广东省“六校联盟”2016届高三数学第三次联考试题理

2016届“六校联盟”高三第三次联考理科数学试题第一部分 选择题（共60分）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1．已知集合(){}10,ln 1x M x R N x R y x x ⎧-⎫=∈≤=∈=-⎨⎬⎩⎭，则M N =（ ） A ．∅ B. {}1x x ≥ C. {}1x x > D. {}10x x x ≥<或 2．已知两条直线,m n ，两个平面,αβ，给出下面四个命题：①//,m n m n αα⊥⇒⊥ ②//,,//m n m n αβαβ⊂⊂⇒ ③//,////m n m n αα⇒ ④//,//,m n m n αβαβ⊥⇒⊥其中正确命题的序号是（ ）A ．①③B ．①④C ．②④D ．②③ 3．下列四个条件中，p 是q 的必要不充分件的是（ ）A ．:p a b >，22:q a b > B ．:p a b >，:22abq > C ．:p 非零向量a 与b 夹角为锐角，:0q a b ⋅>D ．2:0p ax bx c -+>，2:0c bq a x x-+> 4．设函数()4ln ,03f x x x x =-->则函数()y f x =（ ） A ．在区间1(,1),(1,)e e 内均有零点. B ．在区间1(,1),(1,)e e 内均无零点.C ．在区间1(,1)e 内有零点，在区间(1,)e 内无零点 .D ．在区间1(,1)e内无零点，在区间(1,)e 内有零点.5．要得到函数2y x =的图象，只需将函数)4y x π=+的图象上所有的点的（ ）A ．横坐标缩短到原来的21倍（纵坐标不变）,再向左平行移动8π个单位长度;B ．横坐标缩短到原来的21倍（纵坐标不变），再向右平行移动4π个单位长度;C ．横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），再向左平行移动4π个单位长度; D ．横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），再向右平行移动8π个单位长度．6．已知{}n a 是等比数列，251,42a a ==，则13221++++n n a a a a a a = （ ） A ．()1218n - B ．()12124n + C. ()14124n - D. ()14216n -7．如果点P 在平面区域2202030x y x y x -+≥⎧⎪+-≥⎨⎪-≤⎩上，点Q 在曲线22(2)1x y ++=上，那么PQ 的最小值为（ ）A1- B．1 C ．2 D1 8．已知函数()y f x =是定义在R 上的奇函数，当0x ≤时()21x m f x -+=-（m R ∈），记()()42log 5,(log 3),a f b f c f m === ，则,,a b c 的大小关系为( ) A ．a b c << B ．b a c << C ．c a b << D ．c b a <<9．在ABC △中，已知D 是AB 边上一点，若AD DB λ=，()1,3CD CA CB R μλμ=+∈，则λ=（ ） A ．2-B ．1-C ．1 D ．210．已知函数()()()12121f x f x x f x dx '=++⎰在区间(),12a a -上单调递增，则实数a 的取值范围是（ ）A. 11,43⎛⎫⎪⎝⎭ B. 11,43⎡⎫⎪⎢⎣⎭ C. 1,3⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭ D.1,4⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭11．一个正三棱锥的四个顶点都在直径为2的球面上，其中底面的三个顶点在该球的一个大圆上，则该正三棱锥的体积是（ ）A．．433 C ． 43 D ． 3312．已知定义在(0,)+∞上的连续函数()y f x =满足：()()xx f x f xx e'-=且()()13,20f f =-=.则函数()y f x =（ ）A ．有极小值，无极大值B ．有极大值，无极小值C ．既有极小值又有极大值D ．既无极小值又无极大值第二部分 非选择题（共90分） 二、填空题: 本大题共4小题，每小题5分，满分20分13．在ABC ∆中，内角A 、B 、C 的对边长分别为a 、b 、c ，已知223a c b -=，且sin cos 2cos sin ,A C A C = 则b = .14．