华东师范大学高等数学B历年试题2004
考研数学高数部分试卷与解答2004
《考研数学试卷》2004高数部份一、填空题[2004.三.1.4][2004.四.1.4]若()0sin limcos 5xx x x b e a→-=-，则a =1，b=4-[2004.二.1.4]设()()21lim1n n xf x nx →∞-=+，则()f x 的间断点为x =0[2004.一.1.4]曲线ln y x =上与直线1x y +=垂直的切线方程为1y x =-[2004.二.2.4]设函数()y x 由参数方程333131x t t y t t ⎧=++⎪⎨=-+⎪⎩确定，则曲线()y y x =向上凸的x 取值范围为(,1]-∞[2004.四.3.4]设arctan lnxy e =-1x dy dx==211e e -+[2004.一.2.4]已知()x x f e xe -'=，且()10f =，则()f x =()21ln 2x[2004.三.3.4][2004.四.2.4]设()211,2211,2x xe x f x x ⎧-≤<⎪⎪=⎨⎪-≥⎪⎩，则()2121f x dx -=⎰12-[2004.二.3.4]1+∞=⎰2π[2004.三.2.4]函数(),f u v 由关系式()(),f xg y y x g y =+⎡⎤⎣⎦确定，其中函数()g y 可微，且()0g y ≠，则2f u v∂=∂∂()()2g v g v '-⎡⎤⎣⎦[2004.二.4.4]设函数(,)z z x y =由方程232x zz ey -=+确定，则3z z xy∂∂+=∂∂2[2004.一.3.4]设L 为正向圆周222x y +=在第一象限中的部分，则曲线积分2Lxdy ydx -⎰的值为32π[2004.一.4.4]欧拉方程()2224200d y dy xxy x dxdx++=>的通解为122c c yxx=+[2004.二.5.4]微分方程()320y x dx xdy +-=满足()615y =的解为315y x =+二、单项选择题[2004.三.7.4][2004.四.7.4]函数()()()()2sin 212x x f x x x x -=--在下列那个区间内有界（A ）A.(1,0)-B.()0,1C.()1,2D. ()2,3 [2004.三.8.4][2004.四.8.4]设()f x 在(),-∞+∞内有定义，且()()1,0lim ,0,0x f x f x a g x x x →∞⎧⎛⎫≠⎪ ⎪==⎝⎭⎨⎪=⎩，则（D ） A.0x =必是()g x 的第一类间断点 B. 0x =必是()g x 的第二类间断点 C. 0x =必是()g x 的连续点 D. ()g x 在点0x =处的连续性与a 的取值有关 [2004.一.7.4][2004.二.7.4]把0x +→时的无穷小量223cos ,tan,sin xxtdt tdt αβγ===⎰⎰⎰排列起来，使排在后面的是前一个的高阶无穷小，则正确的排列次序是（B ）A ,,αβγB ,,αγβC ,,βαγD ,,βγα[2004.一.8.4][2004.二.10.4]设()f x 连续,且()00f '>，则存在0δ>，使得（C ） A. ()f x 在()0,δ内单调增加 B. ()f x 在(),0δ-内单调减少 C. 对任意()0,x δ∈有()()0f x f > D. 对任意(),0x δ∈-有()()0f x f >[2004.三.11.4][2004.四.11.4]设()f x '在[],a b 上连续，且()()0,0f a f b ''><，则下列结论种错误的是（D ）A. 至少存在一点()0,x a b ∈，使得()()0f x f a >B. 至少存在一点()0,x a b ∈，使得()()0f x f b >C. 至少存在一点()0,x a b ∈，使得()00f x '=D. 至少存在一点()0,x a b ∈，使得()00f x =[2004.二.8.4][2004.三.9.4][2004.四.9.4]设()()1f x x x =-，则（C ）A. 0x =是()f x 的极值点，但()0,0不是曲线()y f x =的拐点B. 0x =不是()f x 的极值点，但()0,0是曲线()y f x =的拐点C. 0x =是()f x 的极值点，且()0,0不是曲线()y f x =的拐点D. 0x =不是()f x 的极值点，()0,0也不是曲线()y f x =的拐点[2004.二.9.4]lim lnn →∞=（B ）A.221ln xdx ⎰ B.212ln xdx ⎰ C.212ln(1)x dx +⎰ D.221ln (1)x dx +⎰[2004.四.10.4]设()()()01,00,0,1,0xx f x x F x f t dt x >⎧⎪===⎨⎪-<⎩⎰，则（B ）A.()F x 在0x =点不连续。
2004-2005 学年第二学期大学数学分析试题及答案
一：填空（20 分）
1、函数 f (x) = e x 的带有拉格朗日型余项的麦克劳林公式为
。
2、设 f(x)为区间 I 上的可导函数，则 f 为 I 上的凸函数的充要条件为 f (x)
f (x1) + f (x1)(x2 − x1)
n+1
,
n
=
(4
1,2,
分)
n
所以当 x (0,2) 时,
f (x) = x = 4 (−1)n+1 sin nx = 4 sin x − 1 sin 2x + 1 sin 3x + (6 分)
n
2 2 2 2 3 2
5、因 an
=
n(n
1 + 1)(n
+
2)
=
1 2
1
n(n
+
1)
−
(n
由罗尔定理存在 (,1) (0,1) 使得 F ( ) = 0 ，即 f ( ) = − f ( ) （4 分）
23
n
，当 x = −1时
二：判断（16 分）
1、实轴上的任一有界点集 S 至少有一个聚点。（ ）
2、设 H = { ( 1 , 1 ) n+2 n
n = 1, 2, } ，则 H 能覆盖区间 （0，1）。（ ）
3、黎曼函数
f
(x)
=
1 , q
x = p , p, q互素, q p q
在 区 间 [0 ， 1] 上 可 积 ， 且
连续及连续函数的局部保号性,存在 x0 的某领域 (x0 − , x0 + ) (当 x0 = a 或
历年华东师范大学602高等数学(B)考研真题试卷与资料答案
历年华东师范大学602高等数学(B)考研真题试卷与资料答案一、考试解读：part 1 学院专业考试概况：①学院专业分析：含学院基本概况、考研专业课科目:602高等数学(B)的考试情况；②科目对应专业历年录取统计表：含华东师范大学相关专业的历年录取人数与分数线情况；③历年考研真题特点：含华东师范大学考研专业课602高等数学(B)各部分的命题规律及出题风格。
part 2 历年题型分析及对应解题技巧：根据华东师范大学602高等数学(B)考试科目的考试题型（名词解释题、简答题、论述题、案例分析题等），分析对应各类型题目的具体解题技巧，帮助考生提高针对性，提升答题效率，充分把握关键得分点。
part 3 2018真题分析：最新真题是华东师范大学考研中最为珍贵的参考资料，针对最新一年的华东师大考研真题试卷展开深入剖析，帮助考生有的放矢，把握真题所考察的最新动向与考试侧重点，以便做好更具针对性的复习准备工作。
part 4 2019考试展望：根据上述相关知识点及真题试卷的针对性分析，提高2019考生的备考与应试前瞻性，令考生心中有数，直抵华东师范大学考研的核心要旨。
part 5 华东师范大学考试大纲：①复习教材罗列（官方指定或重点推荐+拓展书目）：不放过任何一个课内、课外知识点。
②官方指定或重点教材的大纲解读：官方没有考试大纲，高分学长学姐为你详细梳理。
③拓展书目说明及复习策略：专业课高分，需要的不仅是参透指定教材的基本功，还应加强课外延展与提升。
part 6 专业课高分备考策略：①考研前期的准备；②复习备考期间的准备与注意事项；③考场注意事项。
part 7 章节考点分布表：罗列华东师范大学602高等数学(B)的专业课试卷中，近年试卷考点分布的具体情况，方便考生知晓华东师大考研专业课试卷的侧重点与知识点分布，有助于考生更具针对性地复习、强化，快准狠地把握高分阵地。
二、华东师范大学历年考研真题与答案：汇编华东师大考研专业课考试科目的1997-2007，2011-2015年考研真题试卷，并配备2011-2015年答案与解析，方便考生检查自身的掌握情况及不足之处，并借此巩固记忆加深理解，培养应试技巧与解题能力。
华东师范大学《数学分析》与《高等代数》考研真题(1997年-2013年)
续.
