常微分方程试卷及答案

2010-2011学年第二学期常微分方程考试A B 卷答案理学院年级信息与计算科学专业 填空题（每题4分，共20分）1.形如)()('x Q y x P y +=（)(),(x Q x P 连续）的方程是一阶线性微分 方程，它的通解为⎪⎭⎫ ⎝⎛⎰+⎰-⎰=c dx dxx P e x Q dx x P e y )()()(.2.形如0y y '''-=的方程是3阶__齐次__(“齐次”还是”非齐次”)___常__系数的微分方程,它的特征方程为310λ-=.3.形如1111110n n nn n n n n d y d y dy x a x a x a y dx dx dx----++++=L L 的方程为欧拉方程,可通过变换t x e =把它转化成常系数方程.4.2(1)0,ydx x dy ++=满足初始条件：x =0,y =1的特解11ln 1y x=++5．5.微分方程0000(,),(),:,dyf x y y x y R x x a y y b dx==-≤-≤满足的解存在且唯一的条件是:(,)f x y 在R 上连续且满足利普希茨条件一、下列微分方程的解（每题5分，共30分） 1．dxdy =2)(1y x + 解：令x+y=u ,则dx dy =dxdu-1……………………….3 dx du -1=21uu-arctgu=x+c y-arctg(x+y)=c (5)2．()()053243=+++xdy ydx y xdy ydx x 解：两边同乘以y x 2得：()()0532*******=+++ydy x dx y x ydy x dx y x (3)故方程的通解为：c y x y x=+5324 (5)3．2⎪⎭⎫⎝⎛-=dx dy y x解：令p dxdy =，则2p x y +=，两边对x 求导，得dxdp pp 21+= pp dx dp 21-=，……………………….3 解之得()c p p x +-+=21ln 2，所以()c p p p y +-++=221ln 2， (4)且y=x+1也是方程的解，但不是奇解 (5)4.04)5(='''-x x解：特征方程0435=-λλ有三重根0=λ，42λ=，52λ=-............................3 故通解为54232221c t c t c e c e c x t t ++++=-. (5)5.4523x x x t ''''''--=+解：特征方程32450λλλ--=有根=1λ0,231,5λλ=-= 齐线性方程的通解为x=5123t t c e c e c t -++ (3)又因为=λ0是特征根，故可以取特解行如2xAt Bt =+%代入原方程解得A=1425，B=25- (4)故通解为x=5212325t t c e c e c t t -++- (5)6.2ln 0,xy y y '-=初值条件:y(1)=e解:原方程可化为ln dy y y dx x= (1)分离变量可得ln dy dxy y x=…………………………………………………..3两边积分可得ln y cx =…………………………………………………..4将初值代入上式求得方程的解:ln2y x = (5)二、求下列方程（组）的通解（每题10分，共30分）1．求一曲线，使其任一点的切线在OY 轴上的截距等于该切线的斜率. 解：设(,)p x y 为所求曲线上的任一点，则在p 点的切线l 在Y 轴上的截距为：dyy xdx-……………………….3 由题意得dyy x x dx-=即11dy y dx x =- 也即ydx xdy dx -+=- 两边同除以2x ，得2ydx xdy dxx x-+=-………………….5 即()ln yd d x x=- (7)即ln y cx x x =+……………………….10 为方程的解。

2.'2'43x x yy x y=+⎧⎨=+⎩满足初值条件(0)3(0)3x y =⎧⎨=⎩解:方程组的特征值125, 1λλ==-,……………………….2 对应特征值15λ=的特征向量12u u u ⎛⎫= ⎪⎝⎭应满足 对任意常数0α≠,2u αα⎛⎫= ⎪⎝⎭,取1α=,得12u ⎛⎫= ⎪⎝⎭ (4)对应特征值21λ=-的特征向量12v v v ⎛⎫= ⎪⎝⎭应满足对任意常数0β≠,v ββ⎛⎫= ⎪-⎝⎭,取1β=,得11v ⎛⎫= ⎪-⎝⎭ (6)所以基解矩阵为:55()2t t t t e e t ee φ--⎛⎫= ⎪-⎝⎭……………………….8 55551211333312113333t t t t t t t t e e e e e e e e ----⎛⎫+- ⎪= ⎪ ⎪-+ ⎪⎝⎭33⎛⎫ ⎪⎝⎭=5524t t tt e e e e --⎛⎫+ ⎪-⎝⎭………….10 3.求方程2213dyx y dx=--通过点(1,0)的第二次近似解. 解:令0()0x ϕ=，于是221001()[213()],xx y x x dx x x ϕϕ=+--=-⎰ (5)2234520111433()[213()],1525xx y x x dx x x x x x ϕϕ=+--=-+-+-⎰…………….10 五、应用题（10分）33. 摩托艇以5米/秒的速度在静水运动，全速时停止了发动机，过了20秒钟后，艇的速度减至13v =米/秒。

确定发动机停止2分钟后艇的速度。

假定水的阻力与艇的运动速度成正比例。

解：dvF ma m dt==，又1F k v =，由此 即dvkv dt=………………….5 其中1kk m=，解之得又0t =时，5v =；2t =时，3v =。

故得13ln 205k =，ln5c =从而方程可化为2035()5t v = (7)当260120t =⨯=时，有120203(20)5()0.233285v =⨯=米/秒 (8)即为所求的确定发动机停止2分钟后艇的速度。

