插值法与Lagrange插值课件
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第6讲(1)插值
8
其中 Ai 为待定系数，利用li ( xi ) = 1可解得：
Ai = ( xi − x0 )
1 ( xi − xi−1 )( xi − xi+1 )
(xi − xn )
从而
∏ li ( x) =
j≠i
x − xj xi − x j
基本插值函数 (插值基函数)
9
2-2 Lagrange 插值多项式
数类，插值函数 P( x) 满足 P( xi ) = yi (i = 0, , n) ， 即
a0ϕ0 ( xi ) + a1ϕ1 ( xi ) + + anϕn ( xi ) = yi , i = 0, , n
6
若插值基函数{ϕ
i
(
x
)}n i=
0
线性无关，则上述方程组
有唯一的解{ai
}n i=
0
(3)
P(xk ) = I1,
,n ( xk
)
xk x1
− xn+1 − xn+1
+
I2,
,n+1 ( xk
)
xk − x1 xn+1 − x1
=
f
( xk
)
xk x1
− −
xn +1 xn +1
+
f
( xk
)
xk − x1 xn+1 − x1
=
f (xk )
(2 ≤ k ≤ n)
23
注 由上述性质可知， P(x) 是 f (x) 的关于节点 x1, , xn+1的 n 次插值多项式. 它实质上是对两个 n −1次的插值多项式，再经过线性插值求出的.
研究生数值分析(14)拉格朗日(Lagrange)插值多项式 共22页PPT资料
有 s in 5 0 0 L 2 (5 0 ) 1 6 2 3 (1 8 0 )3 2 0 5 1 0 0 .0 0 0 7 6 7
事实上，
s5 i0 n 0 L 1 (5 ) 0 0 .01 ; s 05 i0 1 n 0 L ~ 1 ( 0 5 ) 0 0 .005
因此做线性内插时取 x00.2,x10.3 相应地 y01 .2 2 1 4 ,y11 .3 4 9 9
由线性插值公式，得
L 1 (x ) 0 x .2 0 0 .3 .3 1 .2 2 1 4 0 x .3 0 0 .2 .2 1 .3 4 9 9
所得近似值为
e 0 . 2 8 5 L 1 ( 0 . 2 8 5 ) 0 0 . 2 . 2 8 5 0 0 . 3 . 3 1 . 2 2 1 4 0 0 . 2 . 3 8 5 0 . 0 2 . 2 1 . 3 4 9 9 1 . 3 3 0 6
由线性插值余项公式
所以
s in 5 0 0 L 1 ( 5 0 ) 1 2 2 3 ( 1 8 0 )2 2 0 5 0 .0 1 3 1 9 0
同理，由
s5 i 0 n L ~ 0 1 ( 5 ) 1 2 0 ( s) i1 n ( ) 2 ( 8 5 4 0 0 ) 5 5 ( 6 0 )3 0 0 0 6 0
插值多项式⑤称为拉格朗日插值多项式，记作 L n ( x )
当n=2时,由⑤式可得三点插值公式
L 2 ( x ) y 0 ( ( x x 0 x x 1 1 ) ) ( ( x x 0 x x 2 2 ) ) y 1 ( ( x x 1 x x 0 0 ) ) ( ( x x 1 x x 2 2 ) ) y 2 ( ( x x 2 x x 0 0 ) ) ( ( x x 2 x x 1 ) 1 ) 这是一个二次函数。用二次函数 L 2 ( x ) 近似
事实上，
s5 i0 n 0 L 1 (5 ) 0 0 .01 ; s 05 i0 1 n 0 L ~ 1 ( 0 5 ) 0 0 .005
因此做线性内插时取 x00.2,x10.3 相应地 y01 .2 2 1 4 ,y11 .3 4 9 9
由线性插值公式，得
L 1 (x ) 0 x .2 0 0 .3 .3 1 .2 2 1 4 0 x .3 0 0 .2 .2 1 .3 4 9 9
所得近似值为
e 0 . 2 8 5 L 1 ( 0 . 2 8 5 ) 0 0 . 2 . 2 8 5 0 0 . 3 . 3 1 . 2 2 1 4 0 0 . 2 . 3 8 5 0 . 0 2 . 2 1 . 3 4 9 9 1 . 3 3 0 6
由线性插值余项公式
所以
s in 5 0 0 L 1 ( 5 0 ) 1 2 2 3 ( 1 8 0 )2 2 0 5 0 .0 1 3 1 9 0
同理，由
s5 i 0 n L ~ 0 1 ( 5 ) 1 2 0 ( s) i1 n ( ) 2 ( 8 5 4 0 0 ) 5 5 ( 6 0 )3 0 0 0 6 0
插值多项式⑤称为拉格朗日插值多项式，记作 L n ( x )
当n=2时,由⑤式可得三点插值公式
L 2 ( x ) y 0 ( ( x x 0 x x 1 1 ) ) ( ( x x 0 x x 2 2 ) ) y 1 ( ( x x 1 x x 0 0 ) ) ( ( x x 1 x x 2 2 ) ) y 2 ( ( x x 2 x x 0 0 ) ) ( ( x x 2 x x 1 ) 1 ) 这是一个二次函数。用二次函数 L 2 ( x ) 近似
拉格朗日(Lagrange)插值
n
