北京中考三角形全等复习汇编

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2021年北京市中考数学总复习考点21：全等三角形

2021年北京市中考数学总复习考点21：全等三角形一．选择题（共9小题）1．如图，点D，E分别在线段AB，AC上，CD与BE相交于O点，已知AB=AC，现添加以下的哪个条件仍不能判定△ABE≌△ACD（）A．∠B=∠C B．AD=AE C．BD=CE D．BE=CD【分析】欲使△ABE≌△ACD，已知AB=AC，可根据全等三角形判定定理AAS、SAS、ASA添加条件，逐一证明即可．【解答】解：∵AB=AC，∠A为公共角，A、如添加∠B=∠C，利用ASA即可证明△ABE≌△ACD；B、如添AD=AE，利用SAS即可证明△ABE≌△ACD；C、如添BD=CE，等量关系可得AD=AE，利用SAS即可证明△ABE≌△ACD；D、如添BE=CD，因为SSA，不能证明△ABE≌△ACD，所以此选项不能作为添加的条件．故选：D．2．下列各图中a、b、c为三角形的边长，则甲、乙、丙三个三角形和左侧△ABC 全等的是（）A．甲和乙B．乙和丙C．甲和丙D．只有丙【分析】根据三角形全等的判定方法得出乙和丙与△ABC全等，甲与△ABC不全等．【解答】解：乙和△ABC全等；理由如下：在△ABC和图乙的三角形中，满足三角形全等的判定方法：SAS，所以乙和△ABC全等；在△ABC和图丙的三角形中，满足三角形全等的判定方法：AAS，所以丙和△ABC全等；不能判定甲与△ABC全等；故选：B．3．已知：如图，点P在线段AB外，且PA=PB，求证：点P在线段AB的垂直平分线上，在证明该结论时，需添加辅助线，则作法不正确的是（）A．作∠APB的平分线PC交AB于点CB．过点P作PC⊥AB于点C且AC=BCC．取AB中点C，连接PCD．过点P作PC⊥AB，垂足为C【分析】利用判断三角形全等的方法判断即可得出结论．【解答】解：A、利用SAS判断出△PCA≌△PCB，∴CA=CB，∠PCA=∠PCB=90°，∴点P在线段AB的垂直平分线上，符合题意；C、利用SSS判断出△PCA≌△PCB，∴CA=CB，∠PCA=∠PCB=90°，∴点P在线段AB的垂直平分线上，符合题意；D、利用HL判断出△PCA≌△PCB，∴CA=CB，∴点P在线段AB的垂直平分线上，符合题意，B、过线段外一点作已知线段的垂线，不能保证也平分此条线段，不符合题意；故选：B．4．如图，AB⊥CD，且AB=CD．E、F是AD上两点，CE⊥AD，BF⊥AD．若CE=a，BF=b，EF=c，则AD的长为（）A．a+c B．b+c C．a﹣b+c D．a+b﹣c【分析】只要证明△ABF≌△CDE，可得AF=CE=a，BF=DE=b，推出AD=AF+DF=a+（b﹣c）=a+b﹣c；【解答】解：∵AB⊥CD，CE⊥AD，BF⊥AD，∴∠AFB=∠CED=90°，∠A+∠D=90°，∠C+∠D=90°，∴∠A=∠C，∵AB=CD，∴△ABF≌△CDE，∴AF=CE=a，BF=DE=b，∵EF=c，∴AD=AF+DF=a+（b﹣c）=a+b﹣c，故选：D．5．如图，∠ACB=90°，AC=BC．AD⊥CE，BE⊥CE，垂足分别是点D、E，AD=3，BE=1，则DE的长是（）A．B．2 C．2 D．【分析】根据条件可以得出∠E=∠ADC=90°，进而得出△CEB≌△ADC，就可以得出BE=DC，就可以求出DE的值．【解答】解：∵BE⊥CE，AD⊥CE，∴∠E=∠ADC=90°，∴∠EBC+∠BCE=90°．∵∠BCE+∠ACD=90°，∴∠EBC=∠DCA．在△CEB和△ADC中，，∴△CEB≌△ADC（AAS），∴BE=DC=1，CE=AD=3．∴DE=EC﹣CD=3﹣1=2故选：B．6．如图，五边形ABCDE中有一正三角形ACD，若AB=DE，BC=AE，∠E=115°，则∠BAE的度数为何？（）A．115 B．120 C．125 D．130【分析】根据全等三角形的判定和性质得出△ABC与△AED全等，进而得出∠B=∠E，利用多边形的内角和解答即可．【解答】解：∵正三角形ACD，∴AC=AD，∠ACD=∠ADC=∠CAD=60°，∵AB=DE，BC=AE，∴△ABC≌△AED，∴∠B=∠E=115°，∠ACB=∠EAD，∠BAC=∠ADE，∴∠ACB+∠BAC=∠BAC+∠DAE=180°﹣115°=65°，∴∠BAE=∠BAC+∠DAE+∠CAD=65°+60°=125°，故选：C．7．如图，已知∠ABC=∠DCB，添加以下条件，不能判定△ABC≌△DCB的是（）A．∠A=∠D B．∠ACB=∠DBC C．AC=DB D．AB=DC【分析】全等三角形的判定方法有SAS，ASA，AAS，SSS，根据定理逐个判断即可．【解答】解：A、∠A=∠D，∠ABC=∠DCB，BC=BC，符合AAS，即能推出△ABC ≌△DCB，故本选项错误；B、∠ABC=∠DCB，BC=CB，∠ACB=∠DBC，符合ASA，即能推出△ABC≌△DCB，故本选项错误；C、∠ABC=∠DCB，AC=BD，BC=BC，不符合全等三角形的判定定理，即不能推出△ABC≌△DCB，故本选项正确；D、AB=DC，∠ABC=∠DCB，BC=BC，符合SAS，即能推出△ABC≌△DCB，故本选项错误；故选：C．8．如图，四边形ABCD中，AB=AD，AC=5，∠DAB=∠DCB=90°，则四边形ABCD 的面积为（）A．15 B．12.5 C．14.5 D．17【分析】过A作AE⊥AC，交CB的延长线于E，判定△ACD≌△AEB，即可得到=△ACE是等腰直角三角形，四边形ABCD的面积与△ACE的面积相等，根据S△ACE×5×5=12.5，即可得出结论．【解答】解：如图，过A作AE⊥AC，交CB的延长线于E，∵∠DAB=∠DCB=90°，∴∠D+∠ABC=180°=∠ABE+∠ABC，∴∠D=∠ABE，又∵∠DAB=∠CAE=90°，∴∠CAD=∠EAB，又∵AD=AB，∴△ACD≌△AEB，∴AC=AE，即△ACE是等腰直角三角形，∴四边形ABCD的面积与△ACE的面积相等，=×5×5=12.5，∵S△ACE∴四边形ABCD的面积为12.5，故选：B．9．如图，△ACB和△ECD都是等腰直角三角形，CA=CB，CE=CD，△ACB的顶点A在△ECD的斜边DE上，若AE=，AD=，则两个三角形重叠部分的面积为（）A．B．3C．D．3【分析】如图设AB交CD于O，连接BD，作OM⊥DE于M，ON⊥BD于N．想办法求出△AOB的面积．再求出OA与OB的比值即可解决问题；【解答】解：如图设AB交CD于O，连接BD，作OM⊥DE于M，ON⊥BD于N．∵∠ECD=∠ACB=90°，∴∠ECA=∠DCB，∵CE=CD，CA=CB，∴△ECA≌△DCB，∴∠E=∠CDB=45°，AE=BD=，∵∠EDC=45°，∴∠ADB=∠ADC+∠CDB=90°，在Rt△ADB中，AB==2，∴AC=BC=2，∴S×2×2=2，△ABC=∵OD平分∠ADB，OM⊥DE于M，ON⊥BD于N，∴OM=ON，∵====，=2×=3﹣，∴S△AOC故选：D．二．填空题（共4小题）10．如图，△ABC的两条高AD，BE相交于点F，请添加一个条件，使得△ADC ≌△BEC（不添加其他字母及辅助线），你添加的条件是AC=BC．【分析】添加AC=BC，根据三角形高的定义可得∠ADC=∠BEC=90°，再证明∠EBC=∠DAC，然后再添加AC=BC可利用AAS判定△ADC≌△BEC．【解答】解：添加AC=BC，∵△ABC的两条高AD，BE，∴∠ADC=∠BEC=90°，∴∠DAC+∠C=90°，∠EBC+∠C=90°，∴∠EBC=∠DAC，在△ADC和△BEC中，∴△ADC≌△BEC（AAS），故答案为：AC=BC．11．如图，在△ABC和△DEF中，点B，F，C，E在同一直线上，BF=CE，AB∥DE，请添加一个条件，使△ABC≌△DEF，这个添加的条件可以是AB=ED（只需写一个，不添加辅助线）．【分析】根据等式的性质可得BC=EF，根据平行线的性质可得∠B=∠E，再添加AB=ED可利用SAS判定△ABC≌△DEF．【解答】解：添加AB=ED，∵BF=CE，∴BF+FC=CE+FC，即BC=EF，∵AB∥DE，∴∠B=∠E，在△ABC和△DEF中，∴△ABC≌△DEF（SAS），故答案为：AB=ED．12．等腰三角形ABC中，顶角A为40°，点P在以A为圆心，BC长为半径的圆上，且BP=BA，则∠PBC的度数为30°或110°．【分析】分两种情形，利用全等三角形的性质即可解决问题；【解答】解：如图，当点P在直线AB的右侧时．连接AP．∵AB=AC，∠BAC=40°，∴∠ABC=∠C=70°，∵AB=AB，AC=PB，BC=PA，∴△ABC≌△BAP，∴∠ABP=∠BAC=40°，∴∠PBC=∠ABC﹣∠ABP=30°，当点P′在AB的左侧时，同法可得∠ABP′=40°，∴∠P′BC=40°+70°=110°，故答案为30°或110°．13．如图，在四边形ABCD中，AB=AD=5，BC=CD且BC＞AB，BD=8．给出以下判断：①AC垂直平分BD；②四边形ABCD的面积S=AC•BD；③顺次连接四边形ABCD的四边中点得到的四边形可能是正方形；④当A，B，C，D四点在同一个圆上时，该圆的半径为；⑤将△ABD沿直线BD对折，点A落在点E处，连接BE并延长交CD于点F，当BF⊥CD时，点F到直线AB的距离为．其中正确的是①③④．（写出所有正确判断的序号）【分析】依据AB=AD=5，BC=CD，可得AC是线段BD的垂直平分线，故①正确；依据四边形ABCD的面积S=，故②错误；依据AC=BD，可得顺次连接四边形ABCD的四边中点得到的四边形是正方形，故③正确；当A，B，C，D四点在同一个圆上时，设该圆的半径为r，则r2=（r﹣3）2+42，得r=，故④正确；连接AF，设点F到直线AB的距离为h，由折叠可得，四边形ABED是菱形，AB=BE=5=AD=GD，BO=DO=4，依据S△BDE=×BD×OE=×BE×DF，可得DF=，进而得出EF=，再根据S△ABF =S梯形ABFD﹣S△ADF，即可得到h=，故⑤错误．【解答】解：∵在四边形ABCD中，AB=AD=5，BC=CD，∴AC是线段BD的垂直平分线，故①正确；四边形ABCD的面积S=，故②错误；当AC=BD时，顺次连接四边形ABCD的四边中点得到的四边形是正方形，故③正确；当A，B，C，D四点在同一个圆上时，设该圆的半径为r，则r2=（r﹣3）2+42，得r=，故④正确；将△ABD沿直线BD对折，点A落在点E处，连接BE并延长交CD于点F，如图所示，连接AF，设点F到直线AB的距离为h，由折叠可得，四边形ABED是菱形，AB=BE=5=AD=GD，BO=DO=4，∴AO=EO=3，=×BD×OE=×BE×DF，∵S△BDE∴DF==，∵BF⊥CD，BF∥AD，∴AD⊥CD，EF==，=S梯形ABFD﹣S△ADF，∵S△ABF∴×5h=（5+5+）×﹣×5×，解得h=，故⑤错误；故答案为：①③④．三．解答题（共23小题）14．如图，AE和BD相交于点C，∠A=∠E，AC=EC．求证：△ABC≌△EDC．【分析】依据两角及其夹边分别对应相等的两个三角形全等进行判断．【解答】证明：∵在△ABC和△EDC中，，∴△ABC≌△EDC（ASA）．15．如图，已知AC平分∠BAD，AB=AD．求证：△ABC≌△ADC．【分析】根据角平分线的定义得到∠BAC=∠DAC，利用SAS定理判断即可．【解答】证明：∵AC平分∠BAD，∴∠BAC=∠DAC，在△ABC和△ADC中，，∴△ABC≌△ADC．16．如图，EF=BC，DF=AC，DA=EB．求证：∠F=∠C．【分析】欲证明∠F=∠C，只要证明△ABC≌△DEF（SSS）即可；【解答】证明：∵DA=BE，∴DE=AB，在△ABC和△DEF中，，∴△ABC≌△DEF（SSS），∴∠C=∠F．17．如图，已知线段AC，BD相交于点E，AE=DE，BE=CE．（1）求证：△ABE≌△DCE；（2）当AB=5时，求CD的长．【分析】（1）根据AE=DE，BE=CE，∠AEB和∠DEC是对顶角，利用SAS证明△AEB≌△DEC即可．（2）根据全等三角形的性质即可解决问题．【解答】（1）证明：在△AEB和△DEC中，，∴△AEB≌△DEC（SAS）．（2）解：∵△AEB≌△DEC，∴AB=CD，∵AB=5，∴CD=5．18．如图，△ABC中，D是BC边上一点，E是AD的中点，过点A作BC的平行线交BE的延长线于F，且AF=CD，连接CF．（1）求证：△AEF≌△DEB；（2）若AB=AC，试判断四边形ADCF的形状，并证明你的结论．【分析】（1）由AF∥BC得∠AFE=∠EBD，继而结合∠EAF=∠EDB、AE=DE即可判定全等；（2）根据AB=AC，且AD是BC边上的中线可得∠ADC=90°，由四边形ADCF是矩形可得答案．【解答】证明：（1）∵E是AD的中点，∴AE=DE，∵AF∥BC，∴∠AFE=∠DBE，∠EAF=∠EDB，∴△AEF≌△DEB（AAS）；（2）连接DF，∵AF∥CD，AF=CD，∴四边形ADCF是平行四边形，∵△AEF≌△DEB，∴BE=FE，∵AE=DE，∴四边形ABDF是平行四边形，∴DF=AB，∵AB=AC，∴DF=AC，∴四边形ADCF是矩形．19．如图，∠A=∠D=90°，AC=DB，AC、DB相交于点O．求证：OB=OC．【分析】因为∠A=∠D=90°，AC=BD，BC=BC，知Rt△BAC≌Rt△CDB（HL），所以AB=CD，证明△ABO与△CDO全等，所以有OB=OC．【解答】证明：在Rt△ABC和Rt△DCB中，∴Rt△ABC≌Rt△DCB（HL），∴∠OBC=∠OCB，∴BO=CO．20．如图，已知AB=AD，AC=AE，∠BAE=∠DAC．求证：∠C=∠E．【分析】由∠BAE=∠DAC可得到∠BAC=∠DAE，再根据“SAS”可判断△BAC≌△DAE，根据全等的性质即可得到∠C=∠E．【解答】解：∵∠BAE=∠DAC，∴∠BAE﹣∠CAE=∠DAC﹣∠CAE，即∠BAC=∠DAE，在△ABC和△ADE中，∵，∴△ABC≌△ADE（SAS），∴∠C=∠E．21．如图，点B、F、C、E在一条直线上，FB=CE，AB∥ED，AC∥FD，AD交BE 于O．求证：AD与BE互相平分．【分析】连接BD，AE，判定△ABC≌△DEF（ASA），可得AB=DE，依据AB∥DE，即可得出四边形ABDE是平行四边形，进而得到AD与BE互相平分．【解答】证明：如图，连接BD，AE，∵FB=CE，∴BC=EF，又∵AB∥ED，AC∥FD，∴∠ABC=∠DEF，∠ACB=∠DFE，在△ABC和△DEF中，，∴△ABC≌△DEF（ASA），∴AB=DE，又∵AB∥DE，∴四边形ABDE是平行四边形，∴AD与BE互相平分．22．已知：在四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于点E，且AC⊥BD，作BF ⊥CD，垂足为点F，BF与AC交于点C，∠BGE=∠ADE．（1）如图1，求证：AD=CD；（2）如图2，BH是△ABE的中线，若AE=2DE，DE=EG，在不添加任何辅助线的情况下，请直接写出图2中四个三角形，使写出的每个三角形的面积都等于△ADE 面积的2倍．【分析】（1）由AC⊥BD、BF⊥CD知∠ADE+∠DAE=∠CGF+∠GCF，根据∠BGE=∠ADE=∠CGF得出∠DAE=∠GCF即可得；（2）设DE=a，先得出AE=2DE=2a、EG=DE=a、AH=HE=a、CE=AE=2a，据此知S△=2a2=2S△ADE，证△ADE≌△BGE得BE=AE=2a，再分别求出S△ABE、S△ACE、S△BHG，ADC从而得出答案．【解答】解：（1）∵∠BGE=∠ADE，∠BGE=∠CGF，∴∠ADE=∠CGF，∵AC⊥BD、BF⊥CD，∴∠ADE+∠DAE=∠CGF+∠GCF，∴∠DAE=∠GCF，∴AD=CD；（2）设DE=a，则AE=2DE=2a，EG=DE=a，=AE•DE=•2a•a=a2，∴S△ADE∵BH是△ABE的中线，∴AH=HE=a，∵AD=CD、AC⊥BD，∴CE=AE=2a，=AC•DE=•（2a+2a）•a=2a2=2S△ADE；则S△ADC在△ADE和△BGE中，∵，∴△ADE≌△BGE（ASA），∴BE=AE=2a，=AE•BE=•（2a）•2a=2a2，∴S△ABES△ACE=CE•BE=•（2a）•2a=2a2，S△BHG=HG•BE=•（a+a）•2a=2a2，综上，面积等于△ADE面积的2倍的三角形有△ACD、△ABE、△BCE、△BHG．23．如图，点E、F在BC上，BE=CF，AB=DC，∠B=∠C，AF与DE交于点G，求证：GE=GF．【分析】求出BF=CE，根据SAS推出△ABF≌△DCE，得对应角相等，由等腰三角形的判定可得结论．【解答】证明：∵BE=CF，∴BE+EF=CF+EF，∴BF=CE，在△ABF和△DCE中∴△ABF≌△DCE（SAS），∴∠GEF=∠GFE，∴EG=FG．24．已知：∠AOB．求作：∠A'O'B'，使∠A'O′B'=∠AOB（1）如图1，以点O为圆心，任意长为半径画弧，分别交OA，OB于点C、D；（2）如图2，画一条射线O′A′，以点O′为圆心，OC长为半径间弧，交O′A′于点C′；（3）以点C′为圆心，CD长为半径画弧，与第2步中所而的弧交于点D′；（4）过点D′画射线O′B'，则∠A'O'B'=∠AOB．根据以上作图步骤，请你证明∠A'O'B′=∠AOB．【分析】由基本作图得到OD=OC=O′D′=O′C′，CD=C′D′，则根据“SSS“可证明△OCD ≌△O′C′D′，然后利用全等三角形的性质可得到∠A'O'B′=∠AOB．【解答】证明：由作法得OD=OC=O′D′=O′C′，CD=C′D′，在△OCD和△O′C′D′中，∴△OCD≌△O′C′D′，∴∠COD=∠C′O′D′，即∠A'O'B′=∠AOB．25．如图，在△ABC中，AD是BC边上的中线，E是AD的中点，过点A作BC 的平行线交BE的延长线于点F，连接CF．（1）求证：AF=DC；（2）若AC⊥AB，试判断四边形ADCF的形状，并证明你的结论．【分析】（1）连接DF，由AAS证明△AFE≌△DBE，得出AF=BD，即可得出答案；（2）根据平行四边形的判定得出平行四边形ADCF，求出AD=CD，根据菱形的判定得出即可；【解答】（1）证明：连接DF，∵E为AD的中点，∴AE=DE，∵AF∥BC，∴∠AFE=∠DBE，在△AFE和△DBE中，，∴△AFE≌△DBE（AAS），∴EF=BE，∵AE=DE，∴四边形AFDB是平行四边形，∴BD=AF，∵AD为中线，∴DC=BD，∴AF=DC；（2）四边形ADCF的形状是菱形，理由如下：∵AF=DC，AF∥BC，∴四边形ADCF是平行四边形，∵AC⊥AB，∴∠CAB=90°，∵AD为中线，∴AD=BC=DC，∴平行四边形ADCF是菱形；26．如图，AB与CD相交于点E，AE=CE，DE=BE．求证：∠A=∠C．【分析】根据AE=EC，DE=BE，∠AED和∠CEB是对顶角，利用SAS证明△ADE ≌△CBE即可．【解答】证明：在△AED和△CEB中，，∴△AED≌△CEB（SAS），∴∠A=∠C（全等三角形对应角相等）．27．如图，已知∠1=∠2，∠B=∠D，求证：CB=CD．【分析】由全等三角形的判定定理AAS证得△ABC≌△ADC，则其对应边相等．【解答】证明：如图，∵∠1=∠2，∴∠ACB=∠ACD．在△ABC与△ADC中，，∴△ABC≌△ADC（AAS），∴CB=CD．28．已知：如图，点A、D、C、B在同一条直线上，AD=BC，AE=BF，CE=DF，求证：AE∥BF．【分析】可证明△ACE≌△BDF，得出∠A=∠B，即可得出AE∥BF；【解答】证明：∵AD=BC，∴AC=BD，在△ACE和△BDF中，，∴△ACE≌△BDF（SSS）∴∠A=∠B，∴AE∥BF；29．如图，在四边形ABCD中，E是AB的中点，AD∥EC，∠AED=∠B．（1）求证：△AED≌△EBC．（2）当AB=6时，求CD的长．【分析】（1）利用ASA即可证明；（2）首先证明四边形AECD是平行四边形，推出CD=AE=AB即可解决问题；【解答】（1）证明：∵AD∥EC，∴∠A=∠BEC，∵E是AB中点，∴AE=EB，∵∠AED=∠B，∴△AED≌△EBC．（2）解：∵△AED≌△EBC，∴AD=EC，∵AD∥EC，∴四边形AECD是平行四边形，∴CD=AE，∵AB=6，∴CD=AB=3．30．如图，AB∥CD，AB=CD，CE=BF．请写出DF与AE的数量关系，并证明你的结论．【分析】结论：DF=AE．只要证明△CDF≌△BAE即可；【解答】解：结论：DF=AE．理由：∵AB∥CD，∴∠C=∠B，∵CE=BF，∴CF=BE，∵CD=AB，∴△CDF≌△BAE，∴DF=AE．31．如图，点A，F，C，D在一条直线上，AB∥DE，AB=DE，AF=DC．求证：BC ∥EF．【分析】由全等三角形的性质SAS判定△ABC≌△DEF，则对应角∠ACB=∠DFE，故证得结论．【解答】证明：∵AB∥DE，∴∠A=∠D，∵AF=DC，∴AC=DF．∴在△ABC与△DEF中，，∴△ABC≌△DEF（SAS），∴∠ACB=∠DFE，∴BC∥EF．32．已知：在△ABC中，AB=AC，D为AC的中点，DE⊥AB，DF⊥BC，垂足分别为点E，F，且DE=DF．求证：△ABC是等边三角形．【分析】只要证明Rt△ADE≌Rt△CDF，推出∠A=∠C，推出BA=BC，又AB=AC，即可推出AB=BC=AC；【解答】证明：∵DE⊥AB，DF⊥BC，垂足分别为点E，F，∴∠AED=∠CFD=90°，∵D为AC的中点，∴AD=DC，在Rt△ADE和Rt△CDF中，，∴Rt△ADE≌Rt△CDF，∴∠A=∠C，∴BA=BC，∵AB=AC，∴AB=BC=AC，∴△ABC是等边三角形．33．已知，在△ABC中，∠A=90°，AB=AC，点D为BC的中点．（1）如图①，若点E、F分别为AB、AC上的点，且DE⊥DF，求证：BE=AF；（2）若点E、F分别为AB、CA延长线上的点，且DE⊥DF，那么BE=AF吗？请利用图②说明理由．【分析】（1）连接AD，根据等腰三角形的性质可得出AD=BD、∠EBD=∠FAD，根据同角的余角相等可得出∠BDE=∠ADF，由此即可证出△BDE≌△ADF（ASA），再根据全等三角形的性质即可证出BE=AF；（2）连接AD，根据等腰三角形的性质及等角的补角相等可得出∠EBD=∠FAD、BD=AD，根据同角的余角相等可得出∠BDE=∠ADF，由此即可证出△EDB≌△FDA （ASA），再根据全等三角形的性质即可得出BE=AF．【解答】（1）证明：连接AD，如图①所示．∵∠A=90°，AB=AC，∴△ABC为等腰直角三角形，∠EBD=45°．∵点D为BC的中点，∴AD=BC=BD，∠FAD=45°．∵∠BDE+∠EDA=90°，∠EDA+∠ADF=90°，∴∠BDE=∠ADF．在△BDE和△ADF中，，∴△BDE≌△ADF（ASA），∴BE=AF；（2）BE=AF，证明如下：连接AD，如图②所示．∵∠ABD=∠BAD=45°，∴∠EBD=∠FAD=135°．∵∠EDB+∠BDF=90°，∠BDF+∠FDA=90°，∴∠EDB=∠FDA．在△EDB和△FDA中，，∴△EDB≌△FDA（ASA），∴BE=AF．34．已知：如图，点A．F，E．C在同一直线上，AB∥DC，AB=CD，∠B=∠D．（1）求证：△ABE≌△CDF；（2）若点E，G分别为线段FC，FD的中点，连接EG，且EG=5，求AB的长．【分析】（1）根据平行线的性质得出∠A=∠C，进而利用全等三角形的判定证明即可；（2）利用全等三角形的性质和中点的性质解答即可．【解答】证明：（1）∵AB∥DC，∴∠A=∠C，在△ABE与△CDF中，∴△ABE≌△CDF（ASA）；（2）∵点E，G分别为线段FC，FD的中点，∴ED=CD，∵EG=5，∴CD=10，∵△ABE≌△CDF，∴AB=CD=10．35．如图，已知四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，且OA=OC，OB=OD，过O点作EF⊥BD，分别交AD、BC于点E、F．（1）求证：△AOE≌△COF；（2）判断四边形BEDF的形状，并说明理由．【分析】（1）首先证明四边形ABCD是平行四边形，再利用ASA证明△AOE≌△COF；（2）结论：四边形BEDF是菱形．根据邻边相等的平行四边形是菱形即可证明；【解答】（1）证明：∵OA=OC，OB=OD，∴四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，∴∠EAO=∠FCO，在△AOE和△COF中，，∴△AOE≌△COF．（2）解：结论：四边形BEDF是菱形，∵△AOE≌△COF，∴AE=CF，∵AD=BC，∴DE=BF，∵DE∥BF，∴四边形BEDF是平行四边形，∵OB=OD，EF⊥BD，∴EB=ED，∴四边形BEDF是菱形．36．如图，点A、D、C、F在同一条直线上，AD=CF，AB=DE，BC=EF．（1）求证：△ABC≌DEF；（2）若∠A=55°，∠B=88°，求∠F的度数．【分析】（1）求出AC=DF，根据SSS推出△ABC≌△DEF．（2）由（1）中全等三角形的性质得到：∠A=∠EDF，进而得出结论即可．【解答】证明：（1）∵AC=AD+DC，DF=DC+CF，且AD=CF∴AC=DF在△ABC和△DEF中，∴△ABC≌△DEF（SSS）（2）由（1）可知，∠F=∠ACB∵∠A=55°，∠B=88°∴∠ACB=180°﹣（∠A+∠B）=180°﹣（55°+88°）=37°∴∠F=∠ACB=37°。

