圆锥曲线.03圆锥曲线的弦长面积问题.知识讲解及练习.

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圆锥曲线：弦长公式与面积的12类题型考法总结高考数学

PQ = 3.
【答案】(1)求椭圆C的方程；(2)求△ 面积的取值范围.
试卷讲评课件
【详解】(1)依题意， = ，当直线的斜率不存在时，由 = ，
得直线过点

为

+

,

，于是

+

= ，解得 = ，所以椭圆的方程
= .
(2)依题意，直线不垂直于轴，设直线的方程为
【解析】 = .
试卷讲评课件
(3)是否存在常数，使得 + = ⋅ 恒成立？若存在，
求的值；若不存在，请说明理由.
【解析】由于PF 的方程为 = �� + ，将其代入椭圆方程得
+ − + − = ，由违达定理得

+

+

−
− − +
− +
+
=
试卷讲评课件
3.特殊方法：拆分法,可以将三角形沿着轴或者轴拆分成两个三角形，
不过在拆分的时候给定的顶点一般在轴或者轴上，此时，便于找到两
个三角形的底边长.

= + = ∣ ∣∣ − ∣
＋
＋

由＞，得0＜＜，所以＜＜.综上可得：

＋

＜

≤ ，即 ∈

( ,

].
试卷讲评课件
例2.已知 P 为椭圆
x2
8
+
y2
2
= 1 上的一个

高中数学圆锥曲线知识点梳理+例题解析

x0 x a2

y0 y b2
1.
7.
x2
椭圆
a2

y2 b2
1
(a＞b＞0)的左右焦点分别为 F1，F 2，点 P 为椭圆上任意一点 F1PF2

，则椭圆的焦点角形的面积
S 为 F1PF2
b2
tan 2
.
-4-
8.
椭圆 x2 y2 a2 b2
1（a＞b＞0）的焦半径公式 | MF1 | a ex0 , | MF2 | a ex0 ( F1(c, 0)
x0
中心顶点对称轴
原点 O（0，0）
(a,0), (─a,0), (0,b) , (0,─b)
x 轴，y 轴；长轴长 2a,短轴长 2b
原点 O（0，0）
(a,0), (─a,0) x 轴，y 轴;
实轴长 2a, 虚轴长 2b.
(0,0) x轴
焦点
F1(c,0), F2(─c,0)
F1(c,0), F2(─c,0)
e=1
a
a
-2-
【备注 1】双曲线：
⑶等轴双曲线：双曲线 x 2 y 2 a 2 称为等轴双曲线，其渐近线方程为 y x ，离心率 e 2 .
⑷共轭双曲线：以已知双曲线的虚轴为实轴，实轴为虚轴的双曲线，叫做已知双曲线的共轭双曲线. x 2 y 2 与 a2 b2
x 2 y 2 互为共轭双曲线，它们具有共同的渐近线： x 2 y 2 0 .
e 的点的轨迹.（e>1）
与定点和直线的距离相等的点的轨迹.
-1-
轨迹条件
点集： ({M｜｜MF1+｜MF2｜=2a,｜F

4圆锥曲线的弦长面积问题-中等难度-讲义

圆锥曲线的弦长面积问题知识讲解一、弦长问题设圆锥曲线C ∶(),0f x y =与直线:l y kx b =+相交于()11,A x y ，()22,B x y 两点，则弦长AB 为：()2221212121141x AB k x x k x x x x k a∆=+-=++-=+()1212122221111141y AB y y y y y y k k ka∆=+-=++-=+或二、面积问题1.三角形面积问题直线AB 方程：y kx m =+ 0021kx y md PH k-+==+002211122a1x ABPkx y mS AB d k k∆∆-+=⋅=+⋅+2.焦点三角形的面积直线AB 过焦点21,F ABF ∆的面积为112121212y ABF c S F F y y c y y a∆∆=⋅-=-=H OyxPBA3.平行四边形的面积直线AB 为1y kx m =+，直线CD 为2y kx m =+d CH ==12AB x =-=ABCDSAB d =⋅==三、范围问题方法：首选均值不等式或对勾函数，其实用二次函数配方法，最后选导数思想均值不等式：222(,)a b ab a b R +≥∈变式：2,);()(,)2a b a b a b R ab a b R ++++≥∈≤∈ 作用：当两个正数的积为定值时求出这两个正数的和的最小值；当两个正数的和为定值时求出这两个正数的积的最大值注意：应用均值不等式求解最值时，应注意“一”正“二”定“三”相等圆锥曲线经常用到的均值不等式形式：1）2226464t S t t t==++（注意分0,0,0t t t =><三种情况讨论） 2）224222121212333196123696k AB t k k k=+=+≤+++⨯+++当且仅当2219k k =时，等号成立3）222002200259342593464925y x PQ x y =+⋅+⋅≥+ 当且仅当22002200259259925y x x y ⋅=⋅时等号成立. 4）2282m m S -+===当且仅当228m m =-+时，等号成立 5）2221121k m m S -++==≤=当且仅当221212k m +=时等号成立.经典例题一．选择题（共9小题）1．（2018•德阳模拟）设点P为椭圆C：x249+y224=1上一点，F1、F2分别是椭圆C的左、右焦点，且△PF1F2的重心为点G，若|PF1|：|PF2|=3：4，那么△GPF1的面积为（）A．24B．12C．8D．6【解答】解：∵点P为椭圆C：x 249+y224=1上一点，|PF1|：|PF2|=3：4，|PF1|+|PF2|=2a=14∴|PF1|=6，|PF2|=8，又∵F1F2=2c=10，∴△PF1F2是直角三角形，S△PF1F2=12×PF1⋅PF2=24，∵△PF1F2的重心为点G．∴S△PF1F2=3S△GF1F2，∴△GPF1的面积为8，故选：C．2．（2018•邵阳三模）已知椭圆C：x2a2+y2b2=1（a＞b＞0）的离心率为2√1313，且两焦点与短轴端点构成的三角形的面积为6，则椭圆C的标准方程是（）A ．x 216+y 29=1B ．x 216+y 213=1C ．x 213+y 29=1D ．x 213+y 24=1【解答】解：设椭圆半焦距为c ，则{c a=2√131312×2c ×b =6a 2−b 2=c 2，解得a=√13，b=3，c=2．故椭圆方程为：x 213+y 29=1．故选：C ．3．（2018•齐齐哈尔三模）已知双曲线x 22−y 2=1的左焦点为F ，抛物线y 2=12x 与双曲线交于A ，B 两点，则△FAB 的面积为（） A ．2B ．1+√2C ．2+√2D ．2+√3【解答】解：双曲线x 22−y 2=1的左焦点为F （﹣√3，0），由{x 22−y2=1y 2=12x可得：A （2，1），B （2，﹣1），则△FAB 的面积为：12×(2+√3)×2=2+√3．故选：D ．4．（2018•珠海二模）已知F 是双曲线C ：x 2a 2﹣y 2b2=1（a ＞0，b ＞0）的右焦点，P是y 轴正半轴上一点，以OP 为直径的圆在第一象限与双曲线的渐近线交于点M ，若点P ，M ，F 三点共线，且△MFO 的面积是△PMO 面积的4倍，则双曲线C 的离心率为（）A ．√3B ．√5C ．√6D ．√7【解答】解：如图以OP 为直径的圆在第一象限与双曲线的渐近线y=bax 交于点M ，由△MFO 的面积是△PMO 面积的4倍，可得|MF |=4|MP |，由OM ⊥PF ，设F （c ，0），可得|MF |=√a 2+b 2=b ，则|PM |=b4，在直角三角形POF 中，由射影定理可得， |OF |2=|MF |•|FP |，即为c 2=b•54b=54（c 2﹣a 2），则c 2=5a 2，即有e=ca=√5．故选：B ．5．（2018•重庆模拟）已知抛物线y 2=4x 的焦点为F ，以F 为圆心的圆与抛物线交于M 、N 两点，与抛物线的准线交于P 、Q 两点，若四边形MNPQ 为矩形，则矩形MNPQ 的面积是（） A ．16√3B ．12√3C ．4√3D ．3【解答】解：根据题意画出示意图：依题意，抛物线抛物线y 2=4x 的焦点为F （1，0）， ∴圆的圆心坐标为F （1，0）．∵四边形MNPQ 是矩形，且PM 为直径，QN 为直径，F （1，0）为圆的圆心， ∴点F 为该矩形的两条对角线的交点，∴点F 到直线PQ 的距离与点F 到MN 的距离相等．∵点F 到直线MN 的距离d=2， ∴直线MN 的方程为：x=3， ∴M （3，2√3），∴则矩形MNPQ 的面积是：4×4√3=16√3．故选：A ．6．（2018•武汉模拟）过点P （2，﹣1）作抛物线x 2=4y 的两条切线，切点分别为A ，B ，PA ，PB 分别交x 轴于E ，F 两点，O 为坐标原点，则△PEF 与△OAB 的面积之比为（）A ．√32B ．√33 C ．12D ．34【解答】解：设过P 点的直线方程为：y=k （x ﹣2）﹣1，代入x 2=4y 可得x 2﹣4kx +8k +4=0，①令△=0可得16k 2﹣4（8k +4）=0，解得k=1±√2．∴PA ，PB 的方程分别为y=（1+√2）（x ﹣2）﹣1，y=（1﹣√2）（x ﹣2）﹣1，分别令y=0可得E （√2+1，0），F （1﹣√2，0），即|EF |=2√2．∴S △PEF =12×2√2×1=√2，解方程①可得x=2k ，∴A （2+2√2，3+2√2），B （2﹣2√2，3﹣2√2）， ∴直线AB 方程为y=x +1，|AB |=8，原点O 到直线AB 的距离d=√22，∴S △OAB =12×8×√22=2√2．∴△PEF 与△OAB 的面积之比为12．故选：C ．7．（2018•马鞍山三模）已知抛物线C ：y 2=4√3x 的准线为l ，过C 的焦点F 的直线交l 于点A ，与抛物线C 的一个交点为B ，若F 为线段AB 的中点，BH ⊥AB 交l 于H ，则△BHF 的面积为（） A ．12√3B ．16√3C ．24√3D ．32√3【解答】解：抛物线C ：y 2=4√3x 的准线为为x=﹣√3，焦点F （√3，0），设直线AB 的方程为y=k （x ﹣√3），由{y =k(x −√3)x =−√3，解得x=﹣√3，y=﹣2√3k ，∴A （﹣√3，﹣2√3k ）， ∵F 为线段AB 的中点， ∴x B ﹣√3=2√3，y B ﹣2√3k=0， ∴x B =3√3，y B =2√3k将点B 坐标代入y 2=4√3x ，可得12k 2=4√3×3√3，解得k=±√3，不妨令k=√3，∴A （﹣√3，﹣6），B （3√3，6）， ∵k BH •k BA =﹣1， ∴k BH =﹣√33，设H （﹣√3，y H ），∴H −√3−3√3=﹣√33，解得y H =10，∴|BH |=√(−√3−3√3)2+(10−6)2=8， |BF |=√(3√3−√3)3+62=4√3，∴S △BHF =12|BH |•|BF |=12×8×4√3=16√3，故选：B ．8．（2018•新课标Ⅰ）已知双曲线C ：x 23﹣y 2=1，O 为坐标原点，F 为C 的右焦点，过F 的直线与C 的两条渐近线的交点分别为M ，N ．若△OMN 为直角三角形，则|MN |=（）A ．32B ．3C ．2√3D ．4【解答】解：双曲线C ：x 23﹣y 2=1的渐近线方程为：y=±√33x ，渐近线的夹角为：60°，不妨设过F （2，0）的直线为：y=√3(x −2)，则：{y =−√33xy =√3(x −2)解得M （32，−√32），{y =√33x y =√3(x −2)解得：N （3，√3），则|MN |=(3−32)+(√3+√32)=3．故选：B ．9．（2008秋•中山区校级月考）斜率为2的直线l 经过抛物线x 2=8y 的焦点，且与抛物线相交于A ，B 两点，则线段AB 的长为（） A ．8B ．16C ．32D ．40【解答】解：设直线l 的倾斜解为α，则l 与y 轴的夹角θ=90°﹣α， cotθ=tanα=2， ∴sinθ=√5，|AB |=8sin 2θ=815=40．故选：D ．二．填空题（共6小题）10．（2018•邵阳三模）已知Q 为椭圆C ：x 23+y 2=1上一动点，且Q 在y 轴的右侧，点M （2，0），线段QM 的垂直平分线交y 轴于点N ，则当四边形OQMN的面积取最小值时，点Q 的横坐标为32．【解答】解：设直线MQ 的中点为D ，由题意知ND ⊥MQ ，直线ND 的斜率存在，设Q （x 0，y 0），（y 0≠0，x 0＞0），∴点D 的坐标为（x 0+22，y 02），且直线MQ 的斜率k MQ =y 0x 0−2，∴k ND =﹣1k MQ =2−x 0y 0，∴直线ND 的方程为y ﹣y 02=2−x 0y 0（x ﹣x 0+22），令x=0，可得y=x 02+y 02−42y 0，∴N （0，x 02+y 02−42y 0），由x 023+y 02=1可得x 02=3﹣3y 02， ∴N （0，−2y 02−12y 0），∴S四边形OQMN =S△OQM +S△OMN =12×2×|y 0|+12×2×|−2y 02−12y 0|=|y 0|+|2y 02+12y 0|=2|y 0|+12|y 0|，即y 0=±12，x 0=32等号成立，故Q 的横坐标为32，故答案为：3211．（2018•齐齐哈尔二模）已知点P 是双曲线x 22﹣y 2=1 上的一点，F 1，F 2是双曲线的两个焦点，若|PF 1|+|PF 2|=4√2，则△PF 1F 2的面积为 √5 ．【解答】解：不妨设P 在双曲线的右支上，由双曲线的定义可知|PF 1|﹣|PF 2|=2√2，又|PF 1|+|PF 2|=4√2， ∴|PF 1|=3√2，|PF 2|=√2，又|F 1F 2|=2c=2√3，∴cos ∠F 1PF 2=PF 12+PF 22−F 1F 222PF 1⋅PF 2=23，sin ∠F 1PF 2=√53，∴△PF 1F 2的面积为12×3√2×√2×√53=√5．故答案为：√5．12．（2018•沈阳一模）已知正三角形△AOB （O 为坐标原点）的顶点A 、B 在抛物线y 2=3x 上，则△AOB 的边长是 6√3 ．【解答】解：由抛物线的对称性可得∠AOx=30°，∴直线OA 的方程为y=√33x ，联立{y =√33x y 2=3x，解得A （9，3√3）．∴|AO |=√81+27=6√3．故答案为：6√3．13．（2018•甘肃模拟）抛物线C ：y 2=4x 的焦点为F ，过准线上一点N 作NF 的垂线交y 轴于点M ，若抛物线C 上存在点E ，满足2NE →=NM →+NF →，则△MNF 的面积为 3√22．【解答】解：准线方程为x=﹣1，焦点为F （1，0），不妨设N 在第三象限， ∵2NE →=NM →+NF →， ∴E 是MF 的中点，∴NE=12MF=EF ，∴NE ∥x 轴，又E 为MF 的中点，E 在抛物线y 2=4x 上，∴E （12，﹣√2），∴N （﹣1，﹣√2），M （0，﹣2√2），∴NF=√6，MN=√3，∴S △MNF =12×√6×√3=3√22故答案为：3√2214．（2016秋•九龙坡区校级期中）如图所示，过抛物线C ：y 2=2px （p ＞0）的焦点F 作直线交C 于A 、B 两点，过A 、B 分别向C 的准线l 作垂线，垂足为A′，B′，已知四边形AA′B′F 与BB′A′F 的面积分别为15和7，则△A′B′F 的面积为 6 ．【解答】解：设△A′B′F 的面积为S ，直线AB ：x=my +p2，代入抛物线方程，消元可得y 2﹣2pmy ﹣p 2=0设A （x 1，y 1） B （x 2，y 2），则y 1y 2=﹣p 2，y 1+y 2=2pmS △AA'F =12|AA'|×|y 1|=12|x 1+p 2||y 1|=12（y 122p +p 2）|y 1|S △BB'F =12|BB'|×|y 2|=12|x 2+p 2||y 2|=12（y 222p +p 2）|y 2|∴12（y 122p +p 2）|y 1|×12（y 222p +p 2）|y 2|=p 24（p 22+y 124+y 224）=p 44（m 2+1） S △A′B′F =p2|y 1﹣y 2|=p 2√m 2+1=S∵四边形AA′B′F 与BB′A′F 的面积分别为15和7∴p 44（m 2+1）=（15﹣S ）（7﹣S ） ∴14S 2=（15﹣S ）（7﹣S ） ∴34S 2﹣22S +105=0 ∴S=6 故答案为：615．（2016春•芒市校级期中）斜率为1的直线l 与椭圆x 24+y 2=1相交于A ，B 两点，则|AB |得最大值为 4√105．【解答】解：设直线l 的方程为y=x +t ，代入椭圆x 24+y 2=1消去y 得54x 2+2tx +t 2﹣1=0，由题意得△=（2t ）2﹣5（t 2﹣1）＞0，即t 2＜5．弦长|AB |=4√2×√5−t 25≤4√105．当t=0时取最大值．故答案为：4√105．三．解答题（共5小题）16．（2018•焦作四模）已知椭圆Γ：x 2a 2+y 2b 2=1(a ＞b ＞0)的离心率为√32，椭圆的四个顶点围成的四边形的面积为4．（Ⅰ）求椭圆Γ的标准方程；（Ⅰ）直线l 与椭圆Γ交于A ，B 两点，AB 的中点M 在圆x 2+y 2=1上，求△AOB （O为坐标原点）面积的最大值．【解答】解：（Ⅰ）根据题意，椭圆Γ：x 2a2+y2b2=1(a＞b＞0)的离心率为√32，则c a =√32，得c=√32a，b=12a，所以3x 24c2+3y2c2=1，由椭圆Γ的四个顶点围成的四边形的面积为4，得2ab=4，所以a=2，b=1，椭圆Γ的标准方程为x 24+y2=1．（Ⅰ）根据题意，直线l与椭圆Γ交于A，B两点，当直线l的斜率不存在时，令x=±1，得y=±√32，S△AOB=12×1×√3=√32，当直线l的斜率存在时，设l：y=kx+m，A（x1，y1），B（x2，y2），M（x0，y0），由{y=kx+mx2+4y2=4，得（1+4k2）x2+8kmx+4m2﹣4=0，则x1+x2=−8km1+4k2，x1x2=4m2−41+4k2，所以x0=−4km1+4k2，y=kx0+m=−4k2m1+4k2+m=m1+4k2，将(−4km1+4k2，m1+4k2)代入x2+y2=1，得m2=(1+4k2)216k2+1，又因为|AB|=√1+k2⋅√(x1+x2)2−4x1x2=√1+k2⋅41+4k2√1+4k2−m2，原点到直线l的距离d=√1+k2，所以S△AOB=12×|m|√1+k2×√1+k2⋅41+4k2√1+4k2−m2=2|m|1+4k2√1+4k2−m2=21+4k2×2√16k2+1×√1+4k2×√1−1+4k216k2+1=2√12k 2(1+4k 2)(16k 2+1)2=216k 2+1×√12k 2(1+4k 2)≤216k 2+1×1+16k 22=1．当且仅当12k 2=1+4k 2，即k =±√24时取等号．综上所述，△AOB 面积的最大值为1．17．（2018•南通一模）如图，在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆x 2a 2+y 2b2=1（a＞b ＞0）的离心率为√22，两条准线之间的距离为4√2．（1）求椭圆的标准方程；（2）已知椭圆的左顶点为A ，点M 在圆x 2+y 2=89上，直线AM 与椭圆相交于另一点B ，且△AOB 的面积是△AOM 的面积的2倍，求直线AB 的方程．【解答】解：（1）设椭圆的焦距为2c ，由题意得，c a =√22，2a 2c=4√2，解得a=2，c=b=√2．∴椭圆的方程为：x 24+y 22=1．（2）△AOB 的面积是△AOM 的面积的2倍，∴AB=2AM ， ∴点M 为AB 的中点．∵椭圆的方程为：x 24+y 22=1．∴A （﹣2，0）．设M （x 0，y 0），则B （2x 0+2，2y 0）．由x 02+y 02=89，(2x 0+2)24+(2y 0)22=1，化为：9x 02﹣18x 0﹣16=0，−2√23≤x 0≤2√23．解得：x0=﹣23．代入解得：y0=±23，∴k AB=±1 2，因此，直线AB的方程为：y=±12（x+2）．18．（2018•衡阳一模）已知椭圆C：x2a2+y2b2=1(a＞b＞0)的左、右焦点分别为F1、F2，离心率为12，直线y=1与C的两个交点间的距离为4√63．（Ⅰ）求椭圆C的方程；（Ⅰ）分别过F1、F2作l1、l2满足l1∥l2，设l1、l2与C的上半部分分别交于A、B 两点，求四边形ABF2F1面积的最大值．【解答】解：（Ⅰ）易知椭圆过点(2√63，1)，所以83a2+1b2=1，①…（2分）又c a =12，②…（3分）a2=b2+c2，③…（4分）①②③得a2=4，b2=3，所以椭圆的方程为x 24+y23=1．…（6分）（Ⅰ）设直线l1：x=my﹣1，它与C的另一个交点为D．与C联立，消去x，得（3m2+4）y2﹣6my﹣9=0，…（7分）△=144（m2+1）＞0.|AD|=√1+m2⋅12√1+m23m2+4，…（9分）又F2到l1的距离为d=2√1+m，…（10分）所以S△ADF2=12√1+m23m2+4．…（11分）令t=√1+m2≥1，则S△ADF2=123t+1t，所以当t=1时，最大值为3．…（14分）又S四边形ABF2F1=12(|BF2|+|AF1|)⋅d=12(|AF1|+|DF1|)⋅d=12|AB|⋅d=S△ADF2所以四边形ABF2F1面积的最大值为3．…（15分）19．（2018•江苏二模）如图，在平面直角坐标系xOy中，B1，B2是椭圆x2a2+y2b2=1(a＞b＞0)的短轴端点，P是椭圆上异于点B1，B2的一动点．当直线PB1的方程为y=x+3时，线段PB1的长为4√2．（1）求椭圆的标准方程；（2）设点Q满足：QB1⊥PB1，QB2⊥PB2，求证：△PB1B2与△QB1B2的面积之比为定值．【解答】解：设P（x0，y0），Q（x1，y1）．（1）在y=x+3中，令x=0，得y=3，从而b=3．……（2分）由{x 2a 2+y 29=1，y =x +3得x 2a 2+(x+3)29=1．所以x 0=−6a 29+a 2． ……（4分）因为PB 1=√x 02+(y 0−3)2=√2|x 0|，所以4√2=√2⋅6a 29+a2，解得a 2=18．所以椭圆的标准方程为x 218+y 29=1． ……（6分）（2）方法一：直线PB 1的斜率为k PB 1=y 0−3x 0，由QB 1⊥PB 1，所以直线QB 1的斜率为k QB 1=−x 0y 0−3．于是直线QB 1的方程为：y =−x 0y 0−3x +3．同理，QB 2的方程为：y =−x 0y 0+3x −3． ……（8分）联立两直线方程，消去y ，得x 1=y 02−9x 0． …（10分）因为P （x 0，y 0）在椭圆x 218+y 29=1上，所以x 0218+y 029=1，从而y 02−9=−x 022．所以x 1=−x 02． ……（12分）所以S △PB 1B 2S △QB 1B 2=|x 0x 1|=2． ……（14分）方法二：设直线PB 1，PB 2的斜率为k ，k'，则直线PB 1的方程为y=kx +3．由QB 1⊥PB 1，直线QB 1的方程为y =−1k x +3．将y=kx +3代入x 218+y 29=1，得（2k 2+1）x 2+12kx=0，因为P 是椭圆上异于点B 1，B 2的点，所以x 0≠0，从而x 0=−12k2k 2+1．…（8分）因为P （x 0，y 0）在椭圆x 218+y 29=1上，所以x 0218+y 029=1，从而y 02−9=−x 022．所以k ⋅k′=y 0−3x 0⋅y 0+3x 0=y 02−9x 02=−12，得k′=−12k ． ……（10分）由QB 2⊥PB 2，所以直线QB 2的方程为y=2kx ﹣3．联立{y =−1k x +3，y =2kx −3则x =6k 2k 2+1，即x 1=6k 2k 2+1． ……（12分）所以S △PB 1B 2S △QB 1B 2=|x 0x 1|=|−12k 2k 2+16k 2k 2+1|=2． ……（14分）20．（2018•黄州区校级模拟）如图，从椭圆C ：x 2a 2+y 2b 2=1（a ＞b ＞0）上一点P 向x 轴作垂线，垂足恰为左焦点F ，又点A 是椭圆与x 轴正半轴的交点，点B 是椭圆与y 轴正半轴的交点，且AB ∥OP ，|FA |=2√2+2，（Ⅰ）求C 的方程；（Ⅰ）过F 且斜率不为0的直线l 与C 相交于M ，N 两点，线段MN 的中点为E ，直线OE 与直线x=﹣4相交于点D ，若△MDF 为等腰直角三角形，求l 的方程．【解答】解：（Ⅰ）令x=﹣c ，得y =±b 2a ．所以P (−c ，b 2a )．直线OP 的斜率k 1=−b 2ac ．直线AB 的斜率k 2=−b a ．故b 2ac =b a 解得b=c ，a =√2c ．由已知及|FA |=a +c ，得a +c =2√2+2，所以(1+√2)c =2√2+2，解得c=2．所以，a =2√2，b=2所以C 的方程为x 28+y 24=1．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（5分）（Ⅰ）易得F （﹣2，0），可设直线l 的方程为x=ky ﹣2，A （x 1，y 1），B （x 2，y 2），联立方程组x=ky ﹣2和x 2+2y 2=8，消去x，整理得（k2+2）y2﹣4ky﹣4=0，﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（6分）由韦达定理，得y1+y2=4k2+k2，y1y2=﹣42+k2，所以y1+y22=2k2+k2，x1+x22=k(y1+y2)2−2=﹣42+k2，即C（﹣42+k2，2k2+k2），所以直线OC的方程为y=﹣k2x，令x=﹣4，得y=2k，即D（﹣4，2k），所以直线DF的斜率为2k−0−4+2=﹣k，所以直线DF与l恒保持垂直关系，故若△ADF为等腰直角三角形，只需|AF|=|DF|，﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（10分）即√4+4k2=√(x1+2)2+y12=√(1+k2)y12，解得y1=±2，又x128+y124=1，所以x1=0，所以k=±1，从而直线l的方程为：x﹣y+2=0或x+y+2=0．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（12分）。

