数列复习课练习(1)

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高中数学《等比数列性质》复习基础知识与练习题(含答案解析)

高中数学《等比数列性质》复习基础知识与练习题（含答案解析）一、基础知识1、定义：数列{}n a 从第二项开始，后项与前一项的比值为同一个常数()0q q ≠，则称{}n a 为等比数列，这个常数q 称为数列的公比注：非零常数列既可视为等差数列，也可视为1q =的等比数列，而常数列0,0,0,只是等差数列2、等比数列通项公式：11n n a a q−=⋅，也可以为：n mn m a a q−=⋅3、等比中项：若,,a b c 成等比数列，则b 称为,a c 的等比中项（1）若b 为,a c 的等比中项，则有2a bb ac b c=⇒= （2）若{}n a 为等比数列，则n N *∀∈，1n a +均为2,n n a a +的等比中项（3）若{}n a 为等比数列，则有m n p q m n p q a a a a +=+⇔= 4、等比数列前n 项和公式：设数列{}n a 的前n 项和为n S 当1q =时，则{}n a 为常数列，所以1n S na = 当1q ≠时，则()111n n a q S q−=−可变形为：()1111111n n n a q a aS q qq q −==−−−−，设11a k q =−，可得：n n S k q k =⋅−5、由等比数列生成的新等比数列（1）在等比数列{}n a 中，等间距的抽取一些项组成的新数列仍为等比数列（2）已知等比数列{}{},n n a b ，则有 ① 数列{}n ka （k 为常数）为等比数列 ② 数列{}na λ（λ为常数）为等比数列，特别的，当1λ=−时，即1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭为等比数列③ 数列{}n n a b 为等比数列④ 数列{}n a 为等比数列6、相邻k 项和的比值与公比q 相关：设1212,m m m k n n n k S a a a T a a a ++++++=+++=+++，则有：()()212212k m n m m m m k mk n n n k nn a q q q S a a a a q T a a a a a q q q −++++++++++++====++++++ 特别的：若121222,,k k k k k k k a a a S a a a S S +++++=+++=−2122332,k k k k k a a a S S +++++=−，则232,,,k k k k k S S S S S −−成等比数列7、等比数列的判定：（假设{}n a 不是常数列）（1）定义法（递推公式）：()1n na q n N a *+=∈ （2）通项公式：nn a k q =⋅（指数类函数）（3）前n 项和公式：nn S kq k =−注：若()n n S kq m m k =−≠，则{}n a 是从第二项开始成等比关系（4）等比中项：对于n N *∀∈，均有212n n n a a a ++=8、非常数等比数列{}n a 的前n 项和n S 与1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭前n 项和n T 的关系()111n n a q S q−=−，因为1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是首项为11a ，公比为1q 的等比数列，所以有()1111111111111nn n nn n q a q q q T q a q q a qq−⎡⎤⎛⎫−−⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥−⎣⎦===−−−⋅ ()()1112111111n n n nn n a q a q q S a q T q q−−−−=⋅=−− 例1：已知等比数列{}n a 的公比为正数，且223951,2a a a a ==，则10a =________思路：因为2396a a a =，代入条件可得：22652a a =，因为0q >，所以65a =，q =所以810216a a q == 答案：16例2：已知{}n a 为等比数列，且374,16a a =−=−，则5a =（） A. 64 B. 64− C. 8 D. 8− 思路一：由37,a a 可求出公比：4734a q a ==，可得22q =，所以253428a a q ==−⋅=− 思路二：可联想到等比中项性质，可得253764a a a ==，则58a =±，由等比数列特征可得奇数项的符号相同，所以58a =− 答案：D小炼有话说：思路二的解法尽管简单，但是要注意双解时要验证项是否符合等比数列特征。

新教材2023版高中数学章末复习课1第一章数列课件北师大版选择性必修第二册

章末复习课 1
考点一传统文化中的数列问题 1．在以实用为主的古代数学中，数列是研究的热点问题． 2．通过对优秀传统文化的学习，提升学生的数学建模、数学运算素养．
例1 (1)《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中
有如下问题：“今有禀粟，大夫、不更、簪裹、上造、公士，凡五人，
一十五斗．今有大夫一人后来，亦当禀五斗．仓无粟，欲以衰出之，
项公式要分段表示． (3)求数列的前n项和，根据数列的不同特点，常有方法：公式法、裂项相
消法、错位相减法、分组求和法． (4)通过对数列通项公式及数列求和的考查，提升学生的逻辑推理、数学
运算素养．
例4 已知数列{an}的前n项和Sn满足2Sn＝(n＋1)an(n∈N*)且a1＝2. (1)求数列{an}的通项公式； (2)设bn＝ an − 1 2an.求数列{bn}的前n项和Tn.
于织布，从第二天起，每天比前一天多织相同量的布，现在该女子一
个月(按30天计)共织布390尺，最后一天织布21尺，则该女子第一天织
布( )
A．3尺
B．4尺
C．5尺
D．6尺
答案：C
解析：由题意可设该女子第n天织布的数量为an，则数列{an}是等差数列，设其
21 公差为d.则ቐ390 =
= a1 30a1
2(an≠0)⇔{an}是等比数列．
(3)通项公式法：an＝kn＋b(k，b是常数)⇔{an}是等差数列；an＝c·qn(c，q
为非零常数)⇔{an}是等比数列．
(4)前n项和公式法：Sn＝An2＋Bn(A，B为常数，n∈N*)⇔{an}是等差数列；
Sn＝Aqn－A(A，q为常数，且A≠0，q≠0，q≠1，n∈N*)⇔{an}是等比数

高考数学总复习考点知识讲解与提升练习42 数列中的构造问题

高考数学总复习考点知识讲解与提升练习专题42 数列中的构造问题数列中的构造问题是历年高考的一个热点内容，主、客观题均可出现，一般通过构造新的数列求数列的通项公式．题型一形如a n＋1＝pa n＋f(n)型命题点1a n＋1＝pa n＋q(p≠0,1，q≠0)例1(1)数列{a n}满足a n＝4a n－1＋3(n≥2)且a1＝0，则a2024等于()A．22023－1 B．42023－1 C．22023＋1 D．42023＋1答案B解析∵a n＝4a n－1＋3(n≥2)，∴a n＋1＝4(a n－1＋1)(n≥2)，∴{a n＋1}是以1为首项，4为公比的等比数列，则a n＋1＝4n－1.∴a n＝4n－1－1，∴a2024＝42023－1.(2)已知数列{a n}的首项a1＝1，且1an＋1＝3an＋2，则数列{a n}的通项公式为__________．答案a n＝1 2·3n－1－1解析∵1a n＋1＝3an＋2，等式两边同时加1整理得1an＋1＋1＝3⎝⎛⎭⎪⎫1an＋1，又∵a 1＝1，∴1a 1＋1＝2，∴⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫1a n ＋1是首项为2，公比为3的等比数列．∴1a n＋1＝2·3n －1，∴a n ＝12·3n －1－1.命题点2a n ＋1＝pa n ＋qn ＋c (p ≠0,1，q ≠0)例2已知数列{a n }满足a n ＋1＝2a n －n ＋1(n ∈N *)，a 1＝3，求数列{a n }的通项公式．解∵a n ＋1＝2a n －n ＋1， ∴a n ＋1－(n ＋1)＝2(a n －n )， ∴a n ＋1－(n ＋1)a n －n＝2，∴数列{a n －n }是以a 1－1＝2为首项，2为公比的等比数列， ∴a n －n ＝2·2n －1＝2n ， ∴a n ＝2n ＋n .命题点3a n ＋1＝pa n ＋q n (p ≠0,1，q ≠0,1)例3(1)已知数列{a n }中，a 1＝3，a n ＋1＝3a n ＋2·3n ＋1，n ∈N *.则数列{a n }的通项公式为() A ．a n ＝(2n ＋1)·3n B ．a n ＝(n －1)·2n C ．a n ＝(2n －1)·3n D ．a n ＝(n ＋1)·2n 答案C解析由a n ＋1＝3a n ＋2·3n ＋1得a n ＋13n ＋1＝a n 3n ＋2·3n ＋13n ＋1， ∴a n ＋13n ＋1－a n3n ＝2，即数列⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫a n 3n 是首项为1，公差为2的等差数列，∴a n3n ＝2n －1，故a n ＝(2n －1)·3n .(2)在数列{a n }中，a 1＝1，且满足a n ＋1＝6a n ＋3n ，则a n ＝________. 答案6n3－3n －1解析将已知a n ＋1＝6a n ＋3n 的两边同乘13n ＋1，得a n ＋13n ＋1＝2·a n 3n ＋13，令b n ＝a n3n ，则b n ＋1＝2b n ＋13，利用命题点1的方法知b n ＝2n 3－13，则a n ＝6n3－3n －1.思维升华跟踪训练1(1)在数列{a n }中，a 1＝1，a n ＋1＝2a n ＋2n .则数列{a n }的通项公式a n 等于() A ．n ·2n －1 B ．n ·2n C ．(n －1)·2n D ．(n ＋1)·2n 答案A解析由a n ＋1＝2a n ＋2n 得a n ＋12n＝a n 2n －1＋1，设b n ＝a n 2n －1，则b n ＋1＝b n ＋1，又b 1＝1，∴{b n }是首项为1，公差为1的等差数列． ∴b n ＝n ， ∴a n ＝n ·2n －1.(2)(2023·黄山模拟)已知数列{a n }满足a 1＝1，(2＋a n )·(1－a n ＋1)＝2，设⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫1a n 的前n 项和为S n，则a2023(S2023＋2023)的值为()A．22023－2 B．22023－1 C．2 D．1 答案C解析(2＋a n)(1－a n＋1)＝2，则a n＋1＝a na n ＋2，即1an＋1＝2an＋1，得1an＋1＋1＝2⎝⎛⎭⎪⎫1an＋1，故⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫1an＋1是以2为首项，2为公比的等比数列，1an＋1＝2n，1an＝2n－1，a n＝12n－1，S2023＋2023＝2＋22＋…＋22023＝22024－2，∴a2023(S2023＋2023)＝2.(3)已知数列{a n}满足a n＋1＝2a n＋n，a1＝2，则a n＝________.答案2n＋1－n－1解析令a n＋1＋x(n＋1)＋y＝2(a n＋xn＋y)，即a n＋1＝2a n＋xn＋y－x，与原等式比较得，x＝y＝1，所以an＋1＋(n＋1)＋1an＋n＋1＝2，所以数列{a n＋n＋1}是以a1＋1＋1＝4为首项，2为公比的等比数列，所以a n＋n＋1＝4×2n－1，即a n＝2n＋1－n－1. 题型二相邻项的差为特殊数列(形如a n＋1＝pa n＋qa n－1)例4(1)已知数列{a n}满足：a1＝a2＝2，a n＝3a n－1＋4a n－2(n≥3)，则a9＋a10等于() A．47 B．48 C．49 D．410答案C解析由题意得a1＋a2＝4，由a n＝3a n－1＋4a n－2(n≥3)，得a n ＋a n －1＝4(a n －1＋a n －2)，即a n ＋a n －1a n －1＋a n －2＝4(n ≥3)，所以数列{a n ＋a n ＋1}是首项为4，公比为4的等比数列，所以a 9＋a 10＝49.(2)已知数列{a n }满足a 1＝1，a 2＝2，且a n ＋1＝2a n ＋3a n －1(n ≥2，n ∈N *)．则数列{a n }的通项公式为a n ＝________. 答案3n －(－1)n4解析方法一因为a n ＋1＝2a n ＋3a n －1(n ≥2，n ∈N *)，设b n ＝a n ＋1＋a n ，所以b n b n －1＝a n ＋1＋a n a n ＋a n －1＝3(a n ＋a n －1)a n ＋a n －1＝3，又因为b 1＝a 2＋a 1＝3，所以{b n }是以首项为3，公比为3的等比数列．所以b n ＝a n ＋1＋a n ＝3×3n －1＝3n ，从而a n ＋13n ＋1＋13·a n 3n ＝13，不妨令c n ＝a n 3n ，即c n ＋1＋13c n ＝13，故c n ＋1－14＝－13⎝ ⎛⎭⎪⎫c n －14，即c n ＋1－14c n －14＝－13，又因为c 1－14＝a 13－14＝112，所以数列⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫c n －14是首项为112，公比为－13的等比数列，故c n －14＝112×⎝ ⎛⎭⎪⎫－13n －1＝a n 3n －14，从而a n ＝3n －(－1)n4.方法二因为方程x 2＝2x ＋3的两根为－1,3，可设a n ＝c 1·(－1)n －1＋c 2·3n －1，由a 1＝1，a 2＝2，解得c 1＝14，c 2＝34，所以a n ＝3n －(－1)n4.思维升华可以化为a n ＋1－x 1a n ＝x 2(a n －x 1a n －1)，其中x 1，x 2是方程x 2－px －q ＝0的两个根，若1是方程的根，则直接构造数列{a n －a n －1}，若1不是方程的根，则需要构造两个数列，采取消元的方法求数列{a n }．跟踪训练2若x ＝1是函数f (x )＝a n ＋1x 4－a n x 3－a n ＋2x ＋1(n ∈N *)的极值点，数列{a n }满足a 1＝1，a 2＝3，则数列{a n }的通项公式a n ＝________. 答案3n －1解析f ′(x )＝4a n ＋1x 3－3a n x 2－a n ＋2，∴f ′(1)＝4a n ＋1－3a n －a n ＋2＝0，即a n ＋2－a n ＋1＝3(a n ＋1－a n )，∴数列{a n ＋1－a n }是首项为2，公比为3的等比数列， ∴a n ＋1－a n ＝2×3n －1，则a n ＝a n －a n －1＋a n －1－a n －2＋…＋a 2－a 1＋a 1＝2×3n －2＋…＋2×30＋1＝3n －1.题型三倒数为特殊数列⎝ ⎛⎭⎪⎫形如a n ＋1＝pa n ra n ＋s 型例5(1)已知数列{a n }满足a 1＝1，a n ＋1＝a n 4a n ＋1(n ∈N *)，则满足a n >137的n 的最大取值为()A ．7B ．8C ．9D ．10 答案C 解析因为a n ＋1＝a n 4a n ＋1，所以1a n ＋1＝4＋1a n ，所以1a n ＋1－1a n ＝4，又1a 1＝1，所以数列⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫1a n 是以1为首项，4为公差的等差数列．所以1a n ＝1＋4(n －1)＝4n －3，所以a n ＝14n －3，由a n >137，即14n －3>137，即0<4n －3<37，解得34<n <10，因为n 为正整数，所以n 的最大取值为9.(2)(多选)数列{a n }满足a n ＋1＝a n 1＋2a n(n ∈N *)，a 1＝1，则下列结论正确的是()A.2a 10＝1a 3＋1a 17B.1{2}na 是等比数列C ．(2n －1)a n ＝1D ．3a 5a 17＝a 49 答案ABC解析由a n ＋1＝a n1＋2a n ，可得1a n ＋1＝1＋2a na n ＝1a n ＋2，所以1a n ＋1－1a n ＝2，且1a 1＝1，所以数列⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫1a n 是等差数列，且该数列的首项为1，公差为2，所以1a n＝1＋2(n －1)＝2n －1，则(2n －1)a n ＝1，其中n ∈N *，故C 对；1111112=22n n nna a a a ++-＝22＝4，所以数列1{2}na 是等比数列，故B 对；由等差中项的性质可得2a 10＝1a 3＋1a 17，故A 对；由上可知a n ＝12n －1，则3a 5a 17＝3×12×5－1×12×17－1＝199，a 49＝12×49－1＝197，所以3a 5a 17≠a 49，故D 错．思维升华两边同时取倒数转化为1a n ＋1＝s p ·1a n ＋r p的形式，化归为b n ＋1＝pb n ＋q 型，求出1a n的表达式，再求a n .跟踪训练3已知函数f (x )＝x 3x ＋1，数列{a n }满足a 1＝1，a n ＋1＝f (a n )(n ∈N *)，则数列{a n }的通项公式为____________．答案a n ＝13n －2(n ∈N *) 解析由已知得，a n ＋1＝a n 3a n ＋1，∴1a n ＋1＝1a n＋3，即1a n ＋1－1a n＝3，∴数列⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫1a n 是首项为1a 1＝1，公差为d ＝3的等差数列，∴1a n＝1＋(n －1)×3＝3n －2.故a n ＝13n －2(n ∈N *)．课时精练1．已知数列{a n }满足a 1＝2，a n ＋1＝2a n ＋1，则a 4的值为() A ．15 B ．23 C ．32 D ．42 答案B解析因为a n ＋1＝2a n ＋1，所以a n＋1＋1＝2(a n＋1)，所以{a n＋1}是以3为首项，2为公比的等比数列，所以a n＋1＝3·2n－1，所以a n＝3·2n－1－1，a4＝23.2．在数列{a n}中，a1＝5，且满足an＋12n－5－2＝an2n－7，则数列{a n}的通项公式为()A．2n－3B．2n－7C．(2n－3)(2n－7) D．2n－5 答案C解析因为a n＋12n－5－2＝an2n－7，所以an＋12n－5－an2n－7＝2，又a12－7＝－1，所以数列⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫an2n－7是以－1为首项，公差为2的等差数列，所以an2n－7＝－1＋2(n－1)＝2n－3，所以a n＝(2n－3)(2n－7)．3．已知数列{a n}满足：a1＝1，且a n＋1－2a n＝n－1，其中n∈N*，则数列{a n}的通项公式为()A．a n＝2n－n B．a n＝2n＋nC．a n＝3n－1D．a n＝3n＋1答案A解析由题设，a n＋1＋(n＋1)＝2(a n＋n)，而a1＋1＝2，∴{a n＋n}是首项、公比均为2的等比数列，故a n＋n＝2n，即a n ＝2n －n .4．已知数列{a n }满足a 2＝14，a n －a n ＋1＝3a n a n ＋1，则数列的通项公式a n 等于()A.13n －2B.13n ＋2C ．3n －2D ．3n ＋2 答案A解析∵a n －a n ＋1＝3a n a n ＋1，a 2＝14，∴a 1－a 2＝3a 1a 2，即a 1－14＝34a 1，解得a 1＝1. 由题意知a n ≠0，由a n －a n ＋1＝3a n a n ＋1得1a n ＋1－1a n＝3，又1a 1＝1，∴数列⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫1a n 是以1为首项，3为公差的等差数列，∴1a n＝1＋3(n －1)＝3n －2，则a n ＝13n －2.5．在数列{a n }中，若a 1＝3，a n ＋1＝a 2n ，则a n 等于() A ．2n －1 B.3n －1 C ．132n － D ．123n －答案D解析由a 1＝3，a n ＋1＝a 2n 知a n >0，对a n ＋1＝a 2n 两边取以3为底的对数得，log 3a n ＋1＝2log 3a n ，则数列{log 3a n }是以log 3a 1＝1为首项，2为公比的等比数列，则log 3a n ＝1·2n －1＝2n －1，即a n ＝123n －.6．设数列{a n }满足a 1＝1，a n ＝－a n －1＋2n (n ≥2)，则数列的通项公式a n 等于() A.13·2n ＋13 B.13·2n＋13·(－1)n C.2n ＋13＋13 D.2n ＋13＋13·(－1)n 答案D解析∵a n －1＋a n ＝2n ，两边同时除以2n得，a n 2n ＋12·a n －12n －1＝1.令c n ＝a n2n ，则c n ＝－12c n －1＋1.两边同时加上－23得c n －23＝－12·⎝⎛⎭⎪⎫c n －1－23.∴数列⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫c n－23是以c 1－23为首项，－12为公比的等比数列，∴c n －23＝⎝ ⎛⎭⎪⎫c 1－23·⎝ ⎛⎭⎪⎫－12n －1＝13·⎝ ⎛⎭⎪⎫－12n ，∴c n ＝23＋13·⎝ ⎛⎭⎪⎫－12n，∴a n ＝2n·c n ＝2n ＋13＋13·(－1)n .7．(多选)已知数列{a n }满足a 1＝1，a n ＋1＝a n 2＋3a n(n ∈N *)，则下列结论正确的是()A.⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫1a n ＋3为等差数列 B ．{a n }的通项公式为a n ＝12n －1－3C ．{a n }为递减数列 D.⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫1a n 的前n 项和T n ＝2n ＋2－3n －4答案CD 解析因为a n ＋1＝a n 2＋3a n，所以1a n ＋1＝2＋3a na n＝2a n＋3，所以1a n ＋1＋3＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫1a n ＋3，且1a 1＋3＝4≠0，所以⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫1a n ＋3是以4为首项，2为公比的等比数列，即1a n＋3＝4×2n －1，所以1a n＝2n ＋1－3，可得a n ＝12n ＋1－3，故选项A ，B 错误；因为1a n＝2n ＋1－3单调递增，所以a n ＝12n ＋1－3单调递减，即{a n }为递减数列，故选项C 正确；⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫1a n 的前n 项和T n ＝(22－3)＋(23－3)＋…＋(2n ＋1－3)＝(22＋23＋…＋2n ＋1)－3n＝22×1－2n1－2－3n ＝2n ＋2－3n －4，故选项D 正确．8．将一些数排成如图所示的倒三角形，其中第一行各数依次为1,2,3，…，2023，从第二行起，每一个数都等于它“肩上”的两个数之和，最后一行只有一个数M ，则M 等于()A ．2023×22020B ．2024×22021C ．2023×22021D ．2024×22022 答案B解析记第n 行的第一个数为a n ，则a 1＝1，a 2＝3＝2a 1＋1，a 3＝8＝2a 2＋2，a 4＝20＝2a 3＋4，…，a n ＝2a n －1＋2n －2，∴a n 2n －2＝a n －12n －3＋1，即⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫a n 2n －2是以a 12－1＝2为首项，1为公差的等差数列．∴a n 2n －2＝2＋(n －1)×1＝n ＋1，∴a n ＝(n ＋1)×2n －2.又每行比上一行的数字少1个， ∴最后一行为第2023行， ∴M ＝a 2023＝2024×22021.9．已知数列{a n }满足a 1＝32，a n ＋1＝3a n a n ＋3，若c n ＝3n a n ，则c n ＝____________.答案(n ＋1)3n －1解析因为a 1＝32，a n ＋1＝3a na n ＋3，所以1a n ＋1＝a n ＋33a n ＝13＋1a n，即1a n ＋1－1a n ＝13，所以数列⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫1a n 是首项为1a 1＝23，公差为13的等差数列，所以1a n ＝23＋13(n －1)＝n ＋13，则c n ＝3na n＝(n ＋1)3n －1.10．已知数列{a n }满足a n ＋1＝3a n －2a n －1(n ≥2，n ∈N *)，且a 1＝0，a 6＝124，则a 2＝________. 答案4解析由a n ＋1＝3a n －2a n －1(n ≥2，n ∈N *)可得a n ＋1－a n ＝2(a n －a n －1)，若a n －a n －1＝0，则a 6＝a 5＝…＝a 1，与题中条件矛盾，故a n －a n －1≠0，所以a n ＋1－a na n －a n －1＝2，即数列{a n ＋1－a n }是以a 2－a 1为首项，2为公比的等比数列，所以a n ＋1－a n ＝a 2·2n －1，所以a 6－a 1＝a 2－a 1＋a 3－a 2＋a 4－a 3＋a 5－a 4＋a 6－a 5＝a 2·20＋a 2·21＋a 2·22＋a 2·23＋a 2·24＝31a 2＝124，所以a 2＝4.11．在数列{a n }中，a 1＝1，且满足a n ＋1＝3a n ＋2n ，则a n ＝________. 答案52·3n －1－n －12解析∵a n ＋1＝3a n ＋2n ①，∴a n ＝3a n －1＋2(n －1)(n ≥2)，两式相减得，a n ＋1－a n ＝3(a n －a n －1)＋2，令b n ＝a n ＋1－a n ，则b n ＝3b n －1＋2(n ≥2)，利用求a n ＋1＝pa n ＋q 的方法知，b n ＝5·3n －1－1，即a n ＋1－a n ＝5·3n －1－1②，再利用累加法知，a n ＝52·3n－1－n－12⎝⎛⎭⎪⎫或联立①②解出a n＝52·3n－1－n－12.12．英国著名物理学家牛顿用“作切线”的方法求函数零点时，给出的“牛顿数列”在航空航天中应用广泛，若数列{x n}满足x n＋1＝x n－f(xn)f′(xn)，则称数列{x n}为牛顿数列．如果函数f(x)＝2x2－8，数列{x n}为牛顿数列，设a n＝ln xn＋2xn－2，且a1＝1，x n>2.数列{a n}的前n项和为S n，则S n＝________. 答案2n－1解析∵f(x)＝2x2－8，∴f′(x)＝4x，又∵x n＋1＝x n－f(xn)f′(xn)＝x n－2x2n－84x n＝x2n＋42x n，∴x n＋1＋2＝(x n＋2)22x n，x n＋1－2＝(x n－2)22x n，∴xn＋1＋2xn＋1－2＝⎝⎛⎭⎪⎫x n＋2xn－22，又x n>2，∴ln xn＋1＋2xn＋1－2＝ln⎝⎛⎭⎪⎫x n＋2xn－22＝2lnxn＋2xn－2，又a n＝ln xn＋2xn－2，且a1＝1，∴a n＋1＝2a n，∴数列{a n}是首项为1，公比为2的等比数列，∴{a n}的前n项和S n＝1×(1－2n)1－2＝2n－1.。