【中考精选】北师大初中数学中考总复习：全等三角形--知识讲解

中考总复习：全等三角形—知识讲解【考纲要求】1.掌握全等三角形的概念和性质，能够准确地辨认全等三角形中的对应元素；2．探索三角形全等的判定方法，能利用三角形全等进行证明，掌握综合法证明的格式；3. 善于发现和利用隐含的等量元素，如公共角、公共边、对顶角等，灵活选择适当的方法判定两个三角形全等.【知识网络】【考点梳理】考点一、基本概念1.全等三角形的定义：能够完全重合的两个三角形叫做全等三角形.2.全等三角形的性质（1）全等三角形对应边相等；（2）全等三角形对应角相等.要点诠释：全等三角形的周长、面积相等；对应的高线，中线，角平分线相等.3.全等三角形的判定方法（1）三边对应相等的两个三角形全等(SSS)；（2）两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等（ASA）；（3）两角和其中一角的对边对应相等的两个三角形全等(AAS)；（4）两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等(SAS)；（5）斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等(HL).考点二、灵活运用定理三角形全等是证明线段相等，角相等的最基本、最常用的方法，这不仅因为全等三角形有很多重要的角相等、线段相等的特征，还在于全等三角形能把已知的线段相等、角相等与未知的结论联系起来．应用三角形全等的判别方法注意以下几点：1. 条件充足时直接应用判定定理要点诠释：在证明与线段或角相等的有关问题时，常常需要先证明线段或角所在的两个三角形全等.这种情况证明两个三角形全等的条件比较充分，只要认真观察图形，结合已知条件分析寻找两个三角形全等的条件即可证明两个三角形全等．12. 条件不足，会增加条件用判定定理要点诠释：此类问题实际是指条件开放题，即指题中没有确定的已知条件或已知条件不充分，需要补充三角形全等的条件．解这类问题的基本思路是：执果索因，逆向思维，即从求证入手，逐步分析，探索结论成立的条件，从而得出答案．3. 条件比较隐蔽时，可通过添加辅助线用判定定理要点诠释：在证明两个三角形全等时，当边或角的关系不明显时，可通过添加辅助线作为桥梁，沟通边或角的关系，使条件由隐变显，从而顺利运用全等三角形的判别方法证明两个三角形全等．常见的几种辅助线添加：①遇到等腰三角形，可作底边上的高，利用“三线合一”的性质解题，思维模式是全等变换中的“对折”；②遇到三角形的中线，倍长中线，使延长线段与原中线长相等，构造全等三角形利用的思维模式是全等变换中的“旋转”；③遇到角平分线，可以自角平分线上的某一点向角的两边作垂线，利用的思维模式是三角形全等变换中的“对折”，所考知识点常常是角平分线的性质定理或逆定理；④过图形上某一点作特定的平分线，构造全等三角形，利用的思维模式是全等变换中的“平移”或“翻转折叠”；⑤截长法与补短法，具体做法是在某条线段上截取一条线段与特定线段相等，或是将某条线段延长，使之与特定线段相等，再利用三角形全等的有关性质加以说明．这种作法，适合于证明线段的和、差、倍、分之类的题目．【典型例题】类型一、全等三角形1．如图，BD、CE分别是△ABC的边AC和AB上的高，点P在BD的延长线上，BP=AC，点Q在CE 上，CQ=AB．求证：（1）AP=AQ；（2）AP⊥AQ．【思路点拨】本题主要考查了全等三角形的判定及性质问题．【答案与解析】证明：（1）∵BD、CE分别是△ABC的边AC和AB上的高，∴∠1+∠CAE=90°，∠2+∠CAE=90°．∴∠1=∠2,∵在△AQC和△PAB中，2∴△AQC≌△PAB．∴ AP=AQ.(2)∵ AP=AQ，∠QAC=∠P，∵∠PAD+∠P=90°，∴∠PAD+∠QAC=90°，即∠PAQ=90°．∴AP⊥AQ．【总结升华】在确定全等条件时，注意隐含条件的寻找.举一反三：【变式】（2015•永州）如图，在四边形ABCD中，∠A=∠BCD=90°，BC=DC．延长AD到E点，使DE=AB．（1）求证：∠ABC=∠EDC；（2）求证：△ABC≌△EDC．【答案与解析】（1）证明：在四边形ABCD中，∵∠BAD=∠BCD=90°，∴90°+∠B+90°+∠ADC=360°，∴∠B+∠ADC=180°，又∵∠CDE+∠ADC=180°，∴∠ABC=∠CDE，（2）连接AC，由（1）证得∠ABC=∠CDE，在△ABC和△EDC中，，∴△ABC≌△EDC（SAS）．类型二、灵活运用定理2．如图，已知AD为△ABC的中线，且∠1＝∠2,∠3＝∠4,求证：BE＋CF＞EF.3【思路点拨】将所求的线段转移到同一个或相关联的三角形中进行求解．【答案与解析】证明：延长ED至M，使DM=DE，连接 CM，MF,在△BDE和△CDM中，∴△BDE≌△CDM（SAS）．∴BE=CM.又∵∠1＝∠2，∠3＝∠4 ，∠1＋∠2＋∠3＋∠4＝180°，∴∠3＋∠2=90°，即∠EDF＝90°，∴∠FDM＝∠EDF ＝90°．在△EDF和△MDF中∴△EDF≌△MDF（SAS）,∴EF＝MF （全等三角形对应边相等）,∵在△CMF中，CF＋CM＞MF（三角形两边之和大于第三边）,∴BE＋CF＞EF.【总结升华】当涉及到有以线段中点为端点的线段时，可通过延长加倍此线段，构造全等三角形，使题中分散的条件集中.举一反三：【变式】如图所示，AD是△ABC的中线，BE交AC于E，交AD于F，且AE=EF. 求证：AC=BF.【答案】证明：延长AD到H，使得DH=AD，连结BH，4∵ D为BC中点，∴ BD=DC，在△ADC和△HDB中，∴△ADC≌△HDB(SAS)，∴ AC=BH, ∠H=∠HAC，∵ EA=EF，∴∠HAE=∠AFE，又∵∠BFH=∠AFE，∴ BH=BF，∴ BF=AC．3．如图，在四边形ABCD中，对角线AC平分∠BAD，AB＞AD，试判断AB-AD与CD-CB的大小关系，并证明你的结论．【思路点拨】解答本题的关键是熟练运用三角形中大边对应大角的关系．【答案与解析】AB-AD＞CD-CB；证明：在AB上取一点E，使得AE=AD，连结CE．∵AC平分∠BAD，∴∠1=∠2．∵在△ACE和△ACD中，∴△ACE≌△ACD．∴CD=CE．∵在△BCE中，BE＞CE-CB，即AB-AE＞CE-CB，∴AB-AD＞CD-CB．【总结升华】本题也可以延长AD到E，使得AE=AB，连结CE．涉及几条线段的大小关系时，用“截长补短”法构造全等三角形是常用的方法．举一反三：【变式】如图所示，已知△ABC中AB＞AC，AD是∠BAC的平分线，M是AD上任意一点，求证：MB－MC＜AB－AC．5【答案】证明：∵AB＞AC，在AB上截取AE＝AC，连接ME．在△MBE中，MB－ME＜BE（三角形两边之差小于第三边）．在△AMC和△AME中，∴△AMC≌△AME（SAS）．∴MC＝ME（全等三角形的对应边相等）．又∵BE＝AB－AE，∴BE＝AB－AC，∴MB－MC＜AB－AC．4．如图，在△ABC中，∠ABC=60°，AD、CE分别平分∠BAC、∠ACB，求证：AC=AE+CD．【思路点拨】在AC上取AF=AE，连接OF，即可证得△AEO≌△AFO，得∠AOE=∠AOF；再证得∠COF=∠COD，则根据全等三角形的判定方法AAS即可证△FOC≌△DOC，可得DC=FC，即可得结论．【答案与解析】在AC上取AF=AE，连接OF，∵AD平分∠BAC、∴∠EAO=∠FAO，在△AEO与△AFO中，∵AE AFEAO FAOAO AO=⎧⎪=⎨⎪=⎩∠∠∴△AEO≌△AFO（SAS），6∴∠AOE=∠AOF；∵AD、CE分别平分∠BAC、∠ACB，∴∠ECA+∠DAC=12（180°-∠B）=60°则∠AOC=180°-∠ECA-∠DAC=120°；∴∠AOC=∠DOE=120°，∠AOE=∠COD=∠AOF=60°，（对顶角相等）则∠COF=60°，∴∠COD=∠COF，又∵∠FCO=∠DCO，CO=CO，∴△FOC≌△DOC（ASA），∴DC=FC，∵AC=AF+FC，∴AC=AE+CD．【总结升华】本题考查了全等三角形的判定和性质，涉及到三角形内角和定理，熟练掌握全等三角形的判定方法是解题的关键．类型三、综合运用5 （2015•泰安）如图，△ABC是直角三角形，且∠ABC=90°，四边形BCDE是平行四边形，E为AC中点，BD平分∠ABC，点F在AB上，且BF=BC．求证：（1）DF=AE；（2）DF⊥AC．【思路点拨】（1）由等边三角形的性质可写出结论．（2）要证明以上结论，需创造一些条件，首先可从△ABC中分出一部分使得与△ACF的面积相等，则过A作AM∥FC交BC于M，连接DM、EM，就可创造出这样的条件，然后再证其它的面积也相等即可．【答案与解析】证明：（1）延长DE交AB于点G，连接AD．∵四边形BCDE是平行四边形，∴ED∥BC，ED=BC．∵点E是AC的中点，∠ABC=90°，∴AG=BG，DG⊥AB．∴AD=BD，∴∠BAD=∠ABD．∵BD平分∠ABC，∴∠ABD=∠BAD=45°，即∠BDE=∠ADE=45°．又BF=BC，∴BF=DE．78 ∴在△AED 与△DFB 中，，∴△AED ≌△DFB （SAS ），∴AE=DF ，即DF=AE ；（2）设AC 与FD 交于点O ．∵由（1）知，△AED ≌△DFB ，∴∠AED=∠DFB ，∴∠DEO=∠DFG ．∵∠DFG+∠FDG=90°，∴∠DEO+∠EDO=90°，∴∠EOD=90°，即DF ⊥AC ．【总结升华】本题考查了平行四边形的性质，全等三角形的判定与性质．全等三角形的判定是结合全等三角形的性质证明线段和角相等的重要工具．在判定三角形全等时，关键是选择恰当的判定条件．举一反三：【变式】如图，△ABC 和△ADE 都是等腰直角三角形，∠BAC=∠DAE=90°,四边形ACDE 是平行四边形，连结CE 交AD 于点F ，连结BD 交CE 于点G ，连结BE. 下列结论中：① CE=BD ； ② △ADC 是等腰直角三角形；③ ∠ADB=∠AEB ； ④ CD·AE=EF·CG；一定正确的结论有( ) ．A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个【答案】D. 6．如图，已知△ABC.（1）请你在BC 边上分别取两点D 、E(BC 的中点除外)，连结AD 、AE ，写出使此图中只存在两对面积相等的三角形的相应条件，并表示出面积相等的三角形；（2）请你根据使(1)成立的相应条件，证明AB+AC ＞AD+AE ．A BC D E F G【思路点拨】考查了三角形面积的求法，全等三角形的判定以及三角形三边的关系．本题（2）中通过构建全等三角形将已知和所求条件转化到相关的三角形中是解题的关键．【答案与解析】（1）令BD=CE≠DE,有△ABD和△ACE，△ABE和△ACD面积相等.（2）取DE的中点O，连结AO并延长到F点，使得FO=AO，连结EF，CF．在△AD0和△FEO中，又∠AOD=∠FOE，DO=EO,可证△ADO≌△FEO．所以AD=FE．因为BD=CE，DO=EO，所以BO=CO.同理可证△ABD≌△FCO，所以AB=FC.延长AE交CF于G点,在△ACG中，AC+CG＞AE+EG，在△EFG中，EG+FG＞EF,可推得AC+CG+EG+FG＞AE+EG+EF,即AC+CF＞AE+EF,所以AB+AC＞AD+AE.【总结升华】正确构造全等和利用三角形的任意两边之和大于第三边的结论是关键.举一反三：【变式】在△ABC中，,∠ACB=90°，AC=BC，直线MN经过点C，且AD⊥MN于D，BE⊥MN于E.(1)当直线MN绕点C旋转到图①的位置时，求证：DE=AD+BE；(2)当直线MN绕点C旋转到图②的位置时，求证：DE=AD-BE；(3)当直线MN绕点C旋转到图③的位置时，试问：DE、AD、BE有怎样的等量关系?请写出这个等量关系，并加以证明．9【答案】(1)证明：∵∠ACD+∠BCE=90°∠DAC+∠ACD=90°，∴∠DAC=∠BCE．又AC=BC，∠ADC=∠BEC=90°，∴△ADC≌△CEB．∴CD=BE，AD=CE．∴DE=CE+CD=AD+BE．（2）证明：∵∠ACD+∠BCE=90°∠DAC+∠ACD=90°，∴∠DAC=∠BCE．又AC=BC，∠ADC=∠BEC=90°，∴△ADC≌△CEB．∴CD=BE，AD=CE．∴DE=AD-BE．（3）证明：∵∠ACD+∠BCE=90°∠DAC+∠ACD=90°，∴∠DAC=∠BCE．又AC=BC，∠ADC=∠BEC=90°，∴△ADC≌△CEB．∴CD=BE，AD=CE．∴DE=BE-AD．10。

