江苏高一数学下学期期末考试试题苏教版

合集下载

2020-2021学年高一数学下学期期末测试卷(苏教版 2019)02(必修二解析版)

2020-2021学年高一数学下学期期末测试卷（苏教版 2019）02试卷满分：150分考试时长：120分钟注意事项：1.本试题满分150分，考试时间为120分钟.2.答卷前务必将姓名和准考证号填涂在答题纸上.3.使用答题纸时，必须使用0.5毫米的黑色签字笔书写，要字迹工整，笔迹清晰.超出答题区书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效.一、单选题（本大题共8小题，共40分）1．若向量(2,3)BA =，(4,7)AC =--，则BC =（）A ．(2,4)--B ．(2,4)C ．(6,10)D ．(6,10)--【答案】A【分析】由向量加法的坐标运算计算．【详解】 (2,3)(4,7)(2,4)BC BA AC =+=+--=--．故选：A ．2．已知复数z 满足1iz i =-(i 为虚数单位），则z 在复平面内对应的点在（）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限【答案】C【分析】先利用复数的除法运算化简复数z ，可得对应点的坐标，从而可得答案.【详解】因为1iz i =-，所以()()()111i i i z i i i i ---===---，则z 在复平面内对应点的坐标为()1,1--，所以z 在复平面内对应的点在第三象限，3．已知水平放置的△ABC 是按“斜二测画法”得到如图所示的直观图，其中B ′O ′＝C ′O ′＝1，A ′O ′原△ABC 的面积是( )A B ．C ．2D ．4【答案】A【分析】先根据已知求出原△ABC 的高为AO △ABC 的面积.【详解】由题图可知原△ABC 的高为AO∴S △ABC ＝12×BC ×OA ＝12A 【点睛】本题主要考查斜二测画法的定义和三角形面积的计算，意在考察学生对这些知识的掌握水平和分析推理能力.4．为了解学生课外阅读的情况，随机统计了n 名学生的课外阅读时间，所得数据都在[50,150]中，其频率分布直方图如图所示．已知在[50,75)中的频数为100，则n 的值是（）A ．500B ．1000C ．10000D ．25000【分析】根据频率分布直方图可得在[50,75)中的频率，进而可得n .【详解】由图可得在[50,75)中的频率为0.004250.1⨯=，所以10010000.1n ==，故选：B.5．已知一个直角三角形的边长分别为3，4，5，若以斜边所在直线为旋转轴，将该三角形旋转一周，所得几何体的体积等于（）A ．12πB ．16πC ．485πD ．1445π 【答案】C【分析】先判断所得几何体是由两个同底的圆锥拼接而成，Rt ABC 中通过等面积法计算底面半径BO ，再利用圆锥体积之和求所得几何体的体积即可.【详解】依题意，所得几何体是由两个同底的圆锥拼接而成，如图所示， Rt ABC 中，4,3,5AB BC AC ===，由Rt ABC 的面积1122S AB BC AC BO '=⋅=⋅，得431255AB BC BO AC ⋅⨯===，即圆锥底面面积214425S BO ππ=⋅=，又上面圆锥体积为113V S AO =⋅，下面圆锥体积为213V S OC =⋅，故几何体的体积()122111144485333255V V V V S AO OC S AC ππ=+==⋅+=⋅=⨯⨯=. 故选：C.6．已知α∈（2π，π），并且sin α+2cos α25=，则tan （α4π+）＝（） A ．1731- B ．3117- C ．17- D ．﹣7【答案】A【分析】将已知等式平方，利用同角三角函数的基本关系可得cos α﹣2sin α115=-，再结合已知等式作商可求得tan α，由两角和与差的正切公式计算即可得解．【详解】由sin α+2cos α25=，得sin 2α+4sin αcos α+4cos 2α425=，所以（1﹣cos 2α）+4sin αcos α+4（1﹣sin 2α）425=，整理得cos 2α﹣4sin αcos α+4sin 2α12125=，所以（cos α﹣2sin α）212125=，因为α∈（2π，π），所以sin 0cos 0αα⎧⎨⎩＞＜，所以cos α﹣2sin α115=-，又sin α+2cos α25=，所以7cos 25α=-，24sin 25α=，所以tan α247=-，所以tan （α4π+）241tan 1177241tan 3117αα-++===--+．故选：A ．【点睛】关键点点睛：由sin α+2cos α25=推出cos α﹣2sin α115=-是本题的解题关键. 7．已知点G 是ABC ∆的重心，(,)AG AB AC R λμλμ=+∈，若120A ∠=，2AB AC ⋅=-，则AG 的最小值是A B C ．23 D ．34【答案】C【分析】由题意将原问题转化为均值不等式求最值的问题，据此求解AG 的最小值即可.【详解】如图所示，由向量加法的三角形法则及三角形重心的性质可得()2133AG AD AB AC ==+, 120,2A AB AC ∠=⋅=-，根据向量的数量积的定义可得cos1202AB AC AB AC ⋅=⨯⨯=-, 设,AB x AC y ==，则4AB AC xy ⨯==， 2211233AG AB AC AB AC AB AC =+=++⋅ 22112443x y xy =+-≥-=，当且仅当x y =，即AB AC =，△ABC 是等腰三角形时等号成立.综上可得AG 的最小值是23. 本题选择C 选项.【点睛】本题主要考查平面向量的加法运算，向量的模的求解，均值不等式求解最值的方法等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.8．设a ，b ，c 为ABC 中的三边长，且a +b +c =1，则a 2+b 2+c 2+4abc 的取值范围是（）A ．131,272⎡⎤⎢⎥⎣⎦B ．131,272⎡⎫⎪⎢⎣⎭C ．131,272⎛⎤ ⎥⎝⎦D ．131,272⎛⎫ ⎪⎝⎭【答案】B【分析】记f (a ，b ，c )=a 2+b 2+c 2+4abc ，则f (a ，b ，c )=1﹣2ab ﹣2c (a +b )+4abc ，再根据三角形边长性质可以证得f (a ，b ，c )12<.再利用不等式和已知可得ab 22(1)24a b c +-⎛⎫= ⎪⎝⎭，所以f (a ，b ，c )≥1﹣2(1)2(12)4c c -⨯-﹣2c (1﹣c )=321122c c -+，再利用求导根据单调性可以推得a 2+b 2+c 2+4abc 1327，继而可以得出结果. 【详解】记f (a ，b ，c )=a 2+b 2+c 2+4abc ，则f (a ，b ，c )=1﹣2ab ﹣2c (a +b )+4abc=1﹣2ab (1﹣2c )﹣2c (1﹣c )=2(c +ab )2﹣2a 2b 2﹣2(ab +c )+1=2[c +ab ﹣12]2﹣2a 2b 2+121112()()222c ab ab c ab ab =+-++--+ 1112(2)()222c ab c =+--+ 1112(12)()222a b ab c =--+--+ 1112(2)()222a b ab c =--+-+ 1114()()42222a b ab c =--+-+ =4(c ﹣12)(a ﹣12)(b ﹣11)22+，又a ，b ，c 为ABC 的三边长，所以1﹣2a >0，1﹣2b >0，1﹣2c >0，所以f (a ，b ，c )12<. 另一方面f (a ，b ，c )=1﹣2ab (1﹣2c )﹣2c (1﹣c )，由于a >0，b >0，所以ab 22(1)24a b c +-⎛⎫= ⎪⎝⎭，又1﹣2c >0，所以f (a ，b ，c )≥1﹣2(1)2(12)4c c -⨯-﹣2c (1﹣c )=321122c c -+，不妨设a ≥b ≥c ，且a ，b ，c 为ABC 的三边长，所以0<c <13. 令y =321122c c -+，则y ′=3c 2﹣c =c (3c ﹣1)≤0，所以y min =127﹣2111232⎛⎫+ ⎪⎝⎭=1327，从而1327<f(a,b,c)<12. 当且仅当a =b =c =13时取等号. 故选：B.【点睛】本题主要考查了解三角形，考查导数求函数的最值，考查基本不等式的应用，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理计算能力.二、多选题（本大题共4小题，共20分）9．袋中装有形状完全相同的3个白球和4个黑球，从中一次摸出3个球，下列事件是互斥事件的是（） A ．摸出三个白球事件和摸出三个黑球事件B ．恰好有一黑球事件和都是黑球事件C ．至少一个黑球事件和至多一个白球事件D ．至少一个黑球事件和全是白球事件【答案】ABD【分析】根据互斥事件的定义可判断各选项的正误，从而可得正确的选项.【详解】对于A ，摸出三个白球事件和摸出三个黑球事件不可能同时发生，故它们为互斥事件，故A 正确. 对于B ，恰好有一黑球事件和都是黑球事件不可能同时发生，故它们为互斥事件，故B 正确.对于C ，比如三个球中两个黑球和1个白球，则至少一个黑球事件和至多一个白球事件可同时发生，故C 错误.对于D ，至少一个黑球事件和全是白球事件也不可能同时发生，故D 正确.故选：ABD.10．已知a ，b 是平面上夹角为23π的两个单位向量，c 在该平面上，且()()·0a c b c --=，则下列结论中正确的有（）A ．||1a b +=B ．||3a b -=C ．||3<cD ．a b +，c 的夹角是钝角【答案】ABC【分析】在平面上作出OA a =，OB b =，1OA OB ==，23AOB π∠=，作OC c =，则可得出C 点在以AB 为直径的圆上，这样可判断选项C 、D ．由向量加法和减法法则判断选项A 、B ．【详解】对于A ：()2222+2||+cos 13a b a b a b a b π+=+=⨯⨯=，故A 正确；对于B ：设OA a =，OB b =，1OA OB ==，23AOB π∠=，则2222+c 32os 3AB O OA O A O B B π-⋅==，即3a b -=，故B 正确； OC c =，由(a ﹣c )·(b﹣c )=0得BC AC ⊥，点C 在以AB 直径的圆上（可以与,A B 重合）．设AB 中点是M ， c OC =的最大值为1+222+A bBO MC a M +==<C 正确；a b +与OM 同向，由图，OM 与c 的夹角不可能为钝角．故D 错误．故选：ABC ．【点睛】思路点睛：本题考查向量的线性运算，考查向量数量积．解题关键是作出图形，作出OA a =，OB b =，OC c =，确定C 点轨迹，然后由向量的概念判断．11．如图，在棱长为1的正方体1111ABCD A BC D -中，P ，M ，N 分别为棱1CC ，CB ，CD 上的动点(点P 不与点C ，1C 重合)，若CP CM CN ==，则下列说法正确的是（）A ．存在点P ，使得点1A 到平面PMN 的距离为43B ．用过P ，M ，1D 三点的平面去截正方体，得到的截面一定是梯形C ．1//BD 平面PMND ．用平行于平面PMN 的平面α去截正方体，得到的截面为六边形时，该六边形周长一定为【答案】ABD【分析】A ．根据条件分析出1A 到平面PMN 的距离的取值范围，即可进行判断；B ．根据空间中点、线、面的位置关系，结合线段比例关系，作出过P ，M ，1D 三点的截面，并进行判断；C ．根据1BD 与平面1BC D 的位置关系，以及平面PMN 与平面1BC D 的位置关系进行判断； D ．先利用平行关系作出截面α，然后根据长度关系求解出截面六边形的周长并进行判断.【详解】A ．连接1111111,,,,,,AC BC AB BDCD A D B C ，如图所示：因为CP CM CN ==，所以易知11//,//,//MN BD NP C D MP BC ，且平面//MNP 平面1BC D ，又已知三棱锥11A BC D -各条棱长均为11A BC D -为正四面体，所以1A 到平面1BC D3=，因为11A B ⊥平面11BCC B ，所以111A B BC ⊥，又11BC B C ⊥，且1111A B B C B =，所以1BC ⊥平面11A B C ，又1AC ⊂平面11A B C ，所以11BC AC ，同理可得11C D AC ⊥，且111BCC D C ⋂=，所以1AC ⊥平面1BC D ，又因为1AC ，所以1A 到平面PMN 的距离∈⎝43<< B ．如图所示，连接1D P 并延长交DC 的延长线于Q 点，连接QM 并将其延长与AD 相交于A '，因为CP CM =，且1//,//CP DD CM AD ，则1CP CM CQ DD DA DQ =='，所以1DA DD '=，所以A '即为A ，连接1AD ，所以过P ，M ，1D 的截面为四边形1AD PM ，由条件可知111//,//MP BC BC AD ，且1MP AD ≠，所以四边形1AD PM 为梯形，故正确；C ．连接1BD ，由A 可知平面//MNP 平面1BC D ，又因为B ∈平面1BC D ，1D ∉平面1BC D ，所以1BD 不平行于平面1BC D ，所以1//BD 平面PMN 不成立，故错误；D ．在1BB 上取点1P ，过点1P 作12//PP MP 交11B C 于2P ，过2P 作21//P N MN 交11C D 于1N ，以此类推，依次可得点212,,N M M ，此时截面为六边形，根据题意可知：平面121212//PP N N M M 平面MNP ，不妨设1BP x =，所以122121PM P N N M ===，所以)1212121PP N N M M x ===-，所以六边形的周长为：)31x ⎤-=⎦故选：ABD.【点睛】方法点睛：作空间几何体截面的常见方法：（1）直接连接法：有两点在几何体的同一个面上，连接该两点即为几何体与截面的交线，找截面就是找交线的过程；（2）作平行线法：过直线与直线外一点作截面，若直线所在的平面与点所在的平面平行，可以通过过点找直线的平行线找到几何体与截面的交线；（3）作延长线找交点法：若直线相交但是立体图形中未体现，可通过作延长线的方法先找到交点，然后借助交点找到截面形成的交线；（4）辅助平面法：若三个点两两都不在一个侧面或者底面中，则在作截面时需要作一个辅助平面. 12．在ABC 中，角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，且2a =，sin 2sin B C =，有以下四个命题中正确的是（）A ．满足条件的ABC 不可能是直角三角形B ．ABC 面积的最大值为43C ．当A =2C 时，ABC 的周长为2+D ．当A =2C 时，若O 为ABC 的内心，则AOB 的面积为13【答案】BCD【分析】对于A ，利用勾股定理的逆定理判断；对于B ，利用圆的方程和三角形的面积公式可得答案；对于C ，利用正弦定理和三角函数恒等变形公式可得答案对于D ，由已知条件可得ABC 为直角三角形，从而可求出三角形的内切圆半径，从而可得AOB 的面积【详解】对于A ，因为sin 2sin B C =，所以由正弦定理得，2b c =，若b 是直角三角形的斜边，则有222a c b +=，即2244c c +=，得233c =，所以A 错误；对于B ，以BC 的中点为坐标原点，BC 所在的直线为x 轴，建立平面直角坐标系，则(1,),(1,0)B C -，设(,)A m n ，因为2b c =2222(1)2(1)m n m n -+=++，化简得22516()39m n ++=，所以点A 在以5,03⎛⎫- ⎪⎝⎭为圆心，43为半径的圆上运动，所以ABC 面积的最大值为1442233⨯⨯=，所以B 正确；对于C ，由A =2C ，可得3B C π=-，由sin 2sin B C =得2b c =，由正弦定理得，sin sin b c B C=，即2sin(3)sin c c C C π=-，所以sin 32sin C C =，化简得2sin cos 22cos sin 2sin C C C C C +=，因为sin 0C ≠，所以化简得23cos 4C =，因为2b c =，所以B C >，所以3cos 2C =，则1sin 2C =，所以sin 2sin 1B C ==，所以2B π=，6C π=，3A π=，因为2a =，所以2343,33c b ==，所以ABC 的周长为223+，所以C 正确；对于D ，由C 可知，ABC 为直角三角形，且2B π=，6C π=，3A π=，2343c b ==，所以ABC 的内切圆半径为123433212r ⎛=+= ⎝⎭，所以AOB的面积为11122cr ⎛=-= ⎝⎭ 所以D 正确，故选：BCD【点睛】此题考查三角形的正弦定理和面积公式的运用，考查三角函数的恒等变换，考查转化能力和计算能力，属于难题.三、填空题（本大题共4小题，共20分）13．写出一个虚数z ，使得23z +为纯虚数，则z =___________.【答案】12i +（答案不唯一）．【分析】设i z a b =+（a ，b ∈R ，0b ≠），代入计算后由复数的定义求解．【详解】设i z a b =+（a ，b ∈R ，0b ≠），则222332i z a b ab +=-++，因为23z +为纯虚数，所以223a b -=-且0ab ≠.任取不为零的实数a ，求出b 即可得，答案不确定，如12z i =+，故答案为：12i +．14．棱长均为1的正四棱锥，该正四棱锥内切球半径为1R ，外接球半径为2R ，则12R R 的值为______.【分析】对角线1AC BD O ⋂=，设外接球球心为O ，外接球球心到各顶点距离相等列出关于2R 的方程可得2R ，利用“体积法”可得1R ，进而可得结果.【详解】如图所示，对角线1AC BD O ⋂=，设外接球球心为O，12PO =，则22222R R ⎫=-+⎪⎪⎝⎭⎝⎭，解得22R =，内切球半径1R满足1111141113232R ⎛⨯⨯+⨯⨯⨯=⨯⨯ ⎝⎭，解得1R =，于是1212R R ==，故答案为：12.15．在△ABC 中，设角A ，B ，C 对应的边分别为,,a b c ，记△ABC 的面积为S ，且22242a b c =+，则2S a 的最大值为__________.【答案】6【分析】根据题中条件利用余弦定理进行简化，然后化简为二次函数，求出二次函数的最值即可.【详解】由题知22222222422c 2os 4b a c a c ac B a b c ⇒=-=+-=+，整理得()222232cos 33cos 2a c ac B a c B ac -=-+⇒=，因为()222222221sin 1cos sin 224ac B c B S c B a a a a ⎛⎫- ⎪⎛⎫⎛⎫=== ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ ⎪⎝⎭，代入()223cos 2a c B ac-=整理得2422421922916S c c a a a ⎛⎫⎛⎫=--+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，令22c t a =，有()22222111110922931616336S t t t a ⎛⎫⎛⎫=--+=--+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以2221036S S a a ⎛⎫≤⇒≤ ⎪⎝⎭，所以2S a故答案为：6【点睛】本题主要考查了利用余弦定理解三角形，结合考查了二次函数的最值问题，属于中档题.16．赵爽是我国古代数学家大约在公元222年，他为《周髀算经》一书作序时，介绍了“勾股圆方图”，亦称“赵爽弦图”（以弦为边长得到的正方形由4个全等的直角三角形再加上中间的一个小正方形组成）类比“赵爽弦图”，可构造如图所示的图形，它是由3个全等的三角形与中间一个小等边三角形拼成的一个较大的等边三角形，设AD AB AC λμ=+，若2DF AF =，则可以推出λμ+=_________.【答案】1213【分析】利用建系的方法，假设1AF =，根据120ADB ∠=，利用余弦定理可得AB 长度，然后计算cos ,sin DAB DAB ∠∠，可得点D 坐标，最后根据点,B C 坐标，可得结果.【详解】设1AF =，则3,1AD BD AF ===如图由题可知：120ADB ∠=，由2222cos AB AD BD AD BD ADB =+-⋅⋅∠所以AB =AC AB ==所以),B C ⎝⎭，()0,0A又sin sin sin 26BD AB BAD BAD ADB =⇒∠=∠∠所以cos BAD ∠=所以()cos ,sin D AD AD BAD BAD ∠∠即D ⎝⎭ 所以()2113339,13,0,AD AB⎛⎫== ⎪ ⎪⎝⎭ 13AC ⎛=⎝⎭又AD AB AC λμ=+所以913313μλμμ⎧==⎪⎪⇒⎨⎪==⎪⎩所以1213λμ+=故答案为：12 13【点睛】本题考查考查向量的坐标线性表示，关键在于建系，充分使用条件，考验分析能力，属难题.四、解答题（本大题共6小题，共70分）17．（10分）2020年春季，受疫情的影响，学校推迟了开学时间.上级部门倡导“停课不停学”，鼓励学生在家学习，复课后，某校为了解学生在家学习的周均时长(单位:小时)，随机调查了部分学生，根据他们学习的周均时长，得到如图所示的频率分布直方图.（1）求该校学生学习的周均时长的众数的估计值;（2）估计该校学生学习的周均时长不少于30小时的概率.【答案】（1）25小时；（2）0.3.【分析】（1）根据直方图，频率最大的区间中点横坐标为众数即可求众数；（2）由学习的周均时长不少于30小时的区间有[30,40)、[40,50)，它们的频率之和，即为该校学生学习的周均时长不少于30小时的概率.【详解】（1）根据直方图知：频率最大的区间中点横坐标即为众数，∴由频率最大区间为[20,30)，则众数为2030252+=；（2）由图知：不少于30小时的区间有[30,40)、[40,50)，∴该校学生学习的周均时长不少于30小时的概率0.03100.3P=⨯=.【点睛】本题考查了根据直方图求众数、概率，应用了众数的概念、频率法求概率，属于简单题. 18．（12分）已知复数z ＝a ＋i (a >0，a ∈R )，i 为虚数单位，且复数2z z +为实数. （1）求复数z ；（2）在复平面内，若复数(m ＋z )2对应的点在第一象限，求实数m 的取值范围.【答案】（1）1z i =+；（2）()0,∞+.【分析】（1）利用复数的四则运算以及复数的分类即求解.（2）利用复数的四则运算以及复数的几何意义即可求解.【详解】（1）因为z ＝a ＋i (a >0)，所以z ＋2z＝a ＋i ＋2a i + ＝a ＋i ＋()()()2a i a i a i -+- ＝a ＋i ＋2221a i a -+ ＝2222111a a i a a ⎛⎫⎛⎫++- ⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭，由于复数z ＋2z为实数，所以1－221a +＝0，因为a >0，解得a ＝1，因此，z ＝1＋i .（2）由题意(m ＋z )2＝(m ＋1＋i )2＝(m ＋1)2－1＋2(m ＋1)i ＝(m 2＋2m )＋2(m ＋1)i ，由于复数(m ＋z )2对应的点在第一象限，则()220210m m m ⎧+>⎪⎨+>⎪⎩，解得m >0. 因此，实数m 的取值范围是(0，＋∞).19．（12分）已知函数2()2cos f x x x =+．（1）求()f x 的最小正周期及()f x 的图象的对称轴方程；（2）若[4x π∈-，]4π，求()f x 的取值范围．【答案】（1）最小正周期为π，对称轴方程为612x k ππ=+，k Z ∈；（2）1[2，3]2．【分析】（1）将()f x 化为()1sin(2)62x f x π++=，然后可求出答案；（2）由[4x π∈-，]4π可得2[63x ππ+∈-，2]3π，然后可得答案. 【详解】（1）2()2cos f x x x =+1cos 2222x x +=+ 1sin(2)62x π++=， ()f x ∴的最小正周期22T ππ==，令262x k πππ+=+，k Z ∈，可得612x k ππ=+，k Z ∈，即()f x 的图象的对称轴方程为612x k ππ=+，k Z ∈．（2）[4x π∈-，]4π， 2[63x ππ∴+∈-，2]3π，sin(2)[62x π∴+∈-，1]，可得11()sin(2)[622f x x π=++∈，3]2．【点睛】本题考查的是三角函数的恒等变换和三角函数的性质，考查了学生对基础知识的掌握情况，较简单. 20．（12分）已知ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且sin sin sin 4cos 0cos sin a A b B c C c A A B--+=．（1）求A ；（2）若a c >，求a b c +的取值范围．【答案】（1）3A π=；（2）(2,)+∞．【分析】（1）利用正弦定理与余弦定理将题中所给条件化简整理，即可求出1cos 2A =，从而可得角A ；（2）先由题中条件，得到0,3C π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，再由正弦定理将所求式子化为sin sin sin A B C +，进而转化为关于C 的函数，即可求出结果.【详解】（1）由条件与正弦定理可得，2224cos 0cos a b c c A b A--+=，即2224cos 0cos b c a c A b A+--=，由余弦定理得，2cos 4cos 0cos bc A c A b A-=，所以2cos 10A -=，即1cos 2A =．由0A π<<得，3A π=．（2）由a c >可知，0,3C π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭．由正弦定理可知，21sin sin sin sin 3222sin sin sin C C C a b A B c C C Cπ⎛⎫-++ ⎪++⎝⎭===22cos 11cos 122sin 22sin cos 22C C C C C +==+112tan 2C =又知0,26C π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，所以tan 2C ⎛∈ ⎝⎭，所以2a b c +>，故a b c+的取值范围为(2,)+∞．【点睛】方法点睛：求解三角形中有关边长、角、面积的最值（范围）问题时，常利用正弦定理、余弦定理与三角形面积公式，建立a b +，ab ，22a b +之间的等量关系与不等关系，然后利用函数或基本不等式求解.21．（12分）如图，在AOB 中，D 是边OB 的中点，C 是边OA 上靠近点O 的一个三等分点，AD 与BC 交于点M .设OA a =，OB b =.（1）用a ，b 表示OM .（2）过点M 的直线与边OA ，OB 分别交于点E ，F .设OE pa =，OF qb =，求12p q+的值. 【答案】（1）1255OM a b =+（2）125p q += 【分析】（1）设OM xa yb =+，利用A ，M ，D 三点共线和C ，M ，B 三点共线可以得出,x y 的两个方程，然后解出即可（2）利用EM ，EF 共线即可推出【详解】（1）设OM xa yb =+，则()()11AM OM OA x OA yOB x a yb =-=-+=-+，∵A ，M ，D 三点共线，12AD OD OA a b =-=- ∴AM ，AD 共线，从而()112x y -=-.① 又C ，M ，B 三点共线. ∴BM ，BC 共线，同理可得()113y x -=-.②联立①②，解得1525x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，故1255OM a b =+. （2）∵12125555EM OM OE a b pa p a b ⎛⎫=-=+-=-+ ⎪⎝⎭， EF OF OE qb pa =-=-，且EM ，EF 共线， ∴1255p q p ⎛⎫-=- ⎪⎝⎭，整理得125p q +=. 【点睛】1.平面向量共线定理：若a 与b 共线且0b ≠，则存在唯一实数λ使得a b λ=2.平面向量基本定理：若1e ，2e 是平面α内两个不共线的向量，则对于平面α中的任一向量a ，使12a e e λμ=+的实数λ，μ存在且唯一.22．（12分）在四棱锥P -ABCD 中，侧面PAD ⊥ 底面ABCD ，底面ABCD 为直角梯形，//BC AD ，∠ADC =90°，BC =CD =12AD =1，PA =PD ，E ，F 分别为AD ，PC 的中点.（1）求证：//PA 平面BEF ；（2）若PC 与AB 所成角为45°，求二面角F -BE -A 的余弦值.【答案】（1）证明见解析；（2）-【分析】（1）连接AC 交BE 于O ，并连接FO ，根据条件可证//OF PA ，从而可证明结论.（2）由ABCE 为平行四边形可得//EC AB ，PCE ∠为PC 与AB 所成角，即45PCE ∠=︒，又由条件可得PE ABCD ⊥平面，可得PE EC ==PD 中点M ，连,ME MA MF ，，可得MEA ∠为F BE A --的平面角，可得答案.【详解】（1）证明：连接AC 交BE 于O ，并连接FO ，1,2BC AD BC AD =∥，E 为AD 中点，∴//AE BC ，且AE =BC . ∴四边形ABCE 为平行四边形，∴O 为AC 中点，又F 为AD 中点，//OF PA ∴，OF ⊂平面,BEF PA ⊄平面BEF ，//PA ∴平面BEF .（2）由BCDE 为正方形可得EC ==由ABCE 为平行四边形可得//EC AB .PCE ∴∠为PC 与AB 所成角，即45PCE ∠=︒.PA PD =E 为AD 中点,所以PE AD ⊥.侧面PAD ⊥底面,ABCD 侧面PAD 底面,ABCD AD PE =⊂平面PAD ，PE ∴⊥平面ABCD ，PE EC ∴⊥，PE EC ∴==取PD 中点M ，连,ME MA MF ，，由M F ，，分别为,PD PC 的中点，所以//,MF CD又//CD BE ，所以//MF BE ,所以,,,B E M F 四点共面.因为平面PAD ⊥平面ABCD ，且平面PAD 平面,ABCD AD BE AD =⊥，BE ∴⊥平面PAD ，,EM AE ⊂平面PAD所以,BE AE BE EM ⊥⊥,则MEA ∠为F BE A --的平面角.又1,22EM AE AM ===cos 3MEA ∴∠=.所以二面角F BE A --的余弦值为【点睛】本题考查证明线面平行和求二面角的平面角，解答本题的关键是取PD 中点M ，连,ME MA MF ，，证明出,BE AE BE EM ⊥⊥,得到MEA ∠为F BE A --的平面角，属于中档题.。

江苏省高一下学期期末考试(数学)

高一下学期期末考试（数学）一.填空题（本大题共14小题，每小题5分，共70分）1.已知集合{}{}=⋂==B A B A ,4,3,2,5,3,1 2.在等比数列{}n a 中，若===642,1,4a a a 则 3.函数164-=x y 的定义域为4.计算=+85lg4lg 2 5.在ABC ∆中，设角B A ,所对边分别为b a ,，若bBa A cos sin =，则角=B 】6.一个容量为20的数据样本分组后，分组与频数为：(](](](](](]个。