高中数学选择性必修二第04章章末复习课(含答案)

课时同步练第04章章末复习课一、单选题1．数列1，23，35，47，59，…的一个通项公式na 是（）A ．21n n +B ．23n n + C ．23n n - D ．21n n - 【答案】D【解析】由于数列的分母是奇数列，分子是自然数列，故通项公式为21n n a n =-. 故选D.2．在单调递增的等差数列{}n a 中，若31a =，2434a a =，则1a =（） A ．1- B ．-12C ．0D ．12【答案】C【解析】设等差数列{}n a 的公差为(0)d d >,因为32431,4a a a ==，所以有：()()11121334a d a d a d +=⎧⎪⎨++=⎪⎩，解方程组得：10a =；故选C3．设等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，若252, 16a a ==，则10=S （）A ．1023B ．511C ．1023-D ．511-【答案】A【解析】设数列{}n a 的公比为q ，由题意可得3528a q a ==，所以2q ，由题得1122,1a a ⨯=∴=.故()()101011011121023112a q S q-⨯-===--.故选A.4．已知数列{}n a 满足111,31n n a a a +==+，则3a =（）A ．4B ．7C ．10D ．13【答案】D【解析】因为111,31n n a a a +==+，所以2131314a a =+=+=，所以323134113a a =+=⨯+=. 故选D5．已知数列{}n a 满足11a =，()*11n n na a n n +=∈+N ，则n a =（） A ．1n + B ．nC ．11n + D ．1n【答案】D【解析】由题意，数列{}n a 满足()*11n n n a a n n +=∈+N ，所以11n n a n a n +=+，所以13211221122111132n n n n n a a a a n n a a a a a a n n n-----=⨯⨯⨯⨯⨯=⨯⨯⨯⨯⨯=-. 故选D.6．已知公差0d ≠的等差数列{}n a 满足11a =，且2a ，42a -，6a 成等比数列，若正整数m ，n 满足10m n -=，则m n a a -=（）A ．10B ．20C ．30D ．5或40【答案】C【解析】由题知()24262a a a -=，因为{}n a 为等差数列，所以()()()231115d d d -=++，又0d ≠，则3d =，从而()30m n a a m n d -=-=. 故选C ．7．已知{}n a 是等差数列，111a =，n S 为数列{}n a 的前n 项和，且57S S =，则n S 的最大值为（）A ．66B ．56C ．46D ．36【答案】D【解析】由已知57S S =，111a =得，115476++2572d d a a ⨯⨯=，所以2d =-，所以()121++122n n n d n S na n ⨯-==-，所以当6n =时，n S 有最大值为36, 故选D.8．在正项等比数列{}n a 中，374a a =，数列{}2log n a 的前9项之和为（）A ．11B ．9C ．15D ．13【答案】B【解析】2375542a a a a ==⇒=，92122292129252log +log ++log =log ()log 9log 29a a a a a a a ⋅===，故选B9．已知数列{}n a 的首项121a =，且满足21(25)(23)41615n n n a n a n n +-=-+-+，则{}n a 的最小的一项是（）A ．5aB ．6aC ．7aD ．8a【答案】A【解析】由已知得112325n n a a n n +=+--，1725a =--，所以数列25n a n ⎧⎫⎨⎬-⎩⎭为首项为7-，公差为1的等差数列，7(1)825n a n n n =-+-=--，则(25)(8)n a n n =--，其对称轴10.55.252n ==.所以{}n a 的最小的一项是第5项. 故选A.10．若[]x 表示不超过x 的最大整数（例如：[][]0.10,0.11=-=-），数列{}n a 满足：13a =，122n n a a n +-=+，则2020a ⎡+++=⎣（）A ．10102021⨯B ．10102020⨯C ．10092021⨯D ．10092020⨯【答案】A【解析】122n n a a n +-=+，()-12122n n a a n n --+∴==，1222n-n-a n a =--，，326a a -=，214a a -=，累加可得()()()121424622222n n n a a n n n n -+-=+++-+==+-，又13a =，()2*1n a n n n N ∴=++∈，()22211n n n n <++<+，n ∴==，2020202020211232020101020212a ⨯⎡⎤+++=++++==⨯⎣⎦.故选A11．设等比数列{}n a 的公比为q ，其前n 项的积为n T ，并且满足条件11a >，9910010a a ->，99100101a a -<-．给出下列结论：①01q <<；②9910110a a ->；③100T 的值是n T 中最大的；④使1n T >成立的最大自然数n 等于198 其中正确的结论是（）A ．①③B ．①④C ．②③D ．②④【答案】B【解析】①9910010a a ->，219711a q ∴>，9821()1q a q ∴>．11a >，0q ∴>．又99100101a a -<-，991a ∴>，且1001a <．01q ∴<<，即①正确；②299101100100·01a a a a ⎧=⎨<<⎩，9910101a a ∴<<，即9910110a a -<，故②错误；③由于10099100T T a =，而10001a <<，故有10099T T <，故③错误；④中9919812198119821979910099100()()()()1T a a a a a a a a a a a =⋯=⋯=>，199121991199219899101100()()()1T a a a a a a a a a a =⋯=⋯<，故④正确．∴正确的为①④，故选B ．12．已知数列{}n a 满足()*11,,2,,n n na n a n a n ++⎧=∈⎨⎩N 为奇数为偶数，若102333a ≤≤，则3a 的取值范围是（） A ．312a ≤≤B ．3194a ≤≤C ．323a ≤≤D ．3233a ≤≤ 【答案】B【解析】由递推关系可知22211n n a a ++=+，2122n n a a +=，所以22221n n a a +=+. 即()222121n n a a ++=+，可求()112231112122n n n a a a --⎛⎫+=+=+ ⎪⎝⎭，所以4103312118152a a a ⎛⎫=+-=+⎪⎝⎭. 因为102333a ≤≤，∴32381533a ≤+≤，解得3194a ≤≤，故选B.二、填空题13．已知数列{}n a 为等差数列，n S 为其前n 项和，5632a a a +=+，则7S =______.【答案】14【解析】因为5632a a a +=+，所以111142452322a d a d a d a d a ++=+++⇒+=⇒=，所以17747()7142a a S a +===. 故填14.14．已知n S 为等比数列{}n a 的前n 项和，516a =，3432a a =-，则8S =_______．【答案】85-【解析】设等比数列{}n a 的公比为q ，则4123111632a q a q a q ⎧=⎨⋅=-⎩，解得11,2a q ==-，所以881(2)1256851(2)3S ---===---，故填85-15．数列{}n a ，若11a =，11n n a a n -=++，则8a =________.【答案】43【解析】由11n n a a n -=++可得()112n n a a n n --=+≥，213a a -=，324a a -=，⋅⋅⋅879a a -=，上式相加得81345678942a a -=++++++=，又11a =，可得843a = 故填4316．数列{}n a 中，112,21,n n a a a n +=+=+则122....n a a a +++=_____.【答案】22n n +【解析】若数列{}n a 中，12a =，121,n n a a n ++=+，可得1234562123,7,11,,41n n a a a a a a a a n -+=+=+=+=-，相加可得21232(341)3711(41)22n n n a a a a n n n +-++++=++++-==+.故填22n n +.17．如图，将数列{}n a 中的所有项按每一行比上一行多两项的规则排成数表，已知表中的第一列1a 、2a 、5a 、构成一个公比为2的等比数列，从第2行起，每一行都是一个公差为d 的等差数列，若35a =，86524a =，则d =________.【答案】3【解析】由题意可知，第一行是1a ，第二行是从2a 到4a ，第三行是从5a 到9a ，第四行是从10a 到16a ，第五行是从17a 到25a ，第六行是从26a 到36a ，第七行是从37a 到49a ，第八行是从50a 到64a ，第九行是从65a 到81a ，第十行是从82a 到100a ，故3a 在第二行，86a 在第十行，因为35a =，86524a =，每一行都是一个公差为d 的等差数列，所以25a d =-，825244a d =-，因为表中的第一列1a 、2a 、5a 、构成一个公比为2的等比数列，所以82822a a ，即8525244dd ，解得3d =，故填3.18．设数列{}n a 满足2n na n λ=+，若数列{}n a 是单调递增数列，则实数λ的取值范围是__________.【答案】(),2-∞【解析】2n na n λ=+，n a n nλ∴=+，由于数列{}n a 是单调递增数列，则1n n a a +>，即11n n n nλλ++>++，整理得2n n λ<+，令2n b n n =+，()()()22111220n n b b n n n n n +⎡⎤∴-=+++-+=+>⎣⎦，所以，数列{}n b 单调递增，则数列{}n b 的最小项为21112b =+=，2λ∴<.因此，实数λ的取值范围是(),2-∞. 故填(),2-∞.三、解答题19．已知数列{}n a 的前n 项和为2230n S n n =-．（1）求出它的通项公式；（2）求使得n S 最小时n 的值.【解析】（1）当1n =时，1128a S ==-；当2n ≥时,1n n n a S S -=-22(230)2(1)30(1)n n n n ⎡⎤=-----⎣⎦432n =-1a 也适合此式，432n a n ∴=-.（2）22152252302()22n S n n n =-=--又因为n 是正整数，所以当7n =或8时，n S 最小.20．已知数列{}n a 为等差数列，公差0d >，且1427a a =，424S =.（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）令11n n n b a a +=⋅，求数列{}n b 的前n 项和n T .【解析】（1）由题意可知，()1444242a a S +==，1412a a ∴+=.又1427a a =，0d >，13a ∴=，49a =，2d =， 21n a n ∴=+.故数列{}n a 的通项公式为21n a n =+. （2）由（1）可知，()()1112123n n n b a a n n +==++ 11122123n n ⎛⎫=- ⎪++⎝⎭， 1111111111235572123232369n n T n n n n ⎛⎫⎛⎫∴=-+-+⋅⋅⋅+-=-= ⎪ ⎪++++⎝⎭⎝⎭. 21．已知等差数列{}n a 满足36a =，前7项和为749.S =（1）求{}n a 的通项公式（2）设数列{}n b 满足(3)3n n n b a =-⋅，求{}n b 的前n 项和n T .【解析】（1）由()17747=7=492a a S a ⨯+=，得4=7a ，因为36a =所以1d =，14,3n a a n ==+所以；（2）()33=3n nn n b a n =-⋅⋅， ()12313233331nn T n =⨯+⨯+⨯+⋯+⨯所以 ()234+1313233332n n T n =⨯+⨯+⨯+⋯+⨯ ()()123+1+13312233333=313n n n n n T n n +---=++++-⨯-⨯-由得：，()+121334n n n T -⨯+=所以. 22．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且()*14n n a a n N +=-∈ .（1）若10a >，且1a ，2a ，3a 成等比数列，求1a 和4S ；（2）若数列{}n a 为等差数列，求1a 和n S .【解析】（1）因为10a >，所以 21144a a a =-=-，1132111,044448,4a a a a a a a <≤⎧=-=--=⎨->⎩因为1a ，2a ，3a 成等比数列，所以2132a a a =，①当104a <≤时，所以()22114a a =-，得12a =； ②当14a >时，所以()()211184a a a -=-，得14a =-（舍）或14a =+综合①②可知，12a =或14a =+. 当12a =时， 22a =，32a =，4342a a =-=，所以48S =；当14a =+2140a a =-<，3180a a =->，43144a a a =-=-，所以48S =；故48S =.（2）因为214a a =-，321444=-=--a a a ，所以由等差列定义得2132a a a =+，得()1112444a a a -=+--（*）当14a >时，由（*）得10a =，矛盾. 当104a <≤时，由（*）得12a =，符合条件. 当10a ≤时，因为公差2140d a a =-=>，所以必存在2m ≥使得()1414m a a m =+->，这与140m m m m d a a a a +=-=--<矛盾. 故综上可知：只有12a =时符合条件且此时公差210d a a =-=，所以()*2n a n =∈N ，所以12a =，2n S n =.。