北京中考复习——全等三角形(解析版)

北京中考复习——全等三角形一、解答题1、已知：如图，D 是AC 上一点，AB =DA ，DE //AB ，∠B =∠DAE ．求证：BC =AE ．答案：证明见解答．解答：∵DE //AB ，∴∠CAB =∠ADE ，∵在△ABC 和△DAE 中，CAB ADE AB DAB DAE ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩， ∴△ABC ≌△DAE （ASA ），∴BC =AE ．2、如图，点A 、B 、C 、D 在同一条直线上，BE //DF ，∠A =∠F ，AB =FD ．求证：AE =FC ．答案：证明见解答．解答：∵BE //DF ，∴∠ABE =∠D ．在△ABE 和△FDC 中，ABE D AB FD A F ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩.，∴△ABE ≌△FDC （ASA ）．∴AE =FC ．3、如图，点B 在线段AD 上，BC //DE ，AB =ED ，BC =DB ．求证：∠A =∠E ．答案：证明见解答．解答：∵BC //DE ，∴∠ABC =∠EDB ．在△ABC 和△EDB 中，AB DE ABC EDB BC DB =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△ABC ≌△EDB （SAS ），∴∠A =∠E ．4、如图，△ABC 中，AB =AC ，D ，E 两点在BC 边上，且AD =AE ．求证：BD =CE ．答案：证明见解答．解答：方法一：∵AB =AC ，∴∠B =∠C ．∵AD =CE ，∴∠ADE =∠AED ，∴△ABE ≌△ACD ．∴BE =CD ．∴BD =CE ．方法二：如图，作AF ⊥BC 于F ，∵AB =AC ，∴BF =CF ．∴DF =EF ，∴BF -DF =CF -EF ，即BD =CE ．5、如图，点A ，B ，C ，D 在同一条直线上，CE //DF ，EC =BD ，AC =FD ，求证：AE =FB ．答案：证明见解答．解答：∵CE //DF ，∴∠ECA =∠FDB ．在△ECA 和△FDB 中，EC BD ECA F AC FD =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩．∴△ECA ≌△FDB ．∴AE =FB ．6、已知：如图，在△ABC 中，∠ACB =90°，点D 在BC 上，且BD =AC ，过点D 作DE ⊥AB 于点E ，过点B 作CB 的垂线，交DE 的延长线于点F ．求证：AB =DF ．答案：证明见解答．解答：∵BF ⊥BC ，DE ⊥AB ，∠ACB =90°，∴∠DBF =∠BEF =∠ACB =90°．∴∠1+∠2=90°，∠2+∠F =90°在△ABC 和△DFB 中，1F ACB DBF AC BD ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△ABC ≌△DFB ．∴AB =DF ．7、已知：如图，E 为BC 上一点，AC //BD ，AC =BE ，BC =BD ．求证：AB =DE ．答案：证明见解答．解答：∵AC //BD ，∴∠C =∠CBD ．在△ACB 和△EBD 中，∵AC BE C CBD BC BD =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△ACB ≌△EBD ．∴AB =DE ．8、如图，点C ，D 在线段BF 上，AB //DE ，AB =DF ，∠A =∠F ．求证：BC =DE ．答案：证明见解答．解答：∵AB //DE ，∴∠B =∠EDF ．在△ABC 和△FDE 中，A F AB DF B EDF ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩，∴△ABC ≌△FDE （ASA ），∴BC =DE ．9、如图，已知等边三角形ABC ，延长BA 至点D ，延长AC 至点E ，使AD =CE ，连接CD ，BE ．求证：△ACD ≌△CBE ．答案：证明见解答．解答：∵等边三角形ABC ，∴BC =AC ，∠CAB =∠BCA =60°，∵∠DAC +∠CAB =∠BCA +∠ECB =180°，∴∠DAC =∠ECB ，在△ACD 和△CBE 中，AD CE DAC ECB BC AC =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△ACD ≌△CBE （SAS ）．10、已知：如图，E 是BC 上一点，AB =EC ，AB //CD ，BC =CD ．求证：AC =ED ．答案：证明见解答．解答：∵AB //CD ，∴∠B =∠DCE ．在△ABC 和△ECD 中，AB EC B DCE BC CD =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△ABC ≌△ECD ．∴AC =ED ．11、已知：如图，C 为BE 上一点，点A 、D 分别在BE 两侧，AB //ED ，AB =CE ，BC =ED ．求证：AC =CD ．答案：证明见解答．解答：∵AB //ED （已知），∴∠B =∠E （两直线平行，内错角相等）．在△ABC 和△CED 中，AB CE B E BC ED =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△ABC ≌△CED （SAS ）．∴AC =CD （全等三角形对应边相等）．12、如图，∠C =∠E ，∠EAC =∠DAB ，AB =AD ．求证：BC =DE ．答案：证明见解答．解答：∵∠EAC =∠DAB ，∴∠EAC +∠BAE =∠DAB +∠BAE ．即∠BAC =∠DAE ．在△ABC 和△ADE 中，C E BAC DAE AB AD ∠∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩.，∴△ABC ≌△ADE ．∴BC =DE ．13、如图，AC 与BD 交于点O ，OA =OC ，OB =OD ．求证：DC //AB ．答案：证明见解答．解答：在△AOB 和△COD 中，OA OC AOB COD OB OD =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩.，∴△AOB ≌△COD （SAS ），∴∠A =∠C ，∴DC //AB ．14、已知：如图，点A ，D ，C 在同一直线上，AB //EC ，AC =CE ，∠B =∠EDC ．求证：BC =DE ．答案：证明见解答．解答：∵AB //EC ，∴∠A =∠DCE ．在△ABC 和△CDE 中，B EDC A DCE AC CE ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△ABC ≌△CDE ．∴BC =DE ．15、已知线段AC 与BD 相交于点O ，连结AB 、DC ，E 为OB 的中点，F 为OC 的中点，连结EF （如图所示）．若∠A =∠D ，∠OEF =∠OFE ，求证：AB =DC ．答案：证明见解答．解答：∵∠OEF =∠OFE ，∴OE =OF ，∵E 为OB 的中点，F 为OC 的中点，∴OE =12OB ，OF =12OC ，∴OB =OC ，在△ABO 和△DCO 中，A D AOB DOC OB OC ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△AOB ≌△DOC （AAS ），∴AB =DC ．16、如图，点A ，C ，D 在同一条直线上，BC 与AE 交于点F ，AE =AC ，AD =BC ，F A =FC ．求证：∠B =∠D ．答案：证明见解答．解答：∵F A =FC ，∴∠F AC =∠FCA ．在△ABC 和△EDA 中，BC DA ACB EAD AC EA =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△ABC ≌△EDA ．∴∠B =∠D ．17、如图，AB ⊥AD ，AE ⊥AC ，∠E =∠C ，DE =BC ．求证：AD =AB ．答案：证明见解答．解答：∵AB ⊥AD ，AE ⊥AC ，∴∠EAC =∠DAB =90°，即∠EAD +∠DAC =∠CAB +∠DAC ．∴∠EAD =∠CAB ．在△ADE 和△ABC 中，E C EAD CAB DE BC ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△ADE ≌△ABC ．∴AD =AB ．18、已知：如图，C 是AE 的中点，∠B =∠D ，BC //DE ．求证：AB =CD ．答案：证明见解答．解答：∵C 是AE 的中点，∴AC =CE ．______∵BC //DE ，∴∠ACB =∠E ．在△ABC 和△CDE 中，B D ACB E AC CE ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴△ABC ≌△CDE （AAS ）．∴AB =CD ．19、如图，点C ，F 在BE 上，BF =CE ，AB =DE ，∠B =∠E ．求证：∠ACB =∠DFE ．答案：证明见解答．解答：∵BF =CE ，∴BF +CF =CE +CF ，∴BC =EF ，在△ABC 和△DEF 中，AB DE B E BC EF =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△ABC ≌△DEF ，∴∠ACB =∠DFE ．20、已知：如图，EC =AC ，∠BCE =∠DCA ，∠A =∠E ．求证：BC =DC ．答案：证明见解答．解答：∵∠BCE =∠DCA ，∴∠BCE +∠ACE =∠DCA +∠ACE ．即∠ACB =∠ECD ．在△ABC 和△EDC 中，ACB ECD AC ECA E ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩， ∴△ABC ≌△EDC （ASA ）．∴BC =DC ．21、已知：如图，C 是AE 上一点，∠B =∠DAE ，BC //DE ，AC =DE ，求证：AB =DA ．答案：证明见解答．解答：∵BC //DE ，∴∠ACB =∠DEA ．在△ABC 和△DAE 中，B DAE ACB DEA AC DE ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△ABC ≌△DAE ．∴AB =DA ．22、如图，点A ，B ，C ，D 在同一条直线上，AB =FC ，∠A =∠F ，∠EBC =∠FCB ．求证：BE =CD ．答案：证明见解答．解答：∵∠EBC =∠FCB ，∴∠ABE =∠FCD ．在△ABE 与△FCD 中，A F AB FC ABF FCD ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩，∴△ABE ≌△FCD （ASA ），∴BE =CD ．23、如图，AD ⊥BC 于点D ，BE ⊥AC 于点E ，AD 与BE 相交于点F ，且BF =AC ．求证：DF =DC ．答案：证明见解答．解答：∵AD ⊥BC 于D ，BE ⊥AC 于E ，∴∠BDF =∠ADC =∠BEC =90°，在Rt △BEC 和Rt △ADC 中，∠C =∠C ，∴∠B =∠A ．在△BDF 和△ADC 中，BDF ADC B ABF AC ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩， ∴△BDF ≌△ADC ．∴DF =DC ．24、已知：如图，B ，C ，E 三点在同一条直线上，AC //DE ，AC =CE ，∠B =∠D ．求证：△ABC ≌△CDE ．答案：证明见解答．解答：∵AC //DE ，∴∠ACB =∠E在△ABC 和△CDE 中，ACB E B D AC CE ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△ABC ≌△CDE （AAS ）．25、已知：如图，在△ABC 中，AB =AC ，D 为BC 上的一点，DA 平分∠EDC ，且∠E =∠B ．求证：△ADE ≌△ADC ．答案：证明见解答．解答：∵DA 平分∠EDC ，∴∠ADE =∠ADC ．∵AB =AC ，∴∠B =∠C ．又∵∠E =∠B ，∴∠E =∠C ．又∵AD =AD ，∴△ADE ≌△ADC ．。

北师大版中考数学全等三角形复习

全等三角形一：知识梳理1.全等三角形的判定方法（1）三边：三边对应相等的两个三角形全等，简写成“边边边”或“SSS”．（2）两边一角（此角为两边夹角）：两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等，简写成“边角边”或“SAS”．（3）两角一边：①两角和其中一角的对边对应相等的两个三角形全等，简写成“角角边”或“AAS”．②两角和它们的夹边对应相等的两个二角形全等，简写成“角边角”或"ASA”（4）有斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等，简写成“斜过直角边定理”或“HL”．2.全等三角形的性质：全等三角形的对应边相等，对应角相等，且对应角平分线、中线、高、中位线、周长、面积都相等．二：基础巩固：1如图，在△ABC中，AD⊥BC于 D，再添加一个条件_ _ __，就可确定△ABD≌△ACD。

2.已知△ABC≌△DEF,，△DEF的周长32，DE=9，EF=12，则AC=3.如图，若△ABC≌△DEF，∠E等于（）A．30° B．50° C．60° D、100°4.在下列各组几何图形中，一定全等的是（）A．各有一个角是45°的两个等腰三角形；B．两个等边三角形C．腰长相等的两个等腰直角三角形D．各有一个角是40°腰长都是5cm的两个等腰三角形5.两个直角三角形全等的条件是（）A．一锐角对应相等 B．两锐角对应相等C．一条边对应相等 D．两条边对应相等6.如图，已知 AB=CD，AE⊥ BD于 E，CF⊥ BD于 F， AE=CF，则图中全等三角形有（）A．1对 B．2对 C．3对 D．4对7.如图，已知△ABC的六个元素，则下面甲、乙、丙三个三角形中和△ABC全等的图形是（）A．甲和乙 B．乙和丙 C．只有乙 D．只有丙8.如图，已知AB∥DE，AB=DE，AF=DC，请问图中有哪几对全等三角形？并任选其中一对给予证明．9.如图，已知AB、CD相交于点O，AC∥BD，OC=OD，E、F为AB上两点，且AE=BF，试说明CE＝DF．10．如图，AD∥BC，∠A=90°，E是AB上的一点，且AD=BE，∠1=∠2．求证：△ADE≌△BEC．11．如图，E、F是四边形ABCD的对角线BD上的两点，AE∥CF，AE=CF，BE=DF．求证：△ADE≌△CBF．12．如图，在8×8的正方形网格中，△ABC的顶点和线段EF的端点都在边长为1的小正方形的顶点上．（1）填空：∠ABC= _________ ，BC= _________ ．（2）请你在图中找出一点D，再连接DE、DF，使以D、E、F为顶点的三角形与△ABC全等，并加以证明．三、拓展提高1．如图，D、E为△ABC两边AB、AC的中点，将△ABC沿线段DE折叠，使点A落在点F处，若∠B=55°，则∠BDF等于（）A． 55°B．60°C．70°D． 90°2.下列说法中不正确的是（）A．有两角和其中一角的对边对应相等的两个三角形全等B．有两边和其中一边上的中线对应相等的两个三角形全等C．有一边对应相等的两个等边三角形全等D．面积相等的两个直角三角形全等3．对于条件：①两条直角边对应相等；②斜边和一锐角对应相等；③斜边和一直角边对应相等；④直角边和一锐角对应相等；以上能断定两直角三角形全等的有（）A． 1个B． 2个C． 3个D． 4个4.如图，AC和BD相交于点O，AB=DC，∠A＝∠D，（1）请写出符合条件的五个结论（对顶角除外，且不添加辅助线）（2）从你写出的五个结论中任选一个说明你的理由．5.如图，AB=AE，∠ABC＝∠AED，BC=ED，点F是CD的中点（1）求证：AF⊥CD；（2）在你连结BE后，还能得出什么新的结论？请写出三个．（不要求证明）6．如图，BC=EC，∠1=∠2，要使△ABC≌△DEC，则应添加的一个条件为_________ ．并加以证明．7.如图，在△ABC中，∠C=90°，点D是AB边上的一点，DM⊥AB，且DM=AC，过点M作ME∥BC交AB于点E．求证：△ABC≌△MED．8．如图，△ABC中，AB=AC，过点A作GE∥BC，角平分线BD、CF相交于点H，它们的延长线分别交GE于点E、G．试在图中找出3对全等三角形，并对其中一对全等三角形给出证明．9．用两个全等的等边三角形△ABC和△ACD拼成菱形ABCD．把一个含60°角的三角尺与这个菱形叠合，使三角尺的60°角的顶点与点A重合，两边分别与AB，AC重合．将三角尺绕点A按逆时针方向旋转．（1）当三角尺的两边分别与菱形的两边BC，CD相交于点E，F时，（如图1），通过观察或测量BE，CF的长度，你能得出什么结论并证明你的结论；（2）当三角尺的两边分别与菱形的两边BC，CD的延长线相交于点E，F时（如图2），你在（1）中得到的结论还成立吗？简要说明理由．。

