高中数学第二章基本初等函数12.2.2对数函数及其性质1学案含解析新人教A版必修12
高中数学人教新课标A版必修一基本初等函数对数函数及其性质
高中数学人教新课标A版必修1 第二章基本初等函数(I) 2.2.2 对数函数及其性质一、选择题1.已知,则（）A. B. C. 3 D.【答案】A2.函数的定义域为（）A. （，）B. （，）C. （，）D. [ ，）【答案】C3.设则f[f（2）]的值为（）A. 0B.C. 2D.【答案】C4.设则（）A. B. C. D.【答案】 D5.已知函数f（x）＝，若f（a）＝b，则f（−a）等于（）A. bB. −bC.D.【答案】B6.已知函数的值域为[−1,1]，则函数f（x）的定义域是（）A. [ ，]B. [−1,1]C. [ ，2]D. （−∞，]∪[ ，＋∞）【答案】A7.若<1，则实数a的取值范围是（）A. （0，）B. （，＋∞）C. （，1）D. （0，）∪（1，＋∞）【答案】 D8.下图是对数函数y＝log a x的图象，已知a值取，，，，则图象C1，C2，C3，C4对应的a值依次是（）A. ，，，B. ，，，C. ，，，D. ，，，【答案】 D9.下列函数在其定义域内为偶函数的是（）A. y=2xB. y=2xC. y=log2xD. y=x2【答案】 D10.函数的定义域是（）A. B. C. D.【答案】D11.在同一直角坐标系中，当时，函数与的图象是（）A. B.C. D.【答案】C12.已知f(x)=log3x，则的大小是（）A. B.C. D.【答案】B13.设a=log3π，b=log2，c=log3，则（）A. a＞b＞cB. a＞c＞bC. b＞a＞cD. b＞c＞a【答案】A14.函数f(x)=log2(3x＋3−x)是（）A. 奇函数B. 偶函数C. 既是奇函数又是偶函数D. 非奇非偶函数【答案】B15.已知是(−∞，＋∞)上的减函数，那么a的取值范围是（）A. (0,1)B.C.D.【答案】C16.已知函数f(x)=log a(x2＋2x−3)，若f(2)＞0，则此函数的单调递增区间是（）A. (−∞，−3)B. (−∞，−3)∪(1，＋∞)C. (−∞，−1)D. (1，＋∞)【答案】 D17.已知函数在[−1，＋∞)上是减函数，则实数a的取值范围是（）A. −8≤a≤−6B. −8<a<−6C. −8<a≤−6D. a≤−6【答案】C18.已知函数是定义在上的偶函数, 且在区间上单调递增. 若实数a满足, 则a的最小值是（）A. B. 1 C. D. 2【答案】C19.函数f(x)=a x−2＋log a(x−1)＋1(a＞0，a≠1)的图象必经过定点________．【答案】(2,2)20.函数y=2＋log2x(x≥1)的值域为________．【答案】[2，＋∞)21.已知函数f(x)满足当x≥4时；当x<4时f(x)=f(x＋1)，则f(2＋log23)=________.【答案】二、填空题22.函数y＝log a（x−1）+1（a>0且a≠1）的图象恒过定点________．【答案】（2，1）23.已知，则实数x的取值范围是________．【答案】24.若函数y=f（x）是函数（a>0，且a≠1）的反函数，且f（x）的图象经过点,则a=________. 【答案】三、解答题25.已知log a（2a+1）<log a（3a−1），求实数a的取值范围．【答案】解：当a>1时，原不等式等价于解得a>2.当0<a<1时，原不等式等价于解得<a<1.综上所述，a的取值范围是<a<1或a>2.26.已知f（x）＝（a>0，a≠1）.（1）求f（x）的定义域；（2）求使f（x）>0成立的x的取值范围.【答案】（1）解：由>0，得−2<x<2，故f（x）的定义域为（−2，2）（2）解：①当a>1时，由>0＝log a1得>1，∴0<x<2.②当0<a<1时，由>0＝log a1得0< <1，∴−2<x<0.故当a>1时，所求的取值范围为；当0<a<1时，所求的取值范围为27.若不等式2x−log a x<0在x∈上恒成立，求实数a的取值范围．【答案】解：要使不等式2x<log a x在x∈上恒成立，则函数y＝log a x的图象在内恒在函数y ＝2x图象的上方，而y＝2x的图象过点.由图可知，，显然这里0<a<1，∴函数y＝log a x 递减．又，∴，即，∴所求的实数a的取值范围为.28.已知函数f(x)=x2−x＋k，且log2f(a)=2，f(log2a)=k，a＞0，且a≠1.（1）求a，k的值；（2）当x为何值时，f(log a x)有最小值？求出该最小值．【答案】（1）解：因为，所以，又a＞0，且a≠1，所以（2）解：f(log a x)=f(log2x)=(log2x)2−log2x＋2=(log2x− )2＋.所以当log2x= ，即时，f(log a x)有最小值29.已知函数y=f(x)的图象与g(x)=log a x(a＞0，且a≠1)的图象关于x轴对称，且g(x)的图象过点(9,2)．（1）求函数f(x)的解析式；（2）若f(3x−1)＞f(−x＋5)成立，求x的取值范围．【答案】（1）解：∵log a9=2，解得a=3，∴g(x)=log3x.∵函数y=f(x)的图象与g(x)=log3x的图象关于x轴对称，∴（2）解：∵f(3x−1)＞f(−x＋5)，∴，则，解得，所以x的取值范围为。
湖南省衡阳市高中数学第二章基本初等函数(Ⅰ)2.2.2对数函数及其性质(2)教案新人教A版必修1
湖南省衡阳市高中数学第二章基本初等函数（Ⅰ）2.2.2对数函数及其性质（2）教案新人教A版必修1一. 教学目标：l.知识与技能(1)进一步掌握对数函数的图象和性质；(2)会利用对数函数的图象和性质解决有关问题；(3)了解底数相同的指数函数和对数函数互为反函数。
2. 过程与方法(1) 理解对数函数的图象和性质；(2) 能够利用对数函数的图象与性质解决问题；(3) 培养学生数学应用意识．3. 情感.态度与价值观(1)认识事物之间的普遍联系与相互转化；(2)用联系的观点看问题；(3)了解对数在生产、生活实际中的应用．二. 教学重难点1、教学重点：对数函数的图象性质的理解.2、教学难点：对数函数的图象与性质的应用.三.教学准备1. 学法：学生通过阅读教材，自主学习.思考.交流.讨论和概括，从而更好地完成本节课的教学目标.2. 教学用具：投影仪.四. 教学过程【引入课题】20世纪80年代末，教会用高科技手段澄清了一个历史大悬案，这就是关于耶稣裹尸布真伪的鉴定，鉴定证明了那块使人崇敬了多年的裹尸布是假的，它的原料纤维是十三世纪才种出来的，而此时耶稣已被钉在十字架上1200多年了。
这个轰动世界的年代鉴定是由研究碳14含量做出的。
【课堂探究】（2）对数函数的图象和性质二、图象和性质的应用1、对数函数的图象2、利用对数函数的单调性比较大小点评：两个对数比较大小1.同底数比较大小时(1)当底数确定时，则可由函数的单调性直接进行判断;(2)当底数不确定时，应对底数进行分类讨论;2.同真数的比较大小,常借助函数图象或对数的运算性质变形后进行比较；3.若底数、真数都不相同, 则常借助1、0等中间量进行比较。
3.探究：对数函数与指数函数之间的关系4、对数函数在生活中的应用例3.溶液酸碱度的测量.溶液酸碱度是通过pH刻画的. pH的计算公式为pH＝－lg[H＋]，其中[H＋]表示溶液中氢离子的浓度，单位是摩尔/升.(1)根据对数函数性质及上述pH的计算公式，说明溶液酸碱度与溶液中氢离子的浓度之间的变化关系；(2)已知纯净水中氢离子的浓度为[H＋]＝10－7摩尔/升，计算纯净水的pH.【课时小结】1.掌握利用对数函数的性质比较数的大小的方法；2.对数函数单调性的灵活应用；3.对数函数与指数函数互为反函数．【课后作业】P74 习题2.2 A组第9题P75 习题2.2 B组第1题五、板书设计六、课后反思。
高中数学第二章基本初等函数(Ⅰ)2.2对数函数2.2.2对数函数及其性质教学设计新人教A版必修1
2.2.2 对数函数及其性质整体设计教学分析有了指数函数图象与性质学习经历，以及对数知识知识准备，对数函数概念引入、对数函数图象与性质研究便水到渠成．对数函数概念是通过一个关于细胞分裂次数确定实际问题引入，既说明对数函数概念来自实践，又便于学生承受．在教学中，学生往往容易忽略对数函数定义域，因此，在进展定义教学时，要结合指数式强调说明对数函数定义域，加强对对数函数定义域为(0，＋∞)理解．在理解对数函数概念根底上掌握对数函数图象与性质，是本节教学重点，而理解底数a值对于函数值变化影响(即对对数函数单调性影响)是教学一个难点，教学时要充分利用图象，数形结合，帮助学生理解．为了便于学生理解对数函数性质，教学时可以先让学生在同一坐标系内画出函数y＝log2x与图象，通过两个具体例子，引导学生共同分析它们性质．有条件学校也可以利用几何画板软件，定义变量a，作出函数y＝log a x图象，通过改变a值，在动态变化过程中让学生认识对数函数图象与性质．研究了对数函数图象与性质之后，可以将对数函数图象与性质与指数函数图象与性质进展比拟，以便加深学生对对数函数概念、图象与性质理解，同时也可以为反函数概念引出做一些准备．三维目标1．理解对数函数概念，掌握对数函数性质，了解对数函数在生产实践中简单应用，培养学生数学交流能力与与人合作精神，用联系观点分析问题，通过对对数函数学习，渗透数形结合、分类讨论等数学思想．2．能根据对数函数图象，画出含有对数式函数图象，并研究它们有关性质，使学生用联系观点分析、解决问题．认识事物之间相互转化，通过师生双边活动使学生掌握比拟同底对数大小方法，培养学生数学应用意识．3．掌握对数函数单调性及其判定，会进展同底数对数与不同底数对数大小比拟，加深对对数函数与指数函数性质理解，深化学生对函数图象变化规律理解，通过对数函数有关性质研究，培养观察、分析、归纳思维能力以及数学交流能力，增强学习积极性，同时培养学生倾听、承受别人意见优良品质．重点难点重点：对数函数定义、图象与性质；对数函数性质初步应用，利用对数函数单调性比拟同底对数大小，对数函数特性以及函数通性在解决有关问题中灵活应用．难点：底数a对对数函数性质影响，不同底数对数比拟大小，单调性与奇偶性判断与证明．课时安排3课时教学过程第1课时导入新课思路1．如课本例6，考古学家一般通过提取附着在出土文物、古遗址上死亡物体残留物，利用估算出土文物或古遗址年代．根据问题实际意义可知，对于每一个碳14含量P ，通过对应关系都有唯一确定年代t 与它对应，所以t 是P 函数．同理，对于每一个对数式y ＝log a x 中x ，任取一个正实数值，y 均有唯一值与之对应，所以y 是关于x 函数．这就是本节课主要内容，教师点出课题：对数函数及其性质(1)．思路2．我们研究指数函数时，曾经讨论过细胞分裂问题，某种细胞分裂时，得到细胞个数y 是分裂次数x 函数，这个函数可以用指数函数y ＝2x 表示．现在，我们来研究相反问题，如果要求这种细胞经过多少次分裂，大约可以得到1万个，10万个，……细胞，那么，分裂次数x 就是细胞个数y 函数．根据对数定义，这个函数可以写成对数形式就是x ＝log 2y .如果用x 表示自变量，y 表示函数，这个函数就是y ＝log 2x .这一节，我们来研究与指数函数密切相关函数——对数函数．教师点出课题：对数函数及其性质(1)．推进新课新知探究 提出问题(1)用清水漂洗衣服，假设每次能洗去污垢34，写出存留污垢x 表示漂洗次数y 关系式，请根据关系式计算假设要使存留污垢，不超过原有164，那么至少要漂洗几次？ (2)你是否能根据上面函数关系式，给出一个一般性概念？(3)为什么对数函数概念中明确规定a ＞0，a ≠1(4)你能求出对数函数定义域、值域吗？(5)如何根据对数函数定义判断一个函数是否是一个对数函数？请你说出它步骤．活动：先让学生仔细审题，交流讨论，然后答复，教师提示引导，及时鼓励表扬给出正确结论学生，引导学生在不断探索中提高自己应用知识能力，教师巡视，个别辅导，评价学生结论．讨论结果：(1)假设每次能洗去污垢34，那么每次剩余污垢14，漂洗1次存留污垢x ＝14，漂洗2次存留污垢x ＝⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫142，…，漂洗y 次后存留污垢x ＝⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫14y ，因此y 用x 表示关系式是对上式两边取对数得，当x ＝164时，y ＝3，因此至少要漂洗3次． (2)对于式子，如果用字母a 替代14，这就是一般性结论，即对数函数定义：函数y ＝log a x (a ＞0且a ≠1)叫做对数函数，对数函数y ＝log a x (a ＞0且a ≠1)定义域为(0，＋∞)，值域为(－∞，＋∞)．(3)根据对数式与指数式关系，知y＝log a x可化为a y＝x，由指数概念，要使a y＝x有意义，必须规定a＞0且a≠1.(4)因为y＝log a x可化为x＝a y，不管y取什么值，由指数函数性质a y＞0，所以x∈(0，＋∞)，对数函数值域为(－∞，＋∞)．(5)只有形如y＝log a x(a＞0且a≠1，x＞0)函数才叫做对数函数，即对数符号前面系数为1，底数是不为1正常数，真数是x形式，否那么就不是对数函数．像y＝log a(x＋1)，y＝2log a x，y＝log a x＋1等函数，它们是由对数函数变化而得到，都不是对数函数．提出问题(1)前面我们学习指数函数时候，根据什么思路研究指数函数性质，对数函数呢？(2)前面我们学习指数函数时候，如何作指数函数图象？说明它步骤．(3)利用上面步骤，作以下函数图象：y＝log2x，.(4)观察上面两个函数图象各有什么特点，再画几个类似函数图象，看是否也有类似特点？(5)根据上述几个函数图象特点，你能归纳出指数函数性质吗？(6)把y＝log2x与图象，放在同一坐标系中，你能发现这两个图象关系吗？(7)你能证明上述结论吗？(8)能否利用y＝log2x图象画出图象？请说明画法理由．活动：教师引导学生回忆需要研究函数有哪些性质，共同讨论研究对数函数性质方法，强调数形结合，函数图象在研究函数性质中作用，注意从具体到一般思想方法运用，渗透概括能力培养，进展课堂巡视，个别辅导，投影展示画好局部学生图象，同时投影展示课本表2----3，及时评价学生，补充学生答复中缺乏．学生独立思考，提出研究对数函数性质思路，独立画图，观察图象及表格，表述自己发现，同学们相互交流，形成对对数函数性质认识，推荐代表发表本组集体认识．讨论结果：(1)我们研究函数时，根据图象研究函数性质，由具体到一般，一般要考虑函数定义域、值域、单调性、奇偶性，有时也通过画函数图象，从图象变化情况来看函数定义域、值域、单调性、奇偶性等性质．(2)一般是列表、描点、连线，借助多媒体手段画出图象，用计算机作函数图象．(3)列表(学生自己完成)：图1图2(4)通过观察图1，可知y＝log2x图象分布在y轴右边，说明定义域是正实数．图象上下延伸，无止境，说明值域是全体实数．图象自左至右是上升，说明是增函数，图象经过点(1,0)，当x＞1时y＞0，当0＜x＜1时y＜0，图象不关于x轴对称，也不关于y轴对称．定义域不关于原点对称，说明函数既不是奇函数也不是偶函数．通过观察图2，可知图象分布在y轴右边，说明定义域是正实数．图象上下延伸，无止境，说明值域是全体实数．图象自左至右是下降，说明是减函数，图象经过点(1,0)，当x＞1时y＜0，当0＜x ＜1时y＞0，图象不关于x轴对称，也不关于y轴对称．定义域不关于原点对称，说明函数既不是奇函数也不是偶函数．可以再画以下函数图象：y＝log6x，，以作比拟，重新观察函数图象特点，推广到一般情形．(5)通过以上观察我们得到对数函数图象特点进而得出函数性质．3. 2经过仔细研究观察发现，它们图象关于x轴对称．图3(7)证明：设点P(x1，y1)是y＝log2x上任意一点，它关于x轴对称点是P1(x1，－y1)，它满足方程y＝＝－log2x，即点P1(x1，－y1)在图象上，反之亦然，所以y＝log2x与两个函数图象关于x轴对称．(8)因为y＝log2x与两个函数图象关于x轴对称，所以，可以根据y＝log2x图象，利用轴对称性质画出图象，同学们一定要掌握这种作图方法，对以后学习非常有好处．下面我们看它们应用．应用例如例1 求以下函数定义域：(1)y＝log a x2；(2)y＝log a(4－x)．活动：学生回忆，教师提示，师生共同完成解题过程．此题主要利用对数函数y＝log a x定义域为(0，＋∞)求解．①假设函数解析式中含有分母，分母不能为0；②假设函数解析式中含有根号，要注意偶次根号下非负；③00次幂没有意义；④假设函数解析式中含有对数式，要注意对数真数大于0，底数大于0而不等于1.解：(1)由x2＞0得x≠0，所以函数y＝log a x2定义域是{x|x≠0}；(2)由4－x＞0得x＜4，所以函数y＝log a(4－x)定义域是{x|x ＜4}．点评：该题主要考察对数函数y＝log a x定义域为(0，＋∞)这一限制条件，根据函数解析式，列出相应不等式或不等式组，解不等式或不等式组即可.溶液酸碱度是通过pH刻画．pH计算公式为pH＝－lg [H＋]，其中[H＋]表示溶液中氢离子浓度，单位是摩尔/升．(1)根据对数函数性质及上述pH计算公式，说明溶液酸碱度与溶液中氢离子浓度之间变化关系；(2)纯洁水中氢离子浓度为[H＋]＝10－7摩尔/升，计算纯洁水pH.活动：学生审题，教师巡视，学生展示思维过程．此题主要利用对数及对数函数性质求解．首先利用对数运算性质把pH＝－lg [H＋]化为pH ＝lg 1[H ＋]，再利用对数函数性质来说明． 解：(1)根据对数运算性质，有pH ＝－lg [H ＋]＝lg [H ＋]－1＝lg 1[H ＋].在(0，＋∞)上，随着[H ＋]增大，1[H ＋]减小，相应地，lg 1[H ＋]也减小，即pH 减小．所以，随着[H ＋]增大，pH 减小，即溶液中氢离子浓度越大，溶液酸度就越大．(2)当[H ＋]＝10－7时，pH ＝－lg 10－7＝7，所以纯洁水pH 是7.点评：注意数学在实际问题中应用．知能训练课本本节练习1.拓展提升在同一坐标系中，画出函数y ＝log 3x ，，y ＝log 2x ，图象，比一比，看它们之间有何区别与联系．