2018年春七年级数学下册第4章三角形专训1三角形三边关系的巧用试题(新版)北师大版
知识点详解北师大版七年级数学下册第四章三角形专项练习试题(含答案及详细解析)
北师大版七年级数学下册第四章三角形专项练习考试时间：90分钟；命题人：数学教研组考生注意：1、本卷分第I卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，满分100分，考试时间90分钟2、答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级填写在试卷规定位置上3、答案必须写在试卷各个题目指定区域内相应的位置，如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用涂改液、胶带纸、修正带，不按以上要求作答的答案无效。
第I卷（选择题 30分）一、单选题（10小题，每小题3分，共计30分）1、已知三角形的两边长分别是3cm和7cm，则下列长度的线段中能作为第三边的是（）A．3cm B．4cm C．7cm D．10cm2、如图，在△ABC和△DEF中，∠A＝∠D，AF＝DC，添加下列条件中的一个仍无法证明△ABC≌△DEF 的是（）A．BC＝EF B．AB＝DE C．∠B＝∠E D．∠ACB＝∠DFE3、如图，在正方形ABCD中，E，F分别为AD，CD上的点，且AE＝CF，则下列说法正确的是（）A．∠1﹣∠2＝90° B．∠1＝∠2＋45° C．∠1＋∠2＝180°D．∠1＝2∠24、如图，在△ABC与△AEF中，AB＝AE，BC＝EF，∠ABC＝∠AEF，∠EAB＝40°，AB交EF于点D，连接EB．下列结论：①∠FAC＝40°；②AF＝AC；③∠EFB＝40°；④AD＝AC，正确的个数为（）A．1个B．2个C．3个D．4个5、如图，△ABC中，D，E分别为BC，AD的中点，若△CDE的面积使2，则△ABC的面积是（）A．4 B．5 C．6 D．86、如图，为了估计一池塘岸边两点A，B之间的距离，小颖同学在池塘一侧选取了一点P，测得==，那么点A与点B之间的距离不可能是（）PA PB100m,90mA ．20mB ．120mC ．180mD ．200m7、如图，在ABC 和ABD △中，已知CAB DAB ∠=∠，在不添加任何辅助线的前提下，要使ABC ABD △△≌，只需再添加的一个条件不可以是（ ）A ．AC AD =B ．BC BD = C ．C D ∠=∠ D ．CBE DBE ∠=∠8、以下列各组线段为边，能组成三角形的是（ ）A ．3cm ，3cm ，6cmB ．2cm ，5cm ，8cmC ．25cm ，24cm ，7cmD ．1cm ，2cm ，3cm9、三角形的外角和是（ ）A ．60°B ．90°C ．180°D ．360° 10、如图，E 是正方形ABCD 的边DC 上一点，过点A 作FA ＝AE 交CB 的延长线于点F ，若AB ＝4，则四边形AFCE 的面积是（ ）A ．4B ．8C ．16D ．无法计算第Ⅱ卷（非选择题 70分）二、填空题（5小题，每小题4分，共计20分）1、已知，如图，AB ＝AC ，AD ＝AE ，BE 与CD 相交于点P ，则下列结论：①PC ＝PB ；②∠CAP ＝∠BAP ；③∠PAB ＝∠B ；④共有4对全等三角形；正确的是 _____（请填写序号）．2、如图，△ABE ≌△ACD ，∠A ＝60°，∠B ＝20°，则∠DOE 的度数为_____°．3、如图，AC ，BD 相交于点O ，若,A D ∠=∠使AOB DOC △≌△，则还需添加的一个条件是_____________．(只要填一个即可)4、如图，在△ABC 中，AD 平分∠CAB ，BD ⊥AD ，已知△ADC 的面积为14，△ABD 的面积为10，则△ABC 的面积为______．5、如图，在△ABC中，AD是BC边上的中线，BE是△ABD中AD边上的中线，若△ABC的面积是80，则△ABE的面积是________．三、解答题（5小题，每小题10分，共计50分）1、如图，点B、E、F、D在同一直线上，AB CD=，BE DF∥，AB CD=．求证：ABF CDE△△．≅2、已知∠ACD＝90°，MN是过点A的直线，AC＝DC，且DB⊥MN于点B，如图易证BD＋AB，过程如下：解：过点C作CE⊥CB于点C，与MN交于点E∵∠ACB＋∠BCD＝90°，∠ACB＋∠ACE＝90°，∴∠BCD＝∠ACE．∵DB⊥MN，∴∠ABC＋∠CBD＝90°，CE⊥CB，∴∠ABC＋∠CEA＝90°，∴∠CBD＝∠CEA．又∵AC＝DC，∴△ACE≌△DCB（AAS），∴AE＝DB，CE＝CB，∴△ECB为等腰直角三角形，∴BE．又∵BE＝AE＋AB，∴BE＝BD＋AB，∴BD＋AB．（1）当MN绕A旋转到如图（2）位置时，BD、AB、CB满足什么样关系式，请写出你的猜想，并给予证明．（2）当MN绕A旋转到如图（3）位置时，BD、AB、CB满足什么样关系式，请直接写出你的结论．≌3、已知：如图，AC BD=，求证：ABC BAD=，AD BC4、在边长为10厘米的等边三角形△ABC中，如果点M，N都以3厘米/秒的速度匀速同时出发．（1）若点M在线段AC上由A向C运动，点N在线段BC上由C向B运动．①如图①，当BD＝6，且点M，N在线段上移动了2s，此时△AMD和△BND是否全等，请说明理由．②求两点从开始运动经过几秒后，△CMN是直角三角形．（2）若点M在线段AC上由A向点C方向运动，点N在线段CB上由C向点B方向运动，运动的过程中，连接直线AN，BM，交点为E，探究所成夹角∠BEN的变化情况，结合计算加以说明．5、如图，AD是ABC的中线，分别过点C、B作AD及其延长线的垂线，垂足分别为F、E．（1）求证：CFD BED△△；（2）若ACF的面积为8，CFD△的面积．△的面积为6，求ABE-参考答案-一、单选题1、C【分析】设三角形第三边的长为x cm，再根据三角形的三边关系求出x的取值范围，找出符合条件的x的值即可．【详解】解：设三角形的第三边是xcm．则7-3＜x＜7+3．即4＜x＜10，四个选项中，只有选项C符合题意，故选：C．【点睛】本题主要考查了三角形三边关系的应用．此类求三角形第三边的范围的题，实际上就是根据三角形三边关系定理列出不等式，然后解不等式即可．2、A【分析】根据AF=DC求出AC=DF，再根据全等三角形的判定定理逐个判断即可．【详解】解：∵AF=DC，∴AF+FC=DC+FC，即AC=DF，A、BC=EF，AC=DF，∠A=∠D，不符合全等三角形的判定定理，不能推出△ABC≌△DEF，故本选项符合题意；B、AB=DE，∠A=∠D，AC=DF，符合全等三角形的判定定理SAS，能推出△ABC≌△DEF，故本选项不符合题意；C．∠B=∠E，∠A=∠D，AC=DF，符合全等三角形的判定定理AAS，能推出△ABC≌△DEF，故本选项不符合题意；D．∠ACB=∠DFE，AC=DF，∠A=∠D，符合全等三角形的判定定理ASA，能推出△ABC≌△DEF，故本选项不符合题意；故选：A ．【点睛】本题考查了全等三角形的判定定理，能熟记全等三角形的判定定理是解此题的关键，注意：全等三角形的判定定理有SAS ，ASA ，AAS ，SSS ，两直角三角形全等还有HL ．3、C【分析】由“SAS ”可证△ABE ≌△CBF ，可得∠AEB ＝∠2，即可求解．【详解】解：∵四边形ABCD 是正方形，∴AB ＝BC ，∠A ＝∠C ＝90°，在△ABE 和△CBF 中，AB BC A C AE CF =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩， ∴△ABE ≌△CBF （SAS ），∴∠AEB ＝∠2，∵∠AEB ＋∠1＝180°，∴∠1＋∠2＝180°，故选：C ．【点睛】本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，证明三角形全等是解题的关键．4、C【分析】由“SAS ”可证△ABC ≌△AEF ，由全等三角形的性质依次判断可求解．【详解】解：在△ABC 和△AEF 中，AB AE ABC AEF BC EF =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩， ∴△ABC ≌△AEF （SAS ），∴AF ＝AC ，∠EAF ＝∠BAC ，∠AFE ＝∠C ，故②正确，∴∠BAE ＝∠FAC ＝40°，故①正确，∵∠AFB ＝∠C +∠FAC ＝∠AFE +∠EFB ，∴∠EFB ＝∠FAC ＝40°，故③正确，无法证明AD ＝AC ，故④错误，故选：C ．【点睛】本题考查全等三角形的判定与性质，是重要考点，掌握相关知识是解题关键．5、D【分析】根据三角形的中线把三角形分成面积相等的两部分，求出面积比，即可求出ABC 的面积．【详解】∵AD 是BC 上的中线， ∴12ABD ACD ABC S S S ==△△△，∵CE是ACD△中AD边上的中线，∴12ACE CDE ACDS S S==，∴14CDE ABCS S=，即4ABC CDES S=，∵CDE△的面积是2，∴428ABCS=⨯=．故选：D．【点睛】本题考查的是三角形的中线的性质，三角形一边上的中线把原三角形分成的两个三角形的面积相等．6、D【分析】首先根据三角形的三边关系：两边之和大于第三边，两边之差小于第三边，求出AB的取值范围，然后再判断各选项是否正确．【详解】解：∵PA＝100m，PB＝90m，∴根据三角形的三边关系得到：PA PB AB PA PB-<<+，∴10m190mAB<<，∴点A与点B之间的距离不可能是20m，故选A．【点睛】本题主要考查了三角形的三边关系，掌握三角形两边只差小于第三边、两边之和大于第三边是解题的关键．7、B【分析】添加AC＝AD，利用SAS即可得到两三角形全等；添加∠D＝∠C，利用AAS即可得到两三角形全等，添加∠CBE＝∠DBE，利用ASA即可得到两三角形全等．【详解】解：A、添加AC＝AD，利用SAS即可得到两三角形全等，故此选项不符合题意；B、添加BC＝BD，不能判定两三角形全等，故此选项符合题意；C、添加∠D＝∠C，利用AAS即可得到两三角形全等，故此选项不符合题意；D、添加∠CBE＝∠DBE，利用ASA即可得到两三角形全等，故此选项不符合题意；故选：B．【点睛】此题考查了全等三角形的判定，熟练掌握全等三角形的判定方法是解本题的关键．8、C【分析】根据三角形三边关系求解即可．【详解】解：A、∵336+=，∴3cm，3cm，6cm不能组成三角形，故选项错误，不符合题意；B、∵257<8+=，∴2cm，5cm，8cm不能组成三角形，故选项错误，不符合题意；C、∵24-7<25<24+7，∴25cm，24cm，7cm能组成三角形，故选项正确，符合题意；D、∵123+=，∴1cm，2cm，3cm不能组成三角形，故选项错误，不符合题意．故选：C．【点睛】此题考查了三角形三边关系，解题的关键是熟练掌握三角形三边关系．三角形两边之和大于第三边，两边之差小于第三边．9、D【分析】根据三角形的内角和定理、邻补角的性质即可得．【详解】解：如图，142536180∠+∠=∠+∠=∠+∠=︒，∴∠+∠+∠+∠+∠+∠=︒，142536540又123180∠+∠+∠=︒，∴∠+∠+∠=︒-︒=︒，456540180360即三角形的外角和是360︒，故选：D．本题考查了三角形的内角和定理、邻补角的性质，熟练掌握三角形的内角和定理是解题关键．10、C【分析】先证明,Rt AFB Rt AED HL ≌可得,ABCD AFCES S 正方形四边形从而可得答案.【详解】 解： 正方形ABCD ，,90,AB AD BAD ABC ADC 90,ABF ABC,AF AE,Rt AFB Rt AED HL ≌,AFB AED S S,ABCD AFCE S S 正方形四边形AB ＝4，2=4=16,ABCD S 正方形16,AFCE S 四边形故选C【点睛】本题考查的是小学涉及的正方形的性质，直角三角形全等的判定与性质，证明Rt AFB Rt AED ≌是解本题的关键.1、①②④【分析】先证△AEB ≌△ADC （SAS ），再证△EPC ≌△DPB （AAS ），可判断①；可证△APC ≌△APB （SSS ），判定断②；利用特殊等腰三角形可得可判断③，根据全等三角形个数可判断④即可【详解】解：在△AEB 和△ADC 中，AB AC EAB DAC AE AD =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩， ∴△AEB ≌△ADC （SAS ），∴∠B =∠C ，∵EC =AC -AE =AB -AD =DB ，在△EPC 和△DPB 中，C B CPE BPD EC DB ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴△EPC ≌△DPB （AAS ），∴PC =PB ，故①正确；在△APC 和△APB 中，AC AB PC PB AP AP =⎧⎪=⎨⎪=⎩∴△APC ≌△APB （SSS ），∴∠CAP =∠BAP ，故②正确；当AP =PB 时，∠PAB =∠B ，当AP ≠PB 时，∠PAB ≠∠B ，故③不正确；在△EAP 和△DAP 中，AE AD PAE PAD AP AP =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴△EAP ≌△DAP （SAS ），共有4对全等三角形，故④正确故答案为：①②④【点睛】本题考查三角形全等判定与性质，掌握全等三角形的判定方法与性质是解题关键．2、100【分析】直接利用三角形的外角的性质得出∠CEO =80°，再利用全等三角形的性质得出答案．【详解】解：∵∠A =60°，∠B =20°，∴∠CEO =80°，∵△ABE ≌△ACD ，∴∠B =∠C =20°，∴∠DOE =∠C +∠CEO =100°．故答案为：100．【点睛】此题主要考查了全等三角形的性质以及三角形的外角的性质，求出∠CEO =80°是解题关键．3、OA =OD 或AB =CD 或OB =OC【分析】添加条件是AB CD =，根据,AAS ASA 推出两三角形全等即可．【详解】解：AB CD =， 理由是：在AOB ∆和DOC ∆中AOB DOC A D AB CD ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩()AOB DOC AAS ∴∆≅∆，OA OD =， 理由是：在AOB ∆和DOC ∆中AOB DOC A D OA OD ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩()AOB DOC ASA ∴∆≅∆，OB OC =， 理由是：在AOB ∆和DOC ∆中AOB DOC A D OB OC ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩()AOB DOC AAS ∴∆≅∆，故答案为：OA =OD 或AB =CD 或OB =OC ．【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定，解题的关键是掌握全等三角形的5种判定方法中，选用哪一种方法，取决于题目中的已知条件，若已知两边对应相等，则找它们的夹角或第三边；若已知两角对应相等，则必须再找一组对边对应相等，且要是两角的夹边，若已知一边一角，则找另一组角，或找这个角的另一组对应邻边．4、28【分析】延长BD交AC于点E，可得△ABD≌△AED，则△ABD与△AED的面积相等，点D是BE的中点，从而△CED与△CBD的面积相等，且可求得△CED的面积，进而求得结果．【详解】延长BD交AC于点E，如图所示∵BD⊥AD∴∠ADB=∠ADE=90°∵AD平分∠CAB∴∠BAD=∠CAD∵AD=AD∴△ABD≌△AED(ASA)∴△ABD与△AED的面积相等，BD=ED∴点D是BE的中点∴△CED与△CBD的面积相等，且△CED的面积等于△ADC的面积与△ABD的面积的差，即为14-10=4∴△CBD的面积为4∴△ABC的面积=14+10+4=28故答案为：28【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，三角形一边上的中线平分此三角形的面积等知识，关键是构造辅助线并证明△ABD≌△AED．5、20【分析】根据三角形的中线把三角形分成面积相等的两部分，求出面积比，即可解答．【详解】解：∵AD是BC上的中线，∴S△ABD=S△ACD=12S△ABC，∵BE是△ABD中AD边上的中线，∴S△AB E=S△BED=12S△ABD，∴S△ABE=14S△ABC，∵△ABC的面积是80，∴S△ABE=14×80=20．故答案为：20．【点睛】本题主要考查了三角形面积的求法，掌握三角形的中线将三角形分成面积相等的两部分，是解答本题的关键．三、解答题1、见解析【分析】由“SAS ”可证△ABF ≌△CDE ，可得∠AFB =∠CED ，可得结论．【详解】解：∵BE DF =，∴BE EF DF EF +=+，即：BF DE =，∵AB CD ∥，∴B D ∠=∠，在ABF 和CDE △中，AB CD B D BF DE =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩， ∴()ABF CDE SAS ≅△△.【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，平行线的性质，证明三角形全等是解题的关键．2、（1）AB -BD，证明见解析．（2）BD -AB，证明见解析．【分析】（1）仿照图（1）的解题过程即可解答．过点C 作CE ⊥CB 于点C ，与MN 交于点E ，根据同角（等角）的余角相等可证∠BCD =∠ACE 及∠CAE =∠D ，由ASA 可证△ACE ≌△DCB ，然后由全等三角形的对应边相等可得：AE =DB ，CE =CB ，从而确定△ECB 为等腰直角三角形，由勾股定理可得：BE，由BE =AB -AE ，可得BE =AB -BD ，即AB -BD；（2）解题思路同（1），过点C 作CE ⊥CB 于点C ，与MN 交于点E ，根据等角的余角相等及等式的性质可证∠BCD =∠ACE 及∠CAE =∠D ，由ASA 可证△ACE ≌△DCB ，然后由全等三角形的对应边相等可得：AE =DB ，CE =CB ，从而确定△ECB 为等腰直角三角形，由勾股定理可得：BE，由BE =AE -AB ，可得BE =BD -AB ，即BD -AB．【详解】解：（1）AB -BD．证明：如图（2）过点C 作CE ⊥CB 于点C ，与MN 交于点E ，∵∠ACD =90°，∠ECB =90°，∴∠ACE =90°-∠DCE ，∠BCD =90°-∠ECD ，∴∠BCD =∠ACE ．∵DB ⊥MN ，∴∠CAE =90°-∠AFC ，∠D =90°-∠BFD ，∵∠AFC =∠BFD ，∴∠CAE =∠D ，在△ACE 和△DCB 中，BCD ACE AC DCCAE D ∠∠⎧⎪⎨⎪∠∠⎩＝＝＝ ∴△ACE ≌△DCB （ASA ），∴AE =DB ，CE =CB ，∴△ECB 为等腰直角三角形，∴BE．又∵BE =AB -AE ，∴BE =AB -BD ，∴AB -BD．（2）BD -AB．如图（3）过点C 作CE ⊥CB 于点C ，与MN 交于点E ，∵∠ACD =90°，∠BCE =90°，∴∠ACE =90°+∠ACB ，∠BCD =90°+∠ACB ，∴∠BCD =∠ACE ．∵DB ⊥MN ，∴∠CAE =90°-∠AFC ，∠D =90°-∠BFD ，∵∠AFC =∠BFD ，∴∠CAE =∠D ，在△ACE 和△DCB 中，BCD ACE AC DCCAE D ∠∠⎧⎪⎨⎪∠∠⎩＝＝＝∴△ACE≌△DCB（ASA），∴AE=DB，CE=CB，∴△ECB为等腰直角三角形，∴BE．又∵BE=AE-AB，∴BE=BD-AB，∴BD-AB．【点睛】本题考查了三角形全等的判定和性质，等腰直角三角形的判定和性质等．注意：全等三角形的判定定理有SAS，ASA，AAS，SSS，全等三角形的性质是全等三角形的对应边相等，对应角相等．3、证明见解析【分析】由AC BD=，AD BC=，结合公共边,AB BA从而可得结论.【详解】证明：在ABC与BAD中，AC BDAD BCAB BAABC BAD≌∴【点睛】本题考查的是全等三角形的判定，掌握“利用边边边公理证明三角形全等”是解本题的关键.4、（1）①证明见解析；②经过109或209秒后，△CMN是直角三角形；（2）∠BEN＝60°，证明见解析【分析】（1）①根据题意得出AM ＝BD ，AD ＝BN ，根据等边三角形的性质得到∠A ＝∠B ＝∠C ＝60°，利用SAS 定理证明△AMD ≌△BDN ；②分∠CNM ＝90°、∠CMN ＝90°两种情况，根据直角三角形的性质列式计算即可；（2）证明△ABM ≌△CAN ，根据全等三角形的性质得到∠ABM ＝∠CAN ，根据三角形的外角性质计算，得到答案．【详解】（1）①∵△ABC 为等边三角形，∴∠A ＝∠B ＝∠C ＝60°，当点M ，N 在线段上移动了2s 时，AM ＝6厘米，CN ＝6厘米，∴BN ＝BC ﹣CN ＝4厘米，∵AB ＝10厘米，BD ＝6厘米，∴AD ＝4厘米，∴AM ＝BD ，AD ＝BN ，在△AMD 和△BDN 中，AM BD A B AD BN =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩， ∴△AMD ≌△BDN （SAS ）；②设经过t 秒后，△CMN 是直角三角形，由题意得：CM ＝（10﹣3t ）厘米，CN ＝3t 厘米，当∠CNM ＝90°时，∵∠C ＝60°，∴∠CMN ＝30°，∴CM ＝2CN ，即10﹣3t ＝2×3t ，解得：t ＝109， 当∠CMN ＝90°时，CN ＝2CM ，即2（10﹣3t ）＝3t ，解得：t ＝209， 综上所述：经过109或209秒后，△CMN 是直角三角形；（2）如图所示，由题意得：AM ＝CN ，在△ABM 和△CAN 中，AM CN BAM ACN AB CA =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩， ∴△ABM ≌△CAN （SAS ），∴∠ABM ＝∠CAN ，∴∠BEN ＝∠ABE +∠BAE ＝∠CAN +∠BAE ＝60°．【点睛】本题考查了全等三角形的判断以及列一元一次方程动点相关问题，两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等；一元一次方程与几何图形的相结合的题，多数会涉及到动点的问题，需要对动点的位置进行讨论，讨论时要注意讨论全面，做到不重不漏，通常会按照从左到右或从上到下的方位进行考虑．5、（1）见解析（2）ABE △的面积为20．【分析】（1）根据已知条件得到E CFD ∠=∠、BD CD =，然后利用全等三角形的判定，进行证明即可．（2）分别根据ACF 和CFD △的面积，用CF 表示AF 、D F ，通过CFD BED ≅△△，得到BE CF =，DE DF =，用CF 表示出AE 的长，最后利用面积公式求解即可．（1）（1）解：由题意可知：90E CFD ∠=∠=︒AD 是ABC 的中线BD CD ∴=在CFD ∆与BED ∆中CDF BDEC CFD ED BD∠=∠=∠=∠⎧⎪⎨⎪⎩∴∆∆()CFD BED AAS ≌．（2）解：ACF 的面积为8，CFD △的面积为6．182AF CF ∴⋅=，即16AF CF = 162DF CF ⋅=，即12DF CF =由（1）可知：CFD BED ∆∆≌BE CF ∴=，12DE DF CF ==40AE AF DF DE CF ∴=++=1202ABE S AE BE ∆∴=⋅=． 【点睛】本题主要是考查了全等三角形的判定和性质，熟练根据条件证明三角形全等，利用其性质，证明对应边相等，这是解决本题的关键．。
新北师大版七年级数学下册第四章《三角形》同步分层练习含答案