北京中考题型：全等三角形(无答案)

全等三角形题型一：考查全等三角形的性质（2013海淀）6．已知图中的两个三角形全等，则∠1等于（）A ． 72°B ．60°C ．50°D ．58°（2013西城）12．如图是两个全等三角形，图中的字母表示三角形的边长，那么根据图中提供的信息可知1∠的度数为．（2014西城）4．如图，△ABC 沿AB 向下翻折得到△ABD ，若∠ABC ＝30°，∠ADB ＝100°，则∠BAC 的度数是（）．A ．30°B ．100°C ．50°D ．80°（2015海淀）5．如图，△ABC ≌△DCB ，若AC ＝7，BE ＝5，则DE 的长为A ．2B ．3C ．4D ．5（2014海淀）17．如图，△ABC ≌△DEF ，点F 在BC 边上，AB与EF 相交于点P .若，PB=PF ，则°.（2014海淀）18．如图，△ABC 是等边三角形，点D 为 AC 边上一点，以BD为边作等边△BDE, 连接CE ．若CD ＝1，CE ＝3，则BC ＝_____．37DEF ∠=︒APF ∠=1c b a ba 72°50°（2014海淀）20.如图，分别以正方形ABCD 的四条边为边，向其内部作等边三角形，得到△ABE 、△BCF 、△CDG 、△DAH ，连接EF 、FG 、GH 、HE .若AB =2，则四边形EFGH 的面积为.题型二：全等三角形的判定方法（2015海淀）7．工人师傅常用角尺平分一个任意角．做法如下：如图，∠AOB是一个任意角，在边OA ，OB 上分别取OM ＝ON ，移动角尺，使角尺两边相同．．的刻度分别与点M ，N 重合，过角尺顶点C 作射线OC ．由此作法便可得△MOC ≌△NOC ，其依据是A ．SSSB ．SASC ．ASAD ．AAS（2015西城）17．如图，要测量一条小河的宽度AB 的长，可以在小河的岸边作AB 的垂线MN ，然后在MN 上取两点C ，D ，使BC =CD ，再画出MN 的垂线DE ，并使点E 与点A ，C 在一条直线上，这时测得DE 的长就是AB 的长，其中用到的数学原理是：_ ．（2015西城）14．如图，点B 在线段AD 上，∠ABC =∠D ，AB ED =．要使△ABC ≌△EDB ，则需要再添加的一个条件是（只需填一个条件即可）．(2014海淀)10.如图，在△ABC 和△CDE 中，若,AB=CD ，BC=DE ，则下列结论中不正确．．．的是（A ）△ABC ≌△CDE （B ）CE=AC（C ）AB ⊥CD （D ）E 为BC 中点︒=∠=∠90CED ACB（2014西城）8．下列判断中错误．．的是（）． A ．有两角和其中一个角的对边对应相等的两个三角形全等B ．有一边相等的两个等边三角形全等C ．有两边和一角对应相等的两个三角形全等D ．有两边和其中一边上的中线对应相等的两个三角形全等（2015海淀）22．如图，E 为BC 上一点，AC ∥BD ，AC ＝BE ，BC＝DB ．求证：AB= ED ．(2014海淀)23.如图，点、在上，，，∠=∠. 求证: ∠=∠.（2015西城）23．已知：如图，A ，O ，B 三点在同一条直线上，∠A =∠C ，∠1=∠2，OD ＝OB ．求证：AD =CB ．证明：（2014西城）20．已知：如图，点A ，B ，C ，D 在一条直线上，AB =CD ，AE ∥FD ，且∠E =∠F ．求证：EC=FB ．证明：F C BE BF CE =AB DE =B E A D（2013海淀）18．如图,在△ABC 中，AB =AC ,D 是BC 的中点，DE ⊥AB 于E ，DF ⊥AC 于F ．求证：DE =DF ．题型三：三角形全等的综合运用（2015西城）27．已知：△ABC 是等边三角形．（1）如图1，点D 在AB 边上，点E 在AC 边上，BD ＝CE ，BE 与CD 交于点F ．试判断BF 与CF 的数量关系，并加以证明；（2）点D 是AB 边上的一个动点，点E 是AC 边上的一个动点，且BD ＝CE ，BE 与CD 交于点F ．若△BFD 是等腰三角形，求∠FBD 的度数．图1 备用图B（1）BF与CF的数量关系为：．证明：（2）解：（2015西城附加）3．如图1，在平面直角坐标系xOy中，点A在y轴上，点B是第一象限的点，且AB⊥y轴，且AB=OA，点C是线段OA上任意一点，连接BC，作BD⊥BC，交x轴于点D．（1）依题意补全图1；（2）用等式表示线段OA，AC与OD之间的数量关系，并证明；②连接CD，作∠CBD的平分线，交CD边于点H，连接AH，求∠BAH的度数．图1 备用图（1）依题意补全图1；（2）线段OA，AC，OD之间的数量关系为：_____________________________；证明：（3）解：（2014海淀）27.阅读：如图1，在△ABC 中，，，，求的长.小明的思路：如图2，作于点E ，在AC 的延长线上取点D ，使得，连接BD ,易得,△ABD 为等腰三角形.由和，易得，△BCD 为等腰三角形.依据已知条件可得AE 和的长.图1 图2解决下列问题：（1）图2中，=，=；（2）在△ABC 中，、、的对边分别为a 、b 、c .①如图3，当时，用含a 、c 的式子表示b ；（要求写解答过程） ②当，，时，可得a =.图33180A B ∠+∠=︒4BC =5AC =AB BE AC ⊥DE AE =A D ∠=∠3180A ABC ∠+∠=︒180A ABC BCA ∠+∠+∠=︒2BCA A ∠=∠AB AE AB A ∠B ∠C ∠32180A B ∠+∠=︒34180A B ∠+∠=︒2b =3c=（2014西城）26．已知：在△ABC中，∠ABC<60°，CD平分∠ACB交AB于点D，点E在线段CD上（点E不与点C，D重合），且∠EAC=2∠EBC．（1）如图1，若∠EBC=27°，且EB=EC，则∠DEB=°，∠AEC=°；（2）如图2．①求证：AE＋AC=BC；②若∠ECB=30°，且AC=BE，求∠EBC的度数．图1 图2（2）①证明：②解：（2013西城）22．（1）阅读理解：我们知道，只用直尺和圆规不能解决的三个经典的希腊问题之一是三等分任意角，但是这个任务可以借助如图所示的一边上有刻度的勾尺完成，勾尺的直角顶点为P ，“宽臂”的宽度．．=PQ=QR=RS ．．．．．．．．．，（这个条件很重要哦！）勾尺的一边MN 满足M ，N ，Q 三点共线（所以PQ ⊥MN ）．下面以三等分ABC ∠为例说明利用勾尺三等分锐角的过程：第一步：画直线DE 使DE ∥BC ，且这两条平行线的距离等于PQ ；第二步：移动勾尺到合适位置，使其顶点P 落在DE 上，使勾尺的MN 边经过点B ，同时让点R 落在ABC ∠的BA 边上；第三步：标记此时点Q 和点P 所在位置，作射线BQ 和射线BP ．请完成第三步操作，图中ABC ∠的三等分线是射线、．（2）在（1）的条件下补全三等分．．．ABC ∠的主要证明过程：∵，BQ ⊥PR ，∴BP=BR ．（线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等）∴ ∠=∠．∵PQ ⊥MN ，PT ⊥BC ，PT =PQ ，∴ ∠=∠． ∴∠=∠=∠．（3）在（1）的条件下探究：13ABS ABC ∠=∠是否成立？如果成立，请说明理由；如果不成立，请在下图中 ABC ∠的外部．．画出13ABV ABC ∠=∠（无需写画法，保留画图痕迹即可）．解：（2013西城）23．已知：如图，在平面直角坐标系xOy 中，(2,0)A -，(0,4)B ，点C 在第四象限，AC ⊥AB ， AC=AB ．（1）求点C 的坐标及∠COA 的度数；（2）若直线BC 与x 轴的交点为M ，点P 在经过点C 与x 轴平行的直线上，直接写出BOM POM S S ∆∆+的值．解：（1）（2）BOM POM S S ∆∆+的值为．。

北师大版九年级数学下册中考总复习全等图形与三角形全等基本判定定理(5种)(有答案)

全等图形与全等三角形基本判定定理【复习回顾】【1】下列说法错误的是（）A ．三角形的高、中线、角平分线都是线段B ．三角形的三条中线都在三角形内部C ．锐角三角形的三条高一定交于同一点D ．三角形的三条高、三条中线、三条角平分线都交于同一点【2】如图，AD 是△ABC 的中线，ED 是△ABD 的中线，若25cm S AED =△，则2______cm S ABC =△【3】如图，BD ⊥AC ，垂足为点D ，点E 在BC 上，EF ⊥AC ，垂足为点G ，∠1＝∠2. （1）试说明：DB ∥FE （2）HF 与BC 的位置关系如何？为什么？（3）若∠1=︒x ，求∠C 的度数（用含x 的代数式表示）注：本题第（1）、（2）小题在下面的解答过程的空格内填写理由或数学式；第（3）小题要写出解题过程。

解：（1）∵BD ⊥AC ，EF ⊥AC ，（已知）∴DB ∥FE. （）（2）HF 与BC 的位置关系：______________理由如下：∵DB ∥FE （已证）∴∠1＝∠______.（）∵∠1＝∠2；（已知）∴∠2＝∠______. （等量代换）∴_______∥________ （）（3）【知识分析】一、全等图形及其性质1、在通常的平面几何里，把平面上的一个图形搬到另一个图形上，如果它们能够完全重合，那么这两个图形叫做全等图形。

2、全等图形的形状、大小都要相同，对应角与对应边也相等，周长、面积也相等。

但周长或面积相等的两个图形，不一定是全等图形。

二、全等三角形的定义1、能完全重合的两个三角形叫全等三角形。

2、两个全等三角形重合时，互相重合的顶点叫对应点，能互相重合的边叫对应边，能互相重合的角叫对应角。

3、“全等”用“≌”表示，读作：“全等于”如上面问题中△ABC与△ADE,可以记作：△ABC“≌”△ADE,注意：对应点写在对应位置上。

4、全等三角形主要是指形状、大小相同的两个三角形，与位置无关系，将一个三角形经过平移、翻折、旋转后，得到的三角形与原三角形全等。

北京育英中学数学全等三角形中考真题汇编[解析版]

北京育英中学数学全等三角形中考真题汇编[解析版]一、八年级数学轴对称三角形填空题（难）1．如图，在四边形ABCD 中，BC CD = ，对角线BD 平分ADC ∠，连接AC ，2ACB DBC ∠=∠，若4AB =，10BD =，则ABC S =_________________．【答案】10【解析】【分析】由等腰三角形的性质和角平分线的性质可推出AD ∥BC ，然后根据平行线的性质和已知条件可推出CA=CD ，可得CB=CA=CD ，过点C 作CE ⊥BD 于点E ，CF ⊥AB 于点F ，如图，根据等腰三角形的性质和已知条件可得DE 的长和BCF CDE ∠=∠，然后即可根据AAS 证明△BCF ≌△CDE ，可得CF=DE ，再根据三角形的面积公式计算即得结果．【详解】解：∵BC CD =，∴∠CBD =∠CDB ，∵BD 平分ADC ∠，∴∠ADB =∠CDB ，∴∠CBD =∠ADB ，∴AD ∥BC ，∴∠CAD =∠ACB ，∵2ACB DBC ∠=∠，2ADC BDC ∠=∠，∠CBD =∠CDB ，∴ACB ADC ∠=∠，∴CAD ADC ∠=∠，∴CA=CD ，∴CB=CA=CD ，过点C 作CE ⊥BD 于点E ，CF ⊥AB 于点F ，如图，则152DE BD ==，12BCF ACB ∠=∠， ∵12BDC ADC ∠=∠，ACB ADC ∠=∠，∴BCF CDE ∠=∠，在△BCF 和△CDE 中，∵BCF CDE ∠=∠，∠BFC =∠CED =90°，CB=CD ，∴△BCF ≌△CDE （AAS ），∴CF=DE =5，∴11451022ABC S AB CF =⋅=⨯⨯=．故答案为：10．【点睛】本题考查了等腰三角形的判定和性质、平行线的判定和性质、角平分线的定义以及全等三角形的判定和性质等知识，涉及的知识点多、综合性强、具有一定的难度，正确添加辅助线、熟练掌握上述知识是解题的关键．2．已知A、B两点的坐标分别为（0，3），（2，0），以线段AB为直角边，在第一象限内作等腰直角三角形ABC，使∠BAC＝90°，如果在第二象限内有一点P（a，12），且△ABP和△ABC的面积相等，则a＝_____．【答案】-83．【解析】【分析】先根据AB两点的坐标求出OA、OB的值，再由勾股定理求出AB的长度，根据三角形的面积公式即可得出△ABC的面积；连接OP，过点P作PE⊥x轴，由△ABP的面积与△ABC的面积相等，可知S△ABP＝S△POA+S△AOB﹣S△BOP＝132，故可得出a的值．【详解】∵A、B两点的坐标分别为（0，3），（2，0），∴OA＝3，OB＝2，∴223+213AB＝＝，∵△ABC是等腰直角三角形，∠BAC＝90°，∴1113•1313222 ABCS AB AC⨯⨯＝＝＝，作PE⊥x轴于E，连接OP，此时BE＝2﹣a，∵△ABP的面积与△ABC的面积相等，∴111•••222 ABP POA AOB BOPS S S S OA OE OB OA OB PE ++＝﹣＝﹣，111113332222222a⨯⨯+⨯⨯⨯⨯＝（﹣）﹣＝，解得a＝﹣83．故答案为﹣83．【点睛】本题考查等腰直角三角形的性质，坐标与图象性质，三角形的面积公式，解题的关键是根据S△ABP=S△POA+S△AOB-S△BOP列出关于a的方程．3．在平面直角坐标系xOy中，已知点A（2，3），在x轴上找一点P，使得△AOP是等腰三角形，则这样的点P共有_____个．【答案】4【解析】【分析】以O为圆心，OA为半径画弧交x轴于点P1、P3，以A为圆心，AO为半径画弧交x轴于点P4，作OA的垂直平分线交x轴于P2．【详解】解：如图，使△AOP是等腰三角形的点P有4个．故答案为4．【点睛】本题考查了在平面直角坐标系中寻找等腰三角形，掌握两圆一线找等腰三角形是解题的关键．4．如图，点P 是AOB 内任意一点，5OP cm =，点P 与点C 关于射线OA 对称，点P 与点D 关于射线OB 对称，连接CD 交OA 于点E ，交OB 于点F ，当PEF 的周长是5cm 时，AOB ∠的度数是______度．【答案】30【解析】【分析】根据轴对称得出OA 为PC 的垂直平分线，OB 是PD 的垂直平分线，根据线段垂直平分线性质得出12COA AOP COP ，12POB DOB POD ，PE=CE ，OP=OC=5cm ，PF=FD ，OP=OD=5cm ，求出△COD 是等边三角形，即可得出答案．【详解】解：如图示：连接OC ，OD ，∵点P 与点C 关于射线OA 对称，点P 与点D 关于射线OB 对称，∴OA 为PC 的垂直平分线，OB 是PD 的垂直平分线，∵OP=5cm ，∴12COA AOP COP ，12POB DOB POD ，PE=CE ，OP=OC=5cm ，PF=FD ，OP=OD=5cm ，∵△PEF 的周长是5cm ，∴PE+EF+PF=CE+EF+FD=CD=5cm ，∴CD=OD=OD=5cm ，∴△OCD 是等边三角形，∴∠COD=60°，∴11122230AOB AOP BOP COP DOP COD ，故答案为：30．【点睛】本题考查了线段垂直平分线性质，轴对称性质和等边三角形的性质和判定，能求出△COD 是等边三角形是解此题的关键．5．如图，在△ABC 中，AB 的中垂线交BC 于D ，AC 的中垂线交BC 于E ，若∠BAC=126°，则∠EAD=_____°.【答案】72°【解析】【分析】根据AB 的中垂线可得BAD ∠，再根据AC 的中垂线可得EAC ∠，再结合∠BAC=126°即可计算出∠EAD .【详解】根据AB 的中垂线可得BAD ∠=B根据AC 的中垂线可得EAC ∠=C ∠18012654B C ︒︒︒∠+∠=-=又 126BAD DAE EAC BAC ︒∠+∠+∠=∠=+C+126B DAE ︒∴∠∠∠=72DAE ︒∴∠=【点睛】本题主要考查中垂线的性质，重点在于等量替换表示角度.6．如图，在ABC ∆中，AB AC =，点D 和点A 在直线BC 的同侧，,82,38BD BC BAC DBC =∠=︒∠=︒，连接,AD CD ，则ADB ∠的度数为__________．【答案】30°【解析】【分析】先根据等腰三角形的性质和三角形的内角和定理以及角的和差求出ABD ∠的度数，然后作点D 关于直线AB 的对称点E ，连接BE 、CE 、AE ，如图，则BE=BD ，∠EBA=∠DB ，∠BEA =∠BDA ，进而可得∠EBC=60°，由于BD=BC ，从而可证△EBC 是等边三角形，可得∠BEC =60°，EB=EC ，进一步即可根据SSS 证明△AEB ≌△AEC ，可得∠BEA 的度数，问题即得解决．【详解】解：∵AB AC =，82BAC ∠=︒，∴180492BAC ABC ︒-∠∠==︒， ∵38DBC ∠=︒，∴493811ABD ∠=︒-︒=︒，作点D 关于直线AB 的对称点E ，连接BE 、CE 、AE ，如图，则BE=BD ，∠EBA=∠DBA =11°，∠BEA =∠BDA ，∴∠EBC=11°+11°+38°=60°，∵BD=BC ，∴BE=BC ，∴△EBC 是等边三角形，∴∠BEC =60°，EB=EC ，又∵AB=AC ，EA=EA ，∴△AEB ≌△AEC （SSS ），∴∠BEA =∠CEA =1302BEC ∠=︒， ∴∠ADB =30°．【点睛】本题考查了等腰三角形的性质、三角形的内角和定理、等边三角形的判定和性质、全等三角形的判定和性质以及轴对称的性质等知识，涉及的知识点多、综合性强，难度较大，作点D关于直线AB的对称点E，构造等边三角形和全等三角形的模型是解题的关键．7．如图，在△ABC中，∠C＝90°，∠B＝30°，以点A为圆心，任意长为半径画弧分别交AB，AC于点M和N，再分别以点M，N为圆心，大于12MN的长为半径画弧，两弧交于点P，连接AP并延长交BC于点D，则下列说法：①AD是∠BAC的平分线；②∠ADC＝60°；③点D在AB的垂直平分线上；④S△DAC：S△ABC＝1：3.其中正确的是__________________．(填所有正确说法的序号)【答案】4【解析】【分析】①连接NP，MP，根据SSS定理可得△ANP≌△AMP，故可得出结论；②先根据三角形内角和定理求出∠CAB的度数，再由AD是∠BAC的平分线得出∠1=∠2=30°，根据直角三角形的性质可知∠ADC=60°；③根据∠1=∠B可知AD=BD，故可得出结论；④先根据直角三角形的性质得出∠2=30°，CD=12AD，再由三角形的面积公式即可得出结论．【详解】①连接NP，MP．在△ANP与△AMP中，∵AN AMNP MPAP AP=⎧⎪=⎨⎪=⎩，∴△ANP≌△AMP，则∠CAD=∠BAD，故AD是∠BAC的平分线，故此选项正确；②∵在△ABC中，∠C=90°，∠B=30°，∴∠CAB=60°．∵AD是∠BAC的平分线，∴∠1=∠2=12∠CAB=30°，∴∠3=90°﹣∠2=60°，∴∠ADC=60°，故此选项正确；③∵∠1=∠B=30°，∴AD=BD，∴点D在AB的中垂线上，故此选项正确；④∵在Rt△ACD中，∠2=30°，∴CD=12AD，∴BC=BD+CD=AD+12AD=32AD，S△DAC=12AC•CD=14AC•AD，∴S △ABC=12AC•BC=12AC•32AD=34AC•AD，∴S△DAC：S△ABC=1：3，故此选项正确．故答案为①②③④．【点睛】本题考查的是作图﹣基本作图，熟知角平分线的作法是解答此题的关键．8．如图，在△ABC中，AB＝AC，点D、E在BC的延长线上，G是AC上一点，且CG＝CD，F是GD上一点，且DF＝DE．若∠A＝100°，则∠E的大小为_____度．【答案】10【解析】【分析】由DF=DE，CG=CD可得∠E=∠DFE，∠CDG=∠CGD，再由三角形的外角的意义可得∠GDC=∠E+∠DFE=2∠E，∠ACB=∠CDG+∠CGD=2∠CD G，进而可得∠ACB=4∠E，最后代入数据即可解答.【详解】解：∵DF＝DE，CG＝CD，∴∠E＝∠DFE，∠CDG＝∠CGD，∵GDC＝∠E+∠DFE，∠ACB＝∠CDG+∠CGD，∴GDC＝2∠E，∠ACB＝2∠CDG，∴∠ACB＝4∠E，∵△ABC中，AB＝AC，∠A＝100°，∴∠ACB＝40°，∴∠E＝40°÷4＝10°．故答案为10．【点睛】本题考查等腰三角形的性质以及三角形外角的定义，解题的关键是灵活运用等腰三角形的性质和三角形的外角的定义确定各角之间的关系.9．如图，△ABC中，AB=AC=12厘米，BC=9厘米，点D为AB的中点，如果点P在线段BC 上以v厘米/秒的速度由B点向C点运动，同时点Q在线段CA上由C点向A点运动。