19
五、设 f ( x) 在 [a, b] 上二阶可导，且 f ( x) ≥ 0 ， f ′′( x) < 0 . 证明： f ( x) ≤
2 b f (t )dt ， x ∈ [ a, b] . b − a ∫a
六、设 f ( x , y ) 在 D = [ a, b] × [ c, d ] 上有二阶连续偏导数.
15
六、 （ 15 分）假设 σ 是 n 维欧氏空间 V 的线性变换， τ 是同一空间 V 的变换 . 且对
∀α , β ∈ V , 有 (σα , β ) = (α ,τβ ).
证明： 1) τ 是线性变换, 2) σ 的核等于 τ 的值域的正交补.
七、 （15 分）证明：任意方阵可表为两个对称方阵之积，其中一个是非奇异的。
n →∞ a≤ x≤ b a≤ x≤ b a≤ x≤ b n →∞
八、设 S ⊂ R 2 , P0 ( x0 , y0 ) 为 S 的内点， P 1 ( x1 , y1 ) 为 S 的外点. 证明：直线段 P0 P 1 至少与 S 的边界 ∂S 有一个交点.
华东师范大学 1997 年攻读硕士学位研究生入学试题
考试科目：数学分析
一、 （12 分）设 f ( x) 是区间 I 上的连续函数. 证明：若 f ( x) 为一一映射，则 f ( x) 在 区间 I 上严格单调.
二、 （12 分）设
⎧1, x为有理数 D ( x) = ⎨ ⎩0， x为无理数
证明：若 f ( x) ， D ( x) f ( x) 在点 x = 0 处都可导，且 f (0) = 0 ，则 f '(0) = 0.
二、(10 分)证明：方程组
⎧ a11 x1 + a12 x2 + ... + a1n xn = 0 ⎪a x + a x + ... + a x = 0 ⎪ 21 1 22 2 2n n ⋯ (1) ⎨ ............ ⎪ ⎪ ⎩ as1 x1 + as 2 x2 + ... + asn xn = 0
华东师大二附中2004年高三数学最后一卷
华东师大二附中2004年高三数学最后一卷班级_______________姓名_______________学号_______________得分_______________考生注意：1. 答卷前，考生务必将姓名、高考准考证号、校验码等填写清楚。
2. 本试卷共有22道试题，满分150分。
考试时间120分钟。
请考生用钢笔或圆珠笔将答案直接写在试卷上。
3. 华东师大二附中、大同中学、格致中学考生请注意试卷最后的符号说明。
一. 填空题（本大题满分48分）本大题共有12题，只要求直接填写结果，每个空格填对得4分，否则一律得零分。
1．已知向量{}{},,3,2,1m =-=若⊥，则m=_______________。
2．已知54arccos-=x ，则=x tg 2_______________。
3．在102)1)(1(x x x -++的展开式中，4x 项的系数是_______________。
4．函数)cos (sin sin 2x x x y +=的最大值为_______________。
5．以点)0,5(为圆心，且和双曲线116922=-y x 的渐近线相切的圆的方程是_______________。
6．若)1cos 2(12sin ++-θθi 是纯虚数，则θ的值组成的集合为_______________。
7．已知1,0≠>a a ，集合}1|{},|2||{>=<+=xa x B a x x A ，若∅≠⋂B A ，则实数a 的取值范围是_______________。
8．在等比数列{}n a 中，11>a ，且前n 项和n S 满足11lima S n n =∞→，那么1a 的取值范围是_______________。
9．已知直线032:=++y x l ，如果从{}8,7,6,5,4,3,2,1中任取3个不同元素分别作为圆方程222)()(r b y a x =-+-中的a 、b 、r ，那么得到的圆的圆心与原点所连直线垂直于直线l 的概率是_______________。
2004-2005(2)期末考试试卷(B)参考答案(高等数学)
5
1
sin
y(1
y)dy
0
8
1 sin1
10
1
5.原式 2 d 2 er2 rdr
0
0
(e4 1)
5 10
6.
P ye
x ， Q 2x cos y 2 ，
Q x
P y
211
2
由格林公式
I d x d y
D
=
6 10
ydy
7.
1
y2
dx x
两边积分得
ln(1 2
y2)
ln
x
高等数学期末试卷（B）参考答案
05.6 一、填空题(每小题 2 分, 共 12 分)
1. 5
2. 4x y 2
3. a 2 。
4、 9 2 。
5、
x3 6
C1x C2 .
6、 y C1 y1 C2 y2 .
二、解答下列各题(每小题 8 分,，总计 72 分)
1. 所求平面垂直于平面 3x 2 y z 4 0 和 2x 3y 4z 5 0 ，
zx
e z e y cos x 2z xe z
，
4
同理 z y
e y sin x 2z xe z
7dzຫໍສະໝຸດ z x dxz y dy
e z e y cos x 2z xe z
dx +
e y sin x 2z xe z
dy
10
4.
sin y dxdy
1
dy
y sin y dx
Dy
0
y y 2
8
x
又 y x
1，所求特解为 y
1 cos x x
2004—数一真题、标准答案及解析
2004年全国硕士研究生入学统一考试数学一真题、填空题(本题共6小题，每小题4分，满分24分.把答案填在题中横线上)(1)曲线y=lnx上与直线x y 1垂直的切线方程为(2)已知f(e x) xxe ，且f(1)=0,则f(x)=(3)设L为正向圆周x22在第一象限中的部分，则曲线积分L xdy 2ydx的值为(4)欧拉方程x2d2ydx24x d^ 2y 0(x 0)的通解为•dx(5)2 1 设矩阵A 1 2矩阵，则(6)矩阵B满足ABA*2BA E ,其中A为A的伴随矩阵，E是单位设随机变量X服从参数为的指数分布，则P{X DX} =二、选择题(本题共8小题，每小题把所选项前的字母填在题后的括号内)4分，满分32分. 每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求,(7)把x 0时的无穷小量X cost2dt,0 '2xtanX 30 si nt dt ,使排在后面的是前一个的高阶无穷小，则正确的排列次序是(A) (B) (C) (D)(8)设函数f(x)连续，且f (0)0,则存在0，使得(A) f(x)在(0,)内单调增加.(B) f(x)在( ,0)内单调减少•(C) 对任意的x(0,)有f(x)>f(0).(D) 对任意的x(,0)有f(x)>f(0).(9)设a n为正项级数，下列结论中正确的是n 1(A) 若lim na n=0，则级数na n收敛•n 1(B)若存在非零常数，使得lim na nn ，则级数a n发散•n 1阻力与飞机的速度成正比(比例系数为k 6.0 106).问从着陆点算起，飞机滑行的最长距离是多少?t t(10) 设f(x)为连续函数，F(t) 1 dy y f(x)dx ，则F ⑵等于 (A)2f(2).(B) f(2).(C) -(2).(D) 0.[](11) 设A 是3阶方阵，将 A 的第1列与第2列交换得B,再把B 的第2列加到第3列得C,贝U 满足AQ=C 的可逆矩阵Q 为(A) A 的列向量组线性相关, (B) A 的列向量组线性相关, (C) A 的行向量组线性相关, (D) A 的行向量组线性相关,(A) Cov( X 1,Y)2n(B) Cov(X 1,Y)2.(C)D(X 1 Y)n 2 2 (D)D(X 1Y) n 1nn(15) (本题满分 12分)设ea b e 2 ,证明ln 2 bIn 2a —2(b a)e(16) (本题满分 11分)某种飞机在机场降落时，为了减少滑行距离，在触地的瞬间，飞机尾部张开减速伞，以增大阻力，使 (C) 若级数2a n 收敛，则lim nn0.(D)若级数a n 发散，则存在非零常数n 1，使得 lim na nn0 1 00 1 00 1 0 0 1 1 (A)1 0 0 . (B)1 0 1 . (C) 1 0 0 .(D)1 0 0 1 0 1 0 0 10 1 10 0 1的任意两个非零矩阵，则必有(12)设A,B 为满足AB=OB 的行向量组线性相关B 的列向量组线性相关 B 的行向量组线性相关 B 的列向量组线性相关1)，数u 满足P{X u } ，若P{X x}，则x 等于(A) U_.2(B) U .1I(C) u 」. ~2-(D) U 1(14)设随机变量X 1,X 2, 0.