2023年高考数学一轮复习第六章数列1数列的概念练习含解析

数列的概念考试要求 1.了解数列的概念和几种简单的表示方法(列表、图象、通项公式).2.了解数列是自变量为正整数的一类特殊函数．知识梳理 1．数列的定义按照确定的顺序排列的一列数称为数列，数列中的每一个数叫做这个数列的项． 2．数列的分类分类标准类型满足条件项数有穷数列项数有限无穷数列项数无限项与项间的大小关系递增数列a n ＋1＞a n 其中n ∈N *递减数列 a n ＋1＜a n 常数列 a n ＋1＝a n摆动数列从第二项起，有些项大于它的前一项，有些项小于它的前一项的数列3.数列的通项公式如果数列{a n }的第n 项a n 与它的序号n 之间的对应关系可以用一个式子来表示，那么这个式子叫做这个数列的通项公式． 4．数列的递推公式如果一个数列的相邻两项或多项之间的关系可以用一个式子来表示，那么这个式子叫做这个数列的递推公式．常用结论1．已知数列{a n }的前n 项和S n ，则a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧S 1，n ＝1，S n －S n －1，n ≥2.2．在数列{a n }中，若a n 最大，则⎩⎪⎨⎪⎧a n ≥a n －1，a n ≥a n ＋1(n ≥2，n ∈N *)；若a n 最小，则⎩⎪⎨⎪⎧a n ≤a n －1，a n ≤a n ＋1(n ≥2，n ∈N *)．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)相同的一组数按不同顺序排列时都表示同一个数列．( × ) (2)1,1,1,1，…，不能构成一个数列．( × )(3)任何一个数列不是递增数列，就是递减数列．( × )(4)如果数列{a n }的前n 项和为S n ，则对任意n ∈N *，都有a n ＋1＝S n ＋1－S n .( √ ) 教材改编题1．若数列{a n }满足a 1＝2，a n ＋1＝1＋a n1－a n ，则a 2023的值为( )A ．2B ．－3C ．－12D.13答案 C解析因为a 1＝2，a n ＋1＝1＋a n1－a n ，所以a 2＝1＋a 11－a 1＝－3，同理可得a 3＝－12，a 4＝13，a 5＝2，…，可得a n ＋4＝a n ，则a 2023＝a 505×4＋3＝a 3＝－12.2．数列13，18，115，124，135，…的通项公式是a n ＝________.答案1nn ＋2，n ∈N *解析 ∵a 1＝11×1＋2＝13， a 2＝12×2＋2＝18，a 3＝13×3＋2＝115，a 4＝14×4＋2＝124，a 5＝15×5＋2＝135，∴通过观察，我们可以得到如上的规律，则a n ＝1nn ＋2，n ∈N *. 3．已知数列{a n }的前n 项和S n ＝2n 2－3n ，则数列{a n }的通项公式a n ＝________.解析 a 1＝S 1＝2－3＝－1，当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝(2n 2－3n )－[2(n －1)2－3(n －1)] ＝4n －5，因为a 1也适合上式，所以a n ＝4n －5.题型一由a n 与S n 的关系求通项公式例1 (1)设S n 为数列{a n }的前n 项和，若2S n ＝3a n －3，则a 4等于( ) A ．27 B ．81 C ．93 D ．243答案 B解析根据2S n ＝3a n －3，可得2S n ＋1＝3a n ＋1－3，两式相减得2a n ＋1＝3a n ＋1－3a n ，即a n ＋1＝3a n ，当n ＝1时，2S 1＝3a 1－3，解得a 1＝3，所以数列{a n }是以3为首项，3为公比的等比数列，所以a 4＝a 1q 3＝34＝81.(2)设数列{a n }满足a 1＋3a 2＋…＋(2n －1)a n ＝2n，则a n ＝________. 答案 ⎩⎪⎨⎪⎧2，n ＝1，2n －12n －1，n ≥2解析当n ＝1时，a 1＝21＝2. ∵a 1＋3a 2＋…＋(2n －1)a n ＝2n，① ∴a 1＋3a 2＋…＋(2n －3)a n －1＝2n －1(n ≥2)，② 由①－②得，(2n －1)·a n ＝2n －2n －1＝2n －1，∴a n ＝2n －12n －1(n ≥2)．显然n ＝1时不满足上式，∴a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧2，n ＝1，2n －12n －1，n ≥2.教师备选1．已知数列{a n }的前n 项和S n ＝n 2＋2n ，则a n ＝________.解析当n ＝1时，a 1＝S 1＝3.当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝n 2＋2n －[(n －1)2＋2(n －1)]＝2n ＋1.由于a 1＝3适合上式，∴a n ＝2n ＋1.2．已知数列{a n }中，S n 是其前n 项和，且S n ＝2a n ＋1，则数列的通项公式a n ＝________. 答案－2n －1解析当n ＝1时，a 1＝S 1＝2a 1＋1， ∴a 1＝－1.当n ≥2时，S n ＝2a n ＋1，①S n －1＝2a n －1＋1.②①－②得S n －S n －1＝2a n －2a n －1，即a n ＝2a n －2a n －1，即a n ＝2a n －1(n ≥2)，∴{a n }是首项为a 1＝－1，公比为q ＝2的等比数列． ∴a n ＝a 1·qn －1＝－2n －1.思维升华 (1)已知S n 求a n 的常用方法是利用a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧S 1，n ＝1，S n －S n －1，n ≥2转化为关于a n 的关系式，再求通项公式．(2)S n 与a n 关系问题的求解思路方向1：利用a n ＝S n －S n －1(n ≥2)转化为只含S n ，S n －1的关系式，再求解．方向2：利用S n －S n －1＝a n (n ≥2)转化为只含a n ，a n －1的关系式，再求解．跟踪训练1 (1)已知数列{a n }的前n 项和为S n ，且S n ＝2n 2＋n ＋1，n ∈N *，则a n ＝________.答案 ⎩⎪⎨⎪⎧4，n ＝1，4n －1，n ≥2解析根据题意，可得S n －1＝2(n －1)2＋(n －1)＋1. 由通项公式与求和公式的关系，可得a n ＝S n －S n －1，代入化简得a n ＝2n 2＋n ＋1－2(n －1)2－(n －1)－1＝4n －1.经检验，当n ＝1时，S 1＝4，a 1＝3，所以S 1≠a 1，所以a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧4，n ＝1，4n －1，n ≥2.(2)设S n 是数列{a n }的前n 项和，且a 1＝－1，a n ＋1＝S n S n ＋1，则a n ＝________.答案 ⎩⎪⎨⎪⎧－1，n ＝1，1n n －1，n ≥2解析由已知得a n ＋1＝S n ＋1－S n ＝S n ＋1S n ，两边同时除以S n ＋1S n ，得1S n ＋1－1S n＝－1.故数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1S n 是以－1为首项，－1为公差的等差数列，则1S n＝－1－(n －1)＝－n .所以S n ＝－1n.当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝－1n ＋1n －1＝1n n －1，故a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧－1，n ＝1，1n n －1，n ≥2.题型二由数列的递推关系求通项公式命题点1 累加法例2 在数列{a n }中，a 1＝2，a n ＋1＝a n ＋ln ⎝⎛⎭⎪⎫1＋1n ，则a n 等于( )A ．2＋ln nB ．2＋(n －1)ln nC ．2＋n ln nD ．1＋n ＋ln n答案 A解析因为a n ＋1－a n ＝ln n ＋1n＝ln(n ＋1)－ln n ，所以a 2－a 1＝ln2－ln1，a 3－a 2＝ln3－ln2， a 4－a 3＝ln4－ln3，……a n －a n －1＝ln n －ln(n －1)(n ≥2)，把以上各式分别相加得a n －a 1＝ln n －ln1，则a n ＝2＋ln n (n ≥2)，且a 1＝2也适合，因此a n ＝2＋ln n (n ∈N *)．命题点2 累乘法例3 若数列{a n }满足a 1＝1，na n －1＝(n ＋1)·a n (n ≥2)，则a n ＝________. 答案2n ＋1解析由na n －1＝(n ＋1)a n (n ≥2)，得a n a n －1＝n n ＋1(n ≥2)．所以a n ＝a n a n －1·a n －1a n －2·a n －2a n －3·…·a 3a 2·a 2a 1·a 1＝n n ＋1×n －1n ×n －2n －1×…×34×23×1＝2n ＋1，又a 1＝1满足上式，所以a n ＝2n ＋1. 教师备选1．在数列{a n }中，a 1＝3，a n ＋1＝a n ＋1n n ＋1，则通项公式a n ＝________.答案 4－1n解析 ∵a n ＋1－a n ＝1nn ＋1＝1n －1n ＋1， ∴当n ≥2时，a n －a n －1＝1n －1－1n， a n －1－a n －2＝1n －2－1n －1，……a 2－a 1＝1－12，∴以上各式相加得，a n －a 1＝1－1n，∴a n ＝4－1n ，a 1＝3适合上式，∴a n ＝4－1n.2．若{a n }满足2(n ＋1)·a 2n ＋(n ＋2)·a n ·a n ＋1－n ·a 2n ＋1＝0，且a n >0，a 1＝1，则a n ＝________. 答案 n ·2n －1解析由2(n ＋1)·a 2n ＋(n ＋2)·a n ·a n ＋1－n ·a 2n ＋1＝0得n (2a 2n ＋a n ·a n ＋1－a 2n ＋1)＋2a n (a n ＋a n ＋1)＝0，∴n (a n ＋a n ＋1)(2a n －a n ＋1)＋2a n (a n ＋a n ＋1)＝0， (a n ＋a n ＋1)[(2a n －a n ＋1)·n ＋2a n ]＝0，又a n >0，∴2n ·a n ＋2a n －n ·a n ＋1＝0， ∴a n ＋1a n ＝2n ＋1n，又a 1＝1， ∴当n ≥2时，a n ＝a n a n －1·a n －1a n －2·…·a 3a 2·a 2a 1·a 1＝2n n －1×2n －1n －2×2n －2n －3×…×2×32×2×21×1＝2n －1·n . 又n ＝1时，a 1＝1适合上式， ∴a n ＝n ·2n －1.思维升华 (1)形如a n ＋1－a n ＝f (n )的数列，利用累加法，即利用公式a n ＝(a n －a n －1)＋(a n －1－a n －2)＋…＋(a 2－a 1)＋a 1(n ≥2)，即可求数列{a n }的通项公式． (2)形如a n ＋1a n ＝f (n )的数列，常令n 分别为1,2,3，…，n －1，代入a n ＋1a n＝f (n )，再把所得的(n －1)个等式相乘，利用a n ＝a 1·a 2a 1·a 3a 2·…·a na n －1(n ≥2)即可求数列{a n }的通项公式．跟踪训练2 (1)已知数列{a n }的前n 项和为S n ，若a 1＝2，a n ＋1＝a n ＋2n －1＋1，则a n ＝________.答案 2n －1＋n解析 ∵a n ＋1＝a n ＋2n －1＋1，∴a n ＋1－a n ＝2n －1＋1，∴当n ≥2时，a n ＝(a n －a n －1)＋(a n －1－a n －2)＋…＋(a 3－a 2)＋(a 2－a 1)＋a 1＝2n －2＋2n －3＋…＋2＋1＋a 1＋n －1＝1－2n －11－2＋2＋n －1＝2n －1＋n .又∵a 1＝2满足上式， ∴a n ＝2n －1＋n .(2)(2022·莆田模拟)已知数列{a n }的前n 项和为S n ，a 1＝1，S n ＝n 2a n (n ∈N *)，则数列{a n }的通项公式为________．答案 a n ＝2nn ＋1解析由S n ＝n 2a n ，可得当n ≥2时，S n －1＝(n －1)2a n －1，则a n ＝S n －S n －1＝n 2a n －(n －1)2a n －1，即(n 2－1)a n ＝(n －1)2a n －1，易知a n ≠0，故a n a n －1＝n －1n ＋1(n ≥2)．所以当n ≥2时，a n ＝a n a n －1×a n －1a n －2×a n －2a n －3×…×a 3a 2×a 2a 1×a 1＝n －1n ＋1×n －2n ×n －3n －1×…×24×13×1 ＝2n n ＋1.当n ＝1时，a 1＝1满足a n ＝2n n ＋1. 故数列{a n }的通项公式为a n ＝2nn ＋1. 题型三数列的性质命题点1 数列的单调性例4 已知数列{a n }的通项公式为a n ＝n 2－2λn (n ∈N *)，则“λ<1”是“数列{a n }为递增数列”的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件答案 A解析若数列{a n }为递增数列，则有a n ＋1－a n >0，∴(n ＋1)2－2λ(n ＋1)－n 2＋2λn ＝2n ＋1－2λ>0，即2n ＋1>2λ对任意的n ∈N *都成立，于是有λ<⎝⎛⎭⎪⎫2n ＋12min ＝32，∵由λ<1可推得λ<32，但反过来，由λ<32不能得到λ<1，因此“λ<1”是“数列{a n }为递增数列”的充分不必要条件．命题点2 数列的周期性例5 (2022·广州四校联考)数列{a n }满足a 1＝2，a n ＋1＝11－a n (n ∈N *)，则a 2023等于( )A ．－2B ．－1C ．2 D.12答案 C解析 ∵数列{a n }满足a 1＝2，a n ＋1＝11－a n(n ∈N *)， ∴a 2＝11－2＝－1， a 3＝11－－1＝12，a 4＝11－12＝2，…，可知此数列有周期性，周期T ＝3，即a n ＋3＝a n ，则a 2023＝a 1＝2. 命题点3 数列的最值例6 已知数列{a n }的通项公式a n ＝(n ＋1)·⎝ ⎛⎭⎪⎫1011n，则数列{a n }的最大项为( )A ．a 8或a 9B ．a 9或a 10C ．a 10或a 11D ．a 11或a 12答案 B解析结合f (x )＝(x ＋1)⎝ ⎛⎭⎪⎫1011x的单调性，设数列{a n }的最大项为a n ，所以⎩⎪⎨⎪⎧a n ≥a n ＋1，a n ≥a n －1，所以⎩⎪⎨⎪⎧n ＋1·⎝ ⎛⎭⎪⎫1011n ≥n ＋2·⎝ ⎛⎭⎪⎫1011n ＋1，n ＋1·⎝ ⎛⎭⎪⎫1011n ≥n ·⎝ ⎛⎭⎪⎫1011n －1，解不等式组可得9≤n ≤10. 所以数列{a n }的最大项为a 9或a 10. 教师备选1．已知数列{a n }的通项公式为a n ＝3n ＋k2n ，若数列{a n }为递减数列，则实数k 的取值范围为( ) A ．(3，＋∞)B ．(2，＋∞)C ．(1，＋∞)D ．