斐波那契数列教学设计

《斐波那契数列》教学设计

杨遇春

教学背景：

《斐波那契数列》是江苏教育出版社《普通高中课程标准实验教科书·数学·必修5》第59页的阅读材料，是学生在学习完数列（主要是等差数列和等比数列）后安排的一节课外学习内容。考虑到本节内容学生自学有一定难度，同时本节课对培养学生学习数学的兴趣，提高自己对数列的认识和后续学习都很有帮助，而且本课所强调的自主探索、合作交流的学习能力在我们的学生中还有待进一步提高，因此我决定用一节课引导学生学习本节内容。

多媒体技术是现代课堂教学的重要手段，它为我们提供大量的信息和课程内容，是提高课堂效率、丰富课堂内容的有效途径。在本节课我主要借助PowerPoint演示加网络搜索的方法教学，用PowerPoint来向学生展示本节的主要学习思路和大纲，然后问题引导学生用网络搜索引擎查找问题答案展开学习。

教学目标：

1．使学生了解了斐波那契数列；

2．向学生展示生活中的数学，感受数学美和数学思想；

3．指导学生在现代技术条件下如何从网络上选择知识和学习知识进而解决问题。

教学重点：

认识斐波那契数列

教学过程：

1、斐波那契数列的由来（创设情景，引入主题）

先用PowerPoint让学生看一个有趣的问题：有一个人第一月底时在一间房子里放了一对刚出生的小兔，小兔一个月后能长成大兔，再过一个月便能生下一对小兔，次后每个月生一对小兔。如果不发生死亡，那么到年底这个人有多少对兔子？

先由学生自己思考，我不急于公布答案，而是与同学们共同做如下研：

我们用◎表示一对大兔，用○表示一对小兔，逐月统计兔子的对数（用PowerPoint逐月显示，加以讲解，务必要学生理解递推的本质）

第1月底○

第2月底◎

第3月底◎○

第4月底◎○◎

第5月底◎○◎◎○

第6月底◎○◎◎○◎○◎

记第n 月底的兔子对数为n F ，则：

1F =1，2F =1，3F =2，4F =3，5F =5，6F =8，…

观察数列{n F }规律很容易发现，从第三项起，每一项都是它前两项的和，即

2n F + = 1n F + + n F （n ∈N ＊

） 这样很容易知道年底共有144对兔子。

我们得到这样一个数列：1，1，2，3，5，8，13，21，34，55，89，144，233，377，… 这个数列是由意大利数学家斐波那契于1202年从兔子的繁殖问题中提出的，为了纪念他，人们把这种数列叫斐波那契数列。

用PowerPoint 提出以下问题，由学生自己在网上搜索解答：

问题1：斐波那契生平如何，有那些主要贡献和著作？ （参考网址：/zttj/showArticle.asp?ArticleID=24 /default/articles/040920101401406.aspx?z=161284&m=273312）

问题2：上述斐波那契数列是用递推公式表示的，它的通项公式是什么？

（答案： 1515()()225

n n n F +--= ） 2、斐波那契数列的魅力（老师用PowerPoint 提出问题和方向，学生探究）

（1）下图树木各个年份的枝桠数，与斐波那契数列有什么关系？（树木的生长模式）

树木各个年份的枝桠数，构成斐波那契数列。这个规律，就是生物学上著名的“鲁德维格定律”。（有兴趣的同学下课后去了解什么是“鲁德维格定律”。）

（2）大自然还有很多与斐波那契数列有关的奇妙现象，最有名的就是斐波那契螺旋，究竟是什么呢？（斐波那契螺旋）

（参考网址：/magazine/200112/011201.htm ）

（以下用PowerPoint 向学生展示）

例如：蓟，它们的头部几乎呈球状。在下面这个图里，标出了两条不同方向的螺旋。我

们可以数一下，顺时针旋转的（和左边那条旋转方向相同）螺旋一共有13条，而逆时针旋转的则有21条。而下面这幅图中的顺逆方向螺旋数目则恰好相反。

具有13条顺时针旋转和21条逆时针旋转的螺旋的蓟的头部

例如带小花的大向日葵的管状小花排列成两组交错的斐波那契螺旋，并且顺时针和逆时针螺旋的条数恰是斐波那契数列中相邻的两项，其中顺时针的螺旋有34条，逆时针的螺旋有55条。

蒲公英和松塔也是以斐波那契螺旋排列种子或鳞片的：

另外还有很多，如蜘蛛网、水流的旋涡、蜗牛壳的螺纹以及星系内星球的分布等也是按照斐波那契螺旋排列的。

（3）奇妙的斐波那契数列与奇妙的黄金分割比有联系吗？

（参考网址：/Article/2004/9-26************.html

/Article_show.asp?ArticleID=285）

斐波那契数列中相邻两数之比（小数比大数）无限趋近黄金分割比。

（4）学生有兴趣课外继续寻找还有那些事物与斐波那契数列有关系。

为了推动斐波那契数列的研究和应用，美国还于1963年创办了《斐波那契季刊》这一数学杂志，定期发表一些与斐波那契数列有关系的研究成果。

3、斐波那契数列在中学的应用

斐波那契数列在中学的应用主要体现在一些数学竞赛的题目里：

例题：一只蜜蜂从0号蜂房开始爬，只能往比原来的房号大的蜂房爬，最后爬到9号蜂房，问有多少种不同的爬法？（2003年全国希望杯数学邀请赛）

1种爬法，到二号蜂房有2种爬法，到三号蜂房的爬法应该等于到一号蜂房与到二号蜂房爬法之和，有1加2等于3种爬法，依次类推得到了正确答案97855a a a =+=．

下面这道英国的数学竞赛题，它的背景就是斐波那契数列：

证明：数列01y =，11(32

n n y y +=

（0n >）的各项都由整数构成。 4、小节与作业

总结本节课的主要内容——认识斐波那契数列，鼓励同学们在本节的探索精神，希望同学们在以后的学习中坚持这样的学习方法。以下两个问题给同学们课后考虑：

（1）如何用算法语言求斐波那契数列的第n 项与前n 项的和？

（2）一个正方形边长为8个长度单位，面积为8×8 = 64个面积单位，将其按照图1的尺寸剪成4块拼成如图2的长方形，那么长方形的面积为13×5 = 65个面积单位，为什么会多出一个面积单位？它和斐波那契数列有什么联系吗？