人教版九年级下(实用型)：27.2.3相似三角形的周长与面积
27.2.3相似三角形的周长与面积
27.2.3相似三角形的周长与面积（一）基本内容：1. 相似三角形的性质：（1）对应角相等，对应边的比相等.（2）周长比等于相似比.（3）面积比等于相似比的平方.2. 相似多边形的性质：（1）对应角相等，对应边的比相等.（2）周长比等于相似比.（3）面积比等于相似比的平方.（二）例题分析：例 1. （易）已知：如图，△ABC ∽△A 1B 1C 1，它们的周长分别是 60 cm 和72 cm ，且AB ＝15 cm ，B 1C 1＝24 cm ，求BC 、AC 、A 1B 1、A 1C 1.解析：根据相似三角形周长的比等于相似比可以解决.解：∵△ABC ∽△A 1B 1C 1， ∴111C B A ABC 1111C C C B BC B A AB ∆∆==. 又∵AB ＝15 cm ，B 1C 1＝24 cm ，C △ABC =60 cm ，C △A1B1C1=72 cm ， ∴726024BC B A 1511==. ∴A 1B 1＝18 cm ，BC ＝20cm .∴AC=60-15-20=25 cm ，A 1C 1=72-18-24=30 cm .总结：相似三角形周长的比等于相似比，实际上一般都转化成相似三角形周长的比等于对应边的比来计算，另外要注意有些边长可以直接利用三边和等于周长来解决.例 2 . （中）有同一三角形地块的甲、乙两地图，比例尺分别为1∶200和1∶500，求：甲地图与乙地图的相似比和面积比.解析：要理解实际地块与两个图都是相似图形，利用比例尺求出相似比，利用相似三角形面积比等于相似比的平方求出面积比.解：设原地块为△ABC ，地块在甲图上为△A 1B 1C 1，在乙图上为△A 2B 2C 2.∴ △ABC ∽△A 1B 1C 1∽△A 2B 2C 2，且200111=AB B A ，500122=AB B A . ∴252005002211==B A B A . ∴425)25(2222111==∆∆C B A C B A S S . 答：甲地图与乙地图的相似比为25，面积比为425. A B C B 1 C 1 A 1总结：（1）要清楚比例尺=图距：实距，是指对应线段长度之间的比，不等于面积比；（2）相似的传递性可以直接应用；（3）相似三角形面积比等于相似比的平方在具体应用时一般都转化为相似三角形面积比等于对应边比的平方.例3．（难）如图，三角形ABC 是一块锐角三角形余料，边BC ＝120mm,高AD ＝80mm,要把它加工成正方形零件，使正方形的一边在BC 上，其余两个顶点分别在AB 、AC 上，这个正方形零件的边长是多少？解析：把所需正方形按题中所述要求画出，发现利用相似三角形对应高的比等于相似比能较快地解决问题.解：设正方形PQMN 为加工成的正方形零件. 边QM 在BC 上，顶点P 、N 分别在AB 、AC 上. △ABC 的高AD 与边PN 相交于点E. 设正方形的边长为x 毫米.∵四边形PQMN 是正方形，∴PN ∥BC .∴△APN ∽△ABC ，△APE ∽△ABD . ∴BC PN AB AP =,ADAE AB AP = ∴BCPN AD AE =. ∴1208080x x =-. 解得：48=x （毫米）. 答：加工成的正方形零件的边长为48毫米.思考：若把例3中的三角形余料，加工成矩形，且PN=2PQ 时，PN 是多少？提示：设PQ=x ，则PN=2x . 由BC PN AD AE =可得12028080x x =- 解得：7480=x ∴PN=7480（毫米） （三）思考与提高： （难）如右上示意图，小华家（点A 处）和公路（l ）之间竖立着一块35m 长且平行于公路的巨型广告牌（DE ）．广告牌挡住了小华的视线，请在图中画出视点A 的盲区，并将盲区内的那段公路计为BC ．一辆以60km/h 匀速行驶的汽车经过公路段的时间是3s ，已知广告牌和公路的距离是40m ，求小华家到公路的距离（精确到1m ）．A B C D。
数学人教版九年级下册27.2.3相似三角形的周长与面积
AB k A B , AC k A C , BC k B C
C AC BC △ ABC AB C B A C B C △ A' B' C' A
k A B k A C k B C A B A C B C
A B D ∴ △ABD∽ △
∵
AD AB BC k A ` D ` A B ` B C
这样，得到：
k 相似三角形面积的比等于相似比的平方．
2 1 k A D k B C 2 1 A D B C 2 2
（2）如图，四边ABCD相似于四边形A/B/C/ D /， 相似比为k ，它们的面积比是多少？
选做题 1、探索相似三角形对应高线的比，对应角平分线的 比，对应中线的比有什么样的结论？相似多边形呢？ 2、课本习题27.2：12、14 必做题 教材习题27.2第6、13、。
下课了!
数学使人聪明
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（2）已知ΔABC∽ΔA/B/C/，且面积之比为9：4，
则周长之比为 3： 2，相似比 3：2 ，
\
A
D
例 ： 如 图 ， 在 △ ABC 和 △ DEF 中 ，
AB＝2DE, ∠A=∠D AC=2DF,△ABC的周长是24,面积是48。 求：△DEF的周长和面积各是多少？
解： 在△ABC和△DEF中
k
结论：相似三角形周长比等于相似比。
探究
相似多边形的周长比
A A′ E C D B′ E′
B C D E 如图，五边形ABCDE与五边形A 相似， B 相似比为k,求它们的周长比是多少？
数学：27.2.3相似三角形的周长与面积的教案(人教新课标九年级下)
27.2.3 相似三角形的周长与面积教案授课教师：新疆哈密市四中 张慧勤一．教学目标1、初步掌握相似三角形的周长比、面积比与相似比的关系以及关于它们之间关系的两条定理的证明方法，并会运用定理进行有关简单的计算.2．在动手参与解决身边实际问题的过程中，增强主动探索、发现数学知识的意识，提高观察、归纳能力，应用数学知识解决生活中实际问题的能力.3．在学习过程中，进一步改善独立思考、合作学习、自主评价等学习品质. 二．教学重点难点重点：相似三角形的周长比、面积比与相似比的关系的探究与证明. 难点：相似三角形的周长比、面积比与相似比的关系的应用. 三．教学过程（一）创设情境，提出问题在哈密市环城路的建设施工中，曾遇到这样一个实际问题：由于马路拓宽，有一个面积是100平方米、周长80米的三角形的绿化地被削去了一个角，变成了一块梯形绿地，原绿化地的一边AB 的长由原来的20米缩短成12米（如图所示）.为了保证哈密的绿化建设，市政府规定：因为种种原因而失去的绿地面积必须等面积补回.这样就引出了一个问题：这块失去的面积到底有多大？它的周长是多少？你能够将上面生活中的实际问题转化为数学问题吗？（通过对课本例题进行“再创造”，以建设环城路为背景，引出数学问题.既尊重课本内容又符合加强数学与现实联系的要求.） （二）自主探究，发现新知1.