⎫2a ＋1b ＝1， 所以2a ＋b ＝6⎝⎛⎭⎫2a ＋1b ·(2a ＋b )＝6⎝⎛⎭⎫5＋2a b ＋2b a ≥6×(5＋4)＝54，当且仅当2a b ＝2ba 时等号成立， 所以9m ≤54，即m ≤6，故选C.12．若a ，b ∈R ，ab >0，则a 4＋4b 4＋1ab 的最小值为________．解析：a 4＋4b 4＋1ab ＝a 3b ＋4b 3a ＋1ab ，由基本不等式得，a 3b ＋4b 3a ＋1ab ≥2a 3b ×4b 3a ＋1ab＝4ab ＋1ab ≥4，当且仅当a 3b ＝4b 3a ，4ab ＝1ab 同时成立时等号成立． 答案：413．已知lg(3x )＋lg y ＝lg(x ＋y ＋1)． (1)求xy 的最小值； (2)求x ＋y 的最小值．解：由lg(3x )＋lg y ＝lg(x ＋y ＋1)， 得⎩⎪⎨⎪⎧x ＞0，y ＞0，3xy ＝x ＋y ＋1. (1)因为x ＞0，y ＞0，所以3xy －2xy －1≥0， 即3(xy )2－2xy －1≥0. 所以(3xy ＋1)(xy －1)≥0. 所以xy ≥1，所以xy ≥1. 当且仅当x ＝y ＝1时，等号成立． 所以xy 的最小值为1. (2)因为x ＞0，y ＞0，所以x ＋y ＋1＝3xy ≤3·⎝⎛⎭⎫x ＋y 22， 所以3(x ＋y )2－4(x ＋y )－4≥0， 所以[3(x ＋y )＋2][(x ＋y )－2]≥0. 所以x ＋y ≥2.当且仅当x ＝y ＝1时取等号． 所以x ＋y 的最小值为2.14．(选做题)如图所示，将一矩形花坛ABCD 扩建成一个更大的矩形花坛AMPN ，要求B 点在AM 上，D 点在AN 上，且对角线MN 过点C ，已知AB ＝2米，AD ＝1米．(1)要使矩形AMPN 的面积大于9平方米，则DN 的长应在什么范围内？ (2)当DN 的长度为多少时，矩形花坛AMPN 的面积最小？并求出最小值． 解：(1)设DN 的长为x (x >0)米， 则|AN |＝(x ＋1)米， 因为|DN ||AN |＝|DC ||AM |，所以|AM |＝2（x ＋1）x， 所以S 矩形AMPN ＝|AN |·|AM |＝2（x ＋1）2x .由S 矩形AMPN >9，得2（x ＋1）2x >9，又x >0，所以2x 2－5x ＋2>0， 解得0<x <12或x >2.即DN 的长的取值范围是⎝⎛⎭⎫0，12∪(2，＋∞)．(单位：米) (2)由(1)知矩形花坛AMPN 的面积为y ＝2（x ＋1）2x ＝2x 2＋4x ＋2x ＝2x ＋2x ＋4≥2·2x ·2x ＋4＝8(x >0)．当且仅当2x ＝2x 即x ＝1时，矩形花坛AMPN 的面积最小，最小值为8平方米．。
2018年高中数学必修五达标练习：第3章 §3-3.1 基本不等式
[A 基础达标]1．不等式(x －2y )＋1x －2y≥2成立的条件为( ) A ．x ≥2y ，当且仅当x －2y ＝1时取等号B ．x >2y ，当且仅当x －2y ＝1时取等号C ．x ≤2y ，当且仅当x －2y ＝1时取等号D ．x <2y ，当且仅当x －2y ＝1时取等号解析：选B.因为不等式成立的前提条件是各项均为正，所以x －2y >0，即x >2y ，且等号成立时(x －2y )2＝1，即x －2y ＝1，故选B.2．已知m ＝a ＋1a －2(a ＞2)，n ＝22－b 2(b ≠0)，则m ，n 之间的大小关系是( ) A ．m ＞nB ．m ＜nC ．m ＝nD ．不确定解析：选A.因为a ＞2，所以a －2＞0.又因为m ＝a ＋1a －2＝(a －2)＋1a －2＋2≥2（a －2）×1a －2＋2＝4(当且仅当a －2＝1a －2，即a ＝3时，“＝”成立)．