高二空间向量与立体几何单元测试(1)
空间向量与立体几何测试(1)--学习.探究.诊断(选修2-1)
单元测试五 空间向量与立体几何(二)一、选择题1．在以下命题中，不正确的个数为( )①｜a ｜－｜b ｜＝｜a ＋b ｜是a ，b 共线的充要条件；②若a ∥b ，则存在唯一的实数λ，使a ＝λb ；③a ·b ＝0，b ·c ＝0，则a ＝c ；④若{a ，b ，c }为空间的一个基底，则{a ＋b ，b ＋c ，c ＋a }构成空间的另一基底；⑤｜(a ·b )·c ｜＝｜a ｜·｜b ｜·｜c ｜．(A)2 (B)3 (C)4 (D)52．若向量a ＝(1，x ，2，)，b ＝(2，－1，2)a ，b 夹角的余弦值为98，则x 等于( ) (A)2 (B)－2 (C)－2或552 (D)2或552- 3．到两点A (3，2，1)和B (1，0，4)距离相等的点P (x ，y ，z )的坐标满足的关系式是( )(A)x ＋y －z ＋1＝0 (B)x －y －z －1＝0(C)4x ＋4y ＋6z ＋3＝0 (D)4x ＋4y －6z ＋3＝04．若A ，B 两点的坐标分别是A (3cos α ，3sin α ，1)，B (2cos θ ，2sin θ ，1)，则||AB 的取值范围是( )(A)[0，5] (B)[1，5] (C)(1，5) (D)[1，25]5．若a ＝e 1＋e 2＋e 3，b ＝e 1－e 2－e 3，c ＝e 1＋e 2，d ＝e 1＋2e 2＋3e 2([e 1，e 2，e 3]为空间的一个基底)，且d ＝x a ＋y b ＋z c ，则x ，y ，z 分别为( ) (A)1,21,25-- (B)1,21,25 (C)1,21,25- (D)1,21,25- 6．已知向量a ，b ，且b a b a b a 27,65,2-=+-=+=，则一定共线的三点是( )(A)A ，B ，D (B)A ，B ，C (C)B ，C ，D (D)A ，C ，D7．已知a ，b 是非零向量且满足(a －2b )⊥a ，(b －2a )⊥b ，则a 与b 的夹角是( ) (A)6π (B)3π (C)3π2 (D)6π5 8．已知a ＝(cos α ，1，sin α )，b ＝(sin α ，1，cos α )，则向量a ＋b 与a －b 的夹角是( )(A)90° (B)60° (C)30° (D)0°二、填空题9．已知f 1＝i ＋2j ＋3k ，f 2＝－2i ＋3j －k ，f 3＝3i －4j ＋5k ，若f 1，f 2，f 3共同作用于一物体上，使物体从点M 1(1，－2，1)移到点M 2(3，1，2)，则合力所做的功是______．10．已知a ＝(2，－1，2)，b ＝(2，2，1)，则以a ，b 为邻边的平行四边形的面积为______．11．设A (3，3，1)，B (1，0，5)，C (0，1，0)，则AB 的中点M 到点C 的距离CM ＝______．三、解答题12．设向量a ＝(3，5，－4)，b ＝(2，1，8)，计算2a ＋3b ，3a －2b 及a ·b ，并确定λ，μ的关系，使λa ＋μb 与z 轴垂直．13．如图，P 是边长为1的正六边形ABCDEF 所在平面外一点P A ＝1，P 在平面ABC 内的射影为BF的中点O，(1)证明：P A⊥BF；(2)求面APB与面DPB所成二面角的大小．14．如图，在棱长为1的正方体ABCD－A1B1C1D1中，P是侧棱CC1上的一点，CP＝m．(1)试确定m，使直线AP与平面BDD1B1所成角的正切值为32；(2)在线段A1C1上是否存在一个定点Q，使得对任意的m，D1Q在平面APD1上的射影垂直于AP？并证明你的结论．15．如图，在三棱锥S－ABC中，△ABC是边长为4的正三角形，平面SAC⊥平面ABC，SA＝SC＝23，M，N分别为AB，SB的中点．(1)证明：AC⊥SB；(2)求二面角N－CM－B的大小．单元测试五一、选择题1．C 点拨：只有④正确，故选C ．2．C 点拨:cos <a ，b >＝98536||||2=+-=⋅x x b a b a ，解得x ＝－2或552=x ． 3．D 点拨：由空间两点间的距离公式得222222)4()1()1()2()3(-++-=-+-+-z y x z y x 两边平方，整理得4x ＋4y －6z ＋3＝0，故选D ．4．B 点拨：22)sin 3sin 2()cos 3cos 2(||αθαθ-+-=ABθαθαsin sin 12cos cos 1249--+=.)cos(1213θα--=因为－1≤cos(α －θ )≤1，所以1≤13－12cos(α －θ )≤25，所以]5,1[||∈AB ，应选B ．5．A 点拨：d ＝x a ＋y b ＋z c ＝(x ＋y ＋z )e 1＋(x －y ＋z )e 2＋(x －y )e 3＝e 1＋2e 2＋3e 3，空间任一向量都可以用一个空间基底唯一表示，从而得到⎪⎩⎪⎨⎧=-=+-=++.3,2,1y x z y x z y x 解得21,25-==y x ，z ＝－1． 6．A 点拨：CD BC BD +=＝2a ＋4b ＝2(a ＋2b )＝AB 2，所以BD AB 、共线，所以A ，B ，D 共线，故选A ．7．B 点拨：因为(a －2b )⊥a ，(b －2a )⊥b ，所以a ·(a －2b )＝0，b ·(b －2a )＝0． 所以a 2＝2a ·b ，b 2＝2a ·b ，所以2｜a ｜｜b ｜cos θ ＝｜a ｜2且｜a ｜2＝｜b ｜2， 所以21||||2||cos 2==b a a θ，所以3π=θ． 8．A 点拨：因为｜a ｜＝｜b ｜，则(a ＋b )⊥(a －b )．二、填空题9．1410．65 点拨：因为｜a ｜＝｜b ｜，所以平行四边形为菱形，又a ＋b ＝(4，1，3)，a －b＝(0，－3，1)，|a ＋b |＝26，|a －b |＝10，2621||21⨯=-+=b a ||b a S 6510=⨯．11．253 点拨：点M 的坐标为)3,23,2(，)3,21,2(=CM ，=++=2223)21(2||CM253． 三、解答题12．解：2a ＋3b ＝2(3，5，－4)＋3(2，1，8)＝(6，10，－8)＋(6，3，24)＝(12，13，16)，3a －2b ＝3(3，5，－4)－2(2，1，8)＝(9，15，－12)－(4，2，16)＝(5，13，－28)．a ·b ＝6＋5－32＝－21，由(λa ＋μb )·(0，0，1)＝－4λ＋8μ知只要λ，μ满足－4λ＋8μ＝0即λ＝2μ时可使λa ＋μb 与z 轴垂直． 点拨：①由向量的坐标运算可求2a ＋3b ，3a －2b 及a ·b ．②取与z 轴同向的单位向量k ＝(0，0，1)，由k ·(λa ＋μb )＝0可得－4λ＋8μ＝0，而当λ，μ满足λ＝2μ时，λa ＋μb 与z 轴垂直．13．(1)证明：连结AD ，由题设条件，以O 为坐标原点建立空间直角坐标系Oxyz ，如图所示，由正六边形的性质，可得OA ＝21，OB ＝OF ＝23，23=OD ，Rt △AOP 中，P A ＝1，OA ＝21，故2322=-=OA PA OP ，因而有)0,21,0(-A ，)0,0,23(B ，)0,23,0(D ,)0,0,23(-F ,)23,0,0(P ，因)23,21,0(--=PA ，)0,0,3(-=，故⋅＝0，所以PA ⊥，则BF PA ⊥．(2)解：设M 为PB 的中点，连结AM ，MD ，如图所示，则M 点的坐标为)43,0,43(，)43,21,43(---=,=MD )43,23,43(--，)23,0,23(-=PB ，所以0=⋅PB MA ．0=⋅PB MD ．所以MA ⊥，⊥，则有MA ⊥PB ，MD ⊥PB ，因此，∠AMD 为所求二面角的平面角．因为=||MA 83,442||,410-==⋅MD MA MD ，所以>=<MD MA ,cos 35105-=．因此，所求二面角的大小为35105arccos π-．14．解：(1)连结AC ，建立如图所示的空间直角坐标系，则A (1，0，0)，B (1，1，0)，P (0，1，m )，C (0，1，0)，D (0，0，0)，B 1(1，1，1)，D 1(0，0，1)．所以)0,1,1(--=，1BB ＝(0，0，1)，AP ＝(－1，1，m )，＝(－1，1，0)由0,01==⋅⋅知AC 为平面BB 1D 1D 的一个法向量，设AP 与BDD 1B 1所成的角为θ ，则θsin ,c o s(=AC ；即，22)23(123222+=+⋅m 解得31=m ，故当31=m 时，直线AP 与平面BDD 1B 1所成的角的正切值为23．(2)存在．证明：若在A 1C 1上存在这样的点Q ，设此点的横坐标为x ，则Q (x ，1－x ，1)，)0,1,(1x x D -=，依题意，对任意的m 要使D 1Q 在平面APD 1上的射影垂直于⇔⊥⇔AP Q D AP 1 210)1(01=⇔=-+-⇔=⋅x x x D ．即Q 为A 1C 1的中点时，满足题设的要求． 15．(1)证明：取AC 中点O ，连结OS ，OB ，因为SA ＝SC ，AB ＝BC ，所以AC ⊥SO 且AC⊥BO ．因为平面SAC ⊥平面AB C ．平面SAC 交平面ABC 于AC ，所以SO ⊥平面ABC ，所以SO ⊥BO ，如图所示，建立空间直角坐标系Oxyz ，则A (2，0，0)，B (0，32，0)，C (－2，0，0)，S (0，0，22)，M (1，3，0)，N (0，2,3)，所以),0,0,4(-= )22,32,0(-=SB ，所以0=⋅SB AC ，所以SB AC ⊥，即AC ⊥SB ．(2)解：由(1)得)2,0,1(),0,3,3(-==MN CM ，设n ＝(x ，y ，z )为平面CMN 的一个法向量，则⎪⎩⎪⎨⎧=+-=⋅=+=⋅,02,033z x MN y x n n 取z ＝1，则x ＝2，y ＝6-，所以n ＝(2，－6，1)．又)22,0,0(=OS 为平面ABC 的一个法向量，所以31,cos =>=<n ，所以二面角N －CM －B 的大小为31arccos ．。
高二数学空间向量与立体几何测试题
高二数学 空间向量与立体几何测试题第Ⅰ卷（选择题，共50分）一、选择题：（本大题共10个小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．在下列命题中：①若a 、b 共线，则a 、b 所在的直线平行；②若a 、b 所在的直线是异面直线，则a 、b 一定不共面；③若a 、b 、c 三向量两两共面，则a 、b 、c 三向量一定也共面；④已知三向量a 、b 、c ，则空间任意一个向量p 总可以唯一表示为p ＝x a ＋y b ＋z c ．其中正确命题的个数为 （ ） A ．0 B.1 C. 2 D. 3 2．在平行六面体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，向量1D A 、1D C 、11C A 是（ ）A ．有相同起点的向量B ．等长向量C ．共面向量D ．不共面向量3．若向量λμλμλ且向量和垂直向量R b a n b a m ∈+=,(,、则)0≠μ （ ）A ．//B ．⊥C ．也不垂直于不平行于,D ．以上三种情况都可能4．已知a ＝（2，－1，3），b ＝（－1，4，－2），c ＝（7，5，λ），若a 、b 、c 三向量共面，则实数λ等于（ ） A.627 B. 637 C. 647 D. 6575．直三棱柱ABC —A 1B 1C 1中，若CA =a ，CB =b ，1CC =c ， 则1A B = （ ）A.+-a b cB. -+a b cC. -++a b cD. -+-a b c6．已知a +b +c ＝0，|a |＝2，|b |＝3，|c |＝19，则向量a 与b 之间的夹角><,为（ ）A ．30°B ．45°C ．60°D ．以上都不对7．若a 、b 均为非零向量，则||||⋅=a b a b 是a 与b 共线的 （ ）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充分必要条件D.既不充分又不必要条件8．已知△ABC 的三个顶点为A （3，3，2），B （4，－3，7），C （0，5，1），则BC 边上的 中线长为（ ）A ．2B ．3C ．4D ．59．已知的数量积等于与则35,2,23+-=-+=（ ）EM GDCBA10．已知(1,2,3)OA =，(2,1,2)OB =，(1,1,2)OP =，点Q 在直线OP 上运动，则当QA QB ⋅ 取得最小值时，点Q 的坐标为（ ）A ．131(,,)243B ．123(,,)234C ．448(,,)333D ．447(,,)333第Ⅱ卷（非选择题，共100分）二、填空题（本大题共6小题，每小题5分，共30分） 11．若A(m ＋1，n －1,3)，B(2m ,n ,m －2n )，C(m ＋3,n －3,9)三点共线，则m +n = ．12．12、若向量 ()()1,,2,2,1,2a b λ==-，,a b 夹角的余弦值为89，则λ等于__________.13．在空间四边形ABCD 中，AC 和BD 为对角线，G 为△ABC 的重心，E 是BD 上一点，BE ＝3ED ，以｛AB ，AC ，AD ｝为基底，则GE ＝ ．14．已知a,b,c 是空间两两垂直且长度相等的基底，m=a+b,n=b-c ,则m,n 的夹角为 。
高中数学选修2-1 第三章《空间向量与立体几何》单元测试题(含答案)
这时Q ⎝ ⎛⎭⎪⎫43，43，83.答案：C二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．13．若A (x,5－x,2x －1)，B (1，x ＋2,2－x )，则当|AB →|取最小值时，x 的值等于________．解析：AB →＝(1－x,2x －3，－3x ＋3)，则 |AB →|＝1－x2＋2x －32＋－3x ＋32＝14x 2－32x ＋19＝14⎝⎛⎭⎪⎫x －872＋57，故当x ＝87时，|AB →|取最小值．答案：8714．正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，直线BC 1与平面A 1BD 夹角的正弦值是________． 解析：如图，以DA 、DC 、DD 1分别为x 轴、y 轴、z 轴建立空间直角坐标系，设正方体的棱长为1，则A (1,0,0)，B (1,1,0)，C 1(0,1,1)， 易证AC 1→是平面A 1BD 的一个法向量．AC 1→＝(－1,1,1)，BC 1→＝(－1,0,1)． cos 〈AC 1→，BC 1→〉＝1＋13×2＝63. 所以BC 1与平面A 1BD 夹角的正弦值为63.答案：63设AC ∩BD ＝N ，连结NE ，则N ⎝ ⎛⎭⎪⎫22，22，0，E (0,0,1)， ∴NE →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－22，－22，1. 又A (2，2，0)，M ⎝ ⎛⎭⎪⎫22，22，1， ∴AM →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－22，－22，1. ∴NE →＝AM →，且NE 与AM 不共线．∴NE ∥AM .又NE ⊂平面BED ，AM ⊄平面BDE ，∴AM ∥平面BDE .(2)设P (t ，t,0)(0≤t ≤2)，则PF →＝(2－t ，2－t,1)，CD →＝(2，0,0)．又∵PF →与CD →所成的角为60°，|2－t ·2|2－t2＋2－t 2＋1·2＝12， 解之得t ＝22，或t ＝322(舍去)． 故点P 为AC 的中点．22．(本小题满分12分)如图，在圆锥PO 中，已知PO ＝2，⊙O 的直径AB ＝2，C 是AB 的中点，D 为AC 的中点．。
空间向量单元测试题(原卷版)