个；个；个；个；个2,70,604,60,505,50,404,40,303,30,20;2,20.10则样本数据在(]5010，上的频率为7.已知α为第二象限角，且=⎪⎭⎫ ⎝⎛-=4cos ,54sin παα则 8.已知向量()()2,1,1,3==b a ，则向量b a 与的夹角=θ9.投掷一颗质地均匀的骰子两次，观察出现的点数，记下第一次的点数为m ，第二次的点数为n ，设向量()()n b m a ,3,2,==，则“向量b a 与共线”的概率为 10.计算=-40sin 160cos 140cos 200sin 11.已知正数y x ,满足,12=+y x 则yx 11+的最小值 12.一个伪代码如右图所示，输出的结果是SPrint ForEnd I ×3 +S S 10 to 1 From I For 1S ←← ：13.若对任意的实数n m ,，都有()()()()21005,=+=+f n m f n f m f 且，则()()()()=++++2009531f f f f14.已知()为常数a a 100≤≤，在区间[]100，上任取两个实数y x ,，设“a y x ≤+2”的概率为p ，“a y x ≥-2”的概率为q ，若有q p ≤，则实数a 的取值范围二．解答题（本大题共6小题，共90分，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

2021-2022学年江苏省苏州市高一下学期期末数学试题【含答案】

2021-2022学年江苏省苏州市高一下学期期末数学试题一、单选题1．已知复数z 满足，则z 的虚部是（）3i2i z -=+A ．－i B ．iC ．－1D ．1C【分析】由已知，根据题意给出的复数z 利用复数的运算进行化简，即可直接求解出虚部.【详解】由已知得，，3i (3i)(2i)55i1i 2i (2i)(2i)5z ----====-++-所以z 的虚部为－1.故选：C.2．某校有50岁以上的老教师40人，的中年教师200人，35岁以下的青年教35~50师80人，为了调查教师对教代会制定的一项规章制度的满意度，准备抽出80人进行问卷调查，则中年教师应抽取的人数为（）A ．50B ．40C ．30D ．20A【分析】由题意求出教师总人数，求出中年教师岁占比例，乘以样本容量即可得到答案.【详解】解：由题意可知，该校老师总人数为（人．4020080320++=)中年教师所占的人数比例为．20053208=若抽出80人进行问卷调查，则中年教师应抽取（人．580508⨯=)故选：．A 3．已知平面向量满足，则向量的夹角为（）,a b|||1,(2)a b a a b ==⊥+ ,a bA ．B ．C ．D ．3π4π23π34πD利用求出，再求出夹角的余弦，再得到夹角即可.(2)0a a b ⋅+= a b ⋅ 【详解】，即，(2),(2)0a a b a a b ⊥+∴⋅+=220,1a a b a b +⋅=∴⋅=-．．cos ,||||a b a b a b ⋅∴〈〉==3,[0,],,4a b a b ππ〈〉∈∴〈〉=故选：D ．4．已知m ，n 是不重合的直线，是不重合的平面，则下列说法正确的是,,αβγ（）A ．若，则B ．，则,αγβγ⊥⊥αβ∥,,,m n m n ααββ⊂⊂∥∥αβ∥C ．若，则D ．，则,m αββ⊥⊥//m α,,⊂= ∥m m n αβαβm n∥D【分析】A 选项可以举反例，B 选项考查面面平行判定定理，C 选项漏了条件，D 选项即为线面平行性质定理.【详解】对于选项A ，垂直于同一平面的两个平面可能平行，也可能相交；对于选项B ，根据面面平行判定定理，直线m ，n 应为相交直线；对于选项C ，直线m 可能在平面内；α对于选项D ，恰好为线面平行的性质定理.故选：D.5．若经研究得出某地10名新冠肺炎病患者的潜伏期（单位：天）分别为，则这10个数据的第80百分位数是（）8,12,10,7,8,7,12,13,15,16A ．12B ．13C ．14D ．15C【分析】根据百分位数的计算公式求解即可【详解】由题意，，故第80百分位数是0010808⨯=1315142+=故选：C6．端午节是我国传统节日，甲，乙，丙3人端午节来徐州旅游的概率分别是，，1325，假定3人的行动相互之间没有影响，那么这段时间内至少有1人来徐州旅游的概14率为（）A ．B ．C ．D ．7202523710D【分析】利用相互独立事件的概率公式求出没有人来徐州旅游的概率，再利用对立事件的概率公式求解即可.【详解】由题意可得3人中没有人来徐州旅游的概率为，121233311135435410⎛⎫⎛⎫⎛⎫-⨯-⨯-=⨯⨯=⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭所以这段时间内至少有1人来徐州旅游的概率为.3711010-=故选：D.7．如图所示，为了测量A ，B 处岛屿的距离，小明在D 处观测，A ，B 分别在D 处的北偏西15°、北偏东45°方向，再往正东方向行驶40海里至C 处，观测B 在C 处的正北方向，A 在C 处的北偏西60°方向，则A ，B 两处岛屿间的距离为（）A ．B ．C ．海里D ．40海里20(1A【分析】分别在和中利用正弦定理计算，再在中利用余ACD △BCD △,AD BD ABD △弦定理计算即可AB 【详解】由题意可知，40,105,45,90,30CD ADC BDC BCD ACD =∠=︒∠=︒∠=︒∠=︒所以，45,60CAD ADB ∠=︒∠=︒在中，由正弦定理得，得ACD △40sin 30sin 45AD =︒︒AD =在中，因为，Rt BCD 45,90BDC BCD ∠=︒∠=︒所以，BD ==在中，由余弦定理得ABD △AB ====故选：A8．在三棱锥中，平面，且，若S ABC -SA ⊥,90ABC ABC ∠=3,4,5SA AB AC ===球在三棱锥的内部且与四个面都相切（称球为三棱锥的内切球），O S ABC -O S ABC -则球的表面积为（）O A ．B ．C ．D ．169π49π3227π1681πA【分析】设球的半径为r ，由等积法得，由此O ()1+++3S ABC SAB CAB SAC SBC V S S S S r -=⋅ 可求得设球的半径为r ，再根据球的表面积公式可求得答案.O 【详解】解：因为平面，平面，平面，SA ⊥,90ABC ABC ∠=AB ÌABC AC ⊂ABC 平面，BC ⊂ABC 所以，，，SA AB ⊥SA AC ⊥SA BC ⊥又，,BC AB SA AB A ⊥= 所以平面，所以，BC ⊥SAB BC SB ⊥所以均为直角三角形，,,SAB ABC SAC SBC ，设球的半径为r ，则，O ()1+++3S ABC SAB CAB SAC SBC V S S S S r -=⋅ 而，，11334632S ABC V -=⨯⨯⨯⨯=11156,35222SAB CAB SAC SBC S S SA AB S S ==⋅===⨯⨯=所以，解得，115156+6++6322r ⎛⎫⋅= ⎪⎝⎭23r =所以球的表面积为，O 221644239r S πππ⎛==⨯=⎫ ⎪⎝⎭故选：A.二、多选题9．某校高一年级开设了甲､乙两个课外兴趣班，供学生们选择，记事件“只选择甲1Ω=兴趣班"，=“至少选择一个兴趣班”，=“至多选择一个兴趣班”，“一个兴趣班2Ω3Ω4Ω=都不选”，则（）A ．与是互斥事件1Ω3ΩB ．与既是互斥事件也是对立事件2Ω4ΩC ．与不是互斥事件2Ω3ΩD ．与是互斥事件3Ω4ΩBC【分析】根据互斥事件，对立事件的概念判断即得.【详解】事件“只选择甲兴趣班"；=“至少选择一个兴趣班”，包含选择甲兴趣1Ω=2Ω班，选择乙兴趣班，选择甲乙两种兴趣班；=“至多选择一个兴趣班”，包含选择甲3Ω兴趣班，选择乙兴趣班，两种兴趣班都不选择；“一个兴趣班都不选”；4Ω=所以，与不是互斥事件，故A 错误；1Ω3Ω与既是互斥事件也是对立事件，故B 正确；2Ω4Ω与不是互斥事件，故C 正确；2Ω3Ω与不是互斥事件，故D 错误.3Ω4Ω故选：BC.10．如图所示，四边形为梯形，其中，，，分别为ABCD //AB CD 2AB CD =M N 的中点，则结论正确的是（）AB CD ，A ．B ．12AC AD AB=+ 1122CM CA CB=+C ．D ．14MN AD AB=+ 12BC AD AB=+ AB【分析】根据给定条件，可得四边形为平行四边形，再结合向量线性运算逐项AMCD 分析计算作答.【详解】对于A ，四边形为梯形，，，为中点，即ABCD //AB CD 2AB CD =M AB 有，AM CD =则四边形为平行四边形，，A 正确；AMCD 12AC AD AM AD AB=+=+对于B ，为中点，，B 正确；M AB 1122CM CA CB=+ 对于C ，为的中点，，CN CD 111224MN MA AD DN AB AD DC AD AB=++=-++=-不正确；对于D ，由选项A 知，，，D 不正确.MC AD = 12BC MC MB AD AB=-=-故选：AB11．在中，角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c ，下列说法正确的是（）ABC A ．若，则一定是等腰三角形cos cos a A b B =ABCB ．若，，则满足条件的三角形有且只有一个AB =45B ∠=︒3AC =C ．若不是直角三角形，则ABC tan tan tan tan tan tan A B C A B C++=D ．若，则为钝角三角形0AB BC ⋅<ABC BC【分析】A 利用正弦边角关系及三角形内角性质可得或判断；B 应用A B =2A B π+=余弦定理求即可判断；C 由三角形内角性质及和角正切公式判断；D 由向量数量积BC 定义判断.【详解】A ：由正弦边角关系有，则，则中sin cos sin cos A A B B =sin 2sin 2A B =ABC 或，错误；A B =2A B π+=B ：由，可得222cos 2AB BC AC B AB BC +-===⋅2410BC BC --=2BC =±2BC =C ：由不是直角三角形且，则ABC ()A B C π=-+ ，所以，正tan tan tan tan()1tan tan B CA B C B C +=-+=--tan tan tan tan tan tan A B C A B C ++=确；D ：，即，故||||cos()||||cos 0BC BC B AB AB B A C B B π⋅=-=-< ||||cos 0B B C AB > 不一定为钝角三角形，错误；ABC 故选：BC 12．已知正三棱柱的棱长均为2，点D 是棱上（不含端点）的一个动111ABC A B C -1BB 点．则下列结论正确的是（）A ．棱上总存在点E ，使得直线平面11A C 1//B E 1ADC B ．的周长有最小值，但无最大值1ADC △C ．三棱锥外接球的表面积的取值范围是1-A DC C 2528,33⎡⎫⎪⎢⎣⎭ππD ．当点D 是棱的中点时，二面角1BB 1A DC C --ABC【分析】对A ，在上取一点使得，从而可得判断即可；对1AC F 1∥EF AA 1EB DF ∥B ，展开侧面，根据两点之间线段最短可得的周长有最小值，结合D1ABCC D 1ADC △是棱上（不含端点）的一个动点判断最大值即可；对C ，取中点,中点1BB 11A C N AC ，连接并延长，交正方形的外接圆于，分析可得外接球直径即为M MN 11A C CA PQ 的外接圆直径.再分析最值求解即可；对D ，分别求得到平面的距离，DPQ A 1DCC h 到线段的距离，再求二面角的正切值即可A 1DC d 【详解】对A ，在上取一点使得，则，当时，1AC F 1∥EF AA 1EF BB 1EF B D =则有平行四边形，故，则直线平面，故A 正确；1EFDB 1EB DF ∥1//B E 1ADC对B ，如图展开侧面，易得当在与的交点时取得最小值，1ABCC D D 1AC 1BB 1AD DC +因为D 是棱上（不含端点）的一个动点，故无最大值，1BB 1AD DC +故的周长有最小值，但无最大值，故B 正确；1ADC △对C ，由题意，三棱锥外接球即四棱锥的外接球，1-A DC C 11D A C CA -取中点,中点，连接并延长，交正方形的外接圆于，11A C N AC M MN 11A C CA PQ 则易得平面平面.1PQ A C ==DPQ ⊥11A C CA 根据外接球的性质有外接球的球心在平面中，且为的外接圆圆心.由对称DPQ DPQ 性，可得当在中点时，最大，此时外接球直径最小.D 1BB PDQ ∠此时sinDQP ∠=2sin DPR DQP===∠，此时外接球表面积.当在或者点时，()2225423S R R πππ===D B 1B 三棱锥外接球即正三棱柱的外接球，1-A DC C 111ABC A B C -此时外接球的一条直径与和的外接圆直径构成直角三角形，1AA ABC 此时外接球直径，此时外接球表面积()22212823sin 3AB R AA π⎛⎫ ⎪=+=⎪ ⎪⎝⎭.因为点D 是棱上（不含端点）的一个动点，()2228423S RR πππ===1BB 故三棱锥外接球的表面积的取值范围是，故C 正确；1-A DCC 2528,33⎡⎫⎪⎢⎣⎭ππ对D ，设到平面的距离为，则由，A 1DCC h 11133DCC ACC S h S =即设到线段的距离，11222222h ⨯⨯⨯=⨯⨯h =A 1DC d 则，11122d DC AC ⋅=解得的正切值为，故D错d =1A DC C --==误；故选：ABC 三、填空题13．五个数的平均数是，这五个数的方差是___________.2,2,3,3,a 3651.2【分析】首先根据平均数求出，再根据方差公式计算可得；a 【详解】解：依题意，解得，223335a++++=5a =所以方差为；()()()()()2222216232333335355⎡⎤-+-+-+-+-=⎣⎦故6514．若，则_______________.51sin 123⎛⎫+=⎪⎝⎭παcos 26πα⎛⎫-= ⎪⎝⎭79-【分析】设，再表达出，从而根据诱导公式与二倍角公式求512πθα=+226παθπ-=-解即可.【详解】设，则，512πθα=+512παθ=-故，且.5266262παθππθπ-=---=1sin 3θ=则.()27cos 2cos cos 22sin 6219θππαθθ⎛⎫-==-=-=-⎪⎝⎭-故79-15．在中，，过点O 的直线分别交直线于两个不同的ABC 2BO OC =,AB AC ,M N 点，若，其中为实数，则的最小值为_________,AB mAM AC nAN ==,m n 224+m n 4.592【分析】利用表示出，再利用三点共线得到，再把,AM AN AO ,,M O N 32m n =-转化为关于的函数，即可求出最小值.224+m n n 【详解】，故， 2BO OC = 22BA AO OA AC +=+1223333m n AO AB AC AM AN∴=+=+三点共线，即，,,M O N 2133m n∴+=32m n =-()2222223932481298424n n n n n n m ⎛⎫=-+=-+=-+⎪⎝⎭∴+故的最小值为.224+m n 92故92四、双空题16．四面体的四个顶点都在球的球面上，和是边长为2的等边ABCD O ABC ADC三角形，，则球的体积为___________；若，分别为线段，的BD =O P Q AO BC 中点，则___________.PQ =【分析】由条件确定球心的位置及球的半径，由此求出球的体积，再证明O O ，由此可求.OA OQ ⊥PQ 【详解】因为和是边长为2的等边三角形，ABC ADC 所以，，2CD CB ==2AD AB ==又BD =所以，，222BD CB CD =+222BD AB AD =+所以，为以为斜边的直角三角形，DCB DAB DB设的中点为，则，DB O '12O A O B O C O D DB ''''====故四面体的外接球的球心为，ABCD O '又为四面体的外接球的球心，O ABCD所以为的中点，且球O BD O所以球的体积O 343V π=⨯=因为，OA OB ==2AB =所以，222OA OB AB +=所以，同理，OA OB ⊥OA OC ⊥又，平面，OC OB O = ,OC OB ⊂COB 所以平面，又平面，OA ⊥COB OQ ⊂COB 所以，OA OQ ⊥所以，PQ =因为，所以为直角三角形，OC OB ==2BC =COB 又为线段的中点，所以，Q BC 1OQ =又12OP OA ==所以，PQ =五、解答题17．已知复数，.112i z =+234i z =-(1)若复数在复平面内对应的点在第二象限，求实数的取值范围；12+z z λλ(2)若复数为纯虚数，求的虚部.()12()=⋅+∈z z z μμR z (1)13λ<-(2)20-【分析】(1)根据复数的运算公式和复数的几何意义确定数在复平面内对应的点12+z z λ的坐标，由条件列不等式求的取值范围；(2)根据纯虚数的定义列方程求，由此可λμ求的虚部.z 【详解】(1)，1212i (34i)(13)(24)i +=++-=++-z z λλλλ在复平面内对应的点在第二象限，则12+z z λ.113013240132λλλλλ⎧<-⎪+<⎧⎪⇒⇒<-⎨⎨->⎩⎪<⎪⎩所以实数的取值范围为；λ1,3⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭(2).()12(12i)(34i)38[2(3)4]i =⋅+=+⨯+-=++++-z z z μμμμ为纯虚数，则且，z 380μ++=220μ+≠所以，11μ=-此时，所以的虚部为.20i =-z z 20-18．猜灯谜又称打灯谜，是我国从古代就开始流传的元宵节特色活动.在一次元宵节猜灯谜活动中，共有20道灯谜，三位同学独立竞猜，甲同学猜对了12道，乙同学猜对了8道，丙同学猜对了道.假设每道灯谜被猜对的可能性都相等.n (1)任选一道灯谜，求甲，乙两位同学恰有一个人猜对的概率；(2)任选一道灯谜，若甲，乙，丙三个人中至少有一个人猜对的概率为，求的值.2225n (1)；1325(2).10n =【分析】（1）由题设求出甲、乙、丙猜对或错的概率值，应用独立事件乘法公式、互斥事件加法求甲，乙两位同学恰有一个人猜对的概率；（2）利用对立事件的概率求法及独立事件乘法公式列方程求.n【详解】(1)设“任选一道灯谜甲猜对”，“任选一道灯谜乙猜对”，“任选一A =B =C =道灯谜丙猜对”.则，，，故，，123()205P A ==82()205P B ==()20=n P C 2()5P A =3()5P B =.()120=-n P C “甲，乙两位同学恰有一个人猜对”，且与互斥.AB AB =⋃AB AB 每位同学独立竞猜，故，互相独立，则与，与，与均相互独立.A B A B A B A B 所以.332213()(()()()()()555525=+=+=⨯+⨯= P AB AB P AB P AB P A P B P A P B 答：任选一道灯谜，求甲，乙两位同学恰有一个人猜对的概率为.1325(2)设“甲，乙，丙三个人中至少有一个人猜对”，则.D =D ABC =所以.2322()1()1(1((()11552025⎛⎫=-=-=-=-⨯⨯-= ⎪⎝⎭n P D P D P ABC P A P B P C 解得.10n =19．为了调查疫情期间物理网课学习情况，某校组织了高一年级学生进行了物理测试．根据测试成绩（总分100分），将所得数据按照，，，[)40,50[)50,60[)60,70，，分成6组，其频率分布直方图如图所示．[)70,80[)80,90[]90,100(1)求图中a 的值；(2)试估计本次物理测试成绩的平均分；（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）(3)该校准备对本次物理测试成绩优异（将成绩从高到低排列，排在前13%的为优异）的学生进行嘉奖，则受嘉奖的学生分数不低于多少？(1)；0.025(2)；71(3).88【分析】（1）由直方图区间频率和为1求参数a ；（2）根据直方图求物理测试成绩的平均分即可；（3）根据直方图求出成绩从高到低排列且频率为对应分数即可.0.13【详解】(1)由，解得；(0.0050.0100.01520.030)101a ++⨯++⨯=0.025a =(2)，450.05550.15650.3750.25850.15950.171⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=故本次防疫知识测试成绩的平均分为；71(3)设受嘉奖的学生分数不低于分，x 因为，对应的频率分别为0.15，0.1，[80,90)[90,100]所以，解得，(90)0.015+0.10.13x -⨯=88x =故受嘉奖的学生分数不低于分．8820．如图，在四棱锥中，底面为矩形，侧面是等腰三角形且P ABCD -ABCD PAD 为的中点，在上且底面.,AP AD M =PD O AD PO ⊥ABCD(1)求证：侧面；AM ⊥PCD (2)当底面为正方形且侧面为等边三角形时，求二面角的平面角ABCD PAD P BD A --的正切值.θ(1)证明见解析；【分析】（1）先证，由侧面底面证得侧面，进而AM PD ⊥PAD ⊥ABCD DC ⊥PAD 证得，即可证得侧面；DC AM ⊥AM ⊥PCD （2）连接AC ，过O 作，先证得，，则，再ON AC ∥ON BD ⊥BD PN ⊥PNO θ∠=求出，即可求解.,PO ON 【详解】(1)因为是等腰三角形且，M 为PD 的中点，所以，PAD △AP AD =AM PD ⊥因为侧面，且底面，PO ⊂PAD PO ⊥ABCD 所以侧面底面，因为，所以侧面，因为侧面PAD ⊥ABCD DC AD ⊥DC ⊥PAD AM ⊂，所以，PAD DC AM ⊥因为DC ，侧面，且，所以侧面.PD ⊂PCD DC PD D ⋂＝AM ⊥PCD(2)连接AC ，过O 作，交于点N ，因为是正方形，所以，所ON AC ∥BD ABCD AC BD ⊥以，ON BD ⊥又因为底面，底面，所以，又PO ⊥ABCD ,BD ON ⊂ABCD ,PO BD PO ON ⊥⊥平面，，,PO ON ⊂PON PO ON O ⋂=所以平面，又平面，所以，所以，不妨设BD ⊥PON PN ⊂PON BD PN ⊥PNO θ∠=等边三角形的边长为2，PAD则，中，.PO =14ON AC =PON tan PO ON θ==21．如图，在多面体中，，，SABCD 24,BC CD AB BD AD =====3SA =平面平面是棱上一点.SBD ⊥,ABCD P SA(1)求证：；//AB CD (2)若，求证：平面；:1:2AP PS =//SC PBD (3)若平面，求直线与平面所成的角的正弦值.SA ⊥PBD BC PBD (1)证明见解析；(2)证明见解析；【分析】（1）由余弦定理求得，又是等腰直角三角形，则，45ABD ∠=BCD △AB BC ⊥即可证得；//AB CD （2）由与相似得，即可证得平面；ABO CDO OP SC ∥//SC PBD （3）取CD 中点M ，连接AM 交BD 于点N ，由得即为直线与平BC AM ∥ANP ∠BC面所成的角，解三角形求得即可求解.PBD ,PA AN【详解】(1)连接AC ，交BD 于点O ，连接OP ，在中，ABD △，222cos 2AB BD AD ABD BD AB +-==⋅∠45ABD ∠= 又，可知是等腰直角三角形，且，所以222,BC CD BC CD BD =+=BCD △45DBC ∠= ，90ABC ∠= 即，又，所以；AB BC ⊥CD BC ⊥AB CD ∥(2)由（1）显然知与相似，所以，又，ABO CDO 12AO OC AB CD ==::::1:2AP PS =所以，又因为平面PBD ，平面PBD ，所以平面PBD ；OP SC ∥SC ⊄OP ⊂SC ∥(3)取CD 中点M ，连接AM 交BD 于点N ，连接PN ，则，且，所以AB CM ∥AB CM =四边形是平行四边形，ABCM则，N 为BD 中点，因为SA ⊥平面PBD ，所以直线PN 是BC AM ∥12AN BC ==直线AM 在平面PBD 内的射影，所以是直线与平面所成的角，即为直线BC 与平面PBD 所成角的平面ANP ∠AM PBD 角.过点A 作，垂足为E ，连接SE ，PE ，在等腰直角中，，所以AE BD ⊥AEB △AB =，1AE =因为平面平面ABCD ，交线为BD ，平面，所以平面SBD ，又SBD ⊥AE ⊂ABCD AE ⊥平面，SE ⊂SBD 所以，所以，在直角中，由平面，AE SE⊥SE ==SEA △SA ⊥PBD 平面，PE ⊂PBD 则，，可求得，所以所以直线BC 与PE SA ⊥AE AP SA AE =13PA=sin ANP PA AN ==∠平面PBD .22．如图，设中的角A ，B ，C 所对的边是a ，b ，c ，为的角平分线，ABC AD BAC ∠已知，，，点E ，F 分别为边，上的1AB =3144AD AB AC =+ 12||||AB AC AB AC ⋅= AB AC 动点，线段交于点G ，且的面积是面积的一半．EF AD AEFABC (1)求边的长度；BC(2)当时，求的面积．4528AG EF ⋅= AGF 【分析】（1）根据，可求得，再根据为的角平分线，结合12||||AB AC AB AC ⋅=A AD BAC ∠平面向量基本定理可求得，再根据余弦定理即可得出答案；b （2）设，，（，，），根据的面AE AB λ= AF AC μ= AG k AD = 0λ≤μ1k ≤AEF 积是面积的一半，可得，再根据，结合E ，F ，G 三点ABC 12λμ=3144AD AB AC =+ 共线，求得，再根据可求得，从而可求得，即可求得，再k 4528AG EF ⋅= ,λμAD AG 根据三角形的面积公式即可得解.【详解】(1)解：由，得，12||||AB AC AB AC ⋅= 1cos 2A =因为，所以；(0,)A π∈3A π=因为为的角平分线，所以，AD BAC ∠1BD AB DC AC b ==所以，11BD BC b =+ ，111()1111b AD AB BD AB BC AB AC AB AB ACb b b b =+=+=+-=+++++ 又，所以，得，3144AD AB AC =+314bb =+3b =因为，2222cos a b c bc A =+-所以；BC a ==(2)解：设，，（，，），AE AB λ= AF AC μ= AG k AD = 0λ≤μ1k ≤因为的面积是面积的一半，AEF ABC 所以，111||||sin ||||sin 222AE AF A AB AC A ⋅=⨯⋅所以，①12λμ=，313cos 32AB AC π⋅=⨯⨯= 由，得，3144AD AB AC =+ 13144AG AE AF k λμ=+因为E ，F ，G 三点共线，所以，即，13144k λμ=+23k μλ=+所以，3144AG k AD k AB kAC ==+又，EF AF AE AC AB μλ=-=- 所以31()44AG EF k AB kAC AC AB μλ⎛⎫⋅=+⋅- ⎪⎝⎭2233114444k AB AC k AB k AC k AB AC μλμλ=⋅-+-⋅，279124μλμλ-=+因为，所以，②4528AG EF ⋅=4528AG EF ⋅= 279124μλμλ-=+由①②解得，，12λ=1μ=所以，此时点F 与点C 重合；47k =因为，3144AD AB AC =+ 所以22223191327441616816AD AB AC AB AC AB AC ⎛⎫=+=++⋅= ⎪⎝⎭ 所以AD =由得，47AG AD =AG 所以111sin 303222AGF AGC S S AG AC ==⨯⨯⨯︒=⨯=△△。

高一数学下学期期末试卷(1)苏教版

28
，至少有一件二级品的概率为
45
17
…… 12 分
45
∴ AB DC, AD BC ，且 AD DC
……………………………２分
又 AC AD DC ， BD BC CD ， ……………………………………４分
∴ BD AD DC …………………………………………………５分
∴ AC BD ( AD DC ) ( AD DC )
（ 2）设至少有一件二级品为事件 B， ………………………………………７分
则 B 是两个互斥事件：“抽取的 2 件产品中包含了一件一级品，一件二级品（记为 B1）”
与“抽取的 2 件产品均为二级品（ B2）”的和。 ………………８分
16
1
而 P（ B1）= ， P（B2） = ，
45
45
…………………９分
117,119 20 株； 119,121 7 株； 121,123 4 株； [123,125]2 株 .
（ 1）列出频率分布表；（ 2）画出频率分布直方图；
（ 3）据上述图表，估计数据落在 109,121 范围内的可能性是百分之几？
22. 函数的性质通常指函数的定义域、值域、周期性、单调性、奇偶性等，请选择适当的
∴ f ( x) 为偶函数； ………………………………………………………４分
③ ∵ f (x ) f ( x) , ∴ f (x) 是周期为的周期函数； ……………６分
④ 当 x [0, ] 时， f ( x) = ( 1 sin x 1 sin x)2 2
x 2 2 | cos x | 2cos ，
（ 1）2 件都是一级品的概率；
（ 2）至少有一件二级品的概率。