(0，＋∞)答案 D解析因为a n ＋1－a n ＝3n ＋3＋k 2n ＋1－3n ＋k2n ＝3－3n －k2n ＋1，由数列{a n }为递减数列知，对任意n ∈N *，a n ＋1－a n ＝3－3n －k 2n ＋1<0，所以k >3－3n 对任意n ∈N *恒成立，所以k ∈(0，＋∞)．2．在数列{a n }中，a 1＝1，a n a n ＋3＝1，则log 5a 1＋log 5a 2＋…＋log 5a 2023等于( ) A ．－1 B ．0 C ．log 53 D ．4答案 B解析因为a n a n ＋3＝1，所以a n ＋3a n ＋6＝1，所以a n ＋6＝a n ，所以{a n }是周期为6的周期数列，所以log 5a 1＋log 5a 2＋…＋log 5a 2023 ＝log 5(a 1a 2…a 2023) ＝log 5[(a 1a 2…a 6)337·a 1]，又因为a 1a 4＝a 2a 5＝a 3a 6＝1，所以a 1a 2…a 6＝1，所以原式＝log 5(1337×1)＝log 51＝0. 思维升华 (1)解决数列的单调性问题的方法用作差比较法，根据a n ＋1－a n 的符号判断数列{a n }是递增数列、递减数列还是常数列． (2)解决数列周期性问题的方法先根据已知条件求出数列的前几项，确定数列的周期，再根据周期性求值． (3)求数列的最大项与最小项的常用方法 ①函数法，利用函数的单调性求最值．②利用⎩⎪⎨⎪⎧a n ≥a n －1，a n ≥a n ＋1(n ≥2)确定最大项，利用⎩⎪⎨⎪⎧a n ≤a n －1，a n ≤a n ＋1(n ≥2)确定最小项．跟踪训练3 (1)在数列{a n }中，a n ＋1＝⎩⎪⎨⎪⎧2a n，a n<12，2a n－1，a n≥12，若a 1＝45，则a 2023的值为( )A.35B.45C.25D.15答案 D 解析 a 1＝45>12，∴a 2＝2a 1－1＝35>12，∴a 3＝2a 2－1＝15<12，∴a 4＝2a 3＝25<12，∴a 5＝2a 4＝45，……可以看出四个循环一次，故a 2023＝a 4×505＋3＝a 3＝15.(2)(2022·沧州七校联考)已知数列{a n }满足a n ＝n ＋13n －16(n ∈N *)，则数列{a n }的最小项是第________项．答案 5解析 a n ＝n ＋13n －16＝13⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋193n －16，当n >5时，a n >0，且单调递减；当n ≤5时，a n <0，且单调递减， ∴当n ＝5时，a n 最小．课时精练1．数列{a n }的前几项为12，3，112，8，212，…，则此数列的通项公式可能是( )A ．a n ＝5n －42B ．a n ＝3n －22C ．a n ＝6n －52D ．a n ＝10n －92答案 A解析数列为12，62，112，162，212，…，其分母为2，分子是以首项为1，公差为5的等差数列，故数列{a n }的通项公式为a n ＝5n －42.2．在数列{a n }中，a 1＝1，a n ＝1＋－1na n －1(n ≥2)，则a 5等于( )A.32B.53C.85D.23 答案 D 解析 a 2＝1＋－12a 1＝2，a 3＝1＋－13a 2＝12， a 4＝1＋－14a 3＝3，a 5＝1＋－15a 4＝23. 3．已知数列{a n }的前n 项积为T n ，且满足a n ＋1＝1＋a n 1－a n (n ∈N *)，若a 1＝14，则T 2023为( )A ．－4B ．－35C ．－53D.14答案 C解析由a n ＋1＝1＋a n 1－a n ，a 1＝14，得a 2＝53，a 3＝－4，a 4＝－35，a 5＝14，…，所以数列{a n }具有周期性，周期为4，因为T 4＝a 1·a 2·a 3·a 4＝1,2023＝4×505＋3，所以T 2023＝(a 1a 2a 3a 4)…(a 2021a 2022a 2023) ＝14×53×(－4)＝－53. 4．若数列{a n }的前n 项和S n ＝2a n －1(n ∈N *)，则a 5等于( ) A ．8B ．16C ．32D ．64 答案 B解析数列{a n }的前n 项和S n ＝2a n －1(n ∈N *)，则S n －1＝2a n －1－1(n ≥2)，两式相减得a n ＝2a n －1(n ≥2)，由此可得，数列{a n }是等比数列，又S 1＝2a 1－1＝a 1，所以a 1＝1，故数列{a n }的通项公式为a n ＝2n －1，令n ＝5，得a 5＝16.5．(多选)已知数列{a n }的通项公式为a n ＝9n 2－9n ＋29n 2－1(n ∈N *)，则下列结论正确的是( ) A ．这个数列的第10项为2731B.97100是该数列中的项 C ．数列中的各项都在区间⎣⎢⎡⎭⎪⎫14，1内 D ．数列{a n }是单调递减数列答案 BC解析 a n ＝9n 2－9n ＋29n 2－1＝3n －13n －23n －13n ＋1＝3n －23n ＋1，令n ＝10得a 10＝2831，故A 错误；令3n －23n ＋1＝97100得n ＝33∈N *，故97100是数列中的项，故B 正确；因为a n ＝3n －23n ＋1＝3n ＋1－33n ＋1＝1－33n ＋1，又n ∈N *.所以数列{a n }是单调递增数列，所以14≤a n ＜1，故C 正确，D 不正确．6．(多选)若数列{a n }满足：对任意正整数n ，{a n ＋1－a n }为递减数列，则称数列{a n }为“差递减数列”．给出下列数列{a n }(n ∈N *)，其中是“差递减数列”的有( ) A ．a n ＝3n B ．a n ＝n 2＋1 C ．a n ＝n D ．a n ＝lnnn ＋1答案 CD解析对于A ，若a n ＝3n ，则a n ＋1－a n ＝3(n ＋1)－3n ＝3，所以{a n ＋1－a n }不为递减数列，故A 错误；对于B ，若a n ＝n 2＋1，则a n ＋1－a n ＝(n ＋1)2－n 2＝2n ＋1，所以{a n ＋1－a n }为递增数列，故B 错误；对于C ，若a n ＝n ，则a n ＋1－a n ＝n ＋1－n ＝1n ＋1＋n，所以{a n ＋1－a n }为递减数列，故C 正确；对于D ，若a n ＝ln nn ＋1，则a n ＋1－a n ＝ln n ＋1n ＋2－ln nn ＋1＝ln ⎝⎛⎭⎪⎫n ＋1n ＋2·n ＋1n ＝ln ⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1n 2＋2n ，由函数y ＝ln ⎝⎛⎭⎪⎫1＋1x 2＋2x 在(0，＋∞)上单调递减，所以{a n ＋1－a n }为递减数列，故D 正确．7．数列{a n }的前n 项和为S n ，若a 1＝1，a n ＋1＝3S n (n ∈N *)，则a n ＝________.答案 ⎩⎪⎨⎪⎧1，n ＝1，3·4n －2，n ≥2解析 ∵a n ＋1＝3S n (n ∈N *)， ∴当n ＝1时，a 2＝3；当n ≥2时，a n ＝3S n －1， ∴a n ＋1－a n ＝3a n ，得a n ＋1＝4a n ，∴数列{a n }从第二项起为等比数列，当n ≥2时，a n ＝3·4n －2，故a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧1，n ＝1，3·4n －2，n ≥2.8．(2022·临沂模拟)已知a n ＝n 2＋λn ，且对于任意的n ∈N *，数列{a n }是递增数列，则实数λ的取值范围是________．答案 (－3，＋∞)解析因为{a n }是递增数列，所以对任意的n ∈N *，都有a n ＋1>a n ，即(n ＋1)2＋λ(n ＋1)>n 2＋λn ，整理，得2n ＋1＋λ>0，即λ>－(2n ＋1)．(*)因为n ∈N *，所以－(2n ＋1)≤－3，要使不等式(*)恒成立，只需λ>－3.9．已知数列{a n }中，a 1＝1，前n 项和S n ＝n ＋23a n .(1)求a 2，a 3； (2)求{a n }的通项公式．解 (1)由S 2＝43a 2得3(a 1＋a 2)＝4a 2，解得a 2＝3a 1＝3，由S 3＝53a 3，得3(a 1＋a 2＋a 3)＝5a 3，解得a 3＝32(a 1＋a 2)＝6.(2)由题设知当n ＝1时，a 1＝1. 当n ≥2时，有a n ＝S n －S n －1＝n ＋23a n －n ＋13a n －1，整理得a n ＝n ＋1n －1a n －1，于是a 2＝31a 1，a 3＝42a 2，…，a n －1＝nn －2a n －2，a n ＝n ＋1n －1a n －1，将以上n －1个等式中等号两端分别相乘，整理得a n ＝n n ＋12.当n ＝1时，a 1＝1满足a n ＝n n ＋12.综上可知，{a n }的通项公式为a n ＝n n ＋12.10．求下列数列{a n }的通项公式． (1)a 1＝1，a n ＋1＝a n ＋3n； (2)a 1＝1，a n ＋1＝2na n .解 (1)由a n ＋1＝a n ＋3n 得a n ＋1－a n ＝3n，当n ≥2时，a n ＝a 1＋(a 2－a 1)＋(a 3－a 2)＋(a 4－a 3)＋…＋(a n －a n －1) ＝1＋31＋32＋33＋…＋3n －1＝1×1－3n1－3＝3n－12，当n ＝1时，a 1＝1＝31－12，满足上式，∴a n ＝3n－12(n ∈N *)．(2)由a n ＋1＝2na n 得a n ＋1a n＝2n，当n ≥2时，a n ＝a 1×a 2a 1×a 3a 2×a 4a 3×…×a na n －1＝1×2×22×23×…×2n －1＝21＋2＋3＋…＋(n －1)＝()122n n -.当n ＝1时，a 1＝1满足上式， ∴a n ＝()122n n -(n ∈N *)．11．已知数列{a n }满足a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧3－a n －2，n ≤6，an －5，n >6，且{a n }是递增数列，则实数a 的取值范围是( ) A.⎝ ⎛⎭⎪⎫167，3 B.⎣⎢⎡⎭⎪⎫167，3C ．(1,3)D ．(2,3)答案 D解析若{a n }是递增数列，则⎩⎪⎨⎪⎧3－a >0，a >1，a 7>a 6，即⎩⎪⎨⎪⎧a <3，a >1，a 2>63－a －2，解得2<a <3，即实数a 的取值范围是(2,3)．12．(多选)(2022·江苏盐城中学模拟)对于数列{a n }，若存在数列{b n }满足b n ＝a n －1a n(n ∈N *)，则称数列{b n }是{a n }的“倒差数列”，下列关于“倒差数列”描述正确的是( ) A ．若数列{a n }是单增数列，则其“倒差数列”不一定是单增数列 B ．若a n ＝3n －1，则其“倒差数列”有最大值 C ．若a n ＝3n －1，则其“倒差数列”有最小值D ．若a n ＝1－⎝ ⎛⎭⎪⎫－12n，则其“倒差数列”有最大值答案 ACD解析若数列{a n }是单增数列，则b n －b n －1＝a n －1a n －a n －1＋1a n －1＝(a n －a n －1)⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1a n a n －1，虽然有a n >a n －1，但当1＋1a n a n －1<0时，b n <b n －1，因此{b n }不一定是单增数列，A 正确；a n ＝3n －1，则b n ＝3n －1－13n －1，易知{b n }是递增数列，无最大值，B 错误；C 正确，最小值为b 1.若a n ＝1－⎝ ⎛⎭⎪⎫－12n，则b n ＝1－⎝ ⎛⎭⎪⎫－12n－11－⎝ ⎛⎭⎪⎫－12n ，∵函数y ＝x －1x在(0，＋∞)上单调递增，∴当n 为偶数时，a n ＝1－⎝ ⎛⎭⎪⎫12n∈(0,1)，∴b n ＝a n －1a n<0，当n 为奇数时，a n ＝1＋⎝ ⎛⎭⎪⎫12n>1，显然a n 是单调递减的，因此b n ＝a n －1a n也是单调递减的，即b 1>b 3>b 5>…，∴{b n }的奇数项中有最大值为b 1＝32－23＝56>0，∴b 1＝56是数列{b n }(n ∈N *)中的最大值，D 正确．13．已知数列{a n }的通项公式a n ＝632n ，若a 1·a 2·…·a n ≤a 1·a 2·…·a k 对n ∈N *恒成立，则正整数k 的值为________．答案 5解析 a n ＝632n ，当n ≤5时，a n >1；当n ≥6时，a n <1，由题意知，a 1·a 2·…·a k 是{a n }的前n 项乘积的最大值，所以k ＝5.14．(2022·武汉模拟)已知数列{a n }中，a 1＝1，1a n ＋1－1a n＝n ＋1，则其前n 项和S n ＝________.答案2nn ＋1解析 ∵1a 2－1a 1＝2，1a 3－1a 2＝3，1a 4－1a 3＝4，…，1a n －1a n －1＝n ，累加得1a n －1a 1＝2＋3＋4＋…＋n ，得1a n＝1＋2＋3＋4＋…＋n ＝n n ＋12，∴a n ＝2nn ＋1＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫1n －1n ＋1， ∴S n ＝2⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫11－12＋⎝ ⎛⎭⎪⎫12－13＋⎝ ⎛⎭⎪⎫13－14＋…＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1n －1n ＋1＝2n n ＋1.15．(多选)若数列{a n }满足a 1＝1，a 2＝3，a n a n －2＝a n －1(n ≥3)，记数列{a n }的前n 项积为T n ，则下列说法正确的有( ) A ．T n 无最大值 B ．a n 有最大值 C ．T 2023＝1 D ．a 2023＝1答案 BCD解析因为a 1＝1，a 2＝3，a n a n －2＝a n －1(n ≥3)，所以a 3＝3，a 4＝1，a 5＝13，a 6＝13，a 7＝1，a 8＝3，…因此数列{a n }为周期数列，a n ＋6＝a n ，a n 有最大值3， a 2023＝a 1＝1，因为T 1＝1，T 2＝3，T 3＝9，T 4＝9，T 5＝3，T 6＝1，T 7＝1，T 8＝3，…，所以{T n }为周期数列，T n ＋6＝T n ，T n 有最大值9，T 2023＝T 1＝1.16．已知数列{a n }中，a n ＝1＋1a ＋2n －1(n ∈N *，a ∈R 且a ≠0)．(1)若a ＝－7，求数列{a n }中的最大项和最小项的值； (2)若对任意的n ∈N *，都有a n ≤a 6成立，求a 的取值范围．解 (1)∵a n ＝1＋1a ＋2n －1(n ∈N *，a ∈R ，且a ≠0)，又a ＝－7，∴a n ＝1＋12n －9(n ∈N *)．结合函数f (x )＝1＋12x －9的单调性，可知1>a 1>a 2>a 3>a 4，a 5>a 6>a 7>…＞a n >1(n ∈N *)． ∴数列{a n }中的最大项为a 5＝2，最小项为a 4＝0.(2)a n ＝1＋1a ＋2n －1＝1＋12n －2－a2，已知对任意的n ∈N *，都有a n ≤a 6成立，结合函数f (x )＝1＋12x －2－a 2的单调性，可知5<2－a2<6，即－10<a <－8.即a 的取值范围是(－10，－8)．。