即m ∈[4，＋∞)，由b ≠0得b 2≠0，所以2－b 2＜2.所以22－b 2＜4，即n ＜4.所以n ∈(0，4)，综上易知m ＞n .3．下列不等式中正确的是( )A ．a ＋4a≥4 B ．a 2＋b 2≥4ab C.ab ≥a ＋b 2 D ．x 2＋3x 2≥2 3 解析：选D.若a ＜0，则a ＋4a≥4不成立，故A 错误．取a ＝1，b ＝1，则a 2＋b 2＜4ab ，故B 错误．取a ＝4，b ＝16，则ab ＜a ＋b 2，故C 错误．由基本不等式可知选项D 正确． 4．某厂产值第二年比第一年增长p %，第三年比第二年增长q %，又这两年的平均增长率为s %，则s 与p ＋q 2的大小关系是( ) A ．s ＝p ＋q 2B ．s ≤p ＋q 2C ．s >p ＋q 2D ．s ≥p ＋q 2解析：选B.由已知得(1＋s %)2＝(1＋p %)(1＋q %)≤⎝⎛⎭⎫1＋p %＋1＋q %22＝⎝⎛⎭⎫1＋p %＋q %22，于是1＋s %≤1＋p %＋q %2. 故s ≤p ＋q 2. 5．设M ＝3x ＋3y 2，N ＝(3)x ＋y ，P ＝3xy (x ，y ＞0，且x ≠y )，则M ，N ，P 大小关系为( ) A ．M ＜N ＜PB ．N ＜P ＜MC ．P ＜M ＜ND ．P ＜N ＜M 解析：选D.由基本不等式可知3x ＋3y 2≥3x 3y ＝(3)x ＋y ＝3x ＋y 2≥3xy ，因为x ≠y ， 所以等号不成立，故P ＜N ＜M .6．若a ＜1，则a ＋1a －1与－1的大小关系是________． 解析：因为a ＜1，即a －1＜0，所以－⎝⎛⎭⎫a －1＋1a －1＝(1－a )＋11－a≥2（1－a ）·11－a ＝2.即a ＋1a －1≤－1. 答案：a ＋1a －1≤－1 7．已知a ＞b ＞c ，则（a －b ）（b －c ）与a －c 2的大小关系是________． 解析：因为a ＞b ＞c ，所以a －b ＞0，b －c ＞0.（a －b ）（b －c ）≤a －b ＋b －c 2＝a －c 2.当且仅当a －b ＝b －c ，即a ＋c ＝2b 时，等号成立．所以（a －b ）（b －c ）≤a －c 2. 答案：（a －b ）（b －c ）≤a －c 28．设正数a ，使a 2＋a －2>0成立，若t >0，则12log a t ____log a t ＋12(填“>”“≥”“≤”或“<”)． 解析：因为a 2＋a －2>0，所以a <－2或a >1，又a >0，所以a >1，因为t >0，所以t ＋12≥t ， 所以log a t ＋12≥log a t ＝12log a t . 答案：≤9．已知f (x )＝a x (a >0且a ≠1)，当x 1≠x 2时，比较f ⎝⎛⎭⎫x 1＋x 22与f （x 1）＋f （x 2）2的大小． 解：因为f (x )＝a x ，所以f ⎝⎛⎭⎫x 1＋x 22＝a x 1＋x 22，12[f (x 1)＋f (x 2)]＝12(ax 1＋ax 2)． 因为a >0且a ≠1，x 1≠x 2，所以ax 1>0，ax 2>0，且ax 1≠ax 2，所以12(ax 1＋ax 2)> ax 1·ax 2＝a x 1＋x 22， 即f ⎝⎛⎭⎫x 1＋x 22<12[f (x 1)＋f (x 2)]．10．已知a ，b ，c 是不全相等的三个正数，求证：b ＋c －a a ＋a ＋c －b b ＋a ＋b －c c＞3. 证明：b ＋c －a a ＋a ＋c －b b ＋a ＋b －c c＝b a ＋c a ＋a b ＋c b ＋a c ＋b c－3 ＝⎝⎛⎭⎫b a ＋a b ＋⎝⎛⎭⎫c a ＋a c ＋⎝⎛⎭⎫c b ＋b c －3. 