第九讲圆锥曲线中弦长和面积问题

∴|AB|＝ 1＋k2|x1－x2| ＝ 1＋k2· （x1＋x2）2－4x1x2 ＝ 2· －85t2－4×4（t25－1）＝452· 5－t2，当 t＝0 时，|AB|max＝4 510.故选 C.
变式训练. 过双曲线 x2－y22＝1 的右焦点作直线 l 交双曲线于 A，B 两点，若使得|AB|＝λ 的直线 l 恰有三条，则 λ＝ 44 ．
(2)若直线 l：y＝kx＋m(k，m 为常数，k≠0)与椭圆 Γ 交于不同的两点 M
和 N. (ⅰ)当直线 l 过 E(1，0)，且E→M＋2E→N＝0 时，求直线 l 的方程；
(ⅱ)当坐标原点 O 到直线 l 的距离为 23，且△ MON 的面积为 23时，求直线 l 的倾斜角．
解析 (1)∵A1(a，0)，B1(0，1)，
∴S△MON＝12×|MN|× 23＝
3 4
3（k2＋1）（9k 2＋1）
（3k 2＋1）2
.
∵△MON 的面积为 23，
由
3 4
3（k2（＋31k）2＋（19）k 22＋1）＝ 23，可得 k＝± 33，
设直线 l 的倾斜角为 θ，则 tan θ＝± 33，由于 0≤θ＜π，∴θ＝π6或 θ＝56π.
解析 ∵使得|AB|＝λ 的直线 l 恰有三条． ∴根据对称性，其中有一条直线与实轴垂直．此时 A，B 的横坐标为 3，代入双曲线方程，可得 y＝±2，故|AB|＝4. ∵双曲线的两个顶点之间的距离是 2，小于 4， ∴过双曲线的焦点一定有两条直线使得交点之间的距离等于 4，综上可知，|AB|＝4 时，有三条直线满足题意．∴λ＝4.
[方法点拨] 求解弦长的 4 种方法 (1)当弦长的两端点坐标易求时，可直接利用两点间的距离公式求解． (2)联立直线与圆锥曲线方程，解方程组求出两个交点坐标，代入两点间的距离公式求解． (3)联立直线与圆锥曲线方程，消元得到关于 x(或 y)的一元二次方程，利用根与系数的关系得到(x1－x2)2，(y1－y2)2，代入两点间的距离公式求解． (4)当弦过焦点时，可结合焦半径公式求解弦长．

圆锥曲线的弦长面积及其范围问题-2021届新高考数学知识点总结与题型归纳(解析版)

第22讲圆锥曲线的弦长面积及其范围问题考点一圆锥曲线的弦长面积(一)弦长问题设圆锥曲线C∶f(x , y)=0与直线l:y=kx+b相交于A(x1 , y1)，B(x2 , y2)两点，则弦长|AB|为：|AB|=2|x1−x2|=√1+k2√(x1+x2)−4x1x2=√1+k2√Δx|a|或|AB|=√1+1k2|y1−y2|=√1+1k2√(y1+y2)−4y1y2=√1+1k2√Δy|a|(二)面积问题1.三角形面积问题直线AB方程：y=kx+m d=|PH|= 00√1+k2SΔABP=12|AB|⋅d=12√1+k2√Δx|a||kx−y+m|√1+k22.焦点三角形的面积直线AB过焦点F2,ΔABF1的面积为SΔABF1=12|F1F2|⋅|y1−y2|=c|y1−y2|=c√Δy|a|圆锥曲线经常用到的均值不等式形式： 1）S =2t t +64=2t+64t（注意分t =0,t >0,t <0三种情况讨论）2）|AB |2=3+12k 29t 4+6k 2+1=3+129k 2+1k2+6≤3+122×3+6当且仅当9k 2=1k 2时，等号成立 3）|PQ|2=34+25⋅25y 029x 02+9⋅9x 0225y 02≥34+2√25⋅25y 029x 02×9⋅9x 0225y 02=64当且仅当25⋅25y 029x 02=9⋅9x 0225y 02时等号成立.4）S =12√12−32m 2⋅√3=12√12m 2(−m 2+8)≤12√12×m 2−m 2+82=√2当且仅当m 2=−m 2+8时，等号成立 5）S =2√2√1+k 2√2k 2−m 12+11+2k 21√1+k 2=4√2√(2k 2−m 12+1)m 121+2k 2≤4√22121221+2k 2=2√2当且仅当2k 2+1=2m 12时等号成立.典例精讲1．已知椭圆的中心在原点，焦点在坐标轴上，离心率为e =，过点(1,2)Q -的直线1与椭圆相交于A ，B 两点，若点Q 是线段AB 的中点，则直线1的斜率为( )A ．2或18B ．2或8C ．12或18D ．12或8【分析】由题意的离心率及a ，b ，c 之间的关系可得a ，b 的关系，设A ，B 的坐标，由题意可得A ，B 的坐标的关系，分焦点在x ，y 轴两种情况讨论，将A ，B 的坐标代入椭圆的方程，作差求出AB 的斜率的表达式，将坐标的关系代入求出斜率的值．【解答】解：由题意可得c e a ==所以2234c a =，由a ，b ，c 之间的关系可得22314b a -=，所以2214b a =，设1(A x ，1)y ，2(B x ，2)y ，由题意可得1212x x+=，1222y y +=-，因为A ，B 在椭圆上，当焦点在x 轴上时，则22112222222211x y a b x y a b ⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩，作差可得22221212220x x y y a b --+=，所以2121221212111428y y x x b x x a y y -+=-=-=-+-；当焦点在y 轴上时，则22112222222211y x a b y x a b ⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩作差可得2222121222y y x x a b --=-，所以21212212121422y y x x a x x b y y -+=-=-=-+-，综上所述直线1的斜率为：2或18，故选：A ．【点评】本题考查求椭圆的方程及由中点坐标作差求直线斜率的方法，属于中档题．2．已知直线l 不过坐标原点O ，且与椭圆C ：x 24+y 23=1相交于不同的两点A ，B ，△OAB 的面积为√3，则|OA |2+|OB |2的值是（） A ．4 B ．7 C ．3 D ．不能确定【分析】由于本题属于选择题，只要计算两个特殊情况，即可，当直线l 的斜率不存在时，设直线l 的方程为x ＝t ，或当直线l 的斜率为0时，设直线l 的方程为y ＝m ，分别求出|AB |的长度，表示出三角形的面积，即可求出|OA |2+|OB |2的值．【解答】解：当直线l 的斜率不存在时，设直线l 的方程为x ＝t ，则t 24+y 23=1，∴y ＝±√3−3t 24，∴|AB |＝2√3−3t 24，∴△OAB 的面积S =12×|t |×2√3−3t 24=√3，解得t 2＝2，∴|OA |2+|OB |2＝2t 2+2（3−3t 24）＝6+12t 2＝7，当直线l 的斜率为0时，设直线l 的方程为y ＝m ，则x 24+m 23=1，∴x ＝±√4−43m 2，∴|AB |＝2√4−43m 2，∴△OAB 的面积S =12×|m |×2√4−43m 2=√3，解得m 2=32，∴|OA |2+|OB |2＝2m 2+2（4−43m 2）＝8−2m 23=7，故|OA |2+|OB |2的值是7，故选：B ．【点评】本题考查了直线和椭圆的位置关系，考查了运算能力和转化能力，属于中档题． 3．已知F 1、F 2分别为椭圆x 22+y 2＝1的左右两个焦点，过F 1作倾斜角为π4的弦AB ，则△F 2AB的面积为（） A ．2√33B ．43 C ．4√33D ．4√23−1【分析】求出直线AB 的方程，代入椭圆方程，求得交点A ，B 的坐标，利用S =12•|F 1F 2|•|y 1﹣y 2|，即可得出S ．【解答】解：椭圆x 22+y 2＝1的左右两个焦点（﹣1，0），过F 1作倾斜角为π4的弦AB ，可得直线AB 的方程为：y ＝x +1，把 y ＝x +1 代入 x 2+2y 2＝2 得3x 2+4x ＝0，解得x 1＝0 x 2=−43，y 1＝1，y 2=−13， ∴S =12•|F 1F 2|•|y 1﹣y 2|=12×2×|1+13|=43．故选：B ．【点评】本题考查了直线与椭圆相交问题、椭圆的标准方程及其性质、三角形的面积计算公式，考查了计算能力，属于中档题．4．设斜率为2的直线l 过抛物线y 2＝ax （a ＞0）的焦点F ，且和y 轴交于点A ，若△OAF （O 为坐标原点）的面积为4，则a 的值为 8 ．【分析】先确定焦点的坐标，进而根据点斜式表示出直线l 的方程，求得A 的坐标，从而表示出三角形的面积建立等式求得a 的值．【解答】解：抛物线y 2＝ax 的焦点坐标（a 4，0），|0F |=a4，直线的点斜式方程 y ＝2（x −a 4），在y 轴的截距是−a2 ∴S △OAF =12×a 4×a2=4∴a 2＝64，∵a ＞0 ∴a ＝8故答案为：8【点评】本题考查抛物线的标准方程，点斜式求直线方程等．考查学生的数形结合的思想的运用和基础知识的灵活运用．5．已知过双曲线22:184x y C -=的左焦点F 的直线l 与双曲线左支交于点A ，B ，过原点与弦AB 中点D 的直线交直线x =E ，若AEF ∆为等腰直角三角形，则直线l 的方程可以为( )A ．(30x y +-+=B ．(30x y -++C ．(30x y +--=D ．(30x y +++=【分析】法一：求出左焦点坐标，设:l x my m =-≠，通过AEF ∆为等腰直角三角形，且AEF ∠为直角，求出直线EF 的方程，求出E 的坐标，设1(A x ，1)y ，有||||EF AF =可得，A 的坐标，然后求解直线方程．法二：求出左焦点坐标，设:l x my m =-≠，代入双曲线C 的方程，消去x ，设1(A x ，1)y ，2(B x ，2)y ，由根与系数的关系，求出D ，得到直线OD 的方程求出E 的坐标．通过||||EF AF =可得，A 的坐标，从而求解直线l 的方程．【解答】解：法一：(F -，则由题意可设:l x my m =-≠，因为若AEF ∆为等腰直角三角形，且AEF ∠为直角，所以直线EF 的方程为：(y m x =-+，令x =，得y =，即()E ．设1(A x ，1)y ，有||||EF AF ==解得1y =．又2211184x y -=，∴1x =，∴(3m =±-，从而直线l 的方程为(30x y +-+=或(30x y --+=．法二：(F -，则由题意可设:l x my m =-≠，代入双曲线C 的方程，消去x ，整理得22(2)40m y --+=．设1(A x ，1)y ，2(B x ，2)y ，由根与系数的关系，得12y y +=，∴122y y +=，1212()22x x m y y ++=-，即D ，∴直线OD 的方程为2my x =．令x =，得y =，即()E ．有||||EF AF =1y =．又2211184x y -=，∴1x =，∴(3m =±-，从而直线l 的方程为(30x y +-+=或(30x y --+=．故选：A ．【点评】本题考查直线与双曲线的位置关系的应用，双曲线的简单性质的应用，考查最值思想以及计算能力，是中档题．考点二圆锥曲线的范围问题(一) 求范围常用方法圆锥曲线中的确定参变量（参数）的取值范围是高考命题的热点，也是我们掌握的一个难点。