2021-2022年度高二第一学期单元测试空间向量与立体几何一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 如图所示，正方体1111ABCD A B C D -的棱长为a ，M ，N 分别为1A B 和AC 上的点，123aA M AN ==，则MN 与平面11BB C C 的位置关系是( )A ．相交B ．平行C ．垂直D ．不能确定2. 已知正四面体ABCD 的棱长为1，点E 、F 分别是AD 、DC 中点，则(EF AB = )A ．14B ．14-C ．34D ．34-3. 三棱柱111ABC A B C -的侧棱与底面垂直，11AA AB AC ===，AB AC ⊥，N 是BC 的中点，点P 在11A B 上，且满足111A P A B λ=，当直线PN 与平面ABC 所成的角取最大值时，λ的值为( )A ．12B 2C 3D 254. 如图，在长方体1111ABCD A B C D -中，2AB =，3BC =，16AA =，则异面直线1AB 与1BC 所成角的大小为( )A ．60︒B ．45︒C ．30︒D ．15︒5. 如图，60︒的二面角的棱上有A ，B 两点，直线AC ，BD 分别在这个二面角的两个半平面内，且都垂直于AB ．已知4AB =，6AC =，8BD =，则CD 的长为( )A 17B ．7C ．217D ．96. 在棱长为2的正方体1111ABCD A B C D -中，E ，F 分别为11A D ，11D C 的中点，则过B ，E ，F 三点的平面截该正方体，所得截面的周长为( )A ．52B ．62C 2213D 24137. 在长方体1111ABCD A B C D -中，2AB =11BC AA ==，点M 为1AB 的中点，点P 为对角线1AC 上的动点，点Q 为底面ABCD 上的动点（点P 、Q 可以重合），则MP PQ +的最小值为( ) A 2B 3C ．34D ．18. 把正方形ABCD 沿对角线BD 折成直二面角，对于下列结论：①AC BD ⊥；②ADC ∆是正三角形；③AB 与CD 成60︒角；④AB 与平面BCD 成60︒角． 则其中正确结论的个数是( ) A ．1个 B ．2个C ．3个D ．4个三､填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13. 如图，动点P 在正方体1111ABCD A B C D -的对角线1BD 上，过点P 作垂直于平面11BB D D 的直线，与正方体表面相交于M ，N 两点，设BP x =，MN y =，则函数()y f x =的图象大致是 ② ．（在横线上填上正确的序号，多选少选都不得分）14.如图，矩形ABCD 中，2AB AD =，E 为边AB 的中点，将ADE ∆沿直线DE 翻折成△1A DE ．若M 为线段1A C 的中点，则在ADE ∆翻折过程中，下列命题正确的是 ．（写出所有正确的命题的编号） ①线段BM 的长是定值； ②点M 在某个球面上运动； ③存在某个位置，使1DE AC ⊥； ④存在某个位置，使//MB 平面1A DE ．15.正方体1111ABCD A B C D -中，E 、F 分别是棱11A B ，BC 上的动点，且1A E BF =，P 为EF 的中点，则点P 的轨迹是 ．16.正方体1111ABCD A B C D -的棱长为4，E ，F 分别是BC 和11C D 的中点，经过点A ，E ，F 的平面把正方体1111ABCD A B C D -截成两部分，则截面的周长为 ．四､解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.17. 如图，直线AQ ⊥平面α，直线AQ ⊥平行四边形ABCD ，四棱锥P ABCD -的顶点P 在平面α上，7AB =3AD ，AD DB ⊥，AC BD O =，//OP AQ ，2AQ =，M ，N分别是AQ 与CD 的中点． （1）求证：//MN 平面QBC ； （2）求二面角M CB Q --的余弦值．18. 如图所示，该几何体是由一个直三棱柱ADE BCF -和一个正四棱锥P ABCD -组合而成，AD AF ⊥，2AE AD ==． （Ⅰ）证明：平面PAD ⊥平面ABFE ；（Ⅱ）求正四棱锥P ABCD -的高h ，使得二面角C AF P --的余弦值是223．19. 如图，已知长方形ABCD 中，2AB =，1AD =，M 为DC 的中点．将ADM ∆沿AM 折起，使得平面ADM ⊥平面ABCM ． （1）求证：AD BM ⊥；（2）若点E 是线段DB 上的一动点，问点E 在何位置时，二面角E AM D --的余弦值为55．20. 如图，PD 垂直于梯形ABCD 所在的平面，90ADC BAD ∠=∠=︒．F 为PA 中点，2PD =，112AB AD CD ===． 四边形PDCE 为矩形，线段PC 交DE 于点N ．（Ⅰ）求证：//AC 平面DEF ； （Ⅱ）求二面角A BC P --的大小；（Ⅲ）在线段EF 上是否存在一点Q ，使得BQ 与平面BCP 所成角的大小为6π？若存在，求出Q 点所在的位置；若不存在，请说明理由．21. 已知长方形ABCD 中，1AB =，2AD =，现将长方形沿对角线BD 折起，使AC a =，得到一个四面体A BCD -，如图所示．（1）试问：在折叠的过程中，异面直线AB 与CD ，AD 与BC 能否垂直？若能垂直，求出相应的a 值；若不垂直，请说明理由．（2）当四面体A BCD -体积最大时，求二面角A CD B --的余弦值．22. 如图，AB是圆O的直径，点C是圆O上异于A，B的点，PO垂直于圆O所在的平面，且1==，PO OB（Ⅰ）若D为线段AC的中点，求证：AC⊥平面PDO；（Ⅱ）求三棱锥P ABC-体积的最大值；（Ⅲ）若2BC=，点E在线段PB上，求CE OE+的最小值．。
《第一章 空间向量与立体几何》单元检测试卷与答案解析(共三套)
《第一章 空间向量与立体几何》单元检测试卷（一）第I 卷（选择题）一、单选题(每题只有一个正确的选项，5分/题，共40分）1．在正四面体P ABC -中，棱长为2，且E 是棱AB 中点，则PE BC ⋅的值为( )A ．1-B ．1CD ．732．已知PA =（2，1，﹣3），PB =（﹣1，2，3），PC =（7，6，λ），若P ，A ，B ，C 四点共面，则λ＝（ ） A ．9B ．﹣9C ．﹣3D ．33．下列说法正确的是（ ）A ．任何三个不共线的向量可构成空间向量的一个基底B ．空间的基底有且仅有一个C ．两两垂直的三个非零向量可构成空间的一个基底D ．基底{}a b c ，，中基向量与基底{}e f g ，，基向量对应相等4．若直线l 的方向向量为(1,2,3)a =-,平面α的法向量为(3,6,9)n =--,则( ) A ．l α⊂B ．//l αC ．l α⊥D ．l 与α相交5．在正方体1111ABCD A B C D -中，M N ，分别为AD ，11C D 的中点，O 为侧面11BCC B 的中心，则异面直线MN 与1OD 所成角的余弦值为( ) A ．16B ．14C ．16-D ．14-6．已知正四棱柱1111ABCD A B C D -中，12AA AB =，则CD 与平面1BDC 所成角的正弦值等于（ ）A ．23B ．3C ．3D ．137．在棱长为2的正方体1111ABCD A B C D -中，E ，F 分别为棱1AA 、1BB 的中点，M 为棱11A B 上的一点，且1(02)A M λλ=<<，设点N 为ME 的中点，则点N 到平面1D EF 的距离为（ ）AB ．2C D 8．已知空间直角坐标系O xyz -中，()1,2,3OA =，()2,1,2OB =，()1,1,2OP =，点Q 在直线OP 上运动，则当QA QB ⋅取得最小值时，点Q 的坐标为（ ）A ．131,,243⎛⎫ ⎪⎝⎭B ．133,,224⎛⎫ ⎪⎝⎭C ．448,,333⎛⎫ ⎪⎝⎭D ．447,,333⎛⎫ ⎪⎝⎭二、多选题(每题不止一个正确的选项，5分/题，共20分）9．若长方体1111ABCD A B C D -的底面是边长为2的正方形，高为4，E 是1DD 的中点，则（ ）A ．11B E A B ⊥ B ．平面1//B CE 平面1A BDC ．三棱锥11C B CE -的体积为83D ．三棱锥111C B CD -的外接球的表面积为24π 10．正方体1111ABCD A B C D -中，E 、F 、G 、H 分别为1CC 、BC 、CD 、BB 、1BB 的中点，则下列结论正确的是（ ）A ．1B G BC ⊥ B ．平面AEF 平面111AAD D AD =C ．1//A H 面AEFD ．二面角E AF C --的大小为4π 11．设a ，b ，c 是空间一个基底，则( ) A ．若a ⊥b ，b ⊥c ，则a ⊥cB ．则a ，b ，c 两两共面，但a ，b ，c 不可能共面C ．对空间任一向量p ，总存在有序实数组(x ，y ，z)，使p xa yb zc =++D ．则a ＋b ，b ＋c ，c ＋a 一定能构成空间的一个基底12．（多选题）如图，在菱形ABCD 中，2AB =，60BAD ∠=，将ABD △沿对角线BD 翻折到PBD △位置，连结PC ，则在翻折过程中，下列说法正确的是（ ）A ．PC 与平面BCD 所成的最大角为45B ．存在某个位置，使得PB CD ⊥C ．当二面角P BD C --的大小为90时，PC =D ．存在某个位置，使得B 到平面PDC第II 卷（非选择题）三、填空题（每题5分，共20分）13．若(2, 3, 1)a =-，(2, 0, 3)b =，(3, 4, 2)c =，则()a b c +=___________．14．已知平面α的一个法向量10,,2n ⎛=- ⎝，A α∈，P α∉，且122PA ⎛=- ⎝，则直线PA 与平面α所成的角为______．15．二面角的棱上有A ，B 两点，直线AC ，BD 分别在这个二面角的两个半平面内，且都垂直于AB .已知4AB =，6AC =，8BD =，CD =________．16．如图，棱长为3的正方体的顶点A 在平面α上，三条棱,,AB AC AD 都在平面α的同侧，若顶点,B C 到平面α，则顶点D 到平面α的距离是_____.四、解答题（17题10分，其余题目12分每题，共70分）17．如图，2BC =，原点O 是BC 的中点，点A 的坐标为(2，12，0)，点D 在平面yOz 上，且90BDC ∠=︒，30DCB ∠=︒．（1）求向量CD 的坐标．（2）求AD 与BC 的夹角的余弦值．18．如图，三棱柱111ABC A B C -中，底面边长和侧棱长都等于1，1160BAA CAA ︒∠=∠=．（1）设1AA a =，AB b =，AC c =，用向量a ，b ，c 表示1BC ，并求出1BC 的长度； （2）求异面直线1AB 与1BC 所成角的余弦值．19．如图所示，在长方体1111ABCD A B C D -中，1AD =，12AB AA ==，N 、M 分别是AB 、1C D 的中点．（1）求证：NM ∥平面11A ADD ； （2）求证：NM ⊥平面11A B M ．20．如图，在直棱柱1111ABCD A B C D -中，//AD BC ，90BAD ∠=︒，AC BD ⊥，1BC =，14A D A A ==.（1）证明：面1ACD ⊥面1BB D ； （2）求二面角11B AC D --的余弦值.21．如图，在四棱锥P ABCD -中，AB ⊥平面PAD ，//AB DC ，E 为线段PD 的中点，已知2PA AB AD CD ====，120PAD ∠=︒．（1）证明：直线//PB 平面ACE ；（2）求直线PB 与平面PCD 所成角的正弦值．22．如图，已知梯形ABCD 中，//AD BC ，90DAB ∠=︒，22AB BC AD ===，四边形EDCF 为矩形，2DE =，平面EDCF ⊥平面ABCD ． （1）求证：//DF 平面ABE ；（2）求平面ABE 与平面BEF 所成二面角的正弦值；（3）若点P 在线段EF 上，且直线AP 与平面BEF ，求线段AP 的长．答案解析第I 卷（选择题）一、单选题(每题只有一个正确的选项，5分/题，共40分）1．在正四面体P ABC -中，棱长为2，且E 是棱AB 中点，则PE BC ⋅的值为( )A ．1-B ．1CD ．73【答案】A 【解析】如图所示由正四面体的性质可得：PA BC ⊥ 可得：0PA BC ⋅=E 是棱AB 中点12PEPA PB 111122cos12012222PE BC PA PB BCPA BC PB BC 故选：A【点睛】本题考查空间向量的线性运算，考查立体几何中的垂直关系，考查转化与化归思想，属于中等题型.2．已知PA =（2，1，﹣3），PB =（﹣1，2，3），PC =（7，6，λ），若P ，A ，B ，C 四点共面，则λ＝（ ） A ．9 B ．﹣9C ．﹣3D ．3【答案】B【解析】由P ，A ，B ，C 四点共面，可得,,PA PB PC 共面，(2,2,33)(7,6,)xPA yPB x y x y C y P x λ∴=+=-+-+=，272633x y x y x y λ-=⎧⎪+=⎨⎪-+=⎩，解得419x y λ=⎧⎪=⎨⎪=-⎩. 故选:B.3．下列说法正确的是（ ）A ．任何三个不共线的向量可构成空间向量的一个基底B ．空间的基底有且仅有一个C ．两两垂直的三个非零向量可构成空间的一个基底D ．基底{}a b c ，，中基向量与基底{}e f g ，，基向量对应相等 【答案】C【解析】A 项中应是不共面的三个向量构成空间向量的基底, 所以A 错.B 项，空间基底有无数个, 所以B 错.D 项中因为基底不唯一，所以D 错.故选C .4．若直线l 的方向向量为(1,2,3)a =-,平面α的法向量为(3,6,9)n =--,则( ) A ．l α⊂ B ．//l αC ．l α⊥D ．l 与α相交【答案】C【解析】∵直线l 的方向向量为()1,2,3a =-， 平面α的法向量为()3,6,9n =--，∴13a n =-，∴a n ， ∴l α⊥． 故选C ．5．在正方体1111ABCD A B C D -中，M N ，分别为AD ，11C D 的中点，O 为侧面11BCC B 的中心，则异面直线MN 与1OD 所成角的余弦值为( ) A ．16B ．14C ．16-D ．14-【答案】A【解析】如图，以D 为坐标原点，分别以1,,DA DC DD 所在直线为,,x y z 轴建立空间直角坐标系． 设正方体的棱长为2，则()()()()1100,012,121,002M N O D ，，，，，，，，， ∴()()11,1,2,1,2,1MN OD =-=--． 则1111cos ,66MN OD MN OD MN OD ⋅===． ∴异面直线MN 与1OD 所成角的余弦值为16,故选A ．6．已知正四棱柱1111ABCD A B C D -中，12AAAB =，则CD 与平面1BDC 所成角的正弦值等于（） A ．23B C．3D ．13【答案】A【解析】设1AB =11BD BCDC ∴===，1BDC ∆面积为3211C BDC C BCD V V --=131********d d ∴⨯⨯=⨯⨯∴=2sin 3d CD θ∴== 7．在棱长为2的正方体1111ABCD A B C D -中，E ，F 分别为棱1AA 、1BB 的中点，M 为棱11A B 上的一点，且1(02)A M λλ=<<，设点N 为ME 的中点，则点N 到平面1D EF 的距离为（ ）AB．2CD【答案】D【解析】以D 为原点，DA 为x 轴，DC 为y 轴，DD 1为z 轴，建立空间直角坐标系， 则M （2，λ，2），D 1（0，0，2），E （2，0，1），F （2，2，1）， 1ED ＝（﹣2，0，1），EF ＝（0，2，0），EM ＝（0，λ，1）， 设平面D 1EF 的法向量n ＝（x ，y ，z ），则12020n ED x z n EF y ⎧⋅=-+=⎪⎨⋅==⎪⎩ ，取x ＝1，得n ＝（1，0，2），∴点M 到平面D 1EF 的距离为：d＝||2||5EM n n ⋅==，N 为EM 中点，所以N到该面的故选：D ．8．已知空间直角坐标系O xyz -中，()1,2,3OA =，()2,1,2OB =，()1,1,2OP =，点Q 在直线OP 上运动，则当QA QB ⋅取得最小值时，点Q 的坐标为（ ）A ．131,,243⎛⎫⎪⎝⎭B ．133,,224⎛⎫⎪⎝⎭C ．448,,333⎛⎫⎪⎝⎭D ．447,,333⎛⎫⎪⎝⎭【答案】C【解析】设(,,)Q x y z ，由点Q 在直线OP 上，可得存在实数λ使得OQ OP λ=， 即(,,)(1,1,2)x y z λ=，可得(,,2)Q λλλ,所以(1,2,32),(2,1,22)QA QB λλλλλλ=---=---,则2(1)(2)(2)(1)(32)(22)2(385)QA QB λλλλλλλλ⋅=--+--+--=-+， 根据二次函数的性质，可得当43λ=时，取得最小值23-，此时448(,,)333Q . 