令Y 丄 X i ,则n i 1(13)设随机变量 X 服从正态分布 N(0,1)，对给定的(0,X n ( n 1)独立同分布，且其方差为飞机迅速减速并停下.现有一质量为9000kg的飞机，着陆时的水平速度为700km/h.经测试，减速伞打开后，飞机所受的总阻力与飞机的速度成正比(比例系数为k 6.0 106).问从着陆点算起，飞机滑行的最长距离是多少?1F(x, )1x0, x 1,x 1,注kg 表示千克，km/h 表示千米/小时. (17)(本题满分12分) 计算曲面积分I2x 3dydz 2y 3dzdx 3(z 2 1)dxdy,数 x n 收敛.n 1(20)(本题满分9分) 设有齐次线性方程组(1 a)X 1X 2X n 0, 2x 1 (2 a)X 2 2x n 0, (n 2)n% nx 2(n a)X n0,并求出其通解9分)试问a 取何值时，该方程组有非零解, (21)(本题满分33的特征方程有一个二重根，求 a 的值，并讨论5(22)(本题满分9 分)求：(I )二维随机变量(X,Y)的概率分布;(23)(本题满分9分) 设总体X 的分布函数为其中是曲面z 1(z 0)的上侧.(18)(本题满分 11 分)设有方程x nnx 10，其中 n 为正整数.证明此方程存在惟一正实根X n ,并证明当 1时，级(19)(本题满分 12 分)设z=z(x,y)是由x 2 6xy 10y 22yzz 2 18 0确定的函数，求zz(x, y)的极值点和极值.设矩阵A 11A 是否可相似对角化.设A,B 为随机事件，且P(A) 右P(BA) 3‘P (AB)-，令XA发生, 0, A 不发生;Y 1, B 发生,0, B 不发生.(II ) X 和Y 的相关系数 XY -其中未知参数1,X!,X2, ,X n为来自总体X的简单随机样本，求: （I）的矩估计量；（II）的最大似然估计量.3 022004年数学一试题分析、详解和评注一、填空题(本题共6小题，每小题4分，满分24分.把答案填在题中横线上)(1)曲线y=lnx 上与直线x y 1垂直的切线方程为 y x 1 .【分析】 本题为基础题型，相当于已知切线的斜率为1，由曲线y=lnx 的导数为1可确定切点的坐标.1【详解】由y (Inx)1，得x=1,可见切点为(1,0)，于是所求的切线方程为xy 0 1 (x 1)，即 y x 1.1【评注】本题也可先设切点为 (x 0,|n x 0)，曲线y=lnx 过此切点的导数为 y— 1，得x 0 1，x x 0x 0由此可知所求切线方程为 y0 1(x1)，即yx1.本题比较简单，类似例题在一般教科书上均可找到xx1 2(2) 已知 f (e ) xe ，且 f(1)=0,则 f(x) = (In x).2【分析】 先求出f (X )的表达式，再积分即可.【详解】令e x t ，则x lnt ，于是有ln tr, ln xf (t)，即f (x)t x 积分得f(x)In x, 1 2dx (ln x) C .利用初始条件 f(1)=0,得C=0，故所求函数为 f(x)x 2丄仲x)2. 2【评注】 本题属基础题型，已知导函数求原函数一般用不定积分223 (3)设L 为正向圆周x y 2在第一象限中的部分，则曲线积分 L xdy 2ydx 的值为 -【分析】 利用极坐标将曲线用参数方程表示，相应曲线积分可化为定积分 2 2【详解】 正向圆周x y2在第一象限中的部分，可表示为x 、 2 cos , 小y -2sin ,：0222si n 2【评注】 本题也可添加直线段，使之成为封闭曲线，然后用格林公式计算，而在添加的线段上用参于是Lxdy 2ydx o 2 [一 2 cos 2 cos2 2sin ■- 2 sin ]d9数法化为定积分计算即可【分析】欧拉方程的求解有固定方法，作变量代换x e t 化为常系数线性齐次微分方程即可【详解】令xe t ，则 dy dy dt e 电1 dydx dt dxdt x dtd 2y 1 dy 1 d 2y dt 1[d 2 x 2[dt y dy F dt ]dx 2x 2 dt x dt 2dx 代入原方程，整理得d 2y c dy2y 0，.2 3 - dtdt解此方程，得通解为y tqe c 2e2tC1C22・2x x【评注】 本题属基础题型，也可直接套用公式，令 x e t ，则欧拉方程【详解】 已知等式两边同时右乘 A ，得ABA *A 2BA *A A ，而 A 3，于是有3AB 6B A ，即(3A 6E)B A ，再两边取行列式，有3A 6E||B A 3，1而3A 6E 27,故所求行列式为 B(4)欧拉方程2d 2y x dx 24x2y 0(x 0)的通解为y 纟乌dx x x可化为2 axd 2y dx 2cy f (x)，2眷貉哼cy 讪.(5)设矩阵A2 1 01 2 0，矩阵B 满足ABA * 2BA * E ,其中A *为A 的伴随矩阵, 0 0 1E 是单位矩阵，则B【分析】可先用公式A *AA E 进行化简【评注】 先化简再计算是此类问题求解的特点，而题设含有伴随矩阵A ，一般均应先利用公式A A AA * AE 进行化简.(6)设随机变量X 服从参数为 的指数分布，则P{X , DX } = 1 .e【分析】 已知连续型随机变量 X 的分布，求其满足一定条件的概率，转化为定积分计算即可1【详解】 由题设，知DX 冷，于是一1XP{X DX} = P{X -}ie X dx【评注】本题应记住常见指数分布等的期望与方差的数字特征，而不应在考试时再去推算 二、选择题(本题共8小题，每小题 把所选项前的字母填在题后的括号内)一个的高阶无穷小，则正确的排列次序是4分，满分32分.每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求,(7 )把x0时的无穷小量Xcost 2dt,2xtan 、tdt,0 ':X 30 si nt dt ,使排在后面的是前(A)(B)(C)(D)【分析】 先两两进行比较，再排出次序即可【详解】 lim — x 0 tan 一tdt lim 卫厂 x 0cost 2dt 0limtanx 2x 2cosx0，可排除 (C),(D)选项,【评注】 limx 0limx 0=-lim 4 x 0x3sint dt_0 ___________X 2 tan )t dt3 2sin x 2 ，可见 lim2x tanx是比低阶的无穷小量，故应选 (B).本题是无穷小量的比较问题，也可先将 ,,分别与x n 进行比较，再确定相互的高低次序(8)设函数f(x)连续，且f (0) 0,则存在0，使得 (A) f(x)在(0，)内单调增加. (B) f(x)在(，0)内单调减少.(C) 对任意的 x (0,)有 f(x)>f(0)(D)对任意的 x ( ,0)有 f(x)>f(0)【分析】 函数f(x)只在一点的导数大于零，一般不能推导出单调性，因此可排除 (A),(B)选项，再利用导数的定义及极限的保号性进行分析即可•【详解】 由导数的定义，知f(0) lim f(x) f(0)0，x 0 x根据保号性，知存在 0，当x (,0) (0,)时，有f(x) f(0)x即当 x (,0)时，f(x)<f(0);而当 x (0,)时，有 f(x)>f(0).故应选(C).【评注】题设函数一点可导，一般均应联想到用导数的定义进行讨论 (9) 设 a n 为正项级数，下列结论中正确的是n 12(C)若级数a n 收敛，则limn a “0.nn 1(E)若级数n1a n 发散，则存在非零常数，使得^m na n* "]【分析】 对于敛散性的判定问题，若不便直接推证，往往可用反例通过排除法找到正确选项1 2又取a n ----------------- ，则级数a n 收敛，但lim n a “nUnn1 n【评注】 本题也可用比较判别法的极限形式,a1 lim na n lim n0，而级数发散，因此级数a n 也发散，故应选(B).n n1n 1nn 1n【分析】 先求导，再代入t=2求F (2)即可.关键是求导前应先交换积分次序，使得被积函数中不含有(A)若lim na n =0，则级数na n 收敛.n 1(B )若存在非零常数，使得lim na nn，则级数a n 发散•n 1【详解】 取a n1 nln n，则 lim na n =0，但na nn 111n ln n发散，排除(A)，(D)；，排除(C),故应选(B).(10) 设f(x)为连续函数，F(t) (A)2f(2). (B) f(2).t t1 dy y f(x)dx ，贝U F (2)等于(C) -(2).(D)0.变量 t.