专题16 圆锥曲线焦点弦微点3 圆锥曲线焦点弦长公式及其应用

15．过双曲线的右焦点F作倾斜角为的直线，交双曲线于P、Q两点，则的值为__________.
16．过双曲线的右焦点作倾斜角为的直线，交双曲线于两点，则的值为________.
17．过抛物线的焦点作倾角为的直线，与抛物线分别交于、两点（在轴左侧），则 _______________________．
注意：夹角不是直线的倾斜角，而是直线与焦点所在轴的夹角，这样就不需要区的右焦点F作倾斜角为的直线，交双曲线于两点，求弦长．
三、圆锥曲线坐标式焦点弦长公式
1．椭圆的坐标式焦点弦长公式
例9
9．已知椭圆，若过左焦点的直线交椭圆于两点，求．
【结论6】椭圆的坐标式焦点弦长公式：
我们有如下结论：
【结论6】双曲线的坐标式焦点弦长公式：
（1）双曲线的焦点弦长公式：
同支弦；异支弦，统一为：；
（2）双曲线的焦点弦长公式：
同支弦；异支弦，统一为：．
3．抛物线的坐标式焦点弦长公式
由抛物线的定义易得
【结论7】抛物线的坐标式焦点弦长公式：
（1）抛物线的焦点弦长公式：；
（2）抛物线的焦点弦长公式：；
说明：特殊情形，当倾斜角为时，即为椭圆的通径，通径长．
2．双曲线的倾斜角式焦点弦长公式
例2
2．设双曲线，其中两焦点坐标为，过的直线的倾斜角为，交双曲线于，两点，求弦长．
可得如下结论2：
【结论2】双曲线的倾斜角式焦点弦长公式：
（1）为双曲线的左、右焦点，过倾斜角为的直线与双曲线交于两点，则．
专题16 圆锥曲线焦点弦微点3 圆锥曲线焦点弦长公式及其应用
专题16圆锥曲线焦点弦

高中数学《圆锥曲线中的面积问题》基础知识及练习题(含答案解析)

高中数学《圆锥曲线中的面积问题》基础知识及练习题（含答案解析）一、基础知识：1、面积问题的解决策略：（1）求三角形的面积需要寻底找高，需要两条线段的长度，为了简化运算，通常优先选择能用坐标直接进行表示的底（或高）。

（2）面积的拆分：不规则的多边形的面积通常考虑拆分为多个三角形的面积和，对于三角形如果底和高不便于计算，则也可以考虑拆分成若干个易于计算的三角形2、多个图形面积的关系的转化：关键词“求同存异”，寻找这些图形的底和高中是否存在“同底”或“等高”的特点，从而可将面积的关系转化为线段的关系，使得计算得以简化3、面积的最值问题：通常利用公式将面积转化为某个变量的函数，再求解函数的最值，在寻底找高的过程中，优先选择长度为定值的线段参与运算。

这样可以使函数解析式较为简单，便于分析4、椭圆与双曲线中焦点三角形面积公式（证明详见“圆锥曲线的性质”）（1）椭圆：设P 为椭圆()222210x y a b a b+=>>上一点，且12F PF θ∠=，则122tan2PF F Sb θ=（2）双曲线：设P 为椭圆()22221,0x y a b a b−=>上一点，且12F PF θ∠=，则1221cot2PF F Sb θ=⋅二、典型例题：例1：设12,F F 为椭圆2214x y +=的左右焦点，过椭圆中心任作一直线与椭圆交于,P Q 两点，当四边形12PFQF 的面积最大时，12PF PF ⋅的值等于___________思路：由椭圆中心对称的特性可知,P Q 关于原点中心对称，所以12PF F 与12QF F 关于原点对称，面积相等。

且四边形12PFQF 可拆成12PF F 与12QF F 的和，所以四边形12PFQF 的面积最大即12PF F 面积最大，因为121212PF F p p SF F y c y =⋅=⋅，所以当p y 最大时，12PF F 面积最大。

即P 位于短轴顶点时，12PF F 面积最大。

（完整版）圆锥曲线知识点+例题+练习含答案（整理）.docx

（完整版）圆锥曲线知识点+例题+练习含答案（整理）.docx圆锥曲线⼀、椭圆：（ 1）椭圆的定义：平⾯内与两个定点F1 , F2的距离的和等于常数（⼤于| F1 F2 |）的点的轨迹。

其中：两个定点叫做椭圆的焦点，焦点间的距离叫做焦距。

注意： 2a | F1F2 | 表⽰椭圆；2a | F1F2|表⽰线段F1F2； 2a| F1F 2 |没有轨迹；（2）椭圆的标准⽅程、图象及⼏何性质：中⼼在原点，焦点在x 轴上中⼼在原点，焦点在y 轴上标准⽅程图形x2y2y2x2a2b 21( a b 0)a 2b21(ab 0)yB 2yB 2P F2 PA 1 A 2x A 1xA 2OF1O F21B 1FB 1顶点对称轴焦点焦距离⼼率通径2b2aA1 (a,0), A2 (a,0)A1( b,0), A2 (b,0)B1 (0, b), B2(0, b)B1( 0,a), B2 (0, a) x 轴，y轴；短轴为2b，长轴为2aF1 (c,0), F2(c,0)F1 ( 0,c), F2 (0,c)| F1 F2 | 2c(c 0)c2 a 2 b 2(0 e 1) （离⼼率越⼤，椭圆越扁）a（过焦点且垂直于对称轴的直线夹在椭圆内的线段）3．常⽤结论：（1）椭圆x2y21(a b 0) 的两个焦点为F1, F2，过F1的直线交椭圆于A, B两a2 b 2点，则ABF 2的周长=（2）设椭圆x2y2221( a b 0)左、右两个焦点为 F1, F2，过 F1且垂直于对称轴的直线a b交椭圆于 P, Q 两点，则 P, Q 的坐标分别是| PQ |⼆、双曲线：（ 1）双曲线的定义：平⾯内与两个定点F1 , F2的距离的差的绝对值等于常数（⼩于| F1F2 | ）的点的轨迹。

其中：两个定点叫做双曲线的焦点，焦点间的距离叫做焦距。

注意： | PF1 || PF2 | 2a 与 | PF2 | | PF1 |2a （ 2a| F1F2 | ）表⽰双曲线的⼀⽀。

高考数学一轮复习专题03 圆锥曲线面积问题(解析版)