故选：C.二、多选题(每题不止一个正确的选项，5分/题，共20分）9．若长方体1111ABCD A B C D -的底面是边长为2的正方形，高为4，E 是1DD 的中点，则（ ）A ．11B E A B ⊥B ．平面1//B CE 平面1A BDC ．三棱锥11C B CE -的体积为83D ．三棱锥111C B CD -的外接球的表面积为24π【答案】CD【解析】以1{,,}AB AD AA 为正交基底建立如图所示的空间直角坐标系，则 (0,0,0)A ，(2,0,0)B ，(2,2,0)C ，(0,2,0)D ，1(0,0,4)A ，1(2,0,4)B ，(0,2,2)E ，所以1(2,2,2)B E =--，1(2,0,4)A B =-， 因为1140840B E A B ⋅=-++=≠，所以1B E 与1A B 不垂直，故A 错误； 1(0,2,4)CB =-，(2,0,2)CE =-设平面1B CE 的一个法向量为111(,,)n x y z =，则 由100n CB n CE ⎧⋅=⎨⋅=⎩，得1111240220y z x z -+=⎧⎨-+=⎩，所以11112y z x z =⎧⎨=⎩，不妨取11z =，则11x =，12y = 所以(1,2,1)n =，同理可得设平面1A BD 的一个法向量为(2,2,1)m =，故不存在实数λ使得n λm =，故平面1B CE 与平面1A BD 不平行，故B 错误； 在长方体1111ABCD A B C D -中，11B C ⊥平面11CDD C ，故11B C 是三棱锥11B CEC -的高， 所以111111111184223323三棱锥三棱锥CEC C B CE CEC B V V S B C --==⋅=⨯⨯⨯⨯=△， 故C 正确；三棱锥111C B CD -的外接球即为长方体1111ABCD A B C D -的外接球，故外接球的半径2R ==所以三棱锥111C B CD -的外接球的表面积2424S R ππ==，故D 正确. 故选：CD.10．正方体1111ABCD A B C D -中，E 、F 、G 、H 分别为1CC 、BC 、CD 、BB 、1BB 的中点，则下列结论正确的是（ ）A ．1B G BC ⊥ B ．平面AEF 平面111AAD D AD =C ．1//A H 面AEFD ．二面角E AF C --的大小为4π 【答案】BC【解析】由题可知，1B G 在底面上的射影为BG ，而BC 不垂直BG ， 则1B G 不垂直于BC ，则选项A 不正确；连接1AD 和1BC ，E 、F 、G 、H 分别为1CC 、BC 、CD 、BB 、1BB 的中点， 可知11////EF BC AD ，所以AEF ∆⊂平面1AD EF ， 则平面AEF平面111AA D D AD =，所以选项B 正确；由题知，可设正方体的棱长为2，以D 为原点，DA 为x 轴，DC 为y 轴，1DD 为z 轴， 则各点坐标如下：()()()()()()12,0,0,0,2,0,0,2,1,2,0,2,2,2,1,1,2,0A C E A H F ()()()()110,2,1,1,2,0,1,0,1,0,0,2A H AF EF AA =-=-=-=，设平面AEF 的法向量为(),,n x y z =，则00n AF n EF ⎧⋅=⎨⋅=⎩，即20x y x z -+=⎧⎨-=⎩，令1y =，得2,2x z ==，得平面AEF 的法向量为()2,1,2n =，所以10A H n ⋅=，所以1//A H 平面AEF ，则C 选项正确； 由图可知，1AA ⊥平面AFC ，所以1AA 是平面AFC 的法向量， 则1112cos ,3AA n AA n AA n⋅<>===⋅. 得知二面角E AF C --的大小不是4π，所以D 不正确. 故选：BC.11．设a ，b ，c 是空间一个基底，则( ) A ．若a ⊥b ，b ⊥c ，则a ⊥cB ．则a ，b ，c 两两共面，但a ，b ，c 不可能共面C ．对空间任一向量p ，总存在有序实数组(x ，y ，z)，使p xa yb zc =++D ．则a ＋b ，b ＋c ，c ＋a 一定能构成空间的一个基底 【答案】BCD【解析】对于A 选项，b 与,a c 都垂直，,a c 夹角不一定是π2，所以A 选项错误. 对于B选项，根据基底的概念可知a ，b ，c 两两共面，但a ，b ，c 不可能共面.对于C 选项，根据空间向量的基本定理可知，C 选项正确.对于D 选项，由于a ，b ，c 是空间一个基底，所以a ，b ，c 不共面.假设a ＋b ，b ＋c ，c ＋a 共面，设()()()1a b x b c x c a +=++-+，化简得()1x a x b c ⋅=-+，即()1c x a x b =⋅+-，所以a ，b ，c 共面，这与已知矛盾，所以a ＋b ，b ＋c ，c ＋a 不共面，可以作为基底.所以D 选项正确. 故选：BCD12．（多选题）如图，在菱形ABCD 中，2AB =，60BAD ∠=，将ABD △沿对角线BD 翻折到PBD △位置，连结PC ，则在翻折过程中，下列说法正确的是（ ）A ．PC 与平面BCD 所成的最大角为45B ．存在某个位置，使得PB CD ⊥C ．当二面角P BD C --的大小为90时，PC =D ．存在某个位置，使得B 到平面PDC 【答案】BC【解析】如图所示：A 项：取BD 的中点O ，连结OP 、OC ， 因为四边形ABCD 是菱形，O 是线段BD 的中点， 所以,,OP BD OC BD OPOC O ⊥⊥=,BD ⊥平面POC ，BD ⊂平面BCD ，所以POC ⊥平面BCD ，所以POC 平面BCDOC ，所以PC 在平面BCD 的射影为OC ，PCO ∠即PC 与平面BCD 所成角，PO OC ，三角形POC 是等腰三角形，当60POC ∠=时，PC 与平面BCD 所成角为60，故A 错误； B 项：当PD PC =时，取CD 的中点N ，可得CD PN ⊥，CD BN ⊥，故CD ⊥平面PBN ，PB CD ⊥，故B 正确； C 项：因为四边形ABCD 是菱形，O 是线段BD 的中点， 所以PO BD ⊥，CO BD ⊥，因为BD 是平面PBD 与平面CBD 的交线， 所以POC ∠即平面PBD 与平面CBD 所成角，因为二面角P BD C --的大小为90，所以90POC ∠=，因为PO OC ==PC =C 正确；D 项：因为BN =B 到平面PDC则BN ⊥平面PCD ，2PB =，BN =1PN =，1DN =，则PD =D 错误，故选：BC.第II 卷（非选择题）三、填空题（每题5分，共20分）13．若(2, 3, 1)a =-，(2, 0, 3)b =，(3, 4, 2)c =，则()a b c +=________． 【答案】3.【解析】因为(2, 3, 1)a =-，(2, 0, 3)b =，(3, 4, 2)c =所以()5,4,5b c += 所以()()2534153a b c +=⨯+-⨯+⨯=故答案为：314．已知平面α的一个法向量10,,2n ⎛=- ⎝，A α∈，P α∉，且122PA ⎛=- ⎝，则直线PA 与平面α所成的角为______． 【答案】π3【解析】设直线PA 与平面α所成的角为θ，则s 0in cos n PA n PAθθ===⋅=⋅， ∴直线PA 与平面α所成的角为π3．故答案为：π3．15．二面角的棱上有A ，B 两点，直线AC ，BD 分别在这个二面角的两个半平面内，且都垂直于AB .已知4AB =，6AC =，8BD =，CD =________． 【答案】60︒【解析】由条件，知0CA AB ⋅=，0AB BD ⋅=，CD CA AB BD =++.2222222CD CA AB BD CAAB AB BD CA BD=+++⋅+⋅+⋅(2222648268cos ,CA BD =+++⨯⨯=.∴1cos ,2CA BD =-，又∵0,180CA BD ︒≤≤︒，∴,120CABD =︒，∴二面角的大小为60︒. 故答案为：60︒.16．如图，棱长为3的正方体的顶点A 在平面α上，三条棱,,AB AC AD 都在平面α的同侧，若顶点,B C 到平面α，则顶点D 到平面α的距离是______.【解析】如图，以O 为坐标原点，建立空间直角坐标系， 则(0,0,0),(3,0,0),(0,3,0),(3,3,0),(3,3,3)O C B A D ， 所以(3,0,0),(0,3,0),(0,0,3)BA CA AD ===， 设平面α的一个法向量为(,,)n x y z =， 则点B 到平面α距离为12||||BA n d n x ⋅===点C 到平面α距离为12||||CA n d n x ⋅===由①②可得||||,|||y x zx==， 所以D 到平面α的距离为2|||||AD n n x x ⋅===故答案为四、解答题（17题10分，其余题目12分每题，共70分） 17．如图，2BC =，原点O 是BC的中点，点A 的坐标为(2，12，0)，点D 在平面yOz 上，且90BDC ∠=︒，30DCB ∠=︒．（1）求向量CD 的坐标．（2）求AD 与BC 的夹角的余弦值．【答案】（1）3(0,2-；（2）.【解析】（1）过D 作DE BC ⊥于E ，则sin302DE CD =⋅︒=，11cos60122OE OB BD =-︒=-=，所以D 的坐标为1(0,2D -，又因为(0,1,0)C ，所以3(0,2CD =-．（2）依题设有A 点坐标为1,0)2A ，所以(2AD =--，(0,2,0)BC =，则AD 与BC 的夹角的余弦值为·cos ,·AD BC AD BC AD BC==-．18．如图，三棱柱111ABC A B C -中，底面边长和侧棱长都等于1，1160BAA CAA ︒∠=∠=．（1）设1AA a =，AB b =，AC c =，用向量a ，b ，c 表示1BC ，并求出1BC 的长度； （2）求异面直线1AB 与1BC 所成角的余弦值． 【答案】（1）1BC a c b =+-；12BC =（2【解析】（1）1111111111BC BB BC BB AC A B AA AC AB a c b =+=+-=+-=+-， 因为11||||cos 11cos602a b a b BAA ︒⋅=⋅∠=⨯⨯=，同理可得12a cbc ⋅=⋅=，所以22221()2221111BC a c b a c b a c a b c b =+-=+++⋅-⋅-⋅=+++-=．（2）因为1AB a b =+，所以2221()2111AB a b a b a b =+=++⋅=++=因为2211()1111111222)2(AB BC a b a c b a a ca b b a c b b ⋅=+⋅+-=+⋅+-⋅+⋅+⋅=+-+=--，所以111111cos ,62AB BC AB BC AB BC ⋅<>===所以异面直线1AB 与1BC 所成角的余弦值为619．如图所示，在长方体1111ABCD A B C D -中，1AD =，12AB AA ==，N 、M 分别是AB 、1C D 的中点．（1）求证：NM ∥平面11A ADD ； （2）求证：NM ⊥平面11A B M ．【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析.【解析】证明：（1）以D 为原点，DA 为x 轴，DC 为y 轴，1DD 为z 轴，建立空间直角坐标系，在长方体1111ABCD A B C D -中，1AD =，12AB AA ==，N 、M 分别是AB 、1C D 的中点，(0M ∴，1，1)，(1N ，1，0)，(1=MN ，0，1)-，平面11A ADD 的法向量可设为(0n =，1，0)，∴0=MN n ，MN ⊂/平面11A ADD ，MN ∴平面11A ADD ．（2）1(1A ，0，2)，1(1B ，2，2)，11(0A B =，2，0)，1(1A M =-，1，1)-， 11·0MN AB ∴=，1·0MN AM =， 11MN A B ∴⊥，1MN A M ⊥， 1111A B A M A ⋂=，NM ∴⊥平面11A B M ．20．如图，在直棱柱1111ABCD A B C D -中，//AD BC ，90BAD ∠=︒，AC BD ⊥，1BC =，14A D A A ==.（1）证明：面1ACD ⊥面1BB D ； （2）求二面角11B AC D --的余弦值.【答案】（1）证明见解析；（2）63. 【解析】（1）证明：1BB ⊥平面ABCD ，AC ⊂平面ABCD ，∴1AC BB ⊥. 又∵AC BD ⊥，且1BB BD B ⋂=，1,BD BB ⊂平面1BB D ， ∴AC ⊥平面1BB D . 又∵AC ⊂平面1ACD ， ∴面1ACD ⊥面1BB D .（2）易知AB 、AD 、1AA 两两垂直，以A 为坐标原点，AB 、AD 、1AA 所在直线分别为x 轴、y 轴、z 轴建立如图的空间直角坐标系，设AB t =，则相关各点的坐标为()0,0,0A ，(),0,0B t ，()1,0,4B t ，(),1,0C t ， ()1,1,4C t ，()0,4,0D ，()10,4,4D .从而(),1,0AC t =，(),4,0BD t =-. ∵AC BD ⊥，∴2400AC BD t ⋅=-++= 解之得2t =或2t =-（舍去）.()10,4,4AD =，()2,1,0AC =设()1,,n x y z =是平面1ACD 的一个法向量， 则11100n AC n AD ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，即20440x y y z +=⎧⎨+=⎩令1x =，则()11,2,2n =-.同理可求面1ACB 的法向量为()22,4,1n =-.∴12122cos 63||||3n n n n θ⋅-===⋅.又∵二面角11B AC D --是锐二面角， ∴二面角11B AC D --21．如图，在四棱锥P ABCD -中，AB ⊥平面PAD ，//AB DC ，E 为线段PD 的中点，已知2PA AB AD CD ====，120PAD ∠=︒．（1）证明：直线//PB 平面ACE ；（2）求直线PB 与平面PCD 所成角的正弦值．【答案】（1）证明见解析；（2【解析】（1）证明：连接BD 交AC 于点H ，连接HE//AB DC ,AB CD =,四边形ABCD 是平行四边形，H ∴是AC 中点，又E 为线段PD 的中点，//B HE P ,又HE ⊂平面ACE ，PB ⊄平面ACE∴ 直线//PB 平面ACE（2）AB ⊥平面PAD ,作Ax AP ⊥,建立如图所示空间直角坐标系A xyz -由已知2PA AB AD CD ====，120PAD ∠=︒ 得(0,0,2)B ,(0,2,0)P,1,0)D -,1,2)C -(0,2,2)PB =-- , (3,3,0)PD =- (0,0,2)CD =-设平面PCD 的法向量(,,)n x y z =·0·0n CD n PD ⎧=⎨=⎩ , 200Z y -=⎧⎪-=，不妨取(1,3,0)n =2cos ,422PB n PBn PB n-∴<>===⨯所以直线PB 与平面PCD 所成角的正弦值为422．如图，已知梯形ABCD 中，//AD BC ，90DAB ∠=︒，22AB BC AD ===，四边形EDCF 为矩形，2DE =，平面EDCF ⊥平面ABCD ． （1）求证：//DF 平面ABE ；（2）求平面ABE与平面BEF 所成二面角的正弦值；（3）若点P 在线段EF 上，且直线AP 与平面BEF ，求线段AP 的长．【答案】（1）证明见解析；（2；（3）3【解析】（1）证明：四边形EDCF 为矩形，DE CD ∴⊥，又平面EDCF ⊥平面ABCD ，平面EDCF⋂平面ABCD CD =，ED ∴⊥平面ABCD ．