活动：教师引导学生回忆作函数图象方法与步骤，共同讨论研究对数函数性质方法，强调数形结合，强调函数图象在研究函数性质中作用，注意从具体到一般思想方法运用，渗透概括能力培养，进展课堂巡视，个别辅导，及时评价学生，学生独立思考，独立画图，观察图象及表格，表述自己发现，同学们相互交流，形成对对数函数性质认识．计算机画出如以下图象(如图4)．图4可以看到：所有图象都跨越一、四象限，任何两个图象都是穿插出现，穿插点是(1,0)；当a＞1时，图象向下与y轴负半轴无限靠拢，在点(1,0)右侧，函数值恒大于0，对同一自变量x而言，底数越大，函数值越小；在点(1,0)左侧，函数值恒小于0，对同一自变量x而言，底数越大，函数值越大．当0＜a＜1时，图象向上与y轴正半轴无限靠拢，在点(1,0)左侧，函数值恒大于0，对同一自变量x而言，底数越大，函数值越大；在点(1,0)右侧，函数值恒小于0，对同一自变量x而言，底数越大，函数值越小．以此为依据，可定性地分析在同一坐标系中，底数不同假设干个对数函数底数大小关系．怎样定量分析同一坐标系中，底数不同对数函数底数大小呢？我们知道，对于对数函数y＝log a x，当y＝1时，x＝a，而a恰好又是对数函数底数，这就启发我们，不妨作直线y＝1，它同各个图象相交，交点横坐标恰好就是对数函数底数，以此可比拟底数大小．同时，根据不同图象间关系，也可比拟真数一样，底数不同对数函数值大小，如log23＜log3，log20.5＜log30.5，log2＞log2等．除了上述两种情况外，对于底数与真数都不同函数值也可通过媒介值“0〞或“1〞去比拟大小．如log与log0.3，因为log0.5＜0，log0.3＞0，所以log＜log0.3；又如log2，因为log21＜log21.5＜log22，所以0＜log2＞log0.5＝1，所以log0.4＞log21.5.课堂小结1．对数函数概念．2．对数函数图象与性质．3．函数定义域求法及函数奇偶性判定方法．4．数形结合与转化数学思想．作业课本习题组7,8,9,10.设计感想本节课是在前面研究了对数及常用对数、指数函数根底上，研究第二类具体初等函数，它有着丰富内涵，与我们实际生活联系密切，也是以后学习根底，鉴于这种情况，安排教学时，要充分利用函数图象，数形结合，无论是导入还是概念得出过程，都比拟详细，因此课堂容量大，要提高学生互动积极性，特别是归纳出对数函数图象与性质后，要与指数函数图象与性质进展比拟，加深对数函数概念、图象与性质理解，要提高课堂效率与节奏，多运用信息化教学手段，顺利完本钱堂课任务．第2课时路致芳导入新课思路1．复习以下内容：(1)对数函数定义；(2)对数函数图象与性质．这些定义与性质有什么作用呢？这就是我们本堂课主讲内容，教师点出课题：对数函数及其性质(2)(在黑板上板书)．思路2．上一节，大家学习了对数函数y＝log a x图象与性质，明确了对数函数单调性，即当a＞1时，在(0，＋∞)上是增函数；当0＜a＜1时，在(0，＋∞)上是减函数．这一节，我们主要通过对数函数单调性解决有关问题．教师板书课题：对数函数及其性质(2)．推进新课新知探究提出问题(1)根据你掌握知识，目前比拟数大小有什么方法？(2)判断函数单调性有哪些方法与步骤？(3)判断函数奇偶性有哪些方法与步骤？活动：学生回忆，教师引导，教师提问，学生答复，学生之间可以相互交流讨论，学生有困难教师点拨．问题(1)学生回忆数大小比拟方法，有些数一眼就能看出大小，有些数比拟抽象，又用到某些函数图象与性质，要分别对待，具体问题具体分析．问题(2)学生回忆判断函数单调性方法与步骤，严格按步骤与规定．问题(3)学生回忆判断函数奇偶性方法与步骤，严格按步骤与规定．讨论结果：(1)比拟数大小：①作差，看两个数差符号，假设为正，那么前面数大．②作商，但必须是同号数，看商与1大小，再决定两个数大小．③计算出每个数值，再比拟大小．④是两个以上数，有时采用中间量比拟．⑤利用图象法．⑥利用函数单调性．(2)常用方法有定义法、图象法、复合函数单调性判断．利用定义证明单调性步骤：①在给定区间上任取两个自变量值x1，x2，且x1＜x2.②作差或作商(同号数)，注意变形．③判断差符号，商与1大小．④确定增减性．对于复合函数y＝f[g(x)]单调性判断步骤可以总结为：当函数f(x)与g(x)单调性一样时，复合函数y＝f[g(x)]是增函数；当函数f(x)与g(x)单调性相异即不同时，复合函数y＝f[g(x)]是减函数．又简称为口诀“同增异减〞．(3)有两种方法：定义法与图象法．利用定义判断函数奇偶性格式步骤：①首先确定函数定义域，并判断其定义域是否关于原点对称；②确定f(－x)与f(x)关系；③作出相应结论：假设f(－x)＝f(x)或f(－x)－f(x)＝0，那么f(x)是偶函数；假设f(－x)＝－f(x)或f(－x)＋f(x)＝0，那么f(x)是奇函数．图象法：偶函数图象关于y轴对称；奇函数图象关于原点对称．这也可以作为判断函数奇偶性依据．下面看它们应用．应用例如例比拟以下各组数中两个值大小：(1)log23.4；log28.5；(2)log，log2.7；(3)log a5.1，log a5.9(a＞0，且a≠1)；(4)log75，log67.活动：学生思考、交流，教师要求学生展示自己思维过程，并及时评价．对(1)与(2)由数形结合方法或直接利用对数函数单调性来完成；作出图象，利用图象法比拟；计算出结果；作差利用对数函数性质．对(3)因为底数大小不确定，因此要分类讨论，再利用对数函数单调性；作差利用对数函数性质；转化为指数函数，再由指数函数单调性判断大小．对(4)所给对数式底数与真数都不一样，可以找一个中间量作为桥梁，通过比拟中间量与这两个对数式大小来比拟对数式大小，一般选择“0〞或“1〞作为中间量进展比拟．解：(1)解法一：用图形计算器或多媒体画出对数函数y＝log2x 图象，如图5.图5在图象上，横坐标为3.4点在横坐标为8.5点下方，所以log23.4＜log28.5.解法二：由函数y ＝log 2x 在(0，＋∞)上是单调增函数，且3.4＜8.5，所以log 23.4＜log 28.5.解法三：直接用计算器计算，得log 23.4≈1.8，log 28.5≈3.1，所以log 23.4＜log 28.5.解法四：作差log 23.4－log 28.5＝log 2,8.5)，因为2＞1，,8.5)＜1，根据对数函数性质，所以log 2,8.5)＜0，即log 23.4＜log 28.5.(2)log ＞log2.7.(3)解法一：当a ＞1时，y ＝log a x 在(0，＋∞)上是增函数，且5.1＜5.9，所以log a 5.1＜log a 5.9.当0＜a ＜1时，y ＝log a x 在(0，＋∞)上是减函数，且5.1＜5.9，所以log a 5.1＞log a 5.9.解法二：转化为指数函数，再由指数函数单调性判断大小． 令b 1＝log a 5.1，那么1 5.1b a =，令b 2＝log a 5.9，那么2 5.9b a =. 当a ＞1时，y ＝a x 在R 上是增函数，且5.1＜5.9，所以b 1＜b 2，即log a 5.1＜log a 5.9；当0＜a ＜1时，y ＝a x 在R 上是减函数，且5.1＜5.9，所以b 1＞b 2，即log a 5.1＞log a 5.9.解法三：作差log a 5.1－log a 5.9＝log a ,5.9)，,5.9)＜1，由对数函数性质，当a ＞1时，log a ,5.9)＜0，因此log a 5.1＜log a 5.9；当0＜a＜1时，log a,5.9)＞0，因此log a5.1＞log a5.9.(4)解法一：因为函数y＝log7x与函数y＝log6x都是定义域上增函数，所以log75＜log77＝1＝log66＜log67.所以log75＜log67.解法二：直接利用对数性质，log75＜1，而log67＞1，因此log75＜log67.点评：对数函数单调性取决于对数底数是大于1还是小于1.而条件并未指明时，需要对底数a进展讨论，表达了分类讨论思想，要求学生逐步掌握．同时此题采用了多种解法，从中还表达了数形结合思想方法，要注意体会与运用.知能训练课本本节练习3.【补充练习】函数y＝log2x－2定义域是( )A．(3，＋∞)B．[3，＋∞)C．(4，＋∞) D．[4，＋∞)答案：要使函数有意义，需log2x－2≥0，log2x≥2，x≥4，因此函数定义域是[4，＋∞)，选D.拓展提升探究y＝log a x图象随a变化而变化情况．用计算机先画出y＝log2x，y＝log3x，y＝log5x，，图象，如图6.图6通过观察图象可总结如下规律：当a＞1时，a值越大，y＝log a x 图象越靠近x轴；当0＜a＜1时，a值越大，y＝log a x图象越远离x 轴．课堂小结本节课复习了对数函数及其性质，借助对数函数性质运用，我们对函数单调性与奇偶性又进展了复习稳固，利用单调性与奇偶性解决了一些问题，对常考内容进展了学习，要高度重视，特别是要与高考接轨，注意题目形式与难度．作业课本习题2.2B组2,3.【补充作业】1．求函数y ＝lg x ＋lg (5－2x )定义域．解：要使函数有意义，只需⎩⎪⎨⎪⎧ lg x ≥0，5－2x ＞0，即⎩⎪⎨⎪⎧ x ≥1，x ＜52，解得1≤x ＜52.所以函数定义域是⎣⎢⎢⎡⎭⎪⎪⎫1，52. 2．y ＝log a (2－a x )在[0,1]上是x 减函数，求a 取值范围． 解：因为a ＞0且a ≠1，(1)当a ＞1时，函数t ＝2－a x 是减函数；由y ＝log a (2－a x )在[0,1]上是x 减函数，知y ＝log a t 是增函数，所以a ＞1；由x ∈[0,1]时，2－a x ≥2－a ＞0，得a ＜2，所以1＜a ＜2.(2)当0＜a ＜1时，函数t ＝2－a x 是增函数；由y ＝log a (2－a x )在[0,1]上是x 减函数，知y ＝log a t 是减函数， 所以0＜ax ∈[0,1]时，2－a x ≥2－1＞0，所以0＜a ＜1. 综上所述，0＜a ＜1或1＜a ＜2.设计感想本堂课主要是复习对数函数及其性质，是在以前根底上提高与深化，它起着承上启下作用，侧重于对数函数单调性与奇偶性，同时又兼顾了高考常考内容．对于对数函数单调性需严格按定义来加以论证，对于对数函数奇偶性判定也要按定义来加以论证，这类问题不但技巧性较强，而且涉及面广、容量大，因此要集中精力，提高学生兴趣，加快速度，高质量完成教学任务．第3课时高建勇导入新课思路1．复习指数函数与对数函数关系，那么函数y＝a x与函数y＝log a x到底还有什么关系呢？这就是本堂课新内容——反函数，教师板书课题：对数函数及其性质(3)．思路2．在比拟系统地学习对数函数定义、图象与性质根底上，利用对数函数图象与性质研究一些含有对数式、形式上比拟复杂函数图象与性质，特别明确了对数函数单调性，并且我们通过对数函数单调性解决了有关问题．因此，应搞清y＝a x与函数y＝log a x关系，培养学生综合运用数学知识分析问题、解决问题能力．教师点出课题：对数函数及其性质(3)．推进新课新知探究提出问题(1)用列表描点法在同一个直角坐标系中画出x＝log2y、y＝2x 与y＝log2x函数图象．(2)通过图象探索在指数函数y＝2x中，x为自变量，y为因变量，如果把y当成自变量，x当成因变量，那么x是y函数吗？(3)如果是，那么对应关系是什么？如果不是，请说明理由．(4)探索y＝2x与x＝log2y图象间关系．(5)探索y＝2x与y＝log2x图象间关系．(6)结合(2)与(5)推测函数y＝a x与函数y＝log a x关系．讨论结果：(1)y＝2x与x＝log2y.y2图7(2)在指数函数y＝2x中，x是自变量，y是x函数(x∈R，y∈R ＋)，而且其在R上是单调递增函数．过y轴正半轴上任意一点作x 轴平行线，与y＝2x图象有且只有一个交点，即对任意y都有唯一x 相对应，可以把y作为自变量，x作为y函数．(3)由指数式与对数式关系，y＝2x得x＝log2y，即对于每一个y，在关系式x＝log2y作用之下，都有唯一确定值x与它对应，所以，可以把y作为自变量，x作为y函数，即x＝log2y.这时我们把函数x ＝log2y〔y∈(0，＋∞)〕叫做函数y＝2x(x∈R)反函数，但习惯上，通常以x表示自变量，y表示函数，对调x＝log2y中x，y写成y＝log2x，这样y＝log2x〔x∈(0，＋∞)〕是指数函数y＝2x(x∈R)反函数．由上述讨论可知，对数函数y＝log2x〔x∈(0，＋∞)〕是指数函数y＝2x(x∈R)反函数；同时，指数函数y＝2x(x∈R)也是对数函数y ＝log2x〔x∈(0，＋∞)〕反函数．因此，指数函数y＝2x(x∈R)与对数函数y＝log2x〔x∈(0，＋∞)〕互为反函数．以后，我们所说反函数是x，y对调后函数．如y＝log3x，x∈(0，＋∞)与y＝3x(x∈R)互为反函数，y＝log x与y x(x∈R)互为反函数．(4)从我们列表中知道，y＝2x与x＝log2y函数图象一样．(5)通过观察图象可知，y＝2x与y＝log2x图象关于直线y＝x对称．(6)通过(2)与(5)类比归纳知道，y＝a x(a＞0，且a≠1)反函数是y ＝log a x(a＞0且a≠1)，且它们图象关于直线y＝x对称．由反函数概念可知，同底指数函数与对数函数互为反函数，它们图象关于直线y＝x对称．提出问题(1)用计算机在同一坐标系中作出以下函数图象：①y＝log3x；②y ＝log3(x＋1)；③y＝log3(x－1).(2)从图象上观察它们之间有什么样关系？(3)用计算机在同一坐标系中作出以下函数图象：①y＝log3x；②y ＝log3x＋1；③y＝log3x－1.(4)从图象上观察它们之间有什么样关系？(5)你能推广到一般情形吗？活动：学生动手画出函数图象，教师点拨，学生没有思路教师可以提示．学生回忆函数作图方法与步骤，按规定作出图象，特别是关键点．讨论结果：(1)如图8.图8(2)观察图8可以看出，y＝log3x，y＝log3(x＋1)，y＝log3(x－1)图象间有如下关系：y＝log3(x＋1)图象由y＝log3x图象向左移动1个单位得到；y＝log3(x－1)图象由y＝log3x图象向右移动1个单位得到；y＝log3(x－1)图象由y＝log3(x＋1)图象向右移动2个单位得到；y＝log3(x＋1)图象由y＝log3(x－1)图象向左移动2个单位得到．(3)如图9.图9(4)观察图9可以看出，y＝log3x，y＝log3x＋1，y＝log3x－1图象间有如下关系：y＝log3x＋1图象由y＝log3x图象向上平移1个单位得到；y＝log3x－1图象由y＝log3x图象向下平移1个单位得到；y＝log3x－1图象由y＝log3x＋1图象向下平移2个单位得到；y＝log3x＋1图象由y＝log3x－1图象向上平移2个单位得到．(5)由上面观察讨论可知，一般情况如下：①由函数y＝log a x图象得到函数y＝log a(x＋h)图象变化规律为：当h＞0时，只需将函数y＝log a x图象向左平移h个单位就可得到函数y＝log a(x＋h)图象；当h＜0时，只需将函数y＝log a x图象向右平移|h|个单位就可得到函数y＝log a(x＋h)图象．②由函数y＝log a x图象得到函数y＝log a x＋b图象变化规律为：当b＞0时，只需将函数y＝log a x图象向上平移b个单位就可得到函数y＝log a x＋b图象；当b＜0时，只需将函数y＝log a x图象向下平移|b|个单位就可得到函数y＝log a x＋b图象．③由函数y＝log a x图象得到函数y＝log a(x＋h)＋b图象变化规律为：画出函数y＝log a x图象，先将函数y＝log a x图象向左(当h＞0时)或向右(当h＜0时)平移|h|个单位，可得到函数y＝log a(x＋h)图象，再将函数y＝log a(x＋h)图象向上(当b＞0时)或向下(当b＜0时)平移|b|个单位就可得到函数y＝log a(x＋h)＋b图象．这样我们就可以很方便地将函数y＝log a x图象进展平移得到与函数y＝log a x有关函数图象．那么，你能很方便地由函数y＝log a x 图象得到函数y＝log a|x|图象吗？留作思考练习，同学们课下完成．应用例如例1 a＞0，a≠1，f(log a x)＝ax2－1x(a2－1)(x＞0)．(1)求f (x )表达式；(2)求证：函数f (x )在R 上是增函数．活动：学生审题，教师指导，学生有困难，教师提示，并及时评价．(1)把log a x 看成一个整体，利用换元法处理．利用指数与对数关系，求出log a x 中x ，然后代入求解．(2)证明函数增减性要用函数单调性定义．学生回忆单调性证明方法与步骤，要按规定格式书写．(1)解：设t ＝log a x ，那么x ＝a t ，f (t )＝a ·a 2t －1a t (a 2－1). 所以f (x )＝a ·a 2x －1a x (a 2－1). (2)证明：设x 1，x 2∈R ，x 1＜x 2，f (x 1)－f (x 2)＝22121212222121211()(1)(1)(1)(1)x x x x x x x x x x a aa aa a a a aa a a a a a a ⋅-⋅--⋅⋅+-=---，当a ＞1时，ax 1－ax 2＜0，a 2－1＞0，当0＜a ＜1时，ax 1－ax 2＞0，a 2－1＜0，而ax 1ax 2及a ·ax 1·ax 2＋1均为正，所以对一切a ＞0，a ≠1，总有f (x 1)＜f (x 2)．所以f (x )在R 上是增函数．点评：换元法是解题常用数学方法，要注意体会．例2 F (x )＝f (x )－g (x )，其中f (x )＝log a (x －1)，并当且仅当(x 0，y 0)在f (x )图象上时，点(2x 0,2y 0)在y ＝g (x )图象上．求y ＝g (x )解析式．活动：学生仔细审题，积极思考，探讨解题方法，教师及时提示引导．由函数解析式利用代入法求函数解析式．由于P 0(x 0，y 0)与。
高中数学第二章基本初等函数(Ⅰ)2.2对数函数及其性质教案新人教A版必修1
（1）y=log2（4-x）
(须大于零；(2)对数函数的底数必须大于零且不等于1.