2023北京初三一模数学汇编：三角形全等的判定

2023北京初三一模数学汇编三角形全等的判定已知：如图，在ABC中，．甲的方法：证明：作∠分线交BC于点D．．（2023·北京顺义·统考一模）在证明“等腰三角形的两个底角相等这个性质定理时，添加的辅助线以下两种不同的叙述方法，请选择其中一种完成证明．=，求证：等腰三角形的性质定理：等腰三角形的两个底角相等．已知：如图，在ABC中，AB AC法一证明：如图，做．（2023·北京朝阳等腰三角形的两个底角相等”其中一种，完成证明．已知：如图，在ABC 中，．方法一证明：如图，作ABC 的中线方法二证明：如图，作ABC 的角平分线统考一模）下面是证明等腰三角形性质定理三线合一”的三种方法，选择其中一种完方法一：已知：如图，ABC 中，BAC ． BC ⊥．方法二：已知：如图，ABC为BC 中， ABC 中，AD BC ⊥求证：BD BAD ∠=∠(1)求证：MEN AOC(2)点F在线段NO上，点G在线段NO延长线上，连接EF，EG，若EF EG=，依题意补全图形，用等式表示线段NF，OG，OM之间的数量关系，并证明．参考答案1．选择甲的方法，证明见解析．【分析】选择甲的方法，作BAC∠的平分线交BC于点D，得BAD CAD∠=∠，结合已知即可证明ABD ACD△≌△()AAS从而得到结论．【详解】解：选择甲的方法：证明：作BAC∠的平分线交BC于点D．∴BAD CAD∠=∠．在ABD△与ACD中，B CBAD CADAD AD∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴ABD ACD△≌△()AAS∴AB AC=．【点睛】本题考查了全等三角形的证明和性质，解题的关键是熟练掌握全等三角形的证明方法．2．见解析【分析】方法一：根据“SAS”证明ABD ACD△≌△即可得出结论；方法二：根据“SSS”证明ABD ACD△≌△即可得出结论．【详解】方法一：AD平分BAC∠，∴BAD CAD∠=∠.AB AC=，AD AD=，∴ABD CAD≌△△，∴B C∠=∠.方法二：D为BC中点，∴BD CD=.AB AC=，AD AD=，∴ABD CAD≌△△∴B C∠=∠.【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定和性质，解题的关键是熟练掌握三角形全等的判定方法．3．见解析【分析】方法一：取BC中点D，连接AD．利用SSS证明ABD ACD△≌△，由全等三角形的性质可得出结论；方法二：作BAC∠的角平分线，交BC于点D．利用SAS证明ABD ACD△≌△，由全等三角形的性质可得出结论．【详解】解：方法一，证明：如图，取BC中点D，连接AD，则BD CD =，在ABD△和ACD 中，AB AC AD AD BD CD =⎧⎪=⎨⎪=⎩，(SSS)ABD ACD ∴≌，B C ∴∠=∠；方法二：证明：如图，作BAC ∠的角平分线，交BC 于点D ．BAD CAD ∴∠=∠，在ABD △和ACD 中，AB AC BAD CAD AD AD =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，SAS ABD ACD ∴△≌△()，B C ∴∠=∠．【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，证明ABD ACD △≌△是解题的关键．4．证明见解析【分析】三种方法证明BAD CAD ≌，利用全等三角形的性质即可证明结论．【详解】证明：方法一：∵AD 平分BAC ∠，∴BAD CAD ∠=∠，在BAD 和CAD 中，AB AC BAD CAD AD AD =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴()SAS BAD CAD ≌，∴BD CD =，ADB ADC ∠=∠，∵180ADB ADC ∠+∠=︒，∴90ADB ADC ∠=∠=︒，即AD BC ⊥，∴BD CD =，AD BC ⊥；方法二：∵点D 为BC 中点，∴BD CD =，在BAD 和CAD 中，AB AC BD CD AD AD =⎧⎪=⎨⎪=⎩，∴()SSS BAD CAD ≌△△，∴BAD CAD ∠=∠，ADB ADC ∠=∠，∵180ADB ADC ∠+∠=︒，∴90ADB ADC ∠=∠=︒，即AD BC ⊥，∴BAD CAD ∠=∠，AD BC ⊥；方法三：∵AD BC ⊥，∴90ADB ADC ∠=∠=︒，在Rt BAD 和Rt CAD △中，AB AC AD AD =⎧⎨=⎩， ∴()HL BAD CAD △≌△，∴BAD CAD ∠=∠，BD CD =．【点睛】本题主要考查了三线合一定理的证明，全等三角形的性质与判定，熟知全等三角形的性质与判定条件是解题的关键．5．(1)见解析(2)OM NF OG ＝＋，理由见解析【分析】（1）先根据角的平分线的性质，过点E 作EH CD ⊥，EK AB ⊥，垂足分别是H ，K ，得EH EK ＝，再根据三角形全等的判定，证明Rt EHN Rt EKM ≌即可得结论．（2）作辅助线，在线段OM 上截取1OG OG ＝，连接EG 1，先证明1EOG EOG ≌，得1EG EG =，1EG O EGF ∠=∠，再证明1ENF EMG ≌，得1NF MG ＝，再推导得出结论．【详解】（1）（1）证明：作EH CD ⊥，EK AB ⊥，垂足分别是H ，K ，如图．∵OE 是BOC ∠的平分线，∴EH EK ＝．∵ME NE ＝，∴Rt EHN Rt EKM ≌．∴ENH EMK ∠∠＝．记ME 与OC 的交点为P ，∴EPN OPM ∠∠＝．∴MEN AOC ∠∠＝．（2）（2）OM NF OG ＝＋．证明：在线段OM 上截取1OG OG ＝，连接EG 1，如图．∵OE 是BOC ∠的平分线，∴EON EOB ∠∠＝．∵MOF DOB ∠∠＝，∴EOM EOD ∠∠＝．∵OE OE =，∴1EOG EOG ≌．∴1EG EG =，1EG O EGF ∠=∠．∵EF EG ＝，∴1EF EG =，EFG EGF ∠=∠．∴1EFG EG O ∠=∠．∴1EFN EG M ∠=∠．∵1ENF EMG ∠=∠．∴1ENF EMG ≌．∴1NF MG ＝．∵11OM MG OG ＝＋，∴OM NF OG ＝＋．【点睛】此题考查了角平分线的性质、全等三角形的判定与性质．此题难度适中，注意掌握数形结合思想与转化思想的应用．。