Rn ( x ) = K ( Rn(x) 至少有 n+1 个根 ( x ) 充分光滑，x( x 0 )(= ( x)1 ) = 0 ，则 充分光滑， ) Π x xi Rolle’s Theorem: 若 i =0 ) 存在 ξ ∈ (x 0≠, x 1 )(i使得 ′(ξ), = 0 。 ( t ) = R ( t ) K ( x ) n ( t x ) …, n 任意固定 x xi = 0, 求导 考察 注意这里是对 t Π n i = ξ 0 ∈ ( x0 , x1 ), ξ1 ∈i ( 0 1 , x2 ) x 推广： 推广：若 ( x0 ) = ( x1 ) = ( x2 ) = 0 1) (x)有 n+2 个不同的根ξx0) …0xn x ξ ∈ (ξ , ( n)+使得 = ′′(,ξ )ξ= 0 ( a , b ) 有 使得 ′(ξ ) = ′( = (ξ x ) 0 x ∈ 0 ξ1 0 1
外插 的实际误差 ≈ 0.01001 利用 x1 = π , x2 = π 4 3 内插 的实际误差 ≈ 0.00596
~ 0.00538 < R1 5π < 0.00660 sin 50° ≈ 0.76008, ° 18
n=2
( x π )( x π ) 1 ( x π )( x π ) 1 ( x π )( x π ) 4 6 6 L2 ( x ) = π π π π3 × + π π π π3 × + π π π π4 × 3 ( 6 4 )( 6 3 ) 2 ( 4 6 )( 4 3 ) 2 ( 3 6 )( 3 4 ) 2
n 求 n 次多项式 Pn ( x ) = a0 + a1 x + L + a n x 使得
Rn ( x ) = K ( Rn(x) 至少有 n+1 个根 ( x ) 充分光滑，x( x 0 )(= ( x)1 ) = 0 ，则 充分光滑， ) Π x xi Rolle’s Theorem: 若 i =0 ) 存在 ξ ∈ (x 0≠, x 1 )(i使得 ′(ξ), = 0 。 ( t ) = R ( t ) K ( x ) n ( t x ) …, n 任意固定 x xi = 0, 求导 考察 注意这里是对 t Π n i = ξ 0 ∈ ( x0 , x1 ), ξ1 ∈i ( 0 1 , x2 ) x 推广： 推广：若 ( x0 ) = ( x1 ) = ( x2 ) = 0 1) (x)有 n+2 个不同的根ξx0) …0xn x ξ ∈ (ξ , ( n)+使得 = ′′(,ξ )ξ= 0 ( a , b ) 有 使得 ′(ξ ) = ′( = (ξ x ) 0 x ∈ 0 ξ1 0 1
外插 的实际误差 ≈ 0.01001 利用 x1 = π , x2 = π 4 3 内插 的实际误差 ≈ 0.00596
~ 0.00538 < R1 5π < 0.00660 sin 50° ≈ 0.76008, ° 18
n=2
( x π )( x π ) 1 ( x π )( x π ) 1 ( x π )( x π ) 4 6 6 L2 ( x ) = π π π π3 × + π π π π3 × + π π π π4 × 3 ( 6 4 )( 6 3 ) 2 ( 4 6 )( 4 3 ) 2 ( 3 6 )( 3 4 ) 2
n 求 n 次多项式 Pn ( x ) = a0 + a1 x + L + a n x 使得
《拉格朗日插值法》课件
确定多项式的阶数
根据已知的插值点和插值函数的性质 ，确定多项式的阶数。
求解插值多项式的系数
求系数
通过已知的插值点和构造的插值多项式，求解出多项式的系数。
验证解的正确性
通过已知的插值点和求解出的系数，验证解的正确性。
04
拉格朗日插值法的应用实例
在数值分析中的应用
数值积分
拉格朗日插值法可用于数值积分，通过插值多项式对被积函数进行近似，进而求得积分的近似值。
全局插值能力较弱
拉格朗日插值法主要适用于局部插值，对于全局插值问题可能不太 适用。
06
拉格朗日插值法的改进与发
展
改进方法
提高精度
通过增加插值基函数的数量， 可以更精确地逼近函数，从而
提高插值的精度。
处理异常值
引入稳健性估计方法，对异常 值进行识别和处理，以提高插 值的稳定性。
优化算法
改进算法以提高计算效率，减 少计算量，使得插值过程更加 快速和高效。
图像处理
在图像处理中，可以使用拉格朗日插值法对图像进行放大、缩小或旋转等变换，保持图 像的清晰度和连贯性。
三维模型重建
在三维模型重建中，可以使用拉格朗日插值法对点云数据进行插值，得到连续光滑的三 维模型表面。
05
拉格朗日插值法的优缺点
优点
01
02
03
简单易行
拉格朗日插值法是一种直 观且易于理解的方法，不 需要复杂的数学工具即可 实现。
工程
用于解决各种实际问题，如机 械振动、流体动力学和电路分 析等。
物理学
用于模拟和预测各种物理现象 ，如力学、电磁学和量子力学 等。
02
拉格朗日插值法的基本概念
拉格朗日插值法的定义
根据已知的插值点和插值函数的性质 ，确定多项式的阶数。
求解插值多项式的系数
求系数
通过已知的插值点和构造的插值多项式，求解出多项式的系数。
验证解的正确性
通过已知的插值点和求解出的系数，验证解的正确性。
04
拉格朗日插值法的应用实例
在数值分析中的应用
数值积分
拉格朗日插值法可用于数值积分，通过插值多项式对被积函数进行近似，进而求得积分的近似值。
全局插值能力较弱
拉格朗日插值法主要适用于局部插值，对于全局插值问题可能不太 适用。
06
拉格朗日插值法的改进与发
展
改进方法
提高精度
通过增加插值基函数的数量， 可以更精确地逼近函数，从而
提高插值的精度。
处理异常值
引入稳健性估计方法，对异常 值进行识别和处理，以提高插 值的稳定性。
优化算法