2021学年江苏高一下学期苏教版高中数学期末考试【含解析】

2021学年江苏高一下学期苏教版高中数学期末考试【含解析】姓名：__________ 班级：__________学号：__________题号一二三四五六总分评分一、选择题（共12题）1、已知点M（1，6）， N（7，3），则直线MN的斜率为22、的值为3、圆的圆心坐标为4、下列命题错误的是A．不在同一直线上的三点确定一个平面B．两两相交且不共点的三条直线确定一个平面C．如果两个平面垂直，那么其中一个平面内的直线一定垂直于另一个平面D．如果两个平面平行，那么其中一个平面内的直线一定平行于另一个平面5、下列叙述正确的是A．频率是稳定的，概率是随机的B．互斥事件一定不是对立事件，但是对立事件一定是互斥事件C． 5张奖券中有1张有奖，甲先抽，乙后抽，那么乙比甲抽到有奖奖券的可能性小D．若事件A发生的概率为P（A），则6、在△ABC中，已知∠B＝60°，边AB＝4，且△ABC的面积为2，则边AC的长为7、某同学5次考试的数学成绩x与物理成绩y的统计数据如下表，已知该同学的物理成绩）与数学成绩x是线性相关的，根据数据可得回归方程的b的值为0．5，则当该生的物理成绩y达到90分时，可以估计他的数学成绩为А． 140B． 142C． 145D． 1488、阿基米德（Archimedes，公元前287年一公元前212年）是古希腊伟大的数学家、物理学家和天文学家．他推导出的结论“圆柱内切球体的体积是圆柱体积的三分之二，并且球的表面积也是圆柱表面积的三分之二”是其毕生最满意的数学发现，后人按照他生前的要求，在他的墓碑上刻着一个圆柱容器里放了一个球，如图，该球顶天立地，四周碰边，圆柱的底面直径与高都等于球的直径，若球的体积为36π，则圆柱的表面积为A．36πB．45πC．54πD．63π9、已知直线，则下列说法正确的是A．若，则m＝－1或m＝3B．若，则m＝3C．若，则D．若，则10、已知△ABC的内角A， B， C所对的边分别为a， b， c，则下列说法正确的是A．若sinB＞sinC，则B＞CB．若a＝4， b＝2， A＝，则三角形有两解C．若bcosB－ccosC＝0，则△ABC一定为等腰直角三角形D．若bcosC－ccosB—0，则△ABC一定为等腰三角形11、PM2．5是衡量空气质量的重要指标，下图是某地7月1日到10日的PM2．5日均值（单位： ug/m3）的折线图，则下列关于这10天中PM2．5日均值的说法正确的是A．众数为30B．中位数是31C．平均数小于中位数D．后4天的方差小于前4天的方差12、如图，在棱长为1的正方体中，下列结论正确的是A．异面直线AC与BC1所成的角为60°B．直线AB1与平面ABC1D1所成角为45°C．二面角的正切值为D．四面体的外接球的体积为二、填空题（共4题）1、已知tanα＝2，tanβ＝－1，则tan（α－β）的值为________2、过圆上一点P（1，－2）的圆的切线的一般式方程为________3、在我国，每年的农历五月初五是端午节，民间有吃粽子的习惯，粽子又称粽粒，俗称“粽子”，古称“角黍”，传说这是为了纪念战国时期楚国大臣、爱国主义诗人屈原．如图，平行四边形形状的纸片是由六个边长为2的正三角形构成的，将它沿虚线折起来，可以得到如图所示粽子形状的六面体，则该六面体的体积为________4、如图，某数学学习兴趣小组的同学要测量学校地面上旗杆CD的高度（旗杆CD垂直于地面），设计如下的测量方案：先在地面选定距离为30米的A， B两点，然后在A处测得，在B处测得，由此可得旗杆CD的高度为________米三、解答题（共6题）1、已知 A（3， 2）和．（1）求过点A且与直线l平行的直线方程；（2）求点A关于直线l的对称点B的坐标．2、已知(1)求cosα的值；（2）求sin2α的值．3、已知△ABC的内角A， B， C所对的边分别为a， b， c， A＝，________且b＝，请从这三个条件中任选一个补充在横线上，求出此时△ABC的面积．4、手机支付也称为移动支付（Mobile Payment），是当今社会比较流行的一种付款方式．某金融机构为了了解移动支付在大众中的熟知度，对15—65岁的人群作了问题为“你会使用移动支付吗？”的随机抽样调查，把回答“会”的100个人按照年龄分成5组，绘制成如图所示的频率分布表和频率分布直方图．(1)求x，a的值；（2）若从第1， 3组中用分层抽样的方法抽取5人，求两组中分别抽取的人数；（3）在（2）抽取的5人中再随机抽取2人，求所抽取的2人来自同一个组的概率5、如图，在P—ABC中，PA⊥面ABC， PA＝2， CA＝CB＝AB＝2， D为棱AB的中点，点E在棱PA上．(1)若AE＝EP，求证：PB∥平面CDE；(2)求证：平面PAB⊥平面CDE；（3）若二面角B—CD—E的大小为120°，求异面直线PC与DE所成角的余弦值．6、如图，在平面直角坐标系xOy中，已知圆M：，过点O及点A(－2，0)的圆N与圆M外切．（1）求圆N的标准方程；（2）若过点A的直线l被两圆截得的弦长相等，求直线l的方程；（3）直线MN上是否存在点B，使得过点B分别作圆M与圆N的切线，切点分别为P， Q (不重合)，满足BQ＝2BP?若存在，求出点B的坐标，若不存在，请说明理由．============参考答案============一、选择题1、 B2、 D3、 B4、 C5、 D6、 C7、 A8、 C9、 BD10、 ABD11、 AD12、 ACD二、填空题1、2、3、4、；三、解答题1、（1）设所求直线的方程为，将点代入，得，故所求直线的方程为．……………………………………………4分（2）设，则由及线段的中点在直线上可得，…………………………………………………………8分解得，，所以点的坐标为．……………………………………………………10分2、（1）因为，所以，所以，由，所以，所以．………………………………………6分（2）．………………………………………12分3、情形一：若选择①，由余弦定理，……………………………………2分情形二：若选择②，则，因为，所以，……………………………………………………2分因为，所以；………………………………………………………4分情形三：若选择③，则，所以，………………………………………………………………2分因为，所以，所以，所以；………4分由正弦定理，得，……………………6分因为，，所以，………………………………8分所以，……10分所以．…………………12分4、（1）由题意可知，，…………………………………………2分所以，（2）第1，3组共有50人，所以抽取的比例是，则从第1组抽取的人数为，……………………………………………6分从第3组抽取的人数为．……………………………………………8分（3）设第1组抽取的2人为，，第3组抽取的3人为，，，则从这5人中随机抽取2人有如下种情形：，，，，，，，，，共有10个基本事件．………………………………………………………10分其中符合“抽取的2人来自同一个组”的基本事件有，，，共4个基本事件，所以抽取的2人来自同一个组的概率．………………………………12分5、（1）由知，为棱的中点，又因为为棱的中点，所以在中，，因为平面，平面，所以平面．………………………………………………………………2分（2）因为底面，平面，所以，在中，，为的中点，所以，又因为，平面，平面，所以平面．………………………………………………………5分又因为平面，所以平面平面．…………………………6分（3）由题意知，二面角的大小为，由（2）的证明可知，平面，又因为平面，所以，又，所以即为二面角的平面角，………………8分所以，因为底面，平面，所以，在中，，，所以．因为，所以为棱的中点，故，于是即为异面直线与所成的角．………………………………10分易知，，在中，由余弦定理知，，所以异面直线与所成角的余弦值为．………………………………12分6、（1）由题意知，圆的圆心在直线上，设，半径为，因为圆与圆外切，且圆的圆心，半径为，所以，………………………………1分即①又，即②………………………………2分由①得，，代入②得，，解得或（舍），所以，故所求圆的标准方程为．………………………………4分（2）当的斜率不存在时，不符合题意．当的斜率存在时，设为，故的方程为，因为被两圆截得的弦长相等，所以，……………………………………………6分即，解得或，故直线的方程为或．…………………………………8分（3）设，由可知，，即，所以，即，整理得①，…………………………………………10分又直线的方程为②，…………………………………………11分由①②联立解得，，或，，由，两点不重合，故，不合题意，舍去，故存在点符合题意．………………………………………………………12分。

苏教版高一下学期数学期末试卷(含答案解析)

启东市高一下学期数学期末试卷一、填空题（每题5分，共70分）1．若直线l的斜率为﹣1，则直线l的倾斜角为．2．一元二次不等式﹣2x2﹣x+6≥0的解集为．3．一个三角形的两个内角分别为30°和45°，如果45°角所对的边长为8，那么30°角所对的边长是．4．给出下列条件：①l∥α；②l与α至少有一个公共点；③l与α至多有一个公共点．能确定直线l在平面α外的条件的序号为．5．已知直线l过点P（2，3），且与两条坐标轴在第一象限所围成的三角形的面积为12，则直线l的方程为．6．在等比数列{a n}中，已知公比q=，S5=﹣，则a1= ．7．在△ABC中，已知a=6，b=5，c=4，则△ABC的面积为．8．已知正四棱锥的底面边长是2，侧面积为12，则该正四棱锥的体积为．9．已知点P（x，y）在不等式组所表示的平面区域内运动，则的取值范围为．10．在平面直角坐标系xOy中，直线l：（2k﹣1）x+ky+1=0，则当实数k变化时，原点O到直线l的距离的最大值为．11．已知正三角形ABC的边长为2，AM是边BC上的高，沿AM将△ABM折起，使得二面角B ﹣AM﹣C的大小为90°，此时点M到平面ABC的距离为．12．已知正实数m，n满足+=1，则3m+2n的最小值为．13．已知直线l：2x﹣y﹣2=0和直线l：x+2y﹣1=0关于直线l对称，则直线l的斜率为．14．正项数列{a n}的前n项和为S n，满足a n=2﹣1．若对任意的正整数p、q（p≠q），不等式S P+S q＞kS p+q恒成立，则实数k的取值范围为．二、解答题15．设△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且bcosA=asinB．（1）求角A的大小；（2）若a=1，求△ABC面积的最大值．16．如图所示，在正三棱柱ABC﹣A1B1C1中，点D在边BC上，AD⊥C1D．（1）求证：平面ADC1⊥平面BCC1B1；（2）如果点E是B1C1的中点，求证：AE∥平面ADC1．三、解答题17．已知数列{a n}满足a n+1=λa n+2n（n∈N*，λ∈R），且a1=2．（1）若λ=1，求数列{a n}的通项公式；（2）若λ=2，证明数列{}是等差数列，并求数列{a n}的前n项和S n．18．已知三条直线l1：ax﹣y+a=0，l2：x+ay﹣a（a+1）=0，l3：（a+1）x﹣y+a+1=0，a＞0．（1）证明：这三条直线共有三个不同的交点；（2）求这三条直线围成的三角形的面积的最大值．19．如图是市儿童乐园里一块平行四边形草地ABCD，乐园管理处准备过线段AB上一点E设计一条直线EF（点F在边BC或CD上，不计路的宽度），将该草地分为面积之比为2：1的左、右两部分，分别种植不同的花卉．经测量得AB=18m，BC=10m，∠ABC=120°．设EB=x，EF=y（单位：m）．（1）当点F与C重合时，试确定点E的位置；（2）求y关于x的函数关系式；（3）请确定点E、F的位置，使直路EF长度最短．20．已知数列{a n}满足对任意的n∈N*，都有a13+a23+…+a n3=（a1+a2+…+a n）2且a n＞0．（1）求a1，a2的值；（2）求数列{a n}的通项公式；（3）若b n=，记S n=，如果S n＜对任意的n∈N*恒成立，求正整数m的最小值．参考答案一、填空题（每题5分，共70分）1．若直线l的斜率为﹣1，则直线l的倾斜角为．【考点】I2：直线的倾斜角．【分析】设直线l的倾斜角为θ，θ∈[θ，π）．可得tanθ=﹣1，解得θ．【解答】解：设直线l的倾斜角为θ，θ∈[θ，π）．∴tanθ=﹣1，解得θ=．故答案为：．2．一元二次不等式﹣2x2﹣x+6≥0的解集为[﹣2，] ．【考点】74：一元二次不等式的解法．【分析】把不等式化为（2x﹣3）（x+2）≤0，求出解集即可．【解答】解：不等式﹣2x2﹣x+6≥0化为2x2+x﹣6≤0，即（2x﹣3）（x+2）≤0，解得﹣2≤x≤，所以不等式的解集为[﹣2，]．故答案为：[﹣2，]．3．一个三角形的两个内角分别为30°和45°，如果45°角所对的边长为8，那么30°角所对的边长是4．【考点】HP：正弦定理．【分析】设30°角所对的边长是x，由正弦定理可得，解方程求得x的值．【解答】解：设30°角所对的边长是x，由正弦定理可得，解得 x=，故答案为．4．给出下列条件：①l∥α；②l与α至少有一个公共点；③l与α至多有一个公共点．能确定直线l在平面α外的条件的序号为①③．【考点】LP：空间中直线与平面之间的位置关系．【分析】根据直线与平面的位置关系的定义判定即可．【解答】解：直线l在平面α外包含两种情况：平行，相交．对于①，l∥α，能确定直线l在平面α外，对于②，l与α至少有一个公共点，直线可能与平面相交，故不能确定直线l在平面α外，对于③，l与α至多有一个公共点，直线可能与平面相交或平行，故能确定直线l在平面α外，故答案为：①③5．已知直线l过点P（2，3），且与两条坐标轴在第一象限所围成的三角形的面积为12，则直线l的方程为3x+2y﹣12=0 ．【考点】IB：直线的点斜式方程．【分析】写出直线的截距式方程，根据要求条件参数的值，得到本题结论．【解答】解：设l在x轴、y轴上的截距分别为a，b（a＞0，b＞0），则直线l的方程为+=1∵P（2，3）在直线l上，∴+=1．又由l与两条坐标轴在第一象限所围成的三角形面积为12，可得ab=24，∴a=4，b=6，∴直线l的方程为+=1，即3x+2y﹣12=0，故答案为：3x+2y﹣12=0．6．在等比数列{a n}中，已知公比q=，S5=﹣，则a1= ﹣4 ．【考点】89：等比数列的前n项和．【分析】利用等比数列的前n项和公式直接求解．【解答】解：∵在等比数列{a n}中，公比q=，S5=﹣，∴==﹣，a1=﹣4．故答案为：﹣4．7．在△ABC中，已知a=6，b=5，c=4，则△ABC的面积为．【考点】HR：余弦定理；%H：三角形的面积公式．【分析】由余弦定理算出cosA，结合同角三角函数的平方关系得sinA，最后由正弦定理的面积公式，可得△ABC的面积．【解答】解：∵△ABC中，a=6，b=5，c=4，∴由余弦定理，得cosA==，∵A∈（0，π），∴sinA==，由正弦定理的面积公式，得：△ABC的面积为S=bcsinA=×5×4×=，故答案为：．8．已知正四棱锥的底面边长是2，侧面积为12，则该正四棱锥的体积为．【考点】LF：棱柱、棱锥、棱台的体积．【分析】由题意画出图形，求出正四棱锥的斜高，进一步求出高，代入棱锥体积公式得答案．【解答】解：如图，∵P﹣ABCD为正四棱锥，且底面边长为2，过P作PG⊥BC于G，作PO⊥底面ABCD，垂足为O，连接OG．由侧面积为12，即4×，即PG=3．在Rt△POG中，PO=∴正四棱锥的体积为V=故答案为：9．已知点P（x，y）在不等式组所表示的平面区域内运动，则的取值范围为（1，）．【考点】7C：简单线性规划．【分析】作出题中不等式组表示的平面区域，得如图的阴影部分．则z=，表示直线的斜率，再将点P移动，观察倾斜角的变化即可得到k的最大、最小值，从而得到的取值范围．【解答】解：设直线3x﹣2y+4=0与直线2x﹣y﹣2=0交于点A，可得A（8，14），不等式组表示的平面区域如图：则的几何意义是可行域内的P（x，y）与坐标原点连线的斜率，由可行域可得k的最大值为：k OA=，k的最小值k=1．因此，的取值范围为（1，）故答案为：（1，）．10．在平面直角坐标系xOy中，直线l：（2k﹣1）x+ky+1=0，则当实数k变化时，原点O到直线l的距离的最大值为．【考点】IT：点到直线的距离公式．【分析】由于直线l：（2k﹣1）x+ky+1=0经过定点P（1，﹣2），即可求出原点O到直线l 的距离的最大值．【解答】解：直线l：（2k﹣1）x+ky+1=0化为（1﹣x）+k（2x+y）=0，联立，解得，经过定点P（1，﹣2），由于直线l：（2k﹣1）x+ky+1=0经过定点P（1，﹣2），∴原点O到直线l的距离的最大值为．故答案为：．11．已知正三角形ABC的边长为2，AM是边BC上的高，沿AM将△ABM折起，使得二面角B ﹣AM﹣C的大小为90°，此时点M到平面ABC的距离为．【考点】MK：点、线、面间的距离计算．【分析】以M为原点，MB，MC，MA为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出点M到平面ABC的距离．【解答】解：∵正三角形ABC的边长为2，AM是边BC上的高，沿AM将△ABM折起，使得二面角B﹣AM﹣C的大小为90°，∴MA、MB、MC三条直线两两垂直，AM=，BM=CM=1，以M为原点，MB，MC，MA为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系，则M（0，0，0），B（1，0，0），C（0，1，0），A（0，0，），=（﹣1，0，0），=（﹣1，0，），=（﹣1，1，0），设平面ABC的法向量=（x，y，z），则，取x=，得=（，，1），∴点M到平面ABC的距离为：d===．故答案为：．12．已知正实数m，n满足+=1，则3m+2n的最小值为3+．【考点】7F：基本不等式．【分析】根据题意，分析可得3m+2n=（m+n）+（m﹣n），又由+=1，则有3m+2n=[（m+n）+（m﹣n）]×[+]=3++，利用基本不等式分析可得答案．【解答】解：根据题意，3m+2n=（m+n）+（m﹣n），又由m，n满足+=1，则有3m+2n=[（m+n）+（m﹣n）]×[+]=3++≥3+2=3+，当且仅当=时，等号成立，即3m+2n的最小值为3+，故答案为：3+．13．已知直线l：2x﹣y﹣2=0和直线l：x+2y﹣1=0关于直线l对称，则直线l的斜率为或﹣3 ．【考点】IQ：与直线关于点、直线对称的直线方程．【分析】设P（a，b）是直线l上任意一点，则点P到直线l：2x﹣y﹣2=0和直线l：x+2y﹣1=0的距离相等．，整理得a﹣3b﹣1=0或3a+b﹣3=0，即可求解．【解答】解：设P（a，b）是直线l上任意一点，则点P到直线l：2x﹣y﹣2=0和直线l：x+2y﹣1=0的距离相等．整理得a﹣3b﹣1=0或3a+b﹣3=0，∴直线l的斜率为或﹣3．故答案为：或﹣314．正项数列{a n}的前n项和为S n，满足a n=2﹣1．若对任意的正整数p、q（p≠q），不等式S P+S q＞kS p+q恒成立，则实数k的取值范围为．【考点】8H：数列递推式．【分析】a n=2﹣1，可得S n=，n≥2时，a n=S n﹣S n﹣1，利用已知可得：a n﹣a n﹣=2．利用等差数列的求和公式可得S n，再利用基本不等式的性质即可得出．1【解答】解：∵a n=2﹣1，∴S n=，∴n≥2时，a n=S n﹣S n﹣1=﹣，化为：（a n+a n﹣1）（a n﹣a n﹣1﹣2）=0，∵∀n∈N*，a n＞0，∴a n﹣a n﹣1=2．n=1时，a1=S1=，解得a1=1．∴数列{a n}是等差数列，首项为1，公差为2．∴S n=n+=n2．∴不等式S P+S q＞kS p+q化为：k＜，∵＞，对任意的正整数p、q（p≠q），不等式S P+S q＞kS p+q恒成立，∴．则实数k的取值范围为．故答案为：．二、解答题15．设△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且bcosA=asinB．（1）求角A的大小；（2）若a=1，求△ABC面积的最大值．【考点】HP：正弦定理．【分析】（1）根据正弦定理化简可得sinAsinB=sinBcosA，结合sinB≠0，可求tanA，由范围0＜A＜π，可求A的值．（2）由已知利用余弦定理，基本不等式可求bc≤2，进而利用三角形面积公式即可计算得解．【解答】解：（1）在△ABC中，∵ asinB=bcosA．由正弦定理，得： sinAsinB=sinBcosA，∵0＜B＜π，sinB≠0．∴sinA=cosA，即tanA=．∵0＜A＜π，∴A=．（2）∵由a=1，A=，∴由余弦定理，1=b2+c2﹣bc≥2bc﹣bc，得：bc≤2，当且仅当b=c等号成立，∴△ABC的面积S=bcsinA≤（2+）×=，即△ABC面积的最大值为．16．如图所示，在正三棱柱ABC﹣A1B1C1中，点D在边BC上，AD⊥C1D．（1）求证：平面ADC1⊥平面BCC1B1；（2）如果点E是B1C1的中点，求证：AE∥平面ADC1．【考点】LY：平面与平面垂直的判定；LS：直线与平面平行的判定．【分析】（1）推导出AD⊥C1D，从而CC1⊥平面ABC，进而AD⊥CC1，由此能证明AD⊥平面BCC1B1．即平面ADC1⊥平面BCC1B1（2）由AD⊥BC，得D是BC中点，连结ED，得四边形AA1DE是平行四边形，由此能证明A1E ∥平面ADC1．【解答】证明：（1）∵在正三棱柱ABC﹣A1B1C1中，点D在边BC上，AD⊥C1D，∴CC1⊥平面ABC，又AD⊂平面ABC，∴AD⊥CC1，又C1D∩CC1=C1，∴AD⊥平面BCC1B1．AD⊂面ADC1，∴平面ADC1⊥平面BCC1B1（2）∵AD⊥平面BCC1B1，∴AD⊥BC，∵在正三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AB=BC=AC，∴D是BC中点，连结ED，∵点E是C1B1的中点，∴AA1∥DE且AA1=DE，∴四边形AA1DE是平行四边形，∴A1E∥AD，又A1E⊄面ADC1，AD⊂平面ADC1．∴A1E∥平面ADC1．三、解答题17．已知数列{a n}满足a n+1=λa n+2n（n∈N*，λ∈R），且a1=2．（1）若λ=1，求数列{a n}的通项公式；（2）若λ=2，证明数列{}是等差数列，并求数列{a n}的前n项和S n．【考点】8H：数列递推式；8E：数列的求和．【分析】（1）当λ=1时，，由此利用累加法能求出数列{a n}的通项公式．（2）当λ=2时， =，再由，能证明数列{}是首项为1，公差为的等差数列，从而a n=（）•2n=（n+1）•2n﹣1，由此利用错位相减法能出数列{a n}的前n项和．【解答】解：（1）当λ=1时，a n+1=a n+2n（n∈N*），且a1=2．∴，∴a n=a1+a2﹣a1+a3﹣a2+…+a n﹣a n﹣1=2+2+22+…+2n﹣1=2+=2n．证明：（2）当λ=2时，a n+1=2a n+2n（n∈N*），且a1=2．∴，即=，∵，∴数列{}是首项为1，公差为的等差数列，∴=，∴a n=（）•2n=（n+1）•2n﹣1，∴数列{a n}的前n项和：S n=2•20+3•2+4•22+…+（n+1）•2n﹣1，①2S n=2•2+3•22+4•23+…+（n+1）•2n，②②﹣①，得：S n=（n+1）•2n﹣2﹣（2+22+23+…+2n﹣1）=（n+1）•2n﹣2﹣=（n+1）•2n﹣2﹣2n+2=n•2n．18．已知三条直线l1：ax﹣y+a=0，l2：x+ay﹣a（a+1）=0，l3：（a+1）x﹣y+a+1=0，a＞0．（1）证明：这三条直线共有三个不同的交点；（2）求这三条直线围成的三角形的面积的最大值．【考点】IM：两条直线的交点坐标．【分析】（1）分别求出直线l1与l3的交点A、l1与l2的交点B和l2与l3的交点C，且判断三点的坐标各不相同即可；（2）根据题意画出图形，由AB⊥BC知点B在以AC为直径的半圆上，除A、C点外；由此求出△ABC的面积最大值．【解答】解：（1）证明：直线l1：ax﹣y+a=0恒过定点A（﹣1，0），直线l3：（a+1）x﹣y+a+1=0恒过定点A（﹣1，0），∴直线l1与l3交于点A；又直线l2：x+ay﹣a（a+1）=0不过定点A，且l1与l2垂直，必相交，设交点为B，则B（，）；l2与l3相交，交点为C（0，a+1）；∵a＞0，∴三点A、B、C的坐标不相同，即这三条直线共有三个不同的交点；（2）根据题意，画出图形如图所示；AB⊥BC，∴点B在以AC为直径的半圆上，除A、C点外；则△ABC的面积最大值为S=•|AC|•|AC|=×（1+（a+1）2）=a2+a+．19．如图是市儿童乐园里一块平行四边形草地ABCD，乐园管理处准备过线段AB上一点E设计一条直线EF（点F在边BC或CD上，不计路的宽度），将该草地分为面积之比为2：1的左、右两部分，分别种植不同的花卉．经测量得AB=18m，BC=10m，∠ABC=120°．设EB=x，EF=y（单位：m）．（1）当点F与C重合时，试确定点E的位置；（2）求y关于x的函数关系式；（3）请确定点E、F的位置，使直路EF长度最短．【考点】5C：根据实际问题选择函数类型．【分析】（1）根据面积公式列方程求出BE；（2）对F的位置进行讨论，利用余弦定理求出y关于x的解析式；（3）分两种情况求出y的最小值，从而得出y的最小值，得出E，F的位置．【解答】解：（1）∵S△BCE=，S ABCD=2×，∴==，∴BE=AB=12．即E为AB靠近A的三点分点．（2）S ABCD=18×10×sin120°=90，当0≤x＜12时，F在CD上，∴S EBCF=（x+CF）BCsin60°=90，解得CF=12﹣x，∴y==2，当12≤x≤18时，F在BC上，∴S△BEF==，解得BF=，∴y==，综上，y=．（3）当0≤x＜12时，y=2=2≥5，当12≤x≤18时，y=＞＞5，∴当x=，CF=时，直线EF最短，最短距离为5．20．已知数列{a n}满足对任意的n∈N*，都有a13+a23+…+a n3=（a1+a2+…+a n）2且a n＞0．（1）求a1，a2的值；（2）求数列{a n}的通项公式；（3）若b n=，记S n=，如果S n＜对任意的n∈N*恒成立，求正整数m的最小值．【考点】8E：数列的求和．【分析】（1）由题设条件知a1=1．当n=2时，有a13+a23=（a1+a2）2，由此可知a2=2．（2）由题意知，a n+13=（a1+a2++a n+a n+1）2﹣（a1+a2++a n）2，由于a n＞0，所以a n+12=2（a1+a2++a n）+a n+1．同样有a n2=2（a1+a2++a n﹣1）+a n（n≥2），由此得a n+12﹣a n2=a n+1+a n．所以a n+1﹣a n=1．所以数列{a n}是首项为1，公差为1的等差数列，由通项公式即可得到所求．（3）求得b n===2[﹣]，运用数列的求和方法：裂项相消求和，可得S n，结合不等式的性质，恒成立思想可得m≥，进而得到所求最小值．【解答】解：（1）当n=1时，有a13=a12，由于a n＞0，所以a1=1．当n=2时，有a13+a23=（a1+a2）2，将a1=1代入上式，可得a22﹣a2﹣2=0，由于a n＞0，所以a2=2．（2）由于a13+a23+…+a n3=（a1+a2+…+a n）2，①则有a13+a23+…+a n3+a n+13=（a1+a2+…+a n+a n+1）2．②②﹣①，得a n+13=（a1+a2+…+a n+a n+1）2﹣（a1+a2+…+a n）2，由于a n＞0，所以a n+12=2（a1+a2+…+a n）+a n+1．③同样有a n2=2（a1+a2+…+a n﹣1）+a n（n≥2），④③﹣④，得a n+12﹣a n2=a n+1+a n．所以a n+1﹣a n=1．由于a2﹣a1=1，即当n≥1时都有a n+1﹣a n=1，所以数列{a n}是首项为1，公差为1的等差数列．故a n=n．（3）b n===2[﹣]，则S n=2[﹣+﹣+﹣+﹣+…+﹣+﹣]=2[+﹣﹣]＜2×=，S n＜对任意的n∈N*恒成立，可得≥，即有m≥，可得正整数m的最小值为4．2017年7月28日。

江苏省苏州市2019-2020学年高一下学期期末数学试卷 (含解析)