1认识三角形第1课时三角形及其内角和1．下面是一位同学用三根木棒拼成的图形，其中符合三角形概念的是(D)2．在△ABC中，BC边的对角是(A)A．∠A B．∠BC．∠C D．∠D3．如图，△ABC中，AB与BC的夹角是∠B，∠A的对边是BC，∠A，∠C的公共边是AC .4．如图，以点A为顶点的三角形有 4 个，它们分别是△ABC，△ADC，△ABE，△ADE .5．在△ABC中，若∠C＝100°，∠B＝10°，则∠A＝70° .6．在△ABC中，若∠A＝80°，∠B＝∠C，则∠B＝50° .7．在△ABC中，若∠C＝40°，∠B＝4∠A，则∠A等于(B)A．30° B．28° C．26° D．40°8．如图，直线AB∥CD，∠B＝50°，∠C＝40°，则∠E等于(C)A．70° B．80° C．90° D．100°9．在△ABC中，∠B比∠A大36°，∠C比∠A小36°，求△ABC的各内角的度数．解：设∠A＝x，则∠B＝x＋36°，∠C＝x－36°.根据题意，得x＋x＋36°＋x－36°＝180°，解得x＝60°，所以x＋36°＝96°，x－36°＝24°.所以∠A＝60°，∠B＝96°，∠C＝24°.10．如图，如果把△ABC的一边BA延长，可以得到∠CAD，像这样，三角形的一边与另一边的延长线组成的角，我们把它称作三角形的外角．它的一个性质定理是三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和．如果∠C＝50°，∠B＝30°，则∠CAD的度数是(A)A．80° B．90° C．100° D．110°11．如图，在△ABC中，∠A＝80°，点D在BC的延长线上，∠ACD＝145°，则∠B等于(C)A．45° B．55° C．65° D．75°12．(2019·湖北襄阳保康模拟)下列图形中，能确定∠1＞∠2的是(C)13．三角形按角分类可以分为(A)A．锐角三角形、直角三角形、钝角三角形B．等腰三角形、等边三角形、不等边三角形C．直角三角形、等边三角形D．以上答案都不正确14．(教材P82，议一议改编)下面给出的四个三角形都有一部分被遮挡，其中不能判断三角形的形状的是(C)15．(2019·上海徐汇区月考)已知在△ABC中，∠A＝45°，∠B＝46°，那么△ABC的形状为(A)A．锐角三角形B．直角三角形C．钝角三角形D．等腰三角形16．(2019·江苏徐州期中)在△ABC中，若∠A∶∠B∶∠C＝1∶2∶3，则△ABC的形状是(A)A．直角三角形B．等腰三角形C．锐角三角形D．钝角三角形17．如图，已知∠ACB＝90°，CD⊥AB于点D，那么图中与∠A相等的角是∠BCD .18．如图，图中三角形的个数有(B)A．6个 B．8个 C．10个 D．12个19．如图所示，在△ABC中，∠ACB是钝角，让点C在射线BD上向右移动，则(D)A．△ABC将先变成直角三角形，然后再变成锐角三角形，而不会再是钝角三角形B．△ABC将变成锐角三角形，而不会再是钝角三角形C．△ABC将先变成直角三角形，然后再变成锐角三角形，接着又由锐角三角形变为钝角三角形D．△ABC先由钝角三角形变为直角三角形，再变为锐角三角形，接着又变为直角三角形20．(2019·江苏无锡江阴期中)如图，在△ACB中，∠ACB＝90°，∠A＝24°，D是AB上一点．将△ABC沿CD折叠，使B点落在AC边上的B′处，则∠ADB′的度数为(A)A．42° B．40° C．30° D．24°21．如图，在△ABC中，∠C＝78°，沿图中虚线截去∠C，则∠1＋∠2＝(D)A．282° B．180° C．360° D．258°22．一副三角尺按如图所示的方式叠放在一起，则图中∠α等于(A)A．105° B．115° C．120° D．135°23．在下列条件中：①∠A＋∠B＝∠C，②∠A∶∠B∶∠C＝1∶2∶3，③∠A＝90°－∠B，④∠A＝∠B＝∠C.其中能确定△ABC是直角三角形的条件有①②③ (填序号)．24．如图，已知DF⊥AB于点F，∠A＝40°，∠D＝50°，求∠ACB的度数．解：因为DF⊥AB，所以∠GFA＝90°.因为∠A＝40°，所以∠AGF＝50°.所以∠DGC＝50°.又∠D＝50°，所以∠ACB＝∠D＋∠DGC＝100°.25．阅读材料：如图1所示的图形，像我们常见的学习用品——圆规．我们不妨把这样的图形叫做“规形图”．解决问题：(1)观察“规形图”，试探究∠BDC与∠A，∠B，∠C之间的数量关系，并说明理由．(2)请你直接利用以上结论，解决以下两个问题：①如图2，把一块三角尺DEF放置在△ABC上，使三角尺的两条直角边DE，DF恰好经过点B，C，若∠A＝40°，则∠ABD＋∠ACD＝ 50 °；②如图3，BD平分∠ABP，CD平分∠ACP，若∠A＝64°，∠BPC＝142°，求∠BDC的度数．解：(1)如图，连接AD 并延长至点F .根据外角的性质，可得∠BDF ＝∠BAD ＋∠B ，∠CDF ＝∠C ＋∠CAD ， 又因为∠BDC ＝∠BDF ＋∠CDF ， ∠BAC ＝∠BAD ＋∠CAD ， 所以∠BDC ＝∠BAC ＋∠B ＋∠C .(2)②由(1)得∠BPC ＝∠BAC ＋∠ABP ＋∠ACP ，∠BDC ＝∠BAC ＋∠ABD ＋∠ACD ，所以∠ABP ＋∠ACP ＝∠BPC －∠BAC ＝142°－64°＝78°. 又因为BD 平分∠ABP ，CD 平分∠ACP ， 所以∠ABD ＋∠ACD ＝12(∠ABP ＋∠ACP )＝39°，所以∠BDC ＝64°＋39°＝103°.第2课时 三角形的三边关系1．(2019·江西萍乡期末)下列长度的线段能组成三角形的是( D ) A ．2，3，5 B ．4，4，8 C ．14，6，7D ．15，10，92．(2019·江苏淮安中考)下列长度的3根小木棒不能搭成三角形的是( B ) A ．2 cm ，3 cm ，4 cm B ．1 cm ，2 cm ，3 cm C ．3 cm ，4 cm ，5 cmD ．4 cm ，5 cm ，6 cm3．(2019·四川宜宾期末)已知△ABC 的两边长分别是2和3，则第三边长可以是( B ) A ．1 B ．2 C ．5 D ．84．(2019·福建南平模拟)如图，在△ABC 中，∠A 是钝角，若AB ＝1，AC ＝3，则BC 的长度可能是( C ) A ．π－1 B ．3 C.103D ．25．(2019·江苏泰州兴化期中)已知三角形的两边长分别为2和6，且第三边长是偶数，则此三角形的第三边的长度为 6 .6．下列说法：①三角形按边分类可分为不等边三角形(三条边都不相等的三角形)和等腰三角形； ②等边三角形是特殊的等腰三角形； ③等腰三角形是特殊的等边三角形； ④有两边相等的三角形一定是等腰三角形． 其中，说法正确的个数是( C ) A ．1个 B ．2个 C ．3个 D ．4个7．把下列三角形进行分类，并把序号填入到正确的位置．(1)按边分类：三边均不相等的②④⑤⑦ 是不等边三角形；两条边相等的①③⑥⑧ 是等腰三角形；三条边相等的① 是等边三角形．(2)按角分类：都是锐角的①④⑥⑦ 是锐角三角形；有直角的③⑤ 是直角三角形；有钝角的②⑧ 是钝角三角形．8．(2019·福建福州期末)用一根长为10 cm的绳子围成一个三角形，若所围成的三角形中一边的长为2 cm，且另外两边长的值均为整数，则这样的围法有(A)A．1种 B．2种 C．3种 D．4种9．(2019·河南新乡卫辉期末)已知a，b，c是△ABC的三边长，化简|a＋b－c|－|b－a－c|的值是(B)A．－2c B．2b－2c C．2a－2c D．2a－2b10．已知三角形的两边长a＝3，b＝7，第三边长是c.(1)第三边长c的取值范围是 4＜c＜10 ；(2)若第三边长c为偶数，则c的值为 6或8 .(3)若a＜b＜c，则c的取值范围是 7＜c＜10 .11．在平面内，分别用3根、5根、6根、…火柴首尾依次相接，能搭成什么形状的三角形呢？通过尝试，列表如下所示．火柴根数35 6示意图形状等边三角形等腰三角形等边三角形(2)8根、12根火柴能搭成几种不同形状的三角形？请画出它们的示意图．解：(1)4根火柴不能搭成三角形．(2)8根火柴能搭成一种三角形(3，3，2)．示意图：12根火柴能搭成3种不同的三角形(4，4，4；5，5，2；3，4，5)．示意图：第3课时三角形的中线、角平分线、高1．如图，AE是△ABC的中线，已知EC＝4，DE＝2，则BD的长为(A)A．2 B．3 C．4 D．62．如图，在△ABC中，AD为BC边上的中线，若AB＝5 cm，AC＝3 cm，则△ABD的周长比△ACD 的周长多(D)A．5 cm B．3 cm C．8 cm D．2 cm3．三角形的三条中线的交点的位置为(A)A．一定在三角形内B．一定在三角形外C．可能在三角形内，也可能在三角形外D．可能在三角形的一条边上4．三角形的重心是(A)A．三角形三条边上中线的交点B．三角形三条边上高线的交点C．三角形三条内角平分线的交点D．以上说法都不对5．三角形一边上的中线把原三角形分成两个(B)A．形状相同的三角形B．面积相等的三角形C．直角三角形D．周长相等的三角形6．如图，在△ABC 中，D ，E ，F 是BC 边上的三点，且∠1＝∠2＝∠3＝∠4，AE 是哪个三角形的角平分线( D )A ．△ABEB ．△ADFC ．△ABCD ．△ABC ，△ADF7．如图，(1)AD 是△ABC 的角平分线，则∠ BAD ＝∠ DAC ＝12∠ BAC ；(2)AE 是△ABC 的中线，则 BE ＝ EC ＝12BC .8.如图，在△ABC 中，AD ⊥BC ，AE 平分∠BAC ，若∠1＝30°，∠2＝20°，则∠B ＝ 50° .9．如图，D 是△ABC 中BC 上的一点，DE ∥AC 交AB 于点E ，DF ∥AB 交AC 于点F ，且∠ADE ＝∠ADF ，AD 是△ABC 的角平分线吗？说明理由．解：AD 是△ABC 的角平分线． 理由：因为DE ∥AC ，DF ∥AB ， 所以∠ADE ＝∠DAF ，∠ADF ＝∠EAD . 又因为∠ADE ＝∠ADF ，所以∠DAF ＝∠EAD ， 所以AD 是△ABC 的角平分线．10．(2019·北京石景山区二模)如图，在△ABC 中，AB 边上的高画法正确的是( B )11．三角形的高、中线、角平分线都是(B)A．直线B．线段C．射线D．以上情况都有12．如果一个三角形的三条高的交点恰好是这个三角形的一个顶点，那么这个三角形是(B)A．锐角三角形B．直角三角形C．钝角三角形D．不能确定13.如图．(1)在△ABC中，BC边上的高是AD；(2)在△AEC中，CE边上的高是AE；(3)在△BCF中，BC边上的高是BF .14．如图，AD⊥BC于点D，那么图中以AD为高的三角形有(D)A．3个 B．4个 C．5个 D．6个15．如图，CD，CE，CF分别是△ABC的高、角平分线、中线，则下列各式中错误的是(C)A ．AB ＝2BF B ．∠ACE ＝12∠ACBC ．AE ＝BED ．CD ⊥BE16．下列说法中，正确的个数是( A )①三角形的三条角平分线、三条中线、三条高都在三角形内部；②直角三角形只有一条高；③三角形的三条角平分线、三条中线、三条高分别交于一点． A ．0 B ．1 C ．2 D ．317．如图．(1)在△ABC 中，AD ⊥BC ，垂足为D ，则AD 是 BC 边上的高，∠ ADB ＝∠ ADC ＝90°；(2)若AE 平分∠BAC ，交BC 于点E ，则AE 叫 △BAC 的角平分线 ，∠ BAE ＝∠ CAE ＝12∠ BAC ，AH 叫 △BAF 的角平分线 ； (3)若AF ＝FC ，则△ABC 的中线是 BF ；(4)若BG ＝GH ＝HF ，则AG 是 △BAH 的中线，AH 是 △AGF 的中线．18．(1)如图1，点D ，E ，F 分别是BC ，AB ，AC 的中点，若△ABC 的面积为16，则△ABD 的面积是 8 ，△EBD 的面积是 4 ；(2)如图2，点D ，E ，F 分别是BC ，AD ，EC 的中点，若△ABC 的面积为16，求△BEF 的面积是多少．解：(2)因为E 是AD 的中点， 所以S △BCE ＝12S △ABC ＝8.因为F 是CE 的中点， 所以S △BEF ＝12S △BCE ＝12×8＝4.19．如图，在△ABC 中，AD ⊥BC 于点D ，AE 平分∠BAC . (1)若∠C ＝70°，∠B ＝40°，求∠DAE 的度数； (2)若∠C －∠B ＝30°，则∠DAE ＝ 15° ；(3)若∠C －∠B ＝α(∠C ＞∠B )，求∠DAE 的度数(用含α的式子表示)．解：(1)因为∠C ＝70°，∠B ＝40°，AD ⊥BC ，所以∠BAC ＝180°－40°－70°＝70°，∠CAD ＝20°.因为AE 平分∠BAC ，所以∠EAC ＝12∠BAC ＝35°.所以∠DAE ＝∠EAC －∠CAD ＝35°－20°＝15°.(3)因为∠B ＋∠C ＋∠BAC ＝180°，所以∠BAC ＝180°－∠B －∠C .因为AE 平分∠BAC ，所以∠BAE ＝12∠BAC ＝12(180°－∠B －∠C )＝90°－12(∠B ＋∠C )．因为AD ⊥BC ，所以∠ADE ＝90°，所以∠BAD ＝90°－∠B ，所以∠DAE ＝∠BAD －∠BAE ＝90°－∠B －⎣⎢⎡⎦⎥⎤90°－12（∠B ＋∠C ）＝12(∠C －∠B )．因为∠C －∠B ＝α，所以∠DAE ＝12α.20．已知：如图1，线段AB ，CD 相交于点O ，连接AD ，CB .如图2，在图1的条件下，∠DAB 和∠BCD 的平分线AP 和CP 相交于点P ，并且与CD ，AB 分别相交于M ，N .试解答下列问题： (1)在图1中，请直接写出∠A ，∠B ，∠C ，∠D 之间的数量关系 ∠A ＋∠D ＝∠B ＋∠C ； (2)在图2中，若∠D ＝40°，∠B ＝30°，试求∠P 的度数；(写出解答过程)(3)如果图2中，∠D 和∠B 为任意值，其他条件不变，试写出∠P 与∠D ，∠B 之间的数量关系．(直接写出结论即可)解：(2)由(1)得，∠1＋∠D＝∠3＋∠P，∠2＋∠P＝∠4＋∠B，所以∠1－∠3＝∠P－∠D，∠2－∠4＝∠B－∠P.又因为AP，CP分别平分∠DAB和∠BCD，所以∠1＝∠2，∠3＝∠4，所以∠P－∠D＝∠B－∠P，2∠P＝∠B＋∠D，所以∠P＝(40°＋30°)÷2＝35°.(3)2∠P＝∠B＋∠D.2图形的全等1．下列各组的两个图形属于全等图形的是 (D)2．下列图形与如图所示的图形全等的是(D)3．下列说法正确的有(C)①用一张底片冲洗出来的10张1寸相片是全等图形；②我国国旗上的4颗小五角星是全等图形；③所有的长方形是全等图形；④全等图形的面积一定相等．A．1个 B．2个 C．3个 D．4个4．如图，四边形ABCD≌四边形A′B′C′D′，则∠D′＝120° ，∠A＝70° ，B′C′＝ 12 ，A′B′＝ 10 .5．如图所示的是两个全等的五边形，∠β＝115°，d＝5，指出它们的对应顶点、对应边与对应角，并说出图中标的a，b，c，e，α各字母所表示的值．解：对应顶点：A和G，E和F，D和J，C和I，B和H；对应边：AB和GH，AE和GF，ED和FJ，CD和IJ，BC和HI；对应角：∠A和∠G，∠B和∠H，∠C和∠I，∠D和∠J，∠E和∠F.因为两个五边形全等，所以a＝12，b＝10，c＝8，e＝11，α＝90°.6．如图，△ABC≌△DEF，则EF＝ 5 .7．表示全等的符号“≌”是由“∽”和“＝”两部分组成的，其中“＝”表示两个全等图形的大小相等，那么“∽”表示两个全等图形的形状相同．8．下列说法正确的是(C)A．形状相同的两个三角形全等B．面积相等的两个三角形全等C．完全重合的两个三角形全等D．所有的等边三角形全等9．如图，△ABC≌△A′B′C′，其中∠A＝36°，∠C′＝24°，则∠B＝120° .10．如图，已知△ACE≌△DBF，CE＝BF，AE＝DF，AD＝8，BC＝2.(1)求AC的长度；(2)试说明CE∥BF.解：(1)因为△ACE≌△DBF，所以AC＝BD，所以AB＝DC.因为BC＝2，所以2AB＋2＝8，解得AB＝3.所以AC＝AB＋BC＝3＋2＝5.(2)因为△ACE≌△DBF，所以∠ECA＝∠FBD.所以CE∥BF.易错点有公共边时容易找不准对应顶点11．如图1，两个三角形全等可表示为△ABC≌△CDA；如图2，两个三角形全等可表示为△ABD≌△ACD．12．如图所示，已知△ABC≌△DEF，则图中相等的线段有(D)A．1组 B．2组 C．3组 D．4组13．如图，△ABC≌△CDE，其中AB＝CD，那么下列结论中，不正确的是(C)A．AC＝CE B．∠BAC＝∠ECDC．∠ACB＝∠ECD D．∠B＝∠D14．下列说法错误的是(B)A．全等三角形对应边上的中线相等B．面积相等的两个三角形是全等三角形C．全等三角形对应边上的高相等D．全等三角形对应角平分线相等15．如图，已知方格纸中是4个相同的正方形，则∠1与∠2的和为(C)A．45° B．60° C．90° D．100°16．已知△ABC的三边长分别为7，5，3，△DEF的三边长分别为3x－2，2x－1，3.若这两个三角形全等，则x＝ 3 .17．如图，请沿图中的虚线，用三种方法将下列图形划分为两个全等图形．解：如图所示(答案不唯一)．18．如图，已知△ABE≌△ACF，∠E＝∠F＝90°，∠CMD＝70°，求∠2的度数．解：因为∠CMD＝70°，所以∠AME＝70°.又因为∠E＝90°，所以∠1＝180°－∠E－∠AME＝180°－90°－70°＝20°.因为△ABE≌△ACF，所以∠BAE＝∠CAF，即∠1＋∠BAC＝∠2＋∠BAC，所以∠1＝∠2，所以∠2＝20°.19．如图，A，D，E三点在同一条直线上，且△BAD≌△ACE.(1)你能说明BD，DE，CE之间的数量关系吗？(2)请你猜想△ABD满足什么条件时，BD∥EC?解：(1)BD＝DE＋CE.理由如下：因为△BAD≌△ACE，所以BD＝AE，AD＝CE，所以BD＝AE＝AD＋DE＝CE＋DE.即BD＝DE＋CE.(2)当△ABD满足∠ADB＝90°时，BD∥EC.因为△BAD≌△ACE，所以∠ADB＝∠E.因为∠ADB＝90°，所以∠BDE＝∠E＝90°，所以BD∥EC.3探索三角形全等的条件第1课时三角形全等的条件——边边边1．如图，AB＝DE，AC＝DF，BC＝EF，则∠D等于(D)A．30° B．50° C．60° D．100°2．如图，在△ABC中，AB＝AC，EB＝EC，则直接由“SSS”可判定(B)A．△ABD≌△ACD B．△ABE≌△ACEC．△BED≌△CED D．上述结论都不成立3．如图，AC＝DB，AB＝DC，可以由“SSS”判定全等的三角形是△ABD≌△DCA，△ABC≌△DCB .4．如图，点B，E，C，F在同一条直线上，且AB＝DE，AC＝DF，BE＝CF，请将下面说明△ABC≌△DEF 的过程和理由补充完整．解：因为BE＝CF，所以BE ＋EC ＝CF ＋EC ， 即BC ＝EF .在△ABC 和△DEF 中，⎩⎨⎧AB ＝ DE ，AC ＝DF ，BC ＝EF ，所以△ABC ≌△DEF ( SSS )．5．如图，在△ABC 中，AB ＝AC ，BD ＝CD ，试说明△ABD ≌△ACD .解：在△ABD 和△ACD 中，⎩⎨⎧AB ＝AC ，BD ＝CD ，AD ＝AD ，所以△ABD ≌△ACD (SSS)．6．如图，点C 为AB 的中点，CD ＝BE ，AD ＝CE .试说明△ACD ≌△CBE .解：因为点C 是AB 的中点，所以AC ＝CB .在△ACD 和△CBE 中，⎩⎨⎧AD ＝CE ，CD ＝BE ，AC ＝CB ，所以△ACD ≌△CBE (SSS)．7．(2018·河北中考)下列图形具有稳定性的是( A )8．(2019·湖南株洲醴陵期末)在实际生活中，我们经常利用一些几何图形的稳定性或不稳定性，下列实物图中利用了稳定性的是(C)9．(2019·河北唐山开平区一模)一个五边形木架如图所示，要保证它不变形，至少要再钉上木条的根数是(C)A．4 B．3 C．2 D．110．如图，在△ABC和△FED中，AC＝FD，BC＝ED，要利用“SSS”来判定△ABC和△FED全等时，下面的4个条件中：①AE＝FB，②AB＝FE，③AE＝BE，④BF＝BE，可利用的是(A)A．①或② B．②或③C．①或③ D．①或④11．为稳固电线杆，从A处拉了两根等长的铁丝AC，AD，且C，D到杆脚B的距离相等，则有(C)A．∠1>∠2 B．∠1<∠2C．∠1＝∠2 D．∠1与∠2大小不能确定12．如图，下列三角形中，与△ABC全等的是(C)13．如图，以△ABC的顶点A为圆心，以BC长为半径作弧；再以顶点C为圆心，以AB长为半径作弧，两弧交于点D；连接AD，CD.若∠B＝65°，则∠ADC的大小为65° .14．如图，AB＝AC，BD＝CD，若∠B＝28°，则∠C＝28° .15．如图，已知点B，C，D，E在同一条直线上，且AB＝AE，AC＝AD，BD＝CE.试说明△ABC≌△AED.解：因为BD＝CE，所以BD－CD＝CE－CD，即BC＝ED.在△ABC 和△AED 中，⎩⎨⎧AB ＝AE ，AC ＝AD ，BC ＝ED ，所以△ABC ≌△AED (SSS)．16．如图，工人师傅要检查人字梁的∠B 和∠C 是否相等，但他手边没有量角器，只有一个刻度尺．他是这样操作的：①分别在BA 和CA 上取BE ＝CG ； ②在BC 上取BD ＝CF ； ③量出DE ＝a 米，FG ＝b 米．如果a ＝b ，则说明∠B 和∠C 是相等的．他的这种做法合理吗？为什么？ 解：合理．理由：在△BDE 和△CFG 中，⎩⎨⎧BE ＝CG ，BD ＝CF ，DE ＝FG ，所以△BDE ≌△CFG (SSS)，所以∠B ＝∠C .17．已知，如图1，点A ，C ，F ，D 在同一条直线上，AF ＝DC ，AB ＝DE ，BC ＝EF .(1)试说明AB ∥ED ，BC ∥EF ；(2)把图中的△DEF 沿直线AD 平移到四个不同位置，如图2，3，4，5，仍有上面的结论吗？ 解：(1)因为AF ＝DC ，所以AF －CF ＝DC －CF ，即AC ＝DF .在△ABC 和△DEF 中，⎩⎨⎧AC ＝DF ，AB ＝DE ，BC ＝EF ，所以△ABC ≌△DEF (SSS)， 所以∠A ＝∠D ，∠ACB ＝∠DFE ，所以AB ∥ED ，∠BCF ＝∠EFC ，所以BC ∥EF . (2)在图2中AB ∥ED ，BC 和EF 在同一条直线上， 图3，4，5中上面的结论仍成立．第2课时 三角形全等的条件——角边角、角角边1．下列结论中，正确的是( C ) A ．有两条边对应相等的两个三角形全等 B ．有一个角和两条边对应相等的两个三角形全等 C ．有两个角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等 D ．任意两个直角三角形全等2．如图，AE ∥DF ，CE ∥BF ，要使△EAC ≌△FDB ，需要添加下列选项中的( D )A ．∠A ＝∠DB ．∠E ＝∠FC ．AB ＝BCD ．AB ＝CD3．如图，点D 在AB 上，点E 在AC 上，AB ＝AC ，∠B ＝∠C ，试说明BE ＝CD .解：在△ABE 和△ACD 中，⎩⎨⎧∠B ＝∠C ，AB ＝AC ，∠A ＝∠A ，所以△ABE ≌△ACD (ASA)．所以BE ＝CD .4．如图，AB ＝AE ，∠1＝∠2，∠B ＝∠E ，试说明BC ＝ED .解：因为∠1＝∠2，所以∠1＋∠BAD ＝∠2＋∠BAD ， 即∠BAC ＝∠EAD . 在△BAC 与△EAD 中，⎩⎨⎧∠B ＝∠E ，AB ＝AE ，∠BAC ＝∠EAD ，所以△BAC ≌△EAD (ASA)，所以BC ＝ED .5．如图，能用AAS 来判定△ACD ≌△ABE ，需要添加的条件是( B )A ．∠ADC ＝∠AEB ，∠C ＝∠B B ．∠AEB ＝∠ADC ，CD ＝BE C ．AC ＝AB ，AD ＝AE D ．AC ＝AB ，∠C ＝∠B6．如图，AB ＝CD ，AB ∥CD ，则△ABO 和△DCO 全等 ．7．(2019·山东聊城二模)如图，C ，F 是线段AB 上的两点，AF ＝BC ，CD ∥BE ，∠D ＝∠E .试说明AD ＝FE .解：因为CD ∥BE ，所以∠ACD ＝∠B .因为AF ＝BC ，所以AF ＋FC ＝BC ＋CF ，即AC ＝FB .在△ACD 和△FBE 中，⎩⎨⎧∠ACD ＝∠FBE ，∠D ＝∠E ，AC ＝FB ，所以△ACD ≌△FBE (AAS)，所以AD ＝FE .8．课间，小明拿着老师的等腰三角尺玩，不小心掉到两墙之间，如图．试说明△ADC ≌△CEB .解：由题意得AC ＝BC ，∠ACB ＝90°，∠ADC ＝∠CEB ＝90°， 所以∠ACD ＋∠BCE ＝90°，∠ACD ＋∠DAC ＝90°， 所以∠BCE ＝∠DAC .在△ADC 和△CEB 中，⎩⎨⎧∠ADC ＝∠CEB ，∠DAC ＝∠BCE ，AC ＝BC ，所以△ADC ≌△CEB (AAS)．9．(2019·山东临沂中考)如图，D 是AB 上一点，DF 交AC 于点E ，DE ＝FE ，FC ∥AB ，若AB ＝4，CF ＝3，则BD 的长是( B )A ．0.5B ．1C ．1.5D ．210．(2019·贵州安顺中考)如图，点B ，F ，C ，E 在一条直线上，AB ∥ED ，AC ∥FD ，那么添加下列一个条件后，仍无法判定△ABC ≌△DEF 的是( A )A ．∠A ＝∠DB ．AC ＝DF C ．AB ＝EDD ．BF ＝EC11．(2019·上海浦东新区期末)如图，在△ABC 中，∠B ＝∠C ＝∠DEF ，D ，E ，F 分别在AB ，BC ，AC 上，且BD ＝CE ，试说明ED ＝EF .解：因为∠DEC ＝∠B ＋∠BDE ( 三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和 )， 且∠DEC ＝∠DEF ＋∠FEC ，所以∠DEF ＋∠FEC ＝∠B ＋∠BDE (等量代换)． 又因为∠DEF ＝∠B (已知)，所以∠BDE ＝∠ FEC (等式的性质)． 在△EBD 与△FCE 中，⎩⎨⎧∠BDE ＝∠ FEC （已证），BD ＝CE （已知），∠B ＝∠C （已知），所以△EBD ≌△FCE ( ASA )，所以ED ＝EF ( 全等三角形的对应边相等 )．12．(2019·江苏苏州期末)如图，B ，C ，E 三点在同一条直线上，AC ∥DE ，AC ＝CE ，∠ACD ＝∠B .(1)试说明△ABC ≌△CDE ；(2)若∠A ＝55°，求∠BCD 的度数．解：(1)因为AC ∥DE ，所以∠ACD ＝∠D ，∠BCA ＝∠E .又因为∠ACD ＝∠B ，所以∠B ＝∠D . 在△ABC 和△CDE 中，⎩⎨⎧∠B ＝∠D ，∠BCA ＝∠E ，AC ＝CE ，所以△ABC ≌△CDE (AAS)．(2)因为△ABC ≌△CDE ，所以∠A ＝∠DCE ＝55°， 所以∠BCD ＝180°－55°＝125°.13．某学习小组在探究三角形全等时，发现了下面这种典型的基本图形：(1)如图1，在△ABC 中，∠BAC ＝90°，AB ＝AC ，直线m 经过点A ，BD ⊥直线m ，CE ⊥直线m ，垂足分别为点D ，E .试猜想DE ，BD ，CE 有怎样的数量关系，并说明理由．(2)组员小颖想，如果三个角不是直角，那结论是否会成立呢？如图2，将(1)中的条件改为：在△ABC 中，AB ＝AC ，D ，A ，E 三点都在直线m 上，并且有∠BDA ＝∠AEC ＝∠BAC ＝α(其中α为任意锐角或钝角)．如果成立，请你给出推理过程；若不成立，请说明理由．解：(1)DE ＝BD ＋CE .理由：因为∠BAC ＝90°，所以∠BAD ＋∠CAE ＝90°. 因为BD ⊥m ，CE ⊥m ，所以∠ADB ＝∠CEA ＝90°， 所以∠BAD ＋∠ABD ＝90°，所以∠ABD ＝∠CAE .在△ADB 和△CEA 中，⎩⎨⎧∠ADB ＝∠CEA ＝90°，∠ABD ＝∠CAE ，AB ＝AC ，所以△ADB ≌△CEA (AAS)，所以BD ＝AE ，AD ＝CE ， 所以DE ＝AD ＋AE ＝BD ＋CE .(2)结论DE ＝BD ＋CE 成立．理由如下：因为∠BAD ＋∠CAE ＝180°－∠BAC ，∠BAD ＋∠ABD ＝180°－∠BDA ，∠BDA ＝∠BAC ， 所以∠ABD ＝∠CAE .在△BAD 和△ACE 中，⎩⎨⎧∠ABD ＝∠CAE ，∠ADB ＝∠CEA ＝α，AB ＝AC ，所以△BAD ≌△ACE (AAS)，所以BD ＝AE ，AD ＝CE ，所以DE ＝DA ＋AE ＝BD ＋CE .第3课时 三角形全等的条件——边角边1．△ABC 和△A 1B 1C 1中，∠A ＝∠A 1，AB ＝A 1B 1，再补充下列哪个条件可以根据“SAS”判断△ABC 和△A 1B 1C 1全等( C ) A ．AB ＝A 1C 1 B ．BC ＝B 1C 1 C ．AC ＝A 1C 1D ．AC ＝B 1C 12．(2019·贵州贵阳白云区一模)如图，AB ＝DC ，∠ABC ＝∠DCB ，E 为AC ，BD 的交点．试说明AC ＝DB .解：在△ABC 和△DCB 中，⎩⎨⎧AB ＝DC ，∠ABC ＝∠DCB ，BC ＝BC ，所以△ABC ≌△DCB (SAS)，所以AC ＝DB .3．(2019·山东淄博中考)已知，在如图所示的“风筝”图案中，AB ＝AD ，AC ＝AE ，∠BAE ＝∠DAC .试说明∠E ＝∠C .解：因为∠BAE ＝∠DAC ，所以∠BAE ＋∠CAE ＝∠DAC ＋∠CAE ， 所以∠CAB ＝∠EAD . 在△ABC 和△ADE 中，⎩⎨⎧AB ＝AD ，∠BAC ＝∠DAE ，AC ＝AE ，所以△ABC ≌△ADE (SAS)，所以∠C ＝∠E .4．(2019·辽宁大连中考)如图，点E ，F 在BC 上，BE ＝CF ，AB ＝DC ，∠B ＝∠C ，试说明AF ＝DE .解：因为BE ＝CF ，所以BE ＋EF ＝CF ＋EF ，即BF ＝CE .在△ABF 和△DCE 中，⎩⎨⎧AB ＝DC ，∠B ＝∠C ，BF ＝CE ，所以△ABF ≌△DCE (SAS)，所以AF ＝DE .5．如图，已知∠1＝∠2，则下列条件中，不能使△ABC ≌△DCB 成立的是( A )A ．AB ＝CD B ．AC ＝BD C ．∠A ＝∠DD ．∠ABC ＝∠DCB6．如图，AC 与BD 相交于点O ，AB ∥CD ，AB ＝CD ，则图中的全等三角形共有( D )A ．1对B ．2对C ．3对D ．4对7．(2018·贵州黔南州中考)下列各图中，a ，b ，c 为三角形的边长，则甲、乙、丙三个三角形和左侧三角形ABC 全等的是( B )A．