北京市海淀区2019届中考数学复习《三角形全等的判定》专项练习

北京市海淀区2019届初三数学中考复习三角形全等的判定-边边边专题练习1. 如图，AB ＝A 1B 1，BC ＝B 1C 1，AC ＝A 1C 1，且∠A ＝110°，∠B＝40°，则∠C 1＝( )A ．110°B ．40°C ．30°D ．20°2. 如图，在△ACE 和△BDF 中，AE ＝BF ，CE ＝DF ，要利用“SSS”证△ACE≌△BDF 时，需添加一个条件是( )A ．AB ＝BC B ．DC ＝BC C ．AB ＝CD D ．以上都不对3．如图，△ABC 中，AB ＝AC ，EB ＝EC ，则直接由“SSS”可以判定( )A ．△ABD≌△ACDB ．△ABE≌△ACEC ．△BDE≌△CDED ．以上答案都不对 4. △ABC 和△DEF 中，AB ＝2，BC ＝3，CA ＝4，DE ＝4，EF ＝3，要使△ABC 与△DEF 全等，则DF 等于( ) A ．2 B ．3 C ．4 D ．不能确定5. 如图，AB ＝AC ，D 为BC 边上一点，且BD ＝DC ，则下列结论不正确的是( )A ．△ABD ≌△ACDB ．∠ADB ＝90°C ．∠BAD ＝12∠B D ．AD 平分∠BAC6. 如图，点A ，E ，B ，F 在一条直线上，在△ABC 和△FED 中，AC ＝FD ，BC ＝DE ，要利用“SSS”来判定△ABC≌△FED 时，下面4个条件中：①AE ＝FB ；②AB ＝FE ；③AE ＝BE ；④BF ＝BE.可利用的是( )A ．①或②B ．②或③C ．③或①D ．①或④7. 如图，AB ＝CD ，AC ＝DB ，∠ABD＝25°，∠AOB＝82°，则∠DCB ＝__________.8. 如图所示，AD＝BC，AC＝BD，用三角形全等的判定“边边边”可证明________≌ _______或________≌________.9. 如图，AB＝ED，AC＝EC，C是BD边的中点，若∠A＝36°，则∠E＝_________.10. 如图，已知AC＝BD，要使△ABC≌△DCB，只需增加的一个条件是___________________________．11. 如图，AB＝DE，AF＝DC，EF＝BC，∠AFB＝70°，∠CDE＝80°，∠ABC＝_______.12. 如图，在四边形ABCD中，AB＝CB，AD＝CD.求证：∠C＝∠A.13. 如图，点B，E，C，F在同一条直线上，AB＝DE，AC＝DF，BE＝CF，求证：AB∥DE.14. 如图，已知AB＝AC，AD＝AE，BD＝CE，求证：∠3＝∠1＋∠2.15. 如图所示，AC ，BD 相交于点O ，且AB ＝DC ，AC ＝DB ，试判断∠A 与∠D 的大小关系．答案：1---6 CCBAC A 7. 66°8. △ADC △BCD △ADB △BCA 9. 36°10. AB ＝DC(答案不唯一) 11. 30°12. 证明：连接BD.在△CDB 和△ADB 中，DC ＝AD ，BC ＝AB ，BD ＝DB ，∴△BDC≌△BDA(SSS)，∴∠C＝∠A13. 证明：∵BE＝CF ，∴BC ＝EF ，△ABC ≌△DEF 中，⎩⎪⎨⎪⎧AB ＝DE ，AC ＝DE ，BC ＝EF ，∴△ABC ≌△DEF(SSS)，∴∠ABC ＝∠DEF，∴AB ∥DE14. 证明：∵AB ＝AC ，AD ＝AE ，BD ＝CE ，∴△ABD≌△ACE，∴∠2＝∠ABD ，∠1＝∠BAD.∵∠3＝∠ABD ＋∠BAD ，∴∠3＝∠1＋∠215. 证明：连接BC.在△ABC 和△DCB 中，AB ＝CD ，AC ＝DB ，BC ＝BC ，∴△ABC≌△DCB(SSS)，∴∠A＝∠D2019-2020学年数学中考模拟试卷一、选择题1．如图所示的几何体的主视图是（）A ．B ．C ．D ．2．一个大平行四边形按如图方式分割成九个小平行四边形且只有标号为①和②的两个小平行四边形为菱形，在满足条件的所有分割中，若知道九个小平行四边形中n 个小平行四边形的周长，就一定能算出这个大平行四边形的长，则n 的最小值是（）A.2B.3C.4D.53．如图，点P （﹣a ，2a ）是反比例函数（k ＜0）与⊙O 的一个交点，图中阴影部分的面积为5π，则反比例函数的解析式（）A. B. C. D.4．已知函数：①y ＝x ；②y ＝1x（x ＜0）；③y ＝﹣x+3；④y ＝x 2+x （x≥0），其中，y 随x 的增大而增大的函数有（） A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个5．如图，在△ABC 中，点P ，Q 分别在BC ，AC 上，AQ ＝PQ ，PR ＝PS ，PR ⊥AB 于点R ，PS ⊥AC 于点S ，则下面结论错误是（）A.△BPR≌△QPSB.AS＝ARC.QP∥ABD.∠BAP＝∠CAP6．如图，在△ABC中，BA=BC，BP，CQ是△ABC的两条中线，M是BP上的一个动点，则下列线段的长等于AM+QM最小值的是（）A．ACB．CQC．BPD．BC7．把抛物线y=(x-2)2向左平移2个单位长度，再向上平移2个单位长度,所得到的抛物线是( ).A．y=x2+2 B．y=x2-2 C．y=(x+2)2-2 D．y=(x+2)2+28．如图，AD为等边△ABC的高，E、F分别为线段AD、AC上的动点，且AE＝CF，当BF＋CE取得最小值时，∠AFB＝A．112.5°B．105°C．90°D．82.5°9．甲，乙两位同学用尺规作“过直线l外一点C作直线l的垂线”时，第一步两位同学都以C为圆心，适当长度为半径画弧，交直线l于D，E两点（如图）；第二步甲同学作∠DCE的平分线所在的直线，乙同学作DE的中垂线．则下列说法正确的是（）A．只有甲的画法正确B．只有乙的画法正确C．甲，乙的画法都正确D．甲，乙的画法都不正确10．如图，将△ABC绕点C顺时针旋转36°，点B的对应点为点E，点A的对应点为点D，此时点E恰好落在边AC上时，连接AD，若AB＝BC，AC＝2，则AB的长度是（）A 1B ．1CD ．3211．如图，函数2y x =和4y ax =+的图象相交于点(),3A m ，则不等式24x ax <+的解集为（）A.32x <B.3x <C.32x >D.3x >12．不等式组5243x x +>⎧⎨-≥⎩的最小整数解是（）A ．﹣3B ．﹣2C ．0D ．1二、填空题13．如图，菱形ABCD 的边长为12cm ，∠A ＝60°，点P 从点A 出发沿线路AB→BD 做匀速运动，点Q 从点D 同时出发沿线路DC→CB→BA 做匀速运动．已知点P ，Q 运动的速度分别为2cm/秒和2.5cm/秒，经过12秒后，P 、Q 分别到达M 、N 两点时，点P 、Q 再分别从M 、N 同时沿原路返回，点P 的速度不变，点Q 的速度改为vcm/秒，经过3秒后，P 、Q 分别到达E 、F 两点，若△BEF 与△AMN 相似，则v 的值为____．14．如图，在平面直角坐标系中，等腰直角三角形OAA 1的直角边OA 在x 轴上，点A 1在第一象限，且OA ＝1，以点A 1为直角顶点，0A 1为一直角边作等腰直角三角形OA 1A 2，再以点A 2为直角顶点，OA 2为直角边作等腰直角三角形OA 2A 3…依此规律，则点A 2019的坐标是_____．15．如图，在ABC ∠中，90A ∠=，点,D E 分别在,AC BC 边上，3BD CD DE ==，且1452C CDE ∠+∠=，若6AD =，则BC 的长是__________．16．在直角坐标系中，已知直线15y x 33=-+经过点()M 1,m -和点()N 2,n ，抛物线y=ax 2-x+2(a≠0)与线段MN 有两个不同的交点，则a 的取值范围是______． 17．计算的结果为____．18．分解因式：221x x ++=_____________．三、解答题19．如图，△ABC 中，AB ＝AC ，AD 是△ABC 的角平分线，点F 为AC 的中点，连接FD 并延长到点E ，使FD ＝DE ，连接BF ，CE 和BE ．（1）求证：BE ＝FC ；（2）判断并证明四边形BECF 的形状；（3）为△ABC 添加一个条件，则四边形BECF 是矩形（填空即可，不必说明理由）20．求方程x 2﹣2x ﹣2＝0的根x 1，x 2（x 1＞x 2），并求x 12+2x 2的值．21．定义：在平面直角坐标系中，图形G 上点P x y （，）的纵坐标y 与其横坐标x 的差y x -称为P 点的“坐标差”，记作Zp ，而图形G 上所有点的“坐标差”中的最大值称为图形G 的“特征值”．（1）①点A （3，1）的“坐标差”为； ②求抛物线25y x x =-+的“特征值”；（2）某二次函数2(0)y x bx c c =-++≠的“特征值”为1-，点B (m ，0)与点C 分别是此二次函数的图象与x 轴和y 轴的交点，且点B 与点C 的“坐标差”相等． ①直接写出m = ；（用含c 的式子表示） ②求此二次函数的表达式．221（n矩形，如图a 所示．操作1：将正方形ABEF 沿过点A 的直线折叠，使折叠后的点B 落在对角线AE 上的点G 处，折痕为AH ．操作2：将FE 沿过点G 的直线折叠，使点F 、点E 分别落在边AF ，BE 上，折痕为CD ．则四边形ABCD 矩形．（1）证明：四边形ABCD 矩形；（2）点M 是边AB 上一动点．①如图b ，O 是对角线AC 的中点，若点N 在边BC 上，OM ⊥ON ，连接MN ．求tan ∠OMN 的值； ②若AM=AD ，点N 在边BC 上，当△DMN 的周长最小时，求CNNB的值；③连接CM ，作BR ⊥CM ，垂足为R ．若，则DR 的最小值= ．23．先化简，再求值：2(3)(2)9x x x -++-，其中x =24．如图，在由边长为1的小正方形组成的网格图中，已知点O 及△ABC 的顶点均为网格线的交点．（1）将△ABC 绕着点B 顺时针旋转90°，得到△A 1BC 1，请在网格中画出△A 1BC 1；（2）以点O 为位似中心，将△ABC 放大为原来的三倍，得到△A'B'C'，请在网格中画出△A'B'C'．25．先化简，再求值：2121x x x +-+÷2(1)1x +-，其中x【参考答案】*** 一、选择题二、填空题 13．1或3或6． 14．（﹣21009，21009）15 16．a 1≤-或11a 43∠≤ 17．2 18．2(1)x + 三、解答题19．（1）详见解析；（2）四边形BECF 是矩形，理由详见解析. 【解析】【分析】（1）根据等腰三角形的性质得到BD=CD ，根据启动建设性的性质即可得到结论；（2）根据平行四边形的判定定理即可得到结论；（3）根据等边三角形的性质得到11BD CD BC,DF DE AC 22====，于是得到结论．【详解】（1）证明：∵AB ＝AC ，AD 是△ABC 的角平分线， ∴BD ＝CD ，∵FD ＝DE ，∠BDE ＝∠CDF ， ∴△BDE ≌△CDF （SAS ）， ∴BE ＝CF ；（2）解：四边形BECF 是平行四边形，理由：∵BD ＝CD ，ED ＝FD ， ∴四边形BECF 是平行四边形；（3）当AB ＝BC 时，四边形BECF 是矩形， ∵AB ＝BC ＝AC ， ∴BD ＝CD ＝12BC ，DF ＝DE ＝12AC ， ∴BC ＝EF ，∴四边形BECF 是矩形．【点睛】本题考查了矩形的判定，全等三角形的判定和性质，平行四边形的判定和性质，正确的识别图形是解题的关键． 20．6 【解析】【分析】根据方程x 2﹣2x ﹣2＝0的根x 1，x 2，得到211220x x --=，即2112 2.x x =+则()1212122222222x x x x x x =++=+++，根据根与系数的关系即可求解.【详解】解：方程x 2﹣2x ﹣2＝0的根x 1，x 2，∴211220x x --=，12 2.x x +=∴()112122222222262.22x x x x x x =++=++=⨯+=+【点睛】考查一元二次方程解的概念以及根与系数的关系，掌握根与系数的关系是解题的关键. 21．（1）①2-；②抛物线25y x x =-+的“特征值”为4；（2）①c -；②232y x x =-+-．【解析】【分析】(1)①由“坐标差”的定义可求出点A(3,1)的“坐标差”;②用y-x 可找出y-x 关于x 的函数关系式,再利用配方法即可求出y-x 的最大值,进而可得出抛物线y=-x 2 +5x 的“特征值”;(2)①利用二次函数图象上点的坐标特征可求出点C 的坐标,由“坐标差”的定义结合点B 与点C 的“坐标差"相等,即可求出m 的值;②由点B 的坐标利用待定系数法可找出b,c 之间的关系,找出y-x 关于x 的函数关系式,再利用二次函数的性质结合二次函数y=-x 2 +bx+c(c≠0)的“特征值"为-1,即可得出关于b 的一元二次方程,解之即可得出b 的值,进而可得出c 的值,此问得解; 【详解】解：（1）①1-3=-2，故答案为：2-②22524y x x x x x -=-+-=--+（）， ∵10-<，∴当2x =时，y-x 取得最大值，最大值为4． ∴抛物线25y x x =-+的“特征值”为4．（2）①-c②由①可知：点B 的坐标为(c -，0)．将点B (c -，0)代入2y x bx c =-++，得：20c bc c =--+，∴1210c b c =-=，（舍去）．∵二次函数2(0)y x bx c c =-++≠的“特征值”为1-，∴211y x x b x b -=-+-+-（）的最大值为1-， ∴()()()24111141()b b ⨯-⨯---=-⨯-，解得：3b =， ∴12c b =-=-，∴二次函数的解析式为232y x x =-+-．【点睛】此题考查了二次函数综合，需要利用到坐标差，特征值等一系列知识点22．（1）见解析；（2， 2. 【解析】【分析】（1）先判断出∠DAG=45°，进而判断出四边形ABCD 是矩形，再求出AB ：AD 的值，即可得出结论；（2）①如图b ，先判断出四边形BQOP 是矩形，进而得出,OP AO OQ COBC AC AB CA==，再判断出Rt △QON ∽Rt△POM ，进而判断出ON OQ ABOM OP BC===②作M 关于直线BC 对称的点P ，则△DMN 的周长最小，判断出CN DCNB BP=，得出a ．进而得出BP=BM=AB-AM=-1）a ．即可得出结论；③先求出BC=AD=2，再判断出点R 是BC 为直径的圆上，即可得出结论．【详解】证明：（1）设正方形ABEF 的边长为a ， ∵AE 是正方形ABEF 的对角线， ∴∠DAG=45°，由折叠性质可知AG=AB=a ，∠FDC=∠ADC=90°，则四边形ABCD 为矩形， ∴△ADG 是等腰直角三角形． ∴AD DG ==，∴:AB AD a ==．∴四边形ABCD 矩形；（2）①解：如图，作OP ⊥AB ，OQ ⊥BC ，垂足分别为P ，Q ．∵四边形ABCD 是矩形，∠B=90°， ∴四边形BQOP 是矩形．∴∠POQ=90°，OP ∥BC ，OQ ∥AB ． ∴,OP AO OQ COBC AC AB CA ==． ∵O 为AC 中点， ∴OP=12BC ，OQ=12AB ． ∵∠MON=90°， ∴∠QON=∠POM ． ∴Rt △QON ∽Rt △POM ．∴ON OQ AB OM OP BC===∴tan ONOMN OM∠== ②解：如图c ，作M 关于直线BC 对称的点P ，连接DP 交BC 于点N ，连接MN ．则△DMN 的周长最小，∵DC ∥AP ， ∴CN DCNB BP=，设AM=AD=a ，则a ．∴BP=BM=AB-AM=-1）a ．∴2CN CD NB BP ===+ ③如备用图，∵四边形ABCD 矩形，， ∴BC=AD=2， ∵BR ⊥CM ，∴点R 在以BC 为直径的圆上，记BC 的中点为I ， ∴CI=12BC=1，∴DR 最小-1=2 故答案为：2 【点睛】此题相似形综合题，主要考查了新定义，相似三角形的判定和性质，勾股定理，矩形的性质和判定，利用对称性和垂线段最短确定出最小值是解本题的关键．23．6＋【解析】【分析】原式利用完全平方公式，单项式乘以多项式法则计算，去括号合并得到最简结果，把x 的值代入计算即可求出值．【详解】解：原式＝x 2−6x ＋9＋2x ＋x 2−9＝2x 2−4x ，当x =原式＝2x 2−4x =6＋．【点睛】此题考查了整式的混合运算−化简求值，熟练掌握运算法则是解本题的关键． 24．（1）见解析；（2）见解析. 【解析】【分析】（1）直接利用旋转变换的性质得出对应点位置进而得出答案；（2）直接利用位似图形的性质进而得出对应点位置进而得出答案．【详解】解：（1）如图所示：△A 1BC 1，即为所求；（2）如图所示：△A'B'C'，即为所求．【点睛】此题主要考查了位似变换以及旋转变换，正确得出对应点位置是解题关键．25．11x -.【解析】【分析】原式括号中两项通分并利用同分母分式的加法法则计算，同时利用除法法则变形，约分得到最简结果，把x 的值代入计算即可求出值．【详解】原式＝2112(1)1x x x x +-+÷--＝211(1)1x x x x +-⋅-+ ＝11x -，当x．【点睛】此题考查了分式的化简求值，熟练掌握运算法则是解本题的关键．2019-2020学年数学中考模拟试卷一、选择题1．在△ABC 中，高AD 和BE 所在的直线交于点H ，且BH ＝AC ，则∠ABC 等于( ) A.45°B.120°C.45°或135°D.45°或120°2．三角形两边长分别为3和6，第三边是方程2680x x -+=的解，则这个三角形的周长是（） A ．11B ．13C ．11或13D ．不能确定3．“数学是将科学现象升华到科学本质认识的重要工具”，比如在化学中，甲烷的化学式CH 4，乙烷的化学式是C 2H 6，丙烷的化学式是C 3H 8，…，设碳原子的数目为n （n 为正整数），则它们的化学式都可以用下列哪个式子来表示（） A.C n H 2n+2B.C n H 2nC.C n H 2n ﹣2D.C n H n+34．某花卉培育基地2018年郁金香产量为4万株，预计2020年郁金香产量达到6万株，求郁金香产量的年平均增长率.设郁金香产量的年平均增长率为x ，则可列方程为( ) A ．4(1+x)2=6 B ．4(1-x)2=6C ．4(1+2x)=6D ．4(1+x 2)=65．函数ky x=与y ＝﹣kx 2﹣k （k≠0）在同一直角坐标系中的大致图象可能是（）A ．B ．C ．D ．6．若关于x 的分式方程2142x m xx x ++=--有增根，则m 的值是（） A ．2m =或6m = B ．2m = C ．6m = D ．2m =-或6m =-7．正方形ABCD 与正五边形EFGHM 的边长相等，初始如图所示，将正方形绕点F 顺时针旋转使得BC 与FG 重合，再将正方形绕点G 顺时针旋转使得CD 与GH 重合…按这样的方式将正方形依次绕点H 、M 、E 旋转后，正方形中与EF 重合的是（）A ．AB B ．BC C ．CD D ．DA8．下列立体图形中，主视图是三角形的是（）A ．B ．C ．D ．9．如图，E 、F 分别是矩形ABCD 边AB 、CD 上的点，将矩形ABCD 沿EF 折叠，使A 、D 分别落在A '和D '处，若150∠=︒，则2∠的度数是( )A ．65︒B ．60︒C ．50︒D ．40︒10．下列式子运算正确的是（）1=-==D.(331=-11．2019年1月3日上午10时26分，嫦娥四号探测器成功着陆在月球背面，开启了月球探测的新篇章，中国人迈开了走向星辰大海的第一步．如图是某正方体的展开图，在原正方体上“星”字所在面相对的面上的汉字是（）A ．走B ．向C ．大D ．海12．如图，正方形ABCD 的对称中心在坐标原点，AB ∥x 轴，AD ，BC 分别与x 轴交于E ，F ，连接BE ，DF ，若正方形ABCD 的顶点B ，D 在双曲线y ＝a x上，实数a 满足a 1﹣a＝1，则四边形DEBF 的面积是( )A ．12B ．32C ．1D ．2二、填空题13．用一组,a b ab=”是错误的，这组值可以是a=____，b=_____.14．15．若方程x+5＝7﹣2（x﹣2）的解也是方程6x+3k＝14的解，则常数k＝_____．16．下列图案是晋商大院窗格的一部分，其中“○”代表窗纸上所贴的剪纸，则第n个图中所贴剪纸“○”的个数为_____个．17．计算：（﹣1）2＝_____．18．已知a+b＝8，ab＝12，则222a bab+-＝_____．三、解答题19．如图，直线MN∥PQ，直线AB分别与MN，PQ相交于点A，B．（1）利用尺规作∠NAB的平分线与PQ交于点C；（2）若∠ABP＝60°，求∠ACB的度数．20．如图1，平面内有一点P到△ABC的三个顶点的距离分别为PA、PB、PC，若有PA2＝PB2+PC2则称点P 为△ABC关于点A的勾股点．（1）如图2，在4×5的网格中，每个小正方形的长均为1，点A、B、C、D、E、F、G均在小正方形的顶点上，则点D是△ABC关于点的勾股点；在点E、F、G三点中只有点是△ABC关于点A的勾股点．（2）如图3，E是矩形ABCD内一点，且点C是△ABE关于点A的勾股点，①求证：CE ＝CD ；②若DA ＝DE ，∠AEC ＝120°，求∠ADE 的度数．（3）矩形ABCD 中，AB ＝5，BC ＝6，E 是矩形ABCD 内一点，且点C 是△ABE 关于点A 的勾股点， ①若△ADE 是等腰三角形，求AE 的长；②直接写出AE+56BE 的最小值． 21．某年级共有150名女生，为了解该年级女生实心球成绩（单位：米）和一分钟仰卧起坐成绩（单位：个）的情况，从中随机抽取30名女生进行测试，获得了他们的相关成绩，并对数据进行整理、描述和分析．下面给出了部分信息． a. 实心球成绩的频数分布表如下：b. 实心球成绩在7.07.4x ≤＜这一组的是：a7.0 7.0 7.0 7.1 7.1 7.1 7.2 7.2 7.3 7.3 c. 一分钟仰卧起坐成绩如下图所示：根据以上信息，回答下列问题：（1） ①表中m 的值为__________；②一分钟仰卧起坐成绩的中位数为__________；（2）若实心球成绩达到7.2米及以上时，成绩记为优秀． ①请估计全年级女生实心球成绩达到优秀的人数；②该年级某班体育委员将本班在这次抽样测试中被抽取的8名女生的两项成绩的数据抄录如下：其中有3名女生的一分钟仰卧起坐成绩未抄录完整，但老师说这8名女生中恰好有4人两项测试成绩都达到了优秀，于是体育委员推测女生E 的一分钟仰卧起坐成绩达到了优秀，你同意体育委员的说法吗？并说明你的理由．22．我国古代第一部数学专著《九章算术》中有这样一道题：今有上禾7束，减去其中之实1斗，加下禾2束，则得实10斗．下禾8束，加实1斗和上禾2束，则得实10斗，问上禾、下禾1束得实多少？译文为：今有上等禾7捆结出的粮食，减去1斗再加上2捆下等禾结出的粮食，共10斗；下等禾8捆结出的粮食，加上1斗和上等禾2捆结出的粮食，共10斗，问上等禾和下等禾1捆各能结出多少斗粮食？（斗为体积单位）23．如图，将BOA ∠放在每个小正方形的边长为1的网格中，点O 、A 均落在格点上，角的一边OA 与水平方向的网格线重合，另一边OB 经过格点B .（Ⅰ）tan BOA ∠等于__________；（Ⅱ）如果BOC ∠为BOA ∠内部的一个锐角，且2tan 3BOC ∠=，请在如图所示的网格中，借助无刻度的直尺画出COA ∠，使得COA BOA BOC ∠=∠-∠，并简要说明COA ∠是如何找到的（不要求证明）__________________________________________________________________________________________________________________________________________________. 24．如图，在平面直角坐标系中，抛物线2(0)y ax bx c a =++≠与x 轴交于点(2,0)A -，(4,0)B ，与直线3y =x 32-交于点(0,3)C -，直线3y =x 32-与x 轴交于点D ． (1)求该抛物线的解析式．(2)点P 是抛物线上第四象限上的一个动点，连接PC ，PD ，当PCD ∆的面积最大时，求点P 的坐标． (3)将抛物线的对称轴向左平移3个长度单位得到直线l ，点E 是直线l 上一点，连接OE ，BE ，若直线l 上存在使sin BEO ∠最大的点E ，请直接写出满足条件的点E 的坐标；若不存在，请说明理由．25．如图，AB 是半⊙O 的直径，点C ，D 为半圆O 上的点，AE||OD ，过点D 的⊙O 的切线交AC 的延长线于点E ，M 为弦AC 中点（1）填空：四边形ODEM 的形状是；（2）①若CEk CM=，则当k 为多少时，四边形AODC 为菱形，请说明理由；②当四边形AODC 为菱形时，若四边形ODEM 的面积为O 的半径．【参考答案】***一、选择题二、填空题13．1答案不唯一 1答案不唯一14．015．2 316．3n+217．318．8三、解答题19．（1）作图见解析；（2）∠ACB＝30°．【解析】【分析】（1）根据角平分线的一般作法可得；（2）根据平行线性质求解.【详解】解：（1）①以点A为圆心，以任意长为半径作弧交AN于点F，交AB于点D；②分别以F，D为圆心，以大于12FD长为半径作弧，两弧在∠NAB内交于点E；③作射线AE交PQ于点C．如图所示：（2）∵MN∥PQ，∴∠NAB＝∠ABP＝60°，∵AC平分∠NAB，∴∠ABC＝30°，∵∠ABP＝∠BAC+∠ACB，∴∠ACB＝30°．【点睛】考核知识点：平行线性质，角平分线作图.20．（1）B，F；（2）①见解析，②∠ADE＝40°；（3）①AE，②AE+56BE 5.328.【解析】【分析】（1）求AD2＝5，DC2＝5，DB2＝10，得AD2+DC2＝DB2，即点D是△ABC关于点B的勾股点；求出FA2，FB2，FC2，得到FA2+FB2＝FC2，即点F是△ABC关于点A的勾股点．（2）①由矩形性质得∠ADC＝90°，可得AD2+DC2＝AC2；根据勾股数得BC2+EC2＝AC2，又因为AD＝BC，即得CE＝CD．②设∠CED＝α，根据∠AEC＝120°和CE＝CD即∠ADC＝90°，可用α表示△ADE的三个内角，利用三角形内角和180°为等量关系列方程，即求出α进而求出∠ADE．（3）由条件“点C是△ABE关于点A的勾股点”仍可得CE＝CD＝5，作为条件使用．①△ADE是等腰三角形需分3种情况讨论，把每种情况画图再根据矩形性质和勾股定理计算，即能求AE的长．②由画图可知，当BE⊥AC时，AE+56BE取得最小值．过点E分别作AB、BC的垂线，通过勾股定理计算即可求出答案．【详解】解：（1）∵DA2＝12+22＝5，DB2＝12+32＝10，DC2＝DA2＝5 ∴DB2＝DC2+DA2∴点D是△ABC关于点B的勾股点∵EA2＝42+42＝32，EB2＝22+52＝29，EC2＝4∴点E不是△ABC的勾股点∵FA2＝32+42＝25，FB2＝22+42＝20，FC2＝12+22＝5∴FA2＝FB2+FC2∴点F是△ABC关于点A的勾股点∵GA2＝42+22＝20，GB2＝22+32＝13，GC2＝22+22＝8∴点G不是△ABC的勾股点故答案为：B；F．（2）①证明：∵点C是△ABE关于点A的勾股点∴CA2＝CB2+CE2∵四边形ABCD是矩形∴AB＝CD，AD＝BC，∠ADC＝90°∴CA2＝AD2+CD2＝CB2+CD2∴CB2+CE2＝CB2+CD2∴CE＝CD②设∠CED＝α，则∠CDE＝∠CED＝α∴∠ADE＝∠ADC﹣∠CDE＝90°﹣α∵∠AEC＝120°∴∠AED＝∠AEC﹣∠CED＝120°﹣α∵DA＝DE∴∠DAE＝∠DEA＝120°﹣α∵∠DAE+∠DEA+∠ADE＝180°∴2（120°﹣α）+（90°﹣α）＝180°解得：α＝50°∴∠ADE＝90°﹣50°＝40°（3）①∵矩形ABCD中，AB＝5，BC＝6∴AD＝BC＝6，CD＝AB＝5∵点C是△ABE关于点A的勾股点∴CE＝CD＝5i）如图1，若DE＝DA，则DE＝6过点E作MN⊥AB于点M，交DC于点N∴∠AME＝∠MND＝90°∴四边形AMND是矩形∴MN＝AD＝6，AM＝DN设AM＝DN＝x，则CN＝CD﹣DN＝5﹣x∵Rt△DEN中，EN2+DN2＝DE2；Rt△CEN中，EN2+CN2＝CE2∴DE2﹣DN2＝CE2﹣CN2∴62﹣x2＝52﹣（5﹣x）2解得：x＝18 5∴EN245==，AM＝DN＝185∴ME＝MN﹣EN＝6﹣246 55=∴Rt△AME中，AE5==ii）如图2，若AE＝DE，则E在AD的垂直平分线上过点E作PQ⊥AD于点P，交BC于点Q∴AP＝DP＝12AD＝3，∠APQ＝∠PQC＝90°∴四边形CDPQ是矩形∴PQ＝CD＝5，CQ＝PD＝3∴Rt△CQE中，EQ4==∴PE＝PQ﹣EQ＝1∴Rt△APE中，AE=iii）如图3，若AE＝AD＝6，则AE2+CE2＝AD2+CD2＝AC2∴∠AEC＝90°取AC中点O，则点A、B、C、D在以O为圆心、OA为半径的⊙O上∴点E也在⊙O上∴点E不在矩形ABCD内部，不符合题意综上所述，若△ADE是等腰三角形，AE．②当BE⊥AC时，AE+56BE取得最小值．过点E分别作ER⊥AB于点R，ES⊥BC于点S,∴四边形BRES 是矩形，∠EBS 与∠ACB 互余∴∠EBS ＝∠ACD∴tan ∠EBS ＝tan ∠ACD ＝65AD CD = ∴tan ∠EBS ＝65ES BS =设ES ＝6a ，BS ＝5a ，则BE ＝，CS ＝6﹣5a ，AR ＝5﹣6a ∵Rt △CES 中，CS 2+ES 2＝CE 2，即（6﹣5a ）2+（6a ）2＝52解得：a 1（舍去），a 2，61a 2﹣60a ＝﹣11∴Rt △ARE 中，AE =∴AE+56BE 5 5.3286≈. 【点睛】本题考查勾股定理、勾股定理逆定理的应用，矩形的性质，等腰三角形的性质，解一元一次方程和一元二次方程，圆的定义和圆周角定理．解题关键是对新定义概念的性质运用，第（3）①题等腰三角形的分类讨论需数形结合把图形画出后再解题，②可利用特殊位置试算得到最小值，计算过程较繁琐复杂．21．（1）①9；②45；（2）①估计全年级女生实心球成绩达到优秀的人数约为65人；②同意，理由详见解析.【解析】【分析】（1）①因为已知检测总人数和其它组的频数，所以可以得到m ；②结合题意，根据中位数求法即可得到答案；（2）①由题意得到参与测试女生实心球成绩达到优秀（人）的百分比，再乘以150，即可得出答案. ②结合题中数据，即可得出答案.【详解】解：（1）①因为已知检测总人数为30人，所以m=30-(2+10+6+2+1)=9；②根据中位数求法，由于数据为30个，所以去第15和16位的平均数，即45；（2）①由题意得到参与测试女生实心球成绩达到优秀（人）的百分比为1330，所以可得131506530⨯=（人）. 答：估计全年级女生实心球成绩达到优秀的人数约为65人.②同意，理由答案不唯一，如：如果女生E 的仰卧起坐成绩未达到优秀，那么至少,,A D F 有可能两项测试成绩都达到优秀，这与恰有4人两项测试成绩都达到优秀矛盾，因为女生E 的一分钟仰卧起坐成绩达到了优秀.【点睛】本题考查频数、中位数等，解题的关键是读懂题目信息，掌握频数、中位数的知识.22．上等禾每捆能结出2536斗粮食，下等禾每捆能结出4152斗粮食．【解析】【分析】设上等禾每捆能结出x 斗粮食，下等禾每捆能结出y 斗粮食，根据“今有上等禾7捆结出的粮食，减去1斗再加上2捆下等禾结出的粮食，共10斗；下等禾8捆结出的粮食，加上1斗和上等禾2捆结出的粮食，共10斗”，即可得出关于x ，y 的二元一次方程组，解之即可得出结论．【详解】解：设上等禾每捆能结出x 斗粮食，下等禾每捆能结出y 斗粮食，由题意得：7121081210x y y x -+=⎧⎨++=⎩ 解得：25364152x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩．答：上等禾每捆能结出2536斗粮食，下等禾每捆能结出4152斗粮食．【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键．23．取格点C ，画射线OC,则COA ∠即为所求.【解析】【分析】（Ⅰ）根据正切的定义计算即可.（Ⅱ）取格点C ，画射线OC 即可．连接BC ，在网格中运用勾股定理得出BC 和OC 的长，再根据正方形的性质得出∠OCB=90︒，利用锐角三角函数即可得出2tan BOC 3∠=，说明OC 符合题意．【详解】（Ⅰ）如图，在Rt OBM 中，BM tan BOA 5OM∠==故答案为：5（Ⅱ）如图，取格点C ，画射线OC,则COA ∠即为所求.证明：连接BC ，∵BC 是边长为2的正方形的对角线；∵OC 是边长为3的正方形的对角线；∴∠OCB=90︒，且， ∴BC 2tan BOC OC 3∠==，且COA BOA BOC ∠∠∠=-. ∴COA ∠即为所求.故答案为：取格点C ，画射线OC ，则COA ∠即为所求.【点睛】此题考查了作图-应用与设计作图、锐角三角函数、正方形的性质、勾股定理等知识，解题的关键是利用数形结合的思想解决问题．24．（1）233384y x x =--；（2）P （3，﹣815）；（3）点E 的坐标为（﹣2，2，﹣）. 【解析】【分析】（1）用交点式函数表达式得：y=a （x+2）（x-4）=a （x 2-2x-8），即可求解；（2）由S △PCD =S △PDO +S △PCO -S △OCD ，即可求解；（3）如图，经过点O 、B 的圆F 与直线l 相切于点E ，此时，sin ∠BEO 最大，即可求解．【详解】解：（1）用交点式函数表达式得：y ＝a （x+2）（x ﹣4）＝a （x 2﹣2x ﹣8），即﹣8a ＝﹣3，解得：a ＝38，则函数的表达式为：233384y x x =--；（2）y ＝32x ﹣3，令y ＝0，则x ＝2，即点D （2，0），连接OP ，设点P （x ，233384x x --），S △PCD ＝S △PDO +S △PCO ﹣S △OCD ＝22133113272(3)323(3)2842288x x x x ⨯-+++⨯⨯-⨯⨯=--+， ∵﹣38＜0，∴S △PCD 有最大值，此时点P （3，﹣815）；（3）如图，经过点O 、B 的圆F 与直线l 相切于点E ，此时，sin ∠BEO 最大，过圆心F 作HF ⊥x 轴于点H ，则OH ＝12OB ＝2＝OA ，OF ＝EF ＝4，∴HF ＝E 的坐标为（﹣2，﹣）；同样当点E 在x 轴的上方时，其坐标为（﹣2，）；故点E 的坐标为（﹣2，）或（﹣2，﹣．【点睛】本题考查的是二次函数综合运用，涉及到一次函数、圆的基本知识，三角函数等，其中（3），正确确定点E 的位置，是本题的难点．25．（1）四边形AODC 为菱形，见解析；（2）①当k 为1时，四边形AODC 为菱形．理由见解析；②⊙O 的半径为．【解析】【分析】（1）运用切线定理、垂径定理、平行线的性质证明四个角均为90°，即可说明四边形ODEM 为矩形；（2）①当k 为1时，四边形AODC 为菱形．连接CD ，CO ．由四边形AODC 为菱形，可得AO ＝OD ＝CD ＝AC ，由OM 垂直平分AC ，得到OA ＝OC ，所以OA ＝OC ＝AC ，因此△OAC 为等边三角形，于是∠CAO ＝60°，∠CDO ＝60°，∠ECD ＝30°，所以CE ＝12CD ＝12AC ，又CM ＝12AC ，因此CE ＝CM ，即 CE CM＝1，所以当k 为1时，四边形AODC 为菱形；②由四边形ODEM 的面积为可知OD•MO＝43，由①四边形AODC 为菱形时，∠MAO ＝60°，所以OMOA＝sin ∠MAO ＝sin60°，MO ＝AOsin60°＝2AO ，因此OD•MO＝OA•2OA ＝，所以OA ＝. 【详解】（1）∵DE 是⊙O 的切线，∴OD ⊥DE ，∠ODE ＝90°，∵M 为弦AC 中点，∴OM ⊥AC ，∠OME ＝90°，∵AE||OD ，∴∠E ＝90°，∠MOD ＝90°，∴四边形ODEM 是矩形；（2）①当k 为1时，四边形AODC 为菱形．理由如下：连接C D ，CO ．∵四边形AODC 为菱形，∴AO ＝OD ＝CD ＝AC ，∵OM 垂直平分AC ，∴OA ＝OC ，∴OA ＝OC ＝AC ，∴△OAC 为等边三角形，∴∠CAO ＝60°，∠CDO ＝60°，∴∠ECD ＝30°，∴CE ＝12CD ＝12AC ， ∵CM ＝12AC ， ∴CE ＝CM ， ∴1CE CM= ，当k 为1时，四边形AODC 为菱形；②∵四边形ODEM 的面积为，∴OD•MO＝由①四边形AODC 为菱形时，∠MAO ＝60°，∴sin sin 60OM MAO OA ︒=∠= ，MO ，∴OD•MO＝OA =，∴OA＝∴⊙O的半径为【点睛】本题是圆的综合题，熟练掌握矩形、菱形、三角函数、垂径定理等是解题的关键．。