江苏省苏州市2019-2020学年高一第二学期期末考试数学试卷一、选择题（共8小题）.1．已知圆锥的底面半径为4，母线长为5，则该圆锥的侧面积为（）A．16πB．20πC．36πD．40π2．苏州市6月1日起正式实施的《生活垃圾分类管理条例》将城市生活垃圾分为“可回收物”、“有害垃圾”、“厨余垃圾”和“其他垃圾”四大类．某社区为了分析不同年龄段的人群对垃圾分类知识的了解情况，对辖区内的居民进行分层抽样调查．已知该社区的青年人、中年人和老年人分别有800人、900人、700人，若在老年人中的抽样人数是35，则在青年人中的抽样人数是（）A．20 B．40 C．60 D．803．从1，2，3，4，5这五个数中任取两个数，则这两个数之和等于5的概率为（）A．B．C．D．4．在同一平面直角坐标系中，两直线﹣＝1与﹣＝1的图象可能是（）A．B．C．D．5．围棋盒子中有若干粒黑子和白子，从中任意取出2粒，2粒都是黑子的概率为，都是白子的概率为，则取出的2粒颜色不同的概率为（）A．B．C．D．6．如图，在平行六面体ABCD﹣A1B1C1D1中，点E是棱BB1上靠近B的三等分点，点F是棱CC1的中点，且三棱锥A1﹣AEF的体积为2，则平行六面体ABCD﹣A1B1C1D1的体积为（）A．8 B．12 C．18 D．207．已知在锐角△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，B＝60°，且△ABC的面积为，则b的取值范围是（）A．[2，）B．[，）C．[2，6）D．[4，6）8．在平面直角坐标系xOy中，两圆O1，O2均过点（3，0），它们的圆心分别为（x1，0），（x2，0），满足+＝，若两圆与y轴正半轴分别交于（0，y1），（0，y2），则y1y2的值为（）A．2 B．6C．9 D．与x1，x2的取值有关二、多项选择题：本大题共4小题，每小题5分，共计20分．每小题给出的四个选项中，都有多个选项是正确的，全部选对的得5分，选对但不全的得3分，选错或不答的得0分．请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上．9．某地区农村经过三年的乡村振兴建设，农村的经济收入增加了一倍．为更好地了解该地区农村的经济收入变化情况，统计了该地区实施乡村振兴建设前后农村的经济收入构成比例，得到如图饼图：则下面结论中正确的有（）A．乡村振兴建设后，种植收入减少B．乡村振兴建设后，其他收入增加了一倍以上C．乡村振兴建设后，养殖收入增加了一倍D．乡村振兴建设后，养殖收入与第三产业收入的总和超过了经济收入的一半10．已知函数f（x）＝sin（2x+）在区间[﹣a，0]上单调递增，则实数a的可能值为（）A．B．C．D．11．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c．已知b＝2，∠B＝，若添加下列条件来解三角形，则其中三角形只有一解的是（）A．c＝3 B．c＝C．c＝4 D．c＝12．如图，点E是正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱DD1的中点，点M在线段BD1上运动，则下列结论正确的是（）A．直线AD与直线C1M始终是异面直线B．存在点M，使得B1M⊥AEC．四面体EMAC的体积为定值D．当D1M＝2MB时，平面EAC⊥平面MAC三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共计20分．请把答案填写在答题卡相应位置上．13．为抗击新型冠状病毒，普及防护知识，某校开展了“疫情防护”网络知识竞赛活动．现从参加该活动的学生中随机抽取了100名学生，将他们的比赛成绩（满分为100分）分为5组：[50，60），[60，70），[70，80），[80，90），[90，100]，得到如图所示的频率分布直方图，则该100名学生中成绩在80分（含80分）以上的人数为．14．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若a＝3，b＝2，cos C＝，则△ABC的面积为．15．已知A，B两点分别在两条互相垂直的直线2x﹣y＝0和x+ay＝5上，且线段AB的中点为P（0，5），则|AB|＝．16．已知在球O的内接长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AB＝AA1＝2，AD＝3，则球O的表面积为，若P为线段AD的中点，则过点P的平面截球O所得截面面积的最小值为．四、解答题：本大题共6小题，共计70分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．如图，在斜三棱柱ABC﹣A1B1C1中，已知AB⊥AC，M，N分别为BC，AC的中点，侧面A1ACC1是菱形，∠A1AC＝60°．（1）求证：AB∥平面A1MN；（2）求证：平面A1ACC1⊥平面A1MN．18．已知圆C经过两点P（1，﹣1），Q（﹣1，1），且圆心C在直线x+y﹣2＝0上．（1）求圆C的方程；（2）过点M（0，3）的直线l与圆C相交于A，B两点，且|AB|＝2，求直线l的方程．19．随着我国中医学的发展，药用昆虫的需求愈来愈多，每年春暖花开后，昆虫大量繁殖．研究发现某类药用昆虫的个体产卵数y（单位：个）与温度x（单位：℃）有关，科研人员随机挑选了3月份中的5天进行研究，收集了5组观测数据如表：温度x/℃9 11 13 12 8产卵数y/个23 25 30 26 20科研人员确定的研究方案是：先用前三组数据建立y关于x的线性回归方程，再用后两组数据进行检验．（1）求y关于x的线性回归方程；（2）若由线性回归方程得到后两组的估计数据与实际观测数据的误差均不超过2个，则认为线性回归方程是可靠的，试问（1）中所得的线性回归方程是否可靠？（附：回归直线的斜率和截距的公式分别为＝，＝﹣．）20．在①b cos A﹣c＝0，②a cos B＝b cos A，③a cos C+b＝0这三个条件中选择符合题意的一个条件，补充在下面的问题中，并求解．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知b＝，c＝4，满足____．（1）请写出你的选择，并求出角A的值；（2）在（1）的结论下，已知点D在线段BC上，且∠ADB＝，求CD长．21．如图所示，等边三角形ABC的边长为3，点D，E分别是边AB，AC上的点，满足AD ＝1，DE⊥AB．将△ADE沿DE折起到△A1DE的位置，使二面角A1﹣DE﹣B为直二面角，连接A1B，A1C．（1）求二面角C﹣A1B﹣D的余弦值；（2）线段A1E上是否存在点P，使得直线CP与平面A1BC所成的角为60°？若存在，求出A1P的长；若不存在，请说明理由．22．如图，点P（x0，y0）是圆O：x2+y2＝9上一动点，过点P作圆O的切线l与圆O1：（x ﹣a）2+（y﹣4）2＝100（a＞0）交于A，B两点，已知当直线l过圆心O1时，|O1P|＝4．（1）求a的值；（2）当线段AB最短时，求直线l的方程；（3）问：满足条件＝的点P有几个？请说明理由．江苏省苏州市2019-2020学年高一第二学期期末考试数学试卷参考答案一、单项选择题（共8小题）.1．已知圆锥的底面半径为4，母线长为5，则该圆锥的侧面积为（）A．16πB．20πC．36πD．40π【分析】根据圆锥的侧面积公式计算即可．解：由圆锥的底面半径为4，母线长为5，则圆锥的侧面积为S侧＝π×4×5＝20π．故选：B．2．苏州市6月1日起正式实施的《生活垃圾分类管理条例》将城市生活垃圾分为“可回收物”、“有害垃圾”、“厨余垃圾”和“其他垃圾”四大类．某社区为了分析不同年龄段的人群对垃圾分类知识的了解情况，对辖区内的居民进行分层抽样调查．已知该社区的青年人、中年人和老年人分别有800人、900人、700人，若在老年人中的抽样人数是35，则在青年人中的抽样人数是（）A．20 B．40 C．60 D．80【分析】根据老年人抽取的人数计算抽取比例，再根据这个比例求青年人中需抽取的人数．解：由题可知抽取的比例为k＝＝，故青年人应该抽取人数为N＝800×＝40．故选：B．3．从1，2，3，4，5这五个数中任取两个数，则这两个数之和等于5的概率为（）A．B．C．D．【分析】基本事件总数n＝＝10．利用列举法求出这两个数之和等于5包含的基本事件有2个，由此能求出这两个数之和等于5的概率．解：从1，2，3，4，5这五个数中任取两个数，基本事件总数n＝＝10．这两个数之和等于5包含的基本事件有：（1，4），（2，3），共2个，则这两个数之和等于5的概率为p＝．故选：C．4．在同一平面直角坐标系中，两直线﹣＝1与﹣＝1的图象可能是（）A．B．C．D．【分析】根据直线方程的截距式可知，直线﹣＝1在两坐标轴上的截距分别为m，﹣n；直线﹣＝1在两坐标轴上的截距分别为n，﹣m，然后结合选项，对m和n的正负性进行分析即可作出判断．解：直线﹣＝1在两坐标轴上的截距分别为m，﹣n；直线﹣＝1在两坐标轴上的截距分别为n，﹣m．对于A，一条直线的两截距均为正（不妨取m＞0，﹣n＞0，则n＜0），而另一条直线的两截距一正一负（即n＞0，﹣m＜0，则m＞0），在n的取值上互相矛盾；对于B，一条直线的两截距均为负（不妨取m＜0，﹣n＜0，则n＞0），而另一条直线的两截距一正一负（即n＞0，﹣m＜0，则m＞0），在m的取值上互相矛盾；对于C，一条直线的两截距均为负（不妨取m＜0，﹣n＜0，则n＞0），而另一条直线的两截距一负一正（即n＜0，﹣m＞0，则m＜0），在n的取值上互相矛盾；对于D，一条直线的两截距均为正（不妨取m＞0，﹣n＞0，则n＜0），而另一条直线的两截距均为负（即n＜0，﹣m＜0，则m＞0），符合．故选：D．5．围棋盒子中有若干粒黑子和白子，从中任意取出2粒，2粒都是黑子的概率为，都是白子的概率为，则取出的2粒颜色不同的概率为（）A．B．C．D．【分析】先求出从中取出的2粒是同一种颜色的概率，由此能求出取出的2粒颜色不同的概率．解：这个问题，取出同是黑子的概率是，同是白子的概率是，∴从中取出的2粒是同一种颜色的概率是P1＝＝，∴取出的2粒颜色不同的概率P＝1﹣＝．故选：D．6．如图，在平行六面体ABCD﹣A1B1C1D1中，点E是棱BB1上靠近B的三等分点，点F是棱CC1的中点，且三棱锥A1﹣AEF的体积为2，则平行六面体ABCD﹣A1B1C1D1的体积为（）A．8 B．12 C．18 D．20【分析】设四边形ABB1A1的面积为S，平面ABB1A1与平面DCC1D1的距离为d，由已知三棱锥A1﹣AEF的体积为2可得Sd的值，即平行六面体ABCD﹣A1B1C1D1的体积．解：设平行四边形ABB1A1的面积为S，平面ABB1A1与平面DCC1D1的距离为d，则△AA1E的面积为S，∵＝×S×d＝2，∴Sd＝12，则．故选：B．7．已知在锐角△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，B＝60°，且△ABC的面积为，则b的取值范围是（）A．[2，）B．[，）C．[2，6）D．[4，6）【分析】由已知利用三角形的面积公式可求ac＝4，再由正弦定理可得b＝＝，可得b2＝，对于sin A sin（120°﹣A）化简整理可得sin （2A﹣30°）+，再根据三角函数的性质即可求出．解：∵B＝60°，△ABC的面积等于＝ac sin B＝ac，解得：ac＝4，∴A+C＝120°，∵△ABC为锐角三角形，∴30°＜A＜90°，由正弦定理可得＝＝，∴b＝＝，∴b2＝＝，由sin A sin（120°﹣A）＝sin A（cos A+sin A）＝sin A cos A+sin2A＝sin2A+＝（sin2A﹣cos2A）+＝sin（2A﹣30°）+，∵30°＜A＜90°，∴30°＜2A﹣30°＜150°，∴＜sin（2A﹣30°）≤1，∴＜sin（2A﹣30°）+≤∴4≤＜6，∴4≤b2＜6，∴2≤b＜故选：A．8．在平面直角坐标系xOy中，两圆O1，O2均过点（3，0），它们的圆心分别为（x1，0），（x2，0），满足+＝，若两圆与y轴正半轴分别交于（0，y1），（0，y2），则y1y2的值为（）A．2 B．6C．9 D．与x1，x2的取值有关【分析】根据圆上两点列方程，用x1，x2表示出y1，y2，再根据x1，x2的关系计算（y1y2）2即可得出答案．解：因为（3，0）和（0，y1）在圆O1上，O1（x1，0），∴|3﹣x1|＝，化简可得：y12＝9﹣6x1，同理可得：y22＝9﹣6x2，∴（y1y2）2＝（9﹣6x1）（9﹣6x2）＝81﹣54（x1+x2）+36x1x2，∵+＝＝，∴x1+x2＝x1x2，∴81﹣54（x1+x2）+36x1x2＝81，又y1＞0，y2＞0，∴y1y2＝9．故选：C．二、多项选择题：本大题共4小题，每小题5分，共计20分．每小题给出的四个选项中，都有多个选项是正确的，全部选对的得5分，选对但不全的得3分，选错或不答的得0分．请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上．9．某地区农村经过三年的乡村振兴建设，农村的经济收入增加了一倍．为更好地了解该地区农村的经济收入变化情况，统计了该地区实施乡村振兴建设前后农村的经济收入构成比例，得到如图饼图：则下面结论中正确的有（）A．乡村振兴建设后，种植收入减少B．乡村振兴建设后，其他收入增加了一倍以上C．乡村振兴建设后，养殖收入增加了一倍D．乡村振兴建设后，养殖收入与第三产业收入的总和超过了经济收入的一半【分析】根据某地区农村经过三年的乡村振兴建设，农村的经济收入增加了一倍，利用饼图的性质直接求解．解：对于A，设乡村振兴经济计划前农村经济收入为a，则经过三年的乡村振兴建设，农村的经济收入为2a，∴乡村振兴经济计划前种植收入为a×60%＝0.6a，经过三年的乡村振兴建设种植收入为2a×37%＝0.74a，∴乡村振兴建设后，种植收入增加，故A错误；对于B，乡村振兴经济计划前其它收入为a×4%＝0.04a，经过三年的乡村振兴建设其它收入为2a×5%＝0.1a，∴乡村振兴建设后，其他收入增加了一倍以上，故B正确；对于C，乡村振兴经济计划前养殖收入为a×30%＝0.3a，经过三年的乡村振兴建设养殖收入为2a×30%＝0.6a，∴乡村振兴建设后，养殖收入增加了一倍，故C正确；对于D，乡村振兴建设后，养殖收入与第三产业收入的总和所占比例为：30%+28%＝58%，超过了经济收入的一半，故D正确．故选：BCD．10．已知函数f（x）＝sin（2x+）在区间[﹣a，0]上单调递增，则实数a的可能值为（）A．B．C．D．【分析】求出复合函数的单调增区间，取k＝0，可得f（x）在[﹣，]上单调递增，再由函数f（x）＝sin（2x+）在区间[﹣a，0]上单调递增求得a的范围得答案．解：由，k∈Z，得，k∈Z．取k＝0，可得f（x）在[﹣，]上单调递增，又函数f（x）＝sin（2x+）在区间[﹣a，0]上单调递增，∴，即0＜a≤．∴实数a的可能值为，．故选：AB．11．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c．已知b＝2，∠B＝，若添加下列条件来解三角形，则其中三角形只有一解的是（）A．c＝3 B．c＝C．c＝4 D．c＝【分析】由B的度数求出sin B的值，再由b的值，利用正弦定理得出c与sin C的关系式，同时由B的度数求出A+C的度数，再根据三角形只有一解，可得C只有一个值，根据正弦函数的图象与性质得到C的范围，且当C为直角时，也满足题意，进而由C的范围，求出正弦函数的值域，根据c与sin C的关系式，由正弦函数的值域即可可得出c的范围解：∵B＝，b＝2，根据正弦定理得：＝＝＝4，∴c＝4sin C，又A+C＝π﹣＝，且三角形只一解，可得C有一个值，∴0＜C≤，又C＝90°时，三角形也只有一解，∴0＜sin C≤，或sin C＝1，又c＝4sin C，∴c的取值范围为（0，2]∪{4}故选：AC．12．如图，点E是正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱DD1的中点，点M在线段BD1上运动，则下列结论正确的是（）A．直线AD与直线C1M始终是异面直线B．存在点M，使得B1M⊥AEC．四面体EMAC的体积为定值D．当D1M＝2MB时，平面EAC⊥平面MAC【分析】当M为BD1的中点时可知A错误，证明BD1∥平面EAC可知C正确；建立空间坐标系，利用向量判断BD即可．解：（1）当M为BD1的中点时，直线AD与直线C1M是相交直线，交点为A，故A错误；（2）以D为原点，以DA，DC，DD1为坐标轴建立空间坐标系D﹣xyz，设正方体棱长为1，则A（1，0，0），E（0，0，），B（1，1，0），D1（0，0，1），B1（1，1，1），∴＝（﹣1，0，），＝（0，0，﹣1），＝（﹣1，﹣1，1）．＝λ（0≤λ≤1），则＝+＝（﹣λ，﹣λ，λ﹣1），若B1M⊥AE，则•＝0，即λ+（λ﹣1）＝0，解得λ＝，∴当M为线段BD1的靠近B的三等分点时，B1M⊥AE，故B正确；（3）连接BD，取BD的中点O，连接EO，则O也是AC的中点，由中位线定理可知BD1∥EO，∴BD1∥平面ACE，故V E﹣MAC＝V M﹣ACE＝V B﹣ACE，故C正确；（4）∵AC⊥BD，AC⊥DD1，BD∩DD1＝D，∴AC⊥平面BDD1，∴AC⊥OE，AC⊥OM，故∠EOM为二面角E﹣AC﹣M的平面角，当D1M＝2BM时，M（，，），又O（，，0），∴＝（，，），＝（﹣，﹣，），∴＝﹣﹣+＝0，∴OE⊥MO，故平面EAC⊥平面MAC，故D正确．故选：BCD．三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共计20分．请把答案填写在答题卡相应位置上．13．为抗击新型冠状病毒，普及防护知识，某校开展了“疫情防护”网络知识竞赛活动．现从参加该活动的学生中随机抽取了100名学生，将他们的比赛成绩（满分为100分）分为5组：[50，60），[60，70），[70，80），[80，90），[90，100]，得到如图所示的频率分布直方图，则该100名学生中成绩在80分（含80分）以上的人数为40．【分析】由频率分布直方图先求出该100名学生中成绩在80分（含80分）以上的频率，由此能求出该100名学生中成绩在80分（含80分）以上的人数．解：由频率分布直方图得：该100名学生中成绩在80分（含80分）以上的频率为：1﹣（0.005+0.020+0.035）×10＝0.4，则该100名学生中成绩在80分（含80分）以上的人数为：100×0.4＝40．故答案为：40．14．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若a＝3，b＝2，cos C＝，则△ABC的面积为2．【分析】根据三角形内角的范围，利用同角三角函数的关系算出sin C的值，再由三角形的面积公式加以计算，可得△ABC的面积．解：∵cos C＝，∴C∈（0，π），可得sin C＝＝，∴S△ABC＝ab sin C＝×3×2×＝2，故答案为：2．15．已知A，B两点分别在两条互相垂直的直线2x﹣y＝0和x+ay＝5上，且线段AB的中点为P（0，5），则|AB|＝2．【分析】由两直线互相垂直可得a＝2，AB为直角三角形AOB的斜边，直角三角形斜边的中线PO的长为斜边AB的一半，且|PO|＝5，由此能求出|AB|．解：由已知两直线互相垂直可得：2×1+（﹣1）×a＝0，解得a＝2，∵线段AB中点为P（0，5），且AB为直角三角形AOB的斜边，联立，得O（1，2），∴|OP|＝＝，直角三角形斜边的中线PO的长为斜边AB的一半，且|PO|＝，∴|AB|＝2|PO|＝2，故答案为：2．16．已知在球O的内接长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AB＝AA1＝2，AD＝3，则球O的表面积为17π，若P为线段AD的中点，则过点P的平面截球O所得截面面积的最小值为．【分析】设球O半径为R，然后求出R，再求出球O的表面积；先求出OP＝，根据条件可知，当过点P的平面截球O所得截面面积最小时，截面圆半径r＝，然后求出最小值．解：在球O的内接长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AB＝AA1＝2，AD＝3，设球O半径为R，则R＝＝，∴球O的表面积为S＝4πR2＝4π×（）2＝17π．∵P为线段AD的中点，∴OP＝＝，当过点P的平面截球O所得截面面积最小时，截面圆半径r＝＝＝，∴过点P的平面截球O所得截面面积的最小值为：S截面min＝＝．故答案为：17π；．四、解答题：本大题共6小题，共计70分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．如图，在斜三棱柱ABC﹣A1B1C1中，已知AB⊥AC，M，N分别为BC，AC的中点，侧面A1ACC1是菱形，∠A1AC＝60°．（1）求证：AB∥平面A1MN；（2）求证：平面A1ACC1⊥平面A1MN．【分析】（1）由已知结合三角形中位线定理可得MN∥AB，再由直线与平面平行的判定得AB∥平面A1MN；（2）由已知证明A1N⊥AC，再由AB⊥AC，MN∥AB，可得MN⊥AC，利用直线与平面垂直的判定可得AC⊥平面A1NM，从而得到平面A1ACC1⊥平面A1MN．【解答】证明：（1）∵M，N分别为BC，AC的中点，∴MN是三角形ABC的中位线，可得MN∥AB，∵MN⊂平面A1MN，AB⊄平面A1MN，∴AB∥平面A1MN；（2）连接A1C，∵A1ACC1是菱形，∠A1AC＝60°，∴△A1AC是等边三角形，又N是AC的中点，∴A1N⊥AC，∵AB⊥AC，又由（1）知MN∥AB，∴MN⊥AC，而MN∩A1N＝N，∴AC⊥平面A1NM，而AC⊂平面A1ACC1，∴平面A1ACC1⊥平面A1MN．18．已知圆C经过两点P（1，﹣1），Q（﹣1，1），且圆心C在直线x+y﹣2＝0上．（1）求圆C的方程；（2）过点M（0，3）的直线l与圆C相交于A，B两点，且|AB|＝2，求直线l的方程．【分析】（1）由题意设圆心C的坐标，再由圆C经过两点P，Q可得|PC|＝|QC|，可得圆心及半径的值，进而求出圆的方程；（2）分直线AB的斜率存在和不存在两种情况设直线AB的方程，求出圆心到直线AB 的距离d，由d2＝r2﹣（）2，可得直线AB的方程．解：（1）因为圆心C在直线x+y﹣2＝0上所以设圆心C的坐标（a，2﹣a），半径r＝，因为圆C经过两点P（1，﹣1），Q（﹣1，1），所以|PC|＝|QC|，即（a﹣1）2+（3﹣a）2＝（a+1）2+（1﹣a）2，解得a＝1，所以圆心C（1，1），r＝2，所以圆C的方程为：（x﹣1）2+（y﹣1）2＝4；（2）由（1）可得圆心C（1，1），r＝2，①当直线AB的斜率不存在时，及直线AB的方程为：x＝0，可得圆心C到直线AB的距离为d＝1，弦长|AB|＝2＝2＝2符合条件；②当直线AB的斜率存在时，设直线AB的方程为y＝kx+3，即kx﹣y+3＝0，可得圆心C到直线AB的距离为d＝，因为|AB|＝2，而d2＝r2﹣（）2，即（）2＝4﹣3＝1，解得：k＝﹣，综上所述：直线AB的方程为：x＝0或y＝﹣x+3．19．随着我国中医学的发展，药用昆虫的需求愈来愈多，每年春暖花开后，昆虫大量繁殖．研究发现某类药用昆虫的个体产卵数y（单位：个）与温度x（单位：℃）有关，科研人员随机挑选了3月份中的5天进行研究，收集了5组观测数据如表：温度x/℃9 11 13 12 8产卵数y/个23 25 30 26 20科研人员确定的研究方案是：先用前三组数据建立y关于x的线性回归方程，再用后两组数据进行检验．（1）求y关于x的线性回归方程；（2）若由线性回归方程得到后两组的估计数据与实际观测数据的误差均不超过2个，则认为线性回归方程是可靠的，试问（1）中所得的线性回归方程是否可靠？（附：回归直线的斜率和截距的公式分别为＝，＝﹣．）【分析】（1）由已知数据求出与的值，可得y关于x的线性回归方程；（2）在（1）中求得的线性回归方程中，分别取x＝12与8，求得y值，再与实际观测数据作差取绝对值，与2比较大小得结论．解：（1），，＝＝，＝﹣＝26﹣1.75×11＝6.75．∴y关于x的线性回归方程为；（2）当x＝12时，＝27.75，|27.75﹣26|＝1.75＜2．当x＝8时，，|20.75﹣20|＝0.75＜2．∴（1）中所得的线性回归方程是可靠的．20．在①b cos A﹣c＝0，②a cos B＝b cos A，③a cos C+b＝0这三个条件中选择符合题意的一个条件，补充在下面的问题中，并求解．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知b＝，c＝4，满足____．（1）请写出你的选择，并求出角A的值；（2）在（1）的结论下，已知点D在线段BC上，且∠ADB＝，求CD长．【分析】（1）依次代入条件①②③，可得①②不成立，故只能选③；（2）由（1）结论再结合余弦定理可得cos C，进而得到sin C，结合两角和差公式得到sin ∠CAD，利用正弦定理得到CD．解：（1）若选条件①，则有cos A＝＝＝2＞1，不合题意；若选条件②，由余弦定理可得a•＝b•，整理得a＝b，又因为此时a+b＝2＜4，不符合题意；若选条件③，由余弦定理可得a•+b＝0，即a2+3b2﹣c2＝0，所以a2＝c2﹣3b2＝16﹣6＝10，则cos A＝＝＝，因为A∈（0，π），所以A＝；故（1）答案选：③；（2）由（1）的cos C＝＝＝﹣，因为c∈（0，π），则sin C＝＝，sin∠CAD＝sin（﹣C）＝sin cos C﹣cos sin C＝，在△ACD中，因为＝，则CD＝＝＝．21．如图所示，等边三角形ABC的边长为3，点D，E分别是边AB，AC上的点，满足AD ＝1，DE⊥AB．将△ADE沿DE折起到△A1DE的位置，使二面角A1﹣DE﹣B为直二面角，连接A1B，A1C．（1）求二面角C﹣A1B﹣D的余弦值；（2）线段A1E上是否存在点P，使得直线CP与平面A1BC所成的角为60°？若存在，求出A1P的长；若不存在，请说明理由．【分析】（1）由题易知，∠A1DB为二面角A1﹣DE﹣B的平面角，即∠A1DB＝90°，以D为原点，DB、DE和DA1分别为x、y和z轴建立空间直角坐标系，根据法向量的性质求出平面A1BC的法向量，由线面垂直的判定定理易证得DE⊥面A1BD，推出平面A1BD 的法向量为＝（0，1，0），然后根据空间向量数量积的坐标运算求出cos＜＞即可得解；（2）设线段A1E上存在点P（x，y，z）满足题意，且（λ∈[0，1]），根据空间向量的线性坐标运算可求得点P（0，λ，1﹣λ），从而得，由sin60°＝|cos ＜，＞|＝建立关于λ的方程，解之，若λ∈[0，1]，则存在点P符合，否则，不存在．解：（1）由题可知，BD⊥DE，A1D⊥DE，∵二面角A1﹣DE﹣B为直二面角，∴∠A1DB＝90°，即A1D⊥BD，以D为原点，DB、DE和DA1分别为x、y和z轴建立如图所示的空间直角坐标系，则D（0，0，0），B（2，0，0），C（，，0），A1（0，0，1），E（0，，0），∴＝（2，0，﹣1），＝（，，﹣1），设平面A1BC的法向量为＝（x，y，z），则，即，令x＝1，则y＝，z＝2，∴＝（1，，2），∵BD⊥DE，A1D⊥DE，且A1D、BD⊂面A1BD，A1D∩BD＝D，∴DE⊥面A1BD，∴平面A1BD的法向量为＝（0，1，0），∴cos＜＞＝＝，∵二面角C﹣A1B﹣D为锐二面角，故二面角C﹣A1B﹣D的余弦值为．（2）设线段A1E上存在点P（x，y，z）满足题意，且（λ∈[0，1]），则（x，y，z﹣1）＝λ（0，，﹣1），∴x＝0，y＝λ，z＝1﹣λ，即点P（0，λ，1﹣λ），∴＝（，，1﹣λ），由（1）知，平面A1BC的法向量为＝（1，，2），而CP与平面A1BC所成的角为60°∴sin60°＝|cos＜，＞|＝＝＝，解得λ＝或∉[0，1]，故不存在点P满足题意．22．如图，点P（x0，y0）是圆O：x2+y2＝9上一动点，过点P作圆O的切线l与圆O1：（x ﹣a）2+（y﹣4）2＝100（a＞0）交于A，B两点，已知当直线l过圆心O1时，|O1P|＝4．（1）求a的值；（2）当线段AB最短时，求直线l的方程；（3）问：满足条件＝的点P有几个？请说明理由．【分析】（1）依题意计算，可得结果；（2）解法1（代数法）：当圆心O1到直线l的距离d最大时，线段AB最短，再求出d 的最大值即可得结果；解法2（几何法）：当圆心O1到直线l的距离d最大时，线段AB最短，当且仅当O1，O，P三点共线时，d取得最大值，从而得解；（3）采用分类讨论，O1，O在直线AB同侧或异侧，假设|AP|＝t，可得d2+（2t）2＝100，并得t2＝|MP|2＝25﹣（d﹣3）2或t2＝|MP|2＝25﹣（d+3）2计算即可判断．解：（1）当直线l过圆心点O1时，，解得a＝3（负值舍去）．（2）解法1（代数法）：因为OP与圆O相切，所以直线l的方程为x0x+y0y＝9，且，所以圆心O1到直线l的距离，记z＝3x0+4y0，则直线3x0+4y0﹣z＝0 与圆有公共点，所以圆心（0，0）到直线3x+4y﹣z＝0 的距离，所以﹣15⩽z⩽15，所以当z＝﹣15 时，d max＝8，此时弦长|最短，由，解得，所以直线l的方程为3x+4y+15＝0．解法2（几何法）：如图，过O1作O1M⊥AB，则M为弦AB的中点，设d＝|O1M|，当|O1M|最长时，弦长|AB|最短，因为d⩽|O1P|⩽|OO1|+|OP|＝8，当且仅当O1，O，P三点共线时，取得最大值，此时OO1⊥AB，因为，所以直线OO1的方程为，由，解得（P点在第 3 象限）所以直线l的方程为3 x+4y+15＝0．（3）因为，所以设|AP|＝t，则|BP|＝3t（t＞0），所以|AB|＝4t，所以d2+（2t）2＝100 ①，（i）如图，当O1，O在直线AB同侧时，t2＝|MP|2＝25﹣（d﹣3）2②，由①②得d＝6 或d＝2，当d＝6 时，直线AB可看作是圆x2+y2＝9 与圆（x﹣3）2+（y﹣4）2＝36 的公切线，此时两圆相交，公切线有两条，所以满足条件的点P有2个，d＝2 时，直线AB可看作是圆x2+y2＝9 与圆（x﹣3）2+（y﹣4）2＝4 的公切线，此时两圆相外切，外公切线有两条，所以满足条件的点P有2个，（ii）如图，当O1，O在直线AB异侧时，t2＝|MP|2＝25﹣（d+3）2，③由①③可得d＝﹣6 或d＝﹣2（舍），满足条件的P点不存在，综上，满足条件的点P共有4个．附：当d＝6 时，即|3x0+4y0﹣9|＝18，由，解得P（﹣3，0）或，当d＝2 时，即|3x0+4y0﹣9|＝6，由，解得或或舍去）．。