甲和乙B．乙和丙C．甲和丙D．只有丙易错点对“全等”和“≌”两者的区别理解不透彻导致出错8．如图，在△ABC中，AB＝AC＝16 cm，∠B＝∠C，BC＝10 cm，点D为AB的中点，如果点P在线段BC上以2 cm/s的速度由B点向C点运动，同时，点Q在线段CA上由C点向A点运动．当△BPD与△CQP全等时，点Q的运动速度可能为 2或3.2 cm/s.9．由4个相同的小正方形组成的网格图如图所示，其中∠1＋∠2等于(B)A．150°B．180°C．210° D．225°10．如图，EB交AC于点M，交FC于点D，AB交FC于点N，∠E＝∠F＝90°，∠B＝∠C，AE＝AF，给出下列结论：①∠1＝∠2；②BE＝CF；③△ACN≌△ABM；④CD＝DN.其中正确的结论有(B)A．4个B．3个C．2个D．1个11．在如图所示的5×5方格中，每个小方格都是边长为1的正方形，△ABC是格点三角形(即顶点恰好是正方形的顶点)，则与△ABC有一条公共边且全等的所有格点三角形的个数是(D)A．1 B．2 C．3 D．412．如图，AB＝AC，要说明△ADC≌△AEB，添加的条件可以是①③④ .(填写序号即可)①∠B＝∠C; ②DC＝BE；③AD＝AE; ④∠ADC＝∠AEB.13．如图，AB＝AC，AF＝AE，∠EAF＝∠BAC，点C，D，E，F共线．下列结论，其中正确的是①②③ (填写序号)．①△AFB≌△AEC; ②BF＝CE；③∠BFC＝∠EAF; ④AB＝BC.14．如图，D是△ABC的边BC上的点，AE是△ABD的中线，延长AE至F，使EF＝AE，如果CD＝AB，∠BAE＝∠C，AD平分∠CAE，试说明：(1)△ABE≌△FDE；(2)AC＝2AE.解：(1)因为AE 是△ABD 的中线，所以BE ＝DE . 在△ABE 和△FDE 中，⎩⎨⎧AE ＝EF ，∠AEB ＝∠FED ，BE ＝DE ，所以△ABE ≌△FDE (SAS)． (2)因为△ABE ≌△FDE ， 所以AB ＝DF ，∠BAE ＝∠F . 又因为CD ＝AB ，∠BAE ＝∠C ， 所以CD ＝DF ，∠C ＝∠F .因为AD 平分∠CAE ，所以∠DAF ＝∠DAC .在△ADF 和△ADC 中，⎩⎨⎧∠DAF ＝∠DAC ，∠F ＝∠C ，DF ＝CD ，所以△ADF ≌△ADC (AAS)．所以AC ＝AF ＝2AE .15．如图，在△ABC 和△EBD 中，∠ABC ＝∠DBE ＝90°，AB ＝CB ，BE ＝BD ，连接AE ，CD ，AE 交CD 于点M ，交BC 于点N . (1)试说明AE ＝CD ； (2)试说明AE ⊥CD .解：(1)因为∠ABC ＝∠DBE ，所以∠ABC ＋∠CBE ＝∠DBE ＋∠CBE ，即∠ABE ＝∠CBD .在△ABE 和△CBD 中，⎩⎨⎧AB ＝CB ，∠ABE ＝∠CBD ，BE ＝BD ，所以△ABE ≌△CBD (SAS)，所以AE ＝CD . (2)因为△ABE ≌△CBD ，所以∠BAE ＝∠BCD .因为∠NMC ＝180°－∠BCD －∠CNM ，∠ABC ＝180°－∠BAE －∠ANB ， 又∠CNM ＝∠ANB ，所以∠NMC ＝∠ABC ＝90°， 所以AE ⊥CD .4用尺规作三角形1．已知线段a，b，∠α，求作△ABC，使AB＝a，AC＝b，∠A＝∠α，小明和小亮分别根据上述条件利用尺规作三角形，则下列结论中正确的是(A)A．两人作出的三角形可能位置不同B．两人作出的三角形可能大小不同C．两人作出的三角形可能形状不同D．两人作出的三角形可能面积不同2．已知三边利用尺规作三角形，则符合条件的三角形(B)A．一定能作出一个且只能作出一个B．最多能作出一个C．最少能作出一个D．不能确定，与两角的大小有关3．根据下列已知条件，能画出唯一△ABC的是(B)A．AB＝3，BC＝4，AC＝8B．∠A＝60°，∠B＝45°，AB＝4C．AB＝3，BC＝2，∠A＝30°D．∠C＝90°，AB＝64．已知三角形的两角及夹边作这个三角形时，第一步不能为(D)A．作一条线段等于已知线段B．作一个角等于已知角中的较大的角C．作一个角等于已知角中的较小的角D．作三角形的任意一条边5．用圆规、直尺作图，不写作法，但要保留作图痕迹．已知：线段a，∠α.求作：△ABC，使AB＝BC＝a，∠A＝∠α.解：(1)作∠BAC＝∠α.(2)在射线AB上截取AB＝a，在射线AC上截取AC＝a.(3)连接BC.如图所示，△ABC即为所求．6.如图，小明在纸上画了一个三角形，不料被墨水污染了一部分，请你画一个与他画的一样的(全等的)三角形，你能做到吗？解：能．作法如下：作法：如图，(1)作∠DA′E＝∠A.(2)在射线A′D上截取线段A′B′＝AB.(3)以B′为顶点，以B′A′为一边作∠A′B′F＝∠B，B′F与A′E交于点C′，则△A′B′C′就是所求作的三角形．7．已知∠α＝40°，∠β＝70°，x＝3 cm，以∠α，∠β，x为两角和一边作三角形，则可以作出 2 个不同的三角形(彼此全等的只能算一种)．8．如图所示，已知线段m及锐角∠α，∠β，求作△ABC，使∠A＝∠α，AB＝m，∠B＝∠α＋∠β.写出作法，保留作图痕迹．解：作法如下：(1)作∠MAN ＝∠α； (2)在AM 上截取AB ＝m ；(3)以B 为顶点，作∠ABF ＝∠α＋∠β，设射线BF 交AN 于点C ，则△ABC 即为所作的三角形，如图所示．9．如图，在△ABC 中，AB ＝AC .(1)作图：在AC 上有一点D ，连接BD ，并在BD 的延长线上取点E ，使AE ＝AB ，连接AE ，作∠EAC 的平分线AF ，AF 交DE 于点F (用尺规作图，保留作图痕迹，不写作法)； (2)在(1)的条件下，连接CF ，试说明∠E ＝∠ACF .解：(1)如图所示．(2)因为AB ＝AC ，AE ＝AB ，所以AE ＝AC . 因为AF 是∠EAC 的平分线，所以∠EAF ＝∠CAF .在△AEF 和△ACF 中，⎩⎨⎧AE ＝AC ，∠EAF ＝∠CAF ，AF ＝AF ，所以△AEF ≌△ACF (SAS)，所以∠E ＝∠ACF .5利用三角形全等测距离1．如图，AA′，BB′表示两根长度相同的木条，若O是AA′，BB′的中点，经测量AB＝9 cm，则容器的内径A′B′为(B)A．8 cm B．9 cm C．10 cm D．11 cm2．(教材P108，想一想改编)如图，小强利用全等三角形的知识测量池塘两端M，N的距离，如果△PQO≌△NMO，则只需测出其长度的线段是(B)A．PO B．PQ C．MO D．MQ3．如图所示，为了测量出A，B两点之间的距离，在地面上找到一点C，连接BC，AC，使∠ACB ＝90°，然后在BC的延长线上确定一点D，使CD＝BC，那么只要测量出AD的长度也就得到了A，B两点之间的距离，这样测量的依据是(B)A．AAS B．SAS C．ASA D．SSS4．(教材P109，习题4.10，T2改编)如图所示，将两根钢条AA′，BB′的中点O连在一起，使AA ′，BB ′可以绕着点O 自由转动，就做成了一个测量工具，则A ′B ′的长等于内槽宽AB ，那么判定△OAB ≌△OA ′B ′的理由是 SAS .5．(2018·广东佛山南海区期末)如图，小明与小敏玩跷跷板游戏，如果跷跷板的支点O (即跷跷板的中点)至地面的距离是50 cm ，当小敏从水平位置CD 下降40 cm 时，这时小明离地面的高度是 90 cm.6．数学来源于生活又服务于生活，利用数学中的几何知识可以帮助我们解决许多实际问题．如图，工人师傅要在墙壁的O 处用钻打孔，要使孔口从墙壁对面的B 点处打开，墙壁厚是35 cm ，B 点与O 点的铅直距离AB 长是20 cm ，工人师傅在旁边墙上与AO 水平的线上截取OC ＝35 cm ，画CD ⊥OC ，使CD ＝20 cm ，连接OD ，然后沿着DO 的方向打孔，结果钻头正好从B 点处打出，这是什么道理呢？请你说出理由．解：因为OC ＝35 cm ，墙壁厚OA ＝35 cm ，所以OC ＝OA . 因为墙体是垂直的，所以∠OAB ＝90°. 又CD ⊥OC ，所以∠OAB ＝∠OCD ＝90°.在△OAB 和△OCD 中，⎩⎨⎧∠OAB ＝∠OCD ，OA ＝OC ，∠AOB ＝∠COD ，所以Rt△OAB ≌Rt△OCD (ASA)，所以DC ＝AB . 因为DC ＝20 cm ，所以AB ＝20 cm ， 所以钻头正好从B 点处打出．7．某段河流的两岸是平行的，某数学兴趣小组在老师的带领下不用涉水过河就测得河的宽度，他们是这样做的：①在河流的一条岸边B 点选对岸正对的一棵树A ； ②沿河岸直走20 m 有一棵树C ，继续前行20 m 到达D 处；③从D 处沿河岸垂直的方向行走，当到达A 树正好被C 树遮挡住的E 处时停止行走； ④测得DE 的长为5 m.(1)直接写出河的宽度是多少米； (2)请你说明他们做法的正确性．解：(1)河的宽度是5 m.(2)由作法，知BC ＝DC ，∠ABC ＝∠EDC ＝90°. 在Rt△ABC 和Rt△EDC 中，⎩⎨⎧∠ABC ＝∠EDC ＝90°，BC ＝DC ，∠ACB ＝∠ECD ，所以Rt△ABC ≌Rt△EDC (ASA)， 所以AB ＝ED ，即他们的做法是正确的．8．萧寒家有两块三角形的菜地，他想判断这两块三角形地的形状、大小是否完全一样，他设想了如下四种方法，下列方法中，不一定能判定两个三角形全等的是( D ) A ．测量两边及其夹角对应相等 B ．测量两角及其夹边对应相等 C ．测量三边对应相等 D ．测量两边与一个角对应相等9．如图，小明为了测量河的宽度，他站在河边的点C ，头顶为点D ，面向河对岸，压低帽檐使目光正好落在河对岸的岸边点A ，然后他姿势不变，在原地转了180°，正好看见了他所在的岸上的一块石头点B ，他测出BC ＝30 m ，则河宽为 30 m.。
(必考题)初中数学七年级数学下册第四单元《三角形》测试题(答案解析)
一、选择题1．下列长度的三条线段，能组成三角形的是（ ）A ．5，6，11B ．3，4，8C ．5，6，10D ．6，6，13 2．根据下列条件，能画出唯一ABC 的是（ ）A ．3AB =，4BC =，7CA =B ．4AC =，6BC =，60A ∠=︒ C ．45A ∠=︒，60B ∠=︒，75C ∠=︒D ．5AB =，4BC =，90C ∠=︒ 3．下面四个图形中，线段AD 是ABC ∆的高的是（ ）A ．B ．C ．D ．4．已知三角形的一边长为8，则它的另两边长分别可以是（ ）A ．4，4B ．17，29C ．3，12D ．2，9 5．如图△ABC ≌△ADE ，若∠B=80°，∠C=30°，∠DAC=25°，则∠EAC 的度数为（ ）A ．45°B ．40°C ．35°D ．25° 6．如图，AB DE =，A D ∠=∠，要说明ABC DEF △≌△，需添加的条件不能是（ ）A ．//AB DE B ．//AC DF C ．AC DE ⊥D ．AC DF = 7．根据下列条件能唯一画出ABC 的是（ ）A ．AB ＝5，BC ＝6，AC ＝11B ．AB ＝5，BC ＝6，∠C ＝45° C ．AB ＝5，AC ＝4，∠C ＝90°D ．AB ＝5，AC ＝4，∠C ＝45°8．下列四个图形中，线段BE 表示△ABC 的高的是（ ）A ．B ．C ．D ．9．如图，△ACB ≌△A′C B′，∠ACB ＝70°，∠ACB′＝100°，则∠BCA′度数是（ ）A ．40°B ．35C ．30°D ．45°10．如图，给出下列四组条件：①AB=DE ，BC=EF ，AC=DF ；②AB=DE ，∠B=∠E ，BC=EF ；③∠B=∠E ，BC=EF ，∠C=∠F ；④AB=DE ，AC=DF ，∠B=∠E ．其中，能使△ABC ≌△DEF 的条件共有（ ）A ．1组B ．2组C ．3组D ．4组11．下列四个图形中，有两个全等的图形，它们是（ ）A ．①和②B ．①和③C ．②和④D ．③和④ 12．下列条件不能判定两个直角三角形全等的是（ ）A ．两条直角边对应相等B ．斜边和一锐角对应相等C ．斜边和一直角边对应相等D ．两个锐角对应相等二、填空题13．如图，ACE DBF ≌，//AE DF ，8AD =，2BC =，则AB =______．14．如图，已知AD 、AE 分别为ABC 的角平分线、高线，若40B ∠=︒，60C ∠=°，则DAE ∠的度数为__________．15．2016年2月6日凌晨，宝岛高雄发生6.7级地震，得知消息后，中国派出武警部队探测队，探测队探测出某建筑物下面有生命迹象，他们在生命迹象上方建筑物的一侧地面上的,A B 两处，用仪器探测生命迹象C ，已知探测线与地面的夹角分别是30︒和60︒（如图)，则C ∠的度数是_________．16．三角形有两条边的长度分别是5和7，则第三边a 的取值范围是_____．17．如图，点B 、F 、C 、E 在一条直线上（点F ，C 之间不能直接测量），点A ，D 在BE 的异侧，如果测得AB ＝DE ，AB ∥DE ，AC ∥DF ．若BE ＝14m ，BF ＝5m ，则FC 的长度为_____m ．18．如图，OA ⊥OB ，∠BOC ＝30°，OD 平分∠AOC ，则∠BOD ＝_____度．19．用12根等长的火柴棒拼成一个等腰三角形，火柴棒不允许剩余、重叠、折断，则能摆出不同的等腰三角形的个数为________个．20．如图，在长方形网格中，每个小长方形的长为2，宽为1，A ,B 两点在网格格点上，若点C 也在网格格点上，以A ,B ,C 为顶点的三角形的面积为2，则满足条件的点C 有______个．三、解答题21．如图，已知：AD ＝AB ，AE ＝AC ，AD ⊥AB ，AE ⊥AC ．猜想线段CD 与BE 之间的数量关系与位置关系，并证明你的猜想．22．在通过构造全等三角形解决的问题中，有一种典型的方法是倍延中线．（1）如图1，AD 是ABC ∆的中线，7,5,AB AC ==求AD 的取值范围．我们可以延长AD 到点M ，使DM AD =，连接BM ，易证ADC MDB ∆≅∆，所以BM AC =．接下来，在ABM ∆中利用三角形的三边关系可求得AM 的取值范围，从而得到中线AD 的取值范围是 ；（2）如图2，AD 是ABC 的中线，点E 在边AC 上，BE 交AD 于点,F 且AE EF =，求证：AC BF =；（3）如图3，在四边形ABCD 中，//AD BC ，点E 是AB 的中点，连接CE ，ED 且CE DE ⊥，试猜想线段,,BC CD AD 之间满足的数量关系，并予以证明．23．已知，ABC 的三边长为4，9，x ．（1）求ABC 的周长的取值范围；（2）当ABC 的周长为偶数时，求x ．24．如图1，ABC 是等边三角形，,D E 为AC 上两点，且AD CE =，延长BC 至点F ，使CF CD =，连结BD EF ，．（1）如图2，当,D E 两点重合时，求证：BD DF =．（2）如图3，延长FE 交线段BD 于点G ．①求证：BD EF =．②求DGE ∠的度数．25．如图，所有小正方形的边长都为1个单位，A 、B 、C 均在格点上．（1）过点A画线段BC的垂线，垂足为E；（2）过点A画线段AB的垂线，交线段CB的延长线于点F；（3）线段BE的长度是点到直线的距离；（4）线段AE、BF、AF的大小关系是．（用“＜”连接）26．如图，BC⊥AD于C，EF⊥AD于F，AB∥DE，分别交BC于B，交EF于E，且BC=EF．求证：AF=CD．【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题1．C解析：C【分析】根据三角形的两边和大于第三边解答.【详解】A、5+6=11，故不能构成三角形；B、3+4<8，故不能构成三角形；C、5+6>10，故能构成三角形；D、6+6<13，故不能构成三角形；故选：C.【点睛】此题考查三角形的三边关系，熟记三角形的任意两边之和大于第三边，两边之差小于第三边是解题的关键.2．D解析：D【分析】利用构成三角形的条件，以及全等三角形的判定得解.【详解】+=，不满足三边关系，不能画出三角形，故选项错误；解：A，AB BC CAB，不满足三角形全等的判定，不能画出唯一的三角形，故选项错误；C，不满足三角形全等的判定，不能画出唯一的三角形，故选项错误；D，可以利用直角三角形全等判定定理HL证明三角形全等，故选项正确.故选:D【点睛】本题考查三角形全等的判定以及构成三角形的条件，解题的关键是熟练掌握全等三角形的判定方法.3．D解析：D【分析】根据三角形高的定义进行判断．【详解】解：线段AD是△ABC的高，则过点A作对边BC的垂线，则垂线段AD为△ABC的高．选项A、B、C错误，故选：D．【点睛】本题考查了三角形的高：三角形的高是指从三角形的一个顶点向对边作垂线，连接顶点与垂足之间的线段．4．D解析：D【分析】根据三角形的三边关系“任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于三边”进行判断即可．【详解】A、∵4＋4＝8，∴构不成三角形；B、29−17＝12＞8，∴构不成三角形；C、∵12−3＝9＞8，∴构不成三角形；D、9−2＝7＜8，9＋2＝11＞8，∴能够构成三角形，故选：D．【点睛】此题考查了三角形的三边关系，熟练掌握三角形三边关系“任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于三边”是解题的关键．5．A解析：A【解析】∵△ABC≌△ADE，∴∠D=∠B=80°，∠E=∠C=30°，∴∠DAE=180°−∠D−∠E=70°，∴∠EAC=∠EAD−∠DAC=45°，故选A.点睛：本题主要考查全等三角形的性质，掌握全等三角形的对应角相等、对应边相等是解题的关键.6．C解析：C【分析】直接根据三角形证明全等的条件进行判断即可；【详解】A、∵AB∥DE，∴∠ABC=∠DEC，∴根据ASA即可判定三角形全等，故此选项不符合题意；B、∵AC∥DF，∴∠DFE=∠ACB，∴根据AAS即可判定三角形全等，故此选项不符合题意；C、AC⊥DE，不符合三角形全等的证明条件，故此选项符合题意；D、∵AC=DF，∴根据SAS即可判定三角形全等，故此选项不符合题意；故选：C．【点睛】本题考查了三角形证明全等所需添加的条件，正确掌握知识点是解题的关键；7．C解析：C【分析】判断其是否为三角形，即两边之和大于第三边，两边之差小于第三边，两边夹一角，或两角夹一边可确定三角形的形状，否则三角形并不是唯一存在，可能有多种情况存在．【详解】解：A：AC 与 BC两边之和不大于第三边，所以不能作出三角形；B：∠C 不是 AB，BC 的夹角，故不能唯一画出△ABC ；C：AB=5，AC=4，∠C=90°，所以BC=3，故能唯一画出△ABC ；D：∠C 并不是 AB，AC 的夹角，故可画出多个三角形；故选： C ．【点睛】本题考查全等三角形的判定，掌握全等三角形的判定方法是解题的关键．8．C解析：C【分析】根据三角形高的画法知，过点B作AC边上的高，垂足为E，其中线段BE是△ABC的高，再结合图形进行判断．【详解】解：线段BE是△ABC的高的图是选项C．故选：C．【点睛】本题考查了三角形的高，三角形的高是指从三角形的一个顶点向对边作垂线，连接顶点与垂足之间的线段．熟记定义是解题的关键．9．A解析：A【分析】根据已知ACB≌A′CB′，得到∠A′CB′=∠ACB=70︒，再通过∠ACB′=100︒，继而利用角的和差求得∠BCB′=30︒，进而利用∠BCA′=∠A′CB′-∠BCB′得到结论．【详解】解：∵ACB≌A′CB′，∴∠A′CB′=∠ACB=70︒，∵∠ACB′=100︒，∴∠BCB′=∠ACB′-∠ACB=30︒，∴∠BCA′=∠A′CB′-∠BCB′=40︒，故选：A．【点睛】本题考查了全等三角形的性质，熟练掌握全等三角形的性质是解题的关键．10．C解析：C【分析】要使△ABC≌△DEF的条件必须满足SSS、SAS、ASA、AAS，可据此进行判断．【详解】解：第①组满足SSS，能证明△ABC≌△DEF．第②组满足SAS，能证明△ABC≌△DEF．第③组满足ASA，能证明△ABC≌△DEF．第④组只是SSA，不能证明△ABC≌△DEF．所以有3组能证明△ABC≌△DEF．故符合条件的有3组．故选：C．【点睛】本题考查三角形全等的判定方法；判定两个三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、ASA、AAS、HL．添加时注意：AAA、SSA不能判定两个三角形全等，不能添加，根据已知结合图形及判定方法选择条件是正确解答本题的关键．11．B解析：B【分析】根据全等形的概念：能够完全重合的两个图形叫做全等形可得答案．【详解】解：①和③可以完全重合，因此全等的图形是①和③．故选：B．【点睛】此题主要考查了全等图形，关键是掌握全等图形的概念．12．D解析：D【分析】根据三角形全等的判定对各选项分析判断后利用排除法求解．【详解】解：A、可以利用边角边判定两三角形全等，故本选项不合题意；B、可以利用角角边判定两三角形全等，故本选项不合题意；C、根据斜边直角边定理判定两三角形全等，故本选项不合题意；D、三个角对应相等不能证明两三角形全等，故本选项符合题意；故选：D．【点睛】本题考查了直角三角形全等的判定方法；本题主要利用三角形全等的判定，运用好有一对相等的直角这一隐含条件是解题的关键．二、填空题13．3【分析】根据全等三角形对应边相等可得AC=BD再求出AB=CD然后代入数据进行计算即可得解【详解】解：∵△ACE≌△DBF∴AC=DB∴AC-BC=BD-BC 即AB=CD∵AD=8BC=2∴AB=解析：3【分析】根据全等三角形对应边相等可得AC=BD，再求出AB=CD，然后代入数据进行计算即可得解．【详解】解：∵△ACE≌△DBF，∴AC=DB，∴AC-BC=BD-BC，即AB=CD，∵AD=8，BC=2，∴AB=12（AD-BC）=12×（8-2）=3．故答案为：3．【点睛】本题考查了全等三角形的性质，根据全等三角形对应顶点的字母写在对应位置上确定出对应边，然后求出AB=CD是解题的关键．14．【分析】先求出∠BAC的度数再根据角平分线和高求出∠BAE和∠BAD即可【详解】解：∵∴∠BAC=180°-40°-60°=80°∵AD 平分∠BAC ∴∠BAD=∠BAC=40°∵AE ⊥BC ∴∠AEB解析：10︒【分析】先求出∠BAC 的度数，再根据角平分线和高求出∠BAE 和∠BAD 即可．【详解】解：∵40B ∠=︒，60C ∠=°，∴∠BAC=180°-40°-60°=80°，∵AD 平分∠BAC ，∴∠BAD=12∠BAC=40°， ∵AE ⊥BC ，∴∠AEB=90°，∴∠BAE=90°-∠B=50°，∠DAE=∠BAE-∠BAD=10°，故答案为：10°．【点睛】本题考查了三角形内角和，三角形的高和角平分线，解题关键是熟练运用角平分线和高的意义求出角的度数．15．【分析】先由题意得CAB=30°∠ABD=60°再由三角形的外角性质即可得出答案【详解】解：∵探测线与地面的夹角为30°和60°∴∠CAB=30°∠ABD=60°∵∠ABD=∠CAB+∠C ∴∠C=6解析：30︒【分析】先由题意得CAB=30°，∠ABD=60°，再由三角形的外角性质即可得出答案．【详解】解：∵探测线与地面的夹角为30°和60°，∴∠CAB=30°，∠ABD=60°，∵∠ABD=∠CAB+∠C ，∴∠C=60°-30°=30°，故答案为：30°．【点睛】本题考查了三角形的外角的性质，对顶角，解题的关键是熟练掌握三角形的外角性质，比较简单．16．2＜a＜12【分析】已知三角形两边的长根据三角形三边关系定理知：第三边的取值范围应该是大于已知两边的差而小于已知两边的和【详解】解：根据三角形三边关系定理知：第三边a的取值范围是：（7-5）＜a＜（解析：2＜a＜12．【分析】已知三角形两边的长，根据三角形三边关系定理知：第三边的取值范围应该是大于已知两边的差而小于已知两边的和．【详解】解：根据三角形三边关系定理知：第三边a的取值范围是：（7-5）＜a＜（7+5），即2＜a ＜12．【点睛】本题考查了三角形三边关系，两边之和大于第三边，两边之差小于第三边．17．4【分析】证明△ABC≌△DEF（AAS）得到BC=EF即可得到答案【详解】解：∵AB∥DEAC∥DF∴∠B＝∠E∠ACB＝∠DFE在△ABC和△DEF中∴△ABC≌△DEF（AAS）∴BC＝EF∴解析：4【分析】证明△ABC≌△DEF（AAS），得到BC=EF，即可得到答案.【详解】解：∵AB∥DE，AC∥DF，∴∠B＝∠E，∠ACB＝∠DFE，在△ABC和△DEF中，B EACB DFE AB DE∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩,∴△ABC≌△DEF（AAS），∴BC＝EF，∴BC﹣FC＝EF﹣FC，即BF＝CE＝5m，∴FC＝BE﹣BF﹣CE＝14m﹣5m﹣5m＝4m；故答案为：4．【点睛】此题考查全等三角形的判定及性质；平行线的性质：两直线平行，内错角相等；正确掌握三角形全等的判定定理是解题的关键.18．30【分析】本题首先利用垂直性质以及角分线性质求证2∠BOD与∠BOC 的关系继而将已知代入求解∠BOD【详解】∵OA⊥OB∴∠AOB＝90°即∠AOD+BOD＝90°；∵OD平分∠AOC∴∠AOD＝解析：30本题首先利用垂直性质以及角分线性质求证2∠BOD 与∠BOC 的关系，继而将已知代入求解∠BOD ．【详解】∵OA ⊥OB ，∴∠AOB ＝90°，即∠AOD+BOD ＝90°；∵OD 平分∠AOC ，∴∠AOD ＝∠DOC ，即∠BOD+∠BOC+BOD ＝90°，即2∠BOD+∠BOC ＝90°∵∠BOC ＝30°，∴∠BOD ＝30°．故答案为：30．【点睛】本题考查垂直以及角分线的性质，解题关键在于角的互换，其次注意计算仔细即可． 19．2【分析】本题根据三角形的三边关系定理得到不等式组从而求出三边满足的条件再根据三边长是整数进而求解【详解】设摆出的三角形中相等的两边是x 根则第三边是（）根根据三角形的三边关系定理得到：则又因为是整数 解析：2【分析】本题根据三角形的三边关系定理，得到不等式组，从而求出三边满足的条件，再根据三边长是整数，进而求解．【详解】设摆出的三角形中相等的两边是x 根，则第三边是（122x -）根，根据三角形的三边关系定理得到：122122x x x x x x +>-⎧⎨-+>⎩， 则3x >， 6x <，又因为x 是整数，∴x 可以取4或5，因而三边的值可能是：4，4，4或5，5，2；共二种情况，则能摆出不同的等腰三角形的个数为2．故答案为：2．【点睛】本题考查了三角形的三边关系：在组合三角形的时候，注意较小的两边之和应大于最大的边，三角形三边之和等于12． 20．4【分析】尝试在网格中寻找符合条件的点总共有16个点可以依次尝试一遍【详解】根据题意遍历网络中的所有点发现符合条件的点C 点如下图：故答案为：4【点睛】本题考查在格点中找寻符合要求的点此类题型我们需要【分析】尝试在网格中寻找符合条件的点，总共有16个点，可以依次尝试一遍．【详解】根据题意，遍历网络中的所有点，发现符合条件的点C 点如下图：故答案为：4．【点睛】本题考查在格点中找寻符合要求的点，此类题型，我们需要大胆尝试．三、解答题21．CD ＝BE ，CD ⊥BE ，证明见解析【分析】证明△ACD ≌△AEB ，根据全等三角形的性质得到CD ＝BE ，∠ADC ＝∠ABE ，根据三角形内角和定理得出∠BFD ＝∠BAD ＝90°，证明结论．