取D 为原点，DA 所在直线为x 轴，DE 所在直线为z 轴建立空间直角坐标系， 如图，则(1A ，0，0)，(1B ，2，0)，(1C -，2，0)，(0E ，0，2)，(1F -，2，2)， 设平面ABE 的法向量(,,)m x y z =，(1,2,2)BE =--，(0,2,0)AB =，由·220·20m BE x y z m AB y ⎧=--+=⎨==⎩，取1z =，得(2,0,1)m =，又(1,2,2)DF =-，∴2020DF m =-++=，则DF m ⊥， 又DF ⊂/平面ABE ，//DF ∴平面ABE ；（2）解：设平面BEF 的法向量111(,,)n x y z =，(1,2,2)BE =--，(1,2,0)EF =-，由11111·220·20n BE x y z n EF x y ⎧=--+=⎪⎨=-+=⎪⎩，取11y =，可得(2,1,2)n =，42cos ,||||35m n m n m n +∴<>===，5sin ,5m n ∴<>=， 即平面ABE 与平面BEF ；（3）解：点P 在线段EF 上，设EP EF λ=，[0λ∈，1]，∴(1AP AE EF λ=+=-，0，2)(1λ+-，2，0)(1λ=--，2λ，2)，又平面BEF 的法向量(2,1,2)n =，设直线AP 与平面BEF 所成角为θ，∴|||2(1sin |cos ,|||||3(AP n AP n AP n θλ-=<>===-，24518110λλ∴+-=，即(31)(1511)0λλ-+=，[0λ∈，1]，∴13λ=．∴4(3AP =-，23，2)，则||(AP =-，AP ∴．《第一章 空间向量与立体几何》单元检测试卷（二）一、选择题1．在四面体ABCD 中，点F 在AD 上，且2AF FD =，E 为BC 中点，则EF 等于（ ）323向量()()(,1,1,b 1,,1,c 2,4,2a x y ===-且,//c a c b ⊥，则b a +=（ ）3．在棱长为2的正方体1111ABCD A B C D -中，E ，F 分别为棱1AA 、1BB 的中点，M 为棱11A B 上的一点，且1(02)A M λλ=<<，设点N 为ME 的中点，则点N 到平面1D EF 的距离为（ ）4．空间线段AC AB ⊥，BD AB ⊥，且::1:3:1AC AB BD =，设CD 与AB 所成的角为α，CD 与面ABC 所成的角为β，二面角C AB D --的平面角为γ，则（ ）5．（多选题）在四面体P ABC -中，以上说法正确的有（ ）．若1233AD AC AB =+，则可知3BC BD = 的重心，则111333PQ PA PB PC =++C ．若0PA BC ⋅=，0PC AB ⋅=，则0PB AC ⋅=1MN = 6.（多选题）如图，在菱形ABCD 中，2AB =，60BAD ∠=︒，将ABD △沿对角线BD 翻折到PBD △位置，连结PC ，则在翻折过程中，下列说法正确的是（ ）A ．PC 与平面BCD 所成的最大角为45︒B ．存在某个位置，使得PB CD ⊥二、填空题7．在长方体1111ABCD A B C D -中，11AD AA ==，2AB =，点E 在棱AB 上移动，则直线1D E 与1A D 所成角的大小是__________，若1D E EC ⊥，则AE =__________．8．已知四棱柱1111ABCD A B C D -的底面是边长为2的正方形，侧棱与底面垂直.若点C 到9．在正方体1111ABCD A B C D -中，E ，F 分别为线段11A B ，AB 的中点，O 为四棱锥11E C D DC -的外接球的球心，点M ，N 分别是直线1DD ，EF 上的动点，记直线OC 与MN 所成的角为θ，则当θ最小时，tan θ=__________.10．如图，四棱锥P ABCD -中，ABCD 是矩形，PA ⊥平面ABCD ，1==PA AB ，2BC =，四棱锥外接球的球心为O ，点E 是棱AD 上的一个动点.给出如下命题：①直线PB 与直线CE 所成的角中最小的角为45；②BE 与PC 一定不垂直；③三棱锥E BCO -的体积为定题序号都填上）三、解答题, ,为的中点，为的中点，以A 为原点，建立适当的空间坐标系，利用空间向量解答以下问题： （1）证明：直线；（2）求异面直线AB 与MD 所成角的大小； （3）求点B 到平面OCD 的距离.为AC 的中点．（1）求直线AB 与DE 所成角的余弦值；答案解析一、选择题1．在四面体ABCD 中，点F 在AD 上，且2AF FD =，E 为BC 中点，则EF 等于（ ）A ．1223EF AC AB AD →→→→=+-B ．112223EF AC AB AD →→→→=--+OA ABCD ⊥底面2OA =M OA N BC MN OCD平面‖C ．112223EF AC AB AD →→→→=-+D ．112223EF AC AB AD →→→→=-+-【答案】B【解析】在四面体ABCD 中，点F 在AD 上，且2AF FD =，E 为BC 中点，所以EF EB BA AF →→→→=++1223AB AC AB AD →→→→⎛⎫=--+ ⎪⎝⎭112223AC AB AD →→→=--+，即112223EF AC AB AD →→→→=--+.故选：B.2.设,x y R ∈，向量()()(),1,1,b 1,,1,c 2,4,2,a x y ===-且,//c a c b ⊥，则b a +=（ ）A ．BC ．3D ．4【答案】D 【解析】(),241,2,1,21b c y y b ∴=-⨯∴=-∴=-，,,a b ⊥()214+20,a b x ∴⋅=+⋅-=1x ∴=,()()1,112,1,2a a b ∴=∴+=-，(223a b ∴+=+=,故选C. 3．在棱长为2的正方体1111ABCD A B C D -中，E ，F 分别为棱1AA 、1BB 的中点，M 为棱11A B 上的一点，且1(02)A M λλ=<<，设点N 为ME 的中点，则点N 到平面1D EF 的距离为（ ）A B ．2C ．3λ D 【答案】D【解析】以D 为原点，DA 为x 轴，DC 为y 轴，DD 1为z 轴，建立空间直角坐标系，则M （2，λ，2），D 1（0，0，2），E （2，0，1），F （2，2，1）， 1ED ＝（﹣2，0，1），EF ＝（0，2，0），EM ＝（0，λ，1）， 设平面D 1EF 的法向量n ＝（x ，y ，z ），则1·20·20n ED x z n EF y ⎧=-+=⎨==⎩，取x ＝1，得n ＝（1，0，2），∴点M 到平面D 1EF 的距离为：d＝255EM nn==，N 为EM 中点，所以N 到该面的距，选D ．4．空间线段AC AB ⊥，BD AB ⊥，且::1:3:1AC AB BD =，设CD 与AB 所成的角为α，CD 与面ABC 所成的角为β，二面角C AB D --的平面角为γ，则（ ） A ．2γβα≤≤B ．2γβα≤≤ C ．2γαβ≤≤D ．2γαβ≤≤【答案】A【解析】因为空间线段AC AB ⊥，BD AB ⊥，所以可将其放在矩形中进行研究，如图，绘出一个矩形，并以A 点为原点构建空间直角坐标系：因为::1:3:1AC AB BD =，所以可设AC x =，3AB x =，BD x =，则()0,0,0A ，0,3,0B x ，0,0,C x ，,3,0D x x ，,3,CD x x x ，0,3,0AB x ，0,3,CBx x ，故CD 与AB 所成的角α的余弦值229311cos α11113CD AB x CD ABx x， 因为根据矩形的性质易知平面ABD ⊥平面ABC ，BD ⊥平面ABC ，所以二面角C ABD --的平面角为γ90，γ452，γ2cos22，所以BCD ∠即CD 与面ABC 所成的角β，故110cos β11CD CB CD CB，因为311211112，所以2γβα≤≤，故选：A.5．（多选题）在四面体P ABC -中，以上说法正确的有（ ）A ．若1233AD AC AB =+，则可知3BC BD = B ．若Q 为ABC ∆的重心，则111333PQ PA PB PC =++C ．若0PA BC ⋅=，0PC AB ⋅=，则0PB AC ⋅=D ．若四面体P ABC -各棱长都为2，M ，N 分别为PA ，BC 的中点，则1MN = 【答案】ABC【解析】对于A ，1233AD AC AB =+，32AD AC AB ∴=+，22AD AB AC AD ∴-=- ，2BD DC ∴=，3BD BD DC ∴=+即3BD BC =，故A 正确；对于B ，若Q 为ABC ∆的重心，则0QA QB QC ++=，33PQ QA QB QC PQ ∴+++=，3PQ PA PB PC ∴=++即111333PQ PA PB PC =++，故B 正确；对于C ，若0PA BC ⋅=，0PC AB ⋅=，则PA BC PC AB ⋅=⋅，0PA BC PC AB ∴⋅+⋅=，()0PA BC PC AC CB ∴⋅+⋅+= 0PA BC PC AC PC CB ∴⋅+⋅+⋅=，0PA BC PC AC PC BC ∴⋅+⋅-⋅=()0PA PC BC PC AC ∴-⋅+⋅=，0CA BC PC AC ∴⋅+⋅=0AC CB PC AC ∴⋅+⋅=，()0AC CB PC ∴⋅+=0AC PB ∴⋅=故C 正确；对于D ，()()111222MN PN PM PB PC PA PB PC PA =-=+-=+-12MN PA PB PC ∴=--，222222PA PB PC PA PB PC PA PB PA PC PB PC --=++-⋅-⋅+⋅===2MN ∴=，故D 错误.故选：ABC6.（多选题）如图，在菱形ABCD 中，2AB =，60BAD ∠=︒，将ABD △沿对角线BD 翻折到PBD △位置，连结PC ，则在翻折过程中，下列说法正确的是（ ）A ．PC 与平面BCD 所成的最大角为45︒B ．存在某个位置，使得PB CD ⊥C ．当二面角P BD C --的大小为90︒时，PC =D ．存在某个位置，使得B 到平面PDC 【答案】BC 【解析】如图所示：对A ，取BD 的中点O ，连结OP ，OC ，则当60POC ∠=时，PC 与平面BCD 所成的最大角为60︒，故A 错误；对B ，当PD PC =时，取CD 的中点N ，可得,,CD PN CD BN ⊥⊥所以CD ⊥平面PBN ，所以PB CD ⊥，故B 正确；对C ，当二面角P BD C --的大小为90时，所以90∠=POC ，所以PO OC ==所以PC =故C 正确；对D ，因为BN =所以如果B 到平面PDC ，则BN ⊥平面PCD ，则2,1,1PB BN PN DN ====，所以PD =D 错误；故选：BC.二、填空题7．在长方体1111ABCD A B C D -中，11AD AA ==，2AB =，点E 在棱AB 上移动，则直线1D E 与1A D 所成角的大小是__________，若1D E EC ⊥，则AE =__________．【答案】90； 1【解析】长方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中以D 为原点，DA 为x 轴，DC 为y 轴，DD 1为z 轴，建立空间直角坐标系，又11AD AA ==，2AB =，点E 在棱AB 上移动则D （0，0，0），D 1（0，0，1），A （1，0，0），A 1（1，0，1），C （0，2，0）， 设E （1，m ，0），0≤m≤2，则1D E =（1，m ，﹣1），1A D =（﹣1，0，﹣1）， ∴1D E •1A D =﹣1+0+1=0，∴直线D 1E 与A 1D 所成角的大小是90°． ∵1D E =（1，m ，﹣1），EC =（﹣1，2﹣m ，0），D 1E ⊥EC ，∴1D EEC =﹣1+m （2﹣m ）+0=0，解得m=1，∴AE=1．故答案为900，1．8．已知四棱柱1111ABCD A B C D -的底面是边长为2的正方形，侧棱与底面垂直.若点C 到平面11AB D，则直线1B D 与平面11AB D 所成角的余弦值为______.【解析】如图，连接11A C 交11B D 于O 点，过点C 作CH AO ⊥于H ，则CH ⊥平面11AB D ，则CH =，设1AA a =，则AO CO ==AC =得1122AOC S AO CH AC ∆=⨯⨯=⨯a =以1A 为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系1A xyz -.则(A ，()12,0,0B ，()10,2,0D，(D ，(10,2,AD =-，(12,0,AB =-，(1B D =-，设平面11AB D 的法向量为(),,n x y z =，则1100n AD n AB ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，即20220y x ⎧-=⎪⎨-=⎪⎩，令x，得()2,2,1n =.11110cos ,10B D n B D n B D n⋅==1B D 与平面1111D C B A所成的角的余弦值为.9．在正方体1111ABCD A B C D -中，E ，F 分别为线段11A B ，AB 的中点，O 为四棱锥11E C D DC -的外接球的球心，点M ，N 分别是直线1DD ，EF 上的动点，记直线OC 与MN 所成的角为θ，则当θ最小时，tan θ=__________. 【答案】42【解析】如图，设,P Q 分别为棱CD 和11C D 的中点，则四棱锥11E C D DC -的外接球即为三棱柱11DFC D EC -的外接球，因为三棱柱11DFC D EC -为直三棱柱，所以其外接球球心O 为上、下底面三角形外心G 和H 连线的中点，由题意，MN 是平面1DD EF 内的一条动直线，所以θ最小是直线OC 与平面1DD EF 所成角，即问题转化为求直线OC 与平面1DD EF 所成角的正切值，不妨设正方体的棱长为2，2EQ =，1ED =,因为11EC D △为等腰三角形，所以11EC D △外接圆的直径为11152sin 2ED GE EC D ===∠,则54GE =，从而53244GQ PH =-==，如图，以D 为原点，以1,,DA DC DD 的方向为x 轴、y 轴、z 轴的正方向建立空间直角坐标系D xyz -，则()0,0,0D ，()10,0,2D ，()0,2,0C ，()2,1,0F ，3,1,14O ⎛⎫⎪⎝⎭，()10,0,2DD ∴=，()2,1,0DF =，设平面1DD EF 的一个法向量为(),,n x y z =，则12020n DD z n DF x y ⎧⋅==⎨⋅=+=⎩，令1x =，则()1,2,0n =-，因为3,1,14OC ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭，所以sin cos ,n OC θ===10．如图，四棱锥P ABCD -中，ABCD 是矩形，PA ⊥平面ABCD ，1==PA AB ，2BC =，四棱锥外接球的球心为O ，点E 是棱AD 上的一个动点.给出如下命题：①直线PB 与直线CE 所成的角中最小的角为45；②BE 与PC 一定不垂直；③三棱锥E BCO -的体积为定值；④CE PE +的最小值为其中正确命题的序号是__________.（将你认为正确的命题序号都填上）【答案】①③④【解析】如图所示：以,,AB AD AP 为,,x y z 轴建立空间直角坐标系，则()0,0,1P ，()1,0,0B ，()1,2,0C ，()0,,0E y ，则()1,0,1BP =-，()1,2,0CE y =--，cos ,2BP CE BP CE BP CE⋅==≤⋅2y =时等号成立， 此时,4BP CE π=，故直线PB 与直线CE 所成的角中最小的角为45，①正确；()()1,,01,2,121BE PC y y ⋅=-⋅-=-，当12y =时，BE PC ⊥，②错误； 将四棱锥放入对应的长方体中，则球心为体对角线交点，1111112323226BCE E BCO OBCE AP V V S --==⨯⨯=⨯⨯⨯⨯=△，③正确；如图所示：将平面ABCD 以AD 为轴旋转到平面PAD 内形成平面''AB C D ， 则''CE PE C E PE PC +=+≥=='PEC 共线时等号成立，④正确.故答案为：①③④.三、解答题11.如图，在四棱锥中，底面是边长为1的菱形，,, ,为的中点，为的中点，以A 为原点，建立适当的空间坐标系，利用空间向量解答以下问题： （1）证明：直线；（2）求异面直线AB 与MD 所成角的大小；O ABCD -ABCD 4ABC π∠=OA ABCD ⊥底面2OA =M OA N BC MN OCD平面‖（3）求点B 到平面OCD 的距离.