【详解 】 交换积分次序，得t t t x tF(t) 1dy y f(x)dx = 1[1 f(x)dy]dx 1 f(x)(x 1)dx于是，F (t) f(t)(t 1)，从而有 F (2)f(2)，故应选(B).评注】 在应用变限的积分对变量 x 求导时，应注意被积函数中不能含有变量 x: b(x)[ a(x) f(t)dt] f [b(x)]b (x) f[a(x)]a(x)a(x)否则，应先通过恒等变形、变量代换和交换积分次序等将被积函数中的变量 x 换到积分号外或积分线上 .( 11) 设 A 是 3 阶方阵，将 A 的第 1 列与第 2 列交换得 B, 再把 B 的第 2 列加到第 3 列得 C, 则满足 AQ=C 的可逆矩阵 Q 为0 1 0 0 1 0 0 1 0 0 1 1 (A)1 0 0. (B)1 0 1. (C) 1 0 0. (D) 10 0 1 0 10 0 11 10 0 1[ D ]分析 】 本题考查初等矩阵的的概念与性质，对 A 作两次初等列变换，相当于右乘两个相应的初等 矩阵， 而 Q 即为此两个初等矩阵的乘积 详解 】由题设，有0 1 01 0 0A 1 0 0B ， B 0 1 1C ，0010 0 10 1 0 10 00 1 1 于是，A 1 0 0 0 1 1A 1 0 0 C.0 0 1 0 0 10 0 1可见， 应选 (D). 评注 】 涉及到初等变换的问题，应掌握初等矩阵的定义、初等矩阵的性质以及与初等变换的关系12) 设 A,B 为满足 AB=O 的任意两个非零矩阵，则必有 (D) A 的列向量组线性相关， (E) A 的列向量组线性相关， (F)A 的行向量组线性相关， (D) A 的行向量组线性相关，【详解1】 设A 为m n 矩阵，B 为n s 矩阵，则由AB=O 知,r(A) r(B) n .又 A,B 为非零矩阵，必有 r(A)>0,r(B)>0. 可见 r(A)<n, r(B)<n, 即 A 的列向量组线性相关， B 的行向量组线 性相关，故应选 (A).【详解 2】 由 AB=O 知， B 的每一列均为 Ax=0 的解，而 B 为非零矩阵，即 Ax=0 存在非零解，可见 A 的列向量组线性相关 .B 的行向量组线性相关B 的列向量组线性相关 B 的行向量组线性相关B 的列向量组线性相关【分析 】A,B 的行列向量组是否线性相关，可从 零解进行分析讨论 .A,B 是否行(或列)满秩或 Ax=0 (Bx=0 )是否有非同理，由AB=O知，B T A T O,于是有B T的列向量组，从而B的行向量组线性相关，故应选(A).【评注】AB=O是常考关系式，一般来说，与此相关的两个结论是应记住的：1) AB=O r(A) r(B) n；2) AB=O B的每列均为Ax=0的解.(13)设随机变量X服从正态分布N(0,1)，对给定的(0 1)，数u满足P{X u } ，若P{X x} ，则x等于(A) u_2(B) u1 -2(C) u L~2(D) u1(A) Cov(X n Y) (B) Cov(X「Y)Cov(X1, X i) 1Cov(X1,X1) 1 Cov(X1,X i)n i 1 n n i 2【分析】此类问题的求解，可通过u的定义进行分析, 也可通过画出草图, 直观地得到结论【详解】由标准正态分布概率密度函数的对称性知,P{XP{X x} P{X x} P{X x} P{X x} 2P{X x}即有P{X x}1，可见根据定义有x2本题【评注】A，故应选(C).u相当于分位数，直观地有2(14)设随机变量X1,X2, ,X n( n 1)独立同分布，且其方差为nX i，则n i 1(C) D(X1 Y) (D)【分析】本题用n方差和协方差D(X1 Y)-n的运算性质直接计算即可，注意利用独立性有:Cov(X1,X i) 0,i 2,3, n.【详解】Cov( X1,Y)(x) (e 2)= -DX 11 2.n n本题(C),(D)两个选项的方差也可直接计算得到：如2n 3n2 nn 2 2n 22n(15) (本题满分12分)$ (b a). e【分析】 根据要证不等式的形式，可考虑用拉格朗日中值定理或转化为函数不等式用单调性证明In 2 b In 2 a24In x ，则e【证法1】 对函数2In x 在［a,b ］上应用拉格朗日中值定理,设(t)平，则(t)，当t>e 时,0, 所以(t)单调减少，从而2 (e )，即In In e~2e2~~2，e故 In 2 b In 2 a 4(b a).所以当 即当e(x) (x) x>e 时, 2 .x e 时,In x 2 -xJ In x 2 2x(x)0,4_2 ， e (x)单调减少，从而当(x)单调增加.e 2时,【评注】 D(X iY) D(^X 1n-X 2 n^X n ) n(1 n)2 n 2n 1 22nD(X in 1 Y) D( X 1n 1 X n )n(n 1)2 2nn 1 22~n2o2设 e a b e ,证明 In b In ab.【证法2】(x)因此当e x e 2时，(b)(a),v 0解得C v 0，两端积分得通解 v Cek —tm，代入初始条件v即 ln 2beln 2a4 ~~2a，故In 2 b ln 2 af (b e a).【评注】 本题也可设辅助函数为(x) 2 2 42In x In a 2 (x a),e a x e 或 e(x) ln 2 b ln 2 x$(b x),e x b2e ，再用单调性进行证明即可.e(16) (本题满分11分)某种飞机在机场降落时，为了减少滑行距离，在触地的瞬间，飞机尾部张开减速伞，以增大阻力，使 飞机迅速减速并停下.现有一质量为9000kg 的飞机，着陆时的水平速度为700km/h.经测试，减速伞打开后，飞机所受的总阻力与飞机的速度成正比(比例系数为 k 6.0 106).问从着陆点算起，飞机滑行的最长距离是多少？注kg 表示千克，km/h 表示千米/小时.【分析】本题是标准的牛顿第二定理的应用，列出关系式后再解微分方程即可 【详解1】 由题设，飞机的质量 m=9000kg ，着陆时的水平速度 v 0 700km/h .从飞机接触跑道开始记时，设t 时刻飞机的滑行距离为x(t)，速度为v(t).根据牛顿第二定律，得dvm kv . dt dv dx dx dt所以，飞机滑行的最长距离为 1.05km.dvvdx ，又史dt由以上两式得dx 积分得x(t) x(t)m .dv ，k mv k m (v0 kC. 由于v(0)V 0, x(0)0，故得C — v °，从而k当 v(t)0时, v(t)). x(t)mv °k9000 700 66.0 101.05(km).【详解2】 根据牛顿第二定律，得 dv m — dtkv ,所以dv±dt. m【详解】取1为xoy 平面上被圆x 2 y 2 1所围部分的下侧，记 为由 与1围成的空间闭区域,(17) (本题满分12分) 计算曲面积分2x 3dydz 2y 3dzdx 3(z 2 1)dxdy,其中是曲面z 1 x 2 y 2(z 0)的上侧.【分析】 先添加一曲面使之与原曲面围成一封闭曲面，应用高斯公式求解，而在添加的曲面上应用直 接投影法求解即可.jkt故 v(t)v 0e m .飞机滑行的最长距离为v(t)dtmv ° ekmv ° k1.05( km).或由dr上t v °e m,知x(t)t0v 0e上tmdtItm1)，故最长距离为当t时，kv ox(t)m1.05(km).【详解3】 根据牛顿第二定律，d 2x m —亏dt 2dx k , dtd 2x dt 2k dx dt其特征方程为解之得m0, 2C 2edxx0,v --t 01 t 0dtkC 2 emV 0，得C 1C 2x(t) mv 0Atm).所以, 时，x(t)mv 0 1.05(km).k飞机滑行的最长距离为1.05km.【评注】本题求飞机滑行的最长距离， 可理解为t 或v(t)0的极限值，这种条件应引起注意•由 mv 0t 0C 1 Jkt m3 3 2I 2x dydz 2y dzdx 3(z 1)dxdy13 3 22x dydz 2y dzdx 3(z 1)dxdy.1由高斯公式知3 3 22x dydz 2y dzdx 3(z 1)dxdy122 1 1 r 2 2=6 d dr (z r )rdz3322x dydz 2y dzdx 3(z1 )dxdy 3dxdy 3x 2 y 2 1故123【评注】 本题选择 1时应注意其侧与围成封闭曲面后同为外侧(或内侧)，再就是在 1上直接投影积分时，应注意符号(1取下侧，与z 轴正向相反，所以取负号).(18) (本题满分11分) 设有方程x nnx 1 0，其中n 为正整数.证明此方程存在惟一正实根 x n ，并证明当 1时，级数x n 收敛.n 1【分析】利用介值定理证明存在性，利用单调性证明惟一性 .