【详解】解：猜想：CD ＝BE ，CD ⊥BE ，理由如下：∵AD ⊥AB ，AE ⊥AC ，∴∠DAB ＝∠EAC ＝90°．∴∠DAB +∠BAC ＝∠EAC +∠BAC ，即∠CAD ＝∠EAB ，在△ACD 和△AEB 中，AD AB CAD EAB AC AE =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△ACD ≌△AEB （SAS ），∴CD ＝BE ，∠ADC ＝∠ABE ，∵∠AGD ＝∠FGB ，∴∠BFD ＝∠BAD ＝90°，即CD ⊥BE ．【点睛】本题考查的是三角形全等的判定和性质、三角形内角和定理，掌握全等三角形的判定定理和性质定理是解题的关键．22．（1）16AD <<；（2）见解析；（3）CD BC AD =+，证明见解析【分析】（1）延长AD 到点M ，使DM AD =，连接BM ，即可证明ADC MDB ∆≅∆，则可得BM AC =，在ABM ∆中，根据三角形三边关系即可得到AM 的取值范围，进而得到中线AD 的取值范围；（2）延长AD 到点,M 使DM AD =，连接BM ，由（1）知ADC MDB ≅，则可得M CAD BM AC ∠=∠=，，由AE EF =可知，CAD AFE ∠=∠，由角度关系即可推出BMF BFM ∠=∠，故BM BF =，即可得到AC BF =；（3）延长CE 到F ，使EF EC =，连接AF ，即可证明AEF BEC ∆≅∆，则可得EAF B AF BC ∠=∠=，，由//AD BC ，以及角度关系即可证明点,,F A D 在一条直线上，通过证明Rt DEF △≌DEC Rt △，即可得到FD CD =，进而通过线段的和差关系得到CD BC AD =+．【详解】（1）延长AD 到点M ，使DM AD =，连接BM ，∵AD 是ABC ∆的中线，∴DC DB =，在ADC ∆和MDB ∆中，AD MD =，ADC MDB =∠∠，DC DB =，∴ADC MDB ∆≅∆，∴BM AC =，在ABM ∆中，AB BM AM AB BM -+＜＜，∴7575AM -+＜＜，即212AM ＜＜，∴16AD ＜＜；（2）证明:延长AD 到点,M 使DM AD =,连接BM ，由（1）知ADC MDB ≅，∴M CAD BM AC ∠=∠=，，AE EF =，CAD AFE ∴∠=∠，MFB AFE ∠=∠，MFB CAD ∴∠=∠，BMF BFM ∴∠=∠，BM BF ∴=，AC BF ∴=，（3）CD BC AD =+，延长CE 到F ，使EF EC =，连接AF ，AE BE AEF BEC =∠=∠，，AEF BEC ∴∆≅∆，EAF B AF BC ∴∠=∠=，，//AD BC ，180BAD B ∴∠+∠=︒，180EAF BAD ∴∠+∠=︒，∴点,,F A D 在一条直线上，CE ED ⊥，∴90DEF DEC ==︒∠∠，∴在Rt DEF △和DEC Rt △中，EF EC =，DEF DEC ∠=∠，DE DE =，∴Rt DEF △≌DEC Rt △，FD CD ∴=，∵FD AD AF AD BC =+=+，CD BC AD ∴=+．【点睛】本题考查了三角形中线、全等三角形的证明和性质、三角形的三边关系、等腰三角形的性质、平行线的性质、平角的概念、线段的和差关系等，正确的作出辅助线以及综合运用以上知识是解答本题的关键．23．（1）18△<ABC 的周长26<；（2）7，9或11．【分析】（1）直接根据三角形的三边关系即可得出结论；（2）根据轴线为偶数，结合（1）确定周长的值，从而确定x 的值．【详解】解：（1）ABC 的三边长分别为4，9，x ，9494∴-<<+x ，即513x <<，945△∴++<ABC 的周长9413<++，即：18△<ABC 的周长26<；（2）ABC 的周长是偶数，由（1）结果得ABC 的周长可以是20，22或24， x 的值为7，9或11．【点睛】本题考查了三角形的三边关系，掌握三角形任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边是解答此题的关键．24．（1）见解析；（2）①见解析；②60︒．【分析】（1）由等边三角形的性质可得60ABC ACB BA BC ∠=∠=︒=，，再由AD CE =，CF CD =，当,D E 两点重合时，可知点D 为等边三角形ABC 边AC 的中点，由三线合一性质，得1302DBC ABC F CDF ∠=∠=︒∠=∠，，由此解得30F ∠=︒，最后根据等角对等边解题即可；（2）①作//DH BC 交AB 于H ，连接BE ，由平行线性质解得6060AHD ABC ADH ACB ∠=∠=︒∠=∠=︒，，继而证明AHD 是等边三角形，从而得到AD DH AH CE ===，接着证明(SAS)BDH FEC ≌，最后由全等三角形对应边相等的性质解题即可；②由①中全等三角形对应角相等可得HBD F ∠=∠，结合角的和差解题即可．【详解】证明：（1）ABC 是等边三角形，60ABC ACB BA BC ∴∠=∠=︒=，，AD DC CF ==，1302DBC ABC F CDF ∴∠=∠=︒∠=∠，， 60ACB F CDF ∠=∠+∠=︒，30F ∴∠=︒，DBC F ∴∠=∠，BD DF ∴=；（2）①如图，作//DH BC 交AB 于H ，连接BE ，//DH BC ， 6060AHD ABC ADH ACB ∴∠=∠=︒∠=∠=︒，，60A ∠=︒，AHD ∴是等边三角形，AD DH AH CE ∴===，AB AC =，BH CD ∴=，CD CF =，BH CF ∴=，120BHD ECF ∠=∠=︒，(SAS)BDH FEC ∴≌，BD EF ∴= ；②BDH FEC ≌HBD F∴∠=∠∴∠=∠+∠=∠+∠=∠=︒DGE GBF F GBF HBD ABC60【点睛】本题考查等边三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质等知识，是重要考点，难度一般，掌握相关知识是解题关键．25．（1）见解析；（2）见解析；（3）B，AE；（4）AE＜AF＜BF【分析】（1）根据垂线的做法画出图象；（2）根据垂线的做法画出图象；（3）根据点到直线距离的定义填空；（4）利用直角三角形的斜边和直角边的大小关系，得出结果．【详解】(1)如图所示；(2)如图所示；(3) ∵BE AE⊥，∴线段BE的长度是点B到直线AE的距离，故答案是：B，AE；(4)∵AE是直角三角形AEF的直角边，AF是直角三角形AEF的斜边，<，∴AE AF∵BF是直角三角形ABF的斜边，AF是直角三角形ABF的直角边，∴AF BF<，∴AE AF BF<<，<<．故答案是：AE AF BF【点睛】本题考查作垂线和直角三角形的性质，解题的关键是掌握作垂线的方法和直角三角形的直角边和斜边的大小关系．26．证明见解析．【分析】由BC⊥AD，EF⊥AD得∠EFD=∠BCA=90°，由AB∥DE，得∠D=∠A，又BC=EF，从而△ABC≌△DEF，则AC=FD， AF=CD．【详解】证明：∵BC⊥AD，EF⊥AD，∴∠EFD=∠BCA=90°∵AB∥DE，∴∠D=∠A∵BC=EF，∴△ABC≌△DEF，∴AC=FD，∴AF=CD．【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，熟练掌握全等三角形的判定方法是解题的关键．。
北师大七年级下册数学《第四章三角形》单元练习(含详解解析)
北师大版七年级下册数学第四章三角形单元练习一、单选题1.下列各组长度的线段能构成三角形的是（）A. 1.5cm 3.9cm 2.3cmB. 3.5cm 7.1cm 3.6cmC. 6cm 1cm 6cmD. 4cm 10cm 4cm2.一个三角形的两边长为3和8，第三边长为奇数，则第三边长为（）A. 5或7B. 7或9C. 7D. 93.如图，，AB丄BC，则图中互余的角有（）A. 2对B. 3对C. 4对D. 5对4.如果将长度为a-2、a+5和a+2的三根线段首尾顺次相接可以得到一个三角形，那么a的取值范围是（）A. a>-1B. a>2C. a>5D. 无法确定5.如图，在下列条件中，不能证明△ABD≌△ACD的条件是（）A. ∠B=∠C，BD=DCB. ∠ADB=∠ADC，BD=DCC. ∠B=∠C，∠BAD=∠CADD. BD=DC，AB=AC6.下列图形中有稳定性的是（）A. 正方形B. 长方形C. 直角三角形D. 平行四边形7.一个三角形的两边长分别为3cm和7cm，则此三角形的第三边的长可能是( )A. 3cmB. 4cmC. 7cmD. 11cm8.在△ABC中，三边长为9、10、x，则x的取值范围是（）A. 1≤x＜19B. 1＜x≤19C. 1＜x＜19D. 1≤x≤199.小冬不慎将一块三角形的玻璃摔碎成如图所示的四块（即图中标有1，2，3，4的四块），你认为将其中的哪一块带去，能配一块与原来一样大小的三角形？应该带（）A. 第1块B. 第2块C. 第3块D. 第4块10.在△ABC中，∠A=40°，∠B=60°，则∠C=（）A. 40°B. 80°C. 60°D. 100°11.如图所示，AE＝AF，AB＝AC，EC与BF交于点O，∠A＝60°，∠B＝25°，则∠EOB的度数为（）A. 60°B. 70°C. 75°D. 85°12.下面每组数分别是三根小木棒的长度，它们能摆成三角形的是（）A. 12cm，3cm，6cmB. 8cm，16cm，8cmC. 6cm，6cm，13cmD. 2cm，3cm，4cm13.已知三边作三角形，用到的基本作图是（）A. 作一个角等于已知角B. 作已知直线的垂线C. 作一条线段等于已知线段D. 作一条线段等于已知线段的和14.如图，∠EOF内有一定点P，过点P的一条直线分别交射线OE于A，射线OF于B．当满足下列哪个条件时，△AOB的面积一定最小（）A. OA=OBB. OP为△AOB的角平分线C. OP为△AOB的高D. OP为△AOB的中线二、填空题15.如图，△ABC≌△ADE，∠B=80°，∠C=30°，∠DAC=25°，则∠EAC的度数=________．16.在△ABC中，若∠A﹣∠B=∠C，则此三角形是________三角形．17.一个等腰三角形的两边长分别为5厘米、9厘米，则这个三角形的周长为________.18.如图，在四边形ABCD中，AB=CB，AD=CD．若∠A=108°，则∠C的大小=________（度）．19.已知：如图，BD为△ABC的角平分线，且BD=BC，E为BD延长线上的一点，BE=BA，过E作EF⊥AB，F 为垂足，下列结论：①△ABD≌△EBC；②∠BCE+∠BCD=180°；③AD=EF=EC；④BA+BC=2BF，其中正确的结论有________（填序号）．三、解答题20.如图，点E、C、D、A在同一条直线上，AB∥DF，ED=AB，∠E=∠CPD．求证：BC=EF．21.如图，在正方形ABCD中，E为CD上一点，F为BC边延长线上一点，且CE=CF.BE与DF之间有怎样的关系？请说明理由四、综合题22.如图①，在△ABC中，D、E分别是AB，AC上的点，AB=AC，AD=AE，然后将△ADE绕点A顺时针旋转一定角度，连接BD，CE，得到图②，将BD，CE分别延长至M，N，使DM= BD，EN= CE，连接AM，AN，MN得到图③，请解答下列问题：（1）在图②中，BD与CE的数量关系是________；（2）在图③中，猜想AM与AN的数量关系，∠MAN与∠BAC的数量关系，并证明你的猜想.23.如图，四边形ABCD中，点F是BC中点，连接AF并延长，交于DC的延长线于点E，且∠1=∠2．（1）求证：△ABF≌△ECF；（2）若AD∥BC，∠B=125°，求∠D的度数．答案解析部分一、单选题1.【答案】C【解析】【解答】解：根据三角形的三边关系，得A．1.5+2.3＜3.9，不能组成三角形，故不符合题意；B．3.5+3.6=7.1，不能组成三角形，故不符合题意；C．1+6＞6，能够组成三角形，故符合题意；D．4+4＜10，不能组成三角形，故不符合题意．故答案为：C．【分析】利用三角形三边关系定理，对各选项逐一判断，可得出答案。
2018年北师大七年级下《第四章三角形》单元测试有答案
单元测试(四)三角形(BJ)(时间：120分钟满分：150分)一、选择题(本大题共15小题，每小题3分，共45分)题123456789101112131415号答A A D D D A DB BC C B C B A案1．下列长度的三根木棒首尾相接不能做成三角形框架的是A．5 cm、7 cm、2 cm B．7 cm、13 cm、10 cmC．5 cm、7 cm、11 cm D．5 cm、10 cm、13 cm2．△ABC中，∠A＝60°，∠C＝70°，则∠B的度数是(A)A．50°B．60°C．70°D．90°3．一个三角形三个内角的度数之比为2∶3∶7，这个三角形一定是(D)A．等腰三角形B．直角三角形C．锐角三角形D．钝角三角形4．已知四边形ABCD各边长如图所示，且四边形OPEF≌四边形ABCD，则PE的长为(D)A．3B．5C．6D．105．下列各图中，正确画出AC边长的高的是(D)A B C D6．如图，某同学把一块三角形的玻璃打破成了三块，现在他要到玻璃店去配一块完全一样形状的玻璃，那么最省事的办法是带________去配．(A)A．①B．②C．③D．①和②7．如图AB∥CD，∠E＝40°，∠A＝110°，则∠C的度数为()A．60°B．80°C．75°D．70°8．利用尺规进行作图，根据下列条件作三角形，画出的三角形不唯一的是(B)A．已知三条边B．已知三个角C．已知两角和夹边D．已知两边和夹角9．等腰三角形的一边长为6 cm，另一边长为12 cm，则其周长为(B)A．24 cm B．30 cm C．24 cm或30 cm D．18 cm10．如图所示，在下列条件中，不能判断△ABD≌△BAC的条件是(C)A．∠D＝∠C，∠BAD＝∠ABC B．∠BAD＝∠ABC，∠ABD＝∠BACC．BD＝AC，∠BAD＝∠ABC D．AD＝BC，BD＝AC11．如图，工人师傅做了一个长方形窗框ABCD，E，F，G，H分别是四条边上的中点，为了稳固，需要在窗框上钉一根木条，这根木条不应钉在(C)A．G，H两点处B．A，C两点处C．E，G两点处D．B，F两点处12．如图，AD是△ABE边BE上的中线，AE是△ACD边CD上的中线，则图中面积相等的三角形有(B)A．3对B．4对C．5对D．6对13．(绵阳中考)如图，△ABC中，∠B，∠C的平分线BE，CD相交于点F，∠ABC＝42°，∠A＝60°，则∠BFC ＝(C)A．118°B．119°C．120°D．121°14．如图，AB∥CD，BC∥AD，AB＝CD，AE＝CF，其中全等三角形的对数是(B)A．5 B．3 C．6 D．415．如图，在△A BC中，∠ACB＝90°，点D在AB边上，将△CBD沿CD折叠，使点B恰好落在AC边上的点E处，若∠A＝26°，则∠CDE的度数为(A)A．71°B．64°C．80°D．45°二、填空题(本大题共5小题，每小题5分，共25分)16．已知三角形两边的长分别是4和10，写出第三边长的一个整数值：答案不唯一，如9等(只写一个即可)．17．如果一个三角形中任意两个内角的和大于第三个内角，那么这个三角形是锐角三角形．18．如图，已知B，C，E在一条直线上，且△ABC≌△EFC，∠EFC＝60°，则∠A＝30°.19．如图，在新修的小区中，有一条“Z”字形绿色长廊ABCD，其中AB∥CD，在AB，BC，CD三段绿色长廊上各修一小亭E，M，F，且BE＝CF，点M是BC的中点，在凉亭M与F之间有一池塘，不能直接到达，要想知道M与F的距离，只需要测出线段EM的长度．理由是依据AAS或SAS或ASA，可以证明△BEM≌△CFM.20．如图，在△ABC与△AEF中，AB＝AE，BC＝EF，∠B＝∠E，AB交EF于点D.给出下列结论：①∠EAB ＝∠FAC；②AF＝AC；③∠C＝∠EFA；④AD＝AC.其中正确的结论是①②③(填写所有正确结论的序号)．三、解答题(本大题共7小题，共80分)21．(8分)已知：如图所示，已知线段a 和∠α；求作：△ABC ，使∠A ＝∠α，AB ＝AC ＝2a.不写作法，保留作图痕迹． 解：22．(8分)如图，CE 是三角形ABC 的一个外角平分线，且EF ∥BC 交AB 于点F ，∠A ＝60°，∠CEF ＝55°，求∠B 的度数．解：因为EF ∥BC ，∠CEF ＝55°，所以∠ECD ＝∠CEF ＝55°. 因为CE 是△ABC 的一个外角平分线， 所以∠ACD ＝2∠ECD ＝2×55°＝110°. 所以∠ACB ＝70°.在△ABC 中，∠B ＝180°－∠A －∠ACB ＝50°.23．(10分)如图，已知△ABC 和△DAE ，D 是AC 上一点，AD ＝AB ，DE ∥AB ，DE ＝AC.AE 与BC 相等吗？为什么？解：相等．因为DE ∥AB ，所以∠ADE ＝∠BAC. 在△ADE 和△BAC 中， ⎩⎨⎧AD ＝BA ，∠ADE ＝∠BAC ，DE ＝AC ，所以△ADE ≌△BAC(SAS )． 所以AE ＝BC.24．(12分)如图，在方格纸中，△PQR 的三个顶点及A ，B ，C ，D ，E 五个点都在小方格的顶点上．现以A ，B ，C ，D ，E 中的三个点为顶点画三角形．(1)在图1中画出一个三角形与△PQR 全等；(2)在图2中画出一个三角形与△PQR 面积相等但不全等． 解：25．(12分)如图，BD、CE是△ABC的高，BD和CE相交于点O.(1)图中有哪几个直角三角形？(2)图中有与∠2相等的角吗？请说明理由；(3)若∠4＝55°，∠ACB＝65°，求∠3，∠5的度数．解：(1)直角三角形有：△BOE、△BCE、△ACE、△BCD、△COD、△ABD.(2)与∠2相等的角是∠1.理由：因为BD、CE是△ABC的高，所以∠1＋∠A＝90 °，∠2＋∠A＝90 °.所以∠1＝∠2.(3)因为∠ACB＝65 °，BD是高，所以∠3＝90 °－∠ACB＝90 °－65 °＝25 °.在△BOC中，∠BOC＝180 °－∠3－∠4＝180 °－25 °－55 °＝100 °.所以∠5＝∠BOC＝100 °.26．(14分)课堂活动上，小英用木棒在桌面上拼摆三角形，分别用3根、5根、6根…火柴首尾顺次相接，能搭成一个不同形状的三角形．图(1)4(2)8根、12根火柴首尾顺次相接，能搭成几种不同形状的三角形？并分别写出它们的边长．解：(1)4根火柴不能搭成三角形．(2)8根火柴能搭一种，其三边分别为3，3，2；12根火柴能搭3种，其三边分别是4，4，4或5，5，2或3，4，5.27．(16分)以点A为顶点作两个等腰直角三角形(△ABC，△ADE)，如图1所示放置，使得一直角边重合，连接BD，CE.图1 图2(1)试说明：BD ＝CE ；(2)延长BD 交CE 于点F ，求∠BFC 的度数；(3)若如图2放置，上面的结论还成立吗？请简单说明理由． 解：(1)易得△ADB ≌△AEC(SAS )，所以BD ＝CE. (2)因为△ADB ≌△AEC ，所以∠DBA ＝∠ECA.所以∠BFC ＝180 °－∠ACE －∠CDF ＝180 °－∠DBA －∠BDA ＝∠DAB ＝90 °. (3)BD ＝CE 且∠BFC ＝90°同样成立．理由：因为△ABC ，△ADE 是等腰直角三角形， 所以AB ＝AC ，AD ＝AE ， 又因为∠BAC ＝∠EAD ，所以∠BAC ＋∠CAD ＝∠EAD ＋∠CAD ，即∠BAD ＝∠CAE. 所以△ADB ≌△AEC.所以BD ＝CE ，∠ABF ＝∠ACF. 所以∠BFC ＝∠BAC ＝90 °.。
(必考题)初中数学七年级数学下册第四单元《三角形》测试(含答案解析)
一、选择题1．如图，在△ABC 中，AB=AC ，AB ＞BC ，点D 在BC 边上，BD=12DC ，∠BED=∠CFD=∠BAC ，若S △ABC =30，则阴影部分的面积为（ ）A ．5B ．10C ．15D ．20 2．若一个三角形的三边长分别为3，7，x ，则x 的值可能是（ ）A ．6B ．3C ．2D ．11 3．如图，在ABC 中，AB AC =，点D ，E 在BC 上，连接AD ，AE ，若只添加一个条件使DAB EAC ∠=∠，则添加的条件不能为（ ）A ．BD CE =B ．AD AE =C ．BE CD = D ．DA DE = 4．如图，AC 与DB 相交于E ，且BE CE =，如果添加一个条件还不能判定ABE △≌DCE ，则添加的这个条件是（ ）．A ．AC DB = B ．A D ∠=∠C ．B C ∠=∠D ．AB DC = 5．如图，△ABC 和△AED 共顶点A ，AD ＝AC ，∠1＝∠2，∠B ＝∠E ． BC 交AD 于M ，DE 交AC 于N ，甲说：“一定有△ABC ≌△AED ．”乙说：“△ABM ≌△AEN ．”那么（ ）A ．甲、乙都对B ．甲、乙都不对C ．甲对、乙不对D ．甲不对、乙对 6．如图，已知∠ABC ＝∠DEF ，AB ＝DE ，添加以下条件，不能判定△ABC ≌△DEF 的是（ ）A ．∠A ＝∠DB ．∠ACB ＝∠DFEC ．AC ＝DFD ．BE ＝CF 7．如图，四边形ABCD 是长方形，点F 是DA 长线上一点，G 是CF 上一点，并且ACG AGC ∠=∠，GAF F ∠=∠．若15ECB ∠=︒，则ACF ∠的度数是（ ）A ．15︒B ．20︒C ．30D ．45︒8．直角ABC 、DEF 如图放置，其中90ACB DFE ∠=∠=︒，AB DE =且AB DE ⊥．若DF a =，BC b =，CF c =．则AE 的长为（ ）A ．a c +B ．b c +C ．a b c +-D ．a b c -+ 9．已知线段8,6AB cm AC cm ==，下面有四个说法： ①线段BC 长可能为2cm ；②线段BC 长可能为14cm ；③线段BC 长不可能为5cm ；④线段BC 长可能为9cm ．所有正确说法的序号是（ ）A ．①②B ．①②③C ．①②④D ．①②③④ 10．如图，若DEF ABC ≅，点B 、E 、C 、F 在同一条直线上，9BF =，5EC =，则CF 的长为（ ）A ．1B ．2C ．2.5D ．311．下列条件不能判定两个直角三角形全等的是（ ）A ．两条直角边对应相等B ．斜边和一锐角对应相等C ．斜边和一直角边对应相等D ．两个锐角对应相等12．给出下列四组条件：①AB=DE ，BC=EF ，AC=DF ； ②AB=DE ，∠B=∠E ．BC=EF ；③∠B=∠E ，AC =DF ，∠C=∠F ； ④AB=DE ，AC=DF ，∠B=∠E ．其中，能使△ABC ≌△DEF 的条件共有（ ）A ．1组B ．2组C ．3组D ．4组 二、填空题13．如图，90MON ∠=︒，点A ，B 分别在射线OM ，ON 上，BE 平分NBA ∠，BE 的反向延长线与BAO ∠的平分线交于点C ，则ACB ∠的度数是_______．14．已知12l l //，一个含45︒角的直角三角板按如图所示放置，230∠=︒，则1∠=_____．15．如图，65A ∠=︒，45B ∠=︒，则ACD ∠=________．16．如图，已知//,AB CD E 是直线AB 上方一点，G 为直线AB 下方一点，F 为直线CD 上一点，148EAF ︒∠=，3BAF BAG ∠=∠，3DCE DCG ∠=∠，则E ∠和G ∠的数量关系为___________．17．如图，AB 与CD 相交于点O ，OC ＝OD ．若要得到△AOC ≌△BOD ，则应添加的条件是__________．（写出一种情况即可）18．等腰三角形一边长是10cm ，一边长是6cm ，则它的周长是_______________cm ． 19．如图，在△ABC 中，点D 在边BC 上，已知点E ，F 分别是AD ，CE 边上的中点，且△BEF 的面积为6，则△ABC 的面积等于_____．20．用12根等长的火柴棒拼成一个等腰三角形，火柴棒不允许剩余、重叠、折断，则能摆出不同的等腰三角形的个数为________个．三、解答题21．如图，点A 、F 、C 、D 在一条直线上，,,AB DE BC EF AF CD ===．（1）求证：ABC DEF △≌△；（2）求证：//AB DE ．22．如图所示，△ABC 中，∠ACB=90°，AC=BC ，直线EF 经过点C ，BF ⊥EF 于点F ，AE ⊥EF 于点E ．（1）求证：△ACE ≌△CBF ；（2）如果AE 长12cm ，BF 长5cm ，求EF 的长．23．如图，点A ，D ，B ，E 依次在同一条直线上，BC DF =，AD BE =，ABC EDF ∠=∠，求证：A E ∠=∠．24．已知：MON α∠=，点P 是MON ∠平分线上一点，点A 在射线OM 上，作180APB α∠=︒-，交直线ON 于点B ，作PC ON ⊥于点C ．（1）观察猜想：如图1，当90MON ∠=︒时，PA 和PB 的数量关系是______．（2）探究证明：如图2，当60MON ∠=︒时，（1）中的结论还成立吗?若成立，请写出证明过程；若不成立，请直接写出PA ，PB 之间另外的数量关系．（3）拓展延伸：如图3，当60MON ∠=︒，点B 在射线ON 的反向延长线上时，请直接写出线段OC ，OA 及BC 之间的数量关系：______．25．如图，Rt ABC 与Rt DEF △的顶点A ，F ，C ，D 共线，AB 与EF 交于点G ，BC 与DE 相交于点H ，90B E ∠=∠=︒，AF CD =，AB DE =．（1）求证：Rt ABC Rt DEF ≌；（2）若1GF =，求线段HC 的长．26．如图，P 为等边ABC 的边BC 延长线上的一动点，以AP 为边向上作等边APD △，连接CD ．（1）求证：ABP ACD ≌△△；（2）当PC AC =时，求PDC ∠的度数；（3）PDC ∠与PAC ∠有怎样的数量关系？随着点P 位置的变化，PDC ∠与PAC ∠的数量关系是否会发生变化？请说明理由．【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题1．D解析：D【分析】根据△ABE ≌△CAF 得出△ACF 与△ABE 的面积相等，可得S △ABE +S △CDF =S △ACD ，即可得出答案．【详解】∵∠BED=∠CFD=∠BAC ，∠BED=∠BAE+∠ABE ，∠BAC=∠BAE+∠CAF ，∠CFD=∠FCA+∠CAF ，∴∠ABE=∠CAF ，∠BAE=∠FCA ，在△ABE和△CAF中，ABE CAFAB ACBAE FCA ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩，∴△ABE≌△CAF（ASA），∴S△ABE=S△ACF，∴阴影部分的面积为S△ABE+S△CDF=S△ACD，∵S△ABC=30，BD=12DC，∴S△ACD=20，故选：D．【点睛】本题考查了全等三角形的性质和判定，三角形的面积，三角形的外角性质等知识点，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题．2．A解析：A【分析】根据三角形的三边关系列出不等式，即可求出x的取值范围，得到答案．【详解】解：∵三角形的三边长分别为3，7，x，∴7-3＜x＜7+3，即4＜x＜10，四个选项中，A中，4＜6＜10，符合题意．故选：A．