………………….10 六、证明题（10分）1、试证:非齐次线性微分方程组的叠加原理:即:设12(),()x t x t 分别是方程组 的解，则)()(21t x t x +是方程组 的解.证明：)()(1't f x t A x +=（1）)()(2't f x t A x +=（2）分别将)(),(21t x t x 代入（1）和（2） 则)()(11'1t f x t A x +=)()(2'2t f x t A x += (5)则)()()]()()[(2121'2'1t f t f t x t x t A x x +++=+ 令)()(21t x t x x +=即证)()()(21't f t f x t A x ++= (10)2010-2011学年第二学期常微分方程考试B 卷答案理学院年级信息与计算科学专业 一、填空题（每题4分，共20分）1.0),(),(=+dy y x N dx y x M 是恰当方程的充要条件是M Ny x∂∂=∂∂； 其通解可用曲线积分表示为(,)(,)M x y dx N M x y dx dy c y ⎡⎤∂+-=⎢⎥∂⎣⎦⎰⎰⎰.3.形如24y y x ''-=的方程是2阶非齐次(“齐次”还是”非齐次”)_常系数的微分方程,它的特征方程的特征根为2, 2-.4.若)(),(t t ψΦ是同一线性方程X t A dtdX)(=的基解方阵，则它们间有关系 ()(), t C t C Φ=ψ为可逆矩阵.5．5.微分方程0000(,),(),:,dyf x y y x y R x x a y y b dx==-≤-≤满足的解存在且唯一的条件是:(,)f x y 在R 上连续且满足利普希茨条件二、下列微分方程的解（每题5分，共30分）1.32x y x y dx dy += 解：令u xy=…………….1 则：21u x u dx du x u dx dy +=+=即21u x dx du x =得到22x dx u du =故c xu +-=-11 即211x x c y +=…………………….4 另外0=y 也是方程的解。

.…………………….5 2.dxdy=x y sin + 解：y =dx e ⎰(⎰x sin dxe -⎰c dx +) (3)=x e [-21e x-(x x cos sin +)+c] =c e x -21(x x cos sin +)是原方程的解。

(5)3．y y y '+'=132。

设t t y t y 13,2+==' (3)dt t dt tt t y dy dx 32616--=-='= (4)C tt x ++=2216， 解为⎪⎩⎪⎨⎧+=++=t t y C t t X 1321622…………………….5 4.2100y y y '''++=解：特征方程01022=++λλ有复数根=1λ13i =-+,213i λ=--……….3 故通解为t e c t e c x t t 3sin 3cos 21--+=…………………….5 5.0xdy ydx +=解:原方程可化为0dxy = 故xy C =…………………….5 6.268t x x x e -'''++=解：特征方程2680λλ++=有根=1λ-2,=2λ-4…………………….1 故齐线性方程的通解为x=2412t tc e c e --+ (3)=λ-2是特征方程的根，故2t xAte -=%代入原方程解得A=14-……………….4 故通解为x=t t e c e c 521--+214t e - (5)三、求下列方程（组）的通解（每题10分，共30分）1.22xy ay a y e '''++=解：特征方程0222=++a a λλ有2重根=λ-a ………………..2 当a=-1时，齐线性方程的通解为s=t tte c e c 21+,=λ1是特征方程的2重根，故t e At x 2~=代入原方程解得A=21通解为s=22121t te c e c t t++,……………………………………..6 当a ≠-1时，齐线性方程的通解为s=at atte c e c --+21,=λ1不是特征方程的根，故t Ae x =~代入原方程解得A=2)1(1+a故通解为s=at atte c e c --+21+te a 2)1(1+…………………………..10 2.22dxx y dt dy x y dt⎧=-+⎪⎪⎨⎪=-+⎪⎩求其基解矩阵.解:det （λE －A ）=0得1λ＝3，2λ＝－3 (3)对应于1λ的特征向量为u ＝α⎪⎪⎭⎫⎝⎛+321，（α≠0） 对应于2λ的特征向量为v ＝⎪⎪⎭⎫⎝⎛-321β，（0≠β）……………….5 ∴u ＝⎪⎪⎭⎫⎝⎛+321，v ＝⎪⎪⎭⎫⎝⎛-321是对应于1λ，2λ的两个线性无关的特征向量 Ф(t)=⎪⎪⎭⎫⎝⎛-+--t ttt e ee e3333)32()32(是一个基解矩阵……………….10 3.求方程2dyx y dx=-通过点(1,0)的第二次近似解. 解:令0()0x ϕ=，于是22100111()[()],22xx y x x dx x ϕϕ=+-=-⎰ (5)22352011111111()[()],3042620x x y x x dx x x x x ϕϕ=+-=--++-⎰ (10)五、应用题（10分）1．求一曲线，过点(1,1),其任一点的切线在OY 轴上的截距等于2a .解：设(,)p x y 为所求曲线上的任一点，则在p 点的切线l 在Y 轴上的截距为：dyy xdx-……………………….3 由题意得2dyy x a dx -=两边同除以2x ，得2dy dxy a x=--...............................5 即2ln ln d y a d x -=-............................7 即2y cx a =+.. (8)将1,1x y ==代入上式得21c a =-。