因为a ，b ，c 都是正数，所以b a ＋a b ≥2b a ·a b ＝2， 同理c a ＋a c ≥2，c b ＋b c≥2， 所以⎝⎛⎭⎫b a ＋a b ＋⎝⎛⎭⎫c a ＋a c ＋⎝⎛⎭⎫c b ＋b c ≥6.因为a ，b ，c 不全相等，上述三式不能同时取等号， 所以⎝⎛⎭⎫b a ＋a b ＋⎝⎛⎭⎫c a ＋a c ＋⎝⎛⎭⎫c b ＋b c ＞6， 所以b ＋c －a a ＋a ＋c －b b ＋a ＋b －c c＞3.[B 能力提升]11．若2x ＋2y ＝1，则x ＋y 的取值范围是( )A ．[0，2]B ．[－2，0]C ．[－2，＋∞)D ．(－∞，－2] 解析：选D.因为2x ＋2y ≥22x ＋y ，2x ＋2y ＝1，所以22x ＋y ≤1， 所以2x ＋y ≤14＝2－2， 所以x ＋y ≤－2，即(x ＋y )∈(－∞，－2]．12．设正数x ，y 满足log 2(x ＋y ＋3)＝log 2x ＋log 2y ，则x ＋y 的取值范围是________．解析：原式等价于x ＋y ＋3＝xy ≤⎝⎛⎭⎫x ＋y 22(当且仅当x ＝y 时取等号)，所以x ＋y ＋3≤（x ＋y ）24， 即(x ＋y )2－4(x ＋y )－12≥0.解得x ＋y ≥6或x ＋y ≤－2(舍去)．所以x ＋y 的取值范围是[6，＋∞)．答案：[6，＋∞)13．设a ，b ，c 均为正数，且a ＋b ＋c ＝1.证明：(1)ab ＋bc ＋ac ≤13； (2)a 2b ＋b 2c ＋c 2a≥1. 证明：(1)由a 2＋b 2≥2ab ，b 2＋c 2≥2bc ，c 2＋a 2≥2ca ，得a 2＋b 2＋c 2≥ab ＋bc ＋ca .由题设得(a ＋b ＋c )2＝1，即a 2＋b 2＋c 2＋2ab ＋2bc ＋2ca ＝1.所以3(ab ＋bc ＋ca )≤1，即ab ＋bc ＋ca ≤13. (2)因为a 2b ＋b ≥2a ，b 2c ＋c ≥2b ，c 2a＋a ≥2c ， 故a 2b ＋b 2c ＋c 2a＋(a ＋b ＋c )≥2(a ＋b ＋c )， 即a 2b ＋b 2c ＋c 2a≥a ＋b ＋c . 所以a 2b ＋b 2c ＋c 2a≥1. 14．(选做题)是否存在常数c ，使得不等式x 2x ＋y ＋y x ＋2y ≤c ≤x x ＋2y ＋y 2x ＋y 对任意正实数x ，y 恒成立？证明你的结论．解：当x ＝y 时，由已知不等式得c ＝23.下面分两部分给出证明： (1)先证x 2x ＋y ＋y x ＋2y ≤23，此不等式⇔ 3x (x ＋2y )＋3y (2x ＋y )≤2(2x ＋y )(x ＋2y )⇔2xy ≤x 2＋y 2，此式显然成立．(2)再证x x ＋2y ＋y 2x ＋y ≥23，此不等式⇔ 3x (2x ＋y )＋3y (x ＋2y )≥2(x ＋2y )(2x ＋y )⇔x 2＋y 2≥2xy ，此式显然成立．综上可知，存在常数c ＝23，对任意的实数x ，y 使题中的不等式成立．。
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[A 基础达标]
1．不等式(x －2y )＋1x －2y
≥2成立的条件为( ) A ．x ≥2y ，当且仅当x －2y ＝1时取等号
B ．x >2y ，当且仅当x －2y ＝1时取等号
C ．x ≤2y ，当且仅当x －2y ＝1时取等号
D ．x <2y ，当且仅当x －2y ＝1时取等号
解析：选B.因为不等式成立的前提条件是各项均为正，所以x －2y >0，即x >2y ，且等号成立时(x －2y )2＝1，即x －2y ＝1，故选B.