F 2F 1OyxBA解析几何专题三：圆锥曲线面积问题一、知识储备 1、三角形面积问题直线AB 方程：y kx m =+ 0021kx y md PH k-+==+00002211122'2'1ABP kx y m kx y mS AB d k A A k ∆-+∆-+∆=⋅=+⋅=+2、焦点三角形的面积直线AB 过焦点21,F ABF ∆的面积为 112121212'ABF c S F F y y c y y A ∆∆=⋅-=-= 2222222222222224()11||S =||d 22AOB a b a A b B C C AB A B a A b B A B∆+-=+++2222222222()C ab a A b B C a A b B+-=+注意：'A 为联立消去x 后关于y 的一元二次方程的二次项系数3、平行四边形的面积直线AB 为1y kx m =+，直线CD 为2y kx m =+ 1221m m d CH k-==+222222121212''11()41()41'''B C AB k x x k x x x x k k A A A ∆=+-=++-=+--⋅=+1212221''1ABCDm m m m SAB d k A A k -∆-∆=⋅=+⋅=+注意：'A 为直线与椭圆联立后消去y 后的一元二次方程的系数. 4、范围问题首选均值不等式，其实用二次函数，最后选导数CDHOyxBA均值不等式 222(,)a b ab a b R +≥∈变式：2,);()(,)2a b a b a b R ab a b R ++++≥∈≤∈ 作用：当两个正数的积为定值时求出这两个正数的和的最小值；当两个正数的和为定值时求出这两个正数的积的最大值注意：应用均值不等式求解最值时，应注意“一正二定三相等” 圆锥曲线经常用到的均值不等式形式列举：（1）2226464t S t t t==++（注意分0,0,0t t t =><三种情况讨论）（2）224222121212333196123696k AB t k k k=+=+≤+++⨯+++ 当且仅当2219k k =时，等号成立（3）222002200259342593464925y x PQ x y =+⋅+⋅≥+= 当且仅当22002200259259925y x x y ⋅=⋅时等号成立. （4）2282m m S -+===当且仅当228m m =-+时，等号成立(5)2221121k m m S -++==≤=当且仅当221212k m +=时等号成立. 二、例题讲解1．（2022·广东高三月考）已知椭圆G ：()222210x y a b a b +=>>，且过点()3,1．（1）求椭圆G 的方程；（2）斜率为1的直线l 与椭圆G 交于A 、B 两点，以AB 为底边作等腰三角形，顶点为()3,2P -，求PAB ∆的面积．【答案】（1）221124x y +=；（2）92.【分析】（1）根据椭圆离心率、及所过的点，结合椭圆参数关系求参数，写出椭圆方程.（2）设1122(,),(,)A x y B x y ，AB ：y x b =+，其线段AB 中垂线为1y x =--，联立椭圆方程并应用韦达定理求12x x +、12x x ，进而可得12y y +，由AB 中点在中垂线上代入求参数b ，进而求||AB 、P 到AB 的距离，即可求△PAB 的面积．【详解】（1）由题意，22222911a b a b c c e a ⎧==⎪⎪⎪+⎨==+⎪⎪⎪⎩，解得22124a b ⎧=⎪⎨=⎪⎩，故椭圆G 的方程221124x y+=.（2）令AB 为y x b =+，则AB 中垂线方程为(3)21y x x =-++=--，联立AB 与椭圆方程得：223()12x x b ++=，整理得22463120x bx b ++-=，若1122(,),(,)A x y B x y ，则1232b x x +=-，2123124b x x -=， △121222by y x x b +=++=，又1212(,)22x x y y ++在AB 中垂线上，△3144b b-=，可得2b =，即123x x +=-，120x x =，△||AB == 又()3,2P -到AB的距离d △19||PABSAB d =⋅=. 2．（2022·全国高三模拟预测）已知双曲线C ：22221x ya b -=()0,0a b >>的左､右焦点分别为1F ，2F ，虚轴上､下两个端点分别为2B ，1B ，右顶点为A ，且双曲线过点，22213B F B A ac a ⋅=-.（1）求双曲线1C 的标准方程；（2）设以点1F 为圆心，半径为2的圆为2C ，已知过2F 的两条相互垂直的直线1l ，2l ，直线1l 与双曲线交于P ，Q 两点，直线2l 与圆2C 相交于M ，N 两点，记PMN ∆，QMN ∆的面积分别为1S ，2S ，求12S S +的取值范围.【答案】（1）2213y x -=；（2）[)12,+∞.【分析】（1）由22213B F B A ac a ⋅=-得223a b =，由双曲线过点得22231a b -=，两个方程联立求出a 和b ，可得双曲线1C 的标准方程；（2）设直线1l ：2x my =+，根据垂直关系得直线2l ：()2y m x =--，求出弦长||MN 和||PQ ，求出121||||2S S MN PQ +=，再根据参数的范围可求出结果. 【详解】（1）由双曲线的方程可知(),0A a ，()10,B b -，()20,B b ，()2,0F c ，则()22,B F c b =-，()1,B A a b =.因为22213B F B A ac a ⋅=-，所以223ac b ac a -=-，即223a b =.①又双曲线过点，所以22231a b -=.② 由①②解得1a =，b = 所以双曲线1C 的标准方程为2213y x -=. （2）设直线1l ：2x my =+，()11,P x y ，()22,Q x y ，则由21l l ⊥，得直线2l ：()2y m x =--，即20mx y m +-=. 因为圆心()12,0F -到直线MN的距离d ==所以MN =2d <，故2103m ≤<. 联立221,32,y x x my ⎧-=⎪⎨⎪=+⎩消去x 得()22311290m y my -++=， ()222144363136(1)0m m m ∆=--=+>，则1221231m y y m +=--，122931y y m =-，所以()22126113m PQ y m +=-=-，则1212S S PQ MN +=⋅=，又2103m ≤<，所以[)1212,S S +∈+∞. 即12S S +的取值范围为[)12,+∞. 【点睛】关键点点睛：设直线1l ：2x my =+，用m 表示||MN 和||PQ 是本题的解题关键.3．（2022·浙江高三开学考试）如图，已知抛物线()2:20C y px p =>的焦点为()1,0F ，D 为x 轴上位于F 右侧的点，点A 为抛物线C在第一象限上的一点，且AF DF =，分别延长线段AF 、AD 交抛物线C 于M 、N .（1）若AM MN ⊥，求直线AF 的斜率；（2）求三角形AMN 面积的最小值. 【答案】（1（2）16.【分析】（1）由抛物线的焦点坐标求出p 的值，可得出抛物线C 的方程，设点()2,2A t t ，可知0t >，求出M 、N 的纵坐标，利用斜率公式结合已知条件得出1AM MN k k ⋅=-，可得出关于t 的方程，解出正数t 的值，进而可求得直线AF 的斜率；（2）求出点M 、N 的坐标，求得AM 以及点N 到直线AM 的距离d ，可求得AMN 的面积关于t 的表达式，利用基本不等式可求得AMN 面积的最小值. 【详解】（1）()1,0F ，则12p=，得2p =，所以，抛物线C 的方程为24y x =，设()2,2A t t ，点A 为抛物线C 在第一象限上的一点，故0t >，设点(),0D d ，由AF DF =得211t d +=-，则22d t =+，得()22,0D t +，所以，221AMt k t =-，直线AM 的方程为2112t x y t-=+，联立224112y xt x y t ⎧=⎪⎨-=+⎪⎩，得222240t y y t ---=，所以，42M A y y t -==-，进一步得()2222AN AD tk k t t t ===--+，直线AN 的方程为212x y t t=-++，联立22124x y t t y x⎧=-++⎪⎨⎪=⎩，得()224420y y t t +-+=，4N A y y t ∴+=-，则42N y t t=--，又AM MN ⊥，22224414444A M M N A M M N AM MN A M M N A M M N A M M Ny y y y y y y y k k y y y y x x x x y y y y ----∴⋅=⋅=⋅=⋅=---++--，代入得44122422t tt t t⋅=-----，化简得：42230t t --=，又0t >，t ∴=(3,A，AF k ∴==（2）由（1）知224,2N t t t t ⎛⎫⎛⎫+-- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，212,M t t ⎛⎫- ⎪⎝⎭， ()222221122A M t AM x x t tt+=++=++=，直线AM 的方程2112t x y t-=+即为()22120tx t y t ---= 所以点N 到直线AM 的距离为()()()222221211t t d tt t++==+，()332331122216AMN t S t t t +⎛⎛⎫==+≥= ⎪ ⎝⎭⎝△，当且仅当1t =时，S 取到最小值16. 【点睛】方法点睛：圆锥曲线中的最值问题解决方法一般分两种：一是几何法，特别是用圆锥曲线的定义和平面几何的有关结论来求最值；二是代数法，常将圆锥曲线的最值问题转化为二次函数或三角函数的最值问题，然后利用基本不等式、函数的单调性或三角函数的有界性等求最值．1．（2022·江苏南京·高三月考）已知抛物线1G ：24y x =与椭圆2G ：22221x y a b+=（0a b >>）有公共的焦点，2G 的左、右焦点分别为1F ，2F ，该椭圆的离心率为12．（1）求椭圆2G 的方程；（2）如图，若直线l 与x 轴，椭圆2G 顺次交于P ，Q ，R （P 点在椭圆左顶点的左侧），且1PFQ ∠与1PF R ∠互补，求1F QR ∆面积S 的最大值．【答案】（1）22143x y +=．（2【分析】（1）由已知条件推导出1c =，结合12e =和隐含条件222a b c =+，即可求出椭圆标准方程；（2）设1(Q x ，1)y ，2(R x ，2)y ，(1,0)F -，1PFQ ∠与1PF R ∠互补，可得110QF RF k k +=，根据已知条件，结合韦达定理、点到距离公式和均值不等式，即可求解．【详解】解：（1）由题意可得，抛物线的焦点为(1,0)，∴椭圆的半焦距1c =，又椭圆的离心率为12，∴12c e a ==，即2a =， 222a b c =+，222413b a c ∴=-=-=，即b =∴椭圆2C 的方程为22143x y +=．（2）设1(Q x ，1)y ，2(R x ，2)y ，(1,0)F -，1PFQ ∠与1PF R ∠互补，∴110QF RF k k +=， ∴1212011y yx x +=++，化简整理，可得1222110x y y x y y +++=①，设直线PQ 为(0)x my n m =+≠，联立直线与椭圆方程22143x my n x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩，化简整理，可得222(34)63120m y mny n +++-=，∆222224364(34)(312)0b ac m n m n =-=-+->，可得2234n m <+②，由韦达定理，可得21212226312,3434mn n y y y y m m -+=-=++③，将11x my n =+，22x my n =+代入①，可得12122(1)()0my y n y y +++=④，再将③代入④，可得2226(4)6(1)3434m n mn n m m -+=++，解得4n =-，PQ ∴的方程为4x my =-，由点(1,0)F -到直线PQ的距离d =，11||2F QRSQR d =⋅= 由②可得，23416m +>，即24m >，设()f m =24m t -=，0t >，()f t ∴= 由均值不等式可知，25625692996t t t t+⋅=，当且仅当2569t t =时，即163t =，等号成立，当2569t t+取最小值时，()f t 取最大值，即1FQR 面积S 最大，∴()18max f t =， ∴△1FQR 面积S2．（2022·重庆市第十一中学校高三月考）已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的焦距为点与右焦点的连线构成正三角形．（△）求椭圆C 的标准方程；（△）设过点(0,2)P -的动直线l 与椭圆C 相交于M ,N 两点，当OMN ∆的面积最大时，求l 的方程．【答案】（△）2214x y +=；（△）2y -或2y =-．【分析】（△）由题意知，c =c a =222b a c =-，即可求得椭圆的方程；（△）设直线:2l y kx =-，()11,M x y ，()22,N x y ，联立22214y kx x y =-⎧⎪⎨+=⎪⎩，整理得()221416120k x kx +-+=，利用韦达定理，弦长公式结合OMN的面积公式得到OMNS =，利用换元结合基本不等式求解. 【详解】（△）由题意知，c =cos 6c a π==， 2a ∴=，2221b a c =-=所以椭圆的方程为2214x y +=．（△）当l x ⊥轴时不合题意，由题意设直线:2l y kx =-，()11,M x y ，()22,N x y ．联立22214y kx x y =-⎧⎪⎨+=⎪⎩，整理得()221416120k x kx +-+=．当()216430k ∆=->，即234k >，且1221614k x x k +=-+，1221214x x k =+．从而12||MN x-=．又点O 到直线MN的距离d =所以OMN 的面积1||2OMNSd MN =⋅=t ，则0t >，24444OMNt St t t==++．因为44t t +≥，当且仅当2t =，即2k =±时等号成立，且满足0∆>．所以，当OMN 的面积最大时，直线l的方程为2y x =-或2y x =-．【点睛】思路点睛：解决直线与椭圆的综合问题时，要注意：（1）注意观察应用题设中的每一个条件，明确确定直线、椭圆的条件；（2）强化有关直线与椭圆联立得出一元二次方程后的运算能力，重视根与系数之间的关系、弦长、斜率、三角形的面积等问题．3．（2022·全国高三月考）已知椭圆()2222:10x y E a b a b+=>>的左､右焦点分别是()1F和)2F ，点Р在椭圆E 上，且12PF F △的周长是4+ （1）求椭圆E 的标准方程；（2）已知、、A B C 为椭圆E 上三点，若有0OA OB OC ++=，求ABC ∆的面积. 【答案】（1）2214x y +=；（2【分析】（1）根据题设条件和椭圆的定义得到12124PF PF F F ++=+124PF PF +=，得到2a =，进而求得21b =，即可求得椭圆的方程；()2当直线AB 斜率存在时，设AB 方程为：y kx m =+，联立方程组求得1212,x x x x +，根据0OA OB OC ++=，求得2282(,)1414km m C k k -++，结合点到直线的距离公式和面积公式，求得3332ABCOABS S=⋅=；当直线AB 斜率不存在时，得到直线AB 方程为1x =±，求得332ABCABOS S==. 【详解】（1）由题意，双曲线2222:1xy E a b+=的焦点()1F 和)2F ，可得12F F =因为12PF F △的周长是4+12124PF PF F F ++=+所以124PF PF +=，即24a =，可得2a =，又由222431b a c =-=-=，所以椭圆E 的方程是2214x y +=.()2当直线AB 斜率存在时，设AB 方程为：y kx m =+，()()()112233,,,,,A x y B x y C x y ，联立方程组2214x y y kx m ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩，整理得2221484()40k x kmx m +++-=，则22212122284416(41)0,,1414km m k m x x x x k k -∆=-+>+=-=++ 由0OA OB OC ++=，可得12312300x x x y y y ++=⎧⎨++=⎩，又由122814kmx x k +=-+，可得()12121222214m y y kx m kx m k x x m k +=+++=++=+ 所以332282,1414km m x y k k ==-++，将()33,x y 代入椭圆方程可得222282441414km m k k ⎛⎫⎛⎫+-= ⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭，整理得22414m k =+，又O 到直线AB的距离为d =则()2112OABSk =⋅+= 又由0OA OB OC ++=，可得点O 为ABC 的重心，所以3332ABCOABS S=⋅=；当直线AB 斜率不存在时，根据坐标关系可得，直线AB 方程为1x =±，可得AB112ABOS ==所以13312ABC ABOSS==⨯综上可得：ABC S △. 【点睛】直线与圆锥曲线的综合问题的求解策略：对于直线与圆锥曲线的位置关系的综合应用问题，通常联立直线方程与圆锥曲线方程，应用一元二次方程根与系数的关系，以及弦长公式等进行求解，此类问题易错点是复杂式子的变形能力不足，导致错解，能较好的考查考生的逻辑思维能力、运算求解能力．4．（2022·榆林市第十中学高三月考（理））已知1F ，2F 分别是椭圆()2222:10x yE a b a b+=>>的左，右焦点，126F F =，当P 在E 上且1PF 垂直x 轴时，217PF PF =.（1）求E 的标准方程；（2）A 为E 的左顶点，B 为E 的上顶点，M 是E 上第四象限内一点，AM 与y 轴交于点C ，BM 与x 轴交于点D .（i ）证明：四边形ABDC 的面积是定值. （ii ）求CDM 的面积的最大值.【答案】（1）221123x y +=；（2）（i ）证明见解析；（ii ）())max 31CDM S =△.【分析】（1）由通径长公式得21b PF a=，结合椭圆定义可得,a b 关系，再由3c =求得,a b ，得椭圆方程；（2）（i ）由题意知()A -，(B ，设(),M m n ，()0,C t ，(),0D s ，由三点共线把,s t 用,m n 表示，然后计算四边形面积可得结论；（ii ）由（i ）只要ABM 面积最大即可，求出椭圆的与AB 平行的切线方程，切点即为M （注意有两个切点，需要确定其中一个），从而得面积最大值．【详解】解：（1）由题意知21b PF a=，212PF PF a +=，217PF PF =，则182PF a =，得2a b =，又3c =，222a b c =+，解得2a b == 所以E 的标准方程是221123x y +=.（2）（i ）由题意知()A -，(B ，设(),M m n ，()0,C t ，(),0D s ，因为A ，C ，M 三点共线，则AC AM λ=，解得t =B ，D ，M 三点共线，则BD BM μ=，解得s =，AD s =+BC t =，221123m n +=，66AD BC st ⋅--+==6612m n +==. 162ABDC S AD BC =⋅=. （ii ）因为CDM ABM ABDC S S S =-四边形△△，所以当ABM S △最大时，CDMS 最大.1:2AB l y x =AB 平行的直线()1:02l y x p p =+<，与221123x y +=联立，消y 得222260x px p ++-=，()2244260pp ∆=--=，解得p =p =（舍去），两平行线AB l ，l间的距离25d =，())max1312ABM S AB d =⋅=△，则())max 31CDM S =△.5．（2022·山西祁县中学高三月考（理））在平面直角坐标系xOy 中，已知(1,0)F ，动点P 到直线6x =的距离等于2||2PF +.动点P 的轨迹记为曲线C . （1）求曲线C 的方程；（2）已知(2,0)A ，过点F 的动直线l 与曲线C 交于B ，D 两点，记AOB ∆和AOD ∆的面积分别为1S 和2S ，求12S S +的最大值．【答案】（1）221123x y +=；（2）3.【分析】（1）设点P (x ，y )，再根据动点P 到直线x ＝6的距离等于2|PF |＋2列出方程化简即可；（2）设直线l 的方程为x ＝my ＋1，联立直线与（1）中所得的椭圆方程，得出韦达定理，再得出S 1＋S 2＝12|OA ||y 1－y 2|关于m 的表达式，换元求解最值即可【详解】(1)设点P (x ，y )，当6x ≥时，P 到直线x ＝6的距离显然小于PF ，故不满足题意；故()62,6x x -=<，即4x -=整理得3x 2＋4y 2＝12，即24x ＋23y ＝1.故曲线C 的方程为24x ＋23y ＝1.(2)由题意可知直线l 的斜率不为0，则可设直线l 的方程为x ＝my ＋1，B (x 1，y 1)，D (x 2，y 2)．联立221143x my x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩，，整理得(3m 2＋4)y 2＋6my －9＝0，Δ>0显然成立，所以y 1＋y 2＝－2634m m +，y 1y 2＝－2934m +，所以|y 1－y 2|故S 1＋S 2＝12|OA ||y 1|＋12|OA ||y 2|＝12|OA ||y 1－y2|.设t t ≥1，则m 2＝t 2－1，则S 1＋S 2＝21231tt +＝1213t t+. 因为t ≥1，所以3t ＋1t≥4(当且仅当t ＝1时，等号成立)．故S 1＋S 2＝1213t t+≤3，即S 1＋S 2的最大值为3.6．（2022·西藏拉萨中学高三月考（理））（1）一动圆过定点(1,0)A ，且与定圆22:(1)16C x y ++=相切，求动圆圆心的轨迹E 的方程．（2）直线l 经过点A 且不与x 轴重合，l 与轨迹E 相交于P 、Q 两点，求CPQ ∆的面积的最大值．【答案】（1）22143x y +=；（2）3. 【分析】（1）设动圆圆心为(),M x y ，半径为R ．由与定圆22:(1)16C x y ++=相切，且点A 的圆C 内，由||44||MC R MA =-=-，即||||4MC MA +=，利用椭圆的定义求解；（2）设l 的方程为：1x my -=，代入22143x y +=，由121||2CPQSCA y y =⋅-，结合韦达定理求解. 【详解】（1）设动圆圆心为(),M x y ，半径为R ．定圆C 的圆心(1,0)C -，半径为4. 点A 的圆C 内．||44||||||4MC R MA MC MA ∴=-=-∴+=，且4AC > ，∴轨迹E 是以C 、A 为焦点，长轴长为4的椭圆，所以椭圆方程为：22143x y +=. （2）设l 的方程为：1x my -=，代入22143x y +=，得()2234690m y my ++-=，设()()1122,,P x y Q x y ⋅，则122634m y y m -+=+，122934y y m -=+，121||2CPQSCA y y =⋅-，=令21(1)t m t =+，则1212CPQS=1()9f t t t=+在[1,)+∞为增函数1t ∴=，即0m =时，CPQ S △取最大值3.7．（2022·山东高三模拟预测）已知双曲线C ：()222210,0x y a b a b-=>>的右焦点F 与抛物线28y x =的焦点重合，一条渐近线的倾斜角为30o ．（1）求双曲线C 的方程；（2）经过点F 的直线与双曲线的右支交与,A B 两点，与y 轴交与P 点，点P 关于原点的对称点为点Q ，求证：QABS>【答案】（1）2213x y -=；（2）证明见解析．【分析】（1）由题意可得2c =，o tan 30b a ==222c a b =+可求出22,a b ，从而可求出双曲线C 的方程；（2）由题意知直线的斜率存在，设直线方程为：()2y k x =-，可得()02P k -，，()02Q k ，，将直线方程与双曲线方程联立方程组，消去y ，利用根与系数的关系，从而可表示出()()2222248131QABk k Sk +=-，再由直线与双曲线的右支交与,A B 两点，可得231k >，则2310t k =->，代入上式化简可求得结果【详解】解：（1）由题意得2c =，o tan 30b a ==222c a b =+ 解得2231a b ==，所以双曲线C 的方程为：2213x y -=（2）由题意知直线的斜率存在，设直线方程为：()2y k x =-，得()02P k -，，()02Q k ，，设()11A x y ，，()22B x y ，，联立()22132x y y k x ⎧-=⎪⎨⎪=-⎩，整理可得()222231121230k x k x k --++=21221231k x x k +=-，212212331k x x k +⋅=- 所以1212QABQPB QPASSSPQ x x =-=-122k x x =- 所以()()2222221212224123124443131QABk k Sk x x x x k k k ⎡⎤+⎛⎫⎡⎤⎢⎥=+-=- ⎪⎣⎦--⎢⎥⎝⎭⎣⎦2()()222248131k k k+=-直线与双曲线右支有两个交点，所以22121222121230,03131k k x x x x k k ++=>⋅=>-- 所以231k >，设2310t k =->，()2221111645334813QABt t St t t ++⎛⎫⋅+⎪⎛⎫⎝⎭==++ ⎪⎝⎭2641564251633383643t ⎛⎫=+->⨯-=⎪⎝⎭所以QAB S >【点睛】关键点点睛：此题考查双曲线方程的求法，考查直线与双曲线的位置关系，解题的关键是将直线方程与双曲线方程联立后，利用根与系数的有关系，从而可表示出()()2222248131QABk k S k+=-，再结合231k >，换元后求其最小值即可，考查计算能力，属于中档题 8．（2022·全国高三专题练习）已知双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b -=>>的两个焦点分别为()12,0F -，()22,0F，点(P 在双曲线C 上．（1）求双曲线C 的方程；（2）记O 为坐标原点，过点()0,2Q 的直线l 与双曲线C 交于不同的两点A ，B ，若OAB ∆的面积为求直线l 的方程．【答案】（1）22122x y -=；（2）2y =+和2y =+．【分析】（1）根据焦点坐标，可得2c =，所以224a b +=，代入双曲线方程，可得()222221044x y a a a-=<<-，将P 点坐标代入，即可求得a 值，即可得答案；（2）设直线l 的方程为2y kx =+，与双曲线C 联立，可得关于x 的一元二次方程，利用韦达定理，可得1212,x x x x +的表达式，代入弦长公式，即可求得AB ，根据点到直线的距离公式，可求得原点到直线l 的距离d ，代入面积公式，结合题意，即可求得k 的值，即可得答案. 【详解】（1）依题意，2c =，所以224a b +=，则双曲线C 的方程为()222221044x y a a a-=<<-，将点P 代入上式，得22252314a a -=-，解得250a =(舍去)或22a =，故所求双曲线的方程为22122x y -=．（2）依题意，可设直线l 的方程为2y kx =+，代入双曲线C 的方程并整理，得()221460k x kx ---=．因为直线l 与双曲线C 交于不同的两点,A B ，所以()22210(4)2410k k k ⎧-≠⎪⎨-+->⎪⎩，解得1k k ≠±⎧⎪⎨<⎪⎩(*) 设()()1122,,,A x y B x y ，则12122246,11k x x x x k k +==---，所以||AB =又原点O 到直线l 的距离d =所以11||22OABSd AB =⋅==．又OABS=1=，所以4220k k --=，解得k =(*)．故满足条件的直线l 有两条，其方程分别为2y =+和2y =+．【点睛】解题的关键是熟练掌握弦长公式、点到直线的距离公式等知识，并灵活应用，易错点为：解得k 值，需检验是否满足判别式0∆>的条件，考查计算化简的能力，属中档题.9．（2022·全国高三专题练习）已知双曲线22:1164x y C -=的左、右焦点分别为1F ，2F ．（1）求与双曲线C 有共同渐近线且过点()2,3的双曲线标准方程；（2）若P 是双曲线C 上一点，且12150F PF ∠=︒，求12F PF △的面积．【答案】（1）221832y x -=；（2）8-【分析】（1）根据题意，设所求双曲线方程为22(0)164x y k k -=≠，代入点()2,3，求得k 值，即可得答案；（2）不妨设P 在C 的右支上，根据双曲线定义，可得1228PF PF a -==，根据方程可得12F F 的值，在12F PF △中，利用余弦定理可得12PF PF 的值，代入面积公式，即可求得答案. 【详解】（1）因为所求双曲线与22:1164x y C -=共渐近线，所以设该双曲线方程为22(0)164x y k k -=≠，又该双曲线过点()2,3，所以49164k -=，解得k =-2，所以所求双曲线方程为：221832y x -=（2）不妨设P 在C 的右支上，则1228PF PF a -==，122F F c == 在12F PF △中，2222121212121212()280cos15022PF PF F F PF PF PF PF PF PF PF PF +--+-︒===解得1232PF PF =- 所以12F PF △的面积1212111sin (328222F P S F PF PF ∠==⨯-⨯=-【点睛】解题的关键是：掌握共渐近线的双曲线方程的设法，即与22221x y a b-=共渐近线的方程可设为：2222(0)x y k k a b -=≠；与22221x y a b -=共焦点的方程可设为：22221x y a b λλ-=+-，再代入点求解即可，考查分析计算的能力，属中档题.10．（2022·浙江高三开学考试）已知抛物线T ：()22y px p N +=∈和椭圆C ：2215x y +=，过抛物线T 的焦点F 的直线l 交抛物线于A ，B 两点，线段AB 的中垂线交椭圆C 于M ，N 两点．（1）若F 恰是椭圆C 的焦点，求p 的值；（2）若MN 恰好被AB 平分，求OAB 面积的最大值．【答案】（1）4p =；（2【分析】（1）根据椭圆方程求出椭圆的焦点坐标，再根据F 恰是椭圆C 的焦点，即可得出答案；（2）设直线l ：2p x my =+，()()()()11223344,,,,,,,A x y B x y M x y N x y ，联立222p x my y px⎧=+⎪⎨⎪=⎩，求得AB 的中点坐标，根据因为MN 恰好被AB 平分，则直线MN 的斜率等于m -，再根据点差法求得直线MN 的斜率，求得2m ，根据由AB 的中点在椭圆内，求得p 的最大值，从而可求得OAB 面积的最大值．【详解】解：（1）在椭圆中，2224c a b =-=，所以2c =，因为F 恰是椭圆C 的焦点，所以22p=，所以4p =；（2）设直线l ：2px my =+，()()()()11223344,,,,,,,A x y B x y M x y N x y ，联立222p x my y px ⎧=+⎪⎨⎪=⎩，得2220y mpy p --=，则212122,y y mp y y p +=⋅=-，则2122x x m p p +=+，故AB 的中点坐标为2,2p m p mp ⎛⎫+ ⎪⎝⎭，又因为MN 恰好被AB 平分，则2342x x m p p +=+，342y y mp +=，直线MN 的斜率等于m -，将M 、N 的坐标代入椭圆方程得：223315x y +=，224415x y +=，两式相减得：()()()()3434343405x x x x y y y y +-++-=，故234342110y y m x x m-+=--，即直线MN 的斜率等于22110m m+-，所以22110m m m+-=-，解得218m =，由AB 的中点在椭圆内，得2222()15p m p mp ⎛⎫+ ⎪⎝⎭+<，解得26413p <，因为p Z ∈，所以p 的最大值是2，12y y -== 则OAB面积212122p S y y p =⨯-==≤，所以，当2p =时，OAB ． 11．（2022·普宁市第二中学高三月考）在平面直角坐标系xOy 中，原点为O ，抛物线C 的方程为24x y =，线段AB 是抛物线C 的一条动弦．（1）求抛物线C 的准线方程；（2）求=4OA OB ⋅-，求证：直线AB 恒过定点；（3）过抛物线的焦点F 作互相垂直的两条直线1l 、2l ，1l 与抛物线交于P 、Q 两点，2l 与抛物线交于C 、D 两点，M 、N 分别是线段PQ 、CD 的中点，求FMN 面积的最小值．【答案】（1）准线方程：1y =-；（2）直线AB 恒过定点()0,2，证明见解析；（3）4．【分析】（1）由焦点在y 轴正半轴上，且2p =，即可得准线方程；（2）设直线AB 方程为y kx b =+，与抛物线方程联立由韦达定理和向量数量积的坐标运算，解方程可得b 的值，即可得所过的定点；（3）设1l 的方程为1y kx =+，()33,P x y ，()44,Q x y ，与抛物线方程联立，运用韦达定理和中点坐标公式求M 、N 两点坐标，由两点间距离公式求FM 、FN 的长，再计算12FMN SFM FN ，由基本不等式求最值即可求解.【详解】（1）由24x y =可得：2p =，焦点为()0,1F ，所以准线方程：1y =-，（2）设直线AB 方程为y kx b =+，()11,A x y ，()22,B x y由24y kx b x y=+⎧⎨=⎩得2440x kx b --=，所以124x x k +=，124x x b =-，222121212124416x x OA OB x x y y x x b b ⋅=+=+=-+=-，即2440b b -+=，解得：2b =所以直线2y kx =+过定点()0,2（3）()0,1F ，由题意知直线1l 、2l 的斜率都存在且不为0，设直线1l 的方程为1y kx =+，()33,P x y ，()44,Q x y ，则直线2l 的方程为11y x k=-+，由241x y y kx ⎧=⎨=+⎩得2440x kx --=，所以344x x k +=，344x x =-，所以()34122M x x x k =+=，2121M M y kx k =+=+，所以()22,21M k k + 用1k -替换k 可得2N x k =-，221N y k =+，所以222,1N k k⎛⎫-+ ⎪⎝⎭，所以12FMN S FM FN ====224≥=⨯=，当且仅当221k k =即1k =±时，等号成立，所以FMN 的面积取最小值4．【点睛】方法点睛：解决圆锥曲线中的范围或最值问题时，若题目的条件和结论能体现出明确的函数关系，则可先建立目标函数，再求这个函数的最值．在利用代数法解决最值与范围问题时常从以下几个方面考虑：①利用判别式构造不等关系，从而确定参数的取值范围；②利用已知参数的范围，求出新参数的范围，解题的关键是建立两个参数之间的等量关系；③利用基本不等式求出参数的取值范围；④利用函数值域的求法，确定参数的取值范围．。