北京育英中学数学全等三角形中考真题汇编[解析版]

北京育英中学数学全等三角形中考真题汇编[解析版] 一、八年级数学轴对称三角形填空题（难）1．在等腰△ABC中，AD⊥BC交直线BC于点D，若AD=12BC，则△ABC的顶角的度数为_____．【答案】30°或150°或90°【解析】试题分析：分两种情况；①BC为腰，②BC为底，根据直角三角形30°角所对的直角边等于斜边的一半判断出∠ACD=30°，然后分AD在△ABC内部和外部两种情况求解即可．解：①BC为腰，∵AD⊥BC于点D，AD=12 BC，∴∠ACD=30°，如图1，AD在△ABC内部时，顶角∠C=30°，如图2，AD在△ABC外部时，顶角∠ACB=180°﹣30°=150°，②BC为底，如图3，∵AD⊥BC于点D，AD=12 BC，∴AD=BD=CD，∴∠B=∠BAD，∠C=∠CAD，∴∠BAD+∠CAD=12×180°=90°，∴顶角∠BAC=90°，综上所述，等腰三角形ABC的顶角度数为30°或150°或90°．故答案为30°或150°或90°．点睛：本题考查了含30°交点直角三角形的性质，等腰三角形的性质，分类讨论是解题的关键．2．如图，点A的坐标是（2，2），若点P在x轴上，且△APO是等腰三角形，则点P有_____个．【答案】4【解析】【分析】由A点坐标可得OA=22，∠AOP＝45°，分别讨论OA为腰和底边，求出点P在x轴正半轴和负半轴时，△APO是等腰三角形的P点坐标即可.【详解】（1）当点P在x轴正半轴上，①如图，以OA为腰时，∵A的坐标是（2，2），∴∠AOP＝45°，OA＝22，当∠AOP为顶角时，OA=OP=22，当∠OAP为顶角时，AO=AP，∴OPA=∠AOP=45°，∴∠OAP=90°，∴OP=2OA=4，∴P的坐标是（4，0）或（22，0）.②以OA 为底边时，∵点A 的坐标是（2，2），∴∠AOP=45°，∵AP=OP ， ∴∠OAP=∠AOP=45°，∴∠OPA=90°， ∴OP=2，∴P 点坐标为（2，0）.（2）当点P 在x 轴负半轴上，③以OA 为腰时，∵A 的坐标是（2，2），∴OA ＝22，∴OA ＝OP ＝22，∴P 的坐标是（﹣22，0）．综上所述：P 的坐标是（2，0）或（4，0）或（2，0）或（﹣2，0）．故答案为：4．【点睛】此题主要考查等腰三角形的判定及坐标与图形性质的综合运用，注意分类讨论思想的运用是解题关键．3．如图，已知等边ABC ∆的边长为8，E 是中线AD 上一点，以CE 为一边在CE 下方作等边CEF ∆，连接BF 并延长至点,N M 为BN 上一点，且5CM CN ==，则MN 的长为_________．【答案】6【解析】【分析】作CG⊥MN于G，证△ACE≌△BCF，求出∠CBF=∠CAE=30°，则可以得出124CG BC==，在Rt△CMG中，由勾股定理求出MG，即可得到MN的长．【详解】解：如图示：作CG⊥MN于G，∵△ABC和△CEF是等边三角形，∴AC=BC，CE=CF，∠ACB=∠ECF=60°，∴∠ACB-∠BCE=∠ECF-∠BCE，即∠ACE=∠BCF，在△ACE与△BCF中AC BCACE BCFCE CF=⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴△ACE≌△BCF（SAS），又∵AD是三角形△ABC的中线∴∠CBF=∠CAE=30°，∴124CG BC==，在Rt△CMG中，2222543MG CM CG=-=-，∴MN=2MG=6，故答案为：6．【点睛】本题考查了勾股定理，等边三角形的性质，全等三角形的性质和判定的应用，解此题的关键是推出△ACF≌△BCF．4．如图，在△ABC中，AB=10，∠B=60°，点D、E分别在AB、BC上，且BD=BE=4，将△BDE沿DE所在直线折叠得到△B′DE（点B′在四边形ADEC内），连接AB′，则AB′的长为______．【答案】2.【解析】【分析】【详解】过点D作DF⊥B′E于点F，过点B′作B′G⊥AD于点G，∵∠B=60°，BE=BD=4，∴△BDE是等边三角形，∵△B′DE≌△BDE，∴B′F=1B′E=BE=2，DF=23,2∴GD=B′F=2，∴B′G=DF=23，∵AB=10，∴AG=10﹣6=4，∴AB′=27．考点：1轴对称；2等边三角形.5．如图，在△ABC中，AB=AC，∠BAC=120°，D为BC上一点，DA⊥AC，AD=24 cm，则BC 的长________cm．【答案】72【解析】【分析】按照等腰三角形的性质、角的和差以及含30°直角三角形的性质进行解答即可.【详解】解：∵AB=AC，∠BAC=120°∴∠B=∠C=30°∵DA⊥AC，AD=24 cm∴DC=2AD=48cm，∵∠BAC=120°，DA⊥AC∴∠BAD=∠BAC-90°=30°∴∠B=∠BAD∴BD=AD=24cm∴BC=BD+DC=72cm故答案为72.【点睛】本题考查了腰三角形的性质、角的和差以及含30°直角三角形的性质，其中灵活运用含30°直角三角形的性质是解答本题的关键.6．如图，已知∠MON＝30°，点A1，A2，A3，…在射线ON上，点B1，B2，B3，…在射线OM上，△A1B1A2，△A2B2A3，△A3B3A4，…均为等边三角形，若OA2＝4，则△A n B n A n+1的边长为_____．【答案】2n．【解析】【分析】根据等腰三角形的性质以及平行线的性质得出A1B1∥A2B2∥A3B3，以及A2B2＝2B1A2，得出A3B3＝4B1A2＝8，A4B4＝8B1A2＝16，A5B5＝16B1A2…进而得出答案．【详解】解：∵△A1B1A2是等边三角形，∴A1B1＝A2B1，∵∠MON＝30°，∵OA2＝4，∴OA1＝A1B1＝2，∴A2B1＝2，∵△A2B2A3、△A3B3A4是等边三角形，∴A1B1∥A2B2∥A3B3，B1A2∥B2A3，∴A2B2＝2B1A2，B3A3＝2B2A3，∴A3B3＝4B1A2＝8，A4B4＝8B1A2＝16，A5B5＝16B1A2＝32，以此类推△A n B n A n+1的边长为 2n．故答案为：2n．【点睛】本题主要考查等边三角形的性质及含30°角的直角三角形的性质，由条件得到OA5=2OA4=4OA3=8OA2=16OA1是解题的关键．7．如图，Rt△ABC 中，AB=AC，∠BAC=90°，AD 是 BC 边上的高，E 是 AD 上的一点。