江苏省南京市高一下学期期末考试数学含答案

南京市2016-2017学年度第二学期期末学情调研测试卷高一数学2017．06注意事项：1．本试卷共4页，包括填空题（第1题~第14题）、解答题(第15题~第20题)两部分．本试卷满分160分，考试时间120分钟．2．答题前，考生务必将自己的学校、姓名和考试号填涂在答题卡上指定的位置．3．答题时,必须用黑色字迹的0.5毫米签字笔写在答题卡上指定的位置，在其他位置作答一律无效．4．本卷考试结束后，上交答题卡．参考公式：锥体的体积公式：V锥体＝错误!Sh，其中S为锥体的底面积,h为锥体的高．一、填空题:本大题共14小题，每小题5分,共计70分．请把答案填上．．写在答题卡相应位置．．．．．．．1．直线y＝错误!x－2的倾斜角大小为▲．2．若数列{a n}满足a1＝1,且a n＋1＝2a n，n∈N*，则a6的值为▲．3．直线3x－4y－12＝0在x轴、y轴上的截距之和为▲．4．在△ABC中，若a＝错误!，b＝错误!，A＝120°，则B的大小为▲．5．不等式错误!＜0的解集为▲．P6．函数f（x）＝sin x－cos x的最大值为▲．7．若函数y＝x＋错误!,x∈(－2，＋∞),则该函数的最小值CDA为▲．8．如图,若正四棱锥P—ABCD的底面边长为2，斜高为5，则该正四棱锥的体积为▲．9．若sin（θ＋错误!）＝错误!,θ∈(错误!，错误!），则cosθ的值为▲．10．已知a，b,c是三条不同的直线，α,β，γ是三个不同的平面，那么下列命题中正确的序号．．．．．为▲．①若a⊥c，b⊥c,则a∥b；②若α⊥γ，β⊥γ，则α∥β；③若a⊥α，b⊥α，则a∥b；④若a⊥α,a⊥β，则α∥β．11．设等比数列{a n}的公比为q，前n项和为S n．若S3，S2，S4成等差数列，则实数q的值为▲．12．已知关于x的不等式（x－1)(x－2a)＞0(a∈R)的解集为A，集合B＝（2，3）．若B A，则a的取值范围为▲．13．已知数列{a n}满足a1＝1，且a n＋1－a n＝2错误!，n∈N*．若错误!＋19≤3n 对任意n∈N*都成立,则实数λ的取值范围为▲．14．若实数x，y满足x＞y＞0,且错误!＋错误!＝1，则x＋y的最小值为▲．二、解答题：本大题共6小题，共计90分．请在答题卡指定区域内．．．．．．．．作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15．（本小题满分14分）已知sin α＝35，α∈（错误!,π)．（1）求sin(错误!－α)的值；（2）求tan2α的值．16．（本小题满分14分）如图，直三棱柱ABC —A 1B 1C 1中，CA ＝CB ,M ，N ,P 分别为AB ，A 1C 1，BC 的中点．求证：（1）C 1P ∥平面MNC ；（2）平面MNC ⊥平面ABB 1A 1．B 1NBAA 1MC 1CP（第16题）已知三角形的顶点分别为A（－1,3)，B（3,2)，C（1，0）．（1）求BC边上高的长度；（2）若直线l过点C,且在l上不存在到A,B两点的距离相等的点，求直线l的方程．18．（本小题满分16分）如图,在圆内接△ABC中，A,B，C所对的边分别为a,b,c，满足a cos C ＋c cos A＝2b cos B．（1)求B的大小；（2）若点D是劣弧错误!上一点,AB＝3，BC＝2，AD＝1,求四边形ABCD的面积．AB DC（第18题）某商场在一部向下运行的手扶电梯终点的正上方竖直悬挂一幅广告画．如图，该电梯的高AB 为4米,它所占水平地面的长AC 为8米．该广告画最高点E 到地面的距离为10。

江苏省13市2024届高一数学第二学期期末学业水平测试试题含解析

江苏省13市2024届高一数学第二学期期末学业水平测试试题注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。

2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。

回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。

3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。

在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的1．下图是实现秦九韶算法的一个程序框图，若输入的5x =，2n =，依次输入的a 为2,2,5，则输出的s =（）A ．10B ．12C ．60D ．652．若实数满足，则的取值范围为（） A ．B ．C ．D ．3．已知两座灯塔A 和B 与海洋观察站C 的距离都等于5km ，灯塔A 在观察站C 的北偏东020，灯塔B 在观察站C 的南偏东040，则灯塔A 与灯塔B 的距离为（） A ．52kmB ．3kmC ．5kmD ．10km4．已知向量m ，n ，若1m =，22m n -=，则m n n -+的最大值为( ) A ．5B 10C ．4D ．55．已知向量(2,tan ),(1,1)a b θ==-，且//a b ，则tan()4πθ-=（）A ．2B ．3-C ．1-D ．13-6．已知函数()sin cos 6f x x x π⎛⎫=-+⎪⎝⎭在区间03π⎡⎤⎢⎥⎣⎦，上()f x a ≤恒成立，则实数a 的最小值是（） A ．32-B ．12-C ．12D ．327．如图，正四面体A BCD -，P 是棱CD 上的动点，设CP tCD =（()01t ∈，），分别记AP 与BC ，BD 所成角为α，β，则（）A ．αβ≥B ．αβ≤C ．当102t ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦，时，αβ≥D ．当102t ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦，时，αβ≤ 8．函数2sin cos y x x =+，当x ϕ=时函数取得最大值，则cos ϕ=（）A ．55B ．255C ．223D ．139．七巧板是古代中国劳动人民的发明，到了明代基本定型．清陆以湉在《冷庐杂识》中写道：近又有七巧图，其式五，其数七，其变化之式多至千余．如图，在七巧板拼成的正方形内任取一点，则该点取自图中阴影部分的概率是（）A ．116B ．18 C ．38D ．31610．已知数列{}n a 的前n 项和1nn S a =-（0a ≠），那么{}n a （）A ．一定是等差数列B ．一定是等比数列C ．或者是等差数列，或者是等比数列D ．既不可能是等差数列，也不可能是等比数列二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。

苏教版高一下学期数学期末试卷(含答案解析)

2020-2021学年江苏省苏州市高一(下)期末数学试卷

2020-2021学年江苏省苏州市高一（下）期末数学试卷一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共计40分．在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的，请把答案添涂在答题卡相应位置上）1．（5分）cos275°﹣sin275°的值为（）A．B．C．D．2．（5分）某工厂6名工人在一小时内生产零件的个数分别是11，12，13，15，15，18，设该组数据的平均数为a，中位数为b，则（）A．a＝14，b＝15B．a＝14，b＝14C．a＝14.5，b＝14D．a＝14.5，b＝153．（5分）已知一个圆锥的母线长为2，其侧面积为2π，则该圆锥的高为（）A．1B．C．D．24．（5分）已知i为虚数单位，1+i是关于x的方程x2+px+q＝0（p，q∈R）的一个根，则p+q ＝（）A．﹣2B．0C．2D．45．（5分）已知△ABC外接圆的圆心为O，且，，则向量在向量上的投影向量为（）A．B．C．D．6．（5分）我省高考从2021年开始实行“3+1+2”模式，“3”为全国统考科目语文、数学、外语，所有学生必考；“1”为首选科目，考生须在物理、历史两科中选择一科；“2”为再选科目，考生可在化学、生物、思想政治、地理4个科目中选择两科．高一学生小明和小亮正准备进行选科，假如他们首选科目都是物理，再选科目选择每个科目的可能性均相等，且选择互不影响，则他们的选科完全相同的概率为（）A．B．C．D．7．（5分）在《九章算术》中，将四个面都是直角三角形的四面体称为“鳖臑”．如图，在鳖臑A﹣BCD中，AB⊥平面BCD，BD⊥CD，AB＝BD＝CD，点P在棱AC上运动．设CP的长度为x，△PBD的面积为S，则S＝f（x）的大致图象是（）A．B．C．D．8．（5分）如图，某侦察飞机沿水平直线AC匀速飞行．在A处观测地面目标P，测得俯角∠BAP＝30°，飞行3分钟后到达B处，此时观测地面目标P，测得俯角∠ABP＝60°．又飞行一段时间后到达C处，此时观测地面目标P，测得俯角∠BCP的余弦值为，则该侦察飞机由B至C的飞行时间为（）A．2分钟B．2.25分钟C．2.5分钟D．2.75分钟二、多项选择题（本大题共4小题，每小题5分，共计20分．在每小题给出的四个选项中，至少有两个是符合题目要求的，请把答案添涂在答题卡相应位置上）9．（5分）设m，n是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，则下列命题正确的有（）A．若m∥n，m⊥α，则n⊥αB．若m⊥n，m∥α，则n⊥αC．若α∥β，m⊥α，则m⊥βD．若α⊥β，m⊥α，则m∥β10．（5分）已知i为虚数单位，复数z＝（a+i）（1﹣i）（a∈R），则下列命题正确的有（）A．若a＝1，则z为实数B．若a＝﹣1，则z为纯虚数C．若|z|＝2，则实数a的值为1D．复数z在复平面内对应的点不可能在第三象限11．（5分）在△ABC中，若a＝，b＝2，B＝30°，则△ABC的面积可能为（）A．B．C．D．12．（5分）如图，在棱长为4的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，M，N分别是A1D1，A1B1的中点，则（）A．A1C⊥平面AMNB．二面角A1﹣MN﹣A的正切值为C．三棱锥A1﹣AMN的内切球半径为D．过直线BD与平面AMN平行的平面截该正方体所得截面的面积为18三、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共计20分．请把答案填写在答题卡相应位置上）13．（5分）已知向量＝（﹣1，2），＝（x，﹣6），且，，若A，B，C三点共线，则实数x的值为．14．（5分）若复数z在复平面内对应的点在第一象限内，且R，则符合条件的一个复数为．15．（5分）若sin（α+）＝，则sin（）的值为．16．（5分）已知三棱锥S﹣ABC中，SA⊥平面ABC，AB＝BC＝CA＝2，异面直线SC与AB 所成角的余弦值为，则三棱锥S﹣ABC的体积为，三棱锥S ﹣ABC的外接球的表面积为．四、解答题（本大题共6小题，共计70分．请在答题卡指定区域内作答．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17．（10分）为了解某市家庭用电量的情况，该市统计局调查了100户居民去年一年的月均用电量，发现他们的用电量都在170kW•h至290kW•h之间，进行适当分组后，画出频率分布直方图如图所示．（1）求a的值；（2）为了既满足居民的基本用电需求，又提高能源的利用效率，市政府计划采用阶梯式递增电价（第一档电量满足居民基本用电需求，电价最低；第二档电量反应正常合理用电需求，电价较高；第三档电量体现较高生活质量用电需求，电价最高）定价，希望使不少于85%的居民缴费在第一档，求第一档月均用电量的最低标准值（单位：kW•h）．18．（12分）如图，四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1的底面ABCD是正方形，侧面CDD1C1是菱形，∠CDD1＝60°，平面CDD1C1⊥平面ABCD，E，F分别为CD1，AB的中点．（1）求证：EF∥平面ADD1A1；（2）求EF与平面ABCD所成角的正切值．19．（12分）在条件①a cos C﹣c＝b；②（b+c）2＝a2+bc；③sin（A﹣）＝﹣2cos A中任选一个，补充在下面的问题中，并求解．问题：△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且_____．（1）求角A的大小；（2）若sin2B+sin2C＝1﹣，求角B的大小．20．（12分）如图，已知正方形ABCD的边长为2，F为AD的中点．（1）若E为AB的中点，求tan∠CEF的值；（2）若E为线段AB（不含端点）上的一个动点，请探究：当AE长为多少时，可使得∠CEF最大？21．（12分）如图，在△ABC中，已知D，E分别是BC，AB的中点，AB＝，∠BAC ＝45°，AD与CE交于点O．（1）若BC＝2，求的值；（2）若，求AC的长．22．（12分）如图1，在矩形ABCD中，已知AB＝，BC＝2，E为AB的中点．将△ADE 沿DE向上翻折，进而得到多面体A1—BCDE（如图2）．（1）求证：DE⊥A1C；（2）在翻折过程中，求二面角A1﹣DC﹣B的最大值．2020-2021学年江苏省苏州市高一（下）期末数学试卷参考答案与试题解析一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共计40分．在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的，请把答案添涂在答题卡相应位置上）1．（5分）cos275°﹣sin275°的值为（）A．B．C．D．【解答】解：cos275°﹣sin275°＝cos150°＝﹣cos30°＝﹣．故选：A．2．（5分）某工厂6名工人在一小时内生产零件的个数分别是11，12，13，15，15，18，设该组数据的平均数为a，中位数为b，则（）A．a＝14，b＝15B．a＝14，b＝14C．a＝14.5，b＝14D．a＝14.5，b＝15【解答】解：根据题意，可得a＝＝14，b＝＝14．故选：B．3．（5分）已知一个圆锥的母线长为2，其侧面积为2π，则该圆锥的高为（）A．1B．C．D．2【解答】解：设圆锥的母线为R，底面圆的半径为r，则R＝2，因为侧面积为2π，所以2π＝•2πr•R＝•2πr•2，所以r＝1，所以圆锥的高h＝＝＝．故选：C．4．（5分）已知i为虚数单位，1+i是关于x的方程x2+px+q＝0（p，q∈R）的一个根，则p+q ＝（）A．﹣2B．0C．2D．4【解答】解：因为1+i是关于x的方程x2+px+q＝0（p，q∈R）的一个根，根据实系数一元二次方程的虚根成对原理，可得：1﹣i也是原方程的一个虚根，所以（1+i）+（1﹣i）＝﹣p，（1+i）（1﹣i）＝q，解得：p＝﹣2，q＝2．所以p+q＝0．故选：B．5．（5分）已知△ABC外接圆的圆心为O，且，，则向量在向量上的投影向量为（）A．B．C．D．【解答】解：∵∴△ABC外接圆圆心O为BC的中点，即BC为外接圆的直径，如图：又，所以△ABO为等边三角形，∴∠ACB＝30°，∴||＝||cos30°＝||，向量在向量上的投影为：||cos30°＝||×＝||．故投影向量为，故选：A．6．（5分）我省高考从2021年开始实行“3+1+2”模式，“3”为全国统考科目语文、数学、外语，所有学生必考；“1”为首选科目，考生须在物理、历史两科中选择一科；“2”为再选科目，考生可在化学、生物、思想政治、地理4个科目中选择两科．高一学生小明和小亮正准备进行选科，假如他们首选科目都是物理，再选科目选择每个科目的可能性均相等，且选择互不影响，则他们的选科完全相同的概率为（）A．B．C．D．【解答】解：高一学生小明和小亮正准备进行选科，他们首选科目都是物理，再选科目选择每个科目的可能性均相等，且选择互不影响，基本事件总数n＝＝6，他们的选科完全相同包含的基本事件个数m＝＝1，则他们的选科完全相同的概率为P＝．故选：A．7．（5分）在《九章算术》中，将四个面都是直角三角形的四面体称为“鳖臑”．如图，在鳖臑A﹣BCD中，AB⊥平面BCD，BD⊥CD，AB＝BD＝CD，点P在棱AC上运动．设CP的长度为x，△PBD的面积为S，则S＝f（x）的大致图象是（）A．B．C．D．【解答】解：如图，作PQ⊥BC于点Q，作QR⊥BD于点R，连结PR，因为AB⊥平面BCD，所以AB⊥BD，即BD⊥PQ，又PQ∩QR＝Q，所以BD⊥平面PQR，所以BD⊥PR，由题意可知，PQ∥AB，QR∥CD，设AB＝BD＝CD＝1，则AC＝，，解得，，所以，则＝＝，所以＝．故选：D．8．（5分）如图，某侦察飞机沿水平直线AC匀速飞行．在A处观测地面目标P，测得俯角∠BAP＝30°，飞行3分钟后到达B处，此时观测地面目标P，测得俯角∠ABP＝60°．又飞行一段时间后到达C处，此时观测地面目标P，测得俯角∠BCP的余弦值为，则该侦察飞机由B至C的飞行时间为（）A．2分钟B．2.25分钟C．2.5分钟D．2.75分钟【解答】解：设飞机的飞行速度为v，所以根据飞机的飞行图形，测得俯角∠BAP＝30°．飞行3分钟后到达B处观测地面目标P，测得俯角∠ABP＝60°．所以△ABP为直角三角形，过点P作PD⊥AC于点D，则：AB＝3v，AP＝v，BP＝v，解得：DP＝v．设CB＝xv，由于cos∠BCP＝，由同角三角函数的基本关系可得sin∠BCP＝，所以tan∠BCP＝，利用tan∠BCP＝＝，解得x＝2.25．故选：B．二、多项选择题（本大题共4小题，每小题5分，共计20分．在每小题给出的四个选项中，至少有两个是符合题目要求的，请把答案添涂在答题卡相应位置上）9．（5分）设m，n是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，则下列命题正确的有（）A．若m∥n，m⊥α，则n⊥αB．若m⊥n，m∥α，则n⊥αC．若α∥β，m⊥α，则m⊥βD．若α⊥β，m⊥α，则m∥β【解答】解：若m∥n，m⊥α，由直线与平面垂直的性质可得n⊥α，故A正确；若m⊥n，m∥α，则n∥α或n⊂α或n与α相交，相交也不一定垂直，故B错误；若α∥β，m⊥α，由直线与平面垂直的性质可得m⊥β，故C正确；若α⊥β，m⊥α，则m∥β或m⊂β，故D错误．故选：AC．10．（5分）已知i为虚数单位，复数z＝（a+i）（1﹣i）（a∈R），则下列命题正确的有（）A．若a＝1，则z为实数B．若a＝﹣1，则z为纯虚数C．若|z|＝2，则实数a的值为1D．复数z在复平面内对应的点不可能在第三象限【解答】解：复数z＝（a+i）（1﹣i）＝a+（1﹣a）i+1＝（a+1）+（1﹣a）i，对于A：当a＝1时，z＝2，故A为实数，故A正确；对于B：当a＝﹣1时，z＝2i，故z为纯虚数，故B正确；对于C：若|z|＝2，故，解得a＝±1，故C错误；对于D：当复数z在复平面内对应的点在第三象限时，得到，故不存在这样的a，故D正确．故选：ABD．11．（5分）在△ABC中，若a＝，b＝2，B＝30°，则△ABC的面积可能为（）A．B．C．D．【解答】解：在△ABC中，a＝，b＝2，B＝30°，∴根据正弦定理得，解得，且A∈（30°，150°），∴A＝45°，或135°，①A＝45°时，C＝180°﹣45°﹣30°＝105°，∴sin C＝sin105°＝sin（45°+60°）＝，∴＝；②A＝135°时，C＝180°﹣135°﹣30°＝15°，∴sin C＝sin15°＝sin（60°﹣45°）＝，∴＝．故选：AC．12．（5分）如图，在棱长为4的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，M，N分别是A1D1，A1B1的中点，则（）A．A1C⊥平面AMNB．二面角A1﹣MN﹣A的正切值为C．三棱锥A1﹣AMN的内切球半径为D．过直线BD与平面AMN平行的平面截该正方体所得截面的面积为18【解答】解：对于A，如图1所示，连接A1C1，B1D1，则MN∥B1D1，由B1D1⊥平面A1C1C，得MN⊥平面A1C1C，所以MN⊥A1C；设MN交A1C1于点P，连接AP，以矩形ACC1A1的底边AC为x轴，AA1为y轴建立平面直角坐标系，如图2 所示：则A（0，0），C（4，0），A1（0，4），P（1，4），所以＝（1，4），＝（4，﹣4），则•＝4﹣16≠0，所以与不垂直，即AP与A1C不垂直，所以A1C与平面AMN不垂直，选项A错误；对于B，∠AP A1是二面角A1﹣MN﹣A的平面角，计算tan∠AP A1＝＝＝2，所以二面角A1﹣MN﹣A的正切值为，选项B正确；对于C，设三棱锥A1﹣AMN的内切球半径为r，则r（2××4×2+×2×2+×2×）＝××2×2×4，解答r＝，所以三棱锥A1﹣AMN的内切球半径为，选项C正确；对于D，如图3所示，取B1C1的中点E，C1D1的中点F，连接BE、EF、DF，则四边形BEFD是过直线BD与平面AMN平行的截面，且四边形BEFD是等腰梯形，计算梯形BEFD的面积为S＝×（2+4）×3＝18，所以选项D正确．故选：BCD．三、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共计20分．请把答案填写在答题卡相应位置上）13．（5分）已知向量＝（﹣1，2），＝（x，﹣6），且，，若A，B，C三点共线，则实数x的值为3．【解答】解：向量＝（﹣1，2），＝（x，﹣6），且，，∴＝（﹣2，4）+（3x，﹣18）＝（﹣2+3x，﹣14），＝（﹣1+2x，﹣10），∵A，B，C三点共线，∴，∴﹣14（﹣1+2x）＝﹣10（﹣2+3x），解得x＝3．故答案为：3．14．（5分）若复数z在复平面内对应的点在第一象限内，且R，则符合条件的一个复数为+i．【解答】解：设复数z＝a+bi（a，b∈R），则z+＝（a+）+（b﹣）i，∵R，∴b﹣＝0，∴b＝0或a2+b2＝1，∴符合条件的一个复数为+i，故答案为：+i，15．（5分）若sin（α+）＝，则sin（）的值为．【解答】解：∵＝，又∵sin（α+）＝，∴＝．故答案为：．16．（5分）已知三棱锥S﹣ABC中，SA⊥平面ABC，AB＝BC＝CA＝2，异面直线SC与AB 所成角的余弦值为，则三棱锥S﹣ABC的体积为，三棱锥S﹣ABC的外接球的表面积为．【解答】解：如图，分别取AC、SA、SB、AB的中点M、N、E、F，连接MN、NE、EF、MF、ME，可得MN∥SC，NE∥AB，则∠MNE为异面直线SC与AB所成角，∴cos∠MNE＝，设SA＝t，可得MN＝，NE＝AB＝1，EF＝，MF＝1，则ME＝，在△MNE中，由余弦定理，可得ME2＝MN2+NE2﹣2MN•NE•cos∠MNE，∴××1×，解得t＝2，∴三棱锥S﹣ABC的体积为V＝＝，设底面三角形ABC的中心为G，三棱锥S﹣ABC的外接球的球心为O，连接OG，则OG⊥平面ABC，AG＝，OG＝，则三棱锥S﹣ABC的外接球的半径R＝OA＝＝．∴三棱锥S﹣ABC的外接球的表面积为S＝4π×＝．故答案为：；．四、解答题（本大题共6小题，共计70分．请在答题卡指定区域内作答．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17．（10分）为了解某市家庭用电量的情况，该市统计局调查了100户居民去年一年的月均用电量，发现他们的用电量都在170kW•h至290kW•h之间，进行适当分组后，画出频率分布直方图如图所示．（1）求a的值；（2）为了既满足居民的基本用电需求，又提高能源的利用效率，市政府计划采用阶梯式递增电价（第一档电量满足居民基本用电需求，电价最低；第二档电量反应正常合理用电需求，电价较高；第三档电量体现较高生活质量用电需求，电价最高）定价，希望使不少于85%的居民缴费在第一档，求第一档月均用电量的最低标准值（单位：kW•h）．【解答】解：（1）由频率分布直方图的性质，可得（0.006+0.009+a+0.011+0.006+0.003）×20＝1，解得a＝0.015．（2）∵前四组的频率之和为（0.006+0.009+0.015+0.011）×20＝0.82＜0.85，前5组的频率之和为（0.006+0.009+0.015+0.011+0.006）×20＝0.94＞0.85，∴频率为0.85时对应的数据在第五组，∴第一档月均用电量最低标准值为250+kW•h，∴第一档月均用电量的最低标准值255kW•h．18．（12分）如图，四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1的底面ABCD是正方形，侧面CDD1C1是菱形，∠CDD1＝60°，平面CDD1C1⊥平面ABCD，E，F分别为CD1，AB的中点．（1）求证：EF∥平面ADD1A1；（2）求EF与平面ABCD所成角的正切值．【解答】解：（1）证明：设DD1中点为G，连接EG，AG．因为E，G分别为CD1，DD1的中点，所以．在正方形ABCD中，F是AB的中点，所以，且AF//CD，所以EG//AF且EG＝AF．所以四边形AFEG是平行四边形，所以EF//AG．因为AG⊂平面ADD1A1，EF⊄平面ADD1A1，所以EF//平面ADD1A1．（2）过D1作D1M⊥DC于M，过E作EH⊥DC于H，连接FH，则EH//D1M．因为平面C1D1DC⊥平面ABCD，且平面C1D1DC∩平面ABCD＝CD，EH⊂平面C1D1DC，所以EH⊥平面ABCD．所以FH是EF在平面ABCD的射影．所以∠EFH为直线EF与平面ABCD所成的角．设正方形ABCD的边长为a，因为侧面CDD1C1是菱形，∠CDD1＝60°，所以．又因为EH//D1M且E是CD1的中点，所以．在正方形ABCD中，F为AB的中点，H为CD的四等分点，．所以在直角三角形EHF中，．所以EF与平面ABCD所成角的正弦值为．19．（12分）在条件①a cos C﹣c＝b；②（b+c）2＝a2+bc；③sin（A﹣）＝﹣2cos A中任选一个，补充在下面的问题中，并求解．问题：△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且_____．（1）求角A的大小；（2）若sin2B+sin2C＝1﹣，求角B的大小．【解答】解：（1）若选①，因为a cos C﹣c＝b，由正弦定理可得2sin A cos C﹣sin C＝2sin B＝2sin（A+C），即2sin A cos C﹣sin C＝2sin A cos C+2cos A sin C，所以﹣sin C＝2cos A sin C，因为sin C≠0，所以可得cos A＝﹣，因为A∈（0，π），所以A＝．若选②，因为（b+c）2＝a2+bc，可得b2+c2﹣a2＝﹣bc，由余弦定理可得cos A＝＝﹣，因为A∈（0，π），所以A＝．若选③，因为sin（A﹣）＝sin A﹣cos A＝﹣2cos A，所以sin A＝﹣cos A，即tan A＝﹣，（cos A≠0，否则不符合题意），因为A∈（0，π），所以A＝．（2）因为sin2B+sin2C＝1﹣，所以+＝1﹣，即cos2B+cos2C ＝，又A＝，所以B+C＝，原式可化为cos2B+cos（﹣2B）＝，化简可得sin（2B+）＝，因为B，2B+∈（，），所以2B+＝，或2B+＝，解得B＝，或．20．（12分）如图，已知正方形ABCD的边长为2，F为AD的中点．（1）若E为AB的中点，求tan∠CEF的值；（2）若E为线段AB（不含端点）上的一个动点，请探究：当AE长为多少时，可使得∠CEF最大？【解答】解：设∠AEF＝α，∠BEC＝β，（），（1）由于正方形ABCD的边长为2，且E，F分别为AB，AD的中点，所以AE＝AF＝BE＝1，所以，所以tanα＝1．由于BC＝2，所以tanβ＝2，所以tan（α+β）＝．则tan∠CEF＝tan[π﹣（α+β）]＝﹣tan（α+β）＝3．（2）设AE＝x，其中0＜x＜2，在直角三角形AEF中，tan，在直角三角形BEC中，tan，所以tan∠CEF＝﹣tan（α+β）＝＝＝，其中：0＜x＜2，令t＝x+2，则x＝t﹣2，其中2＜t＜4，所以tan＝，由于2＜t＜4，所以，故，当且仅当t＝时，即x＝时，等号成立，所以tan，由于y＝tan x在（0，）上单调递增，当AE＝时，可使∠CEF最大．21．（12分）如图，在△ABC中，已知D，E分别是BC，AB的中点，AB＝，∠BAC ＝45°，AD与CE交于点O．（1）若BC＝2，求的值；（2）若，求AC的长．【解答】解：（1）在△ABC中，AB＝2，BC＝2，∠BAC＝45°，由正弦定理＝可得∠ACB＝90°，所以AC＝2，设，，因为D为BC中点，所以（）＝（+），又因为，所以＝（+）•（）＝（）＝﹣2；（2）因为D、E分别是BC，AB的中点，且AD与CE交于点O，所以O为△ABC的重心，所以＝﹣＝﹣，又因为＝﹣＝，＝﹣＝，所以＝[（）²﹣（）]＝﹣（）＝﹣（）＝﹣，所以＝8，因为AB＝，∠BAC＝45°，所以（2）²+||²﹣2×||×＝8，即||²﹣2||＝0，解得||＝2（0舍去），故AC＝2．22．（12分）如图1，在矩形ABCD中，已知AB＝，BC＝2，E为AB的中点．将△ADE 沿DE向上翻折，进而得到多面体A1—BCDE（如图2）．（1）求证：DE⊥A1C；（2）在翻折过程中，求二面角A1﹣DC﹣B的最大值．【解答】（1）证明：如图1，连结AC交DE于点F，因为AB＝，且E为AB的中点，则，在矩形ABCD中，因为AD＝2，，所以△EDA∽△CBA，所以∠ADE＝∠BAC，所以∠AED+∠BAC＝∠AED+∠ADE＝90°，则∠AFE＝180°﹣（∠AED+∠CAB）＝90°，即DE⊥AC，由题意可知，DE⊥A1F，DE⊥FC，A1F∩FC＝F，A1F，FC⊂平面A1FC，所以DE⊥平面A1FC，因为A1C⊂平面A1FC，所以DE⊥A1C；（2）解：如图2，过点A1作A1H⊥FC，垂足为H，过H作HG⊥DC，垂足为G，连结A1G，因为DE⊥平面A1FC，A1H⊂平面A1FC，所以A1H⊥DE，又因为A1H⊥FC，FC∩DE＝F，DE，FC⊂平面BCDE，所以A1H⊥平面BCDE，又CD⊂平面BCDE，所以A1H⊥CD，又因为HG⊥CD，A1H∩HG＝H，A1H，HG⊂平面A1HG，所以CD⊥平面A1HG，又A1G⊂平面A1HG，所以CD⊥A1G，则∠A1GH为二面角A1﹣CD﹣B的平面角，在翻折过程中，设∠A1FC＝θ∈（0，π），在矩形ABCD中，由AB＝，AD＝2，E为AB的中点，可得AF＝，FC＝，在直角三角形A1FH中，A1H＝，FH＝，所以HC＝FC﹣FH＝，因为HG⊥DC，则HG//AD，所以，则HG＝，在直角三角形A1HG中，tan∠A1HG＝，设，则，故，所以，解得0＜y≤1，即0＜tan∠A1HG≤1，又∠A1HG，所以0＜∠A1HG≤，所以二面角A1﹣DC﹣B的最大值为．。