圆锥曲线.03圆锥曲线地弦长面积问题.知识讲解及练习(最新整理)

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9 x02
25 y02
（4） S 1 12 3 m2 m 1 1 m2 (m2 8) 1 1 m2 m2 8 2
2
2
3 22
22
2
当且仅当 m2 m2 8 时，等号成立
（5） S 2 2 1 k 2
2k 2 m12 1 2m1 4 2
1 2k 2
1 k2
(2k 2 m12 1)m12 4
1 k2 A x a
或 AB
1
1 k2
A y1
y2
1
1A k2
y1
y2 4 y1 y2
1 1 A y k2 a
文档
y
P O
A
x H
B
实用标准文案
题型二：面积问题
1. 三角形面积问题
直线 AB 方程： y kx m
d PH kx0 y0 m 1 k2
SABP
1 2
AB
d
1 2
1 k2
1 k2
AB 1 k 2 x1 x2 1 k 2 (x1 x2 )2 4x1x2 1 k 2
x a
SA ABCD AB d 1 k 2
x m1 m2 a 1 k2
x m1 m2 a
题型三：范围问题
首选均值不等式或对勾函数，其实用二次函数配方法，最后选导数思想均值不等式 a2 b2 2ab(a,b R) 变式： a b 2 ab(a,b R ); ab ( a b)2 (a,b R )
文档
实用标准文案
【例4】已知椭圆 C : x2 y2 1，过点 M 0 ，3 的直线 l 与椭圆 C 相交于不同的两点 A 、 B ．
4 （Ⅰ）若 l 与 x 轴相交于点 N ，且 A 是 MN 的中点，求直线 l 的方程；

第22讲圆锥曲线解答题中的弦长面积问题3种常考题型(解析版)-2024高考数学常考题型

第22讲圆锥曲线解答题中的弦长面积问题3种常考题型【考点分析】考点一：弦长公式设)(11y x M ，，)(22y x N ，根据两点距离公式221221)()(||y y x x MN -+-=．注意：①设直线为y kx m =+上，代入化简，得212||1MN k x x =+-;②设直线方程为m ty x +=，代入化简，得212||1MN t y y =+-③a k MN '∆+=21，其中∆为直线与圆锥曲线联立后得到的一元二次方程的判别式，a '为二次项系数考点二：三角形的面积处理方法①⨯=∆21S 底·高（通常选弦长做底，点到直线的距离为高）②⨯=∆21S 水平宽·铅锤高D E x x AB -⨯=21或E A y y CD S -⨯=∆21③在平面直角坐标系xOy 中，已知OMN △的顶点分别为(00)O ，，11()M x y ，，22()N x y ，，三角形的面积为122112S x y x y =-．考点三：四边形面积处理方法①若四边形对角线AC 与BD 相互垂直，则BD AC S ABCD ⋅=21四边形②将四边形面积转化为三角形面积进行解决【题型目录】题型一：求弦长及范围问题题型二：三角形面积及范围问题题型三：四边形面积及范围问题【典型例题】题型一：求弦长及范围问题【例1】已知椭圆C ：22221(0)x y a b a b +=>>的离心率为22且经过点(2，1)，直线l 经过()01P ，，且与椭圆C相交于AB 、两点．(1)求椭圆C 的标准方程；(2)当3AB =，求此时直线l 的方程；【例2】已知椭圆()2210x y a b a b+=>>的离心率为12，且点31,2M ⎛⎫ ⎪⎝⎭在椭圆上.(1)求椭圆的方程；(2)过椭圆右焦点2F 作两条互相垂直的弦AB 与CD ，求AB CD +的取值范围.【例3】已知椭圆2210a b a b+=>>（）的左焦点1(1,0)F -，长轴长与短轴长的比是2．(1)求椭圆的方程；(2)过1F 作两直线,m n 交椭圆于,,,A B C D 四点，若m n ⊥，求证：11AB CD+为定值．4+【题型专练】1．椭圆C：()222210x y a ba b+=>>左右焦点为1F，2F1,2M⎛⎫⎪⎪⎝⎭在椭圆C上．(1)求椭圆C的标准方程；(2)经过点()2,3A，倾斜角为π4直线l与椭圆交于B，C两点，求BC．2.已知椭圆1C：()222210x y a ba b+=>>过点M⎝且与抛物线2C：22y px=有一个公共的焦点()1,0F．(1)求椭圆1C与抛物线2C的方程；(2)过点F的直线l与椭圆1C交于A，B两点，与抛物线2C交于C，D两点．是否存在这样的直线l，使得=若存在，求出直线l的方程，若不存在，请说明理由．2AB CD3.已知椭圆22:1(0)x y C a b a b +=>>的离心率为2，且过点(2,1)P -．(1)求C 的方程；(2)若,A B 是C 上两点，直线AB 与圆222x y +=相切，求AB 的取值范围．4.已知椭圆()2222:10x yE a ba b+=>>，1F，2F分别为左右焦点，点(1P，2P-⎛⎝⎭在椭圆E上.(1)求椭圆E的离心率；(2)过左焦点1F且不垂直于坐标轴的直线l交椭圆E于A，B两点，若AB的中点为M，O为原点，直线OM交直线3x=-于点N，求1ABNF取最大值时直线l的方程.题型二：三角形面积及范围问题【例1】在平面直角坐标系xOy 中，椭圆E ：22221(0)x ya b a b+=>>与椭圆22198x y +=有相同的焦点1F ，2F ，且右焦点2F ．(1)求椭圆E 的方程；(2)若过椭圆E 左焦点1F ，且斜率为1的直线l 与椭圆交于M ，N 两点，求2F MN 的面积．【例2】已知椭圆E 的中心为坐标原点O ，对称轴分别为x 轴、y 轴，且过(1,0)A -，(,1)2B -两点．(1)求E 的方程；(2)设F 为椭圆E 的一个焦点，M ，N 为椭圆E 上的两动点，且满足0MN AF ⋅=，当M ，O ，N 三点不共线时，求△MON 的面积的最大值．【例3】已知椭圆W ：()222210x y a b a b +=>>的离心率2e =，短轴长为2．(1)求椭圆W 的标准方程；(2)设A 为椭圆W 的右顶点，C ，D 是y 轴上关于x 轴对称的两点，直线AC 与椭圆W 的另一个交点为B ，点E 为AB 中点，点H 在直线AD 上且满足CH OE ⊥（O 为坐标原点），记AEH △，ACD 的面积分别为1S ，2S ，若1325S S =，求直线AB 的斜率．【例4】已知椭圆22:1(0)C a b a b +=>>，过右焦点的直线l 与椭圆C 交于,M N 两点，且当l x ⊥轴时，MN =(1)求椭圆C 的方程；(2)若直线l 的斜率存在且不为0，点,M N 在x 轴上的射影分别为,P Q ，且()04,,,R y N P 三点共线，求证：RMN 与RPQ 的面积相同.【点睛】关键点点睛：联立直线与曲线的方程得到韦达定理是常用和必备的步骤点到直线的距离即可求解面积以及长度以及最值，最值问题转化为函数问题，然后根据函数的特征选用参数法、配方法、判别式法、三角函数有界法、函数单调性法以及均值不等式法求解借助于向量以及两点斜率公式.【例5】已知椭圆222:1(13)9x y C b b+=<<的上､下顶点分别为,A B ，点(),1(0)P t t >在椭圆内，且直线,PA PB分别与椭圆C 交于,E F 两点，直线EF 与y 轴交于点Q ．已知tan 3tan PAB PBA ∠∠=．(1)求椭圆C 的标准方程；(2)设AQE 的面积为1,S BQF 的面积为2S ，求12S S 的取值范围．【点睛】关键点点睛：本题考查直线与椭圆方程联立的综合应用，本题的关键是计算繁琐，尤其求点坐标和直线EF的方程时，注意化简的准确性【题型专练】1.已知椭圆()2222:10x yC a ba b+=>>的左，右焦点分别为1F，2F，焦距为12Q⎫-⎪⎭在C上.(1)P是C上一动点，求12PF PF⋅的范围；(2)过C的右焦点2F，且斜率不为零的直线l交C于M，N两点，求1F MN△的内切圆面积的最大值.π2．已知O 为坐标原点，点(M N 皆为曲线Γ上点，P 为曲线Γ上异于,M N 的任意一点，且满足直线PM 的斜率与直线PN 的斜率之积为12-.(1)求曲线Γ的方程：(2)设直线l 与曲线Γ相交于,A B 两点，直线,,OA l OB 的斜率分别为12,,k k k （其中0k >），OAB 的面积为(0)S S ≠，以,OA OB 为直径的圆的面积分别为1S 、2S ，若12,,k k k 范围.进而可得所以22212121211()()()m m m k k k k km x x x x x x =++=+++，所以2121211()0m km x x x x ++=，即22112120x x m km x x x x +⋅+=，即有22(21)0k m -=，又因为0k >，0S ≠，所以0m ≠，2210k -=，解得22k =，所以22||22S m m =⋅⋅-，所以22222222121212121223π(||2)3π6||26||22()2ππ222[(1)(1)]22424222m m S m m m m x x x x x x x x S S ⋅⋅-⋅-⋅-===++-+⋅++⋅+++22422||221(1)1m m m m m =⋅-=-=--≤，当1m =±时取等号.又因为2221k m +>，即202m <<，所以2201(1)1m <--≤，即123π(0,1]22SS S ∈+.【点睛】方法点睛：对于解答直线与圆锥曲线问题的题，常用的方程是设而不解，联立直线方程与圆锥曲线方程，再利用韦达定理、弦长公式进行解答即可.3.已知椭圆C ：()222210x y a b a b +=>>的长轴为4，离心率为22(1)求椭圆C 的方程；(2)如图，过点()4,0P 的直线l 与C 交于A ，B ，过A ，B 作直线1l ：x t =的垂线，垂足分别为M ，N ，记 AMP ，MNP △，BNP △的面积分别为1S ，2S ，3S ，问：是否存在实数t ，使得1322S S S 为定值？若存在，求出t 的值；若不存在，请说明理由24．已知椭圆22:1(0)C a b a b+=>>经过点且焦距为4，点,A B 分别为椭圆C 的左右顶点，点P 在椭圆C 上．(1)求椭圆C 的方程；(2)设直线,AP BP 的斜率分别为12,k k ，求12k k 的值；(3),M N 是椭圆C 上的两点，且,M N 不在坐标轴上，满足OM ∥AP ，ON ∥BP ，问MON △的面积是否是定值？如果是，请求出MON △的面积；如果不是，请你说明理由.5．已知圆1F：(2216x y+=，点2F，P是圆1F上的一个动点，线段2F P的中垂线l交1F P于点Q.(1)求点Q的轨迹C的方程；(2)若点()2,0A-，过点A的直线l与C交于点M，与y轴交于点N，过原点且与l平行的直线与C交于P、G两点，求()2PAN PAMAOPS SS⋅△△△的值.6.若椭圆2212211:1x y C a b +=与椭圆2222222:1x y C a b +=满足1122(0)a b m m a b ==>，则称这两个椭圆为“相似”，相似比为m .如图，已知椭圆1C 的长轴长是4，椭圆2C的离心率为2，椭圆1C 与椭圆2C(1)求椭圆1C 与椭圆2C 的方程；(2)过椭圆2C 左焦点F 的直线l 与1C 、2C 依次交于A 、C 、D 、B 四点.①求证：无论直线l 的倾斜角如何变化，恒有||||AC DB =.②点M 是椭圆2C 上异于C 、D 的任意一点，记MBD 面积为1S ，△MAD 面积为2S ，当1215S S =时，求直线l 的方程.7.已知椭圆C 的焦点在x 轴上，左右焦点分别为1F 、2F ，离心率2e =，P 为椭圆上任意一点，12PF F △的周长为6.(1)求椭圆C 的标准方程：(2)过点()4,0S 且斜率不为0的直线l 与椭圆C 交于Q ，R 两点，点Q 关于x 轴的对称点为1Q ，过点Q 1与R 的直线交x 轴于T 点，试问TRQ △的面积是否存在最大值？若存在，求出这个最大值：若不存在，请说明理由（5）代入韦达定理求解.题型三：四边形面积及范围问题【例1】已知椭圆C ：22x a ＋22y b＝1，过A (2，0)，B (0，1)两点.(1)求椭圆C 的方程及离心率；(2)设P 为第三象限内一点且在椭圆C 上，直线PA 与y 轴交于点M ，直线PB 与x 轴交于点N ，求四边形ABNM 的面积.【例2】设椭圆()2222:10x y C a b a b +=>>的左焦点为F ，上顶点为P ，离心率为2，O 是坐标原点，且OP FP ⋅=(1)求椭圆C 的方程；(2)过点F 作两条互相垂直的直线，分别与C 交于A ，B ，M ，N 四点，求四边形AMBN 面积的取值范围.【例3】椭圆22122:1(0)x y C a b a b +=>>经过点()1,1E 且离心率为2；直线l 与椭圆1C 交于A ，B 两点，且以AB 为直径的圆过原点.(1)求椭圆1C 的方程；(2)若过原点的直线m 与椭圆1C 交于,C D 两点，且()OC t OA OB =+，求四边形ACBD 面积的最大值.【例4】在平面直角坐标系Oxy 中，动圆P 与圆22145:204C x y x ++-=内切，且与圆2223:204C x y x +-+=外切，记动圆P 的圆心的轨迹为E .(1)求轨迹E 的方程；(2)不过圆心2C 且与x 轴垂直的直线交轨迹E 于,A M 两个不同的点，连接2AC 交轨迹E 于点B .（i ）若直线MB 交x 轴于点N ，证明：N 为一个定点；（ii ）若过圆心1C 的直线交轨迹E 于,D G 两个不同的点，且AB DG ⊥，求四边形ADBG 面积的最小值.数的知识进行求解.【题型专练】1．已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>，离心率为12，其左右焦点分别为1 F ，2F ，点(1,1)A -在椭圆内，P 为椭圆上一个动点，且1||PF PA +的最大值为5．(1)求椭圆C 的方程；(2)在椭圆C 的上半部分取两点M ，N （不包含椭圆左右端点），且122F M F N =，求四边形12F F NM 的面积．【点睛】关键点睛：解答本题的关键是把四边形这样便可以利用公式求三角形的面积了.2．已知()2222:10x y C a b a b +=>>的上顶点到右顶点的距离为2，右焦点为F ，过点F 的直线（不与x 轴重合）与椭圆C 相交于A 、B 两点，直线:2l x =与x 轴相交于点H ，过点A 作AD l ⊥，垂足为D ．(1)求椭圆C 的标准方程；(2)①求四边形OAHB （O 为坐标原点）面积的取值范围；②证明直线BD过定点E，并求出点E的坐标．3．已知过点31,2⎛⎫ ⎪⎝⎭的椭圆C ：()2210x ya b a b+=>>上的点到焦点的最大距离为3.(1)求椭圆C 的方程；(2)已知过椭圆C ：()222210x y a b a b +=>>上一点00(,)P x y 的切线方程为00221xx yy a b +=.已知点M 为直线4x =-上任意一点，过M 点作椭圆C 的两条切线MA ，,,MB A B 为切点，AB 与OM （O 为原点）交于点D ，当MDB∠最小时求四边形AOBM 的面积.则有MDB DEO DOE ∠=∠+∠,∴0000343tan 431414AB ODAB ODy k k y y MDB k k y +⎛⎫-∠===+≥ ⎪+⎝⎭-当且仅当023y =时取等号，此时MDB ∠为锐角，同理根据对称性可求得00y <时023y =-，4.设椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>的左、右焦点分别为1F 、2F ，点P ，Q 为椭圆C 上任意两点，且()110PF QF λλ=<，若2PQF 的周长为8，12PF F △面积的最大值为2．(1)求椭圆C 的方程；(2)设椭圆C 内切于矩形ABCD （椭圆与矩形四条边均相切），求矩形ABCD 面积的最大值．5．已知椭圆122:1(0)C a b a b+=>>的长轴长为4，离心率为12，一动圆2C 过椭圆1C 右焦点F ，且与直线1x =-相切．(1)求椭圆1C 的方程及动圆圆心轨迹2C 的方程；(2)过F 作两条互相垂直的直线，分别交椭圆1C 于P ，Q 两点，交曲线2C 于M ，N 两点，求四边形PMQN 面积的最小值．x。