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且满足()21n n S a n N *=-∈，则数列{}n na 项和n T = .15．已知某个几何体的三视图如下图所示，根据图中标出的尺寸（单位：cm ），可得这个几何体的表面积是 2cm .正视图侧视图俯视图16. 若不等式()1na -⋅<()1911n n n +⋅-++对任意n N +∈恒成立，则实数a 的取值范围是.三、 解答题：包括必做题和选做题，第17题到第21题为必做题，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．17. （本小题满分12分）已知函数()cos(2)2sin()sin()344f x x x x πππ=-+-+. （1）求函数()f x 的最小正周期和图象的对称轴方程； （2）求函数()f x 在区间[,]62ππ-上的最值.18．（本小题满分12分）等差数列{}n a 各项均为正数，其前n 项和为n S ，2375a S =且1413,,a a a 成等比数列．（1）求数列{}n a 的通项公式n a ； （2）若数列{}n a 为递增数列，求证：13≤11S ＋21S ＋……＋nS 1＜43．19．(本小题满分12分)如图，在三棱锥P ABC -中，PA ⊥平面ABC ,底面ABC 是直角三角形，4PA AB BC ===,O 是棱AC 的中点，G 是AOB ∆的重心，D 是PA 的中点. （1）求证：BC ⊥平面PAB ； （2）求证：DG PBC ∥平面； （3）求二面角A PC B --的大小.20．（本小题满分12分）已知点P 是圆22:1O x y +=上任意一点，过点P 作PQ y ⊥轴于点Q ,延长QP 到点M ,使QP PM =.（1）求点M 的轨迹E 的方程；（2）过点(),0C m 作圆O 的切线l ，交（1）中曲线E 于,A B 两点，求AOB ∆面积的最大值.PO CDAG21．（本小题满分12分）已知函数()()()2ln 1f x x ax x a R =++-∈. (1)若12a =，求曲线()yf x =在点()()00f ，处的切线方程；（2）讨论函数()y f x =的单调性；（3）若存在[)00,x ∈+∞，使()0f x <成立，求实数a 的取值范围.请考生在第（22），（23），（24）三题中任选一题做答。

注意：只能做所选定的题目．如果多做，则按所做的第一个题目计分，做答时请用2B 铅笔在答题卡上将所选题号后的方框涂黑．22．（本小题满分10分）选修4—1：几何证明选讲如图，已知圆O 是ABC ∆的外接圆，AB BC =，AD 是BC 边上的高，AE 是圆O 的直径．过点C 作圆O 的切线交BA 的延长线于点F .（1）求证：AC BC AD AE ⋅=⋅； （2）若2,AF CF ==，求AE 的长.23．(本小题满分10分)选修4—4：坐标系与参数方程.在平面直角坐标系xOy 中，直线l的参数方程为32x y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩ (t 为参数). 在以原点O 为极点，x 轴正半轴为极轴的极坐标中，圆C(1)写出直线l 的普通方程和圆C 的直角坐标方程； (2)设点P ，直线l 与圆C 相交于A 、B 两点，求11PA PB+的值．24．(本小题满分10分)选修4—5：不等式选讲.已知函数()f x =的定义域为R ．（1）求实数m 的取值范围；（2）若实数m 的最大值为n ，正数,a b 满足8232n a b a b+=++，求43a b +的最小值．2016届“六校联盟”高三第三次联考理科数学试题参考答案及评分标准 一、选择题（共12小题，每题5分共60分）二、填空题 13．9; 14．()121n n -+; 15．6+．2114a -<<-．三、解答题 17．解：（1）()cos(2)2sin()sin()344f x x x x πππ=-+-+1cos 22(sin cos )(sin cos )2x x x x x x =+-+ 221cos 22sin cos 2x x x x =+- 1cos 22cos 22x x x =-sin(2)6x π=- ……3分2T 2ππ==周期∴ …………………………4分由2,62x k k Z πππ-=+∈得，,32k x k Z ππ=+∈ ∴对称轴方程为,32k x k Z ππ=+∈ …………………………6分（2）5[,],2[,]62666x x πππππ∈-∴-∈- ……………………7分 因为()sin(2)6f x x π=-在区间[,]63ππ-上单调递增，在区间[,]32ππ上单调递减 …9分所以 当3x π=时，max ()1f x = ………………………………10分又11()()6222f f ππ-=-<=，∴当6x π=-时，min 1()2f x =- ……12分18．