问题四：类比指数函数，对数函数y=log2x（a＞0且a≠1）的图象有哪几种类型呢？，你能在同一坐标系上画出下列函数的图像
(1)y=log2x
（2）y=log12x
对数函数及其性质
教学设计方案
一、教学内容分析
函数是高中数学的主体内容——变量数学的主要研究对象之是中学数学的重点知识，研究函数的一般理论和基本方法，用函数的思想方法解决实际问题，是函数教学的主要目标。必修(Ⅰ)2.2.2对数函数及其性质，按课标要求教学时间为3个学时，本节课为第1课时，本节课教学是学生在学过正比例函数、一次函数、二次函数、反比例函数和指数函数的基础上进一步学习的一种新函数，对对数函数概念的理解，图象和性质的掌握和应用有利于学生对初等函数认识的系统性，有利于进一步加深对函数思想方法的理解。为后面进一步探究对数函数的应用及指数函数、对数函数的综合应用起到承上启下的作用。
二、推进新课
问题三：你能说出指数函数的概念、图象、性质吗？
教师板书对数函数的概念图
像和性质
应用示例
（1）y=log2（4-x）
(2)y=logx(4-x)
总结:(1)对数的真数必须大于零；
(2)对数函数的底数必须大于零且不等于1.
问题四：类比指数函数，对数函数y=log2x（a＞0且a≠1）的图象有哪几种类型呢？，你能在同一坐标系上画出下列函数的图像
二、教学目标
知识与技能：
通过学习对数函数的概念、图象和性质,学生体会知识之间的有机联系,激发学生的学习兴趣.
过程与方法：
通过对对数函数有关性质的研究，渗透数形结合、分类讨论的数学思想。培养观察、分析、归纳的思维能力和交流能力，增强学习的积极性。学生掌握对数函数的图象与性质，并会初步应用。
高中数学第二章基本初等函数(Ⅰ)2.2.2对数函数及其性质课件新人教A版必修1
理论
2．对数函数的图象
由于对数函数 y log a x与指数函数y a x 互为反函数，所以 y log a x 的图象与 y a x
的图象关于直线 y x 对称. 看一般图象：
5
4
3
y=ax (a>1) 2
1
44
33
y=ax 22
∴函数 y loga x2的定义域是 x | x 0
（2）由 4 x 0 得 x 4
∴函数 y loga (4 x) 的定义域是 x | x 4
（3） 由 9 x2 0 得 3 x 3
∴函数 y loga(9 x2) 的定义域是 x | 3 x 3
举例
例2 求下列函数的反函数
在R上是减函数
引例
引例: y 2 x 有无反函数?若有,则求出.
分析:视察图象知,有反函数
由 y 2x 得 x log 2 y 所以,反函数为:
4
fx3 = 2x
2
1
-4
-2
2
y log 2 x x (0,)
理论
1．对数函数的定义：
函数 y log a x (a 0且a 1) 叫做对数函数（logarithmic function）， 其中x是自变量，函数的定义域为 (0,) , 值域为 (,) .
1 y 1 x 1;
2
2 y (1) x2 3 (x 0).
2
解 （: 1）
y
1
x
1
1 x
y
1
2
2
（2）
x log1 ( y 1)
2
f 1( x) log1 ( x 1)
高中数学第二章基本初等函数(Ⅰ)2.2对数函数2.2.2对数函数及其性质课件1新人教A版必修1
故函数的定义域为{x|1<x<2}．
[规律总结] 定义域是研究函数的基础，若已 知函数解析式求定义域，常规为分母不能为零， 0的零次幂与负指数次幂无意义，偶次方根被 开方式(数)非负，求与对数函数有关的函数定 义域时，除遵循前面求函数定义域的方法外， 还要对这种函数自身有如下要求：一是要特别 注意真数大于零；二是要注意底数；三是按底 数的取值应用单调性．
非奇非偶函数
[知识点拨] 对数函数的知识总结： 对数增减有思路，函数图象看底数； 底数只能大于0，等于1来可不行； 底数若是大于1，图象从下往上增； 底数0到1之间，图象从上往下减； 无论函数增和减，图象都过(1,0)点． 3．反函数 对数函数y＝logax(a＞0，且a≠1)和指数函数y＝ax(a＞0，且 a≠1)互为反函数，它们的图象关于直线______对称．
(2)要使函数有意义，需使 2－ln(3－x)≥0，
即33－ －xx≤ >0e，2， 解得 3－e2≤x<3，
故函数的定义域为{x|3－e2≤x<3}．
(3)要使函数有意义，需使 log0.5(x－1)>0，
即log1
2
(x－1)>0，所以
log2x－1 1>0，
x－1>0 ∴x－1 1>1 ，即 1<x<2.
2
有意义应有 x>0.
[正解] 要使函数有意义，须log1 x－1≥0，
2
∴log1
2
x≥1，∴0<x≤12.
∴定义域为0，12.
跟踪练习
已知函数 y＝f(x)，x，y 满足关系式 lg(lgy)＝lg(3－x)，求函 数 y＝f(x)的表达式及定义域、值域．
新人教A版高中数学教材目录(必修+选修)【很全面】
人教A版高中数学教材目录(必修+选修)必修1第一章集合与函数概念1.1 集合1.2 函数及其表示1.3 函数的基本性质实习作业小结复习参考题第二章基本初等函数（Ⅰ）2.1 指数函数2.2 对数函数2.3 幂函数小结复习参考题第三章函数的应用3.1 函数与方程3.2 函数模型及其应用实习作业小结复习参考题必修2第一章空间几何体1.1 空间几何体的结构1.2 空间几何体的三视图和直观图1.3 空间几何体的表面积与体积实习作业小结复习参考题第二章点、直线、平面之间的位置关系2.1 空间点、直线、平面之间的位置关系2.2 直线、平面平行的判定及其性质2.3 直线、平面垂直的判定及其性质小结复习参考题第三章直线与方程3.1 直线的倾斜角与斜率3.2 直线的方程3.3 直线的交点坐标与距离公式小结复习参考题第四章圆与方程4.1 圆的方程4.2 直线、圆的位置关系4.3 空间直角坐标系小结复习参考题必修3第一章算法初步1.1 算法与程序框图1.2 基本算法语句1.3 算法案例阅读与思考割圆术小结复习参考题第二章统计2.1 随机抽样阅读与思考一个著名的案例阅读与思考广告中数据的可靠性阅读与思考如何得到敏感性问题的诚实反应2.2 用样本估计总体阅读与思考生产过程中的质量控制图2.3 变量间的相关关系阅读与思考相关关系的强与弱实习作业小结复习参考题第三章概率3.1 随机事件的概率阅读与思考天气变化的认识过程3.2 古典概型3.3 几何概型阅读与思考概率与密码小结复习参考题必修4第一章三角函数1.1 任意角和弧度制1.2 任意角的三角函数1.3 三角函数的诱导公式1.4 三角函数的图象与性质1.5 函数y=Asin(ωx+ψ) 的图象1.6 三角函数模型的简单应用小结复习参考题第二章平面向量2.1 平面向量的实际背景及基本概念2.2 平面向量的线性运算2.3 平面向量的基本定理及坐标表示2.4 平面向量的数量积2.5 平面向量应用举例小结复习参考题第三章三角恒等变换3.1两角和与差的正弦、余弦和正切公式3.2 简单的三角恒等变换小结复习参考题必修5第一章解三角形1.1 正弦定理和余弦定理探究与发现解三角形的进一步讨论1.2 应用举例阅读与思考海伦和秦九韶1.3 实习作业小结复习参考题第二章数列2.1 数列的概念与简单表示法阅读与思考斐波那契数列阅读与思考估计根号下2的值2.2 等差数列2.3 等差数列的前n项和2.4 等比数列2.5 等比数列前n项和阅读与思考九连环探究与发现购房中的数学小结复习参考题第三章不等式3.1 不等关系与不等式3.2 一元二次不等式及其解法3.3 二元一次不等式（组）与简单的线性规划问题阅读与思考错在哪儿信息技术应用用Excel解线性规划问题举例3.4 基本不等式2abba+≤小结复习参考题选修1－1第一章常用逻辑用语1.1 命题及其关系1.2 充分条件与必要条件1.3 简单的逻辑联结词1.4 全称量词与存在量词小结复习参考题第二章圆锥曲线与方程2.1 椭圆探究与发现为什么截口曲线是椭圆信息技术应用用《几何画板》探究点的轨迹：椭圆2.2 双曲线2.3 抛物线阅读与思考圆锥曲线的光学性质及其应用小结复习参考题第三章导数及其应用3.1 变化率与导数3.2 导数的计算探究与发现牛顿法──用导数方法求方程的近似解3.3 导数在研究函数中的应用信息技术应用图形技术与函数性质3.4 生活中的优化问题举例实习作业走进微积分小结复习参考题选修1－2第一章统计案例1.1 回归分析的基本思想及其初步应用1.2 独立性检验的基本思想及其初步应用实习作业小结复习参考题第二章推理与证明2.1 合情推理与演绎推理阅读与思考科学发现中的推理2.2 直接证明与间接证明小结复习参考题第三章数系的扩充与复数的引入3.1 数系的扩充和复数的概念3.2 复数代数形式的四则运算小结复习参考题第四章框图4.1 流程图4.2 结构图信息技术应用用Word2002绘制流程图小结复习参考题选修2-1第一章常用逻辑用语1.1 命题及其关系1.2 充分条件与必要条件1.3 简单的逻辑联结词1.4 全称量词与存在量词小结复习参考题第二章圆锥曲线与方程2.1 曲线与方程2.2 椭圆探究与发现为什么截口曲线是椭圆信息技术应用用《几何画板》探究点的轨迹：椭圆2.3 双曲线探究与发现2.4 抛物线探究与发现阅读与思考小结复习参考题第三章空间向量与立体几何3.1 空间向量及其运算阅读与思考向量概念的推广与应用3.2 立体几何中的向量方法小结复习参考题选修 2-2第一章导数及其应用1.1 变化率与导数1.2 导数的计算1.3 导数在研究函数中的应用1.4 生活中的优化问题举例1.5 定积分的概念1.6 微积分基本定理1.7 定积分的简单应用小结复习参考题第二章推理与证明2.1 合情推理与演绎推理2.2 直接证明与间接证明2.3 数学归纳法小结复习参考题第三章数系的扩充与复数的引入3.1 数系的扩充和复数的概念3.2 复数代数形式的四则运算小结复习参考题选修2-3第一章计数原理1.1 分类加法计数原理与分步乘法计数原理探究与发现子集的个数有多少1.2 排列与组合探究与发现组合数的两个性质1.3 二项式定理探究与发现“杨辉三角”中的一些秘密小结复习参考题第二章随机变量及其分布2.1 离散型随机变量及其分布列2.2 二项分布及其应用探究与发现服从二项分布的随机变量取何值时概率最大2.3 离散型随机变量的均值与方差2.4 正态分布信息技术应用μ，σ对正态分布的影响小结复习参考题第三章统计案例3.1 回归分析的基本思想及其初步应用3.2 独立性检验的基本思想及其初步应用实习作业小结复习参考题选修3-1数学史选讲第一讲早期的算术与几何一古埃及的数学二两河流域的数学三丰富多彩的记数制度第二讲古希腊数学一希腊数学的先行者二毕达哥拉斯学派三欧几里得与《原本》四数学之神──阿基米德第三讲中国古代数学瑰宝一《周髀算经》与赵爽弦图二《九章算术》三大衍求一术四中国古代数学家第四讲平面解析几何的产生一坐标思想的早期萌芽二笛卡儿坐标系三费马的解析几何思想四解析几何的进一步发展第五讲微积分的诞生一微积分产生的历史背景二科学巨人牛顿的工作三莱布尼茨的“微积分”第六讲近代数学两巨星一分析的化身──欧拉二数学王子──高斯第七讲千古谜题一三次、四次方程求根公式的发现二高次方程可解性问题的解决三伽罗瓦与群论四古希腊三大几何问题的解决第八讲对无穷的深入思考一古代的无穷观念二无穷集合论的创立三集合论的进一步发展与完善第九讲中国现代数学的开拓与发展一中国现代数学发展概观二人民的数学家──华罗庚三当代几何大师──陈省身学习总结报告选修3-3球面上的几何第一讲从欧氏几何看球面一平面与球面的位置关系二直线与球面的位置关系和球幂定理三球面的对称性思考题第二讲球面上的距离和角一球面上的距离二球面上的角思考题第三讲球面上的基本图形一极与赤道二球面二角形三球面三角形1.球面三角形2.三面角3.对顶三角形4.球极三角形思考题第四讲球面三角形一球面三角形三边之间的关系二、球面“等腰”三角形三球面三角形的周长四球面三角形的内角和思考题第五讲球面三角形的全等1.“边边边”(s.s.s)判定定理2.“边角边”(s.a.s.)判定定理3.“角边角”(a.s.a.)判定定理4.“角角角”(a.a.a.)判定定理思考题第六讲球面多边形与欧拉公式一球面多边形及其内角和公式二简单多面体的欧拉公式三用球面多边形的内角和公式证明欧拉公式思考题第七讲球面三角形的边角关系一球面上的正弦定理和余弦定理二用向量方法证明球面上的余弦定理1.向量的向量积2.球面上余弦定理的向量证法三从球面上的正弦定理看球面与平面四球面上余弦定理的应用──求地球上两城市间的距离思考题第八讲欧氏几何与非欧几何一平面几何与球面几何的比较二欧氏平行公理与非欧几何模型──庞加莱模型三欧氏几何与非欧几何的意义阅读与思考非欧几何简史学习总结报告选修3-4对称与群第一讲平面图形的对称群一平面刚体运动1.平面刚体运动的定义2.平面刚体运动的性质思考题二对称变换1.对称变换的定义2.正多边形的对称变换3.对称变换的合成4.对称变换的性质5.对称变换的逆变换思考题三平面图形的对称群思考题第二讲代数学中的对称与抽象群的概念一n元对称群Sn思考题二多项式的对称变换思考题三抽象群的概念1.群的一般概念2.直积思考题第三讲对称与群的故事一带饰和面饰二化学分子的对称群三晶体的分类四伽罗瓦理论学习总结报告附录一附录二选修4-1 几何证明选讲第一讲相似三角形的判定及有关性质一平行线等分线段定理二平行线分线段成比例定理三相似三角形的判定及性质1.相似三角形的判定2.相似三角形的性质四直角三角形的射影定理第二讲直线与圆的位置关系一圆周角定理二圆内接四边形的性质与判定定理三圆的切线的性质及判定定理四弦切角的性质五与圆有关的比例线段第三讲圆锥曲线性质的探讨一平行射影二平面与圆柱面的截线三平面与圆锥面的截线学习总结报告选修 4-2矩阵与变换第一讲线性变换与二阶矩阵一线性变换与二阶矩阵（一）几类特殊线性变换及其二阶矩阵1.旋转变换2.反射变换3.伸缩变换4.投影变换5.切变变换（二）变换、矩阵的相等二二阶矩阵与平面向量的乘法三线性变换的基本性质（一）线性变换的基本性质（二）一些重要线性变换对单位正方形区域的作用第二讲变换的复合与二阶矩阵的乘法一复合变换与二阶矩阵的乘法二矩阵乘法的性质第三讲逆变换与逆矩阵一逆变换与逆矩阵1.逆变换与逆矩阵2.逆矩阵的性质二二阶行列式与逆矩阵三逆矩阵与二元一次方程组1.二元一次方程组的矩阵形式2.逆矩阵与二元一次方程组探究与发现三阶矩阵与三阶行列式第四讲变换的不变量与矩阵的特征向量一变换的不变量——矩阵的特征向量1.特征值与特征向量2.特征值与特征向量的计算二特征向量的应用1.Ａnα的简单表示2.特征向量在实际问题中的应用学习总结报告选修4-4 坐标系与参数方程引言第一讲坐标系一平面直角坐标系二极坐标系三简单曲线的极坐标方程四柱坐标系与球坐标系简介第二讲参数方程一曲线的参数方程二圆锥曲线的参数方程三直线的参数方程四渐开线与摆线学习总结报告选修4-5 不等式选讲引言第一讲不等式和绝对值不等式一不等式1.不等式的基本性质2.基本不等式3.三个正数的算术-几何平均不等式二绝对值不等式1.绝对值三角不等式2.绝对值不等式的解法第二讲证明不等式的基本方法一比较法二综合法与分析法三反证法与放缩法第三讲柯西不等式与排序不等式一二维形式柯西不等式阅读与思考法国科学家柯西二一般形式的柯西不等式三排序不等式第四讲数学归纳法证明不等式一数学归纳法二用数学归纳法证明不等式学习总结报告选修4-6 初等数论初步引言第一讲整数的整除一整除1.整除的概念和性质2.带余除法3.素数及其判别法二最大公因数与最小公倍数1.最大公因数2.最小公倍数三算术基本定理第二讲同余与同余方程一同余1.同余的概念2.同余的性质二剩余类及其运算三费马小定理和欧拉定理四一次同余方程1.一次同余方程2.大衍求一术五拉格朗日插值法和孙子定理六弃九验算法第三讲一次不定方程一二元一次不定方程二二元一次不定方程的特解三多元一次不定方程第四讲数论在密码中的应用一信息的加密与去密二大数分解和公开密钥学习总结报告附录一剩余系和欧拉函数附录二多项式的整除性选修4-7 优选法与试验设计初步引言第一讲优选法一什么叫优选法二单峰函数三黄金分割法——0.618法1.黄金分割常数2.黄金分割法——0.618法阅读与思考黄金分割研究简史四分数法1.分数法阅读与思考斐波那契数列和黄金分割2.分数法的最优性五其他几种常用的优越法1.对分法2.盲人爬山法3.分批试验法4.多峰的情形六多因素方法1.纵横对折法和从好点出发法2.平行线法3.双因素盲人爬山法第二讲试验设计初步一正交试验设计法1.正交表2.正交试验设计3.试验结果的分析4.正交表的特性二正交试验的应用学习总结报告附录一、附录二、附录三选修4-9 风险与决策引言第一讲风险与决策的基本概念一风险与决策的关系二风险与决策的基本概念1.风险（平均损失）2.平均收益3.损益矩阵4.风险型决策探究与发现风险相差不大时该如何决策第二讲决策树方法第三讲风险型决策的敏感性分析第四讲马尔可夫型决策简介一马尔可夫链简介1.马尔可夫性与马尔可夫链2.转移概率与转移概率矩阵二马尔可夫型决策简介三长期准则下的马尔可夫型决策理论1.马尔可夫链的平稳分布2.平稳分布与马尔可夫型决策的长期准则3.平稳准则的应用案例学习总结报告附录。
高中数学第二章基本初等函数(Ⅰ)2.2对数函数2.2.2对数函数及其性质(2)课后训练1新人教A版必
2.2.2 对数函数及其性质课后训练1．函数y ＝2＋log 2x (x ≥1)的值域为( )．A ．(2，＋∞)B ．(－∞，2)C ．[2，＋∞)D ．[3，＋∞)2．已知集合M ＝{x |x ＜3}，N ＝{x |log 2x ＞1}，则M ∩N 等于( )．A ．B ．{x |0＜x ＜3}C ．{x |1＜x ＜3}D ．{x |2＜x ＜3}3．函数y 12log (43)x -( )．A ．(0,1] B.3,4⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭ C.3,24⎛⎫ ⎪⎝⎭ D.3,14⎛⎤ ⎥⎝⎦ 4．若函数y ＝f (x )是函数y ＝a x (a ＞0，且a ≠1)的反函数，且f (2)＝1，则f (x )＝( )．A ．log 2x B.12x C ．12log x D ．2x －2 5．小华同学作出的a ＝2,3，12时的对数函数y ＝log a x 的图象如图所示，则对应于C 1，C 2，C 3的a 的值分别为( )．A ．2,3，12 B ．3,2，12 C.12，2,3 D.12，3,2 6．不等式13log (5＋x )＜13log (1－x )的解集为______． 7．已知集合A ＝{x |log 2x ≤2}，B ＝(－∞，a )，若A ⊆B ，则实数a 的取值范围是(c ，＋∞)，其中c ＝________.8．已知定义域为R 的偶函数f (x )在[0，＋∞)上是增函数，且f 12⎛⎫ ⎪⎝⎭＝0，则不等式f (log 4x )＜0的解集是______．9．已知函数f (x )＝log a (x ＋1)，g (x )＝log a (4－2x )(a ＞0，且a ≠1)．(1)求函数f (x )－g (x )的定义域；(2)求使函数f (x )－g (x )的值为正数的x 的取值范围．10．分贝是计量声音强度相对大小的单位．物理学家引入了声压级(spl)来描述声音的大小：把声压P 0＝2×10－5帕作为参考声压，把所要测量的声压P 与参考声压P 0的比值取常用对数后乘以20得到的数值称为声压级．声压级是听力学中最重要的参数之一，单位是分贝(dB)．分贝值在60以下为无害区，60～110为过渡区，110以上为有害区．(1)根据上述材料，列出分贝值y与声压P的函数关系式．(2)某地声压P＝0.002帕，试问该地为以上所说的什么区？(3)2011年春节联欢晚会中，赵本山、王小利、小沈阳等表演小品《同桌的你》时，现场多次响起响亮的掌声，某观众用仪器测量到最响亮的一次音量达到了90分贝，试求此时中央电视台演播大厅的声压是多少？参考答案1. 答案：C ∵x ≥1，∴log 2x ≥0，∴y ≥2.2. 答案：D 由log 2x ＞1，得x ＞2，∴M N ＝{x |2＜x ＜3}．3. 答案：D 由题意列不等式组12log (43)0,(1)430.(2)x x -≥⎧⎪⎨⎪->⎩ 对于①有12log (4x －3)≥12log 1，解得x ≤1；对于②有4x ＞3，解得x ＞34.所以34＜x ≤1. 4. 答案：A 函数y ＝a x (a ＞0，且a ≠1)的反函数是f (x )＝log a x ，又f (2)＝1，即log a 2＝1，所以a ＝2，故f (x )＝log 2x .5. 答案：C 直线y ＝1与函数y ＝log a x 的图象交点的横坐标是底数a ，则由图象得对应C 1的a 的值为12，对应C 3的a 的值为3，对应C 2的a 的值为2. 6. 答案：{x |－2＜x ＜1} 原不等式等价于50,10,51,x x x x +>⎧⎪->⎨⎪+>-⎩解得－2＜x ＜1.7. 答案：4 由log 2x ≤2，得0＜x ≤4，所以A ＝(0,4]．又A B ，则a ＞4，所以c ＝4.8. 答案：122x x ⎧⎫<<⎨⎬⎩⎭由题意可知，f (log 4x )＜012-＜log 4x ＜12124log 4-＜log 4x ＜1241log 42⇔＜x ＜2. 9. 答案：解：(1)由题意可知，f (x )－g (x )＝log a (x ＋1)－log a (4－2x )，要使函数f (x )－g (x )有意义，自变量x 的取值需满足10,420,x x +>⎧⎨->⎩解得－1＜x ＜2. 故函数f (x )－g (x )的定义域是(－1,2)．(2)令f (x )－g (x )＞0，得f (x )＞g (x )，即log a (x ＋1)＞log a (4－2x )，当a ＞1时，可得x ＋1＞4－2x ，解得x ＞1.由(1)知－1＜x ＜2，∴1＜x ＜2；当0＜a ＜1时，可得x ＋1＜4－2x ，解得x ＜1，由(1)知－1＜x ＜2，∴－1＜x ＜1.综上所述，当a ＞1时，x 的取值范围是(1,2)；当0＜a ＜1时，x 的取值范围是(－1,1)．10. 答案：解：(1)由已知，得y ＝20lg 0p p .又P 0＝2×10－5，则y ＝20lg 5210p -⨯. (2)当P ＝0.002时，y ＝20lg 50.002210-⨯＝20lg 102＝40(分贝)． 由已知条件知40分贝小于60分贝，所以该地区为无害区．(3)由题意，得90＝20lg0p p ，则0p p ＝104.5， 所以P ＝104.5P 0＝104.5×2×10－5＝2×10－0.5≈0.63(帕)．。
高中数学第二章基本初等函数Ⅰ2.2.2对数函数及其性质教案新人教A版
2.2.2 对数函数及其性质
1.知识与技能
(1)理解对数函数的概念;
(2)掌握对数函数的性质,了解对数函数在生产实际中的简单应用.