高一教学数列专项典型总结复习计划练试题及分析答案

数列综合练习1．已知函数 f （x ）=（ a ＞ 0，a ≠1），数列 {a n } 知足 a n =f （ n ）（ n ∈N *），且 {a n }是单一递加数列，则实数a 的取值范围（）A ．[7，8）B ．（ 1，8）C ．（4，8）D ．（4，7）2．设 {a n } 的首项为 a 1，公差为﹣ 1 的等差数列， S n 为其前 n 项和，若S 1， S 2， S 4 成等比数列，则a 1=（）A ．2B ．﹣ 2C ．D ． ﹣3．设 n 是等差数列 {a n项和，若，则=（）S } 的前 nA ．1B ．﹣ 1C ． 2D ．4．阅读图的程序框图，该程序运转后输出的k 的值为（）A ．5B ．6C ． 7D ． 85．设 S n 为等比数列 {a n } 的前 n 项和， 8a 2+a 5=0，则等于（）A ．11B ．5C ．﹣8D ．﹣116．数列 {a n } 知足 a 1=2， a n =，其前 n 项积为 T n ，则 T 2016=（）A ．B ． ﹣C ． 1D ．﹣17．已知数列 {a n } 的前 n 项和为 S n ，知足 a n+2=2a n+1﹣ a n ，a 6=4﹣ a 4，则 S 9=（）A ．9B ．12C ． 14D ．18 8．已知 S n 为等差数列 {a n } 的前 n 项和， S 7=28 ， S 11=66 ，则 S 9 的值为（） A ．47B ．45C ． 38D ．549．在等比数列 {a n } 中，，则 a 3=（）A ．±9B ． 9C ． ±3D ． 310．在等差数列 {a n } 中， 4（ a 3+a 4+a 5）+3（ a 6+a 8+a 14+a 16） =36 ，那么该数列的前 14 项和为（）A ．20B ．21C ． 42D ．8411．设 {a n } 是首项为 a 1，公差为﹣ 1 的等差数列， S n 为其前 n 项和，若 S 1， S 2， S 4 成等比数列，则 a 1的值为_________a n （ n ∈N *），12．某企业推出了下表所示的QQ 在线等级制度，设等级为 n 级需要的天数为等级等级图标需要天数等级等级图标需要天数1 5 7 77 2128963 21 12 1924 32 16 320 545 32 1152 6 60482496等 50需要的天数 a 50=_________ ．13．数列 {a} 等比数列， a +a=1， a +a = 2， a +a +a = _________ ．n 23345 6 714．已知数列 {a n } 中， a n+1=2a n ， a 3=8，数列 {log 2a n } 的前 n 和等于 _________ ．15．已知数列 {a n } 的前 n 和 S n ，并足 a n+2=2a n+1 a n ， a 6=4 a 4， S 9= _________．16．等差数列 n n ，已知 a 2 4 4 10_________ ．{a } 的前 n 和 S +a =6 ， S =10． a =17． S n 是等比数列 {a n } 的前 n 和， S 3，S 9， S 6 成等差数列，且 a 2+a 5=2a m ， m= _________ ．18．已知数列 {a n } 的前 n 和 S n = a n+2（ n ∈N * ），数列 {b n } 足 b n =2na n ．（ 1）求数列 {b n } 是等差数列，并求数列 {a n } 的通公式；（ 2）数列 {a n } 的前 n 和 T n ，明： n ∈N *且 n ≥3 ， T n ＞（ 3）数列 {c n n （ c n 3n ）=（ 1）n ﹣ 1*），能否存在整数 λ，使得} 足 aλn （ λ 非零常数， n ∈N随意 n ∈N *，都有 c n+1＞ c n ．19．在等差数列 {a n } 中， a 1=3，其前 n 和 S n ，等比数列 {b n } 的各均正数， b 1=1，公比 q ，且 b 2+S 2=12，．（Ⅰ）求 a n 与 b n ；（Ⅱ） c n =a n ?b n ，求数列 {c n } 的前 n 和 T n ．20．已知等差数列 {a n } 足 a 3+a 4=9，a 2+a 6=10 ；又数列 {b n } 足 nb 1+（ n 1） b 2+⋯+2b n ﹣1+b n =S n ，此中 S n 是首 1，公比的等比数列的前 n 和．（ 1）求 a n 的表达式；（ 2）若 c n = a n b n ，数列 {c n } 中能否存在整数 k ，使得随意的正整数n 都有 c n ≤c k 建立？并明你的．22n+q （ p ， q ∈R ）， n ∈N*21．已知等差数列 {a n } 的前 n 和 s n =pm （ I ）求 q 的；（Ⅱ）若 a 3=8 ，数列 {b n }} 足 a n =4log 2b n ，求数列 {b n } 的前 n 和．22．已知等比数列 {a n } 足 a 2=2 ，且 2a 3+a 4=a 5， a n ＞ 0．（ 1）求数列 {a n } 的通公式；n（ 2） b n =（ 1） 3a n +2n+1 ，数列 {b n } 的前和 T n ，求 T n ．23．已知有数列 a n 共有 2k( k ≧ 2，k ∈ Z) ，首 a 1=2。

高考一轮复习数列概念知识点+例题+练习

自主梳理1．数列的定义按____________着的一列数叫数列，数列中的________都叫这个数列的项；在函数意义下，数列是______________________的函数，数列的一般形式为：________________________，简记为{a n }，其中a n 是数列的第____项．2．通项公式：如果数列{a n }的________与____之间的关系可以______________来表示，那么这个式子叫做数列的通项公式．但并非每个数列都有通项公式，也并非都是唯一的．3．数列常用表示法有：____________________、________、________.4．数列的分类：数列按项数来分，分为____________、____________；按项的增减规律分为____________、____________、____________和________．递增数列⇔a n ＋1____a n ；递减数列⇔a n ＋1____a n ；常数列⇔a n ＋1____a n .5．a n 与S n 的关系：已知S n ，则a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧，n ＝1，，n ≥2，.自我检测1．在数列{a n }中，若a 1＝1，a 2＝12，2a n ＋1＝1a n ＋1a n ＋2(n ∈N *)，则该数列的通项a n ＝______.2．已知数列{a n }对任意的p ，q ∈N *满足a p ＋q ＝a p ＋a q ，且a 2＝－6，那么a 10＝________.3．已知数列－1，85，－157，249，…按此规律，则这个数列的通项公式是______________________________．学生姓名教师姓名班主任日期时间段年级课时教学内容数列的概念与简单表示法教学目标1.了解数列的概念和几种简单的表示方法(列表、图象、通项公式).2.了解数列是自变量为正整数的一类特殊函数．重点数学归纳方法、递推法难点同上4．下列对数列的理解：①数列可以看成一个定义在N *(或它的有限子集{1,2,3，…，n })上的函数； ②数列的项数是有限的；③数列若用图象表示，从图象上看都是一群孤立的点；④数列的通项公式是唯一的．其中说法正确的序号是________．5．设a n ＝－n 2＋10n ＋11，则数列{a n }从首项到第________项的和最大．探究点一由数列前几项求数列通项例1 写出下列数列的一个通项公式，使它的前几项分别是下列各数：(1)23，415，635，863，1099，… (2)12，－2，92，－8，252，…变式迁移1 写出下列数列的一个通项公式：(1)3,5,9,17,33，… (2)2，5，22，11，…(3)1,0,1,0，…探究点二由递推公式求数列的通项例2 根据下列条件，写出该数列的通项公式．(1)a 1＝2，a n ＋1＝a n ＋n ；(2)a 1＝1,2n －1a n ＝a n －1 (n ≥2)．变式迁移2 根据下列条件，确定数列{a n }的通项公式．(1)a 1＝1，a n ＋1＝3a n ＋2；(2)a 1＝1，a n ＋1＝(n ＋1)a n ；(3)a 1＝2，a n ＋1＝a n ＋ln ⎝⎛⎭⎫1＋1n .探究点三由a n 与S n 的关系求a n例3 已知数列{a n }的前n 项和S n ＝2n 2－3n ＋1，求{a n }的通项公式．变式迁移3 (1)已知{a n }的前n 项和S n ＝3n ＋b ，求{a n }的通项公式．(2)已知在正项数列{a n }中，S n 表示前n 项和且2S n ＝a n ＋1，求a n .1．数列的递推公式是研究的项与项之间的关系，而通项公式则是研究的项a n 与项数n 的关系．2．求数列的通项公式是本节的重点，主要掌握三种方法：(1)由数列的前几项归纳出一个通项公式，关键是善于观察；(2)数列{a n }的前n 项和S n 与数列{a n }的通项公式a n 的关系，要注意验证能否统一到一个式子中；(3)由递推公式求通项公式，常用方法有累加、累乘．3．本节易错点是利用S n 求a n 时，忘记讨论n ＝1的情况．一、填空题1．设数列{a n }的前n 项和S n ＝n 2，则a 8的值为________．2．已知数列{a n }满足：a 4n －3＝1，a 4n －1＝0，a 2n ＝a n ，n ∈N *，则a 2 009＝________，a 2 014＝________.3．已知数列{a n }的前n 项和为S n ，且S n ＝2(a n －1)，则a 2＝________.4．数列{a n }中，若a n ＋1＝a n 2a n ＋1，a 1＝1，则a 6＝________.5．数列{a n }满足a n ＋a n ＋1＝12(n ∈N *)，a 2＝2，S n 是数列{a n }的前n 项和，则S 21＝________.6．数列{a n }满足a n ＋1＝⎩⎨⎧2a n (0≤a n <12)，2a n －1 (12≤a n <1)，若a 1＝67，则a 2 010的值为________．7．已知S n 是数列{a n }的前n 项和，且有S n ＝n 2＋1，则数列{a n }的通项a n ＝__________________.8．将全体正整数排成一个三角形数阵：12 34 5 67 8 9 1011 12 13 14 15… … … … … …根据以上排列规律，数阵中第n (n ≥3)行从左至右的第3个数是____________．二、解答题9．写出下列各数列的一个通项公式．(1)112，223，334，445，…(2)－1，32，－13，34，－15，36…10．由下列数列{a n }递推公式求数列{a n }的通项公式：(1)a 1＝1，a n －a n －1＝n (n ≥2)；(2)a 1＝1，a n a n －1＝n －1n (n ≥2)； (3)a 1＝1，a n ＝2a n －1＋1 (n ≥2)．11．已知数列{a n }的前n 项和S n ＝2n 2＋2n ，数列{b n }的前n 项和T n ＝2－b n .(1)求数列{a n }与{b n }的通项公式；(2)设c n ＝a 2n ·b n ，证明：当且仅当n ≥3时，c n ＋1<c n .。

一堂数列习题复习课

数列｛｝ｎ的和．％的前项
学生的思维水平与思维能力不能停留在原有基础
列｛
Ｌ
（
｝一个单调递减的数列，是然后得到所要找的正
为．上，要有所提高，更要有所创造和新的发现．三个小整数ｋ１上述本堂课学习了已知数列一种形式的递推公式，要求题的设计，是在例１基础上变式而来的，难度逐步都的且加大．由学生自主探究解题思路，师再进行反馈和数列通项公式的习题的解法．为了达到巩固提高的目先老的，置下面一组习题，学生练习．布供点拨．过师生共同探讨，妙地甚至出神入化地进行通巧转换和化归，动学生思维的积极性，予学生创新的调赋
一
位教师在教圆的周长时提问：你有哪些办法知道
圆的周长？两条直线的位置关系时，师问道：们把教教我
在知识的发散处设问．知识的发散处设计开放性桌面上的两根小棒看成是两条直线，在摆摆看，两条直这问题，能调动学生追求成功的潜在动机，启发学生积极线可能会有哪些位置关系？等等．这些问题的提出，无疑独立去钻研，养学生勇于探究，于创新的精神．堂极大地丰富了课堂教学的内涵，高了课堂教学的智慧培敢一提
解，或者只能机械套用，遇到新的情境就不知所措．因项加上同一个数，也会成等比数列．于是，在＝＋的６ｃ两边都加上Ａ：Ａ６１＋＝（１得＋＝一Ａｂ＋