而正项级数的敛散性可用比较法判定 .【证】记 f n (x)x n nx 1.由f n (O) 1 0， f n (1) n 0，及连续函数的介值定理知，方程x n nx 10存在正实数根x n (0,1).当x>0时，f n (x) n x n 1 n 0,可见f n (x)在［0,)上单调增加，故方程x n nx 1 0存在惟一正实数根 X n ・由x n nx1 0与 X n0知1 X ：11 0 X n，故当1 时，0 X n(-).n nn 而正项级数1丄收敛, 所以当1时，级数x n 收敛n 1nn 1【评注】 本题综合考查了介值定理和无穷级数的敛散性，题型设计比较新颖，但难度并不大，只要2 26( x y z)dxdydz=121[1r(1 r 2) 22、2 r 3(1 r 2)]dr1(9, 3, 3)i ，C2z2x2z2z(9, 3, 3)(9, 3, 3)基本概念清楚，应该可以轻松求证 (19) (本题满分12分)设z=z(x,y)是由x 2 6xy 10y 2 2yz z 218 0确定的函数，求z z(x, y)的极值点和极值【分析】 可能极值点是两个一阶偏导数为零的点，先求出一阶偏导，再令其为零确定极值点即可，然 后用二阶偏导确定是极大值还是极小值，并求出相应的极值2 2 2因为 x 6xy 10y 2yz z 18 0，所以2x 6y 2^z 2z^0，x x6x 20 y 2z 2y-^ 2z —z 0. y y故 x 3y ， z y.x 9, x 9, y 3, 或 y 3, z 3z3.类似地，由【详解】—0, x —0 yx 3y 0, 3x 10y z 0,将上式代入x 26xy 10y 2 2yz z 218 0，可得由于22 2— 2(上)2x x2z2z2x2z2yx y2z2z0,202— 2二 y y2y- 2z 2y2(二)2 y22z z y 0，2所以 A—z x1 B2 z1，C2z5 (9,3,3)6，x y(9,3,3)2y(9,3,3)3，21 1 故 AC B 236，又A6z(9,3)=3.6xxx y0 ,从而点(9,3)是z(x,y)的极小值点，极小值为21 1 可知AC B 0，又A0 ,从而点(-9,-3)是z(x,y)的极大值点，极大值为366z(-9, -3)= -3.【评注】本题讨论由方程所确定的隐函数求极值问题，关键是求可能极值点时应注意 x,y,z 满足原方程•(20) (本题满分9分) 设有齐次线性方程组(1 a)x 1 X 2 X n 0, 2捲 (2 a)X 2 2x n 0, (n 2)n% nx 2(n a)X n0,试问a 取何值时，该方程组有非零解，并求出其通解【分析】本题是方程的个数与未知量的个数相同的齐次线性方程组， 可考虑对系数矩阵直接用初等行变换化为阶梯形，再讨论其秩是否小于 n ,进而判断是否有非零解；或直接计算系数矩阵的行列式，根据题设行列式的值必为零，由此对参数a 的可能取值进行讨论即可.【详解1】 对方程组的系数矩阵 A 作初等行变换，有1 a 1 1 1 1 a 1 11A2 2 a 2 2 2a aBnnnn ana 0 0 a当a=0时，r(A)=1<n ，故方程组有非零解，其同解方程组为X i X 2x n 0,由此得基础解系为1( 1,1,0,,0)T,2( 1,0,1, ,0)Tj , n 1 (1,0,0,,1)T ,于是方程组的通解为x k 1 1 k n 1 n 1,其中k 1, ,k n1为任意常数.当a 0时，对矩阵B作初等行变换, 有1 a 11 1a n(n 1)0 0 0 B2 1 0 022 1n 00 1n0 01可知an(n 2 1)时，r(A) n 1 n ，故方程组也有非零解，其同解方程组为2%X20, 3%X3,n^X n0 ,由此得基础解系为(1,2, ,n)T,于是方程组的通解为x k ，其中k为任意常数. 【详解2】方程组的系数行列式为1 a 1 12 2 a 2An n n当A 0，即a=0或a n(n 1)时，方程组有非零解2当a=0时，对系数矩阵A作初等行变换，有1 1 11 1 1112 2 220 000An n n n0 00 00故方程组的同解方程组为x1x2X n 0,由此得基础解系为1 ( 1,1,0, ,0)T,2 ( 1,0,1,,0)T,,n 1(1,0,0, ,1)T于是方程组的通解为x k1 1 k n 1 n 1 ,其中k1, , k n 1为任意常数a2卫时，对系数矩阵A作初等行变换，有1 a111 1 a 1112 A 2 a222a a00n n n n a na 00a(a 3)a n112 3E A1 4 31a 511 0 =(2) 14 31a52 (2) 0 14 3 1a522 16 18 3a 0,解得 a= -2.1 a 1 1 1 0 0 0 02 1 0 0 2 1 0 0 n 01n 01故方程组的同解方程组为2% x 2 0,3x 1 X 30,n% x 0,由此得基础解系为(1,2, ,n)T ,于是方程组的通解为x k ，其中k 为任意常数【评注】 矩阵A 的行列式 A 也可这样计算:1 a 1 1 1 1 1 11 1 1 1 1 A2 2 a 2 2 2 =aE +2 22，矩阵2 2 2 2的nnnn an n nn n n nn特征值为0,,0, n(n °，从而A 的特征值为a,a, ,a n(n 1),故行列式 A (a n(n 1))a n 1.2 2 2(21) (本题满分9分)1 23设矩阵A 1 43的特征方程有一个二重根，求a 的值，并讨论A 是否可相似对角化.1 a 5【分析】 先求出A 的特征值，再根据其二重根是否有两个线性无关的特征向量，确定A 是否可相似对角化即可•【详解】 A 的特征多项式为(2)( 2 8 18 3a).2是特征方程的二重根，则有323a2时，A的特征值为2, 4，4,矩阵4E-A= 103秩为2，故4对应的线性无关32113的特征向量只有一个，从而A不可相似对角化求：(I)二维随机变量(X,Y)的概率分布;(II) X和Y的相关系数XY-【分析】先确定(X,Y)的可能取值，再求在每一个可能取值点上的概率，而这可利用随机事件的运算性质得到，即得二维随机变量(X,Y)的概率分布；利用联合概率分布可求出边缘概率分布，进而可计算出相关系数.【详解】(I) 由于P(AB) P(A)P(BA) 2，P(B)P(AB) 1 P(AB) 6'所以，P{X1,Y1}1 P(AB)—，12P{X1,Y0}P(AB) P(A)P(AB)1 6P{X0,Y1}P(AB) P(B)P(AB)1 12,1 当a= -2时，A的特征值为2,2,6,矩阵2E-A=12 32 3的秩为1,故2 32对应的线性无关的特征向量有两个，从而A可相似对角化.若2不是特征方程的二重根，则18 3a为完全平方，从而18+3a=16，解得a【评注】n阶矩阵A可对角化的充要条件是: 对于A的任意k i重特征根i，恒有n r( i E A) 而单根一定只有一个线性无关的特征向量•(22) (本题满分9分)1设A,B为随机事件，且P(A) -,P(B A)43,P(AB)1, A发生，0, A不发1, B发生，P{X 0,Y 0} P(AB) 1 P(A B)=1 P(A) P(B) P(AB)(或P{X 0,Y 0}故(X,Y)的概率分布为i 1 1 丄2),12 6 12 3【评注】本题尽管难度不大，但考察的知识点很多，综合性较强•通过随机事件定义随机变量或通过随机变量定义随机事件，可以比较好地将概率论的知识前后连贯起来，这种命题方式值得注意(23)(本题满分9分)设总体X的分布函数为1,X1,X2, ,X n为来自总体X的简单随机样本，求:(I) 的矩估计量;(II) 的最大似然估计量•【分析】先由分布函数求出概率密度，再根据求矩估计量和最大似然估计量的标准方法进行讨论即可【详解】X的概率密度为——X 1,X 1，40, X「(I)由于则EXX01Y013151P——P一—446611351-,EY DX DY=——,E(XY)=46163612'(II) X, Y的概率分布分别为故Cov(X,Y) E (XY) EX EY —，从而24XYCov(X,Y) 1515F(x,)x0,1,1其中未知参数f(x,)1，X i 1(i 1,2, ,n),(X 1X 2 X n )0,其他 n1) In X i ， i 1dInL()d故的最大似然估计量为 nnIn X ii 1难度不大，但计算量比较大，实际做题时应特别注意计算的准确性 EX Xf (X ; )dX X — 1 X T dx 令X ，解得 1 1，所以参数 的矩估计量为(II )似然函数为两边对求导，得 令dInL( ) 0，可得 d nn， In x ii 1L() f (X i ； 当x i1(i 1,2, ,n)时, L( 0,取对数得 lnL()n In In X i ，【评注】本题是基础题型,。