(3)了解反函数的概念,加深对函数思想的理解.
2.过程与方法
(1)培养学生的交流能力和与人合作的精神;
(2)用联系的观点分析问题,通过对对数函数的学习,渗透数形结合的数学思想.
3.情感、态度与价值观
(1)通过学习对数函数的概念、图象和性质,使学生体会知识之间的联系,激发学生的学习兴趣;
(2)在教学过程中,通过对对数函数有关性质的研究,培养观察、分析、归纳的思维能力以及数学交流能力,增强学习的积极性,同时培养学生倾听、接受别人意见的优良品质.
重点:对数函数的定义、图象和性质,对数函数性质的初步应用.
难点:底数a对图象的影响.
重难点的突破:由指数函数的图象过渡到对数函数的图象,通过类比分析达到深刻地了解对数函数的图象及其性质是掌握重点和突破难点的关键,在教学时一定要使学生的思考紧紧围绕图象、数形结合,加强直观教学,使学生形成以图象为根本,以性质为主体的知识网络.同时,在例题的讲解中,重视加强题组的设计和变形,使教学真正体现出由浅入深,由易到难,由具体到抽象的特点,从而突出重点、突破难点.
1.定义在R上的函数f(x)满足f(x)=则f(3)的值为()
A.-1
B.-2
C.1
D.2
解析:f(3)=f(2)-f(1)=[f(1)-f(0)]-f(1)=-f(0)=-log24=-2.答案:B
2.若f(x)=log3(3x+1)+ax是偶函数,则a的值为. 解析:∵f(x)是偶函数,∴f(-1)=f(1),
即log3a=log34+ a.解得a=-1.
答案:-1。
高中数学第二章2.2对数函数2.2.2对数函数及其性质(一)学案(含解析)新人教A版必修1
2.2.2 对数函数及其性质(一)学习目标 1.理解对数函数的概念.2.掌握对数函数的性质.3.了解对数函数在生产实际中的简单应用．知识点一对数函数的概念思考已知函数y＝2x，那么反过来，x是否为关于y的函数？答案由于y＝2x是单调函数，所以对于任意y∈(0，＋∞)都有唯一确定的x与之对应，故x也是关于y的函数，其函数关系式是x＝log2y，此处y∈(0，＋∞)．习惯上用x，y分别表示自变量、因变量．上式可改为y＝log2x，x∈(0，＋∞)．梳理一般地，把函数y＝log a x(a>0，且a≠1)叫做对数函数，其中x是自变量，函数的定义域是(0，＋∞)．知识点二对数函数的图象与性质对数函数y＝log a x(a>0，且a≠1)的图象和性质如下表：定义y＝log a x (a>0，且a≠1)底数a>10<a<1图象定义域(0，＋∞)值域R单调性在(0，＋∞)上是增函数在(0，＋∞)上是减函数共点性图象过定点(1,0)，即x＝1时，y＝0函数值特点x∈(0,1)时，y∈(－∞，0)；x∈[1，＋∞)时，y∈[0，＋∞)x∈(0,1)时，y∈(0，＋∞)；x∈[1，＋∞)时，y∈(－∞，0] 对称性函数y＝log a x与y＝1logax的图象关于x轴对称1．由y ＝log a x ，得x ＝a y，所以x >0.( √ ) 2．y ＝2log 2x 是对数函数．( × )3．y ＝a x与y ＝log a x 的单调区间相同．( × )4．由log a 1＝0，可得y ＝log a x 恒过定点(1,0)．( √ )类型一 对数函数的定义域的应用 例1 求下列函数的定义域． (1)y ＝log a (3－x )＋log a (3＋x )； (2)y ＝log 2(16－4x)． 考点 对数函数的定义域 题点 对数函数的定义域解 (1)由⎩⎪⎨⎪⎧3－x >0，3＋x >0，得－3<x <3，∴函数的定义域是{x |－3<x <3}． (2)由16－4x>0，得4x <16＝42， 由指数函数的单调性得x <2，∴函数y ＝log 2(16－4x)的定义域为{x |x <2}． 引申探究1．把本例(1)中的函数改为y ＝log a (x －3)＋log a (x ＋3)，求定义域．解 由⎩⎪⎨⎪⎧x －3>0，x ＋3>0，得x >3.∴函数y ＝log a (x －3)＋log a (x ＋3)的定义域为{x |x >3}．2．求函数y ＝log a [(x ＋3)(x －3)]的定义域，相比引申探究1，定义域有何变化？解 (x ＋3)(x －3)>0，即⎩⎪⎨⎪⎧x ＋3>0，x －3>0或⎩⎪⎨⎪⎧x ＋3<0，x －3<0，解得x <－3或x >3.∴函数y ＝log a [(x ＋3)(x －3)]的定义域为{x |x <－3或x >3}．相比引申探究1，函数y ＝log a [(x ＋3)(x －3)]的定义域多了(－∞，－3)这个区间，原因是对于y ＝log a [(x ＋3)·(x －3)]，要使对数有意义，只需(x ＋3)与(x －3)同号，而对于y ＝log a (x －3)＋log a (x ＋3)，要使对数有意义，必须(x －3)与(x ＋3)同时大于0.反思与感悟 求含对数式的函数定义域关键是真数大于0，底数大于0且不为1.如需对函数式变形，需注意真数底数的取值范围是否改变． 跟踪训练1 求下列函数的定义域．(1)y ＝x 2－4lg x ＋3；(2)y ＝log (x ＋1)(16－4x)； 考点 对数函数的定义域 题点 对数函数的定义域解 (1)要使函数有意义，需⎩⎪⎨⎪⎧x 2－4≥0，x ＋3>0，x ＋3≠1，即⎩⎪⎨⎪⎧x ≤－2或x ≥2，x >－3，x ≠－2，即－3<x <－2或x ≥2，故所求函数的定义域为(－3，－2)∪[2，＋∞)． (2)要使函数有意义，需⎩⎪⎨⎪⎧16－4x>0，x ＋1>0，x ＋1≠1，即⎩⎪⎨⎪⎧x <2，x >－1，x ≠0，所以－1<x <2，且x ≠0，故所求函数的定义域为{x |－1<x <2，且x ≠0}． 类型二 对数函数单调性的应用 命题角度1 比较同底对数值的大小 例2 比较下列各组数中两个值的大小． (1)log 23.4，log 28.5； (2)log 0.31.8，log 0.32.7；(3)log a 5.1，log a 5.9(a >0，且a ≠1)． 考点 对数值大小比较 题点 对数值大小比较解 (1)考察对数函数y ＝log 2x ， 因为它的底数2>1，所以它在(0，＋∞)上是增函数， 又3.4＜8.5， 于是log 23.4<log 28.5.(2)考察对数函数y ＝log 0.3x ，因为它的底数0<0.3<1，所以它在(0，＋∞)上是减函数，又1.8＜2.7，于是log0.31.8>log0.32.7.(3)当a>1时，y＝log a x在(0，＋∞)上是增函数，又5.1＜5.9，于是log a5.1<log a5.9；当0<a<1时，y＝log a x在(0，＋∞)上是减函数，又5.1＜5.9，于是log a5.1>log a5.9.综上，当a＞1时，log a5.1＜log a5.9，当0＜a＜1时，log a5.1＞log a5.9.反思与感悟比较两个同底数的对数大小，首先要根据对数底数来判断对数函数的增减性；然后比较真数大小，再利用对数函数的增减性判断两对数值的大小．对于底数以字母形式出现的，需要对底数a进行讨论．对于不同底的对数，可以估算范围，如log22<log23<log24，即1<log23<2，从而借助中间值比较大小．跟踪训练2 设a＝log3π，b＝log23，c＝log32，则( )A．a＞b＞c B．a＞c＞bC．b＞a＞c D．b＞c＞a考点对数值大小比较题点对数值大小比较答案 A解析∵a＝log3π＞1，b＝12log23，其中log22<log23<log24，则12＜b＜1，c＝12log32＜12，∴a＞b＞c.命题角度2 求y＝log a f x型的函数值域例3 函数f(x)＝log2(3x＋1)的值域为________．考点对数函数的值域题点对数函数的值域答案(0，＋∞)解析f(x)的定义域为R.∵3x>0，∴3x＋1>1.∵y＝log2x在(0，＋∞)上单调递增，∴log 2(3x＋1)>log 21＝0. 即f (x )的值域为(0，＋∞)．反思与感悟 在函数三要素中，值域从属于定义域和对应关系．故求y ＝log a f (x )型函数的值域必先求定义域，进而确定f (x )的范围，再利用对数函数y ＝log a x 的单调性求出log a f (x )的取值范围．跟踪训练3 已知f (x )＝log 2(1－x )＋log 2(x ＋3)，求f (x )的定义域、值城． 考点 对数函数的值域题点 真数为二次函数的对数型函数的值域解 要使函数式有意义，需⎩⎪⎨⎪⎧1－x >0，x ＋3>0，解得定义域为(－3,1)．f (x )＝log 2[(1－x )(x ＋3)]＝log 2[－(x ＋1)2＋4]．∵x ∈(－3,1)，∴－(x ＋1)2＋4∈(0,4]．∴log 2[－(x ＋1)2＋4]∈(－∞，2]． 即f (x )的值域为(－∞，2]． 类型三 对数函数的图象例4 画出函数y ＝lg|x －1|的图象． 考点 对数函数的图象题点 含绝对值的对数函数的图象 解 (1)先画出函数y ＝lg x 的图象(如图)．(2)再画出函数y ＝lg|x |的图象(如图)．(3)最后画出函数y ＝lg|x －1|的图象(如图)．反思与感悟现在画图象很少单纯依靠描点，大多是以基本初等函数为原料加工，所以一方面要掌握一些常见的平移、对称变换的结论，另一方面要关注定义域、值域、单调性、关键点．跟踪训练4 画出函数y＝|lg(x－1)|的图象．考点对数函数的图象题点含绝对值的对数函数的图象解(1)先画出函数y＝lg x的图象(如图)．(2)再画出函数y＝lg(x－1)的图象(如图)．(3)再画出函数y＝|lg(x－1)|的图象(如图)．1．下列函数为对数函数的是( )A．y＝log a x＋1(a＞0且a≠1)B．y＝log a(2x)(a＞0且a≠1)C．y＝log(a－1)x(a＞1且a≠2)D．y＝2log a x(a＞0且a≠1)考点对数函数的概念题点对数函数的概念答案 C2．函数y＝log2(x－2)的定义域是( )A．(0，＋∞) B．(1，＋∞)C．(2，＋∞) D．[4，＋∞)考点对数函数的定义域题点 对数函数的定义域 答案 C3．函数y ＝2log 4(1－x )的图象大致是( )考点 对数函数的图象 题点 对数函数的图象 答案 C解析 函数y ＝2log 4(1－x )的定义域为(－∞，1)，排除A ，B ；又函数y ＝2log 4(1－x )在定义域内单调递减，排除D.故选C.4．函数f (x )＝log 0.2(2x＋1)的值域为________． 考点 对数函数的值域 题点 对数函数的值域 答案 (－∞，0)5．若函数f (x )＝2log a (2－x )＋3(a >0，且a ≠1)过定点P ，则点P 的坐标是__________． 考点 对数函数的性质 题点 对数函数图象过定点问题 答案 (1,3)1．含有对数符号“log”的函数不一定是对数函数．判断一个函数是否为对数函数，不仅要含有对数符号“log”，还要符合对数函数的概念，即形如y ＝log a x (a >0，且a ≠1)的形式．如：y ＝2log 2x ，y ＝log 5x5都不是对数函数，可称其为对数型函数．2．研究y ＝log a f (x )的性质如定义域、值域、比较大小，均需依托对数函数的相应性质．一、选择题1．给出下列函数：①y＝log 23x2；②y＝log3(x－1)；③y＝log(x＋1)x；④y＝logπx.其中是对数函数的有( )A．1个B．2个C．3个D．4个考点对数函数的概念题点对数函数的概念答案 A解析①②不是对数函数，因为对数的真数不是只含有自变量x；③不是对数函数，因为对数的底数不是常数；④是对数函数．2．已知函数f(x)＝11－x的定义域为M，g(x)＝ln(1＋x)的定义域为N，则M∩N等于( )A．{x|x>－1} B．{x|x<1}C．{x|－1<x<1} D．∅考点对数函数的定义域题点对数函数的定义域答案 C解析∵M＝{x|1－x>0}＝{x|x<1}，N＝{x|1＋x>0}＝{x|x>－1}，∴M∩N＝{x|－1<x<1}．3．已知a>0，且a≠1，函数y＝a x与y＝log a(－x)的图象只能是下图中的( )考点对数函数的图象题点同一坐标系下的指数函数与对数函数的图象答案 B解析y＝a x与y＝log a(－x)的单调性相反，排除A，D.y＝log a(－x)的定义域为(－∞，0)，排除C，故选B.4．已知函数f(x)＝log a(x＋2)，若图象过点(6,3)，则f(2)的值为( )A ．－2B ．2C.12D ．－12考点 对数函数的性质 题点 对数函数图象过定点问题 答案 B解析 代入(6,3)，3＝log a (6＋2)＝log a 8， 即a 3＝8，∴a ＝2.∴f (x )＝log 2(x ＋2)，∴f (2)＝log 2(2＋2)＝2.5．若函数f (x )＝log a (x ＋b )的图象如图所示：其中a ，b 为常数，则函数g (x )＝a x＋b 的图象大致是( )考点 对数函数的图象题点 同一坐标系下的指数函数与对数函数的图象 答案 D解析 由f (x )的图象可知0<a <1,0<b <1， ∴g (x )的图象应为D.6．下列不等号连接错误的一组是( ) A ．log 0.52.2>log 0.52.3 B ．log 34>log 65 C ．log 34>log 56 D ．log πe>lnπ 考点 对数值大小比较 题点 对数值大小比较 答案 D解析 对A ，根据y ＝log 0.5x 为单调减函数易知正确． 对B ，由log 34>log 33＝1＝log 55>log 65可知正确．对C ，由log 34＝1＋log 343>1＋log 365>1＋log 565＝log 56可知正确．对D ，由π>e>1，得lnπ>1>log πe 可知错误． 7．已知f (x )＝2＋log 3x ，x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤181，9，则f (x )的最小值为( )A ．－2B ．－3C ．－4D ．0 考点 对数函数的值域 题点 对数函数的值域 答案 A解析 ∵181≤x ≤9，∴log 3181≤log 3x ≤log 39，即－4≤log 3x ≤2，∴－2≤2＋log 3x ≤4. ∴当x ＝181时，f (x )min ＝－2.8．已知函数f (x )＝log a |x ＋1|在(－1,0)上有f (x )>0，那么( ) A ．f (x )在(－∞，0)上是增函数 B ．f (x )在(－∞，0)上是减函数 C ．f (x )在(－∞，－1)上是增函数 D ．f (x )在(－∞，－1)上是减函数 考点 对数函数的图象题点 含绝对值的对数函数的图象 答案 C解析 当x ∈(－1,0)时，|x ＋1|∈(0,1)， ∵log a |x ＋1|>0，∴0<a <1， 画出f (x )的图象如图：由图可知选C. 二、填空题9.已知函数f (x )的图象如图所示，则函数g (x )＝log 2f (x )的定义域是____________．考点 对数函数的定义域题点 对数函数的定义域答案 {x |2<x ≤8}解析 由题意知，f (x )>0，由所给图象可知f (x )>0的解集为{x |2<x ≤8}．10．设a ＝log 2π，b ＝log 12π，c ＝π－2，则a ，b ，c 的大小关系是______________．考点 对数值大小比较题点 指数、对数值大小比较答案 a >c >b解析 因为π>2，所以a ＝log 2π>1，所以b ＝log 12π<0.因为π>1，所以0<π－2<1，即0<c <1.所以a >c >b .11．已知函数f (x )＝|lg x |，若0<a <b ，且f (a )＝f (b )，则a ＋4b 的取值范围是____________． 考点 对数函数的图象题点 含绝对值的对数函数的图象答案 (5，＋∞)解析 因为f (a )＝f (b )，且0<a <b ，所以0<a <1<b ，且－lg a ＝lg b ，即b ＝1a，所以a ＋4b ＝a ＋4a .令g (a )＝a ＋4a ，易知g (a )在(0,1)上为减函数，所以g (a )>g (1)＝1＋41＝5，即a ＋4b 的取值范围是(5，＋∞)．三、解答题12．已知f (x )＝log 2(x ＋1)，当点(x ，y )在函数y ＝f (x )的图象上时，点⎝ ⎛⎭⎪⎫x 3，y 2在函数y ＝g (x )的图象上．(1)写出y ＝g (x )的解析式；(2)求方程f (x )－g (x )＝0的根．考点 对数函数的解析式题点 对数函数的解析式解 (1)设x 3＝x ′，y 2＝y ′， 则x ＝3x ′，y ＝2y ′.∵(x ，y )在y ＝f (x )的图象上，∴y ＝log 2(x ＋1)，∴2y ′＝log 2(3x ′＋1)，y ′＝12log 2(3x ′＋1)， 即点(x ′，y ′)在y ＝12log 2(3x ＋1)的图象上． ∴g (x )＝12log 2(3x ＋1)． (2)f (x )－g (x )＝0，即log 2(x ＋1)＝12log 2(3x ＋1)＝log 23x ＋1， ∴x ＋1＝3x ＋1，∴⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1>0，3x ＋1>0，x ＋12＝3x ＋1， 解得x ＝0或x ＝1. 13．已知1≤x ≤4，求函数f (x )＝log 2x 4×log 2x 2的最大值与最小值． 考点 对数函数的值域 题点 对数函数的值域 解 ∵f (x )＝log 2x 4×log 2x 2＝(log 2x －2)(log 2x －1)＝⎝⎛⎭⎪⎫log 2x －322－14， 又∵1≤x ≤4，∴0≤log 2x ≤2，∴当log 2x ＝32，即x ＝232＝22时，f (x )取最小值－14； 当log 2x ＝0，即x ＝1时，f (x )取最大值2.∴函数f (x )的最大值是2，最小值是－14. 四、探究与拓展14．已知log a (3a －1)恒为正，则a 的取值范围是________．考点 对数函数的图象题点 对数函数的图象答案 ⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫a ⎪⎪⎪ 13<a <23或a >1解析 由题意知log a (3a －1)>0＝log a 1.当a >1时，y ＝log a x 是增函数，∴⎩⎪⎨⎪⎧3a －1>1，3a －1>0，解得a >23，∴a >1； 当0<a <1时，y ＝log a x 是减函数，∴⎩⎪⎨⎪⎧ 3a －1<1，3a －1>0，解得13<a <23. ∴13<a <23. 综上所述，a 的取值范围是⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫a ⎪⎪⎪ 13<a <23或a >1. 15．已知函数f (x )＝ln(ax 2＋2x ＋1)．(1)若f (x )的定义域为R ，求实数a 的取值范围；(2)若f (x )的值域为R ，求实数a 的取值范围．考点 对数函数的值域题点 求对数函数的定义域与值域解 (1)若f (x )的定义域为R ，则y ＝ax 2＋2x ＋1的图象恒在x 轴的上方，所以⎩⎪⎨⎪⎧ a >0，Δ＝4－4a <0，所以a >1.(2)若f (x )的值域为R ，则y ＝ax 2＋2x ＋1的图象一定要与x 轴有交点，且能取得y 轴正半轴的任一值，所以a ＝0或⎩⎪⎨⎪⎧ a >0，Δ＝4－4a ≥0，所以0≤a ≤1.。