改进算法以提高计算效率，减 少计算量，使得插值过程更加 快速和高效。
图像处理
在图像处理中，可以使用拉格朗日插值法对图像进行放大、缩小或旋转等变换，保持图 像的清晰度和连贯性。
三维模型重建
在三维模型重建中，可以使用拉格朗日插值法对点云数据进行插值，得到连续光滑的三 维模型表面。
05
拉格朗日插值法的优缺点
优点
01
02
03
简单易行
拉格朗日插值法是一种直 观且易于理解的方法，不 需要复杂的数学工具即可 实现。
工程
用于解决各种实际问题，如机 械振动、流体动力学和电路分 析等。
物理学
用于模拟和预测各种物理现象 ，如力学、电磁学和量子力学 等。
02
拉格朗日插值法的基本概念
拉格朗日插值法的定义
插值法与Lagrange插值课件 共28页PPT资料
n ( x xi ) i0 ( x j xi )
j0,1,2, ,n -------(7)
i j
n+1次多项式
令n1(x)(x x 0 )x ( x 1 ) (x x n )
则n1(xj)
( x j x 0 ) x j ( x 1 ) ( x j x j 1 ) x j ( x j 1 ) ( x j x n )
上述方程组的系数行列式为n+1阶Vandermond行列式
1
x0
x
2 0
x0n
V 1
x1
x12
x1n
n1 n
xi x j
(xj xi ) 0
i0 jபைடு நூலகம்1
1
xn
xn2
x
n n
由Cramer法则,线性方程组(4)有唯一解
定理1. 若插值xi节 xj点 (ij),则满足插值条件 P n (x i) y i i 0 ,1 ,2 , ,n--------(3)
比 如 多 项 式 函 数 P (x )使
P (x i) y i i 0 ,1 ,2 , ,n------(1) 并且P用 (x)近似代 f(x替 ) 这就是插值问题, (1)式为插值条件,
称函P(数 x)为函f(数 x)的插值函数
如果 P(x)为多项式,函 则数 称之为插值多 称点 xi ,i0,1,2,,n为插值节点 称区间 [a,b]为插值区间
其中 xi ,i0,1,2, ,n为插值节
y if(x i) i 0 ,1 ,2 , ,n
如 果 a x 0 x 1 x 2 x n b 为 区 间 [a ,b ]上 的 一 组 节 点
研究生数值分析(14)拉格朗日(Lagrange)插值多项式 共22页PPT资料
L1(x)3x0 4 45 51 24x5 3(5 0 ) 5 3 0 0 4 4 5 5 1 2 5 4 0 5 3 3 0 02 2 0 .7 7 6 1 4 s in 5 0 0
若取 450 , 600 为节点插值，得
L ~ 1(x)4 x 5 6 60 02 26 x 0 4 45 52 3 则 L ~ 1 (5) 0 5 4 0 5 6 6 0 0 2 2 5 6 0 0 4 4 5 5 2 3 0 .76 s 05 i0 n 0
因此一般常利用
maxf(n1)(x)
axb
Mn1
求出误差限，
即有
Rn(x) (nMn11)!n1(x)
⑦
例1 已知特殊角 300,450,600 的正弦函数值
1, 2 , 3 2 22
用一次插值多项式，二次
插值多项式近似 s i n x ，并用此求出 sin 500
解：若取 3 0 0 和 4 5 0 为节点作一次插值，得
拉格朗日（Lagrange）插值多项式
利用基本插值多项式容易得出满足插值条件
Pn(xi) yi
(i0,1, ,n)
的n次插值多项式
n
Ln(x) yklk (x)
⑤
kkn 00yk(x(kx xx 00 ))((xx k x xk k 1 1))((x xk xx k k1 )1)((xx kx nx )n)
Ln(xi)f(xi)
(i0,1, ,n)
在其它点上均是f(x)的近似值。记
Rn(x)f(x)Ln(x) 称 R n ( x ) 为插值多项式的余项。
R n ( x ) 就是用 L n ( x ) 近似替代 f ( x )
《Lagrange插值》课件
更高效的插值算法介绍
简要介绍一些比Lagrange插 值更高效、更精确的插值算 法，并对其特点进行分析。
总结与展望
总结Lagrange插值的优点和应用前景，探讨该方法的未来发展方向和可能的扩展领域。
参考文献
相关文献推荐
介绍与Lagrange插值相关的优秀文献，供进一步学习和研究之用。
研究领域的进展
分享Lagrange插值在相关研究领域中的最新进展和重要成果。
相关专家学者的成果分享
介绍在Lagrange插值领域取得杰出成就的专家学者及其成果。
《Lagrange插值》PPT课 件
本PPT课件介绍Lagrange插值的概述、数学表达式、实例分析、算法优劣比 较、总结与展望。将深入剖析LaHale Waihona Puke range插值的基本思想和应用前景。
概述
什么是Lagrange插值？为什么使用Lagrange插值？Lagrange插值的基本思想 是什么？这一部分将首先解答这些问题。
数学表达式
Lagrange插值公式的推导、值多项式的计算、以及Lagrange插值多项式的刻 画在这一部分将一一介绍。
实例分析
一元实例
通过一个一元Lagrange插 值实例来深入理解这种方 法的应用和原理。
多元实例
探索多元Lagrange插值的 实例，揭示其在实际问题 中的应用和效果。
应用案例分析
通过具体案例分析，揭示 Lagrange插值方法解决实 际问题的能力和局限性。
算法优劣比较
与牛顿插值的比较