04-05高等数学试卷B答案
04-05高等数学试卷B答案高等数学试卷（B 卷） 第 2 页 共 14 页广州大学2004-2005学年第二学期考试卷答案与评分标准课 程：高等数学（90学时） 考 试 形 式：闭卷 考试题 号 一 二 三 四 五 六 七 总 分 分 数 15 15 20 20 15 7 8 100 评 分 评卷人一．填空题（本题共5小题，每小题3分，满分15分）1．设y x xy z +=，则=dz dy yx x dx y y ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+21 2．设),(v u f z =具有一阶连续偏导数，y x u +=2,┋┋┋┋┋装 ┋┋┋┋┋┋┋订┋┋┋┋┋┋┋┋线┋┋┋┋┋┋┋┋┋装┋┋┋┋┋┋┋┋┋订┋┋┋┋┋┋线┋┋┋┋┋┋┋学院领导 审批并签名B 卷高等数学试卷（B 卷） 第 3 页 共 14 页xyv = , 则=∂∂xzvuf y f+23．L 为圆周122=+y x，则2Lx ds =⎰π4．若级数∑∞=1n nu 收敛，则=∞→nn ulim 05．微分方程02=-ydx xdy 的通解是2y c x =二．单项选择题（本题共5小题，每小题3分，满分15分）1．函数),(y x f z =在点),(y x 处可微是),(y x f 在该点偏导数x z∂∂及y z ∂∂存在的【 A 】 （A ）充分非必要条件 （B ）必要非充分条件（C ）充分必要条件 （D ）无关条件.2.曲线2t x =，12+=t y ，3t z =在点)1,1,1(--处的 法平面方程为【 B 】（A ）3322-=++z y x （B ）7322=--z y x高等数学试卷（B卷）第 4 页共 14 页（C）当10≤<p时，级数∑∞=--11)1(npnn绝对收敛（D）当10≤<p时，级数∑∞=--11)1(npnn条件收敛高等数学试卷（B卷）第 5 页共 14 页高等数学试卷（B 卷） 第 6 页 共 14 页三．解答下列各题（本题共3小题，第1、2小题6分，第3小题8分，满分20分） 1．求函数2221)ln(y x x y z --+-= 的定义域，并画出其区域图解：要使函数有意义，须满足⎪⎩⎪⎨⎧≥-->-010222y x x y 即⎪⎩⎪⎨⎧≤+>1222y x x y所求定义域为}1|),{(222≤+>=y x x y y x D 且 ┉┉┉┉┉ 3分区域D 的图形如左图阴影部分┉┉┉┉┉┉┉┉┉ 6分2．函数),(y x z z =是由方程0=+-xy yz e z确定，求xz ∂∂及22x z ∂∂ 解：令=),,(z y x F xyyz ez+- 则 yFx=， ye Fz z-=┋┋┋┋┋ 装┋┋┋┋┋┋┋订┋┋┋┋┋┋┋┋线┋┋┋┋┋┋┋┋┋装┋┋┋┋┋┋┋┋┋订┋┋┋┋┋┋线┋┋┋┋┋┋┋高等数学试卷（B 卷） 第 7 页 共 14 页zyx e y yFF x z-=-=∂∂ ┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉ 3分22x z ∂∂2)(z z e y x z e y -⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂--= ┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉ 5分 32)(z z e y e y -= ┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉ 6分3．求表面积为36而体积最大的长方体 解：设长方体的三棱长为z y x ,,，则体积xyz V =，且 18=++xz yz xy令)18(),,(-+++=xz yz xy xyz z y x L λ ┉┉┉┉┉┉┉┉┉ 3分 由⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=++=++==++==++=180)(0)(0)(xz yz xy y x xy L z x xz L z y yz L z y x λλλ ┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉ 5分得6===z y x ┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉ 7分由实际问题可知，当棱长为6的正方体时体积最大 ┉┉┉┉ 8分高等数学试卷（B 卷） 第 8 页 共 14 页四．计算下列积分（本题共3小题，第1、2小题6分，第3小题8分，满分20分）1．计算dxdy y x D⎰⎰，其中D 由直线x y =，1=y 及0=x 围成的闭区域 解：dxdy y x D⎰⎰⎰⎰=101xdyxy dx ┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉ 3分dx y x x ⎰=1012|21 ┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉ 4分dx x x ⎰-=13)(21 ┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉ 5分81= ┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉ 6分2．计算⎰⎰⎰Ωdz dy dx z ，其中Ω是由平面1=++z y x 及三个坐标面 所围成的闭区域高等数学试卷（B 卷） 第 9 页 共 14 页解：⎰⎰⎰Ωdz dy dx z ⎰⎰⎰---=y x x dzz dy dx 10101┉┉┉┉┉┉┉┉ 3分 dy y x dx x ⎰⎰---=10102)1(21 ┉┉┉┉┉┉┉ 4分⎰--=103)1(61dx x ┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉ 5分=241┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉ 6分3．利用格林公式计算22()()yxLI xy e dy x y e dx =+-+⎰，其中L 为圆周422=+y x ，取逆时针方向 解：记4:22≤+yx D ，由格林公式⎰⎰+=Ddydx y x I )(22 ┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉ 3分 ⎰⎰⋅=πρρρθ20202d d ┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉6分高等数学试卷（B 卷） 第 10 页 共 14 页420|2πρ=┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉ 7分π8= ┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉ 8分五．解答下列级数（本题共3小题，第1小题5分，第2小题10分，满分15分） 1．判别级数∑∞=123n nn 的敛散性 解：nn n nn n n n uu 33)1(lim lim 2)1(21+∞→+∞→+= ┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅ 2分211lim 31⎪⎭⎫⎝⎛+=∞→nn131<=┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅ 4分该级数收敛 ┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅ 5分2．