【点睛】本题主要考查了三角形的三边关系，即任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边．3．D解析：D【分析】根据全等三角形的判定与性质，等边对等角的性质对各选项分析判断后利用排除法求解．【详解】解：A、添加BD＝CE，可以利用“边角边”证明△ABD和△ACE全等，再根据全等三角形对应角相等得到∠DAB＝∠EAC，故本选项不符合题意；B、添加AD＝AE，根据等边对等角可得∠ADE＝∠AED，然后利用三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和求出∠DAB＝∠EAC，故本选项不符合题意；C、添加BE＝CD可以利用“边角边”证明△ABE和△ACD全等，再根据全等三角形对应角相等得到∠BAE=∠CAD，可得∠DAB＝∠EAC，故本选项不符合题意；D、添加DA＝DE无法求出∠DAB＝∠EAC，故本选项符合题意．故选：D．【点睛】本题考查了等腰三角形等边对等角的性质，三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和的性质，全等三角形的判定与性质，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键．4．D解析：D【分析】根据全等三角形的判定定理，对每个选项分别分析、解答出即可．【详解】根据题意：BE=CE ，∠AEB=∠DEC ，∴只需要添加对顶角的邻边，即AE=DE （由AC=BD 也可以得到），或任意一组对应角，即∠A=∠D ，∠B=∠C ，∴选项A 、B 、C 可以判定，选项D 不能判定，故选：D ．【点睛】此题考查全等三角形的判定定理，熟记判定定理并熟练应用是解题的关键．5．A解析：A【分析】利用AAS 判定△ABC ≌△AED ，则可得到AB=AE ，再利用ASA 判定△ABM ≌△AEN ．【详解】∵∠1＝∠2，∴∠1+∠MAC ＝∠2+∠MAC ，∴∠BAC ＝∠EAD ，在△BAC 和△EAD 中，B E BAC EAD AC AD ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩, ∴△BAC ≌△EAD ，∴甲说的正确；∵△BAC ≌△EAD （AAS ），∴AB=AE ，在△BAM 和△EAN 中，12B E AB AE ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩, ∴△BAM ≌△EAN （ASA ），∴乙说的正确；故选A ．【点睛】本题考查了三角形全等的判定方法，根据题目的特点，补充适当条件，活用判定定理是解题的关键．6．C解析：C【分析】根据全等三角形的判定方法一一判断即可；【详解】A 、根据ASA ，可以推出△ABC ≌△DEF ，本选项不符合题意．B 、根据AAS ，可以推出△ABC ≌△DEF ，本选项不符合题意．C 、SSA ，不能判定三角形全等，本选项符合题意．D 、根据SAS ，可以推出△ABC ≌△DEF ，本选项不符合题意．故选：C ．【点睛】本题考查了全等三角形的判定，解题的关键是熟练掌握全等三角形的判定方法； 7．C解析：C【分析】根据矩形的性质得到AD ∥BC ，∠DCB ＝90°，根据平行线的性质得到∠F ＝∠ECB ＝15°，根据三角形的外角的性质得到∠ACF ＝∠AGC ＝∠GAF ＋∠F ＝2∠F ，于是得到结论．【详解】解：∵四边形ABCD 是矩形，∴AD ∥BC ，∠DCB ＝90°，∴∠F ＝∠ECB ＝15°，∴∠GAF ＝∠F ＝15°，∴∠ACF ＝∠AGC ＝∠GAF ＋∠F ＝2∠F ＝30°，故选C ．【点睛】本题考查了矩形的性质，用到的知识点为：矩形的对边平行；两直线平行，内错角相等；三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和．8．C解析：C【分析】先利用AAS 证明ABC DEF ≅，再根据全等三角形的性质进行线段和差计算即可．【详解】解：90ACB ∠=︒，DE AB ⊥，90A B ∴∠+∠=︒，90A E ∠+∠=︒，B E ∴∠=∠，在ABC 与DEF 中90B E ACB DFE AB DE ∠=∠⎧⎪∠=∠=︒⎨⎪=⎩，()ABC DEF AAS ∴≅△△；AC DF =∴，BC EF =，∵DF a =，BC b =，CF c =，AE AC EF CF =+-，∴AE a b c =+-故选C ．【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定与全等三角形的性质，确定用AAS 定理进行证明是关键．9．C解析：C【分析】直接利用当A ，B ，C 在一条直线上，以及当A ，B ，C 不在一条直线上，分别分析得出答案．【详解】解：∵线段AB ＝8cm ，AC ＝6cm ，∴如图1，A ，B ，C 在一条直线上，∴BC ＝AB−AC ＝8−6＝2（cm ），故①正确；如图2，当A ，B ，C 在一条直线上，∴BC ＝AB ＋AC ＝8＋6＝14（cm ），故②正确；如图3，当A ，B ，C 不在一条直线上，8−6＜BC ＜8＋6，故线段BC可能为5或9，故③错误，④正确．故选：C．【点睛】此题主要考查了三角形三边关系，正确分类讨论是解题关键．10．B解析：B【分析】根据全等三角形的对应边相等得到BE=CF，计算即可．【详解】解：∵△DEF≌△ABC，∴BC=EF，∴BE+EC=CF+EC，∴BE=CF，又∵BF=BE+EC+CF=9，EC=5∵CF=12(BF-EC)=12(9-5)=2．故选：B．【点睛】本题考查了全等三角形的性质，掌握全等三角形的对应边相等、全等三角形的对应角相等是解题的关键．11．D解析：D【分析】根据三角形全等的判定对各选项分析判断后利用排除法求解．【详解】解：A、可以利用边角边判定两三角形全等，故本选项不合题意；B、可以利用角角边判定两三角形全等，故本选项不合题意；C、根据斜边直角边定理判定两三角形全等，故本选项不合题意；D、三个角对应相等不能证明两三角形全等，故本选项符合题意；故选：D．【点睛】本题考查了直角三角形全等的判定方法；本题主要利用三角形全等的判定，运用好有一对相等的直角这一隐含条件是解题的关键．12．C解析：C【分析】根据全等三角形的判定方法逐一判断即得答案．【详解】解：①若AB=DE，BC=EF，AC=DF，则根据SSS能使△ABC≌△DEF；②若AB=DE ，∠B=∠E ，BC=EF ，则根据SAS 能使△ABC ≌△DEF ；③若∠B=∠E ，AC =DF ，∠C=∠F ，则根据AAS 能使△ABC ≌△DEF ；④若AB=DE ，AC=DF ，∠B=∠E ，满足有两边及其一边的对角对应相等，不能使△ABC ≌△DEF ；综上，能使△ABC ≌△DEF 的条件共有3组．故选：C ．【点睛】本题考查了全等三角形的判定，属于基础题型，熟练掌握判定三角形全等的方法是解题的关键．二、填空题13．【分析】根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和列式求出再根据角平分线的定义求出和然后根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和列式计算即可得解【详解】解：根据三角形的外角性质可得平分 解析：45︒【分析】根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和，列式求出ABN ∠，再根据角平分线的定义求出ABE ∠和BAC ∠，然后根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和，列式计算即可得解．【详解】解：根据三角形的外角性质，可得ABN AOB BAO ∠=∠+∠， BE 平分NBA ∠，AC 平分BAO ∠， 12ABE ABN ∴∠=∠，12BAC BAO ∠=∠，C ABE BAC ∴∠=∠-∠，1)2ABN BAO =∠-∠， ()1122AOB BAO BAO =∠+∠-∠，12AOB =∠， 90MON ∠=︒，90AOB ∠=︒∴，190452C ∴∠=⨯︒=︒． 故答案为：45°．【点睛】本题考查了三角形外角的性质，以及角平分线的定义，解题时注意：三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和．14．75°【分析】利用外角求∠5再根据平行线的性质求∠1【详解】解：由题意可知∠4=45°∠2=∠3=30°∠5=∠2+∠3=75°∵∴∠1=∠5=75°故答案为：75°【点睛】本题考查了三角形外角的性解析：75°．【分析】利用外角求∠5，再根据平行线的性质求∠1．【详解】解：由题意可知∠4=45°，∠2=∠3=30°，∠5=∠2+∠3=75°，∵12l l //，∴∠1=∠5=75°，故答案为：75°．【点睛】本题考查了三角形外角的性质和平行线的性质，解题关键是熟练运用相关知识进行推理计算．15．【分析】根据三角形外角性质计算即可【详解】∵∠ACD 是△ABC 的外角∴∠ACD=∠A+∠B ∵∴∠ACD=故应填【点睛】本题考查了三角形外角的性质熟记三角形外角的性质并准确计算是解题的关键解析：110︒.【分析】根据三角形外角性质计算即可.【详解】∵∠ACD 是△ABC 的外角，∴∠ACD=∠A+∠B ，∵65A ∠=︒，45B ∠=︒，∴∠ACD=110︒.故应填110︒.【点睛】本题考查了三角形外角的性质，熟记三角形外角的性质，并准确计算是解题的关键. 16．【分析】延长线段BA 交CE 于点M 过点G 作AB 的平行线GN 交CE 于点N 根据平行的性质得由得再根据三角形的外角的性质得即可求出和的数量关系【详解】解：如图延长线段BA 交CE 于点M 过点G 作AB 的平行线GN 解析：1483E G ∠=︒-∠【分析】延长线段BA 交CE 于点M ，过点G 作AB 的平行线GN 交CE 于点N ，根据平行的性质得G BAG GCD ∠=∠+∠，由3BAF BAG ∠=∠，3DCE DCG ∠=∠，得333G BAG DCG ∠=∠+∠，再根据三角形的外角的性质得E EMA EAF BAF ∠+∠=∠-∠，即可求出E ∠和G ∠的数量关系．【详解】解：如图，延长线段BA 交CE 于点M ，过点G 作AB 的平行线GN 交CE 于点N ，∵//AB CD ，∴////BH GN CD ，∴BAG AGN ∠=∠，NGC GCD ∠=∠，EMA ECD ∠=∠，∵G AGN NGC ∠=∠+∠，∴G BAG GCD ∠=∠+∠，∵3BAF BAG ∠=∠，3DCE DCG ∠=∠，∴333G BAG DCG ∠=∠+∠，∵EAB E EMA ∠=∠+∠，EAB EAF BAF ∠=∠-∠，∴E EMA EAF BAF ∠+∠=∠-∠，∴E ECD EAF BAF ∠+∠=∠-∠，∴31483E DCG BAG ∠+∠=︒-∠，∴()14833E BAG DCG ∠=︒-∠+∠，∴1483E G ∠=︒-∠．故答案是：1483E G ∠=︒-∠．【点睛】本题考查平行线的性质和三角形外角的性质，解题的关键是通过平行线的性质和三角形外角的性质找到角与角之间的数量关系．17．OA=OB （答案不唯一）【分析】全等三角形的判定方法有SASASAAASSSS 只要添加一个符合的条件即可【详解】解：OA=OB 理由是：在△AOC 和△BOD 中∴△AOC ≌△BOD （SAS ）故答案为：O解析：OA=OB ．（答案不唯一）【分析】全等三角形的判定方法有SAS ，ASA ，AAS ，SSS ，只要添加一个符合的条件即可．【详解】解：OA=OB ，理由是：在△AOC 和△BOD 中，OA OB AOC BOD OC OD =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△AOC ≌△BOD （SAS ）．故答案为：OA=OB ．（答案不唯一）【点睛】本题考查了全等三角形的判定的应用，通过做此题培养了学生的发散思维能力和对全等三角形的判定方法的灵活运用能力，题目答案不唯一，是一道比较好的题目．18．26或22【分析】因为等腰三角形的底边和腰不确定6cm 可以为底边也可以为腰长故分两种情况：当6cm 为腰时底边为10cm 先判断三边能否构成三角形若能求出此时的周长；当6cm 为底边时10cm 为腰长先判断解析：26或22【分析】因为等腰三角形的底边和腰不确定，6cm 可以为底边也可以为腰长，故分两种情况：当6cm为腰时，底边为10cm，先判断三边能否构成三角形，若能，求出此时的周长；当6cm 为底边时，10cm为腰长，先判断三边能否构成三角形，若能，求出此时的周长．【详解】解：若6cm为等腰三角形的腰长，则10cm为底边的长，6cm，6cm，10cm可以构成三角形，此时等腰三角形的周长=6+6+10=22（cm）；若10cm为等腰三角形的腰长，则6cm为底边的长，10cm，10cm，6cm可以构成三角形，此时等腰三角形的周长=10+6+10=26（cm）；则等腰三角形的周长为26cm或22cm．故答案为：26或22．【点睛】本题考查了等腰三角形的定义和三角形的三边关系．已知没有明确腰和底边的题目一定要想到两种情况，分类进行讨论，还应验证各种情况是否能构成三角形，这点非常重要，也是解题的关键．19．24【分析】由EF分别为ADCE的中点可得BECEBF分别为△ABD△ACD△BEC的中线根据中线的性质可知将相应三角形分成面积相等的两部分据此即可解答【详解】解：∵由于EF分别为ADCE的中点∴S解析：24【分析】由E、F分别为AD、CE的中点可得BE、CE、BF分别为△ABD、△ACD、△BEC的中线，根据中线的性质可知将相应三角形分成面积相等的两部分，据此即可解答．【详解】解：∵由于E、F分别为AD、CE的中点，∴S△ABE=S△DBE，S△DCE=S△AEC，S△BEF=S△BCF，∴S△BEC＝2S△BEF＝12，∴S△ABC＝2S△BEC＝24．故答案为：24．【点睛】本题考查了三角形中线的性质，属于常考题型，熟知三角形的中线将相应的三角形分成面积相等的两部分是解题的关键．20．2【分析】本题根据三角形的三边关系定理得到不等式组从而求出三边满足的条件再根据三边长是整数进而求解【详解】设摆出的三角形中相等的两边是x根则第三边是（）根根据三角形的三边关系定理得到：则又因为是整数解析：2【分析】本题根据三角形的三边关系定理，得到不等式组，从而求出三边满足的条件，再根据三边长是整数，进而求解．【详解】设摆出的三角形中相等的两边是x 根，则第三边是（122x -）根，根据三角形的三边关系定理得到：122122x x x x x x +>-⎧⎨-+>⎩， 则3x >， 6x <，又因为x 是整数，∴x 可以取4或5，因而三边的值可能是：4，4，4或5，5，2；共二种情况，则能摆出不同的等腰三角形的个数为2．故答案为：2．【点睛】本题考查了三角形的三边关系：在组合三角形的时候，注意较小的两边之和应大于最大的边，三角形三边之和等于12． 三、解答题21．（1）证明见解析；（2）证明见解析．【分析】（1）利用SSS 即可判断△ABC ≌△DEF ；（2）利用全等三角形的性质即可证明.【详解】证明：（1）∵点A 、F 、C 、D 在一条直线上，AF CD =，∴AC DF =．在ACE △与BDF 中,,.AB DF BC EF AC DF =⎧⎪=⎨⎪=⎩∴ABC DEF △≌△，()SSS（2）∵△ABC ≌△DEF ，∴∠BCA ＝∠EFD ，∴A D ∠=∠，∴//AB DE ．【点睛】本题考查全等三角形的判定和性质，平行线的判定等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．22．（1）证明见解析；（2）EF=17cm ．【分析】（1）根据垂直的定义可得∠AEC=∠CFB=90°，然后求出∠EAC=∠FCB ，再利用“角角边”证明即可；（2）由全等三角形的性质可得：AE=CF ，CE=BF ，再根据线段的和差求解即可．【详解】（1）证明：在Rt △ACB 中，∵∠ACB=90°，∴∠ACE+∠BCF=90°∵AE ⊥EF ，BF ⊥EF∴∠ACE+∠EAC=90°∴∠CAE=∠BCF又∵ AC=CB∴△ACE ≌△CBF(ASA)(2)由△ACE ≌△CBF 可得:AE=CF=12cm ， EC=BF=5cm ，∴EF=EC+CF=12+5=17cm ．【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，同角的余角相等的性质，熟练掌握三角形全等的判断方法并找出全等的条件是解题的关键．23．证明见解析．【分析】先根据已知条件得出AB ED =，再利用SAS 证明ABC EDF △≌△，最后根据全等三角形的性质即可得出答案．【详解】证明：∵AD BE =，∴AD DB BE DB +=+，∴AB ED =．在ABC 和EDF 中，AB ED ABC EDF BC DF =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴()ABC EDF SAS △≌△，∴A E ∠=∠．【点睛】本题考查了全等三角形的判定及性质，熟练掌握全等三角形的判定方法是解题的关键． 24．（1）PA=PB ；（2）成立证明见解析；（3）OA=BC+OC【分析】（1）作PD ⊥OM 于点D ，根据角平分线的性质得到PC=PD ，证明△APD ≌△BPC ，根据全等三角形的性质定理证明；（2）作PD ⊥OM 于点D ，根据角平分线的性质得到PC=PD ，证明△APD ≌△BPC ，根据全等三角形的性质定理证明；（3）仿照（2）的解法得出△APD ≌△BPC ，从而得出AD=BC ，再根据HL 得出Rt △OPD ≌△RtOPC ，得出OC=OD ，继而得出结论．【详解】（1）作PD ⊥OM 于点D ，∵点P 在∠MON 的角平分线上，且PC ⊥ON 于C ，∴PC=PD ，∵∠MON=90°，∴∠APB=90°，∠CPD=90°，∴∠APD+∠BPD=90°，∠BPC+∠BPD=90°∴∠APD=∠BPC ，∵∠PDA=∠PCB=90°，在△APD 和△BPC 中，APD BPC PD PCADP BCP ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩∴△APD ≌△BPC （ASA ），∴AP=BP ．（2）（1）中的结论还成立理由如下：如图2，作PD ⊥OM 于点D ，∵点P 在∠MON 的角平分线上，且PC ⊥ON 于C ，∴PC=PD ，∵∠MON=60°，∴∠APB=120°，在四边形OCPD 中，∠CPD=360°-90°-90°-60°=120°，∴∠APD+∠BPD=120°，∠BPC+∠BPD=120°∴∠APD=∠BPC ，∵∠PDA=∠PCB=90°，在△APD 和△BPC 中，APD BPC PD PCADP BCP ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩∴△APD ≌△BPC （ASA ），∴AP=BP ．（3）OA=2BC-OB ．理由如下：如图3，作PD ⊥OM 于点D ，同（2），可证△APD ≌△BPC ，∴AD=BC ，点P 在∠MON 的角平分线上，且PC ⊥ON 于C ，∴PC=PD ，在Rt △OPD 和RtOPC 中，PC PD OP OP=⎧⎨=⎩ ∴Rt △OPD ≌△RtOPC ，∴OC=OD ，∴OA-AD=OD=OC ，∴OA-BC=OC ，∴OA=BC+OC ．【点睛】本题考查的是全等三角形的判定和性质，掌握全等三角形的判定定理和性质定理、灵活运用类比思想是解题的关键．25．（1）见详解；（2）1【分析】（1）先证明AC=DF ，再根据HL 证明Rt ABC Rt DEF ≌；（2）先证明∠AFG=∠DCH ，从而证明∆AFG ≅∆DCH ，进而即可求解．【详解】（1）∵AF CD =，∴AF+CF=CD+CF ，即AC=DF ，在Rt ABC 与Rt DEF △中，∵AC DF AB DE =⎧⎨=⎩， ∴Rt ABC ≅Rt DEF △（HL ）；（2）∵Rt ABC ≅Rt DEF △，∴∠A=∠D ，∠EFD=∠BCA ，∵∠AFG=180°-∠EFD ，∠DCH=180°-∠BCA ，∴∠AFG=∠DCH ，又∵AF CD =，∴∆AFG ≅∆DCH ，∴HC=GF =1．【点睛】本题主要考查全等三角形的判定和性质，熟练掌握HL 和ASA 证明三角形全等，是解题的关键．26．1）证明见解析；（2）30PDC ∠=︒；（3）PDC PAC ∠=∠；数量关系不变；理由见解析【分析】（1）先根据等边三角形的性质得出∠BAC ＝∠PAQ ＝60°，AB ＝AC ，AP ＝AQ ，再由SAS 定理即可得出结论；（2）由∠APC=∠CAP ，∠B=∠BAC ，∠B+∠BAC+∠APC+∠CAP=180°，得∠BAP=90°，再结合ABP ACD ≌△△，进而即可求解；（3）设CD 与AP 交于点O ，由ABP ACD ≌△△，得∠ACD=∠APD ，结合∠AOC=∠DOP ，三角形内角和定理，即可得到结论．【详解】（1）证明：∵△ABC 与△APD 是等边三角形，∴∠BAC ＝∠PAD ＝60°，AB ＝AC ，AP ＝AD ，∴∠BAP ＝∠DAC ，在△ABP 与△ACD 中，AB AC BAP CAD AP AD ⎧⎪∠∠⎨⎪⎩＝＝＝，∴ABP ACD ≌△△（SAS ）；（2）∵PC AC =，∴∠APC=∠CAP ，∵△ABC 是等边三角形，∴∠B=∠BAC=60°，又∵∠B+∠BAC+∠APC+∠CAP=180°，∴∠BAC+∠CAP=12×180°=90°，即：∠BAP=90°， ∴∠APB=90°-60°=30°，∴∠ADC=∠APB=30°，∵△APD 是等边三角形，∴PDC ∠=60°-∠ADC=60°-30°=30°；（3）PDC ∠=PAC ∠，随着点P 位置的变化，PDC ∠与PAC ∠的数量关系不会发生变化，理由如下：设CD 与AP 交于点O ，∵ABP ACD ≌△△，∴∠ACD=∠ABP=60°，∵∠APD=60°，∴∠ACD=∠APD ，又∵∠AOC=∠DOP ，∠AOC+∠ACD+∠PAC=180°，∠DOP+∠APD+∠PDC=180°， ∴PDC ∠=PAC ∠．【点睛】本题主要考查全等三角形的判定和性质，等边三角形的性质，直角三角形的判定，熟练掌握全等三角形的判定和性质，是解题的关键．。
七年级数学下册第四章三角形试题（新版）北师大版
七年级数学下册第四章三角形试题（新版）北师大版第四章三角形1.应用三角形的三边关系的方法技巧(1)已知三角形的两边长求第三边的范围,解答这类问题的关键是求两边之和、两边之差,第三边大于两边之差小于两边之和.【例】若三角形的两边长分别为6 cm,9 cm,则其第三边的长可能为( )A.2 cmB.3 cmC.7 cmD.16 cm【标准解答】选C.设第三边长为xcm.由三角形三边关系定理得9-6<x<9+6,< p="">解得3<x<15.< p="">(2)已知三条线段,判断以这三条线段为边能否构成三角形,解答的关键是只求两较短边之和,与最长边去比较.【例】下列长度的三条线段,不能组成三角形的是( )A.3,8,4B.4,9,6C.15,20,8D.9,15,8【标准解答】选A.分析各选项:A.∵3+4<8∴不能构成三角形;B.∵4+6>9∴能构成三角形;C.∵8+15>20∴能构成三角形;D.∵8+9>15∴能构成三角形.(3)在解决三角形中线段比较大小的问题时,我们经常会用到三角形的“三边关系定理”来解决问题,它是我们初中阶段经常用于比较线段大小的重要依据.【例】如图,点P是△ABC内任意一点,试说明PB+PC<ab+ac.< p="">【标准解答】延长BP交AC于点D,在△ABD中,PB+PD<="">在△PCD中,PC<="">①+②得PB+PD+PC<ab+ad+pd+cd,< p="">即PB+PC<ab+ac.< p="">1.下列长度的三条线段,能组成三角形的是( )A.1,1,2B.3,4,5C.1,4,6D.2,3,72.如果一个三角形的两边长分别为2和5,则第三边长可能是( )A.2B.3C.5D.83.某同学手里拿着长为3和2的两个木棍,想要找一个木棍,用它们围成一个三角形,那么他所找的这根木棍长满足条件的整数解是( )A.1,3,5B.1,2,3C.2,3,4D.3,4,54.各边长度都是整数、最大边长为8的三角形共有个.5.如图,△ABC三边的中线AD,BE,CF的公共点G,若S△ABC=12,则图中阴影部分面积是.2.求一个角的度数的方法(1)当所求角是一个三角形的内角时,可先求出这个三角形另外两个内角的度数,再根据三角形内角和定理计算.【例】如图,AB∥CD,AD和BC相交于点O,∠A=40°,∠AOB=75°.则∠C等于( )A.40°B.65°C.75°D.115°【标准解答】选B.∵∠A=40°,∠AOB=75°.∴∠B=180°-∠A-∠AOB=180°-40°-75°=65°,∵AB∥CD,∴∠C=∠B=65°.(2)当所求角是一个三角形的外角时,可利用三角形外角的性质结合三角形的内角和定理计算. 【例】将一副常规的三角尺按如图方式放置,则图中∠AOB的度数为( )A.75°B.95°C.105°D.120°【标准解答】选C.∵∠ACO=45°-30°=15°,∴∠AOB=∠A+∠ACO=90°+15°=105°.(3)当条件中含有平行线时,可利用平行线的性质将其转化为其他易求的角.【例】如图,已知l1∥l2,∠A=40°,∠1=60°,则∠2的度数为( )A.40°B.60°C.80°D.100°【标准解答】选D.如图,方法一:∵l1∥l2,∴∠1=∠ABC=60°,∴∠2=∠A+∠ABC=60°+40°=100°;方法二:∵l1∥l2,∴∠2=∠3.∵∠1=∠4=60°,∠A=40°.∴∠2=∠3=∠A+∠4=60°+40°=100°.1.一副三角板如图叠放在一起,则图中∠α的度数为( )A.75°B.60°C.65°D.55°2.如图,AB∥CD,AE交CD于C,∠A=34°,∠DEC=90°,则∠D的度数为( )A.17°B.34°C.56°D.124°3.如图,在△ABC中,∠B,∠C的平分线BE,CD相交于点F,∠ABC=42°,∠A=60°,则∠BFC= ( )A.118°B.119°C.120°D.121°4.如图,在△ABC中,点D,E,F分别是三条边上的点,EF∥AC,DF∥AB,∠B=45°,∠C=60°.则∠EFD= ( )A.80°B.75°C.70°D.65°5.如图,在△ABC中,∠A=80°,点D是BC延长线上一点,∠ACD=150°,则∠B= °.6.如图,已知,l1∥l2,C1在l1上,并且C1A⊥l2,A为垂足,C2,C3是l1上任意两点,点B在l2上.设△ABC1的面积为S1,△ABC2的面积为S2,△ABC3的面积为S3,小颖认为S1=S2=S3,请帮小颖说明理由.3.确定全等三角形的对应边、对应角的方法(1)在全等三角形中找对应边和对应角,关键是先找出对应顶点,然后按对应顶点字母的顺序记两个三角形全等,再按顺序写出对应边和对应角.(2)全等三角形对应角所对的边是对应边,两个对应角所夹的边是对应边;对应边所对的角是对应角.两条对应边所夹的角是对应角.(3)全等三角形中的公共边是对应边,公共角是对应角,对顶角是对应角.