【解析】作于点P,如图,分别以AB,AP,AO 所在直线为轴建立坐标系, (1)设平面OCD 的法向量为,则即 取解得(2)设与所成的角为, , 与所成角的大小为(3)设点B 到平面OCD 的距离为,则为在向量上的投影的绝对值,AP CD ⊥,,x yz (0,0,0),(1,0,0),(0,((0,0,2),(0,0,1),(122244A B P D O M N -2222(1,,1),(0,,2),(2)44222MN OP OD =--=-=--(,,)n x y z =0,0n OP n OD ==2022022y z x y z -=⎪⎪⎨⎪-+-=⎪⎩z =(0,4,2)n =22(1,,1)(0,4,2)044MN n =--=∵MN OCD ∴平面‖AB MD θ(1,0,0),(1)2AB MD ==--∵1cos ,23AB MDAB MD πθθ===⋅∴∴AB MD 3πd d OB (0,4,2)n =由 , 得.所以点B 到平面OCD 的距离为12.在三棱锥A —BCD 中，已知,BD=2，O 为BD 的中点，AO ⊥平面BCD ，AO=2，E 为AC 的中点．（1）求直线AB 与DE 所成角的余弦值； （2）若点F 在BC 上，满足BF=14BC ，设二面角F —DE —C 的大小为θ，求sinθ的值． 【解析】（1）连,CO BC CD BO OD CO BD ==∴⊥以,,OB OC OA 为,,x y z 轴建立空间直角坐标系，则(0,0,2),(1,0,0),(0,2,0),(1,0,0)(0,1,1)A B C D E -∴(1,0,2),(1,1,1)cos ,15AB DE AB DE ∴=-=∴<>==- 从而直线AB 与DE 所成角的余弦值为15（2）设平面DEC 一个法向量为1(,,),n x y z =(1,0,2)OB =-23OB n d n⋅==2311200(1,2,0),00x y n DC DC x y z n DE ⎧+=⋅=⎧⎪=∴⎨⎨++=⋅=⎪⎩⎩令112,1(2,1,1)y x z n =∴=-=∴=- 设平面DEF 一个法向量为2111(,,),n x y z =11221117100171(,,0),4244200x y n DF DF DB BF DB BC n DE x y z ⎧⎧+=⋅=⎪⎪=+=+=∴⎨⎨⋅=⎪⎩⎪++=⎩令111272,5(2,7,5)yx z n =-∴==∴=-12cos ,n n ∴<>==，因此sin 13θ==.《第一章 空间向量与立体几何》单元检测试卷（三）一、单选题1．空间直角坐标中A(1，2，3)，B(－1，0，5)，C(3，0，4)，D(4，1，3)，则直线AB 与CD 的位置关系是( ) A ．平行 B ．垂直 C ．相交但不垂直D ．无法确定2．如图，在平行六面体中，为与的交点若，，，则下列向量中与相等的向量是（ ）111ABCD A B C D -M AC BD 11A B a =11A D b =1A A c =1B MA ．B ．C ．D ． 3．已知向量，.若向量与向量平行，则实数的值是（ ） A ．2B ．C ．10D ．4．如图，已知正方体ABCD ﹣A'B'C'D'中，E 是CC'的中点，，，，x y z ，则（ ）A ．x ＝1，y ＝2，z ＝3B ．x ，y ＝1，z ＝1C ．x ＝1，y ＝2，z ＝2D ．x ，y ＝1，z5．正方体不在同一侧面上的两顶点，，则正方体外接球体积是（ ） A ．B ．C ．D ．6．已知，若点D 是AC 中点，则( ) A ．2B ．C ．-3D ．67．平行六面体中，，则实数x ，y ，z 的值分别为( ) A ． B ．C ．D ．8．三棱柱中，底面边长和侧棱长都相等，，则异面直线与所成角的余弦值为（ ）1122a b c -++1122a b c ++1122a b c -+1122a b c --+()0,1,1a =()1,2,1b =-a b +()2,,4c m =--m2-10-1'2a AA =12b AB =13c AD =AE =a +b +c 12=12=32=(1,2,1)A--(1,0,1)B323π4π(1,2,3),OA =(2,2,1),OB =-(1,1,2)OC =BC OD ⋅=32-1111ABCD A B C D -12,AM MC =1AM xAB yAD zAA =++1,32,3232,31,3232,32,3132,31,223111ABC A B C -1160BAA CAA ︒∠=∠=1AB 1BCABCD ．9．如图，在三棱柱中，底面，，，则与平面所成角的大小为A ．B ．C ．D ．10．在一直角坐标系中，已知，现沿轴将坐标平面折成的二面角，则折叠后两点间的距离为（ ）A ．BCD ．二、多选题11．已知点P 是平行四边形ABCD 所在的平面外一点，如果，，，下列结论正确的有（ ）A ．B ．C ．是平面ABCD 的一个法向量D ．12．在正方体中，，分别是和的中点，则下列结论正确的是( )6111ABC A B C -1AA ⊥ABC 13AA =2AB AC BC ===1AA 11AB C 3045︒60︒90︒(1,6),(3,8)A B --x 60︒,A B ()2,4,1AB =--()4,2,0AD =()1,2,1AP =--AP AB ⊥⊥AP AD AP //AP BD 1111ABCD A B C D -E F 11A D 11C DA ．平面B ．平面C ．D ．点与点到平面的距离相等 13．在正三棱柱中，所有棱长为1，又与交于点，则（ ）A ．=B ．C ．三棱锥的体积为D ．与平面BB′C′C 所成的角为三、填空题14．已知向量2，，x ，，且，则x 的值为______． 15．若向量，，且与的夹角为钝角，则实数的取值范围为________.16．如图所示，在正方体中，M 为棱的中点，则异面线与AM 所成角的余弦值为________.17．如图，四边形和均为正方形，它们所在的平面互相垂直，分别为的中点，则直线与平面所成角的正切值为________；异面直线与所成角的余弦值是________．11//A C CEF 1B D ⊥CEF 112DA DD C DC E =+-D 1B CEF ABC A B C '''-BC 'B C 'O AO 111222AB AC AA '++AO B C '⊥A BB O '-24AO π6(3,a =-5)(1,b =1)-8a b ⋅=(2,1,2)a =-(4,2,)b m =-a b m 1111ABCD A B C D -1CC 1BD ABCD ADPQ ,,M E F ,,PQ AB BC ME ABCD EMAF四、解答题18．如图，已知三棱锥的侧棱两两垂直，且，，是的中点.（1）求异面直线与所成角的余弦值； （2）求直线AE 和平面OBC 的所成角.19．如图，在长方体中，，，点、分别为、的中点．（1）证明：平面； （2）求二面角的余弦值．20．如下图所示，在四棱锥中，底面四边形，四边形是直角梯形，且，，点是棱的中点，是上的点，且.O ABC -OA OB OC ，，1OA =2OB OC ==EOC BEAC S OABC -SO ⊥OABC OABC 90COA OAB ∠=∠=︒1,4OA OS AB OC ====M SB N OC :1:3ON NC =(1)求异面直线与所成的角的余弦值； (2)求与平面所成的角的正弦值．21．如图，在正方体中，分别是的中点。
高二数学-空间向量与立体几何测试题及答案
高二数学空间向量与立体几何测试题第1卷（选择题，共50分）一、选择题：（本大题共10个小题每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1. 在下列命题中：CD若a、b共线则a、b所在的直线平行；＠若a、b所在的直线是异面直线，则a、b一定不共面；＠若a、b、c三向量两两共面，则a、b、c三向量一定也共面；＠已知三向量a、b、c,则空间任意一个向量p总可以唯一表示为p=a+yb+zc,, y, z R.其中正确命题的个数为（ ）A. 0B. 1C. 2D. 32. 若三点共线为空间任意一点且则的值为（）A. lB.C.D.3. 设，且，则等千（）A. B. 9 C. D4. 已知a=(2, —1, 3) , b= C—1, 4, —2) , c= (7, 5, 入），若a、b、c三向量共面，则实数入等千（）A. B. C.5.如图1,空间四边形的四条边及对角线长都是，点分别是的中点则等千（）D.A.C.．．BD6. 若a、b均为非零向量，则是a与b共线的（）A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充分必要条件D. 既不充分又不必要条件7. 已知点0是LABC所在平面内一点满足• = • = • '则点0是LABC的（）A. 三个内角的角平分线的交点B. 三条边的垂直平分线的交点C. 三条中线的交点8. 已知a+b+c=O,al =2, bl =3,A. 30°B. 45°D.三条高的交点l e = , 则向量a与b之间的夹角为（）C. 60°D. 以上都不对9. 已知， ＇ ，点Q在直线OP上运动，则当取得最小值时，点Q的坐标为（）A.B.10. 给出下列命题：CD已知，则C. D.＠为空间四点若不构成空间的一个基底，那么共面；＠已知则与任何向量都不构成空间的一个基底；＠若共线则所在直线或者平行或者重合．正确的结论的个数为（）C. 3A.1B.2D.4 第II卷（非选择题，共100分）二、填空题（本大题共6小题，每小题5分，共30分）11.已知LABC的三个顶点为A(3, 3, 2) , B (4, —3, 7) , C (0, 5, 1) , 则BC边上的中线长为12. 已知三点不共线为平面外一点若由向量确定的点与共面，那么13. 已知a,b,c是空间两两垂直且长度相等的基底，m=a+b,n=b-c,则m,n的夹角为14. 在空间四边形ABC D中，AC和B D为对角线G为L:.ABC的重心，E是B D上一点BE=3E D, 以｛， ， ｝为基底，则＝15. 在平行四边形ABCD中，AB=AC=l,乙ACD=90, 将它沿对角线AC折起，使AB与CD成60角，则B,D两点间的距离为16. 如图二面角a-t -B的棱上有A,B两点直线AC,B D分别在这个二面角的两个半平面内，且都垂直千AB,已知AB=4,AC=6, B D=8, C D= ,二面角Q—t—B的大小三、解答题（本大题共5小题，满分70分），17. C lo分）设试问是否存在实数，使成立？如果存在，求出；如果不存在，请写出证明．18. (12分）如图在四棱锥中，底面ABC D是正方形，侧棱底面ABC D,, 是PC的中点，作交PB千点F.(1)证明PAIi平面EDB:(2)证明PB上平面E F D:(3)求二面角的大小．、、、、、、、、.、19. (12分）如图在直三棱柱ABC—AlBlCl中，底面是等腰直角三角形，乙ACB=90°.侧棱AA1=2, D. E 分别是CCl与AlB的中点点E在平面ABO上的射影是DAB D的重心G.(1)求AlB与平面ABO所成角的大小．(2)求Al到平面ABO的距离1) 20. 12分）如图在三棱柱ABC-AlBlCl中，AB上AC,顶点Al在底面ABC上的射影恰为点B,且AB=AC=A1B=2.2)求棱AA1与BC所成角的大小；在棱BlCl上确定一点P,使AP=, 并求出二面角P—AB—Al的平面角的余弦值A1C1B21. (12分）如图直三棱柱ABC-AlBlCl中AB上AC,D.E分别为AAl.B lC的中点DEl_平面BCCl.C I)证明：A B=ACC II)设二面角A-BD-C为60°,求B1C与平面BCD所成的角的大小c,22. (12分）P是平面ABC D外的点四边形ABC D是平行四边形，AP= (-1, 2, -1)(1)求证：PA 平面ABC D.(2)对千向量，定义一种运算：，试计算的绝对值；说明其与几何体P—ABC D的体积关系，并由此猜想向量这种运算的绝对值的几何意义（几何体P-ABC D叫四棱锥，锥体体积公式：V= ) .一、选 1 2 择题（本大题土2上、10小题，每3 4空间向量与立体几何(2)参考答案5 6 7 8 9 10小题5/刀\.让,/、50分）题号答案D D D A B C A 二、填空题（本大题共4小题，每小题6分，共24分）11. (0, ,) 12. 0 13. 1, —3 14. 90° l厮—15。
空间向量与立体几何-单元测试-有答案
第三章空间向量与立体几何单元测试(时间:９０分钟满分：1２0分)第Ⅰ卷(选择题，共５0分)一、选择题：本大题共１０小题,每小题5分，共50分.1．以下四组向量中,互相平行的组数为()①a＝（２,2,1）,b＝(３，-2，-2);②a＝(8,4,-6),b=(4,2,-３）；③a＝(０,-1，１），b=(0,３,-3);④a=（-3,２,0),ｂ=（4,-3,３)A.１组ﻩB．2组Ｃ．3组ﻩD．4组解析:∵②中a＝2b，∴a∥b；③中ａ=－错误!ｂ,∴a∥b；而①④中的向量不平行．答案：B2．在以下命题中，不正确的个数为( )①|a|－｜b|=|a＋b|是a，b共线的充要条件；②若a∥ｂ,则存在唯一的实数λ,使ａ=λb;③对空间任意一点O和不共线的三点A,B,C,若错误!=2错误!－2错误!-错误!，则P,A,Ｂ，C四点共面；④若｛a,b,c｝为空间的一组基底,则{a+b，ｂ＋c，c+ａ｝构成空间的另一组基底;⑤｜(a·ｂ）·ｃ｜=｜a|·|b|·|c|.Ａ．２个ﻩB.3个C．4个ﻩD．5个解析：①|a|-|ｂ｜＝|a＋b｜⇒ａ与b共线,但a与b共线时｜a|－|b|＝|a+b|不一定成立,故不正确;②ｂ需为非零向量,故不正确;③因为2-2-1≠１，由共面向量定理知,不正确；④由基底的定义知正确；⑤由向量的数量积的性质知，不正确.答案:Ｃ３.如图，已知四边形ＡBCD为矩形,PＡ⊥平面ABCD,连接ＡC,BD,ＰB，PC，PD,则下列各组向量中，数量积不一定为零的是（)A.错误!与错误!B．错误!与错误!C.错误!与错误!D.错误!与错误!解析：建立如图所示的空间直角坐标系．设矩形ＡBCD的长、宽分别为a,b，P A长为ｃ,则Ａ(0,0,0),Ｂ(b,0，0）,Ｄ(0,ａ,０)，Ｃ（b,ａ，0)，P（0,0，c)．则错误!＝(b，a,－c),错误!＝（-b，a，0),错误!=(0，-a，0)，错误!＝(b,0,-ｃ),错误!＝（0,a,－c),错误!=(ｂ,0,0)，错误!=(0,0,－c）,错误!＝（-b,0，０).∴＼ｏ(PC,＼ｓ＼up1５(→）)·错误!=－b２＋a2不一定为0.错误!·错误!=０，错误!·错误!＝0，错误!·错误!=0.答案：A４.已知向量e1、e2、e3是两两垂直的单位向量，且ａ＝3e1+2ｅ2-e3,b＝e1＋2ｅ3，则（6a)·错误!等于()A．15 Ｂ.3C．-3 ﻩＤ．5解析:(6a）·错误!＝3a·b=３（3e1＋2ｅ2-ｅ3)·(ｅ1＋2e３)=9|ｅ1｜２-6|ｅ３|2＝3．答案：Ｂ５.如图,AＢ＝AC=BD＝1，AＢ⊂面α，AＣ⊥面α,BＤ⊥AＢ，BD与面α成30°角,则Ｃ、D间的距离为()A．1 B．2C.2ﻩD. 3解析：|错误!|２＝|错误!＋错误!＋错误!|2＝|错误!|2＋|错误!|2+｜错误!|２+２错误!·错误!+２错误!·错误!＋2错误!·错误!=1＋1＋1＋0+0+2×1×1×cos１20°=2.∴|错误!|=错误!.答案:Ｃ6.已知空间三点O(0,0,0),A（－1,1,0）,B(0,1,1）在直线OA上有一点H 满足ＢH⊥OＡ，则点Ｈ的坐标为( )A.(-2,2，0) Ｂ．(２,－2,０)Ｃ．错误!ﻩD.错误!解析：由错误!＝(-１,1，0)，且点H在直线OA上,可设H(-λ，λ,０),则错误!＝（-λ,λ-1，－1).又ＢＨ⊥OＡ,∴错误!·错误!=０，即（-λ,λ－１，－１)·(-1，1,0)＝０,即λ＋λ－1=0,解得λ=＼f(1,2）,∴H错误!.答案：Ｃ７.已知a＝(cosα,1,ｓinα)，b=(ｓinα，１,cosα)，则向量a＋ｂ与a-b的夹角是（)Ａ.90°Ｂ．60°C．３0°ﻩＤ．０°解析：（a+b)·（ａ－b)=a2－b２＝(cｏs２α＋sｉn2α+１)-(sin2α+1＋cｏs２α)=0，∴(a+b）⊥(ａ－b).答案：A8.已知E、Ｆ分别是棱长为１的正方体ＡＢCD-Ａ1B1Ｃ1D1的棱BC、ＣC1的中点,则截面AＥＦD１与底面ＡＢCＤ所成二面角的正弦值是( )A.错误!ﻩB.错误!C.错误!ﻩＤ.错误!解析：以Ｄ为坐标原点，以ＤA、ＤC、DD１分别为x轴、ｙ轴、z轴建立空间直角坐标系,如图．则A(1,0,0),E错误!，F错误!，D1(0，0,1)，ｌ所以错误! =(－1,0，1)，错误!＝错误!．设平面AEF Ｄ1的法向量为n ＝(ｘ，y ,z ），则错误!⇒错误!∴x ＝2y =z ．