求幂级数∑∞=+1)1(n nx n n 的收敛域及其和函数解：nn n aa 1lim +∞→=ρ)1()2)(1(lim+++=∞→n n n n n ⎪⎭⎫⎝⎛+=∞→n n 21lim 1= ┅┅ 2分故11==ρR ┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅ 3分当1-=x 时，级数∑∞=+-1)1()1(n nn n 发散 ┅┅┅┅┅┅┅┅┅ 4分 当1=x 时，级数∑∞=+1)1(n n n 发散 ┅┅┅┅┅┅┋┋┋┋┋ 装┋┋┋┋┋┋┋订┋┋┋┋┋┋┋┋线┋┋┋┋┋┋┋┋┋装┋┋┋┋┋┋┋┋┋订┋┋┋┋┋┋线┋┋┋┋┋┋┋┅┅┅┅┅┅ 5分幂级数的收敛域为)1,1(- ┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅ 6分 记=)(x S ∑∞=+1)1(n nx n n 11<<-x=⎰x dx x S 0)(∑∞=+11n n nx2x=∑∞=-11n n nx又设=)(x g ∑∞=-11n n nx ，11<<-x ，=⎰xdx x g 0)(∑∞=1n nx=xx-1 ┅┅ 8分 知2)1(11)(x x x x g -='⎪⎭⎫⎝⎛-=()3222)1(2)1()()(x xx x x g x x S -='⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-='= （11<<-x ）┉┉┅┅ 10分六．（本题满分7分）设有连结点(0,0)O 和点(1,1)A 的一段向上凸 的曲线弧OA ，对于OA 上任一点(,)P x y ，曲线弧OP 与直线段OP 所围成的图形的面积为2x ，求曲线弧OA 的方程解：设曲线弧OA 的方程为()y y x =，依题意21()2xy t dt xy x -=⎰ ┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅ 2分两边关于x 求导，得1()()22y x y xy x '-+= 即14y y x '-=- ┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅ 3分该方程为一阶线性微分方程，由常数变易公式得(4)dxdx xxy e e dx C -⎡⎤⎰⎰=-+⎢⎥⎣⎦⎰┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅ 4分14x dx C x ⎡⎤=-+⎢⎥⎣⎦⎰(4ln )x x C =-+ ┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅ 6分 由1|1x y ==得，1C =所求方程为4ln y x x x =-+┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅ 7分 七．（本题满分8分）求微分方程2xy y y xe '''--=的通解解：该方程为二阶常系数非齐次线性微分方程，且()f x 为()xmP x e λ型 （其中()mP x x =，1λ=）与所给方程对应的齐次方程为20y y y '''--= 它的特征方程 220r r --=┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅ 2分特征根11r =-，22r =齐次方程的通解为212xxY C e C e -=+┅┅┅┅┅┅┅┅┅ 4分由于1λ=不是特征根，设()xy ax b e *=+ ┅┅┅┅┅┅ 5分代入原方程得 22ax a b x -+-=由比较系数法得2120a ab -=⎧⎨-=⎩，解得11,24a b =-=-， 1(21)4xy x e *=-+，┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅ 7分 所求通解为2121(21)4xx xy C eC e x e -=+-+┅┅┅┅┅┅8分。
华东师范大学高等数学历年试题 (9)
1.Why did you choose East China Normal University?(你为什么选择报考华东师范大学?)2.Why did you choose XXX?(你为什么选择报考MBA专业?)3.What would you like to be doing 3 years after graduation?(what’s your plan if you are admitted to our school? (毕业5年后，你希望从事什么样的工作?)4.What has been your greatest accomplishment?(你曾取得的最大成就是什么?)5.Describe your greatest strengths and weaknesses. (请描述一下你最大的优点和缺点?)6.What have you learned from the jobs you have held?(你从以往所从事的工作中学到了哪些东西?)7.谈谈你在学期间最大的收获是什么8.“我们的问题都问完了，请问你对我们有没有什么问题要问准备英语面试最好先写一个自我陈述，就像中文的自我介绍一样，尽量写得详细些，包括自己生活、学习的方方面面，然后把它翻译成英文，流利地背下来，老师的很多提问都可以用其中的句子来回答。
一、面试程序不同的单位对面试过程的设计会有所不同，有的单位会非常正式，有的单位则相对比较随意，但一般来说，面试可以分为以下五个阶段：第一阶段：准备阶段。
准备阶段主要是以一般性的社交话题进行交谈，例如主考会问类似“从宿舍到这里远不远”、“今天天气很好，是吗？”这样的问题，目的是使应聘人员能比较自然地进入面试情景之中，以便消除毕业生紧张的心情，建立一种和谐、友善的面试气氛。
毕业生这时就不需要详细地对所问问题进行一一解答，可利用这个机会熟悉面试环境和考官。
第二阶段：引入阶段。
2004～2005 学年第一学期《高等数学》期末考试试题B卷及答案
x ♦ 2004～2005 学年第一学期《高等数学》期末考试试题 B 卷（216 学时） 专业班级学号 姓名一、填空题：（4×4 分）1、设 f (x + 1 ) = x 2+1-1，则 f (x ) =。
2、lim xx 2sin(1 - x ) = 。
x →1(x -1)(x + 2)3、设 f '(x ) = -2 ，则limf (x 0 - h ) - f (x 0 + h )= 。
h →0h4、 ⎰[ f (x ) + xf '(x )]dx = 。
dx 2sin t5、dx ⎰01 + cos2 t dt = 。
二、选择题：（5×3 分）1、 x = 2 是函数 f (x ) = arctan12 - x的 （ ）A 、连续点；B 、可去间断点；C 、第一类不可去间断点；D 、第二类间断点；♣1 - cos x 2、设 f (x ) = ♠, x > 0 ，其中 g (x ) 是有介函数，则 f (x ) 在 x = 0 处（ ）♠♥x 2 g (x ) , x ≤ 0 A 、极限不存在； B 、极限存在，但不连续； C 、连续，但不可导； D 、可导；3、在区间(a ,b ) 内，f (x ) 的一阶导数 f '(x ) >0，二阶导数 f '(x ) <0，则 f (x ) 在区间(a ,b )内是（ ）A 、单增且凸； C 、单增且凹；4、下列命题中正确的是B 、单减且凸； D 、单减且凹；（ ）A 、 f ''(x 0 ) = 0 ，则(x 0 , f (x 0 )) 一定是由曲线 y = f (x ) 的拐点；B 、若 f '(x 0 ) = 0 ，则 f (x ) 在 x 0 处一定取极值；C 、 f (x ) 可导，且在 x = x 0 上取得极值，则 f '(x 0 ) = 0 ；D 、 f (x ) 在[a , b ] 上取得最大值，则该最大值一定是 f (x ) 在(a , b ) 内的极大值。
华东师范大学2004数学分析解答
华东师范大学2004数学分析一、（30分）计算题。