(4)最大边是对应边,最小边是对应边,最大角是对应角,最小角是对应角.【例】如图,△ABC≌△DEF,点A与点D是对应顶点,则BC的对应边是,∠BAC的对应角是.【标准解答】因为点A与点D是对应顶点,对应顶点所对的边是对应边,所以BC的对应边是EF;又因为以对应点为顶点的角是对应角,所以∠BAC的对应角是∠EDF.答案:EF ∠EDF如图所示,∠1=∠2,∠B=∠D,△ABC和△AED全等应表示为( )A.△ABC≌△AEDB.△ABC≌△EADC.△ABC≌△ADED.△ABC≌△DEA4.全等三角形(1)判定基本思路:在证明两个三角形全等时,往往题目中已知某些边或角的条件,常根据以下思路来寻找三角形全等的条件.(2)常见的全等三角形的基本模型:①平移变换型②轴对称变换型③旋转变化型【例1】已知:如图,E,F在AC上,AD∥CB且AD=CB,∠D=∠B.求证:AE=CF.【标准解答】∵AD∥CB,∴∠A=∠C,∵AD=CB,∠D=∠B,∴△ADF≌△CBE,∴AF=CE,∴AE=CF.【例2】如图,在△ABC中,∠ACB=90°,AC=BC,BE⊥CE于点E.AD⊥CE于点D. 求证:△BEC≌△CDA.【标准解答】∵BE⊥CE于E,AD⊥CE于D,∴∠BEC=∠CDA=90°,在Rt△BEC中,∠BCE+∠CBE=90°,在Rt△BCA中,∠BCE+∠ACD=90°,∴∠CBE=∠ACD,在△BEC和△CDA中,∠BEC=∠CDA,∠CBE=∠ACD,∵BC=AC,∴△BEC≌△CDA.1.如图,已知AB=AD,那么添加下列一个条件后,仍无法判定△ABC≌△ADC的是( )A.CB=CDB.∠BAC=∠DACC.∠BCA=∠DCAD.∠B=∠D=90°2.如图,B,E,C,F在同一直线上,AB∥DE,AB=DE,BE=CF,AC=6,则DF= .3.在△ABC中,AB=AC,点E,F分别在AB,AC上,AE=AF,BF与CE相交于点P.求证:PB=PC,并直接写出图中其他相等的线段.4.已知:如图,AB∥CD,E是AB的中点,CE=DE.求证:(1)∠AEC=∠BED.(2)AC=BD.5.如图,在四边形ABCD中,∠A=∠BCD=90°,BC=DC,延长AD到E 点,使DE=AB.求证:(1)∠ABC=∠EDC.(2)△ABC≌△EDC.6.如图,在△ABC中,AB=AC,作AD⊥AB交BC的延长线于点D,作AE∥BD,CE⊥AC,且AE,CE相交于点E,求证:AD=CE.5.尺规作图用尺规作图作出图形的三个步骤:(1)分析图形,明确作图顺序.(2)选择合适的基本作图.(3)验证所作图形是否符合要求.【例1】如图所示,已知线段AB,∠α,∠β,分别过A,B作∠CAB=∠α,∠CBA=∠β.(不写作法,保留作图痕迹)【标准解答】如图所示:.【例2】作图题(要求:用尺规作图,保留作图痕迹,不写作法和证明) 已知:(如图)线段a和∠α,求作:△ABC,使AB=AC=a,∠A=∠α.【标准解答】如图所示:1.画△ABC,使其两边为已知线段a,b,夹角为β.(要求:用尺规作图,写出已知、求作;保留作图痕迹;不在已知的线、角上作图;不写作法)2.如图1,在△ABC中,AB=AC,D是底边BC上的一点,BD>CD,将△ABC沿AD剪开,拼成如图2的四边形ABDC′.(1)四边形ABDC′具有什么特点?(2)请同学们在图3中,用尺规作一个以MN,NP为邻边的四边形MNPQ,使四边形MNPQ具有上述特点(要求:写出作法,但不要求证明).跟踪训练答案解析第四章三角形1.应用三角形的三边关系的方法技巧【跟踪训练】1.【解析】选B.如果满足较小的两条线段之和大于最长的线段,那么这三条线段就能组成三角形.因为1+1=2,1+4<6,2+3<7,而3+4>5.2.【解析】选C.设第三边长为x,则由三角形三边关系定理得5-2<x<5+2,即3<x<7.故选c.< p="">3.【解析】选C.设他所找的这根木棍长为x,由题意得:3-2<x<3+2,∴1<x<5,< p="">∵x为整数,∴x=2,3,4.4.【解析】∵各边长度都是整数、最大边长为8,∴三边长可以为:1,8,8;2,7,8;2,8,8;3,6,8;3,7,8;3,8,8;4,5,8;4,6,8;4,7,8;4,8,8;5,5,8;5,6,8;5,7,8;5,8,8;6,6,8;6,7,8;6,8,8;7,7,8;7,8,8;8,8,8;故各边长度都是整数、最大边长为8的三角形共有20个.答案:205.【解析】由中线性质,可得AG=2GD,则S△BGF=S△CGE=S△ABG=×S△ABD=××S△ABC=×12=2,∴阴影部分的面积为4.答案:42.求一个角的度数的方法【跟踪训练】1.【解析】选A.如图,∵∠1=60°,∠2=45°,∴∠α=180°-45°-60°=75°.2.【解析】选C.∵AB∥CD,∴∠DCE=∠A=34°,∵∠DEC=90°,∴∠D=90°-∠DCE=90°-34°=56°.3.【解析】选C.∵∠A=60°,∠ABC=42°,∴∠ACB=180°-∠A-∠ABC=78°.∵∠B,∠C的平分线为BE,CD,∴∠FBC=∠ABC=21°,∠FCB=∠ACB=39°,∴∠BFC=180°-∠FBC-∠FCB=120°.4.【解析】选B.∵EF∥AC,∴∠EFB=∠C=60°,∵DF∥AB,∴∠DFC=∠B=45°,∴∠EFD=180°-60°-45°=75°.5.【解析】∵∠ACD=∠A+∠B,∠A=80°,∠ACD=150°, ∴∠B=70°.答案:706.【解析】∵直线l1∥l2,∴△ABC1,△ABC2,△ABC3的底边AB上的高相等,∴△ABC1,△ABC2,△ABC3这3个三角形同底,等高,∴△ABC1,△ABC2,△ABC3这些三角形的面积相等.即S1=S2=S3.3.确定全等三角形的对应边、对应角的方法【跟踪训练】【解析】选C.由于∠1=∠2,∠B=∠D,所以点C与点E,点B与点D是对应点,故应表示为△ABC≌△ADE,所以选C.4.全等三角形【跟踪训练】1.【解析】选C.A、添加CB=CD,根据SSS,能判定△ABC≌△ADC,故A选项不符合题意;B、添加∠BAC=∠DAC,根据SAS,能判定△ABC≌△ADC,故B选项不符合题意;C、添加∠BCA=∠DCA时,不能判定△ABC≌△ADC,故C选项符合题意;D、添加∠B=∠D=90°,根据HL,能判定△ABC≌△ADC,故D选项不符合题意;故选C.2.【解析】∵AB∥DE,∴∠ABC=∠DEF,∵BE=CF,∴BC=EF,∵AB=DE,∴△ABC≌△DEF,∴DF=AC=6.答案:63.【解析】在△ABF和△ACE中,∴△ABF≌△ACE(SAS),∴∠ABF=∠ACE(全等三角形的对应角相等),∴B F=CE(全等三角形的对应边相等),∵AB=AC,AE=AF,∴BE=CF,在△BEP和△CFP中,∴△BEP≌△CFP(AAS),∴PB=PC,∵BF=CE,∴PE=PF,∴图中相等的线段为PE=PF,BE=CF. 4.【证明】(1)∵AB∥CD,∴∠AEC=∠ECD,∠BED=∠EDC,∵CE=DE,∴∠ECD=∠EDC,∴∠AEC=∠BED.(2)∵E是AB的中点,∴AE=BE,在△AEC和△BED中,∴△AEC≌△BED(SAS),∴AC=BD.5.【证明】(1)在四边形ABCD中,∵∠A=∠BCD=90°,∴∠B+∠ADC=180°.又∵∠ADC+∠EDC=180°,∴∠ABC=∠EDC.(2)连接AC.∵在△ABC和△EDC中∴△ABC≌△EDC.6.【证明】∵AE∥BD,∴∠EAC=∠ACB, ∵AB=AC,∴∠B=∠ACB,∴∠B=∠EAC,在△ABD和△CAE中,∴△ABD≌△CAE,∴AD=CE.5.尺规作图【跟踪训练】1.【解析】已知:线段a,b和∠β.求作:△ABC,使BC=a,AC=b,∠C=β(也可以使任意两边分别等于a 和b,夹角为β).2.【解析】(1)四边形ABDC′中,AB=DC′,∠B=∠C′(或四边形ABDC′中,一组对边相等,一组对角相等).(2)作法:①延长NP;②以点M为圆心,MN为半径画弧,交NP的延长线于点G;③以点P为圆心,MN为半径画弧,以点M为圆心,PG为半径画弧,两弧交于点Q;④连接MQ,PQ;⑤四边形MNPQ是满足条件的四边形.</x<3+2,∴1<x<5,<></x<5+2,即3<x<7.故选c.<></ab+ac.<></ab+ad+pd+cd,<></ab+ac.<></x<15.<></x<9+6,<>。
北师版七年级数学下册4.1.2三角形三边关系、外角同步练习(Word版包含答案解析)
外角1．以下各组值代表线段的长度，其中能组成三角形的是〔〕B ．20，15，8C ．5，15，8D ．4，5，92．以下各组线段中〔单位： cm 〕，能组成三角形的是〔 〕A ．5，15，20B ．6，8，15C ．2，2.5，3D ．3，8，153．以下长度的三条线段，不能围成三角形的是〔〕A ．3，8，4B ．9，15，8C ．15，20，8D ．6，4，94．三角形三边长3，4，x ，那么x 的取值范围是〔 〕A ．x ＞1B ．x ＜7C ．1＜x ＜7D ．﹣1＜x ＜75．线段a ＝5，b ＝3，线段c 与a 、b 构成三角形，那么线段c 的长度的范围是〔〕A ．c ＞2B ．c ＜8C ．2＜c ＜8D ．无法确定6．在△ABC 中， AB ＝4cm ，BC ＝9cm ，那么AC 的长可能是〔 〕 A ．5cm B ．12cm C ．13cm D ．16cm7．假设长度分别为a ，3，5的三条线段能组成一个三角形，那么以下选项中符合条件的a 值是〔〕A ．1B ．2C ．3D ．88．三角形三边长分别为 3，x ，5，假设x 为正整数，那么这样的三角形个数为〔 〕A ．2B ．3C ．5D ．79．△ABC 的三边长分别为a 、b 、c ，且 M ＝〔a+b+c 〕〔a+b ﹣c 〕〔a ﹣b ﹣c 〕，那么〔 〕A ．M ＞0B ．M≥0C ．M ＝0D ．M ＜010．一个三角形的两边长分别为 2和5，且第三边长为整数，这样的三角形的周长最大值是〔 〕A ．11B ．12C ．13D ．14 11．如图，△ABC 中，点D 在BC 延长线上，那么以下结论一定成立的是〔 〕 A ．∠1＝∠A+∠BB ．∠1＝∠2+∠AB ．C ．∠1＝∠2+∠BD．∠2＝∠A+∠B12．如图，∠ACD＝130°，∠B＝20°，那么∠A 的度数是〔 〕A ．110°B．30°C．150°D．90°13．如图，在△ABC 中，点D 在BC 的延长线上，假设∠A ＝60°，∠B＝40°，那么∠ACD 的度数是〔 〕A ．140°B ．120°C ．110°D ．100°14．将一副三角板按图中方式叠放，那么∠α的度数为〔〕A．30°B．45°C．60°D．75°15．如图，BP是△ABC那么∠A＝〔〕中∠ABC 的平分线，CP是∠ACB 的外角的平分线，如果∠ABP＝20°，∠ACP＝50°，A．60°B．80°C．70°D．50 °〔第14题〕〔第15题〕〔第16题〕16．如图，D是AB上一点，E是AC上一点，BE，CD相交于点F，∠A＝62°，∠ACD＝35°，∠ABE＝20°，那么∠BFC的度数是〔〕A．117°B．120°C．132°D．107°17．如图，∠A＝120°，且∠1＝∠2＝∠3和∠4＝∠5＝∠6，那么∠BDC＝〔〕A．120°B．60°C．140°D．无法确定18．如图，△ABC中，∠A＝80°，△ABC的两条角平分线交于点P，∠BPD的度数是〔〕A．130°B．60°C．50°D．40°〔第1719．如图，在△题〕ABC中，BE、CD分别平分∠〔第18题〕ABC和∠ACB，假设∠1＝50°，那么∠〔第A等于〔19题〕〕A．60°B．70°C．80°D．140°20．如果三角形的两边长分别是3和7，那么第三边的长应大于，而小于，如果这个三角形中有两条边相等，那么它的周长是．21．一边是3，一边是5的等腰三角形周长是．22．等腰三角形的一边长为5，另一边长为11，那么该等腰三角形的周长为23．等腰三角形的周长为16，其一边长为6，那么该等腰三角形的底边长为24．等腰三角形的周长为29，其中一边长为7，那么该等腰三角形的底边为．．．25．等腰三角形的周长为8，其中一边长为2，那么该等腰三角形的腰长为26．〔1〕假设一等腰三角形的两边长为1cm、3cm，那么该等腰三角形的周长是〔2〕假设一等腰三角形的一角为100°，那么该等腰三角形的另两角是27．等腰三角形的一角为50°，那么其他两个角的度数分别是28．如图△ABC中，∠ABC与∠ACB的平分线交于点I，根据下了条件，求∠①假设∠ABC＝40°，∠ACB＝60°，那么∠BIC＝．②假设∠ABC+∠ACB＝100°，那么∠BIC＝．③假设∠A＝80°，那么∠BIC＝．④假设∠A＝120°，那么∠BIC＝．⑤从上述计算中，我们能发现∠A＝x，求∠BIC的公式是：∠BIC＝请写出证明过程．BIC．；．的度数．．29．如图，△ABC．〔1〕假设AB＝4，AC＝5，那么BC边的取值范围是〔2〕点D为BC延长线上一点，过点D作DE∥AC，交BA的延长线于点；E，假设∠E＝55°，∠ACD＝125°，求∠B的度数．（30．a，b，c是三角形的三边长．（1〕化简：|a﹣b﹣c|+|b﹣c﹣a|+|c﹣a﹣b|；2〕在〔1〕的条件下，假设a＝5，b＝4，c＝3，求这个式子的值．三角形的三边关系外角参考答案与试题解析一．选择题〔共19小题〕1．以下各组值代表线段的长度，其中能组成三角形的是〔〕A．1，2，B．20，15，8C．5，15，8D．4，5，9【解答】解：A、1+2＜，不能组成三角形，故此选项错误；B、15+8＞20，能组成三角形，故此选项正确；C、5+8＜15，不能组成三角形，故此选项错误；D、4+5＝9，不能组成三角形，故此选项错误；应选：B．2．以下各组线段中〔单位：cm〕，能组成三角形的是〔〕A．5，15，20 B．6，8，15 C．2，，3 D．3，8，15 【解答】解：A、5+15＝20，不符合三角形的三边关系，故A不合题意；B、8+6＜15，不符合三角形的三边关系，故B不合题意；C、＞3，符合三角形的三边关系，故C符合题意；D、8+3＜15，不符合三角形的三边关系，故D不合题意；应选：C．3．以下长度的三条线段，不能围成三角形的是〔〕A．3，8，4 B．9，15，8 C．15，20，8 D．6，4，9 【解答】解：A、3+4＜8，不能组成三角形，符合题意；B、8+9＞15，能组成三角形，不合题意；C、8+15＞20，能组成三角形，不合题意；D、4+6＞9，能组成三角形，不合题意．应选：A．4．三角形三边长3，4，x，那x的取值范围是〔〕么A．x＞1 B．x＜7 C．1＜x＜7 D．﹣1＜x＜7 【解答】解：由题意得：4﹣3＜x＜4+3，即：1＜x＜7，应选：C．5．线段a＝5，b＝3，线段c与a、b构成三角形，那么线段c的长度的范围是〔〕A．c＞2 B．c＜8 C．2＜c＜8 D．无法确定【解答】解：∵线段a＝5，b＝3，线段c与a、b构成三角形，∴线段c的长度的范围是：5﹣3＜c＜5+3，即2＜c＜8．应选：C．6．在△ABC中，AB＝4cm，BC＝9cm，那么AC的长可能是〔〕A．5cm B．12cm C．13cm D．16cm【解答】解：由题意得：9﹣4＜AC＜9+4，那么5＜AC＜13，应选：B．7．假设长度分别为a，3，5的三条线段能组成一个三角形，那么以下选项中符合条件的a值是〔〕A．1 B．2 C．3 D．8【解答】解：由题意得：5﹣3＜a＜5+3，那么2＜a＜8，应选：C．8．三角形三边长分别为3，x，5，假设x为正整数，那么这样的三角形个数为〔〕A．2 B．3 C．5 D．7【解答】解：∵5﹣3＝2，5+3＝8，∴2＜x＜8，∴∵x为正整数，∴x的可能取值是3，4，5，6，7，共五个，故这样的三角形个数为5．应选：C．9．△ABC的三边长分别为a、b、c，且M＝〔a+b+c〕〔a+b﹣c〕〔a﹣b﹣c〕，那么〔〕A．M＞0 B．M≥0 C．M＝0 D．M＜0【解答】解：∵△ABC的三边长分别为a、b、c，且M＝〔a+b+c〕〔a+b﹣c〕〔a﹣b﹣c〕，a+b+c＞0，a+b﹣c＞0，a﹣b﹣c＜0，M＜0．应选：D．10．一个三角形的两边长分别为2和5，且第三边长为整数，这样的三角形的周长最大值是〔〕A．11 B．12 C．13 D．14【解答】解：设第三边为a，根据三角形的三边关系，得：5﹣2＜a＜5+2，即2＜a＜7，∵a为整数，a的最大值为6，那么三角形的最大周长为6+2+5＝13．应选：C．11．如图，△ABC中，点D在BC延长线上，那么以下结论一定成立的是〔〕A．∠1＝∠A+∠B B．∠1＝∠2+∠A C．∠1＝∠2+∠B D．∠2＝∠A+∠B【解答】解：∵∠1是△ABC的一个外角，∴∠1＝∠A+∠B，A选项说法一定成立；1与∠2+∠A的关系不确定，B选项说法不一定成立；1与∠2+∠B的关系不确定，C选项说法不一定成立；2与∠A+∠B的关系不确定，D选项说法不一定成立；应选：A．12．如图，∠ACD＝130°，∠B＝20°，那么∠A的度数是〔〕A．110°B．30°C．150°D．90°【解答】解：∵∠ACD是△ABC的一个外角，∴∠A＝∠ACD﹣∠B＝130°﹣20°＝110°，应选：A．13．如图，在△ABC中，点D在BC的延长线上，假设∠A＝60°，∠B＝40°那么∠ACD的度数是〔〕A．140°【解答】解：∠ACD B．120°是△ABC的一个外角，C．110°D．100 °∴∠ACD＝∠A+∠B＝100°，应选：D．14．将一副三角板按图中方式叠放，那么∠α的度数为〔〕A．30°B．45°C．60°D．75°【解答】解：由题意得，∠DBC＝90°﹣45°＝45°，∠ACB＝30°，∴∠α＝30°+45°＝75°，应选：D．15．如图，BP是△ABC 中∠ABC 的平分线，CP是∠ACB 的外角的平分线，如果∠ABP＝20°，∠ACP＝50°，那么∠A＝〔〕A．60°B．80°C．70°D．50°【解答】解：∵BP是△ABC中∠ABC的平分线，CP是∠ACB的外角的平分线，∵∠ABP＝20°，∠ACP＝50°，∴∠ABC2∠ABP＝40°，∠ACM＝2∠ACP＝100°，A＝∠ACM﹣∠ABC＝60°，应选：A．16．如图，D是AB上一点，E是AC上一点，BE，CD相交于点F，∠A＝62°，∠ACD＝35°，∠ABE＝20°，那么∠BFC的度数是〔〕A．117°B．120°C．132°D．107°【解答】解：∵∠A＝62°，∠ACD＝35°，∴∠BDC＝∠A+∠ACD＝97°，∵∠ABE＝20°，∴∠BFC＝∠BDC+∠ABE＝117°，应选：A．17．如图，∠A＝120°，且∠1＝∠2＝∠3和∠4＝∠5＝∠6，那么∠BDC＝〔〕A．120°B．60°C．140°D．无法确定【解答】解：在△ABC中，∵∠A＝120°，∴∠ABC+∠ACB＝180°﹣120°＝60°，又∵∠1＝∠2＝∠3，∠4＝∠5＝∠6，∴∠DBC+∠DCB＝2×60°＝40°，3∴∠BDC＝180°﹣40°＝140°，应选：C．18．如图，△A．130°ABC中，∠A＝80°，△B．60°ABC的两条角平分线交于点C．50°P，∠BPD的度数是〔D．40°〕【解答】解：∵△ABC中，∠A＝80°，∴∠ABC+∠ACB＝180°﹣∠A＝100°，∵△ABC的两条角平分线交于点P，∴∠PBC＝1 ∠ABC，∠PCB＝ 1 ∠ACB，2 2∴∠PBC+∠PCB＝1〔∠ABC+ACB〕＝1×100°＝50°，22∴∠BPD＝∠PBC+∠PCB＝50°；应选：C．19．如图，在△ABC中，BE、CD 分别平分∠ABC和∠ACB，假设∠1＝50°，那么∠A等于〔〕A．60°B．70°C．80°D．140°【解答】解：∵∠1＝∠EBC+∠ECB＝50°，BE、CD分别平分∠ABC和∠ACB，∴∠ABC+∠ACB＝2〔∠EBC+∠ECB〕＝100°，∴∠A＝180°﹣〔∠ABC+∠ACB〕＝80°，应选：C．二．填空题〔共8小题〕20．如果三角形的两边长分别是3和7，那么第三边的长应大于条边相等，那么它的周长是17．【解答】解：第三边的取值范围是大于4而小于10；如果三角形中，有两边相等，那么分情况讨论：当三边是3，3，7时，3+3＜7，不符合三角形的三边关系，舍去；当三角形的三边是3，7，7时，符合，此时周长是17．21．一边是3，一边是5的等腰三角形周长是11或13．【解答】解：当3为等腰三角形的腰长时，4，而小于10，如果这个三角形中有两3+3＝6＞5，符合两边之和大于第三边，三角形周长为3+3+5＝11；当5为等腰三角形的腰长时，5+5＝10＞3，符合两边之和大于第三边，三角形周长为5+5+3＝13．故填11或13．22．等腰三角形的一边长为5，另一边长为11，那么该等腰三角形的周长为27．【解答】解：5是腰长时，三角形的三边分别为5、5、11，∵5+5＝10＜11，∴不能组成三角形，5是底边时，三角形的三边分别为5、11、11，能组成三角形，周长＝5+11+11＝27，综上所述，该等腰三角形的周长为27．故答案为：27．23．等腰三角形的周长为16，其一边长为6，那么该等腰三角形的底边长为6或4 ．【解答】解：当腰为6时，那么底边4，此时三边满足三角形三边关系；当底边为6时，那么另两边长为5、5，此时三边满足三角形三边关系；故答案为：6或4．24．等腰三角形的周长为29，其中一边长为7，那么该等腰三角形的底边为7 ．【解答】解：当腰长为7时，底边长为29﹣2×7＝15，三角形的三边长为7，7，15，7+7＝14，不大于15，不能构成三角形，舍去；当底边长为7时，腰长为〔29﹣7〕÷2＝11，三角形的三边长为11，11，7，7+11＞11，能构成三角形，所以等腰三角形的底边为7．故填7．25．等腰三角形的周长为8，其中一边长为2，那么该等腰三角形的腰长为 3 ．【解答】解：①2是腰长时，底边为：8﹣2×2＝4，三角形的三边长分别为2、2、4，2+2＝4，∴不能组成三角形，②2 是底边长时，腰长为：1×〔8﹣2〕＝3，2三角形的三边长分别3、3、2，能组成三角形，综上所述，该等腰三角形的腰长是3．故答案为：3．26．〔1〕假设一等腰三角形的两边长为1cm、3cm，那么该等腰三角形的周长是7cm；〔2〕假设一等腰三角形的一角为100°，那么该等腰三角形的另两角是40°，40°．【解答】解：〔1〕等腰三角形的两边长分别为1cm和3cm，当腰长是3cm时，那么三角形的三边是3cm，3cm，1cm，3cm+1cm＞3cm，满足三角形的三边关系，三角形的周长是7cm；当腰长是1cm时，三角形的三边是1cm，1cm，3cm，1cm+1cm＜2cm，不满足三角形的三边关系．故答案为：7cm；〔2〕解：根据三角形的内角和定理，100°的内角是顶角，所以，两个底角为1〔180°﹣100°〕＝40°，240°，40°．即另外两个内角分别等于故答案为40°，40°．27．等腰三角形的一角为50°，那么其他两个角的度数分别是50°，80°或65°，65°．【解答】解：〔1〕假设50°为底角，那么另一个底角为50°，顶角为180°﹣50°﹣50°＝80°；〔2〕假设50°为顶角，那么两底角分别为1〔180°﹣50°〕＝65°．228．如图△ABC中，∠ABC与∠ACB的平分线交于点I，根据下了条件，求∠BIC的度数．①假设∠ABC＝40°，∠ACB＝60°，那么∠BIC＝130°．②假设∠ABC+∠ACB＝100°，那么∠BIC＝130°．③假设∠A＝80°，那么∠BIC＝130°．④假设∠A＝120°，那么∠BIC＝150°．⑤从上述计算中，我们能发现∠A＝x，求∠BIC的公式是：∠BIC＝90°+ 1 x．2【解答】解：①∵∠ABC＝40°，∠ACB＝60°，∠ABC与∠ACB的平分线交于点I，∴∠IBC＝20°∠ICB＝30°，∴∠BIC＝180°﹣∠IBC﹣∠ICB＝130°；②∵∠ABC+∠ACB＝80°，∠ABC与∠ACB的平分线交于点I，∴∠IBC+∠ICB＝〔∠ABC+∠ACB〕＝40°，∴∠BIC＝180°﹣〔∠IBC+∠ICB〕＝140°；③∠A＝80°，那么∠ABC+∠ACB＝100°，据②得∠BIC＝130°；④∵∠A＝120°，∴∠ABC+∠ACB＝60°，又∵∠ABC与∠ACB的平分线交于点I，∴∠IBC+∠ICB＝1〔∠ABC+∠ACB〕＝30°，2∴∠BIC＝180°﹣〔∠IBC+∠ICB〕＝150°；北师版七年级数学下册4.1.2三角形三边关系、外角同步练习(Word 版包含答案解析) 11 / 1111⑤∠BIC ＝90°+x1 2 理由如下：在△ ABC 中，∠ABC+∠ACB ＝180°﹣∠A ∵BI 、CI 是△ABC 内角的平分线∴∠ IBC ＝ 1∠ABC ，∠ICB ＝ 1 ∠ACB2 2 ∴∠ IBC+∠ICB ＝1∠ABC+ 1 ∠ACB ＝ 1 〔∠ ABC+∠ACB 〕＝ 1 〔180°﹣∠ A 〕2 2 2 2 在△ IBC 中，∠BIC ＝180°﹣〔∠ IBC+∠ICB 〕＝ 180°﹣ 1 〔180°﹣∠ A 〕＝90°+1 ∠A2 2 即：∠ BIC ＝90°+1 x ．229．如图，△ ABC ． 〔1〕假设AB ＝4，AC ＝5，那么BC 边的取值范围是 1＜BC ＜9 ； 〔2〕点D 为BC 延长线上一点，过点 D 作DE ∥AC ，交BA 的延长线于点 求∠B 的度数． 【解答】解：〔1〕∵AB ＝4，AC ＝5， ∴5﹣4＜BC ＜4+5，即 1＜BC ＜9， 故答案为：1＜BC ＜9； E ，假设∠E ＝55°，∠ACD ＝125°， 〔2〕∵∠ACD ＝125°， ∴∠ACB ＝180°﹣∠ACD ＝55°， ∵DE ∥AC ， ∴∠BDE ＝∠ACB ＝55°．∵∠E ＝55°， ∴∠B ＝180°﹣∠E ﹣∠BDE ＝180°﹣55°﹣55°＝70°． 30．a ，b ，c 是三角形的三边长．1〕化简：|a ﹣b ﹣c|+|b ﹣c ﹣a|+|c ﹣a ﹣b|；2〕在〔1〕的条件下，假设a ＝5，b ＝4，c ＝3，求这个式子的值．【解答】解：〔1〕∵a 、b 、c 是三角形的三边长，∴a ﹣b ﹣c ＜0，b ﹣c ﹣a ＜0，c ﹣a ﹣b ＜0，∴原式＝﹣a+b+c ﹣b+a+c ﹣c+a+b ＝a+b+c ；2〕当a ＝5，b ＝4，c ＝3时，原式＝5+4+3＝12．。
北师大版七年级数学下册第四章三角形同步练习(本章总结提升)
图 4－T－2
本章总结提升
解：在△DFB 中，因为 FD⊥AB， 所以∠FDB＝90°. 因为∠F＝40°，所以∠B＝90°－40°＝50°. 在△ABC 中，因为∠A＝30°，∠B＝50°， 所以∠ACB＝180°－∠A－∠B＝100°， 所以∠ACF＝180°－∠ACB＝80°.
本章总结提升
【归纳总结】判定三角形全等的方法有 “SSS”“AAS”“ASA”“SAS”，四种，千万不能用“SSA”判定三 角形全等．
本章总结提升
问题5 用尺规作三角形
如何利用尺规作三角形？ 用尺规作三角形的原理是什么？
本章总结提升
例 5 已知：线段 a，c 和∠α ，如图 4－T－4 所示． 求作：△ABC，使 BC＝a，AB＝c，∠ABC＝∠α .
本章总结提升
【归纳总结】求直角三角形的锐角时，不需要再利用三角形 的内角和为 180°，可以直接利用直角三角形两个锐角互余的性 质求解．
本章总结提升
问题4 全等三角形的性质与判定
全等三角形有什么性质？ 判定三角形全等的方法有几种？
本章总结提升
例 4 2018·衡阳 如图 4－T－3，已知线段 AC，BD 相交于点 E，AE＝DE，BE＝CE.