2020-2021学年苏教版高一数学下学期期末模拟综合检测试题及答案解析

（新课标）2018-2019学年苏教版高中数学必修三高一（下）期末数学试卷参考答案与试题解析一、填空题：本大题共14题，每小题5分，共70分．1．（5分）若点P（m，n）（n≠0）为角600°终边上一点，则等于．考点：任意角的三角函数的定义．专题：计算题．分析：直接利用三角函数的定义，表示出=tan600°，然后利用诱导公式化简，求解即可．解答：解：由三角函数的定义知=tan600°=tan（360°+240°）=tan240°=tan60°=，∴==．故答案为：点评：本题是基础题，考查三角函数的定义，诱导公式的应用，考查计算能力，常考题型．2．（5分）根据表格中的数据，可以判定方程e x﹣x﹣2=0的一个根所在的区间为（1，2）．x ﹣1 0 1 2 30.37 1 2.72 7.39 20.08e xx+2 1 2 3 4 5考点：函数零点的判定定理．专题：常规题型；压轴题．分析：本题考查的是方程零点存在的大致区间的判断问题．在解答时，应先将方程的问题转化为函数零点大致区间的判断问题，结合零点存在性定理即可获得解答．解答：解：令f（x）=e x﹣x﹣2，由表知f（1）=2.72﹣3＜0，f（2）=7.39﹣4＞0，∴方程e x﹣x﹣2=0的一个根所在的区间为（1，2）．答案为：（1，2）．点评：本题考查的是方程零点存在的大致区间的判断问题．在解答的过程当中充分体现了函数与方程的思想、问题转化的思想以及数据处理的能力．值得同学们体会和反思．3．（5分）如图，已知集合A={2，3，4，5，6，8}，B={1，3，4，5，7}，C={2，4，5，7，8，9}，用列举法写出图中阴影部分表示的集合为{2，8} ．考点： Venn图表达集合的关系及运算．专题：图表型．分析：分析可得，图中阴影部分表示的为集合A、C的交集中的元素去掉B中元素得到的集合，由集合A、B、C计算即可得答案．解答：解：根据题意，分析可得，图中阴影部分表示的为集合A、C的交集中的元素去掉B中元素得到的集合，得到的集合，又由A={2，3，4，5，6，8}，B={1，3，4，5，7}，C={2，4，5，7，8，9}，则A∩C={2，5，8}，∴阴影部分表示集合为{2，8}故答案为：{2，8}．点评：本题考查Venn图表示集合，关键是分析阴影部分表示的集合，注意答案必须为集合（加大括号）．4．（5分）P，Q分别为直线3x+4y﹣12=0与6x+8y+6=0上任意一点，则PQ的最小值为 3 ．考点：两点间的距离公式；两条平行直线间的距离．专题：计算题．分析：可得PQ的最小值即两平行线3x+4y﹣12=0与3x+4y+3=0间的距离，由距离公式可得．解答：解：直线6x+8y+6=0可变形为3x+4y+3=0，则PQ的最小值即两平行线3x+4y﹣12=0与3x+4y+3=0间的距离d，代入公式可得d==3，所以PQ的最小值为3，故答案为：3点评：本题考查点到直线的距离公式，得出要求的即两平行线间的距离是解决问题的关键，属中档题．5．（5分）（2012•虹口区二模）执行如图所示的程序框图，若输入A的值为2，则输出P的值为 4 ．考点：循环结构．专题：图表型．分析：由已知中的程序框图及已知中输入2，可得：进入循环的条件为S≤2，即P=1，2，3，4，模拟程序的运行结果，即可得到输出的P值．解答：解：当P=1时，S=1+；当P=2时，S=1++；当P=3时，S=1+++；当P=4时，S=1++++=；不满足S≤2，退出循环．则输出P的值为4故答案为：4．点评：本题考查的知识点是程序框图，在写程序的运行结果时，我们常使用模拟循环的变法，但程序的循环体中变量比较多时，要用表格法对数据进行管理．6．（5分）将一个骰子连续抛掷三次，它落地时向上的点数能组成等差数列的概率为．考点：等可能事件的概率．专题：计算题．分析：根据题意，分析可得将一个骰子连续抛掷三次，每次都有6种情况，由分步计数原理可得共有63=216种情况，进而分两种情况讨论骰子落地时向上的点数能组成等差数列的情况，可得符合条件的情况数目，由等可能事件的概率计算公式，计算可得答案．解答：解：根据题意，将一个骰子连续抛掷三次，每次都有6种情况，则共有63=216种情况，它落地时向上的点数能组成等差数列，分两种情况讨论：①若落地时向上的点数若不同，则为1，2，3或1，3，5，或2，3，4或2，4，6或3，4，5或4，5，6；共有6种可能，每种可能的点数顺序可以颠倒，即有2种情况；即有6×2=12种情况，②若落地时向上的点数全相同，有6种情况，∴共有12+6=18种情况，落地时向上的点数能组成等差数列的概率为=；故答案为．点评：本题考查等可能事件的概率计算，注意题干中“向上的点数能组成等差数列”，向上的点数不要求顺序，如“2，1，3”也符合条件．7．（5分）（2010•卢湾区一模）已知函数的图象过点A（3，7），则此函的最小值是 6 ．考点：基本不等式在最值问题中的应用；函数的图象．专题：计算题．分析：把点A代入函数式求得a，求得函数的解析式，然后把解析式整理成x﹣2++2利用基本不等式求得函数的最小值．解答：解：依题意可知3+a=7∴a=4∴f（x）=x+=x﹣2++2≥2+2=6（当且仅当x﹣2=即x=4时等号成立）故答案为：6点评：本题主要考查了基本不等式在最值问题中的应用．考查了学生对基本不等式基础知识的灵活应用．8．（5分）（2010•嘉定区一模）若关于x的不等式f（x）＜0和g（x）＜0的解集分别为（a，b）和（，），则称这两个不等式为对偶不等式．如果不等式x2﹣4x•cosθ+2＜0与不等式2x2﹣4x•sinθ+1＜0为对偶不等式，且θ∈（，π），则θ= ．考点：一元二次不等式的解法；同角三角函数基本关系的运用．专题：计算题．分析：由题意若不等式x2﹣4 xcos2θ+2＜0的解集为（a，b）则不等式2x2﹣4xsin2θ+1＜0的解集（）；由一元二次方程与不等式的关系可知，，整理，结合三角函数的辅助角公式可求θ解答：解：设不等式x2﹣4 xcos2θ+2＜0的解集为（a，b），由题意可得不等式2x2﹣4xsin2θ+1＜0的解集（）由一元二次方程与不等式的关系可知，整理可得，∴，且θ∈（，π），∴故答案为：点评：本题以新定义为载体，考查了一元二次方程与一元二次不等式的相互转化关系，方程的根与系数的关系，考查了辅助角公式的应用．是一道综合性比较好的试题．9．（5分）（2010•如皋市模拟）对于数列{a n}，定义数列{a n+1﹣a n}为数列{a n}的“差数列”，若a1=2，{a n}的“差数列”的通项为2n，则数列{a n}的前n项和S n= 2n+1﹣2 ．考点：数列的求和．专题：计算题．分析：先根据a n+1﹣a n=2n，对数列进行叠加，最后求得a n=2n．进而根据等比数列的求和公式答案可得．解答：解：∵a n+1﹣a n=2n，∴a n=（a n﹣a n﹣1）+（a n﹣1﹣a n﹣2）++（a2﹣a1）+a1=2n﹣1+2n﹣2++22+2+2=+2=2n﹣2+2=2n．∴S n==2n+1﹣2．故答案为2n+1﹣2点评：本题主要考查了数列的求和．对于a n+1﹣a n=p的形式常可用叠加法求得数列通项公式．10．（5分）（2010•福建）已知函数和g（x）=2cos（2x+φ）+1的图象的对称轴完全相同．若，则f（x）的取值范围是．考点：函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换．专题：计算题；压轴题．分析：先根据函数和g（x）=2cos（2x+φ）+1的图象的对称轴完全相同确定ω的值，再由x的范围确定的范围，最后根据正弦函数的图象和性质可得到答案．解答：解：由题意知，ω=2，因为，所以，由三角函数图象知：f（x）的最小值为，最大值为，所以f（x）的取值范围是．故答案为：．点评：本题考查三角函数的图象与性质，考查了数形结合的数学思想．11．（5分）若不等式组所表示的平面区域被直线分为面积相等的两部分，则k的值是．考点：二元一次不等式（组）与平面区域；直线的斜截式方程．分析：先由不等式组画出可行域，再根据直线把△ABC面积等分可知该直线过线段AB的中点，然后求出AB中点的坐标，最后通过两点确定斜率公式求得k值．解答：解：画出可行域△ABC，如图所示解得A（1，1）、B（0，4）、C（0，），又直线过点C且把△ABC面积平分，所以点D为AB的中点，则D（，），所以k==．故答案为．点评：本题主要考查二元一次不等式组对应的平面区域及直线的斜截式方程．12．（5分）设y=f（x）函数在（﹣∞，+∞）内有定义，对于给定的正数K，定义函数：，取函数f（x）=a﹣|x|（a＞1），当时，函数f K（x）值域是．考点：函数的值域．专题：函数的性质及应用．分析：由于f（x）=a﹣|x|∈（0，1]，由于当时，若f（x）≤K，则；若f （x）＞K，则，由此可得函数f K（x）的值域解答：解：当a＞1时，f（x）=a﹣|x|∈（0，1]，由于当时，若f（x）≤K，则；若f（x）＞K，则，故答案为．点评：本题主要考查求函数的值域，体现了分类讨论的数学思想，属于基础题．13．（5分）已知△ABC所在平面上的动点M满足2•=﹣，则M点的轨迹过△ABC的外心．考点：平面向量数量积的运算；三角形五心．专题：计算题．分析：由数量积的运算结合题意可得，即M在BC的垂直平分线上，过△ABC的外心．解答：解：2•=﹣=，∴，∴，∴，∴，∴M在BC的垂直平分线上，∴M点的轨迹过△ABC的外心，故答案为：外点评：本题考查平面向量的数量积的运算，涉及三角形的外心的性质，属中档题．14．（5分）（2012•黄州区模拟）若不等式a+≥在x∈（，2）上恒成立，则实数a的取值范围为a≥1 ．考点：函数恒成立问题．专题：计算题．分析：先分离常数，然后构造函数，因为构造的函数中含有绝对值，所以要对给定的区间分段去掉绝对值变成分段函数，根据图象可求出最大值，这样就可以求出参数的取值范围．解答：解：不等式即为a≥+，在x∈（，2）上恒成立．而函数f（x）=+=的图象如图所示，所以f（x）在（，2）上的最大值为1，所以a≥1．故答案为：a≥1点评：本题主要考查了函数恒成立问题，方法是分离常数之后构造函数，转化为函数求最值问题，本题中含绝对值，所以考虑先取绝对值．二、解答题：本大题共6小题，共90分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15．（14分）某校从参加高一年级期末考试的学生中抽出60名学生，并统计了他们的物理成绩（成绩均为整数且满分为100分），把其中不低于50分的分成五段[50，60），[60，70）…[90，100]后画出如下部分频率分布直方图．观察图形的信息，回答下列问题：（1）求出物理成绩低于50分的学生人数；（2）估计这次考试物理学科及格率（60分及以上为及格）（3）从物理成绩不及格的学生中选两人，求他们成绩至少有一个不低于50分的概率．考点：频率分布直方图．专题：应用题．分析：（1）先根据矩形的面积表示频率，以及各组的频率和等于1，建立等式关系，求出第一组的频率，然后利用第一组的频率乘以样本容量求出第一组的频数；（2）根据矩形的面积表示频率，求出成绩60及以上的频率和，利用样本估计总体，对于总体分布，总是用样本的频率分布对它进行估计，从而得到这次考试物理学科及格率；（3）先求出“成绩低于50分”及“[50，60）”的人数，然后用1减去低于50分的概率，即可求出所求．解答：解：（1）因为各组的频率和等于1，故低于5（0分）的频率为：f1=1﹣（0.015×2+0.03+0.025+0.005）×10=0.1（3分）所以低于5（0分）的人数为60×0.1=6（人）（5分）（2）依题意，成绩60及以上的分数所在的第三、四、五、六组（低于50分）的为第一组，频率和为（0.015+0.03+0.025+0.005）*10=0.75所以，抽样学生成绩的合格率是75%（（8分）．）于是，可以估计这次考试物理学科及格率约为75%（9分）．（3）“成绩低于50分”及“[50，60）”的人数分别是6，9．所以从成绩不及格的学生中选两人，他们成绩至少有一个不低于50分的概率为：（14分）点评：用样本估计总体，是研究统计问题的一个基本思想方法．对于总体分布，总是用样本的频率分布对它进行估计，小长方形的面积等于频率，各个矩形面积之和等于1，以及概率等问题，属于中档题．16．（14分）已知向量，，x∈R，设函数（II）当且时，求的值考三角函数的最值；平面向量数量积的运算；两角和与差的正弦函数．点：专计算题；转化思想．题：分析：（Ⅰ）通过向量关系求出数量积，然后利用二倍角公式、两角和的正弦函数化简函数为：，即可求函数f （x ）的最大值，借助正弦函数的最大值求出相应的自变量x 的取值集合；（II ）当且时，直接得到，求出，化简的表达式，利用两角和的正弦函数，整体代入，，求得的值．解答：（Ⅰ）∵，，∴=（sinx，cosx+sinx）•（2cosx，cosx﹣sinx）=2sinxcosx+cos2x﹣sin 2x（1分）=sin2x+cos2x（3分）=（4分）∴函数f （x）取得最大值为．（5分）相应的自变量x的取值集合为{x|（k∈Z）}（7分）（II ）由得，即因为，所以，从而（9分）于是===（14分）点评：本题是中档题，考查了向量的数量积的计算，二倍角和两角和的正弦函数，三角函数的最值，考查转化思想，整体代入思想，合理应用角的变形，二倍角公式的转化，是本题的难点，注意总结应用．17．（14分）已知三条直线l1：2x﹣y+a=0（a＞0），直线l2：﹣4x+2y+1=0和直线l3：x+y﹣1=0，且l1与l2的距离是．（1）求a的值；（2）求l3到l1的角θ；（3）能否找到一点P，使得P点同时满足下列三个条件：①P是第一象限的点；②P点到l1的距离是P点到l2的距离的；③P点到l1的距离与P点到l3的距离之比是：？若能，求P点坐标；若不能，请说明理由．考点：两条平行直线间的距离；点到直线的距离公式．分析：本题考查的知识点是两条平行直线间的距离、线线夹角及点到直线的距离公式，（1）由l1与l2的距离是，我们代入两条平行直线间的距离公式，可得一个关于a的方程，解方程即可求a的值；（2）由已知中l1：2x﹣y+a=0（a＞0），直线l3：x+y﹣1=0，我们易得到直线l3及l1的斜率，代入tan θ=||，即可得到l3到l1的角θ；（3）设P（x0，y0），由点到直线距离公式，我们可得到一个关于x0，y0的方程组，解方程组即可得到满足条件的点的坐标．解答：解：（1）l即2x﹣y﹣=0，2∴l1与l2的距离d==．∴=．∴|a+|=．∵a＞0，∴a=3．（2）由（1），l1即2x﹣y+3=0，∴k1=2．而l3的斜率k3=﹣1，∴tanθ===﹣3．∵0≤θ＜π，∴θ=π﹣arctan3．（3）设点P（x0，y0），若P点满足条件②，则P点在与l1、l2平行的直线l′：2x﹣y+C=0上，且=，即C=或C=，∴2x0﹣y0+=0或2x0﹣y0+=0；若P点满足条件③，由点到直线的距离公式，有=，即|2x0﹣y0+3|=|x0+y0﹣1|，∴x0﹣2y0+4=0或3x0+2=0．由P在第一象限，∴3x0+2=0不可能．联立方程2x0﹣y0+=0和x0﹣2y0+4=0，应舍去．解得x0=﹣3，y0=，由2x0﹣y0+=0，x0﹣2y0+4=0，解得x0=，y0=．∴P（，）即为同时满足三个条件的点．点评：（1）线线间距离公式只适用两条平行直线，且要将直线方程均化为A、B值相等的一般方程．（2）线线夹角只能为不大于90°的解，故tanθ=||．18．（16分）已知函数f（x）=（a＞0且a≠1）．（1）求函数f（x）的定义域、值域；（2）是否存在实数a，使得函数f（x）满足：对于任意x∈[﹣1，+∞），都有f（x）≤0？若存在，求出a 的取值范围；若不存在，请说明理由．考点：函数的定义域及其求法；函数的值域；其他不等式的解法．专题：函数的性质及应用．分析：（1）利用函数的性质求函数的定义域和值域．（2）要使函数在x∈[﹣1，+∞），都有f（x）≤0，则实质是求函数f（x）在[﹣1，+∞）上的最大值是否满足条件．解答：解：（1）由4﹣a x≥0，得a x≤4．当a＞1时，x≤log a4；当0＜a＜1时，x≥log a4．即当a＞1时，f（x）的定义域为（﹣∞，log a4]；当0＜a＜1时，f（x）的定义域为[log a4，+∞）．令t=，则0≤t＜2，且a x=4﹣t2，∴f（x）=g（t）=4﹣t2﹣2t﹣1=﹣（t+1）2+4，当t≥0时，g（x）是t的单调减函数，∴g（2）＜g（t）≤g（0），即﹣5＜f（x）≤3，∴函数f（x）的值域是（﹣5，3]．（2）若存在实数a，使得对于任意x∈[﹣1，+∞），都有f（x）≤0，则区间[﹣1，+∞）是定义域的子集．由（1）知，a＞1不满足条件；所以0＜a＜1，且log a4≤﹣1，即．令t=，由（1）知，f（x）=4﹣t2﹣2t﹣1=﹣（t+1）2+4，由f（x）≤0，解得t≤﹣3（舍）或t≥1，即有≥1解得a x≤3，由题意知对任意x∈[﹣1，+∞），有a x≤3恒成立，因为0＜a＜1，所以对任意x∈[﹣1，+∞），都有a x≤a﹣1．所以有a﹣1≤3，解得，即．∴存在，对任意x∈[﹣1，+∞），都有f（x）≤0．点评：本题的考点是与指数函数有关的复合函数的定义域和值域问题，解决此类问题的关键是利用换元，将函数进行转换判断．19．（16分）如图，我市市区有过市中心O南北走向的解放路，为了解决南徐新城的交通问题，市政府决定修建两条公路，延伸从市中心O出发北偏西60°方向的健康路至B点；在市中心正南方解放路上选取A 点，在A、B间修建徐新路．（1）如果在A点看市中心O和点B视角的正弦值为，求在点B处看市中心O和点A视角的余弦值；（2）如果△AOB区域作为保护区，已知保护区的面积为，A点距市中心的距离为3km，求南徐新路的长度；南徐新城南徐新路健康路BB西北东A南O解放城解放城正东路（3）如果设计要求市中心O到南徐新路AB段的距离为4km，且南徐新路AB最短，请你确定两点A、B的位置．考点：在实际问题中建立三角函数模型．专题：应用题．分析：（1）由题意∠A0B=，∠BAO为税角，sin∠BAO=，由于；∠OBA=﹣∠BAO，故由差角公式求值即可；（2）如图在三角形AOB中用余弦定理求解即可．（3）根据题设条件用余弦定理将南徐新路AB的长度表示出来，再结合基本不等式求最值即可．解答：解：（1）由题可得∠A0B=，∠BAO为税角，sin∠BAO=，故cos∠BAO=，cos∠OBA=cos（﹣∠BAO）==（2）OA=3，S=OA×OB×sin∠BOA=OB×3×sin=，∴OB=5，由余弦定理可得=9+25+15=49，∴AB=7（3）∵BA×4=×OA×OB×sin∠BOA，∴OA×OB=AB=OA2+OB2+OA×OB≥3OA×OB=3×AB，∴AB≥8，等号成立条件是OA=OB=8答：当AB最短时，A，B距离市中心O为8公里．点评：本题考查在实际问题中建立三角函数的模型，利用三角函数模型解决实际问题，三角函数模型是一个非常重要的模型，在实际生活中有着很广泛的运用．20．（16分）定义数列{a n}：a1=1，当n≥2时，其中r≥0常数．（Ⅰ）若当r=0时，S n=a1+a2+…+a n；（1）求：S n；（2）求证：数列{S2n}中任意三项均不能构成等差数列；（Ⅱ）求证：对一切n∈N*及r≥0，不等式恒成立．考点：反证法与放缩法；数列的求和；不等式的证明．专题：计算题；证明题；压轴题．分析：（1）先计算数列的前8项猜想数列的特点，数列{a2k﹣1}、{a2k}（k∈N*）均为等比数列，从而利用等比数列的求和公式求解即可；对于否定性的结论的证明，往往利用反证法证明；（1）欲证此不等式恒成立，先对左边式子利用拆项法求和，后再进行放缩即得．解答：解：（1）当r=0时，计算得数列的前8项为：1，1，2，2，4，4，8，8．从而猜出数列{a2k﹣1}、{a2k}（k∈N*）均为等比数列．（2分）∵a2k=a2k﹣1=2a2k﹣2，a2k+1=2a2k=2a2k﹣1，∴数列{a2k﹣1}、{a2k}（k∈N*）均为等比数列，∴a2k﹣1=a2k=2k﹣1．（4分）①∴S2k=2（a1+a3+a5++a2k﹣1）=2（2k﹣1）=2k+1﹣2，S2k﹣1=S2k﹣2+a2k﹣1=2k﹣2+2k﹣1=3×2k﹣1﹣2，∴．（6分）②证明（反证法）：假设存在三项S m，S n，S p（m，n，p∈N*，m＜n＜p）是等差数列，即2S n=S m+S p成立．因m，n，p均为偶数，设m=2m1，n=2n1，p=2p1，（m1，n1，p1∈N*），∴，即，∴，而此等式左边为偶数，右边为奇数，这就矛盾；（10分）（2）∵a2k=a2k﹣1+r=2a2k﹣2+r，∴a2k+r=2（a2k﹣2+r），∴{a2k+r}是首项为1+2r，公比为2的等比数列，∴a2k+r=（1+2r）•2k﹣1．又∵a2k+1=2a2k=2（a2k﹣1+r），∴a2k+1+2r=2（a2k﹣1+2r），∴{a2k﹣1+2r}是首项为1+2r，公比为2的等比数列，∴a2k﹣1+2r=（1+2r）•2k﹣1．（12分）∴==，∴=．∵r≥0，∴．∴．（16分）点评：本题主要考查了等差数列、等比数列、不等式证明中的反证法与放缩法以及数列的求和，是一道综合性很强的题目，属于难题．。