取ｙ＝1,则n ＝(2，1,2)，而平面A ＢC Ｄ的一个法向量为ｕ=(0，0，1）,∵ｃos 〈n ，ｕ〉=＼f （2,3),∴ｓi ｎ〈n ，u 〉＝53.答案:C9．在三棱锥P -A ＢC 中,△ABC 为等边三角形,P A ⊥平面ＡBC ,且P A ＝AB ,则二面角Ａ-ＰB -Ｃ的平面角的正切值为（ )A ．错误!B ．错误!C ．＼r(6)６ D.错误!解析:设P Ａ=AB =２，建立如图所示的空间直角坐标系.则B (0,2，0）,C (3，１,0),P (0，0,2),∴错误!=(0,－2,2)，ＢＣ＼s ＼u ｐ15(→)＝(错误!,-1,0)．设n ＝（x ,y ,z )是平面PBC 的一个法向量．则错误!即错误!令ｙ＝1，则x =错误! ,ｚ＝1.即n ＝错误!.易知m =(1,0,0)是平面P A Ｂ的一个法向量.则cos 〈m ,n 〉＝＼f(m·n ，｜m ||n ｜)＝错误!＝错误!.∴正切值tan 〈m ,n 〉=错误!.答案:A10.已知错误!＝（1,2,3)，错误!＝(2,１,2），错误!＝（1，１,2)，点Q 在直线ＯＰ上运动，则当错误!·错误!取得最小值时，点Q 的坐标为（ ）A.错误! ﻩＢ.错误!C.错误!D.错误!解析：∵Q 在OP 上,∴可设Q (x ,x,2x ）,则错误!=(１－ｘ,２-x ，3-2x ),＼o(QB ,→）=（2－x,1－x ，2－2ｘ)．∴错误!·错误!＝6ｘ2－1６x ＋１0，∴x =＼ｆ（4，3）时，QA →·错误!最小，这时Q 错误!.答案:C第Ⅱ卷（非选择题,共７0分)二、填空题：本大题共4小题,每小题5分，共２０分.１１.已知a ＝(3，－2,－３)，b ＝(－1,x －1,1),且a 与b 的夹角为钝角，则x 的取值范围是__________．解析：因为a 与b 的夹角为钝角，于是－1＜cos 〈ａ,b 〉<０，因此a·b <0，且ａ与b 的夹角不为π，即cos 〈ａ，b 〉≠－1.解得x ∈错误!∪错误!.答案：错误!∪错误!12．如图所示,已知正四面体Ａ-ＢＣD中,AE=1４AB，CF=错误!CＤ，则直线ＤE和ＢＦ所成的角的余弦值为___＿＿_＿___.解析：ED→=错误!+错误!＝错误!错误!+错误!,错误!＝错误!＋错误!＝错误!+错误!错误!,coｓ〈错误!,错误!〉＝错误!=错误!＝错误!.答案：４１313.已知a ＝(x,2,-4)，ｂ=(-1，y,3）,c =(1,-2，z ),且a ,ｂ,c 两两垂直，则(x ，ｙ，z )＝______＿__＿.解析:由题意知错误!解得x =－６4,y =－26,ｚ＝－１7．答案:(-６４，－26，-1７)14.已知空间四边形ＯABC ,如图所示，其对角线为OB 、ＡC ,Ｍ、N 分别为OA 、BC 的中点,点G 在线段MN 上，且错误!＝3错误!,现用基向量错误!、错误!、错误!表示向量错误!，并设错误!＝x ·错误!＋y ·错误!+z ·错误!，则x 、ｙ、z 的和为___＿＿＿____．解析：错误!=错误!＋错误!=错误!错误!＋错误!错误!＝错误!错误!+错误!错误!=错误!错误!-错误!错误!＋错误!错误!+错误!错误!-错误!错误!＝错误!错误!＋错误!错误!＋错误!错误!,∴x ＝18,y ＝38，z =38.∴x +y +z ＝错误!.答案:７８三、解答题：本大题共4小题,满分50分．15.(12分)已知ａ＝(1，2,-2).(1)求与a共线的单位向量b；(2)若a与单位向量c＝（0，m，ｎ)垂直，求m、ｎ的值．解：(1)设ｂ=(λ,２λ,-２λ），而b为单位向量,∴|ｂ|＝1，即λ2＋4λ2+4λ2＝9λ２＝１．∴λ=±错误!.(４分）∴b＝错误!或ｂ=错误!.(6分)(２)由题意，知错误!⇒错误!解得错误!或错误!(１2分)１6.(1２分）如下（左）图,在Rt△ＡBC中,∠C＝90°，BC=3,ＡＣ＝6，D,Ｅ分别为AC、AB上的点,且ＤE∥ＢC,ＤE＝2,将△ＡDE沿DＥ折起到△A１DE的位置,使A1C⊥CD,如下(右）图.(１)求证:Ａ１Ｃ⊥平面ＢＣDE;(2)若Ｍ是Ａ1D的中点,求ＣＭ与平面A1ＢＥ所成角的大小.解：(１)∵AC⊥BＣ，DE∥BC，∴DE⊥AC.∴DE⊥A１D，DE⊥ＣD，∴DE⊥平面A1DC.∴ＤE⊥A1C.又∵A1C⊥CＤ,∴A1C⊥平面BＣDＥ.(４分）（２)如图所示，以C为坐标原点,建立空间直角坐标系C-ｘyz,则A1(0,０,2＼r(３)),D(0,2，0）,M(0,1,＼ｒ(3))，B(3,０,0）,E(2，2,0)．设平面Ａ1BE的法向量为n=(x,y，z),则ｎ·错误!=０，ｎ·错误!=０.又错误!＝(３,０，-2错误!），错误!＝(-1,2,0）,∴错误!令ｙ=１，则x＝2,z=3，∴n＝(2,1，＼r（３))．设ＣＭ与平面A1BＥ所成的角为θ．∵错误!=(0，1,错误!),∴sinθ=｜cｏs〈ｎ，错误!〉|=|错误!|＝错误!=错误!.∴CM与平面A1BＥ所成角的大小为错误!.(１2分）17．（12分)如图,已知正方形ABCＤ和矩形ACEF所在的平面互相垂直,A Ｂ=２，ＡＦ=1,M是线段EＦ的中点.(1)求证：AM∥平面BDE;(2)试在线段AC上确定一点Ｐ,使得PF与CD所成的角是6０°.解：(1)证明:如图,建立空间直角坐标系．设ＡＣ∩ＢD＝N，连接NE，则N错误!,E(０,0，１),∴错误!=错误!.又A（＼ｒ(2),错误!,0),M错误!，∴错误!=错误!．∴错误!=错误!，且NE与AM不共线．∴NE∥AM．又ＮE⊂平面ＢDE，AM⊄平面BDＥ，∴AM∥平面BDE．(6分)(2)设P （t ,t ，0)(0≤ｔ≤＼ｒ(2）),则错误!＝(错误!－t ,错误!－t,１),错误!=(错误!,0,0).又∵＼o(P Ｆ,→)与错误!所成的角为6０°.错误!＝错误!，解之得ｔ=错误!,或t ＝错误!(舍去).故点P 为A Ｃ的中点．（1２分)18．（1４分)如图，在圆锥P Ｏ中，已知PO =错误!，⊙O 的直径ＡB ＝2,Ｃ是错误!的中点，D 为AC 的中点.（1）证明：平面PO Ｄ⊥平面P AC ;(2）求二面角B -P Ａ-C 的余弦值．解: （１)证明:如图所示，以O 为坐标原点，OB ，OC ,ＯＰ所在直线分别为x 轴,ｙ轴，ｚ轴建立空间直角坐标系，则O （0,0，0)，Ａ(-1，０,0），Ｂ（1，０,0),C(0,1，0)，P(0，０，错误!),D错误!.设ｎ１=(x1，y１,z１)是平面PＯD的一个法向量，则由n１·错误!=0,n1·错误!＝0，得错误!(4分)∴z1=0,ｘ1＝y１．取ｙ1＝1,得n1=(１,1，0)．设ｎ2＝(ｘ2,y2，z２)是平面P AC的一个法向量,则由n2·错误!=0，n2·错误!＝0，得错误!∴x2=－＼r(2）z２，ｙ2=＼r（2)z2，取ｚ2＝1，得n2=(-2,２，1).∵n１·n2=（１，1，０)·(-2,错误!,1)＝0,∴n1⊥n2.从而平面POD⊥平面P AC.（８分)（2)∵y轴⊥平面ＰAB．∴平面P AB的一个法向量为n3=(0，1,0)．由（１）知,平面PＡC的一个法向量为ｎ2=（-错误!,错误!,1）.设向量ｎ2和n3的夹角为θ,则cosθ=错误!＝错误!＝错误!.由图可知，二面角B-PＡ-C的平面角与θ相等,∴二面角B-P A-C的余弦值为错误!．(14分)。
高二数学空间向量与立体几何测试题
高二数学 空间向量与立体几何测试题第Ⅰ卷（选择题，共50分）一、选择题：（本大题共8个小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．在下列命题中：①若a 、b 共线，则a 、b 所在的直线平行；②若a 、b 所在的直线是异面直线，则a 、b 一定不共面；③若a 、b 、c 三向量两两共面，则a 、b 、c 三向量一定也共面；④已知三向量a 、b 、c ，则空间任意一个向量p 总可以唯一表示为p ＝x a ＋y b ＋z c,x,y,z ∈R ．其中正确命题的个数为（ ）A.0B.1C.2D.32．若三点，，A B C 共线，P 为空间任意一点，且PA PB PC αβ+=，则αβ-的值为（ ） Ａ．1Ｂ．1-Ｃ．12Ｄ．2-3．设(43)(32)a b ==，，，，，x z ，且∥a b ，则xz 等于（ ）Ａ．4- Ｂ．9 Ｃ．9- Ｄ．6494．已知a ＝（2，－1，3），b ＝（－1，4，－2），c ＝（7，5，λ），若a 、b 、c 三向量共面，则实数λ等于 （ ） A.627 B. 637 C. 647 D. 6575．若a 、b 均为非零向量，则||||⋅=a b a b 是a 与b 共线的 （ ）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充分必要条件D.既不充分又不必要条件6.已知点O 是△ABC 所在平面内一点，满足OA ·OB =OB ·OC =OC ·OA ,则点O 是△ABC 的（ ） A.三个内角的角平分线的交点 B.三条边的垂直平分线的交点C.三条中线的交点D.三条高的交点 7．已知a +b +c ＝0，|a |＝2，|b |＝3，|c |＝19，则向量a 与b 之间的夹角为（ ）A ．30°B ．45°C ．60°D ．以上都不对8．已知(1,2,3)OA =，(2,1,2)OB =，(1,1,2)OP =，点Q 在直线OP 上运动，则当QA QB ⋅ 取得最小值时，点Q 的坐标为 （ ）A ．131(,,)243B ．123(,,)234C ．448(,,)333D ．447(,,)333第Ⅱ卷（非选择题，共60分）二、填空题（本大题共5小题，每小题5分，共25分）9．已知△ABC 的三个顶点为A （3，3，2），B （4，－3，7），C （0，5，1），则BC 边上的 中线长为10．已知，，AB C 三点不共线，O 为平面ABC 外一点，若由向量 1253OP OA OB OC λ=++确定的点P 与AB C ，，共面，那么λ= ．11.已知a,b,c 是空间两两垂直且长等的基底，m=a+b,n=b-c ,则m,n 的夹角为 .12．在空间四边形ABCD 中，AC 和BD 为对角线， G 为△ABC 的重心，E 是BD 上一点，BE ＝3ED ，以｛AB ，AC ，AD ｝为基底，则GE ＝ ．13.在平行四边形ABCD 中，AB=AC=1，∠ACD=900,将它沿对角线AC 折起，使AB 与CD 成600角，则B,D 两点间的距离为三、解答题（本大题共3小题,满分35分），14．(10分)如图,二面角α-ι-β的棱上有A,B 两点，直线AC,BD 分别在这个二面角的两个半平面内，且都垂直于AB,已知AB=4，AC=6，BD=8，CD=68求二面角α-ι-β的大小.EM GDCBA15．（12分）如图，在四棱锥ABCD P -中，底面ABCD 是正方形，侧棱⊥PD 底面ABCD ，DC PD =，E 是PC 的中点，作PB EF ⊥交PB 于点F. （1）证明 ∥PA 平面EDB ； （2）证明⊥PB 平面EFD ；（3）求二面角D -PB -C 的大小．16(13分)如图，在三棱柱ABC-A 1B 1C 1中，AB ⊥AC,顶点A 1在底面ABC 上的射影 恰为点B,且AB=AC=A 1B=2.(1) 求棱AA 1与BC 所成角的大小； (2) 在棱B 1C 1上确定一点P,使AP=14，并求出二面角P-AB-A 1的平面角的余弦值.BC附加题:如图，已知⊥PA 面ABC ，BC AD ⊥于D ，1===AD CD BC 。
高二数学选修2-1空间向量与立体几何单元测试题
东升学校《空间向量与立体几何》单元测试题一、选择题（本大题8 小题 , 每小题 5 分，共 40 分）1、若a ,b , c是空间任意三个向量 ,R ,下列关系式中,不成立的是（）A．a b b a B． a b a bC．a b c a b c D．b a2、给出下列命题①已知 a b ,则 a b c c b a b c ;②A、B、M 、N 为空间四点 ,若BA, BM , BN不构成空间的一个基底 ,则 A、B、M、N 共面 ;③已知 a b ,则 a, b 与任何向量不构成空间的一个基底;④已知a,b, c 是空间的一个基底,则基向量a, b可以与向量m a c 构成空间另一个基底 .正确命题个数是（）A．1B．2C．3D．43、已知a, b均为单位向量 ,它们的夹角为 60 ,那么a3b 等于（）A．7B．10C．13D．44、a1, b 2, c a b, 且 c a ,则向量 a与b 的夹角为（）A．30B．60C．120D．1505、已知a3,2,5 , b 1, x, 1 , 且 a b 2 ,则x的值是（）A．3B．4C．5D．66、若直线 l 的方向向量为a ,平面的法向量为n,则能使l //的是（）A．a1,0,0 , n2,0,0B．a1,3,5 , n 1,0,1C．a0,2,1 , n1,0, 1D．a1, 1,3 , n0,3,17、在平面直角坐标系中 ,A( 2,3), B(3, 2) ,沿x轴把平面直角坐标系折成120第1页共15页的二面角后 ,则线段 AB 的长度为（）A．2B．2 11C．3 2D．4 2、正方体ABCD-AB11C1D1的棱长为 1,E 是 A中点 ,则 E 到平面 ABC的距离8 1 B11D1是（）A．3B．2C．1D．3 2223二、填空题（本大题共 6 小题，每空 5 分，共 30 分）9、已知F1i 2 j3k， F22i 3 j k ， F33i 4 j5k ，若 F1 , F2 , F3共同作用于一物体上，使物体从点M（1，-2，1）移动到 N（ 3，1，2），则合力所作的功是.10 、在平行六面体 ABCD-A1B1C1D1中 , 已知∠ BAD= ∠ A1AB= ∠A1AD=60 ,AD=4,AB=3,AA1=5, AC1 =.11、△ABC和△ DBC所在的平面互相垂直,且 AB=BC=BD,∠CBA=∠DBC=60,则 AD 与平面 BCD所成角的余弦值为.12、若直线l 的方向向量为(4,2,m),平面的法向量为 (2,1,-1),且 l⊥ ,则 m =.13、已知 A(-3,1,5),B(4,3,1),则线段 AB 的中点 M 的坐标为.三、解答题（本大题共 6 小题，共 80 分）14、(本题满分 12分 )设空间两个不同的单位向量a x1, y1 ,0,b x2 , y2 ,0 与向量 c1,1,1的夹角都等于 45 .(1)求x1y1和 x1 y1的值;(2)求a,b的大小 .15、(本题满分 12 分)已知四棱锥 P-ABCD的底面是边长为 a 的正方形 ,侧棱 PA⊥底面 ABCD,E为 PC上的点且 CE：CP=1：4,则在线段 AB上是否存在点 F 使 EF// 平面 PAD?第2页共15页17、(本题满分 14 分) 如图 ,四棱锥 S-ABCD的底面是矩形 ,AB=a,AD=2,SA=1,且SA ⊥底面 ABCD,若边 BC上存在异于 B,C的一点 P,使得PS PD .(1)求 a 的最大值 ;(2)当 a 取最大值时 ,求异面直线 AP 与 SD所成角的大小 ;(3)当 a 取最大值时 ,求平面 SCD的一个单位法向量n及点 P 到平面 SCD的距离 .18、 (本题满分14 分)已知正方形ABCD 和矩形ACEF 所在的平面互相垂直, AB2, AF=1,M是线段EF的中点.(1)求证： AM// 平面 BDE；(2)求证： AM⊥平面 BDF．第3页共15页19、(本题满分14 分)如图所示 ,矩形 ABCD 的边 AB=a,BC=2,PA⊥平面 ABCD,PA=2,现有数据 :① a 3;②a 1;③a 3 ;④ a 2 ;⑤ a 4 ; 2(1)当在 BC边上存在点⊥QD 时,a 可能取所给数据中的哪些值 ?请说明理由 ; Q,使 PQ(2)在满足 (1)的条件下 ,a 取所给数据中的最大值时,求直线 PQ与平面 ADP所成角的正切值 ;(3)记满足 (1)的条件下的Q 点为 Q n(n=1,2,3, ⋯ ),若 a 取所给数据的最小值时,这样的点Q n有几个 ?试求二面角Q n-PA-Q n+1的大小 ;20、 (本题满分14 分 )如图所示,在底面是菱形的四棱锥 P-ABCD中,∠ABC=60 ,PA=AC=a,PB=PD= 2a,点E在PD上,且PE：ED=2：1.(1)证明： PA⊥平面ABCD；(2)求以 AC 为棱 ,EAC与 DAC为面的二面角θ的大小；(3)棱 PC上是否存在一点F,使 BF∥平面 AEC?证明你的结论 .