中学数学圆锥曲线的弦长面积问题-拔高难度-讲义

圆锥曲线的弦长面积问题知识讲解一、弦长问题设圆锥曲线C ∶(),0f x y =与直线:l y kx b =+相交于()11,A x y ，()22,B x y 两点，则弦长AB 为：()2221212121141x AB k x x k x x x x k a∆=+-=++-=+()1212122221111141y AB y y y y y y k kk a∆=+-=++-=+或二、面积问题1.三角形面积问题直线AB 方程：y kx m =+ 0021kx y md PH k -+==+002211122a1x ABPkx y mS AB d k k ∆∆-+=⋅=+⋅+2.焦点三角形的面积直线AB 过焦点21,F ABF ∆112121212y ABF c S F F y y c y y a∆∆=⋅-=-=HOyxPBA3.平行四边形的面积直线AB 为1y kx m =+，直线CD 为2y kx m =+d CH ==12AB x =-=ABCDSAB d =⋅==三、范围问题方法：首选均值不等式或对勾函数，其实用二次函数配方法，最后选导数思想均值不等式：222(,)a b ab a b R +≥∈变式：2,);()(,)2a b a b a b R ab a b R ++++≥∈≤∈ 作用：当两个正数的积为定值时求出这两个正数的和的最小值；当两个正数的和为定值时求出这两个正数的积的最大值注意：应用均值不等式求解最值时，应注意“一”正“二”定“三”相等圆锥曲线经常用到的均值不等式形式：1）2226464t S t t t==++（注意分0,0,0t t t =><三种情况讨论） 2）224222121212333196123696k AB t k k k=+=+≤+++⨯+++当且仅当2219k k =时，等号成立3）222002200259342593464925y x PQ x y =+⋅+⋅≥+ 当且仅当22002200259259925y x x y ⋅=⋅时等号成立. 4）2282m m S -+===当且仅当228m m =-+时，等号成立 5）2221121k m m S -++==≤=当且仅当221212k m +=时等号成立.经典例题一．选择题（共1小题）1．（2018•洛阳三模）已知椭圆x 2a 2+y 2b2=1（a ＞b ＞0）的左、右焦点分别为F 1，F 2，过F 2的直线与椭圆交于A 、B 两点，若△F 1AB 是以A 为直角顶点的等腰直角三角形，则离心率为（）A ．√22B ．2﹣√3C ．√5﹣2D ．√6﹣√3【解答】解：如图，设|F 1F 2|=2c ，|AF 1|=m ，若△ABF 1构成以A 为直角顶点的等腰直角三角形，则|AB |=|AF 1|=m ，|BF 1|=√2m ，由椭圆的定义可得△ABF 1的周长为4a ，即有4a=2m +√2m ，即m=2（2﹣√2）a ，则|AF 2|=2a ﹣m=（2√2﹣2）a ，在直角三角形AF 1F 2中， |F 1F 2|2=|AF 1|2+|AF 2|2，即4c 2=4（2﹣√2）2a 2+4（√2﹣1）2a 2， ∴c 2=（9﹣6√2）a 2，则e 2=c 2a 2=9﹣6√2=9−2√18，∴e=√6−√3．故选：D ．二．填空题（共1小题）2．（2018•南关区校级模拟）已知椭圆C ：x 2a 2+y 2b2=1(a ＞b ＞0)短轴的两个顶点与右焦点的连线构成等边三角形，直线3x +4y +6=0与圆x 2+（y ﹣b ）2=a 2相切．（Ⅰ）求椭圆C 的方程；（Ⅰ）已知过椭圆C 的左顶点A 的两条直线l 1、l 2分别交椭圆C 于M 、N 两点，且l 1⊥l 2，求证：直线MN 过定点，并求出定点坐标；（III ）在（Ⅰ）的条件下求△AMN 面积的最大值．【解答】解：（Ⅰ）由题意{a =2b 4b+65=a ∴{a =2b =1即C ：x 24+y 2=1．（Ⅰ）证明：∵A （﹣2，0），设l 1：x=my ﹣2（m ≠0），l 2：x =−1m y −2，由{x =my −2x 2+4y 2−4=0得（m 2+4）y 2﹣4my=0 ∴M(2m 2−8m 2+4，4m m 2+4)，同理：N(2−8m 24m 2+1，−4m4m 2+1)①m ≠±1时，k MN =5m 4(m 2−1)，l MN ：y =5m 4(m 2−1)(x +65)，过定点(−65，0)； ②m=±1时，l MN ：x =−65，也过定点(−65，0)，所以直线MN 过定点(−65，0)．（III ）由（Ⅰ）知S △AMN =25|4m m 2+4+4m4m 2+1|=8|m 3+m4m 4+17m 2+4|=8|m+1m |4(m+1m)2+9=84t+9t，t =|m +1m |≥2且m =±1时取等号，∴S △≤1625且m =±1时取等号，∴S △max =1625．三．解答题（共11小题）3．（2018•西宁二模）若椭圆x 2a 2+y 2b 2=1（a ＞b ＞0）的左右焦点分别为F 1，F 2，线段F 1F 2被抛物线y 2=2bx 的焦点F 内分成了3：1的两段．（1）求椭圆的离心率；（2）过点C （﹣1，0）的直线l 交椭圆于不同两点A 、B ，且AC →=2CB →，当△AOB 的面积最大时，求直线l 和椭圆的方程．【解答】解：（1）由题意知，c +b 2=3（c ﹣b2），…（2分）∴b=c ，∴a 2=2b 2，…（3分）∴e=c a =√1−(b a )2=√22．…（5分）（2）设直线l ：x=ky ﹣1，A （x 1，y 1），B （x 2，y 2）， ∵AC →=2CB →，∴（﹣1﹣x 1，﹣y 1）=2（x 2+1，y 2），即2y 2+y 1=0，①…（7分）由（1）知，a 2=2b 2，∴椭圆方程为x 2+2y 2=2b 2，由{x =ky −1x 2+2y 2=2b2，消去x ，得（k 2+2）y 2﹣2ky +1﹣2b 2=0，∴y 1+y 2=2kk 2+2，…② y 1y 2=1−2b2k 2+2，…③由①②知，y 2=−2k k 2+2，y 1=4kk 2+2，…（9分） ∵S △AOB =12|y 1|+12|y 2|=12|y 1−y 2|，∴S=3•|k|k +2=3•12|k|+k ≤3•2√|k|⋅|k|=3√24，…（11分）当且仅当|k |2=2，即k=±√2时取等号，此时直线的方程为x=√2y −1或x=√2y −1．…（12分）又当|k |2=2时，y 1y 2=−2k k 2+2⋅4kk 2+2=﹣2k 2(k +2)=﹣1， ∴由y 1y 2=1−2b2k 2+2，得b 2=52，∴椭圆方程为x 25+y 252=1．…（14分）4．（2018•河南模拟）设O 是坐标原点，F 是抛物线x 2=2py （p ＞0）的焦点，C 是该抛物线上的任意一点，当FC →与y 轴正方向的夹角为60°时，|OC →|=√21．（1）求抛物线的方程；（2）已知A （0，p ），设B 是该抛物线上的任意一点，M ，N 是x 轴上的两个动点，且|MN |=2p ，|BM |=|BN |，当|AM||AN|+|AN||AM|取得最大值时，求△BMN 的面积．【解答】解：（1）设点C （x o ，y 0），则由抛物线的定义得|FC →|=y 0+p 2，当FC →与y 轴正方向的夹角为60°时，2(y 0−p 2)=y 0+p2，即y 0=3p2；又|OC →|=√x 02+y 02=√2py 0+y 02=√212p =√21，解得p=2，所以抛物线的方程为x 2=4y ；（2）因为|BM |=|BN |，所以点B 在线段MN 的中垂线上，设点B （x 1，y 1），则M （x 1﹣2，0），N （x 1+2，0），又A （0，2），所以|AM |=√(x 1−2)2+4， |AN |=√(x 1+2)2+4，则|AM||AN|+|AN||AM|=|AM|2+|AN|2|AM|⋅|AN|=12√64+x 14=1√64+16y 12=1√4+y 12，所以|AM||AN|+|AN||AM|=2⋅√4+y 12+4y 1√4+y 12≤2⋅√2(4+y 12)√4+y 12=2√2；当且仅当y 1=2时等号成立，此时x 12=4y 1=8；所以S △BMN =12|MN |•y 1=12×4×2=4．5．（2018•莆田二模）在平面直角坐标系xOy 中，点F 为椭圆C ：x 2a 2+y 2b2=1（a ＞b ＞0），的一个焦点，点B 1（0，﹣√3）为C 的一个顶点，∠OFB 1=π3．（1）求C 的标准方程；（2）若点M （x 0，y 0）在C 上，则点N （x 0a ，y 0b）称为点M 的一个“椭点”．直线l ：y=kx +m 与C 相交于A ，B 两点，且A ，B 两点的“椭点”分别为P ，Q ，以PQ 为直径的圆经过点O ，求△AOB 的面积．【解答】解：（1）由已知得：b=√3，在Rt △B 1OF 中，tan π3=bc=√3，解得c=1，又∵a 2=b 2+c 2，解得a=2．∴椭圆C 的方程为：x 24+y 23=1．（2）设A （x 1，y 1），B （x 2，y 3），则P (x 1213)，Q (x 2223)．又∵以PQ 为直径的圆经过坐标原点O ，得OP →•OQ →=0，即x 1x 24+y 1y 23=0，①由{y =kx +m x 24+y 23=1，消y 整理得，（3+4k 2）x 2+8kmx +4（m 2﹣3）=0，由△=64k 2m 2﹣16（3+4k 2）（m 2﹣3）＞0，得3+4k 2﹣m 2＞0，而x 1+x 2=﹣8km3+4k 2，x 1x 2=4(m 2−3)3+4k 2，②∴y 1y 2=（kx 1+m ）（kx 2+m ）=k 2x 1x 2+mk （x 1+x 2）+m 2=3(m2−4k 2)3+4k ③联立①②③得，4(m 2−3)3+4k +3(m 2−4k 2)3+4k =0，即2m 2﹣4k 2=3，又∵|AB |=√1+k 2√(x 1+x 2)2−4x 1x 2=√1+k 2•√48(4k 2−m 2+3)3+4k 2，原点O 到直线l ：y=kx +m 的距离d=√2，∴S △OAB =12|AB |•d=12√1+k 2•√48(4k 2−m 2+3)3+4k 2•√2，把2m 2﹣4k 2=3代入上式得S △OAB =√3．6．（2018•烟台二模）己知椭圆C ：x 22+y 2b2=1(a ＞b ＞0)，点(3，√32)在椭圆上，过C 的焦点且与长轴垂直的弦的长度为13．（1）求椭圆C 的标准方程；．（2）过点A （﹣2，0）作两条相交直线l 1，l 2，l 1与椭圆交于P ，Q 两点（点P 在点Q 的上方），l 2与椭圆交于M ，N 两点（点M 在点N 的上方），若直线l 1的斜率为−17，S △MAP =2534s △NAQ ，求直线l 2的斜率．【解答】解：（1）由已知得：{ 9a 2+34b 2=12b 2a=13，…………………………（2分）解得a=6，b=1．故椭圆C 的方程为x 236+y 2=1．………………………（4分）（2）由题设可知：l 1的直线方程为x=﹣7y ﹣2．联立方程组{x 236+y 2=1x =−7y −2，整理得：85y 2+28y ﹣32=0.y P =817，y Q =−45．…………………………（6分） ∴|AQ||AP|=|y Q ||y P |=45817=1710．…………………………………………（7分） ∵S △MAP =2534S △NAQ ，∴12|AM||AP|sinθ=2534×12|AN||AQ|sinθ，即|AM||AN|=2534×|AQ||AP|=2534×1710=54．…………………………………………（8分）设l 2的直线方程为x=my ﹣2（m ≠0）．将x=my ﹣2代入x 236+y 2=1得（m 2+36）y 2﹣4my ﹣32=0．设M（x1，y1），N（x2，y2），则y1+y2=4m2，y1y2=−322．……………………………………（10分）又∵y1=−54y2，∴y2=−16mm2+36，y22=1285(m2+36)．解得m2=4，∴m=±2．故直线l2的斜率为±12．………………………（12分）7．（2018•河南一模）已知椭圆C1：x2a+y2b=1（a＞b＞0）的离心率为√22，右焦点F是抛物线C2：y2=2px（p＞0）的焦点，点（2，4）在抛物线C2上．（1）求椭圆C1的方程；（2）已知斜率为k的直线l交椭圆C1于A，B两点，M（0，2），直线AM与BM 的斜率乘积为﹣12，若在椭圆上存在点N，使|AN|=|BN|，求△ABN的面积的最小值．【解答】解：（1）∵点（2，4）在抛物线y2=2px上，∴16=4p，解得p=4，∴椭圆的右焦点为F（2，0），∴c=2，∵椭圆C1：x2a2+y2b2=1（a＞b＞0）的离心率为√22，∴ca =√2 2，∴a=2√2，∴b2=a2﹣c2=8﹣4=4，∴椭圆C1的方程为x28+y24=1，（2）设直线l的方程为y=kx+m，设A（x1，y1），B（x2，y2），由{y =kx +mx 2+2y 2=8，消y 可得（1+2k 2）x 2+4kmx +2m 2﹣8=0， ∴x 1+x 2=−4km 1+2k 2，x 1x 2=2m 2−81+2k 2，∴y 1+y 2=k （x 1+x 2）+2m=2m 1+2k 2，y 1y 2=k 2x 1x 2+km （x 1+x 2）+m 2=m2−8k 21+2k 2∵M （0，2），直线AM 与BM 的斜率乘积为﹣12，∴k 1•k 2=y 1−2x 1•y 2−2x 2=y 1y 2−2(y 1+y 2)+4x 1x 2=m−22(m+2)=﹣12，解得m=0，∴直线l 的方程为y=kx ，线段AB 的中点为坐标原点，由弦长公式可得|AB |=√1+k 2√(x 1+x 2)2−4x 1x 2=√32(k 2+1)1+2k2，∵|AN |=|BN |，∴ON 垂直平分线段AB ，当k ≠0时，设直线ON 的方程为y=﹣1k x ，同理可得|ON |=12√32(1k 2+1)2×1k2+1=12√32(k 2+1)k 2+2， ∴S △ABN =12|ON |•|AB |=8√(k 2+1)2(k 2+2)(2k 2+1)，当k=0时，△ABN 的面积也适合上式，令t=k 2+1，t ≥1，0＜1t≤1，则S △ABN =8√t 2(t+1)(2t−1)=8√1−1t 2+1t+2=8√1−(1t −12)2+94， ∴当1t =12时，即k=±1时，S △ABN 的最小值为163．8．（2018•长春三模）在平面直角坐标系中，已知圆C 1的方程为（x ﹣1）2+y 2=9，圆C 2的方程为（x +1）2+y 2=1，动圆C 与圆C 1内切且与圆C 2外切．（1）求动圆圆心C 的轨迹E 的方程；（2）已知P （﹣2，0）与Q （2，0）为平面内的两个定点，过（1，0）点的直线l 与轨迹E 交于A ，B 两点，求四边形APBQ 面积的最大值．【解答】解：（1）设动圆C 的半径为r ，由题意知|CC 1|=3﹣r ，|CC 2|=1+r 从而有|CC 1|+|CC 2|=4，故轨迹E 为以C 1，C 2为焦点，长轴长为4的椭圆，并去除点（﹣2，0），从而轨迹E 方程为x 24+y 23=1(x ≠−2)．（2）设l 方程为x=my +1，联立{x 24+y 23=1x =my +1，消去x 得（3m 2+4）y 2+6mx ﹣9=0，设点A （x 1，y 1），B （x 2，y 2），有y 1+y 2=−6m 3m 2+4，y 1y 2=−93m 2+4，有|AB|=√1+m 212√1+m 23m 2+4=12(1+m 2)3m 2+4，点P （﹣2，0）到直线了的距离为√1+m 2，点Q （2，0）到直线了的距离为√1+m 2，从而四边形APBQ 的面积S =12×12(1+m 2)3m 2+4×4√1+m =24√1+m 23m 2+4 令t =√1+m 2，t ≥1，有S =24t 3t 2+1=243t+1t，由函数y =3t +1t 在[1，+∞）单调递增有3t +1t ≥4，故S =24t 3t 2+1=243t+1t≤6，四边形APBQ 面积的最大值为6．9．（2018•全国一模）在平面直角坐标系xOy 中，椭圆C ：x 2a 2+y 2b 2=1（a ＞b＞0）的离心率为12，点M （1，32）在椭圆C 上．（Ⅰ）求椭圆C 的方程；（Ⅰ）已知P （﹣2，0）与Q （2，0）为平面内的两个定点，过点（1，0）的直线l 与椭圆C 交于A ，B 两点，求四边形APBQ 面积的最大值．【解答】解：（I ）由c a =12可得，a=2c ，又因为b 2=a 2﹣c 2，所以b 2=3c 2所以椭圆C 方程为x 24c 2+y 23c 2=1，又因为M(1，32)在椭圆C 上，所以124c2+(32)23c =1 所以c 2=1，所以a 2=4，b 2=3，故椭圆方程为x 24+y 23=1．（II ）方法一：设l 的方程为x=my +1，联立{x 24+y 23=1x =my +1，消去x 得（3m 2+4）y 2+6my ﹣9=0，设点A （x 1，y 1），B （x 2，y 2），有△＞0，y 1+y 2=−6m 3m 2+4，y 1y 2=−93m 2+4， |y 1﹣y 2|=√(y 1+y 2)2−4y 1y 2=√(−6m 3m 2+4)2−4×−93m 2+4=12√m 2+13m 2+4所以S =12×4×12√m 2+1(3m 2+4)令t =√1+m 2，t ≥1，有S =24t 3t 2+1=243t+1t，由函数y =3t +1t ，t ∈[1，+∞）y′=3−1t 2＞0，t ∈[1，+∞)故函数y =3t +1t ，在[1，+∞）上单调递增，故3t +1t ≥4，故S =24t 3t 2+1=243t+1t≤6当且仅当t=1即m=0时等号成立，四边形APBQ 面积的最大值为6．方法二：设l 的方程为x=my +1，联立{x 24+y 23=1x =my +1，消去x 得（3m 2+4）y 2+6my ﹣9=0，设点A （x 1，y 1），B （x 2，y 2），有△＞0，y 1+y 2=−6m 2，y 1y 2=−92，有|AB|=√1+m 212√1+m 23m 2+4=12(1+m 2)3m 2+4，点P （﹣2，0）到直线l 的距离为√1+m 2，点Q （2，0）到直线l 的距离为√1+m 2，从而四边形APBQ 的面积S =12×12(1+m 2)2×4√1+m =24√1+m 22，令t =√1+m 2，t ≥1，有S =24t 3t 2+1=243t+1t，函数y =3t +1t ，t ∈[1，+∞）y′=3−1t 2＞0，t ∈[1，+∞)故函数y =3t +1t ，在[1，+∞）上单调递增，有3t +1t ≥4，故S =24t 3t 2+1=243t+1t≤6当且仅当t=1即m=0时等号成立，四边形APBQ 面积的最大值为6．方法三：①当l 的斜率不存在时，l ：x=1，此时，四边形APBQ 的面积为6．②当l 的斜率存在时，设l 为：y=k （x ﹣1），（k ≠0）y=k （x ﹣1）（k ≠0）则{x 24+y 23=1y =k(x −1)，∴（3+4k 2）x 2﹣8k 2x +4k 2﹣12=0，△＞0，x 1+x 2=8k 23+4k 2，x 1x 2=4k 2−123+4k2，∴|y 1−y 2|=|k(x 1−x 2)|=√k 2×[(x 1+x 2)2−4x 1x 2]=12×√k 2(k 2+1)(3+4k 2)2，∴四边形APBQ 的面积S =12×4×|y 1−y 2|=24×√k 2(k 2+1)(3+4k 2)2，令 t=3+4k 2（t ＞3）t=3+4k 2（t ＞3）则 k 2=t−34 k 2=t−34S =6×√−3×(1t )2−2×1t +1，(0＜1t ＜13)．∴S =6×√−3×(1t)2−2×1t +1，(0＜1t ＜13)∴0＜S ＜6综上，四边形APBQ 面积的最大值为6．10．（2018•徐汇区一模）已知椭圆E ：x 2a 2+y 2b2=1（a ＞b ＞0）的左，右焦点分别为F 1，F 2，且F 1，F 2与短轴的一个端点Q 构成一个等腰直角三角形，点P （√22，√32）在椭圆E 上，过点F 2作互相垂直且与x 轴不重合的两直线AB ，CD 分别交椭圆E 于A ，B ，C ，D 且M ，N 分别是弦AB ，CD 的中点（1）求椭圆的方程（2）求证：直线MN 过定点R （23，0）（3）求△MNF 2面积的最大值．【解答】解：（1）∵椭圆E ：x 2a 2+y 2b 2=1（a ＞b ＞0）经过点P （√22，√32）且F 1，F 2与短轴的一个顶点Q 构成一个等腰直角三角形，则b=c ，a 2=b 2+c 2=2b 2， ∴12×2b 2+34b2=1，解得a 2=2，b 2=1， ∴椭圆方程为x 22+y 2=1；（Ⅰ）证明：设直线AB 的方程为x=my +1，m ≠0，则直线CD 的方程为x=﹣1my +1，联立{x =my +1x 22+y 2=1，消去x 得（m2+2）y 2+2my ﹣1=0，设A （x 1，y 1），B （x 2，y 2），则y 1+y 2=﹣2m m +2，y 1y 2=﹣1m +2，∴x 1+x 2=（my 1+1）+（my 2+1）=m （y 1+y 2）+2=4m 2+2，由中点坐标公式得M （2m 2+2，﹣mm 2+2），方法一：将M 的坐标中的m 用﹣1m 代换，得CD 的中点N （2m 22m 2+1，m1+2m 2），k MN =3m2(m −1)，直线MN 的方程为y +mm 2+2=3m2(m 2−1)（x ﹣2m 2+2），即为y=m m 2−1（32x ﹣1），令32x ﹣1，可得x=23，即有y=0，则直线MN 过定点R ，且为R （23，0），方法二：将M 的坐标中的m 用﹣1m 代换，得CD 的中点N （2m 22m +1，m1+2m ），则y +m m 2+2=3m 2(m 2−1)（x ﹣2m 2+2），整理得：2（m 4+m 2﹣2）y=（m 3+2m ）（3x ﹣2），∴直线MN 过定点R （23，0）方法三：则k MR =−mm 2+2−02m 2+2−2=3m 2(m 2−1)，则k NR =3×(−1m )2[(−1)2−1]=3m 2(m 2−1)， ∴k MR =k NR ，∴直线MN 过定点R （23，0）（3）方法一：△F 2MN 面积为S=12|F 2H |•|y M ﹣y N |，=12（1﹣23）•|﹣m m 2+2﹣m 1+2m 2|=12|m 3+m2m 4+5m 2+2|=12|m+1m 2(m 2+1m2)+5| 令m +1m =t （t ≥2），由于2t +1t 的导数为2﹣1t 2，且大于0，即有在[2，+∞）递增．即有S=12•t 2t +1=12•12t+1t在[2，+∞）递减，∴当t=2，即m=1时，S 取得最大值，为19；则△MNF 2面积的最大值为19方法二：|MF 2|=√(2m 2+2−1)2+(m m 2+2)2=√m 4+m 2m 2+2，|NF 2|=√(−1m )4+(−1m)2(−1m )2+2，则△MNF 2面积S=12×|MF 2|×|NF 2|=1m+m 4(m+1m)2+2，令m +1m=t （t ≥2），则S=t4t +2=14t+2t≤19，当且仅当t=2即m=1时，△MNF 2面积的最大值为19． ∴△MNF 2面积的最大值为19．11．（2018•红桥区二模）如图，在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆C ：x 2a 2+y 2b2=1（a ＞b ＞0）的离心率为√22，右顶点为A ，直线BC 过原点O ，且点B 在x 轴上方，直线AB 与AC 分别交直线l ：x=a +1于点E 、F ．（Ⅰ）若点B （√2，√3），求椭圆C 的方程；（Ⅰ）若点B 为动点，设直线AB 与AC 的斜率分别为k 1，k 2．①试探究：k 1•k 2是否为定值？若为定值，请求出；若不为定值，请说明理由； ②求△AEF 的面积的最小值．【解答】解：（I ）由题意可得：c a =√22，2a 2+3b2=1，a 2=b 2+c 2，联立解得a 2=8，b=2=c ，∴椭圆C 的方程为：x 28+y 24=1．（II ）①k 1•k 2为定值．设B （x 0，y 0），C （﹣x 0，﹣y 0）.x 02a 2+y 02b2=1．由c a =√22，a 2=b 2+c 2，可得a 2=2b 2．则k 1•k 2=y 0x 0−a •y 0x 0+a =y 02x 02−a =b 2(1−x 02a 2)x 02−a =﹣b 2a =﹣12．②设直线AB 的方程为：y=k 1（x ﹣a ），直线AC 的方程为：y=k 2（x ﹣a ），令x=a +1，则y E =k 1，y F =k 2，S △AEF =12|EF |×1=12|k 2﹣k 1|，由图形可得：k 1＜0，k 2＞0，k 1•k 2=﹣12．∴S △AEF =12（k 2﹣k 1）≥12×2√−k 1k 2=√22，当且仅当k 2=﹣k 1=√22时取等号．∴△AEF 的面积的最小值为√22．12．（2018•全国四模）已知点F （﹣1，0）及直线l ：x=﹣4，若动点P 到直线l 的距离d 满足d=2|PF |．（1）求点P 的轨迹C 的方程；（2）若直线PF 交轨迹C 于另一点Q ，且PF →=2FQ →，以P 为圆心r=2|PQ |为半径的圆被直线l 截得的弦为AB ，求 |AB |．【解答】解：（1）设点P （x ，y ），由题意|x +4|=2√(x +1)2+y 2，两边平方并化简得，点P 的轨迹方程是C ：x 24+y 23=1；……4分（2）设P （x 1，y 1），Q （x 2，y 2），由PF →=2FQ →，∴（﹣1﹣x 1，﹣y 1）=2（x 2+1，y 2）， ∴y 1=﹣y 2；当PQ 斜率为0或斜率不存在时不适合题意，设PQ ：x=my ﹣1（m ≠0），由{x =my −13x 2+4y 2=12，消去x 得（3m 2+4）y 2﹣6my ﹣9=0，……………6分由△=36m 2﹣4（3m 2+4）×（﹣9）＞0，且{y 1+y 2=6m 3m 2+4=−y2y 1y 2=−93m 2+4=−2y 22；…………………………8分 ∴(6m 3m 2+4)2•3m 2+4−9=﹣12，解得m 2=45； ∴|PQ|=|y 1−y 2|√1+m 2=12(1+m 2)3m 2+4=278，∴|PF |=23|PQ |=94，求得d=92，r =274；………………………10分设AB 中点为M ，则|AM|=√r 2−d 2=√(274)2−(92)2=9√54， ∴|AB|=9√52．…………12分13．（2018•乌鲁木齐一模）已知椭圆C ：x 2a +y 2b=1（a ＞b ＞0）的焦距为2，且过点（1，√22）．（Ⅰ）求椭圆C 的方程；（Ⅰ）过点M （2，0）的直线交椭圆C 于A ，B 两点，P 为椭圆C 上一点，O 为坐标原点，且满足OA →+OB →=t OP →，其中T ∈（2√63，2），求|AB |的取值范围．【解答】解：（Ⅰ）依题意，有{a 2=b 2+11a 2+12b 2=1，解得a 2=2，b 2=1， ∴椭圆方程x 22+y 2=1，（Ⅰ）由题意可知该直线存在斜率，设其方程为y=k （x ﹣2），由{y =k(x −2)x 22+y 2=1得（1+2k 2）x 2﹣8k 2x +8k 2﹣2=0， ∴△=8（1﹣2k 2）＞0，得k 2＜12，设A （x 1，y 1），B （x 2，y 2），P （x ，y ），∴x 1+x 2=8k 21+2k 2，∴y 1+y 2=k （x 1+x 2﹣4）=﹣4k1+2k 2，由OA →+OB →=t OP →得P （8k 2t(1+2k 2)，−4k t(1+2k 2)），代入椭圆方程得t 2=16k 21+2k ，由2√63＜t ＜2得14＜k 2＜12， ∴|AB |=√1+k 2•2√2⋅√1−2k 21+2k 2=2√2(1+2k 2)2+11+2k 2−1，令u=11+2k 2，则u ∈（12，23）， ∴|AB |=2√2u 2+u −1，令y=2u 2+u ﹣1，其对称轴为x=﹣14， ∴y=2u 2+u ﹣1在（12，23）单调递增， ∴0＜y ＜59， ∴0＜|AB |＜2√53故|AB |的取值范围为（0，2√53）。