解：（1）设数列{}n a 的公差为()0d d ≥，则有232113475a S a a a =⎧⎨=⎩即2221134375a a a a ⎧=⎨=⎩0,n a >∴2211345a a a a =⎧⎨=⎩ 即()()121115123a d a a d a d +=⎧⎪⎨+=+⎪⎩解得150a d =⎧⎨=⎩或132a d =⎧⎨=⎩5n a ∴=或21n a n =+…………………………5分 （2）数列{}n a 为递增数列，∴由（1）知21n a n =+∴)2(22)1(3+=⋅-+=n n n n n S n，n ∈N* ∴)211(21)2(11+-=+=n n n n S n ，n ∈N*………………7分 ∴…………………………………………………………10分记1231111n n T S S S S =++++ 由10,n n N S *>∈，则n T 关于n 递增．11113n T T S ∴≥==综上可得：12311111334n S S S S ≤++++≤………………12分19．解（1）证明：PA ABC PA BCABC AB BC BC PABAB BC PA AB A ⊥⇒⊥⎫⎪∆⎫⎪⇒⊥⇒⊥⎬⎬=⎭⎪⎪=⎭平面为直角三角形平面……3分(2)证明：连结OG 并延长交AB 于点E ，连结DO ,DEG 是AOB ∆的重心,∴ OE 为AB 边上的中线， ∴E 为AB 边上的中点，又有D 为PA 边上的中点, ∴DE PB ∥, 同理可得DO PC ∥,且DE DO D =∴DOE PBC 平面∥平面, 又有DG DOE ⊂平面∴DG PBC ∥平面 ………………………………7分（3）过点O 作OQ PC ⊥于点Q ,连结BQ ,AB BC =且O 是棱AC 的中点，∴BO AC ⊥ PA ⊥平面ABC , ∴平面PAC ⊥平面ABC又有平面PAC 平面ABC =AC ，且BO ABC ⊂平面,∴BO PAC ⊥平面,又有OQ PC ⊥, ∴由三垂线定理得BQ PC ⊥，OQB ∴∠为二面角A PCB --的平面角．………………10分由已知得1OB ACOC =====PC ====1211111111111(1)()()2322422111131113[(1)()]()221242124n S S S n n n n n n +++=-+-++-+=+-+=-+<++++D OACP B GE QPAC OQC∆∆∽,∴OQ PA OQOC PC===∴tanOBOQBOQ∠==2OQBπ≤∠≤3OQBπ∴∠=即二面角A PC B--的大小为3π．………………12分（注：其它解法酌情给分．）20．解：（1）设点(),M x y，,QP PM=P∴为QM中点，又有PQ y⊥轴，∴,2xP y⎛⎫⎪⎝⎭,点P是圆22:1O x y+=上的点，∴有2212xy⎛⎫+=⎪⎝⎭，即点M的轨迹E的方程为：2214xy+=．…………………………4分（2）由题意可知直线l不与y轴垂直，故可设l：,x ty m t R=+∈，()11,A x y，()22,B x y,l与圆22:1O x y+=相切，1=即221m t=+①……………………5分由2214xyx ty m⎧+=⎪⎨⎪=+⎩消x并整理得：()2224240t y mty m+++-=……6分其中()()()()2222224441664480mt t m t m∆=-+-=-+=>又有12221222444mty ytmy yt⎧+=-⎪⎪+⎨-⎪=⎪+⎩②……………………………………7分∴AB===将①②代入上式得AB==,1m≥…………9分∴111122AOBS ABmm∆=⋅==≤=+…………11分当且仅当3mm=即m=∴()max1AOBS∆=……………………12分21．