对比Lagrange插值与牛顿插 值方法的优劣，以及它们在 不同情景下的适用性。
Lagrange插值算法的优 缺点
评估Lagrange插值方法的优 点与缺点，探讨其在不同场 景下的性能和限制。
计算方法 插值法-Lagrange插值ppt课件
计算方法 (Numerical Analysis)
第1次 Lagrange插值
本讲内容
1. 插值法的基本概念 2. 拉格朗日（Lagrange）插值 3. Lagrange插值的例子 4. Lagrange插值的误差
插值法的基本概念
第二章 插值法
§1 引言 问题的提出
–若函数f(x)的解析式未知，而通过实验观测得到的一组
现要求用线性函数p(x) ax 近b 似地代替f(x)。
选择参数a和b, 使得
p(x0 ) f (x0 )，p(x1) f (x1)
称这样的线性函数P(x)为f(x)的线性插值函数。
线性插值的几何意义: 用通过两点
A(x0, f (x0 )) B(x1, f(x1))
的直线近似地代替曲线y=f(x)，如图所示：
1 xn
x
2 0
…
x12 …
…
xn2 …
xn0
x1n
n i1
i1
(xi x j )
j0
x
n n
称为Vandermonde（范德蒙）行列式，因xi≠xj （当i≠j），故V≠0。根据克莱姆（Gramer）法则，
方程组的解 a0 , a1, … , an 存在并且唯一，从而P(x)
被唯一确定。
l1(x )
x x0 x1 x0
线性插值 基函数
或者写成：
lk ( x)
1 j0
x xj , xk xj
jk
k 0,1
线性插值基函数具有如下性质：
l0(x0) 1, l0(x1) 0 l1(x0 ) 0 , l1(x1) 1
1 y l0 (x) y l1(x)
l0 (x) l1(x) 1
第1次 Lagrange插值
本讲内容
1. 插值法的基本概念 2. 拉格朗日（Lagrange）插值 3. Lagrange插值的例子 4. Lagrange插值的误差
插值法的基本概念
第二章 插值法
§1 引言 问题的提出
–若函数f(x)的解析式未知，而通过实验观测得到的一组
现要求用线性函数p(x) ax 近b 似地代替f(x)。
选择参数a和b, 使得
p(x0 ) f (x0 )，p(x1) f (x1)
称这样的线性函数P(x)为f(x)的线性插值函数。
线性插值的几何意义: 用通过两点
A(x0, f (x0 )) B(x1, f(x1))
的直线近似地代替曲线y=f(x)，如图所示：
1 xn
x
2 0
…
x12 …
…
xn2 …
xn0
x1n
n i1
i1
(xi x j )
j0
x
n n
称为Vandermonde（范德蒙）行列式，因xi≠xj （当i≠j），故V≠0。根据克莱姆（Gramer）法则，
方程组的解 a0 , a1, … , an 存在并且唯一，从而P(x)
被唯一确定。
l1(x )
x x0 x1 x0
线性插值 基函数
或者写成：
lk ( x)
1 j0
x xj , xk xj
jk
k 0,1
线性插值基函数具有如下性质：
l0(x0) 1, l0(x1) 0 l1(x0 ) 0 , l1(x1) 1
1 y l0 (x) y l1(x)
l0 (x) l1(x) 1
《Lagrange插值》课件
( j k 1, k 1);
( j k 1, k).
Lagrange插值多项式的构造
例如 : 求lk1( x)，
因它
有
两个零
点xk
及xk
，故可表
1
示
为
lk1 ( x) A( x xk )( x xk1 ), 其中A为待定系数，可由条件lk1( xk1 ) 1
定出
A
( xk1
xk
若在 a,b上用Ln( x)近似 f ( x)，则其截断误差 R（n x） f（x）Ln x，
被称为插值多项式的余项 关于插值余项估计有以下定理。
Lagrange插值余项与误差估计
定理2 设f (n)( x)在a, b上连续，f (n1)( x)在(a, b)内存在，
Ln( x)是满足条件Ln( x j )
从而 (t) 在[a,b]区间上有n 2个零点,由罗尔定理知:
'(t) 在(a,b)内至少有n 1个零点
''(t) 在(a,b)内至少有n个零点
(n1)(t) 在(a, b)内至少有1个零点
记 该零点为 (a,b),则有 (n1) ( ) f (n1) ( ) (n 1)! K( x) 0
L1( xk ) yk , L1( xk1) yk1.
yk
xk
y f (x)
y L1 ( x)
yk1
xk1
Lagrange插值多项式的构造
L1( x)
yk
yk 1 xk 1
yk xk
(x
xk )
( 点斜式),
L1( x)
x xk1 xk xk1
yk
x xk xk1 xk
yk1
Lagrange插值法.ppt
第1列是病人编号，第2列是4种疗法的代码：
1 = 600mg zidovudine(齐多夫定) 与400mg
didanosine(去羟肌苷)按月轮换使用；
2 = 600mg zidovudine 加2.25mg zalcitabine(双脱
氧胞苷 )；
3 = 600mg zidovudine 加400mg didanosine；
4 = 600mg zidovudine 加400mg didanosine 加
400mg nevirapine(奈韦拉平 )。
第3列是病人年龄，第4列是测试CD4的时刻（周），第5列是
测得的CD4，取值log(CD4+1).