第4页共15页参考答案： 一、选择题题号 1 23 4 5 6 7 8 答案 DCCCCDBB二、 填空题题号 9 1011 121314答案1497302-212, 2,32三、 解答题x 12 y 121x2y 21x y611112 ；15、解：（ 1）依题意，x 1 y 12 x 1 y 16322x 1 y 114(2)∵单位向量 ax 1, y 1 ,0 ,bx 2 , y 2 ,0与向量 c 1,1,1 的夹角都等于45.x y 6x 162x 162112 4 或4 , ∴由x 1 y 11y 162 y 162444∴ a62 ,6 2,0 ,b62 ,6 2,04444x 1x 2y 1 y 26 2 6262 6 2 1由 cos a, b a b44442∴ a, b.316、解：建立如图所示的空间直角坐标系，设 PA=b ，则 A(0,0,0),B(a,0,0),C(a,a,0),D(0,a,0),P(0,0,b),则 CPa, a, b ,∵E 为 PC 上的点且 CE ： CP=1： 3,第5页共15页∴ CE1CP1a, a, b a , a , b44444∴由 CE AE AC AE CE AC3a , 3a , b,444设点 F 的坐标为 (x,0,0,) (0≤x≤a),则 EFx3a ,3a ,b,444又平面 PAD的一个法向量为AB a,0,0,依题意 , EF AB x3a a0 x3a ,443∴在线段 AB 上存在点 F,满足条件 ,点 F 在线段 AB 的处.17、解：建立如图所示的空间直角坐标系,则各点坐标分别为:A(0,,0,0),B(a,0,0),C(a,2,0),D(0,2,0),S(0,0,1),设 P(a,x,0). (0<x<2)(1) ∵PS a, x,1 , PD a, 2x,0∴由 PS PD 得: a2x(2 x)0即:a2x(2 x) (0 x 2)∴当且仅当 x=1 时,a 有最大值为 1.此时 P 为 BC中点 ;(2)由(1)知 : AP (1,1,0), SD (0,2, 1),AP SD210,∴ cos AP, SD2 55AP SD∴异面直线 AP 与 SD所成角的大小为arc cos10 .5(3) 设n1x, y, z 是平面SCD的一个法向量,∵DC (1,0,0), SD(0, 2,1),第6页共15页∴由n1DC n1DC0x0x02 y z 0y 1 得 n1 (0,1, 2),n1SD n1SD0取 y1z2n11∴平面 SCD的一个单位法向量 n0,1,2n155又 CP CP n5(0, 1,0), 在 n 方向上的投影为1n∴点 P 到平面 SCD的距离为 5 .518、解：建立如图的直角坐标系，则各点的坐标分别为：O(0,0,0),A(0,1,0),B(-1,0,0),C(0,-1,0,),D(1,0,0,),E(0,-1,1),F(0,1,1),M(0,0,1).(1) ∵AM(0, 1,1),OE (0,1,1)∴ AM OE ,即AM//OE,又∵ AM平面BDE, OE平面BDE,∴A M// 平面 BDE;(2) ∵BD(2,0,0), DF(1,1,1),∴ AM BD 0, AM DF0,∴AM⊥BD,AM⊥DF,∴AM⊥平面BDF.19、解：建立如图所示的空间直角坐标系,则各点坐标分别为:A(0,0,0,),B(a,0,0),C(a,2,0),D(0,2,0),P(0,0,2),设 Q(a,x,0).(0≤ x≤2)(1) ∵PQ a, x, 2 ,QD a,2x,0 ,∴由 PQ⊥QD 得PQ QD a2x(2x)0a2x(2 x)∵ x0, 2 , a2x(2x)0,1525 (0,,),555,5第7页共15页∴在所给数据中 ,a 可取 31两个值 .a和 a2(2) 由 (1)知 a 1,此时 x=1,即 Q 为 BC 中点 , ∴点 Q 的坐标为 (1,1,0)从而 PQ1,1, 2 , 又 AB 1,0,0为平面 ADP 的一个法向量 ,∴ cos PQ, ABPQ AB 1 6PQAB6 1,6∴ 直线 PQ 与平面 ADP 所成角的正切值为5 .5(3) 由(1)知 a31 或 x3,此时 x,,即满足条件的点 Q 有两个 ,222其坐标为 3 13 3Q 1, ,0 和Q 2 , ,02 22 2∵PA ⊥平面 ABCD,∴ PA ⊥AQ ⊥1,PA AQ 2,∴∠ Q 1AQ 2 就是二面角 Q 1-PA-Q 2 的平面角 .AQ 1 AQ 23 3 3由 cos AQ 1 , AQ 2 4 4AQ 1AQ 2 13,得∠Q 1AQ 2=30 ,2∴二面角 Q 12 的大小为 30 .-PA-Q20、解：（ 1） ∵PA=AC=a ，PB=PD= 2a∴ PA 2 AB 2 PB 2 , PA 2 AD 2 PD 2,∴ PA ⊥AB 且 PA ⊥AD ， ∴ PA ⊥平面 ABCD ，（ 2）∵底面 ABCD 是菱形， ∴ AC ⊥BD ，设 AC ∩ BD=O ，∴以 O 为原点，建立如图所示的空间直角坐标系，则各点坐标分别为：A 0, a,0 , B3a ,0,0 , C 0, a ,0 , D 3a,0,0 ,P 0,a, a ,22 222∵ 点 E 在 PD 上,且 PE ：ED=2：1.∴ DP3DE ，即： DP3 OEOD第8页共15页∴ OE3a, a , a ，即点 E 的坐标为 E 3a, a , a3 6 33 63又平面 DAC 的一个法向量为 n 10,0,1EAC 个 法 向 量 为 n 2x, y, z , OC0,a 设 平 面的 一 ,0 ，23 a aOEa,,36 3ay 02x 1n 2OCn 2 OC3a a由y， 得axyz 0n 2OEn 2 OE3 63z3取x=1n 2 1 , 0 , 3 ,n 1 n 2 3 3 ,n 2∴cos n 1, n 2n 21 2n 1 6n 1 2∴由图可知二面角 E-AC-D 的大小为.6（ 3）设在 CP 上存在点 F ，满足题设条件，由 CFCP (01) ，得 OF OCCP0,12 a, a2 ∴ BF0,12 a, a 3a,0,03 a,1 2 a, a2222依题意，则有 BFn 2∴3 a,1 2a, a 1,0, 3 03 a 3 a 012222∴点 F 为 PC 中点时 ,满足题设条件 .第9页共15页一 . 选择题： (10 小题共 40 分 )1. 已知 A、B、C 三点不共线，对平面ABC外的任一点O,下列条件中能确定点M与点 A、B、C 一定共面的是( )A. OM OA OB OCB. OM2OA OB OCC. OM OA 1OB1OC D. OM1OA1OB1OC 233332. 直三棱柱 ABC— A1B1C1中，若 CA a,CB b,CC1C,则 A1 B( )A. a b cB. a b cC. a b cD. a b c3. 若向量m垂直向量 a和 b,向量 na b( ,R且、0)则()A. m// nB. m nC.m不平行于 n, m也不垂直于 nD. 以上三种情况都可能4.以下四个命题中,正确的是( )A.若 OP 1 OA 1OB,则P、Ａ、Ｂ三点共线2 3B.设向量 { a,b, c} 是空间一个基底，则{ a +b ， b +c ， c + a }构成空间的另一个基底C. (a b) c a b cD. △ ABC是直角三角形的充要条件是AB AC05. 对空间任意两个向量a,b(b o), a // b 的充要条件是( )第10页共15页A. a bB. a bC. b aD. a b6.已知向量 a(0,2,1), b(1,1,2),则 a与 b 的夹角为()A.0 °B.45°C.90°D.180 °7.在平行六面体ABCDA1B1C1D1中，M为 AC与 BD的交点，若A1 B1 a, A1D1b, A1 A c ，则下列向量中与B1M相等的是()A. 1 a 1 b1c B. 1 a 1 b1c C. 1 a1b c D.- 1 a1b c22222222228.已知a(1,0,2), b(6,21,2), 若 a // b, 则与的值分()A.11B.5 ，2C. 1 ,1D.-5 ， -2 5,2529.已知 a3i 2 j k, b i j2k, 则5a与 3b的数量积等于()A.-15B.-5C.-3D.-110. 在棱长为1 的正方体 ABCD— A1B1C1D1中， M和 N 分别为 A1B1和 BB1的中点，那么直线AM与CN所成角的余弦值是()A.2B.2C. 3D.1055510二. 填空题 : (4 小题共 16 分)11. 若 A(m+1,n-1,3),B(2m,n,m-2n),c(m+3,n-3,9)三点共线，则m+n=.第11页共15页12. 已知 A（0，2，3），B（ -2 ，1，6），C（ 1，-1 ，5），若| a |3,且 a AB, a AC ,则向量 a的坐标为.13.已知a,b是空间二向量，若| a |3, | b | 2, | a b |7,则 a与b 的夹角为.14. 已知点G 是△ ABC 的重心， O 是空间任一点，若OA OB OC OG ,则的值为.三. 解答题 :(10+8+12+14=44 分 )15.如图： ABCD为矩形， PA⊥平面 ABCD， PA=AD， M、 N 分别是 PC、AB中点，(1)求证： MN⊥平面 PCD；(2) 求 NM与平面 ABCD所成的角的大小 .16. 一条线段夹在一个直二面角的两个面内，它和两个面所成的角都是300，求这条线段与这个二面角的棱所成的角的大小.17. 正四棱锥S— ABCD中，所有棱长都是2， P 为 SA的中点，如图.第12页共15页(1)求二面角 B— SC— D 的大小； (2) 求 DP与 SC所成的角的大小 .18.如图，直三棱柱 ABC— A1B1C1，底面△ ABC中， CA=CB=1，∠ BCA=90°，棱 AA1=2，M、 N分别是 A1B1， A1A 的中点；(1)求 BN的长 ;(2)求 cos BA1 , CB1的值 ;(3)求证 : A1B C1M .(4)求 CB1与平面 A1ABB1所成的角的余弦值 .第13页共15页高中数学选修2-1 测试题 (10)—空间向量 (1) 参考答案DDBB DCDA AB 11.012.(1， 1，1)13.60014.315.(1)略016.45017.(1)1(2)45(2)318.(1)3(2)30(3)略310 10(4)1018.如图，建立空间直角坐标系O— xyz. （ 1）依题意得 B（ 0， 1，0）、 N（ 1，0， 1）∴| BN |=(1 0)2(0 1)2(1 0)23.（ 2）依题意得 A （ 1，0， 2）、B（ 0， 1，0）、 C（ 0， 0， 0）、 B （ 0，1， 2）11∴ BA ={－1，－1，2}， CB ={0，1，2，}， BA · CB =3，| BA |= 6 ，11111| CB1 |= 5 ∴cos< BA1， CB1>=BA1 CB11|BA1 | |CB1 |30 .10图第14页共15页1,1， C1M ={1,1（ 3）证明：依题意，得 C（ 0，0，2）、M（，2），A1B ={ －1，1，2}，1222211⊥ C1M ，∴AB⊥CM.0}. ∴A1B·C1M =－+0=0，∴A1B2211评述：本题主要考查空间向量的概念及运算的基本知识. 考查空间两向量垂直的充要条件.第15页共15页。
全国100所名校单元测试示范卷高二(空间向量与立体几何)第一次综合测试(数学)+答案解析(附后)
全国100所名校单元测试示范卷高二(空间向量与立体几何)第一次综合测试(数学)一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。
在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.直线l ：的倾斜角为A.B.C.D.2.若不重合的直线，的方向向量分别为，，则与的位置关系是( )A. B. C.，相交不垂直D. 不能确定3.若直线与圆O ：交于A ，B 两点，则A.B. 2C.D. 44.在正四棱锥中，已知，，，则A.B.C.D.5.与直线l ：关于y 轴对称的直线的方程为A.B.C.D.6.如图所示，在三棱柱中，底面ABC ，，，点E ，F分别是棱AB ，的中点，则EF 与所成角的大小为A. B. C. D. 7.已知四边形ABCD 为正方形，P 为平面ABCD 外一点，，，二面角的大小为，则点A 到平面PBD 的距离是A. B.C.D. 18.已知点是直线l ：上的动点，过点P 作圆C ：的切线PA ，A为切点，的最小值为2，圆M ：与圆C 外切，且与直线l 相切，则m 的值为A. B. C. 4 D.二、多选题：本题共4小题，共20分。
在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分。
9.已知直线：，直线：，则A. 直线可以与x轴平行B. 直线可以与y轴平行C. 当时，D. 当时，10.以下命题正确的是A. 两个不同平面，的法向量分别为，，则B. 若直线l的方向向量，平面的一个法向量，则C. 已知，，若与垂直，则实数D. 已知A，B，C三点不共线，对于空间任意一点O，若，则P，A，B，C四点共面11.如图，平面ABCD，，，，，，，则A. B. 平面ADEC. 平面BDE与平面BDF的夹角的余弦值为D. 直线CE与平面BDE所成角的正弦值为12.已知圆：，圆：，则.( )A. 若圆与圆无公共点，则B. 当时，两圆公共弦所在直线方程为C. 当时，P、Q分别是圆与圆上的点，则的取值范围为D. 当时，过直线上任意一点分别作圆、圆切线，则切线长相等三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
高二数学-空间向量与立体几何测试题及答案
高二数学 空间向量与立体几何测试题第Ⅰ卷（选择题，共50分）一、选择题：（本大题共10个小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1．在下列命题中：①若a 、b 共线，则a 、b 所在的直线平行；②若a 、b 所在的直线是异面直线，则a 、b 一定不共面； ③若a 、b 、c 三向量两两共面，则a 、b 、c 三向量一定也共面；④已知三向量a 、b 、c ，则空间任意一个向量p 总可以唯一表示为p ＝x a ＋y b ＋z c,x,y,z ∈R ． 其中正确命题的个数为 （ ）A.0B.1C.2D.32．若三点，，A B C 共线，P 为空间任意一点，且PA PB PC αβ+=，则αβ-的值为（ ）Ａ．1Ｂ．1-Ｃ．12Ｄ．2- 3．设(43)(32)a b ==，，，，，x z ，且∥a b ，则xz 等于（ ） Ａ．4-Ｂ．9Ｃ．9-Ｄ．6494．已知a ＝（2，－1，3），b ＝（－1，4，－2），c ＝（7，5，λ），若a 、b 、c 三向量共面，则实数λ等于 （ ） A.627 B. 637 C. 647 D. 6575．如图1，空间四边形ABCD 的四条边及对角线长都是a ，点E F G ，，分别是AB AD CD ，， 的中点，则2a 等于（ ） Ａ．2BA AC · Ｂ．2AD BD ·Ｃ．2FGCA ·Ｄ．2EFCB ·6．若a 、b 均为非零向量，则||||⋅=a b a b 是a 与b 共线的（ ）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充分必要条件D.既不充分又不必要条件7.已知点O 是△ABC 所在平面内一点，满足OA ·OB =OB ·OC =OC ·OA ,则点O 是△ABC 的（ ） A.三个内角的角平分线的交点 B.三条边的垂直平分线的交点C.三条中线的交点D.三条高的交点 8．已知a +b +c ＝0，|a |＝2，|b |＝3，|c |＝19，则向量a 与b 之间的夹角为（ ）A ．30°B ．45°C ．60°D ．以上都不对9．已知(1,2,3)OA =，(2,1,2)OB =，(1,1,2)OP =，点Q 在直线OP 上运动，则当QA QB ⋅ 取得最小值时，点Q 的坐标为（ ）A ．131(,,)243B ．123(,,)234C ．448(,,)333D ．447(,,)33310．给出下列命题： ①已知⊥a b ，则()()a b c c b a b c ++-=···；②，，，A B M N 为空间四点，若BA BM BN ，，不构成空间的一个基底，那么A B M N ，，，共面；③已知⊥a b ，则，a b 与任何向量都不构成空间的一个基底； ④若，a b 共线，则，a b 所在直线或者平行或者重合． 正确的结论的个数为（ ） Ａ．1Ｂ．2Ｃ．3Ｄ．