1、求2120)2(cos lim x x x x -→ 解：)0(21~2sin 21cos 22→--=x x x x∴ 1)1(120120120222)1(lim )1(lim )2(cos lim ---→→→=-=-=-e x x x x xx x x x x2、若)),sin(arctan 2lnx x e y x +=-求'y . 解：2ln '11)cos(arctan )sin(arctan ln 22xx x x e x x y x +++-=- 3、求⎰--dx x xe x2)1(. 解：=-⎰-dx x xe x 2)1(⎰--x d xe x 11=x xe x --1-=-⎰-dx x xe x 2')1()(x xe x --1-dx e x ⎰-=c e xxe x x ++---1 4、求幂级数∑∞=1n n nx的和函数)(x f .解:1||<x 时=∑∞=+'01)(n n nx∑∞=+0)1(n n x n =∑∞=0n n nx +∑∞=0n n x⇒ ∑∞=0n n nx ='01)(∑∞=+n n nx-∑∞=0n n x ==---x x x 11)1('=---x x 11)1(122)1(x x - 5、L 为过)0,0(O 和)0,2(πA 的曲线)0(sin >=a x a y ,求⎰+++L dy y dx y x .)2()(3xdx a x da dy x a y cos sin ,sin ===⎰+++L dy y dx y x )2()(3=⎰20πxdx +⎰2033sin πxdx a +⎰20cos 2πxdx a +⎰202cos sin πxdx x a =+82π+323a 222a a +6、求曲面积分⎰⎰++S zdxdy dydz z x )2(,其中)10(,22≤≤+=z y x z ,取上侧.解：应用Gauss 公式，并应用极坐标变换得：⎰⎰++S zdxdy dydz z x )2(=⎰⎰⎰∂∂+∂+∂V dxdydz zz x z x ))2(( =⎰⎰⎰⎰⎰⎰==100202333πθπz Vrd dr dz dxdydz . 二、（30分）判断题（正确的证明，错误的举出反例）1、若},,2,1,{ =n x n 是互不相等的非无穷大数列，则}{n x 至少存在一个聚点).,(0+∞-∞∈x 正确。
华师大高数B
第一章函数• 函数的概念邻域；函数及其表示法• 具有某些特性的函数有界函数；单调函数；奇函数与偶函数；周期函数 .• 初等函数反函数；复合函数；初等函数第二章极限和连续• 数列及其极限• 自变量趋于无穷大时的函数极限自变量趋于无穷大时的函数极限；数列极限• 自变量趋于有限值时的函数极限函数极限的定义；左、右极限；函数极限和数列极限的关系。
• 极限的性质收敛数列的性质；函数极限的性质。
• 无穷小量，无穷大量和极限的运算法则无穷小量；无穷大量；无穷小量的四则运算；极限的四则运算法则；极限的复合运算法则。
• 极限存在条件和两个重要极限数列极限存在条件；函数极限存在条件；两个重要极限• 无穷大量和无穷小量的比较• 连续函数函数的连续性；间断点及其分类；连续函数的运算和初等函数的连续性。
• 闭区间上连续函数的性质最大、最小值定理与有界性定理；介值定理与根的存在性定理第三章导数与微分• 导数的定义导数的定义；导函数；导数的几何意义和物理意义；可导性与连续性的关系 .• 求导法则导数的四则运算法则；反函数的导数；复合函数的导数；基本求导法则与导数基本公式• 隐函数的导数；参变量函数的导数；平面曲线的切线和法线及其方程；导数的应用举例• 微分微分的概念；微分的基本公式及运算法则；一阶微分形式的不变性；微分在近似计算中的应用• 高阶导数高阶导数的概念；某些简单函数的n 阶导数第四章微分中值定理与导数的应用• 中值定理罗尔中值定理；拉格朗日中值定理；柯西中值定理• 不定式的极限• 函数的单调性和极值函数单调性的判别法；函数极值的判别法；函数的最大值和最小值及其简单应用• 函数图象的讨论曲线的凸性与拐点；曲线的渐近线；函数作图• 曲率曲率的概念；曲率半径• 方程的近似解（牛顿切线法）第五章不定积分• 不定积分的概念与基本积分公式原函数与不定积分；基本积分表；不定积分的线性性质• 换元积分法第一类换元积分法；第二类换元积分法• 分部积分法• 几类特殊函数的不定积分有理函数的不定积分；三角函数有理式的不定积分；某些简单无理函数的不定积分第六章定积分• 定积分的概念定积分的定义；定积分的几何意义• 牛顿- 莱布尼兹公式和定积分的性质牛顿- 莱布尼兹公式；定积分的性质；积分上限函数及其导数• 定积分的换元积分法与分部积分法• 定积分的近似计算矩形法；梯形法；抛物线法• 定积分的应用平面图形的面积；已知平行截面面积求立体体积和旋转体的体积；平面曲线的弧长；旋转曲面面积；定积分在物理学上的某些应用（变力作功，压力，引力，函数的平均值）.• 广义积分无限区间上的广义积分；无界函数的广义积分第七章无穷级数• 数项级数的收敛性及其性质无穷级数的概念；级数收敛的条件；收敛级数的性质• 正项级数正项级数的收敛准则；比较判别法；比值判别法和根式判别法• 任意项级数交错级数及莱布尼茨判别法；任意项级数的绝对收敛和条件收敛；绝对收敛级数的性质• 幂级数函数项级数的收敛域与和函数的概念；幂级数及其收敛半径、收敛区间和收敛域；幂级数在其收敛区间内的基本性质；简单幂级数的和函数的求法• 幂级数的应用泰勒级数；泰勒中值定理；初等函数的幂级数展开；近似计算.第八章1、空间直角坐标系2、向量及其线性运算3、向量的数量积与向量积4、平面与空间直线5、曲面与空间曲线第九章1、多元函数2、多元函数的偏导数与全微分3、复合函数和隐函数的微分法4、方向导数与梯度多元函数微分学的几何应用5、多元函数的极值第十章1、重积分的概念与性质2、二重积分的计算3、三重积分的计算4、重积分的应用第十一章1、第一型曲线积分第二型曲线积分2、格林公式3、第二型曲线积分与路径无关的条件4、第一型曲面积分5、第二型曲面积分6、斯托克斯公式7 、高斯公式第十二章1、一阶微分方程2、二阶微分方程3、微分方程应用举例。
2004～2005学年第一学期《高等数学》期末考试试题B卷(.
2004~2005学年第一学期《高等数学》期末考试试题B 卷答案一、填空题(4×4分1、32−x ; 2、31−; 3、4; 4、(xf x c +; 5、2222sin 1cos x x x + 二、单项选择题(5×3分1、C;2、D;3、A;4、C;5、B三、试解下列各题解:1、0000→→→→x 2、66sin 31ln(2lim sin 20lim 31(lim 00e e e x x x x x x x x x ===+→→+→ 3、xdx dx x x x x x erc dy arctan 11tan 22=⎦⎤⎢⎣⎡+−++= 4、两边对x 求导(10x y dy dy e y x dx dx++−−= x y x y dy e y dx x e ++−=−5、22sin dx t t dt =−222222(cos 2sin cos 2sin dy t t t t dt t tdt =−−=−2222sin 2sin dy t t t dx t t == dy d dt dx = 22212sin d y dx t t =− 6、2c ==+ 7、22204 4044sin sin sin 111x x xx x x dx dx dx e e e ππππ−−−−−−=++++∫∫∫ 220404sin sin 11x t x t dxx t dt e e ππ−−=−++∫∫ 22444004sin 1sin (1cos 221xx dx xdx x dx e ππππ−−==−+∫∫∫ 40111(sin 2(2228x x ππ=−=− 8、2201arctan(1arctan (1td t ′∫+− ∫+−−−=2122121(arctan 1(21dt tt t t 125/2arctan −+=u四、解:例如广义积分∫10d 1x x 收敛时,但广义积分∫10d 1x x 发散。
2004—数二真题、标准答案及解析
穷小, 则正确的排列次序是
（A）
（B）
（C）
（D）
【分析】对与变限积分有关的极限问题，一般可利用洛必塔法则实
现对变限积分的求导并结合无穷小代换求解.
【详解】
, 即. 又, 即. 从而按要求排列的顺序为, 故选（B）.
【评注】此题为比较由变限积分定义的无穷小阶的常规题. （8）设, 则
（A）是的极值点, 但不是曲线的拐点. （B）不是的极值点, 但是曲线的拐点. （C）是的极值点, 且是曲线的拐点. （D）不是的极值点, 也不是曲线的拐点. 【分析】求分段函数的极值点与拐点， 按要求只需讨论两方, 的符 号. 【详解】 ,
（15）（本题满分10分） 求极限. 【分析】此极限属于型未定式.可利用罗必塔法则,并结合无穷小代 换求解. 【详解1】 原式
【详解2】 原式
【评注】此题为求未定式极限的常见题型.在求极限时,要注意将罗 必塔法则和无穷小代换结合,以简化运算.
（16）（本题满分10分） 设函数在（）上有定义, 在区间上, , 若对任意的都满足, 其中为常 数. (Ⅰ)写出在上的表达式; (Ⅱ)问为何值时, 在处可导. 【分析】分段函数在分段点的可导性只能用导数定义讨论. 【详解】(Ⅰ)当,即时,
【详解】
故选（B）. 【评注】此题是将无穷和式的极限化为定积分的题型，值得注意的
是化为定积分后还必须作一变换,才能化为四选项之一. （10）设函数连续, 且, 则存在, 使得 （A）在内单调增加. （B）在内单调减小. （C）对任意的有. （D）对任意的有. 【分析】可借助于导数的定义及极限的性质讨论函数在附近的局部
2004年考硕数学（二）真题
一. 填空题（本题共6小题，每小题4分，满分24分. 把答案填在题中横