微考点6-2 圆锥曲线中的弦长面积类问题(解析版)

微考点6-2 圆锥曲线中的弦长面积类问题（三大题型）直线与圆锥曲线相交，弦和某个定点所构成的三角形的面积，处理方法：①一般方法：d AB S 21=（其中AB 为弦长，d 为顶点到直线AB 的距离），设直线为斜截式m kx y +=.进一步，d AB S 21==20011221214)(121k m y kx x x x x k ++--++②特殊方法：拆分法,可以将三角形沿着x 轴或者y 轴拆分成两个三角形，不过在拆分的时候给定的顶点一般在x 轴或者y 轴上，此时，便于找到两个三角形的底边长.12PAB PQA PQB A B S S S PQ y y ∆∆∆=+=-=12PAB PQA PQB A B S S S PQ x x ∆∆∆=+=-=③坐标法：设),(),,(2211y x B y x A ，则||211221y x y x S AOB -=∆④面积比的转化：三角形的面积比及其转化有一定的技巧性，一般的思路就是将面积比转化为可以利用设线法完成的线段之比或者设点法解决的坐标形式，通常有以下类型：1.两个三角形同底，则面积之比转化为高之比，进一步转化为点到直线距离之比2.两个三角形等高，则面积之比转化为底之比，进一步转化为长度（弦长之比）3.利用三角形面积计算的正弦形式，若等角转化为腰长之比4.面积的割补和转化⑤四边形的面积计算在高考中，四边形一般都比较特殊，常见的情况是四边形的两对角线相互垂直，此时我们借助棱形面积公式，四边形面积等于两对角线长度乘积的一半；当然也有一些其他的情况，此时可以拆分成两个三角形，借助三角形面积公式求解.⑥注意某条边过定点的三角形和四边形当三角形或者四边形某条边过定点时，我们就可以把三角形，四边形某个定顶点和该定点为边，这样就转化成定底边的情形，最终可以简化运算.当然，你需要把握住一些常见的定点结论，才能察觉出问题的关键.题型一：利用弦长公式距离公式解决弦长问题【精选例题】【例1】已知椭圆()2222:10x y E a b a b +=>>，1F ，2F 分别为左右焦点，点(1P，2P -⎛⎝在椭圆E 上.(1)求椭圆E 的离心率；(2)过左焦点1F 且不垂直于坐标轴的直线l 交椭圆E 于A ，B 两点，若AB 的中点为M ，O 为原点，直线OM交直线3x =-于点N ，求1ABNF 取最大值时直线l 的方程.则2222(2)(2)2x y x -+=-【跟踪训练】1.已知椭圆C ：()222210x y a b a b +=>>，圆O ：22320x y x y ++--=，若圆O 过椭圆C 的左顶点及右焦点．(1)求椭圆C 的方程；(2)过点()1,0作两条相互垂直的直线1l ，2l ，分别与椭圆相交于点A ，B ，D ，E ，试求AB DE +的取值范围．【点睛】方法点睛：圆锥曲线中取值范围问题的五种求解策略：（1）利用圆锥曲线的几何性质或判别式构造不等关系，从而确定参数的取值范围；（2）利用已知参数的范围，求新的参数的范围，解这类问题的核心是建立两个参数之间的等量关系；（3）利用隐含的不等关系建立不等式，从而求出参数的取值范围；（4）利用已知的不等关系建立不等式，从而求出参数的取值范围；（5）利用求函数值域的方法将待求量表示为其他变量的函数，求其值域，从而确定参数的取值范围.题型二：利用弦长公式距离公式解决三角形面积类问题【精选例题】圆心O 到直线CD 的距离为2||51m d k ==+联立22132y kx mx y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩，消去y 得()2223k x ++()()()2226423360km k m ∆=-+->，可得设()11,A x y 、()22,B x y ，则12623km x x k -+=+()2222121236141k m AB kx x x x k=++-=+()()()(2222261322612k km k ⋅++-+【点睛】方法点睛：圆锥曲线中最值与范围问题的常见求法：（特征和意义，则考虑利用图形性质来解决；（首先建立目标函数，再求这个函数的最值，式长最值．P x y满足方程【例3】动点(,)【点睛】求解动点的轨迹方程，可通过定义法来进行求解型的轨迹的定义，由此来求得轨迹方程用不等式的性质、基本不等式等知识来进行求解【例4】已知椭圆C的中心在原点，一个焦点为(1)求椭圆C的标准方程；【点睛】思路点睛：本题第二小问属于直线与圆锥曲线综合性问题，设出过点达定理可得12y y +，12y y ，可求出1142ABF S a r =⋅⋅△，由此可求得直线【跟踪训练】(1)求椭圆C的标准方程；(2)判定AOMV（O为坐标原点）与理由.【答案】(1)2212xy+=；(2)面积和为定值，定值为【分析】（1）根据题意求,a b）方程为22221x ya b+=，焦距为2c，则2221b a c=-=，的标准方程为221 2xy+=.()0,1A，()0,1B-，直线l：x(1)求椭圆C的方程；(2)过B作x轴的垂线交椭圆于点①试讨论直线AD是否恒过定点，若是，求出定点坐标；若不是，请说明理由．△面积的最大值．②求AOD②设直线AD 恒过定点记为M 由上()222481224t m ∆=-+=⨯所以1222423t y y t +=+，122y y =）题型三：利用弦长公式距离公式解决定四边形面积问题【精选例题】(1)求椭圆的标准方程；(2)求四边形ABCD面积的最大值；(3)试判断直线AD与BC的斜率之积是否为定值，若是，求出定值；若不是，请说明理由【答案】(1)2214xy+=；(2)4；(3)）当直线1l，2l中的一条直线的斜率不存在、另一条直线的斜率为1AB CD=⨯⨯=.4122当直线1l，2l的斜率都存在且不为0时，【跟踪训练】2．已知焦距为2的椭圆M ：于A ，B 两点，1ABF V 的周长为(1)求椭圆M 的方程；F l）斜率不存在时.1l 方程为1x =，2l 方程为1134622ABCD S AB CD =⋅=⋅⋅=四边形斜率为0时.1l 方程为0y =，此时无法构成斜率存在且不为0时.设1l 方程为y =12．已知圆O ：224x y +=，点点P 的轨迹为E .(1)求曲线E 的方程；(2)已知()1,0F ，过F 的直线m【点睛】方法点睛：设出直线的方程，与椭圆方程联立，根据韦达定理结合弦长公式得出弦长3．已知椭圆2222:1(x yEa b+=()2,1T，斜率为k的直线l与椭圆(1)求椭圆E的标准方程；（2）设直线AB的方程为6．已知椭圆(2222:1x y C a a b+=两点，且1ABF V 的周长最大值为(1)求椭圆C 的标准方程；(2)已知点P 是椭圆C 上一动点（不与端点重合），则112AF AH AF AF +≤+=故当AB 过右焦点2F 时，ABF V 因为椭圆C 的离心率为c e a =22121,2A F a c A A a =-===则11214A PQ PA A S S =V V ，故PQ =设(,),(02)P P P P x y x <<，则又P 点在22143x y +=上，则又2(2,0)A ，所以直线2A P 的方程为）O 中，由OA l ⊥，2EOF EOA ∠=∠，则EOA V 中，cos 601OA OE =⋅=o ，则S 当直线l 的斜率不存在时，可得:1l x =±，代入方程可得：2114y +=，解得32y =±，可得MN 当直线l 的斜率存在时，可设:l y kx b =+，联立可得））得1(0,3)B ，2(1,0)F ，12B F k =所以直线MN 的斜率为33，所以直线()2231313x y =++=．消去y 并化简得13(1)求椭圆E的方程；(2)是否存在实数λ，使椭圆若不存在，请说明理由；(3)椭圆E的内接四边形ABCD4t4t【点睛】方法点睛：本题（2圆联立求出弦长，然后再结合基本不等式求解出最值11．已知椭圆221:184x yC+=与椭圆(1)求椭圆2C的标准方程：不妨设P 在第一象限以及x 故000022AP AQ k y y k x x -+⋅=⋅=-由题意知直线AP 存在斜率，设其方程为若直线l ，m 中两条直线分别与两条坐标轴垂直，则其中有一条必与直线所以直线l 的斜率存在且不为零，设直线()()1122,,,A x y B x y ，()1y k x ⎧=+。