2023年北京市初三二模数学试题汇编：三角形全等的判定

2023北京初三二模数学汇编三角形全等的判定一、填空题1．（2023·北京大兴·统考二模）如图，点B ，E ，C ，F 在一条直线上，AC DF ∥，BE CF =，只需添加一个条件即可证明ABC DEF ≌△△，这个条件可以是________（写出一个即可）．2．（2023·北京东城·统考二模）如图，在ABC 和DEF 中，点A ，E ，B ，D 在同一直线上，AC DF ∥，AC DF =，只添加一个条件：____________能判定ABC DEF ≌△△．3．（2023·北京平谷·统考二模）在ABC 中，90ACB ∠=︒，点D 为BC 边上一点，E 为AC 延长线上的一点，CE CD =，F 为CB 边上一点，EF ⊥射线AD 于点K ，过点D 作直线DG AB ⊥于G ，交EF 于点H ，作AGD ∠的角平分线交AD 于M ，过点M 作AB 的平行线，交DG 于点O ，交BC 于点Q ，交EF 于点N ，MO NO =．(1)找出图中和DHK ∠相等的一个角，并证明；(2)判断EH 、FN 、MD 的数量关系，并证明．参考答案1．AC DF =或A D ∠=∠或ABC DEF ∠=∠或AB DE （答案不唯一）．【分析】根据SAS ，AAS 或ASA 添加条件即可求解．【详解】解：∵AC DF ，∴ACB DFE ∠=∠，∵BE CF =，∴BE EC CF EC +=+，即BC EF =，则有边角AS 两个条件，要添加一个条件分三种情况，（1）根据“SAS ”，则可添加：AC DF =，（2）根据“ASA ”，则可添加：ABC DEF ∠=∠或AB DE ，（3）根据“AAS ”，则可添加：A D ∠=∠，故答案为：AC DF =或ABC DEF ∠=∠或AB DE 或A D ∠=∠（答案不唯一）．【点睛】本题考查了全等三角形的判定，解此题的关键是熟练掌握全等三角形的几种判断方法． 2．AB DE =或C F ∠=∠或ABC DEF ∠=∠（填写一个即可）【分析】根据全等三角形的判定定理可进行求解．【详解】解：∵AC DF ∥，∴A D ∠=∠，∵AC DF =，∴当添加AB DE =时，则可根据“SAS ”判定ABC DEF ≌△△；当添加C F ∠=∠时，则可根据“ASA ”判定ABC DEF ≌△△；当添加ABC DEF ∠=∠时，则可根据“AAS ”判定ABC DEF ≌△△；故答案为AB DE =或C F ∠=∠或ABC DEF ∠=∠（填写一个即可）．【点睛】本题主要考查全等三角形的判定，熟练掌握全等三角形的判定定理是解题的关键． 3．(1)DHK BAK ∠=∠（答案不唯一），证明见解析(2)MD EH FN =+，理由见解析【分析】（1）由垂直定义90AKE ∠=︒，则390DHK ∠+∠=︒，同理290BAK ∠+∠=︒，又23∠∠=，即可得出结论DHK BAK ∠=∠．（2）连结GN ，先证明()AAS ACD ECF ≌，得EF AD =，再证明()AAS AMG HNG ≌，得AM HN =，即可得出结论MD EH FN =+．【详解】（1）解：DHK BAK ∠=∠（答案不唯一）证明：如图，⊥，AK EF∴∠=︒，AKE90DHK∴∠+∠=︒，390⊥，HG AB∴∠+∠=︒，BAK290∠=∠，23∴∠=∠．DHK BAK=+（2）解：MD EH FN证明：连结GN，∠=∠=︒，ACB AKF90∠+∠=︒，4590∴∠+∠=︒，6790∠=∠，56∴∠=∠，47=，∠=∠=︒，CD CE90ACB ECF()∴≌，ACD ECFAAS∴=，EF AD∥，MN AB∴∠=∠=︒，MOD AHD90=，OM ON∴垂直平分MN，DG∴=，MG NG∠=︒，MG平分AGHAGH90∠，∴∠=∠=︒，AGM GMN45∴∠=∠=︒，AGM HGN45=，DHK BAK∠=∠，MG NG()∴≌，AMG HNGAAS∴=，AM HN=，AD EF∴=+．MD EH NF【点睛】本题考查全等三角形的判定与性质，垂线的定义，直角三角形两锐角互余的性质，余角的性质，熟练掌握利用全等三角形的判定与性质证明书角或线段相等是解题的关键．。

北京中考解三角形分类汇编

8．如图，为测量一棵与地面垂直的树BC 的高度，在距离树的底端4米的A 处，测得树顶B 的仰角α∠=74°，则树BC 的高度为 A ．4tan 74︒米 B ．4sin74︒米C ．4tan74︒米D ．4cos74︒米22。

已知:如图，在矩形ABCD 中,E 是BC 边上一点，DE 平分∠ADC ，EF ∥DC 交AD 边于点F ，连结BD 。

(1）求证：四边形FECD 是正方形；（2）若BE=1，ED=22,求tan ∠DBC 的值.22．如图，矩形ABCD 中,M 为BC 上一点，F 是AM 的中点，EF ⊥AM ，垂足为F ，交AD于点E ．(1)求证：∠BAM =∠AEF ；（2)若AB =4，AD =6，4cos 5BAM ∠=，求DE 的长。

24. 如图，甲船在港口P 的南偏西60︒方向，距港口86海里的A 处，沿AP 方向以每小时15海里的速度匀速驶向港口P ．乙船从港口P 出发，沿南偏东45︒方向匀速驶离港口P ,现两船同时出发,2小时后乙船在甲船的正东方向．求乙船的航行速度．(结果精确到个位，参考数据:2 1.414≈3 1.732≈5 2.236≈）αCBA东APD ab c A C B 图3 图1 CA B a bcACB a b c图223．如图，CD 垂直平分AB 于点D ，连接CA ，CB ，将BC 沿BA 的方向平移，得到线段DE ，交AC 于点O ，连接EA ，EC ．（1）求证：四边形ADCE 是矩形；（2）若CD =1，AD =2，求sin ∠COD 的值．26．阅读材料，回答问题：小明学完了“锐角三角函数”的相关知识后，通过研究发现：如图1，在Rt △ABC中，如果90C ∠=︒，30A ∠=︒，1BC a ==，3AC b ==,2AB c ==，那么2sin sin a bA B==．通过上网查阅资料，他又知“sin901︒=”，因此他得到“在含30°角的直角三角形中,存在着sin sin sin a b cA B C ==的关系．" 这个关系对于一般三角形还适用吗？为此他做了如下的探究：（1）如图2，在Rt △ABC 中，90C ∠=︒,BC a =，AC b =，AB c =．请判断此时“sin sin sin a b cA B C ==”的关系是否成立？（2)完成上述探究后，他又想“对于任意的锐角△ABC ,上述关系还成立吗？”因此他又继续进行了如下的探究：如图3，在锐角△ABC 中,BC a =，AC b =,AB c =．过点C 作CD AB ⊥于D ． ∵ 在Rt △ADC 和Rt △BDC 中，90ADC BDC ∠=∠=︒， ∴ sin A = ,sin B = ． ∴ sin a A = ，sin b B= ．∴sin sin a bA B=．同理，过点A 作AH BC ⊥于H ，可证sin sin b cB C =． ∴sin sin sin a b cA B C==．请将上面的过程补充完整．(3）如图4，在△ABC 中，如果60B ∠=︒，45C ∠=︒，2AB =，那么AC = ．图4C B AOECDBA26．我们学习了锐角三角函数的相关知识，知道锐角三角函数定量地描述了在直角三角形中边角之间的联系．在直角三角形中，一个锐角的大小与两条边长的比值相互唯一确定,因此边长的比与角的大小之间可以相互转化．如图1，在Rt△ABC中，∠C=90°．若∠A=30°，则cosA=．类似的，可以在等腰三角形中建立边角之间的联系，我们定义：等腰三角形中底边与腰的比叫做顶角的正对．如图2，在△ABC中，AB=AC，顶角A的正对记作sadA，这时，sadA=．容易知道一个角的大小与这个角的正对值也是相互唯一确定的．根据上述角的正对的定义,解答下列问题：(1)直接写出sad60°的值为；(2）若0°＜∠A＜180°，则∠A的正对值sad A的取值范围是；（3)如图2，已知tanA=,其中∠A为锐角，求sadA的值；（4)直接写出sad36°的值为．（东城二模)25.在学习完锐角三角函数后,老师提出一个这样的问题:如图1，在Rt△ABC 中，∠ACB=90°，AB =1，∠A=,求sin2（用含sin，cos的式子表示）．聪明的小雯同学是这样考虑的:如图2，取AB的中点O，连接OC，过点C作CD⊥AB于点D,则∠COB= 2，然后利用锐角三角函数在Rt△ABC中表示出AC，BC,在Rt△ACD中表示出CD，则可以求出sin====．阅读以上内容，回答下列问题：在Rt△ABC中，∠C =90°，AB =1。

北京数学中考复习课件(第24课时全等三角形)

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第23课时┃直角三角形与勾股定理
热考二构造全等三角形
例 2 如图 24－2 所示，AD 是△ABC 的中线，BE 交 AC 于点 E，交 AD 于点 F，且 AE＝EF.求证：AC＝BF.
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第23课时┃直角三角形与勾股定理
[解析] 方法一：延长 AD 到 H，使得 DH＝AD，连接 BH.
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第24课时┃全等三角形考点4 角平分线的性质与判定
平分线
距离
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第23课时┃直角三角形与勾股定理
京考探究考情分析
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第23课时┃直角三角形与勾股定理
热考京讲
热考一全等三角形的性质与判定的综合应用
例 1 [2014·北京] 如图 24－1，点 B 在线段 AD 上，BC∥DE，AB＝ED，BC＝DB.
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•1、书籍是朋友,虽然没有热情,但是非常忠实。2022年3月5日星期六2022/3/52022/3/52022/3/5 •2、科学的灵感，决不是坐等可以等来的。如果说，科学上的发现有什么偶然的机遇的话，那么这种‘偶然的机遇’只能给那些学有素养的人，给那些善于独立思考的人，给那些具有锲而不舍的人。2022年3月2022/3/52022/3/52022/3/53/5/2022 •3、书籍—通过心灵观察世界的窗口.住宅里没有书,犹如房间里没有窗户。2022/3/52022/3/5March 5, 2022 •4、享受阅读快乐，提高生活质量。2022/3/52022/3/52022/3/52022/3/5
∵D 为 BC 中点， ∴BD＝CD. 在△BFD 和△CHD 中，

海淀区届中考复习《三角形全等的判定-边角边》专项练习含答案名师资料汇编正规版

海淀区届中考复习《三角形全等的判定-边角边》专项练习含答案名师资料汇编(可以直接使用，可编辑优秀版资料，欢迎下载）北京市海淀区2021届初三数学中考复习三角形全等的判定-边角边专题练习1. 如图，AB＝AC，AE＝AD，要使△ACD≌△ABE，需要补充的一个条件是( )A．∠B＝∠C B．∠D＝∠E C．∠BAC＝∠EAD D．∠B ＝∠E2. 如图，AC与BD相交于点O，若OA＝OD，用“SAS”证明△AOB≌△DOC，还需条件( )A．AB＝DC B．OB＝OC C．∠A＝∠D D．∠AOB ＝∠DOC3. 下图中全等的三角形有( )A．Ⅰ和Ⅱ B．Ⅱ和Ⅳ C．Ⅱ和Ⅲ D．Ⅰ和Ⅲ4. 如图，若线段AB，CD互相平分且相交于点O，则下列结论错误的是( )A．AD＝BC B．∠C＝∠D C．AD∥BC D．OB＝OC 5. 如图，AB＝CD，AB∥CD，E，F是BD上两点且BE＝DF，则图中全等的三角形有( )A．1对B．2对C．3对D．4对6. 如图，已知AB＝AC，AD＝AE，∠BAC＝∠DAE.下列结论不正确的是( )A．∠BAD＝∠CAE B．△ABD≌△ACE C．AB＝BC D．BD ＝CE7. 如图，在△ABC中，AB＝6，BC＝5，AC＝4，AD平分∠BAC交BC于点D，在AB上截取AE＝AC，则△BDE的周长为( )A．8 B．7 C．6 D．58. 如图，AD是△ABC的中线，E，F分别是AD和AD延长线上的点，且DE＝DF，连接BF，CE，下列说法：①CE＝BF；②△ABD和△ACD 面积相等；③BF∥CE；④△BDF≌△CDE.其中正确的有( )A．1个B．2个C．3个D．4个9. 如图所示，AC＝DF，BD＝EC，AC∥DF，∠ACB＝80°，∠B＝30°，则∠F＝_______.10. 如图，有一池塘，要测池塘两端A，B的距离，可先在平地上取一个可以直接到达A和B的点C，连接AC并延长到D，使CD＝CA，连接BC并延长到E，使CE＝CB.连接DE，那么量出DE的长，就是A，B的距离．该过程利用了_____________的原理．11. 如图，在△ABC中，AB＝BC＝CA，∠ABC＝∠C＝60°，BD＝CE，AD与BE相交于点F，则∠AFE＝______.12. 如图，在△ABC中，AB＝AC，AD是角平分线，BE＝CF，则下列说法中：①DA平分∠EDF；②△EBD≌△FCD；③BD＝CD；④AD⊥BC.正确的是____________.(填序号)13. 如图，E是BC的中点，∠1＝∠2，AE＝DE.求证：△ABE≌△DCE.14. 如图，在△ABC和△ABD中，AC与BD相交于点E，AD＝BC，∠DAB ＝∠CBA.求证：AC＝BD.15. 如图，点A，B，C，D在同一条直线上，CE∥DF，EC＝BD，AC ＝FD.求证：AE＝FB.16. 如图，已知∠1＝∠2，AC＝AE，BC＝DE，且点D在BC上，求证：AB＝AD.17. 如图，点M，N在线段AC上，AM＝CN，AB∥CD，AB＝CD.求证：∠1＝∠2.18. 两个大小不同的等腰直角三角板如图①放置，图②是由它抽象出的几何图形，点B ，C ，E 在同一条直线上，连接CD.求证：CD⊥BE.答案：1---8 CBDDC CBD 9. 70°10. SAS(或边角边) 11. 60° 12. ①②③④13. 证明：∵E 是BC 的中点，∴BE ＝EC ，在△ABE 和△DCE 中，⎩⎪⎨⎪⎧AE ＝DE ，∠1＝∠2，BE ＝EC ，∴△ABE ≌△DCE(SAS)14. 在△ABC 和△BAD 中，∵⎩⎪⎨⎪⎧AD ＝BC ，∠DAB ＝∠CBA，AB ＝BA ，∴△ABC ≌△BAD(SAS )∴AC＝BD15. 证明：∵CE∥DE ，∴∠ACE ＝∠D ，在△ACE 和△FDB 中，⎩⎪⎨⎪⎧AC ＝FD ，∠ACE ＝∠D，EC ＝BD ，∴△ACE ≌△FDB(SAS )，∴AE ＝FB 16. 证明：∵∠1＝∠2，∠AOE＝∠DOC ，∴∠E＝∠C ，又AC ＝AE ，BC ＝DE ，∴△ABC≌△ADE(SAS )，∴AB＝AD17. 先证△ABN≌△CDM(SAS )得BN ＝DM ，∠BNM＝∠DMN ，再证△BMN≌△DNM(SAS )即可得到∠1＝∠218. 证△ABE≌△ACD(SAS )，得∠ACD ＝∠ABE ＝45°，∴∠BCD＝∠ACB ＋∠ACD ＝45°＋45°＝90°，即CD⊥BE相似三角形一、知识概述1.平行线等分线段定理如果一组平行线在一条直线上截得的线段相等，那么在其它直线上截得的线段也相等。

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三角形中考试题训练（简单题）
1．如图，点C 、D 在线段AB 上，E 、F 在AB 同侧，
DE 与CF 相交于点O ，且AC =BD ， CO =DO ，A B ∠=∠. 求证：AE =BF .
2．如图，菱形ABCD 中，AE ⊥BC 于E ， AF ⊥CD 于F .
求证：AE =AF ．
3.如图，在四边形ABCD 中，BC AB =，BF 平分ABC ∠，DC AF //，连结AC ，CF . 求证：(1) CF AF =；(2) CA 平分DCF ∠.
4．已知：如图，直线AB 同侧两点C ，D 满足，,DBC CAD ∠=∠ AC =BD ，BC 与AD 相交于点E ．
求证：AE =BE ．
5．如图，△ACB 和△ECD 都是等腰直角三角形，∠ACB =∠ECD =90°， D 为AB 边上一点．求证： AE=BD ．
A C D B
E
F
O
A B
E
F
C
D
E
D
C
B
A
6．如图，已知线段AC 与BD 相交于点O ，联结AB DC 、，E 为OB 的中点，F 为OC 的中点，联结EF ．若∠A =∠D ，∠OEF =∠OFE ，求证：AB =DC ． 7．（本小题满分5分）如图，A 、B 、C 三点在同一条直线上，AB=2BC ，分别以AB ，BC 为边做正方形ABEF 和正方形BCMN ，联结FN ，EC ．求证：FN=EC
8
．（本小题
5分）
已知：如图，AC 与BD 相交于点O ，且OB=OC ，OA=OD ．求证：∠ABC =∠DCB ．
9．已知：如图，在梯形ABCD 中，AD ∥BC ，E 是AB 的中点，CE 的延长线与DA 的延长
线相交于点F ．
（1）求证：△BCE ≌△AFE ；
（2）连接AC 、FB ，则AC 与FB 的数量关系是，位置关系是．
10. 如图，点D 在AB 上，DF 交AC 于点E ，CF AB ∥，AE EC =．求证：AD CF =．
O
D
C A
B
E
F
F N M
E
C
A A
B C
D
E F
E
D
C
B A A
B
C D E
F
11．已知：如图，DB ∥AC ，且1
2
DB AC =
，E 是AC 的中点．求证：BC=DE ．
12. 已知：如图，∠B=∠D ，∠DAB=∠EAC ，AB=AD ．
求证：BC=DE ．
13. 已知：如图，点B 、F 、E 、C 在同一条直线上，且DF ⊥BE 于点F ，AC ⊥BE 于点C ，BF =CE ，DF =AC . 求证：AB =DE .
14. 已知：如图，在Rt ABC △中，∠BAC =90°，AB =AC ，
D 是BC 边上一点，45AD
E ∠= ，AD =DE .
求证：BD=EC
15．已知：如图，C F 、在BE 上，A D AC DF BF EC ∠=∠=，∥，．求证：△ABC ≌DEF ．
A
E
B D
A
B C F
E
D
16．如图，F 、C 是线段BE 上的两点，BF=CE ，AB=DE ，
∠B=∠E ，Q R ∥BE.试判断△PQR 的形状，并说明理由.
17．已知，在△ABC 中，D E ∥AB ，F G ∥AC ，BE=GC.
求证：DE=FB.
18．（本题满分5分）
如图, 已知：BF=DE,∠1=2，∠3=∠4 求证：AE=CF ．
19. 如图，在等腰梯形ABCD 中，E 为底BC 的中点，连结AE .DE . 求证：AE=DE
20. 已知：如图，平行四边形ABCD 中，AE ⊥BD ，CF ⊥BD ，垂足分别为E 、F ，
求证：∠BAE ＝∠DCF.
16 已知：如图，ABC △中，45ABC ∠=°，CD AB ⊥于D ，BE AC ⊥于E ，BE 与CD 相交于点F ．求证：BF AC =；
R
Q
P F E
D B
C A G F E D
C
B A A
D
C
B
E。