解：（1）当12a =时，()()()211ln 1,121f x x x x f x x x '=++-∴=+-+∴()()00,00,f f '==∴切点为()0,0，切线斜率()00k f '==，∴在点()()00f ，处切线方程为：0y = ……………………2分（2）由已知得()()221121,111ax a x f x ax x x x +-'=+-=>-++ 当0a ≤时，()1,10,22121110x x ax a a x >-∴+>∴+-=+-<-<，∴(1,0)x ∈-时，()0f x '>，(0,)x ∈+∞时，()0f x '<，此时，()f x 在()1,0-上单调递增，在()0,+∞上单调递减． …………4分当0a>时，由()0f x '=得12120,2ax x a-==0,a > ∴2122a x a-=1112a =-+>- ………………5分若1,2a =则1202a a-=，∴()()2011x f x x x '=≥>-+， 此时，()f x 在()1,-+∞上单调递增； …………………6分若10a <<，则12x x <，()f x ，()f x '的变化如下表此时()f x 在()11,x -和()2,x +∞上单调递增，在()12,x x 上单调递减． ……7分若1,2a >则12x x >，()f x ，()f x '的变化如下表此时()f x 在()21,x -和()1,x +∞上单调递增，在()21,x x 上单调递减 ……8分综上所述：当0a ≤时，()f x 在()1,0-上单调递增，在()0,+∞上单调递减；当102a <<时，()f x 在()1,0-和12,2a a -⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上单调递增，在120,2a a -⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递减； 当12a =时，()f x 在()1,-+∞上单调递增；当12a >时，()f x 在121,2a a -⎛⎫- ⎪⎝⎭和()0,+∞上单调递增，在12,02a a-⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递减；…9分（3）“存在[)00,x ∈+∞，使()0f x <成立”的非命题为“对任意[)0,x ∈+∞，都有()0f x ≥成立”由（2）得，当12a ≥时，()f x 在[)0,+∞上单调递增，当12a <时，一定存在区间()[)()0,0,0m m ⊆+∞>，有()f x 在()0,m 上单调递减 又有()00f =∴当且仅当对12a ≥时，“任意[)0,x ∈+∞，都有()()00f x f ≥=成立”即若对任意[)0,x ∈+∞，都有()0f x ≥成立，则实数a 的取值范围是12a ≥∴若存在[)00,x ∈+∞，使()0f x <成立，实数a 的取值范围是12a <…………12分22．解：（1）证明：连结BE ，由题意知ABE ∆为直角三角形. 因为90ABE ADC ∠=∠=0，AEB ACB ∠=∠，ABE ∆∽ADC ∆，所以AB AEAD AC=，即AB AC AD AE ⋅=⋅. 又AB BC =，所以AC BC AD AE ⋅=⋅. ……… 5分（2）因为FC 是圆O 的切线，所以2FC FA FB =⋅，又22,2==CF AF ，所以2,4=-==AF BF AB BF ，因为ACF FBC ∠=∠，又CFB AFC ∠=∠，所以AFC ∆∽CFB ∆.所以AF ACFC BC =，得2AF BC AC BC AB⋅====cos sin sin ,ACD ACD AEB ∠=∴∠==∠由余弦定理得7144sin =∠=∴AEB AB AE……… 10分 23．解：(1)由32x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩得直线l ……… 2分C 即5. ……… 5分得，故可设12,t t 是上述方程的两实数根，……………………7分又有直线l A 、B 两点对应的参数分别为12,t t所以1,PA t = 所以1212121111+=4t t PA PB t t t t ++==………… 10分 24．解：（1）因为函数()f x 的定义域为R ． 所以|2||6|x x m ++-≥恒成立；设()|2||6|g x x x =++-，则min ()g x m ≥． 又|2||6||(2)(6)|8x x x x ++-≥++-=， 当且仅当26x -≤≤时，min ()8g x =所以8m ≤． ……… 5分 （2）有（1）可知，8n =，∴82832a b a b+=++， 即41432a b a b+=++，有由于,a b 均为正数，所以 ()14143(43)()432141[(3)(2)]()432421319[5](54)43244a b a b a b a b a b a b a b a ba b a b a b a b +=⋅+⋅+++=⋅+++⋅+++++=⋅++≥+=++ ……… 8分当且()223a b a b +=+，即9320a b ==时，上式等号成立. ……… 9分 所以43a b +的最小值是94． ……… 10分。