ID 疗法 年龄
时间 Log(CD4 count+1)
1 2 36.4271 0
第四章 插值与拟合
1/46
引例及问题综述
在生产和实验中，函数f (x)无表达式, 只知道f(x) 在一些给定点的函数值(或其导数值) ，或者其表达式 复杂不便于计算，此时我们希望建立一个简单而又便 于计算的函数(x)，使其近似的代替f(x).
求近似函数(x)的方法一般分为两类: 一类是插值, 另一类是拟合.
CD40 0
第一组
20
40
时刻(周)
第二组
CD4(/mm3)
400 300 200 100
0 0
20
40
时刻(周)
计算方法四①
CD4浓度(/mm3)
60
400 300 200 100
0 0
60
8/46
第三组
20
40
60
时刻(周)
CD4/HIV
CD4/HIV
chap2第1,2节 多项式插值,Lagrange插值
L2(x)=A(x-x1)(x-x2)+B(x-x0)(x-x2)+C(x-x0)(x-x1)
并由插值条件
L2(x0)=y0 , L2(x1)=y1 , L2(x2)=y2
y1 B ( x1 x0 )( x1 x2 )
得到
y0 A ( x0 x1 )( x0 x2 )
y2 C ( x2 x0 )( x2 x1 )
ti yi 1 2 3 4 6 8 10 12 14 16 10.61
4.00 6.41 8.01 8.79
9.53 9.86 10.33 10.42 10.53
那么在时刻t=5min，t=18min时的浓度是多少？ 本章主要讨论利用插值方法寻求函数的近似问题。
§1 多项式插值问题
一、插值问题
设函数 y=f(x)在区间[a,b]连续, a≤ x0 < x1 < … < xn≤b 给定n+1个点 (2.1)
y L1 ( x )
y f ( x)
O
x0
x1
x
并称其为一次Lagrange插值多项式。 x x0 如果令 l ( x ) x x1 l1 ( x ) 0 x1 x0 x0 x1
l0 ( x0 ) 1, l0 ( x1 ) 0 l1 ( x0 ) 0, l1 ( x1 ) 1
§2
Lagrange插值多项式
已知 y=f(x) 在n+1 个点
a x0 x1 xn b
的函数值
y0 , y1 ,, yn
构造n次多项式 pn(x) ,使得
pn ( xk ) f ( xk ) yk ,
从而得到 f(x) 的近似计算式
拉格朗日插值法PPT课件
lk (x)
x xk 1 xk xk 1
lk 1(x)
x xk xk 1 xk
Lagrange线性插值多项式为
L1(x) yklk (x) yk 1lk 1(x)
yk
x xk 1 xk xk 1
yk 1
x xk xk 1 xk
参见图
21
例 用Lagrange线性插值多项式求例 1中的f (175).
假设在区间[a,b]上f (x)的插值多项式为 Pn (x)
令
Rn (x) f (x) Pn (x)
显然在插值节点为 xi (i 0,1, , n)上
Rn (xi ) f (xi ) Pn (xi ) 0 ,i 0,1, , n 因此Rn (x)在[a,b]上至少有 n 1个零点
设
Rn (x) K (x)n1(x)
第二章 插值法
1
第二章 插值法和最小二乘法
§ 2.1 引言
Ax b § 2.2 拉格朗日插值多项式
§ 2.3 差商与牛顿插值公式
a11
A
a21
an
1
§ §
§
aaan12222222...456三差分次aaa分段21nnn样n与低条等次距插插节值值点xi插值bi公式ijli1i1
lij
x
其中 n1(x) (x x0 )( x x1) (x xn ) K (x)为待定函数
Rn (x) f (x) Pn (x) K (x)n1(x)
25
f (x) Pn (x) K (x)n1(x) 0 若引入辅助函数 (t) f (t) Pn (t) K (x)n1(t) 则有 (x) f (x) Pn(x) K(x)n1(x) 0
且 (xi ) f (xi ) Pn(xi ) K(x)n1(xi )
《拉格朗日插值》PPT课件
个互不相同的点处的函数值 y f (x ),i 0,1, ,，n 为求
i
i
y f (x的) 近似式，自然应当选 n 次多项式
Pn (x) a0 a1x a2x2 L an xn
使 P (x) 满足条件 n
Pn(xi ) yi , i 0, 1,L ,n
f (x)称为被插函数, pn ( x)称插值多项式,条件(3 3)称插值条件, x0,x1,L , xn称插值节点 o这种求函数近似式的方法称为插值法 o 几何上,其实质是用通过n 1个点( x1, y1)(i 0,1,L , n)的多项式曲 线y pn (x),当作曲线y f ( x)的近似曲线.如图所示 o
14
一次Lagrange插值多项式(2)
一次插值多项式
15
一次Lagrange插值多项式(3)
由直线两点式可知，通过A，B的直线方程为
它也可变形为
显然有：
16
一次Lagrange插值多项式(4)
记
l0 (x)
x x1 x0 x1
l1 ( x)
x x0 x1 x0
可以看出
L1 ( x)
(0 , 1 ) 使得 ( ) 0
28
N次插值多项式8
注：
通常不能确定 x , 而是估计 f (n1)( x) Mn1 , x(a,b)
将
M n1 (n 1)!