分组探究活动完成下列实验报告单(学生经历动手实验 - 观察－思考－归纳－发现的学习过程，分别总结两个相似三角形的周长比与相似比的关系，面积比与相似比的关系.注重学生动手实验、从以上表中可以看出，当相似比等于K 时，周长比等于 ，面积比等于 .由此可以猜想：相似三角形的周长比等于 ，面积比等于 . 要求：①在方格纸（方格边长为1个单位）上，画出一个与已知△ABC 相似， 但相似比不为1的格点△A ’B ’C ’（每小组至少画两种情况）； ②分别计算：△ABC 与△A ’B ’C ’的相似比，周长比及面积比，然后填表；小组分工： 目的：通过实验发现相似三角形的周长比、面积比与相似比的关系 《相似三角形的周长与面积》实验报告单探索过程，并利用小组合作方式，培养学生的合作意识.)附件1:通过上一节课完成的实验报告单,让学生回答实验报告单中的思考作业.(对上一节课实验报告单的再次利用,让学生发现,通过上一节课的动手测量和本节课在网格图中的动手计算得出相似三角形的周长比,面积比与相似比关系的猜想完全一致,再次证明学生猜想的正确性.)相似三角形的面积比等于相似比的平方.已知：如图，△ABC ∽△111A B C ，相似比为k ，求证： 111ABC A B C C k C ∆∆=，1112ABCA B CS k S ∆∆=． 证明：△ABC ∽△111A B C 111111111111AB kA B AB AC BC k AC kAC A B AC B C BC kB C=⎧⎪⇒===⇒=⎨⎪=⎩111111111ABC A B C C AB BC CAC A B AC B C ∆∆++=++111111111111111ABC A B C C kA B kAC kB C k C A B AC B C ∆∆++⇒==++．分别过A 、A ’作△ABC, △A ’B ’C ’ 的高AD,A ’D ’△ABC ∽△111A B CAD 、11A D 分别是△ABC 、△111A B C 的高11111111AD kA D BC ADk BC kB C B C A D =⎧⇒==⇒⎨=⎩ 11111111212ABC A B C BC AD S S B C A D ∆∆•=• 111ABC A B C S S ∆∆⇒=()()1111211111212kB C kA D k B C A D =•． （基于对网格具有支架作用的认识，同时考虑到学生学习相似三角形的判定时对网格图已有接触、比较熟悉，所以探究活动选择⎫⎪⎪⎪⎬⎪⎪⎪⎭⎫⎪⎪⎪⎬⎪⎪⎪⎭⎫⎪⎪⎪⎬⎪⎪⎪⎭C网格图上的格点三角形进行研究，便于学生进行边长、周长、面积的计算.探究活动①的设计，复旧育新，不但复习了相似三角形的判定，同时为新知识的获取创造条件.）（三）运用性质，熟悉新知2．实际问题的解决如图，已知，在△ABC中，DE∥BC,AB=20m,BD=12m, △ABC的周长为80m，面积为100m2,求：△ADE的周长和面积．3．引申分别连结CD和BE交于点G，求：(1)SSCDEADE∆∆(2)DECS∆，S BDE∆(3)DGES∆，EGCS∆，BDGS∆，BGCS∆.CBA（对引例的变式是培养学生多层次、多角度思维能力的一种较好形式.复杂图形中观察基本图形对学生来说有一定的难度，教师借助于多媒体的力量，采用图形的闪烁，色彩的变化等手段，突出基本图形，突破难点.） （四）小结反思, 自主评价 1. 知识技能部分的小结：相似三角形的周长比、面积比与相似比的关系；两条有关定理的证明思路与证明方法；定理的运用（进行有关简单的计算）. 2．自主评价：如：对网格图上的两个格点三角形相似的认识；对运用定理解决问题的注意点的反思性总结；对自己及同伴在课堂上数学学习表现的评价；提出自己的困惑与不解，或进行质疑等.3. 教师根据学生自主评价情况作适当的点评.（五）分层作业，着眼发展1. 必做题： P54 习题27.2 第6题.2. 选做题：(1)对引例继续探究过点E 作EF//AB ，EF 交BC 于点F,其他条件不变，则EFC 的面积等于多少？平行四边形DBFE 面积为多少？(2)猜想相似多边形的周长比,面积比与相似比有怎样的关系?(作业的布置,帮助学生对知识的保持和迁移,尊重学生的个体差异满足多样化的学习需要,使不同层次的学生有不同的收获.) （六）课后反思：FCBA。
27.2.3 相似三角形的周长与面积(2)
5、如图，矩形FGHN内接于△ABC，FG在BC上， NH分别在AB、AC上，且AD⊥BC于D，交NH于 E，AD=8cm,BC=24cm, (1) △ABC∽ △ANH成立吗？试说明理由； (2)设矩形的一边长NF=x,求矩形 FGHN 的面积y 与x的关系式。
D B
E
C
*6、如图，△ABC,DE// FG// BC ，且△ADE的面积, 梯形FBCG的面积,梯形DFGE的面积均相等，则 △ADE与△ABC的 A
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1: 3 相似比是_______；
△AFG与△ABC的
2: 3 相似比是_______.
F B
D
E G
C
7、△ABC中，DE∥BC，EF∥AB，已知 △ADE和△EFC的面积分别为4和9，求 △ABC的面积。
相似三角形(多边形)的性质:
（1）相似三角形对应的 中线 高线 比等于相似比. 角平分线 三角形 （2）相似 周长的比等于相似比. 多边形 三角形 （3）相似 面积的比等于相似比的平方. 多边形
5、如图,在△ABC中,D是AB的中点，
DE∥ BC，则:
(1)S △ADE : S △ABC = (2)S △ADE: S 梯形DBCE =
.
D C
F A B E
• 如图，这是圆桌正上方的灯泡（当成一个 点）发出的光线照射桌面形成阴影的示意 图，已知桌面的直径为1.2米，桌面距离地 面为1米，若灯泡距离地面3米，则地面上 阴影部分的面积为多少？
第二十七章 27.2.3相似三角形的周长与面积(人教版九下)
4 ∴S矩形EFPQ=EF·EQ=x(8- 4 x)=- x2+8x=-
∵- 4 <0,
5
5
5
4 (x-5)2+20. 5
∴当x=5时,S矩形EFPQ有最大值,最大值为20.
【总结提升】运用相似三角形对应边上高的比的两注意
1.图形：相似三角形对应边上高的比常见图形如下，即三角形
中存在一个矩形.
2.方法：习惯上，利用相似三角形对应边上高的比等于相似比
27.2.3 相似三角形的周长与面积
1.掌握相似三角形的对应线段(角平分线、中线、高线)的比等 于相似比.(重点) 2.理解并掌握相似三角形周长的比等于相似比,面积的比等于 相似比的平方.(难点) 3.能应用相似三角形的性质进行证明或计算及解决简单的实际 问题.(重点、难点)
一、相似三角形中重要线段的比
6.(2013·台州中考)如图,在△ABC中,点D,E分别在边AB,AC上, 且 AE AD 1 ,则S△ADE∶S四边形BCED的值为 (
AB AC 2
)
A.1∶ 3
B.1∶2
AB AC
C.1∶3
2
D.1∶4
【解析】选C.因为 AE AD 1 ,∠A=∠A,所以△ADE∽△ACB且 相似比为1∶2,所以面积比为1∶4,所以S△ADE∶S四边形BCED的值为 1∶3.