高考数学(简单版)-4圆锥曲线的弦长面积问题-简单难度-讲义

圆锥曲线的弦长面积问题知识讲解一、弦长问题设圆锥曲线C ∶(),0f x y =与直线:l y kx b =+相交于()11,A x y ，()22,B x y 两点，则弦长AB 为：()222121212141x AB x x k x x x x k a∆=-=++-=+()12121222211141y AB y y y y y y k ka∆=-=++-=+或二、面积问题1.三角形面积问题直线AB 方程：y kx m =+ d PH ==12ABP S AB d ∆=⋅=2.焦点三角形的面积直线AB 过焦点21,F ABF ∆112121212ABF S F F y y c y y ∆=⋅-=-=3.平行四边形的面积直线AB 为1y kx m =+，直线CD 为2y kx m =+d CH ==12AB x =-=ABCDSAB d =⋅==三、范围问题方法：首选均值不等式或对勾函数，其实用二次函数配方法，最后选导数思想均值不等式：222(,)a b ab a b R +≥∈变式：2,);()(,)2a b a b a b R ab a b R ++++≥∈≤∈ 作用：当两个正数的积为定值时求出这两个正数的和的最小值；当两个正数的和为定值时求出这两个正数的积的最大值注意：应用均值不等式求解最值时，应注意“一”正“二”定“三”相等圆锥曲线经常用到的均值不等式形式：1）2226464t S t t t==++（注意分0,0,0t t t =><三种情况讨论） 2）224222121212333196123696k AB t k k k=+=+≤+++⨯+++当且仅当2219k k=时，等号成立 3）222002200259342593464925y x PQ x y =+⋅+⋅≥+=当且仅当22002200259259925y x x y ⋅=⋅时等号成立. 4）2282m m S -+===当且仅当228m m =-+时，等号成立 5）2221121k m m S -++==≤=当且仅当221212k m +=时等号成立.经典例题一．选择题（共9小题）1．（2018•南开区二模）设F1，F2是离心率为5的双曲线的两个焦点，P是双曲线上的一点，且3|PF1|=4|PF2|，则△PF1F2的面积等于（）A．4B．8C．24 D．48【解答】解：∵设F1，F2是离心率为5的双曲线的两个焦点，∴e===5，解得a2=1，∴c=5，∴|F1F2|=2c=10，∵3|PF1|=4|PF2|，∴设|PF2|=x，则|PF1|=|PF2|=x，由双曲线的性质知x﹣x=2，解得x=6．∴|PF1|=8，|PF2|=6，∴∠F1PF2=90°，∴△PF1F2的面积=×6×8=24．故选：C．2．（2018•济南二模）设椭圆：＞，＞的左、右焦点分别为F1，F2，点E（0，t）（0＜t＜b）．已知动点P在椭圆上，且点P，E，F2不共线，若△PEF2的周长的最小值为4b，则椭圆C的离心率为（）A．B．C．D．【解答】解：△PEF2的周长为|PE|+|PF2|+|EF2|=|PE|+|PF2|+|EF1|，当P，E，F1共线时，此时周长最小，∴|PE|+|PF2|+|EF1|=|PF2|+|PF1|=2a=4b，∴a=2b，∴e===，故选：A．3．（2018•商丘三模）已知椭圆的右焦点为F，A是椭圆上一点，点M（0，4），则△AMF的周长最大值为（）A．18 B．16C．12D．13【解答】解：如图所示设椭圆的左焦点为F′（3，0），|MF|==5=|MF′|，则|AF|+|AF′|=2a=8，∵|MA|﹣|MF′|≤|MF′|，∴△AMF的周长=|MF|+|AF|+|AM|=|MF|+|FA|+8﹣|AF′|≤5+8+5=18，当且仅当三点A，F′，M共线时取等号．∴△AMF的周长最大值等于18．故选：A．4．（2018•呼和浩特一模）已知F1，F2是双曲线＞，＞的左、右焦点，过F1的直线l与双曲线的左右两支分别交于点A，B，若△OBF2为等边三角形，则双曲线的离心率为（）A．B．2C．2D．2【解答】解：∵△OBF2为等边三角形，∴∠BF2O=60°，∵O是F1F2的中点，∴∠F1BF2=90°，∴|BF1|=c，|BF2|=c，根据双曲线的定义，可得|AF1|﹣|AF2|=2a，∴c﹣c=2a，∴e===+1故选：A．5．（2018•湛江二模）已知F是双曲线：x2右焦点，P是C上一点，且PF与x轴垂直，点A的坐标是（0，8），则△PAF的面积为（）A．6 B．8C．12 D．16【解答】解：由双曲线C：x2﹣=1的右焦点F（3，0），PF与x轴垂直，设（3，y），y＞0，则y=8，则P（3，8），∵点A的坐标是（0，8），∴AP⊥PF，则|AP|=3，丨PF丨=8，∴△PAF的面积S=×3×8=12，同理当y＜0时，则△PAF的面积S=12，故选：C．6．（2018•石家庄模拟）过抛物线焦点F的直线交抛物线于A，B两点，点C在直线y=﹣1上，若△ABC为正三角形，则其边长为（）A．11 B．12C．13 D．14【解答】解：抛物线焦点为（0，1），设A（x1，y1），B（x2，y2），线段AB的中点D（x0，y0），设直线AB的斜率为k，则直线方程为y=kx+1，由，消y可得x2﹣4kx﹣4=0，∴x1+x2=4k，∴y1+y2=k（x1+x2）+2=4k2+2，∴|AB|=y1+y2+2=4k2+4，∴x0=2k，y0=2k2+1，∴D（2k，2k2+1），∴线段AB的垂直平分线的方程为y﹣2k2﹣1=﹣（x﹣2k），即y=﹣x+2k2+3，令y=﹣1，则x=2k3+4k，∴C（2k3+4k，﹣1）∴点C到直线AB的距离|CD|==，∵△ABC为正三角形，∴|CD|=|AB|，∴=•（4k2+4），整理可得k2=2，∴|AB|=4k2+4=12，故选：B．7．（2018•南昌二模）已知抛物线y2=4x的焦点为F，准线l与x轴的交点为K，抛物线上一点P，若|PF|=5，则△PKF的面积为（）A．4 B．5C．8 D．10【解答】解：F（1，0），K（﹣1，0），准线方程为x=﹣1，设P（x0，y0），则|PF|=x0+1=5，即x0=4，不妨设P在第一象限，则P（4，4），∴S PKF=×|FK|×|y0|=×2×4=4．故选：A．8．（2018•西宁二模）抛物线y2=4x的焦点为F，点A（5，3），M为抛物线上一点，且M不在直线AF上，则△MAF周长的最小值为（）A．10 B．11C．12 D．6+【解答】解：求△MAF周长的最小值，即求|MA|+|MF|的最小值，设点M在准线上的射影为D，根据抛物线的定义，可知|MF|=|MD|因此，|MA|+|MF|的最小值，即|MA|+|MD|的最小值根据平面几何知识，可得当D，M，A三点共线时|MA|+|MD|最小，因此最小值为x A﹣（﹣1）=5+1=6，∵|AF|==5，∴△MAF周长的最小值为11，故选：B．9．（2018•松山区校级一模）已知圆C：与y轴相切，抛物线E：y2=2px（p＞0）过圆心C，其焦点为F，则直线CF被抛物线所截得的弦长等于（）A．B．C．D．【解答】解：圆C：与y轴相切，可得圆心C（，2），半径r=2，且m=±4，抛物线E：y2=2px（p＞0）过圆心C，其焦点为F，4=4p，解得p=1，即C（2，2），F（，0），准线方程为x=﹣，直线CF：y=（x﹣），代入抛物线y2=2x可得8x2﹣17x+2=0，可得x1+x2=，由抛物线的定义可得弦长为x1+x2+p=+1=，故选：C．二．填空题（共6小题）10．（2018•福建模拟）已知A，B分别为椭圆C的长轴端点和短轴端点，F是C 的焦点．若△ABF为等腰三角形，则C的离心率等于．【解答】解：设椭圆的标准方程：（a＞b＞0），由题意可知：设A，B分别为椭圆的左顶点及上顶点，则|AB|=，|BF|=a，|AF|=a+c，则|AB=|AF|，则=a+c，由b2=a2﹣c2，整理得2c2+2ac﹣a2=0，由e=，则2e2+2e﹣1=0，解得：e=或e=，由0＜e＜1，则e=．故答案为：．11．（2017秋•延安期末）椭圆=1的左焦点为F1，过右焦点F2的直线与椭圆相交于点A、B．则△A F1B的周长是8．【解答】解：∵椭圆方程为：=1，∴椭圆的长半轴a=2，由椭圆的定义可得，AF1+AF2=2a=4，且BF1+BF2=2a=4，∴△ABF1的周长为：AB+AF1+BF1=（AF1+BF1）+（AF2+BF2）=4a=8，故答案为：8．12．（2017秋•珠海期末）已知F1，F2为椭圆=1的两个焦点，过F2的直线交椭圆于A，B两点，若|F1A|+|F1B|=，则|AB|=3．【解答】解：椭圆=1的a=2，由题意的定义，可得，|AF1|+|AF2|=|BF1|+|BF2|=2a，则三角形ABF2的周长为4a=8，若|F1A|+|F1B|=，则|AB|=4a﹣（|F1A|+|F1B|）=8﹣5=3．故答案为：3．13．（2018•合肥一模）抛物线E：y2=4x的焦点为F，准线l与x轴交于点A，过抛物线E上一点P（第一象限内）作l的垂线PQ，垂足为Q．若四边形AFPQ的周长为16，则点P的坐标为（4，4）．【解答】解：如图，设P（，），（t＞0），则四边形AFPQ的周长为AF+PF+PQ+AQ=16．∴2+++t=16，解得t=4，∴点P的坐标为（4，4），故答案为：（4，4）．14．（2017秋•桂林期末）过抛物线y2=4x的焦点作直线交抛物线于A（x1，y1），B（x2，y2）两点，若x1+x2=6，则|AB|=8．【解答】解：由题意，p=2，故抛物线的准线方程是x=﹣1，∵抛物线y2=4x 的焦点作直线交抛物线于A（x1，y1）B（x2，y2）两点∴|AB|=x1+x2+2，又x1+x2=6∴∴|AB|=x1+x2+2=8故答案为8．15．（2017秋•丹东期末）已知抛物线y2=2px（p＞0）的过焦点的弦为AB，且|AB|=9，x A+x B=6，则p=3．【解答】解：如图，∵AB过焦点F，且|AB|=9，x A+x B=6，∴|AB|=x A+x B+p=6+p=9，即p=3．故答案为：3．三．解答题（共4小题）16．（2017秋•永定区校级月考）已知椭圆的焦点为F1，F2，椭圆上的点P满足∠F1PF2=60°，求△PF1F2的面积．【解答】解：方法一：椭圆焦点在x轴上，a=10，b=8，c=6，则焦点坐标坐标F1（﹣6，0），F2（6，0），丨F1F2丨=12，丨PF1丨+丨PF2丨=2a=20，由余弦定理可得：丨F1F2丨2=丨PF1丨2+丨PF2丨2﹣2丨PF2丨丨PF2丨cos∠F1PF2=（丨PF1丨+丨PF2丨）2﹣3丨PF2丨丨PF2丨，∴丨PF2丨丨PF2丨=，则△PF1F2的面积S=×丨PF2丨丨PF2丨×sin∠F1PF2=．∴△PF1F2的面积．方法二：椭圆焦点在x轴上，a=10，b=8，c=6，则椭圆的焦点三角形的面积公式S=b2tan=64×tan30°=，∴△PF1F2的面积．17．（2016秋•碑林区校级期末）已知椭圆的长轴长为10，两焦点F1，F2的坐标分别为（3，0）和（﹣3，0）（1）求椭圆的标准方程．（2）若P为短轴的一个端点，求三角形F1PF2的面积．【解答】解：（1）设椭圆标准方程为，由题意可得所以a=5，b=4因此椭圆标准方程为（2）设P（0，4）为短轴的一个端点，s F1PF2==12．所以18．（2016•全国）过椭圆C：+=1右焦点F的直线l交C于两点A（x1，y1），B（x2，y2），且A不在x轴上．（Ⅰ）求|y1y2|的最大值；（Ⅱ）若=，求直线l的方程．【解答】解：（Ⅰ）椭圆C：+=1右焦点F为（4，0），设AB的直线方程为x=ky+4，由，消x可得（9k2+25）y2+72ky﹣81=0，∴|y1y2|=，当k=0时，|y1y2|有最大值，最大值为，（Ⅱ）∵=，∴|FB|=4|AF|，∴=4，∴y2=﹣4y1，由（Ⅰ）可得y1y2=﹣=﹣4y12，y1+y2=﹣=﹣3y1，∴=，解得k=±，∴直线方程为x=±y+4，∴x±3y﹣4=0．19．（2014秋•惠州期末）设直线y=2x﹣4与抛物线y2=4x交于A，B两点．（1）求抛物线的焦点坐标和准线方程；（2）求A，B两点的坐标，并求出线段AB的长．【解答】解：（1）由题意可知抛物线的焦点在x轴上，开口向右，即有2p=4，解得p=2，故焦点坐标为（1，0），准线为x=﹣1；（2）由，消去y，得x2﹣5x+4=0，解出x1=1，x2=4，于是，y1=﹣2，y2=4，所以A，B两点的坐标分别为A（4，4），B（1，﹣2），则有线段AB的长：．。

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2014年一轮复习圆锥曲线的弦长面积问题
内容明细内容
要求层次
了解理解掌握圆锥曲线
椭圆的定义与标准方程√
椭圆的简单几何意义√
抛物线的定义及其标准方程√
抛物线的简单几何意义√
双曲线的定义及标准方程√
双曲线的简单几何性质√
直线与圆锥曲线的位置关系√
题型一：弦长问题
设圆锥曲线C∶()
,0
f x y=与直线:l y kx b
=+相交于()
11
,
A x y，()
22
,
B x y两点，
则弦长AB为：
()
222
121212
1141x
AB k x x k x x x x k
a
∆
=+-=++-=+
()
121212
222
111
1141y
AB y y y y y y
k k k a
∆
=+-=++-=+
或
题型二：面积问题
1.三角形面积问题
直线AB方程：y kx m
=+00
2
1
kx y m
d PH
k
-+
==
+
00
2
2
11
1
22a1
x
ABP
kx y m
S AB d k
k
∆
∆-+
=⋅=+⋅
+
自检自查必考点
圆锥曲线
2014年高考怎么考
H
O
y
x
P
B
A
2. 焦点三角形的面积
直线AB 过焦点21,F ABF ∆的面积为
1
1212121
2y ABF c S F F y y c y y a
∆∆=⋅-=-=
F 2
F 1
O
y
x
B
A
3. 平行四边形的面积
直线AB 为1y kx m =+，直线CD 为2y kx m =+ 122
1m m d CH k
-==
+
2222
12121211()41x AB k x x k x x x x k a
∆=+-=++-=+
12
122
2
11x x ABCD
m m m m S AB d k a
a
k
∆∆--=⋅=+⋅
=
+
题型三：范围问题
首选均值不等式或对勾函数，其实用二次函数配方法，最后选导数思想均值不等式 222(,)a b ab a b R +≥∈ 变式：2
2(,);(
)(,)2
a b a b ab a b R ab a b R ++++≥∈≤∈ 作用：当两个正数的积为定值时求出这两个正数的和的最小值；当两个正数的和为定值时求出这两个正数的积的最大值
注意：应用均值不等式求解最值时，应注意“一”正“二”定“三”相等圆锥曲线经常用到的均值不等式形式：（1）222
64
64t S t t t
=
=++（注意分0,0,0t t t =><三种情况讨论）
（2）22
42
2
2121212
333196123696
k AB t k k k
=+=+≤+++⨯+++ 当且仅当22
1
9k k =
时，等号成立
（3）22222
0000
2222
0000
2592593425934225964925925y x y x PQ x y x y =+⋅+⋅≥+⋅⨯⋅= 当且仅当22
00
22
00
259259925y x x y ⋅=⋅时等号成立. （4）22222131111812(8)22222
2223m m m S m m m -+=-⋅=-+≤⨯= 当且仅当228m m =-+时，等号成立（5）222
1122222
11112
222221221(21)22214242221212121k m m m k m k m m S k k k k k
-++-+-+=+⋅=≤=++++ 当且仅当221212k m +=时等号成立.
【例1
】已知椭圆22221(0)x y a b a b +=>>经过点(2,1)A ，离心率为2
2
，过点(3,0)B 的直线l 与椭圆交于
不同的两点,M N ．
（Ⅰ）求椭圆的方程；（Ⅱ）若2
2
3||=MN ，求直线MN 的方程．
例题精讲
【例2】已知椭圆C 的中心在原点，焦点在x 轴上，左右焦点分别为12,F F ，且12||2F F =，点（1，
3
2
）在椭圆C 上．
（Ⅰ）求椭圆C 的方程；
（Ⅱ）过1F 的直线l 与椭圆C 相交于,A B 两点，且2AF B ∆的面积为122
7
，求以2F 为圆心且与直线l 相切的圆的方程．
【例3】已知,,A B C 是椭圆W :2
214
x y +=上的三个点, O 是坐标原点. （Ⅰ）当点B 是W 的右顶点,且四边形OABC 为菱形时,求此菱形的面积;
（Ⅱ）当点B 不是W 的顶点时,判断四边形OABC 是否可能为菱形,并说明理由.
【例4】已知椭圆2
2
:14
y C x +=，过点()03M ，
的直线l 与椭圆C 相交于不同的两点A 、B ．（Ⅰ）若l 与x 轴相交于点N ，且A 是MN 的中点，求直线l 的方程；
（Ⅱ）设P 为椭圆上一点，且OA OB OP λ+=（O 为坐标原点），求当3AB <时，实数λ的取值范围．
【例5】已知椭圆()11:2
22>=+a y a
x C 的上顶点为A ,左焦点为F ,直线AF 与圆
0726:22=+-++y x y x M 相切.过点⎪⎭⎫ ⎝
⎛
-21,0的直线与椭圆C 交于Q P ,两点.
（Ⅰ）求椭圆C 的方程;
（Ⅱ）当APQ ∆的面积达到最大时,求直线的方程.
【例6】已知椭圆()22
22:10x y M a b a b
+=>>的左右焦点分别为()()122,0,2,0F F -．在椭圆M 中有一内接
三角形ABC ，其顶点C 的坐标(
)
3,1，AB 所在直线的斜率为
3
3
．（Ⅰ）求椭圆M 的方程；
（Ⅱ）当ABC ∆的面积最大时，求直线AB 的方程．
【例7】在平面直角坐标系xOy 中，动点P 到直线:2l x =的距离是到点(1,0)F 的距离的2倍．
（Ⅰ）求动点P 的轨迹方程；
（Ⅱ）设直线FP 与（Ⅰ）中曲线交于点Q ，与l 交于点A ，分别过点P 和Q 作l 的垂线，垂足为,M N ，问：是否存在点P 使得APM ∆的面积是AQN ∆面积的9倍？若存在，求出P 的坐标；若不存在，说明理由．
【例8】在平面直角坐标系xOy 中，点B 与点(1,1)A -关于原点O 对称，P 是动点，且直线AP 与BP 的斜
率之积等于13
-
. （Ⅰ）求动点P 的轨迹方程；
（Ⅱ）设直线AP 和BP 分别与直线3x =交于点,M N ，问：是否存在点P 使得PAB ∆与PMN ∆的面积相等？若存在，求出点P 的坐标；若不存在，说明理由。