本章总结提升
【归纳总结】三角形第三边长的取值范围：两边之差＜第三边， 第三边＜两边之和．即两边之差＜第三边＜两边之和．
本章总结提升
问题3 三角形的内角和
三角形的内角和是多少？
根据三角形的内角和可以推出直角三角形两个锐角之间存在 什么关系？
本章总结提升 例 3 如图 4－T－2，F 是△ABC 的边 BC 的延长线上一
北师大版七年级数学下册第四章三角形专项测试题_附答案解析(四)
第四章三角形专项测试题(四)一、单项选择题（本大题共有15小题，每小题3分，共45分）1是（）A. 无法确定2）.3）.4）5( )6）7结论中不正确的是（）B.D.8、下列各组图形中，一定是全等图形的是（）A. 两个周长相等的等腰三角形B. 两个面积相等的长方形C. 两个斜边相等的直角三角形D. 两个直角边相等的等腰直角三角形9其中顺序正确的作图步骤是（）A. ④③①②B. ②④③①C. ④③②①D. ①②③④）A.B.C.D.11）12两点，则下列说法中一定正确的是（）13于点的长度为（）14( )15）A.B.C.D.二、填空题（本大题共有5小题，每小题5分，共25分）16，则等腰三角形的周长是．17是 .18、解决难以测量或无法测量的线段(或角)的关键：构建三角形，得到线段相等或角相等.19的长是 .20/____________厘米/.三、解答题（本大题共有3小题，每小题10分，共30分）212223(1)(2)第四章三角形专项测试题(四) 答案部分一、单项选择题（本大题共有15小题，每小题3分，共45分）1是（）A. 无法确定【答案】C2）.【答案】C【解析】解：3）.【答案】C4）【答案】C【解析】解：5( )【答案】B6了使它稳固，需要在窗框上钉一根木条，这根木条不应钉在（）【答案】C【解析】解：三角形具有稳定性，因此需要在长方形木框上钉一根木条构成三角形，7结论中不正确的是（）B.D.【答案】D【解析】解：8、下列各组图形中，一定是全等图形的是（）A. 两个周长相等的等腰三角形B. 两个面积相等的长方形C. 两个斜边相等的直角三角形D. 两个直角边相等的等腰直角三角形【答案】D【解析】解：两个周长相等的等腰三角形，不一定是全等图形，故“两个周长相等的等腰三角形”不符合题意；两个面积相等的长方形，不一定是全等图形，故“两个面积相等的长方形”不符合题意；两个斜边相等的直角三角形，不一定是全等图形，故“两个斜边相等的直角三角形”不符合题意；两个直角边相等的等腰直角三角形，一定全等，故“两个直角边相等的等腰直角三角形”符合题意．故正确答案是：两个直角边相等的等腰直角三角形9其中顺序正确的作图步骤是（）A. ④③①②B. ②④③①C. ④③②①D. ①②③④【答案】A【解析】解：故正确的作图步骤是④③①②．）A.B.C.D.【答案】B11、在下列各组图形中，是全等的图形是（）【答案】C【解析】解：12）【答案】D13的长度为（）【答案】D14( )【答案】D15）A.B.C.D.【答案】C【解析】解：二、填空题（本大题共有5小题，每小题5分，共25分）16，则等腰三角形的周长是．【答案】10【解析】解：根据三角形三边关系，此时构不成三角形，满足三角形三边关系，17【解析】解：18、解决难以测量或无法测量的线段(或角)的关键：构建三角形，得到线段相等或角相等.【答案】全等【解析】解：解决难以测量或无法测量的线段(或角)的关键：构建全等三角形，得到线段相等或角相等.故答案为：全等.19的长是 .【答案】320/____________厘米/./三、解答题（本大题共有3小题，每小题10分，共30分）21【解析】解：由三角形的内角和定理，得由邻补角的性质，得2223(1)(2)证明：。
(必考题)初中数学七年级数学下册第四单元《三角形》检测(包含答案解析)(4)
一、选择题1．如图，在ABC 中，8AB AC ==厘米，6BC =厘米，点D 为AB 的中点．如果点P 在线段BC 上以3厘米/秒的速度由B 点向C 点运动，同时，点Q 在线段CA 上，由C 点向A 点运动，为了使BPD CPQ △≌△，点Q 的运动速度应为（ ）A ．1厘米/秒B ．2厘米/秒C ．3厘米/秒D ．4厘米/秒 2．已知三角形的两边长分别为3和8，且周长恰好是5的倍数，那么第三边的长为（ ） A ．4B ．9C ．14D ．4或93．如图，12AB =，CA AB ⊥于A ，DB AB ⊥于B ，且4AC cm =，P 点从B 向A 运动，每分钟走1m ，Q 点从B 向D 运动，每分钟走2m ，P ，Q 两点同时出发，运动______分钟后CAP 与PQB △全等（ ）A ．4或6B ．4C ．6D ．54．如图，已知∠ABC ＝∠DEF ，AB ＝DE ，添加以下条件，不能判定△ABC ≌△DEF 的是（ ）A ．∠A ＝∠DB ．∠ACB ＝∠DFEC ．AC ＝DFD ．BE ＝CF5．如图，两座建筑物AB ，CD 相距160km ，小月从点B 沿BC 走向点C ，行走ts 后她到达点E ，此时她仰望两座建筑物的顶点A 和D ，两条视线的夹角正好为90︒，且EA ED =．已知建筑物AB 的高为60m ，小月行走的速度为1/m s ，则小月行走的时间t 的值为（ ）A ．100B ．80C ．60D ．506．如图，△ACB ≌△A′C B′，∠ACB ＝70°，∠ACB′＝100°，则∠BCA′度数是（ ）A ．40°B ．35C ．30°D ．45°7．如图所示的正方形ABCD 中，点E 在边CD 上，把ADE 绕点A 顺时针旋转得到ABF ，20FAB ∠=︒．旋转角的度数是（ ）A ．110°B ．90°C ．70°D ．20° 8．下列各组数中，不可能成为一个三角形三边长的是（ ）A ．2，3，4B ．5，7，7C ．5，6，12D ．6，8，10 9．在下列长度的四根木棒中，能与4cm 、9cm 长的两根木棒钉成一个三角形的是（ ） A ．4cmB ．5cmC ．9cmD ．13cm10．如图，已知AE=CF ，∠AFD=∠CEB ，那么添加下列一个条件后，仍无法判定△ADF ≌△CBE 的是（ ）A ．∠B=∠DB ．BE=DFC ．AD=CBD ．AD ∥BC 11．若a ，b ，c 为△ABC 的三边长，且满足|a ﹣5|+(b ﹣3)2=0，则c 的值可以为（ ） A ．7 B ．8C ．9D ．1012．如图，已知ABC ADE △≌△，若70E ∠=︒，30D ∠=︒，则BAC ∠的度数是（ ）A ．80︒B ．70︒C ．40︒D ．30二、填空题13．已知ABC 中，90BAC ∠=︒，AB AC =，点D 为BC 的中点，点E 、F 分别为边AB 、AC 上的动点，且90EDF ∠=︒，连接EF ，下列说法正确的是______．（写出所有正确结论的序号）①270BEF CFE ∠+∠=︒；②ED FD =；③EF FC =；④12ABCAEDF S S =四边形14．如图，Rt ABC 和Rt EDF 中，AE CF =，在不添加任何辅助线和字母的情况下，请你添加一个条件__________使Rt ABC 和Rt EDF 全等．15．如图所示，在等腰Rt ABC 中，90ACB ∠=︒，点D 为射线CB 上的动点，AE AD =，且,AE AD BE ⊥与AC 所在的直线交于点P ，若3AC PC =，则BDCD=_______．16．如图，已知//,AB CD E 是直线AB 上方一点，G 为直线AB 下方一点，F 为直线CD 上一点，148EAF ︒∠=，3BAF BAG ∠=∠，3DCE DCG ∠=∠，则E ∠和G ∠的数量关系为___________．17．如图，点D 在BC 上，DE ⊥AB 于点E ，DF ⊥BC 交AC 于点F ，BD ＝CF ，BE ＝CD ．若∠AFD ＝145°，则∠EDF ＝_____．18．如图，在△ABC 和△DBC 中，∠ACB=∠DBC=90°，E 是BC 的中点，DE ⊥AB ，垂足为F ，AB=DE ．若BD=8cm ，则AC 的长为_________．19．如图，直线AB 、CD 相交于点O ，OE 平分∠AOC ，OF ⊥OE 于点O ，若∠AOD ＝70°，则∠AOF ＝______度．20．如果三角形的两边长为1和5，第三边长为整数，那么三角形的周长为_____．三、解答题21．在通过构造全等三角形解决的问题中，有一种典型的方法是倍延中线．（1）如图1，AD 是ABC ∆的中线，7,5,AB AC ==求AD 的取值范围．我们可以延长AD 到点M ，使DM AD =，连接BM ，易证ADC MDB ∆≅∆，所以BM AC =．接下来，在ABM ∆中利用三角形的三边关系可求得AM 的取值范围，从而得到中线AD 的取值范围是 ；（2）如图2，AD 是ABC 的中线，点E 在边AC 上，BE 交AD 于点,F 且AE EF =，求证：AC BF =；（3）如图3，在四边形ABCD 中，//AD BC ，点E 是AB 的中点，连接CE ，ED 且CE DE ⊥，试猜想线段,,BC CD AD 之间满足的数量关系，并予以证明．22．（问题情境）（1）如图1，在四边形ABCD 中，AB AD =，90B D ︒∠=∠=，120BAD ︒∠=．点E ，F 分别是BC 和CD 上的点，且60EAF ︒∠=，试探究线段BE ，EF ，DF 之间的关系．小明同学探究此问题的方法是：延长FD 到点G ，使DG BE =，连接AG ．先证明ADG ABE ≅△△，再证明AEF AGF ≅△△，进而得出EF BE DF =+．你认为他的做法 ；（填“正确”或“错误”）．（探索延伸）（2）如图2，在四边形ABCD 中，AB AD =，70B ︒∠=，110D ︒∠=，100BAD ︒∠=，点E ，F 分别是BC 和CD 上的点，且50EAF ︒∠=，上题中的结论依然成立吗？请说明理由．（思维提升）（3）小明通过对前面两题的认真思考后得出：如图3，在四边形ABCD 中，若AB AD =，180B D ︒∠+∠=，12EAF BAD ∠=∠，那么EF BE DF =+．你认为正确吗？请说明理由．23．如图，在ABC 中，AB AC =，AB BC >，点D 在边BC 上，点E ，F 在线段AD 上，且2DF AF =，12BAC ∠=∠=∠．若BE 的长为5，求AD 的长．24．如图，在Rt ABC △和Rt DEF △中，90C F ∠=∠=︒，点A 、E 、B 、D 在同一直线上，BC 、EF 交于点M ，AC DF =，AB DE =． 求证：（1）CBA FED ∠=∠； （2）AM DM =．25．如图，在△ABC 中，∠BAC 的平分线AD 交BC 于点D ，过点D 作DE ⊥AB ，DF ⊥AC ，垂足分别是E ，F ，连接EF ．写出两个结论（∠BAD ＝∠CAD 和DE ＝DF 除外），并选择一个结论进行证明． （1）____________； （2）____________．26．如图，AB AD =，AC AE =，CAE BAD ∠=∠．求证：B D ∠=∠．【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．D 解析：D 【分析】根据三角形全等的性质与路程、速度、时间的关系式求解． 【详解】解：设△BPD ≌△CPQ 时运动时间为t ，点Q 的运动速度为v ，则由题意得：BP CPBD CQ =⎧⎨=⎩， 即3634t t vt =-⎧⎨=⎩，解之得：14t v =⎧⎨=⎩，∴点Q的运动速度为4厘米/秒，故选D ．【点睛】本题考查三角形全等的综合应用，熟练掌握三角形全等的判定与性质、路程、速度、时间的关系式及方程的思想方法是解题关键．2．B解析：B【分析】根据三角形三边关系：两边之和大于第三边，两边之差小于第三边，可得第三边的范围，再找出是5倍数的数即可．【详解】∵三角形的两边长分别为3和8∴5<第三边长<11∴11<周长<22∵周长恰好是5的倍数∴周长是15或20∴第三边长是4或9∵3,4,8不能组成三角形∴第三边是9故选B．【点睛】本题考查知识点是三角形三边关系，记住三边关系式解题关键．3．B解析：B【分析】分当△CPA≌△PQB时和当△CPA≌△PQB时，两种情况进行讨论，求得BQ和BP的长，分别求得P和Q运动的时间，若时间相同即可，满足全等，若不等，则不能成立．【详解】解：当△CPA≌△PQB时，BP=AC=4（米），则BQ=AP=AB-BP=12-4=8（米），A的运动时间是：4÷1=4（分钟），Q的运动时间是：8÷2=4（分钟），则当t=4分钟时，两个三角形全等；当△CPA≌△QPB时，BQ=AC=4（米），AP=BP=12AB=6（米），则P运动的时间是：6÷1=6（分钟），Q运动的时间是：4÷2=2（分钟），故不能成立．总之，运动4分钟后，△CPA 与△PQB 全等， 故选B ． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定，注意分△CPA ≌△PQB 和△CPA ≌△QPB 两种情况讨论是关键．4．C解析：C 【分析】根据全等三角形的判定方法一一判断即可； 【详解】A 、根据ASA ，可以推出△ABC ≌△DEF ，本选项不符合题意．B 、根据AAS ，可以推出△ABC ≌△DEF ，本选项不符合题意． C 、SSA ，不能判定三角形全等，本选项符合题意．D 、根据SAS ，可以推出△ABC ≌△DEF ，本选项不符合题意． 故选：C ． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定，解题的关键是熟练掌握全等三角形的判定方法；5．A解析：A 【分析】首先证明∠A=∠DEC ，然后可利用AAS 判定△ABE ≌△ECD ，进而可得EC=AB=60m ，再求出BE 的长，然后利用路程除以速度可得时间． 【详解】 解：∵∠AED=90°， ∴∠AEB+∠DEC=90°， ∵∠ABE=90°， ∴∠A+∠AEB=90°， ∴∠A=∠DEC ， 在△ABE 和△DCE 中B C A DEC AE DE ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩， ∴△ABE ≌△ECD （AAS ）， ∴EC=AB=60m ， ∵BC=160m ， ∴BE=100m ，∴小华走的时间是100÷1=100（s ）， 故选：A ．【点睛】本题主要考查了全等三角形的应用，关键是正确判定△ABE≌△ECD．6．A解析：A【分析】根据已知ACB≌A′CB′，得到∠A′CB′=∠ACB=70︒，再通过∠ACB′=100︒，继而利用角的和差求得∠BCB′=30︒，进而利用∠BCA′=∠A′CB′-∠BCB′得到结论．【详解】解：∵ACB≌A′CB′，∴∠A′CB′=∠ACB=70︒，∵∠ACB′=100︒，∴∠BCB′=∠ACB′-∠ACB=30︒，∴∠BCA′=∠A′CB′-∠BCB′=40︒，故选：A．【点睛】本题考查了全等三角形的性质，熟练掌握全等三角形的性质是解题的关键．7．B解析：B【分析】根据正方形的性质得到AB=AD，∠BAD=90︒，由旋转的性质推出ADE≌ABF，求出∠FAE=∠BAD=90︒，即可得到答案．【详解】∵四边形ABCD是正方形，∴AB=AD，∠BAD=90︒，由旋转得ADE≌ABF，∴∠FAB=∠EAD，∴∠FAB+∠∠BAE=∠EAD+∠BAE，∴∠FAE=∠BAD=90︒，∴旋转角的度数是90︒，故选：B．【点睛】此题考查旋转的性质，全等三角形的性质，熟记全等三角形的性质是解题的关键．8．C解析：C【分析】判定三条线段能否构成三角形时，只要两条较短的线段长度之和大于第三条线段的长度即可判定这三条线段能构成一个三角形．【详解】A．∵2＋3>4，∴能组成三角形，故A错误；B．∵5＋7＞7，∴不能组成三角形，故B错误；C．∵5＋6＜12，∴不能组成三角形，故C正确；D．∵6＋8>10，∴能组成三角形，故D错误；故选：C．【点睛】本题主要考查了三角形三边关系的运用，解题时注意：三角形两边之和大于第三边，三角形的两边差小于第三边．9．C解析：C【分析】判定三条线段能否构成三角形，只要两条较短的线段长度之和大于第三条线段的长度即可判定这三条线段能构成一个三角形．【详解】解：设三角形的第三边为x，则9-4＜x＜4+9即5＜x＜13，∴当x=7时，能与4cm、9cm长的两根木棒钉成一个三角形，故选：C．【点睛】本题考查了三角形的三边关系的运用，解题时注意：三角形两边之和大于第三边，三角形的两边差小于第三边．10．C解析：C【分析】求出AF=CE，再根据全等三角形的判定定理判断即可．【详解】解：∵AE=CF，∴AE+EF=CF+EF，∴AF=CE，A、∠B=∠D，∠AFD=∠CEB，AF=CE，满足AAS，能判定△ADF≌△CBE；B、BE=DF，∠AFD=∠CEB，AF=CE，满足SAS，能判定△ADF≌△CBE；C、AD=CB，AF=CE，∠AFD=∠CEB，满足SSA，不能判定△ADF≌△CBE；D、AD∥BC，则∠A=∠C，又AF=CE，∠AFD=∠CEB，满足ASA，能判定△ADF≌△CBE；故选：C．【点睛】本题考查了平行线性质，全等三角形的判定的应用，注意：全等三角形的判定定理有SAS，ASA，AAS，SSS．11．A解析：A【分析】根据非负数的性质列方程求出a、b的值，再根据三角形的任意两边之和大于第三边，三角形的任意两边之差小于第三边求出c的取值范围，然后解答即可．【详解】解：∵|a﹣5|+(b﹣3)2=0，∴a﹣5=0，b﹣3=0，解得a=5，b=3，∵5﹣3=2，5+3=8，∴2＜c＜8，∴c的值可以为7．故选：A．【点睛】本题考查了非负数的性质以及三角形的三边关系．注意：几个非负数的和为0时，这几个非负数都为0．12．A解析：A【分析】由全等三角形的性质可得到∠BAC=∠EAD，在△ADE中可求得∠EAD，则可求得∠BAC．【详解】解：∵∠E=70°，∠D=30°，∴∠EAD=180°-∠E-∠D=180°-70°-30°=80°，∵△ABC≌△ADE，∴∠BAC=∠EAD=80°，故选：A．【点睛】本题主要考查全等三角形的性质，掌握全等三角形的对应角相等是解题的关键．二、填空题13．①②④【分析】根据补角的性质计算可得①；连接D证明根据三角形全等的性质判断可得后面的结果；【详解】；故①正确；连接AD∵∴又∵点为的中点∴即又∵∴又∵∴在△BED和△AFD中∴∴ED=FD；故②正确解析：①②④【分析】根据补角的性质计算可得①；连接D，证明BED AFD≅△△，根据三角形全等的性质判断可得后面的结果；【详解】()()BEF CFE AEB AEF AFC AFE，∠+∠=∠-∠+∠-∠()()AEB AFC AEF AFE=∠+∠-∠+∠，()360180A =︒-︒-∠，36090270=︒-︒=︒；故①正确；连接AD ，∵90BAC ∠=︒，AB AC =，∴90B C ∠=∠=︒，又∵点D 为BC 的中点，∴BD AD =，90BDA ∠=︒，45DAC ∠=︒，即EBD DAF ∠=∠，又∵90EDF ∠=︒，∴90EDA ADF ，又∵90BDA BDE EDA ∠=∠+∠=︒，∴BDE ADF ∠=∠，在△BED 和△AFD 中，EBD DAF BD ADBDE ADF ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩， ∴BED AFD ≅△△，∴ED=FD ；故②正确；∵BED AFD ≅△△，∴△△BED ADF S S =， 则四边形△△△△△△12AEDF AED ADF AED BED ABD ABC S S S S S S S =+=+==， 故④正确；当点E 移动到点A 时，此时点F 与点C 重合，很明显此时EF=AC ，FC=0，即≠EF FC ； 故③错误；故答案为①②④．【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定与性质，准确分析计算是解题的关键．14．（答案不唯一）【分析】根据三角形全等判定条件即可得解；【详解】当时满足条件；∵∴∴在和中∴；故答案是：（答案不唯一）【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定条件准确分析判断是解题的关键解析：BC DF =（答案不唯一）【分析】根据三角形全等判定条件即可得解；【详解】当BC DF =时满足条件；∵AE CF =，∴AE EC CF EC +=+，∴AC EF =，在Rt ABC 和Rt EDF 中，AC EF BC DF=⎧⎨=⎩， ∴Rt ABC Rt EDF ≅；故答案是：BC DF =（答案不唯一）．【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定条件，准确分析判断是解题的关键．15．或2【分析】分两种情况：（1）当点D 位于CB 延长线上时如图：过点E 作AP 延长线的垂线于点M 可证可得由等腰三角形的性质可得AC=BC 根据线段的和差关系可证的结论；（2）当点D 位于CB 之间时如图过点E 作 解析：25或2 【分析】 分两种情况：（1）当点D 位于CB 延长线上时，如图：过点E 作AP 延长线的垂线于点M ，可证ADC △AEM ≌△，EMP △BCP ≌△，可得,AM CD PC PM ==，由等腰三角形的性质可得AC=BC ，根据线段的和差关系可证的结论；（2）当点D 位于CB 之间时，如图过点E 作AP 的垂线于点N ，可证ADC △AEN ≌△，ENP △BCP ≌△，可得,AN CD PC PN ==，由等腰三角形的性质可得AC=BC ，根据线段的和差关系可证的结论；【详解】（1）当点D 位于CB 延长线上时，如图：过点E 作AP 延长线的垂线于点M ，ABC 为等腰直角三角形AC BC ∴=90BCP ACD AME ∴∠=∠=∠=︒90ADC DAC ∴∠+∠=︒AE AD ⊥90DAE ∴∠=︒90DAC EAM ∴∠+∠=︒ADC EAM ∴∠=∠AD AE =∴在ADC 和AEM △中ADC EAM ACD AME AD AE ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴△ADC ≌△EAM∴CD MA =，AC EM =EM BC ∴=BPC EPM ∠=∠∴在BCP 和EMP 中BCP EMP BPC EPM BC EM ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴EMP △BCP ≌△PC PM ∴=CD AM =，3AC PC =，AC BC =∴设PC PM x ==3AC BC x ∴==5CD AM x ∴==CD BD BC =+2BD x ∴=2255BD xCD x∴==（2）当点D位于CB之间时，如图：过点E作AP的垂线于点N，ABC为等腰直角三角形AC BC∴=90ACD ANE∴∠=∠=︒90ADC DAC∴∠+∠=︒AE AD⊥90DAE∴∠=︒90DAC EAN∴∠+∠=︒ADC EAN∴∠=∠AD AE=∴在ADC和AEN△中ADC EANACD ANEAD AE∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴△ADC ≌△EAN∴CD NA=，AC EN=EN BC∴=BPC EPN∠=∠∴在BCP和ENP中BCP ENPBPC EPNBC EN∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴ENP△BCP≌△PC PN∴=CD AN=，3AC PC=，AC BC=∴设PC PN x==3AC BC x∴==CD AN x∴==CD BC BD =-2BD x ∴= 22BD x CD x∴== 故答案为：25或2． 【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定和性质，解题关键是利用三角形全等和线段的和差得出所求线段之间的关系，同时运用分类讨论的思想．16．【分析】延长线段BA 交CE 于点M 过点G 作AB 的平行线GN 交CE 于点N 根据平行的性质得由得再根据三角形的外角的性质得即可求出和的数量关系【详解】解：如图延长线段BA 交CE 于点M 过点G 作AB 的平行线GN 解析：1483E G ∠=︒-∠【分析】延长线段BA 交CE 于点M ，过点G 作AB 的平行线GN 交CE 于点N ，根据平行的性质得G BAG GCD ∠=∠+∠，由3BAF BAG ∠=∠，3DCE DCG ∠=∠，得333G BAG DCG ∠=∠+∠，再根据三角形的外角的性质得E EMA EAF BAF ∠+∠=∠-∠，即可求出E ∠和G ∠的数量关系．【详解】解：如图，延长线段BA 交CE 于点M ，过点G 作AB 的平行线GN 交CE 于点N ，∵//AB CD ，∴////BH GN CD ，∴BAG AGN ∠=∠，NGC GCD ∠=∠，EMA ECD ∠=∠，∵G AGN NGC ∠=∠+∠，∴G BAG GCD ∠=∠+∠，∵3BAF BAG ∠=∠，3DCE DCG ∠=∠，∴333G BAG DCG ∠=∠+∠，∵EAB E EMA ∠=∠+∠，EAB EAF BAF ∠=∠-∠，∴E EMA EAF BAF ∠+∠=∠-∠，∴E ECD EAF BAF ∠+∠=∠-∠，∴31483E DCG BAG ∠+∠=︒-∠，∴()14833E BAG DCG ∠=︒-∠+∠，∴1483E G ∠=︒-∠．故答案是：1483E G ∠=︒-∠．【点睛】本题考查平行线的性质和三角形外角的性质，解题的关键是通过平行线的性质和三角形外角的性质找到角与角之间的数量关系．17．55°【分析】由∠AFD ＝145°可求得∠CFD=35°证明Rt △BDE ≌△Rt △CFD 根据对应角相等推知∠BDE=∠CFD=35°进而可求出∠EDF 的值【详解】解：∵∠DFC+∠AFD=180°∠解析：55°【分析】由∠AFD ＝145°可求得∠CFD=35°，证明Rt △BDE ≌△Rt △CFD ，根据对应角相等推知∠BDE=∠CFD=35°，进而可求出∠EDF 的值．【详解】解：∵∠DFC+∠AFD=180°，∠AFD=145°，∴∠CFD=35°．又∵DE ⊥AB ，DF ⊥BC ，∴∠BED=∠CDF=90°，在Rt △BDE 与△Rt △CFD 中，BE CD BD CF =⎧⎨=⎩， ∴Rt △BDE ≌△Rt △CFD （HL ），∴∠BDE=∠CFD=35°，∴∠EDF =180°-90°-35°=55°．故答案是：55°．【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质．全等三角形的判定是结合全等三角形的性质证明线段和角相等的重要工具．在判定三角形全等时，关键是选择恰当的判定条件．18．4cm 【分析】由DE ⊥AB 可得∠BFE=90°由直角三角形两锐角互余可得∠ABC+∠DEB=90°由∠ACB=90°由直角三角形两锐角互余可得∠ABC+∠A=90°根据同角的余角相等可得∠A=∠DE解析：4cm ．【分析】由DE ⊥AB ，可得∠BFE=90°，由直角三角形两锐角互余，可得∠ABC+∠DEB=90°，由∠ACB=90°，由直角三角形两锐角互余，可得∠ABC+∠A=90°，根据同角的余角相等，可得∠A=∠DEB ，然后根据AAS 判断△ABC ≌△EDB ，根据全等三角形的对应边相等即可得到BD=BC ，AC=BE ，由E 是BC 的中点，得到BE=12BC=12BD=4． 【详解】解：∵DE ⊥AB ，可得∠BFE=90°，∴∠ABC+∠DEB=90°，∵∠ACB=90°，∴∠ABC+∠A=90°，∴∠A=∠DEB ，在△ABC 和△EDB 中， ACB DBC A DEBAB DE ∠∠⎧⎪∠∠⎨⎪⎩＝＝＝， ∴△ABC ≌△EDB （AAS ），∴BD=BC ，AC=BE ，∵E 是BC 的中点，BD=8cm ，∴BE=12BC=12BD=4cm ， ∴AC=4cm ．故答案为：4cm ．【点睛】此题考查了全等三角形的判定与性质，普通两个三角形全等共有四个定理，即AAS 、ASA 、SAS 、SSS ，直角三角形可用HL 定理，但AAA 、SSA ，无法证明三角形全等，本题是一道较为简单的题目，找准全等的三角形是解决本题的关键．19．145【分析】由已知角平分线和垂直的定义可以得到∠AOE 和∠EOF 的大小从而得到∠AOF 的值【详解】解：∵∵OE 平分∠AOC ∴∵OF ⊥OE 于点O ∴∠EOF ＝90°∴∠AOF ＝∠AOE+∠EOF ＝55解析：145【分析】由已知、角平分线和垂直的定义可以得到∠AOE 和∠EOF 的大小，从而得到∠AOF 的值．【详解】解：∵70180110AOD AOC AOD ∠=︒∴∠=︒-∠=︒，,∵OE 平分∠AOC ，∴1552AOE AOC ∠=∠=︒, ∵OF ⊥OE 于点O ，∴∠EOF ＝90°，∴∠AOF ＝∠AOE+∠EOF ＝55°+90°=145°，故答案为145．【点睛】本题考查邻补角、角平分线和垂直以及角度的运算等知识，根据有关性质和定义灵活计算是解题关键．20．【分析】先根据三角形的三边关系定理求得第三边的取值范围；再根据第三边是整数确定三角形的周长【详解】解：设第三边为a 根据三角形的三边关系得：5﹣1＜a ＜5+1即4＜a ＜6∵a 为整数∴a 的值为5则三角形解析：【分析】先根据三角形的三边关系定理求得第三边的取值范围；再根据第三边是整数确定三角形的周长．【详解】解：设第三边为a ，根据三角形的三边关系，得：5﹣1＜a ＜5+1，即4＜a ＜6，∵a 为整数，∴a 的值为5，则三角形的周长为1+5+5＝11．故答案为：11．【点睛】本题考查了三角形的三边关系：三角形两边之和大于第三边，两边之差小于第三边．三、解答题21．（1）16AD <<；（2）见解析；（3）CD BC AD =+，证明见解析【分析】（1）延长AD 到点M ，使DM AD =，连接BM ，即可证明ADC MDB ∆≅∆，则可得BM AC =，在ABM ∆中，根据三角形三边关系即可得到AM 的取值范围，进而得到中线AD 的取值范围；（2）延长AD 到点,M 使DM AD =，连接BM ，由（1）知ADC MDB ≅，则可得M CAD BM AC ∠=∠=，，由AE EF =可知，CAD AFE ∠=∠，由角度关系即可推出BMF BFM ∠=∠，故BM BF =，即可得到AC BF =；（3）延长CE 到F ，使EF EC =，连接AF ，即可证明AEF BEC ∆≅∆，则可得EAF B AF BC ∠=∠=，，由//AD BC ，以及角度关系即可证明点,,F A D 在一条直线上，通过证明Rt DEF △≌DEC Rt △，即可得到FD CD =，进而通过线段的和差关系得到CD BC AD =+．【详解】（1）延长AD 到点M ，使DM AD =，连接BM ，∵AD 是ABC ∆的中线，∴DC DB =，在ADC ∆和MDB ∆中，AD MD =，ADC MDB =∠∠，DC DB =，∴ADC MDB ∆≅∆，∴BM AC =，在ABM ∆中，AB BM AM AB BM -+＜＜，∴7575AM -+＜＜，即212AM ＜＜，∴16AD ＜＜；（2）证明:延长AD 到点,M 使DM AD =,连接BM ，由（1）知ADC MDB ≅，∴M CAD BM AC ∠=∠=，，AE EF =，CAD AFE ∴∠=∠，MFB AFE ∠=∠，MFB CAD ∴∠=∠，BMF BFM ∴∠=∠，BM BF ∴=，AC BF ∴=，（3）CD BC AD =+，延长CE 到F ，使EF EC =，连接AF ，AE BE AEF BEC =∠=∠，，AEF BEC ∴∆≅∆，EAF B AF BC ∴∠=∠=，，//AD BC ，180BAD B ∴∠+∠=︒，180EAF BAD ∴∠+∠=︒，∴点,,F A D 在一条直线上，CE ED ⊥，∴90DEF DEC ==︒∠∠，∴在Rt DEF △和DEC Rt △中，EF EC =，DEF DEC ∠=∠，DE DE =，∴Rt DEF △≌DEC Rt △，FD CD ∴=，∵FD AD AF AD BC =+=+，CD BC AD ∴=+．【点睛】本题考查了三角形中线、全等三角形的证明和性质、三角形的三边关系、等腰三角形的性质、平行线的性质、平角的概念、线段的和差关系等，正确的作出辅助线以及综合运用以上知识是解答本题的关键．22．（1）正确；（2）成立，理由见解析；（3）正确，理由见解析．【分析】（1）延长FD 到点G ，使DG BE =，连接AG ．先证明ADG ABE ≅△△，可得AE=AG ，再证明AEF AGF ≅△△，可得EF=GF ，进而得出EF BE DF =+．即可解题； （2）成立，证明方法同（1）：延长FD 到点G ，使DG BE =，连接AG ．先证明ADG ABE ≅△△，可得AE=AG ，再证明AEF AGF ≅△△，可得EF=GF ，进而得出EF BE DF =+．即可解题；（3）正确，证明方法同（2）：延长FD 到点G ，使DG BE =，连接AG ．先证明ADG ABE ≅△△，可得AE=AG ，再证明AEF AGF ≅△△，可得EF=GF ，进而得出EF BE DF =+．即可解题．【详解】解：（1）正确．理由：如图1，延长FD 到点G ，使DG BE =，连接AG ．