AB BC AC
(2)△ABC与△A′B′C′的面积之比和相似比k有何关系？ 提示:若CD，C′D′分别是AB，A′B′边上的高，则 CD =k. ∴S△ABC =
S△ABC S△A BC
1 AB·CD,S△A′B′C′= 1 A′B′·C′D′. 2 2 CD
1 ABCD AB CD 2 k2. 1 ABCD AB CD 2
九年级数学下册《27.2.3 相似三角形的周长和面积》教案 新人教版
《27.2.3 相似三角形的周长和面积》教案课题授课时间 年 月日 教学目标知识与能力1.理解并初步掌握相似三角形周长的比等于相似比，面积的比等于相似比的平方．2.能用三角形的性质解决简单的问题 过程与方法1让能学生综合运用相似的知识，加深对相似三角形的理解和认识。
2学生经历从实际问题到建立数学模型的过程，发展学生的抽象概括能力。
情感态度价值观培养学生的观察﹑归纳﹑建模﹑应用能力；发展学生的数学应用意识。
教学重点 相似三角形的性质与运用．教学难点 相似三角形性质的灵活运用，及对“相似三角形面积的比等于相似比的平方”性质的理解，特别是对它的反向应用的理解，即对“由面积比求相似比”的理解．教学方法合作深究 教具准备课型 新授 教 学 活 动教学环节补充一、情景导学：1．复习提问：已知： ∆ABC ∽∆A’B’C’，根据相似的定义，我们有哪些结论？（从对应边上看； 从对应角上看：）二、自学梳理五、巩固应用：1．教材P54．1．2．填空：（1）如果两个相似三角形对应边的比为3∶5 ，那么它们的相似比为________，周长的比为_____，面积的比为_____．（2）如果两个相似三角形面积的比为3∶5 ，那么它们的相似比为________，周长的比为________．（3）连结三角形两边中点的线段把三角形截成的一个小三角形与原三角形的周长比等于______，面积比等于_______．（4）两个相似三角形对应的中线长分别是6 cm和18 cm，若较大三角形的周长是42 cm ，面积是12 cm 2，则较小三角形的周长为________cm，面积为_______cm2．3．如图,在正方形网格上有△A1B1C1和△A2B2C2，这两个三角形相似吗？如果相似，求出△A1B1C1和△A2B2C2的面积比．六、课堂小结: 说说你在本节课的收获。
七、达标检测：（见学案）板书设计：。
27.2.3相似三角形的周长与面积(教案)-九年级下学期数学教材解读(人教版)
在今天的教学中，我发现学生们对相似三角形周长与面积的性质有了初步的理解，但仍然存在一些问题。首先，当我提问学生关于相似三角形在日常生活中的应用时，他们能够联想到一些实际例子，但还不够丰富，这说明他们对这些概念与实际生活的联系还不够深入。
在理论讲授环节，我注意到学生们对周长比和面积比的概念掌握得还不错，但当我给出一些复杂的图形时，他们识别相似三角形并应用性质解决问题的能力还有待提高。我意识到，需要通过更多的图形练习和案例分析来加强他们的几何直观和逻辑推理能力。
-重点一：理解并掌握相似三角形的周长比等于相似比。举例来说，若两个三角形相似，且相似比为2:1，则这两个三角形的周长比也为2:1。
-重点二：理解并掌握相似三角形的面积比等于相似比的平方。例如，若相似比为2:1，则面积比为4:1。
-重点三：应用相似三角形的周长与面积性质解决实际问题，如计算相似图形的周长和面积。
1.培养学生的几何直观：通过相似三角形周长与面积的学习，使学生能够运用几何图形理解和解决数学ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ题，提高空间想象力和几何直观能力。
2.发展学生的逻辑推理能力：引导学生运用已知的相似三角形性质，推理出周长和面积的关系，培养学生严密的逻辑思维和推理能力。
3.提高学生的数学建模素养：让学生在实际问题中运用相似三角形的周长与面积关系，构建数学模型，提高解决实际问题的能力。
2.相似三角形的面积比：通过实例和练习，让学生理解并掌握相似三角形的面积比等于相似比的平方。在此基础上，引导学生解决实际问题，如计算相似图形的面积等。
本节课将结合教材中的例题和习题，帮助学生在理解概念的基础上，提高解题能力，为后续几何学习打下坚实基础。
二、核心素养目标
本节课的核心素养目标主要包括以下方面：
27.2.3 相似三角形的周长与面积
E
B
(3)若BC=15cm，AD=10cm，且PN=ED=x，求x的值。
D
C
练一练
A
3、如图，在△ABC中，点D、E、F分别在 AC、AB、BC边上，且四边形CDEF是正方 形，AC=3，BC=2，（1）请你找出图中的 相似三角形；（2）求出正方形的边长；（3） D 请你求出△ADE，△EFB，△ACB的周长比 和面积比。 C 4、如图，△ABC中，DE∥FG∥BC，且DE、FG把 △ABC的面积三等分，若BC=• 12cm．求FG的长．
问 题 如图是一块三角形钢板,工人师傅要把它 切割成两块,一块为三角形，一块为梯形， 且要把切割出的三角形与梯形的面积的比 为4∶5，那么该怎样切割呢？
复习回顾
1、相似三角形有什么性质？根据什么？相似多边形呢？
2、相似三角形对应边的比叫什么？
3、△ABC∽△A′B′C′，相似比为k；则△A′B′C′∽ △ABC，它的相似比为多少？ 4、相似三角形对应高，对应中线，对应角平分线有什么 性质？
相似三角形的面积比等于相似比的平方。
探一探
2、如图, 四边形ABCD∽四边形A`B`C`D`,形似比为k, 它们的面 积比为多少? A
A′ D B C B′ D′ C′
相似多边形的面积比等于相似比的平方。
例题
1、如图，在△ABC和△DEF中，AB=2DE， A AC=2DF，∠A=∠D， △ABC的周长为24， 面积为48，求△DEF的周长和面积。
类似可以证明：
探一探
1、如图, △ABC∽△A′B′C′,形似比为k, 它们的面积比为多少? 解: 过点A、A`作BC、B`C`的高线，
AD BC = = k 则： A`D` B`C `
人教版九年级下册27.2相似三角形27.2.3相似三角形的周长与面积课程设计
人教版九年级下册27.2相似三角形27.2.3相似三角形的周长与面积课程设计一、教学内容本节课程设计主要涉及以下两个知识点：1.相似三角形的周长计算；2.相似三角形的面积计算。
二、教学目标通过本节课程的学习，使学生能够：1.掌握相似三角形的定义和性质，了解相似三角形的判定方法；2.熟练掌握相似三角形的周长计算方法；3.熟练掌握相似三角形的面积计算方法；4.培养学生的逻辑思维能力和解决问题的能力。
三、教学重难点1. 教学重点1.掌握相似三角形的定义和性质；2.熟练掌握相似三角形的周长计算方法；3.熟练掌握相似三角形的面积计算方法。
2. 教学难点1.理解相似三角形的判定方法；2.理解相似三角形的面积计算方法。
本课程采取“示范教学、讲解授课、课堂练习、作业辅导”等多种教学方法的结合，以增强学生的学习兴趣和提高教学效果。
五、教学过程1. 知识点讲解1.相似三角形的定义和性质；2.相似三角形的周长计算方法；3.相似三角形的面积计算方法。
2. 课堂练习1.练习相似三角形的周长计算方法；2.练习相似三角形的面积计算方法。
3. 作业辅导1.布置相关练习题目；2.解答学生的疑问。
六、教学评估采用考试、测验、作业、实验等多种方式进行教学评估，对学生的知识掌握情况进行全方位评价。
七、教学资源本课程所需教学资源包括：•课本；•教学PPT；•教学练习册。
通过本节课程的学习和实践，学生在掌握相似三角形性质和周长、面积计算方法的基础上，可以运用所学知识解决实际问题，同时也提高了学生的数学思维和计算能力。
新人教版九年级下27.2..3相似三角形的周长和面积
新人教版九年级下27.2..3相似三角形的周长和面积小泊头一中高学谦
27.2.3类似三角形的周长和面积
〔教学目标〕
1.体验探索相似三角形本质的过程，培养学生的积极情绪、态度和价值观，体验解决
问题策略的多样性。
2．理解并掌握相似三角形周长的比等于相似比、面积比等于相似比的平方，并能用
来解决简单的问题。
3．探索相似多边形周长的比等于相似比、面积比等于相似比的平方，体验化归思想。
〔教学重点与难点〕
重点：理解并掌握相似三角形的周长比等于相似比，面积比等于相似比的平方。
难度：探索相似多边形的周长比等于相似比，面积比等于相似比的平方【教学设计】
小泊头一中高学谦
小泊头第一中学高学谦
s△pef取得最大值.43（3）作a关于直线bc的对称点a′，连da′交bc于q，则这
个点q就是使△adq周长最小的点，此时q是bc的中点.