2．已知m ＝a ＋1a －2
(a ＞2)，n ＝22－b 2(b ≠0)，则m ，n 之间的大小关系是( ) A ．m ＞n
B ．m ＜n
C ．m ＝n
D ．不确定
解析：选A.因为a ＞2，所以a －2＞0.
又因为m ＝a ＋1a －2＝(a －2)＋1a －2
＋2≥2（a －2）×1a －2＋2＝4(当且仅当a －2＝1a －2
，即a ＝3时，“＝”成立)．
即m ∈[4，＋∞)，
由b ≠0得b 2≠0，
所以2－b 2＜2.所以22－b 2＜4，即n ＜4.
所以n ∈(0，4)，综上易知m ＞n .
3．下列不等式中正确的是( )
A ．a ＋4a
≥4 B ．a 2＋b 2≥4ab C.ab ≥a ＋b 2 D ．x 2＋3x 2≥2 3 解析：选D.若a ＜0，则a ＋4a
≥4不成立，故A 错误．取a ＝1，b ＝1，则a 2＋b 2＜4ab ，故B 错误．取a ＝4，b ＝16，则ab ＜a ＋b 2
，故C 错误．由基本不等式可知选项D 正确． 4．某厂产值第二年比第一年增长p %，第三年比第二年增长q %，又这两年的平均增长率为
s %，则s 与p ＋q 2
的大小关系是( ) A ．s ＝p ＋q 2
B ．s ≤p ＋q 2
C ．s >p ＋q 2
D ．s ≥p ＋q 2
解析：选B.由已知得(1＋s %)2
＝(1＋p %)(1＋q %)
≤⎝⎛⎭⎫1＋p %＋1＋q %22＝⎝⎛⎭⎫1＋p %＋q %22
，
于是1＋s %≤1＋p %＋q %2
. 故s ≤p ＋q 2
. 5．设M ＝3x ＋3y 2
，N ＝(3)x ＋y ，P ＝3xy (x ，y ＞0，且x ≠y )，则M ，N ，P 大小关系为( ) A ．M ＜N ＜P
B ．N ＜P ＜M
C ．P ＜M ＜N
D ．P ＜N ＜M 解析：选D.由基本不等式可知3x ＋3y 2≥3x 3y ＝(3)x ＋y ＝3x ＋y 2≥3xy ，因为x ≠y ， 所以等号不成立，故P ＜N ＜M .
6．若a ＜1，则a ＋1a －1
与－1的大小关系是________． 解析：因为a ＜1，
即a －1＜0，
所以－⎝⎛⎭⎫a －1＋1a －1＝(1－a )＋11－a
≥2（1－a ）·11－a ＝2.即a ＋1a －1≤－1. 答案：a ＋1a －1≤－1 7．已知a ＞b ＞c ，则（a －b ）（b －c ）与a －c 2
的大小关系是________． 解析：因为a ＞b ＞c ，
所以a －b ＞0，b －c ＞0.
（a －b ）（b －c ）≤a －b ＋b －c 2＝a －c 2
.当且仅当a －b ＝b －c ，即a ＋c ＝2b 时，等号成立．所以（a －b ）（b －c ）≤
a －c 2. 答案：（a －
b ）（b －
c ）≤a －c 2
8．设正数a ，使a 2＋a －2>0成立，若t >0，则12log a t ____log a t ＋12
(填“>”“≥”“≤”或“<”)． 解析：因为a 2＋a －2>0，所以a <－2或a >1，
又a >0，所以a >1，
因为t >0，所以t ＋12≥t ， 所以log a t ＋12≥log a t ＝12
log a t . 答案：≤
9．已知f (x )＝a x (a >0且a ≠1)，当x 1≠x 2时，比较f ⎝⎛
⎭⎫x 1＋x 22与f （x 1）＋f （x 2）2的大小． 解：因为f (x )＝a x ，
所以f ⎝⎛⎭⎫x 1＋x 22＝a x 1＋x 22，
12[f (x 1)＋f (x 2)]＝12
(ax 1＋ax 2)． 因为a >0且a ≠1，x 1≠x 2，
所以ax 1>0，ax 2>0，且ax 1≠ax 2，
所以12
(ax 1＋ax 2)> ax 1·ax 2＝a x 1＋x 22， 即f ⎝⎛⎭⎫x 1＋x 22<12[f (x 1)＋f (x 2)]．
10．已知a ，b ，c 是不全相等的三个正数，求证：b ＋c －a a ＋a ＋c －b b ＋a ＋b －c c
＞3. 证明：b ＋c －a a ＋a ＋c －b b ＋a ＋b －c c
＝b a ＋c a ＋a b ＋c b ＋a c ＋b c
－3 ＝⎝⎛⎭⎫b a ＋a b ＋⎝⎛⎭⎫c a ＋a c ＋
⎝⎛⎭
⎫c b ＋b c －3. 因为a ，b ，c 都是正数，
所以b a ＋a b ≥2b a ·a b ＝2， 同理c a ＋a c ≥2，c b ＋b c
≥2， 所以⎝⎛⎭⎫b a ＋a b ＋⎝⎛⎭⎫c a ＋a c ＋⎝⎛⎭⎫c b ＋b c ≥6.