4第Ⅱ卷（非选择题，共100分）二、填空题（本大题共6小题，每小题5分，共30分）11．已知△ABC 的三个顶点为A （3，3，2），B （4，－3，7），C （0，5，1），则BC 边上的 中线长为 12．已知，，A B C 三点不共线，O 为平面ABC 外一点，若由向量1253OP OA OB OC λ=++确定的点P 与AB C ，，共面，那么λ= ． 13.已知a,b,c 是空间两两垂直且长度相等的基底，m=a+b,n=b-c ,则m,n 的夹角为 .14．在空间四边形ABCD 中，AC 和BD 为对角线，G 为△ABC 的重心，E 是BD 上一点， BE ＝3ED ，以｛AB ，AC ，AD ｝为基底，则GE ＝ ．15.在平行四边形ABCD 中，AB=AC=1，∠ACD=900,将它沿对角线AC 折起，使AB 与CD 成600角，则B,D 两点间的距离为16．如图,二面角α-ι-β的棱上有A,B 两点，直线AC,BD 分别在这个二面角的两个半平面内，且都垂直于AB,已知AB=4，AC=6，BD=8，CD=68， 二面角α-ι-β的大小 ．三、解答题（本大题共5小题,满分70分），17．（10分）设123423223325=-+=+-=-+-=++，，，a i j k a i j k a i j k a i j k ，试问是否存在实数λμν，，，使4123a a a a λμν=++成立？如果存在，求出λμν，，；如果不存在，请写出证明．18．（12分）如图，在四棱锥ABCD P -中，底面ABCD 是正方形，侧棱⊥PD 底面ABCD ， DC PD =，E 是PC 的中点，作PB EF ⊥交PB 于点F. （1）证明 ∥PA 平面EDB ； （2）证明⊥PB 平面EFD ； （3）求二面角D -PB -C 的大小．EM GDCBAιβα AD CBE z y xC 1B 1A 1D GC BA19．（12分）如图，在直三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，底面是等腰直角三角形，∠ACB ＝90°．侧棱AA 1＝2，D 、E 分别是CC 1与A 1B 的中点，点E 在平面ABD 上的射影是△ABD 的重心G ． （1）求A 1B 与平面ABD 所成角的大小． （2）求A 1到平面ABD 的距离．20.(12分)如图，在三棱柱ABC-A 1B 1C 1中，AB ⊥AC,顶点A 1在底面ABC 上的射影恰为点B,且AB=AC=A 1B=2. (1) 求棱AA 1与BC 所成角的大小；(2) 在棱B 1C 1上确定一点P,使AP=14，并求出二面角P-AB-A 1的平面角的余弦值.21.（12分）如图，直三棱柱ABC -A 1B 1C 1中，AB ⊥AC ,D 、E 分别为AA 1、B 1C 的中点，DE ⊥平面BCC 1.（Ⅰ）证明：AB =AC（Ⅱ）设二面角A -BD -C 为60°,求B 1C 与平面BCD 所成的角的大小ABCC B 1A 1ACBA 1B 1C 1DE22.（12分）P 是平面ABCD 外的点，四边形ABCD 是平行四边形，()2,1,4,AB =--()4,2,0,AD =()1,2,1AP =--.（1）求证：PA ⊥平面ABCD.（2）对于向量111222(,,),(,,)a x y z b x y z ==，定义一种运算：()a b c ⨯⋅=123231312132213321x y z x y z x y z x y z x y z x y z ++---，试计算()AB AD AP ⨯⋅的绝对值;说明其与几何体P-ABCD 的体积关系，并由此猜想向量这种运算()AB AD AP ⨯⋅的绝对值的几何意义（几何体P-ABCD 叫四棱锥，锥体体积公式：V=13⨯⨯底面积高）.空间向量与立体几何(2)参考答案一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分）题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案DDDABCACCB二、填空题（本大题共4小题，每小题6分，共24分） 11．（0，15，25） 12．0 13． 1,-3 14．90° 15。
高二数学空间向量与立体几何单元测试卷一
AA 1DCB B 1C 1图高二（2）部数学《空间向量与立体几何》单元测试卷一班级＿＿＿＿姓名＿＿＿＿＿一、选择题：（每小题5分；共60分）． 1．在正三棱柱ABC —A 1B 1C 1中；若AB ＝2BB 1；则AB 1与C 1B 所成的角的大小为（ ）A ．60°B ．90°C ．105°D ．75°2．如图；ABCD —A 1B 1C 1D 1是正方体；B 1E 1＝D 1F 1＝411B A ；则BE 1与DF 1所成角的余弦值是 （ ）A ．1715 B ．21 C ．178D ．233．如图；A 1B 1C 1—ABC 是直三棱柱；∠BCA =90°；点D 1、F 1分别是A 1B 1、A 1C 1的中点；若BC =CA =CC 1；则BD 1与AF 1所成角的余弦值是 （ ）A ．1030 B ．21 C ．1530 D ．1015 4．正四棱锥S ABCD -的高2SO =；底边长2AB =；则异面直线BD和SC 之间的距离 （ ）A ．515 B ．55 C ．552 D ．1055．已知111ABC A B C -是各条棱长均等于a 的正三棱柱；D 是侧棱1CC 的中点．点1C 到平面1AB D 的距离 （ ） A ．a 42 B ．a 82 C ．a 423 D ．a 22 6．在棱长为1的正方体1111ABCD A B C D -中；则平面1AB C 与平面11A C D 间的距离 （ ）A ．63 B ．33 C ．332 D ．23 7．在三棱锥P －ABC 中；AB ⊥BC ；AB ＝BC ＝21PA ；点O 、D 分别是AC 、PC 的中点；OP ⊥底面ABC ；则直线OD 与平面PBC 所成角的正弦值（ ）A ．621B ．338 C ．60210D ．30210图图8．在直三棱柱111C B A ABC -中；底面是等腰直角三角形；90=∠ACB ；侧棱21=AA ；D ；E 分别是1CC 与B A 1的中点；点E 在平面AB D 上的射影是ABD ∆的重心G ．则B A 1与平面AB D 所成角的余弦值（ ）A ．32B ．37C ．23 D ．73 9．正三棱柱111C B A ABC -的底面边长为3；侧棱3231=AA ；D 是C B 延长线上一点；且BC BD =；则二面角B AD B --1的大小（ ）A ．3πB ．6πC ．65πD ．32π10．正四棱柱1111D C B A ABCD -中；底面边长为22；侧棱长为4；E ；F 分别为棱AB ；CD 的中点；G BD EF =⋂．则三棱锥11EFD B -的体积V（ ）A ．66B ．3316 C ．316D ．1611.设空间两个不同的单位向量a =(m ；n ；0)；b =（p ；q ；0）与向量（1；1；1）的夹角都为450；则m np q++的值为 A B C ．－1D ．1（ ）12、已知A(4；1；3)；B(2；-5；1)；C 为线段AB 上一点；且13AC AB =；则点C 的坐标为( ) A ．715(,,)222- B. 8(,3,2)3- C 107(,1,)33- D 573(,,)222-二、填空题：（每小题4分；共16分）．13．在正方体1111ABCD A B C D -中；E 为11A B 的中点；则异面直线1D E 和1BC 间的距离 ．14． 在棱长为1的正方体1111ABCD A B C D -中；E 、F 分别是11A B 、CD 的中点；求点B 到截面1AEC F 的距离 ． 15．已知棱长为1的正方体AB CD －A 1B 1C 1D 1中；E 、F 分别是B 1C 1和C 1D 1的中点；点A 1到平面D B EF 的距离 ．16．已知棱长为1的正方体AB CD －A 1B 1C 1D 1中；E 是A 1B 1的中点；求直线A E 与平面AB C 1D 1所成角的正弦值 ． 三、解答题：（共74分）．17．已知棱长为1的正方体AB CD －A 1B 1C 1D 1；求平面A 1B C 1与平面AB CD 所成的二面角的大小18．已知棱长为1的正方体AB CD－A1B1C1D1中；E、F、M分别是A1C1、A1D和B1A上任一点；求证：平面A1EF∥平面B1MC．19．在四棱锥P—ABCD中；底面ABCD是一直角梯形；∠BAD=90°；AD∥BC；AB=BC=a；AD=2a；且PA⊥底面ABCD；PD与底面成30°角．（1）若AE⊥PD；E为垂足；求证：BE⊥PD；（2）求异面直线AE与CD所成角的余弦值．20．已知棱长为1的正方体A C1；E、F分别是B1C1、C1D的中点．（1）求证：E、F、D、B共面；（2）求点A1到平面的B DEF的距离；（3）求直线A1D与平面B DEF所成的角．21．已知正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为2；点E为棱AB的中点；求：（Ⅰ）D1E与平面BC1D 所成角的大小；（Ⅱ）二面角D－BC1－C的大小；（Ⅲ）异面直线B1D1与BC1之间的距离．22．如图5：正方体AB CD-A1B1C1D1；过线段B D1上一点P（P 平面A C B1）作垂直于D1B的平面分别交过D1的三条棱于E、F、G．(1)求证：平面EFG∥平面A C B1；并判断三角形类型；(2)若正方体棱长为a；求△EFG的最大面积；并求此时EF与B1C的距离．。
高中数学《空间向量与立体几何》单元测试
. 故答案为垂直
14.已知正方体 ABCD A1B1C1D1 中，E 为 C1D1 的中点，则异面直线 AE 与 BC 所成角的余
弦值为
.
2
【答案】
3
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【详解】
连接 DE，设 AD=2，易知 AD∥BC，∴∠DAE 就是异面直线 AE AE=3，∴cos∠DAE= = ．
ABCD－A1B1C1D1
的棱长为
1，B1E1＝
1 4
A1B1，则
BE1
等于( )
A.
0,
1 4
,
1
B.
1 4
,
0,1
C.
0,
1 4
,1
D.
1 4
,
0,
1
【答案】C
1
3.已知 a＝(2,3，－4)，b＝(－4，－3，－2)，b＝ x－2a，则 x 等于( )
2
A.(0,3，－6)
B.(0,6，－20)
12.已知三点 A(1,1,0)，B(1,0,1)，C(0,1,1)，则平面 ABC 的单位法向量为_______
13.设平面α与向量 a＝1, 2, 4 垂直，平面β与向量 b＝2,3,1 垂直，则平面α与β的位置
关系是________．
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14.已知正方体 ABCD A1B1C1D1 中，E 为 C1D1 的中点，则异面直线 AE 与 BC 所成角的余
第 6 页 共 12 页
【答案】120° 12.已知三点 A(1,1,0)，B(1,0,1)，C(0,1,1)，则平面 ABC 的单位法向量为_______
【答案】( 3 ， 3 ， 3 )或(－ 3 ，－ 3 ，－ 3 )
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空间向量单元测试（一）
本试卷分第Ⅰ卷和第II 卷两部分.共150分.
第Ⅰ卷（选择题，共50分）
一、选择题：（本大题共10个小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，
只有一项是符合题目要求的）
1．在下列命题中：①若a 、b 共线，则a 、b 所在的直线平行；②若a 、b 所在的直线是异 面直线，则a 、b 一定不共面；③若a 、b 、c 三向量两两共面，则a 、b 、c 三向量一定
也共面；④已知三向量a 、b 、c ，则空间任意一个向量p 总可以唯一表示为 c z b y a x p ++=．其中正确命题的个数为 （ ）
A ．0
B ．1
C ．2
D ．3 2．在平行六面体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，向量1D A 、1D C
、11C A 是
（ ） A ．有相同起点的向量 B ．等长向量
C ．共面向量
D ．不共面向量
3．若向量λμλμλ且向量和垂直向量R b a n b a m ∈+=,(,、则)0≠μ （ ）
A ．n m //
B ．n m ⊥
C ．n m n m 也不垂直于不平行于,
D ．以上三种情况都可能
4．已知a ＝（2，－1，3），b ＝（－1，4，－2），c ＝（7，5，λ），若a 、b 、c 三向量共 面，则实数λ等于
（ ）
A ．
62
7
B ．
63
7
C ．
647
D ．
657
5．直三棱柱ABC —A 1B 1C 1中，若c CC b CB a CA ===1,,， 则1A B =
（ ）
A ．a +b －c
B ．a －b +c
C ．－a +b +c
D ．－a +b －c
6．已知a +b +c ＝0，|a |＝2，|b |＝3，|c |＝19，则向量a 与b 之间的夹角><b a ,为（ ）
A ．30°
B ．45°
C ．60°
D ．以上都不对
7．若a 、b 均为非零向量，则b a b a =⋅是a 与b 共线的 （ ）
A ．充分不必要条件
B ．必要不充分条件
C ．充分必要条件
D ．既不充分又不必要条件
8．已知△ABC 的三个顶点为A （3，3，2），B （4，－3，7），C （0，5，1），则BC 边上的 中线长为
（ ）
A ．2
B ．3
C ．4
D ．5
9．已知的数量积等于与则b a k j i b k j i a 35,2,23+-=-+=
（ ） A ．－15 B ．－5 C ．－3 D ．－1
10．已知(1,2,3)OA = ，(2,1,2)OB = ，(1,1,2)OP = ，点Q 在直线OP 上运动，则当QA QB ⋅
取得最小值时，点Q 的坐标为
（ ）
A ．131
(,,)243
B ．123(,,)234
C ．448(,,)333
D ．447(,,)333
第Ⅱ卷（非选择题，共100分）
二、填空题（本大题共4小题，每小题6分，共24分）
11．若A(m ＋1，n －1,3)，B(2m ,n ,m －2n )，C(m ＋3,n －3,9)三点共线，则m +n = ． 12．已知S 是△ABC 所在平面外一点，D 是SC 的中点，
若BD ＝xAB yAC zAS ++
，则x ＋y ＋z ＝ ． 13．在空间四边形ABCD 中，AC 和BD 为对角线， G 为△ABC 的重心，E 是BD 上一点，BE ＝3ED ，
以｛AB ，AC ，AD ｝为基底，则GE
＝ ．
14．设|m |＝1，|n |＝2，2m ＋n 与m －3n 垂直，a ＝4m －n ，
b ＝7m ＋2n ， 则<a ,b >＝ ．
三、解答题（本大题满分76分）
15．(12分) 如图，一空间四边形ABCD 的对边
AB 与CD ，AD 与BC 都互相垂直， 用向量证明：AC 与BD 也互相垂直．
E是DC的中点，取如图所示的空间直角坐标系．
（1）写出A、B1、E、D1的坐标；
（2）求AB1与D1E所成的角的余弦值．
17．（12分）如图，已知矩形ABCD所在平面外一点P，P A⊥平面ABCD，E、F分别是AB、PC的中点．
（1）求证：EF∥平面P AD；
（2）求证：EF⊥CD；
（3）若∠PDA＝45︒，求EF与平面ABCD所成的角的大小．
18．（12分）在正方体1111D C B A ABCD -中，如图Ｅ、Ｆ分别是
1BB ，ＣＤ的中点， （1）求证：⊥F D 1平面ADE ； （2）求1,CB EF ．
19．（14分）如图，在四棱锥ABCD P -中，底面ABCD 是正方形，侧棱⊥PD 底面ABCD ，
DC PD =，E 是PC 的中点，作PB EF ⊥交PB 于点F.
（1）证明 ∥PA 平面EDB ； （2）证明⊥PB 平面EFD ； （3）求二面角D -PB -C 的大小．
20．（14分）如图，直三棱柱ABC—A1B1C1中，底面是等腰直角三角形，∠ACB=90°，侧棱AA1=2，D、E分别是CC1与A1B的中点，点E在平面ABD上的射影是△ABD的垂心G.
（1）求A1B与平面ABD所成角的正弦；
（2）求点A1到平面AED的距离.。