设计理念：
本节课主要是让学生理解并掌握相似三角形周长的比等于相似比、面积比等于相似比
的平方，通过探索相似多边形周长的比等于相似比、面积比等于相似比的平方，体验化归
思想，学会应用相似三角形周长的比等于相似比、面积比等于相似比的平方来解决简单的
问题。
因此本教学设计突出了“相似比?相似三角形周长的比?相似多边形周长的比”、
“相似比?相似三角形面积的比?相似多边形面积的比”等一系列从特殊到一般的过程，以
让学生深刻体验到有限数学归纳法的魅力。
人教版九年级数学下册：27.2.3相似三角形的周长与面积
教学时间课题27.2.3 相似三角形的周长与面积课型新授课教 学 目 标知 识 和 能 力 1． 理解并初步掌握相似三角形周长的比等于相似比，面积的比等于相似比的平方． 2． 能用三角形的性质解决简单的问题． 过 程 和 方 法情 感 态 度 价值观教学重点 相似三角形的性质与运用．教学难点相似三角形性质的灵活运用，及对“相似三角形面积的比等于相似比的平方”性质的理解，特别是对它的反向应用的理解，即对“由面积比求相似比”的理解．教学准备 教师 多媒体课件学生“五个一”课 堂 教 学 程 序 设 计设计意图一、课堂引入 1．复习提问：已知： ∆ABC ∽∆A’B’C’，根据相似的定义，我们有哪些结论？（从对应边上看； 从对应角上看：） 问：两个三角形相似，除了对应边成比例、对应角相等之外，我们还可以得到哪些结论？ 2．思考：（1）如果两个三角形相似，它们的周长之间有什么关系？ （2）如果两个三角形相似，它们的面积之间有什么关系？ （3）两个相似多边形的周长和面积分别有什么关系？ 推导见教材P51．结论——相似三角形的性质：性质1 相似三角形周长的比等于相似比． 即：如果 △ABC ∽△A ′B ′C ′，且相似比为k ， 那么k A C C B B A CABC AB =''+''+''++．性质2 相似三角形面积的比等于相似比的平方． 即：如果 △ABC ∽△A ′B ′C ′，且相似比为k ，那么22)(k B A AB S S C B A ABC =''='''∆∆．相似多边形的性质1．相似多边形周长的比等于相似比． 相似多边形的性质2．相似多边形面积的比等于相似比的平方． 二、例题讲解例 1（补充） 已知：如图：△ABC ∽△A ′B ′C ′，它们的周长分别是 60 cm 和72 cm ，且AB ＝15 cm ，B ′C ′＝24 cm ，求BC 、AB 、A ′B ′、A ′C ′的长． 分析：根据相似三角形周长的比等于相似比可以求出BC 等边的长． 解：略（此题学生可以让自己完成）． 例2（教材P52例6）分析：根据已知可以得到21AC DF AB DE ==，又有夹角∠D=∠A ，由相似三角形的判定方法2 可以得到这两个三角形相似，且相似比为21，故△DEF 的周长和面积可求出．解：略（见教材P53） 三、课堂练习 1．教材P53．1-4． 2．填空：（1）如果两个相似三角形对应边的比为3∶5 ，那么它们的相似比为________，周长的比为_____，面积的比为_____．（2）如果两个相似三角形面积的比为3∶5 ，那么它们的相似比为________，周长的比为________．（3）连结三角形两边中点的线段把三角形截成的一个小三角形与原三角形的周长比等于______，面积比等于_______．（4）两个相似三角形对应的中线长分别是6 cm 和18 cm ，若较大三角形的周长是42 cm ，面积是12 cm 2，则较小三角形的周长为________cm ，面积为_______cm 2．3．如图,在正方形网格上有△A 1B 1C 1和△A 2B 2C 2，这两个三角形相似吗？如果相似，求出△A 1B 1C 1和△A 2B 2C 2的面积比．作业 设计 必做 教科书P56：13、14 选做教学 反思(第3题)教学时间课题27. 3 位似（一）课型新授课教学目标知识和能力1．了解位似图形及其有关概念，了解位似与相似的联系和区别，掌握位似图形的性质．2．掌握位似图形的画法，能够利用作位似图形的方法将一个图形放大或缩小．过程和方法情感态度价值观教学重点位似图形的有关概念、性质与作图．教学难点利用位似将一个图形放大或缩小．教学准备教师多媒体课件学生“五个一”课堂教学程序设计设计意图一、课堂引入1．观察：在日常生活中，我们经常见到下面所给的这样一类相似的图形，它们有什么特征？2．问：已知：如图，多边形ABCDE，把它放大为原来的2倍，即新图与原图的相似比为2．应该怎样做？你能说出画相似图形的一种方法吗？二、例题讲解例1（补充）如图，指出下列各图中的两个图形是否是位似图形，如果是位似图形，请指出其位似中心．分析：位似图形是特殊位置上的相似图形，因此判断两个图形是否为位似图形，首先要看这两个图形是否相似，再看对应点的连线是否都经过同一点，这两个方面缺一不可．解：图（1）、（2）和（4）三个图形中的两个图形都是位似图形，位似中心分别是图（1）中的点A ，图（2）中的点P 和图（4）中的点O ．（图（3）中的点O 不是对应点连线的交点，故图（3）不是位似图形，图（5）也不是位似图形）例2（教材P61例题）把图1中的四边形ABCD 缩小到原来的21．分析：把原图形缩小到原来的21，也就是使新图形上各顶点到位似中心的距离与原图形各对应顶点到位似中心的距离之比为1∶2 ．作法一：（1）在四边形ABCD 外任取一点O ；（2）过点O 分别作射线OA ，OB ，OC ，OD ；（3）分别在射线OA ，OB ，OC ，OD 上取点A ′、B ′、C ′、D ′，使得21OD D O OC C O OB B O OA A O ='='='='；（4）顺次连接A ′B ′、B ′C ′、C ′D ′、D ′A ′，得到所要画的四边形A ′B ′C ′D ′，如图2．问：此题目还可以如何画出图形？ 作法二：（1）在四边形ABCD 外任取一点O ； （2）过点O 分别作射线OA ， OB ， OC ，OD ； （3）分别在射线OA ， OB ， OC ， OD 的反向延长线上取点A ′、B ′、C ′、D ′，使得21ODDOOCCOOBBOOAAO='='='='；（4）顺次连接A′B′、B′C′、C′D′、D′A′，得到所要画的四边形A′B′C′D′，如图3．作法三：（1）在四边形ABCD内任取一点O；（2）过点O分别作射线OA，OB，OC，OD；（3）分别在射线OA，OB，OC，OD上取点A′、B′、C′、D′，使得21ODDOOCCOOBBOOAAO='='='='；（4）顺次连接A′B′、B′C′、C′D′、D′A′，得到所要画的四边形A′B′C′D′，如图4．（当点O在四边形ABCD的一条边上或在四边形ABCD的一个顶点上时，作法略——可以让学生自己完成）三、课堂练习1．教材P60．1、22．画出所给图中的位似中心．3．把右图中的五边形ABCDE扩大到原来的2倍．作业设计必做教科书P64：1、2选做教科书P64：4、7教学反思教学时间课题27. 3 位似（二）课型新授课教 学 目 标知 识 和 能 力 1．巩固位似图形及其有关概念．过 程 和 方 法 2．会用图形的坐标的变化来表示图形的位似变换，掌握把一个图形按一定大小比例放大或缩小后，点的坐标变化的规律．情 感 态 度 价值观3．