因为a ，b ，c 不全相等，上述三式不能同时取等号， 所以⎝⎛⎭⎫b a ＋a b ＋⎝⎛⎭⎫c a ＋a c ＋⎝⎛⎭⎫c b ＋b c ＞6， 所以b ＋c －a a ＋a ＋c －b b ＋a ＋b －c c
＞3.
[B 能力提升]
11．若2x ＋2y ＝1，则x ＋y 的取值范围是( )
A ．[0，2]
B ．[－2，0]
C ．[－2，＋∞)
D ．(－∞，－2] 解析：选D.因为2x ＋2y ≥22x ＋y ，2x ＋2y ＝1，
所以22x ＋
y ≤1， 所以2x ＋y ≤14
＝2－2， 所以x ＋y ≤－2，
即(x ＋y )∈(－∞，－2]．
12．设正数x ，y 满足log 2(x ＋y ＋3)＝log 2x ＋log 2y ，则x ＋y 的取值范围是________．
解析：原式等价于x ＋y ＋3＝xy ≤⎝⎛⎭
⎫x ＋y 22(当且仅当x ＝y 时取等号)，所以x ＋y ＋3≤（x ＋y ）24， 即(x ＋y )2－4(x ＋y )－12≥0.
解得x ＋y ≥6或x ＋y ≤－2(舍去)．
所以x ＋y 的取值范围是[6，＋∞)．
答案：[6，＋∞)
13．设a ，b ，c 均为正数，且a ＋b ＋c ＝1.证明：
(1)ab ＋bc ＋ac ≤13
； (2)a 2b ＋b 2c ＋c 2a
≥1. 证明：(1)由a 2＋b 2≥2ab ，b 2＋c 2≥2bc ，c 2＋a 2≥2ca ，
得a 2＋b 2＋c 2≥ab ＋bc ＋ca .
由题设得(a ＋b ＋c )2＝1，
即a 2＋b 2＋c 2＋2ab ＋2bc ＋2ca ＝1.
所以3(ab ＋bc ＋ca )≤1，即ab ＋bc ＋ca ≤13
. (2)因为a 2b ＋b ≥2a ，b 2c ＋c ≥2b ，c 2a
＋a ≥2c ， 故a 2b ＋b 2c ＋c 2a
＋(a ＋b ＋c )≥2(a ＋b ＋c )， 即a 2b ＋b 2c ＋c 2a
≥a ＋b ＋c . 所以a 2b ＋b 2c ＋c 2a
≥1. 14．(选做题)是否存在常数c ，使得不等式x 2x ＋y ＋y x ＋2y ≤c ≤x x ＋2y ＋y 2x ＋y 对任意正实数x ，
y 恒成立？证明你的结论．
解：当x ＝y 时，由已知不等式得c ＝23
.下面分两部分给出证明： (1)先证x 2x ＋y ＋y x ＋2y ≤23
，此不等式⇔ 3x (x ＋2y )＋3y (2x ＋y )≤2(2x ＋y )(x ＋2y )⇔2xy ≤x 2＋y 2，此式显然成立．
(2)再证x x ＋2y ＋y 2x ＋y ≥23
，此不等式⇔ 3x (2x ＋y )＋3y (x ＋2y )≥2(x ＋2y )(2x ＋y )⇔x 2＋y 2≥2xy ，此式显然成立．
综上可知，存在常数c ＝23
，对任意的实数x ，y 使题中的不等式成立．。