高中数学 第二章基本初等函数2.2.2对数函数及其性质(第一、二课时)教案 新人教A版必修1
§2.2.2对数函数及其性质（第一、二课时）一．教学目标1．知识技能①对数函数的概念，熟悉对数函数的图象与性质规律. ②掌握对数函数的性质，能初步运用性质解决问题. 2．过程与方法让学生通过观察对数函数的图象，发现并归纳对数函数的性质. 3．情感、态度与价值观①培养学生数形结合的思想以及分析推理的能力； ②培养学生严谨的科学态度. 二．学法与教学用具1．学法：通过让学生观察、思考、交流、讨论、发现函数的性质； 2．教学手段：多媒体计算机辅助教学． 三．教学重点、难点1、重点：理解对数函数的定义，掌握对数函数的图象和性质.2、难点：底数a 对图象的影响及对数函数性质的作用. 四．教学过程 1．设置情境在2．2．1的例6中，考古学家利用logP 估算出土文物或古遗址的年代，对于每一个C 14含量P ，通过关系式，都有唯一确定的年代t 与之对应．同理，对于每一个对数式log x a y =中的x ，任取一个正的实数值，y 均有唯一的值与之对应，所以log x a y x =关于的函数．2．探索新知一般地，我们把函数log a y x =（a ＞0且a ≠1）叫做对数函数，其中x 是自变量，函数的定义域是（0，+∞）．提问：（1）．在函数的定义中，为什么要限定a ＞0且a ≠1．（2）．为什么对数函数log a y x =（a ＞0且a ≠1）的定义域是（0，+∞）．组织学生充分讨论、交流，使学生更加理解对数函数的含义，从而加深对对数函数的理解.答：①根据对数与指数式的关系，知log a y x =可化为ya x =，由指数的概念，要使ya x =有意义，必须规定a ＞0且a ≠1．②因为log a y x =可化为yx a =，不管y 取什么值，由指数函数的性质，ya ＞0，所以(0,)x ∈+∞．例题1：求下列函数的定义域（1）2log a y x = （2）log (4)a y x =- （a ＞0且a ≠1） 分析：由对数函数的定义知：2x ＞0；4x -＞0，解出不等式就可求出定义域． 解：（1）因为2x ＞0，即x ≠0，所以函数2log x a y =的定义域为{}|0x x ≠.（2）因为4x -＞0，即x ＜4，所以函数(4)log x a y -=的定义域为{|x x ＜}4. 下面我们来研究函数的图象，并通过图象来研究函数的性质：先完成P 81表2－3，并根据此表用描点法或用电脑画出函数2log x y =的图象, 再利用电脑软件画出0.5log .x y =的图象x注意到：122log log y x x ==-，若点2(,)l o g x y yx =在的图象上，则点12(,)l o g x y yx-=在的图象上. 由于（,x y -）与（,x y -）关于x 轴对称，因此，12log y x =的图象与2log y x =的图象关于x 轴对称 . 所以，由此我们可以画出12log y x =的图象 .先由学生自己画出12log y x =的图象，再由电脑软件画出2log y x =与12log y x =的图象.探究：选取底数(a a ＞0，且a ≠1）的若干不同的值，在同一平面直角坐标系内作出相应的对数函数的图象．观察图象，你能发现它们有哪些特征吗？.作法：用多媒体再画出4log y x =，3log y x =，13log y x =和14log y x =3log y x =例题训练：1. 比较下列各组数中的两个值大小（1）22log 3.4,log 8.5 （2）0.30.3log 1.8,log 2.7（3）log 5.1,log 5.9a a （a ＞0，且a ≠1）分析：由数形结合的方法或利用函数的单调性来完成：（1）解法1：用图形计算器或多媒体画出对数函数2log y x =的图象.在图象上，横坐标为3、4的点在横坐标为8.5的点的下方：所以，22log 3.4log 8.5<解法2：由函数2log y x R =在+上是单调增函数，且3.4＜8.5，所以22log 3.4log 8.5<.解法3：直接用计算器计算得：2log 3.4 1.8≈，2log 8.5 3.1≈（2）第（2）小题类似（3）注：底数是常数，但要分类讨论a 的范围，再由函数单调性判断大小. 解法1：当a ＞1时，log a y x =在（0，＋∞）上是增函数，且5.1＜5.9. 所以，log 5.1a <log 5.9a当a <1时，log a y x =在（0，＋∞）上是减函数，且5.1＜5.9. 所以，log 5.1a >log 5.9a解法2：转化为指数函数，再由指数函数的单调判断大小不一，令 11log 5.1, 5.1,b a b a ==则 令22log 5.9, 5.9,b a b a ==则 则2 5.9ba =则 当a ＞1时，xy a =在R 上是增函数，且5.1＜5.9 所以，1b ＜2b ，即log 5.1a ＜log 5.9a当0＜a ＜1时，x y a =在R 上是减函数，且5.1＞5.9 所以，1b ＜2b ，即log 5.1a ＞log 5.9a 说明：先画图象，由数形结合方法解答 课堂练习：Ｐ８５ 练习 第２，３题 补充练习1．已知函数(2)x y f =的定义域为[-1，1]，则函数2(log )y f x =的定义域为2．求函数22log (1)y x x =+≥的值域.3．已知log 7m ＜log 7n ＜0，按大小顺序排列m, n, 0, 1 4．已知0＜a ＜1, b ＞1, ab ＞1. 比较1log ,log ,log a a b b b 1的大小b归纳小结：② 对数函数的概念必要性与重要性; ②对数函数的性质，列表展现.。
高中数学第二章基本初等函数(Ⅰ)2.1指数函数2.1.2指数函数及其性质教学设计新人教A版必修1
2.1.2 指数函数及其性质整体设计教学内容分析本节课是《普通高中课程标准实验教科书·数学(1)》(人教A版)第二章第一节第二课(2.1.2)《指数函数及其性质》．根据实际情况，将《指数函数及其性质》划分为三节课〔指数函数的图象及其性质，指数函数及其性质的应用(1)，指数函数及其性质的应用(2)〕，这是第一节课“指数函数的图象及其性质”．指数函数是重要的基本初等函数之一，作为常见函数，它不仅是今后学习对数函数和幂函数的基础，同时在生活及生产实际中有着广泛的应用，所以指数函数应重点研究．学生学习情况分析指数函数是在学生系统学习了函数概念，基本掌握了函数性质的基础上进行研究的，是学生对函数概念及性质的第一次应用．教材在之前的学习中给出了两个实际例子(GDP的增长问题和碳14的衰减问题)，已经让学生感受到了指数函数的实际背景，但这两个例子的背景对于学生来说有些陌生．本节课先设计一个看似简单的问题，通过超出想象的结果来激发学生学习新知的兴趣和欲望．设计思想1．函数及其图象在高中数学中占有很重要的位置．如何突破这个既重要又抽象的内容，其实质就是将抽象的符号语言与直观的图象语言有机地结合起来，通过具有一定思考价值的问题，激发学生的求知欲望——持久的好奇心．我们知道，函数的表示法有三种：列表法、图象法、解析法，以往的函数的学习大多只关注到图象的作用，这其实只是借助了图象的直观性，只是从一个角度看函数，是片面的．本节课力图让学生从不同的角度去研究函数，对函数进行一个全方位的研究，并通过对比总结得到研究的方法，让学生去体会这种研究方法，以便能将其迁移到其他函数的研究中去．2．在本节课的教学中我努力实践以下两点：(1)在课堂活动中通过同伴合作、自主探究培养学生积极主动、勇于探索的学习方式．(2)在教学过程中努力做到生生对话、师生对话，并且在对话之后重视体会、总结、反思，力图在培养和发展学生数学素养的同时让学生掌握一些学习、研究数学的方法．3．通过课堂教学活动向学生渗透数学思想方法．教学目标根据学生的实际情况，本节课的教学目标是：理解指数函数的概念，能画出具体指数函数的图象；在理解指数函数概念、性质的基础上，能应用所学知识解决简单的数学问题；在教学过程中通过类比，回顾归纳从图象和解析式这两种不同角度研究函数性质的数学方法，加深对指数函数的认识，让学生在数学活动中感受数学思想方法之美、体会数学思想方法之重要；同时通过本节课的学习，使学生获得研究函数的规律和方法；培养学生主动学习、合作交流的意识．重点难点教学重点：指数函数的概念、图象和性质．教学难点：对底数的分类，如何由图象、解析式归纳指数函数的性质.教学过程一、创设情境、提出问题(约3分钟)师：如果让1号同学准备2粒米，2号同学准备4粒米，3号同学准备6粒米，4号同学准备8粒米，5号同学准备10粒米，……，按这样的规律，51号同学该准备多少粒米？学生回答后教师公布事先估算的数据：51号同学该准备102粒米，大约5克重．师：如果改成让1号同学准备2粒米，2号同学准备4粒米，3号同学准备8粒米，4号同学准备16粒米，5号同学准备32粒米，……，按这样的规律，51号同学该准备多少粒米？学情预设学生可能说出很多或能算出具体数目．师：大家能否估计一下51号同学该准备的米有多重吗？教师公布事先估算的数据：51号同学所需准备的大米约重1.2亿吨．师：1.2亿吨是一个什么概念？根据2007年9月13日美国农业部发布的最新数据显示，2007～2008年度我国大米产量预计为1.27亿吨．这就是说51号同学所需准备的大米相当于2007～2008年度我国全年的大米产量！设计意图用一个看似简单的实例，为引出指数函数的概念做准备；同时通过与一次函数的对比让学生感受指数函数的爆炸增长，激发学生学习新知的兴趣和欲望．在以上两个问题中，每位同学所需准备的米粒数用y表示，每位同学的座号数用x表示，y与x之间的关系分别是什么？学生很容易得出y＝2x(x∈N*)和y＝2x(x∈N*)．学情预设学生可能会漏掉x的取值范围，教师要引导学生思考具体问题中x的取值范围．二、师生互动、探究新知1．指数函数的定义师：其实，在本章开头的问题中，也有一个与y＝2x类似的关系式y＝1.073x(x∈N*，x≤20)．(1)让学生思考讨论以下问题(问题逐个给出，约3分钟)：①y＝2x(x∈N*)和y＝1.073x(x∈N*，x≤20)这两个解析式有什么共同特征？②它们能否构成函数？③是我们学过的哪个函数？如果不是，你能否根据该函数的特征给它起个恰当的名字？ 设计意图引导学生从具体问题、实际问题中抽象出数学模型．学生对比已经学过的一次函数、反比例函数、二次函数，发现y ＝2x ，y ＝1.073x 是一个新的函数模型，再让学生给这个新的函数命名，由此激发学生的学习兴趣．引导学生观察，两个函数中，底数是常数，指数是自变量．师：如果可以用字母a 代替其中的底数，那么上述两式就可以表示成y ＝a x 的形式．自变量在指数位置，所以我们把它称作指数函数．(2)让学生讨论并给出指数函数的定义(约6分钟)．对于底数的分类，可将问题分解为：①若a ＜0，会有什么问题？(如a ＝－2，x ＝12，则在实数范围内相应的函数值不存在) ②若a ＝0，会有什么问题？(对于x ≤0，a x 都无意义)③若a ＝1又会怎么样？(1x 无论x 取何值，它总是1，对它没有研究的必要)师：为了避免上述各种情况的发生，所以规定a ＞0且a ≠1.在这里要注意生生之间、师生之间的对话．①若学生从教科书中已经看到指数函数的定义，教师可以问，为什么要求a ＞0，且a ≠1；a ＝1为什么不行？②若学生只给出y ＝a x ，教师可以引导学生通过类比一次函数(y ＝kx ＋b ，k ≠0)、反比例函数(y ＝k x ，k ≠0)、二次函数(y ＝ax 2＋bx ＋c ，a ≠0)中的限制条件，思考指数函数中底数的限制条件．学情预设设计意图①对指数函数中底数限制条件的讨论可以引导学生研究一个函数应注意它的实际意义和研究价值；②讨论出a ＞0，且a ≠1，也为下面研究性质时对底数的分类做准备．接下来教师可以问学生是否明确了指数函数的定义，能否写出一两个指数函数？教师也在黑板上写出一些解析式让学生判断，如y ＝2×3x ，y ＝32x ，y ＝－2x.学情预设学生可能只是关注指数是否是变量，而不考虑其他的．设计意图加深学生对指数函数定义和呈现形式的理解．2．指数函数的性质(1)提出两个问题(约3分钟)①目前研究函数一般可以包括哪些方面？设计意图让学生在研究指数函数时有明确的目标：函数三要素(对应法则、定义域、值域)和函数的基本性质(单调性、奇偶性)．②研究函数(比如今天的指数函数)可以怎么研究？用什么方法、从什么角度研究？ 可以从图象和解析式这两个不同的角度进行研究；可以从具体的函数入手(即底数取一些数值)；当然也可以用列表法研究函数，只是今天我们所学的函数用列表法不易得出此函数的性质，可见具体问题要选择适当的方法来研究才能事半功倍！还可以借助一些数学思想方法来思考．设计意图①让学生知道图象法不是研究函数的唯一方法，由此引导学生可以从图象和解析式(包括列表)两个不同的角度对函数进行研究；②对学生进行数学思想方法(从一般到特殊再到一般、数形结合、分类讨论)的有机渗透．(2)分组活动，合作学习(约8分钟)师：下面我们就从图象和解析式这两个不同的角度对指数函数进行研究．①让学生分为两大组，一组从解析式的角度入手(不画图)研究指数函数，一组借助电脑通过几何画板的操作从图象的角度入手研究指数函数；②每一大组再分为若干合作小组(建议4人一小组)；③每组都将研究所得到的结论或成果写出来以便交流．学情预设考虑到各组的水平可能有所不同，教师应巡视，对个别组可做适当的指导．通过自主探索、合作学习，不仅让学生充当学习的主人更可加深对所得到结论的理解．设计意图(3)交流、总结(约10～12分钟)师：下面我们开一个成果展示会！教师在巡视过程中应关注各组的研究情况，此时可选一些有代表性的小组上台展示研究成果，并对比从两个角度入手研究的结果．教师可根据上课的实际情况对学生发现、得出的结论进行适当的点评或要求学生分析．这里除了研究定义域、值域、单调性、奇偶性外，再引导学生注意是否还有其他性质？师：各组在研究过程中除了定义域、值域、单调性、奇偶性外是否还得到一些有价值的副产品呢？〔〕如过定点(0，1)，y ＝a x 与y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1a x 的图象关于y 轴对称学情预设①首先选一个从解析式的角度研究的小组上台汇报；②对于从图象的角度研究的，可先选没对底数进行分类的小组上台汇报；③问其他小组有没有不同的看法，上台补充，让学生对底数进行分类，引导学生思考哪个量决定着指数函数的单调性，以什么为分界，教师可以马上通过电脑操作看函数图象的变化．设计意图①函数的表示法有三种：列表法、图象法、解析法，通过这个活动，让学生知道研究一个具体的函数可以从多个角度入手，从图象角度研究只是能直观的看出函数的一些性质，而具体的性质还是要通过对解析式的论证；特别是定义域、值域更是可以直接从解析式中得到的．②让学生上台汇报研究成果，使学生有种成就感，同时还可训练其对数学问题的分析和表达能力，培养其数学素养；③对指数函数的底数进行分类是本课的一个难点，让学生在讨论中自己解决分类问题，使该难点的突破显得自然．师：从图象入手我们很容易看出函数的单调性、奇偶性，以及过定点(0,1)，但定义域、值域却不可确定；从解析式(结合列表)可以很容易得出函数的定义域、值域，但对底数的分类却很难想到．教师通过几何画板中改变参数a的值，追踪y＝a x的图象，在变化过程中，让全体学生进一步观察指数函数的变化规律．师生共同总结指数函数的图象和性质，教师可以边总结边板书．0＜a＜1a＞1(0，＋∞)过定点(0,1)1．例：已知指数函数f(x)＝a x(a＞0，且a≠1)的图象经过点(3，π)，求f(0)，f(1)，f(－3)的值．解：因为f(x)＝a x的图象经过点(3，π)，所以f(3)＝π，即a 3＝π.解得13πa =，于是f (x )＝3πx . 所以f (0)＝1，f (1)＝3π，f (－3)＝1π. 设计意图通过本题加深学生对指数函数的理解．师：根据本题，你能说出确定一个指数函数需要什么条件吗？师：从方程思想来看，求指数函数就是确定底数，因此只要一个条件，即布列一个方程就可以了．设计意图让学生明确底数是确定指数函数的要素，同时向学生渗透方程的思想．2．练习：(1)在同一平面直角坐标系中画出y ＝3x 和y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13x 的大致图象，并说出这两个函数的性质；(2)求下列函数的定义域：①y =112xy ⎛⎫= ⎪⎝⎭. 3．师：通过本节课的学习，你对指数函数有什么认识？你有什么收获？学情预设学生可能只是把指数函数的性质总结一下，教师要引导学生谈谈对函数研究的学习，即怎么研究一个函数．设计意图①让学生再一次复习对函数的研究方法(可以从多个角度进行)，让学生体会本节课的研究方法，以便能将其迁移到其他函数的研究中去．②总结本节课中所用到的数学思想方法．③强调各种研究数学的方法之间有区别又有联系，相互作用，才能融会贯通．