新高考一轮复习人教版等差数列作业

7.2等差数列基础篇固本夯基考点一等差数列及其前n项和1.(2022届辽宁渤海大学附中月考二)在等差数列{a n}中,若a2+a3+a4=6,a6=4,则公差d=()A.1B.2C.13D. 2 3答案D2.(2019课标Ⅰ理,9,5分)记S n为等差数列{a n}的前n项和.已知S4=0,a5=5,则()A.a n=2n-5B.a n=3n-10C.S n=2n2-8nD.S n=12n2-2n答案A3.(2021重庆二模,4)已知公差不为0的等差数列{a n}中,a2+a4=a6,a9=a62,则a10=()A.52B.5C.10D.40答案A4.(2022届福建南平10月联考,14)设等差数列{a n}的前n项和为S n,已知a2+2a4+a10=32,则S9=. 答案725.(2020课标Ⅱ文,14,5分)记S n为等差数列{a n}的前n项和.若a1=-2,a2+a6=2,则S10=.答案256.(2020新高考Ⅰ,14,5分)将数列{2n-1}与{3n-2}的公共项从小到大排列得到数列{a n},则{a n}的前n项和为.答案3n2-2n7.(2019课标Ⅲ理,14,5分)记S n为等差数列{a n}的前n项和,若a1≠0,a2=3a1,则S10S5=.答案 48.(2022届海南东方琼西中学月考,17)等差数列{a n }的前n 项和为S n ,已知a 10=30,a 20=50. (1)求通项公式a n ; (2)若S n =242,求n.解析 (1)设等差数列{a n }的公差为d,依题意有{a 10=a 1+9d =30,a 20=a 1+19d =50,解得{a 1=12,d =2,所以a n =2n+10(n ∈N *). (2)由(1)可得S n =12n+n(n−1)2×2=n 2+11n,令n 2+11n=242,解得n=-22(舍)或n=11,故n=11. 9.(2022届广东肇庆统一检测一)在等差数列{a n }中,a 1=10,公差d>0,其前四项中删去某一项后(按原来的顺序)恰好是等比数列{b n }的前三项. (1)求d 的值;(2)设{a n }中不包含{b n }的项按从小到大的顺序构成新数列{c n },记{c n }的前n 项和为S n ,求S 100. 解析 (1)由a 1=10,公差为d,得a 2=10+d,a 3=10+2d,a 4=10+3d. ①若删去第1项,则(10+2d)2=(10+d)(10+3d),解得d=0,不符合题意; ②若删去第2项,则(10+2d)2=10×(10+3d),解得d=0或d=-52,不符合题意; ③若删去第3项,则(10+d)2=10×(10+3d),解得d=0(舍去)或d=10; ④若删去第4项,则(10+d)2=10×(10+2d),解得d=0,不符合题意. 综上可知,d=10.(2)由(1)可知,a n =10+(n-1)×10=10n,等比数列{b n }的前三项分别为10,20,40,所以数列{b n }是以10为首项,2为公比的等比数列,所以b n =10·2n-1, 所以b 7=640,b 8=1280,又a 107=1070,所以可知{a n }的前107项中有7项被删除,即c 100=a 107.设数列{a n }的前n 项和为H n ,数列{b n }的前n 项和为T n ,则S 100=H 107-T 7=107×(10+1 070)2-10×(1−27)1−2=56510.10.(2021新高考Ⅱ,17,10分)记S n 为公差不为零的等差数列{a n }的前n 项和,若a 3=S 5,a 2·a 4=S 4. (1)求{a n }的通项公式;(2)求使得S n >a n 成立的n 的最小值.解析 (1)a 3=S 5⇒a 1+2d=5a 1+10d ⇒4a 1+8d=0⇒a 1+2d=0⇒a 1=-2d,① a 2·a 4=S 4⇒(a 1+d)(a 1+3d)=4a 1+6d,② 将①代入②得-d 2=-2d ⇒d=0(舍)或d=2, ∴a 1=-2d=-4,∴a n =-4+(n-1)×2=2n-6. (2)由(1)知a n =2n-6, S n =na 1+n(n−1)2d=-4n+n(n-1)=n 2-5n. S n >a n ⇔n 2-5n>2n-6⇔n 2-7n+6>0⇔(n-1)(n-6)>0, 解得n<1(舍)或n>6,∴n 的最小值为7.11.(2019课标Ⅰ文,18,12分)记S n 为等差数列{a n }的前n 项和.已知S 9=-a 5. (1)若a 3=4,求{a n }的通项公式;(2)若a 1>0,求使得S n ≥a n 的n 的取值范围. 解析 (1)设{a n }的公差为d.由S 9=-a 5得a 1+4d=0.由a 3=4得a 1+2d=4. 于是a 1=8,d=-2.因此{a n }的通项公式为a n =10-2n. (2)由(1)得a 1=-4d,故a n =(n-5)d,S n =n(n−9)d2.由a 1>0知d<0,故S n ≥a n 等价于n 2-11n+10≤0,解得1≤n ≤10.所以n 的取值范围是{n|1≤n ≤10,n ∈N *}.考点二等差数列的性质1.(2022届山东学情10月联考,6)已知等差数列{a n}、{b n}的前n项和分别为S n、T n,且a4b6=13,则S7T11=()A.7 33B.13C.1433D.711答案A2.(2021广州月考)设等差数列{a n}的前n项和为S n,若S3=6,S6=3,则S12等于()A.-3B.-12C.-21D.-30答案D3.(2020浙江高中发展共同体期末)已知{a n}是公差为d的等差数列,前n项和是S n,若S9<S8<S10,则()A.d>0,S17>0B.d<0,S17<0C.d>0,S18<0D.d>0,S18>0答案D4.(2020浙江,7,4分)已知等差数列{a n}的前n项和为S n,公差d≠0,且a1d≤1.记b1=S2,b n+1=S2n+2-S2n,n∈N*,下列等式不可能．．．成立的是()A.2a4=a2+a6B.2b4=b2+b6C.a42=a2a8D.b42=b2b8答案D5.(2020北京,8,4分)在等差数列{a n}中,a1=-9,a5=-1.记T n=a1a2…a n(n=1,2,…),则数列{T n}()A.有最大项,有最小项B.有最大项,无最小项C.无最大项,有最小项D.无最大项,无最小项答案B6.(2019江苏,8,5分)已知数列{a n }(n ∈N *)是等差数列,S n 是其前n 项和.若a 2a 5+a 8=0,S 9=27,则S 8的值是 . 答案 167.(2021广东韶关一模,14)设S n 为等差数列{a n }的前n 项和,a 6+a 7=1,则S 12= ,若a 7<0,则使得不等式S n <0成立的最小整数n= . 答案 6;13综合篇知能转换A 组考法一等差数列的判定1.(2021山东聊城二模,8)已知数列{a n },a n =1f(n),其中f(n)为最接近√n 的整数,若{a n }的前m 项和为20,则m=( )A.15B.30C.60D.110 答案 D2.(2022届江苏泰州中学检测,20)已知数列{a n }满足a 1=6,a n-1a n -6a n-1+9=0,n ∈N *且n ≥2. (1)求证:数列{1a n −3}为等差数列; (2)求数列{a n }的通项公式; (3)设b n =a n(n+1)2,求数列{b n }的前n 项和T n .解析 (1)证明:当n ≥2时,a n-1a n -6a n-1+9=0⇒a n =6a n−1−9a n−1,∴1a n −3-1a n−1−3=a n−13a n−1−9-1a n−1−3=a n−1−33(a n−1−3)=13.又∵1a 1−3=13,∴数列{1a n −3}是以13为首项,13为公差的等差数列. (2)由(1)得1a n −3=13+(n-1)·13=n 3,∴a n =3(n+1)n.(3)∵b n=a n(n+1)2=3n(n+1)=3(1n−1n+1),∴T n=b1+b2+…+b n=3(1−12)+(12−13)+(13−14)+…+(1n−1n+1)=3(1−1n+1)=3n n+1.3.(2022届江苏苏州调研)已知数列{a n}的前n项和为S n,且S n=2a n-2n+1+2(n∈N*).(1)求{a n}的通项公式;(2)设b n=a n4n,若T n=b1+b2+b3+…+b n,求T n.解析(1)当n=1时,a1=S1=2a1-2,解得a1=2,当n≥2时,a n=S n-S n-1=2a n-2a n-1-2n,化简得a n=2a n-1+2n,即a n 2n -a n−12n−1=1,因此,数列{a n2n}是首项和公差均为1的等差数列,所以a n2n=n,a n=n·2n(n∈N*).(2)由(1)可得b n=n2n =n+12n−1-n+22n,则T n=220-321+321-422+…+n+12n−1-n+22n=2-n+22n.4.(2022届江苏百校联考一,17)已知数列{a n}的前n项和为S n,a1=1,a n≠0,a n a n+1=λS n-1,其中λ为常数.(1)证明:a n+2-a n=λ;(2)若{a n}为等差数列,求S10.解析(1)证明:由a n a n+1=λS n-1可得a n+1a n+2=λS n+1-1,两式相减得a n+1(a n+2-a n)=λa n+1,因为a n+1≠0,所以a n+2-a n=λ.(2)由S1=a1=1,a1a2=λS1-1,可得a2=λ-1,由(1)知a3=λ+1,因为{a n}为等差数列,所以2a2=a1+a3,即2(λ-1)=1+λ+1,解得λ=4,故a n+2-a n=4,所以数列{a2n-1}是首项为1,公差为4的等差数列,可得a2n-1=4n-3=2(2n-1)-1,数列{a2n}是首项为3,公差为4的等差数列,可得a2n=4n-1=2·2n-1,所以a n=2n-1(n∈N*),所以S10=10×(1+19)2=100.5.(2022届广东开学考,17)已知数列{a n}中,a1=1,且满足a n+1=a n-2n,b n=a n+n2(n∈N*).(1)证明:数列{b n}是等差数列,并求数列{b n}的通项公式;(2)设S n为数列{1b n·b n+1}的前n项和,求满足S n≥512的n的最小值.解析 (1)因为b n+1-b n =a n+1+(n+1)2-(a n +n 2)=a n+1-a n +2n+1=1,b 1=a 1+12=2,所以数列{b n }是首项为2,公差为1的等差数列.所以b n =2+(n-1)=n+1. (2)因为1b n ·b n+1=1(n+1)(n+2)=1n+1-1n+2,所以S n =12-13+13-14+…+1n+1-1n+2=12-1n+2=n 2(n+2),由n 2(n+2)≥512解得n ≥10,所以满足S n ≥512的n 的最小值为10.6.(2021新高考Ⅰ,17,10分)已知数列{a n }满足a 1=1,a n+1={a n +1,n 为奇数,a n +2,n 为偶数.(1)记b n =a 2n ,写出b 1,b 2,并求数列{b n }的通项公式; (2)求{a n }的前20项和.解析 (1)由题意得a 2n+1=a 2n +2,a 2n+2=a 2n+1+1, 所以a 2n+2=a 2n +3,即b n+1=b n +3,且b 1=a 2=a 1+1=2, 所以数列{b n }是以2为首项,3为公差的等差数列, 所以b 1=2,b 2=5,b n =2+(n-1)×3=3n-1. (2)当n 为奇数时,a n =a n+1-1. 设数列{a n }的前n 项和为S n , 则S 20=a 1+a 2+…+a 20=(a 1+a 3+…+a 19)+(a 2+a 4+…+a 20)=[(a 2-1)+(a 4-1)+…+(a 20-1)]+(a 2+a 4+…+a 20) =2(a 2+a 4+…+a 20)-10,由(1)可知a 2+a 4+…+a 20=b 1+b 2+…+b 10=10×2+10×92×3=155, 故S 20=2×155-10=300,即{a n }的前20项和为300.7.(2021全国甲理,18,12分)已知数列{a n }的各项均为正数,记S n 为{a n }的前n 项和,从下面①②③中选取两个作为条件,证明另外一个成立.①数列{a n}是等差数列;②数列{√S n}是等差数列;③a2=3a1.注:若选择不同的组合分别解答,则按第一个解答计分.解析选①②作为条件,证明③.证明:设等差数列{a n}的公差为d,因为{√S n}是等差数列,所以2√S2=√S1+√S3,即2√2a1+d=√a1+√3a1+3d,两边平方,得4(2a1+d)=a1+3a1+3d+2√a1(3a1+3d),整理得4a1+d=2√a1(3a1+3d),两边平方,得16a12+8a1d+d2=4(3a12+3a1d),化简得4a12-4a1d+d2=0,即(2a1−d)2=0,所以d=2a1,则a2=a1+d=3a1.选①③作为条件,证明②.证明:设等差数列{a n}的公差为d.因为a2=3a1,即a1+d=3a1,所以d=2a1.所以等差数列{a n}的前n项和S n=na1+n(n−1)2d=na1+n(n−1)2·2a1=n2a1.又a1>0,所以√S n=n√a1.则√S n+1-√S n=(n+1)√a1-n√a1=√a1,所以数列{√S n}是公差为√a1的等差数列.选②③作为条件,证明①.证明:设等差数列{√S n}的公差为d,因为√S1=√a1,√S2=√a1+a2=√a1+3a1=2√a1,所以d=√S2-√S1=2√a1-√a1=√a1,则等差数列{√S n}的通项公式为√S n=√a1+(n-1)√a1=n√a1,所以S n=n2a1,当n≥2时,a n=S n-S n-1=n2a1-(n-1)2a1=(2n-1)a1,且当n=1时,上式也成立,所以数列{a n}的通项公式为a n=(2n-1)a1,n∈N*,则a n+1-a n=(2n+1)a1-(2n-1)a1=2a1,所以数列{a n}是公差为2a1的等差数列.8.(2022届广东阶段测,17)已知数列{a n}满足a1=1,a n+a n-1=2n(n≥2,n∈N*).(1)记b n=a2n,求数列{b n}的通项公式;(2)求数列{a n}的前n项和S n.解析(1)依题意得,a2+a1=4,又a1=1,故b1=a2=3.因为a2n+2+a2n+1=4n+4,a2n+1+a2n=4n+2,所以b n+1-b n =a 2n+2-a 2n =(a 2n+2+a 2n+1)-(a 2n+1+a 2n )=(4n+4)-(4n+2)=2. 因此,{b n }是首项为3,公差为2的等差数列,通项公式为b n =2n+1. (2)解法一:因为a 2n +a 2n-1=4n,所以由(1)知a 2n-1=4n-a 2n =2n-1.当n=2k(k ∈N *)时,S n =(a 1+a 3+…+a 2k-1)+(a 2+a 4+…+a 2k )=(1+3+…+2k-1)+(3+5+…+2k+1)=(1+2k−1)·k 2+(3+2k+1)·k 2=k(2k+2)=n(n+2)2. 当n=2k-1(k ∈N *)时,S n =S n+1-a n+1=(n+1)(n+3)2-(n+2)=n(n+2)−12. 因此,S n ={n(n+2)−12,n 为奇数,n(n+2)2,n 为偶数.解法二:当n=2k(k ∈N *)时,S n =(a 1+a 2)+(a 3+a 4)+…+(a 2k-1+a 2k )=4+8+…+4k=(4+4k)·k 2=k(2k+2)=n(n+2)2. 当n=2k+1(k ∈N *)时,S n =a 1+(a 2+a 3)+(a 4+a 5)+…+(a 2k +a 2k+1)=1+6+10+…+(4k+2) =1+(6+4k+2)·k 2=k(2k+4)+1=(n−1)(n+3)2+1=n(n+2)−12,S 1=a 1=1=1×3−12也满足上式. 故S n ={n(n+2)−12,n 为奇数,n(n+2)2,n 为偶数.9.(2021全国乙理,19,12分)记S n 为数列{a n }的前n 项和,b n 为数列{S n }的前n 项积,已知2S n +1b n=2. (1)证明:数列{b n }是等差数列; (2)求{a n }的通项公式.解析 (1)证明:由b n =S 1·S 2·…·S n 可得,S n ={b 1,n =1,b nb n−1,n ≥2.由2S n +1b n=2知,当n=1时,2S 1+1b 1=2,即2b 1+1b 1=2,所以b 1=S 1=32,当n ≥2时,2b n b n−1+1b n =2,即2b n =2b n-1+1,即b n -b n-1=12,故数列{b n }是首项为32,公差为12的等差数列.(2)由(1)知,b n =32+(n-1)×12=n+22,故当n ≥2时,S n =b n b n−1=n+2n+1,S 1也符合该式, 即S n =n+2n+1(n ∈N *),从而a 1=S 1=32, 当n ≥2时,a n =S n -S n-1=n+2n+1-n+1n =-1n(n+1),a 1不符合该式,所以a n ={32,n =1,−1n(n+1),n ≥2. 考法二等差数列前n 项和的最值问题1.(多选)(2022届石家庄二中开学考试,11)设数列{a n }是等差数列,S n 是其前n 项和,a 1>0且S 6=S 9,则( ) A.d>0 B.a 8=0C.S 7或S 8为S n 的最大值D.S 5>S 6 答案 BC2.(多选)(2022届广东珠海二中10月月考,11)等差数列{a n }的前n 项和为S n ,已知S 10=0,S 15=25,则( ) A.a 5=0B.{a n }的前n 项和中S 5最小C.nS n 的最小值为-49D.S n n的最大值为0 答案 BC3.(2022届湖南天壹名校联盟摸底,3)已知等差数列{a n }的通项公式为a n =9-2n,则其前n 项和S n 的最大值为( )A.15B.16C.17D.18 答案 B4.(2021上海松江一模)记S n 为数列{a n }的前n 项和,已知点(n,a n )在直线y=10-2x 上,若有且只有两个正整数n 满足S n ≥k,则实数k 的取值范围是( )A.(8,14]B.(14,18]C.(18,20]D.(18,814] 答案 C 5.(多选)(2022届江苏苏州调研,10)设S n 是公差为d(d ≠0)的无穷等差数列{a n }的前n 项和,则下列命题正确的是( )A.若d<0,则数列{S n }有最大值B.若数列{S n }有最大项,则d<0C.若对任意的n ∈N *,S n+1>S n 恒成立,则S n >0D.若对任意的n ∈N *,均有S n >0,则S n+1>S n 恒成立答案 ABD6.(2021湖南百校联考,17)在①a n+1a n =-12,②a n+1-a n =-16,③a n+1=a n +n-8这三个条件中任选一个,补充在下面的问题中,若问题中的S n 存在最大值,则求出最大值;若问题中的S n 不存在最大值,请说明理由. 问题:设S n 是数列{a n }的前n 项和,且a 1=4, ,求{a n }的通项公式,并判断S n 是否存在最大值. 注:如果选择多个条件分别解答,那么按第一个解答计分.解析方案一:选①.因为a n+1a n =-12,a 1=4,所以{a n }是首项为4,公比为-12的等比数列.所以a n =4×(−12)n−1=(−12)n−3, 当n 为奇数时,S n =4[1−(−12)n]1+12=83(1+12n ), 因为S n =83(1+12n )随着n 的增大而减小,所以S n 的最大值为S 1=4. 当n 为偶数时,S n =83(1−12n ),且S n =83(1−12n )<83<4.综上,S n 存在最大值,且最大值为4. 方案二:选②.因为a n+1-a n =-16,a 1=4,所以{a n }是首项为4,公差为-16的等差数列,所以a n =4+(n-1)(−16)=-16n+256,由-16n+256≥0,得n ≤25, 所以S n 存在最大值,且最大值为S 25(或S 24),因为S 25=25×4+25×242×(−16)=50,所以S n 的最大值为50.方案三:选③.因为a n+1=a n +n-8,所以a n+1-a n =n-8,所以a 2-a 1=-7,a 3-a 2=-6,……,a n -a n-1=n-9(n ≥2),则a n -a 1=a 2-a 1+a 3-a 2+…+a n -a n-1=(−7+n−9)(n−1)2=n 2−17n+162,又a 1=4,所以a n =n 2−17n+242, 当n ≥16时,a n >0恒成立,故S n 不存在最大值.7.(2018课标Ⅱ,17,12分)记S n 为等差数列{a n }的前n 项和,已知a 1=-7,S 3=-15.(1)求{a n }的通项公式;(2)求S n ,并求S n 的最小值.解析 (1)设{a n }的公差为d,由题意得3a 1+3d=-15.由a 1=-7得d=2.所以{a n }的通项公式为a n =2n-9.(2)由(1)得S n =n 2-8n=(n-4)2-16.所以当n=4时,S n 取得最小值,最小值为-16.8.(2022届湖南湘潭模拟,17)已知S n 为数列{a n }的前n 项和,且a n+1=a n +d(n ∈N *,d 为常数),若S 3=12,a 3a 5+2a 3-5a 5-10=0.求:(1)数列{a n }的通项公式;(2)S n 的最值.解析 (1)由a n+1=a n +d(d 为常数)知数列{a n }是等差数列,且d 为公差.由S 3=a 1+a 2+a 3=3a 2=12得a 2=4, 由a 3a 5+2a 3-5a 5-10=0得(a 3-5)(a 5+2)=0,所以a 3=5或a 5=-2,由{a 2=4,a 3=5得a 1=3,d=1,此时a n =n+2. 由{a 2=4,a 5=−2得a 1=6,d=-2,此时a n =-2n+8.所以a n =n+2或a n =-2n+8.(2)当a n =n+2时,S n =n 2+5n 2,因为S n =n 2+5n 2是关于正整数n 的增函数,所以S 1=3为S n 的最小值,S n 无最大值;当a n =-2n+8时,S n =-n 2+7n=-(n −72)2+494,因为n 为正整数,所以当n=3或n=4时,S n 取最大值S 3=S 4=12,S n 无最小值.B 组1.(多选)(2022届河北大联考)若直线3x+4y+n=0(n ∈N *)与圆C:(x-2)2+y 2=a n 2(a n >0)相切,则() A.a 1=65B.数列{a n }为等差数列C.圆C 可能经过坐标原点D.数列{a n }的前10项和为23答案 BCD2.(多选)(2022届鄂东南联考)已知数列{a n }的前n 项和为S n ,下列说法正确的是( )A.若S n =n 2-11n+1,则a n =2n-12B.若a n =-2n+11,则数列{|a n |}的前10项和为49C.若a n =-2n+11,则S n 的最大值为25D.若数列{a n }为等差数列,且a 1011<0,a 1011+a 1012>0,则当S n <0时,n 的最大值为2021 答案 CD。