了解四种变换（平移、轴对称、旋转和位似）的异同，并能在复杂图形中找出这些变换．教学重点 用图形的坐标的变化来表示图形的位似变换．教学难点把一个图形按一定大小比例放大或缩小后，点的坐标变化的规律．教学准备 教师 多媒体课件学生“五个一”课 堂 教 学 程 序 设 计设计意图一、课堂引入1．如图，△ABC 三个顶点坐标分别为A(2,3)，B(2,1)，C(6,2)，（1）将△ABC 向左平移三个单位得到△A 1B 1C 1，写出A 1、B 1、C 1三点的坐标；（2）写出△ABC 关于x 轴对称的△A 2B 2C 2三个顶点A 2、B 2、C 2的坐标；（3）将△ABC 绕点O 旋转180°得到△A 3B 3C 3，写出A 3、B 3、C 3三点的坐标．2．在前面几册教科书中，我们学习了在平面直角坐标系中，如何用坐标表示某些平移、轴对称、旋转（中心对称）等变换，相似也是一种图形的变换，一些特殊的相似（如位似）也可以用图形坐标的变化来表示． 3．探究：（1）如图，在平面直角坐标系中，有两点A(6,3)，B(6,0)．以原点O 为位似中心，相似比为31，把线段AB 缩小．观察对应点之间坐标的变化，你有什么发现？（2）如图，△ABC 三个顶点坐标分别为A(2,3)，B(2,1)，C(6,2)，以点O 为位似中心，相似比为2，将△ABC 放大，观察对应顶点坐标的变化，你有什么发现？【归纳】 位似变换中对应点的坐标的变化规律：在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为位似中心，相似比为k ，那么位似图形对应点的坐标的比等于k 或-k ． 二、例题讲解例1（教材P62的例题）分析：略（见教材P62的例题分析） 解：略（见教材P62的例题解答）问：你还可以得到其他图形吗？请你自己试一试！解法二：点A 的对应点A′′的坐标为（-6×)21(-，6×)21(-），即A′′（3，-3）．类似地，可以确定其他顶点的坐标．（具体解法与作图略）例2（教材P63）在右图所示的图案中，你能找出平移、轴对称、旋转和位似这些变换吗？分析：观察的角度不同，答案就不同．如：它可以看作是一排鱼顺时针旋转45°角，连续旋转八次得到的旋转图形；它还可以看作位似中心是图形的正中心，相似比是4∶3∶2∶1的位似图形，……． 解：答案不惟一，略． 三、课堂练习 1． 教材P62．1、22． △ABO 的定点坐标分别为A(-1,4)，B(3,2)，O(0,0)，试将△ABO 放大为△EFO ，使△EFO 与△ABO 的相似比为2.5∶1，求点E 和点F 的坐标． 3． 如图，△AOB 缩小后得到△COD ，观察变化前后的三角形顶点，坐标发生了什么变化，并求出其相似比和面积比．作业 设计 必做 教科书P64：3 选做教科书P65：6、8教学 反思教学时间课题解直三角形应用（二）课型新授课教 学 目 标知 识 和 能 力 使学生了解仰角、俯角的概念，使学生根据直角三角形的知识解决实际问题．过 程 和 方 法 逐步培养分析问题、解决问题的能力． 情 感 态 度 价值观教学重点 要求学生善于将某些实际问题中的数量关系，归结为直角三角形中元素之间的关系，从而解决问题．教学难点要求学生善于将某些实际问题中的数量关系，归结为直角三角形中元素之间的关系，从而解决问题．教学准备 教师 多媒体课件学生“五个一”课 堂 教 学 程 序 设 计设计意图（一）回忆知识1．解直角三角形指什么？2．解直角三角形主要依据什么？(1)勾股定理：a 2+b 2=c 2(2)锐角之间的关系：∠A+∠B=90°(3)边角之间的关系：tanA=的邻边的对边A A ∠∠（二）新授概念 1．仰角、俯角当我们进行测量时，在视线与水平线所成的角中，视线在水平线上方的角叫做仰角，在水平线下方的角叫做俯角．教学时，可以让学生仰视灯或俯视桌面以体会仰角与俯角的意义．斜边的邻边A A ∠=cos 斜边的对边A A ∠=sin2．例1如图(6-16)，某飞机于空中A 处探测到目标C ，此时飞行高度AC=1200米，从飞机上看地平面控制点B 的俯角α=16°31′，求飞机A 到控制点B 距离(精确到1米)解：在Rt △ABC 中sinB=AB AC∴AB=B AC sin =2843.01200=4221(米)答：飞机A 到控制点B 的距离约为4221米．例2.2003年10月15日“神州”5号载人航天飞船发射成功。
人教版-数学-九年级下册------27.2.3相似三角形的周长与面积
27.2.3相似三角形的周长与面积课 题 27.2.3 相似三角形的周长与面积课 型 新授课 单 位主备人学习目标理解并掌握相似三角形周长的比等于相似比、面积比等于相似比的平方，并能用来解决简单的问题。
学习重、难点 相似三角形周长的比等于相似比、面积比等于相似比的平方学法指导 通过动手操作，自主探究，合作交流获得解决问题的方法。
学 习 过 程教师个性修订 一 、复习回顾相似三角形的定义与性质二、知识探究 （一）思考如果两个三角形相似，它们的周长之间什么关系？∆ABC ∽∆A 1B 1C 1，相似比为k ⇒111111AB BC CAk A B B C C A === （二）探究1、如图、ABC ∽∆A 1B 1C 1，相似比为k 1，他们对应高的比是多少？面积的比呢？(2)、如图、四边形ABCD 相似于A 1B 1C 1D 1,相似比为k ，他们面积的比是多少？ABCDA1B1 C1D1(1)探究：相似三角形对应中线的比、对应角平分线的比都等于相似比吗？ 归纳：_________________________________________________________ 三 应用新知例6：如图27．2-12 (多媒体出示) ，在∆ABC 和∆DEF 中，AB=2DE ，AC=2DF ， ∠A=∠D ，∆ABC 的周长是24，面积是48，求 ∆DEF 的周长和面积。
巩固练习 1、如图、∆ABC ∽∆A 1B 1C 1，它们的周长分别为60和72，且AB=15、B 1C 1=24,求BC,A 1B 1,A 1C 1ABCD A1B1C1D1AB CDEFABCDEF2、在∆ABC 和∆A 1B 1C 1中，∠A=∠A 1、∠B=∠B 1、AB=35cm 、A 1B 1=14cm 、它们的面积差是588cm 2、求较大三角形的面积。
四、归纳小结五、达标检测 必做题 1、、∆ABC ∽∆A 1B 1C 1、且AB ：A 1B 1=1：2，则∆ABC 与∆A 1B 1C 1的面积比为（ ） A 1：1 B 1：2 C 1：4 D 1:8 2、如图，DE//BC,且32DB AD ，那么∆ADE 与∆ABC 的面积比是（ ）A 2:5B 2:3C 4:9D 4:25选做题如图、∆ABC 中，DE//FG//BC 、且DE 、FG 把∆ABC 分成面积相等的三部分，若BC=12，求DE 、FG 的长思考题如图，有一块三角形土地，它的底边BC=100米，高A H=80米，某单位要沿着底边BC 修一座底面是矩形的大楼i ，当这座大楼的地基面积最大时，这个矩形的长和宽各是多少?A BC DE FGHMA BC DE ABC D E FG。
人教版数学九年级下册教案：27.2.3相似三角形的周长与面积
教学重点
相似三角形和相似多边形的周长与面积的性质的理解与运用.