4．作业：课本习题2.1A 组 5.教学反思1．本节课改变了以往常见的函数研究方法，让学生从不同的角度去研究函数，对函数进行一个全方位的研究，不仅仅是通过对比总结得到指数函数的性质，更重要的是让学生体会到对函数的研究方法，以便能将其迁移到其他函数的研究中去，教师可以真正做到“授之以渔”而非“授之以鱼”．2．教学中借助信息技术可以弥补传统教学在直观感、立体感和动态感方面的不足，可以很容易的化解教学难点、突破教学重点、提高课堂效率，本节课使用几何画板可以动态地演示出指数函数的底数的变化过程，让学生直观地观察底数对指数函数单调性的影响．3．在教学过程中不断向学生渗透数学思想方法，让学生在活动中感受数学思想方法之美、体会数学思想方法之重要，部分学生还能自觉地运用这些数学思想方法去分析、思考问题．指数函数及其性质的应用整体设计三维目标1．知识与技能理解指数函数的图象和性质，会利用性质来解决问题．2．过程与方法能利用指数函数的图象和性质来比较两个值的大小，图象间的平移，去探索利用指数函数的单调性来求未知字母的取值范围．3．情感、态度与价值观在解决简单实际问题的过程中，体会指数函数是一类重要的函数模型，激发学生学习数学的兴趣，努力培养学生的创新意识．重点难点教学重点：指数函数的图象和性质．教学难点：指数函数的性质应用．教学过程第2课时指数函数及其性质的应用(1)作者：王建波导入新课思路1．复习导入：我们前一节课学习了指数函数的概念和性质，下面我们一起回顾一下指数函数的概念、图象和性质．如何利用指数函数的图象和性质来解决一些问题，这就是本堂课要讲的主要内容．教师板书课题．思路2．我们在学习指数函数的性质时，利用了指数函数的图象的特点，并且是用类比和归纳的方法得出，在理论上，我们能否严格的证明(特别是指数函数的单调性)，以便于我们在解题时应用这些性质，本堂课我们要解决这个问题．教师板书课题：指数函数及其性质的应用(1)．应用示例例1 比较下列各题中的两个值的大小：(1)1.72.5与1.73；(2)0.8－0.1与0.8－0.2；(3)1.70.3与0.93.1.活动：学生自己思考或讨论，回忆比较数的大小的方法，结合题目实际，选择合理的方法，再写出答案(最好用实物投影仪展示写得正确的答案)．比较数的大小，一是作差，看两个数差的符号，若为正，则前面的数大；图1二是作商，但必须是同号数，看商与1的大小，再决定两个数的大小；三是计算出每个数的值，再比较大小；四是利用图象；五是利用函数的单调性．教师在学生中巡视其他学生的解答，发现问题及时纠正并评价．解法一：用数形结合的方法，如第(1)小题，用图形计算器或计算机画出y＝1.7x的图象，如图1.在图象上找出横坐标分别为2.5,3的点，显然，图象上横坐标为3的点在横坐标为2.5的点的上方，所以1.72.5＜1.73，同理0.8－0.1＜0.8－0.2,1.70.3＞0.93.1.解法二：用计算器直接计算：1.72.5≈3.77,1.73≈4.91，所以1.72.5＜1.73.同理0.8－0.1＜0.8－0.2,1.70.3＞0.93.1.解法三：利用函数单调性，(1)1.72.5与1.73的底数是1.7，它们可以看成函数y＝1.7x，当x＝2.5和3时的函数值；因为1.7＞1，所以函数y＝1.7x在R上是增函数，而2.5＜3，所以1.72.5＜1.73；(2)0.8－0.1与0.8－0.2的底数是0.8，它们可以看成函数y＝0.8x，当x＝－0.1和－0.2时的函数值；因为0＜0.8＜1，所以函数y＝0.8x在R上是减函数，而－0.1＞－0.2，所以0.8－0.1＜0.8－0.2；(3)因为1.70.3＞1.70＝1,0.93.1＜0.90＝1，所以1.70.3＞0.93.1.点评：在第(3)小题中，可以用解法一、解法二解决，但解法三不适合．由于1.70.3与0.93.1不能直接看成某个函数的两个值，因此，在这两个数值间找到1，把这两数值分别与1比较大小，进而比较1.70.3与0.93.1的大小，这里的1是中间值．思考在上面的解法中，你认为哪种方法更实用？活动：学生对上面的三种解法作比较，解题有法但无定法，我们要采取多种解法，在多种解法中选择最优解法，这要通过反复练习强化来实现．例活动：教师点拨提示定义法判断函数单调性的步骤，单调性的定义证明函数的单调性，要按规定的格式书写．证法一：设x 1，x 2∈R ，且x 1＜x 2，则y 2－y 1＝21121(1)x x x x a a a a x -=--．因为a ＞1，x 2－x 1＞0，所以21>1x x a-，即21x x a -－1＞0. 又因为1x a ＞0，所以y 2－y 1＞0，即y 1＜y 2.所以当a ＞1时，y ＝a x，x ∈R 是增函数．同理可证，当0＜a ＜1时，y ＝a x 是减函数． 证法二：设x 1，x 2∈R ，且x 1＜x 2，则y 2与y 1都大于0，则y 2y 1＝2211x x x x a a a -=. 因为a ＞1，x 2－x 1＞0，所以21>1x x a-＞1，即y 2y 1＞1，y 1＜y 2. 所以当a ＞1时，y ＝a x ，x ∈R 是增函数．同理可证，当0＜a ＜1时，y ＝a x是减函数．例1%，那么经过20年后，我国人口数最多为多少(精确到亿)?活动：师生共同讨论，将实际问题转化为数学表达式，建立目标函数，常采用特殊到一般的方式，教师引导学生注意题目中自变量的取值范围，可以先考虑一年一年增长的情况，再从中发现规律，最后解决问题：1999年底 人口约为13亿；经过1年 人口约为13(1＋1%)亿；经过2年 人口约为13(1＋1%)(1＋1%)＝13(1＋1%)2亿；经过3年 人口约为13(1＋1%)2(1＋1%)＝13(1＋1%)3亿；……经过x 年 人口约为13(1＋1%)x亿；经过20年 人口约为13(1＋1%)20亿．解：设今后人口年平均增长率为1%，经过x 年后，我国人口数为y 亿，则 y ＝13(1＋1%)x ，当x ＝20时，y ＝13(1＋1%)20≈16(亿)．答：经过20年后，我国人口数最多为16亿．点评：类似此题，设原值为N ，平均增长率为p ，则对于经过时间x 后总量y ＝N (1＋p )x (x ∈N )，像y ＝N (1＋p )x 等形如y ＝ka x (k ∈R ，且k ≠0；a ＞0，且a ≠1)的函数称为指数型函数．知能训练1．函数y ＝a |x |(a ＞1)的图象是( )图2解析：当x ≥0时，y ＝a |x |＝a x 的图象过(0,1)点，在第一象限，图象下凸，是增函数． 答案：B2．下列关系中正确的是( )A ．221333111252⎛⎫⎛⎫⎛⎫<< ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭B ．122333111225⎛⎫⎛⎫⎛⎫<< ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭C ．212333111522⎛⎫⎛⎫⎛⎫<< ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭D ．221333111522⎛⎫⎛⎫⎛⎫<<⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭答案：D3．已知函数f (x )的定义域是(0,1)，那么f (2x)的定义域是( )A ．(0,1)B ．⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1 C ．(－∞，0) D ．(0，＋∞) 解析：由题意得0＜2x ＜1，即0＜2x ＜20，所以x ＜0，即x ∈(－∞，0)． 答案：C4．若集合A ＝{y |y ＝2x，x ∈R }，B ＝{y |y ＝x 2，x ∈R }，则( ) A ．AB B ．AB C ．A ＝B D ．A ∩B ＝∅解析：A ＝{y |y ＞0}，B ＝{y |y ≥0}，所以A B .答案：A5．对于函数f (x )定义域中的任意的x 1、x 2(x 1≠x 2)，有如下的结论： ①f (x 1＋x 2)＝f (x 1)·f (x 2)；②f (x 1·x 2)＝f (x 1)＋f (x 2)； ③f (x 1)－f (x 2)x 1－x 2＞0；④f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 1＋x 22＜f (x 1)＋f (x 2)2.当f (x )＝10x时，上述结论中正确的是__________． 解析：因为f (x )＝10x，且x 1≠x 2，所以f (x 1＋x 2)＝1212101010x x xx +=⋅＝f (x 1)·f (x 2)，所以①正确；因为f (x 1·x 2)＝1212101010x x xx ⋅≠+＝f (x 1)＋f (x 2)，②不正确；因为f (x )＝10x是增函数，所以f (x 1)－f (x 2)与x 1－x 2同号， 所以f (x 1)－f (x 2)x 1－x 2＞0，所以③正确．因为函数f (x )＝10x图象如图3所示是上凹下凸的，可解得④正确．图3答案：①③④另解：④.∵10x 1＞0,10x 2＞0，x 1≠x 2，∴1210102xx +>1210102xx +>即121221010102x x x x ++>.∴f (x 1)＋f (x 2)2＞f ⎝⎛⎭⎪⎫x 1＋x 22.拓展提升在同一坐标系中作出下列函数的图象，讨论它们之间的联系． (1)①y ＝3x，②y ＝3x ＋1，③y ＝3x －1；(2)①y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ，②y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x －1，③y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ＋1.活动：学生动手画函数图象，教师点拨，学生没有思路，教师可以提示．学生回忆函数作图的方法与步骤，按规定作出图象，特别是关键点．解：如图4及图5.观察图4可以看出，y ＝3x，y ＝3x ＋1，y ＝3x －1的图象间有如下关系：y ＝3x ＋1的图象由y ＝3x 的图象左移1个单位得到； y ＝3x －1的图象由y ＝3x 的图象右移1个单位得到； y ＝3x －1的图象由y ＝3x ＋1的图象向右移动2个单位得到．观察图5可以看出，y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ，y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x －1，y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ＋1的图象间有如下关系：y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ＋1的图象由y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x 的图象左移1个单位得到；y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x －1的图象由y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x 的图象右移1个单位得到； y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x －1的图象由y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ＋1的图象向右移动2个单位得到． 你能推广到一般的情形吗？同学们留作思考．课堂小结思考本节课我们主要学习了哪些知识，你有什么收获？把你的收获写在笔记本上.活动：教师用多媒体显示以下内容，学生互相交流学习心得，看是否与多媒体显示的内容一致．本节课，在复习旧知识的基础上学习了数形结合的思想、函数与方程的思想，加深了对问题的分析能力，形成了一定的能力与方法．作业课本习题2.1 B组1,3,4.设计感想本节课主要是复习巩固指数函数及其性质，涉及的内容较多，要首先组织学生回顾指数函数的性质，为此，必须利用函数图象，数形结合，通过数与形的相互转化，借助形的直观性解决问题，本节课要训练学生能够恰当地构造函数，根据函数的单调性比较大小，有时要分a＞1,0＜a＜1，这是分类讨论的思想，因此加大了习题和练习的量，目的是让学生在较短的时间内，掌握学习的方法，提高分析问题和解决问题的能力，要加快速度，多运用现代化的教学手段．第3课时指数函数及其性质的应用(2)作者：刘玉亭导入新课思路1．我们在学习指数函数的性质时，利用了指数函数的图象的特点，并且是用类比和归纳的方法得出，在上节课的探究中我们知道，函数①y＝3x，②y＝3x＋1，③y＝3x－1的图象之间的关系，由其中的一个可得到另外两个的图象，那么，对y＝a x与y＝a x＋m(a＞0，m∈R)有着怎样的关系呢？在理论上，含有指数函数的复合函数是否具有奇偶性呢？这是我们本堂课研究的内容．教师点出课题：指数函数及其性质的应用(2)．思路2．我们在第一章中，已学习了函数的性质，特别是单调性和奇偶性是某些函数的重要特点，我们刚刚学习的指数函数，严格地证明了指数函数的单调性，便于我们在解题时应用这些性质，在实际生活中，往往遇到的不单单是指数函数，还有其他形式的函数，有的是指数函数的复合函数，我们需要研究它的单调性和奇偶性，这是我们面临的问题，也是我们本节课要解决的问题——指数函数及其性质的应用(2)．推进新课新知探究提出问题(1)指数函数有哪些性质？(2)利用单调性的定义证明函数单调性的步骤有哪些？(3)对复合函数，如何证明函数的单调性？(4)如何判断函数的奇偶性，有哪些方法？活动：教师引导，学生回忆，教师提问，学生回答，积极交流，及时评价学生，学生有困惑时加以解释，可用多媒体显示辅助内容．讨论结果：(1)指数函数的图象和性质一般地，指数函数y＝a x在底数a＞1及0＜a＜1这两种情况下的图象和性质如下表所示：图象分布在一、二象限，与轴相交，落在x轴的上方都过点(0,1)第一象限的点的纵坐标都大于1第二象限的点的纵坐标都大于第一象限的点的纵坐标都大于0且小于1；第二象限的点①取值．即设x1，x2是该区间内的任意两个值且x1＜x2.②作差变形．即求f(x2)－f(x1)，通过因式分解、配方、有理化等方法，向有利于判断差的符号的方向变形．③定号．根据给定的区间和x2－x1的符号确定f(x2)－f(x1)的符号，当符号不确定时，可以进行分类讨论．④判断．根据单调性定义作出结论．(3)对于复合函数y＝f(g(x))可以总结为：当函数f(x)和g(x)的单调性相同时，复合函数y＝f(g(x))是增函数；当函数f(x)和g(x)的单调性相异即不同时，复合函数y＝f(g(x))是减函数；又简称为口诀“同增异减”．(4)判断函数的奇偶性：一是利用定义法，即首先是定义域关于原点对称，再次是考查式子f(x)与f(－x)的关系，最后确定函数的奇偶性；二是作出函数图象或从已知图象观察，若图象关于原点或y轴对称，则函数具有奇偶性．应用示例例 1 在同一坐标系下作出下列函数的图象，并指出它们与指数函数y＝2x的图象的关系．(1)y＝2x＋1与y＝2x＋2；(2)y＝2x－1与y＝2x－2.活动：教师适当时候点拨，学生回想作图的方法和步骤，特别是指数函数图象的作法，学生回答并到黑板上作图，教师指点学生，列出对应值表，抓住关键点，特别是(0,1)点，或用计算机作图．解：(1)列出函数数据表作出图象如图6.图6比较可知函数y＝2x＋1、y＝2x＋2与y＝2x的图象的关系为：将指数函数y＝2x的图象向左平行移动1个单位长度，就得到函数y＝2x＋1的图象；将指数函数y＝2x的图象向左平行移动2个单位长度，就得到函数y＝2x＋2的图象．(2)列出函数数据表作出图象如图7.图7比较可知函数y ＝2x －1、y ＝2x －2与y ＝2x的图象的关系为：将指数函数y ＝2x的图象向右平行移动1个单位长度，就得到函数y ＝2x －1的图象；将指数函数y ＝2x的图象向右平行移动2个单位长度，就得到函数y ＝2x －2的图象．点评：类似地，我们得到y ＝a x与y ＝ax ＋m(a ＞0，a ≠1，m ∈R )之间的关系：y ＝a x ＋m (a ＞0，m ∈R )的图象可以由y ＝a x 的图象变化而来．当m ＞0时，y ＝a x的图象向左移动m 个单位得到y ＝ax ＋m的图象； 当m ＜0时，y ＝a x 的图象向右移动|m |个单位得到y ＝a x ＋m的图象．上述规律也简称为“左加右减”．例2 已知定义域为R 的函数f (x )＝2x ＋1＋a 是奇函数．(1)求a ，b 的值；(2)若对任意的t ∈R ，不等式f (t 2－2t )＋f (2t 2－k )＜0恒成立，求k 的取值范围． 活动：学生审题，考虑解题思路．求值一般是构建方程，求取值范围一般要转化为不等式，如果有困难，教师可以提示，(1)从条件出发，充分利用奇函数的性质，由于定义域为R ，所以f (0)＝0，f (－1)＝－f (1)，(2)在(1)的基础上求出f (x )，转化为关于k 的不等式，利用恒成立问题再转化．(1)解：因为f (x )是奇函数，所以f (0)＝0，即b －1a ＋2＝0⇒b ＝1.所以f (x )＝1－2xa ＋2x ＋1；。
高中数学第二章基本初等函数(Ⅰ)2.2.2对数函数及其性质教材梳理素材新人教A版必修1(new)
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2 对数函数及其性质疱丁巧解牛知识·巧学·升华一、对数函数及其性质1.对数函数一般地，函数y=log a x （a>0，a ≠1）叫对数函数，其中x 是自变量,函数的定义域是（0,+∞）。
因为对数函数是由指数函数变化而来的,对数函数的自变量x 恰好是指数函数的函数值y ，所以对数函数的定义域是（0，+∞）,指数函数与对数函数的定义域和值域是互换的。
只有形如y=log a x （a>0，a ≠1，x>0)的函数才叫对数函数。