n i0
|
x
xi
|
作为误差估计上限。
当 f(x) 为任一个次数 n 的多项式时，f (n1)( x) 0 ,
L2 (x) 为插值函数。 用基函数的方法获得 L2 (x) L2 (x) y0l0 (x) y1l1(x) y2l2 (x)
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§
3.1 插值法 Lagrange插值 Ax b § 3.2 Newton插值 Hermite 插值 a a11 § a3.3 12 1n i 1 a21 a22 § a2 n b l x i ij j 3.4 分段插值法 A j 1 xi lii a a a § 3.5 三次样条插值 n2 nn n1
能否存在一个性能优良、便于计算的函数
比如多项式函数 P( x)使
P( xi ) yi
i 0,1,2 ,, n
------(1)
并且用P( x)近似代替f ( x)
这就是插值问题, (1)式为插值条件,
称函数P( x)为函数f ( x)的插值函数
如果P( x)为多项式函数 , 则称之为插值多项式
x xk 1 x xk yk yk 1 xk xk 1 xk 1 xk
例2. 用Lagrange 线性插值多项式求例 1中的f (175).
x 175在x1 169与x2 225之间 解: 由于插值点
因此取x1 169与x2 225 为插值节点
i j
称(11)式 Ln ( x) 为 y f ( x) 的Lagrange 插值多项式
称 l j ( x) (i 0,1,, n) 为n次Lagrange 插值基函数
例1: 已知f ( x)满足f (144) 12, f (169) 13, f (225) 15
作f ( x)的二次Lagrange 插值多项式 ,并求f (175)的近似值 .
, n)上, 以l j ( x)(i
, n)为插值基函数的插值多项式(记为Ln ( x))为
-------(11)
Ln ( x) y0l0 ( x) y1l1 ( x) ynln ( x)
n
( x xi ) n1 ( x) 其中 l j ( x ) -------(7,7') 1 ( x j )(x x j ) n i 0 ( x j xi )
解: 设x0 144, x1 169, x2 225 y0 12, y1 13, y2 15
则f ( x)的二次Lagrange 插值基函数为
( x x1 )( x x2 ) ( x 169 )( x 225 ) l0 ( x ) ( x0 x1 )( x0 x2 ) 2025
从而
l j ( x)
( x x0 )( x x1 )( x x j 1 )(x x j 1 )( x xn ) ( x j x0 )(x j x1 )( x j x j 1 )(x j x j 1 )( x j xn )
1 ( x j )(x x j ) n
i 0,1,2,, n
如果a x0 x1 x2
xn b为区间[a, b]上
的一组节点 我们作一组 n次多项式l j ( x), j 0,1,2,, n
l j ( x) ( x x0 )( x x1 )( x x j 1 )(x x j 1 )( x xn ) ( x j x0 )(x j x1 )( x j x j 1 )(x j x j 1 )( x j xn )
n1 ( x)
j 0,1,2 ,, n
-------(7')
显然 l0 ( x),l1 ( x),l2 ( x),, ln ( x) 线性无关 (请同学们思考)
且
1 i j l j ( xi ) 0 i j
i , j 0,1,2 ,, n -------(8)
Lagrange插值基函数为
l1 ( x )
x x2 x 225 x1 x2 56
x x1 x 169 l2 ( x ) x2 x1 56
Lagrange线性插值多项式为
x 169 x 225 15 L1 ( x) y1l1 ( x) y2l2 ( x) 13 56 56
且在不同的基底下有不同的形式
设0 ( x),1 ( x),,n ( x)为上述n 1维线性空间的一个基底
显然0 ( x),1 ( x),,n ( x)线性无关
且任意n次多项式Pn ( x)可由0 ( x),1 ( x),,n ( x)线性表示
Pn ( x) a00 ( x) a11 ( x) ann ( x)
xi x j (i j ), 则满足插值条件 定理1. 若插值节点 Pn ( xi ) yi i 0,1,2 ,, n --------(3)
的插值多项式 2 n--------(2) P ( x ) a a x a x a x n 0 1 2 n
存在且唯一.