新授
教学难点
探究相似多边形面积的性质.
教学过程设计
教学程序及教学内容
师生行为
设计意图
一、情境引入 某施工队在道路拓宽施工时遇到这样一个问题，马路旁原有一个面积为
100 平方米、周长为 80 米的三角形绿化地，由于马路拓宽绿地被削去了一个 角，变成了一个梯形，原绿化地一边 AB 的长由原来的 30 米缩短成 18 米，
AC A'C '
，因此
k
AB=kA‘B‘，BC=kB‘C’,
AC=kA‘C’,可得 AB BC AC k A'B' B'C' A'C'
即相似三角形的周长比等于相似比.
4.迁移判断:相似多边形的周长比等于相似
A
A'
比吗?
学生试做，之后教师 进行必要点拨,迁移 判断出相似多边形 的周长比等于相似 比.
综合（一）、(二)可得
在学生思考、讨论的 基础上给出证明过 程
让学生充分暴露自 己的问题,兵教兵、 广参与，同提高
相似三角形性质： 相似三角形的周长比等于相似比，面积比等于相似比的平方.
5.猜想:如果两个四边形相似,那么它们的面积比是否也有这样的结论呢?现 在已经知道相似三角形的面积比等于相似比的平方,那么在判断四边形 时我们能否借助于这一结论呢?连接对应的对角线后所得到的两对三 角形分别相似吗?能否运用证明周长时的方法?
年级
教学媒体
教
知识
技能 学
过程
目
方法
情感
标 态度
九年级
课题
27.2.3 相似三角形的周长与面积 多媒体
人教版数学九下课件：27.2.3 相似三角形的周长与面积
27.2.3 相似三角形的周长与面积学习目标、重点、难点【学习目标】1．理解并初步掌握相似三角形周长的比等于相似比，面积的比等于相似比的平方．2．能用三角形的性质解决简单的问题．【重点难点】1．相似三角形的性质与运用．2．相似三角形性质的灵活运用，及对“相似三角形面积的比等于相似比的平方”性质的理解，特别是对它的反向应用的理解，即对“由面积比求相似比”的理解．知识概览图相似三角形对应高的比、对应中线的比、对应角平分线的比都等于相似比相似三角形周长的比等于相似比(相似多边形周长的比等于相似比)相似三角形面积的比等于相似比的平方(相似多边形面积的比等于相似比的平方)新课导引【生活链接】如果两个三角形相似，那么它们的周长之间有什么关系?它们的面积之间有什么关系?两个相似多边形呢?【问题探究】前面我们已经学习了相似图形的性质：相似图形的对应角相等，对应边的比相等．那么相似图形的周长与面积又具有怎样的性质呢?教材精华知识点1 相似三角形对应高的比等于相似比如图27－57所示，如果△ABC∽△A′B′C′，且＝k，那么△ABC与△A′B′C′的相似比为k，过A作AD⊥BC，过A′作A′D′⊥B′C′，垂足分别为D，D′，在△ABD与△A′B′D′中，∠B＝∠B′，∠ADB＝∠A′D′B′＝90°，所以Rt△ABD∽Rt△A′B′D′，所以＝k，即相似三角形对应高的比等于相似比k．知识点2 相似三角形对应中线的比、对应角平分线的比都等于相似比如图27－58所示，在△ABC和△A′B′C′中，AD，A′D′分别为△ABC和△A′B′C′的中线，BE，B′E′分别为△ABC和△A′B′C′的角平分线，若△ABC∽△A′B′C′，则＝k．知识点3 相似三角形周长的比等于相似比如果△ABC∽△A′B′C′，并且△ABC与△A′B′C′的相似比为k，那么＝k，则AB＝k·A′B′，BC=k·B′C′，AC＝k·A′C′，因此，即相似三角形周长的比等于相似比．例如：已知△ABC∽△A′B′C′，它们的周长分别为60 cm和72 cm，且AB＝15 cm，B′C′＝24 cm，则这两个三角形的相似比为，且，因为AB＝15 cm，B′C′＝24 cm，所以A′B′＝18 c m，BC＝20 c m，所以AC＝60－15－20＝25(cm)，A′C′＝72－18－24＝30(cm)．知识点4 相似多边形周长的比等于相似比如果多边形A1A2…A n与多边形A1′A2′…A n′相似，并且多边形A1A2…A n与多边形A1′A2′…A n′的相似比为k，则＝k，∴A1A2＝kA1′A2′，A2A3＝kA2′A3′，…，A n A1＝kAn′A1′，∴A1A2+A2A3+…+A n A1＝k(A1′A2′+A2′A3′+…+A n′A1′)，∴＝k，即相似多边形周长的比等于相似比.知识点5 相似三角形面积的比等于相似比的平方若△ABC∽△A′B′C′，△ABC与△A′B′C′的相似比是k，AD，A′D′分别是BC与B′C′边上的高，则=k·k=k2,即相似三角形面积的比等于相似比的平方．知识点6 相似多边形面积的比等于相似比的平方对于两个相似的四边形，可以把它们分成两对相似的三角形，可以得出这两个四边形面积的比等于相似比的平方．对于两个相似的多边形，用类似的方法，可以把它们分成若干对相似的三角形，从而得出相似多边形面积的比等于相似比的平方．规律方法小结 (1)如果两个三角形相似，那么它们对应高的比、对应角平分线的比、对应中线的比、对应周长的比都等于相似比．(2)相似三角形的面积比等于相似比的平方．(3)类比相似三角形的性质可知，相似多边形的周长比等于相似比，面积比等于相似比的平方．(4)本节内容中求相似三角形对应边的比和面积的比的问题可以互相转化，对于没有指明对应顶点的相似三角形仍然要分类讨论．课堂检测基本概念题1、(1)若两个相似三角形的面积比为1：2，则它们的相似比为；(2)若两个相似三角形的周长比为3：2，则它们的相似比为；(3)若△ABC∽△A′B′C′，且AB＝5，A′B′＝3，△A′B′C′的周长为12，则△ABC 的周长为 .基础知识应用题2、如图27－59所示，在△ABC和△DEF中，AB＝2DE，AC＝2DF，∠A＝∠D，△ABC的周长是24，面积是48，求△DEF的周长和面积．3、如图27－60所示，在锐角三角形ABC中，AD，CE分别为BC，AB边上的高，△ABC 和△BDE的面积分别为18和2，DE＝2，求AC边上的高．4、如图27－61所示，在△ABC与△CAD中，AD∥BC，CD交AB于点E，且AE：E B＝1:2，EF∥BC交AC于点F，且S△ADE＝1，求S△BCE和S△AEF．5、如图27－62所示，AD是△ABC的角平分线，BH⊥AD于点H，CK⊥AD于点K，求证AB·DK＝AC·DH．综合应用题6、如图27－63所示，在梯形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，若△COD的面积为a2，△AOB的面积为b2，其中a＞0，b＞0，求梯形ABCD的面积S．探索与创新题7、如图27－64所示， ABCD的对角线AC，BD相交于点O，E是AB延长线上一点，OE 交BC于点F，AB＝a，BC＝b，BE＝c，求BF的长．