第四章数列(数列求和)典型例题复习附答案

1(n f n-+{}a n f n ⎛+ +⎝{}n a 是递增的等差数列，8n a ∴=-（2）设82n b +=(02n S ∴=()()2121321242n n n n a b a a a b b b --++=+++++++()41n- ·山东·枣庄市第三中学高三期中）在①22n n S a =-；②314S =；③3S ，22S +，1S 成等差数列这三个条件是各项均为正数的等比数列，前n 项和为n S ，12a =且______． 2，又∵，∴22q +2，∴n a 31S S =+，123a a a ++22q --=2，1(n f n-+n f n -⎛+ ⎝2n -⎫+⎪⎭()1f ++12n + ·全国·高二课时练习）已知函数()f x .2020122020202120212021b g g g ⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=+++ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，①20191202020191202120212021b b g g g ⎛⎫⎛⎫⎛⎫++=+++ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，②)1=，20202020=， ·全国·高二课时练习）已知函数()21122f x x x =+，数列{}n a 的前n 项和为4951=a a 4915ln 2ln a a a ==98)(ln (ln f a f a +=399(ln )(ln )++a f a ①，97(ln )f a ＋…＋1(ln )f a ②，992=. 1122,),(,)x y B x y 是函数n f n ⎛+ +⎝的横坐标为12，故x 21log x x =+-1n n ⎛+- ⎝·河南信阳·高二期中（文））在等差数列{}n a ，求证：16n T <131n ⎛+ -⎝·贵州师大附中高二月考（理））数列的前n 项和）12n a a +=由此可得数列{a 2的等比数列，利用等比数列通项公式得：所以数列{}n a 的通项公式为：）由（1）得)121n c =++n c +1121n ⎛⎫++ +⎛⎝= ⎝题型四：错位相减法·宁夏·六盘山高级中学高二期中（理））已知数列{}n a 的首项，n n c a b =1}为等比数列；3n n ⋅，①13n n ++⋅，②3++-n n )113n n +-⋅=1n b -++()221n ++-()321n ++-322n n +++-)(1121n n n +-+⋅=·全国·高二课时练习）求数列2n + (n ∈N *). 2n n+，①4132n n+++，②231111122222nn n ，2或q =((20212,2021,nn n -()12222n n -++=1022021T =-).11≥ ·全国·高二课时练习）已知数列{}n a 的前55n n > n b a +-)()155552n n n b a a b a b ++-+-++-=-12222,54294,5n n n n n n ++--+>. ·全国·高二课时练习）已知数列{}n a 的前n 项和为214n S n n =-..n a ++3,4,n q a ==60. (k a pn =+n a +)n a +()323124nn n n ⎤+-+++-=⎦2n a a +++)345n a a a a +++++()1232n a a a a +-++()22111431121622n n n n ++++-⋅-=-·广东福田·高三月考）已知{}的通项公式；()2na =-)()(2124531n n -+-++++=-217422n n n n S +++-=-+； 12342n b b b b b S S --++++=-+2174,3,23.n n n ++++<.。

高考数学大一轮复习配套课时训练：第五篇数列第1节数列的概念与简单表示法(含答案)

第五篇数列(必修5)第1节数列的概念与简单表示法课时训练练题感提知能【选题明细表】A组一、选择题1.设数列{a n}的前n项和S n=n2,则a8的值为( A )(A)15 (B)16 (C)49 (D)64解析:由a8=S8-S7=64-49=15,故选A.2.(2013华师大附中高三模拟)数列{a n}中,a1=1,a n=+1,则a4等于( A )(A)(B)(C)1 (D)解析:由a1=1,a n=+1得,a2=+1=2,a3=+1=+1=,a4=+1=+1=.故选A.3.下列数列中,既是递增数列又是无穷数列的是( C )(A)1,,,,…(B)-1,-2,-3,-4,…(C)-1,-,-,-,…(D)1,,,…,解析:根据定义,属于无穷数列的是选项A、B、C(用省略号),属于递增数列的是选项C、D,故满足要求的是选项C.故选C.4.下列关于星星的图案中,星星的个数依次构成一个数列,该数列的一个通项公式是( C )(A)a n=n2-n+1 (B)a n=(C)a n=(D)a n=解析:从题图中可观察星星的构成规律,n=1时,有1个;n=2时,有3个;n=3时,有6个;n=4时,有10个;…∴a n=1+2+3+4+…+n=,故选C.5.下面五个结论:①数列若用图象表示,从图象上看都是一群孤立的点;②数列的项数是无限的;③数列的通项公式是唯一的;④数列不一定有通项公式;⑤将数列看做函数,其定义域是N*(或它的有限子集{1,2,…,n}).其中正确的是( B )(A)①②④⑤ (B)①④⑤(C)①③④(D)②⑤解析:②中数列的项数也可以是有限的,③中数列的通项公式不唯一,故选B.6.(2013东莞模拟)数列{a n}满足:a1+3a2+5a3+…+(2n-1)·a n=(n-1)·3n+1+3,则数列{a n}的通项公式a n=( C ) (A)3n-1(B)(2n-1)·3n(C)3n(D)(2n-1)·3n-1解析:当n≥2时,有a1+3a2+5a3+…+(2n-3)·a n-1=(n-2)·3n+3,两式相减得(2n-1)a n=(n-1)3n+1-(n-2)3n,即(2n-1)a n=(2n-1)·3n,故a n=3n.又a1=3满足a n=3n,故选C.7.(2013太原一模)已知函数f(x)=若数列{a n}满足a n=f(n)(n∈N*),且{a n}是递增数列,则实数a的取值范围是( C ) (A)[,3) (B)(,3)(C)(2,3) (D)(1,3)解析:由题意,a n=f(n)=要使{a n}是递增数列,必有解得,2<a<3.故选C.二、填空题8.数列-,,-,,…的一个通项公式为.解析:观察各项知,其通项公式可以为a n=.答案:a n=9.(2013广西一模)数列{a n}中,已知a1=1,a2=2,a n+1=a n+a n+2(n∈N*),则a7= .解析:由a n+1=a n+a n+2,得a n+2=a n+1-a n.所以a3=a2-a1=1,a4=a3-a2=-1,a5=a4-a3=-1-1=-2.a6=a5-a4=-2-(-1)=-1,a7=a6 -a5=-1-(-2)=1.答案:110.(2013清远调研)已知数列{a n}的前n项和S n=n2+2n-1,则a1+a25= .解析:∵S n=n2+2n-1,∴a1=S1=2.当n≥2时,a n=S n-S n-1=n2+2n-1-[(n-1)2+2(n-1)-1]=2n+1.∴a n=∴a1+a25=2+51=53.答案:5311.(2013东莞市高三模拟)已知数列{a n}的前n项和S n=n2-3n,若它的第k项满足2<a k<5,则k= .解析:a1=S1=1-3=-2,当n≥2时a n=S n-S n-1=n2-3n-(n-1)2+3(n-1),∴a n=2n-4,由2<a k<5得2<2k-4<5,则3<k<,所以k=4.答案:4三、解答题12.数列{a n}的通项公式是a n=n2-7n+6.(1)这个数列的第4项是多少?(2)150是不是这个数列的项?若是这个数列的项,它是第几项?(3)该数列从第几项开始各项都是正数?解:(1)当n=4时,a4=42-4×7+6=-6.(2)是.令a n=150,即n2-7n+6=150,解得n=16或n=-9(舍去),即150是这个数列的第16项.(3)令a n=n2-7n+6>0,解得n>6或n<1(舍).故数列从第7项起各项都是正数.13.(2013潮州期末质检)数列{a n}的前n项和S n=,若a1=,a2=.(1)求数列{a n}的前n项和S n;(2)求数列{a n}的通项公式;(3)设b n=,求数列{b n}的前n项和T n.解:(1)由S1=a1=,得=;由S2=a1+a2=,得=.∴解得故S n=.(2)当n≥2时,a n=S n-S n-1=-==由于a1=也适合a n=.∴a n=.(3)b n===-.∴数列{b n}的前n项和T n=b1+b2+…+b n-1+b n=1-+-+…+-+-=1-=.B组14.对于数列{a n},a1=4,a n+1=f(a n),依照下表则a2015=( D )(A)2 (B)3 (C)4 (D)5解析:由题意a2=f(a1)=f(4)=1,a3=f(a2)=f(1)=5,a4=f(a3)=f(5)=2,a5=f(a4)=f(2)= 4,a6=f(a5)=f(4)=1.则数列{a n}的项周期性出现,其周期为4,a2015=a4×503+3=a3=5.故选D.15.已知数列{a n}的通项a n=n2(7-n)(n∈N*),则a n的最大值是.解析:设f(x)=x2(7-x)=-x3+7x2,当x>0时,由f′(x)=-3x2+14x=0得,x=.当0<x<时,f′(x)>0,则f(x)在上单调递增,当x>时,f′(x)<0,f(x)在上单调递减,所以当x>0时,f(x)max=f.又n∈N*,4<<5,a4=48,a5=50,所以a n的最大值为50.答案:5016.已知数列{a n}的通项公式为a n=n2-n-30.(1)求数列的前三项,60是此数列的第几项?(2)n为何值时,a n=0,a n>0,a n<0?(3)该数列前n项和S n是否存在最值?说明理由. 解:(1)由a n=n2-n-30,得a1=12-1-30=-30,a2=22-2-30=-28,a3=32-3-30=-24.设a n=60,则60=n2-n-30.解之得n=10或n=-9(舍去).∴60是此数列的第10项.(2)令a n=n2-n-30=0,解得n=6或n=-5(舍去).∴a6=0.令n2-n-30>0,解得n>6或n<-5(舍去).∴当n>6(n∈N*)时,a n>0.令n2-n-30<0,解得0<n<6.∴当0<n<6(n∈N*)时,a n<0.(3)S n存在最小值,不存在最大值.由a n=n2-n-30=-30,(n∈N*)知{a n}是递增数列,且a1<a2<…<a5<a6=0<a7<a8<a9<…,故S n存在最小值S5=S6,不存在最大值.。

高三数列专题练习30道带答案复习课程

高三数列专题练习30道带答案高三数列专题训练二学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、解答题1．在公差不为零的等差数列{}n a 中，已知23a =，且137a a a 、、成等比数列．（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）设数列{}n a 的前n 项和为n S ，记292n nb S =，求数列{}n b 的前n 项和n T ．2．已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，公差,50,053=+≠S S d 且1341,,a a a 成等比数列.（Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式；（Ⅱ）设⎭⎬⎫⎩⎨⎧n n a b 是首项为1，公比为3的等比数列，求数列{}n b 的前n 项和n T .3．设等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，218a =，且1116S +，2S ，3S 成等差数列，数列{}n b 满足2n b n =．（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）设n n n c a b =⋅，若对任意*n N ∈，不等式121212n n c c c S λ+++≥+-…恒成立，求λ的取值范围．4．已知等差数列{n a }的公差2d =，其前n 项和为n S ，且等比数列{n b }满足11b a =，24b a =，313b a =．（Ⅰ）求数列{n a }的通项公式和数列{n b }的前n 项和n B ；（Ⅱ）记数列{1nS }的前n 项和为n T ，求n T ． 5．设数列（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）若数列{}n b 满足11b =，且1n n n b b a +=+，求数列{}n b 的通项公式；（3）设()3n n c n b =-，求数列{}n c 的前n 项和n T ． 6．已知差数列等{}n a 的前n 项和n S ，且对于任意的正整数n满足1n a =+.（1）求数列{}n a的通项公式；（2）设11n n n b a a +=, 求数列{}n b 的前n 项和n B .7．对于数列}{n a 、}{n b ，n S 为数列}{n a 的前n 项和，且n a S n S n n n ++=+-+)1(1，111==b a ，231+=+n n b b ，*∈N n .（1）求数列}{n a 、}{n b 的通项公式；（2）令)1()(2++=n n n b n n a c ，求数列}{n c 的前n 项和n T .8．已知{}n a 是各项均为正数的等比数列，且1212112()a a a a +=+， 34534511164()a a a a a a ++=++．（1）求{}n a 的通项公式；（2）设21()n n nb a a =+，求数列{}n b 的前n 项和n T ． 9．已知数列{}n a 的首项11a =，前n 项和为nS ，且1210n n S S n +---=（*n ∈N ）.（Ⅰ）求证：数列{1}n a +为等比数列；（Ⅱ）令n n b na =，求数列{}n b 的前n 项和n T .10．已知各项都为正数的等比数列{}n a 满足312a 是13a 与22a 的等差中项，且123a a a =．（Ⅱ）设3log n n b a =，且n S 为数列{}n b 的前n 项和，求数列12{}nnS S +的前n 项和n T ．11．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ,2121,2n n n a S a a ==+．（1）求数列{}n a的通项公式；（2）若2n a n b =,求13521...n b b b b +++++．12．设公差不为0的等差数列{}n a 的首项为1，且2514,,a a a 构成等比数列．（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）若数列{}n b 满足*121211,2n n n b b b n N a a a +++=-∈，求{}n b 的前n 项和n T ．13．已知数列{}n a 是等比数列，满足143,24a a ==，数列{}n b 满足144,22b b ==，且{}n n b a -是等差数列.（I ）求数列{}n a 和{}n b 的通项公式；（II ）求数列{}n b 的前n 项和。