像y=log a (x+1）,y=2log a x ，y=log a x+3等函数，它们是由对数函数变化而得到的，都不是对数函数。
对数函数同指数函数一样都是基本初等函数，它来自于实践.2.对数函数的图象和性质（1）下面先画指数函数y=log 2x 及y=log 1/2x 图象列出x ，y 的对应值表，用描点法画出图象：描点即可完成y=log 2x,y=x 21log 的图象，如下图.0 1 2 4 8 x—1—2 y=log 1/2x-3s由表及图可以发现:我们可以通过函数y=log 2x 的图象得到函数y=log 0。
5x 的图象．利用换底公式可以得到：y=log 0。
5x=-log 2x ，点（x,y)与点(x,-y ）关于x 轴对称，所以y=log 2x 的图象上任意一点(x ，y ）关于x 轴对称点(x ，-y ）在y=log 0。
5x 的图象上，反之亦然．根据这种对称性就可以利用函数y=log 2x 的图象画出函数y=log 0.5x 的图象．方法点拨 注意此处空半格①作对数函数图象,其关键是作出三个特殊点（a 1,-1),（1，0)，(a ，1）．一般情况下，作对数函数图象有这三点就足够了.不妨叫做“三点作图法。
"②函数y=log a x 与y=x a 1log 的图象关于x 轴对称。
（2）对数函数y=log a x 在底数a ＞1及0＜a ＜1这两种情况下的图象和性质如下表所示: a ＞1 0＜a ＜1图 象定义域（0，+∞） 值 域R 性 质 （1)过点（1,0），即x=1时，y=0要点提示（1）对数函数的图象恒在y轴右方.（2)对数函数的单调性取决于它的底数。
2017_2018学年高中数学第二章基本初等函数12.2.2对数函数及其性质2学案含解析新人教A版必
第二课时对数函数及其性质的应用(习题课)1．对数函数的定义是什么？略2．对数函数的定义域和值域分别是什么？略3．对数函数的图象与底数a之间有什么关系？略4．对数函数的单调性与底数a之间有什么关系？略5．对数函数y＝log a x的图象与指数函数y＝a x的图象之间有什么关系？所过定点的坐标是什么？略对数值的大小比较[例1](1)设a＝log32，b＝log52，c＝log23，则()A．a＞c＞b B．b＞c＞aC．c＞b＞a D．c＞a＞b(2)(全国丙卷)若a＞b＞0,0＜c＜1，则()A．log a c＜log b c B．log c a＜log c bC．a c＜b c D．c a＞c b[解析](1)∵3＜2＜3,1＜2＜5，3＞2，1 1∴log3 3＜log32＜log33，log51＜log52＜log5 5，log23＞log22，∴＜a＜1，0＜b＜，2 2 c＞1，∴c＞a＞b.(2)选B法一：因为0＜c＜1，所以y＝log c x在(0，＋∞)上单调递减，又0＜b＜a，所以log c a＜log c b.1 1 1 1 1 1 1法二：取a＝4，b＝2，c＝，则log4 ＝－＞log2 ，排除A；4 ＝2＞22，排除C；(2 )2 2 2 2 214＜(2 )2，排除D.[答案](1)D(2)B1[类题通法]比较对数值大小的方法比较对数式的大小，主要依据对数函数的单调性．(1)若底数为同一常数，则可由对数函数的单调性直接进行比较．(2)若底数为同一字母，则根据底数对对数函数单调性的影响，对底数进行分类讨论．(3)若底数不同，真数相同，则可以先用换底公式化为同底数后，再进行比较，也可以利用顺时针方向底数增大画出函数的图象，再进行比较．(4)若底数与真数都不同，则常借助1,0等中间量进行比较．[活学活用]比较下列各组中两个值的大小：(1)ln 0.3，ln 2；(2)log a3.1，log a5.2(a>0，且a≠1)；(3)log30.2，log40.2；(4)log3π，logπ3.解：(1)因为函数y＝ln x是增函数，且0.3<2，所以ln 0.3<ln 2.(2)当a>1时，函数y＝log a x在(0，＋∞)上是增函数，又因为3.1<5.2，所以log a3.1<log a5.2；当0<a<1时，函数y＝log a x在(0，＋∞)上是减函数，又因为3.1<5.2，所以log a3.1>log a5.2.1 1(3)因为0>log0.23>log0.24，所以< ，log0.23 log0.24即log30.2<log40.2.(4)因为函数y＝log3x是增函数，且π>3，所以log3π>log33＝1.同理，1＝logππ>logπ3，所以log3π>logπ3.求解对数不等式1[例2](1)已知log a>1，则a的取值范围为________．2(2)已知log0.72x<log0.7(x－1)，则x的取值范围为________．1(3)当0＜x≤时，4x＜log a x，则a的取值范围是________．221 1[解析] (1)由 log a >1得 log a >log a a .2 2 1①当 a >1时，有 a < ，此时无解．2 1 ②当 0<a <1时，有 <a ，2 1 从而 <a <1.21∴a 的取值范围是(，1 ).2(2)∵函数 y ＝log 0.7x 在(0，＋∞)上为减函数， ∴由 log 0.72x <log 0.7(x －1)得Error!解得 x >1， 即 x 的取值范围是(1，＋∞)．1(3)易知 0＜a ＜1，则函数 y ＝4x与 y ＝log a x 的大致图象如图所示，则只需满足 log a ＞2，22解得 a ＞ ，22∴ ＜a ＜1. 21[答案] (1)(，1 ) (2)(1，＋∞) (3)(22，1)2[类题通法]常见对数不等式的解法常见的对数不等式有三种类型：(1)形如 log a x >log a b 的不等式，借助 y ＝log a x 的单调性求解，如果 a 的取值不确定，需 分 a >1与 0<a <1两种情况讨论．(2)形如 log a x >b 的不等式，应将 b 化为以 a 为底数的对数式的形式，再借助 y ＝log a x 的 单调性求解．(3)形如 log a x >log b x 的不等式，可利用图象求解． [活学活用]若 a >0且 a ≠1，且 log a (2a ＋1)<log a 3a <0，求 a 的取值范围． 解：不等式可化为 log a (2a ＋1)<log a 3a <log a 1， 等价于Error!或Error!31 1 解得<a<1，即a的取值范围为.3 (，1 )3对数函数性质的综合应用[例3](1)下列函数中，既是单调函数，又是奇函数的是()A．y＝x－1 B．y＝3|x|C．y＝log3x D．y＝log23x(2)已知f(x)＝log a(a－a x)(a>1)．①求f(x)的定义域和值域；②判断并证明f(x)的单调性．[解](1)选D y＝x－1在定义域内不是单调函数；y＝3|x|为偶函数；y＝log3x既不是奇函数也不是偶函数，故A，B，C均不正确．又∵log23－x＝log2(3x)－1＝－log23x，log23x的定义域为R，∴函数y＝log23x为奇函数．又∵y＝log23x在(－∞，＋∞)上为增函数，∴选D.(2)①由a>1，a－a x>0，即a>a x，得x<1.故f(x)的定义域为(－∞，1)．由0<a－a x<a，可知log a(a－a x)<log a a＝1.故函数f(x)的值域为(－∞，1)．②f(x)在(－∞，1)上为减函数，证明如下：任取1>x1>x2，又∵a>1，∴ax1>ax2，∴a－ax1<a－ax2，∴log a(a－ax1)<log a(a－ax2)，即f(x1)<f(x2)，故f(x)在(－∞，1)上为减函数．[类题通法]解决对数函数综合问题的方法对数函数常与函数的奇偶性、单调性、最值以及不等式等问题综合，求解中通常会涉及对数运算．解决此类综合问题，首先要将所给的条件进行转化，然后结合涉及的知识点，明确各知识点的应用思路、化简方向，与所求目标建立联系，从而找到解决问题的思路．[活学活用]已知函数f(x)＝log a(3－ax)，(1)当x∈[0,2]时，函数f(x)恒有意义，求实数a的取值范围．4(2)是否存在实数 a ，使得函数 f (x )在区间[1,2]上为减函数，并且最大值为 1？如果存在， 试求出 a 的值；如果不存在，请说明理由．解：(1)由题设，3－ax >0对 x ∈[0,2]恒成立，且 a >0，a ≠1. 设 g (x )＝3－ax ，则 g (x )在[0,2]上为减函数， 3 ∴g (x )min ＝g (2)＝3－2a >0，∴a < .23∴a 的取值范围是(0,1)∪(1，2 ).(2)假设存在这样的实数 a ，则由题设知 f (1)＝1， 3即 log a (3－a )＝1，∴a ＝ .2此时 f (x )＝log 32 3 (3－ x ).2但 x ＝2时，f (x )＝log 3 20无意义．故这样的实数 a 不存在．7.对数函数与方程、不等式的综合问题1xx[典例] (12分)已知 x 满足不等式－3≤log 0.5x ≤ ，求函数 f (x )＝·的最2(log 22) (log 24)值．[解题流程]5[活学活用]1 1设x∈[2,8]，函数f(x)＝log a(ax)·log a(a2x)的最大值是1，最小值是－，求a的值．2 81解：f(x)＝(log a x＋1)·(log a x＋2)21＝[(log a x)2＋3log a x＋2]21 3 1＝2(log 2)2－，a x＋8由题设，1 3∵f(x)min＝－，这时log a x＝－，8 2又∵x∈[2,8]，∴a∈(0,1)．∵f(x)是关于log a x的二次函数，∴函数最大值必在x＝2或x＝8时取得．1 3 1 若2(log 2)2－＝1，a2＋8则a＝23 2.取得最小值时x＝(213-3) 2＝2<2，这时x∈/[2,8]，舍去．1 3 1 若2(log a8＋2)2－＝1，81则a＝，26311 此时取得最小值时 x ＝(2 ) 2＝2 2∈[2,8]，符合题意，∴a ＝ .2[随堂即时演练]1．设 a ＝log 54，b ＝log 53，c ＝log 45，则( ) A ．a ＜c ＜b B ．b ＜c ＜a C ．a ＜b ＜cD ．b ＜a ＜c解析：选 D 由于 b ＝log 53＜a ＝log 54＜1＜log 45＝c ， 故 b ＜a ＜c .2．函数 f (x )＝lg|x |为( )A ．奇函数，在区间(0，＋∞)上是减函数B ．奇函数，在区间(0，＋∞)上是增函数C ．偶函数，在区间(－∞，0)上是增函数D ．偶函数，在区间(－∞，0)上是减函数解 析：选 D 已知函数定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)，关于坐标原点对称，且 f (－x )＝ lg|－x |＝lg|x |＝f (x )，所以它是偶函数．又当 x ＞0时，f (x )＝lg x 在区间(0，＋∞)上是增 函数．又因为 f (x )为偶函数，所以 f (x )＝lg|x |在区间(－∞，0)上是减函数．3．不等式 log 1 2(2x ＋1)>log 12(3－x )的解集为________．解析：由题意Error!⇒Error! 1 2⇒－ <x < .2 3 答案：Error!14．设 a >1，函数 f (x )＝log a x 在区间[a,2a ]上的最大值与最小值之差为 ，则 a ＝2 ________.解析：∵a >1，∴f (x )＝log a x 在[a,2a ]上递增， 1 1∴log a (2a )－log a a ＝ ，即 log a 2＝ ，2 21∴a 2 ＝2，∴a ＝4.答案：45．已知函数 f (x )＝log a (1＋x )，g (x )＝log a (1－x )，其中 a >0且 a ≠1，设 h (x )＝f (x )－g (x )．(1)求函数 h (x )的定义域，判断 h (x )的奇偶性，并说明理由；7(2)若f(3)＝2，求使h(x)<0成立的x的集合．解：(1)∵f(x)＝log a(1＋x)的定义域为{x|x>－1}，g(x)＝log a(1－x)的定义域为{x|x<1}，∴h(x)＝f(x)－g(x)的定义域为{x|x>－1}∩{x|x<1}＝{x|－1<x<1}．∵h(x)＝f(x)－g(x)＝log a(1＋x)－log a(1－x)，∴h(－x)＝log a(1－x)－log a(1＋x)＝－[log a(1＋x)－log a(1－x)]＝－h(x)，∴h(x)为奇函数．(2)∵f(3)＝log a(1＋3)＝log a4＝2，∴a＝2.∴h(x)＝log2(1＋x)－log2(1－x)，∴h(x)<0等价于log2(1＋x)<log2(1－x)，∴Error!解得－1<x<0.故使h(x)<0成立的x的集合为{x|－1<x<0}．[课时达标检测]一、选择题1．若点(a，b)在y＝lg x的图象上，且a≠1，则下列点也在此图象上的是() 1A.(，b)B．(10a,1－b)a10C.(，b＋1)D．(a2,2b)a解析：选D因为点(a，b)在y＝lg x图象上，所以b＝lg a.1 1当x＝时，有y＝lg ＝－lg a＝－b，a a1所以点(，b )不在函数图象上，A不正确；a当x＝10a时，有y＝lg(10a)＝1＋lg a＝1＋b，所以点(10a,1－b)不在函数图象上，B不正确；10 10当x＝时，有y＝lg ＝1－lg a＝1－b，a a10所以点(，b＋1)不在函数图象上，C不正确；a当x＝a2时，有y＝lg a2＝2lg a＝2b，所以点(a2,2b)在函数图象上，D正确．32．若log a<1(a>0，且a≠1)，则实数a的取值范围是()43A.(0，4 )3B.(0，4 )∪(1，＋∞)8C．(1，＋∞)D．(0,1)3 解析：选B当a>1时，log a<0<1，成立．4当0<a<1时，y＝log a x为减函数．3 3由log a<1＝log a a，得0<a< .4 43 综上所述，0＜a＜或a>1.43．设函数f(x)＝Error!则满足f(x)≤2的x的取值范围是()A．[－1,2] B．[0,2]C．[1，＋∞)D．[0，＋∞)解析：选D当x≤1时，由f(x)≤2可得21－x≤2，解得0≤x≤1；当x＞1时，f(x)＝1－log2x＜1，即f(x)≤2恒成立．故x的取值范围是[0，＋∞)．4．函数f(x)＝|log x|的单调递增区间是()121A.(0，2 ]B．(0,1]C．(0，＋∞)D．[1，＋∞)解析：选D f(x)的图象如图所示，由图象可知单调递增区间为[1，＋∞)．5．已知y＝log a(2－ax)在[0,1]上为x的减函数，则a的取值范围为()A．(0,1) B．(1,2)C．(0,2) D．[2，＋∞)解析：选B题目中隐含条件a>0，当a>0时，2－ax为减函数，故要使y＝log a(2－ax)在[0,1]上是减函数，则a>1，且2－ax在x∈[0,1]时恒为正数，即2－a>0，故可得1<a<2.二、填空题6．比较大小：log0.2π________(填“<”“>”或“＝”)log0.23.14.9解析：∵y＝log0.2x在定义域上为减函数，且π>3.14，∴log0.2π<log0.23.14.答案：<7．设函数f(x)＝若f(a)＞f(－a)，则实数a的取值范围是________．解析：①若a＞0，则－a＜0，∴log2a＞log121 1a⇒log2a＞log2 ⇒a＞⇒a＞1.a a②若a＜0，则－a＞0，log (－a)＞log2(－a)121⇒log2(－a )＞log2(－a)1⇒－＞－a⇒a∈(－1,0)．a由①②可知a∈(－1,0)∪(1，＋∞)．答案：(－1,0)∪(1，＋∞)8．已知实数a，b满足log12a＝log13b，下列五个关系式：①a>b>1，②0<b<a<1，③b>a>1，④0<a<b<1，⑤a＝b.其中可能成立的关系式有________(填序号)．1 1解析：当a＝b＝1；或a＝，b＝；或a＝2，b＝3时，都有log2 3 12a＝log13b.故②③⑤均可能成立．答案：②③⑤三、解答题9．已知函数f(x)＝log a(1－x)＋log a(x＋3)，其中0<a<1.(1)求函数f(x)的定义域；(2)若函数f(x)的最小值为－4，求a的值．解：(1)要使函数有意义，则有Error!解得－3<x<1，所以函数的定义域为(－3,1)．10(2)函数可化为：f(x)＝log a(1－x)(x＋3)＝log a(－x2－2x＋3)＝log a[－(x＋1)2＋4]，∵－3<x<1，∴0<－(x＋1)2＋4≤4.∵0<a<1，∴log a[－(x＋1)2＋4]≥log a4，即f(x)min＝log a4.由log a4＝－4，得a－4＝4，12∴a＝4 4＝.210．已知函数f(x)＝ln(a x－b x)(a>1>b>0)．(1)求函数f(x)的定义域；(2)判断函数f(x)在定义域上的单调性，并说明理由．解：(1)要使f(x)＝ln(a x－b x)(a>1>b>0)有意义，a 需有a x－b x>0，即( )x>1.b∵a>1>b，a∴>1.b∴x>0.即所求函数f(x)的定义域为(0，＋∞)．(2)函数f(x)在定义域上是单调递增函数．证明：任取x1，x2∈(0，＋∞)，且x1<x2.∵a>1>b>0，∴ax1<ax2，bx1>bx2，∴ax1－bx1<ax2－bx2.∴ln(ax1－bx1)<ln(ax2－bx2)∴f(x1)<f(x2)．∴函数f(x)在定义域(0，＋∞)上是单调递增函数．111．若不等式x2－log m x＜0在(0，2 )内恒成立，求实数m的取值范围．解：由x2－log m x＜0，得x2＜log m x.1 1要使x2＜log m x在(0，2 )内恒成立，只要y＝log m x在(0，2 )内的图象在y＝x2图象的上方即可，11于是0＜m＜1.1 1 ∵x＝时，y＝x2＝，2 41 1 1∴只要当x＝时，y＝log m≥＝log m m2 2 4 14即可．1 ∴≤m2 14，1 即≤m.16又∵0＜m＜1，1∴≤m＜1，161即实数m的取值范围是[，1).16 1－x12．已知f(x)＝lg 的定义域为(－1,1)．1＋x1 1(1)求f(2 013)＋f(－2 013)；(2)探究函数f(x)的单调性，并证明．1＋x1－x 解：(1)∵函数的定义域为(－1,1)，关于坐标原点对称，又f(－x)＝lg ＝－lg ＝－1－x1＋x f(x)，∴f(x)为奇函数．1 1 1 1∴f( )＋f(－)＝f( )－f( )＝0.2 013 2 013 2 013 2 013(2)先探究函数f(x)在(0,1)上的单调性．设任意x1，x2∈(0,1)，x1<x2，则1－x1 1－x2f(x1)－f(x2)＝lg －lg1＋x1 1＋x21－x1 1＋x2＝lg( ·)1＋x1 1－x21－x1x2＋x2－x1＝lg .1－x1x2－x2－x 1∵0<x1<x2<1，∴1－x1x2＋x2－x1>1－x1x2－(x2－x1)>0，1－x1x2＋x2－x1∴>1.1－x1x2－x2－x 11－x1x2＋x2－x1∴lg >0，1－x1x2－x2－x 1即f(x1)－f(x2)>0，12∴f(x)为(0,1)上的减函数．又f(x)为奇函数，所以f(x)在(－1,1)上是减函数．13。