8、如图27－65所示，在△ABC中，D是BC边上的中点，且AD＝AC，DE⊥BC，DE与AB 相交于点E，EC与AD相交于点F.(1)求证△ABC∽△FCD；(2)若S△FCD＝5，BC＝10，求DE的长体验中考1、已知△ABC与△DEF相似且面积比为4：25，则△ABC与△DEF的相似比为．2、如图27－67所示，在△ABC中，BC＞AC，点D在BC上，且DC＝AC，∠ACB的平分线CF交AD于F，点E是AB的中点，连接EF．(1)求证EF∥BC；(2)若四边形BDFE的面积为6，求△ABD的面积．学后反思附：课堂检测及体验中考答案课堂检测1、分析 (1)∵两个相似三角形的面积比等于相似比的平方，∴k2＝，且k＞0，∴k＝．(2)∵相似三角形的周长比等于相似比，且周长比为3:2，∴相似三角形的相似比为3：2．(3)∵相似比5：3，∴.又∵△A′B′C′的周长为12，∴＝，∴△ABC的周长为20．答案：(1)：2 (2)3：2 (3)20【解题策略】解决此类题时，可直接应用相似三角形的周长比、面积比与相似比的关系来求解．2、分析先说明△ABC∽△DEF，再运用相似三角形的性质——相似三角形的周长比等于相似比、面积比等于相似比的平方进行求解．解：在△ABC和△DEF中，∵AB=2DE，AC=2DF，∴又∵∠D＝∠A，∴△DEF∽△ABC，且相似比为．∴.即，∴△DEF的周长为12．∴，即，∴S△DEF＝12．即△DEF的周长为12，面积为12．【解题策略】解决此类问题时，可利用相似三角形周长的比等于相似比、相似三角形面积的比等于相似比的平方来求解．3、分析若求AC边上的高，就要把AC边上的高作出来，由于△ABC的面积为18，因此只要求出AC边的长，就可以求出AC边上的高．解：过点B作BF⊥AC，垂足为点F．∵AD⊥BC，CE⊥AB，∴∠ADB＝∠CE B＝90°，又∵∠ABD＝∠CBE，∴Rt△ADB∽Rt△CE B．∴,即，且∠ABC=∠DBE，∴△EBD∽△CBA，∴，又∵DE＝2，∴AC＝6．∵S△ABC＝AC·BF＝18，∴BF＝6．【解题策略】解决此题的关键是根据已知条件说明△EBD∽△CBA．4、分析由AD∥BC，可得△ADE∽△BCE，求S△BCE比较容易，而求S△AEF不易利用相似三角形的面积关系来求解．由DA∥EF可知△AEF与△EAD是两个高相等的三角形，所以这两个三角形的面积比就等于底边长的比，求出EF：AD就可以求出△AEF的面积．解：∵AD∥BC，∴△ADE∽△BCE，∴S△ADE：S△BCE＝AE2：BE2．又∵AE:BE＝1：2，∴S△ADE:S△BCE＝1:4，∵S△ADE＝1，∴S△BCE＝4．又∵EF∥BC，∴△AEF∽△ABC，∴EF:BC＝AE：AB＝1:3．又∵△ADE∽△BCE，∴AD：BC＝AE：BE＝1：2，∴BC＝2AD，∴EF：AD＝2：3．又∵AD∥EF，∴△ADE与△AEF等高．∴S△AEF：S△ADE＝EF：AD＝2：3．∵S△ADE=1，∴S△AEF＝.【解题策略】利用相似三角形的性质进行有关面积的计算时，有时会用到等底等高的三角形面积相等、同底(或等底)三角形的面积之比等于对应高之比、同高(或等高)三角形的面积之比等于对应底边长之比等等．5、分析由已知易证△BHD∽△CKD，△ABH∽△ACK，从而易得,即AB·DK=AC·DH．证明：∵BH⊥AD，CK⊥AD，∴BH∥CK，∴△BHD∽△CKD，∴．①∵AD平分∠BAC，∴∠1＝∠2．又∵∠BHA=∠CKA=90°，∴Rt△ABH∽Rt△ACK,∴．②由①②可知，∴AB·DK＝AC·DH．【解题策略】在本题中，利用把和联系起来，通常把这里的叫做中间比，它起到桥梁的作用．6、分析梯形的面积等于4个三角形的面积之和，而△AOB和△COD的面积都已用a，b表示出来，因此关键是求出△AOD和△BOC的面积．由图可知△AOD和△BOC的面积相等，而△AOD和△COD在AC边上的高是同一条高，因此△AOD和△COD的面积比就等于AO：OC，这样就可以求出△AOD的面积．解：∵AB∥CD，∴△COD∽△AOB，∴∴又∵S△ABC＝S△ABD，∴S△ABC－S△AOB＝S△ABD－S△AOB，即S△BOC＝S△AOD．又∵=，∴S△AOD=·S△COD=·a2=ab．∴S△COB＝S△AOD＝ab．∴梯形ABCD的面积S＝a2+ab+ab+b2＝(a+b)2．【解题策略】底在同一条直线上，高相同的两个三角形面积的比等于底边长的比，而相似三角形面积的比等于对应边的比的平方，要注意区别这两个性质．7、分析显然所求线段BF与已知线段BE在同一个三角形中，如果能找到一个与△BEF 相似且有已知边的三角形，问题便可解决，但在图中不能直接找到，如果过O作OC∥BC交AB于G，就能得到△EBF∽△EGO，此题可解．解：过点O作OG∥BC交AB于G，则△EBF∽△EGO．∵ABCD的对角线相交于点O，∴OA＝OC，AG＝G B．又∵△EBF∽△EGO，∴.∵AG＝GB＝AB，∴OG＝BC．又∵AB＝a，BC＝b，BE＝c，∴OG＝b，GB＝a，GE=a+c．∴，∴BF=.【解题策略】解决此类题的关键是构造相似图形，而构造相似图形的一般方法是作平行线．8、分析由E D⊥BC，D是BC的中点，可得∠B＝∠1，由AD＝AC，可得∠2＝∠ACD，从而相似可证．过A作AM⊥BC,垂足为M，求DE的长可以在ED∥A M的基础上利用比例线段求得．证明：(1)∵DE⊥BC，D是BC的中点，∴EB＝EC，∴∠B＝∠1．又∵AD＝AC，∴∠2＝∠ACB，∴△ABC∽△FCD．解：(2)过点A作AM⊥BC，垂足为M，∵△ABC∽△FCD，BC＝2CD，∴==4．又∵S△FCD＝5，∴S△ABC＝20．∵S△ABC＝BC·AM，且BC＝10，∴20=×10·AM，∴AM＝4．又∵DE∥AM，∴．∵BM＝BD+DM，BD＝BC＝5，DM＝DC＝，∴BM＝5+＝，∴．∴DE=.体验中考1、分析相似三角形的面积之比等于相似比的平方．故填2：5．2、证明：(1)∵C F平分∠ACB，∴∠1＝∠2．又∵DC＝AC，∴CF是△ACD的中线，∴点F是AD的中点．又∵点E是AB的中点，∴EF∥BD，即EF∥BC解：(2)由(1)知，EF∥BD，∴△AEF∽△ABD，∴．又∵AE＝AB，S△AEF＝S△ABD－S四边形BDFE＝S△ABD－6，∴，∴S△ABD＝8，∴△ABD的面积为8．。
九年级数学下册 第二十七章 相似 27.2 相似三角形 27.2.3 相似三角形的周长与面积课件 (新版)新人教版
①相似三角形的对应高线之比等于相 似比.
二、新课讲解
角平分线 中线
角平分线 中线
②相似三角形的 对应角平分线之 比，中线之比， 都等于相似比.