高中数学必修五：第二章数列复习(一)通项公式(1)

．2 写出下面各数列一个通项公式．（1）);1(21,111≥+==+n a a a n n 练习1：111,23(1)n n a a a n +==+≥；（2）11=a ，)2(2211≥+=--n a a a n n n ；练习2：11=a ，)1(331≥+=+n a a a nn n ；（3）11=a ，)2(21≥+=-n n a a n n 练习3：*12211,3,32().n n n a a a a a n N ++===-∈（4）11=a ，)1(11≥+=+n a n n a n n ；练习4：11=a ，)1(21≥⋅=+n a a n n n 【解】（1）法一：∵11=a ，)1(211≥+=+n a a n n ∴232112112=+=+=a a ， 474312123=+=+=a a 8158712134=+=+=a a 故1212--=n n n a ．法二：∵)1(211≥+=+n a a n n ，∴)2(2121-=-+n n a a ∴｛2-n a ｝是一个首项为－1，公比为21的等比数列， ∴1)21)(1(2--=-n n a ，即1)21(2--=n n a ．练习： ∵111,23(1)n n a a a n +==+≥，∴ 132(3)(1)n n a a n ++=+≥，∴{3n a +}是以134a +=为首项，2为公比的等比数列，∴113422n n n a -++=⋅=，所以该数列的通项n a =123n +-．（备用）∵421+=+n n a a ， ∴)4(241+=++n n a a∴数列｛4+n a ｝是以2为首项，2为公比的等比数列，∴1224-⨯=+n n a ，即)(42*∈-=N n a n n ．［点评］若数列{a n }满足a 1 =a ，a n +1 = pa n +q (p ≠1)，通过变形可转化为)1(11p q a p p q a n n --=--+，即转化为}1{pq a n --是等比数列求解．解：（2）由)2(2211≥+=--n a a a n n n 得21111+=-n n a a ，即21111=--n n a a ，又111=a ，∴数列｛n a 1｝是以1为首项，21为公差的等差数列． ∴2121)1(111+=⨯-+=n n a a n ，∴)(12*∈+=N n n a n ．练习2：由n n n a a a +=+331得31111+=+n n a a ，即31111=-+n n a a ，又111=a ， ∴数列｛n a 1｝是以1为首项，31为公差的等差数列． ∴3231)1(111+=⨯-+=n n a a n ，∴)(23*∈+=N n n a n ．［点评］若数列｛n a ｝满足a a =1，)0,(1≠+=+c b c ba ca a n n n ，通过取倒可转化为c b a a n n =-+111，即转化为｛n a 1｝是等差数列求解．（3）∵11=a ，)2(21≥+=-n n a a n n ∴2212⨯=-a a 3223⨯=-a a 4234⨯=-a a … … n a a n n ⨯=--21将上述（n －1）个式子相加，得)432(21n a a n ++++⨯=-即2)1)(2(21-+⨯=-n n a a n ，)(12*∈-+=N n n n a n ．练习3： 2132,n n n a a a ++=-21112*2112(),1,3,2().n n n n n n n n a a a a a a a a n N a a ++++++∴-=-==-∴=∈-{}1n n a a +∴-是以21a a -2=为首项，2为公比的等比数列．∴*12(),n n n a a n N +-=∈ 112211()()...()n n n n n a a a a a a a a ---∴=-+-++-+ 12*22 (21)21().n n n n N --=++++=-∈［点评］若数列｛n a ｝满足a a =1，)(1｝为可以求和的数列数列｛nn n n b b a a +=+，则用累加法求解，即)()()(123121--++-+-+=n n n a a a a a a a a ．（4）∵11=a ，)1(11≥+=+n a n n a n n ， ∴11+=+n n a a n n ， ∴2112=a a ，3223=a a ，4334=a a ，…， nn a a n n 11-=-，将上述（n －1）个式子相乘，得n a a n 11=，即)(1*∈=N n n a n ．练习4：∵ n n n a a ⋅=+21，∴n n n a a 21=+ ∴212=a a ，2232=a a ，3342=a a ，…，112--=n n n a a ，将上述（n －1）个式子相乘，得)1(32112-++++=n n a a ，即)(22)1(*-∈=N n a n n n ．［点评］若数列｛n a ｝满足a a =1，)(1｝为可以求积的数列数列｛nn n n b b a a ⋅=+，则用迭乘法求解，即123121-⋅⋅⋅⋅=n n n a a a a a a a a ．三、课堂小结：1．已知数列的前几项，求数列的通项公式的方法：观察法．2．已知递推公式，求特殊数列的通项公式的方法：转化为等差、等比数列求通项；累加法；迭乘法．四、课外作业：《习案》作业二十．精美句子1、善思则能“从无字句处读书”。

第四章数列的求和(一习题课件高二上学期数学人教A版(2019)选择性必修第二册

(2)易知 bn＝2nn－－11，，nn为为偶奇数数，，所以 T2n＝b1＋b2＋b3＋…＋b2n ＝(b1＋b3＋…＋b2n－1)＋(b2＋b4＋…＋b2n) ＝(0＋2＋…＋2n－2)＋(2＋23＋…＋22n－1) ＝2n－2 2n＋244－n－11 ＝13·22n＋1＋n2－n－23。
巩固练习
1.已知数列{an}的前n项和为Sn，a1＝t，点(Sn，an＋1)在直线y＝3x＋1上.
(1)当实数t为何值时，数列{an}是等比数列？因为点(Sn，an＋1)在直线y＝3x＋1上，所以an＋1＝3Sn＋1，当n≥2时， an＝3Sn－1＋1. 于是an＋1－an＝3(Sn－Sn－1)⇒an＋1－an＝3an⇒an＋1＝4an. 又当n＝1时， a2＝3S1＋1⇒a2＝3a1＋1＝3t＋1，所以当t＝1时，a2＝4a1，此时，数列{an}是等比数列.
Sn
n(a1 an ) 2
或 Sn
n(n 1) na1+ 2 d
2.等比数列前n项和公式(错位相减法)
Sn
naa1(111,qqqn )1
a1 anq 1 q
,
q 1
3.两类特殊数列的前n项和(二次幂和、三次幂和)
①12＋22＋32＋…＋n2＝16n(n＋1)(2n＋1) ②13＋23＋33＋…＋n3＝14n2(n＋1)2
f
(0)
②
n 1
由① + ②可得 2an n 1 ，an 2
所以数列an 是首项为
1，公差为
1 2
的等差数列，其前
20
项和为 201
20 1 2
115
2
巩固练习
2.
A.36
已知数列{an}的通项公式为an＝n－2(n∈N*)，设f(x)＝x＋log228＋－xx ，

第17课时(数列复习专题(1))

1．数列的概念，通项公式，数列的分类，从函数的观点看数列． 2．等差、等比数列的定义． 3．等差、等比数列的通项公式． 4．等差中项、等比中项．5．等差、等比数列的前n 项和公式及其推导方法．例题剖析（1）已知等差数列的第p n k ，，项构成等比数列的连续3项，如果这个等差数列不是常数列，则等比数列的公比为．（2）182 ，，，，z y x 成等比数列，则=x ．（3）三个数成等比数列，它们的积为512，如果中间一个数加上2，则成等差数列，这三个数是．（4）一个数列的前n 项和为n S n n1)1(4321+-++-+-= ，则=++503317S S S ．例1（5）一个数列}{n a ，当n 为奇数时，15+=n a n ，当n 为偶数时，22n n a =，则这个数列前m 2项的和为．（6）已知正项等比数列}{n a 共有m 2项，且)(94342a a a a +=⋅，++++ 321a a a)(426422m ma a a a a ++++= ，则=1a ，公比=q ．（7）设}{n a ，}{n b 都是等差数列，它们的前n 项和分别为n S ，n T ，已知1235-+=n n T S n n ，则=n n b a ；=55b a ．（8）已知方程022=++m x x和022=+-n x x 一共四个根组成一个首项为3的等差数列，则=-n m ．（9）一个直角三角形三边长组成等差数列，则它的三边长从小到大的比值为．例2 某三个互不相等的数组成等差数列，如果适当排列此三数，也可成等比数列，已知这三个数的和等于6，求这三个数．课堂小结等差、等比数列的概念和公式．课后训练班级：高一（）班姓名：____________一基础题1．若直角三角形的三边的长组成公差为3的等差数列，则三边长分别为（） A ．5，8，11 B ．9，12，15 C ．10，13，16 D ．15，18，21 2．设{}n a 是等比数列，有下列四个命题：（1）{}2n a 是等比数列；（2）{}1+n n a a 是等比数列；（3）⎭⎬⎫⎩⎨⎧n a 1是等比数列；（4）{}||lg n a 是等比数列；其中正确命题的序号为．3．写出数列的一个通项公式，使它的前4项分别是下列各数：（1）16795431，，，；（2）978756534312⨯ ⨯ ⨯ ⨯，，，；（3）11，101，1001，10001；（4）818929432- - ，，，；二提高题4．已知四个数依次成等差数列，且四个数的平方和为94，首尾两数之积比中间两数之积少18，求此等差数列．5．等差数列{}n a 中，前m 项（m 为奇数）和为77，其中偶数项之和为33，且181=-ma a ，求通项公式．6．在等差数列{}n a 中，已知)(q p p S q S q p ≠= =，，求q p S +．三能力题7．如图是第七届国际数学教育大会)7(-ICME 的会徽图案轮廓，它是由一串直角三角形组成的，其中18732211=====A A A A A A OA ，记821OA OA OA ，，，的长度所组成的数列为{}n a )81(≤≤ ∈+n N n ，,写出数列{}n a 的通项公式．8．一个正方形被分成九个相等的小正方形，将中间的一个正方形挖掉，再将剩余的每个正方形都分成九个相等的小正方形，并将中间的一个正方形挖掉，如此继续下去…… （1）第三次分割时共挖掉了多少个正方形？（2）设原正方形边长为a ，第n 次分割时共挖掉了多少个正方形？这些正方形的面积和为多少？127A 8。

等差数列复习课(一)yx1

2abcabccotcotcot11222?xabck分析与解答an为等差数列2ak1akak2akx2akak2xak20akxak2x10ak01akx22ak1xak20an为等差数列d为不等于零的常数或x1xkaaxaaaaaadkkkkkkkkk??????????22211112方程有一公共根数列是等差数列111?xk2由条件得2bac4rsinb2rsina2rsinc2sinbsinasinc分析至此变形目标需明确即要证b2由于目标是半角的余切形式一般把切向弦转化故有2cotcota2cotc2cotcotcossincossinsinsinsinsincoscoscossinsincotacaaccacacacacacbbbb222222222212222222222???????????????将条件代入成等差数列
、
分析与解答 (1)akx2＋2ak+1x＋ak+2＝0 ∵{an}为等差数列，∴2ak+1＝ak＋ak+2 ∴akx2＋(ak＋ak+2)x＋ak+2＝0 ∴(akx＋ak+2)(x＋1)=0，ak≠0
∴ x ＝－ 1或 x k ＝－ 1 1 xk 1 1 a k2 ak
a k2 ak ak ak 2d

说明如果a、b、c成等差数列，常化成2b＝a＋c的形式去运用；反之，如果求证a、b、c成等差数列，常改证2b=a＋c．本例的意图即在让读者体会这一点．
【例 7】若
1 a
、
1 b
、
1 c
成等差数列，且 a≠ b，求证： a、 b、 c、不
可能是等差数列．
分析直接证明a、b、c不可能是等差数

数列复习

数列 a n 中通项 a n 和前 n 项和 S n的关系： S 1 ( n 1) an S n S n 1 ( n 2 )
例 1 .已知数列 a n 的前 n 项和为 S n . (1) 若 S n 2 n , 求 a n ; ( 2 ) 若 S n n n 1, 求 a n .
【题型3】数列求和
1 1 .求数列 n 2 n 1 的前 n 项和 S n 2
1 2 .求数列的前 n项和 S n 2 4n 1
2n 1 3 .求数列的前 n项和 S n n 2
【题型4】由Sn求an
二、【题型剖析】
【题型1】等差(比)数列的基本运算
例 1 .已知等差数列 a n , a 3 1 8, a 7 1 0 . (1) 求数列 a n 的通项 a n以及前 n 项和 S n ; ( 2 )数列 a n 的前多少项和最大，并求最大值； (3) 设 a n lo g 2 b n , 求证：数列 b n 是等比数列，并求 b n 的前 n 项和 .
数列复习课
一、知识回顾等差数列
定义通项通项推广中项性质
a n 1 a n d
a n a 1 ( n 1) d an am (n m )d
等比数列
a n 1 a n q
a n a1 q
n 1 nm
an am q
G
2
A
(a b) 2
例3（1）已知等差数列{ a n } 满足 a1 a 2 a101

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第15课时数列复习课练习(1)
【分层训练】
1.在10到2000之间，形如2()n n N ∈的各数之和为（）.
（A ）1008 （B ）2040 （C ）2032 （D ）2016
2.等比数列{}n a 中，
851
27
a a =-,那么13579
246810
a a a a a a a a a a ++++=++++（）.
（A ）13- （B ）－3 （C ）1
3
（D ）
3
3.等比数列{}n a 中，481,3S S ==，则
17181920a a a a +++等于（）.
（A ）14 （B ）16 （C ）18 （D ）20 4.某工厂生产总值月平均增长率为p ，则年平均增长率为（）. （A ）12p （B ）p （C ）12(1)p + （D ）12(1)1p +- 5.
221(12)(122)(122++++++++++ 102)+ 的和为（）.
（A ）11211- （B ）12
211-
（C ）11213- （D ）12
213-
6.公比为(1)q q ≠的等比数列{}n a 的前n
项的和为n S ，且23n n S c =⋅+，则
c = .
7.数列{}n a
的通项公式是
n a =m 项的和为10，则
项数等于________.
8.{}n a 是由7个正数组成的等比数列，其前三项的和为26，后三项的和为2106，则第四项等于___________.
9.一个弹球从32米的高处自由落下，每次着地后又跳回原高度的一半再落下，第五次着地时所经过的路程为___________米. 【拓展延伸】
10.已知{}n a 是公差不为0的等差数列，
{}n a 是公比为q 的等比数列，且
1231,5,17b b b ===,求数列{}n a 的前n 项和n S .
11.某公司向银行贷款1600万元建设新生产线.
①若生产线建成后获得年均纯利润600万元，银行按复利计算，年息为5％，该公司过三年能否一次性还清贷款？
②若公司三年后必须一次性还清贷款，此生产线建成获年均纯利润至少多少万元（精确到0.1万元）？
12.由数列{}n a ：123,,,,,n a a a a 构成一个新数列
1a ,21()a a -,32()a a -,43()a a -,…,1()n n a a --…，
此数列是首项为1，公比为13
的等比数列.求数列{}n a 的通项n a 及前n 项的和为n S .。