江苏省苏州市高一数学下学期期末调研测试试题苏教版.doc

2012～2013 学年苏州市高一期末调研测试数学注意事项：考生在答题前请认真阅读本注意事项及各题答题要求 1. 本试卷共 4 页，包含填空题（第 1 题第 14 题）、解答题（第 15 题第 20 题）．本卷满分 160 分，考试时间为 120 分钟．考试结束后，请将答题卡交回．2. 答题前，请您务必将自己的姓名、准考证号用0.5 毫米黑色墨水的签字笔填写在试卷及答题卡的规定位置．3. 请在答题卡上按照顺序在对应的答题区域内作答，在其他位置作答一律无效．作答必须用 0.5 毫米黑色墨水的签字笔．请注意字体工整，笔迹清楚．4. 如需作图，须用 2 B 铅笔绘、写清楚，线条、符号等须加黑、加粗．5. 请保持答题卡卡面清洁，不要折叠、破损．一律不准使用胶带纸、修正液、可擦洗的圆珠笔．样本数据 x 1， x 2，⋯ x的方差 s 21 nx ) 2 ，其中 x1nnn i( x in i x i ．11一、填空题（本大题共 14小题，每小题 5分，共 70分．请把答案填写在答题卡相应位置上）．．．．．．．． 1．已知 A1,2 ， B2,3,4 ，则 A U B▲ ．2．一组数据 6， 7，7， 8， 7 的方差 s 2 =▲．开始3．计算 cos 7π的值为▲． S ← 064．计算 2lg4lg5 lg8 的值为▲．k ← 15．袋中有 1 个白球， 2 个黄球，先从中摸出一球，再从Nk ≤ 20剩下的球中摸出一球，两次都是黄球的概率为▲．Y输出 S6．执行右面的流程图，输出的S =▲．S ← S ＋k7．方程 lg2 xx2 0 的解在 (k 1,k) 内，则整数 k 的值结束为▲．k ← k ＋1Y8．已知 A(1,2) ， B( 3,4) ， C(2, t ) ，若 A ， B ，C 三点（第 6 题）共线，则 t▲．9．已知函数 f (x) a 1 是奇函数，则 a 的值为▲．4x14 x y ≤10,4 x 3 y ≤ 20,下，目标函数z2x y 的最大值为▲．10．在约束条件x ≥ 0,y ≥（第 11 题）取一点 P ，则“△ AEP 的面积恰好小于△ ABC 面积的一半”的概率为 ▲ ．12．公差不为零的等差数列 a n 中， a 1 2 a 7 2 a 32a 9 2 ，记 a n 的前 n 项和为 S n ，其中S 8 8 ，则 a n 的通项公式为 a n = ▲．13．某地一天 6 时至 20 时的温度变化近似满足函数y 10sin( πx3π [6,20] ），8 ) +20（ x4其中 x （时）表示时间， y （ C ）表示温度，设温度不低于 20 C 时某人可以进行室外活动，则此人在 6 时至 20 时中，适宜进行室外活动的时间约为▲小时．1 | x2 | ,1≤ x ≤ 3,14．已知函数 f ( x)xx 3 ，将集合 A { x | f ( x) t,0t 1} （ t 为常数）中3 f ( ),3的元素由小到大排列，则前六个元素的和为▲ ．二、解答题：本大题共6 小题，共计 90 分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出必．．．．．．．．要的文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（本小题满分 14 分）n12设数列 { a } 是一个公差为 d ( d 0) 的等差数列，已知它的前10 项和为 110，且 a ， a ，a 4 成等比数列．（ 1）求数列 { a n } 的通项公式；（ 2）若b n (n 1)a n ，求数列1的前 n 项和 T n ．b n16．（本小题满分 14 分）已知，， c 是△的内角，， C 的对边，其中 c b ，若 a = 4 ， cos A1 a bABCA B，4D 为 BC 边上一点，且 uuur uuur uuur uuur135 ．求：AD BC 0 ， AB AD64uuur（ 1） | AD | ；（ 2） b ， c ．17．（本小题满分 14 分）已知函数 f ( x) a (x 1)， a 为常数．x 2（ 1）若 f (x) 2 的解集为 (2,3) ，求 a 的值；（ 2）若 f (x) x 3 对任意 x (2, ) 恒成立，求 a 的取值范围．18．（本小题满分 16 分）如图，某小区进行绿化改造，计划围出一块三角形绿地ABC ，其中一边利用现成的围墙，长度为 1（百米），另外两边， AC 使用某种新型材料，= 120 °，设= x ，BCABBAC ABAC = y ．（ 1）求 x ， y 满足的关系式（指出x 的取值范围）；（ 2）若无论如何设计此两边的长，都能确保围成三角形绿地，则至少需准备长度为多少的此种新型材料？CB120oA19．（本小题满分 16 分）已知数列 { a n } 的前 n 项和为 S n ，满足 a n0 ， a n S n 1 a n 1S n 2n 1a n 1a n ， n N * ．（ 1）求证： S n n 12 a n ；（ 2）设 b na n ，求数列 {b n } 的前 n 项和 T n ．a n 120．（本小题满分 16 分）已知函数2f ( x) ax | x a | ．（ 1）当 a 3 时，求不等式 f ( x) 7 的解集；（ 2）当 a 0 时，求函数 f ( x) 在区间 [3,) 上的值域．2012 ～ 2013 学年苏州市高一期末调研测试数学参考答案2013 ． 6一、填空题1． { 1 ， 2， 3， 4 } 2．23 ． 34 ．15 ．1 52 36． 210 7 ． 2 8 ．39． 0.5 10 ．15 2 211．312． 2n 10 13 ． 8 14． 52 4二、解答题15．解：（ 1）设数列 { a n} 的前 n 项和为 S n，∵ S = 110，∴10a1 10 9d 110 ．102则 a 9⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 2 分d 11 ．①1 2∵ 1，2， 4 成等比数列，a a a∴ a22 a1a4，即 ( a1 d) 2 a1(a1 3d ) ．∴ a1 d d 2．∵d 0 ，∴1 =d．②⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 5 分a由①，②解得a1 2,，∴ a n 2n ．⋯⋯⋯⋯⋯⋯7 分d 2.（2）∵ b n (n 1)a n = 2n(n 1) ，∴ 111)1 ( 1n1 ) ．⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 10 分b n 2n(n 2 n 1∴ T n1(1 1 ) (11 ) L (11 ) ⋯⋯⋯ 12 分2 2 23 n n 1n ．⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 14 分2(n 1)uuur uuurBC ．16．解：（ 1）由 AD BC 0 ，得 AD记 AD uuur u uuruuur uuur BAD135．⋯⋯⋯⋯ 3 分h ，由 AB AD135 ，得 | AB | | AD | cos6464∴ h2135 ，则 h 3 15 uuur5 分．即 | AD | = 3 15 ．⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯6488（ 2）∵ cos A1，∴ sin A 15 ． ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 7 分44由 ah bc sin A ，得 bc 6 ．①⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 9 分 ∵ a 2 b 2 c 2 2bc cos A ，∴ b 2c 2 13．②⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯11 分由①，②，解得 b = 2 ， c = 3 ，或 b = 3 ，c = 2 ．∵ cb ，∴ b = 2 ，c = 3 ．⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯14 分（直接由①，②得出b = 2 ，c = 3 不扣分）17．解：（ 1）不等式 f ( x) a(x 1) 2化为x 2(a 2) x (a 4)⋯⋯⋯⋯⋯ 2 分x 2 0 ．即 [ (a 2) x ( a 4) ] (x 2) 0 ．⋯⋯⋯⋯⋯ 4 分 ∵ f (x)2 的解集为 (2,3) ，∴a43 ． ⋯⋯⋯⋯⋯ 6 分a 2解得 a 1，经检验符合题意．⋯⋯⋯⋯⋯ 8 分（2）∵ f ( x)x 3 对任意 x (2, ) 恒成立，∴ a(x1) ( x 2)( x 3) 对任意 x (2,) 恒成立．⋯⋯⋯⋯⋯ 10 分令 x 1 t ，则 at (t 1)(t 2) 对任意 t (1, ) 恒成立．2∴ at 3 对任意 t (1, ) 恒成立． ⋯⋯⋯⋯⋯ 12 分 t2∵ t3 最小值为 2 2 3 ，t∴ a2 23 ． ⋯⋯⋯⋯⋯ 14 分18．解：（ 1）在△中，由余弦定理，得AB 2 AC 2 2．ABC2 AB AC cos A BC ∴ x 2y 2 2 xy cos120o 1 ，即 x 2 y 2xy 1 ．⋯⋯⋯⋯⋯ 4 分又 x > 0 ， y > 0 ，∴ x ，y 满足的关系式为x 2y 2 xy 1 （ 0 < x < 1 ）．⋯⋯⋯⋯⋯ 5 分（ 2）设需准备此种新型材料的长度为 a ，则必须要 xy ≤a 恒成立．∵ x 2 y 2xy 1，∴ ( xy) 2 1 xy ．⋯⋯⋯⋯⋯ 7 分 ∵ xy ≤(xy) 2，∴ ( xy)21≤ (xy ) 2 ．⋯⋯⋯⋯⋯ 11 分22则 ( xy)2≤ 4，∴ xy ≤23 ．⋯⋯⋯⋯⋯ 14 分33当且仅当 xy3（百米）时取“ =”．3∴ a ≥23 （百米）时， xy ≤ a 恒成立．3答：至少需要准备2 3 （百米）的此种新型材料，才能确保围成三角形绿地．3⋯⋯⋯⋯⋯ 16 分 19. （ 1）证明：∵ a n S n 1 a n 1S n2n 1 a n 1a n ， a n 0 ，∴ S n 1S n 2n 1 ．⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 2 分 an 1 a nS S 1 ， S 3 S 2 2 S n Sn 1 2 n 2（ n ≥ 2， n N * ）．则 21 a 3 a2 ，⋯， a n 1a 2 a 1 a n以上各式相加，得 S n S 1 1 2 L n 2． ⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 4 分 a n a 1 2∵ S 1 a 1 ∴ S n ∵ n = 1（ 2）∵ S n∴ S n 11 ，∴S n1 2n 1 1 ． a n2n 1a n（ n ≥ 2， n N * ）．时上式也成立，∴ S n 2n 1 a n （ n2n 1 a ，n2n a n 1 ．⋯⋯⋯⋯⋯ 7 分N * ）． ⋯⋯⋯⋯⋯ 8 分两式相减，得 a n 1 2na n 1 2n 1a n ．即 (2 n 1)a n 1 2 n 1 a n ．则 b na n21．a n2n 11a 1a 2La nT na 3 a na 21= 2n(1 11L1 1 )2 2 2n2⋯⋯⋯⋯⋯ 10 分⋯⋯⋯⋯⋯ 12 分⋯⋯⋯⋯⋯ 14 分=2n 21 ．⋯⋯⋯⋯⋯ 16 分2 n 120．解：（ 1）当 a 3 时，不等式 f (x)7 ，即 3x 2 | x 3 | > 7 ．① 当 x ≥ 3 时，原不等式转化为：3x 2 x 40 ．⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯1 分解得 x1 或 x 4 ．3结合条件，得 x ≥ 3；⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 3 分② 当 x3 时，原不等式转化为：3x 2 x 10 0 ． ⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 4 分解得 x2 或 x 5 ．3结合条件，得 x2 或5x 3 ．⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯6 分3综上，所求不等式解集为{ x | x2或x5 } ． ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯7 分3（2）当 0 < a ≤ 3 时， f (x) ax 2 x aa (x1 )2 a1 ．2a4a① 若1 3 ，即 1a ≤ 3 时，2a 6∵ f (x) 在 [3, ) 上单调增，∴值域为[10a 3, ) ；⋯⋯⋯⋯⋯ 10 分② 若1≥ 3 ，即 0 a ≤ 1时，值域为 [a1 , ) ．⋯⋯⋯⋯⋯ 13 分2a64a当 a 3 时， f (x)ax 2 x a (x ≥ a ),ax2x a (3≤ x a).∵ f (x) 在 [3, ) 上单调增，∴值域为[8a 3,) ．综上所述：当 0 a ≤ 1时， f (x) 值域为 [a1 ,) ；64a当1a ≤ 3 时， f (x) 值域为 [10a3, ) ；6当 a 3 时， f (x) 值域为 8a3, ．⋯⋯⋯⋯⋯ 16 分（每类 3分，没有综上所述不扣分）。

苏教版高一第二学期数学期末测试题及解析

苏教版高一第二学期数学期末测试题及解析各位读友大家好，此文档由网络收集而来，欢迎您下载，谢谢高中是每位家长和孩子人生的转折，为了帮助考生更好的备考，中国（）为你整理高一第二学期数学期末测试题的相关内容。

高一第二学期数学期末测试题：一、填空题1.设，则2.函数的定义域是_____.3.关于函数，有下面四个结论：是奇函数;恒成立;的最大值是;的最小值是.其中正确结论的是__________________________________ ___.4.已知全集，集合为函数的定义域，则=。

5.直线过点且在两坐标轴上的截距相等，则这直线方程为.6.在中，且..所对边分别为，若，则实数的取值范围为7.在边长为1的等边中，设,,.则8.在中，角A，B，c的对边分别为，AH为Bc边上的高，给出以下四个结论：①;②;③若，则为锐角三角形;④。

其中所有正确结论的序号是9.如图，长为4米的直竹竿AB两端分别在水平地面和墙上，T为AB中点，，当竹竿滑动到A1B1位置时，，竹竿在滑动时中点T也沿着某种轨迹运动到T1点，则T运动的路程是_________米.10.已知函数的图象如图所示，它与x轴在原点处相切，且x轴与函数图象所围成区域的面积为，则a的值为11.在正方体ABcD—A1B1c1D1各个表面的对角线中，与直线异面的有__________条12.在△ABc中，角A、B、c的对边分别是a、，且，则B的大小为.13.若，且，则四边形的形状是________.14.经过两点A,B的直线倾斜角为________.二、解答题15.某公司计划xxxx年在甲、乙两个电视台做总时间不超过300分钟的广告，广告费用不超过9万元.甲、乙电视台的广告收费标准分别为500元/分钟和200元/分钟.假定甲、乙两个电视台为该公司每分钟所做的广告，能给公司带来的收益分别为万元和万元.问：该公司如何分配在甲、乙两个电视台的广告时间，才能使公司收益最大，最大收益是多少万元?16.已知,高一第二学期数学期末测试题的相关内容就为大家介绍到这儿了，希望能帮助到大家。