二、新课讲解
（1）如图Δ ABC∽Δ A‘B’C’，相似比为k，它 们的面积比是多少？
AB BC CA AD k A`B` B`C` C`A` A`D`
A
PE N
B Q DM C
四、强化训练
解：设正方形PQMN符合要求.△ABC
的高AD与PN相交于点E.设正方形
A
PQMN的边长为x毫米.
∵PN∥BC，∴△APN∽ △ABC.
∴
AE AD
=
PN BC
,
∴
80-x 80
=
x 120
，
B
得:x=48（毫米）.
PE N Q DM C
五、布置作业
1.如图，矩形FGHN内接于△ABC，FG在BC上， NH分别在AB、AC上 ，且AD⊥BC于D，交NH于 E,AD=8cm, BC=24cm； (1) △ABC∽△ANH成立吗？试说明理由； (2)设矩形的一边长NF=x,求矩形 FGHN 的 面积y与x的关系式. (３)你能求出矩形FGHN的面积y的最大值吗？A
角平分
三角形
线
（2）相似 多边形 周长的比等于相似比.
三角形
（3）相似
面积的比等于相似比的平方.
多边形
四、强化训练
1.已知Δ ABC与ΔA‘B’C’的相似比为2：3，
则周长比为 2:3 ，对应边上中线之比
，
面积之2:比3 为 .
2.已知Δ A4B:C9∽Δ
，且面积之比为 9：4，
九年级数学下册第二十七章相似27.2相似三角形27.2.3相似三角形的周长与面积课件新版新人教版
相似三角形(多边形)的性质:
中线
（1）相似三角形对应 高线 的比等于相似比.
角平分线
（2）相似 三角形 的周长的比等于相似比. 多边形
三角形
（3）相似
的面积的比等于相似比的平方.
多边形
谢谢 观看
A B
A′ D C
B′
D′ C′
相似多边形面积的比等于ຫໍສະໝຸດ 似比的平方.相似三角形(多边形)的性质:
中线
（1）相似三角形对应 高线的比等于相似比.
角平分线
（2）相似 三角的形周长的比等于相似比. 多边形
三角形
（3）相似
的面积的比等于相似比的平方.
多边形
【例题】
【例】如图在ΔABC 和ΔDEF中，AB=2DE，AC=2DF， ∠A=∠D，ΔABC的周长是24，面积是12 5 ，求ΔDEF 的周长和面积.
呢？
根据定义：对应角相等， 对应边的比相等.
（3）相似三角形的对应边的比叫什么？ 相似比 （4）ΔABC与ΔA′B′C′ 的相似 比为k,则ΔA′B′C′ 与ΔABC的相似比是多少？ 1
k
如果两个三角形相似，它们的周长之间有什么关系？
两个相似多边形呢？
AB BC CA k AB BC CA
A
解析：选D.由中位线定理可知 DE 1 BC 1,
2
因为DE∥BC,所以△ADE∽△ABC，相似比为 1﹕2，则面积比为相似比的平方即1﹕4.
2.如图，△ABC中,DE‖BC，且△ADE的面积等于梯形BCED的
面积，则△ADE与△ABC的相似比是__1_:__2__.
A
D B
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D
E
B
C
3.如图，△ABC,DE//BC，且△ADE的面积等于梯形BCED的 面积，则△ADE与△ABC的相似比是__1_:__2__.
A
D B
E C
4.在一张复印出来的纸上,一个多边形的一条边由原图 中的2cm变成了6cm,这次复印的放缩比例是多少?这个多 边形的面积发生了怎样的变化?
答案：这次复印，复印后的图形与原图形的比为31， 多边形的面积扩大到原来的9倍.
解析：选D.由中位线定理可知 DE 1 BC 1,
2
因为DE∥BC,所以△ADE∽△ABC，相似比为 1：2，则面积比为相似比的平方即1：4.
2.如图,在△ABC中,D是AB的中点， DE∥BC，则:
(1)S △ADE : S △ABC = 1:4 .
A
(2)S △ADE: S 梯形DBCE = 1:3 .
角平分线
（2）相似 三角的形周长的比等于相似比. 多边形
三角形
（3）相似
的面积的比等于相似比的平方.
多边形
【例】如图在ΔABC 和ΔDEF中，AB=2DE，AC=2DF， ∠A=∠D，ΔABC的周长是24，面积是48，求ΔDEF的周长 和面积.
A D
B
CE
F
解析：
1.（1）已知ΔABC与ΔA′B′C′ 的相似比为2：3，则周 长之比为 2:3 ，对应边上中线之比为 2:3 ，面积 之比为 4:9 . （2）已知ΔABC∽ΔA′B′C′，且面积之比为9：4，则周 长之比为 3:2 ，相似比为 3:2 ，对应边上的高线 之比为 3:2 .
呢？
根据定义：对应角相等， 对应边的比相等；
（3）相似三角形的对应边的比叫什么？ 相似比 （4）ΔABC与ΔA′B′C′ 的相似 比为k,则ΔA′B′C′ 与ΔABC的相似比是多少？ 1
k
如果两个三角形相似，它们的周长之间有什么关系？
两个相似多边形呢？
AB BC CA k AB BC CA
相似三角形(多边形)的性质:
中线
（1）相似三角形对应 高线的比等于相似比.
角平分线
（2）相似 三角的形周长的比等于相似比. 多边形
三角形
（3）相似
的面积的比等于相似比的平方.
多边形
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B
2
A A′
D C B′ D′C′
①相似三角形面积的比等于相似比的平方.
（2）如图，四边ABCD相似于四边形A′B′C′D′，相似比 为k，它们的面积比是多少？
A B
A′ D C
B′
D′ C′
②相似多边形面积的比等于相似比的平方.
相似三角形(多边形)的性质:
中线
（1）相似三角形对应 高线的比等于相似比.
角平分线 中线
角平分线
②相似三角形的对应 角平分线之比，中线 之比，都等于相似比.
中线
（1）如图ΔABC∽ΔA′B′C′，相似比为k，它们的面积比
是多少？
AB BC CA AD k AB BC CA AD
SABC
1 BC AD 2
kk k2
SABC 1 BC AD
A
A′
AB k AB
BC k BC CA k CA
B
C B′
C′
lABC AB BA CA kAB kBC kCA k lABC AB BC CA AB BC CA
相似三角形周长的比等于相似比.
27.2.3 相似三角形的周长 与面积
1、理解相似三角形周长的比等于相似比，面积的比等 于相似比的平方，相似三角形对应高的比也等于相似比； 多边形的周长的比等于相似比，面积的比等于相似比的 平方。 2、能应用相似三角形的有关性质解决相关问题.
（1）相似三角形有哪些判定方法？
（2）相似三角形有什么性质？根据是什么？相似多边形
三角形中，除了角和边外，还有三种主要线段：
高线
角平分线
中线
相似三角形的相似比与对应边上高线比有什么关系？
例如：ΔABC∽ΔA′B′C′，AD⊥BC于D，A′D ′⊥ B′C′于
D′，
求证： AD = AB = k
A'D' A'B'
A
A′
B
D C B′
①相似三角形的对应高线之比等于相似比.
D′ C′
2.判断题：
（1）如果把一个三角形各边同时扩大为原来的5倍，
那么它的周长也扩大为原来的5倍.
（√）
（2）如果把一个三角形的面积扩大为原来的9倍，那
么它的三边也扩大为原来的9倍.
（×）
1.（潍坊中考）如图，△ABC中，BC = 2，DE是它的中位线， 下面三个结论：⑴DE=1；⑵△ADE∽△ABC；⑶△ADE的面积与 △ABC的面积之比为 1 : 4。其中正确的有（ ） A.0 个 B.1个 C.2 个 D.3个