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2．2.2 对数函数及其性质第一课时 对数函数的图象及性质[提出问题]在指数函数中我们已经知道，某种放射性物质若最初的质量为1，第二年的剩留量为上一年的0.84，则经过x 年，该物质的剩留量为y ＝0.84x.问题1：经过多少年这种物质的剩留量为0.5? 提示：0.84x＝0.5⇒x ＝log 0.840.5.问题2：若经过y 年的剩留量为x ，能用x 表示y 吗？ 提示：能．y ＝log 0.84x .问题3：“问题2”的等式中y 是x 的函数吗？ 提示：是，符合函数的定义． [导入新知]对数函数的定义函数y ＝log a x (a ＞0，且a ≠1)叫做对数函数，其中x 是自变量，函数的定义域是(0，＋∞)．[化解疑难]对数函数概念的注意点(1)对数函数的概念与指数函数类似，都是形式定义，注意辨别．如：y ＝2log 2x ，y ＝log 5x5都不是对数函数，可称其为对数型函数．(2)由指数式与对数式的关系知，对数函数的自变量x 恰好是指数函数的函数值y ，所以对数函数的定义域是(0，＋∞)．(3)对数函数对底数的限制：a >0，且a ≠1.[提出问题问题1：试作出y ＝log 2x 和y ＝log 12x 的图象．提示：如图所示：问题2：两图象与x轴交点坐标是什么？提示：交点坐标为(1,0)．问题3：两函数单调性如何？x是减函数．提示：y＝log2x是增函数，y＝log12问题4：函数y＝2x与y＝log2x的图象有什么关系？定义域、值域有什么关系？提示：图象关于直线y＝x对称，定义域和值域互换．[导入新知]1．对数函数的图象与性质2．对数函数与指数函数的关系指数函数y＝a x和对数函数y＝log a x(a>0，且a≠1)互为反函数．[化解疑难]a对对数函数的图象的影响(1)底数a与1的大小关系决定了对数函数图象的“升降”：当a>1时，对数函数的图象“上升”；当0<a<1时，对数函数的图象“下降”．(2)底数的大小决定了图象相对位置的高低：不论是a>1还是0<a<1，在第一象限内，自左向右，图象对应的对数函数的底数逐渐变大．x(a>0，且a≠1)的图象关于x轴对称．(3)函数y＝log a x与y＝log1a[例1]①y＝log a x2(a>0，且a≠1)；②y＝log2x－1；③y＝2log8x；④y＝log x a(x>0，且x≠1)；⑤y＝log5x.[解] ∵①中真数不是自变量x，∴不是对数函数；∵②中对数式后减1，∴不是对数函数；∵③中log8x前的系数是2，而不是1，∴不是对数函数；∵④中底数是自变量x，而非常数a，∴不是对数函数．⑤为对数函数．[类题通法]判断一个函数是否为对数函数的方法判断一个函数是对数函数必须是形如y＝log a x(a>0，且a≠1)的形式，即必须满足以下条件：①系数为1；②底数为大于0且不等于1的常数；③对数的真数仅有自变量x.[活学活用]函数f(x)＝(a2－a＋1)log(a＋1)x是对数函数，则实数a＝________.解析：a2－a＋1＝1，解得a＝0或1.又a＋1>0，且a＋1≠1，∴a＝1.答案：1[例2] (1)函数y＝log a(x＋1)－2(a>0，且a≠1)的图象恒过点________．(2)如图所示的曲线是对数函数y＝log a x，y＝log b x，y＝log c x，y＝log d x的图象，则a，b，c，d与1的大小关系为________．[解析] (1)因为函数y＝log a x(a>0，且a≠1)的图象恒过点(1,0)，则令x＋1＝1得x ＝0，此时y＝log a(x＋1)－2＝－2，所以函数y＝log a(x＋1)－2(a>0，且a≠1)的图象恒过点(0，－2)．(2)由图可知函数y＝log a x，y＝log b x的底数a>1，b>1，函数y＝log c x，y＝log d x的底数0<c<1,0<d<1.过点(0,1)作平行于x轴的直线，则直线与四条曲线交点的横坐标从左向右依次为c，d，a，b，显然b>a>1>d>c.[答案] (1)(0，－2) (2)b>a>1>d>c[类题通法]1．对数函数图象过定点问题求函数y＝m＋log a f(x)(a>0，且a≠1)的图象过的定点时，只需令f(x)＝1求出x，即得定点为(x，m)．2．对数函数图象的判断根据对数函数图象判断底数大小的方法：作直线y＝1与所给图象相交，交点的横坐标即为各个底数，依据在第一象限内，自左向右，图象对应的对数函数的底数逐渐变大，可比较底数的大小．[活学活用]已知a>0，且a≠1，则函数y＝a x与y＝log a(－x)的图象只能是( )解析：选B 法一：若0<a<1，则函数y＝a x的图象下降且过点(0,1)，而函数y＝log a(－x)的图象上升且过点(－1,0)，题中图象均不符合．若a >1，则函数y ＝a x的图象上升且过点(0,1)，而函数y ＝log a (－x )的图象下降且过点(－1,0)，只有B 中图象符合．法二：首先指数函数y ＝a x的图象只可能在上半平面，函数y ＝log a (－x )的图象只可能在左半平面，从而排除A ，C ；再看单调性，y ＝a x与y ＝log a (－x )的单调性正好相反，排除D.只有B 中图象符合．[例3] (1)y ＝log 5(1－x )； (2)y ＝log 1－x 5； (3)y ＝1lg x ＋1 －3；(4)y ＝log a 4x －3 (a ＞0，且a ≠1)．[解] (1)要使函数式有意义，需1－x >0，解得x <1， 所以函数y ＝log 5(1－x )的定义域是{x |x <1}．(2)要使函数式有意义，需⎩⎪⎨⎪⎧1－x >0，1－x ≠1，解得x <1，且x ≠0，所以函数y ＝log 1－x 5的定义域是{x |x <1，且x ≠0}．(3)由⎩⎪⎨⎪⎧lg x ＋1 －3≠0，x ＋1＞0，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1≠103，x ＞－1，∴x ＞－1，且x ≠999，∴函数的定义域为{x |x ＞－1，且x ≠999}． (4)log a (4x －3)≥0⇒log a (4x －3)≥log a 1. 当a ＞1时，有4x －3≥1，x ≥1. 当0＜a ＜1时，有0＜4x －3≤1， 解得34＜x ≤1.综上所述，当a ＞1时，函数的定义域为[1，＋∞)，当0＜a ＜1时，函数的定义域为⎝ ⎛⎦⎥⎤34，1. [类题通法]求对数函数定义域应注意的问题定义域是使解析式有意义的自变量的取值集合，求与对数函数有关的定义域问题时，要注意对数函数的概念，若自变量在真数上，则必须保证真数大于0；若自变量在底数上，应保证底数大于0且不等于1.[活学活用]求下列函数的定义域： (1)y ＝1log 2x； (2)y ＝lg x －3 ； (3)y ＝log 2(16－4x)； (4)y ＝log x －1(3－x )．解：(1)要使函数式有意义，需⎩⎪⎨⎪⎧x >0，log 2x ≠0，解得x >0，且x ≠1. ∴函数y ＝1log 2x的定义域是{x |x >0，且x ≠1}． (2)要使函数式有意义，需⎩⎪⎨⎪⎧x －3>0，lg x －3 ≥0，即⎩⎪⎨⎪⎧x －3>0，x －3≥1，解得x ≥4.∴所求函数的定义域是{x |x ≥4}．(3)要使函数式有意义，需16－4x>0，解得x <2. ∴所求函数的定义域是{x |x <2}． (4)要使函数式有意义， 需⎩⎪⎨⎪⎧3－x >0，x －1>0，x －1≠1，解得1<x <3，且x ≠2.∴所求函数的定义域是{x |1<x <3，且x ≠2}．6.对数型函数的值域 或最值 问题[典例] (12分)设x ≥0，y ≥0，且x ＋2y ＝12，求函数z ＝log 12(8xy ＋4y 2＋1)的最大值与最小值．[活学活用]求下列函数的值域：(1)y＝log2(x2＋4)；(2)y＝log12(3＋2x－x2)．解：(1)y＝log2(x2＋4)的定义域为R.∵x2＋4≥4，∴log2(x2＋4)≥log24＝2.∴y＝log2(x2＋4)的值域为{y|y≥2}．(2)设u＝3＋2x－x2，则u＝－(x－1)2＋4≤4.∵u>0，∴0＜u≤4.又∵y＝log12u在(0，＋∞)上是减函数，∴log12u≥log124＝－2，∴y＝log12(3＋2x－x2)的值域为{y|y≥－2}．[随堂即时演练]1．函数y ＝1log 2 x －2 的定义域是( )A ．(－∞，2)B ．(2，＋∞)C ．(2,3)∪(3，＋∞)D ．(2,4)∪(4，＋∞)解析：选C 要使函数有意义，应满足⎩⎪⎨⎪⎧x －2＞0，log 2 x －2 ≠0，即⎩⎪⎨⎪⎧x ＞2，x －2≠1，解得x ＞2且x ≠3.2．当a >1时，函数y ＝log a x 和y ＝(1－a )x 的图象只能是( )解析：选B 因为a >1，所以y ＝log a x 为增函数，且函数图象过定点(1,0)，故排除C ，D.又因为1－a <0，所以直线y ＝(1－a )x 应过原点，且经过第二象限和第四象限．3．已知对数函数过点(2,4)，则f (x )的解析式为________． 解析：设f (x )＝log a x ，则由f (2)＝log a 2＝4，得a 4＝2， ∴a ＝42，∴f (x )＝x . 答案：f (x )＝x 4．函数f (x )＝ax －2＋log a (x －1)＋1(a >0，a ≠1)的图象必经过点________．解析：当x ＝2时，f (2)＝a 0＋log a 1＋1＝2，所以图象必经过点(2,2)． 答案：(2,2)5．已知函数f (x )＝log 3x . (1)作出这个函数的图象；(2)若f (a )<f (2)，利用图象求a 的取值范围． 解：(1)作出函数y ＝log 3x 的图象如图所示．(2)令f (x )＝f (2)，即log 3x ＝log 32， 解得x ＝2.由图象知：当0<a <2时，恒有f (a )<f (2)． ∴所求a 的取值范围为{a |0<a <2}．[课时达标检测]一、选择题1．函数y ＝2＋log 2x (x ≥1)的值域为( ) A ．(2，＋∞) B ．(－∞，2) C ．[2，＋∞)D ．[3，＋∞)解析：选C 当x ≥1时，log 2x ≥0，所以y ＝2＋log 2x ≥2. 2．函数y ＝的定义域是( )A ．[1，＋∞)B ．(0，＋∞)C ．[0,1]D ．(0,1]解析：选D 由函数的解析式得log 12(2x－1)≥0＝log 121.∴0<2x －1≤1，解得1＜2x≤2,0＜x ≤1.3．已知a ＞0，且a ≠1，函数y ＝log a x ，y ＝a x，y ＝x ＋a 在同一坐标系中的图象可能是( )解析：选C 对于A ，由指数函数知a ＞1，而此时一次函数a ＜1，不符合；对于B ，由指数函数知a ＞1，而此时由对数函数知0＜a ＜1，不符合；对于C ，都符合；对于D ，由指数函数知0＜a ＜1，而由一次函数知a ＞1，不符合，故选C.4．若函数y ＝f (x )是函数y ＝a x(a >0，且a ≠1)的反函数，且f (2)＝1，则f (x )＝( ) A ．log 2x B.12x C ．log 12xD ．2x －2解析：选A 函数y ＝a x(a >0，且a ≠1)的反函数是f (x )＝log a x ， 又因为f (2)＝1，即log a 2＝1，所以a ＝2.故f (x )＝log 2x .5.已知a ＜b ，函数f (x )＝(x －a )·(x －b )的图象如图所示，则函数g (x )＝log b (x ＋a )的图象可能为( )解析：选B 由题图可知0＜a ＜1＜b ，故函数g (x )单调递增，排除A 、D ，结合a 的范围可知选B.二、填空题6．设g (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧e x，x ≤0，ln x ，x >0，则g ⎝ ⎛⎭⎪⎫g ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝________.解析：∵g ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝ln 12<0， ∴g ⎝ ⎛⎭⎪⎫g ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝e 1ln 2＝12.答案：127.函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ax ＋b ，x ≤0，log c x ＋19 ，x ＞0的图象如图所示，则a ＋b＋c ＝______.解析：由图象可求得直线的方程为y ＝2x ＋2，即a ＝2，b ＝2，又因为函数y ＝log c ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋19的图象过点(0,2)，将其坐标代入可得c ＝13，所以a ＋b ＋c ＝2＋2＋13＝133.答案：1338．已知函数y ＝|log 12x |的定义域为⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，m ，值域为[0,1]，则m 的取值范围为________．解析：作出y ＝|log 12x |的图象(如图)，可知f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝f (2)＝1，由题意结合图象知：1≤m ≤2. 答案：[1,2] 三、解答题9．求下列函数的定义域： (1)y ＝lg 2－x ； (2)y ＝1log 3 3x －2；(3)y ＝log (2x －1)(－4x ＋8)．解：(1)由题意得⎩⎪⎨⎪⎧lg 2－x ≥0，2－x >0，即⎩⎪⎨⎪⎧2－x ≥1，2－x >0.∴x ≤1，即y ＝lg 2－x 的定义域为{ x |}x ≤1.(2)由⎩⎪⎨⎪⎧log 3 3x －2 ≠0，3x －2>0，得⎩⎪⎨⎪⎧3x －2≠1，3x >2.解得x >23，且x ≠1.∴y ＝1log 3 3x －2 的定义域为xx >23，且x ≠1.(3)由题意得⎩⎪⎨⎪⎧－4x ＋8>0，2x －1>0，2x －1≠1，解得⎩⎪⎨⎪⎧x <2，x >12，x ≠1.∴y ＝log (2x －1)(－4x ＋8)的定义域为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪12<x <2，且x ≠1. 10．已知函数f (x )＝log a x ＋1x －1(a >0，且a ≠1)． (1)求f (x )的定义域； (2)判断函数的奇偶性．解：(1)要使函数有意义，则有x ＋1x －1>0， 即⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋1>0，x －1>0或⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1<0，x －1<0，解得x >1或x <－1，此函数的定义域为(－∞，－1)∪(1，＋∞)，关于原点对称．(2)f (－x )＝log a －x ＋1－x －1＝log a x －1x ＋1＝－log a x ＋1x －1＝－f (x )．∴f (x )为奇函数．11．已知f (x )＝2＋log 3x ，x ∈[1,9]，求y ＝[f (x )]2＋f (x 2)的最大值，及y 取最大值时x 的值．解：∵f (x )＝2＋log 3x ，x ∈[1,9]， ∴y ＝[f (x )]2＋f (x 2) ＝(2＋log 3x )2＋(2＋log 3x 2)＝(log 3x )2＋6log 3x ＋6＝(log 3x ＋3)2－3. ∵函数f (x )的定义域为[1,9]，∴要使函数y ＝[f (x )]2＋f (x 2)有意义，必须满足⎩⎪⎨⎪⎧1≤x 2≤9，1≤x ≤9，∴1≤x ≤3.令u ＝log 3x ，则0≤u ≤1.又∵函数y ＝(u ＋3)2－3在[－3，＋∞)上是增函数， ∴当u ＝1，即x ＝3时，函数y ＝(u ＋3)2－3取得最大值13. 故当x ＝3时，函数y ＝[f (x )]2＋f (x 2)取得最大值13.12．(1)已知函数y ＝lg(x 2＋2x ＋a )的定义域为R ，求实数a 的取值范围；(2)已知函数f (x )＝lg[(a 2－1)x 2＋(2a ＋1)x ＋1]，若f (x )的定义域为R ，求实数a 的取值范围．解：(1)因为y ＝lg(x 2＋2x ＋a )的定义域为R ， 所以x 2＋2x ＋a >0恒成立，所以Δ＝4－4a <0， 所以 a >1.故a 的取值范围是(1，＋∞)．(2)依题意(a 2－1)x 2＋(2a ＋1)x ＋1>0对一切x ∈R 恒成立． 当a2－1≠0时，⎩⎪⎨⎪⎧a 2－1>0，Δ＝ 2a ＋1 2－4 a 2－1 <0.解得a <－54.当a 2－1＝0时，显然(2a ＋1)x ＋1>0，对x ∈R 不恒成立． 所以a 的取值范围是(－∞，－54)．。