∵90B ADF ︒∠=∠=，∴90ADG ADF B ∠=∠=∠=︒，在△ABE 和△ADG 中，∵DG BE AB AD =⎧⎪=⎨⎪=⎩∠B ∠ADG ， ∴△ABE ≌△ADG （SAS ），∴AE=AG ，∠BAE=∠DAG ，∵120BAD ︒∠=，60EAF ︒∠=，∴∠EAF =12∠BAD ， ∴∠GAF=∠DAG+∠DAF=∠BAE+∠DAF=∠BAD-∠EAF=∠EAF ，∴∠EAF=∠GAF ，在△AEF 和△AGF 中，∵AE AG EAF GAF AF AF =⎧⎪=⎨⎪=⎩∠∠， ∴△AEF ≌△AGF （SAS ），∴EF=GF ，∵GF=DG+DF=BE+DF ，∴EF BE DF =+；（2）（1）题中的结论依然成立；理由：如图2，延长FD 到点G ，使DG BE =，连接AG ．∵110ADF ︒∠=，70B ︒∠=，∴18011070ADG B ∠=︒-︒=︒=∠，在△ABE 和△ADG 中，∵DG BE AB AD =⎧⎪=⎨⎪=⎩∠B ∠ADG ， ∴△ABE ≌△ADG （SAS ），∴AE=AG ，∠BAE=∠DAG ，∵100BAD ∠=︒，50EAF ∠=︒，∴∠EAF =12∠BAD ， ∴∠GAF=∠DAG+∠DAF=∠BAE+∠DAF=∠BAD-∠EAF=∠EAF ，∴∠EAF=∠GAF ，在△AEF 和△AGF 中，∵AE AG EAF GAF AF AF =⎧⎪=⎨⎪=⎩∠∠， ∴△AEF ≌△AGF （SAS ），∴EF=GF ，∵GF=DG+DF=BE+DF ，∴EF BE DF =+；（3）正确，理由：如图3，延长FD 到点G ，使DG BE =，连接AG ．∵180B ADF ︒∠+∠=，180ADG ADF ∠+∠=︒，∴ADG B ∠=∠，在△ABE 和△ADG 中，∵DG BE AB AD =⎧⎪=⎨⎪=⎩∠B ∠ADG ， ∴△ABE ≌△ADG （SAS ），∴AE=AG ，∠BAE=∠DAG ，∵∠EAF =12∠BAD ， ∴∠GAF=∠DAG+∠DAF=∠BAE+∠DAF=∠BAD-∠EAF=∠EAF ，∴∠EAF=∠GAF ，在△AEF 和△AGF 中，∵AE AG EAF GAF AF AF =⎧⎪=⎨⎪=⎩∠∠， ∴△AEF ≌△AGF （SAS ），∴EF=GF ，∵GF=DG+DF=BE+DF ，∴EF BE DF =+．【点睛】本题是三角形的综合题，考查了全等三角形的判定和性质，添加恰当辅助线构造全等三角形是本题的关键．23．【分析】解：由∠1=∠2=∠BAC ，得到∠BAE=∠ACF ，∠ABE=∠CAF 从而证明△ABE ≌△CAF(ASA).得到AF=BE ，再根据DF=2AF ，BE 的长为5，求得AD 的长．【详解】解：∵12BAC ∠=∠=∠，且1BAE ABE ∠=∠+∠，2CAF ACF ∠=∠+∠， ∠BAC=∠BAE+∠CAF ，∴∠BAE=∠ACF ，∠ABE=∠CAF ．在ABE △和CAF 中，BAE ACF AB CA ABE CAF ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩∴()ABE CAF ASA ≌△△. ∴AF BE =∵2DF AF =，BE 的长为5，∴10DF =，5AF BE ==，∴51015AD AF DF =+=+=．【点睛】本题考查了全等三角形的性质和判定，解题的关键是熟悉掌握全等三角形的性质和证明． 24．（1）见解析；（2）见解析【分析】（1）根据HL 定理可得Rt △ABC ≌ Rt △DEF ，从而得到∠CBA=∠FED ；（2）由（1）所得结论和已知条件可以证得△AEM ≌△DBM ，从而可得AM=DM ．【详解】证明：（1）在Rt ABC △和Rt DEF △中，90C F ∠=∠=︒AC DF AB DE=⎧⎨=⎩ ∴()Rt Rt HL ABC DEF ≌△△∴CBA FED ∠=∠．（2）∵CBA FED ∠=∠∴ME MB =，且AEMDBM ∠=∠ 又∵AB DE =∴AB EB DE EB -=-即AE DB =在AEM △和DBM △中AE DB AEM DBM ME MB =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴()AEM DBM SAS △≌△∴AM DM =．【点睛】本题考查三角形全等的判定和性质，熟练掌握三角形全等的判定定理HL 、SAS 及三角形全等的性质是解题关键．25．（1）∠ADE=∠ADF ；证明见解析；（2）AE=AF ；证明见解析．【分析】（1）∠ADE=∠ADF ，根据DE ⊥AB ，DF ⊥AC 及AD 为∠BAC 的角平分线，即可证得∠ADE=∠ADF ；（2）AE=AF ，根据（1）可知证明△AED ≌△AFD ，即可证得AE=AF ．【详解】（1）结论1：∠ADE=∠ADF ，证明如下：∵DE ⊥AB ，DF ⊥AC ，∴∠AED=∠AFD=90︒，∵AD 为∠BAC 的角平分线，∴∠EAD=∠FAD ，∴∠ADE=∠ADF ；（2）结论2：AE=AF ，证明如下：由（1）可知：△AED ≌△AFD ，∴AE=AF ．【点睛】本题考查全等三角形的性质和判定，解题的关键是灵活运用全等三角形的判定和性质解决问题．26．见解析【分析】先证明BAC DAE ∠=∠，再根据“SAS”证明ABC ADE △≌△即可．【详解】证明：CAE BAD ∠=∠，CAE EMB BAD EAB ∴∠+∠=∠+∠，即BAC DAE ∠=∠．在ABC 和ADE 中，AB AD BAC DAE AC AE =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，()ABC ADE SAS ∴≌．B D ∴∠=∠．【点睛】题主要考查了全等三角形的判定和性质，掌握全等三角形的判定方法（即SSS 、SAS 、ASA 、AAS 和HL ）和全等三角形的性质（即全等三角形的对应边相等、对应角相等）是解题的关键．。
(必考题)初中数学七年级数学下册第四单元《三角形》检测(含答案解析)(4)
一、选择题1．若一个三角形的三边长分别为3，7，x ，则x 的值可能是（ ）A ．6B ．3C ．2D ．11 2．如图，∠ACB=90°，AC=BC ，AD ⊥CE ，BE ⊥CE ，垂足分别是点D 、E ，AD=3，BE=1，则DE 的长是（ ）A ．1.5B ．2C ．22D ．10 3．如图，AC 与DB 相交于E ，且BE CE =，如果添加一个条件还不能判定ABE △≌DCE ，则添加的这个条件是（ ）．A ．AC DB =B ．A D ∠=∠C ．B C ∠=∠D ．AB DC = 4．有下列长度的三条线段，能组成三角形的是（ ） A ．2cm ，3cm ，4cmB ．1cm ，4cm ，2cmC ．1cm ，2cm ，3cmD ．6cm ，2cm ，3cm 5．如图，已知AB =AD ，AC =AE ，若要判定△ABC ≌△ADE ，则下列添加的条件中正确的是（ ）A ．∠1=∠DACB ．∠B =∠DC ．∠1=∠2D ．∠C =∠E 6．如图，已知∠ABC ＝∠DEF ，AB ＝DE ，添加以下条件，不能判定△ABC ≌△DEF 的是（ ）A ．∠A ＝∠DB ．∠ACB ＝∠DFEC ．AC ＝DFD ．BE ＝CF 7．如图，若DEF ABC ≅，点B 、E 、C 、F 在同一条直线上，9BF =，5EC =，则CF 的长为（ ）A ．1B ．2C ．2.5D ．3 8．以下列长度的三条线段为边能组成三角形的是（ ） A ．2、3、1 B ．2、3、5 C ．10、4、5 D ．14、15、16 9．如图所示，某同学将一块三角形的玻璃打碎成了三块，现在要到玻璃店去配一块完全一样的玻璃，那么最省事的办法是（ ）A ．带①去B ．带②去C ．带③去D ．带①②去 10．已知三角形的三边长分别是3，8，x ，则x 的值可以是（ ）A ．6B ．5C ．4D ．3 11．如图，要测量河两岸相对的两点A 、B 的距离，先过点B 作BF AB ⊥，在BF 上找点D ，过D 作DE BF ⊥，再取BD 的中点C ，连接AC 并延长，与DE 交点为E ，此时测得DE 的长度就是AB 的长度．这里判定ABC 和EDC △全等的依据是（ ）A ．ASAB ．SASC ．SSSD ．AAS 12．用直尺和圆规作一个角等于已知角，如图，能得出A O B AOB ∠∠='''的依据是（ ）A ．S ．S ．SB ．S ．A ．SC ．A ．S ．AD ．A ．A ．S二、填空题13．将一副直角三角板如图放置，使含角30的三角板的直角边和含45︒角的三角板的一条直角边在同一条直线上，则图中β∠的度数是____．14．如图，点A 为线段BC 外一动点，4BC =，1AB =，分别以AC 、AB 为边作等边ACD △、等边ABE △，连接BD ．则线段BD 长的最大值为______．15．如图，在ABC 中，=6AB ，=4AC ，点D ，E 分别在边AB ，AC 上，2BD AE CE ===，//CE AB 交DE 的延长线于点F ，则CF 的长为_____________．16．如图，在Rt △ABC 中，∠C =90°，D 为BC 上一点，连接AD ，过D 点作DE ⊥AB ，且DE =DC ．若AB =5，AC =3，则EB =____．17．如图，//AB CD ，点M 为CD 上一点，MF 平分∠CME ．若∠1＝57°，则∠EMD 的大小为_____度．18．如图，△ABC 中，点D 在边BC 上，DE ⊥AB 于E ，DH ⊥AC 于H ，且满足DE=DH ，F 为AE 的中点，G 为直线AC 上一动点，满足DG ＝DF ，若AE=4cm ，则AG= _____cm ．19．如图，点B 、F 、C 、E 在一条直线上（点F ，C 之间不能直接测量），点A ，D 在BE 的异侧，如果测得AB ＝DE ，AB ∥DE ，AC ∥DF ．若BE ＝14m ，BF ＝5m ，则FC 的长度为_____m ．20．如图，在△ABC 中，AD 、AE 分别是边BC 上的中线与高，AE ＝4，△ABC 的面积为12，则CD 的长为_____．三、解答题21．如图，AC 与BD 相交于点O ，且OA OC =，OB OD =．（1）求证：//AB CD ；（2）直线EF 过点O ，分别交AB ，CD 于点E ，F ，试判断OE 与OF 是否相等，并说明理由．22．已知：在AOB 和COD △中，OA OB =，OC OD =．如图，若60AOB COD ∠=∠=︒，试探究AC 与BD 的关系，并说明理由23．如图，在ABC 中，AB AC =，AB BC >，点D 在边BC 上，点E ，F 在线段AD 上，且2DF AF =，12BAC ∠=∠=∠．若BE 的长为5，求AD 的长．24．如图，90ACB ∠=︒，AC BC =，AD CE ⊥，BE CE ⊥，垂足分别为D ，E ，2.5cm AD =，求1cm BE =，求DE 的长．25．△ABC 中，AD 是∠BAC 的角平分线，AE 是△ABC 的高．（1）如图1，若∠B ＝40°，∠C=60°，求∠DAE 的度数；（2）如图2，∠B ＜∠C ，则DAE 、∠B ，∠C 之间的数量关系为___________；（3）如图3，延长AC 到点F ，∠CAE 和∠BCF 的角平分线交于点G ，求∠G 的度数．26．如图，点A ，E ，F ，B 在直线l 上，AE BF =，//AC BD ，且AC BD =，求证：ACF BDE ≅△△．【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题1．A解析：A【分析】根据三角形的三边关系列出不等式，即可求出x 的取值范围，得到答案．【详解】解：∵三角形的三边长分别为3，7，x ，∴7-3＜x ＜7+3，即4＜x ＜10，四个选项中，A 中，4＜6＜10，符合题意．故选：A ．【点睛】本题主要考查了三角形的三边关系，即任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边．2．B解析：B【分析】根据已知条件可以得出∠E=∠ADC=90︒，进而得出∆CEB ≅∆ADC ，就可以得出BE=DC ，进而求出DE的值．【详解】∵BE⊥CE，AD⊥CE，∴∠E=∠ADC=90︒，∴∠EBC+∠BCE=90︒，∵∠BCE+∠ACD=90︒，∴∠EBC=∠DCA，在∆CEB和∆ADC中，∠E=∠ADC，∠EBC=∠DCA，BC=AC，∴∆CEB≅∆ADC(AAS)，∴BE=DC=1，CE=AD=3，∴DE=EC-CD=3-1=2，故选：B．【点睛】本题考查全等三角形的判定和性质，熟练掌握全等三角形的判定和性质是解决问题的关键．3．D解析：D【分析】根据全等三角形的判定定理，对每个选项分别分析、解答出即可．【详解】根据题意：BE=CE，∠AEB=∠DEC，∴只需要添加对顶角的邻边，即AE=DE（由AC=BD也可以得到），或任意一组对应角，即∠A=∠D，∠B=∠C，∴选项A、B、C可以判定，选项D不能判定，故选：D．【点睛】此题考查全等三角形的判定定理，熟记判定定理并熟练应用是解题的关键．4．A解析：A【分析】根据三角形的特性：两边之和大于第三边，三角形的两边的之差一定小于第三边；进行解答即可．【详解】A、2+3＞4，能围成三角形；B、1+2＜4，所以不能围成三角形；C、1+2=3，不能围成三角形；D、2+3＜6，所以不能围成三角形；故选：A．【点睛】本题主要考查了三角形的三边关系的应用，在运用三角形三边关系判定三条线段能否构成三角形时并不一定要列出三个不等式，只要两条较短的线段长度之和大于第三条线段的长度即可判定这三条线段能构成一个三角形．5．C解析：C【分析】根据题目中给出的条件AB AD =，AC AE =，根据全等三角形的判定定理判定即可．【详解】解：AB AD =，AC AE =，则可通过12∠=∠，得到BAC DAE ∠=∠，利用SAS 证明△ABC ≌△ADE ，故选：C ．【点睛】 此题主要考查了全等三角形的判定，关键是要熟记判定定理：SSS ，SAS ，AAS ，ASA ．6．C解析：C【分析】根据全等三角形的判定方法一一判断即可；【详解】A 、根据ASA ，可以推出△ABC ≌△DEF ，本选项不符合题意．B 、根据AAS ，可以推出△ABC ≌△DEF ，本选项不符合题意．C 、SSA ，不能判定三角形全等，本选项符合题意．D 、根据SAS ，可以推出△ABC ≌△DEF ，本选项不符合题意．故选：C ．【点睛】本题考查了全等三角形的判定，解题的关键是熟练掌握全等三角形的判定方法； 7．B解析：B【分析】根据全等三角形的对应边相等得到BE=CF ，计算即可．【详解】解：∵△DEF ≌△ABC ，∴BC=EF ，∴BE+EC=CF+EC ，∴BE=CF ，又∵BF=BE+EC+CF=9，EC=5∵CF=12(BF-EC)=12(9-5)=2．【点睛】本题考查了全等三角形的性质，掌握全等三角形的对应边相等、全等三角形的对应角相等是解题的关键．8．D解析：D【分析】根据三角形三边关系解答．【详解】A、1+2=3，故不能组成三角形；B、2+3=5，故不能组成三角形；C、4+5<10，故不能组成三角形；D、14+15>16，故能组成三角形；故选：D．【点睛】此题考查三角形的三边关系：两边之和大于第三边，熟记三边关系是解此题的关键．9．C解析：C【分析】已知三角形破损部分的边角，得到原来三角形的边角，根据三角形全等的判定方法，即可求解．【详解】解：第一块和第二块只保留了原三角形的一个角和部分边，根据这两块中的任一块均不能配一块与原来完全一样的；第三块不仅保留了原来三角形的两个角还保留了一边，则可以根据ASA来配一块一样的玻璃．应带③去．故选：C．【点睛】此题主要考查学生对全等三角形的判定方法的灵活运用，要求对常用的几种方法熟练掌握．10．A解析：A【分析】根据三角形三边关系：①任意两边之和大于第三边；②任意两边之差小于第三边，即可得出第三边的取值范围．【详解】解：∵三角形的三边长分别为3，8，x，∴8-3＜x＜8+3，即5＜x＜11，【点睛】本题考查了三角形的三边关系，即任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边．11．A解析：A【分析】根据条件可得到BC=CD，∠ABD=∠EDC，∠ACB=∠DCE，可得出所用的判定方法．【详解】解：∵C为BD中点，∴BC=CD，∵AB⊥BF，DE⊥BF，∴∠ABC=∠CDE=90°，且∠ACB=∠DCE，∴在△ABC和△EDC中，满足ASA的判定方法，故选：A．【点睛】本题主要考查三角形全等的判定方法，掌握全等三角形的五种判定方法是解题的关键，即SSS、SAS、ASA、AAS和HL．12．A解析：A【分析】利用SSS可证得△OCD≌△O′C′D′，那么∠A′O′B′=∠AOB．【详解】解：易得OC=O C'，OD=O′D'，CD=C′D'，∴△OCD≌△O′C′D′，∴∠A′O′B′=∠AOB，所以利用的条件为SSS，故选：A．【点睛】本题考查了全等三角形“边边边”的判定以及全等三角形的对应角相等这个知识点，熟练掌握三角形全等的性质是解题的关键．二、填空题13．【分析】根据三角板的特点计算即可；【详解】解：如图所示由题可知∴∴∴故答案是【点睛】本题主要考查了三角形内角和定理和外角定理准确计算是解题的关键解析：75【分析】根据三角板的特点计算即可；【详解】解：如图所示，由题可知，60A ∠=︒，45C ∠=︒，∴30ABD ∠=︒，∴30CBE ∠=︒，∴453075β∠=︒+︒=︒．故答案是75．【点睛】本题主要考查了三角形内角和定理和外角定理，准确计算是解题的关键．14．5【分析】连接CE 根据等边三角形的性质得到AE ＝ABAC ＝AD ∠CAD ＝∠BAE ＝60°再利用SAS 推出△BAD ≌△EAC 由全等三角形的性质得到BD ＝EC 由于线段BD 长的最大值＝线段EC 的最大值即可解析：5【分析】连接CE,根据等边三角形的性质得到AE ＝AB ，AC ＝AD ，∠CAD ＝∠BAE ＝60°，再利用SAS 推出△BAD ≌△EAC ，由全等三角形的性质得到BD ＝EC ，由于线段BD 长的最大值＝线段EC 的最大值，即可得到结果．【详解】解：连接CE ，∵△ACD 与△ABE 是等边三角形，∴AE ＝AB ，AC ＝AD ，∠CAD ＝∠BAE ＝60°，∴∠CAD ＋∠BAC ＝∠BAE ＋∠BAC ，即∠BAD ＝∠EAC ，在△BAD 与△EAC 中，AD AC BAD EAC AB AE ⎧⎪∠∠⎨⎪⎩＝＝＝，∴△BAD ≌△EAC （SAS ），∴BD ＝EC ；∵线段BD 长的最大值＝线段EC 的最大值，当线段EC 的长取得最大值时，点E 在CB 的延长线上，且BC ＝4，AB ＝1，∴线段BD 长的最大值为BE ＋BC ＝AB ＋BC ＝5．故答案为：5．【点睛】本题考查了三角形的综合问题，掌握等边三角形的性质、全等三角形的判定与性质，并正确的作出辅助线构造全等三角形是解题的关键．15．4【分析】根据ASA 证明△ADE ≌△CFE 得CF=AD 再求出AD 的长即可【详解】解：∵AB=6BD=2∴AD=AB-BD=6-2=4∵∴∠BAC=∠FCE 在△ADE 和△CFE 中∴△ADE ≌△CFE ∴解析：4【分析】根据ASA 证明△ADE ≌△CFE 得CF=AD ，再求出AD 的长即可．【详解】解：∵AB=6，BD=2∴AD=AB-BD=6-2=4∵//CE AB∴∠BAC=∠FCE ，在△ADE 和△CFE 中BAC FCE AE CEAED CEF ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩∴△ADE ≌△CFE∴CF=AD=4．故答案为：4．【点睛】此题主要考查了全等三角形的判定与性质，证明△ADE ≌△CFE 是解答此题的关键． 16．2【分析】先证明△AED ≌△ACD 得到AE=AC=3最后根据线段的和差即可解答【详解】解：∵∠C=90°DE ⊥AB ∴△AED 和△ACD 都是直角三角形在Rt △AED和Rt△ACD中DE=DCAD=AD解析：2【分析】先证明△AED≌△ACD得到AE=AC=3，最后根据线段的和差即可解答．【详解】解：∵∠C=90°，DE⊥AB，∴△AED和△ACD都是直角三角形，在Rt△AED和Rt△ACD中，DE=DC,AD=AD，∴△AED≌△ACD（HL），∴AE=AC=3，∴BE=AB-AC=5-3=2．故填：2．【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定与性质，掌握运用HL证明三角形全等是解答本题的关键．17．【分析】根据AB∥CD求得∠CMF=∠1＝57°利用MF平分∠CME求得∠CME=2∠CMF＝114°根据∠EMD=180°-∠CME求出结果【详解】∵AB∥CD∴∠CMF=∠1＝57°∵MF平分∠解析：66【分析】根据AB∥CD，求得∠CMF=∠1＝57°，利用MF平分∠CME，求得∠CME=2∠CMF＝114°，根据∠EMD=180°-∠CME求出结果.【详解】∵AB∥CD，∴∠CMF=∠1＝57°，∵MF平分∠CME，∴∠CME=2∠CMF＝114°，∴∠EMD=180°-∠CME＝66°，故答案为：66.【点睛】此题考查平行线的性质，角平分线的有关计算，理解图形中角之间的和差关系是解题的关键.18．2或6【详解】∵DE⊥ABDH⊥AC∴∠AED=∠AHE=90°在△ADE和△ADH中∵AD=ADDE=DH∴△ADE≌△ADH(HL)∴AH=AE=4cm∵F为AE的中点∴AF=EF=2cm在△F解析：2或6.【详解】∵DE⊥AB，DH⊥AC，∴∠AED=∠AHE=90°.在△ADE和△ADH中，∵AD=AD,DE=DH, ∴△ADE≌△ADH(HL),∴AH=AE=4cm.∵F为AE的中点，∴AF=EF=2cm.在△FDE和△GDH中，∵DF=DG,DE=DH, ∴△FDE≌△GDH(HL),∴GH=EF=2cm.当点G在线段AH上时，AG=AH-GH=4-2=2cm;当点G在线段HC上时，AG=AH+GH=4+2=6cm;故AG的长为2或6.19．4【分析】证明△ABC≌△DEF（AAS）得到BC=EF即可得到答案【详解】解：∵AB∥DEAC∥DF∴∠B＝∠E∠ACB＝∠DFE在△ABC和△DEF中∴△ABC≌△DEF（AAS）∴BC＝EF∴解析：4【分析】证明△ABC≌△DEF（AAS），得到BC=EF，即可得到答案.【详解】解：∵AB∥DE，AC∥DF，∴∠B＝∠E，∠ACB＝∠DFE，在△ABC和△DEF中，B EACB DFE AB DE∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩,∴△ABC≌△DEF（AAS），∴BC＝EF，∴BC﹣FC＝EF﹣FC，即BF＝CE＝5m，∴FC＝BE﹣BF﹣CE＝14m﹣5m﹣5m＝4m；故答案为：4．【点睛】此题考查全等三角形的判定及性质；平行线的性质：两直线平行，内错角相等；正确掌握三角形全等的判定定理是解题的关键.20．3【分析】利用三角形的面积公式求出BC 即可解决问题【详解】∵AE ⊥BCAE ＝4△ABC 的面积为12∴×BC×AE ＝12∴×BC×4＝12∴BC ＝6∵AD 是△ABC 的中线∴CD ＝BC ＝3故答案为3【点解析：3【分析】利用三角形的面积公式求出BC 即可解决问题．【详解】∵AE ⊥BC ，AE ＝4，△ABC 的面积为12， ∴12×BC×AE ＝12， ∴12×BC×4＝12， ∴BC ＝6，∵AD 是△ABC 的中线，∴CD ＝12BC ＝3， 故答案为3．【点睛】本题考查三角形的面积，三角形的中线与高等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中基础题．三、解答题21．（1）证明见解析；（2）OE=OF ，证明见解析．【分析】（1）利用SAS 证明△AOB ≌△COD ，根据全等三角形对应角相等可得∠B=∠D ，再根据平行线的判定定理可证得结论；（2）利用ASA 证明AOE COF ∆∆≌，根据全等三角形对应边相等可证得结论．【详解】解：（1）由题可知，在△AOB 与△COD 中，AO OC AOB COD OB OD =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，()AOB COD SAS ∆∆≌，B D ∴∠=∠，//AB CD ∴；（2）OE=OF ，理由如下：由（1）可知：AOB COD ∆≅∆，∴∠A=∠C ，在△AOE 于△COF 中，A C AO COAOE COF ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩()AOE COF ASA ∴∆∆≌，OE OF ∴=．【点睛】本题考查全等三角形的性质和判定．掌握全等三角形的判定定理，并能灵活运用是解题关键．22．AC BD =，AC 与BD 的夹角60APB ∠=︒，理由见解析．【分析】根据已知先证明AOC BOD ∠=∠，再利用三角形全等判定“SAS”证明AOC BOD ≌，则可得结论AC BD =及OAC OBD ∠=∠，现结合图形，利用三角形的外角性质即可求出60APB ∠=︒．【详解】解：AC BD =，AC 与BD 的夹角60APB ∠=︒，理由是：∵60AOB COD ∠=∠=︒，∴AOB BOC COD BOC ∠+∠=∠+∠，∴AOC BOD ∠=∠．在AOC △和BOD 中，AO BO AOC BOD OC OD =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴()AOC BOD SAS ≌，∴AC BD =；∵OAC OBD ∠=∠，∴OAC AOB OBD APB ∠+∠=∠+∠，∴AOB APB ∠=∠，∴60APB ∠=︒．【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定与性质，熟练掌握三角形全等的判定方法并利用全等性质证明线段与角的等量关系是解题的关键．23．【分析】解：由∠1=∠2=∠BAC ，得到∠BAE=∠ACF ，∠ABE=∠CAF 从而证明△ABE ≌△CAF(ASA).得到AF=BE ，再根据DF=2AF ，BE 的长为5，求得AD 的长．【详解】解：∵12BAC ∠=∠=∠，且1BAE ABE ∠=∠+∠，2CAF ACF ∠=∠+∠， ∠BAC=∠BAE+∠CAF ，∴∠BAE=∠ACF ，∠ABE=∠CAF ．在ABE △和CAF 中，BAE ACF AB CA ABE CAF ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩∴()ABE CAF ASA ≌△△. ∴AF BE =∵2DF AF =，BE 的长为5，∴10DF =，5AF BE ==，∴51015AD AF DF =+=+=．【点睛】本题考查了全等三角形的性质和判定，解题的关键是熟悉掌握全等三角形的性质和证明． 24． 1.5cm DE =．【分析】根据垂直定义求出∠BEC ＝∠ACB ＝∠ADC ，根据等式性质求出∠ACD ＝∠CBE ，根据AAS 证明△BCE ≌△CAD ；根据全等三角形的对应边相等得到AD ＝CE ，BE ＝CD ，利用DE ＝CE−CD ，即可解答．【详解】AD CE ⊥,BE CE ⊥90ADC CEB ∴∠=∠=︒90BCE CBE ∴∠+∠=︒又90ACB ∠=︒90BCE ACD ∴∠+∠=︒CBE ACD ∴=∠在ACD △和CBE △中ADC CEB ACD CBE AC BC ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩()AAS ACD CBE ∴△≌△CD BE ∴=,AD CE =又 2.5cm AD =,1cm BE =2.5cm CE ∴=,1cm =CD2.51 1.5cm DE CE CD ∴=-=-=．【点睛】本题考查了全等三角形的性质和判定，垂线的定义等知识点的应用，解此题的关键是推出证明ACD CBE ∴≌的三个条件．25．（1）10°；（2）∠DAE＝12(∠C−∠B)；（3）45°．【分析】（1）根据三角形的内角和定理可求得∠BAC＝80°，由角平分线的定义可得∠CAD的度数，利用三角形的高线可求∠CAE得度数，进而求解即可得出结论；（2）根据（1）的推理方法可求解∠DAE、∠B、∠C的数量关系；（3）设∠ACB＝α，根据角平分线的定义得∠CAG＝12∠EAC＝12（90°−α）＝45°−12α，∠FCG＝12∠BCF＝12（180°−α）＝90°−12α，再利用三角形外角的性质即可求得结果．【详解】解：（1）∵∠B＝40°，∠C＝60°，∠BAC＋∠B＋∠C＝180°，∴∠BAC＝80°，∵AD平分∠BAC，∴∠CAD＝∠BAD＝12∠BAC＝40°，∵AE是△ABC的高，∴∠AEC＝90°，∵∠C＝60°，∴∠CAE＝90°−60°＝30°，∴∠DAE＝∠CAD−∠CAE＝10°；（2）∵∠BAC＋∠B＋∠C＝180°，∴∠BAC＝180°−∠B−∠C，∵AD平分∠BAC，∴∠CAD＝∠BAD＝12∠BAC，∵AE是△ABC的高，∴∠AEC＝90°，∴∠CAE＝90°−∠C，∴∠DAE＝∠CAD−∠CAE＝12∠BAC−（90°−∠C）＝12（180°−∠B−∠C）−90°＋∠C＝1 2∠C−12∠B，即∠DAE＝12(∠C−∠B)．故答案为：∠DAE＝12(∠C−∠B)．（3）设∠ACB＝α，∵AE⊥BC，∴∠EAC＝90°−α，∠BCF＝180°−α，∵∠CAE 和∠BCF 的角平分线交于点G ，∴∠CAG ＝12∠EAC ＝12（90°−α）＝45°−12α， ∠FCG ＝12∠BCF ＝12（180°−α）＝90°−12α， ∵∠FCG ＝∠G ＋∠CAG ， ∴∠G ＝∠FCG −∠CAG ＝90°−12α−（45°−12α）＝45°． 【点睛】本题考查了三角形的内角和定理、三角形的高及角平分线等知识，熟练掌握三角形内角和定理并能灵活运用三角形的高、角平分线这些知识解决问题是关键．26．见解析【分析】先证明AF BE =，然后根据平行线的性质得到∠CAF=∠DBE ，用SAS 即可证明△ACF ≌△BDE ．【详解】证明：AE BF =，AE EF BF EF ∴+=+，即AF BE =； //AC BD ，CAF DBE ∴∠=∠在ACF 与BDE 中，AC BD CAF DBE AF BE =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩ACF BDE ∴≅．【点睛】本题考查的是全等三角形的SAS 判定、平行线的性质，掌握SAS 判定是解题的关键．。
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专训1 三角形三边关系的巧用
名师点金：三角形的三边关系应用广泛，利用三边关系可以判断三条线段能否组成三角形、已知两边求第三边的长或取值范围、说明线段不等关系、化简绝对值、求解等腰三角形的边长及周长等问题．
判断三条线段能否组成三角形
1．下列长度的三条线段能组成三角形的是( )
A．1，2，3 B．1，π，5
C．3，4，8 D．4，5，6
2．下列长度的三条线段，不能组成三角形的是( )
A．3，8，4 B．4，9，6
C．15，20，9 D．9，15，8
3．已知下列三条线段的长度比，则能组成三角形的是( )
A．1∶2∶3 B．1∶1∶2
C．1∶3∶4 D．2∶3∶4
求三角形第三边的长或取值范围
4．若a，b，c为三角形的三边长，且a，b满足|a2－9|＋(b－2)2＝0，则第三边长c 的取值范围是__________．
5．【2017·舟山】长度分别为2，7，x的三条线段能组成一个三角形，x的值可以是( )
A．4 B．5
C．6 D．9
6．一个三角形的两边长分别为5 cm和3 cm，第三边的长是整数，且周长是偶数，则第三边的长是( )
A．2 cm或4 cm B．4 cm或6 cm
C．4 cm D．2 cm或6 cm
解答等腰三角形相关问题
7．【中考·宿迁】若等腰三角形中有两边长分别为2和5，则这个三角形的周长为( )
A．9 B．12
C．7或9 D．9或12
8．【中考·衡阳】已知等腰三角形的两边长分别为5和6，则这个等腰三角形的周长为( )
A．11 B．16
C．17 D．16或17
9．已知在△ABC中，AB＝5，BC＝2，且AC的长为奇数．
(1)求△A BC的周长；
(2)判断△ABC的形状．
三角形的三边关系在代数中的应用
10．已知a，b，c是△ABC的三边长，b，c满足(b－2)2＋|c－3|＝0，且a为方程|x－4|＝2的解，求△ABC的周长．
利用三角形的三边关系说明边的不等关系
11．如图，已知D，E为△ABC内两点，试说明：AB＋AC＞BD＋DE＋CE.
(第11题)
答案
1．D 2.A 3.D 4.1＜c＜5
5．C 6.B 7.B 8.D
9．解：(1)因为AB＝5，BC＝2，所以3＜AC＜7.
又因为AC的长为奇数，所以AC＝5.
所以△ABC的周长为5＋5＋2＝12.
(2)△ABC是等腰三角形．
10．解：因为(b－2)2≥0，|c－3|≥0，且(b－2)2＋|c－3|＝0，
所以(b－2)2＝0，|c－3|＝0，解得b＝2，c＝3.
由a为方程|x－4|＝2的解，可知a－4＝2或a－4＝－2，
即a＝6或a＝2.
当a＝6时，有2＋3＜6，不能组成三角形，故舍去；
当a＝2时，有2＋2＞3，符合三角形的三边关系．
(第11题)
所以a＝2，b＝2，c＝3.
所以△ABC的周长为2＋2＋3＝7.
11．解：如图，将DE向两边延长分别交AB，AC于点M，N.
在△AMN中，AM＋AN＞MD＋DE＋NE；①
在△BDM中，MB＋MD＞BD；②
在△CEN中，CN＋NE＞CE；③
①＋②＋③，得AM＋AN＋MB＋MD＋CN＋NE＞MD＋DE＋NE＋BD＋CE，所以AB＋AC＞BD＋DE＋CE.。