--------(5)
如果Pn ( x)为某个函数 f ( x)的插值函数
则称0 ( x),1 ( x),,n ( x)为插值基函数
且满足
Pn ( xi ) yi i 0,1,2 ,, n-------(6)
其中 xi , i 0,1,2,, n为插值节点
yi f ( xi )
令
即
Pn ( xi ) f ( xi ) yi
i 0,1,2 ,, n
a l (x )
j 0 j j i
n
yi
i 0,1,2 ,, n-------(10)
由(8)式,可得
ai yi
i 0,1,2 ,, n
于是, y f ( x)在节点xi (i 0,1, 0,1,
虽然线性方程组(4)推出的插值多项式存在且唯一
但通过解线性方程组求插值多项式却不是好方法
三、Lagrange插值多项式
根据线性空间的理论
所有次数不超过 n的多项式构成的线性空 间是 n 1 维的
这个n 1维线性空间的基底也由 n 1个多项式组成
并且形式不是唯一的
而任意一个 n次多项式可由基底线性 表示
n
( x xi ) i 0 ( x j xi )
i j
j 0,1,2 ,, n
-------(7)
n+1次多项式
令 n1 ( x) ( x x0 )(x x1 )( x xn )
1 ( x j ) 则 n
( x j x0 )(x j x1 )( x j x j 1 )(x j x j 1 )( x j xn )
§ 3.1 插值法
一、插值问题
对函数f ( x), 其函数形式可能很复杂, 且不利于在计算机
上运算, 假如可以通过实验或测量, 可以获得f ( x)在区 间[a, b]上的一组n 1个不同的点
a x0 x1 x2 xn b
上的函数值 yi f ( xi ), i 0,1,2,, n
Rn ( xi ) f ( xi ) Pn ( xi ) 0 , i 0,1,, n
因此Rn ( x)在[a, b]上至少有n 1个零点
( x x0 )( x x2 ) ( x 144 )( x 225 ) l1 ( x ) ( x1 x0 )( x1 x2 ) 1400 ( x x0 )( x x1 ) ( x 144 )( x 169 ) l2 ( x ) ( x2 x0 )( x2 x1 ) 4536
Ax b
a11 a12 a21 a22 A 第3章 an 1 an 2 a1 n a2 n i 1 bi lij x j j 1 插值法 ann xi lii
i 2 ,3 , , n
第3章 插值法
本章要点
用简单的函数(如多项式函数)作为一个 复杂函数的近似,最简单实用的方法就是 插值,而数据拟合则是另外一类的函数近 似问题.
本章主要介绍有关插值法的一些基本概念, 及多项式插值的基础理论和几个常用的插 值方法:Lagrange插值、分段线性插值、 Newton插值、Hermite插值、三次样条插值
如果用 l0 ( x),l1 ( x),l2 ( x),, ln ( x) 作y f ( x)的插值基函数
而 Pn ( x) 为f ( x)的插值多项式, 则
Pn ( x) a0l0 ( x) a1l1 ( x) anln ( x) -------(9)
其中a0、a1、 、an为待定参数
因此f ( x)的二次Lagrange 插值多项式为
L2 ( x) y0l0 ( x) y1l1 ( x) y2l2 ( x)
且
f (175) L2 (175)
12l0 (175) 13l1 (175) 15l2 (175)
13.230 15873
在例1中,如果只给出两个节点169和225,也可以 作插值多项式,即1次Lagrange插值多项式,有两 个插值基函数,这种插值方法称为Lagrange线性 插值,也可以在n+1个节点中取相邻的两个节点 作线性插值
所以
f (175)
175 225 175 169 13 15 56 56
13.214 28571
2 插值余项与误差估计
y f ( x)的Lagrange插值
Ln ( x) y j l j ( x)
j 0 n
满足
Ln ( xi ) f ( xi )
节点xk , xk 1 ,函数值yk , yk 1
Lagrange线性插值基函数为
x xk 1 lk ( x ) xk xk 1
x xk lk 1 ( x) xk 1 xk
3.1 插值法 Lagrange插值 Ax b § 3.2 Newton插值 Hermite 插值 a a11 § a3.3 12 1n i 1 a21 a22 § a2 n b l x i ij j 3.4 分段插值法 A j 1 xi lii a a a § 3.5 三次样条插值 n2 nn n1
能否存在一个性能优良、便于计算的函数
比如多项式函数 P( x)使
P( xi ) yi
i 0,1,2 ,, n
------(1)
并且用P( x)近似代替f ( x)
这就是插值问题, (1)式为插值条件,
称函数P( x)为函数f ( x)的插值函数
如果P( x)为多项式函数 , 则称之为插值多项式
x xk 1 x xk yk yk 1 xk xk 1 xk 1 xk
例2. 用Lagrange 线性插值多项式求例 1中的f (175).
x 175在x1 169与x2 225之间 解: 由于插值点
因此取x1 169与x2 225 为插值节点
i j
称(11)式 Ln ( x) 为 y f ( x) 的Lagrange 插值多项式
称 l j ( x) (i 0,1,, n) 为n次Lagrange 插值基函数
例1: 已知f ( x)满足f (144) 12, f (169) 13, f (225) 15
作f ( x)的二次Lagrange 插值多项式 ,并求f (175)的近似值 .