2020-2021学年江苏省苏州市高一(下)期末数学试卷

2020-2021学年江苏省苏州市高一（下）期末数学试卷试题数：22，总分：1501.（单选题，5分）cos 275°-sin 275°的值为（） A. −√32 B. −12 C. 12 D. √322.（单选题，5分）某工厂6名工人在一小时内生产零件的个数分别是11，12，13，15，15，18，设该组数据的平均数为a ，中位数为b ，则（） A.a=14，b=15 B.a=14，b=14 C.a=14.5，b=14 D.a=14.5，b=153.（单选题，5分）已知一个圆锥的母线长为2，其侧面积为2π，则该圆锥的高为（） A.1 B. √2 C. √3 D.24.（单选题，5分）已知i 为虚数单位，1+i 是关于x 的方程x 2+px+q=0（p ，q∈R ）的一个根，则p+q=（） A.-2 B.0 C.2 D.45.（单选题，5分）已知△ABC 外接圆的圆心为O ，且 2AO ⃗⃗⃗⃗⃗ =AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ， |AB ⃗⃗⃗⃗⃗ |=|AO ⃗⃗⃗⃗⃗ | ，则向量 CA ⃗⃗⃗⃗⃗ 在向量 CB ⃗⃗⃗⃗⃗ 上的投影向量为（） A. 34CB⃗⃗⃗⃗⃗ B. √32CB ⃗⃗⃗⃗⃗C. √22CB ⃗⃗⃗⃗⃗D. 12CB ⃗⃗⃗⃗⃗6.（单选题，5分）我省高考从2021年开始实行“3+1+2”模式，“3”为全国统考科目语文、数学、外语，所有学生必考；“1”为首选科目，考生须在物理、历史两科中选择一科；“2”为再选科目，考生可在化学、生物、思想政治、地理4个科目中选择两科．高一学生小明和小亮正准备进行选科，假如他们首选科目都是物理，再选科目选择每个科目的可能性均相等，且选择互不影响，则他们的选科完全相同的概率为（）A. 16B. 12C. 34D. 567.（单选题，5分）在《九章算术》中，将四个面都是直角三角形的四面体称为“鳖臑”．如图，在鳖臑A-BCD中，AB⊥平面BCD，BD⊥CD，AB=BD=CD，点P在棱AC上运动．设CP的长度为x，△PBD的面积为S，则S=f（x）的大致图象是（）A.B.C.D.8.（单选题，5分）如图，某侦察飞机沿水平直线AC匀速飞行．在A处观测地面目标P，测得俯角∠BAP=30°，飞行3分钟后到达B处，此时观测地面目标P，测得俯角∠ABP=60°．又，则该侦察飞行一段时间后到达C处，此时观测地面目标P，测得俯角∠BCP的余弦值为4√1919飞机由B至C的飞行时间为（）A.2分钟B.2.25分钟C.2.5分钟D.2.75分钟9.（多选题，5分）设m，n是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，则下列命题正确的有（）A.若m || n，m⊥α，则n⊥αB.若m⊥n，m || α，则n⊥αC.若α || β，m⊥α，则m⊥βD.若α⊥β，m⊥α，则m || β10.（多选题，5分）已知i为虚数单位，复数z=（a+i）（1-i）（a∈R），则下列命题正确的有（）A.若a=1，则z为实数B.若a=-1，则z为纯虚数C.若|z|=2，则实数a的值为1D.复数z在复平面内对应的点不可能在第三象限11.（多选题，5分）在△ABC中，若a= 2√2，b=2，B=30°，则△ABC的面积可能为（）A. √3+1B. √6+√2C. √3−1D. √6−√212.（多选题，5分）如图，在棱长为4的正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1中，M ，N 分别是A 1D 1，A 1B 1的中点，则（）A.A 1C⊥平面AMNB.二面角A 1-MN-A 的正切值为 2√2C.三棱锥A 1-AMN 的内切球半径为 12D.过直线BD 与平面AMN 平行的平面截该正方体所得截面的面积为1813.（填空题，5分）已知向量 a =（-1，2）， b ⃗ =（x ，-6），且 AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =2a +3b ⃗ ， BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =a +2b⃗ ，若A ，B ，C 三点共线，则实数x 的值为 ___ ． 14.（填空题，5分）若复数z 在复平面内对应的点在第一象限内，且 z +1z ∈ R ，则符合条件的一个复数为 ___ ．15.（填空题，5分）若sin （α+ π12）= 35，则sin （ π3−2α ）的值为 ___ ．16.（填空题，5分）已知三棱锥S-ABC 中，SA⊥平面ABC ，AB=BC=CA=2，异面直线SC 与AB 所成角的余弦值为 √24 ，则三棱锥S-ABC 的体积为 ___ ，三棱锥S-ABC 的外接球的表面积为 ___ ．17.（问答题，10分）为了解某市家庭用电量的情况，该市统计局调查了100户居民去年一年的月均用电量，发现他们的用电量都在170kW•h 至290kW•h 之间，进行适当分组后，画出频率分布直方图如图所示（1）求a的值；（2）为了既满足居民的基本用电需求，又提高能源的利用效率，市政府计划采用阶梯式递增电价（第一档电量满足居民基本用电需求，电价最低；第二档电量反应正常合理用电需求，电价较高；第三档电量体现较高生活质量用电需求，电价最高）定价，希望使不少于85%的居民缴费在第一档，求第一档月均用电量的最低标准值（单位：kW•h）．18.（问答题，12分）如图，四棱柱ABCD-A1B1C1D1的底面ABCD是正方形，侧面CDD1C1是菱形，∠CDD1=60°，平面CDD1C1⊥平面ABCD，E，F分别为CD1，AB的中点．（1）求证：EF || 平面ADD1A1；（2）求EF与平面ABCD所成角的正切值．19.（问答题，12分）在条件① acosC- 12 c=b；② （b+c）2=a2+bc；③ sin（A- π6）=-2cosA中任选一个，补充在下面的问题中，并求解．问题：△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且_____．（1）求角A 的大小；（2）若sin 2B+sin 2C=1- √34 ，求角B 的大小．20.（问答题，12分）如图，已知正方形ABCD 的边长为2，F 为AD 的中点．（1）若E 为AB 的中点，求tan∠CEF 的值；（2）若E 为线段AB （不含端点）上的一个动点，请探究：当AE 长为多少时，可使得∠CEF 最大？21.（问答题，12分）如图，在△ABC 中，已知D ，E 分别是BC ，AB 的中点，AB= 2√2 ，∠BAC=45°，AD 与CE 交于点O ．（1）若BC=2，求 AD⃗⃗⃗⃗⃗ •BC ⃗⃗⃗⃗⃗ 的值；（2）若 OA ⃗⃗⃗⃗⃗ •OB ⃗⃗⃗⃗⃗ +OB ⃗⃗⃗⃗⃗ •OC ⃗⃗⃗⃗⃗ +OC ⃗⃗⃗⃗⃗ •OA ⃗⃗⃗⃗⃗ =−83 ，求AC 的长．22.（问答题，12分）如图1，在矩形ABCD 中，已知AB= 2√2 ，BC=2，E 为AB 的中点．将△ADE 沿DE 向上翻折，进而得到多面体A 1—BCDE （如图2）．（1）求证：DE⊥A1C；（2）在翻折过程中，求二面角A1-DC-B的最大值．2020-2021学年江苏省苏州市高一（下）期末数学试卷参考答案与试题解析试题数：22，总分：1501.（单选题，5分）cos275°-sin275°的值为（）A. −√32B. −12C. 12D. √32【正确答案】：A【解析】：利用二倍角公式cos2α=cos2α-sin2α进行解答．．【解答】：解：cos275°-sin275°=cos150°=-cos30°=- √32故选：A．【点评】：本题考查二倍角公式的运用，考查运算能力，属于基础题．2.（单选题，5分）某工厂6名工人在一小时内生产零件的个数分别是11，12，13，15，15，18，设该组数据的平均数为a，中位数为b，则（）A.a=14，b=15B.a=14，b=14C.a=14.5，b=14D.a=14.5，b=15【正确答案】：B【解析】：直接根据数据计算平均数与中位数即可．=14，【解答】：解：根据题意，可得a= 11+12+13+15+15+186=14．b= 13+152故选：B．【点评】：本题考查平均数、中位数计算方法，考查数学运算能力，属于基础题．3.（单选题，5分）已知一个圆锥的母线长为2，其侧面积为2π，则该圆锥的高为（）A.1B. √2C. √3D.2【正确答案】：C【解析】：先由圆锥的侧面积求出底面圆的半径，再根据勾股定理，得解．【解答】：解：设圆锥的母线为R，底面圆的半径为r，则R=2，因为侧面积为2π，所以2π= 12•2πr•R= 12•2πr•2，所以r=1，所以圆锥的高h= √R2−r2 = √22−12 = √3．故选：C．【点评】：本题考查圆锥中的简单计算，考查空间立体感和运算求解能力，属于基础题．4.（单选题，5分）已知i为虚数单位，1+i是关于x的方程x2+px+q=0（p，q∈R）的一个根，则p+q=（）A.-2B.0C.2D.4【正确答案】：B【解析】：根据实系数一元二次方程的虚根成对原理，可得：1-i也是原方程的一个虚根，利用根与系数的关系即可求出答案．【解答】：解：因为1+i是关于x的方程x2+px+q=0（p，q∈R）的一个根，根据实系数一元二次方程的虚根成对原理，可得：1-i也是原方程的一个虚根，所以（1+i）+（1-i）=-p，（1+i）（1-i）=q，解得：p=-2，q=2．所以p+q=0．故选：B．【点评】：本题考查了实系数一元二次方程的虚根成对原理、根与系数的关系，考查了推理与计算能力，是基础题．5.（单选题，5分）已知△ABC 外接圆的圆心为O ，且 2AO ⃗⃗⃗⃗⃗ =AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ， |AB ⃗⃗⃗⃗⃗ |=|AO ⃗⃗⃗⃗⃗ | ，则向量 CA ⃗⃗⃗⃗⃗ 在向量 CB ⃗⃗⃗⃗⃗ 上的投影向量为（） A. 34CB⃗⃗⃗⃗⃗ B. √32CB ⃗⃗⃗⃗⃗C.√22CB ⃗⃗⃗⃗⃗D. 12CB⃗⃗⃗⃗⃗ 【正确答案】：A【解析】：根据条件作图可得△ABO 为等边三角形，表示出所求投影即可【解答】：解：∵ 2AO ⃗⃗⃗⃗⃗ =AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +AC⃗⃗⃗⃗⃗ ∴△ABC 外接圆圆心O 为BC 的中点，即BC 为外接圆的直径，如图：又 |AB⃗⃗⃗⃗⃗ |=|AO ⃗⃗⃗⃗⃗ | ，所以△ABO 为等边三角形， ∴∠ACB=30°，∴| CA ⃗⃗⃗⃗⃗ |=| CB ⃗⃗⃗⃗⃗ |cos30°= √32| CB⃗⃗⃗⃗⃗ |，向量 CA ⃗⃗⃗⃗⃗ 在向量 CB ⃗⃗⃗⃗⃗ 上的投影为：| CA ⃗⃗⃗⃗⃗ |cos30°= √32 | CB ⃗⃗⃗⃗⃗ |× √32 = 34| CB ⃗⃗⃗⃗⃗ |．故投影向量为 34 CB⃗⃗⃗⃗⃗ ，故选：A ．【点评】：本题考查了平面向量数量积的性质及其运算，属中档题．6.（单选题，5分）我省高考从2021年开始实行“3+1+2”模式，“3”为全国统考科目语文、数学、外语，所有学生必考；“1”为首选科目，考生须在物理、历史两科中选择一科；“2”为再选科目，考生可在化学、生物、思想政治、地理4个科目中选择两科．高一学生小明和小亮正准备进行选科，假如他们首选科目都是物理，再选科目选择每个科目的可能性均相等，且选择互不影响，则他们的选科完全相同的概率为（）A. 16B. 12C. 34D. 56【正确答案】：A【解析】：基本事件总数n= C11C42 =6，他们的选科完全相同包含的基本事件个数m= C33 =1，由此能求出他们的选科完全相同的概率．【解答】：解：高一学生小明和小亮正准备进行选科，他们首选科目都是物理，再选科目选择每个科目的可能性均相等，且选择互不影响，基本事件总数n= C11C42 =6，他们的选科完全相同包含的基本事件个数m= C33 =1，．则他们的选科完全相同的概率为P= 16故选：A．【点评】：本题考查概率的求法，考查古典概型、列举法等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．7.（单选题，5分）在《九章算术》中，将四个面都是直角三角形的四面体称为“鳖臑”．如图，在鳖臑A-BCD中，AB⊥平面BCD，BD⊥CD，AB=BD=CD，点P在棱AC上运动．设CP的长度为x，△PBD的面积为S，则S=f（x）的大致图象是（）A.B.C.D.【正确答案】：D【解析】：作PQ⊥BC于点Q，作QR⊥BD于点R，连结PR，利用线面垂直的性质定理和判定定理证明BD⊥平面PQR，则BD⊥PR，然后求出f（x）的解析式，由解析式确定函数的图象，即可得到答案．【解答】：解：如图，作PQ⊥BC于点Q，作QR⊥BD于点R，连结PR，因为AB⊥平面BCD，所以AB⊥BD，即BD⊥PQ，又PQ∩QR=Q，所以BD⊥平面PQR，所以BD⊥PR，由题意可知，PQ || AB，QR || CD，设AB=BD=CD=1，则AC= √3，CPAC =√3=PQ1，解得PQ=√3，RQ 1=BQBC=APAC=√3−x√3，所以RQ=√3−x√3则PR=√PQ2+RQ2 = √(√3)2+(√3−x√3)2= √33√2x2−2√3x+3，所以f(x)=√36√2x2−2√3x+3 = √66√(x−√32)2+34．故选：D．【点评】：本题考查了函数与立体几何的综合应用，主要考查了函数图象的识别，解题的关键是掌握识别图象的方法：可以从定义域、值域、函数值的正负、特殊点、特殊值、函数的性质等方面进行判断，考查了直观想象能力与逻辑推理能力，属于中档题．8.（单选题，5分）如图，某侦察飞机沿水平直线AC 匀速飞行．在A 处观测地面目标P ，测得俯角∠BAP=30°，飞行3分钟后到达B 处，此时观测地面目标P ，测得俯角∠ABP=60°．又飞行一段时间后到达C 处，此时观测地面目标P ，测得俯角∠BCP 的余弦值为 4√1919，则该侦察飞机由B 至C 的飞行时间为（）A.2分钟B.2.25分钟C.2.5分钟D.2.75分钟【正确答案】：B【解析】：利用解三角形知识和三角函数关系式的恒等变换求解即可．【解答】：解：设飞机的飞行速度为v ，所以根据飞机的飞行图形，测得俯角∠BAP=30°．飞行3分钟后到达B 处观测地面目标P ，测得俯角∠ABP=60°．所以△ABP 为直角三角形，过点P 作PD⊥AC 于点D ，则：AB=3v ，AP= 3√32 v ，BP= 32v ，解得：DP=3√34v ．设CB=xv ，由于cos∠BCP=4√1919，由同角三角函数的基本关系可得sin∠BCP=√3×√1919，所以tan∠BCP= √34，利用tan∠BCP= 3√34v 34v+xv = √34 ，解得x=2.25．故选：B ．【点评】：本题主要考查三角函数关系式的恒等变换，解三角形知识的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力以及思维能力，属于中档题．9.（多选题，5分）设m ，n 是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，则下列命题正确的有（）A.若m || n ，m⊥α，则n⊥αB.若m⊥n ，m || α，则n⊥αC.若α || β，m⊥α，则m⊥βD.若α⊥β，m⊥α，则m || β 【正确答案】：AC【解析】：由直线与平面垂直的性质判断A 与C ；由空间中直线与直线、直线与平面、平面与平面的位置关系分析B 与D ．【解答】：解：若m || n ，m⊥α，由直线与平面垂直的性质可得n⊥α，故A 正确；若m⊥n ，m || α，则n || α或n⊂α或n 与α相交，相交也不一定垂直，故B 错误；若α || β，m⊥α，由直线与平面垂直的性质可得m⊥β，故C 正确；若α⊥β，m⊥α，则m || β或m⊂β，故D 错误．故选：AC ．【点评】：本题考查空间中直线与直线、直线与平面、平面与平面位置关系的判定，考查空间想象能力与思维能力，是基础题．10.（多选题，5分）已知i 为虚数单位，复数z=（a+i ）（1-i ）（a∈R ），则下列命题正确的有（）A.若a=1，则z 为实数B.若a=-1，则z 为纯虚数C.若|z|=2，则实数a 的值为1D.复数z在复平面内对应的点不可能在第三象限【正确答案】：ABD【解析】：直接利用复数的定义，复数的运算，复数的模，复数表示的几何意义判断A、B、C、D的结论．【解答】：解：复数z=（a+i）（1-i）=a+（1-a）i+1=（a+1）+（1-a）i，对于A：当a=1时，z=2，故z为实数，故A正确；对于B：当a=-1时，z=2i，故z为纯虚数，故B正确；对于C：若|z|=2，故√(a+1)2+(1−a)2=2，解得a=±1，故C错误；对于D：当复数z在复平面内对应的点在第三象限时，{a+1＜01−a＜0得到{a＜−1a＞1，故不存在这样的a，故D正确．故选：ABD．【点评】：本题考查的知识要点：复数的定义，复数的运算，复数的模，复数表示的几何意义，主要考查学生的运算能力和数学思维能力，属于基础题．11.（多选题，5分）在△ABC中，若a= 2√2，b=2，B=30°，则△ABC的面积可能为（）A. √3+1B. √6+√2C. √3−1D. √6−√2【正确答案】：AC【解析】：根据条件及正弦定理即可求出sinA=√22，从而求出A=45°或135°，然后讨论A=45°时，得出C的大小，然后即可求出△ABC的面积，同理可由A=135°时求出△ABC的面积．【解答】：解：在△ABC中，a= 2√2，b=2，B=30°，∴根据正弦定理得2√2sinA =212，解得sinA=√22，且A∈（30°，150°），∴A=45°，或135°，① A=45°时，C=180°-45°-30°=105°，∴sinC=sin105°=sin（45°+60°）= √22×12+√22×√32=√2+√64，∴ S△ABC=12absinC=12×2√2×2×√2+√64= √3+1；② A=135°时，C=180°-135°-30°=15°，∴sinC=sin15°=sin（60°-45°）= √32×√22−12×√22=√6−√24，∴ S△ABC=12absinC = 12×2√2×2×√6−√24=√3−1．故选：AC．【点评】：本题考查了正弦定理，三角形的面积公式，分类讨论的思想，考查了计算能力，属于基础题．12.（多选题，5分）如图，在棱长为4的正方体ABCD-A1B1C1D1中，M，N分别是A1D1，A1B1的中点，则（）A.A1C⊥平面AMNB.二面角A1-MN-A的正切值为2√2C.三棱锥A1-AMN的内切球半径为12D.过直线BD与平面AMN平行的平面截该正方体所得截面的面积为18【正确答案】：BCD【解析】：A中，连接A1C1，交MN于点P，连接AP，利用向量法证明AP与A1C不垂直，即A1C与平面AMN不垂直；B中，找出∠APA1是二面角A1-MN-A的平面角，计算tan∠APA1即可；C中，利用等体积法求出三棱锥A1-AMN的内切球半径长；D中，取B1C1的中点E，C1D1的中点F，连接BE、EF、DF，四边形BEFD是过直线BD与平面AMN平行的截面，可求出四边形的面积．【解答】：解：对于A ，如图1所示，连接A 1C 1，B 1D 1，则MN || B 1D 1，由B 1D 1⊥平面A 1C 1C ，得MN⊥平面A 1C 1C ，所以MN⊥A 1C ；设MN 交A 1C 1于点P ，连接AP ，以矩形ACC 1A 1的底边AC 为x 轴，AA 1为y 轴建立平面直角坐标系，如图2 所示：则A （0，0），C （4 √2 ，0），A 1（0，4），P （1，4），所以 AP ⃗⃗⃗⃗⃗ =（1，4）， A 1C ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =（4 √2 ，-4），则 AP ⃗⃗⃗⃗⃗ • A 1C ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =4 √2 -16≠0，所以 AP ⃗⃗⃗⃗⃗ 与 A 1C ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 不垂直，即AP 与A 1C 不垂直，所以A 1C 与平面AMN 不垂直，选项A 错误；对于B ，∠APA 1是二面角A 1-MN-A 的平面角，计算tan∠APA 1= AA 1A 1P = √2 =2 √2 ，所以二面角A 1-MN-A 的正切值为 2√2 ，选项B 正确；对于C ，设三棱锥A 1-AMN 的内切球半径为r ，则 13 r （2× 12 ×4×2+ 12 ×2×2+ 12 ×2 √2 × √42+(√2)2）= 13 × 12 ×2×2×4，解答r= 12 ，所以三棱锥A 1-AMN 的内切球半径为 12 ，选项C 正确；对于D ，如图3所示取B 1C 1的中点E ，C 1D 1的中点F ，连接BE 、EF 、DF ，则四边形BEFD 是过直线BD 与平面AMN 平行的截面，且四边形BEFD 是等腰梯形，计算梯形BEFD 的面积为S= 12×（2 √2 +4 √2 ）×3 √2 =18，所以选项D 正确．故选：BCD ．【点评】：本题考查了空间几何体的结构特征与应用问题，也考查了平行与垂直的判断问题和面积、体积的计算问题，是中档题．13.（填空题，5分）已知向量 a =（-1，2）， b ⃗ =（x ，-6），且 AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =2a +3b ⃗ ， BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =a +2b⃗ ，若A ，B ，C 三点共线，则实数x 的值为 ___ ．【正确答案】：[1]3【解析】：先求出 AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ， BC ⃗⃗⃗⃗⃗ ，由A ，B ，C 三点共线，得 AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ∥BC ⃗⃗⃗⃗⃗ ，再求出实数x 的值．【解答】：解：向量 a =（-1，2）， b ⃗ =（x ，-6），且 AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =2a +3b ⃗ ， BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =a +2b ⃗ ， ∴ AB⃗⃗⃗⃗⃗ =（-2，4）+（3x ，-18）=（-2+3x ，-14）， BC⃗⃗⃗⃗⃗ =（-1+2x ，-10）， ∵A ，B ，C 三点共线，∴ AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ∥BC⃗⃗⃗⃗⃗ ， ∴-14（-1+2x ）=-10（-2+3x ），解得x=3．故答案为：3．【点评】：本题考查向量平行的性质，考查运算求解能力，是基础题．14.（填空题，5分）若复数z 在复平面内对应的点在第一象限内，且 z +1z ∈ R ，则符合条件的一个复数为 ___ ．【正确答案】：[1] 12+ √32i【解析】：先设复数z=a+bi （a ，b∈R ），利用复数代数形式的乘除运算化简，求出 z +1z ∈ R 对应的条件即可．【解答】：解：设复数z=a+bi （a ，b∈R ），则z+ 1z=（a+ a a 2+b 2 ）+（b- ba 2+b 2）i ， ∵ z +1z ∈ R ，∴b - ba 2+b 2 =0，∴b=0或a 2+b 2=1， ∴符合条件的一个复数为 12 + √32 i ，故答案为： 12 + √32 i ，【点评】：本题考查了复数的代数表示法及代数形式的乘除运算，是基础题． 15.（填空题，5分）若sin （α+ π12 ）= 35 ，则sin （ π3−2α ）的值为 ___ ．【正确答案】：[1] 725【解析】：根据已知条件，先运用三角函数的诱导公式，再结合二倍角公司，即可求解．【解答】：解：∵ sin (π3−2α)=cos [π2−(π3−2α)] = cos (2α+π6) ，又∵sin （α+ π12 ）= 35 ，∴ cos (2α+π6)=1−2sin 2(α+π12) = 1−2×925=725 ．故答案为： 725 ．【点评】：本题考查了三角函数的诱导公式，以及二倍角公式，需要学生熟练掌握公式，属于基础题．16.（填空题，5分）已知三棱锥S-ABC 中，SA⊥平面ABC ，AB=BC=CA=2，异面直线SC 与AB 所成角的余弦值为 √24 ，则三棱锥S-ABC 的体积为 ___ ，三棱锥S-ABC 的外接球的表面积为 ___ ．【正确答案】：[1]2√33 ; [2] 283π 【解析】：分别取AC 、SA 、SB 、AB 的中点M 、N 、E 、F ，连接MN 、NE 、EF 、MF 、ME ，则∠MNE 为异面直线SC 与AB 所成角，可得cos∠MNE= √24 ，设SA=t ，由余弦定理列式求得t ，则三棱锥的体积可求；再找出三棱锥S-ABC 的外接球的外心，利用勾股定理求得外接球的半径，代入球的表面积公式得答案．【解答】：解：如图，分别取AC、SA、SB、AB的中点M、N、E、F，连接MN、NE、EF、MF、ME，可得MN || SC，NE || AB，则∠MNE为异面直线SC与AB所成角，∴cos∠MNE= √24，设SA=t，可得MN= 12√t2+4，NE= 12AB=1，EF= 12t，MF=1，则ME= √t24+1，在△MNE中，由余弦定理，可得ME2=MN2+NE2-2MN•NE•cos∠MNE，∴ t24+1=t24+1+1−2 × 12√t2+4 ×1× √24，解得t=2，∴三棱锥S-ABC的体积为V= 13×12×2×√3×2 = 2√33，设底面三角形ABC的中心为G，三棱锥S-ABC的外接球的球心为O，连接OG，则OG⊥平面ABC，AG= 23√22−12=2√33，OG= 12SA=1，则三棱锥S-ABC的外接球的半径R=OA= √AG2+OG2 = √73．∴三棱锥S-ABC的外接球的表面积为S=4π× (√73)2= 28π3．故答案为：2√33；28π3．【点评】：本题考查空间异面直线所成角，多面体外接球表面积的求法，考查空间想象能力与运算求解能力，是中档题．17.（问答题，10分）为了解某市家庭用电量的情况，该市统计局调查了100户居民去年一年的月均用电量，发现他们的用电量都在170kW•h至290kW•h之间，进行适当分组后，画出频率分布直方图如图所示（1）求a的值；（2）为了既满足居民的基本用电需求，又提高能源的利用效率，市政府计划采用阶梯式递增电价（第一档电量满足居民基本用电需求，电价最低；第二档电量反应正常合理用电需求，电价较高；第三档电量体现较高生活质量用电需求，电价最高）定价，希望使不少于85%的居民缴费在第一档，求第一档月均用电量的最低标准值（单位：kW•h）．【正确答案】：【解析】：（1）由频率分布直方图的性质，可得各个区间的频率和为1，即可求a的值．（2）先分别算出前四组和前五组的频率之和，可确定频率为0.85时对应的数据在第五组，即可求解．【解答】：解：（1）由频率分布直方图的性质，可得（0.006+0.009+a+0.011+0.006+0.003）×20=1，解得a=0.015．（2）∵前四组的频率之和为（0.006+0.009+0.015+0.011）×20=0.82＜0.85，前5组的频率之和为（0.006+0.009+0.015+0.011+0.006）×20=0.94＞0.85，∴频率为0.85时对应的数据在第五组，=255kW•h，∴第一档月均用电量最低标准值为250+ 0.85−0.820.94−0.82∴第一档月均用电量的最低标准值255kW•h．【点评】：本题考查了频率分布直方图的应用问题，也考查了频率、频数与样本容量的应用问题，属于基础题．18.（问答题，12分）如图，四棱柱ABCD-A1B1C1D1的底面ABCD是正方形，侧面CDD1C1是菱形，∠CDD1=60°，平面CDD1C1⊥平面ABCD，E，F分别为CD1，AB的中点．（1）求证：EF || 平面ADD1A1；（2）求EF与平面ABCD所成角的正切值．【正确答案】：【解析】：（1）设DD1中点为G，则四边形AFEG是平行四边形，所以EF || AG，进而可得到EF || 平面ADD1A1；（2）过E作EH⊥DC于H，则∠EFH为直线EF与平面ABCD所成的角，再利用几何关系可得EF与平面ABCD所成角的正切值．【解答】：解：（1）证明：设DD1中点为G，连接EG，AG．因为E，G分别为CD1，DD1的中点，所以EG || CD，EG= 12CD．在正方形ABCD中，F是AB的中点，所以AF=12AB=12CD，且AF || CD，所以EG || AF 且 EG=AF．所以四边形AFEG是平行四边形，所以EF || AG．因为AG⊂平面ADD1A1，EF⊄平面 ADD1A1，所以EF || 平面ADD1A1．（2）过D1作D1M⊥DC于M，过E作EH⊥DC于H，连接FH，则EH || D1M．因为平面C1D1DC⊥平面 ABCD，且平面C1D1DC∩平面ABCD=CD，EH⊂平面C1D1DC，所以EH⊥平面ABCD．所以FH是EF在平面ABCD的射影．所以∠EFH为直线EF与平面ABCD所成的角．设正方形ABCD的边长为a，因为侧面CDD1C1是菱形，∠CDD1=60°，所以D1M=√32a．又因为EH || D1M且E是CD1的中点，所以EH=12D1M=√34a．在正方形ABCD中，F为AB的中点，H为CD的四等分点，FH=√174a．所以在直角三角形EHF中，tan∠EFH=EHFH =√5117．所以EF与平面ABCD所成角的正弦值为√5117．【点评】：本题考查线面平行的证明，考查线面角的求法，考查直观想象的核心素养，属于中档题．19.（问答题，12分）在条件① acosC- 12 c=b；② （b+c）2=a2+bc；③ sin（A- π6）=-2cosA中任选一个，补充在下面的问题中，并求解．问题：△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且_____．（1）求角A的大小；（2）若sin2B+sin2C=1- √34，求角B的大小．【正确答案】：【解析】：（1）若选① ，由正弦定理，三角形内角和定理，两角和的正弦公式化简已知等式可得cosA=- 12，结合范围A∈（0，π），可得A的值．若选② ，由已知可得b2+c2-a2=-bc，由余弦定理可得cosA=- 12，结合范围A∈（0，π），可得A的值．若选③ ，利用两角差的正弦公式，同角三角函数基本关系式化简已知等式可得tanA=- √3，结合范围A∈（0，π），可得A的值．（2）由题意利用三角函数恒等变换的应用化简已知等式可得sin（2B+ π6）= √32，可求范围2B+ π6∈（π6，5π6），进而解得B的值．【解答】：解：（1）若选① ，因为acosC- 12c=b，由正弦定理可得2sinAcosC-sinC=2sinB=2sin（A+C），即2sinAcosC-sinC=2sinAcosC+2cosAsinC，所以-sinC=2cosAsinC，因为sinC≠0，所以可得cosA=- 12，因为A∈（0，π），所以A= 2π3．若选② ，因为（b+c）2=a2+bc，可得b2+c2-a2=-bc，由余弦定理可得cosA= b 2+c2−a22bc=- 12，因为A∈（0，π），所以A= 2π3．若选③ ，因为sin（A- π6）= √32sinA- 12cosA=-2cosA，所以sinA=- √3 cosA，即tanA=- √3，（cosA≠0，否则不符合题意），因为A∈（0，π），所以A= 2π3．（2）因为sin2B+sin2C=1- √34，所以1−cos2B2+ 1−cos2C2=1- √34，即cos2B+cos2C= √32，又A= 2π3，所以B+C= π3，原式可化为cos2B+cos（2π3 -2B）= √32，化简可得sin（2B+ π6）= √32，因为B ∈(0，π3)，2B+ π6∈（π6，5π6），所以2B+ π6 = π3，或2B+ π6= 2π3，解得B= π12，或π4．【点评】：本题主要考查了正弦定理，余弦定理以及三角函数恒等变换在解三角形中的综合应用，考查了计算能力和转化思想，属于中档题．20.（问答题，12分）如图，已知正方形ABCD的边长为2，F为AD的中点．（1）若E为AB的中点，求tan∠CEF的值；（2）若E为线段AB（不含端点）上的一个动点，请探究：当AE长为多少时，可使得∠CEF 最大？【正确答案】：【解析】：（1）直接利用三角函数的值和三角形的边长的关系的应用求出结果；（2）利用解直角三角形知识的应用和基本不等式的应用求出结果．【解答】：解：设∠AEF=α，∠BEC=β，（α，β∈(0，π2)），（1）由于正方形ABCD的边长为2，且E，F分别为AB，AD的中点，所以AE=AF=BE=1，所以α=π4，所以tanα=1．由于BC=2，所以tanβ=2，所以tan（α+β）= tanα+tanβ1−tanαtanβ=1+21−1×2=−3．则tan∠CEF=tan[π-（α+β）]=-tan（α+β）=3．（2）设AE=x，其中0＜x＜2，在直角三角形AEF中，tan α=AFAE =1x，在直角三角形BEC中，tan β=BCBE =22−x，所以tan∠CEF=-tan （α+β）=- tanα+tanβ1−tanαtanβ =- 1x +22−x 1−2x (2−x )= −2+x 2x−x 2+2 = x+2x 2−2x+2，其中：0＜x ＜2，令t=x+2，则x=t-2，其中2＜t ＜4，所以tan ∠CEF =tt 2−6t+10 = 1t+10t−6 ，由于2＜t ＜4，所以 t +10t≥2√10 ，故 t +10t −6≥2√10−6 ，当且仅当t= √10 时，即x= √10−2 时，等号成立，所以tan ∠CE ≤12√10−6=3+√102，由于y=tanx 在（0， π2 ）上单调递增，当AE= √10−2 时，可使∠CEF 最大．【点评】：本题考查的知识要点：三角函数的值的应用，基本不等式的应用，主要考查学生的运算能力和数学思维能力，属于中档题．21.（问答题，12分）如图，在△ABC 中，已知D ，E 分别是BC ，AB 的中点，AB= 2√2 ，∠BAC=45°，AD 与CE 交于点O ．（1）若BC=2，求 AD ⃗⃗⃗⃗⃗ •BC⃗⃗⃗⃗⃗ 的值；（2）若 OA ⃗⃗⃗⃗⃗ •OB ⃗⃗⃗⃗⃗ +OB ⃗⃗⃗⃗⃗ •OC ⃗⃗⃗⃗⃗ +OC ⃗⃗⃗⃗⃗ •OA ⃗⃗⃗⃗⃗ =−83 ，求AC 的长．【正确答案】：【解析】：（1）有正弦定理可得∠ACB=90°，AC=2，根据 AD ⃗⃗⃗⃗⃗ =12 （ AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ）= 12（ a + b ⃗ ）， BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =AC ⃗⃗⃗⃗⃗ −AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =b ⃗ −a ，代入计算即可；（2）根据条件可得O 为△ABC 重心，分别表示出 OA ⃗⃗⃗⃗⃗ ，OB ⃗⃗⃗⃗⃗ ，OC ⃗⃗⃗⃗⃗ ，代入条件可得 a 2+b ⃗ 2−a •b ⃗ =8，再结合大条件求得| b ⃗⃗⃗ |=2即AC ．【解答】：解：（1）在△ABC 中，AB=2 √2 ，BC=2，∠BAC=45°，由正弦定理 BCsin∠BAC = ABsin∠ACB 可得∠ACB=90°，所以AC=2，设 AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =a ， AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =b ⃗ ，因为D 为BC 中点，所以 AD ⃗⃗⃗⃗⃗ =12 （ AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ）= 12（ a + b ⃗ ），又因为 BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =AC ⃗⃗⃗⃗⃗ −AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =b ⃗ −a ，所以 AD ⃗⃗⃗⃗⃗ •BC ⃗⃗⃗⃗⃗ = 12 （ a + b ⃗ ）•（ b ⃗ −a ）= 12（ b ⃗ 2−a 2 ）=-2；（2）因为D 、E 分别是BC ，AB 的中点，且AD 与CE 交于点O ，所以O 为△ABC 的重心，所以 OA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =−23AD ⃗⃗⃗⃗⃗ =- 13(AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ) =- 13(a +b ⃗ ) ，又因为 OB ⃗⃗⃗⃗⃗ =OA ⃗⃗⃗⃗⃗ +AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =- 13(a +b ⃗ )+a = 13(2a −b ⃗ ) ， OC ⃗⃗⃗⃗⃗ =OA ⃗⃗⃗⃗⃗ +AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =- 13(a +b ⃗ )+b ⃗ = 13(2b ⃗ −a ) ，所以 OA ⃗⃗⃗⃗⃗ •OB ⃗⃗⃗⃗⃗ +OB ⃗⃗⃗⃗⃗ •OC ⃗⃗⃗⃗⃗ +OC ⃗⃗⃗⃗⃗ •OA ⃗⃗⃗⃗⃗ = 12 [（ OA ⃗⃗⃗⃗⃗ +OB ⃗⃗⃗⃗⃗ +OC ⃗⃗⃗⃗⃗ ）²-（ OA ⃗⃗⃗⃗⃗ 2+OB ⃗⃗⃗⃗⃗ 2+OC ⃗⃗⃗⃗⃗ 2 ）]=- 12 （ OA ⃗⃗⃗⃗⃗ 2+OB ⃗⃗⃗⃗⃗ 2+OC ⃗⃗⃗⃗⃗ 2 ）=- 13 （ a 2+b ⃗ 2−a •b ⃗ ）=- 83，所以 a 2+b ⃗ 2−a •b⃗ =8，因为AB= 2√2 ，∠BAC=45°，所以（2 √2 ）²+| b ⃗ |²-2 √2 ×| b ⃗⃗⃗ |× √22 =8，即| b ⃗⃗⃗ |²-2| b ⃗⃗⃗ |=0，解得| b ⃗⃗⃗ |=2（0舍去），故AC=2．【点评】：本题考查平面向量数量积的运算，正弦定理的应用，以及三角形重心的性质，属于综合中档题．22.（问答题，12分）如图1，在矩形ABCD 中，已知AB= 2√2 ，BC=2，E 为AB 的中点．将△ADE 沿DE 向上翻折，进而得到多面体A 1—BCDE （如图2）．（1）求证：DE⊥A 1C ；（2）在翻折过程中，求二面角A 1-DC-B 的最大值．【正确答案】：【解析】：（1）连结AC交DE于点F，利用三角形相似证明DE⊥AC，结合DE⊥A1F，证明DE⊥平面A1FC，从而证明DE⊥A1C；（2）过点A1作A1H⊥FC，垂足为H，过H作HG⊥DC，垂足为G，连结A1G，利用线面垂直的判定定理和性质定理证明A1H⊥CD，CD⊥A1G，从而得到∠A1GH为二面角A1-CD-B的平面角，设∠A1FC=θ∈（0，π），则tan∠A1HG= A1HHG =√3sinθ2−cosθ，然后利用三角形的有界性求解最值即可．【解答】：（1）证明：如图1，连结AC交DE于点F，因为AB= 2√2，且E为AB的中点，则AE=√2，在矩形ABCD中，因为AD=2，AEAD =BCAB=√2，所以△EDA∽△CBA，所以∠ADE=∠BAC，所以∠AED+∠BAC=∠AED+∠ADE=90°，则∠AFE=180°-（∠AED+∠CAB）=90°，即DE⊥AC，由题意可知，DE⊥A1F，DE⊥FC，A1F∩FC=F，A1F，FC⊂平面A1FC，所以DE⊥平面A1FC，因为A1C⊂平面A1FC，所以DE⊥A1C；（2）解：如图2，过点A1作A1H⊥FC，垂足为H，过H作HG⊥DC，垂足为G，连结A1G，因为DE⊥平面A1FC，A1H⊂平面A1FC，所以A1H⊥DE，又因为A1H⊥FC，FC∩DE=F，DE，FC⊂平面BCDE，所以A1H⊥平面BCDE，又CD⊂平面BCDE，所以A1H⊥CD，又因为HG⊥CD，A1H∩HG=H，A1H，HG⊂平面A1HG，所以CD⊥平面A1HG，又A1G⊂平面A1HG，所以CD⊥A1G，则∠A1GH为二面角A1-CD-B的平面角，在翻折过程中，设∠A1FC=θ∈（0，π），在矩形ABCD中，由AB= 2√2，AD=2，E为AB的中点，可得AF= 2√33，FC= 4√33，在直角三角形A1FH中，A1H= 2√33sinθ，FH= 2√33cosθ，所以HC=FC-FH= 2√33(2−cosθ)，因为HG⊥DC，则HG || AD，所以HGAD =CHCA，则HG= 23(2−cosθ)，在直角三角形A1HG中，tan∠A1HG= A1HHG =√3sinθ2−cosθ，设y=√3sinθ2−cosθ，θ∈(0，π)，则√3sinθ+ycosθ=2y，故√3+y2sin(θ+φ)=2y，所以sin(θ+φ)=2y√3+y2≤1，解得0＜y≤1，即0＜tan∠A1HG≤1，又∠A1HG ∈(0，π2)，所以0＜∠A1HG≤ π4，所以二面角A1-DC-B的最大值为π4．【点评】：本题考查了线面垂直的判定定理和性质定理的应用，二面角的求解，解题的关键是利用二面角的平面角定义找到所对应的角，三角函数有界性的应用，考查了逻辑推理能力、空间想象能力与化简运算能力，属于中档题．。

1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。

江苏高一数学下学期期末考试试题苏教版
TTA standardization office【TTA 5AB- TTAK 08- TTA 2C】
高一下学期期末考试数学试题
一、填空题：（本题共14小题，每小题5分，共70分，请把答案填写在答卷相应位
置上）
1．某运动员在某赛季的得分如右边的茎叶图，该运动员得分的方差为 ▲ . 2．连续抛掷一颗骰子两次，则2次掷得的点数之和为6的概率是 ▲ .
3．两根相距6米的木杆上系一根绳子，并在绳子上挂一盏灯，则灯与两端距离都大于
2米的概率是 ▲ .
4．根据如图所示的伪代码，输出的结果S 为 ▲ .
5．若a>1则y=1
1-+a a 的最小值为 ▲ . 6．在△ABC 中，若a=2bcosC ，则△ABC 的形状为 ▲ .
7．我校高中生共有2700人，其中高一年级900人，高二年级1200人，高三年级600
人，现采取分层抽样法抽取容量为135的样本，那么高一、高二、高三各年级抽取的
人数分别为 ▲ .
8．不等式02<+-b ax x 的解集为{}32|<<x x ，则不等式012>--ax bx 的解集为
▲ .
9．设x>0,y>0，x+y=4，则y
x u 11+=的最小值为 ▲ . 10．在△ABC 中，∠A=600,b=1,这个三角形的面积为3，则△ABC 外接圆的直径是
▲ .
11．等差数列{}n b 中，53=b ，95=b ，数列{}n a 中，11=a ，n n n b a a =--1()2≥n ，则
数列{}n a 的通项公式为=n a ▲ .
1 8 9
2 0 1 2
D C
B A 12．若实数a,b 满足()1014>=+--a b a ab ，则()()21++b a 的最小值为 ▲ .
13．在等差数列{}n a 中，若42≥S ，93≤S ，则4a 的最大值为 ▲ .
14．已知数列{}n a 满足n a a a a n n n n =+--+++1
111（n 为正整数），且62=a ，则数列{}n a 的通项公式为n a = ▲ .
二、解答题（本题共6个小题，每题15分，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
16． (1)从集合｛0，1，2，3｝中任取一个数x ，从集合｛0，1，2｝中任取一个数y ，求x>y 的概率。

（2）从区间[0，3]中任取一个数x,，从区间[0，2]中任取一个数y ，求x>y 的概率。

17．在△ABC 中，∠A, ∠B, ∠C 所对的边分别为a,b,c ，且222c b bc a +=+（1）求∠A 的大小；（2）若b=2，a=3，求边c 的大小；（3）若a=3，求△ABC 面积的最大值。

18．已知函数()()1
31--+=x x a x (1)当a=1时，解关于x 的不等式()1<x f
(2)当R a ∈时，解关于x 的不等式()1<x f (3)不等式()a x x f -<对任意1>x 恒成立，求a 的取值范围
19．如图，要设计一张矩形广告，该广告含有大小相等的左右两个矩形栏目（即图中阴影部分），这两栏的面积之和为18000cm 2，四周空白的宽度为10cm ，两栏之间的中缝空白的宽度为5cm.
(1)怎样确定广告的高与宽的尺寸
（单位：cm ），能使矩形广告面积最小
(2)如果左栏矩形ABCD 要满足k BC AB
≥
（k 是常数，且k>1）,怎样确定广告的
高与宽的尺寸（单位：cm ），能使矩形
广告面积最小.
∴设数列{}n b 公差为d ，则得， ∴1615b d +＝87，
18
．(1) ()2,1
(2) a=0时()1-，∞
a<0时()+∞⋃⎪⎭⎫
⎝⎛∞,12-a ，
0<a<2时⎪⎭
⎫ ⎝⎛a 2,1 a=2时φ
a>2时⎪⎭
⎫ ⎝⎛1,2a （3）a<1
(2)设
BC=x 则k x 10
300≤
当58>k 时，广告宽251060+k
高201030+k ，可使广告面积最小当5
81≤<k 时，广告的高为140cm ，宽为175时，可使广告面积最小。

20．（I ）解：∵a n +1=2 a n +1（n ∈N ）,
∴a n +1+1=2(a n +1),
∴| a n +1| 是以a 1+1=2为首项，2为公比的等比数列。

∴a n +1=2n ，
既a n =2n －1(n ∈N)。

（II ）证法一：∵4b1－14 b2－2…4 b n －1=(a +1)bn ，
∵4k1+k2+…+kn =2nk ,
∴2[(b 1+b 2+…+b n )-n]=nbn, ①
2[(b 1+b 2+…+b n+1)-(n+1)]=(n+1)b n+1 ②
②-①,得2(b n+1-1)=(n+1)b n+1-nb n ,
即 (n-1)b n+1-nb n +2=0. ③
nb n+2=(n+1)b n+1+2=0. ④
④-③，得nb n+2-2nb n+1-nb n =0,
即 b n+2-2b n+1+b=0,
∴b n-2-b n+1=b n (n ∈N *),
∴{b n }是等差数列.
证法二：同证法一，得
(n-1)b n+1=nb n +2=0
令n=1，得b 1=2.
设b 2=2+d(d ∈R),，下面用数学归纳法证明 b n =2+(n-1)d.
(1)当n=1,得b 1=2.
(2)假设当n=k(k ≥2)时，b 1=2+(k-1)d,那么
b k+1=.)1)1((21
2))1(2(1121d k k d k k k k b k k -++=---+-=--- 这就是说，当n=k+1时，等式也成立.
根据(1)和(2)，可知b n =2(n-1)d 对任何n ∈N *都成立.
∵b n+1-b n=d, ∴{b n}是等差数列.。

江苏高一数学下学期期末考试试题苏教版

2020-2021学年高一数学下学期期末测试卷(苏教版 2019)02(必修二解析版)

江苏省高一下学期期末考试(数学)

最新江苏省高一数学下学期期末考试试题苏教版

2021-2022学年江苏省苏州市高一下学期期末数学试题【含答案】

高一数学下学期期末试卷(1)苏教版

2021学年江苏高一下学期苏教版高中数学期末考试【含解析】

苏教版高一下学期数学期末试卷(含答案解析)

最新版江苏省高一下学期期末考试数学试题 Word版含答案

江苏省苏州市2019-2020学年高一下学期期末数学试卷 (含解析)

江苏省南京市高一下学期期末考试数学含答案

江苏省13市2024届高一数学第二学期期末学业水平测试试题含解析

苏教版高一下学期数学期末试卷(含答案解析)

2020-2021学年江苏省苏州市高一(下)期末数学试卷

2020-2021学年苏教版高一数学下学期期末模拟综合检测试题及答案解析

江苏省苏州市高一数学下学期期末调研测试试题苏教版.doc

苏教版高一第二学期数学期末测试题及解析

2020-2021学年江苏省苏州市高一(下)期末数学试卷