, n)上, 以l j ( x)(i
, n)为插值基函数的插值多项式(记为Ln ( x))为
-------(11)
Ln ( x) y0l0 ( x) y1l1 ( x) ynln ( x)
n
( x xi ) n1 ( x) 其中 l j ( x ) -------(7,7') 1 ( x j )(x x j ) n i 0 ( x j xi )
解: 设x0 144, x1 169, x2 225 y0 12, y1 13, y2 15
则f ( x)的二次Lagrange 插值基函数为
( x x1 )( x x2 ) ( x 169 )( x 225 ) l0 ( x ) ( x0 x1 )( x0 x2 ) 2025
从而
l j ( x)
( x x0 )( x x1 )( x x j 1 )(x x j 1 )( x xn ) ( x j x0 )(x j x1 )( x j x j 1 )(x j x j 1 )( x j xn )
1 ( x j )(x x j ) n
i 0,1,2,, n
如果a x0 x1 x2
xn b为区间[a, b]上
的一组节点 我们作一组 n次多项式l j ( x), j 0,1,2,, n
l j ( x) ( x x0 )( x x1 )( x x j 1 )(x x j 1 )( x xn ) ( x j x0 )(x j x1 )( x j x j 1 )(x j x j 1 )( x j xn )
n1 ( x)
j 0,1,2 ,, n
-------(7')
显然 l0 ( x),l1 ( x),l2 ( x),, ln ( x) 线性无关 (请同学们思考)
且
1 i j l j ( xi ) 0 i j
i , j 0,1,2 ,, n -------(8)
Lagrange插值基函数为
l1 ( x )
x x2 x 225 x1 x2 56
x x1 x 169 l2 ( x ) x2 x1 56
Lagrange线性插值多项式为
x 169 x 225 15 L1 ( x) y1l1 ( x) y2l2 ( x) 13 56 56
且在不同的基底下有不同的形式
设0 ( x),1 ( x),,n ( x)为上述n 1维线性空间的一个基底
显然0 ( x),1 ( x),,n ( x)线性无关
且任意n次多项式Pn ( x)可由0 ( x),1 ( x),,n ( x)线性表示
Pn ( x) a00 ( x) a11 ( x) ann ( x)
xi x j (i j ), 则满足插值条件 定理1. 若插值节点 Pn ( xi ) yi i 0,1,2 ,, n --------(3)
的插值多项式 2 n--------(2) P ( x ) a a x a x a x n 0 1 2 n
存在且唯一.
--------(5)
如果Pn ( x)为某个函数 f ( x)的插值函数
则称0 ( x),1 ( x),,n ( x)为插值基函数
且满足
Pn ( xi ) yi i 0,1,2 ,, n-------(6)
其中 xi , i 0,1,2,, n为插值节点
yi f ( xi )
令
即
Pn ( xi ) f ( xi ) yi
i 0,1,2 ,, n
a l (x )
j 0 j j i
n
yi
i 0,1,2 ,, n-------(10)
由(8)式,可得
ai yi
i 0,1,2 ,, n
于是, y f ( x)在节点xi (i 0,1, 0,1,
虽然线性方程组(4)推出的插值多项式存在且唯一
但通过解线性方程组求插值多项式却不是好方法
三、Lagrange插值多项式
根据线性空间的理论
所有次数不超过 n的多项式构成的线性空 间是 n 1 维的
这个n 1维线性空间的基底也由 n 1个多项式组成
并且形式不是唯一的
而任意一个 n次多项式可由基底线性 表示
n
( x xi ) i 0 ( x j xi )
i j
j 0,1,2 ,, n
-------(7)
n+1次多项式
令 n1 ( x) ( x x0 )(x x1 )( x xn )
1 ( x j ) 则 n
( x j x0 )(x j x1 )( x j x j 1 )(x j x j 1 )( x j xn )
§ 3.1 插值法
一、插值问题
对函数f ( x), 其函数形式可能很复杂, 且不利于在计算机
上运算, 假如可以通过实验或测量, 可以获得f ( x)在区 间[a, b]上的一组n 1个不同的点
a x0 x1 x2 xn b
上的函数值 yi f ( xi ), i 0,1,2,, n
Rn ( xi ) f ( xi ) Pn ( xi ) 0 , i 0,1,, n
因此Rn ( x)在[a, b]上至少有n 1个零点
( x x0 )( x x2 ) ( x 144 )( x 225 ) l1 ( x ) ( x1 x0 )( x1 x2 ) 1400 ( x x0 )( x x1 ) ( x 144 )( x 169 ) l2 ( x ) ( x2 x0 )( x2 x1 ) 4536
Ax b
a11 a12 a21 a22 A 第3章 an 1 an 2 a1 n a2 n i 1 bi lij x j j 1 插值法 ann xi lii
i 2 ,3 , , n
第3章 插值法
本章要点
用简单的函数(如多项式函数)作为一个 复杂函数的近似,最简单实用的方法就是 插值,而数据拟合则是另外一类的函数近 似问题.
本章主要介绍有关插值法的一些基本概念, 及多项式插值的基础理论和几个常用的插 值方法:Lagrange插值、分段线性插值、 Newton插值、Hermite插值、三次样条插值
如果用 l0 ( x),l1 ( x),l2 ( x),, ln ( x) 作y f ( x)的插值基函数
而 Pn ( x) 为f ( x)的插值多项式, 则
Pn ( x) a0l0 ( x) a1l1 ( x) anln ( x) -------(9)
其中a0、a1、 、an为待定参数
因此f ( x)的二次Lagrange 插值多项式为
L2 ( x) y0l0 ( x) y1l1 ( x) y2l2 ( x)
且
f (175) L2 (175)
12l0 (175) 13l1 (175) 15l2 (175)
13.230 15873
在例1中,如果只给出两个节点169和225,也可以 作插值多项式,即1次Lagrange插值多项式,有两 个插值基函数,这种插值方法称为Lagrange线性 插值,也可以在n+1个节点中取相邻的两个节点 作线性插值
所以
f (175)
175 225 175 169 13 15 56 56
13.214 28571
2 插值余项与误差估计
y f ( x)的Lagrange插值
Ln ( x) y j l j ( x)
j 0 n
满足
Ln ( xi ) f ( xi )
节点xk , xk 1 ,函数值yk , yk 1
Lagrange线性插值基函数为
x xk 1 lk ( x ) xk xk 1
x xk lk 1 ( x) xk 1 xk